คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 100

ขอ้ 8. กาหนดไฮเพอรโ์ บลา 9 2 − 25 2 − 18 + 150 − 441 = 0 จงหา

8.1) 8.2) | หรอื ความชัน ณ จดุ (−5 ,5) 8.3) สมการเสน้ สัมผสั วงกลม ณ จดุ (−5 , 5)

=−5, =5

วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 101

∎ 2.7.2 อนุพันธ์ของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ ( )

1) = 7) =


2) = − 8) = −


3) = 2 9) = 2


4) = − 2 10) = − 2


5) = 11) = ∙


6) = − cot 12) = − ∙ cot


∎ ทฤษฎบี ท 1. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = =


∎ บทแทรก 1. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ นั ของ ทหี่ าอนพุ นั ธ์ได้ แลว้ =


ข้อ 1. กาหนด ให้ = ( 2 + 5) จงหา


วิธที า

∎ ทฤษฎบี ท 2. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = = −


∎ บทแทรก 2. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ ันของ ท่ีหาอนพุ ันธไ์ ด้ แลว้ = −


ขอ้ 2. กาหนด ให้ = cos ( 4 − 2) จงหา


วิธีทา

ข้อ 3. กาหนด ให้ = จงหา


วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 102

ข้อ 4. กาหนด ให้ = จงหา

วธิ ีทา

∎ ทฤษฎีบท 3. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = = 2


∎ บทแทรก 3. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั กช์ นั ของ ที่หาอนุพนั ธไ์ ด้ แลว้ = 2
ข้อ 5. กาหนด ให้ = (3 + 2) จงหา



วิธที า

∎ ทฤษฎีบท 4. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = = − 2


∎ บทแทรก 4. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั กช์ ันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − 2


ขอ้ 6. กาหนด ให้ = (3 − 5) จงหา


วิธีทา

∎ ทฤษฎบี ท 5. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = =


∎ บทแทรก 5. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั ก์ชนั ของ ทห่ี าอนพุ นั ธ์ได้ แลว้ = ∙


ขอ้ 7. กาหนด ให้ = (3 − 1) จงหา

วิธที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 103

∎ ทฤษฎีบท 6. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = = −


∎ บทแทรก 6. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั ก์ชันของ ที่หาอนุพันธไ์ ด้
แล้ว = − ∙



ขอ้ 8. กาหนด ให้ = (3 + 1) จงหา


วธิ ที า

∎ 2.7.3 อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติผกผัน

∎ ทฤษฎีบท 7. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −1 , 1 ] และ ( ) ∈ [− , ]
2 2
แล้ว ( ) = = 1
√1− 2

∎ บทแทรก 7. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั ก์ชนั ของ ทีห่ าอนุพันธไ์ ด้

แลว้ = 1
√1 − 2

ข้อ 9. กาหนด ให้ = ( + 1) จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎบี ท 8. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −1 , 1 ] และ ( ) ∈ [0 , ]

แลว้ ( ) = = − 1
√1− 2

∎ บทแทรก 8. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั กช์ นั ของ ทหี่ าอนุพันธไ์ ด้

แลว้ = − √1 1 2
−


ข้อ 10. กาหนด ให้ = (3 − 1) จงหา


วธิ ีทา

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 104

∎ ทฤษฎบี ท 9. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −∞ , ∞ ] และ ( ) ∈ [− , ]
22
แลว้ ( ) = 1
= 1 + 2


∎ บทแทรก 9. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั ก์ชันของ ท่ีหาอนุพันธ์ได้

แลว้ = 1 1 ∙
+ 2

ขอ้ 11. กาหนด ให้ = (2 − 1) จงหา


วธิ ที า

∎ ทฤษฎีบท 10. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −∞ , ∞ ] และ ( ) ∈ [0 , ]

แล้ว ( ) = = − 1 1 2
+


∎ บทแทรก 10. ให้ ( ) = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธไ์ ด้

แล้ว = − 1 1 ∙
+ 2

ข้อ 12. กาหนด ให้ = (3 + 2) จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎบี ท 11. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ] และ ( ) ∈ [0 , ] ∪ [ 2 , ]
2
1
แล้ว ( ) =
= | | √ 2−1


∎ บทแทรก 11. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ นั ของ ที่หาอนพุ นั ธ์ได้ แล้ว

แลว้ = | | 1 ∙
√ 2−1

ข้อ 13. กาหนด ให้ = (2 2 − 1) จงหา


วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 105

∎ ทฤษฎบี ท 12. ให้ ( ) = เมอ่ื ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ] และ ( ) ∈ [− , 0 ] ∪ [0 , ]
22
แล้ว ( ) = 1
= − | | √ 2−1



∎ บทแทรก 12. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั ก์ชันของ ที่หาอนพุ ันธไ์ ด้

แล้ว = − | | 1 ∙
√ 2−1

ขอ้ 14. กาหนด ให้ = (2 3 − 3) จงหา


วธิ ที า

∎ 2.7.4 อนุพันธข์ องฟังก์ชันเอก็ ซโ์ พเนนเชยี ล ( )

∎ ทฤษฎีบท 13. ให้ ( ) = เมอ่ื ≠ 0 แลว้ ( ) = [ ] =


∎ บทแทรก 13. ให้ ( ) = และ หาอนพุ ันธ์ได้ที่ แลว้ ( ) = [ ] = ∙


ข้อ 15. กาหนด ให้ = 43 2 จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎีบท 14. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = [ ] =


∎ บทแทรก 14. ให้ ( ) = และ หาอนพุ นั ธไ์ ด้ท่ี แลว้ ( ) = [ ] = ∙


ข้อ 16. กาหนด ให้ = 3 3 จงหา


วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 106

ข้อ 17. กาหนด ให้ ให้ = 2 5 + 3 6 จงหา
วิธีทา

∎ 2.7.5 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ลอการทิ ึม ( )

∎ ทฤษฎบี ท 15. ให้ ( ) = เม่ือ > 0 แลว้ ( ) = = 1


∎ บทแทรก 15. ให้ ( ) = และ เป็นฟังกช์ ันของ ท่หี าอนพุ นั ธ์ได้ แลว้ = 1 ∙



ขอ้ 16. กาหนด ให้ ให้ = (3 − 1) จงหา


วิธที า

∎ ทฤษฎบี ท 16. ให้ ( ) = เมอ่ื > 0 และ เป็นจานวนจรงิ ซึ่ง > 0 และ ≠ 0 แล้ว

แลว้ ( ) = =1



∎ บทแทรก 16. ให้ ( ) = เมื่อ เปน็ ฟังกช์ ันของ ท่หี าอนพุ ันธไ์ ด้ และ เปน็ จานวนจริงซ่ึง > 0

และ ≠ 0 แลว้ = 1 ∙



ขอ้ 17. กาหนด ให้ = 4 (2 + 3) จงหา

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 107

ขอ้ 18.* กาหนดให้ = 43 จงหา

วิธที า

ข้อ 19.* กาหนดให้ = 53 2−1 จงหา


วธิ ที า

ข้อ 20.* กาหนดให้ = cos จงหา


วธิ ที า

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 108

2.8 การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์

2.8.1 การเคล่อื นท่ีแนวตรง (การประยกุ ต์ 1)

ในการเคลื่อนทข่ี องวตั ถุในแนวตรง มปี ริมาณ 3 ชนดิ ที่เกยี่ วข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหนง่ ( ) ของวตั ถุ ความเร็ว ( ) ของ

วัตถุ และความเร่ง ( ) ของวัตถุ การเคล่ือนท่ีของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน = ( ) โดยที่ ( ) คือตาแหน่งของ

วัตถุ ณ ขณะเวลา ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ณ ขณะเวลา น่ันคือ ความเร็ว

เป็นอนพุ นั ธข์ อง เทยี บกับ ดงั น้นั เป็นฟงั กช์ นั ของเวลา กาหนดโดย

( ) = ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ
จะเหน็ วา่ ความเรว็ เปน็ ฟังก์ชนั ของเวลา เมอ่ื มหี น่วยเป็นวนิ าที่ ( ∶ )

ในทานองเดยี วกนั ความเรง่ ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปลยี่ นแปลงของความเร็ว เทียบกับ ณ ขณะ

เวลา นนั่ คอื ความเรง่ เป็นอนุพันธ์ของ เทยี บกับ นัน่ คือ

( ) = ′( ) = ′′( )

ดังน้ัน ความเร่งคือ อนุพันธ์อันดับที่ 1 ของฟังก์ชันความเร็ว และเป็นอนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของฟังก์ชันตาแหน่ง

และเราสามารถแสดงความสัมพันธข์ องปริมาณท้งั 3 ชนดิ

⟶ = ⟶ ⟶ = ⟶

(ระยะทาง) ⇌ (ความเรว็ ) ⇌ (ความเรง่ )

⟵ ∫ = ⟵⟵ ∫ = ⟵

เมื่อ คือ ระยะทาง มีหน่วยเปน็ เมตร ( ) , คือ ความเรว็ มหี น่วยเป็นเมตร/วนิ าที ( / ) และ คือ ความเร่ง มี
หน่วยเป็นเมตร/วนิ าท2ี ( / 2)

ตัวอย่างที่ 65 ให้ ( ) = 2 + เปน็ ฟังก์ชันแสดงตาแหน่งของวตั ถุทีเ่ คลื่อนที่แนวราบ (มีหนว่ ยเป็นเมตร) ขณะเวลา วินาที
จงหา

