แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 150

ตัวอยา่ งที่ 93 จงหาสมการเสน้ โคง้ ทผ่ี า่ นจุด (2 , 1) และมีความชนั ของเสน้ โคง้ ที่จุด ( , ) ใด ๆ เป็น 2
วธิ ที า

จากตวั อย่างที่ 93 จะเห็นวา่ เสน้ โคง้ = 3 + มหี ลายเสน้ ขนึ้ อยกู่ ับคา่ คงตวั c ดงั รปู ที่ 33 แตม่ ีเส้นโค้งเพยี งเส้น
3
เดยี วเท่านนั้ ทีผ่ า่ นจดุ (2 , 1) ดังรปู ที่ 34

รูปที่ 33 รปู ที่ 34

2.9.3 การประยกุ ต์ของปรพิ ันธ์ (ปฏิยานพุ นั ธ์)

จากหัวข้อ 2.8.1 ถ้าทราบฟังก์ชันแสดงตาแหน่งของวัตถุ จะสามารถใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการหาความเร็วและ
ความเร่งของวัตถุได้ในทางกลับกันถ้าทราบฟังก์ชันแสดงความเร่งของวัตถุ ก็จะสามารถใช้ความรู้เรื่องปฏิยานุพันธ์ในหาการหา
ความเรว็ และตาแหนง่ ของวตั ถไดเ้ ช่นกนั

จากความรู้เร่ืองการเคลื่อนท่ีของวัตถุในแนวตรง มีปริมาณ 3 ชนิดที่เกี่ยวข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหน่ง ( ) ของวัตถุ
ความเร็ว ( ) ของวัตถุ และความเร่ง ( ) ของวัตถุ การเคล่ือนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน = ( ) โดยท่ี ( )
คอื ตาแหน่งของวตั ถุ ณ ขณะเวลา ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ณ ขณะเวลา นั่นคือ ความเร็ว

เป็นอนุพันธ์ของ เทียบกับ ดังน้ัน เป็นฟังก์ชันของเวลา กาหนดโดย ( ) = ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ
จะเหน็ วา่ ความเรว็ เปน็ ฟังกช์ นั ของเวลา เมือ่ มหี นว่ ยเปน็ วนิ าท่ี ( ∶ )

ดังน้ันเมื่อเราทราบความเร็ว ขณะเวลา ใด ๆ เราสามารถหาหาสมการ ( ) หรือตาแหน่ง จากการหาปฏิยานุ
พนั ธ์ของ โดยท่ี

= ∫ ( )

ในทานองเดียวกัน เมื่อเราทราบความเร่ง ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ เราสามารถหาสมการ ( ) หรือ ความเร็ว
จากการหาปฏิยานพุ นั ธ์ของความเร่ง โดยที่

= ∫ ( )

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 151

ดังนั้น จะไดว้ ่า ความเรว็ เปน็ ปฏยิ านุพนั ธ์ของความเร่ง และตาแหน่ง เปน็ ปฏยิ านุพันธ์ของความเรว็ และเรา
สามารถแสดงความสมั พันธข์ องปริมาณท้งั 3 ชนดิ

⟶ = ⟶ ⟶ = ⟶

(ระยะทาง) ⇌ (ความเร็ว) ⇌ (ความเรง่ )

⟵ ∫ = ⟵⟵ ∫ = ⟵

เม่ือ คือ ระยะทาง มีหน่วยเป็นเมตร ( ) , คือ ความเร็ว มีหน่วยเป็นเมตร/วินที ( / ) และ คือ ความเร่ง มี
หน่วยเปน็ เมตร/วนิ ที2 ( / 2) ดังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 94 ณ เวลา ใด ๆ วัตถุเคล่ือนท่ีในแนวราบด้วยความเร่ง −3 เมตรต่อวินาที2 ถ้าขณะท่ีเร่ิมต้นจับเวลา ตาแหน่ง
ของวัตถุอยู่ท่ี 3 เมตร และวตั ถเุ คล่ือนที่ด้วยความเรว็ 1 เมตรตอ่ วินาที จงหา

94.1) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

94.2) ตาแหนง่ ของวตั ถุขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

94.3) ระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เรม่ิ ต้น ขณะเวลา 2 และ 4 วนิ าที
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 152

ตวั อยา่ งท่ี 95 เมื่อปลอ่ ยวัตถุตกจากท่ีสงู แบบเสรี วัตถจุ ะเคล่ือนทด่ี ว้ ยความเรง่ โน้มถว่ งของโลก ( ) ถา้ กาหนด = −9.8 เมตร
ต่อวนิ าที2 และขณะทเ่ี ร่มิ ต้นจับเวลา ตาแหนง่ ของวตั ถุอย่ทู ่ี 10 เมตร และวตั ถมุ ีความเร็วเป็นศนู ย์ จงหา

95.1) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา ใด ๆ และความเร็วของวตั ถุขณะ = 1 วนิ าที
วธิ ที า

95.2) ตาแหน่งของวตั ถขุ ณะเวลา ใด ๆ และตาแหนง่ ของวตั ถุขณะ = 1 วินาที
วิธีทา

ตัวอยา่ งที่ 96 โยนวตั ถุชน้ิ หน่ึงข้นึ จากพนื้ ดนิ ในแนวดิ่งดว้ ยความเร็วตน้ 19.6 เมตรต่อวนิ าที ถา้ กาหนดความเร่งโน้มถ่วงของโลก
เท่ากบั −9.8 เมตรตอ่ วนิ าท2ี และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ตาแหน่งของวตั ถุอยทู่ ี่ศูนย์ จงหา

96.1) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา ใด ๆ และความเรว็ ของวัตถุขณะ = 1 วินาที
วธิ ีทา

96.2) ตาแหนง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา ใด ๆ และตาแหน่งของวัตถขุ ณะ = 2 วนิ าที
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 153

96.3) เวลาทว่ี ัตถุตกถงึ พ้นื ดนิ
วิธีทา

96.4) เวลาที่วัตถขุ ้ึนไปถงึ ตาแหน่งสูงสดุ และตาแหน่งสงู สุดของวัตถุ
วธิ ที า

ตวั อย่างที่ 97 สมมติวา่ อัตราการเปลีย่ นแปลงของการใช้โทรศัพท์มอื ถอื ทั่วโลก (มีหนว่ ยเป็นลา้ นเคร่อื งตอ่ ปี) ในปีท่ี นับจาก ค.ศ.
2000 สามารถประมาณไดด้ ้วยฟังก์ชัน ′( ) = 56 + 166 ถ้าใน ค.ศ. 2011 มีการใช้โทรศัพทม์ ือถอื ทั่วโลก 5,960 เครื่อง
จงหาฟังกช์ ันแสดงจานวนการใช้โทรศพั ท์มือถอื ทั่วโลก) ในปที ่ี นบั จาก ค.ศ. 2000
วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 154

