Сонда кестеден яғни 2Ф 0,035, 0,75 0,25 ：0,95 0,035 J ~ = 1,96 V 0,75 0,25 немесе л/л =1,96 Ѵз/0,14, осыдан n=588. 4. Ең ыктималды m 0 санын аныктаймыз, яғни ] 100 • 0,75 - 0,25 < m0 ^ 100 • 0,75 + 0,25 немесе 74,75 < w0 <75,75 Осыдан m 0=75. 4 мысал Түқым ға арналған бидайдьщ дәндерінің ішінде 0,004% арам шөп дәндері кездеседі. Кез-келген 50000 дәндердің ішінде I арамшөптің 5 дәндері кездесетіндігінің ыктималдығы қандай? Ш ешуі Бұл есепті шыгару үш ін Муавр- Лапластың локальдық формуласын пайдалануға болар еді. Алайда есептің шарты бойынша р=0,00004, яғни ықтималдықтың мәні өте аз. Бұл жағдайда МуаврЛапластың формуласын теореманьщ шарты бойынша пайдалануға болмайды. Сондықтан Пуассон формуласын пайдаланамыз. Есептің шарты бойынша Л = пр = 50000.0.00004 = 2 Сонда Пуассон формуласын қолданьш Р5о«»(5) = | - е - 2 = 0,036 Ескерту Пуассон формуласын пайдаланғанда Я<10 болу керектігія ескеру кажет. 5 мысал Ойнау шеберлігі тең екі дойбышы ойын көрсетуде.Үш ойында ең болмағанда бір ұтыс болуының ықтималдығын табу керек? Шешуі Бұл жерде р=0,5 ескерсек Р(А)= 1 - (0，5)3 = —. 8 6 мысал Қорапта 5 ақ және 50 кара шарлар бар. Қораптан кез-келген шар а л ы н ы п о н ь щ т ү с ін а н ы к та ға н н а н к е й ін ол қа й та д а н қо р а п қа салындЫ100
w . осЫ сынақ 10 рет қайталанды. Осы сынақтарда 3 рет ақ шар С0Й болуыньщ ықтималдығьш анықтау керек. ggpgyjûiH формуласын пайдалануға болады, себебі п=10 онша саН емес. Бұл жерде алынған шар корапқа қайтарылып андыктан әрбір сынақта ақ шардың пайда болу ықтималдығы ^ыженер=5/55=1/11; ? Сондыктан Р丨。(3) = С/。⑷ .〔畀 )«0,047 Сондай-ақ жуы қтап есептеу Пуассон формуласын паидалансақ. д = ^ = 1 0 — *0 ,9 ; 10 P , o ( 3 ) * ^ ^ 9 « 0,051 Бернулли схемасы жалпы жағдайда полиномдық схеманың жеке түрі болып табылады. Полиномдық схема бойынша тізбектес тәуелсіз сынақтардың әр сынағында өзара үйлесімсіз A ,, A 2 .A х оқиғалардың бірі А, сәйкес р, = Р(А4 )ықтималдыкпен пайда болады. Мүнда 0<, Р < \ жэне ^ Я,= 1• Айталық n тәуелсіз сынақ = жүргізілсін. Сонда осы n сынақтарда A оқиғасының m рет, А 2оқиғасының т 2рет, А 3оқиғасының m , рет, ..•， хоқиғасыньщ т ^ р е т пайда болуының ықтималдығы мына полиномдык формуламен анықталады РлЦ ，т 2” " т к，) = j j ------jP^iP广 2..Р广 г Мұнда т , + т 2 +... + т к-П . 7 мысал Жұмысшы 0,9 ықтималдығымен сапалы бүйым, 0,09 ^тималдығымен жөндеуге келетін ақауы бар, ал »^іықтималдығымен жөндеуге келмейтін ақауы бар бұйымдар ЩЫғарады.Жұмысшы үш бұйым шығарады.Осы үш бүйымның ішінде еЧ болмағанда б ір сапалы б ұ й ы м ж ә н е ең б о л м а ға н д а а қа у ы ж ө н д е у ге ^е тін бір бұйым бар болатындығын тап. 101
Шешуі Барлығы үш бұйым шығарылған.Белгілеу енгізелік. А - сапал^ бүиым, В 一 ақауы жөндеуге келетін бүйым, С 一 акауы жөндеу^ келмейтін бүйым. Сонда бізге мына окиғалардың пайда болғащ, керек: А, = А - В *С, А2= А А В ，А 3 = А * В • В Бұл A ,, A 2, A з оқиғал ары үйлесімсіз. Есептің шартьгна^ байқағанымыздай, бүл оқиғалар әртүрлі ьгктималдықтармен пайда болады. Сондьгқтан есептің шарттары полиномдық формулаң^ пайдалануға болатынын көрсетеді. Сонда: Р = Р3 (Ш )+ Р 3 (2Л，0)+ Р3 (】，2,0)= - 0,9-0,09 0,01+ — -0 92 .0,09 + - 0,9-0 092 = 1!Ш! 2П! 2QÎ =3(2 • 0,00081 + 0,0729 + 0,00729) = 0,24543 С туденттерге ө зін д ік есептер 1 . Мергеннің нысанаға оқты тигізу ықтималдығы р==0,75. Тәуелсіз 400 атыста салыстырмалы ж и іл іктің ықтималдықтан ауытқуьшың абсолют шамасы 0,035-тен кем болатындығыньщ ыктималдығын табу керек. 2. Нысанаға окты тигізу ықтималдығы 0,7 5 .1 0 0 атыста мына оқиғалардың ықтималдығын табу керек: a) оқ нысанаға 71-ден кем емес 80-нен артық емес рет дэл тиді; б) нысанаға 70-тен артық емес рет дэл тиді; 3. 625 оқиғада тәуелсіз оқиғаның пайда болу ыктималдығы 0,8 ықтималдықтан ауытқуының абсолют шамасы 0,004-тен артык болу [ ыктималдығын тап. 4.Салыстырмалы жиіліістің ықтималдықтан (р=0,75) ауытқуыньщ абсолют шамасыньщ 0,035- тен кем болуынын ықтималдығы 0,95 - ке тең болуы үш ін қанша тәуелсіз сынактар . жасау керек? 5. Автоматты станокта стандартты деталь дайындау f ыктималдығы 0,8 〜 ге тең. Алынған 5 детальдің жарамсыз болу I ықтималдығы қандай ? 6. О қты нысанаға тигізу ықтималдығы 0,75-ке тең тәуелсіз 100 I атыста дәл тиген ең ыктимал атыс саньш тап. 102
g Сапасыз деталь жасаудың ықтималдығы 0,02 一 ге тең. 400 иь жасап шығарғанда оның іш інде 7 - ден 10 - ға дейін сапасыз ^ ъ болуының ықтималдығын табу керек. ^ 9 Урнада 5 ақ және 50 кара шарлар бар. Урна дан кез-келген алынып, түсі анықталғаннан кейін урнаға қайта салынды. Сөйтіп ^ t сЫНак 40 рет қайталанды. Осы сынактарда 3 рет ақ шар пайда болғаныньш ыктималдығын анықтау керек. 10. Нысана оір алма және екі сақинадан құралған. Б ірінш і ^ c td i алмаға тигізу ыктималдығы Р0， бірінш і сақинаға тигізу ЫКгималдығы-Рі, екінш іге-Р2, нысанаға тимеу ықтималдығы- Р3. ң ысаНаға 5 оқ атылды. Алмаға екі рет ти гізу және екінш і сақинаға 1 per тигізу ықтималдығын тап. 11.100 лоторея билетінің 5-інен ұтыс шығады. Альш ған екі билеггің де ұтысты болуының ықтималдығы қандай? 12. Тәуелсіз 600 сынақта тұрақты р=0,4 ықтималдықпен пайда болатын о қ и ға н ы ң 228 рет пайд а б о л у ы қ т и м а л д ы ғы н та б у ке р е к. 13. Теңгені 2 рет лақтырғанда елтаңбаның кем дегенде 1 рет пайда болуыньщ ыкгималдығы қандай? 14. Детальдардьщ тексеруден өтпеу ықтималдығы р=0,2. Кездейсок альшған 400 детальдын, 70-тен 100-ге дейінгі детальдарының тексеруден өте алмау ықтималдығы қһндай? 15. Отбасында 5 бала бар. Олардьщ ішінде 2-ден аз емес жэне З'тен кѳп емес үл бала болатындығыньщ ықтималдығын тап. Ү л баланың туу ықтималдығы 0,51. 16. Ойын кубын тѳрт рет лақтырғанда 5 үпайдың : a) екі рет; б) кем дегенде бір рет пайда болуының ыкпгималдығын табу керек. 17. 6 ұпайының түсу ықтималдығы 50-ге тең болу үшің ойын кубын неше рет лактыру керек? 18. Тест тапсырмасы бес сұрақтан қүралған, эр сұракқа біреуі ДѴрыс қалғаны қате үш жауап-нұсқа берілген. Студенттің төрт сүраққа дұрыс жауап беруінің ықтималдығы қандай? 19. Төуелсіз 6 сынақ жүргізгенде A оқиғасыньщ пайда болу ь^тималдығы 0,7-ге тең. A оқиғасының кем дегенде бір сынақта болатындғының ықтималдығы қандай? 20. В оқиғасы кем дегенде төрт рет пайда болғанда A оқиғасы ^йда болады. 5 тәуелсіз сынақ жүргізілгендегі A оқиғасының пайда ьисгималдығын тап. Әрбір тәуелсіз сынақтағы ß оқиғасьшың цайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең. 2 1 .Е кі мерген өз нысаналарына n реттен оқ атты. Әрбір атыста тию ьпстималдығы түрақты және 0,5-ке тең деп алып, екі 103
