ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C

428 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

yesesvtpe3usceoodnnecteerepmstopvleseecatrhocaroerásmunonouannauanlobaslaosmgeíuaptaumraaámsRee3n n tHterVeWoRrv tVeoLcgJtoQonLr¿easFleDys TfeXunHn RcFiX3o.DnTOeTasXl.LcSHoUu nYpjHouFnnWgtRoaU oqWUruLtGeoLgvPo1,HnQva-2l
sional u es una combinación lineal de la forma

u c1v1 c2v2 c3v3, (4)

en donde las ci, i ϭ 1, 2, 3, son escalares que representan los componentes del vector u.
Cada componente ci se puede expresar en términos de u y del vector vi correspon-
diente. Para ver esto tomamos el producto interno de (4) con v1:

(u, v ) ϭ c (v , v ) ϩ c (v , v ) ϩ c (v , v ) ϭ c ʈv ʈ2 ϩ c ؒ 0 ϩ c ؒ 0.
1 111 22 1 33 1 1 1 2 3

Por tanto, c1 (u, v1) .
'v1'2

De igual manera podemos encontrar que las componentes c y c están dadas por
2 3

c2 (u, v2) y c3 (u, v3) .
'v2'2 'v3'2

Por tanto, la ecuación (4) se puede expresar como:

u (u, v1) v1 (u, v2) v2 (u, v3) v3 3 (u, vn ) vn. (5)
'v1'2 'v2'2 'v3'2 n 1 'vn'2

DESARROLLO EN SERIES ORTOGONALES Suponga que {‫׋‬n(x)} es un conjunto
LQ¿QLWR GH IXQFLRQHV RUWRJRQDOHV VREUH XQ LQWHUYDOR >a, b]. Nos preguntamos: si y ϭ
f ( x HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR >a, b], es posible determinar un conjunto
GH FRH¿FLHQWHV cn, n ϭ 0, 1, 2, . . . , para el que

f (x) c0 0(x) c1 1(x) cn n(x) ? (6)

Como en el análisis anterior acerca de encontrar las componentes de un vector, po-
GHPRV GHWHUPLQDU ORV FRH¿FLHQWHV cn utilizando el producto interno. Multiplicando la
ecuación (6) por ‫׋‬m(x H LQWHJUDQGR VREUH HO LQWHUYDOR >a, b], se obtiene

b b b b

f (x) m(x) dx c0 0(x) m(x) dx c1 1(x) m(x) dx cn n(x) m(x) dx

a a a a

c0( 0, m) c1( 1, m) cn( n, m) .

Por la ortogonalidad cada término del miembro derecho de la última ecuación es cero
excepto cuando m ϭ n. En este caso tenemos

b b 2
n
f (x) n(x) dx cn (x) d x.

a a

6H WLHQH TXH ORV FRH¿FLHQWHV TXH EXVFDPRV VRQ

cn b f (x) n(x) dx, n 0, 1, 2, . . . .
a

b 2 (x) d x
a n

Es decir, f (x) cn n(x), (7)

n0

11.1 FUNCIONES ORTOGONALES O 429

donde cn b f (x) n (x) d x . (8)
a 'n (x)'2

Con la notación de producto interno, la ecuación (7) se convierte en

f (x) (f, n) n (x). (9)
n 0 ' n(x)'2

Por lo que vemos que la ecuación (9) es la función análoga del resultado vectorial dado
en la ecuación (5).

DEFINICIÓN 11.1.4 Conjunto ortogonal͞función de peso

Soretdoigcoenqaulereusnpceocntojuantuondaeffuunncciióonnedsedpeevsaolowr(xre aVlR{E‫׋‬UH0( xX)Q, L‫׋‬Q1W(HxU)Y, D‫׋‬O2R( x>)a,,.b.]. } es
si

b

w(x) m(x) n(x) dx 0, m n.

a

La suposición usual es que w(x) Ͼ VREUH HO LQWHUYDOR GH RUWRJRQDOLGDG >a, b].
El conjunto {1, cos x, cos 2x, . . .} del ejemplo 1 es ortogonal respecto a la función de
peso w(x) ϭ VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫʌ, ʌ].

Si {‫׋‬n(x)} es ortogonal respecto a una función de peso w(x) sobre el intervalo
>a, b], entonces multiplicando la ecuación (6) por w(x)‫׋‬n(x) e integrando se obtiene que

cn b f (x) w(x) n(x) dx, (10)
a ' n(x)'2

fn(x) 2 b

donde w (x) 2 (x) d x. (11)
n
a

/D VHULH HQ TXH ORV FRH¿FLHQWHV GDGRV \D VHD SRU OD HFXDFLyQ R SRU OD HFXDFLyQ
(10) es un desarrollo en series ortogonales de f o una serie de Fourier generalizada.

CONJUNTOS COMPLETOS El procedimiento implementado para determinar los
FRH¿FLHQWHV cn en (8) fue formal; es decir, se ignoraron preguntas fundamentales sobre si
(7) converge hacia la función f cuando ésta se desarrolla en series ortogonales. Resulta

TXH SDUD DOJXQRV FRQMXQWRV RUWRJRQDOHV HVSHFt¿FRV HVWDV H[SDQVLRQHV HQ VHULHV WLHQHQ

dicha convergencia. En las próximas secciones de este capítulo se establecerán condi-

FLRQHV VREUH HO WLSR GH IXQFLRQHV GH¿QLGDV VREUH HO LQWHUYDOR >a, b] de ortogonalidad, que
VRQ VX¿FLHQWHV SDUD JDUDQWL]DU TXH XQD VHULH RUWRJRQDO FRQYHUJH KDFLD VX IXQFLyQ f. Para
recalcar el tipo de conjunto que es {‫׋‬n(x)} repase la analogía vectorial en las páginas
427 y 428. Si {v1, v2, v3} es un conjunto de vectores no nulos mutuamente ortogonales
en R3, se dice que el conjunto {v1, v2, v3} es completo en R3 porque tres de tales vectores
es todo lo que se necesita para escribir a cualquier vector u en ese espacio en la forma

(5). No se podría escribir (5) empleando menos de tres vectores; un conjunto, digamos,

{v1, v2} sería incompleto en R3. De la completez de {v1, v2, v3}es fácil ver una conse-
cuencia necesaria, que en el espacio tridimensional el único vector u ortogonal a cada

uno de los vectores v1, v2 y v3 es el vector cero. Si u es ortogonal a v1, v2 y v3, entonces
v1) ϭ 0, (u, v2) ϭ 0, (u, v3) ϭ 0 y (5) implica u ϭ 0. De manera
(u, desarrollos en series ortogonales, la función f y cada una de las similar, en el análisis
de funciones en {‫׋‬n(x)}

son parte de una clase más amplia, o espacio, S de funciones. La clase S podría ser, por

HMHPSOR HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV FRQWLQXDV VREUH >a, b], o el conjunto de funciones con-

WLQXDV HQ WUDPRV VREUH >a, b]. También se desea que el conjunto {‫׋‬n(x)} sea completo en
S en el sentido de que {‫׋‬n(x ` WHQJD XQ Q~PHUR VX¿FLHQWH GH IXQFLRQHV GH PDQHUD TXH
cada función en S se pueda escribir en la forma (7). Al igual que en la analogía vectorial,

430 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

HVWR VLJQL¿FD TXH OD ~QLFD IXQFLyQ RUWRJRQDO D FDGD PLHPEUR GHO FRQMXQWR ^‫׋‬n(x)} es la
función cero. Vea el problema 25 de los ejercicios 11.1.

Para el resto de este capítulo, se supone que cualquier conjunto ortogonal empleado
en un desarrollo en series de una función es completo en alguna clase de funciones S.

EJERCICIOS 11.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18.

En los problemas 1-6, demuestre que las funciones dadas, son 18. Del problema 1 sabemos que fl(x) ϭ x y f2(x) ϭ x2 son
ortogonales sobre el intervalo indicado. RUWRJRQDOHV VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫ2, 2]. Encuentre las

1. f1(x) ϭ x, f2(x) ϭ x2 >Ϫ2, 2] constantes c y c tales que f3(x) ϭ x ϩ c x2 ϩ c x3 sea
2. f1(x) ϭ x 3, f2(x) ϭ x2 ϩ >Ϫ1, 1] 1 a 2f como a f 1 2
3. f1(x) ϭ ex, f2(x) ϭ xeϪx Ϫ eϪx > @
4. f1(x) ϭ cos x, f2(x) ϭ sen2x > ʌ] ortogonal tanto l2 sobre el mismo intervalo.
5. f1(x) ϭ x, f2(x) ϭ cos 2x >Ϫʌ͞2, ʌ͞2]
6. f1(x) ϭ ex, f2(x) ϭ sen x >ʌ͞4, 5ʌ͞4] Se dice que una función f de valor real es periódica, con pe-

En los problemas 7-12, demuestre que el conjunto dado de riodo T 0 si f (x ϩ T ) ϭ f (x). Si T es el menor número posi-
funciones es ortogonal sobre el intervalo indicado. Encuentre tivo para el cual se cumple f (x ϩ T) ϭ f (x), entonces T es el pe-
la norma de cada función en el conjunto. riodo fundamental de f. En los problemas 19 al 24, determine
7. {sen x, sen 3x, sen 5x ` > ʌ͞2]
el periodo fundamental T de las funciones dadas
8. {cos x, cos 3x, cos 5x ` > ʌ͞2]
9. {sen nx}, n ϭ > ʌ] 19. f (x) ϭ cos 2ʌ[ 20. f (x) sen 4 x
21. f (x) ϭ sen x ϩ sen 2x L
22. f (x) ϭ sen2x ϩ cos 4x

23. f (x) ϭ sen 3x ϩ cos 2x 24. sen2ʌx

Problemas para analizar

10. sen n x ,n 1, 2, 3, . . . ; [0, p] 25. a) En el problema 9 se vio que el conjunto {sen nx},
p n ϭ HV RUWRJRQDO VREUH HO LQWHUYDOR > ʌ].

Demuestre que el conjunto también es ortogonal

VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫʌ, ʌ]

11. 1, cos n x ,n 1, 2, 3, . . . ; [0, p] b) Demuestre que el conjunto que es ortogonal sobre el
p
intervaloϪʌ, ʌ@ QR HV FRPSOHWR >Sugerencia:
n m Considere f(x) ϭ 1.]
p p
12. 1, cos x , sen x ,n 1, 2, 3, . . . , 26. Un conjunto ortogonal se puede construir de cualquier
conjunto linealmente independiente {f0(x), f1(x), f2(x),
m 1, 2, 3, . . . ; [ p, p] ….} de funciones de valor real continuas sobre un in-
WHUYDOR >a, b] utilizando el Proceso de ortogonali-
Compruebe por integración directa que las funciones de los
problemas 13 y 14 son ortogonales respecto a la función de zación de Gram-Schmidt. Con el producto interno
peso indicada sobre el intervalo dado.
( fn, ␾n) 5 eab fn(x)␾n(x) dx, GH¿QD ODV IXQFLRQHV HQ HO FRQ-
13. H (x) ϭ 1, H (x) ϭ 2x, H (x) ϭ 4x2 Ϫ 2; junto B9 5 h␾0(x), ␾1(x), ␾2(x), . . .j como

01 2 ␾0(x) 5 f0(x)
w (x) ϭ e x2, ( , )

14. wL 0((xx))ϭϭe1Ϫ,x L >1 ( x )ϱϭ) Ϫx ϩ 1, L2(x) 1 x2 2x 1; ␾1(x) 5 f1(x) 2 ( f1, ␾0) ␾0(x)
2 y ␾0 y 2

15. ntSaelϭaq{1u‫׋‬,en2(‫׋‬x, 0.(`x. X).Qϭ FR1Q.MXDQeWRm RuUeWRsJtrReQqDuO GeH IXabQFnL(RxQ) HdVx VREU0H >paa, bra] ␾2(x) 5 f2(x) 2 ( f2, ␾0) ␾0(x) 2 ( f2, ␾1) ␾1(x)
y ␾0 y 2 y ␾1 y 2

16. Sea {‫׋‬n(x)} un conjunto ortogonal de funciones sobre o
>a, b] tal que ‫׋‬0(x) ϭ 1 y ‫׋‬1(x) ϭ x. Demuestre que Y así sucesivamente.

a) Escriba ‫׋‬3(x) en el conjunto BЈ.

b ( x ) n(x) dx 0 para n ϭ 2, 3, . . . y para cua- b) Por construcción, el conjunto B9 5 h␾0 (x), ␾1(x), ␾2(x), Á j
a

lesquier constantes Į y ȕ. HV RUWRJRQDO VREUH >a, b]. Demuestre que ‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x)
y ‫׋‬2(x) son mutuamente ortogonales.
17. Sea {‫׋‬n(x)} un conjunto ortogonal de funciones sobre
>a, b]. Demuestre que ʈ‫׋‬m(x) ϩ ‫׋‬n(x)ʈ2 ϭ ʈ‫׋‬m(x)ʈ2 ϩ ʈ‫׋‬n(x)ʈ2, 27. Considere el conjunto de funciones {1, x, x2, x3, …} de-
para m n.
¿QLGRV VREUH HO LQWHUYDOR >± @ $SOLTXH HO SURFHVR GH

11.2 SERIES DE FOURIER O 431

Gram-Schmidt dado en el problema 26 a este conjunto 28. Relacione el conjunto ortogonal B' del problema 27 con
un conjunto de polinomios encontrados en un capítulo
de ejercicios y determine {‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x), ‫׋‬2(x) y ‫׋‬3(x) del
conjunto ortogonal B'. anterior de este libro.

11.2 SERIES DE FOURIER

INTRODUCCIÓN Acabamos de ver que si {‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x), ‫׋‬2(x), . . .} es un conjunto ortogonal sobre
XQ LQWHUYDOR >a, b] y f HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD VREUH HO PLVPR LQWHUYDOR HQWRQFHV VH SXHGH GHVDUUROODU
formalmente f en una serie ortogonal

c0 0(x) c1 1(x) c2 2(x) ,

GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV cn se determinan utilizando el concepto de producto interno. El conjunto orto-
gonal de funciones trigonométricas

1, cos p x, cos 2 x, cos 3 x, . . . , sen p x, sen 2 x, sen 3 x, . . . (1)
p p p p

tendrá después especial importancia en la solución de ciertas clases de problemas con valores en la

frontera donde intervienen ecuaciones diferenciales parciales lineales. El conjunto (1) es ortogonal
VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫp, p] . Véase el problema 12 en los Ejercicios 1.1.

UNA SERIE TRIGONOMÉTRICA Suponga que f HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD VREUH HO
intervalo (Ϫp, p) y que se puede desarrollar en una serie ortogonal formada por las
funciones trigonométricas en el conjunto ortogonal (1); es decir,

f (x) a0 n n (2)
2 n 1 an cos p x bn sen p x .

/RV FRH¿FLHQWHV a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . se pueden determinar exactamente de la
misma manera que en el análisis general de los desarrollos en series ortogonales de

OD SiJLQD $QWHV GH SURVHJXLU REVHUYH TXH KHPRV HOHJLGR HVFULELU HO FRH¿FLHQWH
1
de 1 en el conjunto (1) como 2 a0 en lugar de a0. Esto es sólo por conveniencia; la
fórmula 0.
de an se reducirá después a a para n ϭ
0

Ahora, integrando ambos miembros de la ecuación (2), desde Ϫp hasta p, se obtiene

p a0 p pn pn
2 an cos x dx bn sen x dx . (3)
f (x) dx dx pp pp
n1
p p

Puesto que cos(Qʌ[͞p) y sen(Qʌ[͞p), n Ն 1 son ortogonales a 1 sobre el intervalo, el
miembro derecho de (3) se reduce a un solo término:

p a0 p a0 x p pa0.
2 2 p
f (x) dx dx

p p

Resolviendo para a se obtiene
0

a0 1p (4)
f (x) dx.

pp

Ahora multiplicando la ecuación (2) por cos(Pʌ[͞p) e integrando:

p f (x) cos m x dx a0 pm
pp 2 cos x dx
p
p

pm n pm n (5)
an cos x cos x dx bn cos x sen x dx .
pp p pp p
n1

432 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

Por ortogonalidad, tenemos que pm n
pm 0, cos x sen x dx 0,
cos x dx 0, m pp p
pp

pm n 0, m n
y cos x cos x dx
pp p p, m n.

pn
Por lo que la ecuación (5) se reduce a f (x) cos x dx an p,
pp

1p n
y así an f (x) cos x dx. (6)
pp p

Por último, si multiplicamos (2) por sen(Pʌ[͞p), integramos y utilizamos los resultados

pm pm n
sen x dx 0, m 0, sen x cos x dx 0,
pp pp p

pm n 0, m n
y sen x sen x dx
pp p p, m n,

1p n
encontramos que bn f (x) sen x dx. (7)
pp p

(4), /D VHULH WULJRQRPpWULFD FRQ FRH¿FLHQWHV a0, an y bn GH¿QLGRV SRU ODV HFXDFLRQHV
(6) y (7), respectivamente, se dice que es una serie de Fourier de la función f. No

obstante que el físico matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

no inventó la serie que lleva su nombre, al menos él es responsable de despertar en

los matemáticos el interés por las series trigonométricas que él aplicó con poco rigor

en sus investigaciones sobre la conducción del calor. Las fórmulas (4), (6) y (7) que

GDQ ORV FRH¿FLHQWHV HQ XQD VHULH GH )RXULHU VH FRQRFHQ FRPR ODV fórmulas de Euler.

DEFINICIÓN 11.2.1 Series de Fourier

La serie de Fourier de una función f GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR Ϫp, p) está
dada por

f (x) a0 n nx (8)
2 n 1 an cos p x bn sen p ,

1p
donde a0 f (x) dx (9)
pp (10)

an 1 p nπ x
f (x) cos dx
pp p

1 p nπ x
bn f (x) sen dx. (11)
pp p

CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER En ausencia de condiciones preci-
VDV TXH JDUDQWLFHQ OD YDOLGH] GH ORV SDVRV SDUD GHWHUPLQDU ORV FRH¿FLHQWHV a0, an y bn el signo
de igualdad en (8) no se debe tomar en un sentido estricto o literal. Algunos libros utilizan

el símbolo ϳ para enfatizar que (8) es sólo la correspondiente serie trigonométrica con

11.2 SERIES DE FOURIER O 433

FRH¿FLHQWHV JHQHUDGRV HPSOHDQGR f en las fórmulas (9) a (11). En vista de que en las
aplicaciones la mayoría de las funciones son del tipo que garantiza la convergencia
de la serie, aquí se usará el símbolo de igualdad. ¿Es posible que, para algún x del in-
tervalo (Ϫp, p), la serie (8) sea convergente y aun así, no ser igual a f(x)? La respuesta
es un contundente Sí.

FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS Antes de tratar las condiciones que ase-
guran la convergencia de una serie de Fourier, es necesario repasar dos temas del primer se-
mestre de cálculo. Se emplearán los símbolos f(xϩ) y f(xϪ) para denotar los límites laterales

f (x ) lim f (x h), f (x ) lim f (x h),
ho0 ho0
h0 h0

(Q OD VHFFLyQ VH GH¿QLy FRQWLQXL- llamados, respectivamente, límites de f para x por la derecha y por la izquierda. Se
dad por partes en un intervalo no
DFRWDGR > ’ 9HD OD ¿JXUD dice que una función f es continua por tramos sobre HQ XQ LQWHUYDOR FHUUDGR >a, b] si

‡ H[LVWH XQ Q~PHUR ¿QLWR GH SXQWRV x1 Ͻ x Ͻ … Ͻ xn HQ >a, b] donde f tiene una
2
GLVFRQWLQXLGDG ¿QLWD GH VDOWR

• f es continua sobre cada intervalo abierto (xk, xkϩ1). f(xϩ) y f(xϪ) deben
&RPR XQD FRQVHFXHQFLD GH HVWD GH¿QLFLyQ ORV OtPLWHV ODWHUDOHV

existir en cada x tal que a Ͻ x Ͻ b. Los límites f(aϩ) y f(bϪ) también deben existir pero

no se requiere que f HVWp GH¿QLGD R TXH VHD FRQWLQXD HQ a o b.

(O VLJXLHQWH SULPHU WHRUHPD GD FRQGLFLRQHV VX¿FLHQWHV SDUD OD FRQYHUJHQFLD GH XQD

serie de Fourier en un punto x.

TEOREMA 11.2.1 Condiciones para la convergencia

Sean f y f´ FRQWLQXDV SRU WUDPRV VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫp, p]. Entonces para toda
x en el intervalo (Ϫp, p), la serie de Fourier de f converge a f(x) en un punto

de continuidad. En un punto de discontinuidad la serie de Fourier converge al

promedio

f (x ) f (x ),
2

en donde f (xϩ) y f (xϪ) denotan el límite de f en x, por la derecha y por la
izquierda, respectivamente.

EJEMPLO 1 Desarrollo en una serie de Fourier

Desarrolle f (x) 0, x0 (12)
x, 0x

en una serie de Fourier.

y SOLUCIÓN (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH f. Con p ϭ ʌ tenemos de las
ecuaciones (9) y (10) que
π
−π π x 1 f (x) dx 10 0 dx ( x) dx 1 x2
a0 x 20
0 2
1
FIGURA 11.2.1 Función f continua an f (x) cos nx dx 1 0 ( x) cos nx dx
por tramos del ejemplo 1.
0 dx 0

1 ( x)sen nx 1 sen nx dx integración
n 0 n0 por partes

1 cos nx 1 ( 1)n
n2 ,
n n0

434 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

donde hemos usado cos Qʌ ϭ (Ϫ1)n. En forma similar encontramos de (11) que

1 x) sen nx dx n1.
bn (

0

Por tanto f (x) 4 1 ( 1)n cos nx 1 sen nx . (13)
n2 n
n1

(9) Observe qhuaeceann GϭH¿0Q. LPGeDr oSRcUo mODo HeFnXDeFlLyeQje m p l o V1H, UeHsGtXeFqHu iDz áa0ndoasdeaa por la ecuación
cuando se el caso después

de evaluar la integral para an.

EJEMPLO 2 Vuelta al ejemplo 1

y' /D LJXDOGDG HQ GHO HMHPSOR VH MXVWL¿FD SRUTXH SRUTXH WDQWR f como f ´ son conti-
QXDV HQ WUDPRV VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫʌ, ʌ@ 9HD ODV ¿JXUDV \ <D TXH f es
−π π x continua para toda x en el intervalo (Ϫʌ, ʌ), excepto en x ϭ 0, la serie (13) convergerá
−1 a f (x). En x ϭ 0 la función es discontinua, por lo que la serie (13) convergerá a

FIGURA 11.2.2 Derivada f´ continua f (0ϩ) f (0Ϫ) 0 2.
por tramos del ejemplo 2. 2 2

DESARROLLO PERIÓDICO Observe que cada una de las funciones del conjunto
básico (1) tiene un periodo fundamental distinto*, en particular 2p͞n, n Ն 1, pero como

un múltiplo entero positivo de un periodo también es un periodo, se ve que todas las
funciones tienen en común el periodo 2p. (Compruebe.) Por tanto, el miembro derecho
de la ecuación (2) tiene periodo 2p; en realidad, 2p es el periodo fundamental de

la suma. Concluimos que una serie de Fourier no sólo representa la función sobre el
intervalo (Ϫp, p), sino que también da el desarrollo periódico de f fuera de este inter-
valo. Ahora podemos aplicar el teorema 11.2.1 al desarrollo periódico de f o podemos
suponer, desde el principio, que la función dada es periódica, con periodo 2p; esto es,
f (x ϩ 2p) ϭ f (x). Cuando f es continua por tramos y existen las derivadas derecha e
izquierda en x ϭ Ϫp y en x ϭ p, respectivamente, la serie (8) converge al promedio

f(p ) f( p )
2

en esos extremos y desarrollando este valor periódicamente a Ϯ3p, Ϯ5p, Ϯ7p, etcétera.

EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 1

La serie de Fourier (13) del ejemplo 1 converge al desarrollo periódico de la función
(12) en todo el eje x. En 0, Ϯ 2ʌ, Ϯ 4ʌ, . . . y en Ϯ ʌ, Ϯ 3ʌ, Ϯ 5ʌ, . . . la serie converge

a los valores

f (0ϩ) f (0Ϫ) y f( ) f( ) 0,
22 2

UHVSHFWLYDPHQWH /RV SXQWRV QHJURV GH OD ¿JXUD UHSUHVHQWDQ HO YDORU ʌ͞2.

y

π

−4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π x

FIGURA 11.2.3 'HVDUUROOR SHULyGLFR GH OD IXQFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

*Vea los problemas 19-24 de los ejercicios 11.1.

11.2 SERIES DE FOURIER O 435

SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES Es interesante ver cómo se aproxima la su-
cesión de sumas parciales {SN(x)} de una serie de Fourier a una función. Por ejemplo,
las tres primeras sumas parciales de la ecuación (13) son

S1(x) 4 , S2(x) 4 2 cos x sen x, y S 3 (x) 4 2 cos x sen x 1 sen 2 x.
2

(Q OD ¿JXUD KHPRV XVDGR XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH ODV VXPDV SDUFLDOHV

S3(x), S8(x) y S15(x) de la ecuación (13) sobre el intervalo (Ϫʌ, ʌ /D ¿JXUD G
muestra el desarrollo periódico usando S15(x) sobre (Ϫ4ʌ, 4ʌ).

yy

33
22
11

xx

-3 -2 -1 1 23 -3 -2 -1 1 23

a) S3(x) b) S8(x)

y y

3 3
2 2
1 1

x x

-3 -2 -1 1 23 -10 -5 5 10

c) S15(x) d) S15(x)

FIGURA 11.2.4 Sumas parciales de la serie de Fourier en la ecuación (13) en el ejemplo 1.

EJERCICIOS 11.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18.

En los problemas 1-16 encuentre la serie de Fourier de f en el 7. f (x) ϭ x ϩ ʌ, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ
8. f (x) ϭ 3 Ϫ 2x, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ
intervalo dado. Proporciones un número para el cual la serie
de Fourier converge hacia un punto de discontinuidad de f.

1. f (x) 0, x0 9. f (x) 0, x0
1, 0x 10. f (x) sen x, 0x

2. f (x) 1, x 0 0, >2 x 0
2, 0 x cos x, 0 x >2

3. f (x) 1, 1 x 0
x, 0 x 1
0, 2 x 1
4. f (x) 0, 1 x 0 11. f (x) 2, 1 x 0
x, 0 x 1 12. f (x) 1, 0 x 1
0, 1 x 2
5. f (x) 0, x 0
x2, 0 x 0, 2 x 0
x, 0 x 1
6. f (x) 2, x0 1, 1 x 2
2 x2, 0x

436 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

13. f (x) 1, 5 x 0 22. Utilice el resultado del problema 9 para demostrar que
1 x, 0 x 5
11 1 1 1 .
2 x, 2x 0 4 2 13 35 57 79
14. f (x) 2, 0x 2

15. f (x) ϭ ex, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ 23. a) Utilice la forma exponencial compleja del coseno y

seno,

16. f (x) 0, x0 cos n x ein x / p e in x / p
ex 1, 0x p 2

n ein x / p e in x/p
p
En los problemas 17 y 18 trace el desarrollo periódico de la sen x 2i ,
función indicada
17. La función f del problema 9 para demostrar que la ecuación (8) se puede expresar
en la forma compleja
18. La función f del problema 14
f (x) cnein x/p,

n

19. Utilice el resultado del problema 5 para demostrar que donde

2 111 c0 a0, cn (an ibn), y cn (an ibn),
6 1 22 32 42 2 2 2

2 111 donde n ϭ 1, 2, 3, . . . .

y 12 1 22 32 42 . b) Demuestre que c0, cn y cϪn del inciso a) se pueden
escribir como una integral

20. Utilice el resultado del problema 19 para encontrar una cn 1 p n 0, 1, 2, . . . .
serie cuya suma sea ʌ2͞8. 2p
f (x)e in x/p dx,
21. Utilice el resultado del problema 7 para demostrar que
p

4 1 1 1 1 . 24. Utilice los resultados del problema 23 para encontrar la
3 5 7 forma compleja de la serie de Fourier de f (x) ϭ eϪx en el

LQWHUYDOR >Ϫʌ, ʌ].

11.3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS

INTRODUCCIÓN (O HVIXHU]R TXH VH LQYLHUWH HQ OD HYDOXDFLyQ GH ODV LQWHJUDOHV GH¿QLGDV TXH

QFDL¿OFFXDOWDLYQD OPRVH QFWRHH ¿FXFDLHQQGWRH Vf ae0s, an y bn al desarrollar una función f en una serie de Fourier se reduce sig-
una función par o impar. Recuerde que una función f es

par si f (Ϫx) ϭ f (x) e impar si f (Ϫx) ϭ Ϫf (x).

Sobre un intervalo simétrico como (Ϫp, p OD JUi¿FD GH XQD IXQFLyQ SDU WLHQH VLPHWUtD UHVSHFWR DO HMH
y, mientras que la de una función impar tiene simetría respecto al origen.

FUNCIONES PAR E IMPAR Es muy probable que el origen de los términos par
e impar VHD FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH ODV JUi¿FDV GH IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV GH
potencias pares de x son simétricas respecto al eje y PLHQWUDV TXH ODV JUi¿FDV GH SROLQR-
mios de potencias impares de x son simétricas respecto al origen. Por ejemplo,

entero par,

f(x) ϭ x2 es par, ya que f(Ϫx) ϭ (Ϫx)2 ϭ x2 ϭ f (x)

entero impar

f(x) ϭ x3 es impar, ya que f(Ϫx) ϭ (Ϫx)3 ϭ Ϫx3 ϭ Ϫf(x).

11.3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS O 437

y 9pDQVH ODV ¿JXUDV \ /DV IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV VHQR \ FRVHQR VRQ
y = x2 respectivamente, funciones par e impar, ya que cos(Ϫx) ϭ cos x y sen(Ϫx) ϭ Ϫsen x.
Las funciones exponenciales f (x) ϭ ex y f (x) ϭ eϪx no son ni pares ni impares.
f (−x) f (x)
−x xx PROPIEDADES El teorema siguiente lista algunas propiedades de las funciones
pares e impares.

FIGURA 11.3.1 )XQFLyQ SDU JUi¿FD TEOREMA 11.3.1 Propiedades de funciones pares͞impares
simétrica respecto al eje y.
a) El producto de dos funciones pares es par.
y y = x3
b) El producto de dos funciones impares es par.

c) El producto de una función impar y una función par es impar.

d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par.

f (x) e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar.
xx
−x f) Si f es par, entonces a a f (x) dx 2 a f (x) d x.
f (−x) 0
g) Si f es impar, entonces a a f (x) dx 0.

FIGURA 11.3.2 )XQFLyQ LPSDU JUi¿FD DEMOSTRACIÓN DE b) Supongamos que f y g son funciones impares. En ese caso
simétrica respecto al origen.
tendremos que f (Ϫx) ϭ Ϫf (x) y g(Ϫx) ϭ Ϫg(x 6L GH¿QLPRV HO SURGXFWR GH f y g
como F (x) ϭ f (x)g(x), entonces

F( x) f ( x) g( x) ( f (x))( g(x)) f (x) g(x) F(x).

Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las
demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. Vea el problema
52 de los ejercicios 11.3.

SERIES DE SENOS Y COSENOS Si f es una función par sobre (Ϫp, p), entonces,
HQ YLVWD GH ODV SURSLHGDGHV DQWHULRUHV ORV FRH¿FLHQWHV \ GH OD VHFFLyQ

11.2 se convierten en

͵ ͵a0 ϭ –1p
p –2p p

f(x) dx ϭ f(x) dx

Ϫp 0

͵ ͵an ϭ p
–p1 p n–p–p– x dx ϭ –p2 0 f(x) cos n–p–p– x dx

f(x) cos

Ϫp

͵bn ϭ par

–p1 p –np–p– x dx ϭ 0

f(x) sen

Ϫp

impar

De la misma manera, cuando f es impar sobre el intervalo (Ϫp, p),

an 0, n 0, 1, 2, . . . , bn 2 p f (x) sen n x dx.
p 0 p

5HVXPLUHPRV ORV UHVXOWDGRV HQ OD VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ

DEFINICIÓN 11.3.1 Series de Fourier de senos y cosenos

i) La serie de Fourier de una función f SDU GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR Ϫp, p)
es la serie de cosenos

f (x) a0 an cos np x, (1)
2 p
n 1