5 1 9 Х 1 8 ( X ) = | х / { x ) d x br i=\ D ( x ) = J X 2 / ( x ) d x - M 2 ( x ) b a ゴ ^Ш :Йё；! p q >J siWSirJ d /ふ d W P ( 2))Л c i c > 'j D 'i u D ( x ) = M ( x 2 ) - M \ x ) О қ у қ у р а л ы M ( x ) = ^ j x jp i Павлодар
1 0 0 Z сі^^оігавц н^лгнсіічх^нігох әнеж нәлгә^йө ігіитг^ т ч т ч о ігд -і HiædÂM Х^о іг іә х х н ә м ә іг е в л и і э и і 它工э > и ч і г в л и х в м ә х в м ә н е ж ІЧ Э В И Й О Ә Х d B X M W Ü IT B W H X M jq ЯОХИРМ^Х "X1M ixaxHDdaaHHÄ ліххэлэігкэрм сі^^оіш вц h j^ï/h h xb aodiq码Bdo丄 итігсііэиниі^ кгагил әнөж імііпд ШчнічэвлиігдХиээ^
У Д К 519.24 • .- ББК 22.1 Зя7 Ы 4 6 С .Т орайғы ров аты нд ағы Павлодар м ем л екетгік университетінің ғы л ы м и советі ұсы нған П ікір са р а п ш ы л а р : М үқанов Г.М . - П М У профессоры. Мубараков А .М . - педагогика ғылымдарының докторы, профессор, Павлодар педагогикалық университетінің физикаматематика факулътетінің деканы, Ы 46 Хамитов М .Х . Ы қтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері: оқу құралы.- Павлодар, 2005.- IS B N No 9965-439-10-9 О қу қүралында несиелік технологияға сәйкес. Б ірінш і бөлімінде теория, ал екінш і бөлімінде әр тақырыпқа есептер ш ы ғары льт, соңында стўденттерге өзіндік есептер берілген. Лайықты кестелер мен сөздік жазылған. К іта п мектеп оқушыларына, студенттерге, оқытушыларға паидалы. У Д К 519.24 ББК 22.1 Зя7 1602020000 00(05)-05 академик С.Бейсембае атыидағы ғыльіми С.Торайғыроа Ь С.Торайғыров атындағы атында^ы Лй^вдседар :іемлекетгік университеті, 2006. КІТАПХАНАГ1
Л л іы соз Іъілым мсп тсхииканыц қарыш гаи осуіис сай ыкгималдыюар гсориясының одістсрі омірдіц сап ær/ан салаларында ксціисн колданылын физика, химия, биология к үбьи іы с гары î іы д, гсхника мен экономика процсстсріпіц зашіыльіқтарыіі жви-жакты жәпе тсрсц түсін уіе орасан зор ыкпалыи тигізудс. Осьпап орай ықтималлыктар теориясы болашак мамандарі-а псгізгі матсмагикалық білім беретігі пән сссбіилс окытылуы тац каларлык оқига смес. Қазак тіл ііід с жазылгап оқулыктардыц таінпылыгьш ссксрсск, М.Хамитоізты11, үсыиып огыргші оқууыгь】 «Жоіари математика» (ыкгималдыктар жонс матсмагикалык статистика олсмеіптсрі) отс каж ст оқу қүралы. Кітап скі болімнси гұрады. Ьіршші болімі тсориядаи маі лүмаі бсрслі. Іж іл ш і болімі ор такырьшқа мысалдар шыгарьш， соцыида студснгісріс озіндік сссптср бсрсді. К іга п соцьшда түрлі ссснгср іш>ігаруіа каж сггі магсматикалык ксстслср бсрілгсл. Орыс іілікдсіч кі гаиіарды еркіи окуі a лайықгаи орі5ісша-казсіқпіа ьіқтималдыкіар тсориясыиыи создігі жазьипап. Қазақ жоис орыс тіліндсіі одсбисггср тізім і бар. Соңгы жылдары қазақ ііліидс окыіъісы кслетін студенттердің саиьшыц қаулап осіп ксле жатқаиьш жог/с кітаптыц иесиелік технология! а сойксс жазылганыи есксрсск оқулы қты ц қүпдыльиы срскшс. Физика-матсмаіика іъиіымларылыц локторы, профессор Гілсуксіюв С.К.
Бұл еңбегімді әкем, Әмренов Хамит, марқұмньщ рухына арнаймын. Автор 1 Тәжірибе және оқига Өмірде және ғылымда белгілі бір мақсат үш ін жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, операциялар, эксперименттер тағы да сол сияктылар кездеседі. Біз бұл атауларды бір мағынада, синоним есебінде түсінемізде оны тәжірибе деген термин есебінде қабылдаймыз. Сонымен тәжірибе-абстракцияланған ұғым, оның арнайы қасиеттері ескерілмейді. Бұл жердегі айтылып отырған абстракциялау мынау: белгілі бір шарттар тобын бұлжытпай отырып тәжірибені кайталауға болады. Тәжірибенің мысалдарын келтірейік: 1)теңге лақтыру; 2) ойын кубын (ойын сүйегін) лактыру. Ойын сүйегі дегеніміз әр жағына 1，2,3，4，5，6 сандары жазылған кәдім гі куб; 3) шахмат ойыны; 4 ) к а р т а о й ы н ы ; 5) нысанаға оқ ату; 6) ж әш іктен түрлі-түсті шарлар алу тағы сол сияқтылар. Тәжірибенің м үм кін болатын нэтижелерінен тұратын жиынды элементар оқиғалар деп атайды. Элементар оқиғалардан тұратын күрделі оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Оқиғалар латын алфавитінің А ,В ，С ... сияқты бас әріптерімеи белгіленеді. М ы салдар: 1 ) тәжірибе тиынды бір рет лақтыру болсын. Бұл тәжірибенің нәтижесі екі элементар рқиғадан тұрады: а) А-гербінің түсуі (елтаңба жағының түсуі); б) В-цифрдің түсуі (сан жағының түсуі); 2) тәжірибе ойын сүйегін бір рет лақтыру болсын. Элементар оқиғалар АХ,А2,...,А6 -о й ы н сүйегінің үстінгі бетінде і=1,2,...6 цифрларының (сандары) пай да болуы; 3) тәжірибе ойын картасынан бір карта суыру болса онда элементар оқиғанын бірі А-қарға тұзын алу, т.с.с. А қиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде әрқашан пайда болатын оқиғаны айтады. М үм кін емес оқиға деп тәжірибеде ешқашан пай да болмайтьш оқиғаны айтады. Б ірікпейтін немесе үйлесімсіз оқиғалар дегеніміз біреуінің пайда болуы баска окиғалардың пайда болмауына эсер ететін оқиғалар.
Бір ғана м үм кінд ікті оқиғалар деп ең болмағанда біреуінің пайда болуы ақиқат болатын оқигалар ж иы ны н айтады.( оқиғалар толық группа-топ құрады) Тең м үм кінді оқиғалар деп пайда болу м үм кіндіктері бірдей оқиғалар жиьш ын айтады. Мысал А-гербтің пайда болуы В-цифрдің пайда болуы Осындай үш қасиеті (бірікпейтін, бірғана м үм кінд ікті, тең м үм кінд ікті) бар оқиғалар жиы ны н жағдайлар(шанстар) дейміз. Мысал Ойын сүйегін лақтырғанда алты жағдай болады. A ж үп цифр болу оқиғасы болса, оған қолайлы үш жағдай 2,3,6 цифрларының пайда болулары. Қалған үш жағдай бүл A оқиғасьша қолайлы емес. Анықтама Белгілі A оқиғасьшың ықтималдығы дегеніміз осы оқиғаға қолайлы жағдайлар саныньщ барлық жағдайлар саныыа қатынасы бұндағы n-барлық жағдайлар саны; m -A оқиғасына қолайлы жағдайлар саны; Р - дегеніміз француз тілінде ықтималдықты - p ro b a b ility деп аударғандықтан осы сөздің б ірінш і әріпін алған. Геометриялық ықтималдық лақтырған нүктенің бір облыс бөлігіне түсу м үм кінд ігі сол облыс пен оньщ бөлігінің геометриялық өлшемдеріне байланысты болсьш. Онда нүктенің Е облысының бөлігі болатын A облысына түсу ықтималдығы деп Р{А) = — (1.1) Р(А) МЛ) п(Е) (1.2) қатьшасьш айтады, А сЕ . Жалпы айтқанда レ一келем.
