488 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
SOLUCIÓN &RPSDUDPRV HVWH SUREOHPD FRQ LGHQWL¿FDQGR k ϭ 1, L ϭ 1, F(x, t)
ϭ 0, u (t) ϭ cos t, u (t) ϭ 0, y f(x) ϭ 0. Comenzamos con la construcción de ȥ. De
0 1
(13) obtenemos
(x, t) 5 cos t 1 x[0 2 cos t] 5 (1 2 x)cos t,
y luego como se indica en (14), usamos
u(x, t) 5 v(x, t) 1 (1 2 x) cos t (17)
y al sustituir las cantidades
−2u 5 −2v −u 5 −v 1 (1 2 x)(2sen t),
−x2 −x2, −t −t
u(0, t) 5 v(0, t) 1 cos t, u(1, t) 5 v(1, t) y u(x, 0) 5 v(x, 0) 1 1 2 x
en el problema dado para obtener el PVF para v(x,t):
−2v 1 (1 2 x) sen t 5 −v 0 , x , 1, t.0
−x 2 −t ,
v(0, t) 5 0, v(1, t) 5 0, t . 0
v(x, 0) 5 x 2 1, 0 , x , 1. (18)
Los eigenvalores y las eigenfunciones del problema de Sturm-Liouville
X0 1 X 5 0, X(0) 5 0, X(1) 5 0
se encuentran de n 5 ␣2n 5 n22 y sen Qʌ[, n ϭ 1, 2, 3, …. Con G(x, t)ϭ(1 Ϫ x) sen
t suponemos de (18) que para t, v y G ¿MRV VH SXHGH HVFULELU FRPR OD VHULH GH )RXULHU
del seno: `
ov(x, t) 5 vn(t) sen nx (19)
n51
`
oy
(1 2 x) sen t 5 Gn(t) sen nx. (20)
n51
Al tratar a t FRPR SDUiPHWUR ORV FRH¿FLHQWHV Gn en (20) se puede calcular:
# #Gn(t)5 2 1 2 1 2 x) sen nx dx 2
1 x) sen t sen nx dx 5 2 sen t 5 n sen t.
(1 (1
0 0
` 2
n
5
n51
o(12 sen nx.
Por tanto, x) sen t sen t (21)
3RGHPRV GHWHUPLQDU ORV FRH¿FLHQWHV vn(t) sustituyendo (20) y (21) de nuevo en la EDP
HQ &RQ HVH ¿Q ODV GHULYDGDV SDUFLDOHV GH v son
o o−2v ` −v `
−t n51
−x 2 5
vn(t)(2n22) sen nx y 5 vn9(t) sen nx . (22)
n51
Escribiendo la EDP en (18) como vt Ϫ vxx ϭ (1 Ϫ x)sen t y usando (21) y (22) obte-
nemos o o` ` 2 sen t
n
n51 5
[vn9(t) 1 n2 2vn(t)] sen nx sen nx.
n51
(QWRQFHV LJXDODPRV ORV FRH¿FLHQWHV GH VHQ Qʌ[ en cada lado de la igualdad para obte-
QHU OD ('2 OLQHDO GH SULPHU RUGHQ
vn9(t) 1 n22vn(t) 5 2sen t
n .
Procediendo como en la sección 2.3, multiplicamos la última ecuación por el factor de
integrante en22t y se reescribe como
f gd 2 en22t sen t .
n
dt
en22tvn(t) 5
12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA O 489
Integrando ambos lados, encontramos que la solución general de esta ecuación es
vn(t) 5 2 n22sen t 2 cos t 1 Cne2n2 2t,
n (n44 1 1)
donde Cn denota la constante arbitraria. Por tanto la forma supuesta de v(x, t) en (19)
se puede escribir como
n22sen t 2 cos
n (n44 1 1)
o 3 4` t
v(x,t) 5
n51
2 1 C n e2n2 2t sen nx. (23)
/RV FRH¿FLHQWHV Cn se pueden encontrar aplicando la condición inicial v(x, 0) a (23).
De la serie de Fourier del seno,
o 3 4`
x215
n51
22 1 1) 1 Cn sen nx (24)
n(n44
YHPRV TXH OD FDQWLGDG HQWUH ORV FRUFKHWHV UHSUHVHQWD ORV FRH¿FLHQWHV VLQXVRLGDOHV GH
Fourier bn para x Ϫ 1. Es decir
#22 1 22 1 22
n(n44 n
n(n44 1 1) (x 2 1) sen nx dx
1 Cn 5 2 o 1 1) Cn 5 .
0
Por tanto Cn 5 2 1 1) 2 2 .
n(n44 n
Sustituyendo el último resultado en (23) obtenemos una solución de (18)
o 3 42 ` n22sen t 2 cos t 1 e2n22t e2n22t
v(x, t) 5 n51 n(n44 1 1) 2 n sen nx.
3RU ¿Q HQWRQFHV GH VH HQFXHQWUD TXH OD VROXFLyQ GHVHDGD u(x, t) es
2 ` n22sen t 2 cos t 1 e2n22t e2n22t
n51 n(n44 1 1) n
o 3 4u(x, t) 5 (1 2 x) cos t 1 2 sen nx.
Si el problema de valor de frontera tiene condiciones frontera homogéneas y un tér-
mino dependiente del tiempo F(x, t) en la EDP, entonces no hay necesidad real de
cambiar la variable dependiente con la sustitución u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x, t). Por ejem-
plo, si tanto u como u son 0 en un problema como (9), entonces se sigue de (13) que
ȥ(x, t) 0 1 desarrollos en series
ϭ 0. El método de solución entonces comienza suponiendo
ortogonales apropiadas para u(x, t) y F(x, t) como en (16), donde los símbolos v y G en
(16) son naturalmente sustituidos por u y F respectivamente.
EJEMPLO 3 EDP dependiente del tiempo y CF homogéneas
Resuelva −2u −u 0 , x , 1, t.0
−x2 1 (1 2 x) sen t 5 −t , t.0
u(0, t) 5 0, u(1, t) 5 0, (25)
u(x, 0) 5 0, 0 , x , 1.
SOLUCIÓN A excepción de la condición inicial, el PVF (25) es básicamente (18).
Como se señaló en el párrafo anterior a este ejemplo, ya que las condiciones frontera
son ambas homogéneas tenemos ȥ(x, t) ϭ 0. así todos los pasos en el ejemplo 2 que
se utilizaron en la solución de (18) son los mismos excepto la condición inicial u(x, 0)
ϭ 0 que indica que el análogo de (24) es entonces
o 3 4`
05
n51
22 1 1) 1 Cn sen nx.
n(n44
490 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
&RQFOXLPRV GH HVWD LGHQWLGDG TXH HO FRH¿FLHQWH GH VHQ Qʌ[ debe ser 0 y así
Cn 5 2 1 1) .
n(n44
Por tanto, una solución de (25) es
2 ` n22sen t 2 cos t 1
n51 n(n44 1 1) n(n4 4
o 3 4u(x,
t) 5 1 1 1) e2n2 2t sen nx.
En los problemas 13 a 16 en los ejercicios 12.6 se le pide que construya ȥ(x, t)
como se ilustra en el ejemplo 2. En los problemas 17 a 20 de los ejercicios 12.6 las
condiciones frontera dadas son homogéneas y se puede empezar como lo hicimos en
el ejemplo 3 con la suposición de que ȥ(x, t) ϭ 0.
COMENTARIOS
No dé ninguna importancia especial al hecho de que utilizamos la ecuación de calor
a lo largo del análisis anterior. El método descrito en el ejemplo 1 se puede aplicar
también a la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Sin embargo, los métodos
descritos en los ejemplos 2 y 3 se basan en la dependencia del tiempo en el problema
y así que no son aplicables a los PVF que implican la ecuación de Laplace.
EJERCICIOS 12.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.
En los problemas 1-12 proceda como en el ejemplo 1 de esta 6. Resuelva el problema con valores en la frontera
sección para resolver el problema con valores en la frontera dado.
En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor kuxx ϭ ut, 2u u, 0x ,t 0
0 Ͻ x Ͻ1, t Ͼ 0, sujeto a las condiciones dadas. k x2 hu t
1. u(0, t) ϭ 100, u(1, t) ϭ 100 u(0, t) 0, u( , t) u0, t 0
u(x, 0) ϭ 0 u(x, 0) 0, 0 x .
2. u(0, t) ϭ u0, u(1, t) ϭ 0 La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecua-
u(x, 0) ϭ f (x) ción de calor cuando hay pérdida de calor por radiación
GH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH XQD YDULOOD GHOJDGD HQ XQ PHGLR
a temperatura cero.
En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación diferencial parcial 7. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del pro-
(1) sujeta a las condiciones dadas. blema con valores en la frontera
3. u(0, t) ϭ u0, u(1, t) ϭ u 2u h (u u0) u, 0 x 1, t 0
0 k x2 t
u(x, 0) ϭ 0
4. u (0, t) ϭ u 0(,x) u(1, t) ϭ u u(0, t) u0, u(1, t) 0, t 0
u (x, 0) ϭ f 1
5. Resuelva el problema con valores en la frontera u(x, 0) f (x), 0 x 1.
2u Ae x u, 0, 0 x 1, t 0 8. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) si la varilla
k x2 t GHO SUREOHPD HV VHPL LQ¿QLWD \ VH HQFXHQWUD VREUH OD
dirección positiva de las x H LUUDGLD GH VX VXSHU¿FLH ODWHUDO
hacia un medio a temperatura cero y
u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0 u(0, t) u0, lim u(x, t) 0, t 0
u(x, 0)
u(x, 0) f (x), 0 x 1. x→
La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecuación f (x), x 0.
de calor cuando el calor se genera dentro de una varilla del-
gada a partir de un decaimiento radioactivo del material. 9. Cuando una cuerda vibrando se somete a una fuerza ver-
tical externa que varía con la distancia horizontal desde el
12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES O 491
extremo izquierdo, la ecuación de onda tiene la forma 14. −2u −u 0 , x , 1, t.0
−x2 1 2t 1 3tx 5 −t ,
a2 2u Ax 2u ,
x2 t2 u(0, t) 5 t2, u(1, t) 5 1, t . 0
donde A es una constante. Resuelva esta ecuación dife- u(x, 0) 5 x2, 0 , x , 1
rencial parcial sujeta a −2u −2u
−x2 −t2 ,
u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0 15. 5 0 , x , 1, t.0
u(x, 0) 0, u 0, 0 x 1. u(0, t) 5 0, u (1, t) 5 sin t, t . 0
tt0 u(x, 0) 5 0, u−u 5 0, 0,x,1
10. Una cuerda inicialmente en reposo sobre el eje x está an- −t t50
clada en x ϭ 0 y en x ϭ 1. Si la cuerda se deja caer bajo su 16. −2u −u
−x2 −t ,
propio peso para t Ͼ 0, el desplazamiento u(x, t) satisface 5 0 , x , 1, t.0
a2 2u g 2u 0 x 1, t 0, u(0, t) 5 1 2 e2t, u(1, t) 5 1 2 e2t, t.0
x2 t2 ,
u(x, 0) 5 0, 0 , x , 1
donde g es la aceleración de la gravedad. Determine u(x, t).
11. Encuentre la temperatura de estado estable u(x, y) en En los problemas 17 -20 proceda como en el ejemplo 3 de esta
OD SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD sección para resolver el problema con valores en la frontera
Suponga que la temperatura está acotada conforme dado.
x A ϱ. [Sugerencia: Pruebe u(x, y) ϭ v(x, y) ϩ ȥ(y).]
2u xe 3t ut , 0x ,t 0
y 17. x2
1 u = u0 u(0, t) ϭ 0, u(ʌ, t) ϭ 0, t Ͼ 0
u=0 u(x, 0) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ ʌ
0 u = u1 x 2u ut ,
18. x2
FIGURA 12.6.1 Placa del problema 11. xe 3t 0x ,t 0
0
12. La ecuación diferencial parcial u 0, u 0, t
2u 2u h, xx 0 xx
x2 y2
u(x, 0) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ ʌ
donde h Ͼ 0 es una constante, se conoce como ecuación
de Poisson y se presenta en diversos problemas que im- 2u u
19. x2 1 x x cos t t , 0 x 1, t 0
plican potencial eléctrico. Resuelva la ecuación sujeta a
u(0, t) ϭ 0, u(1, t) ϭ 0, t Ͼ 0
las condiciones u(x, 0) ϭ x(1 Ϫ x), 0 Ͻ x Ͻ 1
u(0, y) 0, u( , y) 1, y 0
u(x, 0) 0, 0 x .
En los problemas 13-16 proceda como en el ejemplo 2 de esta −2u −2u
sección para resolver el problema con valores en la frontera dado. 20. −x2 1 sen x cos t 5 −t2 , 0 , x , , t . 0
13. −2u 5 −u 0 , x , 1, t.0 u(0, t) 5 0, u(, t) 5 0, t . 0
−x2 −t ,
u(0, t) 5 sen t, u(1, t) 5 0, t . 0 uu(x, 0) 5 0, −u 5 0, 0,x,
−t
u(x, 0) 5 0, 0 , x , 1 t50
12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES
INTRODUCCIÓN Para ciertos tipos de condiciones en la frontera el método de separación de
variables y el principio de superposición conducen al desarrollo de una función en forma de serie tri-
gonométrica que no es una serie de Fourier. Para resolver los problemas de esta sección utilizaremos
el concepto de desarrollos en series ortogonales o serie generalizada de Fourier.
492 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
EJEMPLO 1 Uso de desarrollo de series ortogonales
La temperatura en una varilla de longitud unitaria en la que existe transferencia de
calor desde su extremo derecho hacia un ambiente a temperatura constante cero, se
determina a partir de
2u u
k x2 t , 0 x 1, t 0
u(0, t) 0, u hu(1, t), h 0, t 0
xx 1
u(x, 0) 1, 0 x 1.
Determine u(x, t).
SOLUCIÓN Procediendo como en la sección 12.3 con u(x, t) ϭ X(x)T(t) y utilizando
ϪȜ como la constante de separación, encontramos que las ecuaciones separadas y las
condiciones de frontera son, respectivamente,
X X0 (1)
T kT 0 (2)
X(0) 0 y X (1) hX(1). (3)
La ecuación (1) y las condiciones de frontera homogéneas (3) forman un problema
regular de Sturm-Liouville:
X X 0, X(0) 0, X (1) hX(1) 0. (4)
Analizando los tres casos usuales en los que Ȝ es 0, negativa o positiva, encontramos
que sólo en el último caso se obtienen las soluciones no triviales. Por tanto, con Ȝ ϭ
Į2 Ͼ 0, Į Ͼ 0, la solución general de la ED en (4) es
X(x) c1 cos ax c2 sen ax. (5)
La primera condición en (4) da inmediatamente que c ϭ 0. Aplicando la segunda
condición en (4) a X(x) ϭ 1
c Į[
2 sen se obtiene
cos h sen 0 o tan h. (6)
Del análisis del ejemplo 2 de la sección 11.4, sabemos que la última de las ecuaciones
WLHQH XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV 6L ODV UDtFHV SRVLWLYDV FRQVHFXWLYDV VH GHQRWDQ SRU Įn, n ϭ
1, 2, 3, . . . , entonces los eigenvalores del problema son n an2, y las eigenfunciones
X(x) c x, n
correspondientes son ϭ 2 sen Įn ϭ 1, 2, 3, . . . La solución de la ED de primer
orden (2) es T(t) c3e ka2n t , por tanto
un XT An e k 2 t sen nx y u(x, t) An e k 2 t sen n x.
n n
n1
Ahora en t ϭ 0, u(x, 0) ϭ 1, 0 Ͻ x Ͻ 1, por tanto
1 An sen n x. (7)
n1
La serie (7) no es una serie de senos de Fourier; más bien, es un desarrollo de
u(x, 0) ϭ 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular
de Sturm-Liouville (4). Por tanto, el conjunto de eigenfunciones propias {sen Įnx},
n ϭ 1, 2, 3, . . . , donde las Į VH GH¿QHQ FRQ WDQ Į ϭ ϪĮ͞h, es ortogonal respecto a la
función de peso p(x) ϭ 1 sobre el intervalo [0, 1]. Acoplando (7) con (7) de la sección
11.1, se tiene de la ecuación (8) de esa sección, con f (x) ϭ 1 y n(x) ϭ sen Įnx, que los
FRH¿FLHQWHV An están dados por
12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES O 493
An 1 sen nx dx. (8)
0 nx dx
1 sen 2
0
Para evaluar la norma cuadrada de cada una de las eigenfunciones, utilizamos una
identidad trigonométrica:
1 11 1 1 sen 2 n.
(1 cos 2 x) dx 2 1 (9)
sen2 n x dx 2 2 n
0
0
Utilizando la fórmula del ángulo doble sen 2Įn ϭ 2 sen Įn cos Įn y la primer ecuación
en (6) en la forma Įn cos Įn ϭ Ϫh sen Įn VLPSOL¿FDPRV FRPR
( )1 1
2h
sen2 n x dx
0
h cos2 n .
También 1 11 1
cos n x (1 cos n).
sen n x dx
n0 n
0
Por tanto, la ecuación (8) se convierte en
An 2 h (1 cos nn)).
n (h cos2
Por último, una solución del problema con valores en la frontera es
u(x, t) 2h 1 cos n e kan2 t sen n x.
n 1 n (h cos2
n)
EJEMPLO 2 Uso del desarrollo en series ortogonales
El ángulo de torsión ș(x, t) de un eje de longitud unitaria que vibra torsionalmente se
determina a partir de
22
a2 x2 t2, 0 x 1, t 0
θ (0, t) 0, xx 1 0, t 0
01 (x, 0) x, tt0 0, 0 x 1.
FIGURA 12.7.1 Torsión de un eje 9HD OD ¿JXUD /D FRQGLFLyQ IURQWHUD HQ x ϭ 1 se llama condición de extremo
en el ejemplo 2. libre. Determine ș(x, t).
SOLUCIÓN Procediendo como en la sección 12.4 con ș(x, t) ϭ X(x)T(t) y utilizando
ϪȜ una vez más como la constante de separación, las ecuaciones separadas y las con-
diciones de frontera son:
X X0 (10)
T a2 T 0 (11)
X(0) 0 y X (1) 0. (12)
Un problema regular de Sturm-Liouville en este caso consiste en la ecuación (10) y en
las condiciones de frontera homogéneas en (12):
X X 0, X(0) 0, X (1) 0. (13)
494 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
Como en el ejemplo 1, la ecuación (13) tiene soluciones no triviales para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0,
Į Ͼ 0. Las condiciones de frontera X(0) ϭ 0 y XЈ(1) ϭ 0 aplicadas a la solución general
X(x) c1 cos ax c2 sen ax (14)
dan, respectivamente, c ϭ 0 y c cos Į ϭ 0. Puesto que la función coseno es cero
en múltiplos impares 1 2 ϭ (2n Ϫ1)ʌ͞2, y los eigenvalores de (13) son
de ʌ͞2,
Į
n an2 (2n 1)2 2> 4, n 1, 2, 3, . . . La solución de la ED de segundo orden
T(t) c DĮnt c DĮnt. TЈ(0) c
(11) es ϭ 3 cos ϩ 4 sen La condición inicial ϭ 0 da 4 ϭ 0, por
lo que
2n 2 1 2n 2 1
2 2
1 2 1 2n 5 X(x)T(t) 5 An cos a
t sen x.
Para satisfacer la ecuación inicial restante, formamos
2n 1 2n 1 x.
(x, t) An cos a t sen 2 (15)
2
n1
Cuando t ϭ 0, debemos tener, para 0 Ͻ x Ͻ1,
(x, 0) x An sen 2n 1 x. (16)
2
n1
Como en el ejemplo 1, el conjunto de eigenfunciones sen 2n 1 x , n ϭ 1, 2,
2
3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x) ϭ 1 sobre el intervalo [0, 1].
Aunque la serie en la ecuación (16) parece una serie de Fourier de senos, no lo es
porque el argumento de la función seno no es múltiplo entero de ʌ[͞L (aquí L ϭ 1).
Nuevamente la serie es un desarrollo en serie ortogonal o una serie de Fourier genera-
OL]DGD 3RU WDQWR GH GH OD VHFFLyQ ORV FRH¿FLHQWHV HQ VRQ
1 2n 1
x sen x dx
An 2 .
0
x dx
1 2n 1
sen 2
02
Realizando las dos integraciones, obtenemos que
8( 1)n 1
An (2n 1)2 2.
El ángulo de torsión es entonces
(x, t) 8 ( 1)n 1 cos a 2n 1 t sen 2n 1 x. (17)
1(2 n 1)2 2 2
2 n
1 3RGHPRV XWLOL]DU XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH ș(x, t GH¿QLGD HQ \D VHD FRPR
-10 1 (x,t)
XQD VXSHU¿FLH WULGLPHQVLRQDO R FRPR FXUYDV ELGLPHQVLRQDOHV FRQVHUYDQGR XQD GH ODV
0.8 YDULDEOHV FRQVWDQWH (Q OD ¿JXUD KHPRV WUD]DGR OD JUi¿FD GH ș (x, t) sobre la
región rectangular 0 Յ x Յ 1, 0 Յ t Յ 10. Las secciones transversales de esta super-
10 0.6
8 0.4 x ¿FLH VRQ LQWHUHVDQWHV (Q OD ¿JXUD KHPRV WUD]DGR D ș como una función del
6 tiempo t VREUH HO LQWHUYDOR > @ XVDQGR FXDWUR YDORUHV HVSHFt¿FRV GH x y una suma
t4 0.2 parcial de la ecuación (17) (con a ϭ 1). Como se puede ver en las cuatro partes de
2 00
OD ¿JXUD HO iQJXOR GH WRUVLyQ GH FDGD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO GH OD YDULOOD RVFLOD
FIGURA 12.7.2 /D VXSHU¿FLH HV OD
JUi¿FD GH XQD VXPD SDUFLDO GH HQ HO hacia adelante y hacia atrás (valores positivos y negativos de ș) conforme el tiempo
ejemplo 2.
DXPHQWD /D ¿JXUD G PXHVWUD OR TXH VH HVSHUDUtD LQWXLWLYDPHQWH FXDQGR QR KD\
amortiguamiento, el extremo de la varilla en x ϭ 1 inicialmente se desplaza 1 radián
(ș(1, 0) ϭ FXDQGR HVWi HQ PRYLPLHQWR HVWH H[WUHPR RVFLOD LQGH¿QLGDPHQWH HQWUH
su desplazamiento máximo de 1 radián y su desplazamiento mínimo de Ϫ1 radián. Las
JUi¿FDV GH ODV ¿JXUDV D F SUHVHQWDQ OR TXH SDUHFH VHU XQ FRPSRUWDPLHQWR GH
“pausa” de ș en su desplazamiento máximo (mínimo) de cada una de las secciones
12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES O 495
WUDQVYHUVDOHV HVSHFL¿FDGDV DQWHV GH FDPELDU GH GLUHFFLyQ \ KDFLD GHODQWH GH VX PtQLPR
(máximo). Este comportamiento disminuye conforme x A 1.
(0.2, t) (0.5, t)
1 1 t
0.5 0.5
t0
0 -0.5
-0.5
-1 -1
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
a) x = 0.2 b) x = 0.5
(0.8, t) (1, t)
1 1 t
0.5 0.5
t0
0 -0.5
-0.5
-1 2468 10 -1
0 c) x = 0.8
0 2 4 6 8 10
d) x = 1
FIGURA 12.7.3 Desplazamiento angular ș como una función del tiempo en diferentes
secciones transversales de la varilla, del ejemplo 2.
EJERCICIOS 12.7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.
1. En el ejemplo 1, encuentre la temperatura u(x, t) cuando 5. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longi-
el extremo izquierdo de la varilla está aislado. tud L si la temperatura inicial en toda la varilla es f (x),
el extremo x ϭ 0 se mantiene a la temperatura cero y el
2. Resuelva el problema con valores en la frontera extremo x ϭ L está aislado.
2u u, 0 x 1, t 0 6. Resuelva el problema con valores en la frontera
k x2 t
2u 2tu2 ,
u(0, t) 0, u a2 x2 0 x L, t 0
xx 1
h(u(1, t) u0), h 0, t 0
u(x, 0) f (x), 0 x 1. u(0, t) 0, u F0, t 0
E
xx L
3. Encuentre la temperatura de estado estable en una placa u(x, 0) 0, u 0, 0 x L.
rectangular cuyas condiciones en la frontera son tt 0
0, u La solución u(x, t) representa el desplazamiento longitudi-
xx a
u(0, y) hu(a, y), 0 y b nal de una varilla elástica vibrando anclada en su extremo
u(x, 0) 0, u(x, b) f (x), 0 x a.
izquierdo y sujeta a una fuerza constante de magnitud F en
0
VX H[WUHPR GHUHFKR 9HD OD ¿JXUD GH ORV HMHUFLFLRV
12.4. E es una constante que se llama módulo de elasticidad.
4. Resuelva el problema con valores en la frontera 7. Resuelva el problema con valores en la frontera
2u 2u 0, 0 y 1, x 0 2u 2u 0, 0 x 1, 0 y 1
x2 y2 x2 y2
u(0, y) u0, lim u(x, y) 0, 0 y 1 u 0, u(1, y) u0, 0 y 1
xx 0
x→
u 0, u hu(x, 1), h 0, x 0. u(x, 0) 0, u 0, 0 x 1.
yy 0 yy 1 yy 1
496 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
8. Resuelva el problema de valor de frontera Tarea para el laboratorio de computación
−2u 2 u 5 −u , 0 , x , 1, t.0 11. Una viga vibrando en voladizo está incrustada en su ex-
−x2 −t tremo izquierdo (x ϭ 0) y libre en su extremo derecho
(x ϭ 9HD OD ¿JXUD (O GHVSOD]DPLHQWR WUDQV-
u−u 5 0, u(1, t) 5 0, t.0 versal u(x, t) de la viga se determina del problema con
−x
x50 valores en la frontera
u(x, 0) 5 1 2 x2, 0 , x , 1. 4u 2u 0, 0 x 1, t 0
x4 t2
9. La temperatura inicial en una varilla de longitud unitaria
es f (x) en toda la varilla. Hay transferencia de calor en sus u(0, t) 0, u
dos extremos, x ϭ 0 y x ϭ 1, hacia el ambiente mantenido 0, t 0
a una temperatura constante de cero. Demuestre que xx 0
2u 0, 3u 0, t 0
x2 x 1 x3 x 1
(k 2 t
u(x, t) Ane n n cos nx h sen nx),
donde
n1 u
u(x, 0) f (x), t t 0 g(x), 0 x 1.
21 n cos h sen nx) dx. Utilice un SAC para encontrar aproximaciones de los
An f (x)( nx dos primeros eigenvalores del problema. [Sugerencia:
( 2 2h h2)
n 0 Véanse los problemas 17 y 18 en los ejercicios 12.4.]
u
Los eigenvalores son n an2, n 1, 2, 3, . . . , donde 1x
los Įn son las raíces positivas consecutivas de tan
Į ϭ 2ĮK͞(Į2 Ϫ h2).
10. Utilice el método analizado en el ejemplo 3 de la sección
12.6 para resolver el problema con valores en la frontera
2u x e 2t ut , 0 x 1, t 0 FIGURA 12.7.4 Viga en voladizo vibrando del problema 11.
k x2 u(1, t), t 0
1. 12. a) ( QFXHQWUH XQD HFXDFLyQ TXH GH¿QD ORV HLJHQYDORUHV
u(0, t) 0, u cuando los extremos de la viga del problema 10 están
xx 1 incrustados en x ϭ 0 y en x ϭ 1.
u(x, 0) 0, 0 x b) Utilice un SAC para determinar las aproximaciones
de los primeros dos eigenvalores positivos.
12.8 PROBLEMAS CON DIMENSIONES SUPERIORES
INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos resuelto problemas con valores en la frontera que implican
las ecuaciones unidimensionales de calor y de onda. En esta sección mostraremos cómo extender el
método de separación de variables a problemas que implican las versiones bidimensionales de esas
ecuaciones diferenciales parciales.
ECUACIONES DE CALOR Y DE ONDA EN DOS DIMENSIONES Suponga que
OD UHJLyQ UHFWDQJXODU GH OD ¿JXUD D HV XQD SODFD GHOJDGD HQ OD TXH OD WHPSH-
ratura u es una función de tiempo t y de posición (x, y). Entonces, bajo condiciones
adecuadas, u(x, y, t) se puede demostrar que satisface la ecuación de calor en dos
dimensiones
2u 2u ut . (1)
k x2 y2
3RU RWUR ODGR VXSRQJD TXH OD ¿JXUD E UHSUHVHQWD XQ PDUFR UHFWDQJXODU VREUH
HO TXH VH KD H[WHQGLGR XQD PHPEUDQD ÀH[LEOH GHOJDGD XQ WDPERU UHFWDQJXODU 6L
se pone en movimiento a la membrana rectangular, entonces su desplazamiento u,
12.8 PROBLEMAS DIMENSIONALES DE ORDEN SUPERIOR O 497
medido desde el plano xy (vibraciones transversales), es también una función de t y
de posición (x, y). Cuando las vibraciones son pequeñas, libres y no amortiguadas,
u(x, y, t) satisface la ecuación de onda en dos dimensiones
a2 2u 2u 2u (2)
x2 y2 t2 .
Para separar las variables en (1) y (2), suponemos una solución producto de la
forma u(x, y, t) ϭ X(x)Y(y)T(t) 2EVHUYH TXH
2u X YT, 2u XY T y u XYT .
x2 y2 t
Como veremos en el siguiente ejemplo, con condiciones de frontera adecuadas, los
problemas con valores en la frontera que implican (1) y (2) conducen a los conceptos
de series de Fourier en dos variables.
EJEMPLO 1 Temperaturas en una placa
y Encuentre la temperatura u(x, y, t GH OD SODFD TXH PXHVWUD OD ¿JXUD D VL OD WHP-
c (b, c) peratura inicial es f (x, y) en toda la varilla y si los bordes se mantienen a la temperatura
cero para el tiempo t Ͼ 0.
SOLUCIÓN Debemos resolver
bx 2u 2u u, 0 x b, 0 y c, t 0
a) k x2 y2 t
u
sujeta a u(0, y, t) 0, u(b, y, t) 0, 0 y c, t 0
u(x, 0, t) 0, u(x, c, t) 0, 0 x b, t 0
u(x, y, 0) f (x, y), 0 x b, 0 y c.
c Sustituyendo u(x, y, t) ϭ X(x)Y(y)T(t), obtenemos
by
x k(X YT XY T) XY T o X Y T . (3)
X Y kT
b)
Puesto que el miembro izquierdo de la última ecuación en (3) depende sólo de x y en el
FIGURA 12.8.1 a) Placa rectangular y miembro derecho depende sólo de y y de t, igualamos ambos lados a una constante ϪȜ:
b) membrana rectangular.
por tanto, X YT (4)
X Y kT
X X0
YT . (5)
Y kT
Usando el mismo razonamiento, si introducimos otra constante de separación Ϫȝ en
la ecuación (5), entonces
Y y T
Y kT
entonces Y Y0 y T k( )T 0. (6)
Ahora las condiciones de frontera homogéneas
u(0, y, t) 0, u(b, y, t) 0 implican que X(0) 0, X(b) 0
u(x, 0, t) 0, u(x, c, t) 0 Y(0) 0, Y(c) 0.
Por tanto, tenemos dos problemas de Sturm-Liouville: 0 (7)
X X 0, X(0) 0, X(b) 0. (8)
y Y Y 0, Y(0) 0, Y(c)
498 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
Los casos usuales a considerar son (Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0, ȝ ϭ 0, etc.) que
conducen a los conjuntos independientes de eigenvalores,
m2 2 y n2 2
m b2 n c2 .
Las eigenfunciones correspondientes son
X(x) c2 sen m x, m 1, 2, 3 . . . , y Y ( y) c4 sen n y, n 1, 2, 3, . . . (9)
b c
Después de sustituir los valores conocidos de Ȝn y ȝn en la ED de primer orden en (6),
se encuentra que su solución general es T(t) c5 e k[(m /b)2 (n /c)2]t. Una solución
producto de la ecuación de calor en dos dimensiones que satisface las cuatro ecuacio-
nes homogéneas es entonces
umn(x, y, t) Amn e k [(m /b)2 (n /c)2 ]t sen m x sen n y,
b c
donde Amn es una constante arbitraria. Puesto que tenemos dos conjuntos de eigenva-
lores, esto nos motiva a intentar el principio de superposición en la forma de una doble
suma
u(x, y, t) Amn e k [(m /b)2 (n / c)2 ]t sen m x sen n y. (10)
En t ϭ 0 tenemos que b c
m 1n 1
mn
u(x, y, 0) f (x, y) Amn sen x sen y. (11)
b c
m 1n 1
3RGHPRV HQFRQWUDU ORV FRH¿FLHQWHV Amn multiplicando la doble suma (11) por el pro-
ducto sen(Pʌ[͞b) sen(Pʌ\͞c H LQWHJUDQGR VREUH HO UHFWiQJXOR GH¿QLGR SRU ODV GHV-
igualdades 0 Յ x Յ b, 0 Յ y Յ c. Se tiene que
Amn 4 c b f (x, y) sen m x sen n y dx dy. (12)
bc 0 0 bc
Por lo que la solución del PVF consiste en (10) con los Amn GH¿QLGRV HQ
/D VHULH FRQ FRH¿FLHQWHV VH OODPD serie de senos con dos variables o doble
serie de senos. Resumimos la siguiente serie de cosenos con dos variables.
La doble serie de cosenos de una función f (x, y GH¿QLGD VREUH XQD UHJLyQ UHFWDQ-
JXODU GH¿QLGD SRU Յ x Յ b, 0 Յ y Յ c está dada por
Am0 cos mn
f (x, y) A00 x A0n cos y
m1 b c
n 1
Amn cos m x cos n y,
b c
m 1n 1
1 cb
donde A00 f (x, y) dx dy
bc 0 0
Am 0 2 c b (x, y) cos m x dx dy
bc 0 b
f
0
2 cb n
A0n f (x, y) cos y dx dy
bc 0 0 c
4 c b m x cos n
Amn bc 0 0 f (x, y) cos bc y dx dy.
Para un problema que conduce a una doble serie de cosenos vea el problema 2 de los
ejercicios 12.8.
REPASO DEL CAPÍTULO 12 O 499
EJERCICIOS 12.8 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.
En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta La temperatura de estado estable u(x, y, z) del paralelepípedo
UHFWDQJXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VDWLVIDFH OD
a las condiciones dadas.
1. u(0, y, t) ϭ 0, u(ʌ, y, t) ϭ 0 ecuación de Laplace en tres dimensiones:
u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, ʌ, t) ϭ 0 2u 2u 2u (13)
x2 y2 z2 0.
u(x, y, 0) ϭ u
0
uu z
2. x x 0 0, x x 1 0
u 0, u 0
yy 0 yy 1
(a, b, c)
u(x, y, 0) ϭ xy
y
En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación de calor (2) sujeta
a las condiciones dadas. x
3. u(0, y, t) ϭ 0, u(ʌ, y, t) ϭ 0 FIGURA 12.8.2 Paralelepípedo rectangular de los
u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, ʌ, t) ϭ 0 problemas 5 y 6.
u(x, y, 0) ϭ xy(x Ϫ ʌ)(y Ϫ ʌ)
5. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara superior
u 0 (z ϭ c) del paralelepípedo se conserva a la temperatura
tt0 f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero.
4. u(0, y, t) ϭ 0, u(b, y, t) ϭ 0 6. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara inferior
u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, c, t) ϭ 0 (z ϭ 0) del paralelepípedo se conserva a temperatura
u(x, y, 0) ϭ f (x, y) f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero.
u g(x, y)
tt 0
REPASO DEL CAPÍTULO 12 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-22.
1. Utilice separación de variables para encontrar las solu-
ciones producto de 5. En t ϭ 0 una cuerda de longitud unitaria se encuentra
tensa sobre el eje x positivo. Los extremos de la cuerda
2u están anclados en el eje x, en x ϭ 0 y en x ϭ 1 para t Ͼ 0.
u. Determine el desplazamiento u(x, t) si la velocidad inicial
g(x HV OD TXH VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD 5
xy
g (x)
2. Use separación de variables para determinar las solucio-
nes producto de h
2u 2u u u 1 1 3 1x
x2 y2 2 x 2 y 0.
4 24
¿Es posible elegir una constante de separación tal que
tanto X como Y sean funciones oscilatorias? FIGURA 12.R.1 Velocidad inicial g(x) del problema 5.
3. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del pro- 6. La ecuación diferencial parcial
blema con valores en la frontera
2u u 2u x2 2u
k x2 t , 0 x , t 0, x2 t2
u(0, t) u0, u u( , t) u1, t 0 es una forma de la ecuación de onda cuando se aplica
xx
una fuerza vertical externa proporcional al cuadrado de la
u(x, 0) 0, 0 x .
distancia horizontal en el extremo izquierdo de la cuerda.
4. Dé una interpretación física de las condiciones de fron- La cuerda está anclada en x ϭ 0, una unidad arriba del
tera del problema 3. eje x y en el eje x en x ϭ 1 para t Ͼ 0. Encuentre el des-
plazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un
desplazamiento f (x).
500 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
7. Encuentre la temperatura u(x, y) de estado estable en la 13. Encuentre la solución formal en serie para el problema
SODFD FXDGUDGD GH OD ¿JXUD 5
y 2u 2 u 2u 2 u u, 0 x ,t 0
u = 0 (π, π) x2 x t2 t
u=0 u = 50 u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0
u=0 x u .
0, 0 x
tt0
FIGURA 12.R.2 Placa cuadrada del problema 7. 14. La concentración c(x, t) de una sustancia que se difunde en
un medio y que es arrastrada por las corrientes de convec-
8. Determine la temperatura de estado estable u(x, y) en la ción del medio satisface la ecuación diferencial parcial
SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5
2c c ct ,
y k x2 h x
Aislada
π k y h constantes. Resuelva la EDP sujeta a
u = 50
0 x c(0, t) 0, c(1, t) 0, t 0
Aislada
c(x, 0) c0, 0 x 1,
FIGURA 12.R.3 3ODFD VHPLLQ¿QLWD GHO SUREOHPD donde c es una constante.
0
9. Resuelva el problema 8 cuando las fronteras y ϭ 0 y y ϭ ʌ 15. Resuelva el problema con valores en la fronteral
se conservan a temperatura cero durante todo el tiempo.
10. Encuentre la temperatura u(x, t HQ OD SODFD LQ¿QLWD GH DQFKR 2u u
, 0 x 1, t 0
2L TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 VL OD WHPSHUDWXUD LQL- x2 t
cial en toda la placa es u en toda la placa. [Sugerencia: u(0, t) u u(1, t) u1, t 0
0 u(x, 0) u0, x x 1
u(x, 0) ϭ u0, ϪL Ͻ x Ͻ L es una función par de x.]
u0, 0 x 1,
y
donde u y u son constantes.
0 1
u=0 u=0 16. Resuelva la ecuación de Laplace para una placa rectangu-
−L Lx lar sujeta a las condiciones de valor de frontera
u(0, y) 5 0, u(, y) 5 0, 0 , y ,
u(x, 0) 5 x2 2 x, u(x, ) 5 x2 2 x, 0 , x , .
FIGURA 12.R.4 3ODFD LQ¿QLWD GHO SUREOHPD 17. Utilice la sustitución u(x, y) ϭ v(x, y) ϩ ȥ(x) y el resul-
tado del problema 16 para resolver el problema de valor de
11. Resuelva el problema con valores en la frontera frontera
2u ut , 0x , t0 −2u 1 −2u 5 22, 0 , x , , 0,y,
x2 −x2 −y2
u(0, y) 5 0, u(, y) 5 0, 0 , y ,
u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0 u(x, 0) 5 0, u(x, ) 5 0, 0 , x , .
u(x, 0) sen x, 0 x .
12. Resuelva el problema con valores en la frontera 18. Resuelva el problema de valor de frontera
2u sen x ut , 0x ,t 0 −2u 1 ex 5 −−ut , 0 , x , , t.0
x2 −x2
u(0, t) 400, u( , t) 200, t 0 u(0, t) 5 0, u−u 5 0, t.0
−x
x5
u(x, 0) 400 sen x, 0 x . u(x, 0) 5 f (x), 0 , x , .
REPASO DEL CAPÍTULO 12 O 501
19. Una placa rectangular está descrita por la región en el plano 20. Si los cuatro bordes de la placa rectangular en el problema
xy GH¿QLGD SRU Յ x Յ a, 0 Յ y Յ b. En el análisis de la 19 están simplemente apoyadas, entonces demuestre que la
GHÀH[LyQ w(x, y) de la placa bajo una carga sinusoidal, se solución particular dada satisface las condiciones frontera
encontró la siguiente ecuación diferencial parcial de cuarto w(0, y) 5 0, w(a, y) 5 0, 0 , y , b
orden lineal:
−4w −4w −4w q0 x y w(x, 0) 5 0, w(x, b) 5 0, 0 , x , a
−x4 −x 2−y2 −y4 D a sen b ,
1 2 1 5 sen u−2w u−2w
q D constante C −x2 5 0, −x2 5 0, 0,y,b
0 sea una so- 0 , x , a.
donde y son constantes. Encuentre una x50 x5a
para que el producto w(x, y) 5 C sen x y u−2w 5 0, u−2w 5 0,
a sen b
lución particular de la EDP. −y2 y50 −y2 y5b
13
PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
© Aceshot1/Shutterstock.com
13.1 Coordenadas polares
13.2 Coordenadas polares y cilíndricas
13.3 Coordenadas esféricas
REPASO DEL CAPÍTULO 13
Los problemas con valores en la frontera que hemos considerado hasta el
momento sólo se han expresado en coordenadas rectangulares. Pero si se
desea encontrar, por ejemplo, temperaturas en una placa circular, en un
cilindro circular o en una esfera, naturalmente trataríamos de describir el problema
en términos de coordenadas polares, coordenadas cilíndricas o coordenadas
esféricas, respectivamente. Veremos que el método de separación de variables en
estos tres últimos sistemas coordenados conducen a la serie de Fourier-Bessel y de
la serie de Fourier-Legendre.
502
13.1 COORDENADAS POLARES O 503
13.1 COORDENADAS POLARES
INTRODUCCIÓN Debido a que en esta sección sólo se consideran problemas de temperatura
de estado estable en coordenadas polares, lo primero que debemos hacer es convertir la ecuación de
Laplace conocida de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
LAPLACIANO EN COORDENADAS POLARES La relación entre las coordena-
das polares en el plano y las coordenadas rectangulares está dada por:
y (x, y) o x r cos , y r sen y r2 x2 y2, tan y.
(r, θ ) x
ry 9HD OD ¿JXUD (O SULPHU SDU GH HFXDFLRQHV WUDQVIRUPD ODV FRRUGHQDGDV SRODUHV
(r, ș) en coordenadas rectangulares (x, y); el segundo par de ecuaciones nos permite
θ WUDQVIRUPDU FRRUGHQDGDV UHFWDQJXODUHV D FRRUGHQDGDV SRODUHV (VDV HFXDFLRQHV WDPELpQ
x permiten convertir el Laplaciano bidimensional ٌ2u ϭ Ѩ2u͞Ѩx2 ϩ Ѩ2u͞Ѩy2 a coordenadas
x polares. Se le recomienda aplicar con cuidado la regla de la cadena para demostrar que
FIGURA 13.1.1 Las coordenadas u ur u cos u sen u
polares de un punto (x, y) son (r, ș). x rx x r r
u ur u sen u cos u
y ry y r r
2u cos2 2u 2 sen cos 2u sen2 2u sen2 u 2 sen cos u
x2 r2 r r (2)
r2 2 rr r2
2u sen2 2u 2 sen cos 2u cos2 2u cos2 u 2 sen cos u.
y2 r2 r r r2 2 rr r2
6XPDQGR ODV HFXDFLRQHV \ \ VLPSOL¿FDQGR VH REWLHQH HO /DSODFLDQR GH u en
coordenadas polares:
2u 2u 1u 1 2u2.
r2 rr r2
u = f (θ) y (Q HVWD VHFFLyQ VyOR FRQVLGHUDUHPRV SUREOHPDV TXH LPSOLTXHQ OD HFXDFLyQ GH
c Laplace ٌ2u ϭ 0 en coordenadas polares:
x 2u 1u 1 2u 0
r2 rr r2 2
FIGURA 13.1.2 Problema de Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet para un disco circular. Queremos
Dirichlet para un círculo. UHVROYHU OD HFXDFLyQ GH /DSODFH SDUD OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en un disco
circular o plato de radio c cuando la temperatura de la circunferencia es u(c, ș) ϭ f(ș),
0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ 9HD OD ¿JXUD 6H VXSRQH TXH ODV GRV FDUDV GH OD SODFD HVWiQ DLVODGDV (VWH
problema aparentemente simple no es como los que encontramos en el capítulo anterior.
EJEMPLO 1 Temperaturas estables en un disco circular
5HVXHOYD OD HFXDFLyQ GH /DSODFH VXMHWD D u(c, ș) ϭ f (ș), 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ.
SOLUCIÓN Antes de intentar la separación de variables, observamos que la única
FRQGLFLyQ GH IURQWHUD HV QR KRPRJpQHD (Q RWUDV SDODEUDV QR KD\ FRQGLFLRQHV H[SOtFL-
WDV HQ HO HQXQFLDGR GHO SUREOHPD TXH QRV SHUPLWDQ GHWHUPLQDU \D VHD ORV FRH¿FLHQWHV
HQ ODV VROXFLRQHV GH ODV ('2 VHSDUDGDV R ORV HLJHQYDORUHV QHFHVDULRV 6LQ HPEDUJR
hay algunas condiciones implícitas.
504 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
(Q SULPHU OXJDU QXHVWUD LQWXLFLyQ ItVLFD QRV OOHYD D HVSHUDU TXH OD WHPSHUDWXUD
u(r, ș) debe ser continua y, por tanto, acotada dentro del círculo r ϭ c. Además, la
temperatura u(r, ș GHEH VHU XQLYDOXDGD HVWR VLJQL¿FD TXH HO YDORU GH u debe ser el
mismo en cualquier punto del círculo, independientemente de la descripción polar de
ese punto. Debido a que (r, ș ϩ 2ʌ) es una descripción equivalente del punto (r, ș),
debemos tener u(r, ș) ϭ u(r, ș ϩ 2ʌ (V GHFLU u(r, ș) debe ser periódica en ș con pe-
riodo 2ʌ. Si buscamos una solución producto u ϭ R(r)⌰(ș), entonces ⌰(ș) tiene que
ser necesariamente periódica con periodo 2ʌ.
Tomando todo esto en cuenta decidimos escribir la constante de separación en la
separación de variables como Ȝ:
r2R rR .
R
Las ecuaciones separadas son entonces
r2R rR R0 (4)
0. (5)
(VWDPRV EXVFDQGR XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD
0, ( ) ( 2 ). (6)
La ecuación (6) no es un problema regular de Sturm-Liouville; sin embargo, el problema
JHQHUD HLJHQYDORUHV \ HLJHQIXQFLRQHV (VWRV ~OWLPRV IRUPDQ XQ FRQMXQWR RUWRJRQDO HQ
el intervalo [0, 2ʌ].
De las tres posibles soluciones generales de (5),
( ) c1 c2 , 0 (7)
20 (8)
( ) c1 cosh c2 senh , (9)
20
( ) c1 cos c2 sen ,
Por ejemplo, observe que cos podemos descartar a (8) como intrínsecamente no periódica a menos que c ϭ c2 ϭ 0.
n(ș ϩ 2ʌ) ϭ cos(Qș ϩ Qʌ) ϭ cos Qș. 'H LJXDO PDQHUD OD VROXFLyQ HV QR SHULyGLFD D PHQRV TXH GH¿QDPRV c2 ϭ 0. A la
solución que resta ⌰(ș) ϭ c c 0, se le puede asignar algún periodo y, por tanto,
Ȝ ϭ 0 es un eigenvalor. Por último, la solución (9) tendrá periodo 2ʌ si tomamos
Į ϭ n, donde n ϭ /RV HLJHQYDORUHV GH VRQ HQWRQFHV Ȝ0 ϭ 0 y Ȝn ϭ n2,
n ϭ 6L FRUUHVSRQGH Ȝ0 ϭ 0 con n ϭ 0, las eigenfunciones de (6) son
( ) c1, n 0, y ( ) c1 cos n c2 sen n , n 1, 2, . . .
Cuando Ȝn ϭ n2, n ϭ ODV VROXFLRQHV GH OD (' GH &DXFK\ (XOHU VRQ
R(r) c3 c4 ln r, n 0,
R(r) c3rn c4r n, n 1, 2, . . .
$KRUD REVHUYH HQ TXH rϪn ϭ l͞r n (Q FXDOTXLHUD GH ODV VROXFLRQHV X GH-
EHPRV GH¿QLU c4 ϭ 0 para garantizar que la solución u está acotada en el centro de la
placa (que es r ϭ 0). Por tanto, las soluciones producto un ϭ R(r)⌰(ș) para la ecuación
de Laplace en coordenadas polares son
u0 A0, n 0, y un rn(An cos n Bn sen n ), n 1, 2, . . . ,
donde se han remplazado c c por A0 para n ϭ 0 y por An para n ϭ OD FRPEL-
nación c c2 se ha sustituido por Bn (QWRQFHV HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ GD
u(r, ) A0 rn(An cos n Bn sen n ).
n1
13.1 COORDENADAS POLARES O 505
Aplicando la condición frontera en r ϭ c D UHFRQRFHPRV
f ( ) A0 cn(An cos n Bn sen n )
n1
como un desarrollo de f HQ VHULH GH )RXULHU FRPSOHWD 3RU WDQWR KDFHPRV ODV LGHQWL¿-
caciones A0 a20,
cnAn an y cnBn bn.
(VWR HV A0 1 2 f ( )d
2p 0
An 1 2
cn
f ( ) cos n d
0
Bn 1 2
cn
f ( ) sen n d .
0
/D VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQVLVWH HQ OD VHULH GDGD HQ GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV A0,
An y Bn HVWiQ GH¿QLGRV SRU ODV HFXDFLRQHV \
2EVHUYH HQ HO HMHPSOR TXH SDUD FDGD HLJHQYDORU SRVLWLYR Ȝn ϭ n2, n ϭ KD\
dos diferentes eigenfunciones, en particular, cos Qș y sen Qș (Q HVWH FDVR ORV HLJHQ
valores son algunas veces llamados eigenvalores dobles.
y u = u0 EJEMPLO 2 Temperatura estable en una placa semicircular
c (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en la placa semicircular que se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
θ =π
x SOLUCIÓN (O SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD HV
u = 0 en u = 0 en 2u 1u 1 2u 0, 0 ,0 r c
θ =π θ=0 r2 rr r2 2
FIGURA 13.1.3 Placa semicircular u(c, ) u0, 0 ,
del ejemplo 2.
u(r, 0) 0, u(r, ) 0, 0 r c.
'H¿QLHQGR u ϭ R(r)⌰(ș) y separando variables se obtiene
r2R rR
R
\ r2R rR R 0
0.
Las condiciones homogéneas establecidas en las fronteras ș ϭ 0 y ș ϭ ʌ se traducen
en ⌰(0) ϭ 0 y ⌰(ʌ) ϭ (VWDV FRQGLFLRQHV MXQWR FRQ OD HFXDFLyQ FRQVWLWX\HQ XQ
problema regular de Sturm-Liouville:
(VWH HV HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ 0, (0) 0, ( ) 0.
5.2 con L ϭ ʌ.
(VWH FRQRFLGR SUREOHPD WLHQH HLJHQYDORUHV Ȝn ϭ n2 y eigenfunciones ⌰(ș) ϭ c2 sen Qș,
nϭ 7DPELpQ DO VXVWLWXLU Ȝ por n2 OD VROXFLyQ GH HV R(r) ϭ c r n ϩ c4rϪn (O
UD]RQDPLHQWR TXH VH XVy HQ HO HMHPSOR HQ SDUWLFXODU QRV KDFH HVSHUDU XQD VROXFLyQ
u del problema que está acotada en r ϭ OR TXH QRV FRQGXFH D GH¿QLU TXH c4 ϭ 0.
ϭ R(r)⌰(ș) ϭ Qș
Por tanto, u Ar n sen y
n n
u(r, ) Anrn sen n .
n1
La condición de frontera que resta en r ϭ c da la serie de senos
u0 Ancn sen n .
n1
506 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
Por tanto, Ancn 2 u0 sen n d ,
0
y así An 2u0 1 ( 1)n.
cn n
Por tanto, la solución del problema está dada por
u(r, ) 2u0 1 ( 1)n r n
sen n .
n1 n c
EJERCICIOS 13.1Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.
(Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR 8. Determine la temperatura de estado estable en la placa de un
estable u(r, ș) en una placa circular de radio r ϭ VL OD FXDUWR GH FtUFXOR TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
temperatura en la circunferencia es la que se indica.
y
1. u(1, ) u0, 0 2 u = f (θ )
0,
u =0
2. u(1, ) ,0 c
,
2
3. u(1, ) 2 2, 0 2 u =0 x
4. u(1, ) , 0 2 FIGURA 13.1.5 Placa de un cuarto de círculo del problema 8.
5. Resuelva el problema exterior de Dirichlet para un disco circular 9. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en la placa
de radio c, si u(c, ș) ϭ I ș), 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ (Q RWUDV SDODEUDV GH- GH FXDUWR GH FLUFXOR TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VL ODV
termine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una placa que frontera ș ϭ 0 y ș ϭ ʌր2 se aíslan, y
coincide con todo el plano xy en el que se ha hecho un agujero
5u(c, ) 5 1, 0 , , y4
circular de radio c, alrededor del origen y la temperatura de la cir- 0, y4 , , .
cunferencia del agujero es I ș 9HD OD ¿JXUD >Sugerencia:
Suponga que la temperatura está acotada cuando r A ϱ.] 10. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH HQ OD SODFD LQ¿QLWD HQ
IRUPD GH FXxD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD >Sugerencia:
y Suponga que la temperatura está acotada cuando r A 0 y cuando
r A ϱ.]
u 5 f() y
c y=x
x u = 30
FIGURA 13.1.4 3ODFD LQ¿QLWD GHO SUREOHPD u=0 x
6. Determine la temperatura de estado estable en la placa de u(r, ș) en FIGURA 13.1.6 3ODFD HQ IRUPD GH FXxD GHO SUREOHPD
una placa semicircular de radio r ϭ VL ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD VRQ
11. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en el anillo
u(1, ) 5 u0, 0 , , circular acotado entre dos círculos concéntricos de radio a y
u(r, 0) 5 0, u(r, ) 5 u0, 0 , r , 1, b FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD >Sugerencia: Proceda
FRPR HQ HO HMHPSOR @
donde u0 es una constante.
7. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en una placa y
semicircular de radio r ϭ 2 Si las condiciones ș ϭ 0 y ș ϭ ʌ de u = f (θ)
una placa están aisladas.
u u−u 5 0, −u 5 0, 0 , r , 2, ab
− x
− 5
50
u(2, ) 5 u0, 0 , , y2
0, y2 , , 2,
5y u= 0
FIGURA 13.1.7 3ODFD HQ IRUPD GH DQLOOR GHO SUREOHPD
donde u0 es una constante
13.1 COORDENADAS POLARES O 507
12. 6L ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD SDUD HO DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD y y5x
VRQ
u(a, ș) ϭ u0, u(b, ș) ϭ u , 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ, u50 u 5 100
u50
donde u0 y u son constantes, demuestre que la temperatura de
estado estable está dada por
u(r, ) u0 ln(r>b) u1ln(r>a) . ab x
ln(a>b) u50
[Sugerencia: Intente una solución de la forma u(r,ș) ϭ v(r,ș) FIGURA 13.1.10 3ODFD GH XQ RFWDYR DQXODU HQ HO SUREOHPD
ϩ ȥ(r).]
13. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en el anillo Problemas para analizar
FLUFXODU GH OD ¿JXUD VL a ϭ b ϭ 2 y
19. &RQVLGHUH OD SODFD DQXODU GH OD ¿JXUD $QDOLFH FyPR
u ϭ 75senș, u(2, ș) ϭ 60cosș, 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ se puede usar el principio de superposición estudiado en la
6HFFLyQQ SDUD HQFRQWUDU OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDFLR-
14. (ncuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la placa nario u(r, ș) cuando las condiciones en la frontera son
VHPLFLUFXODU PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD VL
u(a, ș) ϭ f (ș), u(b, ș) ϭ g(ș), 0 Յ ș Յ 2ʌ.
u(a, ) ( ), u(b, ) 0, 0 20. 'HVDUUROOH VXV LGHDV DFHUFD GHO SUREOHPD SDUD HQFRQWUDU OD
u(r, 0) 0, u(r, ) 0, a r b. temperatura de estado estable u(r, ș) en el anillo circular que se
y PXHVWUD HQ OD ¿JXUD FXDQGR ODV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD VRQ
u(12, ) ϩ 0.5 cos ș), u ș) ϭ 200, 0 Յ ș Յ 2ʌ.
ab 21. Resuelva el problema de Neumann para la placa circular en la
x ¿JXUD
−2u 1 1 −u 1 1 −2u 5 0, 0 , , 2, 0 , r , c,
−r2 r −r r2 −2
FIGURA 13.1.8 3ODFD VHPLFLUFXODU GHO SUREOHPD
u−u
15. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en la placa 5 f (), 0 , , 2.
VHPLFLUFXODU PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD VL a ϭ b ϭ 2 y −r r5c
u ș) ϭ 0, u(2, ș) ϭ u0, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ Dé una condición de compatibilidad. [Sugerencia: Vea el pro-
u(r, 0) ϭ 0, u(r, ʌ) ϭ Ͻ r Ͻ 2 EOHPD GH ORV (MHUFLFLRV @
donde u0 es una constante.
22. Compruebe que u(r, ) 5 3 r sen 2 1 r3 sen 3 es una solución
4 4
16. Considere la temperatura de estado estable u(r, ș) en la placa del problema de valor frontera.
VHPLDQXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD FRQ a ϭ b ϭ 2,
y las condiciones frontera −2u 1 −u 1 −2u 0,r,1
−r2 1 r −r 1 r2 −2 5 0, 0 , , 2,
u ș) ϭ 0, u(2, ș) ϭ 0, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ u(1, ) 5 sen3, 0 , , 2.
u(r, 0) ϭ 0, u(r ʌ ϭ r Ͻ r Ͻ 2. Tarea para el laboratorio de computación
Demuestre que en este caso la elección de Ȝ ϭ ϪĮ2 en (4) y (5) 20. a) ( QFXHQWUH OD VROXFLyQ HQ VHULH GH u(r, ș GHO HMHPSOR
FRQGXFH D HLJHQYDORUHV \ HLJHQIXQFLRQHV (QFXHQWUH OD WHPSH-
ratura de estado estable u(r, ș). cuando
17. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en el cuarto u(1, ) 100, 0 2.
GH SODFD DQXODU TXH VH PXHVWUD HQ 0,
y u 5 f() b) 8VH XQ 6$& R XQD DSOLFDFLyQ JUD¿FDGRUD SDUD WUD]DU OD
inasisullaadteod at r 5 2 JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(r, ș) formada por los cinco
primeros términos distintos de cero de la solución del in-
u50 ciso a) para r ϭ 0.9, r ϭ 0.7, r ϭ 0.5, r ϭ \ r ϭ
at r 5 1 6REUHSRQJD ODV JUi¿FDV HQ ORV PLVPRV HMHV FRRUGHQDGRV
x c) Calcule las temperaturas aproximadas u u(0.7,
inasiusllaadteod 2), u u u 'HVSXpV FDOFXOH DSUR-
ximadamente u(0.9, 2ʌ Ϫ u(0.7, 2ʌ Ϫ 2), u(0.5, 2ʌ Ϫ
FIGURA 13.1.9 &XDUWR GH SODFD DQXODU GHO SUREOHPD . u ʌ Ϫ 4) y u ʌ Ϫ 5.5).
18. /D SODFD HQ HO SULPHU FXDGUDQWH TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD d) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la placa circular?
HV XQ RFWDYR GH OD SODFD DQXODU GH OD ¿JXUD Describa por qué es adecuado llamar a este valor temperatura
promedio en la placa. [Sugerencia: $QDOLFH ODV JUi¿FDV GHO
(QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș)
inciso b) y los números del inciso c).]
508 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS
INTRODUCCIÓN (Q HVWD VHFFLyQ FRQVLGHUDUHPRV SUREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD TXH
involucran formas de la ecuación de calor y de onda en coordenadas polares y una forma de la ecua-
ción de Laplace en coordenadas cilíndricas. Hay concordancia en los ejemplos y ejercicios: cada
problema con valores en la frontera de esta sección tiene simetría radial.
SIMETRÍA RADIAL Las ecuaciones bidimensionales de calor y de onda
k 2u 2u u a2 2u 2u 2u
x2 y2 t y x2 y2 t2
expresadas en coordenadas polares son, respectivamente,
2u 1u 1 2u u y a2 2u 1u 1 2u 2u
k r2 rr r2 2 t r2 rr r2 2 t2,
donde u ϭ u(r, ș, t). Para resolver por separación de variables un problema con valo-
UHV HQ OD IURQWHUD GRQGH LQWHUYHQJD DOJXQD GH HVWDV HFXDFLRQHV GH¿QLUHPRV u ϭ R(r)⌰
(ș)T(t &RPR HQ OD VHFFLyQ HVWD VXSRVLFLyQ FRQGXFH D YDULDV VHULHV LQ¿QLWDV
P~OWLSOHV 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV (Q HO DQiOLVLV TXH VH SUHVHQWD
a continuación, consideraremos una clase más sencilla, pero también importante, de
problemas que tienen simetría radial, es decir, problemas en los que la función des-
conocida u es independiente de la coordenada angular ș (Q HVWH FDVR ODV HFXDFLRQHV
FDORU \ GH RQGD HQ WRPDQ UHVSHFWLYDPHQWH ODV IRUPDV
k 2u 1u u a2 2u 1u 2u (2)
r2 rr ty r2 rr t2,
donde u ϭ u(r, t). Las vibraciones descritas por la segunda de las ecuaciones en (2) se
llaman vibraciones radiales.
(O SULPHU HMHPSOR WLHQH TXH YHU FRQ ODV YLEUDFLRQHV UDGLDOHV OLEUHV GH XQD PHP-
brana circular delgada. Se supone que los desplazamientos son pequeños y que el mo-
vimiento es tal que cada punto de la membrana se mueve en dirección perpendicular al
plano xy (vibraciones transversales), es decir, el eje u es perpendicular al plano xy. Un
modelo físico que se puede recordar cuando se trabaja con este ejemplo es la vibración
de la membrana de un tambor.
u u = f(r) en t = 0 EJEMPLO 1 Vibraciones radiales de una membrana circular
y (QFXHQWUH HO GHVSOD]DPLHQWR u(r, t) de una membrana circular de radio c sujeta a lo
u = 0 en r = c largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f (r) y su velocidad inicial es
x g(r 9HD OD ¿JXUD
FIGURA 13.2.1 Desplazamiento SOLUCIÓN (O SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD TXH KD\ TXH UHVROYHU HV
inicial de una membrana circular del
HMHPSOR a2 2u 1u 2u
r2 rr t2, 0 r c, t 0
u(c, t) 0, t 0
u
u(r, 0) f (r), t t 0 g(r), 0 r c.
Sustituyendo u ϭ R(r)T(t) en la ecuación diferencial parcial y separando las variables
obtenemos
R 1 R T
r a2T
.
R
13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS O 509
2EVHUYH TXH HQ OD HFXDFLyQ KHPRV UHJUHVDGR D QXHVWUD FRQVWDQWH GH VHSDUDFLyQ
usual ϪȜ /DV GRV HFXDFLRQHV REWHQLGDV GH OD HFXDFLyQ VRQ
rR R rR 0 (4)
y T a2 T 0. (5)
Debido a la naturaleza vibracional del problema, la ecuación (5) sugiere que sólo se
use Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, Į Ͼ 0, ya que esta elección conduce a funciones periódicas. También
observe que la ecuación (4) no HV XQD HFXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU VLQR TXH HV OD HFXD-
ción diferencial paramétrica de Bessel de orden n ϭ 0, es decir, rRЉ ϩ RЈ ϩ Į2rR ϭ 0.
'HO SUREOHPD GH OD VHFFLyQ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ HV
R(r) 5 c1J0(␣r) 1 c2Y0(␣r). (6)
La solución general de la ecuación conocida (5) es
T(t) 5 c3 cos a␣t 1 c4 sen a␣t.
9HD OD ¿JXUD Ahora, recordemos que Y0(ĮU) A Ϫϱ cuando r A 0ϩ, por lo que la suposición implí-
de la página 264. cita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r ϭ QRV FRQGXFH D GH¿QLU
c2 ϭ 0 en la ecuación (6). Así R ϭ c J0(ĮU).
Puesto que la condición de frontera u(c, t) ϭ 0 es equivalente a R(c) ϭ 0, se debe
cumplir que c J0(Į c) ϭ 0. Se excluye c ϭ 0 (porque conduciría a una solución trivial
GH OD ('3 SRU OR TXH
J0( c) 0. (7)
Si xn ϭ Įnc son las raíces positivas de la ecuación (7), entonces Įn ϭ xn͞c, así los eigen-
valores del problema son Ȝn ϭ Į2n ϭ x2n͞c2,y las eigenfunciones son c J0(ĮU). Las soluciones
producto que satisfacen la ecuación diferencial parcial y la condición a la frontera son
un R(r)T(t) (An cos a nt Bn sen a nt) J0( nr), (8)
donde hemos etiquetado las constantes en la forma usual. Con el principio de super-
posición se obtiene
u(r, t) (An cos a nt Bn sen a nt) J0( nr). (9)
n1
/DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GDGDV GHWHUPLQDQ ORV FRH¿FLHQWHV An y Bn.
Haciendo t ϭ 0 en la ecuación (9) y usando u(r, 0) ϭ f (r) se obtiene
f (r) An J0( n r).
n1
(VWH ~OWLPR UHVXOWDGR VH UHFRQRFH FRPR HO GHVDUUROOR GH )RXULHU %HVVHO GH OD IXQFLyQ
f en el intervalo (0, c 3RU WDQWR FRPSDUDQGR GLUHFWDPHQWH ODV HFXDFLRQHV \
FRQ OD \ OD GH OD VHFFLyQ VH SXHGHQ LGHQWL¿FDU ORV FRH¿FLHQWHV An como
ORV GDGRV HQ OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
An 2 c nr) f (r) dr.
c2J12( nc)
rJ0(
0
A continuación, derivamos la ecuación (9) respecto a t, haciendo t ϭ 0 y usando
ut(r, 0) ϭ g(r):
g(r) a n Bn J0( nr).
n1
(VWR HV DKRUD XQ GHVDUUROOR GH )RXULHU %HVVHO GH OD IXQFLyQ g ,GHQWL¿FDQGR HO FRH¿-
ciente total D ĮnBn FRQ HO GH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SRGHPRV HVFULELU
Bn a 2 nc) c nr)g(r) dr.
nc2J21(
rJ0(
0
Por último, la solución del problema con valores en la frontera original es la serie (9)
FRQ FRH¿FLHQWHV An y Bn GH¿QLGRV HQ ODV HFXDFLRQHV \
510 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
ONDAS ESTACIONARIAS 'H PDQHUD DQiORJD D OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
ODV VROXFLRQHV SURGXFWR VH OODPDQ ondas estacionarias. Para n ϭ
ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV VRQ EiVLFDPHQWH OD JUi¿FD GH J0(Įnr) con amplitud variable en
el tiempo
Ancos a nt Bn sen a nt.
n =1 (Q OD ¿JXUD VH UHSUHVHQWDQ FRQ OtQHDV SXQWHDGDV ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV FRQ
a)
distintos valores de tiempo. Los ceros de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c)
n=2
b) son las raíces de J0(Įnr) ϭ 0 y corresponden al conjunto de los puntos en una onda
HVWDFLRQDULD GRQGH QR KD\ PRYLPLHQWR (VWH FRQMXQWR GH SXQWRV VH OODPD línea nodal.
n=3 6L FRPR HQ HO HMHPSOR ODV UDtFHV SRVLWLYDV GH J0(Įnc) ϭ 0 se representan por xn,
c) entonces xn ϭ Įnc lo que implica que Įn ϭ xn͞c y, por tanto, los ceros de las ondas
estacionarias se determinan con
FIGURA 13.2.2 2QGDV HVWDFLRQDULDV
J0( nr) J0 xn r 0.
(x, y, z) o c
z (r, θ, z)
$KRUD GH OD WDEOD ORV WUHV SULPHURV FHURV SRVLWLYRV GH J0 son (aproximadamente)
x ϭ 2.4, x2 ϭ 5.5 y x ϭ 8.7. Así, para n ϭ OD SULPHUD UDt] SRVLWLYD GH
J0 x1 r 0 es 2.4 r 2.4 o r c.
c c
Como lo que se busca son los ceros de las ondas estacionarias en el intervalo abierto
(0, c), el último resultado indica que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal.
Para n ϭ 2 las dos primeras raíces positivas de
J0 x2 r 0 se determinan de 5.5 r 2.4 y 5.5 r 5.5.
c c c
$Vt OD VHJXQGD RQGD HVWDFLRQDULD WLHQH XQD OtQHD QRGDO GH¿QLGD SRU r ϭ x c͞x2
ϭ 2.4c͞ 2EVHUYH TXH r Ϸ 0.44c Ͻ c. Para n ϭ FRQ XQ DQiOLVLV SDUHFLGR VH GH-
PXHVWUD TXH KD\ GRV OtQHDV QRGDOHV GH¿QLGDV SRU r ϭ x c͞x ϭ 2.4c͞8.7 y r ϭ x2c͞x
ϭ 5.5c͞ (Q JHQHUDO OD n-ésima onda estacionaria tiene n Ϫ OtQHDV QRGDOHV r ϭ x c͞xn,
r ϭ x2c͞xn, . . . , r ϭ xn Ϫ c͞xn. Puesto que r ϭ constante es la ecuación de una circun-
IHUHQFLD HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV YHPRV HQ OD ¿JXUD TXH ODV OtQHDV QRGDOHV GH
una onda estacionaria son circunferencias concéntricas.
USO DE COMPUTADORAS (V SRVLEOH YHU HO HIHFWR GH XQ VLPSOH WRTXH GH WDPERU
SDUD HO PRGHOR UHVXHOWR HQ HO HMHPSOR PHGLDQWH OD DSOLFDFLyQ GH DQLPDFLyQ GH XQ
VLVWHPD DOJHEUDLFR FRPSXWDUL]DGR (Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV VH OH SLGH
encontrar la solución dada en la ecuación (9) cuando
c 1, f (r) 0 y g(r) v0, 0 r b
0, b r 1.
(Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ DOJXQRV FXDGURV GH XQ ³YLGHR´ GHO WRTXH GH WDPERU
z
r y FIGURA 13.2.3 &XDGURV GH XQ ³YLGHR´ GH XQ 6$&
θ
LAPLACIANO EN COORDENADAS CILÍNDRICAS (Q OD ¿JXUD VH SXHGH
x ver que la relación entre las coordenadas cilíndricas (r, ș, z) de un punto en el espacio
y sus coordenadas rectangulares (x, y, z) está dada por
FIGURA 13.2.4 Las coordenadas
cilíndricas de un punto (x, y, z) son x r cos , y r sen , z z.
(r, ș, z).
13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS O 511
'H OD GHGXFFLyQ GHO /DSODFLDQR HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV YHD OD VHFFLyQ VH WLHQH
de inmediato que el Laplaciano de una función u en coordenadas cilíndricas es
2u 2u 1 u 1 2u 2u
r2 r r r2 2 z2.
z u = u0 en z = 4 EJEMPLO 2 Temperaturas de estado estable en un cilindro circular
u=0 Determine la temperatura de estado estable u en el cilindro circular que se muestra en
en r = 2 OD ¿JXUD
y SOLUCIÓN Las condiciones en la frontera indican que la temperatura u tiene sime-
tría radial. Por tanto, u(r, z) se determina de
x u = 0 en z = 0
2u 1 u 2u 0 r 2, 0 z 4
FIGURA 13.2.5 Cilindro circular del r2 r r z2 0,
ejemplo 2.
u(2, z) 0, 0 z 4
u(r, 0) 0, u(r, 4) u0, 0 r 2.
Utilizando u ϭ R(r)Z(z) y separando variables se obtiene
R 1 R Z
r Z
R
\ rR R lrR 0
Z Z 0.
Al considerar los casos Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 y Ȝ ϭ Į2 se determina que la elección Ȝ ϭ Į2
FRQGXFH D HLJHQYDORUHV \ HLJHQIXQFLRQHV (QWRQFHV OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ HV
R(r) c1J0( r) c2Y0( r),
3XHVWR TXH OD VROXFLyQ GH VH GH¿QH VREUH HO LQWHUYDOR ¿QLWR > @ OD VROXFLyQ
general se escribe como
Z(z) c3 cosh az c4 senh az.
&RPR HQ HO HMHPSOR OD VXSRVLFLyQ GH TXH OD WHPSHUDWXUD u está acotada en
r ϭ 0 impone que c2 ϭ 0. La condición u(2, z) ϭ 0 implica que R(2) ϭ (VWD HFXDFLyQ
J0(2a) 0,
GH¿QH D ORV HLJHQYDORUHV SRVLWLYRV Ȝn ϭ Į2n del problema. Por último, Z(0) ϭ 0 implica
ϭ ϭ c J0(Įnr), ϭ Įnz,
que c 0. Por lo que tenemos que R(r) Z(z) c senh y
4
un R(r)Z(z) An senh n zJ0( nr)
u(r, z) An senh nzJ0( nr).
n1
La condición de frontera que resta en z ϭ 4 determina entonces la serie de Fourier-
Bessels
u0 An senh 4 n J0( nr),
n1
SRU OR TXH GH DFXHUGR FRQ OD GH¿QLFLyQ GH OD HFXDFLyQ ORV FRH¿FLHQWHV VH GH¿QHQ
SRU OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
An senh 4an 2u0 2
22J12(2an)
rJ0(an r) dr.
0
512 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
Para evaluar la última integral, primero se usa la sustitución t ϭ Įnr y después
d
dt [tJ1(t)] tJ0(t) . A partir de
An senh 4an u0 2an d u0
0 dt [tJ1(t)] dt an J1(2an)
2an2 J 2 (2an)
1
obtenemos An u0 .
n senh 4 nJ1(2 n)
Por lo que la temperatura en el cilindro es
1
u(r, z) u0 1 an senh 4anJ1(2an)senh anz J0(anr).
n
(Q ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD TXH LQYROXFUDQ XQ FLOLQGUR FLUFXODU ¿QLWR
FRPR HQ HO HMHPSOR QR HV SRFR FRP~Q HQFRQWUDU IXQFLRQHV %HVVHO PRGL¿FDGDV
5HYLVDU ODV SiJLQDV HQ OD VHFFLyQ ¿JXUDV \ \ OXHJR WUDEDMDU D
WUDYpV GHO VLJXLHQWH HMHPSOR 9HD ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV
EJEMPLO 3 Temperaturas estables en un cilindro circular
(QFXHQWUD ODV WHPSHUDWXUDV GH HVWDGR HVWDEOH u(r, z HQ HO FLOLQGUR FLUFXODU GH¿QLGR
por 0 Յ r Յ Յ z Յ VL ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD VRQ
u(1, z) 5 1 2 z, 0 , z , 1
u(r, 0) 5 0, u(r, 1) 5 0, 0 , r , 1.
SOLUCIÓN (Q YLVWD GHO KHFKR GH TXH XQD FRQGLFLyQ QR KRPRJpQHD VH HVSHFL¿FD HQ r ϭ
QR HVSHUDPRV TXH ORV YDORUHV SURSLRV GHO SUREOHPD VH GH¿QDQ HQ WpUPLQRV GH ODV UDtFHV GH XQD
IXQFLyQ GH %HVVHO GHO SULPHU WLSR &RPR OR KLFLPRV HQ ORV HMHPSORV GH OD VHFFLyQ HV FRQ-
veniente utilizar Ȝ FRPR OD FRQVWDQWH GH VHSDUDFLyQ HQ HVWH SUREOHPD $Vt GH GHO HMHPSOR
2 vemos que la separación de variables ahora da las dos ecuaciones diferenciales ordinarias
rR0 1 R9 2 rR 5 0 y Z0 1 Z 5 0.
6H OH LQVWD D YHUL¿FDU TXH ORV GRV FDVRV Ȝ ϭ 0 y Ȝ ϭ ϪĮ2Ͻ 0 sólo conducen a la solu-
FLyQ WULYLDO X (Q HO FDVR Ȝ = Į2 Ͼ ODV (' VRQ
rR0 1 R9 2 ␣2rR 5 0 y Z0 1 ␣2Z 5 0 .
/D SULPHUD HFXDFLyQ HV OD IRUPD SDUDPpWULFD GH OD HFXDFLyQ PRGL¿FDGD GH %HVVHO GH
orden Ȟ ϭ 0. La solución de esta ecuación es R(r) ϭ c I0(ĮU) ϩ c2K0(ĮU). Inmediatamente
GH¿QLPRV c2 ϭ SRUTXH OD IXQFLyQ GH %HVVHO PRGL¿FDGD GH VHJXQGD FODVH K0(ĮU) no
está acotado en r = 0. Por tanto, R(r) = c I0(ĮU).
Ahora los eigenvalores y las eigenfunciones del problema de Sturm-Liouville
Z0 1 ␣2Z 5 0, Z(0) 5 0, Z(1) 5 0
son Ȝn ϭ n2ʌ2, n ϭ \ Z(z) ϭ c sen Qʌ] . Las soluciones de productos que
VDWLVIDFHQ HO ('3 \ ODV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD KRPRJpQHDV VRQ HQWRQFHV
un 5 R(r)Z(z) 5 AnI0(nr) sen nz .
A continuación utilizamos el principio de superposición para formar
`
ou(r, z) 5 AnI0(nr) sen nz .
n51
Con la condición restante en r ϭ VH REWLHQH OD VHULH GHO VHQR GH )RXULHU
`
ou(1, z) 5 1 2 z 5 AnI0(n) sin nz .
n51
'H GH OD VHFFLyQ SRGHPRV HVFULELU
#1 2
AnI0(n) 5 2 0 (1 2 z) sen nz dz 5 n d integrando por partes
y An 5 n 2 .
I0(n)
La temperatura de estado estable es entonces
ou(r, z) 5 2 ` I0 (nr) sen nz .
5 n I0 (n)
n 1
13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS O 513
COMENTARIOS
Debido a que las funciones de Bessel se presentan con tanta frecuencia en las
soluciones de los problemas de valores en la frontera expresados en coordenadas
cilíndricas, también se les conoce como funciones cilíndricas.
EJERCICIOS 13.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23.
1. Determine el desplazamiento u(r, t HQ HO HMHPSOR VL 9. La temperatura u(r, t) en una placa circular de radio c se
f (r) ϭ 0 y a la membrana circular se le transmite una ve- determina con el problema con valores en la frontera
locidad inicial unitaria dirigida hacia arriba.
2u 1 u
2. Se sujeta por su circunferencia a una membrana circular k r2 r r u
GH UDGLR 'HWHUPLQH HO GHVSOD]DPLHQWR u(r, t) si la mem- t , 0 r c, t 0
brana parte del reposo desde el desplazamiento inicial
f (r) ϭ Ϫ r2, 0 Ͻ r Ͻ >Sugerencia: Vea el problema u(c, t) 0, t 0
HQ ORV HMHUFLFLRV @
u(r, 0) f (r), 0 r c.
3. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, z) del ci-
lindro del ejemplo 2, si las condiciones en la frontera son Determine u(r, t).
u(2, z) ϭ 0, 0 Ͻ z Ͻ 4, u(r, 0) ϭ u0, u(r, 4) ϭ 0, 0 Ͻ r Ͻ 2.
10. Resuelva el problema 9 si el extremo r ϭ c de la placa
4. 6L OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GHO FLOLQGUR GHO HMHPSOR HVWi DLV- está aislada.
lada, entonces
11. &XDQGR KD\ WUDQVIHUHQFLD GH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH OD-
u 0 z 4. WHUDO GH XQ FLOLQGUR FLUFXODU GH ORQJLWXG LQ¿QLWD \ UDGLR
r r 2 0, XQR YHD OD ¿JXUD KDFLD HO PHGLR FLUFXQGDQWH D
temperatura cero, la temperatura dentro del cilindro se
determina a partir de
a) (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, z) 2u 1u u
cuando u(r, 4) ϭ f (r), 0 Ͻ r Ͻ 2. k r2 rr t , 0 r 1, t 0
b) Demuestre que la temperatura de estado estable del u hu(1, t), h 0, t 0
inciso a) se reduce a u(r, z) ϭ u0z͞4 cuando f (r) ϭ u0. rr1
[Sugerencia: 8WLOLFH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
@
5. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, z) en el u(r, 0) f (r), 0 r 1.
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ-
tiene a temperatura 0, la parte superior z ϭ 4 se mantiene Determine para u(r, t).
a temperatura 50 y la base z ϭ 0 está aislada.
z
6. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ-
tiene a temperatura 50 y la parte superior z ϭ 4 y la base
z ϭ 0 están aisladas.
7. (QFXHQWUH ODV WHPSHUDWXUDV GH HVWDGR HVWDEOH u(r, z) en el 1y
FLOLQGUR FLUFXODU GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV
condiciones de frontera son x
u(1, z) 5 z, 0 , z , 1 FIGURA 13.2.6 &LOLQGUR LQ¿QLWR GHO SUREOHPD
12. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) de un
u u−u5 0, −u 5 0, 0 , r , 1.
−z FLOLQGUR VHPLLQ¿QLWR GH UDGLR XQR z Ն 0) si hay transfe-
−z UHQFLD GH FDORU SRU VX VXSHU¿FLH ODWHUDO KDFLD HO PHGLR
z50 z51 circundante a temperatura cero y si la temperatura de la
base z ϭ 0 se mantiene a la temperatura constante u0.
8. Determine las temperaturas de estado estable u(r, z) en el (Q ORV SUREOHPDV \ XWLOLFH OD VXVWLWXFLyQ u(r, t)
FLOLQGUR FLUFXODU GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV ϭ v(r, t) ϩ ȥ(r) para resolver el problema de valor frontera
condiciones de frontera son dado. [Sugerencia 5HSDVH OD VHFFLyQ @
u(1, z) z, 0 z 1
u 0, u 0, 0 r 1.
zz0 zz1
514 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
13. Una placa circular está compuesta por dos materiales dis- 16. Considere el problema de valor en la frontera
WLQWRV HQ IRUPD GH FtUFXORV FRQFpQWULFRV 9HD OD ¿JXUD
HQ OD SiJLQD /D WHPSHUDWXUD HQ OD SODFD VH −2u 1 1 −u 5 −u , 0 , r , 1, t.0
determina como un problema con valores en la frontera −r2 r −r −t
2u 1 u u 0 r 2, t 0 u−u
r2 r r t,
−r r51 5 1, t . 0
u(r, 0) 5 0, 0 , r , 1.
u (2, t) 100, t 0 a) Utilice la sustitución u(r, t) ϭ v(r, t) ϩ Bt en el pro-
blema anterior de valor en la frontera para demostrar que
u(r, 0) 200, 0 r 1 v(r, t) satisface
100, 1 r 2.
y −2v 1 1 −v 5 −v 1 B, 0 , r , 1, t.0
u = 100 −r2 r −r −t
2 u−v 5 1, t.0
1
−r r51
x v(r, 0) 5 0, 0 , r , 1.
FIGURA 13.2.7 3ODFD FRPSXHVWD FLUFXODU GHO SUREOHPD Aquí B es una constante a determinar.
14. 2u 1 u u 0 r 1, t 0 b) ahora utilice la sustitución v(r, t) ϭ w(r, t) ϩ (r) para
r2 r r t, resolver el problema de valor en la frontera en el inciso
(a). [Sugerencia: Usted puede necesitar repasar las seccio-
ȕ es una constante. nes 4.6 y 4.7.]
c) ¿Cuál es la solución u(r, t) del primer problema?
u(1, t) 0, t 0 17. (Q HVWH SUREOHPD FRQVLGHUH HO FDVR JHQHUDO HV GHFLU FRQ GH-
pendencia de ș, de la membrana circular vibratoria de radio c:
u(r, 0) 0, 0 r 1. a2 2u 1u 1 2u 2u 0 r c, t 0
r2 rr r2 2 t2 , 0
15. (O GHVSOD]DPLHQWR KRUL]RQWDO u(x, t) de una pesada cadena 2
de longitud L que oscila en un plano vertical satisface la u(c, , t) 0, 0 2, t 2.
ecuación diferencial parcial
u(r, , 0) f (r, ), 0 r c, 0
g x x u 2u u g(r, ), 0 r c, 0
x t2 , 0 x L, t 0. tt0
donde g es la aceleración debida a la gravedad. Vea la a) Suponga que u ϭ R(r)⌰(ș)T(t) y que las constantes
¿JXUD de separación son ϪȜ y Ϫ. Demuestre que las ecua-
ciones diferenciales separadas son
a) Utilice ϪȜ como constante de separación para de-
mostrar que la ecuación diferencial ordinaria en la T a2 T 0, 0
variable espacial x es xXЉϩ XЈ ϩ Ȝ; ϭ 0. Resuelva
esta ecuación con la sustitución x ϭ IJ2͞4. r2R rR ( r2 )R 0.
b) Utilice el resultado del inciso a) para resolver la ecua- b) Haciendo Ȝ ϭ Į2 y ϭ ȕ2 resuelva las ecuaciones se-
ción diferencial parcial dada, sujeta a paradas.
u(L, t) 0, t 0 c) Determine los eigenvalores y eigenfunciones del pro-
blema.
u
u(x, 0) f (x), t t 0 0, 0 x L. d) Utilizando el principio de superposición determine
[Sugerencia: Suponga que las oscilaciones en el ex- una solución en series múltiples. No intente evaluar
tremo libre x ϭ VRQ ¿QLWDV @ ORV FRH¿FLHQWHV
x Tarea para el laboratorio de computación
L 18. Considere un tambor ideal formado por una membrana
delgada tensada sobre un marco circular de radio uno.
u0 Cuando se golpea ese tambor en su centro, se oye un so-
nido que con frecuencia se considera un retumbo más
FIGURA 13.2.8 &DGHQD RVFLODWRULD GHO SUREOHPD que un tono melódico. Se puede modelar un solo golpe
mediante el problema con valores en la frontera que se
UHVROYLy HQ HO HMHPSOR
13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS O 515
a) Determine la solución u(r, t) dada en la ecuación (9) r 1x2 y2 o bien utilice el equivalente a la ins-
cuando c ϭ l, f (r) ϭ 0 y
trucción RevolutionPlot3D de Mathematica.]
g(r) v0, 0 r b
0, b r 1. 19. a) & RQVLGHUH HO HMHPSOR FRQ a ϭ c ϭ g(r) ϭ 0 y
f(r) ϭ Ϫ r͞ Ͻ r Ͻ 8WLOLFH XQ 6$& FRPR
b) Demuestre que la frecuencia de la onda estacionaria ayuda para calcular los valores numéricos de los tres
primeros eigenvalores Ȝ , Ȝ2, Ȝ del problema con valo-
un(r, t) es fn ϭ DĮn͞2ʌ, donde Įn es la n-ésimo cero UHV HQ OD IURQWHUD \ ORV WUHV SULPHURV FRH¿FLHQWHV A , A2,
positivo de J0(x). A diferencia de el solución de la A de la solución u(r, t GDGD HQ OD HFXDFLyQ (VFULED
ecuación de onda en una dimensión, en la sección la tercera suma parcial S (r, t) de la solución en serie.
ODV IUHFXHQFLDV QR VRQ P~OWLSORV HQWHURV GH b) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH S (r, t) para
t ϭ
la frecuencia fundamental f . Demuestre que f2
Ϸ 2.295f y que f Ϸ f . Se dice que las vibra- 20. Resuelva el problema 9 con las condiciones de frontera
ciones del tambor producen sobretonos anarmóni- u(c, t) ϭ 200, u(r, 0) ϭ 0. Con las condiciones de fronte-
ra dadas, se podría esperar en forma intuitiva que en cual-
cos. Como resultado, la función de desplazamiento quier punto interior de la placa, u(r, t) A 200 cuando
t A ϱ. Suponga que c ϭ \ TXH OD SODFD HV GH KLHUUR FR-
u(r, t) no es periódica, por lo que el tambor ideal no lado de tal modo que k ϭ DSUR[LPDGDPHQWH 8VH XQ
SAC para ayudarse a calcular los valores numéricos de los
puede sostener un tono. primeros cinco eigenvalores Ȝ , Ȝ2, Ȝ , Ȝ4, Ȝ5 del problema con
YDORUHV HQ OD IURQWHUD \ ORV FLQFR SULPHURV FRH¿FLHQWHV A ,
c) Sean a b 41, y v0 ϭ HQ VX VROXFLyQ GHO LQFLVR A2, A , A4, A5 en la solución u(r, t). Denote la solución aproxi-
D 8WLOLFH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU OD TXLQWD VXPD SDU- mada correspondiente por S5(r, t 7UDFH OD JUi¿FD GH S5(5, t)
y de S5(0, t HQ XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH
cial S (r, t), en los tiempos t ϭ 0 Յ t Յ T 8WLOLFH ODV JUi¿FDV GH S5(5, t) y S5(0, t) para es-
5 timar los tiempos (en segundos) para los que u(5, t) Ϸ
5.9, 6.0 en el intervalo Ϫ Յ r Յ 8WLOLFH OD DSOLFD- y u(0, t) Ϸ 5HSLWD SDUD u(5, t) Ϸ 200 y u(0, t) Ϸ 200.
ción de animación de su SAC para obtener un video
de esas vibraciones.
d) &RPR XQ GHVDItR PD\RU XWLOLFH OD DSOLFDFLyQ ' SORW
de su SAC para hacer un video del movimiento de la
parte superior de su tambor circular que se presenta
en sección transversal en el inciso c). [Sugerencia:
Hay varias formas de hacerlo. Para un tiempo
¿MR WUDFH OD JUi¿FD u en función de x y y usando
13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS
INTRODUCCIÓN Concluiremos nuestro análisis de problemas con valores en la frontera en dife-
rentes sistemas coordenados considerando problemas que impliquen las ecuaciones de calor, de onda
y de Laplace en coordenadas esféricas.
z (x, y, z) o LAPLACIANO EN COORDENADAS ESFÉRICAS &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
(r, θ , φ ) XQ SXQWR HQ HO HVSDFLR WULGLPHQVLRQDO HVWi GHVFULWR HQ FRRUGHQDGDV UHFWDQJXODUHV
θ y en coordenadas esféricas. Las coordenadas rectangulares x, y y z del punto están rela-
r y cionadas con sus coordenadas esféricas r, ș y por medio de las ecuaciones:
φ x r sen cos , y r sen sen , z r cos .
8WLOL]DQGR ODV HFXDFLRQHV VH SXHGH GHPRVWUDU TXH HO /DSODFLDQR ٌ2u en el sistema
coordenado esférico es
x 2u 2u 2 u 1 2u 1 2u cot u
r2 r r r2sen2 2 r2 2 r2 . (2)
FIGURA 13.3.1 Las coordenadas
esféricas de un punto (x, y, z) son (r, ș, ). Como ya podrá imaginarse, los problemas que involucran la ecuación (2) pueden ser
muy complicados. Por tanto, sólo consideraremos algunos de los problemas más sen-
cillos independientes del ángulo azimutal .
(O VLJXLHQWH HMHPSOR HV XQ SUREOHPD GH 'LULFKOHW SDUD XQD HVIHUD
EJEMPLO 1 Temperaturas de estado estable en una esfera
Determine la temperatura de estado estable u(r, ș HQ OD HVIHUD TXH PXHVWUD OD ¿JXUD
516 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
z SOLUCIÓN La temperatura se determina a partir de
c 2u 2 u 1 2u cot u 0, 0 r c, 0
y r2 r r r2 2 r2
x u = f (θ ) u(c, ) f ( ), 0 .
en r = c
Si u ϭ R(r)⌰(ș), la ecuación diferencial parcial se separa como
FIGURA 13.3.2 Problema de
'LULFKOHW SDUD XQD HVIHUD GHO HMHPSOR r2R 2rR cot ,
R
\ SRU WDQWR r2R 2rR R 0
sen cos sen 0. (4)
Después de sustituir x ϭ cos ș, 0 Յ ș Յ ʌ, la ecuación (4) se convierte en
(1 x2) d2 2 2x d 0, 1 x 1. (5)
dx dx
(VWD ~OWLPD HFXDFLyQ HV XQD IRUPD GH OD HFXDFLyQ GH /HJHQGUH YHD HO SUREOHPD HQ
los ejercicios 6.4). Ahora las únicas soluciones de la ecuación (5) que son continuas
y tienen derivadas continuas sobre el intervalo cerrado [Ϫ @ VRQ ORV SROLQRPLRV GH
Legendre Pn(x) que corresponden a Ȝ ϭ n(n ϩ n ϭ 3RU WDQWR VXSRQGUH-
mos que las soluciones de (4) son
Q() 5 Pn(cos ).
Además, cuando Ȝ ϭ n(n ϩ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\-(XOHU HV
R(r) 5 c1r n 1 c2r2(n11).
Puesto que nuevamente es de esperarse que u(r, ș) esté acotada en r ϭ GH¿QLPRV
c2 ϭ 0. Por tanto, un ϭ Anr nPn (cos ș) y
u(r, ) AnrnPn(cos ).
n0
(Q r ϭ c, f ( ) AncnPn(cos ).
n0
Por tanto Ancn VRQ ORV FRH¿FLHQWHV GH OD VHULH GH )RXULHU /HJHQGUH GH OD VHFFLyQ
An 2n 1 f ( )Pn(cos ) sen d.
2cn
0
Por lo que la solución es
2n 1 rn
u(r, ) f ( ) Pn(cos ) sen d c Pn(cos ).
2
n0 0
EJERCICIOS 13.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23.
1. 5HVXHOYD HO 39) HQ HO HMHPSOR VL 3. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR VL
f (ș) ϭ cos ș, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ. [Sugerencia: P (cos ș) ϭ cos ș.
f( ) 50, 0 >2 Utilice la ortogonalidad.]
0, >2 .
4. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR VL
(VFULED ORV SULPHURV FXDWUR WpUPLQRV GLVWLQWRV GH FHUR GH f (ș) ϭ Ϫ cos 2ș, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ. [Sugerencia: Vea el pro-
la solución en serie. [Sugerencia: 9HD HQ HO HMHPSOR EOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV @
HQ OD VHFFLyQ @
5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en
2. La solución u(r, ș GHO HMHPSOR WDPELpQ VH SXHGH LQ- el interior de una esfera hueca a Ͻ r Ͻ b VL VX VXSHU¿FLH
terpretar como el potencial en el interior de la esfera de- interna r ϭ a se conserva a la temperatura f (ș) y su su-
bido a una distribución de cargas f (ș HQ VX VXSHU¿FLH SHU¿FLH H[WHUQD r ϭ b se conserva a la temperatura cero.
Determine el potencial fuera de la esfera. (Q OD ¿JXUD VH YH HO SULPHU RFWDQWH GH HVD HVIHUD
u = f(θ) 13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS O 517
en r = a z 1
y u1
u =0 FIGURA 13.3.4 5HFLSLHQWH GH XQ ÀXLGR GHO SUREOHPD
x en r = b
FIGURA 13.3.3 (VIHUD KXHFD GHO SUREOHPD
6. La temperatura de estado estable de un hemisferio de 2u 2 u u, 0 r 1, t 0
radio r ϭ c se determina a partir de r2 r r t
2u 2 u 1 2u cot u 0, u h(u(1, t) u1), 0 h 1
rr1
r2 r r r2 2 r2
u(r, 0) u0, 0 r 1.
0 r c, 0
2
Determine u(r, t). [Sugerencia: Proceda como en el pro-
u r, 2 0, 0 r c blema 9.]
u(r, ) f ( ), 0 2. 11. Resuelva el problema con valores en la frontera que invo-
lucra vibraciones esféricas:
Determine u(r, ș). [Sugerencia: Pn(0) ϭ 0 sólo si n es impar. a2 2u 2u 2u
9HD WDPELpQ HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV @ r2 rr t2 , 0 r c, t 0
7. Resuelva el problema 6 cuando la base del hemisferio u(c, t) 0, t 0
está aislada; es decir,
u 0, 0 r c. u(r, 0) f (r), u g(r), 0 r c.
/2
tt0
8. Resuelva el problema 6 para r Ͼ c. [Sugerencia: Compruebe que el miembro izquierdo de la
2
9. La temperatura en el interior de una esfera de radio uno, ecuación diferencial parcial es a2 1
en función del tiempo, se determina a partir de ϭ ru(r, t).] r r2 (ru). Sea v(r, t)
2u 2 u u 1, t 0 12. Una esfera conductora de radio r ϭ c se conecta a tierra
r2 r r t, 0 r y se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme cuya
u(1, t) 100, t 0 intensidad en la dirección z es E (O SRWHQFLDO u(r, ș) fuera
u(r, 0) 0, 0 r 1. de la esfera se determina a partir del problema con valo-
res en la frontera
Determine u(r, t). [Sugerencia: Compruebe que el miem- −2u 1 2 −u 1 1 −2u 1 cot −u 5 0, r . c, 0 , ,
bro izquierdo de la ecuación diferencial parcial se puede −r2 r −r r2 − 2 r2 −
12 u(c, ) 5 0, 0 , ,
escribir como r r2 (ru). Sea ru(r, t) ϭ v(r, t) ϩ ȥ(r). Sólo
lim u(r, ) 5 2Ez 5 2Er cos .
utilice funciones que estén acotadas cuando r A 0.]
rS`
10. 8QD HVIHUD PDFL]D XQLIRUPH GH UDGLR D XQD WHPSHUDWXUD
inicial constante u0 en toda la esfera se deja caer en un gran Demuestre que E c3 cos .
recipiente de líquido que se conserva a una temperatura u(r, ) Er cos r2
constante u (u Ͼ u0 GXUDQWH WRGR HO WLHPSR 9HD OD ¿-
JXUD 3XHVWR TXH KD\ WUDQVIHUHQFLD GH FDORU D WUDYpV [Sugerencia: ([SOLTXH SRU TXp
de la frontera r ϭ OD WHPSHUDWXUD u(r, t) en la esfera
se determina con el problema con valores en la frontera 0 cos Pn(cos ) sen d 0
para todos los enteros no negativos, excepto n ϭ 9HD
OD HFXDFLyQ HQ OD VHFFLyQ @
518 O CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
13. (Q FRRUGHQDGDV HVIpULFDV OD IRUPD WULGLPHQVLRQDO demostrar que la dependencia radial de la solución u está
de la ecuación diferencial parcial de Helmholtz es GH¿QLGD SRU OD HFXDFLyQ@
ٌ2u ϩ k2u ϭ 0 donde el Laplaciano está dado en (2).
3URFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SHUR XVH u(r, ș, )ϭ r2 d 2R dR [k2r2 n(n 1)]R 0.
R(r) ⌰(ș)⌽( )y la constante de separación n(n ϩ SDUD dr 2 2r
dr
Resuelva esta ecuación diferencial. [Sugerencia: Vea el
problema 56 de los ejercicios 6.4.]
REPASO DEL CAPÍTULO 13 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-23.
1. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una que está a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de
placa circular de radio c, si la temperatura en la circunfe-
rencia está dada por transferencia de calor, la ecuación de calor toma la forma:
u0, 0 2u 1u hu u, h 0, 0 r 1, t 0.
u0, r2 rr t
u(c, )
2. 9HD OD ¿JXUD 5 'HWHUPLQH OD WHPSHUDWXUD u(r, t) si
la orilla r ϭ VH FRQVHUYD D WHPSHUDWXUD FHUR \ VL DO SULQ-
2. Determine la temperatura de estado estable en la placa cipio la temperatura en toda la placa es igual a uno.
FLUFXODU GHO SUREOHPD VL
0Њ
1, 0 >2 u=0
0, >2 3 >2
u(c, ) 1, 3 >2 2. 1
3. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una 0Њ
SODFD VHPLFLUFXODU GH UDGLR VL
FIGURA 13.R.3 Placa circular del problema 7.
u(1, ) u0( 2), 0 8. Suponga que xk es una raíz positiva de J0. Demuestre que
una solución del problema con valores en la frontera
u(r, 0) 0, u(r, ) 0, 0 r 1.
4. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la placa a2 2u 1u 2tu2 , 0 r 1, t 0
VHPLFLUFXODU GHO SUREOHPD VL u ș) ϭ sen ș, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ. r2 rr 0
0, t
5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la u(1, t)
SODFD GH OD ¿JXUD 5
u
y u(r, 0) u0J0(xkr), tt0 0, 0 r 1
y=x es u(r, t) ϭ u0J0(xkr) cos axkt.
u=0 9. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ-
u = u0 1 aislada tiene a temperatura 50, la tapa superior z ϭ 4 se mantiene a
temperatura 0 y la base z ϭ 0 está aislada.
1 u=0 x
2
FIGURA 13.R.1 Placa en forma de cuña del problema 5. 10. Resuelva el problema con valores en la frontera
6. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la 2u 1 u 2u 0 r 1, 0 z 1
SODFD LQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 r2 r r z2 0,
y u 0, 0 z 1
rr1
u = f(θ ) u(r, 0) f (r), u(r, 1) g(r), 0 r 1.
u=0 1 11. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una
x esfera de radio uno, si la temperatura se conserva a
u=0
FIGURA 13.R.2 3ODFD LQ¿QLWD GHO SUREOHPD u(1, ) 100, 0 >2
100, >2 .
7. Suponga que se pierde calor de las caras de un disco circular
muy delgado de radio uno hacia el medio que lo circunda [Sugerencia: 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV @
REPASO DEL CAPÍTULO 13 O 519
12. Resuelva el problema con valores en la frontera 16. (QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en la
SODFD VHPLDQXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VL
2u 2 u 2tu2 , 0 r 1, t 0 a ϭ b ϭ 2 y las condiciones de frontera son
r2 r r
u(1, ) 0, u(2, ) 0, 0
u u(r, 0) f(r), u(r, ) 0, 1 r 2.
r r 1 0, t 0
[Sugerencia: Use –Ȝ como la constante de separación en
u(r, 0) f (r), u g(r), 0 r 1. \ GH OD VHFFLyQ @
tt0
[Sugerencia: 3URFHGD FRPR HQ ORV SUREOHPDV \ GH 17. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en un
FLOLQGUR ¿QLWR GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV
ORV HMHUFLFLRV SHUR KDJD v (r, t) ϭ ru(r, t). Vea la condiciones de frontera son
VHFFLyQ @
13. La función u(x) ϭ Y0(ĮD)J0(Į[) Ϫ J0(ĮD)Y0(Į[), a Ͼ 0 es u(1, z) u0, 0 z 1
una solución de la ecuación paramétrica de Bessel
x2 d 2u du 2x2u 0 u 0, 0 r 1.
dx2 x u(r, 0) 0,
zz1
dx
sobre el intervalo [a, b]. Si los eigenvalores Ȝn ϭ Į2n se [Sugerencia: Utilice Ȝ como la constante de separación en
GH¿QHQ FRPR ODV UDtFHV SRVLWLYDV GH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ @
Y0( a)J0( b) J0( a)Y0( b) 0, 18. Resuelva el problema del valor en la frontera
demuestre que las funciones
−2u 1 1 −u 1 −2u 5 0, 0 , r , 3, 0,z,1
um(x) Y0( ma)J0( m x) J0( ma)Y0( m x) −r2 r −r −z2
un(x) Y0( na)J0( n x) J0( na)Y0( n x) u(3, z) 5 u0, 0 , z , 1
son ortogonales respecto a la función de peso p(x) ϭ x
sobre el intervalo [a, b]; esto es, u(r, 0) 5 0, u(r, 1) 5 0, 0 , r , 3.
b 19. Resuelva el problema del valor en la frontera
xum(x)un(x) dx 0, m n. −2u 1 1 −u 1 −2u 5 0, 0 , r , 1, z.0
−r2 r −r −z2
a
u(1, z) 5 0, z . 0
[Sugerencia: 6LJD HO SURFHGLPLHQWR GHO 7HRUHPD @
14. 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD SDUD UHVROYHU HO VL- u(r, 0) 5 1 2 r2, 0 , r , 1.
guiente problema con valores en la frontera, para la tem-
peratura u(r, t) en un anillo circular: [Sugerencia 9pDVH HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV @
2u 1 u ut , a r b, t 0 20. Resuelva el problema del valor en la frontera
r2 r r
−2u 1 −u 1 −2u
u(a, t) 0, u(b, t) 0, t 0 −r2 1 r −r 2 r2 u 1 −z2 5 0, 0 , r , 1, 0,z,1
u(r, 0) f (r), a r b. u(1, z) 5 0, 0 , z , 1
15. Analice cómo resolver u(r, 0) 5 0, u(r, 1) 5 r 2 r3, 0 , r , 1.
2u 1 u 2u 0 r c, 0 z L [Sugerencia 9pDVH OD HFXDFLyQ HQ OD VHFFLyQ @
r2 r r z2 0,
21. Suponga las condiciones en la frontera para una placa
FRQ ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD GDGDV HQ OD ¿JXUD 5 DQXODU GH¿QLGD SRU Ͻ r Ͻ 2 son
Lleve a cabo sus ideas y determine u(r, z). [Sugerencia:
5HSDVH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ @ uu(1, ) 5 sen2 , −u 5 0, 0 , , 2.
−r
u = f (r ) r52
en z = L
Demuestre que la temperatura del estado estable u(r, ș)
en la placa es
u = h(z) u(r, ) 5 1 2 1 r 2cos 2 2 8 r22 cos 2.
en r = c 2 34 17
∇2 u = 0
sen2 1
[Sugerencia: Use la identidad 5 2 (1 2 cos 2) .]
FIGURA 13.R.4 u = g(r )
&LOLQGUR GHO SUREOHPD en z = 0
14
TRANSFORMADAS INTEGRALES
© Lehrer/Shutterstock.com
14.1 Función error
14.2 Transformada de Laplace
14.3 Integral de Fourier
14.4 Transformadas de Fourier
REPASO DEL CAPÍTULO 14
El método de separación de variables para resolver problemas con valores
en la frontera es muy poderoso pero no tiene aplicación universal. Si la
ecuación diferencial parcial es no homogénea, si las condiciones de frontera
GHSHQGHQ GHO WLHPSR R VL HO GRPLQLR GH OD YDULDEOH HVSDFLDO HV XQ LQWHUYDOR LQÀ QLWR
(Ϫϱ, ϱ R VHPLLQÀ QLWR a, ϱ), es posible resolver problemas que involucren a las
ecuaciones de calor y de onda mediante la conocida transformada de Laplace. En la
sección 14.4 se introducen tres nuevas transformadas integrales, las transformadas
de Fourier.
520
14.1 FUNCIÓN ERROR O 521
14.1 FUNCIÓN ERROR
INTRODUCCIÓN En este libro hemos visto que muchas funciones importantes en matemáticas se
GH¿QHQ SRU PHGLR GH XQD LQWHJUDO GH¿QLGD (Q OD VHFFLyQ YLPRV DXQTXH HQ IRUPD EUHYH OD IXQFLyQ
error erf(x OD IXQFLyQ HUURU FRPSOHPHQWDULD HUIF x OD IXQFLyQ LQWHJUDO GHO VHQR 6L x) y la integral del
seno de Fresnel S(x) que se presentaron en la solución de algunas ecuaciones diferenciales lineales de
SULPHU RUGHQ (Q OD 6HFFLyQ YLPRV TXH OD IXQFLyQ JDPPD ī x GHVHPSHxy XQ SDSHO HQ OD GH¿QLFLyQ
GH OD IXQFLyQ GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH /D IXQFLyQ JDPPD WDPELpQ HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU XQD
integral y HQ HO $SpQGLFH $ VH DQDOL]D MXQWR FRQ RWUDV IXQFLRQHV GH¿QLGDV SRU LQWHJUDOHV
(Q OD VLJXLHQWH VHFFLyQ YDPRV D XVDU OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH SDUD UHVROYHU SUREOHPDV GH
YDORUHV HQ OD IURQWHUD 3HUR DQWHV GH KDFHUOR QHFHVLWDPRV VDEHU XQ SRFR PiV GH OD IXQFLyQ HUURU \ GH
OD IXQFLyQ HUURU FRPSOHPHQWDULD (Q HVWD VHFFLyQ H[DPLQDPRV ODV JUi¿FDV \ DOJXQDV GH ODV SURSLH-
dades más obvias de erf(x) y erfc(x).
PROPIEDADES Y GRÁFICAS (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH ODV GH¿QLFLRQHV GH
función error erf(x) y la función error complementaria erfc(x VRQ UHVSHFWLYDPHQWH
x erfc(x) 5 2 `
e2t2 dt e2t2 dt.
# #erf(x) 5 2 y (1)
Ï 0 Ï x
Con la ayuda de coordenadas polares se puede demostrar que
#` dt 5 Ï #o 2 ` (2)
e2t2
02 Ï 0 e2t2 dt 5 1 .
9HD HO DSpQGLFH $ 9LPRV HQ OD 6HFFLyQ TXH FXDQGR OD VHJXQGD LQWHJUDO HQ VH
escribe como e0` 5 e0x 1 ex` obtenemos una identidad que relaciona la función error y
y la función error complementaria:
1 erf(x) 1 erfc(x) 5 1. (3)
f (t) 5 2 e2t2 Para x Ͼ VH YH HQ OD ¿JXUD TXH HUI x) se puede interpretar como el área
p
22 21 GH OD UHJLyQ D]XO EDMR OD JUi¿FD GH f (t) 5 (2yÏ)e2t2 sobre el intervalo > x] y erf-
x 1 2 t c(x) es el área de la región roja sobre [x ϱ /D JUi¿FD GH OD IXQFLyQ f se conoce con
FIGURA 14.1.1 Curva campana. frecuencia como curva de campana.
Debido a la importancia de erf (x) y erfc (x) en la solución de las ecuaciones di-
IHUHQFLDOHV SDUFLDOHV \ HQ OD WHRUtD GH OD SUREDELOLGDG \ OD HVWDGtVWLFD HVWDV IXQFLRQHV
VH FRQVWUX\HQ HQ VLVWHPDV DOJHEUDLFRV FRPSXWDFLRQDOHV (QWRQFHV FRQ OD D\XGD GH
erfc(x) y Mathematica REWHQHPRV ODV JUi¿FDV GH HUI x) (en azul) y erfc(x) (en rojo) que se mues-
2 WUDQ HQ OD ¿JXUD /D LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH \ GH ODV GRV JUi¿FDV GDQ ORV YDORUHV
● erf(0) 5 0, erfc(0) 5 1.
6H SXHGHQ REWHQHU RWURV YDORUHV QXPpULFRV GH HUI x) y erfc(x GLUHFWDPHQWH GH XQ 6$&
1 5HYLVDQGR D~Q PiV ORV GRV JUi¿FRV WDPELpQ VH PXHVWUD TXH
• los dominios de erf(x) y erfc(x) son (Ϫϱ ϱ
24 22 24 x • erf(x) y erfc(x VRQ IXQFLRQHV FRQWLQXDV
● lim erf(x) 5 1, lim erf(x) S 21,
xS` x S 2`
erf(x) ● lim erfc(x) S 0, lim erfc(x) S 2.
21 xS` x S 2`
FIGURA 14.1.2 *Ui¿FDV GH HUI x) 7DPELpQ GHEHUtD VHU HYLGHQWH TXH OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ HUURU HV VLPpWULFD FRQ UHV-
y erfc(x).
pecto al origen y así erf(x) es una función impar:
erf(2x) 5 2erf(x). (4)
6H OH SLGH TXH GHPXHVWUH HQ HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV
/D WDEOD WLHQH WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH GH DOJXQDV IXQFLRQHV TXH LQYR-
lucran las funciones error y funciones error complementaria. Estos resultados serán
útiles en los ejercicios de la siguiente sección.
522 O CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL
TABLA 14.1.1 Transformadas de Laplace.
f (t), a . 0 +{ f (t)} 5 F(s) f (t), a . 0 +{ f (t)} 5 F(s)
1. 1 e2a2/4t e2aÏs Î 1 24. 2 t a e2aÏs
Ït Ïs e2a2/4t 2 a erfc 2Ït sÏs
e2aÏs
a 1 25. a e2aÏs
2. e2a2/4t e2aÏs eabeb2t erfc bÏt 1 2Ït Ïs sÏs 1 bd
2Ït3 s
be2aÏs
1 2a 1 2 1 26. 2eabeb2t erfc bÏt 1 a 1 erfc a s sÏs 1 bd
2Ït 2Ït
3. erfc
2Ït
EJERCICIOS 14.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24.
1. a) Demuestre que erf(Ït) 5 1 t e2 d. 7. 6HDQ C G R y x FRQVWDQWHV 8VH OD WDEOD SDUD GH-
#Ï 0 Ï mostrar
b) 8VH HO LQFLVR D HO WHRUHPD GH FRQYROXFLyQ \ ORV 5 6 1 Î 2+21C x RC
UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV 1 _1 2 e2x ÏRCs 1 RG + 5 e2Gt/C erf 2 t.
para demostrar que
+{erf(Ït)} 5 1 . Cs G
sÏs 1 1
8. 6HD a una constante. Demuestre que
2. 8WLOLFH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH
5 6 3 1 2 1 24o+21 senh a Ï s 5 ` erf 2n 1 1 1 a 2 erf 2n 1 1 2 a .
s senh Ï s n50 2Ït 2Ït
1 12 1 . [Sugerencia: 8WLOLFH OD GH¿QLFLyQ H[SRQHQFLDO GHO VHQR
s Ïs 1 1 hiperbólico. Desarrolle 1 (1 e 21s) en una serie
3 4+{erfc(Ït)}5
geométrica].
3. 8WLOLFH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH 9. 8VH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH \ OD WDEOD SDUD UH-
solver la ecuación integral
+{et erf(Ït)} 5 1.
Ïs (s 2 1)
#t y()
4. 8VH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH y(t) 5 1 2 0 Ït 2 d.
+{et erfc(Ït)} 5 1 10. 8WLOLFH HO WHUFHUR \ HO TXLQWR HOHPHQWR GH OD WDEOD
. para deducir el sexto elemento.
Ïs (Ïs 1 1)
5. 8VH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH #11. Demuestre que b Ï
e2u2 du 5 [erf(b) 2 erf(a)].
a2
5 6+ 1 2 et erfc(Ït) 5 1 .
Ït Ïs 1 1 #a
6. Encuentre la transformada inversa 12. Demuestre que e2u2 du 5 Ï erf(a).
5 6+21 1 . 2a
1 1 Ïs 1 1
[Sugerencia: Racionalice un denominador y después 13. Demuestre que lim erf(x) 5 2 .
efectúe una racionalización de un numerador.] x Ï
xS0
14. Demuestre que erf(x) es una función impar.
15. Demuestre que erfc(Ϫx) ϭ ϩ erf(x).
14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace de una función f (t t Ն VH GH¿QH FRPR
{ f (t)} 0 e st f (t) dt siempre que la integral impropia converja. La integral transforma la fun-
ción f (t) en una función F del parámetro transformado s HV GHFLU { f (t)} F(s). De la misma
IRUPD TXH HQ HO FDStWXOR GRQGH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH VH XVy SULQFLSDOPHQWH SDUD UHVROYHU
HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV OLQHDOHV HQ HVWD VHFFLyQ XWLOL]DPRV OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 658
Pages: