คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 150

ดงั นั้น จะไดว้ ่า ความเร็ว เป็นปฏยิ านุพันธข์ องความเร่ง และตาแหน่ง เปน็ ปฏยิ านุพันธ์ของความเรว็ และเรา
สามารถแสดงความสมั พนั ธ์ของปรมิ าณท้งั 3 ชนิด

⟶ = ⟶ ⟶ = ⟶

(ระยะทาง) ⇌ (ความเรว็ ) ⇌ (ความเรง่ )

⟵ ∫ = ⟵⟵ ∫ = ⟵

เม่ือ คือ ระยะทาง มีหน่วยเป็นเมตร ( ) , คือ ความเร็ว มีหน่วยเป็นเมตร/วินที ( / ) และ คือ ความเร่ง มี
หน่วยเป็นเมตร/วินที2 ( / 2) ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

ตัวอย่างที่ 92 ณ เวลา ใด ๆ วัตถุเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร่ง −3 เมตรต่อวินาที2 ถ้าขณะท่ีเร่ิมต้นจับเวลา ตาแหน่ง
ของวัตถุอยู่ที่ 3 เมตร และวตั ถุเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็ว 1 เมตรต่อวนิ าที จงหา

92.1) ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

92.2) ตาแหน่งของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

92.3) ระยะหา่ งของวตั ถุจากตาแหน่งเร่ิมต้น ขณะเวลา 2 และ 4 วนิ าที
วิธที า

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 151

ตวั อยา่ งท่ี 93 เมอื่ ปลอ่ ยวัตถุตกจากท่ีสงู แบบเสรี วตั ถจุ ะเคล่ือนทีด่ ว้ ยความเร่งโนม้ ถ่วงของโลก ( ) ถา้ กาหนด = −9.8 เมตร
ต่อวนิ าท2ี และขณะทเ่ี รมิ่ ต้นจับเวลา ตาแหน่งของวตั ถุอย่ทู ่ี 10 เมตร และวัตถมุ ีความเร็วเป็นศนู ย์ จงหา

93.1) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา ใด ๆ และความเรว็ ของวัตถขุ ณะ = 1 วนิ าที
วธิ ที า

93.2) ตาแหน่งของวตั ถุขณะเวลา ใด ๆ และตาแหนง่ ของวตั ถุขณะ = 1 วินาที
วิธีทา

ตัวอยา่ งท่ี 94 โยนวตั ถุชน้ิ หน่ึงข้นึ จากพนื้ ดนิ ในแนวดิ่งด้วยความเร็วตน้ 19.6 เมตรตอ่ วนิ าที ถา้ กาหนดความเร่งโน้มถว่ งของโลก
เท่ากบั −9.8 เมตรตอ่ วนิ าท2ี และขณะที่เริ่มต้นจบั เวลา ตาแหน่งของวตั ถุอยู่ที่ศูนย์ จงหา

94.1) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา ใด ๆ และความเรว็ ของวัตถขุ ณะ = 1 วินาที
วธิ ีทา

94.2) ตาแหนง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา ใด ๆ และตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะ = 2 วนิ าที
วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 152

94.3) เวลาทว่ี ัตถุตกถงึ พ้นื ดิน
วิธีทา

94.4) เวลาที่วัตถขุ ้ึนไปถงึ ตาแหนง่ สงู สดุ และตาแหน่งสงู สุดของวัตถุ
วธิ ที า

ตวั อย่างท่ี 95 สมมติวา่ อัตราการเปลีย่ นแปลงของการใชโ้ ทรศัพท์มอื ถอื ทั่วโลก (มีหนว่ ยเป็นลา้ นเคร่อื งตอ่ ปี) ในปีท่ี นับจาก ค.ศ.
2000 สามารถประมาณไดด้ ้วยฟังก์ชัน ′( ) = 56 + 166 ถ้าใน ค.ศ. 2011 มีการใช้โทรศัพทม์ ือถอื ทั่วโลก 5,960 เครื่อง
จงหาฟังกช์ ันแสดงจานวนการใช้โทรศพั ท์มือถือทวั่ โลก) ในปที ่ี นบั จาก ค.ศ. 2000
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 153

กจิ กรรมระหวา่ งเรยี น 15 : แบบฝึกหัด 2.9.2 ปฎยิ านพุ ันธแ์ ละการประยกุ ต์ของปริพันธ์ (ปฏยิ านพุ นั ธ์)

1. จงแสดงวา่ ( ) = √ 2 − 1 เปน็ ปฏิยานพุ นั ธห์ น่งึ ของฟังก์ชนั ( ) =
√ 2−1
วิธที า

2. จงหา
2.1) ∫( 4 + 3 2 + 5 )

วธิ ที า

2.2) ∫(2 3 − 3 2 + 6 + 2 −2)
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 154

2.3) ∫ ( 10 − 1 3)
วิธีทา

2.4) ∫ ( 1 2 − 2 4)
วิธที า

2.5) ∫ √
วธิ ที า

2.6) 32

∫ ( 2 − 3)

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 155

2.7) ∫ ( 1 2 − 1)

วิธีทา 2√

2.8) ∫ 2( − 3)
วิธที า

2.9) ∫ √ ( + 1)
วธิ ที า

2.10) ∫ ( − 32)
วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 156

2.11) ∫( 2 + 5 + 1)
วธิ ที า

2.12) ∫(6√ + 15)
วธิ ที า

2.13) ∫( 3 + 5 2 + 6)
วิธีทา

2.14) ∫ (√6 + 8√ )
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 157

2.15) ∫( 4 − 12 3 + 6 2 − 10)
วธิ ีทา

3. ถา้ ′( ) = และ (2) = 2 จงหา ( )
วิธีทา

4. กาหนดให้ ′′( ) = −2 สาหรับ ∈ ℝ และ มคี า่ สูงสดุ สมั พทั ธ์เปน็ 2 เมือ่ = 1 จงหา ( )
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 158

5. จงหาสมการของเสน้ โค้ง เม่อื กาหนดความชนั ของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ และจดุ ทีเ่ สน้ โค้งผ่าน ดงั นี้
5.1) ความชนั ของเสน้ โค้งท่ี ( , ) ใด ๆ คือ 2 − 3 + 2 และผ่านจดุ (2 , 1)

วิธที า

5.2) ความชนั ของเส้นโค้งท่ี ( , ) ใด ๆ คือ 2 3 + 4 และผา่ นจดุ (0 , 5)
วิธที า

5.3) ความชนั ของเส้นโคง้ ท่ี ( , ) ใด ๆ คือ 6 + 3 2 − 2 4 และผ่านจดุ (1 , 0)
วิธที า