65.1) ระยะหา่ งของวตั ถุจากตาแหนง่ เร่ิมต้นขณะเวลา 10 วนิ าที
วิธที า

65.2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 10 วินาที
วิธีทา

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 109

65.3) ความเร่งของวตั ถขุ ณะเวลา 10 วนิ าที
วิธที า

จากตัวอย่างที่ 65 ขณะเวลา 10 วินาที ความเร็วและความเรง่ ของวัตถุเปน็ จานวนจริงบวก แสดงว่าวัตถุกาลังเคลอ่ื นที่
ไปทางขวาและมีความเรว็ เพ่ิมขึ้น
ตวั อยา่ งที่ 66 อรสาโยนวตั ถขุ ึน้ ไปในแนวดิ่ง ถ้าตาแหน่งของวตั ถุ (มหี น่วยเปน็ เมตร) หลังจากโยนวตั ถไุ ปแลว้ วนิ าที หาไดจ้ าก
( ) = 30 − 5 2 จงหา

66.1) ระยะหา่ งของวัตถจุ ากตาแหนง่ เร่ิมตน้ หลังจากโยนวตั ถุไปแลว้ 5 วนิ าที
วิธที า

66.2) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 2 วินาที
วธิ ที า

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 110

66.3) ความเรง่ ของวัตถุขณะเวลา 2 วินาที
วธิ ีทา

จากตวั อยา่ งที่ 66 ขณะเวลา 2 วนิ าที ความเรว็ ของวัตถเุ ป็นจานวนจรงิ บวก แตค่ วามเรง่ ของวตั ถเุ ปน็ จานวนจรงิ ลบ
แสดงวา่ วตั ถุกาลงั เคลื่อนทีข่ ้นึ แตม่ คี วามเรว็ ลดลง

กจิ กรรมระหว่างเรียน 11 : แบบฝึกหัด 2.8.1 การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์ (1) การเคล่อื นทใ่ี นแนวตรง

1. ให้ ( ) = 2 3 − + 5 เป็นฟงั ก์ชนั แสดงตาแหน่งของวัตถทุ เ่ี คลอ่ื นท่ใี นแนวตรง (มหี นว่ ยเปน็ เมตร) ขณะเวลา วนิ าที
จงหาระยะห่างของวัตถุจากตาแหนง่ เริม่ ตน้ ความเร็วและความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วนิ าที
วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 111

2. กาหนดใหว้ ตั ถเุ คลอื่ นท่ีในแนวราบ ถ้าตาแหนง่ ของวัตถุ (มหี น่วยเปน็ เมตร) ขณะ วินาที หาไดจ้ าก
( ) = 3 − 3 2 + + 5 จงหาระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหน่งเรม่ิ ตน้ ความเร็วและความเร่งของวตั ถขุ ณะท่ี = 1

วิธที า

3. สุทธิพงศ์ปลอ่ ยวัตถุจากท่ีสงู ลงสูพ่ น้ื ดิน ถ้าตาแหนง่ ของวตั ถุ (มีหนว่ ยเป็นเมตร) หลงั จากปล่อยวัตถไุ ปแลว้ วนิ าที
หาได้จาก ( ) = −5 2 + 50 จงหา
3.1) ระยะห่างของวัตถุจากตาแหนง่ เริ่มตน้ หลังจากปลอ่ ยวตั ถไุ ปแล้ว 3 วนิ าที

วธิ ีทา

3.2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 2 วนิ าที
วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 112

3.3) ความเร่งของวัตถขุ ณะเวลา 5 วนิ าที
วธิ ีทา

4. โยนก้อนหินข้นึ ไปในแนวด่งิ ถา้ ตาแหน่งของกอ้ นหนิ (มหี น่วยเปน็ เมตร) หาไดจ้ าก ( ) = 10 − 5 2 เมอ่ื แทน
ระยะเวลาตง้ั แต่เร่มิ โยนกอ้ นหนิ (มีหน่วยเปน็ วินาที) จงหา

4.1) ความเรว็ ของก้อนหินขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

4.2) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

4.3) เม่อื เวลาผ่านไปนานเท่าใด กอ้ นหินจงึ จะอยูใ่ นตาแหนง่ ท่สี ูงที่สดุ จากตาแหน่งเร่ิมตน้
วธิ ที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 113

2.8.2 ค่าสูงสดุ และตา่ สุดของฟงั ก์ชนั (การประยุกต์ 2)

ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการใช้ความรู้เรือ่ งอนุพันธ์ในการหาค่าสงู สุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชัน กล่าวคือ เม่ือกาหนดฟังก์ชัน
ในรปู = ( ) แล้ว ตอ้ งการหาคา่ ท่ีทาให้ มคี า่ สูงสุดหรอื ค่าต่าสดุ

สาหรบั ฟังก์ชนั กาลังสอง การหาค่าสูงสดุ หรือคา่ ตา่ สดุ อาจทาไดโ้ ดยใช้วิธีทาใหเ้ ปน็ กาลงั สองสมบรู ณด์ ังทไ่ี ดศ้ ึกษามาแล้ว
เช่น กาหนด = 12 − 2 จะได้ = 36 − ( 2 − 12 + 36) เม่ือจัด 2 − 12 + 36 ให้อยู่ในรูปกาลังสอง
สมบูรณ์ จะได้ = 36 − ( − 6)2 และเม่ือแทน x ด้วย 6 ทาให้ ( − 6)2 = 0 ดังน้ัน จึงมีค่าสูงสุดเท่ากับ 36 เม่ือ

= 6

2.8.2.1 ฟงั กช์ ันเพิม่ และฟังกช์ นั ลด ( )

สาหรับฟังก์ชันท่ัวไป การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดสามารถทาได้โดยใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และใช้ความรู้
เกีย่ วกับฟงั กช์ ันเพ่ิมและฟังก์ชนั ลดท่ไี ด้ศกึ ษามาแล้วในเรื่องฟังกช์ ัน ดงั นี้

∎ บทนิยาม 10 : ฟังก์ชนั เพมิ่ และฟงั กช์ ันลด
กาหนดให้ เป็นฟงั ก์ชันซ่งึ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตจานวนจริง และ เป็นสับเซตของโดเมน
10.1 เป็น ฟงั ก์ชนั เพ่ิม ( ) บนเซต กต็ ่อเม่ือ สาหรบั 1 และ 2 ใด ๆ ใน
ถา้ 1 < 2 แล้ว ( 1) < ( 2)
10.2 เปน็ ฟังก์ชนั ลด ( ) บนเซต ก็ตอ่ เม่ือ สาหรบั 1 และ 2 ใด ๆ ใน
ถา้ 1 < 2 แลว้ ( 1) > ( 2)

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้

รูปท่ี 19
จากรปู ท่ี 19 จะเห็นวา่ ในบางช่วง เป็นฟงั ก์ชนั ลดและในบางช่วง เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ

รปู ท่ี 20
พจิ ารณาความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ซง่ึ เป็นกราฟของฟงั กช์ ันเพม่ิ หรือฟังก์ชันลด ดังตอ่ ไปน้ี

รูปที่ 21

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 114

รปู ท่ี 20 แสดงกราฟของฟงั ก์ชันเพมิ่ เนอ่ื งจากเม่ือ เพมิ่ ข้ึน ค่าของ ( ) จะเพม่ิ ข้นึ ดว้ ยและจะเหน็ ว่าความชันของ
เส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ ใด ๆ บนเสน้ โค้งนเ้ี ปน็ จานวนจรงิ บวก นั่นคอื ′( ) > 0

รูปที่ 21 แสดงกราฟของฟงั ก์ชนั ลด เน่ืองจากเมื่อ เพมิ่ ข้ึน คา่ ของ ( ) จะลดลง และจะเห็นว่าความชนั ของเสน้
สมั ผสั เส้นโค้ง ณ จดุ ใด ๆ บนเส้นโคง้ นีเ้ ป็นจานวนจรงิ ลบ น่นั คอื ′( ) < 0

ดงั นัน้ การพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั ท่กี าหนดให้เปน็ ฟังก์ชนั เพ่ิมหรือฟังกช์ นั ลดบนช่วงใดบา้ ง อาจทาได้โดยพิจารณาจากความ
ชนั ของเส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง ดังทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้

∎ ทฤษฎีบท 8 : ให้ เป็นฟงั กช์ นั ทหี่ าอนพุ นั ธ์ไดบ้ นช่วง A ซึง่ เป็นสับเซตของโดเมนของฟงั ก์ชนั
8.1 ถา้ ′( ) > 0 สาหรับทุก ๆ บนชว่ ง A แล้ว จะเปน็ ฟงั ก์ชนั เพมิ่ บนช่วง A
8.2 ถา้ ′( ) < 0 สาหรับทกุ ๆ บนชว่ ง A แล้ว จะเป็นฟังกช์ นั ลดบนชว่ ง A

ตัวอย่างท่ี 67 กาหนดให้ ( ) = 2 3 − 3 2 − 12 + 4 จงระบชุ ว่ งที่ เป็นฟงั ก์ชนั เพิ่มและช่วงท่ี เปน็ ฟงั กช์ ันลด
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 115

2.8.2.2 ค่าสงู สุดสมั พัทธแ์ ละค่าต่าสุดสมั พัทธ์ ( )

ต่อไปจะนาความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากทฤษฎีบท 8 ไปใช้ในการพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชัน
แตก่ ่อนท่จี ะพิจารณาค่าสูงสุดและคา่ ตา่ สุดของฟงั ก์ชนั ควรรู้จกั คา่ สงู สดุ สัมพทั ธแ์ ละค่าตา่ สุดสัมพนั ธ์ก่อน ดังน้ี