2 Ж иілікті ықтималдық (Статистикалық ықтималдык) Анықтама Егер п рет тәжірибе жүргізгенде A оқиғасы к рет пайда болатын болса, онда — санын A оқиғасының жиілікті ықтималдығы (жиілігі) немесе статистикалық ықтималдығы деп атайды да былай белгілейді ѴѴ(А) = —. Оқиғаньщ ықтималдығы тәжірибеге дейін анықталса，жиіліктік ыктималдық тәжірибеден соң анықталады. Оқиғаларға карапайым амалдар қолдану. Анықтама A және В оқиғаларының қосындысы деп (бірлестігі) А оқиғасының немесе В оқиғасының пайда болуынан түратын оқиғаны айтады да былай белгілейді А+В=С немесе AdB=C А,,А2,...,А оқиғаларының қосындысы А1 оқиғасының немесе А2оқиғасының, т.с.с. немесе Ая оқиғасының пайда болуынан түратын оқиғаны айтады да былай белгілейді А, + А : +*.. + А = É A , «=1 немесе Мысал A -бірінші рет мылтық атқандағы нысанаға тигізу, В- екінші рет мылтық атқанда нысанаға тигізу С=А+В бірінші немесе екінші рет аткандағы нысанаға тигізу болып табылады. «Сурет 2.1»
Сурет 2.1 Анықтама А жэне В оқиғаларыныд көбейтіндісі (қилы суы) деп A және В оқиғаларының ортақ пайда болуынан түратын оқиғаны айтады да төмендегідей белгілейді «Сурет 2.2» А В =С немесе А П В =С Сурет 2.2 Бірнеше оқиғаньщ көбейтіндісі деп сол оқиғалардың барлығының ортақ пайда болуынан тұратьш окиғаны айтады да төмендегідей белгілейді. «Сурет 2.3» п п А 1>А 2..Л =ПА1 немесе П А,. 1 1 п ;=і * ,=і *
Сурет 2.3 3 Ыісгималдықтарды косу теоремасы Теорема А мен В оқиғалары бірікпейтін ( үйлесімсіз) болса A B = 0 олардың қосындысының ықтималдығы қосьшғыштардың ықтималдықтарының қосындысына тең Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Дәлелдеу Барлық жағдайлар саны п, ал А мен В-ға қолайлы жағдайлар саны т Амен т в болсын. А мен В бірікпейтін оқиғалар болғандықтан А+В қосындысына mA+mB жағдайлары қолайлы болады: Р(А + g) = & в- = ^ - + ^ - = Р(А) + Р(Д) Ескерту Кез келген А және В оқиғалары үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы былай жазылады Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Салдар Қос-қостан бірікпейтін бірнеше оқиғалардың біреуінің пайда болу (қосындысынын) ықтималдығы әр окиғаның ықтималдықтарыньщ қосындысына тең
Р(А, + Аз + …+ А п) = P (Aj ) + Р (А 2) + …+ Р (А Л). Бұл формула математиқалық индукция әдісімен дәлелденеді. Мысал Жәшікте 10 шар бар. 5- қызыл, 3 -көк, 2- ақ. Жәшіктен бір шар алынып, оньщ қызыл немесе көк түсті болу ықтималдығын табу керек: Шешуі А-қызьш, В-көк, А+В- қызыл немесе көк шар пайда болуы. 10 10 10 Бірікпейтін оқиғалардың толық тобы. Қарама-қарсы оқиғалар. Анықтама А,немесе А2,т.с.с. немесе А л оқиғаларьшьщ пайда болуы ақиқат оқиға болса онда ,Alf А 2,...,АЯ оқиғалары толық топ қүрады деп атайды, яғни. P(Aj + A〕+“• +Ап) = 1 Ойын сүйегін, тиын лақтыру Анықтама Бірікнейтін,толық топ қүратын екі оқиғаны қарама-қарсы оқиға деп атайды. Мысал Мылтық атқанда нысанаға тигізу A және тигізбеу A оқиғалары, тиьш лақтырғанда герб пайда болуы А жэне цифр пайда болуы A оқиғалары қарама-қарсы оқиғалар. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарьшың қосьшдысы бірге тең ( + )= ( )+ ( )= Егер Р(А)=р, P(A)=q деп белгілесек онда p+q=I,q=l-p шығады.
4 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы Анықтама Біреуінің пайда болу ықтамалдығы екіншісінің пайда болу немесе пайда болмауына байланыссыз болатын екі оқиғаны тәуелсіз оқиғалар дейді. Аныктама A оқиғасьтың В оқиғасы пайда болғаннан кейінгі ықтималдығын A оқиғасьшың В оқиғасы пайда болғандағы шартгы ықтималдығы деп айтады да былай белгілейді Рв(а). Мысал Жәшікте 4 кара жэне 6 ак шар болсын. Бұл жәшіктен екі адам бір-бірден шар алады. А-бірінші адам жәшіктен ақ шар алу В-екінші адам жәшіктен ақ шар алу болса A оқиғасыньщ ықтималдығы =立JO болса онда шартты ықтималдық ра(в)=鲁 • Р(АВ) = ^. Теорема Р(АВ) = Р(А)Р (В) = Р(В)Р (А). Ескерту Егер А мен В тэуелсіз болса, онда Р(А) = Рв (А). Мысал Жэшікте 15 бірдей бүйым бар. Жәшіктен екі сапалы бүйым алудьщ ықтималдығы —-ке тең.Жәшікте қанша сапалы бұйым бар еді? Шешуі Белгілеу енгізейік.А-жәшіктен бірінші рет алғанда сапалы бұйым алътды,В-жәшіктен екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиға тәуелді. Сондықтан, егер k-сапалы бүйымдар саны десек, онда
р (А ) = -^ » (в ) = - ^ ~ Р(АВ) = Р . (В) = = — Ѵ } Ѵ 7 A W 15-14 15 Осыдан た2 - た- 56 = 0 ,к = 8. Сонъшен, жэшікте 8 сапалы бұйым болды. 5 Толық ықтималдық формуласы Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары ретінде толық ықтималдық формуласьш қарастыруға болады. Теорема В, ,В2 Вл оқиғалары тольщ топ қүратын, бірікпейтін және берілген A оқиғасына ьщғайлы оқиғалар жиыны болсын. Бүл оқиғаларды гипотезалар (жорулар) деп атайды да A оқиғасы үшін Р = Р(В, )РВ, (А ) +... + Р(В, )РВ_ (А ) = Х Р (В ,- )Рв, (А) формуласы орындалып, бұл теңдікті толық ыктималдықтың формуласы деп атайды. Дәлелдеу A оқиғасыньщ пайда болуы бірікпейтін В! А немесе В2А немесе т.с.с. немесе В л A оқиғаларының пайда болуына сәйкес келеді, яғни А = В,А + В2А + ... + В А. Б ірікпейтін оқиғаларға ықтималдыктарды қосу теоремасын қолдансақ Р (А ) = Р (В 1А + В 2А + … …+ Р (В „А ) Есептің шарты бойынш а ]1
Тендіктің оң жағы н ықтималдықтарды көбейту формуласы аркылы жазсақ Р(А) = Р(В ,)РВі(А)+... + Р(В „ )РВ. (А) тендікті аламыз. Мысал Топта 21 студент бар. Олардьщ 5-і ү з д ік ,10 жақсы, 6 нашар окиды. Емтиханда үздік оқитын студенттер тек үздік баға алады. Ж ақсы оқитындар үздік не жақсы баға алады,ал нашар оқитындар жақсы,орташа немесе нашар бағалар алуы ықтимал. Ёмтиханға шақырылған бір студенттің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығын тап. Ж ақсы немесе үздік баға алу оқиғасын А-деп белгілейміз. Жоруларды былай белгілейік: Н, -ү зд ік студент, Р(Н丨)=吾 Н2 -жақсы студент, Р(Н2)=盖 Н3 - нашар студент Р(Н3)= — Ал студенттердің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығы Рн,(А) = 1,РНг=1,РНз= і Толық ьщтималдық жалпы формула бойынша былай табылады Р(А)= Р(Н, )рНі (а )+ р (н 2)рНз (А)+ р(н3 )рНі (А) = А . і + 6 Байес формуласы Байес формуласы ықтималдықтарды кѳбейту теоремасы мен толық ықтималдықтың формуласының салдары болып табылады. Теорема Егер A оқиғасы толық топ қүратын, оірікпейтін Bp B2” ..，Bn оқиғаларының (жорулардың) біреуімен бірге пайда болатын болса, онда әрбір жорудьщ шартты ықтималдығы үш ін 12
