แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 250

⊠ 54. รถยนต์ 2 คัน ว่ิงตามกันบนถนนสายตรงท่ีอนญุ าตให้รถเดินทางเดียว ดว้ ยความเร็ว 40 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมงเท่ากนั และอยู่
หา่ งกนั 1 กโิ ลเมตร เนื่องจากถนนโล่งมาก ณ เวลาหน่งึ รถทงั้ สองจงึ เร่งเครื่องพร้อมกัน โดยคนั หน้าวิ่งด้วยความเรง่ 40 กิโลเมตร

36

ต่อชั่วโมง2 ในขณะท่ีรถโดยคันหลังวิ่งด้วยความเร่ง 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง2 ถ้าคนขับรถยนต์ทั้งสองคันไม่ลดความเร่ง จะเกิด
เหตกุ ารณ์ใดขน้ึ เมอ่ื เวลาผา่ นไป 2 นาที
วิธที า

55. จงหาปริพันธจ์ ากดั เขตต่อไปนี้
55.1) ∫−12( 3 − 3 2 + 3)

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 251

55.2) ∫13(4 − 5 4)
วธิ ที า

55.3) ∫14 3 − − 3

( 2 2)

วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 252

55.4) ∫−11( + 1)( + 3)
วธิ ที า

⊠ 55.5) ∫49 ( + −√1 )
วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 253

55.6) ∫−12| − 2|
วธิ ที า

55.7) ∫164 1 + 1

( 2 3)

วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 254

55.8) ∫827 ( −1 )

2

วธิ ที า − 3

56. จงหาพืน้ ท่ที ป่ี ิดลอ้ มดว้ ย
56.1) เส้นโคง้ = −3 + 7 กบั แกน ใด ๆ จาก −5 ถึง 2

วธิ ีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 255

56.2) เส้นโค้ง = 3 2 − 2 − 1 กับแกน ใด ๆ จาก 1 ถงึ 3
วธิ ที า

56.3) เสน้ โค้ง = 12 − − 2 กับแกน ใด ๆ จาก −6 ถึง −4
วิธที า

แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 256

57. จากรปู เส้นตรง ตดั กับเสน้ โคง้ ( ) = −4 2 + 16 ทจ่ี ุด และ ซ่ึงเป็นจดุ บนแกน และแกน ตามลาดับ
จงหาพน้ื ทีบ่ รเิ วณท่ีแรเงา

วธิ ที า

58. พรนภาจ้างรถบรรทุกเพ่ือขนย้ายสัมภาระในการย้ายบ้าน โดยคนขับคิดค่าขนบ้ายตามระยะทางกิโลเมตรละ 15 บาท แต่ถ้า
ราคาทต่ี ้องจ่ายเกนิ 450 บาท จะคดิ คา่ ขนยา้ ยยา้ ยในราคาเหมาจ่าย 450 บาท ถา้ ระหวา่ งการเดนิ ทาง พรนภาบันทกึ อตั ราเร็วของ
รถบรรทุกไดด้ งั กราฟ พรนภาตอ้ งจา่ ยคา่ ขนยา้ ยเทา่ ใด

วธิ ีทา

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 257

59. กาหนดให้ ′′( ) = 0 สาหรบั ทุก ∈ ℝ ถา้ (−1) = 0 และ (1) = 4 จงหา ∫12 ( )
วธิ ที า

60. กาหนดให้ ( ) = 2 + + 1 เป็นปฏยิ านพุ ันธ์ของ ( ) และความชันของเส้นโค้ง = ( ) ทจ่ี ุดซง่ึ = 1 คอื 5
จงหาพื้นที่ทปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้ = ( ) กับแกน จาก −1 ถึง 1

วิธีทา

แคลคลู สั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 258

⊠ 61. กาหนดใหก้ ราฟของฟงั กช์ นั มแี กน เปน็ แกนสมมาตร และ ( ) ≥ 0 สาหรับทกุ ∈ ℝ

ถ้า 1 ∫−21 ( ) = ∫01 ( ) =3 จงหา ∫−22 ( )
4
วิธีทา

62. น้าประปารั่วออกจากถังด้วยอัตรา ′( ) = − (มีหน่วยเป็นแกลลต่อนาที) โดยท่ี ( ) แทน ปริมาณของน้าในถัง
40

ณ เวลา วนิ าที
62.1) จงหาปริมาตรของน้าทไี่ หลออกจากถังต้ังแตเ่ วลา 0 ถึง 15 นาที

วิธีทา

แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 259

62.2) ถา้ มปี รมิ าตรของนา้ ในถัง ณ เวลาเริ่มต้น 320 แกลลอน จงหาวา่ จะตอ้ งใชเ้ วลานานเท่าใด นา้ จึงจะไหลออกจากถังทั้งหมด
วิธีทา

63. จากข้อมูลของสานักงานสามะโนประชากรของสหรัฐอเมริกา ( . . ) สามารถเขียนฟังก์ชันแสดง
อตั ราการเปล่ยี นแปลงของจานวนประชากรโลกตง้ั แต่ ค.ศ.1950 (มีหน่วยเปน็ ล้านคนต่อป)ี ไดเ้ ป็น
( ) = −0.012 2 + 48 − 47,925 เมือ่ แทน ค.ศ. ถ้าใน ค.ศ.2017 มจี านวนประชากรโลกประมาณ 7,500 ล้านคน จงหา

63.1) ฟังกช์ นั แสดงจานวนประชากรโลกใน ค.ศ.
วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 260

63.2) จานวนประชากรโลกใน ค.ศ.2050
วธิ ีทา

64. นักชีววิทยากลุ่มหน่ึง ได้ศึกษาการเพ่ิมขึ้นของน้าหนักหนูทดลอง เม่ือได้รับโปรตีนผสมสูตรพิเศษ ซึ่งประกอบไปด้วยยีสต์และ
แป้งข้าวโพด ผลการศึกษาพบว่า อัตราการเพ่ิมขึ้นโดยประมาณของน้าหนักหนูทดลองกลุ่มนี้ เทียบกับร้อยละของยีสต์ในโปรตีน
ผสมสูตรพิเศษ คือ = − + 2 เม่ือ แทน น้าหนักท่ีเพ่ิมข้ึนของหนูทดลอง (มีหน่วยเป็นกรัม) และ แทน ร้อยละของ

25

ยสี ต์ในโปรตนี ผสมสูตรพิเศษ ถา้ มียสี ตอ์ ยูร่ ้อยละ 10 ในโปรตนี ผสมสตู รพิเศษ แลว้ หนทู ดลองจะมนี า้ หนักเพม่ิ ข้นี 38 กรัม จงหาว่า
หนทู ดลองจะมีน้าหนักเพม่ิ ข้ึนกีก่ รัมถ้ามียีสต์อยู่รอ้ ยละ 75 ในโปรตนี ผสมสูตรพิเศษ
วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 261

65. จงหาพ้นื ที่ระหว่างแกน และกราฟของสมการ = 3 − 2 − 2 บนชว่ ง −1 ≤ ≤ 2

พรอ้ มคานวณแสดงการหาจดุ ตดั ของกราฟกบั แกน ด้วย

วิธที า แนวคาตอบ 1. 5 ตารางหน่วย 2. 8 ตารางหนว่ ย 3. 37 ตารางหน่วย 4. 23 ตารางหนว่ ย
12 3 12 3

66. จงหาพ้ืนที่ บริเวณใต้แกน กับกราฟสมการ = ( ) = − 2 + 4 − 8 บนชว่ ง = −1 ถงึ = 4
วธิ ที า แนวคาตอบ 1. 31 1 ตารางหน่วย 2. 32 1 ตารางหน่วย 3. 11 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหน่วย

3 3 33

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 262

67. จงหาพน้ื ทที่ ป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โค้งสมการ = ( ) = 2 − 2 และ = ( ) = บนช่วง = 0 ถึง = 1
ให้คานวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วิธที า

68. จงหาพน้ื ทที่ ีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ สมการ = ( ) = 2 + 4 และ = ( ) = 2 + 2 + 3 บนชว่ ง = −1 ถึง = 1
ให้คานวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทัง้ สองดว้ ย

วิธีทา

แคลคลู สั เบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 263

69. จงหาพน้ื ที่ท่ีปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้งสมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4 บนช่วง = 0 ถงึ = 6

ให้คานวณแสดงการหาจุดตดั ของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วธิ ีทา (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย)

3 3

70. จงหาพืน้ ทท่ี ่ีปิดล้อมดว้ ยเส้นโค้งสมการ = ( ) = 2 + 3 + 5 และ = ( ) = − 2 + 5 + 9
ให้คานวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย

วิธีทา (แนวคาตอบ 1. 79 ตารางหนว่ ย 2. 64 ตารางหนว่ ย 3. 54 ตารางหน่วย 4. 48 ตารางหน่วย)
33 3 3

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 264

71. จงหาพน้ื ท่ีทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ สมการ = ( ) = − 2 + 5 − 4 และ = ( ) = − − 4 บนช่วง = 0 ถงึ = 6

ใหค้ านวณแสดงการหาจุดตดั ของกราฟท้ังสองดว้ ย

วธิ ที า (แนวคาตอบ 1. 64 ตารางหนว่ ย 2. 24 ตารางหนว่ ย 3. 36 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย)

3 3

72. จงหาพนื้ ทีท่ ปี่ ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ สมการ = ( ) = 2 − 4 และ = ( ) = 4 − 2
ให้คานวณแสดงการหาจุดตดั ของกราฟทง้ั สองดว้ ย

วธิ ที า (แนวคาตอบ 1. 79 ตารางหนว่ ย 2. 64 ตารางหน่วย 3. 54 ตารางหน่วย 4. 48 ตารางหนว่ ย)
33 3 3

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 265

สตู รการหาอนพุ นั ธ์ ( ) และ อนิ ทิกรัลไมจ่ ากัดเขต ( )

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 266

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 267

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 268

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 269

แคลคลู ัสเบ้อื งตน้ (Calculus)

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1

Sira Nanny Bella Tanitt

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 270

ตวั อย่างตารางเปรยี บเทยี บผลจากการหาอนพุ ันธแ์ ละการหาปฏิยานุพนั ธ์

อนพุ ันธ์ ( ) อนิ ทิกรัลไมจ่ ากดั เขต ( )

1. (4 ) = 4 1. ∫ 4 = 4 +

2. ( 3) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 +

3. (5 2) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 +

1 1
4. (√ ) = 2√ 4. ∫ 2√ = √ +

5. (−3√ ) = − 1 −23 5. ∫ − 1 −32 = −3√ +
3 3
6. ( ) = 6. ∫ = +

7. ( ) = − 7. ∫(− ) = +

8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = +


ตัวอย่างตารางเปรียบเทยี บผลจากการหาอนุพนั ธแ์ ละการหาปฏิยานพุ ันธ์

สูตรอนพุ ันธ์ ( ) สตู รอินทกิ รัล ( )

1. ( ) = 0 2. ∫ = +

2. ( ) =1

3. ( ) = −1
3. ∫ −1 = ( −1)+1 + =
( −1)+1

4. ( +1) = ; ≠ −1 , ∈ ℝ 4. ∫ = +1 + ; ≠ −1 , ∈ ℝ
+1 +1
5. [ ( )] = [ ( )]

6. [ ( ) + ( )] = [ ( )] + [ ( )]

7. [ ( ) − ( )] = [ ( )] − [ ( )]


8. [ ( ) ∙ ( )] = ( ) ∙ [ ( )] + ( ) [ ( )]

= ∙
9. = [ ( )] = ( ) ℎ = ( )

( ) [ ( )]+ ( ) [ ( )]
10. [ (( ))] = [ ( )]2


11. = 11. ∫ = +

12. = 12. ∫ = +

13. ∫( ) = − +
13. = −

14. = − 14. ∫( ) = − +

15. = 2 15. ∫( 2 ) = +

16. ∫ 2 = +
16. = 2

17. = − ∙ 17. ∫ = − +

18. = − ∙ 18. ∫ = − +

19. = 19. ∫ = +

20. ∫ 2 = − +
20. = − 2

21. = − 2 21. ∫ 2 = − +


แคลคลู สั เบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 271

1.) สูตรพ้ืนฐานของอนิ ทิกรลั ไมจ่ ากัดเขต

1. ∫ = + 2. ∫ = ∫ = + เมื่อ เป็นคา่ คงตวั

3. ∫ = +1 + เมือ่ ≠ −1 4. ∫ = | | +
+1
+
5. ∫ = + 6. ∫ = เมอ่ื a 0

2.) ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

7. ∫ = − + 8. ∫ = +

9. ∫ 2 = + 10. ∫ 2 = − +

11. ∫ = + 12. ∫ = − +

13. ∫ = − | | + 14. ∫ = | | +

3.) ฟงั ก์ชนั ไฮเพอรโ์ บลิก

15. ∫ ℎ = ℎ + 16. ∫ ℎ = ℎ +

17. ∫ ℎ2 = ℎ + 18. ∫ ℎ2 = − ℎ +

19. ∫ ℎ ℎ = − ℎ + 20. ∫ ℎ ℎ = − ℎ +

4.) ฟงั กช์ นั พชี คณติ ในรปู เศษส่วน

21. ∫ = −1 + 22. ∫ = 1 −1 +
√ 2− 2 2+ 2
23. ∫ 1 24.
√ 2− 2 = −1 + ∫ √ 2+ 2 = ( + √ 2 + 2) +

25. ∫ = | + √ 2 − 2| + 26. ∫ = 1 | + | +
√ 2− 2 2− 2 2
−

27. ∫ = − 1 | +√ 2− 2| + 28. ∫ = − 1 | +√ 2+ 2| +
√ 2− 2 √ 2+ 2