Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan

METODA. OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 351

b) Pentru t >t0 > O, f(t) să nu crească în modul mai repede decît o expo-

nenţială, adică să existe constanteie pozitive A 0, cr0 şi t0 , astfel ca :
(52.6)

c) Variabila complexă p să aibă partea reală suficient de mare, adică:

cr = Re{p} > Ga, (52.7)

unde cra e marginea inferioară a constantelor cr0, pentru care e satisfăcută con-
diţia (52.6) (abscisa absolută de convergenţă a integralei).

Clasa funcţiunilor de timp pentru care se utilizează metoda operaţională
cu transformarea Laplace e definită în sens restrîns de condiţiile a şi b de mai
sus şi de intervalul de definiţie al variabilei

o -<:t-<:oo. (52.8)

Dacă această clasă se întregeşte 11i cu funcţiunea improprie a lui Dirac o(t),
studiată ca limită a impulsiei finite (v. par. 52.1.2)- deosebit de utilă pentru

prezentarea fenomenelor tranzitorii în anumite circuite idealizate în care apar
discontinuităti- se obtine o clasă de functiuni de timp suficient de largă
pentru aplic~ţiile întîlnite în electrotehnică.' Funcţiunile din această clasă se
numesc funcţiuni original. În cele ce urmează presupunem că toate funcţiunile
de timp care intervin sînt funcţiuni original.

52.1.2. Funcţiunile imagine (transformatele Laplact>). Fiind dată .o func-
ţiune original f(t), se numeşte imagine Laplace sau transformată Laplace a ei
funcţia F(p), de variabilă complexă p, univoc asociată primei prin expresia :

00 cu Re{p} >aa. (52.9)

F(p) = ~ f(t) e-P• dt,

o

Cînd Re{p} -<:aa şi integrala (52.5) e divergentă imaginea Laplace e definită

prin prelungirea analitică a funcţiunii de p, astfel obţinută, (ceea ce înseamnă,

practic, prin expresia în p obţinută cu 52.9).
Transformata Laplace e astfel definită ca o funcţiune analitică de p în

întreg planul complex, cu excepţia singularităţilor care există în semiplanul

Re{p}-<:cra. Se demonstrează că această regulă de asociere e biunivocă, definind

un operator notat cu simbolul f

F(p) = f[f(t)] = f[f], (52.10)

care asociază fiecărei funcţiuni original f(t)(cu t:~-0) o imagine complexă F(p)-
şi al cărui operator invers se notează cu simbolul f-1 .

f(t) =f-l[F(p)] = f-I[F] (52.ll)

>şi asociază fiecărei imagini complexe F(p) o funcţiune de timp f(t) , umvoc

determinată pentru t O.

52.1.3. Transformatoarele Laplace ale unor functiuni uzuale. F'olosind relaţia 52.9,
•Calculăm imaginile unor funcţiuni frecvent întîlnite în st~diul regimurilor tranzitorii.

352 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZI'TORIU

J. Imaginea u.nei constante. Pentru o -:onstantă C, lund cra = O~şi Re{p} > O, rezultă:

co

lf[C] = ( C e- prdt = - ~ e-pr co
) p io

o

sau

c
f [C]= -· (52. 12)
p

În particular.

f[O] = O. (52.12')

Se observă că, în acest caz, integrala e divergentă pentru Re {p}~ O. Expresi_a (52.12) defineşte

însă univoc o funcţiune analitică de p în tot planul complex, cu excepţia originii unde are un pol.

2. Imaginea funcţiunii treaptă unitate y(t). Deoarece pentru t > o, funcţiunea treaptă (51.1),

e o constantă de valoare unitate,

co ()O (5 2.13 )

f[y(t)] = ~ y(t) e-pr dt = ~ e-pr dt = ; .

oo
3. Imaginea. unei exponenfiale. Pentru funcţiunea exponenţială ea1 se obţine :

1: •()O

~1

f[ea' ] = ear e-pr dt = - IX p e(a- p)l

o

Considerind Re {p} >cr., se obţine imaginea căutată:

1 (52.14)
f [ear] = - -

p-IX

şi, în acest caz, integrala e divergentă pentru Re{p} ~IX, dar expresia (52 .14) defineşte univoc
o funcţiune analitică de p în întreg planul complex, cu excepţia punctului p = IX, unde are un pol.

4. Imaginile funcţiunilor sin wt, cos wt, ch at, sh at se obţin simplu, exprimînd aceste

funcţiuni prin funcţiuni exponenţiale. De exemplu,

;jco 00

f [sin wt] = ~sin wt e-pr dt = ~ [eiro' + e- jcor] e- pl dt.

oo

Calculind integrala pentru Re{p} > O, rezultă imaginea:

f[sin wt] = _ _w_ _ (52.15)

p2 + w2

f(t) t 5. Imaginea impulsiei dreptun-
__ A 1= H ghiulare finite, neretardate. O impulsie

T dreptunghiulară finită neretardată
Fig. 52.1
(fig. 52.1) e definită de condiţiile :

i O pentru t ~ O şi
1 pentru t > T,

<f(t) = 1 .!:_ = H pentru o < t 'l '
T
! (52.16)

t unde T c durata impulsiei, H = .!'._

T
amplitudinea impulsiei, iar A inte-

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 353

gra la e.i. Se observă că impulsia dreptunghiulară finită se poate exprima cu ajutorul funcţiunii
treaptă unitate y(t) sub forma :

H [y(t) - y (t- T)] = .!!.__ [y(t)-y(t - T)J. (52.16' )

T

Imaginea acestei impulsii rezultă :

T

Jf [ Hy(t) -H y ( t- ( dt = H 1 - e- pT = A .1:.-.__e...-::p._T_
P
T)] = H e- pt pT (52.17)

o

Dacă integrala (aria) impulsiei dreptunghiulare e egală cu unitatea A = l, se obţine impul-
sia unitate finită (neretar dată), de durată finită T şi amplitudine l /T, notată lly(t)

ily(t) = 1 [y(t) - ..,(t -- T)] . (5 2.18)

-T

Imaginea impulsiei unitate finite rezultă:

1-e-pT (52. 18' )
f[ ll y(t)] = - -

pT

6. Imaginea impulsiei delta ( Dirac). În aplicaţii in teresea zii. adesea cazul li1nită idealizat

al impulsiei dreptuughiulare, de durată t. T extrem de scurtă, t. T -+ O şi infinit de înaltă

1 finită egală 52.2). Acest caz limită define.ste o
=t-.T- -
Hoo) ,( avînd arie s.i cu unitatea (fig.
~

funcţiune improprie- numită şi impulsie delta sau funcţiunea delta a lui Dirac sau funcţiunea

impulsie unitate, notată o (t)- cu care se poate opera corect, dacă se efectuează calculele cu

impulsia unitate finită şi se trece la limită numai în expresiile fi nale. Formal se scrie :

o(t) =Iim ot:.T (t). (52.1 9)

t:.T~O

Imaginea rezultă din relaţia (52.18') prin aplicarea regulii lui L 'Hopital :

1-e-pt:.T (52.20)

f [o(t)] = Iim f:o t:.T (t)] = Iim = 1.
t.T~O !:.1' -+0 pt.T

În tabela 52.1 se in:l.ică imaginile unor funcţiuni de timp, care intervin frecvent în studiul
circuitelor.

'"'~t ]_=

--:ill...IJ-.l-1j[_ _ _t

!JT-...0

Hg. 52.2

23 - 1668

354 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

1 f [f(t) ) Tabela 52.1.

2 1 f(t)

3 -1 -

4 p S{t)

5 - 1- 1, y (t)

- -- p+a e -al
1
6 te- ••
(p + a)2
7 1 -1- ( e - al - e-bl)

8 (p +a) (p + b) b-~
1
9 - al)-1+ -1- ( -1.::- bl - -1 e
p (p +a) (p + b) ah b-a b a
10 p
- 1- ( b e- bl - ae_ ,.,}
--- (p + a) {p + b) b-a

Il 6) sin 6>1

--- p2 + w2 cos wt
12 p
sh at
--- p2 + w2
ch at
13 -a-
cos (wt + b)
- -- p2-a2
p sin (wr+b)
14 e- 41 sin wt
p2 - a2 e-al cos wt
15 1 (p cos b -w sin b)
p2 + w2 • t sin wt
--- 1 (p sin b + w cos b)
p2 + w2 t cos wt
16
6)
---
(p2 + a2) + w2
17 p+a

(p + a)2 + w2 --- - -
2 wp

(p2 + w2)2
p2- w2

(p2 + <v2)2

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 355

Tabela 52.1. (continuare)

1 f[f(t)) f( t}
18
1 1
19 _1_ , n - 1 e-al
1 +(p a)n (n-l)t
8(t - T)
20 e- pT
y(t - T)
21 -1 -pT
p y(t - T) e-a(t - T)
--- e
T8r(t) = y(t) - y(t - T)
22 1 - pT
--e
p+a

-1 ( 1 - e- pT)
p

52.1.4. Corespondenţa operaţiilor fundamentale prin transformarea Laplace.
Operaţiile fundamentale cu funcţiuni de timp care intervin în ecuaţiile circui·

telor sînt înmulţirea cu un scalar, adunarea, derivarea şi integrarea. Pre·
zentăm operaţiile corespunzătoare cu imagini pe care le implică corespondenţa
biunivocă stabilită de transformarea Laplace.

l. Transformata Laplace a sumei a două (sau mai multe) funcţiuni de timp
e egală cu suma transformatelor fiecăreia în parte. În adevăr;

00 00 00

+ +~ {f1(t) f2(t))e- P' dt = ~ f1{t)e- P' dt ~ f2(t)e-P' dt

o oo

adică:

(52.21)

în analogie cu (34.63').
2. Transformata Laplace a produsului dintre o constantă A şi o funcţiune

de timp e egală cu produsul dintre acea constantă şi transformata funcţiunii. În

adevăr ;

00 00

~ Af(t)e- P' · dt = A ~ f(t)e- P1 • dt

adică: oo

f [Af] = Af [f], (52.22)

în analogie cu (34.64'). Proprietăţile {52.21) şi (52.22) se prezintă strîns prin

rel aţia: t t fk].f [ "'kfk] = Ak f [

(52.23)

k=l k=l

care exprimă proprietatea de liniaritate a transformării Laplace (teorema
l i ni a r i tă ţii).

356 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

3. Transformata Laplace a derivatei unei funcţiuni de timp e egală cu

produsul imaginii funcţiunii prin p, mai puţin valoarea iniţială a funcţiunii
(teorema derivării ). În adevăr, integrînd prin părţi, se obţine:
r +00
00 00 00

f [ ~] = ) e- PI dt = f(t)e- P1 1 p ) fe- P' dt = p) fc-P1 dt- f(O),

o oo o

deoarece observînd condiţiile (52.6) şi (52.7), rezultă (cu Re {p} = cr)

Iim 1 f(t)e-P'I ::;? Au lim 1 e- (p-aal• 1 = A0 Iim e- (a-aal• = O.

Aşadar: 1-? 00 ·-~ co 1~ 00

f [~] = p f [f]- f(O). (52.24)

În cazul unei derivate de ordinul (n) se obţine, aplicînd de n ori regula de mai sus,

relaţia:

f [:~~~] = f [f"] = p" f [f]- p"- 1 f(o)- p"- 2 f(I) (o) ..... - f>t-1 (o). (52.25)

In cazul condiţiilor iniţiale "de repaus" f(O) = O şi din (52.24) rezultă:

f 1~] = p f [f] . (52.26)

Adică, derivarea funcţiunii original în raport cu timpul se reprezintă prin înmul·
ţirea imaginii cu variaLila complexă p (în analogie cu 34.65').

4. Transformata Laplace a integralei în (O,t) a unei funcţiuni de timp e egală

cu produsul imaginii funcţiunii prin ..!. (teorema integrării). În adevăr, dacă
p

1 (52.27)

g(t) = ~ f(•) d-r,

o

avem dg = f(t) si g(O) = O. Cu (52.24 rezultă atunci:

d' ,

f [f] = f [:~] = pf [g],

de unde cu relaţia (52.27)

= 1 f[f]. (52.28)
-
p

Integrarea funcţiunii original în timp de la O la t se reprezintă prin împărţirea
imaginii cu variabila complexă p (în analogie cu 34.67').

Teoremele de mai sus arată că transformarea Laplace îndeplineşte condi-
ţiile cerute de a asigura reprezentarea ecuaţiilor integru-diferenţiale ale circui-
telor prin ecuaţii algebrice.

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 357

52.1.5. Alte teoreme privind transformarea Laplace

1. Teorema retardării (a întîrzierii) : Dacă <p (t) e o funcţiune original identic nulă pentru
t <O 1, atunci imaginea funcţiunii retardate (v. fig. 52.3) se obţine din imaginea funcţiunii nere-
tardate f (t), prin înmulţirea cu cu e-P• :

f [rp(t-,;)) = e-pl f [rp(t)), cu tp(t) = O dacă t <O. (52.29)

Y'(t)

,,- -....v(/'ft-TJ

'

t

Fig. 52.3

<În adevăr, deoarece q>(t - ,;) = O pentru t -r ao -r)e -p(l- -r} e- p-r dt =

co ~ <p (t -

f [<p(t- -r)] = \ tp(t- -r)e- P' dt =

o ~~~

co

= e-P• ~ <p (!;) e-P~ dl; = e-P< f [<p(t)J.

1;=0

+2. Teorema deplasării : Dac ă F(p) e o imagine, atunci funcţiunea F(p A) e imaginea

produsului dintre originalul lui F(p) şi e-.1.1

=f [e- 1.' f(t)) = F(p +A) dacă f (f) F(p). ( 52 . 30)

Îo adevăr, co co

f [e-"' f(t)] = ~ e-1.1f(t)e - P' dt =~ f(t)e- (PH)a dt = l!'(p +A),

da c ă oo

co

~ f(t) e-P' dt = F(p).

o

3. Teorema lui Borel ( a produsului, a înfăşurării, a comJolu!iei): Produsul imaginilor F 1(p)
şi F 2(p) a două funcţii f1(t) şi f2(t) e imaginea funcţiunii

f (t) = ~' fl(-r)f,(t- -r) d-r, (5 2.31)

o

1 O astfel de funcţiune de timp se obţine din orice funcţiune f(t) dată în - oo < t < oo

prin înmulţire cu funcţiunea treaptă unitate y(t). (v. rei. 51.1).

358 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

a dică

\ 52 .32)

4. Teorema asemănării: Schimbarea variabilei t cu at corespunde împărţirii variabilei p
şi a întregii imagini cu a :

f lf(at)] = ]:_ F ( _!l_) . (52.33)

a a,

52.2. Determinarea funcţiunii m·iginal
corespunzătoare unei transformate Laplace date

52.2.1. Metode de inversiune. Determinarea funcţiunii original corespun-
zătoare unei tramformate Laplace date se mai numeşte inversiunea transformării
Laplace. Principalele metode de inversiune, în ordinea utilizării lor în aplicaţii,

sînt următoarele :
1. Folosirea tabelelor de transformări. Datorită caracterului biunivoc al

transformării, toate funcţiunile original identice pentru t:;:;:::. Oau aceeaşi imagine

şi, reciproc, toate funcţiunile cu aceeaşi imagine sînt identice pentru t :;:;:::.0.

O primă posibilitate de determinare a funcţiunilor original consistă în folosh-ea
unor tabele de corespondenţe, care conţin imaginile calculate ale unui mare
număr de funcţiuni original (cum e, în particular, tabela 52.1). Folosirea tabe-
lelor se completează cu utilizarea teoremelor prezentate în paragraful 52.1.3.

şi 52.1.4.
2. Teoremele dezvoltării ale lui Heaviside. În cazul cînd funcţiunea imagine

e raportul a două polinoame (în variabila p ), din care numărătorul are un grad

mai mic, se descompune ac~astă imagine în fracţii simple (v. mai jos par. 52.2.2).
3. Formula de inversiune Mellin-Fourier (numită şi formula Riemann-

Mellin). În cazul general, funcţiunea original f(t), cu t ::>O, care are ca imagine
o funcţiune F(p) dată, analitică în semiplanul Re {p} :;:;:::. cr0, este

co+ ico
f(t) = ~2rrJ()
F(p)e P' dp, (52.34)

co- ico

integrarea făcîndu-se de-a lungul dreptei Re {p} = cr0, care lasă la stînga ei ~
toate singularităţile funcţiunii imagine.

52.2.2. Teorema dezvoltării (prima formă). Considerăm cazul în care ima-
ginea e raportul a două polinoame prime între ele, gradul polinomului de la
numitor fiind mai mare decît gradul polinomului de la numărător şi polinomul

1 Pentru denwns traţi e a ee consulta M. I. Kontorovici, lucrarea citată.
2 Pentru demon•traţie şi indicaţii de ntilizare se poate con5ulta M. 1. Kontorovi d ,
luqrarea citată .

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 359

de la numitor avînd n rădăcini (zerouri) simple Pk• evident diferite de cele
ale polinomului de la numărător :

(52.35)

(prin împărţire, raportul a două polinoame oarecare se poate aduce la această
formă după separarea unui termen aditiv : polinon...ul-cît).

În acest caz, funcţiunea imagine se poate descompune într-o sumă de

fracţii raţionale :

F(p) = P1(p) = _s__ + ~ + ···+ _s_.
P~(p) p-pl p-p2 P - pn

Pentru a calcula coeficienţii Ck ai acestei descompuneri, se formează produsul

(p - Pk) ::~~~ şi se calculează limita acestui produs cînd p tinde către Pk• aplj-

cînd regula lui L'Hopital. Se obţine :

Iim [(p - Pk) P1(p)] = P 1(pk) Iim p-p~ = P 1(pk) - 1- = Ck.
Ps(P)
P~Pk p--,.pk P2(p) P2(Pk)

Introducînd aceste valori ale coeficienţilor Ck în descompunerea în fracţii raţio­
nale, rezultă relaţia :

tF(p) = trPI(p~, ) _1'_ = ~~Pk) f. [lk'],
k=l,P~(Pk ) P - P.k k ·~l 2(Pk)

în care am notat:

P~( Pk) = ( dP;)
dp P = Pk

şi am folosit relaţia (52.14), cuC( = Pk• Aplicînd teorema liniarităţii, relaţia (52.23),
se obţine :

sau

(52.36)

Această relaţie se numeşte prima formă a teoremei dezvoltării (a lui Hea-
viside).

52.2.3. Teorema dezvoltării (a. doua formă). Considerăm cazul particular
în care polinomul P 2(p) are o rădăcină nulă şi deci se poate pune sub forma :

Pz(p) = p Pa(p),
in care rădăcinile polinomului P 3 sînt Pk• cu k = 1, 2,... , n - l.

CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

Pentru găsirea funcţiunii original, aplicăm prima formă a teoremei (52.36),
+observînd că P~(p) = pP~(p)
P 3(p); P~(O) = P 3(0) şi P~(pk) = PkP3(pk),
deoarece P 3(pk) = O, cu k < n.

Cu aceste valori relaţia (52.36) devine :

(52.37)

Această relaţie se numeşte a doua formă a teoremei dezvoltării (a lui Heaviside).

52.3. Aplicarea transformării Laplace
la studiul unor regimuri tranzitorii

Din egalitatea celor doi membri ai unei ecuaţii integro-diferenţiale rezultă
egalitatea imaginilor acestor membri. Pentru ecuaţii integro-diferenţiale liniare
şi cu coeficienţi constanţi, această ultimă egalitate, pe baza teoremelor linia-
rităţii, derivării şi integrării, se exprimă sub forma unei relaţii liniare între
imaginile functiunilor care intervin în ecuatia integro-diferentială dată . Ca
urmare, deter~inarea imaginilor funcţiunilor' necunoscute se p~ate face prin
rezolvarea unor ecuaţii algebrice. După afla rea imaginilor funcţiilor necunoscute,
cu ajutorul metodelor expuse în paragraful 52.2 se determină funcţiunile de
timp corespunzătoare acestor imagini; aceste funcţiuni de timp reprezintă
soluţiile căutate, care satisfac atît ecuaţiile integro-diferenţiale cît şi condiţiile
iniţiale date.

Exemple: 1. Se consideră circuitul inductiv din fig. 52.4, a, care pentru t <0 e parcurs de

eurentul continuu 10 = Uo . În momentul t = O se închide întreruptorul care scurt circui·

2R
tează elementele R,L. Ecnaţia acestui circuit pentru t > O este :

R ~. + L".d-i = O.
dt

Aplicăm transformarea Laplace acestei ecuaţii, folosind teorema liniarităţii (52.23) şi a deri-

vării (52.24) :

f[ Ri + L ~] = Rf[i] + L(pf[i) - i(O)) (52.38)

=şi cu i(O) 10 = U0 j2R se obţine ecuaţia operaţională (între imagini) a circuitului :

+(R pL) f[i] = Li (O) = _!:___ U0 •
2R

Din această ecuaţie rezultă imaginea curentului (funcţia necunoscută) ;

L • (52 .39)
-Uo

f[i] = ~ = U0 . - 1-
R -LpT. 2R _ , R

p-

L

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 361

Din tabela de transformări (52.1 poz. 3) şi cu (52.22) rezultă curentul instantaneu :

1 CU't' = L (52.40)

1'(t) =U-0 e- '7 -t

2R R

repr ezentat grafic in figura 52.4, b (de observat continuitatea curentului pentru t = O).

R RL

~i

a.

r =L/R t

b.
Fig. 52.4

<2. Se consideră circuitul capacitiv din figura 52.5, a, al cărui condensator e încărcat cu sar·

dna Q0, pentru t O. În momentul t = O se închide întreruptorul, aplicîndu-se circuitului
tensiunea

u. = U6 e 'tg (52.41)

reprezentată în figura 52.5, b. Ecuaţia circuitului pentru t > O este

1

u= Ri + ~( i dt. + q(cO) (cu q(O) = Q0). (52.42)

c)
o

Aplicăm transformarea Laplace acestei ecuaţii, folosind teorema liniarităţii (52.23) şi a inte•
grării (52.28). Se obţine ecuaţ.ia operaţională (tntre imagini) a circuitului :

in care imaginile termenilor din membrul stîng se pot calcula cu relaţiile, (52.41), (52.12), (52.14)
şi (52.22). Se obţine astfel imaginea curentului (funcţia necunoscută) În care am notat -r = R C

(52.43)

362 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

Folosind teorema liniarităţii (52.23) şi prima formă a teoremei dezvoltării (52.36)- (sau poz. 3.
şi 7 din tabela de transformări 52.1), 8e obţine valoarea instantanee a curentului :

1

[~Uo 1 e <o 1 e--;] - Qo e-:r;; =

i(t) .-.; 't'

R -1 - -1

'o T

(52.44}.

a. b t

~--1- t
R 1_ To

j

T=RC

c.

Fig. 52.5

În figura 52.5,c e reprezentată grafic evoluţia curentului, iar în figura 52.5.b, evoluţia tensiu-
nii Uc = u - Ri de la bornele condensatornlui (de observat discontinuitatea curentului i şi.
continuitatea ten siunii !L e pentru t = 0).

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 363

h2.4. Forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff

În aplicaţii, calculul se sistematizează scriind direct ecuaţiile operaţionale
care exprimă relaţiile dintre imaginile curenţilor şi tensiunilor. În acest scop,
în electrotehnică se utilizează formele operaţionale ale teoremelor lui Kirchhoff.

52.4.1. Forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff. Aplicînd
transformarea Laplace celor doi membri ai primei teoreme a lui Kirchhoff în
valori instantanee (36.5), scrisă pentru un nod (b)

{52A5)

se obţine

f[~ ik] = f[O] = O.

kE(b)

Conform teoremei liniarităţii (52.23) rezultă:

~ f [ik] = o. (52.46)

kE(b)

Aceasta e forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff: suma algebrică

a imaginilor curenţilor care ies dintr-un nod (b) e nulă. Notînd imaginile curenţilor:

f [ik] = Jk(p),

forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff se scrie:

1 ~h(p) =o 1· (52.47)

1 kE(b)

52.4.2. Forma operaţională a celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff.

Aplicînd transformarea Laplace celor doi membri ai celei de-a doua teoreme a

lui Kirchhoff în valori instantanee (36.8), scrisă pentru un ochi (q) :

+ +~ em = ~ (uR uc uL ) (52.48)

mE(q) mE(q) m m m

se obţine cu relaţia (52.33)

+ +~ f [em] = ~ [2[uR ] f[uc] f[uL .J] . (52.49)

mE(q) mE(q) m m '''

Căderile de tensiune se exprimă, în funcţie de curenţi, prin relaţiile :

t L

+ EUR =Rim, UC = _!__ ( imdt

Jm m Cm
=q."(O) • UL = d<I>m Lm di, • (52.50)

o Cm m dt •=1 s dt

Imaginea c~derii de tensiune rezistive rezultă din relaţia (52.22) :

f[uRm] = Rmf[im]• (52.51)

Imaginea căderii de tensiune capacitive rezultă din relaţia (52.22), (52.28)
şi (52.12) :

f [ucmJ = -Pc1-m f[i"'] -1- cqw(O)' (52.52)

Pm

36-1- CIRCUITE ELECTRICE fN REGIM TRANZITORIU

unde qm (O) e valoarea iniţială a sarcinii condensatorului din latura m.