рл(Вг)= Р(Ву)РвЛА) Хр(в,)рв,⑷ І=1 теңдігі орындалады. Дэлелдеу Ықтималдықтарды кѳбейту формуласы ооиынша Р( AB г ) = Р( )Р (В г ) - бұл тендіктен 他齋• Енді осы тендіктің оң жағында түрған оөлшектщ алымына ықтималдықтарды көбейту, ал бөліміне толық ықтималдықтьщ формуласын қолдансақ онда мына қатынас шығады * ) 嘴 糕 （ゅ = бізге дэлелдеу керегі осы еді. (6.1) формуланы Байес формуласы дейді. Байес Томас (1702-1761)- ағылшын математигі, Лондондағы король ұйымьшың мүшесі. Ескерту Біріншіден оқиғаларына қоятын шарт олар оқиғалардьщ толық тобын құруы қажет, яғни олар бірден бір мүмкін жэне өзара бірікпейтін болуы керек. Р(ву),і = 1Д,...,п ықтималдықтары тәжириебеге дейін белгілі деп есептелінеді де, априорлық ықтималдық деп аталынады. ( Латынның a priori - алдымен, әуелі деген сөзінен тұрады). Рв, (А)~ апостериорльгқ ықтималдық деп атайды. (Латынның а posteriori- тәжиірибеден соң деген мағьшаға) Мысал Қоимада екі заводтьщ дайындаған бөлшектері бар. Бірінші завод екіншіден 4 есе көп дайындаған. Бірінші заводтьщ жарамсыз бөлшектер дайьшдау ықтималдығы ру = 0,05, ал екінші заводтьш ьіқтималдығы р 2 = 0,01.Кездейсоқ алынған бөяшек жарамсыз болып шықты. Осы бөлшектің бірінші завод дайындаған бөлшек екіндігінің ықтималдығын тап. 13
Шешуі В,- оірінші, В2-екінші завод дайындаған бөлшектер Р(В,) = -,Р (В 2) = - А-кездейсоқ алынған бөлшектің жарамсыз болуы. Онда есептің шарты бойынша РВ[ (а)=0,05,РВз (a)=0,0J, РА(в ,).一 一 . 0нда 1 /_ Р(В,).РВі(А)+Р(В2).РВз(А)- РД(В,) = -------0,8 0,0--------= 0,952 А 1 0，8 .0 05+ 0,2 0，01 7 Тэжірибені кайталау. Бернулли формуласы Егер бірнеше тәжірибе жүргізіп, эр тәжірибедегі A оқиғасыньщ пайда болуы баска тәжірибенің нәтижесіне байланыссыз болса, онда ол тэжірибелерді “ Л” оқиғасына қарағанда тәуелсіз тэжибелер деп айтады. Теорема Әрбір тәжірибие жүргізіп，әр тәжірибедегі A оқиғасының пайда болу ықтималдығы Р-ға тең болсын п рет тәжірибе жүргізілінгенде А оқиғасы К рет пайда болу ықтималдығы РЛк) = С„кРк9"-4 (7.1) формуласыменанықталады. q = \ - р . Бұлформуланыбиномдық формула немесе Бернулли формуласы деп атайды. Дэлелдеу п рет тәжірибе жүргізгендегі A окиғасыньтң эр тәжірибедегі пайда болу ықтимадығы р(а)=Р, ал пайда болмау ыктимаддыгы P(Ä)=l-P(A)=q болсын. Вк-А оқиғасыньщ п рет тәжірибе жүргізгендегі К рет пайда болуы; Aj-A оқиғасыньщ і-ші тәжірибедегі пайда болуы; Äi-A оқиғасыньщ і-ші тәжірибедегі пайда болмауы деп белгілесек, күрделі оқиға Вк берілген A оқиғасының n-k рет пайда болуы комбинацияларынан тұрады 14
в 尺= А і А г А з … *А 欠 Аа：+1… *Ал + А ! А 2 А з А 4 … .А 2п А 2 尺… *А Л + •" .+ + A î А 2 •. *А л-左 А 尺十!…*А л Эрбір қосылған қосылғыпггьщ ықтималдығы бірдей болады . Мысалы бірінші қосылғыш үшін ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша P^Aj А2 А3..^А^ аг+1 ...A” )= = Р(А,)Р(А2)Р(А )р(Ал:+, )..p(„)= Р к qnィ Вк оқиғасында қосылғыштар саны = 幻(ん-幻 болғандықтан, ықтималдықтарды қосу теоремасын ескерсек Р(ВК)= Р М = С ^Р КЯП-К (7.2) формуланы аламыз. Басқаша дэлелдеу Биномдық формула, немесе Ньютон биномы былай жіктеледі: (a+b)n= ゲ十nan^b + А -І І І ゲ-2 わ2 + ...+С^ап-кЬк +..Ьп (Я + РУ = q H+ nqn~lp +... + C^qn~Kp K +... + р к Мұндағы ^n(k)=Cknpkqn~k - Бернулли формуласын береді， q - \- p . Мысал Батарея бір ауданға 4 рет оқ атқан, әрбір оқтың тию ықтималдығы р = і тең болған. Көзделген ауданның толық зақымдануы үшін кем дегенде 2 оқ тию керек. Ауданның толық зақымдану ықтималдығы қандай? {я + ру =分4 +4ゲ厂+ 6分2/ +4マパ十4，分: = î 丄=ニ А«4 рет атқанда ауданды толық зақымдану уақиғасы болсын. \ - ауданға 2 рет оқ тию 15
Аз - ауданға 3 рет оқ тию А3 - ауданға 4 рет оқ тию А = А 1 + А 2 + А 3 Ю + И Ж А ) Ықтималдықтарды косу теоремасын қолдансақ Р(А) = 6q2p 2 + Aqp + p 4 = б |^ |j .〔£ j + 4 . ( | ) + 〔金) 1 。 ハ 33 11 = — » 24 + 8 + 1) = — = — ; З4 } 81 27 Р(А) = — . , 2 7 8 Ең ықтимал сан жэне ең үлкен ықтималдық Рл (т) жэне Р" (т - 1)ыктималдыктарыньщ катынасын түрлендірулер жүргізсек п(п —і)...(я —w + l) P" (m - 1) 一СТхрт-хдп~т^ _ п{п - l)...(n - т ) フー ( т - 1 _ (« - т +1)_ (л +1)- т(і- _ j + 一 т mq mq mq ト ^ ^ ト -1) (8.2) қатынастан мынандай қорытындыға келеміз 1)егер т((п + \)р болса , Р„(т)>Р„(т - 1) 2) егер т){п + \)р болса， P . M P jm - l) 3) егер т = (п + \)р болса Р„(т)=Р„(т-і) алып, (8.1) (8.2) 16
Мына (/і + і)р-1<//^(л + і)р (3) теңсіздіктері қанағатгандыратын бір ғана //бүтін саны бар. Сонымен мынандай теорема дәлелденеді. Теорема Егер m саны 0-ден п-ге дейін ѳссе, онда Ря (т) ықтималдығы алдымен монотонды өседі, содан кейін т = //болғанда өзінің ең үдкен мәнін қабылдайды, ал одан соң монотонды кемиді. (3) теңсіздіктермен аныкгалатын // саньш ең ықтимал сан деп атайды. Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша Ри (//) ықтималдығы барлық ря (т )ықтималдыктардьщ ішінде ең үлкені болады. Мысал Белгілі бір технологиялық процесте барлық өндірілген өнімнің 85 проценті жоғарғы сортты.150 бұйымнан тұратын партияның іш індегі жоғарғы сортты бұйымдардың ең ықтимал санын табу керек. Шешуі Есептің шарты бойынша « = 150，p = 0，85，q = 0.15. Ең ықтимал санды (3) теңсіздіктерден табамыз 151• 0,85-1<//<151-0,85 бүдан 127,35(//(128,35. Сондықтан да 150 бұйымнан тұратьш партияның ішіндегі жоғары сортты бүйымдардың ең ықтимал саны-128. Лаплас Пьер Симон (1749-1827) француз математигі,физигі,астрономы Париж,Петербург академияларыньщ мүшесі. Наполеон кезінде ішкі істер министрі болтан. Муавр Абдрахмаы де (1667-1754) ағьшшын математигі. 9 Лапластың локальдық теоремасы A оқиғасьшьщ п рет тәжірибе жүргізгеыде к рет пайда болу ықтималдығын Р„(た)-ны есептеу үшін Лапластың локальдық теоремасы қолданылады. Георема Егер A оқиғасьшың әрбір тәжірибе жүргізгендегі ықтималдығы 〈夕〈1)тұрақты болса, онда п рет тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасыньщ тура к рет пайда болуының ыктималдығы мына формуламен жуықтап есептеледі __________丨-丨 С.Торайғыроз ； атындағы ПМУ-дІң академик С.Бөйс.-гиоле атындағы ғылһ-ми \ 596がふп '[гд п вニL
Р Л ^ )= -р = мүндағы y/npq ф )= Ж е г ' к - п р ал ------— л/npq ^(jc) -функциянъщ мәндері арнайы кестеде келтірілген. ç(x)- функциясы жұп болғандықтан <р(х)=(р{-х\ Ал j：>5 болған мәндерінде ^(jc)=0 деп есептеледі. Тәуелсіз 600 сынақтарда түрақты р = 0,4 ыктималдықпен пайда болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек rt = 600, p = 0,4, q = 0,6 v 228-600 0,4 -1 2 一」 Шешуі ßoO-ОА^в 12 Радо (228)=丄 .0,242 = 0.0201.
