M (i)= jx(f)dx= jxÀ£-^dx-- -X> 0 U=x, du=dx dV=e~xxdxy ： шіктеп интегралдаймыз • , 1 レ 狀 '+я е М(х) = 4 Дисперсияны есептеу ѵшін М (х ) мәнін табамыз = X 1 du — 2xdx dV = e 'ÂXdx,\ \xe ^dx -- Л2 Дисперсияньщ мәнін Д(х)=М (х2)-М 2(х) формуласымен есептесек я2 я2 - Я2 ■ Бұдан көрсеткіштік үлестірім заңы үшін ^(x) = yfMx) z сондықтан М(лг) = S(x)- 24 Гаусс үлестірім заны Анықтама Егер ықтимаддык тығыздығы {-°0；00) аралығында келесі функция арқылы анықталса 50
үздіксіз X кездейсок шамасы Гаусс немесе қалыпты үлестірім заңы бойынша үлестірілген деп аталады. 6,a- қалыпты үлестірім аңының параметрлері. Гаусс заңы X кездейсоқ шамасы көп факгорларға тэуелді болған жағдайда қолданьшады. Гаусс заңы бойынша үлескен кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық (Х-д)2 dx - S dx — ô лҢ-dt мунда Jq ^dt = <- Пуассон интегралы ш, j/e r = |:= = -^=r --yjÀ. - a, сонды оонд (x) = a УІ7Г Гаусс заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті осы үлестірімнің анықтамасына қатысты а параметріне тең болады. Енді Гаусс заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманьщ дисперсиясын анықтайық Д(х) = - M (r)f x)dx = J ( x -a ) =e 25 dx - x - a V I2 ~ す，деп белгілесек àx = ôy/2dt,x-a = SyT2t СО _ - /パ v f み Ô^Ïk f l yfir = S2. Сонымен, Д(х) = ö i-e 1 dt -- б^піктеп интегралдаймыз u = t, du = dt dV = ter*ö&,F = --e 51
Жоғарыдағы аныктамадағы f(x) функциясының а параметрі математикалык үмітті, S2 параметрі дисперсияны, Ô -орташа квадратгық ауытқуды көрсетеді. Ықтималдық тығыздығының сүлбесі Гаусс қисығы деі1 аталынады. Гаусс кисығының келесі қасиеттерін атап өтейік. 1 . Гаусс қисығы х=а түзуіне қарағанда симметриялы орналасқан. 2. х=а нүктесінде функцияның экстремумы, яғни 3. у=0, яғни X өсі қисықтың горизонталь (жатық) асимптотасы. 4. ô = const болганда, ал М(х) = a мәнінің өзгеруі Гаусс қисығыныа сүлбесінің X өсіне қарағанда параллель жылжуын көрсетеді 5. м(^) = а = const болганда S мәнінің өзгеруі Гаусс қисығыньщ түрінің өзгеруіне эсер етеді, яғни функцияньщ максимум мәніне ойыстық,дөңестік интервальгаа өзгеріс енгізеді. 25 Гаусс үлестірім заңымен анықталған кездешаманьщ берілген интервал мәндерін қабылдау ықтималдығьь Мода, медиана. Егер ықтимал тығыздығы f(x) функциясы аркылы берілсе， a{x{ß теңсіздігінің ықтималдығы 52
ß Р(а<Х<Д)= jf(x)dx формуласымен анықталады. Ал Гаусс үлестірім заңы бойынша берілген X үздіксіз кездейсоқ оіамасы үшін が か dx = ôdt a~a = î ‘ Ѵ2л- J a =Ф 1 х — мундагы Ф(х) = je 2 d z- Лаплас функциясы. Анықтама Үздіксіз X шамасыньщ модасы Мо(х) дегеніміз үлестірім тығыздығьшың максимумы. Үздіксіз кездейсоқ X шамасыньщ медианасы мына теңдікпен анықталады: Р レ 〈 )] = Р[дг>мЛс)1 яғни егер х кездейсоқ шамасыньщ үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда \f(x)d x= )f{x)d x = ~-. Үлестірім қисығымен шектелген аудан тең екі бөлікке бөлінеді. Егер ^a(X(ß) = - Ф^— болса онда кездейсоқ шама х-тің Iх —в|<ог аралығында жату ықтималдығы р(|х - а\{а) = 2Ф(—) мәніне тең. Осы тендіктен мьша төмендігідей ықтималдыктар шығады. 53
1 . P( \x-a\{ö ) = 2Ф(і) = 0,6826 2. Ң х - a\(2S) = 2Ф(2) = 0,9544 3 • Рфс - a\(3S) = 2Ф(3) = 0,9973 Ереже Егер X- кездейсок шамалы Гаусс заңымен үлестірілген болса, онда кездейсоқ шаманьщ математикалық үміттен ауытқуыньіц абсолют шамасы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіш і болады. Керісінше түжырымда орынды: Кездейсок шаманьщ математикалық үмітінен ауытқуыньщ абсолют шамалы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіш і болу ықтималдық бірге жақын мән қабылдаса ол кездейсоқ шама Гаусс заңымен үлестірілген болады. Бұл түжырымды 4Ѵуш сигма” ережесі деп атайды. “ Үш сигма” ережесінің өмірде кодданылуы өте көц, практикалық маңызы зор. 26 Математикалық статистика элементтері. Таңдамалар үлестіруінін эмпирикалық (Ьункциясы Ыктималдықтар теориясы арқылы есептелінген кездесок шамалардьщ сипаттамаларын кездейсоқ шаманың орта мәні математикалық үміті, дисперсиясы, моменттері, мода,медиана,т,с,с, тәжірибе аркылы да жуықтап есептеуге болады. Кездейсок шамалардьщ арасындағы әртүрлі байланысты яғни корреляцияны анықтаудың әдісін математикалық статистика дейді. Тәжірибе жүргізуші экспериментатор бір шаманы өлшей отырып х 1?х2” ..хп мәндерін алған болсын дейік. Ол шаманы бакылау, өлшеу шартгары өзгермей қалып, бір тәжірибеде екіншісіне көшу бірбіріне тәуелсіз болсын. Өлшеу нәтижесінде шексіз көп факторлар эсер ететін болғандықтан бақыланған нәтижелер әртүрлі кездейсок мәндер қабылдайды. Өлшенетін барлық N бүйымньщ мәндер жиынтығын бас /генеральная/ ж ш т қ (жиынтық) дейді, ал олардын ішіндегі n мәндер жиыны (и(А^)таңдама қүрады ХЬХ2>---Х0 таңдамасьтдағы n саны таңдама көлемі деп аталады. Егер кестенің бірінші жолында тәжірибенің реті /номері/ ал екінші жолында кездейсок X шамасыньщ өлшенген мәні кәрсетілсе ол кестені статистикалық қатар деп атайды. Егер кестенің оірінші жольшда X кездейсоқ шамасынын, таңдамасы өсу тәртібімен орналасса,ал екінші жолы сол мәндердін неше рет қайталануы немесе оньщ ж иіліпн көрсететін болса, онда 54
ндай кестені вариациялық қатар деп атайды. Өлшенетін X шамасын вариация деп атайды (2.1-кесте). Пі жиіліктерінің косындысы тәжірибе санына тең, яғни - n 2.1-кесте вариация Х і х 2 k Пі Пі .............. п2 k таңдама көлеміне үлестірімі 3.2-кесте Бұл кесте таңдаманың көлемі n болатын жиіліктің үлестіруін көрсетеді. Салыстармалы ж иілік деп жиіліктің қатынасын айтады. Салыстырмалы ж и іл іктін арқылы жазылады. Ондағы w ,=令. Z w,= — = ! 2.2-кесте X вариация X i -) k WicajibicTbip малы жиілік n l/n 2/n k/n Барлық тәжірибе саны n (таңдама көлемі) ,ал пх кездейсоқ шама х-тің х-тен кіш і болатын мәндер саны болсын. Анықтама 、лестірімнің анықталады эмпирикалық функдиясы /^(xjMbiHa тендікпен (1) Яғни, үлестірімнің эмпирикалық функциясы Х<х оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді. 55
X кездейсок шамасыньщ үлестірім Ғ(х) функциясын шаманьщ теориялык үлестірім функциясы дейді. Үлестірімнің теориялық Ғ(х) фунуциясы Х<хоқиғасыңц ықтималдығын көрсетсе, үлестірімнің эмпирикалық Fn* (х) функцияц Х(х оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді. Үлестірімнің эмпирикалық функциясы F* - тің келесі қасиеггері болады: 1° Ғя*(д：) функциясы 0 мен 1 аралығындағы мәндерді қабылдақды,себебі 0 < т < п . 2° F *(х)-кемімейтін функция, себебі X артқан сайын пх мәні кемімейді. 3° Егер Х і кездейсоқ X шамасыньщ ең кіш і мәні болса, онда х(х, үшін Fn*(jc)=0, ал Xk ең үлкен мәні болса, онда х>хк мәндері үшін Мысал Таңдаманың үлестірімі бойынша эмпирикалык функцияны табу керек. Шешуі. Таңдаманың көлемі п = Ү nt =12 +18 + 30 = 60./1/ формула бойынша 0，егер X < 4 12 =0,2, егер4〈х < 6; X вариация 4 6 10 П і^Ш Л ІК J2 18 30 K M - 60 12 + 18 60 1’ егер х)10 0,5, егер 6(х < 10 : } 1 0,5 0,2 0 4 6 10 ------------ X ксс1-сурет 56
Бүл мысалдағы эмпирикалық функцияның графигі 1-суретте керсетілген. 方Сиілікпң жэне салыстырмалы жиліктің полигоны деп (хьПі),(Х2 、 ， ),(хк ,пк) және ( х і^ і) ,( Х к ^ к) нүктелерін қосқанда шығатьш с ы ^ ік сызыкты айтады. Бірнеше топпен олардың жишіктерінің ара қатынасын құратын статистикалық жинақтың графигін гистограмма деп атайды. Гистограмманы салу үшін абцисса өсіне берілген топгарға сэйкес интервалдарды орналастырып, ордината өсіне эр интервал ішіндегі өлшенетін шама мәндерінің салыстырмалы жиілігінің интервал ұзындығына қатьшасын салады. Сонда гистограмманың ауданы бірге тең болады. Мысал Ара қашықтықты есептейтін құралмен 100 рет есептегенде жіберілетін қателердің статистикалық жинағы келесі кесте арқылы берілген Топтар -20; -15 -15； -10 -ю -5 -5； 0 0； 5 5 10 ； 15 15; 20 (ЖИІЛІК) Пк 2 8 1フ 24 26 13 6 4 Znた=n=100 Салыст. ЖИІЛІК W k 0,02 0,08 0,17 0,24 0,26 0,13 0,06 0,04 E wk =1 Салыст. I 0,004 0,016 0,034 0,048 0,052 0,026 0,015 0,008 Wk h 57
Бұл статистикалық жинаққа сэйкес келетін гистограмма 2- суретге көрсетілген. ОХ өсіне топтар орналасып, ал ордината өсіне салыстырмалы жиіліктердің топ үзындығына қэтыішстефы салынған. Топтар ұзындығы һ=5. Егер гистограмма нүктелерін үздіксіз қисыкпен қоссақ，онда шығатын график X кездейсоқ шамасыньщ ықтималдық тығыздығының жуықталған графигін береді. 27 Статистикалык үлестірімнің сандық сипатгамалары Өлшенетін шамаға сәйкес статистикалық қатар берілсін. Статистикалық /эмпирикалык немесе таңдамалық/ орта деп X = Хі..+ 乂スこ ニ 土 Ь - = -Hl-- = М(х) (27.1) теңдіпмен, статистикалық дисперсия деп D*(X) = _h!__ _ = ⑵2 Г27.2) n n теңдіпмен анықталатын шамаларды айтады. 58
Егер ѳлшенетін X шамасыньщ мәндері кайталанатын болып келсе，яғни 3-кесте берілсе, онда (1 )жэне (2) формулалар сэйкес мына т^рде жазылады X = —-------- = М(х) (27.3) 3-кесте X Хі Х2 k n Пі П2 k Î X n丨 ^ D-(x) = ^ 阶 (27.4) Статистикалық жинақ /топ/ арқылы статистикалық орта мен дисперсияны топтардьщ арифметикалық ортасы бойынша есептейді. Кезгелген ретті статистикалык бастапкы және орталық моменттер келесі формулалармен анықталады: : М*(хк )= //к =М*[(х-х) k=l болғанда бастапқы момент деп отырғанымыз- ^гатистикалық ортаньщ өзі. к=2 болғанда (6) формул адан статистикалЕэГқ дисперсияны аламыз d4x): S (xi - х)2 Одан статистикалық квадраттық ауытқу 59
^M = J ± X (xi - xf =л/°*(х) V n = 0 ) Кейде, статистикалық өндеу мәселелерінде вариацид коэффициенті деп аталатьш V сипаттамасы енгізіледі де ол келесі формуламен есептеледі Егер X аркылы өлшенетін шаманың барлық мэндерінің статистикалық ортасьт, ал арқылы таңдаманың статистикалык ортасын белгілесек, онда А = Х - х айырымьгн репрезентативтілік қатесі деп атайды. 28 Статистикалык ортаның орнықтылыгы Берілген X кездейсоқ шамасына байланысты жүргізілген тәжірибе нәтижесі Хі 2 “ .,хп таңдамасын берсін. Оныц математикалык үміті М(х) үшін баға есебінде статистикалык орта -ті қабылдайды, ал диспресиясы D(x) үшін баға есебінде статистикалык дисперсия D*(x) алынады. Ө параметрінің х ьХ2,...хп тандамасы бойынша алынған Ө* бағасын М(Ө )= Ө теңдіп орындалғанда ығыстырылмаған баға деиді. Сонымен баға ығыстырылмаған болу үшін бағаның математикалык ү м т бағаланатын шаманьщ өзіне тең болуы керек. Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып түрлендірулер жүргізсек яғни м (х)= тх,демек статистикалык /эмпирикалык/ jc ортасы математикалык mx үміті үшін ығыстырылмаған баға болады. Енді статистикалык /эмпирикалык/ 5\ дисперсиясын тексереиік. Алдымен біркатар түрлендірулер жүргізейік, 4-100% 60
Дисперсиясыньщ қасиеті бойынша ол координаталар бас нуктесін қалай алғанға байланыссыз. Біз осындай нүкте есебінде т х-ті аламыз. Si -тің математикалық үмітін қарастырайық М(^х) = ^ Z М(^.—〜 )2 —表S М(дг,. - тхХх7 - т х) = = - т х )(' - т х) Б данМ(х-)= т х,М(дг4 - х )(ズノ - / мх) = 0, S2 =nÔ2 /=і тендіктерін ескерсек мынау келіп шығады м(<У^)= — Сонымен, бүл теңдік бойынша статистикалық 0^ дисперсия ô2 үшін ығыстырылмаған баға бола алмайды: п-ге сәйкес — ығысу бар болады. Енді мьшадай баға құралық 4 п/ Осы S] бағасының математикалық үмітін табайық
Сондықтан да S2 дисперсия үшін S~2 статистикалық бағасы ығыстырылмаған баға болады. Міне, солай болғандықтан кейбір оқулықтарда статистикалық дисперсия үшін /1/ тендікпен анықталған шаманы қабылдайды. Егер кез келген оң сан болғанда 1ішР(|Ө-Ө|<е)=1 шарты орындалатын болса, онда Ө параметрінің статистикалык Ө бағасы орнықты деп аталады. Бүл параграфтағы статистикалық бағалауларды нүктелік бағалар деп атайды. 29 Интервалдық бағалау Ө параметрін бағалау үшін ығыспайтын Ѳ* бағасы анықталсын. Алдын ала ß ықтималдығы берілсін дейік. Осындай шарттар орындалғанда Р(|Ѳ-Ѳ*|<£)= ß (29.1) Немесе Р(Ө*-е<Ө<Ө*+8)=р (29.2) теңдігін қанағаттандыратындай 8>0 санын табайық. Бүл теңдіктер белгісіз Ѳ параметрінің мәні і р ={өт 一е’ Ө. +е) интервалында жату ықтамалдығы ß-ға тең екенің көрсетеді. интервалы Ѳ кездеисоқ нүктесін ß-ға тең ықтималдықпен жабады. £ß=[o* +е) интервалын сенімділік интервалы деп, ß ықтималдығын сенімділік ыктималдығы деп атайды. Мысал хі,х2,...хп таңдамасы берілген. Қалыпты заң бойынша үлестірімді X кездейсоқ шамасыньщ математикалык үміті a үшін сенімділік i ß =Ç c-£yx + e) интервалын табу керек. Сенімділік ықтималдығы ß. Берілген сенімділік ß ықтималдығымен р(х - е{а{х + £•)= >9тендігі орындалатындай етіп, е>0 санын табайық. Қалыпты заң ооиынша үлестірімді X кездейсоқ шамасы үшін Рр-а|<г)=Ф(0’ мүндағы 62
, ф ( | ) = * ド 心 тендіпмен анықталатын Лаплас функциясы ひ)= ß немесе Ф ^-^—j = ß теңдеуінен кесте бойынша мәнін табамыз, мүндағы ô ® Сонымен сенімділік интервалы - е(а(х е. Мысал Сенімділік ықтималдығы ß=0,95 болатын, қалыпты заң бойынша үлестірімді X кездейсоқ шамасыньщ белгісіз математикалық үміті a үшін сенімділік интервалын табу керек. Берілген шамалар S = lx = 24,6, л = 10 болсын. 0(t)=0,95 теңдеуінен қосымшаның 1-кестесінен t=l,40; tô ..1,40-1 1,40 = —= тендіпнен е — ~ т=^- = —= . ЛІП Vio V10 Осыдан сенімділік интервалы немесе (24,2; 25,0) Сонымен белгісіз а-ның мәндері 0,95 ықтималдығымен осы интервалдағы мәндерді қабылдайды. 30 Қалы пты занмен үлестірілген кездейсок шаманын параметрлері үш ін сенімділік интервалын дәл табу әдісі. СЧьюдент үлестірімі ^гкен параграфта кездейсоқ шаманьщ математикалык үміті ^иін сенімділік интервалын жуықтап табу әдісін қарастырдық. енімділік интервалын дәл табу үшін алдын ала X кездейсоқ Шамасыньщ үлестірім заңын анықтап алу қажет. Егер X кездейсоқ шамасы қалыпты заңымен үлестірілсе 63
(30.1) мүндағы -,D = (30.2) T шамасы Стьюдент үлестірім заңымен берілген деп аталады. Стьюдент үлестірімінің тығыздығы 1十- (30.3) мүндағы Г(х)= j u xベe_{,dひ- гамма-функция. (30.j) формуладан Стьюдент үлестірімі m,D мәндеріне оаиланыссыз, ол тек тәжірибе саны п-ге ғана байланысты екені көрінеді және ол t-ға қарағанда жұп функция болады. Стьюдент үлестірімі аркылы математикалык үміті үшін сенімділік интервалын калай табатынын көрсетейік. Қалыпты заңмен берілген X кездейсоқ шамасын анықтау үшін п рет тәуелсіз тәжірибе жүргізілген болсын. Бүл шаманьщ математикалық үміті т х жэне дисперсиясы Dx белгісіз болсын. Тәжірибе нәтижесінде бүл параметрлер үшін бағалаулар (30.2) теңдіктерімен аньгқталсын. X кездейсок шамасыньщ математикалық үміті үшін сенімділік ықтималдығы ß болатындай етіп ぞ дСенімділік интервалын анықтау керек. мәніие карағанда симметриялы интервалдың жартысын ^ д е п белгілесек р | т - т х|< ^ )= ^ (30.4) 64
Тендіктін. сол жағындағы кездейсок шамасынан Т кездейсок сына көшу үшіы теңсіздіктін екі жағын оң шамасына кебейтсек ~ Ж 'くt немесе (30.1)тендікті пайдалансақ п - り арқылы ескерсек белгілесек және Sn_i(t) функциясын жүптылығын 力 ф я_丨( 咖 = パ (30.5) Сенімділік ықтималдығы ß мен п-1 мәндері арқылы /қосымшаньщ 2-кестесі/ tp мәнін аныктаймыз тендігінен сенімділік интервалы ^^-ның жартысын табамыз. сонымен сенімділік интервалы 65
I m -e ß{mx{m~eß = 爪-リ屑’ m + リ \ Мысал mx、Sx параметрлері белгісіз, қалыпты заңмен үлестірілген X кездейсок шамасы үшін 10 тәуелсіз тәжірибе жүргізиіген. Тәжірибелер нәтижелері статистикалық қатар арқылы берілген I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Хі 2,5 2 -2,3 1,9 -2,1 2,4 2,3 -2,5 1,5 -1,7 енімділік ыктималдығьг ß-0,95 мәніне сэйкес келетін математикалык үміті үшін бағасын және оның сенімділік интервалын анықтау керек. Ш еш уі Қосымшаның бойынша tp=2,26 осыдан 2-кестесі бойынша n-l=9 ß=0,95 мәндері =2,26V ^ ä U 8 Сенімділік интервалы ^ ß = { т - £ ^ ,т + € ^= (-\Л 8;1,98) 66
Өлшенетін X және Y шамалар мәндерінің байланысьш сететін кестені корреляция кестесі деп айтады. Т ік және жатық 0лдар қилысуындағы сандар әрбір пардьщ жиілігін көрсетеді. ^іысалы, /25,13/ пары 3 рет, /25,18/，пары 2 рет /25,23/ пары 0 рет ездеседі. Х-тің бір түрақты мәні үшін Ү-тің орта мәнін - Үдеп белгілеп, оны Ү-тің дербес орта мәні деп атайды. Мысалы, ， 〜 13.3 + 18.2 Үх=25 =----- -------=15 ү х=35 = ^ ± ^ = 25, ŸX=45J 8」 ±13 23=22，6 10 14 Бұл жағдайда X пен Y х дербес орта мәндері арасындағы байланыс келесі кестемен анықталады. Егер осылайша анықталған (х,Үх ) нүктелерді кесінділер арқылы қосатын болсақ одан шығатын сынық сызықты Ү-тің X бойынша эмпирикалык регрессия сызығы деп атайды. __ _ ___________ З і К о р р е л я ц и я л ы қ т ә у е л д і к X 25 35 45 4 Y 15 25 22,6 Сынық сызықтьщ төбелерінің орналасуына байланысты, (дг, Y х ) нҮктелерінен ауытқуы ең кіш і болатындай етіп сызық жүргізүге °лады. Осындай етіп жүргізілген сызықты теориялық регрессия сызығы деп атайды. 67
Егер (jc，少 х) нүктелері түзу сызықтың манайында орналасса оң^ Ү-тің X бойынша регрессия түзуі деп атайды. Бұл жағдайда сынық сызықты параметрлері белгісіз тізу сызыкпен алмастырып оңыъ параметрлерін аналитикалық түрде анықтау керек. у - а х + Ъ теңдеуі сызыкты корреляцияны анықтайды. Егер х )нүктелері формасы белгілі бір қисық маңайыңда орналасса онда у х = /(лг)теңдеуі Y пен X арасындағы қисық сызықтьі корреляциялық тәуелсіздікті анықтайды. Осылайша әрбір тұрақты Ү-тің мәні үш ін ху- дербес орта мәніц анықтауға болады (хУ)у) нүктелері арқылы Х-тің Y бойыніщ эмперикалық регрессия сызығын жүргізуге болады. ху - ç>(y) теңдеуі X пен Y арасындағы коррелядиялық тәуелдікті анықтайды. у х ~ /(х)жіне ху =ç^y) коореляциялық теңдеулерін кейде регрессия теңдеулері деп атайды. Бірінші у-ің х бойынша,екініиі жағдайда Х-тің Y бойынша регрессия теңдеулері деп атайды. 32 С ы зы қты к корреляция, регрессия түзулерінің теңдеуі Тәжірибе нәтижесінде анықталған X және Y мәндері, яғни х,, ) нүктелері белгілі бір түзу маңайында орналассын у=ах+Ь сызықтық тәуелділігіндегі а мен b параметрлерінің мәндерін (jci,^ j ) (х 2, >»2 ) . . (х и, >» я )экспериментальдық берілгендері бойынша аннқгау керек болсын. y=ax+b функциясының параметрлерін А,- ~уі -(axt + й)айырымдарының квадраттарының қосындысы ең кіші болатындай етіп таңдап алуымыз керек,яғни (32.1) өрнегін минимумға айналдыруымыз керек. Осылайша табылғай параметрлердің мәндерін ең кіш і квадраттар әдісі арқылы анықталадЫ деп атайды. iS a,5 b дербес туындыларын тауьш, оларын нөлге теңестірсек 68
- 2Z (兄- 似/ - わ)^ = 0 ， i=l _2S (兄'"似,~■わ).1=0 /=1 щыққан система теңдеулерін теңестірсек м я 1=1 (32.2) Осы системаньщ шешуіндегі а мен b параметрлері үшін (32.1) өрнектің минимумы болады, себебі бүл параметрлер (32.1) өрнекте екінші дәрежелі және де (32.1) қосындысы теріс мән қабылдамаиды. (32.2) система тендеулерінің екі жағын тәжірибе саны п-ге бөліп, орта арифметикалық мәндері арқылы өрнектеп жазсак мұндағы jax2 + Ь х-хуу [ах + わ=у (32.3) 一 . ，X y -------------- ( 3) жүйеден а мен b мәндерін тапсақ û=4 z L z , b=y ^ Табылған b-ның мәнін регрессия түзуінің y=ax+b теңдеуіне апаРЫп қойсақ y = ax-¥b = ax + y — ах. (32.4) s l a S 一 b д -э э І э 69
немесе у - у = а(х-х). a = p - ^ z I 4 ( 似 ) коэффициент! () регрессия тузѵінщ коэффициенп деп аталады. Осылайша Х-тің Y бойынша регрессия түзулерінің теңдеуі ■рУ//{у~ у) 32.6 мүндағы регрессия түзуінің коэффициенті へ 32.7 у2- у 2.4) жэне (32.0 теңдеулершен аныкталған регрессия түзулері (х,у) нүктесі арқылы өтетінің байқаймыз. 33 Корреляция коэффициенті Егер өткен параграфтағы (32.5) және (32.7) формулаларымен анықталған регрессия коэффициенттері оң мәндер кабылдаса, яғни ру^ >0, p у >0 болса, ондай корреляциялық байланысты оң корреляция деп атайды. = ^ 0г>Оболуанда (32.4) түзу ОХ өсімен сүйір бүрыш жасаиды, ал р х八 - tgß)0 болған жағдайда (32.6) түзу ОҮ өсімен сүйір бүрыш жасайды.Түзулер арасындағы бұрыш неғүрлым кіш і болса, соғүрлым X пен Y арасындағы корреляциялық байланыс тығыз болып саналады. 70
Егер бұл түзулер беттессе, онда X пен Y арасында түзу сызықты функциялық байланыс бар деп есептеледі. Сызықтық корреляциялық байланыстьщ тығыздығы өлшемі ретінде корреляция коэффициент! қолданылады. (32.1) шаманың таңбасы регрессия коэффициенттері таңбаларымен сәйкес келеді. Корреляция коэффициентінің (32.1) анықтамасьшан оның келесі қасиеттері шығады. 1° Корреляция коэффициентінің қабылдайтьш мәндері [-1 +1]，яғни -1<г<1 2° Егер г=ү1, онда таңцаманьшың нүктелері бір түзу үстіыде жатады /регрессия түзулері беттессе, онда ß=90-a, tgatgß=l/. 3° Егер корреляция коэффициентінің ұі-ге жақын болса, онда X пен Y арасында күшті сызықтың тәуелділік бар деп есептеледі. 4 Егер г мәні нөлге жақын болса, онда айнымылар арасындағы коррелядиялық тәуелділік нашар деп есептеледі /г<0,4 болғанда X пен Y арасында ешқандай сызықтық корреляция болмайды/. 5 Корреляция коэффициент^ ѳлшемсіз /безразмерная/ шама оньщ мәні X жэне Y шамаларьшың ѳлшеміне жэне Ко°рдинаторлардың бас нүктесінің орналасуына байналыссыз болады: (32.1) формуланы келесі түрде түрлендірейік 71
Корреляция коэффициентін келесі формуламен есептеуге болады 34 Қ и сы қ сы зы кты корреляция Тәжірибенің нәтижесінде алынған нүктелер (хкУі)(х2уУ2 (хп, у„ )белгілі бір y=f(x) қисығының маңайында орналассын. Бүл аналитикалық функциясымен берілген X пен Ү-тін тәуелдігі X ： мен у. -дің барлық нүктелерінде бірдей бола бермейді 认 ’ Ү-тің X бойынша регрессия коэффициент! х у -х у х у -х у ÔY х у -х у ^_r Sy ズ jc2 一 jT2 ^ 万x A Х-тің Y ооиынша регрессия коэАфициенті ニ -ту — :y . j — .タニ 万ү ҳу 一ズ.タ ニ f も ， Корреляция коэффициенті г белгілі болғанда регрессия түзулерінің теңдеулерін құру жеңілденіп келесі түрде жазылады ÎI4 J V г L
axf - bxi - c ) x f = 0, ад:,2 —c)xi = 0， axf -bx. — c)=0. Бұдан аздап түрлендірулер жүргізгеннен кейін параметрлері үшін мынадай үш белгісізді үш сызықтык тендеулер системасыы аламыз: е бірнеше нүктелер үшін Уі - f( x i) = А1айырымы нөлден өзгеше неМ _ セяи тәжірибеде у, мәні мен аналитикалық А(хі)-дің айырымы теГ болмайды. Бұл жағдайда y=f(x) қисығының параметрлерінің НвЛ^>)ЫМДардың квадраттарының қосындысы ең кіші болатындай етіп ^апалукерек, яғни Z = t A - = È U - / U ) 2) (34.1) өрнегін минимумға айналдыру керек. Мүндай минимум табылады себебі /1/ өрнек бойынша y=f(x) тәуелділігіне сызықтық түрденетін параметрлер екінші дәрежелі және де (ІО.І)өрнек теріс мәнлер қабылдамайды. Осы әдіспен табылған параметрлердің мәНдері ең кіш і квадраттар әдісі аркылы анықталған деп атайды. 1 Тәжірибеден алынған (jci, (х2,у2 {хп, )нүктелер бойынша y=ax2+bc+c квадрат үш мүшеліндегі a, b жэне с параметрлерінің мәндері ең кіш і квадраттар әдісі арқылы қалай табылғандығын көрсетейік. (34.1) теңдік бойынша z = X •(ス _ _ bxi ~~ cf (34.2) Бұл функцияның a,b жэне с параметрлері бойынша дербес туындыларын тауып нөлге теңестірсек келесі системаны аламыз: у у - 77 -2Il = II azl r g azl ab azl ac 73
at l xi + ゐÊ ズ丨3 +сЁ х«2 = 客ろ、 ’ * aX xi +bÈ xi +cS x«-=Z x^/> n n H aY ,^ +bYjXi+en = ү^ Уі • 1 . Енді гиперболалық түрдегі корреляциялық байланысты қарастырайық. y-a-v— түріндегі байланыстьщ а жэне Ь X параметрлерін кѳрсетілген ең кіш і квадраттар әдісімен анықтайық. (34.1)формулаға сәйкес Бұл функцияньщ а жэне b параметрлері бойынша дербес туындыларын тауып нөлге теңестірсек келесі системаны аламыз f = -2| ト ー 吾 。’ f l ト… 张 =° 2. v=a bx түоіндегі көрсепсіпггік функцияньщ а жэнпараметрлерінің ең кіш і квадраттар әдісімен анықтау үшін бүл тендіқтің екі жағын логарифмдешк (34.2) -өрнекке сәйкес 一lga- ' lgわ)2 функциясынан lga және lgb параметрлері аркылы дербес туындыларын алып нѳлге теңестірсек 74
= - 2 > ；(lg ッ, - lg fl - xt lg b)x, = 0 d lgb i=i ßyjj өрнекті түрлендірсек lga мен lgb-ның мәндері үшін келесі тендеѵлер жүйесін аламыз: • n n nlgfl + lg^X^ • 1=1 1=1 я (34.5) lg a Y x( lg ьү^ xf = X X,lg Уі (34.5) жүйенің шешімін, яғни а және b параметрлерінің мәндерін тауып көрсеткіштік y=abx функциясын аныктаймыз. 35 Ы қтим алды қтар теориясынан қы сқаш а мағлумат Ықтималдықтар теориясы пайда болғанға дейінгі кезеңнің бастамалары ежелгі ғасырларға кетеді. Бұл үзақ дәуірде, кешн келе ықтималдықтар теориясына жатқызылатын, өте қарапайым есептер қарастырылып шығарьшады, бірақ та ол үшін арнайы эдістер табылмады. Ал есептердің өздері де қызба-құмар деп аталатын ойындардьщ (мысалы қа р та сүйек және теңге лақтыру, тағы басқа ойындардың) төңірегінде гана болды. Бұл кезең Д.Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (1499-1557) және басқалардың жршстарымен аяқгалды деп есептеліп жүр. Олардың шығарған есептерінде сол кездегі жаңа ұғым - шанс (француз сөзінен алынған) қатынасын енгізуге талпынган, мұның өзі де там - тұм кездесіп отьфған (Майстров Е. «Развитие понятие вероятностей». М., Наука, 1980). Философия ғылымының даму тарихында кездейсоқтық， Қажеттілік жэне мүмкінділік эрқашан да негізгі мәселелердің ^тарьшда болды. Мұндай проблемаларды қарастыру ықтималдық ^ ^ ы н ы ң қалыптасуьша да ықпалын тигізді. Ерте заманньщ ЗДе-ақ статистикалық материалдарды жинап, оған турлі талдау ^ҮРгізген. Міне, солар ғылымда жаңа ұғымдар, оның ішінде ^ гил*алдық ^гымының шығуына эсер еткен. Алайда, ерте ^ ^ ■ = - 2 客 (lg yt - l g a 一' lg ゎ>：,2 = 0 75
замандағы ғылым ыкгималдық ұғымын бөліп ала алмаға^ (Карпенко Б.И. «Развитие идей и категорий математической статистики». М ” Наука, 1979). Ықтималдықтар теориясының шығуы X V II гасырдь^ ортасындағы Б.Паскальдің (1623-1662), П.Ферманың (1601-1665) жэне Х.Гюйгенстің (1629-1695) еңбектерімен байланыстырылады Ы қтималд ықтар теориясының идеялары қауыпсыздандыру демография және бақылау қателерін бағалау талаптарын шещу^ арналған есептерге қолданылады. Я.Бернуллидің (1654-1705) жүргізген зерттеулері ықтималдықтар теориясьшың дамуынд^ы белді кезең болды. Ол өзінің ецбектерінде шектік теоремалар қатарьша жагатъш алғацвд үлкен сандар заңын дэлелдеді. Осы дэуірде келелі жұмыстардьщ пайда болганын айта кету керек: Муавр (1667-1754) кездейсоқ кұбылыстарды қарастырғанда жні кездесетін калыпты заңдардыд қарапайым түрлерін апггы; Лаплас (1749-1827) ықтималдыктар теориясын бір жүйеге келтіріп баяндады, ықтималдықтың қазіргі кезде классикалық деп аталатын анықтамасын берді, шектік теоремаларды эрі қарай кеңейтті; Гаусс (1777-1855) калыпты заңның негіздемесін жасады, «ең кіш і квадраттар эдісіш экспериментальдық берілгендерді өңдеуге қолданды; Пуассон (1781-1840) үлкен сандар заңдарын зерттей отырып, кездейсох шамалар бағынатын үлестірімнің жеке бір түрін атау теориясына қолданды; т.б. Ықтималдықтар теориясы дамып жетілуіне Петербургтьщ математикалық мектебі зор роль атқарды. Дүние жүзілік математика ғылымының дамуына әсерлі ықпальт тигізген мектептен көптеген атақты оқымыстылар шықты. В.Я.Буняковскии (1804-1889) орыс тілінде алғашқы оқулық жазды, ал оның шэкірті, орыстьщ ұлы ғалымы П.Л. Чебышев (1821-1894) ықтималдыктар теориясына жаңа бағыт берді，оньщ зерттеу арнасын кеңейтті, жаңадан соны эдістер тапты. П.Л.Чебышевтың окушылары - А.А.Марков (1856-1922) бірбіріне тэуелді кездейсок шамаларды да қарастырды сөйтіп, ықтималдық идеяларының басқа да ғылым салаларына қолданылу мүмкіндігін кеңейтті; А.М.Ляпунов (1857'1918) әдеЙ характеристикалық функция әдісін тауъш, орталық шектік теореманы өте жалпы шарттар орындалғанда дэлелдеп шыкты, бұлардың бәрі осы кезге дейін өзінің құндьшыгын жойған жок. Қазақстанда ықгималдықтар теориясы бойынша ғылымйпедагог мамандар даярлау ісіне Қазақ жэне Өзбек республикалыК 76
цемиктері^ пасты • О.А.Жэутіков жэне С.Х.Сираждинов тікелей ^?^ектаевтің, марковтық тізбектерге қатысты Б.С.Жаңбырбаевтің мақалалары жарық көре бастады. Щет елдердің математиктері Н.Винер, В.Феллер, Д.Дуб, Ajjniep, Д.Нейман жэне Г.Крамер ықтималдықтар теориясьшың дамуына әжептәуір үлес қосты. Өлшем теориясы мен нақты айнымалылар функцияларының хе0р1цясы негізінде құрылған ықтималдықтар теориясьшың жалпы аксиоматикасын академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903 ЯСЬІДЫ -хуған) 1929 жылы жасап, өзінің а та қты 《Основные понятия теорий вероятностей» (1933 ж.) монографиясында жариялады, сөйтіп, бұл теорияның түбірімен өзгеруіне жол ашылды, оның жаңа тарауларыньщ пайда болуына орнықты логикалык фундамент қаланды. Кездейсоқ процестердің теориясы табиғат құбылыстарын， экономикалық және техникалық процестерін зерттеуге кеңінен қолданылуға мүмкіндік алды. Міне, сондықтанда да, ықтималдық теориясындағы юіассикалық есептердің бәрі қайтадан жаңартылды, соны түсініктемелер қабылдады. Ғылыми-техникалық революция дәуіріндегі ғылымньщ интеграция жэне дифференциация к^былыстары' ықтималдықгар теориясына да эсерін тигізді. Информация теориясы, жаппай қызмет көрсету теориясы, ойындар теориясы және беріктілік теориясы сияқты гылым салаларьшың бөлініп шығуына, олардың дамуына эсерін тигізген ыктималдықтар теориясы мен оның бір тарауы математикалық статистика. Жиіліктің мәнінің тұрақтылығьш тәжірибе арқылы зерттеушілер көп болған. Оны теңге лақтыру арқылы жүргізілген сьшақган жақсы көруге болады. X V III ғасырдан бергі осындай сынақтардьщ нәтижесін кестемен келтірелік. Мұндағы n тэжірибе еаны，ал — - теңгенің елтаңба жағының көріну жиілігі: n ш/n Бюффон 4040 0,507 Де Морган 4092 0,5005 Джевонс 20480 0,5068 Романовский 80640 0,4923 Пирсон K. 24000 0,5005 Феллер 10000 0,4979 Хамитов.М. 5000 0,509 77
Ескерту Тәжірибе жасау үшін кэдімгі елу теңгелік ақшаны (күміс) оң колына алып бас бармакгың үстіне қойда шертіп жіберде，елтаңба ма элде сан жағы ма есептей бер. Мен бес мың рет лакгырғанда 2545 рет елтаңба жағы түсті. Қызық қой! 78
Ғылым мен еңбек адамды алыпқа айналдырады. Қаяыш Сэтбаев I Кездейсок оқиғалар 1 мысал Жәшікте 4 қызыл, 6 қоңыр түсті асықтар бар. Жәшіктен кезкелген бір асық алынды. Сонда қоңыр асыктың пайда болуының ^ктималдылығы қандай? Шешуі А-Қоңыр асықтьщ пайда болуы болсын. Бұл тәжірибеде элементарлық оқиға дегеніміз жәшіктен кез-келген бір асық алу. Асықтар бірдей болғандықтан бұл оқиғалар тең м үм кінді және өзара үйлесімсіз. Элементарлық оқиғалардың жалпы саны осы жәшіктегі асықгар санына тең п=10, ал A оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалар саны жәшіктегі қоңыр асықтардың санына тең. Сондыктан ықтималдықтың анықтамасы боиынша Р (А )= — = 0,6 v ノ Ш 1 мысал a) M , T, Y, Л, P, A әріптері бөлек карталарғ^ жазылған. Содан кейін карталар араластырып кез-келген ретаен бір қатарға орналастырылған. Сонда AJIMVPT сѳзінщ пайда болуының ықтималдығы қандай? Ш ешуі а) берілген алты карталардың бір қатарға әртүрлі орналасуларының оір-бірімен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығыыда болады. Сондықтан ондаи орналасулардың жаллы еаны мына формуламен анықталады, яғни п= Р6 =61=720 Берілген алты картаның әрбір орналасу комбинацияларын оқиға Р^тінде қарастырсақ, онда олар тең мүмкінді, үйлесімсіз оқиғалар болады. Ал бізге колайлы элементарлық оқиғалар саны га—1. Себебі карталар әртүрді комбинациямен орналасқанда 幻ІИ Ѵ Р Т ，сөзі бір-ақ рет кезігеді. Сонда 卜 丄 = 丄 . Р6 720 ’ ^ ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛШ І 79
б) әркайсысында бір әріп жазылған карталардан “ ИНЕЛЖ күралған” . Карталарды араластырып содан кейін бір-бірлеп алынға^ ! ретімен сөз күрастырылды. Сонда КЕ Л Ш сөзінің панда болуыньіミ ықтималдығы кандай? Ш еш уі Берілген алты карталардан төрт карта бойынша орналастырулар саны n - А^. Ал төрт әріптен тұратын комбинациялардьщ бізге керегі ! оіреу-ақ, яғни “ ІСЕЛШ” . Олай болса т= 1 . Сөйтіп Р=Х Г З І5 ; 3 мысал Жәшікте 17 көк, 2 қызыл, 4 жасыл щарлар бар. Кез-келген 6 шар алынсын, олардьщ 3 к ө к ,1 қызыл, 2 жасыл шарлар болуыньщ ықтималдыктары қандай? Ш еш уі Жәшікте барлығы 23 шар бар. Осы тәжірибедегі барлык тең ықтималды қарапайым терулер п=С^3. 17 көк шардан 3-еуін С,37 тәсілмен, 2 қызыл шардан 1-еуін С\, 4 ткасыл шардан 2-еуін Cf тәсілдермен алуға болады. Сонымен ш ~ С ъх1С\СІ • Енді ықтималдықты есептеиміз: Р (А )= — , p = Cf7g C 42 =016 Бұдан былай ыктималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементаряык оқиғалардың жалпы санын，сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн. 4 мысал Менде Мүқағалидың 5 томынан тұратын жинағы бар. а) кітаптар бірінші томнан бесінші томға дейін дүрыс ретпен орналасуыньщ ықтималдығын табу керек; б) ең болмағанда оір томның ретті орнында тұрмағаб жағдайдьщ ықтималдығын табу керек. 80
Шешуі Сынак ретінде кітап сөресінде кітаптардың кез-келген ретпен ^ д у у н қарастырайық. Сонда кітаптардың бүлай орналасуларының ^алпы саны - =Р5=5!=120 а) A әріпі арқылы кітап сөресінде кітаптардың том нөмірлерінің өсу ретімен орналасуьш бшдіретін оқиғаны белгілейік. Бұл окиғаға қолайлы элементарлық оқиға біреу-ақ. Сондықтан Р (А )= ү ^ б) В ә р іп і а р қы л ы , ең б о л м ағанд а б ір т о м р е г г і о р н ы н д а болмауын білдіретін оқиғаны белгілейік. Мұндай оқиғалар саны m=n1 яғни m = l19. Себебі кітаптардың том нөмірлері бойынша дүрыс орналасуы бірге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен Р(В>=119/120; Осы жерде А мен В окиғаларыньщ қарама-карсы екенін ескерсек, онда Р(А) P(J)=1 екенін пайдаланып Р(В)=1-Р(А)=1- 丄 =— табамыз, яғни бүрынғы жауапты алдық. 120 120 5 мысал Жәшікте бірдей 5 бүйым бар. Оның үшеуі боялған. Жәшіктен кез-келген екі бүйым алынды: 1 ) ал ы н ға н е к і б ү й ы м н ы ң б ір е у і б о я л ға н б ұ й ы м б о л у ы н ь щ ы қтим алды ғы н та б у ке р е к; 2) а л ы нға н б ү й ы м н ы ң е ке у і де б о я л ған б ү й ы м б о л у ы н ы ң ы қтим алды ғы н та б у ке р е к. Ш ешуі 1 )жәшікте 5 бұйымньщ екеуін барлығы п=С ] тәсілмен алуға болады, ал алы ы ған е к і б ұ й ы м н ы ң б ір е у і б о я л ға н болса, сол б ір боялған, б ір боялм аған б ү й ы м д а р д ы сә й ке с тә с іл м е н злуға болады. Сонда екі бұйымның бірі боялған болудың барлык Қолайлы эл ем ентарл ы к о қ и ға л а р саны Сөйтіп = I = о,б 2) алдыңғы пунктегі шығару жолын пайдаланып тх = С \ = 3, т 2 = = 1 81
Сонда Р = 生 昇 = о,3 С, 6 мысал Екі 3 жэне 6 цифрларынын көмегімен әртүрлі үш орынд^,[ қанша сан жазуға болады? Ш еш уі Барлығы екі 3 және 6 цифрлары берілгендіктен іздеп отырғ^ комбинацияларды бірден жазуға болады: 333, 336，363，633, 666，663， 636，366 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты қайталанбалы орналастыруды пайдаланып та алуға болады Жауабы Барлығы 8 сан жазуға болады. 7 мысал Мына 4;3;2;4;1 цифрлардьщ кѳмегімен алты таңбалы қанша сан жазуға болады. Шешуі Берілген бес цифрдытѳрт топка бѳлеміз: 4; 4，3; 2，1 ; Есептің шартына қайталанбалы алмастырулар формуласын пайдалануға болады. Сонда Р25" , = - ^ - = 60 2,1X1 2Ш11! Жауабы Барлығы 60 сан жазуға болады. 8 мысал Гүл дүкенінде 4 түрлі гүлдер бар. Алынған 8 гүлден канша өдіспен букет жасауға болады? Шешуі Сатып алынған гүл саны 8-ге тең. Сондықтан жасалған букет 8 гүлден түрады. Ал осы букетке үш түсті гүлдердің әрбір түсіней бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса қайталанбалы терулер формуласын пайдаланып か 吾 - Жауабы 1 6d әдіспен букет жасауға болады. 82
9 мысал トден 40-қа дейінгі бүтін сандар арқылы нөмірленген 40 ихан билеттерінің ішінен қалай болса солай бір билет алынған. - шылған билетгің нөмірі үшке еселі сан болу ықтималдығы Тәжірибеміз 一 бір билет алу. Билет қалай болса солай уирылғандықтан тәжірибенің барлық нәтижелері тең ыктималды 相г оның үстіне, олар қиылыспайды. Тәжірибенің мүмкін нәтижелерінің саны 40-қа тең. A оқиғасы алынған билеттің нөмірі үщке еселі болатындығын көрсетеді. Бұл оқиғаға тәжірибенің 13 нәтижесі қолайлы болады. {3;6;.-. 39}. Демек, ізделінді ықтималдық тең ⑷ =芸 10 мысал Эилер-Венн диаграммасы Группадағы 25 студенттің 20-сы спортсмен, (A оқиғасы), 9-ы музыкамен (Воқиғасы), 6-ы музыкамен жэне спортпен (AB оқиғасы). Эйлер-Венн диаграммасьш қүрып, A百,AB,А + В оқиғаларының не білдіретіндігін көрсетелік. Шешуі оилер-Венн диаграммасьш күрамыз. Дөңгелектер А мен В ^киғаларьш, дөцгелектердің қиьшысуы A B окиғасын көрсетеді. Дөңгелекгердің қиылысуына музыка жэне спортпен айналысатьш ^Денггердің саны сэйкес келеді, яғни 6 адам. AB жэне AB °Қиғалары, бұларға сәйкес,14 студенттің тек спортсмен, ал 3 студент Тек ^зыкамен айналысатындығын кѳрсетеді. Демек музыкамен Немесе спортпен 23 студент айналысады, сондыктан да А + В оқиғасы 83
студенттердің ішінде тек екеуінің мүндай әуестенуі жоктығь^ көрсетеді. Студентгерге өзіндік есептер 1.Тиын үш рет лақтырылған. Сан жағымен: а) кем дегенде екі рет түсу, ә) екіден артық емес рет түсу ыктималдығын анықтаңыз. 2. Мына оқиғаның ақикат оқиға екенін дәлелде (a + b)(ä + b)+(a + b )(ä + b ) 3. Өрнекті ықшамда: а) (а + + в) b)(A+bXa+b)(Ä+b) 4.Төмендегі оқиғалар группалары толық группалар бола ма? а) А^тиынньщ сан жазылған жағы A 2 -тиынның елтаңба жазылған жағы б) Екі тиын лақтырьшған. В, = {екі елтаңба пайда болды} В2={екі сан пайда болды}. в)Екі ойын кубы лақтырылған С (={екі кубтада 6 цифры пайда болды} С2={екі кубтада 6 цифры пайда болмады} С3 ={бір кубта 6 цифры болды, екінші кубта 6 цифры болмады} 5. 20 аспайтьш кез-келген натурал сан алынған, онын 2-ге еселік сан болатындығының ықтималдығы кандай? 6. 32 картадан 10 карта алынды. Осы 10 картаның ішінде 8 картаның бір түрлі болуыньщ ықтималдығы кандай? 7. Қорапта m сары, n көк карындаштар бар. Осы қораптан алынған кез-келген қарындаштың көк болатындығының ықтималдығы қандай? 8. 50-ден аспайтын кез-келген натурал сан алынсын. ОсЫ санның жай сан болуыньщ ықтималдығы каедай? 9. n бірдей шар салынған кораптан бір шар алынып кайта сальтды. Тәжірибе n рет қайталанғанда барльгк шарлар түгел алынып шығуының ықтималдыгы қақцай? 84
10. Бес адамды неше тэсілмен алмастырып отыргызуға болады? 11.Мына цифралардың кѳмегімен 2;2;2;4;4;4; неше әртүрлі алты ^ а л ы сан жазуға болады? 12.Бірдей алты картада Й Ғ,Т,А 0,Р, әріптері жазылған. охалар арал асты рыл ып кез-келген ретпен бір катарға ^шаластырьшған. Сонда “ ТОРҒАЙ ” сөзінің пайла болуының уктималдыгы кандай? 13. Қорапта 4 жасыл, 5 ак шарлар бар. Кез-келген екі шарды аЛ8АіЫз олардың түстерінін әртүрлі болып шығатындығының ыктималдығы қандай? 14. Тиын екі рет лақтырылды, екі ретте де елтаңба түсуінің ыктималдығы кандай? 15. Бірінші жәшікте нөмірлері 1-ден 5-ке деиін, ал екіншісінде 6-дан 10-ға дейін нөмірленген шарлар бар.Әрбір жәшіктен бір-бірден шар алынды.Алынған екі шардың нөмірлерінің косындысы 1 ) 7-дне кем болмауының, 2 ) 1 1 -ге тең болуының, 3 ) 1 1-ден артык болмауының ықтималдығы қандай? 16. Он билеттің екеуіиен үтыс шығады. Кез-келген бес билеттің біреуінен үтыс шығуының ыктималдығы кандай? 17. Қорапта бірдей 8-бүйым бар. Оның\ торгеуі боялған. Қораптан кез-келген екі бүйым альшды: a) алынған екі бүйымныц біреуі боялған бүйым оолуының ыктималдығы; b) алынған екі бүйымның екеуі де боялған бүным болуының ықтималдығы қандай? 18. Екі 7 және 8 цифраларының көмегімен әртүрлі төрт орынды қанша сан жазуга болады? 19. оптағы 30 оқушынын бақылау жүмысында 6-ы “ 5” ，ал 9-ы деген бағалар алды.Тақтаға торт оқушы шакырылды. Шақырылған гөрт оқушының да “2” деген баға алғандығының ықтималдығы қандай? 20. Гүл дүкенінде 4 түрлі гүлдер бар. Алынған 6 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады? 21.Сөредегі 80 кітаптың 12-сі жаңа. Кез-келген ретпен алынған ^ кітаптың үшеуінің ескі болуының ықтималдығы кандай? 22. 36 картаның кез-келген біреуі алынды. Алынған картаның Карға болуының ықтималдығы кандай? 23. Екі жәш іктің орқайсысында 1-ден 10-ға дейін нөмірленген °н ш^РДан бар. Бірінші жәшіктегі шарлардың 6-ы кызыл, 4-і кара екініиі жәшіктегі шарлардың 7-і кызыл, 3-і қара.Әрбір жәшіктен бір85
бір шардан аламыз. Алынған екі шардың біреуінің кызыл больіц ш ығуының ыктималдығы қандай? 24. 25 компьютердің 10-ы тексеруге алынды. Жүмыс барысында 4-і істен шыкты. a) алынған 10 компьютердің барлығы да жарамды болуыньш ықтималдығы қандай? b) алынған 10 компьютердің екеуі істен шыккан сегізінің жарамды болуының ықтималдыгы кандай? 25. 36 картаның кез-келген 3 картасы алынды. Сонда түз， король, дама ш ы ғуы ны ң ықтималдығы қандай? 26. Телефон соғатын номердің соңғы екі цифры абонент есіңе түспей калып (бірақ ол цифралардың әртүрлі екендігі есінде), ол кезкелген номерді алды. Сол алған нөм ірінің соңғы екі цифры өзінің үмытып қалған ццифралары болу ықтималдығын анықгаңыз. 27. Ойын кезінде бір бала 1-ден 9-ға дейінгі цифралардың бірің алды. Екінш і бала олардың ішінен үшке еселік кез-келген біреуін сол цифрдың орнына атаған. Сол аталған цифр ойдагы цифр болып шығу ықтималдығын атаңыз. 28. 38 шардың бетінде казак дыбыстарыньщ әріптері жазылган. Кез-келген бір шар алынды, сол алынған шарға: а) дауысты дыбыс; ә) ұяң дыбыс; б) қатаң дыбыс; в) еріндік дыбыс; г) езулік дыбыс; д) үнді дыбыс жазылған болу ыктималдығын аныктаңыз. 29. Тексерілетін детальдар тобында оірінш і сортты деталь-100, екінш і сортты деталь-50, үш інш і сортты деталь да 50. Топ детальдын ішінен кез-келген бір деталь алынды. Осы алған детальмыз: а ) 1- сортты; э) 2-сортты; б) үш інш і сортты болу ықтималдығын анықтаңыз. ЗО.Ішінде 2 ақ，Іқара және 3 қызыл шары бар жәш іктен бір шар алынды. Осы шардың ақ болу ықтималдығын (А^оқиғасы), кара болу ықтималдығын (В-окиғасы ) жэне кызыл шар болу ықтималдығын (С -оқиғасы) анықтау керек. 86
2 Ы ктималдактарды косу жэне кѳбейту теоремалары 1 мысал Ойын кубы лактырылсын, сонда жуп сан түсуінің ықтималдығы кан д а й ? . Ш ешуі ^Сүп сан түсуін - A оқиғасы деп алайық; Вк - к үпай түсті /к=1,2,3,4,5,6). A оқиғасы В 2，В 4, В 6 окиғаларының кем дегенде біреуі орындалатынын кѳрсетеді, яғни А=В 2+В4+В6_ В 2，В 4’ В 6 оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан Р( A і+A ,. ..+An)=P(A i)+Р( А2)+,. ..+Р(АП) фор^іуласын паидалэнймыз. Мұндағы п=3. Р(Вк)=1/6 (к=1，2，3,4，5,6) Р(А)=Р(В2)+Р(В4)+Р(В6)=1 /6+1 /6+1 /6=1 /2 Ескерту Р(А)=ш/п:=І/6 формуласы бойынша да осындай жауап шығады. 2 мысал ч Бірінші футболшының кақпаға допты кіргізуінің ықтималдығы0,6, ал екіншісінікі-0,7. Егер екеуі де допты бір-бірден қақпаға тепсе, ең болмағанда біреуінің добының кіретінінің ықтималдығы қандай? Шешуі Белгілеу енгізелік. А- допты қақпаға бірінші футболшының кіргізуі . В-екінші футболшының кіргізуі. Бүл екі оқиға үйлесімді, себебі екі футболшы да допты кақпаға кіргізулері мүмкін ғой. Сондықтан үйлесімді оқиғалардың қосындыларының ықтималдығы туралы теореманы пайдаланып Р(А + В)= 0,6 + 0,7 — 0,6.0,7 = 0,88 екенін табамыз. Осы мысалды ең болмағанда оір оқиғаның пайда болуы (оқиға Р) туралы теореманы пайдаланып та шығаруға болатынын көрсетелік. ^ьіньщда да D-оқиғасы ең болмаса біреуінің нысанаға тигізу болсын. しонда ^ • Р (0 )= і- p(Ä)p(b)= 1-0,4-0,3 = 0,88 Бүлжерде ( )= - ( ) = ,4 ， р(в)= 1-Р(в) = 0,3,
3 мысал Екі сөреде кітаптар түр. Бірінші сөреде 10 кітап, оның төргеуі қазак тілінде жазылған, екіншісінде 14 кітап, алтауы қазак тіліңде жазылған. Әрбір сөреден бір-бірден кез-келген кітап алынды Алынған екі кітаптың қазак тілінде жазылғандығыньш ыктималдығын табу керек. Ш еш уі Белгілеу енгізелік. А-бірінші сөреден алынған қазақща кітаптар В-екінші сөреден алынған қазакша кітаптар. Сондықтан Р( ) = — , Р( )=—. Алынған екі кітап казак тілінде бояу үшін А-в 10 14 оқиғасы пайда болуы керек. Бұл екі оқиғада үйлесімді, себебі екеуі бірдей пайда бола алады, сондай-ақ бүл оқиға тәуелсіз себебі олардьщ пайда болуы бір-біріне байланыссыз. Сондыктан Р( В) = Р( ) ( ) = 0,17 4 мысал Бақшада жеміс жинау процессі үш кезеңнен түрады. Бірінші кезеңде жиналған жемістердің сапасыз болуының ыктималдығы - 0,02, ал екінші кезеңце -0,03 және үшінші кезеңде - 0,04. Жарамсыз жемістердің болуын тәуелсіз оқиғалар деп карастырьш, осы үш кезеңнен кейін жарамды жемістер жиналуының ықтималдығын табу керек. Ш еш уі Белгілеу енгізелік. A оқиғасы бірінш і кезенде жиналған жарамсыз жемістер; В — екінші кезеңде жиналған жарамсыз жемістер; С - үш інш і кезенде жиналған жарамсыз жемістер. Есептің шарты бойынша А,В,С тәуелсіз оқиғалар. Олай болса А, В,С оқиғалары да тәуелсіз оқиғалар. Сондықтан D= A B C оқиғасы - үш кезеңнен кейін сапалы жемістер жиналуын анықтайды. Енді тәуелсіз окиғалардын көбейтіндісінің ыктималдығынын формуласын пайдаланып P(D) = 0,98 0,97 • 0,96 = 0,913 табамыз. 5 мысал Бірінші станоктан шығарылған 200 детальдың 190-Ы стандартты; екінші станоктан шығарылған 300-дің 280-і стандарттьі. Кез-келген детальды аламыз. Оның стандаргты болуыный ыктималдығы (А окиғасы) кандай? Осы окиғаның В жэне оқиғаларына қатысты шартты ықтималдығын тап. ( В-детал ь д ый бірінші станоктан шығарылу окиғасы). 88
Шешуі ■ A - оқиғасының ықтималдығы екі станоктан шығарылған ідартгы бөлшектердің қосындысьш жалпы бөяшектер санының К0С1 улльіларьшың шамасына бөлгенге тең р ( 190± 280 = 470= 94 v } 200 + 300 500 A окиғасының В оқиғасьша қатысты шартгы ықтималдығы ( алынған деталь стандартты болады, егер ол оірш ш і станоктан щьіғарылса) P .(ß )=— =0,95 АѴ ノ 200 д оқиғасьшьщ B оқиғасьша қатысты шартгы ықтималдығы (алынған деталь стандартты болады, егер ол бірінші станоктан шығарылса) Р4(^)=190/200=0,95 A оқиғасыньщ оқиғасына қатысты шартгы ыктималдығы (алынған деталь стандартты болады, егер ол бірінші станоктан шығарылмаса, яғни екінш і станоктан шығарылған болса) (A) =280/300-0,93 6 мысал Үш баскетболшы корзинаға бір-бірден доп лақтырды. Бірінш і баскетболшыньщ корзинаға доп түсіруішң ықтималдығы 0,9, екіншісінікі -0,8, үш іы ш ісінікі - 0,7. Тек бір баскетболшының корзинаға доп түсіруінің ықтималдығы қандай? Ш еш уі А — оірінші баскетболшыньщ корзинаға доп түсіруі, В,С - екінш, үшінші баскетболшыньщ корзинаға доп түсіоуі. Бұл оқиғалар тәуелсіз. Енді мына оқиғаларды қарастырайық: ABC -тек Аоқиғасының пайда болуы, ABC -тек В оқиғасының пайда болуы, Абし- хек С оқиғасының пайда болуы. Бұл соңғы үш оқиғалар үйлесімсіз сондықтан D = A B C + A B C + Ä B С оқиғасы А,В,С оқиғаларының тек біреуінің пайда болуьш 0ілдіреДі<Сѳйтіп 89
7 мысал Ү ш аңшы ұш ы п бара жатқан қазды сэйкес %, ықтималдыктарымен атып түсіре алады. Ү ш ы п бара жатқан Қазд^ үшеуі де бір мезгілде атты. Қазды атып түсіргендіктің ықтималдьц^ | қандай? Ш е ш уі Қазды атып түсіру үш ін ең болмағанда бір андіыньщ оғы дәл ти ю і керек. Сондықтан мына формуланы пайдаланып fr =K r.«)- табамыз. М ұндағы А - қаз атып түсірілді; Аг қазды бірінші аңшы атып түсірді; А2_ қазды екінші ащиы атып түсірді; А3- қазды үшінші аңшы атып түсірді; 8 мысал Е кі ж әш ікке алма және алмұрт салынған. Айталық бірішпі жәш ікте ш, алма, п, алмүрт, ал екінш ісінде - т 2 алма, п2 алмұрт бар болсын. Ею жәш іктен бір мезгілде, бір-бірден кез-келген жемістер алынған. Алы нған екі жемістің ең болмағанда біреуі алмұрт болғандығының ықтималдығын табыңыз. Ш е ш у і А - оқиғасы б ірінш і ж әш іктен алма алынғандығын білдірсін, Векінші қораптан алмүрт алъшғандығын білдірсін. Сонда А+В оқиғасы альшған екі жемістің ең болмағанда біреуі алмүрт екенін білдіреді. Бұл екі оқиға үйлесімді. Сондықтан мына формуланы пайдаланымыз. Бұл жерде Р(а) = 一 —~ р(в) = 一 ；және А жэне В /п, + л 丨 + п2 оқиғаларының тәуелсіздіпн ескеріп P (D ) = p ( a B C ) + p ( a B C ) + p ( Â B C )= 0,092 P(A + B) = ^ ± ^ Ä (m, +л,Хт2 +п2) табамыз. 9 мысал Қорапта бірдей бүиым бар. Қораігтан екі сапалы бүиым алудыЯ ыктималдығы 4/15 тең. Қорапта қанша сапалы бүйым бар еді? 90
Щешуі Белгілеу енгізелік. А- қорап оірінші рет алғанда сапалы бұйым ядЫ В- корапта екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі адар тәуелді. Сондыктан, егер /г- сапалы бүйымдар сан десек онЛа ^ ^_і Р(А) = — , РА(В) = — 7 15 А 14 Есепіің шарты бойынша Р(АВ) = Р(А).РЛ(В) = ^ І І ^ Осыдан к 2 - к :- 56 = 0, k = S. Сонымен жэшікте 8 сапалы бұйым болды. Студенттерге ѳ зія д ік есептер 1.Қораптағы 30 шардың 12-сі көк, 8-і жасыл，10-ы ақ. Қораптан алынған шардьщ түрлі — түсті болуыньщ ықтималдығы қандай? 2. Екі ойын кубы лақтырылды. А-‘‘түскен үпащар санының қосьшдысы төрттен аспайды，’. Осы оқиғаның ықтималдығын тап. 3. Атқыш үш секторға бөлінген нысанаға оқ атты. Бірінші секторға түсу ықтималдығы 0,5, ал екіншісінікі-0,4. Оқтьщ бірінші немесе екінші секторға тию ықтималдығы қандай? 4. Бірінші футболшыньщ қақпаға допты кіргізу ыктималдығы0,75, ал екіншісінікі-0,8. Футболшылар бір-бірінен тәуелсіз қақпаға Доп тепті. Сонда қақпаға кем дегенде бір футболшыньщ добының кіруінің ықтималдығы қандай? 5. Тиын үш рет лақтырылды. Екі рет сан шығуыыың ықтималдығы қандай? 6. Екі тиынды бірге лақтырғанда бірдей елтаңба жақтарыньщ түсу ықтималдығы қандай? 7. Жәшікте 6 көк, 5 қызыл, 4 ақ шарлар бар. Жәшіктен бірбірлед үш шар алынды. Сонда бірінші алынған шардың (А-оқиғасы) Көк» екінші алынған шардың (В-оқиғасы) қызыл, үшінші алынған ардың (С-оқиғасы) ақ больш шығуының ықтималдығы қандай? 8. Әрбір үш корзинада 30 гүлден бар. Бірінпіі корзинада-25, ншісінде-26, үшіншісінде-24 роза гүлдері бар. Әр корзинадан бірР гүлден алынды. Алы нған үш гүлдің де роза болуыньщ Ықтималдығы қандай? 91
9. Үш түрлі жемістер салынған екі жәшіктің біріншісінде 2 алма, 3 алмүрт, 5 апельсин бар, екіншісінде 4 алма, 2 алмүрт, 4 апельсин бар.Екі жәшіктен бір-бір жемістен алынды. Осы жемістердц бір түрлі болуыньщ ықтималдығы қандай? (А-оқиғасы) 10. Кез-келген екі орынды сан алынды. Осы санньщ 2-ге, 7-ге немесе екеуіне де еселік сан болатындығының ықтималдығы қандай? 11.Қалтада 6 темір және 4 ағаш шарлар бар. Қалтадан бірінен кейін-бірін екі шар алынды. Алыш^ан екі шардың да темір болуыньщ ықтималдығы қандай? 12. Төрт үйлесімсіз оқиғалар сэйкес мынадай ықтималдықтармен орындалсын: 0,014; 0,011; 0,009; 0,006. Тәжірибе нәтижесінде осы оқиғалардьщ кем дегенде біреуінің орындалу ықтималдығы қандай? 13. Атқыш центрлік шеңбер мен концентрлі дөңгелектерден тұратын нысанаға оқ атгы. Шеңбер мен дөңгелектерге тию ықтималдықтары сәйкес 0,36; 0,20; 0,15 . Оқтың нысанаға дәл тиюінің ықтималдығы кандай? . 14. Ойын кубы н лақтырғанда ж үп сан немесе 3-ке еселік сан түсуінің ықтималдығы қандай? 15. Он картаға 0-ден 9-ға дейінгі цифрлар жазылған. Кез-келген ретпен алынып бір қатарға қойылған карталардағы цифрлардан 357 санының шығу ықтималдығы қандай? 16. Б ірінш і жәшікте-1 ақ, 9 қара, екінш і ж ә ш ік т е -1 қара және 5 ақ шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір-бір шардан алып, қалған шарларды үшінші бос жәшікке салды. Сонда үшінші жәшіктен алынған бір шардьщ ақ болуыньщ ықтималдығы қандай? 17.10 тиындардың біреуінің екі жағы да елтаңба, қалғандары кәдімгі тиындар. Кез-келген бір тиынды алып 10 рет лақтырғанда ылғи да елтаңба жағы түсті. Осы тиынның екі жағынын да елтаңба болуының ықтималдығы қандай? 18. Дәрігерде жатқандардың 50%-і К аурумен, 30%-і Д аурумен, 20%-і-М аурумен ауратындар. К ауруынан жазылу ыктималдығы 0,7 . Д жэне М ауруларьшан жазылу ықтамалдықтары сәйкес 0,8 және 0,9. Жазылып шыққан адамның К ауруымен ауырғандығының ықтималдығы қандай? 19. Студент 26 сұрақтың 20-сыньщ жауабын біледі. Оның бірінен кейін-бірі койылған үш сұрақтьщ жауабьт білетіндігінің ықтамалдығы қандай? 20. Тиын мен ойын кубы қатар лақтырьысын. Тиынның сан жағыньщ, ал кубтьщ үшке еселік сан жазылған жағының түсу ыктималдығы кандай? 92
3 Толы к ы ктим алды қты ң формуласы. Бейес формуласы 1 мысал Бірінші қорапқа 2 кѳк жэне 6 қызыл, екінші қорапқа 4 көк, 2 ïit түске боялған асықтар сальшған. Бірінші қораптан кез-келген ; зсыкп^ альш екішпі қорапқа салып, екінші қораптан оір асықты ス шаз. Осы асықтың көк түсті болуьшың ыктималдығы қандай? ^ Екінші қораптан алынған асық көк түсті деп есептейік, сонда бірііппі қораптан екіншісіне салынған 2 асықтың да түсі көк екенінің ^„(хималдығы қандай? Шешуі А-Мекінші қораптан алынған асықтьщ көк” болу оқиғасы; Нг “ бірінші қораптан екіншісіне екі көк түсті асықтардың сальшуы , Н2. “екі әртүрлі асықтардың салынуы”； Нз- “екі қызьш асықтың салынуы”； Ніхипотезалары мен Р„.(л), (і= 1,2,3) шартты ықтималдығын есептейік: =釜机)= =|; ' ⑷ = 署 ； 〜 ⑷ =# ; ' ⑷ = 全 ； p(A )=p(H t )pHi ( ) + ( 2) { ) + ( } )рщ (a ) Толық ықтималдықтьщ формуласы боиынша: Р(А)=1/28 *3/4+12/28 -5/8+15/28 -1/2=9/16 бірінші сұраққа жауап береміз. Екінші сұраққа жауап беру үшін Байес формуласьш пайдаланамыз: ⑷ノ⑷へ⑷Л 1 パけ一 Р(А) ~ 9_ ' 21 16 2 мысал Солдат өзіне қарай қозғалып келе жатқан танкке оқ жаудырған. Р1Шш Р^т атқанда танкке тию ықтималдығы 0,4 және келесі атқан
сайын 0,1-ге өсіп тұрады. Тәуелсіз үш атқанда екі рет тигізу ықтималдығы қандай? Ш е ш уі Тәжірибе нысанаға үш рет оқ атуды көрсетеді. А,, А2, А3 оқиғалары сәйкес бірінші, екінші және үшіңцц атқанда тигізуді белгілесін. Сонда Ä,, Ä2, А = С,С2С3 + С{СгС3+ С{Сгсь оқиғалары тигізбеулер болады.Осы оқиғаларды пайдаланып, үш pej атқанда екі рет ти гізу оқиғасын өрнектелік: А ,А 2А 3 + А ,А 2А 3 + А ,А 2аз； А ^зА з^^гА з^^зА зО қиғалары қиылыспайды, ал А,,А2,А3,А ІА2)дз оқиғалары тәуелсіз. Бүдан шығатыны (а іА2А3 + А,А2А + А,А2А3)= = Р(А,)Р(А2 )Р(А3 )+ Р(А, ) ( 2Н А ) + ( , H a 2)P(A3 ) М ұндағы Р(А,) = 0,4, Р(А2) = 0，5，Р(Аэ ) = 0,6. Демек, p(Äj=0,6, ( 2)=0Д p(ä 3)=0,4. Олай болса іздеген ықтималдығымыз ( ,А 2А 3 - А ,А 2А 3 + А 1А 2А 3)= =0,4 • 0,5.0,4+0,4.0,5.0,6 + 0,6 • 0,5.0,6 = 0,38 3 мысал Заводта ойьшшықтар шығарылады. Бірінші цехта ойыншықтардьщ 30%, екіншісінде-25%, үшіншісінде -45% шығарьшады. Шығарылған ойынпіықтардың сапасыздығы сәйкес 2%, 1%, 3%. Кез-келген ойыншық алынады, оның сапасыз болуының ықтималдығы қандай? Ш е ш уі Белгілеу енгізелік. А - алынған ойынш ыктьщ сапасыз болу оқиғасы; H j ,Н2»Н3-ойыншықтардың бірінші, екінші, үшінші цехтарда шығарылу оқиғалары болсын. Есептің шарты бойынша: Р(Н0=0,3； Р(Н2)И),25; Р(Н3)=0,45; рНі(а)=0,02 рНі{а )=0,01-, Рщ(а )=0,03 Р( ) - У Ң А )РНі (A) толық ықтималдықтың формуласы І=1 бойынша : п=3. Р ⑷ = Р ( Я , )РНі ( А ) + Р{Н2 )РН1 ( А ) + Р(Н3 )РНі ( А ) = = 0 ,3 .0 ,0 2 + 0,25 • 0，1 + 0,45 • 0,03 = 0,022
4 мысал БірДе負 бес жәшікке бірдей өлшемді шарлар салынған. Екі 6 көк және 4 қызыл шардан (Ні овдғасы). Келесі жәшікте 8 本Ә және 2 кызыл шардан (Н2 оқиғасы), қалған бір жәшікте 2 көк g қызыл шардан (Н 3 оқиғасы). Кез-келген кораптан кез-келген алынды. Алы нған шар кө к түсті болып ш ыкты, оыың алғашқы jjjiKTeH алынғандығының ықтималдығы қандай? Ж Шешуі Мына оқиғаларды қарастырайық: д - алынған шардың түсі көк; Есептің шарты бойынша: Р(Ні) =0,4; Р(Н2) =0,4; Р(Н3) =0,2； Нь Н2，Нз жәшіктері белгілі болғандағы көк түсті шарды алу ьоспшалдығы Р(АУН0=6/10=0,6. Р(АуН2>=8/10=0,8. Р(А/Нз)=2/10=0,2. Толы қ ықтималдықтың формуласы бойынша Р(А) =0,4 0,6+0,4 *0,8-Ю,2 0,2=0,6. Байес формуласын пайдаланып ізделінді ықтималдықты табамыз: РСА/НО -РСНОРСА/НО/РСА) =0,4 0 ,6/0,6=0,4. 5 мысал 、 Қорапта сапалы жэне сапасыздары араласқан N деталь бар. Кезкелген бір деталь алынды, ол сапалы болып ш ықты. Қораптағы барлық детальдардьщ сапалы болуыньщ; N-1 деталь сапалы жэне біреуі сапасыз; N-2 сапалы жэне екеуі сапасыз;...; Барлык N детальдьщ сапасыз екенінің ықтималдығын есепте. Ш еш уі іэжірибелерге дейінгі гипотезалар: Н0- қораптағы барлық детальдар сапалы; Н г бір деталь сапасыз; Н 2-екі деталь сапасыз; ...; HN -барлық детальдар сапасыз; А-сапалы детальдың пайда болуы; Табу керек: イ ^ J Тәжірибеге дейін барлық оқиғалар тең ықтималды болсын дейік: р(я0)=р(я,)= ( 2)= …= р(яѵ)= 卿 “ U 也 孕 ’ 份 孕 ’…イ 获 ’ 招 —0. ДЧ1 A ’ 4 仄 Осыдан мынаыы табамыз: 95
l + 2 + ""'+N ~l + N ЯҒНИ N + \ N + l N -\ N ’ 2 N-2 •~N + l W Студенттерге ѳ зін д ік есептер 1• Ж әш ікте екі станоктан шығарылған бүйымдар бар. Бұйымдардьщ 40%- бірінш і станоктан, қалғаны екінш і станоктан шығарылган. Б ірінш і станоктан шығарылған бүйымдардьщ ақаулылығы 3%, е кін ш ісін ікі 2%. Кез-келген бүйым алынды, егер ол ақаулы больш шықса，онда бірінш і станоктан шығарылғандығыньщ ықтималдығын тап. 2. Қоймада екі заводтан шығарылған детальдар бар. Бірінпгі завод екінш ісіне қарағанда 4 есе көп өнім шығарады. Б ірінш і заводтан шығарылған детальдардьщ сапасыздығының ыктималдығы Р产 0,056 екінш ісінікі Р2=0,01. Кез-келген бір деталь алынып, сапасыз болып шыкты. Оның бірінш і заводтан шыққаныньщ ықтималдығы қандай? 3. Тѳрт ваза бар.Бірінші вазада 1 ақ,1 кызыл гүл бар, екініш сінде 2 ақ және 3 қызыл гүл, үш інш ісінде 3 ақ және 5 қызыл, төртінш ісінде 4 ақ және 7 қызыл гүлдер бар.Нг оқиғасы -і-ш і (і=1，2,3,4) вазаны таңдау. і-ш і вазаны таңдау ықтималдығы-і/10-ға тең, яғни Р (Н 0 =1/10; Р(Н2) =1/5; Р(Н3) =3/10; Р(Н4) =2/5; Кез -келген вазаданбір гүл алынды. Оның ақ болуының ықтималдығы қанда 4. Бірдей үш ж әш ік берілген. Бірінші жәшікте 20 ақ шар, екіншісінде 10 а қ , 10 қара шарлар, үш інш ісінде 20 қара шарлар бар. Кез-келген бір жәш іктен ақ шар алынды, оның б ірінш і жәшіктен алынғандығының ықтималдығы қандай? 5. A оқиғасы толық группалар қүрайтын Вь В2, В3 үйлесімсіз оқиғаларының (гипотезаларыньщ) кем дегенде біреуі пайда болғанда пайда болсын. A оқиғасы орындалғанн кеиш гипотезалардын ықтималдықтары есептелініп РА(Ві)=0,6, РА(В 2) =0,3, екені белгілі болды. В3 гипотезасының РА(В 3)-шартты ықтималдығы неге тең? 6. Жүмыс барысында үш станоктың екеуі істен шығып қалдЫЕгер үш станоктың істен шығуының ықтималдықтары сәйкес 0,2; 0,4；
w болса онда істен ш ы ққан оірінш і және екінш і станоктар ықтималдығы қандай? q Б ір -б ір ін е н т ә у е л с із ж а н а ть ш б ө л м е д е гі т ө р т ш а м н ы ң е ке у і . калды. Егер шамдардың сөніп қалуларының ықтималдыктары сӨ? 0，1;0，2;0，3;0，4 болса онда сөніп қалған бірішиі және екінші ニ ^ар болуының ықтималдықтары қандай? ш g Спортшылар тобында 20 велосипедші, 6 шаңғышы және 4 кеТ6олшы бар. Спортшьшардың норманы орьшдау ^ималдыктары сәйкес 0,9; 0,8; 0,75. Шақырылған спортшының оманы толык орындауының ықтималдығы қандай? 9. Ү ш бірдей детальдар салынған ж әш ікке бір стандартты деталь салынды. Содан кейін кез-келген бір деталь алынды, алынған дегальдың стандартты болуының ықтималдығы қандай ? 10. Ломиноньщ толық 28 сүйектерінің ішінен кез-келген оір сүйек алынды. Кез-келген ретпен екінш і рет рет алынған сүйектің біріншісіне сэйкес қою га болатындығының ықтималдығы кандай ? 4 Т әж ірибені қайталау. Тәуелсіз сы н а қта р тізбегі 1 мысал Стол теннисін ойнау шеберлігі тең екі теннисійі ойын көрсетуде. Тең аяқтаған ойынды есептемегенде: 1 ) төрт партияның үшеуін ұту мен сегіз партияның бесеуін ұтудың ықтималдықтарьш табу керек. Қаисысының ықтималдығы жоғары? 2) төрт партиядан кем дегенде үш партия ұту мен сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қаисысыньщ ықтималдықтары жоғары? Ш еш уі иинау шеберлігі тең болғандықтан олардың әрбір партияда үту ықтималдықтары 0,5 тең. 1 ) төрт партиядан үш үтыстың ықтималдығы Беонѵлли формуласы бойынша Сегіз партидда 5 ұтыстың ықтималдығы P8(5) = C85- W .⑷=吾 97
Осыдан Р4(з)> Р8(5), яғни тѳрт партиядан үш ұтыстьщ ыктималдығы, сегіз партиядан 5 үтыстың ықтималдығынан жоғары. 2) төрт партиядан кем дегенде үш ұгы сты ң ықтималдығы рЛз)+ р4(4)=с4з . ( і] 4+ с ： { і ) 4= А Сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдығы Р8(5)+Р8(б) + Ра(7)+Р8( 8 ) = ~ Осыдан 93/256>5/16, яғни сегіз партиядан кем дегенде бес ұтыстьщ ыктималдығы, тѳрт партиядан кем дегенде 3 партия үтыстың ықтималдығынан жоғары. 2мысал Тәуелсіз 600 сынақтардан тұрақты р=0,4 ықтималдықпен пайда болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуыньщ ы қтм а л д ы ғы н табу керек. Ш е ш у і Бұл есептің дәл ш еш уі Бернулли формуласымен табылады, бірақта бүл есепте сынақтар саны п=600 аса үлкен. Сондықтан Муавр* Лапластьщ локалдық формуласын пайдаланамыз. Ол үш ін әуелі х-тің мәнін табалық 228 - 600 0,4 t X = -7 = = = ^= r =-1 Ѵ _ . 0 ，4 . 0 ,б Сонда ç>(-1)« 0,242， Pm (228) « « 0,0201 3 мысал М ергеннің нысанаға тигізуін ің ықтималдығы 0,75 - ке тең. 1.100 атыста мына оқиғалардын ықтималдықтарын табу керек. а) нысанаға フ1 —ден кем емес 80 — нен артық емес рет дэл тиді, б) нысанаға 70 - тен артық емес рет дэл тиді, с) нысанаға 81 ~ ден кем емес рет дэл тиді. 9В
2 Хәуелсіз 400 атыста салыстырмалы ж ш л ікп ң ықтималдықтан 竹 ауыткуының абсолют шамасы 0,035 一 тен кем • іЯ д ы ғь ш ы ң ы қ т и м а л д ы гы н та б у ке р е к. Салыстырмалы ж и іл іктің оқиғаның ықтималдығынан р=0,75 ^У^ның абсолют шамасы 0，03э — тен кем болатындығының ^ —маляығы 0,95 - ке тең болуы үшін қанша тәуелсіз атыс жасау 4. Тәуелсіз 100 атыста нысанаға дэл тиген ең ықтималды атыс санын табу керек. Шешуі \ Бүл жерде Лашшс формуласын колданамыз а) кх =71 дг2 =80 п=100 р=0,75 q=0,25 4 4 = 4)>9238 I ғ и i(hß 80-100 0,75 , 2 “ a Х2= -----------^ — •4 = 下 = 1，155 іоѴз S Сонда PJOO (70,80) * Ф(1，155) - Ф(- 0,9238) « 0,6982 、 б) X*! =0 к 2 =70 п=100 р=0,75 q=0,25 0 -7 5 , — -18, Х 2= -1,155 ІОл/3 Р100 (0,70) « Ф ( - 1,155)十 0，5 « 0,124 2. Бұл жерде Лаплас формуласьшын салдарын колданамыз п=400, р=0,75, q=0,25, £ = 0,035 = 0 ,0 3 5 1 ,6 2 \Р Ч л/ 3 しонда — 0,75 400 < 0,035 « 2 Ф ( і, 6 2 ) * 0,895 3. Есептің шарты бойынша 99