ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C

208 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la corriente i(t) con i ϭ dq͞dt, así la
ecuación (33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden

d 2q R dq 1 E(t) . (34)
L dt2 dt Cq

La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea

para describir sistemas resorte/masa.
Si E(t) ϭ 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a

que la ecuación auxiliar para (34) es Lm2 ϩ Rm ϩ 1͞C ϭ 0, habrá tres formas de solución
con R 0, dependiendo del valor del discriminante R2 Ϫ 4L͞C. Se dice que el circuito es

sobreamortiguado si R2 Ϫ 4L͞C Ͼ 0.

críticamente amortiguado si R2 Ϫ 4L͞C ϭ 0,

y subamortiguado si R2 Ϫ 4L͞C Ͻ 0.

En cada uno de estos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor eϪRt͞2L,
así q(t) A 0 conforme t A ϱ. En el caso subamortiguado cuando q(0) ϭ q0, la carga
en el capacitor oscila a medida que ésta disminuye; en otras palabras, el capacitor se
carga y se descarga conforme t A ϱ. Cuando E(t) ϭ 0 y R ϭ 0, se dice que el circuito
no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin

límite; la respuesta del circuito es armónica simple.

EJEMPLO 9 Circuito en serie subamortiguado

Encuentre la carga q(t) en el capacitor en un circuito LRC cuando L ϭ 0.25 henry (H),

R ϭ 10 ohms (⍀), C ϭ 0.001 farad (F), E(t) ϭ 0, q(0) ϭ q coulombs (C) e i(0) ϭ 0.
0

SOLUCIÓN Puesto que 1͞C ϭ 1000, la ecuación (34) se convierte en

1 10q 1000q 0 o q 40q 4000q 0.
4q

Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito

es subamortiguado y q(t) ϭ eϪ20t(c1 cos 60t ϩ c sen 60t). Aplicando las condiciones
2
c q
iniciales, se encuentra 1 ϭ 0 y c2 1 q0 . Por tanto
3

q(t) q0e 20t cos 60t 1 sen 60 t .
3

Usando (23), podemos escribir la solución anterior como

q(t) q0 1 10 e 20tsen(60t 1.249).
3

Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas
son forzadas. En el caso cuando R 0, la función complementaria qc(t) de (34) se
llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución
particular qp(t) de (34) es una solución de estado estable.

EJEMPLO 10 Corriente de estado estable

Encuentre la solución de estado estable qp(t) y la corriente de estado estable en un
LRC E(t) ϭ E ȖW.
circuito en serie cuando el voltaje aplicado es 0 sen

SOLUCIÓN La solución de estado estable qp(t) es una solución particular de la ecua-
ción diferencial

d 2q dq 1
L dt2 R dt C q E0 sen t.

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 209

&RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH VXSRQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD
forma qp(t) ϭ A sen ȖW ϩ B cos ȖW. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferen-
FLDO H LJXDODQGR FRH¿FLHQWHV VH REWLHQH

E0 L 1

A 2L C , B E0R .
C 1 R2 2L 1 R2
L2 2 L2 2 C C2 2
C2 2

Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.

Si XL 1, entonces X2 L2 2 2L 1
C C C2 2 .

Si Z 1X2 R2, entonces Z2 L2 2 2L 1 R2.
C C2 2

Por tanto A ϭ EX ͞(ϪȖ= 2) y B ϭ ER ͞(ϪȖ= 2), así que la carga de estado estable es
0 0

qp(t) E0 X sen t E0 R cos t.
Z2 Z2

Ahora la corriente de estado estable está dada por ip(t) qp(t):

ip(t) E0 R sen t X cos t. (35)
Z Z Z

Las cantidades X ϭ /Ȗ Ϫ 1͞&Ȗ y Z 1X2 R2 GH¿QLGDV HQ HO HMHPSOR VH
llaman reactancia e impedancia del circuito, respectivamente. Tanto la reactancia

como la impedancia se miden en ohms.

EJERCICIOS 5.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7.

5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una
1. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 16 masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera
N/m. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento.
2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuencia
del movimiento armónico simple es 2͞ʌ ciclos/s, ¿cuál es la 7. 2WUR UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV 1 P VH VXVSHQGH GHO PLVPR
constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa del problema 6. Al
armónico simple si la masa original se remplaza con una masa segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilogramos y ambas
de 80 kilogramos? masas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una
velocidad ascendente de 10 m/s.
3. Una masa que pesa 24 N, unida al extremo de un resorte, lo alarga
4 m. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movimiento?
m arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t ϭ ʌ͞4 s? ¿En ʌ͞2 s?
movimiento. c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma posición?

4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del problema ¿Dónde están las masas en estos instantes? ¿En qué direc-
3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio con una ve- ciones se están moviendo las masas?
locidad descendente de 2 m/s.
8. Una masa que pesa 32 N alarga 2 m un resorte. Determine la
5. Una masa que pesa 20 N alarga 6 m un resorte. La amplitud y el periodo de movimiento si la masa se libera ini-
masa se libera al inicio desde el reposo en un punto cialmente desde un punto situado 1 m arriba de la posición de
6 m abajo de la posición de equilibrio. equilibrio con una velocidad ascendente de 2 m/s. ¿Cuántos
a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t ϭ ʌ͞12, FLFORV HQWHURV KDEUi FRPSOHWDGR OD PDVD DO ¿QDO GH ʌ segun-
ʌ͞8, ʌ͞6, ʌ͞4 y 9ʌ͞32 s. dos?
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t ϭ 3ʌ͞16 s? ¿En
qué dirección se dirige la masa en este instante? 9. Una masa que pesa 8 N se une a un resorte. Cuando se pone en
movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento armónico
simple.

210 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

a) Determine la ecuación de movimiento si la constante de 17. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema resortes
HQ SDUDOHOR TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD FXDQGR DPERV UH-
resorte es 1 N/m y la masa se libera inicialmente desde un sortes tienen la constante de resorte k. De una interpretación
física de este resultado.
punto 6 m abajo de la posición de equilibrio, con una veloci-
18. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema de resortes
dad descendente de 3 m/s. HQ VHULH TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD FXDQGR DPERV UHVRUWHV
2 tienen la constante de resorte k de una interpretación física de este
resultado.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6).
19. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4xЉ ϩ eϪ0.1tx ϭ 0. Por
c) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´). inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el com-
portamiento del sistema durante un periodo largo.
10. Una masa que pesa 10 N alarga un resorte 1 m. Esta masa se re-
4 20. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4xЉ ϩ tx ϭ 0. Por ins-
tira y se coloca una de 1.6 kg, que se libera desde un punto situa- pección de la ecuación diferencial solamente, describa el compor-
tamiento del sistema durante un periodo largo.
do a 1 m arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad
3 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA:
descendente de 5 m/s. MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
4
(Q ORV SUREOHPDV OD ¿JXUD UHSUHVHQWD OD JUi¿FD GH XQD HFXD-
a) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). ción de movimiento para un sistema resorte/masa amortiguado. Use
OD JUi¿FD SDUD GHWHUPLQDU
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´). a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posición de

c) Utilice los resultados de a) y b) para ver en qué tiempos la equilibrio y
b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección
masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equi
1 descendente o ascendente.
librio numéricamente igual a 2 de la amplitud de movimiento. 21. x

11. Una masa que pesa 64 N alarga 0.32 m un resorte. Al inicio la t
masa se libera desde un punto que está 8 m arriba de la posición
de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s. FIGURA 5.1.18 *Ui¿FD GHO SUREOHPD

a) Encuentre la ecuación de movimiento. 22. x

b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? t

c) ¢&XiQWRV FLFORV FRPSOHWRV KDEUi UHDOL]DGR OD PDVD DO ¿QDO GH FIGURA 5.1.19 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
3ʌ segundos? 23. x

d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio t
con dirección hacia abajo por segunda vez?
FIGURA 5.1.20 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extre-

mos en cualquier lado de la posición de equilibrio?
f) ¿Cuál es la posición de la masa en t ϭ 3 s?
g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t ϭ 3 s?
h) ¿Cuál es la aceleración en t ϭ 3 s?

i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los momentos en que la
masa pasa por la posición de equilibrio?

j) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de
equilibrio?

k) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de
equilibrio apuntando en dirección hacia arriba?

12. Una masa de 1 kg se suspende de un resorte cuya constante es de
9 N/m. Inicialmente la masa se libera desde un punto que está 1 m
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
de 1 3 ms/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige
hacia abajo a una velocidad de 3 m/s.

13. Una masa que pesa 20 N estira 6 m un resorte y 2 m otro resorte.

Los resortes están unidos en paralelo a un soporte rígido común
HQ OD IRUPD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 'HWHUPLQH OD FRQV-
tante de resorte efectiva del sistema de doble resorte.. Encuentre la

ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la

posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s.

14. Una cierta masa alarga un resorte 1 m y otro resorte 1 m. Los dos
3 2

resortes se unen a un soporte rígido común en la manera que se

PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 6H TXLWD OD SULPHUD PDVD \ VH FRORFD

XQD TXH SHVD 1 HQ OD FRQ¿JXUDFLyQ GH UHVRUWH GREOH \ VH SRQH

en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es ʌ͞15

segundos, determine cuánto pesa la primera masa.

15. Resuelva el problema 13 otra vez, pero esta vez suponga que los
UHVRUWHV HVWiQ HQ VHULH FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

16. Resuelva el problema 14 otra vez, pero esta vez suponga que los
UHVRUWHV HQ VHULH FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 211

24. x a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera
inicialmente desde el reposo de un punto situado 1͞2 m
t arriba de la posición de equilibrio con una velocidad des-
cendente de 1 m͞s.
FIGURA 5.1.21 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en
25. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 2 (23).
N/m. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numé-
ricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición
un punto situado 1 m arriba de la posición de equilibrio con una de equilibrio con dirección hacia abajo.
velocidad descendente de 8 m/s. Determine el tiempo en el que la
masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el d) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición
de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante? 31. Una masa que pesa 10 N produce un alargamiento de 2
m en un resorte. La masa se une a un dispositivo amorti-
26. Un resorte de 4 m mide 8 m de largo después de colgarle una masa guador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
que pesa 8 N. El medio por el que se mueve la masa ofrece una a ȕ (ȕ Ͼ 0) veces la velocidad instantánea. Determine
fuerza de amortiguamiento igual a 1 2 veces la velocidad instan- los valores de la constante de amortiguamiento ȕ por lo
tánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado,
inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad des- b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado.
cendente de 5 m/s. Calcule el tiempo en que la masa alcanza su
desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es 32. Una masa que pesa 24 N alarga 4 m un resorte. El movi-
la posición de la masa en ese instante?
miento posterior toma lugar en un medio que ofrece una
27. 8QD PDVD GH NLORJUDPR VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV
16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido fuerza de amortiguamiento igual a ȕ (ȕ Ͼ 0) veces la ve-
que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velo-
cidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: locidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde
a) al inicio la masa se libera desde un punto situado
1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 m/s, muestre que cuando 3 1 2 la ecuación de
de 12 m/s.
movimiento es
28. En los incisos a) y b) del problema 27, determine si la masa pasa
por la posición de equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en x(t) 3 e 2 t/3 senh 2 1 2 18t.
que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la po- 18 3
sición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este 1 2
instante?
5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA:
29. Una fuerza de 2 N alarga 1 m un resorte. Una masa que pesa 3.2 MOVIMIENTO FORZADO
N se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio
que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la 33. Una masa que pesa 16 N alarga 8 m un resorte. La masa se
velocidad instantánea. 3

a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se li- libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 m abajo de
bera la masa desde el reposo en un punto situado a 1 m por
encima de la posición de equilibrio. la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un

b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1 de la
(23). 2

c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si
posición de equilibrio en dirección hacia arriba.
se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t) ϭ 10 cos 3t.
30. Después de que una masa de 10 N se sujeta a un resorte de 5 m,
éste llega a medir 7 m. Se retira la masa y se sustituye con una 34. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 5
de 8 N. Luego se coloca al sistema en un medio que ofrece una N/m. Al inicio la masa se libera 1 m abajo de la posición de
fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea. equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s y el movi-
miento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza
de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea.

a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa
igual a f(t) ϭ 12 cos 2t ϩ 3 sen 2t actúa sobre la masa.

b) 7UDFH OD JUi¿FD GH ODV VROXFLRQHV WUDQVLWRULDV \ GH HVWDGR
estable en los mismos ejes de coordenadas.

c) Trace la grá¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR

35 . Una masa de 1 kg, cuando se une a un resorte, causa en éste un
alargamiento de 2 m y luego llega al punto de reposo en la posi-
ción de equilibrio. Empezando en t ϭ 0, una fuerza externa igual
a f(t) ϭ 8 sen 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de
movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amorti-
guamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea.

36. En el problema 35 determine la ecuación de movimiento si la fuerza
externa es f(t) ϭ eϪt sen 4t. Analice el desplazamiento para t A ϱ.

37. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya cons-
tante es 32 N͞m, éste llega al reposo en la posición de equilibrio.

212 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Comenzando en t ϭ 0, una fuerza igual a f(t) ϭ 68eϪ2t cos 4t 44. Compare el resultado obtenido en el inciso b) del problema
se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en
ausencia de amortiguamiento. 43 con la solución obtenida usando la variación de paráme-

38 . En el problema 37, escriba la ecuación de movimiento en la forma tros cuando la fuerza externa es F cos ȦW.
x(t) ϭ Asen(ȦW ϩ ‫ )׋‬ϩ BeϪ2tsen(4t ϩ ș). ¿Cuál es la amplitud de 0
las vibraciones después de un tiempo muy largo?
45. a) Demuestre que x(t) dada en el inciso a) del problema 43
39 . Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya constante
es k. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su soporte em- se puede escribir en la forma
pieza a oscilar verticalmente respecto a una recta horizontal L de
acuerdo con una fórmula h(t). El valor de h representa la distancia x(t) 2F0 sen 1 ( )t sen12 ( )t.
en m medida desde L 9HD OD ¿JXUD 2
2 2
a) Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sis-
tema entero se mueve en un medio que ofrece una fuerza de b) 6L VH GH¿QH 1 ( ), demuestre que cuando İ es
amortiguamiento igual a ȕ(dx͞dt). 2
SHTXHxD XQD VROXFLyQ DSUR[LPDGD HV
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) si el resorte
se alarga 4 m con una masa que pesa 16 N y ȕ ϭ 2, h(t) ϭ x(t) F0 sen t sen t.
5 cos t, x(0) ϭ xЈ(0) ϭ 0. 2

soporte Cuando İ HV SHTXHxD OD IUHFXHQFLD Ȗ͞2ʌ de la fuerza apli-
cada es cercana a la frecuencia Ȧ͞2ʌ de vibraciones libres.
L
h(t) Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la
¿JXUD /DV RVFLODFLRQHV GH HVWD FODVH VH OODPDQ pulsa-
ciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sen İW es
EDVWDQWH SHTXHxD HQ FRPSDUDFLyQ FRQ OD IUHFXHQFLD GH VHQ ␥t.
/DV FXUYDV SXQWHDGDV R HQYROWXUD GH OD JUi¿FD GH x(t), se ob-
GWLHH QJHUQD ¿GFHD FODLyV QJ USiD¿UFDD WVU DG]HD UϮ J(UFi¿0 ͞F2DVİ ␥F)RQse YnDİULWR VU YsDeORuUnHVp rGoHg Fra0m, İa,
y ␥ SDUD FRPSUREDU OD JUi¿FD GH OD ¿JXUD 23.

x

FIGURA 5.1.22 Soporte oscilante del problema 39. t

40. Una masa de 10 JUDPRV VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQV- FIGURA 5.1.23 Fenómeno de pulsaciones del problema 45.
tante es 1600 dinas/cm. Después de que la masa alcanza el Tarea para el laboratorio de computación
equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) ϭ sen 8t,
donde h representa el desplazamiento desde su posición original. 46. ¿Puede haber pulsaciones cuando se agrega una fuerza de
9pDQVH HO SUREOHPD \ OD ¿JXUD
a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuación de amortiguamiento al modelo del inciso a) del problema 43?
movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de
equilibrio. 'H¿HQGD VX SRVLFLyQ FRQ ODV JUi¿FDV REWHQLGDV \D VHD GH OD
b) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equili-
brio? solución explícita del problema
c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamientos ex-
tremos? d 2x 2 dx 2x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0
d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo? dt2 dt
e) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
o de curvas solución obtenidas usando un programa de solu-
ción numérica.

47. a) Demuestre que la solución general de

En los problemas 41 y 42, resuelva el problema con valores iniciales. d2x dx
dt2 dt
d2x 5 sen 2t 3 cos 2t, 2 2x F0 sen t
41. dt2 4x
es

x(0) 1, x (0) 1 x(t) Ae ltsen 2v2 l2t f

42. d 2x 9x 5 sen 3t, x(0) 2, x (0) 0 1( 2 F0 sen( t ),
dt2 2)2 4 2 2

43. a) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales donde A 5 Ïc12 1 c 2 y los ángulos de fase ‫׋‬ y ș están,
2

d 2x UHVSHFWLYDPHQWH GH¿QLGRV SRU VHQ ‫ ׋‬ϭ c1͞A, cos ‫ ׋‬ϭ
dt2 c2͞A y
es 2x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0 2,
x(t)
F0 sen 1( 2 2)2 4 2 2

2 2 (cos t cos t).

F0 22

b) Evalúe lím 2 2 (cos t cos t) . cos .
: 1( 2 2)2 4 2 2

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 213

b) La solución del inciso a) tiene la forma x(t) ϭ xc(t) ϩ xp(t). q(0) ϭ 5 C e i(0) ϭ 0 A. Determine la primera vez en que la
La inspección muestra que xc(t) es transitoria y por tanto para carga del capacitor es igual a cero.

valores grandes de tiempo, la solución se aproxima mediante 50. Calcule la carga del capacitor en un circuito LRC en serie cuando

xp(t) ϭ g(␥) sen(␥t ϩ ș), donde L 1 H, R ϭ 20 ⍀, C 1 F, E(t) ϭ 0 V, q(0) ϭ 4 C e i(0)
4 300
F0 . ϭ 0 A. ¿Alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
g( ) 2)2 4 2 2
1( 2 En los problemas 51 y 52 encuentre la carga en el capacitor y la corriente
en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor.
Aunque la amplitud g(␥) de xp(t) está acotada conforme t A
ϱ, demuestre que las oscilaciones máximas ocurrirán en el 51. L 5 H, R ϭ 10 ⍀, C 1 F, E(t) ϭ 300 V, q(0) ϭ 0 C,
valor 1 1 2 2 2 . ¿Cuál es el valor máximo de g? 3 30
El número 1 2 2 2/ 2 se dice que es la frecuencia i(0) ϭ 0 A

de resonancia del sistema. 52. L ϭ 1 H, R ϭ 100 ⍀, C ϭ 0.0004 F, E(t) ϭ 30 V,
q(0) ϭ 0 C, i(0) ϭ 2 A
c) Cuando F ϭ 2, m ϭ 1 y k ϭ 4, g se convierte en
0
53. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito
g( ) 2 . LRC en serie cuando L ϭ 1 H, R ϭ 2 ⍀, C ϭ 0.25 F y E(t) ϭ 50
1(4 2 )2 2 2 cos tV.

Construya una tabla de valores de ␥ y g(␥1) que 54. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable
1
en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada por E0͞=,
FRUUHVSRQGHQ D ORV FRH¿FLHQWHV GH DPRUWLJXDPLHQ donde = es la impedancia del circuito.
43, β 1 41. Usando
to ȕ ϭ 2, ȕ ϭ 1, β 2 ,y β

XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU REWHQJD ODV 55. Use el problema 54 para demostrar que la corriente de estado

JUi¿FDV GH g TXH FRUUHVSRQGHQ D HVWRV FRH¿FLHQWHV GH DPRU- estable en un circuito LRC en serie cuando L 1 H, R ϭ 20 ⍀,
2
tiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas. Esta C ϭ 0.001 F, y E(t) ϭ 100 sen 60t V, está dada por ip(t) ϭ 4.160

IDPLOLD GH JUi¿FDV VH OODPD curva de resonancia o curva sen(60t Ϫ 0.588).

de respuesta de frecuencia del sistema. ¿A qué valor se

aproxima Ȗ1 conforme ȕ A 0? ¿Qué sucede con la curva de 56. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC
resonancia conforme ȕ A 0? 1
cuando L 2 H, R ϭ 20 ⍀, C ϭ 0.001 F y E(t) ϭ 100 sen 60t

48. Considere un sistema resorte/masa no amortiguado descrito por ϩ 200 cos 40t V.
el problema con valores iniciales
57. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en
1
d 2x serie cuando L 2 H, R ϭ 10 ⍀, C ϭ 0.01 F, E(t) ϭ 150 V,
dt2
2x F0 senn t, x(0) 0, x (0) 0. q(0) ϭ 1 C e i(0) ϭ 0 A. ¿Cuál es la carga en el capacitor des-

pués de un largo tiempo?

a) Para n ϭ 2, explique por qué hay una sola frecuencia ␥1͞2ʌ 58. Demuestre que si L, R, C y E son constantes, entonces la am-
en la que el sistema está en resonancia pura. 0

plitud de la corriente de estado estable del ejemplo 10 es un

b) Para n ϭ 3, analice por qué hay dos frecuencias ␥1͞2ʌ y máximo cuando 1> 1LC . ¿Cuál es la amplitud máxima?

␥2͞2ʌ en las que el sistema está en resonancia pura. 59. Demuestre que si L, R, E y ␥ son constantes, entonces la amplitud
F 0
c) Suponga que Ȧ ϭ 1 y 0 ϭ 1. Use un programa de solución nu-
de la corriente de estado estable en el ejemplo 10 es un máximo
PpULFD SDUD REWHQHU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ
cuando la capacitancia es C ϭ 1͞L␥ 2.
valores iniciales para n ϭ 2 y ␥ ϭ ␥1 HQ HO LQFLVR D 2EWHQJD OD
JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV SDUD n 60. Calcule la carga en el capacitor y la corriente en un circuito LC

ϭ 3 que corresponde, a su vez, a ␥ ϭ ␥ y ␥ ϭ ␥ en el inciso b). cuando L ϭ 0.1 H, C ϭ 0.1 F, E(t) ϭ 100 sen ␥t V, q(0) ϭ 0 C
1 2 e i(0) ϭ 0 A.

5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO 61. Calcule la carga del capacitor y la corriente en un circuito LC

cuando E(t) ϭ E cos ␥t V, q(0) ϭ q C e i(0) ϭ i A.
0 0
0

49. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en 62. En el problema 61, determine la corriente cuando el circuito está
t ϭ 0.01 s cuando L ϭ 0.05 H, R ϭ 2 ⍀, C ϭ 0.01 F, E(t) ϭ 0 V,
en resonancia.

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de
VHJXQGR RUGHQ YD DFRPSDxDGR GH FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV (V GHFLU FRQGLFLRQHV VXSOHPHQWDULDV TXH VH
HVSHFL¿FDQ HQ OD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD \ VX SULPHUD GHULYDGD HV XQ VROR SXQWR 3HUR FRQ IUHFXHQFLD OD
descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homo-

214 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

JpQHD VXMHWD D FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD HV GHFLU FRQGLFLRQHV HVSHFt¿FDV GH OD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD
o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus
derivadas en dos (o más) puntos diferentes.

eje de simetría DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o
a) YLJDV \ HVWDV YLJDV VH ÀH[LRQDQ R GHIRUPDQ EDMR VX SURSLR SHVR R SRU OD LQÀXHQFLD GH
DOJXQD IXHU]D H[WHUQD &RPR YHUHPRV D FRQWLQXDFLyQ HVWD GHÀH[LyQ y(x) está gober-
curva de deflexión
b) nada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple.
Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene
FIGURA 5.2.1 'HÀH[LyQ GH XQD YLJD
homogénea. secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en

la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones

transversales es una recta conocida como eje de simetría 9HD OD ¿JXUD D 6L VH

aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga,

FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E H[SHULPHQWD XQD GLVWRUVLyQ \ OD FXUYD TXH FR-
necta los centroides de las secciones transversales se llama FXUYD GH GHÀH[LyQ o curva
elástica /D FXUYD GH GHÀH[LyQ VH DSUR[LPD D OD IRUPD GH XQD YLJD $KRUD VXSRQJD TXH
el eje x FRLQFLGH FRQ HO HMH GH VLPHWUtD \ TXH OD GHÀH[LyQ y(x), medida desde este eje,

es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de
ÀH[LyQ M(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad
de longitud w(x) mediante la ecuación

d 2M w(x) . (1)
dx2

$GHPiV HO PRPHQWR GH ÀH[LyQ M(x) es proporcional a la curvatura ț de la curva elástica

M(x) EI , (2)

donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la
viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un
eje conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez f1exional de la viga.

Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por ț ϭ yЉ ͞[1 ϩ ( yЈ)2]3͞2. Cuando la
GHÀH[LyQ y(x HV SHTXHxD OD SHQGLHQWH yЈ Ϸ 0, y por tanto [1 ϩ ( yЈ)2]3͞2 Ϸ 1. Si se
permite que ț Ϸ yЉ, la ecuación (2) se convierte en M ϭ EI yЉ. La segunda derivada

de esta última expresión es

d 2M EI d2 y EI d4y . (3)
d x2 d x2 d x4

Si se utiliza el resultado en (1) para remplazar d2M͞dx2 HQ VH YH TXH OD GHÀH[LyQ
y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden

EI d4y w(x). (4)
d x4

Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (4) dependen de cómo estén
apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o ¿MD en un

extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón

son ejemplos comunes de tales vigas, pero incluso árboles, astas de banderas, rascacielos

y monumentos, actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un

H[WUHPR \ VXMHWRV D OD IXHU]D GH ÀH[LyQ GHO YLHQWR 3DUD XQD YLJD HQ YRODGL]R OD GHÀH[LyQ
y(x GHEH VDWLVIDFHU ODV VLJXLHQWHV GRV FRQGLFLRQHV HQ HO H[WUHPR ¿MR x ϭ 0:

• y(0) ϭ SRUTXH QR KD\ ÀH[LyQ \
• yЈ(0) ϭ SRUTXH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ HV WDQJHQWH DO HMH x (en otras palabras,

OD SHQGLHQWH GH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ HV FHUR HQ HVWH SXQWR

En x ϭ L las condiciones de extremo libre son

• yЉ(L) ϭ SRUTXH HO PRPHQWR GH ÀH[LyQ HV FHUR \
• yЉЈ(L) ϭ 0 porque la fuerza de corte es cero.

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 215

x=0 x=L La función F(x) ϭ dM͞dx ϭ EI d3y͞dx3 se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga
está apoyado simplemente o abisagrado (a lo que también se conoce como apoyo con
a) empotrada en ambos extremos perno o fulcro) entonces se debe tener y ϭ 0 y yЉ ϭ 0 en ese extremo. En la tabla 5.2.1
VH UHVXPHQ ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD TXH VH UHODFLRQDQ FRQ 9HD OD ¿JXUD

EJEMPLO 1 Una viga empotrada

Una viga de longitud L HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ

de la viga si una carga constante wx 0ϽesLtá. uniformemente distribuida a lo largo de su
longitud, es decir, w(x) ϭ w0, 0 Ͻ

x=0 x=L SOLUCIÓN 'H YHPRV TXH OD GHÀH[LyQ y(x) satisface

b) viga en voladizo: empotrada en EI d 4y w0.
el extremo izquierdo, libre en el d x4
extremo derecho
Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo (x ϭ 0) como en su
extremo derecho (x ϭ L QR KD\ GHÀH[LyQ YHUWLFDO \ OD UHFWD GH GHÀH[LyQ HV KRUL]RQWDO

en estos puntos. Así, las condiciones en la frontera son

x=0 x=L y(0) 0, y (0) 0, y(L) 0, y (L) 0.

c) apoyada simplemente en ambos Se puede resolver la ecuación diferencial no homogénea de la manera usual (determi-
extremos
nar yc observando que m ϭ 0 es raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar
FIGURA 5.2.2 Vigas con varias m4 ϭ 0 y luego encontrar una solución particular yp SRU FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
condiciones de extremo. o simplemente se integra la ecuación d4y ͞d x4 ϭ w ͞E I sucesivamente
De cualquier modo, se encuentra la solución 0 de la ecuación y ϭ cuatro veces.
yc ϩ yp que es
general

y(x) c1 c2 x c3 x2 c4 x3 w0 x4.
24EI

TABLA 5.2.1 Ahora las condiciones y(0) ϭ 0 y yЈ(0) ϭ 0 dan, a su vez, c ϭ 0y c ϭ 0, mientras que
1 c3 2 c4
las condiciones restantes y(L) ϭ 0 y yЈ(L) ϭ w0
Extremos de la viga Condiciones frontera producen las ecuaciones simultáneas 0 aplicadas a y(x) x2 x3 24EI x4

empotrados y ϭ 0, yЈ ϭ 0 c3 L2 c4 L3 w0 L4 0
libres yЉ ϭ 0, yЉЈ ϭ 0 24EI
apoyados
simplemente y ϭ 0, yЉ ϭ 0 3c4 L2 w0 L3
o abisagrados 6EI

2c3 L 0.

Resolviendo este sistema se obtiene c ϭ w L2͞24EI y c ϭ Ϫw0 L ͞12EI. Así que la
3 0 4
GHÀH[LyQ HV

0.5 y(x) w0 L2 x2 w0 L x3 w0 x4
1x 24EI 12EI 24EI

y o y(x) w0 x2(x L)2 . Eligiendo w ϭ 24EI, y L ϭ 1, obtenemos la curva de
24EI 0
FIGURA 5.2.3 &XUYD GH GHÀH[LyQ
para PVF en el ejemplo 1. GHÀH[LyQ GH OD ¿JXUD

EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES Muchos problemas de aplicación requie-

ren que se resuelva un problema con valores en la frontera en dos puntos (PVF) en los

que interviene una ecuación diferencial lineal que contiene un parámetro Ȝ. Se buscan
los valores de Ȝ para los que el problema con valores en la frontera tiene soluciones no
triviales, es decir, no nulas.

EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF

Resuelva el problema con valores en la frontera
y y 0, y(0) 0, y(L) 0.

216 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: Ȝ ϭ 0, Ȝ Ͻ 0 y Ȝ Ͼ 0.

CASO I: Para Ȝ ϭ 0 la solución de yЉ ϭ 0 es y ϭ cx ϩ ϭc2.0Lyasccoϭnd0i.ciPoonretsayn(t0o), ϭ0
y y(L) ϭ aplicadas a 1 c para

0 esta solución implican, a su vez,
2 1
Ȝ ϭ 0 la única solución del problema con valores en la es la trivial y ϭ 0.
frontera solución

2EVHUYH TXH DTXt VH HPSOHDQ IXQ- CASO II: Para Ȝ Ͻ 0 es conveniente escribir Ȝ ϭ ϪĮ2, donde Į denota un número
ciones hiperbólicas. Vuelva a leer lpmao2ssϭoitliuvϪcoi.ĮóC n 3ogXneHneVseWtRraa TlnXdoHet aHycOЉ iLóQϪnWHlĮUaY2syDrOϭaRí cH0eQs cHodO meTXloaHy eVcϭHu HacVc1Wiicó oWnUsDahEuDĮxM[iDlQϩiaGrRcm 2Hs2Ve Ϫ¿nQhĮLĮW2R[ϭ VAH0 hHsoOoLrJnaHmy H(lV0ϭF)UeLĮEsLyU
“Dos ecuaciones que vale la pena
conocer” , de la página 137.

y(0) c1 cosh 0 c2 senh 0 c1 1 c2 0 c1,

eyys(Lptáo) rfϭotraz0natrdoeo,qyau(i0eel)reeϭgqi ru ce 2VLcϭJ2Qs0Le¿.nFDhDe ĮTn/XuHϭe cv1o0ϭ.laP0asor.alAuĮcsíióynϭ0d,escle2PnsVhenFĮh/es Į[la. La segunda condición

0; en consecuencia, se
solución trivial y ϭ 0.

CASO III: Para Ȝ Ͼ 0 se escribe Ȝ ϭ Į2, donde Į es un número positivo. Debido a

que la ecuación auxiliar m2 ϩ Į2 ϭ 0 tiene raíces complejas m ϭ LĮ y m ϭ ϪLĮ, la
l 2
de yЉ ϩ Į2y ϭ es y ϭ c Į[ ϩúltcim2 saecnoĮn[d.icCioómn yo(Lan)tϭes,0y,(o0) ϭ
solución general por tanto y ϭ 0 sen 1 cos 0
c
produce c ϭ 0 y Į[. Ahora la
1 2

c2 sen L 0,

se satisface al elegir c ϭ 3HUR HVWR VLJQL¿FD TXH y ϭ 0. Si se requiere c 0, enton-
2 2
ces sen Į/ ϭ 0 se satisface siempre que Į/ sea un múltiplo entero de ʌ.

Ln o n o n 2 n2
L n , n 1, 2, 3, . . . .

L

Psoolructaiónntod, eplaprarocbulaelmquaieprarnaúcmaedraonr.eDalecb2iddoisatinqtuoe de cero, yn (x ) ϭ c sen(Qʌ[ ͞L) es una
la 2

ecuación diferencial es homogénea,

cualquier múltiplo constante de una solución también es una solución, así que si se desea

se podría simplemente tomar c ϭ 1. En otras palabras, para cada número de la sucesión
2

2 2 4L22, 3 9L22, ,

1 L2,

la función correspondiente en la sucesión

23 ,
y1 sen L x, y2 sen L x, y3 sen L x,

y es una solución no trivial del problema y ny 0, y(0) 0, y(L) 0 para
n ϭ 1, 2, 3, . . . , respectivamente.

1 n=2 n=1 n=3 Los números Ȝn ϭ n2ʌ2͞L2, n ϭ 1, 2, 3, . . . para los cuales el problema con valores
en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales que se conocen como ei-

x genvalores (valores propios). Las soluciones no triviales que dependen de estos
L
valores de Ȝn, yn (x) ϭ c sen(Qʌ[ ͞L) o simplemente yn (x) ϭ sen(Qʌ[ ͞L), se
2
llaman eigenfunciones IXQFLRQHV SURSLDV /DV JUi¿FDV GH ODV HLJHQIXQFLRQHV

–1 n=4 n=5 para n ϭ VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH FDGD OtQHD JUD¿FDGD
pasa por los dos puntos (0, 0) y (0, L)

FIGURA 5.2.4 *Ui¿FDV GH ODV EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 2
eigenfunciones yn = sen(Qʌ[͞L), para
n = 1, 2, 3, 4, 5 Se entiende del ejemplo 2 y la discusión anterior que el problema con valores en la
frontera:

yЉ ϩ 5y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0

posee solamente la solución trivial y ϭ 0 porque 5 no es un eigenvalor.

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 217

P PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA En el siglo XVIII,

x=0 y Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema con

x eigenvalores y analizar cómo se pandea una columna elástica delgada bajo una fuerza
L
axial compresiva.

Considere una columna vertical larga y delgada de sección transversal uniforme y
longitud L. Sea y(x OD GHÀH[LyQ GH OD FROXPQD FXDQGR VH DSOLFD HQ OD SDUWH VXSHULRU XQD
fuerza compresiva vertical constante, una carga P, FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD $O
FRPSDUDU ORV PRPHQWRV GH ÀH[LyQ HQ DOJ~Q SXQWR D OR ODUJR GH OD FROXPQD VH REWLHQH

d2y Py o d2y Py 0, (5)
EI dx2 EI dx2

x=L donde E es el módulo de Young para la elasticidad e I es el momento de inercia de una

a) b) sección transversal respecto a una recta vertical que pasa por su centroide.

FIGURA 5.2.5 Pandeo de una EJEMPLO 4 La carga de Euler
columna elástica bajo una fuerza
compresiva. (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD KRPRJpQHD YHUWLFDO \ GHOJDGD GH ORQJLWXG L su-
jeta a una carga axial constante P VL OD FROXPQD VH ¿MD FRQ ELVDJUDV HQ DPERV H[WUHPRV

SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera por resolver es

d2y Py 0, y(0) 0, y(L) 0.
EI dx2

Primero observe que y ϭ 0 es una solución muy buena de este problema. Esta solución
tiene una simple interpretación intuitiva: Si la carga P QR HV VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH
QR KD\ GHÀH[LyQ (QWRQFHV OD SUHJXQWD HV HVWD ¢SDUD TXp YDORUHV GH P se dobla la co-
lumna? En términos matemáticos: ¿para qué valores de P el problema con valores en

la frontera tiene soluciones no triviales?
Al escribir Ȝ ϭ P͞EI, vemos que

y y 0, y(0) 0, y(L) 0

es idéntico al problema del ejemplo 2. Del caso III de esa descripción se ve que las de-

ÀH[LRQHV VRQ yn(x) ϭn ϭc2 s e n ( Q ʌ [ ͞ L ) 'HVqGuHe HO ScoXrQrWeRs pGoHn YdLeVWnD ItVaLFRl oHsVWR eViLgJeQnL¿vFaDlo TrXeHs
Ȝn ϭ Pn͞EI ϭ n2ʌ2͞L2,

OD FROXPQD H[SHULPHQWD ÀH[LyQ VyOR FXDQGR OD IXHU]D FRPSUHVLYD HV XQR GH ORV YDORUHV

Pn ϭ n2ʌ 2EI͞L2, n ϭ 1, 2, 3, . . . Estas fuerzas diferentes se llaman cargas críticas. La
GdHeÀEHu[LlyerQ, FeRsUyUH1(VxS)RϭQGcLH2QsWeHn D(ʌ O[D͞ FLD)UJyDs eFUctWoLFnDo cPeicVo SmHoTXpHrximD Per1 ϭ ʌ2EI͞L2, llamada
modo de pandeo. carga

yyy /DV FXUYDV GH GHÀH[LyQ GHO HMHPSOR TXH FRUUHVSRQGHQ D n ϭ 1, n ϭ 2 y n ϭ 3

LLL VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH VL OD FROXPQD RULJLQDO WLHQH DOJXQD
xxx
a) b) c) clase de restricción física en x ϭ L͞ HQWRQFHV OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD VHUi

FIGURA 5.2.6 &XUYDV GH GHÀH[LyQ P ϭ 4ʌ2EI ͞L2 \ OD FXUYD GH GHÀH[LyQ VHUi FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E 6L
que corresponden a las fuerzas 2 ponen restricciones a la columna en x ϭ L͞3 y en x ϭ 2L͞3, entonces la columna
compresivas P1, P2, P3.
se

no se pandea hasta que se aplica la carga crítica P ϭ 9ʌ2EI ͞L2 \ OD FXUYD GH GHÀH[LyQ
3
VHUi FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD F 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV

CUERDA GIRANDO La ecuación diferencial lineal de segundo orden

y y0 (6)

se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que
la ecuación (6) en las formas d2x͞dt2 ϩ (k͞m)x ϭ 0 y d2q͞dt2 ϩ (1͞LC)q ϭ 0 son

modelos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la res-

puesta armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando
HO PRGHOR SDUD OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD GHOJDGD HQ VH HVFULEH FRPR d2y͞dx2 ϩ
(P͞EI) y ϭ 0 que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en
HVWD VHFFLyQ FRPR XQ PRGHOR TXH GH¿QH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ R OD IRUPD y(x) que adopta

218 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ω a) una cuerda girando. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda
x=0
y (x) SDUD VDOWDU \ OD KDFHQ JLUDU GH XQD PDQHUD VLQFURQL]DGD 9HD OD ¿JXUD D \ E
x=L Suponga que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante ȡ (masa por

b) unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x \ VH ¿MD HQ x ϭ 0 y x ϭ L. Suponga que

la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante Ȧ. Considere
una porción de la cuerda en el intervalo [x, x ϩ ⌬x], donde ⌬x HV SHTXHxD 6L OD PDJ-
nitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de

ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones
distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x ϩ ⌬x]. Primero,

YHPRV HQ OD ¿JXUD F VH YH TXH OD IXHU]D YHUWLFDO QHWD HV

F T sen 2 T sen 1 . (7)

T2 Cuando los ángulos ș1 y ș2 PHGLGRV HQ UDGLDQHV VRQ SHTXHxRV VH WLHQH VHQ ș2 Ϸ tan ș2
θ1 θ2 y sen ș1 Ϸ tan ș1. Además, puesto que tan ș2 y tan ș1, son, a su vez, pendientes de las
rectas que contienen los vectores T2 y T1 también se puede escribir

tan 2 y (x x) y tan 1 y (x).

Por tanto, la ecuación (7) se convierte en

T1 F T [ y (x x) y (x)] . (8)
x
x + Δx x Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando
la segunda ley de Newton, F ϭ ma. Aquí la masa del resorte en el intervalo es
c) m ϭ ȡ ⌬x; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular Ȧ en
un círculo de radio r es a ϭ UȦ2. Con ⌬x SHTXHxD VH WRPD r ϭ y. Así la fuerza vertical
FIGURA 5.2.7 Cuerda girando y
fuerzas que actúan sobre ella. neta es también aproximadamente igual a

F ( x)y 2 , (9)

donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección
opuesta a la dirección y positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene

cociente de diferencias

T[yЈ(x ϩ ⌬x) Ϫ yЈ(x)] ϭ Ϫ(r⌬x)yv2 o T –y–Ј(–x––ϩ––⌬–⌬–xx–)–Ϫ––y–Ј–(–x–) ϩ rv2y ϭ 0. (10)

Para ⌬x cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la se-
gunda derivada d2y͞dx2. Por último, se llega al modelo

d2y 2y 0. (11)
T dx2

Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en x ϭ 0 y x ϭ L, esperamos que la

solución y(x) de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera y(0) ϭ 0
y y(L) ϭ 0.

COMENTARIOS

i) Los eigenvalores no siempre son fáciles de encontrar, como sucedió en el
ejemplo 2; es posible que se tengan que aproximar las raíces de ecuaciones como
tan x ϭ Ϫx, o cos x cosh x ϭ 1. Véanse los problemas 32 a 38 en los ejercicios 5.2.
ii) Las condiciones de frontera aplicadas a una solución general de una ecua-
ción diferencial dan lugar a un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones
OLQHDOHV HQ ODV TXH ODV LQFyJQLWDV VRQ ORV FRH¿FLHQWHV ci de la solución general.
Un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales es siempre consistente
porque por lo menos tiene una solución trivial. Pero un sistema homogéneo de
n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si
HO GHWHUPLQDQWH GH ORV FRH¿FLHQWHV HV LJXDO D FHUR 3RGUtD VHU QHFHVDULR XVDU HVWH
último hecho en los problemas 21, 22 y 32 de los ejercicios 5.2.

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 219

EJERCICIOS 5.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.

Deflexión de una viga (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ GH OD YLJD HQ YRODGL]R VL w(x) ϭ w x, 0 Ͻ
0
x Ͻ L y y(0) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0.
En los problemas 1-5 resuelva la ecuación (4) sujeta a las condi-

ciones de frontera adecuadas. La viga es de longitud L y w es una y
0 L

constante.

1. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su
extremo derecho y w(x) ϭ w0, 0 Ͻ x Ͻ L.

b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD GH GH-
ÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ 24EI y L ϭ 1.

2. a) La viga está apoyada simplemente en ambos extremos, y P w0 x x
w(x) ϭ w0, 0 Ͻ x Ͻ L. O x

b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD GH GH- FIGURA 5.2.8 'HÀH[LyQ GH OD YLJD HQ YRODGL]R GHO SUREOHPD
ÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ 24EI y L ϭ 1.

3 . a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada 8. Cuando se aplica una fuerza compresiva en lugar de una fuerza
simplemente en su extremo derecho, y w(x) ϭ w0, 0 Ͻ x Ͻ de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecua-
L. FLyQ GLIHUHQFLDO GH OD GHÀH[LyQ HV
EIy Py w(x)2x.
b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD GH GH- Resuelva esta ecuación si w(x) ϭ w x, 0 Ͻ x Ͻ L, y y(0) ϭ 0,
ÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ 48EI y L ϭ 1.
0
4. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apo-
yЈ(L) ϭ 0.
yada simplemente en su extremo derecho, y w(x) ϭ
Eigenvalores y funciones propias
w sen(ʌ[͞L), 0 Ͻ x Ͻ L.
0 En los problemas 9-20 determine los eigenvalores y las eigenfunciones
del problema con valores en la frontera dado.
b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD GH
9. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(ʌ) ϭ 0
GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ 2 ʌ3EI y L ϭ 1.
10. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(ʌ͞4) ϭ 0
c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV R 11. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0
12. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(0) ϭ 0, yЈ(ʌ͞2) ϭ 0
GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD DSUR[LPH HO SXQWR HQ OD JUi¿FD 13. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yЈ(ʌ) ϭ 0
14. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(Ϫʌ) ϭ 0, y(ʌ) ϭ 0
GHO LQFLVR E HQ HO TXH RFXUUH OD Pi[LPD GHÀH[LyQ ¢&XiO HV 15. yЉ ϩ 2yЈ ϩ (Ȝ ϩ 1)y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(5) ϭ 0
16. yЉ ϩ (Ȝ ϩ 1)y ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yЈ(1) ϭ 0
OD Pi[LPD GHÀH[LyQ" 17. x2yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(1) ϭ 0, y(eʌ) ϭ 0
18. x2yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(eϪ1) ϭ 0, y(1) ϭ 0
5. a) La viga está simplemente soportada en ambos extremos y 19. x2yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(1) ϭ 0, y(e2) ϭ 0
20. x2yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(1) ϭ 0, yЈ(e) ϭ 0
w(x) ϭ w x, 0 Ͻ x Ͻ L.
0 En los problemas 21 y 22 determine los eigenvalores y las eigenfun-
ciones del problema con valores en la frontera dado. Considere sólo
b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD GH el caso Ȝ ϭ Į4, Į Ͼ 0. [Sugerencia /HD LL HQ ODV 2EVHUYDFLRQHV @

GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ 36EI y L ϭ 1. 21. y(4) Ϫ Ȝ\ ϭ 0, y(0) ϭ 0, yЉ(0) ϭ 0, y(1) ϭ 0, yЉ(1) ϭ 0
22. y(4) Ϫ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yٞ(0) ϭ 0, y(ʌ) ϭ 0, yЉ(ʌ) ϭ 0
c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV
Pandeo de una columna delgada
GH XQ 6$& R GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD DSUR[LPH HO SXQWR
23. &RQVLGHUH OD ¿JXUD ¢'yQGH VH GHEHQ FRORFDU HQ OD FROXPQD
HQ OD JUi¿FD GHO LQFLVR E HQ HO TXH RFXUUH OD Pi[LPD GH- las restricciones físicas si se quiere que la carga crítica sea P4?
'LEXMH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ FRUUHVSRQGLHQWH D HVWD FDUJD
ÀH[LyQ ¢&XiO HV OD Pi[LPD GHÀH[LyQ"

6. a) &DOFXOH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD HQ YRODGL]R GHO SUR-
blema 1.

b) ¿Cómo se compara con el valor del inciso a) con la de-
ÀH[LyQ Pi[LPD GH XQD YLJD TXH WLHQH OD PLWDG GH ODUJR"

c) (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD DSR\DGD GHO SUR-
blema 2.

d) ¢&yPR VH FRPSDUD OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD FRQ DSR-
\RV VLPSOHV GHO LQFLVR F FRQ HO YDORU GH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD
de la viga empotrada del ejemplo 1?

7. Una viga en voladizo de longitud L está empotrada en su
extremo derecho y se aplica una fuerza de P N en su ex-
tremo izquierdo libre. Cuando el origen se toma como su extremo
OLEUH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD VH SXHGH GHPRVWUDU TXH OD
GHÀH[LyQ y(x) de la viga satisface la ecuación diferencial

EIy Py w(x)2x.

220 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

24. Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las Para T y ȡ FRQVWDQWHV GH¿QD ODV rapideces críticas de la
rotación angular Ȧn como los valores de Ȧ para los cuales el
condiciones de extremo de la columna. El valor de la carga problema con valores en la frontera tiene soluciones no trivia-
les. Determine las rapideces críticas Ȧn \ ODV GHÀH[LRQHV FRUUHV-
de Euler P en el ejemplo 4 se obtuvo bajo la suposición de pondientes yn(x).
1
28. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, entonces
que la columna estaba abisagrada por ambos extremos. Su- XQ PRGHOR SDUD OD FXUYD GH GHÀH[LyQ R IRUPD y(x) que toma una
cuerda rotatoria está dado por
ponga que una columna vertical homogénea delgada está em-
potrada en su base (x ϭ 0) y libre en su parte superior (x ϭ L)
y que se aplica una carga axial constante P en su extremo libre.

(VWD FDUJD FDXVD XQD GHÀH[LyQ SHTXHxD į como se muestra en la

¿JXUD R QR FDXVD WDO GHÀH[LyQ (Q FXDOTXLHU FDVR OD HFXDFLyQ d T (x) dy 2y 0.
GLIHUHQFLDO SDUD OD GHÀH[LyQ y(x) es dx dx

EI d 2y Py P. Suponga que 1 Ͻ x Ͻ e y que T(x) ϭ x2.
d x2

x P a) Si y(l) ϭ 0, y(e) ϭ 0 y ȡȦ2 Ͼ 0.25, demuestre que
x=L
las velocidades críticas de rotación angular son

δ n 1 2(4n2 2 1)> \ ODV GHÀH[LRQHV FRUUHVSRQ-
2

dientes son

yn(x) ϭ c xϪ1͞2 sen(Qʌ ln x), n ϭ 1, 2, 3, . . . .
2

b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ODV FXUYDV GH

GHÀH[LyQ VREUH HO LQWHUYDOR > e] para n ϭ 1, 2, 3. Elija c ϭ 1.
2

x=0 Diferentes problemas con valores en la frontera

y 29. Temperatura en una esfera Considere dos esferas concén-

FIGURA 5.2.9 'HÀH[LyQ GH OD FROXPQD YHUWLFDO GHO SUREOHPD tricas de radio r ϭ a y r ϭ b, a Ͻ b 9HD OD ¿JXUD /D
temperatura u(r) en la región entre las esferas se determina del

problema con valores en la frontera

a) ¢&XiO HV OD GHÀH[LyQ SUHGLFKD FXDQGR į ϭ 0? d2u du
r dr2 2 dr 0, u(a) u0, u(b) u1,
b) Cuando į 0, demuestre que la carga de Euler para esta
columna es un cuarto de la carga de Euler para la columna donde u y u son constantes. Resuelva para u(r).
que está abisagrada del ejemplo 4. 0 1

25. Como se mencionó en el problema 24, la ecuación diferencial u = u1
TXH JRELHUQD OD GHÀH[LyQ y(x) de una columna elástica del- u = u0
gada sujeta a una fuerza axial compresiva constante P es válida
sólo cuando los extremos de la columna están abisagrados. En
JHQHUDO OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH JRELHUQD OD GHÀH[LyQ GH OD
columna está dada por

d2 EI d 2y P d2y 0.
dx2 d x2 dx2

Suponga que la columna es uniforme (EI es una constante) y que FIGURA 5.2.10 Esferas concéntricas del problema 29.
30. Temperatura en un anillo La temperatura u(r) en el anillo
los extremos de la columna están abisagrados. Demuestre que la
FLUFXODU PRVWUDGR HQ OD ¿JXUD VH GHWHUPLQD D SDUWLU GHO
solución de esta ecuación diferencial de cuarto orden sujeta a las problema con valores en la frontera
condiciones límite y(0) ϭ 0, yЉ(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0, yЉ(L) ϭ 0 es
equivalente al análisis del ejemplo 4. d2u du
r dr2 dr 0, u(a) u0, u(b) u1,
26. Suponga que una columna elástica delgada y uniforme está abisa-
grada en el extremo x ϭ 0 y empotrada en el extremo x ϭ L. ab

a) Use la ecuación diferencial de cuarto orden del problema u = u0
25 para encontrar los valores propios Ȝn, las cargas críticas u = u1
Pn, la carga de Euler P1 \ ODV GHÀH[LRQHV yn(x).
FIGURA 5.2.11 Anillo circular del problema 30.
b 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GHO
primer modo de pandeo.

Cuerda girando

27. Considere el problema con valores en la frontera presentado en la
construcción del modelo matemático para la forma de una cuerda
girando:

T d 2y 2y 0, y(0) 0, y(L) 0.
d x2

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 221

donde u y u son constantes. Demuestre que cuando se libere cada masa en la posición de equilibrio en t ϭ 0
0 1
v
u(r) u0 ln(r>b) u1 ln(r>a). con una velocidad 0 diferente de cero, pase por la posición de
ln(a>b) equilibrio en t ϭ 1 pasa cada masa mn
segundo. ¿Cuántas veces

31. Rotación de un eje Supongamos que el eje x sobre el intervalo por la posición de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 Ͻ t Ͻ 1?
[0, L] es el centro geométrico de un eje largo y recto, como el
34. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para el sis-
HMH GH OD KpOLFH GH XQ EDUFR 9pDVH OD ¿JXUD &XDQGR HO HMH tema resorte/masa del problema 33 se reemplaza por mxЉ ϩ 2xЈϩ kx
ϭ 0. En otras palabras el sistema es libre pero está sujeto a amor-
está girando con una rapidez angular constante Ȧ sobre este eje la tiguamiento numéricamente igual a dos veces la velocidad ins-
desviación y(x) del eje satisface la ecuación diferencial tantánea. Con las mismas condiciones iniciales y la constante de
resorte del problema 33, investigue si es posible encontrar una
EI d4y 2 ␳␻2y 5 0, masa m que pase por la posición de equilibrio en t ϭ 1 segundo.
dx4
En los problemas 35 y 36, determine si es posible encontrar valores y y y
donde ȡ es su densidad por unidad de longitud. Si el eje está sim- 01
plemente apoyado o con bisagras, en ambos extremos entonces las
condiciones de límite son (problema 35) y valores de L Ͼ 0 (problema 36) tal que el problema con
valores iniciales tenga a) exactamente una solución no trivial, b) más de
y(0) 5 0, y0(0) 5 0, y(L) 5 0, y0(L) 5 0. una solución, c) ninguna solución, d) la solución trivial.

a) 6L Ȝ = Į4 = ȡȦ2/EI OXHJR HQFXHQWUH ORV HLJHQYDORUHV \ 35. yЉ ϩ 16y ϭ 0, y(0) ϭ y0, y(ʌ͞2) ϭ y
1
HLJHQIXQFLRQHV SDUD HVWH SUREOHPD GH YDORU D OD IURQWHUD 36. yЉ ϩ 16y ϭ 0, y(0) ϭ 1, y(L) ϭ 1

b) 8WLOLFH ORV HLJHQYDORUHV Ȝn HQ HO LQFLVR D SDUD HQFRQ 37. Considere el problema con valores en la frontera
WUDU ODV UDSLGHFHV DQJXODUHV Ʒn FRUUHVSRQGLHQWHV /RV YD y y 0, y( ) y( ), y ( ) y ( ).

lores Ȧn se llaman rapideces críticas (O YDORU Ȧ se llama a) $O WLSR GH FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD HVSHFL¿FDGDV VH OH OOD-
rapidez crítica fundamental y, análogo al ejemplo 4, con man condiciones frontera periódicas. Dé una interpreta-
HVWD UDSLGH] HO HMH FDPELD GH y D XQD GHÁH[LyQ GH y (x ción geométrica de estas condiciones.

© National Archives and Records b) Determine los eigenvalores y las eigenfunciones del pro-
Administration blema.

c) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU DOJXQDV GH ODV
eigenfunciones. Compruebe su interpretación geométrica de
las condiciones frontera dadas en el inciso a).

38. Muestre que los eigenvalores y las eigenfunciones del problema
con valores en la frontera

y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0

son n 2 y yn (x ϭ sen Įnx, respectivamente, donde Įn, n ϭ
n
FIGURA 5.2.12 Eje de la hélice del acorazado USS Missouri.
1, 2, 3, ... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación

tan Į ϭ Ϫ Į.

32. En el pUREOHPD VXSRQJD TXH / 6L HO HMH HV ¿MR HQ DPERV Tarea para el laboratorio de computación

extremos las condiciones frontera son

y(0) = 0, y’(0) = 0, y(1) = 0, y’(1) = 0. 39. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV TXH OR FRQYHQ]DQ GH TXH OD
ecuación tan Į ϭ ϪĮ GHO SUREOHPD WLHQH XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV
a) 'HPXHVWUH TXH ORV HLJHQYDORUHV ƪQ Ơn4 VH GHÀQHQ SRU Explique por qué se pueden despreciar las raíces negativas de
ODV UDtFHV SRVLWLYDV GH FRV Ơ FRVK Ơ >6XJHUHQFLD YHD ODV la ecuación. Explique por qué Ȝ ϭ 0 no es un eigenvalor aun
LQVWUXFFLRQHV SDUD SUREOHPDV \ @ cuando Į ϭ 0 es una solución obvia de la ecuación tan Į ϭ ϪĮ.

b) 'HPXHVWUH TXH ODV HLJHQIXQFLRQHV 40. Usando un programa para determinar raíces de un SAC, apro-
yn(x) ϭ (Ϫsen Įn ϩ senh Įn)(cos Įnx Ϫ cosh Įnx)
+ (cos Įn Ϫ cosh Įn)(sen Įnx Ϫ senh Įnx). xime los primeros cuatro eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4 para el PVF
del problema 38.
Problemas para analizar
41. Utilice un SAC para aproximar los primeros cuatro eigenvalores
33. Movimiento armónico simple El modelo mxЉ ϩ kx ϭ 0 Ȝ1 Ȝ2 Ȝ3 \ Ȝ4 del problema de valores a la frontera
para el movimiento armónico simple, que se analizó en la sección
5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de esta sección. y0 1 ␭y 5 0, y(0) 5 0, y (1) 2 1 y9(1) 5 0.
Considere un sistema resorte/masa libre no amortiguado 2
para el cual la constante de resorte es, digamos, k ϭ 10 N/m.
Determine las masas mn que se pueden unir al resorte para que Dé las eigenfunciones aproximadas correspondientes y1(x),
y2(x), y3(x), y y4(x).

42. Utilice un SAC para aproximar los eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3, y Ȝ4
GH¿QLGRV SRU OD HFXDFLyQ HQ HO LQFLVR D GHO SUREOHPD

222 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

5.3 MODELOS NO LINEALES

INTRODUCCIÓN En esta sección se examinan algunos modelos matemáticos no lineales de
orden superior. Algunos de estos modelos se pueden resolver usando el método de sustitución (lo

que conduce a la reducción de orden de la ED) presentado en la sección 4.10. En algunos casos donde

no se puede resolver el modelo, se muestra cómo se reemplaza la ED no lineal por una ED lineal
mediante un proceso conocido como linealización.

RESORTES NO LINEALES El modelo matemático en (1) de la sección 5.1 tiene la

forma

m d2x F(x) 0, (1)
dt2

donde F(x) ϭ kx. Debido a que x denota el desplazamiento de la masa desde su posición
de equilibrio, F(x) ϭ kx es la ley de Hooke, es decir, la fuerza ejercida por el resorte

que tiende a restaurar la masa a la posición de equilibrio. Un resorte que actúa bajo una
fuerza restauradora lineal F(x) ϭ kx se llama resorte lineal. Pero los resortes pocas

veces son lineales. Dependiendo de cómo esté construido y del material utilizado, un

UHVRUWH SXHGH YDULDU GHVGH ³ÀH[LEOH´ R VXDYH KDVWD ³UtJLGR´ R GXUR SRU OR TXH VX IXHU]D

restauradora puede variar respecto a la ley lineal. En el caso de movimiento libre, si se

supone que un resorte en buen estado tiene algunas características no lineales, entonces
podría ser razonable suponer que la fuerza restauradora de un resorte, es decir, F(x) en
la ecuación (1), sea proporcional al cubo del desplazamiento x de la masa más allá de
su posición de equilibrio o que F(x) sea una combinación lineal de potencias del des-
plazamiento como el que se determina mediante la función no lineal F(x) ϭ kx ϩ k1x3.
Un resorte cuyo modelo matemático incorpora una fuerza restauradora no lineal, como

m d 2x kx3 0 o m d 2x kx k1x3 0, (2)
dt2 dt2

se llama resorte no lineal. Además, se examinan modelos matemáticos en los que el

amortiguamiento impartido al movimiento era proporcional a la velocidad instantánea
dx͞dt y la fuerza restauradora de un resorte está dada por la función lineal F(x) ϭ kx.

Pero estas fueron suposiciones muy simples; en situaciones más reales, el amortigua-
miento podría ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea dx͞dt. La

ecuación diferencial no lineal

m d2x dx dx kx 0 (3)
dt2 dt dt

es un modelo de un sistema libre resorte/masa en el que la fuerza de amortiguamien-

to es proporcional al cuadrado de la velocidad. Así que es posible imaginar otras clases

de modelos: amortiguamiento lineal y fuerza restauradora no lineal, amortiguamiento

no lineal y fuerza restauradora no lineal, etcétera. El punto es que las características no

lineales de un sistema físico dan lugar a un modelo matemático que es no lineal.

de 2EVHUYH HQ TXH WDQWR F(x) ϭ kx3 como F(x) ϭ kx ϩ k x3 son funciones impares
x. Para ver por qué una función polinomial 1

que contiene sólo potencias impares de

x proporciona un modelo razonable para la fuerza restauradora, se expresa a F como

una serie de potencias centrada en la posición de equilibrio x ϭ 0:

F (x) c0 c1x c2 x2 c3 x3 .

Cuando los desplazamientos x VRQ SHTXHxRV ORV YDORUHV GH x n VRQ LQVLJQL¿FDQWHV SDUD

n VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH 6L VH WUXQFD OD VHULH GH SRWHQFLDV SRU HMHPSOR HQ HO FXDUWR

término, entonces F(x) ϭ c ϩ cx ϩ c x2 ϩ c x 3. Para la fuerza en x Ͼ 0,
0 1 2
3

F (x) c0 c1x c2 x2 c3 x3,

5.3 MODELOS NO LINEALES O 223

F resorte resorte lineal y para que la fuerza en Ϫx Ͻ 0,
duro resorte suave
F( x) c0 c1x c2x2 c3x3
x
tenga la misma magnitud pero actúe en dirección contraria, se debe tener
F(Ϫx) ϭ ϪF(x 'HELGR D TXH HVWR VLJQL¿FD TXH F es una función impar, se debe tener
tnqcé0eursϭemcuio0nnroayrsefcsud2peeϭorznlaad0isryeeensrpitteoae,usr,retasalodnmnotorias,asmFcim(ooxné)atprϭrgiocutcaem1snx.ecEϩniantsocem3plxria3ox.ndtSáauilsics,seeicsohlasmuigbfouuienFirec(anixnót)enuϭssleaicnde1eoxsacsϩlróiFblco(e2xxlc)o2ϭsyϭplcraki1smxyv.eicSrboerϭsadcdiikocoes-.

1 31

FIGURA 5.3.1 Resortes duros y suaves. RESORTES DUROS Y SUAVES Analicemos con más detalle la ecuación (1) para

x el caso en que la fuerza restauradora está dada por F(x) ϭ kx ϩ k x3, k Ͼ 0. Se dice
x(0)=2, l
x'(0)=_3 que el resorte es duro si k Ͼ 0 y suave si k
l l Ͻ /DV JUi¿FDV GH WUHV WLSRV GH IXHU-

]DV UHVWDXUDGRUDV VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD (Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH LOXVWUDQ

estos dos casos especiales de la ecuación diferencial md2x͞dt2 ϩ kx ϩ k x3 ϭ 0,
m Ͼ 0, k Ͼ 0. 1

t EJEMPLO 1 Comparación de resortes duros y suaves

Las ecuaciones diferenciales

x(0)=2, d2x x x3 0 (4)
x'(0)=0 dt2

a) resorte duro y d2x x x3 0 (5)
dt2
x
x(0)=2, son casos especiales de la segunda ecuación en (2) y son modelos de un resorte duro y uno
x' (0)=0 VXDYH UHVSHFWLYDPHQWH (Q OD ¿JXUD D VH PXHVWUDQ GRV VROXFLRQHV GH \ HQ OD
¿JXUD E GRV VROXFLRQHV GH REWHQLGDV GH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD /DV
t curvas mostradas en rojo son soluciones que satisfacen las condiciones iniciales x(0) ϭ 2,
xЈ(0) ϭ Ϫ3; las dos curvas en rojo son soluciones que satisfacen x(0) ϭ 2, xЈ(0) ϭ 0.
x(0)=2,
x'(0)=_3 Desde luego estas curvas solución indican que el movimiento de una masa en el resorte
GXUR HV RVFLODWRULR PLHQWUDV TXH HO PRYLPLHQWR GH XQD PDVD HQ HO UHVRUWH ÀH[LEOH DO
b) resorte suave parecer es no oscilatorio. Pero se debe tener cuidado respecto a sacar conclusiones con

FIGURA 5.3.2 Curvas de solución base en un par de curvas de solución numérica. Un cuadro más complejo de la natura-
numérica.
leza de las soluciones de ambas ecuaciones se obtiene del análisis cualitativo descrito en

el capítulo 10, en la versión ampliada con problemas con valores en la frontera.

PÉNDULO NO LINEAL Cualquier objeto que oscila de un lado a otro se llama

péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial del péndulo físico y consiste
en una varilla de longitud l D OD TXH VH ¿MD XQD PDVD m en un extremo. Al describir

el movimiento de un péndulo simple en un plano vertical, se hacen las suposiciones

GH VLPSOL¿FDFLyQ GH TXH OD PDVD GH OD YDULOOD HV GHVSUHFLDEOH \ TXH QLQJXQD IXHU]D

externa de amortiguamiento o motriz actúa sobre el sistema. El ángulo de desplaza-

O miento ș GHO SpQGXOR PHGLGR GHVGH OD YHUWLFDO FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD VH
θ considera positivo cuando se mide a la derecha de OP y negativo a la izquierda de OP.

l Ahora recuerde que el arco s de un círculo de radio l se relaciona con el ángulo central

ș por la fórmula s ϭ Oș. Por tanto, la aceleración angular es

a d 2s l d2 2 .
dt2 dt

mg sen θ De la segunda ley de Newton tenemos que

θ W = mg F ma ml d2 .
P mg cos θ dt2

FIGURA 5.3.3 Péndulo simple. 'H OD ¿JXUD VH YH TXH OD PDJQLWXG GH OD FRPSRQHQWH WDQJHQFLDO GH OD IXHU]D

debida al peso W es mg sen ș. En cuanto a dirección esta fuerza es Ϫmg sen ș porque

224 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

apunta a la izquierda para ș Ͼ 0 y a la derecha para ș Ͻ 0. Se igualan las dos versiones
distintas de la fuerza tangencial para obtener ml d2ș͞dt2 ϭ Ϫmg sen ș, o

d2 g sen 0. (6)
dt2 l

LINEALIZACIÓN Como resultado de la presencia de sen ș, el modelo en (6) es no
lineal. En un intento por entender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones
GLIHUHQFLDOHV QR OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU HQ RFDVLRQHV VH WUDWD GH VLPSOL¿FDU HO SUR-
blema sustituyendo términos no lineales por ciertas aproximaciones. Por ejemplo, la
serie de Maclaurin para sen ș, está dada por

35
...
sen 3! 5!

así que si se usa la aproximación sen ș Ϸș Ϫ ș3͞6, la ecuación (6) se convierte en

d2ș͞dt2 ϩ (g͞l)ș Ϫ (g͞6l)ș3 ϭ 2EVHUYH TXH HVWD ~OWLPD HFXDFLyQ HV OD PLVPD TXH

la segunda ecuación lineal en (2) con m ϭ 1, k ϭ g͞l y k ϭ Ϫg͞6l. Sin embargo, si
1
se supone que los desplazamientos ș VRQ VX¿FLHQWHPHQWH SHTXHxRV SDUD MXVWL¿FDU HO

uso de la sustitución sen ș ഠ ș, entonces la ecuación (6) se convierte en

d2 g 0. (7)
dt2 l

Vea el problema 25 en los ejercicios 5.3. Si se hace Ȧ2 ϭ g͞l, se reconoce a (7) como la

ecuación diferencial (2) de la sección 5.1 que es un modelo para las vibraciones libres

no amortiguadas de un sistema lineal resorte/masa. En otras palabras (7) es de nuevo la
ecuación lineal básica yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0 analizada en las páginas 215-216 de la sección 5.2.

Como consecuencia se dice que la ecuación (7) es una linealización de la ecuación (6).

Debido a que la solución general de (7) es ș(t) ϭ c cos ȦW ϩ c sen ȦW, esta linealiza-
1 2
FLyQ LQGLFD TXH SDUD FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV FRUUHVSRQGLHQWHV D RVFLODFLRQHV SHTXHxDV HO

movimiento del péndulo descrito por (6) es periódico.

EJEMPLO 2 Dos problemas con valores iniciales

/DV JUi¿FDV GH OD ¿JXUD D VH REWXYLHURQ FRQ D\XGD GH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ

numérica y representan curvas solución de la ecuación (6) cuando Ȧ2 ϭ 1. La curva azul
21, (0) 1
ilustra la solución de (6) que satisface las condiciones iniciales (0) 2 ,

mientras que la curva roja es la solución de (6) que satisface (0) 12, u (0) 2 . La

u

u (0) 5 1 , u9(0) 5 2
2

u (0) 5 1 , u9(0) 5 1
2 2

t u (0) 5 1 , u (0) 5 1 ,
21 2
2
u9(0) 5 u9(0) 5 2

p 2p (b) (c)
(a)

FIGURA 5.3.4 En el ejemplo 2, péndulo oscilante en b); péndulo giratorio en c).

5.3 MODELOS NO LINEALES O 225

curva azul representa una solución periódica, el péndulo que oscila en vaivén como se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E FRQ XQD DPSOLWXG DSDUHQWH A Յ 1. La curva roja muestra
que ș crece sin límite cuando aumenta el tiempo el péndulo, comenzando desde el
PLVPR GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO UHFLEH XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH PDJQLWXG VX¿FLHQWH-
mente grande para enviarlo hasta arriba —en otras palabras, el péndulo está girando

FRQ UHVSHFWR D VX SLYRWH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD F (Q DXVHQFLD GH DPRUWL-
JXDPLHQWR HO PRYLPLHQWR HQ FDGD FDVR FRQWLQ~D GH IRUPD LQGH¿QLGD

CABLES TELEFÓNICOS La ecuación diferencial de primer orden dy͞dx ϭ W͞T1
es la ecuación (16) de la sección 1.3. Esta ecuación diferencial, establecida con la

D\XGD GH OD ¿JXUD GH OD SiJ VLUYH FRPR PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD IRUPD
GH XQ FDEOH ÀH[LEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV VRSRUWHV YHUWLFDOHV FXDQGR HO FDEOH OOHYD

© 24BY36/Alamy Stock Photo una carga vertical. En la sección 2.2 se resuelve esta ED simple bajo la suposición

de que la carga vertical que soportan los cables de un puente suspendido era el peso de la
carpeta asfáltica distribuida de modo uniforme a lo largo del eje x. Con W ϭ ȡ[, ȡ el peso

por unidad de longitud de la carpeta asfáltica, la forma de cada cable entre los apoyos

verticales resultó ser parabólica. Ahora se está en condiciones de determinar la forma de

FIGURA 5.3.5 La forma en que XQ FDEOH ÀH[LEOH XQLIRUPH TXH FXHOJD VyOR EDMR VX SURSLR SHVR FRPR XQ FDEOH VXVSHQ-
cuelgan los cables del teléfono es una
catenaria. GLGR HQWUH GRV SRVWHV WHOHIyQLFRV 9HD OD ¿JXUD $KRUD OD FDUJD YHUWLFDO HV HO FDEOH

y por tanto, si ȡ es la densidad lineal del alambre (medido, por ejemplo, en newtons por
metro) y s es la longitud del segmento P1P2 HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV W ϭ ȡV. Por tanto,

dy s
. (8)
dx
1

Puesto que la longitud de arco entre los puntos P y P está dada por
1 2

s x dy 2 (9)

0 B1 dx dx,

del teorema fundamental del cálculo se tiene que la derivada de (9) es

ds dy 2 (10)
dx B1 dx .

Derivando la ecuación (8) respecto a x y usando la ecuación (10) se obtiene la ecuación
de segundo orden

d2y ds o d2y T1 B1 dy 2 (11)
dx2 T1 dx d x2
dx .

En el ejemplo siguiente se resuelve la ecuación (11) y se muestra que la curva del

cable suspendido es una catenaria. Antes de proceder, observe que la ecuación diferen-
cial no lineal de segundo orden (11) es una de las ecuaciones que tienen la forma F(x,
yЈ, yЉ) ϭ 0 analizadas en la sección 4.10. Recuerde que hay posibilidades de resolver
una ecuación de este tipo al reducir el orden de la ecuación usando la sustitución u ϭ yЈ.

EJEMPLO 3 Una solución de (11)

De la posición del eje y HQ OD ¿JXUD HV HYLGHQWH TXH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV
relacionadas con la segunda ecuación diferencial en (11) son y(0) ϭ a y yЈ(0) ϭ 0.

Si se sustituye u ϭ yЈ, entonces la ecuación en (11) se convierte en du 11 u2 .
dx
1
Separando las variables se encuentra que

du T1 dx se obtiene senh 1u x c1.
11 u2 T1

226 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Ahora, yЈ(0) ϭ 0 es equivalente a u(0) ϭ 0. Puesto que senhϪ1 0 ϭ 0, c ϭ 0 y por
tanto, u ϭ senh (ȡ[͞T1). Por último, integrando ambos lados de 1

dy senh T1 x, obtenemos y T1 cosh T1 x c2.
dx

Con y(0) ϭ a, cosh 0 ϭ 1, se deduce de la última ecuación que c ϭ a Ϫ T1͞ȡ. Por
2

tanto vemos que la forma del cable que cuelga está dada por

y (T1> ) cosh( x> T1) a T1> .

Si en el ejemplo 3 hemos sabido escoger desde el hpirpinecrbipóiloicaoϭy ϭT1͞(Tȡ1,͞eȡn)tocnocsehs(lȡa[s͞oTl1u)c.ión
del problema habría sido simplemente el coseno

y MOVIMIENTO DE UN COHETE En ecuación (12) de la sección 1.3 se vio que la
ecuación diferencial de un cuerpo de masa m HQ FDtGD OLEUH FHUFD GH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD
v0
R está dada por

centro de m d2s mg, d2s g,
la Tierra dt2 o simplemente dt2

FIGURA 5.3.6 La distancia al cohete donde s UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD KDVWD HO REMHWR \ VH
es grande comparada con R.
considera que la dirección positiva es hacia arriba. Dicho de otra forma, la suposición

básica en este caso es que la distancia s DO REMHWR HV SHTXHxD FXDQGR VH FRPSDUD FRQ
el radio R de la Tierra; en otras palabras, la distancia y desde el centro de la Tierra al

objeto es aproximadamente la misma que R. Si, por otro lado, la distancia y al objeto,

por ejemplo un cohete o una sonda espacial, es grande comparada con R, entonces se

combina la segunda ley de Newton del movimiento y su ley de gravitación universal
para obtener una ecuación diferencial en la variable y.

Suponga que se lanza verticalmente hacia arriba un cohete desde el suelo como se

LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 6L OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DUULED \ VH GHVSUHFLD OD UHVLV-

tencia del aire, entonces la ecuación diferencial de movimiento después de consumir

el combustible es

m d2y k Mm o d2y k M , (12)
dt2 y2 dt2 y2

donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia desde el centro de la
Tierra al cohete, M es la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para determinar
la constante k, se usa el hecho de que cuando y ϭ R, kMm͞R2 ϭ mg o k ϭ gR2͞M. Así

que la última ecuación en (12) se convierte en

d2y g R2 . (13)
dt2 y2

Vea el problema 14 en los ejercicios 5.3.

MASA VARIABLE 2EVHUYH HQ OD H[SOLFDFLyQ DQWHULRU TXH VH GHVFULEH HO PRYLPLHQWR

del cohete después de que ha quemado todo su combustible, cuando supuestamente su
masa m es constante. Por supuesto, durante su ascenso la masa total del cohete propul-

sado varía a medida que se consume el combustible. La segunda ley del movimiento,
como la adelantó Newton en un principio, establece que cuando un cuerpo de masa m
se mueve por un campo de fuerza con velocidad v, la rapidez de cambio respecto al
tiempo de la cantidad de movimiento mv del cuerpo es igual a la fuerza aplicada o neta
F que actúa sobre el cuerpo:

F d (mv) . (14)
dt

Si m es constante, entonces la ecuación (14) produce la forma más familiar

F ϭ m dv͞dt ϭ ma, donde a es la aceleración. En el siguiente ejemplo se usa la forma de la
segunda ley de Newton dada en la ecuación (14), en la que la masa m del cuerpo es variable.

5.3 MODELOS NO LINEALES O 227

20 N EJEMPLO 4 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante
fuerza
hacia Una cadena uniforme de 3 m de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un extremo
arriba
x(t) de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 20 N. La
cadena pesa 1 N/m. Determine la altura del extremo sobre el nivel de suelo al tiempo t.
FIGURA 5.3.7 Cadena jalada hacia 9HD OD ¿JXUD
arriba por una fuerza constante, en el
ejemplo 4. SOLUCIÓN Supongamos que x ϭ x(t) denota la altura del extremo de la cadena en el
aire al tiempo t, v ϭ dx͞dt y que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de
la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables:

peso: W (x m) (1 N/m) x,
masa: m W>g x>9.8, x.
fuerza neta: F 20 W 20

Así de la ecuación (14) se tiene

regla del producto

–9–x.8– v( )–d––20 x x –d–v– v –d–x– 196 9.8 x (15)
dt dt
dt

Debido a que v ϭ dx͞dt, la última ecuación se convierte en

d2x dx 2 9.8 x 196. (16)
x dt2 dt

La ecuación diferencial no lineal de segundo orden (16) tiene la forma F(x, xЈ, xЉ) ϭ 0,

que es la segunda de las dos formas consideradas en la sección 4.10 que posible-

mente se pueden resolver por reducción de orden. Para resolver la ecuación (16), se

vuelve a (15) y se usa v ϭ xЈ junto con la regla de la cadena. De dv dv dx dv
v
dt dx dt dx
la segunda ecuación en (15) se puede escribir como

dv v2 196 9.8 x. (17)
xv
dx

Al inspeccionar la ecuación (17) podría parecer de difícil solución, puesto que no

se puede caracterizar como alguna de las ecuaciones de primer orden resueltas en

el capítulo 2. Sin embargo, si se reescribe la ecuación (17) en la forma diferencial
M(x, v)dx ϩ N(x, v)dv ϭ 0, se observa que, aunque la ecuación

(v2 9.8 x 196) dx xv dv 0 (18)

no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta al multiplicarla por un factor
integrante. De (Mv Ϫ Nx)͞N ϭ l͞x se ve de (13) de la sección 2.4 que, para x > 0. un factor

integrante es e dx/x eln x x. Cuando la ecuación (18) se multiplica por ȝ(x) ϭ x, la
HFXDFLyQ UHVXOWDQWH HV H[DFWD FRPSUXHEH ,GHQWL¿FDQGR Ѩf ͞Ѩx ϭ xv2 ϩ 9.8x2 Ϫ 196x,
Ѩf ͞Ѩv ϭ x2v y procediendo después como en la sección 2.4, se obtiene

1 x2v2 9.8 x3 98 x2 c1 . (19)
2 3

Puesto que se supuso que al principio toda la cadena está sobre el piso, se tiene x(0)

ϭ 0. Esta última condición aplicada a la ecuación (19) produce c ϭ 0. Resolviendo
1

la ecuación algebraica 1 x2v2 9.8 x3 98x2 0 para v ϭ dx͞dt Ͼ 0, se obtiene otra
2 3

ecuación diferencial de primer orden,

dx 196 19.6 x.
dt B 3

228 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

x La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Se debe comprobar que
8
23 (196 2 6.533 x)1/2 5 t 1 c2. . (20)
7 9.8
6
Esta vez la condición inicial x(0) ϭ 0 indica qxu, ellecg2 aϭmϪos4a.l2r8e6s.uPltoardúoltdimesoe,adeloe,vando al
5 cuadrado ambos lados de (20) y despejando
4
x(t) 5 30 2 1.633 (t 2 4.286)2. (21)
3
/D JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ TXH VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD QR VH GHEH FRQ EDVHV
2 físicas, aceptar tal cual. Vea el problema 15 de los ejercicios 5.3.
1

t
0 0.5 1 1.5 2 2.5

FIGURA 5.3.8 *Ui¿FD GH GHO
ejemplo 4.

EJERCICIOS 5.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.

Al profesor Además de los problemas 24 y 25, todos o parte programa de solución numérica para analizar la naturaleza
de los problemas 1-6, 8-13, 15, 20 y 21 podrían servir como de las oscilaciones del sistema que corresponden a las condi-
tareas del laboratorio de computación.
ciones iniciales:

Resortes no lineales x(0) 1, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 21;

En los problemas 1-4, la ecuación diferencial dada es modelo x(0) 12, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 21;

de un sistema resorte/masa no amortiguado en el que la fuerza x(0) 2, x (0) 0; x(0) 12, x (0) 1.
restauradora F(x) en (1) es no lineal. Para cada ecuación utilice
En los problemas 9 y 10 la ecuación diferencial dada es un modelo
un programa de solución numérica para trazar las curvas solu-
de un sistema resorte/masa no lineal amortiguado. Prediga el com-
ción que satisfacen las condiciones iniciales del problema. Si al portamiento de cada sistema cuando t A ϱ. Para cada ecuación
use un programa de solución numérica para obtener las curvas so-
parecer las soluciones son periódicas, use la curva solución para
estimar el periodo T de las oscilaciones. lución que satisfacen las condiciones iniciales del problema dadas.

d2x x3 0, d2x dx
1. dt2 9. dt2 dt
x x3 0,
x(0) 1, x (0) 1; x(0) 12, x (0) 1

d2x x(0) 3, x (0) 4; x(0) 0, x (0) 8
2. dt2
4x 16x3 0, 2, x (0) 2 d2x dx x x3 0,
x(0) 1, x (0) 1; x(0) 10. dt2 dt

d2x 2x x2 0, x(0) 0, x (0) 23; x(0) 1, x (0) 1
3. dt2 1, x (0) 1; x(0)
11. El modelo mxЉ ϩ kx ϩ k x3 ϭ F cos ȦW de un sistema no amor-
x(0) 1 0

23, x (0) 1 tiguado resorte/masa forzado en forma periódica se llama ecua-

FLyQ GLIHUHQFLDO GH 'XI¿QJ. Considere el problema con valores
xЉ x k x3 t, x(0) xЈ(0)
d2x xe0.01x 0, iniciales ϩ ϩ 1 ϭ 5 cos ϭ 1, ϭ 0. Use
4. dt2 1, x (0) 1; x(0)
un programa de solución numérica para investigar el comporta-
x(0)
3, x (0) 1 miento del sistema para valores de k Ͼ 0 que van de k ϭ 0.01 a
1 1
k ϭ
1 100. Exprese sus conclusiones.

5. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde la posi- 12. a) Encuentre los valores de k Ͻ 0 para los cuales el sis-
1
ción inicial x(0) ϭ 1 con una velocidad inicial xЈ(0) ϭ x1. Use
un programa de solución numérica para estimar el valor más pe- tema del problema 11 es oscilatorio.

TXHxR GH ͉x1͉ en el que el movimiento de la masa es no periódico. b) Considere el problema con valores iniciales

6. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde una posi- xЉ ϩ x ϩ k x3 ϭ cos 3 t, x(0) ϭ 0, xЈ(0) ϭ 0.
1 2

ción inicial x(0) ϭ x con velocidad inicial xЈ(0) ϭ 1. Usando un Encuentre valores para k Ͻ 0 para los cuales el sistema
0 1

programa de solución numérica estime un intervalo a Յ x Յ b es oscilatorio.
0

para el cual el movimiento sea oscilatorio. Péndulo no lineal

7. Determine una linealización de la ecuación diferencial del pro- 13. Considere el modelo del péndulo no lineal amortiguado libre
blema 4. dado por

8. Considere el modelo de un sistema resorte/masa no lineal sin d2 d 2sen 0.
amortiguamiento dado por xЉ ϩ 8x Ϫ 6x3 ϩ x5 ϭ 0. Use un dt2 2 dt

5.3 MODELOS NO LINEALES O 229

Use un programa de solución numérica para investigar si el mo- a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una rapidez
vimiento en los dos casos Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͼ 0 y Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͻ 0 corres-
ponde, respectivamente, a los casos sobreamortiguado y sub- cvoisnusatal,nitnedvi1c.aEdlospuobrmlaarilnínoeSa2pmunantetaiednaeLa lHbQa OrDc o¿SJ1XeUDn contacto
PLHQWUDV
amortiguado analizados en la sección 5.1 para sistemas resorte/ Sqt uϭuepo0vniyagjaqauqceuoeLneuelsnbataarrnacgpoeidSne2tezcoacmoCni.estnaznateenv2eal C.
masa. Para Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͼ 0 use Ȝ ϭ 2, Ȧ ϭ 1, ș(0) ϭ 1 y șЈ(0) ϭ 2. lo largo de la curva en
Para Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͻ 0 use Ȝ ϭ 1/3, Ȧ ϭ 1, ș(0) ϭ Ϫ2 y șЈ(0) ϭ 4. punto (a, 0), a Ͼ 0,

Movimiento de un cohete a) Determine un modelo matemático que describa la curva C.

b) Encuentre una solución explícita de la ecuación diferen-

14. a) Use la sustitución v ϭ dy͞dt para despejar de la ecuación FLDO 3RU FRQYHQLHQFLD GH¿QD r ϭ v1͞v2.

(13) a v en términos de y. Suponiendo que la velocidad del c) Determine si las trayectorias de S y S alguna vez se inter-
1 2
v ϭ v y ഠ R ceptarían al considerar los casos r Ͼ 1, r Ͻ 1 y r ϭ 1.
cohete cuando se agota el combustible es 0 y

en ese instante, demuestre que el valor aproximado de la [Sugerencia: dt dt ds , donde s es la longitud de
1 dx ds dx
constante c de integración es c gR 2 v02 .
arco medida a lo largo de C.]
b) Use la solución para v GHO LQFLVR D FRQ HO ¿Q GH GHPRV-

trar que la velocidad de escape de un cohete está dada y
por v0 12gR . [Sugerencia: Tome y A ϱ y suponga
que v Ͼ 0 para todo tiempo t.] C

c) El resultado del inciso b) se cumple para cualquier cuerpo S1
del sistema solar. Use los valores g ϭ 9.8 m/s2 y R ϭ 6500 L

km para demostrar que la velocidad de escape de la Tierra es

(aproximadamente) v ϭ 40 000 km/h. S2
0

d) Determine la velocidad de escape de la Luna si la acelera-

ción debida a la gravedad es 0.165g y R ϭ 1738 km.. x

Masa variable FIGURA 5.3.9 Curva de persecución del problema 17.

15. a) En el ejemplo 4, ¿qué longitud de la cadena se espera- 18. Curva de persecución En otro ejercicio naval, un des-
ría, por intuición, que pudiera levantar la fuerza cons-
tante de 20 N? S(tr92u,dc0teo)terecnSta1elapeeSjr1es. ixEguldeceateapcittuaánnadsSue2lbemdneas(rt0irn,uo0ct)oSyr2.Sq1SuseuupapolonmngeaisqmquuoeeteileSms1 upebno-
marino emprenderá una acción evasiva inmediata y especula
b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la cadena?
TXH VX QXHYR FXUVR SUREDEOH HV OD UHFWD LQGLFDGD HQ OD ¿JXUD
c) ¿Por qué el intervalo de tiempo que corresponde a S
x(t) Ն LOXVWUDGR HQ OD ¿JXUD QR HV HO LQWHUYDOR I 5.3.10. Cuando 1 está en (3, 0), cambia de su curso en línea
GH GH¿QLFLyQ GH OD VROXFLyQ " 'HWHUPLQH HO LQWHUYDOR una curva de persecución C. Suponga
I. ¿Qué longitud de la cadena se levanta en realidad? recta hacia el origen a
Explique cualquier diferencia entre esta respuesta y la
predicción del inciso a). que la velocidad del destructor es, en todo momento, una cons-

d) ¿Por qué esperaría que x(t) fuese una solución periódica? tante de 30 km͞h y que la rapidez del submarino es constante

16. Una cadena uniforme de longitud L, medida en m, se mantiene de 15 km͞h.
verticalmente por lo que el extremo inferior apenas toca el piso.
La cadena pesa 20 N͞m. El extremo superior que está sujeto se a) Explique por qué el capitán espera hasta que S llegue a
libera desde el reposo en t ϭ 0 y la cadena cae recta. Si x(t) de- (3, 0) antes de ordenar un cambio de curso a C.1
nota la longitud de la cadena en el piso al tiempo t, se desprecia
la resistencia del aire y se determina que la dirección positiva es b) Usando coordenadas polares, encuentre una ecuación
hacia abajo, entonces r ϭ f (ș ) para la curva C.

c) Sea que T denote el tiempo, medido desde la detección

inicial, en que el destructor intercepta al submarino.
Determine un límite superior para T.

(L x) d2x dx 2 Lg. y
dt2 dt

a) Resuelva v en términos de x. Determine x en términos S2 C
de t. Exprese v en términos de t. L
S1
b) Determine cuánto tarda en caer toda la cadena al suelo. θ (9, 0)x

c) ¿Qué velocidad predice el modelo del inciso a) para el (3, 0)
extremo superior de la cadena cuando toca el suelo?
FIGURA 5.3.10 Curva de persecución del problema 18.
Diferentes modelos matemáticos
17. 5Cp.eu3r.sr9ev.gaEudildebopaprecororseSuc1nupcsauiórbtnemdareEilnnpouuSnn2t eoFjRe(rP0c,iRc0 iV)oHe nnPavXt aHϭlV,WUu0Dn yHbQsa erODcm o¿uSJe1XveUeDs

230 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

19. El péndulo balístico Históricamente para mantener el control de 20. Suministros de ayuda &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

calidad sobre las municiones (balas) producidas por una línea de un avión que vuela horizontalmente con una velocidad cons-
tante v suelta un paquete de suministros de ayuda a una per-
montaje, el fabricante usaría un péndulo balístico para determinar
0
la velocidad de la boca de un arma, es decir, la velocidad de una
sona en tierra. Suponga que el origen es el punto donde se libera
bala cuando deja el barril. El péndulo balístico (inventado en 1742 el paquete y que el eje x positivo apunta hacia adelante y que
el eje y positivo apunta hacia abajo. Bajo la suposición de que
por el ingeniero inglés Benjamin Robins), es simplemente un pén-
las componentes horizontal y vertical de la resistencia del aire
dulo plano que consiste en una varilla de masa despreciable que está son proporcionales a (dx͞dt)2 y (dy͞dt)2, respectivamente, y si
la posición del paquete de suministro está dada por r(t) ϭ (t)
unida a un bloque de madera de masa mw. El sistema se pone en mo- i ϩ y(t)j, entonces su velocidad es v(t) ϭ (dx͞dt)i ϩ (dy͞dt)j.
vimiento por el impacto de una bala que se está moviendo horizon-
Igualando componentes en la forma vectorial de la segunda
talmente con una velocidad desconocida vb; al momento del impacto,
que se toma como t ϭ 0, la masa combinada es mw ϩ mb, donde mb ley de Newton.
es la masa de la bala incrustada en la madera. En (7) vimos que en
dv dx 2 i dy 2
HO FDVR GH SHTXHxDV RVFLODFLRQHV HO GHVSOD]DPLHQWR DQJXODU ș(t) del m mg k j
dt dt
SpQGXOR SODQR TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWi GDGR SRU OD (' dt
lineal șЉ ϩ (g͞l)ș ϭ 0, donde ș Ͼ 0 corresponde al movimiento a da 0, x (0)
la derecha de la vertical. La velocidad vb se puede encontrar mi- 0, y (0)
diendo la altura h de la masa mw ϩ mb en el ángulo de desplaza- d 2x dx 2
miento máximo șmáx TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD m dt 2 mg k , x(0) v0
dt 0
Intuitivamente, la velocidad horizontal V de la masa com-

binada (madera más bala) después del impacto es sólo una frac- d 2y dy 2

ción de la velocidad vb de la bala, es decir, m dt 2 mg k , y(0)
dt

V mb vb. a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales me-
mw mb diante las sustituciones u ϭ dx͞dt, w ϭ dy͞dt, y separa-
Ahora, recuerde que una distancia s que viaja por una par- ción de variables [Sugerencia: Vea los Comentarios al
¿QDO GH OD VHFFLyQ @
tícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular está
c) Suponga que el avión vuela a una altitud de 300 m y
relacionada con el radio l y el ángulo central ș por la fórmula
que su rapidez constante es 500 km/h. Suponga que la
s ϭ Oș. Derivando la última fórmula respecto al tiempo t, se
constante de proporcionalidad de la resistencia del aire es
tiene que la velocidad angular Ȧ de la masa y su velocidad k = 0.0053 y que el paquete de suministro pesa 1000 N.

lineal v está relacionada por v ϭ OȦ. Por tanto, la veloci- Use un programa para encontrar raíces de un SAC o una
FDOFXODGRUD JUD¿FDGRUD SDUD GHWHUPLQDU OD GLVWDQFLD KR-
dad angular Ȧ0 en el tiempo t para el que la bala impacta el bloque rizontal que viaja el paquete, medido desde su punto de
de madera está relacionada con V por V ϭ OȦ0 o
liberación al punto donde pega en el suelo.
v0 mb vb.
mw mb l

a) Resuelva el problema con valores iniciales

d 2u g
u 0, u(0) 0, u (0) v0.
dt2 l

b) Use el resultado del inciso a) para demostrar que

vb mw mb 2lg umáx. paquete
mb

c) 8 VH OD ¿JXUD SDUD H[SUHVDU FRV șmáx en tér-
minos de l y de h. Después utilice los primeros dos

términos de la serie de Maclaurin para cos ș para expre- blanco
términos de l y de h. Por último,
sar șvmbáex setná dado (aproximadamente) por demuestre FIGURA 5.3.12 Avión y suministros del problema 20.
que

vb mw mb 22gh. Problemas para analizar
mb
d) Use el resultado del inciso c) para encontrar vb cuando 21. Analice por qué el término de amortiguamiento de la ecua-
mb ϭ 5 g, mw ϭ 1 kg y h ϭ 6 cm. ción (3) se escribe como

dx dx dx 2
dt dt en lugar de
dt .

l ␪máx 22. a) Experimente con una calculadora para encontrar un in-

m h tervalo 0 Յ ș Յ ș1, donde ș se mide en radianes, para
b ϩm el cual se considera que sen ș ഠ ș es una estimación
h EDVWDQWH EXHQD /XHJR XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD
w FLyQ SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH y ϭ x y y ϭ sen x en el
mismo eje de coordenadas para 0 Յ x Յ ʌ͞ ¢/DV JUi¿-
mb vb mw V FDV FRQ¿UPDQ VXV REVHUYDFLRQHV FRQ OD FDOFXODGRUD"

FIGURA 5.3.11 Péndulo balístico del problema 19.

5.3 MODELOS NO LINEALES O 231

b) Utilice un programa de solución numérica para trazar las f) En esta parte del problema se proporcionan las instruc-
curvas solución de los problemas de valor inicial. ciones de Mathematica que permiten aproximar la raíz t1.
(O SURFHGLPLHQWR VH PRGL¿FD FRQ IDFLOLGDG SRU OR TXH VH
d2 puede aproximar cualquier raíz de ș(t) ϭ 0. (Si no tiene
dt2 sen 0, (0) 0, (0) 0 Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sinta-
xis correspondiente para el SAC que tenga.) Reproduzca
d2 0, (0) 0, (0) 0 con precisión y luego, a su vez, ejecute cada línea de la
y dt2 secuencia dada de instrucciones.

para varios valores de ș0 en el intervalo 0 Յ ș Յ ș1 de- sol ϭ NDSolve[{yЉ[t] ϩ Sin[y[t]] ϭϭ 0,
WHUPLQDGR HQ HO LQFLVR D /XHJR WUDFH OD JUi¿FD FXUYDV y[0] ϭϭ Pi͞12, yЈ[0] ϭϭ Ϫ1͞3},
de solución de los problemas con valores iniciales para y, {t, 0, 5}]͞͞Flatten
varios valores de ș0 para los cuales ș0 Ͼ ș1.
solution ϭ y[t] ͞.sol
23. Movimiento del péndulo en la Luna ¿Un péndulo de lon- Clear[ y]
gitud l oscila más rápido en la Tierra o en la Luna? y[t_]: ϭ Evaluate[solution]
a) Tome l = 3 y g = 9.8 para la aceleración de la gravedad y[t]
en la Tierra. Use un programa de solución numérica para gr1 ϭ Plot[y[t], {t, 0, 5}]
generar una curva de solución numérica para el modelo root ϭ FindRoot[ y[t] ϭϭ 0, {t, 1}]
no lineal (6) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) ϭ 1,
ș´(0) ϭ 2. Repita usando los mismos valores pero utilice g) 0RGL¿TXH GH PDQHUD DSURSLDGD OD VLQWD[LV GHO LQFLVR I \
0.165g para la aceleración de la gravedad en la Luna. determine las siguientes dos raíces positivas de ș(t) ϭ 0.

b) ' H ODV JUi¿FDV GHO LQFLVR D GHWHUPLQH TXp SpQGXOR RV- 26. Considere un péndulo que se libera desde el reposo con un
cila más rápido. ¿Qué péndulo tiene la mayor amplitud
de movimiento? desplazamiento inicial de ș0 radianes. Resolviendo el modelo
lineal (7) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) ϭ ș0, șЈ(0) ϭ
24. Continuación del movimiento del péndulo en la Luna 0 se obtiene (t) 0 cos 1g/l t . El periodo de oscilaciones
Repita los dos incisos del problema 23 esta vez utilizando el que se predice con este modelo, se determina mediante la co-
modelo lineal (7).

Tarea para el laboratorio de computación nocida fórmula T 2 1g/l 2 1l/g Lo interesante
de esta fórmula para T es que no depende de la magnitud del
25. Considere el problema con valores iniciales
desplazamiento inicial ș0. En otras palabras, el modelo lineal
d2 sen 0, (0) 12, (0) 1 predice que el tiempo que tardaría el péndulo en oscilar desde
dt2 3
un desplazamiento inicial de, digamos, ș0 ϭ ʌ͞2 (ϭ 90°) a
para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resolver Ϫʌ͞2 y de regreso otra vez, sería exactamente el mismo

la ecuación diferencial, no es posible encontrar una solución que tardaría en completar el ciclo de, digamos, ș0 ϭ ʌ͞360
(ϭ 0.5°) a Ϫʌ͞360. Esto es ilógico desde el punto de vista
explícita de este problema. Pero suponga que se desea deter-
intuitivo ya que el periodo real debe depender de ș0.
minar la primer t Ͼ SDUD OD FXDO HO SpQGXOR GH OD ¿JXUD Si se supone que g ϭ 9.8 m/s2 y l ϭ 9.8 m, entonces el

l

comenzando desde su posición inicial a la derecha, alcanza la periodo de oscilación del modelo lineal es T ϭ 2ʌs. Compare

posición OP, es decir, la primera raíz positiva de ș(t) ϭ 0. En este último número con el periodo predicho mediante el mo-

este problema y el siguiente, se examinan varias formas de delo no lineal cuando ș0 ϭ ʌ͞4. Usando un programa de so-
lución numérica que sea capaz de generar datos concretos y
cómo proceder.

a) Aproxime t resolviendo el problema lineal reales, aproxime la solución de
1

d2␪ ␪(0) 5 ␲ ␪9(0) 5 21. d2
dt2 1␪ 5 0, , 3 dt2
12
sen 0, (0) 4 , (0) 0
b) Use el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección
sobre el intervalo a 0 Յ t Յ 2. Como en el problema 25, si
4.10 para encontrar los primeros cuatro términos no
nulos de una solución en serie de Taylor ș(t) centrada en Ot1 Pd eHnQo tOaD l¿a JpXrUimD e r a v e zHQqWuReQFeHlVp éHnO dSuHlUoLRaGlRc aGnHzOa la posición
0 para el problema con valores iniciales no lineal. Dé los SpQGXOR QR
YDORUHV H[DFWRV GH ORV FRH¿FLHQWHV lineal es 4t1. Aquí está otra forma de resolver la ecuación ș(t)
ϭ ([SHULPHQWH FRQ WDPDxRV GH SDVR \ KDJD DYDQ]DU HO
c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del tiempo, comenzando en t ϭ 0 y terminando en t ϭ 2. De sus
inciso b) para aproximar t1.
datos concretos, observe el tiempo tU1 sceuaenl dvoalșo(rtt)1cpaamrabdiaetpeorr-
d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor primera vez de positiva a negativa.
del inciso b) para aproximar t1.
minar el valor verdadero del periodo del péndulo no lineal.
e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora grá-
¿FD SDUD HQFRQWUDU UDtFHV \ ORV SULPHURV FXDWUR WpUPLQRV GH Calcule el error relativo porcentual en el periodo estimado
la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1. por T ϭ 2ʌ.

232 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

REPASO DEL CAPÍTULO 5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-8.

Conteste los problemas 1-8 sin consultar el texto. Complete el e) ¿Cuál es la velocidad de la masa en t ϭ 3ʌ͞16 s?
espacio en blanco o conteste verdadero o falso. f) ¿En qué instantes la velocidad es cero?

1. Si una masa que pesa 10 N alarga 2.5 m un resorte, una masa 13. Una fuerza de 10 N estira 0.3 m un resorte. Con un extremo

que pesa 32 N lo alarga m. ¿MR VH XQH DO RWUR H[WUHPR XQD PDVD TXH SHVD 1 (O VLVWHPD

2. El periodo del movimiento armónico simple de una masa yace sobre una mesa que imparte una fuerza de fricción numé-
que pesa 8 N, unida a un resorte cuya constante es 6.25 N es
de segundos. ricamente igual a 3 veces la velocidad instantánea. Al inicio, la
2
masa se desplaza 10 cm arriba de la posición de equilibrio y se

3. La ecuación diferencial de un sistema resorte/masa es libera desde el reposo. Encuentre la ecuación de movimiento si
xЉ ϩ 16x ϭ 0. Si la masa se libera inicialmente desde un
el movimiento tiene lugar a lo largo de la recta horizontal que se
punto que está 1 metro arriba de la posición de equilibrio con toma como el eje x.

una velocidad hacia abajo de 3 m/s, la amplitud de las vibra- 14. Una masa que pesa 150 N alarga 15 cm un resorte. La masa

ciones es de metros. se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amorti-
guamiento que es numéricamente igual a ȕ veces la velo-
4. La resonancia pura no tiene lugar en presencia de una fuerza cidad instantánea. Determine los valores de ȕ Ͼ 0 para los
de amortiguamiento. que el sistema resorte/masa exhibe movimiento oscilatorio.

5. En presencia de una fuerza de amortiguamiento, los despla- 15. Un resorte con constante k ϭ 2 se suspende en un líquido que

zamientos de una masa en un resorte siempre tienden a cero ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a
cuando t A ϱ. 4 veces la velocidad instantánea. Si una masa m se suspende
del resorte, determine los valores de m para que el movimiento
6. Una masa en un resorte cuyo movimiento está críticamente
amortiguado tiene posibilidades de pasar por la posición de libre posterior sea no oscilatorio.
equilibrio dos veces.
16. El movimiento vertical de una masa sujeta a un resorte se

7. En amortiguamiento crítico cualquier aumento de amorti- describe mediante el PVI

guamiento dará como resultado un sistema . 1 x x x 0, x(0) ϭ 4, xЈ(0) ϭ 2.
4

8. Si el movimiento armónico simple se describe mediante Determine el desplazamiento vertical máximo de la masa.

x ( 22 2) sen (2t f), el ángulo fase ‫ ׋‬es __________ 17. Una masa que pesa 20 N estira 0.5 m un resorte. Se aplica
1 al sistema una fuerza periódica igual a f(t) ϭ cos ␥t ϩ sen ␥t
cuando las condiciones iniciales son x(0) ϭ Ϫ 2 y xЈ(0) ϭ 1. comenzando en t ϭ 0. En ausencia de una fuerza de amorti-
guamiento, ¿para qué valor de ␥ el sistema está en un estado
En los problemas 9 y 10 los eigenvalores y las eigenfunciones del
de resonancia pura?
problema con valores en la frontera yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yЈ(ʌ)
ϭ 0 son Ȝn ϭ n2, n ϭ 0, 1, 2, ... , y y ϭ cos nx, respectivamente. 18. Encuentre una solución particular para xЉ ϩ 2Ȝ[Ј ϩ Ȧ2x ϭ A,
Llene los espacios en blanco. donde A es una fuerza constante.

9. Una solución del PVF cuando Ȝ ϭ 8 es y ϭ

porque . 19. Una masa que pesa 20 N se suspende de un resorte cuya cons-

10. Una solución del PVF cuando Ȝ ϭ 36 es y ϭ tante es 40 N/m. Todo el sistema se sumerge en un líquido

porque . que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente
igual a la velocidad instantánea. Comenzando en t ϭ 0,
11. Un sistema resorte/masa libre no amortiguado oscila con un se aplica al sistema una fuerza externa igual f(t) ϭ eϪt.
periodo de 3 segundos. Cuando se eliminan 8 N del resorte, Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al
el sistema tiene un periodo de 2 segundos. ¿Cuál era el peso
de la masa original en el resorte? inicio desde el reposo en un punto que está 0.6 m abajo de la

posición de equilibrio.

12. Una masa que pesa 50 N alarga 0.6 m un resorte. Al inicio la 20. a) Una masa que pesa W newtons produce un alargamiento
masa se libera desde un punto 0.3 m abajo de la posición de de 0.16 m en un resorte y uno de 0.08 m en otro resorte.
equilibrio con una velocidad ascendente de 1.2 m/s. 6H XQHQ ORV GRV UHVRUWHV \ GHVSXpV VH ¿MD OD PDVD DO UHVRU
WH GREOH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 6XSRQJD TXH
a) Determine la ecuación de movimiento. el movimiento es libre y que no hay fuerza de amor-
tiguamiento presente. Determine la ecuación de movi-
b) ¿Cuáles son la amplitud, periodo y frecuencia del movi- miento si la masa se libera al inicio en un punto situado
miento armónico simple? 0.3 m abajo de la posición de equilibrio con una veloci-
dad de descenso de 0.2 m/s.
c) ¿En qué instantes la masa vuelve al punto situado a 0.3
m abajo de la posición de equilibrio?

d) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equili- b) Demuestre que la velocidad máxima de la masa es
brio en dirección hacia arriba? ¿En dirección hacia abajo?
2 23g 1.
3

REPASO DEL CAPÍTULO 5 O 233

21. Un circuito en serie contiene una inductancia de L ϭ 1 H, r (t) cuenta
una capacitancia de C ϭ 10Ϫ4 F y una fuerza electromotriz
de E(t) ϭ 100 sen 50t V. Al inicio, la carga q y la corriente i ωt
son cero. P

a) Determine la carga q(t).

b) Determine la corriente i(t).

c) Calcule los tiempos para los que la carga en el capacitor

es cero.

22. a) Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie

d 2i di 1 E (t), FIGURA 5.R.1 Varilla rotando del problema 24.
LRC satisface la ecuación L dt2 R i
25. Suponga que una masa m TXH SHUPDQHFH VREUH XQD VXSHU¿FLH
dt C plana, seca y sin fricción está unida al extremo libre de un
resorte cuya constante es k (Q OD ¿JXUD 5 D OD PDVD VH
donde EЈ(t) denota la derivada de E(t). muestra en la posición de equilibrio x ϭ 0, es decir, el resorte
QR HVWi QL HVWLUDGR QL FRPSULPLGR &RPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD
b) 6 H SXHGHQ HVSHFL¿FDU GRV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV i(0) e 5.R.2(b), el desplazamiento x(t) de la masa a la derecha de la
iЈ(0) para la ED del inciso a). Si i(0) ϭ i y q(0) ϭ q , posición de equilibrio es positivo y negativo a la izquierda.
2EWHQJD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD HO PRYLPLHQWR x(t)
00 (deslizante) horizontal libre de la masa. Describa la diferencia
entre la obtención de esta ED y el análisis que da lugar a la
¿cuál es iЈ(0)? ecuación (1) de la sección 5.1.

23. Considere el problema con valores en la frontera
y y 0, y(0) y(2 ), y (0) y (2 ).

Demuestre que excepto para el caso Ȝ ϭ 0, hay dos funcio-
nes propias independientes que corresponden a cada eigen-
valor.

24. Una cuenta está restringida a deslizarse a lo largo de una vari- apoyo
lla sin fricción de longitud L. La varilla gira en un plano verti- rígido
cal con velocidad angular constante Ȧ respecto a un pivote P
¿MR HQ HO SXQWR PHGLR GH OD YDULOOD SHUR HO GLVHxR GHO SLYRWH m
permite que la cuenta se mueva a lo largo de toda la varilla.
Sea r(t) la posición de la cuenta respecto a este sistema de superficie sin fricción:
FRRUGHQDGDV JLUDWRULR VHJ~Q VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 5 &RQ
HO ¿Q GH DSOLFDU OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GHO PRYLPLHQWR D a) equilibrio x=0
este marco de referencia rotatorio, es necesario usar el hecho
m
de que la fuerza neta que actúa en la cuenta es la suma de las

fuerzas reales (en este caso, la fuerza debida a la gravedad) y

las fuerzas inerciales (coriolis, transversal y centrípeda). Las

matemáticas del caso son un poco complicadas, así que sólo
se da la ecuación diferencial resultante para r:

d2r m 2r x(t) < 0 x(t) > 0
m dt2 b) movimiento
mg sen t.

a) Resuelva la ED anterior sujeta a las condiciones inicia- FIGURA 5.R.2 Sistema deslizante resorte/masa del problema 25.
les r(0) ϭ r0, rЈ(0) ϭ v0.
26. Suponga que la masa m VREUH OD VXSHU¿FLH SODQD VHFD \ VLQ
b) Determine las condiciones iniciales para las cuales la fricción del problema 25, está unida a dos resortes como se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 6L ODV FRQVWDQWHV GH UHVRUWH VRQ k1 y
cuenta exhibe movimiento armónico simple. ¿Cuál es xk(2,t)ddeetelrams imneasuansaqeuceusaecidóensldizifaenrelinbcrieaml peanrtae.el desplazamiento
la longitud mínima L de la varilla para la cual puede ésta

acomodar el movimiento armónico simple de la cuenta?

c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en el apoyo apoyo
rígido
inciso b), la cuenta en algún momento debe salir de la varilla. rígido
Explique usando la solución r(t) del inciso a). k1 k2

d) Suponga que Ȧ ϭ 1 rad͞V 8VH XQD DSOLFDFLyQ JUD¿FD- m

dora para trazar la solución r(t) para las condiciones ini-

ciales r(0) ϭ 0, rЈ(0) ϭ v0, donde v es 0, 10, 15, 16, 16.1
0

y 17. FIGURA 5.R.3 Sistema de resortes dobles del problema 26.

e) Suponga que la longitud de la varilla es L ϭ 10 m. Para 27. Suponga que la masa m en el sistema masa resorte en el pro-
EOHPD VH GHVOL]D VREUH XQD VXSHU¿FLH VHFD FX\R FRH¿FLHQWH
cada par de condiciones iniciales del inciso d), use una de fricción cinético es ȝ Ͼ 0. Si la fuerza retardadora que

aplicación para encontrar raíces para calcular el tiempo

total que la cuenta permanece en la varilla.

234 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

la fricción cinética tiene una magnitud constante fk ϭ ȝPJ, a) Cuando m y l son constantes demostrar que (1) se re-
donde mg es el peso de la masa, y actúa en dirección duce a (6) de la sección 5.3.
opuesta del movimiento, entonces se conoce como fricción
de Coulomb. Mediante la función signo b $KRUD VXSRQJDPRV TXH OD EDUUD HQ OD ¿JXUD VH
sustituye por un resorte de masa despreciable. Cuando
sgn(x ) 1, x 0 (movimiento a la izquierda) una masa m se une a su extremo libre el resorte está en
1, x 0 (movimiento a la derecha) la posición de equilibrio vertical que se muestra en la

GHWHUPLQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH¿QLGD HQ WUDPRV SDUD HO ¿JXUD 5 \ WLHQH ORQJLWXG I0. Cuando
desplazamiento o x(t) de la masa deslizante amortiguada.
soporte
28. 3RU VLPSOL¿FDU VXSRQJD TXH HQ HO SUREOHPD m ϭ 1, k ϭ rígido
1, y fk ϭ 1.
␪
a) Encuentre el desplazamiento x(t) de la masa si ésta se libera
posición de
a partir del reposo desde un punto 5.5 unidades a la derecha equilibrio

de la posición de equilibrio, es decir, cuando las condiciones
iniciales son x(0) ϭ 5.5, x´(0) ϭ 0. Cuando se libera, intui-

tivamente el movimiento de la masa será hacia la izquierda. xm
HDVéWiu GnHi¿nQteLGrvDa l¢o'dyeQtGiHe mHVpWoi O[D0 ,Pt1D]VsDo DbOr WeLHePl cSuRa tl1?esta solución

b) Para t Ͼ t suponga que el movimiento es ahora hacia la
derecha. condiciones iniciales en t , encuentre
1

Usando las 1

VxR(tO)XFyLydQé HuVnWii nGtHe¿rvQaLGloD d ¢e'tyieQmGHp oHV[Wti1 ,ODt2 ]PsDoVbDr eDOe WlLHcPuaSlRe ts2t?a FIGURA 5.R.4 Péndulo de resorte del problema 30

t t el péndulo de resorte se encuentra en movimiento, suponemos

c) Para Ͼ 2 suponga que el movimiento es ahora hacia la que el movimiento ocurre en un plano vertical y el resorte es
en t2, encuen-
izquierda. Usando las condiciones iniciales bastante duro y no se dobla. Para t > 0 la longitud del resorte

tVrReOXxF(tL)yyQ dHVéWiu nGHin¿tQeLrGvDa l o¢'deyQtiGeHm HpVoWi[ tO2D, Pt3]DsVoDb DrOe WeLHlPcuSaRl te3s?ta es entonces l(t) ϭ l + x(t), donde x es el desplazamiento desde

0

la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación diferencial

d) Usando las condiciones iniciales en t3, demuestre que el para el desplazamiento angular ␪(t GH¿QLGD SRU
modelo predice que no hay más movimiento para t Ͼ t3.
31. Supongamos que un péndulo está formado uniendo una masa m

e) 7 UDFH OD JUi¿FD GHO GHVSOD]DPLHQWR x(t) en el intervalo al extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud l. En
[0, t3]. t ϭ HO SpQGXOR VH VXHOWD GHO UHSRVR HQ XQ SHTXHxR GHVSOD]D-

29. Utilice una serie de Maclaurin para demostrar que una solu- miento aOnPg u 9laHrD␪ O0D >¿J0XUaD l a 5d e r e (chQa HOd WeLHlPaSpRo ts1ic>ió0nladceueeqrduailpibergioa
vertical
ción en series de potencias del problema de valor inicial
en un clavo en un punto N de OP una distancia de 3/4 l desde O,

d2␪ g ␲ SHUR OD PDVD FRQWLQ~D D OD L]TXLHUGD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

dt2 1 l sen ␪ 5 0, ␪(0) 5 , ␪9(0) 5 0 a) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial
6 para el desplazamiento angular ␪1(t TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿-
gura. Encuentre el intervalo [0, t1@ VREUH TXH VH GH¿QH ␪1(t).
está dada por

␲ g Ï3g2 b) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial
6 2 96l2
␪(t) 5 t2 1 t4 1 Á. gpuarraa.eEl ndceusepnlatrzeaeml iienntetorvaanlogu[tl1a,rt2␪@ 2V RW ETUXHH H VO HT XPHX VHHV WGUHD¿ HQQH ␪OD2 (¿t)-,
4l

[Sugerencia: Vea el ejemplo 3 en la sección 4.10.] donde t es el tiempo que m regresa a la línea vertical NP.

2

30. Péndulo de resorte La forma rotacional de la segunda ley de soporte
Newton del movimiento es:
rígido
La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular
de un punto es igual al momento de la fuerza resultante (mo- O
mento de torsión).
3 l ␪1 l
4

Entonces en ausencia de amortiguamiento u otras fuerzas ex- N clavo m
ternas, un análogo de (14) en la sección 5.3 para el péndulo
TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HV

S Dd ml2 d␪ 5 2mgl sen ␪ ␪2
P
dt dt

FIGURA 5.R.5 Péndulo del problema 31

REPASO DEL CAPÍTULO 5 O 235

32. Gertrudis galopando Los puentes son buenos ejemplos de Las condiciones iniciales indican que la masa se suelta
vibración en sistemas mecánicos que están constantemente so-
metidos a fuerzas externas, de los autos que pasan por ellos, del desde la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo.
agua que empuja contra sus cimientos, y del viento que sopla a
través de su superestructura. El 7 de noviembre de 1940, cua- Utilice la solución para determinar el primer tiempo t > 0
tro meses después de su inauguración, el puente suspendido cuando x(t) = 0, es decir, la primera
Tacoma Narrows en Puget Sound en el estado de Washington 1
VH GHUUXPEy GXUDQWH XQD WRUPHQWD GH YLHQWR 9pDVH OD ¿JXUD
5.R.6. El accidente no fue sorpresa ya que “Gertudris galo- vez que la masa regresa
pando”, como se apodó al puente por los residentes locales, ya
era famoso por un movimiento vertical ondulante de su carre- desde la posición de equilibrio después del lanzamiento. La
tera que dio a muchos automovilistas una apasionante trave- VROXFLyQ GH VH GH¿QH VREUH HO LQWHUYDOR > t1]. [Sugerencia:
VtD 'XUDQWH PXFKRV DxRV VH SUHVXPLy TXH OD VXSHUHVWUXFWXUD será de utilidad la fórmula del seno del doble de un ángulo
PDO GLVHxDGD GHO SXHQWH D FDXVD GHO YLHQWR TXH VRSOy D WUDYpV sen 4t = 2 sen 2t cos 2t.]
de éste lo hizo agitarse de una manera periódica y que cuando
la frecuencia de esta fuerza se acercó a la frecuencia natural b) Para un intervalo de tiempo en que t > t la masa está arriba
del puente, dio lugar a las grandes sacudidas del ligero puente.
En otras palabras, se pensaba que el puente fue víctima de 1
la resonancia mecánica. Pero como hemos visto en la página
207, la resonancia es un fenómeno lineal que puede ocurrir de la posición de equilibrio y por lo tanto ahora debemos re-
solamente en ausencia completa de amortiguamiento. En los
~OWLPRV DxRV VH KD VXVWLWXLGR OD WHRUtD GH OD UHVRQDQFLD FRQ solver la nueva ecuación diferencial
modelos matemáticos que pueden describir grandes oscilacio-
nes aún en presencia de amortiguamiento. Gilbert N. Lewis, d2x 1 x 5 sen 4t. (3)
en su proyecto, El colapso del puente colgante de Tacoma dt2
Narrows, que se presentó en la última edición de este libro,
H[DPLQD PRGHORV VLPSOHV GH¿QLGRV SRU SDUWHV TXH GHVFULEHQ Una condición inicial es x(t1) = 0. Encuentre x’(t1) usando
las oscilaciones forzadas de una masa (una parte de la carre- la solución de (2) en el inciso a). Encuentre una solución de
tera) unidas a un resorte (un cable de soporte vertical) para el
que las amplitudes de la oscilación aumentan con el tiempo. la ecuación (3) sujeto a estas nuevas condiciones iniciales.
En este problema se le guía a usted a través de la solución de
uno de los modelos analizados en este proyecto. Utilice lxa(ts o lu c i ó /nDp VaRraOXdFeLyteQr mGHin a r eVlHs eGgHu¿nQdHo HQti eHmO pLQoWHtU2Y>DOtR1
La ecuación diferencial con una fuerza restauradora por tra- cuando
PRV GH¿QLGD SRU
[t1, t2]. [Sugerencia: Utilice dos veces la fórmula del doble de

un ángulo para la función seno.]

c) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para

encontrar x(t GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR >t2, t3], donde t > t

es la tercera vez que x(t) = 0. 3 2

d) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para

encontrar x(t GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR >t3, t ], donde t > t

es la cuarta vez que x(t) = 0. 4 4 3

eab) aDjoeb-aidrroibaaladesulapomsaicsiaóenndleoqsuinetve0rv>a0losse[c0o,mt2]p,l[ett2a, un ciclo de
t4], [t4, t6] y

así sucesivamente. Explique por qué las amplitudes de oscila-

ción de la masa deben aumentar con el tiempo. [Sugerencia:

Examine la velocidad de la masa al principio de cada ciclo.]

5d2x x$0
x,0
dt2 1 Fsxd 5 sen 4t,
Fsxd 5 4x, f) Suponga en (2) que v = 0.01. Utilice las cuatro soluciones
x, 0

en los intervalos en los incisos a), b), c) y d) para construir una

es un modelo para el desplazamiento x(t) de una unidad de IXQFLyQ FRQWLQ~D GH¿QLGD HQ WUDPRV x(t) sobre el intervalo [0, t ].

masa en un sistema masa resorte forzado. Como en la sección 4

5.1, supusimos que el movimiento ocurre a lo largo de una © Library of Congress Prints and Photographs
recta vertical, la posición de equilibrio es x = 0 y la direc- Division Washington [LC-USZ62-46682]

ción positiva es hacia abajo. La fuerza restauradora que actúa

en dirección opuesta al movimiento: una fuerza restauradora
4x cuando la masa está SRU GHEDMR x ! GH OD SRVLFLyQ GH
HTXLOLEULR \ XQD IXHU]D UHVWDXUDGRUD x cuando la masa está por
DUULED x GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR

a) Resuelva el problema de valor inicial

d 2x (2) FIGURA 5.R.6 Colapso del puente
dt 2 1 4x 5 sen 4t, x (0) 5 0, x9(0) 5 v0 . 0. suspendido de Tacoma Narrows

6

SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

© Todd Dalton/Shutterstock.com

6.1 Repaso de series de potencias
6.2 Soluciones alrededor de puntos ordinarios
6.3 Soluciones alrededor de puntos singulares
6.4 Funciones especiales

REPASO DEL CAPÍTULO 6

Hasta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden
GRV R VXSHULRU FXDQGR OD HFXDFLyQ WLHQH FRH¿ FLHQWHV FRQVWDQWHV /D ~QLFD
excepción fue la ecuación de Cauchy-Euler que se estudió en la sección
(Q DSOLFDFLRQHV ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿ FLHQWHV
YDULDEOHV VRQ WDQ LPSRUWDQWHV R TXL]i PiV TXH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRQ
FRH¿ FLHQWHV FRQVWDQWHV &RPR VH LQGLFy HQ OD VHFFLyQ DXQ XQD HFXDFLyQ VLPSOH
OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿ FLHQWHV YDULDEOHV FRPR yЉ Ϫ xy ϭ 0 no tiene
VROXFLRQHV TXH VHDQ IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV 3HUR SRGHPRV HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV
linealmente independientes de yЉ Ϫ xy ϭ YHUHPRV HQ ODV VHFFLRQHV \ TXH
ODV VROXFLRQHV GH HVWD HFXDFLyQ HVWiQ GH¿ QLGDV SRU VHULHV LQ¿ QLWDV

236

6.1 6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS O 237

REPASO DE SERIES DE POTENCIAS

INTRODUCCIÓN (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH UHVROYHU XQD (' OLQHDO KRPRJpQHD FRQ FRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV HUD HQ HVHQFLD XQ SUREOHPD GH iOJHEUD (QFRQWUDQGR ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU HV
SRVLEOH HVFULELU XQD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' FRPR XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH IXQFLRQHV HOHPHQWD-
les e␣x xke␣x xke␣x cos ȕ[ y xke␣x sen ȕ[ 3HUR FRPR VH LQGLFy HQ OD LQWURGXFFLyQ GH OD VHFFLyQ OD
PD\RUtD GH ODV (' OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV QR VH UHVXHOYHQ HQ WpUPLQRV
GH IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV 8QD HVWUDWHJLD XVXDO SDUD HFXDFLRQHV GH HVWD FODVH HV VXSRQHU XQD VROXFLyQ
HQ OD IRUPD GH VHULHV LQ¿QLWDV \ SURFHGHU GH PDQHUD VLPLODU DO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
VHFFLyQ (Q OD VHFFLyQ VH FRQVLGHUDQ (' OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV
TXH WLHQHQ VROXFLRQHV GH OD IRUPD GH VHULHV GH SRWHQFLDV \ SRU HVR HV DGHFXDGR FRPHQ]DU HVWH FDStWXOR
FRQ XQ UHSDVR GH HVH WHPD

SERIE DE POTENCIAS 5HFXHUGH GH VX FXUVR GH FiOFXOR TXH XQD serie de poten-
cias en x Ϫ a HV XQD VHULH LQ¿QLWD GH OD IRUPD

(O tQGLFH GH OD VXPD QR QHFHVLWD cn(x a)n c0 c1(x a) c2(x a)2 .
FRPHQ]DU HQ n = 0
n0

Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a 3RU HMHPSOR OD VHULH

de potencias n 0 (x 1)n HVWi FHQWUDGD HQ a ϭ Ϫ (Q HVWD VHFFLyQ WUDWDPRV SULQ-
cipalmente con las series de potencias en x HQ RWUDV SDODEUDV VHULHV GH SRWHQFLDV 3RU

HMHPSOR `

o 2nxn 5 1 1 2x 1 4x2 1 . . .

n50

es una serie de potencias en x

HECHOS IMPORTANTES /D VLJXLHQWH OLVWD UHVXPH DOJXQRV KHFKRV LPSRUWDQWHV
acerca de las series de potencias n 0 cn(x a)n

• Convergencia 8QD VHULH GH SRWHQFLDV HV convergente en un valor
HVSHFL¿FDGR GH x si su sucesión de sumas parciales {SN(x ` FRQYHUJH HV
GenHFxL U H QVLW RHQO FNlHí:Vm VHS GNLF( xH) TXH ONDlí :VmHULH HnNV 0dicvne(rxgentae ) n H[LVWH 6L HO OtPLWH QR H[LVWH

• Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo

de convergencia (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV HO FRQMXQWR GH todos los
Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV TXH FRQYHUJH OD VHULH (O FHQWUR GH LQWHUYDOR GH
convergencia es el centro a GH OD VHULH

convergencia • Radio de convergencia El radio R del intervalo de convergencia de una serie
divergencia absoluta divergencia GH SRWHQFLDV VH OODPD VX UDGLR GH FRQYHUJHQFLD 6L R Ͼ HQWRQFHV OD VHULH GH
potencias converge para ͉x – a͉ Ͻ R y diverge para ͉x – a͉ Ͼ R 6L OD VHULH FRQYHUJH
a−R a a+R x sólo en su centro a HQWRQFHV R ϭ 6L OD VHULH FRQYHUJH SDUD WRGD x HQWRQFHV
se escribe R ϭ ϱ 5HFXHUGH TXH OD GHVLJXDOGDG GH YDORU DEVROXWR ͉x – a͉ Ͻ R es
la serie podría HTXLYDOHQWH D OD GHVLJXDOGDG VLPXOWiQHD a Ϫ R Ͻ x Ͻ a ϩ R 8QD VHULH GH SRWHQFLDV
converger o divergir SRGUtD FRQYHUJHU R QR HQ ORV SXQWRV H[WUHPRV a Ϫ R y a ϩ R GH HVWH LQWHUYDOR
en los puntos extremos
• Convergencia absoluta 'HQWUR GH VX LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD XQD VHULH GH
FIGURA 6.1.1 Convergencia absoluta potencias converge absolutamente (Q RWUDV SDODEUDV VL x HV XQ Q~PHUR HQ HO
dentro del intervalo de convergencia y
GLYHUJHQFLD IXHUD GH HVWH LQWHUYDOR LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD \ QR HV XQ H[WUHPR GHO LQWHUYDOR HQWRQFHV OD VHULH GH
valores absolutos n 0 cn(x a)n FRQYHUJH 9pDVH OD ¿JXUD