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 15 : แบบฝึกหดั 2.9.2 ปฎยิ านุพันธแ์ ละการประยกุ ต์ของปริพันธ์ (ปฏยิ านพุ นั ธ์)

1. จงแสดงวา่ ( ) = √ 2 − 1 เปน็ ปฏิยานุพันธ์หน่งึ ของฟังกช์ นั ( ) =
√ 2−1
วิธที า

2. จงหา
2.1) ∫( 4 + 3 2 + 5 )

วธิ ีทา

2.2) ∫(2 3 − 3 2 + 6 + 2 −2)
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 155

2.3) ∫ ( 10 − 1 3)
วิธีทา

2.4) ∫ ( 1 2 − 2 4)
วิธที า

2.5) ∫ √
วธิ ที า

2.6) 32

∫ ( 2 − 3)

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 156

2.7) ∫ ( 1 2 − 1)

วิธีทา 2√

2.8) ∫ 2( − 3)
วิธที า

2.9) ∫ √ ( + 1)
วธิ ที า

2.10) ∫ ( − 32)
วธิ ที า

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 157

2.11) ∫( 2 + 5 + 1)
วธิ ที า

2.12) ∫(6√ + 15)
วธิ ที า

2.13) ∫( 3 + 5 2 + 6)
วิธีทา

2.14) ∫ (6 + 8√ )

วธิ ีทา √

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 158

2.15) ∫( 4 − 12 3 + 6 2 − 10)
วธิ ีทา

3. ถ้า ′( ) = และ (2) = 2 จงหา ( )
วิธีทา

4. กาหนดให้ ′′( ) = −2 สาหรับ ∈ ℝ และ มคี า่ สงู สุดสมั พทั ธ์เปน็ 2 เมือ่ = 1 จงหา ( )
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 159

5. จงหาสมการของเสน้ โค้ง เมือ่ กาหนดความชนั ของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ และจุดทีเ่ สน้ โค้งผ่าน ดงั นี้
5.1) ความชนั ของเสน้ โค้งท่ี ( , ) ใด ๆ คอื 2 − 3 + 2 และผา่ นจุด (2 , 1)

วธิ ที า

5.2) ความชนั ของเสน้ โค้งท่ี ( , ) ใด ๆ คอื 2 3 + 4 และผา่ นจุด (0 , 5)
วิธที า

5.3) ความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ี ( , ) ใด ๆ คอื 6 + 3 2 − 2 4 และผา่ นจุด (1 , 0)
วิธีทา

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 160

6. จงหาความเร็วของวตั ถุ ( ) และตาแหน่งของวัตถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ เมื่อกาหนดความเร่งของวัตถุ ( ) ความเรว็
และตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะเวลา = 0 ดังนี้

6.1) ( ) = 6 − 2 , 0 ≤ ≤ 3 , (0) = 5 , (0) = 0
วิธที า

6.2) ( ) = 120 − 12 2 , 0 ≤ ≤ 10 , (0) = 0 , (0) = 4
วธิ ีทา

6.3) ( ) = 2 + 5 + 4 , 0 ≤ ≤ 15 , (0) = −2 , (0) = −3
วิธที า

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 161

7. โยนวตั ถุช้ินหน่งึ ขึ้นจากพน้ื ดนิ ในแนวดิง่ ดว้ ยความเรว็ ต้น 98 เมตรต่อวินาที ถา้ กาหนดความเร่งโนม้ ถว่ งของโลกเทา่ กับ −9.8
เมตรตอ่ วนิ าท2ี และขณะที่เร่มิ ตน้ จับเวลา ตาแหน่งของวัตถอุ ยู่ที่ศูนย์ จงหา

7.1) ตาแหนง่ ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ
วิธีทา

7.2) เวลาที่วัตถุขนึ้ ไปถึงตาแหน่งสงู สดุ และตาแหน่งสูงสุดของวัตถุ
วธิ ีทา

7.3) เวลาที่วัตถขุ น้ึ อยู่ในตาแหนง่ ท่ีสงู จากพืน้ ดนิ 249.9 เมตร
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 162

8. รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานี โดยขณะเรมิ่ ต้น ตาแหน่งรถไฟอยู่ทศี่ ูนย์และรถไฟมคี วามเรว็ เป็นศูนย์ ถา้ ณ เวลา ใด ๆ
รถไฟแลน่ ดว้ ยความเรง่ 1 (20 − ) เมตรตอ่ วนิ าที2 จนวินาทีท่ี 20 หลังจากน้นั รถไฟแลน่ ตอ่ ไปด้วยความเรว็ เทา่ เดมิ โดยตลอด

4

จงหาว่าหลงั จากวินาทีที่ 20 รถไฟแลน่ ด้วยความเรว็ เท่าใด และเมอ่ื เวลาผา่ นไป 30 วินาที รถไฟจะอยหู่ า่ งจากสถานตี ้นทางเปน็
ระยะทางเท่าใด
วธิ ที า

9. จากการทดลองเพาะเลี้ยงปรสิตในจานเพาะเช้ือ พบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจานวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์) ณ
เวลา สัปดาห์ คอื ( ) = 1,200 2 − 15 4 จงหาจานวนปรสติ ณ เวลา ใดๆ เมอ่ื กาหนดใหจ้ านวนปรสติ เรม่ิ ตน้ คอื 600 ตัว



วิธีทา

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 163

10. ตน้ ไม้ตน้ หนงึ่ มอี ัตราการเตบิ โตเป็น ( ) = 1 1 โดยท่ี ( ) แทนความสูง (มีหนว่ ยเปน็ เมตร) ณ เวลา ปี ถา้ ตน้ ไม้สูง

4 4

1 เมตร ณ เวลาเรม่ิ ตน้ จงหาว่าต้นไม้ต้นนจ้ี ะสงู เทา่ ใด ณ เวลา ปี

วธิ ที า

11. บริษัทแห่งหน่ึงพบว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าใช้จ่ายสาหรับงานชนิดหนึ่ง (มีหน่วยเป็นร้อยบาทต่อวัน) คือ
( ) = 120 + 60 เม่อื แทนจานวนวันนบั ต้งั แต่เรม่ิ งาน จงหา

11.1) คา่ ใชจ้ า่ ยรวม หากงานดังกลา่ วใช้เวลา 10 วัน
วิธที า

11.2) คา่ ใช้จา่ ยรวมนับตั้งแตว่ ันที่ 10 ถึง 25
วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 164

12. อัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ นับจาก ค.ศ. 2000
สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน ( ) = 2.17 2 − 9.74 + 19.956 โดยที่ 15 ≤ ≤ 40 จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่
อาศัยทัง้ หมดตั้งแต่ ค.ศ. 2015 ถงึ 2040
วิธีทา

แคลคลู ัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 165

∎ 2.9.4 การอินทเิ กรตโดยการแทนค่า ( )

เปน็ เทคนคิ การอนิ ทิเกรตสาหรบั การหาอนิ ทิกรลั ในรปู แบบ ∫ ( ( )) ′( ) = ∫ ( ) ซึง่ มสี ตู ร โดย

∎ ∫ ( ( )) ′( ) = ∫ ( )

เม่อื = ( ) และ = ′( )

ตัวอยา่ ง 98. จงหา ∫(2 + 3)4

วธิ ที า ให้ = 2 + 3

= (2 + 3)



= 2

= 2

= = 1 [แทน ]

22

จากโจทย์ ∫(2 + 3)4 = ∫( )4

= ∫( )4 1

2 +1 +

= 1 ∫( )4 [ ใช้สูตร ∫ = +1 เม่ือ เปน็ ค่าคงตวั ]
2
= 1 ( )4+1 +
2 4+1
= 1 ( )5 +
25
= ( )5 +
10 [แทน ]

= (2 +3)5 + หรอื
10
= 1 (2 + 3)5 +
10 ∎

ตัวอยา่ ง 99. จงหา ∫ 4(4 − 1)3

วธิ ีทา จากโจทย์ ∫ 4(4 − 1)3 = ∫(4 − 1)3 4 …………… (1)

ให้ = 4 − 1

= (4 − 1)



= 4



= 4

จาก (1) = = 1

44

∫ 4(4 − 1)3 = ∫(4 − 1)3 4 …………… (1)

= ∫( )3 [แทน = 4 ]

= ∫( )3 [ ใช้สตู ร ∫ = +1 + เมือ่ เป็นคา่ คงตวั ]

= ( )3+1 + +1

3+1
= ( )4 +
4 [แทน ]

= (4 −1)4 + หรอื
4
= 1 (4 − 1)4 +
4 ∎

ตวั อย่าง 100. ∫ ( + 3) จาก ∫ ( + 3) = ∫ [แทน = ]
วธิ ที า
= ∫ [แทน = ]
ให้ = + 3 , = ( + 3)
= − cos + [แทน ]
= 1 , = 1 ∙
= − cos ( + 3) + ∎
=

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 166

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 16 : แบบฝึกหดั 2.9.4 การอนิ ทิเกรตโดยการแทนค่า ( )

1. ∫( 2 + 2)99 2
วิธที า

2. ∫ 2(3 − 4 )−2
วธิ ที า

3. ∫ √3 + 2
วธิ ที า

4. ∫ 3
√ 2+1
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 167

5. ∫ cos 5
วธิ ที า

6. ∫ 2 2
วิธที า

7. ∫ 2 2
วิธีทา

8. ∫ 3 ; =
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 168

∎ 2.9.5 การอินทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ( )

การอินทิเกรตทีละสวน คือการอินทิเกรตฟังก์ชันที่ประกอบด้วย ฟงกชันสองรูป คูณกัน เช่น ∫ 2 sin 2 ,
∫ sin 2 cos 3 , ∫ 2 , ∫ เป็นต้น ฟังก์ชันลักษณะน้ีสามารถอินทิเกรตได้โดยวิธีอินทิเกรตทีละส่วน
โดยเม่ือ และ เปน็ ฟังกช์ นั ทีห่ าอนพุ นั ธไ์ ด้

จาก ( ) = +
= −

อินทิเกรตทง้ั สองขา้ ง ∫ = ∫ − ∫
∫ = − ∫

ดังนั้น การอนิ ทิเกรตโดยการแยกส่วน ( ) เปน็ เทคนคิ การอินทเิ กรตสาหรบั การหาอนิ ทิกรลั
ซง่ึ มสี ตู ร โดย

∎ ∫ = − ∫

∎ หลกั ในการอนิ ทเิ กรตโดยใชสูตร มหี ลกั การ ดงั นี้

1. แบงฟงกชันออกเปน 2 สวนคอื สวนของ และสวนของ
2. สวนของ ควรจะเปนสวนท่ีหาอนุพนั ธไดงาย
3. สวนของ ควรจะเปนสวนทอ่ี นิ ทิเกรตไดงาย

∎ หลกั และขัน้ ตอนในการอนิ ทเิ กรตโดยใชสตู ร

1. เมื่อเลอื ก สวนของ และสวนของ ไดแลวใหหา และอินทเิ กรต พื่อหา
2. นาคาทไ่ี ดจากขอ 1. ไปแทนคาในสตู ร ∫ = − ∫
3. ถาสวนของ ∫ ไมสามารถหาคาตอบไดใหทาการอินทิเกรตทีละสวนตอ ไปเร่อื ยๆ จนกวาจะมีคาตอบ

หรือมพี จนของ ∫ เทากบั พจนดานซายมือ
4. ยายพจน ∫ ไปดานขวามอื แลวแทนคาหาคาตอบ
5. คาคงที่ของการอินทิเกรต ใหเขยี นตอทายผลของการอินทิเกรตทกุ คร้งั

ตวั อยา่ ง 101. จงหา ∫ cos ,
วิธที า จากสตู ร ∫ = − ∫

ให้ = หาอนพุ นั ธ์ทง้ั สองขา้ งจะได้ =


นัน่ คือ = 1 ซ่งึ = 1 ∙ ดังน้นั =


และให้ = cos อินทิเกรตทง้ั 2 ข้าง จะได้
∫ = ∫ cos
= sin +

ดังน้นั = sin
แทนค่า = , = , = cos , ∫ = ∫ cos และ = sin
ลงในสตู ร ∫ = − ∫
จะได้ ∫ cos = − ∫

= sin − ∫
= sin − (− cos ) +
= sin + cos + ∎

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 169

ตวั อยา่ ง 102. จงหา ∫ ln

วธิ ีทา จากสูตร ∫ = − ∫

ให้ = จะได้ = ( ) น่ันคือ = 1 ดงั นนั้ = 1


และให้ = อินทิเกรตทั้ง 2 ขา้ ง จะได้

∫ = ∫

= +

ดงั น้ัน =

แทนคา่ = ln , = 1 , = , =


ลงในสูตร ∫ = − ∫

จะได้ ∫ = ( ) − ∫ 1


= ( ) − + ∎

ตวั อย่าง 103. จงหา ∫ 2 sin 2
วธิ ที า จากสตู ร ∫ = − ∫

ให้ = 2 จะได้ = 2 = 2

และให้ = 3 อินทเิ กรตทั้ง 2 ขา้ ง จะได้

∫ = ∫ 3

= −1 ∫ 3 3
3
= −1 cos 3 +
3
แทนคา่ = 2 , = 2 , และให้ = 3 และ = −1 3 + ลงในสูตร
3
จากสูตร = − ∫
∫

จะได้ ∫ 2 3 = ( 2)( −1 3 ) − ∫( −1 3 )(2 )
3
3
= − 2 3 + 2 ∫ 3
33
นั่นคือ ∫ 2 3 = − 2 3 + 2 ∫ 3 ......... (1)
33
จะเห็นวา่ เทอมของ 2 ยงั หาคาตอบไม่ได้ ดังน้ันจึงตอ้ งนาเทอมน้ีไปอินทิเรตต่อโดยหา ∫ 3
3 ∫ 3

จาก ∫ 3 ให้ = , = และ = 3 อินทิเกรตทัง้ 2 ขา้ ง จะได้

∫ = ∫ 3

= 1 ∫ 3 3
3
1
=
3
3
แทนค่า จาก = , = และ = 3 และ = 1 3 แทนลงในสตู ร
3
(1
∫ 3 = 3 sin 3 − ∫ sin 3 )
3
−1
= 3 sin 3 − 3 ∫(sin 3 )

= sin 3 − −1 (− −1 3 ) +
3 33
= sin 3 + 1 cos 3 +
39
sin 3 + 1 cos 3 +
น่นั คอื ∫ 3 = ........(2) แทนใน (1)
39
− 2 3 + 2 [1 cos 3 + ]
จะได้ ∫ 2 3 =
3 39
= − 2 3 + 2 [ sin 3 + 1 cos 3 + ]
3 33 9
= − 2 3 + 2 3 + 2 3 + ∎
3 9 27

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 170

กจิ กรรมระหว่างเรียน 17 : แบบฝกึ หัด 2.9.5 การอินทเิ กรตโดยการแยกสว่ น ( )

1. ∫ 2
วิธที า

2. ∫ 2
วธิ ีทา

3. ∫ 2
วธิ ที า

แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 171

4. ∫ cos
วิธที า

5. ∫ 2
วิธีทา

6. ∫ √
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 172

∎ * 2.9.6 กฎของโลปติ าล ( ’ )

ในกรณีทห่ี าลิมิตของฟังก์ชนั ใดๆ ทเี่ ปน็ ฟังก์ชันเศษสว่ นหรอื ฟงั ก์ชันตรรกยะ เม่ือ มคี า่ เข้าใกล้ แล้วไดค้ ่าของฟังก์ชนั

เป็นศูนย์ ซึง่ ถ้า ถ้า ( ) และ ( ) ต่างก็มีคา่ เปน็ ศูนย์ หรอื ไม่นยิ ามที่ = นัน่ คือ ( ) อยู่ในรปู ของ 0 หรือ ∞ แล้ว
( )
0∞
จะเป็นนกรณีที่หาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบที่ไม่กาหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล

( ’ℎ ) ที่นยิ ามโดย

∎ กฎของโลปติ าล ( ’ )

ถา้ ( ) และ ( ) ตา่ งกม็ คี ่าเปน็ ศูนย์ หรือไมน่ ยิ ามท่ี =

นัน่ คือ ( ) อยใู่ นรปู ของ 0 หรอื ∞ แล้ว
( ) 0∞

( ) = ( ) = ′( ) เมือ่ = ′( ) หาค่าได้
( ) ′( ) ′( )
→ → → →
( )


ขอ้ สังเกต : 1) ถ้า ′( ) ยังอยใู่ นรูป อีก ใหใ้ ช้กฎของโลปิตาลซา้ ไปเรื่อยๆ จนไมอ่ ยูใ่ นรูป 0 หรอื ∞ กล่าวคือ
′( ) ∞
0
( )( )
( ) = ′( ) = = ′′( ) ′′′( ) = … = ( )( ) หาค่าได้
( ) ′( )
→ → → ′′( ) → ′′′( ) →

2) ถา้ ฟงั ก์ชันแทนค่าแล้วลมิ ติ อย่ใู นรูป 0 ∙ ∞ , ∞ ± ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ ต้องทาใหอ้ ยูใ่ นรูป 0 หรอื ∞ แล้วจงึ ใช้กฎของโล
∞
ปิตาล 0

ดังน้ันจากตัวอยา่ งท่ี 14 ถ้าหา −1 ให้ ( ) = −1 เราทราบวา่ เมือ่ แทน = 1
2−1 2−1
→1
(1)−1 1−1 0
(1)2−1 1−1 0
จะได้ = = = (1) เปน็ รูปแบบทีไ่ ม่กาหนด ( ∶ )

เราจะหาลิมิตของฟังก์ชันโดยการ (1) แยกตัวประกอบ (แยก ) (2) คูณเข้าด้วยสังยุค ( ) หรือ (3) พิจารณา

หาลมิ ิตโดยใชก้ ฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) ซึง่ หาอนพุ นั ธข์ องตวั เศษและตวั ส่วน จะได้

ดงั น้นั −1 = ( −1)
2−1 →1
→1
( 2−1)

= 1 เมอ่ื ≠ 0

→1 2
= 1 =1
2(1) 2

−1 1
2−1 2
นั่นคือ = ∎

→1
ซ่งึ ( ) = ′( ) และ ( ) = ′( ) คืออนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั และ ตามลาดบั


ตัวอยา่ งที่ 104 จงหา 10−1
→1 −1
วิธที า ให้ ( ) = 10−1 เราทราบวา่ → 1 แทน = 1
−1
(1)−1 1−1 0
จะได้ (1)2−1 1−1 0
= = = (1) เปน็ รูปแบบท่ไี มก่ าหนด ( ∶ )

พจิ ารณาหาลมิ ิตโดยใช้กฎของโลปติ าล ( ’ℎ ) โดยหาอนพุ ันธข์ องตัวเศษและตวั สว่ น จะได้

ดงั นนั้ 10−1 = ( 10−1)
→1 −1 →1

( −1)

= 10 9−0
→1 1−0
= 10 9
→1
= 10(1)9

= 10

นั่นคือ 10−1 = 10 ∎
→1 −1

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 173

ตวั อย่างที่ 105 จงหา sin
→0
= 10−1
วิธที า ให้ ( ) −1 เราทราบว่า → 0 เมื่อแทน = 0

จะได้ = (0) 0 = 0 เป็นรูปแบบทไี่ มก่ าหนด ( ∶ )
0 0
พจิ ารณาหาลิมติ โดยใช้กฎของโลปิตาล ( ’ℎ ) โดยหาอนพุ นั ธ์ของตัวเศษและตวั สว่ น จะได้

ดงั นนั้ sin = ( )
→0 →0

( )

= cos
→0 1
= cos
→0
= cos 0

=1

น่ันคอื = sin 1 ∎

→0

กิจกรรมระหว่างเรียน 18 : แบบฝกึ หัด * 2.9.6 กฎของโลปติ าล ( ’ )

จงตรวจสอบและใชก้ ฎของโลปิตาล ( ’ ) หาค่าของลิมติ ติ ่อไปนี้
1. 2−4

→2 −2

วธิ ที า

2. sin 2
→0

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 174

3. 2 −2
→1 3+ −2
วิธที า

4. 2−1
→1 3−1
วิธีทา

5. 5+ +34
→−2 3+8
วธิ ที า

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 175

6. 5−32
→2 4−2 +12
วิธที า

7.
→0
วิธีทา

8. ln
→∞

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 176

2.10 ปริพนั ธ์จากัดเขต ( )

