Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan

CIMPUL ELECTROMAGNETIC IN CONDUCTOARE MASIVE 401

55.2. Pătnmderea cîmpului electromagnetic
în semispaţiul conductor infinit

Considerăm un bloc de material conductor, de penneabilitate [J. şi conduc-

ti vitate ·cr, limitat spre stînga de o faţă plană, teoretic infinit extinsă, şi ocu-

pînd întregul semispaţiu drept (fig. 55.1). Alegem un sistem de axe cartezian,

ca în figură , cu axa Ox normală pe faţa blocului şi dirijată spre interior.

Se cere s ă se studieze pă­

trunderea cîmpului electromag- -~

netic si repartitia curentului
în ace; t semispaţi11 conductor,

~;tund că la suprafata lui e
~tabilit în exterior {m cîmp
omogen tangenţial f
magnetic orientare e aleasă H0 S Hf'x.tJ _, J (x .tJ
(a cărui ca "J ~....-;:. /
."; r / ~ (x.tJ
:::?
axă Oz), care variază sinusoidal o 'Îf':i';:---------~~""'-""'-----
fază) : . . . ,,..._ . . _ 1,2') ,· s rx,t) X
in timp (origine de

H n = kH0(t), Clt fT=O )(

(55.18)

Se studiază numai regimul per-

manent si se consideră că, Fig. 55.1
datorită 'extinderii infinite a

blo ~ ului în directiile Oy si Oz
şi a caracterului' omoge~ al cîmpului magnetic la suprafaţa lui, toat~J

rnărimile de stare locală au aceeaşi valoare în toate punctele oricărui

plan x = const., paralel cu faţa blocului. Altfel spu s, toate aceste mărimi

!-\Înt funcţiuni numai de x şi de t, adică în interiorul blocului :

H = H(x, t); E = E( x, t); J = .T(x, t). (55.19)

55 .2.1. Repat·tiţia cîmpului şi a curentului. De oarece la suprafaţa blo-

cului se conservă componentele tangenţiale ale cîmpului H, valoarea acestuia

în interior pentru .x --:> O trebuie să fie egală cu cîmpul tangenţial exterior

(55.18)
H(O, t) = H0 = kH0(t)

~i p~t~m admite că Îll oricare alt punct, H are numai componente după Oz.

adlCa

H(x., t) = k Hz (x, t) , (55.19')

en

Hz(O, t) = Ho(t) = Hom ax sin wt. (55.20)

Din relaţiile (55.10) rezultă atunci că în interiorul blocului această unică
componentă a cîmpului magnetic satisfa-ce ecuaţia :

(55.21 )

402 CONDUCTOARE MASIVE

In regim permanent sinusoidal, această ecuaţie se reprezintă in complex sim·
plificat sub forma:

(55.22}

astfel că

(55.23)

Ecuaţia (55.22) are forma ecuaţiilor (54.10), studiate în teoria linillor elec-
trice lungi. În acest caz, constanta de propagare este :

r vj + V2= wwr = e<(1 j) = ." (cx > 0), (55.24)

!XC J 4

VJdeoarece = ± V~- (I + j). Se obţine o constantă de atenuare egală cu

constanta de fază: (55.25 )

vwr - r -<X = Re{ } _ I m { } _ 1V:::2: 1-_ - 21-1.cr

Cu aceste notaţii, soluţia generală a ecuaţiei (55.22) este analogă eu relaţia
(54.12):

In acest caz, deoarece blocul conductor e presupus infinit extins (O-<: x -<. oo),

unda inversă trebuie să se anuleze, pentru a avea cîmp magnetic finit la

x -,) oo, adică A 2 = O. Cu x = O, H z = HAO) = 4_1 rezultă soluţia :

H , = Hz (O)e -.rx. (55.26)

Dar

H (O) = _n·o = HVom2ax (55. 27 )

_z

e imaginea complexă a cîmpului magnetic de la faţa blocului (55.20), aşa
că imaginea complexă a cîmpului magnetic din interior, ţinînd seama şi de
relaţia (55 .24), se scrie:

(55. 28 )

iar valoarea instantanee se scrie:

H z(x, t) = H 0max e - a.., sin ( M - e<x). (55.29)

Aceasta este o undă elementară directă, puternic atenuată, cu viteza de
fază v şi lungimea de undă A, date de relaţiile \v. par. 54.1.2.):

A_ 2rr _ 2rrV2 (5 5 .30)

- -;:; - V W[LO" •

CIMP UL ELECTROMAGNETIC IN CONDUCTOARE MASIVE 403

Densitatea de curent J şi intensitatea cîmpului electric E se deduc din prima
-ecuaţie a lui Maxwell (55.7), observînd că, deoarece H = kH,(x, t), singurele
-componente nenule ale rotorului lui H, şi deci ale acestor vectori. sînt

dirijate după Oy (adică paralel cu faţa blocului şi perpendicular pe direcţi a

lui H (v. fig. 55.1) :

J = rot H = j Jy(x, t) ; E = -1 J = J• E y(x, t). (55 .31)
a

Dez oltînd rotorul lui H se obţine cu relaţiile (55.28) şi (55.25) )n complt~x. :
+ ') lJ.-).
(x ) V2= - - =i)f{-z = -H=o 1-1ux- cx (1 J e _y·-,. = cxH 0ma e- os e- i(a.o:- .."'':)
âx
y- IE-" (55.32)

(X ) - 1J ( )_ Ho m,x CX (1 -L J') e ---·" = -ot: H e- a>< e- i(ax - ") '
Omax
- - yX - 1 -::i."
- cr 2cr cr

cu Yalorile instantanee (55.33)

+ nJy(x, t) = cxH0maJ2 e-ax sin ( (!)t - a.x ~

+V2Ey(x, t} = 2:.) J
!!.. H 0max e - ax sin ( (!)t - cxx
4
cr

2:.defazate cu înaintea cîmpului magnetic (fig. 55.2).
4

Valoarea efectivă a intensităţii cîmpului electric la suprafaţa conductorului
rezultă : (55 .34)

VE 0e1 = !!:.. -·oc
(Ey{O, t)),,= H - Ilo ef '
a 0 = 2
C'!
a~

~ rx. tJ

Fig. 55.2

404 CO NDU CTOAR E MAS I VE

unde ~- -HoYm-z1x c valoarea efectivă a intensităţii cîmpului magnetit: la

H 0el =

tmprafaţa conductorului.

55.2.2. Pierderile de putet·e. Deoarece E = j.EY şi H = kHz , vectorul
densităţii fluxului de energie, adică vectorul Poynting (55.15') e dirijat în
sen sul x-lor pozitivi (în care se propagă undele elementare H"(x, t) şi Ey(x, t)),

S = E x H = j x k E yH z = iEylf,. = iSx(x, t). (55 . 35~

Cu .relaţiile (55.29) şi (55.33) rezultă valoarea instantanee :

S .<(x, t) = H~ .'!: V!f e-2ax sin ( wt -- (/_x) sin ( l.J:Jt - ax + -rr )
- nux G 4,

,;au

n: ))2"X{2
::"Jx ( x,t_) = -I-l-u-y--m=2'"n" -fJ. e ·· · cos -rr - cos i•2 wt - 2ax + - ) ·. (55.36}
<J 4
Ci

Aşa cum ştim, mărimea S x = JS [ reprezintă puterea instantanee transmisă

prin unitatea de suprafaţă (a planelor x = const.). Acest aflux de energie

provine de la cîmpul electromagnetic exterior şi scade rapid o dată cu pă­

t runderea în conductor. Deoarece în r egim periodi.c energia electromag-
netică a cîmpului nu variază în medie (rel. 55.16), valoarea medie pe o pe-
rioad;':\ a vectorului Poynting scade cu distanţa x, datorită exclusiv faptului

că ac operă pierderile locale de putere prin efect J oule-Lenz. Practic, ar:estc

pierderi locale sînt importante numai aproape de suprafaţa bloculni, unde

x < -1- . Valoarea aportului de putere instantanee prin unitatea de supra·-
2:-~.

r~q.ft a conductorului este

(2 !:.))(VZ: +Sx(O, t) = So(t) = H~P(t) = "'_'x!!:..
- cos UJt

A i2 cr 2 4

şi are ca medie în timp puterea activii specifică (primită prin unitatea de su -
prafaţă) :

p

.4 (55.37)

care acoperă pierderile medii de putere prin efect Joule-Lenz în conductor .

55.2.3. Adîncimea de pătrundere. Atît cîmpul electric şi cel magnetic
dt şi densitatea de curent au valori importante numai în vecinătatea su-
prafeţei conductorului, valorile lor efective scăzînd exponenţial o dată cu
depărtarea de. la suprafaţa conductorului. Din relaţiile (55.33) rezultă:

ly ,(x) = a.H0max e_",. (55.38)>,
e1

(v. eurha plină din fig. 55.3).

... ·------- -- - - - - -- - 405

CIM P UL ELECTROMAG NET IC IN CONDUCTOARE MASIVE

Se numeşte adîncime de pătrundere (sau adîncime echivalentă de pătrun­
dere) a cîmpului electromagnetic în scmispaţiul conductor distanţa ~ de la
suprafaţa acestui se mispaţiu, pe care ar trebui repartizat în mod uniform
.şi sinfazic curentnl total, pentru ca pie1·derile de putere activă s ă fi e ace·-

leaşi.

Curentul total pc înălţimea a (în sensul Oz) este în complex cu rela-
ţiile (55.32) :

<» 00

l= ~• J y ( x )o dx ·=-·- ( c)T-~1'2 _dx = a(lJ.t(O) - H z(oo)) = a!J0

a)

oo

7' are valoarea efectivă :

f = aHo f = _Va2_Ho mtx (55 -39) / Jy echrv.
e ~ef

Dacă ar fi r epartizat uniform şi siu- rmm/
fazic pe grosimea ~. ar avea o densitate
de curent echivalentă (efectivă): II I 1111 1

illlll

1111

= -J y €chivalenl 1 == -llo-""-.x (55.40)
oS 3
l

(v. curba punct ată din fl g. 55.3).

Valoarea adîncimii de pătrundere se

obţine egalînd pierderile reale d e pute1·e

activă cu cele care s-ar ob-ţine cu r epar·

titia uniformă a curentului în stratul de Fig. 55.3

g;osime ~-
Pentru o porţiune dreptunghiulară de arie A = a.b din fata blocului

(v .. fig. 55.4), puterea activ{l d e pierderi ahsorbită de la cîmp este (~u 55.37):

P= P a1'. = -a H2 a1l . (55.41)
-
( A ) -U-ma-x
cr 2

a,Dacă curentul (55.39) ar fi uniform repartizat pe grosimea ar determina în

volumul paralelipipedic a· S · b, corespunzător ariei A (v. fig. 55.4), pierderile

de putere:

p= Rf2 = .!:_~ "H "o"' "" = ..!!:!!.__ H~ (55 .42)
a·.

cr a 3 2 cr32 m~x

Egalînd aceste valori, rezultă pentru adîncimea de pătrundere expl·esia :
(55.43)
v-2~ =-l = - = r--l = -A
1a 1 rrffLO 27t'
c.l [Lcr

406 CONDUCTOARE MASIVE

Din această relaţie rezultă că adîncimea de pătrun ­

dere e o caracteristică a materialului, invers propor·

tională cu rădăcina pătrată a frecventei. Această
~aracteristică e utilă atît pentru calculu'l pierderilor

de putere (ca şi cum întregul curent ar fi repartizat

uniform la suprafaţa blocului pe grosimea ~).

cît şi pentru a aprecia cu aproximaţie pl'!trunderea

cîmpului electromagnetic în mediul conductor :

=pentru X = a cîmpurile Hz, Ey, Jy scad de e ~

~ 2,7l8ori, iar vectorul Poynting de e2 7,389 ori.

În tabela 55.1 sînt indicate cîteva v alori ale adin

.. cimii de pătrundere.
)C O b s e r va ţ i e : Teoria dezvoltată aici e,riguros exactt.

A ~ ab 1mmai pentru semispaţiul conductor infinit. In cazul unui

conductor oarecare finit, dacă dimensiunile şi raza de

curbură minimă a suprafeţei lui sînt foarte mari faţă

de adîncimea de pătrundere corespunzătoare frecventen

Fig. 55.4 rle lucru, această teorie se poate aplica local cu bună
aproximaţie, permiţînd calculul pierderilor de putere

activă, care revin unităţii de suprafaţă, cu formula (55.37),

iu funcţie de valoarea efectivă a cîmpului magnetic exterior tangential (sau a celui electric).
În acest caz se mai spune că pierderile au fost calculate cu metoda adîncimii de

pătrundere. Deoarece adîncimea de pătrundere e invers proporţională cu rădăcina

pătrată a frecvenţei qe lucru, la frecvenţe suficient de înalte se poate întotdeauna

aplica această metodă. In cazul unui conductor cilindric de cupru, de rază a = 2 mm, la
f = 50 Hz, ~ ~ l cm > a (v. tabela 55.1) şi nu se poate face nici un fel de analogie cu
problema semispaţinlui conductor infinit; la frecvenţa f = 0,5 MHz însă ~ ~ 0,1 mm ~ a şi

suprafaţa exterioară a condnctorului cu o rază de curbură mult mai mare decît adîncimea de

pătrundere poate fi asimilată cu suprafaţa semispaţiului conductor (v. şi par. 56.3).

Tabela 55.1

1 7 ~:i~:i~=: ~:~i~:~~=:

i 1!Lo
~~:i~: ;=ot;~I0- 1 N:i~=:=Cupru
J
Fier (cu !Lr 200)
=~!~_ ~l _=1_~_g =_7_~ =_~_:~oi (valori indicative)2 _1_.
pa de mare (valori 1

indicative) 1 _ __:__.:____ _ __:_1__

55.3. Probleme de cm·enfi tlll'hiouari

Se numesc curenţi turbionari sau curenti Foucault, curenţii incluşi în-
tr-un conductor masiv de un cîmp magnetic variabil în timp.

În aplicaţiile tehnice, curenţii turhionari apar în miezurile feromagne-
tice ale circuitelor magnetice din maşinile şi aparatele electrice de curent

altern ativ, determinînd pierderi suplimentar e de putere prin efect J oule-Len7A

CIMPUL ELECTROMAGNETIC IN CONDUCTOARE MASIVE 407

(v. şi par. 49.4.3.) şi înrăutăţind funcţionarea acestor maşini şi aparate.
Totodată, există numeroase aplicaţii utile ale acestor curenţi: încălzirea
electrică prin inducţie (în care se utilizează puterea dezvoltată de aceşti
curenţi pentru a încălzi şi chiar pentru a topi conductorul), frînele şi am-
breiajele electromagnetice de inducţie {în care se utilizează forţele pe care
cîmpul magnetic le exercită asupra conductorului parcurs de aceşti
eurenţi) etc.

Deoarece, prin apariţia curenţilor turbionari şi a cîmpului magnetic
suplimentar, produs de aceşti curenţi (numit şi cîmp magnetic de reacţiune
al curenţilor turbionari), repartiţia cîmpului magnetic în cuprinsul conduc-
torului este mai mult sau mai puţin influenţată, revolvarca exactă a acestor
probleme necesită utilizarea ecuaţiilor generale {55.6). În cazurile limită ale
frecvenţclor joase (cîmp magnetic de reacţiune neglijabil) şi ale frecven-
ţelor înalte (adîncime de pătrundere mică faţă de dimensiunile conductorului)
se utilizează metode aproximative, aşa cum arătăm în cele ce urmează.

~~~~

55.3.1. Pierderi prin curenţi turbionari în tole feromagnetice. Miezul
feromagnetic al unui circuit magnetic, cu o înfăşurare de curent alternativ

(fig. 55.5, a), e străbătut (le un flux magnetic <1> = <I>m ,xsin cut, sub ac -

tiunea căruia se induc curenti cu liniile dtl curent continute în plane trans-
~crsale faţă de liniile cîmp~lui magnetic {în fig. 55.5, a sînt indicate sen-

surile de referinţă pentru aceşti curenţi, de densitate J sensurile reale instan-

tan ee depinzînd de momentul din perioadă considerat). Pentru a reduce pier-
derile de putere determinate de aceşti curenţi {pierderile din fier prin curenţi
turbionari), se divizează miezul în tole izolate între ele (v. fig. 55.5, b, unde
pentru claritatea desenului, s-au figurat numai trei tole) ceea ce măreşte
rezistenta căilor de închidere ale acestor
curenţi 'şi reduce intensitatea lor. Con-
siderăm o astfel de tolă (fig. 55.6) de
înălţime h, de lăţime l şi de grosime Il
foarte mică

(55.44)

a Fig. 55.6
Fig. 55.5

403 CONDUCTOARE MASIV E

si determinăm puterea activă dezvoltată în tolă de curentii indusi, în ipo-
teza că se neglijează cîmpul magnetic de reacţiune al ac~stor c~renţi. Î n
acord cu această ipoteză şi alegînd axele ca în figura 55.6, inducţia magnetică

în tol ă e un cîmp omogen, dirijat dnpă axa Oz :

B = kBz(t), (55.45 )

cu valoarea instantanee şi r eprezentarea În complex :

B z(t) _ B · . ---. B _ B Vm2a-x - (55.4,6 )
max SIDUJt +----- :__z -
-

Deoarece tola e foarte subţire (v. rel. 55.44), o putem considera infinit ex-

tinsă, din punctul de vedere al repartiţiei curentului în zona ei centrală

(adică neglijînd întoarcerea liniilor de curent la marginile ei). Putem atl-

±mite atunci că densitatea de curent J = crE, <;:are la fet,ele x = 6
2

trebuie să fie tangenţială, e dirijată în sensul axei Oy şi depinde numai de

variabila spaţială x :

J = j.Jy(x, t), .E = j Ey(x, t), (55.4.7 )

cu valorile instantanee şi reprezentările în complex

(55.48)

Intensitatea cîmpului electric indus în tolă E se poate calcula din inducţia
magnetică B cu ajutorul celei de-a doua ecuaţii a lui Maxwell (v. a doua
rei. 55.7), care reprezintă forma locală a legii inducţiei electromagnetice.
Reţinînd numai singura componentă nenulă a acestei ecuaţii (după Oz) st:

obţine:

iJEy~x, t) -- -oB-z(t)· (55 .49)
ilx ilt

!!au, în complex,

(55 .50)

Integrînd,

+E_,.(x) = -- J•UJ BVmafx x const. (55.51)

Constanta de integrare este nulă, deoarece, din motive de simetrie,

fll.y(- x) = - fll.1 (x) (55.52)

şi rez ultă cu (55.48),

=j (x ) = -)· (i)(j B m'!_x X
V2 V2- Y •
(J) (j ~B X C-)-2" • (5 5.53)

-~ ----------- 409

CIMPUL ELECTROMAGNETIC IN CONDUCTOARE MASIVE

eu valoarea instantanee : (55 .54)

wt - %).Jy(x, t) = wsBm•x x sin(

Cure nţii induşi sint proporţionali cu frecvenţa, sînt defazaţi în urma fluxului

%magnetic cu (aşa cum am admis ş~ la studiul ciclului de magnetizare al

bobinei cu miez d e fier) şi variază liniar (cu x) în grosimea tolei. Densi -
tatea de volum a puterii instantanee disipate prin efect Joule rezultă :

+p (x, t) = .!. I;(x, t) = w2cr B;"ax _:? (l cos 2 cot). (55·55 )
1 cr 2

Puterea instantanee disipată în întreaga tolă se obţine prin integrare cu

Jv = l h d x,

A

+2

P1(t) = ~~~ p/x, t) dv = lhco2cr B~1x (1 + cos 2 cot)~ x2 dx

A

-2

+P1(t) = (55.56)
lh co2cr B;;, •x il3(J cos 2 wt).

24

Puterea activă disip c. tă de curenţii turbionari în tolă se obţine luînd
nu~tlia pe o perica:lă a acestei expresii. Cu w == 2rtf rezultă :

(55 .5'7)

Pierderile specifice pri.n curenţi turbionari (a dică pierderile pe unitatea

z.{le volum a tolei) se calculează împărţind această putere la volumul il h ·

al tolei. Înlocuind ~i conductivitatea cr = 1 îu fun cţie de rezistivitate,

;;t> ohţine expresia :

(55.58)

utilizată în studiul bobinei cu m1ez de fier (rel. t19.68).

O b s f! r va 1- ii: a) Aceste pierderi. au fost ca lculate la frecvenţe suficient tie joase, peutru
a neglija cîmpul magnetic al curenţilor indu şi. Cum această aproximaţie corespunde negli-
jării variaţiei cimpului magnetic în cuprinsul tolei, rezultă, prin comparaţie cu studiul cîm-
pului .in semispaţiul conductor, că această aproximaţie f'Orespunde cazului cînd grosimea tolei
" fon rt.<.> mică fată de adîncimea de pătrundere :

(55.59)

i u practică, la .f = 50 Hz, în fier o= 1... 2 mm, iar tol ele au Il = 0,5 mm şi 0,35 mm. Stu-

diuJ exact arată că în aceste condiţii aproximaţia de mai sus e satisfăcătoare.

410 CONDUCTOARE MASIVE

~) Pierderile sînt proporţionale cu pătratul frecvenţei, cu pătratul inducţiei maxime
şi cu pătratul grosimii toleL La frecvenţă şi tole date, proiectantul a paratelor şi maşinilor elec-
trice trebuie să asigure o inducţie maximă com patihilă cu pierderi admisibile.

c) Pierderile sînt invers proporţionale cu rezistivitatea tolelor. De aceea se utilizează
tole cu rezistivitatea sporită, prin îmbogăt.irea fierului cu siliciu. Se ajunge astfel la _pierderi
r;rin curenţi turbionari sub 1 W /kg pen t ru B max de ordinul a 1 tesla (104 gauss). In prac·
tică interesează însă pierderile totale, care includ şi pierderile prin isterez is cu valori de ace-
laşi ordin de mărime.

55.3.2. Încălzirea prin inducţie la frecvenţe înalte. În numeroase probleme de încălzire
superficială prin inducţie- cum sînt topirea unor ş arje în cuptoare de inducţie fără fier-
(Sîn fig . 55.7, a) sau călirea superficială a unor piese cilindrice (Fîn fig. 55.7, b), sub acţiunelll

ab c
Fig. 55.7

unui cîmp magnetic de frecvenţă relativ înaltă (din punctul de vedere al pătrunderii cîmpului
in materialul conductor încălzit). produs de o bobină inductoare B - se poate admite urmă·
toarea schematizare (fig. 55.7, c): un corp conductor cilindric, de rază a şi înălţime h e su -
pus acţiunii unui cîmp magnetic Langcnţial sinusoidal

V2H0(z) =
H0 ma x sin cut = I l0 1• sin cur. (55 . 60)

~

ln corpul conductor, de conductivitate cr şi permeabilitate iJ., se induc curenţi turbionari şi se
cere puterea activă totală disipată de aceşti curenţi. Dacă frecvenţa e suficient de înaltă , pen-
tru ca adîncimea de pătrundere a cîmpului să fie mică faţă de raza conductorului

(55.61)

curenţii turbionari au linii de cîmp circulare, localizate în imediala apropiere a suprafeţei
conductorului. Încălzirea e deci superficială, dar căldura se transmite prin conducţie şi res ·

tului conductorului , dacă timpul de încălzire e suficient de mare (cazul topirii unei. şarje în

ruptoare). Adîncimea de pătrundere fiind mică, se poate calcula puterea cu formula (55.37)

de la scmispaţiul conductor, considerînd cîmpul omogen repartizat (ceea ce reprezintă o primă

aproximaţie) pe întreaga suprafaţă laterală

(Ap) ·P = 2rr ah = 2rr ah ~C<:Ii2ve/· [W] (55 .62)

Cîmpul exterior H0 trebuie calculat separat, ţinînd seama de confignraţia bobinei inductoarc
care îl produce. În cazul din figura 55.7, a, drept, suficient de
în care b obina e un solenoid

lung, cu N, spire pe unitatea de lungime, parcurs de curentul efectiv I. se poate scrie

(v. par. 21.5.1, vol. I):

H_0,f = N , ·l [A~s] (55.63)

- -- · - - -- - - - - - - - - - - --- - - - - -- 41 1
EFECTUL PELICULAR
56.11EFECTUL PELICULAR

Dacă un curent variabil i(t) parcurge un conductor cilindric rectiliniu

(fig. 56.1), repartiţia curentului nu se mai face uniform pe secţiunea conduc-

torului, ca în regim staţionar (în curent

continuu). In regim variabil, densitatea de

curent are valori mai mici în axul con-

ductorului şi mai mari la periferia secţiunii

acestuia. Acest fenomen se numeşte efect

pelicular (sau efect skin - de la cuvîntul

skin - piele, în limba engleză) sau efect

de refulare a curentului şi arc următoa­

rele consecinţe : sporirea pierderilor de pu-

tere prin efect Joule-Lenz în conductor

(pierderi, care fiind proporţionale cu pătratul

densităţii de curent, sînt minime la repar- Fig. 56.1

.tiţia uniformă a acel uia şi curent total),

sporirea rezistenţei echivalente a conductorului , reducerea inductivităţii lui

interioare şi dependenţa tuturor acestor mărimi de frecvenţa de lucru.

56.1 Problemele efectului pelicular

56.1.1. Analiza calitativă şi interpretarea efectului pelicular. Modi·

ficarea rcpartiţici curentului alternativ pe secţiunea conductorului o dată

cu creş terea frecvenţei se datoreşte curenţilor suplimentari, induşi de cîmpul

magnetic variabil în timp din interiorul conductorului.

Din punctul de vedere al pătrunderii cîmpului electromagnetic în conducioare·

(par. 55.2) , efectul pelicular se poate analiza în funcţie de raportul dintre

raza a a conductorului şi adîncimea de pătrundere ~. (56.1}

v --ao = acx: =a r:fall·

În curent continuu, acest raport e nul (f = O) şi curentul se reparti-

zează uniform pe secţiune (v. fig. 56.2, unde se' reprezintă valoarea efec-

tivă a densităţii de curent ca funcţie de raza condu ctorului, cazul a).

La frecvent,e suficient de J. oase, astfel ca ~ ::P a s' i ~o « l, pătr~derea

cîmpului electromagnetic în conductor începe să fie incompletă şi densitatea

de curent e mai mică în ax (fig. 56.2, b). Aceasta e efectul pelicular slab, în

care, în primă aproximaţie, se poate neglija cîmpul magnetic suplimentar al

curenţilor incluşi (v. par. 56.2).

La frecvenţe mai înalte, adîncimea de pătrundere scade şi ajunge de ace-

laşi ordin cu raza cond~ctorului, adică o~ a şi!:~ l.În acest caz, pătrunderea
o

! 12 CON DUCTOARE MASIVE

eîmpului electromagnetic e parţială şi efectul de refulare a curentului e impor-

tant (fig. 56.2, c). Acesta e efectul pelicufar mediu, în care determinarea repar-

tiţiei curentului se poate face numai integrînd

tlll ecuaţiile cîmpului (55.6), ceea ce conduee la
calcule relativ complicate1.
a . __ffiilliiTmm~~-r.~ a~oc La frecvenţe foarte înalte, adîncimea de

pătrundere e foarte mică. faţă de ra11a conduc -

otorului, adică <t: a. s,i .'o!:_ ~ L ln acest caz,

cîmpul electromagnetic pătrunde, practic, numai

într-un strat superficial, <le ordinul adîncimii de
pătrundere, cu o r.epartiţie practic identică cu
aceea studiată în cazul semisp aţiului conduetor

infinit (fig. 56.2, d). Acesta e efectul pelicular
net (sau pronunţat), care se studimr.ă asirnilînd
suprafaţa conductorului cu aceea a unui semi·
spaţiu conductor (v. par. 56.3).

Din punctul de vedere al teoriei circuitelor

electrice, efectul pelicular poate fi e:-.plic a t, asi .

d. milînd conductorul masiv cu un ansamblu de

conductoare tubulare concentrice, cu pereţi su-

ficient de subţiri, pentru ca în cuprinsul fiecăruia

repartiţia ..:urentului să poată fi considerată

Fig. 56.2 uniformă. In acest caz, conductoarcle din in-

terior sînt înlăntuite de mai multe linii de
cîmp magnetic, au o inductivitate mai mare ş{ o impedanţă mai mare şi -

drept urmare - au un curent mai mic.

O analiză mai exactă se poate face în cazul simplu cînd conuuctorul studiat (fig. 56.1)
e asimilat unui sistem de două conductoare concentrice (1) şi (2), conectate în para lel (fig. 56.3).

Oricum s-ar considera închis prin exterior (curba rex) circuitul fiecăruia dintre aceste
două conductoare, pentru a defini inductivităţile lor L 1 şi L 2, ele admit schema echivalentă
din figura 56.4. a, în care apan• şi indnctivitatea lor mutuală L 12 şi rezistenţele lor R 1 şi R 2 •

/(1 Rz f(t

j LV lf 9

jwldt

Fig. 5b.3 N1::.N2 =l

ab
Fig. S6.4

1 V. R. R ă du l e b Bazele teoretice ale electtotehnicii, vol. [V, Efectul pelicnlar in con-
dttctorul cilindric, rezolvat prin me toda integrării ecuaţii lor cîmpului .

EFECTUL PELJCULAR 4!3

Se observă că dacă se descompun fluxurile proprii (v. şi par. 27.1, voi. I) care înlănţuie aceste
conductoare (prin suprafeţr· mărginite în exterior de rex) într-o parte utilă (corespunzătoan·
liniilor de cîmp care înlănţuie şi celillalt conductor) şi o parte de dispersiune (corespunzătoare
liniilor de cîmp ~are înlănţuie num ai conduct.orul considerat),

+<l>u = <L>"l <l>d1; (56.2)

se pot de6ni induetivi tăţile astfel:

\ (56.3)

~ 1(L" L,,)

Pentru a >'Labili repartiţia curentului total I Între cele două conductoare, se scriu ecua -
(iile:

din care rezultă :

l (56.4)

J

Se con tată că repartiţia curenţilor în cele două conductoare, echivalente cu două bobim'

eup la te magnetic şi conectate îu paralel, e hotărîtă de rezistentele lor şi de reactanţele lor

el~ di~per:;iune. in acord cu schema echivalentă mai simplă din figura S6. i, b. .

In cazul celor două conductoare concentrice considerate mai su s, orice .linie de cîmp (dt•

ex. C2 --- fig. 56.3) care înlănţuie conductoml (2), înlănţuie şi conductorul (1) Jin interiorul
hti (2). Nu există deci flux de dispersiune a lui (2) faţă de (l), adică L:2 = O. Există insll
ale couductorului (l) care nu înlănţuie pe (2), (de ex.
lini i •le <·Împ aceste va lori r~part·iţia eurentului, (56.4), d twine : C1 - fig. 56.3). De acee"

/ ,_IJ of= O. Cu

(.)(J.5)

Se ,.,!Jser ă că eu cît frecvenţa e mai Jîlare, cu atît acest rapnrl dife ră de valoarea core&pun-

~.ă t.oare repar1iţiei de curent continuu, eurentuiJ1 fiind mai mic. Da eii 1(,l ~ co. 1--+0 şi [ 2-+ l.

a<li•;â îutrt'll;Ul enr('nt trec<' nuP1ai prin couductorul tubular exterior, în acm·d cu fenomenul
de d"ecl pelieular.

.56.1.2. Rezistenta echivalentă în curent alternativ si factorul în aher-
nativ. În cazul efectului pelicular, circuitul nu mai poate fi considerat fili-
form şi legea conducţiei electrice. nu mai poate fi pusă sub forma relaţiei (31.9) .
('arc rwntnl o latură pasivă tlevine :

(56.6)

lntr-ade' ăr. in acest.. caz, tensiunea în lungul firului =uj ~ E ds depinde

c
de- linia de curent C, în lungul căreia se calculează (între capetele conduc-
torului)" şi, ca urmare, rezistenţa conducto·rului nu se mai p·oate defini prin
relaţia (56.6) ca în curent continuu. Puterea activă disipată prin efect Joule-

414 CONDUCTOARE MASIVE

Lenz în conductor se poate însă calcula şi în cazul unei repartiţii neuniforme
a curentului, şi anume cu relaţia (55.17), respectiv (55.17'). Cunoscînd aceas-
tă putere, prin integrare pe volumul conductorului, respectiv pe suprafaţa
lui exterioară, rezistenţ.1 în curent olttrnat:v a conductorului se defineşte
prin relaţia:

(56.7)

~i este o funcţie de frecvenţă.

Cîtul dintre această rezistenţă şi rezistenţa R0 în curent continuu a acestui

conductor se numeşte factorul de creştere al rezistenţei în curent alternativ .:

=k a = Ra Ra( w) = k { '·'), (56.8)·.
R Ra(O) a ....,
0

~au, scurt, factorul în alternativ al conductorului. Acest factor depinde numai

.de forma şi natura conductorului şi de frecvenţă, şi determinarea lui reprezint2.

principalul obiectiv al cercetărilor în domeniul efectului pelicular.

În domeniul efectului pelicular slab (cînd a:?> a), factorul în alter··

nativ e puţin diferit de unitate şi determinarea lui se poate face cu metoda
a«iteraţiei (par. 56.2); în domeniul efectului pelicular net (cînd
a), factorul

in alternativ e mult supraunitar şi determinarea lui se poate face cu metoda

adincimii de pătrundere (par. 56.3); între aceste două situaţii extreme se

poate folosi numai metoda exactă a jnte·

grării ecuaţillor cîmpului.

:'ib.2. .Efectul peli(:ular slab în conductoruJ
cilindric, studiat cu metoda iteraţiei

/f Considerăm un conductor cilindric cir·
cular drept (fig. 56.5) de rază a şi de lun-
~1 gime l foarte mare (/:?>a), avînd conducti-
vitatea cr şi permeabilitatea magnetică [L,
.S 1 " {dr străbătut în regim permanent de curentul

~..-~--:IOA V2i = I sin (!)t ~ !. = I. (56.9)

Fig. 56.5 Alegînd sistemul de coordonate cilindrice (r;

e, z) din figură, se observă că din motive de

imetrie vectorii J şi E nu au decît corn·

ponente axiale, vectorii H şi B nu au decît
componente tangenţiale şi toţi aq,cşti vectori
nu depind decit de coordonata spaţială r Şi
de timp:

E = E(r,t) uz J = a E = J (r, t) v. (5 6.10)

H=H(r,t)uo B =ţJ.H = B(r,t}u6•

EFECTUL PELICULAR 415

56.2.1. Metoda iteratiei, aplicabilă în cazul unui efect pelicular slab,
consistă în următoarele ;

a) Se calculează cu legea circuitului magnetic cîmpul magnetic H0(r, t)
pe care I-ar produce curentul total J, dacă ar fi uniform repartizat pe secţiunea
conductorului (ca în curent continuu), adică cu densitatea omogenă :

cr E0 (t) = J0 (t) = i(t) = -I V-2 . wt. (56.11)
-1ta2 1t a 2
s1n

b) Se calculează cu legea inducţiei electromagnetice cîmpul electric su-

spulpimliemnetnatraEră1 (r, t) indus de cîmpul magnetic H 0(r, t) şi densitatea de curent
din curentul J 1 (r, t) = crE1(r, t). În acest calcul, deoarece J 0 a fost dedus

total I, densitatea de curent J 1 reprezintă o corecţie care nu
modifică valoarea curentului total, adică aduce o contribuţie totală nulă pe

.intreaga secţiune S a conductorului,

(56.12)

c) 1n primă aproximaţie se neglijează cîmpul magnetic H 1 (r, t), produs
-de curenţii contribuţiei
terminarea cu densitatea ] 1, din punctul de vedere al lui la de··
<Împului electric indus. În această primă aproximaţie se consi-

deră că densitatea de curent din conductor este

J(r, t) = J 0 (t) + J 1(r, t) (56.13)

i se calculează cu această expresie puterea activă de pierderi : (56.14)

HJ;fP = ~ ~ ) ~ (fo+}J2 dv = ~ dv ,

Vcond Vcond

-dl.ll care se deduce rezistenţa în curent alternativ cu relaţia (56.7) şi factorul
in curent alternativ cu relaţia (56.8).

În principiu acest mod de calcul s-ar putea repeta oricît, trecînd succe-
siv prin etape analoge cu a şi b (ceea ce explică denumirea metodei). De exem·

plu, pentru o aproximaţie mai bună s-ar putea calcula şi cîmpul n •. produs

de curenţii cu densitatea J 1 şi curenţii suplimentari induşi de acest cîmp, cu

+ +densitatea J 2 = crE2, considerîndu-sc că J ~ J0 J 1 J 2• Practic, calcu-

lele se complică atît de mult, încît metoda se foloseşte numai la efect peli-

«eular slab, în care caz 1 J 1 1 1J 0 1 şi nu mai e necesară o nouă iteraţie.

56.2.2. Determinarea intensităţii de curent în prima it~raţie.
a) Calculăm cîmpul H 0, aplicînd legea circuitului magnetic unei linii de
d mp interioare (f) de rază r :

~ H 0 ds = ~ ~ J0 dA sau 2n rH0 = TI r2] 0•

r sr

116 COND UCTOAR E MASIVE

~,.. uhţine :

(.)6 . 1.) )

b) Cah:ulăm cîmpul eleclrie E 1(r. t) indu!" de H 0 (r, t). aplicînd ],~~·'a

i ndut:ţiei electromagnetic<" eonlUl'ului 4BCD ·t (fiţ;!. 5().5). c11 aria infinit.:-

:~.imali"i 1 rlr:

~ E1 ds =

A BCI.U

~au

o-E-1 t.1r /! · i!H<]

LI' U - .
or .'1r.f)
:cc.-.l =- OI

Re:r.ult-:1 ecuaţia :

oE, It -iJo-Ht0• (.'>6.16}

-o-r =

care se putea serie şi direct cu rdaţiile (55.()), exprimind rotorul în coordonate
eilindrice. Cu relaţia (56.15) se obţine :

or-iJE1 =---= Jt r - d.J0
-
2 dt

c).Et (r, t) = +It -dJo ( -r 2 . , (56.17}
dt 2

unde C este o constantă de integrare. Cu legea lui Ohm se oh1inc densitatea J 1
a curenţilor suplimentari incluşi:

c).+.11(r, = = (~ (56 .18 )
t) <J E 1(r, t) GJt dJo 4
dt

Constanta C se determină din condiţia (56.12), care, cu dA = 27!rdr, se serie :

a (56.19)

~]1(r, t) rdr = O

o

~;au

4

~0 = 2 -a4 + C -a2 az
-r
( + C) rdr = 16 2 C =-- - · (56 20)
4
o ll

Cu relaţiile (56.18), (56.20) şi (56.ll) rezultă:

] 1(r, t) = UlCfJt J4·rVra2• ( 2- Ta2) cos cot = TIX2 JrrVa22 (r,2 - 2a2) cos wt, (56.2 l }

r

EFECTUL PELICULAR 417

unde am introdus parametrul a.= ..a!:. caracteristic studiului dmpului l"lt>ctro·

magnetic în conductoare masive (v. rei. 55.25).
c) În primă aproximaţie, densitatea de curent totală rezultă :

+ + a2)J(r, t) ~ J0(t) (r2 -
J1(r, t) = ~IVs2in w/, ot2 17t1~r22 2 cos cut. (56.22)

2

Dc•.arece aceste doua componente sînt în cuadratură, pătratul valorii efective
a r ezult an te:i e egal cu suma pătratclor Yalm:ilor efective ale componentelor :

(56.23)

56.2.3. Determinarea pierderilor şi a factorului în alternativ. Cu rela-
ţiile (56.14) şi (56.23) rezultă puterea activă de pi erderi pe lungimea 1

(cu dtJ = 2nrdrl),

1221 " ~ (rJ - ~}] rdr.

1ra4cr J( [1 - 4 4,
+P =
r2a2 (56.24)

o

Efectuînd integrala, se obţin :

a'J+ - ·2 4 (56.25)

tP =J-l 11 cx
1ta2 cr 48

Cu relaţia (56.7) rezuh, ă rezistenţa în curent alternativ :

(lRa= !_ = !:_ _!_ + cx4 a') (56.26)
J2 a 1ta2 4,3

şi deoarece rezisteuţa in curent continun este R0 = -l- , fact.oru) în alter-
(56.27)
a 7t a2

nativ rezultă : A r.k. = ~: = 1 + ()(::4 = 1 + f~

Deoarece cu această metodă am obţinut numai o primă aproxirna1ie, rezultatul e vala-
bil in măsura în care termenul de corecţie e mic faţă de unit a te, arlică dacă

a < a.
Tinind seama că :V- v-oc

1 -- ~~ --- j;.r.,a
= - - = V =W!J.CI (56,28)
= -a rrftJ.cr = \f7t(;.t, ll1JO 2n Io- a - - t
2· 10

rezultă pentrn factorul în altecnati expresia :

(56.29)

27- 1668

- - - -413 CONDUCTOARE MASIVE

La frecvenţe joase, factorul în curent alternativ diferă de unitate cu un termen de co-
recţie k.,- 1, care creşte cu pătratul frecvenţei şi cu puterea a patra a razei conductorului.

In paragraful următor vom vedea că la frecvenţe foarte înalte factorul din alt~rnativ k4 creşt~;

cu rădăcina pătrată a frecvenţei şi e proporţional cu raz" conductorn)ui.

56.3. Studiul efectului pelicular ueL
cu metoda adîncimii de pătrundere

Considerăm un conductor cilindric drept de secţiune transversală oare-

V2.care (fig. 56.6) străbătut de curentul i = I sin Cilt. Dacă frecvenţa e suficient

de mare şi raza de curlnuă a conturului secţiunii conductorului e peste tot
mare faţă de adîncimea de pătrundere, se
poate asimila local suprafaţa acestui conduc-
tor cu aceea a semispaţiului infinit şi puterea
activă absorbită prin unitatea de suprafaţă
este în fiecare punct dată de relaţia (55.37) :

p- = a' 2 (56.30)

-Hver
A aj

Puterea totală absorbită se poate determina
integrînd această expresie pe suprafaţa late•
rală a conductorului de lungime l, cu elemen-
tele de arie l ds. Se obţine integrala :

{cfH/"r P = l ~ ~ H~.1 ds, (56.31)

Fig. 56.6 r

r()fectuată pe conturul al secţiunii transversale a conductorului.

Cîmpul ll~ urmînd a fi determinat separat, cu împlinirea condiţiei impuse

de legea drcuitnlui magnetic

~ Hoe/ds = I (56.32)

r

(din cauza efectului pelicular net liniile cîmpului magnetic extcriot· sînt prac-
tic tangente la suprafaţa conductorului).

Dacă cîmpul magnetic exterior H~ e practic constant în modul în lungul

acestui contur, şi dacă p = ~r ds e perimetrul secţiunii transversale, expre·

siile (56.31) şi (46.32) devin:

P = pl 5: fPo.t şi 1 = pH0, 1. (56.33)
(J

Rezultă:

- pierderile de putere activă :

P = ..!. a ]2
pa

- - - - - - - - - - - - - - - -E-FE-C-TU-L -P-EU-C-UL-A·R-- 4 19
(56.34)
re:1.istenţa în curent alternativ :
(5o.35 )
R ,, =1p-' =cj-r -1

p(;

-- factorul în nnent altern ativ :

C1 po A

=---=
l pX

o-.4

\ - --~---?... rJ a a a
/(-. -L::1 ='-- : - - Fig. 56.8
\ ;; ir!J 2a ?

'"" '· Fig. 56.7

Exemplu : În cazu! conductorului cilinill:ic de , ecţiuue e1rculară (fig. 56.7) de rao:ă a,
.aria A = rr a2 şi p = 2rm, astfel că se obţ.ine :

= = 2 = 21ta2 a r-;::-
h:f«> [L.
k,, = 2rrao
a cw (56 . 36)

26

proporţional cu raza conductorului şi cu rădăcina pătrată a frecvenţei .
O b s e ,. v a ţ i e ; Teoria semispaţiului conductor infiuit arată că la suprafaţa conduc-

t orului densitatea de curent c proporţională cu intensitatea cîmpului magnetic exterior tan-
gential. De aceea, la frecvenţe înalte, curentul se concentrează în porţiuuile periferici conduc-
toarelor, unde cîmpul magnetic e mai intens- indiferent de faptul dacă această situaţie e rea-
lizată la margini interioare sau exterioare sistemului de conductoare considerat (v. fig. 56.8, a şi b)

RADIAŢIA UNDELOR
E L E C TROlVIAGNET I C E

. 11 DRAE DCIĂATTRIEA CUIRNCDUEILTOERLAEFLREECCTVREONMŢAEGÎNNEATLITCEE
57• l

I~a frecvenţe suficient Je înalte, cîmpul electromagnetic variabjl în timl}
se prezintă sub formă de unde electromagnetice care se propagă cu viteză
finită. Determinarea unui astfel de cîmp implică rezolvarea eeuaţiilor lui Max·
well (55.2 ... 55.5), completate cu legile de material (55.6), fără să se mai ne-
glijeze densitatea curentului de depla~an·. .P1·in inducţie electroma gnetică,
relaţia (55.3), cîmpul magnetic variabil în timp produce un cîmp electric, iar

prin efectul curen tului de deplasare, cîmpul electric Yariabil în timp produce
cîmp magnetic. Latum electrică şi latura magnetică a cîmpului se condiţio­
nează reciproc, chiar in vid, asigurînd existenţa undelor electromagnetice
independent de prezenţa corpurilor în regiunea considerată. Aceste Hude elec-
tromagnetice se pot " desprinde" de circuitele care le-au dat naştere, propa-
gindu-se la distanţe extrem de mari şi transmiţînd o parte din energia circui-
telor, sub o formă specifică cîmpului electromagnetic. De aceea, la frecvenţe
înalte are loc fenomenul radiaţiei circuitelor, prin care acestea pierd o parte
din puterea primită pe la horne, cerund-o undelor electromagnetice emise in
U1cdiul înconjurător.

Îu vol. l, paragraful 29.3 şi 29.4.1. am studiat cea mai simp lă undă electromagnetică .
~i IHmmt' unda electromagnetio;:ă plană, fără vreo preocupare referitoare la modul cum poate
fi generată o astfel de undă . In acest capitol vom prezenta problemele radiaţiei undelor de
către circuite, considerînd cel mai implu circuit electric radiant: rlipolul electric elementar
variabil în timp. Acest circuit se mai nume~te oscilalorul electric elementar sau m•cilntorul
lui Hertz, deoarece a fo st studiat şi construit pentru prim a dată de H. Hertz!, care a reuşii
(în 1888) să pună în e,·idenţă experimental undP-Ie electrom agnetice şi idf'ntitatea cn ele 1>
undelor luminoase, în acord cu prevederile teoriei elaborate de Maxwell (1865), după intro-
ducerea curent\J]ui de deplasare (1862) În teoria fenomenelor electrice şi magnetice.

57.1. Potenţialele electrodinamice retardate şi determinarea lor

Problemele radiaţiei undelor electromagnetice de către circuite d e carent
variabil se rezolvă mai uşor eu ajutorul potenţialelor electrodinamice ale eîm-
pului elrctromagnetic. Aceste pot enţiale generalizează pentru cîmpuri 'aria-

1 Pentru detalii privind expcrien\:ele lui Hertz şi aspectele experimentale în legătură
eu undele electromagnetice, se poate consulta şi Curs de Fizică Generalii, vol. 2, pa r. 24.0 şii
următoarele, de S. E. F r i ş şi A. Y. Tim ore va. ed. II. Ed. tehnică, 1955·.

- - - - - - - - - -·----- -·-· -·-
RADIAŢIA C ' WELOI ( E LECTRQ,\\AG:\ETJCE D E C.\TRE CIRCUITE LA FRECVENTE INA.LTE 42 1

bile iu timp mărimile derivate numite potenţiul magnftic v~:ctor (v. par. 20.4,
v oi. I) ~i potenţial electric scalar (v. potenţialul electrostatic, par. 6.4, voi. I)
introduse în studiul cîmpurilor staţionare, magnf'tice, respectiv electrice,.

Astfel, legea fluxului magnetic (55.5) c identic sat-isffi<:ută 1lacă SP intro-
<lw·e potenţialul electrodina.mic rector A•• prin relaţia

B = rol A. !57.J)

\,deuarcct· tii\· rot :=::: 0). Pc11t ru a tiP-fini însă mu voe un asemenea poten!ial,

mai este tH·ecsară impun er ea 'alorii mărimii div Ac, deoarece uu cîmp de
vec tori c ~:ompll'l caracterizat JLU numai de rotorul său, ci şi de div crgen!.a
.:<a. Cond.iţ.ia ca]'(; 1!-:>..ează tlivergenţa potenţialului vector se numeşte co ndiţi.;
de; etalonare a poteniiaklor electrodinamicc. În regim staţionar (rel. 25.2,
voi. I) s-a ales div A = O; în regim ?:cneral v<uiabil se va utiliza o altă ,•ontli -
ţie, (57.7).

Introducind n·laţia (57.1) în t·xpro>;.ia hwală (55.3) a legii irl'lucţif·i l.'lc· ~ ­

• ronw;:;neticc·, reznltă n·laţia :

(E., ' -a;- ornt ." -1- iJ ') = .

<: arc ;o:tabilc::;tc earacter.nl poteuţial al '· ~c tornlui Jiu paranteză (deoarece
<rot grad ::::= 0). Se poate dc('i intmdn1·t> un potenţial P.lectrodinamic scalar V,

p rin rclatin

E + â-OAt , ""' -·- :':·--'Tat t f/ ~a u E -- -- iJcAt,. - grad V,. (57.2)

l'

n.claţiilc (57.1) şi (57.2) reprezintă alte moJuri de fmmulare ale legilor fluxului

magnetic ~ i inducţiei electromagnetice - ~i permit calculul cîmpurilor E şi

B, dacă se cunosc potenţialele clectroilinamice A c şi V•.

t P eenlet,ru'Înahadzeatercmelionralalatceedsloeuăp oetcewn~ttiiaile~letrleubiu ie să sta b(i5li5m.2)ceşi ecuatii sa-
isfac M axwell, (55.4). Ne

>Om referi numai la medii omogene şi liniare în care sînt valabile legile de ma--

t r•rial (55.6) . eu ajntontl cărora ecuaţiile (55.2) şi (SS.4) iau forma:

mt B = !lJ -+ .:u. cE (57.3 )
\ Ot

tii,· E =- -1 Pv· (57A·)
e

p rr·,•tpuuiud cunoscute repartiţiile de sarcma Pv(t·, t) şi de curent J (r, t).
Cu relntiile (57.1} şi (57.2). l eţea circuitului magnetic (57.3) se scrie:

av.)'~A,.·-<=!J. iPctA2. = - !LJ + grad (div A, + Z!l ct (57.5 )

ăaJ legea fluxului electric (57.4) I'C' scrie :

av.).~V - .::u. 02v. = - .2:_ p. - .!..ldiv A + zu. t5 7.6)
e r Ct2 E: V Ot t • OI

dacă se foloseşte identitatea ...-edorială \55.9), cu n·laţia (5S.9') .

422 RADIAŢ I A UNDELOR ELECTROMAGNETICE

Ace tea sînt ecuaţiile care trebuie rezolvate pentru a determina poten-
ţialele electrodinamice. Rezolvarea lor este îngreuiată de faptul că ambele
funcţiuni necunoscute A.(r, t) şi V.(r, t) apar în fiecare dintre aceste ecuaţii .
Se poate însă folosi acum o condiţie de etalonare, care să precizeze valoarea
lui div A,, astfel ca rezolvarea ecuaţiilor să fie simplificată. Lorentz a obser-
vat că cea mai avantajoasă este condiţ.ia :

~1 cliv A.+ zv. = O, 1 • (57.7 )·

numită condiţia lui Lorentz. Cu relaţia (57.7) se completează definiţia poteu -
ţialu.lui electromagnetic vector şi rezultă pentru cele două potenţiale electro -
dinamice ecuaţiile :

(57.B}

(57.9)

numite ecuaţiile undelor neomogene (tridimensionale).

Se observă că în regim stationar ecuatiile de mai sus trec în ecuaţiile lv i
Poisson pentru potenţialele A' şi V
'

l\V = - -1 p, (57 .10)

e

ale căror soluţii (în cazul unor surse p"(r') şi J(r') ocupînd un domeniu măr~
ginit din spaţiu şi a anulării tuturor potenţialelor suficient de repede la in·
finit) au forma "coulombiană".

4A(r) = ;: ~~~ J~') dv ', V (r) = ~~ )~~ Pv~') dv', {57.] J)
V® V®

unde integrarea se extinde în principiu la întregul spaţiu (v. rel. 9.19 şi 25.12,
voi. 1); de asemenea, condiţia (57.7) trece în condiţia (25.2) de anulare a di-
vergenţei potenţialului vector. În analogie cu expresiile (57.11) se demon-

strează că ecuaţiile cu derivate parţiale (57.8) şi (57.9), cu p" (r', t) şi J(r', t),
diferiţi de zero într-un domeniu D mărginit din spaţiu, ocupat de circuitele
eare radiază, au soluţiile :

A.(x·, t)= J(r', t - V~ R) dtl' (57.12 )
R

şi

J'JV (r t) = _1_ ((( Pv(r', t -V~R) dv'.R (57 .13}
e ' 4·ne:

Voo

RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE DE CATRE CIRCUITE LA FRECVENŢE JNALTF 423

în cazul cînd se consideră că potenţialele şi cîmpul se anulează suficient de
repede la infinit.

Expresiile de mai sus au următoarea semnificaţie : calculul potenţialelor în punctul curent P

(fig. 57.1)- avînd raza vectoare R faţă de elementul de volum dv' din punctul P', cu

Pv(r ', 1) şi J(r', 1), În raport cu care se integrează- şi în

momentul t. se face în funcţie de valorile pe care le-au t.l'

avut densităţile de curent şi de sarcină din P' Într-un mo-

ment anterior :

t' = t - ~tr:!-J.R = 1 R. (57.14)
t --
c

Ht>ta:rdarea

V-t - t' = c: !J.R = -1 R (57.15)
c

e egală cu timpul necesar propagării unui semnal pe d's·
tanţa R cu viteza constantă :

1 = - -1 - - -1 - = 1 (58.16)
c- - - ---c
- Ve:[J. Ve:r!lt Ve:o!J.o Ve:r!J.r o•
o
care este tocmai viteza de propagare a undelor electromag·
Fig. 57.1
netice libere în mediul omogen de permitivitate e: = e:,e:0 ~i
permeabilitate !J. = !J.r !J.o·

Expresiile (57.12) şi (57.13) ale potenţialelor electrodinamice ilustrează deci transmi-

siunea cu viteză finită a acţiunilor fizice : fiecare element de corp avînd sarcină sau curent con-

tribuie la valoarea potenţialelor din punctul P cu o retardare (întîrziere) egală cu timpul ne·

cesar unei unde electromagnetice libere pentru a ajunge din punctul P' în punctul P. De

aceea, potenţialele (57.12) şi (57.13) se mai numesc potentialele electrodinamice retardale.

Ele se pot calcuJa dacă se cunoaşte repartiţia curentului şi a sarcinii în fiecare moment în

cuprinsul corpului (circuitului) care radiază. Cele două repartiţii nu sînt însă independente

din cauza legii conservării sarcinii :

di J(r,t) ae+ a Pv(r,t) = O. (57.17)

De aceea se foloseşte num11Î una din integralele (57.12) sau (57.13) şi celălalt polenţial se de-

<duce din condiţia lui Lorentz (57.7).
Dacă pentru t O corpul considerat nu era parcnrs de curenţi şi nu avea sarcini elec·

t dce, o·ezultă eă funcţiunile Pv şi J se anuleaz.ă

(57.18)

<pentru t' = t - 1 R. O. În to. tă regiunea din spaţiu ale cărei puncte P satisfac în mo-

-
c

mentul t condiţia

(57.19)

(unde It " diMtanţa de la P la cel mai apropiat punct al corpului D), nu există încă unde

eJectromago<'.tiee. u""'"""Cft potenţialele rezultă nule. Suprafaţa Lo cu ecuaţia :

-----J57.20)

--------

424 RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE

e Jocul geometric al punctelor P pentru care cea mai mică distanţă Ja corpul D e egală cu
distanţa pe care o poate străbate unda în timpul t (măsurat din momentul în care apar sar·
cini şi curenţi în corp). Ea se numeşte frontul undei, deoarece separă regiunea din spaţiu unde
a ajuns unda de regiunea din spaţiu (57.19) lipsită de cîmp. În figura 57.2 sînt reprezentate
liniile cîmpului electric şi frontul undei pentru un dipol electric elementar (v. rşi par. 57.3),
al eărui moment electric variază sinu•oidal in timp începînd cu momentul t = O.

Fig. 57.2

57.2. Rezistenţa de radiaţie a circuitelor

Ca urmare a radiatiei undelor ]a frecvente înalte de către circuite, aces~
tea pierd putere, pe ca;e o transmit undelor ~adiate. La aceeaşi valoare efec"
tivă a curentului I primit pe la horne, în regim sinusoidal, puterea activă pri-
mită pe la home :

(57.21 )

(unde Re e rezistenţa echivalentă a circuitului considerat) creşte la frecvenţe
inalte, datorită pierderii d e putere prin radiaţie P,ad• Rezistenţa echivalentă
a circuitului este mai mare decît în regimul în care radiaţia e neglijabilă cu

valoarea

R - P,.. ~ (57.22)

rad-p'

numită rezistenţă de radiaţie.

Un exemplu. cu totul particulaL-ilu,stten,U. 1'-.rptul că apariţia rezistenţei de radiaţie e
o_co~ţă a~ard:llrii-dio..ut:aleîn paragraful precedent. Considerăm în acest scop o spiră

RADI AŢIA U ND ELOR ELECTROMAGNETICE DE CĂTRE CIRCUITE LA FR ECVENŢE I NALT E 425

liliformă (fig. 57.3, a) dtJ dimensiuni foarte mici, alimentată în regim sinusoldal cu tensiu··

nea !l, care absoarbe curentul J.. Din cauza retardării, inducţia magnetică din punctele unei
rs uprafe ţe S sprijinită p~; contunu al spirei nu mai este în fază, d rămîne în urmă faţă de
-curent. Ca urmare, fluxul magnetic ~ prin acea suprafaţă e defazat in urma curentului l. cu

unghiul et. care creşte cu frecvenţa (d eoarece retanlările corc,.ptmzătoare diferitelor puncte repre··

zintă fracţiuni din ce în ce mai ma:ri din pe-

doada T=l /.f) . Inductivitatea L a spirei

t rebuie definită acum numai în funcţie de

componenta fluxului în fază cu curen tnl

{v . fig. .57.3. b) ~i se poate scrie:

cn <.[!= L[ -- jt\T

A = A ((t)) (:\7.23)

( ur.de A e factorul de proporţ.iou ..litate uJ

-componentei flu"u]ni defazat:1 eu ~ în urnH•

c urentului).

Ecuatia drcnitulni În valori instau
ttmee fiind

dlj) (.57 ,2;1)
tt = Ri -t--

dt

~e J:eprezintă in complex enb forw;o :

(.57 .25) b.
Fig. 57..{
şi înlocuind expresia (57.:!3) n llu -:ului,
.i evinl':

Se obţine pentru spiră imped:mţn cchivalenti:i :

(57.27)

c<Jre~<pTmză toare rezi~tenţei echivalente :

(57 . 21! )

ia ca:re primul termen e rezistenţa R a conducton1lui (tnlcnlată ~H"IJtual cu luarea în ('OU·
•iderare a efectului pelicular), iar

R rad = (t)t\, ( 57.29)

c rezistenţa rle radiaţ.ie, apărut.:i ea urmare a întîrzierii llnxului faţă de l'Ureu t .

57.3. Radiaţia oscilatomlui electric elementar

57.3.1. Potenţialele electrodinamice ale oscilatorului electric elementw-.
Considerăm un dipol electric (fig. 57.4, a), avînd momentul

p(t) = q(t)l = kq{t)I, (!l'i .30)

426 RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE

variabil în timp (cu direcţia invariabilă). Un astfel de dipol reprezintă un mo-
del idealizat pentru oscilatorul lui Hertz, compus din două sfere încărcate
cu sarcini q şi - q reunite printr-un conductor scurt (faţă de lungimea de
und ă), întrerupt la mijloc pentru legăturile de alimentare de Ia un generator
de înaltă frecvenţă (fig. 57, 4., b).

Dacă momentul dipolului, şi deci
sarcina sferelor, variază, în conductorul
de legătură apare un curent electric
de conducţie :

t. = -dq= -ldp (57 .31)

dt l dt

l.t .,

~-Jp·H~ jr'l - ; F'îg. 57.5
-q - -q-:~j

a. /J.
Fig. 57.4

Potenţialul electrodinamic vector intr-un punct P cu ra~a· vectoare R faţă
de dipol (fig. 57.5) se poate calcula cu relaţia (57.12), care cu (58.16) se scrie:

(57.32)

Deoarece vom considera cazul limită al unui dipol elementar cu l-7 O (prac-
tic cu l .:;g:: R), putem considera densttatea de curent în fază şi rcpartizată

uniform pe volumul 6-V = 6-A.l al conductorului. Cum în acest caz JllV =
= JllAl = ilk, rezultă pentru potenţialul electrodinamic vector expresia :

. l) (57.33}

1

A, = L k i ( - -;; R l,
4Jt R

sau, deoarece l!.. = dp = p• (v.57.31 ),

-
dt

(57.34}

- - -- - - - - - - - ---- - - - - - - - - - ·----~------

RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE DE CATRE CJRCUITE LA FRECV E NŢE I NALTE 427

cu. unica componentă diferită de zero după axa dipolului, aleasă
axa Oz. (57.35)

;(t- ;n)
A.z (r,t) = J:_ =J:_ [?) .
4rr R t.rr R

ln relaţiile de mai sus am notat cu punct deasupra derivatele în raport cu
(t- 2. R)timpul j = df ale funcţiilor de timp şi cu [f] = f
dt c valorile retardate ale

funcţiilor de timp. Potenţialul electrodinamic scalar se poate deduce din

relaţia (57.35) şi din condiţia lui Lorentz (57.7):

av,= - _!:_divA= - _!_~ =- -1-!__OA oz ( ţ ( t - -1R . ) =- ..!.. !_ (; J .
c} (R)
â& • fl e >: !J. i)z 4-n;.: âz
4rre: R

Deoarece . p.. = d2p)
1cu
1 -
dt2

a,; ( t - -1 R ) a( t - -1 R )

~- ~ c - =[p] _ _ _c _ = - _.!:_ [p] aR = _ I'Pl cos 6 (57.36}

oz 02> (! 02' c

!. (2.) = _ _!_ an =- _!_ cos 6 (57.37)
oz R R 2 âz R2

se obţine :
(!)oVe = ~ _ ~ ii(pj _ __!.__ [p]!__
4m: R oz = _!_ ([,j]cosO +Lp] cos8)

iJt 4m; iJz R 4.rre: R2 cR

şi integrînd {cu constanta de integrare nulă pentru ca potenţialul scalar să se
anuleze la infinit in acord cu relaţia (57.13), rezultă:

['P!V.(r,t) = _!_ cos 6 + L: 1]. (57.38)
4n:e: R cR

Din expresiile (57.35) şi (57.38) ale potenţ.ialelor elcctrodinamice ale di-
polului elementar rezultă imediat pentru cazuJ limită al regimului staţionar

(p = ~~ = O) expresiile

A.= O (57.39)

care corespund cîmpului strict electrostatic al unui dipol electric (v. rei. 4.16,
voi. 1) de moment p.

57.3.2. Cîmpul de radiaţie al dipolului elementar. Cu relaţiile (57.35) şi

(57.38) introduse în expresiile (57.1) şi (57.2) se pot calcula vectorii Eşi H = 1 B

.IL

423 RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE

----- -------------------------~--------------------------

in orice punct din spaţiu 1• Nu vom face aici calculul decît pentru acele
<Componente ale cîmpurilor electric şi magnetic care ubsistă la distanţă
foarte mare de dipol, adică pentru acele componente care scad cel mai încet

cu distanţa. Acestea sînt componentele care scad ca ...!... cu distanţa şi care

R

se vor obţine din relaţiile care dau cîmpurile :

E = - grad V - âA, • H = __!._ rot At • (57.40)
r âi ' fL

dacă la derivarea în raport cu coordonatele spaţiale se vor neglija derivatele

lui_!_ şi _.!.._ care dau puteri negative de ordin superior ale lui R. În decursul

R R2
calculului vom avea nevoie de expresia gradientului unei funcţiuni scalare

1> în coordonate sferice (în care nu mai punem termenul cu ~ , deoarece,

â<p

din motive de simetrie cilindrică - v. fig. 57.6 - variabila q; nu apare in

expresiile potenţialelor care se derivează)

"!'!rad <1> = n R a~D + •·a -R1 -iaNe> • (·r·>.:7 Al }

a- .R .<;;<

Se observă că derivarea în raport cu 9 introduce un factor în .!_ . Cum ex-

R

Presiile potentialelor contj11 termeni în ...!. si __!._ , derivat'ea in raport cu
'' R2
R'

v(; va duce, IA n expres1'ile cA1m·puril' or.. ~- a termeru0 mA -R12 Şl0 -Rl·•, care pet t ru zona

depărtată de dipol pot fi neglijaţi. De aceea, pentru zona depărtată gradien-

tuJ are expresia :

,".,r ad (I> ~ o<P (57 .42 )

u R a- R •

la f!erivare tot,i fal,torii in ...!. si_!_ fiind considerati coustan p.
R' R2
''

Cn relaţiile (57.34), (57.38), (57.40) şi (57.42) rezultă eu (r;J.I = lfc2) :

=E = - -1- grad (cos () (p] +cos [ j. 1) - J:. k [ii)
4r:~ R2 R c 4rr 1?

un=s~- _ I _ U R 1 cos oipl +COd 9 O[ Jj]] - J:. k

4ne R2 oR Re oR 4n N

"'='--l - U Rco-s -9 [p''] ( - -1 ) - [-J.k [-jl] ~ kJ)1• [ p") [U RCOS vn - .
4 rre Re c 4rr R 4rrec·R

şi, deoarece

k = U R COS{:) - ne SÎn (), (5 7/13 )

1 V. R . B. ă d u 1 e h Bazele teoretice ale electrotehnicii voi. [V, Tipografia şi Lito·
.grafia Ministerului În:văţămîntului, 1956.

~AD!AŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE DE CATRE CIRCUITE LA FRECVENŢE INALTE 42[1

se obţine pentru cimpul electric în zona depărtată, numit şi cîmp electric (/e
:radiafie~ expresia :

- - - - - - - - -- - - · - - -- - - -·-·-- - -
R]Er od
1 IJ:J sine lla = -1- -bin-a p.. [t - -1 u~ {57.44)

=--
4·rr<: ' 2 R 4rrzc 2 R
c

Analog, cu relaţiile (57.34}, (57.40) şi (57.42) rezultă:

H c= _!_. rot{k [FI) = __!__( grad [p] .) X k = - 1- o[p]uR X k
~ lR 4rr R 4rrR oR

fE = --- -·_J -. (p) U R X k
irrRc

II R X k = - ti'P sin 6, (57.45)

se obţine pentru cîmpul magnetic în zona depărtată, numit şi cîmp magn€tic
iie rcd.aţie, expresia :

= - - n)1 Hrad

1
1 [p"] -sin- e U,r = ~1 -sin-e p.. (·t - -1 Urp 1 · (57.46}
4rrc R 4rrc R c

-----·

Se observă (fig. 57.6) că în zona depărtată unda radiată e o undă traus-

versală, cu vectorii cîmp per-

pendiculari unul pe altul şi pe

direcţia de propagare radială,

de versor uR (v. fig. 57.6).

Vecto -ii Erad , H,. d şi u R formează

un triedru drept, iar cîmpurile

Eo ra d (r, t) şi Hq>r-d (r, t) sînt în
fiecare moment şi în fiecare punct

proporţionale, raportul lor fiind

egal cu impedanţa de undă a me-

diului (v. rei. 29.26, voi. I).
vf.t _,. _(Ee) = -1 = ~te =
li'f' rad ee - - '>-

e

=~ V~ Vi; =
~r ea
V;;= 120..
[Q] _ (57.47)

Er

Densitatea fluxului de energie,
adică vectorul lui Poynting e ra-
dial, adică e dirijat în sensul
propagării undei,

S = ExH = nRSR(r,t) Fig. 57 .6

- - - - - - - - - - - - ---- - - - - -- - - -- -

430 HADIAŢIA UN DELOR ELECTROMAGNETICE

R)cu
S R (l',t)= (E 6FIcp)rod = 1 s-in-2 6 p.. 2 ( t- - (57.48)
R2 c
"

(4rr)•e;c3

fiind invers proporţional cu pătratul distanţei R şi proporţional cu sin2 (1,_
Radiaţia energiei se face deci directiv şi e maximă în planul perpendicular
pc dipol şi nulă în axul dipolului. Se mai observă că pentru domenii nu prea
mari faţă de R, mărimile 1/ R şi sin 6 variază foarte puţin, şi uuda radiată
are toate caracter isticile unei unde plane cu direcţia de propagare radială
(v. par. 29.3 şi 29.4.1, din vol. I).

_Pentru a rmtea aprecia distanţa R fală de dipol, la care numai cîmpul de radiaţie (cu
mărimile de cîmp în l /R) nu este neglijabil, ar trebui să fi făcut calculul exact al tuLuwr termeni -

lor. Acest calcul poate fi evitat, dacă se observă că o aproximaţie de acelaşi ordin s-ar fa "
în expresia potenţialului (57.38), dac{t s-ar neglija primul termen, în 1iR2, faţă de al doilea,
in 1 JR, ceea ce se poate dacă

(57.49)

H~a că ~in regim periodic sinusoidal derivarea introduce factorului w = 2rrf,
n1purtull 1

pe de ordinul de mărime al ffrecYen ţ.ei : 1 1 ~ f 1p 1 . Cu aceasta, condit-ia (57 A9) ,Jevine :

1 ~ f = 1 sau 1 R ~ ), 1· (57.50)
-c
-R_ -')..

Rezultă că predominarea cîmpului de radiaţie are loc la distanţe R de dipol, "uficient de

mari faţă de lungimea de undă de lucru. Inegalitatea inversă va exprima condiţia posibilităţii
neglijării cîmpului de radiaţie, adică a po~ibilităţii de a calcula cimpul ca în regim r:ua~istaţionar :

R ~ )... (57.50')

Regimul cuasistaţionar poate ji utilizat la calculul cimpului in l~(ara circuitelor numai petttru
cazul cînd dimensiunile lin iare ale acestora sînt mici faţă de cea mai mictl lungime de undă de
lucru..

57.3.3. Rezistenţa de radiaţie a dipolu.lui electric elementar. Pentru a
..:alcula rezistenţa de radiaţie trebuie să evaluăm puterea medie radiată de
dipol în regim Rinusoidal. În acest caz vom considera curentul origine de fază

V2i = I sin cut = dq (57.51)
dt

şi vom obţine, cu w = 2rtf = 2rt ;:_ •
).

J V2 iV2 +[ij] = l [ :: = 1wl [cos (tJt) = f wl sin ( U\t -- 2rt ~)

Componentele cîmpurilor din relaţiile (57.44) şi (57.46) vor avea forma:

+ -EOrad 1t)
= I-l4wr-r]efc-f2 -si-n6- sm. ( wt - 2rt R- (57.52)
2
R Â.

--w- += 2H
(jlrad
~Itw )12- sin 9 sm. ( <•>t - 2rt RÎ n) (57 .53)

RADIAŢIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE DE CATRE CIRCUITE LA FRECVENTE TNALTE 43i

Oenl'litatea instantanee a fluxului de energie rezultă cu relaţia (57.42):

~C.,f R( r, t) = + -1 1'2[2 w"·2 -sin2-9 s.m2 ( wt - 27t R- 7t' )
(4n)2u3 R2 1 i.. 2

SR(r.t) =J-2[-2j-2 '~"in-2 9 [l+eos ( 2CJll -- 4rrR- )] • (57 .54)
4e:c3 R 2 'A

tal valoarea ei medie p1~ o perioadă :

= - - - - ·-; J212.f2 sinZ 9 (57.5S)

SR

4e:c3 R 2

Integrînd această expresie pe suprafaţa sferei :E de rază R (fig. 57.6), eu

dA = R2sin 6d6dcp), se obţine expresia puterii active radiate de dipol :

Cu 'A= c ff ţ;Î (57 .47) re:wltă, pentru rezistenţa de radiaJie, expresia:

J2V; ll!V(J.rR _ VfL~o
rad -
g27t'( )l;" ; = 321t ( );l"}:2 1V1~;,. = so 2( ~ (57.57)
7t Î

(în care 1 « Â pentru ca dipolul să poată fi considerat elementar).

ELElţfEN'l'E DE 'l 'EORI.E
1\IIICROSCOPICĂ

58. 1TEOlUA ELECTRONILOH

Teoria fenomenelor electromagnetice, prezentată în primul volum al
acestui curs şi ale cărei principale aplicaţii în tehnică au fost studiate pînă
acum, este teoria macroscopică, fenomenologică, a cîmpului electromagnetic.
Caracterul ei macroscopic rezultă din faptul că în această teorie nu se ia în
considerare structura la scară atomică a materiei, ci se admite un model con·
tinuu al acesteia. Conform acestui model, toate proprietăţile fizice locale sînt
caracterizahile prin repartiţii continue în spaţiu, cu evoluţie continuă în timp,
iar discontinuităţile care se manifestă uneori (de cx. la marginea corpurilor)
pot fi totdeauna tratate drept cazuri limită ale unor foarte rapide variaţii
continue. Caracterul ei fenomenologic rezultă din faptul că admite ca pre-
mize fundamentale, principii, proprietăţi şi relaţii obţinute prin analiza mo-
dului cum se manifestă fenomenele fizice la scara simturilor noastre - fără
alte ipoteze care să nu poată fi verificate direct (cel puţin în cazuri parti-
culare), prin experienţe efectuate la a'!eastă scară.

O astfel de teorie este esenţială pentru aplicaţii, deoarece asigură - măcar în principiu

- o interpretare nemijlocită a conceptelor ei fundamentale şi corespunde intuiţiei celui care

trebuie să o utilizeze. De aceea, ea constituie şi in zile le noastre baza teoretică a pregătirii ingine·

rului eleclrician.

Către sfîrşitul secolului trecut, teoria macroscopică clasică a cîmpului electromagnetic

era definitivată în trăsăturile ei esenţ.iale, în principal datorită lucrărilor lui J . C. Maxwell (pentru

medii în repaus) şi II. Hertz (pentru medii în mişcare). Generalizarea făcută de H. Hertz. pentru

a putea extinde teoria lui Maxwell la medii în mişcare, admitea în fond următoarele i.>oteze :

a} Nu există vid absolut, ci numai un vid În sensul de stare limită de extremă rarefiere

a substanţei (materia corpurilor). De aceea fiecărui punct din spaţiu i se poate asocia un sistem

de referinţă privilegiat 50 (referentialul propriu) imobil faţ.ă de substanţa din imediata lui vecină­
tate. În acest referenlial se definesc mărimile electrice şi magnetice E , D, B, H. P, M,
J, Pv•

astfel că valorile acestor mărimi sînt indep endente de referenţiah~l S, utilizat pentru caracteri-

zarea configuraţiei geometrice şi a stării de mişcare a mediului. Ln particular, corpul de probă

utilizat pentru a măsura intensitatea cîmpului electric E într-un anumit punct e considerat

imobil în raport cu referenţialul propriu al acelui punct.

b) Forma cea mai generală a legilor cîmpului e forma lor integrală (v. rei. I, II, V, VI,

IX din cap. 31 şi prezentarea generală din par. 29.1, voi. 1), în care derivatele în raport cu

rtimpul sînt derivate suhstanţiale ale Îlltegralelor respective, curbele închi!e şi suprafeţele

TFORI _A f-LECTRO\i!LOfl 433

iuchise ::E fiind con,;itlerate ataşate mişcării locale a sub,tanţci. Numai astfel formularea legilor
e independentă de referenţialul S, faţă de care se măsoară poziţiile şi vitezele.

Deoarece la vremea cînd a fost elaborată această teorie se admitea un punct de vedere
mcca nicist, conform căruia cîmpul electromagnetic ar fi fost o stare de deformare specială a
unei o ubstanţe ipotetice extrem de "fine" numită "eter" - teoria lui Hertz, care prin ipotezele de
mai ~uo; identifica starea de mişcare a eterului cu starea de mişcare a I'Orpurilor, a fost numită

teoria eterului antrenat.
Cu toate succesele oLţinutc 1n unificarea interpretării fenomenelor electromagnetice.

l<' oria lui Maxwell şi Hertz ' prezenta - chiar pentru stadiul dezvoltă1· ii rnnoştinţ.elor fizice de
la pfîrş;tul veacul11i trecut - anumite deficienţe esenţiale.

Jn primul rînd. caracterul macroscopic al teoriei era depăşit de realizările teoriei atomice
a materiei. iumeroase experienţe puneau în evidenţă faptul că modelul continuu al substanţei
era nnmai o primă aproximaţie, iar ipotezele privitoare la alcătuirea corpurilor din atomi şi
JoJolecule, imaginaţi ca shteme de puncte materiale în mişcare în vidul absolut, reuşiseră să dea
o explicaţie unitară unui număr foarte mare de fenomene : legile combinaţiilor chimice, legile
t-lcctrolizei, legile gazelor (teoria cinetico-moleculară), legile căldurii (fundamentarea statistică

a termodinamicii) etc.
ln al doilea rînd, caractrml fenomenologic al teorh·i lăsa neexplicat!' numeroasele legi

de material, dintre care cele mai importante erau cele prh·itoarc Ia condncţia curentului P-lectric.
la polarizaţia f'lertrică a corpurilor şi Ia magnetizarea lor. În cadml unei teorii macroscopicc,
fenomenologice, legile de !Jla terial reprezintă proprietăţi primitive ireductibile din punct de
vedere logic la alte!P, adică neexplicabilc pe baza legilor generale. Dcvcnen din ce în ce mai
evident faptul că interpretarea microsropicii ll ·fenomenelor putea aducr nu ciştig însemnat în

•·•moaştcrea uaturii.
in al treilea rînd -- de~i teoria lui Jlaxwcll şi Hel"lz clarificase t:LtHtcroa,e fenomene privi·

toare la mediile în mişcare şi, în primul rînd, fenomenele de inducţie electromagnetică prin
mişcare (v. par. 22.3 voi. I) care stăteau la baza construcţiei maşinilor electrice - existau
"numite e:-.perienţe de optică şi electrodinarnica mediilor în mişcare 1, care nu puteau fi expli·
eate în cadrul acestei teorii (şi ~"are, toate, păreau a impune idcen eli ,.Ptcrnl" •m f' antrenat de
loc sau e antrenat numai parţial de corpttrile în mişcare).

Aceste delicienţe ale teoriei macro , copice cla,;iee au fo,t îo mar\! part înlăturate de
teoria mieroscopică clasică a fenmnenelor electromagnetice, datorită lui A.H. Lorentz (1895) şi
numită teoria ef,r-rronilor -- care a luat în considerare structura discontinuii la scară atomică

a eor~urilor.
În lumina cuuoştiuţe!or actuale dcoprc ,Lrudurn wateriei, proprietăţile ~i legile de mişcare

"''~celor. mai simple particule cuno~cute, (':ne intervin în accust:ă structură, sînt eu totul deosebite
de acelea ale punctelor materiale din meca uica clasică şi fac obiectul de studiu al fizicii cuantice.
Această fizică, dezvoltată în }Jrima jumătate a secolul ui nostru, a dus la concluzia că nu numai
'ubstan!a şi cîmpul electromagnetic poate prezenta la scarâ a<omică o structură discretă. De aceea,
teoria eleetronilor reprezintă doar o etapă intermediară a dezvoltărH unei teorii micro~copic••
~onsccvente, dezvoltare cari' ~f' cornpletl':tZă ast:izi în caflrul eleclrodinamicii cuanticP.

58. 1 -lt-lo-te-z-el-e- fundamentale ale teoriei electt·onilo1·

iu lumina concepţiilor moderne, care au eliruiuat notiunea inconsistentă
1lc "eter", ipotezele fundamentale ale teoriei lui Lorentz p~t fi formulate cum

urmea~ă :

1. Există ln scarii. awnâc<'i două .forme de materie : substan!a ş i cîmpu.l
electromagnetic. Substan[a are o structură discretă, fiind constituită din pa.rti·
cnle elementa.re2 care sînt în permanentă mişcare în âd. Cn un termen intro-

1 Fenomenul aberaţiei luminii (J. B r :1 d 1e y, 1728), experienta lui A. Fizeau (1851).

experienţele lui W. C. Roentgen (1888) şi A. A. Eichenwald (1903), experienţa lui I-1. A. Wihon
(1904). ' 'ezi, V. N o va cu, Introdncere în electrodinamică, voi. II, Ed. Acadrmiei R.P.R. ,1955.

2 Se zice elementară, o particulă care în cadrul unei anUtuite etape de dezvoltare a cunoş-
llnrdor fizice nu poate fi prezent:llii ca 1111 sistem de particule mai simplr.

1.!!- Jf)f>b

434 ELEMENTE DE TEORIE MICROSCOPICA

dus de J, Stoney, în 1891, Lorentz a numit electron orice1 particulă elemen-

tară încărcată electric. Cîmpul electromagnetic microscopic are o repartiţie
continuă în spaţiul vid dintre particulele elementare şi în interiorul acestor
particule cu care interacţionează.

Particulele elementare sînt reunite în sisteme de particule, avînd o mare stabilitate la acţi·
uni exterioare, numite atomi, care sînt neutre din punct de vedere electric. Atomii caracteri·
zează elementele chimice şi sînt grupaţi în molecule, caracteristice substanţelor definite. În
anumite condiţii (în electroliţi, în cristale conductoare, în gaze ionizate etc.) atomii pot pierde
electroni, care se deplasează oricît de mult în spaţiile interatomice sau sînt captaţi de alţi
atomi. Atomii sau moleculele cu electroni lipsă sau în exces sînt încărcaţi electric pozitiv sau
negativ şi se numesc ioni.

2. Particulele elementare electrizate sînt complet caracterizate din punct
dll vedere electromagnetic - adică din punctul de vedere al interacţiunii lor Cl.L
cîmpul electromagnetic- de sarcina lor electrică q"' (sarcina electl'ică mieros·

eopică).

Sarcina electrică microscopică e deci singura mărime pl"imitivă care - ·
în această teorie- caracterizează starea electromagnetică a corpurilor. Ea
e invariabilă în timp (fiecare particulă elementară perfect izolată în vidul
care o înconjură - par. 58.3.1) şi e presupusă repartizată continuu în interiorul
fiecărei particule cn densitatea de t'olum :

Pm-- 1l.m D.q.n (58.1 )
--
AVm 4 O Ll.V m

Celelalte mărimi de stare electrică şi magnetică a corpurilor cunoscute din teoria macro·
8copică (polarizaţia electrică, magnetizaţia, densitatea curentului de conducţie) trebuie să rezulte
ra mărimi derivate (v. par. 58.4) în cadrul interpretării microscopice a fenomenelor.

3. Starea locală şi instantanee a cîmpului electromagnetic e carcterizată de

două mărimi vectoriale : intensitatea microscopică a cîmpului electric e 2 şi in-
ducţia magnetică microscopică b. Aceste mărimi sînt definite prin intermediul

forţei microscopice F m• pe care cîmpul o exercită asupra unei particule elemen·

tare de sarcină qm şi viteză em:

(58.2 )

Primul termeu al acestei forţe e analog forţei {58·3 )
F = qE,

1 Astăzi s-a păstrat numele de electron numai pentru cele mai u~oare particule elementare
încărcate negativ. Particulele elementare încărcate pozitiv care intră în constituţia nucleelot
atomi lor sint de circa 2 000 de ori mai grele şi se numesc protoni. În condiţii speciale s-au pus în
evidenţă particule pozitive la fel de uşoare ca electronii şi numite pozitroni, precum şi particule
negative la fel de grele ca protonii şi numite antiprotoni. Mai există particule 'elementare
neîncărcate electric (de ex. neutrino) precum şi numeroase particule elementare nestabile

neutroni, mezoni etc...), încărcate sau neîncărcate.
2 Folosim litere mici pentru mărimile microscopice corespunzătoare unor mărim~ macro•

o.:opice notate cu literă mare. Dacă litera mică nu e disponibilă 11entru acest scop, folosim

indicele inferior m (de ex. q"" Pm).

----~-------;;:T""EOo:cR;:;ci:-;-A~EL~E::-;-c=TRONiLOR

-exei·citate de cîmpul electric macroscopic de intensitate E asupra unui corp de probă Îno

cărcat cu sarcina q in repaus faţă de mediul ambiant, extrem de rarefiat (v. par. 2. 2,

voi. 1). Al doilea termen ~ numit şi forţa lw Lorentz ~ are corespondentul macroscopic

.in forta

F = qv' X B, (58 ·4)

pe care un cîmp magnetic de inducţie B o exercită asupra corpului de probă menţionat,
<Iacă acesta se deplasează cu viteza v' faţă de mediul ambiant. E uşur de verificat că forţa
lui Lorentz exercitată asupra particulelor libere, a căror mişcare prin conductoare determină
curentul de conducţie macroscopic, are ca efect macroscopic forţa lui Laplace (v. par. 16.3,
voi. 1), exercitată de cîmpul magnetic macroscopic asupra unui element de circuit parcurs
-<lll curent.

1k Ecuaţiile cîmpului ele1:tromagnetic microscopic au aceea.şi formă ca ecua-
tiile lui NJaxwell pentru medii nepolarizabile în repaus din teoria macroscopică

(adică, cu rei. 55.2, 55.3, 55.4, 55.5, în care P = O şi M = O, respectiv D =
= z0E şi B = J.loH), termenul corespunzător densităţii curentului de conducţje

fiind densitatea curentului microscopic de convecţie:

(58 .5)

5. l'rfărimile primitive ale teoriei electronilor sînt definite, iar legile acestei
teorii sînt valabile, într-un sistem de referinţă inerţial privilegiat : acela faţă de
-care se măsoară viteza microscopică um a particulelor diu relaţiile (58.2) şi
(58.5). Acest referenţial privilegiat se mai numeşte siacmul inaţiallorentzian SL.

Acenstă restricţie nu este esenţială decît în cadrul cinematicii clasice. Dacă se folosesc
-rdaj.iile acestei cinematici pentru schimbarea coordonatelor prin trecerea la alt referenţial
inerţial, se constată că ecuaţiile teoriei electronilor (v. par. 58.2) îşi schimbă forma. Există
deci un singur sistem de referinţă inerţial, în care aceste ecuaţii pot avea forma postulată de
Lorentz şi fenomenele electromagnetice par a permite să se identifice experimental acest
referenţial privilrgiat. De aceea, în lumina interpretării mecaniciste a cîmpului ca stare de
Jeformaţie a "eterului", sistemul inerţial lorentzian a fost considerat imobil faţă de "eter",
care a fost imaginat ca o substanţă imobilă în toate punctele din spaţiu şi pătrunzînd pes-
te tot în vidul dintre particule şi în interiorul particulelor. Existenţa obiectivă a acestui
"eter" constituia deci o explicaţie a faptului că dintre toate sistemele de referinţă inerţiale
(egal îndreptăţite din punctul de vedere al fenomenelor mecanice), unul singur era privilegiat
<lin punctul de vedere al fenomenelor electromagnetice. De aceea, teoria lui Lorentz a wai
fost uumită şi teoria etcrului fix. Astăzi, după apariţia teoriei relativităţii restrînse (1905)
a lui A. Einstein şi în acord cu toate experienţele efectuate, se ştie că în cadrul cinemati-
cii relativiste ecuaţiile lui Lorentz au aceeaşi formă oricare ar fi referenţialul inerţial utili·
zat (v. şi observaţia 2 de la par. 58.2). Ipoteza "eterului" s-a dovedit inutilă şi in dezacord

<!U experienţa.

6. Proprietăţile macroscopice sînt proprietăţi medii, iar mărimile macros-
ocopice corespund valorilor medii ale rnărirnilor microscopice, valori medii calcu·

late pentru domenii spaţiale şi intervale de timp foarte mici la scară macros·
copică şi, totodată, foarte mari la scară microscopică, numite infiniţi mici
f,zici.

436 ELE.\\ENT E DF fFORlF MICRO~;CQPICA

58.2. Ecuaţiile Maxwell-Lorentz

~oli1m cu x"" Ynn zm coPnlunatdc microscopicc al•: nuui punct faţii d e
sistemul inerţin l con!'iderat şi eu l m timpul microscopic. Ecuaţiile cîmpulni

electromaguctie microscopic postu latc de r·eoria lui Lorentz (conform pct /1.
rlin pnragrafnl pr<-'rrr1ent) ;:i numite f!l"ll((ţiile ll'fu :nrPll-Lorentz ~înt

b-= J• + i1e (58.6)
(5fl."7}'
~~~ ­

flo (! f ,.,

ilh

(58.8)

divmb =O (58.9)

completate cu t~x.pres ia

(58.10)

Prima ecuaţie c forma locali! a. legi1: circuitului magnetic, a doua c forma
loculâ a legii inducţiei elcctrornagnetice, a treia c forma localâ a legii fluxului
electric, a patra e fomw locală a legii flu:wlui magnetic, iar ultima e forma·

localâ a legii acJiunii ponderomotoare a cîmpului electromagnetic microscopie.
adică relaţia (58.2) exprimată pentru nnita tea de volum f,. l'iinr1 densitatt>a
de Yolum a Cor~ci ruicroscopice.

U b s e ,. va 1 i i : l. Ecuaţiill' Maxwell-Lorentz (5U.6) .. . (5<l.Y) sjnt cu. totul aualogt<
ccuaţiilor l11i _\Iaxwell pentru medii omogene în repaus (55.2) ... (55.6). In acest caz .,mediul

omogen" este însă vidul (e = e:0, !'· = (l0), iar densitatea curentului de couducţic e înlo -

<·niLă ca dcnsitat!'a j = p",u ", a curentului microscopic de convecţie. Se pot defini .inten-
ijitalca microscopicii ·b a dmpulni magnetif' ~i inrlncţia electrică microscopieă •l prin relaţii
analo~c (55.6) :

(58 l J}

2. '.j.'inîud seau1a de acca,lii analogie, int!'caga teorie a undelor deelromagnetice pentriJ
medii omogene şi .În particular. teoria undei electromagnetice plane (v. par. 29.3 şi par .
29.1.1, voi. I) şi teoria pntenţialclor retardatt- (par. 57.1) rămîn valabile. Rezultă că undelr
<"ÎilJpului dcetroma~ncl.i'· mirroscopil' SI' propagă in ~ id. Într<' pllrticul<·. cu dte:r.a de fflz;!

(5B.l2}

fufd Je sistemul de referinţă Îll rure sînt valabile ecuaţiile (5!i.o), ... (58.9). 1n cadrul l'i-

nematicii clasice, aceste ecuatii puteau ~ă aibă acea~tă formă numai in raport cu tw
SÎil!<lll" sistem de referinţă inerţial. Măsurnrca vitezei de propagare a uuuclor electromag-
netice (şi deci a luminii) în vid ar fi putut deci să permită identificarea sistemului de re-
ferinţă privilegiat, sistemul inerţial lorentzian S : acela fa;ă de core viteza luminii ar fi avut
valoarea dată de reiatia (58.12). Lorentz a crezut că acest sistem e imobil în raport
cu soarele şi cu grupul stelelor fixe. Experienţele efectuate şi, în primul rînd, experienţa lui
Michclson şi Morley au arătat că viteza luminii are valoarea (58.12) faţă de orice referen-
ţial inerţial. Acest fapt experimental a fo~t considerat de A. Einstein (190.5) ca n lege a na-
turii. rn ajutornl cărria (pm,tnlînd ~i rgala Înclreptă1ir~ a tuturor si> l('melor de reft'rÎnţâ

TEO!(L\ ELECTRONILOR

inerţiale) a elabora t uoriu relativităţii restrînse. bazată pe o nouă ciuematică, in care ~el"­
ţia de simultaneitate şi, ca urmare, duratele şi di.tanţele &Îot relative la si.1temul de reft·-
rinţă inerţial, în raport cn care sînt considerate. 1n cadrul cinematicii relatiâste, t'cuaţiile
Afaxwell-Lorcntz au aceea,~i formă în orice ~istem de referin!ă ineq ial.

3. În lumina cunoştinţelor ac lnal e. deficienţl'lc tcorit•i electronilor ~înt acelea ale ori-

dicei teorii precuantice. care nu ia în eousiderare în mod organic microstntetura materiei
.pusă în evidenţă de efectele cuantice şi studiată de fidea cuantict1. În cadrul acestei fizici .
particulele elementare nu au proprietătile punctelor materiale din mPcaniea clasică (new-
toniană) şi nu evoluează după legile mecanicii clasice (v. ~i par. 60). To todntă, arcHc par-
1.Îcule pot avea şi moment magnetic (momen1.t1l magnel·ic intriscc, de spin) şi 1111 numai
sarcină electrică. l\lărimile caracteri~tirt~ particulelor şi sistemelor otaţionarc de particule
sÎnt cuantificate, adică pot avea valori aparţinînd unui şir discret. În particular. sarcina
-electrif"ii micr<>-<'opirii n pa~tiC'nh•lor ekmen!nrP poatP m-ea nnmni valo-riiP O. ..L !Jn ~i- q0,

tmcl<"

q., ~ 1.11.11)-'9(. ~ l·.H.l(J-lOFr. (.i8·1:1)

<in Fizică, g,1 se uotcază de obicei e). De aceea, ~istcmelc de particlllc a u o s u:ciui"1 car!' e
multiplul exact al valorii de mai sus, ceea ee a permis, d e altfel, şi mă;urmcn tlircf'tă a
acestei valori (experienţele lui :Millikan, 1911)1 . Cîmpul electromagnetic microscopic însuşi
poat~> manift>:ola o structură discretă , ca fiind alcătuit din particule elementare, numite fo-

Jorzi (fără masă de repaus şi fără oarcină electric{t), a căror probabilitate de prezen{fl În spn-
.(iu e cnrat:le:'izată de rcpartiţia con.tinu.r1 a cimpului caleulat cu rrtw!iil•• ,lfaxwPI!-l.nrr·nL:

58.3 . Aplicaţii

58.3.1. Conservarea earcinii electrice in teoria electronilor. Proprietatea de coibt:rvare
a sarcinii electrice este demonstrată ca o teoremă în această teorie. Astfel, dacă se ia diver-
genţa ecuaţiei (58.6) şi se ţine seama de ecuaţiile (58,8) şi (58.5) ~i de faptul că dh-crgenţa
•mui rotor e identic nnlă, ~e obţine

Aceasta e forma locală a teoremei conservarn sarcmu microocopice. Integrînd pe un volum

Vl:, mărginit de o suprafaţă închisă :S (fixă), reomltă, cu teorema lui Gauss-Ostrog-ratlski.,

.forma integrală n teoremei conservării sarcinii

(58.15)

Dacă suprafata 2: e dusă prin vid, astfel ca să înconjure complet o singură particulă de sac-

~ină q.", atunci În punctele acestei suprafeţe Pm Um = O, iar ~~~ Pm d1• = qw Se obţine

v:E

~au qm COllbl. (58·16)

Sarcina unei particule electrice microscopice e invariabilă în timp.

l V. E. V. Spolski, Fizica atomică, voi. I, Ed. tehnică, 1952.

438 ELEJ\\ENTE DE TEORIE /V\ICHOSCOPICA

S8 .3.2. Energia electromagnetică mierosropică şi fluxul de energie electromagnetică micro;,~
copică. Cînd o particulă se mişcă în CÎmpul electromagnetic microscopic cu viteza Um• for•
ţa elect.roma;:;netică (58.2) nu efectuează lucru mecanic decît prin termenul ci electric,
deoarece tennertnl magnetic (forţa lui Lorentz qm u X b) e perpendicular pe vite:ă. Dacă avem
un sistem de particule a&upra cărora acţionează numai forţe electromagnetice, creşterea
energiei cioNice W c a sistemului în unitatea de timp este deci egală cu puterea efectuată
numai de forţel e l'lectrice. Densitatea de volnm a acestei puteri fiind, cu relaţiile (58.10}
şi (5B . 5).

(58.17)

, crc~terca nt:f1"tci energii eineticc este dată de relaţin

= ~\~jedv. (51U!l}

vl:

unde V:!: c Hn n>lum care contine in interiorul lui sistemul de particule. Expresia je din re-

laţia (58.18) se poate transforma cu ajutorul ecuaţiilor (58.6) şi (58. 7) în aeelnşi mod ca
în teoria mncroscopică (v. par. 29.4, voi. I). Se obţine

b) - 20je =..!_b -ze~ =-- div 111 (e X !_ [~ + ~2 ]·
erotm ~ 2~ <:0
~ ~ ~

Înlocuind în relaţia (55 ·111) şi folosind teorema lui Gauss-Ostrogradski, se obţine forwa in-
tegrală a teoremei conservării egergiei electromagnetice în teoria electronilor

+ ..- -d-[ W , + ~~~ ( -ba ~~=2 e- -XdbA . (58.19)>

eLe ) dv]
dtm 2~0 2 ~o
V~ ~

Viteza de scădere a sumei dintre energia cinetică a particulelor W c şi energia cîmpului elec-
tromagnetic micro~ copic cu densitatea de volum

(58.20}

e deci egală cu fluxul de energie electromagnetică priu ~uprafaţă (spre exterior). adică eu
fluxul vecto-rului Poynting microscopic

s.,, = e-x-h = e X h. (58.21)

1-to

58.3.3. Conservarea e11ergiei unei particule elementare care se mişcă intr-un cÎlnp electro-
±magnetic staţionar. Considerăm o particulă elementară de sarcină qm =
q0 , eare se mişcă
într-un cîmp electromagnetic exterior, practic staţionar, cu intensitatea cîmpului magnetic

e ~ E şi inducţia magnetică b ~ B, practic invariabile în timp. Asupra parti culei se exer-

cită forţa electromagnetică (58.2}

+F = el: q11 (E u X B),

Lucrul mecan ic elementar efectuat de ciwp a~upra particulei îu deplasarea elementară
dr = udt eu "iteza u este egal. conform teoremei energiei eiuetice, cu vnriaţia acestei

energii

F clr F'u clt

TEORIA ELECTRONI LOR 439

unde m e masa particnlei. Înlocuind expresia forţei şi observînd că în regim staţionar cim-
pul electric e potential

-grad V, (58.22)

rezultă (cu u(u XB) = O)

i) .:ţ: q0 dr grad V = d ( m

Deoarece

d V = -av dx + -av dy + -av- dz dr grad V
ax (}y (}z

e creştetcl!t potenţialului cîmpului exterior în lungul elementului de arc dr, rezultă

(58.23)

a dică

(58·24·)

Î n mişcarea particulei considerate se conservă deci energia totală, compusă din energia
cinetică W c = mu2 /2 şi energia potenţială în cîmpul exterior

(58.25)
Dacâ particula a intrat in cimp cu viteza ini!ială nulă într-un punct de potenţial V0 , re·

zultă

sau
(58.26)

În modul, viteza u a particulei e univoc determinată în fiecare punct de diferenţa de
potenţial dintre punctul din cîmp considerat şi potenţialul de referinţă iniţial. Cu ajutorul
unei diferenţe de potenţial convenabile,particulele pot fi accelerate pînă la viteze foarte mari
(de exemplu în tuburile electronice).

Deoarece toate particulele elementare încărcate au (în modul) aceeaşi sarcină %• lu·
crul mecanic e acelaşi (în modul) pentru toate, în cazul unei diferenţe de potenţial date :
din relaţia (58.23) rezultă:

(58.27)

Se numeşte elec!ron-volt (eV) lucrul mecanic efectuat de forţele electrice asupra unei
particule elementare, care se deplasează între două puncte, sub acţiunea unei diferevţe

de potenţial de un voit. Numeric :

1 eV = 1f 1 = q0 ~1,6.10-lD J. (5ll.213)
V-Vo=l

58.3.4. Mişcarea unui electron într-un cîmp electric staţionar, transversal. Forma exactă a
traiectoriei particulei depinde de structura exactă a cîmpului electric, respectiv magnetic.

440 EL E M E NT !:; DE TEOR I E MICROSCOPiCĂ

y1 rela~ia (58.26) determinînd numai

T mod ulul vit ezei. ln eazul B = O.
E = E0 (constant în spaţ.iu). q = - q0
1 şi m = m0 (electron). e!'l<aţia de
mişcare este
"tJ .· qo·~•"'1"=-+=t-
lfo F = m0 du d1-
dt
Fig. 58.1 "'o - =

dt2

(:)8.29)

Presupurund viteza iniţială u 0 per·
pe liniile de cîmp (pro-
pendiculară

duse, de exemplu, cu un condcnsato:r

plan, v. fig. 58.1) şi alegind axele

ca în figură, cu E = - E0j, lJo = i u,,.
rezultă (proiectînd pe axt>)

m ud-u x- d2x o duy
dt mo - =
dt2 rrz.0 - - =

rlt

de uude

d:~

dt u"" =const. = a0

-- t:o ust. = __'!;_ E0t. (uy (11)
mo O)

P rin iutegrare Tezulti\ rcuaţi.ile pnram etricc (x(O) y(O)

y = -q-0 12

E .. - •
mo " 2

coresp un zătoare traiectoriei parabolice

La di tanţa x .:r =- - '·lo-Eo- x-.,.

2m.0 u~
1. devicrcu traiectoriei este

h = y (l) = <JuEo l".

2m0u5

Dacă U ~ E 0d c tenoiunea rlintre armăturile condcnsato.ru.lui, deviaţia rezultă proporţio­
nală cu tensiunea

(58.31)

Acesta e principiul deviaţiei electroslatice, utilizate în tuburile catodice. Cunoscînd viteza iniţială u0
(produ să cu o tensiune de accelerare şi calculată cu (58.26)) şi măsurînd mărimi ! e l..d, h. U.

se poate deduce experimental sarcina specifică a electronului ..!!2_ care rezultă

mo

c F'r (S l H 2 )

~ J ,751H011- ~ 5,27·1017
kg g

TEORIA ELECTRONILOR 441

Pe aeea~u ··rl le. cu valoarea (58.1 3) se poate <leiluct> ma;,a eleetronului

1110 ..5!2__ ~ 9. 1· 10 _,n l-.~ 9. J·JII ·tR ~ · (S!L:H)

-~

tn,,

Rda!ia (5!!.32) arată ca m particulde d"11wuta.-e <'unceutrareu ""rcimi eleetrice atinge va--
lori uriaşe, cu multe ordine de mărime pt>•h' 'al(lrile realizahilP mncrn•cnpic în laborator (in-
fl'rioare lui 10-a C jkg).

·O b • ~ r t' a t i e : La vi teze aprupiatt> de '1-Îteza luminii, .nasa electronului creşte in acorrl
<:'Il prcYedcrile teoriei relativităţii. Valoarea (58.32) e masa de repaus.

.)!l.3.5. lUişcarea unui clectron intr-un cintp magnetic transversal. În cazu] E = o
.R R0 (const<m l în spaţiu), q = - q,, şi m ·= m0, eeuaţia d e mişcare e. te

(:>!L$4)

Dacă viteza iniţială. u 0 c p uralclă cu inducţia magnetică, forla e m"reu nulă şi .mi~carea
•e rectilinie şl unifomă în lungul liniilor de cîmp magnetice. Dacă viteza ini tială e msa per-
pendiculară pe liniile de cîmp magnetic, forţa (58.34) e maximă şi abate direcţia d e mişca·re:
.Într-un plan perpendicular pe liniile de cîmp (fig. 58 .2).
ne Bo = kBo dirijat în lungul axei Oz şi Uo = Îlto dirijat în lungul axei Ox. Forţa e Coti-
ţinută merett in planul Oxy, care conţine şi viteza .iniţială. Ca urmare. traiectoria c con -
1inu tă în planul Oxy şi u!B în orice punct. Deoarece iutr-un cîmp rnagnPtic modulul -vi-
IezoPi <' constAnt (,-, par. 58.3.3.), rezultă că ~i modulul fortei c con• tant

(58.35)

O forţ.ă con~ t a nt5 în morlnl ~ i n o r mală mereu fHl viteză deterUJină Îl1•ă o a•·cel era ~it cent.ri-
petii egală. cn

Il

Il ...;;

J,. untle j {C)

H = tn0 u,.. ( .'i iUh) ~)t-~ -1~-"'--1-~
qoBo

Mişcarea e cu·culară şi uu;formZL
<'ll ' i teza unghiulară de rotaţie

w = -tr0= %- B-o · -,,H
R m0

Ecuaţia traiectol'iei - carr ~e p ut~a jtt ~- ---;_!_----! //
obţine şi direct prin integrare d in
rdaţia (58.34) - r!"zultă (v. fig. 58.2) 'l 1 1

R~ - ll, Fig. ~ ~ .2

442 ELEMENT E D E TEOR!E MICROS CO P ICA

iar deviatia y = h pentru x = l < R rezultă (58.37 )

h = y(l) = R + if.R2 - 12.

Acesta e principiul deviaţiei magnetice, utilizat în tuburile catodice, în care cîmpul B0 e pro·
dus de două bobine de deflexiune cu planul spirelor perpendicular pe direcţia lui B0 , aşezate
de-o parte şi de alta a tubului .

.58.4. Interpretarea microscopieă a mărimilor macrosCOf)ÎCe

58.4.1. Mediile macroscopice ale mărimilor microscopice. Din punctul
de vedere al interpretării microscopice, mărimile macroscopice sînt valori
medii ale celor microscopice, calculate pe domenii spaţiale şi intervale de timp
numiţi infiniţi mici fizici. Dacă ~® e un domeniu spaJial infinit mic fizic, eJ
trebuie să fie suficient de mic din punct de vedere macroscopic, pentru ca în

cuprinsul lui mărimile macroscopice să aibă o variaţie neglijabilă şi totodată.
suficient de mare din punct de vedere microscopic (să conţină un număr foarte
mare de molecule). Dacă ~t e un interva.l de timp infinit mic fizic, el trebuie
să fie suficient de mic din punct de vedere macroscopic, pentru ca în decursul
lui funcţiunile macroscopice de timp să admită o variaţie neglijabilă şi totodată
suficient de mare din punct de vedere microscopic (să fie mult mai mare de·
cît cele mai mari perioade ale proceselor care au ·loc la scară moleculară şi

atomică). Notăm cu (x, y, z) coordonatele spaţiale macroscopice, adică acelea

ale centrului C al infinitului mic fizic ~® de volum ~V, cu t timpul macros-
copic, adică timpul asociat mijlocului intervalului fit, cu (x111, Ym• zm) coor-
donatele spaţiale microscopice ale unui punct oarecare din fi®, cu tm timpul
microscopic şi cu ~. 'Yl• ~, 't" coordonatele :relative

!; = X - Xm, 'YJ = y - Ym• ~ = z - z"" '-: = /. ---- t ", . (58.38)

Fie <pm = cp (x"., Ym• Zm, tm} o mărime microscopică, funcţie de punct şi de
moment. Conform definiţiei valorii medii din calculul integral, media spaţială

Il funcţiunii la un moment microscopic tm dat pe domeniul ~® este

;• (tm) =:V ~~~ '.p(xm, y ", , Z 111 • tm) dx"'tl_y",dz"'. (58.39)

AŞj)

Această ~e~ie sp~ţ~al~. admite fluctuaţii rapide îu timp. De aceea, media
macroscop1ca a marimii microscopice e egală prin definiţie cu valoarea me-

die în intervalul de timp M a mediei spaţiale (58.39), adică cu

dt ;". (5 8.40)

TEORIA ELECTRON :LOR 41 :)

Înlocuind aici expresia (58.39) şi efectuînd schimbarea de variabile de integrare

necesară pentru a trece de la coordonatele x m, y m• zm, tm la cele relative (St$.38)

se obţine expresia

;p(:r. y . (58.4])

din care -rezultă imediat că media macros('opică rp e o funcţiune de coordona·

t ele macroscopice x, y, z, t.

O formă particulară importantă prezintă această operatie de mediere, dacă mărimea
microscopică q> este o mărime de stare a particulelor microscopice, fiind nulă în vid şi avînd

datii integrala pe volumul V pa rt al unei particale

~~~<l> = q>dxmd.Y m dz m (58.42)

Vpart

(d,; exemplu, Jen;;itatea de arcină a cărei integrală de volum e sarcina pa:rticulei). În aces1
caz. formula mediei spaţiale (53.39) devine

-s = -1 2~-<li,
LlV
'P

unde suma se extinde asupra tuturor particulelor din Ll<S>. Dacă martmea il> are aceeaşi
valoare pentru t oate particulele şi dacă !:1N = N v!:1V e num1\rul de particule din LlV, unde

N" = LlN/1::1 V e densitatea lor numerică, se oLţine

(58.43)

·Media macroscopică rezultă atunci

-t (58.44)
-- s ~l

<p = q> = N v <fl,

unde medierea din ultimul membru se efectuează acum numai in timp.

58.4.2. Interpretarea microscopică a intensităţii cîmpului electric E ŞJ
a inducţiei magnetice B din teoria macroscopică. Considerăm un cîmp electro-
magnetic de intensitate E şi de inducţie magnetică B într-un mediu extrem de
rarefiat (cu polarizaţie electrică şi magnetizaţia neglijabile), a cărui viteză
locală faţă de sistemul inerţial lorentzian este v. Dacă se aduce în cîmp un
mic corp de probă electrizat (şi nepolarizat) de sarcină electrică q, din punctul
de vedere macroscopic se exercită asupra lui forţ.a electrică (58.3), avînd pe
unitatea de sarcină valoarea

! = E, · (58.45)

q

cînd micul corp e mentinut în repaus fată de mediul ambiant. În aceste conditii
el are deci viteza v fată de sistemul in~rtial lorentzian. La scară atomică, as~­
pra fiecărei particule 'a corpului, cîmpul' electromagnetic exterior, de intensi-

144 ELEMFNTE DE TEORIE MICROSCOPICA

---------

"Late m.icrosco1•ică e 9i de indncţie rniuo:ocopică b, e:xP-reitil for\a micrn,;<'opicJ.
r•c{S8.2). şi deci
nnitatea df' sarcină forţa speeifii'ă

F-".-~ = e - Y 1

'h. 1).

Valoarea medi·e a. u.ce~tei jorje specifice microscopice detuminâ nqiut~t>a ponderv·
motoare macrosl·opică (:i3.·l5) fÎ tubuie tleci interpretatli Nl intl'nsilaiP a cîm-

,pului electric mru:ro.w·opi.c :

(;)8.4 7)

Dacă, .in condiţii î.n rest neschimbate, corpul de probă "t' 111i'i'eă ··u viteza v'

faţă de mediul ambiant, din punct de vedere macroscopic apar!' forţa supli-
1.nen lară (58.4), avînfl re unitatea flp sarcină va]oaTf'a .

F' , B. (58.48)

-= V

lf

In aeclea9i condiţii, la scară atomică, asupra fiecărc.i particule a ...:mpalui de

probă cîmpul microscopic exterior exercită o forţă magnetică :-;uplimentară

· (corespunzătoare vitezei suplimentare v' căpătată d,, toate part1rnlelf' corpului ),

-care re unitatea !le san~ină arr \·aloarea

y' h. (S8 .49)

Veoarec:e valoarea m edie a nce,;tei forţe specifice microsc:opice determină acţiunef1
pontleromotoare macroscopicâ (53.'18), oricare ar fi direcţia ~i mărimea 11itezei
·v', rr•zultă penlru indncţia magnetică marroscnpiril infl:<rpretaren :

(58.50)

58.4.3. Interpretarea microscopică a densităţii de sm·cma electrică şi a
.densitătii curentului electric de conductie. Asa cum se stie, particulele ele··
mcnta;e sînt grupate în sisteme numit~ aton~i, molecule; ioni. Moleculele şi
atomii sînt neutre din punct de vedere electric, sarcinile pozitive din nucleele

atomilor compensînd exact sarcinile negative ale electronilor de pe orbitele
,din jurul nucleelor. Particulele elementare care intră în constituţia atomilor
şi moleculelor se numesc particule legate şi nu aduc nici o contribuţie la sar cina
macroscopică a corpurilor, sarcina lor totală fiind nulă pentru orice mic corp
izolat în vid. Ionii conţin atît particule legate, a căror sumă a sarcinilor e nulă
pe întregul ion, cît şi electroni în exces (ioni negativi) sau în lipsă (ioni pozi-
·tivi). Oricare ar fi natura unui sistem de s particule legate, avînd sarcinile

i, {moleculă, atom, ion etc.), există relaţia

s

"L_q, kleg =O . (58.51)

k=t · ~~

În afară de sistemele de particule mai există şi electroni liberi (mai corect

cvasi-liberi), care se pot deplasa oricît de mult în cuprinsul corpului consi-

Jerat, nefiind localizaţi în anumite molecule sau în anumiţi atomi Rau ioni .

-------- 44[;
- - - - - - - - -TEOR IA ELECTRONILOR

bxcesul local de sarcină pozitivă sau negati"ă al ionilor împreună cu sarcma
clectronilor liberi poate să contribuie ]a sarcina macroscopică a corpurilor.
deoarece poate să aibă o valoare totală nenulă pentru un mic corp izolat în
vid. Din acest motiv se numesc particule libere clectronii liberi ~i particulele
în exces fată de starea neutră din ioni. Ace;:te particule se mai numesc si
purtători de' sarcină şi, prin deplasarea lor (de ex. a ionilor în elcctrolili sa~1
a electronilor în metale), pot contribui la curentul electric de conducţic din
teoria macroscopică, care - din punct de vedere microscopic se i~tte rpretcază
prin curentul de convecţie, al purtătoriln r de sarcină, faţă de restul conduc-

fe rului.
Î n aeurd cu această clasificare a particulelor clem e11tarc elin corpuri, Jeu·

~~~ aten micro~copiră de sarcină şc poatt> d escompnnc aditi,· 1n doi termeni

(58.:)2)

J'riuutl, Pmhl>• se HtiHll:":ţlc d ensitutra de wlum u sarnnn miaosrop ice liben
~ i e nul în Yid 1'an în interiorul particulelor legate. Al tloilea. Pmlog , se nn-
me:;;tc densitatea de volum a sarcinii microscopice legate ~i c nul în vid sau în
interiorul particulelor libere. În acortl eu faptul eă particnldc lPg<tte nu pot
f:.mtrihui h sarcina macros c opică a torp1uilor. se ;ulmitc că densita tea de t·o-

lnm a sarcinii electrice din tPor in macroscopini f' SiP ralnarra mrdie a densităţii.

~arrinii mirrn.~copit·e lifl('rP

(58 .5:3}

ultima expn:sie fijud o formă particulară a relaţi..~i (5tlA··I ), ,-alahilă dnd toate

particulele Jwere sînt de acelaşi tip şi au densitatea numeri că N v. De ast' ·

uJenca, densitatea curentului electric de conducţiP din teoria morrascopică este
~·aloarea nwJie a densitil{ii ,.,,.renlul!li mir-rosf·opir de com,et·ţie al particulelor
lil>l>.re .faţ/i rf" rnnduf'tnr

J ""- Pmuh- - - - ( - - -- - - f (SS .St }
Wli h = V . fjlih w liL> .

Aic-i Wuu e 'itt·~~a n-:lativii la conductor a at·e:-.tor parlit.:ul•·- iar ul1in1a cxpn·-
sie e valabilă dnd toa te p::trticnlele liiH·n• "înt c!t' an·la~i tip.

58A.4. Interpretarea microscopică a polarizaţici electrice. fn !t.:oria clc~.:­

tronilor se consideră eă varticulele el..mcntare nu au moment e.lcctri... l\lomeutul
dectric trebu ie ~ă Ji•• în <1•~e t nu; o mărime dcriYată a sistemdor 1le parti-
culc legate, care o'Înt an~tloge t<rwr dipoli electri('i ('. par. 4.2. vol J). Gcnera -
lizîml definiţia momentului el~·ctrie al dipolului pen tru un sistem dt· s parti-
cule încă:rca l ••. ~<c nHmt>~lc· moment f' IN·tric mirroscopic dipolar al ~i<;fl'mului

mărimcn

l' = ,~;:._, I ''11lkeg - (S8.S.J }

~-l

In <:an· I k sint razele 'eetoare ale partieulelor faţă de t' f•ntn:l de inerţ-ie C
o"ll sistemului (moleeulă. atom. ion etc. ,.. fi'.!. 5R.3\.

!46 ELEMENTE DE TEOR:E MICROSCOPICA
~-----------------------------------------------------------

tfedia se consideră pentru un interval de timp mare faţă de perioadele de ro-
laţie ale particulelor din sistem. Polarizaţia electrică P e definită macroscopic

ca densitate de volum a momentului electric macroscopic. Cum acesta e re-
zultatul însumării valorilor medii ale tuturor momentelor (58.55) ale diferi-
telor molecule, rezultă că polarizaţia e interpretabilă microscopic ca valoare
medie a sumei momentelor microscopice ale moleculelor din unitatea de volum.
Dacă toate moleculele sînt identice, rez11ltă o relaţie analogă cu relaţia (58.44);

P = _i'L_v-p,1 (58.5 6)

iu care medierea se face numai în timp·. În aceste condiţii ' e demonstrează
că densitatea sarcinii de polarizaţie din teoria macroscopică (v. par. 4•.4. vol. I )
este valoarea medie a densităţii microscopice a sarcinilor legate :

(58 .57)

Fig. 58.3 Fig. 58A

58.4.5. Interpretarea microscopica a magnetizaţiei. În teoria electronilor
de consideră că particulele elementare nu au moment magnetic. Momentul
magnetic trebuie să fie în acest caz o mărime derivată a sistemelor de par-
ticule legate în mişcare, care sînt analoge unor bucle de curent (v. par. 18.2.
voi. 1), aşa cum a presupus Ampere cu mult timp înainte de cunoaşterea struc·
turii atomului. În adevăr, atomii sînt constituiţi din nuclee încărcate pozitiv
în jurul cărora se rotesc electroni pe orbite închise. Considerăm pentru sim-
plificare o orbită circulară (fig. 58.4) de rază l, pe care se roteşte o particulă
de sarcină q, cu viteza w şi raza vectoare l faţă de centrul orbitei. Orbita tt·e-
buie echivalată cu o buclă de curent de moment magnetic

m = iA, (58.58)

unde A e vectorul arie al buclei, iar i curentul ei. Pentru a generaliza această
definiţie, observăm că în intervalul de timp !1t, particula străbate par··
cursul wl1t şi raza vectoare mătură aria

L'lA = -11 X wtlt.
2

TEORIA ELECTRONIL OR 44 7

Cum intensitatea curentului e sarcina transmisă în unitatea de timp printr-o
s uprafaţă transversală faţă de direcţia de mişcare, curentul echivalent,

in acest caz, particulci e c;f6.t. Contribuţia mişcării particulei la momentul

magnetic al sistemului poate fi definită prin analogie cu relaţia (58.58) de relaţia

!L ~A = 2_ 1 ~< qw

Llt 2

Pe baza acestei analogii se numeşte moment magnetic orbita[ al unui sistem
de s particule legat e, în mişcare pe orb_ite închise în jurul centrului C, mă1·imea

(58.59 )

Dezvoltarea ulterioară a teoriei atomice nu a confirmat ipoteza teone1
electronilor, conform căreia particulele elementare nu ar avea moment mag·-
netic. Pe baze experimentale şi teoretice (în cadrul Fizicii cuantice) s·a con·-
statat că particulele pot avea un moment magnetic propriu sau intrinsec,

numit m oment mugnftic de .<pin, care din punctul de vedere al teoriei electro-
nilor trebuie considerat o mărime primitivă (ireductihilă la curenţi electru i

orhitali). Valoarea medie a sumei momentelor magnetice de spin mk ale par-
ticulelor unui sistem atomic se numeşte moment magnetic de spin al sisttmului

Olspin := Bs "":" (58.60 )"
lll .

k=l

"In ansamblu. nn sistem de partjcu!P lef!al.e (moleculă, atom, ion e t c . are mo·-

mentul magnetic microscopic ,.

~~ (~-2:1:--lk-,/-'/-gkW--k---mk)c-'•
+m = (58.61 )
IDorb -j- IDspin = ?_;

ie=l

Magnetizaţia M, adică momentul magnetic al unităţn de volum, are atunei
o expresie aualogă cu a po]arizaţiei elect rice (58.56)

(58.62 )

dacă toate moleculele sînt identice.
Cu aceste interpretări pentru mărimile electromagnetice cele mai Impor-

tante se pot deduce ecuaţiile cîmpului electromagnetic macroscopic (ecuaţiile
Maxwell) prin mediere, pornind de la ecuaţiile cîmpului electromagnetic
microscopic 1 (58.6...58.9). Totodată, pe baza interpretării microscopice a
mărimilor macroscopice şi a ipotezelor teoriei atomice a corpurilor, se pot
deduce şi interpreta djferitele proprietăţi şi legi de material (v. şi cap. 59
şi cap. 60).

. 1 R. R ă d u l e f, Bazele leoretice ale elet·trotelmit:ii, voi, lV, Tipografia ~ i Litc>gralia-
lnvăţămintului. 1956.

TEORIA ELECTRONILO!{

- - --- - - - -

58,.J,.6. !ledii statistice. Calculul mediilor temporale care intervin în expresiile (58.44) ~

(5!).54), (58.56), (58.62) ar fi practic imposibil dacă nu ~-ar folosi metode statistice în care

ac\'~te medii temporale se înlocuiesc prin mediile statistice1.
În adevăr, în condi\ii macroscopi<'e date şi invariabile, un sistem ruacroscopic eyoJuea:tă

necontenit la scara microocopică, unde starea sa, caracterizabilă printr-un număr enorm
de parametri, e o funcţiune extrem de compiieată de tÎinp. De aceea există un număr foartP-
mare ciP stări microscopic~ S(t", ) compatibile cu aceleaşi condiţii macroscopice. Realizarea efer·
tivă a uneia oarecare dintre aceste stări reprezintă un eveniment întîmplător în raport cu
condiţiile macroscopice date. Dacă se cunoaşte probabilitatea ~ (S) :;;:,.. O de realizare a uce;;tui
""enim.ent, numită probabilitate de stare, valoarea medie a unei mărimi nuero'-copire oar<'t:are
if1(~) (funrţ inn~> rlP mi<'rn~tarf'n S) " dată dc expresia

/....ct..t=sta 1· JueJJo slati-SLh..a a u.ne.i t:1<lr1tui lllieru~t.::opi• · t'. l.uzn 111edi&. uuei cou::;taule tre·
huil! să lie egală cn ll<'Pa enn>lantă. probabilităţile df' o;tarf' ~(S) s:Jti•ffle o r(•latie numită
condiţia de normore

1. (58.6 ~ţ

~hn t'Hl"l re:znltii • o~ toate JH"nhabi JitE.qile ~îu t subunitar~. ('t>l Hluh nni htrt' (5H·6S)

<2(5) < l.

Suweh· <lin relatiik (5<J.63) şi (58.64) ~e calcnlea.Gă aoupra tuturor stărilor posibile ale 8h·
temului, compatibile cu condiţiile macroscopice date. Calculul pe eule statistică al vAlorilor
meclii •iecesită, aşadar, cunoaşterea func~iei ~ (S) numită funcţiune de repartiţiP.

În cazul unui sistem macroscopic, compus dintr-un număr foarte mare d., .lll..Îcro·
Histeme identice în interacţiune sla!Jă - cum sînt, de exemplu, moleculele unui gaz - ~"
demonstTează (în cadrul fizicii statistice clasice), că, la echilibru termic, probabilitAtea ca un
tni<'r...,si~tem (o molecnlă} să ;e afh• într-o strue " 2 oarec:>re e dată de relaţia

- kwT(•) . (58.oo)

\!l:(.s) = eoust. ~

Îil. (;arc W(o) e enl"rgia HU<;I'O•i:-tCI!Htlui În 'tllrf' ·'· 'f INn per:Hur" ab solută (în g-ra<l10
Kelvin. iar (58.67}

<. constanta univerMJlă a lui Boltzuwnn. Con~tanta wnltipli.cativă nepl'ecizată din expr.,sia
(58 .66) e o timcţiune de temperatură şi de proprietăţile macrMcopice ale sistemului, care Sll·
det••rmină cu ajutorul condiţiei de normare (58 .64).

Funcţiunea de repartiţie (58 66) se numeşte fu.ncţiunca de repartifie a lui 111l'axwell-Boltzmann
şi pnnc !n eviden~ă rolul pe care îl are agitaţia termică. adică :m~amblul iutc.>racţhmilor
d.·zordou ate existente In niYel :1tornic.

' "- . . Ti ţ ei c a , Elemente de merttnică statiscică. .Ed. tehnică, 195o.

2 St!'!.rile microsistcmelor care compun sistemul macroscopic .sînt notate cu litera m1ca ' ·
Starea microscopică a uce!'tni sistem dPfinită dP aos:Jtnhlul stărilor micrn•istemelor a foo;r
notată cn litera mar<' S.

POLARIZAREA ELECTRICA Şi MAGNETICA A CORPURILOR 449

59.ll PŞIOLARIZAREA ELECTRICĂ
. MAGNETICĂ A CORPURILOR

59.1. Teoria clasică a susceptivităţii electrice

59.1.1. Polarizarea corpurilor. Cîm1ml electric activ. În voi. I paragraful
4.5 s-a prezentat o teorie calitativă microscopică a polarizaţiei electrice. S-a
arătat că din punctul de vedere al polarizării electrice există două clase de
molecule : molecule nepolare, al căror moment electric microscopic (dat de re-
laţia (58.55)) e nul în lipsa unui cîmp electric exterior moleculei, şi molecule
polare al căror moment electric microscopic (58.55) e diferit de zero chiar în
lipsa unui cîmp exterior. Se mai spune că moleculele polare prezintă moment
electric microscopic spontan. Polarizarea electrică specifică corpurilor cu mo-
lecule nepolare se numeşte polarizare diaelectrică sau polarizare de deformare
şi se manifestă la orice corp polarizat, iar aceea specifică corpurilor cu mole-
cule polare se numeşte polarizare paraelectrică sau polarizare de orientare şi
se manifestă numai la aceste corpuri.

Polarizarea electl'Îd macroscopică a corpurilor se produce prin efectul
acţiunilor exercitate asupra moleculclor (atomilor) de cîmpul electric exterior
acestor~. Acţiunile consistă în deformarea moleculelor nepolare - care, în
acest fel, capătă momente electrice microscopicc induse- sau în orientarea
moleculelor polare, care în lipsa cîmpului exterior au de obicei o orientare
haotică şi nu contribuie la polarizarea macroscopică a corpului. Cîmpul elec-
tric care exercită aceste acţiuni asupra m oleculei se numeşte cîmp electric activ
(sau interior) E 0• El nu coincide cu cîmpul electric macr oscopic, d eoarece ace-
sta din urmă e obţinut p rin medierea cîmpului microscopic pe un volum infi-
nit mic fizic care e ocupat d e foarte multe molecule, inclusiv de molecula asu-
pra căreia se exercită acţiunea, pc cînd cîmpul activ se obţine prin medierea
efectuată numai pe volumul moleculei considerate şi în lipsa acesteia. Se poate
însă arăta că pentru o clasă largă de corpuri mărimea E 0 este aproximativ egală

cu intensitatea Ee a cîmpului electric macroscopic dintr-o cavitate sferică
vidă ~, de rază foarte mică R, cu centrul în molecula considerată şi al cărei

volum e un infinit mic fizic, adică e ocupat de foarte multe molecule :

(59.1)

În această aproximaţie se consideră, pe de o parte, că media intensităţii cîm-
pului electric ecxt~ produs de moleculele din exteriorul sferei e practic egală cu

intensitatea Ee (datorită faptului că aceste molecule exterioare se găsesc foarte

departe de centrul sferei din punct de vedere microscopic) şi se consideră, pe
de altă parte, că media intensităţii cîmpului electric eint~ produs de moleculele
polarizate din interiorul sferei ~' adică vecine cu molecula considerată, e nulă.
Această ultimă presupunere e sigur corectă, din motive de simetrie, la cris-
talele din sistemul cubic sau la gaze (unde repartiţia total dezordonată din

29 -- 1(68

450 ELEMENTE DE TEORIE MICROSCOPICA

cauza agitaţiei termice a moleculelor vecine din interiorul suprafeţei ~ asi-
gură compensarea statistică a cîmpului produs de ele în centrul sferei).

Pentru calcul mărimii Ee folosim relaţia (5.4) (par. 5.1, voi. J)

+E c_- 'E -1- ~~ (Pn;)R dA,
4m:0 R3

I:

în care n; = - u e normala interioară la L, vectorul R e dirijat către punctul unde calculăm

cîmpul, adică spre centrul sferei, iar P poate fi considerat constant în punctele suprafeţei L a ca-

vităţii, deoarece sfera este foarte mică. (fig. 59.1)

z~ F acem notaţi.a E1: = -l- )~(-Pn-;d)RA. Din
R1 3
47ts0

k
motive de simetrie EI: e orientat ~ după axa Oz
e.şi integrandul depinde numai de
astfel că

E1: = u(uEI:) = u -1- ~~ (Pn;)(Ru) dA =
4m:o R3

k

= u -1 - _P _cos_9 _R c_os_9;_ 21tR2 eiu 9d9
Ra
47tE0

n

= - u -p~ cos2 9 d(cos 9) = -p
2E0 u 3E0

În consecinţă rezultă

Fig. 59 .1 (59.2)

Teoria microscop1ea a polarizaţiei electrice urmăreşte să demonstre:.~e
expresia legii maaoscopice a polarizaţiei electrice temporare (rei. 4.36, par. 6.3,
voi. I)

P = ~::ox.E, (59.3)

în care Xe e mărimea de material numită susceptivitate electrică.

59.1.2. Polarizarea diaelectl"ică (de deformare). Momentul electric mi-
croscopic indus, Pind, al moleculelor nepolare rezultă din deformarea mole-
culelor sau a atomilor (v. par. 4·.5, vol. I), produsă de cîmpul electric E 00 Con-
siderăm ca exemplu pentru simplificarea expunerii un atom de hidrogen, şi
că vectorul E0 e orientat după noxmala la planul orbitei, ca în figura 59.2.
Orbita electronului nu se deformează, dar planul ei se deplasează în sens con-
trar cîmpului electric, iar nucleul (protonul) în sensul cîmpului, şi se formează

astfel un dipol electric constituit din nucleul N al atomului, situat la dis-
tanţa l de planul orbitei, şi din centrul sarcinilor negative M, care reprezintă
poziţia medie a electronului aflat în mişcare xapidă pe orbită şi e situat !n cen-

trul de simetrie al orbitei.