Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan

10~ CURENŢI A LTERNATIV!

fig. 34.22, c), valoarea, pozitivă sau negativă, a inductivităţii mutuale trebuie
însoţită de indicarea sensurilor ei de referinţă de pe circuite, indicarea care se
f ace cu s t eluţ e (sau puncte), plasate alături de bornele " d e intrare" pentru

' \q ___.# L2
L1 L12

b.
a.

·~~*c) L2
L1

L12 < 0 d
c.

Fig. 34.22.

acele sensuri de referinţă (bornele polarizate). Indicarca nu se face cu săgeţi,
pentru a nu se impune în nici un fel sens urile de referinţă ale curenţilor fo lo-

site la scrierea ecnatiilor.
Tensiunea electro~otoare indusă de fluxul exterior (34.125) are (în circuite

liniare cu L,, = const.) expresia instantanee :

(34.126)

respectiv în complex :

(ex) . (cx) L . [,
~1 = - Jw~l = - I:JwLl, !_, = - 2::~1 , !_,. (34.127)
(34.128)
s =~ s =:2

Mărime a imaginară :

1 ~r; = j w Lr; = j xrs 1 = ~ST

1v\ETODE DE I<EPREZENTARE S IMBOLICA A MARIMILOR SINUSOIDALE 103

se numeşte impedanţă complexă mutuală dintre circuitele s Şl r, 1ar mărimea
reală :

X, r~ O (34.129)

se numcijtc rc c tanţă mutuală (lnduc tiYă). Deci, în cazul cînd fluxul exterior
e produs d e curenţii altor laturi (liniare) de circuit, expresia (34.122) se poate
scrie (afcctînd acum indicele 1 tuturor mărimilor referitoare la latura studiată):

sau

-·-- (34.130)
1

], L

+ l!Ig1~ u"l = ~1l1 .z=~~., L ' = L:~~ . L·
:; = :2 s =l

~------------------------------~

Semnul (+ ) corespunde 1·cgulii de la rcccptoarc, 1ar semnul (--) regulii de la

generatoare pentru Jlb 1. Mărimea

UL = - .§1 ; = ~1 ; _!_, = jXL L (34.131)

(s =/= l)

se mai num eşte cădere de tensiune indusă mutual de curentul [, în latura 1 şi
e egală şi de semn contrar cu tensiunea electromotoare indusă de curentul [, în
latura 1 :

L L·~1 5 = - j u) ~L = - j u) Ll , = - ~1 , (34.132)

Comparînd relaţiile {34.116) şi (34.130), se constată imediat că a~alogi~
formală dintre relatiile fundamentale de la circuitele de curent contmuu SI
cele de la circuitele' de curent alternativ studiate în complex este imperfectă,
în cazltl cînd există tensiuni de inducţie mutuală, respectiv impedanţe mutuale ,

care nu au analog în curent continuu.

O b s e r va ţ i e : a) Semnel e din faţa mărimilor L 15 şi X 1 , din ecuaţiile (34.125) , (34.126) ,
(3 kl27), (34.128) se schimbă. da că se schimbă unul dintre sensurile de referinţă
ale curentului j,. sau a l tensiunii electromotoare calculate în latura 1, faţă de sensurile de
referinţă indicate de bornele polarizate, utilizate pentru definirea mărimii LIS ~ O.

b) Semnul din faţ.a t.e.m. ~ generatorului /ig se schimb ă dacă sensul de referinţă ai
arcst!'Îa e opus celui al curentului. In acest caz, /ig se mai numeşte tensiune contraelectromotoare.

Sistcmatizarea studiului reţelelor electrice cu ajutorul reprezentării ·În
complex se poate face în strînsă analogie cu aceea a reţelelor de curent continuu

(v. cap. 13, vol. I). La circuitele dipolare, determinarea curentului la tensiune
dată se reduce la calculul impedanţei complexe prezentate de circuit (v. rel.
34.91); de aceea interes e ază metodele de calcul ale acestei impedanţe în funcţie
de structura circuitului şi de impedanţele laturilor lui (v. cap. 35). La reţele

i04 C UREN ŢI ALTERNATIVI

mai complicate se utilizează forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff
(v. cap. 36), cu ajutorul cărora se poate rezolva orice problemă privitoare la
reţelele liniare. Numeroase alte teoreme şi metode de rezolvare, consecinţe
ale teoremelor lui Kirchhoff, sînt utilizate pentru simplificarea şi sistematiza -
rea calculelor (v. cap. 37).

35. 1 IMPEDANŢE ECHIVALENTE
ŞI UTILIZAREA LOR

35 .1. Impedanţa complexă echivalentă

şi admitanţa complexă echh, ruentă

Considerăm un circuit dipolar oarecare D, a cărui tensiune la borne e
s-inusoidală, cu imaginea în complex U. Presupunem că în regim permanent
curentul este, de asemenea, sinusoidal şi are imaginea în complex !_, considerată
cu sensul de referinţă asociat tensiunii la borne după regula de la receptoare
(fig. 35.1).

Se numeşte impedanţă echivalentă complexă raportul dintre tensiunea
la borne complexă şi curentul complex, cu sensul asociat după regula de la

receptoare ale unui circuit dipolar oarecare :

~. = [Jlb] += Z, ei<P, = R , j X, , (35 .1)
L rccep

cu partea reală, Re ~ O, rezistenţa echivalentă- şi cu partea imaginară, X, ~O,

reactanţa echivalentă.

lmpedanţa echivalentă ruai e numită impedanţa "văzută" din exterior a circuitului.

Se numeşte admitanţă echivalentă complexă valoarea reciprocă a impedan -
ţei echivalente complexe :

[ -=1- ] ,. Y, e-i<P.·, = G.- ;.B. ,,
l = =Y, =-;:1;- (35 .2)
Z: e
Tlb re cep

cu partea reală, Ge ;;: O, conductanţa echivalentă - şi cu partea imaginară c u
semn schimbat, B,;;: O, susceptanţa echivalentă.

Mărimile (35.1) şi (35.2) se definesc pentru circuite oarecare, care pot fi active, neliniare,
cuplate cu alte circuile etc., cu singura presupunere că Ub(t) şi i(t) sînt sinusoidale (eventual
<componente sinusoidale ale unor funcţiuni periodice nesinusoidale). De aceea, impedanţa
ec hivalentă şi admitanţa echivalentă nu caracterizează circuitul la care se referă decît într-un

IMPEDANTE ECHIVALENTE ŞJ UTILIZAREA LOR 105

ll'egi m dat de funcţionare, pot depinde de valoarea tensiunii şi a curentului şi pot avea prll'ţile
reale negative. Acestf mărimi generalizează noţiunile de impedanţă complexă şi admitanţă
complexă definite în paragraful 34.3. Pentru dipolii Iininri, pasivi şi necuplaţi cu alte circuite
e xterioare, impedanţa (admi tanţa) echivalentă C'Omplexă este egală cu impedanţa (admitanţa)
complexă definită anterior (rei. 34.88, 34.92) şi are partea reală pozitivă.

D •:De,

-..., f'

,1

r1 1

1

1 tie

.,.1 1

1 ..1.

1

t' _.J

a b c.

Fig. 35.1

Un circuit de impcdanţă echivalentă ~. udmite o ~chcmă echivalentă, con8titu.ită dintr-o
<- ingură latură de circuit de impedanţă ~ = ~. (fig. 35 .l.a). Da că se definesc inductitiitatea
<echivalentii L, şi capacitatea echivalentii C, pr in relaţiile ;

1j C, = Be 2_ Imft"e}• (35 .3)

, _ _ _ __ w_ (u

<tircuitul mai admite o schemă echivalentă serie (fig. 35.1, b), compusă dintr-u n rezistor ideal
de rezistenţă R, = Re {~,} şi o bobină ideală de inductivitate L ,, precum şi o schemă echiva-
lentă paralel (derivaţie), compusă dintr-un rezistor ideal de conductanţă G, =Re 0.::-e}şi un
condensator ideal de capacitate C, (v. fig. 35.1, c).

Aceste scheme echivalente sînt utilizabile pentru studiul circuitului la o frecvenţă dată

~i în regimul de funcţionare pentru care au fost definite ~. ~i y, . In general, aceste schem e

nu sînt realizabile în concret, deoarece parametrii lor R., G,, Le, C, nu sînt neapărat pozi-

tivi şi independenţi de frecvenţă, cum siut parametrii elementelor ideale de circuit.

ln cazul general, pentru calculul imp edanţei echivalent e

e necesară rezolvarea circuitului r espectiv (de t)X. cu teore-
mele lui Kirchhoff, cap. 36), presupunînd că i se aplică ten-

-"iunea Ub• pentru a afla curentul l_ absorbit.

Exemplu; Considerăm un dipol liniar şi activ, cu o singur{l la tură - "E

necuplată cu altele (fig. 35.2), de impedanţă proprie ~ ~i de t.e.m. '15. Din =e=!.·z

+ rl eorema lui Joubert pentru laturi receptoare (34.121) rezultă _l! b !i = z:. Fig. 35.2

Jmpedanţa echivalentă complexă (35. 1) r ezultă:

Lcep~" = [ ' = ~- ~ ~~ R, j- j X, .

Dacă t.e.m. e suficient de m are şi proporţională cu curen tul, se poate obţine R, < O şi con-

O'tant, adică se poate r ealiza în concret o rezistenţă echivalentă negativă.

ln cazul particular al unor dipoli liniari, pasivi şi fără inductivităţi mutuale

între laturile lor interioare, impedanta echivalentă si admitanta echivalentă
se pot calcula cu teoremele i~peda~ţelor echivale~tc, eventu'aJ completate
cu teoremele de transfigurare (v. par. 38.2).

106 CURENTI ALTERNATIV!

35.2. Teoremele impedanţelor echivalente

35.2.1. Dipoli în serie, necuplaţi inductiv (fig. 35.3, a). Fie n dipoli pasiVI.
n ecup laţi inductiv între ei sau cu e~teriorul, şi conectaţi în serie, a vînd impe·

? ?danţele complexe 1, ?;.2, 3 , ••• , ?;." . In lipsa unor fluxuri de inducţie exterioare.

l'

t ensiunea instantanee u11' == \ E ds poate fi calculată pe orice drum l uat

prin exteriorul dipolilor fi e direct între bornc (u11' = ub), fi e urmînd su cce ·

siunea liniilor tensiunilor la borne :

(35.4 )

L a con exiunea în serie, suma tensiunilor aplicate dipolilor e egală cu tensiunea
aplicată la bornc . În complex :

(35.4' )

D eoarece dipolii sînt pasivi şi necuplaţi inductiv între ei, tensiunea fie c ăruia'<
e egală cu produsul dintre impedanţa proprie şi curent (rei. 34.117) :

!l_b = ?_1!1 + ?.2!2+ ?.a!3· (35.5 )

În regim. cvasistaţionar, curentul arc însă ac eeaşi valoare în lungul circuitului
n eramificat (conexiune serie) :

(35 .6}

şi împărţind relaţia (35.5) cu această valoare comună I a curentului rezul t ă
cu relaţia (35.1):

?_, = ?_1 + ?.2 + ?.3 + n (35.7 )

~ ?.,

s= l

Separînd părţile reale şi cele imaginare, se mai obţin relaţiile :

n (35.8}

X,= ~X, .

3= 1

La dipoli în serie, necuplaţi inductiv, impedanţa echivalentă complexă e suma
impedanţelor complexe ale dipolilor, rezistenţa echivalentă e suma rezistenţelor
lor, iar reactanţa echivalentă e suma reactanţelor lor. Am obţinut aceeaşi regul ă

ca pentru rezistoarele în scrie în curent continuu (v. par. 13.5, voi. I).

O b s e r va ţii: a) Deoarece suma modulelor unor numere complexe nu este în genera[
e ga l ă cu modulul sumei, rezultă că regula de mai sus nu e valabilă pentru impedanţele scalare :

1 ge 1 = Z, =/= ~ Z, (3 5.9 ~

s =: l

(ex ceptînd cazul cînd toţi dipolii au acelaşi defazaj) .

l'vlPEDANŢE ECHI V."LE NT E Ş I UTILIZA R EA LOR 107
~-- - - - --

b) Pentru admitanţa echiva l entă comp l exă din rel aţia (35 .7) r ez ultă la dipoli În scrie:

1

l n,1
- = "' !..... ( 3 5.10 )
Y. LJy
1 -' s= l -> 1

c) În cazul a nu mai două laturi în serie:

(3 5. 11)

35.2.2. Dipoli în paralel, necuplaţi inductiv (fig . 35.3, b). Fie cei n dipuli
din cazul precedent, conectaţi de astă dată 1n paralel. Admitmq:elc lor complexe

sînt:

Yl = ~l1; l

Yz = Zz ;... , .

y = -l . .?.1 .Zz 1
_ rz ~n 1

În regim cvasistaţionar, din teo- 1
rema continuităţii (31.10) rezultă
că suma curentilor care ies din- 1
tr-un nod e nulă (teorema I-a a
lui Kirchhoff, v. cap. 36). 1'o---------------------------- _J
Ţinînd seama de sensurile curen- a.
ţilor celor n dipoli :şi de al curen-
tului rezultant i, se poate scrie : 1

i = il + i2 + i3 + ... (35.12) 1,

l,

La conexiunea în paralel, curentul b.
Fig. 35.3
total absorbit e suma curentilor

dipolilor. În complex : '

I = l1 + l z+ I 3+ (35.12')

Deoarece dipohî sînt pasivi şi necuplaţi inductiv între ei, curentul fi ec ăruia e
egal cu produsul dintre admitanţă şi tensiune {rel. 34.95) :

(35.13)

În lipsa unor fluxuri de inducţie exterioare, tensiunea la bornele circuitului
e egală cu tensiunea aplic ată fiecărui dipol în parte (conexiunea paralel) :

(35.14)

şi împărţind relaţia (35.13) cu această valoare comună, rezultă cu relaţia (35.2) :

E r ,Y . = :r1 + y2 + :r3 + ... = " 1 (3 5.15)

l' ·

1 s= 1

103 CURENŢI ALTERNATIV!

Separînd părţile reale şi cele imaginare, se mai obţin relaţiile :

n

(35.16)

La dipoli în paralel, necuplaţi inductiv, admitanţa echivalentă complexă e
suma admitanţelor complexe ale dipolilor, conductanţa echivalentă complexă
e suma conductanţelor lor, iar susceptanţa echivalentă complexă e suma suscep-
tanţelor lor. Am obţinut aceeaşi regulă ca pentru rezistoarele în paralel, in
curent continuu (v. par. 13.5, vol. I).

O/; s er v a ţii : a) Teorema nu e valabilă pentru admitanţele scalare:

El Ye 1 = Ye =f= Y , (35.17)

s=L

(exceptînd cazul cînd toţi dipolii au acelaşi defazaj).
b) Pentru impedanţ:a t>chivalentă complexă, din relaţia (35.15) rezultă la llipoli în pa-

r alei :

-=E-1 n 1 (35.18)

~e s=l ~1
c) În cazul a numai două laturi în paralel

(35.19)

Ultima formulă e foal"te mult utilizată în aplicaţii.

35.2.3. Aplicaţii la divizarea tensiunii şi a curentului. Divizorul de tensiune e un sistem
de doi dipoii în serie (Z1, Z2), căruia i se aplică tensiunea dată IJ., astfel că la bornele fie-
+căruia din dipolii componenţi se obţine o "fracţiune" a tensiunii aplicate (v. fig. 35.4, a): lQ1 ,
res pe czti2vr.!.!2S•e Deoarece dipolii sînt în serie Z = Z1 ~2 şi iar şi
F2 = l =!.!IZ., !1.1 = Zi
obţine:

(35.20)

Relaţiile obţinute arată că dacă un dipol

+e capacitiv şi altul inductiv, puteu:t

avea lZ1 ~2! < 1~1 1, şi tensiunile par-

ţiale pot fi mai mari decît tensiunea
aplicată. O divizare propriu- zisă se obţine

numai cu rp1 = cp2• De obicei, <p1 = cp2 =O
(divizor de tensiune rezistiv- sau po-

tenţiometri c) sau <p1 = cp 2 = 2

(divizor de tensiune capacitiv); aceşti

divizori se folosesc la măsurarea ten-

siunilor electrice înalte.

Divizorul de curent e un sistem de

doi dipoli în paralel, care absoarbe din

a. b. exterior curentul dat J, astfel că în
Fig. 35.4 fiecare din dipolii comp-;;nenţi se obţine

cîte o "fracţiune" a curentului total

lMPEDANŢE ECHIVALENTE ŞI UTILIZAREA LOR !O!:l

+(fig. 35.1·, b): L10 respectiv 12• Deoarece dipolii sînt în 1
paralel, X= 1':1 1':2 şi 1_!_ = l!X., iar .!.1 = I!.Y.t
UY
~i !t = 2• Se obţine:

+ +T = .-yl J = 72 T·
~l - Z2-'
-l X1 Xz-

zll z -- X+z -
xl l:z I - ~1 + z2-J (35·21)

-l -

Curentul dintr-o latură e proporţional d eci cu

illipedanţa celeilalte laturi. Relaţiile (3 5.21) sînt foarte

utilizate în aplicaţii. Şi în acest caz se ob ţine o divizare

propriu-zisă numai cu <:p1 = cp2 . De obicei, tp 1 = cp2 = O Fig. 35.5
(divizor de curent rezistiv - sau tip shunt, care se

foloseşte la măsurarea curenţilor inten şi).

35.2.4. Aplicaţie numerică la rezolvarea unui ci1·euit mixt (serie-paralel). Se numeşte cir- -

cuit mix t serie-p aralel un circuit constituit din doi dipoli în paralel, conectaţi în serie cu un

al treilea. Considerăm ca exemplu circuitul din figura 35.5, În care :

r = 3Q, Lw = 2Q, 1
- = 6Q, U = 120 Y.
Cw

Se determină valoarea ins tantanee a curentului absorbit, avind tensiunea ca origine de fază ,
cu folosirea teoremelor impedanţelor echivalente. lmpedanţele complexe ale celor trei ramuri sint : ·

l

_?1 = r = 3, K_2 = j wL = j2, Z3 = j wC = - j6.

lmpedanţa echivalentă grupului paralel (L, C) este :

_ Z2 K3 _ j 2(- j 6) = ~- _ .
7 2 .6 4" - 3]·
+ z - .723-

-
- · -=.3 J - J - •J

Impedanţa echivalentă a ansamblului (Z1 În serie cu ~33) este :

aşa că impedanţa scalară şi defazajul sînt :

n:

'Pe = = 45° > O.
4Zc = 3 V2n,

Curentul complex, cu Jl. = U = 120 origine de fază, este :

" ---1W-.__ = 20 1'2 e- ,.tt/4 =
~e 3 ein/4 V":,
-=- V2J= = [efY
'
-

V2a~a cf• Yaloarea efectivă a curentului e I = 20 A, iar valorile instantanee sin t :·

u(t) = 120 V2 sin wt.

O b s e r v a f i e : La frecvenţa considerată, circuitul a rezultat inductiv. La ~' ·
frecvenţă de două ori 2.1 = j 4, Z. 3 = - j 3, ?.z3 = -jl2 şi Z. e = 3 -
O şi circuitul mai mare jl2.
ad ică cp < e capacitiv. Reactanţa echivalentă a acestui circuit depinde de frec·

venţă.

11 0 CURENTI A L T ERN ATI V!

35.3. Circuite cu inductivităţi mutuale

Studiem, ca ex emplu, nn caz în care nu se pot utiliza teoremele impedan-

ţelor echivalente (35.7, 35.18), deoarece dipolii sînt cuplaţi magnetic : o bobină

.de rezi stenţă r1 şi inducti·vitatea L 1 e con ectată în serie cu o bobină de rezis-
tenţă r2 şi inductivitate L 2. In-
ductiv itatea lor mutuală (pen-

tru sensuri d e referintă cores-
punz ătoare sensului cu~entului,

v. fi g. 35. 6, a) e notată L 12
şi poa t e fi pozitivă (bobine cu

fluxuri aditive) sau negativă

(bobine cu fluxuri în opoziţie).

Se cere schema echivalentă
Le~L, •L 2 +2L 12 serie a acestui circuit, adică

schema în care rezistenta lui

echivalentă R e e în se~ie cu

a b . inductivitatea echivalentă L e
(fig. 35.6, b).

Presupunem că se aplică

tensiunea U, de pulsaţie w, şi

-* * Re =?. că sistemul absoarbe curen-
L 12 -1 e = ?
u1 ~ ~r2 tu] !_ = !_1 = !_2• Căderile de
L1
Lz tensiune la bornele fiecărei

bobine în parte se pot ex-

prima utilizînd teorema lui

J oubert sub forma (34.130) :

~

c. d.

F ig. 35.6 adică:

u = UI + Uz = [rl + Tz + jw (LI + L2 + 2L12)]!_ =~e l­

Paranteza dreaptă care înmulţeşte curentul e chiar impedanţa echivalentă
complexă. Rezultă rezist enţa echivalentă şi reactanţa echivalentă :

R , = r1 + r2, X , = w (LI + L 2 + 2 L12), (35.22)
-respectiv inductiv itatea echivalentă (35.3) :

1 ~ = L e = LI + Lz ± 2ILizi 1' (35.23)

unde semnul (+ ) coresp unde bobinelor cu fluxuri aditive, 1ar semnul (- )

corespunde bobinelor cu fluxuri în opoziţie .
Ca exerciţiu propunem stabilirea schemei echivalente (din figura 35.6, d)

pentru circuitul paralel, cu laturi cuplate, din figura 35.6, c.

IMPED ANŢE ECHIV A LE NT E Şi U TI LI ZAREA LO R III

3 5.4. Ci1·cuite rezonante

Un sistem oscilant, mecanic sau electric, e un sistem care, în lipsa unei
. ,forţe" exterioare (în cazul unui circuit electric, în lipsa unei tensiuni aplicate),
poate prezenta oscilaţii proprii slab amortizate, adică un regim liber oscila-
t oriu amortizat (v. par. 32.3). În cazul general, aceste oscilaţii sînt suprapuneri

<!le oscilaţii cvasisinusoidale, cu diferite frecv enţe proprii JP= ;~ .

De exemplu, circuitul serie r, L, C, studiat în paragraful 32·3, avea o sin gură frec-
,· en ţ.ă p roprie , corespunzătoare pulsa ţ iei (32.27) :

(35 .24)

S ă presupunem că unui astfel de sistem oscilant i se aplică o "forţă" exterioară
periodică, de frecvenţă unghiulară <.tJ. În regim permanent, oscilaţiile forţate ale
sistemului vor avea amplitudini şi faze iniţiale dependente de frecvenţa
.,fortei" exterioare . Dacă această frecventă variază lent, se observă urmă­
toar~le : pentru anumite valori ale frecv~nţei exterioare, amplitudinile osci-
laţiilor trec prin valori maxime sau minime cu atît mai nete, cu cît
.amortizarea sistemului e mai mică; pentru aceleaşi valori ale frecvenţei (sau
fo arte apropiate de acestea), oscilaţiile forţate ajung în cYadratură (deplasările)
sau în fază (vitezele) cu "forţa" exterioară; valorile frecvenţei la care se
·observă extremum-ul amplitudinilor sau valorile critice ale defazajelor sînt
f oarte apropiate de frecvenţele proprii ale sistemului. Acest fenomen se

D umeşte rezonanţă.

În cazul circuitelor electrice în regim permanent sinusoidal sub tensiune
.aplicată dată, fenomenul de rezonanţă consistă în trecerea amplitudinii curen-
t ului absorbit din exterior prin valori maxime (rezonanţa propriu-zisă) sau
m inime (antirezonanţa), cum şi în anularea defazajului şi a puterii reactive
.absot bite - atunci cînd frecvenţa are valori apropiate de acelea ale frecv en-

}elor proprii.

Caracterizarea exactă a stării de rezonanţă se poate face în mai multe
m oduri - care toate sînt echivalente, în practică, pentru circuitele slab amor-
t izate (de înaltă calitate). Astfel, pentru pulsaţia de rezonanţă <.tlr 1 se foloseşte
1ma din următoarele trei definiţii :

<.tlrl - pulsaţia tensiunii aplicate, la care circuitul absoarbe o putere
reactivă nulă, respectiv la care are defazaj nul;

<.tlr2 - pulsaţia tensiunii aplicate, la care impedanţa scalară e minimă sau
maximă, respectiv curentul e maxim sau minim la tensiune dată;

w, 3= Wp - pulsaţia oscilaţiilor proprii.
În acest curs vom considera pulsaţia <.tJ ,.1 ca pulsaţie de rezonanţă. Pentru

<:ircuite foarte slab amortizate (cu rezistenţe foarte mici faţă de reactanţele

1 Prin împărţirea pulsaţiei de r e zonanţă cu 21t , a c el eaş i definiţii conduc la frec ve nţa
.de rezonanţă f r = IDr/21t.

112 CURENTI ALTERNATIV!

bobinelor ~i ale condensatoarelor la frecvenţa de rezonanţă), cele trei valori
de mai sus tind către o valoare limită unică, numită pulsaţia ideală de rezonanţă :

w0 = Iim w,1 = lim w,.2 = Iim wP

Yk-70 Tk-70 Tk->0

(limita fiind considerată la valori tinzînd către zero ale rezistenţelor rk ale
laturilor J. = 1, 2, ••., L).

Pentru un circuit care conţine un singur condensator de capacitate C şi o singură bo ..
hină de inductivitate L, pulsaţia ideală de rezonanţă rezultă din (35.24) cu R -+ O şi este :

(J)o = VILC cu 1fo = 2rt ; LC 1· (35.24.')
1

Acea~tă formulă se numeşte formula lui Thomson. În cele ce urmează, vom studia cele ma i
simple circuite rezonante şi unele aplicaţii ale lor.

35.4.1. Circuitul cu rezonanţă de tenshme (rezonanţă serie). Considerăm
circuitul serie r, L, C (fig. 35.7, d), studiat pînă acum, ca exemplu , cu diferite

VLmetode. Dacă r < 2 fC, regimul său liber e oscilatoriu amort izat (v. rei.

32.26), cu pulsaţia proprie (35.24).

.w...-=-c-.Jo ........

/ '\
\
/

1

1\ '1
~=~r-- - -+j
1
1
----/ /
1 c.

--- /

......._ /
a. b.

JJ,.=rj !!,=Jr...JL_1 -uc--J·"1L.

~-·~ ~. ~~

/ r ""- / L -..._ / C ......_

y r..__l_ ·_ _ h___,,

d

- - - - - - - - - - - - - - - - IMPEDANŢE -E-C-H-I-V-A LENTE ŞI UTILIZAREA LOR 113

---------

Curentul se poate calcula şi cu ajutorul impedanţei echivalente complexe,
care e suma impedanţelor element elor conectate în serie :

r (roL-~ = + jwL f j~C = r -i j ~c) = Zc ;<P (35.25)

Curentul complex sub tf'nsiunca la bornc Q = U, luată ca origine de fază,

est P :

I = -u= = u N = le JY ,
-z e
7,

Cu valoa rea efectivă :

1 = -uz- u I ( w) . (35.26)

Dacă pulsaţia variază în intervalul (0, oo ), / /

curentul creşte, pornind de la valoa- u ,.(
rea I (O) = O şi are un maxim pentru
pulsaţia w,2, la care impedanţa e mi- r / UCw
nimă, adică reactanţa e nulă
/
Lro - - l = O, /
Cw (35.27) /

.---/(c,;)

aJ ică

(35 .28)

:\Iaximul curentului este : ~~----~--------------­
w

(35 .29)

La rczonantă, impedanta circuitului c Q>>7
egală cu re~istenţa lui şi e foarte mică.

Pentru w > w,2 = w0 , curentul scade,

tinzînd asimptotic către zero (fig. 35.8,a) .
Defazajul circuitului re zultă din rela-
ţia (35.25) :

l
Lw - -
- - - -Ce-~
= =-~ -XR tg~ = co ( w ) . w
r
· r
arc tet arc

o

(35.30)

La pulsaţii mtci, circuitul c capaci- 'f~o 'f>O
Fig. 35 .8
-i ·tiv (cp < 0), şi anume cp (O) =- b.

O dată cu creşterea pulsaţiei, defazajul
(negativ) scade în valoare absolută şi

114 CURENŢI ALTERNATIV!

se anulează la pulsaţia care anulează pe tg rp, adică la pulsaţia care anulează
reactanţa (35.27). Pulsaţia de rezonanţă w,1 e deci tot w0

(35.31)

Pentru w > w,1 = w0 , circuitul e inductiv (rp > O) Şl defazajul tinde

către~ cînd w ~ oo (fig. 35.8, b).

2

<În figura 35.7 sînt construite diagramele vectoriale pentru w w0 (fig. a)'
>w = w0 (fig. b), w w0 (fig. c). Din însăşi construcţia geometrică a diagramei

rezultă că vîrful fazorului căderii de tensiune elin rezistenţă U, = r l_ ,şi d eci
si al fazorului curentului I descriu cîte un cerc. Se mai observă că în acest
~ircuit tensiunile la bornek condensatorului Uc şi ale bobinei QL pot atinge
la rezonanţă valori efective mari, şi anume, mai mari decît ale tensiunii aplicate
la borne. De aceea, circuitul se numeşte circuit cu rezonan[â de tensiune şi se
utilizează pentru amplificarea tensiunilor slabe, avînd frecvenţa egală cu frec·
venţa lui de rezonanţă (35.28). Se numeşte factor de calitate, Q, al circuitului,
raportul dintre căderea de ,tensiune elin bobină şi cea aplicată la rezonanţă

(35.32)

Factorul de calitate atinge valori foarte mari - ele ordinul sutelor în circu-

itele oscilante obişnuite- şi de aceea diagramele din figura 35.7 sînt deJJăr­

tate de situatia reală elin astfel de circuite. Curbele de rezonantă din
figura 35.8 se 'pot exprima unitar, înlocuind în (35.26) şi (35.30) para~etrii

circuitului în functie de Q si w0 • Se obtin relatiile :
J J 'J

(35.33)

Pentru r ~ O, Q ~ oo şi curentul

I = U /(.Lo)-1 /Cw) tinde către

infinit la frecventa de rezonantă ,

dacă tensiunea la borne e mentim{tă

constantă. Circuitul serie de inaltă

calitate (Q » l) constituie un

scurtcircuit pentru curenţii ele frec-

=venţă corespunzătoare, w w0•

35.4.2. Circuitul cu rezonantă
de curent (rezonanţă paraleÎ).

Considerăm o bobină de rezis-

tenţă r Şl inductivitate L în

paralel, cu un conclensator de

a. b. capacitate C. Rezistenţa laturii
Fig. 35.9
cu conclensatorul o considerăm

neglijabilă (fig. 35.9, a).

IMPEDANŢE ECHIVALENTE ŞI UTILIZAREA LOR 115

Admitanţa circuitului se calculează cu teoremele impcdanţelor echivalente :

Y = ~ = j wC + 1 1 - w2LC + jruJC (35.34)
-~ r + jwL
r -\- jwL

Curentul complex sub tensiunea la borne U = U este :

l = Y U = YUe-,'IJ,

cu valoare efectivă :

u uI = y
= V(1 - w2LCr T r'w"C2 = I( w). (35.35)

J' r2 -j- w2L2

Dacă pulsaţia variază în intervalul (0, cx; ), curentul scade, pornind de la valoarea
I (O) = U fr, şi are un minim la pulsaţia w,. 2, care se determină exact, anulînd
deriYata expresiei (35.35) (fig. 35.10, a). După un calcul relativ lun g se obţine :
v·v (1=U)

- r -rz
-V1L-C zc-L 2T L,.zc o""=! O) - -r<-C.2 , • (35.36)
4L2
1l J

O valoare aproximativă a pulsaţiei pentru care curentul e minim se poate

<>htine observînd că dacă amortizarea e slabă atunci r2 « w 2L 2 - la frecvente

ma:i apropiate ele rezonanţă sau mai mari- şi r2 poate fi neglijat pe lîngă w2I).