บทนิยามของอนุพันธ์ที่นักเรียนได้ศึกษาในหัวข้อ 2.3 มีแนวคิดมาจากการหาอัตราการเปล่ียนแปลงขณะหนึ่ง ส่วนบท
นิยามของปริพันธ์จากัดเขตท่ีจะกล่าวถึงในหัวข้อนี้ มีแนวคิดมาจากการหาพื้นท่ี ดังนั้น เพื่อให้ง่ายต่อการทาความเข้าใจเรื่อง
ปริพนั ธจ์ ากัดเขต จะเรม่ิ ต้นหัวข้อนดี้ ้วยตัวอย่างเกย่ี วกบั การหาพ้ืนที่ ดงั นี้

พิจารณาพ้ืนที่ของบริเวณซ่ึงปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 แกน และเส้นตรง = 1 จะได้ว่า บริเวณที่ต้องการหา
พน้ื ท่คี ือบริเวณที่แรเงาดงั รูปท่ี 35

รูปท่ี 35

เนอ่ื งจากไม่มีสตู รโดยตรงทใ่ี ช้ในการหาพ้นื ที่ของบริเวณทแ่ี รเงา จึงจะประมาณพนื้ ท่ีดงั กล่าวด้วยพื้นที่ของรูปส่ีเหลี่ยมมุม
ฉากเลก็ ๆหลายๆ รูปทใ่ี ห้พ้นื ท่ใี กลเ้ คียงกับพืน้ ท่ีทีก่ าหนด เร่มิ จากแบง่ ชว่ งปิด [0 , 1] ออกเปน็ ช่วงย่อย โดยท่ีแต่ละชว่ งย่อยมีความ
กว้างเท่ากัน จากนั้นสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากบนแต่ละช่วงย่อย โดยมีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐานของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และค่า
ของฟังก์ชัน ที่จุดใดจุดหนึ่งบนช่วงย่อยนั้นเป็นความสูงของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก เพื่อความสะดวก ในท่ีน้ีจะเลือกค่าของฟังกช์ นั ท่ี
จุดปลายทางขวาของแตล่ ะช่วงยอ่ ยดังรปู 36

รูปที่ 33

จากรปู ที่ 36 ได้แบ่งชว่ งปิด [0 , 1] ออกเปน็ 4 ช่วงย่อยทม่ี ีความกวา้ งเท่ากัน และเลือกค่าของฟงั ก์ชนั ทีจ่ ุดปลายทาง
ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม
มุมฉากท้ังสี่รูป คือ 1 (1) + 1 (2) + 1 (3) + 1 (1) ซ่ึงเป็นค่าประมาณของพื้นท่ีของบริเวณท่ีต้องการ เพื่อให้ได้

44 44 44 4

คา่ ประมาณใกลเ้ คยี งกับพ้ืนทข่ี องบรเิ วณทต่ี ้องการย่งิ ข้ึน จะแบ่งช่วงปดิ [0 , 1] ใหม้ ชี ว่ งย่อยมากขนึ้

รปู ที่ 37

แคลคูลัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 177

จากรปู ท่ี 37 ไดแ้ บ่งชว่ งปิด [0 , 1] ออกเป็น 8 ช่วงย่อยท่ีมีความกวา้ งเท่ากัน และเลอื กค่าของฟังก์ชนั ท่จี ุดปลายทาง

ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียม

มมุ ฉากทงั้ สี่รูป คอื 1 (1) + 1 (2) +. . . + 1 (1) ซึง่ เปน็ ค่าประมาณใกล้เคียงกบั พนื้ ทขี่ องบริเวณทตี่ ้องการมากข้นึ
88 88 8

รูปท่ี 38

โดยทั่วไป ถ้าแบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน และเลือกค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายทางขวา

ของแต่ละชว่ งย่อยเป็นความสงู ของรปู ส่เี หลย่ี มมุมฉากที่มีชว่ งยอ่ ยบนแกน เป็นฐาน ดังรปู ท่ี 38 แล้วเม่อื ให้ แทน ผลบวกของ
พ้นื ท่ขี องรูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉากทั้ง รปู จะได้

= 1 ( 1 ) + 1 ( 2 ) + 1 ( 3 ) +. . . + 1 ( )
=
= ( 1 )2 ( 2 )2 ( 3 )2 ( )2
1 + 1 + 1 +. . . + 1

( )2
∑ =1 1


= 1 n
n3
k2

k =1

= 1 ( ( +1)(2 +1))
3
6
( +1)(2 +1)
นั่นคอื = 6 2

จากรูปที่ 35 - 38 จะเหน็ ว่า ถา้ แบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น ช่วงย่อย โดยที่ เป็นจานวนเตม็ บวกแล้ว เมือ่ มาก

ขน้ึ จะไดค้ ่าประมาณท่ีใกล้เคียงกับพ้ืนทีข่ องบริเวณท่ีตอ้ งการมากขน้ึ และเมือ่ มากข้ึนโดยไม่มที ่สี ิ้นสุดแลว้ จะไดว้ า่ ลาดบั

จะลู่เขา้ สู่จานวนซงึ่ เปน็ พ้นื ทีข่ องบริเวณทีต่ ้องการ เม่ือหาลิมติ ของลาดบั จะได้

→ ∞ = ( +1)(2 +1) = 1
6 2 3
→∞
ดงั น้ัน พ้นื ท่ีของบรเิ วณทีต่ ้องการเท่ากับ 1 ตารางหนว่ ย
3
∎ จากกระบวนการท่ใี ชใ้ นการหาพน้ื ทด่ี ังตัวอยา่ งข้างต้น สามารถสรุปเป็นขน้ั ตอนได้ดังนี้

ให้ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนือ่ งบนชว่ งปิด [ , ]

ขั้นที่ 1 แบ่งชว่ งปิด [ , ] ออกเปน็ ช่วงย่อยทม่ี ีความกว้างเทา่ กนั จะได้วา่ แตล่ ะชว่ งย่อยกว้าง = −

และใหจ้ ุดปลายของแตล่ ะช่วงย่อยอยู่ที่ = 0 < 1 < 2 <. . . < =

ขัน้ ท่ี 2 เลอื กคา่ ∗ ในแต่ละชว่ งปดิ [ −1 , ] เมอ่ื ∈ {1 , 2 , 3 , . . ., } และหา = ∑ =1 ( ∗ )
ขน้ั ท่ี 3 หาลิมติ → ∞

ถ้า → ∞ มคี ่า จะเรยี ก → ∞ วา่ ปรพิ ันธ์จากัดเขต ( ) ของฟังก์ชนั บนชว่ งปดิ [ , ]
และเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ∫ ( )

เรยี ก วา่ ลิมติ ล่าง ( ) ของปริพนั ธ์

เรียก วา่ ลิมติ บน ( ) ของปรพิ ันธ์

เขียนสรปุ ในรปู สญั ลักษณ์ไดด้ ังน้ี

∫ ( ) = ∑ =1 ( ∗ )

