แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50

7. ขณะเริ่มต้น กระบอกสูบบรรจุอากาศ 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร และอากาศภายในมีความดัน 15 นิวตันต่อตารางเซนติเมตร
ขณะท่ีกดลูกสูบลง เม่ืออุณหภูมิมีค่าคงตัว ปริมาตรจะลดลง และความดันจะเพิ่มขึ้น ตามสมการ = 6,000 เมื่อ แทน
ความดนั และ แทนปรมิ าตร จงหาอัตราการเปล่ยี นแปลงของ เทยี บกับ ขณะที่ = 100
วธิ ีทา

8. จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรง
8.1) เทียบกับความยาวของรัศมขี องฐาน ขณะรศั มียาว หน่วย เมือ่ สว่ นสูงคงตัว

วธิ ีทา

8.2) เทียบกบั สว่ นสงู ขณะส่วนสูงยาว ℎ หนว่ ย เมอ่ื ความยาวของรศั มีของฐานคงตัว
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51

9. ประจุไฟฟ้าสองประจุอยู่ห่างกัน เมตร และขนาดของแรงระหว่างประจุไฟฟ้า นิวตัน เป็นไปตามสมการ =
2
เมือ่ เปน็ คา่ คงตัวท่ีมากกวา่ ศนู ย์ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ เป็นจานวนจรงิ ที่มากกวา่ 0

วิธีทา

10. ในการหย่อนปะการังเทียมจากเฮลิคอปเตอร์ลงทะเลแห่งหน่ึง ถ้า ( ) แทนความสูงของปะการังเทียมจากระดับน้าทะเล
(มหี น่วยเปน็ เมตร) ณ เวลา (มีหน่วยเปน็ วินาที) จงอธิบายความหมายของสมการ (5) = 0 และ ′(5) = −27
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52

11. จงหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั ต่อไปน้ี
11.1) ( ) = 3 2 และ ′(2)

วิธที า

11.2) ( ) = 3 และ ′(−1)
วิธีทา

11.3) ( ) = 1 และ ′(1)


วธิ ีทา

11.4) 1 และ ′(−1)

( ) = 3

วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53

12. จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ต่อไปน้ี ณ จุดทกี่ าหนดให้
12.1) ( ) = 2 − ท่จี ุดซึ่ง = 0

วิธที า

12.2) ( ) = 2 3 + 1 ท่ีจดุ ซึง่ = 2
วิธที า

12.3) ( ) = 1 ที่จุดซง่ึ = −1
2
วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54

2.4 การหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ันโดยใชส้ ูตร

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยาม 3 ในรูปของลิมิตน้ันค่อนข้างยุ่งยาก ในหัวข้อน้ีจะแสดงวิธีหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชนั ง่ายๆ บางฟังก์ชันโดยใช้บทนยิ ามและทฤษฎีบทเก่ยี วกบั ลิมติ ของฟังกช์ ันท่ไี ด้กลา่ วไวใ้ นหวั ข้อ 2.1 แลว้ สรปุ เป็นสตู รดังนี้

∎ สตู รที่ 1 : ถา้ ( ) = เมื่อ เป็นคา่ คงตวั แลว้ ′( ) = 0

พสิ จู น์ = ′( ) ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
= −
ℎ→0 ℎ
= 0
ℎ→0
=0 ∎

ตวั อยางที่ 37 จงหาอนพันธข์ องฟงั กช์ นั เมื่อกาหนด 37.1) = −5 37.2) ( ) = 1
5
วธิ ที า 37.1) เนื่องจาก = −5

จะได้ = = 37.1) ∎
37.2) ∎

(−5) 0


37.2) เน่อื งจาก ( ) = 1
5
จะได้ = ( ) = (15)
0


∎ สตู รท่ี 2 : ถ้า ( ) = แลว้ ′( ) = 1

พิสจู น์ = ′( ) ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

= +ℎ −
ℎ→0 ℎ
= ℎ
ℎ→0 ℎ
= 1
ℎ→0
=1
∎

ตัวอยางท่ี 38 กาหนด = จงหา

วิธที า เนอ่ื งจาก =

จะได้ = ( ) = ∎

= = ( ) = 1
ขอ้ สงั เกต : รปู ของอนุพนั ธข์ อง = อาจเขียน

∎ สตู รที่ 3 : ถ้า ( ) = เมื่อ เป็นจานวนจริง แล้ว ′( ) = −1

พิสูจน์ จะแสดงเฉพาะกรณที ่ี = โดยที่ เป็นจานวนจริงบวกเท่านัน้ จะไดว้ ่า

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
= ( +ℎ) −
ℎ→0 ℎ
= ( 0 ) ℎ0 + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ( ) − ℎ −
= ℎ→0 ℎ
( 0 ) + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ( ) ℎ −

= ℎ→0 ℎ
−1ℎ + ( 2 ) −2ℎ2 + ( 3 ) −3ℎ3 + … + ℎ

ℎ→0 ℎ
= −1 + ( 2 ) + … + ℎ −1
−2ℎ

ℎ→0
= −1
ℎ→0
= −1
∎

หมายเหตุ : ในกรณีที่ a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ต้องใชแ้ คลคูลสั ระดบั สูงในการพิสูจน์ สตู รที่ 3

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55

ตวั อยางที่ 39 กาหนดให้ ( ) = 5 จงหา 39.1) ′( ) 39.2) ′(−2)
วธิ ีทา 39.1) เนอ่ื งจาก ( ) = 5 39.1) ∎

จะได้ ′( ) = 5 5−1
= 5 4

39.2) จาก ′( ) = 5 4
ดังนั้น ′(−2) = 5(−2)4

= 80 39.2) ∎

ตวั อยางท่ี 40 กาหนดให้ = 1 จงหา 40.1) 40.2) |
3 = −1
40.1) ∎
วิธที า 40.1) เนอ่ื งจาก = 1 = −3 40.2) ∎
3
จะได้ = ( −3)

= −3 −3−1

= −3 −4=

= −3
4
40.2) จาก =
จะได้ = −3
= 4

| −3
(−1)4
= −1
−3

ตวั อยางท่ี 41 กาหนดให้ = √ จงหา 41.1) 41.2) |
= 9

วธิ ีทา 41.1) เนอื่ งจาก = √ = 1 41.1) ∎
จะได้ 41.2) ∎
2

= 1

( 2)

= 1 21−1
2
= 1 −21
2
=1
2√
จาก =1
41.2) 2√

จะได้ | =1
= 9 2√9

=1
6

∎ สูตรท่ี 4 : ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ท่ี แล้ว ( + )′( ) = ′( ) + ′( )

พิสจู น์ ให้ ( ) = ( ) + ( )
′( ) =
( +ℎ)− ( )
= ℎ→0 ℎ

= [ ( +ℎ) + ( +ℎ)] − [ ( )+ ( )]
= ℎ→0 ℎ

+ [ ( +ℎ)−[ ( )] [ ( +ℎ)] −[ ( )]
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ

′( ) + ′( ) ∎

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56

ตัวอยา่ งท่ี 42 กาหนดให้ = 4 + 2 จงหา 42.1) 42.2) | = 1
2


วิธีทา 42.1) เน่ืองจาก = 4 + 2

จะได้ = ( 4) + ( 2)

′ = 4 4−1 + 2 2−1

= 4 3 + 2 1

= 4 3 + 2 42.1) ∎

42.2) จาก = 4 3 + 2

จะได้ = | 4(12)3 + 2(12)
= 1
2
= 1+1
2
=3
2 42.2) ∎

∎ สตู รที่ 5 : ถ้า และ หาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ แล้ว ( − )′( ) = ′( ) − ′( )

พสิ ูจน์ ทานองเดียวกบั การพิสูจนส์ ูตรท่ี 4 โดย

ให้ ( ) = ( ) − ( )

′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
=
= [ ( +ℎ)− ( +ℎ)] − [ ( )− ( )]
= ℎ→0 ℎ

[ ( +ℎ)−[ ( )] − [ ( +ℎ)] −[ ( )]
ℎ ℎ
ℎ→0 ℎ→0

′( ) − ′( ) ∎

ขอ้ สงั เกต จากสูตรที่ 4 และสตู รที่ 5 จะได้ว่า ถ้า = ( ) + ( ) − ℎ( ) เปน็ ฟงั กช์ ันทีห่ าอนุพันธไ์ ด้ท่ี

นน่ั คอื สามารถหา ′( ) , ′( ) , ℎ′( ) ได้ ซ่ึง = ′( ) + ′( ) − ℎ′( )


น่ันคอื จะขยายจานวนฟงั กช์ นั ที่บวกและลบกันเปน็ ก่ฟี ังกช์ ันก็ได้

∎ จากสูตรท่ี 4 และ 5 ถ้า , และ ℎ เป็นฟังกช์ ันทหี่ าอนพุ ันธ์ได้ โดยที่ = ( ) , = ( ) และ = ℎ( )
หาอนพุ นั ธ์ได้ท่ี แล้ว ( ± ± ) = ( ) ± ( ) ± ( )



ตัวอย่างท่ี 43 กาหนดให้ = 6 + 3 − 2 + 4 จงหา 43.1) 43.2) | = −1


วธิ ีทา 43.1) เนอื่ งจาก = 6 + 3 − 2 + 4
จะได้
= 6 + 3 − 2 + 4



′ = 6 6−1 + 3 3−1 − 2 2−1 + 0

= 6 5 + 3 2 − 2 43.1) ∎

43.2) จาก = 6 5 + 3 2 − 2
จะได้ = 6(−1)5 + 3(−1)2 − 2(−1)
= −1
| 43.2) ∎

= −1

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57

∎ สตู รที่ 6 : ถ้า เป็นคา่ คงตัว และฟงั ก์ชนั หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี แลว้ ( )′( ) = ( ′( ))

พสิ ูจน์ ให้ ( ) = ( )
จะได้ ( + ℎ) = ( + ℎ)

′( ) = ( +ℎ)− ( )
= ℎ
ℎ→0
= ( +ℎ)− ( )
= ℎ
=
ℎ→0
( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

( ′( )) ∎

ตวั อย่างที่ 44 กาหนดให้ = 5 2 − 3 จงหา 44.1) 44.2) ′| =2

วิธที า 44.1) เนอ่ื งจาก = 5 2 − 3

จะได้ = (5 2 − 3 )



′ = (5 2) − (3 )

= 5 ( 2) − 3 ( )

= 5(2 ) − 3(1)

= 10 − 3 44.1) ∎

44.2) จาก ′ = 10 − 3

จะได้ ′| =2 = 10(2) − 3 44.2) ∎
= 17

ตวั อยา่ งท่ี 45 กาหนดให้ ( ) = 8 3 − 2 2 + 5 − 7 จงหา 45.1) ′( ) 45.2) ′(1)

วิธที า 45.1) เนอ่ื งจาก ( ) = 8 3 − 2 2 + 5 − 7

จะได้ ( ) = (8 3 − 2 2 + 5 − 7)



′( ) = (8 3) − (2 2) + (5 ) − (7)

= 8 ( 3) − 2 ( 2) + 5 ( ) − (7)

= 8(3 3−1) − 2(2 2−1) + 5(1) − (0)

= 8(3 2) − 2(2 1) + 5

= 24 2 − 4 + 5 45.1) ∎

45.2) จาก ′( ) = 24 2 − 4 + 5

จะได้ ′(1) = 24(1)2 − 4(1) + 5

= 24 − 4 + 5

= 25 45.2) ∎

ตัวอย่างที่ 46 กาหนดให้ ( ) = 2 3 − 4 2 จงหา 46.1) ค่าของ ทท่ี าให้ ′( ) = 0 46.2) ′(1)

วธิ ีทา 46.1) เนอ่ื งจาก ( ) = 2 3 − 4 2

จะได้ ( ) = (2 3 − 4 2)

′( ) = 6 2 − 8

กาหนดให้ ′( ) = 0

จะได้ 6 2 − 8 = 0

หรอื 2 (3 − 4) = 0

นน่ั คอื = 0 หรือ = 4 = 4 46.1) ∎
3
3
ดงั น้นั ค่าของ ท่ที าให้ ′( ) = 0 คอื = 0 หรือ
46.2) จาก ′( ) = 6 2 − 8

จะได้ ′(1) = 6(1)2 − 8(1)

= −2 46.2) ∎

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58

∎ สตู รที่ 7 : ถ้า และ หาอนพุ ันธไ์ ด้ท่ี แลว้
( ∙ )′( ) = ( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( )

พิสูจน์ เนื่องจาก ( ∙ )( ) = ( ) ∙ ( )

จะได้ ( ∙ )′( ) = [ ( +ℎ)∙ ( +ℎ)] − [ ( )∙ ( )]
= ℎ
= ℎ→0
= ( +ℎ)∙ ( +ℎ) − ( +ℎ) ( )+ ( +ℎ) ( )− ( )∙ ( )
= ℎ

ℎ→0
) ( ( + ℎ) ( +ℎ)− ( ) + ( ) ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ ℎ

( ( + ℎ) ( +ℎ)− ( ) + ( ) ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ→0 ℎ

( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( )

ดงั น้นั ( ∙ )′( ) = ( ) ∙ ′( ) + ( ) ∙ ′( ) ∎

∎ จากสูตรท่ี 7 ถ้า และ หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี แลว้ ( ⋅ )′( ) = ( ) ⋅ ′( ) + ( ) ⋅ ′( )
หรือ ถ้า ให้ = ( ) และ = ( ) หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่

แล้ว ( ⋅ ) = ⋅ ( ) + ⋅ ( )


ตัวอยา่ งที่ 47 กาหนดให้ = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5) จงหา 47.1) 47.2) |
= −2
วิธีทา 47.1) เนอ่ื งจาก = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5)

จะได้ = [( 2 − 2 + 3)(2 + 5)]



= ′ ( 2 − 2 + 3) (2 + 5) + (2 + 5) [( 2 − 2 + 3)

= ( 2 − 2 + 3)(2 + 0) + (2 + 5)(2 − 2)

= (2 2 − 4 + 6) + (4 2 + 6 − 10)

= 2 2 − 4 + 6 + 4 2 + 6 − 10

= 6 2 + 2 − 4 47.1) ∎

47.2) เนอื่ งจาก = 6 2 + 2 − 4 47.2) ∎

จะได้ | = −2 = =6(−2)2 + 2(−2) − 4 16

∎ สตู รที่ 8 : ถ้า และ หาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ี่ และ ( ) ≠ 0

=( )′ ( ) ( ) ∙ ′( ) − ( ) ∙ ′( )
[ ( )]2

พิสูจน์ เนือ่ งจาก ( ) ( ) = ( )
( )

= ( +ℎ) − ( )
( )′ ( ) ( +ℎ) ( )

ℎ→0 ℎ

= ( +ℎ) ∙ ( ) − ( ) ∙ ( +ℎ)
ℎ→0 ℎ ∙ ( ) ∙ ( +ℎ)

= ( +ℎ) ∙ ( )− ( ) ∙ ( ) − ( ) ∙ ( +ℎ) + ( ) ∙ ( )
ℎ→0 ℎ ∙ ( ) ∙ ( +ℎ)

( +ℎ) − ( ) ( ( )∙ ( +ℎ) − ( )
ℎ ℎ
= [ ]( ( )∙ ) − )∙
ℎ→0
( ) ∙ ( +ℎ)

= ( ( ) ∙ ( +ℎ) − ( ) ) − ( ( ) ∙ ( +ℎ) − ( ) )∙
ℎ→0 ℎ ℎ
ℎ→0

( ) ∙ ( +ℎ)
ℎ→0
( +ℎ) − ( ) ( +ℎ) − ( )
= ( ( ) ∙ ℎ ) − ( ( ) ∙ ℎ )∙
ℎ→0
ℎ→0

( ) ∙ ( )

= ( ) ∙ ′( ) − ( ) ∙ ′( ) ∎
[ ( )]2

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59

∎ จากสูตรที่ 8 ถ้า และ หาอนพุ ันธ์ไดท้ ี่ แล้ว ( )′′ ( ) = ( )⋅ ′( )− ( )⋅ ′( )
[ ( )]2


หรือ ถ้า ให้ = ( ) และ = ( ) หาอนุพนั ธไ์ ด้ที่

แล้ว ( ) = ⋅ ( )− ⋅ ( )
[ ]2

ตวั อยา่ งท่ี 48 กาหนดให้ = ( ) (2 −1) จงหา 48.1) ′( ) 48.2) ′(−1)
(2 +1)

วิธีทา 48.1) เนื่องจาก ( ) = (2 −1)
(2 +1)

จะได้ = ′( ) (2 −1)
(2 +1)

= (2 +1) ∙ (2 −1) − (2 −1)∙ (2 +1)


(2 +1)2

= (2 +1) ∙ (2−0) − (2 −1) ∙ (2+0)
(2 +1)2

= (2 +1) ∙ (2) − (2 −1) ∙ (2)
(2 +1)2

= (4 +2) − (4 −2)
(2 +1)2

= 4 +2−4 +2
(2 +1)2

=4 48.1)∎
(2 +1)2

48.2) จาก = ′( ) 4
(2 +1)2

จะได้ = ′(−1) 4
(2(−1)+1)2

= 4 48.2)∎

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 5 : แบบฝกึ หดั 2.4 การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันโดยใช้สูตร

1. จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี
1.1) = −3

วิธที า

1.2) = 3 +

3

วธิ ีทา

1.3) = 3 − 3 + 7
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60

1.4) = −5 2 + + 2√ 1
− √
วิธีทา

1.5) = 4 5 − 3 2 − 8
วิธที า

1.6) = (4 2 + − 1)( + 2)
วิธที า

1.7) = ( + 1)( + 2)
วธิ ที า

1.8) = (4 − 2)( 2 + 3)
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61

1.9) = ( 2 + 1)
วิธีทา

1.10) 3+2
=
วิธที า

1.11) 3
= 3 2+1
วิธที า

1.12) = 1+3
1−3
วธิ ที า

1.13) 1
= 12 − 2
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62

1.14) 5−3 2+5 −2
= 2
วธิ ที า

1.15) 5 2+ +3
= √
วธิ ที า

1.16) = (1 − 1 2)(3 3 + 27)

วิธีทา

1.17) 4 +1
= 2−5
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63

1.18) = ( 3 + 2) ( −5 + 1)
วิธีทา

1.19) = 3
√ + 2
วิธีทา

1.20) = (2 7 − 2) ( +−11)
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64

2. จงหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้ ณ จดุ ที่กาหนดให้
2.1) = (2 3 − √1 ) ที่จุดซง่ึ = 1

วธิ ที า

2.2) ( ) = (51 5 − 1 3 + 1 2 − 4 + 5) ทจ่ี ุดซึ่ง =1
3 2
วิธที า

2.3) ( ) = (2 2 − 3 + 1)(x − 2) ท่จี ุดซงึ่ = −1
วิธีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65

2.4) ( ) = ( 2 +−11) ท่จี ุดซ่ึง = 2
วธิ ีทา

3. กาหนดให้ (4) = 3 และ ′(4) = −5 จงหา ′(4) เมือ่
3.1) ( ) = √ ( )

วิธที า

3.2) ( ) = ( )

วธิ ีทา

4. กาหนดให้ (2) = 1 , ′(2) = −1 , (2) = 2 และ ′(2) = 0 จงหา ′(2) เมอ่ื
4.1) ( ) = 2 ( ) + 4 ( )

วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66

4.2) ( ) = ( ) +3 ( )
วธิ ีทา ( )

5. จงหาพหุนามดีกรีสอง ( ) = 2 + + ท่ี (1) = 1 , ′(1) = −1 และ ′(0) = −3
วิธที า

6. ในงานมหกรรมลดราคาไทยช่วยไทย ร้านขายสินค้าหัตถกรรมจากย่านลิเภาร้านหน่ึงได้บันทึกปริมาณสินค้าคงเหลือ (มีหน่วย
เปน็ 100 ชิ้น) ซึง่ สามารถประมาณได้ดว้ ยฟงั กช์ ัน ( ) = 3 +145 เมื่อ แทน จานวนวนั ต้ังแต่เร่มิ ตน้ งานมหกรรมลดราคา

+ 8

6.1) จงหาจานวนสินคา้ ณ เวลาเริ่มตน้ มหกรรมลดราคา
วธิ ที า

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67

6.2) จงหาจานวนสนิ คา้ คงเหลอื และอตั ราการเปล่ียนแปลงของจานวนสินค้าในวันที่ 10
วธิ ีทา

6.3) จงหาจานวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปล่ยี นแปลงของจานวนสินคา้ ในวนั ที่ 15
วิธีทา

6.4) จงหาจานวนสินค้าคงเหลอื และอัตราการเปลย่ี นแปลงของจานวนสนิ ค้าในวันที่ 25
วิธที า

6.5) จงอธบิ ายการขายสนิ ค้าของร้านนี้
วธิ ีทา

7. ในปนี ี้บริษัทขายสนิ ค้าชนิดหนึ่งในราคาช้ินละ 250 บาท โดยขายได้ 200,000 ช้นิ ถา้ ในปตี อ่ ๆ ไป บรษิ ทั ตั้งราคาขายสงู ขึ้นปีละ
10 บาท จะขายสนิ ค้าได้น้อยลงปีละ 6,000 ชน้ิ จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงของรายรับรวมทไ่ี ด้จากการขายสินค้าชนิดนใ้ี นปที ่ี 3
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68

2.5 อนุพันธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ ( )

ในหวั ขอ้ น้ี จะกล่าวถงึ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ซ่งึ เรียกกฎในการหาอนุพนั ธ์นีว้ ่า กฎลกู โซ่ ( ℎ )

∎ สตู รที่ 9 : ถ้า หาอนุพันธ์ได้ท่ี และ หาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ี่ ( ) แลว้

( )′( ) = ′[ ( )] ∙ ′( )

จากสูตรที่ 9 สามารถเขียนไดอ้ ีกรูปแบบหนงึ่ ดงั นี้

ถ้า = ( ) แล้วให้ = ( ) จะได้ว่า = [ ( )] = [ ]

ดังนัน้ = ( )′( )



= ′[ ( )] ∙ ′( )

= ′[ ] ∙ ′( )

= [ ] ∙ เม่ือ = ( ) และ = [ ]


= ∙


น่นั คือ ถ้า เปน็ ฟังก์ชันของ และ เปน็ ฟงั ก์ชันของ และสามารถหาอนุพันธ์ได้ นั่นคอื หา และ ได้

แล้ว = ∙


ตัวอย่างท่ี 49 กาหนดให้ ( ) = (2 − 1)5 จงหา 49.1) ′( ) 49.2) ( )′(2)

วธิ ที า 49.1) ให้ = 2 − 1 จะได้ = ( ) = (2 − 1)5 = 5

โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 5 และ = 2 − 1 จะได้

= ( 5) ∙ (2 − 1)

= 5( 5−1) ∙ (2 − 0)

= 5( 4) ∙ (2)

= 10( 4) แทน = 2 − 1 จะได้

= 10(2 − 1)4 แทน = 2 − 1 จะได้

= 10(2 − 1)4

น่ันคือ ′( ) = 10(2 − 1)4 49.1) ∎

49.2) จาก ′( ) = 10(2 − 1)4

จะได้ ′(2) = 10(2(2) − 1)4

= 10(3)4

= 810 49.2) ∎

ตวั อย่างท่ี 50 กาหนดให้ = √1 − 3 2 จงหา 50.1) 50.2) ได้ |
= −1
1 1
วิธที า 50.1) ให้ = 1 − 3 2 จะได้ = √1 − 3 2 = (1 − =
3 2)2 2

โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 และ = 1 − 3 2 จะได้

2

= 1 ∙ (1 − 3 2)

( 2)

= 1 ( 12−1) ∙ (0 − 6 )
2
1
= 1 ( − ∙ (−6 )
2)
2
1
= ∙ (−6 )
1

2 2
= −6
1

2 2
−3
= แทน = 1 − 3 2 จะได้
1

นัน่ คือ 2 50.1) ∎

= −3
√1−3 2

= −3
√1−3 2

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69

50.2) จาก = −3
ได้ √1−3 2
= | −3(−1)
= −1 √1−3(−1)2

=3
√−2
ที่ = −1 ไมม่ จี านวนจรงิ เปน็ คาตอบ 50.2) ∎

ตวั อยา่ งที่ 51 กาหนดให้ = 1 จงหา 51.1) 51.2) ได้ |
3√2 2−1 = 1

วิธีทา 51.1) ให้ = 2 2 − 1 จะได้ = 1 = 1 = (2 2 − 1)− 1 = −13
3√2 2−1 3
1
(2 2−1)3

โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = − 1 และ = 2 2 − 1 จะได้
3

= 1 ∙ (2 2 − 1)

( 2)

= − 1 ( −31−1) ∙ (4 − 0)
3
4
= − 1 ( − ∙ (4 )
3)
3
= −4 แทน = 1 − 3 2 จะได้
4

3 ∙ 3
= −4
4
3 ∙ (1−3 2) 3

= −4
3 ∙ 3√(2 2−1)4

น่ันคอื = −4 51.1) ∎
3 ∙ 3√(2 2−1)4

51.2) จาก = −4
3 ∙ 3√(2 2−1)4

ได้ = | = 1 −4(1)
3 ∙ 3√(2(1)2−1)4

= −4
3 ∙ 3√(1)4

= −4 51.2) ∎
3

ตัวอยา่ งที่ 52 กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( )

จงหา ′(3) เม่อื (1) = 3 , (3) = 1 , ′(1) = 4 และ ′(3) = 5

วธิ ที า เนือ่ งจากโจทย์ต้องการทราบ ′(3) เราจึงตอ้ งหา ′( )

จากกาหนดให้ ( ) = ( ( ))

โดยกฎลกู โซ่ จะได้ ′( ) = ′( ( )) ∙ ′( ) ………………… (1)

และจากกาหนดให้ ( ) = ( ) โดยสูตรการหาอนุพนั ธ์ของผลคูณของฟังกช์ นั จะได้

′( ) = ∙ ( ) + ( ) ∙ ( )

= ∙ ′( ) + ( ) ∙ (1)

ดงั นน้ั ′( ) = ∙ ′( ) + ( ) ………………… (2)

จาก (1) ′( ) = ′( ( )) ∙ ′( )

จะได้ ′(3) = ′( (3)) ∙ ′(3) แทนค่า (3) = 1 , ′(3) = 5 จะได้

นัน่ คอื ได้ = ′(1) ∙ (5) ………………… (3)
′(3) = ′(1) ∙ (5)

หาค่า ′(1) จาก (2) ′( ) = ∙ ′( ) + ( )

จะได้ ′(1) = (1) ∙ ′(1) + (1) แทนคา่ (1) = 3 , ′(1) = 4 จะได้

= (1) ∙ (4) + (3)

=7

นนั่ คอื ′(1) = 7 แทนใน (3)

จาก (3) ′(3) = ′(1) ∙ (5)

= (7) ∙ (5)

= 35 . ∎

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 6 : แบบฝึกหดั 2.5 อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันประกอบ ( )

1. จงหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปน้ี 1.2.2) | = 1
1.1) = (2 − 3)5 จงหา 1.1.1)

วธิ ที า

1.2) = (1 − 3 )3 จงหา 1.2.1) 1.2.2) |
= 2

วิธที า

1.3) = (3 − 4 2)4 จงหา 1.3.1) 1.3.2) |
= 1

วิธที า

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71

1.4) = (2 − 3 + 4 2)3 จงหา 1.4.1) 1.4.2) |
= 2

วธิ ีทา

1.5) = ( 3 − 2 )3 จงหา 1.5.1) 1.5.2) |
= 1

วิธที า

1.6) = √1 − 2 จงหา 1.6.1) 1.6.2) |
= 2

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72

1.7) = √3 2 + 2 จงหา 1.7.1) 1.7.2) |

วิธีทา = 1

1.8) = 3√ 2 − 3 จงหา 1.8.1) 1.8.2) |
= 2

วิธีทา

1.9) = (2 2 − 1)−3 จงหา 1.9.1) 1.9.2) |
= 1

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73

1.10) = 1 จงหา 1.10.1) 1.10.2) |
( 2−3 +2)2 = 2

วิธีทา

1.11) = 1 จงหา 1.11.1) 1.11.2) |
√ 2+2 = 1

วธิ ที า

1.12) = 1 จงหา 1.12.1) 1.12.2) |
3√ 2−2 +3 = 2

วธิ ที า

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74

1.13) = ( − 3)3(2 + 1) จงหา 1.13.1) 1.13.2) |
วิธีทา = 1

1.14) = (2 +1)3 จงหา 1.14.1) 1.14.2) |
วธิ ที า 1−2 = 2

1.15) = (2 +3)3 จงหา 1.15.1) 1.15.2) |
วธิ ที า (4 2−1)8 = 1

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75

2. กาหนดให้ ( ) = และ ( ) = √3 − 1 จงหา ′( ) เมอื่ ( ) = ( ( ))
2+1
วธิ ีทา

3. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) จงหา ′(2)
เม่ือ (2) = 4 , ′(2) = 5 , ′(2) = 6 และ ′(4) = 9

วิธที า

4. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( ) จงหา ′(2)

เม่อื (2) = 3 , (3) = 2 , ′(2) = 9 และ ′(3) = 8

วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76

5. กาหนดให้ ( ) = 300 2 และ ( ) = 2√ − 20 จงหา
1+ 2
5.1) และ

วิธีทา

5.2) |
= 2

วิธีทา

6. ถ้าจานวนแบคทเี รยี ท่พี บในชั่วโมงที่ (มหี น่วยเป็นเซลล์) หาได้จาก ( ) = ( + 10)5
จงหา พรอ้ มทั้งอธิบายความหมาย



วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77

7. วนดิ าฝากเงิน 1 ลา้ นบาท เพือ่ เป็นทุนการศึกษาของหลานสาว ถา้ ธนาคารกาหนดอัตราดอกเบ้ีย % ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบี้ย
แบบทบตน้ ทกุ เดือน เมือ่ ฝากเงนิ ครบ 18 ปี จานวนเงนิ ในบญั ชขี องวนิดาหาได้จาก ( ) = 106 (1 + )216 จงหาอัตรา

1,200

การเปล่ียนแปลงของจานวนเงินในบญั ชขี องวนดิ า เทยี บกบั อัตราดอกเบีย้ ขณะอัตราอกเบ้ยี เป็น 1.5 % , 2.5 % และ 3 % ตอ่ ปี
วิธีทา

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78

2.6 เสน้ สมั ผสั เส้นโคง้

จากท่ที ราบมาแล้ววา่ เส้นสัมผัสของวงกลมยอ่ มต้งั ฉากกับรัศมีซงึ่ ลากมายงั จุดสมั ผัส ดังรูปที่ 15

รปู ท่ี 15

สาหรบั เส้นโค้งใด ๆ จะสามารถหาเสน้ สัมผัสไดด้ งั น้ี

กาหนดเส้นโค้งซ่ึงเป็นกราฟของฟงั ก์ชัน = ( )

ให้ = ( , ( )) และ ( + ℎ , ( + ℎ)) เปน็ จดุ บนเส้นโคง้ โดยที่ ℎ ≠ 0

ความชันของเส้นตรงทีผ่ ่านจดุ และ คอื = ( +ℎ)− ( ) ( +ℎ)− ( ) ซ่งึ คือ อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ย
( +ℎ)−( ) ℎ

ของ เทยี บกับ เมื่อค่าของ เปลย่ี นจาก เป็น + ℎ

1) กรณี ℎ > 0 เมื่อ ℎ เข้าใกล้ 0 พิจารณาจุด 1 , 2 , 3 , … บนเส้นโค้ง = ( ) ที่เข้าใกล้จุด

ทางขวา มากข้ึนเรื่อย ๆ ดงั รูป ที่ 16

รปู ท่ี 16

2) กรณี ℎ < 0 เม่ือ ℎ เข้าใกล้ 0 พิจารณาจดุ ′ , ′′ , ′′′ , … บนเส้นโคง้ = ( ) ทเ่ี ข้าใกล้จุด
ทางซา้ ย มากขึน้ เรอื่ ย ๆ ดงั รูปท่ี 17

รปู ที่ 17

จะไดว้ ่า เสน้ ตรง 1 , 2 , 3 , … และเส้นตรง ′ , ′′ , ′′′ , … จะเขา้ ใกลเ้ สน้ ตรงหนง่ึ เส้นซึ่ง
ผ่านจดุ เรียกเสน้ ตรงเส้นน้ีวา่ เส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ที่จดุ ดงั รูปที่ 18

รปู ท่ี 18 ( +ℎ)− ( ) ซึ่งคอื อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั
ดงั นน้ั ความชนั ของเส้นสัมผัสเส้นโค้งท่ีจดุ จะเท่ากบั ℎ→0 ℎ

ท่ี = หรอื ′( )

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79

สัญลกั ษณท์ ีใ่ ชเ้ จาะจงตาแหน่งอนุพันธ์ ( ) ของฟังก์ชนั = ( ) ที่ = 3 จะใช้สญั ลักษณ์ คือ |
=
หรือ ′| = หรือ คือ ( )| หรือ หรือ ( +ℎ)− ( ) และนอกจากนั้นอนุพันธ์น้ีเรายังเรียกว่าเป็นค่า
′( ) ℎ→0 ℎ
=
ความชัน ( ) ของกราฟ = ( ) ณ จดุ นน้ั ๆ ด้วย

∎ บทนิยาม 7 : ถา้ เสน้ โคง้ เป็นกราฟของ = ( ) มีเส้นสัมผัสเส้นโค้งทจ่ี ุด ( , ) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ

และมคี วามชนั ( ) เท่ากับ ( +ℎ)− ( ) (ถ้าลิมติ หาค่าได้)
ℎ
ℎ→0

∎ จากนิยาม 7 กาหนดเส้นโคง้ กราฟ = ( ) จะไดว้ ่า

1) ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จดุ ( , ) หมายถงึ ความชันของเส้นสัมผัสโคง้ [เสน้ ตรง] ณ จุด

2) ความชัน ( m ) ของเส้นโค้ง ณ จดุ P(x1 , y1) คือ | = 1 = ( +ℎ)− ( )
ℎ
ℎ→0
3) สมการเส้นสัมผัสโคง้ [สมการเส้นตรง] ทส่ี มั ผัสเสน้ โค้ง = ( ) ณ จดุ ( 1, 1) คอื
ความชัน ( ) − 1 จะไดส้ มการเสน้ ตรง
= − 1 − 1 = ( − 1)

ซง่ึ เราจัดสมการเส้นสมั ผัสโค้ง (สมการเส้นตรง) นใี้ นรปู = + หรือ + + = 0 ได้

ตวั อยา่ งที่ 53. กาหนดเส้นโคง้ สมการ = 2 2 − 2 − 4 จงหา

53.1) สมการความชัน ( m ) และความชันของเสน้ สมั ผัสโค้งที่จดุ = 1

53.2) สมการของเสน้ สัมผัสโคง้ [สมการเส้นตรง] ท่ีจุด (1 , −4)

วิธีทา 53.1) จาก เส้นโค้งสมการ = 2 2 − 2 − 4

A) หาอนุพนั ธ์ จะได้สมการความชนั = (2 2 − 2 − 4)

′ = 4 − 2 53.1A ∎

B) หาความชันของเสน้ สัมผสั โคง้ ท่ีจดุ = 1

′| =1 = 4(1) − 2 = 2 53.1B ∎

53.2) สมการของเสน้ สัมผัสโคง้ [สมการเส้นตรง] ท่ีจดุ (1 , −4) = ( 1, 1)

จากสมการเสน้ สัมผัสโค้ง [สมการเสน้ ตรง] ท่ีสมั ผสั เส้นโค้ง = ( )

ณ จุด ( 1, 1) คอื สมการเสน้ ตรง − 1 = ( − 1)

แทนคา่ − (−4) = (2)( − 1)

+ 4 = 2 − 2

= 2 − 6

นน่ั คอื สมการของเสน้ สัมผสั โคง้ [สมการเส้นตรง] ทีจ่ ุด (1 , −4)

คอื = 2 − 6 หรอื − 2 + 6 = 0 53.2∎

∎ บทนิยาม 8 : กาหนดเส้นโคง้ ซง่ึ เป็นกราฟของฟงั ก์ชัน = ( ) และ = ( , ( )) เปน็ จุดบนเส้นโค้ง เส้นสัมผัส
เสน้ โคง้ ทีจ่ ุด = ( , ( )) คอื เสน้ ตรงที่ผ่านจุด และความชันเท่ากับ ′( ) จะเรียกความชันของ
เส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ที่จุด วา่ ความชนั ของเสน้ โค้งทีจ่ ุด

ตวั อย่างที่ 54 จงหาความชนั ของเส้นโคง้ = 1 ท่จี ุด (3 , 1)
3
วธิ ีทา จาก = ( ) = 1

โดยกฎลูกโซ่ จะได้สมการความชัน ′( ) = (1)

= ( −1)

= (−1) −2

=− 1
2
ดังนนั้ ความชนั ของเส้นโค้ง ท่ีจดุ (3 , 1) คอื
3
= = ′(3) 1 −1
− (3)2 54. ∎
9

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80

ตวั อยา่ งท่ี 55 กาหนดสมการวงกลม 2 + 2 = 25 จงหา

55.1) ความชนั ของเส้นสัมผสั วงกลมท่ีจุด ( −3 , 4 )

55.2) สมการของเสน้ สมั ผสั วงกลมที่จุด ( −3 , 4 )

วิธีทา 55.1) จากสมการวงกลม 2 + 2 = 25

จะได้ = ±√25 − 2

เนอ่ื งจากจุดทีต่ อ้ งการหาความชันคอื จุด ( −3 , 4 )

ดังน้นั ตอ้ งใชส้ มการ = √25 − 2

ให้ = 25 − 2 ดงั นั้น 1

= 2

โดยกฎลกู โซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 และ = 25 − 2 จะได้

2

= 1 ∙ (25 − 2)

( 2)

= 1 ( 21−1) ∙ (0 − 2 )
2
1
= 1 ( − ∙ (−2 )
2)
2
1
= ∙ (−2 )
1

2 2
= −2
1

= 2− 2 แทน = 25 − 2 จะได้

1

= 2

−

√25− 2

นนั่ คือสมการความชัน = −
√25− 2

ดงั นนั้ ความชนั ของเสน้ สมั ผัสวงกลมทจ่ี ุด (−3 , 4 ) คือ | = −(−3) = 3 = 3 55.1) ∎
= −3 √25−(−3)2 √16 4

55.2) สมการของเสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด ( 1 , 1) และมคี วามชนั คอื − 1 = ( − 1 )

เนอื่ งจากเสน้ สมั ผัสวงกลมท่ีจุด (−3 , 4 ) เปน็ เส้นตรงที่ผ่านจุด (−3 , 4 ) และมีความชนั 3
4
3
ดงั นั้น สมการของเสน้ สมั ผสั วงกลมทจี่ ุด (−3 , 4 ) คอื − 4 = 4 ( − (−3))

หรือ = 3 + 25 55.2) ∎
4 4

หมายเหตุ : นกั เรียนอาจหาสมการของเสน้ สมั ผัสวงกลม โดยใช้ความรู้เรื่องเขาคณิตวิเคราะห์เบอ้ื งต้นทีไ่ ด้ศึกษามาแลว้ ซง่ึ จะ
ได้คาตอบเปน็ สมการเดยี วกัน

ตวั อยา่ งท่ี 56 จงหาจุดบนเส้นโคง้ = 3 − 12 ทัง้ หมดที่ทาให้เสน้ สัมผสั เสน้ โค้งที่จุดเหล่านี้ขนานกบั แกน

วิธที า เส้นสมั ผัสเส้นโค้ง = 3 − 12 ที่จุด ( , ) ใด ๆ

มคี วามชันเทา่ กับ = ( 3 − 12 )



= 3 2 − 12

ต้องการให้เส้นสัมผัสเสน้ โคง้ ขนานกับแกน

นน่ั คอื เสน้ สมั ผัสเส้นโค้งตอ้ งมีความชนั เป็นศูนย์

จะได้ 3 2 − 12 = 0

2 − 4 = 0

( − 2)( + 2) = 0

ดงั นัน้ = 2 หรอื = −2

เมอื่ = 2 จะได้ = (2)3 − 12(2) = −16

และเมื่อ = −2 จะได้ = (−2)3 − 12(−2) = 16

ดังนน้ั จดุ บนเส้นโคง้ ทีเ่ สน้ สัมผสั เสน้ โค้งที่จดุ นัน้ ขนานกบั แกน คือ (−2 ,16 ) และ (2 , −16 ) 56. ∎

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81

ตวั อยา่ งท่ี 57 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเสน้ โคง้ = √ ที่จดุ = 4

วธิ ที า เส้นสมั ผัสเส้นโค้ง = √ ทจ่ี ดุ ( , ) ใด ๆ

มีความชันเทา่ กบั = (√ )

( 12)

=

= 1 12−1
2
= 1 −21
2
=1
2√
เมือ่ = 4 จะได้ = √4 = 2

และ ความชนั ของเสน้ สัมผัสของเสน้ สัมผสั โคง้ ทีจ่ ุด = 4 คือ | = 1 = 1 57.1 ∎
2√4 4
= 4
และสมการของเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด ( 1 , 1) และมคี วามชนั คือ − 1 = ( − 1 )
1
ดงั นัน้ เส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ท่ี = 4 เปน็ เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ (4, 2) และมีความชันเปน็ 4 คอื

− 2 = 1 ( − 4)
4
หรือ 4 − 8 = − 4

หรือ − 4 + 4 = 0 57.2) ∎

หมายเหตุ : การเขียนสมการเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง (สมการเสน้ ตรง) สามารถเขียนไดใ้ น 2 รูปแบบคือ

รูป = + หรือ รูป + + = 0

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 7 : แบบฝึกหดั 2.6 เสน้ สมั ผสั โค้ง

1. จงหาความชันของเสน้ โค้งตอ่ ไปน้ี ณ จดุ กาหนดให้ และหาสมการของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง ณ จุดน้นั
1.1) = 2 − 3 ท่ีจดุ (3 , 0)

วธิ ีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82

1.2) = 5 2 − 6 ท่ีจดุ (2 , 14)
วิธีทา

1.3) = − 2 ทจ่ี ุดซง่ึ = 1
2
วิธีทา

1.4) = 2+2 ที่จดุ ซง่ึ = 1


วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83

1.5) = 3√3 2 − 4 ท่ีจุด (−2 , 2)
วธิ ที า

1.6) = 5 ท่ีจุด (3 , 1)
( 2− −1)2 5

วธิ ที า

2. ถ้ากราฟของ = ขนานกับเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง = 3 2 + 8 ท่จี ดุ (1 ,11) แลว้ จงหา
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84

3. จงเขยี นตวั อยา่ งของเสน้ ตรง 1 , 2 , 3 และกราฟของฟงั ก์ชนั f , g และ h บนช่วง [−2 , 2] บนระบบพิกัดฉากที่

สอดคล้องกบั เง่ือนไขตอ่ ไปนี้
3.1) 1 สัมผัสเส้นโค้ง = ( ) ที่จดุ ( −1 , 2) และ 1 ตดั กบั เสน้ โค้ง = ( ) หน่งึ จุดท่ีจุด ( 1 , 1)

วิธที า

3.2) 2 เป็นเส้นตรงทมี่ ีความชันเท่ากับ 0 โดยท่ี 2 สัมผัสเสน้ โค้ง = ( ) ทจ่ี ุดสองจดุ และตัดกับเสน้ โคง้
= ( ) ที่จดุ หนง่ึ จุด
วธิ ที า

3.3) 3 สมั ผสั เสน้ โค้ง = ℎ( ) ทีจ่ ดุ หนง่ึ จุดในชว่ ง [−2 , −1) และสมั ผัสทท่ี ุกจดุ ในช่วง (−1 , 1) แต่ตดั
กับเสน้ โค้ง = ℎ( ) ท่ีจดุ สองจุดในช่วง ( 1 , 2]
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85

4. กาหนดสมการของเส้นสัมผสั เส้นโค้ง = ( ) ทีจ่ ุด ( 2 , 5) คอื 3 − = 1 จงหา ′(2)
วิธีทา

5. กาหนดให้ (3) = −1 และ ′(3) = 5 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเส้นโค้ง = ( ) ที่ = 3
วธิ ที า

6. ถ้าเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ มคี วามชนั เปน็ 3 และสัมผสั เสน้ โค้ง = − + 2 ทจี่ ุด ( , ) แลว้ จงหา และ
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86

7. ถา้ เสน้ ตรง = + ขนานกับเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ = 3 2 − 5 ท่ีจดุ ( 1 , −2) แลว้ จงหา และ
วิธีทา

8. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด ( 2 , 3) และขนานกับเส้นสัมผสั เส้นโค้ง = 3 ที่จุด ( 1 , 1)
วิธที า

9. จงหาจดุ บนเส้นโค้ง = 3 − 3 ทัง้ หมดท่ีทาใหเ้ ส้นสัมผัสเสน้ โค้งทจ่ี ดุ เหลา่ นข้ี นานกบั แกน
วิธที า

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87

10. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีมีความชนั เป็น 1 และสมั ผัสเสน้ โค้ง = 4
2

วธิ ีทา

11. จงหา และ ท่ีทาใหเ้ สน้ ตรง 4 + = สมั ผัสเส้นโค้ง = 2 ท่ี = 2
วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88

2.7 อนพุ นั ธ์อันดับสูง ( )

จากหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั ในหวั ขอ้ ทีผ่ า่ นมา จะพบว่า ถ้าให้ = ( ) เปน็ ฟังก์ชนั ทสี่ ามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้วจะได้
= ′( ) เปน็ ฟงั ก์ชนั เชน่ กัน ซง่ึ จะสามารถนาฟงั กช์ นั ′ ไปหาอนุพันธต์ อ่ ไดอ้ กี ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 58 กาหนดให้ ( ) = 5 3 − 6 2 + 2 − 3

58.1) จงหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน ที่ ใด ๆ

58.2) จงหาอนุพนั ธ์อันดับสองของฟังก์ชนั ที่ ใด ๆ

58.3) จงหา ′′(2)

วิธีทา 58.1) จาก ( ) = 5 3 − 6 2 + 2 − 3

หาอนพุ ันธ์อนั ดับ 1 ของ จะได้ ( ) = (5 3 − 6 2 + 2 − 3)

หรือ ′( ) = 15 2 − 12 + 2

ดังน้ันอนุพันธข์ องฟังกช์ นั ท่ี ใด ๆ คือ ′( ) = 15 2 − 12 + 2 58.1 ∎

58.2) จาก ′( ) = 15 2 − 12 + 2 57.2 ∎
57.3 ∎
หาอนุพนั ธ์อนั ดบั 2 ของ จะได้ ′( ) = (15 2 − 12 + 2)

หรอื ′′( ) = 30 − 12

ดงั นน้ั อนุพันธอ์ นั ดับสองของฟังก์ชนั ที่ ใด ๆ คอื ′′( ) = 30 − 12

57.3) จาก ′′( ) = 30 − 12

จะได้ ′′(2) = 30(2) − 12 = 48

จากตวั อย่างท่ี 58 จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน สามารถนาไปหาอนพุ ันธต์ ่อได้อกี ซ่ึงจะเรียกผลลพั ธ์น้วี า่ อนุพนั ธ์
อันดับท่ี 2 ดงั บทนยิ ามตอ่ ไปน้ี

∎ บทนิยาม 9 : ให้ เปน็ ฟงั กช์ ันทส่ี ามารถหาอนพุ ันธไ์ ด้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชนั ท่ี x เปน็ ฟังก์ชนั ที่สามารถ
หาอนุพันธไ์ ด้ จะเรยี กอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ′ ที่ ว่า อนพุ ันธ์อันดับที่ 2 ( )
ของฟงั กช์ นั ที่ และเขยี นแทนด้วย ′′( )

นอกจากสญั ลักษณ์ ′′( ) แลว้ ยงั มสี ัญลกั ษณอ์ นื่ ๆ ท่ใี ชแ้ ทน อนุพนั ธอ์ นั ดับท่ี 2 ของฟังก์ชนั ท่ี

เช่น 2 , 2 ( ) หรือ ′′
2 2

ตัวอยา่ งที่ 59 กาหนดให้ ( ) = 2 + 2 − 2 จงหา 59.1) ′( ) 59.2) ′′( ) 59.3) ′′(1)

วิธีทา 59.1) จาก 2
( ) = 2 + 2 −

หาอนพุ ันธ์อนั ดับ 1 ของ จะได้ ( ) = ( 2 + 2 − 2)


= (2 2 + 2 − 2 −1)

หรอื ′( ) = 2 + 2 −2

ดังนนั้ อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั ท่ี ใด ๆ คือ ′( ) = 2 + 2 −2 59.1 ∎

59.2) จาก ′( ) = 2 + 2 −2

หาอนุพนั ธอ์ ันดบั 2 ของ จะได้ ′( ) = (2 + 2 −2)

หรือ ′′( ) = 2 − 4 −3

= 2 − 4
3
ดังนั้นอนพุ ันธ์อนั ดับสองของฟังก์ชนั ท่ี ใด ๆ คอื 4 59.2 ∎
′′( ) = 2 − 3 59.3 ∎

59.3) จาก ′′( ) = 2 − 4
3
จะได้ 4
′′(2) = 2 − (1) = −2

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89

ในทานองเดยี วกัน สามารถกล่าวถงึ อนพุ นั ธ์อนั ดับอน่ื ได้ดงั นี้

อนพุ ันธอ์ ันดับท่ี 2 ของ เป็นอนุพนั ธข์ องอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 1 ของ
อนุพนั ธอ์ นั ดับที่ 3 ของ เปน็ อนพุ นั ธ์ของอนพุ ันธ์อนั ดบั ที่ 2 ของ
อนพุ ันธอ์ นั ดบั ท่ี 4 ของ เปน็ อนพุ ันธ์ของอนพุ นั ธอ์ ันดบั ท่ี 3 ของ



อนพุ นั ธ์อนั ดับที่ n ของ เปน็ อนุพนั ธข์ องอนุพนั ธ์อันดับที่ − 1 ของ
เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ดงั น้ี

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 2 ของ ท่ี x เขียนแทนดว้ ย ′′( ) หรือ 2 หรือ ′′
อนุพนั ธอ์ ันดบั ท่ี 3 ของ ท่ี x เขียนแทนด้วย ′′′( ) หรือ 2 หรือ ′′′
อนพุ นั ธอ์ ันดบั ท่ี 4 ของ ที่ x เขียนแทนดว้ ย (4)( ) หรอื 3 หรอื (4)
3
4
4



อนพุ ันธอ์ ันดบั ท่ี n ของ ที่ x เขียนแทนด้วย ( )( ) หรอื หรือ ( )



ตวั อยา่ งที่ 60 จงหาอนุพนั ธอ์ นั ดับท่ี 4 ของ ( ) = 5 4 + 2 3 − + 2 จงหา 60.1) ′′′ (21) และ 60.2) (4)(5)
วิธที า 60.1) จาก
( ) = 5 4 + 2 3 − + 2

จะได้ ′( ) = 20 3 + 6 2 − 1

′′( ) = 60 2 + 12

′′′( ) = 120 + 12

ดังนัน้ ′′′ (1) = 120(1) + 12 = 72 60.1 ∎
22

60.2) และจาก ′′′( ) = 120 + 12 60.2 ∎
จะได้ (4)( ) = 120
ดังน้นั (4)(5) = 120

ตวั อยา่ งท่ี 61 จงหา ′′(−1) เมื่อ ( ) = 1
2 +1
วธิ ที า จาก ( ) = 1 = (2 + 1)−1
2 +10

จะได้ ′( ) (2 + 1)−1 โดยกฎลกู โซ่ จะได้

= −1 (2 + 1)−2 (2 + 1)

= −1 (2 + 1)−2(2)

= −2 (2 + 1)−2

และ ′′( ) = −2(−2) (2 + 1)−3 (2 + 1)

= 4 (2 + 1)−3 (2)

= 8 (2 + 1)−3

= 8
(2 +1)3

ดงั น้นั ′′(−1) = 8
(2(−1)+1)3

= −8 61. ∎

เน่ืองจากอัตราการเปล่ียนแปลงของ = ( ) เทียบกับ ขณะ ใด ๆ คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่
ดงั น้ัน อนุพันธอ์ ันดบั ที่ 2 ของ ท่ี คอื อตั ราการเปล่ียนแปลงของ = ′( ) เทียบกับ ขณะ ใด ๆ

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90

กิจกรรมระหวา่ งเรียน 8 : แบบฝึกหดั 2.7 อนุพันธ์อันดบั สูง

1. จงหาอนุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ี 2 และ ′′(−1) ของฟังกช์ ันตอ่ ไปน้ี
1.1) ( ) = 5 2 − 4 + 2

วธิ ที า

1.2) ( ) = 5 + 2 + 4 3 − 3 5
วิธที า

1.3) ( ) = 3 4 + 2 + √ − 5
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91

1.4) ( ) = 3√ − 2 + 4 2

วธิ ที า

1.5) ( ) = (5 2 − 3)(7 3 + )
วธิ ที า

1.6) ( ) = +1


วิธีทา

1.7) ( ) = 3 −2
5

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92

2. จงหาอนพุ ันธ์อันดับท่ี 3 และ ′′′(1) ของฟงั กช์ นั ต่อไปนี้
2.1) ( ) = −5 + 5

วธิ ที า

2.2) ( ) = 5 2 − 4 + 7
วิธที า

2.3) ( ) = 3 −2 + 4 −1 +
วิธีทา

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93

2.4) ( ) =
+1

วิธีทา

3. จงหา ′′′(2) เมอื่ ( ) = 3 2 − 2
วิธที า

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94

4. กาหนดให้ = 6 จงหา 4
4 4
วธิ ที า

5. กาหนดให้ ( ) = 1 จงหา ( )( ) เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ
1−

วิธีทา

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95

∎ 2.7.1 อนุพันธข์ องฟังก์ชนั โดยปรยิ าย ( ) หรืออนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันแฝง

1. ฟงั ก์ชันทีอ่ ยูใ่ นรูป = ( ) เรียกว่า ฟังกช์ ันชัดเจน ( ) คือ ฟังก์ชนั ท่รี ูอ้ ย่างชดั เจนว่า อยู่ใน

รูปของ เชน่ = 12 2 + 4 , = 5 3 + 3 2 − 1

2. ฟังก์ชันโดยปริยาย หรือ ฟังก์ชันแฝง ( ) คือ ฟังก์ชันที่เราไม่รู้อย่างชัดเจนว่า ตัวแปรใดเป็นตัว

แปรอิสระ โดยทฟี่ งั ก์ชนั เหลา่ นจี้ ะอย่ใู นรูป ( , ) = 0 หรอื ( , ) =

,เช่น 2 + 2 = 4 4 + 5 6 = 3 , 8 − 4 6 + 3 2 + 2 + 8 = 0 เป็นต้น

3. การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั แฝง ( ) ทาไดด้ งั นี้

3.1) ให้มองว่า เป็นฟังก์ชันของ โดยพิจารณาในรูปของฟังก์ชันประกอบ หรือ ( )

โดยใหค้ ดิ ว่า = แลว้ ใหห้ าอนพุ นั ธข์ องสมการ ( , ) = เทยี บกับคา่ โดยหาอนพุ นั ธ์ทั้งสองขา้ งของสมการ

3.2) ใช้สูตรของกฎลูกโซ่ ( ℎ ℎ ) โดยให้มองว่า = แล้วให้หาอนุพันธ์ของสมการ

( , ) = โดยใช้สตู ร ( ) = ∙ −1 เข้าช่วยเมอ่ื หา ( ) ซง่ึ จะได้ ( ) = ∙ −1

3.3) การหาอนุพนั ธต์ ัวอน่ื ๆ (ทอ่ี ยู่ในรูปฟังกช์ นั ตา่ งๆ) หาโดยใช้สตู รอนุพันธพ์ ื้นฐานทไี่ ด้เรยี นมาแล้ว

4. จัดสมการในรปู เพอ่ื แกส้ มการหาค่า หรอื หาค่า | หรือ หาอนุพนั ธอ์ นั ดับสงู ในรปู ตาม
= , =

ต้องการ

ตวั อย่างท่ี 62. กาหนดให้ 2 + 2 = 9 จงหา 62.1) 62.2) หาคา่ |
=0 , =3
62.3 หาสมการเสน้ สัมผัสโคง้ สมการ 2 + 2 = 9 ทจ่ี ุด (0 , 3)

วธิ ที า 62.1) หา จาก 2 + 2 = 9 หาอนุพนั ธท์ ้ัง 2 ข้าง จะได้

( 2 + 2) = (9)


( 2) + ( 2) = (9)

(2 ) + 2 =0


2 = −2

= −2

2
−
=

ดงั นนั้ = − 62.1 ∎



62.2) หาคา่ | จาก = −
=0 , =3 จะได้


| =0 , =3 = −(0)
(3)

= 0 62.2 ∎

62.3 หาสมการเส้นสัมผัสเส้นโคง้ สมการ 2 + 2 = 9 ทจี่ ดุ (0 , 3)

จาก = − คอื สมการความชนั ของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ณ จุด ( , ) ใด ๆ


และจาก | = −(0) = 0 คือความชัน (= ) ของเสน้ สัมผสั เส้นโค้งสมการ 2 + 2 = 9
=0 , =3 (3)

ทจ่ี ดุ ( 1 , 1) = (0 , 3) จากสมการเส้นตรง − 1 = ( − 1 )

แทนค่าจะได้ = − 3 (0) ( − 0 )

− 3 = 0

ซึง่ จะได้ = 3 คือสมการเส้นสมั ผสั โค้ง (สมการเส้นตรง) สมการ 2 + 2 = 9 ทีจ่ ุด (0 , 3) 62.3 ∎

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96

ตวั อย่างที่ 63 กาหนดให้ 3 + 4 6 = 12 จงหา 63.1) 63.2) |

วิธที า 63.1) หา 3 + 4 6 = 12 =1 , =2

จากสมการ หาอนุพันธ์ท้งั 2 ขา้ ง จะได้

จะได้ [ 3 + 4 6] = [12]

[ 3] + [4 6] = 0

=0
3 2 + 4 ∙ 6 5

24 5 = −3 2

−3 2
= 24 5


= −1 2
8 5

= − 1 2 63.1 ∎
8 5

63.2) หา จาก = − 1 2
8 5

| , =2

=1

จะได้ = − 1 (1)2
8 (2)5
|

=1, =2

=− 1 63.2 ∎
256

ตวั อย่างท่ี 64. กาหนดให้ 8 + 3 2 = 0

จงหา 64.1) 64.2) | และ 64.3) 2
2
=2, =1

วิธีทา 64.1) หา


จากสมการ 8 + 3 2 = 0 หาอนุพนั ธ์ทั้ง 2 ข้าง จะได้

จะได้ [ 8 + 3 2] = [0]


[ 8] + 3 [ 2] =
0
8 7 + 3[( ) ( 2) + ( 2) ( )] =
0

8 7 + 3[( ) (2 ) + ( 2)(1)] = 0

0
8 7 + 6 + 3 2 = −8 7 − 3 2

−8 7−3 2
6 = 6



= 64.1) ∎



64.2) หา |

=2, =1 = −8 7−3 2

จาก 6

จะได้ | = −8(2)7−3(1)
=2 , =1 6(2)(1)

= −8(128)−3(1) 64.2) ∎

12

= −1024−3

12

= −1027

12

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97

ตัวอย่างท่ี 65 กาหนดวงรีสมการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 จงหา 65.1)

65.2) |
=2, =3 หรือความชัน ณ จุด (2 ,3) 64.3) สมการเส้นสัมผัสวงรี ณ จุด (2 , 3)

วธิ ีทา 65.1) จากวงรีสมการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 หาอนพุ ันธ์

จะได้ (16 2 + 9 2 − 144) = (0)


(16 2) + (9 2) − (144) = (0)

32 + 18 − 0 = 0


18 = −32

= − 32 65.1) ∎
18

65.2) หา | หรือความชัน ( ) ณ จดุ (2 ,3)
=2, =3

= 32

18

จะได้ ) หา | = − 32(2) = − 32
18(3) 27
=2, =3

56.1) ∎ นัน่ คือ ความชัน ( ) ของเส้นสมั ผสั วงรี ณ จุด (2 ,3) = − 32 65.2) ∎
27

65.3) หาสมการเส้นสัมผัสวงรี (สมการเสน้ ตรง) ณ จุด (2 , 3)

ให้จุกด ( 1 , 1) = (2 , 3) จากสมการเส้นตรง − 1 = ( − 1 )

แทนค่าจะได้ − 3 = (− 3227) ( − 2 )
=− 32 64
27 ( ) + 27

=− 32 ( ) − (− 2327) 2
27
=− 32 64
27 ( ) + 27

= − 32 ( ) + 64 + 3
27 27
= − 32 ( ) + 145
27 27
ซึง่ จะได้ = − 32 ( ) + 145 คอื สมการเสน้ สมั ผสั วงรี (สมการเส้นตรง) ที่จดุ (2 , 3)
27 27 65.3 ∎

กิจกรรมระหวา่ งเรียน 9 : 2.7.1 การหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันโดยปริยาย ( )

จงหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยปริยาย ( ) หรอื อนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั แฝง เมอื่ กาหนด

1. กาหนดให้ 3 + 2 + 2 = 10 จงหา


วิธีทา

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98

2. กาหนดให้ 2 3 = 2 2 + 5 จงหา


วิธีทา

3. กาหนดให้ 1 = 3 + 2 2 2 จงหา


วิธีทา

4. กาหนดให้ 2 + 2 2 3 = 7 จงหา 4.1) 4.2) | และ
วธิ ีทา =1, =−1

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99

5. กาหนดให้ 4 2 + 2 = 3 2 จงหา 5.1) 5.2) | และ (1.3) 2
2
วิธที า =1, =1

6. กาหนดสมการเส้นโคง้ 4 + 3 − 4 3 = 5 − 1 จงหา

6.1) 6.2) | หรอื ความชัน ณ จุด (4 , 4) และ 6.3) สมการเสน้ สมั ผัสโค้ง ณ จุด (4 , 4)
=4, =4

วธิ ีทา