REGIMUL PERMANENT SINUSO IDAL 53
Se observă că acest circuit cuprinde, în cazuri particulare, toate .:.in·uitele ;;tndiate anterior :
rezistoru 1 ideal (cu L -7 O, C -+ oo ), l1obina iu eală (cu r ~ 0., C -.· oo ), condensatoml ideal (cu
r __,. O. L ~ 0), tircuitul r. L (cu C .....,. oo) ei circ •,i tui r , C (t·u L ~ 0).
Exemplele precedente arată că metoda substituliei permite determinarea
fără dificultăţi a curentului de regim permanent. Dacă circuitele sînt mai com-
plexe, ramificate etc., calculele devin însă complicate şi nu permit o privire de
ansamblu asupra proprietăţilor calitative ale circuitului. De aceea, în tehnică
se folosesc alte metode (v. par. 34) mai sistematice ~i mai intuitive.
33.3 . Caracterizarea circuitelor li:niare
în regim permanent sinnsoitla]
Caracterizarea unui circuit de curent alternativ sinusoidal- la o frecventă
dată- se poate face cn ajutorul a numai doi parametri. Există diferite mod~i
<le alegere a acestei perechi de parametri.
33.3.1. Impedanţa şi defazajal Fie un clipol electric liniar şi pasiv
{fig. 33.10, a), sub tensiunea la horue sinusoidală de frecvenţă f = w dată :
2r.
V2 +u = U
sin ( <.U t ~) . (33.70)
Curentul de regim permanent (cu sensul de referinţă corespunzător regulii de
la receptoare) va fi de asemenea sinusoidal şi de aceeaşi frecvenţă
i = I V2 sin ( wt + y) (33.71)
Jişi poate determinat cu metoda substitutici excmp}jfîcată în paragraful pre-
cedent. In general, y =f= ~ şi raportul
"_(t) -- f'(t) -...r.1-.. c-unst. (33.72)
t(l)
<: functiune de timp : in curent alterna/it', raportu.l dintre tensiunea la
horne i~.stantanee si curentul instanîaneu. nn mai e o constantă caracte-
ristică circuitului, 'ca în curent continuu .
Deoarece circuitul e liniar şi paFiv. rl \
cînd valoarea efectivă a tensiunii creste
de A ori şi valoarea efectivă a curentu'Iui 1' 'f
creşte de /, ori, iar fazel e iniţial e rămîn Dipol
neschimbate; de asemenea, dacă la faza lin/ar ,1"
iniţială a tensiunii se adaugă un termen
aditiv, totul se petrece ca şi cum s-ar fi "J pasiv o-
schimbat ongmea timpului, şi la faza
iniţială a curentului se adaugă aceeaşi a. b.
cantitate. Rezultă că raportul valorilor
-efective şi diferenţa fazelor iniţiale ale ten- Fig. 33.10
54 CURENTI ALTERNATIV!
siunii aplicate şi curentului sînt mărimi independente de tensiuni şi de curent.
proprii pentru a caracteriza circuitul studiat la frecvenţa de lucru. De aceea.
pentru caracterizarea circuitului se definesc :
I mpedanţa circuitului :
T1 Z= 1 = f(w;r,L, C,...) > O, (33.73)
care e totdeauna pozitivă şi depinde numai de frecvenţa J = w f2rt şi de para·-
metrii circuitului, si se măsoară în ohmi ca si rezistenta;
Defazajul circ~itului :
''
1 <p = ~- y 1 = g ( w; r, L, ·C,...) ~O, (33.74)
care depinde numai de ffrecvenţa = w /2rc şi de parametrii circuitului şi se
măsoară în radiani. Dacă se cunosc Z şi <p, curentul i e univoc determinat,
deoarece' I = ' 'U JZ ·ŞI y '= ~ - <p :
+u ,_ (33.75)
i = Z V2 sin ( cllt ~- <p).
In exemplele de la paragraful 33.2. au fost determinate impedanţele şi defaza-
jele circuitelor simple studiate (v. 33.36, 3:>.38, 33.40, 33.47 şi 33.48, 33.57 şi
33.58, 33.66 şi 33.67).
Circuitele pasive neconţinînd generatoare ' absorb o putere medie pozitivă
(cel mult nulă). Aşa cum se va arăta în paragraful 33.4, din această proprie-
tate, rezultă că pentru circuitele pasive :
1 cos cp > o. 1· (33.76}
Defazajul acestor circuite e deci cuprins în intervalul :
(33.77}
şi e univoc caracterizat de tangenta lui (tgcp) . .
33.3.2. Rezistenţa şi reactanţa. În locul parametrilor Z şi <p se mai folos~sc
pentru caracterizarea aceluiaşi circuit parametrii R şi X, definiţi cum urmează :
Rezistenţa circuitului 1 :
z o,>R __ -U-c-o-s 'c-p = cos <p 1 (33.78}
11
1 Această manme nu trebuie confundată cu ·r~zistenţa definită prin l ege:1 c:mlu~ţie!
electrice (rezistenţa de curent continuu), cu care cJin~ide num:1i În cazuri pHticulare şi spce
deosebire de care este în general o funcţiune de frecvenţă. De aceea, r ez i3t enţa de cureat c :mtinuu
a fost notată mai sus cu r.
REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL 55
unde U R = U cos q> se mai numeşte componenta activă a tensiunii aplicate
(v. mai departe relaţia 33.116).
Reactanţa circuitului :
(33. 79)
unde Ux = U sin q> se mai numeşte componenta reactivă a tensiunii aplicate
(v. mai departe relaţia 33.116).
Dacă se dau rezistenţa şi reactanţa, defazajul şi imp e danţa rezultă din
relaţiile :
tg q> = ~ ' cos q> = ~ ' sin q> = ~· ' z = vx2 + R2, {33.80)
care se reţin uşor cu ajutorul "triunghiului impedanţelor" (fi g. 33.11, a), Jar
valoarea instantanee a curentului se scrie :
+ -i = -YR-2-U+-X-2 V,2_ sin ( wt ~ arc tg -XR ) . (33.81}
.
Rezistenţa şi reactanţa se măsoară în ohmi (Q).
33.3.3 . Admitanţa şi defazajul. În locul impedanţei se poate folosi pentru
caracterizarea circuitului valoarea ei reciprocă, numită:
Admitanţa circuitului :
y = ~z = !u_ 1 >o, (33.82 )
care împreună cu defazajul cp constituie un sistem complet de parametrii carac-
teristici. Există, evident, relaţiile :
I = YU; Y = 1 ; R =cos cpfY; X= sin cpfY, (33.83)
VR2+ X2
iar valoarea instantanee a
curentului se scrie :
+ -i = U Y 112 sin ( wt ~ cp). R b.
a.
(33.84)
Admitanta se măsoară în Fig. 33.11.
siemens (1 S = 1 Q-1).
33.3.4. Conductanta si
susceptanţa.. În locul par~
metrilor Z şi cp, sau R şi X,
1)6 CURENŢ I ALTERNATl\' 1
----
sau Y şi q;, se mai folosesc pentru caracterizar ea a celuia~i circuit parametrii G
~ 1 B, definiţi cum urm caz.ă :
Conductanţa circuitulni 1 :
-------- -------
1 cos 'P
- .- =
G=. u >1 Y cos q; 1 O. (33 .85)
J 1
1
unde l e = I cos cp se numeşte componenta. activă a curentului. (33.86)
Susceptanţa circuitului 2 :
-u-B o~ I sin <p = Y s•m cp 1 <> O,
1
unde I 8 = I sin cp se numeşte componenta reactivă a curentului. rezultă
Dacă se dau conductanţa şi susceptanţa , defazajul şi admitanţa
(33.87)
din relatiile :
VB- 2+ ·= - : = - ·'
ta m = -BG '• COS .(f) G S.ln m B ' V~ = G-2
bT y' y
T
care se retin uşor cu ajutorul ._,triunghiului admitanţ elor" (fig. 33.ll, b).
Totodată;
Z = 1 ; G = R JZ 2; B = X JZ 2 ; R = GJY2 ; X= BJY2, (33.88)
J(G2+ B2
1ar v aloarea instantan ee a curentului se scrie :
%)·i = U VG2 + ~2 V2 sin ( wt + ~ -- arc tg (33 .89)
Conductanţa şi susceptanţa se măsoa ră în siemens (Q- 1) .
33.3.5. Aplicaţii: În exemplele (33.2.1.. ...33.2.6) s-au calculat impedauţa şi defaznjul cir-
·cuitelor celor mai simple. Calculînd acum şi ceilalţi parametri, se obţin datele din tabela ală
turată , completată cu În că două circuit!" t ip paralel, a căror rezolvare se propune ca exerciţiu.
O 1' s e r v a t i i: a) Din examinarea acestei tabele rezultă că rezistenta circuitelor de
curen t alternativ' R (33.7 8) a fost aotfel definită , încît să coincidă cu rczistenţ; r a rezistoruJu i
la circuitele serie cele mai simple, iar conduc tanţa circuitelor de c.a., G (33.85) a fost astfel
definită, încît să concidă cu conductanţa (1 /r) a rezi storului la ci rcuitele paralel cele mai simple.
În parAgraful 33.4 vom arăta (relaţ ia 33.105) că aceste dt>finiţii asigură pentru puterea activă
(med ie) aceleaşi expresii ea în curent con tinuu : P = R 12 = G U 2• De subliniat că, în rreneral.
J lJ
Y ~ -z ' dar G± - ~i B --r1-- x-
'R •
'
b) În aplicaţi i prezi ntă deosebită importan~ii urmă:.oart'!e cxpre:<ii:
Reactan(a unei bobir~e (rcactanţa inductivtt):
.1 x~_ = 11 (t· (3 :t90)
L:-w- 1
1 Această mărime nu e în rrencr al egală cu valoarea r ec iprocă a rezistenţei (33. 78) şi nu
trebuie confundată nici cu conductanta definită în curen t eontinuu cu care coincide numai în
cazuri particulare şi spre ueosehire d.e care e, în general, o funcţiu ne de frecvenţă. De aceea
e numită uneori conductanţă echivalentă.
2 Uneori se defineşte susceptanţa astfel încît să aibă semnul opus celei definite aici, pentru
a fi egală cu part<'a imagina ră a admitanţei complexe (v. par. 3·1.); R' = - Y sin tp.
Nr.lcrt, CIRCUITUL z <p
Rezistorul ideal 1
--c::::::>-v" ro
r
Bobina ideală Ltu -1t
1 2
2 o-JV"V"'-o
l
Comlensatorul idenl ·l- - -It
2
--icr- Ctu
Circuitul r, L serie Jl,.z + tu2L2 Lw
4 ~r 1. Vr•+1- t g<p = -,.
- - - - - -- - -- ...czeu2 t g<p = -- ·1-
Circuitul r, C serie Cwr
5~
- - - -- - - -------- - - - - - - - -/ - - - - - -
1
LC>- :.. ~ =" -,.-_Cul
V,,+( r1'"Circuitul r, L, C serie
Circuitul r, L paralel ---:L-e,>---~---~----
~7 1 +j' ,-z L"w" i~:l[!cp =
1_ i____ L___________________
1 Circuitul r, C par·alel
<=:=>1
81 r
-----~~-~-~· c-~ :~--l~ ----~~~-_________C______ _
r c-~-l!!: <p 1
-- 0 -- --
Tabela 33.1.
·----
y RX G n
-1 ol' -l o
rr
- - - - - - - - - --- - - - - - - - -
-l- o Lcv o -1
.-- - - - -- - - - - - ·- -- - - - - Le->
Lw
-
---
C0> o l .... li - C<v
Ccu
- -- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -
1 ,. Lw
Vr• + tu2L"
,.1-- - - - - -- - - -- -- - - - - - 1 - - - - - - - - - -- -
l ---- - - -Cc-v -
- - -Cw- - -
f t +r2 C2ro2 l + r2C2w2
c ( J)
- - - - - - - - ------1· -- - - - - - - - - - - - - - - - -1
j Lc·> - . -
l Cw
Cl Vr• +(Lcu-tJ LCJ> - ---
)2Ce·>
r.2 + ( Lw- -l 1
+ C6l)' Cw r2
(Le.>-
2 2 2- l l ~~-~-(-o-~--r-_L_e•>-- ----1--- ------~--- 1
___,.• + +-j.- L"_'._"_•-- r• L2w2 r• Vcu" -.~-
Le·> 1
_ -- - ----------- ~ ------
~-r -- CcJJr2 1 1 -- Cw
2 --- __ _L. - - -·-····-
1 _1 C" .,
.... _ ___
--_:~----------1+ r2o:·--~-~ c•6)·-----~·-- T •t·>·
53 CURENŢI ALTERNATIV!
· Reactanţa unui condensator (reactanţa capacitivă) :
(33.91)
Rezistenţa şi rcactanfa circuitului serie r, L, C:
(33.92)
c) Parametrii Z, Y, R, X, G, B ai circuitelor depind, în general, de ffrecvenţa = w /2rr
a tensiunii de alimentare - şi anume cu atît mai complicat, cu cît structura circuitului e mai.
complicată.
d) Comparînd definiţiile parametrilor circuitelor cu valorile lor din cazul celor mai simple
circuite serie sau paralel, mai rezultă că un circuit liniar şi pasiv admite la o frecvenţă dată două
scheme echivalente :
- O schemă echivalentă serie, în care un rezistor de rezistenţă .R e conectat în serie cu un
element reac tiv de circuit de rcactanţă X.
- O schemă echivalentă paralel, în care un rezistor de rezistenţă 1/G e conectat în paralel
cu un element reactiv de circuit de reactantă l/B.
33.3.6. Clasificarea circuitelor de curent alternativ sinusoidal. În analogie
cu proprietăţile celor mai simple circuite, se foloseşte următoarea terminologie,
valabilă la o frecvenţă dată :
a) Circuit rezistiv 1, dacă
rp = O, X = O, B = O; Z = R, Y = G. (33.93}
Cel mai simplu circuit pur rezistiv (la orice frecvenţă) e rezistorul ideal.
b) Cirwit reactiv, dacă
qJ =/=o, X =f.= O, B =f.= O. (33.94)
c) Circuit pur reactiv sau nedisipativ, dacă
rp = ± ~ , R = O, G = O; Z = 1 X 1 , Y = 1 B 1 . (33-95)
2
d) Circuit inductiv, dacă
rp > O, X > O, B > O. (33.96}
Circuitul inductiv e un circuit reactiv. Defazajul pozitiv se mai numeşte defazaj
inductiv : curentul e în urma tensiunii.
e) Circuit pur inductiv, dacă
rp = ~, R =O, G = O, X =-- Z, B = Y. (33.97)
2
Cel mai simplu circuit pur inductiv (la orice frecvenţă) e bobina ideală.
f) Circuit capacitiv, dacă
rp < O, X < O, B < O. (33.98)
l Numit uneori, impropriu, circ!lil ohmic.
REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL 59
Circuitul capacitiv e un circuit reactiv; defazajul negativ se mai numeşte defazaj
capacitiv : tensiunea e în urma curentului.
g) Circuit pur capacitiv, dacă
tp = - ~ , R = O, G = O, X = - Z, B = - Y. (33.99)
2
Cel mai simplu circuit pur capacitiv (la orice frecvenţă) e condensatorul ideal.
h) Circuit disipativ, dacă laturile lui au rezistenţe nenule, în care au loc
pierderi de energie prin efect J oule-Lenz.
Observ a ţi e: În limbajul tehnic, curent se numeşte adesea impedanţc'i nu numai
mărimea Z, ci şi dipolulliniar şi pasiv caracterizat de această mărime, folosindu- se drept simbol
grafic un dreptunghi alb, ca şi p en tru rezistoare (v. fig. 33.10,b). De asemenea se mai numeşte
tBactanţă nu numai mărimea X, ci şi elem entul de circuit pur reactiv, caracterizat de această.
rnărim. e.
