ฟิสิกส์ มหาวิทยาลัย

80 4.4 การชนกันแบบ 1 มิติ ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระท าต่อระบบ การชนกันของระบบจะมีการอนุรักษ์โมเมนตัมเสมอ ซึ่ง พลังงานจลน์จะมีค่าคงเดิมหรือไม่คงเดิมก็ได้ โดยทั่วไปการชนกันของวัตถุมี 2 แบบ คือ 4.4.1 การชนกันแบบยืดหยุ่น (Elastic collision) เป็นการชนที่วัตถุจะแยกออกจากกันเมื่อชนกันแล้ว ซึ่งเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์ โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงานจลน์ โดยผลรวมก่อนชนจะเท่ากับผลรวมหลังชน ดังแสดงในรูปที่ 4.7 รูปที่ 4.7 แสดงการชนกันแบบยืดหยุ่นของวัตถุ mA และ mB จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตันจะได้ว่า P = P i f P +P = P +P A1 B1 A2 B2 m v +m v = m v +m v A B A B A1 B1 A2 B2 m v v = m v v A B A1 A2 B2 B1 (4.6) จากกฎการอนุรักษ์พลังงานจลน์จะได้ว่า E = E ki kf E +E = E +E kA1 kB1 kA2 kB2 2 2 2 2 A A1 B B1 A A2 B B2 1 1 1 1 m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v ) 2 2 2 2 A1 A2 B2 B1 2 2 2 2 mA B v v = m v v (4.7) น าสมการที่ 4.7 หารด้วย 4.6 จะได้ว่า A1 A2 B2 B1 2 2 2 2 A B A B A1 A2 B2 B1 m v v m v v = m v v m v v A B A1 A2 A1 A2 B2 B1 B2 B1 A B A1 A2 B2 B1 m v v v v m v v v v = m v v m v v v v = v v A1 A2 B2 B1 v v = v v A1 B1 B2 A2 (4.8) v v = v v A1 B1 A2 B2 ก่อนชน หลังชน v A1 v B1 A B A B v A2 v B2

81 4.4.2 การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelastic collision) เป็นการชนที่วัตถุจะติดกันไปเมื่อชนกันแล้ว ซึ่งเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม แต่ ไม่เป็นไปตามกฎพลังงานจลน์ เนื่องจากพลังจลน์บางส่วนสูญเสียไปเป็นพลังงานความร้อนหรือเสียงจาก การชน ดังแสดงในรูปที่ 4.8 รูปที่ 4.8 แสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นของวัตถุ mA และ mB จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตันจะได้ว่า P = P i f P +P = P A1 B1 AB m v + m v = (m + m )v A A1 B1 B A B AB จากกฎการอนุรักษ์พลังงานจลน์จะได้ว่า E E ki kf EEE ki kf k(loss) ki kf E = E E k เมื่อพลังงานจลน์ก่อนและหลังชนมีค่าเป็น 2 2 ki A B A1 B1 1 1 E = m v + m V 2 2 (4.9) 2 kf A B AB 1 E = m +m v 2 (4.10) ถ้า V = 0 B1 น าสมการที่ 4.22 หารด้วย 4.22 จะได้ว่า 2 A B AB kf ki 2 A A1 1 m +m v E 2 = E 1 m (v ) 2 2 kf A B AB 2 ki A A1 E m +m v = E m (v ) 2 2 kf A B A A1 2 2 ki A A1 A B E m +m m (v ) = E m (v ) m +m A kf ki A B m E = E m +m (4.11) ดังนั้น จะได้ว่า E < E kf ki ก่อนชน หลังชน A B v AB v A1 v B1 A B

82 ตัวอย่างที่ 4.4 วัตถุ A มวล 0.3 kg และ B มวล 0.5 kg เคลื่อนที่เข้าหากันด้วยความเร็ว 30 m/s และ 20 m/s ตามล าดับ ดังแสดงในรูปที่ 4.9 จงหาความเร็วหลังการชนของวัตถุทั้งสองก้อน รูปที่ 4.9 แสดงการชนกันแบบยืดหยุ่นของวัตถุ A และ B วิธีท า จากการอนุรักษ์โมเมนตัมจะได้ว่า m v +m v = m v +m v A B A1 B1 A B A2 B2 m v m ( v ) = m v + m v A A1 B B1 A A2 B B2 (0.3 kg × 30 m/s) (0.5 kg × 20 m/s) = 0.3kgv + 0.5 kgv A2 B2 1kg .m/s = 0.3kgv + 0.5 kgv A2 B2 และสมการ v v = v v A1 B1 A2 B2 v ( v ) = v v A1 B1 A2 B2 30 m/s 20 m/s = v v A2 B2 v = v 50 m/s A2 B2 แทนในสมการที่ จะได้ว่า 1kg .m/s = 0.3kg( v 50 m/s) + 0.5 kgv B2 B2 1kg .m/s = 0.3kg v 15 m/s + 0.5 kgv B2 B2 14 kg .m/s = 0.8kgVB2 v = 17.5 m/s B2 แทนในสมการที่ จะได้ว่า v = 17.5 m/s 50 m/s A2 v = 32.5 m/s A2 v A1 v B1 A B A B v A2 v B2 ก่อนชน หลังชน

83 ตัวอย่างที่ 4.5 วัตถุ A มวล 0.3 kg และ B มวล 0.5 kg เคลื่อนที่เข้าหากันด้วยความเร็ว 30 m/s และ 20 m/s ตามล าดับ หลังชนวัตถุติดกันไป ดังแสดงในรูปที่ 4.10 จงหาความเร็วหลังการชนของวัตถุทั้ง สองก้อนและพลังงานจลน์ที่สูญเสียไป รูปที่ 4.10 แสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นของวัตถุ A และ B วิธีท า จากการอนุรักษ์โมเมนตัม m v +m v = (m +m )v A B A1 B1 A B AB m v m v = (m +m )v A A1 B1 B A B AB (0.3 kg × 30 m/s) (0.5 kg × 20 m/s) = (0.3 kg + 0.5 kg)v AB 1 kg.m/s = 0.8 kgvAB v = 1.25 m/s AB และพลังงานจลน์ที่เกิดขึ้น 2 2 ki A B V1 B1 1 1 E = m v + m v 2 2 2 2 ki 1 1 E = (0.3 kg (30 m/s) ) (0.5 kg ( 20 m/s) ) 2 2 E = 135 J 100 J ki E = 35 J ki และ 2 kf A B AB 1 E = (m m )v 2 2 kf 1 E = (0.3 kg 0.5 kg)(1.25 m/s) 2 E = 0.625 J kf และ ki kf E = E E k E = 35J 0.626J k E = 35J 0.626J k v A1 v B1 A B ก่อนชน หลังชน A B v AB

84 ตัวอย่างที่ 4.6 จากรูปที่ 4.11 แสดงการยิงกระสุนปืนมวล (mB) 5 g ด้วยความเร็ว VB เข้าไปยังใน กล่องไม้มวล (mw) 2 kg ที่แขวนไว้ในแนวดิ่ง เมื่อกระสุนปืนเข้าไปยังในกล่องไม้ท าให้กล่องไม้แกว่งขึ้น ไปได้เป็นระยะสูงสุด (h) 3 cm จงหาความเร็ว VB ของลูกปืน รูปที่ 4.11 แสดงการยิงของกระสุนปืนเข้าก้อนไม้แบบ ballistic pendulum วิธีท า จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม m v +m v = (m +m )v B W B W B W BW (0.005 kg × v ) (0.5 kg × 0 m/s) = (0.005 kg + 2 kg)v B BW 0.005 kgv = 2.005 kgv B BW และจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน จะได้ว่า 2 2 BW BW1 BW BW2 1 BW BW 2 1 1 m v + m gh = m v + m gh 2 2 2 BW BW1 BW 2 1 m v + 0 = 0 + m gh 2 BW1 v = 2gh 2 2 v = 2 9.8 m/s 0.03 m BW1 v = 0.77 m/s BW1 แทนสมการที่ 4.22 ใน 4.22 จะได้ว่า 0.005 kgv = 2.005 kg 0.77 m/s B v = 307 m/s B V ? B V 0 W mB VBW mW h 3 cm

85 4.5 การชนกันแบบ 2 มิติ การชนแบบ 2 มิติ (Two dimensional collisions) คือ การชนกันของวัตถุที่หลังชนวัตถุทั้ง สองจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ซึ่งเป็นการชนที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังแสดงในรูปที่ 4.12 4.5.1 การชนกันแบบยืดหยุ่น (Elastic collision) การชนกันของวัตถุที่หลังชนวัตถุทั้งสองจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ซึ่งเป็นการชนที่ไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวล หลังชนวัตถุทั้งสองจะแยกจากกัน ดังแสดงในรูปที่ 4.12 รูปที่ 4.12 แสดงการชนกันแบบยืดหยุ่นของวัตถุ A และ B จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตันจะได้ว่า P = P i f P +P = P +P A1 B1 A2 B2 m v +m v = m v +m v A B A B A1 B1 A2 B2 ถ้า v = 0 B1 และ m = m A B จะได้ว่า m v = m v +m v A A B A1 A2 B2 v = v +v A1 A2 B2 (4.12) และสามารถหาขนาดได้โดยใช้หลักการรวมเวกเตอร์ 2 2 2 v = v + v 2v v cos( A1 A2 B2 A2 B2 θ ) (4.13) 2 2 v = v + v 2v v cos( A1 A2 B2 A2 B2 θ ) (4.14) θ VB1 VA1 VB2 VA1 B A A B

86 จากกฎการอนุรักษ์พลังงานจลน์จะได้ว่า E = E ki kf E +E = E +E kA1 kB1 kA2 kB2 2 2 2 2 A A1 B B1 A A2 B B2 1 1 1 1 m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v ) 2 2 2 2 ถ้า v = 0 B1 และ m = m A B จะได้ว่า 2 2 2 A A1 A A2 B B2 1 1 1 m (v ) m (v ) + m (v ) 2 2 2 2 2 2 (v ) = (v ) +(v ) A1 A2 B2 แทนค่าใน 4.14 จะได้ว่า 2 2 2 2 A2 B2 A2 B2 A2 B2 (v ) +(v ) v + v 2v v cos( θ ) 2 2 2 2 A2 B2 A2 B2 A2 B2 (v ) +(v ) v + v 2v v cos( θ ) A2 B2 0 cos(θ ) 2v v cos(θ ) 0 ดังนั้นถ้า v = 0 B1 และ m = m A B จะได้ว่า o θ 90 ในท านองเดียวกัน ดังนั้นถ้า v = 0 B1 และ m m A B จะได้ว่า o θ < 90 เมื่อ m m A B o θ 90 เมื่อ m m A B

87 4.5.2 การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น (Elastic collision) การชนกันของวัตถุที่หลังชนวัตถุทั้งสองจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ซึ่งเป็นการชนที่ไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวล หลังชนวัตถุทั้งสองจะติดกันไป ดังแสดงในรูปที่ 4.13 รูปที่ 4.13 แสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นของวัตถุ A และ B จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตันจะได้ว่า P = P i f P +P = P A1 B1 m v +m v = m +m v A B A B A1 B1 ถ้า m m A B จะได้ว่า m v +m v = m +m v A B A B A1 B1 (4.15) และสามารถหาขนาดได้โดยใช้หลักการรวมเวกเตอร์ 2 2 2 P = P + P 2P P cos( ) A1 B1 A1 B1 2 2 P = P + P 2P P cos( ) A1 B1 A1 B1 (4.16) VA1 A B V B VB1 A

88 ตัวอย่างที่ 4.8 วัตถุ A มวล 0.5 kg วิ่งด้วยความเร็ว 4 m/s เข้าชนกันวัตถุB มวล 0.3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่ กับที่หลังชนวัตถุ A มีความเร็ว 2 m/s จงหาความเร็วหลังการชนของวัตถุ B และทิศทางของวัตถุ A และวัตถุ B ที่เบี่ยงเบนไปจากแนวเดิม แสดงรูปที่ 4.14 รูปที่ 4.14 แสดงการชนแบบ 2 มิติของวัตถุ A และ B วิธีท า เนื่องจากพลังงานจลน์เป็นปริมาณสเกลาร์ ดังนั้นเราสามารถหาความเร็ว จากกฎการอนุรักษ์ พลังงานจลน์ จะได้ว่า 2 2 2 2 A A1 B B1 A A2 B B2 1 1 1 1 m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v ) 2 2 2 2 2 2 2 2 B2 1 1 1 1 (0.5 kg)(4m/ s) + (0.3 kg)(0) (0.5 kg)(2m/ s) + (0.3 kg)(v ) 2 2 2 2 2 8 kg.m/s 2 kg.m/s + 0.3 kg(v ) B2 v 4.47 m/s B2 จากการอนุรักษ์โมเมนตัม m v +m v = m v + m v A B A A1 B1 A2 B2 B แนวแกน x ก่อนชน = (0.5 kg 4 m/s) 0 = 2 kg.m/s แนวแกน y ก่อนชน = 0 แนวแกน x หลังชน = m v + m v A B A2x B2x = m v cosθ+ m v cos A B A2 B2 = (0.5 kg 2 m/s cosθ)+ (0.3 kg 4.47 m/s cos ) = (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos ) แนวแกน y หลังชน VB1 VA1 VB2 VA1 B A A B θ mA mA

89 = m v + m v A B A2y B2y = m v sinθ+ m v sin A B A2 B2 = (0.5 kg 2 m/s sinθ)+ (0.3 kg 4.47 m/s sin ) = (1 kg.m/s sinθ)+ (1.34 kg.m/s sin ) รวมสมการแต่ละแนวเข้าด้วยกันจะได้ว่า แนวแกน x 2 kg.m/s = (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos ) 2 = cosθ + 1.34cos 2 2 (2 cosθ) = (1.34cos ) 2 2 4 4cosθ+(cosθ) = 1.79(cos ) แนวแกน y 0 = (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos ) 2 2 (sinθ) = 1.79(sin ) น าสมการ และ มาบวกกัน 2 2 2 2 4 4cosθ + (cosθ) (sinθ) = 1.79(cos ) +1.79(sin ) 4 4cosθ + 1 = 1.79 cosθ = 0.8 o θ = 36.86 แทนค่าในสมการ 2 = 0.8 + 1.34cos cos = 0.895 o θ = 26.49

90 ตัวอย่างที่ 4.7 รถยนต์คันที่ 1 มีมวล 1500 kg และคันที่ 2 มีมวล 2500 kg ดังแสดงในรูปที่ 4.15 เกิด ชนกันตรงทางแยก และติดกันไป จงหาความเร็วหลังการชนของรถยนต์ทั้งสอง และทิศทางหลังการชน ของรถยนต์ทั้งสองตามแนวรถ A รูปที่ 4.15 แสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นของรถยนต์สองคัน วิธีท า พิจารณาโมเมนตัมในแนวแกน x และแกน y ก่อนชน แกน x P m v 1500 kg 25 m/s 37500 kg.m/s Ax A Ax P m v 0 Bx B Bx แกน y P m v 0 Ay A Ay P m v 2500 kg 20 m/s 50000 kg.m/s By B By และโมเมนตัมในแนวแกน x และแกน y หลังชน 2 2 P P P x y 2 2 P (37500) (50000) P 62500 N และโมเมนตัมในแนวแกน x และแกน y หลังชน 50000 tanθ 37500 o θ 53.06 และความเร็วหลังการชน AB A B P 62500 kg.m/s v (m +m ) 4000 kg v 15.63 m/s AB V 20 m/s B V 25 m/s A VAB θ

91 บทสรุป โมเมนตัม (Momentum) เป็นปริมาณบอกความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ P = m.v การดล (Impulse) ปริมาณที่เป็นผลของการเปลี่ยนโมเมนตัม 2 1 F(t t ) = mv mv 2 1 I = P P 2 1 กฎอนุรักษ์โมเมนตัม ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชนในกรณีที่ไม่มีแรง ภายนอกมากระท าต่อระบบกระท าเป็นศูนย์ P = P i f การชนกันแบบยืดหยุ่น P = P i f P P i f การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น P = P i f P P i f

92 แบบฝึกหัดทบทวน 1. (a) จงหาขนาดโมเมนตัมของรถบรรทุกมวล 10000 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 12 m/s (b) จงหาความเร็วของรถอเนกประสงค์ suv มวล 2000 kg ถ้ามีขนาดโมเมนตัมและพลังงาน จลน์ เท่ากับรถบรรทุก 2. นักเทนนิสเดาะลูกบอลมวล 57 g ขึ้นสูง 5.5 m จงหาการดลที่ไม้กระท าต่อลูกบอล 3. ปล่อยลูกบอลมวล 0.15 kg ให้ตกจากที่สูง 1.25 m จากนั้นลูกบอลกระดอนจากพื้นสูง 0.96 mจงหาการดลที่พื้นกระท าต่อลูกบอล 4. ลูกเหล็กมวล 3 kg ถูกปาเข้าก าแพงด้วยความเร็ว 10 m/s ท ามุม 60 กับแนวก าแพง ถ้าลูก เหล็กกระดอนกลับด้วยความเร็วและมุมเท่าเดิม จงหาแรงเฉลี่ยที่ก าแพงกระท าต่อลูกเหล็ก ถ้า ลูกเหล็กสัมผัสก าแพงเป็นเวลา 0.2 s 5. ตีลูกกอล์ฟมวล 0.045 kg ที่อยู่นิ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 25 m/s ถ้าไม้สัมผัสกับลูกกอล์ฟเป็น เวลา 2 ms จงหาแรงเฉลี่ยที่ไม้กระท าต่อลูกกอล์ฟ 6. เหวี่ยงไม้กอล์ฟมวล 200 g ด้วยความเร็ว 55 m/s ตีลูกกอล์ฟมวล 46 g ไปติดต้นไม้ หลังจากตี ไม้กอล์ฟยังมีทิศทางเดิมและมีความเร็ว 40 m/s จงหาความเร็วของลูกกอล์ฟหลังจากการตี 7. นักเล่นสเก็ตชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น เกิดจากคนที่หนึ่งมีมวล 70 kg ก าลังเคลื่อนที่ไปทางขวาด้วย ความเร็ว 2 m/s และคนที่สองมีมวล 65 kg ก าลังเคลื่อนที่ไปทางซ้ายด้วยความเร็ว 2.5 m/s จงหาขนาดและทิศทางของความเร็วหลังจากการชนแล้วติดกันไป 8. ก้อนหินมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 8 m/s ไปทางขวาเข้าชนกล่องมวล 15 kg ที่ผูกติด กับสปริงเบา ซึ่งมีค่าคงที่สปริงเท่ากับ 500 N/m อยู่นิ่งกับที่ หลังจากการชนแล้วก้อนหิน กระดอนกลับไปทางซ้ายด้วยความเร็ว 2 m/s จงหาระยะทางที่มากที่สุดที่กล่องเคลื่อนที่ไปได้ หลังการชนกัน 9. ยิงกระสุนปืนมวล 5 g เข้าไปฝังในกล่องไม้มวล 1.2 kg วางนิ่งอยู่บนพื้น ถ้าสัมประสิทธิ์ความ เสียดทานระหว่างกล่องกับพื้นเท่ากับ 0.2 หลังจากยิงแล้วกล่องไม้เคลื่อนที่ได้ระยะทาง 0.23 mจงหาความเร็วเริ่มต้นของกระสุนปืน 10. ยานพาหนะคันแรกมวล 2500 kg เคลื่อนที่จากทิศตะวันออกไปทิศตะวันตก (-x) ด้วยความเร็ว 14 m/s และคันที่สองมวล 1500 kg เคลื่อนที่จากทิศใต้ไปทิศเหนือ (+y) ด้วยความเร็ว 23 m/s จงหา (a) โมเมนตัมสุทธิของระบบในองค์ประกอบ x และ y (b) ขนาดและทิศทางของ โมเมนตัมสุทธิ

93 แผนบริหารการสอนประจ าบทที่ 5 รายวิชา ฟิสิกส์ทั่วไป General Physics หัวข้อเนื้อหา 5.1 ความดันในของเหลว 5.2 กฎของปาสคาล 5.3 แรงลอยตัวและหลักของอาร์คีมีดีส 5.4 ความตึงผิวและความหนืด 5.5 อัตราการไหลและสมการของแบร์นูลลี วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อสิ้นสุดการเรียนการสอน ผู้เรียนสามารถ 1. ค านวณหาความดันในรูปแบบต่างๆได้อย่างถูกต้อง 2. ใช้ความรู้เรื่องความดันและแรงดันในการอธิบายกฎของปาสคาลได้ 3. ยกตัวอย่างเหตุการณ์ที่เป็นไปตามหลักของอาร์คีมีดีสได้ 4. อธิบายความตึงผิวและความหนืดได้อย่างถูกต้อง 5. ค านวณหาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับอัตราการไหลและสมการของแบร์นูลลีจากสถานการณ์ที่ก าหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอนประจ าบท 1. บรรยายเนื้อหาในแต่ละหัวข้อ พร้อมยกตัวอย่างประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลื่อน (slide) 3. ร่วมอภิปรายเนื้อหา และท าแบบฝึกหัดในชั้นเรียน 4. ผู้สอนสรุปเนื้อหา 5. ผู้สอนท าการซักถาม 6. นักศึกษาถามข้อสงสัย

94 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเว็บไซต์ต่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมินจากการซักถามในชั้นเรียน 2. ประเมินจากความร่วมมือหน้าชั้นเรียน 3. ประเมินจากการท าแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรียน

95 บทที่ 5 กลศาสตร์ของไหล 5.1 ความดันในของเหลว สสารสามารถจ าแนกได้ 3 สถานะ ได้แก่ ของแข็ง (Solid) ของเหลว (Liquid) และก๊าซ (Gas) โดยของแข็ง จะมีรูปร่างและสถานะปริมาตรคงที่ ซึ่งอนุภาคภายในจะอยู่ชิดกันมาก เช่น ทอง ส่วน สถานะที่เป็นของเหลว จะมีรูปร่างตามภาชนะที่บรรจุและมีปริมาตรคงที่ ซึ่งอนุภาคภายในจะอยู่ชิดกัน น้อยลง และมีสมบัติเป็นของไหล (Fluid) ได้ เช่น น้ า ปรอท และสถานะที่เป็นก๊าซ จะมีรูปร่างและ ปริมาตรที่ไม่คงที่ ขึ้งอยู่กับภาชนะที่บรรจุ ซึ่งอนุภาคภายในจะอยู่ห่างกันมากที่สุด และมีสมบัติเป็นของ ไหลได้ เช่น อากาศ ก๊าซต่างๆ โดยที่ของไหล (ของเหลวและก๊าซ) สามารถไหลจากจากที่หนึ่งไปยังอีกที่ หนึ่งได้ ซึ่งสมบัติของไหล ได้แก่ ความหนาแน่น ความดัน ความตึงผิว และความหนืด เป็นต้น ความหนาแน่น (Density) เป็นคุณสมบัติเฉพาะของวัตถุหนึ่ง โดยหากเป็นวัตถุ (สาร) เดียวกัน จะมีความหนาแน่นเท่ากัน และวัตถุต่างชนิดกันจะมีความหนาแน่นที่ต่างกัน ดังแสดงในตารางที่ 5.1 โดยความหนาแน่นเป็นปริมาณที่บอกค่ามวลของวัตถุในหนึ่งปริมาตร สามารถนิยามสมการได้เป็น m = V (5.1) เมื่อ คือ ความหนาแน่นของวัตถุ มีหน่วยเป็น kg/m3 m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น kg v คือ ปริมาตรของวัตถุ มีหน่วยเป็น m 3 ตารางที่5.1 ความหนาแน่นของสารต่างๆที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสและความดัน 1 บรรยากาศ สาร ความหนาแน่น (kg/m 3 ) สาร ความหนาแน่น (kg/m 3 ) อากาศ 1.29 น้ าแข็ง 0.917 x 103 อลูมิเนียม 2.70 x 103 เหล็ก 7.86 x 103 ทองแดง 8.92 x 103 น้ าแข็ง 0.917 x 103 ทอง 19.3 x 103 น้ า 1.00 x 103 เงิน 10.5 x 103 ทะเล 1.03 x 103

96 ความดัน (Pressure) คือ ปริมาณของแรงกระท าในแนวตั้งฉากต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ ดังแสดงใน รูปที่ 5.1 และสมการที่ 5.2 F P = A (5.2) เมื่อ P คือ ความดัน มีหน่วยเป็น N/m2 หรือ Pa F คือ แรงกระท า มีหน่วยเป็น N A คือ พื้นที่ มีหน่วยเป็น m 2 โดยที่ 1 Passcal (Pa) = 1 N/m2 1 atm = 1.013 x 105 Pa 1 bar = 105 N/m2 1 Torr = 1mmHg รูปที่ 5.1 แสดงความดันและแรงดันทุกทิศทางในแนวตั้งฉากกับพื้นที่นั้น (a) กระท าต่อภาชนะที่บรรจุ (b) กระท าต่อวัตถุในของเหลว

97 เมื่อพิจารณาส่วนตัดของน้ านิ่งดังรูป ซึ่งผลรวมของแรงที่กระท าส่วนตัดของน้ านิ่งมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากน้ าในสภาวะสมดุล เกิดจากแรงกระท าจากน้ าหนักของของเหลวต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ สังเกตได้ จากเมื่อด าน้ าลึกลงไปจากผิวน้ ามากเท่าไหร่ จะรู้สึกเจ็บแก้วหูมากเท่านั้น แสดงว่าแรงกดของน้ ากระท า ต่อแก้วหู ยิ่งลึกมากยิ่งมีแรงกดมาก จากสมการ 5.2 จะได้ F = 0 F F F = 0 P1 P2 dw PA (P +dP)A mg = 0 1 1 PA PA dPA ρdyAg = 0 1 1 dPA ρdyAg = 0 dP = ρgdy P P = ρg(y y ) 2 1 2 1 (5.3) เมื่อเลื่อนต าแหน่ง P2 มายังบริเวณผิวน้ า ความดันที่ได้จะมีค่าเท่ากับความดันที่ผิวคือความดัน บรรยากาศ (Pa ) และต าแหน่ง P1 เป็นความดันใดๆในของเหลวมีค่าเท่ากับ P น้ าส าหรับของเหลวชนิด เดียวกัน จะมีความหนาแน่นที่เท่ากัน (คงที่) และค่า g คงที่ ดังนั้น แสดงดังรูปที่ 5.2 P P = ρg(y y ) a 2 1 P = P ρg(y y ) a 2 1 (5.4) เมื่อ P คือ ความดันสัมบูรณ์ Pa คือ ความดันบรรยากาศ รูปที่ 5.2 แสดงความดันเท่ากันของของเหลวชนิดเดียวกันที่ระดับความสูงเท่ากัน FP2 dy y2 y1 dP FP1 dw Pa

98 บารอมิเตอร์ (Barometer) เป็นเครื่องมือวัดความดันบรรยากาศ ประกอบด้วยหลอดแก้ว ทรงกระบอกยาวเล็กยาวปลายเปิดหนึ่งข้าง เมื่อบรรจุปรอทให้เต็มแล้วคว่ าหลอดลงในอ่างปรอทพบว่า ปรอทยังคงค้างอยู่ในหลอดซึ่งมีความสูงเหนือผิวปรอท 76 cm และเกิดช่องว่างภายในหลอดซึ่งถือว่ามี ความดันต่ ามากเท่ากับศูนย์ดังรูปที่ 5.3(a) สามารถค านวณหาความดันบรรยากาศได้ดังนี้ P P = ρg(y y ) 2 1 2 1 0 P = ρg(y y ) a 2 1 3 3 2 2 P = 13.6 10 kg/m 9.8 m/s 76 10 m a 5 P = 1.013 10 Pa a มานอมิเตอร์ (Manometer) เป็นเครื่องมือวันความดันของของไหลแบบง่ายที่สุด ประกอบด้วย หลอดแก้วรูปตัวยูภายในบรรจุของเหลว ปลายข้างหนึ่งต่อกับความดันที่ต้องการวัด และปลายอีกด้าน หนึ่งเปิดสู่อากาศ ดังรูปที่ 5.3(b) สามารถค านวณหาความดันจากผลต่างระดับของเหลวในขาหลอดทั้ง สองข้างได้ดังนี้ P P = ρg(y y ) 2 1 2 1 P P = ρg(y y ) a 2 1 P P = ρg(y y ) a 2 1 P = ρg(y y ) g 2 1 (5.5) เมื่อ Pg คือ ความดันเกจ รูปที่ 5.3 แสดงเครื่องมือวัดความดัน (a) มานอมิเตอร์ (b) บารอมิเตอร์ Pa P 0 2 P P 1 a y1 y2 Pa P P P 2 a P P 1 y1 y2 dy (a) (b)

99 ตัวอย่างที่ 5.1 หลอดแก้วรูปตัวยูบรรจุปรอทอยู่ภายใน เติมน้ าลงไปในขาข้างหนึ่งสูง 15 cm ดังรูปที่ 5.4 จงหา (a) ความดันเกจที่รอยต่อน้ า-ปรอท (b) ระดับปรอทในขาอีกข้าง (h) อยู่ต่ ากว่าระดับน้ าเท่าใด รูปที่ 5.4 แสดงหลอดแก้วรูปตัวยูภายในบรรจุปรอทและน้ า วิธีท า (a) P = ρg(y y ) g 2 1 2 10 9.8 m / s 15 10 m) ( 1 470N/ m (b) ลากเส้นประผ่านหลอดที่เติมน้ าและปรอท ให้มีระดับความสูงเท่ากัน จะได้ ความสูงใหม่ที่ขาของปรอท คือ x ดังนั้นความดันสัมบูรณ์ จะได้ w P P w Pa gh Pa gh 3 3 2 2 3 2 (10 kg/ m )(9.8m/ s )(15 10 m) (13.6 10 kg/ m)(9.8m/ s ) 0.011 x x 0.11m x 1.1cm ความสูง (h) อยู่ต่ ากว่าระดับน้ า h 15 1.1cm 13.9 cm Pa P P P 2 a P P 1 y1 y2 dy

100 ตัวอย่างที่ 5.2 ขาข้างหนึ่งของมานอมิเตอร์ที่มีปรอทบรรจุอยู่ต่อเข้ากับถังแก๊สชนิดหนึ่งท าให้ระดับ ปรอทในขาทั้งสองข้างสูงดังรูปที่ 5.6 จงหาความดันของแก๊สถ้าความดันของอากาศขณะนั้นเป็น 105 Pa วิธีท า ที่ระดับความสูงเท่ากัน จะได้ P = ρg(y y ) g 2 1 P + ρgh = Pa g 3 3 2 5 P + (13.6 10 kg/m )(9.8m/s )(0.05m) = 10 g 3 5 P + 6.6 10 = 10 g 4 P =9.34 10 Pa g ตัวอย่างที่ 5.3 กล่องลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 1 m ด้านบนมีฝาปิดสนิทและตรงกลางฝาด้านบน เสียบท่อที่มีรูขนาด 200 cm2 ยาว 40 cm เติมน้ าลงไปจนกระทั่งเต็มพอดีแล้วปิดฝาให้สนิท จงหา (a) ความดันของน้ าที่ก้นกล่องลูกบาศก์ (b) ความดันของน้ าที่ด้านข้างแต่ละด้านของกล่อง วิธีท า (a) P = ρgh 3 3 2 (10 kg/ m )(9.8m/ s )(1.4m) 3 P = 13.7 10 Pa (b) 1 P = ρgh 2 1 3 3 2 = (10 kg/ m )(9.8m/ s )(0.5 0.4m) 2 3 P = 4.4 10 Pa

101 5.2 กฎของปาสคาล จากสมการ จะเห็นว่าความดันขึ้นกับความดันบรรยากาศและต าแหน่งความลึกจากผิวของ ของเหลว ถ้าเพิ่มความดันบรรยากาศโดยการอัดแรงดันให้กับของเหลวที่อยู่นิ่งในภาชนะปิดความดันที่ เพิ่มจะส่งผ่านไปยังทุกๆจุดในของเหลวและผนังของภาชนะ เรียกว่า กฎของปาสคาล (Pascal’s law) ซึ่งได้ค้นพบเป็นครั้งแรกและถูกน ามาประยุกต์ใช้เป็นเครื่องอัดไฮโดรลิก ดังแสดงในรูปที่ 5.5 เมื่อให้ แรงอัด F1 กระท ากับพื้นที่ของกระบอกสูบเล็ก A1 ความดันจะส่งไปยังของเหลวและส่งไปยังกระบอกสูบ ใหญ่ A2 ด้วยแรงดัน F2 เนื่องจากความดันทั้งสองด้านเท่ากัน ดังนั้นสามารถเขียนสมการได้เป็น 1 2 1 2 F F = A A (5.6) เมื่อ F1 คือ แรงที่ใช้กด มีหน่วยเป็นN F2 คือ แรงที่ถูกยก มีหน่วยเป็น N A1 คือ พื้นที่หน้าตัดกระบอกสูบเล็ก มีหน่วยเป็น m 2 A2 คือ พื้นที่หน้าตัดกระบอกสูบใหญ่ มีหน่วยเป็น m 2 เนื่องจากของเหลวไม่สามารถบีบอัดได้ ดังนั้นปริมาตรของไหลทางด้านกระบอกสูบเล็กที่ถูกอัด ลงจะมีค่าเท่ากับปริมาตรของไหลทางด้านกระบอกสูบใหญ่ที่ถูกเพิ่มขึ้น ดังแสดงในรูปที่ 5.5 ดังนั้น สามารถเขียนสมการได้เป็น V = V A1 A2 A y = A y 1 1 2 2 (5.7) หรือ 1 1 2 2 y F = y F (5.8) รูปที่ 5.5 แสดงเครื่องอัดไฮโดรลิกโดยใช้กฎของปาสคาล F1 F2 A2 A1 y1 y2 F1 F2 A2 A1

102 5.3 แรงลอยตัวและหลักของอาร์คีมีดีส แรงลอยตัว (Buoyant Forces) คือ แรงเนื่องจากของเหลวกระท าต่อวัตถุในทิศขึ้น แรง ดังกล่าวมีค่าเท่ากับน้ าหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่วัตถุนั้น ซึ่งเรียกค ากล่าวนี้ว่า หลักของอาร์คีมีดีส (Archimedes’s Principle) ดังแสดงในรูปที่ 5.6 เมื่อพิจารณาวัตถุจมอยู่ในของเหลว ต าแหน่งความดัน มีค่าท าให้วัตถุลอยตัวอยู่ได้ แรงลอยตัวมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของของเหลวและ แรงดังด้านล่าง 1 F = PA = (P + gy )A 1 a 1 แรงดังด้านบน 2 F = P A = (P + gy )A 2 a 2 1 2 F F = (P + gy )A (P + gy )A a 1 a 2 B F = gA (y y ) 2 1 F = gV B (5.9) เมื่อ FB คือ แรงลอยตัว มีหน่วยเป็น N ρ คือ ความหนาแน่นของของเหลว มีหน่วยเป็น kg/m3 V คือ ปริมาตรของวัตถุส่วนที่จม มีหน่วยเป็น m แรงลอยตัวมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของของเหลวและวัตถุ ถ้าวัตถุมีความ หนาแน่น (น้ าหนัก) น้อยกว่าของเหลว แรงลอยตัวที่กระท าต่อวัตถุนั้นจะมีค่ามากกว่าที่จะต้านน้ าหนัก ของวัตถุ สังเกตได้จากขนาดลูกศรที่มีความยาวและสั้นที่ต่างกันและส าหรับวัตถุที่มีความหนาแน่น (น้ าหนัก) มากกว่าของเหลว แสดงว่าแรงลอยตัวที่กระท าต่อวัตถุจะมีค่าน้อยกว่าน้ าหนักของวัตถุ ดังรูป ที่ 5.6 รูปที่ 5.6 แสดงแรงลอยตัวของวัตถุ เมื่อ B คือแรงลอยตัว Fg คือน้ าหนักวัตถุ FP2 y2 y1 FP1

103 ตัวอย่างที่ 5.4 วัตถุ A มีปริมาตร VA และพื้นที่ A เมื่อน าไปใส่ไว้ในของเหลว U ที่ไม่ทราบความ หนาแน่นพบว่ามีส่วนจมลงในของเหลวนั้นเท่ากับ 4.6 cm แต่เมื่อน าไปใส่ไว้ในน้ าพบว่ามีส่วนจมลงใน น้ านั้นมีค่าเท่ากับ 5.8 cm จงหาว่าความหนาแน่นของเหลว U มีค่าเท่าไร รูปที่ 5.7 แสดงส่วนจมลงในของเหลวที่ไม่ทราบความหนาแน่น U และในน้ า W วิธีท า จาก F ρgV B (1) และ F w B (2) จะได้ว่า F ρ gV BU U U (3) และ F ρ gV BW W W (4) เมื่อ w ρ gV A A A (5) จะได้สมการ (3) เท่ากับ (5) ρ V ρ V U U A A (6) จะได้สมการ (4) เท่ากับ (5) ρ V ρ V W W A A (7) น าสมการ (6) เท่ากับ (7) U U A A W W A A ρ V ρ V ρ V ρ V W W U U ρ V ρ V W W U U ρ Ay ρ Ay 3 U 1000kg/m 5.8 cm ρ 4.6 cm 3 ρ 26,680 kg/m U U W y1 y1

104 5.4 ความตึงผิวและความหนืด ความตึงผิว (Surface tension) เกิดจากแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลวเพื่อคง สภาพเดิมไว้เมื่อมีแรงภายนอกมากระท าดังรูปที่ 5.8 ซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็น ปริมาณของงานที่ใช้ใน การเพิ่มพื้นที่ผิวของของเหลว สามารถเขียนสมการได้ว่า w = A (5.10) เมื่อ คือ ความตึงผิว มีหน่วยเป็น N/m w คือ ปริมาณของงาน มีหน่วยเป็น N.m A คือ พื้นที่ผิวของของเหลวที่เพิ่มขึ้น มีหน่วยเป็น m 2 เช่น จากดังรูปที่ 5.8 เมื่อน าขดลวดสี่เหลี่ยมพื้นผ้าจุ่มลงในของเหลวหนืด ได้พื้นที่ผิวขนาด b x l1 เมื่อออกแรงยืดจนได้พื้นที่ผิวใหม่ขนาด b x l2 และเนื่องจากของเหลวมีผิวสองด้านดังนั้นจากนิยาม สามารถเขียนได้เป็น 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 F.(l l ) F.(l l ) F = = = (l .b l .b)+(l .b l .b) 2b(l l ) 2b (5.11) หรือสามารถนิยามได้ว่าเป็น อัตราส่วนระหว่างแรงกระท าต่อความยาวของของเหลวใน แนวตั้งฉากกับแรงที่มากระท า รูปที่ 5.8 แสดงการเกิดจากแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลว และแรงตรึงผิวเนื่องจากแรง F F F b 1 l 2 l

105 ความหนืด (Viscosity) เป็นสมบัติการต้านการเคลื่อนที่ของของเหลว (แรงหนืด) นั้น มีสมบัติ ดังนี้แรงหนืดที่กระท าต่อวัตถุทรงกลม ดังรูปที่ 5.9 สามารถหาได้จากกฎของสโตกส์ (Stokes’s law) คือ F = 6πηrv (5.12) เมื่อ F คือ แรงหนืดของของไหล มีหน่วยเป็น N η คือ ความหนืดของของไหล มีหน่วยเป็น Pa.s r คือ รัศมีของวัตถุทรงกลม มีหน่วยเป็น m v คือ ความเร็วของวัตถุทรงกลม มีหน่วยเป็น m/s รูปที่ 5.9 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุในของเหลว mg FB F

106 5.5 อัตราการไหลและสมการของแบร์นูลลี เมื่อพิจารณาการไหลของของไหลผ่านท่อไม่สม่ าเสมอดังรูปที่ 5.10 ของไหลไหลเข้า พื้นที่หน้าตัด A1 ด้วยความเร็ว v1 และของไหลไหลออกพื้นที่หน้าตัด A1 ด้วยความเร็ว v1 เมื่อของไหล เป็นของไหลในอุดมคติ 4 ข้อ คือ ไม่มีความหนืด ไม่สามารถบีบอัดได้ ความหนาแน่นสม่ าเสมอ ไหล อย่างสม่ าเสมอ ไม่มีการหมุน แสดงว่ามวลของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่หน้าตัด A1 ในช่วงเวลาtจะมีค่า เท่ากับมวลของไหลไหลผ่านพื้นที่หน้าตัด A2 ในช่วงเวลาเดียวกัน สามารถเขียนสมการได้เป็น m = m A1 A2 ρV = ρV A1 A2 ρA x = ρA x 1 1 2 2 ρA v t = ρA v t 1 1 2 2 A v = A v 1 1 2 2 (5.13) A v = 1 1 ค่าคงที่ (5.14) สมการ 5.11 คือ สมการของความต่อเนื่อง และ Av คือ อัตราการไหล (Flow rate, R) คือ อัตราเร็วของไหลผ่านท่อหรือช่องการไหลทุกต าแหน่งมีค่าคงที่เสมอ หรือ ปริมาตร (V) ต่อหนึ่งหน่วย เวลา (t) V R = Av = t (5.15) รูปที่ 5.10 แสดงการไหลของของไหลผ่านท่อไม่สม่ าเสมอ A2 x , t 1 x , t 2 A2 A1 v1 v2

107 ตัวอย่างที่ 5.5 น้ าไหลด้วยอัตราเร็ว 10 cm/s ในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.3 cm ไปสู่เส้นท่อขนาด เล็กลงศูนย์กลาง 0.2 cm จงหาอัตราเร็วของน้ าไหลในท่อเล็ก วิธีท า จาก A v = A v 1 1 2 2 2 2 πr v = πr v 1 1 2 2 2 2 2 (0.15cm) (10cm/ s) (0.1cm) v v = 22.5 cm/s 2 ตัวอย่างที่ 5.6 เปิดน้ าใส่ถังขนาด 30 L พบว่าน้ าเต็มภายใน 1 นาที จากนั้นต่อสายฉีดเข้าบริเวณกับท่อ ที่ข้างถังซึ่งมีพื้นที่หน้าตัดเท่ากับ 0.5 cm2 และยกสายฉีดขึ้นเหนือท่อที่ข้างถัง 1 m ดังรูปที่ 5.11 จงหา ว่าน้ าจะพุ่งออกจากหัวฉีดเป็นระยะทางเท่าไร รูปที่ 5.11 แสดงการไหลของน้ าจากถังไปยังสายฉีด วิธีท า จาก R = Avx x R v = A และจาก 2 f i y 1 y = y +v gt 2 2 f 1 y = (0) + (0) gt 2 2yf t = g และจาก x = x +v t f i x แทนค่าต่างๆจะได้ว่า f f R 2y x = (0) + A g f f R 2y x = 30 L + A g x = 4.52 m f x vy vx

108 เมื่อพิจารณาของไหลในท่อไม่สม่ าเสมอดังรูปที่ 5.12 ถูกท าให้ไหลด้วยแรงดัน F1 ของไหลไหล เข้าพื้นที่หน้าตัด A1 ด้วยความเร็ว v1 เป็นระยะทาง x1 และของไหลไหลออกจากพื้นที่หน้าตัด A1 ด้วยความเร็ว v1 เป็นระยะทาง x2 ซึ่งถูกต้านการไหลด้วยแรงดัน F2 ขณะเดียวกันก็มีแรงโน้มถ่วง กระท ากับของไหลเนื่องจากมีการเปลี่ยนต าแหน่งจากระดับอ้างอิง ดังนั้นเราสามารถน ากฎการอนุรักษ์ พลังงานมาพิจารณาระบบที่เกิดขึ้น ได้เป็น พิจารณางานที่ต าแหน่งที่ 1 W = F x = PA x = PV F1 1 1 1 1 1 1 1 พิจารณางานที่ต าแหน่งที่ 2 W = F x = P A x = P V F2 2 2 2 2 2 2 2 งานรวมของระบบ W = W W = PV P V = (P P )V 1 2 1 1 2 2 1 2 พิจารณาพลังงานจลน์ที่ต าแหน่งที่ 1 2 2 2 k1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E = mv = ρA x v = ρV v 2 2 2 พิจารณาพลังงานจลน์ที่ต าแหน่งที่ 2 2 2 2 k2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 E = mv = ρA x v = ρV v 2 2 2 พลังงานจลน์รวมของระบบ 2 2 2 2 k2 k1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 E E = ρV v ρV v = ρV(v v ) 2 2 2 พิจารณาพลังงานจลน์ที่ต าแหน่งที่ 1 E = mgy = ρA x gy p1 1 1 1 1 พิจารณาพลังงานจลน์ที่ต าแหน่งที่ 2 E = mgy = ρA x gy p2 2 2 2 2 พลังงานจลน์รวมของระบบ E E = mgy mgy = mg(y y ) = Vg(y y ) p2 p1 2 1 2 1 2 1 แทนค่าในกฎการอนุรักษ์พลังงานลังงานจลน์รวมของระบบจะได้ว่า พลังงานจลน์รวมของระบบ 2 2 2 2 k2 k1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 E E = ρV v ρV v = ρV(v v ) 2 2 2 พลังงานจลน์รวมของระบบ E E = mgy mgy = mg(y y ) = Vg(y y ) p2 p1 2 1 2 1 2 1

109 รูปที่ 5.12 แรงดันบนของไหลในท่อไม่สม่ าเสมอที่ระดับต่างกัน ทุกๆ จุดภายในท่อที่ของไหลไหลผ่านจะมีผลรวมของความดัน พลังงานจลน์ต่อปริมาตรและ พลังงานศักย์ต่อปริมาตรคงที่เสมอ เรียกว่า สมการของแบร์นูลลี(Bernoulli’s Eruation) จะได้ 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh 2 2 (5.16) เมื่อ P , P 1 2 คือ ความดันของของเหลวในท่อ ที่จุด 1 และ 2 1 2 v , v คือ อัตราเร็วของไหล ที่จุด 1 และ 2 1 2 h , h คือ ความสูงจากพื้นดังจุดศูนย์กลางท่อ ที่จุด 1 และ 2 ρ คือ ความหนาแน่นของของเหลว F =P A 1 1 1 x2 v2 F =P A 2 2 2 y1 y2 x1 v1 v1 v2 F =P A 2 2 2 F =P A 1 1 1 y2 y2

110 ตัวอย่างที่ 5.7 ท่อเวนทูรีลักษณ์ดังรูป 5.13 ใช้ส าหรับหาอัตราเร็วของการไหลของน้ าในท่อ ถ้าความ แตกต่างของความดันที่ต าแหน่งที่ 1 และ 2 มีค่าเท่ากับ P1 -P2 จงหาอัตราเร็วของการไหลของน้ าในท่อ ต าแหน่งที่ 2 รูปที่ 5.13 แสดงการไหลของของไหลผ่านเวนทูรี วิธีท า 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 P + ρv +(0) = P + ρv + (0) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 A v P + ρ = P ρv 2 A 2 2 2 2 1 2 2 2 1 A 1 P P = 1 ρv A 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 A A 1 P P = ρv A 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 P P v = A ρ(A A ) A1 A2 0 9 3 6 0 9 3 6 P1 P2 v1 v2 1 2

111 ตัวอย่างที่ 5.8 ถังระบบปิดใส่ของเหลวความหนาแน่น ρ มีท่อที่ข้างถังห่างจากผิวของเหลวและก้นถัง เท่ากับ h และ y1ตามล าดับ และมีพื้นที่หน้าตัดของท่อและถังเท่ากับ A1 และ A2 ความดันภายในถัง และนอกถังเท่ากับ P และ P0 (ความดันบรรยากาศ) ตามล าดับ ถ้าระดับเหลวในถังเท่ากับ y2จงหา ความเร็วของของเหลวที่พุ่งออกจากท่อ รูปที่ 5.14 การไหลน้ าในถังปิดไปยังท่อที่ข้างถัง วิธีท า จาก 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh 2 2 เนื่องจาก A A 2 1 จะถือว่าของไหลด้านบนอยู่ในสภาพนิ่ง ดังนั้นจะได้ว่า 2 2 0 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgy = P + ρ(0) +ρgy 2 2 2 2 1 2(P P ) v = +2gh ρ ตัวอย่างที่ 5.9 น้ าไหลผ่านจากท่อปลายใหญ่ไปยังปลายเล็ก ดังรูป 5.15 พบว่าที่ต าแหน่งท่อปลายใหญ่ ซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 6 cm มีความดัน P1 = 1.75x104 Pa ส่วนที่ต าแหน่งท่อปลายเล็กซึ่งอยู่สูงจาก ท่อปลายใหญ่ y = 0.25 m มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 cm และความดัน P2 = 1.20 x104 Pa จงหา ความเร็วของการไหลที่ต าแหน่งท่อปลายใหญ่และปลายเล็ก และอัตราการไหลเชิงปริมาตร รูปที่ 5.15 การไหลของน้ าผ่านท่อไม่สม่ าเสมอ P y2 h y1 v1 A2 A1 P0 P1 y P2

112 วิธีท า จาก 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgy = P + ρv + ρgy 2 2 และ A v = A v 1 1 2 2 1 1 2 2 A v v = A แทนค่าจะได้ว่า 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 A v P + ρv +ρgy = P + ρ + ρgy 2 2 A 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 A v P P +ρgy ρgy = ρ ρv 2 A 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 A A 1 P P +(0) ρgy = ρv A 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2A (P P ρgy ) = v ρ(A A ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2(P P ρgy ) v = A ρ(A A ) v = 2.64 m/s 1 แทนสมการ 1 v จะได้ว่า v = 10.58 m/s 2 จาก R = A v1 1 แทนสมการ 1 v จะได้ว่า 3 3 R = 7.48 10 m /s

113 บทสรุป ความหนาแน่น เป็นคุณสมบัติเฉพาะของวัตถุหนึ่ง โดยหากเป็นวัตถุ (สาร) เดียวกันจะมีความหนาแน่น เท่ากัน และวัตถุต่างชนิดกันจะมีความหนาแน่นที่ต่างกัน m = V ความดัน คือ ปริมาณของแรงกระท าในแนวตั้งฉากต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ F P = A ความดันสัมบูรณ์ P = P ρg(y y ) a 2 1 ความดันสัมบูรณ์เกจ 5 P = 1.013 10 Pa a กฎของปาสคาล แรงอัด F1 กระท ากับพื้นที่ของกระบอกสูบเล็ก A1 ความดันจะส่งไปยังของเหลวและ ส่งไปยังกระบอกสูบใหญ่ A2 ด้วยแรงดัน F2 เนื่องจากความดันทั้งสองด้านเท่ากัน 1 2 1 2 F F = A A แรงลอยตัว คือ แรงเนื่องจากของเหลวกระท าต่อวัตถุในทิศขึ้น แรงดังกล่าวมีค่าเท่ากับน้ าหนักของ ของเหลวที่ถูกแทนที่วัตถุนั้น F = gV B ความตึงผิว เกิดจากแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลวเพื่อคงสภาพเดิมไว้เมื่อมีแรงภายนอก มากระท า w = A ความหนืด เป็นสมบัติการต้านการเคลื่อนที่ของของเหลว นั้น(แรงหนืด) แรงหนืดที่กระท าต่อวัตถุทรง กลม กฎของสโตกส์ (Stokes’s law) F = 6πηrv สมการของความต่อเนื่อง A v = A v 1 1 2 2 A v = 1 1 ค่าคงที่ สมการของแบร์นูลลี ทุกๆจุดภายในท่อที่ของไหลไหลผ่านจะมีผลรวมของความดัน พลังงานจลน์ต่อ ปริมาตรและพลังงานศักย์ต่อปริมาตรคงที่เสมอ 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh 2 2

114 แบบฝึกหัดทบทวน 1. ทรงกระบอกโลหะมวล 80 kg ยาว 2 m มีพื้นที่ฐาน 25 cm2 จงหาความดันที่ทรงกระบอกท าต่อ พื้น ถ้าวางทรงกระบอกในแนวตั้งฉาก 2. ถ้าความดันบรรยากาศขณะนั้นมีค่า 1.0 x 105 Paจงหาแรงดันที่ยังคงท าให้อากาศอยู่ในภายห้อง ได้โดยหน้าต่างมีขนาด 40 cm x 80 cm 3. จงหาความดันของของไหลที่ความลึก 76 cm เมื่อของไหล คือ (a) น้ า ( = 1g/cm3 (b) ปรอท = 13.6g/cm3 4. เรือด าน้ าอยู่ใต้ทะเลลึก 120 m จงหาความดันสัมบูรณ์ที่กระท าต่อเรือด าน้ า ถ้าความหนาแน่นของ น้ าทะเลเท่ากับ 1.03 g/cm3 5. เขื่อนแห่งหนึ่งลึก 12 m จงหาความดันของน้ าที่ (a) จุดต่ าสุดของเขื่อน (b) ระยะ 3 m จากผิวน้ า 6. เขื่อนกั้นน้ าจืดมีน้ าอยู่ลึก 20 m ที่ฐานเขื่อนเจาะเป็นรูโตขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.4 m จงหา แรงดันน้ าที่ไหลออกจากรู 7. หลอดแก้วรูปตัวยูด้านซ้ายบรรจุน้ าสูง 40 cm และด้านขวาบรรจุของไหลชนิดหนึ่งสูง 31 cm จง หาความหนาแน่นของของไหลชนิดนี้ 8. รูปที่ 5.12 แสดงระบบเครื่องไฮโดรลิก ประกอบด้วยกระบอกสูบใหญ่ A1 = 200 cm2 และ กระบอกสูบเล็ก A2 = 5 cm2 ถ้าออกแรง F2 = 250 N จงหาแรง F1ที่กระท าต่อลูกสูบใหญ่ 9. ระบบเครื่องไฮโดรลิก แสดงดังรูปที่ 5.13 ประกอบด้วยกระบอกสูบใหญ่มีพื้นที่ 800 cm2 บรรจุ ทรงกระบอกมวล 600 kg และกระบอกสูบเล็กพื้นที่ 25 cm2 ถ้าภายในระบบเครื่องบรรจุน้ ามันที่มี ความหนาแน่นเท่ากับ 0.78 g/cm3 จงหาแรง F ที่ต้องท าให้ระบบอยู่ในสภาพสมดุล 10. กล่องอลูมิเนียม 25 g ผูกด้วยเชือกเบาแล้วหย่อนลงไปในน้ าให้จมกล่องพอดี จงหา (a) ปริมาตร ของกล่องอลูมิเนียม (b) แรงตึงเชือกที่กระท าต่อกล่องอลูมิเนียม ก าหนดให้ความหนาแน่นของ กล่องอลูมิเนียมเท่ากับ 2700 kg/m3 11. โลหะผสมชิ้นหนึ่ง เมื่อชั่งในอากาศมีมวล 86 g และชั่งในน้ ามีมวล 73 g จงหาปริมาตรและความ หนาแน่นของโลหะผสมชิ้นนี้ 12. ปล่อยลูกกลมเหล็กรัศมี 1 mm ตกลงในน้ าเชื่อม จงหาความเร็วปลายของลูกเหล็กนี้ ก าหนดให้ ความหนาแน่นเหล็ก 7.8 x 103 kg/m3 ความหนาแน่นน้ า 103 kg/m3 ความหนืดของน้ า10-3 N·s/m2

115

115 แผนบริหารการสอนประจ าบทที่ 6 รายวิชา ฟิสิกส์ทั่วไป General Physics หัวข้อเนื้อหา 6.1 กฎของฮุค 6.2 สมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 6.3 พลังงานของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 6.4 ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อสิ้นสุดการเรียนการสอน ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายและค านวณหาปริมาณต่างๆส าหรับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายได้ 2. ยกตัวอย่างเหตุการณ์หรือสถานการณ์ที่เป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายได้ 3. หาค าตอบของสมการและพลังงานของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายได้ 4. เข้าใจและค านวณหาปริมาณต่างๆของลูกตุ้มนาฬิกาได้อย่างถูกต้อง วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอนประจ าบท 1. บรรยายเนื้อหาในแต่ละหัวข้อ พร้อมยกตัวอย่างประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลื่อน (slide) 3. ร่วมอภิปรายเนื้อหา และท าแบบฝึกหัดในชั้นเรียน 4. ผู้สอนสรุปเนื้อหา 5. ผู้สอนท าการซักถาม 6. นักศึกษาถามข้อสงสัย สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเว็บไซต์ต่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector

116 การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมินจากการซักถามในชั้นเรียน 2. ประเมินจากความร่วมมือหน้าชั้นเรียน 3. ประเมินจากการท าแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรียน

117 บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบสั่น 6.1 กฎของฮุค วัตถุที่มีการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ ารอยเดิม จะเรียกการเคลื่อนที่แบบนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบ สั่น หรือการเคลื่อนที่แบบมีคาบ หรือการแกว่งกวัด ในชีวิตประจ าวันเราไม่ทันได้สังเกตพฤติกรรมตัวเอง เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบนี้ เนื่องจากได้กลายเป็นกิจวัตรประจ าวันที่ท าให้เกิดความเคยชิน เช่น ขับรถ กลับบ้านโดยใช้เส้นทางเดิมทุกวัน นั่งทานอาหารเย็นที่โต๊ะอาหารโต๊ะเดิมทุกเย็น การแกว่งโคมไฟระย้า เล่น แม้กระทั่งใน 1 ปีมี 4 ฤดู ซึ่งเกิดจากโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ครบ 1 รอบใช้เวลาประมาณ 365 วัน ดวงจันทร์โคจรรอบโลกใช้เวลา 27.3 วันต่อ 1 รอบ ท าให้เกิดพระจันทร์เต็มดวง วัตถุที่ถูกท าให้เคลื่อนที่ออกจากต าแหน่งสมดุลแล้วมีแรงดึงกลับสู่ต าแหน่งสมดุลคืนมา แต่ ระหว่างเคลื่อนที่กลับนั้นจะได้รับพลังงานจลน์มาด้วย ท าให้วัตถุเคลื่อนที่เลยจุดสมดุลไปอีกฝั่งจากนั้น วัตถุจะถูกดึงกลับสู่ต าแหน่งสมดุลอีกครั้ง การเคลื่อนที่แบบนี้เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง ง่าย (Simple Harmonic motion) แสดงดังรูปที่ 6.1 เป็นการทดลองการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง ง่าย โดยผูกมวลที่มีปากกาอยู่ติดไว้กับสปริง เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นและลง ปากกาที่ติดไว้จะลากเส้นทาง บนกระดาษที่ก าลังเคลื่อนที่ไปในแนวนอน ซึ่งมีลักษณะแบบเส้นโค้งรูปไซน์ (cosine curve) เมื่อน ามา พลอตค่าระหว่างการกระจัดกับเวลา จะพบว่า ระยะการกระจัดสูงสุดคือแอมปลิจูด A ซึ่งการกระจัดอยู่ ระหว่าง –A กับ +A ผ่านจุดสมดุลคือ x = 0 ดังรูปที่ 6.1 รูปที่ 6.1 แสดงการทดลองการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของมวลติดสปริง +A A v

118 รูปที่ 6.2 แสดงการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของมวลติดสปริง จากที่กล่าวมาข้างต้น แรงดึงกลับสู่ต าแหน่งสมดุลจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะการกระจัด หรือระยะยืดของสปริง (x) และมีทิศตรงข้ามกับ x เรียกว่า กฎของฮุค (Hook’s law) ดังแสดงในรูปที่ 6.2 สามารถนิยามสมการตามกฎของฮุคเป็น F kx S (6.1) เมื่อ FS คือ แรงดึงกลับ หรือแรงคืนตัว มีหน่วยเป็น N k คือ ค่าคงตัวสปริง มีหน่วยเป็น N/m x คือ การกระจัดจากสมดุล มีหน่วยเป็น m 6.2 สมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกแบบง่าย จากกฎการเคลื่อนที่ของข้อที่ 2 ของนิวตันสามารถเขียนในรูปของอนุพันธ์ได้ว่า 2 2 dx F m dt (6.2) แทนกฎของฮุคในสมการที่ (6.2) จะได้ว่า 2 2 dx m kx dt 2 2 dx k x 0 dt m เมื่อ 2 k m จะได้ว่า 2 2 2 dx x 0 dt (6.3) หรือ 2 2 2 dx x dt (6.4) FS F x 0 x x

119 สมการการที่ได้คือสมการเชิงอนุพันธ์ล าดับที่สอง และสามารถหาค าตอบของสมการได้เป็น max x(t) x sin( t ) Asin( t ) max x(t) x cos( t ) Acos( t ) เมื่อ x(t) คือ การกระจัด ณ ช่วงเวลาใดๆ max x คือ การกระจัดสูงสุด หรือ แอมปลิจูด (A) ( t ) คือ มุมเฟส คือ มุมเฟสเริ่มต้น ที่ เมื่อพิจารณาฟังก์ชันไชน์ของจากการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ดังรูปที่ 6.3 พบว่าเมื่อ ช่วงเวลาที่ t เพิ่มขึ้นเป็น 2 เรเดียน จะได้กราฟที่มีจุดเริ่มต้นเหมือนกันกับกราฟในตอนแรก และ จะซ้ าเดิมไปเรื่อยๆ ซึ่งเรียกการซ้ าเช่นนี้ว่า คาบ (period, T) คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ มี หน่วยเป็น วินาที (s) คาบหาได้จากการพิจาณาความต่างเฟสของการกระจัด (x) ณ เวลา t และ การ กระจัด ณ เวลา t T มีค่าเท่ากับ 2 จะได้ว่า (t T) t 2 2 T (6.6) ส่วนกลับของคาบ เรียกว่า ความถี่ (frequency, f) คือ จ านวนรอบที่อนุภาคเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วย เวลา มีหน่วยเป็น รอบต่อวินาที หรือ เฮิร์ช (hertz, Hz) สามารถเขียนสมการได้เป็น 1 f T 2 (6.7) หรือ 2 2 f T (6.8) จากสมการ 6.7 และ 6.8 สามารถเขียนความสัมพันธ์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของอนุภาค มวล m ผูกติดกับสปริงซึ่งมีค่าคงทีสปริง k ได้เป็น 2 m T 2 k (6.9) 1 1 k f T 2 m (6.10) เมื่อ T คือ คาบของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย f คือ ความถี่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย m คือ มวลติดสปริง k คือ ค่าคงตัวสปริง (6.5)

120 รูปที่ 6.3 แสดงกราฟการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่ออนุพันธ์ฟังก์ชันโคไชน์ของสมการการกระจัดจะได้ความเร็ว ณ ช่วงเวลาใดๆเป็น dx(t) v(t) dt d Acos( t ) dt A sin( t ) (6.11) เมื่ออนุพันธ์ฟังก์ชันไชน์ของสมการความเร็วจะได้ความเร่ง ณ ช่วงเวลาใดๆเป็น dv(t) a(t) dt d A sin( t ) dt 2 Asin( t ) (6.12) สามารถเขียนกราฟความได้ดังรูปที่ 6.4 และเนื่องจากฟังก์ชันไชน์และโคไชน์มีค่าอยู่ระหว่าง 1 ดังนั้นค่าต่ าสุดและสูงสุของความเร็วและความเร่ง จะได้เป็น max v A หรือ v A max (6.13) 2 max a A หรือ max a A (6.14) x T π 4 2 T π 2 3T 3π 4 2 T = 2π t t t t t

121 รูปที่ 6.4 แสดงการความสัมพันธ์ระหว่าง การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง กับเวลา รูปที่ 6.5 การพิจารณาการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมของวัตถุ A y x y x x y vx v ωA v vcos( t ) x ( t ) a x 2 a ω A x Acos( t ) a a cos( t ) x x x T π 4 2 T π 2 3T 3π 4 2 T = 2π ωt ωt ωt a v

122 อาศัยความสัมพันธ์ระหว่างการแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายและการเคลื่อนที่แบบวงกลมดังรูปที่ 6.5 จะสามารถจัดรูปจากสมการ 6.14 ได้เป็น x Acos( t ) (6.15) ค่าความเร็ว จึงเป็น x v vsin( t ) A sin( t ) (6.16) ค่าความเร่ง จึงเป็น x a a cos( t ) 2 A cos( t ) (6.17) จากสมการที่ 6.15 เราสามารถหาค่าคงเฟสเริ่มต้น , A ซึ่งเป็นปริมาณที่บอกต าแหน่งเริ่มของ วัตถุได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ก าหนดมาให้ คือ เมื่อ 0 t 0, x(t) = x 0 x Acos( (0) ) 0 x Acos (6.18) จากสมการที่ เราสามารถหาค่าคงที่เฟส ได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ก าหนดมาให้คือ เมื่อ 0 t 0, v(t) = v 0 v A sin( (0) ) 0 v A sin (6.19) เมื่อน าสมการที่ (6.13) หารด้วยสมการที่ (6.13) จะสามารถหามุมเฟสเริ่มต้น ได้เป็น 0 0 v A sin x Acos 0 0 v tan x 1 0 0 v tan x (6.20) และเมื่อยกก าลังสองสมการที่ (6.13) และสมการที่ (6.13) และน าสมการทั้งสองงบวกกัน จะสามารถหา ค่าคงที่เฟสเริ่มต้น A ได้เป็น 2 2 2 2 2 2 0 0 2 v x A cos A sin 2 2 0 0 2 v A x (6.21)

123 ตัวอย่างที่ 6.1 กล่องมวล 500 g ผูกติดกับสปริงเบาที่มีค่าคงตัวสปริง 200 N/m ไม่คิดแรงเสียดทาน ใดๆ ในการเคลื่อนที่ โดยท าให้สปริงยืดออกเป็นระยะ 1.5 cm จากจุดสมดุล แล้วปล่อยให้มวลเริ่ม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 m/s จงหา (a) คาบ แอมปลิจูด และมุมเฟส (b) การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง ที่เวลา t ใดๆ วิธีท า (a) จาก m T 2 k 0.5 kg 2 200 N / m 0.314 s จาก 2 2 T 0.314s 20 rad / s จาก 2 2 0 0 2 v A x 2 2 2 (0.4 m / s) (0.015 m) (20 rad / s) 0.025 m และจาก 1 0 0 v tan x 1 0.4 m/s tan 20 rad/s 0.015 m o 53 0.93 rad (b) จาก x(t) Acos( t ) แทนค่า A, , จะได้ว่า x(t) (0.025m)cos (20 rad/s) t 0.93 rad จาก v(t) A cos( t ) แทนค่า A, , จะได้ว่า v(t) (0.5 m/s)cos (20 rad/s) t 0.93 rad และ จาก 2 a(t) A sin( t ) แทนค่า A, , จะได้ว่า 2 a(t) (10 m/s )sin (20 rad/s) t 0.93 rad

124 ตัวอย่างที่ 6.2 วัตถุเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ได้สมการแสดงต าแหน่งของมวลที่เวลาใดๆ คือ x(t) 4cos(3 t ) เมื่อ x(t) มีหน่วยเป็นเมตร และ t มีหน่วยเป็นวินาที จงหา (a) แอมพลิจูด ความถี่ คาบและมุมเฟส ของการเคลื่อนที่ (b) ความเร็ว และความเร่งของวัตถุที่เวลาใดๆ (c) การกระจัด ความเร็ว และความเร่งที่เวลา t = 0.25 s วิธีท า (a) จาก 2 T 2 3 2 s 3 จาก 1 f T 3 Hz 2 A 4 m และ rad (b) จาก d v(t) x(t) dt d 4cos(3 t ) dt 12 cos(3 t ) จาก d a(t) v(t) dt d 12 sin(3 t ) dt 2 36 cos(3 t ) (b) จาก v(0.25) 12 cos(3 (0.25) ) 37.50 m/s จาก 2 a(0.25) 36 cos(3 t ) 37.50 m/s

125 6.3 พลังงานของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อวัตถุมวล m ผูกติดกับสปริงถูกแรงดึงกลับสู่ต าแหน่งสมดุล ดังรูปที่ 6.6 ท าให้ระบบการ เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีทั้งพลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ เนื่องจากศักย์ยืดหยุ่นของสปริง ท าให้นิยามสมการได้เป็น จากพลังงานจลน์ 2 k 1 E mv 2 และจาก v = Aωsin(ωt+ ) จะได้ว่า 2 k 1 E = m Aωsin(ωt+ ) 2 1 2 2 2 = mA ω sin (ωt+ ) 2 1 2 2 = kA sin (ωt+ ) 2 (6.22) จากพลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริง 2 PS 1 E = kx 2 และจาก x(t) Acos( t ) จะได้ว่า 2 k 1 E = k Acos( t ) 2 1 2 2 = kA cos ( t ) 2 (6.23) ดังนั้น พลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือ E E E k PS (6.24) 1 1 2 2 2 2 = kA sin ( t ) kA cos ( t ) 2 2 1 2 2 2 = kA sin ( t ) cos ( t ) 2 เมื่อ 2 2 sin cos 1 จะได้ว่าพลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่ 1 2 E kA 2 (6.25) จะเห็นว่า พลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่ เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า 1 1 1 2 2 2 kA mv kx 2 2 2 k k 2 2 2 2 2 2 v (A x ) A x A x m m (6.26)

126 รูปที่ 6.6 แสดงพลังงานจลน์ (Ek ) และพลังงานศักย์ (Eps) ระหว่างต าแหน่ง x = ±A เมื่อพิจารณาที่ x =±A จะพบว่า v = 0 ซึ่งแสดงว่าไม่มีพลังงานจลน์ ณ จุด x = ±A ดังนั้นจึงมี พลังงานศักย์เพียงพลังงานเดียว และที่ x = 0 จะพบว่า v = vmax = A แสดงว่าไม่มีพลังงานศักย์ ณ จุด x = 0 ดังนั้นจึงมีพลังงานเพียงพลังงานเดียว จากต าแหน่ง x = ± A และ x = 0 ท าให้สามารถเขียน ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์กับต าแหน่ง ดังรูปที่ 6.6 และท าให้สรุปได้ว่า พลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีการเปลี่ยนรูปจากพลังงานศักย์ (ที่ x = ± A) ไปเป็นพลังงานจลน์ (ที่จุดสมดุล x = 0) ดังตารางที่ 6.1 ตารางที่6.1 แสดงความเร็วสูงสุด ความเร่งสูงสุด พลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ของการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่ต าแหน่ง x = 0 และ x = A ซึ่งสอดคล้องกับรูปที่ 6.6 เวลา (t) ต าแหน่ง (x) ความเร็วสูงสุด (vmax) ความเร่งสูงสุด (amax) พลังงานจลน์ (Ek ) พลังงานศักย์ (Ep) 0 A 0 - 2 A 0 1 2 kA 2 T/4 0 -A 0 1/2kA2 0 T/2 -A 0 2 A 0 1/2kA2 3T/4 0 A 0 1/2kA2 0 T A 0 - 2 A 0 1/2kA2 E A +A 2 ps 1 E = kx 2 2 k 1 E = mv 2 x E

127 ตัวอย่างที่ 6.3 วัตถุมวล 0.5 kg ผูกติดกับสปริงมวลเบาที่มีค่าคงที่สปริง 20 N/m ปล่อยให้เคลื่อนที่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายตามแนวแกน x โดยไม่มีแรงเสียดทาน จงหา (a) ความเร็วสูงสุด (vmax) ถ้ามีแอมปลิจูลเท่ากับ 3 cm (b) ความเร็วของวัตถุที่ต าแหน่ง x เท่ากับ 2 cm (c) พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของวัตถุที่ต าแหน่ง x เท่ากับ 2 cm วิธีท า จาก k 2 2 v (A x ) m (a) ความเร็วสูงสุดเมื่อ x = 0 จะได้ว่า max k v A m 20N / m(0.03m) 0.5kg 0.189 m / s (b) ความเร็วของวัตถุที่ต าแหน่ง x เท่ากับ 0.02 m จะได้ว่า 20N / m 2 2 v (0.03m) (0.02m) 0.5kg 0.141 m / s (c) ความเร็วของวัตถุที่ต าแหน่ง x เท่ากับ 0.02 m จะได้ว่า 2 k 1 E mv 2 1 2 (0.5kg)(0.141m / s) 2 3 4.97 10 J จะได้ว่า 2 PS 1 E kx 2 1 2 (20N / m)(0.02m) 2 3 4.0 10 J

128 6.4 ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย รูปที่ 6.7 แสดงการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย (Simple Pendulum) เป็นอีกหนึ่งระบบที่มีการเคลื่อนที่แบบสั่น หรือ แบบมีคาบ ระบบนี้ประกอบด้วยมวลผูกด้วยเชือกเบา เมื่อดึงมวลให้ขึ้นมาจากต าแหน่งสมดุลแล้วปล่อย ให้เคลื่อนที่ จะมีแรงดึงกลับตามเส้นโค้ง การเคลื่อนที่ไปและกลับผ่านจุดสมดุลที่จุดต่ าสุดของส่วนโค้ง วงกลม ดังรูปที่ 6.7 ซึ่งแรงคืนตัวนี้เป็นแรงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง คือ F mgsin (6.27) จากกฎการเคลื่อนที่ของข้อที่ 2 ของนิวตันสามารถเขียนในรูปของอนุพันธ์ได้ว่า 2 2 dx F m dt (6.28) แทนแรงคืนตัวในสมการที่ (6.27) จะได้ว่า 2 2 dx m mgsin dt จากความสัมพันธ์x L โดยที่ L เป็นค่าคงที่ แทนในสมการจะได้ว่า 2 2 d mL mgsin dt 2 2 d g sin 0 dt L T θ m x θ mg mgcosθ mgsinθ L