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 159

6. จงหาความเร็วของวตั ถุ ( ) และตาแหน่งของวัตถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ เม่อื กาหนดความเร่งของวัตถุ ( ) ความเรว็
และตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะเวลา = 0 ดังนี้

6.1) ( ) = 6 − 2 , 0 ≤ ≤ 3 , (0) = 5 , (0) = 0
วิธีทา

6.2) ( ) = 120 − 12 2 , 0 ≤ ≤ 10 , (0) = 0 , (0) = 4
วธิ ีทา

6.3) ( ) = 2 + 5 + 4 , 0 ≤ ≤ 15 , (0) = −2 , (0) = −3
วิธที า

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 160

7. โยนวัตถชุ ้นิ หนึ่งขึ้นจากพื้นดินในแนวดิง่ ดว้ ยความเรว็ ตน้ 98 เมตรตอ่ วินาที ถา้ กาหนดความเร่งโนม้ ถว่ งของโลกเทา่ กับ −9.8
เมตรตอ่ วนิ าท2ี และขณะที่เร่ิมตน้ จับเวลา ตาแหน่งของวัตถุอยู่ที่ศนู ย์ จงหา

7.1) ตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะเวลา ใด ๆ
วิธีทา

7.2) เวลาทว่ี ตั ถุข้ึนไปถงึ ตาแหน่งสงู สุด และตาแหนง่ สูงสดุ ของวัตถุ
วธิ ีทา

7.3) เวลาท่ีวัตถขุ ้ึนอยใู่ นตาแหน่งทส่ี ูงจากพืน้ ดนิ 249.9 เมตร
วิธีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 161

8. รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานี โดยขณะเรมิ่ ต้น ตาแหน่งรถไฟอยูท่ ่ศี ูนยแ์ ละรถไฟมีความเรว็ เปน็ ศูนย์ ถ้า ณ เวลา ใด ๆ
รถไฟแลน่ ดว้ ยความเรง่ 1 (20 − ) เมตรตอ่ วินาที2 จนวินาทีท่ี 20 หลงั จากนั้นรถไฟแลน่ ต่อไปด้วยความเรว็ เทา่ เดมิ โดยตลอด

4

จงหาว่าหลงั จากวินาทีที่ 20 รถไฟแลน่ ด้วยความเรว็ เท่าใด และเมอ่ื เวลาผา่ นไป 30 วินาที รถไฟจะอยู่หา่ งจากสถานีต้นทางเปน็
ระยะทางเท่าใด
วธิ ีทา

9. จากการทดลองเพาะเล้ียงปรสิตในจานเพาะเช้ือ พบว่าอัตราการเปล่ียนแปลงของจานวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์) ณ
เวลา สัปดาห์ คอื ( ) = 1,200 2 − 15 4 จงหาจานวนปรสติ ณ เวลา ใดๆ เมื่อกาหนดใหจ้ านวนปรสติ เร่ิมตน้ คอื 600 ตัว



วิธีทา

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 162

10. ต้นไมต้ ้นหน่งึ มอี ตั ราการเติบโตเปน็ ( ) = 1 1 โดยท่ี ( ) แทนความสงู (มหี น่วยเปน็ เมตร) ณ เวลา ปี ถา้ ต้นไมส้ ูง

4 4

1 เมตร ณ เวลาเร่ิมต้น จงหาวา่ ต้นไมต้ น้ น้ีจะสงู เทา่ ใด ณ เวลา ปี

วธิ ที า

11. บริษัทแห่งหนึ่งพบว่า อัตราการเปล่ียนแปลงของค่าใช้จ่ายสาหรับงานชนิดหนึ่ง (มีหน่วยเป็นร้อยบาทต่อวัน) คือ
( ) = 120 + 60 เม่ือ แทนจานวนวันนับตั้งแตเ่ ร่ิมงาน จงหา

11.1) คา่ ใช้จ่ายรวม หากงานดงั กล่าวใช้เวลา 10 วัน
วิธที า

11.2) คา่ ใชจ้ า่ ยรวมนบั ตงั้ แตว่ ันท่ี 10 ถึง 25
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 163

12. อัตราการเปล่ียนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ นับจาก ค.ศ. 2000
สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน ( ) = 2.17 2 − 9.74 + 19.956 โดยที่ 15 ≤ ≤ 40 จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่
อาศยั ทงั้ หมดตัง้ แต่ ค.ศ. 2015 ถึง 2040
วิธที า

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 164

∎ 2.9.4 การอนิ ทเิ กรตโดยการแทนคา่ ( )

เป็นเทคนิคการอินทิเกรตสาหรบั การหาอนิ ทิกรัลในรูปแบบ ∫ ( ( )) ′( ) = ∫ ( ) ซ่งึ มสี ตู ร โดย

∎ ∫ ( ( )) ′( ) = ∫ ( )

เม่อื = ( ) และ = ′( )

ตวั อยา่ ง 96. จงหา ∫(2 + 3)4

วธิ ที า ให้ = 2 + 3

= (2 + 3)



= 2



= 2

= = 1 [แทน ]

22

จากโจทย์ ∫(2 + 3)4 = ∫( )4

= ∫( )4 1

2 +1 +

= 1 ∫( )4 [ ใชส้ ตู ร ∫ = +1 เมื่อ เปน็ คา่ คงตัว ]
2
= 1 ( )4+1 +
2 4+1
= 1 ( )5 +
25
= ( )5 +
10 [แทน ]

= (2 +3)5 + หรอื
10
= 1 (2 + 3)5 +
10 ∎

ตัวอยา่ ง 97. จงหา ∫ 4(4 − 1)3

วิธที า จากโจทย์ ∫ 4(4 − 1)3 = ∫(4 − 1)3 4 …………… (1)

ให้ = 4 − 1

= (4 − 1)



= 4



= 4

จาก (1) = = 1

44

∫ 4(4 − 1)3 = ∫(4 − 1)3 4 …………… (1)

= ∫( )3 [แทน = 4 ]

= ∫( )3 [ ใช้สตู ร ∫ = +1 + เม่อื เปน็ คา่ คงตัว ]
+1
= ( )3+1 +
3+1
= ( )4 +
4 [แทน ]

= (4 −1)4 + หรอื
4
= 1 (4 − 1)4 +
4 ∎

ตวั อยา่ ง 98. ∫ ( + 3) จาก ∫ ( + 3) = ∫ [แทน = ]
วธิ ีทา
= ∫ [แทน = ]
ให้ = + 3 , = ( + 3)
= − cos + [แทน ]
= 1 , = 1 ∙
= − cos ( + 3) + ∎
=

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 165

กจิ กรรมระหว่างเรียน 16 : แบบฝึกหดั 2.9.4 การอนิ ทิเกรตโดยการแทนค่า ( )

1. ∫( 2 + 2)99 2
วิธที า

2. ∫ 2(3 − 4 )−2
วธิ ที า

3. ∫ √3 + 2
วิธีทา

4. ∫ 3
√ 2+1
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 166

5. ∫ cos 5
วธิ ที า

6. ∫ 2 2
วิธที า

7. ∫ 2 2
วิธีทา

8. ∫ 3 ; =
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 167

∎ 2.9.5 การอนิ ทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ( )

การอินทิเกรตทีละสวน คือการอินทิเกรตฟังก์ชันที่ประกอบด้วย ฟงกชันสองรูป คูณกัน เช่น ∫ 2 sin 2 ,
∫ sin 2 cos 3 , ∫ 2 , ∫ เป็นต้น ฟังก์ชันลักษณะนี้สามารถอินทิเกรตไดโ้ ดยวิธีอินทิเกรตทีละสว่ น
โดยเมือ่ และ เป็นฟงั ก์ชันทห่ี าอนพุ ันธ์ได้

จาก ( ) = +

= −

อนิ ทเิ กรตทั้งสองข้าง ∫ = ∫ − ∫

∫ = − ∫

ดงั น้นั การอินทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ( ) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตสาหรับการหาอินทกิ รลั
ซงึ่ มสี ูตร โดย

∎ ∫ = − ∫

∎ หลักในการอนิ ทเิ กรตโดยใชสตู ร มหี ลกั การ ดงั น้ี

1. แบงฟงกชันออกเปน 2 สวนคอื สวนของ และสวนของ
2. สวนของ ควรจะเปนสวนทห่ี าอนพุ นั ธไดงาย
3. สวนของ ควรจะเปนสวนทีอ่ ินทเิ กรตไดงาย

∎ หลักและขั้นตอนในการอินทิเกรตโดยใชสตู ร

1. เมื่อเลอื ก สวนของ และสวนของ ไดแลวใหหา และอนิ ทิเกรต พื่อหา
2. นาคาทีไ่ ดจากขอ 1. ไปแทนคาในสูตร ∫ = − ∫
3. ถาสวนของ ∫ ไมสามารถหาคาตอบไดใหทาการอนิ ทเิ กรตทลี ะสวนตอ ไปเรอ่ื ยๆ จนกวาจะมคี าตอบ

หรือมีพจนของ ∫ เทากับพจนดานซายมือ
4. ยายพจน ∫ ไปดานขวามือแลวแทนคาหาคาตอบ
5. คาคงที่ของการอนิ ทเิ กรต ใหเขยี นตอทายผลของการอนิ ทเิ กรตทุกครัง้

ตวั อยา่ ง 99. จงหา ∫ cos ,

วิธที า จากสูตร ∫ = − ∫

ให้ = หาอนพุ ันธท์ ง้ั สองขา้ งจะได้ =


นั่นคอื =1 ซึ่ง = 1 ∙ ดังนัน้ =

และให้ = cos อนิ ทิเกรตทัง้ 2 ข้าง จะได้

∫ = ∫ cos

= sin +

ดงั น้ัน = sin

แทนค่า = , = , = cos , ∫ = ∫ cos และ = sin

ลงในสูตร ∫ = − ∫

จะได้ ∫ cos = − ∫

= sin − ∫

= sin − (− cos ) +

= sin + cos + ∎

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 168

ตวั อยา่ ง 100. จงหา ∫ ln

วธิ ที า จากสูตร ∫ = − ∫

ให้ = จะได้ = ( ) นัน่ คอื = 1 ดงั น้นั = 1

และให้ = อนิ ทิเกรตท้งั 2 ขา้ ง จะได้

∫ = ∫

= +

ดงั นน้ั =

แทนค่า = ln , = 1 , = , =


ลงในสตู ร ∫ = − ∫

จะได้ ∫ = ( ) − ∫ 1

= ( ) − + ∎

ตัวอย่าง 101. จงหา ∫ 2 sin 2

วธิ ีทา จากสตู ร ∫ = − ∫
ให้ = 2 จะได้ = 2 = 2

และให้ = 3 อนิ ทิเกรตท้งั 2 ข้าง จะได้

∫ = ∫ 3

= −1 ∫ 3 3
3
= −1 cos 3 +
3
แทนค่า = 2 , = 2 , และให้ = 3 และ = −1 3 + ลงในสูตร
3
จากสูตร
∫ = − ∫

จะได้ ∫ 2 3 = ( 2)( −1 3 ) − ∫( −1 3 )(2 )
3 3
= − 2 3 + 2 ∫ 3
33
นั่นคือ ∫ 2 3 = − 2 3 + 2 ∫ 3 ......... (1)
33
จะเห็นวา่ เทอมของ 2 ยงั หาคาตอบไมไ่ ด้ ดังน้นั จงึ ตอ้ งนาเทอมนี้ไปอินทิเรตต่อโดยหา ∫ 3
3 ∫ 3

จาก ∫ 3 ให้ = , = และ = 3 อนิ ทิเกรตท้ัง 2 ข้าง จะได้

∫ = ∫ 3

= 1 ∫ 3 3
3
= 1 3
3
แทนคา่ จาก = , = และ = 3 และ = 1 3 แทนลงในสตู ร
3
(1
∫ 3 = 3 sin 3 − ∫ sin 3 )
3
sin 3 −1
= − 3 ∫(sin 3 )
3
= sin 3 − −1 (− −1 3 ) +
3 33
= sin 3 + 1 cos 3 +
39
sin 3 + 1 cos 3 +
น่นั คอื ∫ 3 = ........(2) แทนใน (1)
39
− 2 3 + 2 [1 cos 3 + ]
จะได้ ∫ 2 3 =
3 39
= − 2 3 + 2 [ sin 3 + 1 cos 3 + ]
3 33 9
= − 2 3 + 2 3 + 2 3 + ∎
3 9 27

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 169

กจิ กรรมระหว่างเรียน 17 : แบบฝกึ หัด 2.9.5 การอินทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ( )

1. ∫ 2
วิธที า

2. ∫ 2
วธิ ีทา

3. ∫ 2
วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 170

4. ∫ cos
วิธที า

5. ∫ 2
วิธีทา

6. ∫ √
วธิ ที า

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 171

∎ * 2.9.6 กฎของโลปติ าล ( ’ )

ในกรณที ี่หาลมิ ิตของฟังก์ชันใดๆ ทีเ่ ป็นฟังก์ชนั เศษส่วนหรือฟงั กช์ ันตรรกยะ เม่ือ มคี า่ เข้าใกล้ แลว้ ไดค้ า่ ของฟังกช์ ัน

เปน็ ศูนย์ ซงึ่ ถ้า ถา้ ( ) และ ( ) ต่างก็มีค่าเปน็ ศูนย์ หรือไม่นยิ ามที่ = นัน่ คือ ( ) อย่ใู นรปู ของ 0 หรอื ∞ แลว้
( )
0∞
จะเป็นนกรณีท่ีหาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบท่ีไม่กาหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล

( ’ℎ ) ทนี่ ิยามโดย

∎ กฎของโลปติ าล ( ’ )

ถ้า ( ) และ ( ) ต่างกม็ ีคา่ เป็นศนู ย์ หรอื ไมน่ ยิ ามที่ =

น่ันคอื ( ) อยูใ่ นรปู ของ 0 หรอื ∞ แลว้
( ) 0∞

( ) = ( ) = ′( ) เมือ่ = ′( ) หาคา่ ได้
( ) ′( ) ′( )
→ → → →
( )


ข้อสังเกต : 1) ถ้า ′( ) ยังอยู่ในรูป อีก ใหใ้ ช้กฎของโลปิตาลซ้าไปเรื่อยๆ จนไมอ่ ยู่ในรูป 0 หรอื ∞ กลา่ วคอื
′( ) 0 ∞

( ) = ′( ) = = ′′( ) ′′′( ) = … = ( )( ) หาค่าได้
( ) ′( ) ( )( )
→ → → ′′( ) → ′′′( ) →

ปติ าล 2) ถา้ ฟังกช์ ันแทนค่าแล้วลมิ ติ อยใู่ นรปู 0 ∙ ∞ , ∞ ± ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ ต้องทาให้อยูใ่ นรูป 0 หรอื ∞ แลว้ จงึ ใชก้ ฎของโล

0∞

ดงั นน้ั จากตวั อยา่ งท่ี 14 ถ้าหา −1 ให้ ( ) = −1 เราทราบว่าเม่ือแทน = 1
2−1 2−1
→1 0
(1)−1 1−1 0
จะได้ (1)2−1 1−1
= = = (1) เปน็ รปู แบบท่ไี ม่กาหนด ( ∶ )

เราจะหาลิมิตของฟังก์ชันโดยการ (1) แยกตัวประกอบ (แยก ) (2) คูณเข้าด้วยสังยุค ( ) หรือ (3) พิจารณา

หาลิมิตโดยใชก้ ฎของโลปติ าล ( ’ℎ ) ซงึ่ หาอนุพันธข์ องตัวเศษและตวั ส่วน จะได้

ดังนัน้ −1 = ( −1)
2−1 →1
→1
( 2−1)

= 1 เมื่อ ≠ 0
→1 2
= 1 =1
2(1) 2

นั่นคือ −1 1
2−1 2
= ∎

→1
ซ่งึ ( ) = ′( ) และ ( ) = ′( ) คืออนุพันธข์ องฟังก์ชนั และ ตามลาดบั


ตวั อยา่ งที่ 102 จงหา 10−1
→1 −1
วิธที า ให้ ( ) = 10−1 เราทราบว่า → 1 แทน = 1
−1
(1)−1 1−1 0
(1)2−1 1−1 0
จะได้ = = = (1) เป็นรูปแบบทีไ่ ม่กาหนด ( ∶ )

พิจารณาหาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) โดยหาอนพุ นั ธข์ องตวั เศษและตัวส่วน จะได้

ดงั นน้ั 10−1 = ( 10−1)
→1 −1 →1

( −1)

= 10 9−0
→1 1−0
= 10 9
→1
= 10(1)9

= 10

น่นั คือ = 10−1 10 ∎

→1 −1

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 172

ตวั อย่างที่ 103 จงหา sin
→0
= 10−1
วิธที า ให้ ( ) −1 เราทราบว่า → 0 เมอ่ื แทน = 0

จะได้ = (0) 0 = 0 เป็นรปู แบบทไ่ี ม่กาหนด ( ∶ )
0 0
พิจารณาหาลิมติ โดยใชก้ ฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตวั สว่ น จะได้

ดงั น้ัน sin = ( )
→0 →0

( )

= cos
→0 1
= cos
→0
= cos 0

=1

นน่ั คือ = sin 1 ∎

→0

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 18 : แบบฝึกหดั * 2.9.6 กฎของโลปติ าล ( ’ )

จงตรวจสอบและใชก้ ฎของโลปติ าล ( ’ ) หาค่าของลิมติ ติ อ่ ไปน้ี
1. 2−4

→2 −2

วธิ ที า

2. sin 2

วธิ ีทา →0

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 173

3. 2 −2
→1 3+ −2
วิธที า

4. 2−1
→1 3−1
วิธีทา

5. 5+ +30
→2 3+8
วธิ ที า

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 174

6. 5−32
→2 4−2 +12

วิธที า

7.
→0

วิธีทา

8. ln

วธิ ที า →∞

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 175

2.10 ปริพันธจ์ ากดั เขต ( )

บทนิยามของอนุพันธ์ท่ีนักเรียนได้ศึกษาในหัวข้อ 2.3 มีแนวคิดมาจากการหาอัตราการเปล่ียนแปลงขณะหนึ่ง ส่วนบท
นิยามของปริพันธ์จากัดเขตท่ีจะกล่าวถึงในหัวข้อน้ี มีแนวคิดมาจากการหาพ้ืนที่ ดังน้ัน เพ่ือให้ง่ายต่อการทาความเข้าใจเร่ือง
ปริพนั ธจ์ ากัดเขต จะเริ่มตน้ หัวขอ้ นดี้ ้วยตัวอยา่ งเกย่ี วกับการหาพืน้ ที่ ดงั นี้

พิจารณาพ้ืนที่ของบริเวณซ่ึงปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 แกน และเส้นตรง = 1 จะได้ว่า บริเวณท่ีต้องการหา
พ้ืนท่คี ือบริเวณทีแ่ รเงาดงั รูปที่ 35

รปู ท่ี 35

เนือ่ งจากไมม่ สี ตู รโดยตรงทใี่ ชใ้ นการหาพน้ื ท่ีของบริเวณทีแ่ รเงา จงึ จะประมาณพนื้ ทีด่ ังกลา่ วดว้ ยพืน้ ท่ีของรปู ส่ีเหลย่ี มมุม
ฉากเลก็ ๆหลายๆ รูปทใี่ ห้พื้นท่ีใกล้เคียงกับพื้นที่ทกี่ าหนด เร่มิ จากแบง่ ช่วงปิด [0 , 1] ออกเปน็ ชว่ งย่อย โดยที่แต่ละชว่ งยอ่ ยมคี วาม
กว้างเท่ากัน จากน้ันสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากบนแต่ละช่วงย่อย โดยมีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐานของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก และค่า
ของฟังก์ชัน ที่จุดใดจุดหน่งึ บนช่วงยอ่ ยน้ันเป็นความสูงของรปู ส่เี หล่ียมมุมฉาก เพ่ือความสะดวก ในท่ีน้ีจะเลือกคา่ ของฟังก์ชันท่ี
จุดปลายทางขวาของแต่ละช่วงยอ่ ยดงั รูป 36

รปู ท่ี 33

จากรปู ที่ 36 ได้แบง่ ช่วงปดิ [0 , 1] ออกเปน็ 4 ชว่ งยอ่ ยที่มีความกวา้ งเทา่ กนั และเลอื กคา่ ของฟังก์ชัน ทจี่ ุดปลายทาง
ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากท่ีมีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ยี ม
มุมฉากท้ังส่ีรูป คือ 1 (1) + 1 (2) + 1 (3) + 1 (1) ซ่ึงเป็นค่าประมาณของพ้ืนที่ของบริเวณท่ีต้องการ เพ่ือให้ได้

44 44 44 4

คา่ ประมาณใกลเ้ คียงกับพน้ื ท่ขี องบรเิ วณท่ตี อ้ งการยิง่ ขึ้น จะแบ่งช่วงปดิ [0 , 1] ให้มชี ่วงย่อยมากขึน้

รปู ที่ 37

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 176

จากรปู ท่ี 37 ไดแ้ บง่ ชว่ งปิด [0 , 1] ออกเป็น 8 ชว่ งยอ่ ยทม่ี ีความกว้างเทา่ กนั และเลือกคา่ ของฟังก์ชัน ที่จุดปลายทาง

ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ยี ม

มมุ ฉากทัง้ สรี่ ูป คือ 1 (1) + 1 (2) +. . . + 1 (1) ซง่ึ เป็นคา่ ประมาณใกล้เคียงกบั พนื้ ท่ขี องบรเิ วณท่ตี ้องการมากขึ้น
88 88 8

รปู ท่ี 38

โดยท่ัวไป ถ้าแบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น ช่วงย่อยท่ีมีความกว้างเท่ากัน และเลือกค่าของฟังก์ชันท่ีจุดปลายทางขวา

ของแต่ละชว่ งย่อยเปน็ ความสงู ของรปู สี่เหลี่ยมมุมฉากทมี่ ชี ว่ งยอ่ ยบนแกน เปน็ ฐาน ดังรปู ที่ 38 แล้วเม่อื ให้ แทน ผลบวกของ
พนื้ ที่ของรูปสเ่ี หลี่ยมมุมฉากทง้ั รปู จะได้

= 1 (1) + 1 (2) + 1 (3) +. . . + 1 ( )
=
= 1 (1)2 + 1 (2)2 + 1 (3)2 +. . . + 1 ( )2

( )2
∑ =1 1


= 1 n
n3
k2

k =1

= 1 ( ( +1)(2 +1))
3
6
( +1)(2 +1)
น่นั คอื = 6 2

จากรูปที่ 35 - 38 จะเหน็ ว่า ถา้ แบง่ ชว่ งปิด [0 , 1] ออกเปน็ ชว่ งยอ่ ย โดยท่ี เปน็ จานวนเตม็ บวกแลว้ เมอ่ื มาก

ข้นึ จะไดค้ า่ ประมาณที่ใกล้เคยี งกบั พื้นทข่ี องบริเวณทต่ี ้องการมากขนึ้ และเมอ่ื มากข้ึนโดยไมม่ ีท่สี ้นิ สดุ แลว้ จะได้ว่าลาดบั

จะลู่เขา้ สู่จานวนซ่งึ เป็นพื้นท่ีของบริเวณทตี่ ้องการ เม่อื หาลมิ ติ ของลาดบั จะได้

→ ∞ = ( +1)(2 +1) =1
6 2
→∞ 3

ดงั นัน้ พน้ื ที่ของบรเิ วณท่ีต้องการเท่ากบั 1 ตารางหนว่ ย
3
∎ จากกระบวนการทีใ่ ช้ในการหาพื้นที่ดังตวั อยา่ งขา้ งต้น สามารถสรปุ เป็นขั้นตอนไดด้ งั น้ี

ให้ เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งบนชว่ งปิด [ , ]

ขั้นท่ี 1 แบง่ ช่วงปิด [ , ] ออกเป็น ชว่ งย่อยทม่ี คี วามกว้างเทา่ กนั จะไดว้ ่า แตล่ ะชว่ งยอ่ ยกวา้ ง = −

และใหจ้ ุดปลายของแตล่ ะชว่ งย่อยอยู่ท่ี = 0 < 1 < 2 <. . . < =

ขน้ั ที่ 2 เลือกค่า ∗ ในแตล่ ะช่วงปดิ [ −1 , ] เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . . ., } และหา = ∑ =1 ( ∗ )
ขั้นที่ 3 หาลิมติ → ∞
ถา้ → ∞ มคี ่า จะเรียก → ∞ วา่ ปริพันธ์จากัดเขต ( ) ของฟังก์ชนั บนช่วงปิด [ , ]
และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∫ ( )
เรยี ก ว่า ลิมิตล่าง ( ) ของปริพนั ธ์

เรยี ก วา่ ลิมิตบน ( ) ของปริพันธ์

เขียนสรปุ ในรปู สญั ลกั ษณ์ได้ดังนี้

∫ ( ) = ∑ =1 ( ∗ )

→∞
ดังน้ัน ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [ , ] และ ( ) ≥ 0 สาหรับทุก ∈ [ , ] แล้ว ∫ ( ) จะเป็น
พื้นที่ทีป่ ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ = ( ) กับแกน จาก ถงึ

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 177

หมายเหตุ : 1. จากข้นั ท่ี 2 ถ้า เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองแล้ว ไม่วา่ จะเลือกคา่ ∗ เปน็ คา่ ใดในชว่ งปดิ [ −1 , ] เมือ่
∈ {1 , 2 , 3 , . .. , } คา่ ของปรพิ ันธ์จากัดเขตทไ่ี ดจ้ ะเท่ากันเสมอ

2. ข้ันตอนการหาพื้นท่ีทกี่ ลา่ วมาข้างตน้ สามารถนาไปประยกุ ตใ์ ช้ในสถานการณ์อื่นๆ ไดอ้ กี เช่น ในฟสิ กิ ส์ ใชห้ างาน

ท่ีเกิดจากแรงกระทาท่มี ขี นาดไม่สม่าเสมอ และในคณิตศาสตรข์ ัน้ สงู ใช้หาปริมาตรของรปู เรขาคณติ ในปริภมู ิ

ตวั อย่างท่ี 104 จงหาพื้นท่ขี องบริเวณในจตุภาคท่ี 1 ซึง่ ปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ = 4 − 2 เส้นตรง = 0 และเสน้ ตรง = 0

หาจุดตดั แกน โดยให้ 4 − 2 = 0 จะได้ = 2 หรอื = −2 แตเ่ น่อื งจากตอ้ งการหาพืน้ ที่ของบรเิ วณในจตภุ าคที่ 1

ดังนน้ั ชว่ งบนแกน ของบริเวณท่ตี ้องการ คอื ช่วงปิด [0 , 2] และสามารถหาพน้ื ทข่ี องบริเวณท่ีตอ้ งการไดต้ ามขัน้ ตอน

ตอ่ ไปน้ี

ขัน้ ที่ 1 แบง่ ชว่ งปิด [0 , 2] ออกเป็น ช่วงย่อยท่ีมคี วามกว้างเทา่ กนั จะได้วา่ แตล่ ะช่วงย่อยกว้าง = 2−0 = 2

และจุดปลายของแตล่ ะชว่ งย่อย คอื 0 , 2 , 4 , . . . , 2( −1) , 2 = 2


ขั้นที่ 2 เลือกจดุ หนง่ึ จดุ ใดแตล่ ะช่วงย่อย สมมตวิ า่ เลือกจดุ ปลายทางขวาของแตล่ ะชว่ งยอ่ ย

จะได้ = 2 (2) + 2 (4) +. . . + 2 (2 )


= 2 ((4 − ( 2 )2) + (4 − ( 4 )2) +. . . + (4 − (2 )2))


= 2 (4 − ( 2 )2 − ( 4 )2 −. . . − (2 )2)


= 2 (4 − ( 2 )2 (12 + 22+. . . + 2))


= 2 (4 − 4 ( ( +1)(2 +1)))
2
6

= 8 − 4 ( +1)(2 +1)
3 2
= 8 − 4 (1 + 1) (2 + 1)
3

ดงั นนั้ → ∞ = (8 − 4 (1 + 1) (2 + 1))
→∞ 3

= 8−8
3

= 16
3

แสดงวา่ บรเิ วณซึ่งปดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 เสน้ ตรง = 0 และเสน้ ตรง = 0 ในจตภุ าคที่ 1 มีพ้นื ที่ 16
3

ตารางหนว่ ย

หมายเหตุ : จากตวั อยา่ งที่ 104 จะได้ว่า ∫02(4 − 2) = 16
3

จะเห็นว่าการหาปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตโดยใช้ขน้ั ตอนทก่ี ล่าวมาข้างตน้ มีความยุ่งยาก โดยเฉพาะอยา่ งยงิ่ ถ้าฟงั กช์ ัน มีความ
ซับซ้อนมากขึน้ การหา จะทาได้ยากขน้ึ

ต่อไปจะแสดงการใชค้ วามรเู้ รอ่ื งปฏยิ านุพนั ธใ์ นการหาปริพนั ธจ์ ากัดเขตโดยไม่ต้องหาลมิ ติ ของลาดบั ซ่งึ จะช่วยใหก้ าร
คานวณหาพื้นทขี่ องบริเวณท่กี าหนดสามารถทาไดส้ ะดวกรวดเร็วมากข้ึน

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 178

ให้ = ( ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนชว่ ง [ , ] และ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทกุ ∈ [ , ]

รูปที่ 39

บริเวณ ท่ีแรเงาดังรูปที่ 39 เป็นบริเวณซึ่งปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ = ( ) แกน เส้นตรง และเส้นตรง = และ
เสน้ ตรง = เรียก พ้นื ท่ีของบริเวณ ว่า พ้ืนท่ีท่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กบั แกน จาก ถึง

ให้ ( ) แทน พืน้ ที่ ( ของบริเวณที่ปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง = ( ) กับแกน จาก ถึง เมอ่ื ≤ ≤

รูปท่ี 40

สังเกตวา่ 1. ( ) = 0 (เนอื่ งจากพ้ืนทีจ่ าก ถึง เทา่ กับศูนย์)
2. ( ) = ∫ ( ) เปน็ พื้นทท่ี ่ีปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กบั แกน จาก ถงึ

ตอ่ ไปพิจารณาพืน้ ท่ีทีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง = ( ) กับแกน จาก ถงึ + ℎ เมือ่ ℎ > 0 ซง่ึ เท่ากบั ( + ℎ) −

( )

รูปที่ 41

ถ้า ℎ > 0 มีค่าน้อยๆ แลว้ ( + ℎ) − ( ) มีค่าใกลเ้ คยี งกบั พ้นื ทีข่ องรปู สเ่ี หลี่ยมมุมฉาก ที่ฐานกว้าง ℎ หนว่ ย และ

สูง ( ) หน่วย ดงั รูปที่ 41

นั่นคอื ( + ℎ) − ( ) ≈ ℎ ⋅ ( )

จะได้ ( ) ≈ ( +ℎ)− ( )
ℎ

ซ่งึ ค่าประมาณนจ้ี ะใกล้เคยี งมากยงิ่ ข้ึน เม่ือ ℎ มีค่าน้อยๆ

ดงั นั้น เม่ือ ℎ มคี า่ น้อยลงจนเข้าใกลศ้ นู ย์ จะได้ ( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ
นั่นคือ ( ) = ′( ) ℎ→0

ดังนน้ั เปน็ ปฏยิ านุพันธ์ของฟงั ก์ชัน

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 179

จะไดว้ า่ ปฏิยานพุ นั ธใ์ ด ๆ ของฟงั กช์ ัน จะตอ้ งอยู่ในรปู ………. (1)

( ) = ( ) + เม่ือ เปน็ ค่าคงตัว

แทน ด้วย และแทน ( ) ดว้ ย 0 ใน (1) จะได้ ( ) =

แทน ด้วย ใน (1) จะได้ ( ) = ( ) +

ดังนน้ั ( ) = ( ) − = ( ) − ( )

เนื่องจาก ( ) = ∫ ( ) ∎
ดังนน้ั ∫ ( ) = ( ) − ( )

ซง่ึ สามารถสรปุ เป็นทฤษฎบี ทไดด้ งั นี้

∎ ทฤษฎบี ท 13 : ทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคูลสั ( )
เม่อื เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง [ , ] ถา้ เปน็ ปฏยิ านพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน แลว้

∫ ( ) = ( ) − ( )

∎ การหาปริพนั ธ์จากดั เขต ∫ ( ) โดยใช้ทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคูลสั ทาไดด้ งั นี้
1) หาปฏิยานุพนั ธ์ ของฟังก์ชัน นน่ั คือ ปริพันธ์จากดั เขต ∫ ( )
2) หา ( ) − ( ) ซึง่ จะเปน็ คา่ ของปริพันธจ์ ากดั เขต ∫ ( )
จะเขียนแทน ( ) − ( ) ด้วยสัญลกั ษณ์ ( )|
จะไดว้ า่ ถา้ ′( ) = ( ) แลว้ ∫ ( ) = ( )| = ( ) − ( )

ตวั อยา่ งท่ี 105 จงหา ∫01 2
วิธที า

คาตอบท่ีได้จากตัวอย่างท่ี 105 คือพื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับแกน จาก 0 ถึง 1 เนื่องจาก 2 ≥ 0

สาหรับทกุ ∈ [0 , 1]

ในการหาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชัน โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคลู ัส จะต้องแทน ใน ( )ด้วย และ

เพอ่ื หา ( ) − ( ) ซึ่งจะทาใหค้ า่ คงตวั ลบกนั หมดไป ดงั นั้น จากตวั อย่างท่ี 77 จะสามารถเขยี นใหม่ไดด้ ังน้ี

∫01 2 = 3|1 = 1 − 0 = 1 ∎
3 3
30

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 180

ตวั อย่างที่ 106 จงหา ∫01(4 − 2)
วธิ ีทา

คาตอบที่ได้จากตัวอย่างที่ 106 คือพ้ืนที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 กับแกน จาก 0 ถึง 2 เนื่องจาก
4 − 2 ≥ 0 สาหรับทุก ∈ [0 , 2]

ตวั อยา่ งที่ 107 จงหา ∫−−21 1
3
วิธที า

จากตัวอย่างที่ 107 เน่อื งจาก 1 < 0 สาหรับทุก ∈ [−2, −1] ดงั นน้ั คา่ ของ ∫−−21 1 จงึ ไม่ใช่พื้นทท่ี ่ีปิดลอ้ ม
3 3
ด้วยเสน้ โค้ง 1 กับแกน จาก −2 ถงึ −1
= 3

แคลคลู ัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 181

ตวั อย่างท่ี 108 จงหา ∫−21 3
วธิ ีทา

จากตวั อยา่ งท่ี 108 เนื่องจาก 3 < 0 สาหรับทุก ∈ [−1, 0] ดงั นน้ั ค่าของ ∫−21 3 จึงไมใ่ ช่พื้นทที่ ่ีปดิ ล้อมดว้ ย
เสน้ โคง้ = 3 กบั แกน จาก −1 ถงึ 2

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 182

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 19 : แบบฝึกหดั 2.10 การหาปริพนั ธจ์ ากัดเขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคูลัส

1. จงหาปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตตอ่ ไปน้ี โดยใช้ทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู สั
1.1) ∫34( 3 + 3)

วธิ ที า

1.2) ∫14( 2 − 2 − 3)
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 183

1.3) ∫−11(4 3 + 2 )
วธิ ที า

1.4) ∫−−31 1
2
วิธที า

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 184

1.5) ∫24( 2 + 3 3)
วธิ ที า

1.6) ∫−11(− 4 + 2 − 1)
วิธีทา

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 185

1.7) ∫01 ( 2 + 1)
วธิ ที า

1.8) ∫01 2( 2 + 1)2
วิธที า

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 186

1.9) ∫14 (2 − 3 )
3
วธิ ที า

1.10) ∫02 ( 2 + 1)2
วิธที า

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 187

2. ณ เวลา ใด ๆ รถยนต์คนั หน่ึงวงิ่ ด้วยความเร่ง ( ) เมตรตอ่ วินาที2 โดยท่ี ∫05 ( ) = 10 ถ้ารถยนต์คันนีว้ ่งิ ด้วยความเร็ว
ต้น 20 เมตรตอ่ วนิ าที จงหาความเร็วของรถยนต์คันน้ีขณะเวลา 5 วินาที
วิธที า

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 188

2.11 พืน้ ทีท่ ่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้

ในหัวข้อที่แล้วได้กล่าวถึงปริพันธ์จากัดเขต โดยพิจารณาจากตัวอย่างการคานวณหาพื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
= ( ) จาก ถงึ เม่ือ ( ) ≥ 0 สาหรับทกุ ∈ [ , ] และพบว่าพ้นื ที่ดังกลา่ ว

∎ 2.11.1 พื้นท่ีทีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้งกับแกน

สามารถเขียนได้ในรปู ปริพันธจ์ ากดั เขต ∫ ( ) ซ่งึ สามารถคานวณคา่ ไดง้ า่ ย โดยใช้ทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู สั
ในหวั ข้อนีจ้ ะศกึ ษาวิธกี ารหาพืน้ ทท่ี ปี่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ = ( ) กับแกน โดยแยกพิจารณาบนช่วงท่ี ( ) ≥ 0 และบนช่วง
ท่ี ( ) ≤ 0 ดงั กล่าวทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 14 : ให้ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องบนชว่ ง [ , ] และ เป็นพ้นื ที่ท่ีปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง = ( ) กบั แกน
จาก ถงึ
14.1 ถา้ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทุก ∈ [ , ] แล้ว = ∫ ( )
14.2 ถ้า ( ) ≤ 0 สาหรบั ทุก ∈ [ , ] แล้ว = − ∫ ( )

รูปที่ 42 รปู ท่ี 43

รูปที่ 42 แสดงพ้นื ท่ที ี่ปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง = ( ) กับแกน จาก ถึง เมื่อ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทกุ ∈ [ , ]

จะได้ พน้ื ทีท่ ่แี รเงาเทา่ กับ ∫ ( )
รูปท่ี 43 แสดงพนื้ ท่ที ี่ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กบั แกน จาก ถึง เมอ่ื ( ) ≤ 0 สาหรบั ทุก ∈ [ , ]

จะได้ พื้นท่ีที่แรเงาเท่ากับ − ∫ ( )

ตวั อยา่ งท่ี 109 จงหาพนื้ ท่ที ี่ปิดล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ = 3 2 กบั แกน จาก 0 ถึง 1
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 189

ตวั อย่างท่ี 110 จงหาพื้นทีท่ ี่ปดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง ( ) = 2 − 9 กบั แกน จาก −2 ถึง 1
วธิ ีทา

ตัวอย่างท่ี 111 กาหนดพ้ืนทท่ี ่ีปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง = ( ) ดงั รูป ถ้า ′( ) = ( ) และ (0) = 10 แล้ว
จงหา (2) และ (5)

วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 190

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 20 : แบบฝกึ หัด 2.11.1 พ้นื ท่ที ีป่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ กบั แกน

1. จงหาพ้นื ทีท่ ี่ปดิ ลอ้ มดว้ ย
1.1) เส้นโคง้ = 2 กบั แกน จาก −3 ถึง 0

วธิ ที า

1.2) เสน้ โค้ง = + 1 กบั แกน จาก −1 ถึง 1
วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 191

1.3) เสน้ โคง้ = 6 + − 2 กบั แกน จาก −1 ถงึ 1
วธิ ที า

1.4) เส้นโค้ง = 9 − 2 กบั แกน จาก −3 ถงึ 3
วิธที า

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 192

5) เสน้ โคง้ = 2 − 25 กบั แกน จาก −1 ถึง 3
วธิ ที า

2. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั ดงั รปู

ถา้ ′( ) = ( ) และ (0) = 0 แลว้ จงหา ( ) เมอื่ ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 193

3. กาหนดพน้ื ทีท่ ีป่ ิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ = ′( ) ดงั รปู

ถ้า (0) = 3 แล้วจงหา (2) , (5) และ (6)
วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 194

4. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั แสดงอัตราเรว็ ของรถยนต์คนั หนงึ่ (มีหน่วยเปน็ กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง) ดังรูป จงหาระยะทางท่ีรถยนตค์ นั น้ี
แล่นไดใ้ นเวลา 20 วนิ าที

วิธที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 195

5. จงหาพ้นื ทร่ี ะหวา่ งแกน และกราฟของเสน้ โค้งสมการ = 3 − 2 − 2 บนช่วง −1 ≤ ≤ 2

พรอ้ มแสดงวธิ กี ารคานวณการไดม้ าของลกั ษณะกราฟ จดุ ตดั ของกราฟกบั แกน และจดุ สงู สดุ จุดตา่ สดุ ของกราฟ

วิธที า (แนวคาตอบ 1. 5 ตารางหน่วย 2. 8 ตารางหน่วย 3. 37 ตารางหนว่ ย 4. 23 ตารางหนว่ ย)
12 3 12 3

6. จงหาพื้นที่ A บริเวณใตแ้ กน กับกราฟสมการ = ( ) = − 2 + 4 − 8 บนชว่ ง = −1 ถึง = 4

แนวคาตอบ 1. 31 1 ตารางหน่วย 2. 32 1 ตารางหน่วย 3. 11 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหนว่ ย
3 3
33
วิธที า

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 196

∎ 2.11.2 การนาอนิ ทกิ รัลไปใช้ ( )
ในการหาพ้ืนท่รี ะหวา่ งเคอรฟ์ ( )

ตัวอย่างที่ 112 จงหาพืน้ ทท่ี ่ีปดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ = 2 กบั เสน้ ตรง = 3 − 2

วธิ ที า 112.1) หาจุดตดั ของสมการท้ังสองและเขยี นกราฟ ให้ = ( ) = 2 กบั เสน้ ตรง = ( ) = 3 − 2

จะได้ ( ) = ( ) นนั่ คอื 2 = 3 − 2

จะได้ 2 − 3 + 2 = 0

( − 1)( − 2) = 0

= 1 หรอื = 2

ท่ี = 1 จะได้ (1) = (1)2 = 1 และ (1) = 3(1) − 2 = 1

ท่ี = 2 จะได้ (2) = (2)2 = 4 และ (2) = 3(2) − 2 = 4

จะไดจ้ ดุ ตดั ของกราฟท้งั สองอยู่ทีจ่ ุด (1 , 1 ) และ (2 , 4 )

น่ันคอื จะตอ้ งจงหาพ้นื ทีท่ ี่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง = 2 กบั เสน้ ตรง = 3 − 2 บนช่วง = 1 ถึง = 2

112.2) เขยี นกราฟแสดงอาณาบริเวณพ้นื ทท่ี ตี่ อ้ งการหา (ดังรูป)

112.3) คานวณหาพ้นื ทท่ี ป่ี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กบั เสน้ ตรง = 3 − 2 บนช่วง = 1 ถงึ = 2

จะได้พื้นท่ี = ∫12[ ( ) − ( )]

= ∫12[(3 − 2) − ( 2) ]
= ∫12[3 − 2 − 2 ]
= [ 3 1+1 − 2 − 2+1]|2
1+1 2+1 1
= [ 3 2 − 2 − 3]|2
2 31
= [ 3 2 − 2 − 3]|2
2 31
= [ 3(2)2 − 2(2) − (2)3]] - [ 3(1)2 − 2(1) − (1)3]]
2 32 3
= [ 12 − 4 − 8] - [ 3 − 2 − 1]
2 32 3
= [ 12 − 3 + 1 − 8 −4 + 2]
2 233
= [ 9 − 7 -2]
23
= [ 27 − 14 − 12]
666
= 1 ตารางหนว่ ย
6 ∎

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 197

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 21 : แบบฝึกหัด 2.11.2 การหาพน้ื ทรี่ ะหว่างเคอรฟ์ ( )

1. จงหาพืน้ ท่ีทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ สมการ = ( ) = 2 2 − 4 + 6 และ = ( ) = − 2 + 2 + 1

บนช่วง = 1 ถึง = 2

วิธีทา (แนวคาตอบ 1. 3 ตารางหนว่ ย 2. 3 ตารางหน่วย 3. 6 ตารางหน่วย 4. 8 ตารางหนว่ ย)

2 3

2. จงหาพนื้ ที่ทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = 2 + 4 และ = ( ) = 2 + 2 + 3
บนช่วง = −1 ถงึ = 1 พรอมคานวณแสดงการหาจุดตดั ของกราฟทัง้ สองด้วย

วิธที า

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 198

3. จงหาพนื้ ที่ท่ีปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4

บนชว่ ง = 0 ถึง = 6 ใหค้ านวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟทัง้ สองดว้ ย

วิธที า (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหนว่ ย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหน่วย)

3 3

4. จงหาพนื้ ทีท่ ปี่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = + 6 และ = ( ) = 2 บนชว่ ง = −2 ถงึ = 3
ให้คานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟท้งั สองดว้ ย

วิธที า (แนวคาตอบ 1. 15 ตารางหนว่ ย 2. 32 ตารางหน่วย 3. 125 ตารางหนว่ ย 4. 10 ตารางหนว่ ย)
73 6 3

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 199

5. จงหาพนื้ ทที่ ีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ สมการ = ( ) = 2 และ = ( ) = 3
ใหค้ านวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟท้งั สองดว้ ย

วิธที า

ตัวอย่างตารางเปรียบเทยี บผลจากการหาอนุพนั ธ์และการหาปฏยิ านพุ นั ธ์

อนุพนั ธ์ ( ) อนิ ทิกรลั ไม่จากัดเขต ( )

1. (4 ) = 4 1. ∫ 4 = 4 +

2. ( 3) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 +

3. (5 2) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 +

1 1
4. (√ ) = 2√ 4. ∫ 2√ = √ +

5. (−3√ ) = − 1 −23 5. ∫ − 1 −32 = −3√ +
3 3
6. ( ) = 6. ∫ = +

7. ( ) = − 7. ∫(− ) = +

8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = +