แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 200

5. จงหาพื้นทที่ ีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้งสมการ = ( ) = 2 และ = ( ) = 3
ให้คานวณแสดงการหาจุดตดั ของกราฟท้งั สองดว้ ย

วิธที า

ตวั อย่างตารางเปรยี บเทยี บผลจากการหาอนุพนั ธ์และการหาปฏยิ านุพนั ธ์

อนุพันธ์ ( ) อนิ ทิกรลั ไมจ่ ากดั เขต ( )

1. (4 ) = 4 1. ∫ 4 = 4 +

2. ( 3) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 +

3. (5 2) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 +

1 1
4. (√ ) = 2√ 4. ∫ 2√ = √ +

5. (−3√ ) = − 1 −23 5. ∫ − 1 −32 = −3√ +
3 3
6. ( ) = 6. ∫ = +

7. ( ) = − 7. ∫(− ) = +

8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = +


แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 201

∎ แบบฝึกหดั ทา้ ยบท แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ∎

1. จงหาลิมิตตอ่ ไปนี้ ถ้าลมิ ิตมคี ่า
1.1) (7 6 − 11 4 + 9)

→0

วิธีทา

1.2) 7+ 5+1
→1

วิธีทา

1.3) 3− 2− −2
→2 −2

วธิ ีทา

1.4) −1
→1 √| −1|

วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 202

1.5) ( 3−1)
→1− −1

วธิ ีทา

1.6) 2−6 +5
→2 2+4 −5

วิธที า

1.7) −1
→1 | −1|

วิธที า

1.8) | 2−4 +4|
→2 −2

วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 203

| |+1 เมอ่ื < 1
เมือ่ 0 ≤ ≤ 1
2. กาหนดให้ ( ) = { 1− จงหาลิมติ ตอ่ ไปน้ี ถา้ ลมิ ิตมีค่า

+ 1

2.1) ( ) 2 − 5 + 9 เมอื่ > 2
→0+

วิธีทา

2.2) ( )
→0−

วิธีทา

2.3) ( )
→0

วธิ ที า

2.4) ( )
→2

วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 204

2.5) ( )
→3

วิธที า

2.6) ( )
→32

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 205

2+ −6 เม่ือ ≠ 2 และ ( ) = | | จงหาลมิ ติ ตอ่ ไปน้ี ถา้ ลมิ ิตมีค่า

3. กาหนดให้ ( ) = { −2
|− − 3| เม่ือ = 2
3.1) ( )
→2

วิธีทา

3.2) ( )
→2

วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 206

3.3) ( ( ))
→2 ( )

วิธที า

3.4) (5 ( ) + 4 ( ))
→−2

วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 207

4. จงพิจารณาว่าฟังกช์ นั ต่อไปนี้เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งที่ = 1 หรือไม่

2−1 เมื่อ ≠ 1

4.1) ( ) = { 2−
|− − 3| เมือ่ = 1
วธิ ีทา

4.2) ( ) = { 2 + + 1 เมื่อ ≤1
2 + 2 เมอื่ >1
วิธที า

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 208

3−1 เมือ่ ≠ 1
เมอ่ื = 1
4.3) ( ) = { −1

2

วิธที า

−1 เมอื่ 0 < < 1

4.4) ( ) = { 9

− 10

วิธที า 10 เมื่อ ≥ 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 209

5. กาหนดให้ ( ) = 1 จงพจิ ารณาวา่ เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่อื งบนช่วงตอ่ ไปนห้ี รือไม่
2−7 +10

5.1) (−∞ , 2)
วิธีทา

5.2) [3 , 4)
วิธีทา

5.3) (4 , 5)
วธิ ีทา

5.4) (5 , ∞)
วิธที า

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 210
…
| − 2| เมอื่ < −2

6. กาหนดให้ ( ) = { + 6 เม่ือ − 2 ≤ ≤ 1 จงพจิ ารณาว่า เป็นฟังก์ชนั ต่อเน่อื งบนช่วงต่อไปนีห้ รอื ไม่

2 − + 6 เม่ือ > 1 (A) สรา้ งตาราง

( ) … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

( ) = | − 2| ; < −2

( )= + 6 ; −2 ≤ ≤ 1

( ) = 2 − + 6 ; > 1

(B) เขียนกราฟ

6.1) (−∞ , −3)
วธิ ที า

6.2) (−2 , 1]
วิธีทา

6.3) [−4 , 3]
วธิ ีทา

6.4) (1 , ∞)
วิธที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 211

7. จงหา และ ที่ทาให้ฟังก์ชนั ท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปน้เี ปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งทีท่ กุ จดุ

วธิ ีทา 7.1) ( ) = { 2 − − 1 เมื่อ ≤ −2
เมื่อ > −2
−

+ เมอ่ื ≤ −2
เมอ่ื 2 < ≤ 4
7.2) ( ) = { | + 1|

2 − + เมือ่ > 4

วิธที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 212

8. ให้ และ เป็นฟังก์ชนั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนจรงิ และ ( ) = ( ) สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ ทีไ่ มเ่ ท่ากบั 1
ถ้า เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งที่ทุกจดุ จงพิจารณาวา่ เป็นฟังก์ชันต่อเนอ่ื งที่ทกุ จุดดว้ ยหรือไม่

วิธีทา

9. กาหนดให้ ( ) = { − 1 − เม่อื < 1 เม่ือ และ เป็นจานวนจริงที่ทาให้ เปน็ ฟงั กช์ นั ทต่ี อ่ เนือ่ งทุกจดุ
(2 + ) เม่ือ ≥ 1
และ ′(2) = 2 จงหา ( )
→2
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 213

10. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั ดังรูป

10.1) จงหา

10.1.1) = ( ) ………………………………………….. 10.1.13) = ( ) …………………………………………..
→−3− →2−
10.1.2) = 10.1.14) =
( ) ………………………………………….. ( ) …………………………………………..

→−3+ →2+
10.1.3) = ( ) ………………………………………….. 10.1.15) = ( ) …………………………………………..
→−3 →2
10.1.4) (−3) = .………………………………………….. = …………………………………………..
10.1.16) (2)

10.1.5) ( ) = ………………………………………….. 10.1.17) ( ) = …………………………………………..

→−1− →3−
10.1.6) = ( ) ………………………………………….. 10.1.18) = ( ) …………………………………………..
→−1+ →3+
10.1.7) = ( ) ………………………………………….. 10.1.19) = ( ) …………………………………………..
→−1 →3
10.1.8) (−1) = ………………………………………….. = .…………………………………………..
10.1.20) (3)

10.1.9) ( ) = ………………………………………….. 10.1.21) = ( ) …………………………………………..
→1− →4−
10.1.10) = ( ) …………………………………………..
→1+ 10.1.22) = ( ) …………………………………………..
10.1.11) = ( ) ………………………………………….. →4+

10.1.23) = ( ) …………………………………………..
→1 →4
10.1.12) (1) = ………………………………………….. = …………………………………………..
10.1.24) (4)

10.2) จากกราฟของฟังชนั ขา้ งตน้ จงพิจารณาว่า
10.2.1) ( 2 + ( )) มีค่าหรือไม่เพราะเหตใุ ด

→4

วธิ ที า

10.2.2) ถ้าตอ้ งการให้ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งท่ี = −1 ควรนยิ าม (−1) ให้มีคา่ เป็นเทา่ ใด
วิธีทา

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 214

11. ถ้า เป็นฟังก์ชันซ่งึ ( ) มคี ่าแต่ ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ หรอื ( ) หาค่าได้ แต่ ( ) ≠ ( )แลว้ จะกล่าวว่า
→ →
เปน็ ฟงั กช์ นั ไมต่ ่อเนอ่ื งแบบขจัดได้ ( ) ที่ =

11.1) จงเขียนตวั อยา่ งกราฟของฟังกช์ ัน ที่ไม่ตอ่ เน่ืองแบบขจัดได้ ( ) ท่ี =

เมอื่ ( ) หาค่าไมไ่ ด้

วิธีทา

11.2) จงเขียนตวั อย่างกราฟของฟงั กช์ ัน ทไ่ี มต่ ่อเนอื่ งแบบขจัดได้ ( ) ที่ =
เม่ือ ( ) ≠ ( )

