Ықтималдықтар теориясы оқулық

Ш е ш у і Ж о ғ а р ы д а қ о л д а н ғ а н т ә с і л д е р м е н м ы н а ш а м а л а р д ы а н ы к т а й м ы з >?=16,92 = 0,6762х - 4,79 С онд а Ê? = S メf - ( Х 兄.〜 )2) , w = 15 2 2 6 -(846)2/50 = 911,68, ал Q— табу үш ін мынадай таблица кұрамыз X i n , ( қ ~ n , 2 2 , 5 3 1 0 , 4 1 2 7 , 5 2 7 , 5 1 3 1 3 , 8 1 2 6 , 5 3 2 , 5 21 1 7 , 2 1,6 3 7 , 5 11 20,6 1 4 9 , 0 4 2 , 5 2 2 3 , 9 9 7 , 4 1 = 5 0 2 Яғни = 502, онда QKanà ^ Q - Q ^ = 409,68, соНДа = 502. (50 —- 2)/ 4,04 = 58,8, ал Фишер-Снедокор сын н ү к т е л е р і кестесінен (0,05;1,48) = 4,04, олай болса , регрессия теңдеуі маңызды айнымалылар арасында сызықты біржаіС корреляциялык байланыс бар дейміз. 200

1.Тѳмендегі корреляциялык кесте ооиынша мыналарды - л б ы ^ ь 1 3 * w и а ) У - т і ң X б а й л а н ы с т ы ж э н е X - т ің У - к е б а й л а н ы с т ы и д а м а л ы к с ы з ы к т ы р е г р е с с и я л ы қ т е ң д е у л е р і н . б ) К о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц и е н т і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н в ) Б а с к о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц и е н т і р - н ы ж э н е б а с регрессия Ьффнциенттері , ß^. -ты бағалайтын сенімділік интервалдарын. '.、 Маңыздылық деңгейі а - 0,05. X 1 6 11 1 6 21 2 6 n J 2 2 4 - - - - 6 12 - 6 2 - - - 8 22 - - 3 5 0 2 - 5 5 32 - - 1 10 6 - 1 6 4 2 - - - 4 7 3 1 4 п, 2 10 6 6 4 15 3 =100 2 . У н ә т и ж е л і к б е л г і с і X ф а к т о р л ы қ б е л г і с і н е н с ы з ы қ т ы т ә у е л д і д е п к а р а с т ы р ы п , т ө м е н д е п т а б л и ц а б о й ы н ш а ш а р т т ы м а т е м а т и к а л ы к б а ғ а л а й т ы н с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы н у - 0 , 9 5 а н ы қ т а ң ы з . ( Х = 5 м ә н і ү ш і н ) к о р р е л я ц и я л ы к ү м і т М х ( у ) - т ы с е н і м д і л і г і м е н

3 . У б е л г і с і н і ң X ф а к т о р л ь г қ б е л г і с і н е н бс ы з ы қ т ы т ә у е л д і л і г і н қ а р а с т ы р а к е л і п , м ы н а б е л г і с і з м ә ң д і = 7 ,< з г = 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е б о л ж а ң ы з . 5 6 8 п , 2 4 1 5 3 2 2 5 1 2 3 3 6 1 =10 4 . Т ө м е н д е г і к е с т е а р қ ы л ы У - т і ң Х - к е б а й л а н ы с т ы с ы з ы қ тр е г р е с с и я т е ң д е у і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н а = 0,01 д е ң г е й і н д е б а ғ а л а ң ы з . 5 . Т ө м е н д е г і к е с т е а р қ ы л ы У - т і ң Х - к е б а йс ы з ы қ т ы қ р е г р е с с и я т е н д е у і н т а б ы ң ы з 202

6. Д а м у ш ы е л д і ң ж а л п ы ұ л т т ы қ ѳ н і м і н і н У ( м л р д . S ) СЬі р т к ы и н в е с т и ц и я л а р X ( м л н . S ) ш а м а с ы н а б а й л а н ы с т ы ѳ з г е р у і 20 р е т с с е п т е л і н д і Y - ң Х - к е б а й л а н ы с т ы с ы з ы қ т ы қ р е г р е с с и я т е ң д е у і н т а б а м ы з . 7 . « = 0,01 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е ж о ғ а р ы д а ғ ы м ы с а л д а а л ы н ғ а н р е г р е с с и я т е ң д е у і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н б а ғ а л а ң ы з . 2 8 Ә р т ү р л і е с е п т е р м е н ж а т т ы ғ у л а р 1. Р [ „ ] , Л 2，.",ん о к и ғ а л а р ы н ы ң д э л ш о к и ғ а с ы п а й д а б ° л у ы н ы ң ы қ т и м а л д ы ғ ы б о л с ы н . О н д а м ы н а ф о р м у л а н ы ң З Д ы с т ы ғ ы н к ө р с е т і ң і з : м ұ н д а ғ ы 203

=\(А"А2，••.，人)= Z P A. A. -...Л й п 1 2 к ) Е с к е р т у Е г е р т = 0 б о л с а , о н д а 八，2 " ” А Л о қ и ғ а л а р ы н ь щ б і р Д е б і р е у і н і ң п а й д а б о л м а у ы қ т и м а л д ы ғ ы 。]=1- 尸 ィ 丨 +S2 ' " + ( _1)Я5П’ я ғ н и ж о ғ а р ғ ы д а ғ ы ж а л п ы ф о р м у л а т - 0 ү ш і н д е д ѵ о ы с ( т е к S 0 = 1 д е п а л у к е р е к ) . Б і з б ұ л ж е р д е Р \ [ j A . j ү ш і н ы қ т и м а л д ы қ г а р д ы қ о с у ф о р м у л а с ы н п а й д а л а н д ы қ . Ж а у а б ы А й т а л ы қ , œ e Q к е з к е л г е н э л е м е н т а р о қ и ғ а б о л с ь ш ; A l t A 2 t . . . i A n о қ и ғ а л а р ы н д а д э л о қ и ғ а с ы н а т и е с і л і ( д э л о қ и ғ а с ы н д а ж а т а т ы н ) б о л с ы н д е п е с е п т е л і к . О н д а P ( û j ) т е к к = т б о л ғ а н к е з д е ғ а н а P [m] - г е ү л е с қ о с а а л а д ы . Р { с о ) д э л е л д е у г е т и і с ф о р м у л а н ы ң о ң ж а г ь ш а қ а л а й к і р е т і н і н т ү с і н у ү ш і н Р ( е о ) S ” S 2 ，… ，S k қ о с ы н д ы л а р ш а ғ а н а е н е т і н і н , а л S k + l i S k + 2 , . . . t S n қ о с ы н д ы л а р ы н а е н б е й т і н і н б а й қ а л ы қ . Б ұ д а н қ а ж е т т і ф о р м у л а н ы ң о ң ж а ғ ы н а к < т б о л ғ а н к е з д е Р ( й ；) - н ы ң е ш қ а н д а й ү л е с і ж о қ б о л а т ы н ы н к ө р е м і з . Е г е р к = т б о л с а Р (а і ) S n қ о с ы н д ы с ы н а т и е с і л і қ о с ы н д ы л а р д ы ң б і р е у і н е ғ а н а к і р е д і . Е н д і ф о р м у л а н ы д э л е л д е у ү ш і н к > т б о л ғ а н к е з д е Р ( ® ) - н ы ң S m , S n + l ” . ” S k қ о с ь ш д а л а р ь ш а т и е с ш і ү л е с т е р і ө з а р а ж о й ы л ы п к е т е т і н і н д э л е л д е у ж е т к і л і к т і . Ш ы н д ы ғ ы н д а д а P { œ ) S j қ о с ы н д ы с ы н а С / - г е т е ң коэффициентпен (û j-ны қамтитын оқиғаньщ іш інен j оқиғаны т а н д а п а л у с а н ы ) е н е д і . С о н ы м е н , к > т б о л ғ а н к е з д е Р ( й > ) - н ь ш ф о р м у л а н ь щ о ң ж а ғ ы н а қ о с а т ы н ү л е с і ： -с：+1с г' +с;+2с;+2 -... = сЛ с„ -с'к_т .土c::J=a С е б е б і к в а д р а т ж а қ ш а н ы ң і ш і н д е н г і ө р н е к [ 1一り s0 ш а м а с ы н ь щ б и н о м д ы қ ж і к т е у і . 2. 1,2, . . . , л э л е м е н т т е р і н е н қ ұ р а с т ы р у ғ а б о л а т ы н б а р л ы к а л м а с т ы р у л а р б е р і л с і н . А й т а л ы қ , - о с ы а л м а с т ы р у л а р д ь щ б і р е У 1 б о л с ы н . О н д а қ а н д а й д а б і р и - д а н б а с қ а г - а л м а с т ы р у ы н ы ң 6 а л м а с т ы р у ы м е н д э л э л е м е н т т і ң б і р д е й б о л у ы , я ғ н и ^ ә н е

дуастыруларында барлык орынның дэл орнында бірдей ^ е м е н т г е р т ұ р у ы к т и м а л д ы ғ ы Р ]( w ) н е г е т е ң ? Е г е р п - т — ос б о л с а , ](w ) ш е к к е ұ м т ы л а д ы ? Ж а у а б ы 隱士ル 1士 ( n - > o o ; / n 0 1, … ) H y c K f l y S k = 丄 б о л г а н д ь т к г а н қ а ж е т т і ж а у а п т ы а л д ы ң ғ ы е с е п т е а л ы н ғ а н ф о р м у л а д а н б і р д е н а л а м ы з . Ш е к т і к ф о р м у л а у = е х ф у н к ц и я с ы н ь щ j p i-1 ң ү к т е с і н д е г і ж і к т е у і н і ң с а л д а р ы . 3 . 1,2, . . . , « ц и ф р л а р ы н а н қ ұ р а с т ь ф ы л ғ а н а л м а с т ы р у л а р д ь щ б і р е у і к е з д е й с о к а л ы н ғ а н . Ү ш д о с , Н ұ р с ұ л т а н , А л м а с , Е р к е б ұ л а н а л м а с т ы у д а ғ ы э л е м е н т г е р д і ң о р н а л а с т ы р у р е т і н д э л т а б у ү ш і н ү ш х ұ р л і ж ү й е қ о л д а н ы л д ы . 1) А л м а с ү н е м і т е к қ а н а б і р ц и ф р д ы ( н ө м і р д і ) а й т а д ы . 2 ) Е р к е б ұ л а н к е з д е й с о қ т ү р д е э р ц и ф р д ы б і р - а қ р е т т е н а й т а д ы . 3 ) Н ұ р с ұ л т а н э р ж о л ы к е з д е й с о к т ү р д е 1,2, . . . , / ? ц и ф р л а р ы н ы ң к е з - к е л г е н і н а й т а д ы . Ү ш д о с т ы ң э р қ а й с ы с ы н ы ң а л м а с т ы р у д а ғ ы n о р ы н ы к ы ң m о р ы н ы н д э л т а б у ы қ т и м а л д ы ғ ы н т а б ы ң ы з . Ж а у а б ы Р А = — , Р Е = м ұ н д а ғ ы Р \ т ] { п ) - а л д ы ң ғ ы е с е п т е т а б ы л ғ а н ь и с г и м а л д ы к ; Р н = С : ; Р а，р е , р н ~ с э й к е с А л м а с , Е р к е б ұ л а н ж ә н е Н ұ р с ұ л т а н н ы ң =1 э л е м е н т г і ң о р н ы н д э л т а б у ы қ т и м а л д ы к т а р ы . М ә с е л е н , w = l 0 , m =1 ү ш і н 0 ,1 Р Е = 0 , 3 6 7 8 8 , =0,38742 /і = 10, т = 4 үшІН РА = 0 , =0,01534, Рн =0,01116 Т .С .С . Нұсқау А л м а с э р ж о л ы т е к б і р ғ а н а н ө м і р д і д э л т а б а д ы . Е р к е б ұ л а н э р Ц и ф р д ы т е к б і р - б і р р е т т е н а й т а т ы н б о л ғ а н д ы қ г а н , о н ы ң а й т қ а н н ө м і р л е р і 1,2, . . . , п ц и ф р л а р ы н а н қ ұ р а л а т ы н а л м а с т ы р а л а р д ы ң б і р е у і н ^ а д ы ， с о н д ы к т а н б ұ л ж а ғ д а й д а 2 - е с е п т і ң н э т и ж е с і н п а й д а л а н а Н ұ р с ұ л т а н э р ж о л ы к е з к е л г е н ц и ф р д ы а й т а т ы н б о л ғ а н д ы қ т а н б а р л ы к м ү м к і н д і к т е р с а н ы n n С о н д ы к т а н о л m - д ұ р ы с ( д э л ) , • m - д ұ р ы с е м е с ж а у а п т ы С " ( « - 1广相 ә д і с п е н б е р е а л а д ы . 205