33A,. Puteri
33.4.1. Putere activă. Puterea instantanee la bornele unui dipol electric
(v. teorema transferului ele putere, relaţia 31.21')
j p = ui j (33.100)-
este (algebric) putere primită, respectiv ce dată, după cum sensurile tensiunii
la borne u şi curentului i se asociază după regula de la receptoare, respectiv de-
la generatoare. În cele ce urmează vom considera regula de la receptoare-
(fig. 33.12, a), deşi definiţiile care urmează sînt valabile şi în celălalt caz cu inter-
pretarea respectivă. În regim sinusoidal, înlocuind , pe u din relaţia (33.70),
şi pe i din relaţia (33.71), se obţine, cu tp = ~- y, expresia:
+ + + +p = 2 UI sm ( wt ~) sin ( wt y) = UI cos tp- UI cos (2 wt y ~)t
(33.101),
Puterea instantanee e deci o mărime periodică, avînd o componentă constantă,
şi o componentă de frecvenţă dublă. În aplicaţii interesează numai energia absor-
bită într-un interval de timp -r, foarte mare faţă de perioada T = 2 1t / w
~)-sin (y ~)],
+ ++W, = )(o' p dt =
-.UI cos tp- UI .!__ [sin (2 w-r y
4K
respectiv puterea medie absorbită în acest interval :
+ + +w" = UI cos rp - '!_. uI [sin (2 w-r y ~)-sin (y ~)]. (33.102}J
.. .. 4it
Al doilea termen al acestei puteri tinde către zero, cînd T ~co.
t Conform identităţii trigonometrice :
+2 sin a sin b = cos (a- b)- cos (a b)
{jQ CURENŢI ALTERNATIV!
Se numeşte putere activă şi se notează cu P valoarea medie a puterii instan-
tanee p, luată pe un număr întreg de p erioade :
(33.103)
În acest caz, pentru un dipol electric (33.103')
)nT .P = U-!., = -1- Ul. dt =
nT o
·Cu 2it-r = 2n n. T, paranteza dreaptă din (33.102) se anulează şi rezultă pentru
puterea activă expresia :
=1 p UJ m 1= UI (33.104)
COS T
1 ma; ·max COS m .
T
Egalitatea (33.102) arată că puterea medie p e ua interval arbitrar de tim.? 't" arc valori a pro-
T
piate de puterea activă, cu abateri de ordinul - , fiind practic egală cu puterea activă, dacă
't"
..- > > T . Această condiţie e totdeauna realizată în practică, unde intervalele ' cele mai mici
in care se apreciază puterea medie sînt de ordinul secundelor şi cuprind sute de perioade (la
frecvenţa industrială de 50 Hz), De aceea şi aparatele d e măsură a puterii, wattmetrele, al căror
echipaj mobil nu poate urmări variaţiile puterii instantanee cu care e propor~ional cuplul lor
activ, indică puterea medie, adică puterea activă.
Din relaţia (33.104) re:.mltă că în regim sinusoidal puterea activă a unui
dipol electric e egală cu produsul dintre va.lorile efective ale tensiunii şi curentului
multiplicat cu cosinusul unghiului de defazaj corespunzător. Pentru un circuit
receptor pasiv, puterea medie e neapărat pozitivă, cel mult nulă (dacă nu con-
tine rezistente) : p = u 1 cos rp >- o.
''
( 33.104')
Puterea activă se măsoară, ca şi puterea instantanee, în watt (W- unitatea
S.I.), kilowatt (1 kW = l03W), mega watt (l MW = 106 W) , gigawatt (l GW =
= 109 W).
Observ aţi e: Relaţil (33 .103) e relaţb ge:DraEi de d~fiui~ie a puterii active, valabilă
şi în regim periodic ne:;inusoillal şi pentrn o reţea oare~u~; rela ţia (33.104) e r cl aţia de calcul
a puterii active în regim simnoidal pentra o re~ea cu d[) !I:i b:>rn ~ (in m:mofaz at).
Puterea activă primită de un dipol pasiv e totdeauna pozitivă ŞI se poate
exprima cu ajutorul rezistenţei şi conclucta nţ ei ( v. par. 33.3) :
(33.105)
Această expresie e nulă pentru circuitele nedisipative sau pur reactive (v. 33.95)
(care deci nu absorh în medie putere din exterior) şi e pozitivă pentru circuite
disipative.
REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL (jj
Expresia (33.101) a puterii instantanee arată că aceaEta oscileazi't cu frecvenţa ungbin·
Iară 2 cu, în jurul valorii ci medii, ~arce _r.ut e1ea act:vă (v. fig. 33.12, b). Chiar dacă circuitd cun
receptor pasiv, cu P > O, există momente în decursul UI!ei per ioade, cînd puterea instantanee
primită e negativă, adică e în fapt cedată spre exterior. In acele momente, energia acumulată
U,l p
"1 b.
-----· ----~
iildJ{1]a. ~.p..JC~O
c.
Fig. 33.12.
in cîmpul magnetic ~~ bobinelor sau in cîmpul electric al condensatoarclor e parţial restitllitrr
sursei de alimentare. In figura 33.12, c se indică sensurile instantanee reale ale tensiunii curentului
şi puterii în diferite momente ale unei perioade.
33.4..2. Puterea aparentă. Factorul de putere. Se numeşte putere aparente(
a unui dipol electric mărimea definită de produsul pozitiv al valorilor efective
ale tensiunii şi curentului, notat cu S (sau P ap):
>1 S = U J 1 = U",a;lm" < O. (33.106)
Puterea aparentă se măsoară în: volt-amper (VA- unitate S.I.), kilovolt-ampcr
(1 kVA = 103 VA), megavolt-amper {1 MVA = 106 VA), gigav()lt-amper
(1 GVA = 109 VA).
Puterea aparentă a unui dipol pasiv se poate exprima cu ajutorul irnpc-
dantei si admitantei sub forma :
>> >
S = ZJ2 = YU2 1= z I!,a.. = y U~ax. (33.107)
1 22
l'utcrca aparentă e o putere calculată "ca în curent continuu", fără a lua în consideraţie
influenţa defazajului. Fără a avea semnificaţia energetică nemijlocită ca putere activă, puterea
aparentă e importantă, deoarece reprezintă valoarea maximă a puterii active, la valori efective
itnariabilc al ~ lt>nsin!!ii 7i. cnrentului şi la dcfazaj variabi l. După cum ma~inile ~i aparatele elec-
CURENŢI ALTERNATIV!
1:rice sînt caracterizate prin valori maxime admisibile ale curentului (ca pierderile prin efect
Joule în conductoare să nu determine o încălzire excesivă) şi tensiunii (ca izolaţia să nu se stră
pungă), puterea aparentă caracterizează limitele lor de funcţionare şi se indică de obicei p e
plăcuţa de fabricaţie respectivă.
Se numeşte factor de putere raportul pozitiv Ş I subunitar dintre puterea
activă şi cea aparentă :
-1>-l 1 kp = p 1 >- o.
1
s (33.108)
În regim sinusoidal pentru un dipol electric, cu (33.104) Şl (33.106), rez ultă
pentru factorul de putere expresia :
kp = cos tp. (33.109)
Pentru ca o anumită instalaţie de putere aparentă dată :; ă funcţio n eze cu maximum de
putere activă, adică cu maximum de eficacitate, factorul de putere core>punzător trebuie să
fie cît mai mare (mai apropiat de unitate), adică defazajul trebuie să fie cît mai mic. De a ici
rezultă una din problemele tehnico -economice cele mai importante ale gospodăriei energet ice :
problema ameliorării factorului de putere (v. şi par. 33.4.5 . aplicaţia 2).
33.4.3. Puterea reactivă : Se numeşte putere reactivă a unui dipol elect ric
mărimea definită de produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului multi-
plicat cu sinusul unghiului de defazaj şi se notează cu simbolul Q (sau P 1 ) :
JJ Q = UI sin cp = _!!_"!!_;Imax sin tp ~O. (33.110)
Puterea reactivă se măsoară în var 1 (unitate S.I.), kilovar (1 kvar = 103 v ar).
megavar (1 Mvar = 106 var), gigavar (1 Gvar = 109 var).
Între puterea aparentă, puterea activă şi puterea reactivă există relaţiile :
+pz Q2 = sz; Q = P tg rp; P = S cos cp; Q = S sin cp (33.111)
(care se reţin uşor cu ajutorul "triunghiului puterilor" - fig . 33.13). P u t er ea
reactivă prilnită de un dipol pasiv- pozitivă la circuitele inductive, negativă
la circuitele capacitive - se poate ex prima cu aj utorul reaetanţei şi suscep-
tanţei (v. par. 33.3) sub formele :
IQ = XJ2 = BU21 =X -I~2a.. -- B u;.,... ?..... O (33 .112)
2
Fig. 33.13. şi e nulă pentru circuitele r ezistive .
Privitor la sensul de transmisiune r eal al puterii reactive
facem următoarele precizări: L a circuit ele r ecep toarc (la care u
şi i sînt asociaţi după r egula d e la receptoare)
-dacă Q = UI sin tp >O- puterea reactivă e absorbită
de la reţeaua exterioară
- dacă Q = UI sin tp < O- puterea reactivă e cedată
reţelei exterioare
La circuitele generatoare (Ia care u şi i ~înt aoociat.i dupa regula
de la generatoare):
1 Denumirea "var" provine de la iniţialele cuvintelor din expresia volt-amper-r eactiv
şi a fost adoptată internaţional de C.E.I. (Comisia Ele ctro tehnică Internaţională ) la propunerea
delegatului ţării noastre, regretatul acad. prof. C. Budeanu.
REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL 63
- dacă Q = UI sin <p > O- puterea reactivă e cedată reţelei exterioare
- dacă Q = U I sin <p < O- puterea reactivă e ahsorbită de la reţeaua exterioară.
·Cum în cazul unor circuite capacitive (X < 0), şi în particular al unor condensatoare, Q < O
(cu regula de la receptoare), rezultă că aceste circuite (şi în particular condensatoarele) sînt
producătoare de putere reactivă ; în mod corespunzător, circuitele inductive (X > O)- şi în
particular bobinele - sînt consumatoare de putere reactivă.
Observ a ţ i e: a) Puterea reactivă a fo st introdusă pe baza relaţiei de definiţie (33.110),
·construită prin analogie cu expresia (33.104) a puterii active- paralelism care se păstrează
în toate celelalte relaţii (v. 33.105 şi 33.112). Spre deosebire de puterea activă, puterea reactivă
nu are însă interpretarea energetică simplă a acesteia- adică nu corespunde unui aport mediu
.de energie pe la borne. Cu toate acestea, puterea reactivă prezintă o deosebită importanţă
,practică, din mai multe motive, dintre care cele mai importante le amintim pe scurt aici :
b) Factorul de putt're se poate scrie :
(33.ll3)
<.le nude rezultă că proble ma ameliorării factorului de putere e eehivalentă eu prohlema redu-
'<:erii puterii reactive (v. şi par. 33.4.5., aplicaţia 2).
c) Aşa cum vom arăta că rezultă din teorema conscrvării puterilor (v. par. 36.3), suma
algebrică a puterilor reactive primită este nulă pentru toate laturile unei reţele izolate. Dacă
există o latură care consumă efectiv putere reactivă, trebuie să existe neapărat în reţea cel
puţ in o altă latură producătoare de pu tere reactivă. Cu puterile reactivc se pot face bilanţuri
b azate pe o proprietate de conservare, ca şi cum ar corespunde unei anumite forme de ener-
gie specifice (distincte de energia obişnuită care condiţionează bilanţul puterilor active).
d) Puterea reactivă primită de o reţea pasivă e proporţională cu diferenţa dintre va-
loarea medie a energiei cîmpului magnetic al bobinelor reţelei şi valoarea medie a energiei cîm-
;oului electric al condensatoarelor reţ.elei (v. rei. 33.123). Aceste energii sînt variabile în timp
cu frecvenţa unghiulară 2 !il şi cu faze diferite. Dacă valorile lor medii nu sînt egale, înseamnă
că variaţiile acestor energii nu se compensează reciproc în cadrul reţelei :
Puterea reactivă. reprezintă o măsură a necompensării schimburilor interioare de energie
î ntre cîmpul magnetic şi cîmpul electric.
33.4.4. Bilanţul energetic instantaneu al circnitnhri serie. Considerăm
circuitul r, L, C serie (fig. 33.9) şi ecuaţia (33.61), din care, multiplicînd-o cu i,
obţinem ecuaţia puterilor. Cu relaţiile (31.27) şi (31.31) rezultă atunci relaţia
+p = L. di Cu cd-u c-
rn = urt• ' U{'- +uct• = n "2 1. - L
1 1
dr. dt
sau
(33.ll4)
Alegînd pentru simplificare tensiunea ca origine Je fază, vom avea :
u = uţl2 sin vH ŞI i =IVi sin ((llt-cp). (33.ll5)
Tensiunea se poate descompune aditiv, într-u n termen în fază cu curentul
(componenta activă a tensiunii instantanee) şi unul în cuadratură (componenta
reactivă a tensiunii instantanee) 1 :
V2 + V2 + ; )u = U cos cp sin ( (ll/- cp) U sin <p sin ( wt- cp (33.ll6)
- - - - -------
1 Această descompunere c t.mic<i, deoarece se fa ce în baza identit.ăţilor trigonometrice :
sin a = sin (a - b + b) = co• b sin (a - b) + sin b cos (a- b) = cos b sin (a- b} +
+ 1 +sin b sin a - b 77
~ )•
2
64 - - - - - -- -- - - - - - - - - - - -- CURENŢI -A-L-TE-R-N-A-T-IV-!- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - -
-------
Folosind această descompunere, puterea instantanee se scr;e:
+p = ui = 2UI cos<~ sin~ ( CJ)t - cp) 2UI sin 9 sin ( wt- rp) cos ( wt- rp)
sau +cos 2 ( wt- rp)] UI sin rp sin2(c,)t-g:>). (33.117)
.______,._.
+-p = PK Px ·= UI cos cp [1 - Xlt
"----v-'
rl~
Se observă din comparaţia rela-ţiilor (33.114) şi (33.117) d'l primul termen :
PK = uri = ri2 = rl2 2 sin2 (M - rp) = UI cos cp [1- cos 2 (rot- rp)] >O (33.118)
este o putere instantanee pozitivă, rezultată din multiplicarea curentului cu
componenta tensiunii în fază cu el. Puterea p R se numeşte putere instantanee
de pulsafie, are valoarea medie egală cu valoarea medie a puterii p, adică cu
puterea activă P şi este chiar puterea instantanee dezvoltată în rezistenţa cir-
cuitului. Al doilea termen :
Q
+ +Px = (uL uc)i = ~ (W<"') W(Cl) = p-pR = ~ sin2((l)t- rp) (33.119 )
dt
este puterea instantanee rezultată din multiplicarea curentului cu componenta
tensiunii în cuadratură cu el şi se numeşte putere instantanee oscilantă. Valoarea
medie a puterii p este nulă, iar valoarea ei maximă e chiar puterea reactivă
(în modul). Puterea instantanee oscilantă e egală cu viteza de variaţie a ener ·
giei instantanee totale {electrice şi magnetice) a circuitului. Puterea reactivă
(în modul) e deci egală cu amplitudinea vitezei de variaţie a energiei acumulate
în cîmpul electromagnetic al circuitului. O altă interpretare a puterii reactive
rezultă din (33.112) şi (33.92) :
+Q = XP = (XL Xc) J2 = (Lw - _!._ ) 12 = 2(u ( LJz -- 12 (33.120)
")
Cw 2 2Cw-
Valoarca medic a energiei magnetice este :
_("') 1 l [l d]W =- ~T -Li2 c]· t-- - \.T t.2 .t __ L_I_" , (33.121}
T o2 2 T. o
2
conform relaţiei (33 .5).
Valoarca medie a energiei electrice este :
W- (") -- l ()To ·c-,2-,~- dt -- 2c [Tl ()oT uc2dt] -- -c-uy~- -- 2I CJw2" ' (33.12-'' )
1'
/
confmm relatiei (33 .5) şi (33.39'). •
Rezultă : '
(33.123 )
În consecinţă, puterea reactivă este nulă dacă w<m>- jf7 <e> = O. Această situaţie
corespunde dcfazajului <p = O.
METODE DE REPR EZ EN TA RE SIMBO LIC A A J\·IARL\I ILOR SINUSO IDALE 6S
33.4.5. Aplicatii. l. Un motor de c.a monofazat, funcţionînd sub tensiunea U = ~~O Y,
absoarbe o putere activă P = 2 kW, sub cos cp = 0,8 inductiv. Se calculează parametrii dipo·
!ului receptor constituit de motor, p uterea reactivă ~i puterea aparentă.