∎ บทนยิ าม 11 : ค่าสูงสุดสมั พทั ธแ์ ละคา่ ตา่ สุดสัมพัทธ์
11.1 ฟงั ก์ชนั มีคา่ สงู สุดสัมพัทธท์ ่ี = ถา้ มชี ่วง ( , ) ซึ่ง ∈ ( , ) และ ( ) ≥ ( )

สาหรบั ทกุ x ในโดเมนของฟังกช์ ัน ท่อี ยใู่ นชว่ ง ( , ) เรยี ก ( ) วา่ คา่ สงู สุดสมั พทั ธ์ ( )
ของฟงั ก์ชัน และเรยี กจดุ ( , ( )) ว่า จุดสงู สุดสัมพทั ธ์ ของฟงั กช์ ัน

11.2 ฟังก์ชนั มีค่าต่าสดุ สมั พัทธท์ ี่ = ถ้ามชี ว่ ง ( , ) ซงึ่ ∈ ( , ) และ ( ) ≤ ( )
สาหรับทกุ x ในโดเมนของฟังก์ชนั ทอี่ ยใู่ นช่วง ( , ) เรยี ก ( ) ว่า ค่าตา่ สดุ สัมพทั ธ์ ( )
ของฟงั ก์ชนั และเรียกจุด ( , ( )) วา่ จุดตา่ สดุ สมั พทั ธ์ ของฟงั ก์ชัน

พจิ ารณากราฟของฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี

รปู ท่ี 22

จากกราฟรูปท่ี 22 จะเหน็ ว่า จดุ , และ เป็นจดุ สงู สุดสัมพทั ธ์ ส่วนจดุ และ เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ กลา่ วคือ
จุด เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ซึ่งมี ที่ ( 1) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากมีช่วง ( 1, 2) ซึ่ง 1 ∈ ( 1, 2) และ
สาหรับ ( 1) ≥ ( ) สาหรบั ∈ ( 1, 2) ∩
จุด เป็นจุดสูงสุดสมั พัทธ์ ซ่ึงมี ท่ี ( 3) เป็นค่าสูงสุดสมั พัทธ์ เนื่องจากมีช่วง ( 4, 5) ซึ่ง 3 ∈ ( 4, 5) และ
สาหรับ ( 3) ≥ ( ) สาหรับ ∈ ( 4, 5) ∩
จุด เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ซ่ึงมี ท่ี ( 5) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เน่ืองจากมีช่วง ( 7, 8) ซ่ึง 3 ∈ ( 7, 8) และ
สาหรับ ( 5) ≥ ( ) สาหรับ ∈ ( 7, 8) ∩
จุด เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์ ซึ่งมี ท่ี ( 2) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ เน่ืองจากมีช่วง ( 2, 3) ซ่ึง 2 ∈ ( 2, 3) และ
สาหรับ ( 2) ≥ ( ) สาหรับ ∈ ( 2, 3) ∩
จุด เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์ ซ่ึงมี ที่ ( 4) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ เน่ืองจากมีช่วง ( 6, 7) ซ่ึง 2 ∈ ( 6, 7) และ
สาหรบั ( 2) ≥ ( ) สาหรับ ∈ ( 6, 7) ∩

ตอ่ ไปพจิ ารณากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้

รูปท่ี 23 รปู ท่ี 24

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 116

จากรูปที่ 23 จะเห็นว่าฟังก์ชัน มีค่าสูงสุดสัมพันธ์ที่ = เนื่องจากมีช่วง ( , ) ซ่ึง ∈ ( , ) และ
( ) ≥ ( ) สาหรับทุก ∈ ( , ) ∩

สงั เกตว่า เป็นฟงั กช์ ันเพ่ิมบนชว่ ง ( , ) และ เปน็ ฟังกช์ นั ลดบนช่วง ( , ) ซงึ่ กลา่ วได้ว่า ถ้า ′( ) > 0 เมอ่ื

น้อยกวา่ เล็กนอ้ ย และ ′( ) < 0 เมอ่ื มากกว่า เลก็ น้อย แลว้ ฟังก์ชัน มคี า่ สูงสุดสมั พทั ธท์ ่ี = และสังเกต
วา่ ′( ) = 0

ในทานองเดียวกัน จากรูปท่ี 24 จะเห็นว่าฟังก์ชัน มีค่าต่าสุดสัมพันธ์ท่ี = เนื่องจากมีช่วง ( , ) ซ่ึง
∈ ( , ) และ ( ) ≤ ( )สาหรบั ทุก ∈ ( , ) ∩

สังเกตว่า เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง ( , ) และ เป็นฟังก์ชันเพ่ิมบนช่วง ( , ) ซ่ึงกล่าวได้ว่า ถ้า ′( ) < 0

เมื่อ น้อยกว่า เล็กน้อย และ ′( ) > 0 เมื่อ มากกว่า เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี = และ
สังเกตว่า ′( ) = 0

ดังนั้น ถ้า ( ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของ และ ′( ) มีค่า แล้ว ′( ) = 0 ซ่ึงสรุปเป็น
ทฤษฎบี ทดังน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 9 : ให้ เป็นฟงั ก์ชนั ที่นิยามบนชว่ ง ( , ) และ ∈ ( , )

ถ้าฟงั ก์ชัน มคี ่าสงู สดุ สมั พทั ธห์ รอื ค่าตา่ สดุ สมั พนั ธ์ที่ = และ f (c) มคี า่ แลว้ ′( ) = 0

∎ บทนิยาม 12 : ให้ เป็นฟังก์ชนั ที่นยิ ามบนช่วง ( , ) เรยี กจานวนจรงิ ซึ่ง ∈ ( , ) ซ่งึ ทาให้ ′( ) = 0
หรือ ไม่มคี า่ ว่า คา่ วกิ ฤต ( ) ของฟงั กช์ นั
และเรยี กจดุ ( , ( )) วา่ จดุ วิกฤต ( ) ของฟังก์ชัน

หมายเหตุ : ในท่ีนี้จะกล่าวถึงเฉพาะฟงั กช์ นั ทม่ี ีเพยี งค่าวิกฤต ซ่งึ ′( ) = 0 เทา่ นัน้
โดยไม่พิจารณาฟงั ก์ชนั ที่มีค่าวิกฤต ซึ่ง ′( ) ไม่มคี า่

จากทฤษฎีบท 9 จะเห็นว่า ถ้า ′( ) ≠ 0 แล้ว ( ) จะไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ดังน้ัน ในการ
หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน = ( ) จะต้องหาค่าวิกฤต ที่ทาให้ ′( ) = 0 ก่อน จากน้ันจึง
พิจารณาว่า เม่ือ เปล่ียนจาก < เป็น > แล้ว ′( ) เปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ หรือเปลี่ยน
จากจานวนจรงิ ลบเป็นจานวนจริงบวก หรอื ไม่

ถ้าค่าของ ′( ) เปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ แสดงว่า เป็นค่าวิกฤตท่ีทาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
สมั พันธแ์ ละค่าสูงสดุ สมั พนั ธ์ คือ ( ) ดงั รปู ที่ 25

ถ้าค่าของ ′( ) เปล่ียนจากจานวนจริงลบเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า เป็นค่าวิกฤตท่ีทาให้ฟังก์ชันมีค่าต่าสุด
สัมพนั ธแ์ ละค่าต่าสดุ สมั พันธ์ คอื ( ) ดังรปู ที่ 26

รปู ที่ 25 รูปท่ี 26

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 117

แตถ่ ้าค่าของ ′( ) ไม่มกี ารเปล่ยี นจากจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจริงลบ หรือไมม่ กี ารเปล่ยี นจากจานวนจริงลบเปน็
จานวนจริงบวก แสดงวา่ เป็นค่าวิกฤตท่ีไม่ได้ทาใหฟ้ ังก์ชันมีคา่ สงู สดุ สัมพัทธ์หรือคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ ดังรปู ที่ 27 และรปู ท่ี 28

รปู ที่ 27 รปู ท่ี 28

∎ ทฤษฎบี ท 10 : ให้ เปน็ ฟงั ก์ชันที่หาอนุพนั ธไ์ ด้บนช่วง ( , ) และ ∈ ( , ) เปน็ ค่าวกิ ฤตของ
10.1 ถา้ ′( ) เปล่ียนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ เมือ่ เพม่ิ ขึน้ รอบๆ
แลว้ ( ) เป็นคา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ของ
10.2 ถา้ ′( ) เปลี่ยนจากจานวนจรงิ ลบเป็นจานวนจรงิ บวก เมอ่ื เพิม่ ข้นึ รอบๆ
แลว้ ( ) เป็นค่าต่าสดุ สมั พัทธข์ อง

ตวั อยา่ งท่ี 68 จงหาค่าสูงสุดสมั พทั ธ์และคา่ ต่าสดุ สัมพนั ธ์ของฟังกช์ นั ( ) = 2 3 + 3 2 − 12 − 7
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 118

นอกจากการใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 1 ของฟังก์ชันช่วยในการตรวจสอบค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพันธ์ดังท่ีกล่าวมา
ขา้ งต้น บางครัง้ อาจใชอ้ นพุ นั ธอ์ นั ดบั ที่ 2 ช่วยในการตรวจสอบไดโ้ ดยใช้ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 11 : กาหนดให้ เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งบนช่วง ( , ) และ ∈ ( , ) เป็นค่าวกิ ฤตของ
ซึ่ง ′( ) = 0 และ ′′( ) มคี า่
11.1 ถ้า ′′( ) > 0 แล้ว ( ) เปน็ คา่ ต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง
11.2 ถ้า ′′( ) < 0 แลว้ ( ) จะใหค้ า่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ

ตวั อยา่ งที่ 69 จงหาค่าสูงสดุ สมั พทั ธแ์ ละคา่ ตา่ สุดสัมพนั ธ์ของฟังกช์ นั ( ) = 3 + 3 2 − 24 − 20
วธิ ที า

จากทฤษฎบี ท 11 ถ้าทราบวา่ ′′( ) เป็นจานวนจรงิ บวกเปน็ จานวนจรงิ ลบ จะสามารถบอกได้วา่ ( ) เป็นค่าสงู สดุ
สัมพัทธ์หรือค่าต่าสดุ สัมพันธ์ ตามลาดับ แต่ถ้า ′( ) = 0 แล้วจะไม่สามารถสรุปได้ว่า ( ) เป็นค่าสูงสุดสมั พัทธ์หรือค่าตา่ สดุ
สัมพนั ธ์ เพราะ ( ) อาจจะเป็นค่าสูงสดุ สมั พัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพนั ธ์ หรืออาจจะไม่เปน็ ทั้งคา่ สงู สุดสมั พัทธ์และคา่ ตา่ สุดสมั พนั ธ์
เลยกไ็ ด้ ดงั นัน้ ในกรณนี จี้ ะตรวจสอบค่าสงู สุดสมั พทั ธ์หรอื คา่ ตา่ สุดสมั พันธ์ของฟงั กช์ นั โดยใช้อนพุ ันธอ์ นั ดบั ท่ี 1 ของฟังก์ชนั โดยใช้
ทฤษฎีบท 10 ที่กล่าวไปแล้ว

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 119

2.8.2.3 คา่ สงู สุดสมั บรู ณ์ คา่ ตา่ สุดสัมบรู ณ์ ( , )

ฟังก์ชัน อาจมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพันธ์ของฟังก์ชันได้หลายค่า แต่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุด
สัมบูรณเ์ พียงค่าเดียว จะเรียกคา่ ของ ( ) ท่ีมากท่สี ดุ สาหรบั ทุก ∈ ว่า คา่ สงู สดุ สัมบูรณ์ และเรยี กค่าของ ( ) ทนี่ ้อย
ทีส่ ดุ สาหรบั ทุก ∈ วา่ ค่าตา่ สุดสัมบรู ณ์ ดังบทนยิ ามต่อไปนี้

∎ บทนยิ าม 13 : คา่ สูงสุดสัมบูรณ์ คา่ ต่าสดุ สมั บรู ณ์
13.1) ฟังก์ชัน มคี า่ สงู สดุ สัมบูรณ์ ( ) ที่ =
เมื่อ ( ) ≥ ( ) สาหรบั ทุก ∈
13.2) ฟงั ก์ชัน มีคา่ ต่าสุดสมั บรู ณ์ ( ) ท่ี =
เม่ือ ( ) ≤ ( ) สาหรับทุก ∈

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน = ( ) โดยท่ี = [ , ] ดังรปู ท่ี 29-32

รปู ท่ี 29
จากรูปท่ี 29 จะเห็นว่า ( ) เปน็ ค่าสงู สุดสมั พทั ธ์ โดยที่ ( ) เปน็ คา่ สูงสดุ สมั บูรณด์ ว้ ย

รปู ท่ี 30
จากรูปท่ี 30 จะเหน็ ว่า ( ) , ( 1) และ ( 2) เป็นค่าสูงสดุ สัมพทั ธ์ โดยที่ ( ) เปน็ ค่าสงู สดุ สมั บรู ณด์ ว้ ย

รูปที่ 31
จากรูปที่ 31 จะเห็นว่า ( ) เปน็ ค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ โดยท่ี ( ) เป็นค่าตา่ สดุ สมั บรู ณด์ ว้ ย

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 120

รูปท่ี 32

จากรูปท่ี 32 จะเห็นว่า ( 1) , ( 2) และ ( ) เป็นค่าต่าสดุ สัมพัทธ์ โดยที่ ( ) เป็นค่าต่าสุดสมั บูรณด์ ว้ ย ฟังก์ชัน
ต่อเน่ืองที่นิยามบนช่วงเปิดอาจจะมีหรือไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุดสมั บูรณ์ได้ เช่น ( ) = 1 ไม่มีค่าสูงสุดสมั บูรณแ์ ละ



ค่าตา่ สุดสัมบรู ณบ์ นชว่ งเปิด (0 , 1) แต่ฟังก์ชนั ต่อเนื่องท่ีนยิ ามบนช่วงปิดจะมีคา่ สูงสดุ สมั บูรณแ์ ละ ค่าต่าสดุ สมั บูรณเ์ สมอ ดงั
ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

คา่ สงู สุดสัมบูรณ์และคา่ ต่าสดุ สมั บรู ณ์

∎ ทฤษฎีบท 12 : คา่ สงู สุดสมั บรู ณแ์ ละค่าตา่ สุดสมั บรู ณ์
12.1) ถา้ ฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วงปดิ [ , ] แล้ว จะมีท้ังค่าสูงสดุ สัมบรู ณแ์ ละค่าต่าสดุ สมั บูรณบ์ นช่วงปดิ [ , ]
12.2) ถา้ เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งท่ีบนช่วงปิด [ , ] แล้วค่าสูงสุดสัมบรู ณแ์ ละค่าต่าสดุ สมั บูรณ์ของ อาจเป็น
ค่าสูงสดุ สัมพัทธ์ หรือค่าต่าสดุ สมั พัทธภ์ ายในชว่ งเปดิ ( , ) หรอื เป็นค่าของฟงั ก์ชันทจี่ ุดปลายของชว่ งปิด [ , ]

ขั้นตอนการหาค่าสงู สุดสัมบรู ณแ์ ละคา่ ตา่ สุดสัมบูรณ์

มีขั้นตอนดงั ต่อไปนี้
ถา้ ฟงั ก์ชนั เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนอื่ งบนช่วงปดิ [ , ] และหาอนุพนั ธ์ได้บนชว่ งเปิด ( , ) แล้วสามารถหาค่าสงู สดุ
สัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สมั บรู ณข์ องฟังก์ชนั บนช่วงปดิ [ , ] ได้ดงั นี้

1. หาค่าวิกฤตท้งั หมดในชว่ งเปิด ( , )
2. หาคา่ ของฟังกช์ ัน ณ ค่าวิกฤตทไี่ ด้จากขอ้ 1
3. หาค่าของฟงั กช์ ันทีจ่ ุดปลายของช่วงปิด [ , ] น่นั คือ หา ( ) และ ( )
4. เปรียบเทยี บคา่ ท่ไี ดท้ ง้ั หมดจากข้อ 2 และ 3 ซึ่งจะทาให้ไดข้ ้อสรปุ ว่า

4.1) ค่ามากทีส่ ุดเปน็ คา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ของฟงั ก์ชนั
4.2) ค่าน้อยทสี่ ดุ เปน็ ค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์ของฟงั กช์ ัน
ตวั อย่างที่ 70 จงหาค่าสูงสดุ สมั บรู ณแ์ ละค่าตา่ สดุ สมั บูรณ์ของฟังก์ชนั ( ) = 2 3 − 3 2 − 36 + 42 บนช่วงปดิ [−5 , 5]
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 121

ตัวอย่างที่ 71 จงหาค่าสงู สดุ สัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สมั บรู ณ์ของฟงั กช์ ัน ( ) = 3 − 3 + 2 บนชว่ งปิด [0 , 2]
วิธที า

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 122

กิจกรรมระหว่างเรยี น 12 : แบบฝกึ หดั 2.8.2 การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์ (2) ฟังก์ชนั เพมิ่ ฟังกช์ นั ลด

1. จากฟงั ก์ชนั ทีก่ าหนดให้ จงระบุชว่ งทฟี่ ังก์ชนั เป็นฟังกช์ นั เพิ่มและช่วงท่ฟี ังก์ชนั เป็นฟงั กช์ นั ลด
1.1) ( ) = 3 − 2 − 2

วธิ ที า

1.2) ( ) = 2 2 − − 3
วิธที า

'

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 123

1.3) ( ) = 2 3 − 2 − 8
วธิ ที า

1.4) ( ) = 2 3 + 3 2 − 36 + 5
วิธที า

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 124

1.5) ( ) = 3 − 2 2 − 4 + 7
วิธที า

2. จงหาค่าสงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละคา่ ตา่ สุดสมั พทั ธข์ องฟังก์ชันต่อไปนี้
2.1) ( ) = 2 − 8 + 7

วิธที า

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 125

2.2) ( ) = 3 − 3 + 6
วธิ ที า

2.3) ( ) = 3 − 3 2 − 24 + 4
วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 126

2.4) ( ) = 4 − 8 2 + 12
วธิ ที า

2.5) ( ) = 4 − 4 3 + 8
วิธที า

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 127

3. จงหาคา่ สงู สุดสัมบรู ณ์และคา่ ตา่ สุดสัมบูรณข์ องฟงั กช์ ันตอ่ ไปนี้
3.1) ( ) = 2 − 4 + 3 บนช่วงปิด [ 0 , 5]

วิธีทา

3.2 ( ) = 3 − 2 2 − 4 + 8 บนชว่ งปดิ [−2 , 3]
วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 128

3.3) ( ) = 4 − 2 3 − 9 2 + 27 บนชว่ งปิด [−2 , 4]
วธิ ที า

3.4) ( ) = 3 + 5 − 4 บนชว่ งปิด [−3 , −1]
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 129

4. กาหนดให้ ( ) = 3 + 2 + + จงยกตัวอยา่ งจานวนจริง , และ ทท่ี าให้
4.1) มีค่าวกิ ฤต 2 ค่า

วิธที า

4.2) มคี ่าวิกฤตเพยี ง 1 ค่า
วิธที า

4.3) ไม่มคี า่ วิกฤต
วิธที า

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 130

2.8.3 โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกบั ค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสุด (การประยุกต์ 3)

ในชวี ิตจรงิ หรอื ในทางธุรกิจ มักจะพบว่าปัญหาเกย่ี วข้องกบั การหาค่าสงู สดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ เสมอ เช่น ตอ้ งการให้รายรับหรอื
ผลตอบแทนสูงสดุ โดยท่ีรายจ่ายหรือต้นทุนต่าสุด ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสดุ หรือค่าต่าสุดจะตอ้ งสร้างสมการท่ีแสดง
ความสัมพนั ธข์ องปรมิ าณทีเ่ กีย่ วขอ้ งกนั แลว้ เขียนใหอ้ ยู่ในรปู ของฟงั ก์ชนั ที่มตี วั แปรตน้ และตัวแปรตาม จากน้นั จงึ พจิ ารณาเง่อื นไข
ของโจทยว์ ่าฟงั กช์ นั น้ันมีโดเมนเปน็ เซตใด และตอ้ งการใหค้ ่าสูงสุดหรอื ค่าต่าสดุ บนโดเมนท่ีกาหนด

หลกั การทั่วไปในการแกโ้ จทย์ปัญหาเกี่ยวกับคา่ สูงสุดหรอื คา่ ตา่ สุด
1. ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียด ว่ามีปริมาณใดบ้างท่ีเก่ียวข้องกัน และเขียนสมการแสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างตัว

แปรท่ีแทนปริมาณทเ่ี ก่ยี วข้องให้อยใู่ นรปู ของฟงั ก์ชันบนชว่ งที่สอดคลอ้ งกับเง่อื นไขของโจทย์ปญั หา
2. ใช้วิธกี ารท่ไี ดศ้ ึกษาในหัวข้อที่แลว้ ในการหาค่าสูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ ของฟังก์ชนั นน้ั

ตัวอย่างที่ 72 ต้องการนาลวดหนามยาว 1,000 เมตร มาก้ันพื้นท่ีเป็นรูปส่ีเหลยี่ มมุมฉากโดยพ้ืนท่ีด้านหน่ึงอยู่ติดริมรั้วบ้านจงึ ไม่
ตอ้ งขึงลวดหนามก้ัน จงหาขนาดของรูปสีเ่ หลี่ยมดงั กลา่ ว ทที่ าใหพ้ ื้นท่ีมากทส่ี ดุ และจะไดพ้ ้นื ทีท่ ม่ี ากท่สี ดุ เปน็ เทา่ ใด

วิธที า

แคลคลู ัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 131

ตัวอย่างที่ 73 ต้องการทากล่องกระดาษแข็งรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 10 เซนติเมตร โดยตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหล่ียม
จตรุ ัสทีแ่ ตล่ ะดา้ นยาว เซนตเิ มตร ออกจากมุมท้ังสี่ แล้วพบั ดา้ นข้างข้ึนเพอ่ื ทาเปน็ กล่องไม่มีฝา จงหากล่องจะมคี วามจมุ ากท่สี ุด
เม่อื เปน็ เทา่ ใด และกล่องจะมคี วามจุมากทีส่ ุดเทา่ ใด

วิธีทา

ตวั อยา่ งที่ 74 จงหาจานวนจรงิ สองจานวนซึง่ มีผลคณู เป็น −9 และผลบวกกาลังสองของแตล่ ะจานวนมีค่านอ้ ยที่สดุ
วิธีทา

เม่ือพิจารณาตัวอย่างที่ 72-74 จะเห็นว่า ช่วงท่ีสอดคล้องกับเง่ือนไขของโจทย์ปัญหาเป็นช่วงเปิด ในการตรวจค่าสูงสุด
สัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์นั้นสามารถใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 2 ดังตัวอย่างที่ 72-73 หรือใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 1 ดังตัวอย่างที่ 74 ซ่ึง
สามารถเลอื กใชว้ ธิ ใี ดก็ไดต้ ามความเหมาะสม

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 132

ตวั อย่างท่ี 75 โรงแรมแหง่ หนึง่ มหี อ้ งพกั 40 หอ้ ง เจ้าของโรงแรมพบว่าในชว่ งเวลาปกตถิ ้าเขาคิดค่าห้อง 500 บาทต่อวนั จะมีผเู้ ขา้
พักเต็มทกุ ห้อง แตถ่ ้าเขาขนึ้ ราคาค่าหอ้ งตอ่ วัน พบว่าทุก 50 บาททเ่ี พมิ่ ขน้ึ จะมหี ้องว่างเพม่ิ ข้นึ 2 ห้อง จงหาว่าเจา้ ของโรงแรมควร
ต้ังราคาค่าห้องวันละเท่าใด จึงจะทาให้มีรายได้มากที่สุด โดยโรงแรมจะมีผู้เข้าพักทั้งหมดกี่ห้อง และเจ้าของโรงแรมจะมีรายได้มาก
ท่ีสุดเท่าใด
วิธที า

ตัวอย่างท่ี 76 โรงงานแห่งหน่งึ ผลิตของเล่นโดยฟงั ก์ชันการผลติ คือ = 50 0.4 0.6 โดยท่ี
แทน จานวนของเลน่ ทผี่ ลติ ได้ใน 1 ช่วั โมง (มีหนว่ ยเปน็ ช้นิ )
แทน จานวนแรงงานทใี่ ช้ใน 1 ชั่วโมง

และ แทน จานวนปัจจยั ทนุ ทีใ่ ชใ้ น 1 ชั่วโมง
จงหาจานวนของเลน่ ที่มากทสี่ ดุ ทโี่ รงงานแหง่ น้จี ะผลติ ไดใ้ น 1 ชว่ั โมง ภายใต้งบประมาน 20,000 บาท ถ้าแรงงานหน่งึ
หนว่ ยมคี า่ ใชจ้ ่าย 100 บาท และปัจจัยทุนหนงึ่ หนว่ ยมคี า่ ใชจ้ ่าย 200 บาท
วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 133

กิจกรรมระหว่างเรยี น 13 : แบบฝึกหดั 2.8.3 โจทยป์ ญั หาเกย่ี วกับค่าสูงสดุ หรอื ค่าต่าสดุ (การประยกุ ต์ 3)

1. ถ้าราคาต่อชนิ้ และจานวนสินคา้ ท่แี ม่คา้ คนหนึ่งขายไดใ้ น 1 สปั ดาห์ มคี วามสัมพนั ธด์ งั สมการ = 100 − 0.04 เมอ่ื แทน
ราคาสนิ ค้าต่อช้ิน (มีหนว่ ยเป็นบาท) และ แทนจานวนสนิ คา้ ทีข่ ายไดใ้ น 1 สปั ดาห์ (มหี น่วยเป็นชน้ิ ) และต้นทนุ ในการผลติ
สินคา้ ชิน้ เป็น 600 + 22 บาท จงหาวา่ แมค่ า้ จะตอ้ งผลติ สินคา้ ออกขายสปั ดาหล์ ะก่ีช้ินจงึ จะได้กาไรมากทสี่ ดุ
วิธีทา

2. รถบรรทกุ ขนส่งสนิ คา้ ของบริษัทแห่งหนึ่งต้องว่ิงเป็นระยะทาง 500 กโิ ลเมตร ด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง โดย
ท่ี ∈ [25, 80] ถา้ น้ามนั ราคาลิตรละ 24 บาท โดยรถบรรทุกใชน้ า้ มนั ในอตั รา 24 + 2 ลิตรตอ่ ชว่ั โมง และบริษทั ต้อง

150

จ่ายเบ้ียเล้ียงใหค้ นขบั รถบรรทุกช่วั โมงละ 49 บาท บริษัทควรใหค้ นขบั ขับรถด้วยอัตราเร็วเฉล่ยี เทา่ จึงจะประหยดั ทส่ี ุด
วิธีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 134

3. ต้องการนาลวดหนามยาว 200 เมตร มาลอ้ มท่ีดินรปู สเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากที่มีขนาดเท่ากนั 3 แปลง ดงั รปู

จงหาว่าจะลอ้ มพ้นื ทไี่ ดม้ ากที่สดุ เทา่ ใด
วธิ ีทา

4. จงหาจานวนจรงิ ท่ีเม่ือนาจานวนดงั กล่าวมาลบดว้ ยกาลงั สองของจานวนจริงน้ัน แล้วได้ผลลบมคี ่ามากท่ีสดุ
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 135

5. จงหาจานวนจริงสองจานวน ซึ่งมีผลบวกเป็น 10 และผลคูณของสองจานวนน้มี คี า่ มากทส่ี ดุ
วิธีทา

6. จงหาจานวนจรงิ ที่มากกวา่ หรือเทา่ กับศูนยส์ องจานวน ซง่ึ มผี ลบวกเปน็ 1 และผลบวกของกาลงั สองของแตล่ ะจานวนมคี า่
6.1) มากทสี่ ดุ

วธิ ที า

6.2) น้อยทีส่ ุด
วธิ ที า

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 136

7. ถ้ากาไรสุทธิจากผลผลิตต่อไร่ของเกษตรกรคนหน่ึง (มีหน่วยเป็นบาทต่อไร่) หาได้จาก = 400 + 20 − 2 เมื่อ แทน
ปริมาณปุ๋ยท่ีใช้ต่อไร่ (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่) จงหาว่าจะต้องใช้ปุ๋ยก่ีกิโลกรัมต่อที่ดิน 1 ไร่ จึงจะได้กาไรสุทธิสูงสุด และกาไร
สทุ ธสิ งู สดุ จากผลผลิตตอ่ ไร่เปน็ เท่าใด
วธิ ีทา

8. ในการเกิดปฏกิ ริ ิยาเคมคี ร้ังหน่ึงสามารถหาอุณหภูมิได้จากสมการ = 10 + 4 − 0.2 2 เมื่อ แทนอุณหภูมิ (มีหน่วยเป็น
องศาเซลเซียส) และ แทนเวลา (มีหน่วยเป็นวินาที) จงหาว่าเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใดอุณหภูมิจึงจะข้ึนสูงสุด และอุณหภูมิ
สงู สุดเป็นเท่าใด
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 137

9. ต้องการสร้างร้ัวล้อมรอบพ้ืนที่เพ่ือทาการเกษตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้มีพื้นท่ี 384 ตารางเมตร โดยมีด้านหน่ึงอยู่ติดริม
แม่น้าจึงไม่จาเป็นต้องสร้างร้ัว ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับแม่น้าต้องสร้างร้ัวและประตูทางเข้ามีค่าใช้จ่ายในการสร้าง 3,000 บาทต่อ
เมตร ส่วนอีกสองด้านที่เหลือมีค่าใช้จ่ายในการสร้างร้ัว 1,000 บาทต่อเมตร จงหาว่าจะต้องสร้างร้ัวให้มีความกว้างและความยาว
เทา่ ใด จงึ จะทาใหค้ า่ ใช้จานในการสรา้ งร้วั ตา่ ท่ีสุด และคา่ ใช้จา่ ยตา่ ทส่ี ดุ เปน็ เท่าใด
วิธีทา

10. ต้องการทากล่องจากแผ่นโลหะรูปสีเ่ หล่ียมผืนผ้าที่กว้าง 20 เซนติเมตรและยาว 24 เซนติเมตร โดยตัดแผ่นโลหะเป็นรูป
ส่เี หล่ยี มจตั รุ สั ท่ีแตล่ ะด้านยาว เซนตเิ มตร ออกจากมุมทั้งส่ี แล้วพับด้านขา้ งขนึ้ เพื่อทาเปน็ กลอ่ งไมม่ ีฝา จงหากลอ่ งจะมคี วามจุ
มากท่สี ดุ เม่ือ เป็นเทา่ ใด และกล่องจะมีความจมุ ากท่สี ุดเทา่ ใด

วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 138

11. พ่อค้าขายสินค้าชนิดหนึ่งซ่ึงมีต้นทุนช้ินละ 4 บาท เขาพบว่า ถ้าเขาตั้งราคาสินค้าชิ้นละ 20 บาท เขาจะขายสินค้าได้ 1,000
ช้ินต่อสปั ดาห์ และทกุ ๆ 1 บาททีล่ ดราคา เขาจะขายสินคา้ ได้เพ่ิมขึน้ สัปดาห์ละ 100 ชิ้น เขาควรจะตั้งราคาสินค้าเท่าใดจงึ จะได้
กาไรการขายมากทีส่ ุด
วธิ ีทา

12. รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากรปู หนึ่งมดี ้านท้ังสามยาว 90 , 120 และ 150 หน่วย จงหาความกว้างและความยาวของรูปสีเ่ หล่ียมมมุ
ฉากท่ีมพี ้ืนท่ีมากท่ีสุดทอ่ี ยภู่ ายในรปู สามเหล่ยี มมุมฉากน้ี โดยมดี า้ นสองดา้ นอยู่บนดา้ นประกอบมุมฉากของรูปสามเหลยี่ ม
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 139

13. ท่อนไม้ท่อนหนึ่งมีหน้าตัดเป็นรูปวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว เซนติเมตร ต้องการเล่ือยท่อนไม้เพื่อทาเป็นคาน ให้มี
หน้าตดั เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มมุมฉาก ซึง่ มีความกวา้ ง เซนติเมตร หนา เซนติเมตร และมจี ดุ ยอดอยบู่ นวงกลม ให้ เปน็ นา้ หนัก
ที่คานรับไม้ ถ้า = 2 เมื่อ เป็นค่าคงตัว แล้วจะต้องเล่ือยให้คานมีความกว้างและความหนาเท่าใด จึงจะรับน้าหนัก
ไดม้ ากที่สุด

วิธีทา

14. โรงงานแห่งหนงึ่ ผลติ ปากกาลกู ลืน่ โดยฟงั กช์ ันการผลติ คือ 12 โดยที่

= 100 3 3

แทน จานวนปากกาลูกลื่นทผี่ ลติ ไดใ้ น 1 ชัว่ โมง (มีหน่วยเปน็ ดา้ ม)

แทน จานวนแรงงานท่ใี ช้ใน 1 ช่วั โมง

และ แทน จานวนปัจจยั ทนุ ทใ่ี ชใ้ น 1 ช่ัวโมง

จงหาจานวนปากกาลูกลืน่ ท่มี ากทส่ี ุดที่โรงงานแห่งนจ้ี ะผลิตได้ใน 1 ช่วั โมง ภายใตง้ บประมาน 315,000 บาท ถ้าแรงงาน

หนง่ึ หน่วยมคี า่ ใช้จา่ ย 150 บาท และปจั จยั ทนุ หนงึ่ หนว่ ยมีคา่ ใชจ้ า่ ย 300 บาท

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 140

15. จงหาจดุ บนพาราโบลา 2 = 2 ซงึ่ อย่ใู กลจ้ ดุ (1 , 4) มากทีส่ ุด
วิธีทา

16. ให้ ( , ) เป็นจุดในจตุภาคที่ 1 ถ้าต้องการลากเส้นตรงผ่านจุด ( , ) ไปตัดแกน และแกน ท่ีจุด
และ ตามลาดบั ดงั รูป ทีท่ าให้ + มีคา่ น้อยท่สี ดุ จงหาพิกัดของจดุ จุด และ ในรปู และ พร้อมท้งั
หาว่า + มีคา่ นอ้ ยท่สี ุดเทา่ ใด

วิธที า

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 141

2.9 ปฏิยานุพันธ์ ( ) และปริพนั ธ์ไม่จากดั เขต ( )

∎ 2.9.1 แนวคดิ และความหมายของปฏยิ านพุ นั ธ์ (Antiderivative)

จากการศึกษาเร่ืองการหาอนุพันธ์ ( ) ของฟังก์ชันที่นักเรียนได้เรียนมาแล้วในหัวข้อ 2.3 ได้กล่าวถึงการหา
อนุพนั ธข์ องฟังก์ชันไปแลว้ ตอ่ ไปจะกลา่ วถึงกระบวนการกลบั กนั ท่กี ลา่ วกนั ง่ายๆ วา่ กระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพนั ธ์ นนั่
คอื การหาปฏยิ านพุ ันธข์ องฟังก์ชนั กลา่ วคือ เม่ือกาหนดฟงั ก์ชนั ให้ จะหาฟังกช์ นั ซึ่ง ′( ) = ( ) และจะเรียกฟงั กช์ ัน
ว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คร้ังนี้จะศึกษาเก่ียวกับ “กระบวนการท่ีตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์” ท่ีเราเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์
( )

ซึ่งกระบวนการหาปฏิยานุพันธ์ เราเรียกว่า “การอินทิเกรต ( )” หรือ “การหาปริพันธ์ ( )”
ของฟงั ก์ชัน เราสรุปไดง้ า่ ยๆ ว่า

การอินทิเกรต ( ) หมายถึง การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ซ่ึงเป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหา
อนพุ ันธ์

การหาอนพุ ันธ์ ( ) หมายถงึ การหา ′( ) เมอื่ กาหนด ( ) มาให้
การหาปฏิยานุพนั ธ์ ( ) หมายถงึ การหา ( ) เมอ่ื กาหนด ′( ) มาให้ เช่น

ตัวอย่าง 55 กาหนด และ เปน็ ฟงั ก์ชนั โดยท่ี ( ) = 2 และ ( ) = 2 เราหาอนพุ ันธข์ อง ( )

จะได้ ( ) = ′( ) = 2 = ( ) ∎

เรากลา่ วไดว้ า่ เปน็ ปฏิยานุพันธห์ นง่ึ ของ

นอกจากนี้ ฟังก์ชนั 1( ) = 2 + 4

2( ) = 2 + 9
3( ) = 2 − 3
4( ) = 2 − 15

... ...

( ) = 2 +

เหลา่ นตี้ า่ งก็เป็นปฏิยานุพันธข์ อง (ซงึ่ ( ) = 2 ) ∎

จากขา้ งต้นเราจะเห็นว่า ปฏิยานุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน จะต่างกันทคี่ า่ คงตัว คอื 4 , 9 , −3 และ −15 เท่าน้ัน และจะเขยี น

“รูปท่ัวไปของปฏิยานพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ” ด้วย ( ) + เม่อื c เป็นคา่ คงตวั

ตวั อยา่ ง 77 กาหนดฟังกช์ ัน โดยท่ี ( ) = 3 2 + 6 จะหาฟงั กช์ ัน ซึ่ง ′( ) = ( ) เมอ่ื ฟงั ก์ชนั วา่ ปฏยิ านุพันธ์
ของฟังก์ชัน

น่ันคอื ( ) = 3 + 3 2 เปน็ ปฏยิ านุพันธข์ อง ( ) = 3 2 + 6 และ ′( ) = ( )
สงั เกตวา่ ปฏิยานพุ ันธ์ของฟังกช์ นั มิได้มเี พยี งฟังกช์ นั เดยี ว
ฟงั ก์ชันตอ่ ไปนล้ี ้วนเป็นปฏยิ านพุ ันธข์ อง ( ) = 3 2 + 6
เช่น ( ) = 3 + 3 2

( ) = 3 + 3 2 + 5
( ) = 3 + 3 2 − 8

นอกจากนี้ ถ้าให้ ( ) = 3 + 3 2 + เม่ือ เป็นค่าคงตวั ใด ๆ จะได้ว่า ′( ) = 3 2 + 6 = ( )

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าฟังก์ชันใด ๆ ท่ีอยู่ในรูป ( ) = 3 + 3 2 + เมื่อ เป็นค่าคงตัว ต่างก็เป็นปฏิยานุ

พนั ธข์ องฟังกช์ นั ( ) = 3 2 + 6
ถ้า และ เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันซึ่ง ′ = จะได้ว่า เป็นอนุพันธ์ของ ในทางกลับกันจะเรียกฟังก์ชัน

ว่าเป็นปฏิยานุพนั ธข์ องฟังก์ชนั ดงั นยิ ามต่อไปนี้

บทนยิ าม 14 : ให้ เป็นฟงั กช์ ัน ถา้ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ ′( ) = ( ) สาหรับทกุ ที่อยู่ในโดเมนของ แลว้
จะเรยี กวา่ ฟงั กช์ ัน วา่ เป็น ปฏยิ านพุ ันธ์ ( ) หนึง่ ของฟงั กช์ ัน

เพ่ือความสะดวกในการคานวณ เราจะเขยี นรูปท่วั ไปของปฏิยานพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน ด้วยสญั ลกั ษณ์ ∫ ( ) อ่านว่า
“ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากดั เขต ( ) ของฟังก์ชนั เทยี บกบั ตวั แปร ”

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 142

ดังน้ัน ถ้า ′( ) = ( ) แลว้ จะได้วา่

∫ ( ) = ( ) + เม่ือ c เป็นคา่ คงตวั

เราเรยี กกระบวนการหา ∫ ( ) วา่ เปน็ “การหาปรพิ ันธ์ ( )”

เรียกเคร่ืองหมาย  ว่า เครือ่ งหมาย “ปริพนั ธ์ ( )”

เรยี ก ( ) ว่า “ปริพัทธ์ ( )”
และเรียก ว่าเปน็ “ผลต่างเชิงอนพุ ันธ์ ( )” เป็นสญั ลกั ษณ์ท่บี อกว่า การหาปริพันธ์น้เี ทยี บกับ
ตวั แปร ซึง่ เข้าใจงา่ ยๆ ดงั ภาพ

เครอื่ งหมายปรพิ นั ธ์ ผลต่างเชิงอนุพันธ์

∫ ( ) = ( ) +

ปริพัทธ์ ปฏิยานุพันธ์

ซึ่งเครื่องหมาย  ที่เรียกว่าเครอื่ งหมายปริพันธห์ รือเครอื่ งหมายอินทิกรัล ซ่ึงนักคณิตศาสตรช์ าวเยอรมนั ชื่อ ไลบ์นิตซ์

(ค.ศ.1646-1716) เป็นผู้ใช้คนแรก เราอ่านสัญลักษณ์ ∫ ( ) แบบเต็มว่า “ปริพันธ์ไม่จากัดเขตของ ( ) เทียบกับ

( ( ) ℎ )”

ตวั อย่างที่ 78 จงหาปฏิยานุพันธข์ องฟงั ก์ชัน เมอื่ ( ) = 3 2 +
แนวคิด การหาปฏยิ านุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั เปน็ กระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธข์ องฟังก์ชัน

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1

[อธิบาย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………..….………
. ]……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………..….………

วิธที า จากกระบวนการหาปฏยิ านุพนั ธ์ ของ ( ) คือ ( ) + ซงึ่ ( ) = ′( ) = ( )

จากโจทย์กาหนดให้
( ) = 3 2 +

จะได้ว่า ′( ) = 3 2 + ตอ่ ไปจะหา ( )

ลองให้ ( ) = 3 2+1 + 1+1 + เม่ือ เปน็ คา่ คงตวั
2+1 1+1
= 3 3 + 2 +
32
= 3 + 2 +
…………….. (1)
2
ในทางกลับกนั และเม่ือหาอนุพันธ์ ; ′( ) = ( )

= [ 3 + 2 + ]
2
= 3 3−1 + 2 2−1 + 0
2
= 3 2 +

= ( ) ……………..(2)

เป็นไปตามนิยาม ซงึ่ ( ) = ′( ) = ( )


ดังนัน้ ปฏยิ านพุ นั ธข์ อง ( ) = 3 2 +

คือ ( ) = 3 + 2 + เมอ่ื เปน็ คา่ คงตัว ∎
2

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 143

∎ แนวคดิ กาหนด f และ F เป็นฟงั ก์ชัน เราหาอนุพนั ธข์ อง ( ) จะได้ ( ) = ′( ) = ( )

กล่าวไดว้ ่า F เป็นปฏิยานพุ ันธห์ นง่ึ ของ f

การหาปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน เป็นกระบวนการตรงข้ามกบั การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน นัน่ คอื

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1

ตัวอย่าง 79 กาหนดฟังกช์ ัน โดยที่ ( ) = 5 จงหาปฏิยานพุ ันธ์ของฟังก์ชันน้ีโดยใช้แนวคดิ กระบวนการตรงข้ามกับการหา

อนุพนั ธ์

วิธีทา จากบทนยิ าม ( ) = ′( ) = 5

ดังนัน้ ( ) = 5 1+1 + เม่อื เปน็ คา่ คงตวั
1+1
= 5 2
+ …………… (1)
2
กระบวนการตรงขา้ ม เมอื่ หาอนุพันธ์ของ ( ) จะได้ ′( ) = ( )

= (5 2 + )
2
= 10 + 0
2
…………… (2)
= 5

จาก (1) และ (2) เปน็ ไปตามบทนิยาม ซึ่ง นิยาม ซ่ึง ′( ) = ( ) = 5

น่ันคือปฏินายุพันธข์ อง นยิ าม ( ) = 5 คือ ดงั นัน้ ( ) = 5 2 + เมอื่ เป็นคา่ คงตวั ∎
2

กจิ กรรมระหว่างเรียน 14 : แบบฝกึ หัด 2.9.1 กระบวนการตรงขา้ มกบั การหาอนุพนั ธ์

1. จงแสดงวา่ ( ) = 4 − 5 + 7 เป็นปฏยิ านุพันธห์ น่งึ ของฟังกช์ ัน ( ) = 1 − 5

6 3 8 3

วิธีทา

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 144

2. กาหนดให้ ( ) = 3 จงหาปฏิยานพุ ันธข์ อง
วิธที า

3. กาหนดให้ . ( ) = √ จงหาปฏิยานุพันธข์ อง
วิธที า

จากแนวคดิ การหาปฏยิ านุพันธ์ของฟังก์ชันข้างต้นดงั ตัวอยา่ งท่ี 78-79 จะเห็นว่า ปฏยิ านพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน มไี ดห้ ลาย
ฟังก์ชันและจะต่างกันท่ีค่าคงตัวเท่าน้ัน เน่ืองจากการหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คือการหาฟังก์ชัน ซ่ึง ′( ) = ( )
สาหรับทกุ ∈

ดังน้ันรูปท่ัวไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชัน ( ) + เม่ือ เป็นค่าคงตัว จะเขียนแทนรูปทั่วไป
ของปฏยิ านุพันธข์ องฟงั ก์ชัน ด้วยสญั ลกั ษณ์ ∫ ( ) เรียกว่า ปริพันธ์ไม่จากดั เขต ( ) ของฟงั กช์ นั
เทียบกับตัวแปร หรือเรียกส้ันๆ ว่า ปริพันธ์ของฟังก์ชัน เทียบกับตัวแปร ดังน้ัน ถ้า ′( ) = ( ) แล้ว

∫ ( ) = ( ) + เม่ือ เป็นค่าคงตัว

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 145

∎ 2.9.2 การหาปฏยิ านุพันธ์ (Antiderivative) ของฟงั ก์ชนั โดยใชส้ ตู ร

สตู รต่อไปนี้เปน็ สตู รสาหรับหาปริพันธไ์ มจ่ ากัดเขตของฟังกช์ ันบางฟงั ก์ชัน
∎ สตู รที่ 1 : ถ้า เป็นค่าคงตวั แลว้ ∫ = + เมื่อ เป็นคา่ คงตัว

ตวั อยา่ งท่ี 80 จงหา ∫ 5
วิธที า

∎ สูตรที่ 2 : ถา้ เปน็ จานวนจรงิ และ ≠ −1 แลว้ ∫ = +1 + เมอ่ื เป็นคา่ คงตวั

+1

ตวั อยา่ งท่ี 81 จงหา ∫ 5
วิธีทา

ตวั อย่างที่ 82 จงหา ∫ 1
3
วิธที า

∎ สูตรท่ี 3 : ถา้ : ถ้า เปน็ ค่าคงตวั แล้ว ∫ ( ) = ∫ ( )

ตวั อย่างท่ี 83 จงหา ∫ 3 2
วธิ ที า

∎ สูตรที่ 4 : ∫[ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( )

ตวั อย่างท่ี 84 จงหา ∫( 2 + 2 )
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 146

∎ สตู รท่ี 5 : ∫[ ( ) − ( )] = ∫ ( ) − ∫ ( )

หมายเหตุ : โดยท่วั ไปในการหาปรพิ ันธไ์ ม่จากดั เขตของผลบวกหรือผลตา่ งของฟังก์ชัน แทนทีก่ ารบวกค่าคงตวั เมอ่ื หาปรพิ นั ธ์
ไม่จากัดเขตของแตล่ ะฟงั กช์ ัน เพ่ือความสะดวกจะบวกค่าคงตวั เพยี งตวั เดียวเท่านัน้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 85 จงหา ∫ (2 − 1 2)
วิธที า

จากสูตรที่ 3 และ 4 จะได้
∎ สตู รท่ี 6 : ถา้ 1 , 2 , . . . , เปน็ คา่ คงตัว แล้ว

∫( 1 1( ) + 2 2( ) + ⋯ + ( )) = 1 ∫ 1( ) + 2 ∫ 2( ) + ⋯ + ∫ ( )

ตวั อย่างท่ี 86 จงหา ∫(3 6 − 2 2 + 7 + 4)
วิธีทา

*∎ สตู รที่ 7 : การอินทเิ กรตโดยการแทนคา่ :

∫ = +1 + เม่ือ เปน็ ค่าคงตวั
+1

การอินทเิ กรตโดยการแทนคา่ : integration by Substitution คือ เป็นการเปลย่ี นตวั แปรในฟงั กช์ ันเพือ่ หาค่าอินทิกรลั
ได้งา่ ยขึ้น มีกฎท่วั ไปของการแทนคา่ ในการอินทเิ กรต ดงั น้ี

1. แทนคา่ = ( ) และ = ′( ) จะได้ ∫ ( ( ) ⋅ ′( ) = ∫ ( )
2. หาค่าปฏิยานพุ นั ธ์ หรอื ( ) ของ ( ) จะได้ ( ) + จะได้
3. แทนค่า ดว้ ย ( ) จะได้ ( ( )) + ดังตวั อย่าง

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 147

ตัวอย่างที่ 87 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ ( ) เมอ่ื ( ) = ( + 1)20

วิธีทา จากโจทย์จะไดว้ า่ ∫ ( ) = ∫( + 1)20

เนือ่ งจากตวั ถูกอนิ ทเิ กรตเปน็ การยกกาลังของฟังก์ชัน + 1

เรากาหนดให้ = + 1

จะได้ = ( + 1) เป็นการหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ ัน u เทียบ

ดงั นั้นจะได้ว่า = ( + 1) = 1 นน่ั คือ = 1

จะได้ว่า = 1 ⋅ หรือ =

ดังนัน้ จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า ∫ ( ) = ∫( + 1)20

= ∫( + 1)20 ซงึ่ = จะไดว้ า่

= ∫( + 1)20 และ = + 1

= ∫ 20

= 20+1 +
20+1
= 21 +
21 แทนคา่ = + 1

= ( +1)21 + เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั ∎
21
ขอ้ สงั เกต : ถ้าเราจดั ใหอ้ ยใู่ นรูป ∫ ไดแ้ ลว้ ผลเฉลยจะเปน็ ไปตามรปู +1 ได้เลย
∫ = +1 +

ตวั อย่างท่ี 88 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ ( ) เม่ือ ( ) = √ 2 + 5

วิธที า จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า ∫ ( ) = ∫ √ 2 + 5 = ∫ ( 2 + 1

5)2

จะเหน็ วา่ ตัวถูกอนิ ทเิ กรตประกอบดว้ ยการยกกาลงั ของฟังกช์ ัน 2 + 5

ให้ = 2 + 5 จะได้ = ( 2 + 5) เปน็ การหาปริพันธข์ องฟงั กช์ นั u เทียบ x

นัน้ จะไดว้ ่า = ( 2 + 5) = 2 ซึ่ง = 2 ⋅


และเนื่องจากแฟคเตอร์ทา่ คงท่ี คอื 2 ใน du ไม่ปรากฏอย่ใู นตัวถูกอินทิเกรต

การอนิ ทิกรลั (หรือการหาปฏิยานพุ ันธ)์ น้จี งึ ไม่ไดอ้ ยใู่ นรปู แบบ ∫

เราสามารถปรับ du ในตัวถูกอินทิเกรตในอยู่ในรูปแบบ ∫ โดยคูณและหารด้วย 2 ซึ่งจะทาให้ค่าตัวถูก

อินทิเกรตไม่เปลีย่ นแปลง ดงั น้ี

1

∫ ( ) = ∫ √ 2 + 5 = ∫ ( 2 + 5)2

= ∫ 2 ( 2 + 1
2
5)2

= ∫ 1 ( 2 + 1 ]
2
5)2[2

= 1 ∫( 2 + 1 ]
2
5)2[2

= 1 ∫ 1
2
2

= 1 [ 12+1 ] +
2
21+1
3

= 1 [ 2 ] +
2
3

2
= 1 [(2) 23] +

23
3
= 1 ] +
[ 2
3
3
= 1 ] + แทนคา่ = 2 + 5
[ 2
3
3
= 1 [( 2 + + จัดรูป u = x2 +5
5)2]
3

= √( 2+5)3 + เมื่อ c เปน็ คา่ คงตัว .....................................
3

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 148

* ∎ สูตรท่ี 8 : ปริพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ ∫( + ) = ( + ) +1 + เม่ือ c เปน็ คา่ คงตวั
( +1)

ตัวอยา่ งท่ี 89 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ ( ) เมอ่ื ( ) = (3 − 2)10

วิธที า จากโจทยจ์ ะไดว้ า่ ∫ ( ) = ∫(3 − 2)20

เนอ่ื งจากตัวถกู อินทเิ กรตเป็นการยกกาลงั ของฟังก์ชนั 3 − 2

เรากาหนดให้ = 3 − 2

จะได้ = (3 − 2) เป็นการหาปริพนั ธข์ องฟงั กช์ นั u เทียบ

ดงั น้ันจะได้วา่ = (3 − 2) = 3

น่นั คอื = 3

จะได้ว่า
= 3 ⋅

หรือ = 1
3

ดังนั้นจากโจทย์จะได้ว่า ∫ ( ) = ∫(3 − 2)10 ให้ 3 − 2 =

= ∫( )10 ซึ่ง = 1 จะได้วา่
3
= ∫( )10 1
3 โดยสูตรที่ 3
1 โดยสูตรท่ี 7
= 3 ∫ 10
แทนค่า = 3 − 2
= 1 ( 10+1) + เมอื่ c เป็นคา่ คงตัว
เม่อื c เป็นค่าคงตัว 89.1 ∎
3 10+1
= 1 ( 11) +

3 11
= (3 −2)11 +

3(11)

= (3 −2)11 +

33

ทานองเดียวกันถา้ ใช้สตู รที่ 8 ปรพิ ันธ์ของฟงั กช์ นั เชงิ เส้น ∫( + ) = ( + ) +1 + เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั
( +1)

จะไดว้ า่ ∫(3 − 2)10 = (3 −2)10+1 +

3(10+1) เมื่อ c เปน็ ค่าคงตัว
เมือ่ c เป็นค่าคงตวั 89.2 ∎
= (3 −2)11 +

3(11)

= (3 −2)11 +

33

ตวั อยา่ งที่ 90 ถา้ = 5 4 + 3 2 − 2 จงหา

วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 149

ตัวอยา่ งท่ี 91 จงหาสมการเส้นโคง้ ท่ผี า่ นจดุ (2 , 1) และมีความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจดุ ( , ) ใด ๆ เปน็ 2
วธิ ที า

จากตัวอย่างท่ี 91 จะเหน็ วา่ เสน้ โค้ง = 3 + มหี ลายเสน้ ขึน้ อย่กู ับค่าคงตวั c ดงั รูปท่ี 33 แต่มเี ส้นโค้งเพยี งเสน้
3
เดยี วเท่านนั้ ทีผ่ า่ นจดุ (2 , 1) ดงั รปู ท่ี 34

รปู ท่ี 33 รปู ที่ 34

2.9.3 การประยกุ ตข์ องปริพันธ์ (ปฏิยานพุ นั ธ)์

จากหัวข้อ 2.8.1 ถ้าทราบฟังก์ชันแสดงตาแหน่งของวัตถุ จะสามารถใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการหาความเร็วและ
ความเร่งของวัตถุได้ในทางกลับกันถ้าทราบฟังก์ชันแสดงความเร่งของวัตถุ ก็จะสามารถใช้ความรู้เรื่องปฏิยานุพันธ์ในหาการหา
ความเร็วและตาแหน่งของวตั ถไดเ้ ชน่ กนั

จากความรู้เร่ืองการเคลื่อนท่ีของวัตถุในแนวตรง มีปริมาณ 3 ชนิดท่ีเก่ียวข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหน่ง ( ) ของวัตถุ
ความเร็ว ( ) ของวัตถุ และความเร่ง ( ) ของวัตถุ การเคล่ือนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน = ( ) โดยท่ี ( )
คอื ตาแหน่งของวตั ถุ ณ ขณะเวลา ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปล่ียนแปลงของ เทียบกับ ณ ขณะเวลา น่ันคือ ความเร็ว

เป็นอนุพันธ์ของ เทียบกับ ดังน้ัน เป็นฟังก์ชันของเวลา กาหนดโดย ( ) = ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ
จะเหน็ ว่า ความเรว็ เปน็ ฟังก์ชันของเวลา เมื่อ มหี น่วยเปน็ วนิ าที่ ( ∶ )

ดังนั้นเม่ือเราทราบความเร็ว ขณะเวลา ใด ๆ เราสามารถหาหาสมการ ( ) หรือตาแหน่ง จากการหาปฏยิ านุ
พนั ธข์ อง โดยที่

= ∫ ( )

ในทานองเดียวกัน เม่ือเราทราบความเร่ง ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ เราสามารถหาสมการ ( ) หรือ ความเร็ว
จากการหาปฏิยานุพนั ธข์ องความเรง่ โดยท่ี

= ∫ ( )