4 . 1-есептің ш а р т ы н д а A , , A 2, . . . , A W о қ и ғ а л а р ы н ь і ң б о л м а ғ а н д а m о қ и ғ а с ы п а й д а б о л у ы қ т и м а л д ы ғ ы н [ Р т ) т а б ы ң ы з . ^ Ж а у а б ы Р т - Р [ т \ + ^ * + 1] … + 】. 5 . 1 - 4 е с е п т е р д і ң ш а р т т а р ь ш д а п п ^ v = Z c ^ i ] * к а т ы н а с т а р ы д ұ р ы с б о л а т ь ц ^ д э л е л д е ң і з . Ж а у а б ы Н ^ с к а у Е г е р P [m] ш а м а л а р ы б е р і л с е , о н д а 1 - е с е п т і ң ш а р т ы н д а ғ ы қ а т ы н а с т ы S v - б е л г і с і з д е р і н е б а й л а н ы с т ы с ы з ы қ т ы қ т е ң д е у л е р ж ү й е с і р е т і н д е қ а р а с т ы р ы п , S v ү ш і н д э л е л д е у қ а ж е т қ а т ь ш а с т ы о с ы 1 - е с е п т е г і т е н д і к т е р г е қ о й ы ң ы з . О н д а /| А] - н ы ң ( т < , к < п ) а л д ы н д ^ ы к о э ф ф и ц и е н т м ы н а ғ а н т е ң б о л ы п ш ы ғ а д ы : Х ( - і Г т С с 4ѵ = с г І ( - і Г " с г ： . ѵ=лі ѵ=т Е г е р к - т б о л с а , с о ң ғ ы ө р н е к 1 ( о і р г е ) т е ң . Е г е р к > т б о л с а , о н д а с о ң ғ ы ө р н е к ( l - l ) i_ m ш а м а с ы н ы ң б и н о м д ы қ ж і к т е у і , с о н д ы қ г а н н ө л г е т е ң . С о н ы м е н ә р у а қ ы т т а = / | m j т е ң д і п н а л а м ы з . Е к і н ш і қ а т ь ш а с ұ қ с а с д э л е л д е н е д і . 6. г ш а р n ж ә ш і к к е к е з д е й с о қ ү л е с т і р і л г е н . Е г е р к е з - к е л г е н ш а р б і р д е й ы қ т и м а л д ы қ п е н к е з - к е л г е н ж ә ш і к к е т ү с е т і н б о л с а , о н д а д ә л m ж ә ш і к к е k ш а р д а н б о л у ы қ т и м а л д ы ғ ы Р [га]( л ) ү ш і н м ь ш а қ а т ы н а с т ы ң д ұ р ы с т ы ғ ы н д ә л е л д е ң і з : ( - і ) т л г ! г ! у / ___________________( " - 7 ) J __________________ _ т \ п \ Y ( j - m ) \ ( n - j ) \ { r - j k ) . { k ' ) J ’ мұндағы қосьшды j< n f kj<,r шарттарын қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н j > m и н д е к с т е р і б о й ы н п ш а л ы н а д ы . Ж а у а б ы Н у с ң а у 1- е с е п т і ң н э т и ж е с і н п а й д а л а н ы ң ы з . ^ _ 7. Егер г шар n ж эш ікке Б о з е - Э й н ш т е й і н схемасына сә к е з д е й с о к ѵ л е с т і р і л с е , о н д а д э л ш ж ә ш і к т і ң б о с б о л у ы к т и м а л д ы ?1*1 206

謹 ル 1 = С ( c ; + r _ , Г g (-げ c l m c ： _ m + r _ ^ k А о р м у л а с ы м е н а н ы қ т а л а т ь ш ы н к ѳ р с е т щ і з . Ж а у а б ы Н у с қ а у 1.7- м ы с а л д ы к а р а ң ы з н е 4 . 1 - е с е п т е д э л е л д е н г е н ф о р м у л а н ы ^ д ^ ц а л а н ь щ ы з . 8. а ) Е г е р г ш а р n ж ә ш і к к е М а к с в е л л - Б о л ь ц м а н с т а т и с т и к а с ы н а с э й к е с к е з д е й с о к ү л е с т і р і л с е , о н д а д э л m ж э ш і к т і ң б о с б о л у л қ г и м а л д ы ғ ы Р т (Г，П) = С : 1 -------Р о ( Г ， П - т ) = і У С і ~ т 1 ------- ------------------ ф о р м у л а с ы м е н а н ы қ т а л а т ы н ы н к ө р с е т і ң і з . —r ә ) Е г е р , n ж э н е г ш е к с і з д і к к е ұ м т ы л ғ а н к е з д е = n e п ш а м а с ы ш е н е л г е н б о л ы п қ а л а б е р с е , о н д а б о л а т ы н ы н д ә л е л д е ң і з . Ж а у а б ы А л д ы м е н м ы н а н ы б а й қ а л ы к . Е г е р — ж е т к і л і к т і ү л к е н ( — э р п п ж ә ш ік к е т ү с е т і н ш а р л а р д ы ң о р т а ш а с а н ы ) б о л с а , о н д а л о о , г - > «> к е з д е б о с ж э ш і к т е р б о л у ы і с ж ү з і н д е м ү м к і н е м е с о қ и ғ а : б ұ л ж а ғ д а й д а Р о (г ’ я ) « і ， а л қ а л г а н р т ( г , я ) ө т е а з ( н ө л г е ж а қ ы н ) . Е г е р д е —->0 б о л с а , 0 Н д а і с ж ү з і н д е б а р л ы қ ж ә ш і к т е р б о с б о л у к е р е к , с о н д ы к т а н д а б а р л ы қ р т ( ；-t w ) — > о ( к е з к е л г е н б е к і т і л г е н ү ш і н ) . С о н д ы қ т а н д а т е к аР а л ы қ ж а ғ д а й г а н а қ ы з ы к т ы . А л д ы м е н S v ш а м а с ы н б а ғ а л а у д а н б а с т а л ы қ • ( n - v ) v< (n )v< n v в б о л ғ а н д ы қ т а н n v(\ — v/n)v+r< v\Sv< n v(l — v /n ) r . 207

Б і р а қ 0 < f < l б о л ғ а н д а t く - l o g ( l - r ) < ү ~ б о л г а н д а ж о ғ а р ы д а ғ ы т е ң с і з д і к т і б ы л а й ж а з а а л а м ы з : レ 如 ) " " ) } v< v!5v< À = n e n б е л г і л е у ш е н п з е л і к ж э н е д е э р у а қ ы т г ы а қ ы р ^ и н т е р в а л д а ж а т а т ы н ( ш е н е л г е н б о л с ы н ) д е п е с е п т е л і к : 0 < a /1 ь С о ң ғ ы т е ң с і з д і к т і ң ш е т к і м ү ш е л е р і н і ң қ а т ь ш а с ы э р б і р б е к і т і л г е н J ү ш і н б і р г е ұ м т ы л а т ы н б о л ғ а н д ы қ т а н 0 < Д ѵ/ ѵ ! - 5 ѵ ->0 С о ң ғ ы қ а т ь ш а с , ә р и н е , Я ->0 к е з д е д е д ұ р ы с , с о н д ы қ т а н о л г м е н Я ш е н е л г е н б о л ы п қ а л а т ы н д а й р е т п е н ш е к с і з д і к к е ұ м т ы л ғ а н к е з д е р і н д е д е д ұ р ы с . Б і р а қ , - Р。レ，«) = Х ( _1 )Ѵ W 1 } д э л е л д е н г е н б о й ы н ш а с о ң ғ ы қ а т ы н а с т ы ң о ң ж а ғ ы н ө л г е ұ м т ы л а д ы . Е н д і 0(へ п - т ) ы қ т и м а л д ы ғ ы н ы ң а л д ы ң д а ғ ы к о э ф ф и ц и е н т S m - г е т е ң б о л а т ы н ы н ж э н е ж о ғ а р ы д а а й т ы л г а н д ы е с к е р с е к рт (г,п )- е~тЛт / т ! —> 0. Д э л е л д е у к е р е г і д е о с ы е д і . 9 . О Х о с і н і ң б о й ь г н д а l 2 . . . n . . . n + m н ү к т е л е р і н е т і з б е к т ео р н а л а с қ а н n + ш ұ я ш ы қ б а р . О с ы ұ я ш ы қ т а р ғ а n о ң , m т е р і с з а р я д т а л ғ а н ( п > т ) б ө л ш е к т е р о р н а л а с т ы р ы л ғ а н . Б ө л ш е к т е р д і ң оң ж ә н е т е р і с з а р я д т а р ы н ы ң ш а м а л а р ы б і р д е й д е п е с е п т е п , О Х о с і н і ң к е з - к е л г е н д：е { і 2” . ” и + т } н ү к т е с і н і ң с о л ж а ғ ы н д а ғ ы н ү к т е л е р д е г і з а р я д т а р д ы ң қ о с ы н д ы с ы т е р і с е м е с б о л у ы к т и м а л д ы ғ ы н т а б ы ң ы з . Ж а у а б ы р = С " ^ ~ С ^ + m . З а р я д т а р д ь щ ш а м а с ы + 1 ( о ң з а р я д ) ж э н е - 1 ( т е р і с з а р я д ) б о л с ы н д е п е с е п т е л і к . e t а р қ ы л ы а б с ц и с с а с ы / - г е н ү к т е г е о р н а л а с қ а н зарядтьщ шамасын белгілесек, онда еі =±1，г, +е2十…+ +еп+т =л一抓 \ + 6 + …+Q белгілеуін е н г і з е л і к те (50 = 0, Sn+m = w - m), Iた’セ) н ү к т е л е р і н т ү з у к е с і н д і л е р м е н қ о с а л ы қ . П а й д а б о л ғ а н с ы н ы к қ и с ы К іь 1 т р а е к т о р и я д е п а т а л ы қ . С о н ы м е н б а р л ы к т р а е к т о р и я л а р д ы н с а Н ^ С п +т = C „ m+m ( п + т о р ы н н а н о ң з а р я д ү ш і н о р ы н т а н д а п а л у с а н ь и . Бізге (k,St ), Sk ^ 0 9 k = 0,1,2,...,п + т шартын қанағаттанды р^ 208

І ц ^ і с г о р и я л а р д ы ң с а н ы н ( қ о л а й л ы ж а ғ д а й л а р с а н ы ) т а б у к е р е к . д р И н е , м ұ н д а й т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы 5 4> - 1 , к = 0 1 ，. . . ，п + т Қ о л а й л ы е м е с т р а е к т о р и я л а р д ь щ , я ғ н и = 1 т ү з у і н е ж а н а с а т ы н е 0 с ы т ү з у д і қ и я т ы н т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы н т а б а л ы қ . Б ұ л ү ш і н з р б ф к о л а й л ы е м е с т р а е к т о р и я ғ а б ы л а й ш а а н ы к г а л ғ а н « ж а д ғ а н » ^ р а е к т о р и я н ы с э й к е с к о я л ы қ : у = - 1 қ и с ы ғ ь ш а о і р і н ш і р е т зканасканға (түскенге) дейін жалған траектория колайлы емес і р а е к т о р и я м е н б і р д е й б о л а д ы , а л ж а н а с у н у к т е с і н е н к е й і н ж а л ғ а н т р а е к т о р и я қ о л а й л ы е м е с т р а е к т о р и я н ы ң у = - \ т ү з у і н е қ а р а ғ а н д а з а в а л ы б е й н е с і б о л а д ы Д ( а , 0г) н ү к т е с і н і ң а й и а л ы б е й н е с і А \ а - а - 2 ) д ү к т е с і, а > 0 ) . Ә р б і р ж а л ғ а н т р а е к т о р и я э р к а ш а н ( 0 , 0 ) н ү к т е с і н е н б а с т а л ы п ( n + т - п + m - 2) н ү к т е с і н д е а я к т а л а т ы н ы н б а й қ а у қ и ы н е м е с . С о л с и я қ т ы к е з к е л г е н н ү к т е с і н д е а я қ т а л а т ы н ж а л ғ а н т р а е к т о р и я ғ а н а қ т ы қ о л а й л ы е м е с т р а е к т о р и я б і р м ә н д і с э й к е с қ о й ы л а т ы н ы н д а б а й қ а у қ и ы н е м е с . С о н д ы қ т а н д а б і з г е о с ы н д а й ж а л ғ а н т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы н ( қ о л а й л ы е м е с т р а е к т о р и я л а р д ь щ о р н ы н а ) т а б у ж е т к і л і к т і . М ұ н д а й э р б і р т р а е к т о р и я н ы ң б а р л ы ғ ы п + т ө р г е ж ә н е т ө м е н т ү с е т і н б ұ т а қ т а р ы ( к е с і н д і л е р і ) , о н ы ң і ш і н д е +1 т ө м е н б а ғ ы т т а л г а н б ұ т а к т а р ы б а р . С о н д ы к т а н д а ж а л г а н т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы С " +я - С : : . С о н ы м е н і з д е л і н д і ы қ т и м а л д ы қ —Сп+т _ n + l - m * C : + m /1 + 1 1 0 . Т е а т р к а с с а с ь ш ы ң а л д ы н д а к е з е к т е 2 п а д а м т ұ р . О л а р д ы ң і ш і н д е n а д а м н ы ң а қ ш а л а р ы 1000 т е ң г е л і к т е , қ а л ғ а н n а д а м н ы ң а қ ш а л а р ы 5 0 0 т е ң г е л і к б і р - б і р б а н к н о т т а н б о л с ы н . Б и л е т 5 0 0 т е ң г е т и р а д ы . Ә р б і р а д а м б і р - б і р б и л е т т е н ғ а н а а л а д ы . Е г е р б и л е т с а т ы л а б а с т а ғ а н с ә т т е к а с с а д а е ш қ а н д а й а қ ш а ж о к б о л г а н б о л с а ， о н д а б і р д е - б і р а д а м н ь щ а қ ш а с ы н ұ с а к т а у д ы к ү т і п қ а л м а у ы қ т и м а л д ы ғ ы н е г е т е ң ? Ж а у а б ы Н у с қ а у . А л д ы ң ғ ы е с е п т е д е п а л ы ң ы з . Ә р б і р 1 0 0 0 т е ң г е л і к а К Ш а с ы б а р а д а м ғ а + 1, 5 0 0 т е ң г е л і г і б а р ғ а -1 с а н д а р ы н с ә й к е с З Д ь щ ы з . А и т а л ы қ , х О у ж а з ы қ т ы ғ ы н д а а б ц и с с а л а р ы 0 l 2 . . ” n + m н ү к т е л е р г е с э й к е с е 0 = 0, = ± 1 ( f = + Ш ^ Р Ы с ә й к е с қ о й ы л ғ а н а л 5 0 = 0 \ = f і + е 2 + … + g к = 12，…，п + т 209

б о л с ы н . ( k , S k ) н ү к т е л е р і н к е с і н д і л е р м е н қ о с ы п ， о н ы ( 0,0) 物 ( / i + m ) , S n + m н ү к т е л е р і н қ о с а т ы н т р а е к т о р и я ( ж о л ) д е п а т а л ь і қ g т р а е к т о р и я н ы қ ы с қ а ш а ( 0 , 5 р 5 2, . . . , 5 я+ т_ , , 5 я + т ) а р қ ы л ы б е л г і л е д і ^ Е г е р қ а н д а й д а б і р k - ш і қ а д а м д а О х о с і н е т ү с к е н ( ж е т к е н ) т р а е к т о р k + 1 - ш і қ а д а м д а О х о с і н қ и ы п ө т п е с е , о н д а т р а е к т о р и я нүктесінде Ох осіне жанасады деп айтуға келіселік. Әрине, еге £ х, £ 2 у— > £ п+ т с и м в о л д а р ы н ы ң n с и м в о л ы ( + l ) - r e , m с и м в о л ы (-і)-г е тең болса, онда Sn_n = n -m . N = n + m саньш т р а е к т о р и я н ы ң ұ з ы н д ы ғ ы д е п а т а л ы қ . О н д а б а р л ы қ ұ з ь ш д ы ғ ы N - г е т е ң т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы 2N , а л ( 0 ,0) н ү к т е с і н ( n + m t л » т ) н ү к т е с і м е н қ о с а т ы н т р а е к т о р и я л а р д ы ң с а н ы n + m о р ы н н ы ң і ш і н е н оң ( + 1- г е т е ң ) n с и м в о л ү ш і н n о р ы н д ы т а н д а п а л у с а н ы н а , я г н и с п т е ң . О с ы л а й ш а а н ы қ т а л ғ а н т р а е к т о р и я л а р ү ш і н м ы н а ш а г ы л у п р и н ц и п і д е п а т а л а т ы н т р к ы р ы м н ь щ д ұ р ы с т ы ғ ы н д ә л е л д е ң і з : Айталық, A(ata ), в (Ь ^ )-б ү т т координаталары, к о о р д и н а т а л а р ы b ^ a > 0 y а ) 0 , ß ) 0 ш а р т т а р ы н қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н н ү к т е л е р б о л с ы н . О х о с і н е қ а р а ғ а н д а А ( а , а ) н ү к т е с і н і ң а й н а л ы ц ш а г ы л у ы ( б е й н е с і ) д е п А \ а - а ) н ү к т е с і н а й т а л ы қ . О н д а А м е н В н ү к т е л е р і н қ о с а т ы н ж э н е О х о с і н е ж а н а с а т ы н н е о с ы о с ь т і қ и ы п ѳ т е т і н т р а е к т о р и я л а р д ь щ ( ж о л д а р д ы ң ) с а н ы a ! н ү к т е с і н В н ү к т е с і м е н қ о с а т ы н ж о л д а р ( т р а е к т о р и я л а р ) с а н ы н а т е ң . Ж а у а б ы . м е н ß - н ы қ о с а т ы н , О х о с і н д е б і р н е м е с е б і р н е ш е т ө б е л е р і б о л а т ы н ( S a = a , S a + l i . . . y S b = ß ) т р а е к т о р и я с ы н қ а р а с т ы р а л ы қ . А й т а л ы к , - о с ы н д а й б і р і н ш і т ө б е н і ң а б с ц и с с а с ы б о л с ы н ( с у р е т т і қ а р а ң ы з ) : S a > 0 , S fl+ > 0 ，" . , 5 ト丨> 0 S x = 0 . О н д а ( - 5 0> - 5 a+1 S x = 0 , S ^ , S x + 2 S „ ) А ' п е н н ү к т е л е р і н қ о с а т ы н , О х о с і н д е г і о і р і н ш і т ө б е с і Х ( х 0 ) 210

Х ( х 20 ) нүктесінде болатын траектория. АХ жэне АГХ нүктелерін косатьш траекториялар б ірінің бірі Ох осіне қараганда айналы б е и н е л е р і б о л а д ы , с о н д ы қ т а н д а А ' п е н 5 — н ы қ о с а т ы н , ә р і м е н ß — н ы қ о с а т ы н ж э н е О х о с і н д е т ө б е л е р і б о л а т ы н т р а е к т о р и я л а р д ь щ а р а с ы н д а б і р м э н д і с э й к е с т і к б а р . Д э л е л д е у к е р е г і д е о с ы е д і . 1 2 . С а й л а у г а т ү с у т у р а л ы т е о р е м а . А й т а л ы қ , с а й л а у н ә т и ж е с і н д е к а н д и д а т A б а р л ы ғ ы n д а у ы с , а л к а н д и д а т В m д а у ы с а л ғ а н ы ж э н е д е п ) т б о л ғ а н ы б е л г і л і б о л с ы н . О н д а д а у ы с т а р д ы б і р т і н д е п с а н а у б а р ы с ы н д а к а н д и д а т А - н ь щ ү н е м і к а н д и д а т В - д а н а л д а б о л у ы к т и м а л д ы ғ ы ------- ш а м а с ы н а т е ң б о л а т ы н ы н д ә л е л д е ң і з . п - \ - т Ж а у а б ы . ( 0,0) н ү к т е с і м е н ( л + т , 5 й+т - п - т ) н ү к т е с і н қ о с а т ы н ж э н е 5 1> 0 S 2> 0，. • . , 5 л+т>0 ш а р т т а р ы н қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н (0 S } S 2 S n+m = n - m ) траекторияларыньщ саны Ln+m(Sl > 0 ,...,5 и+т_,>0, Sn+m = n + m ) (1，1) нҮ к т е с і м е н ( п + т чп - т ) н ү к т е л е р і н қ о с а т ы н ж ә н е д е х о с і н е * а н а с п а й т ы н э р і О х о с і н қ и м а й т ы н т р а е к т о р и я л а р д ь щ с а н ы н а т е ң . С о н д ы қ т а н а л д ы ң ғ ы е с е п т і ң н ә т и ж е с і б о й ы н п і а м ұ н д а й ж о л д а р д ь г ң с а н ы Ln+m(sï = l sn+m = n - m ) - L n+m(Sl = - lS n+m = n -m )= C ；；l_l 一 C*二m_r О н д а і з д е л і н д і ы қ т и м а л д ы к о с ы с о ң ғ ы т а б ь ш ғ а н ш а м а н ы С п +т б ө л г е н г е , я ғ н и - ~ — - г е т е ң . п л - т 211

ӀЗ.Жалгасы. a ) А л д ь щ ғ ы е с е п т і ң ш а р т ы н д а п > т б о л ғ а н ы б е л г і л і б о л с ь і н О н д а д а у ы с т а р д ы б і р т і н д е п с а н а у б а р ы с ы н д а к а н д и д а т A- н ь щ алғаң д а у ы с ы к а н д и д а т В - н ь щ а л ғ а н д а у ы с ь ш а н е ш у а қ ы т т а к е м б о л м а ы қ т и м а л д ы г ы н е г е т е ң ? ә ) У р н а д а n а қ , m қ а р а , б а р л ы ғ ы n + m ш а р б а р ( я > т ) . У р н а д а н біртіндеп барлық шарлар қайтарымсыз түрде алынды. Айталық 咖 ） ж ә н е т ( к ) k қ а д а м д а а л ы н ғ а н с э й к е с а қ ж э н е қ а р а ш а р л а р д ы ң с а н д а р ы б о л с ы н . Б а р л ы қ = 12” . . ，м + т ү ш і н т ( к Ү п ( к ) б о л у ы і ^ г и м а л д ы ғ ы н т а б ы ң ы з . Ж а у а б ы a ) ә ) " " п + т Н у с қ а у а ) Б е р і л г е н ж а ғ д а й д а н ү к т е с і м е н қ о с а т ы н ж э н е ( 0 , 0 ) н ү ь с г е с і н ( п + т ’ S n + m = п -т ) S l қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н ( 0 , 5 р 5 2, . . . , 5 л+т = п - т ) т р а е к т о р и я л а р ы н ь щ с а н ы し б о л а т ы н ы н б а й қ а ң ы з ( н е м е с е 4 . 9 - е с е п т і қ а р а ң ы з ) . ә ) С а й л а н у т у р а л ы т е о р е м а н ь щ с а л д а р ы . 1 4 . Т р а е к т о р и я л а р ұ ғ ы м ы 1 1 - е с е п т е г і д е й а н ы қ т а л с ы н . М ы н а тұжырымдардьщ дұрыстығын дэлелдеңіз. а) Егер а)0, Ь)0 болса, онда S j- b , S2) - b t...tSn_l)-b , S„=a ш а р т ы н қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н ( S l , S 2 f . ^ S n ) т р а е к т о р и я л а р ы н ь щ с а н ы ^ j a + 2 b ә ) Е г е р Ь ) а ) 0 б о л с а , о н д а S 人b , ' 〈わ，… S n _ x { b ， S n = a шарттаоын қанағаттандыратын (51,52,...,5Л) траекторияларыньщ с а н ы ：- с ^ - а • Ж а у а б ы Н ұ с қ а у Ш а ғ ы л у п р и н ц и п і н п а й д а л ы н ы ң ы з . . 1 5 . Ж а л г а с ы . А й т а л ы қ , а)с)0у Ь ) 0 б о л с ы н . О н д а у = а т ү з у ін 6 жанасатын, сосын (п.с) нүктесіне y=~b түзуіне жанасусыз апаратіレ ж о л д а р с а н ы C i a — с <2a + 2fc+ c . . n 一しл о о л а т ь ш ы н к ө р с е т і ң і з . 212

