ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C

9E CONTENIDO O i

Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera

Dennis G. Zill

Loyola Marymount University

Versión métrica preparada por
Aly El-Iraki
Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur



NOVENA EDICIÓN

ECUACIONES
DIFERENCIALES

con problemas de valores
en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University

Versión métrica preparada por

ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University

TRADUCCIÓN

Ana Elizabeth García Hernández
Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA

Ernesto Filio López
Unidad Profesional Interdisciplinaria
en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas.

Instituto Politécnico Nacional.

Enrique Antoniano Mateos María Rosa Guadalupe Hernández
Mondragón
Universidad Anáhuac México, campus Norte
Ma. Merced Arriaga Gutiérrez  Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
Universidad de Guadalajara
David Manuel Avila Sereno de Monterrey, campus Querétaro
Lucio López Cavazos
Instituto Universitario del Estado de México
William Alfredo Cabrer Alonso Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro
Luisa Ramírez Granados
de Monterrey, campus Toluca
Ana Lilia Flores Vázquez Universidad Autónoma de Querétaro
María del Socorro Real Guerrero
Universidad Autónoma del Estado de México
Mauricio García Martínez Universidad de Guadalajara
Ruth Rodríguez Gallegos
Universidad Autónoma del Estado de México
José Alfredo Gasca González Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores

Instituto Tecnológico de León. de Monterrey, campus Monterrey
Francisco Giles Hurtado Raquel Ruíz de Eguino Mendoza

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Universidad Panamericana,

de Monterrey, campus Querétaro campus Guadalajara
Carlos Eduardo Gómez Sánchez Roberto Serna Herrera

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Universidad Iberoamericana
Balaam Valle Aguilar
de Monterrey, campus Toluca
David Gutiérrez Calzada Universidad Autónoma del Estado de México
Enrique Zamora Gallardo
Universidad Autónoma del Estado de México
Aurora Diana Guzmán Coria Universidad Anáhuac México, campus Norte
Riquet Zequeira Fernández
Universidad Autónoma del Estado de México
Universidad Autónoma del Estado de México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales © D.R. 2018 por Cengage Learning
con problemas de valores en la frontera Editores, S.A. de C.V., una compañía
Novena edición de Cengage Learning, Inc.
Dennis G. Zill Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301
Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Col. El Yaqui, C.P. 05320
Cuajimalpa, Ciudad de México
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Latinoamérica: usada bajo permiso.
Renzo Casapía Valencia
DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de
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transmitida, almacenada o utilizada en
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Pablo Miguel Guerrero Rosas gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,
pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,
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Rafael Pérez González grabación en audio, distribución en Internet,
distribución en redes de información o
Diseño de portada: almacenamiento y recopilación en sistemas
Edgar Maldonado Hernández de información a excepción de lo permitido

Imagen de portada: en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
NASA/ESA del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial. REG 423
Composición tipográfica:
Karen Medina Traducido del libro: Differential Equations with
Boundary-Value Problems
Ninth Edition, Metric Edition,
Dennis G. Zill

Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018
ISBN: 978-1-111-82706-9

Datos para catalogación bibliográfica:
Zill, Dennis G.

Ecuaciones diferenciales con problemas
de valores en la frontera, novena edición
ISBN: 978-607-526-647-3

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http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México
1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

CONTENIDO O v

Contenido

Kevin George/Shutterstock.com Prefacio a esta edición métrica vii

Joggie Botma/Shutterstock.com 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2

Fotos593/Shutterstock.com 1.1 Definiciones y terminología 3
1.2 Problemas con valores iniciales 15
Bill Ingalls/NASA 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 22

REPASO DEL CAPÍTULO 1 34

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36

2.1 Curvas solución sin una solución 37
2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37
2.1.2 ED autónomas de primer orden 39

2.2 Variables separables 47
2.3 Ecuaciones lineales 55
2.4 Ecuaciones exactas 64
2.5 Soluciones por sustitución 72
2.6 Un método numérico 76

REPASO DEL CAPÍTULO 2 81

3 Modelado con ecuaciones diferenciales

de primer orden 84

3.1 Modelos lineales 85
3.2 Modelos no lineales 96
3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden 107

REPASO DEL CAPÍTULO 3 114

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118

4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119
4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la
frontera 119
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127

4.2 Reducción de orden 132
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes

constantes 135
4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142
4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152
4.6 Variación de parámetros 159
4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 166

v

vi O CONTENIDO

4.8 Funciones de Green 173 183
4.8.1 Problemas con valores iniciales 173
4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179

4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación
4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188

REPASO DEL CAPÍTULO 4 193

Brian A Jackson/Shutterstock 5 Modelado con ecuaciones diferenciales
.com
de orden superior 196

5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197
5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no
amortiguado 197
5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre
amortiguado 202
5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204
5.1.4 Circuito en serie análogo 207

5.2 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213
5.3 Modelos no lineales 222

REPASO DEL CAPÍTULO 5 232

Todd Dalton/Shutterstock.com 6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236

6.1 Repaso de series de potencias 237
6.2 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243
6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 252
6.4 Funciones especiales 262

REPASO DEL CAPÍTULO 6 276

Raimundas/Shutterstock.com 7 La transformada de Laplace 278

7.1 Definición de la transformada de Laplace 279
7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 286

7.2.1 Transformadas inversas 286
7.2.2 Transformadas de derivadas 289
7.3 Propiedades operacionales I 294
7.3.1 Traslación en el eje s 295
7.3.2 TTraslación en el eje t 298
7.4 Propiedades operacionales II 306
7.4.1 Derivadas de una transformada 306
7.4.2 Transformadas de integrales 307
7.4.3 Transformada de una función periódica 313
7.5 La función delta de Dirac 318
7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322

REPASO DEL CAPÍTULO 7 327

Pavel L Photo and Video/ 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Shutterstock.com
de primer orden 332

8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 333
8.2 Sistemas lineales homogéneos 340

8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341
8.2.2 Eigenvalores repetidos 344
8.2.3 Eigenvalores complejos 348

CONTENIDO O vii

8.3 Sistemas lineales no homogéneos 355
8.3.1 Coeficientes indeterminados 355
8.3.2 Variación de parámetros 357

8.4 Matriz exponencial 362
REPASO DEL CAPÍTULO 8 366

Paul B. Moore/Shutterstock 9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales
.com
ordinarias 368

9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 369
9.2 Métodos de Runge-Kutta 374
9.3 Métodos multipasos 378
9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381
9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden 385

REPASO DEL CAPÍTULO 9 389

10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

jspix/imagebroker/Alamy no lineales 390
Stock Photo
10.1 Sistemas autónomos 391 414
10.2 Estabilidad de sistemas lineales 397
10.3 Linealización y estabilidad local 405
10.4 Sistemas autónomos como modelos matemáticos

REPASO DEL CAPÍTULO 10 422

Science photo/Shutterstock 11 Series de Fourier 424
.com
11.1 Funciones ortogonales 425
11.2 Series de Fourier 431
11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 436
11.4 Problema de Sturm-Liouville 444
11.5 Series de Bessel y Legendre 451

11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452
11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455

REPASO DEL CAPÍTULO 11 458

Brian A Jackson/Shutterstock 12 Problemas con valores en la frontera en
.com
coordenadas rectangulares 460

12.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 461
12.2 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465
12.3 Ecuación de calor 471
12.4 Ecuación de onda 473
12.5 Ecuación de Laplace 479
12.6 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484
12.7 Desarrollos en series ortogonales 491
12.8 Problemas dimensionales de orden superior 496

REPASO DEL CAPÍTULO 12 499

viii O CONTENIDO

Aceshot1/Shutterstock.com 13 Problemas con valores en la frontera en

Lehrer/Shutterstock.com otros sistemas coordenados 502

Sdecoret/Shutterstock.com 13.1 Coordenadas polares 503
13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 508
13.3 Coordenadas esféricas 515

REPASO DEL CAPÍTULO 13 517

14 Transformadas integrales 520

14.1 Función de error 521
14.2 Transformada de Laplace 522
14.3 Integral de Fourier 530
14.4 Transformadas de Fourier 536

REPASO DEL CAPÍTULO 14 542

15 Soluciones numéricas de ecuaciones

diferenciales parciales 544

15.1 Ecuación de Laplace 545
15.2 Ecuación de calor 550
15.3 Ecuación de onda 555

REPASO DEL CAPÍTULO 15 559

Apéndices
A Funciones definidas por integrales APP-3
B Matrices APP-11
C Transformadas de Laplace APP-29

Respuestas a los problemas seleccionados con
numeracion impar RES-1

Índice I-1

Prefacio a esta edición métrica

(VWD YHUVLyQ PpWULFD LQWHUQDFLRQDO GL¿ HUH GH OD YHUVLyQ HVWDGRXQLGHQVH GH Ecuaciones
diferenciales con problemas de valores en la frontera 1RYHQD HGLFLyQ HQ OR VLJXLHQWH

/DV XQLGDGHV GH PHGLGD XWLOL]DGDV HQ OD PD\RUtD GH ORV HMHPSORV \ HMHUFLFLRV
VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV
86&6 WDPELpQ OODPDGR GH 8QLGDGHV LQJOHVDV R ,PSHULDOHV D XQLGDGHV PpWULFDV

(VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH
WUDEDMH HQ ODV DSOLFDFLRQHV \ HMHUFLFLRV UHODFLRQDGRV

AL ESTUDIANTE

/RV DXWRUHV GH ORV OLEURV YLYHQ FRQ OD HVSHUDQ]D GH TXH DOJXLHQ HQ UHDOLGDG ORV
lea $O FRQWUDULR GH OR TXH XVWHG SRGUtD FUHHU FDVL WRGR WH[WR GH PDWHPiWLFDV GH QLYHO
XQLYHUVLWDULR HVWi HVFULWR SDUD XVWHG \ QR SDUD HO SURIHVRU &LHUWR HV TXH ORV WHPDV FX
ELHUWRV HQ HO WH[WR VH HVFRJLHURQ FRQVXOWDQGR D ORV SURIHVRUHV \D TXH HOORV WRPDQ OD
GHFLVLyQ DFHUFD GH VL KD\ TXH XVDUORV HQ VXV FODVHV SHUR WRGR OR HVFULWR HQ pO HVWi GLUL
JLGR GLUHFWDPHQWH D XVWHG DO HVWXGLDQWH (QWRQFHV TXHUHPRV LQYLWDUOH ²QR HQ UHDOL
GDG TXHUHPRV SHGLUOH² TXH £OHD HVWH OLEUR GH WH[WR 3HUR QR OR KDJD FRPR OHHUtD XQD
QRYHOD QR GHEH OHHUOR UiSLGR \ QR GHEH VDOWDUVH QDGD 3LHQVH HQ HVWH OLEUR FRPR XQ
cuaderno de ejercicios &UHHPRV TXH ODV PDWHPiWLFDV VLHPSUH GHEHUtDQ VHU HVWXGLD
GDV FRQ OiSL] \ SDSHO D OD PDQR SRUTXH PX\ SUREDEOHPHQWH WHQGUi TXH trabajar los
HMHPSORV \ KDFHU ORV DQiOLVLV /HD ²PiV ELHQ WUDEDMH² todos ORV HMHPSORV GH XQD
VHFFLyQ DQWHV GH LQWHQWDU FXDOTXLHUD GH ORV HMHUFLFLRV /RV HMHPSORV VH KDQ GLVHxDGR
SDUD PRVWUDU OR TXH FRQVLGHUDPRV VRQ ORV DVSHFWRV PiV LPSRUWDQWHV GH FDGD VHFFLyQ
\ SRU WDQWR PXHVWUDQ ORV SURFHGLPLHQWRV QHFHVDULRV SDUD WUDEDMDU OD PD\RUtD GH ORV
SUREOHPDV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV 6LHPSUH OHV GHFLPRV D QXHVWURV HVWXGLDQWHV
TXH FXDQGR OHDQ XQ HMHPSOR WDSHQ VX VROXFLyQ H LQWHQWHQ WUDEDMDU SULPHUR HQ HOOD
FRPSDUDU VX UHVSXHVWD FRQ OD VROXFLyQ GDGD \ OXHJR UHVROYHU FXDOTXLHU GLIHUHQFLD
+HPRV WUDWDGR GH LQFOXLU ORV SDVRV PiV LPSRUWDQWHV SDUD FDGD HMHPSOR SHUR VL DOJR
QR HV FODUR XVWHG SRGUtD VLHPSUH LQWHQWDU FRPSOHWDU ORV GHWDOOHV R SDVRV TXH IDOWDQ \
DTXt HV GRQGH HO SDSHO \ HO OiSL] HQWUDQ RWUD YH] 3XHGH TXH QR VHD IiFLO SHUR HV SDUWH
GHO SURFHVR GH DSUHQGL]DMH /D DFXPXODFLyQ GH KHFKRV VHJXLGRV SRU OD OHQWD DVLPLOD
FLyQ GH OD FRPSUHQVLyQ VLPSOHPHQWH QR VH SXHGH DOFDQ]DU VLQ WUDEDMDU DUGXDPHQWH

(VSHFt¿ FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estu-
diante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPR XQ VXSOHPHQWR
RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV
FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV
HMHPSORV DGLFLRQDOHV \ XQ UHSDVR GH ODV iUHDV GH iOJHEUD \ FiOFXOR TXH VLHQWR VRQ
SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV
&RQVLGHUH TXH QR WLHQH TXH DGTXLULU HO SRM SXHGH UHYLVDU ODV PDWHPiWLFDV DSURSLD
GDV GH VXV YLHMRV OLEURV GH SUHFiOFXOR R GH FiOFXOR

(Q FRQFOXVLyQ OH GHVHDPRV EXHQD VXHUWH \ p[LWR (VSHUDPRV TXH GLVIUXWH HO OLEUR
\ HO FXUVR TXH HVWi SRU LQLFLDU &XDQGR pUDPRV HVWXGLDQWHV GH OD OLFHQFLDWXUD HQ PDWH
PiWLFDV HVWH FXUVR IXH XQR GH QXHVWURV IDYRULWRV SRUTXH QRV JXVWDQ ODV PDWHPiWLFDV
TXH HVWiQ FRQHFWDGDV FRQ HO PXQGR ItVLFR 6L WLHQH DOJ~Q FRPHQWDULR R VL HQFXHQWUD
DOJ~Q HUURU FXDQGR OHD R WUDEDMH FRQ pVWH R VL QRV TXLHUH KDFHU OOHJDU XQD EXHQD LGHD
SDUD PHMRUDU HO OLEUR SRU IDYRU SyQJDVH HQ FRQWDFWR FRQ QRVRWURV D WUDYpV GH QXHVWUR
HGLWRU HQ &HQJDJH /HDUQLQJ

ix

x O PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

AL PROFESOR

(Q FDVR GH TXH H[DPLQH HVWH WH[WR SRU SULPHUD YH] Ecuaciones diferenciales con
problemas de valores en la frontera QRYHQD HGLFLyQ VH SXHGH XWLOL]DU \D VHD SDUD
XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ
FXUVR GH GRV VHPHVWUHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV \ SDUFLDOHV 3DUD XQ
FXUVR VHPHVWUDO VXSRQHPRV TXH ORV HVWXGLDQWHV KDQ FRPSOHWDGR FRQ p[LWR DO PHQRV
GRV VHPHVWUHV GH FiOFXOR 'DGR TXH XVWHG HVWi OH\HQGR HVWR VLQ GXGD \D KD H[DPL
QDGR OD WDEOD GH FRQWHQLGRV SDUD ORV WHPDV TXH FXEULUi

(Q HVWH SUHIDFLR QR HQFRQWUDUi ³XQ SURJUDPD VXJHULGR´ 1R SUHWHQGHUHPRV VHU
WDQ VDELRV FRPR SDUD GHFLU D RWURV SURIHVRUHV OR TXH GHEHQ HQVHxDU HQ VXV FODVHV
6HQWLPRV TXH KD\ PXFKR PDWHULDO DTXt SDUD HVFRJHU \ IRUPDU XQ FXUVR D VX JXVWR (O
WH[WR WLHQH XQ HTXLOLEULR UD]RQDEOH HQWUH ORV PpWRGRV DQDOtWLFRV FXDOLWDWLYRV \ FXDQ
WLWDWLYRV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q FXDQWR D QXHVWUD ³¿ORVRItD
VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU
HVFULWR FRQVLGHUDQGR VLHPSUH OD FRPSUHVLyQ GHO HVWXGLDQWH OR TXH VLJQL¿FD TXH HO
PDWHULDO GHEHUtD HVWDU SUHVHQWDGR HQ XQD IRUPD GLUHFWD OHJLEOH \ ~WLO FRQVLGHUDQGR HO
QLYHO WHyULFR FRPSDWLEOH FRQ OD LGHD GH XQ ³SULPHU FXUVR´

$ ODV SHUVRQDV IDPLOLDUL]DGDV FRQ ODV HGLFLRQHV DQWHULRUHV QRV JXVWDUtD PHQFLR
QDUOHV DOJXQDV GH ODV PHMRUDV KHFKDV HQ HVWD HGLFLyQ

6H KDQ DFWXDOL]DGR PXFKRV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV DJUHJDQGR QXHYRV SUREOHPDV
$OJXQRV GH HVWRV SUREOHPDV LPSOLFDQ QXHYRV \ TXH \R FRQVLGHUR LQWHUHVDQWHV PRGHORV
PDWHPiWLFRV

‡ 6H KDQ DJUHJDGR FRPHQWDULRV ¿JXUDV \ HMHPSORV DGLFLRQDOHV D PXFKDV VHFFLRQHV

‡ (Q WRGR HO OLEUR VH OH KH GDGR XQ PD\RU pQIDVLV D ORV FRQFHSWRV GH HFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV SRU SDUWHV \ D ODV VROXFLRQHV TXH LPSOLFDQ LQWHJUDOHV QR
HOHPHQWDOHV

‡ (O $SpQGLFH $ ,QWHJUDOHV GH¿QLGDV GH IXQFLRQHV HV QXHYR HQ HO OLEUR

‡ 6H KD DJUHJDGR HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ DO DQiOLVLV HQ OD VHFFLyQ
Ecuación de onda

‡ 6H KD UHHVFULWR OD VHFFLyQ Problemas con valores en la frontera no ho-
mogéneos

‡ 6H KD GDGR PD\RU pQIDVLV D ODV )XQFLRQHV GH %HVVHO PRGL¿FDGDV HQ OD VHFFLyQ
Coordenadas polares y cilíndricas

RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES

• Los Student Resource and Solutions Manual 650 HQ LGLRPD LQJOpV \ VH FRPHU
FLDOL]DQ SRU VHSDUDGR HODERUDGRV SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \ &DURO ' :ULJKW
(O YROXPHQ FRQ ,6%1 DFRPSDxD D Ecuaciones diferen-
ciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan
UHSDVRV GHO PDWHULDO PiV LPSRUWDQWH GH iOJHEUD \ FiOFXOR WRGDV ODV VROXFLRQHV
GHO WHUFHU SUREOHPD GH FDGD FRQMXQWR GH HMHUFLFLRV H[FHSWR ORV SUREOHPDV GH
DQiOLVLV \ ODV WDUHDV GHO ODERUDWRULR GH FyPSXWR ORV FRPDQGRV \ VLQWD[LV PiV
importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt
FRPR ~WLOHV VXJHUHQFLDV GH FyPR HPSH]DU FLHUWRV SUREOHPDV

RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés)

• Manual de soluciones del profesor (ISM) HODERUDGR SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \
5REHUWR 0DUWLQH] SURSRUFLRQD VROXFLRQHV LQWHJUDOHV GHVDUUROODGDV SRU WRGRV ORV
SUREOHPDV HQ HO WH[WR (VWi GLVSRQLEOH D WUDYpV GH OD 3iJLQD :HE GHO SURIHVRU GH
HVWH OLEUR HQ cengage.com

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA O xi

• Cengage Learning Testing Powered by Cognero HV XQ VLVWHPD HQ OtQHD ÀH[LEOH
TXH OH SHUPLWH DO DXWRU HGLWDU \ PDQHMDU HO FRQWHQLGR GHO EDQFR GH UHDFWLYRV FUHDU
P~OWLSOHV YHUVLRQHV GH H[DPHQ HQ XQ LQVWDQWH \ RIUHFHU H[iPHQHV SDUD VX VLVWHPD
GH JHVWLyQ GHO DSUHQGL]DMH /06 GH VX DXOD R GRQGH TXLHUD (VWR HVWi GLVSRQLEOH
HQ OtQHD HQ www.cengage.com/login

• WebAssign HV HO VLVWHPD GH WDUHDV PiV DPSOLDPHQWH XWLOL]DGR HQ OtQHD HQ
HGXFDFLyQ VXSHULRU 'LVSRQLEOH SDUD HVWD YHUVLyQ PpWULFD :HE$VVLJQ OH SHUPLWH
DVLJQDU UHXQLU FDOL¿FDU \ UHJLVWUDU ODV WDUHDV D WUDYpV GH OD ZHE (VWH VLVWHPD
SUREDGR GH WDUHDV LQFOX\H HQODFHV D VHFFLRQHV GHO OLEUR GH WH[WR XQ H%RRN YLGHRV
HMHPSORV \ WXWRULDOHV GH SUREOHPDV HVSHFt¿FRV :HE$VVLJQ SRU &HQJDJH HV
PiV TXH XQ VLVWHPD GH WDUHDV HV XQ VLVWHPD GH DSUHQGL]DMH FRPSOHWR SDUD ORV
HVWXGLDQWHV 3RU IDYRU FRPXQtTXHVH FRQ VX UHSUHVHQWDQWH ORFDO GH &HQJDJH SDUD
GHWDOOHV \ XQD GHPRVWUDFLyQ

RECONOCIMIENTOS

&RPSLODU XQ OLEUR GH WH[WR GH PDWHPiWLFDV FRPR HVWH \ DVHJXUDUVH GH TXH VXV PLOHV GH
VtPERORV \ FLHQWRV GH HFXDFLRQHV VRQ H[DFWDV VRQ XQD WDUHD HQRUPH SHUR \D TXH PH
OODPDQ ³HO DXWRU´ HV PL WUDEDMR \ UHVSRQVDELOLGDG 3HUR PXFKDV SHUVRQDV DGHPiV GH Pt
KDQ LQYHUWLGR HQRUPHV FDQWLGDGHV GH WLHPSR \ HQHUJtD HQ HO WUDEDMR KDFLD VX SXEOLFDFLyQ
¿QDO $Vt TXH PH JXVWDUtD DSURYHFKDU HVWD RSRUWXQLGDG SDUD H[SUHVDU PL PiV VLQFHUR
DJUDGHFLPLHQWR D WRGR HO PXQGR OD PD\RUtD GH HOORV GHVFRQRFLGRV SDUD Pt HQ &HQJDJH
/HDUQLQJ \ HQ 036 1RUWK $PHULFD TXLHQHV SDUWLFLSDURQ HQ OD SXEOLFDFLyQ GH HVWD
HGLFLyQ 8QD SDODEUD HVSHFLDO GH DJUDGHFLPLHQWR D 6SHQFHU $UULWW .DWKU\Q 6FKUXPSI
-HQQLIHU 5LVGHQ 9HUQRQ %RHV \ -LOO 7UDXW SRU VX RULHQWDFLyQ HQ HO ODEHULQWR GHO SURFHVR
GH SURGXFFLyQ

)LQDOPHQWH FRQIRUPH KDQ SDVDGR ORV DxRV HVWH OLEUR GH WH[WR VH KD PHMRUDGR
SRU XQ Q~PHUR LQFRQWDEOH GH FDPLQRV JUDFLDV D ODV VXJHUHQFLDV \ ODV FUtWLFDV GH ORV
UHYLVRUHV DVt TXH HV MXVWR FRQFOXLU FRQ XQ UHFRQRFLPLHQWR GH QXHVWUD GHXGD FRQ ODV
VLJXLHQWHV SHUVRQDV SRU FRPSDUWLU VX PDHVWUtD \ H[SHULHQFLD

REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES

:LOOLDP $WKHUWRQ Cleveland State University
3KLOLS %DFRQ University of Florida
%UXFH %D\O\ University of Arizona
:LOOLDP + %H\HU University of Akron
5 * %UDGVKDZ Clarkson College
%HUQDUG %URRNV Rochester Institute of Technology
$OOHQ %URZQ Wabash Valley College
'HDQ 5 %URZQ Youngstown State University
'DYLG %XFKWKDO University of Akron
1JX\HQ 3 &DF University of Iowa
7 &KRZ California State University, Sacramento
'RPLQLF 3 &OHPHQFH North Carolina Agricultural and Technical State University
3DVTXDOH &RQGR University of Massachusetts, Lowell
9LQFHQW &RQQROO\ Worcester Polytechnic Institute
3KLOLS 6 &URRNH Vanderbilt University
%UXFH ( 'DYLV St. Louis Community College at Florissant Valley
3DXO : 'DYLV Worcester Polytechnic Institute
5LFKDUG $ 'L'LR La Salle University
-DPHV 'UDSHU University of Florida
-DPHV 0 (GPRQGVRQ Santa Barbara City College
-RKQ + (OOLVRQ Grove City College
5D\PRQG )DEHF Louisiana State University
'RQQD )DUULRU University of Tulsa
5REHUW ( )HQQHOO Clemson University
: ( )LW]JLEERQ University of Houston

xii O PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

+DUYH\ - )OHWFKHU Brigham Young University
3DXO - *RUPOH\ Villanova
/D\DFKL +DGML University of Alabama
5XEHQ +D\UDSHW\DQ Kettering University
7HUU\ +HUGPDQ Virginia Polytechnic Institute and State University
=G]LVODZ -DFNLHZLF] Arizona State University
6 . -DLQ Ohio University
$QWKRQ\ - -RKQ Southeastern Massachusetts University
'DYLG & -RKQVRQ University of Kentucky, Lexington
+DUU\ / -RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University
.HQQHWK 5 -RKQVRQ North Dakota State University
-RVHSK .D]LPLU East Los Angeles College
- .HHQHU University of Arizona
6WHYH % .KOLHI Tennessee Technological University
+HOPXW .QDXVW The University of Texas at El Paso
& - .QLFNHUERFNHU Sensis Corporation
&DUORQ $ .UDQW] Kean College of New Jersey
7KRPDV * .XG]PD University of Lowell
$OH[DQGUD .XUHSD North Carolina A&T State University
* ( /DWWD University of Virginia
&HFHOLD /DXULH University of Alabama
0XODWX /HPPD Savannah State University
-DPHV 5 0F.LQQH\ California Polytechnic State University
-DPHV / 0HHN University of Arkansas
*DU\ + 0HLVWHUV University of Nebraska, Lincoln
6WHSKHQ - 0HUULOO Marquette University
9LYLHQ 0LOOHU Mississippi State University
*HRUJH 0RVV Union University
*HUDOG 0XHOOHU Columbus State Community College
3KLOLS 6 0XOU\ Colgate University
0DUWLQ 1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona
& - 1HXJHEDXHU Purdue University
7\UH $ 1HZWRQ Washington State University
%ULDQ 0 2¶&RQQRU Tennessee Technological University
- . 2GGVRQ University of California, Riverside
&DURO 6 2¶'HOO Ohio Northern University
%UXFH 2¶1HLOO Milwaukee School of Engineering
$ 3HUHVVLQL University of Illinois, Urbana, Champaign
- 3HUU\PDQ University of Texas at Arlington
-RVHSK + 3KLOOLSV Sacramento City College
-DFHN 3ROHZF]DN California State University Northridge
1DQF\ - 3R[RQ California State University, Sacramento
5REHUW 3UXLWW San Jose State University
. 5DJHU Metropolitan State College
) % 5HLV Northeastern University
%ULDQ 5RGULJXHV California State Polytechnic University
7RP 5RH South Dakota State University
.LPPR , 5RVHQWKDO Union College
%DUEDUD 6KDEHOO California Polytechnic State University
6HHQLWK 6LYDVXQGDUDP Embry-Riddle Aeronautical University
'RQ ( 6RDVK Hillsborough Community College
) : 6WDOODUG Georgia Institute of Technology
*UHJRU\ 6WHLQ The Cooper Union
0 % 7DPEXUUR Georgia Institute of Technology
3DWULFN :DUG Illinois Central College
-LDQSLQJ =KX University of Akron
-DQ =LMOVWUD Middle Tennessee State University
-D\ =LPPHUPDQ Towson University
Dennis G. Zill

Los Angeles, CA

Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera

1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

© Kevin George/Shutterstock.com

1.1 'H¿ QLFLRQHV \ WHUPLQRORJtD
1.2 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
1.3 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV
REPASO DEL CAPÍTULO 1

LDV SDODEUDV ecuaciones \ diferenciales FLHUWDPHQWH VXJLHUHQ OD VROXFLyQ GH
DOJ~Q WLSR GH HFXDFLRQHV TXH FRQWLHQHQ GHULYDGDV yЈ, yЉ $O LJXDO TXH HQ
XQ FXUVR GH iOJHEUD \ WULJRQRPHWUtD HQ ORV TXH VH LQYLHUWH PXFKR WLHPSR HQ OD
VROXFLyQ GH HFXDFLRQHV FRPR x2 ϩ 5x ϩ 4 ϭ SDUD OD LQFyJQLWD x HQ HVWH FXUVR una
GH ODV WDUHDV VHUi UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GHO WLSR yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ SDUD XQD
IXQFLyQ LQFyJQLWD y ϭ ␾(x).

&RQIRUPH HO FXUVR VH GHVDUUROOH YHUi TXH KD\ PiV HQ HO HVWXGLR GH ODV
HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH VRODPHQWH GRPLQDU ORV PpWRGRV LGHDGRV SRU
PDWHPiWLFRV GH ORV ~OWLPRV VLJORV SDUD UHVROYHUODV

3HUR YDPRV HQ RUGHQ 3DUD OHHU HVWXGLDU \ SODWLFDU VREUH XQ WHPD HVSHFLDOL]DGR
HV QHFHVDULR DSUHQGHU OD WHUPLQRORJtD GH HVWD GLVFLSOLQD (VD HV OD LQWHQFLyQ GH ODV GRV
SULPHUDV VHFFLRQHV GH HVWH FDStWXOR (Q OD ~OWLPD VHFFLyQ H[DPLQDUHPRV EUHYHPHQWH
2 HO YtQFXOR HQWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \ HO PXQGR UHDO

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 3

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

INTRODUCCIÓN /D GHULYDGD dy͞dx GH XQD IXQFLyQ y ϭ ␾(x HV RWUD IXQFLyQ ␾Ј(x TXH VH HQ-
FXHQWUD FRQ XQD UHJOD DSURSLDGD /D IXQFLyQ y ϭ e0.1x2 HV GHULYDEOH HQ HO LQWHUYDOR Ϫϱ, ϱ \ XVDQGR
OD UHJOD GH OD FDGHQD VX GHULYDGD HV dy͞dx ϭ 0.2xe0.1x2 6L VXVWLWXLPRV e0.1x2 SRU y HQ HO ODGR GHUHFKR

GH OD HFXDFLyQ OD GHULYDGD VHUi

dy 0.2 xy (1)
dx

$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR SODQWHy OD HFXDFLyQ XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R
\ VH SUHJXQWD ¿cuál es la función representada con el símbolo y? 6H HQIUHQWD HQWRQFHV D XQR GH ORV
SUREOHPDV EiVLFRV GH HVWH FXUVR

¿Cómo resolver una ecuación como la (1) para la función desconocida y ϭ ␾(x)?

UNA DEFINICIÓN $ OD HFXDFLyQ VH OH GHQRPLQD ecuación diferencial*. $QWHV
GH SURVHJXLU FRQVLGHUHPRV XQD GH¿QLFLyQ PiV H[DFWD GH HVWH FRQFHSWR

DEFINICIÓN 1.1.1 Ecuación diferencial

8QD HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH ODV GHULYDGDV GH XQD R PiV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV
R YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV UHVSHFWR D XQD R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV VH
OODPD Ecuación Diferencial (ED).

3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVL¿FDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo,
orden \ linealidad.

CLASIFICACIÓN POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV
RUGLQDULDV GH XQD R PiV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV UHVSHFWR D XQD sola YDULDEOH LQGHSHQ-
GLHQWH VH GLFH TXH HV XQD ecuación diferencial ordinaria (EDO) 8QD HFXDFLyQ TXH
LQYROXFUD GHULYDGDV SDUFLDOHV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV GH GRV R PiV IXQFLR-
QHV GHVFRQRFLGDV VH OODPD ecuación diferencial parcial (EDP) 1XHVWUR SULPHU HMHPSOR
LOXVWUD YDULDV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH FDGD WLSR

EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales

a) /DV HFXDFLRQHV 8QD ('2 SXHGH FRQWHQHU

PiV GH XQD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD

↓↓
dy 5y ex,
dx d2y dy 6y 0, y dx dy 2x y (2)
d x2 dx dt dt (3)

VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV

b) /DV VLJXLHQWHV VRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV

2u 2u 0, 2u 2u 2 ut , y u v
x2 y2 x2 t2 y x

*([FHSWR HVWD VHFFLyQ GH LQWURGXFFLyQ HQ Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado,

GpFLPDSULPHUD HGLFLyQ VyOR VH FRQVLGHUDQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV (Q HVH OLEUR OD SDODEUD
ecuación \ OD DEUHYLDWXUD (' VH UH¿HUHQ VyOR D ODV ('2 /DV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV R ('3 VH
FRQVLGHUDQ HQ HO YROXPHQ DPSOLDGR Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera,

QRYHQD HGLFLyQ

4 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2EVHUYH TXH HQ OD WHUFHUD HFXDFLyQ KD\ GRV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ GRV YDULDEOHV LQGH-
SHQGLHQWHV HQ OD ('3 (VWR VLJQL¿FD TXH u \ v GHEHQ VHU IXQFLRQHV GH dos o más YDULDEOHV
LQGHSHQGLHQWHV

NOTACIÓN $ OR ODUJR GHO OLEUR ODV GHULYDGDV RUGLQDULDV VH HVFULELUiQ XVDQGR OD nota-
ción de Leibniz dy͞dx, d2y͞dx2, d3y͞dx3 R OD notación prima yЈ, yЉ, yٞ 8VDQGR
HVWD ~OWLPD QRWDFLyQ ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HQ VH SXHGHQ HVFULELU HQ
XQD IRUPD XQ SRFR PiV FRPSDFWD FRPR yЈ ϩ 5y ϭ ex \ yЉ Ϫ yЈ ϩ 6y ϭ (Q UHDOLGDG OD
QRWDFLyQ SULPD VH XVD SDUD GHQRWDU VyOR ODV SULPHUDV WUHV GHULYDGDV OD FXDUWD GHULYDGD VH
GHQRWD y(4) HQ OXJDU GH yЉЉ (Q JHQHUDO OD n pVLPD GHULYDGD GH y VH HVFULEH FRPR d ny͞dx n R
\(n) $XQTXH HV PHQRV FRQYHQLHQWH SDUD HVFULELU R FRPSRQHU WLSRJUi¿FDPHQWH OD QRWDFLyQ
GH /HLEQL] WLHQH XQD YHQWDMD VREUH OD QRWDFLyQ SULPD PXHVWUD FODUDPHQWH DPEDV YDULDEOHV
ODV GHSHQGLHQWHV \ ODV LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR HQ OD HFXDFLyQ

función incógnita
o variable dependiente

–d–2x– ϩ 16x ϭ 0
dt 2

variable independiente

VH DSUHFLD GH LQPHGLDWR TXH DKRUD HO VtPEROR x UHSUHVHQWD XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH
PLHQWUDV TXH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV t 7DPELpQ VH GHEH FRQVLGHUDU TXH HQ LQJHQLH
UtD \ HQ FLHQFLDV ItVLFDV OD notación de punto GH 1HZWRQ QRPEUDGD GHVSHFWLYDPHQWH
QRWDFLyQ GH ³SXQWLWR´ DOJXQDV YHFHV VH XVD SDUD GHQRWDU GHULYDGDV UHVSHFWR DO WLHP
SR t $Vt OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d2s͞dt2 ϭ Ϫ VHUi s¨ ϭ Ϫ &RQ IUHFXHQFLD ODV GHUL-
YDGDV SDUFLDOHV VH GHQRWDQ PHGLDQWH XQD notación de subíndice TXH LQGLFD ODV YDULDEOHV
LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR FRQ OD QRWDFLyQ GH VXEtQGLFHV OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ
VHUi uxx ϭ utt Ϫ 2ut.

CLASIFICACIÓN POR ORDEN (O orden de una ecuación diferencial \D VHD
('2 R ('3 HV HO RUGHQ GH OD PD\RU GHULYDGD HQ OD HFXDFLyQ 3RU HMHPSOR

segundo orden primer orden

( )–dd–x2–y2– ϩ 5 –dd–yx– 3 Ϫ 4y ϭ ex

HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH VHJXQGR RUGHQ (Q HO HMHPSOR OD SULPHUD \
OD WHUFHUD HFXDFLyQ HQ VRQ ('2 GH SULPHU RUGHQ PLHQWUDV TXH HQ ODV SULPHUDV
GRV HFXDFLRQHV VRQ ('3 GH VHJXQGR RUGHQ $ YHFHV ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGL-
QDULDV GH SULPHU RUGHQ VH HVFULEHQ HQ OD IRUPD GLIHUHQFLDO

M(x, y) dx ϩ N(x, y) dy ϭ 0.

EJEMPLO 2 Forma diferencial de una EDO de primer orden

6L VXSRQHPRV TXH \ HV OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HQ OD ('2 GH SULPHU RUGHQ HQWRQFHV
UHFXHUGH GH FiOFXOR TXH OD GLIHUHQFLDO dy VH GH¿QH FRPR dy ϭ yЈdx.
a) $O GLYLGLU SRU HO GLIHUHQFLDO dx sH REWLHQH XQD IRUPD DOWHUQDWLYD GH OD HFXDFLyQ (y-x)
dx ϩ 4xdy ϭ 0 GDGD SRU

dy dy
y 2 x 1 4x dx 5 0 o equivalentemente 4x dx 1 y 5 x. .

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 5

b) 0XOWLSOLFDQGR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

6x y dy 1 x2 1 y2 5 0
dx

SRU dx YHPRV TXH OD HFXDFLyQ WLHQH XQD IRUPD GLIHUHQFLDO DOWHUQDWLYD

(x2 1 y2) dx 1 6xy dy 5 0.

6LPEyOLFDPHQWH SRGHPRV H[SUHVDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR
RUGHQ FRQ XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU OD IRUPD JHQHUDO

F(x, y, y , . . . , y(n)) 0, (4)

GRQGH F HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV GH n ϩ YDULDEOHV x, y, yЈ, …, y(n) 3RU UD-

]RQHV WDQWR SUiFWLFDV FRPR WHyULFDV GH DKRUD HQ DGHODQWH VXSRQGUHPRV TXH HV SRVLEOH

UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD HQ OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ ~QLFDPHQWH

SDUD OD PD\RU GHULYDGD y(n) HQ WpUPLQRV GH ODV n ϩ YDULDEOHV UHVWDQWHV /D HFXDFLyQ

GLIHUHQFLDO

dny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5)
d xn

GRQGH f HV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD FRQ YDORUHV UHDOHV VH FRQRFH FRPR OD forma normal GH

OD HFXDFLyQ $Vt TXH SDUD QXHVWURV SURSyVLWRV XVDUHPRV ODV IRUPDV QRUPDOHV FXDQGR

VHD DGHFXDGR

dy f (x, y) y d2y f (x, y, y )
dx d x2

SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VH-
JXQGR RUGHQ

EJEMPLO 3 Forma normal de una EDO

a) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD GH dy/dx GH OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ
GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ

dy dy x 2 y
4x dx 1 y 5 x es dx 5 4x .

b) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD yЉ OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VH-
JXQGR RUGHQ

y0 2 y9 1 6 5 0 es y0 5 y9 2 6y.

CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH

n-pVLPR RUGHQ HV lineal VL F HV OLQHDO HQ y, yЈ, . . . , y(n) (VWR VLJQL¿FD TXH XQD ('2

GH n-pVLPR RUGHQ HV OLQHDO FXDQGR OD HFXDFLyQ HV an(x)y (n) ϩ a nϪ1(x) y (nϪ1) ϩ и и и ϩ a
1
(x)yЈ ϩ a (x) y Ϫ g(x) ϭ R
0

dny d n 1y dy (6)
an(x) dxn an 1(x) dxn 1 a1(x) dx a0(x)y g(x).

'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU
RUGHQ n ϭ \ GH VHJXQGR RUGHQ n ϭ

dy y d 2y dy
a1(x) dx a0(x)y g(x) a2(x) dx2 a1(x) dx a0(x)y g(x). (7)

(Q OD FRPELQDFLyQ GH OD VXPD GHO ODGR L]TXLHUGR GH OD HFXDFLyQ YHPRV TXH ODV GRV

SURSLHGDGHV FDUDFWHUtVWLFDV GH XQD ('2 VRQ ODV VLJXLHQWHV

• /D YDULDEOH GHSHQGLHQWH y \ WRGDV VXV GHULYDGDV yЈ, yЉ, . . . , y(n) VRQ GH SULPHU

JUDGR HV GHFLU OD SRWHQFLD GH FDGD WpUPLQR TXH FRQWLHQH y HV LJXDO D

• /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, ..., an GH y, yЈ, ..., y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH
LQGHSHQGLHQWH x.