→∞
ดังน้ัน ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [ , ] และ ( ) ≥ 0 สาหรับทุก ∈ [ , ] แล้ว ∫ ( ) จะเป็น
พื้นท่ที ่ีปิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ = ( ) กับแกน จาก ถึง

แคลคูลสั เบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 178

หมายเหตุ : 1. จากข้ันท่ี 2 ถา้ เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนือ่ งแล้ว ไมว่ า่ จะเลือกคา่ ∗ เปน็ คา่ ใดในช่วงปดิ [ −1 , ] เมือ่
∈ {1 , 2 , 3 , . .. , } คา่ ของปรพิ ันธ์จากดั เขตทไ่ี ดจ้ ะเท่ากนั เสมอ

2. ขัน้ ตอนการหาพืน้ ทีท่ ีก่ ล่าวมาข้างต้น สามารถนาไปประยกุ ต์ใช้ในสถานการณอ์ ืน่ ๆ ได้อีก เช่น ในฟิสิกส์ ใชห้ างาน

ท่เี กิดจากแรงกระทาทม่ี ีขนาดไมส่ ม่าเสมอ และในคณิตศาสตรข์ นั้ สูง ใช้หาปริมาตรของรูปเรขาคณติ ในปริภมู ิ

ตวั อย่างที่ 106 จงหาพนื้ ที่ของบริเวณในจตภุ าคที่ 1 ซงึ่ ปดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 เส้นตรง = 0 และเส้นตรง = 0

หาจดุ ตัดแกน โดยให้ 4 − 2 = 0 จะได้ = 2 หรอื = −2 แต่เน่ืองจากต้องการหาพืน้ ทีข่ องบริเวณในจตุภาคท่ี 1

ดังนนั้ ช่วงบนแกน ของบรเิ วณท่ตี อ้ งการ คอื ชว่ งปดิ [0 , 2] และสามารถหาพื้นท่ีของบริเวณท่ีต้องการได้ตามขั้นตอน

ตอ่ ไปน้ี

ขัน้ ที่ 1 แบ่งช่วงปิด [0 , 2] ออกเปน็ ช่วงยอ่ ยทม่ี คี วามกวา้ งเท่ากนั จะได้วา่ แต่ละชว่ งย่อยกวา้ ง = 2−0 = 2

และจุดปลายของแต่ละชว่ งยอ่ ย คือ 0 , 2 , 4 , . . . , 2( −1) , 2 = 2


ขั้นที่ 2 เลอื กจุดหนึ่งจดุ ใดแต่ละชว่ งย่อย สมมตวิ า่ เลือกจดุ ปลายทางขวาของแต่ละช่วงย่อย

จะได้ = 2 (2) + 2 (4) +. . . + 2 (2 )


= 2 ((4 − ( 2 )2) + (4 − ( 4 )2) +. . . + (4 − (2 )2))


= 2 (4 − (2)2 − (4)2 −. . . − (2 )2)


= 2 (4 − (2)2 (12 + 22+. . . + 2))


=2 (4 − 4 ( ( +1)6(2 +1)))
2

=8 − 4 ( +1)(2 +1)
3 2
4 1 ) 1 )
= 8 − 3 (1 + (2 +

ดังนัน้ → ∞ = (8 − 4 (1 + 1) (2 + 1))
→∞ 3

= 8−8
3
= 16
3
แสดงวา่ บริเวณซึ่งปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ = 4 − 2 เสน้ ตรง = 0 และเส้นตรง = 0 ในจตภุ าคท่ี 1 มีพนื้ ที่ 16
3
ตารางหนว่ ย

หมายเหตุ : จากตวั อย่างท่ี 106 จะได้ว่า ∫02(4 − 2) = 16
3

จะเห็นว่าการหาปรพิ ันธ์จากัดเขตโดยใชข้ ัน้ ตอนท่ีกล่าวมาข้างตน้ มคี วามยุ่งยาก โดยเฉพาะอยา่ งยง่ิ ถ้าฟังกช์ นั มีความ
ซับซ้อนมากขึน้ การหา จะทาไดย้ ากขึน้

ต่อไปจะแสดงการใชค้ วามรู้เรื่องปฏิยานพุ นั ธ์ในการหาปริพันธจ์ ากัดเขตโดยไม่ตอ้ งหาลิมติ ของลาดบั ซงึ่ จะชว่ ยใหก้ าร
คานวณหาพน้ื ทข่ี องบริเวณทกี่ าหนดสามารถทาได้สะดวกรวดเร็วมากข้ึน

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 179

ให้ = ( ) เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งบนช่วง [ , ] และ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทุก ∈ [ , ]

รปู ท่ี 39

บริเวณ ท่ีแรเงาดังรูปท่ี 39 เป็นบริเวณซ่ึงปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = ( ) แกน เส้นตรง และเส้นตรง = และ
เสน้ ตรง = เรียก พ้ืนท่ขี องบริเวณ วา่ พ้ืนทท่ี ่ีปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กับแกน จาก ถึง

ให้ ( ) แทน พน้ื ท่ี ( ของบรเิ วณทปี่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = ( ) กับแกน จาก ถงึ เมอ่ื ≤ ≤

รูปที่ 40

สังเกตวา่ 1. ( ) = 0 (เนือ่ งจากพืน้ ท่จี าก ถึง เทา่ กับศูนย)์
2. ( ) = ∫ ( ) เปน็ พ้ืนทที่ ่ปี ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง = ( ) กบั แกน จาก ถงึ

ตอ่ ไปพิจารณาพน้ื ที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = ( ) กับแกน จาก ถึง + ℎ เมอ่ื ℎ > 0 ซึง่ เท่ากบั ( + ℎ) −

( )

รปู ที่ 41

ถา้ ℎ > 0 มีค่าน้อยๆ แลว้ ( + ℎ) − ( ) มีคา่ ใกลเ้ คียงกับพืน้ ท่ีของรปู สเ่ี หลย่ี มมุมฉาก ทีฐ่ านกว้าง ℎ หนว่ ย และ

สูง ( ) หน่วย ดงั รูปที่ 41

นั่นคอื ( + ℎ) − ( ) ≈ ℎ ⋅ ( )

จะได้ ( ) ≈ ( +ℎ)− ( )
ℎ

ซ่ึงค่าประมาณนจี้ ะใกลเ้ คียงมากยง่ิ ขน้ึ เมื่อ ℎ มีค่านอ้ ยๆ

ดงั น้ัน เมอ่ื ℎ มคี ่านอ้ ยลงจนเขา้ ใกลศ้ ูนย์ จะได้ ( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ
นั่นคอื ( ) = ′( )

ดังนัน้ เปน็ ปฏยิ านุพันธ์ของฟงั กช์ นั

แคลคลู ัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 180

จะได้ว่าปฏิยานพุ นั ธ์ใด ๆ ของฟังกช์ ัน จะต้องอยใู่ นรปู

( ) = ( ) + เมอ่ื เป็นคา่ คงตวั ………. (1)

แทน ดว้ ย และแทน ( ) ด้วย 0 ใน (1) จะได้ ( ) =

แทน ดว้ ย ใน (1) จะได้ ( ) = ( ) +

ดังนน้ั ( ) = ( ) − = ( ) − ( )

เน่ืองจาก ( ) = ∫ ( ) ∎
ดงั นน้ั ∫ ( ) = ( ) − ( )

ซ่ึงสามารถสรปุ เป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

∎ ทฤษฎบี ท 13 : ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ( )
เมื่อ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [ , ] ถ้า เป็นปฏิยานพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน แลว้

∫ ( ) = ( ) − ( )

∎ การหาปริพนั ธ์จากัดเขต ∫ ( ) โดยใช้ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคูลสั ทาได้ดังนี้
1) หาปฏิยานุพันธ์ ของฟังกช์ ัน น่นั คือ ปรพิ ันธ์จากัดเขต ∫ ( )
2) หา ( ) − ( ) ซึ่งจะเปน็ ค่าของปริพันธจ์ ากัดเขต ∫ ( )
จะเขียนแทน ( ) − ( ) ดว้ ยสญั ลักษณ์ ( )|
จะไดว้ ่า ถ้า ′( ) = ( ) แล้ว ∫ ( ) = ( )| = ( ) − ( )

ตวั อยา่ งท่ี 107 จงหา ∫01 2
วิธที า

คาตอบที่ได้จากตัวอย่างที่ 107 คือพ้ืนที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับแกน จาก 0 ถึง 1 เนื่องจาก 2 ≥ 0

สาหรับทกุ ∈ [0 , 1]

ในการหาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชัน โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะต้องแทน ใน ( )ด้วย และ

เพอ่ื หา ( ) − ( ) ซึ่งจะทาใหค้ ่าคงตวั ลบกนั หมดไป ดังนน้ั จากตวั อย่างที่ 77 จะสามารถเขียนใหม่ไดด้ งั นี้

∫01 2 = 3|1 = 1 − 0 = 1 ∎
3 3
30

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 181

ตวั อย่างที่ 108 จงหา ∫01(4 − 2)
วธิ ีทา

คาตอบที่ได้จากตัวอย่างที่ 108 คือพ้ืนที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 กับแกน จาก 0 ถึง 2 เนื่องจาก
4 − 2 ≥ 0 สาหรับทุก ∈ [0 , 2]

ตวั อยา่ งที่ 109 จงหา ∫−−21 1
3
วิธที า

จากตัวอย่างที่ 109 เนื่องจาก 1 < 0 สาหรับทุก ∈ [−2, −1] ดงั นน้ั คา่ ของ ∫−−21 1 จงึ ไม่ใช่พื้นทท่ี ่ีปิดลอ้ ม
3 3
ด้วยเสน้ โค้ง 1 กับแกน จาก −2 ถงึ −1
= 3

แคลคูลสั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 182

ตวั อย่างที่ 110 จงหา ∫−21 3
วธิ ีทา

จากตวั อยา่ งท่ี 110 เนื่องจาก 3 < 0 สาหรับทุก ∈ [−1, 0] ดงั นน้ั ค่าของ ∫−21 3 จึงไมใ่ ช่พื้นทที่ ่ีปดิ ล้อมดว้ ย
เสน้ โคง้ = 3 กบั แกน จาก −1 ถงึ 2

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 183

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 19 : แบบฝึกหัด 2.10 การหาปรพิ ันธ์จากดั เขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลัส

1. จงหาปรพิ ันธจ์ ากัดเขตตอ่ ไปน้ี โดยใชท้ ฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั
1.1) ∫34( 3 + 3)

วธิ ที า

1.2) ∫14( 2 − 2 − 3)
วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 184

1.3) ∫−11(4 3 + 2 )
วธิ ที า

1.4) ∫−−31 1
2
วิธที า

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 185

1.5) ∫24( 2 + 33)
วิธีทา

1.6) ∫−11(− 4 + 2 − 1)
วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 186

1.7) ∫01 ( 2 + 1)
วธิ ที า

1.8) ∫01 2( 2 + 1)2
วิธที า

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 187

1.9) ∫14 (2 − 3)

วธิ ที า 3

1.10) ∫02 ( 2 + 1)2
วิธที า

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 188

2. ณ เวลา ใด ๆ รถยนต์คนั หน่ึงวงิ่ ด้วยความเร่ง ( ) เมตรตอ่ วินาที2 โดยท่ี ∫05 ( ) = 10 ถ้ารถยนต์คันนีว้ ่งิ ด้วยความเร็ว
ต้น 20 เมตรตอ่ วนิ าที จงหาความเร็วของรถยนต์คันน้ีขณะเวลา 5 วินาที
วิธที า

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 189

2.11 พน้ื ทท่ี ป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้

ในหัวข้อที่แล้วได้กล่าวถึงปริพันธ์จากัดเขต โดยพิจารณาจากตัวอย่างการคานวณหาพื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
= ( ) จาก ถงึ เมือ่ ( ) ≥ 0 สาหรับทุก ∈ [ , ] และพบว่าพ้นื ที่ดงั กลา่ ว

∎ 2.11.1 พน้ื ที่ทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้งกับแกน

สามารถเขียนได้ในรูปปริพันธจ์ ากัดเขต ∫ ( ) ซ่ึงสามารถคานวณค่าได้งา่ ย โดยใช้ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคลู ัส
ในหวั ข้อนจ้ี ะศึกษาวิธกี ารหาพ้นื ที่ทีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ = ( ) กับแกน โดยแยกพจิ ารณาบนช่วงที่ ( ) ≥ 0 และบนช่วง
ท่ี ( ) ≤ 0 ดังกล่าวทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้

∎ ทฤษฎีบท 14 : ให้ เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องบนชว่ ง [ , ] และ เป็นพน้ื ที่ทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = ( ) กับแกน
จาก ถงึ
14.1 ถา้ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทกุ ∈ [ , ] แล้ว = ∫ ( )
14.2 ถา้ ( ) ≤ 0 สาหรับทกุ ∈ [ , ] แลว้ = − ∫ ( )

รูปที่ 42 รูปที่ 43

รปู ที่ 42 แสดงพน้ื ทีท่ ป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กับแกน จาก ถึง เมอื่ ( ) ≥ 0 สาหรบั ทุก ∈ [ , ]

จะได้ พน้ื ทที่ ่ีแรเงาเทา่ กบั ∫ ( )
รปู ที่ 43 แสดงพ้ืนที่ทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) กับแกน จาก ถงึ เม่อื ( ) ≤ 0 สาหรับทุก ∈ [ , ]

จะได้ พื้นทีท่ ่ีแรเงาเท่ากบั − ∫ ( )

ตวั อยา่ งท่ี 111 จงหาพ้นื ทท่ี ่ปี ิดล้อมดว้ ยเส้นโค้ง = 3 2 กับแกน จาก 0 ถงึ 1
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 190

ตวั อย่างที่ 112 จงหาพื้นทท่ี ่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ ( ) = 2 − 9 กับแกน จาก −2 ถึง 1
วธิ ีทา

ตัวอยา่ งที่ 113 กาหนดพ้ืนที่ทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง = ( ) ดังรูป ถา้ ′( ) = ( ) และ (0) = 10 แล้ว
จงหา (2) และ (5)

วิธีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 191

กจิ กรรมระหว่างเรยี น 20 : แบบฝกึ หัด 2.11.1 พ้นื ท่ที ีป่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโค้งกบั แกน

1. จงหาพ้นื ทีท่ ี่ปดิ ลอ้ มดว้ ย
1.1) เส้นโค้ง = 2 กบั แกน จาก −3 ถึง 0

วธิ ที า

1.2) เสน้ โคง้ = + 1 กบั แกน จาก −1 ถึง 1
วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 192

1.3) เสน้ โคง้ = 6 + − 2 กบั แกน จาก −1 ถึง 1
วธิ ที า

1.4) เส้นโค้ง = 9 − 2 กบั แกน จาก −3 ถึง 3
วิธที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 193

5) เสน้ โคง้ = 2 − 25 กบั แกน จาก −1 ถึง 3
วธิ ที า

2. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั ดงั รปู

ถา้ ′( ) = ( ) และ (0) = 0 แลว้ จงหา ( ) เมอื่ ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 194

3. กาหนดพืน้ ทีท่ ี่ปิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ = ′( ) ดงั รปู

ถ้า (0) = 3 แล้วจงหา (2) , (5) และ (6)
วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 195

4. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั แสดงอัตราเรว็ ของรถยนต์คันหนงึ่ (มีหน่วยเปน็ กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง) ดังรูป จงหาระยะทางท่ีรถยนตค์ นั น้ี
แลน่ ไดใ้ นเวลา 20 วนิ าที

วิธีทา

แคลคูลสั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 196

5. จงหาพืน้ ทร่ี ะหวา่ งแกน และกราฟของเสน้ โค้งสมการ = 3 − 2 − 2 บนช่วง −1 ≤ ≤ 2

พร้อมแสดงวธิ กี ารคานวณการไดม้ าของลกั ษณะกราฟ จุดตดั ของกราฟกบั แกน และจุดสูงสุด จุดตา่ สดุ ของกราฟ

วธิ ที า (แนวคาตอบ 1. 5 ตารางหน่วย 2. 8 ตารางหน่วย 3. 37 ตารางหนว่ ย 4. 23 ตารางหนว่ ย)
12 3 12 3

6. จงหาพน้ื ที่ A บริเวณใตแ้ กน กบั กราฟสมการ = ( ) = − 2 + 4 − 8 บนชว่ ง = −1 ถงึ = 4

แนวคาตอบ 1. 31 1 ตารางหนว่ ย 2. 32 1 ตารางหน่วย 3. 11 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหน่วย
33
33
วิธีทา

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 197

∎ 2.11.2 การนาอนิ ทิกรัลไปใช้ ( )
ในการหาพื้นที่ระหว่างเคอร์ฟ ( )

ตัวอยา่ งที่ 114 จงหาพื้นทท่ี ่ีปิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ = 2 กับเส้นตรง = 3 − 2

วิธีทา 114.1) หาจดุ ตดั ของสมการท้ังสองและเขียนกราฟ ให้ = ( ) = 2 กับเสน้ ตรง = ( ) = 3 − 2

จะได้ ( ) = ( ) นัน่ คอื 2 = 3 − 2

จะได้ 2 − 3 + 2 = 0

( − 1)( − 2) = 0

= 1 หรอื = 2

ที่ = 1 จะได้ (1) = (1)2 = 1 และ (1) = 3(1) − 2 = 1

ท่ี = 2 จะได้ (2) = (2)2 = 4 และ (2) = 3(2) − 2 = 4

จะได้จดุ ตัดของกราฟทงั้ สองอยู่ท่จี ุด (1 , 1 ) และ (2 , 4 )

น่ันคอื จะตอ้ งจงหาพน้ื ทที่ ่ปี ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้ = 2 กับเสน้ ตรง = 3 − 2 บนช่วง = 1 ถึง = 2

114.2) เขียนกราฟแสดงอาณาบริเวณพืน้ ทท่ี ่ีต้องการหา (ดังรปู )

114.3) คานวณหาพ้นื ทที่ ป่ี ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ = 2 กับเสน้ ตรง = 3 − 2 บนชว่ ง = 1 ถึง = 2

จะได้พน้ื ท่ี = ∫12[ ( ) − ( )]

= ∫12[(3 − 2) − ( 2) ]
= ∫12[3 − 2 − 2 ]
= [ 3 1+1 − 2 − 2+1]|2
1+1 2+1 1
= [ 3 2 − 2 − 3]|2
2 31
= [ 3 2 − 2 − 3]|2
2 31
= [ 3(2)2 − 2(2) − (2)3]] - [ 3(1)2 − 2(1) − (1)3]]
2 32 3
= [ 12 − 4 − 8] - [ 3 − 2 − 1]
2 32 3
= [ 12 − 3 + 1 − 8 −4 + 2]
2 233
= [ 9 − 7 -2]
23
= [ 27 − 14 − 12]
666
= 1 ตารางหน่วย
6 ∎

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 198

กจิ กรรมระหวา่ งเรยี น 21 : แบบฝกึ หดั 2.11.2 การหาพนื้ ทีร่ ะหวา่ งเคอร์ฟ ( )

1. จงหาพืน้ ท่ีทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง สมการ = ( ) = 2 2 − 4 + 6 และ = ( ) = − 2 + 2 + 1
บนช่วง = 1 ถึง = 2

วธิ ีทา (แนวคาตอบ 1. 3 ตารางหน่วย 2. 3 ตารางหน่วย 3. 6 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหนว่ ย)
2
3

2. จงหาพนื้ ที่ทีป่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโค้งสมการ = ( ) = 2 + 4 และ = ( ) = 2 + 2 + 3
บนช่วง = −1 ถงึ = 1 พรอมคานวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทงั้ สองด้วย

วิธที า

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 199

3. จงหาพนื้ ที่ท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4

บนชว่ ง = 0 ถึง = 6 ใหค้ านวณแสดงการหาจดุ ตัดของกราฟทัง้ สองดว้ ย

วิธีทา (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหนว่ ย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหน่วย)

3 3

4. จงหาพนื้ ทีท่ ปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = + 6 และ = ( ) = 2 บนชว่ ง = −2 ถงึ = 3
ให้คานวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟท้งั สองดว้ ย

วิธีทา (แนวคาตอบ 1. 15 ตารางหนว่ ย 2. 32 ตารางหน่วย 3. 125 ตารางหนว่ ย 4. 10 ตารางหนว่ ย)
73 6 3