คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 250

55.2) ∫13(4 − 5 4)
วธิ ที า

55.3) ∫14 3 − − 3

( 2 2)

วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 251

55.4) ∫−11( + 1)( + 3)
วธิ ที า

⊠ 55.5) ∫49 ( −1 )

วิธที า +√

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 252

55.6) ∫−12| − 2|
วธิ ที า

55.7) ∫164 1 + 1

( 2 3)

วิธที า

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 253

55.8) ∫827 ( −12)

วธิ ที า − 3

56. จงหาพน้ื ท่ที ป่ี ิดลอ้ มดว้ ย
56.1) เส้นโคง้ = −3 + 7 กับแกน ใด ๆ จาก −5 ถึง 2

วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 254

56.2) เส้นโคง้ = 3 2 − 2 − 1 กับแกน ใด ๆ จาก 1 ถงึ 3
วธิ ที า

56.3) เสน้ โค้ง = 12 − − 2 กับแกน ใด ๆ จาก −6 ถึง −4
วิธที า

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 255

57. จากรปู เส้นตรง ตดั กับเส้นโคง้ ( ) = −4 2 + 16 ทีจ่ ุด และ ซ่ึงเปน็ จุดบนแกน และแกน ตามลาดับ
จงหาพ้นื ทีบ่ รเิ วณท่ีแรเงา

วธิ ที า

58. พรนภาจ้างรถบรรทุกเพ่ือขนย้ายสัมภาระในการย้ายบ้าน โดยคนขับคิดค่าขนบ้ายตามระยะทางกิโลเมตรละ 15 บาท แต่ถ้า
ราคาท่ตี ้องจ่ายเกนิ 450 บาท จะคิดค่าขนยา้ ยยา้ ยในราคาเหมาจา่ ย 450 บาท ถา้ ระหวา่ งการเดินทาง พรนภาบันทกึ อัตราเร็วของ
รถบรรทกุ ไดด้ งั กราฟ พรนภาต้องจา่ ยค่าขนย้ายเทา่ ใด

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 256

59. กาหนดให้ ′′( ) = 0 สาหรับทุก ∈ ℝ ถา้ (−1) = 0 และ (1) = 4 จงหา ∫12 ( )
วิธที า

60. กาหนดให้ ( ) = 2 + + 1 เปน็ ปฏยิ านพุ ันธ์ของ ( ) และความชนั ของเสน้ โคง้ = ( ) ทจ่ี ุดซง่ึ = 1 คือ 5
จงหาพนื้ ที่ท่ีปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ = ( ) กบั แกน จาก −1 ถึง 1
วิธีทา

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 257

⊠ 61. กาหนดให้กราฟของฟงั ก์ชัน มีแกน เปน็ แกนสมมาตร และ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทุก ∈ ℝ

ถ้า 1 ∫−21 ( ) = ∫01 ( ) =3 จงหา ∫−22 ( )
4
วิธที า

62. น้าประปารั่วออกจากถังด้วยอัตรา ′( ) = − (มีหน่วยเป็นแกลลต่อนาที) โดยที่ ( ) แทนปริมาณของน้าในถัง ณ
40
เวลา วินาที

62.1) จงหาปริมาตรของนา้ ท่ีไหลออกจากถังต้ังแต่เวลา 0 ถึง 15 นาที

วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 258

62.2) ถ้ามีปริมาตรของน้าในถงั ณ เวลาเริ่มตน้ 320 แกลลอน จงหาวา่ จะต้องใชเ้ วลานานเทา่ ใด นา้ จึงจะไหลออกจากถงั ทง้ั หมด
วิธีทา

63. จากข้อมูลของสานักงานสามะโนประชากรของสหรัฐอเมริกา ( . . ) สามารถเขียนฟังก์ชันแสดง

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจานวนประชากรโลกตงั้ แต่ ค.ศ.1950 (มีหน่วยเป็นล้านคนต่อปี) ไดเ้ ป็น
( ) = −0.012 2 + 48 − 47,925 เมอ่ื แทน ค.ศ. ถ้าใน ค.ศ.2017 มจี านวนประชากรโลกประมาณ 7,500 ลา้ นคน จงหา

63.1) ฟงั ก์ชันแสดงจานวนประชากรโลกใน ค.ศ.
วิธที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 259

63.2) จานวนประชากรโลกใน ค.ศ.2050
วธิ ีทา

64. นักชีววิทยากลุ่มหนึ่ง ได้ศึกษาการเพ่ิมขึ้นของน้าหนักหนูทดลอง เมื่อได้รับโปรตนี ผสมสตู รพิเศษ ซึ่งประกอบไปด้วยยีสตแ์ ละ
แป้งข้าวโพด ผลการศึกษาพบว่า อัตราการเพิ่มข้ึนโดยประมาณของน้าหนักหนูทดลองกลุ่มน้ี เทียบกับร้อยละของยีสต์ในโปรตีน
ผสมสูตรพิเศษ คือ = − + 2 เมื่อ แทน น้าหนักที่เพ่ิมขึ้นของหนูทดลอง (มีหน่วยเป็นกรัม) และ แทน ร้อยละของ

25

ยสี ตใ์ นโปรตนี ผสมสตู รพิเศษ ถา้ มยี ีสตอ์ ยูร่ อ้ ยละ 10 ในโปรตนี ผสมสตู รพเิ ศษ แลว้ หนทู ดลองจะมีนา้ หนักเพม่ิ ข้นี 38 กรัม จงหาว่า
หนูทดลองจะมีน้าหนกั เพมิ่ ข้ึนก่ีกรัมถ้ามียีสต์อยูร่ อ้ ยละ 75 ในโปรตนี ผสมสตู รพิเศษ
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 260

65. จงหาพ้นื ที่ระหว่างแกน และกราฟของสมการ = 3 − 2 − 2 บนชว่ ง −1 ≤ ≤ 2

พรอ้ มคานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟกบั แกน ดว้ ย

วิธที า แนวคาตอบ 1. 5 ตารางหน่วย 2. 8 ตารางหนว่ ย 3. 37 ตารางหนว่ ย 4. 23 ตารางหนว่ ย
12 3 12 3

66. จงหาพ้ืนที่ บริเวณใต้แกน กับกราฟสมการ = ( ) = − 2 + 4 − 8 บนชว่ ง = −1 ถงึ = 4
วธิ ที า แนวคาตอบ 1. 31 1 ตารางหนว่ ย 2. 32 1 ตารางหน่วย 3. 11 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหน่วย

3 3 33

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 261

67. จงหาพนื้ ทที่ ป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = 2 − 2 และ = ( ) = บนช่วง = 0 ถึง = 1
ใหค้ านวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟทั้งสองดว้ ย

วิธที า

68. จงหาพื้นที่ที่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้งสมการ = ( ) = 2 + 4 และ = ( ) = 2 + 2 + 3 บนชว่ ง = −1 ถึง = 1
ให้คานวณแสดงการหาจดุ ตัดของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 262

69. จงหาพน้ื ที่ท่ีปดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้งสมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4 บนช่วง = 0 ถงึ = 6
ให้คานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วธิ ีทา (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย)
33

70. จงหาพืน้ ทท่ี ่ีปิดล้อมด้วยเสน้ โค้งสมการ = ( ) = 2 + 3 + 5 และ = ( ) = − 2 + 5 + 9
ให้คานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟทั้งสองด้วย

วิธีทา (แนวคาตอบ 1. 79 ตารางหนว่ ย 2. 64 ตารางหนว่ ย 3. 54 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย)
33 3 3

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 263

71. จงหาพน้ื ท่ีทป่ี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ สมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4 บนช่วง = 0 ถงึ = 6
ใหค้ านวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟท้งั สองดว้ ย

วธิ ที า (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหนว่ ย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย)
33

72. จงหาพนื้ ทีท่ ปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้งสมการ = ( ) = 2 − 4 และ = ( ) = 4 − 2
ให้คานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วธิ ที า (แนวคาตอบ 1. 79 ตารางหน่วย 2. 64 ตารางหน่วย 3. 54 ตารางหน่วย 4. 48 ตารางหน่วย)
33 3 3

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 264

สตู รการหาอนพุ นั ธ์ ( ) และ อินทิกรัลไมจ่ ากัดเขต ( )

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 265

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 266

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 267

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 268

แคลคลู สั เบอื้ งต้น (Calculus)

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1 ] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1

Sira Chali Nanny Bella

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 269

ตวั อยา่ งตารางเปรียบเทยี บผลจากการหาอนุพนั ธ์และการหาปฏิยานุพนั ธ์

อนุพันธ์ ( ) อนิ ทิกรัลไม่จากดั เขต ( )

1. (4 ) = 4 1. ∫ 4 = 4 +

2. ( 3) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 +

3. (5 2) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 +

1 1
4. (√ ) = 2√ 4. ∫ 2√ = √ +

5. (−3√ ) = − 1 −23 5. ∫ − 1 −32 = −3√ +
3 3
6. ( ) = 6. ∫ = +

7. ( ) = − 7. ∫(− ) = +

8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = +


ตัวอย่างตารางเปรียบเทยี บผลจากการหาอนพุ ันธ์และการหาปฏิยานุพนั ธ์

สูตรอนุพนั ธ์ ( ) สตู รอนิ ทกิ รัล ( )

1. ( ) = 0 2. ∫ = +


2. ( ) =1

3. ( ) = −1 3. ∫ −1 = ( −1)+1 + =
( −1)+1

4. ( +1 = ; ≠ −1 , ∈ ℝ 4. ∫ = +1 + ; ≠ −1 , ∈ ℝ
+1
)
+1
5. [ ( )] = [ ( )]

6. [ ( ) + ( )] = [ ( )] + [ ( )]

7. [ ( ) − ( )] = [ ( )] − [ ( )]

8. [ ( ) ∙ ( )] = ( ) ∙ [ ( )] + ( ) [ ( )]

= ∙
9. = [ ( )] = ( ) ℎ = ( )


10. [ (( ))] = ( ) [ ( )]+ ( ) [ ( )]
[ ( )]2

11. = 11. ∫ = +

12. = 12. ∫ = +

13. = − 13. ∫( ) = − +

14. = − 14. ∫( ) = − +

15. = 2 15. ∫( 2 ) = +

16. = 2 16. ∫ 2 = +

17. = − ∙ 17. ∫ = − +

18. = − ∙ 18. ∫ = − +

19. = 19. ∫ = +

20. ∫ 2 = − +
20. = − 2

21. = − 2 21. ∫ 2 = − +


แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 270

1.) สตู รพ้นื ฐานของอนิ ทกิ รัลไม่จากัดเขต

1. ∫ = + 2. ∫ = ∫ = + เม่อื เป็นค่าคงตัว

3. ∫ = +1 + เม่ือ ≠ −1 4. ∫ = | | +
+1
+
5. ∫ = + 6. ∫ = เมอ่ื a  0

2.) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

7. ∫ = − + 8. ∫ = +

9. ∫ 2 = + 10. ∫ 2 = − +

11. ∫ = + 12. ∫ = − +

13. ∫ = − | | + 14. ∫ = | | +

3.) ฟังก์ชนั ไฮเพอรโ์ บลิก

15. ∫ ℎ = ℎ + 16. ∫ ℎ = ℎ +

17. ∫ ℎ2 = ℎ + 18. ∫ ℎ2 = − ℎ +

19. ∫ ℎ ℎ = − ℎ + 20. ∫ ℎ ℎ = − ℎ +

4.) ฟังก์ชันพชี คณติ ในรูปเศษส่วน

21. ∫ = −1 + 22. ∫ = 1 −1 +
√ 2− 2 2+ 2
23. ∫ 1 24.
√ 2− 2 = −1 + ∫ √ 2+ 2 = ( + √ 2 + 2) +

25. ∫ = | + √ 2 − 2| + 26. ∫ = 1 | + | +
√ 2− 2 2− 2 2
−

27. ∫ = − 1 | +√ 2− 2| + 28. ∫ = − 1 | +√ 2+ 2| +
√ 2− 2 √ 2+ 2