Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan

CUADRIPOLI ELECTRICI 251

Echivalenţa cuadripolilor este considerată aici la o frecvenţă dată şi poate să nu sub-
siste la o altă frecvenţă, dacă cei doi cuadripoli admit diferite dependenţe de frecvenţă pentru
parametrii corespunzători. Se pot considera şi cuadripoli echivalenţi la orice frecvenţă, după
cum se pot considera echivalenţe parţiale- valabile cu aproximaţie- în anumite limite de
variaţie a condiţiilor de funcţionare. În sfîrşit, în anumite cazuri (de ex. la transformatoare
şi maşini electrice), se pot considera scheme echivalente reduse, în care curenţii, tensiunile
şi parametrii diferă de valorile lor reale prin anumiţi factori numerici (de reducere) bine de-

terminaţi.

Deoarece un cuadripol diport liniar, pasiv şi reciproc are trei parametri
complecşi independenţi, schemele echivalente, determinabile pentru orice
cuadripol ncdegcnerat din această clasă trebuie să corespundă unor structuri
cu cel puţin trei impedanţe complexe. Cele mai simple scheme de acest fel sînt
cele în T şi în 7t. În aplicaţii se mai folosesc şi alte scheme mai complicate - de
exemplu schema în punte (v. aplicaţia 3 de la par. 43.4.1), pentru care se poate
demonstra că există o structură realizabilă în concret, oricare ar fi cuadripolul
liniar pasiv şi reciproc dat.

43.6.1. Schema echivalentă în T. În paragraful 4.3.4.1 am studiat cuadri-
polul în T (fig. 43.7, a), cu parametrii (43.29), (43.30). Dacă se consideră un

cuadripol dat, cu parametrii fundamentali d:, !}_, !_2, D, impedanţele şi admi-

tanţele schemei echivalente în T rezultă din relaţiile (43.30) :

y = ~. ~1 = -A -~1 ' z _ -Q-s-;1-. -·l (43.56)

_2 -

Pentru cuadripolii simetriei ~1 = ~2•

43.6.2. Schema echivalentă în ll. În paragraful 43.4.1. am studiat cuadri-
polul în ll (fig. 43.7, b), cu parametrii (43.31), (43.32). Dacă se consideră un

cuadripol dat, cu parametrii fundamentali :4, IJ., s;;_, J2, impedanţele şi admi-

tanţele echivalente în IT rezultă din relaţiile (43.32) :

~ = !}_, -Y1 = Q-1 -Y _ 4 -1 . (43.57)
B
-R-' 2-

'-

Pentru cuadripolii simetriei X"1 = 2:::2•

43.6.3. Aplicaţii: 1. Schemele echivalente aie unui transformator fără mi 3Z de fier. Conside-
răm transformatorul din figura 43.13, a, la care presupunem că s-au ales astfel bornele 2, 2', încît

<L 12 > O (dacă 1 şi 2 sînt bornele polarizate ale înfăşurărilor). Deoarece la orice transformator

L 12 VL 1L1, mai admitem că, în acest caz, L 1 > L 12 > L 2• Ecuaţiile transformatorului sînt

(36.24), iar parametrii impedanţă sînt (43.34). Cu relaţiile (43.57) şi (43.24) rezultă parametrii

schemei echivalente în T (notaţi aici cu accent, pentru a evita confuzia cuimpedanţele transfm·-

matorului) din figura 43.13, b :

(43.58)

În figura 43.13, d e indicată realizarea în concret a acestei scheme cu rezistoare, bobine (pentru
reactanţele pozitive) şi condensatoare (pentru reactanţele negative).

252 CUADRIPOLI

Cu relaţiile (43.58) şi (43.35) rezultă parametrii schemei echivalente în 1r (notaţi aici cu
<lublu accent), din figura 43.13, c. Calculăm numai impedanţa ramurii din mijloc:

+ + = _ + +Z " = .R = _ R1R2 - c,}2 (L1L2 - L~2) j w (L1R2 L 2R1)
L 1R2 L 2R1

-- j wL21 L21

L 12 >0 RlR2 - w2 (LlL2- L y2

........----... w2L21
2~2L,>L">c (43.59)

7-~L 2-' ----:) Deoarece Re { Z" } < O, schema echi-
a.
valentă în 1r a unui transformator nu
J 21 2 poate fi realizată în concret.

Y." r· O b s e r v a ţ i e : Pentru trans-
formatoare se folosesc frecvent scheme
-1 -2 echivalente reduse.

2' 11 2' 2. Determinarea experimentală a
parametrilor şi schemei echivalente în T a
b. c. unui cuadripol simetric. Cu montajul
din figura 43. 14, a s-au făcut încercări
~C2. R de mers în gol (81 deschis) şi în scurt-
circuit (81 închis) la un cuadripol sime-
2 tric C, alimentat pe la bornele primare.
La încercarea de mers în gol, s-au

măsurat:

U10 = 200 V, I10 = 20 A,

P10 = 2 400 W (inductiv)

La încercarea de mers în scurtcircuit s-au

măsurat:

U1sc = 102,6 V, I 1,c = 10 A,

P1sc = 984 W (inductiv).

o7'-----------~----------2o ' Rezultă: Z10 = -u-lo = 10 !1
d.
Ilo
Fig. 43.13
= - p-1-0- = O6
cos cp10
uloIlo ,

sin cp10 = 0,8

Z1 = -ul-sc = 1o,26 n
se Ils c

a. COS cplsc = plsc = 0,96;

b. uls/ls c
Fig. 43.14
sin cp1se = 0,28.

lrnpedanţele complexe primare de mers
în gol şi în scurtcircuit sînt deci :

+ n,.?:to = zlo e j<pl0= 6 j 8

l'Plsc .
zl sc e
+= =~lsc J 2,88 n .
9,84

CUADRIPOLI ELECTRICI 25~

-~--=----r'[!_ = ?t cd = ± (12,01-4,48 j);
5
Cu relaţia (43.41), parametrii fundamentali sînt: 6 62

V +A =D = ± 6+j8 = ± (l-0,75J.);

-- - 3,84 j 5,12

~ = A/~10 = =f 0,125 j.

Cu relaţia (43.56), impedanţele cuadripolului în T echivalent a

din figura 43.14, b sînt :

)6 16 J 16 zj 16 6
2'
-z =..!!2.. = z-z - /6

-l - -l -
~Ilizabil~~::t:o~:::, d(fi: 1~~{t aec~iv:~:n~:~;atfbil:rr;:ez~;::: 1'±8 j;+j16.

efectuate.rările Aceasta, deoarece măsurările de impedanţe o -- .o

au rezultate invariante la permutarea hornelor primare b

(1 -~ 1', 1'-+ 1). Cei doi cuadripoli din figura 43.15 au para- Fig. 43.15

metrii egali şi de semn schimbat şi nu sînt echivalenţi între ei

decît după permutarea hornelor uneia dintre porţi.

4.3. 7. Cuadripoli nereciproci

Prezentăm mai jos exemple de cuadripoli nereciproci, care au patru parametri inde·
pendenţi, relaţiile (43.9), (43.13), (43.18) nefiind valabile. În cazul reţelelor liniare, astfel de

cuadripoli nu se pot realiza cu elemente de circuit dipolare (pentru care s-a demonstrat teo-·
rema reciprocităţii), ci numai cu elemente de circuit multipolare.

girator43.7.1. Giratorul. Se numeşte un cuadripol pasiv şi liniar zis "antireciproc", pentru

că admite relaţiile de antireciprocitate :

?ta= ?a1 • Yta = Xa1• AD- BC = - l. (43.60}

girator idealSe numeşte (cu simbolul grafic din fig. 43.1 6) un girator cu ecuaţiile caracteristice:

(43.61)-

în care semnul depinde de notarea hornelor. Giratorul ideal are deci parametrii de cuadripol:

?u = O; ?ta= K21 = ± rg ~22 =o 1 .11 .12 2

A= O; B. = ± rg !2= ±1- ;Q = O ~V,~

l:':n = O; rg Y,) !!,= :trgJ2

X:t2 = 1:':2t = ± _1:_. l:':u = O y !lz = :t rgl,

rg '

(43.62)

care depind de un singur parametru distinct, rezis- 1' 2'
Fig. 43.16
>tenţa de giraţie rg O.

254 CUADRIPOLI

43.7.2. Girator cu efect HaU. Se poate realiza un girator, dacă se utilizează efectul HaU,
conform căruia, cînd un curent i străbate o plăcuţă conductoare de grosime a (fig. 43.17, a),
situată într-un cîmp magnetic transversal de inducţie B0, apare o tensiune transversală u8

(tensiune Hali) :

UH = - kH iBo = rgi, (43.63)

a

cu un astfel de sens de referinţă,

încît cele trei sensuri ale mărimi­

lor i, B0 , u H formează un triedru
drept. Constanta kH se numeşte

constanta HaU şi e negativă pentru

efectul Hali normal, care se poate

interpreta cu mijloacele fizicii cla-

,,1 2 sice, ca fiind efectul forţelor pe

care cîmpul magnetic le exercită

asupra electorilor de conducţie în

mişcare.

08.J., d Dacă vom consider a acum o

plăcuţă Hali constituind un cua"

1a b dripol, ca în figura 43.17, b, ten-

~1 'O siunea primară U1 = cUăd1er=ea Uab
c va fi su ma dintre de
--<2>'
1' '9 tensiune r1[ 1, în care r1 = rab e
rezistenţa plăcuţei în sensul ab şi
t:.
b. căderea de tensiune Hali - r g[ 3
!lt = rtlt - rgla· led)
(produsă de curentul b. =
cu sensul, determinat după regula
Fig. 43,17.
de mai sus, de la b Ia a, adică

opus curentului 11 :

Tensiunea secundară Jls = Il 's• =-!led va fi egală şi de semn contrar cu suma dintre
tensiune r 211 (în
~ăderea de care r2 = r cd e rezistenţa plăcuţei în sensul cd) şi căderea de
H ali r g[1 (produsă de curen
tensiune tu l 11) ,

+- !la = rziz rglt·

Ecuaţiile giratorului cu efect Hali sînt deci :

.!lt = rtlt - rg.Ia } (43.64)

I!a = - rgl t - rz!a

~i verifică condiţia de antireciprocitate ~12 = g21 = - r g. Schema echivalentă a giratorului cu

efect Hali (fig. 43.17, c) cuprinde un girator ideal cu
rezistenţele r 1, respectiv r3, în serie în circuitul pri-
mar, respectiv secundar.

43.7.3. Cuadripol nereciproc realizat cu o maşină
asincronă. Considerăm un motor asincron, care repre-
zintă un receptor trifazat practic echilibrat, cu impe-

danţa direct a" Z_d= -1Ş.i.tmpedanţa m. versa" ~"i' = - 1 ,
1:::d J:::i

conectat ca în figura 43.18, astfel încît să constituie un

cuadripol diport. Tensiunea directă, respectiv inversă,

rezultă cu relaţia (42.6):

1
(.!11
Fig. 43.18. 3 +Ili = a2 !!.2), (43.65)

UTILIZAREA CALCULULUI MATRICEAL 255

~eoarece pentru calculul componentei directă şi inversă a unui sistem de tensiuni stelate se poate

alege un punct neutru arbitrar (v. 42.1.5, b), de exemplu borna 3, astfel că Q13 = Jl1, .!123 =

= rla• risa= O.
Curentul direct, respectiv invers, rezultă :

+ +Td = rld = Ul aU, Yd; Ii= Jli = Jll a2 Jls Yi, <lh =O) (43.66)

- ~d 3 - ~i 3-

Curenţii de fază sînt, în acest caz, 11, - !_2, la - !_1 şi se pot calcula din relaţia (43.66):

Yi) Yi)ll = ld +li = Jl1 ( YJ ; 2
+ Jlz (a Yd ; (43.67)
a
j YJ Y·) · (YJ Y·)l·a = -(-la) = - (a2ld + aL.) = - Jl1 (a2 - +a.-' ...,.... rla + '•
33

Se observă că parametrii admitanţă ai acestui cuadripol sîni : ·
+ + lX:u
1 ' Yi); -Y11 = -13( a _ t 'd a2 Yi)
=-
3 (YJ "Ţ -

+ I·Yu = - -13 (a2 YJ +a X:d- . (43.68)
• :1
-; Yu = - -3 (X:d Y i)

Cuadripolul e simetric (Yu = - rz2), dar nereciproc l:tz =/=- Yu (deoarece

44.11 UTILIZAREA CALCULULUI MATRICEAL

Studiul reţelelor electrice liniare - şi în particular al cuadripolilor - se
poate face în mod sistematic cu ajutorul calculului matricea!.

Deşi relaţiile fundamentale ale acestor reţele (teoremele lui Kirchhoff)
sînt ecuaţii algebrice de gradul întîi, rezolvarea reţelelor devine foarte dificilă
în cazul unui număr mare de ecuatii si de necunoscute. Metodele în care se
utilizează reducerea numărului de ec'ua{ii (v. par. 38.3 şi 38.4) sau simplificarea
lor, prin efectuarea unor schimbări de variabile- ca şi metodele în care se
utilizează interconexiunea unor reţele mai simple, cunoscute, pentru a deduce
parametrii unei reţele mai complicate - se dezvoltă deosebit de sistematic
în scrierea matriceală. Pe această cale, "mecanizarea" calculului e atît de avan-
sată, încît aplicarea unor reguli bine determinate de operare face inutilă urmă­
rirea atentă a diferitelor convenţii, utilizate în formularea relaţiilor (de ex. a
convenţiilor de semne), sau referirea la figuri ajutătoare. De aceea, metodele
matriceale sînt deosebit de apte pentru efectuarea operaţiilor cu calculatoare
electronice. Totodată, extrema conciziune şi eleganţa de formulare a raţiona­
mentelor în scrierea matriceală asigură eficacitatea acestei scrieri în cercetările
teoretice. Fără a pierde din vedere aceste avantaje, trebuie însă să nu se uite
că metodele matriceale nu aduc nimic nou din punctul d.e vedere al proprie-

256 CUADRIPOLI

tăţilor fundamentale ale reţelelor liniare. Orice problemă rezolvată matricea! e
rezolvabilă şi numai cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff. În cele ce urmează
vom prezenta numai aplicaţiile calculului matricealla studiul cuadripolilor.

