แคลคูลัสเบื้องต้น 1-2565

แคลคูลสั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 100

7. กาหนดวงรี สมการ 2 + 2 2 + 3 + 4 = 0 จงหา

7.1) 7.2) | หรอื ความชัน ณ จดุ (0 , 0) 7.3) สมการเสน้ สมั ผสั โค้ง ณ จุด (0 , 0)

=0, =0

7.4) | หรอื ความชัน ณ จุด (0 , −2) และ 7.5) สมการเสน้ สมั ผัสโค้ง ณ จุด (0 , −2)
=0, =−2

วธิ ที า

แคลคลู สั เบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 101

ขอ้ 8. กาหนดไฮเพอรโ์ บลา 9 2 − 25 2 − 18 + 150 − 441 = 0 จงหา

8.1) 8.2) | หรือความชนั ณ จุด (−5 ,5) 8.3) สมการเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุด (−5 , 5)

=−5, =5

วิธที า

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 102

∎ 2.7.2 อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ ( )

1) = 7) =


2) = − 8) = −


3) = 2 9) = 2


4) = − 2 10) = − 2


5) = 11) = ∙


6) = − cot 12) = − ∙ cot


∎ ทฤษฎีบท 1. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = =


∎ บทแทรก 1. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟังก์ชนั ของ ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้ แลว้ =


ขอ้ 1. กาหนด ให้ = ( 2 + 5) จงหา


วิธที า

∎ ทฤษฎบี ท 2. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = = −


∎ บทแทรก 2. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ ันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = −


ขอ้ 2. กาหนด ให้ = cos ( 4 − 2) จงหา


วธิ ีทา

ขอ้ 3. กาหนด ให้ = จงหา


วธิ ที า

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 103

ขอ้ 4. กาหนด ให้ = จงหา

วธิ ีทา

∎ ทฤษฎีบท 3. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = = 2


∎ บทแทรก 3. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั กช์ นั ของ ที่หาอนพุ นั ธไ์ ด้ แล้ว = 2
ขอ้ 5. กาหนด ให้ = (3 + 2) จงหา



วิธที า

∎ ทฤษฎีบท 4. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = = − 2


∎ บทแทรก 4. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั ก์ชนั ของ ทหี่ าอนุพันธ์ได้ แล้ว = − 2


ขอ้ 6. กาหนด ให้ = (3 − 5) จงหา


วิธีทา

∎ ทฤษฎบี ท 5. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = =


∎ บทแทรก 5. ให้ ( ) = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนพุ ันธ์ได้ แลว้ = ∙


ขอ้ 7. กาหนด ให้ = (3 − 1) จงหา


วิธที า

แคลคูลัสเบ้ืองต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 104

∎ ทฤษฎีบท 6. ให้ ( ) = แล้ว ( ) = = −


∎ บทแทรก 6. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ นั ของ ที่หาอนุพันธไ์ ด้
แลว้ = − ∙



ขอ้ 8. กาหนด ให้ = (3 + 1) จงหา

วธิ ที า

∎ 2.7.3 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติผกผัน

∎ ทฤษฎีบท 7. ให้ ( ) = เมือ่ ∈ [ −1 , 1 ] และ ( ) ∈ [− , ]
2 2
แลว้ ( ) = = 1
√1− 2

∎ บทแทรก 7. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟังกช์ ันของ ทหี่ าอนุพันธไ์ ด้

แลว้ = 1
√1 − 2


ขอ้ 9. กาหนด ให้ = ( + 1) จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎบี ท 8. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −1 , 1 ] และ ( ) ∈ [0 , ]

แลว้ ( ) = = − 1
√1− 2

∎ บทแทรก 8. ให้ ( ) = และ เปน็ ฟงั ก์ชันของ ทหี่ าอนุพันธไ์ ด้

แล้ว = − √1 1 2
−


ขอ้ 10. กาหนด ให้ = (3 − 1) จงหา


วธิ ีทา

แคลคูลัสเบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 105

∎ ทฤษฎีบท 9. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −∞ , ∞ ] และ ( ) ∈ [− , ]
2
แลว้ ( ) = 1 2
+ 2
= 1

∎ บทแทรก 9. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ ันของ ทหี่ าอนพุ ันธ์ได้

แลว้ = 1 1 ∙
+ 2

ขอ้ 11. กาหนด ให้ = (2 − 1) จงหา


วธิ ที า

∎ ทฤษฎบี ท 10. ให้ ( ) = เมือ่ ∈ [ −∞ , ∞ ] และ ( ) ∈ [0 , ]

แล้ว ( ) = = − 1 1 2
+


∎ บทแทรก 10. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั กช์ ันของ ที่หาอนพุ ันธไ์ ด้

แล้ว = − 1 1 ∙
+ 2

ขอ้ 12. กาหนด ให้ = (3 + 2) จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎบี ท 11. ให้ ( ) = เมอื่ ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ] และ ( ) ∈ [0 , ] ∪ [ , ]
2
1 2
√ 2−1
แลว้ ( ) = = | |



∎ บทแทรก 11. ให้ ( ) = และ เป็นฟังกช์ ันของ ที่หาอนุพนั ธ์ได้ แล้ว

แล้ว = | | 1 ∙
√ 2−1

ขอ้ 13. กาหนด ให้ = (2 2 − 1) จงหา


วธิ ีทา

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 106

∎ ทฤษฎบี ท 12. ให้ ( ) = เม่อื ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ] และ ( ) ∈ [− , 0 ] ∪ [0 , ]
22
แล้ว ( ) = 1
= − | | √ 2−1



∎ บทแทรก 12. ให้ ( ) = และ เป็นฟงั ก์ชนั ของ ที่หาอนพุ ันธไ์ ด้

แล้ว = − | | 1 ∙
√ 2−1

ขอ้ 14. กาหนด ให้ = (2 3 − 3) จงหา


วธิ ที า

∎ 2.7.4 อนุพันธ์ของฟังกช์ นั เอ็กซ์โพเนนเชียล ( )

∎ ทฤษฎีบท 13. ให้ ( ) = เมอ่ื ≠ 0 แลว้ ( ) = [ ] =


∎ บทแทรก 13. ให้ ( ) = และ หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่ แลว้ ( ) = [ ] = ∙


ขอ้ 15. กาหนด ให้ = 43 2 จงหา


วธิ ีทา

∎ ทฤษฎีบท 14. ให้ ( ) = แลว้ ( ) = [ ] =


∎ บทแทรก 14. ให้ ( ) = และ หาอนพุ ันธไ์ ดท้ ่ี แล้ว ( ) = [ ] = ∙


ขอ้ 16. กาหนด ให้ = 3 3 จงหา


วธิ ีทา

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 107

ขอ้ 17. กาหนด ให้ ให้ = 2 5 + 3 6 จงหา
วิธีทา

∎ 2.7.5 อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ลอการิทึม ( )

∎ ทฤษฎีบท 15. ให้ ( ) = เมอ่ื > 0 แล้ว ( ) = = 1


∎ บทแทรก 15. ให้ ( ) = และ เป็นฟังก์ชันของ ท่ีหาอนุพันธไ์ ด้ แล้ว = 1 ∙



ขอ้ 18. กาหนด ให้ ให้ = (3 − 1) จงหา

วิธที า

∎ ทฤษฎบี ท 16. ให้ ( ) = เม่ือ > 0 และ เปน็ จานวนจรงิ ซงึ่ > 0 และ ≠ 0 แลว้

( ) = =1



∎ บทแทรก 16. ให้ ( ) = เมื่อ เป็นฟงั กช์ ันของ ทห่ี าอนพุ นั ธ์ได้ และ เปน็ จานวนจรงิ ซึ่ง > 0

และ ≠ 0 แลว้ = 1 ∙



ขอ้ 19. กาหนด ให้ = 4 (2 + 3) จงหา

วธิ ที า

แคลคูลัสเบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 108

ขอ้ 20.* กาหนดให้ = 43 จงหา


วิธที า

ขอ้ 21.* กาหนดให้ = 53 2−1 จงหา


วธิ ที า

ขอ้ 22.* กาหนดให้ = cos จงหา


วธิ ที า

แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 109

2.8 การประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์

2.8.1 การเคลือ่ นทแี่ นวตรง (การประยุกต์ 1)

ในการเคลื่อนท่ีของวตั ถุในแนวตรง มีปรมิ าณ 3 ชนิดท่ีเกีย่ วข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหนง่ ( ) ของวตั ถุ ความเรว็ ( ) ของ

วัตถุ และความเร่ง ( ) ของวัตถุ การเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน = ( ) โดยท่ี ( ) คือตาแหน่งของ

วัตถุ ณ ขณะเวลา ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ณ ขณะเวลา น่ันคือ ความเร็ว

เป็นอนพุ นั ธ์ของ เทียบกับ ดงั นั้น เปน็ ฟังกช์ ันของเวลา กาหนดโดย

( ) = ′( ) = ( +ℎ)− ( )
ℎ →0 ℎ
จะเหน็ วา่ ความเรว็ เปน็ ฟังกช์ ันของเวลา เม่ือ มหี น่วยเปน็ วนิ าที่ ( ∶ )

ในทานองเดียวกัน ความเร่งของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ คือ อัตราการเปล่ียนแปลงของความเรว็ เทียบกับ ณ ขณะ

เวลา นัน่ คอื ความเรง่ เป็นอนุพันธ์ของ เทียบกบั นั่นคือ

( ) = ′( ) = ′′( )

ดังน้ัน ความเร่งคือ อนุพันธ์อันดับท่ี 1 ของฟังก์ชันความเร็ว และเป็นอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชันตาแหน่ง

และเราสามารถแสดงความสมั พนั ธ์ของปริมาณทัง้ 3 ชนิด

⟶ = ⟶ ⟶ = ⟶

(ระยะทาง) ⇌ (ความเร็ว) ⇌ (ความเร่ง)

⟵ ∫ = ⟵⟵ ∫ = ⟵

เมื่อ คือ ระยะทาง มีหน่วยเป็นเมตร ( ) , คือ ความเร็ว มีหน่วยเป็นเมตร/วินาที ( / ) และ คือ ความเร่ง มี
หน่วยเป็นเมตร/วินาที2 ( / 2)

ตัวอย่างที่ 66 ให้ ( ) = 2 + เป็นฟังกช์ ันแสดงตาแหน่งของวตั ถทุ เ่ี คลื่อนท่ีแนวราบ (มหี นว่ ยเป็นเมตร) ขณะเวลา วินาที
จงหา 66.1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เร่ิมต้นขณะเวลา 10 วินาที
วิธที า

66.2) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา 10 วินาที
วิธีทา

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 110

66.3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 10 วินาที
วธิ ีทา

จากตัวอย่างท่ี 66 ขณะเวลา 10 วินาที ความเร็วและความเร่งของวัตถุเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่าวัตถุกาลังเคล่ือนที่
ไปทางขวาและมคี วามเรว็ เพิ่มข้ึน
ตัวอย่างท่ี 67 อรสาโยนวัตถขุ ึ้นไปในแนวดิ่ง ถ้าตาแหนง่ ของวตั ถุ (มีหนว่ ยเปน็ เมตร) หลงั จากโยนวตั ถไุ ปแล้ว วนิ าที

หาไดจ้ าก ( ) = 30 − 5 2 จงหา
67.1) ระยะห่างของวัตถุจากตาแหนง่ เร่มิ ต้น หลังจากโยนวตั ถไุ ปแล้ว 5 วินาที
วธิ ที า

67.2) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา 2 วินาที
วิธที า

แคลคูลสั เบอื้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 111

67.3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 2 วนิ าที
วิธีทา

จากตัวอย่างท่ี 67 ขณะเวลา 2 วนิ าที ความเรว็ ของวตั ถเุ ป็นจานวนจรงิ บวก แตค่ วามเรง่ ของวตั ถเุ ป็นจานวนจรงิ ลบ
แสดงว่าวัตถกุ าลังเคล่ือนทข่ี ้ึน แตม่ ีความเรว็ ลดลง

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 11 : แบบฝึกหัด 2.8.1 การประยกุ ต์ของอนุพันธ์ (1) การเคลอ่ื นที่ในแนวตรง

1. ให้ ( ) = 2 3 − + 5 เป็นฟงั กช์ นั แสดงตาแหนง่ ของวัตถุท่เี คล่อื นทใ่ี นแนวตรง (มหี น่วยเปน็ เมตร) ขณะเวลา วนิ าที
จงหาระยะห่างของวัตถุจากตาแหนง่ เร่ิมต้น ความเรว็ และความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที
วิธีทา

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 112

2. กาหนดให้วตั ถเุ คลือ่ นทีใ่ นแนวราบ ถ้าตาแหน่งของวตั ถุ (มหี น่วยเป็นเมตร) ขณะ วินาที หาได้จาก
( ) = 3 − 3 2 + + 5 จงหาระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหน่งเร่ิมต้น ความเร็วและความเรง่ ของวัตถขุ ณะที่ = 1

วิธที า

3. สุทธพิ งศป์ ลอ่ ยวัตถจุ ากที่สงู ลงสพู่ ืน้ ดนิ ถา้ ตาแหน่งของวตั ถุ (มหี น่วยเป็นเมตร) หลงั จากปล่อยวัตถไุ ปแล้ว วนิ าที
หาไดจ้ าก ( ) = −5 2 + 50 จงหา
3.1) ระยะหา่ งของวตั ถุจากตาแหน่งเรม่ิ ต้น หลงั จากปล่อยวตั ถไุ ปแลว้ 3 วินาที

วธิ ที า

3.2) ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา 2 วินาที
วิธที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 113

3.3) ความเร่งของวัตถขุ ณะเวลา 5 วนิ าที
วธิ ีทา

4. โยนก้อนหนิ ขึน้ ไปในแนวด่งิ ถ้าตาแหน่งของกอ้ นหนิ (มหี น่วยเปน็ เมตร) หาไดจ้ าก ( ) = 10 − 5 2 เมอ่ื แทน
ระยะเวลาตง้ั แต่เริ่มโยนกอ้ นหนิ (มหี น่วยเปน็ วินาที) จงหา

4.1) ความเร็วของก้อนหนิ ขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

4.2) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา ใด ๆ
วธิ ที า

4.3) เม่อื เวลาผ่านไปนานเท่าใด ก้อนหินจงึ จะอยูใ่ นตาแหน่งท่สี ูงที่สุดจากตาแหน่งเร่ิมตน้
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 114

2.8.2 ค่าสงู สดุ และตา่ สดุ ของฟงั ก์ชัน (การประยกุ ต์ 2)

ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการใช้ความรู้เรื่องอนุพนั ธ์ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังกช์ ัน กล่าวคือ เมื่อกาหนดฟังก์ชนั
ในรูป = ( ) แล้ว ต้องการหาค่า ทที่ าให้ มีค่าสงู สุดหรอื คา่ ต่าสดุ

สาหรับฟังกช์ ันกาลังสอง การหาค่าสูงสุดหรือคา่ ต่าสุดอาจทาได้โดยใชว้ ิธีทาใหเ้ ป็นกาลังสองสมบูรณด์ ังท่ีได้ศกึ ษามาแลว้
เช่น กาหนด = 12 − 2 จะได้ = 36 − ( 2 − 12 + 36) เมื่อจัด 2 − 12 + 36 ให้อยู่ในรูปกาลังสอง
สมบูรณ์ จะได้ = 36 − ( − 6)2 และเมื่อแทน x ด้วย 6 ทาให้ ( − 6)2 = 0 ดังนั้น จึงมีค่าสูงสุดเท่ากับ 36 เม่ือ

= 6

2.8.2.1 ฟังก์ชันเพิ่มและฟงั ก์ชันลด ( )

สาหรับฟังก์ชันทั่วไป การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดสามารถทาได้โดยใช้ความรู้เร่ืองอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และใช้ความรู้
เก่ียวกับฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดท่ีไดศ้ กึ ษามาแล้วในเรื่องฟังก์ชนั ดงั น้ี

∎ บทนิยาม 10 : ฟงั กช์ ันเพ่มิ และฟังก์ชนั ลด
กาหนดให้ เปน็ ฟงั ก์ชันซ่งึ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจานวนจรงิ และ เปน็ สบั เซตของโดเมน
10.1 เปน็ ฟงั กช์ นั เพิ่ม ( ) บนเซต ก็ต่อเม่ือ สาหรบั 1 และ 2 ใด ๆ ใน
ถ้า 1 < 2 แลว้ ( 1) < ( 2)
10.2 เป็น ฟังก์ชนั ลด ( ) บนเซต กต็ ่อเมอ่ื สาหรับ 1 และ 2 ใด ๆ ใน
ถ้า 1 < 2 แลว้ ( 1) > ( 2)

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชันต่อไปนี้

รปู ท่ี 19
จากรปู ที่ 19 จะเห็นวา่ ในบางชว่ ง เปน็ ฟงั ก์ชันลดและในบางช่วง เปน็ ฟงั ก์ชันเพม่ิ

รูปที่ 20
พจิ ารณาความชนั ของเส้นสัมผัสเสน้ โค้งซ่ึงเปน็ กราฟของฟงั ก์ชนั เพิม่ หรอื ฟังก์ชันลด ดังตอ่ ไปนี้

รูปที่ 21

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 115

รปู ท่ี 20 แสดงกราฟของฟังก์ชนั เพิ่ม เนื่องจากเมอ่ื เพิ่มข้ึน ค่าของ ( ) จะเพม่ิ ข้นึ ด้วยและจะเห็นว่าความชันของ
เสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง ณ จุดใด ๆ บนเสน้ โค้งนเ้ี ปน็ จานวนจรงิ บวก น่ันคอื ′( ) > 0

รูปที่ 21 แสดงกราฟของฟงั กช์ นั ลด เนื่องจากเมื่อ เพิม่ ข้ึน คา่ ของ ( ) จะลดลง และจะเห็นวา่ ความชนั ของเสน้
สัมผสั เส้นโค้ง ณ จุดใด ๆ บนเสน้ โคง้ นเ้ี ปน็ จานวนจริงลบ นั่นคือ ′( ) < 0

ดงั นัน้ การพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชันท่กี าหนดให้เปน็ ฟังกช์ นั เพมิ่ หรือฟังกช์ นั ลดบนช่วงใดบา้ ง อาจทาได้โดยพิจารณาจากความ
ชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ดงั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

∎ ทฤษฎีบท 8 : ให้ เป็นฟังกช์ ันที่หาอนพุ นั ธไ์ ด้บนช่วง A ซึง่ เปน็ สบั เซตของโดเมนของฟงั ก์ชัน
8.1 ถ้า ′( ) > 0 สาหรับทกุ ๆ บนชว่ ง A แล้ว จะเป็นฟงั ก์ชนั เพมิ่ บนช่วง A
8.2 ถ้า ′( ) < 0 สาหรบั ทุก ๆ บนช่วง A แล้ว จะเป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง A

ตัวอย่างท่ี 68 กาหนดให้ ( ) = 2 3 − 3 2 − 12 + 4 จงระบชุ ว่ งท่ี เป็นฟังก์ชนั เพิ่มและช่วงท่ี เปน็ ฟงั กช์ ันลด
วิธีทา

แคลคูลัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 116

2.8.2.2 ค่าสงู สุดสมั พทั ธ์และค่าต่าสดุ สมั พัทธ์ ( )

ต่อไปจะนาความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากทฤษฎีบท 8 ไปใช้ในการพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชัน
แตก่ อ่ นทจ่ี ะพจิ ารณาคา่ สูงสดุ และคา่ ต่าสุดของฟังก์ชัน ควรรู้จักคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์และค่าต่าสุดสัมพนั ธ์ก่อน ดังน้ี

∎ บทนิยาม 11 : ค่าสูงสดุ สมั พทั ธ์และคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์
11.1 ฟังกช์ ัน มคี ่าสงู สุดสัมพทั ธ์ท่ี = ถ้ามชี ว่ ง ( , ) ซ่งึ ∈ ( , ) และ ( ) ≥ ( )

สาหรบั ทกุ x ในโดเมนของฟังกช์ ัน ทอ่ี ย่ใู นชว่ ง ( , ) เรียก ( ) วา่ คา่ สงู สุดสมั พทั ธ์ ( )
ของฟังกช์ ัน และเรยี กจุด ( , ( )) วา่ จุดสงู สดุ สมั พทั ธ์ ของฟังก์ชัน

11.2 ฟังกช์ ัน มคี า่ ตา่ สุดสัมพัทธ์ท่ี = ถ้ามชี ว่ ง ( , ) ซง่ึ ∈ ( , ) และ ( ) ≤ ( )
สาหรับทกุ x ในโดเมนของฟังกช์ นั ทอี่ ย่ใู นช่วง ( , ) เรียก ( ) วา่ ค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ ( )
ของฟงั ก์ชนั และเรียกจดุ ( , ( )) วา่ จดุ ตา่ สุดสมั พัทธ์ ของฟังกช์ ัน

พิจารณากราฟของฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี

รปู ที่ 22

จากกราฟรปู ท่ี 22 จะเห็นวา่ จดุ , และ เปน็ จดุ สูงสดุ สัมพัทธ์ ส่วนจดุ และ เปน็ จุดตา่ สุดสมั พทั ธ์ กล่าวคือ
จุด เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ซึ่งมี ท่ี ( 1) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เน่ืองจากมีช่วง ( 1, 2) ซ่ึง 1 ∈ ( 1, 2) และ
สาหรับ ( 1) ≥ ( ) สาหรบั ∈ ( 1, 2) ∩
จุด เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ซึ่งมี ท่ี ( 3) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากมีช่วง ( 4, 5) ซึ่ง 3 ∈ ( 4, 5) และ
สาหรบั ( 3) ≥ ( ) สาหรบั ∈ ( 4, 5) ∩
จุด เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ซ่ึงมี ที่ ( 5) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากมีช่วง ( 7, 8) ซึ่ง 3 ∈ ( 7, 8) และ
สาหรับ ( 5) ≥ ( ) สาหรับ ∈ ( 7, 8) ∩
จุด เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์ ซ่ึงมี ที่ ( 2) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ เน่ืองจากมีช่วง ( 2, 3) ซึ่ง 2 ∈ ( 2, 3) และ
สาหรบั ( 2) ≥ ( ) สาหรบั ∈ ( 2, 3) ∩
จุด เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์ ซ่ึงมี ท่ี ( 4) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากมีช่วง ( 6, 7) ซึ่ง 2 ∈ ( 6, 7) และ
สาหรบั ( 2) ≥ ( ) สาหรบั ∈ ( 6, 7) ∩

ต่อไปพิจารณากราฟของฟงั ก์ชันตอ่ ไปน้ี

รูปท่ี 23 รปู ที่ 24

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 117

จากรูปที่ 23 จะเห็นว่าฟังก์ชัน มีค่าสูงสุดสัมพันธ์ท่ี = เนื่องจากมีช่วง ( , ) ซ่ึง ∈ ( , ) และ
( ) ≥ ( ) สาหรับทกุ ∈ ( , ) ∩

สังเกตว่า เปน็ ฟังกช์ นั เพ่มิ บนช่วง ( , ) และ เป็นฟงั ก์ชนั ลดบนชว่ ง ( , ) ซง่ึ กลา่ วได้ว่า ถา้ ′( ) > 0 เมือ่

น้อยกวา่ เลก็ นอ้ ย และ ′( ) < 0 เมือ่ มากกวา่ เลก็ น้อย แลว้ ฟงั ก์ชัน มคี า่ สงู สดุ สัมพัทธท์ ่ี = และสงั เกต
ว่า ′( ) = 0

ในทานองเดียวกัน จากรูปท่ี 24 จะเห็นว่าฟังก์ชัน มีค่าต่าสุดสัมพันธ์ท่ี = เน่ืองจากมีช่วง ( , ) ซึ่ง
∈ ( , ) และ ( ) ≤ ( )สาหรับทุก ∈ ( , ) ∩

สังเกตว่า เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง ( , ) และ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ( , ) ซ่ึงกล่าวได้ว่า ถ้า ′( ) < 0

เม่ือ น้อยกว่า เล็กน้อย และ ′( ) > 0 เมื่อ มากกว่า เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี = และ
สงั เกตว่า ′( ) = 0

ดังน้ัน ถ้า ( ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของ และ ′( ) มีค่า แล้ว ′( ) = 0 ซึ่งสรุปเป็น
ทฤษฎีบทดังนี้

∎ ทฤษฎีบท 9 : ให้ เปน็ ฟงั ก์ชันท่นี ิยามบนชว่ ง ( , ) และ ∈ ( , )

ถา้ ฟังก์ชัน มีคา่ สูงสดุ สัมพัทธ์หรือคา่ ต่าสุดสัมพนั ธท์ ี่ = และ f (c) มีค่า แลว้ ′( ) = 0

∎ บทนยิ าม 12 : ให้ เป็นฟงั กช์ ันท่นี ิยามบนชว่ ง ( , ) เรียกจานวนจรงิ ซ่ึง ∈ ( , ) ซ่งึ ทาให้ ′( ) = 0
หรือ ไมม่ ีค่า ว่า คา่ วิกฤต ( ) ของฟังกช์ ัน
และเรียกจุด ( , ( )) ว่า จุดวิกฤต ( ) ของฟงั กช์ ัน

หมายเหตุ : ในทนี่ ้จี ะกล่าวถึงเฉพาะฟงั กช์ ันทีม่ ีเพียงคา่ วกิ ฤต ซึง่ ′( ) = 0 เทา่ น้ัน
โดยไม่พิจารณาฟงั กช์ นั ทมี่ ีคา่ วกิ ฤต ซงึ่ ′( ) ไมม่ ีค่า

จากทฤษฎีบท 9 จะเห็นว่า ถ้า ′( ) ≠ 0 แล้ว ( ) จะไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น ในการ
หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน = ( ) จะต้องหาค่าวิกฤต ที่ทาให้ ′( ) = 0 ก่อน จากน้ันจึง
พิจารณาว่า เมื่อ เปลี่ยนจาก < เป็น > แล้ว ′( ) เปล่ียนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ หรือเปลี่ยน
จากจานวนจรงิ ลบเปน็ จานวนจรงิ บวก หรือไม่

ถ้าค่าของ ′( ) เปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ แสดงว่า เป็นค่าวิกฤตที่ทาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
สมั พันธ์และค่าสงู สดุ สมั พันธ์ คอื ( ) ดงั รูปที่ 25

ถ้าค่าของ ′( ) เปลี่ยนจากจานวนจริงลบเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า เป็นค่าวิกฤตที่ทาให้ฟังก์ชันมีค่าต่าสุด
สัมพันธแ์ ละค่าต่าสุดสมั พันธ์ คือ ( ) ดงั รูปท่ี 26

รปู ท่ี 25 รูปท่ี 26

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 118

แตถ่ า้ คา่ ของ ′( ) ไม่มกี ารเปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจรงิ ลบ หรือไม่มกี ารเปล่ียนจากจานวนจรงิ ลบเป็น
จานวนจริงบวก แสดงวา่ เปน็ ค่าวกิ ฤตทไี่ ม่ไดท้ าให้ฟังก์ชนั มีคา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์หรอื คา่ ตา่ สุดสมั พทั ธ์ ดังรปู ที่ 27 และรปู ที่ 28

รูปที่ 27 รูปที่ 28

∎ ทฤษฎบี ท 10 : ให้ เป็นฟงั ก์ชันท่ีหาอนพุ นั ธไ์ ดบ้ นชว่ ง ( , ) และ ∈ ( , ) เป็นค่าวกิ ฤตของ
10.1 ถ้า ′( ) เปล่ียนจากจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจรงิ ลบ เมือ่ เพม่ิ ขึน้ รอบๆ
แล้ว ( ) เป็นคา่ สงู สุดสมั พัทธ์ของ
10.2 ถ้า ′( ) เปลย่ี นจากจานวนจริงลบเปน็ จานวนจริงบวก เมือ่ เพิม่ ขึน้ รอบๆ
แลว้ ( ) เปน็ คา่ ตา่ สดุ สัมพัทธข์ อง

ตวั อย่างที่ 69 จงหาค่าสงู สุดสมั พัทธ์และค่าต่าสดุ สมั พนั ธ์ของฟังก์ชัน ( ) = 2 3 + 3 2 − 12 − 7
วธิ ที า

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 119

นอกจากการใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1 ของฟังก์ชันช่วยในการตรวจสอบค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพันธ์ดังที่กล่าวมา
ขา้ งต้น บางคร้ังอาจใชอ้ นพุ ันธอ์ ันดับท่ี 2 ชว่ ยในการตรวจสอบได้โดยใช้ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

∎ ทฤษฎบี ท 11 : กาหนดให้ เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนช่วง ( , ) และ ∈ ( , ) เปน็ ค่าวกิ ฤตของ
ซ่ึง ′( ) = 0 และ ′′( ) มีค่า
11.1 ถ้า ′′( ) > 0 แล้ว ( ) เปน็ ค่าต่าสุดสัมพทั ธข์ อง
11.2 ถ้า ′′( ) < 0 แลว้ ( ) จะใหค้ ่าสงู สดุ สัมพทั ธ์ของ

ตวั อย่างที่ 70 จงหาคา่ สูงสุดสมั พัทธ์และคา่ ตา่ สุดสมั พันธ์ของฟังกช์ ัน ( ) = 3 + 3 2 − 24 − 20
วธิ ีทา

จากทฤษฎบี ท 11 ถา้ ทราบว่า ′′( ) เป็นจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจริงลบ จะสามารถบอกได้วา่ ( ) เปน็ ค่าสงู สุด
สัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพันธ์ ตามลาดับ แต่ถ้า ′( ) = 0 แล้วจะไม่สามารถสรุปได้ว่า ( ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุด
สัมพนั ธ์ เพราะ ( ) อาจจะเป็นคา่ สงู สุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสดุ สัมพนั ธ์ หรืออาจจะไมเ่ ป็นทง้ั คา่ สงู สดุ สัมพัทธ์และค่าตา่ สดุ สัมพันธ์
เลยกไ็ ด้ ดังน้ัน ในกรณนี ี้จะตรวจสอบคา่ สูงสดุ สมั พัทธ์หรือคา่ ต่าสุดสัมพนั ธข์ องฟังกช์ นั โดยใชอ้ นุพันธ์อนั ดบั ที่ 1 ของฟังกช์ นั โดยใช้
ทฤษฎบี ท 10 ทีก่ ลา่ วไปแลว้

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 120

2.8.2.3 ค่าสูงสุดสมั บูรณ์ คา่ ตา่ สุดสัมบรู ณ์ ( , )

ฟังก์ชัน อาจมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพันธ์ของฟังก์ชันได้หลายค่า แต่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุด
สัมบูรณเ์ พียงค่าเดียว จะเรยี กค่าของ ( ) ท่ีมากที่สดุ สาหรับทุก ∈ ว่า ค่าสูงสุดสมั บูรณ์ และเรียกคา่ ของ ( ) ที่นอ้ ย
ทีส่ ดุ สาหรบั ทุก ∈ วา่ คา่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์ ดังบทนิยามต่อไปน้ี

∎ บทนยิ าม 13 : ค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ คา่ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์
13.1) ฟังก์ชัน มคี า่ สงู สุดสมั บรู ณ์ ( ) ท่ี =
เมอื่ ( ) ≥ ( ) สาหรบั ทกุ ∈
13.2) ฟงั ก์ชนั มคี ่าตา่ สุดสัมบรู ณ์ ( ) ท่ี =
เมอ่ื ( ) ≤ ( ) สาหรับทกุ ∈

พิจารณากราฟของฟังก์ชนั = ( ) โดยที่ = [ , ] ดังรปู ท่ี 29-32

รปู ท่ี 29
จากรูปท่ี 29 จะเห็นว่า ( ) เป็นคา่ สงู สุดสัมพทั ธ์ โดยท่ี ( ) เป็นคา่ สงู สดุ สัมบูรณด์ ว้ ย

รปู ที่ 30
จากรูปท่ี 30 จะเหน็ ว่า ( ) , ( 1) และ ( 2) เป็นค่าสูงสดุ สมั พัทธ์ โดยที่ ( ) เปน็ ค่าสูงสุดสมั บูรณ์ด้วย

รปู ที่ 31
จากรูปที่ 31 จะเห็นว่า ( ) เป็นคา่ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์ โดยที่ ( ) เป็นคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ดว้ ย

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 121

รูปท่ี 32

จากรูปที่ 32 จะเห็นว่า ( 1) , ( 2) และ ( ) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ โดยที่ ( ) เป็นค่าต่าสุดสัมบูรณ์ด้วย ฟังก์ชัน

ต่อเนื่องที่นิยามบนช่วงเปิดอาจจะมีหรือไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุดสัมบูรณ์ได้ เช่น ( ) = 1 ไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์และ

คา่ ตา่ สดุ สัมบรู ณบ์ นชว่ งเปิด (0 , 1) แตฟ่ ังก์ชันต่อเนื่องทนี่ ยิ ามบนช่วงปดิ จะมีค่าสูงสุดสมั บรู ณแ์ ละ คา่ ตา่ สดุ สัมบูรณเ์ สมอ ดงั

ทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

ค่าสงู สุดสมั บูรณแ์ ละคา่ ตา่ สุดสมั บูรณ์

∎ ทฤษฎีบท 12 : คา่ สูงสดุ สมั บูรณแ์ ละคา่ ตา่ สุดสัมบูรณ์
12.1) ถ้า ฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ งปิด [ , ] แลว้ จะมีทง้ั คา่ สูงสดุ สมั บรู ณแ์ ละคา่ ต่าสดุ สัมบรู ณบ์ นช่วงปดิ [ , ]
12.2) ถ้า เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งทบี่ นชว่ งปิด [ , ] แล้วคา่ สูงสดุ สมั บรู ณแ์ ละคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ของ อาจเปน็
ค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์ หรือคา่ ต่าสดุ สมั พัทธ์ภายในช่วงเปดิ ( , ) หรอื เปน็ ค่าของฟังก์ชันทีจ่ ดุ ปลายของช่วงปิด [ , ]

ข้นั ตอนการหาคา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์และค่าตา่ สดุ สมั บูรณ์

มีข้ันตอนดังต่อไปน้ี
ถา้ ฟงั ก์ชนั เป็นฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื งบนช่วงปดิ [ , ] และหาอนพุ ันธไ์ ด้บนชว่ งเปิด ( , ) แลว้ สามารถหาค่าสงู สดุ
สัมบูรณ์และคา่ ตา่ สุดสมั บูรณข์ องฟงั กช์ ัน บนชว่ งปิด [ , ] ไดด้ ังนี้

1. หาค่าวกิ ฤตท้งั หมดในช่วงเปดิ ( , )
2. หาค่าของฟังก์ชนั ณ คา่ วิกฤตที่ได้จากขอ้ 1
3. หาค่าของฟังก์ชันทจี่ ดุ ปลายของชว่ งปดิ [ , ] นั่นคือ หา ( ) และ ( )
4. เปรียบเทียบค่าทไี่ ด้ท้ังหมดจากข้อ 2 และ 3 ซึง่ จะทาให้ได้ขอ้ สรปุ วา่

4.1) ค่ามากทส่ี ดุ เป็นค่าสูงสดุ สมั บูรณ์ของฟังก์ชัน
4.2) ค่านอ้ ยทีส่ ดุ เปน็ ค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์ของฟงั ก์ชนั
ตวั อยา่ งที่ 71 จงหาค่าสงู สุดสมั บรู ณ์และคา่ ต่าสุดสมั บรู ณ์ของฟังกช์ ัน ( ) = 2 3 − 3 2 − 36 + 42 บนชว่ งปดิ [−5 , 5]
วิธีทา

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 122

ตัวอย่างที่ 72 จงหาค่าสงู สดุ สัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สมั บรู ณ์ของฟงั กช์ ัน ( ) = 3 − 3 + 2 บนชว่ งปิด [0 , 2]
วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 123

กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 12 : แบบฝึกหดั 2.8.2 การประยุกตข์ องอนุพันธ์ (2) ฟังกช์ นั เพิ่ม ฟังก์ชนั ลด คา่ สูงสดุ คา่ ต่าสดุ

1. จากฟังกช์ ันทก่ี าหนดให้ จงระบุช่วงท่ีฟังก์ชนั เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ และชว่ งท่ีฟงั ก์ชันเปน็ ฟงั ก์ชนั ลด
1.1) ( ) = 3 − 2 − 2

วิธที า

1.2) ( ) = 2 2 − − 3
วธิ ที า

'

แคลคูลัสเบือ้ งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 124

1.3) ( ) = 2 3 − 2 − 8
วธิ ที า

1.4) ( ) = 2 3 + 3 2 − 36 + 5
วิธที า

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 125

1.5) ( ) = 3 − 2 2 − 4 + 7
วธิ ีทา

2. จงหาค่าสงู สดุ สัมพัทธแ์ ละคา่ ต่าสุดสมั พทั ธข์ องฟังกช์ ันต่อไปนี้
2.1) ( ) = 2 − 8 + 7

วิธีทา

แคลคูลัสเบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 126

2.2) ( ) = 3 − 3 + 6
วธิ ที า

2.3) ( ) = 3 − 3 2 − 24 + 4
วิธที า

แคลคูลสั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 127

2.4) ( ) = 4 − 8 2 + 12
วธิ ที า

2.5) ( ) = 4 − 4 3 + 8
วิธที า

แคลคูลัสเบือ้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 128

3. จงหาคา่ สงู สุดสัมบูรณ์และค่าตา่ สุดสัมบูรณข์ องฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้
3.1) ( ) = 2 − 4 + 3 บนช่วงปิด [ 0 , 5]

วธิ ีทา

3.2 ( ) = 3 − 2 2 − 4 + 8 บนชว่ งปิด [−2 , 3]
วิธที า

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 129

3.3) ( ) = 4 − 2 3 − 9 2 + 27 บนชว่ งปิด [−2 , 4]
วธิ ที า

3.4) ( ) = 3 + 5 − 4 บนชว่ งปิด [−3 , −1]
วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 130

4. กาหนดให้ ( ) = 3 + 2 + + จงยกตัวอยา่ งจานวนจริง , และ ท่ีทาให้
4.1) มีค่าวกิ ฤต 2 คา่

วธิ ที า

4.2) มคี ่าวิกฤตเพยี ง 1 คา่
วิธที า

4.3) ไม่มคี า่ วิกฤต
วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 131

2.8.3 โจทย์ปญั หาเกีย่ วกับค่าสงู สดุ หรอื ค่าตา่ สดุ (การประยกุ ต์ 3)

ในชวี ิตจริงหรือในทางธรุ กิจ มกั จะพบวา่ ปญั หาเกยี่ วข้องกับการหาค่าสงู สดุ หรอื ค่าตา่ สุดเสมอ เชน่ ตอ้ งการใหร้ ายรบั หรอื
ผลตอบแทนสูงสุด โดยท่ีรายจ่ายหรือต้นทุนต่าสุด ในการแก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดจะต้องสร้างสมการท่ีแสดง
ความสมั พันธข์ องปรมิ าณที่เกยี่ วขอ้ งกัน แล้วเขยี นให้อยู่ในรูปของฟงั ก์ชันท่ีมตี ัวแปรตน้ และตัวแปรตาม จากน้ันจึงพจิ ารณาเงื่อนไข
ของโจทยว์ ่าฟังก์ชันน้ันมโี ดเมนเปน็ เซตใด และตอ้ งการให้ค่าสูงสุดหรือคา่ ตา่ สุดบนโดเมนทก่ี าหนด

หลกั การท่ัวไปในการแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั ค่าสูงสุดหรอื คา่ ตา่ สดุ
1. ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียด ว่ามีปริมาณใดบ้างที่เก่ียวข้องกัน และเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัว

แปรที่แทนปริมาณที่เกี่ยวขอ้ งใหอ้ ยูใ่ นรูปของฟงั กช์ ันบนช่วงท่สี อดคลอ้ งกับเงือ่ นไขของโจทยป์ ัญหา
2. ใชว้ ิธีการท่ไี ด้ศึกษาในหัวขอ้ ทแ่ี ลว้ ในการหาค่าสงู สดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ ของฟงั ก์ชนั น้นั

ตัวอย่างที่ 73 ต้องการนาลวดหนามยาว 1,000 เมตร มาก้ันพื้นท่ีเป็นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก โดยพื้นท่ีด้านหนึ่งอยู่ติดริมรั้วบ้านจึงไม่
ตอ้ งขงึ ลวดหนามกั้น จงหาขนาดของรปู สเี่ หลย่ี มดังกล่าว ที่ทาใหพ้ น้ื ท่มี ากทีส่ ุด และจะไดพ้ ื้นที่ท่ีมากที่สุดเปน็ เท่าใด

วิธที า

แคลคูลัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 132

ตัวอย่างที่ 74 ต้องการทากล่องกระดาษแข็งรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 10 เซนติเมตร โดยตัดกระดาษเป็นรูปส่ีเหล่ียม
จตั รุ สั ทแ่ี ต่ละดา้ นยาว เซนตเิ มตร ออกจากมุมทั้งส่ี แล้วพบั ดา้ นข้างขึน้ เพอ่ื ทาเป็นกลอ่ งไม่มีฝา จงหากลอ่ งจะมคี วามจมุ ากที่สุด
เม่อื เป็นเทา่ ใด และกลอ่ งจะมคี วามจมุ ากท่สี ดุ เท่าใด

วธิ ที า

ตัวอย่างท่ี 75 จงหาจานวนจรงิ สองจานวนซึ่งมีผลคณู เป็น −9 และผลบวกกาลงั สองของแต่ละจานวนมีค่านอ้ ยท่ีสุด
วธิ ีทา

เมื่อพิจารณาตัวอย่างท่ี 72-74 จะเห็นว่า ช่วงที่สอดคล้องกับเง่ือนไขของโจทย์ปัญหาเป็นช่วงเปิด ในการตรวจค่าสูงสุด
สัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์นั้นสามารถใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 2 ดังตัวอย่างท่ี 72-73 หรือใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1 ดังตัวอย่างที่ 74 ซ่ึง
สามารถเลือกใช้วิธใี ดกไ็ ดต้ ามความเหมาะสม

แคลคลู สั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 133

ตวั อยา่ งที่ 76 โรงแรมแห่งหนึง่ มหี ้องพกั 40 หอ้ ง เจา้ ของโรงแรมพบว่าในช่วงเวลาปกตถิ า้ เขาคิดค่าห้อง 500 บาทต่อวนั จะมีผเู้ ขา้
พักเต็มทกุ ห้อง แตถ่ ้าเขาขนึ้ ราคาค่าห้องตอ่ วัน พบวา่ ทุก 50 บาททเ่ี พม่ิ ขนึ้ จะมีหอ้ งว่างเพมิ่ ข้ึน 2 ห้อง จงหาว่าเจา้ ของโรงแรมควร
ต้ังราคาคา่ ห้องวนั ละเท่าใด จงึ จะทาใหม้ ีรายได้มากท่ีสดุ โดยโรงแรมจะมีผ้เู ข้าพักท้ังหมดก่ีห้อง และเจา้ ของโรงแรมจะมีรายได้มาก

ท่ีสุดเท่าใด
วิธที า

ตัวอย่างที่ 77 โรงงานแหง่ หน่งึ ผลติ ของเล่นโดยฟงั กช์ ันการผลิต คอื = 50 0.4 0.6 โดยที่
แทน จานวนของเลน่ ทผี่ ลติ ไดใ้ น 1 ช่วั โมง (มีหน่วยเป็นชน้ิ )

แทน จานวนแรงงานท่ใี ชใ้ น 1 ชั่วโมง
และ แทน จานวนปัจจยั ทนุ ที่ใช้ใน 1 ชัว่ โมง
จงหาจานวนของเลน่ ที่มากที่สดุ ทโี่ รงงานแห่งนจ้ี ะผลติ ได้ใน 1 ช่ัวโมง ภายใต้งบประมาน 20,000 บาท ถ้าแรงงานหน่งึ
หนว่ ยมีค่าใชจ้ ่าย 100 บาท และปจั จัยทนุ หนงึ่ หน่วยมคี า่ ใช้จ่าย 200 บาท
วิธีทา

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 134

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 13 : แบบฝกึ หดั 2.8.3 โจทย์ปญั หาเกย่ี วกับค่าสูงสดุ หรือคา่ ตา่ สุด (การประยกุ ต์ 3)

1. ถ้าราคาต่อชนิ้ และจานวนสินค้าท่แี ม่คา้ คนหนึง่ ขายไดใ้ น 1 สปั ดาห์ มคี วามสัมพนั ธ์ดังสมการ = 100 − 0.04 เมอ่ื แทน
ราคาสนิ ค้าต่อช้ิน (มหี นว่ ยเป็นบาท) และ แทนจานวนสนิ คา้ ท่ีขายไดใ้ น 1 สปั ดาห์ (มหี นว่ ยเปน็ ชิน้ ) และตน้ ทนุ ในการผลติ
สินคา้ ชิน้ เป็น 600 + 22 บาท จงหาวา่ แมค่ ้าจะตอ้ งผลิตสินค้าออกขายสัปดาหล์ ะกี่ชิ้นจึงจะได้กาไรมากท่สี ุด
วิธีทา

2. รถบรรทกุ ขนส่งสินค้าของบริษัทแห่งหนึ่งต้องวิ่งเป็นระยะทาง 500 กโิ ลเมตร ด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง โดย

ท่ี ∈ [25, 80] ถา้ นา้ มันราคาลติ รละ 24 บาท โดยรถบรรทกุ ใชน้ า้ มนั ในอตั รา 24 + 2 ลิตรตอ่ ช่วั โมง และบริษทั ต้อง
150

จ่ายเบ้ียเล้ียงใหค้ นขบั รถบรรทุกชัว่ โมงละ 49 บาท บริษัทควรใหค้ นขบั ขับรถดว้ ยอัตราเร็วเฉล่ียเทา่ จึงจะประหยดั ทสี่ ดุ
วิธีทา

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 135

3. ต้องการนาลวดหนามยาว 200 เมตร มาลอ้ มท่ีดินรปู ส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากทีม่ ีขนาดเท่ากนั 3 แปลง ดงั รูป

จงหาว่าจะล้อมพ้นื ทไี่ ดม้ ากที่สดุ เทา่ ใด
วธิ ที า

4. จงหาจานวนจรงิ ท่เี ม่ือนาจานวนดงั กล่าวมาลบดว้ ยกาลงั สองของจานวนจริงน้ัน แล้วได้ผลลบมคี ่ามากท่ีสดุ
วิธีทา

แคลคูลสั เบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 136

5. จงหาจานวนจรงิ สองจานวน ซึง่ มีผลบวกเป็น 10 และผลคูณของสองจานวนนี้มคี ่ามากที่สดุ
วิธีทา

6. จงหาจานวนจรงิ ทมี่ ากกว่าหรอื เท่ากับศูนย์สองจานวน ซึ่งมผี ลบวกเป็น 1 และผลบวกของกาลงั สองของแต่ละจานวนมคี า่
6.1) มากที่สดุ

วธิ ีทา

6.2) น้อยทส่ี ดุ
วธิ ที า

แคลคลู ัสเบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 137

7. ถ้ากาไรสุทธิจากผลผลิตต่อไร่ของเกษตรกรคนหนึ่ง (มีหน่วยเป็นบาทต่อไร่) หาได้จาก = 400 + 20 − 2 เม่ือ แทน
ปริมาณปุ๋ยที่ใช้ต่อไร่ (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่) จงหาว่าจะต้องใช้ปุ๋ยก่ีกิโลกรัมต่อท่ีดิน 1 ไร่ จึงจะได้กาไรสุทธิสูงสุด และกาไร
สทุ ธสิ ูงสุดจากผลผลติ ตอ่ ไรเ่ ปน็ เท่าใด
วธิ ีทา

8. ในการเกิดปฏิกิริยาเคมีครั้งหนึ่งสามารถหาอุณหภูมไิ ด้จากสมการ = 10 + 4 − 0.2 2 เม่อื แทนอณุ หภูมิ (มหี นว่ ยเป็น
องศาเซลเซียส) และ แทนเวลา (มีหน่วยเป็นวินาที) จงหาว่า เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใดอุณหภูมิจึงจะข้ึนสูงสุด และอุณหภูมิ
สงู สุดเปน็ เท่าใด
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบ้อื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 138

9. ต้องการสร้างรั้วล้อมรอบพ้ืนท่ีเพื่อทาการเกษตรเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากให้มีพ้ืนท่ี 384 ตารางเมตร โดยมีด้านหนึ่งอยู่ติด
ริมแม่น้าจึงไม่จาเป็นต้องสร้างรั้ว ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับแม่น้าตอ้ งสร้างรั้วและประตูทางเข้ามีค่าใช้จ่ายในการสร้าง 3,000 บาทต่อ
เมตร ส่วนอีกสองด้านท่ีเหลือมีค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้ว 1,000 บาทต่อเมตร จงหาว่าจะต้องสร้างร้ัวให้มีความกว้างและความยาว

เทา่ ใด จงึ จะทาใหค้ ่าใชจ้ านในการสรา้ งร้ัวตา่ ท่ีสดุ และค่าใช้จ่ายต่าทสี่ ุดเปน็ เท่าใด
วิธที า

10. ต้องการทากล่องจากแผ่นโลหะรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าท่ีกว้าง 20 เซนติเมตรและยาว 24 เซนติเมตร โดยตัดแผ่นโลหะเป็นรูป
สเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั ที่แตล่ ะดา้ นยาว เซนติเมตร ออกจากมมุ ทง้ั ส่ี แลว้ พับดา้ นขา้ งขึน้ เพือ่ ทาเป็นกล่องไม่มฝี า จงหากลอ่ งจะมีความจุ
มากที่สุด เมอ่ื เป็นเท่าใด และกลอ่ งจะมคี วามจุมากที่สุดเทา่ ใด

วิธที า

แคลคลู สั เบื้องตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 139

11. พ่อค้าขายสินค้าชนิดหน่ึงซ่ึงมีต้นทุนช้ินละ 4 บาท เขาพบว่า ถ้าเขาต้ังราคาสินค้าช้ินละ 20 บาท เขาจะขายสินค้าได้ 1,000
ชน้ิ ต่อสปั ดาห์ และทกุ ๆ 1 บาทท่ลี ดราคา เขาจะขายสนิ ค้าได้เพม่ิ ข้ึนสัปดาหล์ ะ 100 ช้ิน เขาควรจะตัง้ ราคาสนิ ค้าเท่าใดจึงจะได้
กาไรการขายมากที่สุด
วธิ ีทา

12. รูปสามเหล่ียมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านทั้งสามยาว 90 , 120 และ 150 หน่วย จงหาความกว้างและความยาวของรูปสี่เหลี่ยม
มุมฉากทมี่ ีพน้ื ทม่ี ากทสี่ ดุ ที่อย่ภู ายในรปู สามเหลี่ยมมุมฉากน้ี โดยมดี ้านสองดา้ นอย่บู นด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลย่ี ม
วธิ ีทา

แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 140

13. ท่อนไม้ท่อนหน่ึงมีหน้าตัดเป็นรูปวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว เซนติเมตร ต้องการเลื่อยท่อนไม้เพื่อทาเป็นคาน ให้มี
หน้าตัดเป็นรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉาก ซงึ่ มีความกวา้ ง เซนติเมตร หนา เซนตเิ มตร และมจี ดุ ยอดอยู่บนวงกลม ให้ เป็นนา้ หนัก
ที่คานรับไม้ ถ้า = 2 เมื่อ เป็นค่าคงตัว แล้วจะต้องเลื่อยให้คานมีความกว้างและความหนาเท่าใด จึงจะรับน้าหนัก
ไดม้ ากที่สุด

วิธีทา

14. โรงงานแหง่ หนงึ่ ผลติ ปากกาลูกลน่ื โดยฟงั ก์ชนั การผลิต คอื 12 โดยที่

= 100 3 3

แทน จานวนปากกาลกู ลน่ื ที่ผลติ ได้ใน 1 ชั่วโมง (มีหน่วยเป็นด้าม)

แทน จานวนแรงงานที่ใช้ใน 1 ชัว่ โมง

และ แทน จานวนปจั จัยทุนท่ใี ช้ใน 1 ชว่ั โมง

จงหาจานวนปากกาลูกล่นื ที่มากทสี่ ดุ ท่ีโรงงานแห่งน้จี ะผลิตไดใ้ น 1 ช่ัวโมง ภายใตง้ บประมาน 315,000 บาท ถ้าแรงงาน

หนง่ึ หน่วยมคี า่ ใชจ้ ่าย 150 บาท และปัจจัยทุนหนึง่ หนว่ ยมีค่าใชจ้ ่าย 300 บาท

วธิ ที า

แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 141

15. จงหาจดุ บนพาราโบลา 2 = 2 ซงึ่ อย่ใู กลจ้ ดุ (1 , 4) มากทีส่ ุด
วิธีทา

16. ให้ ( , ) เป็นจุดในจตุภาคที่ 1 ถ้าต้องการลากเส้นตรงผ่านจุด ( , ) ไปตัดแกน และแกน ท่ีจุด
และ ตามลาดบั ดงั รูป ทีท่ าให้ + มีคา่ น้อยท่สี ดุ จงหาพิกัดของจดุ จดุ และ ในรูป และ พร้อมท้ัง
หาว่า + มคี า่ นอ้ ยท่สี ุดเทา่ ใด

วิธที า

แคลคูลัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 142

2.9 ปฏิยานพุ นั ธ์ ( ) และปรพิ นั ธไ์ มจ่ ากดั เขต ( )

∎ 2.9.1 แนวคิดและความหมายของปฏยิ านพุ ันธ์ (Antiderivative)

จากการศึกษาเรื่องการหาอนุพันธ์ ( ) ของฟังก์ชันท่ีนักเรียนได้เรียนมาแล้วในหัวข้อ 2.3 ได้กล่าวถึงการหา
อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันไปแล้ว ตอ่ ไปจะกล่าวถึงกระบวนการกลบั กัน ท่กี ลา่ วกันงา่ ยๆ ว่า กระบวนการตรงข้ามกับการหาอนพุ นั ธ์ น่นั
คอื การหาปฏิยานพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน กล่าวคือ เมอื่ กาหนดฟังกช์ ัน ให้ จะหาฟงั ก์ชัน ซ่ึง ′( ) = ( ) และจะเรยี กฟังก์ชัน
ว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คร้ังน้ีจะศึกษาเกี่ยวกับ “กระบวนการท่ีตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์” ท่ีเราเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์
( )

ซ่ึงกระบวนการหาปฏิยานุพันธ์ เราเรียกว่า “การอินทิเกรต ( )” หรือ “การหาปริพันธ์ ( )”
ของฟังก์ชนั เราสรุปได้งา่ ยๆ วา่

การอินทิเกรต ( ) หมายถึง การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหา
อนุพนั ธ์

การหาอนพุ นั ธ์ ( ) หมายถงึ การหา ′( ) เมื่อกาหนด ( ) มาให้
การหาปฏยิ านพุ นั ธ์ ( ) หมายถงึ การหา ( ) เมื่อกาหนด ′( ) มาให้ เชน่

ตัวอย่าง 78 กาหนด และ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ ( ) = 2 และ ( ) = 2 เราหาอนพุ ันธ์ของ ( )

จะได้ ( ) = ′( ) = 2 = ( ) ∎

เรากล่าวไดว้ า่ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ

นอกจากน้ี ฟงั กช์ ัน 1( ) = 2 + 4

2( ) = 2 + 9
3( ) = 2 − 3
4( ) = 2 − 15

... ...

( ) = 2 +

เหลา่ น้ีต่างกเ็ ป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ (ซึง่ ( ) = 2 ) ∎

จากข้างต้นเราจะเห็นว่า ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังก์ชนั จะตา่ งกันทค่ี า่ คงตัว คอื 4 , 9 , −3 และ −15 เท่านน้ั และจะเขียน

“รูปท่ัวไปของปฏิยานุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ” ดว้ ย ( ) + เมือ่ c เป็นคา่ คงตัว

ตัวอย่าง 79 กาหนดฟงั ก์ชนั โดยท่ี ( ) = 3 2 + 6 จะหาฟงั ก์ชัน ซึง่ ′( ) = ( ) เมื่อฟงั ก์ชัน ว่าปฏิยานพุ นั ธ์
ของฟังกช์ ัน

นน่ั คือ ( ) = 3 + 3 2 เปน็ ปฏิยานุพันธ์ของ ( ) = 3 2 + 6 และ ′( ) = ( )
สงั เกตว่าปฏิยานพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน มไิ ดม้ ีเพยี งฟงั ก์ชนั เดียว
ฟงั ก์ชันต่อไปนล้ี ว้ นเป็นปฏิยานพุ นั ธ์ของ ( ) = 3 2 + 6
เช่น ( ) = 3 + 3 2

( ) = 3 + 3 2 + 5
( ) = 3 + 3 2 − 8

นอกจากน้ี ถ้าให้ ( ) = 3 + 3 2 + เม่ือ เป็นค่าคงตัวใด ๆ จะได้ว่า ′( ) = 3 2 + 6 = ( )

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าฟังก์ชันใด ๆ ท่ีอยู่ในรูป ( ) = 3 + 3 2 + เม่ือ เป็นค่าคงตัว ต่างก็เป็นปฏิยานุ

พันธ์ของฟังกช์ นั ( ) = 3 2 + 6
ถ้า และ เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันซ่ึง ′ = จะได้ว่า เป็นอนุพันธ์ของ ในทางกลับกันจะเรียกฟังก์ชัน

ว่าเป็นปฏิยานุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน ดงั นยิ ามตอ่ ไปนี้

บทนิยาม 14 : ให้ เป็นฟังก์ชัน ถา้ เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ ′( ) = ( ) สาหรบั ทกุ ทอ่ี ยูใ่ นโดเมนของ แลว้
จะเรยี กวา่ ฟงั กช์ นั ว่าเป็น ปฏิยานพุ นั ธ์ ( ) หนึง่ ของฟงั ก์ชัน

เพือ่ ความสะดวกในการคานวณ เราจะเขียนรปู ท่ัวไปของปฏิยานพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั ดว้ ยสญั ลักษณ์ ∫ ( ) อา่ นว่า
“ปรพิ ันธ์ไม่จากดั เขต ( ) ของฟงั ก์ชนั เทียบกับตวั แปร ”

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 143

ดังนั้น ถา้ ′( ) = ( ) แลว้ จะไดว้ ่า

∫ ( ) = ( ) + เมอื่ c เป็นคา่ คงตวั

เราเรียกกระบวนการหา ∫ ( ) วา่ เปน็ “การหาปริพนั ธ์ ( )”

เรียกเครือ่ งหมาย  วา่ เคร่ืองหมาย “ปรพิ ันธ์ ( )”

เรียก ( ) ว่า “ปริพัทธ์ ( )”
และเรียก วา่ เปน็ “ผลต่างเชิงอนพุ ันธ์ ( )” เป็นสญั ลกั ษณ์ท่บี อกว่า การหาปริพันธ์น้ีเทยี บกบั
ตวั แปร ซง่ึ เขา้ ใจงา่ ยๆ ดังภาพ

เคร่ืองหมายปริพันธ์ ผลตา่ งเชงิ อนพุ ันธ์

∫ ( ) = ( ) +

ปริพัทธ์ ปฏิยานุพนั ธ์

ซึ่งเครื่องหมาย  ที่เรียกว่าเครื่องหมายปริพันธ์หรือเครื่องหมายอินทิกรัล ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ ไลบ์นติ ซ์

(ค.ศ.1646-1716) เป็นผู้ใช้คนแรก เราอ่านสัญลักษณ์ ∫ ( ) แบบเต็มว่า “ปริพันธ์ไม่จากัดเขตของ ( ) เทียบกับ

( ( ) ℎ )”

ตวั อย่างที่ 80 จงหาปฏิยานพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน เมอื่ ( ) = 3 2 +
แนวคดิ การหาปฏิยานพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน เป็นกระบวนการตรงขา้ มกบั การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1


[อธบิ าย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………..….………
. ]……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………..….………

วธิ ีทา จากกระบวนการหาปฏิยานพุ ันธ์ ของ ( ) คือ ( ) + ซงึ่ ( ) = ′( ) = ( )

จากโจทย์กาหนดให้
( ) = 3 2 +

จะได้ว่า ′( ) = 3 2 + ตอ่ ไปจะหา ( )

ลองให้ ( ) = 3 2+1 + 1+1 + เมือ่ เป็นคา่ คงตัว
2+1 1+1
= 3 3 + 2 +
32
= 3 + 2 +
…………….. (1)
2
ในทางกลบั กนั และเม่อื หาอนพุ ันธ์ ; ′( ) = ( )

= [ 3 + 2 + ]
2
= 3 3−1 + 2 2−1 + 0
2
= 3 2 +

= ( ) ……………..(2)

เป็นไปตามนิยาม ซึง่ ( ) = ′( ) = ( )


ดังนน้ั ปฏยิ านพุ นั ธ์ของ ( ) = 3 2 +

คอื ( ) = 3 + 2 + เมือ่ เปน็ ค่าคงตัว ∎
2

แคลคลู ัสเบอ้ื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 144

∎ แนวคดิ กาหนด f และ F เปน็ ฟังกช์ ัน เราหาอนพุ ันธ์ของ ( ) จะได้ ( ) = ′( ) = ( )

กลา่ วได้ว่า F เปน็ ปฏิยานพุ ันธ์หน่งึ ของ f

การหาปฏยิ านุพันธ์ของฟงั กช์ ัน เป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ของฟังกช์ นั นัน่ คือ

[ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1] = ∙ ( −1)+1 =
( −1)+1


ตัวอย่าง 81 กาหนดฟังก์ชัน โดยที่ ( ) = 5 จงหาปฏิยานุพันธ์ของฟงั ก์ชันนี้โดยใช้แนวคิดกระบวนการตรงข้ามกับการหา

อนุพนั ธ์

วิธีทา จากบทนิยาม ( ) = ′( ) = 5

ดังนัน้ ( ) = 5 1+1 + เม่ือ เปน็ ค่าคงตัว
1+1
= 5 2
+ …………… (1)
2
กระบวนการตรงขา้ ม เมอ่ื หาอนุพันธข์ อง ( ) จะได้
′( ) = ( )

= (5 2 + )
2
= 10 + 0
2
…………… (2)
= 5

จาก (1) และ (2) เป็นไปตามบทนิยาม ซง่ึ นยิ าม ซงึ่ ′( ) = ( ) = 5

น่ันคือปฏินายพุ ันธ์ของ นิยาม ( ) = 5 คือ ดงั น้นั ( ) = 5 2 + เม่อื เป็นคา่ คงตวั ∎
2

กิจกรรมระหวา่ งเรียน 14 : แบบฝึกหัด 2.9.1 กระบวนการตรงข้ามกบั การหาอนพุ นั ธ์

1. จงแสดงวา่ ( ) = 6 4 − 5 + 7 เป็นปฏยิ านุพนั ธ์หนงึ่ ของฟังก์ชัน ( ) = 8 1 − 5
3 3

วิธีทา

แคลคูลัสเบอื้ งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 145

2. กาหนดให้ ( ) = 3 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ
วิธที า

3. กาหนดให้ . ( ) = √ จงหาปฏยิ านพุ ันธ์ของ
วิธที า

จากแนวคดิ การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังกช์ ันขา้ งตน้ ดังตัวอย่างที่ 78-79 จะเหน็ ว่า ปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน มไี ด้หลาย
ฟังก์ชันและจะต่างกันที่ค่าคงตัวเท่านั้น เน่ืองจากการหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คือการหาฟังก์ชัน ซึ่ง ′( ) = ( )
สาหรับทุก ∈

ดังน้ันรูปท่ัวไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชัน ( ) + เม่ือ เป็นค่าคงตัว จะเขียนแทนรูปทั่วไป
ของปฏิยานพุ ันธ์ของฟังก์ชัน ดว้ ยสัญลกั ษณ์ ∫ ( ) เรียกวา่ ปรพิ ันธไ์ มจ่ ากดั เขต ( ) ของฟงั ก์ชัน
เทียบกับตัวแปร หรือเรียกส้ันๆ ว่า ปริพันธ์ของฟังก์ชัน เทียบกับตัวแปร ดังน้ัน ถ้า ′( ) = ( ) แล้ว

∫ ( ) = ( ) + เมื่อ เปน็ ค่าคงตัว

แคลคูลสั เบ้ืองตน้ : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 146

∎ 2.9.2 การหาปฏยิ านพุ ันธ์ (Antiderivative) ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

สตู รต่อไปนี้เปน็ สตู รสาหรับหาปริพันธไ์ มจ่ ากัดเขตของฟงั ก์ชนั บางฟงั ก์ชัน
∎ สตู รที่ 1 : ถ้า เป็นค่าคงตวั แลว้ ∫ = + เมื่อ เป็นคา่ คงตัว

ตวั อยา่ งท่ี 82 จงหา ∫ 5
วิธที า

∎ สูตรที่ 2 : ถา้ เป็นจานวนจรงิ และ ≠ −1 แลว้ ∫ = +1 + เมอ่ื เป็นคา่ คงตวั

+1

ตวั อยา่ งท่ี 83 จงหา ∫ 5
วิธีทา

ตวั อย่างที่ 84 จงหา ∫ 1
3
วิธที า

∎ สูตรท่ี 3 : ถ้า : ถ้า เปน็ คา่ คงตวั แลว้ ∫ ( ) = ∫ ( )

ตวั อย่างท่ี 85 จงหา ∫ 3 2
วธิ ที า

∎ สูตรที่ 4 : ∫[ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( )

ตวั อย่างท่ี 86 จงหา ∫( 2 + 2 )
วธิ ที า

แคลคูลสั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 147

∎ สูตรที่ 5 : ∫[ ( ) − ( )] = ∫ ( ) − ∫ ( )

หมายเหตุ : โดยท่ัวไปในการหาปริพันธไ์ มจ่ ากัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟงั ก์ชัน แทนทก่ี ารบวกคา่ คงตวั เม่อื หาปรพิ นั ธ์
ไม่จากดั เขตของแตล่ ะฟังกช์ ัน เพ่ือความสะดวกจะบวกคา่ คงตวั เพยี งตวั เดยี วเทา่ น้ัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อยา่ งท่ี 87 จงหา ∫ (2 − 1 2)
วธิ ที า

จากสตู รท่ี 3 และ 4 จะได้
∎ สูตรท่ี 6 : ถ้า 1 , 2 , . . . , เปน็ คา่ คงตวั แล้ว

∫( 1 1( ) + 2 2( ) + ⋯ + ( )) = 1 ∫ 1( ) + 2 ∫ 2( ) + ⋯ + ∫ ( )

ตัวอย่างท่ี 88 จงหา ∫(3 6 − 2 2 + 7 + 4)
วิธีทา

*∎ สตู รที่ 7 : การอนิ ทิเกรตโดยการแทนคา่ :

∫ = +1 + เมื่อ เป็นค่าคงตัว
+1

การอนิ ทิเกรตโดยการแทนคา่ : คอื เปน็ การเปลี่ยนตวั แปรในฟงั ก์ชันเพือ่ หาคา่
อนิ ทกิ รัลไดง้ ่ายขึ้น มีกฎทวั่ ไปของการแทนค่าในการอินทิเกรต ดงั นี้

1. แทนค่า = ( ) และ = ′( ) จะได้ ∫ ( ( ) ⋅ ′( ) = ∫ ( )
2. หาคา่ ปฏยิ านุพนั ธ์ หรอื ( ) ของ ( ) จะได้ ( ) + จะได้
3. แทนค่า ด้วย ( ) จะได้ ( ( )) + ดังตัวอย่าง

แคลคลู สั เบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 148

ตวั อย่างที่ 89 จงหาปฏยิ านพุ ันธ์ของ ( ) เม่อื ( ) = ( + 1)20

วธิ ีทา จากโจทย์จะไดว้ ่า ∫ ( ) = ∫( + 1)20

เนอื่ งจากตัวถูกอินทเิ กรตเปน็ การยกกาลงั ของฟังก์ชัน + 1

เรากาหนดให้ = + 1

จะได้ = ( + 1) เปน็ การหาปริพันธข์ องฟังกช์ ัน u เทยี บ

ดังนั้นจะไดว้ า่ = ( + 1) = 1 นน่ั คอื = 1

จะไดว้ า่ = 1 ⋅ หรือ =

ดงั นน้ั จากโจทย์จะไดว้ ่า ∫ ( ) = ∫( + 1)20

= ∫( + 1)20 ซ่งึ = จะได้วา่

= ∫( + 1)20 และ = + 1

= ∫ 20

= 20+1 +
20+1
= 21 +
21 แทนคา่ = + 1

= ( +1)21 + เมือ่ c เปน็ ค่าคงตัว ∎
21
ข้อสงั เกต : ถ้าเราจัดใหอ้ ยู่ในรปู ∫ ไดแ้ ล้ว ผลเฉลยจะเป็นไปตามรูป +1 ได้เลย
∫ = +1 +

ตัวอย่างท่ี 90 จงหาปฏิยานพุ นั ธ์ของ ( ) เมือ่ ( ) = √ 2 + 5

วธิ ที า จากโจทย์จะได้วา่ ∫ ( ) = ∫ √ 2 + 5 = ∫ ( 2 + 1

5)2

จะเหน็ ว่าตัวถูกอินทเิ กรตประกอบดว้ ยการยกกาลงั ของฟังก์ชัน 2 + 5

ให้ = 2 + 5 จะได้ = ( 2 + 5) เปน็ การหาปรพิ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน u เทยี บ x

นั้นจะไดว้ า่ = ( 2 + 5) = 2 ซ่งึ = 2 ⋅


และเนอ่ื งจากแฟคเตอร์ทา่ คงท่ี คือ 2 ใน du ไมป่ รากฎอย่ใู นตวั ถูกอินทิเกรต

การอนิ ทกิ รลั (หรอื การหาปฏยิ านุพันธ์) นจี้ ึงไม่ไดอ้ ยู่ในรูปแบบ ∫

เราสามารถปรับ du ในตัวถูกอินทิเกรตในอยู่ในรูปแบบ ∫ โดยคูณและหารด้วย 2 ซึ่งจะทาให้ค่าตัวถูก

อนิ ทเิ กรตไมเ่ ปล่ยี นแปลง ดังนี้

∫ ( ) = ∫ √ 2 + 5 = ∫ ( 2 + 1

5)2

= ∫ 2 ( 2 + 1
2
5)2

= ∫ 1 ( 2 + 1 ]
2
5)2[2

= 1 ∫( 2 + 1 ]
2
5)2[2

= 1 ∫ 1
2
2

= 1 [ 21 12++11 ] +
2

3

= 1 [ 2 ] +
2
3

2
= 1 [(2) 23] +
23
3
= 1 +
[ 2]
3
3
= 1 + แทนคา่ = 2 + 5
[ 2]
3
3
= 1 [( 2 + + จดั รูป u = x2 +5
5)2]
3

= √( 2+5)3 + เม่อื c เป็นคา่ คงตัว ∎
3

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 149

* ∎ สูตรท่ี 8 : ปรพิ นั ธ์ของฟงั ก์ชันเชงิ เส้น ∫( + ) = ( + ) +1 + เมอื่ c เปน็ คา่ คงตัว
( +1)

ตัวอยา่ งที่ 91 จงหาปฏิยานพุ นั ธ์ของ ( ) เมอ่ื ( ) = (3 − 2)10

วิธที า จากโจทย์จะไดว้ า่ ∫ ( ) = ∫(3 − 2)20

เน่อื งจากตัวถูกอินทเิ กรตเป็นการยกกาลังของฟังกช์ ัน 3 − 2

เรากาหนดให้ = 3 − 2

จะได้ = (3 − 2) เป็นการหาปรพิ ันธ์ของฟังก์ชัน u เทยี บ

ดังน้ันจะไดว้ า่ = (3 − 2) = 3

น่นั คอื = 3

จะได้ว่า
= 3 ⋅

หรอื = 1
3

ดงั น้ันจากโจทย์จะได้วา่ ∫ ( ) = ∫(3 − 2)10 ให้ 3 − 2 =

= ∫( )10 ซึ่ง = 1 จะไดว้ า่
3
1 โดยสูตรท่ี 3
= ∫( )10 3

= 1 ∫ 10 โดยสูตรที่ 7
3
= 1 ( 10+1) +
3 10+1
= 1 ( 11) +
3 11 แทนค่า = 3 − 2
= (3 −2)11 + เมื่อ c เปน็ ค่าคงตวั
3(11)

= (3 −2)11 + เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 91.1 ∎

33

ทานองเดยี วกันถ้าใช้สตู รที่ 8 ปรพิ นั ธ์ของฟังก์ชันเชิงเสน้ ∫( + ) = ( + ) +1 + เมอ่ื c เปน็ ค่าคงตวั
( +1)

จะไดว้ ่า ∫(3 − 2)10 = (3 −2)10+1 +

3(10+1) เมือ่ c เปน็ คา่ คงตวั
เม่อื c เปน็ คา่ คงตัว 91.2 ∎
= (3 −2)11 +

3(11)

= (3 −2)11 +

33

ตวั อยา่ งท่ี 92 ถ้า = 5 4 + 3 2 − 2 จงหา


วิธที า