5. Даярланған телевизордьщ сапасын тексергенде олард^ проценті берілген Т уақыттан кем жұмыс жасайды екен.Альіі ^ 500 телевизордьщ ішінде берілген Т уақытган кем жасайтын телевизордьщ үлесінің оньщ ықтималдығынан айьір^« 0,02-ден артпауыньщ ықтималдығын бағалаңыз. 、 6. Ойын кубыы лактырғанда 5 үпай пайда болуы ^ салыстырмалы жиілігі мына интервалда [(--0,05), (- + 0,05)] жату^ 0,99 ььктималдықпен кем болмауы үшін ойын кубын қанцщ 附 лақтыру қажет? 7. Әрбір сьшақтьщ жақсы нәтиже беру ықтималдығы 0，8、Ге тең. 1000 тәуелсіз сынақтарда жақсы нәтиже беретін сынақтардьщ салыстырмалы жиілігінің оның әрбір сынақта пайда болу ықтималдығынан ауытқуы 0,05-тен кем болуыньщ ықтималдығын бағалаңыз. 8. Ойын кубы 1000 рет лақтырылды.Осы сьшақтарда 6 үпай пайда болуының салыстырмалы жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуы 0,01-ден кем болуыньщ ықтималдығын бағалаңыз. 9. Берілген партиядағы жарамды бөлшектердің үлесі 98 процент екені белгілі болса, осы партийны тексергенде жарамды бөлшектердің пайда болуының салыстырмалы ж й іл ігш ің оньщ ықтималдығынан ауытқуы 0,02-ден кем болуыньщ ықтималдығы 0,96-дан кем болмауы үшін қанша бѳлшек тексеру керек? 14 Э нтропия мен инф ормация мѳлш ері a тәжітибесінің нәтижесі А !， А2，…，Ап болсын. Бүлар бірікпейтін оқиғалардьщ тольщ тобьш қүратын болсын. а тәжірибесінің энтропиясы деп Я ( а ) = - ^ Р ( А ) 1 о ё 2 Р ( д ) шамасын айтады. Энтропия a тәжірибесінің анықталмағандьж дәрежесін көрсетеді. Вь В2，...， Bn болса, онда оқиғалары басқа бір ß тәжірибесінің нәтшкесі 、 ⑷ = - l > Ajr(Ä)log2\ ( Ä ) 150
^ а м а с ы ß т ө ж і р и б е с і н і ң А к н ә т и ж е с і н е қ а т ы с т ы ш а р т ( 0 й Я С ы д е п , а л H a ( ß ) = ^ Р ( Л К ) Н Ак ( ß ) ш а м а с ы ß т ә ж і р и б е с і н і ң . і л б е с і п е к а т ы с т ы о р т а ш а ш а р т т ы э н т р о п и я с ы д е п а т а л а д ы . ß т ә ж і р и б е с і н е к а т ы с т ы a т э ж і р и б е с і н д е г і и н ф о р м а ц и я м ѳ л ш е р і j a ( ß ) = H ( ß ) - H a ( ß ) а й ы р ы м ы аталады. Э н т р о п и я м е н が маЦИяньщ ѳ л ш е м бірл ігі-1 бит (бұл а ғ ы л ш ы н н ы ң « b i n a r y digit»- 辦 一 д е г е н с ө з і н е н қ ы с қ а р т ы л ы п а л ы н ғ а н ) . Е к і л і к л о г а р и ф м д і ү д д ң l o g 2 N = 3 , 3 3 1 g N ф о р м у л а с ь ш қ о л д а н у ғ а б о л а д ы . ^ С о н ы м е н ү л к е н с а н д а р з а ң ы - т ә ж і р и б е л е р д і ң с а н ы к ө б е й г е н сф І В а л ы н ғ а н н ә т и ж е л е р д і ң а р и ф м е т и к а л ы к о р т а ш а н ә т и ж е с і т ѵ о а к т ы с а н ғ а ұ м т ы л а т ы н д ы ғ ы н ь щ ш а р т г а р ы н а н ы к т а й т ь ш теоремалар ж иы ны болып табылады. Сондай-ақ ықтималдьгқтар теориясында орталық ш екті т е о р е м а л а р д ы ң д а м а ң ы з ы з о р . Б ү л т е о р е м а л а р д а қ а л ы п т ы ү л е с т ір у з а ң ы н қ о л д а н у ш а р т т а р ы к а р а с т ы р ы л а д ы . Е г е р карастырып о т ы р ғ а н к е з д е и с о қ ш а м а - ө з а р а т ә у е л с і з м е й л і н ш е к ө п кездейсок шамалардьщ қосындысы ретінде жазуға болатын болса б о л а д ы . А . М . Л я п у н о в т ы ң о р т а л ы қ ш е к т і т е о р е м а с ы н ы ң м ә н і о с ы ң д а б о л ь т т а б ы л а д ы . 15 Математикалык статистика элементтері. Негізгі ұғымдар. Таңдамалық тәсіл. 1 мысал К ө л е м і п =20 т а н д а м а н ы ң ж и і л і г і н і ң т а р а л у ы б е р і л г е н : с а л ы с т ы р м а л ы ж и і л і к т і ң т а р а л у ы н ж а з .
Ш е ш у і С а л ы с т ы р м а л ы ж и і л і к т і т а б а м ы з ; я ғ н и ж и і л і к т і т а қ д а м көлеміне бөлеміз: W. = — = 0Д5; = — = 0,50; VV3 = — = 0,35； 1 20 2 20 3 20 * Е н д і с а л ы с т ы р м а л ы ж и і л і к т і ң т а р а л у ь ш ж а з с а к Х і 2 6 12 Wj 0,15 0,50 0,35 Т е к с е р у : 0 , 1 5 + 0 , 5 0 + 0 , 3 5 = 1 . 2 м ы с а л Т а н д а м а н ы ң ф у н к ц и я с ы н қ ү р . В а р и а н т а л а р Ж и і л і к т е р берілген таралуы бойынша эмпирикалық xi W 2 12 6 18 10 30 Ш е ш у і Т а н д а м а н ы ң к ө л е м і н т а б а м ы з * . 1 2 + 1 8 + 3 0 - 6 0 . Е ң к і ш і в а р и а н т а 2 б о л ғ а н д ы қ т а н , Ғ ( х ) = 0 х < 2 б о л г а н д а . х < 6, я ғ н и \ і = 2 1 2 p er б а й к а л д ы . О с ы д а н F * ( х ) = 1 2 / 6 0 = 0 , 2 , 2 < х < 6 б о л ғ а н д а . х 1 0 яғни Х і = 2 ж ә н е х 2= 6 1 2 + 1 8 = 3 0 р е т б а й қ а л д ы , о с ы д а н F * ( х ) = 3 0 / 6 0 = 0 ,5 , 6 < х <10 б о л ғ а н д а . х =10 е ң ү л к е н в а р и а н т а , о н д а F ( х ) = 1, х >10 б о л ғ а н д а . С о н д а і з д е л і н д і э м п и р и к а л ы қ ф у н к ц и я 0’ х<2 0,2, 2{х<Ь 0,5’ 6<jc ^ 10 х)Ю Г р а ф и г і т ө м е н д е г і с у р е т : 152
3 мысал Әлдебір ү з і к т і к е з д е й с о қ ш а м а н ы нәтижесінде м ы н а д а й т а ң д а м а а л ы н д ы 4 0 т ә у е л с і з б а қ ы л а у д ы н 10’ 13 10 9 9 12, 12, 6, 7, 9 8, 9 ,1 1 ,9 14,13, 9,8, 8 7 1 0 ,10， 11,11,11,12 8 7 9 10 14 13 8 8 9 1 0 ,11 11 12 12. а) в а р и а ц и а л ы қ қ а т а р д ы қ ұ р ы ң ы з ; б) жиіліктер кестесін кұрыңыз; Ш ешуі а ) таңдаманың ә р т ү р л і в а р и а н т а л а р ы н р е т і м е н орналастырсақ төмендегідей в а р и а ц и а л ы қ қатарды аламыз: 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 . б) жиілікті т а б у үшін / , =— З р б і р в а р и а н т а ү ш і н с ә й к е с е с е л і к т е р д і ^ и і л і к т е р к е с т е с і а ! 6 7 8 9 10 1 1 1 2 13 ф о р м у л а с ы н п а й д а л а н а м ы з . е с е г т т е й м і з : к 1 = 1 ,3 ,6,8,6,6, 5 , 3 , 2 . 1/40 3/40 6/40 8/40 6/40 6/40 5/40 3/40 2/40 ба丨 ^ мысал Сыныптағы 4 0 о қ у ш ы н ь щ б а қ ы л а у ж ұ м ы с ы н д а ғ ы а л ғ а н Ғал а р ь н ы ң ^ ж и і л і г і н і ң к е с т е с і б е р і л г е н Б а ғ а 2 3 4 5 Ж и і л і к 3 2 5 . 4 153
с ) т ү з е т і л г е н т а ң д а м а л ы д и с п е р с и я н ы ; ( І ) т а ң д а м а л ы о р т а ш а к в а д р а т т ы қ а у ы т қ у д ы S Ш е ш у і а) Ь ) е ) т ү з е т і л г е н т а қ д а м а л ы о р т а ш а а у ы т қ у д ы ; 〜 芒 1 る 2-3 + 3-8 + 4-25 + 5-4 n т = = п ^ аік： = -------------- ----------------- = 3 ’7 5 7 ; 2 2 ß = Z(ör,- 沄)Mi =-Х(аі- )кі = =1 І=1 (2 一3,75)2 3 + (3 — 3，75)2 8 + (4 — 3，75)2 25 + (5 - 3,75)2 4 ^ ' = ^ 3 7 5 , c ) D = — У ( а , - т ) 2^ = 0 ,5 5 7 ； п - \ ы d) *0,73; e ) I = / В = 0 , 7 4 7 . Есептер 1.50 а б и т у р и е н т е м т и х а н т а п с ы р ғ а н д а т ѳ м е н д е г ід е й б а л д а р д ы ң ш а м а с ы а л ы н д ы : 12,14,19,15,14,18,13,16,17,12,20,17,15,13,17,16,20,14,14,13,17,16, 15,19,16,15,18,17,15,14,16,15,15,18,15,15,19,14,16,18,18,15,15,17,15,16, 1 6 , 1 4 , 1 4 , 1 7 . a ) в а р и а ц и а л ы қ қ а т а р д ы к ү р ; b ) ж и ш і к т е р к е с т е с і н қ ү р c ) ж и і л і к т е р п о л и г о н ы н с а л ; 2 . Т а ң д а м а н ы ң г и с т о г р а м м а с ь ш с а л : 1 0 - 1 5 1 5 - 2 0 2 0 - 2 5 2 5 - 3 0 0 , 1 0 , 2 0 , 4 0 , 2 З . Х к е з д е й с о қ ш а м а с ы н ь щ ж и і ш г і ш ң и н т е р в а л д а р б е р і л г е н : 3 5 - 4 0 0,1 к е с т е 0
[ X к е з д е и с о қ ш а м а с ы н ы н S x - т е р д і т а б у к е р е к . Т а ң д а м а Dx пен öx е с е п т е . 5 0 6 0 n = 1 0 . 0,2 0,1 1 , 5 - 2 2 - 2 , 5 2 , 5 0 , 0 2 0 , 0 5 0 , 1 Табу керек: m, Dx Sぐ 4 Таңдама н е г і з і н д е к ү р ы л ғ а ғ ^ и і л і к т е р і н і н к е с т е с і б е р і л г е н : m , Dx квлемі аз болған ж а ғ д а й л а р ү ш і н ( n < 3 0 ) 0,1 3 0 4 0 0 , 2 0 , 4 2580 0,1 5 . М ы н а 2 6 0 0 0 , 1 5 2 6 2 0 0 , 5 2640 0,2 т а ң д а м а н ы ң а с с и м е т р и я с ы н т а б ы ң ы з . 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 5 5 0 16 2 6 6 0 0 , 0 5 5 0 4 n=20. 6 0 5 7 16 Үлестірім нараметрлерін бағалау 、 з і к т і н е м е с е ү з і л і с с і з с а н д ы қ с и п а т ы б е л г і л і X У л е с п р і м н і ң б е л г і с і з п а р а м е т р і н Ө д е п б е л г і л е и і к . О н ы ң т а ң д а м а аР К ы л ы т а б ы л а т ы н н ү к т е л і к б а ғ а с ы Ө * б о л с ы н . Ә р т ү р л і ^ Д а м а л а р ү ш і н ө з г е р і п о т ы р а т ы н д ы қ т а н Ө * - к е з д е й с о к ш а м а б о л а д ы 妨 Егер М(Ѳ*)=Ѳ болса, онда Ө * ж ы л ж ы м а ғ а н б а ғ а деп а т а л а д ы , 叱妨 ^ағдайда ж ы л ж ы ғ а н б а ғ а д е п а т а л а д ы . Е г е р l i m P ( ) ö - 叫くど) =1 б о л с а , о н д а Ө * о р н ы қ т ы б а ғ а д е п бүл жерде n-таңдама көлемі. 1111 6 0 0 155