Imaginea căderii de tensiune inductive rezultă din relaţiile (52.23) şi (52.24) :

L _(52.53)

f[u Lm]= p f[<I>m]-<I> m(O) = ~ pLms f[i,]- <I>m(O),

•=1

unde cazul rn = s corespunde inductivităţii proprii Lmm = L m, cazul m =/= s,

L

inductivităţilor mutuale, iar <I>m(O) = ~ Lmsi.(O) e valoarea iniţială a fluxului

•=1

bobinei din latura m.
Observînd analogia formală cu forma complexă a ecuaţiilor din cazul regi·

mului permanent, mărimile:

(52.54)

se numesc impedanţele operaţionale proprii ale elementelor de circuit consi-
(lerate, iar

(52.55)

impedanţa operaţională de cuplaj magnetic (mutuală) dintre bobinele m şi s.
Înlocuind în relaţia (52.49) expresiile operaţionale ale căderilor de tensiune

şi trecînd în membrul stîng termenii determinaţi de condiţiile iniţiale din (52.52)
şi (52.53), se obţine relaţia :

(52.56)

·Cu relaţia (52.55) şi notînd cu
(52.57)

impedanţa operaţională proprie a laturii m se obţine, pentru .forma operaţio­
nală a celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, expresia :

sau

(52.59)

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 36&

Fiecare termen din membrul stîng se numeşte tensiune electromotoare opera-
ţională echivalentă a laturii considerate, se notează :

(52.60}

şi cuprinde, pe lîngă imaginea J{p) U(p} =Rl{p/

Laplace a t.e.m. instantanee Em(P} tU(p[]' fi ZR(p) =1<
şi t.e.m., operaţionale echivalente
condiţiilor iniţiale E mo (p), cores-
punzătoare valorilor iniţiale ale

fluxurilor bobinelor şi sarcinilor

condcnsatoarelor : lly} ~

(52.61) rl___PL '"/M U(p)= p[L l(p)+MI5(p)j-I/J(Oj
ZL(p)=pL
U(p)
ZM(p)=pM
E,,(pl = $(0)
Aceste t.e.m. operaţionale echi-

valente sînt nule în cazul con- 71ll(p)j_ U(p} = ..1_ l(p}+ ~
diţiilor iniţiale "de repaus"
! 5U(p);:hfCc (p)•-(O~' pC pC
<I>m(O)=O, qm(O) =O, ~ Emo(p)=O. p)/
(52.62) o pC Zclp) = .p..C1_

În figura 52.6 sînt repr_ezentate
schemele echivalente operaţionale

ale elementelor ideale pasive de Fig. 52.6

circuit, în care apar şi surse fictive

corespunzătoare t.e.m. operaţionale echivalente conditiilor initiale. Notînd
imaginile curenţilor .f[i,] = I,(p), cu (52.60), forma operaţionaÎă a teoremei

a doua a lui Kirchhoff devine :

L

2: E ,m (p) = 2: 2: Zm,(p)qp) (s = 1,2,... m,.. L) (52.63)

mE(q) mE(q) s=l

şi se enunţă : Pentru orice ochi ( q }, suma algebrică a tensiunilor electromotoare
operaţionale (inclusiv cele echivalente condiţiilor iniţiale) e egală cu suma algebrică
a căderilor de tensiune operaţionale.

Din cele de mai sus se observă că, după introducerea în serie cu fiecare
bobină şi fiecare condensator a surselor fictive cu t.e.m. operaţionale echiva-
lente condiţiilor iniţiale, se realizează o analogie formală completă cu forma
complexă a ecuaţiilor lui Kirchhoff (36.22) de la regimul permanent sinusoidal.
Corespondenţa dintre mărimile şi relaţiile utilizate în cele două metode est e
redată în tabela 52.2

Ca urmare a acestei corespondenţe, metodele şi teoremele cunoscute din

cadrul studiului în complex al circuitelor în regim sinusoidal se pot extinde,

366 CIRCUITE ELECTRICE JN REGIM TRANZITORIU

Tabela 52.2 .

!tlărimea sau rel~ţia Reprezentarea in complex Metoda operaţionall
1 1
Mărimea instantanee
Imaginea i = 1 V2 sin +( wt y) i(t), funcţiune original.

l = Jeh f [i) = I(p) = ~QiO(t)e- pldt

Irnp edanţa ~ =Z(.iw) 0
R
- rezistorului j CJ) L z (p)
- bobinei
•T R
- de cuplaj magneticl:(m =/= s) pL
JW.u ms pLm ,
- condensatorului
-1- -1-

jwC pC

Prima teoremă a lui Kirchhoff :EI.=O :E l(p) =o

A doua teoremă a lui Kirchhoff :EE = :E:EZ[ :EE(p) = :E:EZ(p)l(p)

formal neschimbate, şi la studiul regimurilor tranzitorii cu metoda operaţională :
metoda curenţilor de ochiuri, metoda potenţialelor de noduri, teoremele impe-
danţelor echivalente, teoremele generatoarelor echivalente, teoremele transfi-
gurărilor etc. Singura precauţie deosebită se referă la luarea în considerare a
condiţiilor iniţiale prin tensiunile electromotoare operaţionale echivalente lor.
Dacă însă se studiază reţele în condiţii iniţiale "de repaus" (rei. 52.62), toate
relaţiile liniare stabilite în studiul reţelelor de curent alternativ sinusoidal între
reprezentările în complex ale tensiunilor şi curenţilor rămîn tJalabile între imaginile
Laplace ale tensiunilor şi curenţilor, dacă se înlocuiesc impedanţele complexe prin
impedanţe operaJionale.

52.5. M~toda operaţională de 1·ezolvare
a circuitelor în re~im tranzitoriu

52.5.1. Metoda generală. Ţinînd seama de cele stabilite în paragraful pre-
cedent, metoda de rezolvare operaţională a circuitelor electrice liniare cuprinde
următoarele etape :

a) Se formează schema echivalentă operaţională a circuitului cu sursele
fictive corespunzătoare condiţiilor iniţiale (52.61) şi sursele date. În schemă,
mărimile se notează de obicei cu simbolurile operaţionale.

b) Se aplică forma operaţională (52.47) şi (52.63) a ecuaţiilor lui Kirchhoff,
Qbţinîndu-se ecuaţiile operaţionale ale circuitului şi se rezolvă aceste ecuaţii
în raport cu imaginile funcţiunilor necunoscute.

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 367

c) Se calculează imaginile funcţiunilor de timp date (de obicei tensiunile
electromotoare) cu transformarea directă (52.9), cu teoremele din paragrafele
52.1.3 şi 52.1.4, sau cu tabelele de transformări; se introduc aceste imagini în
expresiile imaginilor funcţiunilor necunoscute, obţinîndu-se astfel, explicit,
ca funcţiuni de variabila p aceste imagini.

d) Se determină funcţiunile de timp necunoscute cu metodele de inver·
siune (par. 52.2.1), căutînd funcţiunile original corespunzătoare imaginilor

determinate la sfîrşitul etapei precedente.

52.5.2. Aplicaţie la scrierea ecuaţii:or operaţkmale pentru o reţea cu anumite condiţii

iniţiale date. Considerăm reţeaua din fi.g. 52.7,a, în care lat < O, întreruptorul K fiind deschis,

se stabileşte un regim permanent sub acţiunea sursei de tensiune electromotoare constantă
e1 "-~ E0• Curentii continui stabiliţi în reţea sînt În acest caz :

I1 = I 2 = 10 = Eo 13 = I, = O. (52.64)
t <O
+E1 R 2,

P r esupunînd că pentnL t < O condensato· o

rul C era încărcat (in circuit deschis) cu

sarcina Q0 şi că în momentul t = O se închide

i: ntreruptorul K (fig. 52.7, b), se cere să se

~ cri e ecuaţiile operaţionale necesare deter-
minării imaginilor J1(p), I 2(p), I 3(p), It(p),
ale tuturor curenţilor din reţea. Conform
re1 a t iei(52 . 61)şi a condiţiilor iniţiale arătate,
în schema echivalentă operaţională apar
următoarele t.e.m. operaţionale echivalente

acestor condiţii iniţiale

+E 23 (p) = !1>2(0) = L2i2(0) L23i 3(0) = L2I0
+Eao(P) = !1>3 (0) = L3i 3(0) L 32i2(0) =

= La2 To = La al~

• = - -q.(-o) = - Q0 /pC4• (52.65)

E4o(P) pC4

Deoarece imaginea sursei date din latura 1. t >0
este (cu relaţia 52.12):

(52 .66)

se obţine schema operaţională ?in · fi~u­
ra 52.7, c, cu ecuaţiile de mai Jos scrise

pentru nodul (1), respectiv pentrn ochiu ·
riie (1), (2), (3):

l1(p) - Ia(P) - J4(p) = O

+ -Eo Qo 1 J~(P)

- - - - = R1I1(p)
"P pC4 pC4

Qo l
L2Io + - = - -It(P) -1-

pCt pCt

+ (R2 + PI2)l2(p) + pLa313 (p) (52.67)

+ +L 2310 = (R3 pL3)I3(p) pL23 I 2(p).

36 \ CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

Dacă se rezolvă aceste ecuaţii în raport cu I 1(p), I 2(p), I 3(p), I 4(p), se pot deduce valorile instan-
tanee ale curenţilor :

(52.68)
cu teorema dezvoltării.

52.5.3. Aplicaţie la utilizarea formei operaţionale a teoremei generatorului echivalent
(Thevenin.) Considerăm un transformator, cu dispersiune magnetică neglijabilă (L12 = VL1L:)

t c.

b.

Fig. 52.8

şi cu rezistenţe neglijabile ale înfăşurărilor (fig. 52.8, a), alimentat la bornele de intrare 1, 1' cu
un generator de rezistenţă interioară R1, care produce impulsii dreptunghiulare de tensiune de
forma (fig. 52.8, b):

e1 = lo~[y(t)-y(t-T)] = E0 T8y(t). (52.69)

Se cere tensiunea de ieşire 112 = R2i 2 la bornele rezistenţei de sarcină R2•
În baza analogiei prezentate în paragraful 52.4.3 se poate aplica în acest caz teorema genera-
torului de tensiune echivalent sub forma

(52. 70)

în care U2lp) e imaginea Laplace a tensiunii secundare de mers în gol, iar Z22 ~(p) e impedanţa
operaţională echivalentă a reţelei (cu bornele 2, 2') pasivizate. D eoarece În complex am avea
(v. şi calculul analog pentru rei. 38.21)

rezultă (52.71 )

Cu relaţia (52.70) se obţine (ţinînd seama că Li~ = L 1L 2)

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 369
unde am notat (52.73)
(52.74)
Imaginea tensiunii electromotoare (52.69) este (v. rei. 52.17): (52.7;))
E 1 (jJ) = -E;;, (l - e- pT)
p

şi imaginea expiicitii a tensiunii de ieşire rezu..ltă :

Cu teorema liniarităţii (52.23), a retardării (52.29) şi cu (52.14) rezu!t:l flmcţia original
zentată în fig . 52.8, c) :

(5:l .76)

52.5.4. Studiul regimului tranzitGriu prin separarea CClmpunentei de regim per-
manent. În numeroase probleme regimul permanent se poate determina fără dificultăţi cu
metodele cunoscute şi e preferabil să se utilizeze calculul operaţional numai pentru studiul regi-

mulci liber, cu condiţiile iniţiale corespunzătoare acestui regim. Ecuaţiile operaţionale al~ :·e-

~:~g] T~2Jr/4J

a. \

\
,.."

l,lp)

...-

P. pL

Eto{ p)=Lil (O)

iJO) =-ip(D)=EV2~ L/R c.
R +U1 L
Fig. 52.9
b.

gimului liber sînt ecuaţiile obţinute prin anularea imaginilor t.e.m. ale generatoarelor şi prin
introducerea t.e.m. operaţionale echivalente condiţiilor iniţiale pentru componentele de regim
liber ale curenţilor.

Studiem, ca exemplu, un circuit R, L (fig. 52.9. a), căruia în momentul t =Oi se arJlică
tensiunea sinusoidală

e = E Jf2 sinwt (S2.77)

24-- 1hCI<

370 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

înainte de aplicarea tensiunii circuitul fiind în repaus : i(O) = O. Deoarece, în ·general

i(t) = ip(t} + it(t), unde

+i (t)-E (52.78)
V2sin(rot-q>) cu
P - YR2 L2 ro2

e cu.rentul de regim permanent, rezultă pentru curentul de regim liber valn n.rea iniţială ;

' Y +:~init (O) = i (0}- i1 {O) = - ip (O} =
E 1(2 qJ. (52 . 79)

R2 L2w~

Schema operaţională echivalentă pentru curentul de regim liber e reprezentată în figura 52.9,b
şi e obţinută din schema iniţială a circuitului, pasivizînd-o şi introducînd apoi o sursă fictivă
cu t.e.m. operaţională echivalentă Et0(p) = Lit (O) corespunzătoare condiţiei iniţiale (52.79).
Rezultă imaginea curentului de regim liber:

=It (p) = Et0 (p) Y2E 1 (52.80)
+R 2 L2 w2 sin <p - - = L [iz].
YR + pL P +L-

R

Cu relaţia (52.14) se obţine valoarea instantanee a acestui curent

E+Y2i1 (t) = VR~ - r 1;

sin <p e îi (52.81)
L2 w2

Curentul instantaneu total are deci expresia:

+ Y2 [ + - ş;J1'(, ) = .., (,) 1.[ (, ) = ~v~=E=~::::;; sin ( (J)I- q~) sin q> e (52.82)

+R2 L2 w2

şi e reprezentat în figura 52.9, c. De subliniat că, în regim tranzitoriu, curba curentului nu esime-
trică faţă de axa absciselor din cauza componentei aperiodice de regim liber.

O b s e r va f i e: Dacă s-ar fi aplicat metoda operaţională ecuaţiei care determină curen.tul
total, s-ar fi ajuns la acelaşi rezultat cu un calcul mai lung, din cauza formei mai complicate pe

care ar fi avut-o imaginea curentului total, ca urmare a expresiei mai complicate a imaginii t.e.m.

sinusoidale a sursei.

LINII ELECTRICE LUNGI

53.1! LINII LUNGI ÎN REGIM TRANZITORIU

Am studiat pînă acum circuite electrice filiforme, cu parametri concentraţi
(v. par. 31.3), adică acele circuite care admit scheme echivalente, constituite
din elemente ideale de circuit (r. L, C) strict localizate. Din punctul de vedere
al ecuaţiilor cîmpului electromagnetic, acest mod de prezentare reprezintă o
aproximaţie cu atît mai bună, cu cît viteza de variaţie a stărilor (şi deci frec·
venţa) e mai mică şi cu cît dielectricul care mărgineşte conductoarele e mai
bun izolant.

În adevăr, aproximaţia parametrilor concentraţi caracterizează în primul rînd regimul
cuasistaţionar (v. cap. 31), adică regimul în care nu se ia în considerare curentul de deplasare
(v. par. 31. 1), decît în diclectricul condensatoarelor. Ca urmare, valoarea intensităţii curentului
electric de conducţie se conservă în lungul unui conductor neramificat şi perfect izolat (teorema
·continuităţii)- ceea ce corespunde neglijării vitezei de variaţie a sarcinii electrice q, localizate
pe suprafaţa eonductorului, şi deci a intensităţi i curentului de deplasare printr-o suprafaţă
ce înconjoară conductorul

În al doilea rînd, aproximaţia parametrilor concentraţi e asociată neglijării pierderilor
<le curent d e conducţie prin mediul dielectric- niciodată perfect izolant- care înconjoară
conductorul. În limitele acestor aproximaţ.ii, în cazul unei linii cu două conductoare paralele
<fig. 53 .1), curentul are acelaşi sens şi aceeaşi intensitate i prin toate secţiunile transversale ale
fiecăruia dintre conductoare. Ca urmare, tensiunea electrică În lungul fiecăruia dintre conductoare
1l proporţională cu acest curent, ceea ce permite definirea unei rezistenţe echivalente, concentrate,
a celor două conductoare. De asemenea, cîmpul magnetic H e în fiecare punct proporţional cu
intensitatea i a curentului; ca urmare, şi fluxul magnetic prin suprafaţa sprijinită pe conduc•
toare e proporţional cu acest curent, ceea ce permite definirea unei inductivităţi echivalente,
eoncentrate, a întregii linii. De aceea am studiat în paragraful 35.6 linia de curent alternativ
ru schema echivalentă din figura 35.14, b.

În numeroase aplicaţii întîlnite în tehnică, aproximaţia parametrilor con-
cen trati nu e însă valabilă.

Î~ electroenergetică, respectiv în telecomunicaţiile pe fire, transmisiunea
la distanţe mari a energiei electromagnetice, respectiv a semnalelor electromag·
netice, se face cu ajutorul unor sisteme de conductoare filiforme paralele, cu
lungimea foarte mare faţă de distanţa dintre ele, numite linii electrice lungi.

372 LIN II ELECTRI CE LUNGI

În cele ce urmează vom considera astfel de linii bifilare (cu două conductoare)
şi omogene (cu proprietăţi de material şi configuraţie geometrică invariabile în
lungul lor). La frecvenţe nu prea joase şi la lungimi suficient de mari, curentul

Fig. 53.1

de deplasare şi curentul de pierderi prin dielectric, care, în condiţii în rest egale,
sînt proporţionali cu suprafaţa conductoarelor şi deci cu lungimea liniei, nu
mai pot fi neglijaţi. Ca urmare, curentul de conducţie nu mai are aceeaşi inten-
sitate în lungul fiecăruia din tre conductoare.

Teorema continuităţii nu se mai poate utiliza acum sub forma (31.10).
inlocuind în legea IX a conservării sarcinii (v. par. 31.1) valoarea sarcinii în
funcţiune de fluxul electric (legea II), se observă că, în cazul general, se anulează
fluxul prin suprafeţe închise al vectorului

Jt= J+ _aant ,

adică

~~ Jt dA= ~~ ( J + :~ ) dA = O.

L: l:

Vectorul J1 , numit densitatea curentului total, e egal cu suma dintre densitatea

curentu1u1. al.e cona1uctl•C J s1. d ens1. tatea curentu lUl. de dep.lasare C-.D •
', Ot

Teorema continuităţii rămîne deci valabilă numai pentru curentul t otal
şi numai liniile vectorului ] 1 trebuie să fie linii (practic)! închise . În figura 53.2

1 Condiţia de anulare a fluxului printr-o suprafaţă închisă (şi deci a divergenţei) nu impune,
de fapt, închiderea propriu-zisă a liniilor de cîmp, ci numai faptul că . urmărind suficient de mult
o linie de cîmp, fără puncte la înfinit., se ajunge oricît de aproape de punctul de la ca.re s-a

plecat-

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 373

sînt schiţate liniile de cîmp ale vectorilor J t• E, H la propagarea unei unde armo-

nice pe o linie electrică lungă. Se observă că, în acest caz, liniile de curent (total)

se închid prin dielectricul de conductivitate cr şi permitivitate e, în care densi-

Fig. 53.2

tatea curentului de pierderi cr E şi a curentului de deplasare oD = e -ooEt nu se
ot
mai neglijează. Datorită acestui fapt, curentul are diferite valori în lungul

liniei şi poate să-şi schimbe eventual sensul.

.'} 3.]. Parametrii· primari ai liniilor electrice !ungi (pn.nnnetl'ii lineici)

Deoarece studiul fenomenelor care au loc pe liniile lungi nu se mai poate
face în regim cvasistaţionar, ar trebui să se apeleze la ecuaţiile lui Maxwell
pentru cîmpul electromagnetic (v. cap. 29, voi. I). Studiul mai complicat, dar
exact, efectuat pe această cale arată că aceste fenomene reprezintă una dintre
modalităţile de propagare ale !tndelor electromagnetice ghidate.

Dacă frecvenţa nu c prea mare, se poate adopta însă următorul punct de
vedere intermediar: se ţine seama de curentul de deplasare transversal, care
se închide între conductoare, ca şi de curentul de pierderi transversal prin izo-
laţie; se neglijează însă componentele longitudinale ale acestor curenţi, şi deci
contribuţia acestor componente longitudi.'lale la producerea cîmpului magnetic.
În aceste condiţii, în fiecare plan transversal al liniei se păstrează relaţiile din
regimul cvasistaţionar, între mărimile localizate în acest plan.

De exemplu, cîmpul magnetic, ale cărui linii închise sînt conţ inute în plane transver:;alc,
e proporţional cu curentul i din conductor, din dreptul acestor linii de cîmp, deoarece se ncgJi ..
jează componenta longitudinală a curenţilor din dielectric, care ar putea să contribuie la circu-
laţia cîmpului magnetic în lungul unei linii de cîmp; de aceea şi fluxul magnetic C.<P, printr-o
suprafaţă C.S, sprijinită de conductoare şi corespunzătoare unei porţiuni de lungime foarte
mică ~x a liniei, e proporţional cu intensitatea curentului din condllctoare, din dreptul ace;tci

374 LI NI 1 ELECTRICE LUNGI

porţiuni, ceea ce permite definirea unei inductivităţi D.L = Â<I> a acelei porţiuni. În mod ana·
i
log se poate defini o capacitate D.C între porţiunile corespunzătoare ale celor două conduc-
toare, o conductanţă D.G a izolaţiei die!ectricului dintre ele ~i o rezistenţă D.R a IJr.

Acest mod de tratare permite să se evite rezolvarea problemelor liniilor electrice lungi

din punctul de vedere al teoriei undelor electromagnetice (ceea ce ar complica foarte mult calcu·
lele) şi permite să se explice proprietăţile acestor liuii- cu o aproximaţie suficientă în prac-
tică -din punctul de vedere al teoriei circuitelor electrice, mai familiar inginerului e.icctrician.
Întreaga linie apare astfel echivalentă unei succesiur>i de cuadripoli cu parametri concentraţi,
şi aproximaţia e cu atît mai bună, cu cît porţiunile D.x considerate sînt mai mici. De aceea se
consideră porţiunile elementare, de lungime dx infinit mică, iar întreaga linie se prezintă ca un
circuit electric cu parametri repartizaţi, Cal acterizabil local prin parametrii locali, raportaţi

la unitatea de lungime a liniei, numiţi paran etri lineici sau parametri primari.

Considerăm o linie bifilară (fig. 53.3), de lungime l, şi notăm cu l,l' bornele
de intrare (dinspre generator) şi cu 2,2' bornele de ieşire (dinspre receptor).
Notăm cu x distanţa elementului curent de lungime dx al liniei de la bornele de
intrare (şi cu x' = l - x distanţa de la bornele de ieşire). Se definesc următorii

parametri lineici :
Rezistenţa lineică :

(2Rl = lim 6"1) =Iim ~R [~]. (53.1}

ax-.0 iD.x L\%-->0 D.x

Aici, !:!.u1 e căderea de tensiune din lungul uneia dintre porţiunile de conductor,
pe lungimea l:!.x, i e curentul din conductor din dreptul acelei porţiuni, iar l:!.R
e rezistenţa electrică a ambelor conductoare pe porţiunea l:!.x. Cu ajutorul

rezistenţei lineice, căderea de tensiune elementară din lungul unui singur con-
ductor pe porţiunea dx se exprimă prin relaţia :

dUj = -R1 •] (53.1')
2
L {.X.

1 11

7· ~--~~--~·~,--~-dx -~·~--~x'---
Fig. 53.3

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 375

Inductivitatea lineică :

L1 = 11. m (-6.<1-> ) = lim !-:!,.L . [:] (53.2}
.1:~: --;. 0
.1:~:-, 0 1!:!,. x !:!,.x

Aici, /). <1> e fluxul magnetic prin suprafaţa sprij inită pc cele două conductoare

de lungime /).x, iar /).L e inductivitatea proprie corespunzătoare acestei porţiuni

a liniei. Cu ajutorul inductivităţii lineice, fluxul elementar prin suprafaţa Sr

rmărginită de curba ::= ABB'A'A, corespunzătoare elementului dx, se exprimă

prin relaţia

d<Pr = L 1 i dx. (53.2')

Capacitatea lineică :

(u;JCI = l~~o = !~~ ~~ . [ ~Fj, (53. 3)

Aici, /).q e sarcina electrică, loc alizată pe suprafaţa unuia dintre conductoare
pe porţiunea /).x, u e tensiunea dintre acest conductor şi cel ălalt în dreptul
acestei porţiuni, ~ar !).C e capacitatea între cele douil_ conductoare pe porţiu·
nea /).x. Cu ajutorul capacităţii lineice , sarcina elementară din interiorul unei
suprafeţe închise 1:, care înbracă o porţiune elementară dx a primului conductor,
se exprimă prin rela ţia :

(53.3'}

JConductanţa lineică de izolaţie (sau perditanţa) :

G1 = 1I.m (-!:!,.-ig ) = lI' m -6G {53.4)
.1:~:~ o u!:!,.x .1:~:-~ o !:!,.x

Aici, !). i~t e curentul de conducţie, care se închide prin izolantul imperfect dintre
cele două porţiuni de conductoare pe 1ungimea /).x, iar !).G e conductanţa cores-
punzătoare acestei porţiuni din izolaţia liniei. Cu ajutorul conductanţei lineice
de izolaţie, curentul de pierdere elementar, care trece de la un conductor la
celălalt, pe lungimea elementară dx, se exprimă prin relaţia :

(5 3.4')

Observ aţi e: a) Dacă parametrii lineici R t , Lt, Ct , Gt nu depind de distanţa x
linia se numeşte omogenă.

b) La frecvenţe suficient de joase, para rnetrii !ineici se pot calcula ca în regim staţionar,
deoarece repartiţia curentului pe secţiunea co nductorului ~i repartiţia sarcinii pc suprafaţa eon·
ductorului sînt practic neschimbate faţă de rellimul staţionar. iar dielectricul are numai pierderi
prin condncţie. La frecvenţe mai înalte, re pa rtiţia curentului se modifică (v. efectul pelicular,
cap. 55), iar dielectricul are şi pierderi prin ist erezis (v. par. 49.5 ). Ca urmare, în acest caz, para·
metrii lin.eici Rt, Lt, Gt, Ct sînt, de fapt, parametri echiva lenţ i, care d epind de frecvenţă.

c ) [n cazul unui dielectric omogen, de permitivitate e: şi permeanilitate f.l, cu pierderi mici,
şi ne,g;lijînd inductivitatca interioară a conducto arelor liniei, se pot utiliza următoarele expresii,
stabilite în regim staţionar .

376 -------------------------L-IN-I-I--E-L-E-C-T-R-I-C-E--L-U-N-G-I--------------------------

- Pentru linia bifilară cu conductoare foarte subţiri, de rază a, situate la distanţa D j;l> : a

C, = ~ = eo ErTC [f] (53.5 )

D D

In- In-
aa

v. par. 9.1, vol. 1), cu e:0 = (l/36it) 10"') F /m şi e:, ~ 1 (în aer);

Lt = -IL In -D = ILo -!Lr ln D- [:] (53.6)
7t a 1t' a

(v. par. 27.6.1, voi. 1), cu !Lo = 4rr.I0-7 H /m şi !Lr ~ l.
-Pentru linia coa.xială (cablul coaxial), constituită din două conductoare concentrice,

de raze a şi b > a :

C e:21t Er2rr (.53.7 )
1 = --b- = e:o - -b- [f]

ln- ln-
a a

v. par. 7.4.1, voi. 1)

Lt = -I.L 1n -b = ILo -P.r 1n -b (53.8)
2rr t1 2rr a

53.2. Ecuaţiile tcleg~·afiştilor

Din cele expuse mai înainte rezultă ca, m secţiunea curentă a liniei, atît
curentul cît si tensiunea sînt functiune de cele două variabile x si t, deoarece
ele variază r{u numai în timp, ci 'şi în lungul liniei. Astfel, în s~cţiunea AD
(la distanţa x ele bornele de intrare),

i = i(x, t) şi u = u(x, t), (53.9)

+iar în secţiunea BC (la distanţa x clx de bornele de intrare)

+ +i(x clx, t) = i(x, t) oi(x, t) dx
ox
şi
(53.10)
l·+ +u(x dx, t) = u( x, t) -ou-(xd, t) x.
ox

Funcţiunile u( x t) şi i( x, t) satisfac un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale,
numite ecuaţiile telegrafi;;tilor, deoarece au fost stabilite pentru prima dată 1,
pentru a explica funcţionarea cablurilor telegrafice.

53 .2.1. Ecu~ţiile de 1nim odln. Pentru a găsi aceste ecuaţii, vom aplica

întîi legea inducţiei electrom!lgnetice conturului r = ABCDA, şi apoi legea

1 De către W. Thomson (ullel'Îor lord Kelvin) În 1855, fări a considera şi inductivitatca
lineică (neglijabilă la cabluri, în prim:! aproximaţ.ie) şi de către G. Kirchhoff în 1857, ţinînd
~<> am n ~i de acea stă inductivit a!e.

LINI I LUNG I IN REG IM TRANZ ITORIU 377

r<:onservării sarcinii suprafeţei ~. Conturul fiind imobil, legea inducţiei electro-

magnetice se scrie :

Aici

B C D .-\

~ Eds = ~ Eds + ~ Eds + ~ Eds + ~ Eds = +du1

P A BCD

Înlocuind această expresie în legea inducţiei electromagnetice cu relaţiile
{53.1') şi (53.2') şi, după simplificări, rezultă ecuaţia:

(53.11)

care se poate interpreta spunînd că : scăderea tensiunii pe unitatea de lungime
a liniei e egală cu suma dintre căderea de tensiune în rezistenţa ambelor con-
ductoare şi căderea de tensiune inductivă, ambele luate pe unit atea de lungime.

Suprafaţa .I; fiind imobilă, legea de conservare a sarcinii electrice se scrie :

f~~ JdA = - (dqd.

"
Aici elementul de arie e orientat spre exterior, iar

+ + +~) JdA = ( - i) (t ~ dx) dig,

:!:

termenii din paranteză fiind în ordine : curentul care intră în suprafaţa 2.:;
prin punctul A (şi care, în consecinţă, trebuie luat cu semn schimbat în calcu-
lul curentului care iese prin suprafaţa L;), curentul care iese din suprafaţa L;
prin punctul B şi curentul de pierdere prin izolaţie între porţiunea AB şi por·
ţiunea CD de conductor.

Prin înlocuirea expresiei de mai sus în legea de conservare a sarcinii electrice
cu relaţiile (53.3') şi (53.4'), şi după simplificări rezultă ecuaţia :

(53 .12)

care se poate interpreta, spunînd că : scăderea de curent pe unitatea de lungime
a liniei e egală cu suma dintre curentul de pierdere prin izolaţie şi curentul
de încărcare cu sarcinii a conductoarelor, ambele luate pe unitatea de lungime.
Ecuaţiile (53.11) şi (53.12) se numesc ecuaţiile de primul ordin ale telegrafiştilor

378 LINII ELECTRICE LUNGI

şi constituie un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale simultane. Interpretările

date mai sus acestor ecuaţii permit să se stabilească pentru fiecare tronson

elementar, de lungime dx al unei linii, schema echivalentă din figura 53.4,

la utilizarea căreia toti infinitii mici de ordin supe-

A Red1< Ledx 8 rior sînt neglijabili. ' '

o--c=H~ 53.2 .2. Ecuaţiile de al doilea oulin. Între ecua-

ţiile (53.11) şi (53.12) se pot elimina oricare dintre

funcţiunile necunoscute. Pentru a elimina pe i, se

derivează relaţia (53.11) în raport cu x şi se obţine

relaţia:

oc

Fig. 53.4

(în care pentru ultimul termen s-a inversat ordinea de derivare); se înlocuieşte

apoi în această expresie~ din relaţia (53.12). Se obţine astfel ecuaţia cu deri-

vate parţiale a tensiunii :

(53.13)

În mod asemănător, eliminînd pe u, se obţine ecuaţia cu derivate parţiale a
curentului :

(53.14)

Curentul şi tensiunea satisfac deci ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de
aceeaşi formă, care se numesc ecuaţiile de crdinul al doilea ale telegra.fiştilor.
Cele două ecuaţii (53.13) ţ:i (53.14) nu pot fi rezolvate independent una de
alta, deoarece soluţiile lor sînt legate prin ecuaţiile (53.11) şi (53.12). Aceste
soluţii i(x, t) şi u(x, t) mai depind şi de condiţiile iniţiale şi la limită (la capă­

tul liniei).

Integrarea acestor ecuaţii în regim tranzitoriu e, în general, complicată
şi se face cu metode operaţionale. În acest curs se va efectua (par. 53.3) numai
în cazul cel mai simplu al liniei fără pierderi.

Dacă, pentru a indica secţiunea curentă, se utilizează distanţa x' = l - x, măsurată de
la bornele de ieşire ale liniei, ecuaţiile de primul ordin iau forma :

ou RL.'+ Ll oo-ti t oo-ix' = Gzu + Cz o-out• (53.15)
o- x' =

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 379

iar ecuaţiile de ordinul al doilea iau forma :

(53.1 6)

în care funcţiunile necunoscute sînt u(x',t) şi i(x', t).

53.2.3. Bilanţul instantaneu al puterilor pe linie. Înmulţind relaţia (53.11)
cu i şi ecuaţia (53.12) cu u şi adunîndu-ie, se obţine relaţia :

+- o(ui) = R ti2 Glu2+ ~{LI~+ CI~\)· (53.17)
ax ot 2
2

Observînd că puterea transmisă printr-o secţiune a liniei este

p = ui [v;'] (53.18)
[J /m] (53.19)
şi că energia electromagnetică lineică este
(53.20)
.:_+·2 u2 • AW
C1 = hm- •
Wt = L 1 2 -
Ax~O Ax
2

relaţia (53.17) se scrie

+ +- aa-px = -awo-tl R,1.2 GtUz.

Scăderea spţcifică a puterii transmise in lungul liniei e egală cu suma dintre
viteza de variaţie a energiei electromagnetice lineice şi puterea specifică de
pierderi pe linie, prin efect Joule-Lcnz (şi eventual prin isterezis), în conductoare
şi în izolaţie. Linia nu are pierderi numai dacă

R 1 = O şi G1 = O. (5 3.21 )

53.3. Integrarea ecuaţiilor tclegrafiştilor în regim tranzitoriu
pentru liniile fără pierderi

În regim tranzitoriu, 1·ezolvarea ecuaţiilor telegrafi~tilor pentru o linie

oarecare e relativ complicată şi se poate face cu ajutorul integralci Fourier
(v. cap. 50) sau al transformării Laplace (v. cap. 52). În cele ce urmea ză ne vom

limita la linia fără pierderi 1, pentru care ecuaţiile telcgrafiştilor au forma:

- -aaux = L zao-it ; (53.22)

1 La frecvenţ e suficient de înalte, această prezentare e adesea suficientă şi pentru linii
reale, cu pierderi. deoarece termenii cu derivate în raport cu timpul sînt proporţionali cu frec-

venta ~i foarte mari faţă de termenii în care apar Rt şi Gt (v. rei. 53.11 şi 53.12).

330 LINII ELECTRICE LUNGI

respectiv

(53.23)

53.3.1. Ecuaţiile liniilor fără pierderi. Fiecare dintre ecuaţiile (53.23)

este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, de tip hiperbolic, nu-

mită ecuaţia undelor, pe care am mai întîlnit-o în studiul undei electromagne-

tice plane (v. par. 29.3, vol. I). Urmînd un raţionament analog celui făcut cu
ocazia acestui studiu, se găseşte că cea mai generală soluţie a ecuaţiei (53.23)
consistă în suprapunerea unei unde directe cu o undă inversă. În cazul ecuaţici
tensiunii, de exemplu, cea mai generală solulie este

(53.24)

cu viteza de propagare

(53.25)

Aici, primul termen, ud (x - v0t) e o undă elementară directă de tensiune, adică
o undă care se propagă fără atenuare şi fără distorsiune în sensul x-lor pozitivi,

+ +cu viteza v0 : valorile unei astfel de unde, în momentul t şi din diferite puncte x,

se regăsesc în momentul t b.t în punctele x b.x, cu b.x = v0 b.t, acelaşi
pentru toate punctele x (v. fig. 53.5,a). De aceea, pentru un observator mobil,
eare s-ar deplasa în sensul x-ilor pozitivi, cu viteza v0, unda directă va apărea

+ca o repartiţie spaţială invariabilă. Al doilea termen, ui (x v0t), e o undii

elem entară inversă de tensiune, adică o undă care se propagă fără atenuare şi
fără distorsiunc în sensul x-ilor negativi, cu aceeaşi viteză v0 : valorile unei astfel

+de unde, în momentul t şi din diferite puncte x, se regăsesc in momentul t b.t

în punctele x - b.x, cu b.x = v0b.t, acelaşi pentru toate punctele x (v.fig.

! 53.5,b.). De aceea, pentru un observator
ua mobil, care s-ar deplasa în sensul x-ilor
j negativi, cu viteza v0, unda inversă va

apărea ca o repartiţie spaţială invariabilă.

1'-.L....f----+--1-_,._--L-+-...--r~--- Din punctul de vedere al ecuaţiei un-

x +delor, funcţiunile uJ(x - v0t) şi ui(x v0t)

sînt arbitrare. Ele se determină prin con-

diţiile concrete în care funcţionează linia,

(J şi anume prin condiţiile iniţiale şi cele de

\u la capetele liniei. La utilizarea acestor din
1'
urmă condiţii, trebuie subliniat că din
l
proprietăţile undelor elementare rezultă
următoarele reguli: Intr-un moment oare-

care t > O şi într-un punct oarecare x al

liniei poate exista unda directă numai dacă

într-un moment t - b.t (anterior lui t) a

Fig. 53.5 existat această undă în punctul x - v06.t,
situat la stînga lui x; şi poate exista unda

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 33 1

+inversă numai dacă într-un moment t - I:J.t (anterior lui t) a existat această

undă în punctul x v0~t, situat la dreapta lui x.
Dacă tensiunea e determinată, curentul i trebuie determinat din ecuaţiile

(53.22) (şi nu din ecuaţia respectivă a undelor, care ar furniza soluţii prea gene·
rale, independente de acelea ale ecuaţiei tensiunii). Cu relaţia (53.24) şi prima
ecuaţie (53.22) rezultă :

(53.26)

deoarece

şi (53.27}

Observînd că o-;u;,;= (53 .28)
ecuaţia (53.26) devine :

de unde, prin integrare,

+i 1 f (x,, {53.29)
= - -. (uJ- u;)
·oLt

unde f (x) e o funcţiune arbitrară de x. Înlocuind această expresie 1A n a u' oua

ecuaţie (53.22), se obţine :

şi cu relaţia (53 .25), f i = o, au,1.ca' f = const. (53.30)
(53.31)
Mărimea VL/c oZo

~'~i'~ = Vo 1= Cl >
=, voLt

se numeşte i mp edanţă caractaiMică a liniei fără picrdai. Cu relaţiile (53.29),
(53.30) şi (53.31), expresia curentului se scrie:

(53.32)

Aici , unda elementa ră directă de curent est e

=~•d UJ (x- v0t) = •( v0t), (53.33)

Zo lJ X -

312 LINII ELECTRICE LUNGI

Iar unda elementară inversă de curent este

+ +~•i = - u; (x v0t) = 1•; ( X v0t) • (53.34)
Zo

fConstanta e o componentă continuă arbitrară a curentului, aceeaşi în toate

punctele liniei, determinabilă prin condiţiile iniţiale şi independentă de tensiune.

Ecuaţiile (53.24) şi (53.32) se numesc ecuaţiile liniilor fără pierderi şi reprezintă
solutiile ecuatiilor telegrafistilor în regim tranzitoriu. Deoarece o constantă
poate fi totde~una consider~tă fie ca undă directă, fie ca undă inversă, rezultă
că scoţînd un termen constant din UrJ (de exemplu), ecuaţiile liniilor fără pier·

deri pot .fi scrise sub forma simetrică :

+ + +u(x, t) = urJ(x - v0t) u ;(x v0t) U0

+ +i (53.35)
(x, t) =...!.. ud (x- v0t) - .. . !.. (x v0t) 10
Zo U;
Zo

în care constantele U0 şi I 0 trebuie determinate prin condiţiile iniţiale (şi sînt
independente între ele, din punctul de vedere al ecuaţiilor telegrafiştilor), iar
funcţiunile ud şi u; trebuie determinate prin condiţiile iniţiale şi cele de la
capetele liniei.

Observ aţi i: a) În limitele de valabilitate ale formulelor (53.5), (53.6), (53. 7), (53.8)
pentru parametrii lineici ai liniei bifilare, respectiv coaxiale, se obţine, pentru viteza de propagare

pe aceste linii (presupu~e fără pierderi) expr esia :

v0 = 1 = -V1p-.s: = c, (53.36)

-VL-I G-I

egală cu a vitezei de propagare a undelor electromagnetice în dielectrici omogeni nelimitaţi

(v. re!. 29.21, vol. 1.).
D acă se iau însă în considerare sporul de inductivitate dat de cîmpul magnetic din iute•

riorul conductoarelor şi alte efecte, se constată că prezenţa conductoarelor reduce puţin viteza
<le propagJirC a undelor ghidate pe linie, faţă de aceea a undelor din medii omogene nelimitate.

b) In aceleaşi limite se obţin următoarele expresii pentru impedanţele caracteristice :
-- Pentru linia bifilară fără pierderi :

DD
=V V.!:_ _a_Zo LI = - In - = ~In_a_,
Ct e: rr rr (53.37)

unde <;; e impedanţa de undă a dielectricului (v. rei. 29.26, voi. I). Pentru liniile aeriene obişnuite
se obţin valori între 300 şi 6000.

- Pentru linia coaxială (cablul coaxial):

bb
=V.!:_ _a_ =Zo = v-~
- In - ~-Jna--. (53.37')
Ct e: 2rr 2rr

bD
Deoarece- ~ - impedanţa caracteriştică a cahlelor coaxiale e de ordinul a 30.••750.

aa

LINII LUNGI tN REGIM TRANZITORIU 333

53.3.2. Puterile transmise de undele elementare. Puterea instantanee directă.
transmisă de unda directă în sensul x-lor pozitivi, este

z > .2 0
Pd = • = ZVd = ol•J9 (53.38)
UJtd o

Energia electromagnetică lineică instantanee a undei directe este, cu rela"ţiile
(53.31) şi (53.33),

(53.39)

şi se observă că e în mod egal împărţită între cîmpul electric şi cîmpul magne·
tic. Comparînd relaţiile (53.36) şi (53.37), rezultă, cu relaţia (53.25) :

(53.40)

Aceleaşi relaţii se obţin pentru unda inversă, dacă se calculează puterea in-
versă, transmisă în sensul x-lor negativi ,

2 (53.41)

= - =z > ·Pi U;t•; = u; Zo1";2 = t'oW1· O
o'

In fiecare dintre undele elementare, puterea transmisă e egală eu produsul

dintre viteza de propagare şi energia acumulată pe unitatea de lungime a

liniei.

53.3.3. Aplicaţie : Se consideră o linie lungă fără pierderi, de impedanţă caracteristică
Z0 şi viteză de propag,are v0 , avînd conectată o sarcină rezistivă, de rezistenţă R la bornele
secundare (fig. 53.6). In momentul t = O ajunge la aceste borne o undă directă de tensiune,

cu front dreptunghiular.

UJ= U. (53.42)

Se cere repartiţia tensiunii şi a curentului într-un moment t > O, ştiind că linia are bornele

primare suficient de depărtate de bornele secundare.
=In
O şi
·continue
acest caz, în ecuaţiile (53.35) avem U0 = t< 10 O (nu există curenţi şi tensiuni
pe linie înainte de t = O) şi u; = O pentru O.

Ecuaţiile liniilor devin :

+U u;(x, t) = u(x, t) } (53.43)

U- u;(x, t) = ZJi(x, t)

Considerînd aceste ecuaţii scrise pentru capătul R t<O
liniei, unde u = Ri, rezultă, eliminînd necunoscu-

tele u şi i, pentru t > O,

+u; (1, t) = R-Z0 . U (53.44)
Z0 R

= - ,. UJ U

IJ = -
Zo Zo

R - Z0 • R>Z0
+. u; 1 (53.45) Fig. 53.6
-.
u.f. j = - - = -
Z; Z0 Z0 R

334 LINII ELECTRICE LUNGI

În acest caz, unda inversă e o undă reflectată, şi anume pozitivă, dacă R > Z ( cazul din

fig. 53.6, care determină o supratensiune u = UJ + u; = 2RU ) nulă, dacă R = Z,
(Zo+ R)
R z ( U)sau negati.va•, daca• <
caz care determt.na• o suprat.ntens1. tate . = -ua--u-; = -2Z-o , - .

J
+P entru nu moment 1 > O
Z0 Z0 R Z 0

, u;(l, t) = R - Z0 U dacă x , < vt ,
R+Zu
1u;(x,t)= (53.46}
O
dacă x' > vt

aşa cum rezultă imediat din proprietăţile undei inverse, care se propagă cu v0 în sensul x-lor
Dl'i!ativi (şi dt>ci al x'-lor pozitivi).

54. 1 LINII LUNGI ÎN REGIM PERMANENT
SINUSOIDAL

În acest capitol vom studia liniile lungi în regim sinusoida!, adică atunci
cînd curentul şi tensiunea sînt, în fiecare punct al liniei, funcţiuni sinusoidale

fde timp de aceeaşi frecvenţă

V2 +u (x, t) = U (x) sin ( wt tjJ (x)) (54.1)
+i (x, t) = 1 (x)V2 sin ( wt tjJ (x) - <p (x)), (54.2)

cu valorile efective U(x) şi l(x), fazele iniţiale 1 Hx) şi t1(x)- <p(x) şi cu defa-
zajul cp(x), dependente de punctul considerat x al liniei. Un astfel de regim
se stabileşte, de exemplu, într-o linie lungă, căreia i se aplică la capete tensiuni
sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, în regim permanent (adică, după completa
amortizare a regimului liber, determinat de condiţiile iniţiale).

51. 1. Studiul ecuaţiilor telegrafiştHor in complex

54.1.1. l<'orma complexii a ecuatiilor telegTafisl::ilor si solutiile elementare.
În regim permanent sinusoidal, te~siunea şi cur~ntul 'se pot' reprezenta în
complex simplificat, imaginile lor fiind acum funcţmni de variabila spaţială x :

u (x, t) ~ Q" (x) = U (x)ei:!J(x) (54.3)

i (x, t) ~!. (x) = I (x) ei(<ll(x)-'l'(>l). (54.4}

1 Nu am mai notat fazele iniţiale cu {3 şi y, deoarece ace~te simboluri an altă semnifi-
eaţie în teoria liniilor lungi.

LIN I I LUNG I I N RE G IM P E RMAN ENT S IN U SOIDAL 3%

fn aecst cnz, deriv atele parţiale ale acestor mărimi se reprezintă nstfcl :
vaa-ux- = -o-ax J rrt1\ -L•' (x)
2- ei"'l} _- rtn j d- .Q V'-2 ei'''t} -- - 4 -di!
dx
l dx

ou = ~ Im { lj (x) 1/2 ei'" 1 } = lm {_!l (x) V2j<•)eiwt } ~ j wQ (5~.5)

ot ut

ţi. au a log:-

Di df oi __, ].(!)-1.. . (54..6)
-at.., _ _
cx--~ --=.o
<-- dx '

Cu aces te reguli, sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale (în varia-
bilele x şi t), pe care îl constituie ecuaţiile telegrafiştilor (53.11) şi (53.12), se
repr ezintă în complex printr-un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare (în

variahila x) :

+- = jroL1) l
d.Q' (R1
clx
(54.7)

Aeea:; ta este forma complexă a ecuaţiilor de ordinul întîi ale telegrajiştilor. Prin
derivare se poate elimina succesiv oricare dintre funcţiunile necunoscute 1
sau U şi se obţin relaţiile :

+ +~2~~ = (Rt j (J) Lt) (Gt j w Ct) Q (54.8)
+ +d2I = (Rt j w Lt) (Gt j w Ct) I

dx2

care reprezintă forma complexă a ecuaţiilor de ordinul a,l doilea a.le telegrafiştilor .
Dad:i se notează

(a > O) (54.9)

- - alegînd, prin definiţie, rădăcina cu parte reală pozitivă - ecuaţiile de ordinul
al doilea (54.8) capătă forma simplă :

(5tUO)

La rc:wlvarea acestor ecuaţii trebuie lă se ţină seama că lj_ şi sînt legate prin

-(~cuaţiile de ordinul întîi (54.7). De aceea se rezolvă numai una dintre ecuaţii ­

de exemplu, aceea a tensiunii - curentul deducîndu-se din (54.7).

Ecuatiile (54.10) sînt ecuatii diferentiale liniare de ordinul II. cu coeficienti
constanţi.' avînd ecuaţia cara~teristică '
,'

r2 = y_2,

386 LINII ELECTRICE LUNG!

cu soluţiile : r +r = ± = ± (oc j~).

(54.11)

Rezultă atunci, pentru soluţia generală a tensiunii : (54.12)

+TT(x) = A 1 e-r.x A 2e+r.x ,

în care ,41 şi :1_2 sînt constante arbitrare (în general complexe). Curentul se

obţine introducînd această relaţie în prima ecuaţie (54.7) :

!:_ (x) = - Rt 1 c.uL1 · -dT=T = R1 +YJ. . [~. 1 e-"'r_-" - A 2 e+!")• (54.13)
dx
+j c.uLt

Dacă se notează:

Z= Rl + j c.uLI = + y - - +VRl j c.u LJ = Z ei~' c (54.14)
Gt j CI + j c.u Ct
_c y c.uCt - c,

soluţiile generale ale formei complexe a ecuaţ.iilor telegrafiştilor se pot pune sub
forma:

e-r.x e+r.x (54.15 )

1- (x) = A- 1 -z_-c - A--2 z- - ·
_c

în care constantele arbitrare complexe A 1 şi A 2 sînt determinahile prin condi-
ţiile de la capetele liniei. Fiecare dintre termenii din relaţia (54.15) în parte se
numeşte soluţie complexă elementară a ecuaţiilor telegrafiştilor.

54.1.2. Interpretarea soluţiilor elementare. Atît tensiunea cît şi curentul

din soluţia generală (54.15) rezultă prin suprapunerea a doi termeni : primul

depinde de x prin factorul e-.rx, iar al doilea prin factorul e+r.x. Arătăm că

aceste soluţii elementare sînt reprezentările în complex ale uno.r unde elementare

a.tenuate, directă şi inversă. Astfel, tensiunea. d.nctă

(54.16)

cu coeficientul

(54.17)

se poate scrie sub formă exponenţială (adică separînd modulul şi argumentul),
cu relaţia (54.11),

!ld (x) = !Ido e-r.x = Udo e-a" e-i(fl•-<~~do) (54.18)

Valoarea instantanee corespunzătoare este : (54.19)

ud (x, t) = Im {Qd Jf2 eim'} = Udo e-a" J/2 sin (cot- ~x + ~J.1)

sau

(54.19')

-- -··- - - ----- -- - - - 3&7

LI N!! LUNGI IN REGliv\ PERMANENT SINUSOIDAL

Se observă imediat că, făcînd abstractie de factorul exponential monototJ

descrescător e--<~-" (deoarece ~ > 0), ace~stă valoare instantanee 'reprezintă o

nudă elementară directă, de forma primului termen din relaţia (53.24), cu

·viteza ele propagare :

v = - w = 27t -/ • (54.20)
~ p,

numită, în acest caz, viteză de fază a undei - în sensul x-lor pozitivi. La un mo-
ment dat t, această undă directă are o repartiţie spaţială sinusoidală, cu pe·
rioada spaţială ).., numită lungime de undă. Se observă că lungimea de undă
.e cea mai mică distanţă dintre două puncte, în care undele respective sînt
in fază şi. ca atare, e determinabilă prin condiţia:

= +cM - ~x (Vf -- ~(x .1- 'A) 2rc,

-din care rezultă

~~ ~~1· (54.21 )

1- - - --~ -·'

fntreaga repartiţie ;;;e deplase ază în sensul x-lor pozitivi, cu viteza de fa1:ă

(54.22)

Ţinînd acum seama şi de factorul exponenţial, rezultă că unda elementară.
dire0tă e atenuată în sensul propagării cu o atenuare (v. rei. 45.32) :

otx= ln -lid -(O) 1 · (54.23)
l I!d (x)

proporţională cu distanţa x. În figura 54.1, a se 1·eprezintă o astfel de undă

+.elementară atenuată directă în momentele t şi t !:lt.
O analiză asemănătoare se poate face pentru tensiunea inversă

u ._lj., (x) =A_2.e+r-x = _ 10 e+Y- "= _U1.0 eY- 1 e-r- •' = A-~- e-"~- "'' (54.24·)

care are aceeaşi formă cu o componentă directă, dacă se exprimă în funcţiune
de variabila x' = l - x. Această componentă corespunde, prin urmare, unei
unde elementare atenuate inverse (v. fig. 54.1, b), care se propagă cu aceeaşi
viteză (v) în sensul x-lor negativi, atenuîndu-se în sensul ei de propagare cu
aceeaşi atenuare ~ pe unitatea de lungime.

În sfîrşit, în analogie cu tensiunea, din relaţia (54.15) mai rezultă că şi
eurentul consistă în suprapunerea unor soluţii complexe elementare, curentul

.direct:

!a (x) = =-ITJ-(x-) =I'T-c1o e~"". (54.25)

Zc Z.c

3-83- - - - - - - - - - -··-- LINII ELECTRICE LUNGI

Ş ! .- urentul UI1Jer. : u . <~-)
z,
--=-=--_1,-(x) = =

X

~ (~. t) 1

)< -------~

/ ~v,.rx.tJ

.- 1
1

Fig. 54. l

:> J.. 1.3 . Paramett·ii securulari ai liuiilm· : impedanta (~aractcâs tică ,.:j cotl-

r~o;l:.m~a de propagare. Soluţiile generale (54.15) pun îr:_ e videnţ-ă propri,c tatea

mărimilor complexe ~c şi d e a caracteriza complet linia îu regim pt ~ rma­
nenl sinusoidal, de frecvenţă dată. Aceste mărimi sînt pa.rametrii SI?CIIInlari.

<H liniilor, si anume :
Impeddnţa cnracteristică. wmple:v1 n liniei :

z= !ld (x) ~ ~-;-----~-V-~~-~-=-L!--1 = z, t'i~·, . (5 L27 )
L I (.t-) +G, Jf,l (. /
__ c (-l_; (x))

..~--- - · - - - - - - - - ---- - - --· ----- ~

LI N II LU NG I !N REG !J\1 PERMANENT SI NUSOIDAL 389

Haport1tl Jintre tensiunea complexă a unei unde elementare şi l:urentul corn-.
plex corespunzător (asociat după regula de la receptoare, în raport cu sen sul
de propagare respectiv) are aceeaşi valoare în toate punctele liniei, fiind egal
-cu imp etlanţa caracteristică. Modulul aecstci mărimi este irnpeda.nţn r.arao·
~teristicrl scalarâ şi are valoarea :

z = IVR, + jwL, = ·vrRt+ jNLtl = vRf+~ > 0. (5 4.. 2H}

c Gt + jwCt 1 iGt + jwCd Gf + <•N;f

•uu argumentul acestei mărimi este defazajul caracteristic şi arc valoarea :

c,}1

2
arg rz9} = 1 lJ arc tg fNiL';t - t!! wGt
'-- '
2 arc "

(5 4.29 }

:::5e nh s ervă că (5 1.29')
Constanta de propagare a liui ci : (5 4 .3 0)

u ntle, la extragerea radicalului, se reţine rădăcina eu parte re ală pozitiv <i

>( t.J.. 0).

Tnterpretarea ară tată pen trn soluţiile elem eu tare s tabi.lcş t e d i mă rinlt~.•

cnfJ. = He = _ 1_. Jn IIJ.d(O) ,. ' (5 4 .3 1)
x Jid (x)

J JLlmită constanta de atenuare, c a1·act erizează liuia diu puuctul de Yedm·•, .d
a tenuării undelor elementare p e unitatea d e lungime, iar mărimea

~ = Im {:[} = __:!___ m g JJ!d (O)} ' (S!J.•32}

-" l !Jd (x)

numită constantă de defazaj sau constantă de fază, c aracterize ază liuia din puuct ul
de vedere al defazajului introdus în und ele elementare p e unitatea de l un gim ·~ ..

LI NII ELECTRICE LUNGI

Pentru a calcula constantele IX şi ~ în funcţie de parametrii lineici R1•
LI• Gl, el. observăm că din (54.30) rezultă relaţiile :

+ + +"[l = et2 - {32 2j<X{3 = R1G1- w2L 1 e l j w(LJ G, Rr C1) (54.33)

+oc[j = 2. w(Lt G1 Rz el) (54.34 )
2

r.1 1 = oc2 ~ {32 = R1 G1- cu2 L1 C1 (54.35}
(54.36)
VIRI+ jwLI i!GJ + jwelj = f(Rl + +w2Li) (G; w2ei) (54 .3 7}

en.r + + +Î 12 = rX:t. ~2 = V(Rjl w2Li) (Cl w2

Făcînd semisuma şi semidiferenţa expresiilor (54.34) şi (54.36), rezultă expre-

siile căutate :
V+ +t e + + +rr; =
(R1 G1 - 2 1 1) V(Rj w2L;} (Cj w2Cf) :;p O (54.38)

(U

V+ ( f~ = w2 L1ex- R1G1) + V(Rl + w2Lr) (Ci+ w2ef) >o. (54.39}

r ;Constanta de atenuare e pozitivă prin însuşi modul cum a fost definită con~

stanta de propagare din relaţia (54.34) rezultă atunci că şi constanta de
fază e pozitivă.

Parametrii y, IX, {3, ~n Zn 'Pc depind de frecvenţă, şi anume într-un mod

mai complicat decît rezultă din relaţiile de mai sus, deoarece şi parametrii

elineici R z, L 1, G1, 1 depind de frecvenţă, din cauza efectului pelicular (v. cap.

56) şi al pierderilor dielectrice (v. par. 49.5). De asemenea, viteza de fază a

undelor:
\

@ = f" = 1 •if=======~1======~=======ş= (54.4·0):
-
--·
V_!_ ( + V{11= J{I
f3 VL1 Cz 21 R1 G1 ) 1 I+ p 21Lf + c21 }
w2L1 C1 w2 C j
ltl2

depinde de frecvenţă.

O b ser 1! u ţii : a} În cazul liniei fără pierderi (R! ;;;::: O, Gt:::::: O) parametrii secund aţ>
au valorile :

(54.41}

ia:r viteza <le fază

1 (54.42}
v~-- = v0

VLzC1

nu depinde de frecvenţă. De aceea, toate componentele sinusoidale ale unei unde directe ptJ·e

riodice nesinusoidale se propagă neatenuate şi cu aceeaşi viteză, asigurînd propagarea fără.

distorsiuni a acestei unde (cum rezultă şi din studiul liniei fără pierderi în regim tranzitoriu

- par. 53.3.1.). •

LINII LUNGI IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 391

b) În cazul unei linii cu pierderi mici, lucrînd la frecvenţe înalte (Rt o( Lt ro, G1 ~ Czro),
parametrii secundari iau valorile

iar viteza de f&ză l· (54.43)

l (54.44)
11 ~ VLtC = v_,

re<4ultă de asemenea independentă de frecvenţă .
. c) În cazul liniei cu pieJ,"deri, atît viteza de fază cît şi constanta de atenuare depind

de. frecvenţă. Dependenţa vitezei de fază de frecvenţă poartă numele de dispersiune, din cauza
faptului că în optică această proprietate determină dependenţa de frecvenţă a indicelui de re•
fn1cţie şi deci fenomenul de dispersiune a luminii. Dispersiunea .are drept consecinţă defor•
marea undelor (directe sau inverse) care se propagă pe linie. În adevăr, .considerînd, pentru
simplificare, o undă directă periodică, dar nesinusoidală, această undă poate fi considerată

ca, o suprapunere de armonice (prin dezvoltare în serie Fourier). Din cauza dispersiunii, armo·
tlicele au viteze de propagare diferite, ceea ce determină alte faze iniţiale la ieşirea din linie
decît la intrarea în linie. Ca urmare, unda rezultantă va avea la ie;;ire o altă formă decît la
intrare. Pentru telecomunicaţii, acest fenomen e supărător, deoarece reduce fidelitatea trans·

misiunii semnalelor pe linie, producînd distorsiuni.
Dacă însă parametrii lineici satisfac condifia lui H eaviside

(54.45)

6e observă din relaţia (54.40) că radicalul, dependent de frecvenţă, de Ia numitor devine egal
eu unitatea şi viteza de fază rezultă independentă de frecvenţă şi egală cu viteza de prop3·

gare d<l pe liniile fără pierderi:

1 (54.46)
U= - - - =vv.

VLlCI

Condiţia (54.45) caracterizează linia fără dispersiune, pentru care parametrii secundari au va•
lorile :

(54 .47

În telecomunicaţii, linia: fără dispersiune prezintă deosebită importanţă, din punetul
de vedere al fidelităţii transJllisiunii, în special la circuitele telefonice de frecvenţă vocală,
situate în cabluri telefonice, pentru legături pe distanţ:e mari. Deoarece circuitele din cabluri
au conductoare foarte apropiate, cu dielectric de permitivitate relativ mare, capacitatea lor
}ineică e foarte mare, iar inductivitat1la lor lineică foarte mică, adică :

-Rt> -Gt.
Ll Ct

Pentru a satisface condiţia lui· Heaviside, se sporeşte în mo.d artificial inducti~ta.t~a li~eică
medie a liniei (încărcarea liniei) - fie prin intercalarea, la mtervale re~ate ŞI rmc1 .faţa .~e
lungimea de undă, a unor bobine. de .mare inductivi~ate · (I?roce~eul Pupm) - fie prm utth·
,:area unor materiale feromagnetJce m structura dielectriculm.

392 LINII ELECTR ICE LUNGI

---·-----------·-------~-

.1) l.a frecvenţe extrem de joase se obţin pentru param P.trii !'t'Ctmdari expre8iile :

Aceleaşi expresii caracterizează eazul limi tă a l liniei de cu rent ~:ontinuu cu pierderi in i><o -
la ţie.

5'1.2. Ecuaţiile liniilor electrice lungi

Se numesc ecuaţiile liniilor s oluţiile complexe ale ecuaţiilor telegrafi~­
tilor, exprimate în funcţiune de mărimile de la capetele liniei.

54.2.1. Ecuatiile liniilor exprimate în functie de unda directă si unda
inversă. Dacă se dă unda directă de tensiune, re~pectiv unda inver ă,'la înec·
putul liniei, respectiv la sfîrşitul liniei

(54.49)

respectiv

_U-t (l) = _U,-0 e--,, = _U,-1 = Uz-1eNil • (5 4 .50 )
+ lQ(x) = Qd(x) Ui(x) = Udoe-:r."'+ !In e-~'-"l
soluţiile generale (54.15), cu relaţiile (54.18), (54.24), (54.25) şi (54.26) se scriu :

I-(x) = -I d(x) + --I '-(x) = U e- ys- zTT · e - y(l · x) (54 .51)

z_ do _oi
_c
.....:.c

ln valori instantanee rezultă expresiile :

Se observă că, dacă l :;;:. x şi linia are pierderi, 1 e-.r(l->:) 1 <{ 1 şi unda inversă e pract.i"

neglijabilă, astfel cii 1

Il(x) ~ !la(x) = .!Lio e-!..

TTd e--,."' rT(x) . (54.53)

!.a(x)=.=....!!.
= - -[(x)~ =
g , ~( .

Acestea sînt ecuaţiile liniei infinit lungi (l _,. oo ).

54.2.2. Ecuaţiile liniilor exprimate în funcţiune de mărimile de intrare .
Dacă se dau tensiunea şi curentul la bornele de intrare

!/_1 = U(O) = :1:1 + A 2 (5 4 .54)

1-1 = J-(O) = A~- 4~ . (54.55)

r.

LIN Il LUNG 1 1N REG l ~\ PERMANENT SINUSOIDAL

d_('t•n~tantt>lt' comp~exe 1 şi {:1 2 sînt date de 1·claţiil c:

1z ·u z2 L1
=
1 · - .:'<.1.:·.1) • (54.56)
(54.5 7)
Cu acest•· ,-alori, so luţiile generale (5·1..15) devin :

rx -i Q(x) = Ql ch ţ_,[l sh:-(x
~:rx-1 !.(x) = _I1 ch
sh )>

-----·-------·---- -·-·--·

O!..<,, ,. u u ! ii : a ) La /iuitL fi.in'i pierderi :

vr.,c,':' = j [; = .i (•) =' j ~-- inr
).

ch .if:~x ~ cos ~x.

<"cu:qiile devin :

b) La linia. foarte scLtrtă, cu jyxj <li: 1 pentru orice x, se pol reline, tiin dezvoltarea î:o

•erie a fuuc~iilor hiperholice, tmmaitermenii de p;radnl O ~i l in y x. 5., ohţin. JWHtru intreaga

l ini~ (x = 1). ecua~nle : -

+.Q1 = Q(l) = !!.1 - ~' !_l ! 1 = fb. - (Rl l j wL1l) l 1 1·

l2= !(l) = !.1 - +'{l !lt ~ It - 'i_l Ilt = l t - (G1l .i v>C1l) <d:s {54 . 59 )

Zc ~c

•:or.,epuuzătoarc schemei echivalente cu parametrii concentraţi din Jigu.ra 54.2.
c) Observaţia precedentă permite să se stabilească un criteriu cantitativ, pentru a putea

a precia d acă un circuit poate fi tratat în aproximaţia parametrilor coneeutraţi, ndică în :re·
gi m cv asistaţionar. Pentru ncrasta trehnie ra ~ l ~ 1, sau ,

•1<'oa rece 1n~ = - 2r. , treb tn,e ca

)

(54.00)

Pot fi tratate ca linii scurte numai liniile avînd lungimea mică Fig. 51.2
faţă de lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru.

De aceea, o linie de transmisiune a energiei de 100 km, care

l ucrează la frecvenţa industrială de 50 Hz ('A:::::: 3.105/50 = 6 000 km) este o linie scurtă

(l j'). :::::: 1 /60), pe cînd o linie d e antenă de 1O m pentru televiziune, care lucrează la fre~'venţ"

de l'irca 50 MHz (). :::::: :uos /50.106 = 6 m) este o lini e lungă (1/). > 1).

394 LINII ELECTRICE -L-UNG-I - - - - - - - - - - - -

-- -

54..2.3. Ecuatiile liniilor exprimate în functiune de mărimile de ieşire.
Dacă se dau tensiunea şi curentul de la bornele' de ieşire :

+Q2 = Q(l) = A1 e-:!! :i_2 e!!. (54 .6 1}
(54.62)
l = I(l) = ,:!1 e _yl - ~ 2 e~
2 !c
-- -?c

{·on>; t.antde complexe .4 1e-!!. şi :4_ 2 e<! sînt date d e relaţiile:

(54.63)

Cu aceste valori, soluţiile generale (54.15), exprimate i.n funcţie de distanţa

=x' l - x. măsurată de la sfîrşitul liniei, devin :

+U(x') = U 2 ch]x' ~.c!_2 sh rx'

l(x') = !_2 ch y_ x' + ZŢT 2 sh yx' (54.64)

_c

() /; s ~ r t! a fi i : la) La linio fără pierderi acest.~' eenaţii devin (cu ţ3 = :~'It)
+!.f(x' ) = I!z cos ~x' j Z0!__~ sin ~x'
TT • (fi4.6S}
+l(x') = [ 1 cos (3x' .i -Zt
sin (3x '

~o

+ lb) Inu.eag~ linie (x' = l) reprezintă oln cuadripol reciproc şi simetric, cu ecuaţii!" tun-.

rlamentale : '

Q, = .!2x ch r_l ls~c sh rl
IT (5 tk66)
[,. ch r! + -Zs sh.:rl
.[1 =

2<

54.3. Aplicaţii
54.3.1. Impedanţa de intrare a unei linii. Dacă { 2 = !...!~1!2 c impedanţa conectată la

bol'nele de ieşire (v. fig. 54.3), impedan1a echivalentă la intrare rezultă din relaţiile (51.66) ~
(:i4.67)

- - - - -------- -~ -~- ~~-----
LINII LUNGI IN REGIM PERMANENT

____________------~----~-----·--
----~-

SINUSOIDAL 395

_ : :___:

În cazul liniei fără pierderi · 'r.>. • 2n
şi se obtine y=J.-=J -

- 1- (54.6B)

f}+Z:11 jZutg ( 2r.

+.)jz:, tg ( 2r. + Z0

s., oLservă că o linie electrică fără pierderi

«cţîonează ca un transformator de impedanţe.

În ca:r.ul particular dud l = !_ (linin în sfert de -U1

cî)),. _l?

undă), se obţine :

(54.69) Fig. 54.3

O ;;arcină pur capacitivă determină, în acest caz, o impedanţă de intrare inductivă, şi invers
(v. lig. 54.4, a şi b).

54.3.2. Linia adaptată. Se cere valoarea impedanţei de sarcină, care asigură anularea
componentelor inverse d<.> h'nsiune şi de curent. Din ecuaţiile (54..51), cu x = l şi f!.il = O, st

o1lţine:

·1-.·r-~ = _1.Tda - yl . ! !!.-lo -yl
e -
Şl -2 = -- e - '

l:_c

de nude [!~ = ~c!~· Curn li = !}2 1[~, rezultă :

j·___Z__i__=_Z__, 1 (54. 70)

12 l , a ~o l
1
~1~._j_,.._, _(_Zg2_---~-C'-. _tt_::_" (J--6l C

t~t - .-i

.;

.Fig. 54.4

Înlocuind acea8tă valoare in ecuaţia (54.67), se observă imediat că şi impedanţa de intrare

rezultă egală cu ~< (respectiv cu 2:'2),

Z-1 =' -.!lt = 7 = z_·c
lt
·:....2

şi, ţinind seama de această relaţie, din ecuaţiile liniilor (54.57) se obţine :

T(x) = I 1e-r- " = -!!.-(x). (54.71}
~c
- -

- - - -- - - - - - - - - - -- -----·----

396 LI NII E LECTRICE LU NGI

Condiţia (54.69) e deci necesară şi s uficientă pentru anularea undelor inverse de ten-
siUtle şi de curent în orice punct al liniei. În cazul cînd această condiţie e realizată, linia ""
numeşte adaptată ş i raportul dintre tensiune ş i curent e egal cu impedanţa caracteris ti c ă

in orice punct al liniei.
54.3.3. Linia fără distorsiuni. Dacă o linie e adaptată {rei. 54. 70) şi nu prezintă disper-

oiune, adică dacă satisface şi condiţia lui Heaviside (54.45), pe linie se propagă numai unde
directe, cu aceeaşi viteză, oricare ar fi frecvenţa lor, ceea ce asigură lipsa oricărei distorsiuni
la transmiterea ~emnalclor nesinusoidale. De aceea, condiţiile (54,4.5) şi (54.70) caractcrizea:r.ă
l inia fără di storsiuni . pentru cai·e, din relaţiile {54.71), (54..46) şi (54.47) rezultă :

!l.(x) = Jl.le - GIZox .,- j ~"' z =' Zol(x) (5-L72 )

.;;a u

=CO=N=DU=C=TO=A=RE==.MA=S=IV=E=- --- ------ --· -

55. 1 CiMPUL ELECTHO.MAGNETJ~
il TN CONDlTCTOARE MASIVE

Studiul circt..i.Lelor electrice de cu.rent variabil a fost făcut în cadruf
a două aproximaţii fundamentale (v. cap. 31) : caracterul cvasistaţionar al
regimului de funcţionare şi caracterul filiform al conductoarelor care consti-
tuie circuitul. În studiul liniilor electrice lungi (cap. 53 şi cap. 54) se înlătură
(în cea mai mare parte) aproximaţia regimului cvasistaţionar, dar se men-
ţine , de fapt, ipoteza caracterului filiform al conductoarelor. În cele ce ur-
mează se vor prezenta cîteYa probleme, în care se ia în considerare repartiţia
curentului în cuprinsul conductoarelor, adică se renunţă la aproximaţia carac-
terului filiform. În schimb se menţine ipoteza regimului cvasistaţionar, adică

se neglijează densitatea curentului de deplasare JD = e: ~~ pe lîngă densi-

tatea curentului de conducţie J = a E. Cît timp se studiază materiale con-

ductoare propriu-zise (metale), care au conductivitatea cr >l06Q- l m - 1, ipoteza
regimului cvasistaţionar e pe deplin justificată în toate problemele tehnice

relative ]a studiul cîmpului electromagnetic din interiorul lor.

În adevăr. admiţînd o variaţie sinusoidală cu frecvenţa[=~ a mărimilor . densitatea
2rr

nu:r•ntulni de deplasare are valoarea efectivă J D = e wE, iar densitatea curentului de con -
duetie are valoarea efectivă J =crE. Regimul cvasistaţionar e realizat dacă J D ~ J. adid'o

da C' ~ '''~ ~ r;. de nnde rezultă pentru pulsaţia de lucru condiţia :

, a1 (55.1}

·''' ~- = - .

,. lii11d a~a·lllllllilul timp de relaxare al materialului.

! '11 'ulo:or<:>:o a = lOG fl - lm - 1. ru ~ ;::::: e0 = 1 ] Q- • ~ i cu Cil =, 2rrf"' obţine acoperitor·
--
36 ;-:

f ~ t0 1~ Hz.

('..!~ o.uai mari frecvente utilizate azi in tehnică fiind de ordinul a 10 000 MHz = 1010 Hz, con·
<iiţia acea~ta e totdea'una sa tisfăc·.1tă. De aceea, chiar în regimul general variabil al undelc..-
••lectromagnclice (v. cap. 57), în. care se renunţă în general şi la aproximaţia regimului
.-vasistaţionar şi la aceea a circuitelor filiforme, se neglijează curentul de deplasare ;,.

mediile el,• t•onductivitate ridi catii. eurn sînt: metalele.

- - - - - - -----·

398 CONDUCTOARE MASIVE

55.1. Ecuaţiile cîmpului electromagnetic în conductoare masive

55.1.1. Ecuaţiile lui Maxwell pentru conduetoare masive. H.ezolvarea

problemelor repartiţiei curentului în conductoare masive şi a pierderilor prin

efect Joule-Lenz corespunzătoare se poate face numai pe baza legilor cîmpului

electromagnetic şi, în particular, pe baza ecuaţiiJor lui Maxwell {par. 29.2,

voi. I) . Aceste ecuaţii sînt :

rot H = .T +a-D (55.2)

rit

rot E = -a-B (55.3)

OI

div D = Pv (55.4)
(55.5)
div B = O

~i reprezintă (în ordinea de mai sus) forma locală a legii circuitului magnetic
in corpuri imobile, forma locală a legii indufţiei electromagnetice în medii
imobile, forma locală a legii fluxului electric şi forma locală a legii
fluxului magnetic. Într-un mediu de permeahilitate !L• de permitivitate e: şi

de conductivitate cr = ..!. (unde p e rezistivitatea) şi fă;ră cimp electric impri-

P

mat (cîmpul electric imprimat E ; e, în general, constant şi nu prezintă interes

în regim variabil}, ecuaţiile de mai sus se eompletează cu :reJaţiile de material :

B = J!H, D = e:E. .J = crE = .!_ E, (55.6)
p

care rezultă respectiv din legea magnetizării tempora1·e, legea polarizaţiei
electrice temporare şi legea conducţiei electrice (Ohm). În medii omogene,
mărimile e:, !L şi cr sînt constante. Introducînd relaţiile (55.6) în primele două

ecuaţii ale lui Maxwell şi neglijînd densitatea curentului de deplasare ~~ •

în conformitate cu cele arătate mai înainte, se obţin relaţiiJe :

1 rot H = o-E = J

1 oH oB (55.7)

rot E =-j.l.ol- =---~

1

<eare reprezintă ecuaţiile fundamentale ale cîmpului electromagnetic in conduc-
toare masive omogene. Luînd divergenţa primei ecuaţii şi ţinînd seama de ul-

tima ecuaţie a lui Maxwell, mai rezultă că cP.i trei. vecto1·i cîmp E. H şi J sînt,

în acest caz, solenoidali :

div E = O, div J = O, div H = O. (55.8)

Luînd rotorul fiecăreia dintre ecuaţiile (55.7), folosind identitatea

rot rot G =\/X (\/X G) = \1(\/G)- (\1\J)G =grad div G-~G, (55.9)

. ·-- ------------- 39)
----------·----------CIMPUL ELECTROMAGNETIC IN CONDUCTOARE MASIVE

în care

~ -- dl.V grad. ::::::: -o-• + o2 -o=- (55.9 ' )

-- +
iJx2 iJy2 iJz2

e operatorul laplacean şi eliminînd cîte una dintre funcţiunile necunoscute,

se obţin ecuaţiile de ordinul al doilea., satisfăcute de vectorii cîmp _H, B, E. J,
lt.B = crJ.l iJcBt
uH = crJi.JotHt-·' (55.10)

Aj =O"J.l -(o)Jt'' ~E = O"Jc.o>ltE- I

!..l.

ln problemele de determinare a cîmpului trebuie să se observe că ecuaţiile de

ordinul doi de mai sus au soluţii care sînt legate între ele prin ecuaţiile de or-
dinul întîi (55.7). Ele trebuie completate, la suprafeţe de discontinuitate, eu
condiţiile de conservare a compo11entelor tangenţiale ale vectorilor E şi H

(v. par. 21.4 şi 22.4, voi. I) :

(55.11)

~i a componentelor normale ale vectorilor B = J.lH şi J =crE (v. par. 12.2.3

şi 20.2, voi. I)

(55.12)

O b se ·r va f ii : a) În cele ce urmează vom studia numai probleme referitoare la l'<'·
gimul permanent s.inusoidal, în care se poate utiliza şi reprezentarea în complex, care, în car.ul

vectorilor, se aplică fiecărei componente în parte, conducînd la vectori complecşi, funcţii numai

de punct. Dacă_!'!, !! şi .J sînt imaginile în complex ale vectorilor E, H ~i J, ecuaţiile (55.7)

se reprezintă în complex Aub forma :

rot !! = o_!! = -~ (55. ! .1)
1·ot .B = - j w!!.

b) Principalele cla~e de probleme de cîmp electrornaguetir car" interesează in tehn·idi
sînt următoarele :

- problemele de curenţi turbionari (sau Foucault), în care se studiază curenţii incluşi într-u"

conductor masiv de un cîmp magnetic variabil în timp:
- problemele de efect pelicular (curenţi de aducţie), în care se studiază repartiţia nemti-

formă a unui curent alternativ dat pe secţiunea conductorului străbătut de acest curent;
- problemele de efect de proximitate, în care se studiază modificarea repartiţiei unui cu-

rent alternativ dat pe secţiunea conductorului, sub acţiunea cîmpului magnetic al altor con-

ductoare vecine.

În cele ce urmează vom studia: o problemă idealizată - aceea a semi-
spaţiului conductor (par. 55.2), a cărei soluţie permite rezolvarea aproximati vă
a problemelor de mai sus, în cazul frecvenţelor foarte înalte; probleme fie
eurenţi turbionari (par. 55.3) şi probleme de efect pelicular (cap. 56).

55.1.2. Puterea activă disipată prin efect Joule-Lenz în regim periodic.
ln problemele de cîmp electromagnetic, în conductoare masive interesează
puterea disipată prin efect Joule-Lenz, într-o porţiune V1: a unui mediu

400 COND U CTOAT{E MASIV E

conductor, mărginită de o suprafaţă L· Conform legii transformării de energif'

în l'omiuctori (XT, par. 31.1), valoarea instantanee a acestei puteri este :

P1(t) = ~~~EI dr = \~~ pJ 2dv = ~~~ ~ J2dv. (5S.J4 }

V:~: V:~: Vr

Co nform teorf'mei energiei electromagne ti ce (v. par. 29.4. ,·ol. l. rf'l. 29.3:>).
al'easlă putere se mai poate s crie :

P1(t) = - dlV~ + \( (E >< H)dA i<~ (55.15 )

rlt _, j

:!:

unde primnl membru e varialia tnergiei electromagrwtice instantanee locali-
zate în V:~:, iar al doilea membru c fluxul de energie instantaneu. din exterio -

rul spre interiorul suprafeţei L (am operat cu normala interioară în

dA ;." = - dA, unde dA e elementul de arie, orientat spn' exterior), adică

fluxul vectoruhti Poynting instantaneu

(55.15')

ln regim permanent periodic interesează numai Yaloarca medie pe o pe-
rioadă a acestor expresii, adică puterea activă disipată prin efect J oule-Lenz
în conductor

T

P = P 1(t) = ~ ~ Pi(t) dt.

o

Deoarece în acest regim şi energia electromagnetică c o funcţiune periodic[t

W(t) = W(t + T), media clerivatei energiei electromagnetice e nnlă :

-- ~ T dA = T .!._ [W(T) - W(O)] = O. (55 .1 6)
dW(t)= ( dW
dt T j dt .!._ ( dW =

T) T
oo

Rezultă atunci, cu relaţia (55.14) şi (55. 15), că puterea activă disipată pri11
efect Joule-Lenz se poate calcula în două moduri:

-- fie prin integrala de volum a mediei puterii dezvoltate în unitatea d<'"

volum :

---------- '

P= P ; (t) = ~~~ p.J2dv = ~~~~ J;f clv 1 (;)5.17 }

Vr V:~:

- -- - - - - - - - - - -

- fie prin integrala de suprafaţă a mediei Yectorului Poynting (afluxul
de energie mediu) :

P = PŢt} = ~\(E x H)dA; ,, . (55.17')

l: