ฟิสิกส์ มหาวิทยาลัย

30 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเว็บไซต์ต่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมินจากการซักถามในชั้นเรียน 2. ประเมินจากความร่วมมือหน้าชั้นเรียน 3. ประเมินจากการท้าแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรียน

31 บทที่ 2 แรงและกฎการเคลื่อนที่ 2.1 มวลและแรง มวล (Mass) เป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงค่าความเฉื่อยหรือค่าความต้านทานต่อการเคลื่อนที่ ซึ่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ มีค่าคงทีเสมอไม่ว่าจะอยู่ที่ต้าแหน่งใดๆ มีสัญลักษณ์เป็น m มีหน่วยเป็นกิโลกรัม (kg) เช่น วัตถุที่มีมวล 10 kg จะต้านการเคลื่อนที่ได้มากวัตถุมวล 5 kg ก้อนหนึ่งอยู่บนโลกมีมวล 12 kg เมื่อน้าไปไว้ที่ดวงจันทร์มวลของก้อนนี้ยังคงมีมวลเท่ากับ 12 kg เช่นเดิม เป็นต้น แรง (Force) เป็นปริมาณชนิดหนึ่งที่สามารถเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่หรือรูปร่างของวัตถุ ซึ่ง เป็นปริมาณเวกเตอร์ เช่น แรงผลักประตู กดหรือยืดสปริง ลากรถ ขว้างก้อนหิน หรือเตะลูกบอล เป็น ต้น ซึ่งเป็นแรงที่พบเห็นได้ในกิจวัตรประจ้าวัน แต่โดยทั่วไปแล้วในธรรมชาติจะมีแรงมูลฐาน ประเภท 4 ได้แก่ แรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุ (Gravitational force) แรงแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic force) ประจุไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม (Strong nuclear) แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน (Weak nuclear) นอกจากนี้ถ้าพิจารณาชนิดของแรงจากการสัมผัสหรือไม่สัมผัสกันของวัตถุสองชิ้น คือ แรงสัมผัส คือแรง ที่เกิดจากการสัมผัสทางกายภาพระหว่างวัตถุสองชิ้น (แรงที่เท้ากระท้ากับลูกบอล แรงผลักประตู) และ สนามของแรง คือ แรงที่ไม่ได้เกิดจากการสัมผัสระหว่างวัตถุสองชิ้นโดยตรง แรงจะส่งผ่านที่ว่างวัตถุสอง วัตถุจะดึงดูดกันด้วยแรงโน้มถ่วง เช่น แรงโน้มถ่วงระหว่างโลกและดวงจันทร์ แรงดึงดูดหรือผลักระหว่าง ประจุไฟฟ้า เป็นต้น เมื่อพิจารณาแรงในระบบจะพบว่าประกอบไปด้วยแรงต่างๆ เช่น แรงกิริยา (Action force, F ) แรงปฏิกิริยา (Reaction force, F) แรงดึงดูดของโลกที่กระท้าต่อวัตถุหรือแรง เนื่องจากน้้าหนักของวัตถุ (weight, w ) แรงเสียดทาน (Frictional force, f ) และแรงตรึงเชือก (Tension, T) เป็นต้น 2.2 แรงกิริยา แรงปฏิกิริยา และ แรงตรึงเชือก แรงกิริยา (Action force, F ) คือแรงที่กระท้าต่อวัตถุที่ก้าลังพิจารณา ในขณะที่แรงปฏิกิริยา (Reaction force, F) คือ แรงที่วัตถุกระท้าต่อต้านแรงที่มากระท้า มีขนาดค่าเท่ากันกับแรงที่มา กระท้าแต่มีทิศทางตรงข้าม และแรงปฏิกิริยาในทิศทางตั้งฉากกับผิวสัมผัสเรียกว่า (Normal force, N ) แรงตรึงเชือก (Tension, T ) คือ แรงที่ส่งผ่านไปตามเส้นเชือกที่ตรึง ขนาดของแรงมีค่าเท่ากันตลอดทุก จุดเส้นเชือก มีทิศพุ่งออกจากวัตถุที่ก้าลังพิจารณา ในการค้านวณแรงตรึงเชือกจะไม่คิดผลของมวลของ เส้นเชือกหรือมวลเบามาก

32 การพิจารณาแรงลัพธ์ที่มากระท้าต่อวัตถุเหล่านั้นได้โดยการใช้การเขียนแผนภาพวัตถุอิสระ (Free body diagram) ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพของแรงต่างๆที่กระท้าบนวัตถุหรือเรียกแรงเหล่านั้น ว่า แรงย่อย ได้โดย (1) เขียนขอบเขตของวัตถุที่พิจารณา (2) หาแรงรอบตัววัตถุที่พิจารณา (3) หนึ่ง ผิวสัมผัสกับวัตถุอื่นๆจะประกอบไปด้วยสองแรง คือ แรงที่ตั้งฉากกับผิวสัมผัสมีทิศเข้าพุ่งเข้าหาวัตถุที่ พิจารณา และแรงต้านการเคลื่อนของวัตถุที่พิจารณา (4) เขียนแรงเนื่องจากน้้าหนักของวัตถุมีทิศพุ่งเข้า สู้โลกเสมอ เมื่อรวมแรงย่อยเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้แรงสุทธิ เรียกว่า แรงลัพธ์ การรวมกันของแรงย่อย ต่างๆใช้หลักการเดียวกันกับการรวมแบบเวกเตอร์ จากรูปที่ 2.1(a และ b) วัตถุก้อนหนึ่งว่างอยู่นิ่งบน พื้น สามารถเขียนแผนภาพของแรงต่างๆได้ สองแรงเนื่องจากน้้าหนักของวัตถุและแรงที่พื้นกระท้าต่อ วัตถุ (normal force) รูปที่ 2.1 แสดงตัวอย่างของแรงแบบต่างๆที่กระท้าบนวัตถุ A B FB FA mg N mg N T f μ θ (a) (b)

33 2.3 น้ าหนัก วัตถุทุกชนิดจะถูกดึงดูดโดยโลก เรียกแรงที่โลกกระท้ากับวัตถุว่า แรงโน้มถ่วง (Fg ) มีทิศพุ่งเข้า หาจุดศูนย์กลางของโลก และเรียกขนาดของแรงโน้มถ่วงนั้นว่า น้้าหนัก (Weight) ของวัตถุ จากเรื่อง การตกอย่างอิสระพบว่าวัตถุจะขึ้นกับหรือความเร่ง g ดังนั้นขนาดของแรงโน้มถ่วงหรือน้้าหนักของวัตถุ จะเท่ากับ w mg (2.1) เมื่อ w คือ น้้าหนัก (N) m คือ มวล (kg) g คือ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (m/s2 ) แต่เนื่องจากค่า g จะเปลี่ยนตามต้าแหน่งทางภูมิศาสตร์ ดังนั้นน้้าหนักของวัตถุจึงไม่คงที่จะ ขึ้นโดยตรงกับค่า g ที่วัดได้ ณ ต้าแหน่งนั้นๆซึ่งจะมีค่าน้อยลงเมื่อวัตถุอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางโลกมาก ขึ้น เช่น วัตถุมวล 5 kg เมื่อวางไว้ที่ต้าแหน่งผิวโลกจะมีน้้าหนักเท่ากับ 49.15 N เนื่องจากค่า g ที่วัด ได้มีค่าประมาณ 9.83 m/s2 ในขณะที่เมื่อน้าวัตถุนี้ ไปวางไว้บนตึกสูงมากๆจากผิวโลก น้้าหนักที่ชั่งได้ เท่ากับ 48.85 N เนื่องจากค่า g ที่วัดได้มีค่าน้อยลงประมาณ 9.77 m/s2 ดังรูปที่ 2.2 เป็นต้น รูปที่ 2.2 แสดงต้าแหน่งการวางและทิศของแรงดึงดูดของโลกกระท้าต่อวัตถุ w mg โลก ตึก

34 2.4 แรงเสียดทาน แรงเสียดทาน (Friction force) คือ แรงที่ต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัส ของวัตถุ โดยมีทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ ดังรูปที่ 2.3 แรงเสียดทานจะเกิดขึ้นเมื่อผิวสัมผัสของ วัตถุแต่ละคู่นั้นมีความหยาบหรือขรุขระและจะไม่เกิดแรงเสียดทานเมื่อผิวสัมผัสของวัตถุแต่ละคู่นั้น เรียบหรือลื่น เช่น รถยนต์ที่วิ่งบนถนน ล้อของรถจะเกาะยึดติดกับผิวถนนได้อย่างดีเนื่องจากล้อรถมี ดอกยางซึ่งมีความขรุขระเช่นเดียวกันกับพื้นถนนท้าให้ไม่เกิดการลื่นไถ่ของรถยนต์ ในขณะเดียวถ้าล้อ ของรถไม่มีดอกยางหรือมีน้้าบนพื้นถนน ล้อของรถจะไม่สามารถเกาะยึดติดกับถนนท้าให้เกิดการลื่นไถ่ ของรถยนต์ซึ่งอาจท้าให้เกิดอุบัติเหตุขึ้นได้ ในทางตรงกันข้าม แรงเสียดทานท้าให้สิ้นเปลืองพลังงานต้อง ใช้แรงที่มากขึ้นเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่ช้า โดยแรงเสียดทานสามารถแบ่งออกได้ 2 ชนิด คือ 1. แรงเสียดทานสถิติ (static friction) แทนด้วย คือ แรงเสียดทานที่เกิดในสภาวะ วัตถุอยู่นิ่ง แรงเสียดทานสถิติจะมีค่าไม่คงที่ จะมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามแรงที่กระท้าต่อวัตถุ ตามความสัมพันธ์ ดังนี้ s s f N (2.2) เมื่อ f s คือ แรงเสียดทานสถิติ (N) s คือ สัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานสถิติ N N คือ แรงปฏิกิริยาที่พื้นกระท้ากับวัตถุ (N) 2. แรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction) แทนด้วย คือ แรงเสียดทานที่เกิดในสภาวะวัตถุก้าลัง เคลื่อนที่ตามความสัมพันธ์ ดังนี้ k k f N (2.3) เมื่อ f k คือ แรงเสียดทานสถิติ (N) k μ คือ สัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานสถิติ N N คือ แรงปฏิกิริยาที่พื้นกระท้ากับวัตถุ (N) ถ้าออกแรงดึงวัตถุบนพื้นในแนวระดับ เริ่มต้นวัตถุจะยังคงอยู่กับที่ เพราะพื้นมีแรงเสียดทาน มากกว่าแรงที่ดึง แต่ถ้าออกแรงเพิ่มขึ้น แรงเสียดทานจะเพิ่มขึ้นเท่ากับแรงที่ผลัก จนกระทั่งเพิ่มแรงขึ้น ไปถึงค่าหนึ่งวัตถุจะเริ่มเคลื่อนที่ท้าให้แรงเสียดทานลดลง กลายเป็นแรงเสียดทานจลน์และจะคงที่ตลอด การเคลื่อนที่ ดังรูปที่ 2.3

35 รูปที่ 2.3 แสดงการออกแรงดึงวัตถุและกราฟความสัมพันธ์แรงเสียดทานระหว่างวัตถุและพื้น 2.5 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน (Newton’s first law of motion) หรือกฎของความเฉื่อย (law of inertia) กล่าวว่า “วัตถุจะรักษาสภาวะอยู่นิ่งหรือสภาวะเคลื่อนที่อย่างสม่้าเสมอในแนว เส้นตรง นอกจากมีแรงลัพธ์ ซึ่งมีค่าไม่เป็นศูนย์มากระท้า” หมายความว่า ถ้าวัตถุอยู่นิ่งก็ยังคงอยู่นิ่ง เหมือนเดิม และถ้าวัตถุเกิดการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ หรือความเร่งเป็นศูนย์ ถ้าไม่มี แรงลัพธ์ภายนอกมากระท้าต่อวัตถุ ดังรูปที่ 2.4 สามารถนิยามสมการได้เป็น F 0 (2.4) เมื่อ F คือ แรงลัพธ์ทั้งหมดที่กระท้ากับวัตถุ รูปที่ 2.4 แสดงการเคลื่อนที่ตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน v 0 v = constant f F f s(max) f s f k v 0 v 0 f s f k F

36 2.6 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน ส้าหรับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน (Newton’s second law of motion) หรือกฎของ แรง (Low of force) กล่าวว่า “เมื่อมีแรงลัพธ์มีค่าไม่เท่าศูนย์มากระท้าต่อวัตถุ จะท้าให้วัตถุเกิด ความเร่งในทิศเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระท้า” โดยที่ขนาดของความเร่งจะแปรผันตรงกับขนาดของแรง ลัพธ์ ตามความสัมพันธ์ a F ซึ่งหมายความว่า เมื่อผลักวัตถุให้แรงขึ้น ความเร่งของวัตถุก็จะมากขึ้นตามไปด้วย และขนาด ของความเร่งจะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ ตามความสัมพันธ์ 1 a m ซึ่งหมายความว่า เมื่อออกแรงเท่าๆ กัน ผลักวัตถุสองชนิดซึ่งมีมวลไม่เท่ากัน วัตถุที่มีมวลมาก จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งน้อยกว่าวัตถุที่มีมวลน้อย จากกฎข้อนี้ สามารถนิยามสมการได้เป็น F ma (2.5) เมื่อ F คือ แรงลัพธ์ทั้งหมดที่กระท้ากับวัตถุ มีหน่วยเป็น N m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น kg a คือ ความเร่งของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s 2 ท้าให้สามารถพิจารณาแรงลัพธ์นี้ในรูปของเวกเตอร์ลัพธ์ ย่อยตามแกน x, y และ z ได้เป็น F ma x x F ma y y และ F ma z z รูปที่ 2.5 แสดงการเคลื่อนที่ตามกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน F vinitial F vfinal a a vfinal

37 2.7 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน ส้าหรับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน (Newton’s third law of motion) หรือกฎของ กริยาและปฏิกิริยา (Law of action and reaction) กล่าวว่า “ทุกแรงกริยา (Action force) ต้องมีแรง ปฏิกิริยา (Reaction force) ที่มีขนาดเท่ากันและทิศตรงกันข้ามเสมอ” สามารถนิยามสมการได้เป็น F F action reaction (2.6) เราจะพบว่า เมื่อใดที่มีแรงกริยา จะมีแรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นเสมอ ซึ่งเป็นแรงที่กระท้าต่อมวลที่ ต่างกันและเกิดขึ้นพร้อมกันเป็นคู่เสมอ แสดงดังรูปที่ 2.6 จะเห็นว่าแรงที่กระท้าต่อวัตถุที่วางบนพื้นจะมี 2 คู่ โดยคู่ที่ 1 เป็นแรงที่เกิดจากพื้นกระท้าต่อวัตถุและเป็นแรงที่เกิดจากวัตถุกระท้าต่อพื้น และคู่ที่ 2 เป็นแรงที่เกิดจากโลกกระท้าต่อวัตถุ (น้้าหนัก) และวัตถุ 3 ก้อนแรงที่เกิดจากวัตถุกระท้าต่อโลก (ดึงดูด) และคู่ที่ 2 เป็นแรงที่วัตถุกระท้าระหว่างวัตถุ รูปที่ 2.6 แสดงแรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นระหว่างวัตถุ A B C A B FA FB Fg N

38 ตัวอย่างที่ 2.1 ลูกบอลลูกหนึ่งมวล 0.4 kg กลิ้งมาตามพื้นราบถูกแตะสกัดโดยนักบอลสองคนในทิศทาง ดังรูปที่ 2.7 โดยหนักบอลคนแรกออกแรง 2 N ท้ามุม 1 เท่ากับ 30o กับแนวแกน –x และหนักบอล คนแรกออกแรง 5 N ท้ามุม 2 เท่ากับ 60o กับแนวแกน x จงหาขนาดและทิศทางของความเร่งของลูก บอลลูกนี้เมื่อไม่คิดแรงต้านใดๆ รูปที่ 2.7 แสดงทิศทาง F1 และ F2 ที่กระท้ากับลูกบอล วิธีท า จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน F ma โดยที่ F + F ma ma x y x y และ x F F i+F i 1x 2x y F F j+F j 1y 2y แรงบนแกน x o F F cos 2 cos30 2 0.866 1.732 N 1x 1 1 o F F cos 2 cos60 4 0.5 2 N 2x 2 2 แรงบนแกน y o F F sin 2 sin30 2 0.5 1.0 N 1y 1 1 o F F sin 5 sin 60 5 0.866 4.33 N 2y 2 2 แทนค่าจะได้ F 1.732i+2i 0.268 N i x F 1.0j+4.33j 3.33 N j y แทนค่าจะได้ F ma x x 0.268 N i (0.4 kg) a x x 0.268 N i a 0.4 kg 2 a 0.67 i m/s x 2 θ x y F1 F2 1 θ

39 แทนค่าจะได้ F ma y y 3.33 N j (0.4 kg) a y y 3.33 N i a 0.4 kg 2 a 8.325 m/s j y จะได้ 2 a a + a 0.67 i + 8.325 j m/s x y ขนาดความเร่ง 2 2 x y a (a ) + (a ) 2 (0.67) + (8.325) m/s 2 8.35 m/s และทิศทางของควาเร่ง y x a tan a 0.67 8.325 1 tan (0.08) o 5 ตัวอย่างที่ 2.2 วัตถุสองก้อน m1 และ m2 ซึ่ง m2 >m1 ผูกติดปลายเชือกเบาคล้องผ่านรอกเบาและลื่น ดังรูปที่ 2.8 (ระบบ Atwood’s Machine) จงหาความเร่งของมวลทั้งสองและแรงตรึงเชือก (a) (b) รูปที่ 2.8 (a) แสดงระบบ Atwood’s Machine (b) แสดงแรงต่างๆ ที่กระท้าต่อm1 และm2 m2 m1 a a m2 m g2 T m1 T m g1

40 วิธีท า เนื่องจาก m2 >m1 ดังนั้นมวล m1 จะเคลื่อนที่ขึ้น และมวล m2 เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่งเท่ากัน นั่นคือ ความเร่งของมวลทั้งสองจะเท่ากับความเร่งของระบบนี้ จะได้ จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน F ma โดยที่ F + F ma ma x y x y และ x y F F i , F F j x y x y x y a a i , a a j พิจารณาแรงบน m1 แรงบนแกน x m x1 F 0 N แรงบนแกน y m y1 F T m g N 1 แทนค่าใน T m g j m a j 1 1 y Tj m a m g j 1 y 1 พิจารณาแรงบน m2 แรงบนแกน x m x2 F 0 N แรงบนแกน y m y 2 2 F m g T N แทนค่าใน m g T j m a j 2 2 y Tj m g m a j 2 2 y น้า (3) = (4) m a m g j m g m a j 1 y 1 2 2 y 2 1 y 2 1 m m a g j m m m/s2 และเนื่องจากเชือกเส้นเดียวกัน จึงมีขนาดของแรงตรึงเชือกเท่ากัน ส้าหรับ m1 และ m2 แทนค่า a และ (3) ใน (1) จะได้ T m a m g 1 y 1 2 1 1 1 2 1 m m T m g m g m m 1 2 1 1 2 1 2 1 m g m m m g m m T m m 1 2 2 1 2m m g T m m

41 ตัวอย่างที่ 2.3 ชั่งกล่องในลิฟท์ด้วยตาชั่งสปริงที่แขวนห้อยจากเพดานลิฟท์ ดังรูปที่ 2.9 ขณะที่ลิฟท์ หยุดนิ่ง สามารถชั่งน้้าหนักกล่องได้ 40 N จงหา (a) ถ้าลิฟท์เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่ง 2 m/s2 ตาชั่งสปริงจะอ่านน้้าหนักได้เท่าใด (b) ถ้าลิฟท์เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 2 m/s2 ตาชั่งสปริงจะอ่านน้้าหนักได้เท่าใด รูปที่ 2.9 (a) แสดงการชั่งกล่องขณะลิฟท์เคลื่อนที่ขึ้น (b) แสดงการชั่งกล่องขณะลิฟท์เคลื่อนที่ลง วิธีท า (a) เมื่อลิฟต์หยุดนิ่ง จากกฎข้อที่ 1 ของนิวตันจะได้ว่า F 0 T mg 0 T mg 40 m 9.8 m 4.08 kg เมื่อลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้น จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า F ma T mg ma T ma mg 5 0 9 6 a 5 0 9 6 a

42 T (4.08 2) (4.08 9.8) T 48.1 N ตาชั่งสปริงจะอ่านน้้าหนักได้48.1 N (b) เมื่อลิฟต์เคลื่อนที่ลง จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า F ma mg T ma T mg ma T (4.08 9.8) (4.08 2) T 31.8 N ตาชั่งสปริงจะอ่านน้้าหนักได้31.8 N ตัวอย่างที่ 2.4 รถยนต์มวล m เคลื่อนที่อยู่บนพื้นถนนเปียกลื่นที่เอียงท้ามุม 15o ดังรูปที่ 2.10 จงหา (a) ความเร่งของรถยนต์คันนี้ โดยไม่คิดแรงเสียดทานใดๆ (b) ถ้าถนนยาว 25 m จะใช้เวลานานเท่าใด ถ้าเริ่มเคลื่อนที่จากจุดสูงสุดไปยังจุดต่้าสุด (c) ความเร็วของรถยนต์คันนี้ ณ จุดต่้าสุด รูปที่ 2.10 แสดงการเคลื่อนของรถยนต์บนพื้นถนนเปียกลื่นที่เอียงท้ามุม 15o y N θ mg mg cosθ mg sinθ θ a

43 วิธีท า (a) เมื่อรถเคลื่อนที่แนวแกน x จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า F ma mgsin ma a gsin a 9.8 sin 20 2 a 3.35 m/s ความเร่งของรถยนต์คันนี้เท่ากับ 2 3.35 m/s (b) เมื่อถนนยาว 25 m จะใช้เวลานานเท่าใด ถ้าเริ่มเคลื่อนที่จากจุดสูงสุดไปยังจุดต่้าสุด 1 2 s ut at 2 1 2 25 0 (3.35)t 2 1 2 25 0 (3.35)t 2 t 3.86 s ใช้เวลาเคลื่อนที่จากจุดสูงสุดไปยังจุดต่้าสุดเท่ากับ 3.86 s (c) ความเร็วของรถยนต์คันนี้ ณ จุดต่้าสุด v u at v 0 (3.35 3.86) 2 v 12.93 m/s ความเร็วของรถยนต์คันนี้ ณ จุดต่้าสุดเท่ากับ 2 12.93 m/s

44 ตัวอย่างที่ 2.5 ชายคนหนึ่งพยายามดึงกล่องไว้นิ่งๆอยู่บนพื้นเอียงท ามุม 30o กับแนวราบ โดยไม่คิด ความเสียดทาน ดังรูปที่ 2.11 ถ้ากล่องมีน้ าหนัก 70 N จงหาแรงดึงเชือกที่ผูกติดกับกล่องและแรงที่เกิด จากพื้นกระท าต่อกล่องใบนี้ รูปที่ 2.11 แสดงชายคนหนึ่งดึงกล่องไว้นิ่งๆอยู่บนพื้นเอียงโดยไม่คิดแรงเสียดทาน วิธีท า เนื่องจากกล่องอยู่นิ่งบนพื้นเอียง ดังนั้นความเร่งเป็นศูนย์ แรงทางซ้ายเท่ากับแรงทางขวา จะได้ว่า F 0 T mgsin 0 T mgsin T 70 sin30 T 70 0.5 T 35 N เนื่องจากกล่องอยู่นิ่งบนพื้นเอียง ดังนั้นความเร่งเป็นศูนย์ แรงขึ้นเท่ากับแรงลง จะได้ว่า F 0 N mgcos 0 N mgcos N 70cos30 N 70 0.866 N 60.62 N mg mg cosθ mg sinθ θ θ T N

45 ตัวอย่างที่ 2.8 กล่อง A มีน้้าหนัก 70 N อยู่บนกล่อง B ที่มีน้้าหนัก 60 N ถูกดึงให้เคลื่อนที่ด้วยแรง ถ้า สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์เท่ากับ 0.1 และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิติเท่ากับ 0.7 จงหาแรงที่ มากที่สุดที่ต้องใช้ดึงลากเลื่อนให้เริ่มเคลื่อนที่ออกไปได้ ดังรูปที่ 2.12 รูปที่2.12 แสดงการออกแรงดึงกล่อง วิธีท า เนื่องจากเป็นแรงที่ใช้ดึงเพื่อให้เริ่มเคลื่อนที่ ดังนั้น สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน สถิติจึงถูกน้ามา พิจารณา นั่นคือ S 0.7 และความเร่งเป็นศูนย์ F 0 F f 0 S F N 0 S F N S F 0.7(70 60) F 91 N แรงที่มากที่สุดที่ต้องใช้ดึงลากเลื่อนให้เริ่มเคลื่อนที่ 91 N mg N F f A B

46 ตัวอย่างที่ 2.9 กล่องมวล 2.50 kg วางอยู่บนพื้นเอียง ถ้าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างกล่องไม้ และพื้นเอียงเท่ากับ 0.35 พื้นเอียงต้องท้ามุมเท่าไร กล่องไม้จึงจะเริ่มเคลื่อนที่ลง ดังรูปที่ 2.13 รูปที่ 2.13 แสดงการเคลื่อนที่ของกล่องบนพื้นเอียง วิธีท า เนื่องจากกล่องอยู่นิ่งบนพื้นเอียง ดังนั้นความเร่งเป็นศูนย์จากกฎข้อที่ 1 ของนิวตันจะได้ว่า F 0 แรงทางซ้ายเท่ากับแรงทางขวา f mgsin 0 SN mgsin และแรงขึ้นเท่ากับแรงลง N mgcos 0 N mgcos น้าสมการ (2) หารด้วยสมการ (3) จะได้ว่า SN mgsin N mg cos S tan 1 S tan 1 tan 0.35 o 19.29 ดังนั้นพื้นเอียงต้องท้ามุมมากกว่า o 19.29 กล่องถึงถึงจะเคลื่อนที่ลง θ θ mg mg cosθ mg sinθ N f s y

47 2.8 กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน กล่าวไว้ว่า อนุภาคทุกๆอนุภาคในเอกภพสามารถดึงดูดกันและกัน ด้วยแรงที่แปรผันตรงกันผลคูณของมวลและแปรผกผันกับก้าลังสองของระยะห่างระหว่างอนุภาค เหล่านั้น ถ้าอนุภาคมีมวล m1 และ m2 อยู่ห่างกันเป็นระยะทาง r จะได้ขนาดของแรงโน้มถ่วงเป็น F m m 1 2 และ 2 1 F r จะได้เป็น 1 2 g 2 m m F = G r (2.7) เมื่อ G เป็นค่าคงที่เรียกว่า ค่าคงตัวโน้มถ่วง (universal gravitational constant) ซึ่งมีค่า เท่ากับ 11 2 2 6.674 10 N.m / kg ในหน่วย SI แรงโน้มถ่วงเป็นคู่ปฏิกิริยาสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ ได้เป็น F = F 21 12 1 2 12 12 2 m m F = G r r (2.8) 1 2 21 21 2 m m F = G r r (2.9) เมื่อ F12 คือ แรงที่อนุภาคมวล m1 ดึงดูดอนุภาคมวล m2 F21 คือ แรงที่อนุภาคมวล m2 ดึงดูดอนุภาคมวล m1 r12 คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแรง มีทิศทางชี้จาก m1 ไปยัง m2 r21 คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแรง มีทิศทางชี้จาก m2 ไปยัง m1 รูปที่ 2.14 แสดงแรงโน้มถ่วงระหว่างอนุภาคสองก้อนดึงดูดกัน r F12 m1 m2 F21 r12

48 ตัวอย่างที่ 2.9 ลูกบิลเลียด A B และ C แต่ละลูกมีมวล 0.30 kg วางอยู่บนพื้นโต๊ะบิลเลียด ดังรูปที่ 2.15 เอียง จงหาขนาดและทิศทางลัพธ์ของแรงดึงดูดโน้มถ่วงที่กระท้าบนลูก B รูปที่ 2.15 แสดงการแรงดึงดูดโน้มถ่วงที่กระท้าบนลูก B วิธีท า จากกฎการแรงดึงดูดโน้มถ่วงของนิวตัน จะได้ว่า พิจารณาแรงที่อนุภาคมวล A ดึงดูดอนุภาคมวล B 1 2 BA 2 m m F = G j r (1) 11 2 2 BA 2 (6.674 10 N.m / kg 0.3kg 0.3kg) F = j 0.4 m 11 F = 3.75 10 j N BA พิจารณาแรงที่อนุภาคมวล A ดึงดูดอนุภาคมวล B 11 2 2 BC 2 (6.674 10 N.m / kg 0.3kg 0.3kg) F = i 0.3 m 11 F 6.67 10 i N BA ขนาดของแรงลัพธ์ที่ดึงดูดอนุภาคมวล B 2 2 F F F BA BC 2 2 F 3.75 6.67 11 F 7.66 10 N ทิศทางลัพธ์ของแรงดึงดูดโน้มถ่วงที่กระท้าบนลูก B 1 BA BC F tan F ท้าให้ได้ 11 1 o 11 3.75 10 N tan 29.4 6.67 10 N c 0.5 m b 0.3 m a 0.4 m A B C j i FBA FBC F

49 บทสรุป มวล (m) เป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงค่าความเฉื่อยหรือค่าความต้านทานต่อการเคลื่อนที่ แรงกิริยา ( F ) คือแรงที่กระท้าต่อวัตถุที่ก้าลังพิจารณา แรงปฏิกิริยา ( F) คือ แรงที่วัตถุกระท้าต่อต้านแรงที่มากระท้า มีขนาดค่าเท่ากันกับแรงที่มากระท้า แต่มีทิศทางตรงข้าม แรงปกติ( N ) คือ แรงปฏิกิริยาในทิศทางตั้งฉากกับผิวสัมผัส แรงตรึงเชือก (T ) คือ แรงที่ส่งผ่านไปตามเส้นเชือกที่ตรึง ขนาดของแรงมีค่าเท่ากันตลอดทุกจุดเส้น เชือก มีทิศพุ่งออกจากวัตถุที่ก้าลังพิจารณา น้ าหนัก ( w ) คือ ขนาดของแรงที่โลกกระท้ากับวัตถุ มีทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของโลก w mg แรงเสียดทาน (f ) คือ แรงที่ต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ 2 มี ชนิด f N แรงเสียดทานสถิตย์(f S ) แรงที่ต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุขณะอยู่นิ่ง แรงเสียดทานจลน์ (f k ) คือ แรงที่ต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุขณะเคลื่อนที่ กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน วัตถุจะรักษาสภาวะอยู่นิ่งหรือสภาวะเคลื่อนที่อย่างสม่้าเสมอใน แนวเส้นตรง นอกจากมีแรงลัพธ์ ซึ่งมีค่าไม่เป็นศูนย์มากระท้า F 0 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน เมื่อมีแรงลัพธ์มีค่าไม่เท่าศูนย์มากระท้าต่อวัตถุ จะท้าให้วัตถุเกิด ความเร่งในทิศเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระท้า F ma กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน ทุกแรงกริยาต้องมีแรงปฏิกิริยาที่มีขนาดเท่ากันและทิศตรงกันข้าม เสมอ F F action reaction กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน อนุภาคทุกๆอนุภาคในเอกภพสามารถดึงดูดกันและกัน 1 2 g 2 m m F = G r

50 แบบฝึกหัดทบทวน 1. จงหาแรงลัพธ์ที่เกิดจากแรงย่อยทั้ง 3 แรง กระท้ากับวัตถุชิ้นเดียวกัน ดังรูปที่ 2.16 รูปที่ 2.16 แสดงแรงย่อย 3 แรงกระท้ากับวัตถุชิ้นเดียวกัน 2. กล่องมวล 100 kg ผูกด้วยเชือก 2 เส้น ดังรูปที่ 2.17 จงหาแรงตรึงเชือกทั้ง 2 เส้น รูปที่ 2.17 แสดงมวลที่ผูกด้วยเชือก 2 เส้น F 986 N 1 3 θ F 788 N 2 F 411 N 3 1 θ x y 2 θ m 100 kg o 40 o 40

51 3. แรง F1 F2 และ F3 กระท้ากับกล่องมวล 7 kg ดังรูปที่ 2.18 จงหาขนาดและทิศทางความเร่งของ กล่อง รูปที่ 2.18 แสดงแรง F1 F2 และ F3 กระท้ากับกล่องชิ้นเดียวกัน 4. มีกล่อง 3 ใบผูกติดกันด้วยเชือก ดังรูปที่ 2.19 ถูกดึงให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 0.12 m/s2 ไม่คิดแรงต้านใดๆ และไม่คิดน้้าหนักของเชือก จงหาว่าต้องใช้แรงตรึงเชือกแต่ละเส้น และแรงดึงเท่าไร รูปที่ 2.19 แสดงเรือลากสัมภาระ 5. กล่อง 2 กล่อง ผูกติดกันด้วยเชือกและผูกไว้กับเพดานของลิฟท์ ดังรูปที่ 2.20 ถ้าลิฟท์เคลื่อนที่ขึ้น ด้วยความเร่ง 2 m/s2 จงหาแรงตรึงเชือกแต่ละเส้น รูปที่ 2.20 แสดงกล่อง 2 กล่องที่ผูกด้วยเชือกติดกับเพดานของลิฟท์ F 200 N 1 o 60 F 120 N 2 F 100 N 3 o 30 x y o 30 40 kg C 20 kg B 10 kg A B A 10 kg 10 kg

52 6. วัตถุm1 = 5 kg ผูกติดกับวัตถุ m2 = 10 kg ดังรูปที่ 2.21 จงหาความเร่งของวัตถุแต่ละก้อนและ แรงตรึงเชือกแต่ละเส้น รูปที่ 2.21 แสดงกล่อง 2 กล่องที่ผูกด้วยเชือกติดกัน 7. จงหาอัตราส่วนของแรงโน้มถ่วงที่กระท้าต่อยานอวกาศ เมื่ออยู่บนผิวโลกต่อแรงโน้มถ่วงที่กระท้าต่อ ยานอวกาศ เมื่ออยู่ที่ระดับเหนือผิวโลกเป็นระยะทางเท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีของโลก 8. กล่องมวล 25 kg วางอยู่นิ่งๆ ถ้าออกแรงดึงด้วย = 54 N ในทิศดึงขึ้นท้ามุม 55o กับแกน X จน กล่องเริ่มเคลื่อนที่ ถ้าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างกล่องและพื้นมีค่าเท่ากับ 0.35 จงหาขนาด และทิศทางความเร่งของกล่องในแนวแกน X 9. จงหาความเร่งของวัตถุทั้งสองและแรงตรึงเชือก ถ้าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างมวล7 kg กับพื้นเท่ากับ 0.25 ดังรูปที่ 2.22 รูปที่ 2.22 แสดงกล่อง 2 กล่องที่ผูกด้วยเชือกติดกันบนกล่องสามเหลี่ยม m1 m2 12 kg 7 kg o 37

53 แผนบริหารการสอนประจ าบทที่ 3 รายวิชา ฟิสิกส์ทั่วไป General Physics หัวข้อเนื้อหา 3.1 งานเนื่องจากแรงคงที่ 3.2 งานเนื่องจากแรงไม่คงที่ 3.3 พลังงานจลน์ 3.4 พลังงานศักย์ 3.5 การอนุรักษ์พลังงาน 3.6 ก าลัง วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อสิ้นสุดการเรียนการสอน ผู้เรียนสามารถ 1. ค านวณหางานและก าลังได้อย่างถูกต้อง 2. ยกตัวอย่างเหตุการณ์หรือสถานการณ์ที่เป็นการท างานหรือใช้ก าลังได้ 3. จ าแนกชนิดของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ตามสถานการณ์ต่างๆได้อย่างถูกต้อง 4. ค านวณหาพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ตามสถานการณ์ต่างๆได้อย่างถูกต้อง 5. ใช้ความรู้เรื่องงานและพลังงานส าหรับการหาค่าต่างๆในกฎการอนุรักษ์พลังงานได้ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอนประจ าบท 1. บรรยายเนื้อหาในแต่ละหัวข้อ พร้อมยกตัวอย่างประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลื่อน (slide) 3. ร่วมอภิปรายเนื้อหา และท าแบบฝึกหัดในชั้นเรียน 4. ผู้สอนสรุปเนื้อหา 5. ผู้สอนท าการซักถาม 6. นักศึกษาถามข้อสงสัย

54 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเว็บไซต์ต่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมินจากการซักถามในชั้นเรียน 2. ประเมินจากความร่วมมือหน้าชั้นเรียน 3. ประเมินจากการท าแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรียน

55 บทที่ 3 งานและพลังงาน 3.1 งานเนื่องจากแรงคงที่ งาน (Work) ในทางฟิสิกส์หมายถึง แรงกระท าต่อวัตถุในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ คูณกับระยะการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ ผลคูณที่ได้จะเป็นปริมาณสเกลาร์ แสดงดังรูปที่ 3.1 ดังนั้น สามารถนิยามสมการได้เป็น W = F.S (3.1) เมื่อ W คือ งานที่ท า มีหน่วยเป็น จูล (J) หรือ นิวตัน.เมตร (N.m) F คือ แรงที่กระท ากับวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) S คือ การกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่ไปตามแรงที่กระท า มีหน่วยเป็น เมตร (m) และสามารถเขียนกราฟความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระท าต่อวัตถุและการกระจัด แสดงดังรูปที่ 3.1 รูปที่3.1 แสดงแรงที่กระท าต่อวัตถุในทิศทางเดียวกันกับระยะการกระจัดและกราฟแสดง ความสัมพันธ์ระหว่างแรงและระยะการกระจัด F F S F S

56 รูปที่3.2 แสดงการพิจารณาแรงที่กระท าต่อวัตถุ ถ้ามีแรงที่มากระท ากับวัตถุไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกันกับวัตถุการเคลื่อนที่ของวัตถุ จากรูปที่ 3.2 สามารถค านวณหางานได้ โดยวิธีการแยกเวกเตอร์ของแรงออกเป็นเวกเตอร์ย่อยตามแนวแกน x และ y แสดงดังรูปที่ 3.2 เมื่อท าการแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ตามแนวแกน x และ y แล้วจะเห็นว่าแรง อยู่ในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ F1x F2x และf และเมื่อพิจารณาทิศทางของแรงที่ กระท ากับวัตถุ โดยพิจารณาจากมุมโคไชน์ (cos θ ) ของเวกเตอร์ที่กระท ากับแกน +x พบว่าเวกเตอร์ F1x ท ามุม 0 o กับแกน +x ท าให้ cos0 o มีค่าเท่ากับ +1 ดังนั้นงานที่ท าได้จะมีค่าเป็นบวก ส่วนเวกเตอร์ F2x และf มีทิศท ามุม 180o กับแกน +x ท าให้ cos180 o มีค่าเท่ากับ –1 ดังนั้นงานที่ท าได้จะมีค่าเป็น ลบ ในขณะที่ แรงที่ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ F1y F2y N และ W และเมื่อ พิจารณาทิศทางของแรงกระท ากับวัตถุกับแกน +x พบว่าเวกเตอร์ F1y F2y และ N ท ามุม 90o กับแกน +x ท าให้ cos90o มีค่าเท่ากับ 0 ดังนั้นงานที่ท าได้จะมีค่าเป็นศูนย์ส่วนเวกเตอร์ W มีทิศท ามุม270 o กับแกน +x ท าให้ cos270o หรือ cos(360 o -90 o) = cos90o มีค่าเท่ากับ 0 ดังนั้นงานที่ท าได้จะมีค่า เป็นศูนย์ เช่นเดียวกัน จะเห็นว่าแรงที่ท าให้เกิดงานมีเพียง 3 แรงคือ F1x F2x และf เพราะอยู่ในแนว เดียวกันกับการการเคลื่อนที่ของวัตถุ ส่วนแรงอื่นๆไม่ท าให้เกิดงาน ดังนั้นสมการที่ (3.1) สามารถเขียน สมการในรูปแบบใหม่ ได้เป็น W = (Fcosθ)S (3.2) เมื่อ θ คือ มุมระหว่างทิศทางของแรงที่กระท ากับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุ 1x F = Fcosθ 1 f 2x F = F cosα 2 F1 N W = mg S F2 f α β 1x F = Fcosβ 1 1x F = Fsinβ 1 2y F = F sinα 2 N 2x F = F cosα 2 f W mg θ

57 ตัวอย่างที่ 3.1 กล่องใบหนึ่งถูกลากขึ้นบนพื้นเอียงขรุขระด้วยแรงขนาด 1.2 x 103 N เป็นระยะการ กระจัด 5 m อยากทราบว่างานที่เกิดขึ้นจากการลากกล่องมีค่าเท่ากับเท่าไร เมื่อพื้นกล่องมีมวล 50 kg และสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานระหว่างกล่องและพื้นมีค่าเท่ากับ 0.2 รูปที่3.3 การพิจารณาแรงที่กระท าต่อวัตถุ วิธีท า จาก W = F . S จากการพิจารณาแรงที่กระท ากับกล่อง จะได้ แรงที่ท าในแนวแกน y ไม่ท าให้เกิดงาน แรงที่ท าให้เกิดงานในแนวแกน x o 3 W = F.S = (Fcos0 )S = (1.2×10 N×1)(5 m) = 6000 J F f f o o 2 W = (F ).S = (μN).S = (μ×mg×cos25 ×cos180 )(S) = (0.2×50 kg×9.8 m/s ×0.906×( 1))(5 m) = 443.94 J mg mg o o 2 W = (F ).S = (mg sin25 cos180 )(5 m) = (50 kg×9.8 m/s 0.422 ( 1))(5 m) = 1033.9 J x x ดังนั้น งานสุทธิที่ได้จะมีค่าเท่ากับผลรวมของงานที่เกิดจากแรงที่กระท ากับกล่องทั้งหมด จะได้ว่า W = W + W + W + W + W T F mgx f mgy N = (6000 443.94 1033.9 + 0 + 0) J = 4522.16 J S F F 65 y f x N mgcosθ mgsinθ mg F θ

58 3.2 งานเนื่องจากแรงไม่คงที่ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงขนาดแรงหรือทิศทางในการเคลื่อนที่ของวัตถุแสดงดังรูปที่ 3.4 ส่งผลให้ เกิดการเปลี่ยนแปลงงานในแต่ละช่วงของการเคลื่อนที่ของวัตถุ เพื่อที่จะหางานรวมที่เกิดขึ้นสามารถหา ได้จากผลรวมของงานย่อยๆ ซึ่งเกิดจากผลคูณของแรงย่อย ( F1 F2 F2 .... Fn ) กับระยะการกระจัด ของวัตถุในช่วงสันๆ (r12 r23 r34 .... r n ) ดังนั้นงานทั้งหมดที่เกิดจากแรงที่ท าให้วัตถุเคลื่อนที่ จากต าแหน่ง A ไปยัง B สามารถนิยามสมการได้เป็น W = W W W ... W AB 1 2 3 n W = F . r F . r F . r ... F . AB 1 12 2 23 3 34 n n(n+1) Δr B AB A W = F.dr B AB A W = (Fcosθ)dr (3.3) และสามารถเขียนกราฟความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระท าต่อวัตถุและการกระจัด แสดงดังรูปที่ 3.4 รูปที่ 3.4 แสดงแรงไม่คงที่กระท าต่อวัตถุและกราฟความสัมพันธ์ระหว่างแรงและการกระจัด F1 F2 y Fn r2 r1 r12 x B A A B Fcosθ r r ... r 12 23 n(n+1) x θ F3

59 ตัวอย่างที่3.2 วัตถุอันหนึ่งถูกแรงไม่คงที่กระท าให้เกิดการเคลื่อนที่ได้กราฟการเปลี่ยนแปลงดังรูป 3.5 จงหางานรวมที่เกิดขึ้น รูปที่ 3.5 กราฟความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระท าต่อวัตถุและการกระจัด วิธีท า จากโจทย์จะได้ว่างานเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็น 5 ช่วงคือ งานช่วงที่ 1 ระยะการกระจัด x = 0 ถึง x = 2 x= 0 2 1 1 W = F.S = 6 2 = 6 J 2 2 งานช่วงที่ 2 ระยะการกระจัด x = 2 ถึง x = 6 W = F.S = 6 4 = 24 J x= 2 6 งานช่วงที่ 3 ระยะการกระจัด x = 6 ถึง x = 10 x= 6 10 1 1 W = F.S = 6 4 = 12 J 2 2 งานช่วงที่ 4 ระยะการกระจัด x = 10 ถึง x = 12 x= 10 12 1 1 W = F.S = ( 2.5) 2 = 2.5 J 2 2 งานช่วงที่ 5 ระยะการกระจัด x = 10 ถึง x = 12 x= 12 14 1 1 W = F.S = ( 2.5) 2 = 2.5 J 2 2 ดังนั้น งานรวมที่ได้ตั้งแต่ระยะการกระจัด x = 0 ถึง x = 12 W = 6+24+12 2.5 2.5 = 37 J x= 0 14 F(N) x(m) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 2 4 6 8 10 12

60 3.3 พลังงานจลน์ พลังงาน (Energy) เป็นปริมาณคล้ายกันกับงาน แต่จะกล่าวถึงความสามารถในการท างานของ วัตถุจากต าแหน่งอ้างอิง ไปยัง ต าแหน่งที่วัตถุอยู่ พลังงานมีหลายรูปแบบ เช่น พลังงานเคมี พลังงาน ความร้อน พลังงานไฟฟ้า พลังงานแสง พลังงานเสียง พลังงานจลน์ พลังงานศักย์ เป็นต้น แต่ในทาง กลศาสตร์จะกล่าวศึกษาเฉพาะพลังงานจลน์ และ พลังงานศักย์ ซึ่งเรียกว่า พลังงานกล เมื่อมีแรงมากระท ากับวัตถุให้วัตถุเคลื่อนที่จากต าแหน่ง A ไปยัง B ด้วยความเร็ว u ไป เปลี่ยนเป็น v เป็นระยะทางการกระจัด S แสดงดังรูป เราสามารถหางานทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้โดยจากกฎ ข้อที่สองของนิวตัน คือ จาก F = m.a และ 2 2 v = u + 2a.s หรือ 2 2 (v u ) a = 2s แทนค่า a ในสมการจะได้ 2 2 m(v u ) F = 2s 2 2 mv mu F.s = 2 2 2 mv mu W = 2 2 (3.4) สามารถนิยามผลต่างที่ได้ว่าเป็น ทฤษฏีงาน-พลังงาน และเรียกปริมาณของ มวลคูณกับ ความเร็วก าลังสองหารด้วยสองว่า พลังงานจลน์ (Kinetic energy) สามารถสมการได้เป็น 2 K 1 E = mv 2 (3.5) เมื่อ EK คือ พลังงานจลน์ มีหน่วยเป็น จูล (J) m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg) v คือ ความเร็วของวัตถุ มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที (m/s) รูปที่ 3.6 แรงกระท าต่อวัตถุท าให้วัตถุเปลี่ยนแปลงความเร็ว u ไปเป็น v S A B u v F F

61 ตัวอย่างที่ 3.3 ออกแรงเข็นรถมวล 2.5x103 kg จากสภาพหยุดนิ่งให้เริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v และ การกระจัด 25 m ด้วยพลังงานเท่ากับ 5000 J ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานใดๆ จงหา (a) ความเร็ว v (b) แรงที่กระท ากับรถคันนี้ วิธีท า (a) จาก 2 K 1 E = mv 2 จะได้ K 2E v = m 3 2×500J v = 2.5×10 kg v = 2 m/s (b) จาก 2 2 v = u + 2as 2 2 (2) = (0) + 2a(25) 2 a = 0.08 m/s และจาก F = ma 3 2 F = 2.5x10 kg 0.08 m/s F = N200

62 3.4 พลังงานศักย์ พลังงานศักย์ คือ พลังงานที่สะสมอยู่ภายในตัวของวัตถุที่ต าแหน่งใดๆในระบบ แบ่งได้ 2 แบบ คือ พลังงานศักย์โน้มถ่วง (Gravitational potential energy) และ พลังงานศักย์ยืดหยุ่น (Elastic potential energy) พลังงานศักย์โน้มถ่วง คือ พลังงานที่เกิดจากการเคลื่อนย้ายต าแหน่งของวัตถุจากที่หนึ่งไปอีกที่ หนึ่งจากต าแหน่งอ้างอิงภายในระบบนั้น ในที่นี้เราจะกล่าวถึงระบบที่โลกกระท ากับวัตถุใดๆแสดงดังรูป ที่ 3.7 เมื่อมีแรงภายนอกกระท ากับวัตถุท าให้วัตถุเคลื่อนย้ายต าแหน่งวัตถุจาก A ไปยัง B เป็นระยะทาง การกระจัด y จากพื้นผิวโลก เราสามารถหางานได้โดยจากกฎข้อที่สองของนิวตัน คือ จาก ext W = F .y ext และ F = m.g ext แทนค่า Fext ในสมการจะได้ W = mg. y ext W = mg(y y ) ext B A (3.6) ขณะเดียวกันเมื่อพิจารณาแรงที่โลกกระท ากับวัตถุจะได้งานมีค่าเป็นลบ เนื่องจากค่า g มีทิศสวนทางกับ การเคลื่อนย้ายต าแหน่งของวัตถุจะได้ว่า W = mg(y y ) g B A (3.7) ซึ่งเรียกปริมาณ mgy นี้ว่าเป็น พลังงานศักย์โน้มถ่วง (Gravitational potential energy) สามารถ สมการได้เป็น E = mgy PG (3.8) เมื่อ EPG คือ พลังงานศักย์โน้มถ่วง มีหน่วยเป็น จูล (J) m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg) g คือ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาทีก าลังสอง (m/s2 ) y คือ ความสูงจากต าแหน่งอ้างอิงของระบบ มีหน่วยเป็น เมตร (m) รูปที่ 3.7 แสดงการเปลี่ยนแปลงต าแหน่งของวัตถุ F ต าแหน่งอ้างอิง B A y y y 2 1 mg 2 y 1 y

63 ตัวอย่างที่ 3.4 นาย A ยกก้อนหินมวล 2 kg ไปให้นาย B ซึ่งอยู่สูงจากนาย A เป็นระยะทาง 1.4 m แสดงในรูปที่ 3.8 ขณะที่จะส่งถึงนาย B นาย A ได้ท าก้อนหินล้นตกลงมาทับกล่องที่มีความ 0.05 m จง หา (a) พลังงานศักย์โน้มถ่วงที่จุด B และ จุดที่ก้อนหินสัมผัสโดนกล่อง เมื่อให้จุด A เป็นต าแหน่งอ้างอิง และการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์โน้มถ่วง (b) เมื่อเปลี่ยนให้จุด B เป็นต าแหน่งอ้างอิง รูปที่ 3.8 แสดเคลื่อนที่จากจุด A ไป B วิธีท า (b) จาก E = mgy PG จะได้ว่า 2 E = 2kg 9.8 m/s 1.4 m = 27.4 J PG(i) 2 E = 2 kg 9.8 m/s 0.05 m = 9.8 J PG(f) และจาก E = E E PG PG (f) PG (i) = 9.8 27.4 J = 17.6 J (b) จะได้ว่า 2 E = 2kg 9.8 m/s 0 m = 0 J PG(i) 2 E = 2 kg 9.8 m/s 0.5 m = 17.6 J PG(f) และจาก E = E E PG PG (f) PG (i) = 17.6 0 J = 17.6 J A 1.4 m B (1) (2) 0.5 m

64 พลังงานศักย์ยืดหยุ่น คือ พลังงานที่เกิดจากการยืดหรืออัดวัตถุท าให้เกิดการเปลี่ยนแปลงไป จากเดิมหรือจากสภาวะสมดุล ซึ่งในที่นี้เราจะกล่าวถึงการยืดหรืออัดสปริง เมื่อออกแรงยืดวัตถุติดสปิง จากต าแหน่งสมดุล x = 0 ไปยัง x = x ด้วยแรง F หรือออกแรงอัดจากต าแหน่ง x = 0 ไปยัง x = -x ด้วยแรง F จะเกิดแรงดึงกลับกระท าในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ FS = kx แสดงดังรูป ถ้าหางานเกิดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก B ไปยัง C ของแรงดึงกลับ FS จะได้เป็น จาก dW = F.dx และ F = kx S แทนค่า F ในสมการจะได้ dW = Fx.dx C C B B dW = F xdx 2 2 BC C B 1 1 W = ( Fx Fx ) 2 2 2 BC C 1 W = Fx 2 (3.9) ถ้าคิดแรงกระท าภายนอก (F) ซึ่งมีค่าเท่ากับแรง FS แต่ทิศทางตรงกันข้าม จะสามารถงานได้ เป็น 2 2 BC C B 1 1 W = ( Fx Fx ) 2 2 2 PS 1 E = Fx 2 (3.10) เมื่อ EPS คือ พลังงานศักย์ยือหยุ่น มีหน่วยเป็น จูล (J) F คือ แรงในการเคลื่อนย้ายของวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) x คือ ระยะทางจากต าแหน่งสมดุล มีหน่วยเป็น เมตร (m) รูปที่ 3.9 แสดงการเปลี่ยนแปลงระยะยึดของมวลติดสปริงโดยแรงภายนอกและกราฟแสดง ความสัมพันธ์ระหว่างแรงภายนอกและกราฟ F x x 0 x FS F F FS

65 ตัวอย่างที่ 3.5 กล่องใบหนึ่งมวล 4 kg ผูกติดกับสปริงเบาในแนวดิ่งท าให้สปริงยึดออก 2.5 cm ซึ่งมี พฤติกรรมตามกฎของฮุก (a) ถ้าน ามวล 4 kg ออกแล้วน ามวลมวล 1.5 kg แขวนแทนสปริงจะยืด ออกเป็นระยะเท่าใด (b) ถ้ามีแรงภายนอกท าให้สปริงยึดออกเป็นระยะ 4 cm งานที่เกิดขึ้นควรมีค่าเป็น เท่าใด รูปที่ 3.10 แสดงการเปลี่ยนแปลงระยะยึดของมวลติดสปริง วิธีท า (a) จาก F k = x เมื่อมวลเท่า 4 kg จะได้ว่า mg k = x 2 4 kg 9.8 m/s = 0.025 m = 1568 N/m เมื่อเปลี่ยนมวลเป็น 1.5 kg 2 (1.5 kg 9.8 m/s ) x = 1568 N/m 3 = 9.38 10 m (b) จาก 2 2 f i 1 1 W = kx kx 2 2 2 f 1 = (1568 N/m)(0.04 m) 0 2 = 1.25 J 4 kg 1.5 kg 2.5 cm x cm

66 3.5 กฎการอนุรักษ์พลังงาน พลังงานไม่สามารถท าให้สูญหายและไม่สามารถสร้างขึ้นมาใหม่ได้ แต่พลังงานสามารถเปลี่ยน รูปจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ หรือผลรวมของพลังงานจะมีค่าคงที่เสมอ ซึ่งสามารถนิยาม เป็น กฎการอนุรักษ์พลังงาน (Law of energy conservation) สามารถเขียนสมการได้เป็น E = ค่าคงที่ (3.11) i f E = E K P i f K P E +E = E +E (3.12) เมื่อ i E คือ ผลรวมของพลังงานที่เริ่มต้น f E คือ ผลรวมของพลังงานสุดท้าย ถ้ามีงานภายนอกมากระท าร่วมอยู่ด้วย สามารถเขียนสมการได้เป็น i ex f E + W = E (3.13) เมื่อ f E คือ ผลรวมของงานเนื่องแรงไม่อนุรักษ์ เช่น เมื่อปล่อยวัตถุลงในแนวดิ่งจากความสูง y2 ไม่คิดแรงต้านของอากาศดังรูปที่ พิจารณาที่ ต าแหน่ง A พลังศักย์ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ mgy2 และความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์พลังงานจลน์จะเป็นศูนย์ พิจารณาที่ต าแหน่ง B พลังศักย์ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ mgy1 ความเร็วทีต าแหน่งใดๆจาก v 2 = u 2 +2gy ดังนั้นพลังงานจลน์จะมีค่าเท่ากับ mg(y2 -y1 ) พิจารณาที่ต าแหน่ง C พลังศักย์ที่ได้จะมีค่าเป็นศูนย์ พลังงานจลน์จะมีค่าเท่ากับ mgy2 ดังนั้นจะพบว่าขณะที่ปล่อยวัตถุลง พลังงานจลน์จะค่อยๆ เพิ่มขึ้น ในทางกลับกันพลังงานศักย์จะค่อยๆ ลดลง และผลรวมของพลังงานที่ต าแหน่งใดๆมีค่าคงที่เสมอ รูปที่ 3.11 แสดงการเปลี่ยนแปลงต าแหน่งของวัตถุ ต าแหน่งวัตถุ K E P E E A mgy2 0 mgy2 B mgy1 mg(y y ) 2 1 mgy2 C 0 mgy2 mgy2 ต าแหน่งอ้างอิง B A 2 y 1 y C

67 ตัวอย่างที่ 3.6 กล่องมวล 3 kg ปล่อยให้เคลื่อนที่ลงตามพื้นเอียงยาว 1 m และพื้นเอียงท ามุม 30o กับ แนวระดับ ตามรูปที่ 3.12 ถ้าแรงเสียดทานระหว่างพื้นเอียงกับกล่องเท่ากับ 0.5 N จงหาความเร็ว สุดท้ายทีต าแหน่งปลายพื้นเอียง รูปที่ 3.12 แสดงการเคลื่อนที่ของกล่องตามพื้นเอียง วิธีท า จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน 2 2 1 1 ex 2 2 1 1 mv + mgy + W = mv + mgy 2 2 พลังงานรวมเริ่มต้น 2 2 k1 1 1 1 E = mv = 3 (0) 0 J 2 2 E = mgy 3 9.8 0.5 14.7 J P1 1 W = F.s 0.5 1 0.5 J ext พลังงานรวมสุดท้าย 2 2 k2 2 2 1 1 E = mv = 3 v 2 2 E = mgy 3 9.8 0 0 J P2 2 แทนค่าใน 2 2 1 0 + 14.7 0.5 = 3 v + 0 2 2 2 14.2 = 1.5v v = 9.466 2 2 v = 3.07 m/s 0.5 m B A o 30

68 ตัวอย่างที่ 3.8 กล่องใบหนึ่งมีมวล 50 kg ตกจากระยะความสูง 2 m ลงบนฐานที่ติดด้วยสปริงเบาดัง รูปที่ 3.13 ท าให้สปริงหดตัวเป็นระยะ d ก่อนดีดตัวกลับ เมื่อสปริงมีค่าคงที่สปริงเท่ากับ 8 x 103 N/m จงหาระยะหดตัวของสปริง รูปที่ 3.13 แสดงตกลงบนฐานติดสปริง วิธีท า จากระบบพลังงานรวมที่ต าแหน่ง A เท่ากับ B และพลังงานรวมที่ต าแหน่ง B เท่ากับ C ดังนั้นจะ ได้ว่าพลังงานรวมที่ต าแหน่ง A เท่ากับ C จากกฎการอนุรักษ์พลังงานได้ว่า 2 2 2 2 A A A C C C 1 1 1 1 mv + kx + mgy = mv + kx +mgy 2 2 2 2 พลังงานรวมที่ต าแหน่ง A 2 2 kA A A PS(A) A 2 3 2 PG(A) A A 1 1 E mv 50 (0) = 0 J 2 2 E mgy 50 9.8 (2 d) 490(2 d) 1 1 E kx 8 10 (0) 0 J 2 2 พลังงานรวมที่ต าแหน่ง C 2 2 kC C PS(C) C 2 3 2 2 PG(C) C 1 1 E mv 50 (0) = 0 J 2 2 E mgy 50 9.8 (0) 0 J 1 1 E kx 8 10 d 4000d J 2 2 แทนในสมการจะได้ว่า 2 0 + 0 + 490 (2+d) = 0 + 4000d + 0 2 2 4000d 490d 980 = 0 d 0.123d 0.245 = 0 d = 0.56 m d 2 m A B C

69 3.6 ก าลัง เมื่อมีแรงที่กระท าให้วัตถุเคลื่อนเป็นระยะการกระจัดหนึ่งๆ ย่อมท าให้เกิดงาน ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้ เวลาเร็วหรือช้าพบว่างานที่ได้ก็มีค่าเท่ากัน ดังนั้นเพื่อที่จะก าหนดความเร็วในการท างานจึงได้น าเอา เวลาเข้ามาเป็นตัวก าหนดในการท างาน ซึ่งสามารถนิยามศัพท์ขึ้นใหม่คือ ก าลัง หมายถึง งานที่ท าได้ใน หน่วยเวลา สามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น W P = t (3.14) เมื่อ P คือ ก าลัง มีหน่วยเป็น วัตต์ (W) W คือ งานทั้งหมด มีหน่วยเป็น จูล (J) t คือ เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s) ก าลังเนื่องจากงานที่ได้จากแรงไม่คงที่ จะเป็นก าลังเฉลี่ย สามารถหาได้โดย งานที่ท าได้ทั้งหมด หารด้วยเวลาที่ใช้ในการท างาน คือ W P = t (3.15) สามารถเขียนก าลังในรูปความสัมพันธ์ระหว่างแรงที่กระท ากับวัตถุและความเร็วในการเคลื่อนที่ ของวัตถุได้เป็น F.S P = = F.V t (3.16) เมื่อ F คือ แรงที่กระท ากับวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) V คือ ความเร็วของวัตถุ มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที (m/s) พิจารณาหน่วย วัตต์ ของก าลัง จะได้ 2 3 1 w = 1 J/s = kg.m /s และก าลังม้า (horse power, hp) คือ อัตราการท างานของม้า 1 ตัว ภายใน 1 วินาที จะได้ 1 hp = 746 W

70 ตัวอย่างที่ 3.8 รถยนต์มวล 1300kg เร่งความเร็วจากอยู่นิ่งจนกระทั้งมีความเร็วเป็น 24.6 m/sภายใน เวลา 15 s จงหาก าลังในหน่วย ก าลังม้า วิธีท า จาก 2 2 k f i 1 1 W = E = mv mv 2 2 จะไดว่า W = (1300kg)(24.6) 0 1 2 2 = 393,354 J จาก W P = t จะไดว่า 393,354 J P = 15 s = 26,223 W = 35.15 hp ตัวอย่างที่ 3.9 ลิฟต์หนึ่งมีมวล 1600 kg บรรทุกผู้โยสารมวลรวม 200 kg ก าลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วย ความเร็วคงที่ โดยมีแรงต้านการเคลื่อนที่ของลิฟต์เท่ากับ 4000 N จงหา (a) ก าลังที่มอเตอร์ใช้ยกลิฟต์ และผู้โดยสารทั้งหมด เมื่อลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร็วคงที่ 3 m/s (b) ถ้ามอเตอร์ใช้ยกลิฟต์และ ผู้โดยสารทั้งหมด ด้วยความเร่ง 1 m/s2 ก าลังที่ใช้ยกลิฟต์ ณ ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเท่ากับ 3 m/s มีค่าเท่ากับเท่าไร วิธีท า จาก ΣF = 0 จะไดว่า T f mg = 0 2 T = (1800kg 9.8m/s )+4000N จาก P = F.v จะไดว่า 2 P = (1800kg 9.8m/s )+4000N 3m/s 4 = 6.49 10 W วิธีท า จาก ΣF = ma จะไดว่า T f mg = ma 2 2 T = (1800kg 9.8m/s )+4000N (1800kg 1m/s ) จาก P = F.v จะไดว่า 2 2 P = (1800kg 9.8m/s )+4000N (1800kg 1m/s ) 3m/s 4 = 7.02 10 W

71 บทสรุป งาน คือ แรงกระท าต่อวัตถุในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุคูณกับระยะการกระจัดที่วัตถุ เคลื่อนที่ได้ ผลคูณที่ได้จะเป็นปริมาณสเกลาร์ W F.S งานเนื่องจากแรงไม่คงที่ B AB A W = (Fcosθ)dr พลังงานจลน์คือ มวลคูณกับความเร็วก าลังสองหารด้วยสองว่า 2 K 1 E = mv 2 พลังงานศักย์โน้มถ่วง คือ พลังงานที่เกิดจากการเคลื่อนย้ายต าแหน่งของวัตถุจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่งจาก ต าแหน่งอ้างอิงภายในระบบนั้น E = mgh G พลังงานศักย์ยืดหยุ่น คือ พลังงานที่เกิดจากการยืดหรืออัดวัตถุท าให้เกิดการเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม หรือจากสภาวะสมดุล 2 PS 1 E = kx 2 กฎการอนุรักษ์พลังงาน ผลรวมของพลังงานจะมีค่าคงที่เสมอ K P i f K P E +E = E +E ก าลัง หมายถึง งานที่ท าได้ในหน่วยเวลา สามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น W P = t

72 แบบฝึกหัดทบทวน 1. ลิฟต์หนึ่งตัวบรรทุกน้ าหนัก 350 N เคลื่อนที่ขึ้นจากชั้นล่างไปยังชั้นอื่นๆ ได้ระยะ 2 m จงหางานที่ ลิฟต์ตัวนี้ท า ถ้าสมมุติให้ความเร็วคงที่ 2. รถเข็นในซุปเปอร์มาร์เก็ตถูกกดลงเพื่อให้สามารถเข็นไปข้างหน้าได้ โดยการใช้แรง 35 N ในทิศท า มุม 25o จากแนวราบ จงหางานที่ต้องท ากับรถเข็นนี้ถ้าเคลื่อนที่ไปได้ระยะ 50 m 3. ออกแรง 150 N ผลักกล่องมวล 40 kg ให้ได้ระยะ 6 m ไปตามแนวราบ ถ้ากล่องเคลื่อนที่ด้วย ความเร็วคงที่ จงหา (a) งานที่ท า (b) สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างกล่องกับพื้น 4. รถยนต์มวล 1.5x103 kg เริ่มเคลื่อนที่จากสภาพหยุดนิ่งจนมีความเร็วเท่ากับ 18 m/s โดยใช้เวลา 12 s สมมุติว่าขณะนั้นมีความเสียดทานเนื่องจากอากาศ 400 N จงหา (a) ก าลังเฉลี่ยของ เครื่องยนต์ (b) ก าลังภายนอกที่กระท ากับรถยนต์ในเวลา 12 s ก่อนที่รถยนต์จะหยุดเคลื่อนที่ 5. ลูกปิงปองมวล 2.45 g จะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าใดจึงจะมีพลังงานจลน์เท่ากับลูกโบว์ลิ่งมวล 7 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3 m/s 6. นักเบสบอลขว้างลูกเบสบอลมวล 0.15 kg ออกไปด้วยความเร็ว 40 m/s ท ามุม 30o กับแนวราบ จงหาพลังงานจลน์ของลูกเบสบอลที่ต าแหน่งสูงสุดของการเคลื่อนที่ 7. อนุภาคมวล 0.6 kg มีความเร็วที่จุด A เป็น 2 m/s และพลังงานจลน์ที่จุด B เป็น 7.5 J จงหา (a) พลังงานจลน์ที่จุด A (b) ความเร็วที่จุด B (c) พลังงานทั้งหมดที่อนุภาคเคลื่อนที่จากจุด A ไปยัง B 8. ลูกปืนมวล 2 g เคลื่อนที่ออกจากกระบอกปืนด้วยความเร็ว 300 m/s จงหา (a) พลังงานจลน์ (b) แรงเฉลี่ยที่ท าให้ลูกปืนเคลื่อนที่ได้ระยะ 50 cm 9. เด็กคนหนึ่งมีน้ าหนัก 400 N อยู่ในชิงช้าที่ผูกด้วยเชือกยาว 2 m จงหาพลังงานศักย์โน้มถ่วงของ ระบบที่ต าแหน่งต่ าสุดของการแกว่งชิงช้านี้ เมื่อ (a) เชือกถูกกางขึ้นไปในแนวระดับ (b) เชือกถูก กางขึ้นไปในทิศท ามุม 30o กับแนวดิ่ง 10. ลูกตุ้มยาว 2 m ถูกกางขึ้นในทิศท ามุม 25o กับแนวดิ่ง เมื่อปล่อยให้เคลื่อนที่ลงตามแนวการแกว่ง จากจุดหยุดนิ่ง จงหาความเร็วที่จุดต่ าสุดของการแกว่ง 11. วัตถุ 2 ก้อน ผูกติดกันด้วยเชือกเส้นเดียวกัน ตามรูปที่ 3.12 ถ้าวัตถุก้อน 5 kg ถูกปล่อยให้ตกลงมา จากความสูง 4 m จากนั้น จงหา (a) ความเร็วของวัตถุทั้ง 2 ก้อน เมื่อวัตถุทั้ง 2 อยู่ระดับเดียวกัน (b) ความเร็วของวัตถุทั้ง 2 ก้อน เมื่อวัตถุ 5 kg อยู่ที่พื้น (c) ความสูงของวัตถุ 3 kg เมื่อวัตถุ 5 kg อยู่ที่พื้น

73 แผนบริหารการสอนประจ าบทที่ 4 รายวิชา ฟิสิกส์ทั่วไป General Physics หัวข้อเนื้อหา 4.1 โมเมนตัม 4.2 การดลของแรง 4.3 การอนุรักษ์โมเมนตัม 4.4 การชนกันแบบ 1 มิติ 4.5 การชนกันแบบ 2 มิติ วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อสิ้นสุดการเรียนการสอน ผู้เรียนสามารถ 1. ยกตัวอย่างเหตุการณ์หรือสถานการณ์ของโมเมนตัมได้ 2. ค านวณหาแรงดลและการดลที่กระท าต่อวัตถุ จากสถานการณ์ที่ก าหนดให้ได้ 3. ใช้ความรู้เรื่องกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันในการแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัมได้ 4. จ าแนกชนิดของการชน จากสถานการณ์ที่ก าหนดให้ได้ 5. ค านวณหาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ชนกันหรือออกจากกันได้จากสถานการณ์ที่ ก าหนดให้ได้อย่างถูกต้อง วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอนประจ าบท 1. บรรยายเนื้อหาในแต่ละหัวข้อ พร้อมยกตัวอย่างประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลื่อน (slide) 3. ร่วมอภิปรายเนื้อหา และท าแบบฝึกหัดในชั้นเรียน 4. ผู้สอนสรุปเนื้อหา 5. ผู้สอนท าการซักถาม 6. นักศึกษาถามข้อสงสัย

74 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเว็บไซต์ต่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมินจากการซักถามในชั้นเรียน 2. ประเมินจากความร่วมมือหน้าชั้นเรียน 3. ประเมินจากการท าแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรียน

75 บทที่ 4 โมเมนตัมและการชน 4.1 โมเมนตัม จากความสัมพันธ์ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน จะได้ว่าเมื่อมีแรงมากระท าต่อวัตถุจะ ท าให้เกิดความเร่งได้ เมื่อเขียนความเร่งในรูปอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาแล้วน ามวล m เข้าไป ในส่วนอนุพันธ์ด้วย พบว่าจะได้ปริมาณบ้างอย่างมีการเปลี่ยนแปลงเวลา ซึ่งเกิดจากผลคูณระหว่างมวล และความเร็ว เมื่อท าการอนุพันธ์ปริมาณนี้พบว่าผลที่ได้มีค่าเท่าเดิมแสดงว่าเราสามารถเขียนกฎการ เคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันอยู่ในรูปแบบสมการนี้ได้ F = m a mdv d(mv) F = = dt dt mdv vdm F = dt dt d(mv) dP F = = dt dt ดังนั้นสามารถนิยามปริมาณที่เกิดจากผลคูณระหว่างมวลและความเร็วว่า โมเมนตัม (Momentum) เป็นปริมาณบอกความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ สามารถเขียนสมการได้เป็น P = m.v (4.1) เมื่อ P คือโมเมนตัม มีหน่วยเป็น kg.m/s m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น kg v คือ ความเร็วของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s รูปที่ 4.1 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุมีทิศทางเดียวกับความเร็ว (อนุพันธ์ค่าคงที่มีค่าเป็นศูนย์) v m

76 4.2 การดลของแรง จากความสัมพันธ์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า เราสามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของ นิวตันได้เป็น dP F = dt (4.2) จากสมการแสดงว่าแรงสุทธิ F จะท าให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในช่วงเวลาสั้นๆ สามารถเขียนสมการได้เป็น 2 1 2 1 P P F = t t (4.3) 2 1 2 1 mv mv F = t t เมื่อ F คือ แรงดล มีหน่วยเป็น N m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น kg v 1 คือ ความเร็วเริ่มต้นของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s v 2 คือ ความเร็วสุดท้ายของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s 2 1 t t คือ ช่วงเวลาสั้นๆ มีหน่วยเป็น s เมื่อพิจารณาแรงสุทธิที่กระท าในช่วงเวลาสั้นๆ จะได้ปริมาณใหม่ซึ่งเป็นผลของการเปลี่ยน โมเมนตัมนี้ว่า การดล (Impulse) จะได้ 2 1 F(t t ) = mv mv 2 1 I = P P 2 1 (4.4) เมื่อ I คือ การดล มีหน่วยเป็น N/S ถ้าวาดกราฟระหว่างแรงสุทธิ (F) กับเวลา (t) ดังรูปที่ 4.2 พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับขนาดของ การดลหรือการเปลี่ยนโมเมนตัม จะสามารถค านวณหาแรงเฉลี่ยได้จากพื้นที่ใต้กราฟระหว่างและเวลา ซึ่งการดลที่ได้จากค านวณภายใต้แรงเฉลี่ยจะเท่ากับการดลที่เกิดขึ้นจริง รูปที่ 4.2 แสดงกราฟของแรง Fกระท าต่อวัตถุที่เวลา t ต่างๆ t F 1 2 t t Fav

77 ตัวอย่างที่ 4.1 ลูกบอลมวล 0.4 kg เคลื่อนที่ไปทางซ้ายกระทบผนังด้วยความเร็ว 30 m/s และ กระดอนกลับไปทางขวาด้วยความเร็ว 20 m/s ในแนวเส้นตรง จงหา (a) การดลของลูกบอล (b) ถ้าลูก บอลกระทบผนังในช่วงเวลา 0.01 s แรงดลจะมีค่าเท่าใด ดังรูปที่ 4.3 รูปที่ 4.3 แสดงทิศทางการชนของลูกบอล วิธีท า (a) เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เท่านั้น จะได้ P mv 0.3 kg ( 30 m/s) = 9 kg.m/s 1 1 P mv 0.3 kg 20 m/s = 6 kg.m/s 2 2 ดังนั้น การดลในแนวแกน x จะได้ 2 1 I P P (6) ( 9) = 15 kg.m/s (b) จาก 2 1 F(t t ) = mv mv 2 1 15 kg.m/s F = 0.01 s F = 1500 N ตัวอย่างที่ 4.2 รถยนต์ A มีมวล 2000 kg เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็ว VA m/s และรถยนต์ B มีมวล 1500 kg เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็ว ในแนวเส้นตรง 30 m/s จงหารถยนต์ A ต้องวิ่งด้วยความเร็วเท่าใด ถึงสามารถแซงรถยนต์ B ได้ดังรูปที่ 4.4 รูปที่ 4.4 แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของรถยนต์ วิธีท า เพื่อหาความเร็วที่รถคัน A จะให้โมเมนตัมทั้งสองเท่ากัน P m v 2000 kg v A A A A P m v 1500 kg 30 m/s 45000 kg.m/s B B B 2000 kg v 45000 kg.m/s A v 22.5 m/s A ดังนั้น ความเร็วที่รถคัน A ต้องมากกว่า 22.5 m/s ถึงสามารถแซงรถยนต์ B ได้ v 1 A v 2 B v 1 v 2

78 ตัวอย่างที่ 4.3 ลูกบอลมวล 0.4 kg ที่ก าลังเคลื่อนที่ไปทางซ้ายในแนวเส้นตรงด้วยความเร็ว 20 m/s หลังจากถูกเตะได้กระดอนกลับท ามุม 25o ไปทางขวาด้วยความเร็ว 15 m/s จงหาแรงเฉลี่ยถ้าลูกบอล สัมผัสเท้านักเตะเป็นเวลา 0.01 s ดังรูปที่ 4.5 รูปที่ 4.5 แสดงทิศการเคลื่อนที่ของลูกบอลก่อนและหลังการชนผนัง วิธีท า พิจารณาการเคลื่อนที่ของลูกบอลในแนวแกน x และแกน y ได้เป็น แกน x o P mv mvcosθ 0.4 kg ( 20 m/s) cos25 7.25 kg.m/s v1x v1x o P mv mvcosθ 0.4 kg (15 m/s) cos25 5.44 kg.m/s v2x v2x แกน y o P mv mvsinθ 0.4 kg ( 20 m/s) sin25 3.38 kg.m/s v1y v1y o P mv mvsinθ 0.4 kg (15 m/s) sin25 2.54 kg.m/s v2y v2y ท าให้ได้การดลในแนวแกน x และแกน y คือ แกน x x v2x v1x I P P x F t P P v2x v1x x (5.44 ( 7.25))kg.m/s F 1269 N 0.01 s แกน y v2y v1y I P P 2.54 ( 3.38) 5.92 kg.m/s y x F t P P v2x v1x x (2.54 ( 3.38))kg.m/s F 592 N 0.01 s ดังนั้น แรงเฉลี่ยทั้ง 2 แกน จึงได้เป็น 2 2 F F F x y 2 2 F (1269) (592) F 1400.3 N v 1 v 2 θ

79 4.3 การอนุรักษ์โมเมนตัม วัตถุจ านวนสองก้อนขึ้นไปเกิดปฏิกิริยาต่อกัน (ชนกันหรือสัมผัสกัน) จะเกิดแรงสองแรงที่มี ขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามกัน ซึ่งเป็นกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันเสมอ สามารถนิยาม สมการได้เป็น จากสมการ (4.5) จะเห็นว่าผลรวมโมเมนตัมของวัตถุทั้งสองก้อนมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่า ผลรวมโมเมนตัมของระบบจะมีค่าคงที่ ดังนั้น การอนุรักษ์โมเมนตัม (conservation of Momentum) จึงนิยามว่า “ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน” ในกรณีที่ไม่มีแรง ภายนอกมากระท าต่อระบบกระท าเป็นศูนย์ F = F AB BA dP dP AB BA = dt dt 2A 1A 2B 1B 2 1 2 1 P P P P = t t t t 2A 1A 2B 1B 2 1 2 1 mv mv mv mv = t t t t mv mv = mv mv 1A 1B 2A 2B P = P i f (4.5) เมื่อ Pi คือ ผลรวมโมเมนตัมก่อนชน Pf คือ ผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน รูปที่ 4.6 แสดงทิศการเคลื่อนที่ของลูกบอลก่อนและหลังการชนกัน A B A B A B F BA F AB v 1A v 1B v 2A v 2B