คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 เล่ม 2

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50

9. ประจุไฟฟ้าสองประจุอยู่ห่างกัน เมตร และขนาดของแรงระหว่างประจุไฟฟ้า นิวตัน เป็นไปตามสมการ =
2
เมอื่ เปน็ คา่ คงตัวท่ีมากกว่าศนู ย์ จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ เทยี บกบั ขณะท่ี เป็นจานวนจรงิ ทีม่ ากกว่า 0

วิธีทา

10. ในการหย่อนปะการังเทียมจากเฮลิคอปเตอร์ลงทะเลแห่งหนึ่ง ถ้า ( ) แทนความสูงของปะการังเทียมจากระดับน้าทะเล
(มหี น่วยเปน็ เมตร) ณ เวลา (มีหนว่ ยเปน็ วนิ าที) จงอธิบายความหมายของสมการ (5) = 0 และ ′(5) = −27
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51

11. จงหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั ต่อไปน้ี
11.1) ( ) = 3 2 และ ′(2)

วิธที า

11.2) ( ) = 3 และ ′(−1)
วิธีทา

11.3) ( ) = 1 และ ′(1)


วธิ ีทา

11.4) 1 และ ′(−1)

( ) = 3

วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52

12. จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ต่อไปน้ี ณ จุดท่กี าหนดให้
12.1) ( ) = 2 − ทจี่ ุดซง่ึ = 0

วิธที า

12.2) ( ) = 2 3 + 1 ท่ีจดุ ซงึ่ = 2
วิธที า

12.3) ( ) = 1 ที่จุดซง่ึ = −1
2
วิธที า

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53

2.4 การหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั โดยใช้สตู ร

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยาม 3 ในรูปของลิมิตน้ันค่อนข้างยุ่งยาก ในหัวข้อน้ีจะแสดงวิธีหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชนั ง่ายๆ บางฟังก์ชันโดยใช้บทนยิ ามและทฤษฎบี ทเกีย่ วกับลมิ ติ ของฟังกช์ นั ท่ไี ดก้ ลา่ วไวใ้ นหวั ขอ้ 2.1 แล้วสรุปเปน็ สูตรดังน้ี

∎ สตู รท่ี 1 : ถ้า ( ) = เมือ่ เปน็ คา่ คงตัว แลว้ ′( ) = 0

พสิ ูจน์ ′( ) = ( +ℎ)− ( )
= ℎ→0 ℎ
=
= −
ℎ→0 ℎ

0

ℎ→0

0∎

ตวั อยางท่ี 37 จงหาอนพันธ์ของฟงั กช์ ัน เมือ่ กาหนด 37.1) = −5 37.2) ( ) = 1
5
วธิ ีทา 37.1) เน่อื งจาก = −5

จะได้ = (−5) = 0 37.1) ∎
37.2) ∎
37.2) เน่ืองจาก ( ) = 1
5
จะได้ = ( ) = (51)
0


∎ สตู รที่ 2 : ถา้ ( ) = แล้ว ′( ) = 1

พสิ ูจน์ ′( ) = ( +ℎ)− ( )
= ℎ
= ℎ→0
= +ℎ −
= ℎ

ℎ→0
ℎ
ℎ→0 ℎ

1

ℎ→0

1 ∎

ตวั อยางที่ 38 กาหนด = จงหา

วธิ ีทา เนื่องจาก =

จะได้ = ( ) = ∎

= = =
ขอ้ สังเกต : รปู ของอนพุ ันธข์ อง = อาขเขียน ( ) 1


∎ สตู รที่ 3 : ถา้ ( ) = เมอ่ื เปน็ จานวนจริง แลว้ ′( ) = −1

พสิ จู น์ จะแสดงเฉพาะกรณที ี่ = โดยที่ เป็นจานวนจริงบวกเทา่ นน้ั จะไดว้ ่า

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
= ( +ℎ) −
= ℎ→0 ℎ
( 0 ) ℎ0 + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ( ) − ℎ −

ℎ→0 ℎ
= ( 0 ) + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ( ) ℎ −
= ℎ→0 ℎ
−1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ℎ

ℎ→0 ℎ
= −1 + ( 2 ) + ( 3 ) −3ℎ2 + … + ℎ −1
−2ℎ

ℎ→0
= −1
ℎ→0
= −1
∎

หมายเหตุ : ในกรณีที่ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ ตอ้ งใช้แคลคลู สั ระดับสูงในการพิสูจน์ สตู รท่ี 3

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54

ตวั อยางท่ี 39 กาหนดให้ ( ) = 5 จงหา 39.1) ′( ) 39.2) ′(−2)
วธิ ที า 39.1) เนื่องจาก ( ) = 5 39.1) ∎

จะได้ ′( ) = 5 5−1
= 5 4

39.2) จาก ′( ) = 5 4
ดังนน้ั ′(−2) = 5(−2)4

= 80 39.2) ∎

ตวั อยางท่ี 40 กาหนดให้ = 1 จงหา 40.1) 40.2) |
3 = −1

วิธที า 40.1) เนือ่ งจาก = 1 = −3 40.1) ∎
3 40.2) ∎
จะได้ = ( −3)

= 3 −3−1

= 3 −4=

= 3
4
40.2) จาก = 3
จะได้ = 4
=
| 3
(−1)4
= −1
3

ตัวอยางท่ี 41 กาหนดให้ = √ จงหา 41.1) 41.2) |
= 9

วิธีทา 41.1) เนือ่ งจาก = √ = 1 41.1) ∎
จะได้ 41.2) ∎
2

= 1

( 2)

= 1 12−1
2
= 1 −21
2
=1
2√
จาก =1
41.2) 2√

จะได้ | =1
= 9 2√9

=1
6

∎ สตู รที่ 4 : ถ้า และ หาอนพุ ันธ์ได้ที่ แลว้ ( + )′( ) = ′( ) + ′( )

พิสจู น์ ให้ ( ) = ( ) + ( )
′( ) =
( +ℎ)− ( )
= ℎ→0 ℎ

= [ ( +ℎ) + ( +ℎ)] − [ ( )+ ( )]
= ℎ→0 ℎ

+ [ ( +ℎ)−[ ( )] [ ( +ℎ)] −[ ( )]
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ

′( ) + ′( ) ∎

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55

ตวั อย่างที่ 42 กาหนดให้ = 4 + 2 จงหา 42.1) 42.2) | = 1
2


วิธที า 42.1) เนือ่ งจาก = 4 + 2

จะได้ = ( 4) + ( 2)

′ = 4 4−1 + 2 2−1

= 4 3 + 2 1

= 4 3 + 2 42.1) ∎

42.2) จาก = 4 3 + 2

จะได้ | = 4(12)3 + 2(21)
= 1
2
1
= 2 + 1

=3 42.2) ∎
2

∎ สตู รท่ี 5 : ถา้ และ หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่ แลว้ ( − )′( ) = ′( ) − ′( )

พสิ ูจน์ ทานองเดียวกบั การพสิ จู นส์ ูตรท่ี 4 โดย

ให้ ( ) = ( ) − ( )

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
=
= [ ( +ℎ)− ( +ℎ)] − [ ( )− ( )]
= ℎ→0 ℎ

[ ( +ℎ)−[ ( )] − [ ( +ℎ)] −[ ( )]
ℎ ℎ
ℎ→0 ℎ→0

′( ) − ′( ) ∎

ขอ้ สังเกต จากสตู รท่ี 4 และสตู รท่ี 5 จะไดว้ า่ ถ้า = ( ) + ( ) − ℎ( ) เป็นฟังกช์ ันที่หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่
นน่ั คอื สามารถหา ′( ) , ′( ) , ℎ′( ) ได้ ซึง่ = ′( ) + ′( ) − ℎ′( )



นั่นคือ จะขยายจานวนฟังก์ชันทบ่ี วกและลบกันเป็นกี่ฟังกช์ ันก็ได้

∎ จากสตู รท่ี 4 และ 5 ถ้า , และ ℎ เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ ันธไ์ ด้ โดยท่ี = ( ) , = ( ) และ = ℎ( )
หาอนพุ ันธ์ไดท้ ่ี แลว้ ( ± ± ) = ( ) ± ( ) ± ( )



ตวั อย่างท่ี 43 กาหนดให้ = 6 + 3 − 2 + 4 จงหา 43.1) 43.2) |
= −1

วธิ ีทา 43.1) เน่อื งจาก = 6 + 3 − 2 + 4
จะได้
= 6 + 3 − 2 + 4



′ = 6 6−1 + 3 3−1 − 2 2−1 + 0

= 6 5 + 3 2 − 2 43.1) ∎

43.2) จาก = 6 5 + 3 2 − 2
จะได้ = 6(−1)5 + 3(−1)2 − 2(−1)
= −1
| = −1 43.2) ∎

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56

∎ สตู รที่ 6 : ถ้า เปน็ คา่ คงตัว และฟงั กช์ นั หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี แล้ว ( )′( ) = ( ′( ))

พิสูจน์ ให้ ( ) = ( )
จะได้ ( + ℎ) = ( + ℎ)

′( ) = ( +ℎ)− ( )
= ℎ→0 ℎ

= ( +ℎ)− ( )
= ℎ→0 ℎ
=
( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

( ′( )) ∎

ตวั อยา่ งที่ 44 กาหนดให้ = 5 2 − 3 จงหา 44.1) 44.2) ′| =2

วิธที า 44.1) เน่อื งจาก = 5 2 − 3

จะได้ = (5 2 − 3 )



′ = (5 2) − (3 )

= 5 ( 2) − 3 ( )

= 5(2 ) − 3(1)

= 10 − 3 44.1) ∎

44.2) จาก ′ = 10 − 3

จะได้ ′| =2 = 10(2) − 3 44.2) ∎
= 17

ตวั อยา่ งท่ี 45 กาหนดให้ ( ) = 8 3 − 2 2 + 5 − 7 จงหา 45.1) ′( ) 45.2) ′(1)

วิธที า 45.1) เน่ืองจาก ( ) = 8 3 − 2 2 + 5 − 7

จะได้ ( ) = (8 3 − 2 2 + 5 − 7)

= ′( ) (8 3) − (2 2) + (5 ) − (7)

= 8 ( 3) − 2 ( 2) + 5 ( ) − (7)

= 8(3 3−1) − 2(2 2−1) + 5(1) − (0)

= 8(3 2) − 2(2 1) + 5

= 24 2 − 4 + 5 45.1) ∎

45.2) จาก ′( ) = 24 2 − 4 + 5

จะได้ ′(1) = 24(1)2 − 4(1) + 5

= 24 − 4 + 5

= 25 45.2) ∎

ตัวอย่างที่ 46 กาหนดให้ ( ) = 2 3 − 4 2 จงหา 46.1) ค่าของ ทท่ี าให้ ′( ) = 0 46.2) ′(1)

วธิ ีทา 46.1) เน่ืองจาก ( ) = 2 3 − 4 2

จะได้ = ( ) (2 3 − 4 2)

′( ) = 6 2 − 8

กาหนดให้ ′( ) = 0

จะได้ 6 2 − 8 = 0

หรอื 2 (3 − 4) = 0

นน่ั คอื = 0 หรือ = 4 = 4 46.1) ∎
3
3
ดังนน้ั ค่าของ ทีท่ าให้ ′( ) = 0 คอื = 0 หรือ
46.2) จาก ′( ) = 6 2 − 8

จะได้ ′(1) = 6(1)2 − 8(1)

= −2 46.2) ∎

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57

∎ สตู รท่ี 7 : ถ้า และ หาอนพุ นั ธไ์ ด้ที่ แล้ว
( ∙ )′( ) = ( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( )

พิสูจน์ เนอื่ งจาก ( ∙ )( ) = ( ) ∙ ( )

จะได้ ( ∙ )′( ) = [ ( +ℎ)∙ ( +ℎ)] − [ ( )∙ ( )]
= ℎ→0 ℎ
=
= ( +ℎ)∙ ( +ℎ) − ( +ℎ) ( )+ ( +ℎ) ( )− ( )∙ ( )
= ℎ
ℎ→0
) ( )

ℎ→0
( ( + ℎ) ( +ℎ)− ( ) + ( ) ( +ℎ)−
ℎ ℎ

( ( + ℎ) ( +ℎ)− ( ) + ( ) ( +ℎ)− ( )
ℎ ℎ→0 ℎ→0 ℎ
ℎ→0 ℎ→0

( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( )

ดงั น้นั ( ∙ )′( ) = ( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( ) ∎

∎ จากสตู รที่ 7 ถา้ และ หาอนพุ นั ธไ์ ด้ที่ แล้ว ( ⋅ )′( ) = ( ) ⋅ ′( ) + ( ) ⋅ ′( )
หรอื ถ้า ให้ = ( ) และ = ( ) หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี

แลว้ ( ⋅ ) = ⋅ ( ) + ⋅ ( )


ตวั อย่างท่ี 47 กาหนดให้ = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5) จงหา 47.1) 47.2) |
= −2
วิธที า 47.1) เน่อื งจาก = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5)

จะได้ = [( 2 − 2 + 3)(2 + 5)]



= ′ ( 2 − 2 + 3) (2 + 5) + (2 + 5) [( 2 − 2 + 3)

= ( 2 − 2 + 3)(2 + 0) + (2 + 5)(2 − 2)

= (2 2 − 4 + 6) + (4 2 + 6 − 10)

= 2 2 − 4 + 6 + 4 2 + 6 − 10

= 6 2 + 2 − 4 47.1) ∎

47.2) เน่อื งจาก = 6 2 + 2 − 4

จะได้ |
= −2 = =6(−2)2 + 2(−2) − 4 16 47.2) ∎

∎ สตู รที่ 8 : ถา้ และ หาอนพุ ันธไ์ ด้ท่ี และ ( ) ≠ 0

=( ′ ( ) ∙ ′( ) − ( ) ∙ ′( )
( ) [ ( )]2
)

พสิ จู น์ เนอื่ งจาก ( ) ( ) = ( )
( )

= ( +ℎ) − ( )
( )′ ( ) ( +ℎ) ( )

ℎ→0 ℎ

= ( +ℎ) ∙ ( ) − ( ) ∙ ( +ℎ)
ℎ→0 ℎ ∙ ( ) ∙ ( +ℎ)

= ( +ℎ) ∙ ( )− ( ) ∙ ( ) − ( ) ∙ ( +ℎ) + ( ) ∙ ( )
ℎ→0 ℎ ∙ ( ) ∙ ( +ℎ)

( +ℎ) − ( ) ( ( )∙ ( +ℎ) − ( )
ℎ ℎ
= [ ]( ( )∙ ) − )∙

ℎ→0 ( ) ∙ ( +ℎ)

= ( ( ) ∙ ( +ℎ) − ( ) ) − ( ( ) ∙ ( +ℎ) − ( ) )∙
ℎ→0 ℎ ℎ
ℎ→0

( ) ∙ ( +ℎ)
ℎ→0
( +ℎ) − ( ) ( +ℎ) − ( )
= ( ( ) ∙ ℎ ) − ( ( ) ∙ ℎ )∙
ℎ→0
ℎ→0

( ) ∙ ( )

= ( ) ∙ ′( ) − ( ) ∙ ′( ) ∎
[ ( )]2

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58

∎ จากสตู รท่ี 8 ถ้า และ หาอนพุ นั ธ์ได้ท่ี แลว้ ( )′′ ( ) = ( )⋅ ′( )− ( )⋅ ′( )
[ ( )]2


