คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนแคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus
MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 0

Sira Chali Nanny Bella
รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 5 (ค33201)

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 (หลักสตู รปรบั ปรุง 2560)

Presented by GeoGebra

[ ] = ⋅ − ⇔ ∫[ ⋅ − ] = ∙ ( − )+ =
( − )+

Sira Chali Nanny Bella

ชื่อ นามสกลุ……………………………….………………………………….……………..…………………….……………….. ……………………………………………………………………………...…………………………………………………….………………………………………..

ชน้ั ม. 6/ เลขที่ เลขประจาตวั โทร….............…… . ………….……………………………………………………………..………………………..
………………..…..…….. ……….………………………..…………………

ครผู สู้ อน ……………………………..…………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………….………………………………………..

ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศึกษา 2564 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

โรงเรยี นปากเกร็ด อาเภอปากเกรด็ จังหวดั นนทบรุ ี

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 1

เอกสารประกอบการเรียนการสอน

รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5

(รหสั วชิ า ค33201) ระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
ประจาภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2564

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นปากเกร็ด อาเภอปาก เกรด็ จังหวดั นนทบุรี

บทที่ 2 แคลคลู สั เบือ้ งต้น ( )

∎ สาระการเรยี นรู้ : แคลคูลัสเบ้อื งตน้

2.1 ลิมิตของฟังก์ชนั

2.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั

2.3 อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน

2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

2.5 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ

2.6 เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้

2.7 อนพุ ันธ์อันดบั สงู

2.8 การประยุกตข์ องอนุพันธ์

2.8.1 การเคลอื่ นทแ่ี นวตรง

2.8.2 คา่ สูงสดุ และคา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ นั

2.8.3 โจทย์ปญั หาเก่ยี วกบั ค่าสงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ เกบ็ รักษาไว้ให้ดี พืน้ ฐานของ ป.ตรี นะครับ

2.9 ปฏิยานุพันธแ์ ละปริพันธไ์ ม่จากดั เขต
2.10 ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต

2.11 พน้ื ที่ทปี่ ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้

∎ ผลการเรยี นรู้ (หลกั ) : จดุ ม่งุ หมาย

1. หาลมิ ิตของฟงั กช์ ันท่ีกาหนดให้

2. ตรวจสอบความต่อเนือ่ งของฟังก์ชนั ท่กี าหนดให้

3. หาความชันของเส้นโคง้

4. หาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั ที่กาหนดใหแ้ ละนาไปใชแ้ กป้ ญั หา

5. หาปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขตและจากดั เขตของฟงั กช์ ันท่กี าหนดให้ และนาไปใช้แกป้ ญั หา

∎ ความร้พู นื้ ฐานของนกั เรียน (ทต่ี อ้ งเรยี นมาแล้ว)

1. จานวนจริง

2. ความสัมพนั ธ์และฟงั ก์ชัน

3. เรขาคณิตวิเคราะห์

∎ เอกสารอา้ งอิง :
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ชั้น

มัธยมศึกษาปีท่ี 6 เล่ม 1. ตามผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขนั้ พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 : พิมพ์คร้งั ท่ี 1 , กรงุ เทพฯ , โรงพมิ พฺ สกสค.ลาดพร้าว.

Haward Anton, Irl Bivens and Stephen Davis. (2010). Calculus : Late Transcendentals. International
Students Version. 9th edition. John Wiley & Son (Asia) Pte Ltd.
∎ แหล่งเรียนรูเ้ สรมิ : สาหรบั นกั เรียน

Pakkred Learning Cyber on www.pk.ac.th

Project 14 นาสคู่ วามปกติใหม่ทางการศกึ ษา (New Normal Education) on https://proj14.ipst.ac.th/

∎ กราฟประกอบเอกสารการเรียนการสอน ใชโ้ ปรแกรม GeoGebra Classic on https://www.geogebra.org/classic

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 2

สารบัญ

เร่อื ง หน้า
สาระการเรยี นรู้ : แคลคลู ัสเบ้ืองตน้

2.1 ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 4
2.1.1 ลมิ ิตซ้ายและลิมติ ขวาของฟงั กช์ ัน …………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 6
2.1.2 การหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั จากกราฟ ………………………………………………………………………………….………………………………………….…….……………………… 7
แบบฝกึ หัด 2.1 ก ลิมิตของลาดับ ……………………………………………………………………………………..…………………………………………………….…….……………………… 9
2.1.3 การหาลิมติ ของฟงั ก์ชันโดยใช้ทฤษฎบี ท (ทฤษฎีลมิ ิต) ………………………………………………………………………….…….……………………… 14
2.1.4 ลมิ ิตของฟังก์ชนั พหนุ าม …………………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….……………….……… 16
2.1.5 ลมิ ิตของฟังก์ชันคา่ สัมบูรณ์ …………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….………………..……… 19
2.1.6 ลมิ ติ ของฟังก์ชันของฟังก์ชนั ของฟงั ก์ชนั …………………………………..………………………………………………………..………….…….………….…………… 19
2.1.7 ลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ …………………………………..…………………………………………………………..………….…….……….……………… 19
2.1.8 ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั ของฟงั กช์ ันเอ็กซ์เนนเชียลและลอการทิ มึ ………………………………….………………………….…….……..………………… 21
แบบฝึกหัด 2.1 - ลิมติ ของฟงั ก์ชัน ………………………………………………………………………..…..………………………………………….…………….………..……………………… 22
32
2.2 ความตอ่ เนือ่ งของฟงั ก์ชนั …………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………….….…….………………… 32
2.2.1 ความต่อเน่อื งบนจดุ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…….……………………… 34
2.2.1 ความตอ่ เนอื่ งบนช่วง ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………..…….…….……………………… 36
แบบฝึกหดั 2.2 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน …………………………………………………………………………………………..……………………………….…….………………… 41
45
2.3 อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน ………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………..……………….…….……………………… 53
แบบฝกึ หัด 2.3 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั โดยใช้บทนยิ าม .………………………………………………………..………………….…….……………………… 58
67
2.4 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร ………………………………………………………………………………………………….…….……………………….…….……………………… 69
แบบฝึกหัด 2.4 การหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ันโดยใช้สตู ร …………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 77
80
2.5 อนุพันธข์ องฟังกช์ ันประกอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 87
แบบฝกึ หัด 2.5 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั ประกอบ ……………………………………………………………………………..……………………………….…….……………………… 89
94
2.6 เส้นสัมผสั เสน้ โค้ง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 96
แบบฝึกหดั 2.6 เส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง …………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 101
103
2.7 อนพุ ันธ์อันดบั สูง ………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………..….…….……………………… 105
แบบฝึกหดั 2.7 อนุพนั ธ์อันดับสูง …………………………………………………………………………………………….………………………………………..….…….……………………… 106
2.7.1 อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันโดยปริยาย ……………………………………………………………………………….…………………………………………..….…….………………………
แบบฝึกหัด 2.7.1 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั โดยปรยิ าย ………………………………………………………………………………………………..…..….………………………
2.7.2 อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ ……….……………………………………………………………………………………..……………………………..…….….………………………
2.7.3 อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิผกผัน ………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………
2.7.4 อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันตรีเอ็กซ์โพเนนเชยี ล …………………………………………………………………………………………………...….…….………………………
2.7.5 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชันลอการทิ มึ ...................…………………………………………………………………………..………………………….…..….…….………………………

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 3

สารบัญ

เร่อื ง หน้า
สาระการเรยี นรู้ : แคลคลู ัสเบ้ืองตน้

2.8 การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์ …………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………….…….………………………… 108
2.8.1 การเคล่ือนท่ีแนวตรง (การประยกุ ต์ 1) ……………………………………………………..…………………………………….……………….…….………………………… 108
แบบฝกึ หดั 2.8.1 การเคลื่อนทแ่ี นวตรง (การประยกุ ต์ 1) ……………………………………………….……………….…….……………………… 110
2.8.2 คา่ สูงสดุ และคา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ ัน (การประยุกต์ 2) ……………………………………………………………………………….……….…………………… 113
2.8.2.1 ฟังกช์ นั เพิม่ และฟังก์ชนั ลด (การประยกุ ต์ 2) ………………………………………………………………………….……….……………………… 113
2.8.2.2 คา่ สงู สุดสัมพัทธแ์ ละคา่ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์ (การประยกุ ต์ 2) ……………………………………………….……..……………………… 115
2.8.2.3 ค่าสงู สดุ สัมบรู ณแ์ ละค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์ (การประยกุ ต์ 2) ……………………………………………….…….……………………… 119
แบบฝึกหัด 2.8.2 คา่ สงู สุดและค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั (การประยกุ ต์ 2) ………………………………………………….…….……………..……… 122
130
2.8.3 โจทย์ปญั หาเกีย่ วกับค่าสูงสดุ หรือค่าตา่ สุด (การประยุกต์ 3) …………………………………………………………….…….……………..………… 133
แบบฝึกหดั 2.8.3 โจทย์ปญั หาเก่ยี วกับค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสดุ (การประยกุ ต์ 3) …………………………….……………….………… 141
141
2.9 ปฏยิ านพุ ันธ์และปริพันธไ์ ม่จากดั เขต …………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 143
2.9.1 แนวคิดและความหมายของปฏิยานุพันธ์ ………………………………………………………………………………………………………….…….……….…………… 145
แบบฝกึ หดั 2.9.1 ปฏิยานุพันธ์ : กระบวนการตรวข้ามกบั การหาอนุพันธ์ ……………………….…….……………………… 149
2.9.2 การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร ……………………………………………….………………………………………………….…….………….…………… 153
2.9.3 การประยุกต์ของปริพนั ธ์ (ปฏยิ านุพนั ธ)์ ……………………………………………….………………………………………………….…….…………………………… 164
แบบฝึกหัด 2.9.2 ปฎยิ านุพนั ธ์และการประยกุ ตข์ องปรพิ นั ธ์ (ปฏิยานุพันธ)์ ………….…….…………………………… 165
2.9.4 การอินทเิ กรตโดยการแทนค่า ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….…………………………… 167
แบบฝกึ หดั 2.9.4 การอินทิเกรตโดยการแทนคา่ ……………………………………………….……………………………………….…………………… 169
2.9.5 การอนิ ทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….……………………….… 171
แบบฝกึ หดั 2.9.5 การอินทิเกรตโดยการแยกสว่ น ……………………………………………….………………………………….………………..……… 172
175
* 2.9.6 กฎของโลปิตาล …………………………………………………….……………………………….……………………………………………….……………………….…….…………………………… 182
* แบบฝึกหัด 2.9.6 กฎของโลปติ าล ……………………………………………………………………………………….……………………….…….……………………………… 188
188
2.10 ปริพันธ์จากดั เขต ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….…….…..…………………… 190
แบบฝกึ หัด 2.10 การหาปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตโดยใชท้ ฤษฎีบทหลักมลู ของแคลคลู สั ............…………….……..………………………… 196
197
2.11 พื้นทีท่ ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ ……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….…….……………………… 199
2.11.1 พื้นที่ทปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้ กับแกน ………………………………………………………….…………………………………………………….…….……………………… 200
แบบฝกึ หัด 2.11.1 พ้ืนทท่ี ี่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน …………………………………………………………….….….……………………… 264
2.11.2 การนาอินทิกรลั ไปใชใ้ นการหาพ้นื ทร่ี ะหว่างเคอรฟ์ ………………………….…………………………………………………….…….………………………
แบบฝกึ หัด 2.11.2 การนาอินทิกรัลไปใช้ในการหาพ้ืนที่ระหวา่ งเคอร์ฟ ……………………………….…….………………………

ตวั อยา่ งการเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพันธ์และการหาปฏยิ ายุพนั ธ์ ………….…………………………………………………….….….………………………

แบบฝกึ หดั ท้ายบท : แคลคลู ัสเบ้ืองต้น ........................................................................................................................................................................................….……

ภาคผนวก : สูตรการหาอนพุ นั ธ์ ( ) และ อินทิกรลั ไม่จากดั เขต ( ) .……

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 4

บทที่ 2 แคลคูลสั เบอื้ งต้น ( )

2.1 ลิมติ ของฟังก์ชนั

ในหัวข้อน้ี จะพิจารณาว่า ค่าของฟังก์ชัน ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงจะเข้าใกล้ค่าใด

ขณะท่ี เข้าใกล้จานวนจรงิ จานวนหนง่ึ

ก่อนอ่นื จะเร่มิ ด้วยการพจิ ารณาคา่ ของฟงั กช์ ัน ( ) = 2 − + 4 เมือ่ เข้าใกล้ 2 แต่ ≠ 2

ดงั ตารางตอ่ ไปนี้

ตารางที่ 1 และ 2 แสดงค่าของ ( ) เมือ่ เข้าใกล้ 2 แต่ ≠ 2

( ) ( )

1.0 4.000000 3.0 10.000000

1.5 4.750000 2.5 7.750000

1.8 5.440000 2.2 6.640000

1.9 5.710000 2.1 6.310000

1.95 5.852500 2.05 6.152500

1.99 5.970100 2.01 6.030100

1.995 5.985025 2.005 6.015025

1.999 5.997001 2.001 6.003001

ตารางที่ 1 ตารางที่ 2

จากตารางที่ 1 จะเห็นได้ชัดเจนว่า เมื่อ เพ่ิมขึ้นจาก 1 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ ( ) จะเพิ่มข้ึนจาก 4 และเข้าใกล้ 6

จากตารางท่ี 2 เมื่อ ลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ ( ) จะลดลงจาก 10 และเข้าใกล้ 6 ซึ่งถ้าพิจารณาจากกราฟของ

ฟงั ก์ชนั จะเห็นสมบัตนิ ีเ้ ช่นกัน

รูปท่ี 1

จากตารางท่ี 1 ตารางท่ี 2 และกราฟของฟังก์ชัน ในรูปท่ี 1 จะเห็นว่า ขณะที่ เข้าใกล้ 2 ทั้งทางด้านซ้ายและขวา

ของ 2 (เม่ือ < 2และเม่ือ > 2) ค่า ( ) จะเข้าใกล้ 6 ในกรณีน้ีจะกล่าวว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน ( ) = 2 − + 4

เมอ่ื เข้าใกล้ 2 และ 6” ซงึ่ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ( ) = 6 หรอื ( 2 − + 4) = 6
→2 →2
โดยทั่วไป สาหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ ( ) เข้าใกล้

จานวนจริง เมื่อ เข้าใกล้ ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ แล้วจะเรียก ว่า ลิมิตของ ที่ ซึ่งเขียนแทนด้วย

สัญลกั ษณ์ ( ) = และกลา่ วว่า ( ) มคี า่ เทา่ กบั
→ →
แต่ถ้าไม่มีจานวนจริง ซ่ึง ( ) เข้าใกล้ เมื่อ เข้าใกล้ แล้วจะกล่าวว่า “ ไม่มีลิมิตท่ี ” หรือกล่าวว่า

“ ( ) ไม่มีค่า”
→
นอกจากนีอ้ าจแทนสัญลกั ษณ์ ( ) = ดว้ ย “ ( ) → เมือ่ → ” ซง่ึ อ่านว่า “ ( ) เขา้ ใกล้ เมือ่
→

เขา้ ใกล้ ”

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 5

พจิ ารณาฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชัน

( ) = { 1, ≠0
0, =0

รูปที่ 2

ในขณะที่ เข้าใกล้ 0 ท้ังทางด้านซ้ายและขวา (เมื่อ < 0 และ > 0 ) จะเท่ากับ 1 ดังน้ัน ( ) = 1
→0

อาจกลา่ ววา่ ( ) เขา้ ใกล้ 1 เมอื่ เข้าใกล้ 0 ในขณะที่ (0) = 0
โดยทั่วไป สาหรบั ฟังก์ชนั ใด ๆ ถ้า ( ) เขา้ ใกล้ เมอื่ เขา้ ใกล้ แลว้ อาจไมเ่ ท่ากับ ( ) กไ็ ด้
ในการหาลิมิตของฟังก์ชัน = ( ) เมื่อ เข้าใกล้ น้ัน จะพิจารณาค่าของ ( ) ว่าเข้าใกล้จานวนจริงใดใน

ขณะท่ี เขา้ ใกล้ แต่ ≠ น่ันหมายความวา่ จะไม่พจิ ารณาคา่ ของ ( ) ที่ =
ดังน้นั ฟงั ก์ชัน อาจจะนยิ ามหรือไม่นิยามที่ กไ็ ด้ แต่ฟังก์ชัน จะตอ้ งนยิ ามทแี่ ต่ละจุดทีใ่ กล้
พจิ ารณากราฟของฟังกช์ นั 3 ฟังก์ชนั ดังรปู ที่ 3 – 5

รูปที่ 3 รปู ท่ี 4 รูปท่ี 5

จากกราฟของฟงั ก์ชันในรปู ท่ี 3 จะได้วา่ = ( ) แตจ่ ากกราฟของฟังก์ชนั ในรปู ที่ 4 จะไดว้ ่า ≠ ( ) และจาก
กราฟของฟังกช์ ันในรปู ที่ 5 จะได้ว่า ( ) ไม่นิยามท่ี = ซ่ึงไม่ว่า จะเป็นฟังก์ชันท่ีมีกราฟดังรูปท่ี 3 , 4 หรือ 5 ก็จะได้ว่า

( ) =

→

ตัวอย่างที่ 1 กาหนด ( ) = −1 จงหา ( ) โดยการสรา้ งตารางแสดงคา่ ของฟังก์ชนั
2−1 →1
วิธที า แสดงค่าของ ( ) เมอ่ื เขา้ ใกล้ 1 แต่ ≠ 1 ไดต้ าราง

( ) ( )

0.5 0.666667 1.5 0.400000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

จากตารางจะเหน็ ว่า ( ) เข้าใกล้ 0.5 เมอื่ เข้าใกล้ 1 ท้งั ทางด้านซ้ายและขวาของ 1

ดงั นนั้ −1 = 0.5 ∎
2−1
→1

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 6

ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ ( ) = { 1 , ≥ 0
−1 , < 0
จงพจิ ารณาว่า ( ) มคี ่าหรือไม่ ถ้ามคี ่า จงหาลิมิต
→0
วิธที า เขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน ได้ ดังรปู

รปู ท่ี 6

จากกราฟรูปท่ี 6 พจิ ารณาคา่ ของ ( ) เม่ือ เขา้ ใกล้ 0 ทางดา้ นซา้ ย( < 0) จะเห็นวา่ คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ −1
แต่เม่อื เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ( > 0) ค่าของ ( ) เข้าใกล้ 1

ดังนน้ั ไมม่ จี านวนจริงใดเพียงจานวนเดียว ซึ่งเม่อื เข้าใกล้ 0 แล้วทาให้ ( ) จานวนจริงนั้น
ดงั นัน้ ( ) ไมม่ คี า่ ในขณะที่ (0) = 1 ∎

→0

2.1.1 ลิมติ ซ้าย ( − ℎ ) และ ลมิ ติ ขวา ( ℎ − ℎ ) ของฟังกช์ นั

จากตวั อย่างท่ี 2 เม่อื เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ( < 0) ค่าของฟงั กช์ ัน ( ) เขา้ ใกล้ −1 เรียก −1 วา่ “ลมิ ิต

ซา้ ย ( − ℎ ) ของฟังกช์ ัน ” และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ( ) = −1 โดยสญั ลกั ษณ์ “ → 0−”
→0−

แสดงถงึ การพจิ ารณาคา่ ของ ท่ีน้อยกวา่ 0 เท่าน้นั

เมื่อ เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ( > 0) คา่ ของฟังก์ชัน ( ) เข้าใกล1้ เรียก1 ว่า “ลมิ ิตขวา ( ℎ −

ℎ ) ของฟงั ก์ชัน ” และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ( ) = 1 โดยสัญลกั ษณ์ “ → 0+” แสดงถงึ การ
→0+

พจิ ารณาค่าของ ที่มากกว่า 0 เท่านัน้

โดยท่ัวไป สาหรับฟงั ก์ชนั ใด ๆ ที่มโี ดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซตของจานวนจริง ถา้ ( ) เขา้ ใกลจ้ านวนจริง 1

เม่ือ เข้าใกล้ ทางด้านซ้ายแล้ว จะเรียก 1 ว่า “ลิมิตซ้ายของ ( ) เม่ือ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย” เขียนแทนด้วย

( ) = 1 ดังรูปท่ี 7

→ − ถา้ ( ) เขา้ ใกล้จานวนจรงิ 2 เม่ือ เขา้ ใกล้ ทางด้านขวาแล้ว จะเรยี ก 2 วา่ “ลิมติ ขวาของ ( ) เมอ่ื

เขา้ ใกล้ ทางด้านขวา” เขยี นแทนดว้ ย ( ) = 2 ดังรูปท่ี 8

→ +

รูปท่ี 7 รูปที่ 8

จากรูปที่ 7 และ 8 จะเหน็ วา่ ( ) = 1 และ ( ) = 2

→ − → +
ถา้ แลว้ lim ( ) มีคา่ และ
1 = 2 → lim ( ) = 1 = 2

แต่ถ้า 1 ≠ 2 แล้ว ( ) ไม่มคี ่า →
→
∎

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 7

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ สามารถสรุปเกย่ี วกบั ลมิ ติ ซ้ายและลมิ ิตขวาของฟงั ก์ชันไดด้ งั นิยาม

∎บทนยิ าม 1 : กาหนดฟังกช์ ัน ( ) และ , เปน็ จานวนจรงิ จะกล่าวว่า

1.1) ลมิ ติ ของ ( ) เม่ือ เขา้ ใกล้ ทางซ้ายหาค่าได้ ก็ต่อเมอื่ มจี านวนจรงิ ท่ที าใหค้ ่าของ ( )

เขา้ ใกล้ ขณะที่ เปเ็ ขา้ ใกล้ ทางซา้ ยมือ เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ( ) =
→ −

1.2) ลมิ ติ ของ ( ) เมื่อ เข้าใกล้ ทางขวาหาค่าได้ ก็ตอ่ เมือ่ มจี านวนจรงิ ทท่ี าให้ค่าของ ( )

เขา้ ใกล้ ขณะท่ี เป็เข้าใกล้ ทางขวา เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ( ) =
→ +

1.3) ลมิ ติ ของ ( ) เมอ่ื เขา้ ใกล้ หาคา่ ได้ ก็ต่อเมอ่ื มีจานวนจริง ทีท่ าให้คา่ ของ ( )

เขา้ ใกล้ ขณะที่ เข้าใกล้ ทางซา้ ยมอื และทางขวามอื นนั่ คอื ( ) = = ( )
→ − → +
เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ( ) =
→

หมายเหตุ : 1) เมอ่ื เขา้ ใกล้ ทางซา้ ย แทนด้วย → − หมายถงึ มีคา่ นอ้ ยกวา่ และ มีค่าเขา้ ใกล้

2) เมอื่ เขา้ ใกล้ ทางขวา แทนดว้ ย → + หมายถงึ มีค่ามากกวา่ และ มคี า่ เขา้ ใกล้

3) ลิมติ ของฟงั กช์ ัน จะไม่สนใจว่าจะสามารถหาค่าของฟังก์ชัน ( ) ได้หรือไมไ่ ด้ แตส่ นใจค่าของ ( )

ขณะที่ เขา้ ใกล้ แต่ ≠

4) ( ) = ก็ตอ่ เมอ่ื ( ) = = ( ) โดย เปน็ จานวนจริง ที่มี ∈
→
→ − → +
ซ่ึง < และ > เรียก ว่า จุดลมิ ติ ( ) ซง่ึ เป็นสมาชิกอย่ใู นเมนของ

∎บทนิยาม 2 : ให้ ⊂ ℝ จุดลมิ ิต ( ) ของเซต กต็ ่อเม่ือสาหรบั ทกุ ε > 0 ช่วง ( − , + ) จะต้องมี
สมาชิกในเซต ในช่วง ( − , + ) ทไี่ ม่ใชจ่ ุด กล่าวคือ เป็นจุดลิมติ ของเซต ก็ต่อเมื่อ

∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − { }) ≠ ∅

ตวั อย่างที่ 3 3.1) กาหนด = [1 , 7)

จะได้จานวนจรงิ ซ่งึ 1 ≤ < 7 ทกุ จานวนเปน็ จดุ ลิมติ ของ ∎

3.2) กาหนด = { 1 , 1 , 1 , 1 , … } ∎
2 34
จะได้ 0 ทกุ จานวนเป็นจุดลมิ ติ ของ

3.3) จานวนจริงทุกจานวน เป็นจดุ ลมิ ิตของเซตของจานวนจริง เน่ืองจากสาหรบั ทกุ ∈ ℝ)

จะได้วา่ ∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − { }) ≠ ∅ ∎

2.1.2 การหาลิมติ ของฟังก์ชันจากกราฟ

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดกราฟของฟังก์ชัน ดงั น้ี

จงหา 4.1) (2) รปู ท่ี 9
4.3) ( ) 4.2) ( )

→2+ →2−

4.5) (5) 4.4) ( )
4.7) ( ) →2

→5+ 4.6) ( )
→5−

4.8) ( )
→5

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 8

วธิ ีทา จากกราฟของฟังก์ชัน ดังรปู ท่ี 9 จะเห็นวา่

4.1) เนอ่ื งจาก ( ) ไมน่ ยิ ามที่ = 2 ดงั นน้ั (2) ไมม่ ีค่า

4.2) เมื่อ เขา้ ใกล้ 2 ทางดา้ นซา้ ย ( < 2) จะไดว้ ่า คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 3

ดงั นนั้ ( ) = 3
→2−

4.3) เมอ่ื เขา้ ใกล้ 2 ทางด้านขวา ( > 2) จะไดว้ า่ คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 1

ดงั นน้ั ( ) = 1
→2+
4.4) เน่ืองจาก ( ) ≠ ( )
→2− →2+
ดงั นัน้ ( ) ไมม่ ีคา่
→2
4.5) (5) = 1

4.6) เมอื่ เข้าใกล้ 5 ทางดา้ นซ้าย ( < 5) จะไดว้ า่ คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ 2

ดงั นน้ั ( ) = 2
→5−

4.7) เมอื่ เข้าใกล้ 5 ทางดา้ นขวา ( > 5) จะไดว้ า่ ค่าของ ( ) เขา้ ใกล้ 2

ดงั นั้น ( ) = 2
→5+
4.8) เนอ่ื งจาก ( ) = ( ) = 2
→5− →5+
ดังนน้ั ( ) = 2
→5 ∎

ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ ( ) = { 2 2 2 , ≥ 1
+ , < 1
จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชนั พร้อมท้งั หา

5.1) (1) 5.2) ( )
→1−
5.3) ( )
→1+ 5.4) ( )
→1
วธิ ีทา เขยี นกราฟของฟังก์ชัน = ( ) ได้ ดงั รูปท่ี 10

รปู ท่ี 10

จากกราฟของ = ( ) จะเห็นว่า

5.1) (1) = 2

5.2) เมอ่ื เข้าใกล้ 1 ทางดา้ นซา้ ย ( < 1) จะได้วา่ คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ 3

ดงั นน้ั ( ) = 3
→1−

5.3) เมื่อ เขา้ ใกล้ 1 ทางด้านขวา ( > 1) จะไดว้ า่ คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 2

ดงั นน้ั ( ) = 2
→1+
5.4) เน่อื งจาก lim ( ) ≠ ( )
→1− →1+
ดงั นั้น ( ) ไมม่ ีคา่
→1 ∎

∎ ทฤษฎบี ท : (1) sin =1 (2) 1−cos =0

→0 →0

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 9

กิจกรรมระหว่างเรยี น 1 : แบบฝึกหดั 2.1 ก ลมิ ิตของลาดับ

1. จงเติมค่าของฟงั ก์ชนั ต่อไปนใี้ นตารางให้สมบูรณพ์ รอ้ มท้งั พจิ ารณาว่า ลมิ ิตของฟังก์ชนั ที่กาหนดให้ในแต่ละข้อมคี า่ หรอื ไม่
ถ้ามคี า่ จงหาลมิ ิต

1.1) ( ) = √ −2 ; lim ( )
−4 →4

3.9 3.99 3.999 4.1 4.01 4.001
( ) ( )

1.2) ( ) = −2 ; ( )
2+ −6
→2

1.9 1.99 1.999 2.1 2.01 2.001
( ) ( )

1.3) ( ) = 3 −3 ; ( )
3−1
→1

0.9 0.99 0.999 1.1 1.01 1.001
( ) ( )

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 10

1.4) ( ) = −1 ; ( )
→0

−0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001
( ) ( )

1.5) ( ) = ; ( )
→0

−1 −0.5 −0.1 −0.05 −0.01

( )

1 0.5 0.1 0.05 0.01
( )

1.6) ( ) = ; ( )
→0+

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
( )

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 11

1.7) ( ) = | | ; ( )
2+
→0

−0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001
( ) ( )

2. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชัน ดงั รูป จงหา

2.1) (1) = …………………………………..…………………

2.2) ( ) = …………………………………..…………………
→1− …………………………………..…………………
…………………………………..…………………
2.3) ( ) =
→1+

2.4) ( ) =
→1

จาก 2.1-2.4 เป็นฟงั ก์ชัน  ต่อเนื่อง  ไม่ต่อเนอ่ื ง ที่ = 1

2.5) (5) = …………………………………..…………………

2.6) ( ) = …………………………………..…………………
→5− …………………………………..…………………
…………………………………..…………………
2.7) ( ) =
→5+

2.8) ( ) =
→5

จาก 2.5-2.8 เปน็ ฟงั กช์ ัน  ตอ่ เน่อื ง  ไมต่ ่อเนอ่ื ง ท่ี = 5

3. กาหนดกราฟของฟังกช์ ัน ดงั รปู จงหา

3.1) (0) = …………………………………….…………………

3.2) ( ) = …………………………………….…………………
→0− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
3.3) ( ) =
→0+

3.4) ( ) =
→0

จาก 3.1-3.4 เป็นฟังก์ชัน  ตอ่ เนือ่ ง  ไมต่ ่อเน่ือง ท่ี = 0

3.5) (3) = …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
3.6) ( ) = …………………………………….…………………
→3− …………………………………….…………………

3.7) ( ) =
→3+

3.8) ( ) =
→3

จาก 3.5 – 3.8 เปน็ ฟงั ก์ชัน  ตอ่ เนื่อง  ไม่ตอ่ เน่ือง ท่ี = 3

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 12

4. กาหนดกราฟของฟังกช์ นั ดังรูป จงหา

4.1) (0) = …………………………………….…………………

4.2) ( ) = …………………………………….…………………
→0− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.3) ( ) =
→0+

4.4) ( ) =
→0

จาก 4.1 – 4.4 เป็นฟงั ก์ชัน  ตอ่ เนอ่ื ง  ไม่ตอ่ เนื่อง ท่ี = 0

4.5) (2) = …………………………………….…………………

4.6) ( ) = …………………………………….…………………
→2− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.7) ( ) =
→2+

4.8) ( ) =
→2

จาก 4.5 – 4.8 เป็นฟังกช์ นั  ตอ่ เนอ่ื ง  ไมต่ อ่ เนือ่ ง ที่ = 2

4.9) (4) = …………………………………….…………………

4.10) ( ) = …………………………………….…………………
→4− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.11) ( ) =
→4+

4.12) ( ) =
→4

จาก 4.9 – 4.12 เปน็ ฟงั กช์ นั  ต่อเนือ่ ง  ไม่ตอ่ เนือ่ ง ที่ = 4

5. กาหนดกราฟของฟังกช์ นั ดังรปู จงหา

5.1) (1) = …………………………………….…………………

5.2) ( ) = …………………………………….…………………
→1− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
5.3) ( ) =
→1+

5.4) ( ) =
→1

จาก 5.1 – 5.4 เปน็ ฟงั ก์ชัน  ต่อเนอ่ื ง  ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 3

6. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชัน ดงั รูป จงหา

6.1) (2) = …………………………………….…………………

6.2) ( ) = …………………………………….…………………
→2− = …………………………………….…………………
= …………………………………….…………………
6.3) ( )
→2+

6.4) ( )
→2

จาก 6.1 – 6.4 เปน็ ฟังกช์ ัน  ต่อเน่ือง  ไมต่ ่อเนอ่ื ง ท่ี = 2

6.5) (−2) = …………………………………….…………………

6.6) ( ) = …………………………………….…………………
→−2− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
6.7) ( ) =
→−2+

6.8) ( ) =
→−2

จาก 6.5 – 6.8 เปน็ ฟงั กช์ ัน  ต่อเนือ่ ง  ไม่ตอ่ เนอ่ื ง ที่ = −2

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 13
3456…
7. จงหาลมิ ติ ต่อไปนโ้ี ดยพจิ ารณาจากกราฟของแต่ละฟังก์ชนั 2
7.1) (1 + )

→4−

… -1 0 1

( ) = 1 +

วธิ ที า

7.2) ( ) เม่ือ ( ) = { 2 + 1 , > 2
, ≤ 2
→2

( ) = + 1 ; ≤ 2 ( ) = 2 ; > 2

… 0 1 2 3 4567 …

( )

วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 14

ทฤษฎบี ทเกีย่ วกบั ลิมติ ของฟังก์ชนั

2.1.3 การหาลิมติ ของฟงั กช์ ันโดยใชท้ ฤษฎบี ท

จากที่กล่าวมาข้างตน้ ได้หาลิมติ ของฟังก์ชนั โดยการคานวณค่าของฟังกช์ ันหรอื พิจารณาจากกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปจะ
กลา่ วถึงทฤษฎีบทเก่ยี วกับลิมติ ของฟังกช์ นั โดยจะไม่แสดงการพสิ จู น์ แต่จะใช้ทฤษฎบี ทเหล่านี้ชว่ ยในการหาลมิ ติ ของฟังก์ชัน

∎ ทฤษฎีบท 1 : ให้ เปน็ จานวนจรงิ จะได้วา่
1.1 = เมอื่ เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

→

1.2 =
→

1.3 = เมอ่ื ∈ ℕ
→

ตัวอยา่ งที่ 6 จงหา 6.1) 1 6.2) 3
→3 7 →5

วธิ ที า 6.1) 1 = 1
→3 7 7
6.2) 3 = (5)3 = 125
→5

∎ ทฤษฎบี ท 2 : เมื่อ , และ เปน็ จานวนจริงใด ๆ ถ้า และ เปน็ ฟังก์ชนั ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เปน็ สับเซตของเซต
ของจานวนจริง โดยที่ ( ) = และ แลว้

→

2.1 ( ) = ( ) = เมอ่ื เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ
→ →

2.2 lim[ ( ) + ( )] = ( ) + ( ) = +
→ → →

2.3 [ ( ) − ( )] = ( ) − ( ) = −
→ → →

2.4 ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ lim ( ) = ⋅
→ → →

( )

→

( )
2.5 เมอ่ื[ (( ))]= = ≠ 0

→ →

2.6 lim[ ( )] = [ = เมอ่ื ∈ ℕ
→ →
( )]

2.7 √ ( ) = √ → ( ) = √ เมอ่ื ∈ ℕ − {1} , √ ( ) ∈ ℝ

→

สาหรับ ทีเ่ ข้าใกล้ และ √ ∈ ℝ

ตวั อย่างท่ี 7 จงหา (2 2 − 3 + 6)
→5
วิธที า (2 3 − 3 + 6) = 2 2 − 3 + 4
→5 →5 →5 →5
= 2(52) − 3(5) + 4

= 39 ∎

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 15
8.1 ∎
ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหา 3+2 2−1 3 + 2 2 − 1 8.2 ∎
→−2 5−3 →−2 →−2 →−2 8.3 ∎
(−2)3 + 2(−2)2 − 1 = −1
วิธีทา 3 + 2 2 − 1 = ∎
→−2
=

และ (5 − 3 ) = 5 − 3
→−2 →−2 →−2
= = 11
5 − 3(−2)

ดงั นั้น 3+2 2−1 = − 1
→−2 5−3 11

ตัวอยา่ งท่ี 9 จงหา ( 2 − 1)4
→2
4
วธิ ีทา ( 2 − 1)4 = ( 2
→2 →2 − 1)

= ( 2 − 4
→2 →2
1)

= (22 − 1)4

= 81

ตัวอย่างท่ี 10 จงหา 3√3 3 + 20 2
→4

วธิ ีทา 3√3 3 + 20 2 = 3√ → 4 (3 3 + 20 2)
→4

1

= (3 3 + 20 2)3
→4 →4
1
=
(3(43) + 20(42))3

= 1

(43(3 + 5))3

=1

(43 ⋅ 23)3

=8 ∎

∎ บทนยิ าม 3 : ให้ ⊂ ℝ ฟงั ก์ชนั ∶ → ℝ และ ∈ จะกล่าวว่า จานวนจริง เป็นลมิ ติ ของ
เมื่อ เขา้ ใกล้ เขยี นแทนดว้ ย ( ) = กต็ อ่ เม่ือ

→

สาหรับทกุ > 0 จะมี > 0 ซ่งึ ทาให้ | ( ) − | < สาหรบั ทุก ∈ ท่ี | − | <
กล่าวคือ ( ) = กต็ ่อเมอื่ ถา้ ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว | ( ) − | <

→

หมายเหตุ : อักษรกรีก = =

ตัวอย่างที่ 11 จงหา และ เพอ่ื พสิ จู น์ว่า (3 + 1) = 16
→5

วิเคราะห์เลอื ก และ จากบทนยิ าม ให้ ⊂ ℝ ฟังกช์ นั ∶ → ℝ และ ∈ จะกล่าวว่า จานวนจริง เปน็ ลมิ ติ ของ

เม่อื เขา้ ใกล้ เขียนแทนดว้ ย ( ) = กต็ อ่ เม่อื สาหรับทกุ > 0 จะมี > 0 ซึง่ ทาให้ | ( ) − | <
→

สาหรับทุก ∈ ท่ี | − | <

กลา่ วคือ ( ) = ก็ตอ่ เม่ือ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว | ( ) − | <
→

จะแสดงว่า (3 + 1) = 16 น่นั คือ สาหรบั ทกุ > 0 จะมี > 0 ซึ่งทาให้
→5
| − 5| < → |(3 + 1) − 16| <

จาก |(3 + 1) − 16| < ซ่งึ หมายถึง − < |(3 + 1) − 16| <

− < |3 − 15| <

− < |3( − 5)| <
− < |( − 5)| <
33
− < | − 5| < โดยนิยามคา่ สมั บรู ณจ์ ะได้
33
ได้
| − 5| < 3 = 3

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 16

พสิ จู น์ ให้ > 0 สาหรบั ทุก >0 โดยที่ = จะได้ว่า
3
โดยนิยามคา่ สัมบรู ณ์
| − 5| < → | − 5| < 3

→ − < |( − 5)| <
3 3
−
→ 3 (3) < |(3)( − 5)| < 3 (3)

→ − (3) < |(3)( − 5)| < (3)
3 3

→ − < |3( − 5)| <

→ − < |3 − 15| < จัดรปู

→ − < |3 + 1 − 16| <

→ − < |(3 + 1) − 16| < โดยนยิ ามคาสมั บรู ณ์

→ |(3 + 1) − 16| <

สรปุ ไดว้ ่า | − 5| < → |(3 + 1) − 16| <

ซึง่ เป็นไปตามนิยาม ( ) = กต็ อ่ เมอื่ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว | ( ) − | <
→
ดงั นัน้ (3 + 1) = 16
→5 ∎

∎ 2.1.4 ลิมิตของฟังกช์ ันพหุนาม

ให้ เป็นฟงั ก์ชนั พหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 ข้อ 1, 2 และ 3 จะสามารถพสิ จู น์ทฤษฎีบทต่อไปน้ี

∎ ทฤษฎีบท 3 : ให้ เปน็ ฟงั กช์ ันพหนุ าม ( ) และ เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ จะได้วา่

( ) = ( )

→

ตัวอย่างท่ี 12 กาหนด ( ) = 2 − 5 + 7 จงหา ( )
→2
วิธีทา ( ) = ( 2 − 5 + 7) = (2) = 22 − 5(2) + 7 = 1
→2 →2 ∎

จากทฤษฎีบท 3 จะเหน็ วา่ ในการหาลิมติ ของฟังก์ชันพหนุ าม เม่ือ ทเ่ี ข้าใกล้ นั้น สามารถหาลมิ ติ ได้โดยการแทน
ด้วย ในพหนุ าม โดยใช้ทฤษฎบี ท 2 ขอ้ 5 และทฤษฎีบท 3 จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 4 : ให้ เปน็ ฟังก์ชันตรรกยะ ( ) โดยที่ ( ) = ( )
( )

เม่อื และ เปน็ ฟงั กช์ นั พหุนาม จะไดว้ ่า

( ) = ( ) สาหรบั จานวนจริง ใด ๆ ที่ ( ) ≠ 0
( )
→

ตวั อยา่ งที่ 13 กาหนด ( ) = 2 2−3 +4 จงหา ( ) =
2−4
→1
2 2−3 +4 2(1)2−3(1)+4
วธิ ีทา จากโจทย์ จะได้ ( ) = ( ) 2−4 = (1)2−4 = 3 = −1 ∎
−3
→1 →1

การหา ( ) โดยใชท้ ฤษฎบี ท 2 ข้อ 5 จะหาไดใ้ นกรณที ี่ ( ) ≠ 0
( ) →
→
( )
สาหรับกรณที ี่ ( ) = 0 อาจหา ( ) โดยการจดั รปู ฟังกช์ นั ใหมด่ ังตวั อยา่ งต่อไปน้ี
→ →

ตวั อย่างท่ี 14 จงหา −1
2−1
→1
วธิ ที า ในทนี ี้ ( ) = 2 − 1 และ ( ) = 0
→
−1
จะหา 2−1 โดยการจดั รูปฟังกช์ นั ใหม่ ดังนี้
→1
−1 −1
2−1 = ( −1)( +1) = 1 เม่อื + 1 ≠ 0
+1

ดงั นนั้ −1 = 1 = 1 ∎
2−1 +1 2
→1 →1

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 17

ตวั อยา่ งท่ี 15 จงหา √ 2+9−3
2
→0
วิธีทา ในทนี ี้ ( ) = 2 และ ( ) = 0 จัดรปู ฟงั ก์ชันใหม่ ดงั นี้
→

= =√ 2+9−3

2
√ 2+9−3 ⋅ √ 2+9+3 = ( 2+9)−9 1 เมอ่ื ≠ 0
2 √ 2+9+3 2(√ 2+9+3) √ 2+9+3
∎
ดงั น้ัน √ 2+9−3 = 1 = 1
2 √ 2+9+3 6
→0 →0

ทฤษฎีบท 1 – 4 ยงั คงเปน็ จรงิ เมอื่ คานวณค่าของลมิ ติ ดา้ นเดียว กลา่ วคือ สามารถแทน “ → ” ในทฤษฎีบท 1 – 4
ดว้ ย “ → −” หรือ “ → +”

การหาลิมิตของฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจทาได้โดยหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาของฟังก์ชัน และใช้เกณฑ์การ
ตรวจสอบ ดงั นี้

ในกรณีที่ ( ) และ ( ) มคี ่า
→ − → +
จะได้วา่ ( ) = กต็ ่อเม่อื ( ) = = ( )
→ → − → +

จากตัวอย่างที่ 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 และ 13 จะแสดงให้เห็นการใช้ทฤษฎีบทข้างต้นว่า ยังคงเป็นจริงสาหรับลิมิต

ดา้ นเดยี ว หรอื ( ) และ ( ) มีคา่
→ − → +

และในการใช้ทฤษฎีบทข้างต้น ในตัวอย่างท่ี 14 และ 15 ถ้า ( ) = 0 , (0) = 8 , ( ) = ±∞ หรือ

( ) = ±∞ เมื่อหาลิมิตแล้วจะยู่ในรูป หรือ 0,∞,0∙∞, ∞−∞, 0∞ , 0∞ − 0∞ หรือ 1∞ ซ่ีงเราอาจจะ
0
0∞
ตอบไดเ้ ลยวา่ ไม่คา่ ลิมิตหาค่าไดห้ รือหาค่าไม่ได้ เราเรยี กลิมิตแบบน้วี ่า “รปู แบบทีไ่ ม่กาหนด ( ∶ )”

ซึ่งรปู ที่เราเจอน้ี ในการหาลมิ ิตเราจะต้องจดั รปู กอ่ น

ดังนน้ั ในการหาลิมิตของฟงั ก์ชนั จากทฤษฎีบทขา้ งตน้ เราสามารถสรุปข้นั ตอนการหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ( ) ท่ี = ได้
ดงั น้ี

ขัน้ ตอนที่ 1 แทนค่า = ใน ( )

ขั้นตอนท่ี 2 พิจารณาค่า ( ) ท่ีได้

2.1 ถ้า ( ) ไมเ่ ป็นรปู แบบ 2.2 ถ้า ( ) เป็นรปู แบบ

(1) ถ้า ( ) หาค่าได้ ได้ ( ) อยใู่ นรูป 0 หรือ ∞ ตอ้ งจดั รปู ของ
0 ∞
แลว้ ( ) = ( ) ฟังก์ชนั ใหม่ โดยใชว้ ธิ ี
→

(2) ถา้ ( ) อยใู่ นรูป 0 (1) แยกตัวประกอบ ( )

แลว้ ( ) หาค่าไมไ่ ด้ (2) คณู ดว้ ยพจน์ทราเปน็ สงั ยคุ หรอื คอนจเุ กต

→ ( )

(3) ใชก้ ฎของโลปิตาล ( ’ℎ )

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 18

ดังน้ันจากตัวอย่างที่ 14 และตัวอย่างที่ 15 เราอาจแสดงวิธีการหาลิมิตของฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูปแบบท่ีไม่กาหนด

( ∶ ) ได้อกี แนวทางหน่ึงวา่

(1) จากตวั อย่างท่ี 14 จงหา −1
2−1
→1 −1
2−1
วธิ ที า ให้ ( ) = ต้องการหาลิมติ ของฟังก์ชนั เม่ือ มคี ่าเข้าใกล้ 1

แทน = 1 ใน ( ) จะได้ (1) = (1)−1 = 1−1 = 0
(1)2−1 0
1−1

เป็นรูปแบบทีไ่ ม่กาหนด ( ∶ ) พจิ ารณาแยกตวั ประกอบ ( )

จะได้ ( ) = = −1 = −1 1 เมื่อ + 1 ≠ 0
ดงั น้นั +1
2−1 ( −1)( +1)
−1 −1
2−1 ( −1)( +1)
=

→1 →1
= 1 เมื่อ + 1 ≠ 0
→1 +1
= 1 =1
(1)+1 2

−1 1 = 1
2−1
น่นั คือ = →1 +1 2 ∎

→1

(2) จากตัวอยา่ งที่ 15 จงหา √ 2+9−3
2
→0

วิธีทา ให้ ( ) = √ 2+9−3 ต้องการหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชัน เม่อื มีค่าเข้าใกล้ 0
2

แทน = 0 ใน ( ) จะได้ (0) = √(0)2+9−3 = =√0+9−3 3−3 = 0
(0)2 0 00

เปน็ รปู แบบท่ีไมก่ าหนด ( ∶ ) พิจารณาใช้การคณู ด้วยสังยคุ ( )

√ 2+9−3 √ 2+9−3 √ 2+9+3 ( 2+9)−9 1
2 2 √ 2+9+3 2(√ 2+9+3) √ 2+9+3
จะได้ = เมื่อ ( ) = = ⋅ = ≠ 0

ดังนัน้ √ 2+9−3 1
นนั่ คอื 2 √ 2+9+3
= 1

→0 →0

= √(0)2+9+3

= 1 =1
√9 + 3 6

√ 2+9−3 1 1= 1
2 √ 2+9+3 6
= = √9 + 3 ∎

→0 →0

ในกรณีที่หาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบที่ไม่กาหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล
( ’ℎ ) ท่นี ยิ ามโดย

∎ กฎของโลปติ าล ( ’ )

ถ้า ( ) และ ( ) ต่างก็มีค่าเปน็ ศูนย์ หรอื ไมน่ ยิ ามท่ี =

นนั่ คือ ( ) อยู่ในรปู ของ 0 หรอื ∞ แลว้
( ) 0∞

( ) ( ) ′( ) ′( )
( ) ( ) ′( ) ′( )
= = เมอ่ื = หาค่าได้

→ → → →


ดังน้ัน จากตัวอย่างที่ 14 จงหา −1 เราทราบวา่ เม่อื แทน = 1 จะได้ (1) = 0 เป็นรูปแบบทไี่ มก่ าหนด
2−1
→1 0
( ∶ ) พจิ ารณาหาลมิ ิตโดยใชก้ ฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) จะได้

ดงั นนั้ −1 = ( −1)
2−1 →1
→1
( 2−1)

= 1 เมื่อ ≠ 0
2

→1
= 1 =1
2(1) 2

นัน่ คอื −1 1
2−1 2
= ∎

→1
ซ่ึง ( ) = ′( ) และ ( ) = ′( ) คอื อนุพันธข์ องฟังก์ชนั และ ตามลาดับ


แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 19

ตัวอย่างที่ 16 กาหนดให้ ( ) = { √ − 4 , > 4 จงหา ( )
8 − 2 , < 4 →4

วธิ ีทา เน่อื งจาก ( ) = 8 − 2 เม่ือ < 4

จะไดว้ า่ ( ) = 8 − 2
→4−
→4−
= 8 − 2(4)

=0

เนือ่ งจาก ( ) = √ − 4 เม่อื > 4

จะได้วา่ ( ) = → 4 +√ − 4

→4+

= √ → 4 +( − 4)

= √4 − 4

=0 (ใหน้ กั เรยี นเติมเตม็ กราฟใหส้ มบรู ณ์)

จะเหน็ วา่ ( ) = ( ) = 0
ดังนัน้ →4− →4+

( ) = 0 ∎

→4

∎ 2.1.5 ลิมิตของฟงั กช์ ันค่าสมั บูรณ์

จากสมบตั ิของคา่ สัมบรู ณ์ของจานวนจรงิ ใด ๆ ที่นิยามโดย

1. | | = { เม่ือ ≥ 0
2. | − | = { − เมอื่ < 0
( − ) เมื่อ ( − ) ≥ 0

−( − ) เมือ่ ( − ) < 0

เราจะนาสมบตั ขิ องค่าสมั บูรณ์ไปหาคา่ ของฟงั กช์ นั ในการคานวณคา่ ของลิมิตด้านเดยี ว กล่าวคอื สามารถแทน “ → ”
ในทฤษฎบี ทด้วย “ → −” เม่ือมีค่านอ้ ยกวา่ 0 (ลมิ ติ ด้านซ้าย) หรือ “ → +” เมอ่ื มีคา่ มากกวา่ 0 (ลมิ ิตด้านขวา) ดงั ตวั อย่าง
ท่ี 17

ตัวอย่างท่ี 17 จงหา | +1|
→−1 +1

วธิ ที า เนอื่ งจาก | + 1| = −( + 1) เมือ่ < −1

จะได้วา่ | +1| = −( +1)
→−1− +1
→−1− +1
= (−1)
→−1−

= −1

และเนื่องจาก | + 1| = + 1 เมอ่ื > −1

จะได้ว่า | +1| = +1
→−1+ +1
→−1+ +1
= 1
→−1+ (ใหน้ กั เรยี นเตมิ เต็มกราฟให้สมบูรณ์)
∎
=1

จะเหน็ วา่ | +1| ≠ | +1|
ดังนนั้
→−1− +1 →−1+ +1

| +1| ไม่มคี ่า

→−1 +1

∎ 2.1.6 ลิมิตของฟังกช์ นั ของฟงั ก์ชัน

กาหนดฟงั กช์ นั ที่นยิ ามโดย

กาหนดฟงั กช์ นั ของฟงั ก์ชัน ( ( )) โดยที่ ( ) = และ ( ) = ( )
→ →
จะได้ว่า ( ( )) = ( ( ( ))
→ →

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 20

ตัวอยา่ งท่ี 18 กาหนด ฟังก์ชัน ( ) = √ และ ฟังกช์ นั ( ) = 2 + 9 จงหา ( ( ( ))

วธิ ีทา จาก ( ( )) = ( ( ( )) →−4
จะได้ว่า
→ →
( ( )) = ( ( 2 + 9))
→−4 →−4
= ((−4)2 + 9))

= (25)

และจาก ( ) = √
ดงั น้นั (25) = √25

=5 ∎

∎ 2.1.7 ลิมติ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

กาหนดฟงั ก์ชนั ทนี่ ยิ ามโดย

กาหนดจานวนจริง ทเ่ี ป็นโดเมนของฟงั กช์ นั ตริโกณมิติ จะได้ว่า

(1) = (2) = (3) =
→ → →

(4) = (5) = (6) =
→ → →

และ

ถา้ ( ) = หรือ ( ) = cos หรือ ( ) = หรือ ( ) = หรอื ( ) =

หรือ ( ) = และ ( ) = โดยที่ ( ) หาคา่ ไดแ้ ลว้
→
จะได้วา่ ( ( )) = ( ( ( )) = ( )
→ →

ตัวอยา่ งที่ 19 จงหา 2 +
→ 4

วธิ ที า ให้ ถา้ ( ) = และ ( ) = 2 +
4
เน่ืองจาก 2 + = =2 + 3 และ 3 หาคา่ ได้ ดงั น้ัน
→ 4 4 4 4

จาก ( ( )) = ( ( ( ))
→ →
จะไดว้ ่า = ( 2 + ) ( (2 + ))
→ 4
→ 4
= (2 + )
4
= (2 + )
4
= (3 ) (อย่ใู น 2 ค่า
+ )
4
= (45°)

= √ ∎
∎
ตวั อยา่ งท่ี 20 จงหา 2−1
→1 −1
วธิ ที า ให้ ถา้ ( ) = และ ( ) = 2−1
−1
จาก = ( ( ( ))
( ( )) →
→
จะไดว้ า่ 2−1 = ( ( 2−1))
→1 −1 →1 −1
= ( (( −1)( +1)))
→1 −1
= ( ( + 1))
→1
= ((1) + 1))

= 2

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 21

∎ 2.1.8 ลิมิตของฟังกช์ นั เอก็ ซโ์ พเนนเชียล ฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม และฟังก์ชนั คา่ สมั บูรณ์
กาหนดฟงั ก์ชันทน่ี ิยามโดย

(1) ถ้า ( ) = และ หาค่าได้แลว้

→
จะได้วา่
( ) = ( ( ( )) =

→ →
(2) ถา้ ( ) = และ > 0 แลว้
→
จะได้วา่ ( )
( ) = =
→

→

(3) ถ้า ( ) = แล้ว | ( )| = | ( )| = | |
→ → →

ตวั อยา่ งที่ 21 จงหา ( 2 + 3 )
→2

วิธีทา ให้ ( ) = และ ( ) = ( 2 + 3 )

เน่ืองจาก ( 2 + 3 ) = =((2)2 + 3(2) 10 หาคา่ ได้ ดังนัน้
→2
จาก ( ( )) = ( ( ( ))
→ →
จะได้ว่า ( ( 2 + 3 )) = ( ( 2 + 3 ))
→2 →2
= ((2)2 + 3(2))

= 10

=1 ∎

ตัวอยา่ งที่ 22 จงหา (4 −5)
→1 2−3
วิธที า จาก ถ้า ( ) = และ หาคา่ ไดแ้ ลว้ จะได้วา่
→ ( ) = ( ( ( )) =

→ →
เนอื่ งจาก (4 −5) = = =4(1)−5 หาคา่ ได้ ดงั นนั้
→1 2−3 −1 1
2−3(1) −1

จะไดว้ ่า (4 −5) = ( (4 −5))
→1 2−3 →1 2−3
= (4−5)
2−3
= (−1)
−1
= 1

=0 ∎

ตวั อย่างท่ี 23 จงหา 102−3
→1

วิธที า ให้ = 10 และ ( ) = 102+3

เนือ่ งจาก (2 − 3 ) = (2 + 3(−1)) = −1 หาค่าได้ ดังนน้ั
จาก →2
จะได้วา่ ( )

→
= = ( )
→
= 102−3 (2−3 )
10 →1

→1 = 10−1

= 1 ∎
ตัวอยา่ งที่ 24 จงหา |8 2 − 4 − 2| 10

→12

วิธที า ให้ ( ) = |8 2 − 4 − 2|

เนื่องจาก ถ้า ( ) = แล้ว | ( )| = | ( )| = | | หาคา่ ได้ ดังนน้ั
→ → →

ดังนัน้ |8 2 − 4 − 2| = | (8 2 − 4 − 2)|

→12 →21

= |(8 (1)2 − 4(1) − 2)|

= 22

|2 − 2 − 2|

= |−2|

=2 ∎

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 22

กิจกรรมระหวา่ งเรียน 2 : แบบฝึกหัด 2.1 ข. ลิมิตของฟังก์ชนั

1. จงหาลิมิตต่อไปน้ี ถา้ ลมิ ิตมีคา่
1.1) (3 2 + 7 − 12)

→0

วิธที า

1.2) ( 5 − 2 )
→−1

วิธีทา

1.3) 5( − 2)
→5

วธิ ีทา

1.4) ( + 3)( 2 + 2)
→−1

วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 23

วิธีทา 1.5) +1
→3 2 −5

วิธที า 1.6) 2−25
→−5 +5

1.7) +1
2− −2
วิธีทา →1

วธิ ีทา 1.8) 2− −2
→1 2+4 +3

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 24

วิธีทา 1.9) 1−√
→1 1−

1.10) 3−√
→9 9−

วิธที า

1.11) 2−√ +3
−1
วิธีทา →1

1.12) 3√( 2 − 1)2
→0

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 25

2. จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถ้าลมิ ติ มีคา่
2.1) | + 4|

→−4

วิธที า

วิธีทา 2.2) | −2|
→2 −2

วธิ ีทา 1.3) | +4|
→−4− +4

1.4) (1 + | 1 |)

วิธที า →0−

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 26

1.5) 2 2−3
→32 |2 −3|

วธิ ที า

3. กาหนดให้ ( ) = { 2 − 4 +6 , ≥ 2 จงหาลิมติ ตอ่ ไปน้ี ถ้าลมิ ติ มคี า่
− 1 , < 2
3.1) ( )
วิธีทา →2−

3.2) ( )
→2+

วิธีทา

3.3) ( )
→2

วธิ ที า

3.4) ( )
→0

วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 27

3.5) ( )
→5

วธิ ที า

, < 0 จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถา้ ลมิ ติ มีคา่

4. กาหนดให้ ( ) = { 2 , 0 ≤ ≤ 2

8 − , > 2

4.1) ( )
→0+

วิธีทา

4.2) ( )
→0−

วิธีทา

4.3) ( )
→0

วธิ ที า
4.4) ( )

→2−

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 28

4.5) ( )
→2+

วธิ ีทา

4.6) ( )
→2

วิธที า

4.7) ( )
→1

วธิ ที า

4.8) ( )
→6

วิธีทา

5. กาหนดให้ ( ) = | | , ≠ 0 และ ( ) = จงหาลิมติ ตอ่ ไปนี้ ถา้ ลมิ ติ มคี า่
, = 0
{
1
5.1) ( )
→0
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 29

5.2) ( )
→0

วธิ ีทา

5.3) ( ) ⋅ ( )
→0

วิธที า

6. กาหนดให้ ( ) แทน จานวนเตม็ ที่มากทส่ี ดุ ที่นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถ้าลมิ ติ มีคา่
6.1) ( )

→1+

วิธีทา

6.2) ( )
→1−

วธิ ที า

6.3) ( )
→1

วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 30

7. จงหา cos (2 + 1)
→−1

วิธีทา

8. จงหา ( 2 )

วิธีทา →

9. จงหา 2
→0 1−

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 31

10. จงหา 52 − 5
→−1

วิธที า

11. จงหา √2 2 − 3 + 8
→2

วิธที า

12. จงหา | 2 −−146|
→4
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 32

2.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน ( )

2.2.1 ความตอ่ เนอ่ื งบนจดุ

พิจารณากราฟของฟังกช์ นั ดังรปู

รปู ท่ี 11 รูปท่ี 12

จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปท่ี 11 และ 12 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( f นิยามที่ ) แต่ ( ) ไม่มีค่า
→

เนอ่ื งจากไม่มีจานวนจรงิ ใด ซึ่งเมอ่ื เข้าใกล้ แล้วทาให้ ( ) เขา้ ใกล้จานวนจรงิ นน้ั

รูปท่ี 13
จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 13 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( นิยามท่ี a ) และ ( ) มีค่า แต่

→

( ) ≠ ( )

→

จะเรียกฟังก์ชัน ในรูปที่ 11 – 13 ว่าเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเน่ืองที่ = แต่ถ้า ( ) = เมื่อ = ( )
→

จะได้กราฟดังน้ี

รูปท่ี 14
จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 14 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( นิยามท่ี a ) และ ( ) = ( ) ในลักษณะ

→

เชน่ นี้ จะเรยี กฟงั ก์ชัน f วา่ เป็นฟังก์ชันตอ่ เนอื่ งที่ = ซึ่งมนี ยิ ามดังน้ี

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 33

∎ บทนิยาม 4 : ให้ เปน็ ฟังกช์ ันซ่งึ นิยามบนชว่ งเปิด ( , ) และ ∈ ( , ) จะกล่าวไดว้ ่า เป็นฟังก์ชันตอ่ เนอ่ื ง
( ) ที่ = กต็ อ่ เมอ่ื ( ) = ( )

→

∎ จากบทนยิ าม 4 ถา้ เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ ง ( ) ท่ี = ตอ้ งมีสมบัตคิ รบทง้ั สามขอ้ ตอ่ ไปนี้
(1) ( ) หาค่าได้ (นั่นคอื อยใู่ นโดเมนของ )
(2) lim ( ) มคี ่า

→

(3) ( ) = ( )
→

ตวั อย่างท่ี 25 กาหนดให้ 2−4 , ≠ 2

( ) = { −2
3 , = 2
จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั เปน็ ฟังก์ชันต่อเนอ่ื งที่ = 2 หรอื ไม่

วธิ ที า จากฟงั กช์ นั ท่กี าหนด จะได้ (2) = 3

และ ( ) = 2−4
→2 →2 −2
= ( +2)( −2)
→2 −2
= ( + 2)
→2
=4

เน่ืองจาก ( ) ≠ (2) (ให้นกั เรียนปรับปรงุ กราฟดว้ ยตนเอง)
→2
ดงั นน้ั ฟงั ก์ชัน ไม่ต่อเนือ่ งที่ = 2
∎

2−4 , ≠ 2

ตัวอยา่ งที่ 26 กาหนดให้ ( ) = { −2
4 , = 2
จงพิจารณาว่าฟงั กช์ นั เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี = 2 หรอื ไม่

วธิ ที า จากฟังกช์ ัน ทีก่ าหนด จะได้ (2) = 4

และ ( ) = 2−4
→2 →2 −2
= ( +2)( −2)
→2 −2
= ( + 2)
→2
=4

เน่ืองจาก ( ) = (2) (ให้นักเรยี นปรบั ปรงุ กราฟดว้ ยตนเอง)
→2
ดงั นนั้ ฟงั ก์ชนั เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี = 2
∎

ตัวอย่างท่ี 27 กาหนดให้ ( ) = | + 1|

จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ งท่ี = −1 หรือไม่

วิธที า จากฟังก์ชัน ทีก่ าหนด จะได้ (−1) = |(−1) + 1| = 0

จาก ( ) = | + 1| โดยนิยามของคา่ สมั บรู ณ์

จะได้ ( ) = { + 1 , ≥ −1
−( + 1) , < −1

เน่อื งจาก ( ) = − ( + 1) = 0
→−1− →−1−

และ ( ) = ( + 1) = 0
→−1+ →−1+
จะไดว้ า่ | + 1| = 0 = | + 1|
→−1− →−1+
ดังนั้น ( ) = 0
→−1
เนอื่ งจาก ( ) = (−1)
→−1 (ให้นกั เรียนปรับปรงุ กราฟดว้ ยตนเอง)
ดังน้นั ฟังกช์ นั เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งที่ = −1 ∎

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 34

ต่อไปน้จี ะกลา่ วถงึ ทฤษฎีบทเกีย่ วกับความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชนั โดยจะขอละการพิสจู น์

∎ ทฤษฎบี ท 5 : ถา้ และ เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนอื่ งที่ = แลว้

5.1 + เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนือ่ งที่ =

5.2 − เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องที่ =

5.3 ⋅ เปน็ ฟังก์ชันต่อเนอ่ื งท่ี =

5.4 เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี = เมอื่ ( ) ≠ 0


ดงั ที่ไดท้ ราบมาแล้วจากทฤษฎบี ท 3 ว่า ถา้ เป็นฟงั ก์ชันพหุนามแล้ว ( ) = ( ) สาหรบั จานวนจรงิ ใด ๆ
→

ดังนัน้ จะไดท้ ฤษฎีบทต่อไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 6 : สาหรับจานวนจรงิ ใด ๆ ฟงั กช์ นั พหนุ าม เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งท่ี =

โดยใช้ทฤษฎีบท 5 และ 6 จะสามารถพสิ ูจน์ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับความต่อเนอื่ งของฟังกช์ ัน เมื่อ และ เป็น


ฟงั ก์ชนั พหนุ าม ดงั นี้

∎ ทฤษฎบี ท 7 : ถ้า เปน็ ฟังกช์ ันตรรกยะ โดยที่ ( ) = ( ) เม่อื และ เปน็ ฟงั ก์ชนั พหนุ าม
( )

แลว้ เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองท่ี = เม่อื เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ซ่งึ ( ) ≠ 0

ตัวอยา่ งที่ 28 กาหนดให้ ( ) = 2−9
2−5 +6
จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชัน เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งที่ = 0 หรือไม่

วธิ ีทา ให้ ( ) = 2 − 9 และ ( ) = 2 − 5 + 6 ดังน้นั ( ) = ( )
( )

เนื่องจาก และ เป็นฟงั กช์ ันพหุนาม และ (0) = 6 ซง่ึ ไม่เท่ากับ 0

ดังนนั้ เป็นฟังก์ชันต่อเน่อื งท่ี = 0 ∎

2.2.2 ความตอ่ เนื่องบนช่วง
ต่อไปจะใหค้ วามหมายของความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชันบนช่วงทก่ี าหนด ดังน้ี

1. ฟงั กช์ ัน เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง ( , ) ก็ต่อเม่ือ เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องทที่ ุกจดุ ในช่วง ( , )

2. ฟังกช์ นั เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [ , ] กต็ ่อเม่อื

2.1) เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนือ่ งทีท่ กุ จุดในชว่ ง ( , ) และ

2.2) ( ) = ( ) และ ( ) = ( )
→ + → −
3. ฟังกช์ นั เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งบนชว่ ง ( , ] ก็ต่อเม่ือ

3.1) เป็นฟังก์ชันต่อเนอื่ งทีท่ ุกจุดในชว่ ง ( , ) และ

3.2) ( ) = ( )
→ −

4. ฟังก์ชัน เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนช่วง [ , ) ก็ต่อเมื่อ

4.1) เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งที่ทุกจดุ ในชว่ ง ( , ) และ

4.2) ( ) = ( )
→ +

ตัวอยา่ งท่ี 29 กาหนดให้ ( ) = √9 − 2 จงแสดงว่าฟังก์ชัน เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [−3 , 3 ]

วิธีทา ให้ เป็นจดุ ใด ๆ ในช่วง (−3 , 3)

เนื่องจาก −3 < < 3 จะไดว้ ่า 2 < 9 หรือ 9 − 2 > 0 ดังน้ัน √9 − 2 > 0

จะได้ว่า นิยามท่ี และ ( ) = √9 − 2

และจะได้ ( ) = √9 − 2
→
→
= √ → (9 − 2)

= √9 − 2

ดงั นน้ั ( ) = ( )
→
สรปุ ได้ว่า เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง (−3 , 3)
∎

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 35

ตอ่ ไปจะแสดงวา่ ( ) = (−3) และ ( ) = (3) (เตมิ เต็มกราฟให้สมบูรณ)์
→−3+ →3−
เน่ืองจาก = √9 − 2 ∎
( )
→−3+ →−3+

= √ → − 3+(9 − 2)

=0

และ (−3) =0

ดงั นัน้ ( ) = (−3)
และ = √9 − 2
→−3+
→3−
( )

→3−

= √ → 3 − (9 − 2)

=0

และ (3) = 0

จะได้ ( ) = (3)
→3−
สรปุ ไดว้ ่า เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ งบนชว่ ง [−3 , 3]

ตวั อยา่ งท่ี 30 กาหนดให้ ( ) = 1 จงแสดงวา่ ฟงั ก์ชนั เป็นฟังก์ชันตอ่ เนื่องบนชว่ งต่อไปนห้ี รือไม่
√ 2−4
30.1) (−∞, −2) 30.2) (2 , 3 ]

วธิ ีทา 30.1) ให้ เปน็ จุดใด ๆ ในช่วง (−∞, −2)

เนอ่ื งจาก < −2 จะได้ว่า 2 > 4 หรือ 2 − 4 > 0 ดังนน้ั √ 2 − 4 > 0

จะได้ว่า นิยามที่ และ ( ) = 1
√ 2−4
และจะได้ = 1
( ) √ 2−4

→ →
=1
√ → ( 2−4)

=1 30.1 ∎
√ 2−4

ดงั นน้ั ( ) = ( )
→

สรุปได้วา่ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนือ่ งบนชว่ ง (−∞, −2)

30.2) ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง ( 2 , 3 )

เนื่องจาก 2 < < 3 จะไดว้ ่า 4 < 2 < 9 หรือ 2 − 4 > 0 ดังนัน้ √ 2 − 4 > 0

จะไดว้ ่า นิยามที่ และ ( ) = 1
√ 2−4
และจะได้ = 1
( ) → √ 2−4
=1
→

√ → ( 2−4)

=1
√ 2−4

ดังนัน้ ( ) = ( )
→

สรปุ ไดว้ า่ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง (2 , 3)

ในทานองเดยี วกัน จะได้ว่า 1 = 1 และ (3) = 1
√ 2−4 √5 √5
→3−
ดังนั้น ( ) = (3)
→3−
สรุปไดว้ า่ เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่ืองบนชว่ ง (2 , 3] 30.2 ∎

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 36

กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 2.2 ความต่อเนอ่ื งของฟังกช์ นั

1. จงพิจารณาว่าฟังกช์ นั ตอ่ ไปนเี้ ปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนื่อง ณ จุดทก่ี าหนดหรอื ไม่
1.1) ( ) = 3 − 1 ท่ี = 0

วธิ ที า

2−16 , ≠ 4
, = 4
1.2) ( ) = { −4 ที่ = 4

−1
4
วิธที า (เตมิ เตม็ กราฟให้สมบูรณ)์

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 37

2−1 , ≠ 1 ที่ = 1
, = 1
1.3) ( ) ={ 3−1

−2
3
วธิ ที า (เติมเตม็ กราฟใหส้ มบรู ณ์)

1.4) ( ) = | | ท่ี = 0
วธิ ีทา

| +1| , ≠ −1 ที่ = −1
, = −1
1.5) ( ) = { +1

−1

วิธที า (เตมิ เต็มกราฟให้สมบูรณ)์

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 38

2. กาหนดกราฟของฟังกช์ ัน , และ ℎ ดงั รูป จงพิจารณาว่า , และ ℎ เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงท่ีกาหนดในแต่ละขอ้
หรอื ไม่ พร้อมทงั้ ให้เหตผุ ลประกอบ

2.1) ฟงั ก์ชัน 2.1.1) [−1 , 1]

2.1.2) (−1 , 1)

2.1.3) [0 , 1]

2.1.4) (−1 , 0]

2.2) ฟังก์ชัน 2.2.1) [−1 , 1]
2.2.2) (−1 , 1)
2.2.3) [0 , 1]
2.2.4) (−1 , 0]

2.3) ฟงั ก์ชนั ℎ 2.3.1) [−1 , 1]
2.3.2) (−1 , 1)
2.3.3) [0 , 1]
2.3.4) (−1 , 0]

3. กาหนดให้ ( ) = 2 จงพิจารณาว่า เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งบนช่วงตอ่ ไปนี้หรือไม่
−4

3.1) (−∞ , 4)
วิธีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 39

3.2) ( 4 , 6]
วิธที า

3.3) (4 , ∞)
วธิ ีทา

2 − 2 , < −2

4. กาหนดให้ ( ) = { − 4 , −2 ≤ ≤ 1 จงพิจารณาว่า เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วงต่อไปนหี้ รอื ไม่

4 − , > 1 (A) สร้างตาราง

( ) … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …

( ) = 2 − 2 , < −2

( )= − 4 , −2 ≤ ≤ 1

( ) = 4 − , > 1

(B) เขียนกราฟ

4.1) ( −∞ , 1 ]
วิธีทา

4.2) (−2 , 1 ]
วธิ ีทา

4.3) (−2 , 2 ]
วธิ ที า

4.4) [ 1 , ∞)
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 40

5. จงหา ท่ีทาใหฟ้ ังกช์ นั ท่กี าหนดให้ต่อไปนี้ เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งที่ทกุ จุด

5.1) ( ) = { 2 , > 1
7 − 2 , ≤ 1
วิธีทา

5.2) ( ) = { 2 + , > 2
2 , ≤ 2
วิธีทา

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 41

2.3 อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ( )

ในการขับรถจากสถานที่หน่ึงไปยังอีกสถานที่หนึ่ง โดยท่ัวไปผ้ขู ับไม่ไดข้ ับดว้ ยอัตราเร็วคงที่ตลอดเวลา อาจขับเร็วบา้ งชา้

บ้าง ขึ้นอยู่กับสภาพถนนหรือปริมาณรถบนถนน ดังนั้นการบอกอัตราเร็วจึงนิยมบอกเป็นอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางท้ังหมด

หรอื บอกอตั ราเรว็ เฉลยี่ ในชว่ งเวลาที่สนใจ โดยอตั ราเร็วเฉล่ียคืออตั ราสว่ นระหว่างระยะทางที่รถยนตเ์ คล่ือนทไ่ี ดต้ ่อช่วงเวลาที่ใชใ้ น

การเคล่ือนที่

ตัวอย่างเช่น ถ้าระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ (มีหน่วยเป็นกิโลเมตร) เม่ือเวลาผ่านไป ชั่วโมง หาได้จาก

( ) = 20 2 เม่อื ∈ [ 0 , 2 ] จะสามารถหาอตั ราเร็วเฉลย่ี ในชว่ งเวลาที่สนใจได้ ดังนี้

จากสมการที่กาหนด จะสามารถหาระยะทางท่ีรถยนต์เคล่ือนที่ได้ เมื่อเวลาผ่านไป 0 , 0.5 , 1 และ 1.5 ชั่วโมง ได้ดัง

ตาราง

เวลาที่ผา่ นไป (ชวั่ โมง) 0 0.5 1 1.5

ระยะทางท่ีรถยนตเ์ คลอื่ นท่ไี ด้ใน (กิโลเมตร) 0 5 20 45

จะไดร้ ะยะทางท่ีรถยนตเ์ คลือ่ นทไี่ ดใ้ นชว่ งเวลาตา่ งๆ ดงั ตาราง

ชว่ งเวลา (ชั่วโมง) ระยะทางทรี่ ถยนตเ์ คลื่อนท่ไี ด้ใน (กโิ ลเมตร)

= 0 ถึง = 0.5 5−0 = 5

= 0.5 ถงึ = 1 20 − 5 = 15

= 1 ถึง = 1.5 45 − 20 = 25

จะสามารถหาอตั ราเร็วเฉลย่ี ในชว่ งเวลาต่างๆ ได้ ดงั ตาราง

ชว่ งเวลา (ชวั่ โมง) ระยะทางท่ีรถยนต์เคล่ือนทไี่ ด้ใน (กโิ ลเมตร)

= 0 ถึง = 0.5 5
0.5 − 0 = 10

= 0.5 ถึง = 1 15
1 − 0.5 = 30

= 1 ถึง = 1.5 25
1.5 − 1 = 50

อตั ราเร็วเฉลย่ี ท่ีหาไดข้ ้างต้นสามารถใชใ้ นการพจิ ารณาวา่ ในแต่ละชว่ งเวลาที่สนใจ รถยนตเ์ คลอื่ นทไี่ ดช้ ้าหรอื เรว็ เพยี งใด

พิจารณาอตั ราเร็วเฉลีย่ ในช่วงเวลาส้ันๆ ทใ่ี กล้ = 1 ดงั ตาราตอ่ ไปน้ี

ชว่ งเวลา (ชัว่ โมง) ระยะทางทีร่ ถยนต์เคลือ่ นทไี่ ดใ้ น (กิโลเมตร)

= 1 ถึง = 1.1 (1.1) − (1)
1.1 − 1 = 42

= 1 ถึง = 1.01 (1.01) − (1)
1.01 − 1 = 40.2

= 1 ถงึ = 1.001 (1.001) − (1)
1.001 − 1 = 40.02

ถ้าให้ ℎ เปน็ จานวนจรงิ ทไ่ี มเ่ ปน็ ศนู ย์ จะได้วา่ อตั ราเรว็ เฉลย่ี ในชว่ งเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ คือ

(1+ℎ)− (1) = 20(1+ℎ)2−20(12)
ℎ ℎ

= 20(1+2ℎ+ℎ2)−20
ℎ

= 20ℎ2+40ℎ+20−20
ℎ

= 20ℎ2+40ℎ
ℎ

= 20ℎ + 40

น่นั คือ อตั ราเร็วเฉล่ียในช่วงเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ เมือ่ ℎ ≠ 0 คือ 20ℎ + 40 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง
จะเห็นวา่ ยง่ิ ชว่ งเวลาส้นั ลง อตั ราเรว็ เฉลีย่ จะยิ่งเข้าใกล้ 40 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 42

ดังนน้ั เม่อื ℎ นอ้ ยลงจนเข้าใกล้ 0 จะได้ อัตราเรว็ เฉลีย่ ในช่วงเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ คือ

(1+ℎ)− (1) = (20ℎ + 40)
ℎ→0 ℎ
ℎ→0

= (20(0) + 40)

= 40 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง

เรยี กค่านว้ี ่า อตั ราเรว็ ของรถยนต์ ณ ขณะเวลา = 1

ซึง่ ในทางปฏิบตั ิ ผู้ขับรถยนตส์ ามารถทราบได้จากมาตรวดั อตั ราเร็วบนหนา้ ปัดรถยนต์ ณ ขณะนัน้

ตวั อย่างเชน่ ขา้ งตน้ แสดงการหาอตั ราเร็วเฉลยี่ ซง่ึ คืออัตราการเปล่ยี นแปลงเฉล่ยี ของระยะทางเทียบกบั เวลาในช่วงเวลา

ท่ีสนใจ และการหาอตั ราเร็วขณะเวลาหน่ึง

ในกรณที ่ัวไป สามารถนยิ ามอัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ และอัตราการเปลย่ี นแปลงขณะหน่งึ ได้ดงั นี้

∎ บทนิยาม 5 : ให้ เป็นฟังกช์ ัน และ อยใู่ นโดเมนของ

5.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ( ) ของ เทียบกบั

เมอ่ื คา่ ของ เปลย่ี นจาก เป็น + ℎ คือ ( +ℎ)− ( )
ℎ

5.2 อัตราการเปลย่ี นแปลง ( ) ของ เทยี บกับ

ขณะท่ี = คอื อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ( ℎ ) ของ เทียบกับ

เมอื่ ค่าของ เปลี่ยนจาก เป็น + ℎ คือ ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

ตวั อยา่ งที่ 31 ในการสบู ลมเขา้ ลกู บอลลกู หน่ึง ถา้ เป็นปริมาตรของลมในลูกบอล (มหี น่วยเป็นลกู บาศก์เซนติเมตร) และ

เปน็ ความยาวของรศั มีของลูกบอล (มีหนว่ ยเป็นเซนตเิ มตร) โดยที่ = 4 3 แลว้ จงหา
3
31.1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรศั มีเปล่ียนจาก 6 เป็น 9 เซนตเิ มตร

31.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรัศมีเปลย่ี นจาก เปน็ + ℎ เซนตเิ มตร

31.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว

9 เซนตเิ มตร

วธิ ที า 31.1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรศั มีเปลี่ยนจาก 6 เปน็ 9 เซนติเมตร คอื

(9)− (6) = 43 (9)3−43 (6)3

9−6 3

= 4 (93 − 63)
9

= 4 (513)
9

= 228

= 716.3 ∎

31.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว

ของรัศมีเปลย่ี นจาก เป็น + ℎ เซนติเมตร คือ

( +ℎ)− ( ) = 1 (4 ( + ℎ)3 − 4 3)

ℎ ℎ3 3
= 1 ⋅ 4 ( 3 + 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − 3)
ℎ3
= 4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2) เมอื่ ℎ ≠ 0 ∎
3
31.3) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของลมในลกู บอลเทยี บกับความยาวของรศั มีของลูกบอล ขณะรัศมยี าว

9 เซนติเมตร คือ ( +ℎ)− ( ) = 4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2)
ℎ→0 ℎ =
= ℎ→0 3
= ∎
4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2)

3 ℎ→0

4 (3 2)

3

4 2

ดังนั้น อัตราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว 9

เซนตเิ มตร คือ 4 (92) = 324 ≈ 1,017.9 ลกู บาศก์เซนตเิ มตรตอ่ ลเู ซนตเิ มตร ∎

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 43

จากตัวอยา่ งท่ี 31 อัตราการเปลี่ยนแปลงเปน็ จานวนจริงบวกแสดงวา่ เมอ่ื ความยาวของรศั มีของลกู บอลเพิ่มขนึ้ ปริมาตร
ของลมในลกู บอลจะเพ่มิ ขน้ึ

ตวั อย่างท่ี 32 ในการสบู น้าออกจากสระ หลังจากสบู นา้ ไป นาที มีนา้ เหลืออยู่ในสระ ( ) ลกู บาศกเ์ มตร โดยที่

( ) = 6 − 2 เมือ่ ∈ [0 , 2.4] จงหา

32.1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ียของปริมาตรของนา้ ในสระเทยี บกบั เวลา เมือ่ เวลาเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 นาที

32.2) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของปริมาตรของนา้ ในสระเทยี บกบั เวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก เปน็ + ℎ นาที

32.3) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของนา้ ในสระเทยี บกบั เวลา ขณะเวลา 2 นาที

วธิ ที า 32.1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลีย่ ของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกบั เวลา เม่อื เวลาเปลี่ยนจาก 0 เปน็ 2 นาที คอื

(2)− (0) = (6−22)−(6−02)
2−0
2
∎
= −4

2

= −2

32.2) อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ยของปรมิ าตรของน้าในสระเทียบกบั เวลา เมื่อเวลาเปลย่ี นจาก เป็น + ℎ นาที

คือ ( +ℎ)− ( ) = 6−( +ℎ)2−(6− 2)
ℎℎ
= 6−( 2+2 ℎ+ℎ2)−(6− 2)
ℎ
= 6− 2−2 ℎ−ℎ2−6+ 2
ℎ
= −2 ℎ−ℎ2
ℎ
= −2 − ℎ เม่ือ ℎ ≠ 0 ∎

32.3) อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลีย่ ของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกบั เวลา ขณะเวลา 2 นาที คือ

( +ℎ)− ( ) = (−2 − ℎ)
ℎ→0 ℎ ℎ→0

= (−2 − (0))

= −2 ∎

ดงั นั้น อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกบั เวลา

ขณะเวลา 2 นาที คือ (−2)(2) = −4 ลกู บาศกเ์ มตรตอ่ นาที ∎

จากตัวอย่างที่ 25 อัตราการเปล่ยี นแปลงเป็นจานวนจรงิ ลบแสดงวา่ เม่ือเวลาเพ่มิ ขึ้น ปรมิ าตรของน้าในสระจะลดลง

หมายเหตุ : สาหรบั ฟงั กช์ นั ถ้าอัตราการเปล่ียนแปลงของ เทยี บกับ เป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า เมอื่ เพิม่ ขน้ึ คา่ ของ

( ) จะเพ่ิมขึ้น แต่ถ้าอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ เทียบกบั เปน็ จานวนจริงลบ แสดงว่า เม่ือค่า เพม่ิ ขน้ึ

คา่ ของ ( ) จะลดลง

จากบทนิยาม 2 ถ้าให้ เป็นฟังก์ชันใด ๆ และ อยู่ในโดเมนของ จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ

ขณะที่ = คือ ( +ℎ)− ( ) ถา้ ลมิ ติ นี้หาค่าได้ จะเรยี กคา่ ของลมิ ิตนว้ี ่า อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน ท่ี ดงั บทนยิ าม
ℎ→0 ℎ
ตอ่ ไปนี้

∎ บทนิยาม 6 : ให้ เป็นฟังก์ชัน อนุพนั ธ์ ( ) ของฟงั กช์ นั ท่ี เขยี นแทนดว้ ย ′( ) คือ

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

ถ้า ′( ) มีค่า จะกล่าววา่ ฟงั ก์ชนั มอี นพุ นั ธท์ ่ี หรือฟงั ก์ชนั หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี

ถา้ ′( ) ไม่มคี า่ จะกล่าววา่ ฟังก์ชนั ไมม่ อี นพุ ันธท์ ี่ หรือฟังก์ชัน หาอนุพันธไ์ มไ่ ดท้ ี่

นอกจากสญั ลกั ษณ์ ′( ) แล้วยงั มสี ัญลักษณ์อนื่ ๆ ที่ใชแ้ ทนอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน ท่ี เช่น เมอื่ กาหนดให้

เปน็ ฟังก์ชันทีน่ ยิ ามโดยสมการ = ( ) อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน ท่ี

สามารถเขยี นแทนได้สญั ลกั ษณ์ (อ่านวา่ ดวี ายบายดเี อกซ์) หรือ ( ) หรอื ′

ดงั น้นั ′( ) = = ( ) = ′ = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 44

หมายเหตุ : ไม่ได้ หมายถึง เศษสว่ นทมี่ ีตัวเศษ คือ คูณ และ ตัวส่วน คือ คูณ และ

ไม่ได้ หมายถงึ หารด้วย


ตัวอย่างท่ี 33 กาหนดให้ ( ) = 5 2 + 3 − 1 จงหา ′( )

วธิ ีทา ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

= (5( +ℎ)2+3( +ℎ)−1)−(5 2+3 −1)
ℎ→0 ℎ
= 10 ℎ+5ℎ2+3ℎ
ℎ→0 ℎ

= ℎ(10 +5ℎ+3)
ℎ→0 ℎ
= (10 + 5ℎ + 3)
ℎ→0
= 10 + 5(0) + 3

= 10 + 3 ∎

จากตวั อย่างท่ี 33 อาจเขยี นโดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ของอนพุ นั ธแ์ บบอ่ืนได้ เช่น
= 10 + 3 หรอื ( ) = 10 + 3 หรอื ′ = 10 + 3



ตัวอย่างท่ี 34 กาหนดให้ ( ) = 7 − 2 จงหา
วธิ ีทา
( +ℎ)− ( )
= ℎ

ℎ→0
= (7−2( +ℎ))−(7−2 )
ℎ→0 ℎ

= −2ℎ
ℎ
ℎ→0
= (−2)
ℎ→0
= −2
∎

เน่ืองจาก ′( ) = ( +ℎ)− ( ) เป็นอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน ที่ ใด ๆ
ℎ
ℎ →0
( +ℎ)− ( )
ดงั นน้ั สาหรบั ใด ๆ ท่อี ย่ใู นโดเมนของ อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั ที่ = คือ ′( ) = ℎ →0 ℎ

อาจใช้สัญลกั ษณ์ ( ) | หรือ | แทน ′( )

= =

ตวั อยา่ งที่ 35 กาหนดให้ ( ) = √ + 1 จงหา ′(3)

วธิ ที า ′ (3) = (3+ℎ)− (3)
ℎ
ℎ→0

= √4+ℎ−2

ℎ→0 ℎ

= (√4+ℎ−2 ⋅ √4+ℎ+2)

ℎ→0 ℎ √4+ℎ+2

= (ℎ+4)−4

ℎ→0 ℎ(√ℎ+4+2)

= ℎ

ℎ→0 ℎ (√ℎ+4+2)

= 1

ℎ→0 √ℎ+4+2

=1

√(0)+4+2

=1 ∎

√4+2

=1

2+2

=1

4

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 45

ตัวอยา่ งท่ี 36 กาหนดให้ ( ) = | | จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ที่ = 0

วิธีทา ′(0) = (0+ℎ)− (0)
ℎ→0 ℎ

= |ℎ|−|0|
ℎ→0 ℎ
= |ℎ| (โดยนิยามคา่ สัมบรู ณ์)
ℎ→0 ℎ
เน่อื งจาก |ℎ| = ℎ = 1 = 1
ℎ→0+ ℎ ℎ→0+ ℎ ℎ→0+
และ |ℎ| = −ℎ = − 1 = −1
ℎ→0− ℎ ℎ→0− ℎ ℎ→0−
จะไดว้ า่ |ℎ| ≠ |ℎ|
→0+ ℎ →0− ℎ
ดังนน้ั |ℎ| ไมม่ ีค่า
→0 ℎ
น่ันคอื ′(0) ไมม่ คี ่า
∎

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 4 : แบบฝึกหดั 2.3 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชบ้ ทนิยาม

1. ให้ = 2 2 − 3 จงหา
1.1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ เทยี บกับ เมอ่ื ค่าของ เปลย่ี นจาก 2 เป็น 2.2

วธิ ที า

1.2) อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ เทยี บกบั เมือ่ คา่ ของ เปลี่ยนจาก 2 เปน็ 2.1
วธิ ีทา

1.3) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของ เทยี บกบั เม่ือค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เปน็ 2.01
วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 46

1.4) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ เทียบกบั ขณะท่ี = 2
วธิ ที า

2. ให้ = 1 จงหา

2.1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลีย่ ของ เทียบกับ เมอ่ื ค่าของ เปล่ียนจาก 4 เป็น 5

วิธีทา

2.2) อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ เทียบกบั เม่อื คา่ ของ เปล่ียนจาก 4 เปน็ 4.1
วิธีทา

2.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทยี บกับ เมอ่ื ค่าของ เปลย่ี นจาก 4 เปน็ 4.01
วธิ ที า

2.4) อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ เทยี บกบั ขณะท่ี = 4
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 47

3. จงหา
3.1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของพน้ื ทว่ี งกลมเทยี บกบั ความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมเี ปล่ยี นจาก

เป็น + ℎ เซนตเิ มตร
วิธีทา

3.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพน้ื ที่วงกลมเทียบกบั ความยาวของรศั มี ขณะรศั มยี าว เซนตเิ มตร
วธิ ีทา

4. จงหา
4.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของพืน้ ที่รูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ ัสเทียบกบั ความยาวด้าน เมอ่ื ความยาวด้านของรูปสเี่ หล่ียม

จตั รุ สั เปลยี่ นจาก 10 เป็น 12 เซนตเิ มตร
วธิ ีทา

4.2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของพื้นทรี่ ูปสเี่ หลย่ี มจัตุรสั เทียบกบั ความยาวด้าน ขณะด้านยาว 10 เซนตเิ มตร
วิธที า

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 48

5. จงหา
5.1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวด้าน เมื่อความยาวด้านของรูป

สี่เหล่ียมจตั รุ สั เปลีย่ นจาก 10 เปน็ 9 เซนตเิ มตร
วิธีทา

5.2) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของพนื้ ทร่ี ปู สามเหลยี่ มด้านเท่าเทียบกบั ความยาวดา้ น ขณะดา้ นยาว 10 เซนติเมตร
วธิ ีทา

6. ใส่สารหนึ่งลงในน้ายา หลังจากเวลาผ่านไป นาที สามารถหาปริมาณของสาร (มีหน่วยเป็นกรัม) ได้จาก = 8 จงหา
+1

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 3
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 49

7. ขณะเริ่มต้น กระบอกสูบบรรจุอากาศ 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร และอากาศภายในมีความดัน 15 นิวตันต่อตารางเซนติเมตร
ขณะท่ีกดลูกสูบลง เมื่ออุณหภูมิมีค่าคงตัว ปริมาตรจะลดลง และความดันจะเพ่ิมข้ึน ตามสมการ = 6,000 เม่ือ แทน
ความดนั และ แทนปรมิ าตร จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลงของ เทยี บกับ ขณะท่ี = 100
วธิ ีทา

8. จงหาอัตราการเปล่ยี นแปลงของปรมิ าตรของกรวยกลมตรง
8.1) เทยี บกบั ความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมยี าว หนว่ ย เมอ่ื ส่วนสูงคงตัว

วธิ ที า

8.2) เทียบกับสว่ นสงู ขณะส่วนสงู ยาว ℎ หนว่ ย เมอ่ื ความยาวของรศั มีของฐานคงตัว
วธิ ที า