คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 200

∎ แบบฝกึ หัดท้ายบท แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ ∎

1. จงหาลมิ ติ ต่อไปน้ี ถ้าลมิ ติ มคี า่
1.1) (7 6 − 11 4 + 9)

→0

วิธีทา

1.2) 7+ 5+1
→1

วธิ ที า

1.3) 3− 2− −2)
→2 −2
วธิ ที า

1.4) −1
→1 √| −1|

วิธีทา

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 201

1.5) ( 3−1)
→1− −1

วธิ ีทา

1.6) 2−6 +5
→2 2+4 −5
วิธที า

1.7) −1
→1 | −1|

วิธที า

1.8) | 2−4 +4|
→2 −2

วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 202

| |+1 เม่อื < 1
เมื่อ 0 ≤ ≤ 1
2. กาหนดให้ ( ) = { 1− จงหาลมิ ติ ตอ่ ไปน้ี ถา้ ลิมติ มคี ่า

+ 1

2.1) ( ) 2 − 5 + 9 เม่ือ > 2
→0+

วิธีทา

2.2) ( )
→0−

วิธีทา

2.3) ( )
→0

วธิ ีทา

2.4) ( )
→2

วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 203

2.5) ( )
→3

วิธที า

2.6) ( )
→32

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 204

2+ −6 เม่ือ ≠ 2 และ ( ) = | | จงหาลมิ ิตต่อไปนี้ ถา้ ลมิ ติ มีคา่

3. กาหนดให้ ( ) = { −2
|− − 3| เม่ือ = 2
3.1) ( )
→2

วธิ ีทา

3.2) ( )
→2

วิธที า

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 205

3.3) ( ( ))
→2 ( )

วิธที า

3.4) (5 ( ) + 4 ( ))
→−2

วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 206

4. จงพิจารณาว่าฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองที่ = 1 หรือไม่

2−1 เมือ่ ≠ 1

4.1) ( ) = { 2−
|− − 3| เมือ่ = 1
วิธีทา

4.2) ( ) = { 2 + + 1 เมอื่ ≤1
2 + 2 เมือ่ >1
วิธที า

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 207

3−1 เมือ่ ≠ 1
เมอ่ื = 1
4.3) ( ) = { −1

2

วิธที า

−1 เมอื่ 0 < < 1
เมื่อ ≥ 1
4.4) ( ) = { 9

− 10

วิธที า 10

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 208

5. กาหนดให้ ( ) = 1 จงพจิ ารณาวา่ เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่อื งบนช่วงตอ่ ไปน้ีหรือไม่
2−7 +10

5.1) (−∞ , 2)
วิธีทา

5.2) [3 , 4)
วิธีทา

5.3) (4 , 5)
วธิ ีทา

5.4) (5 , ∞)
วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 209
…
| − 2| เมือ่ < −2

6. กาหนดให้ ( ) = { + 6 เมอ่ื − 2 ≤ ≤ 1 จงพจิ ารณาวา่ เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนช่วงตอ่ ไปนีห้ รอื ไม่

2 − + 6 เมอ่ื > 1

(A) สรา้ งตาราง

( ) … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

( ) = | − 2| ; < −2

( )= + 6 ; −2 ≤ ≤ 1

( ) = 2 − + 6 ; > 1

(B) เขยี นกราฟ

6.1) (−∞ , −3)
วิธที า

6.2) (−2 , 1]
วิธีทา

6.3) [−4 , 3]
วธิ ีทา

6.4) (1 , ∞)
วิธที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 210

7. จงหา และ ที่ทาให้ฟังก์ชนั ท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปนเ้ี ปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งทีท่ กุ จดุ

7.1) ( ) = { 2 − − 1 เมื่อ ≤ −2
− เมื่อ > −2
วิธีทา

+ เมอ่ื ≤ −2
เมอ่ื 2 < ≤ 4
7.2) ( ) = { | + 1|

2 − + เมือ่ > 4

วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 211

8. ให้ และ เปน็ ฟังก์ชันที่มโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนจรงิ และ ( ) = ( ) สาหรบั ทุกจานวนจรงิ ทีไ่ มเ่ ทา่ กับ 1
ถ้า เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ีทุกจดุ จงพิจารณาวา่ เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่อื งที่ทกุ จุดดว้ ยหรือไม่

วิธีทา

9. กาหนดให้ ( ) = { − 1 − เม่ือ < 1 เม่ือ และ เป็นจานวนจริงที่ทาให้ เปน็ ฟงั กช์ นั ทต่ี อ่ เนือ่ งทุกจดุ
(2 + ) เมอื่ ≥ 1
และ ′(2) = 2 จงหา ( )
→2
วิธีทา

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 212

10. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั ดงั รูป

10.1) จงหา

10.1.1) ( ) = ………………………………………….. 10.1.13) ( ) = …………………………………………..

→−3− →2−
10.1.2) = ( ) ………………………………………….. 10.1.14) = ( ) …………………………………………..
→−3+ →2+
10.1.3) = ( ) ………………………………………….. 10.1.15) = ( ) …………………………………………..
→−3 →2
10.1.4) (−3) = .………………………………………….. = …………………………………………..
10.1.16) (2)

10.1.5) = ( ) ………………………………………….. 10.1.17) = ( ) …………………………………………..
→−1− →3−
10.1.6) = ( ) …………………………………………..
→−1+ 10.1.18) = ( ) …………………………………………..
10.1.7) = ( ) ………………………………………….. →3+
→−1
10.1.19) = ( ) …………………………………………..
→3
10.1.8) (−1) = ………………………………………….. = .…………………………………………..
10.1.20) (3)

10.1.9) ( ) = ………………………………………….. 10.1.21) = ( ) …………………………………………..
→1− →4−
10.1.10) = ( ) …………………………………………..
→1+ 10.1.22) = ( ) …………………………………………..
10.1.11) = ( ) ………………………………………….. →4+

10.1.23) = ( ) …………………………………………..
→1 →4
10.1.12) (1) = ………………………………………….. = …………………………………………..
10.1.24) (4)

10.2) จากกราฟของฟังชนั ขา้ งต้นจงพจิ ารณาว่า
10.2.1) ( 2 + ( )) มีค่าหรือไมเ่ พราะเหตใุ ด

→4

วธิ ที า

10.2.2) ถ้าตอ้ งการให้ฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองท่ี = −1 ควรนยิ าม (−1) ให้มคี ่าเป็นเทา่ ใด
วิธีทา

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 213

11. ถา้ เป็นฟงั ก์ชันซึง่ ( ) มีคา่ แต่ ( ) หาค่าไมไ่ ด้ หรอื ( ) หาคา่ ได้ แต่ ( ) ≠ ( )แล้วจะกล่าวว่า
→ →
เปน็ ฟงั กช์ นั ไม่ตอ่ เน่ืองแบบขจัดได้ ( ) ที่ =

11.1) จงเขียนตวั อยา่ งกราฟของฟังกช์ ัน ทไ่ี มต่ ่อเนือ่ งแบบขจดั ได้ ( ) ท่ี =

เมื่อ ( ) หาค่าไมไ่ ด้

วธิ ีทา

11.2) จงเขยี นตัวอยา่ งกราฟของฟงั ก์ชนั ทไี่ ม่ต่อเนื่องแบบขจดั ได้ ( ) ที่ =
เมอ่ื ( ) ≠ ( )

→

วิธที า

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 214
…
11.3) กาหนดฟงั ก์ชัน 1( ) = 2−4 และ 2( ) = − เมือ่ < 0 จงพิจารณาวา่
+2 { 1 เมือ่ = 0
> 0 123
เมื่อ
(A) สร้างตาราง

… −4 −3 −2 −1 0 4

1( ) = 2−4
+2
2( ) = − เมื่อ < 0

2( ) = 1 เม่อื = 0

2( ) = เมอื่ > 0

(B) เขยี นกราฟ

11.3.1) ฟังกช์ ัน 1 และ 2 ไมต่ ่อเน่ืองแบบขจดั ได้ท่ีใดบา้ ง
วิธีทา

11.3.2) จะตอ้ งทาอย่างไรเพือ่ ให้ฟังกช์ นั 1 และ 2 ต่อเนือ่ งที่ทุกจุด
วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 215

12. จงเขียนตัวอย่างของกราฟ และ ที่สอดคล้องกบั เงอ่ื นไขตอ่ ไปนี้
12.1) เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [−1 , 1) และ นิยามบนช่วง [−1 , 1] แต่ ไมต่ ่อเนื่องบนชว่ ง [−1 , 1]

วิธีทา

12.2) ถา้ ให้ (0) = 1 แลว้ ฟังก์ชนั จะไมต่ อ่ เนือ่ งบนชว่ ง [−1 ,0]
แตถ่ า้ ให้ (0) = −1 แล้ว ฟงั ก์ชนั จะตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [−1 , 0)

วธิ ที า

13. ให้ = 1 จงหา
2

13.1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของ เทยี บกบั เมื่อคา่ ของ เปลย่ี นจาก 2 เปน็ 3
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 216

13.2) อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เม่อื คา่ ของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.1
วิธีทา

13.3) อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของ เทียบกบั เมอ่ื ค่าของ เปลย่ี นจาก 2 เปน็ 2.01
วธิ ที า

13.4) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของ เทียบกับ ขณะท่ี = 2
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 217

14. จงหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ต่อไปนี้

14.1) = 3 + − 2√
2
วธิ ที า 3

14.2) = ( 2 + 3 − 4)3
วธิ ีทา

14.3) = (4 2 − 5 + 7)−5
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 218

14.4) = 2(5 + 1)3
วิธีทา

14.5) = (2 +1)2(1− )3
4
วิธีทา

14.6) = (6 +1)5
2−3

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 219

14.7) = √
( +1)3

วิธีทา

14.8) = −1
√ +√2 −1
วิธีทา

14.9) = 1
4√ 4−6 3+3
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 220

14.10) = 1

5

( 5+ √ 3− )3

วิธีทา

15. จงหาความชนั ของเส้นโค้งตอ่ ไปน้ี ณ จดุ ที่กาหนดใหแ้ ละหาสมการของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ณ จดุ นัน้

15.1) = 3 − 3 2 + 4 ท่ีจดุ ซง่ึ = −1

วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 221

15.2) = 2−2 ที่จดุ (4 , 2)
3 −5

วิธีทา

16. กาหนดให้ ( ) = { | − 2| เมือ่ ≤ 0

2 − 2 − 2 เม่อื > 0
จงตรวจสอบว่า มีเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งท่จี ุด (0 , 2) หรือไม่

วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 222

17. ถา้ เส้นสมั ผสั เส้นโค้ง = 2 2 + 11 + 15 ทจี่ ุด (−3 , 0) ตงั้ ฉากกับกราฟของฟงั กช์ ัน = +
ท่ีจุด (−3 , 0) จงหา −

วธิ ีทา

18. กาหนดให้ ( ) = 2+3 จงหา ′(0) และ ′(1)
+1

วิธีทา

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 223

* 19. จงหาสมการเส้นสมั ผัสวงกลม 2 + 2 = 4 ทจี่ ุด (1 , −√3)
วธิ ที า

20. ถ้าเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง = 3 + 2 + ทจี่ ุด (−1 , 3) ต้งั ฉากกับเส้นตรง 3 =
จงหาพกิ ัดของจุดตดั ของเสน้ โคง้ นก้ี ับเสน้ ตรง = 1

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 224

* 21. กาหนดให้ (3 + 5) = 2 − + 1 จงหา ′(2) , ′′(2) และ ′′′(2)
วิธีทา

22. จงหาพหุนามดีกรีสาม ( ) = 3 + 2 + + ท่ีสอดคลอ้ งกับเง่ือนไข (−1) = 2
′(0) = 5 , ′′(1) = 2 และ ′′(2) = 9

วิธที า

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 225

23. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = 3 , ′(3) = 5 , (3) และ ′(3) = 2 จงหา ′( (3))
วธิ ีทา

24. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( ( ))2 − 4 ถ้า , (1) = 1 และ ′(1) = 5 จงหา ′(1)
วิธีทา

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 226

25. กาหนดให้ ( ) = ( ∙ ( ) + ( ( ))2)23 และ (6) = 2 และ ′(6) = 1 จงหา ′(6)
2

วธิ ที า

26. ปริมาณสินค้าที่ผบู้ ริโภคต้องการซอื้ (มีหน่วยเปน็ พันชนิ้ ) ณ ระดับราคาตา่ งๆ สอดคลอ้ งกบั ฟังกช์ ัน ( ) = √2 3 6+1

เมือ่ แทนราคาสินคา้ ต่อชน้ิ (มหี น่วยเปน็ บาทต่อชิ้น) จงหา (1) , ′(1) , (10) และ ′(10)
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 227

27. เจ้าของที่ดินต้องการสร้างคอนโดมิเนียมที่แต่ละช้ันมีห้องพักจานวน 10 ห้อง บริษัทรับเหมาก่อสร้างคิดค่าก่อสร้างเริ่มต้นท่ี
10 ล้านบาท รวมกับค่าก่อสร้างต่อช้ันซึ่งข้ึนกับจานวนชั้นของอาคาร โดยเริ่มต้นท่ี 7.9 ล้านบาทต่อชั้น และแต่ละช้ันที่เพิ่มขนึ้ จะ
ทาให้ค่าก่อสร้างต่อช้ันเพ่ิมขึ้น 40,000 บาท ตัวอย่าง เช่น ถ้าต้องการสรา้ งคอนโดมิเนียมสามชั้น จะมีค่าก่อสร้างเริ่มตน้ 10 ล้าน
บาท และค่าก่อสร้างต่อช้ันเป็น 7.9 + 0.04 + 0.04 = 7.98 ล้านบาท จึงมีค่าก่อสร้างรวมเป็นเงิน 10 + 3(7.98) = 33.94
ลา้ นบาท

27.1) จงเขียนฟังก์ชัน ( ) แสดงค่าก่อสร้างท้ังหมด (มีหน่วยเป็นล้านบาท) เมื่อเจ้าของที่ดินต้องการสร้าง
คอนโดมเิ นียม ช้นั
วิธีทา

27.2) จงหาต้นทนุ ท่เี พิ่มขึ้น เมอื่ เจ้าของท่ีดินตอ้ งการเพิม่ จานวนช้นั ของคอนโดมีเนยี มจาก 10 ช้ัน เปน็ 11 ชัน้
วธิ ที า

27.3) จงหา ′(10)
วิธที า

27.4) เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ไดจ้ ากขอ้ 27.2) และ 27.3) ว่าใกล้เคยี งกันหรอื ไม่ และการคานวณในขอ้ ใดซบั ซ้อนน้อยกวา่
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 228

28. รายได้จากการขายสินคา้ ชนดิ หนึง่ จานวน ช้ิน หาไดจ้ าก ( ) = 400√1,000 − 2 เม่อื 0 ≤ ≤ 1,000 กาหนดให้
รายได้จากการขายสนิ ค้า หน่วยสดุ ท้ายคือ ( + 1) − ( )

28.1) จงหารายได้จากการขายสนิ ค้า เมื่อ ∈ { 200 , 400 , 600 , 800 }
วิธที า

28.2) จงหา ′(200) , ′(400) , ′(600) และ ′(800)
วิธที า

28.3) เปรียบเทียบผลลพั ธ์ท่ไี ดจ้ ากขอ้ 28.1) และ 28.2) ว่าใกล้เคียงกันหรอื ไม่ และการคานวณในข้อใด ซับซ้อนนอ้ ย
กวา่
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 229

29. ฟังกช์ นั ทแ่ี สดงจานวนสินค้า ทีพ่ นกั งานคนหนึง่ สามารถตรวจนบั สินค้าในคลงั ได้ เมื่อทางานเปน็ ระยะเวลา ช่วั โมง
คอื ( ) = 620 − 140

√12+ 2

29.1) จงหา ′( ) เมอ่ื ∈ { 5 , 10 , 20 , 40 }
วิธีทา

29.2) จงพิจารณาว่า คาตอบทคี่ านวณไดใ้ นขอ้ 29.1) มีคา่ เพมิ่ ข้ันหรอื ลดลงเม่อื เพม่ิ ขึ้น พรอ้ มท้งั อธิบายความหมาย
วิธที า