44.1. Matrice şi operaţii algebrice cu matrice

44.1.1. Definiţii. O matrice p-dimensională e un ansamblu de elemente cu p indici ahka .•. ~ ,

ordonat după fiecare indice în parte într-o configuraţie p-dimensională, pentru care se definetc
operaţii de adunare, amplificare cu un scalar şi înmulţire (v. par. 44.1.2) 1•
În aplicarea calculului matricea! la studiul reţelelor electrice interesează matricele bidimen-

sionale, ale căror elemente a;j au doi indicii = l, 2, ..., m şi j = l, 2, ..., n şi sînt ordonabile
într-un tablou dreptunghiular cu m linii (primul indice e al liniei) şi n coloane (al doilea e al

coloanei): 7 -5 ·o-

l!all= oj 3

18 1 7

aml am2 . •. amn

Pentru simbolul unei matrice vom folosi a. b.

simbolul elementului ei generic, pus între bare ~5
d
duble verticale. Explicit, matricea se reprezintă
lf o o o
prin tabloul elementelor ei, puse între aceleaşi 4 j oj oo
bare duble. Pentru a evita confuziile care se pot o D 1+J o
o o o -3
l- 1+~ 1- h 1face prin aşezarea prea apropiată a elementelor
f'.
(care pot avea expresii mai complicate), se repre- c.
zintă matricele şi ca în figura 44.1 , prin tablouri

împărţite în căsuţe. Elementele u nei matrice pot

fi numere (reale sau complexe, ca in exemplele

pe care le vom da), dar şi funcţii, operatori etc.

-cu singura condiţie ca pentru aceste elemente 3 1+j -J J+j

operaţiile de adunare, amplificare cu un scalar şi j -2 * 18

It+înmulţire să fi fost definite în prealabil. Elemen- oo
o j5
tele unei matrice pot fi, la rîndul lor, matrice. -J ~
Numerele de linii (m) şi de coloane (n) definesc
ordinul matricei, notat m X n. ~+j 18

Se definesc următoarele tipuri particulare e.
de matrice (v. fig. 44.2): a) matrice dreptunghiu-

, a" a,2 a!J a"' alf ft o o--. o oo
azt a22 azJ az~ az5 D1 o ooo
a.lf aJZ aJJ ay, aJf ooo
a~, a~2 a~J a~ ,a_<5 o o 11
h
Fig. 44 .1. Fig. 44.2.

1 Uneori, în literatura tehnică, se confundă conceptul de matrice cu acela de tensor. Un
tensor de ordinul p e o mărime geometrică, definită într-un spaţiu m:dimensional, care caracte-
rizează o proprietate fizică sau geometrică intrinsecă în acest spaţiu. In raport cu fiecare sistem
de coordonate din acest spaţiu, tensorul are mP componente scalare, care constituie o matrice
p-dimensională. La schimbarea sistemului de coordonate, matricea componentelor tensorului se
schimbă (deşi tensorul e acelaşi) după anumite transformări liniare, asociate transformării

coordonatelor.

UTILIZAREA CALCULULUI MATRICEAL 257

Iară, cu m =/= n; b) matrice pătratică, cu m = n (matrice pătratică de ordinul n); c) matrice

linie, cu m = l şi n =1= l , ale cărei elemente bi~ au primul indice egal cu unitatea, din care

cauză acest indice nu se mai scrie :

bik=bk (k=1,2, ...,n);

d) matrice coloană, cu m =/= 1, n = 1, ale cărei elemente cii au al doilea indice egal cu uni-

tatea, din care cauză acest indice nu se mai scrie:

Cj i = Cj (j = 1, 2, ..., m);

e) matrice simetrică, cu elementele simetrice faţă de diagonala principală egale între ele : a;;, =

= aH; f) matrice diagnnală, cu toate elementelt' cu indici distincţi egale cu zero: ai .\: = O

(i =!= k); g) matrice unitate, 11 111 sau 11 ~ 11, cu toate elementele nule, afară de cele cu indici

egali (diagonala principală), care sînt egale cu unitatea: ~i, =O (i =/=le), ~ii= 1; h) matrice
nulă, 11 O11 notată şi fără bare cu cifra O, cu toate elementele nule; i) matrice cu un singur
element, cu m = 1, n = 1 (şi care nu trebuie identificată cu unicul ei element).

Fiecărei matrice pătratice 11 a 11 i se poate asocia un determinant : determinantul

!1 = 1 a 1 = det 11 a 11 = au tiliiBJ1lai'i =o1o
a2I
(44.2) 1
anl

format cu elementele ei. Dacă acest determinant e Fig. 44.3.

nul, matricea se numeşte matrice degenerată.
Se numeşte matrice transpusă a unei matrice 11 a 11 date, de ordinul m X n, cu elementele
a; ,;, o altă matrice 11 b 11 = 11 a llt de ordinul n X m, ale cărei elemente bi .'< = (ai.?)t sînt:

(44.3)

Dacă 11 b 11 e transpus a lui 11 a 11 , rezultă că 11 a 11 e transpusa lui 11 b 11 şi cele două matrice

(fig. 44.3) provin una din cealaltă prin schimbarea liniilor în coloane.
O b s e r v a ţ i e : Determinantul transpusei e egal cu determinantul matricei (patratice)

date, d~oarece schimbarea liniilor în coloane nu afectează valoarea unui determinant.
41.1.2. Operaţii a lgebrice cu matrice. Două matrice de acelaşi ordin m X n sînt egale, dacă

au elementele omologe egale = 1,2, ..., m (44.4)

. . {iIl a Il= Il b li, dacă ŞI numai dacă a;•, = b;k
k = 1,2, ..., n.

Egalitatea a două matrice de ordinul m X ne echivalentă cu mn egalităţi între elementele ei.
O b s e r v a ţ i e : Egalitatea matricelor pătratice atrage după sine ega litatea determi-
nanţilor lor, dar reciproca nu e adevărată.
Operaţiile algebrice fundamentale caracteristice matricelor sînt adunarea, amplificarea
cu un scalar şi înmulţirea. Alte operaţii sînt derivate din acestea : scăderea se defineşte prin
adunarea unei matrice cu o a doua, amplificată cu - 1, împărţirea cu un scalar fL se defineşte

prin amplificarea cu_!._' ridicarea la o putere întreagă, prin înmulţirea repetată cu ea Însăşi

fL
(v. şi par. 44.1.3.).

Adunarea matricelor de acelaşi ordine operaţia definită de adunarea elemente-
lor omologe, două cîte două, şi conduce la o matrice de acelaşi ordin :

+11 c 11 = 11 a !1 11 b 11 , ~+ ~= -1 l~l
. .
În figura 44.4 e exemplificată adunarea (44.5) o r+~j
matrice de ordinul 3 X 2. a două Fig. 44.4.
1'{- j 1

17- 1668

253 CUADRIPOLI

O b s e r v a ţ i e : Determinantul sumei a două matrice pătratice n u

e egal cu suma determinanţilor lor.
Amplificarea unei matrice cu un scalar A e operaţia definită de amplificarea

tuturor elementelor matricei cu acel scalar şi conduce la o matrice de acelaşi

ordin:

11 d [[ = A [[a[[, dacă şi numai dacă 1 d;.k = Aaik 1· (44 .6)

În figura 44.5 sînt exemplificate amplificările unei matrice de ordinul 2 X 3,

cu scalarul 3, respectiv~. Ultima se mai numeşte împărţirea matricei cu
2

scalarul 2.
O b s e r v a ţ i e : Determinantul matricei pătratice A 11 a Il de ordinul n

nu e egal cu produsul prin ). al determinantului lui Il a 11 :

det ("A 11 a Il) = An det Il a Il =/= "A det Il a [[.J

La un determinant, un factor comun multiplică numai elementele unei linii
sau ale unei coloane, pe cînd la o matrice multiplică toate elementele ei.

lnmulţirea matricelor Il a Il şi Il b Il (în această ordine) e operaţia care duce
la o matrice [[ c [[, avînd numărul de linii al primei matrice şi numărul de coloane
al celei de-a doua, fiecare element C;k al matricei produs fiind obţinut prin
însumarea tuturor produselor dintre elementele liniei i a primei matrice şi ele-
mentele omologe ale coloanei le a celei de-a doua matrice (conform schemei

din figura 44. 6) :

!le[[= !la[[ •[[b!l, dacă ci .k = En a;,brk · (44.7)

r=l

-4 1 ft-j -12 J J+jJj ,......--; -!---:"

o}· o l2 JO 1 .._ r--!::::
4 10
-- - 2 j b2 ~ ........

7 -4 1 f+j o2 J '-

2 o 4 10

Fig. 44.5. Fig. 44.6.

O matrice de ordinul x X n se poate deci înmulţi numai cu o matrice de
ordinul n X y (în această ordine). O matrice Il a Il de ordinul m X n se poate
înmulţi cu o matrice Il b Il de ordinul n X m şi în ordinea dată [[a 11 • Il b 11

şi în mdinea inversă :

En (44.8)

!idi[ = [[b[[•!la[[ cu d;k = b;,a,k.

s=l

UTILIZAREA CALCULULUI MATRICEAL 259

În general însă =/=11 a 11 • 11 b 11 11 b 11 • 11 a 11, adică produsul matricelor nu "~

este
comutativ. În figura 44.7 se dau exemple care ilustrează modul de calcul

al produsului şi necomutativitatea lui. Se demonstrează fără dificultăţi că pro-

dusul matricelor este asociativ :

(11 a 11 • 11 b 11) • 11 c 11 = 11 a 11 • (11 b 11 • 11 c 11) = 11 a 11 • 11 b 11 • 11 c 11 (44.9)

0f1TIJElOJl X ~2 = lfx2+JxO+O•I!i f<j+Jx1+1N-jJ =~
(Jx2+j•O+ tx(-1. /Jirj+j•1+ M-j [!]!]
o j1

-7 -j

~ = = o2•1 + jxO 2•3 + jxj 2x0 + j•1 25 J
Ox1 "' 1x0 OxJ-. 1•j 0•0 + 1><1 J1
tttj
-H +{-j/•0 -1x3 + (~}xj -1•0 + f-jM -1 -2 -J

b.

J Jj o
13 o

-J -Jj o

Fig. 44.7.

(ceea ce permite să se suprime parantezele la produsele de mai mulţi factori,
ordinea efectuării lor neprezentînd importanţă) şi distrihutiv faţă de adunare,

+ = +11 a 11 • (11 b 11 (44.10)
11 c 11) 11 a 11 • 11 b 11 11 a 11 • 11 c 11·

Produsul unei matrice cu matricea zero e egal cu matricea zero, dar produsul

a două matrice poate fi matricea zero (fig. 44.8), fără ca vreunul din factori

să fie matricea zero (există divizori

~ ai lui zero).
~
Dett>rminantul matricei produs a două
matrice pătratice e egal cu produsul determi-

Fig. 44.8. ~X 1 o o =~

0JE[~ o 1 o
o1-- o 1
Fig. 44.9.

nanţilor respectivi, deoarece regula (44.7) coincide cu aceea a Înmulţirii determinanţilor.
Produsul unei matrice cu matricea unitate (şi numai cu ea) e egal cu matricea dată (fig. 44.9),

oricare ar fi ordinea factorilor.

260 CUADRIPOLI

Transpusa produsului a două matrice e egală cu produsul în ordine inversă al
tnmspuselor lor :

(11 a Il • 11 b //) , = 11 bllt · 11 a llt· (44.11)

44.1.3. lnversiunea matricelor. Algebra matricelor nu coincide cu algebra numerelor, în

principal din cauza necomutativităţii produsului şi a existenţei divizorilor lui zero. De aici

rezultă că există mai multe matrice, care, înmulţind o

matrice dată, conduc la acelaşi produs. Aceasta înseamnă

că ecuaţia matriceală 11 x 11 • 11 a 11 = lfb 11 nu are, în general,

o soluţie unică în 11 xlf (v. de ex. fig. 44.10). De aceea,

pentru matrice nu se poate defini împărţirea, care )a

numere e definită ca operaţie inversă a înmulţirii. In
X cazul matricelor pătratice 11 a /1, nedegenerate (det 11 ~ li =F 0),

tffijx 0101 se poate înlocui împărţirea prin Înmulţirea cu matricea
f2EJ
inver s ă.

Se numeşte matrice inversă a unei matrice !/a. 11

date, nedegenerate, o matrice patratică de acelaşi ordin

// b 11 = 11 a 11-1, al cărei produs cu 11 a 11 e matricea unitate :

Fig. 4tUO. // a 1/- 1 • 1/ a 11 = /Il 1/. (44·12)

Acest produs e comutativ. În adevăr înmulţind ambii membri ai acestei egalităţi la stînga
cu !la lf, se obţine :

lfa // ·( lfa 11-1. lf a !/) = (lfa /i · J!a-1 //) · /la li = lfa 11· 11 1 1/ = lf a l/,

adică

1/ a Il · li a 11- 1 = !Jl /!. (44.12')

Determinantul inversei e egal cu valoarea inversă a determinantului matricei date :

det 11 a 1/- 1 = (det 11 a 11)-1. (44.13)

Inversa inversei unei matrice e egală cu ea însăşi :

(44.14)

Elementele matricei inverse 11 b 11 = lla 11- 1 se mai notează bir, = (ai 0)-1. Se demonstrează

că există o singură matrice inversă a unei matrice nedegenerate date.

