Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.2 - scan

REZOLVAREA RETELELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE 201

41.1. Teorema potenţialului punctului neutru 1

Considerăm un· multipol pasiv în stea cu n ramuri, prin care intră curenţii

It• [2, ..., ln şi cu bornele de acces 1, 2, ... , n, avînd potenţialele vl, r2•... , V N

faţă de un punct de referinţă

arbitrar (fig. 41.1).

Ramurile stelei nu sînt cuplate
inductiv între ele sau cu alte laturi
exterioare şi .au impedanţele pro-
prii b_, ~2 , ••• , ~n• respectiv ad-

mitanţele:

l

-Y t =7- •
-1

-Y-?=Zl-a , ... ,Y- 11 l (41.6)

=Z-.n ..

Conform teoremei poten ţialulu Fig. 41.1 acces, ponderat~:
punctului neutru, potenţialul pune-
bornelor de
tului N de întîlnire a ramurilor
stelei e egal cu media aritmetică a potenţialelor
cu admitanţele laturilor corespunzătoare

VN = EtYt +.EzYz + ··· + t':nYn (41.7)
Yt + Yz + ··· + Yn

Teorema se demonstrează imediat, exprimînd curenţii din laturi cu ajutorul
diferenţelor de potenţial :

şi înlocuind aceste valori în reiaţi a care exprimă prima teoremă a lui Kirchhoff,
aplicată nodului N,

l1 + l2 + ... + L = o. (41.9)

Prin înlocuire, grupînd termenii care au în factor pe .fN, se obţine :

de unde rezultă teorema (41.7). Rezultatul e corect, oricare ar fi punctul de
referinţă al potenţialelor, dacă în sumele din teorema (41. 7) nu se omite nici
o latură legată de nodul N .

1 Uneori, această teoremă e numită teorema lui Milman.

202 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

41.2. Receptor dezechilibrat, în stea, cu fir neutru

Curenţii de linie l 1, l 2 , la, identici cu aceia din fazele receptorului s-ar

putea determina din relaţiile:

Il = !l;N = xl (_:[1- VN) = y1 (Uw - UNa)

-1

~2 = ~ N = x2 (V2- VN) = x2 (U20- UNa) (41.10)

-2

la = Tl~N = Y a (.fa - VN) = Y a (Uaa-!lNa),

-3

dacă s-ar cunoaşte potenţialul VNal punctului neutru sau tensiunea UNa dintre
neutru! receptorului şi cel al reţelei de alimentare, numită şi deplasarea neutru-
lui. Potenţialul VN rezultă din teorema (41.7) care, în acest caz, se scrie :

-VN= V 1Y 1+V2Y 2 +V3Y 3+VaYN ' (41.11)

X1+Y2+X3+YN

cu punct de referinţă arbitrar pentru potenţiale. Practic, se cunosc tensiunile
stelate ale reţelei de alimentare U10, U2a, Uaa• care coincid cu potenţialele horne-

1 x1 lt

!:! 10 3
2 ..'!z
N
fl zo
_yN
J.:!; j_J

J~30

Fig. 41.2 Fig. 41.3

lor, în cazul cînd neutru! reţelei de alimentare se alege drept punct de refe-
rinţă cu Va=O. În acest caz, V N = V N- Va= UNa şi teorema (41.11) capătă
forma:

(41.12)

O dată calculată această tensiune (deplasarea neutrului v. fig. 41.3), tensiunile
stelate ale receptorului, şi curenţii rezultă imediat din (41.10).

REZOLVAREA RETELELOR TRJFAZATE DEZECHJLIBRATE 203

Trebuie observat că IlNo =F O (neutru! "se deplasează"), chiar dacă tensiunile de alimen-

tare sînt simetrice, din cauza dezechilibrului sarcinii. Dacă însă impedanţa 1~ N 1de pe firul neutru

e foarte mică (se reduce la rezistenţa ~i inductivitatea echivalentă a firului), atunci IYNI--+oo
şi 'l.No ~ O: deplasarea neutrului e neglijabilă în reţelele cu conductor neutru, de sec-

ţiune suficient de mare, chiar dacă sarcina e puternic dezechilibrată. Această consecinţă prezintă
mare importanţă practică, deoarece asigură aplicarea unor tensiuni de fază, practic simetrice

(dacă Il NO = O, atunci Q Nl = JI.1o etc.) receptorilor dezechilibraţi monofazaţi, conectaţi în

stea în reţelele de distribuţie de joasă tensiune. De altă parte, dacă admitanţa firului neutru
e mică sau nulă (nu avem fir neutru), deplasarea neutrului poate fi importantă (v. aplicaţia de
mai jos), producînd micşorarea tensiunilor aplicate unora dintre faze şi creşterea tensiunilor
la celelalte, ceea ce e inadmisibil în exploatare, periclitînd securitatea instalaţiilor. Dacă, îu
plus, suma admitanţelor laturilor e mică (de ex., datorită satisfacerii unei condiţii de rezo-
nanţă), deplasarea neutrului poate atinge valori oricît de mari, mai mari decît ale tensiunilor
aplicate de reţea. Laturile stelei pot fi în acest caz mult suprateusionate.

Aplicaţie: Fie un receptor trifazat pur rezistiv, constituit din lămpi de iluminat, În stea,
cu rezistenţele laturilor :

R1 = 1oo n, R2 = R 3 = 10 Q,

în care sînt incluse şi rezistenţele conductoarelor liniei de alimentare (care au inductivităţi negli-
jabile). Reţeaua de alimentare aplică tensiuni simetrice 220/127 V, 50 Hz. Studiem deplasarea

neutrului JlNO şi tensiunile aplicate fazelor receptorului !f1N, !laN !laN in următoarele

două situaţii :
a) există un conductor neutru de inductivitate neglijabilă şi rezistenţa RN = 0,6 Q

(fig. 41.4, a);
b) conductorul neutm lipseşte (fig. 41.5, a).

3

o !!1o

a . b.

2
Fig. 41.4

caz, Y1 = = Ya = 0,1, YN = 1,67. că
Ilao
sînt simetri = - Jl1o, rezultă:
+a} În

tensiunile la
primul O,Ol,y 2 Deoarece am presupus
borne
c e, I!2o

= _!INo = O,Ol!l1o+0,1 (Jl2o+ Ilao) 0,048 I!
10
0,01 + 0,1 + 0,1 + 1,67

UNo = 1 UNa 1 = 0,048 · 127 = 6,08 V.

Deplasarea neutrului e admisibilă, fiind sub 5•/o din tensiunea aplicată. Tensiunile de fază ale·
receptorului (v. fig. 41.4, b) sînt practic simetrice şi egale cu cele ale reţelei.

204 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

b) În al doilea caz, YN = O (fig. 4l.5,a) şi rezultă:

TT = 0,01U1o+0,1 (U2o+Uao) =-0,43 U 0
0,01 + 0,1 + 0,1 -l
_NO

UNa= 1 UNa 1 = 0,43 · 127 = 54,6 V.

3

o

lftN

a.

2
Fig. 41.5

Deplasarea neutrului e acum de ordinul jumătăţii tensiunii aplicate (fig. 41.5, b). Tensiunile
de fază ale receptorului sînt :

.21!

+- ) -

!.:.2Y = E20- !lNo =Ula (e 3 0,43); u2N ~ 95 V

+!!.aN= !!.ao -!!.NO = !!.10 (e+i~3 0,43); U3N ~ 95 V.

Se observă că În lipsa firului neutru lămpile de pe faza 1, mai descărcată (cu rezistenţă
mai mare şi curent mai mic), sînt supratensionate inadmisibil (143%). Acest exemplu ilustrează
necesitatea utilizării conductorului neutru în retelele trifazate de distributie cu consumatori
monofazaţi. În cazul liniilor de înaltă tensiune, ~are alimentează un numă; mare de receptori
prin staţii de transformare, dezechilibrele consumatorilor mici se compensează prin reparti-
zarea cît mai egală a receptorilor monofazaţi pe cele trei faze şi prin utilizarea unor conexiuni
speciale ale înfăşurărilor transformatoarelor. De aceea, aceste linii au sarcina practic echilibrată.

41.3. Receptor dezechilibrat în stea, fără fir ueutm (fig. 41.6)

În acest caz nu sînt date tensiunile stelate ale reţelei de alimentare, ci
numai tensiunile dintre faze :

_U12 = U12 eii312' u_U2- 23 ei~23, U_31 = U 31 ei~31 ' (41.13)

3-

REZOLVAREA RETELELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE 20&

în general nesimetrice. Numai două din aceste mărimi sînt independente, deoa-
rece suma lor e nulă, fiind suma unor tensiuni la borne în lungul unei curbe
închise:

U12+ U23+ Us1=0. (41.14)

Curenţii de linie sînt daţi, ca mai sus, de relaţiile :

Il= ~N =Yl(fl-VN)
_l

I2 = II;N = y2 (V2- r_N) (41.15)
_a

!_3 = IZ;N = Ya(Vs- E"N)

-3

unde V N se determină cu teorema po-
tenţialului punctului neutru (41.7),

care în acest caz se scrie :

+ +V N = V1Y 1 V2Ya V3Y 3 • ( 41.16)
+ +- X:t Ya X:a

Alegerea originii potenţialelor este
arbitrară şi poate fi un punct oare-
Fig. 41.6

care P0 din spaţiu. În practică se
alege astfel punctul de referinţă P0 al potenţialelor, încît exprimarea lor în
funcţie de datele problemei- tensiunile dintre faze (41.13)- să se facă cît

mai simplu.

Dacă tensiunile (41.13) sînt simetrice, se preferă să se aleagă drept poten-
ţial de referinţă (nul) potenţialul pe care 1-ar avea punctul O al reţelei de ali-
mentare, simetrice, dacă ar fi accesibil- identic cu potenţialul pe care I-ar
avea o sarcină echilibrată alimentată de această retea. Potentialele bornelor
vor fi atunci tensiunile auxiliare de fază (simetrice), definite de ;elaţiile :

v TT -J·"-' !.!23 -]·"6' . .:t
-V2 = -U2o= -V---3= e '
_l=-Uw= -VI32e '6. • !lat -J6

-Vs = -U-ao= -V=3 e '

(41.17)

iar potenţialul neutrului va fi :

(41.18)

În cazul general, tensiunile (41.13) nu sînt simetrice şi se poate alege nul poten-
ţialul unei faze (de ex. V2). Potenţialele· devin:

206 REŢELE ELECTRICE TR!FAZATE
Relaţia (41.16) ne dă atunci chiar tensiunea pe faza a doua a receptorului (după
schimbarea semnului). Pentru tensiunile de fază ale receptorului se obţin expre·
siile generale :

(41.20)

Aplicaţii. 1. Dispozitiv pentru identificarea succesiunii fazelor. Considerăm un receptor

în stea (fig. 41.7, a), avînd pe fazele 1 şi 2 cîte o lampă cu incandescenţă de rezistenţă R, iar

pe faza 3 un condensator de capacitate C. Se cere că se determine raportul valorilor efective

ale curenţilor din fazele 1 şi 2, ştiind că tensiunile de alimentare sînt simetrice : Q23 = Qa 2 12,
!l.a1 =~a .!lll'

R =c-.;•'C- J

1~

r~c

3

o
.Y.No

oo

a.

Fig. 41.7

xlAlegem drept referinţă borna fazei 2, astfel că potenţialele sînt (41.19). În :acest caz, =

== 1:2~= 1 jR, Xa j wC şi cu relaţiile (41.20) rezultă tensiunea pe faza 2 a receptorului:

lfaN = 1 a2 • j;w CR -1

llaai w C -!b2 R Ul2 _--...:_ _ _ __

-------- = +- 2 j w CR.

+"-R2 .J (J} C

Tensiunea pe faza 1 a receptorului rezultă :

Ql2 R1 -lladw C
+ +ll1N = - - - - - - - - = :ILla1----a-·-j=w--C-R-
2 J. w C 2 j w CR
li

REZOLVAREA RETELELOR TR!FAZATE DEZECHIL!BRATE 207

iar raportul cerut al curenţilor rezultă :

u1Nj J u1Nj , _. 2Jt
= u2N
1 u~R"J 1-e 3 • j w CR
J
- . 2.~
J3-
+- 1 e . j w CR

Raportul I 1 /I 2 e totdeauna supraunitar, adică lampa de pe faza 1 e mai lmninoasă decît lampa
de pe faza 2. De aceea, acest dispozitiv se poate folosi pentru identificarea succesiunii fazelor :

dacă această ordine nu e cunoscută, conectăm receptorul la cele trei borne neidentificate ale
:c,condensatorul. Căutînd maximul raportului la R variabil, se obţine condiţia R =
reţelei şi vom ~ti că fazele se succed în ordinea : lampa aprinsă puternic, lampa aprinsă slab,

pentru

care

=V!1. 2+V3 = 2+V3 =3,73

+J2 2 V3

+ja2 - 1 (0,154 + . 0,173) .!112•
j =- J
!!.sN = !112
2

În figura 41.7 e desenată diagrama vectorială corespunzătoare cazului R = 1 / cuC.
2. Receptor dezechilibrat cu curenţi simetriei. Detenninăm condiţia generală pe care tre-

buie să o satisfacă impedanţele neegale ,?10 ,?2 , ,?3 ale unui receptor în stea, fără fir neutru, pen-
tru ca fiind alimentat cu tensiuni simetrice, să absoarbă curenţi simetriei. Cu relaţiile (41.20)
şi (41.15), curenţii au expresiile generale (care rezultă unele din altele, prin permutări circulare

ale indicilor 1, 2, 3).

! = l!12Y2Y1- rl31Y3Y1 !.3 = ..: (41.21)

1 X:1 + Y2 + Ya

Dacă tensiunile sînt simetrice !!.23 = a 2Q12, !la1 = aJl12, curenţii [ 1 şi [ 2 se scriu :

(41.22)

Deoarece Ia = - [_1 - [ 2, pentru ca aceşti curenţi să fie simetriei e necesar şi suficient ca ! 2 =
= a2 LJ, adică

sau (41.23)

Introducînd impedanţele cu X:k = 1/0, (k = 1, 2, 3), rezultă condiţia :

(41. 24)

+ +Această condi~ie e evident satisfăcută dacă ,?1 = ,?2 = :?a, deoarece 1 a a2 = O. Acesta

e cazul banal al sarcinii echilibrate. Dar ea poate fi satisfăcută şi cu impedanţe neegale, adică
.există receptoare dezechilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice, care absorb curenţi simetriei.

Condiţia (41.24) se satisface, de exemplu, cu -Z1 = j wL = j VR3_ (o bobină ideală), Z3 =

.... -.:.;~

208 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

_l_ =- jL w =-j ~ (un condensator ideal a cărui capacitate e legată de inducti-
jw
c= V3
Zvitatea bobinei prin condiţia de rezonahţă l - w2 LC = O) şi 1 = R (v. fig. 41.8, u.). Rezultă :

l!to +_!__ 1 + l!aoj w C y-3 y3-)
1!20 - -
R j wL =
IlNo = 1l1o(1-ja2 + ja = - 2 J l1 o .
-1 +-1-+J. w c
R j wL

R=VfGJL = VJ J

wC
Il

o

1
1

1u

.Jf = -2N
1'-'-2 jwL

2

a.
Fig. 41.3

Cnrenţii sînt :

!.r = (!!ta - !J.No) JR = 3.f.bo JR
l2 = C!!z::)- !.!.No)Jj w L = 3!!20 !R = a2 lt
la = (!.!.ao - !!.No) · j w C = 3!!.aoiR = alt

şi formează un sistem trifazat simetric direct ca şi tensiunile de fază ale reţelei. De observat

că tensiunile de fază ale receptorului Jl1N = 3!!.1o,!J.2N = j V3 I!20 şi Il aN = - j V3 !!.30 nu

sînt simetrice (fig. 41.8, b).

.111 41.4. Receptor dezechilibrat

Fig. 41.9 în triunghi (fig. 41.9).

Şi în acest caz sînt date tensiu-
nile dintre faze (41.13) ale reţelei de
alimentare. În reprezentarea geome-
trică aceste tensiuni (nesimetrice)
trebuie să formeze un triunghi
(fig. 41.10), deoarece suma lor e nulă

REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE 209

Fig. 41.10

(rei. 41.14). Cum aceste tensiuni se aplică direct laturilor triunghiului, curenţii
din aceste laturi - care reprezintă fazele receptorului- sînt :

-I 1." =!7!-12, - z31lat =-!.!:-31• (41.25}
-12

iar curenţii de linie sînt (v. şi fig. 41.10)

Ia = I31 - l.~a· (41.26)

Aplicaţie: Considerăm un receptor trifazat în triunghi (fig. 41.11, a) avînd :

1 7 31 = j wL = _ ._1 ·- (adică, 2LC w2 - 1 = 0),
7,12 = 723 = - - , - 2wC
- - j wC

curuia i se aplică tensiunile simetrice de succesiune directă

!!2a = a 2!.!.12• (41.27)
(41.28)
Se obţin curenţii :

It = j w C!J.12- ~L "21!12 = - W C V3 Jl.12

Jw

. 2:t
] -3
!._2 = a2j w C!J.12 - j 0) CQ 12 = - wC V3 !.!.12 = a 11
e

V1 . - j ~ 2
-T3 = - -a P 12 - J w Ca2-U12 =- wC 3!!12 3 !.t·
j wL - e =a

14- 1668

210 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

Se observă că în acest caz cei trei curenţi formează un sistem simetric, dar de succesiune inversă
(v. fig . 41.11, b).

Observaţii privitoare la receptoarele dezechilibrate :
a) Dacă impedanţele echivalente serie ale liniei de alimentare a unui rec~;:ptor în triunghi nu
sînt neglijabile, trebuie să se ia în considerare căderile de tensiune pe linie. In acest scop, recep-

1

Oo 2c./LC =1

a.

b.

Fig. 41.11

torul În triunghi (fig. 41.12, a) trebuie transfigurat într-un receptor în stea (fig. 41.12, b),
pentru a putea calcula impedanţe echivalente pe fiecare fază, prin însumarea celor două impe-
danţe în serie : a liniei şi a receptorului echivalent. Se obţine un receptor dezechilibrat în stea,
care se studiază cu teorema potenţialnlui punctului neutru.

b) Dacă există impedanţe mutuale Între laturile receptorului, metodele prezentate în
acest capitol nu sînt, în general, aplicabile şi trebuie să se utilizeze teoremele lui Kirchhoff.

c) Dacă un generator alimentează mai multe receptoare dezechilibrate în stea, cu neutrele
izolate, potenţialele acestor neutre nu coincid şi stel~le nu pot fi conectate cu laturile orno-

loge în paralel. In acest caz se pot transfigura stelele

în triunghiuri, laturile omologe ale tuturor acestor tri-

unghiuri fiind în paralel, ceea ce permite să se găsească

un receptor echivalent în triunghi pentru întreaga reţea.

a 41.5. Puteri în reţele trifazate dezechilibrate

7' 41.5.1. Reţele trifazate cu fir neutru. În
7 ~-c:::::l-1 cazul sistemelor de t11ansmisiune trifazate cu
fir neutru, zise "cu patru fire" (v. fig. 41.13),
2~-c:J2-' -~N1 puterea complexă (37.22) este:

J' 1
J~-c:=l-J

b.
Fig. 41.12

REZOLVAR EA RETELELOR TRIFAZATE DEZECHICIBRATE 211

şi, cum (41.30)

LN = LI + !_2 + La, iar vk - Vo = Ib o (k = 1, 2, 3),

e obţine expresia :

Puterea activă e partea reală a acestei expresii,

(41.31)

i ar puterea reactivă e partea imaginară a acestei expresii,

(41.32)

În relaţiile (41.30), (41.31), (41,32) numai sumele au o semnificaţie determinată :
puterea primită pe la borne de receptorul considerat. .În cazul general, fiecare
termen în parte al acestor sume nu este localizabil, în sensul că nu se poate
asocia unei anumite faze. Unii dintre termenii puterii active, de exemplu, pot
fi negativi, întreaga putere fiind pozitivă aşa cum e necesar, dacă receptorul
e pasiv. Expresia (41.32) a puterii active corespunde măsurării acestei pute ri
~u trei wattmetri (fig. 41.13).

Fig. 41.13 Fig. 41.14

41.5.2. Retele trifazate fără fir neutru. În cazul sistemelor de transmisiune
fără fir neutru: zise "cu trei fire" (fig. 41.14), puterea complexă este:

(41.33)

<:u punct de referinţă arbitrar pentru potenţiale. În montajul de măsurare a
puterii active cu trei wattmetri, punctul comun al bobinelor lor de tensiune

212 REŢEL E ELE CTR ICE TRIFAZATE

poate fi legat oriunde în reţea sau poate fi lăs at liber. Dacă se alege una dintre
faze, de exemplu faza 2, ca referinţă, se obţin expresiile :

(41.34)

(41.35)

+A A (41.36)

Q b = U12I 1 sin (U12,[1) U32I 3 sin (U32,[3) .

Expresia (41.35) a puterii active corespunde măsurării acestei puteri cu doi
wattmetri (fig. 41.14).

42. j METODA COMPONENTELOR SIMETRICE

Calculul regimurilor trifazate nesimetrice 1 prezintă importanţă practică
în construcţia şi exploatarea sistemelor electroenergetice. Dimensionarea şi
protejarea reţelelor electrice trifazate necesită calculul unor regimuri d e avarie
n esimetrice (scurtcircuite între o fază şi p ămînt , scurtcircuite între două faz e
şi pămînt, întrerup erea u nei faze et c.). R egim uri n esimetrice se creează uneori
şi în mod intenţion at, d e exemplu p entru pornirea sau r eglarea turaţiei la
motoarele asincrone trifazate.

Studiul acestor regim uri nesimetrice într-o reţea cu un număr mare de
linii, transformatoar e electrice, generatoar e şi m ot oare electrice trifazate con-
duce l a necesitatea rezolvării unui sistem de ecu atii cu u n număr mare d e nec u-
noscute. R ezolvarea u nui astfel de sistem este îng~euiată considerabil de fapt ul
că în prezenţa cuplaj elor magnetice, mai ales înt re elementele m obile ale maşi­
n ilor electrice, relaţiile dintre tensiuni şi intensităţile curenţilor sînt complicate.

Pentru a simplifica aceste ecuaţii şi schemele electrice echivalente cores-
punzătoare, electrotehnicienii au elaborat metode de calcul bazate pe utilizarea
unor noi necunoscute, auxiliare. Aceste mărimi necunoscute auxiliare sînt
numite componente (ale tensiunilor, curenţilor etc.). Prin trecerea la noile
necunoscute, sistemul de ecuaţii se simplifică. Schemele electrice echivalente
corespunzătoare se simplifică şi ele . Cele mai răs pîndite metode pentru calculul
r egimurilor trifazate nesimetrice ale unor circuite liniare sînt cele care utili-
zează ca mărimi de calcul auxiliare "componentele simetrice", "componentele a:,
~' O" sau "componentele d, q, 0". În cele care urmează se expune metoda com-
ponentelor simetrice, care este cea mai răspîndită.

1 În acest curs, termenii simetric şi nesimetric se referă exclusiv la sistemele trifazate
de mărimi sinusoidale (tensiuni, curenţi etc.), respe ctiv la regimurile caracterizate prin aceste
mărimi; iar termenii echilibrat şi dezechilibrat se referă exclusiv la elementele trifazate de reţea:
receptoare, generatoare, linii etc. (adică la sistemele de impedanţe).

METODA COMPONENTELOR S IMETRICE 213

Metoda componentelor simetrice se bazează pe d escompunerea sistemelor de mănm1

trifazate nesimetrice (tensiuni electromotoare etc.) în trei sisteme componente trifazate simetrice
şi pe principiul suprapunerii efectelor (ea se poate aplica deci numai circuitelor liniar e sau prac-

tic liniare). Astfel, calculul unui regim trifazat nesimetric se reduce, pentru circuit e echili-
brate sau porţiuni echilibrate de circuit, la calculul a trei regimuri sim etrice (corespunzătoare

cîte unuia dintre cele trei sisteme simetrice componente). Calculul regimurilor simetrice fi ind
mai simplu decît calculul regimurilor nesimetrice, metoda e avantajoasă atunci cînd numărul
de elemente dezechilibrate e mic fată de numărul de elemente echilibrate.

Cînd circuitul studia t conţine' maşini electrice, metoda componentelor simetrice e sin-
gura practic utilizabilă, deoarece ecuaţiile şi schemele electrice echivalente ale maşinilor se
exprimă mult mai simplu pentru componentele simetrice decît pentru sistemele nesimetrice
de curenţi şi tensiuni. În particular, un generator electric trifazat, echilibrat, admite o schemă
echivalentă (de ex. în stea) cu trei generatoare monofazate, cu impedanţe interne egale, ne-
cuplate inductiv între ele numai pentru curenţi de fază simetriei (v. Observaţia b de la par.

42. 1.4, b).

42.1. Descompunerea unui sistem trifazat de mărimi
în trei sisteme componente trifazate simetrice

42.1.1. Teorema lui Fortescue. La baza metodei componentelor simetrice

stă ideia descompunerii unui sistem trifazat, ordonat de mărimi sinusoidale

(nesimetric) în trei sisteme de mărimi sinusoidale trifazate simetrice, adică

+ -avînd amplitudini egale şi defazaje relative egale, de valoare ~, 2rr sau O.
3

Cele trei sisteme se numesc : sistemul de succesiune directă sau sistemul direct

(în care fiecare dintre mărimi e defazată înaintea celei care îi succede cu~) ,

introdus în p~ragraful 39.1; sistemul de succesiune inversă sau sistemul invers

(în care fiecare dintre mărimi e defazată în urma celei care îi succede cu ~) ,

introdus, de asemenea, în paragraful 39.1; sistemul omopolar, care e un sistem
ordonat de mărimi sinusoidale, cu amplitudini egale şi în fază.

În figura 42.1 e prezentată simbolic această descompunere, fiecare în repre-
zentare geometrică, sistemul oarecare nesimetric (a) are fiecare fazor egal cu
suma fazorilor corespunzători ai unui sistem omopolar (b), direct(c), şiinvers(d).

Descompunerea unui sistem ordonat trifazat nesimetric (V1, v2, Ea) în

sistemele sale componente simetrice este definită în complex de următoarele

relaţii între mărimile acestor sisteme :

!::'1 = !::'hl + vd1+ vi1 1

.!:'2 = !::'h2 + vd2 + !::'i2 (42.1)

1 Indicele h pentru "omopolar" provine de la grafia originară "homopolar".

~1 . ~.:::."'

......... \

_, ?,.:::. .... \ ~~
'"'
,,,-:::,.< 11 -::;,:"' / / .../ ~
<N
~i~III~ '<!'

~~ bb <:;:) .~
~
~
.o
:::..\' 1
~~

~· J
7 \1::..::>

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 2!5

Posibilitatea obţinerii unui sistem de mărimi trifazat nesimetric prin corn·
punerea a trei sisteme componente simetrice este ilustrată în figura 42.2, în
care se prezintă operaţiile grafice corespunzătoare relaţiilor (42.1).

Cele trei mărimi ale fiecăruia dintre sistemele componente simetrice se pot

. 2Jt

]-

exprima simplu, cu ajutorul operatorului a = e 3 , în funcţie de mărimea cores-

punzătoare fazei 1 a sistemului respectiv, numită mărime fundamentală a sis-

temului:

l"ht = Eh; l"hz = _r"; Vha = _r" (42.2)

Vdt = Vd; Vd2 = a2V d; V da= a Vd (42.3)

.fi1 =V;; Vi 2 =a V;; V ;a = a2 ~i· {42.4)

Mărimile fundamentale _r", Ed, Vi se numesc respectiv componenta omo-

polară, componenta directă şi componenta inversă a sistemului de mărimi tri·

fazat nesimetric dat (.f1, .f2, Va)·

Descompunerea unui sistem de mărimi trifazat în trei sisteme componente

simetrice {42.1) se exprimă cu ajutorul componentelor simetrice sub forma:

~1 = fh + vd + vi (42.5)
E2 = Eh + a2 V d + a vi
+ +~a= fh aVd a2 V;.

Deoarece determinantul sistemului de ecuaţii (42.5) este

111

Il = 1 a2 a = 3 V3 j,

1 a a2

diferit de zero, rezultă că se poate determina întotdeauna un sistem, şi numat
_r",unul, de valori Ei,Vd, care să satisfacă aceste ecuaţii.

Ca urmare, descompunerea oricărui sistem trifazat ordonat de mărimi

sinusoidale în trei sisteme componente simetrice, unul omopolar, unul direct

şi unul invers, este unică şi totdeauna posibilă (Teorema lui Fortescue, 1918).

42.1.2. Calculul componentelor simetrice. Calculul componentelor simetrice,

corespunzătoare unui sistem dat de mărimi trifazat nesimetric, se face pe baza

relaţiilor (42.6). Aceste relaţii:

+ +V"= ~ (V1 _f2 Va)

+a + a2.-Vd = 3(-V1 -V 2 2-V3) (42.6)

se obţin prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (42.5) în raport cu V", Vd şi V;.
Prima din ecuaţiile (42.6) se obţine adunînd cele trei ecuaţii {42.5) şi observînd

+că a2 a+ 1 = O. A doua ecuaţie (42.6) se obţine înmulţind a doua şi a

216 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

treia ecuaţie din (42.5) cu 1!• respectiv Q:2, şi apoi adunînd ecuaţiile astfel obţi­
nute. A treia ecuaţie se obţine analog.

Aplicaţii : Să se determine componentele simetrice ale sistemnului de mărimi cu imaginile
complexe:

~1 = V, _[z = O, I:a = O. (42.7)

Aplicînd relaţiile (42.6), se obţine:

V (42.8)
_V1, = -Vd =V-'·==3 ·

Acest caz corespunde, în particular, sistemului de curenţi dintr-o linie care are fazele
2 şi 3 întrerupte. Se recomandă ca exerciţiu să se determine componentele simetrice ale cu-
renţilor dintr-o linie la care se întrerup fazele 1 şi 2.

2. Să se calculeze componentele simetrice ale sistemnlui de tensiuni electrice cu valorile in-
stantanee:

Yfu 1 = 10 sin 2IT·50·t V

+ ; )u 2 = u 3 = 10 Y2sin ( 2IT-50-t V.

Reprezentarea în complex a acestor tensiuni ·este :

~1 = 10 V, ~a = Ea = j 10 V.

Valorile complexe ale componentelor simetrice se calculează cu ajutorul relaţiilor (42.6):

1 10
(10 + j 10 + j10) = (1 + j 2) V
3 3Eh =

3 + 3l 10

_[d = (10 + a· j 10 a2• j 10) = (1- j) V

3 3l 10

Ei = (10 + a 2 • j 10 + a . j 10) = (1- j) V.

Valorile instantanee ale componentelor simetrice ale tensiunilor sînt :

Uh = -10 V·$-. y- V
3 2 sin (2IT-50t +arc tg 2)

~ Y2·llJ = Ui = V2 sin ( 2IT-50t- : ) V.

Valorile instantanee ale tuturor mărimilor sistemelor componente simetrice se obţin sim-
pl u, pe baza definiţiei acestor sisteme. De exemplu, sistemul de componente simetrice de snc-
cesiune directă este format din următoarele mărimi:

UJa = -10 y2- y2- sin (2IT·50t- -IT - -2IT) V
3 43

+- v.UJ3 2IT)
=1-0 Y.2Jiz sin ( 2IT·50t-IT- 3
3 4

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 217

42.1.3. Determinarea grafică a componentelor simetrice. Fazorii compo-

nentelor simetrice, se pot determina simplu şi intuitiv prin realizarea grafică a

operaţiilor de însumare ·şi rotire corespunzătoare relaţiilor (42.6) sau a unor

rr......-.J,?'t/ operaţii echivalente cu acestea.
În figura 42.3 se indică obţi­

-V2/1 ' ·\ \l:' nerea fazorilor 3 V0 , 3Ed şi 3 V,,
1 \J pe baza unor operaţii care cores-
pund respectiv cu prima, a doua

a.Vz it şi a treia ecuaţie din (42.6). S-au
..--=~. __:..·- -·- - · - - · elaborat însă şi metode grafice

JVd \ \ 2 Vz laii. simplificate.
l. Metodă grafică simplificată
- a.
\ ./J pentru determinarea componentelor
\....k-·-· directă şi inversă : Această metodă

3~i se bazează pe exprimarea compo-

Fig. 42.3 nentelor simetrice directe si inverse

ale unui sistem vl, v2, v3, în funcţie de mărimile diferenţă: ,

(42.9)

Utilizînd expresiile lui V1 şi V3 care rezultă din relaţiile precedente, a doua
şi a treia ecuaţie (42.6) se pot pune sub forma :

(42.10)

(s-a folosit identitatea 1 + a+ a2 = 0).

Aceste relaţii arată că suma dintre fazorul diferenţă V12 şi fazorul V23 ,
rotit cui (în sens trigonometric direct), este egală cu 3 Vd. Dacă la acelaşi

fazor diferent, ă -V12 se adună fazorul -V23, rotit cu - .:3:_ (adică în sens invers),
se obţine fazo rul 3Vi. Construcţiile grafice respective sînt realizate în figura
42.4, a. Observînd că punctele M' şi M" sînt vîrfurile celor două triun-
ghiuri echilaterale, care au segmentul 23 ca bază, construcţia se reduc~
practi c (fig. 42.4, b) la t r asarea a două arce de cerc necesare determinării
acestor vîrfuri şi la construirea vectorilor M'l, M"2, car e repre zintă mări­
mile 3.fd şi 3 Vi. Pentru a distinge cei doi vectori, remarcăm că originea
vectorului 3 V d se află în originea vectorului V23, rotit în jurul extremităţii
sale cu 60° în sens trigonometric.

2. Metodă grafică simplificată pentru determinarea componentei omopolare:
Util izînd mărjmile diferenţă, prima ecuaţie din (42,6) se poate pune sub forma :

(42.11)

218 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

+Examinînd figura 42.5, se observă că vectorul BG, care reprezintă mărimea
(f12 - 1::'"23), are extremitatea în centrul de greutate G al triunghiului ABC
(Deoarece BG reprezintă o treime din diagonala paralelogramului ABCD).

Pig. 42.4

.f"2, Rezultă că pentru determinarea componentei omopolare l::'"b a unui sistem _f"1•

V 3 este suficient să se unească originea comună a acestor vectori cu centrul

de greutate G al triunghiului, avînd D A

ca vîrfuri extremitătile vectorilor ~-- ·-------------
daţi.
'

42.1.4. Filtre de componente simetrice. \ " " ' ,,"~.t"_-:-::!-- //
\\ ~y //
În acest paragraf se vor prezenta cîteva \ /
exemple de circuite electrice, la a căror
borne de ieşire se obţin componentele sime-

trice ale sistemului trifazat de mărimi, apli- \/
\ ~~//
cat la bornele lor de intrare. Astfel de \ 'i'
circuite electrice se numesc filtre de com- \/

ponente simetrice. \/
Mai general, acest nume se dă tuturor \

circuitelor electrice, la ale căror borne de
ieşire se obţin mărimi sinusoidale cu valori

efective proporţionale cu valoarea efectivă

a unei componente simetrice (corespunză­ Pig. 4·2.5
toare mărimilor aplicate la bornele de

intrare).
Filtrele de componente simetrice se utilizează în numeroase instalaţii de protecţie auto-

mată împotriva regimurilor nesimetrice de avarie, precum şi în măsurări.

1. Filtre de componente omopolare. Cel mai simplu filtru pentru obţinerea componentei

omopolare a unui sistem de curenţi e format din trei transformatoare de curent, cu înfăşu·

rările secundare legate în paralel (de ex. la bornele unui ampermetru) (fig. 42.6, a).

METODA COMPONENTELOR SiMETRICE 21 9

În figura 42.6, b se reprezintă un filtru pentru măsurarea [componentei omopolare a
unui sist~m de tensiuni, format din trei transformatoare de tensiune, cu secundarele legate

în serie. In aceste scheme, k este raportul de transformare al transformatoarelor respective.

f~ J

K (J!,+J!z+J!.J}= 7fJ!o

a. b
Pig. 42.6

2. Filtru pentru componenta inversă (sau directă) a unui sistem de curenţi fără componentă
omopolară : În figura 42.7 este reprezentată schema unui filtru care permite determinarea com-
ponentei inverse a unui sistem de curenţi. Acest filtru funcţionează corect numai dacă com-

+ +ponenta omopolară a sistemului de curenţi e nulă, adică dacă suma intensităţilor celor trei

curenţi e nulă i 1 i 2 i 3 = 3 ih = O (de ex. curenţii de linie la un sistem trifazat fără fir
neutru). Curentul măsurat de ampermetrul A se poate stabili cu teorema lui Thevenin.

Tensiunea în gol între bornele M şi N este egală cu

În ipoteza făcută (!.h = 0), exprimînd curenţii În funcţie de componentele lor simetrice.
conform relaţiilor (42.5), se obţine :

Dacă impedanţele sînt astfel alese încît să satisface relaţ.ia :

(42.12)

circuitul funcţionează ca filtru, care dă o tensiune !lMNo' proporţională cu componenta inversă

l;. Conform teoremei lui Thevenin, intensitatea curentului lA din ampermetrul conectat în-
tre bornele MN va fi proporţională cu !J. lfNo' şi deci cu componenta inversă [;.

1

Practic, un astfel de filtru se poate realiza, de exemplu, luînd un rezistor ca element

+ f3= = -de impedanţă ~1 l
r şi ca element de 1o mpedantă -Z 3 2 r Jo - 2 r, un rezistor de rezis-

•

TV3tenţa" ŢT legat mA senoe cu o b obm" a" d e reactanţa" X = r.

+Dacă se asigură satisfacerea egalităţii ~1 a2~3 = O, tensiunea de mers în gol !JMNo•

şi deci curentul l.A, sînt proporţionale cu componenta directă le!· Acelaşi rezultat se obţine

cu filtrul din figura 42.7, dacă se intervertesc fazele 2 şi 3 (v. observaţia de la sfîrşitul aces-
tui paragraf).

220 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

3. Filtru pentru!componenta directă (inversă) a unui sistem de tensiuni de linie: Deter-
minarea componentei inverse a unui sistem de tensiuni de linie se realizează adesea cu fil-

trul cu patru elemente, reprezentat în figura 42.8.
Tensiunea în gol între punctele M ' şi N are expresia :

IZMNo= Z.t U12 -Z'-2 + I!:2a

+ Z2 Zs + Z:4 _Za·

Kj,

l,

'.!.A

Fig. 42.8
Suma tensiunilor de linie fiind nulă, componenta lor omopolară e nulă şi deci :

.!!.12 = I!.d + Q;, IZaa = +a2Qd a ll_;.

Ca urmare, tensiunea !lMNo se poate scrie sub forma :

Dacă cele patru impedanţe satisfac condiţia :

-Z1 +a ~3 z-+.· z:4 = O (42.13)
Z:t + 22

(care se verifică uşor pentru schema din fig. 42.8), tensiunea la ieşirea filtrului e proporţio­

nală ~u I!:d·

In sarcină, conform teoremei lui Thevenin, curentul şi tensiunea la ieşirea filtrului vor

.fi proporţionali cu I!:d·
Observ ati e: Din relaţia (42.6) rezultă că componenta directă YJ a sistemului tri-

Efazat (1:1, 1:2, 3),

e egală cu componenta inversă '[; a sistemului (V1, V3, V2),

Ca urmare, orice filtru care serveşte la măsurarea componentelor directe permite şi mă­
surarea componentelor inverse : pentru aceasta e suficient să se ~nverseze, la intrarea filtrului,
fazele 2 cu 3.

42.1.5. Cîteva proprietăţi ale componentelor simetrice ale tensiunilor şi
curenţilor. a) Prima ecuaţie din (42.6) arată că sistemele de mărimi trifazate,
a căror sumă este zero, au o componentă omopolară egală cu zero.

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 221

Din aceasta rezultă, în particular, că :
- sistemele de curenti din elemente de circuit trifazate cu conexiunea
în stea cu punct neutru i~olat (fără conductor neutru sau punere la pămînt)
au o componentă omopolară nulă;
- sistemele de tensiuni de linie au componentă omopolară nulă.
b) În cele ce urmează, pentru a stabili unele proprietăţi ale componentelor
simetrice ale tensiunilor şi curenţilor, vom calcula componentele simetrice

directe şi inverse V1d, V u ale unui sistem de mărimi diferenţe de forma :

E12 = !:'1- .!::'2, .!::"2a = !:'2- Ea, Val = Va- _!:1, (42.14)

în functie de componentele simetrice Vd, V; ale sistemului de mărimi .!::"1•

E2, Ea:

Cu ajutorul relaţiei (42.6) se obţine:

+ + +Eld = [(_t'l - !:'2) a (E2 - Ea) a2 (!:'a- E1)J

t'u = ~ [(_fl - + +!:'2) a2(.f2- !:'a) a (!::"a- !:'1)].

Exprimînd mărimile _[1, V2, Va, în funcţie de componentele lor simetrice.
relaţiile (42.5), se obţine :

,_ -]·6" (42.15)

VIi= (1- a) _t'; =V 3 e Ei·

Relaţiile precedente se pot pune sub forma :

-vd = y-1 -j. -" -V;= l V1;e j..6': (42.16)

3 Vzd e 6 y3-

Aceste ultime relaţii exprimă, în particular, relaţiile dintre componentele
simetrice directe şi inverse ale tensiunilor de fază şi de linie la un circuit trifazat

cu conexiunea în stea.
Pentru valorile efe ctive ale acestor mărimi rezultă :

U' -=UV-3t; · (42.17)

Ca urmare:
Toate circuitele trifazate conectate în stea la un acelaşi sistem de tensiune

de linie au aceleaşi componente simetrice directe şi inverse de tensiune, oricare

ar fi punctul neutru la care se raportează.
c) Aceeaşi relaţie (42.15) se utilizează la calcularea componentelor sime-

trice directe şi inverse ale curenţilor de linie, în funcţie de curenţii de fază la

un circuit cu conexiunea în triunghi.
Pentru valorile efective ale acestor mărimi rezultă :

(42.18}

222 R.EŢELE ELECTR.ICE TR.IFAZATE

d) N esimetria sistemelor trifazate de mărimi se apreciază prin :
- gradul de disim etrie definit ca raportul dintre valoarea efectivă a com-
ponentei inverse şi valoarea efectivă a componentei directe a sistemului de

mărimi:

V; (42.19)

E'· =v-d

- gradul de asimetric definit ca raportul dintre valoarea efectivă a
componentei omopolare şi valoarea efectivă a componentei directe a sistemului
de mărimi:

(42.20)

În practică, un sistem de curenţi sau de tensiuni este considerat simetric,
dacă are atît gradul de disimetrie cît şi gradul de asimetric mai mici decît 0,05.

4.2.2. Circuite trifazate echilihratc alimentate cu tensiuni nesimetrice

Dacă unui circuit trifazat echilibrat i se aplică un sistem de tensiuni tri-
faza t simetric, atunci (v. par. 40) sistemul de curenţi din circuit va fi şi el sime-
tric şi va avea aceeaşi succesiune a fazelor ca şi echilibrat de tensiuni. Este ade-
vărată şi afirmatia inversă : într-un circuit echilibrat, un sistem de curenti sime-
tric de o succesiune oarecare determină un sistem de tensiuni simetric Şi cu o
aceeasi succesiune ca si sistemul de curenti.

Calculul regimurilor nesimetrice al ci~cuitelor liniare trifazate echilibrate
se face pe baza teoremei superpoziţiei . Se studiază separat fiecare din regimurile
corespunzătoare cîte unuia din sistemele componente simetrice ale tensiunilor,
şi apoi se suprapun efectele acestor sisteme de tensiuni.

Rezultă că în orice circuit echilibrat sistemele componente simetrice de suc-
cesiuni diferite sînt independente între ele.

Suprapunerea lor corespunde compunerii componentelor simetrice conform
relaţiilor (42.5).

Este important de remarcat că, datorită caracterului echilibrat al circui-
telor studiate, este suficient să se considere cîte o singură fază (şi conductor ul
neutru). Aceasta permite, după cum se va vedea mai jos, utilizarea unor scheme
echivalente simple corespunzătoare relaţiilor existente între componentele
simetrice de o aceeaşi s uccesiune.

42.2.1. Ch·cui.t trifazat echilibrat în stea fără cup!aje magnetice. Considerăm
un circuit trifazat echilibrat, format din trei elemente de impedanţă ?_ legate

în stea. Impedanţa firului neutru o notăm cu ?. .'1 (fig. 42.9, a).

Descompunînd sistemul de t ensiuni în trei sisteme componente trifazate
simetrice, aplicarea teoremei superpoziţiei conduce la studierea regimurilor
simetrice (par. 40.1) corespunzătoare schemelor (b), (c), (d). Pentru aceste trei

scheme, tensiunea fazei 1 a reţelei de alimentare 1:':'10 se exprimă, respectiv, prin

relaţiile :

(42.21)

METODA COMPONENTELOR S !METRICE 223

Acestor trei relaţii le corespund, respectiv, schemele (reţelele), echivalente

monofilare (a), (b), (c), reprezentate în figura 42.10. Aceste scheme redau simplu
şi intuitiv relaţiile dintre componentele simetrice de aceeaşi succesiune ale

.1.1 _l._ ld _j_ _1,· ..l ln _1_
_1_
~~ -u' _1_ /)h z N
_1_
Jid N a-l1· N it,

a.'l.d 2 2

3 a.fl; 3

a2}j
J

}pa.~d·a.ld-0 l; •ali •aZJ; ·O Jjh

a . Reg1in n~s1metric b Reg1m Slrn2frJc direct c Reg1m simefr1c mvers d.l?egim simetric omopolar

Fig. 42.9

curenţilor şi tensiunilor; ele se numesc schema de succesiune directă, schema
de succesiune inversă şi schema de succesiune omopolară.

Impedanţele corespunzătoare sistemelor simetrice de curenţi de succesiune
directă, inversă şi omopolară se numesc scurt impedanţă directă ~d• impedanţă
inversă ~i şi impedanţă omopolară ~h· Valorile lor sînt :

(42.22)

N. :{ 6j ;,( J:. ~

a. 0 ~.

b. c.

Fig. 42.10

Se remarcă faptul că impendanţa firului neutru intervine numai în cea
de-a treia ecuaţie din (42.21). Termenul 3~Nlh = ~NIN reprezintă căderea
de tensiune de pe firul neutru.

Practic, rezolvarea circuitului studiat (fig. 42 .9, a) pe baza metodei com-
ponentelor simetrice se face în felul următor :

a) se determină componentele simetrice ale tensiunilor aplicate (rei. 42.6);
b) se formează schemele reţelelor de succesiune directă, inversă şi omo-

polară;

c) se determină componentele simetrice ale curenţilor şi ale căderilor de
tensiune pe baza utilizării acestor scheme;

d) se calculează curenţii şi căderile de tensiune căutate în funcţie de com-
ponentele lor simetrice (rel. 42.5).

42.2.2. Circuit trifazat echilibrat cu cuplaje magnetice între faze. Considerăm un element
trifazat de circuit, echilibrat, format din trei elemente monofazate, avînd fiecare o rezistenţă

224 ~EŢELE ELECTRI CE TRIFAZATE

R , o inductivitate proprie L şi o inductivita t e mutuală M între faze (fig. 42.ll) (conexiunea
elementelor monofazate rămîne arbitrară : stea , triunghi etc.). N e propunem să determinăm
schemele de succesiune directă, inversă şi omopolară corespunzătoare. În acest scop presu-

punem că se stabileş te su cce si~ sistemul de curenţi direct, invers şi omopolar.

. R+JG.>L 11 R, j GJ(L-M) ld .,d

)1 fS , . ~ ,•.
1
! t____ a J!d
11 (h'
~ /~1 .!l.t R+ JW(L-!1) l,
1 31
...,,.:3 . ......________.
--, ~
R +j wL b . _u,
12
11 * lnR+ JW (L+2!~)
)1 fS2 *
.......________
\1---
1r-1-.11 .!!2
----\ ~ R+jwL 1]
c J!h
J'f/1 )1 ~J·
Fig. 42.12
J!J
Fig. 42.11

+Notînd impedanţele proprii cu Z = r j euL şi impedanţele mutuale cu Zm= j wl\1

expresiile corespunzătoare căderilor de tensiune de pe faza 1 sînt :

!l.d = Z la + Zma2l.d + Zma l d

Q; = Zl.; + ~mal; + ~m a2 l; (42.23)

!J.h = Z l.h + Zml.h + Zmlh·
+Observînd că a 2 a = -1, relaţiile de mai sus se pot scrie su b forma :

!ld = (Z. - Zm) l a

!li = (Z - Zm)l ; (42. 23')

+Uh = (Z 2Zm) I h.

Ca urmare, imp e da nţele core spunză toare celor trei succesiuni sînt: (4 2.24)

Zd = ~ i = ~- ~m • ~h = Z + 2Zm·

Sch em ele corespunz ătoare de succesiune direc t ă, inversă şi omopol ară sînt r eprezentate

în figura 42.1 2.

Ob se r v a ţ i i : a) D a torită existenţei impe danţelor simetrice de cup laj , imp ednnţ a
=Ziomopolară are o valoare diferită de valoar ea comună Zd
a impedanţelor directă şi inversă .
b) În relaţiile (42.23) a int er venit aceeaşi impedanţă de cuplaj Zm atît pentru curenţii
de succesiune directă (prima relaţie) cît şi pentru curenţii de succesiune inversă (a dou a re-

laţie). Aceasta se datoreşte faptulu i că am considerat un circuit static cu inductivităţi mutuale
constante. Î n cazul circuitelor electrice ale maşinilor electrice rotative- numite elemente di-

namice- apar, în realitate, inductivităţi variabile în t imp. Pentru regimul sinusoidal, ma-

şina admite scheme echivalente cu inductivităţi mutuale constante; dar valorile acestora de-

pind de ordinea în care se succed înfăşurările fazelor interesate, faţă de sensul de rotaţie al

rotorului. Ca urmare, căderea de tensiune produsă într-o fază (r, respectiv s) de curentul din

altă fază (s, respectiv r) depinde şi de sensul mişcării rotorului faţă de aşezarea înfăşurărilo r

celor două faze şi rezultă :

!J.,. = Zm,., · [_, respectiv !ls = Zm,,. · lr,

cu impedanţe de cuplaj neegale : (s, r = 1, 2, 3) (42.25)

Zm,., =/= Zm".

Acest rezultat arată că la a stfel de elemente dinamice teorema reciprocităţii (demonstrată
numai pentru reţele cu elemente de circuit dipolare) nu mai e valabilă. Sistemul de trei i mpe -
danţe echivalente cu cuplaje nereciproce ale maşinii admit însă, la curenţi simetriei, o schemă
echivalentă cu impedanţe egale necuplate. Dar valoarea comună a celor trei impedanţe egale

Genera t or 1Gt zLm1e Motor
E1f"::-.. l !J,
- l c,

'-.7 1 ~Amd~Zm Z f~, ~'/)2 o·
fi2 . l o:;
r,'o lz f"::\ c mZ/ (~!Jj
Az \l~Zm 4! Oi'
\J IGJ c-Zm' \l_Z'mz;

f{[J ~

AJ • •
].l.\.._)
.l. .l.

_l_N IN a.
O'
[ df":\
B
od riEd~
zCd 1{ltf fl { -.zm/ c, (L1' - Zm' J !J, z Md
\.._)
~Cd aZJGd fZrZmJ c2 rz; - z;"; !J2 z..,d
aEd{":\
.1 fitJ alr;d fZt-Zml (J ( Z/ -Z'mJ !J:J ZMd
"-7

-=Z.1I 1. .11 b.

lc,rll&~•alc,rO

B

l / .\~.....:/ z-G1 16i fZ,-Zm) c, tZ'r zm· ; !J, zH•

O; aEI{"\ ZGi alr;1 fZ ,-ZmJ c2 (Z/ -Z'mJ !J2 Z H,
.lr;, a2/r;, fZrZml c3rz; -Z'mJ D3 Zu,
a2t, X
\J

.1 _l0_l

1r;, <~-alr;, •a'l6, ~0 o'1\ c.
B

l h !":\ zGit 1h ,(2 ... zzm)C, ,(l ' ...2Zm' 1 IJ, L Hh
\..7
Zs" lh fZ,+2ZmJ c2 fZ/•2Z'mJ 1J2 Zun o;
oh [h f ' \ .lch [p (Z1 +2ZmJ
c fZ/+2Z'mJ z~h
\.._)
:J
(h~
\..:;!

1. .1 .1

ZN /o;, Fig. 42·13·

] } li d

8

15-1668

226 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

necuplate depinde de natura sistemului simetric de curenţi considerat. De aceea, la maşinile
electrice rotative trifazate (generatoare, motoare etc.), în schemele directe, inverse şi omo-
polare apar impedanţe diferite ~d =f= ~i-=/=- ~h· Acest rezultat se explică intuitiv şi prin faptul
că cele trei sisteme de curenţi, direct, invers şi omopolar produc cîmpuri magnetice diferite :
cîmp învîrtitor, în sensul de rotaţie al rotorului, cîmp învîrtitor în sens opus rotorului şi cîmp
alternativ "imobil".

42.2.3. Formarea schemelor de succesiune directă, inversă şi omopolară.
În cazul unui circuit complicat trifazat (de ex.fig.42.13, a), echilibrat, schemele de
succesiune directă, inversă şi omopolară se pot obţine simplu, pornind de la com-
portarea sistemului în regimurile simetrice de diferite succesiuni (schemele b,cşid).

În regimurile simetrice înlăturăm cuplajele magnetice prin înlocuirea păr­
ţilor de circuit cuplate cu elemente echivalente necuplate, conform celor prezen-
tate în paragraful 42.3.2.

Pentru obţinerea unor scheme monofazate pentru calculul componentelor
simetrice directe şi inverse, observăm că, în reţelele b, respectiv c, unirea tuturor

_l_Md

a.

-e)J ~-]:-~E· .l_G,Z1 -ZZ -z
. l;
&f

a, o;

b.

1..t+21m ch 1t+21m Oi,

Ah

oh

J.Z_N Bh C-

Fig. 42.14.

punctelor neutre printr-un conductor de impedanţă nulă şi apoi înlăturarea

fazelor 2 si 3 nu modifică curentii din elementele fazei l. Schemele astfel obti-
nute le nu~im schema de succesiu~e directă, respectiv schema de succesiune inver~ă
a reţelei date (fig. 42.14, a, respectiv b).

METODA COMPON ENTELO R S IMETRICE 227

Pentru obţinerea schemei monofazate corespunzătoare componentelor
omopolare, observăm că, în reţeaua d (din fig. 42.13), triplarea impedanţelor
de pe conductorul neutru şi înlăturarea fazelor 2 şi 3 nu modifică curenţii din
faza 1 a acestei reţele. Schema astfel obţinută (fig. 42.14, c) o numim schemă
omopolară a reţelei date.

Posibilitatea utilizăr:ri reţelelor directe, inverse şi omopolare, formate aş a
cum s-a indicat mai sus, se poate demonstra şi direct, scriind ecuaţiile care
decurg din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff pentru reţelele trifazate, pentru
schemele directă , inversă şi omopolară (se constată că rezultă aceleaşi valori

pentru componentele simetrice).

42.3. Circt:rite trifazate dezechilihrate

4·2.3.1. Reducerea problemei circuitelor trifazate dezechilibrate la proble-
ma rezolvării unor circuite echilibrate. Într-un element trifazat de circuit

dezechilibrat, un sistem de curenţi trifazat simetric produce căderi de tensiune

care formează, în general, un sistem nesimetric.

Ca urmare, componentele simetrice de succesiuni diferite nu sînt indepen·

dente. Relaţiile dintre componentele simetrice sînt mult mai complicate decît

în cazul elementelor echilibrate.

Din acest motiv, calculul regimurilor nesimetrice într-un circuit conţinînd

mai multe receptoare dezechilibrate se face, de obicei, echilibrînd circuitul pe baza

teoremei compensaţiei (par. 38.2.5), prin înlocuirea impedanţelor care produc

nesimetrie prin tensiuni corespunzătoare. Aceste tensiuni apar ca necunoscute

auxiliare, ale căror valori se determină astfel încît să fie satisfăcute ecuaţiile de

funcţionare scrise separat, atît pentru par-

tea simetrică de circuit cît şi pentru partea l?eţea lr;fazală ec/11/;brald
nesimetrică de circuit. (!?}

42.3.2 . Calculul unei retele echilibrate tl ~.l, 1,
eare alimentează un singur r~ceptor trifazat
static nesimetric. Considerăm o retea echi- A~,
librată (R), care alimentează un 'receptor
static dezechilibrat fără cuplaje inductive .Y,
~J2
între faze. În figura 42.15 s-a reprezentat
reţeaua echilibrată prin dreptunghiul notat A; ~B2
c u (R) şi receptorul nesimetric prin impe- 1!2
d anţele sale de fază ~1 , ~2 , ~3 (fără a face ----==k===-' -1-1-
v reo supoziţie privitoare la modul de A3 1!1 81

c onexiune al acestor impedanţe : stea, Fig. 42.15 .

triunghi etc.).
Înlocuind p e baza teoremei compensaţiei cele trei impedanţe prin surse

ideale, avînd tensiunile la borne :

(42.26)

se obţine circuitul trifazat echilibrat reprezentat în figura 42.16.

223 REŢELE ELECTRICE TRIFAZAT E

Reţea lrtfazatti echtftbratti Determinarea relaţiilor dintre
(R)
componentele simetrice ale tensiu-
-Er-=~U: 1, nilor şi curenţilor şi în general, studiul
reţelei simetrice (R) se face cu
11,~8,
ajutorul schemelor de succesiune
-Ek=2u Jl, simetrice Rd, R i, R h ale acestei re-
lz ţele (R). Aceste scheme sînt repre-
zentate în figura 42.17.
Az~Bz
!)2 Relaţiile dintre curent şi tensiu-
ne la bornele acestor scheme se
fJ;J!./ 11 calculează prin oricare din metodele
cunoscute din studiul circuitelor
.4_,~8; electrice monofazate şi sînt de forma ;

ll;

Fig. 42.16.

+lh = - rABh• Uh !.h sc'

(42.27)

Retea mversă (R,; Mărimile X:ABd• X:ABi• YABh re-
prezintă respectiv admitanţele echi-

A, - - - - - 8, valente ale schemelor de succesiune
b. .!!, directă, inversă şi omopolară pasi-
Reţea omopolară (Rh) vizate, iar ldsc•Lsnlh ,,·sînt curenţii de
scurtcircuit debitaţi de aceste scheme,
dacă se scurtcircuitează bornele

Ad-Bd, Ai-Bi, Ah-Bh. Aceste
admitanţe şi aceşti curenţi de scurt-

circuit se determină în funcţie de

c . structura părţii simetrice de reţea.

Fig. 42.17. Pe de altă parte, un calcul simplu

arată că din ecuaţiile (42.26), cu aju-

torul relaţiilor (42.6), se obţin alte trei relaţii între componentele simetrice ale

tensiunilor si ale curentilor la bornele elementelor dezechilibrate :
''

(4.2.28);

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 229

În aceste ecuaţii s-au notat cu ~d• ~;, ~h coeficienţii (de natura unor impe-
danţe) ale căror expresii în funcţie de impedanţele ~1, ~2 , ~ 3 care formează
receptorul nesimetric sînt :

+ +~ h = 31(~1
~2 ~3) ,

~d = ~ (~1 + a~2 + a2~3), (42.29)

~+ +-C,; =
(Z- 1 a2b aZ- a)·
3

Sistemele de ecuaţii (4.2.27) şi (42.28) formează împreună un sistem de

ecuaţii cu şase necunoscute, !l.d• Q;, !l.h• ld, l_;, lh• care reprezintă compo-

nentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor la bornele receptorului nesimetric.

Prin rezolvarea acestui sistem (42.27), (42.28), se pot determina deci aceste

componente. Utilizînd relaţiile (42.5), se calculează curenţii şi tensiunile la

bornele receptorului nesimetric.

În continuare, cunoscînd tensiunile Ud, U;, Uh de la bornele schemelor

de succesiune Rd, R;, R h, reprezentate în figura. 42.16, determinarea compo-

nentelor simetrice ale curenţilor şi tensiunilor din laturile reţelei simetrice (R)

se face simplu, rezolvînd separat fiecare din aceste scheme.

42.3.3. Calculul regimurilor de avarie nesimetrice ale unor reţele trifazate
echilibrate. În cazul unor scurtcircuite între o fază şi pămînt, între două faze -

cu sau fără punere la pămînt, ca în cazul întreruperii unei faze sau a două faze,
apar regimuri de funcţionare nesimetrică. Calculul unor astfel de regimuri

prezintă importanţă deosebită pentru protecţia şi dimensionarea sistemelor

electrice trifazate.
Nesimetria corespunzătoare acestor scurtcircuite şi întreruperi este echi-

valentă cu prezenţa unor receptoare statice simple, pentru care, în locul rela-
ţiilor (42.28), se obţin relaţii mult mai simple. Satisfacerea unor astfel de relaţii

simple între componentele simetrice ale tensiunilor, respectiv curenţilor la locul

nesimetriei, se face, de regulă, prin intercon ectarea adecvată a schemelor de

s uccesiuni simetrice R h, R a, R ;.

Studiem unele exemple tipice care

se pot aplica la diferite situaţii (R!
p ractice.

1. Scurtcircuit pe .faza 1, cu 1l 1,
întreruperea .fazelor 2 şi 3. Pentru
A,~ 81
a putea aplica metoda componen-
t elor simetrice, pe lîngă perechea .!!, =O
de borne A 1 şi B 1 (între care se ~A-J2-O ~82~
realizează scurtcircuitul), s-au con-

siderat şi perechile de borne _1!2

analoge A 2 - B 2 şi A 3 - B 3 , 1 =O
obţinîndu-se un receptor !rifazat

dezechilibrat echivalent (fig. 42.18).

Acest receptor are un conductor Fig. 42.18.

230 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

de impedanţă nulă (~1 = O) pe faza 1 şi două întreruperi pe fazele 2 şi 3
(deci ~2 = ~a = oo ) ; ca urmare

U1 = O; !_2 =!.a= O. (42.30 )

Cu ajutorul relaţiilor (42.5) şi (42.6) se deduc relaţiile corespunzătoare
dintre componentele simetrice :

(42.31)

Fig. 42.19.

Se observă usor că satisfacerea ultimelor ecuatii de către curentii de la
bornele schemelor 'Ra, R ;, R h se poate asigura prin leg~rea în serie a dipoiilor R a,

R ;, R h (fig. 42.19). Pentru a satisface şi prima ecuaţie de către tensiunile de la

bornele aceloraşi scheme, este suficient să unim punctele A a şi Bh printr-un

conductor de impedanţă nulă.
Ca urmare, calculînd curenţii din acest circuit, se obţin componentele

simetrice ale curentilor si tensiunilor.
2. Scurtcircuit pe faz~le 2 şi 3, cu întreruperea fazei 1. În figura 42.20 s-au

notat cu A 2 - B 2, respectiv cu Aa- Ba, perechile de borne scurtcircuitate şi
cu A 1 - B 1 bornele omologe (în gol) de
pe faza 1. Ecuaţiile acestui receptor de-

fRJ zechilibrat sînt :

1 l 1 I1 = O; !1.2 = U3 = O. (42.32)
Cu ajutorul relaţiilor (42.5), respectiv
l j ,=O (42.6), aceste condiţii se exprimă în func -
A1 ~81

fj, 1 ţie de componentele simetrice corespun-
zătoare, astfel :
-2
Ih+ la + !_; = O;
A2 ~.", 82
U h= Ua= U ;.
Jl2 =0 l)

{42.33)

Fig. 42.20. Se verifică uşor că satisfacerea aces -

tor ecuatii de către tensiunile şi curentii
ex stenţi la bornele corespunzătoare ale r@ţel~lor de succesiune directă, inver~ă

şi omopolară ale reţelei simetrice se poate face simplu, interconectînd aceste

reţele în derivaţie, aşa cum se indică în figura 42.21.

Prin urmare, curenţii şi tensiunile din reţelele de succesiuni simetrice ale

părţii echilibrate de reţea satisfac, datorită interconectării, şi ecuaţiile cores-

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 231

punzătoare părţii dezechilihrate; ca urmare, aceşti curenţi reprezintă compo-
nentele simetrice corespunzătoare regimului nesimetric studiat.

Pentru calculul unui scurtcircuit între două faze vom utiliza o conexiune

echivalentă în stea, ca şi pentru orice element trifazat cu conexiune în triunghi.
Aceasta se poate obţine, considerînd suprapuse punctele B 1, B 2, B 3, într-un
punct neutru, artificial izolat O.

.id id L-11 J,, it~
A; ~U· 4
Ad _.!!.d _ Bd Ah _}:0__ Bh

Fig. 42.21.
42.3.4. Aplica~ii: l. Scw·tcircuit bifazat la bornele unui generator, fără punere la pămînt.

Considerăm un gener ator cu tensiuni electromotoare de fază simetrice §_, a2.!};, afi, astfel că

Jid = §_, E_; = O, Jih = O şi cu impedanţele : directă g;_d, inversă~; şi omopolară ~h (fig. 42.22, a),

la care se produce un scurt circuit net între bornele 2 şi 3 fără legătură la pămînt.
Scurtcir cuitul e echivalent cu un receptor trifazat dezechilibrat în stea, cu ~1 = oo,

~2 = O, ~3 = O, g;_N = oo, ca în figura 42.22, b. Se obţine astfel cazul studiat în paragraful

1
o

2

J

E =E4-e Jl~..l.d ~[l.L ~ J~rZ:h b.

.!lrJ!.; =J!.h

('

Fig. 42.22.

precedent, pu nctul 2, în care sînt valabile relaţiile (42.33) pentru componentele simetrice ale
tensiunilor şi curenţilor r eceptorului şi sch ema echivalen tă din figura 42.22, c, cu cele t r ei

+reţele de su ccesiune directă, inversă şi omopolară, conectate în paralel (cu g_h tot = ~h
+ 3 ~N = oo). Rezultă:

ld = -[; = g;_d R ; b =o

+ g_j

232 REŢEL E ELECTRICE TRIFAZATE

şi cu relaţia (42.5): !:1 = !.b + !:d + !_; = o

j VTE

Zd + ?.;

( a - a2)- -E - -- J. VTfl -- - _,.2 •

Z.d Z.; Z.J ~;
+ + + +r -_ 3 - .'T_h
•a _Td a2_T ,. --

2. Punere la pămînt monofazată la bornele unui generator, printr-o impedanţă Z p'
Co nsiderăm acelaşi generator de mai sus, la care borna fazei l e conectată la pămînt printr-o

impedanţă Z p (fig. 42.23, a).

Zp

ai. b.

a.

Fig. 42.23.

Relaţiile (42.26) sînt, în acest caz :

!1.1 = Zp!.1• !2 = O, la = O.

Înlocuind tensiunile şi curenţii, în funcţie de componentele lor simetrice, se obţin relaţiile :

'! d + !!.i + !!_"

3 Z:p

corespunzătoare schemei echivalente de interconexiune din figura 42.23, b, din care rezultă :

Ld = li = lh = F. =Z:'"-+--3-Z-:p
- - - ---

2':; + Zd +

3. Regim trifazat nesimetric al unei reţele complexe. Vom presupune că în reţeaua sime-
trică, reprezentată în figura 42. 13, a se realizează un scurtcircuit între punctul A, care repre-
zintă o bornă a generatorului şi punctul B de pe conductorul neutru, legat la pămînt.

Presupunînd cunoscute t.e.rn. ale generatorului şi impedanţele circuitului (pentru ele-

mentele dinamice, impedanţele directe, inverse şi omopolare), urmărim determinarea curen-
ţilor şi căderilor de tensiune. Observăm că scurtcircuitul de pe faza 1 e echivalent cu un re-

ceptor dezechilibrat, de tipul din figura 42.18, conectat în stea la bornele generatorului (fig.
42.24). Conform observaţiei de la sfîrşitul paragrafului precedent, punctele B 1, B2, B 3 le pre-
supunem suprapuse şi formînd un punct neutru B.

Conform celor expuse în paragraful precedent, reţelele directe, inverse şi ornopolare (re-

p rezentate în fig. 42 .14) pentru acest tip de nesimetrie se leagă în serie (fig. 42.19), obţinîn­
d u-se reţeaua de calcul monofazată din figura 42.25.

Determinarea componentelor simetrice ale curenţilor şi căderile de t ensiune ale reţelei

se reduce astfel la determinarea curenţilor şi căderilor de tensiune din această reţea de calcul.

Această operaţie se poate face şi experimental, pe modele ale reţelei de calcul obţinute, rea-
lizate în laborator, ale căror tensiuni şi curenţi se măsoară direct. Compunînd componentele
simetrice ale diferiteţilor curenţi sau tensiuni, cu ajutorul relaţiei (42.5), se obţin curenţii şi
căderile de tensiune căutate din reţeaua cu scurtcircuit nesimetric. În generatoarele obişnuite,

de construcţie echilibrată, Ed = E şi lj:_; = O, lih = O.

Fig. 42.24. od

j, =7/J.J, o:

Fig. ~. 2 . 25.

234 REŢEL E EL ECTRICE TRIFAZATE

42.4. Calculul puterii cu ajutorul componentelor simetrice

Se ştie că puterea complexă totală a unui sistem trifazat, avînd tensiunile

! !de fază U1, U2, U 3 şi curenţii de fază 1, !_2, 3, se calculează pe baza unei expresii

de forma 41.30 :

§. = ~1 + ~2 + ~a= U1!_~ + U2!_; + U 3li. (42.34)

+unde, cu l~ , !_;, !_i s-au notat valorile complexe conjugate !ale lui 11, 2, !_3•
Puterea complexă ~ = P jQ se poate exprima în funcţie de componen-
tele simet rice, utilizînd relaţiile (42.5) :

U1 = Qh + Jld+ Ui ; U2 = U"+ a2 Ud+ aUi ;
După gruparea termenilor din (42 .34), rezultă:

+ + + + + + +§. = U"(!_~ !_; !_i) Ud(!_~+ a2!_; a!_i) Ui (!_~ a!_2 a2!_;).

Deoarece a2 = a* şi a= a2 *, rezultă:

(42.35)

unde s-au notat cu [~ , J~ şi J.t v alorile complexe conjugate ale componentelor

simetrice [ 1,, l d, li ale curenţilor [ 1, [ 2, !a.

Notînd cu <?h• o/d• <?i defazajele dintre componentele simetrice de acelaşi
nume ale tensiunilor şi curenţilor, se obţin expresiile :

+ +P = Re {§.} = 3 U"I" cos <p" 3 Udl d cos o/d 3 UJi cos <p j .
+ +Q = Im {~} = 3 U"I" sin <?h 3 Udl d sin <?d 3 UJi sin <?i. (42.36)

Ultimele relaţii arată că puterea activă, respectiv reactivă, a unui circuit
trifazat este egală cu suma puterilor active, respectiv reactive, corespunzătoare
sistemelor componente simetrice de acelaşi nume ale curenţilor şi tensiunilor.

CUADRIPOLI

43.JI CUADRIPOLI ELECTRICI

43.1. Cuadripoli generali

Un multipol electric (v. par. 38.2) cu patru borne de acces se numeşte
cuadripol general sau tetrapol. Prin urmare, un cuadripol general este o reţea

electrică cu patru borne de acces, ale cărei laturi interioare nu prezintă cuplaje
inductive (inductivităţi mutuale) cu exteriorul (fig. 43.1). Un cuadripol general
e o reţea neizolată, care constituie o parte a unei reţele mai mari, eventual izo-
lată. Curenţii şi tensiunile din reţeaua exterioară sînt complet determinaţi de
structura ei şi de potenţialele şi curenţii bornelor de acces ale cuadripolului.
Interacţiunea cuadripolului cu exteriorul e deci complet caracterizată de cele
patru potenţiale ale bornelor şi de cei patru curenţi primiţi din exterior. Ale-
gerea originii potenţialelor fiind arbitrară, se poate alege egal cu zero potenţialul
unei borne; suma curenţilor care intră
într-o suprafaţă închisă fiind nulă [teo-
rema continuitătii curentului electric de
conducţie- (3l.IO) -valabilă în regim
cuasistaţionar], unul dintre cei patru
curenţi se poate exprima în funcţie de
ceilalti trei. Există deci numai sase va-
riabil~ (trei potenţiale şi trei ~urenţi)
necesare şi suficiente pentru caracteri-
zarea funcţionării unui cuadripol gene-

ral în reţeaua din care face parte.

În regimul permanent sinusoidal,

studiat cu reprezentarea în complex, "~
se pot alege drept variabile caracteris-
.14= -:!_,-12-:!.J
J Jtice curenţii 1, 2, la a trei dintre borne
Fig. 43.1.
şi tensiunile U1, U2, Ua dintre aceste
borne şi borna a patra. Dacă se aplică

anumite tensiuni la borne, curenţii sînt determinaţi şi se pot calcula, ţinînd

seama de structura interioară a cuadripolului. Se obţin astfel trei relaţii :

Il= fl(Ul, u2, Ua); 12 = f2 (Ul, u2, 1ls); Ia= fa (Ql, u2. Us), (43.1}

236 CUADRlPOLl

numite ecuaţiile caractensttce ale cuadripolului, care sînt necesare şi suficiente
pentru studiul reţelei din care el face parte. Dacă se cunosc aceste ecuaţii, struc-
tura de detaliu a cuadripolului nu prezintă importanţă. Un receptor trifazat
<:u fir neutru e un exemplu de cvadripol general.

Multipolii- şi, în particular, cuadripolii generali- se pot clasifica din
mai multe puncte de vedere. Multipolii pot fi liniari, parametrici sau neliniari,
după cum parametrii elementelor de circuit ale schemelor echivalente sînt in-
variabili, sînt funcţiuni date de timp, sau depind de valorile curenţilor şi ten-
siunilor; la multipolii liniari se aplică teorema superpoziţiei şi ecuaţiile carac-
teristice sînt ecuaţii liniare. Multipolii pot fi activi sau pasivi, după cum conţin
sau nu surse de energie electromagnetică; la multipolii lini~ui şi pasivi, curenţii
de regim permanent se anulează o dată cu tensiunile aplicate şi ecuaţiile carac-
teristice sînt liniare şi omogene. Multipolii pot fi disipativi sau nedisipativi,
după cum conţin sau nu elemente de circuit, care sînt sediul unei transformări
ireversibile de energie în căldură (de ex. prin efect Joule-Lenz); multipolii disi-
pativi au schemele echivalente, cu rezistenţe nenule în laturi. Multipolii pot
fi reciproci sau nereciproci, după cum admit sau nu proprietatea de recipro-
citate : curentul !_;-care intră prin borna i cînd toate bornele sînt legate con-

ductiv între ele, afară de borna j la care se aplică tensiunea uj = Q faţă de

celelalte - este egal cu curentul [j - care intră prin borna j cînd toate bornele
sînt legate conductiv între ele, afară de borna i la care se aplică tensiunea U; =
U faţă de celelalte. În paragraful 38.3.5. am demonstrat această proprietate

(teorema reciprocităţii) pentru reţele electrice liniar e, constituite din elemente
de circuit dipolare : generatoare, bobine, rezistoare, condensatoare, Pentru reţele
care conţin elemente de circuit mztltipolare (de ex. maşini electrice trifazate),
proprietatea de reciprocitate poate să nu fie verificată, chiar dacă reţeaua este
liniară. În cazul multipolilor neliniari, t eorema reciprocităţii nu are loc decît
.accidental, chiar dacă toate elementele de circuit sînt dipolare.

Se numeşte poartă a unui multipol o grupare de borne de acces pentru
care suma algebrică a curenţilor e nulă oricare ar fi potenţialele bornelor.multi-
polului. O astfel de situaţie poate fi impusă numai de structura topologică a
multipolului sau a reţelei exterioare la care e conectat, ca o consecinţă a teoremei·
<:ontinuităţii curentului electric de conducţie (respectiv a primei teoreme a lui
Kirchhoff). Fiecărei porţi i se poate asocia în mod unic o anumită putere instan-

tanee, definită de suma produselor dintre potenţialele şi curenţii bornelor respec-
tive (v. rei. 37.1). Deoarece suma curenţilor e nulă, schimbarea originii poten-
ţialelor nu afectează această putere. Din acl!st motiv se consideră că transmi-
siunea puterii se face pe la bornele porţii- deşi în realitate e localizată în cîmpul
electromagnetic ca flux al vectorului Poynting. O poartă concretizează, deci,
una dintre căile de transfer a energiei electromagnetice între exteriorul şi inte-
riorul multipolului. În numeroase aplicaţii interesează porţile cu două borne,

avînd curenţi egali şi opuşi, care pot fi porţi de intrare sau porţi de ieşire.

Se numeşte poartă de intrare o poartă cu două borne (de ex. l, l' în
fi g. 43.2), la care tensiunea aplicată U 1 şi curentul [ 1 sînt asociaţi după regula
de la receptoare. La o poartă de intrare, puterea complexă S1 calculată cu aceste
mărimi e o putere primită :

CUADRIPOLI ELECTRICI 237

+.§.1 = !ld_~ = V1:G- .t'1·D = Vl.l_t(exJ• V1' Il~"'• (43.2)

..,(curenţii primiţi din exterior fiind nex) = !_1 şi I1~ = - !_1).

Se numeşte poartă de ieşire o poartă cu două borne (de ex. 2, 2' în fig. 43.2)

la care tensiunea aplicată TT2 şi curentul!.~ sînt asociaţi după regula de la genera-
toare. La o poartă de ieşire , puterea complexă S2 calculată cu aceste mărimi

e o putere cedată,

1 §_2 = U2I; = ~2!.;- J!2.[;. =,

+= - (~2!.~'* Ys·H~*) (43 .3}

~u,s =u 1$ Multipol (curenţii primiţi din exterior fiind
I_2(ex) -- - 1_2 S' l. _J 2('u) -- 1_ 2) •
-1 -7-1
/

.lz .l.z 2'

~2' Fig. 43.3.

~.Jz=Y2l;

Fig. 43.2.

43.2 Cuadripoli diporţi

Se numeşte cuadripol diport, sau numai wadripol, un cuadripol general
ale cărui borne sînt grupate în două porţi. Prin urmare, în acest sens, un cuadri-
pol e o reţea neizolată, fără cuplaje inductive cu exteriorul, cu patru borne
de acces grupate în două perechi de borne (sau porţi), avînd fiecare curenţii
egali şi opuşi (fig. 43.3).

În cele ce urmează ne vom ocupa numai de cuadripolii diporţi, deoarece
aceştia sînt elementele fundamentale ale lanţurilor de transmisiune a energiei
electromagnetice sau a semnalelor electromagnetice. Ţinînd seama de această
utilizare, una din porţi e poarta de intrare (1, 1' în fig. 43.3) - cu con-venţia
d e asociere a sensurilor de la receptoare - iar cealaltă e poarta de ieşire (2, 2'
în fig. 43.3) - cu convenţia de asociere a sensurilor de la generatoare.

Interacţiunea unui astfel de cuadripol cu exteriorul e complet caracteri-
zată de numai patru variabile :

ul - tensiunea de la intrare (tensiunea primară),

u2-!_1 - curentul de la intrare (curentul primar),
tensiunea de la ieşire (tensiunea secundară),

l 2 - curentul de la ieşire (curentul secundar).

În aplicaţii este foarte important să se verifice dacă cuadripolul e efectiv
diport, adică dacă cei doi curenţi de la bornele de intrare (sau de la cele de
ieşire) sînt egali şi de sens opus. Această condiţie e sigur realizată, oricare ar fi

238 CUADRIPOLI

structura internă a cuadripolului, dacă reţeaua conectată la intrare şi reţeaua

conectată la ieşire sînt izolate una de alta (fără legături conductoare- fig. 43.4).
În adevăr, în acest caz există o suprafaţă închisă L, care conţine una din aceste

reţele şi e dusă numai prin dielectric, cu excepţia a două puncte, unde e înţepată

/--, de cele două conductoare ale bor-
nelor uneia dintre porţi. Conform
-11 ' \ \ -
1 \ teoremei continuitătii, suma cu-
12 2 renţilor care ies din ~ceastă supra-
1 1 \1, fată e nulă si deci cei doi curenti
1 1!2) ai'unei porţi sînt egali şi opuşi.
Dacă reteaua conectată la intrare
1 -12 2' şi reţea{..a conectată la ieşire nu
sînt izolate una de alta (au cel
1 21) i ....__ puţin o legătură conductoare între

1 ele), numai prin analiza structurii

1 lor sau a cuadripolului se poate
stabili dacă cei doi curenti ai unei
_ 1-11 1' '! porţi sînt în mod necesa~ (adică,

1 1 ....... 1

\' ....... __ ...,. A..1_X

Fig. 43.4.

exclusiv ca urmare a primei teo-

reme a lui Kirchhoff) egali şi opuşi. Această condiţie e sigur satisfăcută, de

exemplu, ori de cîte ori cuadripolul conţine un transformator, care asigură

separarea conductivă a porţii de intrare de poarta de ieşire.

4·3.3: Ecuaţiile şi parametrii cuadripoillor liniari, pasivi şi reciproci

!fDintre cele patru variabile [ 1, [ 2, 1 şi U 2 care caracterizează interacţiunea

cuadripolului cu exteriorul, numai două sînt independente din punctul de vedere

al structurii interioare a cuadripolului. Dacă, de exemplu, se aplică la borne

tensiuni !1_1 şi Jl2 cunoscute, teoremele lui Kirchhoff permit determinarea unică

a curenţilor !_1 şi !_2• Există deci între aceste patru variabile, două relaţiide forma :

F1(!1, !2• !!1• !12) = O F2(!1• !2• !!1• !!.2) = O, (43.4)

numite ecuaţiile cuadripolului sub formă implicită, a căror cunoaştere e sufici-
entă pentru studiul comportării cuadripolului în reţeaua mai mare din care

face parte.
Cuadripolul fiind prin ipoteză liniar şi pasiv, aceste ecuaţii sînt neapărat

liniare şi omogene. Dacă ecuaţiile nu ar fi liniare, nu s-ar verifica teorema super-
poziţiei caracteristică reţelelor liniare. Dacă nu ar fi omogene, curenţii nu s-ar

anula pentru U1 = O, !1_2 = O, ceea ce ar implica existenţa unor surse interioare,

care nu există în cuadripolii pasivi.
Coeficienţii ecuaţiilor liniare şi omogene ale cuadripolilor reciproci mai

trebuie să satisfacă teorema reciprocităţii (par. 38.3.5) aplicată reţelei izolate,
obţinută scurtcircuitînd bornele fiecăreia dintre cele două porţi. Curentul secun-
dar [; produs de o sursă ideală de t.e.m. E conectată între bornele primare

!cu sensul lui 1 (astfel că Q~ = E), bornele secundare fiind scurtcircuitate

CUADRIPOLI ELECTRICI 239

(![~ = O, v. fig. 43.5, a), trebuie să fie egal cu curentul primar !~' produs

d e aceeasi sursă ideală de t.e.m. E, conectată între bornele secundare cu sensul
!_2 (astfeÎ că Q; = - g, v . fig. 43.5, b), bornele primare fiind scurtcircuitate
UZ~'= O),
2
!_; = (!.2hh=!2 = (Jl)r!l=o = !~. (43.5)
!!2- o !!2~-l!! .f' )y:~t
-u2'=o) -!2'
Relaţia dintre coeficienţi impusă de cD.f_

această egalitate (valabilă pentru orice 1' 2'
a.
valoare a tensiunii Ji) se numeşte con-

diţia de reciprocitate. 12

Ecuaţiile cuadripolilor (43.4) au !'2'
t.
diferite forme explicite, obţinute alegînd r;=o D--u;!\EG

cîte o anumită pereche de variabile ca
!1.2
!variabile independente: şi !_2, ![1 1' 2'
etc.
şi !_1, 1 şi [ 2, "Q1 şi ![2 În aceste b.

forme explicite, celelalte două variabile

sînt exprimate ca funcţii liniare şi omo- Fig .43.5.

gene de cele două variabile independente,

cei patru coeficienţi complecşi ai acestor funcţii numindu-se parametrii cuadri-

polului sau constantele cuadripolului. Condiţia de reciprocitate (43.5) impune

o relaţie între aceşti patru parametri: Un cuadripol diport, liniar, pasiv şi

reciproc e caracterizat prin numai trei parametri complecşi independenţi (sau

prin şase parametri reali). Toţi cuadripolii care au aceiaşi parametri sînt echi-

valenţi între ei şi pot fi substituiţi unul altuia, fără ca această substituţie să

afecteze starea reţelei mai mari din care fac parte.

Caracterul pasiv al cuadripolului (asociat valorilor pozitive sau nule ale

rezistenţelor laturilor lui) mai impune satisfacerea condiţiei ca puterea activă

totală primită de cuadripol să nu fie negativă, oricare ar fi valorile variabilelor

independente :

(43.6)

egalitatea corespunzînd cuadripolilor nedisipativi.
Cei trei parametri complecşi independenţi nu pot avea deci valori arbi-

trare, ci numai valorile compatibile cu condiţia de pasivitate (43.6).

43.3.1. Forma fundamentală a ecuaţiilor cuadripolului şi parametrii
fundamentali. D eoarece funcţiunea cea mai importantă a cuadripolilor e aceea de
element al unui lanţ de transmisiune a energiei electromagnetice sau a semnalelor
electromagnetice, forma fundamentală a e cuaţiilor cuadripolilor e aceea în care

mărimile de intrare !1_1, !_1 sînt exprimate în funcţiune de mărimile de ieşire
Q2, [ 2 prin relaţii liniare şi omogene de forma :

Jll = 4 !!2+ !i!z (43.7)

II1 = ~rr 2 + l2l2

Coeficienţii A_, B, Q, !2_ ai acestor relaţii se numesc parametrii fundamentali

4ai cuadripolului. şi !2_ sînt coeficienţi adimensionali, B e o impedanţă, iar

240- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -CU-A-D-R-I-PO-L-I- - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- -

C o admitanţă. Parametrii fundamentali au următoarele interpretări experi-
~entale:

A= (Ur) = raportul de transformare al tensiunilor la mersul în gol

- IZ2 ~2=o = valoarea inversă a admitanţei de transfer de scurt.:

B= l

circuit (43.8)

= valoarea inversă a impedanţei de transfer la mers în
gol

= raportul de transformare al curenţilor la mersul în

scurtcircuit.

Cu ajutorul ecuaţiilor (43.7), condiţia (43 .5) impune egalitatea:

şi cum E e arbitrar, rezultă condiţia de reciprocitate :

~ = 1 4Q - lH~ = 1 1 , (43 .9)

exprimată cu parametrii fundamentali. Se observă că 11 e chiar determinantul
sistemului (43.7) şi conform cu (43.9) acest determinant nu poate fi nul. Ecua-

ţiile (43.7) au deci o soluţie unică, dacă sînt explicitate în raport cu Jl.2 şi !_2.

Folosind regula lui Cramer, se obţine o altă formă fundamentală a ecuaţiilor

cuadripolilor, în care mărimile de ieşire Jl.2, [2 sînt exprimate în funcţie de cele

de intrare Q1, [ 1 :

u2 = l2!l1- l1!1 (43.10)

!2 = - 5;1]_1 + :i!1·

43.3.2. Parametrii imtledanţă. Dacă ecuaţiile fundamentale (43.7) se pot

gexplicita în raport cu tensiunile Q1, Jl.2 (adică dacă =/= 0), se obţine o altă

furmă a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi :

1]_1 = Z.n!1 + ~12!2 (43.11)
Jl.2 = ~21!.1 + z.22!.2

CUADRIPOLI ELECTRICI 241

în care coeficienţii sînt parametrii impedanţă ai cuadripolului

= d = impedanta de intrare la mers în gol
~'

(43.12)

1 = impedanţa de transfer la mers în gol

~

Ils)Z 22=(-~1 ~0 = - -!2 .

- la !;;_

Ţinînd seama de aceste expresii, condiţia de reciprocitate exprimată cu parametrii impedanţă
se scrie:

(43.13)

Determinantul sistemului (43.11) este: (43.14)

~z = gug22 - g12r21 = gu?22 + ~&

Cu ajutorul parametrilor impedanţă, condiţia de pasivitate (43.6) se scrie:

Această condiţie poate fi sati,făcută pentru orice valori efective [ 1, [ 2 şi pentru orice dcfa-
zaj al curenţilor, dacă

Re { Zu} )' O; Re { g22 } ?. O; { Re { Zu- 2'22 } )' 1 Re { ~12 } 1 )' O. (43.15)

43.3.3. Parametrii admitanţă. Dacă ecuaţiile fundamentale (43.7) se pot

explicita în raport cu curenţii ]_1, !_2 (adică dacă B =f= 0), se obţine o altă formă

a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi :

l1 = XuU1 + 2:'121!2 (43.16 )
lz = :r21Ql + x22~2

în care coeficienţii sînt param etrii admitanţă ai cuadripolului :

!2 = admitanta de intrare de scurt circuit

!}. '

-:i Q - ll{;

R

= ~ = admitanta de transfer de scurtcircuit (43.17 )

!1 '

(lz)!12 ~[I~ o = A

R

. ....16- 1668

7

242 CUADRIPOLI

Ţinînd seama de aceste expresii, candifia de reciprocitate (43.9) exprimată cu parametrii admi•
tanţă se scrie :

(43.18)

Determinantul sistemului (43.16) este:

+Qy = XuY22- XtaXat = :Xu:Xn La· (43.19)

Cu ajutorul parametrilor admitanţă, condiţia de pasivitate (43.6) conduce la relaţiile:

< 21 (43.20)

Re{Y11 } ~O; Re {Xaa} O ; Re {Yu- Xaa} ~ 1Re{ La} 1 ~ O·

43.3.4. Relaţii între diferitele categorii de parametri. Dacă determinantul
D.2 =f=O, parametrii admitanţă se pot exprima în funcţie de parametrii impedanţă
prin relaţiile :

Yu = -~~:z·• -Y12 = - -~c?'tt·• -y 21 = - Z-~u ·. -y 22 = -~~u • (43.21)

-

iar dacă determinantul ~; 4= O, parametrii impedanţă se pot exprima în funcţie

de parametrii admitanţă prin relaţiile :

~u=I­aa. zl2 .= - I-~1ya'. z_ I21. ·z = I-~u1 • (43.22)
21 - - 22
Qy' - - -~y, -

Se observă imediat că

~% • ~y = l. (43.23)

Dacă se dau parametrii admitanţă, respectiv impedanţă, şi dacă

.[21 =/= O, respectiv ~21 =/= O, se pot calcula parametrii fundamentali:

B =-1 = - -Jlz,, D = Xu = _ ~aa
Xat Zu
X"at ~u

(43.24)

Se numeşte cuadripol degenerat un cuadripol pentru care unul din determinanţii t._ 2 ,
respectiv !':_y, este nul. Pentru cuadripolii degeneraţi au sens numai unii dintre parametrii

definiţi mai sus pentru un cuadripol oarecare, ceilalţi parametri fiind infiniţi sau nedeterminaţi

(v. şi par. 43.4.1.).

43.3.5. CuadriJIOli simetriei. Un cuadripol poate fi alimentat pe la bornele secundare,

care constituie, în acest caz, bornele de intrare şi poate debita pe la bornele primare, care con·

stituie, în acest caz, bornele de ieşire. Aceasta e

1' alimentarea inversă a cuadripolului (fig. 43.6),
1 care corespunde, în ecuaţii, schimbării scnsului

de referinţă al curentului

\01' ffu2' Ui=U1; ll2=!la; li=-1~= 2=-!2• (43.25)
Ecuaţiile cu a dripolului la alimentare inversă
se obţin cu ( 43.25) din (43.10):

1~,----i_______________Jr--~2' !l~ = QI!J. + !ll~ (43.26)

Fig. 43.6. l2 = Q ! i + -i!i .

CUADRIPOLI ELECTRICI 243

Se numeşte cuadripol simetric un cuadripol la care intervertirea porţilor de intrare şi
de ieşire nu afectează exteriorul. Pentru aceasta e necesar şi suficient ca prin suhstituţia 1?2,

ecuaţiile la alimentarea inversă să coincidă cu ecuaţiile obişnuite (43.7). Condiţia de sime-
trie necesară şi suficientă rezultă a fi

(43.27)

Cu ajutorul 'parametrilor impedanţa, respectiv admitanţă, condiţia de simetrie se scrie

(v. 43.24):

~22 = - ~w respectiv X:22 = - X:u· (43.27')

Un cuadripol simetric reciproc are numai doi parametri independenţi, iar condiţia de
reciprocitate pentru cuadripoli simetriei se scrie :

(43.28)

43A. Determinarea parametrilor cuadripolilor

Principalul obiectiv al studiului unui cuadripol consistă în determinarea
parametrilor, care sînt suficienţi şi necesari pentru caracterizarea funcţionării
cuadripolului în reţeaua mai mare din care face parte. Această determinare

se face analitic sau experimental. În paragraful 44.3 vom prezenta metode

matriceale pentru determinarea parame- ~ = 1/.1
trilor unui cuadripol de structură mai
complicată, care poate fi prezentat ca Yr = 1/~,
o asociaţie de cuadripoli mai simpli, r2 = 7I.X.2

cu parametri cunoscuţi.

43 .4.1. Determinarea analitică~ Dacă

se cunoaşte structura interioară a cu- a.
adripolului, ecuaţiile fundamentale (sau

altele) se pot obţine cu ajutorul teo-

remelor lui Kirchhoff, eliminînd suc- .r =1/"Z.

cesiv curenţii laturilor interioare şi .Z r= 1/11
~2= 1/.Iz
presupunînd date tensiunile If1 şi Jl2•

Parametrii cuadripolului rezultă atunci

prin identificar<'. Se pot folosi şi direct b.
relaţiile (43 .8), (43.12), (43.17), studiind

regimuri particulare de mers în gol şi

scurtcircuit.

ScriinAdpleiccuaafţiiiil: e1.luCiuaKdriripcohlhuolfîfn T (fcige.le43.d7o,au)ă. JlJ)
pe
t' o--<Jr;..."e-i._J--~-<>
ochiuri, se obţin relaţiile: z~t

+!11 = ~Il1 (~(!1 -12) = (~1 g_)J1- g[a c.
{ !la= --~2I2 +g_Cl1-J,) = gr1-(g_, + ~)b,
Fig. 43.7.

244 CUADRIPOLI

în care apar direct parametrii impedanţă

?u = ~1 + ~. .?12 = - ~. ~21 = ~. ?22 = +-(~z ~). (43.29)

Cu relaţia (43.24), parametrii fundamentali sînt (cu X: = 1 /Z):

A = 1 + bX. B = ~1 + ~~ + YZ1?2, +~ = X. !!_ = 1 ~zi, (43.30)

iar cu relaţia (43.21) se pot obţine parametrii admitanţă.
2. Cuadripol în IT (fig. 43.7, b). Scriind ecuaţia a doua a lui Kirchhoff pe ochiul central,

rezultă:

şi

l1 = X:t.!I 1+ l = (Y1 + D Jl1 - X:!la
{ la = !_- Xa!la = Y..!l1- (Ia + X> + Ila·

Acestea sînt ecuaţiile în care apar parametrii admitanţă : (43.31)

X:u = 2:':1 + X:. 2:':12 =- I:. Y21 = X:. X:22 =-( Ya + I:).

Cu relaţia (43.24), parametrii fundamentali sînt (cu ~ = 1 /X:) : (43 . 32)

A = 1 + Y2~• Il.=~. ~ = K1 + Y2 + J:Y1X:2• !2. = +1 !::1~•

iar cu relaţia (43.22) se pot obţine parametrii impedanţă .

3. Cuadripolul în punte (fig. 43. 7, c). La structuri mai complicate e preferabil să stu-

diem direct regimuri particulare de gol (!a = O_ sau [ 1 = O) şi scurtcircuit Ul a = O sau !l1 =

= 0), folosind relaţiile (43.8), (43.12), (4·3.17). In cazul cuadripolului în punte, dacă secunda-
rul e în gol (l2 = 0), rezultă :

şi Z1 + ~a + ~3 + Z4 ('!3.33 )

Se obţine: ?a~a - ~1?4

+ +(~1 ~3 ) <~2 Z 4) .

K2?;-3- z1z4

Dacă secundarul e în scurtcircuit (Q 2 = 0), rezultă :

~~

Se obţi ne

CUADRIPOLI ELECTRICI 245

Ca verificare, se poate utiliza condiţia de reciprocitate (43.9). Ceilalţi parametri rezultă cu re-
laţiile (43.12) şi (43.17).

4. Transformatorul liniar (fără miez de fier). Considerăm transformatorul studiat în pa-

ragraful 36.3.2. şi care constituie un cuadripol cu ecuaţiile (36.24), care se pot scrie:

+!11 = ~R1 j w1_1)l1 -.j wL12I2
+{ flz = J wiztl1- (R2 J w1_2) l2·

S e constată imediat că acestea sînt ecuaţiile care conţin parametrii impedanţă :

+ +~n =R1 j wi-_1, ~12 = - j wi-.12• ~21 = j wL2u ~22 = - (Ra j wLa)· (43.34)

Cu relaţia (43.24) rezultă parametrii fundamentali:

+ + + + +A = R1 jwL1 . B = w 2L~2 (R1 jwL1) (R2 jwL2). C = _1_. D = R2 jwL1 • ( 43 _35)
- jwL21 ' - jwL21 ' - jwL21 ' - jwL21

5. Cuadripoli degeneraţi. În figura 43.8 sînt indicate cîteva tipuri de cuadripoli dege-
neraţi, împreună cu parametrii corespunzători (care au sens). Parametrii au fost deduşi din ecua·

'~ll1 12 X:u =X:; X:a=-X:; .I"st=X:; X:u=--X:

Z;t/_! )2 4 = 1; !1 = z; ~=o; 12 = 1

Y1 Yz

J'o il! ot o2'

a

~u = ~; Z:12 = - Z:; Z21 = ?; Z2a = - Z:

4_=1; B_=O; ~=X:; !2=1

b. X:n = X:1; X:11 =O; Xs1 =O; 2:'22 = - Ya

~1u'~)-''1- :;~~ c. { Zit=Z:t; Zn=O; Z'21=0; ~~~=-Ya

!' 1

c

+=A= -1; ~ -(~1 ~2); ~=O; !2= -1

d. X:n = 1 Y12 = -z:1-+1-z-:.

z1 + z:. Yu=-Z1-+-1 -z2-
1
.r21 = -----
Zt + ~2

246 CUADRIPOLI

ţiile de mai jos, scrise pentru schemele a, b, c, d, în ipoteza că cei doi curenţi ai fiecărei pe -
rechi de borne sînt egali şi opuşi (cuadripoli diporţi).

+a) Jl1 = Il.t Z/2 ; 11 = 12 (ecuaţiile fundamentale)
b) ll1 = Jl2 ; L. = YU2 + ! 2 (ecuaţiile fundamentale)

(43.36)

(ecuaţiile cu parametrii impedanţă)

(ecuaţiile fundamentale)

În cazurile a şi d nu au sens (sînt infiniţi} parametrii impedanţă, deoarece {;_ = O şi ~Y = O;

în cazul b nu au sens (sînt infiniţi) parametrii admitanţă, deoarece !1 = O şi ~ z = O; în cazul
c nu au sens parametrii fundamentali, deoarece 1:::12 = O şi ~12 = O, iar cuadripolul nu poa te

realiza nici un transfer de energie între primar şi secundar.

43.4.2. Determinarea experimentală. Fără a cunoaşte structura internă

a cuadripolului, valorile numerice ale parametrilor săi (la o frecvenţă dată)

se pot determina experimental. De obicei se fac următoarele încercări:

- o încercare de mers în gol (!_2 = 0), cu alimentare directă (pe la bornele

primare); rîcnuigt o(lUC2 G=

- o încercare de s curtci 0), cu alimentare directă; inversă
- o încercare de mers
=- [ 1 = 0), cu alimentare

(pe la bornele secundare);
- o încercare de scurtcircuit (Jl~ = Jl1 = 0), cu alimentare inversă.

Sînt suficiente trei din aceste patru încercări, în care se măsoară trei dintre

următoarele impedanţe complexe :

Impedanţa primară de mers în gol (v. şi 43.12)

z-Zl o =
( -lllrr) ~2 = =A- = _n· (43.37)

O (;

lmpedanţa primară de scurtcircuit (v. şi 43.17)

(43.38)

Impedanţa sewndară de mers în gol (v. 43.26 şi 43.12)

(Q;)Z~o-- -I' l'=O = !-C2 = - Z (43.39)
- 22'
_2 _l -

Impedanţa secundară de scurtcircuit (v. 43.26 şi 43.17)

~2" = (/Ul') u' =o=~B= - Y1 · (43.40)

-- 1 - - 22

Măsurările se fac cu puntea de impedanţe (puntea Wheatstone de curent alter-
nativ); sau cu voltmetrul şi ampermetrul (pentru măsurarea valorilor efective
şi deci a modulelor acestor impedanţe) şi cu wattmetrul (pentru măsurarea
argumentului acestor impedanţe, prin intermediul factorului de putere

cos cp = PJUI).

CUADRIPOLI ELECTRICI 247

Din (43.38 ...43.40) rezultă că cele patru imp edanţe sînt legate prin relaţia
(43.40')

din care cauză numai trei valori independente. Parametrii fundamentali se

determină din relaţiile de mai sus şi din condiţia de reciprocitate -{!Q- !}.Q. = l.

Se obţin expresiile : lA- f;~lo

C=± 1 =+ 1 _, (43.41)

- v~2o(~lo -~l sc) vzlo(Z:o-Z2,)

= =D--"- C--Z2o·' -B -C-Z2oZ-lsc = _C_Zlo -Z2sc I

Cele două semne de mai sus arată că există doi cuadripoli - cu parametrii fundamentali dife·
riţi prin semn- care au aceleaşi impedanţe de gol şi scurtcircuit. Această ambiguitate pro·
vine din faptul că, la măsurarea impedantelor complexe, bornele de intrare respective pot fi
intervertite, fără ca rezultatul măsurării să fie afectat. Ambiguitatea se poate înlătura, dacă
se măsoară şi defazajul tensiunilor la mersul în gol, adică

(43.42)

după marcarea prealabilă a bornelor cu 1, 1' şi 2, 2'.
Observaţie: La cuadripoli simetriei, d = Q, g10 = ?'20,
~lsc = ~2sc şi relaţiile (43.41)
capătă forma: -R=A-·Z-Isc • (43.43)

V VA = D = ±

--
~1,~l-o~l sc - ± 1- X110~1 sc .'
-

Pentru exemplificare, a se vedea paragraful 43.6.3, aplicaţia 2.

43.5. lmpedanţe caracteristice

Un cuadripol alimentat direct (pe la bornele primare), care funcţionează în
sarcină cu o impedanţă ~2 = Jl2 /l_2, conectată la bornele secundare (v. fig. 43.9, a),
prezintă la bornele de alimentare 1
o impedanţă echivalentă complexă -2 2

(v. rel. 43.7) : 1~ ! . ~. f.P y) ~2

= +". Il! ~ 2
=~.1 =

+l1
.A TJ2 BI2 Z'
CU2 Dl2

E2+B (43.44) a

! J',

numită impedanţă de intrare primară l. (!!', ~.~ . {; . () ~e2
şi dependentă de impedanţa de sar-
cină ~2• ,. <?

Un cuadripol alimentat invers

(pe la bornele secundare), care func- b
ţionează în sarcină cu o impe· Fig. 43.9

2-13 CUAD RIP OL!

dantă ~1 = rJ~ /J.~, conectată la e borne le primare (v. fig. 43.9, b), prezintă
la bornele de alimentare o imp danţă e chivalentă complexă (v. r ei.
43.26) :

- -!l-a - mH + .§lf (43.45)
lz ~Jl..' + 4H

numită impedanţă de intrare secundară şi dependentă de impedanţa de sarcină

~1• În general, ~e1 ==/= ~2 şi ~e2 =1= ~1·
43.5.1. lmpedanţe caracteristice (iterative). Se numesc impedanţe carac-

teristice iterative ale unui cuadripol o pereche de impedante Z e1 s, i -Z e2, definite
J
-

cum unncază :

1Impedanţa caracteristică directă ~e e imp edanţa de sarcină, care trebuie

c onectată la bornele secundare, pentru ca impedanţa de intrare primară să fie

e gală cu ea (fig. 43.10, a) :

z --Z 2 = _ el z z .-"1 = _ el (43.46)

Înlocuind aceste valori în relaţia (43.44) şi rezolvînd ecuaţia obţinută în raport

cu z el' se obţine cu relaţia (43.9)·

z + += ± V2<iA2 (4·3.4 7)

_ el
A- D Q)2 4

şi în funcţie de impedanţele de gol şi scurtcircuit, cu relaţiile (43.41), (43.48)

i~e1 = [~lo - ~20 ± V(~lo - ~2~)2 + 4~20~1,J

a . b.

Fig. 43.10

Impedanţa 2caracteristică inversă ~e e impedanţa de sarcină, care trebuie

conectată la bornele primare, pentru ca impedanţa de intrare secundară să
fie egală cu ea (fig. 43.10, b),

~1 = ~e2 - - ~•2 = ~e2· (43.49)

Înlocuind aceste valori în relaţia (43.45) şi rezolvînd ecuaţia obţinută în raport

cu ~c 2 , se obţine cu relaţia (43.9),

z = 12- A ± V<d + 1!)2 + 4 (43.50)
2~
- <2

şi în funcţie de impedanţele de gol şi scurtcircuit, cu relaţiile (43.41), (43.51)

~c2 = ~ [~2o - ~lo + V(~lo- ~2o)2 + 4l20~1,J

CUADRIPOLI ELECTRICI 249

În expresiile de mai sus se alege semnul care asigură valori pozitive sau nule pentru păr­
ţile reale ale impedanţelor caracteristice. Numai astfel aceste impedanţe sînt realizabile în
concret. Impedanţele caracteristice iterative prezintă importanţă în problema conservării con-
diţiilor de adaptare a sarcinei la generator, cînd între sarcină şi generator trebuie să se inter-
caleze un cuadripol cu anumite funcţiuni (de exemplu, pentru separarea componentelor de
curent continuu din circuitele generatorului şi sarcinii). Pentru ca intercalarea unui cuadripol
să nu modifice condiţiile de adaptare dintre sarcină şi generator, e necesar ca impedanţa lui
caracteristică directă să fie egală cu impedanţa de sarcină (în care caz impedanţa lui de in-
trare va fi de asemenea egală cu impedanţa de sarcină, iar generatorul va funcţiona în exact
aceleaşi condiţii ca în prezenţa sarcinei conectată direct), iar impedanţa caracteristică inversă

+să fie egală cu impedanţa interioară a generatorului (în care caz impedanţa interioară a gene-

ratorului de tensiune echivalent ansamblului generator cuadripol va fi de asemenea egală
cu impedanţa interioară a generatorului dat, iar sarcina va fi alimentată în aceleaşi condiţii
de adaptare ca în prezenţa generatorului conectat direct).

Aplicaţie: Considerăm cuadripolul din figura 43.11, la care wL = R. lmpedanţele de
gol şi scurtcircuit sînt :

+ +?10 = j wJ, R = R (l j); ~20 = ~

~lsc = j wL = jR; + r~K2,c = j wLR J(R j wL) = (1 + j),

iar impedanţele caracteristice rezultă : ~ R(0,556 + j 1,4)

+ [t V t]~el V= (j wL ± 4j wLR - w2V) = R
+ j-

+ t t]~c2 = (-jwl: ± V4jwLR- w2l?) = B [- + vj- = R (0,556 + j0,4).

1 2
R
jGJL =jR

1/ 2/ a. b.

Fig. 43.11 Fig. 43.12

43.5.2. Impedanţe imagini. Se numesc impedanţe imagini ale unui cuadri-

pol o pereche de impedant, e -z1i s, i z-2i ' astfel încît prima e impedan,ta primară

de intrare, dacă a doua e impedanţa de sarcină conectată la bornele secundare,

iar a doua e impedanţa secundară de intrare, dacă prima e impedanţa de sarcină

conectată la bornele primare (fig. 43.12) :

-Z 2 = Z- '·2 ~z =Z- ·11 s,i -Z 1 =Z- ·11 ~z =Z- 1·2. (43.52)

-·1 -·2

Introducînd aceste condiţii în relaţiile (43.44) (43.45), se obţine cu relaţia
(43.9) impedanţa imagine primară:

V~il = + AB = ± V~lo~lsc· (43.53)

fQ

şi impedanţa imagine secundară :

V v -z . sa z z± ±=

- 12
=D B = -2o-2sc- (43.54)

250 CUADRIPOLI

Semnul se alege astfel ca partea reală a acestor impedanţe să nu fie negativă, asigurîndu-se
astfel posibilitatea de a le realiza în concret.Impedanţele imagini prezintă importanţă în pro-
blema reali:,ării condiţiei de adaptare a sarcinii la generator din punctul de vedere al egalităţii
impedanţei de sarcină cu impedanţa interioară a generatorului, prin intercalarea unui cuadripol
între generator şi sarcină. Pentru aceasta e suficient ca impedanţa imagine primară să fie egală
cu impedanţa interioară a generatorului, iar impedanţa imagine secundară să fie egală cu impe-
danţa de sarcină.

Aplicaţie: În cazul cuadripolului din figura 43.12 se obţine:

V + +g;l = ± (R j NL) j NL = R(0,453 j 1,098);

jNLR2 VR2 (1,098 .
R+j NL = J 0.453).
V +g;2 = ±

43.5.3. lmpedanţa caracteristică a unui euadripol simetric. În cazul unui cuadripol si-
metric 4 = Q, g = g20, gl sc = g 2sc
10 şi toate impedanţele caracteristice şi imagine, defi-

nite mai sus, coincid. Se obţine astfel impedanţa caracteristică gc a unui cuadripol simetric,

egală cu impedanţa de sarcină, care, fiind conectată la una dintre perechile de borne, asi-

gură o impedanţă de intrare egală cu ea la cealaltă pereche de borne. Din relaţia (43.48) re-

zultă:

(43.55)

cu
(43.55')

4.3.6. Cuadripoli echivalenţi şi scheme echivalente

În regim permanent sinusoidal de frecvenţă Jată, doi cuadripoli sînt com-
plet echivalenţi, dacă pot fi substituiţi unul altuia în reţeaua mai mare din care
fac parte, fărd ca să se modifice curenţii şi tensilfnile din aceastâ reţea. .Determi-
narea unui cuadripol echivalent cu un cuadripol dat este o operaţie de trans-
figurare (v. par. 38.2). Pentru ca doi cuadripoli să fie complet echivalenţi, e
necesar şi suficient să aibă aceleaşi ecuaţii caracteristice - adică aceiaşi para-

metri (d_, fl, ţ;;_, !2) sau C~w ~12• ~21• ~22) sau CYw x12, y21• Y2z), în cazul

cuadripolilor diporţi. Verificarea caracterului diport al cuadripolilor constituie
în acest caz o operaţie strict necesară, prealabilă analizei valorilor parametrilor 1•

Se numeşte schemă echivalentă a unui cuadripol dat reprezentarea în desen
a structurii unui cuadripol fictiv, care ar avea aceiaşi parametri, fără ca reali-
zarea în concret a acestei structuri cu elemente dipolare pasive de circuit (rezis··
toare, bobine, condensatoare) să fie neapărat posibilă. În particular, nu e
realizabilă în concret o schemă echivalentă, care conţine impedanţe cu parte
reală negativă. Dacă o schemă echivalentă este realizabilă în coneret, pe baza
ei se poate construi un cuadripol echivalent cuadripolului dat.

1 Deoarece caracterul diport al unui cuadripol poate depinde de reţeaua exterioară în
care e conectat (v. par. 43.2), echivalenţa a doi cuadripoli diporţi e relativă la această reţea
şi poate să nu mai subsiste în cazul altei reţele exterioare. Din acest punct de vedere, numai
echivalenţa cuadripolilor generali are un caracter absolut.