Ескерту Қажетті траекториялардьщ қатарына у=а түзуіне жанасудан g^pbiH y=-b түзуіне жанасатын траекториялар да кір уі м үм кінд ігін есте ѵстаныз. Ж ауабы Нусцау Шағьшу приндипін пайдалыныңыз. 16. Айталық, урнада п, ақ, п2= п -щ қара, барлығы /г = % + шар бар болсын. онда урнадан кездейсоқ алынған г шардьщ ішінде Гі ақ, Гг - r -г, қара шар болу ықтималдығы I P , J r , n ) = ^ - Егер n,n{ шексіздікке — p g [од] шарттарын n қан«^ттандыратындай болып ұмтылса, онда гипергеометриялық үлестірім үш ін мына катынастың дұрыс болатындығьш дәлелдеңіз: I Рп,щ ( г , г х ) - ^ Р г ( п ) = С ；' , ( 1 — Г ' Ескерту {Рг (г, )} үлестірімдері биномдьщ үлестірім деп аталады ヽ Рг( фО, X n ( r , ) = l • ГІ=° Ж ауабы Нүсқау Ря,пх(г,гх) үшін биномдық коэффидиентгерді аты п жазып，альшған қатынастың алымын да, бөлімін де пг-ге бөліңіз. Сосын г2 = г - г 1чп2 = « -« !,— -> /?,— -> 1-/? болатынын ескеріңіз. n n 17. Урнада n шар бар жэне де урнадағы ақ жэне қара Ш а р л а р д ы ң қа ть ш а с т а р ы p :q қа ты н а сь щ д а й , м ұ н д а ғы 0〈〈1, q = i — р, Урнадан кездейсоқ қайтарымды схемамен (яғни эр жолы алынған шар тарыльт отырагын схемамен) алынған r шардың дэл Гі шары ақ таР болу ықтималдығы Cr> V ィ1 (q = l ~ p ) шамасына тең болатындығьш дәлелдеңіз. Ескерту I Бұл есепті алдьщғы есеппен салыстыру көлемді бас жинақтар ^Рнадағы шарлар аса көп болған жағдайлар) үшін таңдамаларды 213

қайтарымды не қайтарымсыз түрде алудың іс жүзіңде айырмашылығы жоқ болатынын көрсететінін байқаңыз. eiïI Ж ауабы Урнадағы (бас жиынтықтағы) ак шарлардың үлесі ひ • / 、 ” ベ аРа шарлардың үлесі q (ақ шарлар пр, қара шарлар nq). Егер レ алынған шар ақ шар болса щ =U қара шар болса q = 0 деп белгіле . (i = 1,2,...,г). Онда элементтар оқиғалар кеңістігі Q = {(û/l,û?2t...yû?r ):cûl e П 0}, мұндағы Q0- бас жиынтық，|ß0| = /і Ықтималдығьт іздеп отырған ベ ：> оқиғасьш енді былай сипаттай аламыз: Ап,п!^ - { (^ ,0)2,...,сог)е И 十…+ шг = r j. Үзындығы r -ге тең тізбектен гх орьшды Сク әдіспен таңдап алуға болатындығьш ескерсек Бұдан |ß| = болатынын пайдаланып ゃ 匕 = バ 1 -р Г 1 қатынасын аламыз. 18. г шар п жэшікке Максвелл-Больцман статистикасыіш сэйкес үлестірілген. Онда берілген (айталық № 1 )жәшікке дэл к шар түсу ықтималдығы pk үшін く P k^ P k-+ i) - ) P r теңсіздіктері орындалатынын， ал мұндағы ең ыцтимал (ықтималдығы ең үлкен) к саны r -w + 1 r + 1 --------- (к < ------ n n қос теңсіздігімен анықталатынын дәлелдеңіз. Ж ауабы Рк : С '〔丄 ) 〔1- 丄) болатынын (1.6-мысал, a) жағдайы) ескеріп’ қатынасьш өсу，кему мэселелеріне зерттеңіз. Pk ^ 19. Жалгасы. Алдыңғы есептің шартында егер n -> °°* • ’ бірақ 214

n болса, онда Pk ► к к (Л) = Лк ~к\ орындалатынын көрсетіңіз. Ж ауабы 一 w * 丄 Гі- 丄 丫 -* 1 г 丨 Pk" l d ' V \ n, к\ n \n — =й n J klん(ス" H Як _я — — e . kl lim Біз бүл жерде l i m Àn= Л жэне екінш і тамаша т е к бойынша Я—ке = е~л болатынын пайдаландық 20. г жэне n жәшіюсе Бозе -Э йнш тейн статистикасына сэйкес үлестірілген болсьш. онда берілген (айталық № 1)жәшікке дэл к шар түсу ықтималдығы qk үш ін g0)q, >... теңсіздіктері орындалатынын, яғни берілген жәшіктегі ең ыктимал шарлар саны к = 0 (max qk = g 0j болатынын көрсетіңіз. Ж ауабы Нұсңау Алдымен qt = d ト2(C:+r_J формуласымен внықталатынын көрсетіңіз. Сосын !qk< \ болатынын дәлелдеңіз. 2 1 .Жалгасы. Алдыңғы есептің шартында, егер —^ ， r-> °o f бірақ 7 -> Л болса, онда Як “ • つ、*十i (fc=0，l，2” ..) болатынын Дэлелдеңіз. ( і + ザ 215

Ж ауабы Нүсцау qk үшін алынган алдыңғы есептегі катыңастағы биномдық коэффициенттерді ашып жазьщыз да, Лп = ~ -> Л шартьщ ескеріңіз. 22. Q = яғни |о| = п(оо болсьш. Онда Q-ның эртүрд] бөліктеулерінің саны d(n) мына формуламен анықталатыньщ көрсетіңіз: к=0 К. Ж ауабы . Нүсқау. Алдымен d { n )= 乞 C kn_ {d ( k \ ゴ(0)=1 шарттары орындалатынын i=0 көрсетіңіз, сосын есептщ жауабындағы d\n) үшін алынған катар осы соңғы рекуренттік қатынасты қанағаттандыратынын дәлелдеңіз. 23. Борель-Кантелли леммасы. Айталық ( ß ,^ ) ықтималдық кеңістіпнде анықталған оқиғалар тізбегі, A* = n U A t -ApA2,... оқиғаларының ішінен шексіз көп оқиғалар пайда n=l к=п болғаньш оиідіретін оқиға болсьш. Егер (А )<оо болса, онда я(л*)=0, яғни бірге тең ықтималдықпен П=1 тек ақырлы санды ғана Ах為 ，… оқиғалары пайда болады. Ж ауабы Р (А *)^Р \ jA k и ^ Р ( Л А)-> 0 (л ^о о ), бұданр(л*) = 0, яғни р(л*)=і. 24. Егер А Р(А kjB)= у болса, анықталады? жэне В оқиғалары үш ін Р(л) = a, P(B)=ß онда р(ав) жэне р{Хв) ықтималдықтары қалаь 216

Ж ауабы р(лв)= ү - ß, р {Х в )= \-ү . Ш еш уі. р ( л 5 ) = _Р(А / 5 ) = 尸(А ) - Р{АВ) =а-Р{АВ\ = 尸(a|J ) = р(д)+ Р(В)一 (а в ) = a + ß - {а в \ Бұдан Р(АВ) = а + ß - у. Ендеше p(aä)= a - { a + ß _ y )= Y -ß . р(Хв)- ұксас табылады. 25. А,В ,С ,0-оқиғал ары берілген. Мына тұжырымдарды далелдеңіз: а) Егер AB оқиғасы С оқиғасьш ілестіретін (Aß q С) болса, онда Р ( Л ) + Р ( В ) - Р ( С ) ^ 1 ; э)Егер A B C оқиғасы D оқиғасын ілестіретін (ABC q D) болса, онда Р[А)+ Р{в)+ Р(С)- р(р) < 2 • Ж ауабы 4.25. Ш е ш у і а) (а в ) < Р(с), ( ) = (а в)+ Р(А可 Р(в) = Р(АВ)+p(Äß) р(л^)-ьр(л^)+ р(аВ )=1 -Р\Ав) қатынастарын пайдалансақ ， ⑷ + р (в)-р{с) <, р(ав)+ р(л5)+ р{ав)-^ р(лв)- р(ав) = р(ав)-һ р(ав)+ р(ав)= =i- p(äb)< i . ә) _ p(d )^ (а в с ) = \ - [а в с ) = 1 - p ( Ä | l ß ( J c ) = 1 - p {â )~ { р ^ ) + +p(ââ)+ р^4с)+ р {в с )- р{авс) > р(а) + р(в) + р {с )- 2+ 十 尸 (5?) > ' P W + P ( ä ) + P ( c ) - 2 . 2о. Кез-келген Л,， ，…,Ап оқиғалары үшін P(AIAA2A..AAn) = f^P {A i ) - 2 ^ Р(АЛ ) + Ï +4 S р ( \ Л А )+ …+ ( - 2广 ' р(А А2•••••д,>’ 217

s s H 4* u A- ^ べ卜…+ト げ 1 См* формулаларының дұрыстығын дэлелдеңіз. Ж ауабы . Нүсқау. Математикалық индукция әдісін қолданыңыз. 27. Егер П -ның қандай да бір іш кі жиындарьшың жүйесі болса жэне Апе оМ , п=1.2.… үшін Ая Т А немесе A ід болғанынан Ае болатыны шықса, онда жүйесі монотонды класс деп аталады. Егер П-ньщ қандай да бір іш кі жиындарының жүйесі болса, онда -ны қамтитьш ец кііиі монотонды класс әрқашан бар болатынын дәлелдеңіз. Ж ауабы 1.38-есептің шешуін қараңыз. 28. Жалгасы. Айталық 丹 П-ның іш кі жиындар жүйесінің алгебрасы болсын. Онда S t び- алгебра болу үш ін оньщ монотонды класс болуы қажетті жэне ж е ткіл іктіл ігін дәлелдеңіз Ж ауабы . Егер s / ст-алгебра болса, онда ол монотонды класс болады (бұл анықтамадан шығады).Айталық, енді s / -монотонды класс болсын. Онда Ап e S/ ，./* = 1,2”.. үшін е s / , Вп е Вп+1 және »=і монотонды кластың анықгамасы бойынша Вп Т 0 Д e J -/ ，яғни s / /=і о -алгебра.^^/^ 29. Жалгасы.济 Q-ньщ іш кі жиьшдар жүйесінің қандай да бір алгебрасы болсын. Онда 漆 ны қамтитын ең кіш і -алгебра びI 外 ) және ең кіш і монотонды класс //(ぶ ) бірдей (тең) жиындар жүиесі болатынын ( ) = ( ) ) дэлелдеңіз. Жауабы. . Алдыңғы есептщ нәтижесінде сэйкес ( しс / ) £ ぴ ( レ . сондықтан бізге // ( s / ) び一алгебра болатынын дэлелдеу жеткілік ( У * ) = Ё バぺ) I 218

К ^ қ тағы да алдыңғы есеп бойынша ( ц {s /) монотонды класс ^^^андыктан) ( jy ) алгебра болатынын дэлелдеу ж еткілікті. Алдымен Ае ^ = ß ( С/) болғанынан As レグ болатыны ^д^гатыньгна кез жеткізелік. Ол үш ін ^ = {в ：В е , ， В e ^ } ісйындар жүйесін енгізелік. G ç болатыны түсінікті. монотонды класс ^0ддтыньш дэлслдслік. Айталык, Вп е Ж болсын, онда Вп e Z^C В" е сондықтан цд!个凡 е ^ЙГ, Ііш T В n & , lim i ßn g , lim i J5n g ^ІГ . Демек Ііш T i?n = lim -i g Z\€ lim i ßn = lim T ç Z^C , lim T ßn = lim 4 ß„ e lim i ßn = lim T ßn ç ягни - монотонды класс. Бірак с жэне Ж - ең кіші монотонды класс, сондықтан л Г = Ж жэне егер Ае Ж = ju(a) болса, онда Ае «уЙ°. Сонымен толықтауыш жиын алу операциясына байланысты жабық жүйе. Енді қиылысу операциясына байланысты жабық жүйе болатынын кѳрсетелік. Ае Ж үшін ={ß :ß s Ж ^ А п В е Ж } жүйесін анықталық. lim i (A n 5Я ) = Л n lim X Вп， lim Т (Л n ) = Л n lim T Вп теңдіктерінен Ж А - монотонды класс болатынын көреміз. Ары карай Л g Ж в <=> Be (*) болатыны оп-оңай тексеріледі. Айталык,енді Ае ^ болсын, онда -алгебра болғандықтан кез келген Ве Л үш ін A n B s ^ демек ^ q а. Ж . Жоғарыда дэлелдегеніміздей монотонды класс, оірақ кіш і монотонды класс болғандықтан кез келген Ае ^ уш ін . Онда (*) шартынан G <î=> G демек,егер Ае ЯГ болса, онда кез келген Ве Ж үшін Ае Ж в • А кез келген жиын болғандықтан бұдан 219

Я е Ж ве Ж болатынын， ал одан { Ж -ең кіш і монотонды ぬ болғандықтан) кез келген В е Ж үш ін Ж в = болатынын , Ве Ж ， Се Ж болса, онда С п В е болатынын аламыз. Сонымен жүиесі толықтауыш жиын алу жэне қиылы (яғни қосу да) операцияларьша байланысты жабық. Ал бұл сонг айтьшғандар -алгебра болатынын кѳрсетеді. 30. А йталы қ ß -қандай да бір кеңістік, «Й- оның іш кі жиыжүйесі болсын. Егер үш ін мына шарттар а) Q е э) А ,В е JÛ, А е В болса，онда В \ A е ぶ б) An e Ал ^ А п+Х болса, онда 0 A n n=l орындалса, онда Ѣ d-жүие деп аталады. Айталық, Q-ньщ қандай дщ бір іш кі жиьшдар жүйесі болсын. Онда мына тұжырымдардың дұрыстығын дәлелдеңіз: 1) £ жүйесін қамтитьш ец кіш і d- жүйе d(jÉ) эрқашан бар болады. 2) Егер қиылысуларға байланысты жабық жүйе болса, онда d (jÊ ) = a ( £ ) . Ж ауабы a) び бар болатынына ұқсас дәлелденеді (1.38-есепті қараңыз). ә) Әрбір сг-алгебра d-жүйе болады, сондықтан d(£)ç；(T(£) • Енді біз қиылысу операциясына байланысты жабық жүйе болатындығын дәлелдесек, онда c r(£ )^ d (£ ) ，яғни d(£) = c ^ ) болатынын көрсетеміз. Ол үш ін % = {B & d {^ ) ：B n A e d (n ). АеЖ} жүйесін анықталық. Егер Ве Ж болса, онда В пА е Ж , демек 玄 g 考 . Бірақ jÉi d -жүйе, сондықтан . Екішп1 жағынан анықтама бойынша e d ( £ ) ，бұдан e Айталық енді ^ = {B & d {^):B c^A e d (ß \ A ed{^)} болсын. jÉ2 d-ж үй е болатынын оп-оңай тексеруге боладыЕгер Ве Ж болса,онда Ж\ 一дің анықтамасы бойынша барлык АеЗ^ =d(£) үшін В п Ае сі(Ж)болатыньш аламыз. Бүдан жэне d(£) g 笔 . Бірақ сі(Ж) э %, сондықтан 玄 )= 毛 . Сонымен 220

д ßg d(^) яғни d(£) қиылысуға байланысты жабық жүйе. Дэлелдеу -регі де осы еді. 3 1 .( /? 'パ(Ä00)) өлшенетін кеңістігі. R°° мынандай реттелген саНдар тізбегінің кеңістіп болсьш: R°° = {jc = (jfj, x2,...) ：-°°{xk (+°°, =1,2,...}. 7ん = i a k ，みた1 e ß i^ k ) k-ші сандық түзудегі (оны ^ аркылы белгілейік) интервал жэне борельдік жиындар болсын. Тѳмендегідей цилиндрлік жиындарды қарастырайық: j( li X/2 X...X/д ) = {r = (^,,д:2,...)е /г°° : л, е € / л } j(B x X В2 X…xßn) = {х = (ろ ，;^ ，…^ R°° :xl s Bx ,...,xn e ßn } «/⑷) = {« = (ろ ，дг2，...)e R°° :(xïtx2>...,xn) e Bn\ мұндағы Bn e . Әрбір バ 孕 x …х в Д «/(/一 …x /n)， j(ß n) «цилиндрлерш» табаны /?"+1，/?я+2，…. оолатын цилиндрлер ретінде қарастыруға болады，ѳйткені /(/, х...х/л) = У(/1 х...х/п xR\ /(В, х...хВп)= j (b{ х...хВпх я \ j(B n)= j(B nxR). a) j{B i х...хВп\ j{B Y х...хВп), j(ß n) цилиндрлерінен тұратьш жиындар жүйелері алгебралар құратынын көрсетіңіз. ә)しәикес алгебраларды қамтитьт ең кіш і алгебраларды Д (及。0)， パ арқылы белгілелік (мэселен ß{Roa ) = <т{/, х…х І п : ハ = (ау. ,bj ]е Ri } т.с.с. )• Онда バ/ г ) = д ( / г ) = 爲( / г ) болатынын дэлелдеңіз. Ескерту ß{R°°) R°° кеңістіпндегі борельдік о алгебра деп, ал оньщ ^ементтері R°° кеңістігіндегі боѵельдік жиындар деп аталады. Жауабы Шешуі a) Тікелей тексеріщз. 221

Ә) Әрбір п = 1,2,… үш ін Яп = {л е R" :{и„.с2,...,Лв)6 Л}6 жүйелерін енгізелік. Айталық В' е ß[R" ) болсын. q В" eSin^ß{R~). y ï n су -алгебра болғандықтан жоғарғыдағы енгізулерде G ß[R°° ) қатынастарын аламыз. Демекß2(я* ) q ) Енді құрастырулары бойынша ß{R°° ) с Д (ä°° ) с Д2 j болатынын ескеріп ß、R°°)= Д (/?")= ^ 2(/?°°) тендігін аламыз. 32. Жалгасы. х,х° е /Г үш ін олардьщ ара қашыктығын былайшанықталық: К ~ 4 \ l + 丨、 -х°к\ ßAR9° ) び - алгебрасы と，ふ 0)= {*е 及。0 ■ ^ 0\ > x0eR°°t /7>о} ашыц жиындары арқылы пайда болған ең кіш і -алгебра болсьш. Онда бұл алгебра мен A M <т алгебралары өзара тең болатыньш, ягни ガ(及°°)=Ä(Ä°°) тендігін дәлелдеңіз. Жауабы Нұсқау Алдымен есепте анықгалған р м(ѵ ) метрика болатынын дэлелдеңіз. Сосын кез келген *^(jc0) үшін оны қамтитьш = /,х ...х /л цилиндрі жэне онымен қамтылатьш / ぐ) = / t'x …х/: цилиндрі (/ド (ぶ0) £ , )）табылатынын пайдаланыңыз. 33. а ) レ € R m :supjcn) ö } {x € R°° : in f xH(a\ э) {дг€ /?°° : Ііішг" ^ a\ {д;е RM : lim -сл)а}, б) { xe R" :xn —>бар болады және ақырлы}; в ) {« € R m :1іпися>л}； г) |^ € Ä - ：x k l> ü } жиындары R°° кеңістігіндегі борелъдік жиындар болатынын көрсетіңіз. 222

Ж ауабы Ш ещ уі а) \хе /Г :sup^„>a}=(j{te R°° :ля)а}е (/Г )， n {*6 Ä- :inf^<a}=y{te R- :xn <ö}g ß{R00 ). Қалғандары ұқсас n пендіріледі. 34. Біртекті т ік дөңгелек цилиндр горизонтал жазы қты ққа кездейсок лақтьфылган. Цилиндрдің б и іктіп һ табан радиусы г болса, онда цилиндрдің жазықтыққа бүйір бетімен қ^лау ықтималдығы неге ^ң? Бұл ықтималдықты һ=2г болған жағдай үшін жеке есептеңіз. Қандай һ пен г үш ін цилиндрдің бүйір бетімен құлау ыктималдығы хабанымен кұлву ықтималдығына тең? мг « 1 г yf3 Ж ауабы >= •==•; —f=\ 7 = フへ Ѵ 4 г 2 + Л 2 4 2 h 2 Н усқау Бұл есептеп «кездейсоқ лақтырьглған» деген сөзді цилиндрдің вертикал бағытқа байланысты бағдары кездейсоқ деген мағнада түсіну керек. Цилиндр біртекті болғандықтан оның ауырлық центрі мен цилиндрді сырттай сызьшған сфераның центрі бірдей (біреу) болады. Егер цилиндрдің центрінен жүргізілген сәуле цилиндрдің бүйір беті арқылы өтсе, онда цилиндр жазы қты ққа бүйір бетімен қулайды. Сәйкес ықтамалдық цилиндрдің бүиір беті арқылы өтетін сәулелер толтыратын сфералық белдеудің ауданының сфераның бетінің ауданына қатынасы ретінде анықталады. 35 Б и іктігі һ, табанының радиусы г-ге тең біртекті т ік дөңгелек конус горизонтал жазы кты кка кездейсоқ лақтырылған. а) Конусты ң жазы қты кқа табанымен құлау ықтималдыгын табыңыз. ә) Бұл ықтималдыкгы г=һ болған жағдайда есептеңіз. б) г/һ қатынасының қандай мәнінде бұл ықтималдық Va - ге тең? Ж ауабы а) - 一 一 ., Л = . .； ә) 2 2у[(4г)2+һ2 1 г л/З ■ , • _ —--- 2>/Г7 4 . 223

Н^сқау. Конустың ауырлық центрі оның өзінің биіктігінде, табаның^ ~ қашықтықта жататын нүкте болатыньш ескеріңіз. 36. Жартышар (сфера мен сфераның центрінен өжазықтықпен шенелген біртекті дене) горизонталь жазықтыққа кездейсоқ лақтырылған. Жартышардьщ өзінің шекарасының жазық бөлігімен құлау ықтималдығын табыңыз. Жауабы —---- І=г. 3 2 2л /73 Нұсқау Жартышардың ауырлық центрін табьщыз жэне осы центрден жартышардың жазық бөлігі көрінетін бұрышты табыңыз. 37. Жалпыланган биномдыц коэф ф ициенттер. Біз бұрыбиномдық коэффициенттерін тек бүтін оң n мен r үш ін былайша анықтағанбыз: п\ = (и)г " r\(n-r)l г\ Енді (дг)г саньш кез-келген нақты (тек қана бүтін оң үшіы ғана емес) X үшін былайша анықталық: = -1)_....レ一r + l)» (Д =1 мұндағы r оүтін сан. Онда ' Qf _ (•г)г = バズ一1)..■•.(ズー/•十 1) Ж r! rl фор мѵ л асы оиномдық коэф(Ьициенттері кез келген нақты х жэне барлық оң бүтін г үшін анықтайды. Бұрьшғыша С°х - 1,0!=1 деп есептелік және г<0 үш ін =0 деп анықталық. Анықтамадан г_{= (一 1 ) , , Сг_2= (一 l)r (г + і) болатыны шығатыньш жэне де а) кез келген бүтін оң n үшін Сгп =0, егер г>л, немесе г(0 болса. э) кез келген х жэне кез келген бүтін r үш ін С:+1 + Сгх = Сгх+1 • б) кез келген а саны және 一1<г(1 үш ін Ньютон биномының мына формуласы (1 + げ = Х с У =1 + С> + СаѴ + С вѴ + ... дұрыс болатынын дәлелдеңіз. 224

Е скерту Егер a -бүтін оң сан болса, онда соңғы формуланьщ оң жағында 卜ньШ ^-дэрежесіне дейінгі ғана коэффициенттер болатынына, қалған цосындылар нөлге айналатьшына назар аударыңыз. Егер а-бүтін оң сан болмаса, онда соңғы формуланың оң жагьтда иіексіз катар -р^рады. Ж ауабы Н ^сқау а) Анықгамадан шығады. ә) Биномдық коэффициенттерді ашып жазып, тікелей тексеріңіз. Керекті қатьшас г(^)г_, + (х)г =(д： + і)г теңдігінің салдары. б) f(t) = (l + t)a функциясын t=0 нүктесінің маңьшда Маклорен қатарына жіктеңіз. 38. Жалгасы. Бүтін п>2 үшін мына қатынастардың дүрьтстығын дәлелдеңіз: g(-l)*C „* =0, g b C : =Л .2-| Ж ауабы Шешуі. 0 = (-1 + і)"=]^(-і)*С„* = 0; к=0 = « Е С ^= л (і + іГ = Л-2"-1; g (-0 * * = п Х (-і)*с ^ =0 (бірінш і қатынасты қараңыз). 卜 玄 ベ и- l d = П(л-іХі + іГ 2 =п(л-1)-2"-2. 39. Жалгасы, Бүтін оң n менк үш ін / ] ( - Qr C rnC kn— r~0 ^Ш ііп н щ дұрыстыгын дәлелдеңіз. 225

Ж ауабы Ш е ш у і î ( - l ) rC；C.*：； = c * g ( - i y c ； =0 (алдыңғы есевд қараңыз). 40. Жалгасы. Кез келген а>0 жэне бүтін к ^ о үщщ Ск_а = ( 一 1 )し 灰_1 болатынын дэлелдеңіз. Жауабы Тікелей анықтамадан шығады. 41.Жалгасы. Кез келген бүтін я > 0 үшін C l -2 -2я = ( - 1 ) " С л,, 1 с ；；12 -2~2я+1 = ( - l) C J ~1 n i қатынастарының дұрыстығын дәлелдеңіз. Ж ауабы Н ^сқа у Тікелей аныкгаманы пайдаланып тексерщіз. 42. Жалгасы. Кез келген а жэне бүтін л >0 үшін = ( - 1)"с;_, қатынасының дұрыс болатындығьш дэлелдеңіз. Ж ауабы Н^сқау 37-есептің э) жағдайындағы нәтижені пайдаланыңыз. 43. Жалгасы. Кез келген оң бүтін г мен k үшін =cr+î формуласьшьщ дұрыстығын дәлелдеңіз. Ж ауабы Нұсқау 37-есептің ә) жағдайындағы нэтижені пайдаланыңыз, не алдыңғы есептегі формуланьщ жеке жағдайы болатынын көрсетіңіз. 44.Жалгасы. Кез келген бүтін a，b, n>0 үшін t CaCr k = C ：+b формуласыньщ дұрыстығын дәлелдеңіз. 226

Ж ауабы Н^сқау п< а + Ь жағдайы үшін бұл гипергеометриялық «яестірімнің барлық ықтималдықтарының косындысы бірге тең болуыньщ салдары (іш інде а-ақ, b-қара шары бар урнадан n-шар ддинған. Онда алынған шарплардың ішіңде дәл k -ақ шар болу Л^гималдығы ~ ~， ал бұлардың барлық 0< кйп бойынша Са+ь қосындысы бірге тең). Жалпы жағдайда индукцияны қолданыңыз ( алдымен а = 1 жэне кез келген b жағдайын қарастырыңыз )• Бұл формуланы (1 + t)a (1 + t)b =(1 + t)a+b тевдігінің екі ясшлндағы гя-н ің алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы тшы бір рет дэлелдеп көріңіз. 45. Ж а л г а с ы . し (た!)2 (("一' = ( ^ 2п) катынасыньщ дң)ыстыгын дэлелдещз. Ж ауабы Н ұсқау Алды ңғы есепте a = b = n деп алып, СПІЛ = У (с*)2 *=0 формуласыньщ дұрыстығын көрсетіңіз де, керекті қатынасты осы сощы формуланы пайдаланып дәлелдеңіз. 46. П = (0,+оо), У* = {Л : Лg ß} болсын. Кез келген Ae Т үшін Р(.): F —> R функциясын былай анықталық: Р (А )= мұндағы N = . Онда (Q,Ty P) ықтималдық кеңістігі болатынын дәлелдеңіз. • Ж ауабы Ш ешуі Т а -алгебра. P( ) :Т ->R функциясы P I,P 2, P3 - аксиомаларын қанағаттақдьфатынын тексерелік. Кез келген Ае Т №ін р(А) 之 о (Р1-орындалады). Р(й) = ^ 2 ~ к = ア = 1 . (Р2- keN *=1 °Рьщдалады). Айталық, енді АеТ, A = ^ A it Л, g T болсын (ДЛ) = 0 ， i ^ j) . Онда

: £ P M , себебі AN^=^AtN. Со；нымец ァ(.):Q Функциясы p( m ; r РЗ-те дұрыс. 47. ықтималдық кеңістіп болсьш. биекциясы аркылы мынандай үш тік кұрастыралық: мұндағы з Г = / ( ? ) = { / ( л ) ;Л е Э е '} , ал Рі санды В е Т үшін P,(ß)= P (/(fl)) қатынасымен анықталган. Осылай құрастырылған {) үш тігі ықтималдық кеңістігі бола ш ? Жауабы Иә. Ш е ш у і f биекдиясы й мен П, -дің іш кі жиьшдар кластарьшьщ теор иял ы қ-жиынды қ операцияларды сақтайтын биекциясьш пайда кылады. Сондықтан •*, ニ ) / ( л ) ：Л б Ғ } алгебра болады жэне Ві е Т[у i = 1,2,“ ” BtBj = 0 ( і^ j) үш ін ト ( I , ⑷ ト イ / ( 1 > ) ) = イ む ⑷ = Ê * )’ ягни ықтималдық кеңістігі. 48. a) Q -ның іш кі жиындарыньщ жүйесі бір гана элементтен т ү р с ы н :沒 =(А乂 Лq Q . 漆 ны қамтитьш ең кіш і алгебраны, яғни а{Я)-ны табыңыз. ß -ның бөліктеуі , яғни болсын. «Й-ны қамтитын ең кіші ә ) 力= {£>,，Л2 Dn] D, е П ’ D,D1 = 0 g D , = l î алгебра а(1>)-ны сипаттаңыз. Жауабы a) бт(^) = {0Ді,лД} э) ст(^) = |л / ,е { 1 ，2,...，л } 1 ，мұнда = 0 . Ш ешуі — . . . a) {0,ß, А, л } алгебра (тіпті a -алгебра) болатыны түсін11^ Егер қандайда бір басқа А-ны қамтитын алгебрасы бар ^ онда алгебраның анықтамасы бойынша 0М ,Л е ^ , яғни Я )• 228

ә) аныкталган жүйе ЙҒ = | , с {і,2,...,п}| алгебра ^а ты н ь і түсін ікті ( 沒 = а {ѣ) з め және へ ，スらら 拜 болса, онда ^ = A/jn/j e 充 A, = Aj e Я ). Енді оның ең кіш і алгеора Л а ты н и н көрсетелік. Ш ындығында да, егер қандай да бір алгебра 方 үшін 方 2 沒 болса, онда А, е Й Ғ ，ягни , демек Я -ең гіші алгебра. 49. £> Q -ның іш кі жиындарьшыі қандай да бір жүйесі болсын. іДьінандай жиын жүйелерін құрастьфайык. 1 )ù6] жүйесі. Бұл жүйе 0 ，Q жиындарынан жэне де не Ле ^5,, не A € ^ , болатын A q Q іш кі жиындарьшан тұрады. 2) 3>2 жуйесі. Бұл жүйе 我 жүйесінің элементтерінің акырлы (санды) қиылысуларынан тұрады. 3) жүйесі. Бұл жүйе カ 2 жүйесінің элементтерінің акырлы (санды) қосьшдыл арьшан тұрады. = ог(і5), яғни 私 cZf-ны камтитъш ең кіш і алгебра болатынын іөрсетіңіз. Жауабы ^5, з Ä й, = а (^). Ш еш уі Егер қандай да бір S алгебрасы үш ін 5 □ ^ болса, онда S з 爲 (алгебраның аныктамасы). Енді 為 алгебра болатынын тексерейік. m n A = Ua, , Af G ^ 5； B = (jB j, Bje болсын. Онда i=t j=l ^ болатынын көрсетелік. AB = { jA iBj болғандьгқтан, оізге i.J A ^ болатынын көрсету ж еткілікті. А л бұл соңгы енгізім өз кезегінде 為 алгебра болатьшдыгыньщ салдары. n Айталық, енді A = (J 八 ， A, € ^ болсьш. Ле ^ болатыньш i=l ®өРсетелік. Бірақ л = ( jA i = ( \л { болатындықтан бізге тек Л* e ^ І=1 «=І ®°латынын дэлелдеу ж еткілікті. Сонымен бізге В -^ \В п ß . g 一 ^ ГЬіНастарынан ß e 3 шығатынын көрсету керек. Бірақ fî = Q ß7 К ^ты н д ь гкта н , енді тек Ве қатынасын тексеру ж еткілікті, ал 229

соңғы қатьшас В е ^ (Д -д ің аныктамасы бойынша) болатыньщ^ шығады. 50. а) А ，、” " ß -ньщ іш кі жиындарыньщ тізбегі (Ля G ß, Я = 1,2”..） болсын. A’ß Q ß үшін бұл тізбекті былай анықталық: Лп = Л, егер п-ж^п болса; Ап = Ву егер n-тақ болса. Онда 1ішАя = A u B t 1ішА1=：А п В п п болатынын дәлелдеңіз. э) Ап c ß , п = 1,2.... іш кі жиындар тізбегі үшін егер ІітД ,= 1ішАл болса, онда ІітЛ л бар болады дейді және оны Ііт А ^ И т А ^ й т А ” арқылы анықтайды. Мына тұжырымдарды л л п дәлелдеңіз: 1 )егер 2 Л 2... болса, онда limA„ = П ля; " n=l 2) егер Л, q А s … болса, онда 1ітАл = и л я; #і=і 3) егер A ^j = 0 (і Ф j) болса, онда 1ітЛя = 0 ; б) (Q, Т, Р)-ықтималдық кеңістігі, ЛпеТ, /і = 1,2” " жэне limん бар болсын. Онда p ( lim A „ ) = lim P ( A j болатынын көрсетіңіз. Жауабы Ш ешуі a) 1ішАи = limsup Ап = A U A =Q (A uß ) = A u ß; я=1 k=n л=1 1ішЛп = liminf An = [JAB = AB /і=1 k=n я=1 Ә )1 )1ітЛя = liminf Ля = U flA* = U U A* = П А** ІішЛя = 「 )し )At = 门 ん 2)，3)- жағдайлары ұксас дәлелденеді. 230

б) Р(іітЛп ) = イU П ん j =,土イГ К j = z逆イ门 > g バ心， />(й^ля ) = イ п [ > * ) = , а ) = 画 р〔и ル1 ^ 画バА” >’ P(lim An ) = Д(іішЛл ) ^ ИтР(Д, ) < ПтР(Дл ) < Р ^ітД , ) = Р (ііт Ля )， демек P(lim Ап ) = Л(іітЛп ) = ИтР(Ап ) = 1іт/>(Л/1) = ) = Р (ііт \ )， Жеке жағдайда ІШ ^(Л ) = 1іт^(Л, ) = ^Ойп Ап)， ИтР(Ля) = Р(/ im А І

1 кесте- cp{x)=-j==e 2 ф ункциясы м әндерінің кестесі 0,0 0?1 02 0 0,3989 3970 3910 1 3989 3965 2 3989 3961 3 3988 3956 4 3986 3951 5 3984 3945 6 3982 3939 7 3980 3932 [1 --------- l9 7 7 ~ ^ З Ғ т Г ' J 9 Î8 ^ 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3836 3712 3825^ Ü?4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 0、5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352' 0,6 3332 3312 3292 3277 3251 3230 3209 3187 3166 ~ зш 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 0?8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2757 2732 2709 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2203 i ，o 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 M 2179 2151 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965~~ 1，2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1SÏ8~~ 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1，4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 W 1295 1275 1257 1238 1219 1200 1182 1168 1145 1127 i T6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0873 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1，8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 W 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2，1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2，： 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2，4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 . 0163 0158 0254 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2?8 0079 0077 0075 0073 0071 Г 0069 0067 0065 0063 0061 2’9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 一 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034一 371 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025一 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013一 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 r ooio 0010 0010 0009 ОООし 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007」ОООし 3r6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004__ 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 一000し 3T8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 一 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001一 0001.

2 кесте-Ф(л：) = - j = je ‘ dz ф ункциясы м әндерінің кестесі г2 i -Г 2 , % Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315 0 01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 ооз 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,0160 0,36 0,1406 0,68 ОД517 1,00 0,3413 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,3438 006 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 7)07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 "008 0,0319 0,40 0,1554 ()，72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0.0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 О.Ю 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0^3554 011 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0.12 0,0478 0,44 0,61700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0.14 0,0557 0 外..一 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1Л1 0,3665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 IJ 2 .. 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1ЛЗ 0,3708 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1Л4 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1Л7 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 U 8 0,3810 0,23 0,0910 0,55 0,088 0,7 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 U 0 0,3849 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 じし 0,3869 0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,3883 027 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907 0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925 0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3944 0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 1,26 0,3962 Д31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 1,27 0,3980 .1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,4945 山29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948 ふ30 0,3032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951 J ，31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953 ふ32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956 ふ33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2,64 0,4959 丄34 0,4099 1,67 0,4625 2,00 0,4772 2,66 0,4961 丄35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963 丄36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4808 2,72 0,4967 丄38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969 0,4177 JL22________ 0,4573 2，10 0,4821 2,76 0,4971 233

2-кестенің жалғасы 1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 -S O T T '^ ■ - 2 4 9 7 6 ^ - 1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 —~ 1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 j：免 —] 1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 1,44 0,4251 1,77 0,4616 2二0 0,4861 2,86 ^ 4 9 7 9 ^ ^ 1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 Г0,4875 2,90 1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982^ ^ 1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0^4985---- 1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,489 2,9 "0^4986 ^ 1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 ІХ4985^ 1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 ~(KÀ99\ ■ "04996 ' 1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,4999^■ 1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968 1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,497 1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,8 0,4934 5,00 0,49997 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941 3 кесте - ベ/!，г) мәндері кестесі. С тью дент коэф ф ициентінің кестесі n 0.95 0.99 0.999 Q 0.95 0.99 0.999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,098 2,861 3,883 6 2,57 4;03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 _ 7 2,45 ^ 7 1 5,96 30 2,045 2,756 Х659-— 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 9 2,31 2,36 5,04 40 2,023 2,708 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 一 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 12 2,20 з ,и 4,44 60 2,001 2,662 一 i Ä 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2.649 3,4j2.---- - 14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 一 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 m - 2,633 _ 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627_____ —- 18 2,12 2,92 2,90 4,02 3,97 1,960 2,576 ___ せ --.- 19 2,10 2,88 3,92 L -— ^ 234

4 кесте - q(n, ү) мәндері кестесі 0,95 0,99 0,999 n 0,95 0,99 0,999 ■— — 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0^63 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50 10 0,65 1.08 1,8 45 0,22 0,32 0,46 11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43 12■""" 0,55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38 13 0,52 0,83 і ，зз 70 0,174 0,245 0,34 14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31 — 0,46 073 1,15 90 0,151 0,211 0,29 т г - 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211 18 0,40 0,63 0,96 20 0,099 0,136 0,185 19 0,39 0,60 0,92 50 0,089 0,120 0,162 235

5 кесте - ^ 2үлестірім нің сы н нүктел ері Ерківдік дэрежелер саны, к Маңыздылык деңгейі a 1 6,6 5,0 —3,8 0,0039 0,00098 2 3 9,2 ...... 11,3 7,4 9’4 6,0 Л — 一 0,103 0,352 0,051 0,216 i n i r r 5 6 15パ ■■.. 16,8 12,8 14,4 りご. ...._ I L —— _ 12,6 1Д5 1,64 _ 0,484 0,831 1,24 - j^297 л и г — 0,872 7 18,5 16,0 Д4Л ... 2,17 丄69 ---------- 8 20，1 17,5 15,5 2,73 i l 8 1,65 ' ■ 9 h ^ ' 7 — 19,0 一16,9 3,33 2,70 2,09 10 23,2 20,5 1^3 _ . … 3,94 3,25 2,56 11 24,7 21,9 19,7 4，57 3,82 3,05 12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57 13 27,7 24,7 22,4 W —- - 5,01 4,11 14 ボ — 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66 15 30,6 27,5 A リ_______ 7Д6 6,26 5,23 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81 17 ノ 39,2 27,6 8,67 7,56 6,41 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01 19 36,2 32,9 30,1 10,1 .... 8,91 7,63 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8.90 22 40,3 .36,8 33,9 12,3 11,0 9,54 23 41,6 38,1 「35’2 13,1 11,7 10.2 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 __ 10.9 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 Д У - 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 27 47,0 43,2 40,1 16J 14,6 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 — 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 236

6-кесте С тью дент үлестірім нің сы н нүктелері Еркіндік дәрежел ер саны, Маныздылык деңгейі a (екі жақты сын облысы) 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,2 637,0 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 J,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04 9 1,83 2.26 2,82 3,25 4,30 4,78 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 1,76 2，14 2,62 2,98 3,79 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 し# 2 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 _ 3,79 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3?39 _ j 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,40 з，з і . i 3,55 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46 120 1,66 1,98 2,36 2,62 ЗД7 3,37 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0 ,0 0 05 237

М а ң ы зд ы л ы қ деңгейі (бір ж а қт ы сы н облы сы ) フ （к2-кііп і дисперсиға сэйкес еркіндік дәрежелері) к 2 Кі 1 2 3 4 5 Т j 1 4052 4999 5403 625 5764 ~5889 ' 2 98,49 99,01 90,17 99,25 99,33 "993^ 3 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 ~ 2 7 5 Г ~ ~ ^ ' 4 21,20 18,00 16,69 15,96 15,52 15,21- 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 ІД 6 7 ■ 6 13,74 10,92 9,76 9,15 8,75 8,47 7 12Д5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 — 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 — 9 10,56 8,01 6,99 2,42 6,06 5,80 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 11 9,86 7,20 6,22 5,76 5,32 5,07 12 9,33 6,93 [5 ，95 5,41 5,06 4,82 13 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 14 8,86 ^6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,Ю 238

7-кестенің жалғасы П Г Г^tCi 7 8 9 10 11 12 іЬ：---- ------- 1 5928 5981 6022 6056 6082 6106 一----- … 2 99,34 99,36 99,36 99,40 99,41 99,42 3 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 -— _ 14,98 14,80 14,36 14,54 14,45 14,34 --------—■ ■- 10,45 10,27 10,15 10,05 9,96 9,89 ——----- 8,26 8,Ю 7,98 7,87 7,79 7,72 — - 7,00 6,84 6,71 6,62 6,54 6,47 — ■ 8 6,19 6,03 5,91 5,82 5,74 5,67 — 5,62 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 —-----" 5,21 5,06 4,95 4,85 4,78 4,71 — .— -■ 4,88 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 12 4,65 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 13 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 14 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 ............. 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 16 4,03 3,89 3,78 3,69 3,61 1,55 17 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,45 239

10 К ейб ір есептердің түрлері ж эне оларды ш еш у жолдары Есептін түрлері Нені табу керек № (берілгені) 2 3 Қандай материалды пайдалану керек. С т о х а с ти к а л ы қ тә ж ір и б е л е р n тү рлі н ә т и л т ір іл е гін і б е л гіл і, олардың і ш ін д е А оқиғасыьщ о л у ь ш а қ олайлы лар с а н ы m . n с хол а стик ал ы қ тә ж ір и б е ә тиж есінд е A оқиғасы m р е т па й д а болғ ан. А ，В ，" .，С ү йлесімсіз оқиғаларыньщ ы қ тималдық тары б е р іл ге н . Р ( А ) , Р ( В ) ы қ тим алдықтары б е р іл ге н ж э н е В оқиғасы болғ андағ ы А оқиғасынищ б о л у ықтималдығы Р в ( А ) - н ы н е м е с е Р А ( В ) - н ы табуғ а б ол а д ы . A оқиғасыньщ Н ь Н 2，...， H Q й л е сім сіз о қ и ғ а л ар ьтьщ б ір е у ім е н б ір г е б о л у ықтамалды қ тары Р ( Н , ) , Р ( Н 2) , . . . ,Р ( Н „ ) және Р н і ( А )，Р н 2，. - .，Р ң п (А ) б е л гіл і(н е м е с е табуғ а б о л а д ы ). A оқиғасының ықтамалдығьш Р ( А ) A оқиғасьшьш ж и іл іг ін W ( A ) О л ар д ы ң б ір е у ін ің б о л у ықтималдығын Р ( А н е В , н е Г , … , н е С ) . А , В оқ иғ аларьш ьщ б ір г е б о л у ықтималдығьш Р ( А ж э н е В ) = Р ( А В ) а ) A оқ иғасыньщ т о л ы к ықтималдығьш; в ) A оқиғасы болғандағы Н і оқиғасының ( i = l，2 v . .，n ) б о л у ықтималдығ ьш. Ы қ тим алд ы кгы ң классикалы қ аны қ тамасы P ( A ) = m / n Ы қ тималды қ тьщ статистик ал ы қ аны қ тамасы W(A) = - Ы қ тималды қ тарды қ осу тео ре м асы Р ( А - ь В + ...+ С ) = - Р ( А ) + Р ( В ) + . . . + Р ( С ) Ы қтималдьіқтарды к ө б е й ту формуласы Р ( А В Ң Ч А ) Р а ( В 户 Ч В ) Р в ( А ) . а)олық ықтималдықтьщ ф ор м ул ас ы 戶 ⑷ = ；^Р (Я Х (А ) 1=1 ± Р (Н к)РиМ) 240