→

วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 215
…
11.3) กาหนดฟงั กช์ นั 1( ) = 2−4 และ 2( ) = − เมือ่ < 0 จงพิจารณาว่า
+2 { 1 เม่ือ = 0
> 0 123
เมือ่
(A) สร้างตาราง

… −4 −3 −2 −1 0 4

1( ) = 2−4
+2
2( ) = − เมื่อ < 0

2( ) = 1 เมื่อ = 0

2( ) = เมอื่ > 0

(B) เขยี นกราฟ

11.3.1) ฟงั กช์ นั 1 และ 2 ไมต่ ่อเน่ืองแบบขจดั ได้ท่ีใดบา้ ง
วิธที า

11.3.2) จะต้องทาอย่างไรเพือ่ ให้ฟังกช์ นั 1 และ 2 ต่อเน่อื งทท่ี กุ จดุ
วิธที า

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 216

12. จงเขียนตัวอย่างของกราฟ และ ที่สอดคล้องกบั เงอ่ื นไขตอ่ ไปนี้
12.1) เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง [−1 , 1) และ นิยามบนช่วง [−1 , 1] แต่ ไมต่ ่อเนื่องบนชว่ ง [−1 , 1]

วิธีทา

12.2) ถา้ ให้ (0) = 1 แล้วฟังก์ชนั จะไม่ตอ่ เนือ่ งบนชว่ ง [−1 ,0]
แตถ่ า้ ให้ (0) = −1 แล้ว ฟงั ก์ชนั จะตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [−1 , 0)

วธิ ที า

13. ให้ = 1 จงหา
2

13.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของ เทยี บกบั เมื่อคา่ ของ เปลย่ี นจาก 2 เป็น 3
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 217

13.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เม่อื คา่ ของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.1
วิธีทา

13.3) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกบั เมอ่ื ค่าของ เปลย่ี นจาก 2 เป็น 2.01
วธิ ที า

13.4) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของ เทียบกับ ขณะท่ี = 2
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 218

14. จงหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ต่อไปนี้

14.1) = 3 + − 2√
2
วธิ ที า 3

14.2) = ( 2 + 3 − 4)3
วธิ ีทา

14.3) = (4 2 − 5 + 7)−5
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 219

14.4) = 2(5 + 1)3
วิธีทา

14.5) = (2 +1)2(1− )3
4
วิธีทา

14.6) = (62− +3 1 )5
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 220

14.7) = √
( +1)3

วิธีทา

14.8) = −1
√ +√2 −1

วิธีทา

14.9) = 1
4√ 4−6 3+3
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 221

14.10) = 1

5

( 5+ √ 3− )3

วิธีทา

15. จงหาความชนั ของเส้นโค้งตอ่ ไปน้ี ณ จดุ ท่กี าหนดให้และหาสมการของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุดนนั้

15.1) = 3 − 3 2 + 4 ท่ีจดุ ซง่ึ = −1

วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 222

15.2) = 2−2 ที่จดุ (4 , 2)
3 −5

วิธีทา

16. กาหนดให้ ( ) = { | − 2| เมือ่ ≤0
2 − 2 − 2 เม่อื >0
จงตรวจสอบว่า มีเสน้ สัมผสั เส้นโค้งที่จุด (0 , 2) หรือไม่

วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 223

17. ถา้ เส้นสมั ผัสเส้นโค้ง = 2 2 + 11 + 15 ทจี่ ุด (−3 , 0) ตัง้ ฉากกับกราฟของฟงั กช์ ัน = +
ท่ีจุด (−3 , 0) จงหา −

วธิ ีทา

18. กาหนดให้ ( ) = 2+3 จงหา ′(0) และ ′(1)
+1

วิธีทา

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 224

* 19. จงหาสมการเส้นสมั ผัสวงกลม 2 + 2 = 4 ทจี่ ุด (1 , −√3)
วธิ ที า

20. ถ้าเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง = 3 + 2 + ทจี่ ุด (−1 , 3) ต้งั ฉากกับเส้นตรง 3 =
จงหาพกิ ัดของจุดตดั ของเสน้ โคง้ นก้ี ับเสน้ ตรง = 1

วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 225

* 21. กาหนดให้ (3 + 5) = 2 − + 1 จงหา ′(2) , ′′(2) และ ′′′(2)
วิธีทา

22. จงหาพหุนามดีกรีสาม ( ) = 3 + 2 + + ที่สอดคล้องกบั เง่ือนไข (−1) = 2
′(0) = 5 , ′′(1) = 2 และ ′′(2) = 9

วิธที า

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 226

23. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = 3 , ′(3) = 5 , (3) และ ′(3) = 2 จงหา ′( (3))
วธิ ีทา

24. กาหนดให้ ( ) = ( ( )) และ ( ) = ( ( ))2 − 4 ถ้า , (1) = 1 และ ′(1) = 5 จงหา ′(1)
วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 227

25. กาหนดให้ ( ) = ( ∙ ( ) + ( ( ))2 3 และ (6) = 2 และ ′(6) = 1 จงหา ′(6)

)2 2

วธิ ที า

26. ปริมาณสินค้าท่ีผบู้ ริโภคต้องการซอ้ื (มหี น่วยเปน็ พนั ช้นิ ) ณ ระดับราคาตา่ งๆ สอดคลอ้ งกบั ฟงั กช์ ัน ( ) = √2 3 6+1

เมือ่ แทนราคาสนิ คา้ ต่อชิน้ (มหี น่วยเป็นบาทตอ่ ช้ิน) จงหา (1) , ′(1) , (10) และ ′(10)
วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 228

27. เจ้าของท่ีดินต้องการสร้างคอนโดมิเนียมที่แต่ละชั้นมีห้องพักจานวน 10 ห้อง บริษัทรับเหมาก่อสร้างคิดค่าก่อสร้างเริ่มต้นที่
10 ล้านบาท รวมกับค่าก่อสร้างต่อชั้นซ่ึงขึ้นกับจานวนชั้นของอาคาร โดยเริ่มต้นท่ี 7.9 ล้านบาทต่อช้ัน และแต่ละช้ันที่เพ่ิมขึ้นจะ
ทาให้ค่าก่อสร้างต่อช้ันเพ่ิมขึ้น 40,000 บาท ตัวอย่าง เช่น ถ้าต้องการสร้างคอนโดมิเนียมสามชั้น จะมีค่าก่อสร้างเริ่มต้น 10 ล้าน

บาท และค่าก่อสร้างต่อชั้นเป็น 7.9 + 0.04 + 0.04 = 7.98 ล้านบาท จึงมีค่าก่อสร้างรวมเป็นเงิน 10 + 3(7.98) = 33.94
ลา้ นบาท

27.1) จงเขียนฟังก์ชัน ( ) แสดงค่าก่อสร้างทั้งหมด (มีหน่วยเป็นล้านบาท) เม่ือเจ้าของที่ดินต้องการสร้าง
คอนโดมเิ นยี ม ชน้ั
วิธีทา

27.2) จงหาตน้ ทุนท่ีเพิ่มขน้ึ เมื่อเจา้ ของท่ดี นิ ตอ้ งการเพม่ิ จานวนช้นั ของคอนโดมีเนียมจาก 10 ชั้น เปน็ 11 ชัน้
วธิ ที า

27.3) จงหา ′(10)
วิธที า

27.4) เปรยี บเทียบผลลพั ธท์ ีไ่ ด้จากข้อ 27.2) และ 27.3) ว่าใกล้เคียงกันหรือไม่ และการคานวณในขอ้ ใดซับซอ้ นนอ้ ยกวา่
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 229

28. รายไดจ้ ากการขายสนิ คา้ ชนดิ หนึ่ง จานวน ช้นิ หาได้จาก ( ) = 400√1,000 − 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 1,000 กาหนดให้
รายได้จากการขายสินคา้ หนว่ ยสดุ ท้ายคือ ( + 1) − ( )

28.1) จงหารายไดจ้ ากการขายสินค้า เมื่อ ∈ { 200 , 400 , 600 , 800 }
วิธที า

28.2) จงหา ′(200) , ′(400) , ′(600) และ ′(800)
วิธที า

28.3) เปรยี บเทียบผลลพั ธ์ที่ไดจ้ ากขอ้ 28.1) และ 28.2) ว่าใกล้เคียงกนั หรอื ไม่ และการคานวณในข้อใด ซับซอ้ นนอ้ ย
กวา่
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 230

29. ฟังกช์ นั ทแ่ี สดงจานวนสินค้า ทีพ่ นกั งานคนหนึง่ สามารถตรวจนบั สินค้าในคลงั ได้ เมื่อทางานเปน็ ระยะเวลา ช่วั โมง
คือ ( ) = 620 − 140

√12+ 2

29.1) จงหา ′( ) เมอ่ื ∈ { 5 , 10 , 20 , 40 }
วิธีทา

29.2) จงพิจารณาว่า คาตอบทคี่ านวณไดใ้ นขอ้ 29.1) มีคา่ เพมิ่ ข้ันหรอื ลดลงเม่อื เพม่ิ ขึ้น พรอ้ มท้งั อธิบายความหมาย
วิธที า

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 231

30. จงหาอนพุ นั ธ์อันดับ 2 และ 3 พร้อมหา ′′(−1) และ ′′′(2) ของฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี
30.1) ( ) = 5 − 3 2 + 6 4 − 5

วิธที า

30.2) ( ) = 3√ − 2 + −2
6 6
วิธที า

30.3) ( ) = (1 − 3 ) (2 3 − 3 2)


วิธที า

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 232

30.4) ( ) = 5 − 3 2 + 6 4 − 5
วธิ ที า

31. กาหนดให้ ( ) = 4 จงหา ( )( ) เมื่อ เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ
1−2
วิธีทา

32. กาหนดให้ เปน็ ฟังก์ชันท่หี าอนพุ ันธท์ ุกอนั ดบั ไดท้ กุ จดุ และ ( ) = ( ) จงหา
32.1) ′( ) , ′′( ) , ′′′( ) และ (4)( ) ในรปู ของ และอนพุ นั ธข์ อง

วิธีทา

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 233

32.2) รปู ทว่ั ไปของ ( )( ) เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวกทม่ี ากกวา่ หรอื เทา่ กับ 2
วิธที า

33. กาหนดให้ ( ) = 2+ −1 จงระบชุ ่วงที่ เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ และชว่ งท่ี เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด
−1
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 234

34. กาหนดให้ เป็นฟงั ก์ชันทห่ี าอนพุ ันธ์ได้ และ ( ) = ( 2 − 3) ถ้า = 1 เปน็ คา่ วิกฤตเพยี งคา่ เดียวของ
จงหาคา่ วิกฤตของ

วธิ ีทา

35. ถ้า ( ) = 3 + 2 − + 2 มคี า่ ตา่ สดุ สมั พัทธ์เป็น −1 ท่ี = 1 จงหา +
วิธีทา

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 235

36. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสมั พัทธ์ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี
36.1) ( ) = 4 − 18 2

วิธีทา

36.2) ( ) = 27 − 2 4
วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 236

37. จงหาคา่ สูงสดุ สัมบูรณ์และค่าต่าสดุ สัมบูรณข์ องฟังก์ชันต่อไปน้ี
37.1) ( ) = 5 − 2 − 2 บนช่วง [−2 , 3]

วิธีทา

37.2) ( ) = 3 − 6 2 − 15 + 7 บนช่วง [0 , 6]
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 237

37.3) ( ) = 3 4 + 6 3 − 24 2 + 18 − 7 บนชว่ ง [−3 , 2]
วธิ ที า

* 37.4) ( ) = 6 5 + 15 4 − 130 3 − 210 2 + 720 + 976 บนช่วง [−2 , 4]
วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 238

38. กาหนดใหร้ ะยะทางระหว่างจุด และเสน้ โค้ง คอื ระยะทางที่สน้ั ท่ีสดุ ระหวา่ งจุด และจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง จงหา
38.1) ระยะทางระหว่างจดุ (3 , 0) และเสน้ โคง้ = 2

วิธีทา

38.2) ระยะทางระหวา่ งจดุ (0 , 3) และเสน้ โคง้ = 2 เมื่อ −3 ≤ ≤ 3
วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 239

39. รูปสามเหลยี่ มหน้าจ่ัวทม่ี ีความยาวเส้นรอบรูป 6 เซนตเิ มตร จะต้องมีความายาวฐานเทา่ ใดจงึ จะมีพ้ืนท่มี ากที่สดุ
วิธีทา

40. โรงงานแห่งหนง่ึ ตอ้ งการผลิตบรรจุภัณฑท์ รงกระบอกซง่ึ มีความจุ 20π ลูกบาศก์เซนติเมตร โดยค่าวัสดุที่ใช้ทาฝาและฐานของ
ทรงกระบอกเท่ากับ 100 บาทต่อตารางเซนติเมตร และค่าวัสดุที่ใช้ทาด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 80 บาทต่อตาราง
เซนติเมตร ถ้าโรงงานต้องการให้ต้นทุนการผลิตบรรจุภัณฑ์ต่าท่ีสุด จะต้องออกแบบบรรจุภัณฑ์ ให้มีความยาวรัศมีของฐานและ
ความสงู เป็นเทา่ ใดและจะใชต้ น้ ทุนเทา่ ใดในการผลติ บรรจุภณั ฑ์ 1 ชิ้น
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 240

⊠ 41. ต้องการทากรวยกระดาษสาหรบั ดื่มนา้ ท่ีมีพื้นที่ผิวข้าง 30π ตารางหน่วย จงหาส่วนสูงเอียงและรัศมีของฐานที่ทาให้กรวย
มีปริมาตรมากท่สี ุด
วิธีทา

⊠ 42. กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่ง มีพน้ื ทีผ่ ิวรวมฝา 80π ตารางหน่วย จงหาความสงู และรัศมีของฐานที่ทาใหก้ ระป๋องมปี ริมาตร
มากท่สี ดุ
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 241

⊠ 43. ในงานประเพณบี ญุ บัง้ ไฟ กลุม่ คนรกั คณิตไดส้ ง่ บั้งไฟเขา้ รว่ มการแข่งขนั จดุ บงั้ ไฟ ถา้ ความสงู ของบัง้ ไฟ (มหี นว่ ยเปน็ เมตร)

พิมพส์ มการท่ีนี่เมื่อเวลาผา่ นไป วนิ าที หาไดจ้ าก

ℎ( ) = { 10 2 − 3 เมือ่ 0 ≤ ≤ 10 จงหา

2

625 − 5( − 15)2 เม่ือ 10 ≤ ≤ 15 + 5√5

43.1 ℎ′( ) เม่อื ∈ ( 0 , 15 + 5√5)

วธิ ีทา

43.2 เวลาท่ีบั้งไฟขน้ึ ไปสงู ท่ีสุด และความสูงของบ้งั ไฟ ณ เวลานน้ั
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 242

44. โรงงานแห่งหนึง่ ผลิตเสอ้ื โดยฟงั ก์ชันการผลติ คือ = 10 13 โดยท่ี

4 4

แทน จานวนเสอ้ื ท่ีผลิตได้ใน 1 ชว่ั โมง (มหี น่วยเป็นตวั )

แทน จานวนแรงงานทใี่ ช้ใน 1 ชวั่ โมง

และ แทน จานวนปัจจยั ทุนทีใ่ ช้ใน 1 ชัว่ โมง

จงหา จานวนเสื้อท่ีมากที่สุดที่โรงงานแห่งนี้จะผลิตได้ใน 1 ชั่วโมง ภายใต้งบประมาณ 100,000 บาท ถ้าแรงงานหน่ึง

หนว่ ยมีคา่ ใชจ้ า่ ย 100 บาท

วิธีทา

45. จงหา
45.1) ∫(5 4 − 4 3 + 6 2 + 7)

วิธที า

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 243

45.2) ∫ 4 − 3 − 2 + 1 2)

(3 3 4 4

วธิ ีทา

45.3) ∫(5 2 + √ + 1)
วธิ ที า

45.4) ∫(2 )( 2 + 1)2
วธิ ที า

45.5) ∫ ( − 1)

วิธที า √

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 244

45.6) ∫ √ ( 3 + 2 + + 1)
วิธีทา

45.7) ∫ 2+ 3
5
วิธที า

45.8) ∫( 2 + 1)( 4 + 2 + 1)
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 245

46. กาหนดให้ เป็นฟงั ก์ชันซ่ีง ′′( ) = 6 − 2 และ มคี ่าตา่ สุดสัมพัทธเ์ ป็น −1 ที่ = 1 จงหา ( )
วธิ ที า

47. จงหาสมการของเสน้ โค้ง เมอ่ื กาหนดความชนั ของเส้นโค้งทจี่ ุด ( , ) ใด ๆ และจดุ ทเ่ี สน้ โคง้ ผ่าน ดังน้ี
47.1) ความชันของเส้นโค้งท่จี ดุ ( , ) ใด ๆ คอื 4 3 + 9 2 − 5 และผา่ นจุด (0 , 5)

วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 246

47.2) ความชันของเส้นโค้งทีจ่ ดุ ( , ) ใด ๆ คือ 5 − 3√ + 2 และผ่านจุด (4 , −2)
วธิ ที า

48. จงหาความเรง่ ของวตั ถุ ( ) และตาแหนง่ ของวตั ถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ กาหนดความเรว็ ของวัตถุ ( ) และ
ตาแหน่งของวตั ถุ ขณะเวลา = 3 ดังน้ี

48.1) ( ) = 5 2 − 2 , 0 ≤ ≤ 16 ; (3) = 6
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 247

48.2) ( ) = 5 − 6 2 − 2 3 , 0 ≤ ≤ 8 ; (3) = −4
วิธที า

49. กาหนดให้ ( ) เปน็ ปฏิยานุพันธ์ของ ( ) จงหา ∫ ( 2+3 +2 ( )+6 ( )) ในรูปของ และ ( )

วธิ ีทา +3

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 248

50. ในเหตุการณไ์ ฟไหม้ปา่ คร้ังหน่ึง อตั ราการเปล่ียนแปลงของจานวนต้นไมท้ ี่ถูกเผา เมือ่ เวลาผา่ นไป ชั่วโมง คือ = 6

ถา้ ณ เวลาเริ่มต้น มตี ้นไม้ท่ถี กู เผา 100 ต้น จงหาวา่ จะมตี น้ ไมท้ ี่ถกู เผาก่ตี ้น เม่ือเวลาผ่านไป 10 ชวั่ โมง

วธิ ีทา

51. พนักงานทมี่ ีประสบการณ์ จะใชเ้ วลาในการผลติ สินค้าลดลง สมมตุ ิวา่ อัตราการเปลยี่ นแปลงของจานวนชั่วโมงที่พนักงาน
คนหน่งึ ใช้ในการผลิตสินค้า ชนิ้ คอื ′( ) = 25 − 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 12 จงหาจานวนช่ัวโมงทพ่ี นักงานคนนี้ใช้
ในการผลติ สินค้า 6 ชิน้ แรก และ 12 ชิน้ แรก พร้อมทงั้ อธบิ ายความหมาย

วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 249

52. ถา้ วตั ถุเคลือ่ นท่ีในแนวตรงจากจุดหยุดนงิ่ ตาแหนง่ ศูนย์เมตร ดว้ ยความเร่งคงที่ เมตรต่อวนิ าที2
จงหาฟงั ก์ชันแสดงตาแหนง่ ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ

วิธีทา

53. เมอ่ื ปาวัตถุในแนวดง่ิ ลงมาจากดาดฟา้ ตึกแห่งหนึง่ ถ้าความสูงของวตั ถจุ ากพ้นื ดนิ (มหี นว่ ยเป็นเมตร) ขณะเวลา วินาที
หาได้จาก ( ) = −4.9 2 − + 20 จงหา
53.1) ความสงู ของดาดฟา้ ตึก

วธิ ที า

53.2) ความเร็วตน้ ของวัตถุ
วธิ ที า

53.3) ขณะท่ีวตั ถุมคี วามเรว็ −10.8 เมตรต่อวินาที วตั ถอุ ยู่สงู จากพนื้ ดินกเ่ี มตร
วธิ ที า