Cu această aproximaţie expresia (35.35) devine :

(35.37)

şi e minimă pentru:

1 (35.38)

w,., ~ VLC = wo·

Această valoare aproximativă e foarte apropiată (cu mai puţin de 1 %o) ele

valoarea exactă (35.36) pentru circuite cu Q = ~V ~ > 4. Cu relaţia (35.38),

rC
valoarea aproximatiYă a curentului la rezonanţă este :

U r-C, (35 .39)

L

iar impedanţa la rezonanţă este :

Z( w0) """'!:._ = r Q2 >> r. (35.40)
(35 .41 )
rC

Defazajul circuitului rezultă elin relaţia (35 .34):

%)B wL ( l - uJ 2LC - r2

cp= arc tg - = arc tg - - -- - - - - --
Gr

9 =: arc tgw-L (1 - w2LC).

T

116 CURENTI ALTEf<NATI\'1

Defazajul e nu! pentru c,) = O, iar la pulsaţii mici e inductiv, trecînd printr -un

maxim, pentru a se anula la puisaţia de rezonanţă :

(. ,.·le)w 1 =
T
1 ţr 1-~- - = u>0 1 - -.- , (35 .4·2)

-V: -L=C JJ 2L

practic egală cu w0 la amortizări mici. Pentt·u u) > w,p circuitul e capacitiv

(q> <O) şi defazajul tinde către -n/2 cînd w--" oo (fig. 35.10, b).

În În figura 35.9, b este construită diagrama vcctorială pentru w = wr2 ~ w0•
acest circuit, curenţii din cele atinge la rezo-
două ramuri le şi lL pot

nantă valori efective mari, si anume mai mari decit ale curentului absorbit

din 'exterior. De aceea, circ~itul s e numeste circuit cu rezonantă de curent si
se utilizează pentru amplificarea curenţil~r slabi, avînd frec;enţa egală c'u

frecvenţa lui de rezonanţă. Factorul de calitate este egal în acest caz cu raportul

de amplificare al curentului :

(Ic) (f ro:=::::;rrlo =UC1,>) w~mo ~ Lu>0 =
-[-
--

VL= rC1w = -l; C = Q. (.35A3) u

r

0

Curbele de rezonanţă (35.35) ŞI (35.41) Q>1
a.
se pot exprima cu ajutorul factorului

de calitate şi al pulsaţiei ideale de

rezonanţă vl0 :
/( +--l =-u u
Vr w" )2 tJl2
L
1 -w-2 ~~Q 2 rC

o . w

l + -w--;2; Q2 '

wo·

~ = arc tg [ : Q ( l - :; -- ~)] · 'f

o (35.44) +J-7
2
(cw -Pentru r --'? O, Q ---7 oo, Z( w0) -->- oo
s•i curentul I = U ~)

Lw

se anulează la frecventa de rezo-

nanţă. Circuitul paralel de înaltă cali-

tate (Q >> 1) blochează trecerea curen-

ţilor de frecvenţă corespunzătoare. --JzT

Circu itul paralel este un circuit rezo- 'f>O 'f<O
nan t, la care cele trei conditii menţionate la b.

inceputul acestui paragraf, ca fiind caracterio-

tice rezonanţei, duc la valori distincte pentru

pulsaţia de rezonanţă. Astfel, w0 = 1/VLC

liilld pul ·'1q ia idca!i't dr re'l.OlWil\.it, pnl~aţiu de

lMPEDANŢE ECdlVALENTE Şl UTILIZAREA LOR - -- - 117

anulare a defazajului e Wn, dat de (35.42), pulsaţia de maxim al impedanţei de e w. 2, dat
de (35.36), şi amîndouă sînt diferite de pulsaţia proprie C..l ra = cu P ' dată de (3.5.24). Pentru
<:ircuitele oscilante, utilizate în aplicaţii pentru proprietăţile lor rezonante (radiotehnică,
teleco mun icatii), factorii de cali tate sînt foa r te mari şi toate aceste pulsaţii practic coincid:

(3S.45)

La Q ?> l. dezvoltarea in serie a ~xpre~iilor de nu~i sn&: arat:l că

frecvenţa t•l, 2 fiind foarte apropiată clt> <•l 0 .

35 ..5. Circuite (!U proprici'ăţi speciale

3.~.5.1. Circuite generatoare de curea! ~.ons<ant (montaje Boucher·ot). Considerăm

un circuit mixt cu structura d.in figura 35.] l, a. Presupunînd constantă tensiunea aplicată
z3,.eircu]t.ului, determinăm conditia pentru ca . indiferent de valoarea impcdanţei
curentul

!_3 să aibă aceeaşi valoare.
]mpedanţa echivalentă se calculcaz:i cn teoremele (35. Il) şi (35.19)

!2 ?3 ~!! .
z-:-+Z: =
c Zs = (36.46)

,Z:, +

•Cur!'nttnl le: e curentul unt>Ja dintre ramurile uruu divizor de curent Şl c dat ele (35·21);

(35,4.7)

Pentru ca [ 3 să fie independent el.-, valoarea lui ~3 , Ci'te necesnră satisfacerea c·on diţiei corn-
plexe:
Z, + Z2 o.
(35.48}

.aclicfo a r~hq:iilur reak :

Rl + Rz O. (35 .49 )
x, + X 2 o.

_Rczi s t.euţelc fiind pozitiv definite. trebuie să fie nule arnîudo11ă :

R, = R2 =O. (35.50)

: Dcei .2::1 trehuie să fie n hnbină i deaL! Zşi 2 uu contlensator ideal (sau invers), ai căror

parametri să satisfacă co ndiţ.i a

de rezona nţă (35.27):

l
i c0L -t- - - = O__,. L w =
· jwC wC

(35.51)

Cele două posibili tii ţi sîut repre-

zentate în figura 3S.U, b şi c.

1 Dacă condiţiile (35.50) şi (35.51)
jwC
sînt îndeplinite, curentul } 3 este :

lT

Lw = 1/Cw (35.52)

a b. c. <ernnul .:le sus corespunzînd
iigurii 35.ll, b şi semnul de

Fig. 3S.ll. jrJs fi.gurii 35.JI, t' .

118 CUHENTI A LT ERNATIV!

JT/2 11

----".

/

/ ~ =!!2jUJC

a. b.
Fig. 35.12.

Circuitele din această categorie sînt alimentate cu tensiuni constante si furnizează cu-

renţi constanţi, oricare ar fi impcdanţa de sarcină ~3 • În practică, totde~una R 1 =F O şi

Ro -+ O, chiar dacă sînt foarte mici. De aceea, curentul e numai aproximativ con3tant
(p~ntru valori ~~ nu prea mari).

35.5.2. Circuit defazor. Se consideră circuitul mixt din figura 35.12, în care bobinele
au inducLivităţi egale :

(35.53)

si căutăm ce conditie trebuie să fie satisfăcută între parametrii circuitului, pentru ca să

~xiste o diferenţă de' fază de IT /2 Între !_3 şi Jl, oricare ar fi rezistenţele R 3 şi R 1• Tensiunea

la horne este :

U= (_zl + ~2 ~ s) Il = ( zt + Zz22+g_aZ:a ) (z a + Z'2) Ia =

\ Zz + g_a - \- Z:z - (35.54)

= 13 (cz:1 + Z:s + ~1 Z:3)·

z:2

Explicitînd impeclanţelc cu relaţia (35. 53), se obţine :

+ + +!!. = ] 3[(1- LCvl") (R 1 R 3 ) j(2Lw R1 R 3 C(u- CL2u)3)]. (35.55)

- ,Pentru IT
ca defazajul între T1 ş.i !:3 să fie partea reală a relaţ.iei (35.55) trebuie să fie
2

nulă, adică : ·

1 - LCw" o. (35. 56)

În figura 35.12, b e construită diagrama vectorială a circuitului defazor.

35.5.3· Circuite complet aperiodice. Se numesc circuite complet aperiodice circuitele a
căror impedanţă echivalentă _complexă nu depinde de frecvenţă, deşi au în structura lor
elemente de circuit renctive. In cazul circuitului din figura 35.13, a, irnpedanţa echivalentă

complexă este:

,.. 1 jr ( wL- _2._) + 2 ~
-~-C ~c) ~,-. jwL

7 1 = -- - +

+ ,. + + +- r jwL
jwC =r _ _.:__ _ _w_C _ _ _ _C _
-j r2 jr ( wL -

IJ\IPEDANTE ECHIVALENTE SI UTILIZAREA LOR 119

Se vede că imp edanţa e independentă de frecvenţă, dacă numitorul şi numărătorul fracţiei

sîn t egali şi se simp lift că, ceea ce are loc pentru:

V~·1" = (35.57)
(35.58)
În acest caz

~~ = r ,

În cazul circuitului din figura 35.13, b, irnpedanţa echivalentă complexă es te:

Şi în acest caz fracţia se s implifi că, dncii e satisfăcută condiţia (35·57), şi se obţine:

~2 = r, (35.59)

3j.6, Linia monofazată scurtă de ctuent altenrativ

Transmisiunea la distanţă a energiei electrice dă posibilitatea utilizării
surselor de energie depărtate de centrele de utilizare. În acest scop se utili-
zează linii electrice (fig. 35.14, a).

Dacă linia care leagă gencratorul de receptor e scurtă (Y. şi cap. 53 ~i 54),
ea poate fi înlocuită cu o schemă echivalentă R, L serie (fig. 35.14, b). Cînd

este necesar să se ţină seama şi de impedanţa interioară ~; a generatorului,
se includ în parametrii liniei rezistenţa, respectiv reactanţa bobinajului
generatorului. În acest caz, totul se reduce la examinarea funcţionări i

Lc

l

b. Re JXe
Fig. 35.13.
cb[ · o~,r-~------
y1

!~

b

Fig. 35 .14.

120- - - - - - - - - - - ---------

CURENTI ALTERNATIV!

unut circuit scrie, cu rezistenţa R .. şi rcactanţa X., în serie cn un recep-
tor de impedanţă ~2 (fig. 35.14, b). În practică se cunosc tensiunea la bor-
nele receptorului U 2 (tensiunea secundară) şi impedanţa de sarcină ~2 , res -

pectiv curentul ] _, = Jl 2 = f.

- - 7. -

Adesea, receptorul C" caracte.rizat de putera activă P2, tensiunea U 2 şi
factorul de putere cos cp2 (de ex. inductiv). Atunci curentul este 12= P ~1 U2 cos cp2,
iar Z 2 = U2 ji2 = U~ cos cp 2 /P2•
Problema principală constă în examinarea relaţiei între tensiunea genera -
u2,torului g;_ şi tensiunea secundară
pentru a determina căderile de tensiune.

Diferenţa valorilor efective ale temiunilor :

(35 .60)

~c numeşte va.riaţie de tensiun e. Diferenţa tensiunilor complexe :

AU = !}:_- U2 (35.61}

;;c numeşte ciidere geometrică de tensiune. Schema echivalentă avînd toate
elementele în serie, se poate scrie relaţia :

+ + + + +;§ = (~2 R , jX,) !_ = U2 (R e jX,) I = U2 AU, (35.62)

clin care, prin calcul în complex, rezultă lE_ şi AJl..

Calculul se poate face şi grafic. Diagrama vectorială a liniei este repezenta tă

în figura 35.15, considerînd tensiunea Jl2 origine de fază.

Din figura 35.15 se poate stabili relaţia :

(35.63)

1n care (35.64)

+BC = A 1U = RJ cos '-?2 XJ sm <p2

se numc~te cilderea longit.uclinu:lă de tensiu.n e, iar

AC= b.,U = RJ sin rp2 + X,I cos cp2 (35.65)

Fe numc~tr· diderea transt·ersa.lif de tensiune. Se observă tă variatia
tle tensiun e este dată 'de
A relaţia :

Fi~ . 35.1.5. oU = E- U2 = BA' =

+ += V(U2 A1U)2 (A,U)~--

- U2 ~AtU, (35.66)

+deoarece, practic, (.6., U)2 «

«. (U2 A 1U)2, căderile de

tensiune în linie fiind mici

Qfată de tensiunea E. iar defa-

zajul p dintre fi şi ele ase-

menea mic.

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTEI<NATl V 1:21

Valoarea efectivă a căderii geometrice de tensiune (fig. 35.15) este:

(3 5.67)

În mod practic interes ează v .rriaţia de tensiune, deoarece recept~arde sînt
dimensionate pentru o anumită Yaloare efectivă a tensiunii U2. In reţelele
de distribuţie urbane de joasă ten~iunc ~e admite o Yariaţic (le t e nsiunt> de

3-4% U2•

o u2<Dacă q>~ (reCCIJtOr capaciti\·), t en siunea poate d ep ăşi tensiunea /<; ; thtpă t'll ll l

rf'zultă din (35 .66) şi (3 .5.64.), acea s tă situaţie ~e realizează d :u:ii :

Re
(35 .6e )

Xe

Î n acc't caz, variaţia de tensiune reprezintă o creştere Je tens iune ~i nu o pie r:fere d e ten-
<;Îune ca în cazul din figura 35.15.

36. I1l TEOREMELE LUI KJ RCHHOFF
PENTRU RETELELE DE CVRENT ALTERNATT\-
!1 ,

Ca şi reţelele de curent continuu (,·. par. 13.2, Yol. I), reţelel e de c uren t
alternativ pot fi studiate cu ajutorul unor ec uaţii asociate nodurilor, r especti,-
<lchiurilor, care rezultă din aplicarea unor teoreme, numite teoremele lui.
Kirchhoff- datorită analogiei formale pe c:uc o prezintă cu teoremel e similare
din curent continuu. Pentru reţelel e liniare, alcătuit~.: exclusiv din elemente
(l e circuit dipolare (cum am studiat mereu pînă acum), teoremele lui Kirchhoff
constituie o bază teoretică completă , furnizînd un sistem d e ecuaţii li ni ar•·
în număr egal cu al necunoscutelor. Deoarece aplicarea acestor t eoreme nece-
sită adesea un volum mare de calcule, s-au elaborat şi alte m etoJe mai siste-
matice, mai rapide, sau mai adaptate u nor probleme particulare (v. cap . 38).
Este însă important să se reţină că orice problemă care se studiază cu ace8te
metode poate fi rezoh· ată şi numai cn ajutorul teoremelor lui Kirchhoff.

36.1. Teoremele lui Kirchhoff în valori instantanee

36.1.1. Elemente de topologia reţelelor ('·· şi pm·. ] 3.2.1. ' 'OI. I). Se m1rn<>şte la-
l~<ră orice porţiune mi!_rginită şi neramificată de reţea şi nod, punctul d e întîlnire a douii
sau mai multe laturi. In aplicaţii e util să se considere noduri numai pun ctele de intîlnirl'
a trei sau mai multe laturi, cu cxet'pţia cazuJ,~i unei laturi închise în ca însăşi (v. ochiul
din stînga al reţelei din fig. 36 .1, a), care e mărginită de un nod comun amhelor ei ca-
pete şi ales arbitrar [(1) din fig. 36.1J. Se numeşte ochi (buclă , contur, ciclu) o su cce -
siune de laturi ale reţel ei, alcătuind o curbă închisă. O reţea se numeşte conexă, dacă ori -
e are două noduri ale ei pot fi unite printr-o curbă, care trec<' numai prin laturi al" reţ el<'i.

