แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนแคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus
MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 0

Sira Chali Nanny Bella
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5 (ค33201)

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 (หลกั สตู รปรับปรงุ 2560)

Presented by GeoGebra

[ ] = ⋅ − ⇔ ∫[ ⋅ − ] = ∙ ( − )+ =
( − )+


Siranatthaphon Lohnarayn

ช่ือ นามสกลุ……………………………….………………………………….……………..…………………….……………….. ……………………………………………………………………………...…………………………………………………….………………………………………..

ช้นั ม. 6/ เลขที่ เลขประจาตวั โทร….............…… . ………….……………………………………………………………..………………………..
………………..…..…….. ……….………………………..…………………

ครผู สู้ อน ……………………………..…………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………….………………………………………..

ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศึกษา 2565 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

โรงเรยี นปากเกร็ด อาเภอปากเกรด็ จังหวดั นนทบุรี

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 1

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 5

(รหัสวชิ า ค33201) ระดบั ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

ประจาภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นปากเกรด็ อาเภอปากเกรด็ จงั หวดั นนทบรุ ี

บทท่ี 2 แคลคูลสั เบ้อื งตน้ ( )

∎ สาระการเรียนรู้ : แคลคลู สั เบ้ืองต้น

2.1 ลิมิตของฟังกช์ ัน

2.2 ความต่อเนื่องของฟงั ก์ชัน

2.3 อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน

2.4 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

2.5 อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันประกอบ

2.6 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง

2.7 อนุพนั ธอ์ ันดบั สงู

2.8 การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์

2.8.1 การเคลื่อนทีแ่ นวตรง

2.8.2 คา่ สงู สดุ และคา่ ต่าสุดของฟงั กช์ นั

2.8.3 โจทย์ปญั หาเก่ียวกบั ค่าสูงสุดหรือคา่ ต่าสดุ เกบ็ รักษาไว้ให้ดี พืน้ ฐานของ ป.ตรี นะครับ

2.9 ปฏิยานุพนั ธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขต
2.10 ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

2.11 พืน้ ทีท่ ีป่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง

∎ ผลการเรยี นรู้ (หลกั ) : จุดมุ่งหมาย

1. หาลิมติ ของฟงั ก์ชันทีก่ าหนดให้

2. ตรวจสอบความตอ่ เนอ่ื งของฟังกช์ ันทก่ี าหนดให้

3. หาความชนั ของเส้นโค้ง

4. หาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั ทก่ี าหนดใหแ้ ละนาไปใช้แก้ปัญหา

5. หาปริพันธไ์ ม่จากัดเขตและจากดั เขตของฟังก์ชันท่ีกาหนดให้ และนาไปใช้แก้ปัญหา

∎ ความรู้พน้ื ฐานของนกั เรียน (ทต่ี อ้ งเรยี นมาแล้ว)

1. จานวนจริง

2. ความสัมพนั ธแ์ ละฟงั กช์ ัน

3. เรขาคณิตวเิ คราะห์

∎ เอกสารอ้างองิ :
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้น

มัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 1. ตามผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขน้ั พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551 : พิมพ์คร้ังท่ี 1 , กรุงเทพฯ , โรงพมิ พฺ สกสค.ลาดพรา้ ว.

Haward Anton, Irl Bivens and Stephen Davis. (2010). Calculus : Late Transcendentals. International
Students Version. 9th edition. John Wiley & Son (Asia) Pte Ltd.
∎ แหล่งเรียนรเู้ สริม : สาหรบั นักเรียน

Pakkred Learning Cyber on www.pk.ac.th

Project 14 นาสคู่ วามปกตใิ หม่ทางการศึกษา (New Normal Education) on https://proj14.ipst.ac.th/

∎ กราฟประกอบเอกสารการเรยี นการสอน ใช้โปรแกรม GeoGebra Classic on https://www.geogebra.org/classic

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 2

สารบัญ

เรือ่ ง หน้า
สาระการเรยี นรู้ : แคลคูลสั เบ้ืองตน้

2.1 ลมิ ิตของฟังก์ชัน …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 4
2.1.1 ลมิ ติ ซ้ายและลิมิตขวาของฟงั ก์ชัน …………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 6
2.1.2 การหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั จากกราฟ ………………………………………………………………………………….………………………………………….…….……………………… 7
แบบฝกึ หัด 2.1 ก ลิมิตของลาดบั ……………………………………………………………………………………..…………………………………………………….…….……………………… 9
2.1.3 การหาลมิ ิตของฟังก์ชันโดยใชท้ ฤษฎบี ท (ทฤษฎลี มิ ติ ) ………………………………………………………………………….…….……………………… 15
2.1.4 ลิมติ ของฟังก์ชนั พหนุ าม …………………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….……………….……… 17
2.1.5 ลมิ ติ ของฟงั กช์ ันคา่ สัมบูรณ์ …………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….………………..……… 20
2.1.6 ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั ของฟงั กช์ นั ของฟังกช์ ัน …………………………………..………………………………………………………..………….…….………….…………… 21
2.1.7 ลมิ ติ ของฟังกช์ ันของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ …………………………………..…………………………………………………………..………….…….……….……………… 21
2.1.8 ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั เอก็ ซ์โพเนนเชยี ลและฟังกช์ ันลอการทิ ึม ……….……………………………………………………….…….……..………………… 21
แบบฝึกหัด 2.1 - ลมิ ิตของฟังกช์ นั ………………………………………………………………………..…..………………………………………….…………….………..……………………… 23
33
2.2 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั …………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………….….…….………………… 33
2.2.1 ความตอ่ เนื่องบนจดุ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…….……………………… 35
2.2.1 ความตอ่ เน่อื งบนชว่ ง ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………..…….…….……………………… 37
แบบฝึกหดั 2.2 ความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั …………………………………………………………………………………………..……………………………….…….………………… 42
46
2.3 อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั ………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………..……………….…….……………………… 54
แบบฝกึ หดั 2.3 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั โดยใชบ้ ทนิยาม .………………………………………………………..………………….…….……………………… 59
68
2.4 การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้สูตร ………………………………………………………………………………………………….…….……………………….…….……………………… 70
แบบฝึกหดั 2.4 การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั โดยใชส้ ตู ร …………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 78
81
2.5 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันประกอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 88
แบบฝกึ หัด 2.5 อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั ประกอบ ……………………………………………………………………………..……………………………….…….……………………… 90
95
2.6 เสน้ สัมผสั เส้นโค้ง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 97
แบบฝึกหดั 2.6 เสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง …………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 102
104
2.7 อนุพนั ธอ์ ันดบั สงู ………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………..….…….……………………… 106
แบบฝึกหัด 2.7 อนุพนั ธ์อนั ดบั สงู …………………………………………………………………………………………….………………………………………..….…….……………………… 107
2.7.1 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันโดยปรยิ าย ……………………………………………………………………………….…………………………………………..….…….………………………
แบบฝึกหัด 2.7.1 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันโดยปรยิ าย ………………………………………………………………………………………………..…..….………………………
2.7.2 อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ ……….……………………………………………………………………………………..……………………………..…….….………………………
2.7.3 อนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิผกผนั ………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………
2.7.4 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ตรเี อก็ ซโ์ พเนนเชยี ล …………………………………………………………………………………………………...….…….………………………
2.7.5 อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันลอการทิ มึ ...................…………………………………………………………………………..………………………….…..….…….………………………

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 3

สารบัญ

เร่อื ง หน้า
สาระการเรยี นรู้ : แคลคลู ัสเบ้ืองตน้

1082.8 การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์ …………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………….…….…………………………
1082.8.1 การเคลื่อนทแ่ี นวตรง (การประยุกต์ 1) ……………………………………………………..…………………………………….……………….…….…………………………
แบบฝกึ หัด 2.8.1 การเคลื่อนท่แี นวตรง (การประยุกต์ 1) ……………………………………………….……………….…….……………………… 110
2.8.2 คา่ สงู สดุ และคา่ ต่าสุดของฟงั ก์ชัน (การประยุกต์ 2) ……………………………………………………………………………….……….…………………… 113
2.8.2.1 ฟงั ก์ชนั เพ่มิ และฟงั ก์ชันลด (การประยุกต์ 2) ………………………………………………………………………….……….……………………… 113
2.8.2.2 คา่ สูงสุดสัมพัทธ์และค่าตา่ สดุ สมั พัทธ์ (การประยุกต์ 2) ……………………………………………….……..……………………… 115
2.8.2.3 ค่าสูงสุดสมั บรู ณแ์ ละคา่ ต่าสดุ สัมบูรณ์ (การประยุกต์ 2) ……………………………………………….…….……………………… 119
แบบฝึกหัด 2.8.2 คา่ สงู สุดและค่าตา่ สุดของฟงั กช์ ัน (การประยกุ ต์ 2) ………………………………………………….…….……………..……… 122

2.8.3 โจทย์ปัญหาเกย่ี วกับคา่ สูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ (การประยุกต์ 3) …………………………………………………………….…….……………..………… 130
แบบฝกึ หดั 2.8.3 โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั ค่าสงู สดุ หรือคา่ ต่าสดุ (การประยุกต์ 3) …………………………….……………….………… 133

1412.9 ปฏิยานุพนั ธ์และปริพนั ธไ์ ม่จากดั เขต …………………………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………
1412.9.1 แนวคดิ และความหมายของปฏิยานุพนั ธ์ ………………………………………………………………………………………………………….…….……….……………
แบบฝกึ หัด 2.9.1 ปฏิยานพุ ันธ์ : กระบวนการตรงขา้ มกบั การหาอนพุ นั ธ์ ……………………….…….……………………… 143
2.9.2 การหาปฏยิ านพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันโดยใชส้ ตู ร ……………………………………………….………………………………………………….…….………….…………… 145
2.9.3 การประยุกต์ของปริพนั ธ์ (ปฏยิ านุพันธ์) ……………………………………………….………………………………………………….…….…………………………… 149
แบบฝึกหดั 2.9.2 ปฎยิ านุพนั ธแ์ ละการประยุกต์ของปริพนั ธ์ (ปฏยิ านุพันธ์) ………….…….…………………………… 153
1642.9.4 การอินทเิ กรตโดยการแทนค่า ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….……………………………
แบบฝึกหดั 2.9.4 การอนิ ทเิ กรตโดยการแทนคา่ ……………………………………………….……………………………………….…………………… 165
1672.9.5 การอินทเิ กรตโดยการแยกส่วน ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….……………………….…
แบบฝึกหดั 2.9.5 การอินทเิ กรตโดยการแยกส่วน ……………………………………………….………………………………….………………..……… 169

171* 2.9.6 กฎของโลปติ าล …………………………………………………….……………………………….……………………………………………….……………………….…….……………………………
172* แบบฝึกหดั 2.9.6 กฎของโลปติ าล ……………………………………………………………………………………….……………………….…….………………………………

1752.10 ปรพิ นั ธจ์ ากัดเขต ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….…….…..……………………
181ทฤษฎีบทหลักมลู ของแคลคลู ัส ............…………….……..………………………..…………………………………………………………………………………………………..…………………
แบบฝกึ หดั 2.10 การหาปริพนั ธ์จากดั เขตโดยใช้ทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคูลัส ............…………….……..………………………… 183

1892.11 พ้นื ท่ีท่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง ……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….…….………………………
2.11.1 พน้ื ท่ที ป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โค้งกับแกน ………………………………………………………….…………………………………………………….…….……………………… 189
แบบฝึกหดั 2.11.1 พนื้ ทท่ี ปี่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ กับแกน …………………………………………………………….….….……………………… 191
2.11.2 การนาอินทกิ รัลไปใชใ้ นการหาพน้ื ท่ีระหวา่ งเคอรฟ์ ………………………….…………………………………………………….…….……………………… 197
แบบฝึกหัด 2.11.2 การนาอนิ ทกิ รลั ไปใชใ้ นการหาพน้ื ท่รี ะหวา่ งเคอรฟ์ ……………………………….…….……………………… 198

ตัวอยา่ งการเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพนั ธ์และการหาปฏยิ านพุ ันธ์ ………….…………………………………………………….….….……………………… 200
แบบฝกึ หัดทา้ ยบท : แคลคูลัสเบือ้ งตน้ 201-264........................................................................................................................................................................................….……
ภาคผนวก : สตู รการหาอนุพนั ธ์ ( ) และ อนิ ทกิ รลั ไม่จากดั เขต ( ) .…… 265-268

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 4

บทที่ 2 แคลคูลัสเบ้ืองต้น ( )

2.1 ลมิ ิตของฟังก์ชนั

ในหัวข้อน้ี จะพิจารณาว่า ค่าของฟังก์ชัน ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงจะเข้าใกล้ค่าใด

ขณะที่ เขา้ ใกลจ้ านวนจริงจานวนหน่ึง

ก่อนอนื่ จะเรมิ่ ด้วยการพจิ ารณาคา่ ของฟังก์ชัน ( ) = 2 − + 4 เม่ือ เข้าใกล้ 2 แต่ ≠ 2

ดังตารางต่อไปน้ี

ตารางที่ 1 และ 2 แสดงคา่ ของ ( ) เมื่อ เขา้ ใกล้ 2 แต่ ≠ 2

( ) ( )

1.0 4.000000 3.0 10.000000

1.5 4.750000 2.5 7.750000

1.8 5.440000 2.2 6.640000

1.9 5.710000 2.1 6.310000

1.95 5.852500 2.05 6.152500

1.99 5.970100 2.01 6.030100

1.995 5.985025 2.005 6.015025

1.999 5.997001 2.001 6.003001

ตารางที่ 1 ตารางที่ 2

จากตารางท่ี 1 จะเห็นได้ชัดเจนว่า เม่ือ เพ่ิมข้ึนจาก 1 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ ( ) จะเพ่ิมขึ้นจาก 4 และเข้าใกล้ 6

จากตารางท่ี 2 เม่ือ ลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ ( ) จะลดลงจาก 10 และเข้าใกล้ 6 ซึ่งถ้าพิจารณาจากกราฟของ

ฟงั กช์ ัน จะเหน็ สมบตั ิน้เี ชน่ กนั

รปู ท่ี 1

จากตารางท่ี 1 ตารางท่ี 2 และกราฟของฟังก์ชัน ในรูปท่ี 1 จะเห็นว่า ขณะท่ี เข้าใกล้ 2 ท้ังทางด้านซ้ายและขวา

ของ 2 (เม่ือ < 2และเม่ือ > 2) ค่า ( ) จะเข้าใกล้ 6 ในกรณีน้ีจะกล่าวว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน ( ) = 2 − + 4

เม่ือ เข้าใกล้ 2 และ 6” ซ่ึงเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ( ) = 6 หรอื ( 2 − + 4) = 6
→2 →2
โดยทั่วไป สาหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ ( ) เข้าใกล้

จานวนจริง เม่ือ เข้าใกล้ ท้ังทางด้านซ้ายและขวาของ แล้วจะเรียก ว่า ลิมิตของ ท่ี ซึ่งเขียนแทนด้วย

สญั ลกั ษณ์ ( ) = และกล่าวว่า ( ) มคี ่าเท่ากับ
→ →
แต่ถ้าไม่มีจานวนจริง ซึ่ง ( ) เข้าใกล้ เม่ือ เข้าใกล้ แล้วจะกล่าวว่า “ ไม่มีลิมิตท่ี ” หรือกล่าวว่า

“ ( ) ไม่มีคา่ ”
→
นอกจากน้อี าจแทนสัญลกั ษณ์ ( ) = ด้วย “ ( ) → เมื่อ → ” ซึง่ อ่านวา่ “ ( ) เข้าใกล้ เมื่อ
→

เข้าใกล้ ”

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 5

พิจารณาฟงั กช์ ันและกราฟของฟงั กช์ นั

( ) = { 1, ≠ 0
0, = 0

รปู ที่ 2

ในขณะที่ เข้าใกล้ 0 ท้ังทางด้านซ้ายและขวา (เมื่อ < 0 และ > 0 ) จะเท่ากับ 1 ดังน้ัน ( ) = 1
→0

อาจกล่าววา่ ( ) เข้าใกล้ 1 เมอื่ เข้าใกล้ 0 ในขณะที่ (0) = 0
โดยทั่วไป สาหรับฟังก์ชนั ใด ๆ ถ้า ( ) เขา้ ใกล้ เมอ่ื เข้าใกล้ แลว้ อาจไม่เทา่ กับ ( ) กไ็ ด้
ในการหาลิมิตของฟังก์ชัน = ( ) เม่ือ เข้าใกล้ น้ัน จะพิจารณาค่าของ ( ) ว่าเข้าใกล้จานวนจริงใด

ในขณะที่ เขา้ ใกล้ แต่ ≠ น่นั หมายความวา่ จะไมพ่ ิจารณาค่าของ ( ) ที่ =
ดงั นนั้ ฟังกช์ นั อาจจะนยิ ามหรอื ไมน่ ิยามท่ี ก็ได้ แต่ฟงั ก์ชัน จะตอ้ งนยิ ามทแ่ี ต่ละจุดทใ่ี กล้
พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั 3 ฟังกช์ นั ดังรูปที่ 3 – 5

รูปที่ 3 รปู ที่ 4 รปู ท่ี 5

จากกราฟของฟงั ก์ชันในรูปที่ 3 จะได้วา่ = ( ) แตจ่ ากกราฟของฟังกช์ นั ในรูปท่ี 4 จะได้วา่ ≠ ( ) และจาก
กราฟของฟังก์ชันในรูปที่ 5 จะได้ว่า ( ) ไม่นิยามที่ = ซ่ึงไม่ว่า จะเป็นฟังก์ชันท่ีมีกราฟดังรูปท่ี 3 , 4 หรือ 5 ก็จะได้ว่า

( ) =

→

ตัวอย่างท่ี 1 กาหนด ( ) = −1 จงหา ( ) โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟงั ก์ชนั
2−1 →1
วิธที า แสดงคา่ ของ ( ) เม่ือ เขา้ ใกล้ 1 แต่ ≠ 1 ได้ตาราง

( ) ( )

0.5 0.666667 1.5 0.400000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

จากตารางจะเหน็ วา่ ( ) เข้าใกล้ 0.5 เมื่อ เขา้ ใกล้ 1 ทัง้ ทางด้านซา้ ยและขวาของ 1

ดงั นั้น −1 = 0.5 ∎
2−1
→1

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 6

ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ ( ) = { 1 , ≥ 0
−1 , < 0
จงพิจารณาว่า ( ) มีค่าหรอื ไม่ ถ้ามคี า่ จงหาลมิ ติ
→0
วิธที า เขียนกราฟของฟงั ก์ชัน ได้ ดงั รูป

รปู ท่ี 6

จากกราฟรูปที่ 6 พจิ ารณาค่าของ ( ) เมือ่ เขา้ ใกล้ 0 ทางดา้ นซา้ ย( < 0) จะเห็นวา่ คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ −1
แต่เม่อื เข้าใกล้ 0 ทางดา้ นขวา ( > 0) คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ 1

ดังนน้ั ไม่มีจานวนจริงใดเพยี งจานวนเดยี ว ซึง่ เมื่อ เข้าใกล้ 0 แลว้ ทาให้ ( ) จานวนจริงนั้น
ดังนั้น ( ) ไมม่ คี ่า ในขณะท่ี (0) = 1 ∎

→0

2.1.1 ลิมิตซา้ ย ( − ℎ ) และ ลิมติ ขวา ( ℎ − ℎ ) ของฟงั ก์ชนั

จากตัวอยา่ งท่ี 2 เมื่อ เขา้ ใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ( < 0) คา่ ของฟังกช์ นั ( ) เข้าใกล้ −1 เรียก −1 ว่า “ลมิ ิต

ซา้ ย ( − ℎ ) ของฟงั กช์ นั ” และเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ( ) = −1 โดยสัญลักษณ์ “ → 0−”
→0−

แสดงถงึ การพจิ ารณาค่าของ ท่นี อ้ ยกว่า 0 เท่าน้นั

เมอื่ เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ( > 0) คา่ ของฟังกช์ นั ( ) เข้าใกล1้ เรยี ก1 ว่า “ลมิ ิตขวา ( ℎ −

ℎ ) ของฟงั กช์ ัน ” และเขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ( ) = 1 โดยสญั ลกั ษณ์ “ → 0+” แสดงถงึ การ
→0+

พจิ ารณาค่าของ ที่มากกวา่ 0 เทา่ นน้ั

โดยท่วั ไป สาหรับฟงั กช์ นั ใด ๆ ทม่ี โี ดเมนและเรนจ์เปน็ สบั เซตของเซตของจานวนจรงิ ถา้ ( ) เขา้ ใกล้จานวนจริง 1

เม่ือ เข้าใกล้ ทางด้านซ้ายแล้ว จะเรียก 1 ว่า “ลิมิตซ้ายของ ( ) เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย” เขียนแทนด้วย

( ) = 1 ดังรปู ที่ 7

→ − ถ้า ( ) เขา้ ใกลจ้ านวนจริง 2 เมือ่ เขา้ ใกล้ ทางดา้ นขวาแล้ว จะเรยี ก 2 วา่ “ลิมิตขวาของ ( ) เมื่อ

เข้าใกล้ ทางด้านขวา” เขียนแทนด้วย ( ) = 2 ดงั รูปที่ 8

→ +

รูปที่ 7 รูปท่ี 8

จากรูปท่ี 7 และ 8 จะเห็นวา่ ( ) = 1 และ ( ) = 2

→ − แล้ว lim ( ) → +
ถ้า → มคี า่ และ
1 = 2 lim ( ) = 1 = 2

แตถ่ ้า 1 ≠ 2 แลว้ ( ) ไม่มีคา่ →
→
∎

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 7

จากตวั อย่างข้างต้น สามารถสรุปเก่ียวกบั ลิมติ ซา้ ยและลิมติ ขวาของฟงั กช์ นั ได้ดังนิยาม

∎บทนิยาม 1 : กาหนดฟงั กช์ นั ( ) และ , เปน็ จานวนจรงิ จะกลา่ ววา่

1.1) ลิมิตของ ( ) เมือ่ เข้าใกล้ ทางซ้ายหาค่าได้ กต็ อ่ เมือ่ มีจานวนจรงิ ท่ที าใหค้ า่ ของ ( )

เข้าใกล้ ขณะที่ เปเ็ ขา้ ใกล้ ทางซ้ายมอื เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ( ) =
→ −

1.2) ลมิ ติ ของ ( ) เม่ือ เขา้ ใกล้ ทางขวาหาคา่ ได้ กต็ อ่ เม่ือ มจี านวนจริง ทท่ี าใหค้ า่ ของ ( )

เขา้ ใกล้ ขณะท่ี เปเ็ ขา้ ใกล้ ทางขวา เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ( ) =
→ +

1.3) ลมิ ิตของ ( ) เมอื่ เขา้ ใกล้ หาค่าได้ กต็ อ่ เมื่อ มีจานวนจรงิ ทที่ าให้คา่ ของ ( )

เข้าใกล้ ขณะท่ี เข้าใกล้ ทางซา้ ยมือและทางขวามือนนั่ คอื ( ) = = ( )
→ − → +
เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ( ) =
→

หมายเหตุ : 1) เมื่อ เขา้ ใกล้ ทางซา้ ย แทนดว้ ย → − หมายถึง มคี า่ น้อยกวา่ และ มคี า่ เข้าใกล้

2) เม่ือ เข้าใกล้ ทางขวา แทนด้วย → + หมายถงึ มคี ่ามากกว่า และ มีคา่ เข้าใกล้

3) ลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน จะไมส่ นใจวา่ จะสามารถหาค่าของฟงั ก์ชัน ( ) ได้หรอื ไมไ่ ด้ แตส่ นใจค่าของ ( )

ขณะท่ี เขา้ ใกล้ แต่ ≠

4) ( ) = ก็ตอ่ เมอ่ื ( ) = = ( ) โดย เป็นจานวนจริง ท่ีมี ∈
→
→ − → +
ซงึ่ < และ > เรียก วา่ จุดลิมติ ( ) ซ่งึ เป็นสมาชิกอยู่ในเมนของ

∎บทนยิ าม 2 : ให้ ⊂ ℝ จดุ ลมิ ิต ( ) ของเซต ก็ตอ่ เมอื่ สาหรบั ทุก ε > 0 ช่วง ( − , + ) จะต้องมี
สมาชกิ ในเซต ในชว่ ง ( − , + ) ท่ไี มใ่ ช่จุด กล่าวคือ เปน็ จุดลมิ ิตของเซต ก็ตอ่ เมอื่

∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − { }) ≠ ∅

ตวั อยา่ งท่ี 3 3.1) กาหนด = [1 , 7)

จะได้จานวนจรงิ ซง่ึ 1 ≤ < 7 ทุกจานวนเปน็ จดุ ลมิ ิตของ ∎

3.2) กาหนด = { 1 , 1 , 1 , 1 , … } ∎
2 34
จะได้ 0 ทุกจานวนเปน็ จุดลมิ ิตของ

3.3) จานวนจรงิ ทุกจานวน เป็นจุดลิมติ ของเซตของจานวนจริง เนอ่ื งจากสาหรับทกุ ∈ ℝ)

จะไดว้ ่า ∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − { }) ≠ ∅ ∎

2.1.2 การหาลิมติ ของฟังกช์ นั จากกราฟ

ตัวอย่างที่ 4 กาหนดกราฟของฟังกช์ ัน ดงั นี้

รปู ท่ี 9

จงหา 4.1) (2) 4.2) ( )
4.3) ( ) →2−

→2+ 4.4) ( )
→2
4.5) (5)
4.7) ( ) 4.6) ( )
→5−
→5+
4.8) ( )
→5

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 8

วธิ ีทา จากกราฟของฟังกช์ ัน ดังรปู ที่ 9 จะเห็นวา่

4.1) เนอ่ื งจาก ( ) ไม่นิยามท่ี = 2 ดังน้ัน (2) ไมม่ ีค่า

4.2) เมือ่ เข้าใกล้ 2 ทางดา้ นซา้ ย ( < 2) จะได้วา่ คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 3

ดังนั้น ( ) = 3
→2−

4.3) เม่ือ เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ( > 2) จะได้วา่ ค่าของ ( ) เขา้ ใกล้ 1

ดังนั้น ( ) = 1
→2+
4.4) เนอ่ื งจาก ( ) ≠ ( )
→2− →2+
ดงั นน้ั ( ) ไม่มีคา่
→2
4.5) (5) = 1

4.6) เมื่อ เขา้ ใกล้ 5 ทางดา้ นซ้าย ( < 5) จะไดว้ า่ คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ 2

ดังนนั้ ( ) = 2
→5−

4.7) เม่ือ เข้าใกล้ 5 ทางด้านขวา ( > 5) จะได้ว่า คา่ ของ ( ) เข้าใกล้ 2

ดงั น้นั ( ) = 2
→5+
4.8) เนอ่ื งจาก ( ) = ( ) = 2
→5− →5+
ดังนน้ั ( ) = 2
→5 ∎

ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ ( ) = { 2 2 2 , ≥ 1
+ , < 1
จงเขียนกราฟของฟังกช์ ัน พร้อมทั้งหา

5.1) (1) 5.2) ( )
→1−
5.3) ( )
→1+ 5.4) ( )
→1
วธิ ีทา เขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน = ( ) ได้ ดังรปู ที่ 10

รปู ท่ี 10

จากกราฟของ = ( ) จะเห็นว่า

5.1) (1) = 2

5.2) เมือ่ เข้าใกล้ 1 ทางด้านซ้าย ( < 1) จะได้ว่า คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 3

ดังนัน้ ( ) = 3
→1−

5.3) เมอ่ื เขา้ ใกล้ 1 ทางดา้ นขวา ( > 1) จะไดว้ า่ คา่ ของ ( ) เขา้ ใกล้ 2

ดังนน้ั ( ) = 2
→1+
5.4) เน่ืองจาก lim ( ) ≠ ( )
→1− →1+
ดงั น้ัน ( ) ไม่มีคา่
→1 ∎

∎ ทฤษฎีบท : (1) sin = 1 (2) 1−cos = 0
→0 →0

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 9

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 1 : แบบฝึกหดั 2.1 ก ลิมติ ของลาดับ

1. จงเตมิ ค่าของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ใี นตารางให้สมบรู ณ์พร้อมทง้ั พิจารณาว่า ลิมติ ของฟังก์ชนั ทกี่ าหนดให้ในแตล่ ะข้อมีค่าหรอื ไม่
ถา้ มีคา่ จงหาลมิ ิต

1.1) ( ) = √ −2 ; lim ( ) จากโจทย์ → 4 แทน = 4 ลงใน ( ) = √ −2 จะได้
−4 →4 −4

(4) =

3.9 3.99 3.999 4.1 4.01 4.001
( ) ( )

1.2) ( ) = −2 ; ( ) จากโจทย์ → 2 แทน = 2 ลงใน ( ) = −2 จะได้
2+ −6 2+ −6
→2

(2) =

1.9 1.99 1.999 2.1 2.01 2.001
( ) ( )

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 10

1.3) ( ) = 3 −3 ; ( ) จากโจทย์ → 1 แทน =1 ลงใน ( ) = 3 −3 จะได้
3−1 3−1
→1

(1) =

0.9 0.99 0.999 1.1 1.01 1.001
( ) ( )

1.4) ( ) = −1 ; ( ) จากโจทย์ → 0 แทน =10 ลงใน ( ) = −1 จะได้
→0

(0) =

−0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001
( ) ( )

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 11

1.5) ( ) = ; ( ) จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน ( ) = จะได้
→0

( ) =

−1 −0.5 −0.1 −0.05 −0.01

( )

1 0.5 0.1 0.05 0.01
( )

1.6) ( ) = ; ( ) จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน ( ) = จะได้
→0+

( ) =

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
( )

1.7) ( ) = | | ; ( ) จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน ( ) = | | จะได้
2+ 2+
→0
( ) =

−0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001
( ) ( )

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 12

2. กาหนดกราฟของฟังก์ชัน ดงั รูป จงหา

2.1) (1) = …………………………………..…………………

2.2) ( ) = …………………………………..…………………
→1− …………………………………..…………………
…………………………………..…………………
2.3) ( ) =
→1+

2.4) ( ) =
→1

จาก 2.1-2.4 เป็นฟังก์ชัน  ต่อเนื่อง  ไม่ต่อเน่ือง ท่ี = 1

2.5) (5) = …………………………………..…………………

2.6) ( ) = …………………………………..…………………
→5− …………………………………..…………………
…………………………………..…………………
2.7) ( ) =
→5+

2.8) ( ) =
→5

จาก 2.5-2.8 เปน็ ฟังกช์ ัน  ต่อเนื่อง  ไม่ตอ่ เนื่อง ท่ี = 5

3. กาหนดกราฟของฟังก์ชนั ดังรูป จงหา

3.1) (0) = …………………………………….…………………

3.2) ( ) = …………………………………….…………………
→0− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
3.3) ( ) =
→0+

3.4) ( ) =
→0

จาก 3.1-3.4 เปน็ ฟงั ก์ชนั  ตอ่ เนอ่ื ง  ไมต่ ่อเนือ่ ง ท่ี = 0

3.5) (3) = …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
3.6) ( ) = …………………………………….…………………
→3− …………………………………….…………………

3.7) ( ) =
→3+

3.8) ( ) =
→3

จาก 3.5 – 3.8 เป็นฟังกช์ ัน  ตอ่ เน่ือง  ไม่ต่อเนอ่ื ง ท่ี = 3

4. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั ดงั รปู จงหา

4.1) (0) = …………………………………….…………………

4.2) ( ) = …………………………………….…………………
→0− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.3) ( ) =
→0+

4.4) ( ) =
→0

จาก 4.1 – 4.4 เป็นฟงั ก์ชนั  ต่อเน่ือง  ไม่ตอ่ เน่อื ง ท่ี = 0

4.5) (2) = …………………………………….…………………

4.6) ( ) = …………………………………….…………………
→2− …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.7) ( ) =
→2+

4.8) ( ) =
→2

จาก 4.5 – 4.8 เปน็ ฟังก์ชัน  ต่อเน่อื ง  ไมต่ อ่ เนือ่ ง ที่ = 2

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 13

4.9) (4) = …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
4.10) ( ) = …………………………………….…………………
→4− …………………………………….…………………

4.11) ( ) =
→4+

4.12) ( ) =
→4

* จาก 4.9 – 4.12 เปน็ ฟงั กช์ ัน  ต่อเนื่อง  ไม่ต่อเนื่อง ท่ี = 4

5. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั ดงั รูป จงหา

5.1) (1) = …………………………………….…………………
…………………………………….…………………
5.2) ( ) = …………………………………….…………………
→1− …………………………………….…………………

5.3) ( ) =
→1+

5.4) ( ) =
→1

จาก 5.1 – 5.4 เปน็ ฟังกช์ ัน  ตอ่ เนอ่ื ง  ไม่ตอ่ เนื่อง ที่ = 1

6. กาหนดกราฟของฟงั กช์ ัน ดงั รปู จงหา

6.1) (2) = …………………………………….…………………
= …………………………………….…………………
6.2) ( ) = …………………………………….…………………
→2− = …………………………………….…………………

6.3) ( )
→2+

6.4) ( )
→2

จาก 6.1 – 6.4 เปน็ ฟังก์ชัน  ตอ่ เนอ่ื ง  ไม่ต่อเนอ่ื ง ที่ = 2

6.5) (−2) = …………………………………….…………………

6.6) ( ) = …………………………………….…………………
→−2−

6.7) ( ) = …………………………………….…………………
→−2+

6.8) ( ) = …………………………………….…………………
→−2

จาก 6.5 – 6.8 เป็นฟังก์ชัน  ตอ่ เน่ือง  ไมต่ ่อเน่อื ง ท่ี = −2

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 14
3456…
7. จงหาลมิ ติ ต่อไปนโ้ี ดยพิจารณาจากกราฟของแตล่ ะฟงั ก์ชนั 2
7.1) (1 + )

→4−

… -1 0 1

( ) = 1 +

วธิ ที า

7.2) ( ) เม่ือ ( ) = { 2 + 1 , > 2
, ≤ 2
→2

( ) = + 1 ; ≤ 2 3 ( ) = 2 ; > 2 …

…012 4567

( )

วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 15

ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

2.1.3 การหาลิมิตของฟงั กช์ ันโดยใช้ทฤษฎีบท

จากที่กล่าวมาข้างต้น ไดห้ าลมิ ติ ของฟังก์ชนั โดยการคานวณค่าของฟงั กช์ นั หรือพิจารณาจากกราฟของฟังกช์ ัน ต่อไปจะ
กลา่ วถงึ ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตของฟังกช์ นั โดยจะไม่แสดงการพิสูจน์ แต่จะใช้ทฤษฎีบทเหลา่ น้ีชว่ ยในการหาลิมติ ของฟังกช์ นั

∎ ทฤษฎีบท 1 : ให้ เป็นจานวนจรงิ จะไดว้ ่า
1.1 = เม่ือ เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

→

1.2 =
→

1.3 = เมือ่ ∈ ℕ
→

ตัวอย่างท่ี 6 จงหา 6.1) 1 6.2) 6.3) 3
7 →−15 →5
→3
6.2) 6.3) 3 = (5)3 = 125 ∎
วธิ ีทา 6.1) 1 = 1 ∎ →−15 = −15 ∎ →5
→3 7 7

∎ ทฤษฎีบท 2 : เมอื่ , และ เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ถ้า และ เปน็ ฟังกช์ ันท่มี ีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซต
ของจานวนจรงิ โดยที่ ( ) = และ แล้ว

→

2.1 ( ) = ( ) = เม่ือ เป็นค่าคงตวั ใด ๆ
→ →

2.2 lim[ ( ) + ( )] = ( ) + ( ) = +
→ → →

2.3 [ ( ) − ( )] = ( ) − ( ) = −
→ → →

2.4 ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ lim ( ) = ⋅
→ → →

( )

→

( )
2.5 เมอ่ื[ (( ))]= = ≠ 0

→ →

2.6 lim[ ( )] = [ = เมอ่ื ∈ ℕ
→ →
( )]

2.7 √ ( ) = √ → ( ) = √ เมอ่ื ∈ ℕ − {1} , √ ( ) ∈ ℝ

→

สาหรบั ท่ีเข้าใกล้ และ √ ∈ ℝ

ตวั อย่างท่ี 7 จงหา (2 2 − 3 + 6)
→5

วธิ ที า (2 3 − 3 + 6) = 2 2 − 3 + 4
→5 →5 →5
→5 = 2(52) − 3(5) + 4

= 50 − 15 + 4

= 39 ∎

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 16
8.1 ∎
ตวั อย่างท่ี 8 จงหา 3+2 2−1 3 + 2 2 − 1 8.2 ∎
→−2 5−3 →−2 →−2 →−2 8.3 ∎
(−2)3 + 2(−2)2 − 1 = −1
วิธที า 3 + 2 2 − 1 = ∎
→−2 5 − 3
= →−2 →−2
และ (5 − 3 ) = = 11
→−2 5 − 3(−2)
=
ดังนัน้ = 3+2 2−1 −1
→−2 5−3
11

ตัวอย่างที่ 9 จงหา ( 2 − 1)4
→2
4
วธิ ีทา ( 2 − 1)4 = ( 2
→2 →2 − 1)

= ( 2 − 4

→2 →2 1)

= (22 − 1)4

= 81

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหา 3√3 3 + 20 2
→4

วิธีทา 3√3 3 + 20 2 = 3√ → 4 (3 3 + 20 2)
→4

1

= (3 3 + 20 2)3
→4 →4
1
=
(3(43) + 20(42))3

= 1

(43(3 + 5))3

= (43 ⋅ 23)13

=8 ∎

∎ บทนิยาม 3 : ให้ ⊂ ℝ ฟงั ก์ชนั ∶ → ℝ และ ∈ จะกลา่ ววา่ จานวนจริง เป็นลิมิตของ
เมื่อ เข้าใกล้ เขียนแทนดว้ ย ( ) = ก็ตอ่ เมอ่ื

→

สาหรบั ทุก > 0 จะมี > 0 ซึง่ ทาให้ | ( ) − | < สาหรับทุก ∈ ท่ี | − | <
กล่าวคือ ( ) = กต็ อ่ เม่ือ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว | ( ) − | <

→

หมายเหตุ : อักษรกรกี = =

ตวั อย่างที่ 11 จงหา และ เพือ่ พิสูจนว์ ่า (3 + 1) = 16
→5

∎ วเิ คราะห์เลอื ก และ จากบทนิยาม ให้ ⊂ ℝ ฟังกช์ นั ∶ → ℝ และ ∈
จะกลา่ วว่า จานวนจรงิ เป็นลมิ ติ ของ เมื่อ เขา้ ใกล้ เขยี นแทนดว้ ย ( ) =

→

กต็ ่อเม่ือสาหรับทุก > 0 จะมี > 0 ซง่ึ ทาให้ | ( ) − | < สาหรบั ทุก ∈ ท่ี | − | <
กล่าวคือ ( ) = กต็ อ่ เมอ่ื ถา้ ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แลว้ | ( ) − | <

→

จะแสดงว่า (3 + 1) = 16 น่ันคือ สาหรับทกุ > 0 จะมี > 0 ซ่งึ ทาให้
→5
| − 5| < → |(3 + 1) − 16| <
จาก |(3 + 1) − 16| < ซง่ึ หมายถึง − < |(3 + 1) − 16| <

− < |3 − 15| <

− < |3( − 5)| <
− < |( − 5)| <

33

− < | − 5| < โดยนิยามคา่ สัมบรู ณจ์ ะได้

33

| − 5| < ได้ =
33

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 17

∎ พิสูจน์ ให้ > 0 สาหรับทุก > 0 โดยท่ี = จะไดว้ ่า
3
โดยนิยามคา่ สมั บูรณ์
| − 5| < → | − 5| < 3

→ − < |( − 5)| <
33
→ − (3) < |(3)( − 5)| < (3)
33
−
→ 3 (3) < |(3)( − 5)| < 3 (3)

→ − < |3( − 5)| <

→ − < |3 − 15| < จัดรูป

→ − < |3 + 1 − 16| <

→ − < |(3 + 1) − 16| < โดยนิยามคาสัมบูรณ์

→ |(3 + 1) − 16| <

สรุปได้ว่า | − 5| < → |(3 + 1) − 16| <

ซ่งึ เป็นไปตามนิยาม ( ) = กต็ อ่ เม่อื ถา้ ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แลว้ | ( ) − | <
→
ดงั นัน้ (3 + 1) = 16
→5 ∎

∎ 2.1.4 ลิมติ ของฟังก์ชนั พหุนาม

ให้ เปน็ ฟงั กช์ ันพหนุ าม โดยใชท้ ฤษฎบี ท 1 และทฤษฎีบท 2 ข้อ 1, 2 และ 3 จะสามารถพิสจู นท์ ฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 3 : ให้ เปน็ ฟังก์ชนั พหุนาม ( ) และ เป็นจานวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

( ) = ( )

→

ตัวอย่างที่ 12 กาหนด ( ) = 2 − 5 + 7 จงหา ( )
→2
วธิ ีทา ( ) = ( 2 − 5 + 7) = (2) = 22 − 5(2) + 7 = 1
→2 →2 ∎

จากทฤษฎีบท 3 จะเหน็ วา่ ในการหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั พหนุ าม เมือ่ ท่ีเขา้ ใกล้ นนั้ สามารถหาลมิ ติ ได้โดยการแทน
ดว้ ย ในพหนุ าม โดยใช้ทฤษฎีบท 2 ขอ้ 5 และทฤษฎบี ท 3 จะสามารถพสิ ูจนท์ ฤษฎีบทตอ่ ไปนี้

∎ ทฤษฎีบท 4 : ให้ เปน็ ฟงั กช์ ันตรรกยะ ( ) โดยท่ี ( ) = ( )
( )

เมอื่ และ เปน็ ฟังกช์ นั พหนุ าม จะไดว้ า่

( ) = ( ) สาหรบั จานวนจรงิ ใด ๆ ที่ ( ) ≠ 0
( )
→

ตวั อยา่ งท่ี 13 กาหนด ( ) = 2 2−3 +4 จงหา ( )
2−4
→1
2 2−3 +4 2(1)2−3(1)+4
วธิ ที า จากโจทย์ จะได้ ( ) = ( ) 2−4 = (1)2−4 = 3 = −1 ∎
−3
→1 →1

การหา ( ) โดยใชท้ ฤษฎีบท 2 ข้อ 5 จะหาไดใ้ นกรณีท่ี ( ) ≠ 0
( ) →
→
( )
สาหรบั กรณีท่ี ( ) = 0 อาจหา ( ) โดยการจัดรปู ฟงั กช์ นั ใหม่ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี
→ →

ตวั อย่างท่ี 14 จงหา −1
2−1
→1
วธิ ีทา ในที่น้ี ( ) = 2 − 1 และ ( ) = 0
→
−1
จะหา 2−1 โดยการจดั รูปฟงั ก์ชันใหม่ ดงั น้ี

→1 −1 −1
2−1 ( −1)( +1)
= = 1 เมื่อ + 1 ≠ 0
+1

ดงั นนั้ −1 = 1 = 1 =1 ∎
2−1 (1)+1 2
→1 →1 +1

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 18

ตวั อย่างท่ี 15 จงหา √ 2+9−3
2
→0
วธิ ีทา ในที่นี้ ( ) = 2 และ ( ) = 0 จดั รปู ฟงั ก์ชนั ใหม่ ดังนี้
→

√ 2+9−3

= = = เมอ่ื 2
√ 2+9−3 ⋅ √ 2+9+3 ( 2+9)−9 1 ≠ 0
2 √ 2+9+3 2(√ 2+9+3) √ 2+9+3

ดงั นนั้ √ 2+9−3 = 1 = 1 = 1 =1 =1 ∎
2 √ 2+9+3 √(0)2+9+3
→0 →0 √9+3 3+3 6

ทฤษฎบี ท 1 – 4 ยงั คงเปน็ จริงเมอ่ื คานวณค่าของลิมิตดา้ นเดยี ว กลา่ วคอื สามารถแทน “ → ” ในทฤษฎีบท 1 – 4
ด้วย “ → −” หรอื “ → +”

การหาลิมิตของฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจทาได้โดยหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาของฟังก์ชัน และใช้เกณฑ์การ
ตรวจสอบ ดงั นี้

ในกรณีท่ี ( ) และ ( ) มีค่า
→ − → +
จะไดว้ ่า ( ) = ก็ตอ่ เมอื่ ( ) = = ( )
→ → − → +

จากตัวอย่างท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 และ 13 จะแสดงให้เห็นการใช้ทฤษฎีบทข้างต้นว่า ยังคงเป็นจริงสาหรับลิมิต

ด้านเดียว หรือ ( ) และ ( ) มีค่า
→ − → +

และในการใช้ทฤษฎีบทข้างต้น ในตัวอย่างที่ 14 และ 15 ถ้า ( ) = 0 , (0) = 8 , ( ) = ±∞ หรือ

( ) = ±∞ เม่ือหาลิมิตแล้วจะยู่ในรูป หรือ 0 , ∞ , 0 ∙ ∞ , ∞−∞, 0∞ , 0∞ − 0∞ หรือ 1∞ ซี่งเราอาจจะ
0 0 ∞
ตอบได้เลยวา่ ไมค่ ่าลมิ ติ หาค่าไดห้ รือหาค่าไม่ได้ เราเรยี กลมิ ติ แบบนีว้ ่า “รปู แบบท่ีไม่กาหนด ( ∶ )”

ซง่ึ รูปที่เราเจอน้ี ในการหาลมิ ติ เราจะต้องจดั รปู ก่อน

ดงั น้นั ในการหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั จากทฤษฎีบทข้างต้น เราสามารถสรุปขั้นตอนการหาลมิ ิตของฟังก์ชัน ( ) ท่ี = ได้
ดังนี้

ขัน้ ตอนที่ 1 แทนคา่ = ใน ( )

ข้ันตอนที่ 2 พิจารณาค่า ( ) ท่ีได้

2.1 ถา้ ( ) ไม่เปน็ รูปแบบ 2.2 ถ้า ( ) เป็นรปู แบบ

(1) ถา้ ( ) หาคา่ ได้ ได้ ( ) อยู่ในรูป 0 หรอื ∞ ต้องจัดรปู ของ
แล้ว ( ) = ( ) 0 ∞
ฟังก์ชนั ใหม่ โดยใช้วธิ ี
→
(1) แยกตวั ประกอบ ( )
(2) ถา้ ( ) อยู่ในรปู
(2) คูณดว้ ยพจนท์ เ่ี ปน็ สงั ยุคหรอื คอนจุเกต
0
( )
แล้ว ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้
→

(3) ใช้กฎของโลปิตาล ( ’ℎ )

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 19

ดังนั้นจากตัวอย่างที่ 14 และตัวอย่างท่ี 15 เราอาจแสดงวิธีการหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบท่ีไม่กาหนด

( ∶ ) ไดอ้ ีกแนวทางหนึ่งว่า

(1) จากตัวอย่างท่ี 14 จงหา −1
2−1
→1
−1
วธิ ที า ให้ ( ) = 2−1 ตอ้ งการหาลิมติ ของฟงั กช์ ัน เม่อื มคี ่าเข้าใกล้ 1

แทน = 1 ใน ( ) จะได้ (1) = (1)−1 = 1−1 = 0
(1)2−1 0
1−1

เปน็ รปู แบบที่ไมก่ าหนด ( ∶ ) พจิ ารณาแยกตวั ประกอบ ( )

จะได้ ( ) = = −1 = −1 1 เม่อื + 1 ≠ 0
+1
2−1 ( −1)( +1)

ดังนน้ั −1 = −1
2−1 →1 ( −1)( +1)
→1
= 1 เมอื่ + 1 ≠ 0

→1 +1
= 1 =1
(1)+1 2

น่นั คอื −1 1 1
2−1 2
→1 +1
= = ∎

→1

(2) จากตัวอย่างที่ 15 จงหา √ 2+9−3
2
→0

วิธที า ให้ ( ) = √ 2+9−3 ต้องการหาลิมติ ของฟังกช์ ัน เม่อื มคี ่าเขา้ ใกล้ 0
2

แทน = 0 ใน ( ) จะได้ (0) = √(0)2+9−3 = =√0+9−3 3−3 = 0
(0)2 0 00

เปน็ รูปแบบท่ีไมก่ าหนด ( ∶ ) พจิ ารณาใช้การคูณด้วยสงั ยุค ( )

= √ 2+9−3 =√ 2+9−3 = เม่ือ( 2+9)−9
2 2
√ 2+9+3 2(√ 2+9+3)
จะได้ ( ) = ⋅ √ 2+9+3 1 ≠ 0
√ 2+9+3

ดังนน้ั √ 2+9−3 1
2 √ 2+9+3
=
1
→0 →0

= √(0)2+9+3

= 1 = 1 =1
√9 + 3 3+3 6

√ 2+9−3 1 1 1 1= 1
2 √ 2+9+3 √(0)2+9+3 √9 + 3 6
น่นั คอื = = = = 3+3 ∎

→0 →0

ในกรณีท่ีหาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบที่ไม่กาหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล
( ’ℎ ) ทน่ี ิยามโดย

∎ กฎของโลปิตาล ( ’ )

ถา้ ( ) และ ( ) ตา่ งกม็ ีคา่ เป็นศนู ย์ หรือไม่นิยามท่ี =

นั่นคือ ( ) อยใู่ นรปู ของ 0 หรอื ∞ แลว้
( ) 0∞

( ) ( ) ′( ) ′( )
( ) ( ) ′( ) ′( )
= = เมอื่ = หาค่าได้

→ → → →


ดังน้ัน จากตัวอย่างที่ 14 จงหา −1 เราทราบว่าเมื่อแทน = 1 จะได้ (1) = 0 เป็นรูปแบบท่ีไมก่ าหนด
2−1
→1 0
( ∶ ) พิจารณาหาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) จะได้

ดงั นั้น −1 = ( −1)
2−1 →1
→1
( 2−1)

= 1 เมอ่ื ≠ 0
→1 2
= 1 =1
2(1) 2

นัน่ คอื −1 1
2−1 2
= ∎

→1
ซึง่ ( ) = ′( ) และ ( ) = ′( ) คืออนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั และ ตามลาดบั


แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 20

ตัวอย่างที่ 16 กาหนดให้ ( ) = { √ − 4 , > 4 จงหา ( )
8 − 2 , < 4 →4

วิธีทา (1) เนอ่ื งจาก ( ) = 8 − 2 เม่อื < 4

จะได้ว่า ( ) = 8 − 2
→4−
→4−
= 8 − 2(4)

= 0 (1)∎

(2) เน่อื งจาก ( ) = √ − 4 เมอ่ื > 4

จะไดว้ ่า ( ) = → 4 +√ − 4

→4+

= √ → 4 +( − 4)

= √4 − 4 (ใหน้ ักเรยี นเติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์)

= 0 (2)∎

จะเห็นวา่ ( ) = ( ) = 0
ดังนนั้ →4− →4+

( ) = 0 ∎
→4

∎ 2.1.5 ลิมิตของฟังกช์ ันคา่ สัมบรู ณ์

จากสมบตั ิของค่าสมั บูรณข์ องจานวนจริงใด ๆ ท่นี ยิ ามโดย

1. | | = { เมอื่ ≥ 0
− เมื่อ < 0

2. | − | = { ( − ) เมื่อ ( − ) ≥ 0
−( − ) เม่อื ( − ) < 0

เราจะนาสมบตั ิของค่าสัมบูรณไ์ ปหาคา่ ของฟังก์ชันในการคานวณคา่ ของลมิ ิตด้านเดียว กลา่ วคอื สามารถแทน “ → ”

ในทฤษฎบี ทดว้ ย “ → −” เมอ่ื มคี ่าน้อยกวา่ 0 (ลมิ ติ ด้านซ้าย) หรือ “ → +” เมื่อมคี า่ มากกว่า 0 (ลิมติ ด้านขวา) ดงั ตัวอย่าง

ท่ี 17

ตัวอย่างท่ี 17 จงหา | +1|
→−1 +1

วธิ ีทา เนอื่ งจาก | + 1| = −( + 1) เมอ่ื < −1

จะไดว้ ่า | +1| = −( +1)
→−1− +1
→−1− +1
= (−1)
→−1−

= −1 17.1∎

และเนื่องจาก | + 1| = + 1 เมือ่ > −1

จะได้ว่า | +1| = +1
→−1+ +1
→−1+ +1
= 1
→−1+ (ใหน้ กั เรยี นเตมิ เต็มกราฟใหส้ มบูรณ์)

= 1 17.2∎

จะเห็นวา่ | +1| ≠ | +1|

→−1− +1 →−1+ +1

ดังน้นั | +1| ไมม่ คี ่า ∎
→−1 +1

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 21

∎ 2.1.6 ลมิ ิตของฟงั กช์ ันของฟงั กช์ ัน

กาหนดฟงั กช์ นั ที่นยิ ามโดย

กาหนดฟงั กช์ ันของฟงั ก์ชัน ( ( )) โดยท่ี ( ) = และ ( ) = ( )
→ →
จะได้วา่ ( ( )) = ( ( ( ))
→ →

ตวั อย่างที่ 18 กาหนด ฟังกช์ นั ( ) = √ และ ฟงั ก์ชนั ( ) = 2 + 9 จงหา ( ( ( ))

วิธที า จาก ( ( )) = ( ( ( )) →−4
จะไดว้ า่
→ →
( ( )) = ( ( 2 + 9))
→−4 →−4
= ((−4)2 + 9))

= (25)

และจาก ( ) = √ ∎
ดังนนั้ (25) = √25 = 5

∎ 2.1.7 ลมิ ติ ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ

กาหนดฟังก์ชันที่นิยามโดย

กาหนดจานวนจริง ทีเ่ ป็นโดเมนของฟังกช์ นั ตรโิ กณมติ ิ จะไดว้ ่า

(1) = (2) = (3) =
→ → →

(4) = (5) = (6) =
→ → →

และ

ถ้า ( ) = หรอื ( ) = cos หรอื ( ) = หรือ ( ) = หรอื ( ) =

หรอื ( ) = และ ( ) = โดยที่ ( ) หาค่าได้แล้ว
→
จะไดว้ า่ ( ( )) = ( ( ( )) = ( )
→ →

ตัวอย่างที่ 19 จงหา 2 +
→ 4

วิธที า ให้ ถ้า ( ) = และ ( ) = 2 +
4
เน่อื งจาก 2 + = =2 + 3 และ 3 หาคา่ ได้ ดงั นน้ั
→ 4 44 4
จาก = ( ( ( ))
( ( )) →
→
จะไดว้ า่ ( 2 + ) = ( (2 + ))
→ 4 → 4

= (2 + )
4
= (2 + )
4
= (34 ) (อยู่ใน 2 คา่ + )
= (45°)

= √ ∎
∎
ตวั อย่างที่ 20 จงหา 2−1
→1 −1

วิธีทา ให้ ถ้า ( ) = และ ( ) = 2−1
−1
จาก = ( ( ( ))
( ( )) →
→
จะได้วา่ 2−1 = ( ( 2−1))
→1 −1 →1 −1

= ( (( −1)( +1)))
→1 −1

= ( ( + 1))
→1
= ((1) + 1))

= 2

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 22

∎ 2.1.8 ลมิ ติ ของฟงั กช์ ันเอก็ ซโ์ พเนนเชยี ล ฟงั ก์ชันลอการทิ มึ และฟังก์ชันคา่ สัมบูรณ์
กาหนดฟังกช์ นั ทีน่ ยิ ามโดย

(1) ถ้า ( ) = และ หาคา่ ได้แล้ว

→
จะไดว้ า่
( ) = ( ( ( )) =

→ →
(2) ถ้า ( ) = และ > 0 แล้ว
→
จะได้ว่า ( )
( ) = =
→

→

(3) ถ้า ( ) = แลว้ | ( )| = | ( )| = | |
→ → →

ตวั อยา่ งที่ 21 จงหา ( 2 + 3 )
→2

วิธีทา ให้ ( ) = และ ( ) = ( 2 + 3 )

เน่ืองจาก ( 2 + 3 ) = =((2)2 + 3(2) 10 หาคา่ ได้ ดังนนั้
→2
จาก ( ( )) = ( ( ( ))
→ →
จะได้ว่า ( ( 2 + 3 )) = ( ( 2 + 3 ))
→2 →2
= ((2)2 + 3(2))

= 10

=1 ∎

ตัวอยา่ งที่ 22 จงหา (4 −5)
→1 2−3

วิธที า จาก ถา้ ( ) = และ หาคา่ ไดแ้ ล้ว จะไดว้ ่า ( ) = ( ( ( )) =
→
→ →
เนือ่ งจาก (4 −5) = = =4(1)−5 −1 1 หาค่าได้ ดังนน้ั
→1 2−3 2−3(1) −1

จะไดว้ า่ (4 −5) = ( (4 −5))
→1 2−3 →1 2−3

= (4−5)
2−3
= (−1)
−1
= 1

=0 ∎

ตวั อย่างท่ี 23 จงหา 102−3
→1

วิธที า ให้ = 10 และ ( ) = 102+3

เน่ืองจาก (2 − 3 ) = (2 − 3(1)) = −1 หาคา่ ได้ ดงั นนั้
จาก →1
จะได้ว่า ( )

→
= = ( )
→
= 102−3 (2−3 )
10 →1

→1 = 10−1

= 1 ∎
ตัวอยา่ งที่ 24 จงหา |8 2 − 4 − 2| 10

→21

วิธที า ให้ ( ) = |8 2 − 4 − 2|

เนอื่ งจาก ถ้า ( ) = แลว้ | ( )| = | ( )| = | | หาค่าได้ ดังนน้ั
→ → →

ดังนนั้ |8 2 − 4 − 2| = | (8 2 − 4 − 2)|

→12 →12

= |(8 (1)2 − 4(1) − 2)|

= 22

|2 − 2 − 2|

= |−2|

=2 ∎

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 23

กิจกรรมระหวา่ งเรียน 2 : แบบฝึกหัด 2.1 ข. ลิมิตของฟังก์ชนั

1. จงหาลิมิตต่อไปน้ี ถา้ ลิมิตมีคา่
1.1) (3 2 + 7 − 12)

→0

วิธที า

1.2) ( 5 − 2 )
→−1

วิธีทา

1.3) 5( − 2)
→5

วธิ ีทา

1.4) ( + 3)( 2 + 2)
→−1

วิธีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 24

1.5) +1
→3 2 −5

วิธีทา

วิธที า 1.6) 2−25
→−5 +5

1.7) +1
2− −2
วิธีทา →1

วธิ ีทา 1.8) 2− −2
→1 2+4 +3

แคลคูลัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 25

1.9) 1−√
→1 1−

วิธีทา

1.10) 3−√
9−
วิธที า →9

1.11) 2−√ +3
→1 −1

วิธีทา

1.12) 3√( 2 − 1)2
→0

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 26

2. จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถ้าลิมติ มีค่า
2.1) | + 4|

→−4

วิธที า

2.2) | −2|
−2
วิธีทา →2

วธิ ีทา 1.3) | +4|
→−4− +4

1.4) (1 + | 1 |)

→0−

วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 27

1.5) 2 2−3
→23 |2 −3|

วธิ ีทา

3. กาหนดให้ ( ) = { 2 − 4 +6 , ≥ 2 จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถา้ ลมิ ิตมีค่า
− 1 , < 2
3.1) ( )
→2−
วิธีทา

3.2) ( )
→2+

วิธีทา

3.3) ( )
→2

วธิ ที า

3.4) ( )
→0

วธิ ที า

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 28

3.5) ( )
→5

วธิ ีทา

, < 0 จงหาลิมติ ต่อไปน้ี ถ้าลิมิตมคี ่า

4. กาหนดให้ ( ) = { 2 , 0 ≤ ≤ 2

8 − , > 2

4.1) ( )
→0+

วิธีทา

4.2) ( )
→0−

วิธีทา

4.3) ( )
→0

วธิ ที า
4.4) ( )

→2−

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 29

4.5) ( )
→2+

วธิ ีทา

4.6) ( )
→2

วธิ ีทา

4.7) ( )
→1

วธิ ที า

4.8) ( )
→6

วิธที า

| | , ≠ 0 และ ( ) = จงหาลมิ ติ ตอ่ ไปนี้ ถ้าลมิ ติ มีค่า
, = 0
5. กาหนดให้ ( ) = {

1

5.1) ( )
→0

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 30

5.2) ( )
→0

วธิ ีทา

5.3) ( ) ⋅ ( )
→0

วิธที า

6. กาหนดให้ ( ) แทน จานวนเตม็ ที่มากทส่ี ดุ ที่นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ จงหาลมิ ิตต่อไปน้ี ถ้าลมิ ติ มีคา่
6.1) ( )

→1+

วิธีทา

6.2) ( )
→1−

วธิ ที า

6.3) ( )
→1

วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 31

7. จงหา cos (2 + 1)
→−1

วิธีทา

8. จงหา ( 2 )

วิธีทา →

9. จงหา 2
→0 1−

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 32

10. จงหา 52 − 5
→−1

วิธที า

11. จงหา √2 2 − 3 + 8
→2

วิธที า

12. จงหา | 2−16|
→4 −4

วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 33

2.2 ความต่อเนอ่ื งของฟงั กช์ นั ( )

2.2.1 ความตอ่ เน่อื งบนจุด

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ นั ดังรูป

รูปที่ 11 รูปท่ี 12

จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 11 และ 12 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( f นิยามท่ี ) แต่ ( ) ไม่มีค่า
→

เนอ่ื งจากไม่มีจานวนจริงใด ซึง่ เม่อื เข้าใกล้ แล้วทาให้ ( ) เข้าใกล้จานวนจริงนัน้

รปู ที่ 13
จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปท่ี 13 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( นิยามที่ a ) และ ( ) มีค่า แต่

→

( ) ≠ ( )

→

จะเรียกฟังก์ชัน ในรูปท่ี 11 – 13 ว่าเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ = แต่ถ้า ( ) = เมื่อ = ( )
→

จะได้กราฟดังนี้

รปู ท่ี 14
จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 14 จะเห็นว่า ( ) หาค่าได้ ( นิยามท่ี a ) และ ( ) = ( ) ในลักษณะ

→

เชน่ นี้ จะเรยี กฟงั กช์ นั f ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนอ่ื งที่ = ซง่ึ มนี ิยามดังน้ี

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 34

∎ บทนยิ าม 4 : ให้ เปน็ ฟังก์ชันซึง่ นยิ ามบนช่วงเปดิ ( , ) และ ∈ ( , ) จะกล่าวไดว้ ่า เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื ง
( ) ท่ี = ก็ต่อเมอื่ ( ) = ( )

→

∎ จากบทนยิ าม 4 ถ้า เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื ง ( ) ที่ = ตอ้ งมีสมบตั คิ รบทงั้ สามขอ้ ตอ่ ไปน้ี
(1) ( ) หาคา่ ได้ (นั่นคือ อยู่ในโดเมนของ )
(2) lim ( ) มีค่า

→

(3) ( ) = ( )
→

ตัวอยา่ งที่ 25 กาหนดให้ 2−4 , ≠ 2

( ) = { −2
3 , = 2

จงพจิ ารณาวา่ ฟงั ก์ชัน เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี = 2 หรอื ไม่

วธิ ีทา จากฟงั ก์ชนั ท่กี าหนด จะได้ (2) = 3

และ ( ) = 2−4
→2 →2 −2
= ( +2)( −2)
→2 −2
= ( + 2)
→2
=4

เน่อื งจาก ( ) ≠ (2) (ใหน้ ักเรยี นปรับปรุงกราฟดว้ ยตนเอง)
→2
ดงั นน้ั ฟังกช์ ัน ไมต่ ่อเนอื่ งท่ี = 2
∎

2−4 , ≠ 2

ตวั อย่างท่ี 26 กาหนดให้ ( ) = { −2
4 , = 2
จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชัน เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนอ่ื งที่ = 2 หรอื ไม่

วิธที า จากฟงั กช์ นั ทีก่ าหนด จะได้ (2) = 4

และ ( ) = 2−4
→2 →2 −2
= ( +2)( −2)
→2 −2

= ( + 2)
→2
=4

เนอ่ื งจาก ( ) = (2) (ให้นกั เรยี นปรบั ปรงุ กราฟดว้ ยตนเอง)
→2
ดังนน้ั ฟงั กช์ ัน เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่อื งที่ = 2
∎

ตัวอยา่ งที่ 27 กาหนดให้ ( ) = | + 1|

จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ ันต่อเนือ่ งท่ี = −1 หรือไม่

วิธีทา จากฟงั กช์ ัน ทีก่ าหนด จะได้ (−1) = |(−1) + 1| = 0

จาก ( ) = | + 1| โดยนยิ ามของค่าสมั บูรณ์

จะได้ ( ) = { + 1 , ≥ −1
−( + 1) , < −1
เน่อื งจาก ( ) = − ( + 1) = 0
→−1− →−1−

และ ( ) = ( + 1) = 0
→−1+ →−1+
จะไดว้ ่า | + 1| = 0 = | + 1|
→−1− →−1+
ดงั นน้ั ( ) = 0
→−1
เน่อื งจาก ( ) = (−1)
→−1 (ให้นักเรียนปรับปรงุ กราฟด้วยตนเอง)
ดงั นัน้ ฟงั กช์ นั เป็นฟังก์ชันต่อเนอ่ื งที่ = −1 ∎

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 35

ตอ่ ไปน้จี ะกล่าวถงึ ทฤษฎีบทเกีย่ วกับความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชัน โดยจะขอละการพิสจู น์

∎ ทฤษฎีบท 5 : ถ้า และ เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งที่ = แลว้

5.1 + เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งท่ี =

5.2 − เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองที่ =

5.3 ⋅ เป็นฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งท่ี =

5.4 เป็นฟังก์ชันต่อเนอื่ งที่ = เมื่อ ( ) ≠ 0


ดงั ทีไ่ ดท้ ราบมาแลว้ จากทฤษฎีบท 3 วา่ ถ้า เป็นฟังก์ชันพหนุ ามแล้ว ( ) = ( ) สาหรบั จานวนจรงิ ใด ๆ
→

ดังนัน้ จะไดท้ ฤษฎีบทต่อไปนี้

∎ ทฤษฎบี ท 6 : สาหรับจานวนจรงิ ใด ๆ ฟังกช์ นั พหนุ าม เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งท่ี =

โดยใชท้ ฤษฎีบท 5 และ 6 จะสามารถพสิ ูจนท์ ฤษฎีบทเกยี่ วกบั ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั เมื่อ และ เป็น


ฟงั ก์ชนั พหุนาม ดงั นี้

∎ ทฤษฎีบท 7 : ถา้ เปน็ ฟังก์ชนั ตรรกยะ โดยท่ี ( ) = ( ) เมอื่ และ เป็นฟงั ก์ชนั พหนุ าม
( )

แล้ว เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องท่ี = เมือ่ เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ซง่ึ ( ) ≠ 0

ตัวอยา่ งที่ 28 กาหนดให้ ( ) = 2−9
2−5 +6
จงพจิ ารณาว่าฟงั กช์ นั เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนอื่ งที่ = 0 หรือไม่

วธิ ีทา ให้ ( ) = 2 − 9 และ ( ) = 2 − 5 + 6 ดังน้นั ( ) = ( )
( )

เนื่องจาก และ เปน็ ฟังก์ชันพหนุ าม และ (0) = 6 ซ่งึ ไม่เท่ากับ 0

ดงั น้ัน เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ = 0 ∎

2.2.2 ความต่อเนือ่ งบนชว่ ง
ตอ่ ไปจะใหค้ วามหมายของความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ ันบนชว่ งท่ีกาหนด ดงั นี้

1. ฟงั ก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง ( , ) กต็ อ่ เมอื่ เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องท่ที ุกจดุ ในช่วง ( , )

2. ฟังกช์ ัน เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนือ่ งบนช่วง [ , ] ก็ต่อเม่อื

2.1) เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งท่ีทกุ จดุ ในชว่ ง ( , ) และ

2.2) ( ) = ( ) และ ( ) = ( )
→ + → −
3. ฟังกช์ ัน เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง ( , ] ก็ต่อเมื่อ

3.1) เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งท่ีทุกจุดในชว่ ง ( , ) และ

3.2) ( ) = ( )
→ −

4. ฟงั กช์ นั เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [ , ) กต็ อ่ เมอ่ื

4.1) เป็นฟังก์ชนั ต่อเนอื่ งที่ทุกจุดในช่วง ( , ) และ

4.2) ( ) = ( )
→ +

ตัวอยา่ งท่ี 29 กาหนดให้ ( ) = √9 − 2 จงแสดงว่าฟงั กช์ นั เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนช่วง [−3 , 3 ]

วิธีทา ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง (−3 , 3)

เน่ืองจาก −3 < < 3 จะไดว้ า่ 2 < 9 หรอื 9 − 2 > 0 ดังนนั้ √9 − 2 > 0

จะไดว้ ่า นยิ ามท่ี และ ( ) = √9 − 2

และจะได้ ( ) = √9 − 2
→
→
= √ → (9 − 2)

= √9 − 2

ดังนั้น ( ) = ( )
→
สรปุ ได้วา่ เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (−3 , 3)
∎

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 36

ตอ่ ไปจะแสดงวา่ ( ) = (−3) และ ( ) = (3) (เตมิ เตม็ กราฟให้สมบูรณ)์
→−3+ →3−
เน่ืองจาก = √9 − 2 ∎
( ) →−3+
→−3+

= √ → − 3+(9 − 2)

=0

และ (−3) =0

ดังนนั้ ( ) = (−3)
และ = √9 − 2
→−3+
→3−
( )

→3−

= √ → 3 − (9 − 2)

=0

และ (3) = 0

จะได้ ( ) = (3)
→3−
สรุปไดว้ ่า เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งบนช่วง [−3 , 3]

ตัวอยา่ งที่ 30 กาหนดให้ ( ) = 1 จงแสดงวา่ ฟังกช์ ัน เป็นฟังก์ชันต่อเน่อื งบนชว่ งตอ่ ไปนี้หรอื ไม่
√ 2−4
30.1) (−∞, −2) 30.2) (2 , 3 ]

วธิ ีทา 30.1) ให้ เป็นจดุ ใด ๆ ในช่วง (−∞, −2)

เนื่องจาก < −2 จะไดว้ ่า 2 > 4 หรือ 2 − 4 > 0 ดงั น้ัน √ 2 − 4 > 0

จะไดว้ า่ นิยามที่ และ ( ) = 1
√ 2−4
และจะได้ = 1
( ) √ 2−4

→ →
=1
√ → ( 2−4)

=1 30.1 ∎
√ 2−4

ดังน้ัน ( ) = ( )
→

สรุปไดว้ ่า เป็นฟงั กช์ ันต่อเน่ืองบนช่วง (−∞, −2)

30.2) ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง ( 2 , 3 )

เนือ่ งจาก 2 < < 3 จะไดว้ า่ 4 < 2 < 9 หรอื 2 − 4 > 0 ดังนัน้ √ 2 − 4 > 0

จะไดว้ า่ นยิ ามท่ี และ ( ) = 1
√ 2−4
และจะได้ = 1
( ) → √ 2−4
=1
→

√ → ( 2−4)

=1
√ 2−4

ดังนั้น ( ) = ( )
→

สรุปไดว้ ่า f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง (2 , 3)

ในทานองเดยี วกนั จะได้ว่า 1 = 1
→3− √ 2−4 √5
และ (3) = 1
√5
ดงั น้ัน ( ) = (3) = 1
→3− √5
สรปุ ได้ว่า เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งบนชว่ ง (2 , 3] 30.2 ∎

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 37

กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 2.2 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั

1. จงพิจารณาว่าฟังกช์ นั ตอ่ ไปนเี้ ปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ือง ณ จุดท่ีกาหนดหรอื ไม่
1.1) ( ) = 3 − 1 ท่ี = 0

วธิ ที า

2−16 , ≠ 4
, = 4
1.2) ( ) = { −4 ที่ = 4

−1
4
วิธที า (เตมิ เตม็ กราฟให้สมบูรณ)์

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 38

2−1 , ≠ 1 ท่ี = 1
, = 1
1.3) ( ) ={ 3−1

−2
3
วธิ ที า (เติมเตม็ กราฟใหส้ มบรู ณ์)

1.4) ( ) = | | ท่ี = 0
วธิ ีทา

| +1| , ≠ −1 ที่ = −1
, = −1
1.5) ( ) = { +1

−1

วิธที า (เตมิ เต็มกราฟให้สมบูรณ)์

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 39

2. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชัน , และ ℎ ดังรปู จงพิจารณาวา่ , และ ℎ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องบนช่วงทีก่ าหนดในแตล่ ะขอ้
หรือไม่ พรอ้ มท้ังให้เหตุผลประกอบ

2.1) ฟงั กช์ นั 2.1.1) [−1 , 1]

2.1.2) (−1 , 1)

2.1.3) [0 , 1]

2.1.4) (−1 , 0]

2.2) ฟงั ก์ชัน 2.2.1) [−1 , 1]
2.2.2) (−1 , 1)
2.2.3) [0 , 1]
2.2.4) (−1 , 0]

2.3) ฟงั กช์ นั ℎ 2.3.1) [−1 , 1]
2.3.2) (−1 , 1)
2.3.3) [0 , 1]
2.3.4) (−1 , 0]

3. กาหนดให้ ( ) = 2 จงพจิ ารณาว่า เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนชว่ งต่อไปนหี้ รือไม่
−4

3.1) (−∞ , 4)
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 40

3.2) ( 4 , 6]
วิธที า

3.3) (4 , ∞)
วธิ ที า

2 − 2 , < −2

4. กาหนดให้ ( ) = { − 4 , −2 ≤ ≤ 1 จงพิจารณาว่า เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วงต่อไปนหี้ รอื ไม่

4 − , > 1 (A) สร้างตาราง

( ) … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …

( ) = 2 − 2 , < −2

( )= − 4 , −2 ≤ ≤ 1

( ) = 4 − , > 1

(B) เขียนกราฟ

4.1) ( −∞ , 1 ]
วิธีทา

4.2) (−2 , 1 ]
วธิ ีทา

4.3) (−2 , 2 ]
วธิ ที า

4.4) [ 1 , ∞)
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 41

5. จงหา ท่ีทาให้ฟงั กช์ นั ท่กี าหนดให้ต่อไปนี้ เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องท่ีทกุ จุด

5.1) ( ) = { 2 , > 1
7 − 2 , ≤ 1
วธิ ีทา

5.2) ( ) = { 2 + , > 2
2 , ≤ 2
วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 42

2.3 อนุพันธข์ องฟังก์ชนั ( )

ในการขับรถจากสถานท่ีหนึ่งไปยังอีกสถานทห่ี นง่ึ โดยท่ัวไปผู้ขับไม่ได้ขับด้วยอัตราเร็วคงท่ีตลอดเวลา อาจขับเร็วบ้างชา้

บ้าง ขึ้นอยู่กับสภาพถนนหรือปริมาณรถบนถนน ดังนั้นการบอกอัตราเร็วจึงนิยมบอกเป็นอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางทั้งหมด

หรือบอกอตั ราเรว็ เฉลี่ยในชว่ งเวลาท่ีสนใจ โดยอัตราเรว็ เฉล่ียคืออตั ราส่วนระหวา่ งระยะทางท่ีรถยนตเ์ คล่ือนทไี่ ด้ต่อช่วงเวลาที่ใช้ใน

การเคลื่อนที่

ตัวอย่างเช่น ถ้าระยะทางท่ีรถยนต์เคล่ือนที่ได้ (มีหน่วยเป็นกิโลเมตร) เมื่อเวลาผ่านไป ช่ัวโมง หาได้จาก

( ) = 20 2 เม่ือ ∈ [ 0 , 2 ] จะสามารถหาอตั ราเรว็ เฉล่ียในช่วงเวลาท่สี นใจได้ ดงั นี้

จากสมการที่กาหนด จะสามารถ

1) หาระยะทางทีร่ ถยนตเ์ คลื่อนทีไ่ ด้ เม่ือเวลาผา่ นไป 0 , 0.5 , 1 และ 1.5 ช่วั โมง ได้ดงั ตาราง

เวลาทผ่ี ่านไป (ชว่ั โมง) 0 0.5 1 1.5

ระยะทางที่รถยนต์เคล่ือนท่ไี ดใ้ น (กโิ ลเมตร) 0 5 20 45

2) จะได้ระยะทางทรี่ ถยนตเ์ คล่อื นท่ีไดใ้ นชว่ งเวลาต่างๆ ดังตาราง

ช่วงเวลา (ชว่ั โมง) ระยะทางทร่ี ถยนตเ์ คล่ือนทไี่ ดใ้ น (กโิ ลเมตร)

= 0 ถึง = 0.5 5−0=5

= 0.5 ถงึ = 1 20 − 5 = 15

= 1 ถึง = 1.5 45 − 20 = 25

3) จะสามารถหาอัตราเร็วเฉล่ียในช่วงเวลาตา่ งๆ ได้ ดังตาราง

ช่วงเวลา (ชว่ั โมง) อตั ราเรว็ เฉลย่ี (กโิ ลเมตร/ช่วั โมง)

= 0 ถึง = 0.5 5−0 5
0.5 − 0 = 0.5 = 10

= 0.5 ถงึ = 1 20-5 15
1 − 0.5 = 0.5 = 30

= 1 ถึง = 1.5 45-20 25
1 − 0.5 = 0.5 = 50

4) อัตราเร็วเฉลี่ยท่ีหาได้ข้างต้นสามารถใช้ในการพิจารณาว่าในแต่ละช่วงเวลาที่สนใจ รถยนต์เคล่ือนท่ีได้ช้าหรือเร็ว

เพียงใด พจิ ารณาอตั ราเรว็ เฉล่ียในช่วงเวลาสัน้ ๆ ทใ่ี กล้ = 1 ดังตาราตอ่ ไปนี้

ชว่ งเวลา (ช่วั โมง) อตั ราเร็วเฉลยี่ (กิโลเมตร/ช่ัวโมง)

= 1 ถึง = 1.1 (1.1) − (1) 24.2-20
1.1 − 1 = 0.1 = 42

= 1 ถึง = 1.01 (1.01) − (1) 20.402-20
1.01 − 1 = 0.01 = 40.2

= 1 ถงึ = 1.001 (1.001) − (1) 20.04002-20
1.001 − 1 = 0.001 = 40.02

5) ถา้ ให้ ℎ เปน็ จานวนจริงทไ่ี ม่เปน็ ศูนย์ จะไดว้ า่ อัตราเร็วเฉล่ียในชว่ งเวลา = 1 ถงึ = 1 + ℎ คอื

(1+ℎ)− (1) = 20(1+ℎ)2−20(12)
ℎ ℎ

= 20(1+2ℎ+ℎ2)−20
ℎ

= 20ℎ2+40ℎ+20−20
ℎ

= 20ℎ2+40ℎ
ℎ

= 20ℎ + 40

นั่นคอื อัตราเรว็ เฉล่ียในชว่ งเวลา = 1 ถงึ = 1 + ℎ เมอ่ื ℎ ≠ 0 คอื 20ℎ + 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
จะเหน็ ว่ายิ่งชว่ งเวลาสน้ั ลง อัตราเร็วเฉลี่ยจะยง่ิ เข้าใกล้ 40 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง ∎

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 43

ดงั นั้น เมอื่ ℎ นอ้ ยลงจนเขา้ ใกล้ 0 จะได้ อตั ราเรว็ เฉลี่ยในชว่ งเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ คอื

(1+ℎ)− (1) = (20ℎ + 40)
ℎ→0 ℎ
ℎ→0

= (20(0) + 40)

= 40 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง ∎

เรยี กค่าน้วี า่ อตั ราเร็วของรถยนต์ ณ ขณะเวลา = 1

ซ่งึ ในทางปฏิบตั ิ ผู้ขับรถยนตส์ ามารถทราบไดจ้ ากมาตรวดั อัตราเรว็ บนหน้าปัดรถยนต์ ณ ขณะน้นั

ตวั อย่างเชน่ ขา้ งต้น แสดงการหาอตั ราเรว็ เฉล่ีย ซ่ึงคอื อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของระยะทางเทียบกับเวลาในช่วงเวลา

ท่ีสนใจ และการหาอตั ราเร็วขณะเวลาหนึ่ง

ในกรณที ่วั ไป สามารถนิยามอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปล่ียนแปลงขณะหนึ่ง ได้ดงั นี้

∎ บทนยิ าม 5 : ให้ เปน็ ฟงั กช์ ัน และ อยใู่ นโดเมนของ
5.1 อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลีย่ ( ) ของ เทยี บกับ

เม่อื ค่าของ เปล่ียนจาก เปน็ + ℎ คอื ( +ℎ)− ( )
ℎ

5.2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ( ) ของ เทยี บกับ
ขณะที่ = คือ อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลีย่ ( ℎ ) ของ เทียบกบั

เม่ือค่าของ เปลย่ี นจาก เป็น + ℎ คอื ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

ตัวอย่างที่ 31 ในการสบู ลมเข้าลกู บอลลกู หน่ึง ถ้า เป็นปรมิ าตรของลมในลูกบอล (มีหนว่ ยเป็นลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร) และ

เปน็ ความยาวของรศั มขี องลูกบอล (มีหนว่ ยเปน็ เซนตเิ มตร) โดยท่ี = 4 3 แล้ว จงหา
3
31.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรัศมเี ปลีย่ นจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร

31.2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว

ของรัศมีเปลยี่ นจาก เปน็ + ℎ เซนติเมตร

31.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว

9 เซนติเมตร

วิธีทา 31.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรศั มเี ปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร คอื

= (9)− (6) 34 (9)3−43 (6)3

9−6 3
= 4 (93 − 63)
9
= 4 (513)
9
= 228 =
716.3 ∎

31.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เม่ือความยาว

ของรศั มีเปลยี่ นจาก เป็น + ℎ เซนติเมตร คอื

( +ℎ)− ( ) = 1 (4 ( + ℎ)3 − 4 3)
ℎ ℎ3 3
= 1 ⋅ 4 ( 3 + 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − 3)
ℎ3
= 4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2) เมื่อ ℎ ≠ 0 ∎
3
31.3) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปรมิ าตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรศั มยี าว

9 เซนตเิ มตร คอื ( +ℎ)− ( ) = 4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2)
ℎ→0 ℎ ℎ→0 3

= 4 (3 2 + 3 ℎ + ℎ2)
3 ℎ→0
= 4 (3 2) =
3 4 2 ∎

ดังน้ัน อัตราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว 9

เซนติเมตร คอื 4 (92) = 324 ≈ 1,017.9 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ∎

จากตวั อย่างที่ 31 อตั ราการเปล่ียนแปลงเปน็ จานวนจรงิ บวกแสดงว่า เมื่อความยาวของรัศมีของลกู บอลเพิ่มข้ึน ปริมาตร

ของลมในลูกบอลจะเพ่ิมข้ึน

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 44

ตวั อย่างที่ 32 ในการสูบนา้ ออกจากสระ หลงั จากสูบน้าไป นาที มนี า้ เหลอื อยใู่ นสระ ( ) ลูกบาศก์เมตร โดยท่ี

( ) = 6 − 2 เมื่อ ∈ [0 , 2.4] จงหา

32.1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของปริมาตรของน้าในสระเทยี บกับเวลา เมื่อเวลาเปล่ยี นจาก 0 เปน็ 2 นาที

32.2) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของปรมิ าตรของนา้ ในสระเทยี บกับเวลา เมอื่ เวลาเปลี่ยนจาก เปน็ + ℎ นาที

32.3) อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของปรมิ าตรของน้าในสระเทียบกบั เวลา ขณะเวลา 2 นาที

วธิ ที า 32.1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของปรมิ าตรของนา้ ในสระเทียบกบั เวลา เมือ่ เวลาเปลย่ี นจาก 0 เปน็ 2 นาที คอื

(2)− (0) = (6−22)−(6−02)
2−0 2

= −4 ∎
2

= −2

32.2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกับเวลา เมื่อเวลาเปลยี่ นจาก เป็น + ℎ นาที

คอื = ( +ℎ)− ( ) 6−( +ℎ)2−(6− 2)

ℎℎ
= 6−( 2+2 ℎ+ℎ2)−(6− 2)
ℎ
= 6− 2−2 ℎ−ℎ2−6+ 2
ℎ
= −2 ℎ−ℎ2
ℎ
= −2 − ℎ เมื่อ ℎ ≠ 0
∎

32.3) อัตราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของนา้ ในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา = 2 นาที คอื

( +ℎ)− ( ) = (−2 − ℎ)
ℎ→0 ℎ ℎ→0

= (−2 − (0))

= −2 ∎

ดังน้นั อัตราการเปลยี่ นแปลงของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกบั เวลา

ขณะเวลา = 2 นาที คอื (−2)(2) = −4 ลกู บาศก์เมตรต่อนาที ∎

จากตัวอยา่ งที่ 25 อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นจานวนจริงลบแสดงว่า เม่อื เวลาเพิม่ ขน้ึ ปรมิ าตรของน้าในสระจะลดลง

หมายเหตุ : สาหรบั ฟังก์ชัน ถ้าอตั ราการเปล่ียนแปลงของ เทียบกบั เป็นจานวนจรงิ บวก แสดงว่า เมอื่ เพ่ิมขน้ึ ค่าของ

( ) จะเพิม่ ข้ึน แตถ่ ้าอัตราการเปล่ียนแปลงของ เทียบกบั เป็นจานวนจริงลบ แสดงว่า เมอ่ื คา่ เพ่ิมขน้ึ

คา่ ของ ( ) จะลดลง

จากบทนิยาม 2 ถ้าให้ เป็นฟังก์ชันใด ๆ และ อยู่ในโดเมนของ จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ

ขณะท่ี = คอื ( +ℎ)− ( ) ถา้ ลิมติ นหี้ าค่าได้ จะเรยี กคา่ ของลมิ ติ นีว้ ่า อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน ท่ี ดังบทนยิ าม
ℎ→0 ℎ
ตอ่ ไปน้ี

∎ บทนยิ าม 6 : ให้ เปน็ ฟังก์ชัน อนพุ ันธ์ ( ) ของฟงั กช์ ัน ที่ เขียนแทนดว้ ย ′( ) คอื

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

ถ้า ′( ) มีคา่ จะกล่าววา่ ฟงั ก์ชัน มีอนพุ นั ธ์ที่ หรอื ฟังกช์ ัน หาอนุพนั ธ์ไดท้ ่ี

ถ้า ′( ) ไมม่ คี ่า จะกล่าววา่ ฟงั กช์ นั ไมม่ อี นุพันธท์ ่ี หรอื ฟังกช์ ัน หาอนพุ ันธไ์ ม่ได้ท่ี

นอกจากสัญลักษณ์ ′( ) แลว้ ยังมสี ัญลักษณ์อ่ืนๆ ทใ่ี ชแ้ ทนอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั ที่ เช่น เมือ่ กาหนดให้

เปน็ ฟงั ก์ชนั ทนี่ ิยามโดยสมการ = ( ) อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั ท่ี

สามารถเขียนแทนไดส้ ัญลกั ษณ์ (อ่านว่า ดวี ายบายดเี อกซ์) โดยที่ = ′ และสัญลกั ษณ์ ( ) = ′( )

ดังน้ัน ( ) = ′( ) = = ′ = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ ∎

หมายเหตุ : ไมไ่ ด้ หมายถงึ เศษสว่ นทมี่ ตี ัวเศษ คือ คณู และ ตวั ส่วน คือ คณู และ

ไมไ่ ด้ หมายถงึ หารดว้ ย


แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 45

ตัวอย่างที่ 33 กาหนดให้ ( ) = 5 2 + 3 − 1 จงหา ′( )

วธิ ีทา ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

= (5( +ℎ)2+3( +ℎ)−1)−(5 2+3 −1)
ℎ→0 ℎ

= 10 ℎ+5ℎ2+3ℎ
ℎ→0 ℎ

= ℎ(10 +5ℎ+3)
ℎ→0 ℎ
= (10 + 5ℎ + 3)
ℎ→0
= 10 + 5(0) + 3

= 10 + 3 ∎

จากตัวอยา่ งที่ 33 อาจเขียนโดยใชส้ ัญลักษณ์ของอนพุ ันธ์แบบอนื่ ได้ เชน่

= 10 + 3 หรือ ( ) = 10 + 3 หรือ ′ = 10 + 3


ตวั อยา่ งท่ี 34 กาหนดให้ ( ) = 7 − 2 จงหา
วิธีทา
= ( +ℎ)− ( )
ℎ

ℎ→0
(7−2( +ℎ))−(7−2 )
= ℎ
ℎ→0
= −2ℎ
ℎ→0 ℎ
= (−2)
ℎ→0
= −2
∎

เนอื่ งจาก ′( ) = ( +ℎ)− ( ) เป็นอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั ท่ี ใด ๆ
ℎ
ℎ →0
( +ℎ)− ( )
ดังนนั้ สาหรบั ใด ๆ ทอ่ี ยใู่ นโดเมนของ อนุพันธข์ องฟังก์ชัน ท่ี = คอื ′( ) = ℎ →0 ℎ

อาจใชส้ ัญลกั ษณ์ ( ) แทน ′( ) หรอื แทน หรือ ′ |

=
| |

= =

ตัวอย่างที่ 35 กาหนดให้ ( ) = √ + 1 จงหา ′(3)

วธิ ที า ′(3) = (3+ℎ)− (3)
ℎ→0 ℎ

= √4+ℎ−2
ℎ→0 ℎ

= (√4+ℎ−2 ⋅ √4+ℎ+2)
ℎ→0 ℎ √4+ℎ+2

= (ℎ+4)−4
ℎ→0 ℎ(√ℎ+4+2)

= ℎ
ℎ→0 ℎ (√ℎ+4+2)
= 1
ℎ→0 √ℎ+4+2

=1
√(0)+4+2

=1 ∎
√4+2

=1
2+2

=1
4

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 46

ตวั อย่างท่ี 36 กาหนดให้ ( ) = | | จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่ = 0 ∎
∎
วิธีทา ′(0) = (0+ℎ)− (0) ∎
ℎ→0 ℎ

= |ℎ|−|0|
ℎ→0 ℎ
= |ℎ| (โดยนยิ ามคา่ สัมบูรณ์)
ℎ→0 ℎ
เนอื่ งจาก |ℎ| = ℎ = 1 = 1
ℎ→0+ ℎ ℎ→0+ ℎ ℎ→0+
และ |ℎ| = −ℎ = − 1 = −1
ℎ→0− ℎ ℎ→0− ℎ ℎ→0−
จะได้วา่ |ℎ| ≠ |ℎ|
→0+ ℎ →0− ℎ
ดงั นัน้ |ℎ| ไม่มีค่า
→0 ℎ
น่ันคอื ′(0) ไมม่ ีคา่

กจิ กรรมระหวา่ งเรยี น 4 : แบบฝึกหัด 2.3 การหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั โดยใช้บทนิยาม

1. ให้ = 2 2 − 3 จงหา
1.1) อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ เทียบกบั เมื่อค่าของ เปล่ียนจาก 2 เปน็ 2.2

วธิ ที า

1.2) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ยี ของ เทียบกบั เมื่อคา่ ของ เปลี่ยนจาก 2 เปน็ 2.1
วธิ ีทา

1.3) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของ เทียบกบั เม่อื คา่ ของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.01
วธิ ที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 47

1.4) อตั ราการเปล่ียนแปลงของ เทยี บกับ ขณะท่ี = 2
วธิ ีทา

2. ให้ = 1 จงหา

2.1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ เทียบกบั เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 4 เป็น 5

วิธที า

2.2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ เทียบกับ เมื่อคา่ ของ เปลี่ยนจาก 4 เปน็ 4.1
วิธีทา

2.3) อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ เทยี บกับ เมื่อคา่ ของ เปลี่ยนจาก 4 เปน็ 4.01
วธิ ที า

2.4) อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ เทียบกบั ขณะท่ี = 4
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 48

3. จงหา
3.1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ยของพน้ื ทีว่ งกลมเทียบกบั ความยาวของรัศมี เม่อื ความยาวของรัศมีเปลย่ี นจาก

เปน็ + ℎ เซนติเมตร
วิธีทา

3.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพน้ื ที่วงกลมเทียบกบั ความยาวของรศั มี ขณะรศั มียาว เซนตเิ มตร
วธิ ีทา

4. จงหา
4.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพืน้ ที่รปู สเี่ หล่ยี มจัตรุ ัสเทยี บกบั ความยาวดา้ น เมื่อความยาวดา้ นของรูปสเี่ หลยี่ ม

จัตรุ ัสเปล่ียนจาก 10 เป็น 12 เซนตเิ มตร
วิธีทา

4.2) อัตราการเปลย่ี นแปลงของพื้นทรี่ ูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสเทยี บกบั ความยาวดา้ น ขณะด้านยาว 10 เซนตเิ มตร
วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 49

5. จงหา
5.1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียมด้านเท่าเทียบกับความยาวด้าน เม่ือความยาวด้านของรูป

สเี่ หล่ียมจตั ุรัสเปลย่ี นจาก 10 เปน็ 9 เซนติเมตร
วิธที า

5.2) อตั ราการเปลยี่ นแปลงของพนื้ ทีร่ ปู สามเหล่ียมด้านเท่าเทียบกบั ความยาวด้าน ขณะดา้ นยาว 10 เซนตเิ มตร
วิธีทา

6. ใสส่ ารหนงึ่ ลงในนา้ ยา หลงั จากเวลาผา่ นไป นาที สามารถหาปริมาณของสาร (มหี นว่ ยเปน็ กรมั ) ได้จาก = 8
+1
จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ เทยี บกบั ขณะท่ี = 3

วธิ ีทา