м е р ге н н ің ны сан а ға д әл т и г із у санд ары те ң б о л у ы н ь щ ы қ т и м а л д ь ^ тап. 22. Дүкенге 10 компьютер әкелінді, оньщ 4-і ақаулы. Түтьтңу^ бесеуін сатып алды. Осы сатылған компьютерлердің бардығы ^ ақаусыз болып ш ығуынын ықтималдығы қандай? 23. Бидай дәнінің өнімділігі 80 %-ті құрайды. Себілген ^ дәннің : а) бесеуінің; б) төрттен кем емесінің ; в) бірден кем емесің^ шығуыньщ ықтималдьщтары қандай? 24.12 ойын кубы лақтырылды. 7 кубта бірдей саңңц қалғандарында әртүрлі сандардың ш ы ғу ықтималдығы қандай? 25. Тәуелсіз 400 сынақ жүргізгенде A оқиғасының 80 рет пайд^ болуыньщ ықтималдығын тап. Әрбір сынақтағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,2-ге тең. 26. Атқыштың біо рет атқанда нысанаға тигізу ықтималдығы 0,75-ке тең. Атқыш 10 рет атқанда нысанаға 8 рет тагізуі吻 ықтималдығы қандай? 27. Атқыштың бір рет атқанда нысанаға тигізу ыктималдығы 0,75-ке тең. А тқы ш 100 рет атқанда нысанаға а) 70-тен кем емес жэне 80-нен артық емес; б) 70-тен артық емес рет ти гізуін ің ықтималдығы қандай? 28. Тәуелсіз 8 сынақ жүргізгенде A оқиғасыньщ кем дегенде 2 рет пайда болуыньщ ыктималдығын тап. Әрбір сынақтағы оқиғаньщ пайда болу ықтималдығы ОД-ге тең. 29. Тиы н 6 рет лақтырылды. Елтаңба жағының a) екіден кем рет; б) екіден кем емес рет түсуінің ықтималдығын тап. 30. Цехта 6 мотор бар. Эр мотордьщ жанып тұру ықтималдығы0,8. а) 4 мотордьщ жанып тұруыньщ; б) барлық мотордьщ жанып түруыньщ; в) барлық мотордьщ сөніп түруының ықтималдыктары қандай? 104
5 Кездейсоқ оқиғалар ズi Х2 ХЪ Рі Р і Рз Р„ u - — 1 мысал Ж әш іктегі 100 қауынньщ 10-ы жарамсыз. А лы нған 4 қауынның жарамды болуыньщ ықтималдығы қандай? Ш еш уі 100 қауынның 4-ін тәсілмен алуға болады. 4 қауьшньщ 3-еуінің жарамды болуының ықтималдығы т - С^С\0. Сонда ізделінді ьгқтималдық = 0 ，3 Осындай мазмүнды есепті классикалық аіЫ қтаманы және комбинаторикадағы қ о с у ж э н е кө б е й т у ер е ж е л е р ін па й д а л а н ы п шығаруға болады. Бүл есепті солаи шығарса болады. Енді осы есепті жалпы түрде келтірейік. 2 мысал Жәшікте барлығы N асықтар бар, оның іш інде n сары асық бар, ал (N-n) 一 көк асықтар. Жәшіктен кез-келген ш асық алынды.Сол алынған m асықтың іш інде к сары асық болуыньщ ықтималдығы қандай? Ш еш уі х-жәшіктен алынған асықтар саны. Бұл кездейсоқ шаманьщ мүмкін мәндері 0,1,2,..., ш. Жәшіктегі N асықтан m асықтыәртүрлі С で жолмен алуға болады, ал n сары асықтардан к асықты әртүрлі С : жолмен алуға ^олады, сонда алынған m асықтьщ ішінде m -к кө к асықтар ^олғандықтан барлық N -n кө к асықтардан m-к кө к асықты а?-л жолмен алуға болады. Сонымен ж әш іктен алынған асықтың к СаРЫ асығын лсолмен, ал қалған m-к көк асықты С ^ жолмен алуға олады екен. Олай болса комбинаторикадағы көбейту ережесія ^ансақ, алынған ш асьіқтың ішінде к- сары асық, m -к кө к асық 105
болуы С* С^：*жолмен анықталады. Сонда ықтималдық^ц классикалық анықтамасы бойынша p Cl-C7-\ . c^o -clo m 广4 しが 100 болады. сөитіп Х-кездейсоқ шама гипергеометриялц үлестіріммен берілгеніне көз жеткіздік. 3 мысал Дискретті кездейсоқ шама мына үлестіріммен берілсін X -2 -1 0 1 р 0,2 0,4 0,2 0,2 Сандық сипаттамаларын тап. Ш ешуі М (Х )= - 2 .0,2 +1• 0,4 + 0 • 0,2 +1.0,2 = —0,6 4 мысал Тенге уш рет лақтырьшсын. Кездейсоқ шама X ретінде елтаңбаньщ пайда болу санын қаоастырамыз. 1 )Үлестірім қатарын жазу керек 2) Үлестірім көпбұрышын салу керек. 3) М (х), D(x), а (х)-тарды табу керек. Ш ешуі Бүл кездейсоқ шама Х-тің мүмкін мәндері 0， 1， 2， З.Себебі теңгені үш рет лақтырғанда елтаңба не пайда болмауы мүмкін, не бір рет пайда болуы мүмкін т.с.с. Ал әрбір лақтырғанда елтаңбаның пайда болу ықтималдығы 0,5 — ке тен.Олай дегеніміз теңге лақтырғанда негізінен не елтаңба, не цифр пайда болады, ал теңгенШ симметриялығын ескерсек бұл екеуінщ пайда болу ьгқтималдығй тең.Сондықтан бұл кездейсок шама Х-ті биномдық үлестірім занымея сипаттауға болады. 1)Үлестірім қатарын жазаиық X 0 1 2 3 С? い V C ]p 2q c ^ V 106
немесе X 0 1 2 1/8 3/8 3/8 Бүл жерде Л 1 3 3 1 , 〉P: =---1----1----1---= 1 tT 8 8 8 8 орындалады. 2) Үлестірім көпбұрышын салайық 3) Математикал ық үм іггі есептейміз М (Х )Н )і + і | + 2 .|+ З .І = | Ал дисперсияны әдетте ж е ң іл д е т іл ге н формуламен есептейді. Үиин д：2 кездейсоқ шаманың үлестірім қатарын жазып алу керек. X 2 0 1 4 9 1/8 3/8 3/8 1/8 107
M ( X 2 )=0 ---- Һ 1----f- 4 ----Һ 9 • —= 3 8 8 8 8 D (X )= 3 -f|T = 4 ， ♦ ) = 卷 іон д а Сондай-ақ бұл мысалдағы кездейсок шаманың үлестіршмен берілгенін ескерсек, онда сандық сипа пайдаланып та есептеуге болады бино：МДЦ ттамалард^ э мысал Берілген партияньщ 10 проценті сапасыз бүйымдар. Кез келген 4 бұйым алынды. Осы төрт бүйымдардын іш інде сапасыз бүйымдардың пайда болу саныньщ үлестірім заңын жазу керек.Сандық сипаттамаларын есептеу керек. Ш е ш уі х-сапасыз бұйымдардьщ пайда болуыньщ саны. Эроір сапасыз бүйымньщ пайда болу ықтималдығы 0 , 1 — ге тең, себебі берілген партияның 10 проценті сапасыз бұйымдар.Бұл кездейсок шама биномдык үлестірім заңымен берілген.М унда п=4, р = 0 ,1，q=0,9 Сонда X 0 1 2 3 р Ѵ с > ѵ С ІР Ѵ С ІР ^ с р Ѵ немесе X 0 1 2 3 4 p 0,6581 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 3 I 4 Енді математикалык сипаттамаларын таоаиық
6 u ^ Д и с кр е тгі ке зд е и с о қ ш а м а ү л е с п р ім қа та р ы м е н о е р іл ге н MpQ==4 • 0 ,1 = 0 ,4 ， D (X )=4 • 0,1.0,9 ニ 0，3 6 ， tj(X) = 0,6. X 2 4 5 6 8 -— 0,1 0,2 0,3 0,1 0,3 Щ Х ), D (X ) , び( Х ) - т а р д ы та б у ке р е к. Шешуі Енді ІХ Х Ѵ ті есептеу үш ін мьша X 2 шаманың үлестірім таблицасьш қү р а м ы з X2 4 16 25 36 64 0，1 0,2 0,3 0,1 0,3 Сонда ( 2)=33,9 D(X) = 3，4 а(х) = л/з,4 аламыз. 7 мысал Урнада 5 ақ жэне 50 ақ шарлар бар. Урнадан кез келген шар алынып түсі анықталғаннан кейін урнаға қайтарылады. Кездейсоқ шама Х-тәуелсіз 10 сынақта ақ шар пайда болуыньщ саны. Осы кездеисоқ шаманьщ үлестірім заңьш жазыңыз. Ш еш уі Бұл мысалда сынақ кезінде ақ шар пайда болу ықтималдығы сынак саны п=10. Олай болса қарастырып отырған кездеисоқ шаманы биномдық заңмен берсек, онда үлкен арифметикалық есептеулерге кезігеміз.Сондықтан бұл кездейсоқ шаманы Пуассон үлестірім заңымен беруге болады. Сөйтіп, кездейсоқ Шаманың мүмкін мәндері 0，1,2,...10. Ал кездейсок шаманың мүмкін мәндерінің сәйкес Ьцсгималдықтары ，к=0，1,2，…，10. Жеке жағдайда к=3 болса, биномдык үлестірім бойынша 109
Пуассондық үлестірім бойынша р,о(3)=І ( т т ) еミ=0'051 8 мысал Е кі атқыш әрқайсысы өз нысанасына бір-бірден атыс жүргізді. Б ірінш і атқыш үш ін нысанаға тигізудің ыктималдығы Р,, ал екінщі атқыш үш ін - Р2 • Кездейсоқ шамалар хх -бірінш і атқыпггың нысанаға тигізу саны, х2 -екінш і атқыпггың нысанаға тигізу саны, ал z=x, екі кездейсок шамалардьщ айырымы. Оның математикал ық сипаттамаларын: M (z), 0(г)-тарды табамыз. Ш е ш уі Эуелі кездейсок шамалардьщ үлестірім кестесін жазамыз X, 0 1 Яі Р. х 2 0 i q2 р2 Осыдан M (z )= M (x ,)-М (х 2)= р ,-Р2» D (x 2)= p 2q 2, D(z>=p q ,+ p 2q 2 9 мысал Е кі тәуелсіз кездейсоқ шамалар X жэне У үлестірім кестелерімен берілген X 0 3 4 0,2 0,6 0,2 2 3 0,3 0,7 х+ у，X .タ-кездейсоқ шамалардьщ математикалык үміттері мен дисперсияларын тап. Ш е ш уі Кестелерден М (х )= 2 ,6 ， М (у)=2,7 , D (x )= l,8 4 ， D(x)=0,21 табамыз. Сосын X жэне у тәуелсіз кездейсоқ шамалар екендіпй пайдаланып М(х+у>=2,6+2,7=5,3
CflOj Е>Ос+У>=1，84+0，2 1=2，05 М (х. y)= 2，6 .2，7 = 7，02 табамыз. Ю мысал “Спортлото” ойьшын ойнағанда белгілі бір ұтысқа шығатын т т ы н түрлерін дәл табудың ықтималдығын тап. Шешуі МұнДағьІ х-үтысқа ш ы ққан спорттың түрлерінің саны.Бұл ездейсок шама гипергеометриялық үлестірім заңымен 5ерілген.Мүнда N=49, m=6, n=6, к=1，2，3，4,5，6. Ойынның шарты бойынша ұтыс үш спорттың түрін дәл тапқаннан бастап төленеді.Сондықтан біз к=3,4,5,6 жағдайларын қарастырып, сәйкес ыКГималдыктарды табалық к=3 . к=4, к=5, Р = ^ Й - , к=6, 49 49 Сол сияқты к=5 және к=6 болғанда сәйкес ыктималдықтар р*1,84 10"5 жэне р=7,15 -10-8 11 мысал Айталык 12 бүйымның 8-і бірінпіі сортқа жатады. Кезкелген 5 оұиым алынды. Сонда осы 5 бұйымның ішінде бірінші сортты бұиымдардың болуының үлестірім кестесін қүрьщыз. Шешуі Есептің шарты бойынша N=12, m=5, п=8. Кездейсоқ шама Х.Оньщ мүмкін мәндері: 1，2，3，4，5. М үнда м үм кін мәндер бірден басталуьшың себебі: 5 бұйымның ішінде кем дегенде бір бұйым бірініш сортқа жатады. Сонда P(x=k)^ f r = 生 C,52 210 Ёвд үлестірім кестесін жазалық in
X 1 2 3 4 5 р 0,0101 0,4242 0,4242 0,3535 0,0707 С туденттерге ѳ зін д ік есептер Энергиясын пайдалану пайдалану ықтималдығы 1 . Үлестірім заңы белгілі X кездейсок шамасыньщ М(х)-тад： X -2 4 2 1 р 0,3 0,1 0,4 0,2 2.Совхоздьщ күніне 600 кВ т эл ықтималдығы 0,2; 650 кВ т эл. Энергиясын пайдалану 0,3; 700 кВ т эл. Энергясын пайдалану ықтималдығы 0,5. Екінші совхоздың 600 кВ т эл. Энергиясын пайдалану ықтималдығы 0,1; 650 кВ т эл. Энергиясын пайдалану ықтималдығы 0,3； 700 кВт эл. Энергясын пайдалану ықтималдығы 0,6. Табу керек: М (х), М (у). 3. X жэне У кездейсоқ шамалары үлестірім заңдарымен берілген: У З 2 p 0,3 0,5 X 4 6 p 0,1 0,2 1 0,2 7 0,7 Z=6x+2y Табу керек: M (Z ), М (ху). 4. Үлестірім заңымен берілген дисперсиясын тап. кездейсок шаманын X P 0,3 7 0,1 6 8 о 5. Е кі аткьгштын нысанаға үлестіру заңдарымен берілген: X 1 2 р 0,3 0,2 тигізудегі ұпай сандары сэйкес 0,5 112
Екі аткьшггьщ қайсысы нысанаға дәл гигізеді? 6.Балыкшының балыкты ұстап алу ыктималдығы р=0,75. 10 рет қармақты салғанда 8 рет балык үстап алу ^гималдығын тап. 7 . Дискретті кездейсоқ шамалар үлестірім заң дарымен берілген: X 1 2 р 0,8 0,2 у 1 3 4 р 0,5 0,3 0,2 Z=2x-y Табу керек: M (Z ), A (Z ), a(Z). 8. Математикалық үм іт 8,4-ке тең. М (х 2) =70,8. Орташа квадраттық ауыткуды а(х) тап. 9. Үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың Д(х) =16,96. Математикалык үміті М (х) =0,8. М (х2)-тап. 10. Қорапта 12 әртүрлі ойынш ықтар бар. Онын^ішінен 2 қоянды алу мүмкіндігі қандай? Табу керек: М (х), g(x). 11.Дискретті кездейсоқ шамалар үлестірім заңымен берілген: X 6 3 1 р 0,2 0,3 0,5 Табу керек: М(х). 12. Төрт атыс жүргізілді. Әрқайсысының нысанаға тию ықтималдықтары сәйкес р〖=0，6; р2=0,4; р3=0,5; р4=0,7. Нысанаға тшодің жалпы саныньщ математикалы қ үм ітін тап. 13. Дискретті кездейсоқ шамалар үлестірім заңцарымен берілген: X 1 2 Р 0,2 0,8 у 0,5 1 Р 0,3 0,7 Х У көбейтіндісінің математикалык үм ітін Х У үлестірім заңын ^ҮРУ арқылы тап. 14. Дискретті кездейсоқ шамалар үлестірім заңцарымен °ерілген： X i 2 Р 0,2 0,8 У 1 2 3 p 0,1 0,6 0,3 113
Х + У қосындысының математикалык үм ітін Х + У үлестірі^ заңын қүру аркылы тап. 15. Детальдьщ ақаулы лы ғьт тексеру барысьтдағы істен ықтималдығы 0,2. Тексеруге алынған 10 детальдьщ іш інен іст^ ш ы ққан детальдардьщ санының математикалы қ үм ітін тап. 16. Екі ойын кубын лақтырғанда түскен ұпайлар санынц көбейтіндісінің математикалық үм ітін тап. 17. Жиырма латорея билетінің біреуінен ұтыс щыуу ықтималдығы 0,3. Ү ты с ш ы ққан латорея билеттерінің саныньщ математикалык үм ітін тап. 18. Екі кездейсоқ шаманьщ дисперсиясы берілген: D(X)=4 D (Y )=3. Осы шамалардьщ қосьтдыларының дисперсиясын тап. 19. X кездейсоқ шамасыньщ дисперсиясы 5-ке тең. Мына шамалардьщ дисперсияларын тап: а) Х-1; б) -2Х; в) ЗХ+6; 20. Кездейсоқ шаманьщ үлестірім заңын біле отырып дисперсиясын тап. X 0,1 2 10 20 р 0,4 0,2 0,15 0,25 2 1 .Х-кездейсоқ шамасы екі мүмкін мэн кабылдай алады: Xj шамасын 0,3 ықтималдықпен, х2 шамасын 0,7 ықтималдықпен; Х2 > Х і.М (Х) =2,7 жэне D(X)=0,21 деп алып Хі мен Хг-нің мәндерін тап. 22. Кездейсоқ шаманьщ дисперсиясы D(X)=6,25. Орташа квадраттьщ ауыткуын а(х) тап. 23. Кездейсоқ шаманьщ үлестірім заңын біле отырып орташа квадраттьщ ауыткуын а(х) тап. X 2 4 8 р ОД 0,5 0,4 24. Тең 9 бөлікке бѳлінген, ѳзара тәуелсіз шамалардьШ дисперсиясы 36-ға тең. Осы шамалардьщ орташа арифметикалығыньщ дисперсиясын тап. 25. Тең 16 бөлікке бөлінген, өзара тәуелсіз шамалардьщ орташа квадраттьщ ауытқуы 10-ға тең. Осы шамалардың ортаШ^ арифметикалығыньщ орташа квадраттьщ ауытқуы тап. 26. Лотарея билетінен ұтыс шығуьшың ықтималдығы 0,02- Ү ты с ш ы ққан билеттердің математикалық үм іті мен дисперсиясы^ тап: ұтыс шығатын билеттердің саны 100. У 0,5 1 p 0,3 0,7 114
27. X кездейсоқ шамасыньщ математикалык үміті 8-ге тең. деГі кездейсоқ шамалардың математикалық үмітін тап: Т а)Х -4； б )Х + 6 ; в) З Х -4 ;г)4 Х + Э . 28. X кездейсоқ шамасыньщ дисперсиясы 8-ге тең. Төмендегі gc0K шамалардьщ дисперсиясын тап: а) Х-2; б) Х+6; в) ЗХ-2; г) 2Х+7- ^ . 29. Кездеисоқ шамалардьщ математикалык үміті мен дисперсиясын тап: Д a)Z=4X-2Y; б) Z=2X-4Y; в) Z=3X+5Y; егер М (Х) =5, М (У) =3, рр0 =49 D O O ^. X жэне У кездейсоқ шамалары тэуелсіз. 30. Кездейсоқ шамалардьщ математикалық үміті мен дисперсиясын тап. a) Z=4X+2Y; б) Z-5X -3Y ; в) Z=3X-Y; егер М (Х) =6, М (У) =5, D(X)=5, D(Y)=4. X жэне У кездейсок шамалары тэуелсіз. 6 Үзіліссіз (үздіксіз) кездейсоқ шамалар 1 мысал 1.Мьшададай мысалды қарастырайық : интегралдық функция バ ズ ) = ' ( О, х{Ъ, ( x - 3 f r 3 ^ д: < 4, ^>4. формуласымен берілген. Олай болса үлестірім тығыздығы [О, і 〈3; / “ ) = ト “ - 3)， 3 ^ л: < 4; [О, х)4. Осындай кездейсоқ шаманың математикалық үміті Дисперсиясы = (^-3)d^ = 2f— -31 — + 318-- + — 1|з4 = 0; 115
Орташа кв. ауытқуы а=0. 2. Тиынды үш рет лақтырғандағы санньщ пайда бояуынң үлестірім кестесін жазьщыз. Интегралдық функциясын табыңыз. 2 мысал Кездейсоқ шама дифференциялдық функциясы арқылы берілген. Интегрладық функциясын табыңыз. 0, jc〈0. ズ2 0 ^ д: < 4, 0，x)4. Ш е ш уі Дифференциялдық функцияньщ төртінші қасиеті бойынша Осыдан x<0 болганда f(x)=0 болатьгаын пайдаланып Ғ(х)= \odx. Енді 0<x<4 болғанда f(x)=F(x)=x2/4 сондықтан 3 . TJ* F(Jt)= j f(x)dx = JOfix 4- ^ Ақырында x>4 болғанда f(X)=0，осыдан Ғ(д:)= jf( x ) d x = Jodc + + ^Odx = — ~ 5.3; 0, x<i0, 荅 ， 0{バ 4 53, л)4 3 мысал X кездейсоқ шамасы үлестірім кестесімен берілген: 116
0, jc < О, Ғ(л:) = |д:3, 0<jc < 1, 1 , x)\. К езд ейсоқ шаманьщ сандык сипаттамаларын тап: М(х), f\x )= f(x ) формуласыньщ кѳмегімен f(x) -^руздьіғьін табамыз，яғни /W = 0， д: <0. 3ズ2, 0{х < 1, 0, х)\. үлестірім Математикалық үмітті есептейміз: ß 1 1 4 /(-с)= jJ^{x)dx = jx - Зх2 dx = 3 jx^dx = 3 ■ = Дисперсия мен орташа квадраттық ауытқуы: ÛW= JU-a) p(x)dx= jf a 0 令 + 3+吞パト 3x2dx = 3 [ w ^ >+ X5 3 ^ 4 9 ” 5 2 4 16 3 16 80 ст(Х )= ^/о (д ) = л/з/80 -0 .1 9 Студенттерге ѳзіндік есептер Л X кездейсок шамасы бүкіл ОХ осі бойынша мына естірім тығыздығымен берілген /W = 4C 117
2. X кездейсоқ шамасы бүкіл О Х осі бойынша мынаүлестірім функциясымен берілген Тұрақты С параметрін тап. Кездейсоқ шаманың (0,1/3) аралықтан мән қабылдайтынының ықтималдығы қандай? 3. X кездейсоқ шамасы (0;1) интервалында f(x)=2x, осы интервалдан тыс f(x )=0 үлестірім іы ғы зды ғы м ен берілген. М (х)-ті табу керек. 4. X кездейсоқ шамасы f(x )= l/2 e w ықтималдық тығыздығымен берілген (Лаплас үлестірімі). М (х) - табу керек. 5. Х-кездейсоқ шамасы үлестірім функциясымен берілген 0 j: < о cx3y (Ҳ х < 1 1’ x)\ С-коэффициентін， х-кездейсоқ шамасыньщ үлестірім тығыздығын табу керек. 6. Х-кездейсоқ шамасы (0;5) интервалында f(x )=(2/25)x, осы интервалдан тыс f(x )=0 үлестірім тығыздығымен берілген. Д(х/ табу керек. 7. Х-кездейсоқ шамасы үлестірім тығыздығымен берілген f(x ) ： х>0 болғанда f(x ) = 0 ，х<0 болғандағы М (х) пен Д(х) ^ керек. 8. X кездейсоқ шамасы төмендегі үлестірім заңымен беріл^^* 118
Табу керек: М (Х), Д(Х), а(Х). о Кездейсок шама интегралдық функциясы арқылы I l -0,1 0 0,1 0,4 Е 0,3 0,15 0,3 0,25 берілген 尸 w = . 0，егер jc〈0; a(Sx - Д：2), егер 0 < д: < 4; 0, егер х)4 а. саньш, математикалық үм ітті жэне дисперсияны табу керек? 10.Кездейсоқ шаманьщ интегралдық функциясы берілген 1 0, егер д:〈0; sin ズ，егер 0 ^ ^ л1; 0, егер х)л. Ықтималдық тығыздығын f { x \ математикалык үм ітті табу керек? 11.Кездеисоқ шаманьщ интегралдық функдиясы берілген 1 0， егер х(\; с(х-\\ егер 1 < д: < 3; 1, егер х)Ъ. с - саньш, ықтималдық ты ғы зды ғы н f (д：), математикалық Үмйті, дисперсияны жэне [o；l] аралығында мән қабылдау ^Қтималдығын тап? 12. 尸 W : 0, егер х^2 \ 去(ぶ2 — 1上егер 2{х <, 4; 1, егер х)4. 119
Ыктималдык тығыздығын f(x), математикалық үмітті жэне дисперсияны табу керек. 4 мысал Кездейсоқ шама бірқалыпты үлестіріммен берілген. Оның ыктималдық тығыздығы / ( か 0， егер X ^ 0; -jjc, егер 0(х ざ 2; 0，егер х>2 М(х) математикалык үмітті жэнеО(х) дисперсияны тап О 2 i « 2 -л ^ /1 Af(x) = jx 2 '0dx+ J— ^x O dx — — J.r2ctc = —•— = — ,* 〜 о ^ 2 ^ о 2-> 3 О 2 D{x) =5 JX2 О-dx+ jx2 —xdx+ jx2 0 dx-M2(x) = -oe 0 2 2 =か * - ⑷ ={ マ 丨 手 :2-导 = 署 0 4 0 13. Кездейсоқ шама бірқальтты үлестіріммен берілЫқтималдык тығыздығы: ГО, егер х'йО; Ғ(х) = | —, егер 3(х ^11; І0, егер jc)11. Коэффициент с-ны, дисперсияны D{x) тап? 14. Кездейсоқ шама бірқалыпты үлестіріммен сипатталОның интегралдық функциясы: Ғ (х ) = 0，егер х ^ 5; X2 -7—，егер 5(х S12; 】，егер түрінде берілген. Кездейсок шаманьщ дифференциалдық функциясын анықтаңыз. Мына [б；1 з] интервалынан мән қабылдау ықтималдығын тап? 120
jc- кездейсок шамасы [з；ю ] интервалында біркалыпты оіммен берілген. Математикалык үм ітті тап? ҮЛеСТ 5 мысал Кездейсок шама интегралдық функциясы аркылы берілген 0，егер X < а\ 1 егер а<х<в\ (ß-a) 0，егер х)в S{x\ M(x)t D(x) табу керек? М(х) = ]xf(x)cU = ^ = - 1 - . I ^ J =占 яғни М (х) = -------- үлестірім заңы бойынша b3 - a3 b2 + ab + a2 Осыдан, D(, ) = *!±^±£i_(£±£>l=<*Z2>i, = 16.Лекция жазуға жұмсалатын уақыт - кездейсоқ шама. Осы кездеисоқ шаманың интегралдық функциясы: f0, егер t <0; [e~l , егер /)0; Түрінде берілген. Оньщ математикалык үм ітін, Дисперсиясын анықта. 17. Кездейсоқ шама өзінің дифференциалдық функциясы арқылы берілген 厂 ( 小 I 2е~ х, егер х 之（ [О, егер х(0] 121
К е з д е й с о к ш ам а ө з ін ің м а т е м а ти ка л ы к ү м іт ім е н кем м эн к а б ы л д а у ы н ь щ ы к т и м а л д ы ғы н та б ы ң ы з? 1 8 .0 р м а н д а са ң ы р а у қү л а қта р д ы ізд е п та б у у а қы т ы кездейсоқ шама. Саңырауқүлақтарды t уақытында іздеп табу ь гкти м а л д ы ғы : 」 P(t) — \ - е 2 , у>о Саңырауқұлақтарды іздеп табуға қажетті орташа уақытты есепте. Нұскау Берілген P(t) функциясын кездейсок шаманың интегралдық ф у н кц и я р е тін д е қа р а с ты р у ке р е к. 19. Ү з іл іс с із ке зд е й с о қ ш ам а к ө р с е т к іш т і үл е с тір ім м е н берілген FW = {0’ е；ерх<°' [5е х，егер х> 0 ; Тәжірибе кезінде осы кездейсоқ шаманың [0，2;0，5] ин те р в а л ы н а н м ә н қа б ы л д а у ы н ы ң ы қ т и м а л д ы ғы н а н ы қта . 20. К е зд е й с о қ ш а м а к ө р с е т к іш т і ү л е с тір ім м е н б е р іл ген . [О, егер х(0 \ 厂(太) Ч я [Х -е ^ ,егерх^0\ математикалык сипаттамаларын тап М(х)ч D {x\ S(x). 6 мысал Заводта ұзындығы 154 мм стерженьдер дайындаиды. Олардьщ берілген үзындықтан ауытқу 0,6 мм-ден аспаиды. Дайындамаған стерженьдердің 8%-ы сапасыз. Стержень үзьшдықтарын кездейсок шама ретінде карастырьш жэне оны калыпты үлестірім аркылы берілген деп, оньщ дисперсиясын табу керек. Ш ешуі X ке зд е й со к ш ам а - сте р ж е н ьд е р ұ з ы н д ы ғы . Е с е п т т ш а р ты б о й ы н ш а сте р ж е н ьд е р д ің орта ш а ү з ы н д ы ғы 154 м м , олай 122
对(ズ）= « = 154мм. Сондай-ақ дайындау кезінде 6°^ < \ 54ув. Себебі берілген үзындықтан ауытқу 0,6 мм が’ Сондыктан а = 1 5 3 ,4 ,バ= 0,6 S -1 Енді формуласын P(153,4<,<154.6) = 2 J M Есеіггің шарты бойынша 8 пайыз стерженьдер сапасыз. ^ g болса Р(153,4 < л: < 154,6) = 0,92, яғни 0,92 ықтималдықпен іаЛЫ стерженьдер дайынд алады. Ф(х) - функциясының кестесінен 卞 ト и . тендігінен = 1,75 аламыз. Осыдан S2 = D(x) = 0,1156 7 мысал Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген. \І(х) = 60, D(x) = 8. Мына теңсіздіктің |：t-60|< ^ ықтималдығы 0,6 тең болғанда S қандай болу керек? Шешуі Есептің шарты бойынша Р(\х-6 0 |< ^ = = 0,6 Осыдан Ф І- 1 = 0,3. Кестеден 臺 =0,88, ö =1,76 8 мысал Кездейсок шама калыпты үлестірім аркылы берілген. Математикалық үміті М (х) = 3,8, дисперсиясы D(x) = 0,49. Дифференциал ды қ функциясын жазьщыз. Мына [з б] ервалдан мэн қабылдауьшың ықтималдығын табыңыз. ШешуІ Есец шарты бойынша (д:) = 3,8，D(x) = 0,49, яғни S = 0,70. し0ҚДЫқтан 123
Р{Ъ < jc < 6)= -3,8' 0,7 3 - 3’8) 0,7 J :Ф(0 5714)_Ф(2,4286): Ф(0 57) + Ф(2,43) = 0,2157 + 0,4922 = 0,7079 = 0,7071 2 1 . Дайынд алған бөлшектің бір өлшемі калыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама математикалық үм іті а=10 см, v=0,01. 1 . Бөлптектің өлшемі 10,03 см-ден артпайтындығының ықтималдығын табьщыз; 2. Кездейсоқ шаманьщ өзінің математикалық үмітінен ауытқуы 0,02-ге тең болуының ықтималдығы 0,99 болуы үшін бөлшектің дайындалуының дәлдігін сипаттайтын ѵ кандай болуы керек? 22. Станок автомат ұзындығы 125 мм детальдар дайындайды. Олардьщ берілген ұзындықтан ауытқуы 0,5 мм аспайды. Дайындашған детальдардьщ 7 проценті сапасыз. Деталь ұзындықтарын кездейсоқ шама ретінде қарастырып жэне оны қалыпты үлестірім аркылы берілген деп оньщ дисперсиясын табу керек. 23. Белгілі бір шаманы ѳлшегенде алынған нәтижелер дисперсиясы 1-ден аспайтын кездейсоқ шама. Осы нәтижелердің арифметикалық орташа мәнінің берілген шаманьщ ш ын мәнін ауытқуьшың абсолют шамасы 0,01-ден артпауыньщ ықтималдығы 0,98-ден кем болмауы үш ін канша ѳлшеу керек. 24. Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген: Л /О ) = 30，Z>(jt) = 4. М ына т е ң с із д ік т ің - 30|< J ы қ т и м а л д ы ғы 0,8- ге тең болғанда ô қандай болу керек? 25. Кездейсоқ шама интегралдық функциясы аркылы берілген l~ e , егер 0; Ғ(х)=<0, егер дг(0, математикалык үм іггі, дисперсияны табу? 26. Ү зіліссіз кездейсоқ шама дифференциафункциямен берілген 124
1 0, егер д:(0 ysinx, егер 0, егер х)л Кездейсок шаманын модасын, медианасын табу керек? 27. Кездейсок шама мьша үлестірім тығыздығымен берілген f(x,y) = a2- x 2- y \ егер x2 + y2 йа2 (a>0) ， / い，：y) = 0 ， егер х2+У2 > ° 2 Табу керек: а) а - коэффициент б) т х жэне т у в) ѵ2х жэне ѵ2у г) 巧- кореляция коэффициенті 28. X кездейсоқ шама үлестірім заңының тығыздығымен берілген /(х ) = Ае~ІЛі. Табу керек: Я жэне х шамасыньщ эксцессін. X 1 3 5 7 9 p од 0,4 0,2 0,2 0,1 Табу керек: - бастапқы жэне орташа моменттерін; - ассимметрия мен эксцессті анықтау. 30. \ зішссіз кездеисоқ шама үлеспрім функциясымен берілген ғ(л)= i, х^О; 0(х^4; , 〉4 Табу керек: 1 )үлестірім тығыздығын 2 ) М ( х ) ; D (x ) 3 1 .Тиынды 100 рет лақтырғаңдағы，елтаңба жағының 40- Тан 60-қа дейін рет түсетінің ықтималдығын табу. Н¥сқау ö = 4 0 ;夕 = 60; /і = 100; P = q = L 125
32. Бірінші жәшікте 6 шар, екінші жәшікте де 6 шар бар. Бірінші жәшіктегі шарлар -а қ түсті, екіншісіндегілер -қара түсті. Екі жәшіктен 5 шар алынды. Осы алынған шарлардың ішінде ақ шар болуыньщ ықтималдығын есепте. 33.Екі мерген атыс алаңында атыс жүргізде. Біріңщі мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы — 0,7; екінш ісінікі 一 0,8 тең. Егер екеуі де бір-бірден атыс жасаса, ең болмағанда біреуінің нысанаға дәл тигізетіндігін ықтималдығы қандай? 34. Кездейсоқ шама дифференциалдык функциясы арқылы берілген Го, х^О; /М = |^ . 0<х^з； [о, х)3 Интегралдық функциясын табу керек? 7 Екі аргументке тәуелді үлестірім функциялары 1 мысал Техникалық бақылау бөлімі шығарылған бөлшектердід стандарггылығын тексереді. Негізгі тексерілетін параметрлер, олардьщ ұзындығы мен ені. Сонда Х-детальдің енінің стандарттан ауытқуы, У-ұзындығыньщ стандарттан ауытқуы. Кездейсок шамалар кестемен берілген -1 0 1 Рх -2 0.2! 0.17 0.32 0.し 3 0.12 0.17 0.11 Ру . 0.33 0.24 0.43 l.o o j 1 .X жэне У кездейсоқ шамалардьщ үлестірім заңдарЫ® жазьщыз; 2. a) Х-тің У=Уз болғандағы шартты үлесгірім заңыя жазьШ^ б) У-тің Х=х 2 болғандағы шартты үлестірім заңьт жазыныз； 3. X пен У өзара тәуелсіз бе? 4. Үлестірім функциясын F(x,y) табыңыз: 126
g.p өЛшемді X жэне У кездейсок шамалардың үлестірім Ғ,(х) Ғ 2 レ) функцияларын жазьщыз. ^ эН г Корреляциялық коэффицентті табыңыз. ^ Щартты математикалық үміттерін табыңыз. Щешуі 1 Кестелерден X жэне У кездейсоқ шамаларьшың үлестірім _дары төмендегідей түрде жазылды 2 кесте 3 кесте X 2 3 -1 0 1 Рх )，7 0,3 Ру 0,33 0,24 0,43 2. а)Х-тің У = у 3 болғандағы шартты үлестірім заңын жазу үш ін әуелі р(х, /У = Уз)， Р(ズ2ІУ = Уъ\-те р д і табамыз: Сонда мына үлестірім заңын аламыз 4 кесте X ---- -— -2 3 Р(Х/У=у3) 32 11 ------- 43 43 б) У-тің Х = х 2 болғандағы үлестірім заңын осылай есептесек: 5 кесте
3. X жэне У тәуелсіз бе? Е кі X жэне У кездейсок шамалардьщ ѳзара тэуелсіздіг^ анықтау үш ін олардьщ сэйкес шартгы жэне шартсыз үлестірі^, заңдарын салыстыру керек. Егер ол заңдар бірдей кестелермен берілсе, онда олар тэуелсіз болтаны, ал егер ол кестелер бірдей болмаса, онда олар тэуедў болғаны. Сондықтан біз N 2; N 4; жэне N 3; N 5 кестелерді езара салыстырсақ, олардың бірдей еместігін байкаймыз, олай болса X және У өзара тәуелді кездейсоқ шамалар болады. 4. Үлестірім функциясын жазамыз F (x’y)= 0,21バ 3,バ 0 0，30，x 彡3,少彡1 0,70, X < 3,y > 1 0，82，ズ>3，タ <0 0,89, jc > 3,y 1 l ，x > 3,y > 3 Енді F jW жэне F 2 (y) функцияларын екінш і кесте мен үшінші кестені пайдаланып табамыз: табамыз 5. Корреляциялық коэффициентті r v = Ê Ê (хі - ( ) Ь - M (y))p,j = Ë Ê хіУіРч -м (х)м (у) формуласын пайдаланып табалык. Әуелі М (х) жэне М (у) - терді 2, 3 кестелерді пайдалаяЫ11 128
• 0，7 + 3 • 0,3 = —0,5 I 1.0,33 -H 0 • 0,24 +1• 0,43 = 0,1 y V x^jPij = 2(- 1 0 , 2 1 + 1- 0,32)+ 3 ( - 1 . 0,12 + 1 • ОД 1 ) = -0,22 0,03 = - 0 h /'-• j. = -0,25 — (— 0,5 • 0 ,l)= —0,2. Осыдан екенін көреміз, яғни X жэне У өзара тәуелді дейсок шамалар болады. к 5. Айталық М(Х/У-^Уз) жэне М (У/Х =х2) табу керек болсын. ОларДЫ табу үшін 4，5 кестені пайдаланамыз. Сонда 2 мысал Ѳзара тәуелсіз X жэне У кездейсоқ шамалар сэйкес [а,Ь] жэне [c,d] аралықтарында бірқалыпты үлестірім зақдарымен берілген. Табу керек: 1.f,(jc), f 2(y) үлестірім тығыздықтарын; 2. (Х,У) системасының f(x,y) үлестірім тығыздығын; 3. X жэне У кездейсоқ шамалардьщ Fj(x) ;2yt F2 レ ） үлестірім функцияларын; 4. (Х,У) системасьшьщ F(x,y) үлестірім функциясын; 5. xltx2e [a,b] жэне y ny2 e [c,ä] болганда P(Xj<X <x2>yl < У < y2) табу крек. Шешуі Бірқальшты үлестірімнің анықтамасы бойынша М (Х /У = у3) = -2 • 芸 = - М(У/Х=х2) = -14 п +0' ^ +1 30 30 30 30 0сНцан 2. X жэне У тәуелсіз болғандықтан f(^ y )= A (x )f2(y)
4 .Х жэне У тәуелсіз болғандықтан F(x,y)=F {(х)Ғ2 (у), осыдан 0,x<afy<c а < х <b,c < у <d (b-a) d - F (д:) = ^ - ^ - h a ^ x < b yy - d \^ - ^ - 9x > b ,c < y < d d-c l,x > b,y > d 5. Үлестірім функциясының бесінші қасиеті бойынша Р(х, <Х < х 2Уу х <,У <,у2) = [Ғ(дг,，タ2 ) — F(xl •少2 )] — [F (x2，ス ) 一F(xl，y x 3 мысал Екі кездейсок X жэне У шамалар системасы үлестірім функциясымен берілген F(x>= [0，дг<0,ァ <0 k +еづづ，ズ>0，少> 0 Үлестірім тығыздықтары f ( x , y \ f \ x \ f 2(y) жэне F 丨(ズ)，厂2レト тарды тап. Шешуі / 、 / 、 [0,1<0，少 <0 1 . f(x yy ) - F [ x , y ) - \ ^ [e xy,jc>0,j；>0 2 ғ 1(相 蛛 タ ) 七 : = 0 F 2(y) = limF(x,y) = |0,jc< 0，タ < 0 Il -e'y,>> >0
ысының үлестірім заңд 0 Л (ズ，夕): 0，ァ < \ у > 0 кездейсоқ шамалардьщ ж үиесіш ң )ершген / . w = [0’х<0 \е~\х> Есептер 1 .X жэне У зд н ы кесте аркылы 2 3 4 5 X жэне У-те| үлестірім арын табу керек. 3. X жэне У кездейсоқ за д ы кесте арқылы берілген шамалар системасының үлестірім 15 5 о о о 0,3 0,05 0,35 ОД Табу керек: 1 )Х жэне У - тердің әрқайсысының үлестірім заңдарын; 2) Р(Х=2, У=0), Р (Х >У ) ықтималдығын есепте. 3) X пен У тәуелді ме? 4. (Х ,У ) екі өлшемді кездейсоқ шамалардьщ функциясы берілген. Ғ(Х，У)=(1 - 0 (1 -е -у) (х>0 Және У шамалары сэйкес Х<1, Ьц^гималдығын тап. 5. (Х ,У ) екі ѳлшемді кездейсоқ ^ ^ р і м тығыздығымен берілген р(х，) : Табу керек: а) С-параметрін; у>0). Тәжірибе нәтижесінде X У<3 мәндерін қабылдайтьшдығыньщ шамалары ^ 2{ 6 + 2\2 5 + у 2) төмендегідеи 4 115 0 5 о о о - 5 5 5 1І r . u ;ай< 5 5 5 о о о о3 10 0 131
b) Ғ(х,у) үлестірім функциясын; c) Тәжірибе нәтижесінде X жэне У шамалары сэйкес Х<4 У<5 мәндерін кабылдайтындығының ықтималдығын тап. 6. (Х ,У ) кездейсок шамаларының үлестірім функциясы белгболғандағы ортақ таралуынын тығыздығын тап: F(x,y)=sinx siny I 2 2) 8 Кездейсок шамалар функциясы Кездейсок оқиғалар лг,,д：2,...,х0 системасын қарастыралық. Олардьщ әрқайсысының үлестірім заңдары белгілі болсын. Сонда кездейсоқ шамалар функциясы мына түрде беріледі У = (р{х{,х2,...ухп) Осы кездейсоқ шама у- тің үлестірім заңын табу керек.Біз бір кездейсоқ шаманьщ функциясын қарастыралық У = <р(х) М үнда X дискретті немесе үзіліссіз кездейсоқ шама болуы мүм кін. 1 .Х -дискретгі кездейсок шама үлестірім кестесімен берілген. Сонда у 一 кездейсоқ шаманьщ үлестірім заны. み 1) ル 2) •• ^п) Р\ Р2 • • Р\ 2. X - үзіліссіз кездейсоқ шама f(x) үлестірім тығыздығымберілген, сонда у - кездейсок шаманьщ үлестірім заңын жазу оның g(y) үлестірім тығыздығын табу керек. Е кі жағдай болуЫ мүм кін: \.у=(р{х) функциясы [a，b] аралығында монотонды-өсП' үзіліссіз жэне дифференциялданатын функция. іелі
Онда осы аралықта оның бір ғана x = ç (y) кері функциясы ^ 5олаДЫ да g(y)=f(4)(y) |ў Ъ ’)| орындалады. 2 v=^(x) функциясы монотонды емес. Сондыктан оның д：, =Фх(у\ ろ (>’)，•••， хп=Фя(У) кері фуңкииялары болады да g ( y ) = É ,_ ) i.W орындалады. 1 мысал Кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген 0 1 2 3 0,1 0,3 0,4 0,2 y=sin — X + 1 функциясының үлестірім кествсін табыңыз. Ш еш уі: Әуелі у -т ің м үм кін мәндерін анықталык: У і = y(0) = sin 寻.0 + 1 = 1 У2=Я ) = 2, Уз=Я2) = 1, У4= ァ ⑶ = 0 Сонымен X -3 -1 2 4 Яі я2 Яъ Кестесін алдық. Енді ç.-лерді табалық = р(у = 0) = р(х = 3) = 0.2 Я2 =р(у = 0= ( = 0) + р(х = 2) = 0,1 + 0,4 = 0,5 133
Яъ = р (у = 2 ) - р ( х = і) = 0,3 Сѳйтіп, ақырында 0 i 2 q 0,2 0,5 0,3 үлестірім кестесін алдық. 2 мысал Кездейсоқ шама үлестірім тығыздығьш берілген у=х 2 кездейсок шаманьщ үлестірім тығыздығьш тап. Ш ешуі у - х 2 функциясы монотонды өспелі, үзіліссіз жэне дифференциялданатын функция. Сондықтан оның кері функциі х = у[у болады. Осыдан кері функция ) = | ' 丨て 4 j 3 мысал Е кі мерген бір-бірімен тәуелсіз нысанаға сэйкес 2 жэне 3 атыс жасайды. Б ірінш ісінің нысанаға тигізу ықтималдығы 0,9，幻 е кін ш ісін ікі - 0,8. Х ,У 一 бірінш і және екінш і мергеннің нысанаР тигізулерінің сандары. Z = X + Y , Z=XY кездейсоқ шамалардьй үлестірім кестесін жазьщыз. М (Х + У ), М (ХУ)-терді табыңыз. Ш ешуі X жэне У кездейсоқ шамалар биномдық үлестірім заңыМ^ оерілген. Сондықтан Бернулли формуласьш пайдаланып X 0 1 2 一 p 0,01 0,18 0,81 134
0 1 2 3 0,08 0,096 0,384 0,512 үлестірім кестелерін аламыз. Z = X + Y，Z = X Y кездейсок шамаларының м үм кін 印ін х і + ^уЖәне X,.ろ табалық. Олардьщ ыктималдьгқтары 一太) タノ) аркылы есептеледі. Енді х, + у- және д：, + уі м үм кін мэ0Дерія елік ІДГ, + ヌ1 ろ+ 少2 + Уз +У ズ2+ 少2 4 + 少3 ズ2 + 少4 — ХіУіろタ2 х{Уз A タ 4 х2Уі хіУг ズ2タ3 Х2Ул 卜M , Р\Яг РхЯъ Р\Я РіЯх РіЯг РіЧл х+У Осыдан 0 1 2 3 4 5 P 0,0008 0,0024 0,0276 0,152 0,4032 0,41472 ХУ 0 1 2 3 4 6 P 0,01792 0,01728 0，14688 0,09216 0,31104 0,41472 үлестірім заңдарын аламыз. Сондай-ақ М(х+у)=4,2 М(ху)=4,32006 Математикалык статистикада тәуелсіз қалыпты үлестіріммен берілген кездейсок шамалардың функциясы болып келетін үлеспрім заңдарымен берілген кездейсок шамалар қарастырылады. Солардьщ ж иі кездесетін үш еуін төменде қарастырамыз. 9 Х ц - квадрат үлестірім (? -ү л е с г ір ім ) Айталық X ,，ろ ，…，.v v -тәуелсіз қалыпты кездейсоқ шамалар ^ ,ЛСІН және а=Ю,び =1 болсын. =ろ 2+д：22…+ ' 2 кездейсок шаманы қарастыралык. 抑 кездейсоқ шаманың үлестірім заңы х г ~ үлестірім деп • ^Ү нда v - еркіндік дәрежелер саны. 135
Ж алпы жағдайда хк( : = 1,ѵ ) қалыпты үлестірім параметрлері ^ болса, онда уі = —~ - алмастыруы аркылы параметрлері (q ^ болатын қалыпты үлестірімге келтіруге болады, яғни болады. X 2 - үлестірімнің кестесі барлық оқулықтарда келтірілген. 10 Стьюдент үлестірімі (t - үлестірім) Айталық параметрлері 0 жэне болатын тәуелсіз калыпты үлестіріммен берілген хД/=1, у) кездейсоқ шамалар болсын. Сонда Стьюдент үлестірімі мьша түрде анықталады # ズ0 ぐ 2 М үнда v - еркіндік дәрежелер саны. Егер қалыпты үлестірімнің параметрлері а жэне болса, онда xt 一a кездейсоқ шамалары да тәуелсіз болады да, олардьщ параметрлері сэйкес 0 жэне び болады. Сонда Стьюдент үлестірімі төмендегідей беріледі # х0- а _ か ィ Ал а = 0 ,び=1 болса, онда Стьюдент үлестірімі (Ф болады, мүндағы х і жоғарында қарастырылған х 2 үлестірі^0. 136
1 фяіііер үлестірімі /Ғ - үлестірімі/ Дйталык параметрлері (0,ст) болатын тәуелсіз калыпты ^ р ім м е н берілген кездейсоқ шамалар қарастырылсын: ズ1，ズ2’...’ズ" |，ズ/71+1 Хп^ Пі Сонда мына функция арқылы берілген фйШер үлестірімі арқылы берілген деп атайды кездеисоқ шаманы Егер X；- кездеисоқ шамалардың параметрлері (а，び) болса; онда Фишер үлестірімі төмендегідей анықталады: Ғ Пг 1 И1+я2 丄 Z ~оУ Ал егер а=Ю, о = \ болса, онда Фишер үлестірімі былай жазылады: 一 Znx Fn,，w ^ -Zn2 Мүндағы x \ жэне х Іг кездейсоқ шамалары х 2 - үлестіріммен берілген. Есептер 1 - X кездейсоқ шамасы үлестірім кестесімен берілген р 0,1 0,3 0,2 0,4 ^вйе КезДейсоқ шамасыньщ математикалык үм ітін, дисперсиясын орташа квадраттық ауыткуын тап, егер: 137
a) У =4Х -4; b) У = Х 2; 2.Х кездейсок шамасы а=2, сг = 1 параметрлары арқылы үлестірілген. Кездейсок шаманьщ диффереициялдык ф ун кц ц ^^ тап: а)У=2Х+6; б )У =Х 3; 3. X кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген 0 i 2 3 q о д 0,3 0 ,4 0 ,2 y=sin—^ + 1 функциясының үлестірім заңьш жазыңыз. 4. (Х ，У ) системасы үлестірім кестесімен берілген \ У - 2 - 1 0 1 Z = X + y , Z = X Y кездейсок шамалардьщ үлестірім кестелерін жазыңыз. 12 Улкен сандар заңы 12.1 Чебышев тенсіздігі 1 мысал Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңымен берілген X 0,3 0,6 P 0,2 0,8 Чебышев теңсіздігін пайдаланып \х ~ М(х\ < 0,2 теңсіздіпшй орындалуыньщ ықтималдығын бағалаңыз. Шешуі Әуелі математикалык үм іт пен дисперсиясын табайык： М(х>= 0，3. 0,2+0,6* 0,8=0,54 оз об ло 0,і о оЛ 1 1 15 6 02 24 09’ SS о’ о о оо’ о’ о , 138
Енді дисперсия табу үшін X тың үлестірім заңын жазамыз: X 2 0,9 0,36 0,2 0,8 Сонда М (х2)=0,2 0 9+0 8- 0,36= 0,4 - А ,И - W W 】2 0’468 0，542 =0,1764 Енді Чебышев тенсіздігін пайдалансак 冷一 М(х] < g)>lМ (Х) =0,54; Д (Х ) =0,0144; е=0,2 мэндерін койып p(jx 0,54| < 0,2) > 1----------- --0,64 екенін табамыз. Сѳйтіп Чебышев теңсіздігін пайдаланып \х-М(х\<>0,2 тенсіздігінің орындалуының ықтималдығын төменнен бағаладық, 卜 一 0，54|く 0，2 теңсіздіп кем дегенде 0,64 ықтималдықпен орындалады. Бұл түжырымның қүндылығы есептер шығарған кезде \х-М (х\< е (£*>0) теңсіздігінің орындалуының дәл ыктималдығын табу м үм кін болмаған жағдайларда оның ыктималдығын төменне бағалауға м үм кін д ік береді. 2 мысал Қүрылғы бір-бірінен тәуелсіз ж үм ы с жасайтын 10 элементтен түрады. Әрбір элементгің Т уақы ттағы жұмыс істемей қалу ыкгималдығы 0,05-ке тең.Чебышев теңсіздігін пайдаланып Т уақыттағы істемей қаяған элементтер мен істеп тұрған элементтердің арифметикалык орташа мәндерінің (математикалык үм іті) айырмасының абсолюттік шамасын бағалаңыз. Егер айтылған айырма: а) екіден кіш і болса; б) екідең кем болмаса; Ш ешуі а) J уақыттағы жумыс істемей қалған элементтердің санын X 印 кездейсоқ шамасы арқылы белгілейміз. Сонда ^(Х ) =пр=10 0,05 Д(ҳ ) = npq=10 0,05 0,95=0,475 ^ебышев теңсіздігін пайдалансақ : МЭВЛ(5 ІХ-М Р 0І く 农 1-Д(х)/е2. М (Х ) =0,5; Д (Х ) =0,475; е =2 咖 帅 қойып Р(ІХ-0,5)|<2)> 1-0,475/4=0,88.
б) |Х-0,5|〈2 жэне \Х -0,5| >2 оқиғалары қарама болғандықтан олардың ыктималдыктарыньщ косындысы бірге 1 сондыктан Р(|Х -0,5| > 2)< 1-0,88=0,12. мысал Зауыт өнімдерінің 75 процентін жоғарғы сортпен ш ы ғар^ Ш ығарылған 10000 бүйымдардьщ ішінде жоғарғы с о р ^ шығарылған бүйымдардьщ саны осы жоғарғы сорщ шығарылған бұйымдардың математикалы қ үмітінен айырмасың^ абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдьц^ бағалаңыз. Шешуі Ж оғарғы сортпен шығарылған бұйымдар саны кездеіЦ шама. Оны X арқылы белгілейік. Бүл кездейсок шама биномд^ үлестіріммен берілген. М (х) осы кездейсоқ шаманың математикалщ үм іті. Есептің шарты бойынша п = 100000, р=0,75, q=0，25. Сонда М (х )= 100000 0,75=750000, D(x>=18750 Осыдан Р(|Х - М(х] < 1 ООО) ^ 1— = 0,98125 яғни Р(|Х - Л/(х)<1000|)> 0,98125 Есептер 1• Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңдарымен берілген X 0,1 0,4 0,6 0,2 0,3 0,5 Чебышев теңсіздігін пайдаланып \x-M(x^<y[ÔÂ теңсіздігіяія орындалуыньщ ьщтималдығьш бағалаңыз. 2.Әрбір тәжірибедегі оқиғаның орындалу ыктималдығы тең. Чебышев теңсіздігін пайдаланып 800 тәжірибе жүргізілгенде оқиғасының пайда болу саны 150-ден 250 аралығында * ықтималдығын тап. 3. Чебышев теңсіздігін пайдаланып Р(|х-М(х)| > е) ^ 1"Д(хп түрінде дәлелде. Нұсқау: \х- М^х^е және \х -м (х \> е оқиғалар^ қарама-қарсы деп ал.
4 Жыл сайын бітіретін мектеп түлектерінің орташа саны 200 Биылғы жылы оітіретіндердің санының 220- дан ^айтындығьіның ыктималдығын тап. аС 5. Х-кездейсоқ шамасыньщ дисперсиясы Д(х) =0,001.X яейсок шамасыньщ М (Х) =а 0，し ден артық екендігінің ゝ гймалдығы кандай ? 6. X кездейсок шамасы берілген. Оның дисперсиясы Д(х) 一0 009， Р(|ズ ー 从 (ズ】ミ а)<0，1 теңсіздігінен а-санын табу керек. 7.Әрбір 100 тәуелсіз тәжірибедегі A оқиғасының пайда болу иктималдығы 0,8. Осы 100 тәжірибедегі A оқиғасының пайда болу санынын математикалык үміттен айырмасы модулі бойынша 50-ден кіші болуының ықтималдығын тап. 8.Бір жылдағы жаңбырлы күндердің жалпы саны 90. Келесі жылы 150-ден артық жаңбырлы күндер болу ықтималдығы неге тең? 9. Чебышев теңсіздігін пайдаланып Д(х) =0,04 болғандағы \х-М(х](0,2 теңсіздігінің ықтималдығын бағала. 10. Ойын кубы н 3600 рет тәуелсіз лақтырғанда 6 санының түсуі 900-ден кем болмайтынының ықтималдығын бағала. 11.X дискретті кездейсоқ шамасы үлестірім заңымен берілген: ■ н в ш Чебышев теңсіздігін пайдаланып |% - M (X )|〉3 ықтималдығын есепте. ^ ^ 1 2 . X дискретті кездейсок шамасы үлестірім заңымен берілген: Н з ^ К Я H K S Ш Я Е К І Н Н Я Н Е Л Чебышев теңсіздігін пайдаланып 丨尤- М ( х ^ ( 2,5 ^Қтималдығын есепте. 13. Кездейсок шама интегралдық функциясы арқылы берілген: 0， х<а, (ズ - ィ а(х < 2ау х ) 2 а . Чебьіщев теңсіздігі арқылы 141
а) \Х - М ықтималдығын бағала; б) ықтималдығын анықта. 14. Кездейсок шама интегралдық функциясы аркылы берілгец. Чебышев теңсіздігі арқылы а) \Х - м ( Х ^ { a ықтималдығын бағала; б) \Х - М a ықтималдығын анықта. 15. Шарушылықта 100 машина бар. Белгілі бір мерзімдәрқайсысының үздіксіз жүмы с атқару ықтималдықтары 0,9. Чебышев теңсіздігін пайдаланып машиналардың үздіксіз жұмы с атқару ықтималдығының математикалы қ үміттен ауы ткуы модулі бойынша 5-тен аспайтындығының ықтималдығын бағала. 12.2 Чебышев теоремасы Егер Х ,,Х 2,...,РЛ қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамаларының аркылы математикалық үміттері бар болып және дисперсиялары түрақты санымен шектелген болса, онда кезкелген п саны үшін. орындалады. Бүл теореманы Чебышев теңсіздігін п а й д а л а н ь Ш дәлелдегенде төмендегі бағалау алынады 0， л：<0, F(jc) = - —-г , 0(х < 2а, 1 , х)2а. Егер М (х,)=а болса, онда формула былай жазылады 142
Чебышев теоремасының мағынасын түсіндіру уш ін мысал & ^ 0,ірайык. А йталы к белгілі бір бұйымның бір өлшемі А 讲 8мн. Соны өлшеу керек. Өлшеу кезінде әртүрлі себебтерге ^"ланысты қате кетеді .Сондықтан өлшеу кезінде алынған нәтиже ездейсок шама болады. Бүл X кездейсоқ шаманың математикалық өлшеп отырған А шамасына тен болады, ал дисперсиясы レх) пайдаланып отырған прибордьщ дәлдігін кѳрсетеді. Тәуелсіз nѳлш^ѵ жасалык.Сонда д：,,д：2,...,дгя, сэйкес бірінш і, екінш і, . . . ，пШІ өлшеулердің нәтижелері. Бұлардың өздері кездейсоқ шамалар, олардьш үлестірім заңдары Х -тің үлестірім заңындай болады.Олай болса _ Д：! + Д：2 + ... + Xfl Х = ---------------------; кездейсоқ шамада үлестірім заңы да сондай чболады. Бірақта п өскен сайьш Х-тің кездейсоқ сипаты бірте-бірте жоғала бастайды да ол А-ға жақындай түседі. Х-тің жакындьгғының шарттары Чебышев теоремасымен берілген. Сонымен теореманьщ мағынасы: \Х - À\<e оқиғасы п меилінше үлкен болғанда ақиқат оқиға болады. Бұл теореманьщ практикалық маңызы мынада. Бір нәрсені өлшегенде меилінше дәл нәтиже алу үшін оны оірнеше рет өлшеп содан кейін алған нәтижелердің арифметикалык орташа мәнія алу керек. 4 мысал Белплі бір шаманьщ мәні ретінде мейлінше көп өлшеулердің арифметикалык орташа нәтижесі алынады. Әрбір влшеудің м үм кін мәндерінің орташа квадраттьщ ауы тқуы 1 антиметрден аспайды, деп қарастырып, 1000 өлшеуде алынған нәтиженің берілген шаманьщ ш ын мәнінен ауытқуының 0,2 Сантиметрден артық болмауътың ықтималдығын бағалаңыз. Шешуі 10 өлшеудің нәтижесі кездейсоқ шама болады. Сондықтан өлшеудің нәтижелерін хІУх29...9х т тәуелсіз кездейсоқ ЩаМалар жиынтығы ретінде қарастырамыз. Сонда
— = JC, + х 2 +... + х ]00 100 100 өлшеудің арифметикалык орташа мэні болады. Од ^ кездейсоқ шама болады. Енді ѳлшеп отырған шаманьщ шын мәң^ а деп кабылдасақ. Чебышев теоремасын пайдалануға болады: Р |х - а \<： 0 ,2 }^ 1 - - ! — =0,25 4 i J (0,2 )2 •100 Сѳйтіп P ()x-û|< 0,2) >0,25. 5 мы сал Ауданы 1800 га жердің өнімділігінің орташа мәнін анықгау үш ін эр гектардан 1 NT жер алынды. Ж ердің эр гектарьщщ дисперсиясы 6-дан аспайтыны белгілі. Тавдап алынған жерлердід орташа өнімділіктен ауытқуының жалпы барлық жердің орташа өнімділігінен ауытқуы 0,25аспайтынының ықтималдығын тап. Ш ешуі L 结叫今-士 о ) ：теңсіздігінің оң жағындағы мына шамалар анықталған: ?:=0,25, с=6, п=1800. Сондыктан р > 1 ^-=1------------- « 1-0.053 = 0.947 v ne1 1800 0.0625 6 мысал Әрбір Х к (к = 1 ,2 ,...,1 0 0 0 )1000 тәуелсіз кездейсоқ шамалардьй дисперсиясы 4-ке тең. Осы шамалардың орта арифметикалылы^ модулі бойынша математикалык үміттердің о р т ^ арифметикалықтарынан ауытқуы 0 , 1 -ден аспаитынынь® ықтималдығьгн тап. Ш ешуі • ( 1 ) теңсіздікке сэйкес с=4, ?=0,1 болғанда мына теңсізД1^ аламыз: 144
'.1000 ,1000 ) P — У x k--------y M(Xk) <0,1)1-------------- = 0.6 000 * 1000 5 J 1000 0.12 7 мысал Егер тәуелсіз xl1x2J...yxn кездейсок шамалар тізбегі [еадегідей үлестірім заңымен берілсе О с ы л а й ш а 1 ^ 0 ,6 . X k - к а 0 к а 1 і_ 1 1 2к2 * к 2 2к2 Онда осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын колдануға бола ма? Шешуі Берілген кездейсок шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын пайдалану үшін бұл тізбектер екі шартты қанағаттандыру керек: 1)олар қос-қостан тәуелсіз болу керек. 2) олардың математикалык үм іттері арқылы болып, дисперсиялары тұракты бір С санымен шектелген болуы керек. Берілген кездейсок шамалар үш ін б ірінш і рет орындалады, себебі есептің шарты бойынша олар тэуелсіз кездейсок шамалар.Ал екінш і шартгың орындалуын тексеру кажет. Эуелі математикалык үміттерді есептейік M(xJ = 一 to . 士 + 一 Ü + to .击 =0 M(x2*)=(-Â ：ôr)-:^Y + 02^1 -— \ + {ка)--^-ү = а 2 d {x2)= M (x j)- (M (jc*))2 = a 2 - 0 2 = a 2 0 болғандықтан X кездейсок шамаларының дисперсиясы тең, c ^ санымен шектелген. Олай болса Чебышев теоремасын 145
1 . Егер тәуелсіз x ï t x 2,...t x n кездейсоқ төмендегідей үлестірім заңымен берілсе Есептер шамалар ТІЗЧ X - Jn 0 1 Онда осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын қолдануға бола ма? 2. Айталық 100 тәуелсіз тәжірибелер нәтижесХ і，2,...，Хіоо кездейсоқ шамасьшьщ мәндері табылсьш. Матемагикалық үм іті М (х )= 10,дисперсиясы Д(х)=1 болсын. Сонда кездейсок шаманың байқалынды мәндерінің орташа арифметикалык шамасы мен математикалық үм ітін ің айырмасы Ѵі ден кіш і болуыньщ ьгқтималдығын томеннен бағалаңыз. 3. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім қатарымен берілген: 1) х я -5п 0 5 f 1 2' 2) х л -2 Л 2" Р 0,5 ^ 0,5 Осы кездейсоқ шамалар тізбектеріне Чебышев т е о р е м а с пайдалануға бола ма? ^ 4. Е кі ж әш іктің әрқайсысында 】-ден 10-ға дейін н о м е р л е н гшарлардан бар. Әр жәш іктен бір-бір шардан алып, ж әш ікке кайта 146
«гяоастырайык. Кездейсок шама Х-екі жэшіктен о^г щарлардьщ номерлершщ ко сы нд ы сы .100 тэжірибе Х і қ о с ы н д ы с ы н ы ң ] 8 0 0 1 4 0 0 [ интервальгаа т ү с у ^ Е ^ ддьіғьін төменнен бағалаңыз. ^ Қос-костан тәуелсіз кездейсок шамалардьщ дисперсиясы аспайды. Осы кездейсоқ шамалардьщ арифметикалык шіасынын олардьщ математикалык үм ігге р інің арифметикалык ^ ^ Б асЬінан ауыткуыньщ ықтималдығы 0,99-дан кем болмауы ін канша кездейсок шама алыну керек? 6. Эрбір 1000 тәуелсіз кездейсоқ шамалардьщ дисперсиясы 4- ке тен. Осы кездейсоқ шамалардьщ арифметикалык орташасы олардын математикалык үміттерінің арифметикалык орташасынан ауыткуы 0,2- ден аспауының ыктималдығын бағалаңыз. 7. Кез-келген кездейсок шаманьщ математикалық үмітінен ауыткуы абсолют шамасы бойынша a) 2 орташа кв. ауытқудан аспауының; b) 3 орташа кв. ауытқудан аспауының («үш сигма» ережесі); 4 c) 4 орташа кв. Ауытқудан аспауының ықтималдығын бағалаңыз. 8. Таңдама әдіспен бидай дәндерінің орташа салмағын анықтау керек.Дәндердің салмағының орташа квадраттық ауытқуы белгш ол-0,04. Таңдама әдіспен алынған дәндердің орташа салмағының осы орташа салмақтьщ математикалы қ үмітінен (бүл берілген партиядағы дәндердің орташа салмағы) ауы ткуы 0,01-ден артық болмауы 0,9 ықтималдықтан кем болмауы үш ін қанша дән тексерілуі керек? 9. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім заңдарымен Х я -5п 0 5п
10000 <0,01 > 1 -- 6 10000 0,Ol2 -0.86 ■ І Ы - ェ い ト 岬 3 .0ル ト 歷 1000 0,Ol2 0,1 Осыдан P ^ 0 ,86 9-мысал Детальдарды шығарудың сапасыздығы 3% кү детальді тексеру барысындағы сапасыздықтың алғашқь сапасыздықтан ауыткуы 1% -тен аз болуының ықтимал,; Шешуі Есептің шарты бойынша n=1000, p=0,03, e=0,01 Яғни ізделінді ықтималдык： p>0,709 Теңсіздігі бойынша Осы кездеисоқ шамалар тізбегше Чебышев пайдалануға бола ма? 10. Тэуелсіз кездейсок шамалардьщ эр дисперсиясы 4-тен аспайды. Осы кездейсок арифметикалык орташа м әнінің олардьщ ма үміттерінің арифметикалык орташа мэнінен ықтималдығы 0,99-дан артык болмауы үш ін қаши шама болуы керек? 13 Бернулли теоремасы 8 мысал Ойын сүйегі 10000 рет лақтырылғанда 6 саныны ж и іл ігі 6-ның абсолют шамасы бойынша ш ы ғу ы қті ауытқуы 0,01 ден к іш і болуыньщ ықтималдыған бағала. Шешуі Есептің шарттары Бернулли теоремасьшың 】 сэйкес келеді. Сондықтан п = 10000，р=1/6, q=5/6. Сонда >кайсыСЫіі шамалард^ ^тематикалц ауьггкуьщц а кезДейсоқ т е о р е м у « шьіғуыньщ імалдығынан шарттарымен райды. 1000 i анықталған гіыған тап. ，q=0,97. (13.1) -=0,709 hu 148
ХО-мысал p grep жеке сынақ жүргізгендегі оқиғаны ң орындалуының ѵіалдыгы р=0,7 болса, онда тәуелсіз қанша сынақ жүргізілгенде р バ0 2 теңсіздігінің орындалуыньщ ықтималдығы 0,96- дан асады? • Шешуі Есептің шарты бойынш е=0,2, р=0,7, q = 0 ,3 .(1 )теңсіздіктің к ө м е г ім е н n - ДІ табу керек. р>0,96 шарты 二 ^ -〈0，04 -ке тепе-тең, мүндағы ^>- .2^ 7 - Соңғы теңсіздікке е=0,2, р=0,7, q=0,3 мәндерін қоисақ ч 0,7 0,3 0 ,2 1 ” ，〜 п )----- -------- = ------------= 1 31,25 0,22 0.04 0,0016 Есептер І.Тиьт 1000 рет лақтырьшды. Елтаңбаньщ пайда болу жиілігінің пайда болу ықтималдығынан ауытгқуы 0,1-ден кем болуының ықтамалдығын төменнен бағала. 2. Тәуелсіз қанша сынақ жүргізгенде орындалуыньщ ықтималдығы 0,78-ден асады, егер жеке сынақ жүргізгендегі оқиғаның орындалуыньщ ыктималдьгғы р=0,7 болса 3. Қорапта 1000 ак және 2000 кара шарлар бар. Қораптан кезкелген ш ар а л ы н ы п т ү с і а н ы қ та л ға н н а н к е й ін қа й т а қ о р а п қ а салынады. Сөйтіп 300 сынақ жүргізіледі. Осы сынақтарда ақ Щардьщ ш рет пайда болуы 80<т<120 теңсіздігін •ИНағатгандыратындығының ықтималдығын бағалаңыз. 4. Комбинатта шығарылған бұйымның сапасыз болуыньщ ЬІ^тймалдыгы 0,015-ке тең. り Комбинат шығарған бұйымдардың ішіндегі сапасыз ゾ Ымдар үлесінің оньщ ықтималдығынан ауытқуы 0,005-тен ьіқтималдығы 0,807-ден артык болмауы үш ін канша