Теорема Егер A оқиғасының әрбір тәжірибе жүргізгендегі ықтималдығы Р(0<р<1)тұрақты және тәжірибе саны п ж еткілікті үлкен болса, онда А оқиғасының ^,-ден кем емес, к2-ден артық емес рет пайда болуының ықтималдығы мына формула бойынша жуы қтап есептелінеді 乂 必 (ろ)一 Хг - кг~пр ,xl - kl~np, 2 ' 1 ^ пРЯ ф{х)=жЬ 2dz М ұ н д ^ ы ф(х) функциясы тақ функция, яғни ф{х)- -ф{- х). ф(х) функциясын Лаплас функциясы деиді. Оның мәндері арнай ы кес те д е к е л т ір іл г е н . А р г у м е н т х тің м ә ні б е с т е н ү лкен болғанда, ф{х) = 0,5 алынады. Мысал A оқиғасының әрбір тәжірибе жүргізгендегі ыктималдығы р = 0,8. О с ы оқиғаның 1 0 0 тә ж ір и бе ж ү р гіз ге н д е 7 5 д е н кем ем ес ,9 0 - нан артық емес рет пайда болу ықтималдығын тап. М уавр-Лапластың интегралды қ теоремасын қолданамыз. Ш еш уі /> = 0,8,^ = 1 - р = 1 -0 .8 = 0 2 n = 100,k, =75，も=90 Ріоо(75，90)=ル 2) - 咖 ） = = 75-80 ^ 5 л/100 0,8.0,2 4 ^ 4 4 Ріоо(75,90)= ф(2,5)-ф(-1,25) = ^(2,5)+ ^(1,25)= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882 Есептер шыгару . 1 ) кітаптың 300 беті бар. Аппқан беттің реттік нөм ірінің беске бвлшу ықтималдығы қандай? 10 М у а в р -Л а п л а с т ы ң и н т е г р а л д ы қ т е о р е м а с ы 19
Шешуі Жалпы жағдай = 3005Л = 300, к = 60 — қолайлы жағдай. Іздеп Сондықтан, отырған ықтималдык Р (А )=- = — = - = 0,2 л 300 5 Р( )- ашқан беттің реттік нөмірі беске бөлінетін жағдайдьщ ықтималдығы 2) екі таңбалы сандардан алынған. Санның цифрлары бірдей болу ықтималдығы кандай? Шешуі 10 нан 99; п=90-жалпы жағдай " К=11,22,33,44,55,66,77,88,99; т=9 11к=99 —► к=9. Керекті ықтималдық Р(А)= — = — = 0,1. 90 10 3) дифференциал сөзінен бір әріп алынған. Осы әріптің дауысты, дауыссыз немесе ж әріпі болу ыктималдығын тап. Шешуі А-дауысты әріптер һ =5， В-дауыссыз әріптер к2 =7 С-ж әріпі жоқ к3=0 Барлық әріптер саны п=12 51 127 1201 12 il II II A вс р. 20
Аныктама Берілген әртүрлі п элементтен m элемент бойынша орналастыру деп, әрқайсысы бір-бірінен не қүрамы бойынша, не орналасу регі бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады. Орналастырулардьщ жалпы саны мьша форму ламсн анықталады A™ = л (л -іХ л -2 )...(л -т + і) = ^ - ^ ^ . (11.1) 11 К о м б и н а т о р и к а Аныктама Берілген әртүрлі п элементтен п элемент бойынша алмастырулар деп, әрқайсысы бір-бірінен тек орналасу реті бойынша ғана ажыратылатын комбинацияларды айтады. Алмастырулардьщ жалпы саны Ри = п(п —іХл — 2\..(п - л +1)=я! (11.2) Сонндай-ақ алмастыруларды орналастырулардьщ жеке түрі ретінде қарастыруға болады, яғни Аныктама Берілген әртүрлі п элементтен m элемент бойынша теоулер деп,әрқайсысы бір-бірінен тек құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады. Терулердің жалпы саны мына форму ламен есептеледі. СГ п\ П т \ { п - т ) \ ?т ：=Спт .Ри с : ’ (11.3) 21
Комбинаторика формулаларын пайдаланғанда мынадай екі ережені ж и і пайдаланамыз. Қосу ережесі Егер әртүрлі А жэне В элементтерді сэйкес п жэне m рет жолмен таңдап алатын болсақ, онда осы екі элементгің біреуін (А-ны,болмаса В-ны) m+n рет жолмен таңдап алуға бол ада. Кѳбейту ережесі Егер бір группада m элемент, ал екінш і группада п элемент болса, онда ѳрбір группадан бір элементтен алып қүрылған қосақтардың саны • лгкөбейтіндісімен анықталады. Расында бірінш і группаның бір элементі екінш і группаның әрбір элементімен қосақталынады және керісінше, сондықтан қосақтардың жалпы саны . көбейтіндісіне тең болады. , Есептін жалпы түрі Ж әш ікте N шар бар, оның М -көк, (N -М ) кызыл. Алынған п шардың т - ы кө к болу ықтималдығы қандай? Ол мына формуламен есептелінеді: р(А)=С^_С^ ； N Мысал Ж әш ікте 15 шар бар, оның 5 к ө к , 10 қызыл; Қалай болса солай алты шар алынды. Осы шарлардың 2-і көк болу ықтималдығын тап. Шешуі: N=15，М=5，N-M=10, n=6 т=2 п-т=4. 6 15.1413.12.11.10 Жалпы жағдай ь 1.2-3 4.5.6 " Қолайлы жағдай С\ . С^0 = = 2100 г • „ 2100 л z Екі көк шар алу ықтималдығы Р = ------= 0,4196 Ескерту Жоғарыда қарастырған элементтеріміз бір-бірінен ерекше деп алыпты,яғни эр элемент бір реттен тәжірибемізге қатысты. Егер тәжірибеге қатысқан элементтердің кейбірі оірнеше рет қайталанса онда алмастырулар, орналастырулар, терулер баскаша формулалармен есептеледі. Мысалы, егер п элементгің п г бір түрлі, П2-екінш і түрлі, т.с.с...пь-k түрлі қайталанса онда қайталамалы алмастырулар мына формуламен есептелінеді:
Рл )~" j Г |， ,! 2!.. а! мүндағы л, + п 2十…十/^ =п. Егер п элементтен к-дан жасалған орналастырулар саны А；,ал қайталамалы орналастырулар саны үшін Ä； белгілеулерін еңгізсек, онда f А кп = п(п - - Â: +1)= ал ÄJ =я4 формулаларымен есептелінеді. Қайталамалы терулер п э л е м е н т т е н k-дан жасалған қайталамалы терулер деп әрқайсысы k-элеменгген тұратьш топтарды айтады және де әрбір элемент осы п топтардың біреуіне тиісті. Барлық қайталамалы терулер санын Г* арқылы белгілесек, онда р * _ f -лк _^ІП-І _ {п к —l)l " ~ п+к-1~ п+к~1~ ’ формуласымен есептеледі. Неміс математигі Михаиль Штифель: ”Ноль шын ақиқат (оң) сандар мен теріс сандардың шекарасы，’- деген. Мысал Қорапта 15 қызыл,9 көк,6 жасыл шар бар. Қалай болса солай 6 шар алынды. Осы шарлардың 1 жасыл,2 көк，3 қызьш болуының ықтималдығы қандай? Теру заңы бойынша: Шешуі п~С^о -жалпы жағдай =C,35-iq»i3bLfi k2 =С92-көк k3= -жасыл 23
Қолайлы жағдай m = k ]k2k, =Cf5C^Cl ( ) — m — + Г Ғ ^ 24 ト 7 一—с Г ~ 'Ч - 29-2^ ^ г Қ г у т ^ 12 Паскаль үшбұрышы (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (а+Ь)3=а3+За~Ь++ЗаЬ"+Ь3 (a+b)4=a4+4a3b+6aV +4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 - (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 (a+b)7=a7+7a6tH-21a5b2+35aV + 35a3b4+21aV +7ab6+b7 Бұл екімүшеліктерді дәрежелеу амалыньщ нәтижесінде шыққан коэффициенттер Паскаль ушбұрышын құрайды: Б.Паскаль (1623-16б2)-фрашдуз математигі. Паскаль үшбұрышы бойынша (a+b)l i =a11+ U a lob+55a9b2+165aV +330a7b4+462aV +462a5b6+ 3 3 0 V + +165a3bs+ 5 5 a V + l la b w+bu ,
сонымен (a + b)n = С У +С \а^Ь + ... + С：ал-тЪт +... + С：Ьл формуласы шығады. Муны Ньютон биномы немесе Ньютон формуласы деп атайды. Паскаль үшбұрышы негізінде мына тендіктер орынды: СИ°=С； p e r 1 с т ^ с г а=Ь=1 тендігі орьшдалса, онда 2я =С 0 十 十 …+ С'л，яғни бином коэААициенттерінің қосьшдысы 2П (екінің п дәрежесіне) тең. Мына рекуррентгік формула көптеген есептерді шығаруға пайдалы: 一厂*/и+1• 13 Кездейсоқ шамалар және олардың сйііаггамалары Анықтама Тәжірибенің нәтижесінде әртүрлі мән қабылдай алатын шаманы кездейсоқ шама деп атайды. Кездейсок шамалар х,у,арқылы белгіленеді де оның мәндерін хі>х2 ” . хп; Уі,У2..-Уп арқылы белгілейді. Кездейсоқ шамалардың қабылдаитын мәндеріне қарап,оларды екі топқа бөледі: Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар (дискретті-үзікті) X кездеисоқ шамасьшың қабьшдайтьш мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шаманы дискретті деп атайды(үзікті шама). Бгер X кездеисоқ шамасы ш екті немесе ш ексіз интервалдьщ барлық мәндерін қабылдайтын болса, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды. 1 ) оиын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны дискретті кездеисоқ шама. Оны х арқылы белгілесек қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады; ) екі ойын сүйегі лақтырылсын. Тускен ұпайлар саньш ескерейік. Үлестірім заңын табайық. 25
Шешімі Кездейсоқ шама х 2 ден 12 ге дейін, ал оның барлық жағдайы 6 6 = 36мәнін қабылдайды 1 Ықтималдыктарды есептейік Po = р(х = 9)= — = - 36 9 р д = р ( х = 10) = — = 丄 9 36 12 PlQ = Р(Х = 11) =— =丄 0 36 18 P u =р (х = 1 2 ) = - ^ - . Сонымен үлестірім заңы мына кестемен өрнектеледі X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 р 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/36 тл . ^ 1 1 1 1 5 15 1 1 1 1 , Кестедегі > р. - ~ .+—+—+—+—+ -+ —+—+—+—+— =1. し 1 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 Үлестірім кестесінің екінші жолда тұрған сандар теріс емес，яғни > 0 және ол сандардың косындысы бірге тең S a = i X кездейсоқ шамасының х іх 2,...хп мүмкін мәндерінщ әйтеуір бірін қабылдайтындығынан хі,х2>-- -хп бірікпейтін толық топ қүрады. Аныктама Егер X кездейсоқ шамалы 0,1,2...,п мәндерін қабылдау ықтималдығы р „ ( х = к ) = С кп р кд " -к 2345Ъ\ 2345 36 26
теВДІгімен анықталса (мұндағы k=0’ l ’2” ..n，ал С„* - п элементтен kДан жасалған теру саны болса) онда х-ті бином (Бернулли) заңы бойынша үлескен деп атайды X 0 1 2 N 叫1'-1一 一 1 W -2 2! 4 C kn p kq n~k P n Өздеріңізге таныс Бернулли формуласы. Аныктама Егер X кездейсоқ шамасы 0,1,2,...,п мәндерін қабылдаса n мейлінше үлкен болғанда，р тым аз болғанда pn(x=k) Ықтималдығын жұықтап есептеуге мьша формуланы қолданады Рп(Х = К) = ^ ~ мүндағы : п р . Бұл үлестірімді Пуассон заңы дейді. Пуассон формуласы Бернулли формуласьшан шығатындығьш дәлелдейік k \(n -k ) к\ к\ • я(/і- і} "(л- 灸+ 1 )Лк 一；j Як Л Г が ■ ア 77— 頁 又 ГЫ) Мұндағы п-^оо үмтылғанда 27
рк г*к пп~к 〜え 0~x к\ Биномдық Бернулли эаңының w ->x үмтылғандағы шегі Пуассон үлестірімін береді. Мысал Заводтан шығатын өнімнің орта есептен алғанда 0,02 проценті жарамсыз оұиым. 2000 бұйымды алып тексергенде жарамсыз бұиымдардың саны 3-ке тең болу ықтималдығы қандай? Ш еш уі Жүрпзілетін барлық тәжірибе саны п=2000. Әрбір тәжірибеде бұиымның жарамсыз болу ықтималдығы = 0,0002. Сөйтіп X = 2000• 0,0002 = 0,4,k = 3. Пуассон формуласын қолдансақ 2000 (з) s М г 0-4 = -(2,7)1 =0,019757 14 Дискретті кеэдейсоқ шамалардыц математикал ы қ үжәне онын қасиеттері Егер X кездеисоқ шамасы х ьх2,...,хп мәндерін рі,Р2，".Рп ықтималдықтарымен қабылдаса, онда дискретгі кездейсоқ шаманын математиқалық үміті деп қосындысын айтады да М (х) арқылы белгінеледі. Егер і=1,2,...,п,... болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалык үміті Сонымен
Мысал Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсок шаманын м а т е м а т и к а л ы қ үмітін табу. Аныктама бойынша 2! • tf(n -l). Сонымен, Пуассон бойынша үлестірілген кездеисоқ шаманың *і2 ОО мүндағы = 1 + Л + ;+ …= 1 Соныме математиқалық үміті осы үлестірімдегі параметріне тең, Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің арифметиқалық ортасына тең болады, яғни м ⑷ ノ丨 Математикалық үмітті механика тілінде үлестірімнің ортасы(центр распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі. Расында х і， 2，“ .》хп нүктелерінің массалары р і， 2，.. рп болса, онда берілген жүйенің ауырлық нүктесі Ц ХЛ Х=-Ң-----уУ р = \ , ナ 含 сондықтан Хс = М(х) Сөз соңында айтарымыз. Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математигі; физигі және механигі. Математиқалық үміттің қасиеттері: 1 )тұрақты шаманьщ математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең. М(С)==С, C=const. Кездейсоқ шама тек қана С мәнін қабылдайды да оның ьіқпшалдығы бірге тең болады. 2) түрақты көбейткіпггі математиқалық үміт таңбасыньщ алдьша иіығаруға болады. М(СХ)=СМ (х), C=const. 29
Анықтама бойынша м(с*)=^(сх*һ ^с^хкрк =см(л) *=і *=і 3) ею кездейсок шамалардьщ қосындысының (айырымыньщ) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміггерінің қосындысына (айырымына) тең，яғни м{х у) = м(х)士 м(>>) Дэлелдеу Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дәлелденеді. 4) екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көоеитіндісінің математикалық үміті көбейткіштердің математикалык үміттерінің көбейтіндісінде тең: М (ху)=М (х)М (у) Үш інш і, төртінші касиеттерді п кездейсок шамалар үшін жалпылауға болады 3°. M(Xi+X2+...ХП)=М(Х 1)+М(Х2)+.. .+M(Xn) 4°. м(х, х2..ля)=м(х,)м(х2)-... м(х„), мүндағы Х і,Х2, . .. ,Хп-тәуелсіз кездейсоқ шамалар. 15 Дискретті кездейсоқ шамалардың дисперсиясы жоның қасиеттері Кездеисоқ шаманың мәндері оньщ математикалық үмітінен ауытқитындығы белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі. X кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д (Х) таңбасымен белгілейді. Аны қтама X кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсок шаманьщ математикалык үмітінен ауытқыуының квадратыньщ математикалық үмітін айтады Д (Х )=М [Х -М (Х )]2, (15.1) Математикалық үміттің касиеттерін пайдаланып (1 )формуланы түрлендіреиік: д(х)=м [х-м (х)]2 =м[х2 -2ХМ(Х)+М2(Х)]= = М ( Х 2) - 2 М ( Х ) . М ( Х ) + М 2( Х ) = М ( Х 2) - м 2( х ) осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады д(х)=м (х2)-м 2(х) (15.2) 30
(15.1) формуласы былай оқылады Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманьщ квадратының математикалык үміті мен сол кездейсоқ шаманын математикалық үмітінің квадратыньщ айырымы. Мысал Пуассон зады бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманьщ дисперсиясын тап. Сонымен Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманьщ дисперсиясы да -ға тең. Дисперсия дегеыіміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы. Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаньщ таралымының) егер математикалық үмітті массаньщ центрі деп алсақ. Дисперсия кездейсок шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа үғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол < у (х )= ѵ д а , сигма X деп оқылады. Орташа квадраттық ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытқу деп атайды. Теріс емес кездейсоқ шамалардың кездейсоқтығының дәрежесін анықтау үшін вариация коэффициент^ анықталады ол орташа квадрат ауыткудьщ математикалык үмітке қатынасы. Ёнді дисперсияньщ қасиеттерін қарастырайық М(Х) = Я =Ае 1 д (х)=м(х2 )-М 2(Х)=Я2+Я-Я2 = д(х)=я. ((К-і)-Ы)Як (К-1> Ле^л(Лел + е л) = Л 2 +Л; 31
1 )түрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең Д(С)=0. Расында, егер C=const болса онда (2) формула бойынша Д(С)=М(С2)-М 2(С)=С2-С2=0 2) тұрақты кѳоеиткішті дисперсия таңбасыньщ алдына квадраттап шығаруға болады. Шыньшда (2) формула бойынша д (с х )= м (сх)2 - м 2 (с х )= с 2м (х 2 ) - С2М 2 (X)= = С2 [ м ( х 2 ) - м 2 ( х ) ] = С2Д(Х), Д(СХ) = С2Д (Х \ 3) егер X пен у кездейсоқ шамал ары тэуелсіз болса онда Д(х+у)=Д(х)+Д(у) (15.2) формулаға математикалық үмітгің қасиеттерін қолданкездеисоқ шамалардьщ тәуелсіздігін ескерсек Д(д: + >>)= м[(^ + _у)2]—M2(jc + _у)= М(ズ2 + 2ху + у 2 )- [м(д:)+ М(>»)]2 = = М(х2 )+ 2М(д:)М( )+ М ( у 2 )~ М 2 (х) - 2М(д:)м(у ) - М 2( у ) = Д ( х ) + Д { у ) Сонымен Д {х + у )= Д {х )+ Д {у ) 1 )Д{х-у) = Д(хУд(у) Д [х + {-у )] = Д {х )+ Д {-у ) = Д{х)+(г \)гД {у) = Д {х)+ Д {у) Екі тәуелсіз кездейсок шаманьщ айырымыньщ дисперсиясы сол шамалардьщ дисперсиясыньщ қосындысына тең. 16 Үлкен сандар заңдары Кездейсоқ факторлардың бірігіп эсер етуінің нәтижесінде кездейсоқ емес қүбылыстардың пайда болатындығы әртүрлі салаларда кездеседі. Мұндай заңдылыктар, атап айтқанда қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдыктар теориясьша тән. 32
Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаны ң пайда болу ж и іл ігі ояын ыкгималдығьшан тым аз айырмашылықта болатындығын бүрын да атэл өтквнбіз. Міне，бүл үлкен сандар заңыньщ бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз 1867 жылы П.Л. Чебышевтың дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заң дарды әрі қарай дамытуға жол ашты. 16.1 П Л . Чебышев теңсіздігі Кез келген X кездейсоқ шамасының оыың математикалық үмітінен айырымыньщ абсолют шамалы оң 〉Осаньшан кіш і болу 16.2 П.Л. Чебышев теоремасы Егер тәуелсіз ХьХ2,...,хп кездеисоқ шамаларының түракты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса,онда кез келген 〉0 саны үшін Д{х) р( ト ми)| <f)s Д{х) Чебышев теоремасын дэлелдеу: Кездейсоқ шама у = 里 Бүл шаманьщ математикалық үміті = М(у)= М —~ = —V M k ) : — . / =т: n Ям n Ал дисперсиясы зз
Берілген у кездейсок щамасьш Чебышев теңсіздігін қолдансақ онда Сонда біздің карастырьш отырған у шамасына теңсіздік былай жазылады 11 \ -1 -^Тпе (16.2.1) £〉0 шамасы кандай болмасын n саны шексіздікке үмтылғанда 1 - бірге ұмтылады. (19.1) теңдікте п->оо үмтылғанда ықтималдық бірден арболмайтынын ескерсек, Чебышев теоремасының үйғарысы шығады. Егер кездейсоқ шамалардьщ дисперсиялары бар болса, онда тәжірибе саны өте үлкен болса кездейсок шамалардьщ орта мэні математикалык үмітті береді X = M(jc) 16.3 Я ков Бернулли теоремасы Егер р әрбір тәжірибе жүргізгендегі A оқиғасының пайда болу ықтималдығы жэне К кездейсок шама A оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны болса, онда кез келген >0 саны ѵшін Сонымен, Чебышев теоремасындағы шарттар орындалғанда кездейсоқ шамалардьщ ари фметикал ы к ортасы мен олардьш
математикалык үм ітгерінің арифметикалык ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда 4Ьтым аз” болады екен. Ал Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді. 16.4 С.Д. Пуассон теоремасы Егер бір-біріне тәуелсіз n рет тәжірибе жүргізілсе, онда А оқиғасыньщ пайда болуыньщ жиілігі, оньщ пайда болу ықтималдығының орта мәніне ұмтылады. 1907 жылы Чебышевтың теоремасын тәуелді тәжірибелер үшін A.A.Марков дәледделі. 165 А .А .М а р ко в теоремасы Егер Хі，2，...хп кездейсоқ өзара тәуелді шамалар берілсе және л —> 」 气 一 - — 0，онда 丄ナ Дэлелдеу 1 n I n > = —> X4 шамасын қарастыраиық онда МУ = — У ]тхк жэне ^ =MSX*: Яков Бернуллидің бұл теоремасы 1713 жылы жарияланды. Y шамасына Чебышев теңсіздігін қолдансақ онда p |y-M K |> e }ä ^ Теореманьщ шарты бойынша п->оо үмтылғанда ДУ сондықган р |к - м к | >£•}-> о, егер немесе, кері оқиға үшін -МУ|дәлелдейтінімізде осы. Себебі: ?\ү 一МУ| ^ е}+ Ң ү - M(y]|<f}=1 Іо.б А^Я-Хинчин теоремасы. (1929 жылы) Егер өзара тәуелсіз өте көп мөлшерде тәжірибе жүргізілсе, онда тәжірибемен алынған кездейсоқ шаманың орта мәні оның математикалық үмітін береді (математикалык үміті бао болса). 35