122 CURENŢI ALTERNATI\'l

În curent alternativ interesează şi reţelele neconexe (fig.36.l, a) , ale căror părţi (subreţele)

conexe , izolate unele de altele, pot interacţiona prin inducţie electromagne ti că (cuplaj in-

ductiv sau magnetic). Se numeşte schemă topolog icâ a re ţelei o sche mă s implificată, în care

structura laturilor nu mai e specifica tă , şi (3) 2
acestea sînt figurate prin linii (fig. 36.1,

b şi 36.2). Pe schema topologică a

unei reţele se pot studia toate proprie- 3

tăţile reţel ei referitoare la relaţiile dintre ~-
laturi, noduri şi ochiuri . Laturile şi
ochiurile se consideră orientate, scnsu- /

1

1(~) A

11
(1) 1

p CD= / ..... a.
(3)
a. ,__11 111') ;.,

7

1 (2) (5)giL =1018
1
@]{~} N= 6
O= 6
(1) (J}
1 1)S=2
b. 1/ 10 (6')
1 ( (5')
5=2, L.=lt, N=J. 0=3 \ L--"---)-' ~~-----J
" --- - - - -" ----- ....__
(6) /

__.../

b.

Fi g. 36.1 Fig. 36.2

riie de referinţă ale laturilor fiind indicate cu săgeţi plasate pe laturi (uneori. alături) . iar
sensurile de referintă ale ochiurilor fiind indicate cu arce de curbă deschisrt dotate CLI o
slgeată şi desenate' înăuntrul sau în exteriorul och:iurilor (fig. 36.2).

Un ochi se numeş te independent faţă de un sistem dat d e ochiuri, dacă existenţa lui
nu poate fi dednsă din cunoaşterea laturilor ochiurilor sistemului d a t, ceea ce revine practic
la faptul că orice integrală de contur scrisă pentru acest ochi nu poate fi exprimată ca o
combinaţie liniară a unor integrale scrise pentru ochiurile sistemului dat. Se numeşte sistem

fundamental de ochi uri independente un sistem de O ochiuri astfel alese încît fiecare dintre
ele e independent faţă de celelalte, iar oricare ochi al reţelei, neaparţinînd sistemului, nu e
independent faţ~ de acesta . Ochiurile unui sistem fundamental furnizează numărul maxim
d e ecuaţii independente obţinute, exprimînd integrale de contur. Pentru o reţea dată se
p ot găsi mai multe s is teme fundamentale de ochiuri , dar toate au acelaşi număr O de ochiuri.
n umăr ce constituie o caracteristică a reţelei.

Notăm cu L numărul de laturi , cu N numărul de noduri, cu S numărul de subretele
conexe şi iz olate ale reţelei. Se numeşte arbore al unei subreţele conexe .0 porţiune con~xă
a ei, care conţine toate nodurile acesteia şi nu conţine nici un ochi. In figura 36.2 sînt
desenate îngroşat latnriie unor arbori ale subreţelelor a şi b. Un ;,_rbore are N , - l laturi.
rl acă N, e numărul de noduri ale subreţelei conexe considerate. In adevăr, cînd construim
succesiv .arborele din l aturile lui, prima latură are două noduri (cap etele ci), iar celelalt e
aduc fiecare cîte un nod (deoarece dacă nu ar avea capătul al doilea liber s· ar forma un
ochi, ceea ce e exclu.s prin defini ţia arb orelui). Se observă acum că du că. por ni nd de la w1
arbore, se adaugă succesiv cîte o latură pentru a construi re ţeaua definitivă, orice nouă
latură astfel adăugată nu aduce nici un nod în plus (prin definiţie arborele le cuprinde pe
toate), dar aduce subreţelei cîte un ochi independent de celelalte şi numai cîte unul. N umărul
de laturi astfel adăugate e deci egal cu numărul 0 5 al ochiurilor independente ale subreţele i

TEOREMELE LUI K!RCH!!OFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 12 3

considerate. Nunărul de laturi L, al acestei subreţele conexe eşte egal cn numărul de laturi
ale arborelui N, - 1, plus numărul O, al ochiurilor ei independente :

+L ,= O, lY, - l.

Scriind cîte o astfel de ecuaţie pentru fiecare su breţea conexă şi însumînd cele S ecuaţii
scrise , se obţine pentru întreaga reţea relaţia :

+L = O 1\'- S.

Sub forma:

(36.1),

această relaţie permite determ inarea numărului de ochiuri independente a le unei reţele date.
Practic (deşi nu e necesar), acestea se aleg as tfel încît fiecare să aibi't cîte o latură care să
nu aparţină celorlalte (în ace,t fel sîntem siguri de independenţa lor, iar dacă am ales O
astfel de ochiuri independente, ştim că le-am ales pe toate).

În cele ce urmează vorn presupune că: toate laturile reţelei sînt numerotate într-o
ordine dată, cu iudicii curenţi:

k. /, m. r. s, t = 1, 2, ... , L , (36.2)

toate nodurile reţelei sînt numerotate într-o ordine dată , cu indicii curent:i. (36.3)
b. c. d = 1, 2,... , "Y,

toate ochiurile inclependente ale unui sistem fundamental, ales arbritrar, sînt numerotate
într-o ordine dată :

p, q = 1, 2, ... , o. (36.4)

36.1.2. Prima teoremă a lui Kirchhoff. Unei s uprafeţe închise L;b care

înconjură un nod oarecare (b) foarte aproape ele nod, i se poate aplica teorema

JJcontinuităţii (31.10), ir = O, curentul total ir.b = JdA, fiind în acest caz

r. b

suma algebrică a curentilor laturilor care se întîlnesc în nod . Se obţine
astfel - ca şi în curent cdntinuu- prima teoremă a lui Kirchhoff:

Suma algebrică a t·alorilor instantanee ale curenţilor din laturile care se

reunesc intr-un nod este nulă : '

- -- - - - - 2

(36.5)

Î n acea stă sumă "algebrică"·. curenţilor care ies din nod li se afectează semnul'
( J_ ), iar celor care intră în nod, semnul (-); imLiccle h al laturii ia acele valori

1 O relaţie de acest tip a fost stabilită prima dată de Euler pentru policdre şi de aceea
(36 ·1) se mai numeşte teorema lui Euler.

E2 Semnul e semnul de apartenenţlt, folosit aici pentru a indica : latura h aparţine mul- .

ţimii laturilor legate la nodul (b).

! 2-1 CURENŢI ALTERNATIV !

din şiml (36.2), care corespund laturilor legate la nodul (b) consi(lerat. De exem-
plu , în cazul nodului din figura 36.3, prima teoremă a lui Kirchhoff se scrie :

H.elaţia (36.5) a fost stabilită utilizînd legea cons ervării sarcinii şi aproximaţia

regimului cvas istaţionar. În ea nu apar parametrii circuitelor. De aceea, această

relaţie e valabilă în regim cva -

1 sistaţionar pentru orice fel de
'' 1 circuite : liniare, parametrice.
--
neliniare.
36.1.3. A doua teoremă a

lui Kh·chhoff. În lungul nnf'i

rcurbe Închise P' compusă din

succesiunea liniilor tensiunilor

la borne u b ale diferitelor la-

/ \ turi m al; umn ochi (p)
/
\ (fig. 36.4), se poate calcula
/ tensiunea electromotoare inclusă
Fig. 36.3
erp = ~ Eds, egală, în acest caz,

rP
,('U suma algebrică a tensiunilor la borne ale laturilor ochiului. Această tensiune

.dectromotoare inclusă e însă nulă, deoarece fluxul magnetic prin suprafaţa Sr ,
1
rsprijinită pe curba p e ne-
lf~ub~~i ~(b)
glijabil, ca urmare a modu- 1 11 ' ( 11
lui de alegere a liniilor 1
tensiunilor la borne - care 1 1 ' ....---, 11
.ocolesc regiunile de flux
intens, localizate în bobine 1 ,.,. "
(\'. şi par. 31.2 .2). Se ob-

ţine astfel cea mai generală

formă a celei de-a doua

teoreme a lui Kirchhoff:
Suma algebrică a valorilor

instantanee ale tensiunilor la

bornele laturilor care ulci'i-

.tuiesc un ochi este nulă :

Sr..

p

În această sumă "algebrică", r/Jr.. "'o \
tensiunilor la borne, al căror \
p
sens de referintă e aeelasi cu
Fig. 36.4
;:ensnl de int~grare (s~nsul

E1 Semnul e semnul de apartenenţă, folo3it aici pentru a indica : latura m aparţine

mul~imii laturilor ochiulni (p).

TEOREMELE LUI Kll,CHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 125

+),de referintă al ochiului, numit şi sens de scriere al ccuaţiei) , li se afccteabă

semnul ( iar celor al căror sens de referinţă e opus, semnul (-). Indi-
cele m al laturii ia acele valori din şirul (36.2), care corespund laturilor ce

aparţin ochiului (p) considerat.

De exemplu, tn caz\11 ochiului din figura 36.4, relaţia (36.6) se sCl'ie :

+u bm - ub t u bs - u br - u b1 = O.

O altă formă gen erală a celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff se obţine înlo-
cuind tensiunile la borne cu valorile scoase din ecuatiile laturilor scrise sub forma
relaţiei (34.119), utilizată la deduccrca teoremei lui Joubert :

+ub ,, = 11 Rm Ucm + d<Pm - e," . (36 .1)
- d-
t

În această relaţie, ub m c t ensiunea luată după regula de la receptoarc pentru

toate laturile ret,elei, uRm e căderea de tensiune rezistivă din laturi, ucm e tensiunea
condensatorului conectat în serie în latura m , e", es te t .e.rn.. a gcneratorulni
din latură cu sensul de referinţă acela şi cu al curentului im , iar CI>", e fluxul
magnetic total care înlănţuie latura (mai puţin fluxul care induce t.e.m. a

genera torului).
Înlocu ind rel aţia (36. 7) în relaţia (36.6) ş i scparîml într-un membru t.c.m.

ale generatoarclor, se oh!ine o altă formă generală a primei teoreme a lui Kir-

chhoff:
Suma algebrică a valorilor instantanee ale tensiunilor electrom.otoare ale

generatoarelor din laturile unui ochi e egală cu suma algebrică a căderilor de ten-
siune instantan ee din acele laturi:

(36.8)

Acea stă relaţie Şl relaţia (36.6) au fost stabilite utilizînd numai legi generale.
i)l m ca nu apar explicit parametrii circuitului; de aceea ca este valahilfl
pentru orice fel de circuite : liniarc, parametrice şi neliniarc.

O b s e r v a ţ i e : Ecuaţia (36.8) poate fi dedusă şi calculînd tensiunea electromo-
loarc în lungul unei curbe care trece numai prin laturile ochiului (nu pe la borne, cum
trecea curba I'p utilizată aici).

În cazul circuitelor liniare, căderile, de tensiune se pot exprima în
functie de curenti, introducînd parametrii circuitului în relaţiile (31.22),
(31.28), (31.15): ,

(36 .9)

în care R", > O este rezistenţa conductorului laturii, Cm > O este capacitatea
condensatorului, Lmm = L m > O este inductivitatea proprie a laturii, L,", ~ O
este inductivitatea mutuală dintre latura s şi latura m (L",, = L,",), cu sensu l

corespunzător sensului de scriere al ecuaţiei prin latura m şi sensului curentului. i.
din latura s, care induce. Dacă numai unul dintre aceste sensuri nu coincide cu cel

126 CUHENŢI ALTERNATIV!

indicat de horn a polarizată corespunzătoare valorii date a inductiYităţii mutuale,

semnul acest ei valori trebuie schimb at.
Cu relaţia (36.9) se obţine a doua teoremd a lui Kirchhoff pentru circuite

.li:niare:

~. ~i111 111
~ [R +~ e/n = c-1-:- L", l t - L.~ L -ddi , ] ' (36.10)
1>1;
t
nJ s=l t
m E(p) m E{p}

r:;au, cxplicitînd căderea de tensiune de inducţi e proprie (s = m),

~ eln ..L L eli " +~~ .[J"''edlit,] • (36. 10')
cit
"'ElrJ m

S-::ţ. 111

36 ·1·4.. Observaţii privit oare la aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. ") Cu aju torni acestor

l eoreme se obţin ."V - 5 ecuaţii independente de noduri (deoarece în fiecare din cele 5

· subreţelc conexe, ultimul nod - în care intră numai curenţi a le căror valori au mai i ntrat

în ecuaţiile altor noduri cu semn schimbat - conduce la o ecu aţie care e egală cu sum a

+cu semn schimbat a celorlalte ecuaţii de noduri. ~i deci nu e inclpendentă de ele); O = L -
-N 5 ecuaţi i ipdependente de ochiuri . Rezu ltă în Lotal O - N - S = L ecuaţii

integro-diferenţial c. In reţe le liniare, aceşt sistem ele ecuaţii are L funcţiuni necunoscute :

curenţii i(t) ai laturil or ş i prohlerna are o so l uţie unică (în regim tranzitoriu, după preci-

zarea copdiţ i ilor iniţiale).

b) In ecua ţiil e ob\.inutc din ce a de -a doua teoremă a lui Kirchhoff toti termenii au sem-

nul( + ), respectiv(-), după cum sen sul de 1·eferinţă al mărimii r espective coincide sau nu cu

sensul de scriere al ecuaţ. i ci. Din cauza conventiei suplimentare, pe care o implică semnul

une1 inductivităt,· i muLuale (v. par. 34..4 .3), termenii de forma L di, au semnul

"" dt

hotărît de corespondenţa dintre sensul de scriere elin ochittl cu latura m si sensul curen-
tului din latura s, de o parte, şi sensurile indicate de bornele polarizate, de 'a ltă parte

cum s-a precizat mai sus.

c) Aplicarea teoremelor se face (ca În curent continuu) alegî nd sensuri de referinţă

arbitrare pe laturi, alegînd ochiurile independente şi sen;urile ele referinţă arbitrare pentru

ele, scriind ecuat iile şi rezolvînd sistemul astfel obţinut.

d) Teorema a doua a !ni Kirchhoff se poate scrie ~i pentru un ochi care nu se în-

chide m_~;mai prin laturi , ci şi -pe o anumită porţiune- prin dielectric , direct între două

borne. In acest caz, tensiunea dintre aceste borne nu mai poate fi explicitată în funcţie

ele curenţi şi rămîne în ecuaţia (36.6) neînlocuită cu relaţia (36.7). Ecuaţia finală (36.8), res-

pectiv 1·elaţiile (36.10). va cuprinde în membrul drept. alături de căderile d e tensiune din la-

turile ochiului, si teusiunea dintre bornele prin care se închide acest ochi.
' e) Cea mai bună verifi-

care a scrjerii şi rezolvării co-

recte a ecuaţ.ii lor o constituie

Yerificarea bilanţului puteriior

2 (v. cap. 37).
Ap lica ţie: Ecuaţiile trans-

formatorului. Considerăm un

ansamblu de două bobine

cuplate, constituind un trans-

formator electric (fără miez de

fier, pentru ca induclivităţile

să fie constanle-v. ftg. 36·5, a).

Schema echivalentă e desenată

în figura 36.5, b; în această

a. b. sc hemă , r1 şi r 2 sînt rezistenţele
Fig. 36.5 conductoarelor înfăşurărilor, L 1
şi L 2 sînt inductivităţile acestor

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 127

i nfăşurări, iar L 12, inductivitatea mutuală. Bornele polarizate au fost astfel alese, încît, în
ele, curenţii ar intra prin aceste borne, ar da fluxuri în
raport cu L 12 > O (in cazul cînd

acelaşi sens lll'in miez - cum rezultă din figura 36.5, a). Alegem sensurile de referinţă ale

t ensiuni lor la borne şi ale curenţilor după regula de la receptoare la prima bobină şi după

regula de la generatoare la a doua - transformatorul constituind o celulă intermediară

i ntr-un l anţ de transmisiune a energiei electromagneti ce. Alegem sensurile de referinţă pe

cel e două ochiuri închi,; e cu liniil e tensiunilor la borne. Ecuaţiile de ochiuri (36.9) sînt, în

a cest caz (cu e1 = r2 = O, deoarece nu avem generatoa1·e):

O = r 1i1 L1 di1 - L di2
12-- Ut
-- dt

dt

o=

( ;;emnul minu s din faţa lui L 12 re zultă din regula indicată la punctul b de mai sus), sau :

L 1 di1 - L di2
12-
- dt

dt

(36.11)

-----= -l_J, 2di,I di1
dt "l-
, - dt

pe!l!r u Yerificar c înmulţim prima ecuaţie cu i 1, a doua cu i 2 şi adunăm ecuaţiile; se obţine

re l aţia :

., d[L + 2u1Î1- uziz = r1iÎ .L rziii + d Î- - 12i-Î L2i~ + (- Llz)'.I.12] · (36.12)

Diferenţa dintre pute1·ea n 1i 1 primită p e la borne de prima bobină (deoarece am folosit con-
Y e n ţia de la receptoare) şi puterea u2i 2 cedată pe la borne (deoarece am folosit convenţia
d e l a generatoare) de a doua bobină este disipată în parte în rczistenţele înfăşurărilor

ii +( r1 r2i~) şi acumulată în parte în cîmpul magnetic al bobinelor, a cărui energie e W ( m)

( v. rei. 31.17). Semnul (- ) din faţ a inductivităţii mutuale L 12 rezultă din faptul că sensul
cu rentului i 2 iese din b orna polarizată resp ec tivă, în lo c să intre ca i 1 : valoarea iuduc t i-
,·i tăţii mutuale în raport cu se nsurile curenţilor este (- L 12 ).

:36. 2. Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff

Pentru circuite liniare în r egim p ermanent sinusoidal de pulsaţie CJ) Ee
pot reprezenta în com plex sim plificat relaţiile (3 6.5), (36 .6) Şl (36 .10), fo losind
nolaţ iil e :

(3 6.13)

V- . ( ' )= = 'e", E ja",
Em 2 Slll wt 1 ---> 111C
Cl.m <--- F;m

•i regulile de transpunere a op eraţiilor elementare (34.81...84).

36.2.1. Forma complexă a primei tem'eme a lui Kirchhoff. Reprezentînd
i:n complex, cu notaţiile (36.13), ecua ţia (36.5), se obţin e expresia :

E Lk= o 1, (36.14)

1 kE(bJ

123 CURENTI ALTEI<NATIV1

earc se enunţi"'t : Suma algebrică a imaginilor în complex ale curen[ilor din latu-
rile care se reunesc într-un nod este nulă. Convcn-~iile privitoare la semn sînt
acdea~i ea la valori instantanee. Deoarece modulul unei sume nu este egal cu
~uma modulilor termenilor, o rrlaţic de forma (36.1 4) nu se poate scrie pentrtl
Yaloril(• cft·ctive (reale) :

36.2 .:2. :Fonna complexă a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Reprezentînd

Îtl complex, cu notaţiile (3fi.l3), ecuaţia (36.6), se obţi.ne enunţul cel mai

g" •wra l <tl tf·on·m •·i : E - oLr-.., -- . .
-'}1'
(36. L'))
mE(p } •

Suma algeb ricâ a imaginilor în complex ale tensiunilor la bornele laturilor care
a!câluÎesc un ochi este nulâ. Couventiile privitoare la semn sînt aceleasi ca la

.Yalori in stantanee. Si în acest caz, 1:cla'tia nu c valahilă între valori efectiv<' :
E ub =1== o.

mE{p) m

Rcprc7.entînd in compln: ecuaţia (36.10), cu notaţiile (36.1 3), se obţine relaţia :

(36.16)

Dar

J.

El, = j (uL", _{", + j u)L"', l,
s=l
(sof:; m)

~~ nJati<t {36 .16) ş( · sr·T if' :

"[sJ.E fim = E l-(R", -f- ju)L", + -.-1-)J", -!- EjwL,1 (36 .17)

m':(p) mf;(p } jwCm s =1

(sof:;m)

Suma algebrică a imapJnilor în complex ale tensiunilor electromotoare ale genera-

toarelor e egalâ cu suma algebrice! a crlderilor de tensiune complexe din acele

laturi. Căderile de tensiane pot fi rezistivc (R ",!"J, inductive (j wLmL").

capacitive (~c !._ ) sau induse mutual (j wLm;[,) de alţi curenţi. ConH'H-
111

JW m

1iilc privitoare la semn sînt acelcaFi ca la -valori instantanee.
' Teorema a doua a lui Kirchh~ff se poate scrie strîns, introducînd impr·-

danţa proprie a laturii

J. W I Jm
+ + -.- -R= l n:
1 (36.18)

J~lC 11,

~i imp e<lanţa mutuală dintre latura s ~i latura m:

(36.19)!

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU REŢELELE DE CURENT ALTERNATIV 129

Cu aceste notaţii relaţia (36 .18) se scrie :

t:L: !Jlm = B (~mim + ~msls) (3 6 .20)
mE{p) mE(p) s=l s= l

(s:,t:m)

sau ma1 strîns :

L

E !Jlm = :L: E~msL (3 6.21)

mE(p) mE(p}s=l

Observ a f i i : a) Prima sumă relativă la ochiul (p) se face asupra tuturor indi-

cilor m ai laturilor care aparţin ochiului (p). A doua sumă, în s, se face asupra tuturor la-

turilor 1·eţelei (inclusiv s = m). Dacă o latură s nu e cuplată inductiv cu vreuna din la-

turile ochiului (p), curentul respectiv nu apare În ecuaţia acestui ochi, deoarece Zms = O.
b) Dacă se scrie explicit această relaţie, se observă că fiecare dintre impedanţel e mu-

tuale ale laturilor ochiului (p) cu laturi exterioare ochiului (p) apare o singură dată, în ti mp
Zmsce o impedanţă mutuală
între laturi m şi s, care ap arţin ambele ochiului (p), ap are rle
două ori: o dată în termenul g_m sls şi a doua oară În termenul Z smlm·
c) Comparînd relaţia (36.20) cu teorema a doua a lui Kirchhoff din curent continuu

L.Em = L.Rml""se constată că singura deosebire de ordin formal între aceste relaţii decurge

Z.ms·din existenţa, în curent alternativ, a impedanţelor mutuale

36.2.3. Rezolvarea reţelelor, în complex, cu teoremele lui Kirchhoff.
Metoda generală de rezolvare a reţelelor liniare de curent alternativ sinusoidal,
cu reprezentare în complex, consistă în utilizarea sistemului de L ecu aţii

Kirchhoff independente :

b = 1,2,...,N- S = L - O (36.22 )

p = 1,2,...,0

În reţelele disipative (cum sînt reţelele electrice obişnuite, în care totdeau n a
Rm > 0), acest sistem are o soluţie unică, adică există un singur sistem de
Jcurenţi

În
complecşi 10 ] 2,... ,]L care îl satis fac (la t .e.rn. date).
temelor de ecuaţii algebrice d
adevăr, d i nt e oria sis e gradul I, se 7tie

că soluţia unui sistem neomogen de L ecuaţii cu L necunoscute e unică, dacă

sistemul omogen corespunzător nu are decît soluţia identic nulă; în caz contJar,

o soluţie a sistemului omogen poate fi suprapusă cu o soluţie a sistemului neo-

mogen si s-ar obtine o a doua solutie a sistemului neomogen. În cazul si:, tc-

mului (36.22), si~temul omogen e 'acela obţinut cu !fd.m = O (m = 1,2,.. ., L)

şi corespunde cazului fizic al unei reţele fără surse. Dar o reţea liniară disipativă

fără surse nu poate avea curenţi de regim permanent, din cauza dezvoltiirii

ireversibile de energie în rezistenţele laturilor (prin efect J oule-Lenz), care

cere un aport mediu constant de energie din exterior.

9 - 1568

130 CURENŢI ALTERNATIV!

În reţele nedisipative (pur reactive, fără rezistenţe), soluţia sistemului (36.22) poate
să nu fie unică. Acest rezultat se explică prin faptul că în astfel de reţele regimul liber nu e
amortizat, regimul tranzitoriu nu se stinge niciodată şi regimul permanent consistă în su-
prapunerea regimului forţat (hotărît de sursele sinusoidale date) cu regimul liber, periodic,
determinat de condiţiile iniţiale şi de frecvenţele proprii ale reţelei. În acest caz, sistemul

de curenţi care circulă la un moment dat prin laturile reţelei, la t.e.m. date depinde de con-
diţiile iniţiale : de exemplu, de ordinea închiderii întreruptoarelor de alimentare.

La aplicarea ecuaţiilor (36.22) se urmează aceleaşi etape ca şi în cazul

teoremelor scrise cu valori instantanee (par. 36.14), cu observaţia că înainte

de a scrie ecuaţiile e necesar să se calculeze imaginile în complex ale tensiunilor

clectromotoare date - pornind de la o singură formă normală (în sinus sau

în cosinus) a valorilor lor instantanee. După rezolvarea ecuaţiilor în complex,

trecerea inversă la valorile instantanee ale curenţilor se face cu aceeaşi formă

normală.

Verificarea calculului se face fie scriind ecuaţii suplimentare pe ochiuri

neutilizate initial, ecuatii care trebuie să fie identic satisfăcute cu solutiile com-
plexe obţinut~, fie - ~ai complet - verificînd bilanţul puterilor ~omplexe

_1_ (v. par. 37 şi aplicaţia 37.3.3.).

jwC3 Da?ă în problema dată se

cere o tensiune u, cu imaginea

U, între două noduri oarecare

(b) şi (d) se scrie ecuaţia a dona

a lui Kirchhoff pe un ochi

constituit din laturi ale retelei
şi închis prin linia acestei ten-

;:iuni (v. aplicaţia 36.3.3.).

/ 36.3. Aplicaţii
~-

(JJ

Fig. 36.6 36.3.1. Scrierea ecuaţiilor literale
pentru reţeaua din figura 36.6. Reţeaua

+subreţele conexe şi O = L - N are L=4 laturi, N = 3 noduri, S = 2
S = 3 ochiuri independente. Vom avea N - S = 1

ecuaţii de noduri (de ex. pentru nodul (l) şi O = 3 ecuaţii de ochiuri pentru ochiurile

(1'), (2'), (3') alese.

Alegem sensurile de referinţă pentru curenţii de laturi IH I 2, Ia I~ şi sensurile de scriere
pe ochiuri. Ecuaţiile sînt

(1) l2 -1- la - !.1 = O

+(1') !It = j wLtl_t - j wL12l2 j wL2l2- j wL2tl1

1 +(2') '!2a = (Ra -I- j wLa -1- jwlC ) la - j wLatl4- j wL2I2 j wL2tl1

~3
(3' ) O = (R4 -1- j wL4)[4 - j wL.ala· (36.23)

La rezolvarea acestui sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute e preferabil să eliminăm

curentul [1 = lz -1- la (conform cu (1)) din ecuaţiile de ochiuri (1'), (2'), (3'), pentru a

obţine un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute -la care se poate aplica regula lui Cramer,
fără a fi nevoie să se opereze cu determinanţi de ordin mai mare decît trei.

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV !31

36.3.2. lmpetlanţa echivalentă a transfor·
matorului în sarcină (fig. 36.7). În acest caz,

+,V= 2, L = 2, S = 2, şi O = L - N S = 2

ecuaţii independente de ochiuri.
Scriem ecuaţiile cu ochiurile închise pe liniile

tensiunilor la borne :

+O= (R1 jwL1)b - jwL12l2 - Ql } (36.24)
+ +O = (Ra j wL2)la - jwL2tl1 Q2

Aceste ecuaţii sînt imaginile în complex ale
ecu a ţ_iilor (36.11). Ele se scriu sub forma:

!11 = Z1l1 - l1d2 } (36.25) Fig. 36.7
- !la = lal2 - l2tl1 '

+în
+a
care la = l 21 f =j wL12 le impedanţa mutuală, 1 = R1 j wL1 e impedanţa proprie
R2 secundarului.
primarului, ia r 2= j wL1 e impedanţa proprie a

Dacă v aloarea algebrică a inductivităţii m utuale L 12 a r fi fost definită în raport cu sen-
de referinţă lu ate pentru curenţi, semnul din faţa lui 12 ar dar acea va-
l pentru fi fost (
realizate ca în
înfăşurări
+ ),surile

loare
a induetivităţii mutuale ar fi fost negativă (L12 < O)
Ggura 36.5, a (cu tensiuni u1 şi u2 practic în fază).
Dacă la bornele secundare ale transformatorului e conectată o sarcină de impedanţă

echivalentă l "

!b = lslt (36.26)

~i ecuaţiile transformatorului devin :

!11 = ld1 - ltzla } (36.27)
(36.':!8)
O = (?'2 + ZsHa -lzt!l •

Calculăm impedanţa echivalentă de intrare a transformatorului :

z. = 1-!I1l·

-1

Din a d oua ecuaţie (36.27) se obţine : (36. 29)

r _ Z12
-2- Za + ls-l1

şi introducînd această valoare în prima ecuaţie (30.27), se obţine :

Z, = Z1 -~ ~Î2 + l-aw-+2L-Il2-s· (36 . 30 )

-1 - -l2 +-l-s=Z- 1

36.3.3. Rezolvarea numerică a unei reţele. Datorită caracterului complex al ecuaţiilor,

rezolvarea lor literală conduce la calcule extrem de laborioase. De aceea, în aplicaţii se
preferă scrierea de la început a ecuaţiilor sub formă numerică şi rezolvarea lor sub acestă
formă. Ca exemplu, studiem reţeaua din figura 36.8,a, în care parametrii de circuit şi t.e.m.

ale generat oarelor sînt :
lR1 = R2 200; L1 = 0,0318 H; L2
+L12 = 0,0636 H;

0,0318 H; C3 = 159 fLF; (36.31)

Y2e1 = 10 sin wt; e2 = 50 Y2 cos(wt -rr) ;f 00 50 Hz.

2rr

132 CURENŢI ALTERNATIV!

Calculăm reactanţele hohinelor şi condensatoarelor :

şi imaginile în complex ale t.e.m. : l (36.32)
(36.33)
wtY2e1 = 10 sin ~ -!i.1 ==; 10ei0 = 10

wt - i)e2 = 50 V2 sin( ~ Ji2 = 50e-j~ = -j50. •

\1 (2)_.. _ _1-) 20 1

1

-j20 / (3/l
\ __ /,1
1(2'l

\/ /

\

a. .I.2=-5Dj

b.

Fig. 36.8

Pentru scrierea directă a ecuaţiilor numerice e util să notăm schema cu valorile compl exe
ale impedanţelor şi t.e.m. (fig. 36·8, b). Alegem sensurile de referinţă ale curenţilor fu
+] 2 , la şi ochiurile 1 = 2.

Substituind direct pe în com-
independente (1') şi (2'), ştiind că O = L - N -1- S = 3-2
[3 = [ 1 - [2 (scos
din ecuaţia nodului (1)) ecuaţiile de ochiuri

plex sînt: 10 = (20 -1- jl0)l1 - j10J2 - j20([1 - [g)

+ + +- (- 50 j) = - (- j 20)([1 -1 2) (20 j 20 j 20) [ 2 - j 10 ] 1

sau +10 = (20- j 10)[1 j 10[2 } (36 .34)
cu soluţiile : (36. 35 )
j50 = j 1011 -1- (20 -1- j 20)[2

.~ . n
+ J- - j -
ll = 1; 12 = 1 j = V2 e 4 la = 11 - J2 = - j = e 2
,

Valorile instantanee ale curenţilor sînt (cu 34·78):

i1 = Im { V2 ei"''} = V2 sin ( wt)

y- +=i2 Im { ly/,2;" el. f·Ţ' 2 ejwt} = 2 sin ( cut (36.36}

y- .~Im { e-j y2- sin (wt- 7\")
2i 3 =
2 e JW t}' =

CONSERVAREA PUTER ILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 133

O b s e r va ţ i i: a) Pentru a verifica rezultatele, scriem ecuaţia ochiului exterior (3'):

+ +10 - (-50j) = (20 + j 10)!1 - j 10[1 (20 j 40)[2 - j 10[1 (36.37)
+ +10 + 50j = 20[1 + (20+ j 30)[2 = 20(1) + (20 j 30) (1 j)

care cu relaţia (36.35) e satisfăcută identic.

b) O verificare mai completă se face cu bilanţul puterilor complexe (v. 37.3),
c) După determinarea curenţilor putem afla oricare dintre căderile de tensiune din
circuit. Să presupunem că se cere tensiunea UAB (fig. 36·8. a). Scriem atunci teorema a doua
a lui Kirchhoff pe ochiul ABC, închis prin laturi şi prin linia acestei tensiuni la borue:

de unde: (36.38)
(36.39)
+ ·"JlAB = !!;~ - [ i2 - j cuLd!J = 10- (-j 50)- j 20(1V2 J -4
j)=30 '
e

iar

uAB = Im {30 V-2 tl.4" ,v,-2 e.l'"'} = 60 sin (wt + 47t) ·

37.11 CONSERVAREA PUTERILOR
ÎN REŢELELE DE CURENT ALTERNATIV

Teoremele conservării puterilor se exprimă prin relaţii care sînt con-
secinţe analitice ale teoremelor lui Kirchhoff fără alte ipoteze. Aceste relaţii
se interpretează pe baza legii transformării de energie în conductoare (rei.
31.19 şi 31.20), a teoremei energiei electrice (rei. 31.16), a teoremei energiei
magnetice (rel. 31.17), a teoremei transferului de putere la borne (rei. 31.21).

37.1. Teorema conservării puterHor În5i:antanee

37.1.1. F orma generală a teoremei. F ie o reţea electric ă, constituită ex-
clusiv din elemente dipolare de circuit, şi ale cărei laturi nu sînt cuplate mag-
netic cu exteriorul. Reţeaua nu este însă izolată şi presupunem, pentru gene-
r alitate, că fiecare nod (c) = 1, 2,... , N constituie cîte o bornă de acces, în el
fiind injectat din exterior! curentul instantaneu i/•xJ. Conform teoremei trans-
ferului de putere la borne (rei. 31.21), reţ eaua prime şte din exterior puterea
instantanee :

(37.1)

1 Faptul că un nod (a) nu e conectat în exterior, se ia în considerare punînd i ~·zJ =0.

134 CURE N Ţ I ALTERNA TI V!

unde Ve sînt potenţialele nodurilor ei faţă de u n punct arbitrar 1 {de obicei,
ultimul nod - v. fig. 37.1).
Din teorema întîia a lui Kirchhoff, scris ă pentru nodul (c) , re zultă :

j(·ce:r) -- "\' t•m, (3 7.2)
L,_;

mE (c)

J
1

1

'\

\ "c
\

\

\ ' ____' ..............__

_.

Fig. 37.1

suma algebrică din membrul al doilea fiind luată numai asupra la turilor
interioare ale reţelei conectate Ia nod. Înlocuind relaţia (37.2) în relaţia (37.1)
şi ordonînd suma dublă după indicii m = 1, 2, ... , L ai curenţilor laturilor,
se obţine o sumă simplă în m, al cărei fiecare t ermen conţine curentul i 111 ,
dat factor comun pe lîngă toate potenţialele nodurilor din care " iese" acest
curent. Deoarece o latură are numai două capete, există numai două astfel
de noduri, de exemplu, (c) şi (d), şi anume unul (c), din care curentul iese (în
care caz potenţialul ve înmulţeşte curentul im), şi unul (d), în care curent ul intră
(în care caz potenţialul vd înmulţeşte curentul - im)· Rezultă deci egalitatea :

NL (37.3)

Pb = L; L; veim = E im(vc- vd) ·
c= 1 mE(c) m= 1

1 Aceste potenţiale se calculează (ca şi tensiunile la b orne u b) pe curbe, ale căror pu ncte
sînt depărtate de regiunile de flux magnetic intens din bobine şi generatoare - ceea ce c

t otdeauna posibil, dacă reţeaua nu e cuplată inductiv cu exteriorul. De asemenea, curba
î nchisă, determinată de linia tensiunii la borne a unei laturi şi liniile de calcul al poten-

ţialelor capetelor la turii, nu trebuie să înlănţuie fluxuri magnetice.

CONSERVAREA PUTERILOR IN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 135

Diferenţa de potenţiale în această ordine e însă chiar tensiunea la born ele
laturii, luată după regula de la receptoare (v. fig. 37.1):

(37.4)

Astfel se obţine forma generală a teoremei conservării puterilor instantanee :

NL (37.5)

E EPb = vei!""') = ub",im
e= 1 m= 1

Puterea primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv cu ex-
teriorul e egală cu suma puterilor instantanee, primite de laturi pe la borne.

37.1.2. Conservarea puterilor instantanee în reţele liniare. În acest caz,
tensiunea la borne se exprimă cu relaţiile (36. 7) şi (36.9) sub forma :

+ + + +Ub = UR L~.J L m,d-i, - e.,..
Uc -d<-l),n= R. mt•m -q111 (37.6)

m m "' dt Cm •= 1 dt

Înlocuim această expresie în relaţia (37.5) şi formăm derivate în raport cu

timpul, ţinînd seama că R",, C", , L m, sînt constante, iar i", = dqm. Se obtine

' dt )

relaţia :

d [ L q2 ] dd1t·s •
dt L.J m
N

+ "' · _ "' + "' U + "'"L.J' V et•c(cx)
L L R ",t·mz L "LL.'JL msL·m (37.7)

L.J CmLm - L.J L.J

c-1 m=l m= l m= l m m= l a= l

Suma dublă se poate descompune în doi termeni egali, iar în al doilea dintre

aceştia se pot permuta indicii muţi între ei (notarea indicilor şi ordinea de

sumare nu prezintă importanţă la calculul unei sume multiple) şi se poate

înlocui L sm = L ms :

• di, 1L L . ui 1L L · di m
E E +- EEL L
BLm5L", - = - ELm,t m--:-5 L,mt, - - =
dt 2m= 1s = l dt 2, _ 1m= l dt
m=1s=1

(i + i= .!_ ~ ~L di, dim ) = ~ [~ ~Lm5i 111 i5 ]· (37 .8)
2 mL.=Jl sL:...Jl "" 111 dt 5 dt dt mL.=Jl Ls =.Jl 2

Cu aceasta, relaţia (37.7) ia forma:

N L L d[ L + LL 'L'']f='f"' •(ex)
Vctc
T1 "f;;j'1e",t•", -- f";;;';l R i2 -L - "f;;j'l qm2 "f:1'_"6;;':l ~ mslml s , (37 9)
î 2C",
mm dt ,2 ,

Interpretarea termenilor acestei relaţii rezultă imediat cu relaţiile (37 .l ),
(31.20), (31.19), (31.16) şi (31.17) şi se poate scrie :

Pb + p g = PR + ~[W(m) + wr•J ] 1. (37 .10)
dt

1 La energii păstrăm simbolurile majuscule chiar pentru valori instantanee.

136 CURENŢI ALTERNATIV 1

Relaţia (37.9) cu interpretarea relaţiei (37.10) reprezintă expresia teoremei

conservării puterilor instantanee în reţele liniare :
Suma dintre puterea primită instantaneu pe la bornele reţelei Pb (v.37.1)

şi puterea debitată instantaneu de generatoare

L

Pg = Eemim (37.11)

m=l

este egală cu suma dintre puterea disipată instantaneu prin efect J oule-Lenz

L (37.12)

p R = "L.."J R nh.,n
m=l

si viteza de variaţie a energiei electromagnetice instantanee, acumulată în
~împul magnetic al bobinelor

(37.13)

şi în cîmpul electric al condensatoarelor reţelei

"';c"' .E Ewr·J = L 2~2" = L C 2 (37.14)

m=l m m=l

Această teoremă generalizează bilanţul puterilor instantanee (33.114) al unei
laturi de circuit.

37.1.3. Conservarea puterilor instantanee la o reţea izolată. În cazul unei reţele fără
borne de acces , şi deci izolată electric de exterior, puterea Pb = O şi cele două expresii
(37.5) şi (37.10) ale teoremei capătă formele:

(37.15)

el
[WfmJ
+ - +Pg = P wr•J]. (37.16)
R dt

37.2 . Teoremele conservării puterilor complexe, active şi reactive

37 .2.1. Puterea complexă, puterea activă şi puterea reactivă. În regim

p erm anent sinusoidal, curenţii şi tensiunile sînt de forma :

+i", = Im V2 sin (wt Ym) ~ l m= J ",eiYm (37.17)
V2 +i~•x) = I~ex) sin (wt ac)~ le= Icejac (37.18)

ve= ve V2 sin (wt +Ee)~ !:::"c = Vce i•c (37.19)

V2 +ubm = ubm sin (wt ~ "') ~ -ubm = ubm e j~m (37.20)
+em = E mV2 sin (wt oc;n) ~ .§", = E meia". (37.21)

1 Notaţia m < s sub semnul de su mă dublă precizează că surnarea se va face asupra

tuturor perechilor de valori permise pentru indicii distincţi, m = 1, 2, ..., L - 1 şi s = 2, 3, ...

..., L, astfel că nici o per eche nu se repetă.

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 137

Aşa cum am mai arătat, puterile instantanee, care sînt produse de mă­
rimi sinusoidale, nu sînt ele însele sinusoidale şi nu se pot reprezenta în com-
plex. De aceea, nici formele instantanee ale teoremei conservării puterilor

(37.5), (37.9), (37.10), (37.15) (37.16)- care exprimă însumarea, amplifica-
rea şi derivarea unor mărimi nesinusoidale- nu pot fi reprezentate în com-
plex, aşa cum au putut fi reprezentate teoremele lui Kirchhoff.

Pornind însă de la forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff, operînd
cu puteri complexe (de tipul celor definite în par. 34.33) şi urmărind pas cu
pas demonstraţia din paragraful precedent, se poate demonstra o teoremă
a conservării puterilor complexe.

Se numeşte putere complexă primită pe la borne de o reţea fără cuplaje
inductive cu exteriorul, mărimea definită de expresia :

N (37.22)

= "L; VJ~ex)ei(• c- 5 c) = pb + jQb.

C=[

Definiţia aceasta generalizează noţiunea de putere complexă, definită în pa-
ragraful 34.33 pentru un dipol. Partea reală a acestei mărimi e egală cu pu-
terea activă primită pe la borne, definită conform cu relaţia (33.103), de va-
loare medie, pe un număr întreg de perioade a puterii instantanee primită

pe Ia borne (37.1):

(37.23)

Folosind teorema valorii medii a unui produs (33.29'), rezultă :

N (37.23')

Pb = 'L; VJ~ex) COS (e:c- ()c) =Re {Şb}•

c=l

În analogie .cu relaţia (33.110), se numeşte putere reactivă primită pe la borne
mărimea definită de expresia :

Qb = 'L;N VJ~•x) sin (s e- ()c) = Im{Şb}, (37.24)

c=l

egală cu partea imaginară a puterii complexe (37.22).
Se numeşte putere aparentă la borne mărimea pozitivă definită de mo-

dulul puterii complexe :

+S b = [S_bl1 = 11 'L\N..."J V_ c_f(cex)* 1 = ]f p2v Q2br> O. (37 .25)

c=l

Această mărime este definită prin analogie cu puterea aparent;'i · a unui dipol,
(33.106), care era egală cu modulul puterii complexe respective, (34.97),
şi nu prezintă utilitate practică decît în cazul particular în care toate

produsele din suma (37.22) sînt egale (de ex., în regim trifazat echilibrat-
v. cap. 38).

138 CURENŢI ALTERNATIV!

37.2.2. Conservarea puterilor complexe. Considerăm imaginea în complex
a r elatiei (37.2) şi luăm conjugata complexă a expresiei obţinute (termen cu
terme~):

_I (ez)* _ ~ J* (37.26)
c -
L..! m ·
mE(c)

Introducînd această expresie în relaţia (37.22), transformăm suma dublă ast-
fel obţinută în acelaşi mod cum am trecut de la relaţia (37.1) cu relaţia (37.2)
la relaţia (37.5), folosind reprezentarea în complex a relaţiei (37.4):

!lbm = .fc - f'd (37.27 )
Se obţine forma generală a teoremei canservării puterilor complexe:

NL
~b = E Ycn•* = E Ilbm!m
(37.28)

c: ~l m=l

Puterea complexă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv
cu exteriorul e egală cu suma puterilor complexe primite de laturi pe la borne.

Ţinînd seama de reprezentarea în complex a relaţiei (37.6),

T.lbm = R mlm + . +EJ L j wLmsls - -Ifm· (37 .29)
_Cm

J w m s=l

şi înlocuind tensiunea la borne în relaţia (37·27), se obţine egalitatea:

E + EN L (37.:10)
f,[Jtz )* Jf;m!.;:.

c=l m=l

în care

Primul termen din paranteza dreaptă se transformă separînd din suma dublă termenii de

indici egali (m = s) şi observînd că termenii rămaşi (cu m =f= s) pot fi grupaţi doi cîte doi

termeni cu aceeaşi pereche de indici, iar Lmm = Lm şi Lms = Lsm• Se obţine :

LL L
EE E +EE +1:wLms l sl:i. =~
wLml;, wL ms (J, [;:, lm)

msal ac:l m=l m<.s

E +EEL 2wLmJ",I, cos (Ym - y,), (37.31Î
(37.32)
= wLmi!

m= l m<•

deoarece Y m)

+J:Isi~+ lm = I ,Im(eHY,-"fml e- H"f,-"fm)) = 215lm cos (y, -

Înlocuind relaţia (37·31) în relaţia (37·30) şi observînd că:

Xm = 1 X ms = ruLms (3 7.33)
wLm- - - ;

Ci>Cm

CONSERVAREA PUTERILOR TN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 139

sînt reactanţa proprie a laturii m şi reactanţa mutuală dintre latura m şi latura s (în
raport cu sensurile de referinţă pentru care a fost definit Lms~O), rezultă forma explicită

a teoremei con servării puterilor complexe :

N LL

:L :L :L [ t 2:2:.fel!•x)• + !Iml::. = Rmi! + j
X mi;+ 2XmJmis cos (Ym -Ys)]
m=-1 m<s
r= l m=l m=l

(37.34.)

care se scrie scurt :

(37.35)

Suma dintre puterea complexă primită pc la borne §.b (v. 37.22) şi puterea complexă debitată
de generatoarele din reţea

:LL (37.36)

Sg = Em!:,.
m~l

are ca parte reală puterea activă P R• disipată în rezistenţelc latu.rilor, iar ca parte imaginară ,
puterea reactivă Qx primită de bobinele şi condensatoarcle reţelei.

37.2.3. Teorema conservării puterilor active. Puterile active sînt valori
medii ale puterilor instantanee, egale cu partea reală a puterilor complexe
corespunzătoare. De aceea, separînd partea reală a :relaţiei (37.28), se obţine
forma generală a teoremei conservării puterilor active :

:L EL (37.37)

pb = VJ~•z) cos (e:e- o,)= ubn,lm cos (~m- î'm)•

c=i m=l

Puterea activă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv cu
exteriorul e egală cu suma puterilor active, primite de laturi pe la borne.

Această formă generală poate fi explicitată, înlocuind tensiunea la borne, în funcţie de

parametrii şi curenţii laturilor.
Rezultatul se scrie direct, luînd partea reală a relaţiei (37.34):

N (ex

B + B EVe 1c ) cos (E, - 3, )
LL

Emim cos (o:",- Ym) = Rmi;,:;;:::.. O, (37 .38)
(37.39)
c=l m-I m=l

care se scrie strîns :

Suma dintre puterea activă primită pe la borne Pb (v. 37.23) şi puterea activă debitată de gene·
ratoare

Pg = EL Emim COS (O::m - Ym)~ O (37.40)

m=i

e egală cu puterea activă disipată în laturile reţelei :

B.L ' (37.41)
PR = Rmim:;:::,. O.

m=l

Relatia (37.39) se mai poate obţine şi luînd valoarea medie pe o perioadă a expresiei (37.i0).

140 CURENŢI ALTERNATIV!

În adevăr, puterile active sînt valori medii ale puterilor instantanee, valoarea medie a pro·
.dusului a două mărimi sinusoidale e egală cu produsul dintre valorile lor efective şi cosinusul
defazajului lor (v. rei. 33.29'), iar valoarea medie a derivatei unei funcţiuni periodice f(t) e nulă :

- = -l~Td-f dt = -1 (f(T) -f(O)) =O, (37 .42)

-df

dt T.dt T
o

deoarece în virtutea periodicităţii f(T) = f(O).
Relaţia (37.39) oglindeşte faptul că, în regim permanent, energia medie a cîmpului elec-

tromagnetice constantă, iar cîmpul nu participă în medie la bilanţul puterilor, ci numai îl mijlo-
ceşte : transmite energia de la borne şi de la generatoare Ia conductoarele reţelei, În care energia

se disipă prin efect J oule-Lenz.

37 .2.4. Teorema conservării puterilor reactive. Separînd partea imaginară
a relaţiei (37.28), se obţine forma generală a teoremei conservării puterilor
reactive:

(37.43)

Puterea reactivă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv
cu exteriorul e egală cu suma puterilor reactive primite de laturi pe la borne.

Această formă generală poate fi explicitată, înlocuind tensiunea la borne în funcţie de para-
metrii şi curenţii laturilor. Rezultatul se scrie direct, luînd partea imaginară a relaţiei (37.34):

t t+VJ~ex) sin(Ee- ilc) E 11J msin (cxm- Yrn) =

c =l m~l

(37.44)

care se scrie strîns :

(37.45)

Suma dintre puterea reactivă p.ri1nită pe la borne Qb (v. 37.24) şi puterea reactivă produsă de gene-
ratoare:

Qg = I=:L E ",Im sin (cxm - ym) (37.46)

m=l

e egală cu puterea reactivă primită de bobinele şi condensatoarele reţelei:

E I=:I=:L
Qx = +X 111 I~,, 2XrnJmls cos (Ym-y,). (37.47)

m= l m< s

Expresia (37.47) a puterii reactive primite de bobinele şi condensatoarele reţelei se transformă,
înlocuind reactanţele proprii şi mutuale cu (37.33);

(37.48)

CONSERVAREA PUTERiLOR lN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 14 1

Se observă că în afară de pu~erile reactive corespunzătoare inductivităţilor proprii ale laturilor
(v. şi rei. 34.26):

{37.49)

şi capacităţilor (v. şi rei. 34.29):

L2 (37. 50)

Qcm = ---m-~0

<.<lC m

expresia de mai sus conţine pentru fiecare inductivitate mutuală L ms o putere reactivă :

Puterea reactivă (37.48) primită de bobinele şi condensatoarele unei reţele mai poate fi expri-
mată în funcţie de energia magnetică medie şi energia electrică medie. În adevăr, luînd media
pe o perioadă a energiei magnetice (37.13), şi ţinînd seama că media pătratului unei mărimi
sinusoidale e egală cu pătratul valorii ei efective, iar media produsului a două mărimi sinusoi-

dale e egală cu produsul valorilor lor efective prin cosinusul defazajului lor, se obţine :

~ ~'L1_\;'L'1..\!' L ms ~m ls = L; -Lm-Pa L.JL__; L ms I m I s COS (Ym- Ys)· ,., ~:--
2 + +"""")~-..-'/<ml = ~~ L m t.-;:n;-
m=l 2 (3 •. ;:>.::)
m= l rn<s m<s

D e asemenea, luînd media pe o perioadă a energiei electrice, (37.14) se obţine:

E L: L: __=-w<e) L C ;(ci m = L C v-e•: m = L [2
._n _
m m (37.5 3)

m =l 2 m=l 2 m= l 2 t<l'Cm

ştii nd că tensiunea condensatorului e egală cu produsul dintre curent şi impedanţa acestuia :

1
Uc = I m - -

111 wC1n

Cu relaţiile (37.5 2) şi (37.53) se obţine din relaţia (3 7.48) cea m a i generală expresie a puterii
r eactive primite de un r eceptor pasiv :

(37.54)

adică exact expresia (33.123), găsită pentru o latură de circuit. Am numit a ceas tă expresie "cea
mai generală", deoarece se poate defini şi pentru un cîmp electromagnetic sinusoidal oarecare şi
11u numai pentru o reţea cu parametri conce11traţi.

Folosind această expresie, teorema conservării puterilor complexe, relaţia (37.35), se scrie:

(37.55}

Analogia parfială a expr esiilor (37.10) şi (3 7.55) nu trebuie să inducă în eroare în ceea ce
priveşte legătura dintre ele: ecuaţia în complex (37.55) nu este imaginea ecuaţiei instantanee
(37.10), termenii acesteia din urmă nefiind mărimi sinusoidale. De aceea, diferenţa de semn la
parantezele din membrul drept nu are nimic paradoxal.

37.2.5. Conserval'ea puterilor în reţele izolate. În cazul reţelelor izolate,
nu există conductoare de legătură cu exteriorul şi teoremele de conservare

142 CURENŢI ALTERNATIV!

a puterilor se obţin din cele enunţate pentru reţele neizolate, punînd I~•zl = O.
Se obtin astfel :

Teorema conservării puterilor complexe (v. rel. 37.28):

(37.56)

sau, explicit, (v. rei. 37.34):

Teorema conservării puterilor active (v. rei. 37.37):

BL (37.58)
(37.59)
ub"Jmcos (~m-Ym) =o (37.60)

m=l

sau, explicit, (v. rei. 37.38):

BL L
~ EmJm COS (am-Ym) = R".Ji,..

na=l m~l

Teorema conservării puterilor reactive (v. rei. 37.43):

sau, explicit, (v. rei. 37.44):

BL L

Emlmsin(am-Ym) = _BXmi!+ ~_B2XmJmJ,cos(y111 -y,). (37.61)

m=l m:2l m<s

37.2.6. Conservarea puterilor în reţele pasive. În reţele pasive, Em = O (m = 1, 2,... , L)

şi teoremele de conservare capătă formele particulare următoare :

Teorema conservării puterilor complexe (v. re!. 37.34):

{37.62)

Teorema conserv Îil i:' puterilor active (v. re!. 37.38):

,B EN V ,l~e;r) cos {e:,- ~c) = L (37.63)
Rmi!,. (37.64)

c~l m=l

Teorema conservării puterilor reactive (v. re!. 37.44):

E +EE,BN L
V,IJ''") sin (z, -3,) = Xmi! 2Xm,Imls cos (Ym -y,)

c=l m=l m<•

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 143

37 .2. 7. Observaţii privitoare la teoremele de conservare a puterilor. a) Teorema conservării
puterilor se utilizează nu numai pentru determinarea regimului de puteri al unei reţele date, ci
şi pentru calculul Însuşi al reţ.elei (v. metoda separării puterilor, par. 37.3.2) şi mai ales pentru
verificarea calculului făcut cu alte metode, prin verificarea bilanţului puterilor (v. par. 37.3.1).

b) Calculul puterilor active, respectiv reactive, primite pe la borne sau date de generatoare,
se face mai uşor, luînd partea reală, respectiv imaginară, a puterilor complexe (37.22) sau (37.34),
decit utilizînd expresiile (37.23') sau (37.38), respectiv (37.24) sau (37.44).

c) În toate expresiile teoremelor de conservare a puterilor dezvoltate în paragrafele pre-
cedente s-au considerat toate tensiunile la borne Ubm (sau Jl.bm) cu sensul de referinţă după regula

de la receptoare , toate t.e.m. ale generatoare/ar em (sau fim), cu sensul de referinţă acelaşi cu al curen-

tului i", (sau lmJ şi toate inductivităţile mutuale (sau impedanţele mutuale) Lms (sau lim s=

= j wLms) raportate la sensurile de referinţă ale curenţilor im şi i,. Orice schimbare a vreunuia
dintre aceste sensuri de referinţă atrage o schimbare de semn a termenului din expresia mărimii
care conţine mărimea afectată.

d) Bilanţul de puteri se face numai pe Întreaga reţea. Sumele care intervin trebuie efec-
tuate asupra tuturor laturilor, respectiv nodurilor.

e) În sumele care intervin în expresiile teoremelor de conservare, fiecare termen are o
semnificaţie fizică bine precizată, reprezentînd puterea primită sau produsă de un anumit ele-

ment al reţelei. De exemplu, !Jlmlm* e puterea complexă produsă de generatorul din latura m,

Rmi7n e puterea instantanee disipată în rezistenţa laturii m, 2 w Lms Imi 5 cos (y m - y,) e puterea
reactivă primită de perechea ele bobine elin laturile m şi s şi asociată inductivităţii lor mutuale.

Numai termenii sumei care exprimă puterile la borne - instantanee pb = ~N vci~ex), complexă §b

c=l

(v. 37.2_7), activă Pb (v. 37.23') sau reactivă Qb (v. 37.24)- nu au, fiecare în parte, semnificaţie
fizică. In adevăr, valoarea numerică a fiecăruia dintre aceşti termeni depinde de valoarea poten-
ţialului, adică de alegerea arbitrară a punctului ele potenţial nul. Un asemenea termen nu repre-
zintă deci o putere care se transmite pe la o anumită bornă : oricare dintre aceşti termeni poate
fi făcut nul, alegînd borna respectivă ca origine a potenţialelor. Puterea la borne, adică suma
tuturor acestor termeni, nu depinde însă de alegerea originii potenţialului : schimbarea acestei
origini adaugă Ia toate potenţialele o constantă, care iese în factor pe lîngă suma - nulă -
a tuturor curenţilor injectaţi din exterior.

+ ) + '\'"L-\1'
v , .(ex) _ 'L\-r' ( v0 .(ex} _ L"-.\.1' V .(ex) v 0 '--.! .(ex) (37.65)

ele - Ve le - ele le

o' - - - v - - '

Aici, BN
d•-"l =il:.= O, conform teoremei continuităţii, aplicată unei suprafeţe închise }.; ,

c:=l

care conţine întreaga reţea şi e înţepată numai de concluctoarele de legături la borne (v. fig. 37.1).
Această putere la borne (fluxul vectorului Poynting) se transmite strict localizat prin punctele
din clielectric ale suprafeţei }.;, Nu există nici un criteriu fizic care să permită să se asocieze univoc
fiecărei borne cîte o parte din această putere.

f) Măsurarea puterilor active transmise pe la borne se face cu aparate numite wattmetre,
fiecare wattmetru avînd o indicaţie proporţională cu media produsului dintre tensiunea aplicată

lui şi curentul trecut prin el. Un wattmetru poate măsura deci un termen de forma v;:ic<ex) =
= Vclc(ex) cos (<=c-l>c)· Puterea activă totală (37.23') se poate măsura deci cuN wattmetre, dacă
punctul de referinţă al potenţialelor e lăsat oarecare- şi numai cu N-1 wattmetre, dacă se ia
ca referinţă nodul N (în acest caz, suma rămînînd cu N-1 termeni).

g) Puterile aparente (egale cu modulele puterilor complexe) nu au proprietatea de conservare.
Pentru puterile aparente nu se poate formula o relaţie de tipul relaţiei (37.56), adică :

(37 .66)

pentru o reţea izolată.

144 CURENTI ALTERNATIV!

37.3. Aplicaţii Ia teoremele de conservare a puterilor

37.3.1. Verificarea bilanţului puterilor la rezolvarea reţelelor. După ce s-a efectuat calculul
curenţilor unei reţele, o foarte bună verificare cons istă în verificarea egalităţ.ilor care exprimă

conservarea puterilor.
Exemplu : Considerăm reţeaua din figura 36.8, pentru care, în paragraful 36.3.3, s-au deter·

minat curenţii cu ajutorul formei complexe a teoremelor lui Kirchhoff. Dacă se cunosc exp.resiile
în complex ale curenţilor, cea mai rapidă verificare consistă în aplicarea relaţiei (37.57):

!!dd~ + lfai; = R1If +Raii+ j[ cuL1Ii + coLaia- _!_C I~ + cuL4 I~ +
cu 3

(37.67)

Am scris 1-1Lc1o2i, ndceiodea,r edc ea rLl1a2 e definit în raport cu sensurile indicate de bornele polarizate cu care
curentul nu coincide. Înlocuind valorile numerice şi observînd că bilanţul

puterilor complexe devîne :

+ + + + + +10.1 (-j 50) (1- j) = 20.F 20 (12}2 j [ 10.12 20 (V2)2 - 20.12 20( V2)2

V:]+ 2 ( -10). !.Vi" (37.68)

+ +60 j 50 = 60 j 50.

Bilanţul puterilor active (Pg = P R = 60 W) şi al celor reactive (Qg = Qx = 50 var) este

verificat.

37.3.2. Metoda separării 1mterilor. Egalităţile care exprimă conservarea puterilor active,

respectiv reactive, pot fi utilizate pentru rezolvarea reţelelor- scriindu-le pentru diferi te por-

ţiuni de reţea, considerate ca reţele neizolate, sau pentru întreaga reţea izolată, în numărul necesar

corespunzător numărului necunoscutelor. Se obţine astfel un sistem de ecuaţii, a cărui rezolvare

permite determinarea valorilor efective şi a d efazajclor necunoscute. Această metodă de rezol-

vare se mai numeşte metoda separării puterilor şi este indicată în special pentru reţele lipsite de

inductivităţi mutuale şi atunci cînd laturile receptoare nu sînt caracterizate prin impedanţele

lor complexe, ci prin puterea activă nominală,

_11 factorul de putere şi tensiunea nominală. Metoda
se utilizează şi în studiul reţelelor trifazate echili-
o----.------~------._-------.
brate (v . par. 39).

Exemplu : Considerăm un recep tor liniar

inductiv l, care absoarbe puterea a ctivă P 1 =2,4 kw,
sub tensiunea la borne U1 = 120 V, cu factorul
U=U de putere cos q>1 = 0,5 (fig. 37.2), şi în paralel cu

el un circuit serie (r, C), CU r2 = 3Q şi - 1 = 3 .Q.
-

cuC8
Calculăm curentul total absorbit I (valoarea efec-

Fig. 37.2. tivă) şi defazajul <p al acestui curent faţă de tensiu·

nea aplicată la borne U = U1 = 120 V.

Receptorul consumă putere activă şi putere

reactivă (inductivă) :

P1 = 2 400 W; Q1 = P1 tg <p1 = V3P1 = V3. 2 400 var> O.

Latura (r, C) consumă puterea activă P 2 şi puterea reactivă Q2, determinabile prin aplicarea

bilanţului puterilor pentru această latură :

P 2 = r2I~ = U2 T2 cos 'Pa = U ! 2 cos 'Pa

(37.69)

CONSERVAREA PUTERILOR IN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 145

de unde rezultă : +-1
w2 - ) IJ = U2
adică: q. r2

(2

Deci:

P2 = r2 li = 3(20 V2)2 = 2400 W

Q2 = - Ii 1wC2 = - 3 (20 V2p = - 2 400 var < O.

Conservarea puterilor active şi reactive pentru întregul circuit se scrie:

+P = U I cos rp = P 1 P2 = 4800 W (37.70)
+Q = U I sin rp = Q1 Q2 = 1752 var > O.

· Înlocuind valolile numerice date pentru mărimile din membrul drept şi ţinînd seama că U =

= 120 V, se obţin componentele activă şi reactivă ale curentului :

I cos rp = 40; I sin rp = 14,6 > O,

adică:

I = V40 2 + 14,62 ~ 13,5 A

14,6 rp ~ 20°.
tg rp = - - ~ 0,365 ;

40

37.3.3. Ameliorarea factorului de putere (v. şi par. 33.4.5). Un receptor M, cu P = 100 kW,

funcţionează de la cos rp = 0,6 (inductiv), sub o tensiune U = 500 V, 50 Hz. Se cere să se

determine capacitatea echivalentă Ce a bateriei de condensatoare, care trebuie conectată în
paralel cu receptorul, pentru ca factorul de putere al ansamblului să , devină cos tpb = 0,9
(v. fig. 37 .3). Puterea reactivă absorbită de bateria de condensatoare este negativă şi are expresia

(v. rei. 34.29) :

o i
(37. 71)

Puterea reactivă absorbită de receptorul inductiv este 1 u
pozitivă şi are expresia (v. rei. 33.111):
__ .1!,__ p
Q = Ptg rp. (37. 72) cos'P
Ce --T--

1

1

Deoarece puterile reactive se conservă, puterea reactivă

primită pe la borne va fi suma expresiilor de mai sus :

(37. 73) Fig. 37.3.

cu tg rp = -sin-rp ~ 1,33. P uterea Q poate fi f"acuta• on·c1' t de nu·ca• I' n valoare ab soluta•, aleg'md
cos cp

în mod adecvat capacitatea Ce. Factorul de putere la borne cos tpb este, în acest caz, impus şi

permite să se determine raportul :

tgrp = pb = -p = -sin- rpb ~ 0,488, (37.74)
-
b Qb Qb cos cpb

în care am pus PG = P, deoarece bateria de condensatoare nu absoarbe putere activă.

I0-1668

146 CURENTI ALTERNATIV! (37.75)

Din relaţiile (37.74) şi (37.73) rezultă:

Qb = P tg cp - U2 w Ce = P tg C?b•

iar
p

Ce = - - (tg q> - tg cpb).
NV 2

Înlocuind valorile numerice, se obţine Ce = 1350 f1. F.

37.4. Transferul maxim de putere pe la horne

+Considerăm un generator de tensiune electromotoare dată !l!_g şi avînd

= =impedanţa interioară ~g Rg j Xg Zg ei"'g de asemenea dată (fig. 37.4).

Se pune problema de a determina impedanţa de sarcină ~,, care trebuie co-
nectată la bornele generatorului, pentru ca acesta să transfere sarcinii o putere

activă maximă.

Realizarea condiţiilor care asigură acest transfer maxim de pute:re se mai
numeşte adaptarea sarcinii la generator (din acest punct de vedere 1•

În analiza condiţiilor de adaptare interesează în practică două situaţii :
cazul general, cînd se poate varia atît modulul cît şi argumentul impedanţei
de sarcină, şi cazul particular, cînd se poate varia numai modulul impedanţei
de sarcină.

37.4.1. Transferul maxim de putere la sarcină oarecare. Exprimăm pu-

+terea P transferată impedanţei de sarcină ~' = R, jX, = Z,ei'P s, în funcţie

de mărimile !l!_g, ?_g şi ~' :

p = R J2 = R Ee = E2 R, (37.76)
+ + + +s
s 1~' ~g J2 g (R, R)2 (X, Xg)2

Deoarece Eg, Rg şi Xg sînt date, variabilele independente în raport cu care se caută

maximum sînt R, şi X,, iar condiţiile de

maxim se pot obţine anulind derivate-
f (le parţiale ale funcţiunii P
R,, X,).

Le vom obţine mai simplu prin

raţionamentul următor : Dacă R, e

mentinut constant si X, variază, ma-
~s = Z ,ei'Ps = xim~llui P se obţin~ pentru minimul

+= R, + jX, numitorului, adică pentru minimul

{g expresiei (X, Xg)2 ::;? O, care se ob-
ţine la anularea acestei expresii, adică

pentru valoarea :
1'

Fig. 37 A (37.77)

1 Există şi alte criterii de adaptare - de exemplu din punctul de vedere al anulării undei
refle ctate la joncţiunea a două liuii lungi (v. cap. 54)- care conduc în cazul general la alte con-

diţii decît cele stabilite aici .

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 147

a reactanţei de sarcină. În acest caz, puterea transferată sarcinii are expresia:

p = E2 +R =E2 1 (37.78)
g c
(R, R g)2 R, + R- i + 2Rg

X,+Xg=O R, '

Cînd R , variază, această expresie e maxima cînd numitorul e mm1m, adică
pentru R ,+ RifR, minim. Suma a doi termeni al căror produs (R , · Ri fR ,= Ri)

e constant e minimă cînd termenii sînt egali, adică pentru valoarea :

1 R, = Rg 1 (37.79)

+ +a rezistenţei de sarcină. Relaţiile (37.78) şi (37.79) reprezintă conditiile cău­

tate. Deoarece ~. = R , j X , şi ~g = Rg j X z, aceste condiţii sint echi·

v alente cu relaţiile :

1 ~. = ~; 1 (37.80)

sau
şi (37.81)

Puterea activă transmisă pe la borne de un generator liniar dat unui dipol
receptor este maximă atunci cînd impedanţa complexă echivalentă a recep-
torului e conjugata complexă a impedanţei interioare complexe a generato-

rului (teorema transferului maxim de putere).
Trebuie observat că în condiţiile de adaptare (37.80), puterea activă trans-

misă la borne este (cu 37.78 şi 37.79):

p max =4-ER2-gg · (37.83)

în timp ce puterea activă produsă de generator este :

+pg P = P =2 pmax E9 (37.84)
= (Rg R ,)J2 =
1 max _l •
2Rg

Randamentul electric al transferului de putere fiind :

11 = -P = R,I2 = -- =R+, -- (37.85)

Pg +( R , Rg)J2 R, Rg

a t·e în condiţiile maximului de putere la borne valoarea :

111 P = P max = 111 R=Rg = 0,5.

Această valoare e mult prea scăzută pentru necesităţile transmisiunii de
energie. De aceea, în electroenergetică, unde se cer randamente cît mai mari,

se lucrează cu Rg « R,, departe de condiţia de adaptare (37.80). În electro·

comunicaţii, unde aspectul energetic e secundar, interesează adesea să se

143 CURENŢI ALTERNATIV !

"scoată" maximul de putere activă dintr-un generator dat şi, în acest caz,
se caută satisfacerea condiţiei de adaptare.

Expresia (37.83) arată că puterea maximă pe care o poate debita un
generator tinde către infinit, dacă impedanţa interioară tinde către zero. În

aceleaşi condiţii, tensiunea la borne

U = !Jlg- bJl. tinde către §.. De

2 aceea, un generator capabil să meu-
tină o tensiune invariabilă la borne
~e mai numeşte generator de putere

L s infinită.

2' 37.4.2. Transferul maxim de putere la
sarcină cu defazaj invariabil. Practic este
1' greu să se modifice după voie impedanţa
Fig. 37.5. complexă a unui receptor dat, pentru a
obţine adaptarea. Se poate însă intercala
între generator şi sarcină un transformator
(fig. 37.5), astfel că impedanţa echivalentă
prezentată generatorului nu mai este ~' ' ci

w2M2 (37 .86)

~el = ~1 + Z2+~s

+(v.
Z +2
rei. 36.30), unde ~1 = R1 =j wL1 e impedanţa proprie a înfăşurării primare cu N 1 spire,
1L 121
= R2 j w L2 e impedanţa proprie a înfăşurării secundare cu N1 spire, iar M

e inductivitatea mutuală a înfăşurărilor (în modul). Se numeşte transformator ideal un transfor·

mator care are : a) rezistenţele înfăşurărilor neglijabile, R 1 ~ O, R 2 ~ O; b) dispersiunea mag-
netică neglijabilă, astfel că M 2 = L1L2 (v. 1) şi VL1 /L2 =
formare); c) reactanţa rei. 27 .6, voi. N 1 /N2 (raportul de trans-
secundară foarte mare faţă de impedanţa de
sarcină wL2 ~ Z, =l ~s 1.

Ţinînd seama de aceste condiţii, impedanţa de intrare a transformatorului ideal devine:

sau
(37. 87)

Cu ajutorul unui transformator ideal se poate deci obţine o multiplicare a modulului impedanţei
de sarcină cu un factor egal cu pătratul raportului de transformare. Pe această cale se poate deci
modifica numai modulul impedanţei de sarcină a unui generator. De aceea interesează co ndiţiile

de adaptare la defazaj invariabil ale acestei impedanţe.

Puterea (37.76) se poate scrie, punînd în evidenţă variabila Z, = 1Z. s 1 :

p= R E 2 = E2 z (37.88)
g , cos <p ,
c zi + zj + 2 Z,Zg cos (<p,- <pg)
' f ~s+ ~g j2

METODE ŞI TEOREME PENTRU REZOLVAREA CIRCUITELOR DE CURENT ALTERNATIV 149

sau
(37.89)

La Z, variabil, această expresie e maXIma cînd numitorul e minim, adică atunci cînd

+ zifz,Z , e minim, ceea ce are loc pentru:

(37.90)
Aceasta e condiţia de adaptare a sarcinii cu defazaj constant.

38.11 METODE ŞI TEOREME PENTRU REZOLVAREA
-C-I-R-C-U--IT--E-L-O-R---D-E---C--U-R-E-N--T--A--L-T-E-R--N-A-T-I-V-

În afară de teoremele lui Kirchhoff pot fi utilizate la r ezolvarea reţe­
lelor de curent alternativ numeroase alte metode, eate sînt consecinţe

ale acestor teoreme.
Dacă se utilizează metoda repr~zentării în complex, se observă analo-

gia care există între relaţiile care exprimă legea lui Ohm şi teoremele lui Kir-

chhoff în curent continuu, respectiv în curent alternativ. De aceea se vor pu-
tea transpune în curent alternativ metodele şi teoremele utilizate pentru
rezolvarea circuitelor de curent continuu (v. şi par. 13, voi. I), pe baza

analogiei: E I RV uG

tttttt (38.1)
~ ttttt

E I zV uy

Aşa cum am mai precizat, analogia- completă este posibilă numaL Ln cazul
în care nu există cuplaje inductive (adică impedanţe mutuale) între laturile
reţelei. Din orice teoremă demonstrată în complex, în curent alternativ
se obţine deci o teoremă valabilă în curent continuu, anulînd impedanţele
mutuale şi înlocuind mărimile complexe din curent alternativ cu mărimile
din curent co~tinuu care le corespund prin relaţia (38.1).

38.1. Metoda suprapunerii efectelor

3.8.1.1. Teorema superpoziţiei. Conform acestei teoreme, curentul elec-
tric din orice latură a unei reţele de curent alternativ, în care există mai

multe generatoare, este suma algebrică a curenţilor produşi de fiecare t.e.m. în

parte, dacă ar dcţiona singură în reţea (celelalte surse fiind presupuse cu
t.e.m. nule, dar cu impedanţe interioare neschimbate).

150 CURENŢI ALTERNATIV!

Din caracterul liniar al ecuatiilor teoremelor lui Kirchhoff rezultă că
fiecare curent este o functie 'liniară si omogenă de t.e.m. exterioare din
reţea. În adevăr, rezolvînd' ecuaţiile date de cele două teoreme ale lui
Kirchhoff prin regula lui Cramer, curentul din latura s va rezulta sub forma:

L (38.2)

!.s = E Ys m§m,
m=l

în care coeficienţii Xsm sînt mărimi complexe, numite admitanţe de trans-

fer între laturile s şi m (care îndeplinesc relaţia de reciprocitate X"sm = Xms•
cum se va arăta în par. 38. 3.5.). Relaţia (38.2) se poate exprima şi astfel :

L ((38.3)

!_, = E In"
m= l

în care lsm = Y sm !flm este curentul produs de t.e.m. !fl, în latura s, celelalte

t.e.m. fiind nule.
Metoda suprapunerii efectelor este o metodă generală de rezolvare, care

consistă în determinarea curenţilor pe baza teoremei superpoziţiei, folosind
relaţia (38.3).

38.1.2. Aplicaţie. Calculăm curcntulla din figura 38.1, a cu ajutorul teoremei superpoziţiei.
Vom avea:

la= lat+ la2• (38.4)

unde lat e curentul produs în latura 3 în condiţiile în care numai t.e.m. E 1O==f=f=.. O (v. fig. 38.1, b),
iar fa 2e curentul produs în latura 3 în condiţiile în care numai t.e.m. ţ;_2 (v. fig. 38.1, ::,).

+1

Astfel, cu b = R1 j cu L1, Zt = R2, Za = j cuCa, avem:

R, R,

a. .i..,

....1.<.a.-....... It.)....

-.~

b. c.
Fig. 38.1.

METODE ŞI TEOREME P E NTRU REZOLVAREA CIRCUIT ELOR DE CURENT ALTERNATIV 151

adică:

(38.5)

Înlocuind valorile impedanţelor, se obţine:

= = =Se verifică uşor că

expresia generală a
dacă Y 1 1/ Z1, Y 2 1 /? 2, Ya 1 /Za sînt admitanţele celor trei ramuri,
se mai poate scrie:
curentului !a

(38.5' )

=Dacă efectuînd calculele numerice, se obţine la Iaehs , valoarea instantanee a curentului
Vi +este ia = 13
sin ( M y 3) .

38.2. Metode de transfigurare

Se numeşte transfigurare operaţia prin care o porţiune de reţea se con-
sideră înlocuită cu o alta, de structură în general mai simplă, astfel încît
schimbarea să nu aducă nici o modificare în repartitia curentilor si tensiu-
nilor din restul reţelei. Noua porţiune de reţea cu ~are se c~nsid~ră înlo-
cuită porţiunea de reţea dată se mai numeşte echivalentă acesteia. Două
reţele sau două circuite care se pot înlocui reciproc prin transfigurare se
numesc reţele echivalente sau circuite echivalente, iar reprezentările lor în
desen, scheme echivalente. În cele ce urmează, vom considera transfigurări
şi scheme echivalente valabile în regim permanent sinusoidal. De la înce-
putul studiului circuitelor de curent alternativ am considerat numeroase
astfel de scheme echivalente - alcătuite din elemente ideale de circuit -
pentru diferite circuite reale.

Metodele de transfigurare folosesc operaţii de transfigurare succesive, pentru a r educe
reţele cu structură mai complicată la reţele cu structură mai simplă, ceea ce permite determinarea
unor curenţi sau tensiuni din reţea, fără să se rezolve un sistem de ecuaţii liniare cu multe ecuaţii
şi multe necunoscute, aşa cum ar cere aplicarea teoremelor lni Kirchhoff. Totodată, prin trans-
figurare, se pot analiza proprietăţile unor circuite pe baza proprietăţilor schemelor lor echi-
valente. Există numeroase teoreme care permit efectuarea de transfigurări şi, în primul r înd,
teoremele impedanţelor echivalente (v. par. 35.2), cu ajutorul cărora se înlocuieşte un sistem
de dipoli în serie sau în paralel cu un singur dipol. În acest capitol vom prezenta diferite alte
asemenea teoreme.

Se numeşte multipol (sau n-pol) o reţea neizolată cu n borne de acces şi ale cărei laturi inte-
rioare nu prezintă cuplaje inductive cu exteriorul. Un multipol interacţionează deci cu exteriorul

exclusiv prin intermediul celor n curenţi [ 1, [ 2, . .. , ln • absorbiţi prin borne şi al celor n potenţiale
~1 , .f"2, ... ,~n (definite pînă la o constantă arbitrară) ale bornelor (v. fig. 38.2, a).