+ + ··· + lCalculul matricei inverse. Se consideră sistemul de n ecuaţii liniare cu n necunoscute :
= aux1 aux2 a1nXn

+ + ... += a21x1 a22x2 a2,,xn ' (44.15)

Y" J

care se scrie strîns :

n

Yi = ~ UjkXk·

j -~ 1

Se observă imediat că dacă se introduc matricele:

II YII= )'l ~~'1 au al2 · · .aln • \\ xl 1 (44.16)
Y2
a~1an2J.i a .J,, = 1 ";" '" .. '"" 11 11* 11~'
1 · · .Gn n 11 1

Y11 1. 1
1
/-"'n

UTILIZAREA CALCULULUI MATRICEAL 261

relaţiile (44.15) nu reprezintă altceva decît o Înmulţire de matrice de forma (44.7), în care pro·
dusul şi al doilea factor sînt matrice coloană (ale căror elemente au un al doilea indice egal cu

unitatea, care nu se mai scrie) :

IIYII = llall · li xJJ. (44.17)

Presupunînd determinantul sistemului diferit de zero, sistemul se poate rezolva cu regula

lui Cramer, ceea ce permite, pînă la urmă, exprimarea necunoscutelor Xj ca funcţii de
termenii liberi Y.'<· Se obţine sistemul :

lX1 = buY1 + b12Y2 + ... + bwYn 1
X2 = b21Y1 + b22Ys + ... + b2nYn
(44.18)
'

1

care se sene strîns :

(44-.18')

şi ai cărui coeficienţi sînt (în baza regulii lui Cramer) :

(44.19)

unde A;j e minorul elementului Oij din det IJaIl, adică subdeterminantul obţinut suprimînd

linia i şi coloana j. Se observă imediat că introducînd matricea :
bnbl2 ... bw
(44.20)

relaţiile (44.18) reprezintă produsul de matrice:

llxll = llbll · IIYII. (44.21

Înmulţind această relaţie la stînga cu llaIl, se obţine cu relaţia (44·17) (44 .22)

lla ll · IJxll = llall · llbll · IIYII = llyll,

de unde rezultă că :

lla Il · llb 11 lll JJ,

adică - matricea inversă fiind unică

llb 11 = lla n-l.

Matricea inversă a unei matrice date e deci matricea coeficienţilor sistemului de ecua-
ţ.ii liniare (44.18), care reprezintă soluţia sistemului de ecuaţii liniare (44.18), care reprezintă
s oluţia sistemului de ecuaţii liniare (44.15), ai cărui coeficienţi formează matricea dată. Re-

gula (44.19) reprezintă chiar regula de calcul a matricei inverse, se poate scrie:

bkl = (akt)-1 = l (A ) ( 1)1+,. (44.23)
det lla Il kl t -

şi comportă următoarele etape (v. fig. 44.11):

262 CUADRIPOLI

a) Se scrie matricea dată 11 a 11 de elemente akl·

b} Se scrie matricea transpusă 11 a 111 de elemente alk• corespunzător A1k =
Se înlocuieşte fiecare element al transpusei obţinute cu (-1)k+l
c) Se înmulţe~te fiecare element al matricei cu minorul (Ak/)1•
d) •
IIA 111 astfel
e} Se împarte matricea astfel obţinută cu det lla 11.

f) Se verifică calculul cu relaţiile (44.12) sau (44.12 ').

2 J -J 2 12 o o -J o o -J o o 0,5
1 -2 1
J -2 o -2 2j 2+j ....... 2 2j 2-j J -1 j+q5
2 oo -J 1 o 4 -2j 4-J 4 2j 4-j 2j -1 tj-4

a. b. c. d . e.

ar'=~a 11 . 11 2 J -J o o 0,5 1 oo
1 -2 1 o 1 o = lltll
(deq a~ = -2j ) X j -1 j•O,S oo 1
2 oo 2j -1 tjll

f.
Fig. 44.ll.

44.2. Matricele cuadripolilor şi forma matriceală a ecuaţiilor

Ecuaţiile caracteristice ale cuadripolilor diporţi, liniari şi pasivi (v. par. 43.3)

se pot scrie sub formă matriceală, deoarece sînt sisteme de ecuaţii liniare de

forma (44..15) cu n = 2. Parametrii cuadripolilor care sînt coeficienţii acestor

ecuaţii vor forma matrice caracteristice cuadripolilor respectivi.

4·4.2.1. Matricea fundamentală. Ecuaţiile fundamentale (43.7) se scriu

matricea! sub forma : f: t f:~11 11 = 11

11·11 11' (44.24)

sau

~:11 11 = IIAII·II Y: 11 (44.24')

in care

IlAI!=~~~:: ~::11 = llt ;11 (44.25)

e matricea fundamentală, ale cărei elemente sînt legate la cuadripolii reciproci
prin relaţia (43.9).

În adevăr, efectuînd produsul (44.24), se obţine egalitatea de matrice:

' !!·1 !L!1l Il= Il cAuu2.++ DRTI

care, conform cu relaţia (44.4), duce la ecuaţiile (43. 7).

UTILIZAREA CALCULULUI l\1ATRICEAL 263

44.2.2. Matricea impedanţă. Ecuaţiile cu parametrii impedanţă (43.11)

se obţin din ecuaţiile fundamentale, explicitînd tensiunile U1 şi Jl2• Matricea!,

aceste ecuaţii se scriu sub forma :

Z: i:~:: ~::11 11 = 11 (44.26)

11·11 11

sau

IIZ: 11 = JIZIJ·IIt 11· (44.26')

în care

IJZI/ = 11 ~n ~1211 (44.27)

~21 ~22

e matricea impedanţă a cuadripolului {la cuadripoli reciproci ~12 = -~21}, ale
cărei elemente se exprimă în funcţie de parametrii fundamentali prin relaţiile
(43.12). Înmulţind la stînga cu 11 ~ 11-1 ecuaţia (44.26'), se obţine:

i: tIIZI/-1 11 Z: 11 = //Z/I-1 ·/IZ/1 ·Il Il = Il 11 (44.28)

44.2.3. Matricea admitanţă. Ecuaţiile cu parametrii admitanţă (43.16) se
obţin din ecuaţiile fundamentale , explicitînd curenţii !._1 şi !_2• Matrice al, aceste
ecuaţii se scriu sub forma :

t i:: ~:: ~:11 Il= 11 (44..29)

11·11 11

sau

i: ~:JJ IJ = 11v11 ·IJ IJ· (44.29')

în care

1/Y/1= 11 Yn y1211 (44.30)

y21 y22

e matricea admitanţă a cuadripolului (la cuadripoli reciproci, Y 12 = - Y 21),
ale cărei elemente se exprimă în funcţie de parametrii fundamentali, prin rela-
ţiile (43.17). Comparînd relaţia (44.29) cu relaţia (44.28), rezultă imediat că
matricele impedanţă şi admitanţă sînt inverse una alteia :

1/Y/1 = /IZIJ-l şi 1/Z/1 = IJYJJ- 1 (44.31}
•

În studiul conexiunilor cuadripolilor mai intervin şi alte două matrice,
pe care le vom numi matrice mixte.

264 CUADRIPOLI

44.2.4. Matricea mixtă dh·ectă. Ecuaţiile cuadripolului se pot prezenta şi

explicitînd variabilele U1 şi !._2 ca funcţiuni d e Jl2 şi I 1• Din (43.7) rezultă

ecuaţiile:

+ -= +-U1 =A·D- -B· C- R =
-D -U·o D -I 1 -D11-U2 -D 1 o.._l_1
-

L2 = - -c; !2'2 + l I1 = !!.21!1.2 + !2z2I1, (44.32)
D

--

care se scriu matricea! sub forma :

sau 11 ~:Il = Il~:: ~:: 11 · 11 ~:Il (44.33)
în care (44.33')
Il=~: ~:11 IIDII ·I/ 11 '

1/DII = 11 !2n D z1 11

D 21 !222
e matricea mixtă (directă) a cuadripolului cu elementele :

D _ 4Q- B.C. =1R2

n_ n D '
D - .' D__z-1-- _D(; ., 1 (44..35)

_12 - !212=

(la cuadripoli reciproci, !211 = !2_22 = 11Q).

44.2.5. Matricea mixtă inversă. Înmultind la stînga ecuaţia matric e ală

(44.33) cu inversa matricei [[ D [[ , '

'I FIl D Il -1 = Il F !! = -~ _n ~F12 ilj (44.36)

1 fz1 fzz !1

se obţin ecuaţiile cuadripoluli.1i, sub forma în care !!_2 şi [ 1 sînt exprimate în
funcţie de !1_1 şi [ 2 :

Il ~: 11 = Il~:: ~:: 1\·1 ~:il (44.37}

sau:

Il Il l ·l~: = FJJtt ~: 11· (44.37')

Matricea 1! F Il = Il D !1 -1 e matricea mixtă inversă şi are elementele :

g_.F __ F - ~. _Fzz-- -A- D- 4-.R- C-

_21-
4-l..':1 'F.I-- (44 .38)

-<
_12- A,

(la cuadripoli reciproci, f 11 = !!_22 = 11,i).

UTILIZAREA CALCULULUI Jv\ATRICEAL 265

44.3. Conexiunile cuadripolilor diporţi

Cuadripolii ele structură mai complicată pot fi consideraţi ca rezultînd

din conexiunea unor cuadripoli de structură mai simplă. Tipurile fundamentale de

conexiune sînt conexiunea în lanţ (în cascadă -fig. 44.12), conexiunea in serie

(fig. 44..13), conexiunea în paralel (i1gA4.14), conexiunea serie-paralel (fig.44.15)

şi conexiunea paralel-serie (fig. 44.16). r-f2' - 1
În cele ce urmează Yom arăta cum se

determină matricele cuadripolilor obtinuti 1IJ A' 1 A'JJ
prin conexiunile indicate, din matricele

cuadripolilor componenţi. Vom considera

mereu cazul a doi cuadripoli, dar rezul-

tatele sînt valabile pentru un număr oare-

care de cuadripoli diporţi, conectaţi în Fig. 44.12.

modul arătat.

Vom presupune că prin conexiunea a doi cuadripoli diporţi nu se afectează caracterul
diport al fiecăruia. În practică, această presupunere trebuie verificată în funcţie de struc·
tura cuadripolilor consideraţi şi, dacă nu e corectă, trebuie introdus la intrarea sau la ie-
şirea unuia dintre cei doi cuadripoli un transformator ideal, cu raportul de transformare
egal cu unitatea, care asigură separarea conductivă a perechilor de borne În cauză. Mă­
riinile referitoare la cei doi cuadripoli vor fi notate cu simplu accent (') respectiv cu dublu
accent (").

44.3.1. Conexiunea în lanţ. În cazul acestei conexiuni (fig. 44.12), între
mărimile celor doi cuadripoli şi ale cuadripolului rezultant se impun relaţiile :

u' rr" · u· ·_TJ1 = -U1,.' -11 = -1 1' ·' _2 = -.:'.1 ' _I2' = -I1" '· _TI2 = =-2' 1-2 _12' • (44.39)

Ecuaţiile fundamentale ale cuadripolilor componenţi şi ale celui rezultant sînt :

Yf/l~fl/ = 11 A' 11 ·J/ ~fii ; 1 Yf:J/· = 11 A" Il · // 11; 1\rl:\1 = [lAII .\1~:/1· (44
.40)

Cu relaţiile (44.39) se obţine :

Il ·il~:Il= 117~{11 = IIA'[I · il~fll = IIA'il . IIA"II ·11,~~~:11 = IIA"ll . JJA"II ~2211

şi, comparînd cu relaţia (44.40), rezultă regula de compunere a matricelor:

ill·=A1 !1 11 11 A' 1! · 11 A" (44.4.1)

Matricea fundamentală a cuadripolului rezultant e produsul matricelor funda-
mentale ale cuadripolilor componenţi, conectaţi în lanţ.

266 CUADRIPOLI

44.3.2. Conexiunea în serie. În cazul acestei conexiuni (fig. 44.3) se impun

relaţiile:

ul = +u~ u~' ; !1 = !_~ = Il'; !2 = !_~ = r;' ; !12 = Q~ + u;'. (44.42)

-/1' Ecuaţiile cu parametrii impedanţă
ale cuadripolilor componenţi şi a

celui rezultant sînt :

11~~11 = 11 ~' 11 • 1/f~/1 ~

1' 2'

IlIl~~: = 11 ~~~ 11 ·lli~:IJ;

IIZ ~ = ~z·~ + //Z"/1 11;:11 = 11 ~ 11 ·//f:/1· (44.43)

Fig. 44.13.

Cu relaţiile (44.42) se obţine:

li= 1 1 1 111 1 1 ·llilll~~ ~n ~ ·lli~:!IZ: 11 +
= 11 Z' 11 -: + 11 Z" 11 += [11 Z' 11 11 Z" 11]

şi, comparînd cu relaţia (44.4.3), rezultă regula de compunere a matricelor:

+IIZ II = 11 Z' 11 IIZ" 11 · (44.44)

Matricea impedanţă a cuadripolului rezultant e suma matricelor impedanţă
ale cuadripolilor componenţi, conectaţi în serie. Se reţine analogia cu r rgula

de calcul a impedanţei echivalente a doi dir oii conectaţi în serie.

44.3.3. Conexiunea în paralel. În cazul acestei conexiuni (fig. 44.14) se
impun relaţiile :

+ +ul = u~ = u~ !1 = g 1~:; !2 = !~ !~'; !!_2 = U~= U~'. [(44.45)

.1~ Ecuatiile cu parametrii admitantă
ale c'uadripolilor componenţi şi 'a
..,...o~,---..."_:~~

celui rezultant sînt :

11grr = ,,y,, ·rr;;~"

11 f~: Il = JIY"JI ·// ;~~:"

~ V1 -= i Y' i + 11 y• ij lli:ll = /JYJJ . "~~:11· (44 46
.)
Fig. 44.14.

Cu relaţiile (44.45) se obţine :

g:1/i:l/ = l!i~~~ + 11 11 = JJY'/1 . 11 ;~fii + JIY"ll ·// ;~~:~~ = [IIY'II + IIY"/1] ·1/ ;;://

UTILIZAREA CALCULULUI MATRJCEAL 267

şi, comparînd cu (44.46), rezultă regula de compunere a matricelor (44.47)

+11 Y 11 = 11 Y' 11 11 Y" 11·

Matricea admitanţă a cuadripolului rezultant e suma matricelor admitanţă ale
cuadripolilor componenţi conectaţi în paralel. Se reţine analogia cu regula de
calcul a admitantei echivalente a

doi dipoli conectati în paralel.

44.3.4. Conexiunea serie-paralel. În

cazul acestei conexiuni (fig. 44.15) se impun
relaţiile :

!1.1 = !!f + m; (44.48)

11 = lf = l~;

12 = If + n';

=-F2 -T2T' = -U!·"·.

Cu relaţia (44.33') raţionind ca în cazurile UD D = ~D'I + ILY'II
precedente, se obţine regula
Fig. 44.15.
IID 11 = IID' 11 + IID" 11. (44.49)

Matricea mixtă (directă) a cuadripolulu' IFI == IF'!+IFUI
rezultant e suma matricelor mixte (directe)
ale cuadripolilor componenţi, conectaţi în Fig. 44.16.
serie-paralel.

44.3.5. Conexiunea paralel-serie. În
cazul acestei conexiuni (fig. 44.16) se impun

relaţiJe:

!1.1 = U{ = !!.~'; l1 = If + .g';
12 = l~ =li'; !!.2 = !!.2 + !l~'· (44.50)

Cu relaţia (44.37') raţionînd ca în cazu-
rile precedente, se obţine regula

JiiFII = IIF'II + IIF"II 1· (44.51)

Matricea mixtă inversă a cuadripolului rezultant e suma matricelor mixte inverse ale cuadri-
polilor componenţi, conectaţi paralel-serie.

44.4. Aplicaţii

44.4.1. lUatricele unor cuadripoli simpli. Determinăm matricele unor cuadripoli simpli.

din care, prin compunere cu regulile stabilite mai sus, se pot determina matricele altor cuadri-
poli compuşi.

a. Cuadripolul degenerat cu impedanţă serie din fig. 43.8, a, cu ecuaţiile fundamentale
(43.36, a), are matricea fundamentală şi matricea admitanţă.

îllIIAII = ~~~ şi IIYII 11 (44.52)

z~

11

zz

şi are matricea impedanţă improprie.

:263 CUADRIPOLI

b. Cuadripolul degenerat cu admitanţă paralel din figura 4·3.8, b, cu ecuaţiile fundamen·
Lale (43.36, b) , are matricea fundamentală şi matricea impedanţă

11~ ~ 'il A I/ ~i IIZII 11 (4.4.53)

-·

X: y

1 - -rl
y

şi are matricea admitanţă improprie.

44.4.2. Cuadripolul în T. Matricele cuadripolului în T pot fi determinate, observînd
că un astfel de cuadripol (fig. 43.7, a) poate fi obţinut conectînd în lanţ un cuadripol

degenerat cu impedanţa serie ~1, ou un cuadripol degenerat cu adll'itanţa paralel X: şi cu

un cuadripol degenerat cu impedanţa serie ~2 • Conform cu regula de compunere (44.41),
rezultă matricea fundamentală a cuadripolului în T din matricele cuadripolilor componenţ.i
(44.52) şi (44.53):

!lAII ~1 11·11 ~ ~21

z2 x:il A I/ = l +XX ~1
+ ~1 K2 + ~1 11. (44.54)
X ?2 + I

adică 'I

du = 4 = l + X: ~1; da = l1 = ~ 1+ Za + X: ~ 1l2 ; d2t = ~ = r; ~22 = !2 = l + Y Zz·

Am obţinut parametrii fundamentali (43.30), determinaţi direct pe cale analitică.

44.4.3. Cuadripolul în rr. Un astfel de euadripol (fig. 43.7, b) poate fi obţinut conec-

Ktînd în lanţ un cuadripol degenerat cu admitanţa paralel X:1, cu un cuadripol degenerat cu

impedanţa serie şi cu un cuadripol degenerat cu admitanţa paralel ~2 • Conform cu relaţia
(44.41) rezultă matricea fundamentală a cuadripolului în rr din matricele cuadripolilor com-
ponenţi (44.53) şi (44.52):

î~t ~ ~ 11·11~2 ~ ~t/lA II Il1 + X:1~~,,
11 · 1Ilrlz o
11·11 11 11
11

1/ AI/ 1 + Yz~ -lz + r1~ 111' , (44·55)
11 X:t + X2 + ~Y1X:a

adică

Am obţinut parametrii fundamentali ('13.32), dcterminaţi direct pe cale analitică.

44·A.4. Cu.adripolul în T şuntat (fig. 44.17, a). Acest cuadripol pe care nu l-am stu·
diat pînă acum e foarte utilizat ca atenuator (pentru a reduce într-un raport determinat
tensiunea aplicată la intrare).

Din figura (44.17, b rezultă că el poate fi considerat ca rezultînd din compunerea în
paralel a unui cuadripol în T cu unul degenerat, cu impedanţa serie ~3• Conform cu relaţia
(44.47), matricea admitanţă 1/YI/ a cuadripolului în T şuntat va rezulta adunînd matricea
IIY' 11 a cuadripolului în T cu matricea IIY" !la cuadripolului degenerat (14.52). Prima se obţine
observînd că elementele matricei impedanţă IIZ'IJ = IIY' /i-1 au fost determinate anterior (rei.
43.29), adică :

1/Z'II = 11 ~-'1 + z - (?;, +-?~;)il . (44.. 56)

_"

LANŢURI DE CUADRIPO L! ŞI FILTRE ELECTRICE 269

Cu regula d e inversiune amatricelor calculăm succesiv (v. par. 44.1.3.)

+det IIZ' 11 = - Z Z1 2 - Z{Z1 /22) şi matricele :

---o. )1' - ~z~ + z>
-7,

Se obtine astfel matricea admitauţă n cuadripolului .l.J 12 2

în 1' (cu ~ = 1 /l::} t\ ' }ij2

IIY' 11 = IIZ' 11-1 = 1' 2'
a
r + :r z2 l
=! Za;11 Z2 +
l':Z1Z2
1

L!l + ~2 + XZt~2

Matricea cuadripolului d egen erat eu impedanţa serie 2'3

rezultă din relaţia (44.52):

l l ( 44.58)

IIY"II = Za Ia b.
Fig. 44.17
Za l
~3

Cu relaţiile (44.47), (44.57) şi (44. 53), matricea cuadripolului în 1' şuntat rezultă :

I!Yil= IIY'il+ I! Y" II = ?1 + Z2+Z3+l': Z2(Z1+ Za) Z1 + Z2 + Z3 + IZ'tZ'z . (44.59)
'2aCZ1 + Z'z + l': Z1Z2>
Z'a(Zt + Za + Iz ~~)
Z:t + z2 + z3 + :rz1z2
Zt + Z2+Z'a+ I Z't(Zz+Za)
Z'aCZ'1 + Z2 + I ZtZ'a)
Z'aCZ't + Z'a +X ZtZ'a)

45. /l LANŢURI DE CUADRIPOLI
ŞI FILTRE ELECTRICE

45.1. Lanţ de cuadripoli

Transmisiunea energiei electromagnetice şi, în special, transmisiunea sem-
nalelor de telecomunicaţii se face prin instalaţii şi circuite asimilabile unei suc-
cesiuni de cuadripoli conectaţi în cascadă sau în lanţ. Întregul canal de trans-

270 CUADRIPOLI

m1smne constituie deci un lanţ de cuadripoli şi poate fi echivalat cu un singur
cuadripol - cuadripolul echivalent - ai cărui parametri se pot calcula ca la
paragraful44.3.l. Lanţul de cuadripoli se numeşte omogen, dacă toţi cei n cua-
dripoli componenţi sînt identici. Dacă

(k = 1,2,..., n) (45.1)

e matricea fundamentală a fiecăruia dintre cuadripolii componenţi, din relatia
(44.41) rezultă că matricea întregului lanţ, egală cu produsul matriceÎor
componente, este

(45.2)

În cele ce urmează vom considera numai lanţuri omogene de cuadripoli sime-
triei şi reciproci.

45.1.1. Lanţ de cuadripoli simetriei adaptat. Proprietăţile de transmlSlune
ale unui lanţ de cuadripoli sînt optime, dacă impedanţa de sarcină a întregului
lanţ e egală cu impedanţa caracteristică ~c a cuadripolilor simetriei componenţi
(v. par. 43.5):

(45.3)

În acest caz, lanţul se numeşte adaptat 1• Considerăm un astfel de lanţ cu n
cuadripoli (fig. 45.1), la care folosim notaţiile indicate în figură.

Fig. 45.1

Conform definiţiei impedanţci caractenstiCe, dacă impedanţa de sarcma
a ultimului cuadripol e ~c şi impedanţa lui de intrare e tot ~c· Impedanţa de
intrare a ultimului cuadripol e însă impedanţa de sarcină a penultimului, şi
de aceea şi impedanţa de intrare a acestuia va fi tot ~c· Din aproape în aproape,
constatăm astfel că pentru un lanţ adaptat impedanţele de sarcini\ şi impe-

danţele de intrare ale tuturor cuadripolilor componenţi sînt egale cu ?;,_,, adică

V .!!1 = .!:!2 = ... == .!!n !! nH = Z, = ~ 2f (45.4)
l1 la
[n l n+1 -

1 Condiţia de adaptare considerată aici nu coincide În general cu condiţia de adaptare,

din pun_ctul de vedere al transferului maxim de putere (v. par. 37,4.).
Zc2 In faţa radicalului se alege semnul care asigură parte reală pozitivă pentru
care

trebuie să fie realizabilă în concret, pentru a putea fi o impedanţă de sarcină.

LANŢURI DE CUADRIPOLI $1 FILTRE ELECTRICE 271

Ecuaţiile cuadripolului simetric (scrise pentru cuadripolul de ordin k) fiind:

u k = 4 uk+~ + lllk+1 (45.5)
lk = {;; uk+ l + A l k+1•

rezultă cu relaţia (45.4), înlocuind pe lk+I = uk+lgc în prima ecuaţie

pe (Tk+l = ~c rk+l în a doua, egalităţile :

I!k = l k =A+ !1 =A+ VB c . (45.6)
J!. k+t ~c -
l k+t -

Deoarece la cuadripolii reciproci simetriei A 2 - ŞQ_ = 1, se max poate scrie:

1 (k = 1,2, ... , n) (45.7)

A - Vll~

La un lanţ de cuadripoli adaptat, raportul a două tensiuni succesive sau
a doi curenţi succ esivi se pă st rea ză constant de la element la element.

Se numeşte exponent de transfer caracteristic logaritmul natural al valorii

raportului (45.6), adică mărimea complexă.

+ +~ = a jb = ln(A VBC) = -In (A -V~{;). (45.8)

Se obsenă că :

(45.9)

de unde rezultă : (45.10)

+ +ch g = ch(a j b) = ch a cos b j sh a sin b = A

g + + Vsh = sh(a jb) = sh a cos b j ch a sin b = BC.

Cu aceste notaţii, raportul a două tensiuni succesive sau a doi curenţi suc-
cesivi se scrie :

_T=T '.- :o_=r-k-- e~ = ea • (45.ll)
eJg

J!. kH ~ k+t

sau

Uk+ 1 = Uke-~ = e-aJ!ke-ig (45.12)

!.k+ l = f.ke-~ =e-a l ke-ig.

>Vom arăta mai departe că a O, din care cauză, în lungul lanţului de cuadri-

poli adaptat, valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor scad monoton expo-
nenţial, fiecare cuadripol din lanţ introducînd un factor de atenuare sub-
unitar, egal cu e-a şi o întîrziere de fază suplimentară, egală cu b1• De aceea,

mărimea:

>a = Re {g} = In -!r!.rk- 1 = In 1-!_-"' 1 O (45.13)

1- k +1 l k+1

1 dacă b < O, are loc un avans de fază.

272 CUADRIPOLI

se numeşte atenuarea caracteristică a cuadripolului simetric adaptat, iar mă­
rimea, redusă la intervalul (-rr, +r-),

1b = Im {g} = arg { r~ k } = arg{ /-" \~o (45.14)

__ k+ t -k~ l

se numeşte defazajul caracteristic al cuadripolului simetric adaptat. Din relaţia
(45.12) se deduc pentru puteti relaţiil e :

_şk+l = u k+l lZ + ! = Uk iZe·-~ -~· = ~ke-2·' (45.15)

P k+ 1 =Re { §_k+ 1 } = P ke- 2 ' (45.16)
(45.17)
Qk+l = Im {_şk+l} = Qke- 2" ,

astfel că

a = 2_ In ~k = 2_ In P k = 2_ In ~ . (45.18)

2 E kH 2 p k+t 2 Qk+I

Deoarece cuadripolii sînt pasivi şi energia se transmite către receptor,
puterea activă Pk+ 1 la bornele de ieşire ale cuadripolului de ordinul k e
mai mică decît puterea activă la bornele de intrare Pk , diferenţa acoperind

pierderile de putere din cuadripol. În cazul idealizat al unor cuadripoli ne-
disipativi (cu elemente de circuit pur reactive), aceste două puteri pot fi egale
şi eventual nule, dacă impedanţa caracteristică e imaginară şi sarcina nu con·
sumă putere activă. Rezultă că pentru cua.dripolii cu pierderi (disipativi),

Pk+ 1 < Pk, adică a > O, (45.19)

iar pentru cuadripolii fără pierderi (nedisipativi), cu impedanţă caracteristică

reală

P k+ t = P k =1= O, adică a = O. (45.20)

Înmulţind rapoarte succesive de forma relaţiei (45.11) cu k = 1, 2, ... , n , re-

zultă că:

-=--TTt = - -Tl- = e"!! = "b (45.21)
ena eJn '

!!n+t ln +t

adică pentru întregul lanţ adaptat se obţine exponentul de transfer total,

+gt = ng =In....=ŢT!....= In.....:J::!.. = n -ln(A 11B-C) (45.22)
-- !! n+t
ln+t

şi atenuarea totală, respectiv defazajul total,

a1 = na, respectiv b1 = nb. (45.23)

45.1.2. Lanţ de cuadripoli simetriei neadaptat. În acest caz, lantul de euadripoli e
conectat pe o sarcină oarecare :

(45.24.)