J Cu aceste date se pot calcula succesiv :
p 2. 103
Curentul absorbit: = 11 ,35 A.
uI =
cos cp 220 . 0,8
lmpedanţa motorului: z = !!.. = 220 = 19, 1 n.
I 11,35
Rezistenţa motorului : R = Z cos cp = 19,4. 0,8 = 13,5 O.
Reactanţa motorului: X= Z sin cp = 19,4. 0,6 = ll,63 O.
= =Puterea reactivă absorbită: Q U I sin cp 220 . 11 ,35 · 0,6 = Lj kYar.
Puterea aparentă: S = U I = 220 · 11,35 = 2,49 kVA.
=2. O linie bifilară debitează la receptor puterea P 20 k'W, sub ten siunea U = 220 Y
Şi cos m = 0,8 inductiv. Conductorul liniei are o rezistentă specifică r = 3 . 10··4 !.1 /m ~ i linia
- '
' 2{
T
are lungimea l = 100 m. Să se calculeze pierderile de putere acti vă tlP pe linie.
Exprimăm pierderile în funcţiune de datele probleme i. Cu relaţiile (33.105) şi (33 .111 )
rezultă: +52 p~ Q2
tlP = rf2 = r - = r ----''- (33.124)
u~ V2
Aici Q= P to- CD = 20 000 . ~~ = 15 000 var
o. 0,8
şi rezultă : r = 3. 10- 1. 2 . 100 = n6. 1o -~
·w.202 ..!.. 152
!':.P = 6 · l0 - 2 • ' lOG= 7i4
220 2
Obs e rv aţi e: Din relaţia (33.124) rezultă că <.Iacă se cere transmisiunea unei put eri
active P, date eu o linie de rezistenţă r dată, pierderile sînt invers proporţionale cu pătra tul ten·
siunii şi cresc cu pătratul puterii reactive. Din a ces t exemplu rezultă necesitatea tensiunilor
înalte pentru puteri şi distanţe mari (la 380 V, pierderile ar fi fost de trei ori mai mici ), cum
şi importanţa ameliorării facto rului de putere (la cp = O, Q = O pierd erile ar fi fost de 495 \\').
34. 1 METODE DE REPREZENTARE SIMBOLIC~
A MĂRIMILOR SINUSOIDALE
ŞI UTILIZAREA LOR
La circuitele electrice cu o structură mai comp lexă, determinarea regimulu i
permanent cu metoda substit uţiei folosită în paragraful 33 .2 devine o op eraţi e
laborioasă , greu de sistematizat, depărtată de m etodele familiare electricienilor
de la studiul circuitelor de curent continuu (utilizarea sistemelor de ecuaţii
algebrice liniare) şi prea puţin intuitivă.
5-1668
66 CURENTI ALTEI<NAT!Vl
De aceea s-au elaborat numeroase alte metode (v. ş i metoda separării pute-
rilor- par. 36.4.), dintre care cele mai utilizate sînt însă metodele de reprezen-
tare simbolică I, care consistă în principiu în următoarele :
-Utilizînd o anumită regulă de reprezentare (transformare, corespon-
denţă), se asociază biuniYoc fiecărei mărimi sinusoidale un simbol, numit imaginea
sau reprezentarea mărimii (de ex. un vector în reprezentările geometrice şi un
număr complex în cele analitice).
- Se identifică relaţiile dintre simboluri care corespund relaţiilor dintre
mărimile sinusoidale, adică ecuaţiilor integro-diferenţiale ale circuitelor.
- În loc să se rezolve direct aceste ecuaţii integro-diferenţiale, se rezolvă
relaţiile corespunzătoare dintre simboluri în raport cu simbolurile mărimilor
necunoscute.
-Utilizînd regula de reprezentare în sens invers, se determină care sînt
mărimile sinusoidale necunoscute, ş tiind că trebuie să corespundă simbolurilor
determinate anterior.
Schematic, aceste m etode se pot prezenta astfel :
mărimi si nusoidale relaţii între mărimi sinu- - - -->- mărimi sinusoidale
date soidale (ecuaţii integro- necunoscute
diferen ţial e )
1 relaţii între s imboluri simbolurile (imagi-
nile) necunoscute
simbolurile (ima gi- (itnaginile ecua\iilor dife-
nile) cunoscute
renţial e)
Pentru ca a cea s tă cale de rezo lvare - aparen t ocoliti't - să fie avantajoa să , t rebuie să
fie îndepli nite anumite cond i ţi i :
I. Reprezentarea să fie biunivocă, adică fiecărei mărimi sinusoidale să -i corespundă un
singur simbol şi fiecăn1i simbol să-i corespun dă o s i ngură măr ime sinu soidală.
II. Transformarea directă (de la măr imea sinus oidală la simbo lul ei) şi transformarea
innrsă (de la simbol l a mărim ea sinusoidală) să se facă fără dificultăţi de calcul.
III. Fiecă reia dintre operaţi ile elementare cu mări mi sinusoidale care intervin în ecua-
ţiil e circuitelor (adunarea, amp lificarea, derivarea şi integrarea) ?ă-i corespundă biunivoc o
operaţie omologă efectuată cu simboluri. În particular, deoarece pentru simbolurile u tilizate
(vectori, numere complexe) operaţiile de adunare ş i de ampl[ficare (înmulţire cu un scalar)
sînt definite în prealabil (independent de problema utilizării lor în metodele de reprezentare
simboli că), trebuie w adunarea mârirnilor sinusoidale să corespundă adunării simbolt~rilor res-
pective, iar amplificarea unei mârimi sinus oidale cu un scalar sâ corespu ndâ înmulţirii simbolului
cu ctcelaşi scalar: reprezentarea trebuie să fie lin ia ră .
I V . Ca lculul cu simboluri s ă f ie mai simplu, ma i u şor de sis tematizat, sau mai intuitiv
decît calculul cu mărimi sinu soiclale, acesta fiind îns uşi ro stul acestor metode.
1 Metode de reprezentare s imboli că se utilize ază cu succes şi in studiul regimului
tranzitoriu (v. cap. 52).
MLTODL DE REPJ< EZE1\T.".l(E S J,\\BOLIC.-\ A J\1.-\J<L\\ JLOR SINUSOIDALE 67
34.1. Reprezentări geometrice
O funcţiune sinusoidală de timp, d e frecve nţă dată, e co mplet caracte-
rizată de două valor· scalare : amplitudinea (sau v aloarea efectivă) şi faza ini-
ţiala. Un vector liber 1 în plan e complet caracterizat ele două Yalori scalare :
modulul şi unghiul făcut de orientarea lui cu o axă de referinţă, numit argumen-
tul său. În ambele cazuri, obiectul considerat (funcţiune sinusoidală de timp
sau Yector liber în plan) e complet caracterizat de un număr pozitiv şi de valoarea
unui unghi. Se poate deci asocia fără restricţie fie că rei mărimi sinusoidale din-
tr-o specie dată (curent, t en siune etc.) un Yector lib er în plan şi recipro c, această
.as ociere fiind biunivocă :
i = I V2 sin (cot + a) ;::=? SF (i). (34.1)
R elaţiilor analitice dintre mărimile sinusoidale le ...-or coresp unde relaţii geo-
m etrice între ...-ectorii core sp unzători, r elatii car e Yor fi mai intuitive si mai
uşor de explicitat. Aceasta este ideea fund~mentală a reprezentării geo~etrice
a mărimilor sinusoidale, reprezentare introdusă în fizică d e Fres nel.
Vectorii reprezentativi SF (i) sînt numiţi fazori (uneori vectori de timp),
pentru a se preciza distincţia faţă de mărimil e fizic e Yectorialc definite în spaţiul
fizic tridimensional (cum este, de exemplu, densitatea de curent J), cu care nu
trebuie confundaţi.
Planul fazori lor e un pl a n ahstract - mai exact, cîte un plan abstra ct pentru fiecare spe-
c ie de mărimi fizice cu variaţie sinusoida lă - în care se r epre zintă b iunivoc mărimi care, din
p unctul de vedere al spaţiului fizic, sînt mărimi sca lare : i ntensita tea curentului electric, ten-
>'iunea electri că etc. Ceea ce se repre zintă prin fazori nu sînt însă valor ile scala re (instantanee)
a le acestor mărimi(care sint caracterizabile printr-un singur munăr, ca orice scalari), ci .func-
.J iu nile sirmsoidale de timp respecti\·e (caracterizabile prin cîte doi scalari: amplitudinea şi faza) .
{:cea ce a re deci "o natură vcc tori ală'' (în f'e n sul că admite o reprezentare biunivocă p e mul-
ţ imea Yecto rilor lib eri din plan) nu e;otc spec ia d e mărimi fizi ce i (intensitat ea curentului elec-
rY2 +t ric). c i mulţimea funqiunilor si nu,o idale de timp de fo rma
,in (wt y).
Deşi limbajul teh ni c comun e destul de ambiguu - numindu- se, de exemplu, curent
e lectri c atît mărimea s inu so id al ă cit şi faz ornl c orespunzător- nu trebuie să se confunde
acea;otă mărime cu imaginea ci : Yect oru l § (i) nu este curentul electric, ci numai îl repre-
z intă, î n cazul p articular cînd are o Yariatic si nnsoida!:t.
34.1.1. Reprezentarea cinematică (cu -vectori rotitori). În r eprezentarea
cincmatică, fazorul asociat mă rimii sinusoidale e un vecto r lib er, de modul con-
stan t, egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale şi de orientare variabilă, care face
în fieca re moment t, cu o axă de referinfâ fixă OX0, un unghi (a rgzunentul) egal cu
faza mărimii (fig. 3L1.1):
;vzL =
I ]fi sin (cut -i- y) ~ 01 rOA = + cx (34.2)
l1:: AOX0 =
cut
1 Se num eşte veclor liber un , ·ector al căru i punct d e ap li caţie e arbi trar, astfel că re-
prez intă mul ţimea tu t u ror vectorilor omopn raleJi şi d e aceeaşi mărime cu el (echipolenţi cu
d). avînd diferite puncte d e ap li caţie. D e obicei se utilizează acela~i punct de aplicaţie pentru
toţ i Yectorii liberi ca r e intervin într-o prob l e m ă dat.ă , afar{t doar dacă claritatea co n s tru cţi ilor
grafice nu cere co ntra riul.
CURENŢI ALTERNATIV!
Pentru vectorul liber în plan cu modulul A şi cu argumentul a. se foloseşte uneori
notaţia A/a . Cu această notaţie, regula reprezentării cinematice se sene :
1 ~ (i) (34.3!
Proprietăţi: a) Yectorul reprezentativ (fazorul) se roteşte în sensu l trigonometric directr
cu viteza unghiulară constantă w. El face mereu un unghi constant (egal cu faza iniţailă, y =
= 1:_AOX) cu o axă OX, rotitoare cu aceea7i viteză şi numită axa de origine de fază (pentru
că are orientarea vectorilor reprezentati vi ai mirimilor s inu>oidale lua te ca origine de fază).
=Axa origine de fază face unghiul 1:_XOX0 wt cu a x:a de r e f~ riuţă fixă OX0 • Dacă se repre-
zintă mai multe miirimi s inu>o id ale de aceea7i frecvenţă (v. fi~. 3 t.2), toţi vectorii reprezen-
tativi sînt în repaus relativ. Figura geom~trică fornntă de aceşti vectori împreună cu axa ori ·
gine de fază se roteşte în an>amblu cu vit eza w in seas direct.
b) Valoarea instantanee a mJ.rimii sinmo idalc corespunzătoare unui anumit fazor dat.
1':
în momentul t, se poate determina grafic, proiectia d faz orul pe o axă fixă OY0 , rotită cu 2
în scu3 d irect faţă de axa de referinţă OX0 (fig. 3ţ. l) şi llllmită axa transversală. Ultt-
V2 +c) Defazajul cp1~ = y1 - y2 al mărimii sinusoidale i 1 = 11 sin (wt y1) faţă de
Yz +rimea sinusoidală i2 = / 2 sin (wt y2), cu
(3t.4)
se reprezintă direct prin unghiul 1:_ A 20A 1 , format de vectorii reprezentativi respe cti,, i
(v. fig. 34.2). Toate unghiurile sint orientate, sensul de referinţă pozitiv al fazelor şi defa-
zajelor fiind sensul trigonometric direct. Fazorul unei mirimi cu faza iniţială mai mare- adiel
defazată înainte faţă de o a doua- e rotit in senml direct faţă de fazorul celei de a doua
~ ~
mărimi. Săgeata defazajului <p12 e deci îndreptată de la OA 2 la OA 1 ; dacă sensul ei coincide
cu sensul direct, cp12 > O, (y1 > y3), iar dacă nu c:~illcide, cp12 < O, (y1 < y2). PoJibilitatea
reprezentării intnitive directe a defazajelor cmBtituie unul dir1tr e nurile avantaje ale repre-
zentării geometrice.
d) În acelaşi plan se pot reprezenta fazori aoociaţi unor mărimi din specii diferite. În
ace>t caz, pentru fiecare specie se foloseşte o altă scară şi nu se pot aduna decît mărimi
din aceeaşi specie. De aceea e reco .nmdabil să se diferenţieze diferitele specii prin tipnl de
linie folosit (groasă , subţire, întreruptă). În figura 3 !.3 se reprezintă alături de curentul (34.2 ) ,
+V2ten•innea u = U sin (wt ~) prin fazoru l:
:j (u) = uY2 /(J)t + ~ (31.5)
Corespondenţa operaţiiJor. O dată formulată regula de reprezentare şi pro-
prietăţile ei, trebuie să stabilim cari sînt operaţiile cu fazori core3punzătoare
operaţiilor elementare cU: mărimi sinmoidale (v . par. 33.1.3.). De proprietăţile
acestei transpuneri a operaţiilor depinde întreaga utilitate a metodei. Se d emon-
strează fără dificultăţi următoarele :
7 f,i=!VZ/cA+T
A
1~
1
wt
ha de refermfă
--o Xo
l<'ig. 34.1.
~~---2·~~o~~------~~--~L==CJIt+l•; _:-_-__-_-_-_-_--_--~x~-
xo
Fig. 34.2.
r-: p
B 'f=}-T >O
1~ i 1
4
12si ~ /1-:::: 11 --- -x
~ /1 ' 1
1
11
1 ~o
j Fig. 34.3.
70 CURE)JTI ALTEI(NATI \"1
a) Adunarea mărimilor sinusoidale corespunde biunivoc cu adunarea t:ec-
torială a fazorilor respectivi (v. fig. 34.4) :
+ +~ ~
i 1 i 2 ~ OA 1 OA 2 ,
(34.6)
adică
.T(12 [T(!) Sf (il)+ Sf (i2).
(34.6')
~--------+-~--------------~~~A
o c\ ceastii propri et ate rezultă imediat ,
folos ind interpretarea mărimilor sinu-
Fig. 34.4. 'oi clale ca proiecţii pe axa trans -
Ycrs ală OY a fazorilor şi utilizînd
t eorema proiecţiilor : "proiecţia su me i
1naj n1ultor vectori e egală cu surna
proiecţiilor". Relaţiile (33.24), (33.25)
care dau parametrii sumei a două
m ărimi sinusoidal e coincid cu re l aţii l e
co rPspunzătoare de la adunarea
vectorilor cu regula paralelogramului.
b) Amplificarea (în mulJirea) unei mărimi sinusoidale cu un scalar real cores-
punde biunivoc cu amplificarea (înmulţirea) cu acelaş i scalar a vectorului repre-
zentativ (fig. 34.5) : ,_
+~
"Ai~ "AOA = Ait~/wt y, (34.7)
adică
3F (Ai) = ),:SF (i). (34·.7')
Această proprietate rezultă imediat din regula de reprezentare (31.2) , care asociază ampli-
tudinea mărimii sinusoidale la modulul Yectorului (cu obscn·aţia că dacă i, < O, trebuie modi-
ficată faza iniţială cur., ceea ce corespunde inversării scnsului vectorulni, aşa cum era ne ce sa r) .
Observ aţi e: Reprezentarea cinem a tică e.ste o repreoentare liniarâ, deoarece asi gudt
corespondenţa operaţiilor d e adunare şi înmulţire cu un sca lar.
c) Derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul se traduce prin în-
mulţirea modulului fazorului cu cu şi rotirea în sens direct (înainte) cu TI j2 (fig.34.6);
r- / +~di ~ cui] 2 cut 2 •y ...!... n (3-1. 8)
o
Fi ::-;. 3J..6.