•м(х) = ^ х ірі D{x ) ^ M [ X - M { X ) Y \ • D{x) = m (x 2 ) - M 2 { x }, • び= (ズ)| пр - q < К0 <, пр + p K 0 < Z Д и с к р е т т і кездейсоқ ш а м а н ь щ ү л е с т ір у заңы Б е л ги п б ір тә ж ір и б е нә тиж есінд е а йн ы м а л ы ш а м а X j , 2,...， хп кездейсок мө ндерінің о ір е у ін қ абьш дайты ны б е л гіл і; Р ( х і ) , Р ( х 2)，… •，Р ( х п)~ те р д і е с е п т е п табуғ а бол а д ы . Ы қ ти м а л - дықтың ү л е с тір у заңы б е р іл ге н Осы ы қ т и м а л д ь п ы н ь т ү л е стір у заңы К е з д е й с о к ш а м а н ь щ м ате м а ти ка л ы қ ү м ітш : д и с п е р с и я с ы н ; о р т а ш а к в а д р а тт ы к а уы тқ уы н ; Ә р б ір т ә ж ір и б е д е гі A оқиғасыньщ ықтималдығы Р ( А ) және т ә ж ір и б е л е р саны n б е л гіл і Кезд ейсоқ ш а м а н ь щ 1 . A оқиғасының м а те м а ти к а л ы к ү м ітш ; 2 . A оқ иғ асьты ң д и с п е р с и я с ы н . 1 . Ы қ там алд ы қ тар ү л е стір іл уін ің М ( х ) = п р ; D ( x > = n p ( 1 - р ) Ү л е с тір у д ің д и ф ф е р е н ц и я л д ы к Е с е п т ің т ү р л е р і ( б е р іл г е н і) Т ә ж ір и б е с а н ы n б е л г ш ж э н е э р тә ж ір иб е - д е гі A оқиғасын ь щ ы қ тим алдығы Р ( А ) = р түрақты. a ) A оқиғасыньщ к р е т б о л у ықтималдығын; в ) A оқиғасыньщ К і - д е н к е м , К г -д е н а р т ы к р е т б о л м а у ы ктим алды ғ ьш , с ) А оқиғасыньщ б о л у ы қ тим алд ы гы ньщ ең нө п б о л у с а н ы н Нені табу керек Қ а н д а и м а т е р и а л д ы п а й д а л а н у к е р е к . Б е р н у л л и ф о р м у л а с ы „(аг) = „ Ѵ ( - Г * Л а п л а с т ь щ локальд ы қ те о р е м а с ы Рл{к) t= л[пР^-Р) к пр Л а п л а с т ь щ и н те гр а л д ы қ те о р е м а с ы ぶ ,;も ) = Ф (ら)- Ф (へ)： . - К「ПР ■ t = ' J n p b - P)' 2 yfnp X . p : .) 2 2 РС X p ^丨尸 241

ы кти м ал д ы к га р ы ның ү л е стір іл уін ің и н тегр ал д ы қ ф у н к ц и я с ы б е р іл г е н . 11 Кезд ейсоқ қалыпты ү ле стір іл ген а = М ( Х ) , б е р іл ге н . диф ф еренциалды қ ф у н к ц и я с ы н (ықтималды қтар ү л е стір іл у тығыздығьш); 2 . Кездейсоқ ш ам аны ң қ абы лдайты н мәні а -д а н кем ß-д а н артық б о л м а у ықтималдығын; З .О с ы кездейсоқ ш аманы ң м ате м а ти ка л ы қ үм ітін ; 4 . Д и с п е р с и я с ы н ; ш а м а 1 .Ы қ ги м ал д ы қ тар ү л е стір іл у тығыздығын; және 2.Тығ ыздық а м е н ß -н ы ң с р = Д (х) арасындағы мәнді қ абы лдау ықтималдығын; З .К ез д ей со қ ш ам аны ң қ абы лд айты н иә ні м е н м атем ати калы қ ү міт айы ры м ы ны ң а б с о л ю т ш а м а сы е -н а н артық б о л м а у ықтималдығын. 1 ) = 4 2.Р(а < x< ß )~ = F (ß )-F (a \ 3 . А / ( х ) = J v ( jc ) ic 4 . D ( x ) = レ- М(х)】 ! \х-М{х)Ү J(x)c6r функциясы 1 / W : р.хр 2а 2 СГЛІЬГ 3. VI i 242

Есептердің ж ауаптары 1 Кездейсоқ оқиғалар I . а ) | ’ э )長. 4. Торлық группалар күрайды. 5.0.5. 6.f U32 7. n/(m+n). 8.0.3. 9 . . 10.120. II.20. | - 12. Р=1/720. 13. Р=5/9. 14. /4. 15. а )1 ,б )1/5, с) 3/5; 16. Р=5/9; 17. а) Р=0,3, б )Р = 0，4. 18.16. 19.1/406. 20.168. 21. Р=0,4. 22. Р=1/4. 23. Р=0,88. 24. а)Р=0,1, б)Р=0，4 . 25.0.09. 26ユ . 27.1. Г з 28. а) 6/19; ә) 4/19; б ) 11/38; в) 5/38; г)7/38; д) 7/38. 29. а) Ѵг\ ә) У4; б) 1 ん 30. Р(А)=1/3; Р(В)=1/6; Р(С)=1/2. 243

2 Ы қтіім а л д а қта р д ы косу жэне кѳбейту теоремалары I . Р(А+В)=2/3. 2.1/6. 3. 0,8. 4. 0,95. 5. 3/8. 6 . 1 7. Р(АВС)=0,044. 8. Р(АВС)=0,6. 9. Р(А)=0,34. 10. Р(А+В)=51/90. I I . Р(АВ)=1/3. 12. 0,4. 13.0,7. 14. 2/3. 15.1/720. 16. 38/105. 17.Р=1024/1000102 18. 5/11. 19. 57/115. 20.1/6. 1 .р=0,895. 2. а) р=0,6982, б) 3. р=0,9876. 4. п=588. 5. р=16. 6. Шо=757. 3，0,0001. ги м а л д ы қты ң ф ормуласы . Беиес формуласы і қаиталау тәуелсіз сы н а қта р тізбегі р=0,124. Т о л ы қ і=5 А • • 2 0 • • 5 4 *962 4 23456789 оргооооо 94313386 244

8. P-О,4017. 9. р=0,051• 10.р=30р2。р2 рз2. Ц.Р=1/495. 12.р=0,0201. 13.р=3/4. 14. р=0,8882. 15. р=0,62. 16. а) 0,116; б) 0,52. 17. 299-дан 305-ке дейін. 18. 0,045. 19. 0,999. 20. 0,737. 21* ( 2'. 22.0,0238095. 23. а) 0,328; б) 0,738; в) 0,0067. 2 4 . 12!/7!⑴ . 25. Р4оо(80)=0,0498. 26. Рш(8)=0,273. 27. a) Ploo(70,80)=0,7498, б) Р,оо(0,70)=0,1251. 28. 0,19. r a)à ; 6)S ; 30. а) Р6(4)=0,246, б) Р6(6)=0,26, в) Р6(0)=0,000064. 5 Кездейсок оқиғалар 1.М(х)=0,8. 2. М (х) =665，М (у) =675. 3. M (Z ) =43,2; М (ху) =13,65. 4.Д( )=0,81. 5. Е кінш і атқыш. 6.0^73. 7- M (Z ) =0,2; A (Z ) =2,2; o(Z) =1,5. 8-о(х) =0,48. 9 .М (х2) = 17,6. 10. М (х) =2, о(х)=1,29. П.2,6. 245

12. 2,2. 13.1,53. 14. 2,65. 15.2. 16.12,25. 17. 6. 18.7. 19. а) 5; б) 20; в) 45. 20. 67,6404. 21.Хі=2, Х2=3. 22. 2,5. 23. 2,2. 24.4. 25. 2,5. 26. М (Х) =2， а(х) =1,4. 27. а) 4; б) 14;в) 20; г) 35. 28. а) 8; б) 8; в) 72; г) 32. 29. а)14 жэне 88; б) -2 жэне 112; в) 30 жэне 186. 30.а)34 жэне 96; б)15жэне161; в )13 жэне 49. 6 Ү зіліссіз (үздіксіз) кездейсоқ ш амалар 1.C = — 2. Р(0<х<1/3>=1/4. 3. М (х) =2/3. 4. М (х) =0. 0， х<0 5. С=1; р(л：) = - 3jc2, 0 jcSI. 0， д:>1 6. Д(х)=25/18. 7. М (х) =п+1， Д (х) =п+1. 8. М (Х )=0Д ; Д (Х ) =0,036; а(Х ) -0,190. 9. д = 丄 ， М (х)=10,7, D{x) = 28,8 - 4 10. /(jc) = cos X, M (jc)= 11.c = — ; f{x ) ~ c \ M{x)~2\ D{x) = 4,3 ； P = l. 12. = M ( x ) = U J ； D(jc) = 60. 13. с = 8，D(x) = 54,3. 246

14.尸= 19. 15. W W = v - 16. М {х) = - - е 17. p=0,6. 19ノ ィ 2，5. 20. М (х) = ^- \ D(x) ；D(x) = л/л*. ；次》 : 21.1)0.9876,2)0.9984 3) 0.99, v=0.0077. 22. v2=/>(jc) = 0.078. 23. л> 5 1 0 5. 24. ^ = 2.56. 11 49 26. M 0 = —; M D cosM D. 27. a) ： 6) mx = 0 b ) v 2jc = v 2^ = 4 і к г) ^ = 0 . 28. Я =—; Ex = 3. 29. - aj = 4,6；a2 = 26,6; a3 =177,4；a4 =1293,8; M, = 0 ； M 2 = 5,44; A/3 = 4392 ； M 4 = 64,55 ； - SR= 0,394 ; Ex = -0,82. 3 0 . 1 ) |,0<x<4 ；0,JC>4, 2) M ( x ) = 2 ; D ( x ) = ^ r . 31.0,954. 32. P=0,2. 33. P(Àj = 0,3 Я(В) = 0,2. 7 Е к і аргум ентке тәуелді үлестірім ф ункц ия л ары 2 3 4 5 Ук 2 3 4 0,50 0,30， 0,15 0,05 Як 0,55 0,30 0,15 4-а)с=20; б ) バズ，ヌ) = 〔丄д/гは寻+ 士)•〔丄ш гな4 + 4 ] ; с) р=9/16. \ j r 4 2 М л- 5 2ノ 247

5. P(x,y) =cosx cosy; (0<х<л/2, 0< у< л/2). 9 X u - квадрат үлестірім ( ^ 2-үлестірім ) 1.a) М (У)=10; б) Д (У ) =36; бт(Х>=1; с) М (У)=14,5; (Х)=9,8; 2. а ), Ы = _ ^ е - « 10 Ү л ке н сандар заңы. 10.1 Чебы ш ев теңсіздігі 1 .Р(|дг-0,44) < VÖ4)>1-0,0364/0,4=0,909. 2. P(jx-200| < 5О)>1-150/502=0,94. 4. Р(х<200)>1-200/220=1-0,091,Р(х<200)>0,909. 5. 0,1. 6. а>0,3- 7. 0,936. 8. 0,6. 9. р>0,9. 10. Р(х>900)<600/900-2/3. 11.Р<2/3. 12.Р >0,5456. 13. а) Рと7/9，б) 35/36. 14. Р>7/9, б) 35/36. 15.Р>0,64. 10.2 Чебы ш ев теоремасы 1.Иэ. 2. р=24/25. 4. р^0,982. 6. і^0,9. Д ) Д(У)=95,85; 248

12 М а те м а ти ка л ы к статистика элементтері Н е гізгі ұғы м д ар, таң дам алы қ тәсіл ,а)12，13，14，15，16，17Д8，19，20. І2 _ 13 14 15 16 17 18 19 20 0,06 0,016 0,24 0,16 0,14 0,10 0,06 0,04 3. Dx я 0,4, Sx * 0,63, тх= 3,365 4. a) Dx » 120，Sx « 10,95, іһх = 40, В х « 133, « 11,55 • б) Dx « 0,0344, Sx * 0,19, т х = 0,56. 249