LANŢURI DE CU ADRIPOLI ŞI FILTRE ELECTRICE 273

Vom exprima ecuaţiile fundamentale (43.7) ale unuia dintre cuadripolii C1 = Q) ai lan-

ţului cu ajutorul parametrilor g(v . rei. 45 .8) şi ~c (rei. 45.3) ţinind seama de relaţia 45.10) :

(45. 25)

Dacă înlocuim aici Uk+I şi. l k+t în funcţie de Uk+2 şi lk+a prin relaţiile analoge ale cua·
dripolului următor, rezultă :

+~k = !!..le+2 ch 2/L Z.c lkH sh 2![ )

+lk =1 lkH ch 2~
!lk+2 sh 2~
-
Z.c

şi , prin recurenţ.ă, pentr u întregul lant de n cuadripoli :

!!..1 = ~n+1 ch n[?_ + ~cln+1 sh n!l: ) (45·26)

Z +l1 = [! nH sh n~ l n H ch n~: ·

-<

Trecerea de la un cuadripol la n cuadripoli identici se face prin simpla înmulţire a ex-
ponentului de transfer cu numărul n al cuadripolilor.

Dacă cuadripolii au pierderi (a = Re{g} > O) şi dacă numărul lor e foarte mare

(n--..oo), atunci:

1 1
ch na --+ - ena ; sh na -+ -ena

2 2

ch ng +ch na cos nb j sh na sin b ~ _2!_ en&-

sh ng sh na cos nb + j ch na sin b ~ _!_ en~,
2

astfel că

-!!.1 = Z 0 deşi -J!n-H = ~s =/= Zc· (45.27)
l1 -
ln+I

Datorită existenţei atenuării, efectul neadaptării de la capătul lanţului se resimte din ce
în ce mai puţin şi cuadripolii suficient de depărtaţi de capăt (raţionamentul se poate face

nu numai pentru k = 1, ci pentru orice k <l'; n) funcţionează adaptat.
Observaţie: Unitatea de atenuare se numeşte neper (Np), dacă se utilizează relaţiile de

definiţie (45,13) sau (45.18)1. Se mai utilizează unităţile bel (B) şi, în special, decibel (1 dB =

= -1 B), corespunzătoare relaţiilor de calcul:

10

a = 2 log 1 I!.k 1 = 2 log 1 lk 1 = log~ [B]
lk+t pk+1
!!k+l

a= 20 log 1 !!.k 1= 20 log 1 lk 1 = 10 log~ [dB), (45.28)
Ik+t p k+l
TJ k+1

1 Atenuarea de 1 Np corespunde la U k = e = 2,718.

uk+l

18- 1668

274 CUADRIPOLI

în care log este logaritmul în baza 10 (zecimal). Între aceste unităţi- utilizabile pentru orice
apreciere logaritmică a unor rapoarte - există relaţiile :

l Np = 2. loge B = 0,3686 B (45.29)
1 Np = 20. loge dB = 8,686 dB.

45.2. Raportul de transmisiune
şi caracteristicile de frecvenţă

Am studiat mai sus cazul particular al sistemelor de transm1smne, care

consistă din lanţuri omogene de cuadripoli simetriei, reciproci. În cazuri mai

,---generale, un sistem de transmisiune diport, liniar şi pasiv (v. fig. 4·5.2, a) e
caracterizahil printr-o mărime de
intrare u;(t), aplicată din exterior şi
!l.; 1 o mărime de ieşire (sau de răspuns)

l --------' u,(t), univoc determinată de mări­
a. mea de intrare (în condiţii de func-
ţionare precizate ale sistemului). În

regim permanent sinusoidal, rapor-

p =arg{~J tul complex al reprezentărilor în

1 complex ale celor două mărimi

b(r.;) ~;= A (jw) = A (w)eib{w) (45.30)
_,

--:; "" se numeşte raportul de transmisiune1

al sistemului şi constituie o caracte-

b· c. ristică a lui, în conditiile de functio-
Fig. 45.2 nare precizate. Dadă se cuno~şte

raportul de transmisiune şi depen-

denţa lui de frecvenţă {adică de pulsaţia ro = 2rcf), se cunoaşte mărimea

de iesire pentru orice mărime de intrare dată. Prin inmultirea cu un
factor' constant, convenabil ales, mărimile U, şi U; pot ;vea aceleaşi

dimensiuni şi raportul de transmisiune poate fi făcut adimensional. Modu-

lul A (w) al acestui raport,

.rr:A ( w) = 1 A (j w) 1 = TT ., (45.31)
1

se numeşte raport de atenuare, iar logaritmul natural al acestui raport

-a(w) =In -A(w) =In 1 Q!!_,; 1 [Np] (45.32)
se numeşte, scurt, atenuare.

+1 Valoarea reciprocă a raportului de transmisiune, considerată ca funcţie de o variabilă

complexă p = cr j w, se numeşte funcfie de transfer.

LANŢURI DE CUADRIPOLI ŞI FILTRE ELECTRICE 275

Argumentul b( w) al raportului de transmisiune se numeşte defazajul sis-
temului

b(w)=arg{A(jw)}=arg{U;}-arg {U2} [rad] (45.33)

u.,şi e egal cu diferenţa de fază între U; şi redusă la intervalul (-1t', +1t').
Între atenuare (exprimată în Np), defazaj (exprimat în radiani) şi raportul

de transmisiune există relaţiile :

a+ J'b =In-U_ue'· =In -A. (45.34)

Funcţiunile de frecvenţă a( w)- uneori A( w)- şi b( w) se numesc carac-
teristicile de frecvenţă ale sistemului, şi anume caracteristica de frecvenţă a ate-
nuăriil a( w), uneori A(w), şi caracteristica de frecvenţă a defazajului2 b( w). Dacă
se cunosc aceste caracteristici, funcţionarea sistemului în regim permanent
sinusoidal e complet cunoscută. De aceea, aceste caracteristici se determină
teoretic sau experimental, reprezentîndu-se grafic (v. fig. 45.2, b şi c). Se
observă imediat că definiţiile de mai sus generalizează pe cele date în para-
graful anterior, în care atenuarea caracteristică şi defazajul caracteristic erau
cazuri particulare ale mărimilor (45.32) şi (45.33), cînd U; = U1, U, = U2,
iar sistemul de transmisiune era un cuadripol simetric şi reciproc, adaptat

pe impedanţa sa caracteristică.

45 .3. Filtre electrice

45.3.1. Definiţii. În foarte multe ' cazuri, în telecomunicaţii e necesar să
se transmită de la un generator la un receptor numai semnalele de anumite
frecvenţe sau cu frecvenţele cuprinse într-un anumit interval. Acest lucru
poate fi realizat, dacă se utilizează sisteme de transmisiune, numite filtre,
a căror caracteristică de frecvenţă a atenuării prezintă minime pronunţate
pentru intervalele de frecvenţă pe care filtrul trebuie să le favorizeze (să le
selecteze). În electrocomunicaţii, filtrele sînt cuadripoli sau lanţuri de cua-
dripoli şi se mai numesc filtre electrice sau filtre electrice de frecvenţă.

Se numeşte interval de trecere sau bandă de trecere orice interval din spec-

trul frecvent,elor, cuprins între o frecventă inferioară f,· = w; s,i o frecvent, ă
~
2~

superioară f, = ~ >fi, pentru care filtrul prezintă o atenuare foarte mică
27t

(s au chiar nulă, în cazuri idealizate) în raport cu aceea pe care o prezintă
în afara acestui interval. Cele două limite menţionate (definite de fapt prin
anumite condiţii mai precise) se numesc frecvenţe de tăiere. Restul intervalelor
din spectru se numesc intervale de atenuare. Se numeşte filtru trece-jos un fil-
tru care favorizează semnalele de frecvenţe inferioare unei limite date (f; =O,

f , =/= 0), filtru trece-sus, un filtru care favorizează semnalele de frecvenţe su-

1 Sau caracteristica atenuare-frecvenţă.
~ Sau caracteristica defazaj-frecvenţă.

276 CUADRIPOLI

perioare unei limite date (f =/= O, f, =/= oo) şi filtru trece-bandă, un filtru care

favorizează numai semnalele de frecvenţe cuprinse într-un anumit interval

de trecere, relativ îngust (fi=/= O, f, =/= 0). Se numeşte interval de oprire sau

bandă de oprire orice interval din spectrul frecvenţelor, pentru care filtrul
prezintă o atenuare foarte mare (infinită în cazuri idealizate), în raport cu
aceea pe care o prezintă în afara acestui interval; se numeşte filtru opreşte­
bandă un filtru care blochează trecerea semnalelor cu frecvenţe cuprinse într-un
anumit interval de oprire.

Teoria filtrelor electrice, a studiului şi calculului lor, reprezintă una din
cele mai dezvoltate şi mai specializate ramuri ale teoriei comunicaţiilor. În
cele ce urmează ne vom limita la studiul unor filtre nedisipative (fără pierderi),
simetrice, omogene şi adaptate (avînd ca impedanţă de sarcină o impedanţă
egală cu impedanţa lor caracteristică ~c). Această ultimă condiţie e în fond
foarte restrictivă, deoarece, aşa cum vom vedea, impedanţa caracteristică
depinde de frecvenţă, fiind reală pentru anumite intervale din spectru şi ima-
ginară pentru altele. O astfel de impedanţă nu poate fi realizată în concret
cu elemente ideale, pasive, de circuit (r, L, C). Filtrele reale nu lucrează deci
adaptat, pentru orice valoare a frecvenţei; în afară de aceasta, ele au tot-
deauna pierderi şi proiectarea lor optimă impune altă structură decît aceea
a unui lanţ de cuadripoli simetric şi omogen. Cu toate acestea, studiul elemen-
tar care urmează ilustrează sugestiv principalele probleme ale funcţionării
unui filtru.

45.3.2. Filtre nedisipativc, simetrice, adaptate. Vom considera ! lanţuri
omogene de cuadripoli simetriei în T (fig. 4·5.3, a) sau în IT (fig. 4·5,3,b), funcţio­
nînd adaptat, adică închise pe impedanţa lor caracteristică ~c(rel. 45.3). Deoarece

1' 2' J' +'

7 ..?..t a.
2

2!:.( 2.Zt 2'

1'

b.

Fig. 45.3

în aceste~condiţii exponentul de transfer al unui lant cu n cuadripoli e ng =

+= na .jnb, e suficient să studiem funcţionarea unui singur cuadripol-din

lanţ, de exemplu a primului, la diferite frecvenţe, adică funcţiunile :

+a( UJ), b( UJ) şi 9_( UJ) = a jb.

LANTURI DE CUADRIPOLI ŞI FILTRE ELECTRICE 277

Din relaţia (43.30), pentru cuadripolii în T simetriei, cu ~1 = ~2 = Z.t şi X

-1 . rezu1taV : 2

Zt. (45.35)

A = 1 + 1 g_t = D; !}_ = ~~ + Kf . C = ~

2 g_t 4g_t' - Zt

şi

Vll =V~cr= z-t-zl + g4[. (45.36)
{;

Din relatia (43.32), pentru cuadripolii în 1t simetriei cu -Y1 = Y 2 =~si Z = Z- 1

' - 2Zr' -

rezultă:

(45.37)

şi

(45.38)

Arătăm mai întîi că un cuadripol pasiv nedisipativ are parametrii fundamentali

reali (4 şi D) sau imaginari (B şi!;;). În adevăr, un asemenea cuadripol poate fi

compus numai din elemente reactive de circuit (bobine şi condensatoare).

Schema lui echivalentă în T cu elementele din figura 43.7, a va fi de asemenea
c ompusă numai din elemente reactive. Mărimile Y, ~1, ~2 ale acestei scheme
sînt deci imaginare. Din relaţia (43.56) rezultă atunci că C e imaginar, A e
real şi D e real. Din condiţia de reciprocitate (43.9) rezultă atunci că şi !}_ e
imaginar. Cuadripolul nedisipativ se caracterizează deci prin relaţiile :

lm {A}= O; Im {D} =O; Re {B} =O; Re{!;;}= O. (45.39)

Pentru un cuadripol nedisipativ simetric rezultă atunci din relaţiile (45.10)
şi (45.3) condiţiile :

Im {ch~} = 1 sh a sin b = O j (45.40)

şi

Im {~c} = O, Re {shg) = sh a cos b = O (dacă ŞQ < O) (45.41)

sau

R e {.~:c} =O, Im {sh0 = ch a sin b =O (dacă ŞQ. > 0). (45.42)

Deoarece parametrii cuadripolului şi în particular a, b şi ~c sînt funcţii de frec-
vent ă , -:rezultă că, studiind aceste functii se pot pune în evidentă una sau alta
din ' situaţiile (45.41) sau (45.42). Se ~ai observă că impedan(a caracteristică
a unui cuadripol nedisipativ simetric e sau reală sau imaginară. Analizăm pe

rînd cele două cazuri :

273 CUADRIPOLI

1. Intervalele de trecere. Pentru frecvenţele la care impedanţa caracteristică
e reală, relaţiile (45.40) şi (45.41) pot fi satisfăcute numai cu

~c V~a= O; = Zc = 1 1 >O (45.43)

< < +- 1 A = A = cos b 1. (45.44)

Pentru frecvenţele care asigură aceste inegalităţi, atenuarea e nulă şi impedanţa
caracteristică e reală şi pozitivă. Defazajul depinde de frecvenţă

b = arc cos: A. (45.45)

Acestea sînt intervalele de trecere ale filtrului nedisipativ simetric, cu frecvenţele
de tăiere determinate de situaţiile extreme

±A = 1 sau A 2 = 1 sau BC = O (45.46)

În cazul filtrelor în II sau T (fig. 45.3), din relaţiile (45.35) şi (45.37) rezultă
aceeaşi condiţie :

A = 1 +12- z-~~= +- 1 . (45.47)

_t

2. Intervalele de atenuare. Pentru frecvenţele la care impedanţa caracte-
ristică e imaginară, relaţiile (45.40) şi (45.42) pot fi satisfăcute numai cu:

(45.48)

< -A = A = ± ch a; sau A 1 sau A >- 1 (45.49)

a>-(deoarece ch 1).

Pentru frecvenţele care asigură aceste inegalităţi, atenuarea nu mai este

nulă, ci are expresia dependentă de frecvenţă :

a= arg ch lAI >O. (45.50)

În realitate, din cauza pierderilor şi datorită faptului că impedanţa de sarcină
a unui lanţ de cuadripoli nu poate fi realizată cu dependenţa de frecvenţă
cerută de relaţiile (45.43) şi (45.48), rezultatele obţinute constituie o idealizare.
ln conditiile acestei idealizări, studiul unui filtru consistă în determinarea
frecvenţeior de tăiere cu relaţiile (45.46), respectiv (45.47), pentru lanţurile
in Il sau în T - şi în analiza caracteristicilor de frecvenţă a defazajului
(45.45) - în intervalele de trecere- şi a atenuării (45.50) - î n intervalele de

atenuare. Prezentăm în continuare cîteva exemple.

45.3.3. Filtre trece-jos (fig. 45.4, a şi b). Aceste filtre sînt de tipurile generale din figura
45.3,a sau b, cu

~~ =j wL, 1
Zc=--
- jmC

LANTURI DE CUADRIPOLI ŞI FILTRE ELECTRICE 279

şi impedanţele caracteristice date de relaţiile (45.36) sau 45.38). Condiţia (45.46),respectiv (45.47).

devine : ·

A = l - ~ cu2 L C = ± 1,
2

Fig. 45.4

+de unde se obţine intervalul de trecere ( - l ~A ~ l)

0 = CUj ~ (J) = - -2 ,

YLC

Avînd frecvenţa de tăiere inferioară egală cu zero, aceste filtre sînt de tipul trece-jos. În inter-
valul de atenuare rezultă caracteristica de frecvenţă :

a=argchiAI=argch(~ cu2LC-1), cu~cu" A

reprezentată în figura 45.5.

45.3.4. Filtre trece-sus (fig. 45.6, a şi b). Aceste filtre sînt de
tipurile generale din figura 45.3, a sau b, cu

1 ~t =

-- ,
c~~ = j cu L.
j (J)

Condiţia (45.46), respectiv (45.47), devine:

A = 1 = 1,
l-----
2 ro2 LC

+de unde se obţine intervalul de trecere ( - 1 ~ A ~ 1)

- -1- = CUj ~ CU < CU1 = 00. Fig. 45.5

2YLc

2C C C

~I~-'-9--1tll---?""""'"1

c

b.
Fig. 45.6

a

l(;)i = 1

2\/[C

Fig. 45.7

Fig. 45 .8

DIAGRAME. LOC GEOMETRIC 211

Avînd frecvenţa de tăiere superioară infinită, aceste filtre sînt de tipul trece-sus. În intervalul de
atenuare rezultă cara cteristica de frecvenţă

(--l- - 1a = arg ch 1 A 1 = arg ch 'J
2ro2LC

reprezentată în figura 45.7.

45.3.5. Filtre trece-bandă (fig. 45.8, a şi b). Aceste
filtre sînt de tipurile generale din figura 45.3, a sau b, cu

l

cZ , = - - ·

- j (J)

Condiţia (45.46), respectiv (45.47), deviue:

A = 1- .!.._ / w2 LC- ~) = ± l,
2 \ C0

+de unde se obţine intervalul de trecere (- l .":;: A .":;: l)
v-I--4<-==- < < +-0
l W W, = -- LC < C1J.
VLC0 = Wi
LC0

Avînd ambele frecvenţe limită finite şi nenule. aceste filtre Fig. 45.9
rînt de tipul trece-bandă; în intervalele de at'.muare
sezultă caracteristicile de frecvenţă:

-<~ ~a = arg ch 1 A 1 = arg ch [ l -
( w2 LC - )] ; w w;

-1];~ ~)a = arg ch J A 1 = arg ch [ ( <»' LC- w ::;;;, w;

reprezentate în figura 45.9.

46. 1 DIAGRAME - LOC GEOMETRIC

În studiul circuitelor de curent alternativ se consideră nu numai un anumit
regim de funcţionare, ci şi modul cum se modifică regimul de funcţionare la
variatia foarte lentă a unui parametru oarecare : frecventa, o rezistentă etc.

· in cazul circuitelor în regim permanent sinusoidal se utilizează în ace~t scop

locurile geometrice în planul complex ale vîrfurilor fazorilor corespunzători
mărimilor sinusoidale considerate, la modificarea regimului de funcţionare al
circuitului.

232 CUADR!POLf

Dacă se urmăreşte modificarea regimului de funcţionare la variaţia a doi
parametri, se obţin familii de curbe-loc geometric.

46.1. lnversiunea geometrică

Pentru teoria curbelor-loc geometric este deosebit de importantă tl·ansformarea punctuală
numită inversiune geometrică.

46.1.1. Puncte inverse. Două puncte A şi A' se numesc puncte inverse sau reciproce în

--raport cu un cerc dat, cu centrul în O (fig. 46.1), dacă este îndeplinită condiţia
",~__..--· OA · OA' = (OBJ2 = IC. (46.1)

...........
8 / " Punctul O se numeşte centru de inver-
l/ siune, mărimea reală K se numeşte
!" , "\
/ 1 ' Vk putere de inversiune, iar cercul de
!~/ -/11+k1 -'-,',~----+\ \ - rază ViK[, cerc de referinţă.

Observ aţi i: a) Dacă unul

din puncte este situat în afara cercu-
lui, celălalt este situat în interiorul

cercului.

" \1 1 b) Dacă puterea de inversiune
e pozitivă (cazul din fig. 46.1 ), cele
două puncte inverse sînt de aceeaşi
8'' /""\~J1 11 parte a centrului de inversiune. Dacă
această putere e negativă, cele două
~-·---_.// k>O puncte sînt de o parte şi de alta a

centrului de inversiune.

Fig. 46.1 c) Dacă trebuie construit in-
versul A' al unui punct dat A din

exterior, se procedează astfel : din A

se duc tangentele la cerc în B şi B'; punctul A' se obţine la intersecţia coardei BB'

cu dreapta AO.

d) Dacă trebuie construit inversul A al unui punct dat A' din interior, se procedează
astfel : din A' se ridică o perpendiculară pe OA', care intersectează cercul în B şi B'; se duc tan-
gente!e la cerc în aceste puncte; intersecţia tangentelor este punctul A, căutat în prelungirea

razei OA'.

Prin inversiune, o curbă-loc geometric al punctului A se transformă în altă curbă : locul
geometric al punctelor A' corespunzătoare. Dacă forma curbei este complicată, inversiunea
se face prin puncte aşa cum s-a procedat pentru punctele izolate din plan. În cazuri particulare,

determinarea curbei inverse se poate efectua sistematic.

46.1.2 Inversiunea unui cerc. Se consideră cercul cu centrul în C1 care nu trece prin centrul
de inversiune. lnversele punctelor M şi N pe dreapta OC1, faţă de centrul de inversiune O, se
construiesc în conformitate cu relaţia (46.1) :

OM. OM' = ON • ON' = K. (46.2)

Pe segmentul M'N', ca diametru, se construieşte cercul C2 (fig. 46.2) Acest cerc este
inversul cercului Cl' Pentru a demonstra aceasta, ducem din O o dreaptă care taie cercurile
în /vf şi N, respectiv în N' şi M', şi alta care le taie în E şi F, respectiv în F' şi E'; din
reiaţia (46.2) rezultă :

OM ON

ON' OM'

DIAGRAME. LOC GEOMETRIC 283

sau (folosind proprietăţile proporţiilor) :

OM ON OM+ON ON-OM
--=--= ON'-OM'
ON' OM' OM'+ ON'

sau

ON + ONf OM'+ OIV' adică -oe-1= -oe-2 · (46.3)

ON-OM Oili' - ON'

Rezultă că cercurile cu cen trele

în el şi e2 sînt omotctice faţă de

centrul O. Se poate atunci scrie

relaţia de asemăn are :

O- E =O-F- - -O!V-f - -O-N ·

OF' OE' - ON' - OM'

oricare ar fi secanta OEFF/E".
Se obţine egalitatea

OE · OE' =OF· OF'. (46.4)

De altă parte, puterile pun ctului O
faţă de cele două cercuri sînt

OM • ON = OE · OF Fig. 46.2
şi OM'· ON' = OE'·OF'. (46.5)

Înmulţind aceste relaţii şi ţinînd seama de relaţiile (46.2) şi (46.4) rezultă:

OM · ON · OlW ON' = I\.2 = OE. OF· OF'· OE' = (OE. OE')2 = (OF· OF')2

sau

OE · OE' = OF · OF' = K, (46.6)

adică şi punctul E şi E ', respectiv F şi F' sînt inverse unul altuia cu aceeaşi putere.
O b s e r v a f i i : a) Linia dreaptă fiind un caz limită al cercului (r->- co ), rezultă că

inversa unei drepte este tot un cerc. Acest cerc trece prin centrul de inversiune, deoarece punc-
telor M de la infinit (ale dreptei) trebuie să le corespundă, din relaţia (46.2), inverse cu OM' = O.

b) Dacă centrul de inversiune este pe dreaptă, curba ei inversă e tot o dreaptă.
c) Curba inversă a unui cerc este o dreaptă sau un cerc, după cum centrul de inversiune

se găseşte sau nu pe cerc.

e ed) Centrele 1 şi 2 a două cercuri inverse faţă de O nu sînt puncte inverse unul faţă de

altul cu aceeaşi putere de inversiune cu a punctelor cercurilor.

46.2 lnversiunea complexă

În calculul circuitelor de curent alternativ cu ajutorul reprezentării în
complex e utilizată inversiunea complexă, care diferă de inversiunea geome-
trică a aceloraşi puncte.

Două puncte în planul complex M şi M' sînt inverse (în complex) unul
altuia faţă de centrul de inversiune O, originea coordonatelor, dacă este în·

deplinită condiţia :

v. V'= K, (46.7)

234 CUADRIPOL!

în care V = V eifl şi V' = V' eill' sînt numere complexe cu afixele în M, res-

pectiv M' (fig. 46.3). Presupunem că puterea de inversiune K e un număr real.

Rezultă:

V'- K -Ke-jp (46.8)

V V

cu

M wV'= K şi = - ~- (46.9)
V
y(
Se observă că inversiunea unui
punct în planul complex comportă două

o1 operaţii succesive (a căror ordine de

---41----------~- efectuare e arbitrară) :
a) inversiunea geometrică a punc-
1 +-1
tului M după regulile stabilite în para-

1 graful46.1.1., obţinîndu-se punctul M";

M' b) construirea simetricului punctu-
Fig. 46.3 lui M" fată de axa reală, obtinîndu- se
astfel pun~tul M' (simetrizar~a faţă de

axa reală).

În calculul circuitelor de curent alternativ intervine deseori necesitatea

de a obţine prin inversiune admitanţa complexă din impedanţa complexă,

şi invers. Dar pentru determinarea puterii de inversiune K trebuie considerate

•şi scările grafice ale imp~danţei (de ex. ac~) şi admitanţei (de ex. b c~)

~ Y = (OA) a. (OA') b = 1 (46.10)

rezultă puterea de mver- +1
siune,
A"
K = OA ·OA' = ~, (46.11)
ab

în care OA şi OA' (de ex.

în cm) sînt lungimile vecto-
rilor din planul complex care
reprezintă impedanţa, res-
pectiv admitanţa, la scările
indicate.

În figura 46A s-a construit 1 1

admitanta cu ajutorul cercului de \ 1/
/
r- 1 \
!...=---"- - -
inversiune de raza ] K = - - · "' ....... -......

Vab Fig. 46.~

Operaţiile s-au succedat astfel:
s-a construit impedanţa complexă

conjugată Z.*, apoi, ducînd tangen-

tele la cercul de inversiune si coarda
punctelor de tangeu ţă, s~ obţine

punctul A', vîrful admitanţei Y.

DI AG RAME. COC GEOMETRIC 285

46.3 Exemple de diagrame - loc geometric

Se vor prezenta cîteva curbe-loc geometric mai frecvent întîlnite în pro-

blemele electrotehnice.
46.3.1. Dreapta. O ecuaţie generală a unei mărimi complexe .{;_, funcţiune

de gradul întîi de un parametru real p :

~ = 4 + pfl (46.12)

+(cu - oo --'(: p --'(: oo ) re- p=.J +j

prezintă o dreaptă care se

obtine adunînd la fazorul fix

4 'fazorul variabil p !}_ de

direcţie fixă. În figura 4,6.5.

s-a gradat dreapta în func-
ţiune dep.

Cazuri particulare : a)
Ecuaţia unei drepte care
trece prin origine (fig. 46.6, a)

este: +1

+~ = pB = p(NI jN)
+cu !}_ = M jN. (46.13)

b) Ecuaţia unei drepte p=-2
paralelă cu axa reală (fig.
46.6, b) este :

~=4+pM Fig. 46.5

(Im {B} = 0). (46.14)

c) Ecuaţia une1 drepte paralelă cu axa imaginară (fig. 46.6, c) este :

C= 4 +jpN (Re {Jl} = 0). (46.15)

+J +J ~+J

11

j ::~1

pfl 1
p=2 p=O

+1 +1 .§. p=-1 +1

p=-2

a. b. €.

Fig. 46J,

286 CUADRIPOLI

Aplicaţie : Impedanţa unei bobine de

rezistenţă R şi inductivitate L constante este
f.funcţiune de pulsaţia w = 2 1t
Dacă

pulsaţia variază, impedanţa

Z = R + jwL (46.16)

are diagrama loc geometric din figura 46.7.

46.3.2. Cercul care trece prin

origine. O ecuaţie generală a unei

mărimi complexe Q, care e inversa

unei functiuni liniare de un para·
+1 metru re;l p,

Fig. 46.7 D = -1- - (46.17)

A +pfl,

reprezintă un cerc care trece prin ongme. În adevăr, numitorul are ca loc

geometric o dreaptă, iar locul lui D se obţine prin inversiunea unei drepte

faţă de origine ca centru de inversiune.
4Dacă = A eia, B = B ei/3 şi se divid numărătorul şi numitorul rela·
4,ţiei (46.17) cu
se obţine:

A !2o
--='---- -
D= B --- (46.18)

l + p=
A

în care

(46.19)

Cons trucţia cercului-loc geometric al afixelor mărimii complexe D se face

în modul următor (fig. 46.8) :

4 +a) se desenează dreapta-loc geometric {;_ = p B şi simetrica ei faţă

ile axa reală ~* (dreapta conjugată);

b) se construieste D~0 = .!:.. = .!:.. e-ia, care reprezintă o coardă a cercului
'
AA

{Q = Q0 pentru p =O); -

c) se construieşte de asemenea o perpendiculară din origine pe dreapta
{;_*, care reprezintă direcţia diametrului cercului. Într-adevăr, J2 are modulul

maxim (diametrul cercului) cînd ~. respectiv {;_*, are modulul minim (reprezen·

tat de distanţa din origine la dreaptă);

d) centrul cercului O' se găseşte la intersecţia perpendicularei pe C* cu

perpendiculara ridicată pe mijlocul segmentului reprezentat de Q0 ;

e) unghiul între segmentul 010' şi segmentul op (Qo) este

+j
+1

Fig. 46.8

K
1

+J

+J

Fig. 46.9

283 CUADRIPOL!

+Gradarea cercului pentru - oo < p < oo se face gradînd întîi dreapta

~' apoi conjugata ~* şi unind originea pe rînd cu diferitele puncte care reprezintă
valorile p pe dreapta ~*. lntersecţiile acestor coarde cu cercul reprezintă vîr·

furile mărimii !2 pentru valorile corespondente ale parametrului p.

46.3.3 Cercul cu poziţie oarecare. Cea mai generală ecuaţie a cercului ca

loc geometric în planul complex e :

K = A+ pfl. , (46.20)

(: -1- pQ (46.21)
(46.22)
+unde p e un parametru real cuprins între - oo şi oo .
În adevăr:

+K =~+(A-

- Q-
!l!.2G. } 1 - M r!_ · K',

(: -1- pQ

în care

N_ -- _A - -F!-C2'· K' = - - 1__
~ -1- pQ

Se observă că locul geometric al mărimii K' este un cerc care trece prin

origine.
Toţi factorii K' se multiplică cu I;j_ = Neiv, adică sînt rotiţi cu v şi modu-

lul lor se multiplică cu N. Deci ţ!K' reprezintă tot un cerc care trece prin
origine. Pentru a obţine locul geometric indicat de relaţia (46.21), este nece-
sar ca toate punctele cercului să fie deplasate cu 1v! faţă de origine sau ca
originea să fie deplasată cu-M.

O primă metodă de construcţie a unui cerc reprezentat de relaţia (46.20)

e indicată în figura 46.9 :
a) se construieşte în modul cunoscut (par. 46.3.2) cercul K_', cu centrul în O';
b) se roteşte raza OP' cu unghiul v şi se multiplică cu N, obţinînd raza

Op" (în figură s-a considerat cazul v < O);

c) se deplasează cu-M originea din 0 1 în 0 2 •
Cercul căutat e cercul de rază 00", cu centrul în O" faţă de axele din 0 2•
Gradarea cercului se face după rotirea dreptei cu unghiul v în modul cunos·
cut din figura 46.8 faţă de originea Or
O altă metodă, mai simplă, consistă în a construi cercul prin trei puncte

determinate de fazorii :

Ko = =A-· -K = =.nR- '· K = A -1-B (46.23)
-
~· - 1 !; -1- .!]

(pentru p ~ o) (pentru p~cc) (pentru p ~ 1).

46A. Aplicaţie. Diagrama -loc geometric al curentului primar ((46.2-i)
al unui cuadripol pasiv

Considerăm ecuaţiile fundamentale ale unui cuadripol :

!.!.1 = d !.!.2 -1- !3 !.2
l1 = f!! 2 -1-!.! Iz·

DIAGRAME. LOC GEOMETRIC 239

Dacă se consideră tensiunea la intrare origine +J

de fază şi invariabilă ~1 = ,!!1 = const., defazajul

receptorului cp2 inductiv invariabil, iar impedanţa
receptorului proporţională cu un parametru real p,
se obţin ecuaţiile :

!11 = U:!! + P!... Z2)
ll = b. (Q + p !2 ~2),

în care p,Z'1 este impedanţa variabilă a recep-

torului.
Se obţine pentru curentul primar expresia :

11 = I!.t I2 + p [; ?2 = !.1 (p), (46.25) D +1

li+ P dZ2

care este analogă relaţiei (46.20). /
În consecinţă, locul geometric al curentului 1

I 1 este un cerc care nu trece prin origine. Acest 1

cerc se poate construi prin trei puncte, determi- 1

nînd valorile curentului pentru : 1
,1I 1 (oo) = !.!.1 c = l1o
p = oo (în gol) \
\
(46.26)
\
D
-TTl R = -Isl e "'-...
-==p = O (în scurtcircuit) -Il (O) "-· N

- (46.27) Fig. 46.10

z2.cLI (1) =
p=l Ql !2 +
B. + 4 ~2 •

(46.28)

Cercul se poate construi şi în modul următor (fig. 46.10):
fazorilor J10 şi ltsc în M,
Se stabilesc vîrfurile respectiv N. Ca în figura 46.8 se determină
unghiul y dintre MN şi MO'. Centrul cercului se găseşte la intersecţia normalei ridicate pe
mijlocul segmentului MN şi direcţia MO'.

CIRCUITE ELECTRICE
IN REGINI PERIODIC NESINUSOIDAL

47. ]1REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL
ŞI CARACTERIZAREA LUI

În paragrafele precedente s-a studiat regimul periodic sinusoidal al reţe­

lelor electrice, adică regimul permanent stabilit în reţele liniare sub acţiunea

unor tensiuni electromotoare sinusoidale si de aceeasi frecventă.
În realitate însă, variaţia în timp a' tensiunilo; electrom'otoare se abate

mai mult sau mai puţin de la forma sinusoidală, datorită însăşi construcţiei
generatorului. În adevăr, repartiţia inducţiei magnetice în întrefierul maşinii

nu poate fi strict sinusoidală, deoarece nu se poate realiza o aşezare corespun-

zătoare a conductoarelor în crestături. Abaterea curbei de variaţie periodică

în timp a unui curent sau a unei tensiuni de la forma sinusoidală se numeşte

deformare sau distorsiune. Aşa cum vom arăta, în cazul în care circuitele elec-

trice contin inductivităti, deformările curentilor datorite deformărilor ten-
siunii se ~lăbesc, dar în ~azul în care există c~ndensatoare deformările curen-

ţilor se accentuează. De altă parte, elementele de circuit neliniare (bobine cu

miez de fier saturat, redresoare etc.) produc deformări ale curentului chiar

dacă tensiunile aplicate circuitului sînt riguros sinusoidale. Conform clasificării

făcute de C. Budeanu 1, elementele de circuit neliniare sînt elemente deformante

de prima categorie, iar elementele de circuit reactive (capacitive) liniare sînt

elemente deformante de a doua categorie.
În electroenergetică, efectele deformante sînt supărătoare, deoarece mic-

şorează factorul de putere, produc rezonanţe etc., şi se încearcă evitarea lor
prin diverse mijloace. În electrocomunicaţii însă, efectele deformante pot fi

utile (în scopul însuşi al transmisiunii informaţiilor prin semnale, de ex. pentru

modulaţie) sau nu (de ex. distorsiunile sistemelor de transmisiune, care reduc

fidelitatea transmisiunii realizate). Totodată, în electrocomunicaţii semna-

lele transmise sînt, de obicei, nesinusoidale, chiar dacă se pot considera practic

periodice.

Ideea fundamentală care stă la baza studiului circuitelor în regim perio-

dic nesinusoidal consistă în descompunerea tuturor mărimilor în sume (serii)

de termeni sinusoidali. _J

1 Constantin Budeanu (1 886- 1959) a fo st m embru al Academiei R.P.R. şi profeso r de
Bazele el ectrotehnicii la Instit u tul P olit ehnic Bucureşti.

REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL ŞI CARACTERIZAREA LUI 291

tt1 .l. Descompunerea spectrală (analiza armonică)
a funcţiunilor periodice de timp

47.1.1. Serie trigonometrică. O funcţiune periodică de timp e caracte-
rizată de identitatea :

f (t) = f (t + m T) +m = l, ± 2,..., (47.1)

în care T = 2rc / w = lff e perioada, w = 2rcf = 2rc / T e pulsaţia (fundamen-

f l/tală), iar = T e frecvenţa (fundamentală).

Orice astfel de functiune care satisface conditiilor lui Dirichlet 1 se poate
dezvolta în serie trigono~etrică (Fourier) sub for~a:

+ E +-fA

f (t) =
«> (47.2)

(A" cos n wt Bn sin n wt),

n=l

în care termenii de pulsaţie ~ w se numesc armonici de ordinul n în cosinus,
respectiv în sinus, avînd coeficienţii daţi de relaţiile :

T n =O, l, 2,... (47.3)
n = 1, 2, 3,.... (47.4)
An = ~ ~f(t) cos n wt dt

o

T

B" = : ~f(t) sin n wt dt

o

Pentru n =O,

T

~o = F 0 = ~ ~f (t) dt ~ O

o

este valoarea medie sau componenta continuă a funcţiunii periodice date. Mări­

mile 1An 1, respectiv 1Bn l, sînt amplitudinile armonicelor de ordinul n în cosinus,

respectiv în sinus. Valabilitatea relaţiilor (47.3), (47.4) se verifică fără dificul-

tăţi, înlocuind pe f(t) cu seria (47.2) şi efectuînd integrarea.
În electrotehnică, seria Fourier se pune sub o altă formă, strîngînd în

aceeaşi expresie termenii în cosinus şi în sinus de acelaşi ordin pe baza iden-

tităţii :

+==: An cos n wt Bn sin n wt. (47.5)

1 Funcţiunea e netedă pe porţiuni În cuprinsul unei perioade, adică: e mărginită; are în
acest interval un număr finit de discontinuităţi (de primul ordin); intervalul se poate descompune

într-un număr finit de subintervale, în care funcţiunea e monotonă.

292 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Cu această scriere sena trigonometrică devine :

00 00 -

fn (t} = Fo Fn sin (nwt y,.).
+ E + E V2 +f(t} = F0 (47.6)

n=l n~l

În aceste relaţii: f,.(t) e armonica (instantanee) de ordinul n; f1(t) e armonica
(instantanee) de ordinul l sau fundamentala;

F= ~V2 VA2" + B2" (47.7)

n

e valoarea efectivă a armonicii de ordinul n;

y,. = arctgA,B. - arc s1•n --:-;-::::A;;:n===;-::- - arc cos (47.8)

n VA~ + B ., VAJ + BJ

e faza iniţială a armonicii de ordinul n, determinabilă univoc numai prin sin y n

+şi cos y,., deoarece poate avea orice valoare, redusă la intervalul (-7t, 1t).
Dacă funcţiunea f(t) e cunoscută prin reprezentarea ei grafică, ridicată
de exemplu experimental, coeficienţii Fourier A,. şi B,. se pot determina cu

metode aproximative - suficient de precise - numite metode grajic:J-analitice
de analiză armonică 1•

47.1.2. Funcţiuni periodice particulare. Lipsa sau prezenţa armonicelor dintr·o anumită
categorie corespunde unor proprietăţi particulare ale funcţiunii periodice con3iderate şi se p:>ate
adesea recunoaşte numai privind graficul funcţiunii.

Astfel, dacă (fig. 47.1, a)

(47.9)

trebuie să fie satisfăcută identitatea

2:=: E00 00
+ + + +F0
[A,. cos ncut Bn sin ncut) == - F0 - [An cos (ncut nrr)

n=l n=l

+ f (-++B,. sin (ncut n<t)) =: - F0 +1)n + 1 A,. cos ncut (-1)n+ 1 Bn sin ncut].

n=l

Rezultă pentru coeficienţii Fourier condiţiile :

F0 =O;

Funcţiunea considerată, numită funcţiune altemativă simetrică, nu are decît arm:mici im;nre

(47.10)

Aceasta este situaţia tensiunilor electromotoare ale generatoarelor sincrone, la care condiţia
(47.9) e realizată prin construcţia maşinii , care asigură un cîmp învîrtitor cu reparti~ie identică
(pînă la sens) în dreptul polilor N, respectiv S.

1 v. A!. T h. P o p e s cu, Curs de electrotehnică, partea I-a, Analiza armonică, (litogra-
fiat)- Bucureşti, 1947 şi

I. S. An t o ni u, Chestiuni speciale de electrotehnică, Bucureşti, 1956.

REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL ŞI CARACTERIZAREA LUI 293

În mod analog se stabileşte prezenţa şi lipsa unor armonici la alte forme particulare de
funcţiuni periodice: numai cu armonici pare (fig.47.l,b), numai cu armonici în sinus (fig 47.l,c),

numai cu armonici în cosinus (fig. 47.l,d).

t

Xf ( t}=
fa .. F2.. n" 1/2 sm(21rCJt+O. )
21<
k=1

a b
l(t) • -f(T-t)

f(tJ = f(T-t}'

f(t) = L"" 8n sm nGJt f (l J = .~ + E An cos n(,Jt

n=1 I"J= 1

c. d.

Fig. 47.1

47.1.3. Aplicaţii : 1. Să se dezvolte în serie Fourier semnalul dreptunghiular din figura 47.2,
de amplitudine A.

Solu!ie : Se observă că analitic semnalul se scrie :

J+A o< t <T-
2
f(t) = (47.11)
l-A -T < t < T.
2
(t f)+Deoarece f(t) =- f
=- f(T-t), semnalul

nu conţine armonici pare şi armonici în cosinus,

adică

Fig. 47 n

29! CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

iar

T

T -2A 2 T
lJ• 2
B" = ~ ~ f(t) sin n.wtdt = T sin n<vtdt - -A ~sin nwtdt =
T
o o
T

T

dacă n = 21.:

= n2:T[j-cosn.wt-l "Q J-cosn. wt (J= j 4:
dacă n = 2k-l.
O T rrn
2

Singurii coeficienli nenuli sînt deci: k = ), 2, ... , (47.12)

4A
rr(2k - 1)

iar dezvoltarea căutată este :

f:; wt + wtf(t)=
+ ~B2k-l sin(2k-l)wt = ~sin 5 +... ]· (47.13)
4 sin3
A(sinnwt

k = l rr 3 5

Dacă funq.iunea se aproximează prin suma f*(t)
a primilor trei termeni, se obţine curba din
figura 47.3. Cu cît se consideră mai multe armo-
nice, cu atît se obţine o curbă mai apropiată de

dreptunghi.

{(t}

l-

-~ ·----- ---- _ ţLo__ -

t

Fig. 47.3 Fig. 4.7.4

2. Să se dezvolte în serie Fourier semnalul constituit din impulsii drcptunghiulare de
amplitudine A, cu durata impulsului '!'0 (fig. 47.4).

Soluţie: se observă că analitic acest semnal ~e scrie (0, T ) :

A, pentru o < t < ~ (47.14)
2

y(t) o, pentru~ < t < T-~

22

A, pentru T-~ < t <T

2

REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL ŞI CARACTERIZAREA LUI 295

D eoarece i (t) = f ( T - t), semnalul conţine numai armonici in cosinus şi componenta continuă
Se obţine relaţia

~o

T 2T

~ ~ +A" =
f(t) cos n wt dt = ~ ~ A cos n wt dt ~ A cos ncvtdt =

o o T-~
2

l l]2Asinnw~
+ sinnw~ - sin nw( T- ~ =
2

T nw ncu nc,l

sin nw ~ 2A
4A 2 sin rrn~,
T nw
rrn

în care ~ = ~ , şi relaţia

T

1'

F0 = ~ ~ f(t)dt =~(~+~ )=A~.

o

Rezultă :

00 sin rrn~
t E ---'-+f(t) = A~ J l cos n cM } •
2 ;on~ (47.15)

n-l

În telecomu nicaţii se întîinesc adesea semnale constituite din succe.;iuni Je impulsii. În
nu meroase situaţii se întîlnesc impulsii foarte scurte, cu -r0 ~ T şi~~ l. Din relatia (47 .14) rezultă
că primele armonici ale ace;:tor semnale au amplitudini practic ega le. dPvnrece

Iim sinrm~ _ l.

f3 -..o rrn~

În cazul idealizat în care imptllsiil e ar fi infinit d e ~,curte ( T0-- 0) şi infin it de inalte (A ~ oo ),
dat· cu o arie finit ă

limA-:-0 =5
•o~o

(impulsi i delta ~a n itnpnl'lii Dirac), ar rezulta şi

s

A ~ -+-

T

T +f(t ) = 2S ( 1 ~oo cosnwt) . (47.16)
2 n- l

296 CIRCUITE ELECTRICE TN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

47.2. Seria Fourier complexă

O funcţiune periodică reală f(t) care admite o dezvoltare în serie trigonometrică de forma

(47.2) poate fi scrisă şi ca sumă a unei serii cu termeni complecşi, exponenţiali. Pentru aceasta
observăm din relaţiile (47.3) că An e o funcţiune pară şi Bn o funcţiune impară de indicele n

An= A_n; (47.17)

Seria (47.2) poate fi atunci scrisă:

(A;f(t) = H~oo ~n+cos n wt sinnwt). (47.18)

În adevăr, termenii cu n > O ne dau jumătate din valoarea termenilor corespunzători din

relaţia (47.2), termenii cun< O cealaltă jumătate [deoarece A_n cos(- nwt) =An cos nwt şi
B _n sin (-nwt) =-Bn (-sin nM) = Bn sin nwt], iar termenul n =O ne dă doar A0/2, adică
termenul liber.

Înlocuind în relaţia (47.18) cosinusul şi sinusul cu formulele

rezultă:

sau

f(t) = nfoo An--; jBn einwt E+oo (47.19)
~neinwt
n= - oo n=-oo

deoare~e suma termenilor în e-jnrot e egală cu suma termenilor în e jnrot, după cum rezultă
cu relaţia (47.17), punînd n__,.- n.

Relaţia (47.19) reprezintă dezvoltarea în serie Fourier complexă a funcţiunii reale f(t) (par•
tea imaginară a sumei e nulă). Cocficienţii dezvoltării se numesc amplitudiui spectrale şi cu
relaţiile (47.3) rezultă:

C_ n_- C* _ An - jBn T

--n - 2 -1 ~ f(t) e-J.nwt dt. (47.20)

'1'

o

O b s e r v a f i i : a) Dezvoltarea în serie complexă Fourier nu trebuie confundată cu

reprezentarea În complex a seriei trigonometrice. Folosind regulile cunoscute, seria trigonometrică
(47.2), respectiv relaţia (47.6), se poate reprezenta în complex nesimplificat termen cu termen

numai în cazul funcţiunilor alternative (F0 = O) sub forma:

E E Bf(t) = (An el2+ Bn) einwt =
CII) ·1t 00 (Bn + jAn)ejnwt = 00

Y2Fnei(not+yn) (47.21)

n=1 n=l n=l

astfel că

f(t) = Im {f(t)}. (47.22)

REGIMUL PC:I{IODIC NESINUSOIDAL ŞI CARACTERIZAREA LUI 297

Dacă se cunoaşte însă amplitudinea spectrală {;_n, V2Fr,
din relaţiile (47.20) şi (47.21), rezultă: !!A

+VfFn ejyn = Bn jAn = 2j (An--; jBn) = JT

' = 2j {;_n w

sau V2F"

_C n=- . FV"n2 jyn = FV2n" i(Y-~) ' (47.23) 2S 2w
e T
J e n2 o
w
b) Mulţimea amplitudinilor V2Fn ale ar- 2t.J Jw '-w 5w (,J

monicilor unui semnal [sau, ceea ce e tot una, b.

a dublelor modulelor amplitudinilor spectrale

2 ICnl = V2 Fn] se numeşte spectrul semnalului

şi se reprezintă , de obicei, ca un şir discret de
valori funcţiune de n. Specţ_rul semnalelor perio-
dice e un spectru discret. In figura 47.5 a şi b

sînt reprezentate spectrele semnalului dreptun-
ghiular (47.13) şi spectrul semnalului constituit
de o succesiune de impulsii delta (47.16).

Fig. 47.5

47.3. Proprietăţi ale mărimilor periodice nesinusoidale

47.3.1. Valoarea medie a produsului a două armonici. Dacă

+f n = F,.V2 sin (n wt y..) şi (47.24)
+gm = Gn V2 sin (mwt ~m)

sînt două armonici de ordinele n şi m (n ~ m), valoarea medie a produsului lor
pe o perioadă T a fundamentalei este :

T

4 + += ~ ~ 2FnGn sin (n wt Yn) sin (mwt ~m) dt =

o

TT

= F .. Gn[~~cos ( (n- m)wt + 'Yn- ~m)dt- ~ ~cos((n+m)wt +r.. + om)dt] •

oo

A doua integrală e nulă pentru orice n şi m, deoarece valoarea medie a unei

funcţiuni sinusoidale pe un număr întreg de perioade e nulă. Prima integrală e

nulă dacă n =1= m din acelaşi motiv, iar pentru n = mare valoarea:'[. cos (y,. -o,.).

De aceea rezultă :

T (47.25)

T1(JJ ngm dt = f-ngm = O

o

T (47.26)

T1(Jj.,gm dt = f-ngn = F.,G,. COS (y,.- ~..).

o

298 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Valoarea medie a produsului a două armonici de acelaşi ordin e egală cu pro-
dusul valorilor lor efective prin cosinusul decalajului dintre ele (şi se anulează la
mărimi în cuadratură).

47.3 .2. Valoarea efectivă a unei mărimi periodice nesinusoidale. Valoarea
efectivă a unei mărimi periodice e definită în cazul general de relaţia (33.5 :)

(47.27)

Î n cazul unui curent periodic dezv oltat în scrie Fourier:

00 00

V2I,. sin(nwt y,.) = 10 i n(t)
+ E + + Ei(t) = 10

n=I n=1

s e obţine :

+ Ei" + B Eco --

= IJ 2 10
00 00 - - -

i "i ""

n= 1 n= l m= l

ITndar i;, = O. iar = O cun =/= m (47.25) şi~= 1,~ (47.26) aşa că

J2 = I~ + 'L00 J! sau (47.29)

n= l

1 = VIJ + Ii + I~ + ... + I,;~ > o.

V aloarea efectivă a unei mărimi periodice e rădăcina pâtrată a sumei pătra­

telor valorilor efective ale armonicilor şi a. pătratului componentei continue.
De aici rezultă că dacă o serie Fourier, adică o sumă de armonice, este nulă
la orice t şi deci are valoare efectivă nulă, aceasta nu se poate decît dacă toate
armonicele au valori efective nule, adică sînt identice nule. Re zultă deci că :

E00 (47. 30)

f,.(t) :.:::=:: O implică f"(t) =: O cu n = 0,1 , 2,...

n= l

În mod analog, dacă o tensiun e periodică este

U + EU,. V +u(t) = 000
-
13 7.), (47.31)
2 sin (nwt

n =l

REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL ŞI CARACTERIZAREA LUI 299

valoarea e1 efectivă este

(47.32)

47.3.3. Coeficientul de distorsinne. Abaterea unei mărimi periodice de

la forma sinusoidală se face (făcînd abstracţie de componenta continuă care

nu afectează forma) prin coeficientul de distorsiune 1(1 definit de raportul dintre

valoarea efectivă Id a tuturor armonicilor superioare (reziduu! deformat) şi

valoarea efectiYă a componentei alternative a mărimii. În cazul curentului

(47.28)

I·i-: -
Vkd = --V;-;I=iV:+:r::~=+r:~:=n+==+n==+..=.=...= =
IJ

n~2 V[2- 15 (47.33)

~I~

n= l

Se observă că acest coeficient de distorsiunc c pozitiv Şl subunitar

o< kd < l.

Fără a da o indicaţie asupra formei exacte a mărimii (există o in.6.nitate
de mărimi periodice cu acelaşi coeficient de distorsiune şi cu forme diferite,
rezultate din dcfazajele rei ative ale armonicclor, care nu sînt prinse în relaţia
(47.32) coeficientul de distorsiune este util, deoarece creşte monoton în raport
cu oricare dintre valorile efective ale armonicelor. Practic - în electroener-

%·getică - o mărim e se consideră sinusoidală dacă kd < 5 În telecomunicaţii

această condiţie se formulează de la caz la caz, după natura semnaluh1i consi-
derat şi a fidelităţii cerute.

Pentru mărimi periodice alternative, simetrice, de forma (4.7 .10), se mat

definesc:

Factorul de 1:î1j (47.34)

Factorul de fonnii 1.-i [ (47.35)

<o + T/2
-~ ( idt
T]

'o

(unde t0 c momentul în care i trece prin zero cu valori crcscătoar·e). La mărimi
sinusoidale rezultă :

kt = nr_ = l,ll. (47.36)
2] 2

300 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

47.3.4. Aplicaţie. Să se calculeze valoarea efectivă şi coeficientul de distorsiune al curentu-
lui pulsatoriu (redresat) din figura 47.6.

Ii(t) = Im sin wt T (47.37)

o pentru O < t<

2
T

pentru- <t <T

2
lSoluţie: Valoarea efectivă se poate calcula şi mai simplu, fără dezvoltarea în serie Fourier,

-cu ajutorul relaţiei (42.27) de definiţie:
TT
V V2 2
~ ~1 T1 2 l 2 l-cos2 wt Im (47.38)
sin2 wtdt = 1". - 2 dt =
1". T Z·

i(t} Pentru calculul coeficientului de
distorsiune este necesară determina-

rea valorilor efective ale armonicelor,

ceea ce presupune determinarea coe-

ficienţilor Fourier. Se obţine :

T

2'

t -T1 ~ I m sin wtdt = -lm (47.39)
7t
Fig. 47.6 o

T

2

~ ~Im . Im [sin (1- n)7t _ sin (1 + n)7tj
Bn = sin wt srn nwtdt = - 1+ n
27t 1-n
o

n :;i= 1

pentru (47.39')
{n= 1

T

2
~~Imsin +An=
Im[1-cos(1+n)7t 1--cos(1-n)7t]
o wt cos nwtdt = - 1- n

27t 1 + n

n impar An= O
pentru{ n par
A" --27I-tm 1 (47.39")
(1-n) (1 + n)

În consecinţă, curentul este

i(t) = Im [ -1+ - s1 i n wt + 2E00 cos 2 kwt]
7t 2 k=l7t(1-4k2)

E00 2 sin ( (2 k wt - -7t )] . (47.40)

i(t) = I m -1 + -1 sin wt +
[ 7t 2 k=! 7t(4k2 - 1) 2