Бас ж и н а қта н мынадай таңдама алынған. а ) Б а с о р т а ш а н ы ң ж ы л ж ы м а ғ а н б а ғ а с ы н т а б ы ң ы з . б ) Б а с д и с п е р с и я н ь щ ж ы л ж ы м а ғ а н ж ә н е ж ы л л с ң ^ б а ғ а л а р ы н т а б ь щ ы з . Ш е ш у і а ) Т а н д а м а л ы қ о р т а ш а ж ы л ж ы м а ғ а н б а ғ а б о л а д ы _ 4 1 0 + 5-5 + 7- 巧 = - 20 б ) Ж ы л ж ы ғ а н б а ғ а р е т і н д е D T а л ж ы л ж ы м а ғ а н б а ғ а а л ы н д ы ретінде = 42 \0 + 52 -5 + 7 ' 一25 = 15 52= — -1,5 = 1,58 т 20 19 2 мысал К о р с е т к і ш т і к ү л е с т і р і м н і ң / ( х ) = Л е ~ А Х , ( х > 0 ) б е л г і с і з п а р а м е т р і Я - н ы ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы н т а б ы ң ы з . Ш е ш у і Б а с т а п қ ы І - ш і р е т т і э м п и р и к а л ы к ж э н е т е о р и я л ы к м о м е н т т е р д і т е ң е с т і р е м і з v , = А / , . К ө р с е т к і ш т і к ү л е с т і р і м н і ң б і р і н ш і р е т т і б а с т а п қ ы м о м е н т і v , = м ( л ：) = - ^ , а л M j = J r б о л ғ а н д ы қ т а н 士= ち т е ң д і г і н а л а м ы з . О с ы д а н б е л г і с і з п а р а м е т р Я - н ы ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы ス*= て т е ң . 3 м ы с а л Б е р і л г е н т а қ д а м а б о й ы н ш а м о м е н т т е р ә д і с і н қ о л д а н ^ қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м н і ң ( x - a ) 2 / W = 7= e x p СТу і і 2a2 156
> ы н ы з - 1 Щ е ш у і Бүл жағдайда екі а жэне <т белгісіз параметр болғандықтан • . екінш і р е т т і теориялык ж э н е эмпирикалы к моменттерді тенестіреміз 6l p lHlU， v,= M }^ 2=m2 дрьі карай v, = М(.г) = а ,//2 = D ( x ) = с г 2 жэне M, = x r ，n t 2 = D T е н і н е с к е р с е к , онда мынадай нүктелік бағалар аламыз a * = x T y c r * = ^ / D белгісіз а ж эне парам етрлерінің н ү кт е л ік бағасы н 4 м ы с а л Берілген т а ң д а м а н ы ң с и п а т т а м а л а р ы а р к ы л ы м о м е н т т е р әдісімен б і р қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м н і ң 1 f ( x ) - \ b - a [0 ,xë [a ;b ] e [ ö b ; ] белгісіз т а б ы ң ы з . Ш е ш у і Б і р і н ш і т е ң е с т і р е й і к , b а ж э н е b п а р а м е т р л е р і н і ң н ү к т е л і к б а ғ а л а р ы н ж э н е е к і н ш і р е т т і э м п и р и к а л ы қ м о м е н т т е р д і я ғ н и v , = - т 2 С о н д а = М(дг) 12 : D T е к е н і н е с к е р е о т ы р ы п мынадай т е ң д е у л е р ж ү й е с і н а л а м ы з i + b х т 12 О с ы ж ү й е н і н Ү к т е л ік б а ғ а л а р ы н ш е ш е о т ы р ы п , a * - х т - ^ Ъ О т， b * = j ë r + y [ 3 D 了 т а б а м ы з . 157
1 7 Н е ғ ү р л ы м ш ы н д ы к к а ұ қ с а с о д і с 1 7 . 1 Y з і л і с т і к е з д е й с о к ш а м а л а р Х - д и с к р е т г і к е з д е й с о қ ш а м а с ы б о л ы п , Р ( Х = = ^ I б о л с ы н , і = l ï ï ; - б е л г і с і з п а р а м е т р . А н ы қ т а м а X к е з д е й с о қ ш а м а с ы н ь щ ш ы н д ы к к а ұ к с а с ф у н к ц и я с ы n L ( x , , х 2 ^ . . , \ а , Ө ) = p ( x { , Ә ) р ( х 2 , Ө \ . . р ( х л , Ө ) ф у н к ц и я с ы н а й т а д ы . 如 С о н д а Ө б е л г і с і з п а р а м е т р і н і ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы L(xlyx2t...4xn, Ө) ф у н к ц и я с ы н а м а к с и м у м ә п е р е т і н Ө * = Ө * ( ，:^ 厂 м ә н і н а л а м ы з , б ү л б а ғ а н е ғ ү р л ы м ш ы ы д ы қ қ а ұ қ с а с б а ғ а д еп а т а л а д ы . Е с к е р т у Е с е п ш ы ғ а р ғ а н к е з д е I n L ф у н к ц и я с ы н м а к с и м у м г е з е р т г е г е н ы ң ғ а й л ы б о л а д ы , с е б е о і L ж ә н е I n L ф у н к ц и я л а р ы Ө - н ің б ір м ә н і н д е м а к с и м у м г е ж е т е д і . 1 м ы с а л Е г е р A о қ и ғ а с ы п { т ә у е л с і з т ә ж і р и б е н ә т и ж е с і н д е л , - т { р е т， п 2 т ә у е л с і з т ә ж і р и б е н ә т и ж е с і н д е х 2 = т 2 р е т п а й д а б о л с а , о н д а ең ү л к е н ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с ә д і с п е н б и н о м д ы ү л с с т ір і м н і ң Р л ( ) = р к ( 1 — р ) р - п а р а м е т р і н б а ғ а л а ң ы з . Ш е ш у і Ө = р е к е н і н е с к е р і п ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с L ф у н к ц и я с ы н ж а з а й ы қ L = Р,„ Ц )Рл2 [т2 ) = ：； С:: рт *+И2 (1 -я )1 Ш ы н д ы қ қ а ү қ с а с л о г а р и ф м д і к ф у н к ц и я н ы ж а з а й ы қ ln L = 1п(слі т' СП2 ^ )+ (т, + mjln pf+ + [(« i十〜) - (m + т 2) ]іп ( і- р ) Е н д і р б о й ы н ш а б і р і н ш і р е т т і т у ы н д ы с ы н т а б а й ы қ : d \ n L w , + т 2 (а 2, + п 2 ) — ( / и , - f т 2 ) d p р 1 -/7 [(л1+и2 W w l _ /n 2)I 158
■ ОсЫ бірінш і ретті т у ы н д ы н ы нольге теңестіріп шындыкка с ісНДеуДІ жазайык： + т 2 ( и , + и 2) - ( / и , + у и , ) _ 0 Осы теңдеуді р боиынша ш еиііп кризистік нүктелерді табамыз: /? = Ц + т 2)/(п} +п2). р бойынша екінш і ретті туындысын таоаиық: d z \ x \ L _ т х + т 2 ( п х + п 2 ) ~ ( m , + w : ) ф 2 р 2 + (1 -р )2 О с ы д а н = ( т х + / я 2 ) / ( « , + п 2 ) б о л ғ а н д а е к і н ш і р е т г і т у ы н д ы нөлге тең екенін көреміз; сондықтан, р - (т х + т 2)/(пх максимум нүктесі. Яғни р*=(аг, +ä-2)/(w, + /і2) мәнін р параметрінің нүктелік бағасы етіп алуға болатынына көзіміз жетеді. \ 1 7 . 2 Ү з і л і с с і з к е з д е й с о к ш а м а л а р Х-үзіліссіз кездейсок шама болсын, ал f(x ,0 ) белгісіз параметр Ө-дан тәуелді үлестірім тығыздығы дейік. Б ұ л жағдайда ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с ф у н к ц и я н ы м ы н а ф о р м у л а м е н а н ы к т а й м ы з L { x ^ x 2 , . . . , x n 4 Ө ) = / ( х , , Ѳ ) / ( х 2 , Ѳ } . f ( x n , Ѳ ) . Үзіліссіз кездейсоқ шаманың белгісіз параметрінің неғұрлым ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с б а ғ а с ы н ү з і л і с т і к е з д е й с о қ и ш м а н ы ң б е л г і с і з параметрінің неғүрлым шындыкка ұқсас бағасын гапқандай табады. 2 м ы с а л К ө р с е т к і ш т і к ү л е с т і р і м н і ң Ғ ( \ ) = Л е ~ Лх ( 0 < х < х ) б е л г і с і з п а р а м е т р і н і ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы н т а б ы ң ы з . Ш е ш у і Ѳ = Л е к е н і н е с к е р і п ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с ф у н к ц и я н ы к ұ р а м ы з
О с ы д а н L = 一 心 ' . Ш ы н д ы қ қ а ұ қ с а с л о г а р а ^ ■ ф у н к ц и я н ы т а б а м ы з : L n L = n l n Л - À ( x t + x 2 + . . . + jc, ) б о й ы н ш а б і р і н ш і р е т т і т у ы н д ы с ы н т а б а м ы з : d\nL _ n ^ x Б і р і н ш і р е т т і т у ы н д ь ш ы н ө л г е т е ң е с т і р у а р қ ы л ы ш ь і н д ^ ү қ с а с т е ң д е у д і ж а з а й ы қ : ⑷- 2 > ‘ = о . Б е р і л г е н т е ң д е у д і б о й ы н ш а ш е ш і п к р и з и с т і к н ү к т е л е р д і т а б а м ы з : I -,が ぐ б о й ы н ш а е к і н ш і р е т т і і у ы н д ы н ы т а б а м ы з : d 2 \nL _ m 1 . . О с ы д а н Л = — б о л ғ а н д а е к і н ш і р е т т і т у ы н д ы н ө л г е т е ң е к е н ін к ө р е м і з ; с о н д ь г қ т а н , Л = 4 ~ - м а к с и м у м н ү к т е с і . Я ғ н и • = мә ™ н ち ズす п а р а м е т р і н і ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы е т і п а л у ғ а б о л а т ы н ы н а кө зім із ж е т е д і . 3 м ы с а л М ы н а қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м н і ң б е л г і с і з а т а б ы ң ы з . Ш е ш у і Ш ы н д ы қ қ а f ( x ) = 1 = е 2 ° г , ( - о о < х + о о ) びл/2лг 必 ж ә н е g п а р а м е т р л е р і н і ң н ү к т е л і к б а ғ а л а р ү к с а с ф у н к ц и я қ ұ р а м ы з : 160
1 2び2 L\xx ,д：2 »**ч^я = . — y e ) С 7 п У і 7 Г ) М ұ н д а ғ ы х п х 2 ,"•，х п - т а ң д а м а д а ғ ы в а р и а н т а л а р . Е н д і I n L функпиясын табайық ~ а У L n L = - п \ п ( 7 - п ' \ п У І І 7Г — — ------------- 2 2 функциясын е к і а й н ы м а л ы д а н т ә у е л д і ф у н к ц и я р е т і н д е карап，м а к с и м у м г е з е р т т е й м і з . . j X U , - )2 = ■■ = 0 - ! + é ________________= 0 j a j a < т 3 ム -” ' n s (ろ- 々)2 (7 * = \ - ^ -------------- = J D T н ү к т е л і к б а ғ а л а р ы н т а б а м ы з . М ү н д а б і р і н ш і б а ғ а ж ь ш ж ы м а ғ а н , а л е к і н ш і с і ж ы л ж ы ғ а н б а ғ а б о л а д ы . 18 Интервалдық бағалар Б і р санмен ғ а н а а н ы қ т а л а т ы н н ү к т е л і к б а ғ а , т а ң д а м а н ы ң квлемі аз бот'анда, өрескел категе соқтыруы м үм кін，сондықтан 30 ^ и н а қ т ы ң б е л г і с і з п а р а м е т р і н і ң и н т е р в а л д ы қ б а ғ а с ы н , я ғ н и 0 с ы 8 п а р а м е т р і ж а т а т ы н д а й М ) и н т е р в а л ы н б е л г і л і б і р с е н і м д і л і к п е н а й к ы н д а у Мәс е л е с і н қ а р а с т ы р а й ы қ .
А н ы к т а м а Ө параметрінің Ө * бағасы боиынша сенімділігі (сеңі^ ықтималдығы) деп \Ө-Ө*\<6 теңсіздігінің орындалу ьисги>ж1т у - ны айтады, яғни p(jö-<9*| く め = ハ бұл жерде Ô - бағаның дә А н ы қ т а м а {Ө *-5,Ө*+0)- интервалын сенімділіпмен алынған сенім • • интервалы деп атайды. С ө й л е м Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н с а н д ы к с и п а т т ы б е л г і шаманың белгісіз а математикалык үм ітін таңдамалық о р т а щ а ) арқылы / сенімділігімен бағалау үш ін мынадай сенімдід^ интервалдарын аламыз. а) Егер er - бас орташа квадраттық ауытқу белгілі болса, онда 一 . О - , , X j■ — t • < c t < x 7 + 1 — -ç= V« A/n t - с а н ы Ф ( 0 = — - ғ а т е ң б о л а т ы н д а й с а н о н ы Л а п л а с 2 функциясының мэндер кестесінен аламыз. б) Егер <т - белпсіз болса, онда хт — t — рг <а <хт +1 ■ —j= V « л/w М ұнда S-түзетіяген таңдамалық орташа квадраттық ауытқу, îr = n) ~ шамасы кестеден анықталады. С ө й л е м Қалыпты үлестіріммен берілген Х-ты ң бас орташа квадратгық ауытқуы - ны берілген сенімділігімен бағалау I үш ін мынадай сенімділік иытервалдарын аламыз 5(1- ) < ^(l + q \ ezepq < 1 О < a < 5(1 + ^), eaepq >Б ұ л ж е р д е q = q ( n , / ) - к е с т е д е н а л ы н а д ы . 162
20.2-2.13.0.8 … ゥィ :---------7=-------= 19,774. л/16 Ш ± ^ = 2 0 , 6 2 6 . л Д 6 сен. ? оны м ен с е н і м д і л і г і 0 , 9 5 б о л а т ы н б е л г і с і з a п а р а м е т р і м ы н а д а й и н т е р в а л ы н қ а н а ғ а т г а н д ы р а д ы : 1 9 , 7 7 4 a 2 0 , 6 2 6 . Е с е п т е р бағл ^ Р І л г е н т а ң д а м а а р қ ы л ы б а с о р т а ш а н ы ң ж ы л ж ы м а ғ а н С Ь ІН т а б ь щ ы з . М ы с а л v кездейсок шамасы орташа квадратгык ауытқуы び =5 қ а л ь п г г ы ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н . т а ң д а м а н ы ң о р т а ш а с ы б е л г і с і з м а т е м а т и к а л ы к a ү м і т т і б а ғ а л а у ү ш і н а л ь г н ғ а н и н т е р в а л ы н т а б ь щ ы з . Т а в д а м а н ы ң к ө л е м і п = 3 6 ж ә н е ^ с е н і м д і л і г і У = 0 , 9 5 . t __н Ы табамыз. 2 Ф ⑴ = 0 , 9 5 қ а т ь т а с ы н а н 0 ( t ) = 0 , 4 7 5 . К е с т е ^ й Ы Н А 13 的 л 9 6 з ) t = 1 , 9 6 . Б а ғ а л а у д ы ң д ә л д і п : $ = = = ■ノ = 0 9 8 с е н і м д і л і к j j g r e p B a J i b i： 一 ( j e - 0 , 9 8 ; X + 0 , 9 8 ) . М ы с а л ғ а , е г е р х = 4 1 ， о н д а с е н і м д і л і к н н т е р в а л ы н ь г ң с е н і м д і л і к ш е к т е р і х - 0 , 9 8 = 4 , 1 - 0 , 9 8 = 3 , 1 2 ; j + 0 , 9 8 = 4 ,1+0,9 8 = 5 ，0 8. Осылайша тандаманың белгілі мәндеріне сэйкес белгісіз а п а р а м е т р і н і ң м ә н і м ы н а т е ң с і з д і к т і қ а н а ғ а т т а н д ы р а д ы 3 , 1 2 < а < 5 , 0 8 . Е с к е р т у Р ( З Д 2 < а < 5 , 0 8 ) = 0 , 9 5 д е п ж а з у д ұ р ы с б о л м а й д ы . М ы с а л К ө л е м і п = 1 6 т а ң д а м а д а н т а ң ц а м а л ы о р т а ш а = 2 0 , 2 ж ә н е « т ү з е т іл г е н о р т а ш а к в а д р а т г ы қ а у ы т қ у » s = 0,8 т а б ы л ғ а н . С е н і м д і л і г і 0 ,9 5 б о л а т ы н с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы н ы ң к ө м е г і м е н б е л г і с і з м а т е м а т и к а л ы қ ү м і т т і б а ғ а л а . Ш е ш у і гг - н ы т а б а м ы з я ғ н и = 0 , 9 5 , я = 1 6 б о л ғ а н д а t r = 2 , l 3 . Е н д і с е н і м д і л і к ш е к т е р і н т а б а й ы қ : 163
3 6 9 12 n , 1 5 1 8 12 5 2 . Б е р і л г е н т а ң д а м а а р қ ы л ы б а с д и с п е р с и я н ь щ ж ь і лж ә н е ж ы л ж ы м а ғ а н б а ғ а л а р ы н т а б ь щ ы з . 5 12 1 3 1 5 20 n , 12 1 5 20 4 0 1 3 3 . X к е з д е й с о қ ш а м а с ы П у а с с о н ү л е с т і р і м і м е н б е р і л г е н нү ктел й м о м е н т т е р ә д і с і м е н б е л г і с і з п а р а м е т р Я - н ь щ б а ғ а с ы н т а б ь щ ы з . 4 . М о м е н т т е р ә д і с і м е н г е о м е т р и я л ы к ү л е с т ір щ ң щ Р (д * = m ) = ( 1 — p ) m _l . Р п а р а м е т р і р - н ы ң н ү к т е л і к б а ғ а с ы н т а б ы ң ы з . 5 . М о м е н т т е р ә д і с і м е н Г а м м а ү л е с т і р і м ы і ң f(x )= x ae-,lß l(ß a*'厂(а + l))l(a > -1,Д > 0, jc 之 0) б е л г і с і з п а р а м е т р л е р і м е н ß - н ы б а ғ а л а ң ы з . о . Ж о ғ а р ы д а г ы ( 3 , 4 , 5 ) е с е п т е р д і н е ғ ү р л ы м ш ы н д ы қ қ а ұқсас ә д і с п е н ш ы ғ а р ы ң ы з . 7 . Қ а л ы ш ы ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а қ т ы ң о р т а ш а к в а д р а т т ы қ а у ы т қ у ы н ， т а ң д а м а л ы қ о р т а ш а с ы н - х т т ү з е т і л г е н т а ң д а м а л щ о р т а ш а к в а д р а г г ы қ а у ы т к у ы н - s , т а н д а м а к ө л е м і н - n д е п а л ь ш , б е л г і с і з м а т е м а т и к а л ы қ ү м і т a 一 ы ы б а ғ а л а й т ы н с е н і м д ш к и н т е р в а л д а р ы н т а б ь щ ы з . а ) = 4 х т = 1 0 , 2 n = 1 6 , y = 0 , 9 9 б) <7 = 5 , x T = 1 6 , 8 , n = 2 5 , y = 0 , 9 5 в) s=3, xt =12, n=9, A = 0,99 r) s=7,2, xT =10, n=40, A = 0,95 8. Д е т а л ь д і ң д и а м е т р і а р н а у л ы с ы з ғ ы ш п е н 6 р е т о л ш е я д іӨ л ш е у л е р д і ң к е з д е й с о қ қ а т е л е р і н і ң о - с ы 0 , 4 - к е т е ң . С ь н г ь ш г г ь ® дәлдіпн = 0,999 сенімділігімен табыңыз. 9. Көлемі n болатындай тақдама арқылы түзетілгвй т а ң ц а м а л ы қ о р т а ш а к в а д р а т т ь щ а у ы т қ у s а н ы к т а л ғ а н . Қ а л ь Ш 1^ ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а к т ы ң б а с о р т а ш а к в а д р а т т ь щ а у ь г г к У 101 бағалайтын сенімділік интервалын сенімділігімен табьщыз. a) n=5, = 0,95, s=4，l 164
19 С та ти с ти ка л ы к болжамдарды тексеру. Н е гізгі Б о л ж а м л ы т е к с е р у д і ң ж а л п ы с х е м а с ы Ÿ f b i ^ a p * д н ы к т а м а С т а т и с т и к а л ы к б о л ж а м д е п - к е з д е й с о қ ш а м а н ы н Р . |М і н щ т ү р і н е м е с е ү л е с т і р і м п а р а м е т р л е р і т у р а л ы а л д ы н - Ѵл . - ^ я с а л а т ы н б о л ж а м д ы а й т а д ы . С т а т и с т и к а л ы қ б о л ж а м ^ а м а н ы к к е м е г і м е н т е к с е р і л е д і . a тдьімен нѳлдік болжам деп аталатын, тексерілуге тиіс Но к а р а с т ы р ы л а д ы . Б ү л б о л ж а м ғ а қ а р с ы б о л ж а м д ы альтернативті деп атап, Н ,әріпім ен белгілейміз. \іысалы:үлестірімнің белгісіз параметрі Ө туралы нөлдік болжам былай болса Но: Ѳ=Ѳо, онда Я 1:Ө (Н1 :Ө ). Б і р і н ш і т е к т і қ а т е - Н о б о л ж а м ы ж о к қ а ш ы ғ а р ы л ы п Н , б о л ж а м ы қ а б ы л д а н а д ы , б і р а қ н е п з і н д е Н о д ү р ы с . Е к і н ш і т е к т і қ а т е - Н о б о л ж а м ы н қ а б ь и ^ ц а и м ы з , б і р а қ н е г і з і н д е Н , б о л ж а м ы д ү р ы с . А н ы қ т а м а Б і р і н ш і т е к т і қ а т е ж і б е р у ы қ т и м а л д ы ғ ы н м а ң ы з д ы л ы қ д ең г е й і д е й м і з д е , a ә р і п і м е н б е л г і л е й м і з . Б о л ж а м д ы т е к с е р у д і ң ж а л п ы с х е м а с ы : 1 ) ү л е с т і р і м і б е л г і л і с т а т и с т и к а л ы к к р и т е р и й д е п а т а л а т ы н F к е з д е й с о қ ш а м а с ы е н г і з і л е д і . Б ұ л ш а м а н ы ң ә р т ү р л і е р к і н д і к д ө р е ж е л е р і б о л ы п , а л ү л е с т і р і м і қ а л ы п т ы , х и - к в а д р а т , С т ь ю д е н т , Ф и ш е р - С н е д е к о р ү л е с т і р і м д е р і м е н б е р і л у і м ү м к і н ; 2) т а ң д а м а л ы қ ( э м п и р и к а л ы к ) б е л г і л і д е р е к т е р г е с ү й е н е о т ы р ы п ， к р и т е р и й д і ң б а к ы л а н а т ы н м ә н і Ғ ^ , а н ы қ т а л а д ы ; 3 ) б е р і л г е н a м а ң ы з д ы л ы к д е ң г е й і н д е F ү л е с т і р і м н і ң с ы н н Үк т е л е Р І к е с т е с і а р қ ы л ы , к р и т е р и й д і ң с ы н д ы қ м ә н і - F 制 а н ы қ т а л а д ы ; 4 ) е г е р F < Ғ СЫН б о л с а , о н д а Н о б о л ж а м ы н ж о қ қ а ш ы ғ а р у ғ а Н е г Ь ж о қ ， а л е г е р F ^ > F CHH б о л с а , о н д а Н о б о л ж а м ы Қ абы л д а н б а й д ы . 165
Е г е р ү л е с т і р і м з а ң ы б е л г і с і з б о л с а , о н д а “ б а с ж и н а қ д бойынша улестірілген” ， - деген нөлдік болжам кел1С| к р и т е р и й л е р і а р қ ы л ы т е к с е р і л е д і . О л а р д ы ң б і р н е ш е т ү р і ^ П и р с о н к р и т е р и й і , К о л м о г о р о в к р и т е р и й і , С м и р н о в к р и т е р и й і т ^ Н о : “ б а с ж и н а қ қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н ” я ' ! б о л ж а м д ы т е к с е р у ү ш і н П и р с о н н ь щ к е л і с і м д і к х 2 к р и т е п ^ қ о л д а н ы л а д ы . С о н ы м е н һ қ а д а м ы м е н б і р к е л к і о р н а л а с қ а н т а ң д а м а б е р і л с ^ 20 Пирсонның келісімдік хи-квадрат критерийі X, X, Х 2 х 3 . . Хт п 2 п 3 . • п т Е н д і т е о р и я л ы қ ж и і л і к т е р д і т а б а м ы з Е н д е ш е м ы н а к е с т е а н ы қ т а л а д ы Э м п и р и к а л ы қ ж и і л і к т е р п , 7 п , .. Т е о р и я л ы қ ж и і л і к т е р « 1° ^2 «3 ° … П°т Т е о р и я л ы қ ж ә н е э м п и р и к а л ы қ ж и і л і к т е р д і ң б і р - б і р і н е н а у ы т қ у ы к е з д е й с о қ п а , б а қ ы л а у л а р с а н ы а з б а , ә л д е “ б а с ж и н а қ қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н ” д е г е н н ө л д і к б о л ж а м д ү р ы с е м е с п е ? О с ы с ү р а қ т а р ғ а П и р с о н к р и т е р и й і ж а у а п б е р е д і . Т е к с е р у с х е м а с ы : 1) с т а т и с т и к а л ы қ к р и т е р и й р е т і н д е м ы н а к е з д е й с о қ ш а м а с ы н а л а м ы з ，(％ - 打丨0)2 Б ұ л ш а м а - е р к і н д і к д ә р е ж е с і K = s - l - r б о л а т ы н , х и - к в а д р о ү л е с т і р і м м е н т а р а л ғ а н к е з д е й с о қ ш а м а . М ү н д а ғ ы s т а ң д а м а д а ғ ы т о п т а р с а н ы , г - ү л е с т і р і м п а р а м е т р л е р і н і ң с а н ы . 2) б е р і л г е н д е р е к т е р г е с ү й е н е о т ы р ы п , к р и т е р б а қ ы л а н а т ы н м ә н і н а н ы к т а й м ы з іИ Й Д ^ 166
3) берілген a маңыздылық деңгейшде, хи 一 квадрат ірімнін сын нүктелері кестесі арқылы хіы («； критерийдің мәнін анықтаймыз. сЫ 4 ) егер x L < ХІ,н(^；к) ~ нөлдік болжамды ж оққа шығаруға つ »сок, ал егер xLk > x L M ^ k) - нөлдік болжам қабылданбайды. Мысал Эмпирикалық және теориялық ж иіліктер берілген Э м п и р и к а л ы к 5 13 39 75 105 83 32 14 Теориялык ж и і л і к т е р п * 3 1 5 4 1 8 0 1 0 1 77 3 8 1 3 Берілген а - 0,05 маңыздылық деңгешнде бас жинақты ң қалыпты үлестірілгендігі туралы болжамды тексеріңіз. Шешуі 、 Критерийдін бақыланатын мәнін анықтау үш ін төмендегі кестені құрамыз.__________ » , < » , - и .° ( " . - w.°)2 337728877 ^^15 647 3 ， 2, о , 3 ， 1 ， 4’ 94 ， looooon^ - o 2 135 6 6 2 2 5 4 6 6 3 1 5W 8 0 101 7 7S 1 3 5395 3 5324 5137831 167
С о н ы м е н z L K = 3 , 6 6 , а л к р и т е р и й д і ң е р к і н д і к д ә р е ж е с | г = 5 , с е б е б і s = 8, г = 2 ( қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м е к і п а р а м е т р し а н ы қ т а л а д ы ) . О н д а т а б л и ц а д а н ^ 1 , ( ° » 05 5 ) = 1 1 ,1 . С о н ы м е н z L < Х І ы н ~ н ө л д і к г и п о т е з а н ы ж о қ қ а ш ы ғ а р у ^ ；; ж о қ . 2 1 Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а қ т ь і ң .д и с п е р с и я л а р ы н с а л ы с т ы р у ] X ж э н е У қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а қ т а р д а н к ө л е м п , п х ж ә н е п 2 - г е т е ң б о л а т ы н т а ң д а м а л а р а л ы н ы п , о л а р д ^ І т ү з е т і л г е н т а ң д а м а л ы қ д и с п е р с и я л а р ы ж ә н е т а б ы д ^ Н Б е р і л г е н a м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е и і н д е м ы н а н ө л д і к б о л ж а м д ы т е к с е р е и і к , С т а т и с т и к а л ы қ к р и т е р и й р е т і н д е т ү з е т і л г е н г а ң д а м а л ы қ д и с п е р с и я л а р д ы ң ү л к е н і н і ң к і ш і с і н е қ а т ы н а с ь ш а л а м ы з ш а м а с ы е р к і н д і к д ә р е ж е л е р і к ] = m j - 1, к 2 = т 2 - 2 б о л а т ы н , Ф и ш е р - С н е д о к о р ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н к е з д е й с о к ш а м а . Бүл ж е р д е т у - S y - қ а с э й к е с т а ң д а м а н ь щ к ө л е м і . m , S : - қ а с э й к е с т а ң д а м а н ь щ к ө л е м і . Е н д і б е р і л г е н д е р е к т е р б о й ы н ш а а н ы қ т а и м ы з , о д а н к е й і н Ф и ш е р - С н е д о к о р ү л е с т і р і м і н і ң с ы н н ү к т е л е р і к е с т е с і н е н F CbIM( o r , / f j , ^ 2 ) - н ы т а б а м ы з , с о н д а е г е р < Ғ сии б о л с а , о н д а н ө л д ік б о л ж а м д ы қ а б ы л д а м а у ғ а н е г і з ж о қ , а л Ғ ш > б о л с а н ө л д ік б о л ж а м қ а б ы л д а н б а й д ы . H o : D ( x ) = D ( y ) 1: D ( x ) > D ( y )
бакталас б о л ж а м £ C K ^ P J > Е г е р „ т е р и й д і н с ы н д ы к м ә н і м ы н а м ы н а т ү р д е б е р і л с е ( Я , : D ( x ) ^ D { y ) ) Ғ мн — Л-,; к 2 с а н ы н а т е ң дплаД1*1* _ 1 М ь * с а л К о л е й д е т а л ь д а р ж а с а й т ы н е к і а в т о м а т т а н д ы р ы л ғ а н р д ы н д ә л д і к т е р і н с а л ы с т ы р у м а қ с а т ы м е н , б і р і н ш і с т а н о к т а 雄 детальдардьщ 10- ы , а л е к і н ш і с і н д е ө н д е л г е н д е р д і ң 8 - і мынадай д е р е к т е р а л ы н д ы 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1，40 у j 1,12 1 , 1 8 1 , 2 2 1 , 3 3 1 , 3 5 1 . 3 6 1 , 3 8 1 , 4 2 ö = 0,05 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е “ е к і с т а н о к б і р д е й д ^ щ І к п е н ж ү м ы с і с т е й д і ” д е г е н н ө л д і к б о л ж а м д ы “ е к і н ш і с т а н о к г ы ң д ә л д і г і ж о г а р ы р а қ ” д е г е н а л ь т е р н а т и в т і б о л ж а м ғ а щ м п ы т е к с е р і ң і з . Ш е ш у і Е г е р б і р і н ш і с т а н о к т а н ш ы ғ а р ы л а т ы н д е т а л ь д а р д ь щ ө л ш е м і н X ，а л е к і н ш і с і н е н ш ъ г ғ а р ы л а т ы н д а р д ы ң ө л ш е м і н Y д е с е к — б ү л а р к а л ы п т ы т а р а л ғ а н б а с ж и н а қ т а р . О л а й б о л с а с т а н о к т а р д ы ң д ө д д ік т е р ін а ( х \ с т { у ) ш а м а л а р ы с и п а т т а й д ы . Е г е р < t ( jc ) = a { y \ D ( x ) = л ( ^ ) ) б о л с а , о н д а д ә л д і к т е р і б і р д е й болады, ал <г[х)>(т{у), (d(x)> D(y)) онда екінш і станоктың дәлдігі ж о ғ а р ы р а қ б о л ғ а н ы . С о н ы м е н м ы н а д а й б о л ж а м д ы т е к с е р у к е р е к : Н о : D ( x ) = D ( y ) 1: D ( x ) > D ( y ) Б е р і л г е н ѳ л ш е у д е р е к т е р і н к ѳ л е м д е р і и , =10 п 2 =8 б а с ^ и н а қ т а н а л ы н ғ а н т а ң ц а м а л а р д е п а л ы п , о л а р д ы ң т ү з е т і л г е н Та^Цамалық дисперсияларын табамыз. 5Л2 =0,0188,5^ =0,0124. О л а й б о л с а S ү л к е н ~ = 0 ,0 1 8 8 4 = 0 , 0 1 2 4 б а қ ы л а н а т ы н м ә н і ：10 Критерийд!；1Ң 169
ғ б ш = т т = 1.5 1 6 5 2 し (0.05;9;7) = 3,63, яғни Ғеак< な Олай болса нөлдік болжамды ж оққа шығаруға негіз яғни станоктардьщ дәлдіктері бірдей деп айта аламыз. 22 Т а ң д ^ м а л ы қ о р т а ш а н ы б а с о р т а ш а н ы н г и п о т е т и к а л и ( а л д ы н - а л а ұ й ғ а р ы л ғ а н ) м ә н і м е н с а л ы с т ы р у Қалыпты үлестіріммен берілген бас жинақ Х-тан кездейсоқ теріліп алынған таңдама арқылы мына болжамды Но: а=а0 a ^ а 0 ьұл жерде а0-бас орташаның гипотетикалық мәні. 1) статистикалық критерий мына формуламен анықталады T Х^-бас орташа. Бұл - еркіндік дәрежелері к=п-1 болатын Стьюдент үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. 2) к р и т е р и й д і ң б а қ ы л а н а т ы н м ә н і а н ы қ т а л д ы : т _ ( Х Г - a Q\ J n 1 БАК ~ — S 3 ) к р и т е р и й д і ң с а н д ы қ м ә н і б е р і л г е н a м а н ы з д ь ш ® деңгейінде Стьюденттің екі жақты сын нүктелері кестесінен анықталады Тсыи -畜 екіжщсын (び，ん) 4 ) е г е р |т j Т сыи б о л с а - н ѳ л д і к б о л ж а м д ы ж о қ қ а ш ы ғ а р У ^ негіз ж оқ, ал егер болса онда болжам қабылданбаиД^ Критерийдің сындық мәні 170
М ь * с а Л Станок-автоматта ж о н ы л а т ы н д е т а л ь д ь щ п р о е к п л і к: д и а м е т р і - 5 5 м м б о л у ы т и і с . ній к е з д е й с о к а л ы н ғ а н 20 д е т а л ь д ь щ д и а м е т р л е р і н ѳ л ш е г е н д е ^ д а й д е р е к т е р а л ы н д ы : 5 4 , 8 5 4 , 9 5 5 , 0 5 5 , 1 5 5 , 3 2 3 4 6 5 = 0 ,0 5 маңыздылық деңгейінде мына нөлдік болжамды - е р і н і з . Н о а - а 0 Ш е ш у і Таңдамалық о р т а ш а н ы ж ә н е т ү з е т і л г е н т а в д а м а л ы қ о р т а ш а квадратгык а у ы т қ у д ы а л д ы ң ғ ы т а р а у л а р д а а й т ы л ғ а н т ә с і л д е р м е н есептесек, Х г = 55,07, s = l , 1 5 м ә н д е р і н т а б а м ы з , я ғ н и ( 5 . 4 . 2 ) арқылы (55,07 - 55)>/20 0,15 2,15 Е н д і к е с т е д е н Т м н = ( екіжтсын ( 0 , 0 5 ; І 9 ) = 2 , 0 9 с ы н д ы қ м е н і н т а б а м ы з . О л а й б о л с а Т > б о л ғ а н д ы қ т а н н ѳ л д і к б о л ж а м қ а б ы л д а н б а й д ы , с т а н о к п р о е к т і л і к д ө л д і к г г і қ а м т а м а с ы з е т п е й д і д е п а й т а м ы з . Е с е п т е р 1 . Б а с ж и н а қ X қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н д е г е н б о л ж а м а р қ ы л ы Э М Ш іР и к а - л ы қ ( w . ) ж ә н е т е о р и я л ы қ ( w f ) ж и і л і к т е р а р а с ы н д а ^шақтықтың кездейсоқтығын немесе маңыздылығын a ~ 0,05 М а ң ы зД Ы Л ы қ д е ң г е й і н д е П и р с о н к р и т е р и й і а р қ ы л ы т е к с е р і ш з . 5 10 1 5 20 2 5 п , 6 1 4 1 8 7 5 171
6 8 1 3 1 5 1 6 20 5 9 1 4 1 6 I V — X , 4 1 9 3 2 2 5 20 10 5 1 8 2 9 21 1 8 Y 2 . Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н Х ，У б а с ж и н а қ т а р ь ш а н к е з д е й с о қ алынған, көлемдері я, =9,п2 =16 болатын таңдамалардың түзетілген дисперсиялары S】=34,02，Sj =12,15zr = 0,05 маңыздылық деңгейіңде мына болжамды тексеріңіз Ho: D(x>=D(y) H,: D(x)>D(y) 3 . Ж о ғ а р ы д а ғ ы е с е п т і б а қ т а л а с б о л ж а м ' H l ：D ( x ) n ：D ( y ) б о л г а н д а « = 0，02 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е ш ы ғ а р ь щ ы з . 4 . Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а қ т а р д а н м ы н а д а й т а ң д а м а л а р а л ы н ғ а н X, 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 П/ 2 3 1 10 3 У> 2,03 2,06 2,09 2,12 3 1 4 2 а ) ö = 0,01 м а ң ы з д ь ш ы қ д е ң г е й і н д е м ы н а б о л ж а М Д Ь * т е к с е р і ң і з Ho: D(x)=D(y) Н1：D(x)>D(y) . б) öt = 0，】 маңыздылық деңгейінде мына болжамды тексеру Но: D(x)=D(y) H,: D(x)^D(y) 172
e \ в т о м а т т а н д ы р ы л ғ а н ц е х т а ж а с а л ы н а т ы н п о р ш е н ь д е р д і ң й* ө л ш е м і а = а 0 = 7 6 м м б о л у ы т и і с . Қ о й м а д а ғ ы д а й ы н ( п о р ш е н ь ) і ш і н е н б і р н е ш е у і к е з д е й с о к т е р і л і п , о л а р д ы н ^ а м е т р л е Р * н ѳ л ш е г е н д е ? м ы н а д а й д е р е к т е р а л ы н д ы 0 2 7 5 ^ 9 4 7 5 9 6 7 5 」9 8 7 6 . 0 7 6 ^ _ - 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е и і н д е , “ ц е х т а ғ ы с т а н о к т а р р о е к т і л і к д ә л д і к т і қ а м т а м а с ы з е т е д і ” д е г е н б о л ж а м д ы т е к с е р і ң і з . 6. Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н Х ，У б а с ж и н а қ т а р ы н а н к е з д е й с о қ а л ы н ғ а н , к ө л е м д е р і / і, = 9 , л 2 =6 т а ң д а м а л а р ы ү ш і н D T( x ) = U A D r (ァ) = 20，5. д = 0Д м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е и і н е м ы н а б о л ж а м д ы т е к с е р і ң і з D ( x ) = D ( y ) H , : D ( x ) D ( y ) 7 . Қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н б а с ж и н а қ т а н а л ы н Л н , к ө л е м і п = 1 6 т а в д а м а ү ш і н х = 1 1 8 , 2 ж ә н е S = 3 , 6 а н ы қ т а л д ы . а = 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е м ы н а б о л ж а м д ы т е к с е р і ң і з Н о : а = 1 2 0 Н , : а ^ 120 8. Қ а т а ң ж ү й е м е н с а т у ғ а а р н а л ғ а н д ә р і н і ң ә р т а б л е т к а с ы 2 г б о л у ы т и і с е д і . 1 9 6 т а б л е т к а л а р д ы к е з д е й с о қ т е р і п а л ы п ө л ш е г е н д е Зс = 2 , 3 S = 0,6 а н ы қ т а л д ы . О с ы д ә р і н і а у р у л а р ғ а б е р у г е б о л а м а ? ( Н ү с қ а у : а = о ,01 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е Н о : а = 2 , Н ,： а > 2 Б о л ж а м ы н б і р ж а қ т ы с ы н о б л ы с ы ү ш і н т е к с е р у к е р е к , д ә р і т а б л е т к а л а р ы н ы ң с а л м а ғ ы н қ а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н к е з д е й с о қ ш а м а Д е п е с е п т е ң і з ) . 22 Д и с п е р с и я л ы қ т а л д а у э л е м е н т т е р і П р а к т и к а л ы қ қ а ж е т т і л і к т е н т у ы н д а й т ы н к ө п т е г е н е с е п т е р д е ^ Р і Т е л і н е т і н э к о н о м и к а л ы қ к ө р с е т к і ш т е р ә р т ү р л і ф а к т о р л а р д а н б о л у ы м ү м к і н . К ө п т е г е н ф а к т о р л а р ғ а с а н д ы қ ^ " • г г а м а л а р ь і ж о қ , о л а р д ы н , т е к с а п а л ы қ ә с е р і б о л а д ы . М ы с а л ғ а ң° м и к а л ы қ к ө р с е т к і ш р е т і н д е ж ү м ы с ө н і м д і л і г і н қ а р а с т ы р с а қ , 173
о н д а ц е х т а ғ ы е ң б е к т і ү й ы м д а с т ы р у - о с ы к ө р с е т к і ш к е 如 т и г і з е т і н с а п а л ы қ ф а к т о р о л а р д ь щ з е р т т е л і н і п о т ы р ғ а ң С а ^ с и п а т т ы б е л г і г е ( э к о н о м и к а л ы қ к ө р с е т к і ш к е ) ә с е р і н і ң т е к с е р у ү ш і н д и с п е р с и я л ы қ т а л д а у д е п а т а л а т ы н с т а т и с т щ с а т ә с і л қ о л д а н ы л а д ы . С а п а л ы қ ф а к т о р л а р д ы ң с а н ы н а қ а р а й ф а к т о р л ы , е к і ф а к т о р л ы , т . с . с . д и с п е р с и я л ы қ т а л д а у ү г ь ш е н г і з і л е д і . 2 3 Б і р ф а к т о р л ы д и с п е р с и я л ы қ т а л д а у Б ұ л ж а ғ д а й д а з е р т т е л і н і п о т ы р ғ а н X с а н д ы қ с и п а т г б е л г і с і н е б і р ғ а н а с а п а л ы қ ф а к т о р д ы ң ә с е р і н і ң б а р - 5к оғь. т е к с е р і л е д і . С а п а л ы қ ф а к т о р д ы ң m д е ң г е й і н і ң ә р қ а й с ы с ь щ д а с а н д ы қ с и п а г г ы б е л г і ы і ң n l , n 2 1 . . . t n m б а й қ а л ғ а н м ә н д е р і с ь ін а қ а р қ ы л ы а н ы қ т а л а д ы . С о н ы м е н , м ы н а д а й ш а м а л а р а н ы қ т а л а д ы a ) С а н д ы қ с и п а т т ы б е л г і н і ң б а й қ а л ғ а н м ә н д е р і xfa, i = l,m y = І Д і б ) Б а й қ а у л а р д ы ң ж а л п ы с а н ы /=і в ) Г р у п п а л ы қ о р т а ш а л а р г ) Ж а л п ы л а м а о р т а ш а д ) Ф а к т о р л ы қ д и с п е р с и я
J ■ А р ы к а р а й , е г е р с а п а л ы қ ф а к т о р з е р т т е л і н і п о т ы р ғ а н э с е р е т п е с е , о н д а г р у п п а л ы қ б а с о р т а ш а л а р M ( 3 c J = a , К. е й б о л у л а р ы қ а ж е т , я ғ н и с а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ к ө р с е т к і ш к е і н і н б а р - ж о ғ ы н т е к с е р у ү ш і н б е р і л г е н a м а ң ы з д ы л ы қ м ы н а н ө л д і к г и п о т е з а н ы т е к с е р у к е р е к : ^çf=ax =^2 =û3 = …ニ、 0 д ү ш і н м ы н а д а й с т а т и с т и к а л ы к к р и т е р и й а н ы қ т а л а д ы г , ^ факт F = — ^ ~ ~ e) Қ зл д ь^ дисперсия Б ұ л - е р к і н д і к д э р е ж е л е р к-, = m - 1 , к 2 = п ~ - т б о л а т ы н , Фшпер-Снедокор ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н к е з д е й с о қ ш а м а . Е н д і с ы н а қ н ә т и ж е л е р і н е қ а р а й о т ы р ы п к р и т е р и й д і і ^ б а қ ы л а н а т ы н м ә н ін е с е п т е й м і з , о д а н к е й і н Ф и ш е р - С н е д о к о р ү л е с т і р і м і н і ң с ы н н ү к т е л е р і к е с т е с і а р қ ы л ы к р и т е р и й д і ң с ь ш д ы қ м ә н і н ( W 2)_服 а н ы к т а й м ы з . С о н д а , е г е р < Ғ сын б о л с а , о н д а Н о г и п о т е з а с ы н ж о қ қ а ш ы ғ а р у ғ а н е г і з ж о қ б о л а д ы , е г е р Ғ бак > Ғсын б о л с а , о н д а н ө л д і к г и п о т е з а қ а б ы л д а н б а й д ы , я ғ н и с а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ з е р т т е л і н і п о т ы р ғ а н к ө р с е т к і ш к е т и г і з е т і н ә с е р і м о л д е п а й т а а л а м ы з . Мысал Б і р т и п т е с ө н і м ш ы ғ а р а т ы н ү ш ф а б р и к а д а ғ ы м а м а н д ы қ т а р ы б ір д е й ж ұ м ы с ш ь ш а р д ы ң е ң б е к ө н і м д і л і г і н е б і р с а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ ( е ң б е к т і ұ й ы м д а с т ы р у д ы ң ) т и г і з е т і н ә с е р і н а - 0 , 0 5 м а ң ы з д ы я ы қ д е ң г е й і н д е а н ы қ т а у к е р е к . Б ұ л е с е п т е с ы н а қ а р қ ы л ы а н ы қ т а л ғ а н ж ұ м ы с ш ы л а р д ы ң е ң б е к ө н і м д і л і п б а з а я ы к е ң б е к ® 1Д і л ш р е т і н д е қ а б ы л д а н з ғ а н б і р л і к к е қ а т ы н а с ы а р қ ы л ы Төм е н д е г і к е с т е с і б е р і л г е н : 175
Реп ік нөмірі j п и в Ш еш у! С о н ы м е н /?, = 5 ; «2 = 3 ; / і3 = 4 ; / i = 12; m = 3 ; Е н д і г р у п п а л ы қ о р т а ш а л а р д ы а н ы қ т а й м ы з 1 ,3 + 1 , 2 7 + 1 , 0 9 + 1 , 0 1 + 1 , 0 9 1 ,1 5 2 n i y=i j 1 谷 1,27+ 1,05+ 1,24 +1,22 _ 101 С о н д а ж а л п ы л а м а о р т а ш а — 1 芒 み 5 , 7 6 + 3 , 9 8 + 4 , 8 4 1 Л І = : 2 ^ » = ---------- ^ ---------- = U 1 А р ы қ а р а й , ф а к т о р л ы қ д и с п е р с и я н ы т а б а м ы з 丄 ^ •(1,52 一 1,21)2 + 3.(1,327 -1,21)2 + 4.(1,195 一 1,21)2]= 0,0294 Іфакт Е н д і қалыпты д и с п е р с и я н ы т а б у ү ш і н м ы н а таблицань* қ ұ р а м ы з 176
\Х І2 - )2 ■ Л、 J 2 0 , 0 0 5 3 0 , 0 0 0 7 0,0022 0 , 0 7 5 - 0 , 1 4 5 0 , 0 4 5 0 , 0 2 5 0 , 0 0 5 6 0,021 0,0020 0 , 0 0 6 Кесте 2 0 , 0 6 3 5 0 , 0 0 8 2 0 , 0 2 9 2 F бак С о н ы м е н 0 , 0 2 9 4 0,0112 ^ 2 к а - ( 0 , 0 6 3 5 + 0 , 0 0 8 2 + 0 , 0 2 9 2 ) = 0 , 0 1 1 2 . 2 , 6 2 5 , О н д а а л к е с т е д е н Ғ сы и( 0 , 0 5 2 9 ) = 4 , 2 6 , о с ы д а н Ғ 6а к Ғ сын я ғ н и с а п а л ы қ ф а к т о р е ң б е к ѳ н і м д і л і г і н е э с е р е т п е й д і д е п а й т а а л а м ы з . Е с е п т е р І . С а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ 4 д е ң г е й і н д е ж ү р г і з і л г е н с ы н а қ т а р д ы ң н ә т и ж е с і т ө м е н д е г і к е с т е д е б е р і л г е н . Д и с п е р с и я л ы қ т а л д а у ә д і с і м е н 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е г р у п п а л ы қ б а с ° р т а ш а л а р д ы ң т е ң д і г і т у р а л ы н ө л д і к г и п о т е з а н ы т е к с е р у к е р е к 57 61 Р е т т і к н ө м і р і X j： / J 7 724и о о p，Q， も 9 9 8 18 о о о о о о о о о о 2 10 2 0 13 3 0 3 4 8 1 8 ) 6 2 [ 4 2 ) 6 2 4 5 5 6 7 0 8 7 5 5 6 6 6 4 6 14 6 5 5 5 2 4 5 177
2.14 с ы н а қ т ы ң 7-уі с а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ б і р і н ш і деңге和 1 3 - у і е к і н ш і д е ң г е й і н д е , а л 4 - у і ү ш і н ш і д е ң г е й і н д е ж ү р г і з і л д і ，| a = 0,01 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е о с ы ф а к т о р д ы ң з е р т т е л * . ^ о т ы р ғ а н к ө р с е т к і ш к е ә с е р і н і ң б а р - ж о ғ ы н т е к с е р у қ а ж е т . へ 11 н ә т и ж е л е р і т ө м е н г і к е с т е д е б е р і л г е н 3 . С а п а л ы қ ф а к т о р д ы ң 5 д е ң г е й і н д е ж ү р г і з і л г е н с ы н а қ т а р д ы ңн ә т и ж е с і т ө м е н д е г і к е с т е д е б е р і л г е н . а = 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е и і н д е г р у п п а л ы қ б а с о р т а ш а л а р д ы ң т е ң д і г і т у р а л ы н ө л д ік г и п о т е з а н ы т е к с е р у к е р е к 4 . а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ 6 д е ң г е й і н д е ж ү р г і з і л г е н с ы н а к т а р д ы н н ә т и ж е с і т ө м е н д е г і т а б л и ц а д а б е р і л г е н . a = 0,01 маңыздылык д е ң г е й і н д е г р у п п а л ы қ б а с о р т а ш а л а р д ы ң т е ң д і г і т у р а л ы н ө л д ік т е к с е ^ к е р е к . ■IРеттік нөмірі Реттік нөмірі Реттік нөмірі 2 3 4 4 6 3 17 5 5 6 9 3 3 5 5 6 6 4 8 4 6 5 5 5 6 18 6 4 5 5 5 5 2 6 4 8 112 25 9 2 8 7 8 8 9 4 7 8 4 8 8 9 3 7 7 8 8 8 80 0 2 6 163 2 3 2 6 0 8 0 6 2 5 6 7 5 6 6 6 8 0 3 4 4 5 3 7 3 4 5 8 4 10 3 3 3 4 ，，，9 9 -3 3 3 3 30 2 4 5 6
5 Қ а л а д а ғ ы 5 а в т о б у с п а р к і н д е а в т о б у с т а р д ы ң ж ү р у е с і н б ү л ж ы т п а й о р ы н д а у ы к е з д е й с о қ т а ң д а м а л ы қ т ә с і л м е н ^ Б а з а л ы қ б і р л і к к е қ а т ы н а с ы б о й ы н ш а б е р і л г е н о с ы С а п а л ы қ ф а к т о р д ь щ 4 д е ң г е й і н д е ж ү р г і з і л г е н с ы н а қ нәтижелері т ө м е н д е г і к е с т е д е б е р і л г е н . а - 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ деңгейінде г р у п п а л ы қ б а с о р т а ш а л а р д ы ң т е ң д і г і т у р а л ы н ө л д і в г и п о т е з а н ы т е к с е а = 0,01 м а ң ы з д ы л ы қ о р т а ш а л а р д ы ң т е ң д і г і т у р а л ы д е ң г е й і н д е г и п о т е з а н ы т е к с К Н І г р у п п а л ы қ т е к с е р і ң і з . б а с Q6 199 0 8 3 7 4 7 Р е т т і к н ө м і р і Реттік нөмірі 1,21 1 , 1 6 1 , 5 1 1 , 3 7 , 3 4 1 , 3 8 1 , 4 3 4 2 5 8 6 7’ ф 4 4 6 111 о 6 フ 2 5 8 6 8 6 9 9 9 6 6 6 7 15 8 0 111 э 5 5 6 6 12 3 0 8 IL II и 1 5 6 6 45666678 65024642 и и 13 14 17’ 3 6 5 7 5 3 6 3 ’ 2 4 5 4
8. « = 0，05 маңыздылык д е ң г е й і н д е т ө м е н д е г і болжамды т е к с е р і ң і з . Н о : 2 4 « Б ю ф ф о н е с е б і » Ж а з ы қ т ы қ т а б і р - б і р і н е н 2 а к а ш ы қ т ы қ т а о р н а л а с қ а н п а р а л е л ь т ү з у л е р с ы з ы л ғ а н б о л с ы н . Ж а з ы қ т ы к к а қ а л а й б о л с а с о л а й ү з ы н д ы ғ ы 21 ( 1 < а ) и н е л а қ т ы р с ы н . И н е н і ң ә й т е у і р б і р т ү з у д і қ и ю ы қ т и м а л д ы ғ ы қ а н д а й ? Ш е ш у і X а р қ ы л ы и н е н і ң о р т а с ы н а н е ң ж а қ ы н ж а т қ а н т ү з у г е д е й ін п қ а ш ы қ т ы қ т ы а л ф а р қ ы л ы с о л т ү з у м е н и н е н і ң а р а с ы н д а ғ ы б ү р ы ш т ы б е л г і л е л і к . ( с у р е т - А ) . Ә р и н е , х п е н ф и н е н і ң ж а ғ д а й ы н ю л ы к а н ы қ т а й д ы . Э л е м е н т а р л ы қ о қ и ғ а л а р к е ң і с т і г і т і к т ө р т б ү р ы ш б о л а д ь * * Е = { ( х , ( р \ 0 < , х < 1 , 0 < ( р < л : } . Ә р б і р (X，ф ) е Е н ү к т е с і т е ң м ү м к і н д і г і Дで ұ й ғ а р а м ы з . И н е т ү з у д і x s / s i n ш а р т ы о р ы н д а л ғ а н д а ғ а н а к и я д ы . а р қ ы л ы ( с у р е т - В ) ш т р и х п е н к ө р с е т і л г е н о б л ы с т ы б е л г іл е Д І К ' Реттік нөмірі 3 36 7 НӨМфІ 8 9 9 8 3 4 2 2 2 27 3 9 9 2 2 2 3 4 0 6 0
；x </sin<z>, {хуу )^ Е } P(A) m(A) 少) 一 r ' • ' m{E) ^ К ^ д і ы к т и м а л д ы қ т ы т а б а м ы з ф о р м у л а н ы п а й д а л а н ы п , J / s i n (pd(p Р {0 - 2 1 ак Осы ( ф о р м у л а а р к ы л ы 7С с а н ы н , т ә ж і р и б е ж ү р г і з е о т ы р ы п , е с е іг г е у г е б о л а т ы н ы н е с к е р т е к е т е л і к . И н е ж а з ы қ т ы қ қ а п р е т л а к т ь ір ы л ғ а н б о л с ы н ж э н е т ү з у д і и н е m р е т қ и ы п т ү с с і н д е л і к . С о н д а 5К И ІЛ ІК Т ІК ы к т и м а л д ы қ б о й ы н ш а — ж и і л і г і Р ( С ) ы қ т и м а л д ы ғ ы н а „ 2 1 т 2 l n ясакынд^иды, д е м е к , — ~ —, о ұ д а н я « — . 21 Y N С у р е т - А HMС у р е т - В 2 5 « К е з д е с у т у р а л ы е с е п » Екі адам, А м е н В , [ 0 , Т ] у а қ ы т а р а л ы ғ ы н д а б і р - б і р і м е н Кез д е с у г е к е л і с к е н . У ә д е л і ж е р г е б і р і н ш і к е л г е н і е к і н ш і с і н у а қ ы т 卿 ®Де күтіп, с о д а н к е й і н к е т е т і н б о л ғ а н . К е з д е с у б о л а т ы н д ы ғ ы н ы ң ■ ^ • в Д Д ы ғ ь ш т а б у к е р е к . 181
X А - н ы ң у В - н ы ң у ә д е л і ж е р г е к е л у у а қ ы г г а р ы б о л с ь ш э л е м е н т а р о қ и ғ а л а р к е ң і с т і г і Е = { ( д г , > ) : д：е [ 0 , Г ] , у е [ 0 , Г ] } б о л а д ы А м е н В - н ы ң к е з д е с у і ү ш і н \ х - у \ < г т е ң с і з д і г і о р ы ң ^ " к е р е к . С ө й т і п , D - с у р е т і н п а й д а л а н ы п , к е з д е с у ө ң і р і б о л а т ь ^ о б л ы с ы н ж а з а м ы з : С = { ( д ：, > ) : |л - >^| < г ,0 ^ г < г } . Е н д і о с ы С о қ и г а с ы в ы қ т и м а л д ы ғ ы н е с е п т е й м і з . Т 2 - ( Т - т ) 2 Шешуі Р(С)-- Д е р б е с ж а ғ д а й д а ，е г е р Т = 1 , т = - б о л с а ，о н д а Р ( С ) = 1- С у р е т - D 2 6 Е с е п А Х а л ы қ а р а л ы қ қ а р ж ы қ о р ы н ы ң м ү ш е с і 1 0 0 м е м л е к е т т і ң 3 5 3 3 2 6 3 4 4 3 2 4 3 3 9 3 3 2 3 2 4 3 4 4 3 4 9 3 4 8 3 1 6 3 2 9 3 5 4 3 5 8 3 0 2 3 2 5 3 2 4 3 5 1 3 4 1 3 1 2 3 3 1 3 5 1 3 0 4 3 4 5 3 3 2 3 8 2 3 4 2 3 9 6 3 4 1 3 5 3 3 1 8 3 2 5 3 5 4 3 3 8 3 2 1 J 9 8 _ 3 7 6 3 5 5 3 8 2 3 4 2 3 7 4 3 5 4 3 5 8 3 3 2 ^ 68_ 3 4 4 3 7 6 3 2 4 3 3 9 3 7 2 3 6 6 3 8 1 3 3 4 3 6 9 3 7 1 3 1 2 3 3 4 3 6 1 3 0 4 3 6 2 3 5 4 3 6 6 3 7 8 3 5 2 3 6 2 3 5 6 3 6 4 3 7 2 3 4 2 3 4 4 3 4 6 3 5 3 3 3 6 3 6 4 3 5 2 3 4 8 3 4 7 3 6 8 3 2 9 3 3 5 3 6 3 z 3 7 8 3 4 2 3 5 4 3 6 3 3 6 1 3 6 6 3 5 4 3 6 4 182
С т а Т й с т и к а д а ғ ы е ң н е г і з г і е с е п . ^ е м е н д е г і а м а л д а р д ы о р ы н д а у к а ж е т : 1 1 3 0 0 д е н б а с т а п ( и н т е р в а л а р а л ы ғ ы 10- н а н ) д и с к р е т т і H L v i b i K к а т а р к ұ р . ( ж а з ) 2 Г и с т о г р а м м а м е н п о л и г о н ( с а л ы с т ы р м а л ы ж и і л і к т і ң ) ^ ^ М о д а м е н м е д и а н а н ы т а п . 4 Э м п и р и к а л ы қ т а р а л ы м ф у н к ц и я с ы н т а п , г р а ф и г і н (сү яб Х а ң д а м а н ы ң с а ы д ы қ с и п а т т а м а л а р ы н т а п : о р т а ш а дисперсия, о р т а ш а к в а д р а т а у ы т қ у , а с с и м е т р и я ж э н е эксцесс. 6. Т а р а л ы м з а н д ы л ы ғ ы ж ѳ н і н д е б о л ж а м . 7. Т е о р и я л ы к ж и і л і к т і е с е п т е . 8. П и р с о н н ь щ к е л і с і м к р и т е р и й і н п а й д а л а н ы п т э ж і р и б е м е и т е о р и я н ы ң а й ы р м а ш ы л ы ғ ы н е с е п т е . 9. Т а р а л ы м Г а у с с ү л е с т і р і м і м е н б е р і л с е ， м а т е м а т и к а л ы к ү м іг г ің ( к ү т і м і н і ң ) с е н і м д і л і к а р а л ы ғ ы н а н ы қ т а . Ш еш уі 、 А р а л ы к в а р и а ц и я л ы қ қ а т а р қ ү р а м ы з : Д е р б е с и н т е р в а л д а р 3 0 0 - 3 1 0 , 3 1 0 - 3 2 0 , 3 2 0 - 3 3 0 , 3 3 0 - 3 4 0 , 3 4 0 - 3 5 0 , 3 5 0 - 3 6 0 , 3 6 0 - 3 7 0 3 7 0 - 380,380-390, 390-400. Ең үлкен варианта 398，соңғы интервал 400 ж и і л і к т і е с е п т е й м і з . 1) ж и і л і к т і е с е п т е у д і ң н ә т и ж е с і н е н к е л е с і 1 ж ә н е 2 к е с т е л е р д і қ ұ р а м ы з
И н т е р в а л Xj-1-Xj С а н б е л г і с і Ж и і л і к П і _ Ж и н а л ғ а н ж и і л і к 3 0 0 - 3 1 0 3 1 0 - 3 2 0 3 + 5 : 8 3 2 0 - 3 3 0 10 1 8 340 ! 14 3 2 3 4 0 - 3 5 0 3 5 0 - 3 6 0 3 6 0 - 3 7 0 S 区！ • 19 5 1 21 7 2 15 8 7 380 И н т е р в а л о р т а с ы X i 3 0 5 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 3 7 5 3 8 5 Ж и і - Л ІК П 3 5 10 1 4 1 9 21 1 5 8 3 2 Ж и і - л і к — 0 , 0 3 0 , 0 5 0,10 0 , 1 4 0 , 1 9 0,21 0 , 1 5 0 , 0 8 0 , 0 3 0,02 Ж и - н а л _ ғ а н ж и і л і к 0 , 0 3 0 , 0 8 0 , 1 8 0 , 3 2 0 , 5 1 0 , 7 2 0 , 8 7 0 , 9 5 0 , 9 8 1 * ^ І з д е п о т ы р ғ а н а р а л ы қ в а р и а ц и а л ы қ қ а т а р о і р і н ш і к е с т е н і и б і р і н ш і ж ә н е ү ш і н ш і ж а т ы қ ж о л д а р ы . Ү з і к т і в а р и а ц и я л ы қ к а т а р е к і н ш і к е с т е н і ң б і р і н ш і ж ә н е е к і н ш і ж а т ы қ ж о л ы , ” с а л ы с т ы р м а л ы ж и і л і к т і ң в а р и а ц и я л ы қ қ а т а р ы е к і н ш і кестенін б і р і н ш і ж ә н е ү ш і н ш і ж а т ы қ ж о л д а р ы . 2) ж и і л і к т і н г и с т о г р а м м а с ы м е н п о л и г о н ы н қ ұ р а м ы з . ひ ү ш і н а б ц и с с ө с і н е 3 0 0 - 3 1 0 , 3 1 0 - 3 2 0 т а ғ ы с о л с и я к т ь * и н т е р в а л д а р д ы қ ұ р ы п о с ы и н т е р в а л д а р д ы ң н е г і з і н д е б и і к ^ 184
- e т е н т ік т ө р т б ұ р ы ш т ү р ғ ы з а м ы з . О с ы т і к т ө р т б ү р ы ш т а р д ы іГрамма д е й м і з Е н д і п о л и г о н д ы к ұ р у ү ш і н ( 3 0 5 ; 0 , 0 3 ) , ( 3 1 5 ; 0 , 0 4 ) , . , ” ( 3 9 5 ; 0 , 0 2 ) о с ы н ү к т е л е р д і т і з б е к т е п қ о с а м ы з . М ы н а п о л и г о н тұ Й ы қ ф и г у р а б о л у ү ш і н ( 2 9 5 ; 0 ) с о с ы н ( 4 0 5 ; 0 ) н ү к т е с і н а л а м ы з . 3 ) м о д а м е н м е д и а н а н ы т а б а м ы з . Е к і н ш і к е с т е д е г і е ң ү л к е н ж и і л і к М0=355. М е д и а н а M f =345 бүл жиналған ж и іл іктің ж а р т ы с ы . 4) э м п и р и к а л ы қ т а р а л ы м ф у н к ц и я с ы м ы н а у м ү н д а ғ ы п х в а р и а н т а с а н ы . Үзіліссіз вариациялық қатардың Ғ*(х) функциясы мьшаған тең : Оувгерх < 300, 0,03,еге/7д: = 310， 0,08,еге/?дг = 320, 0,18,гге/7д: = 330, 0,Ъ2,егерх = 340， 0^5\,егерх = 350, 0,12,егерх = 360, 0,Slteeepx = 370， 0t95teeepx = 380, 0,9ѣуегерх = 390, \,егерх 400. 185
Ғ ,( л г ) ф у н к д и я с ы н ы ң г р а ф и г і н с а л а м ы з . А л д ы м е н ;3 0 0 ) ( 4 0 0 + э о ) с о с ы н ( З І О - Д О З ) т . с . с . Ғ * ( х ) ф у н к ц и я с ы н ы н ү з і л і с с і з е к е н д і г і н к ө р с е т у ү ш і н н ү к т е л е р д і т ү з у с ы з ы қ т а р м е н қ о с а м ы з 1- с у р е т 、 з і к т і в а р и а ц и я л ы қ қ а т а р ү ш і н б ы л а й ж а з ы л а д ы эчширякалық функция 0 ，似 / ? —00 < Х 3 0 5 ， 0 03,егер305 <х<Ъ \5, 0 ,0 8 ,^ /7 3 1 5 < л： < 32 5, 0Д8,егер325 < х < 335, 0,32уегер335 < х< 345, 0,51,егер345 < х <355, 0,72,егер355 <х<, 365, 0,87,еге/?365 < х < 375, 0,95,егер315 < х < 385， 0.98,егер385 <х < 395, 1,егер395 < дг < оо. ү ш і н ш і с у р ^ к ѳ р с е т і л г е н . Б ұ л ф у н к ц и я н ы ң г р а ф и г і ( с ү л б е с і ) к ө р с е т і л г е н . Ф у н к ц и я н ы ң у з і л і с і с у л б е д е ж а қ с ы 5 ) т а ң д а м а н ы ң с а н д ы қ с и п а г г а м а л а р ы : о р т а ш а т а ң д а м а д и с п е р с и я ( D T ) с о с ы н о р т а ш а к в а д р а т т ь щ а у ы т к у ( а т ) а с с и м е т Р й^ ( А т) ж э н е э к с ц е с с ( Е ^ ) б ұ л а р д ы к е л е с і ф о р м у л а м е н т а б а м ы з . { Х , \ 186
X B= M 1*ii-K：，DB= [ M > < M ') 2】b2, < ! » = # • A — Г — m 4 A s t » k • びв び m 3= [M 3*-3M *1M*3-HS(M*i)2M 82 -3 (M *0 4]h4 ， m4= [M 4*-4M *1M *3+6(M *1)2M S2 -3 (M *,)4]h4 , мұндағы М \ = -ム - k -ретгі шартгы моменті 、一 с П U i= 」------ --- ш а р т г ы в а р и а н т г а р h X i - б ұ л а л ғ а ш қ ы в а р и а н т г а р С 一 ж а л ғ а н н о л ь н е м е с е е ң ү л к е н ж и і л і п б а р в а р и а н т а . ( қ а т а р ек і в а р и а н т а н ы ң а й ы р ы м ы ) С о с ы н қ а р а с т ы р ы л ы п о т ы р ғ а н е с е г г г е С-355, һ=10. К е с т е с і н к ұ р а и м ы з Кесте 3 1 2 3 4 5 6 7 J 8 X, n lli n iu 1 П іЦ 3і CliU , t li( U i+ l)4 305 3 -5 - Ï 5 7 5 - 3 7 5 1 8 7 5 7 6 8 315 5 - 4 -20 8 0 - 3 2 0 1 2 8 0 4 0 5 325 10 -3 - 3 0 9 0 - 2 7 0 8 1 0 1 6 0 335 14 -2 2 8 5 6 -112 2 2 4 1 4 345 19 1 1 9 1 9 - 1 9 1 9 0 355 21 0 0 0 0 21 365 15 1 5 1 5 15 1 5 2 4 0 m 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8 6 4 8 地 — ■— 3 9 2 7 8 1 2 4 3 7 6 8 1 8 3 2 1 2 8 512 1 2 5 0 2> '= 100 Z =一 Z ：5106 U 4 2 7 С е г і з і н ш і т і к ж о л е с е б і м і з д і ң д ұ р ы с т ы ғ ы н а қ а ж е т . 2 ^ ( м , 十り4 ニ ひ く “ と へ Mf + 6 ^ « 1w,2 + 4 ^ / 1 ^ , + X wi2 > (и ,+ 1 )4 =4274. 187
S へく+ 4Z X M f + 6 ^ л (и #2+ 4 ^ л ^ + n = 5 1 0 6 + 4 ( - 8 0 8 ) + 6 - 4 2 6 + 4 - ( ^ 6 4 ) +ӀПл 明 、 Қ а ж е т т і қ о с ы н д ы н ы ң т е ң ц і г і н е н е с е п т е у і м і з д і ң д ү р ы с т ь ц ^ д ә л е л д е н е д і . Ш а р т т ы б і р і н ш і , е к і н ш і , ү ш і н ш і , т ө р т і н ш і р е т т і м о м е н т г е р д і е с е п т е й м і з . лл-* ^ , п іи і — 6 4 »426 М , = — ------ = ------- = — 0 , 6 4 . М 7 = ------------- ------= 4 , 2 6 . 1 100 2 100 = = ^ . = 5 1 0 6 = 5 100 100 Э м п и р и к а л ы қ ү ш і н ш і ж ә н е т ө р т і н ш і о р т а л ы қ м о м е н т г е р д і е с е п т е й м і з Һ=10,М =-0,64, М =4Д6, М =-8,08, М =51,06. т 3 = [-8,08 3. (- 0,64) • 4,26 + 2. (- 0 64)3 ] • (ю)3 = -425,088, т А = [51,06 - 4 • (- 0 64Х— 8,08)十 6. (― 0 64)2 .4,26 - 3 • (- 0 64)4 ] • (Ю)4 = 403412,6 Т а ң д а м а н ы ң с а н д ы қ с и п а т т а м а л а р ы н е с е п т е й м і з . х Т = М > + С = ( - 0 , 6 4 ) 1 0 + 3 5 5 = 3 4 8 , 6 ; DT = [М - ( м )2]*А2 =[4 26- (-0 64)” .102 =385,04; ( У = л / ^ 7 = л/385»0 4 ：=19>62； ^ = z 4 2 5 M = - 4 2 5 !0 8 8 = 5 с у \ ( 1 9 , 6 2 ) 3 7 5 5 2 , 6 0 9 1 188
Ек = ^ - 3 = 4^ 41-2^ -3 = 2,7224094- 3 ^ -0,28. び г (19,62)4 6) т а р а л ы м з а ң ы н а л д ы н - а л а т а ң д а у ү ш і н а л д ы м е н е н з с и м м е т р и я м е н ж э н е э к с ц е с с т і ң е с е п т е л у д е г і қ а т е с і н т а б а й ы к . О л ү ц іін ______ ______________ ______________________ = I 24(/,-2ҲИ- 3 > Г _ І24.98-97-100 . Ек Ѵ(” -1 )2(и + зХя + 5) V 992 103-105 ’ • К е з д е й с о қ ш а м а н ы ң т а р а л ы м ы н ы ң қ а л ы п т ы б о л у ы ү ш і н асимметрия м е н э к с ц е с с н ө л г е т е ң б о л у ы к е р е к . Б і з д і ң е с е б і м і з бойынша а с с и м е т р и я м е н э к с ц е с с о р т а ш а к в а д р а т қ а т е л і к т е р д е н мьша т е ң с і з д і к т е р д і қ а н а ғ а т т а н д ы р а д ы , jA s - 0|<3• eAs, |Et - 0 | <3• Б ұ л т е ң с і з д і к т е р к е з д е и с о қ ш а м а н ы ң Г а у с с ү л е с т і р і м м е н т а р а л у ы н к ѳ р с е т е д і . Е к і н ш і д е н п о л и г о н м е н г и с т о г р а м м а г р а ф и г і Г а у с с к и с ы ғ ы н к ѳ р с е т е д і . 7 ) к е з д е й с о қ ш а м а X , Г а у с с т а р а л ы л ы м е н ү л е с т і р і л с е , о н д а В ' <xq)4Kf н まノ ф ( д : ) = - ^ = | е 2 d t - Л а п л а с ф у н к ц и я с ы і ѳ р т і н ш і е с е п т е у к е с т е с і н қ ү р а м ы з 189
Интервалдар ^ - i ーろ Эмпи рикалык жиілік f - x •一又т ф ( 0 Ф ( ^ ) -тикаЛЫҚ ^^иіліктер n , ^ n 'Pt т h — び 2 9 Р' 2 ~ Ф(»,) 2 1 300-310 3 -2,4771 -1,9674 0,4934 0,4756 0,0178 2 310-320 5 -1,9674 -1,4577 0,4756 0,4279 0,0477 1 ^ 、 3 320-330 10 >1,4577 -0,9480 0,4279 0,3289 0,099 1 Г - — 4 330-340 14 -0,9480 -0,4383 0,3289 0,1700 0,1589 І 6 - 5 340-350 19 -0,4383 -0,0714 0,1700 0,0279 0,1979 20 ' - 6 350-360 21 0 , 0 7 1 4 0 , 5 8 1 0 0,0279 0,2190 0,1911 І 9 7 360-370 15 0,5810 1,0907 0,2190 0,3621 0,3621 І 4 ----------- 8 3 7 0 - 3 8 0 8 1,0907 1,6004 0,3621 0,4452 0,0831 8 -------- - 9 380-390 3 1 ,6 0 0 4 2,1101 0 , 4 4 5 2 0 ,4 8 2 1 0 , 0 3 6 9 4 10 390-400 2 2,1101 2 , 6 1 9 8 0 ,4 8 2 1 0 , 4 9 5 6 0 ,0 1 3 5 1 — 8) П и р с о н к р и т е р и й і н п а й д а л а н ы п э м п и р и к а л ы қ т е о р и я л ы к ж и і л і к т е р д і с а л ы с т ы р а м ы з ) 1 п [ /1, - п [ “ -べ к - п і Г n ' t n f n ! n 'i 1 3 2 1 i 0 , 5 9 4 , 5 2 5 5 0 0 0 2 5 5 3 10 10 0 0 0 100 10 4 1 4 16 -2 4 0,25 196 1 2 , 2 5 5 19 20 -1 1 0 , 0 5 361 1 8 , 0 5 6 21 19 2 4 0,21 441 23,21 7 15 14 1 1 0 , 0 7 2 2 5 1 6 , 0 7 _ 8 8 8 0 0 0 6 4 8 9 3 4 -1 1 0 , 2 5 9 2 , 2 5 10 2 1 1 1 1 4 4 X ЮО 99 2,33 103,33 190
ракылау 'Ь - ，)- = =103,33-200 + 99 = 2,33 ' k z ^ I = 2, 3 3 . 9) м а т е м а т и к а л ы қ ү м і т т і м ы н а ф о р м у л а н ы п а й д а л а н ы п , £ l ;も 十 м ү н д а ғ ы х т = 3 4 ѣ у6 ж э н е с г т =19,62 ж о ғ а р ы д а г V n J е с е п те л ге н t = l , 9 6 Л а п л а с ф у н к ц и я с ы н ь щ м ә н і н е н т а б ы л а д ы ф (0= 0，9 5 . Қ а ж е т г і е с е п т е у л е р д і о р ы н д а ғ а н д а : (348 6 - 1,96 • ;348,6 + 1,96 • I = (348,6 一 3 85;348，б + 3,85)= (344,75;352,45> ’ V I00 V I00 С о н д а ( 3 4 4 , 7 5 ; 3 5 2 ; 4 2 ) - і з д е п о т ы р ғ а н с е н і м д і л і к а р а л ы ғ ы . 22 Корреляииялық және регрессиялық талдау э л е м е н т г е р і . Негізгі ұ г ы м д а р К о р р е л я ц и я ұ ғ ы м ы X I X ғ а с ы р д ы ң б а с к е з і н д е а ғ ы л ш ы н г а л ы м д а р ы Ф . Г а л ь т о н м е н К . П и р с о н н ы ң е ң б е к т е р і н д е е н г і з і л д і . Е к і к е з д е й с о қ ш а м а б і р - б і р і м е н ф у н к ц и о н а л д ы қ б а й л а н ы с т а н е м е с е с т а т и с т и к а л ы к б а й л а н ы с т а б о л а д ы , н е б о л м а с а б і р - о і р і м е н т э у е л с і з б о л у ы м ү м к і н . Е г е р X к е з д е й с о к ш а м а с ы н ь щ ә р о і р м ү м к і н м ә н і н е Y к е з д е й с о к ш а м а с ы н ь щ м ү м к і н м ә н д е р і н і ң ж и ы н ы , я ғ н и , С Т ат и с т и к а л ы к ү л е с т і р і м і с э й к е с к е л с е , о н д а м ү н д а й т ә у е л д і к С Г а т и с т и к а л ы к т ә у е л д і л і к д е п а т а л а д ы .
23 С ы зы қты қ регрессия теңдеулері К о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц е н т і н і ң н е г і з г і қ а с и е т т е р і : а) - \ < r T <1； б ) Е г е р / > = 土1 б о л с а , о н д а к о р р е л я ц и я л ы қ б а й л а н ь , с сызыкты функциональдық тәуелділік болады. в) Егер гг =0 болса, онда сызыкты корреляциялык байлац ж о қ， бірақ корреляциялық немесе статистикалық байланыста басқаша түрде болуы мүмкін. P г) гт -бас корреляция коэффиценті р-дьщ н ү к т е л і к бағасы болады. 1 м ы с а л 5 0 б і р т и п т е с к ә с і п о р ы н д а р ү ш і н т ә у л і к т і к Өң ім ш ы ғ а р ы л ы м ы н ы ң У ( т о н н а ) н е г і з г і ө н д і р і с т і к қ о р л а р д а н X ( м л н . т е ң г е ) т ә у е л д і л і г і н қ а р а с т ы р а й ы қ . К е с т е 1 9 10 13 15 Пі 10 8 10 18 12 2 5 13 20 20 5 12 10 15 20 5 п=50 Y п е н X а р а с ы н д а с ы з ы қ т ы к о р р е л я ц и я л ы қ о а и л а н ы с д е п ж о р а м а л - д а п , т а ң д а м а л ы к р е г р е с с и я т е ң д е у л е р і н қ ұ р ы ң ы з . Ш е ш у і Б а р л ы к ш а м а л а р д ы а н ы к т а й м ы з . _ 9 1 0 + 1015 + 13-20 + 15-5 X = --------------------------------------------------------=11,5 50 _ 10.18 + 12.20 + 20.12 v = ----------------------------- =13,2 , 50
9-10.18+ 9 •12.2 +10. Ю .10 + 10.12.5+ 13.12.13 + 13.20.7+ 15.20. = 一一 j o びミ 8 10 + 00.15 + 169 20 + 225 5 50 (11,5)2 =16,05 ■ 1 8 + _ 1 4 4 . 2 0 + _ 4 0 0 J 2 _ ( i 3 > 2 ) 2 = 1 5 j 3 6 ^ = ^ 1 1 2 ^ 2 = 0 , 3 6 6 ^ = 157,68-J1,5.13,2=Q382 rT = 0,366 = 0,374 Осы т а б ы л ғ а н м ә н д е р д і v .~ ÿ = rT~ ( x - x ) , ху - х = г^~2-{у ~ у ) び， т е в д е у л е р і н е қ о й с а к , о н д а к е л е с і т е ң д е у ш ы ц ғ а д ы ; ух =0,366д: + 9 ^ = 0 , 3 8 2 ^ + 6 , 4 1 О с ы т е ң д е у л е р д е н мынаны б а й қ а й м ы з : Е г е р н е г і з г і ө н д і р і с К о р л а р ы н 1 м л н . т е ң г е г е а р т г ы р с а қ , о н д а т ә у л і к т і к ө н і м щ ы ғ а р ы л ы м ы о р т а е с е п п е н 0 , 3 6 6 т о н н а ғ а ө с е д і , а л т ә у л і к т і к ө н і м ц ц ® ,а р ы л ы м ы н 1 тоннаға өсіру ү ш ін негізгі өндіріс қорларын о р т а е с е п п е н 0 , 3 8 2 м л н . т е ң г е г е а р т т ы р у к е р е к . Сонымен, X жэне У шамалары арасында сызықты к° р р е л я ц и я л ы қ б а й л а н ы с б а р д е й м і з , б ұ л б а й л а н ы с т ь щ н ш а л ы қ т ы т ы ғ ы з е к е н д і г і н гт а н ы қ т а й д ы . 157,68 193
2 4 К о р р е л я ц и я л ы к т а л д а у д ы ң н е г і з г і қ а ғ и д а л а р ы . Б а й л а н ы с п а р а м е т р л е р і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н т е к с е р у , и н т е р в а л д ы қ б а ғ а л а у л а р К о р р е л я ц и я л ы қ т а л д а у д ы ң н е г і з г і е с е б і - н ү к т е л і к Ж ә и н т е р в а л д ы қ б а ғ а л а у л а р а р қ ы л ы к е з д е й с о қ а й н ы м а л ы л С а р а с ы н д а ғ ы б а й л а н ы с т ы а й қ ы н д а у . Р т ә с і л з е р т т е у ш і қ о л ы н д а ғ ы т а ң д а м а л ы қ (ズ ) е к і ө л ш е м д і к а л ы п т ы ү л е с т і р і л г е н ( Х , У ) б а с ж и н а ғ ы н а н т е р і л і п а л ы н ғ а н ж а ғ д а й д а қ о л д а н ы л а д ы . Б ү л жағдайда р е г р е с с и я т е ң д е у л е р і ш ң б ы л а й ж а з ы л а т ы н ы б е л г і л і Б ұ л қ о с а к т а р ы к е з д е й с о қ м о д е л ь д і к М х ( ү ) = о у + р ^ ^ { х - а х \ Му(х) = ах + М ұ н д а а х , а у , а х , а у - қ а л ы п т ы ү л е с т і р і м п а р а м е т р л е р і , р - б а с к о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц и е н т і . е к і а й н ы м а л ы а р а с ы н д а т ү з у с ы з ы қ т ы т ә у е л д і л і к б о л ғ а н ж а ғ д а и д а ғ а н а , б а й л а н ы с т ы ғ ы з д ы ғ ы - н ы ң к ө р с е т к і ш і б о л а д ы . 2 5 К о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц и е н т і н і ц м а ң ы з д ы л ы ғ ы н т е к с е р у П р а к т и к а л ы қ з е р г г е у л е р д е , к ө б і н е с е б е л г і с і з болғандыкган, коореля-циялық байланыстың тығыздығын гт а р к ы л ы п а й ы м д а й м ы з , я ғ н и гт - т ы ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н т е к с е р е м і з . О л ү ш і н X ж э н е У а й н ы м а л ы л а р ы а р а с ы н д а с ы з ы қ т ы к о р р е л я ц и я л ы к б а й л а н ы с ж оқ д е г е н н ө л д і к б о л ж а м т е к с е р і л е д і , я ғ н и Н о : р - 0 С т а т и с т и к а л ы қ к р и т е р и й : t ^ r ^ f n - 2 / ^ J l - r 2 Б ұ л — ( п - 2 ) е р к і н д і к д ә р е ж е л е р і б а р С т ь ю д е н т т і ң ト ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н к е з д е й с о қ ш а м а . Е г е р м а н ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е ( a n - 2) б о л с а , о н д а Н о ж о қ қ а ш ы ғ а р ы л а д ы , я ғ н и т а ң д а м а л ы қ к о р р е л я ц и я к о э ф ф и ц и е н т ^ гт маңызды, н ө л д е н ә л д е қ а й д а ө з г е ш е д е г е н тұжырымға келеміз194
grep rT маңызды болса, онда тандамалық регрессия В х ф ц ц и е н т т е pi Ь ^ п е н Ь ^ -те маңызды болады, бұл жағдайда бас ^ ^ ^ л я п и я коэффициенті мен бас регрессия коэффициенттері ß үш ін у = \ - а сенімділігімен мынадай сенімділік — « が ^рвалдарын анықтаимыз. し か し —） I л — н ух一" >ж *а.п-2 厂 a x y j n - 2 сгх у ]п л Я - Г / C T J \ - Гг2 - - - ^ ß v ^ ß v + t a , - V v 4 ' °- "- z а у ^ п ~ 2 ■ і /иг ѵ ~ ^ і т - /(р)4 /пг ^ +^ ^ т Ескерту / { р ) = + ш а м а с ы ү ш і н с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы к ө р с е т і л г е н , о с ы р - н ы б а ғ а л а й т ы н с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы н а р н а й ы к е с т е а р к ы л ы т а б а м ы з , а л ш а м а с ы Ф / = — т е ң д е у і н е н анықталады. 1 м ы с а л ( 1 ) кестеде кѳрсетілген деректерді паидалана отырып X пен У ш а м а л а р ы а р а с ы н д а ғ ы б а й л а н ы с п а р а м е т р л е р і н і ң м а ң ы з д ы л ы г ы н т е к с е р і ң і з , ж э н е с е н і м д і л і к и н т е р в а л д а р ы н т а б ы н ы з . М аңыздылық д е ң г е й і = 0 , 0 5 . Ш е ш у і Жоғарыда мынадай шамаларды есептегенбіз гт = 0,374; ß m = 0,366; = 0,382; ст2х = 1 6 , 0 5 ; с г у2 = 1 5 , 3 6 Е н д і а = 0 , 0 5 м а ң ы з д ы л ы қ д е ң г е й і н д е м ы н а б о л ж а м д ы т е к с е р е й і к Н о : р = 0 t ノ W ト 2 0’374Ѵ?0-2 … „ ！^ - . ( a ; / i - 2 ) = ^ ( 0 , 0 5 ; 4 8 ) = 2 , 0 1
Е н д і > î l.u h б о л ғ а н д ы қ т а н H o ж о қ қ а ш ы ғ а р ы л а д ы , я ғ н и м а ң ы з д ы , н ө л д е н ә л д е қ а й д а ө з г е ш е , о л а й б о л с а ß п е ң r маңызды болтаны. А р ы қ а р а й у = 1 - а = 0 , 9 5 с е ы і м д і л і г і м е н с е н і м д ц ^ и н т е р в а л д а р ы н а н ы к т а й м ы з . n = 2 0 ; сгх = 4 ；( т у = 3 , 9 2 r a n _ 2 = 2,01 е к е ң і н біле отырып есептесек, 0 , 1 0 2 < ^0,63 жэне 0Д08<$0б5б и н т е р в а л д а р ы н а л а м ы з . Е н д і б е л г і с і з к о р р е л я ц и и коэффициент^н бағалайтын сенімділік интервалын табамыз, сонда 1 , 1 + гг 1 г 1 + 0,374 Л/40 —In-------ニ一夏 ------------ « 0,48 2 1 r T 2 1 - 0 , 3 7 4 ф(/у)= 0,475 болса tY =1,96 олай болса 0,48 —1,96 • = S ブし?) S 0,48 1，96 • немесе ОД 14 ^ f (уо) < 0,766. Енді арнаулы кестені пайдаланып, белгісіз бас корреляция к о э ф ф и ц и е н т і р - н ы б а ғ а л а й т ь ш с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы н у = 0，95 сенімділігімен табамыз, сонда 0,113< р ^0,644. 2 6 С ы з ы к т ы р е г р е с с и я л ы қ т а л д а у Регресс иялық талдау тэсілі айнымалылар арасындағы тәуелділіктің түрін анықтау үш ін, модельдік регрессия тендеуін бағалау үш ін және тәуелді айнымалының белгісіз мәндерія б о л ж а у ү ш і н қ о л д а н ы л а д ы . Р е г р е с с и я л ы к т а л д а у д а н ә т и ж е л і к белгі деп аталынатын У айыымалысьшың, факторлык белгі деп аталатын X айнымалысыньщ біржақты тәуелділігі қарастырылады. С о н ы м е н м о д е л ь д і к р е г р е с с и я ф у н к ц и я с ы ( р ( х ) б о л с ы н , я ғ н и , м,(り=ル ） Бірақ, Y белгісінің кейбір бакыланатын мәндері у(х) есепке а л ы н б а ғ а н ф а к т о р л а р д ь щ ж ә н е к е з д е й с о қ с е б е б т е р д і ң әсерінен, о с ы ^ ( д г ) - т е н а з д ы - к ө п т і - а у ы т қ и д ы . С о қ д ы қ т а н қ о с а қ т ы регрессиялык модель былай жазылады у ( х ) = ф ) + £ М ұндағы ^-ауы тқуды сипаттайтьш кездейсок айнымалы. 196
I С о н ы м е н . б а с ж и н а к ( Х У ) - т е н к ѳ л е м і n - г е т е н (戈，兄） а м а с ы а л ы н с ы н . Е н д і м о д е л д і ң е ң к а р а п а й ы м ， с ы з ы қ т ы т ү р і н ,арастырайык у - ß o л - ß ^ X л - Е О с ы с ы з ы к т ы м о д е л ь д і ң т а ң д а м а л ы қ б а ғ а с ы р е т і н д е м ы н а г д а м а л ы қ с ы з ы қ т ы р е г р е с с и я т е ң д е у і н а л а м ы з ^ Ў х = Ў ^ ь , ( х - х ) Сонда б е р і л г е н у = \ - а с е н і м д і л і г і м е н б е л п с і з ш а р т т ы і з т « м а т и к а л ы к үм іт М т ( У ) - т ы б а ғ а л а й т ы н с е н і м д і л і к и н т е р в а л ы мыНа т ү р д е а н ы к т а л д ы ÿ ,-S ?i la,n-2<M x( v ) iy I + Si r ta, n-2 М ұ н д а S ç - ш а р т г ы о р т а ш а н ы н с т а н д а р т т ы қ а т е с і , а л ш а р т т ы оргашаныи дисперсиясы ( x - x f G4 I s п і 八 n -2 Е н д і x = x0 болғандағы белгісіз y* мәнін мынадай сенімділік интерва-лымен болжаимыз Ўх, - ^>0 •し.”-2 ^Jx,, +Sÿ0 * мұнда s 2 , 1 , ( д ^ о - х ) 2 ' >，0 n - 2 [ n n a \ _ an ta”_2 -Стьюдент үлестірімнің сын нүктелері кестесінен анықталды. 1 м ы с а л (1) кестедегі деректерді пайдаланып, негізгі өндіріс-тік К о р л а р ы 12 млн. теңге болатын кәсіпорындар үш ін орташа тәуліктік өнім шығарылымын, жэне жеке алынған кәсіпорындағы төуліктік өнім шығарылымын бағалайтын сенімділік Интервалдарын у = 0,95 сенімділігімен табьщыз. Ш е ш у і Жоғарыда мыналарды анықтағанбыз: х = И ,5 ; g \ = 1 6 , 0 5 ; = 13,2; ў х = 0 ,3 6 6 х + 9; 197
Е нді мы на кестені қүрам ы з О н д а =25,3 : 丄 + 恥 - 碑 レ 50-2І 50 50 16,05 J 25.3 f я ғ н и U 2 = 1 3 , 3 9 , 50 - 2 = о д ; 1 + (12 - U ,5)2 50 50 16,05 y Syo = 0,73, ал регрессия 0,54; т е ң д е у і н е н к е с т е д ь н t a n _ 2 = /0>05;48 = 2,01. О с ы т а б ы л ғ а н м ә н д е р д і м ы н а с е н і м д і л і к и н т е р в а л д а р ы н а л а м ы з 13,19 < М Хо=12(ѵ)^ 13,59 1 2 , 1 2 ^ / < u ) ^ 1 4 , 6 6 С о н ы м е н , н е г і з г і ѳ н д і р і с қ о р л а р ы н ы ң ш а м а с ы 1 2 м л н . теңге б о л а т ы н к ә с і п о р ы н д а р д ы ң о р т а ш а т ә у л і к т і к ө н і м ш ы ғ а р ы л ы м ы 0 , 9 5 с е н і м д і л і г і м е н 1 3 , 1 9 ( т ) м е н 1 3 , 5 9 ( т ) а р а л ы ғ ы н д а б о л а д ы , ^ н е г і з г і ө н д і р і с қ о р л а р ы 12 м л н . т е ң г е б о л а т ы н ж е к е а л ы н ^ н к ә с і п о р ы н н ы ң т ә у л і к т і к ө н і м ш ы ғ а р ы л ы м ы 9 5 % жағдаЙларД2 12,12 т о н н а м е н 1 4 , 6 6 т о н н а а р а л ы ғ ы н д а ж а т а д ы . 198
27 Регрессия теңдеуінің маңыздылыгын тексеру р е г р е с с и я т е ң д е у і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н т е к с е р у ү ш і н с п е р с и я л ы к т а л д а у т ә с і л і н к о л д а н а м ы з . О л ү ш і н ф а к т о р л ы к ^ н ы м а л ы Х - ы ң ә р б і р д е ң г е й і н д е т ә у е л д і а й н ы м а л ы У - ы ң б а к ы л а н а т ы н м ә н д е р і а н ы к т а л у ы қ а ж е т . Е н д і м ы н а т е ң д і к т і қ а р а с т ы р а й ы қ - - ァ)2 レ- ? х ( )2 н е м е с е Q ^ ф а к т + Q x a n à . С о н д а б і р і н ш і қ о с ы л ғ ы ш - ў ) 2 с ы з ы к т ы р е г р е с с и я б о й ы н ш а ѳ з г е р у м е н с и п а г г а л а т ы н к в а д р а т т а р д ы ң қ о с ы н д ы с ы , а л екінші қосылғыш (ス ー タ )2- регрессиядан кездейсоқ ауыткуларды с и п а т т а й д ы , с о н д а д и с п е р с и я л а р s — - Z h - 歹)2 = S , - Ä )2 ( ” ~ 2 ) = ö кал0 - 2) Е н д і м ы н а д а й н ө л д і к б о л ж а м т е к с е р і л е д і Н о : “ X п е н У а р а л ы ғ ы н д а с ы з ы қ т ы б а й л а н ы с ж о қ ” . 5 2 С т а т и с т и к а л ы к к р и т е р и й ғ = — ^ K a t d Б ү л Ф и ш е р - С н е д о к о р ү л е с т і р і м м е н б е р і л г е н , е р к і н д і к Д ә р е ж е л е р і к { = \ ; к 2 = п - 2 б о л а т ы н к е з д е й с о қ ш а м а . Е н д і > F CUH( ö r , i c l ,K ,2 ) б о л с а Н о б о л ж а м ы ж о қ қ а ^ ы ғ а р ы л а д ы , я ғ н и р е г р е с с и я т е ң д е у і м а ң ы з д ы , X п е н У ^ н ь і м а л а р ы а р а с ы н д а б і р ж а қ т ы с ы з ы к т ы к о р р е л я ц и я л ы к б а й л а н ы с б а р д е й м і з . 1 м ы с а л М ы н а к о р р е л я ц и я л ы к к е с т е а р қ ы л ы У - т і ң Х - к е б а й л а н ы с т ы А г р е с с и я т е н д е у і н і ң м а ң ы з д ы л ы ғ ы н = 0 , 0 5 м а ң ы з д ь ш ы қ ^ К г е Й і н д е з е р т т е ң і з .