Бұл теореманы физикалық шамаларды өлшеу тәжірибесімең дәлелдеуге, көз жеткізуге болады. Үлкен сандар зандылықтарыньщ өмірдегі маңызы өте күшті. Есептеу математикасындағы Монте-Карло әдісінің негізі осы үлкең сандар заңдылығын пайдаланған. Қазақстан математикасында ықтималдықтар теориясымен К.П. Персидский айнаиысқан. Оның көптеген ғылыми мақалары П.Л. Чебышев жэне А.А.Марков теоремалары туралы; К.П. Персидскийге 1934 жылы үлкен сандар зандьшығын және шектік теоремалар жөніндегі жаңалықтары үшін профессор атағы берілді. Жалпы ықтим гар теориясынан ол он төрт ғылыми мақала жариялады. I алдықтар теориясымен академик К.П. Персидский мен қатар кезінде біздерге үстаздық еткен Бегалы Сәдуакас ұлы Жаңбырбаевта айналысьт, көп жылдық еңбегінің жемісі ретінде “ Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері” деген оқу қүральт жазды. Ол 1988 жылы Алматыдағы “ Мектен ^-баспасынан 2550 дана болып басылып шықты. 17 Квадратты қ ауы тқу Аны қтама X кездейсоқ шамасының дисперсиясыньщ квадрат түбірін осы кездейсоқ шаманың квадраттық ауытқуы деп атайды. Квадраттық ауытқуды былай белгілейді: ^(х) = ^Д [хj Ескерту Бернулли заңы бойынша үлескен кездейсоқ таманың математикалық үміті Ы{х)=пр, ал дисперсиясы Д(х)=прд, Сонда орташа квадраттьщ ауыткуы = ^npq ; Аны қтама Егер X кездейсоқ шамасы 0,1,2,...п мәндерін қабылдаса，бұл мәндерді қабылдау ықтималдықтарды P{x = n) = q np f мүндағы p)0,p + q = l болса, онда кездейсоқ шаманы геометриялык үлестірім заңына бағьтады дейді. Аны қтама Егер X кездейсоқ шамасы 0 1，".,п мәндерін қабьшдаса және бұл мәндерді кабьшдау ықтамалдықтары 36
p(x=r)=£^ ’ мүндағы 0<г<тіп(лД) болса, онда X кездейсоқ шамасын гипергеом етриялы қ үлестірім заңына бағынады дейді. Анықтама бойынша, үлестірім кестесі берілген кездейсоқ шаманы толық аныкталған деп атайды. А ны қтам а Тәуелсіз тәжірибеде Ä оқиғасы қатарынан (т -1 ) рет пайда болып, сосын A оқиғасы АГрет пайда болуьшың ықтималдығы мьша формуламен анықталады P(m,ktp) = C：；1k_2( l- p ) m-1p t Ықтималдығы осы формуламен анықталған кездейсок шама Паскаль үлестірімімен берілген дейді. Геометриялық үлестірім Паскаль үлестрімінің жеке жағдайы, яғни А：=1 болғанда геометриялық үлестірімді аламыз. 18 Теориялық моменттер Кездейсоқ шаманың К-ретті бастапқы моменті дегеніміз мьша формуламен анықталады: ук = м{х.г\у-ню Бірінші ретті (алғашқы) бастапқы момент ѵ, =М(Х) математикалық үмітгі анықтайды: Кездейсоқ шаманың k ретті орталық моменті дегеніміз келесі формуламен анықталады: Мм： = М[Х - М(Х)]Г，// -мю Бірінші ретті орталық момент нөлге тең Мі = м [ х - М ( Х ) ] = м ( х ) — м [ м ( х ) ] = М ( Х ) - М ( Х ) = 0 Ал екінші ретті ортальщ момент th = М[х - М(х)]2 =Д(х) дисперсияны береді. Енді орталық моменттерді бастапқы моменттер арқылы өрнектейік: 37
パ2= 、 - べ //3 = M [x -M (x )f = м [х 3- з х 2м (х )+ з х м 2( х ) - м 3(х)]= = м (х 3 ) - зм (х2 }м (х)+ зм (х)м 2(х )-М 3 (X)= = レз - , 2 + 2vft/i3 =v3-3vty2 + 2v\ //4 = м [х -м (х )]4 = m [x4-4 X 3M(X) + 6X2M2(X )-4X M 3(X)+M 4(X)] = = M(X4 ) - 4М(ХЭ ) М ( Х ) + 6M(X2 )V12 (X )- 4 М ( Х ) М Э( Х ) + M4(X)= = У4- 4レグ3 + 6v,V2 - 3Vy， "4 = レ4 一4レグз + bv]v2一Зѵ,4. Аны қтама Үш інш і ретті орталық моментгің стандарпъщ кубына қатынасын асимметрияның коэффициенті дейді. Оны Sk деп белгілейді (SKEW-ағылшынша қисық, қиғаш, орысша-косой) Стандарт-орташа квадрат ауытқу. 一と！ p " 2 = Д(Х) = М (Х 2 )- М 2 ( X ) = レ2 - イ ; fi(x)-oH[ асимметрия, Sk>0 f2(x)-Tepic асимметрия, Sk〈0 Аны ктама Төртінші ретті орталық моментгің стандарттын төртінші дәрежесіне қатынасынан үпггі шегерсек кездейсок шаманын (таралымының) үлестірілімінің эксцессі шығады 38
Қалыпты үлестірімнің эксцессі нөлге тең. Егер эксцесс оң болса, онда оған сәйкес қисықтьщ төбесі сүйір, ал эксцесс теріс болса оған сәйкес үлестірімнің қисығының төбесі жалпақ (тайпақтау) болады. 19 Үлестірім фукциясы Анықтама X кездейсок шамасьшьщ үлестірім функциясы F(x) деп Х<д：теңсіздігі орындалу ыктималдығын айтады. F(x) = P(X<x) Дискретті X кездейсоқ шамасы үшін Ғ(х)=Р(Х<х)=ХҢ, Мүндағы ХіД2>-.-»хп- кездейсок X шамасыньщ қабылдайтьш мәндері, рі 2，" .，рп -сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды Х.(Х теңсіздігіне сәйкес барлық Р,. сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және үздіксіз кездейсок шамаларға да қатысты болады. Айталық X дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген болсын 39
X 0 1 3 3,5 p 0,1 0,4 0,2 0,3 Х-тің үлестірім функциясын табыңыз. Ш еш уі Ол үш ін аиықтаманы пайдаланамыз. Кестеден байқағанымыздай с<Оболса，онда х-тің кабылдайтын мүмкін мәндері жоқ. Ал 0^х(1 болғанда х-тің қабьищайтын бір мәні бар, ол нөл, енді 1 jc(3 болса, х-тің кабылдайтын екі мәні бар, ол 0;1; Енді 3 : 3，5 болса, онда х-тің үш мәні бар, ол 0,1,3 ақырында ：〉3，5 болса, онда х өзінің барлық мүмкін мәндерін қабылдайды ол0,1,3,3,5; Енді анықтаманы түсіндірейік. Жоғарыда айтқанымыздай х<0болса,онда есептің шарты, бойынша 0-саныньщ солжағында берілген кездейсоқ шаманың ешбір мүмкін мәні жоқ, яғни кездейсоқ шаманьщ өзінің мүмкін мәндерінің оіреуін қабылдауьш оқиға екенін ескерсек, онда оньщ 0-саныньщ сол жағынан мән қабылдауы мүмкін емес оқиға, олай болса Ғ(х) = Р(х<0) = 0. Енді х(1болса, онда 1-санының сол жағында есептің шарты бойынша кездейсоқ шаманың бір мәні бар, ол 0,1-саны. Олай болса Ғ(х) = Р(х(і) = 0,1 Сол сияқты х(3 болғанда, 3-саньшьщ сол жағында кездейсок шаманьщ екі мәні бар. Ол осы мәндердің біреуін қабылдауы мүмкін, яғни екі оқиғаның біреуі пайда болады дегеніміз. Сондай-ақ бұл екі оқиға үйлесімсіз, сондықтан үйлесімсіз оқиғалардың қосындысының ықтималдығы туралы теореманы пайдаланып Ғ(х) = Р(バ 3) = Р(х = 0) + Р(д: = і) = 0,1 + 0,4 = 0,5 Осы жолмен х<3,5 болғанда және х)3,5 болғандағы Ғ(х) тің мәндерін есептеуге болады. Сонымен қорытьтдысында 40
О, егер х〈0 0.1,егер 0 < х 〈1 0,5, егер 1 ^ х<3 0.7, егер 3 < х〈3，5 1,егерх ^ 3,5 Евді Ғ(х) функциясының сүлбесін тұрғызайық. 1一 0’7- F(x=0) 0,5- ОЛ k У 一 F(x)=l - <------------------- < j I 1 • 'о 1 1 2 з' 3,5 1-сүлбе Табылған үлестірім функциясын интегралдық үлестірім функциясы дейді, ол дискретті және үздіксіз кездеисоқ шамаларға қатысты болады. Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиетгерін көрсетейік: 1)үлестірім функциясы Ғ(х) функциясы оң, шектелген функция 0 ^ F(x) く 1,себебі ол ықтималдықты көрсетеді Оньщ графигі (сүлбесі) у=0, у=1 түзулерінің арасында орналасқан; 2) үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни Х!<Х2болғанда Ғ(Х, ) < ғ (Х 2 )болады. Шынында да X〈夕 оқиғасын Х(а жэне а X{ßоқиғасының Қосындысы деп қарастыруға болады, сондықтан ыктималдықтарды қосу теоремасы бойынша 41
Р(Х〈パ)= P(X<or)+P(or ^ X〈パ)болып，осыдан Р(«^Х<^) = Р(Х<^)-Р(Х<а) P(a^X{ß) = F (ß )-F(a) теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (ХьХг) аралығына қолдансақ. P(X1<X<X2)=F(X 2)-F (X I) бүл теңдіктің сол жағы оң сан Р(Х, < Х{Х2 ) > 0，демек Ғ(Х2У ғ(Х 1)^Оіягни F(X,)<F(X2) 1 Егер X кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a，b) аралығында болса Х(а мәндерінде Ғ(х)=0 және Х)Ь мәндерінде Ғ(х)=1 болады. Жалпы жағдайда f(-oo) = o,f(+oo) = і болады деп есептелінеді. Дискретті кездейсок шаманьщ үлестірім функциясының сүлбесі сатылы баспалдақты (1-сүлбе) болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы түрі 2-сүлбеде көрсетілген. 2 Үлестірім функциясы сол жағынан үздіксіз функция бҒ2-сүлбе 2-сүлбе үздіксіз кездейсоқ шаманың интегралдық үлестірім функциясьшың қисығын бейнелейді 42
20 Ү лестірім ты ғы зд ы ғы Егер Х-үздіксіз кездейсоқ шамасыньщ үлестірім функциясы F(x) болса, онда Р{х(Х(х + Ar)= F(x + Ах) - Ғ(х) тендігін аламыз. Аныктама X кездейсоқ шамасыньщ үлестірім тығыздағы f(x) деп үлестірім Ғ(х) Аункциясьшың гуындысын айтады. lim ДХ-Й) р(х{Х(х + Ах)= l i m Z k ± M = £ k l = Ғ ' (х) = /(х), Ак дх-й) ^ интегралдық үлестірім яғни үлестірім тығыздығы функциясының туындысына тең f ( x ) = F l(x) Үлестірім тығыздығының мынандаи қасиеттері оар: 1 ) үлестірім тығьіздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін Ғ(х) функциясьшың туындысына тең f(x)= Ғ 1{х)>0\ 2) үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былаи өрнектеледі Ғ(х)= {/(*>/x шындығында f(x)dx = dF(x) болғандыктан f/(x)dx ニ \dF{x) = ғ(дг) ニ = ғ(х)- Ғ(- <») = Ғ(х\ мұндағы Ғ(一 оо) = о. Үлестірім (Ьункциясы Ғ(х) үлестірім тығыздығы функциясы f(x)- тің сүлбесінде штрихталған аудан арқылы өрнектеледі 43
F(x) Үлестірім тығыздығын кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы деп те атайды Себебі, f(x )= F l(x\ 1 )кездейсоқ шаманьщ үлестірім тығыздығы f(x) болса онда Р(а<Х<Ь)= jf(x)dx а Шынында, P(a^X<*) = f(fc)-F(a)= \f(x )d x - ]f{x)dx = = jf(x)dx+ jf(x)dx= \f(x)dx,6ac aac , J / ( x > / x = F ( b ) - F ( 4 2) үлестірім тығыздығы үшін |/(дг)с^ = 1, яғни ОХ өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген фигураньщ ауданы бірге тең болады. М ысал Кездейсоқ X шамасыньщ үлестірім тығыздығы 44
С Г берілген 1)белгісіз a коэффициентін табу керек; 2) үлестірім тығыздығыньщ сүлбесін сызу керек; 3) кездейсоқ X шамасының 0；— аралығына ықтималдығын анықтау керек; Шешуі оо 1 ) \f(x)dx = 1 теңдеуінен J«sin =1, -oe 0 Осыдан —a(cos 丨 - cos 0)=1 2a =l，a =丄 2 2) > = ^-sin X функдиясының сүлбесін саламыз түсу 3) 0；— аралығьша түсу ықтамалдығын табамыз
21 Үздіксіз кездейсоқ шамалардыц математикалык үмен дисперсиясы Егер (- оо, оо) аралығьгнан мән қабылдайтын X үздіксіз кездейсоқ шаманьщ үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда бұл кездейсоқ шаманьщ математикалык үміті деп М(х)= °°^xf(x)dx абсолютті жинақты меншіксіз интегралын айтады. Ал X кездейсоқ шамасы [a,b] интервал мәндерін ғана қабылдайтын болса математикалық үміт М(д:)= \xf(x)dx a интегралымен айықтылады. Үздіксіз X кездейсоқ шамасыньщ дисперсиясы аныктама ооиынша Д(л:)=М[д:-М(^)]2 формуласымен анықталатын болғандықтан, хе (-оо +оо)мәндері үшін Д ( х ) = J[x~ М(дг)]2 f ( x ) d x меншіксіз интегралы арқылы есептеледі. Орташа квадраттьщ ауытқуы S(x) = у/Д(х) формуласымен табылады. Ал X кездейсоқ шамасы (a,b) интервал мэндерін қабылдаса b дисперсия Д(х) = J[x М(дг)]2 f (x)dx интегралымен есептеледі. а Көп жағдайда дисперсия мына формула аркылы анықталады: 46
^ ) = | ^ 7 № ѵ - [ м ( х ) ] 2 22 Б Ір ка л ы п ты үлестірім заңы Аныктама Егер X үздіксіз кездейсоқ шамасы レ，ん】интервал мәндерін кабылдап жэне оньщ үлестірім тығыздығы 0,егерух(а ~ , егер, а ^ х(Ь Ь — а 0，егер，х ^ b тендігі арқылы анықталса, онда X кездейсоқ шамасы бірқалышы үлестірім заңымен берілген деп атайды. Үлеспрім тығыздығы жәые ОХ өсімен шектелген фигураньщ ауданы бірге тең болатыны белгілі (ІХ X S^Bb = \f{^)dx=[b_ a Енді үлестірім функциясын анықтайык 47
х(а болғанда F(x)=0, ал x)b болғанда F(x)=l. Сонымен үлестірім функциясы келесі тендікпен анықталады: ғ (х) = . Оуегер,х{а —一 —,егеру а <, x(b \уегерух > b F(x) F(x)=l 2-сүлбе Математикалык үміггі табайық: 占 =古 邻 4 占 卜 斗 宇 М(х) = 守 . Сонымен, [a,b] аралығында біркалыпты орналасқан кездейсок шаманьщ математикалық үміті осы аралықтың дәл ортасына тең. Дисперсияны анықтайық:
b (a + b)2 Ъъ- а ъ _ а 2+Ь2а + Ъ2 b2+ab + a2 a2+ 2ab + b2 = {b-~a)2 3 4 12 Егер (a,ß) с: (a;b) орындалса, онда бірқальшты үлестірім заңына бағьшатын X кездейсоқ шамасының (atß) интервалдағы мәндерді қабылдау ықтималдығы теңдігімен анықталып, x = a yx = ß түзулерімен шектелген төртбұрыштың ауданьш береді. (1-сүлбедегі пггрихталған аудан) 23 Көрсеткіштік үлестірім заңы Анықтама Егер X кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы теқдігі арқылы анықталса, онда X кездейсоқ шамасы көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп атайды. Үлестірім функциясын табатын болсақ Ғ(х)= jAe-^äx = -е -^ 1 = 10Х = сонымен. Енді математикалық үмітін есептейік: 49