หรือ ถา้ ให้ = ( ) และ = ( ) หาอนุพันธ์ได้ท่ี

แล้ว ( ) = ⋅ ( )− ⋅ ( )
[ ]2

ตวั อย่างที่ 48 กาหนดให้ = ( ) (2 −1) จงหา 48.1) ′( ) 48.2) ′(−1)
(2 +1)

วิธีทา 48.1) เน่ืองจาก ( ) = (2 −1)
(2 +1)

จะได้ = ′( ) (2 −1)
(2 +1)

= (2 +1) ∙ (2 −1) − (2 −1)∙ (2 +1)


(2 +1)2

= (2 +1) ∙ (2−0) − (2 −1) ∙ (2+0)
(2 +1)2

= (2 +1) ∙ (2) − (2 −1) ∙ (2)
(2 +1)2

= (4 +2) − (4 −2)
(2 +1)2

= 4 +2−4 +2
(2 +1)2

=4 48.1)∎
(2 +1)2

48.2) จาก = ′( ) 4
(2 +1)2

จะได้ = ′(−1) 4
(2(−1)+1)2

= 4 48.2)∎

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 5 : แบบฝึกหัด 2.4 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร

1. จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้
1.1) = −3

วิธที า

1.2)
= 3 +
3
วธิ ีทา

1.3) = 3 − 3 + 7
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59

1.4) 1
= −5 2 + + 2√ − √
วิธีทา

1.5) = 4 5 − 3 2 − 8
วิธที า

1.6) = (4 2 + − 1)( + 2)
วิธที า

1.7) = ( + 1)( + 2)
วธิ ที า

1.8) = (4 − 2)( 2 + 3)
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60

1.9) = ( 2 + 1)
วิธีทา

1.10) 3+2
=
วิธที า

1.11) 3
= 3 2+1
วิธที า

1.12) = 1+3
1∓3
วธิ ที า

1.13) 1
= 12 − 2
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61

1.14) 5−3 2+5 −2
= 2
วธิ ที า

1.15) 5 2+ +3
= √
วธิ ที า

1.16) = ( 1 − 1 )(3 3 + 27)
2
วิธีทา

1.17) 4 +1
= 2−5
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62

1.18) = ( 3 +2) ( −5 + 1)


วิธีทา

1.19) = 3
√ + 2
วิธีทา

1.20) = (2 7 − 2) ( +−11)
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63

2. จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้ ณ จดุ ท่ีกาหนดให้
2.1) = (2 3 − √1 ) ท่จี ดุ ซง่ึ = 1

วิธที า

2.2) ( ) = (1 5 − 1 3 + 1 2 − 4 + 5) ทจ่ี ุดซึ่ง = 1
532

วิธที า

2.3) ( ) = (2 2 − 3 + 1)(x − 2) ท่จี ุดซงึ่ = −1
วิธที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64

2.4) ( ) = ( 2 −1) ท่จี ดุ ซ่ึง = 2
+1

วธิ ีทา

3. กาหนดให้ (4) = 3 และ ′(4) = −5 จงหา ′(4) เมือ่
3.1) ( ) = √ ( )

วิธที า

3.2) ( ) = ( )


วธิ ที า

4. กาหนดให้ (2) = 1 , ′(2) = −1 , (2) = 2 และ ′(2) = 0 จงหา ′(2) เมอ่ื
4.1) ( ) = 2 ( ) + 4 ( )

วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65

4.2) ( ) = ( ) +3 ( )
( )

วธิ ีทา

5. จงหาพหุนามดกี รีสอง ( ) = 2 + + ท่ี (1) = 1 , ′(1) = −1 และ ′(0) = −3
วิธที า

6. ในงานมหกรรมลดราคาไทยช่วยไทย ร้านขายสินค้าหัตถกรรมจากย่านลิเภาร้านหนึ่งได้บันทึกปริมาณสินค้าคงเหลือ (มีหน่วย
เปน็ 100 ชิ้น) ซึง่ สามารถประมาณไดด้ ้วยฟังก์ชัน ( ) = 3 +145 เมื่อ แทนจานวนวันตั้งแตเ่ ร่มิ ตน้ งานมหกรรมลดราคา

+ 8

6.1) จงหาจานวนสินค้า ณ เวลาเร่มิ ต้นมหกรรมลดราคา
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66

6.2) จงหาจานวนสนิ คา้ คงเหลอื และอตั ราการเปลี่ยนแปลงของจานวนสินคา้ ในวันที่ 10
วธิ ีทา

6.3) จงหาจานวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปลย่ี นแปลงของจานวนสนิ คา้ ในวนั ที่ 15
วิธีทา

6.4) จงหาจานวนสินค้าคงเหลอื และอัตราการเปล่ยี นแปลงของจานวนสนิ ค้าในวันที่ 25
วิธที า

6.5) จงอธิบายการขายสนิ คา้ ของร้านนี้
วธิ ีทา

7. ในปนี ี้บริษัทขายสนิ ค้าชนิดหนึง่ ในราคาชิน้ ละ 250 บาท โดยขายได้ 200,000 ชิ้น ถา้ ในปีตอ่ ๆ ไป บรษิ ทั ตง้ั ราคาขายสูงขึ้นปีละ
10 บาท จะขายสนิ คา้ ไดน้ อ้ ยลงปีละ 6,000 ช้นิ จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงของรายรับรวมที่ไดจ้ ากการขายสินคา้ ชนดิ นใี้ นปที ่ี 3
วธิ ที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67

2.5 อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั ประกอบ ( )

ในหวั ขอ้ น้ี จะกลา่ วถงึ การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันประกอบ ซง่ึ เรยี กกฎในการหาอนุพันธน์ ้ีวา่ กฎลูกโซ่ ( ℎ )

∎ สูตรท่ี 9 : ถา้ หาอนุพนั ธ์ได้ท่ี และ หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี ( ) แล้ว

( )′( ) = ′[ ( )] ∙ ′( )

จากสูตรท่ี 9 สามารถเขยี นไดอ้ กี รูปแบบหน่งึ ดงั น้ี

ถ้า = ( ) แลว้ ให้ = ( ) จะได้วา่ = [ ( )] = [ ]

ดงั นัน้ = ( )′( )



= ′[ ( )] ∙ ′( )

= ′[ ] ∙ ′( )

= [ ] ∙ เมือ่ = ( ) และ = [ ]


= ∙


น่นั คอื ถา้ เปน็ ฟงั ก์ชันของ และ เปน็ ฟงั ก์ชันของ และสามารถหาอนพุ นั ธ์ได้ นั่นคือหา และ ได้

แลว้ = ∙


ตวั อย่างท่ี 49 กาหนดให้ ( ) = (2 − 1)5 จงหา 49.1) ′( ) 49.2) ( )′(2)

วิธีทา 49.1) ให้ = 2 − 1 จะได้ = ( ) = (2 − 1)5 = 5

โดยกฏลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 5 และ = 2 − 1 จะได้

= ( 5) ∙ (2 − 1)

= 5( 5−1) ∙ (2 − 0)

= 5( 4) ∙ (2)

= 10( 4) แทน = 2 − 1 จะได้

= 10(2 − 1)4 แทน = 2 − 1 จะได้

= 10(2 − 1)4

น่ันคือ ′( ) = 10(2 − 1)4 49.1) ∎

49.2) จาก ′( ) = 10(2 − 1)4

จะได้ ′(2) = 10(2(2) − 1)4

= 10(3)4

= 810 49.2) ∎

ตัวอยา่ งที่ 50 กาหนดให้ = √1 − 3 2 จงหา 50.1) 50.2) ได้ |
= −1
1 1
วิธีทา 50.1) ให้ = 1 − 3 2 จะได้ = √1 − 3 2 = (1 − =
3 2)2 2

โดยกฏลกู โซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 และ = 1 − 3 2 จะได้

2

= 1 ∙ (1 − 3 2)

( 2)

= 1 ( 21−1) ∙ (0 − 6 )
2
1
= 1 ( − ∙ (−6 )
2)
2
1
= ∙ (−6 )
1

2 2
= −6
1

2 2
−3
= แทน = 1 − 3 2 จะได้
1

2
= −3
√1−3 2
นั่นคือ = −3
√1−3 2 50.1) ∎

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68

50.2) จาก = −3
ได้ √1−3 2
= | −3(−1)
= −1 √1−3(−1)2

=3
√−2
ที่ = −1 ไมม่ ีจานวนจรงิ เป็นคาตอบ 50.2) ∎

ตวั อย่างที่ 51 กาหนดให้ = 1 จงหา 51.1) 51.2) ได้ |
3√2 2−1 = 1

วิธที า 51.1) ให้ = 2 2 − 1 จะได้ = 1 = 1 = (2 2 − 1)− 1 = −31
3√2 2−1 3
1
(2 2−1)3

โดยกฏลกู โซ่ จะได้ = ∙ แทน = − 1 และ = 2 2 − 1 จะได้
3

= 1 ∙ (2 2 − 1)

( 2)

= − 1 ( −13−1) ∙ (4 − 0)
3
4
= − 1 ( − 3 ) ∙ (4 )

3
= −4 แทน = 1 − 3 2 จะได้
4

3 ∙ 3
= −4
4
3 ∙ (1−3 2) 3

= −4
3 ∙ 3√(2 2−1)4

น่ันคอื = −4 51.1) ∎
3 ∙ 3√(2 2−1)4

51.2) จาก = −4
3 ∙ 3√(2 2−1)4

ได้ = | = 1 −4(1)
3 ∙ 3√(2(1)2−1)4

= −4
3 ∙ 3√(1)4

= −4 51.2) ∎
3

ตัวอยา่ งท่ี 52 กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( )

จงหา ′(3) เมอ่ื (1) = 3 , (3) = 1 , ′(1) = 4 และ ′(3) = 5

วิธที า เน่ืองจากโจทย์ตอ้ งการทราบ ′(3) เราจึงตอ้ งหา ′( )

จากกาหนดให้ ( ) = ( ( ))

โดยกฏลูกโซ่ จะได้ ′( ) = ′( ( )) ∙ ′( ) ………………… (1)

และจากกาหนดให้ ( ) = ( ) โดยสตู รการหาอนพุ ันธข์ องผลคณู ของฟงั กช์ นั จะได้

ดงั นน้ั ′( ) = ∙ ( ) + ( ) ∙ ( )



= ∙ ′( ) + ( ) ∙ (1)

′( ) = ∙ ′( ) + ( ) ………………… (2)

จาก (1) ′( ) = ′( ( )) ∙ ′( )

จะได้ ′(3) = ′( (3)) ∙ ′(3) แทนค่า (3) = 1 , ′(3) = 5 จะได้

นน่ั คอื ได้ = ′(1) ∙ (5) ………………… (3)
′(3) = ′(1) ∙ (5)

หาค่า ′(1) จาก (2) ′( ) = ∙ ′( ) + ( )

จะได้ ′(1) = (1) ∙ ′(1) + (1) แทนคา่ (1) = 3 , ′(1) = 4 จะได้

= (1) ∙ (4) + (3)

=7

นั่นคือ ′(1) = 7 แทนใน (3)

จาก (3) ′(3) = ′(1) ∙ (5)

= (7) ∙ (5)

= 35 ∎

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69

กจิ กรรมระหว่างเรียน 6 : แบบฝึกหดั 2.5 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ

1. จงหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั ต่อไปนี้ 1.2.2) |
1.1) = (2 − 3)5 จงหา 1.1.1) = 1

วธิ ที า

1.2) = (1 − 3 )3 จงหา 1.2.1) 1.2.2) |
= 2

วิธที า

1.3) = (3 − 4 2)4 จงหา 1.3.1) 1.3.2) |
= 1

วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70

1.4) = (2 − 3 + 4 2)3 จงหา 1.4.1) 1.4.2) |
= 2

วธิ ีทา

1.5) = ( 3 − 2 )3 จงหา 1.5.1) 1.5.2) |
= 1

วิธที า

1.6) = √1 − 2 จงหา 1.6.1) 1.6.2) |
= 2

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71

1.7) = √3 2 + 2 จงหา 1.7.1) 1.7.2) |

วิธีทา = 1

1.8) = 3√ 2 − 3 จงหา 1.8.1) 1.8.2) |
= 2

วิธีทา

1.9) = (2 2 − 1)−3 จงหา 1.9.1) 1.9.2) |
= 1

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72

1.10) = 1 จงหา 1.10.1) 1.10.2) | = 2
( 2−3 +2)2

วิธีทา

1.11) = 1 จงหา 1.11.1) 1.11.2) |
√ 2+2 = 1

วธิ ที า

1.12) = 1 จงหา 1.12.1) 1.12.2) |
3√ 2−2 +3 = 2

วธิ ที า

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73

1.13) = ( − 3)3(2 + 1) จงหา 1.13.1) 1.13.2) |
วิธีทา = 1

1.14) = (2 +1)3 จงหา 1.14.1) 1.14.2) |
วธิ ที า 1−2 = 2

1.15) = (2 +3)3 จงหา 1.15.1) 1.15.2) |
วธิ ที า (4 2−1)8 = 1

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74

2. กาหนดให้ ( ) = และ ( ) = √3 − 1 จงหา ′( ) เม่ือ ( ) = ( ( ))
2+1
วธิ ีทา

3. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) จงหา ′(2)
เม่ือ (2) = 4 , ′(2) = 5 , ′(2) = 6 และ ′(4) = 9

วิธีทา

4. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( ) จงหา ′(2)


เม่อื (2) = 3 , (3) = 2 , ′(2) = 9 และ ′(3) = 8

วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75

5. กาหนดให้ ( ) = 300 2 และ ( ) = 2√ − 20 จงหา
1+ 2
5.1) และ

วิธีทา

5.2) |
= 2

วิธีทา

6. ถ้าจานวนแบคทเี รยี ท่พี บในชั่วโมงที่ (มหี น่วยเป็นเซลล์) หาได้จาก ( ) = ( + 10)5
จงหา พรอ้ มทั้งอธิบายความหมาย



วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76

7. วนดิ าฝากเงิน 1 ลา้ นบาท เพ่ือเปน็ ทุนการศกึ ษาของหลานสาว ถา้ ธนาคารกาหนดอตั ราดอกเบีย้ % ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบีย้
แบบทบตน้ ทกุ เดือน เมือ่ ฝากเงินครบ 18 ปี จานวนเงินในบัญชีของวนิดาหาไดจ้ าก ( ) = 106 (1 + )216 จงหาอัตรา

1,200

การเปล่ียนแปลงของจานวนเงนิ ในบญั ชขี องวนดิ า เทียบกบั อตั ราดอกเบีย้ ขณะอัตราอกเบ้ยี เปน็ 1.5 % , 2.5 % และ 3 % ต่อปี
วิธที า

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77

2.6 เสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง

จากทที่ ราบมาแล้ววา่ เส้นสมั ผสั ของวงกลมยอ่ มตัง้ ฉากกับรัศมซี ่ึงลากมายังจุดสมั ผสั ดังรูปที่ 15

รปู ท่ี 15

สาหรับเส้นโค้งใด ๆ จะสามารถหาเสน้ สัมผสั ได้ดงั น้ี

กาหนดเสน้ โค้งซ่งึ เป็นกราฟของฟงั กช์ นั = ( )

ให้ = ( , ( )) และ ( + ℎ , ( + ℎ)) เปน็ จดุ บนเส้นโค้ง โดยท่ี ℎ ≠ 0

ความชนั ของเสน้ ตรงท่ผี า่ นจดุ และ คือ ( +ℎ)− ( ) = ( +ℎ)− ( ) ซึง่ คือ อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่
( +ℎ)−( ) ℎ

ของ เทยี บกับ เมือ่ ค่าของ เปล่ียนจาก เป็น + ℎ

1) กรณี ℎ > 0 เมอ่ื ℎ เข้าใกล้ 0 พิจารณาจุด 1 , 2 , 3 , … บนเส้นโค้ง = ( ) ที่เข้าใกลจ้ ุด ทางขวา
มากขึน้ เร่อื ยๆ ดังรูปท่ี 16

รูปที่ 16

2) กรณี ℎ < 0 เม่ือ ℎ เข้าใกล้ 0 พิจารณาจดุ ′ , ′′ , ′′′ , … บนเสน้ โค้ง = ( ) ทเ่ี ขา้ ใกลจ้ ดุ
ทางซ้าย มากขน้ึ เรอ่ื ยๆ ดงั รูปท่ี 17

รปู ที่ 17

จะไดว้ า่ เส้นตรง 1 , 2 , 3 , … และเส้นตรง ′ , ′′ , ′′′ , … จะเขา้ ใกล้เสน้ ตรงหนึ่งเสน้ ซง่ึ ผา่ นจดุ
เรียกเส้นตรงเสน้ นี้ว่า เสน้ สัมผสั เส้นโค้งที่จดุ ดงั รูปที่ 18

รูปที่ 18 ( +ℎ)− ( ) ซ่งึ คือ อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน
ดงั น้นั ความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งท่จี ดุ จะเท่ากับ ℎ
ℎ→0
ท่ี = หรอื ′( )

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78

สัญลักษณ์ท่ีใชเ้ จาะจงตาแหน่งอนุพนั ธ์ ( ) ของฟงั กช์ นั = ( ) ที่ = 3 จะใช้สญั ลักษณ์ คอื |
=
หรือ ′| = หรือ คือ ( )| หรือ หรือ ( +ℎ)− ( ) และนอกจากน้ันอนุพันธ์นี้เรายังเรียกว่าเป็นค่า
′( ) ℎ→0 ℎ
=
ความชัน ( ) ของกราฟ = ( ) ณ จุดนน้ั ๆ ด้วย

∎ บทนยิ าม 7 : ถา้ เสน้ โคง้ เปน็ กราฟของ = ( ) มเี สน้ สมั ผัสเส้นโค้งท่ีจดุ ( , ) ใดๆ จะเปน็ เส้นตรงที่ผา่ นจดุ

และมีความชนั ( ) เท่ากบั ( +ℎ)− ( ) (ถา้ ลมิ ิตหาคา่ ได)้
ℎ→0 ℎ

∎ จากนยิ าม 7 กาหนดเสน้ โคง้ กราฟ = ( ) จะได้ว่า

1) ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด ( , ) หมายถึงความชันของเส้นสัมผสั โคง้ [เส้นตรง] ณ จุด

2) ความชนั ( m ) ของเสน้ โคง้ ณ จุด P(x1 , y1) คอื | = 1 = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

3) สมการเสน้ สมั ผสั โคง้ [สมการเส้นตรง] ท่ีสัมผสั เส้นโค้ง = ( ) ณ จุด ( 1, 1) คือ
ความชัน ( ) = − 1 จะไดส้ มการเส้นตรง
− 1 − 1 = ( − 1)

ซ่ึงเราจดั สมการเสน้ สมั ผสั โค้ง (สมการเส้นตรง) น้ใี นรูป = + หรือ + + = 0 ได้

ตาอยา่ งท่ี 53. กาหนดเส้นโคง้ สมการ = 2 2 − 2 − 4 จงหา

53.1) สมการความชนั ( m ) และความชันของเส้นสัมผสั โค้งที่จดุ = 1

53.2) สมการของเส้นสัมผสั โคง้ [สมการเสน้ ตรง] ท่ีจุด (1 , −4)

วิธีทา 53.1) จาก เส้นโค้งสมการ = 2 2 − 2 − 4

A) หาอนุพันธ์ จะได้สมการความชนั = (2 2 − 2 − 4)

′ = 4 − 2 53.1A ∎

B) หาความชนั ของเสน้ สัมผสั โคง้ ทจี่ ดุ = 1

′| =1 = 4(1) − 2 = 2 53.1B ∎

53.2) สมการของเสน้ สมั ผสั โค้ง [สมการเสน้ ตรง] ท่ีจุด (1 , −4) = ( 1, 1)

จากสมการเส้นสมั ผัสโคง้ [สมการเส้นตรง] ที่สมั ผสั เสน้ โคง้ = ( )

ณ จดุ ( 1, 1) คือ สมการเสน้ ตรง − 1 = ( − 1)

แทนคา่ − (−4) = (2)( − 1)

+ 4 = 2 − 2

= 2 − 6

นั่นคอื สมการของเสน้ สมั ผสั โค้ง [สมการเสน้ ตรง] ที่จดุ (1 , −4)

คือ = 2 − 6 หรือ − 2 + 6 = 0 53.2∎

∎ บทนิยาม 8 : กาหนดเสน้ โค้งซึง่ เป็นกราฟของฟังก์ชนั = ( ) และ = ( , ( )) เปน็ จุดบนเสน้ โค้ง เสน้ สัมผสั
เส้นโค้งที่จุด = ( , ( )) คอื เสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด และความชันเท่ากบั ′( ) จะเรยี กความชันของ
เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด วา่ ความชันของเส้นโค้งท่จี ุด

ตวั อย่างที่ 53 จงหาความชันของเสน้ โคง้ = 1 ที่จดุ (3 , 1)
3
วิธีทา จาก = ( ) = 1

โดยกฎลกู โซ่ จะได้สมการความชัน ′( ) = (1)

= ( −1)

= (−1) −2

=− 1
2
ดังน้นั ความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจดุ (3 , 1) คือ
3
= = ′(3) 1 −1
− (3)2 53. ∎
9

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79

ตวั อยา่ งท่ี 54 กาหนดสมการวงกลม 2 + 2 = 25 จงหา

54.1) ความชนั ของเสน้ สมั ผสั วงกลมท่ีจุด ( −3 , 4 )

54.2) สมการของเสน้ สมั ผสั วงกลมท่ีจุด ( −3 , 4 )

วิธีทา 54.1) จากสมการวงกลม 2 + 2 = 25

จะได้ = ±√25 − 2

เนื่องจากจดุ ท่ีตอ้ งการหาความชนั คอื จดุ ( −3 , 4 )

ดงั นั้น ตอ้ งใช้สมการ = √25 − 2

ให้ = 25 − 2 ดงั นนั้ 1

= 2

โดยกฏลกู โซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 และ = 25 − 2 จะได้

2

= 1 ∙ (25 − 2)

( 2)

= 1 ( 12−1) ∙ (0 − 2 )
2
1
= 1 ( − ∙ (−2 )
2)
2
1
= ∙ (−2 )
1

2 2
= −2
1

2 2
= − แทน = 25 − 2 จะได้

1

= 2

−

√25− 2

น่นั คอื สมการความชัน = −
√25− 2

ดงั นนั้ ความชนั ของเส้นสัมผัสวงกลมทจ่ี ุด (−3 , 4 ) คอื | = −(−3) = 3 = 3 54.1) ∎
= −3 √25−(−3)2 √16 4

54.2) สมการของเส้นตรงที่ผา่ นจุด ( 1 , 1) และมคี วามชนั คอื − 1 = ( − 1 )
เนือ่ งจากเสน้ สมั ผส้ วงกลมท่จี ดุ (−3 , 4 ) เปน็ เสน้ ตรงที่ผ่านจุด (−3 , 4 ) และมคี วามชัน 3
4
3
ดังนน้ั สมการของเส้นสัมผส้ วงกลมทีจ่ ุด (−3 , 4 ) คือ − 4 = 4 ( − (−3))

หรือ = 3 + 25 54.2) ∎
4 4

หมายเหตุ : นักเรียนอาจหาสมการของเสน้ สมั ผสั วงกลม โดยใชค้ วามรเู้ รื่องเขาคณติ วิเคราะหเ์ บ้ืองต้นทีไ่ ดศ้ กึ ษามาแล้ว ซ่ึงจะ
ไดค้ าตอบเปน็ สมการเดียวกัน

ตวั อยา่ งที่ 55 จงหาจดุ บนเสน้ โคง้ = 3 − 12 ท้งั หมดทที่ าใหเ้ สน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่จี ดุ เหลา่ นข้ี นานกับแกน

วิธที า เส้นสมั ผสั เส้นโค้ง = 3 − 12 ที่จดุ ( , ) ใด ๆ

มคี วามชันเทา่ กับ = ( 3 − 12 )



= 3 2 − 12

ตอ้ งการใหเ้ สน้ สมั ผสั เส้นโค้งขนานกับแกน

นน่ั คือ เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ตอ้ งมคี วามชันเป็นศนู ย์

จะได้ 3 2 − 12 = 0

2 − 4 = 0

( − 2)( + 2) = 0

ดังนัน้ = 2 หรอื = −2

เมื่อ = 2 จะได้ = (2)3 − 12(2) = −16

และเม่อื = −2 จะได้ = (−2)3 − 12(−2) = 16

ดงั นน้ั จุดบนเสน้ โคง้ ท่เี ส้นสมั ผัสเสน้ โค้งทีจ่ ุดนั้นขนานกับแกน คือ (−2 ,16 ) และ (2 , −16 ) 55. ∎

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80

ตวั อยา่ งท่ี 56 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง = √ ท่จี ดุ = 4

วธิ ที า เสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง = √ ที่จดุ ( , ) ใด ๆ

มีความชนั เทา่ กบั = (√ )


( 12)
=

= 1 21−1
2
= 1 −21
2
=1
2√
เมอื่ = 4 จะได้ = √4 = 2

และ ความชนั ของเสน้ สัมผัสของเสน้ สมั ผสั โคง้ ทีจ่ ุด = 4 คือ | = 1 = 1 56.1 ∎
= 4 2√4 4
และสมการของเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ ( 1 , 1) และมีความชัน คือ − 1 = ( − 1 )
1
ดงั นัน้ เส้นสัมผัสเสน้ โคง้ ท่ี =4 เปน็ เสน้ ตรงท่ผี า่ นจดุ (4, 2) และมีความชันเปน็ 4 คือ

− 2 = 1 ( − 4)
4
หรือ 4 − 8 = − 4

หรือ − 4 + 4 = 0 56.2) ∎

หมายเหตุ : การเขยี นสมการเส้นสัมผสั เส้นโค้ง (สมการเส้นตรง) สามารถเขยี นไดใ้ น 2 รูปแบบคือ

รูป = + หรือ รูป + + = 0

กิจกรรมระหว่างเรียน 7 : แบบฝึกหดั 2.6 เสน้ สมั ผสั โค้ง

1. จงหาความชันของเสน้ โค้งตอ่ ไปนี้ ณ จุดกาหนดให้ และหาสมการของเส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ น้นั
1.1) = 2 − 3 ท่จี ุด (3 , 0)

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81

1.2) = 5 2 − 6 ท่ีจดุ (2 , 14)
วิธีทา

1.3) = − 2 ทจ่ี ุดซึ่ง = 1
2
วิธีทา

1.4) = 2+2 ทีจ่ ดุ ซึ่ง = 1


วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82

1.5) = 3√3 2 − 4 ทีจ่ ุด (−2 , 2)
วิธีทา

1.6) = 5 ที่จุด (3 , 1)
( 2− −1)2 5

วิธีทา

2. ถ้ากราฟของ = ขนานกับเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง = 3 2 + 8 ท่จี ดุ (1 ,11) แลว้ จงหา
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83

3. จงเขยี นตวั อย่างของเส้นตรง 1 , 2 , 3 และกราฟของฟงั ก์ชัน f , g และ h บนช่วง [−2 , 2] บนระบบพกิ ัดฉากที่

สอดคล้องกบั เงอ่ื นไขต่อไปน้ี
3.1) 1 สมั ผสั เสน้ โค้ง = ( ) ท่จี ดุ ( −1 , 2) และ 1 ตัดกบั เสน้ โค้ง = ( ) หนึ่งจดุ ท่ีจุด ( 1 , 1)

วิธที า

3.2) 2 เป็นเส้นตรงที่มีความชันเทา่ กบั 0 โดยที่ 2 สมั ผัสเสน้ โคง้ = ( ) ทจ่ี ุดสองจุดและตดั กบั เสน้ โคง้
= ( ) ท่จี ุดหนึ่งจดุ
วธิ ที า

3.3) 3 สัมผสั เส้นโค้ง = ℎ( ) ที่จดุ หนงึ่ จุดในชว่ ง [−2 , −1) และสมั ผัสทท่ี ุกจดุ ในช่วง (−1 , 1) แต่ตดั
กับเสน้ โค้ง = ℎ( ) ที่จดุ สองจุดในช่วง ( 1 , 2]
วธิ ที า

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84

4. กาหนดสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง = ( ) ทีจ่ ุด ( 2 , 5) คือ 3 − = 1 จงหา ′(2)
วิธีทา

5. กาหนดให้ (3) = −1 และ ′(3) = 5 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง = ( ) ที่ = 3
วธิ ที า

6. ถา้ เสน้ ตรงเส้นหนง่ึ มคี วามชนั เปน็ 3 และสัมผสั เสน้ โคง้ = − + 2 ทจี่ ดุ ( , ) แล้ว จงหา และ
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85

7. ถ้าเสน้ ตรง = + ขนานกับเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ = 3 2 − 5 ท่ีจดุ ( 1 , −2) แลว้ จงหา และ
วิธที า

8. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด ( 2 , 3) และขนานกับเส้นสัมผสั เส้นโคง้ = 3 ที่จุด ( 1 , 1)
วิธที า

9. จงหาจดุ บนเส้นโค้ง = 3 − 3 ทัง้ หมดท่ีทาใหเ้ สน้ สัมผสั เส้นโค้งทจี่ ุดเหลา่ นข้ี นานกบั แกน
วิธีทา

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86

10. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีมีความชนั เป็น 1 และสมั ผสั เสน้ โค้ง = 4
2

วธิ ีทา

11. จงหา และ ท่ีทาใหเ้ สน้ ตรง 4 + = สมั ผัสเส้นโค้ง = 2 ท่ี = 2
วิธีทา

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87

2.7 อนุพันธ์อันดบั สงู ( )

จากหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ในหวั ข้อทผ่ี า่ นมา จะพบว่า ถา้ ให้ = ( ) เป็นฟงั ก์ชนั ทส่ี ามารถหาอนพุ นั ธ์ได้ แล้วจะได้
= ′( ) เป็นฟงั กช์ นั เชน่ กนั ซึง่ จะสามารถนาฟังก์ชนั ′ ไปหาอนุพนั ธต์ อ่ ได้อีก ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 57 กาหนดให้ ( ) = 5 3 − 6 2 + 2 − 3

57.1) จงหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน ท่ี ใด ๆ

57.2) จงหาอนพุ ันธ์อันดบั สองของฟงั ก์ชนั ท่ี ใด ๆ

57.3) จงหา ′′(2)

วธิ ีทา 57.1) จาก ( ) = 5 3 − 6 2 + 2 − 3

หาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั 1 ของ จะได้ ( ) = (5 3 − 6 2 + 2 − 3)

หรือ ′( ) = 15 2 − 12 + 2

ดังนน้ั อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน ที่ ใด ๆ คือ ′( ) = 15 2 − 12 + 2 57.1 ∎

57.2) จาก ′( ) = 15 2 − 12 + 2 57.2 ∎
57.3 ∎
หาอนพุ ันธอ์ ันดบั 2 ของ จะได้ ′( ) = (15 2 − 12 + 2)

หรอื ′′( ) = 30 − 12

ดังน้นั อนุพันธ์อันดับสองของฟงั ก์ชัน ท่ี ใด ๆ คือ ′′( ) = 30 − 12

57.3) จาก ′′( ) = 30 − 12

จะได้ ′′(2) = 30(2) − 12 = 48

จากตวั อยา่ งท่ี 57 จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน สามารถนาไปหาอนุพันธ์ต่อไดอ้ กี ซ่ึงจะเรยี กผลลพั ธน์ ว้ี ่า อนุพนั ธ์
อันดับท่ี 2 ดังบทนยิ ามต่อไปนี้

∎ บทนิยาม 9 : ให้ เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนพุ ันธ์ได้ และอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน ที่ x เป็นฟังก์ชันทสี่ ามารถ
หาอนุพนั ธไ์ ด้ จะเรียกอนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั ′ ที่ วา่ อนพุ ันธ์อันดับที่ 2 ( )
ของฟงั กช์ ัน ที่ และเขยี นแทนดว้ ย ′′( )

นอกจากสัญลกั ษณ์ ′′( ) แล้วยงั มสี ญั ลกั ษณ์อนื่ ๆ ที่ใช้แทน อนพุ ันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟงั กช์ นั ท่ี

เชน่ 2 , 2 ( ) หรอื ′′
2 2

ตัวอย่างท่ี 58 กาหนดให้ ( ) = 2 + 2 − 2 จงหา 47.1) ′( ) 47.2) ′′( ) 47.3) ′′ (1)

วธิ ที า 58.1) จาก 2
( ) = 2 + 2 −

หาอนพุ ันธอ์ นั ดบั 1 ของ จะได้ ( ) = ( 2 + 2 − 2)


= (2 2 + 2 − 2 −1)

หรอื ′( ) = 2 + 2 −2

ดงั นัน้ อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน ท่ี ใด ๆ คอื ′( ) = 2 + 2 −2 58.1 ∎

58.2) จาก ′( ) = 2 + 2 −2

หาอนพุ นั ธอ์ ันดับ 2 ของ จะได้ ′( ) = (2 + 2 −2)



หรอื ′′( ) = 2 − 4 −3

= 2 − 4
3
ดงั นน้ั อนพุ ันธอ์ นั ดบั สองของฟังกช์ นั ท่ี ใด ๆ คือ 4 58.2 ∎
′′ ( ) = 2 − 3

58.3) จาก ′′( ) = 2 − 4
3
จะได้ 4 58.3 ∎
′′ (2) = 2 − (1) = −2

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88

ในทานองเดยี วกัน สามารถกลา่ วถงึ อนุพันธอ์ ันดบั อืน่ ไดด้ ังนี้

อนพุ นั ธ์อนั ดับท่ี 2 ของ เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธอ์ ันดบั ที่ 1 ของ

อนุพนั ธอ์ นั ดับที่ 3 ของ เป็นอนุพนั ธ์ของอนพุ ันธ์อันดบั ที่ 2 ของ

อนุพันธอ์ นั ดบั ที่ 4 ของ เปน็ อนุพันธ์ของอนพุ นั ธ์อันดบั ท่ี 3 ของ



อนพุ นั ธ์อนั ดับที่ n ของ เปน็ อนุพันธข์ องอนุพันธอ์ ันดับท่ี − 1 ของ
เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ดงั นี้

อนุพันธ์อนั ดับท่ี 2 ของ ท่ี x เขยี นแทนด้วย ′′( ) หรอื 2 หรอื ′′
อนพุ นั ธ์อันดบั ท่ี 3 ของ ที่ x เขยี นแทนด้วย ′′′( ) หรอื 2 หรือ ′′′
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 4 ของ ท่ี x เขยี นแทนดว้ ย (4)( ) หรือ 3 หรือ (4)
3
4
4



อนุพันธอ์ นั ดบั ท่ี n ของ ท่ี x เขียนแทนด้วย ( )( ) หรอื หรอื ( )



ตวั อยา่ งที่ 59 จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดับท่ี 4 ของ ( ) = 5 4 + 2 3 − + 2 จงหา 59.1) ′′′ (1) และ 59.2) (4)(5)
2
วิธที า 59.1) จาก
( ) = 5 4 + 2 3 − + 2

จะได้ ′( ) = 20 3 + 6 2 − 1

′′( ) = 60 2 + 12

′′′( ) = 120 + 12

ดังนั้น ′′′ (1) = 120(1) + 12 = 72 59.1 ∎
22

59.2) และจาก ′′′( ) = 120 + 12 59.2 ∎
จะได้ (4)( ) = 120
ดังนั้น (4)(5) = 120

ตัวอยา่ งท่ี 60 จงหา ′′(−1) เมื่อ ( ) = 1
2 +1
วธิ ที า จาก ( ) = 1 = (2 + 1)−1
2 +10

จะได้ ′( ) (2 + 1)−1 โดยกฏลูกโซ่ จะได้

= −1 (2 + 1)−2 (2 + 1)

= −1 (2 + 1)−2(2)

= −2 (2 + 1)−2

และ ′′ ( ) = −2(−2) (2 + 1)−3 (2 + 1)

= 4 (2 + 1)−3 (2)

= 8 (2 + 1)−3

= 8
(2 +1)3

ดงั นัน้ ′′ (−1) = 8
(2(−1)+1)3

= −8 60. ∎

เนื่องจากอัตราการเปล่ียนแปลงของ = ( ) เทียบกับ ขณะ ใด ๆ คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่
ดงั น้ัน อนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของ ท่ี คอื อัตราการเปลีย่ นแปลงของ = ′( ) เทียบกับ ขณะ ใด ๆ

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 8 : แบบฝึกหัด 2.7 อนพุ ันธ์อันดบั สูง

1. จงหาอนุพันธอ์ นั ดบั ท่ี 2 และ ′′(−1) ของฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี
1.1) ( ) = 5 2 − 4 + 2

วิธที า

1.2) ( ) = 5 + 2 + 4 3 − 3 5
วิธที า

1.3) ( ) = 3 4 + 2 + √ − 5
วิธที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90

1.4) ( ) = 3√ − 2 + 4 2

วธิ ที า

1.5) ( ) = (5 2 − 3)(7 3 + )
วธิ ที า

1.6) ( ) = +1

วิธีทา

1.7) ( ) = 3 −2
5

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91

2. จงหาอนพุ ันธ์อันดับที่ 3 และ ′′′(1) ของฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้
2.1) ( ) = −5 + 5

วิธที า

2.2) ( ) = 5 2 − 4 + 7
วิธที า

2.3) ( ) = 3 −2 + 4 −1 +
วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92

2.4) ( ) =
+1

วิธที า

3. จงหา ′′′(2) เมอื่ ( ) = 3 2 − 2
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93

4. กาหนดให้ = 6 จงหา 4
4 4
วธิ ีทา

5. กาหนดให้ ( ) = 1 จงหา ( )( ) เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ
1−

วิธีทา

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94

∎ 2.7.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั โดยปริยาย ( ) หรืออนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั แฝง

1. ฟังกช์ นั ทอ่ี ยูใ่ นรูป = ( ) เรยี กวา่ ฟังกช์ นั ชดั เจน ( ) คือ ฟังกช์ ันที่รู้อย่างชัดเจนวา่ อยู่ใน

รปู ของ เช่น = 12 2 + 4 , = 5 3 + 3 2 − 1

2. ฟังก์ชันโดยปริยาย หรือ ฟังก์ชันแฝง ( ) คือ ฟังก์ชันท่ีเราไม่รู้อย่างชัดเจนว่า ตัวแปรใดเป็นตัว

แปรอสิ ระ โดยทีฟ่ งั ก์ชันเหล่านจ้ี ะอยใู่ นรูป ( , ) = 0 หรอื ( , ) =

,เช่น 2 + 2 = 4 4 + 5 6 = 3 , 8 − 4 6 + 3 2 + 2 + 8 = 0 เปน็ ต้น

3. การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั แฝง ( ) ทาไดด้ ังน้ี

3.1) ให้มองว่า เป็นฟังก์ชันของ โดยพิจารณาในรูปของฟังก์ชันประกอบ หรือ ( )

โดยให้คดิ วา่ = แล้วให้หาอนุพนั ธ์ของสมการ ( , ) = เทียบกบั ค่า โดยหาอนุพนั ธท์ ัง้ สองขา้ งของสมการ

3.2) ใช้สูตรของกฏลูกโซ่ ( ℎ ℎ ) โดยให้มองว่า = แล้วให้หาอนุพันธ์ของสมการ

( , ) = โดยใชส้ ตู ร ( ) = ∙ −1 เข้าชว่ ยเมอ่ื หา ( ) ซ่งึ จะได้ ( ) = ∙ −1

3.3) การหาอนพุ ันธ์ตวั อนื่ ๆ (ทอ่ี ย่ใู นรูปฟงั ก์ชนั ต่างๆ) หาโดยใชส้ ูตรอนุพันธ์พื้นฐานทไ่ี ด้เรียนมาแลว้

4. จัดสมการในรปู เพอ่ื แก้สมการหาค่า หรือ หาคา่ | หรือ หาอนพุ นั ธอ์ ันดบั สงู ในรปู ตาม
= , =


ต้องการ

ตัวอยา่ งท่ี 61. กาหนดให้ 2 + 2 = 9 จงหา 61.1) 61.2) หาค่า |
=0 , =3
61.3 หาสมการเสน้ สมั ผสั โคง้ สมการ 2 + 2 = 9 ท่จี ุด (0 , 3)

วิธีทา 61.1) หา จาก 2 + 2 = 9 หาอนุพนั ธ์ทั้ง 2 ขา้ ง จะได้

( 2 + 2) = (9)

( 2) + ( 2)

(2 ) + 2 = (9)



=0

2 = −2

−2
= 2

= −



ดงั นั้น = − 61.1 ∎



61.2) หาค่า | จาก = −
=0 , =3 จะได้


| =0 , =3 = −(0)
(3)

= 0 61.2 ∎

61.3 หาสมการเส้นสมั ผสั เสน้ โค้งสมการ 2 + 2 = 9 ทจ่ี ุด (0 , 3)

จาก = − คือสมการความชันของเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จุด ( , ) ใด ๆ


และจาก | = −(0) = 0 คือความชนั (= ) ของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ สมการ 2 + 2 = 9
=0 , =3 (3)

ท่จี ุด ( 1 , 1) = (0 , 3) จากสมการเส้นตรง − 1 = ( − 1 )

แทนคา่ จะได้ − 3 = (0) ( − 0 )

− 3 = 0

ซงึ่ จะได้ = 3 คอื สมการเส้นสัมผสั โค้ง (สมการเสน้ ตรง) สมการ 2 + 2 = 9 ทจ่ี ุด (0 , 3) 61.3 ∎

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95

ตวั อย่างที่ 62 กาหนดให้ 3 + 4 6 = 12 จงหา 62.1) 62.2) |

วิธที า 62.1) หา 3 + 4 6 = 12 =1 , =2

จากสมการ หาอนุพันธ์ทง้ั 2 ขา้ ง จะได้

จะได้ [ 3 + 4 6] = [12]

[ 3] + [4 6]
=0

3 2 + 4 ∙ 6 5 =0

24 5
= −3 2

= −3 2
24 5


= −1 2
8 5

= − 1 2 54.1 ∎
8 5

62.2) หา จาก = − 1 2
8 5

| , =2

=1

จะได้ | = − 1 (1)2
=1, =2 8 (2)5

= − 1 54.2 ∎
256

ตวั อย่างท่ี 63. กาหนดให้ 8 + 3 2 = 0

จงหา 63.1) 63.2) | และ 63.3) 2
2
=2, =1

วิธีทา 63.1) หา


จากสมการ 8 + 3 2 = 0 หาอนุพนั ธ์ท้ัง 2 ข้าง จะได้

จะได้ [ 8 + 3 2] = [0] 63.1) ∎

[ 8] + 3 [ 2] =

0
8 7 + 3[( ) ( 2) + ( 2) ( )] =
0

0
8 7 + 3[( ) (2 ) + ( 2)(1)] =
0
−8 7 − 3 2

8 7 + 6 + 3 2 = −8 7−3 2
6


6 =



=



63.2) หา |

=2, =1

จาก = −8 7−3 2

6

จะได้ | = −8(2)7−3(1)
=2 , =1 6(2)(1)

= −8(128)−3(1) 63.2) ∎

12

= −1024−3

12

= −1027

12

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96

ตัวอย่างที่ 64 กาหนดวงรสี มการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 จงหา 64.1)

64.2) |
=2, =3 หรือความชัน ณ จุด (2 ,3) 64.3) สมการเส้นสมั ผสั วงรี ณ จุด (2 , 3)

วิธีทา 64.1) จากวงรสี มการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 หาอนพุ ันธ์

จะได้ (16 2 + 9 2 − 144) = (0)


(16 2) + (9 2) − (144) = (0)


32 + 18 − 0 = 0


18 = −32


= − 32 64.1) ∎

18

64.2) หา | หรอื ความชัน ( ) ณ จดุ (2 ,3)
=2, =3

= 32

18

จะได้ ) หา | = − 32(2) = − 32
=2, =3 18(3) 27

56.1) ∎ นั่นคอื ความชนั ( ) ของเส้นสัมผสั วงรี ณ จดุ (2 ,3) = − 32 64.2) ∎
27

64.3) หาสมการเส้นสัมผัสวงรี (สมการเสน้ ตรง) ณ จดุ (2 , 3)

ใหจ้ ุกด ( 1 , 1) = (2 , 3) จากสมการเสน้ ตรง − 1 = ( − 1 )

แทนคา่ จะได้ − 3 = (− 3272) ( − 2 )
=− 32 64
27 ( ) + 27

=− 32 ( ) − (− 2327) 2
27
=− 32 64
27 ( ) + 27

= − 32 ( ) + 64 + 3

27 27
= − 32 ( ) + 145
27 27
ซง่ึ จะได้ = − 32 ( ) + 145 คือ สมการเส้นสมั ผสั วงรี (สมการเส้นตรง) ทจี่ ุด (2 , 3)
27 27 64.3 ∎

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 9 : 2.7.1 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั โดยปรยิ าย ( )

จงหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั โดยปรยิ าย ( ) หรืออนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั แฝง เมือ่ กาหนด

1. กาหนดให้ 3 + 2 + 2 = 10 จงหา


วิธีทา

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97

2. กาหนดให้ 2 3 = 2 2 + 5 จงหา


วิธีทา

3. กาหนดให้ 1 = 3 + 2 2 2 จงหา


วิธีทา

4. กาหนดให้ 2 + 2 2 3 = 7 จงหา 4.1) 4.2) | และ
วธิ ีทา
=1, =−1

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98

5. กาหนดให้ 4 2 + 2 = 3 2 จงหา 5.1) 5.2) | และ (1.3) 2
2
วิธที า =1, =1

6. กาหนดสมการเส้นโคง้ 4 + 3 − 4 3 = 5 − 1 จงหา

6.1) 6.2) | หรือความชัน ณ จุด (4 , 4) และ 6.3) สมการเสน้ สมั ผสั โค้ง ณ จดุ (4 , 4)

=4, =4
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99

7. กาหนดวงรี สมการ 2 + 2 2 + 3 + 4 = 0 จงหา

7.1) 7.2) | หรอื ความชัน ณ จุด (0 , 0) 7.3) สมการเสน้ สมั ผสั โค้ง ณ จดุ (0 , 0)

=0, =0

7.4) | หรือความชัน ณ จดุ (0 , −2) และ 7.5) สมการเสน้ สัมผัสโค้ง ณ จุด (0 , −2)

=0, =−2

วธิ ที า