METODE DE REPREZENTARE SJJ\IBOLICA A /VIARl/1\ILOR SlNUSOJDALE 71
adică
+ +Sf ( ddti) = wl 1·2-; wt y 2TC . (34.8')
În adevăr, membrul drept c fazorul care cor espunde mărimii sinusoidale di din relatia (33.27).
-
dt '
Am găsit astfel corespondentul (hiuniYoc) al operaţiei de derivare de ]a mărimi sinusoidale.
d) Integrarea în timp a unei
mărimi sinusoidale se traduce prin
împărfirea modulului fazorului cu w
şi rotirea în sens invers (în urmă)
cu ;: /2 (fig. 34.7):
--X dt~ +. ~ -1 l lvf 2- / wt y - -TC•
L 2
W 1
(34.9)
adică
• 2/Jt) V +Sf I1J( i = ~I wt y - .2:._ •
w 2
(34.9')
Fig. 34.7, În aclev5r, membrul drept e fa-
zorul care corespunde mărimii sinu-
soiclale (33.28). Am găsit aotfel cores-
pondentul (biunivoc) al operaţiei de integrare de la mărimi sinusoida le.
Deoarece operaţiilor elementare cu mărimi sinusoidale, care intervin în
ecuaţiile diferenţiale liniare ale circuitelor, le corespund operaţii elementare
efectuate cu Ycctori (adunări, amplificări, rotiri cu ; ) , rezultă că acestor ecuaţii
diferenţiale le vor corespunde construcţii geometrice (grafice), consistînd din însu-
marea unor vectori cu diferite orientări. Aceste construcţii geometrice se numesc
diagramele vectoriale sau fazoriale ale circuitelor şi reprezintă imaginile ecuaţiilor
circuitelor în această reprezentare.
Metoda rep:·ezentârii cinematice pentru rezolvarea circuitelor liniare de
cur ent alternativ consistă deci în următoarele :
1. Se consideră ecuatia integro-difcrentială a circuitului si se construieste
diagrama vectorială corc;punzătoare, pornind de la fazorii ~eprezentativi' ai
mărimilor sinusoidale asupra cărora se efectuează operaţiile reprezentate de
diferiţi termeni ai ccuaţici (indiferent de faptul dacă aceste mărimi sînt "necu-
noscute" sau sînt "datele" problemei).
2. Se construieşte fazorul care corespunde termenului liber al ccuaţici şi
care -în conformitate cu regula adunării vectorilor- închide poligonul for-
mat prin însumarea fazorilor corespunzători diferiţilor termeni ai ecuaţiei.
3. Se verifică corectitudinea reprczentării tuturor operaţiilor şi a mărimilor
"date", trasîndu-se (dacă e nevoie) axa de origine de fază şi axa de referinţă.
72 CURENŢI .~LTERNAT!Vl
4. Se determină cu metode geometrice (cel mai ades prin proiecţii pe două
axe ortogonale) relaţiile dintre modulele şi argumentele fazorilor mărimilor
necunoscute si acelea ale fazorilor mărimilor date.
5. Se e~plicitează din aceste relaţii parametrii mărimilor necunoscute
(în general, valori efective şi defazaje) şi se scrie cu aceşti parametri expresia
instantanee pe baza regulii de reprezentare.
Se constată că în această metodă, rezolvarea ecuatiilor integra-diferentiale
ale circuitelor în regim permanent sinusoidal revine la determinarea cu metode
geometrice -eventual grafice - a unor segmente şi unghiuri necunoscute
dintr-o construcţie grafică.
Observ aţi e: Dacă s-ar folo»i pentru mărimi sinu soidale forma normală în cosinus
(33.13), vectorul reprezentativ ar ft tot (34.3) şi toate proprietăţile :metodei- inclusiv modul
de transpunere al operaţiilor elementare- ar rămîne neschimbate, cu o singură excepţie:
determinarea grafică a valorii instantanet:' s-ar face proiectînd fazorul pe axa de referinţă OX0
(segmentul OA" în fig. 34.1). In acest caz, y ar fi faza iniţială de la forma în cosinus, no-
tată în relaţia (33.13), cu fY.. Toate mărimile sinusoidale care intervin în aceeaşi problemă tre-
lmie scrise într-un singur mod. în sinus sau în cosinus; în caz contrar, interpretarea diagramei
(care nu depinde de această scriere) se face greşit.
34.1.2. Aplicaţie. Circuitul serie r , L, C. Exemplificăm metoda reprezentării cinema-
! ice prin rezolvarea circuitului serie r, L, C studiat cu metoda substituţiei în paragraful 33.%6.
Ecuaţia circuitului e (33.61):
(wt -+ ~) = ri + L + ~ (
JU Jf2 sin di i dt, (34.10)
dt c
funcţiunea necunoscută fiind curentul :
(ult +I V2 sin y) = .!!z.... V2 sin (wt + ~-9). (34.11)
Deoarece adunării şi amplificării mărimilor sinusoidale le corespund adunarea şi amplificarea
Yectorilor, diagrama corespunzătoare ecuaţiei (34.10)- adică imaginea acestei ecuaţii- ex-
primă următoarele : fazorul tensiunii este o sumă de trei termeni, dintre care primul e fazo-
rul curentului amplificat cu r, al doilea e fazorul derivatei curentului amplificat cu L, iar al
l
ctreilea e fazorul integralei curentului amplificat cu - .
Ţinînd seama de regulile (34.8) şi (3-1.9) ale derivării şi integrării, însumarea aceasta se
-+
poate efectua grafic (fig. 34.8), pas cu pas, pornind de la un vector arbitrar OA, ales pentru
f'azorul necunoscut al curentului (reprezentăm curentul cu linie întreruptă şi căderile de ten-
-+
;iune cu linii pline): adunăm nctorial fazorul OB al curentului amplificat cu r, (ri)- cu fa-
L (Lzorul BC al curentului rotit inainte cu 2. şi amplificat cu w ~) -şi cu fazorul CD
2 dt
ni curentului rotit în urmă cu 2. şi amplificat cu ~ ( ~ ( i dr) . Conform ecuaţiei (34.10),
__,._ 2 Cw C )
mma OD a acestor trei fazori trebuie să fie fazorul tensiunii u. Am obţinut diagrama circui-
+tului serie r, L, C. Putem acum trasa axa de referinţă OX0 , formînd unghiul wt ~ în urmă
faţă de fazorul tensiunii. Unghiul format de fazorul tensiunii cu fazorul curentului este chiar
+ (defazajul cp = ~- y = ( wt ~)- wt -:- y) dintre tensiune şi curent. Din triunghiul drep-
tunghic OBD se deduce imediat:
(Lu)I 1(u ( 2)2 = (riVZ)2 +
V2- c w I ]f'zr
U2 = J2 [r2 + (Lul- :uJ],
METODE DE REP!~EZENL\I<E S l.\\flOLlCA A NL~RlMILOR SI NUSOID.<\LE 73
rli
Cw
o - !!.::!!!!n-e de-r.a-zxa~
~clică: G.Jt
Fig. 3tLS.
(.H.l2)
Lwl V2- .2_ J V2 1
Lw - -
tgcp = Cw (31.13)
Ctu
T
(d eoarece pc desen a rezultat 9 în se ns direct, sem nul oLţinut pentru defazaj din calculul geo-
metric e cel corect. Da că din construcţia graficft, săgeata lui 9, dirijată de la curent Ia ten-
oiune, ar fi rezultat în sens inver s, ar fi trebuit să schimbăm semnul). Rezultatele o bţinl e
5Înt cele cunoscute , relnj.ia (33.66) ;;i_(33.67) de la aplicarea met odei substituţiei.
O bserv a ţii : a) Cu metoda re-prezen tării cinematice se obţine o privire d e ansnmLlu
intuitivă asupra proprietăţilor circui tului şi , în opecial. asupra r elaţiilor de fază. Putem ur-
mi'tri, de exemplu, fără dific ult~ţi modul cum se modilică diagrama - cînd frecvenţ. a creşte,
cîn d rezistenţa r scade etc. Avantajul principal al reprez entărilor geometrice co n si otă în
.această po sibilitate de a putea aprecia repede, intuitiv, proprietăţi s:alitative al.e circuitului.
b) După construirea diagralllei şi găsirea valorilor necunoscute se poate scrie direct va-
loarea in sta ntanee a oricăreia dintre mărimile l'innsoidale care apar în cir cuitul considerat.
De exemplu, în cazul circuitului din figura 34-.B, că derea de tensiune din bobină es te :
- %) %} .=U[ u~_ Y2 sin ( wt -i- ':
+ +I l~= L6J (34. 14)
sin ( 6Jt [3- '?
r) l\Ietoda Teprezentării cincmntice se poate utiliza şi în cazul cînd în circuitul liniar stu-
diat se întîlnesc mărimi sinusoidale de frecvenţe diferite, datorită faptului că tensiunea apli-
cată e o suprapunere de mai multe tensiuni sinusoidale (v. şi cap. 43). In acest caz, metoda
oe aplică pentru fiecare grup de componente de aceeaşi frecvenţ.ă în parte, cu ob serv aţia că
un ghiurile formate de fazori cu frecvenţe diferite nu mai sînt constante.
CUHENŢl ALTERNATlVl
d} Produsul a două mări mi sinusoidale (v. re!. 33.29); nefiind o mărime sinu soidală, nu se
poate reprezen ta prin fazori după acea s tă metodă. Pentru acelaşi motiv, metoda nu e aplicabil ă
circuitelor nelin iare sa u parametrice, în care opera.ţiile efectuate asupra unor mărimi sinusoida.le
conduc la mârim i nesinusoidale.
e) Reprezentarea prin Yectori rotitori după regulile (34.2), (34.3) se utilizează şi pentru
mărimi ncsinusoida le de forma :
y(t) = Y(t) sin <li(t) :;:= Y( t) /1>(t) , (34 .15)
numite mârimi sinusoidale modulate (mărimi annonice modu lalc) sau mirrimi cua.sisinusoida.le
(cuasiarrnonicc), în cawl cînd "ampli tudinea" Y(t) şi "pulsaţia instantanee" n (t) = d<l>(t) ,
dt
definită ca deri\·atii a "fazei" <l>(t), sînt funcţiuni lent variabile În timp. În acest caz, pozi-
ţia rel ativă a vectori lor rotitori este şi ea lent Yar i abilă în timp. Heprezcntarea rămîne liniară ,
udic{t iruaginea sun1ei c su1ua imaginnor (34.6), iar imaginea produsului unei 1nărimi cu un
:;calnr e produsul p rin acel scalar al imaginii mărimii- dar derivarea şi integrarea nu se nwi
traduc prin operaţi ile (34.8) şi (34.9). De aceea, metoda reprezentării cinematice pentru rezol-
wrea. circuitelor nu e aplicabilă decît în regim permanent s.inusoidal.
f) Practic, în aplicaţii , construcţia grafică corespunzătoare acestei metode se poate sim-
plifica, eliminînd tol cea ce nu e util calculului geometric propriu-zis : rotatia ansamblului
diagramei cu viteza w în sens direct şi factorul parazit ]!2. AlLfel spns, putem pr~supune că dia-
grama e considerată din punctul de vedere al unui obsen-ator mobil, care se roteşte 0 dată
cu ea şi care lucrează cu Yalorilc efective în locul amplitudinilorl, reducînd diagrama la scara
111'2. Se ajunge astfel la metoda repre=entârii polare, aplicabilă numai în probleme în care
intervin mărimi de aceeaşi frecvenţ.ă şi prezentată în continuare.
34-.1.3. Reprezen tarea polară (cu vectori fic~i). În reprezentarea polară,
fazorul asociat mărimii sinusoidale e un vector liber fix, de modul egal cu valoarea
efectivă a mărimii sinusoidale şi de argument egal cu faza iniţială a mărimii
(fig. 34·.9) :
g
1 i= If2 sm ( wt + y)<==::I /Y,
(34.16)
adică :
Sf(i) = f ~ 1· (34.16r)
A
În această reprezentare,
fazorii sînt deci imobili, au
lungimi egale cu valorile
--::='=:::::---------t---<>-----A_,_a-<&;r' 9,_'_n_e_d_e_,t_Î1ld efective ale mărimilor şi fac
X cu axa fixă a originii de fază
unghiuri egale cu fazele
~' ini·ţiale . diInmag1innăeraimccaonsseinrvuă-
acun1
Fig. 34.9. soidală numm elementele
1 Această ultimă sirnplifi.care nu e nece,ară , daci"t Yalorile efectiYe nu apar explicit în.
expresia mărirnilor sinusoidalc, adică dacă simbolurile maju scule reprezintă chiar amplitu-
dinile.
METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A MARI/1\ILOR SlNUSOIDALE 75
care o indiYidualizează în raport cu celelalte de aceeaşi frecvenţă : valoarea
efectivc'i şi faza iniţialc'i. Defazajul a două mărimi se reprezintă, ca şi mai înainte,
prin unghiul format d e fazorii respectivi. De astă dată, pentru a obţine valoarea
V2instantanee a mărimii, trebuie să se multiplice cu proiecţia fazorului pe axa
F.ig:. 34.1 o.
transversală OY0 , care se roteşte în acest caz cu viteza de rotaţie w în sens invers
celui trigonometric (împreună cu axa de referinţă OX0 ). Deoarece această con-
strucţie nu e de obicei utilă, sistemul de axe OX0Y 0 nu se mai reprezintă în
diagrame (v. fig. 34.10).
Avînd în vedere că reprezentarea polară este (pînă la factorul de a s emă
nare ]!2) tot reprezentare cinematică , raportată însă la un reper în rotaţie cu vi-
teza unghiulară w, în raport cu care vectorii sînt imobili- toate proprie tăţile
reprezcntării, priYitoare la mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, rămîn
Yalabile:
a) Suma a douc'i mc'irimi sinusoidale se reprezintc'i prin suma fazorilor cores-
punzdtori (rei. 34.6);
b) Amplificarea cu un scalar real a mărimii sinusoidale se reprezintă prin
amplificarea cu acelaşi scalar a fazorului (rei. 34.7);
c) Fazorul care reprezintc'i derivata unei mărimi sinusoidale se obţine din
fazoml reprezentativ al mărimii, prin amplificare cu CJl ŞL rotire înainte (în sens
trigonometric direct) cu -1t (fig. 34..10) :
2
1 +-eli --------;. wi __y___21t _ (34.17)
dt <----
76 CURENŢI ALTERNATIV!
' i, Cw -Lw/ d) Fazorul care reprezintă integrala
unei mărimi sinusoidale se obţine din fazorul
~· 1 reprezentativ al mărimii prin împărţire cu w
şi rotire înapoi (în sens trigon Jmetric invers)
o . --~
cu .2:_ (fig. 34.10) : (34.18)
Fig. 34.11.
2
1L"d-t-<------>-1- ;
~ ro
Metoda reprezentării polare se aplică la fel ca şi metoda reprezentării cine-
matice, cu singura deosebire că se lucrează cu valori efective, iar trasarea axei
de referinţă (acum mobilă) nu e necesară. Mai mult, deoarece alegerea originii
timpului- şi deci poziţia axei OX origine de fază - e arbitrară, nici această
axă nu se mai desenează. Diagrama astfel obţinută cuprinde toate defazajele
~i reflectă în modul cel mai simplu structur~ circuitului, permiţînd calculul pc
cale geometrică al parametrilor funcţiunilor sinusoidale necunoscute : valori
efective şi defazaje. Pe diagramă, fazorii se notează cu simbolul valorii
efective respective.
Exemplu: În figura 3'~.11 e construită diagrama polară a circuitului serie r, L, C, studiat
în paragraful 34.1.2., din care rezultă imediat relaţiile cunoscute (34.12) şi (34.13), suficiente
J)entru a scrie valoarea instantanee (33.69) a curentului.
În legătură cu alegerea orientării axei origine de fază observăm următoarele : de obicei,
această orientare se ia orizontală de la stînga spre dreapta. Cum acea~tă alegere e arbitrară,
adesea e mai bine să nu se fixeze de la început direcţia acestei axe. In adevăr, de cele mai
multe ori e dată tensiunea ap l icată, şi anume cu faza iniţială nulă (deoarece ştim că în orice
problemă, faza iniţială a uneia dintre mărimi e arbitrară şi se poate alege nulă) şi se cere
curentul. Construcţia diagramei se începe adesea (v. par. 34.1.2) de la fazorul curentului (a
cărui fază iniţială nu e cunoscută), şi orientarea tensiunii rezultă prin construcţie. Dezideratul
de a întocmi astfel diagrama , încît tensiunea să rezulte orizontală, ar îngreuia în mod nejus-
tificat această operaţie.
34.1.4. Elementele de circuit studiate cu reprezentarea polară. Considerăm
succesiv elementele ideale de circuit studiate în regim permanent cu metoda
substituţiei (par. 33.2). Presupunem de astă dată tensiunea origine de fază :
V2u = U sin wt (~ = O) (34,.19)
şi determinăm curentul cu ajutorul metodei reprczcntării polare, deoarece
~ = O, y = ~ - cp = - 9 ş i curentul va fi de forma :
V2 V2i = I sin ( wt- 9) = ~ sin ( wt- cp). (34..20)
Chiar dacă în aceste cazuri elementare aplicarea metodei reprezentării geome-
trice nu aduce o simplificare, cunoaşterea proprietăţilor elementelor de circuit
e necesară pentru aplicarea sistematică a metodei la cazuri mai complicate.
a) Rezistorul ideal, de rezistenţă r, are ecuaţia (31.22) :
u = u , = r i.
METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A MARU•IILOR SINUSO IDAL E 77
Fazorul curentului amplificat cu scalarul r e egal cu tensiunea. Cei doi fazori
sînt d eci paraleli (fig. 34.12, a) şi au :modulele I şi U = r I şi argumentele egale ..
D efazajul egal cu unghiul celor doi fazori e nul. Rezultă d eci :
I = -u, cp = o, t. = -u l / 2- s1. n wt. (34.21)
rr
1
Parametrii circuitului sînt :
Z = r, R = Z cos cp = r, X= Z sin cp = O (34.22}
G = Y cos 9 = 1 /r, B = Y sin cp = O
Y = 1/Z= s fr,
iar puterile sînt :
P= J), I"') = r I-? [J 2 Q = X P = O, S = UI = 2 (34.23)
=-, U
rr
b) Bobina ideală, de inductivitate L , are ecuaţia (31.26):
u = U L = L -di .
dt
Fazorul tensiunii se obt)ine cu relat,ia (34.17) din fazorul curentului rotit cu 2:2._
înainte (în sens direct), pxin ampli- ..---... U=rl
ficare cu Ul şi apoi cu L (fig. 34.12, b) : 1
a.
U = L Ul I, iar curentul e defazat în U=Lw!
urma tensiunii cu ~ . Rezultă deci : "(}~
2
l = -u , cp =+ 2'.,
Le,) 2
t. = -u y-2 .Sln (Ult - -r: )• (34.24)
Lw 2
Parametrii circuitului sînt :
Z = L U>, R = Z cos cp = O,
X = Z sin cp = L U>,
Y = 1/Z = 1/LU>, G = Y cos cp=O, --I
B = Y sin cp = l jLc0, (34.25) --b.
I
iar puterile sînt :
p = RI2 = o, <+c
Q = X l 2 = LU> 12 = U2 f LU>,
S = UI = U2 /Lw. (34.26)
c) Condensatorul ideal, d e capa- U=-1-
citat e C, are ecuaţia (31.3 0') Cw
u = uc = ~ ~ i dt. c.
Fig. 3,J..l 2..
h3 CURENŢI ALTERN AT IV!
Fazorul tensiunii se obţine cu (34.18) din fazorul curentului rotit cun /2 în urmă
{în sens invers), prin împărţire cu w, şi apoi cu C : U = I j w C, iar curentul e
defazat înaintea tensiunii cu ~(fig. 34.12, c). Rezultă deci:
2
+ .I = U C w, ? = - ~ , L = C w U V.2 sin ( wt ~) (34.27)
Parametrii circuitului sînt :
Z = 1 /C w,
Y = 1 /Z = Cw ,
R = Z cos cp = O,
c G = Y cos cp = O,
X=Zsincp =- 1 /Cw,
B = Y sin cp = - C w, (34.28)
1
iar puterile sînt :
a. P = R 12 = O,
12
Q = XI2 = - - = - C w U2,
b. Cw
Fig. 34.13. S = UI = Cw U2• (34.29)
34.1.5. Aplicaţie: Circuitul r, L, C cu toate elementele în paralel. Considerăm circuitul
din figura 34.13, a (cu cele trei elemente ideale de circuit în paralel), căruia i se aplică
tensiunea (34.19). Deoarece în regim cvasistaţionar e valabilă teorema continuităţii (31.10) şi
consecinţa ei directă , teorema I-a a lui Kirchhoff (v. şi cap. 36) îşi pă s tr e ază valabilitatea.
Se poate deci scrie :
(34 .30)
unde curenţii sînt cei det ennina ţi mai înainte pentru elementele d e circuit cărora , în acest
caz, li se aplică aceeaşi tensiune u. Conform relaţiei (34.30), di agra ma circuitului se co nstru-
ieşte obţinînd fazorul reprezentativ al curentului total 1 (fig. 34 .13, b) , prin adunarea a trei
fazori: fazorul 1r = .!!_ al curentului din rezistor, în fază cu fazorul ten siunii ; fazorul IL
r
= U al curentului din bobină (v. rei. 34.25), defazat în urma fazorului tensiunii cu r:: /2 =
Lw
= fazorul I c = U C w al curentului din condensator (v. rei. 34.28), defazat înaintea fazorului
tensiunii cu rr: "/2. Deoarece, aşa cum am luat la întîmpla re mărimile acestor fazori, cu rentul
t otal 1 a rezultat defazat înaintea tensiunii (cazul cp < 0), unghiul de defazaj cp trebuie
introdus cu semnul minus în relaţiile geom etrice obţinute scriind pro i ecţiil e pc două axe (pa-
ral el ă cu U şi tran s vers ală faţă de U) a adunării vectoriale efectuate:
l1 cos (- cp) = 1cos cp = 1r
1 sin (-cp) = -1sincp = I c - h = u(cc)-L~) (34 .31)
_Din aceste reia \.ii rezultă :
1= uV~ + (~- cw)2 ; trrco = r ( ~ - CU>) · (34.32)
r· '" ' Lw '
Lw
METODE DE REPREZEN T ARE SI.v\BOLICA A J\ \ARli\\ILOR SINUSOID.~LI:: 79
adică:
Cw) [(•)t - Co))].r2 v~;- ~ -i = I
sin :( wt - rp) = U ( 2 +( 2 arc tg r (~ -
r- L (•) Lw
sin
(H.33)
Parametrii circuiLului sînL:
l ~ - Cw
--).l '--=-v-;=:========'1 r L(·)
z= ~ + (~ - Co))2 R = -r1~-+-(L-1w - Cw X= -1 -- (L-1w---C)w.~'
r- Lw fi + (3-J-.34)
y = V~ + ( ~ - w) 2 ~G = , B = ~ - Cw
r Lw r Lw
C,
wr puterile sî nt :
U2, S = UI = 2 2
(~ ·- cw) U 11~ l~ - Cw) •P = GU2 =-,U2
r
0~ = BU2 = L w· +r~ L w
(34.3 5)
Se verifică uşor cum din acest circuit, parlicularizînd valor il e parametr ilor, se pot ob ţ iue re-
iaţiile caracteristice a le elementelor de circuit, respec tiv ale unor circuite cu dourt elemente
In derivaţie , din tabela 33.1 (par. 33 .3.5).
34.2. Reprezentări analitice (în complex)
În reprezentarea geometrică se folo seşte proprietatea funcţiunil or sinu-
soidale de timp d e a putea fi puse în corespondenţă biunivocă cu vectorii liberi
din plan. Dar, aşa cum se ştie din algebra numerelor complexe, fiecărui număr
complex îi corespunde biunivoc un punct din planul complex (afixul numă
rului) -şi deci îi corespunde şi vectorul de poziţie al acelui punct. Rezultă
că identificînd planul abstract al reprezentărilor geometrice cu planul complex,
stabilim o corespondenţă biunivocă între mulţimea funcţiunilor sinusoidale
şi mulţimea numer elo r complexe. Se obţin astfel reprezentările analitice- sau
în complex - ale mărimilor sinusoidale :
+V2i = I sin ( wt y) ;::=::: e(i) , (34.36)
în care fiecărei funcţiuni sinusoidale de timp i îi corespunde o mărim e complexă
<S (i) 1, susceptibilă de a face obiectul unui calcul mai simplu şi mai sist ematic
decît cel efectuat cu mărimi sinusoidale. După cum planul complex a fo st iden-
tificat cu planul reprezentării cinematice (cu v ectori rotitori) sau cu planul
reprezentării polare (cu vectori fic şi), se obţine o r eprezentare în complex
nesimplificată (cu mărimi complexe funcţiuni d e timp, pentru a aYea afixul
rotitor în jurul originii) sau o r epr ezentare în complex simplificată- ultima
fiind utilizabilă numai cînd toat e mărimile sinusoiclale au aceeaşi frecYenţă.
1 Se citeşte : "reprezentarea în complex a cureuLului i" .
80 CUI~ENŢI ALTER:-IATI\'1
Numere complexe. Reamintim pe scurt cîte,·a noţ iu ni a,upra mărimilor complexe , intro-
ducînd totodată unele notatii folosite în clectrotehnică.
Numerele complexe (;au mărimile comp lexe) sînt expresi i de forma:
+ YE = a jb, cu j = - 1 1, (34.37)
.f. = a+jb-reP în care a este un număr real, numit partea
reală a uun~:i.rului complex, iar b este tot u 11
1c număr real, numit partea imaginară a numă
r ului co mplex. Se scrie :
\
b a = R e (.ce}, b = Im {.t<}. (.H.38)
\ În co nformita te cu recomandările C.E.I., Îtl
-b \ ,; tudiul regimulni permanent, vom nota prin
subliniere mărimile din elcctrotehnică, care
Fig. 3<t.l4. si nt numere comp lexe. A desea nu se folo-
seş te nici o notaţie sp ec ială - ca în ma te -
matici - sau se folosesc literele barate dea-
supra (adică, simbolul folosit ades p entru
mărimile electromagnetice vectoriale).
Numerele complexe se pot scrie şi sub
forma e xponenţială, respectiv trigonometricâ
(folosind formula lui Euler):
+~ = reia. = r cos CL jr sin CL 2, (34. 39)
in care r c un număr real şi pozitiv (sau nul, pentru numărul comp lex zero), numit modulul
numărului co111plex .!;
(3-!. 10)
iar rJ. = arg ( !e.} .~O e un număr real, numit argumentul numărului complex {., d at de
relaţiile :
b b _ ,a (34. 41)
tg a sin rJ. =
cos C( =
a r r
astfel ctt
a = r cos a, b = r sn1 a. (34.41 ')
l'\umerele co mplexe se pot reprezenta grafic, biunivoc, prin punctele unui plan abstract •
numit planul complex sau planul lui Gauss, într-un sistem de coordonate carteziene. Punctul C
asociat numărulu i complex <;_ se numeşte afixul lui ~ şi are ahscisa egală cu partea re a l ă a,
iar ordonata egală cu p artea imaginară b (fig. 3-4.14). R ezultă:
OA = a, OB = b, OC = r, < COA = CL . (34.-42)
În ac es t plan, axa abscisclor se numeşte axa reală şi ,;c nsul ei pozitiv se indică, de obicei,
+prin simbo lul l al unităţii reale; axa ordon atelor se numeşte axa imaginară, iar sensul
+ei pozitiv se indi că, d e obicei, prin simbolnl j a l un it ăţ i i imaginare. Prin această core~pon-
r=-I1 în electrotehnică, unitatea imaginară se notează cu simbolul j, pentru a evita
co nfuzii eu simbolul i al curentului.
0 Aceasti"1 egalitate (formula lui Eu ler) trebu ie util izată uuraai cu unghiul rJ. exprimat
în ra diani
METOD E DE REPREZ E NTARE SIMBOLiCA A MARIMILOR SINUSOIDALE SI
denţă se aoociază totodată biunivoc fiecărui număr complex " un vector liber în planul (:Qllli-
plex : vectoru~ de poziţie -+ al afixului C al acestui număr. Acesta e vectorul reprezentativ al
U<..:
numărului r_ . ln exprimarea curentă, numărul complex, afixul său ţi vectorul său reprezentativ
oe nwne ~ c :;;i se simbolizează la fel : numărul complex !:.·
Se numeşte operator d~ rota(ic cu unghiul 6 un număr complex de modul unit a te şi de
aq;umcnt e:
CO > 6 -f- j sin 6. (34.43)
F.xel'nplc de operatori de rola\Î C 'î nt:
·" r ·"- J .) . ~ 1t
=- 1 = e l: jl! ; j3=-j = e -
= e J "- e J -"--
V
I\umărul complex zero arc atît partea reală cît şi partea imaginară nu le, respectiv modulul
nul şi argumentul nedeterminat. Se notează cu simbolul obişnuit pentru cifra zero (fără
>ubliniere) şi corespunde originii O a planului complex.
Numărul complex ..!.·• =a. - jb = re - ia (v. fig. 3·1.U) ;,e numeşte conjugatul nurnă
+nuni complex c = a jb = reia.
Operaţii elementare cu numere complexe. Anularea: Un număr complex (respectiv o expresie
formată după r egulile de calcul cu astfel d e numere) se anulează anulîndu-i modulul, respectiv
şi partea re ală şi partea imaginară :
.:.. = O- r =I ci o-- j a = O (34. 45)
b
1 = o
Egalarea: Două numere complexe sînt egale dacă au părţile reale egale şi părţile imaginare
egale, reopectiv modulele egale şi argumentele egale (san diferite cu un multiplu întreg, n,
de 2rr) :
Orice egalitate intre numere complexe (respectiv între expresii formate după regulile de calcul
cu astfel de numere) furnizează două egalităţi între nmnere (expresii) reale.
Adunarea (scăderea): Numerele complexe se adună (se scad) dacă li se adună (scad) părţile
reale separat şi părţile imaginare separat :
(34.47)
În reprczen tarea grafică se face adunarea (scăderea) vectorială a vectorilor reprezentativi.
Observ a ţie: Suma dintre un număr complex şi conjugatul lui e egală cu dublul
părţii lui reale; iar diferenţa dintre un număr complex şi conjuga tu! lui e egală cu dublul
părţ.ii lui imaginare ;
c_ + !:. • = 2Rc{_d = 2a, c - c* = 2Im{E_} = 2b.
Înmulfirea (împărţirea): l'\umcrele complexe se înmulţesc (;e împart) dacă li se înmulţesc
(impart) modulele ~i li se adună (scad) argumentele:
(34. <19)
.'i ei(al- az) (34. 50)
1'2
C- -16U
82 CURE~Ţl ALTEI<NATI\"1
Modulul produsului (cîtului) este, deci, egal cu produsul_(cîtul) modulelor, iar argumentul
produsului (eîtului) este egal cu suma (diferenţa) argumentelor. In reprezentarea grafică: vectorul
reprezentativ al produsului se obţine (fig. 34.15 , a) din vectorul unuia dintre ' factori (c1 ) , ampli-
ficîndu-1 cu modulul celuilalt (r 2) şi rotindu-1 cu argumentul acestuia (în sens direct dacă cz 2 > O
şi în sens invers dacă
cz2 < O); Yectorul
reprezentativ al cîtului se obţine (fig. 34- .15,&)
din vectorul reprezentativ al numărătoru-
lui (c1), amplificînclu-1 cu valoarea 1·eciprocă
~)a modulului numitorului ( şi rotindu-1
apoi cu argumentul acestuia în sens opus
(în sens invers dacă :x2 > O şi în sens direct
dacă cz2 < 0).
Cazuri particulare: înmulţirea unui
număr complex cu un factor real în se amnă
amplificarea vectorului reprezentativ cu acel
fa ctor real; înmulţirea unui număr complex
cu un operator de rotaţie (34.43) înseamnă
rotirea vectorului reprezentativ cu argumen-
etul al acelui opera tor :
+1
a
.1t
inmulţirea cu j = e J2- L- nseamn.a~ rotirea
cu 7t /2 în sens direct, iar împărţirea cu j ,
' 1t
. -) ~2 înseamncl
înmulţirea cu - j=
aaiccl e
rotirea cu 7t /2 în sens invers. Aceste două
reguli vor fi foarte mult utilizate în studiul
circuit~lor cu metoda reprezentării în com -
plex. Inmulţirea unui număr complex cu
conjugatul său e un număr real : patratul
modulului acelui număr
b. 34..2.1. Reprezentarea în corn·
plex (nesimplificat). În reprezen-
Fig. 34.15. tarea în complex nesimplificat, ima-
ginea în complex a mărimii sinu-
soidale i e o funcţiune complexă de timp, avînd modulul constant şi egal cu am-
plitudinea mărimii sinusoidale şi argumentul egal cu faza mărimii sinusoidalc :
+i = I ]'2 sin ( w t y) ~ I ]!2 ei(w<+·r). (34.53)
Această imagine se mai numeşte reprezentarea în complex nesimplificată a lui i
sau valoarea instantanee complexă a lui i. În acord cu ultima denumire, mai
sugestivă, vom nota această imagine cu simbolul grafic subliniat al valorii
instantanee a mărimii sinusoidale :
(34.54)
(În literatură se mai foloseşte notaţia j sau 1).
METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A MARIMILOR SINUSOIDALE 83
În mod analog, imaginea în complex a tensiunii Y: este : (34..55)
+u = U V2 sin ( wt ~) ~ Y: = U l/2 e*''+B)
Proprietăţi : a) Din formula lui Euler (34.39) aplicată reprezentării în
complex:
.i = IV2 ej(wt+y) = IV2 cos ( Gt + y) + ji l/2 sin ( Gt + y), (34.56)
;rezultă că partea imaginară a reprezentării în complex nesimplificată este egală
.cu valoarea instantanee a mărimii :
(34.57)
Aceasta e regula, deosebit de simplă, a trecerii inverse de la imagine la mărimea
sinusoidală.
b) Se poate da o expresie analitică şi trecerii directe de la mărimea instan-
tanee la reprezentarea ei, observînd că deoarece G T = 2n, avem :
y) '%)Il/2 cos ( Gt + y) = I V2 sin ( Gt + y + = I V2 sin ( G ( t + ~) +
adică
+ + .I ]fi cos ( (i) t y) = i (t ~) (34.58)
Cu această observaţie relaţia (34.56) se scrie : (34.59)
i_ = i (t + ~) + ji(t).
Aceasta este expresia analitică a regulii de reprezentare directe.
c) Dacă s-ar folosi pentru mărimi sinusoiclale forma normală în cosinus
(33.13), reprezentarea în complex ar fi tot (34.54), şi toate proprietăţile metodei
ar rămîne neschimbate, cu excepţia regulilor ele reprezentare, care ar fi :
- trecerea directă : }.' = t"(t) -t'- .. (t "T4).
]t - (34..60)
- trecerea inversă : (34.61)
+i(t) = I ]!2 cos ( Gt y) = Re {i}.
Pentru toate mărimile sinusoidale care intervin în aceeaşi problemă trebuie să se
utilizeze o singură regulă pentru trecerea directâ şi inversă, adicâ o singură formă
normalâ: fie în sinus, fie în cosinus.
d) Comparînd regula de reprezentare în complex (34..13) cu regula repre-
~zentării cinematice (34.2), se constată imediat că, identificînd planul fazorilor
·cu planul complex, fazorul corespunzător mărimii i (t) este vectorul reprezen-
·tativ al imaginii complexe i. Axa de referinţă e acum axa reală, iar axa trans-
versală e axa imaginară. De aceea, în aplicaţii se foloseşte calculul în complex
.al circuitelor în paralel cu reprezentare geometrică (care ilustrează mai sugestiv
relaţiile de fază), iar în diagrame, factorii sînt notaţi cu simbolurile reprezen-
tărilor în .,complex.
CURENTI AL TERl':ATIVI
V2 +e) D efazajul cre=y1 -y2 dintre mărimea sinusoidală i 1= l 1 ]'2 11in ( wt +y1)
şi mărimea sinusoidală i 2 = l 2 sin ( wt y 2) e egal cu diferenţa argumen-
telor imaginilor lor în complex, adică cu argumentul cîtului lor :
{~}Cfl12 = Yt- '(z = arg · (H.62)
Corespondenţa operaţiilor se stabileşte fără dificultăţi :
l. Adunarea mărimifor sinusoidale corespunde biunivoc adunării LmagL-
nilor lor în complex :
adică
(34,.63')
Această proprietate e e ,·identi.'t în virtutea coresponde nţei pc care am stabilit-o cu reprezentare,'l.
cinematicii. i\Halitic ea rezultă din relaţia (34.57), ~tiind că partea imaginară a unei sume e
suma părţilor imaginare ale termenilor sumei .
2. Amplificarea unei mărim i sinusoidale cu un scalar real corespunde biu-
nivoc cu înmulţirea imaginii cu acelaşi scalar real:
(34.64)
adică
e(!.i) = i.e(i). (34.64')
Şi această proprietate e e,·id<-n tă ~i asigură împreună cu rela!ia (31-.63) liuiarilatea reprezentării
în complex.
3. Derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul se traduce prin
înmulţirea imaginii ei în complex cu nwnăml imaginar j CJ)
di . . (34.65)
(34.65')
-~ ]0)1,
dt -
adică e (~) = j we(i).
Î11 adeviîr: d!
+%) n (~: +wl n~ :;in ( wt y 1 ~)
~ wl
c j '"' f ','
v- '( ,. ' ." v-dtdi ~ wl 2 e1 "' · ·r el~ = jcul 2 el.<"', t- ;·' = juli.·
Se ob~cn·ă totodată că, deoarece_! este în acPastii reprezentare fllnC\iunc de timp , se oh!ine
~ = ~ (l V2 ei( o>' !- yl) = Vj C·Jl 2 ei(w! t-y ) = juli,
dt dt
adică reprezen tarea dcri,·atci c-;Lc dcrivata rcprezentiirii:
(34 .6..i)
METOD E DE REPREZENTARE S I.\\BOLICA A MARJ ,\\JLOR S INU S OIDALE 85
4. Integrarea în timp a unei mărimi sinusoidale se traduce prin împărţirta
imaginii ei în complex cu numărul imaginar j w
~ L"dt ~;-_1!_.> (34 .67)
J (•)
adică:
<S (~ idt) = j ~ <S(i). (34.67')
D emonstraţia se poate face direct, ca pentru proprietatea prcccdP ntă , <oau indirect, ob,crvînd că
<lin relaţia (34.65) rezultă :
2(i) = 2 (~ (~ irlt)) = jw2 () idt) ·
Se demomtrcază analog cu (34·.66) relaţia :
(3J. 68)
adică reprezentarea in tegralei e integrala rq>re zen tării.
O b s e r v a ţ i e : Dacii am calcula produsul a doni:i mărimi sinu,;oidale (rel. 33.~9) :
+ )' +i 1i 2 = IJ2 cos (y1 - j '2) - IJ2 cos (2r·lt
1 ~·2),
JPrccum ~; produsul imaginilor în complex respective :
a c.ămi parte imaginară e :
a m constata că produsele de mărimi sinusoidale nu se reprez intă prin produsele imaginilor com -
plexe. Ca şi metoda reprezentării geometrice, metoda r epre z entării în complex poate fi utilizată
numai pentru ecuaţii diferenţiale liniare cu coe fi c ienţi consta nţi , în ca r e nu apar produse de
iun cţiuni de timp,
În studiul în complex al circuitelor prezintă însă interes scmisuma produ-
sului dintre imaginea complexă a unei mărimi ~i conjugata complexă a celei-
lalte :
"*- lr 1,r1 ·
-2 -1 1-L 2 -
l J ' 2- cj(co< + ·; 1) . I "- 2- e- j(<o <+y 2) __
-2
1
(34.69)
·care arc următoarele proprietăţi r emarcabile :
-nu mai depinde de timp ;
- depinde numai de valorile efectiYc şi d e diferenţa fazelor iniţiale, adi6t
nu depinde de alegerea originii timpului ;
- are partea reală egală cu valoarea medie a produsului Yalorilor instan-
tanee (v. relaţia 33.29') :
' lR e 1='.1---;'-- .-1-.-, T (34.70)
l 2J
;;i1I I~ cos (·.'1 - ·,-2) = 2 = ~ ~ ~~1i2dt.
o
Regulile de mai sus, privitoare la traducerea operaţiilor elementare efec-
tuate cu mărimilc sinusoidale, arată că aceste operaţii se traduc - fără excep-
ţie- prin operaţii algebrice efectuate cu imaginile în complex ale mărimilor.
86 CURENŢI ALTERNATIV!
Metodele de reprezentare în complex prezintă avantajul principal de a
transforma ecuaţiile integro-diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi ale
circuitelor, satisfăcute de curenţii şi tensiunile sinusoidale, în ecuaţii algebrice
liniare (de gradul întîi) satisfă cute de imaginile complexe ale acestor curenţi
şi t ensiuni 1 •
1 R egula 1·eprezentării analitice poate fi dedusă exclusiv din conditia ca ecuaţiile diferen-
ţiale liniare ale circuitelor s ă fie traduse În ecuaţii algebrice liniare .Pentru aceasta e necesar
ca r eprezentarea căutată să fie liniară :
(a)
iar cl PrinU'e a să se traclndt pri n Înmultirea cu un număr p:
2 (iellii) = p e(i). (b)
rzDin i = I +sin ( wt y) rezultă eFi w 2i. Aplicînd condiţia (b) derivatei a doua ,
dt 2
se obţine cu (a):
de unde
p = ± jw. (c)
ŢinînJ se ama că
+ +i = I V2 sin ( wt y) = I Y2 cos y sin wt 2_ I V2 sin y ~ (sin wt)
w clt
cu (a), (b) şi (c) rezultă :
1
J sin y - p e(jf2sin wt)
+ r>E(i) = I cos y e (V2 sin wt)
w I(cos r ± j sin e (V2 sin wt)
sau
1 e(i) = Je ± i·:e (V2 sin wt) = AJe±i't 1 (d}
Aceasta e cea mai genera lă reprezentare ana litică a funcţinnilor sinu soid ale de timp, care asigură,
+,t ransformarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficien ţi con stanţi, ale circuitelor, în ecuaţiii
algebrice de gradul întîi. Semnul de la exponent se alege pentru ca exponentul să fie chiar
faza iniţială a mărimii. Mărimea :
A = e (V2 sin wt)
este imaginea celei mai "simple" mărimi sinusoidale (d,e valoare efectivă egală cu unu şi de
fază iniţială nulă) . Alegerea aces tui simbol e arbitrară. In reprezentarea în cGmplex simplificat
se alege A = l şi rezul tii :
e(i) = JeiY= I (e )
În repr0 zen Larea în complex nesimplificat se alege
~i T ezultă :
12(i) = I V2 ei(wt+ y) (f)
J\\ETODE DE !<EPREZENTARE SIMBOLICA A MARi/v\JLOR SINUSOIDALE 87
Circuitele electrice liniarc de curent alternativ sinusoidal vor fi caracteri-
za te prin sisteme de ecuaţii algebrice de gradul întîi, ca şi circuitele de curent
continuu. Aceasta ya permite elaborarea teoriei circuitelor de curent alternativ
în strînsă analogie cu aceea a circuitelor de curent continuu.
Metoda reprezentării în complex (nesimplificat), pentru rezol...-arca circui-
telor de curent alternatiY, consistă în următoarele :
l. Se scriu ecuatiile integro-difercntiale ale circuitelor (ecuatiile în valori
instantanee). ' ' '
2. Se determină imaginile în complex ale mărimilor sinusoidale, care figu-
rează ca termeni lib eri ai acestor ecuaţii (şi care sînt, de obicei, date- de ex.
tensiunile) cu regula trecerii directe (34.53 ...34.55).
3. Se stabilesc imaginile în complex ale ecuaţiilor diferenţiale, adică ecua-
ţiile algebrice liniare care le corespund (ecuaţiile în complex) cu regulile (34 .63,
34..64, 34.65, 34.67). Datorită liniarităţii, corespondenţa se face termen cu ter-
men, înlocuind dcri...-ările în raport cu timpul prin înmulţiri cu j cu şi integrările
în timp prin împărţiri cu j cu.
4. Se rezolvă aceste ecuaţii în raport cu imaginile (valorile instantanee
complexe) mărimilor necunoscute (de obicei, curenţii).
5. Se determină mărimile sinusoidale necunoscute cu regula trecerii inverse
(34.57), adică separînd părţile imaginare ale imaginilor complexe ale lor.
34.. 2.2. Aplicaţie la circuitul serie r, L, C. Exemplifi căm metoda - în fo rma expusă mai sus
-pri n rezolvarea (circuitului serie care a mai fost studiat în paragraful 33.2.6 şi 34.1.2. Repre·
zen tarea ecuaiiei 34.10) a circuitului se poate prezenta schema tic asi fel :
+ 1+u = ri L di
2_ ( idt
,). ! {d.t cl .'
(34. 71)
J1
u- = r-i + V" w- i +C-jc-.li-
sau
+ +.!': = (r j wL 1 /j wC)j,
de unde imaginea complexă a curentului este :
r + j(wL - 1 / ulC) U V2 ei(wt-t-0)
Vr2 1 ( wL _ 1 / wC)~ ei arc tg ((Lw - 1/ wC) frl
sau
U 1,-2 (j wt + {3 - r,,,, _ J/CwJ'
arc tg - -, -
+(, e . (34.72)
1r" wL - l i w C)~
Aceasta este ima ginea complexă ne si mplifi cată (valoarea instantanee complexă) a curentu-
lui ca1·e trebuie dete1:m..inat şi a cărui Yaloare instantanee se obţine separînd partea imaginară a
exprc ~ jci prece dente :
i(t) = , u(2 + -sin ( wt ~ arc tg Lw - l /Cw) . (34 o 72')
1 r~ + (wL -l / wC)~ r
Am obţinut chiar expresia (33.69), dcterrninată prin calcu lul direct.
------------ - -
CURENTI ALTERNATI\"1
Observ aţi i : a) AYantajele acestei metode sînt şi mai evidente la circuite compli-
cate, la care se obţin sisteme de ecuaţii diferenţiale şi deci, cu aj utorul reprezentării în complex,
sisteme de ecuaţii algebrice. Explicitarea formală a necunoscutelor e la fel de simplă ca şi în
cazul circuitelor de curent con tinuu (regula lui Kramer pentm sisteme de ecuaţii Jiniare), deşi
calculele sînt mai lun gi, din cauză că se operează cu numere complexe. O dată scrise ecuaţiile în
complex, rezolvarea e o chestiune de calcul algl'bric, care se desfăşoară "mecrmic", fill-ă să
fie necesare raţionamente suplimentare.
b) Metoda e avantajoasă nu numai pentm rezolvarea propriu-zisă a circuitelor (determi-
narea curenţilor cînd se dau tensiunile etc.) ci şi pentm studii teoretice, deoarece sistemele de
ecuaţii în complex permit studiulsisterr,atic al circuitelor sub această formă. Întreaga teorie mo-
dernă a circuitelor de curent alternativ este elaborată astăzi cu reprezentarea în complex (\·. ~i
cap. 36, 37, 38, 39 etc.).
c) Dacă se scriu explicit (sub formă exponenţială) toate iruagin.ile complexe din ecuaţii
cînd toate mărimile sinu soidale au aceeaşi frecvenţă - , se constată că toţi termenii acestor
ecuaţii (care sînt liniare ~i omogene în raport cu aceste imagini) au un acelaşi factor comun
V2 ei"''. Acest factor poate fi simplificat de la început, fără ca restul calcululni ~ă fie afectat.
Ecuaţia (34.71), d e exemplu, se poate scrie:
Y2 +U V2 ej(o>t H ) = ri eH<•>' + rl j wLI f 2 ei {tor+ ·/)+ - 1- I ]! 2 ei(o><+ ·: )
j uJC
sau - după si mpliftcarc :
+Uei il = rJeh J. wLiei ·t 1' - 1 I eh (34-.73)
-
j wC '
de unde rezultă direct necunoscutele I şi y necesare scrierii valorii instantanee (3'1-.72), dacă
frecvenţa e cunoscu t.ă.
De aceea, în aplicaţii, metoda reprezentării în complex se simplifică, adoptînd ca simbol
i/V2a l mărimii sinusoidale i raportul ei'"'. Noul simbol nu mai e o funcţiune de timp, ci
un număr complex constant. Se obţine astfel o altă formă a rcprezentării analitice, pe eare o
prezentăm în continuare şi care e utilizabilă numai atunci cînd toate mărimile sinusoid3le au
.aceeaşi frecvenţă.
34.2.3. Reprezentarea în complex simplificat. În reprezentarea în complex
simplificat, imaginea în complex a mărimii sinusoidale i c un număr complex
c onstant, avînd modulul egal cu valoarea efe c tiYă a mărimii şi argumentul egal
cu faza iniţială a mărimii :
Această imagine se mai numeşte reprezentarea în complex simplificată a lui i
sau valoarea efectivă complexă 1 a lui i şi se notează cu simbolul majuscul, subli-
niat, al lui i :
1 e(i) = =Ieir I_ (3-1.75)
(În literatură se Inai foloseste simbolul 1 f'au I, sau chiar I - in acest
ultim caz rămînînd ca valoarea 'efectiYă s ă se noteze j I 1 ). În mod analog,
imaginea în complex a tensiunii u este :
u = uj!2 sin (cut + ~) ~ L:ei ~ = L:. (34.76)
+1 Dacă se operează cu nmplitudinilc mărimi l or sinu soidale ~i nu cu Y::t!orile lor efective,
adică dacă se scrie i = I sin ( ~lt y ) - uude I c acum a mplitudin ea - . ima ginea în complex
e L = /ejy ~i se numeş te amplitudine complexâ.
METODE DE REPRE ZE NTAR E SIMBOLICA A J\LI\RIMILOR SI NUSOIDAL E 89
În exprimarea curentă se spune concis curentul complex (în }@C de imaginea în complex
a curentului) şi tensiunea complexă (în loc de imaginea în complex a tensiunii).
Observ a f i e : În reprezentarea în complex simplificat, mărimile sinusoidale origine
d e faaă (y = O) au imagini reale.
În această reprezentare , regula trecerii directe se poate exprima analitic
sub forma:
1ar regula trecerii mYersc sub forma :
i(t) = Im {V2 ei'"' I}.
D eoarece reprezentarea simplificată se obţine prin suprimarea unui factor
c omun parazit din toate relaţiile în complex, care sînt liniare şi omogene în
raport cu imaginile complexe, toate proprietăţile reprezentării în complex
nesimplificate, corespunzătoare unor astfel de relaţii, rămîn valabile. Defaza-
j ele rămîn egale cu argumentele rapoartelor imaginilor complexe respective :
Y1 - y 2=<fl12 = arg{~}· (34.79)
~ i, în particular, uefazajul dintre tensiune şi curent c : (34.80)
~ - y = ? = arg { ~} .
Transpunerile operaţiilor se fac după regulile stabilite :
l. Suma a două mărimi sinusoidale se reprezintc'i prin suma imaginilor în
complex corespun:::xrtoare :
2. Amplificarea cu un scalar real a mărimii sinusoidale se reprezintă prin
amp lificarea cu acelaşi scalar a imaginii în complex a mărimii :
(34.82)
3. Derivm·ea une~ munmi sinusoidale în raport cu timpul se traduce prin
i nmulţirea imaginii ei în complex cu numc'irul imaginar jm :
-di ~-.JUIl. (34.83)
dt -
De astă dată, relaţia (34.66) nu mai e valabilă, adică imaginea clcrivatci nu c
Jerivata imaginii (care nu mai e funcţiune d e timp).
4. Integrarea. în timp a unei mărimi sinusoidale se traduce prin împârţirea
i maginii ei în complex czt numărul imaginar jm :
~ idt (34.84)
90 C U RENTI AL TER NATl \ "1
De astă dată, relaţia (34.68) nu mai e valabilă, adică imaginea integralei nu mai
este integrala imaginii (care nu mai e funcţiune de timp).
O b s e r v a ţ i e: Înmulţirii sau împărţirii a două mări mi sinusoidalc nu le corespund înn}ul-
ţirea sau împărţirea imaginilor lor complexe. R eprezentarea e aplicabilă numa i la operaţii liniarc .
+j 1 Metoda reprezentării în complex
(simplificat) cuprinde aceleaşi etape
jCw ca şi metoda reprezentării nesimpli-
fi cat e, cu diferenta că trecerea dir ect ă.
(determinarea in~a ginii în complex a
unei mărimi sinusoidale) se fa ce acum
cu regula (34.74); iar trecerea inver5ă.
(determinarea manmii sinusoiclale
Fig. 34.16. corespunzătoare un ei anumite ima gini
în complex) se face cu regula (34.78).
Calculul e însoţit de obicei de diagrama vectorială întocmită în planul complex
în care axa reală e axă origine de fază- şi ades nici nu se figurează), în care
fazorii sînt notaţi cu simbolurile (34.75) ale imaginilor în complex.
Construcţia însăşi a diagramei vectoriale se urmăreşte pe baza indicaţiilor
cuprinse î n ecuaţiile în complex , ştiind că înmulţirea cu j înseamnă rotirea în
sens direct cu 7':__ • iar împărtirea cu J. înseamnă rotirea în sens invers cu 7':__ •
2' 2
Exemplu: Corespondenţa (34. 71) a ecuaţiilor în in s tantaneu şi în complex ale circuitului
serie r, L, C este în acest caz:
+ -+u = ri L d- i 1 ~ idt
dt
c
t tf
+ - -+-rJ = r _T 1
J. wL T T, (3!L85)
- jwc -
iar diagrama vectorială din figura 34.11 se notează ca în figura 3~ . 16 , dacă se alege tensiun ea
ca origine de fază. Nici în cazul acesta nu prezintă utilitate să impunem axei reale o anumit a
dîrecţie (de ex. cea orizontală de la stînga la dreapta).
Reprezentarea în complex se utilizeaz ă însă - aşa cum am spus -
la studiul sistematic al circuitelor electrice, împreună cu metode specific e
de scriere directă a ecuatiilor în complex si de rezolYare a acestor ecuatii.
P entru aceasta e neces ară stabilirea mijloadelor de caracterizare a circuiteÎor
cu mărimi complexe .
34. 3. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare.
Fie un circuit electric dipolar receptor, liniar ~i p-asiv, ale cărui laturi inte·
rioare nu sînt cuplate magnetic cu exteriorul , la care se aplică tensiunea la born e
sinusoidală, luată după regula de la receptoarc :
+u = Ujfi sin (wt ~ ) ~ U = Uei B_ (34.8 6 j
/1\ETODE DE REPREZENTARE SI.\IBOLJCA A /1\ARIJ\\ILOR SINUSOJDALE 91
Dipolul absoarbe curentul de regim permanent : (34.87}
i = I ]!2 sin (wt + y) ~ I = lei~·.
O b s e r v a. ! i e : În cazul studiului în complex al circuitelor se obişnuieşte ca în
schemele acestora s ă se treacă direct simbolurile imaginilor în complex ale mărimilor (v. fig. 34.17), .
în locul simbolurilor valorilor instantanee.
_1
Caracterizarea acestui circuit în
curent alternatiY se face cu ajutorul u
parametrilor reali, definiţi în para-
graful 33.3 (impedanţa, defazajul, •·
rezistenta, reactanta, admitanta, con-
ductanţ~, suscepta'nţ a), iar c~racteri
zarea regimului său energetic se face cu
ajutorul puterilor reale, definite în para- a b
graful 33.4 (puterea actiYă, puterea
reactivă, puterea aparentă). Metoda Fig. 34.17.
reprezentării în complex se dovedeşte
însă deosebit de eficace şi în prezentarea unitară şi concisă a proprietăţilor·
circuitelor electrice. V om arăta în cele ce urmează că se pot defini parametri
complecşi (impedanţa complexă, admitanţa complexă) şi o putere complexă ,
susceptibili de a asigura o caracterizare completă a circuitelor şi din car e se
deduc imediat parametrii reali şi puterile reale.
34.3.1. lmpedanţa complexă. Raportul dintre tensiunea complexă apli-
cată la bornele unui dipol liniar şi pasiv şi curentul complex corespunzător nu
d epinde decît de parametrii elementelor de circuit şi de frecvenţă. Acest raport
defineşte o mărime caracteristică dipolului, numită impedanţă complexă
z- u J/ <P( w; r, L , C, ...) (34.88}
J, I
In adevăr, înlocuind în această relaţie expresiile imaginilor complexe (care pot
fi nesimplificate sau simplificate) se obţine :
Z= u = -Uc-iB = =U - -U- . - y) =
JeiY L -- I
..!.. eJ(B
I. += cos (0- y) j ~ sin (0- y).
Dar ~ = Z e impedanţa (reală), iar 0- y = cp e defazajul, care, a~a cum ştim
din relaţiile (33.73) şi (33.74), caracterizează circuitul la o frecYenţă dată. Impe-
danţa complexă nu d epinde deci de mărimile U şi 1, prin care a fost definită,
--------------
'92 CURENll AL TE RNATi V!
------- --------
.::i numai de dipolul pc care îl caracterizează . Ţinînd seama de aceste relaţii şi
-de relaţiile (33.78) ~i (33.79), r ezultă :
~ = Zeicr = R + jX 1· (34.89)
ImpedanJa complexă are modulul egal cu impedanţa circuitului, argumentul
egal cu defazajul circuitului, partea reală egală cu rezistenţa circuitului şi partea
imaginară egalcr cu reactanţa circuitului :
Z = 1 ~ 1 , 9 = arg {~}, R =Re{~}, X= Im {~}. (34.90)
Valoarea impedanţci complexe ~ p ermite o caracterizare completă a circuitului
-dipolar considerat, la frecvenţa dată, d eoarece permite deducerea tuturor para-
metrilor reali ai circuitului. Calculul curentului se face imediat cu relaţia :
--z-I _!!.! u (34 .91)
1 z cHil - <r) ,
1Ul'
(34.91')
Ca orice numere complexe, impedanţele complexe se pot reprezenta într-un
plan complex " al impedanţelor" (planul Z), în care afixul corespunzător se
găseşte totdeauna în semiplanul drept (inclusiv axa imaginară) , deoarece :
{nR e = Z cos cp = R :;> O.
În figura 34.18, a sint reprezentate impedanţclc unui circuit inductiv (~), pur
·inductiv (~1), capacitiv ( ~2), pur capacitiv (~3) şi rezistiv (~ 4).
+j X 0
0
R
b.
Fig. 34.18.
METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A MARIMILOR SINUSO!DALE 93-
O b s e r v a ţ i e : lmpedanţa complexă nu este o reprezentare in complex a raportului
valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului (raport care- de altfel- nu e o mărime si-
nusoidală), sau a oricărei alte mărimi instantanee. De aceea, uneori se foloseşte şi o notaţie diferită
de cele folosite pentru imaginile complexe. Ea este un parametru complex, caracteristic circu itu-
lui, care acţionează în ecuaţiile în complex ale circuitului ca un operator de înmulţire.
34.3.2. Admitanţa complexă. Raportul dintre curentul complex şi tensiunea
complexă aplicată la bornele unui dipolliniar şi pasiv defineşte o mărime ega lă
cu valoarea reciprocă a impedanţei complexe şi numită admitanţă complexă :
Y= .!:. ,. z.T = -1 = '±' {w; r, L, C, ...). (3-1,.92}
_li:
Şi admitanţa complexă depinde numai de structura dipolului şi de fn'c \·enţă,
fiind o caracteristică a acestui dipol. Înlocuind expresiile imaginilor complexe-
ale curentului şi tensiunii, se oţine :
y = - I 'j-(-2----ej( w-<+y-) = -Je-Î Y =
6cos (~- y)- j ~ sin (~ - y).
Cu relaţiile (33.7L1'), (33.82), (33.85) şi (33.86) rezultă: (3-L93t
Il.1 X = y c-iw = G - j B
Admitanţa complexă are modulul egal cu admitanţa circuitului, argumentul egal
cu defazajul cu semn schimbat, partea reală egală cu conductanţa circuitului şi
partea imaginară egală cu susceptanţa circuitului cu semn schimbat :
Y = !}J, ~ = - arg {}], G =Re{~}. B = - Im {X:}. (34.94-}
Valoarea admitanţei complexe Y permite o caracterizare completă a cir-
cuitului dipolar considerat la frecvenţa dată, deoarece permite deducerea tuturor
parametrilor reali ai circuitului. Calculul curentului se face imediat cu relaţia :
I = YU = UYe-iqJ = UYeHtl-·r> (3-!.95}
şi cu i(t) dat de relaţia (34.91').
Ca orice numere complexe, admitanţele complexe se pot reprezenta într-lm
plan complex "al admitanţelor'" (planul Y), în care afixul corespunzător se-
găseşte totdeauna în semiplanul drept (inclusiv axa imaginară), deoarece
Re {Y} = Y cos ~ = G :;;;:,.. o.
În figura 34.18, b sînt reprezentate impedanţele unui circuit inductiv (2.:_), pur
inductiv (Y1), capacitiv (Y2), pur capacitiv (X:3) şi rezistiv (2:_-4).
= -1 Dacă susceptanţa s-ar defini prin relaţia B ' Y sin 9, atunci am avea
+Y = G jB'.
CURENŢI ALTERNATIV!
O b s e r v a ţ i e : Admitanţa complexă nu este o reprezentare în complex a cîtului valori-
lor instantanee al e curentului şi tensiunii sau a oricărei alte mărimi instantanee. Ea este un para-
rnetru complex, caracteristic circuitului, care acţionează în ecuaţii ca operator de înmulţire.
34.3.3. Puterea complexă . După ce am studiat reprezentarea în complex
a operaţiilor elementare (par. 34.2.1), am arătat că produsul a două mărimi
instantanee nu e o mărime sinusoidală şi nu se poate reprezenta în complex.
De aceea, nici puterea instantanee p la bornele unui dipol (generator sau recep-
tor) (v. par. 33.4.1).
+ '( +p = =UL UI cos cp- UI cos (2 wt ~) (34.96)
nu se poate reprezenta în complex după regulile reprezentării stabilite pentru
mărimi sinusoidale.
Se poate defini însă o mărime complexă, care să strîngă în aceeaşi expresie
puterea activă, puterea reactivă şi puterea aparentă, utilizate pentru carac-
terizarea regimului permanent al circuitelor (v. par. 33.4), folosind proprietatea
exprimată ele relaţiile (34.69), (34..70).
Se numeşte putere complexă (uneori putere aparentă complexă) mărimea ~
definită de produsul dintre tensiunea comp lexă şi valoarea conjugată a curen-
tului complex în reprezentare simplificată (sau cu semi-suma acestui produs,
'în reprezentarea nesimplificată) :
S = UI* = (34.97)
Înlocuind expresiile explicite ale imaginilor complexe, se verifică ultima egali-
eate şi se separă partea reală, partea imaginară, modulul şi argumentul acestei
_m ărimi :
u-21 -U-L. -_ -2l 1vr2- ei(co•+rll · I]/·2- e-i(''''+<-l_ Ueii>J e-iY-_ UI*
--
+Jl[* = UieiW-yJ = UI co,s (~- y) j UI sin(~- y).
Ţinînd seama de relaţiile (33.104), (33.106) şi (33.110), rezultă: (34.98)
+ +~ = Sci•r = UJei'r---:- UI cos cp j UI sin r.p = P jQ.
Puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă, argumentul egal
cu defazajul circuitului, partea reală egală cu puterea activâ (adicâ valoarea medie
a puterii instantanee) şi partea imaginard egqlă cu puterea reactivâ :
S = 1~ 1= U I; r.p = arg {~} (34.99)
P = p = UI cos cp = Re{~}; Q = UI sin cp = Im {~J. (34.100)
O dată cu P şi Q, puterea complexă e primită (ca sens de referinţă), dacă ten-
siunea Jl şi curentul l sînt asociate ca sensuri după regula de la receptoare -
Işi e produsă (ca sens de referinţă), dacă tensiunea Jl şi curentul sînt asociate
ca sensuri după regula ele la generatoare.
1 .~
,,~. ;; <
.
METODE DE HEPHEZD/TARE SIMBOLICA A J\\ĂRIJ\\JLOR SINUSOlDALE 95
Ca orice număr complex şi puterea complexă se poate reprezenta într-un
plan complex "al puterilor" (planul S).