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 230

30. จงหาอนพุ นั ธ์อันดับ 2 และ 3 พร้อมหา ′′(−1) และ ′′′(2) ของฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี
30.1) ( ) = 5 − 3 2 + 6 4 − 5

วิธที า

30.2) ( ) = 3√ − 2 + −2
6 6
วิธที า

30.3) ( ) = (1 − 3 ) (2 3 − 3 2)


วิธที า

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 231

30.4) ( ) = 5 − 3 2 + 6 4 − 5
วธิ ที า

31. กาหนดให้ ( ) = 4 จงหา ( )( ) เม่อื เปน็ จานวนเตม็ บวกใด ๆ
1−2

วิธีทา

32. กาหนดให้ เปน็ ฟงั กช์ นั ทห่ี าอนพุ ันธ์ทกุ อนั ดบั ไดท้ กุ จุด และ ( ) = ( ) จงหา

32.1) ′( ) , ′′( ) , ′′′( ) และ (4)( ) ในรปู ของ และอนุพันธข์ อง
วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 232

32.2) รปู ท่วั ไปของ ( )( ) เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวกทม่ี ากกวา่ หรอื เทา่ กับ 2
วิธที า

33. กาหนดให้ ( ) = 2+ −1 จงระบชุ ่วงที่ เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ และชว่ งท่ี เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด
−1
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 233

34. กาหนดให้ เป็นฟงั ก์ชันทห่ี าอนพุ ันธ์ได้ และ ( ) = ( 2 − 3) ถ้า = 1 เปน็ คา่ วิกฤตเพยี งคา่ เดยี วของ
จงหาคา่ วิกฤตของ

วธิ ีทา

35. ถ้า ( ) = 3 + 2 − + 2 มคี า่ ตา่ สดุ สมั พัทธเ์ ป็น −1 ท่ี = 1 จงหา +
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 234

36. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสมั พัทธ์ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี
36.1) ( ) = 4 − 18 2

วิธีทา

36.2) ( ) = 27 − 2 4
วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 235

37. จงหาคา่ สูงสดุ สัมบูรณ์และค่าต่าสดุ สัมบรู ณ์ของฟังก์ชนั ต่อไปนี้
37.1) ( ) = 5 − 2 − 2 บนช่วง [−2 , 3]

วิธีทา

37.2) ( ) = 3 − 6 2 − 15 + 7 บนช่วง [0 , 6]
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 236

37.3) ( ) = 3 4 + 6 3 − 24 2 + 18 − 7 บนชว่ ง [−3 , 2]
วธิ ที า

* 37.4) ( ) = 6 5 + 15 4 − 130 3 − 210 2 + 720 + 976 บนช่วง [−2 , 4]
วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 237

38. กาหนดให้ระยะทางระหว่างจดุ และเสน้ โคง้ คือ ระยะทางทีส่ น้ั ทส่ี ดุ ระหวา่ งจุด และจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง จงหา
38.1) ระยะทางระหว่างจดุ (3 , 0) และเส้นโค้ง = 2

วิธีทา

38.2) ระยะทางระหวา่ งจดุ (0 , 3) และเสน้ โคง้ = 2 เมื่อ −3 ≤ ≤ 3
วิธีทา

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 238

39. รูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัวทม่ี ีความยาวเส้นรอบรูป 6 เซนตเิ มตร จะตอ้ งมคี วามายาวฐานเทา่ ใดจึงจะมีพ้ืนท่มี ากทสี่ ุด
วิธีทา

40. โรงงานแห่งหน่ึงต้องการผลติ บรรจุภณั ฑ์ทรงกระบอกซึ่งมีความจุ 20π ลูกบาศก์เซนตเิ มตร โดยค่าวัสดทุ ่ีใช้ทาฝาและฐานของ
ทรงกระบอกเท่ากับ 100 บาทต่อตารางเซนติเมตร และค่าวัสดุที่ใช้ทาด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 80 บาทต่อตาราง
เซนติเมตร ถ้าโรงงานต้องการให้ต้นทุนการผลิตบรรจุภัณฑ์ต่าท่ีสุด จะต้องออกแบบบรรจุภัณฑ์ ให้มีความยาวรัศมีของฐานและ
ความสูงเปน็ เทา่ ใดและจะใช้ตน้ ทุนเทา่ ใดในการผลิตบรรจุภณั ฑ์ 1 ชนิ้
วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 239

⊠ 41. ต้องการทากรวยกระดาษสาหรบั ด่ืมนา้ ทมี่ ีพื้นที่ผวิ ข้าง 30π ตารางหน่วย จงหาสว่ นสงู เอียงและรัศมขี องฐานทที่ าให้กรวย
มีปริมาตรมากท่สี ุด
วิธีทา

⊠ 42. กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่ง มีพืน้ ทีผ่ ิวรวมฝา 80π ตารางหนว่ ย จงหาความสูงและรัศมีของฐานท่ที าให้กระป๋องมีปริมาตร
มากท่สี ดุ
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 240

⊠ 43. ในงานประเพณบี ญุ บงั้ ไฟ กล่มุ คนรกั คณติ ได้ส่งบั้งไฟเข้ารว่ มการแขง่ ขันจดุ บั้งไฟ ถ้าความสูงของบง้ั ไฟ (มหี นว่ ยเป็นเมตร)

พิมพส์ มการท่ีนี่เมือ่ เวลาผา่ นไป วินาที หาได้จาก

ℎ( ) = { 10 2 − 3 เมือ่ 0 ≤ ≤ 10 จงหา

2

625 − 5( − 15)2 เม่ือ 10 ≤ ≤ 15 + 5√5

43.1 ℎ′( ) เม่อื ∈ ( 0 , 15 + 5√5)

วธิ ีทา

43.2 เวลาท่ีบั้งไฟขนึ้ ไปสงู ท่สี ุด และความสูงของบ้งั ไฟ ณ เวลาน้นั
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 241

44. โรงงานแหง่ หนึง่ ผลิตเสอ้ื โดยฟงั ก์ชันการผลติ คือ = 13 โดยท่ี

10 4 4

แทน จานวนเส้อื ท่ีผลิตได้ใน 1 ชว่ั โมง (มหี นว่ ยเปน็ ตวั )

แทน จานวนแรงงานทใี่ ช้ใน 1 ชวั่ โมง

และ แทน จานวนปจั จัยทุนทีใ่ ช้ใน 1 ชัว่ โมง

จงหา จานวนเส้ือท่ีมากที่สุดที่โรงงานแห่งนี้จะผลิตได้ใน 1 ช่ัวโมง ภายใต้งบประมาณ 100,000 บาท ถ้าแรงงานหน่ึง

หนว่ ยมคี า่ ใช้จา่ ย 100 บาท

วิธีทา

45. จงหา
45.1) ∫(5 4 − 4 3 + 6 2 + 7)

วิธที า

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 242

45.2) ∫ 4 − 3 − 2 + 1 2)

(3 3 4 4

วธิ ีทา

45.3) ∫(5 2 + √ + 1)
วธิ ที า

45.4) ∫(2 )( 2 + 1)2
วธิ ที า

45.5) ∫ ( − 1 )
√

วิธที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 243

45.6) ∫ √ ( 3 + 2 + + 1)
วิธีทา

45.7) ∫ 2+ 3
5
วิธที า

45.8) ∫( 2 + 1)( 4 + 2 + 1)
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 244

46. กาหนดให้ เป็นฟงั ก์ชันซ่ีง ′′( ) = 6 − 2 และ มคี ่าตา่ สุดสัมพัทธ์เป็น −1 ที่ = 1 จงหา ( )
วธิ ที า

47. จงหาสมการของเสน้ โค้ง เมอ่ื กาหนดความชนั ของเสน้ โค้งทจี่ ุด ( , ) ใด ๆ และจดุ ทเ่ี สน้ โคง้ ผ่าน ดังน้ี
47.1) ความชันของเส้นโค้งท่จี ดุ ( , ) ใด ๆ คอื 4 3 + 9 2 − 5 และผา่ นจดุ (0 , 5)

วธิ ที า

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 245

47.2) ความชันของเส้นโค้งทีจ่ ดุ ( , ) ใด ๆ คือ 5 − 3√ + 2 และผ่านจุด (4 , −2)
วธิ ที า

48. จงหาความเรง่ ของวตั ถุ ( ) และตาแหนง่ ของวตั ถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ กาหนดความเรว็ ของวัตถุ ( ) และ
ตาแหน่งของวตั ถุ ขณะเวลา = 3 ดังน้ี

48.1) ( ) = 5 2 − 2 , 0 ≤ ≤ 16 ; (3) = 6
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 246

48.2) ( ) = 5 − 6 2 − 2 3 , 0 ≤ ≤ 8 ; (3) = −4
วิธที า

49. กาหนดให้ ( ) เป็นปฏิยานพุ นั ธ์ของ ( ) จงหา ∫ ( 2+3 +2 ( )+6 ( )) ในรูปของ และ ( )

วธิ ีทา +3

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 247

50. ในเหตกุ ารณไ์ ฟไหมป้ า่ ครงั้ หนง่ึ อัตราการเปล่ียนแปลงของจานวนตน้ ไมท้ ถ่ี ูกเผา เมอื่ เวลาผ่านไป ชว่ั โมง คอื = 6

ถา้ ณ เวลาเริ่มตน้ มตี น้ ไมท้ ถ่ี กู เผา 100 ตน้ จงหาวา่ จะมตี น้ ไมท้ ถ่ี กู เผาก่ีตน้ เมือ่ เวลาผา่ นไป 10 ชว่ั โมง

วธิ ีทา

51. พนักงานทีม่ ปี ระสบการณ์ จะใช้เวลาในการผลิตสนิ คา้ ลดลง สมมตุ วิ ่าอัตราการเปล่ยี นแปลงของจานวนชว่ั โมงทีพ่ นกั งาน
คนหนง่ึ ใช้ในการผลติ สนิ คา้ ชิ้น คือ ′( ) = 25 − 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 12 จงหาจานวนชวั่ โมงที่พนักงานคนนใี้ ช้
ในการผลิตสินค้า 6 ชิน้ แรก และ 12 ช้ินแรก พรอ้ มท้งั อธิบายความหมาย

วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 248

52. ถา้ วัตถเุ คล่ือนทใ่ี นแนวตรงจากจดุ หยุดน่งิ ตาแหนง่ ศูนยเ์ มตร ด้วยความเร่งคงที่ เมตรต่อวนิ าท2ี
จงหาฟงั กช์ นั แสดงตาแหนง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา ใด ๆ

วิธีทา

53. เมอื่ ปาวัตถใุ นแนวด่งิ ลงมาจากดาดฟ่ตกึ แห่งหนึ่ง ถ้าความสงู ของวตั ถุจากพน้ื ดนิ (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา วินาที
หาไดจ้ าก ( ) = −4.9 2 − + 20 จงหา
53.1) ความสงู ของดาดฟา้ ตึก

วธิ ที า

53.2) ความเร็วตน้ ของวัตถุ
วธิ ที า

53.3) ขณะทีว่ ตั ถมุ ีความเร็ว −10.8 เมตรตอ่ วินาที วตั ถุอยสู่ ูงจากพน้ื ดินก่เี มตร
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 249

⊠ 54. รถยนต์ 2 คัน วิง่ ตามกันบนถนนสายตรงที่อนุญาตใหร้ ถเดินทางเดยี ว ดว้ ยความเรว็ 40 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมงเทา่ กนั และอยู่
หา่ งกนั 1 กโิ ลเมตร เนือ่ งจากถนนโลง่ มาก ณ เวลาหนงึ่ รถท้งั สองจึงเรง่ เครื่องพร้อมกัน โดยคนั หน้าวิ่งด้วยความเร่ง 40 กิโลเมตร

36

ต่อชั่วโมง2 ในขณะที่รถโดยคันหลังวิ่งด้วยความเร่ง 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง2 ถ้าคนขับรถยนต์ทั้งสองคันไม่ลดความเร่ง จะเกิด
เหตกุ ารณใ์ ดข้ึน เมื่อเวลาผ่านไป 2 นาที
วิธที า

55. จงหาปริพนั ธจ์ ากดั เขตตอ่ ไปน้ี
55.1) ∫−12( 3 − 3 2 + 3)

วธิ ีทา