La dipoli activi, poziţ.ia afixului puterii complexe poate fi oricare în planul puterilor (S
2_ 31. :::2. ~ în fig. 34.19). În adevăr, la aceşti dipoli P .~O şi Q ~O, în funcţie de sensul re-al
al transmisiunii puterii şi de convenţia de asociere a sensurilor de referinţă ale tensiunii şi curentu-
lui. De exemplu, {'i2 poate [, puterea complexă In
bornele unui dipol activ receptor (la care U şi I
~e asociază după regula de la receptoare) cî t~
produce putere activă şi primeşte putere reac-
tivă - dar poate fi ş i puten-a co mpl exă la bornele
unui dipol activ generator (la care U şi I se aso-
<:iază după regula de la generatoare) cind primeşte
putere activă şi produce putere r eactivă.
La dipoli pc<sivi, poziţia aftxului puterii
comp lexe e conţinută numai într-un semi-plan ,
o:i anu me semiplanul drept (dacă se foloseşte con- pp
Yenţia de asocjere de la receptoare, aşa cum se
obi; nuieşte). In aclevi'1r, la dipoli pasivi recep- +1
2tori P ~ O şi Q~ O. În figura 3-Ll9 , e puterea
<-: omplexă primită de un dipol incluc Liv (Q > 0), -o
iar ,51 puterea complexă primită ele un dipol
capacitiv (Q < 0).
Puterea complexă primită de un Fig. 34.19.
.rlipol pasiv se mai exprimă folosind lm-
pedanţa comp l exă şi admitanţa com-
p lexă:
+ +S = U I* = Z 12 = Y* U2 = (R jX) J2 = (G jB) U2• (34.101)
O b s e r v a ţ i i : a) Puterea complexă S nu este imaginea în complex
a puterii instantanee p, care - aşa cum am menţi-;:;nat la începutul paragrafulni -
n u se poate reprezenta în complex.
b) Se poate opera în locul mărimii S cu mărimea (v. şi fig. 34.19) :
S* !l* !._ = U I e -jw = UI cosc;;- j UI sine;;= P - jQ, (34.102)
numită putere complexă conjugată. Se operează cu această putere. complexă
în special în cazul cînd conjugata tensiunii complexe se calculează mai uşor
decît a curentului complex (de ex. cînd !J. = Y._* = U, deoarece e luat origine
de fază).
c) O mărime complexă definită de produsul imaginilor complexe ale tcn-
•iunii şi curentului (fără ca vreunul din factori să f!e conjugat) nu poate carac-
teriza regimul permanent energetic al circuitului. In adevăr, această mărime :
+U !._ = U I =eilh- -.- UI cos (~ y) + j UI sin (~ +y)
+a r e valc-ri care depind de alegerea arbitrară a originii timpului (prin suma ~ y
a f azelor initiale). O astfel de mărime nu are nici o semnificatie fizică adecvată
studiului regimului permanent. '
9G CURENŢI ALTERNATIV!
Jj Z=r 34.3.4. Caracterizarea ele-
Y= j__ mentelor de circuit în complex.
~
\- r Pentru studiul în complex al
a. 5 =r/ 2
r circuitelor de curent alternati,-
\J= j~uL
{)L este necesar să se cunoască pro-
'o
prietătile si modul de caracte -
rizare' al ~lementelor ideale df"
circuit r, L, C. Considerăm că h
se aplică o tensiune sinusoidală
dată (34.86), cu imaginea com-
up1exaV -T-'-J- =
_t_ =jwL ej ;1 ŞI. determl--
{ Y= _1_ năm curentul I = I fjY , p a-
- jwL
(" =j.Wu z rametrii caracteristici şi pu-
:2 terile.
b. 1l·- _jw1C În studiul în complex
_!_ = jwC
(Îc v=jwC1f al circuitelor, pe scheme SO"
l -S=-/!w_C figurcază simbolurile imagi-
~Jl
nilor complexe (în locul sim-
c. bolurilor mărimilor instanta-
nee) alături de săgeţile sensu -
Fig. 34.20. I·ilor de referinţă - totdeauna
necesare pentru scrierea ecua -
tiilor si interpretarea 1·ezulta-
telor (~. fig. 34.20).
a) Re::;istorul ideal, de rezistenţă r, are ecuaţia (31.22), reprezentată în
complex, utilizînd regula amplificării cu un scalar (34.82) :
Q,\•~u = r i = u,. U = 1 r l_ = (34.103 )
Aceasta e expresia :in complex a căderii d e tensiun e rezistive. Rezultă :
- impedanţa complexă a rezistorului ideal : (34.104 )
l! =j ~ = r l •
j_ .
cu Z = r, o = O, R = r, X = O.
- admitanţa complexă a rezistorului ideal :
~ =1 Y=-; l· (34-.105 )
·-----
cn Y = l fr, G = 1/r, B = O.
-puterea complexă a rezistorului ideal:
U I* = jl ş_ = r J2 = uz 1 (34.106}
-- '1
cu P = RI•- = rI "- = U2 / r > O, Q = _,v).r.·-• = O.
METODE D E REPREZENTARE SIMBO LI CĂ A MARIMILOR SlNUSOIDALE 97
Am regăsit toate valorile scalare determinate cu metoda rcprezentării geo-
metrice (34.21...34.23).
h) Bobina ideală de inductivitate L are ecuaţia (31.26), reprezentată în
complex, utilizînd regula derivării (34.83) ~i a amplificării cu un scalar (34.32) :
=!-----=---=--u =
di UL <F~ !1 J. w L [ = U L 11 . (34.107)
L- =
dt
Aceasta e expresia îu complex a căderii de t ensiune inductiYe. Rezultă :
- impedanţa complexă a h ohinei ideale :
(34.108)
cu
Z = wL, rp = 7t /2, R = O, X = w L > O.
- admitanţa complexă a bobinci ideale :
L Y = -1 - , (34.109 )
rr -'1 jc.>L 1
cu
Y = l f wL, G = O, B = ulL > O.
- puterea complexă a bohinei ideale :
U l* = 1 S = J. wL J2 = J. U21 , (34.110)
-- -- <uL
cu
P = Rf2 =O, Q = X/2 = wLP = U2 j wL > O.
Am regăsit toate valorile scalare determinate cu metoda reprezentării geome-
trice (34.24...34.26).
c) Condensatorul ideal de capacitate C are ecuaţia (31.30'), reprezentată
în complex, utilizînd regula integrării {34 .84) şi a amplificării cu un scalar
(34.32}:
~c)( i dt = uc ~ -U = 1
j -j-r.1o:C._ =
1·u =
-Uc (3Ull)
Aceasta e expresia în complex a căderii de tensiune capacitive. Rezultă :
- impedanţa complexă a condensatorului ideal :
=\Z=-11f! - jroC 1,
- -1668
gg CURENŢI ALTERNATJ VJ
cu R =O, X -1 / wC.
(3 t± . l l 3 )
Z = l f wC ,
- admitanţa complexă a condensatorului ideal :
-T=1T- = 1 Y- = jwC I1 ,
cu
Y = w C, G = O, B = - w C < O.
- puterea complexă a condensatorului ideal :
[j l* = 1 ş_ = -. J2 c = - j wC uz i' (34.114)
J u)
1
cu Q = X 12 = - J2 / w C = - u) C U2 < O.
P = R J2 =O,
Am regăsit toate valorile scalare determinate cu metoda reprezentării geome-
trice (34.27.. ~ 34.29).
În figura 34.20 sînt construite şi diagramele vectoriale corespunzătoare
(cu notaţia de la reprezentarea în complex).
34.4. Formele complexe ale ,.legii lui Ohm"
34.4.1. Analogii cu circuitele de curent continuu. ln regim sta(ionar, datorită lipsei tensi-
unii electromotoare induse (31. 8), cîmpul electric este un cîmp potenţial şi tensiunea electrică
n u depinde de drum. De aceea , în curent continuu (v. şi par. 13, vol. I), în expresia inte·
grală (31.9) a legii conducţiei elec1rice, tensiunea în lun gul firului poat e fi înlocuită cu t en siunea la
borne. Se obţine astfel "legea lui Ohm", sub forma
Ub = r i (34.115)
pentru nn dipol liniar şi pasiv, de rezi stenţă r, alimentat cu ten siunea la borne ll b cu sensul
a sociat curentului după regula de la receptoare - >an "ub forma mai generală
e ± Ub = r i .16 )
p entru un dipol liniar şi ac t iv , conţinînd o sursă de tensiune electromotoare e, avînd sensul
c urentului. Semnul ( + ) din ultima relaţie corespunde dipolnlui receptor (sen sul tensiunii la
b orne e asociat sensului curentului după regula de la receptoare), iar semnul (- ) corespund e
d ipolului generator (sensul tensiunii la bornc e asociat sensului curentului după regula de la gene-
r atoare).
. ln regim n estaţionar şi deci şi în curent alternativ, datorită existenţei tensiunii electr o-
motoare induse şi a prezenţei condensatoarelor, relaţiile (34,.115) şi (34.116) nu mai sînt vala-
]Jile în valori instantanee. Un analog formal al acestor relaţii se obţine dacă se operează cu
i maginile în complex ale t en siunilor şi curenţilor. Analogul formal al relaţiei (34.115) rezultă
d in relaţia (34.88) de introdu cer e a impedanţei complexe, p entru dipoli liniari şi pa sivi :
(34 .11 7)
METOD E DE REPREZENTARE SL\\BOLICA A t.>ARIMILOR S!NUSOIDALE 99
şi se numeşte forma complexă a legii lui Ohm. Analogul formal al rela ţi e i (34 .116) este t eor ema
lui Joubert, demon s trată în paragra fu l următor - şi care oe mai nume~t e forma complexfi gen erlJ-
li:mtă a legii lui Ohm.
Aceste analogii formal e cu relaţiile fundamentale de la cir cuitele de cur!'nt con tinuu vor fi
intregite prin formularea unor teoreme an aloge t eoremelo.r lui Kirchhoff (cap. 36) şi constituie
unul din marile avantaje ale r epre zentării în complex. E le oi nt limitate de exi stenţa impedanţelor
mutuale (v. 34.4.3).
34.4.2. Teorema lui Joubert. Fie o latură actiYă d e circuit electric
(fig.34.2l,a) cuplată magnetic cu altele , conţinînd un rezistor, o b obin ă, un conden-
s ator şi un generator de t ensiune electromotoare instantanee dată eg, avînd
sensul de referinţă al curentului i. Inductivitatea proprie a laturii1 este L,
capacitatea condens'atorului este C, rezistenţa totală a conductorului (de la
horna lla armătura l' a condensatorului şi d e Ia cealaltă armătură, 2', la borna 2)
este R , iar tensiunea la borne instantanee cu sen sul de referinţă după r egul a
y 6 (Receptor }
b.
r:pfexJ E
~1 - "~' - - -~J . 2-9
R jwL __1_
j<.>C
lj_b (Generator)
c.
02
a.
de la reeeptoare este u12 = ub. Fier o curbă luată în sensu · curentului (de la
l la l') prin interiorul conductorului laturii şi prin dieleetricul condensatorului
şi închisă p e la borne în sens opus tensiunii u b. Fluxul total înlănţuit de latură,
1 Această inductivitate include şi inductivitatea proprie a generatorului, dacă t.e.m.
corespunzătoare nu e inclusă în eg · Pentru deli nirea inductivităţii laturii şi - mai general-
a fluxului înlănţuit de latură , suprafaţa de definiţie n fluxului se consideră sprijini tă de linia ten-
siunii la borne (v. şi observalia de la par. 31.3.2).
100 CU RE NTI ALTEI<NATIVI
calculat prin s uprafaţa S, în sensul asociat sensului curentului burghiului drept,
+se compune din fluxul bobinei <1> = L i <I>(cx) şi din fluxul care induce
t.e.m. a gencratorului eg. Fluxul exterior <I>(ex) e fluxul produs prin bobină.
rde curenţii altor laturi. Tensiunea electromotoare inclusă în lungul curbei este :
J(Eds = ~d<I> + e. (34.ll8)
dt g
r
Ace astă integrală se poate însă d es face pe porţiuni :
1' 2' 2 1
~ E d,; = ~ E ds + ~ E ds + ~ E ds + ~Eds
r 1 !' ~· 2
(fir) (dielectric) (fir) (pc la borne)
Primul şi al treilea termen reprezintă tensiunea în lungul firului, egală, conform
legii conducţiei electrice, cu produsul dintre rezistenţă şi curent.
Termenul al doilea e tensiunea condensatorului, iar ultimul e tensiunea Ia borne
cu semn schimbat :
+ +~ E ds = u R ltc - u; = R i ~ ~ idt- ub , (34.ll8')
r
ultima egalitate fiind valabilă pentru circuite liniare.
Egalînd expresiile (34.118) şi (34.118' ), se obţine ecuaţia unei laturi recep-
toare active ~i cuplate
(34.119)
ro.+Î n1OCU•llid=L."ff"i (c.r) ŞI' sepan' nd termenu" dependenţi de curent, se
L
""
obţine ecuaţia unei laturi liniare receptoare :
d ztb = R· t' + Ld-t' 1 ~
-
dt c
+ + - 'e" -
',*._'-(cx) ' d t. (34.120)
• dt
E c uaţia co respunzătoare in complex este :
~g ~jw<I> ( cJ<) + Ub= ( R + jwL+ l ) !_. (34.120')
jwC
Factorul complex al curentului este chiar impedanţa complexă proprie ? a
laturii. Se obţine astfel expresia teoremei lui Joubert pentru laturi receptoare
(v. schem a echivalentă din fig. 34.21, b) :
{34..121 )
METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A /V\ARIMILOR SINUSOIDALE !01
t.:are pentru laturi generatoare (la care s-a luat ub = u21 = - u.12 v. schema
eehivalentă din fig. 34.21, c) se scrie :
(ex) u;, = ?!. !__ (34.121 ')
li_g - j (1) <D -
Aceste două expresii se scriu strîns :
±1 ~g - j (1) ~(ex) !lb = ?!. !__ 1' (34.1 22 )
:Semnul (+) corespunzînd laturii receptoare şi semnul (-) laturii generatoare.
Această relaţie constituie analogul pentru curent alternativ, în complex,
al legii lui Ohm generalizate (34.116). Suma tensiunilor din membrul stîng
se numeşte tensiune aplicată
(34.123)
Şi coincide cu tensiunea la borne luată după :regula de la receptoare, în cazul
laturilor pasive (§; = O) şi necuplate ( <D<•xl = o). Cu ajutorul tensiunii apli-
8
cate, teorema lui se enunţă : Tensiunea aplicată unei laturi de circuit
Joubert
( pasive sau active, cuplate sau necuplate) e egală cu produsul dintre impedanţa
proprie a laturii şi curent :
(34.124)
34.4.3. Imped.anţe mutuale. Fluxul exterior :instantaneu poate fi produs
oe curenţii i 2, i 3, ... ,iL ai altor L - 1 laturi de circuit. În acest caz vom da in-
.Uicele 1 laturii studiate pînă acum, al cărei curent va fi i a cărei inducti-
= i 1,
vitate proprie va fi L = L 11, şi al cărei flux exterior va fi el\(exl . Vom exprima
acest flux cu ajutorul relaţiei lui Maxwell (31.15) :
(34.125}
în care intervin inductivităt,ile mutuale L1s = L s1 <> O. Semnul unei inducti-
vităţi mutuale, de exemplu L12
mport cu wre (v. fig. 34.22), depinde de sensurile de referinţă
de pe circuite în
a fost definită. Dacă L 12 >O, fluxul p rodus de
circuitul 2 (parcurs de curentul i 2 în sensul de referinţă considerat pe acest
circuit) înlănţuie circuitul l (v. fig. 34.22,a) într-un sens asociat după regula
burghiului drept cu sensul de referinţă de pe circuitul 2 (sensul în care calcu-
lăm tensiunea electromotoare indusă de 2 în 1). Dacă L 12 < O, fluxul produs de
circuitul 2 înlăntuie circuitul l (v. fig. 34.22,c) într-un sens opus celui asociat
după regula bu;ghiului drept. De aceea, pe schemele echivalente ale circuitelor
(v. fig. 34.22, b pentru cazul din fig. 34.22, a şi fig. 34.22,d pentru cazul din
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 485
Pages: