ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C

438 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

donde 2p (2)
a0 p 0 f (x) dx (3)

an 2 p f (x) cos nppx d x.
p 0

ii) La serie de Fourier de una función f LPSDU GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR
(Ϫp, p) es la serie de senos

f (x) bn sen np
p x, (4)
1
n

donde bn 2 p f (x) sen npx dx. (5)
p0 p

El término sen(Qʌ[͞p) es 0 en x ϭ Ϫp, x ϭ 0 y x ϭ p, así que la serie de senos (4)
converge a 0 en esos puntos sin importar si f HVWi GH¿QLGD HQ HVWRV SXQWRV

y EJEMPLO 1 Desarrollo en una serie de senos

x Desarrolle f (x) ϭ x, Ϫ2 Ͻ x Ͻ 2 en una serie de Fourier.
y = x, −2 < x < 2
SOLUCIÓN (O H[DPHQ GH OD ¿JXUD PXHVWUD TXH OD IXQFLyQ HV LPSDU VREUH HO
FIGURA 11.3.3 Función impar en el intervalo (Ϫ2, 2) así que desarrollamos f HQ XQD VHULH GH VHQRV ,GHQWL¿FDQGR p ϭ 4
ejemplo 1. tenemos p ϭ 2. Por lo que la ecuación (5), después de integrar por partes, es

bn 2 sen n x dx 4( 1)n 1

x .
02 n

Por tanto 4 ( 1)n 1 n (6)
f (x) n 1 n sen 2 x.

La función del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 11.2.1. Por tanto la
serie (6) converge a la función sobre el intervalo (Ϫ2, 2) y el desarrollo periódico (de
SHULRGR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

y

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 x

FIGURA 11.3.4 ([WHQVLyQ SHULyGLFD GH OD IXQFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

y EJEMPLO 2 Desarrollo en una serie de senos
1
(Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD IXQFLyQ f (x) 1, x 0 que es impar
−π π x 1, 0 x ,
−1
sobre el intervalo (Ϫʌ, ʌ). Con p ϭ ʌ tenemos, de la expresión (5) que,
FIGURA 11.3.5 Función impar en el
ejemplo 2. 2 2 1 ( 1)n
bn (1) sen nx dx n,

0

y por tanto f (x) 2 1 ( 1)n sen nx. (7)
n1 n

11.3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS O 439

FENÓMENO DE GIBBS (Q OD ¿JXUD FRQ XQ 6$& KHPRV WUD]DGR ODV JUi¿FDV

de S1(x), S2(x), S3(x) y S15(x) de las sumas parciales de los términos distintos de cero de
OD H[SUHVLyQ &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD G OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO

de S15(x) tiene picos notables cerca de las discontinuidades en x ϭ 0, x ϭ ʌ, x ϭ Ϫʌ,
etcétera. Este “exceso” de las sumas parciales SN, respecto a los valores de la función

cerca de un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante cons-

tante, aunque el valor de N sea muy grande. A este comportamiento de una serie de

Fourier cerca de un punto en el que f es discontinua se le llama fenómeno de Gibbs.

El desarrollo periódico de f en el ejemplo 2, sobre todo el eje x, es una función

serpenteante (vea los ejercicios de la página 316).

yy

1 1 x
0.5 0.5
x
-0.5 -0.5
-1

-3 -2 -1 1 23 -3 -2 -1 1 23

a) S1(x) b) S2(x)

yy

11

y 0.5 0.5
xx

-0.5 -0.5

-1 -1

_L L x -3 -2 -1 1 23 -3 -2 -1 1 23

c) S3(x) d) S15(x)

FIGURA 11.3.6 Sumas parciales de la serie seno (ecuación 7).

FIGURA 11.3.7 5HÀH[LyQ SDU

y DESARROLLOS EN SEMIINTERVALOS En el análisis anterior hemos sobreen-
_L tendido que una función f HVWi GH¿QLGD VREUH XQ LQWHUYDOR FRQ HO RULJHQ HQ VX SXQWR
medio, es decir, (Ϫp, p). Sin embargo, en muchos casos nos interesa representar una
Lx función f TXH HVWi GH¿QLGD VyOR SDUD Ͻ x Ͻ L con una serie trigonométrica. Esto se
puede hacer de muchas formas distintas dando una GH¿QLFLyQ arbitraria de f (x) para
FIGURA 11.3.8 5HÀH[LyQ LPSDU ϪL Ͻ x Ͻ 0. Por brevedad consideraremos los tres casos más importantes. Si y ϭ f (x)
HVWi GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR L), entonces
y
i U HÀHMDU OD JUi¿FD GH f respecto al eje y sobre (ϪL, 0); la función ahora es
_L L x par sobre (ϪL, L YHD OD ¿JXUD R

f (x) = f (x + L) ii UHÀHMDU OD JUi¿FD GH f respecto al origen sobre (ϪL, 0); la función ahora es
impar en (ϪL, L YHD OD ¿JXUD R
FIGURA 11.3.9 5HÀH[LyQ LGHQWLGDG
iii 'H¿QLU f sobre (ϪL, 0) por y ϭ f (x ϩ L YHD OD ¿JXUD

2EVHUYH TXH HQ ORV FRH¿FLHQWHV GH ODV VHULHV \ VyOR VH XWLOL]D OD GH¿QLFLyQ GH
la función en (0, p) (esto es, la mitad del intervalo (Ϫp, p)). Por esta razón, en la práctica
QR KD\ QHFHVLGDG GH UHÀHMDU FyPR VH GHVFULELy HQ i) y en ii 6L VH GH¿QH f para 0 Ͻ x Ͻ L,
VLPSOHPHQWH LGHQWL¿FDPRV OD PLWDG GHO SHULRGR R VHPLSHULRGR FRPR OD ORQJLWXG GHO
intervalo p ϭ L 7DQWR ODV IyUPXODV \ GH ORV FRH¿FLHQWHV FRPR ODV VHULHV
correspondientes dan una extensión periódica par o impar de periodo 2L de la función

440 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

original. Las series de cosenos y senos que se obtienen de esta manera se llaman de-
sarrollos en semiintervalos. Por último, en el caso iii), igualamos los valores de la
función sobre el intervalo (ϪL, 0) con los del intervalo sobre (0, L). Como en los dos

casos anteriores no hay necesidad de hacerlo. Se puede demostrar que el conjunto de
IXQFLRQHV HQ OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ HV RUWRJRQDO VREUH HO LQWHUYDOR >a, a
ϩ 2p] para todo número real a. Eligiendo a ϭ Ϫp, obtenemos los límites de integra-
ción en las ecuaciones (9), (10) y (11) de esa sección. Pero para a ϭ 0, los límites de
integración son de x ϭ 0 a x ϭ 2p. Por lo que si f HVWi GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR
L LGHQWL¿FDPRV p ϭ L o p ϭ L͞2. La serie de Fourier resultante dará la extensión
periódica de f con periodo L. De esta forma los valores para los que converge la serie
serán los mismos en (ϪL, 0) que en (0, L).

EJEMPLO 3 Desarrollo en tres series

y Desarrolle f (x) ϭ x2, 0 Ͻ x Ͻ L,
y= x ,0<x<L a) En una serie de cosenos b) en una serie de senos c) en una serie de Fourier.

Lx SOLUCIÓN (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH HVWD IXQFLyQ

FIGURA 11.3.10 La función f del a) Tenemos
ejemplo 3 no es impar ni par.
a0 2 L 2 L2, an 2 L cos n x dx 4L2( 21)n,
3 n2
x2 dx x2
L0 L0 L

donde hemos integrado por partes dos veces en la evaluación de an.

Por tanto f (x) L2 4L2 ( 1)n cos n x. (8)
3 n2 L
2 1
n

b) En este caso debemos nuevamente integrar por partes dos veces:

bn 2 L sen n x dx 2L2( 1)n 1 4L2 1)n 1].
L L n n3 3 [(
x2

0

Por tanto f (x) 2L2 ( 1)n 1 2 1)n 1] sen n x. (9)
n1 n n3 2 [( L

c) Con p ϭ L͞2, 1͞p ϭ 2͞L y Qʌ͞p ϭ 2Qʌ͞L, tenemos

2 L 2 L2, 2 L 2 n L 2
3 n2
a0 L0 x2 dx an x2 cos x dx 2 ,
y L0 L
Por tanto
bn 2 L sen 2n x dx L2
.
x2
L0 L n

f (x) L2 L2 1 cos 2n x 1 sen 2n x. (10)
3 n 1 n2 L n L

Las series (8), (9) y (10) convergen hacia el desarrollo periódico par de periodo 2L de f,
el desarrollo periódico impar de periodo 2L de f y el desarrollo periódico de periodo L de
f UHVSHFWLYDPHQWH (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH HVRV HO GHVDUUROORV

periódicos.

11.3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS O 441
y

−4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x

a) Serie del coseno

y

−4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x

b) Serie del seno
y

−4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x

c) Serie de Fourier

FIGURA 11.3.11 La misma función sobre (0, L) pero con diferentes desarrollos periódicos.

FUERZA IMPULSORA PERIÓDICA Algunas veces las series de Fourier son útiles

para determinar una solución particular de la ecuación diferencial que describe un
sistema físico en el que la entrada o fuerza impulsora f (t) es periódica. En el siguiente

ejemplo encontraremos una solución particular de la ecuación diferencial

d2x (11)
m dt2 kx f (t)

representando primero f por el desarrollo en serie de senos en un semiintervalo y des-
pués suponiendo una solución particular de la forma

xp(t) Bn sen n t. (12)
p
n 1

EJEMPLO 4 Solución particular de una ED

f (t) Un sistema resorte-masa no amortiguado en el que la masa es m ϭ 1 kg y la
π constante del resorte es k ϭ 60 N/m, es impulsado por una fuerza externa f (t) de
SHULRGR FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD $XQTXH OD IXHU]D f (t) actúa
1 23 4 5 t sobre el sistema cuando t Ͼ REVHUYH TXH VL VH H[WLHQGH OD JUi¿FD GH OD IXQ-
ción hacia la parte negativa del eje t para que su periodo sea 2, obtenemos una
−π
IXQFLyQ LPSDU (Q WpUPLQRV SUiFWLFRV HVWR VLJQL¿FD TXH VyOR QHFHVLWDPRV HQ-
FIGURA 11.3.12 Función periódica contrar el desarrollo en una serie de senos en un semiintervalo de f (t) ϭ ʌW,
forzada para el sistema resorte-masa del 0 Ͻ t Ͻ 1. Con p ϭ 1 utilizando la ecuación (5) e integrando por partes se tiene que
sistema del ejemplo 4..
1 2( 1)n 1
bn 2 t sen n t dt n.
0

De la ecuación (11) la ecuación diferencial de movimiento es

od2x ` 2(21)n11 (13)

dt2 1 60x 5 n51 n sen n␲t.

442 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

Para encontrar una solución particular xp(t) de la ecuación (13), sustituimos en la ecua-
FLyQ H LJXDODPRV ORV FRH¿FLHQWHV GH VHQ QʌW. Así obtenemos

s2n2␲2 1 60d Bn 5 2(21)n11 o 2(21)n11
n Bn 5 n(60 2 n2␲2).

Por tanto o` 2(21)n11 (14)

xp(t) 5 n51 n(60 2 n2␲2) sen n␲t.

Observe que en la solución (14) no hay entero n Ն 1 para el cual el denominador de Bn,
que es 60 Ϫ n2ʌ2, sea cero. En general, si existe un valor de n, digamos N, para el cual

1ʌ͞p ϭ Ȧ, donde 1k>m, entonces el estado del sistema que describe la ecuación

(11) es un estado de resonancia pura. Es decir, tenemos resonancia pura si el desarrollo de

la función f(t) de la fuerza impulsora en serie de Fourier contiene un término sen(1ʌ͞L)t
(o cos(1ʌ͞L)t) que tenga la misma frecuencia que la de las vibraciones libres.

Por supuesto, si el desarrollo de la fuerza impulsora f con periodo 2p sobre el eje

negativo de t da como resultado una función par, entonces desarrollamos f en una serie

de cosenos.

EJERCICIOS 11.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18.

En los problemas 1-10 determine si la función es par, impar o ni una 19. f (x) x 1, x0
ni otra. 20. f (x) x 1, 0x

1. f (x) ϭ sen 3x 2. f (x) ϭ x cos x x 1, 1x0
4. f (x) ϭ x3 Ϫ 4x x 1, 0x1
3. f (x) ϭ x 2 ϩ x 6. f (x) ϭ ex Ϫ eϪx

5. f (x) ϭ e͉x͉ 1x0 1, 2 x 1
0x1 x, 1 x 0
x2, 21. f (x) x, 0 x 1
x2, 1, 1 x 2
7. f (x)

8. f (x) x 5, 2 x 0 ,2 x
x 5, 0 x 2 x, x
22. f (x) , x2

9. f (x) ϭ x3, 0 Յ x Յ 2

10. f (x) x5 23. f (x) sen x , Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ

24. f (x) ϭ cos x, Ϫʌ͞2 Ͻ x Ͻ ʌ͞2

En los problemas 11-24 desarrolle cada función dada en una serie En los problemas 25-34, encuentre los desarrollos en series de cose-
nos o senos en un semiintervalo de la función dada.
adecuada de cosenos o senos.

11. f (x) 1, x 0 25. f (x) 1, 0 x 1
1, 0 x 2
1
0, 2 x 1

1, 2 x 1 26. f (x) 0, 0 x 1
12. f (x) 0, 1 x 1 2
1
1, 1 x 2 1, 2 x 1
13. f (x) x , Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ
14. f (x) ϭ x, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ 27. f (x) ϭ cos x, 0 Ͻ x Ͻ ʌ͞2

15. f (x) ϭ x2, Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 28. f (x) ϭ sen x, 0 Ͻ x Ͻ ʌ

16. f (x) x x , Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 29. f (x) x, 0 x >2
17. f (x) ϭ ʌ2 Ϫ x2, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ x, >2 x

18. f (x) ϭ x3, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ 30. f (x) 0, 0x
x , x2

11.3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS O 443

x, 0 x 1 t, 0 t 1
1, 1 x 2 1 t
31. f (x) 46. f (t) t, 1 2; f (t 1) f (t)
2 1

32. f (x) 1, 0 x 1 47. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 43,
2 x, 1 x 2 x 10x f (t), sujeta a las condiciones iniciales x(0) ϭ 0,
xЈ(0) ϭ 0.
33. f (x) ϭ x2 ϩ x, 0 Ͻ x Ͻ 1
b) 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ x(t) del
34. f (x) ϭ x(2 Ϫ x), 0 Ͻ x Ͻ 2
inciso a).

48. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 45,

En los problemas 35-38 desarrolle la función dada en una serie de 1 x 12x f (t), sujeta a las condiciones iniciales x(0)
Fourier. 4
ϭ 1, xЈ(0) ϭ 0.
35. f (x) ϭ x2, 0 Ͻ x Ͻ 2ʌ
36. f (x) ϭ x, 0 Ͻ x Ͻ ʌ b) 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ x(t) del

inciso a).

37. f (x) ϭ x ϩ 1, 0 Ͻ x Ͻ 1 49. Suponga que una viga uniforme de longitud L está simplemente
apoyada en x ϭ 0 y x ϭ L. Cuando la carga por unidad de longi-
38. f (x) ϭ 2 Ϫ x, 0 Ͻ x Ͻ 2 tud es w(x) ϭ w0x͞L, 0 Ͻ x Ͻ L, entonces la ecuación diferen-
FLDO GH OD ÀH[LyQ y(x) es
En los problemas 39-42 Supongamos que la función y ϭ f(x), 0 Ͻ x
Ͻ L GDGR HQ OD ¿JXUD VH GHVDUUROOD HQ XQD VHULH GHO FRVHQR HQ XQD d4y w0 x,
serie del seno, y en una serie de Fourier. Trace el desarrollo periódico EI dx4 L
al que cada serie converge.
E, I w
donde y 0 son constantes. (Vea la ecuación (4) de la sec-

39. y 40. y y 5 f(x) ción 5.2).

y 5 f(x) a) Desarrolle w(x) en una serie de senos en un semiintervalo.

b) Utilice el método del ejemplo 4 para encontrar una solución

Lx Lx particular yp(x) de la ecuación diferencial.

FIGURA 11.3.13 FIGURA 11.3.14 50. 3URFHGD FRPR HQ HO SUREOHPD SDUD HQFRQWUDU OD ÀH[LyQ yp(x),
*Ui¿FD GHO SUREOHPD *Ui¿FD GHO SUREOHPD FXDQGR OD FDUJD SRU XQLGDG GH ORQJLWXG HVWi GDGD HQ OD ¿JXUD
11.3.17.
41. y 42. y y 5 f(x)
w (x)
y 5 f(x) w0

Lx Lx

FIGURA 11.3.15 FIGURA 11.3.16 L/3 2L/3 L x
*Ui¿FD GHO SUREOHPD *Ui¿FD GHO SUREOHPD
FIGURA 11.3.17 *Ui¿FD GHO SUREOHPD

En los problemas 43 y 44, proceda como en el ejemplo 4 y encuentre 51. Cuando una viga uniforme está soportada por un cimiento
una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuando m ϭ 1, k ϭ 10 elástico y sujeta a una carga w(x) por unidad de longitud, la
y la fuerza impulsora f (t) es la que se indica. Suponga que cuando HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VX ÀH[LyQ y(x) es
f (t) se desarrolla hacia el eje negativo de t en forma periódica, la
d4y
función resultante es impar. EI dx4

ky w (x),

43. f (t) 5, 0 t 2 ; f (t 2) f (t)
5, t
donde k es el módulo del cimiento. Suponga que la viga y el
44. f (t) ϭ 1 Ϫ t, 0 Ͻ t Ͻ 2; f (t ϩ 2) ϭ f (t) FLPLHQWR HOiVWLFR WLHQHQ ORQJLWXG LQ¿QLWD HVWR HV TXH Ϫϱ Ͻ x
Ͻ ϱ) y que la carga por unidad de longitud es la función periódica

En los problemas 45 y 46 proceda como en el ejemplo 4 para en- 0, x >2
contrar una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuando >2 x > 2, w(x 2 ) w(x).
m 14, k 12, y la fuerza impulsora f (t) dada. Suponga que w (x) w0 , >2 x
cuando f (t) se desarrolla a valores negativos de t en forma periódica, 0
la función resultante es par.
Utilice el método del ejemplo 4 para determinar una solución
45. f (t) ϭ 2ʌW Ϫ t2, 0 Ͻ t Ͻ 2ʌ; f (t ϩ 2ʌ) ϭ f (t) particular yp(x) de la ecuación diferencial.

444 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

Problemas para analizar 55. f (x) ( 1)n 1 cos nx

52 . Demuestre las propiedades a), c), d), f) y g) del teorema 11.3.1. 4 n1 n2

53. Sólo existe una función que es al mismo tiempo par e impar. 1 2( 1)n
¿Cuál es? sen nx

54 . Como sabemos del capítulo 4, la solución general de la ecuación n
diferencial del problema 51 es y ϭ yc ϩ yp. Analice cómo se puede
fundamentar en física que la solución del problema 51 es sola- 56. f (x) 1 41 1 cos n cos n x
mente yp >Sugerencia: Considere y ϭ yc ϩ yp conforme x A Ϯ ϱ]. 4 2 2
2 1 n2
Tarea para el laboratorio de computación n

(Q ORV SUREOHPDV \ XVH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH 57. ¿Es única su respuesta del problema 55 o del 56? Dada una fun-
las sumas parciales {SN(x)} de la serie trigonométrica respectiva. ción f GH¿QLGD VREUH XQ LQWHUYDOR VLPpWULFR UHVSHFWR DO RULJHQ
Experimente con distintos valores de N \ FRQ JUi¿FDV VREUH GLIHUHQWHV (Ϫa, a) que tiene la misma serie trigonométrica
intervalos del eje x 8WLOLFH VXV JUi¿FDV SDUD SURSRQHU XQD H[SUHVLyQ
de forma cerrada para una función f GH¿QLGD VREUH Ͻ x Ͻ L que esté a) como en el problema 55,
representada por la serie.
b) como en el problema 56.

11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

INTRODUCCIÓN En esta sección estudiaremos algunos tipos especiales de problemas con valores
en la frontera en los que la ecuación diferencial ordinaria en el problema contiene un parámetro Ȝ. Los
valores de Ȝ para los que el PVF tiene soluciones no triviales llamados eigenvalores y las soluciones
correspondientes se llaman eigenfunciones. Los problemas con valores en la frontera de este tipo son
especialmente importantes en los capítulos 12 y 13. En esta sección también vemos que existe una
conexión entre los conjuntos ortogonales y las eigenfunciones de un problema con valores en la frontera.
Los conceptos de eigenvalores y eigenfunciones se introdujeron en la sección 5.2. Se recomienda que se
revise cuidadosamente esta sección, en especial el ejemplo 2.

REPASO DE LAS ED Por conveniencia, repasaremos aquí algunas EDO y sus so-
luciones generales que se presentarán con frecuencia en las secciones y capítulos si-
guientes. El símbolo Į representa una constante.

(FXDFLRQHV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV 6ROXFLRQHV JHQHUDOHV

yЈ ϩ Į\ ϭ 0 y ϭ c eϪĮ[
yЉ ϩ Į2y ϭ 0, Į Ͼ 0 1
yЉ Ϫ Į2y ϭ 0, Į Ͼ 0
y ϭ c cos Į[ ϩ c sen Į[
Ecuación de Cauchy-Euler 1 2

y c1 e ax c2 eax, o

y c1 cosh x c2 senh x

Soluciones generales, x Ͼ 0

x2yЉ ϩ xyЈ Ϫ Į2y ϭ 0, Į Ն 0 y c1 x a c2 xa, a 0
y c1 c2 ln x, a 0

Ecuación paramétrica de Bessel (v ϭ 0) Solución general, x Ͼ 0

xyЉ ϩ yЈ ϩ Į2xy ϭ 0, y ϭ c1J0(Į[) ϩ c Y 0(Į[)

Ecuación de Legendre 2
(n ϭ 0, 1, 2, . . .)
Las soluciones particulares
son polinomios

(1 Ϫ x2)yЉ Ϫ 2xyЈ ϩ n(n ϩ 1)y ϭ 0, y ϭ P0(x) ϭ 1,

y ϭ P1(x) ϭ x,

y P2 (x) 1 (3x2 1), . . .
2

11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE O 445

Esta regla será útil en los capítulos Considerando las dos formas de la solución general de yЉ Ϫ Į2y ϭ 0, en el ejemplo
12 -14. 1 haremos uso inmediatamente de la siguiente regla informal así como en análisis
futuros:

Utilice la forma exponencial y ϭ c1eϪĮ[ ϩ c2eĮ[ cuando el dominio de x es un
LQWHUYDOR LQ¿QLWR R VHPLLQ¿QLWR XWLOLFH OD IRUPD KLSHUEy LFD \ ϭ c1 FRVK Į[ ϩ
c2 VHQK Į[ FXDQGR HO GRPLQLR GH [ HV XQ LQWHUYDOR ¿QLWR

EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES Las funciones ortogonales surgen al re-
solver ecuaciones diferenciales. Además, se puede generar un conjunto ortogonal de
funciones al resolver un problema con valores en la frontera con dos puntos que impli-
que una ecuación diferencial de segundo orden lineal que tenga un parámetro Ȝ. En el
ejemplo 2 de la sección 5.2, vimos que el problema con valores en la frontera

y y 0, y(0) 0, y(L) 0, (1)

tiene soluciones no triviales sólo cuando el parámetro Ȝ toma los valores Ȝn ϭ n2ʌ2͞L2,
n ϭ 1, 2, 3, . . . , llamados eigenvalores. Las correspondientes soluciones no triviales

yn ϭ c sen(Qʌ[͞L) o simplemente yn ϭ sen(Qʌ[͞L) se llaman eigenfunciones del pro-
2

blema. Por ejemplo, para el problema con valores en la frontera (1),

PVF: no es un eigenvalor

y Љ Ϫ2y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0

Solución trivial: y ϭ 0 nunca es una eigenfunción

es un eigenvalor (n ϭ 3)

PVF: yЉ ϩ9–L–␲–2–2 y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0

Solución no trivial: y3 ϭ sen(3␲x/L) eigenfunción

3DUD QXHVWURV ¿QHV HQ HVWH FDStWXOR HV LPSRUWDQWH UHFRQRFHU TXH HO FRQMXQWR ^VHQ Qʌ[͞L)},
n ϭ HV XQ FRQMXQWR RUWRJRQDO GH IXQFLRQHV VREUH HO LQWHUYDOR > L] que se usó

como base para la serie de Fourier de senos. Vea el problema 10 de los ejercicios 11.1.

EJEMPLO 1 Eigenvalores y eigenfunciones

Considere el problema con valores en la frontera

y y 0, y (0) 0, y (L) 0. (2)

Como en el ejemplo 2 de la sección 5.2 hay tres posibles casos para el parámetro Ȝ:
cero, negativo o positivo; esto es, Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, donde Į Ͼ 0. La

solución de las ED

y 0, 0, (3)

y a2y 0, a2, (4)

y a2y 0, a2, (5)

son, respectivamente,

y c1 c2x, (6)
y c1 cosh ax c2 senh ax, (7)
y c1 cos ax c2 sen ax. (8)

Cuando las condiciones en la frontera, yЈ(0) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0 se aplican a cada una de estas
soluciones, de la ecuación (6) se obtiene y ϭ c1, de la ecuación (7) sólo se obtiene y ϭ 0 y

446 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

de la ecuación (8) se obtiene y ϭ c cos Į[ suponiendo que Į ϭ Qʌ͞L, n ϭ 1, 2, 3, . . .
Puesto que y ϭ c satisface que la 1 (3) y las condiciones de frontera para cualquier

dist1inta ED en

elección de c de cero, concluimos que Ȝ ϭ 0 es un eigenvalor. Por lo que los ei-
1
qgddyeuieensenevntanae,lϭotaolrme0es.iagn2Eyrelclnac1vsoϭnacnl2ooj1urr2rneȜent0soLpcϭ2{oa,cdn0onadssicee(anQsptʌ1oeu[,.se͞Ode2Liebg,)s}ie.en,n.rcnfv.oue,ϭrnptycaon0imor,ϭanb1rei,aséc2n1dl,aecq3lofu,apse.mr.(loaQi.blʌ,ielae[eigm͞syeLnoan)ϭrf,stuoocncgn1ocoȜisnó0a(nϭQ0l ʌy.s00[oS,͞ϭbeyLr0e)1pϭesuclieocihdrn1are,tec,ecser1spvmioaonsl0oes-

> L]. En el problema 3 de los ejercicios 11.4 se le pedirá completar los detalles.

PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE Los problemas (1) y (2) son

casos especiales de un problema importante con valores en la frontera de dos puntos.
Sean p, q, r y rЈ IXQFLRQHV GH YDORU UHDO FRQWLQXDV VREUH XQ LQWHUYDOR >a, b] y sean r(x)
Ͼ 0 y p(x) Ͼ 0 para todo x en el intervalo. Entonces

Resuelva: d p (x)) y 0 (9)
Sujeto a: [r(x)y ] (q(x)
(10)
dx (11)

A1y(a) B1y (a) 0

A2y(b) B2y (b) 0

se dice que es un problema regular de Sturm-Liouville /RV FRH¿FLHQWHV HQ ODV FRQGL-

ciones de frontera (10) y (11) se suponen reales e independientes de Ȝ. Además, A y B no
1 1
A B
son iguales a cero y 2 y 2 no son iguales a cero. Los problemas con valores en la fron-

WHUD HQ \ VRQ SUREOHPDV UHJXODUHV GH 6WXUP /LRXYLOOH 'H SRGHPRV LGHQWL¿FDU

r(x) ϭ 1, q(x) ϭ 0 y p(x) ϭ 1 en la ecuación diferencial (9); en la condición frontera (10)

LGHQWL¿FDPRV a ϭ 0, A ϭ 1, B ϭ 0, y en (11), b ϭ L, A ϭ 1, B ϭ 0. De (2) las identi-
¿FDFLRQHV VHUiQ a ϭ 1 A ϭ 1 B ϭ 1 en (10), b ϭ L, A2 ϭ 0, B2 ϭ 1 en (11).

0, 1 0, 1 2 2

La ecuación diferencial (9) es lineal y homogénea. Las condiciones de frontera

en (10) y (11), ambas una combinación lineal de y y yЈ son iguales a cero en un punto

y son también homogéneas. Una condición de frontera como A2y(b) ϩ B2yЈ(b) ϭ C2,
es no homogénea. Un problema con
donde C es una constante diferente de cero,
2

valores en la frontera que consiste en una ecuación diferencial lineal homogénea y de

condiciones en la frontera homogéneas es, por supuesto, llamado un PVF homogéneo;

de otra manera, es no homogéneo. Las condiciones en la frontera (10) y (11) se llaman

separadas porque cada condición implica sólo un punto en la frontera.

Puesto que un problema regular de Sturm-Liouville es un PVF homogéneo, tiene
siempre la solución trivial y ϭ 0. Sin embargo, esta solución no es de interés para no-

sotros. Como en el ejemplo 1, al resolver uno de estos problemas tratamos de buscar
números Ȝ (eigenvalores) y soluciones no triviales y que dependan de Ȝ (eigenfunciones).

PROPIEDADES El teorema 11.4.1 es una lista de las propiedades más importantes
del problema regular de Sturm-Liouville. Sólo demostraremos la última propiedad.

TEOREMA 11.4.1 Propiedades del problema regular de Sturm-Liouville

a) ( [LVWH XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH HLJHQYDORUHV UHDOHV TXH VH SXHGHQ RUGHQDU HQ

forma creciente, Ȝ1 Ͻ Ȝ2 Ͻ Ȝ3 Ͻ . . . Ͻ Ȝn Ͻ . . . tal que Ȝn A ϱ conforme
n A ϱ.

b) Para cada eigenvalor existe sólo una eigenfunción (excepto los múltiplos

diferentes de cero).

c) Las eigenfunciones que corresponden a diferentes eigenvalores son lineal-

mente independientes.

d) El conjunto de eigenfunciones que corresponde al conjunto de los eigen-
valores es ortogonal respecto a la función de peso p(x) sobre el intervalo
>a, b].

11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE O 447

DEMOSTRACIÓN DE d) Sean ym y yn eigenfunciones correspondientes a los eigenva-
lores Ȝm y Ȝn, respectivamente. Entonces

d m p(x))ym 0 (12)
dx [r(x)y m ] (q(x)

d n p(x))yn 0. (13)
dx [r(x)yn ] (q(x)

Multiplicando la ecuación (12) por yn y la ecuación (13) por ym y restando las dos
ecuaciones se obtiene

dd
( m n) p(x) ym yn ym dx [r(x)yn ] yn dx [r(x)ym ] .

Integrando por partes este último resultado desde x ϭ a hasta x ϭ b obtenemos

b

( m n) p(x)ym yn dx r(b)[ym(b)yn (b) yn(b)ym (b)] r(a)[ym(a)y n (a) yn(a)ym (a)]. (14)
a

Ahora las eigenfunciones ym y yn deben satisfacer ambas condiciones a la frontera (10)
y (11). En particular, de (10) se tiene que

A1ym(a) B1ym (a) 0

A1yn(a) B1yn(a) 0.

Para que A y B satisfagan este sistema, ambas distintas de cero, el determinante de los
1 1
FRH¿FLHQWHV GHEH VHU LJXDO D FHUR

ym(a)yn (a) yn(a)ym (a) 0.

Con un argumento similar aplicado a (11) también se obtiene

ym(b) yn(b) yn(b) ym (b) 0.

Puesto que los dos miembros del lado derecho de (14) son iguales a cero, hemos esta-
blecido la relación de ortogonalidad

b m n. (15)

p(x)ym(x)yn(x) dx 0,

a

EJEMPLO 2 Un problema regular de Sturm-Liouville

Resuelva el problema con valores en la frontera (16)
y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0.

y y = tan x SOLUCIÓN Procedemos exactamente como en el ejemplo 1 considerando tres casos
x1 x2 x3 x4
x en los que el parámetro Ȝ podría ser cero, negativo o positivo: Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0,

y = −x y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0 donde Į Ͼ 0. Las soluciones de la ED para estos valores se muestran en

FIGURA 11.4.1 Raíces positivas x1, las ecuaciones (3) a (5). Para los casos Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 encontramos que los PVF
x2, x3, . . . de tan x ϭ Ϫx, en el ejemplo 2.
en (16) sólo tienen la solución trivial y ϭ 0. Para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0 la solución general de la

yeq(cu1ue)aecϩnióyenЈs(td1ai)fseϭorleun0ccisióeanlsaects1isϭyfaϭc0e,cas1isíconsosĮ[quϩedca2msoesn Į[. Ahora la condición y(0) ϭ 0 implica
con sen Į[. La segunda condición
y ϭ c
2

c2 sen a c2a cos a 0.

En vista del requisito que c 0, la última ecuación se puede escribir como
2

tan a a. (17)

Si por un momento consideramos en (17) que tan x ϭ Ϫx HQWRQFHV HQ OD ¿JXUD
VH PXHVWUD OD IDFWLELOLGDG GH TXH H[LVWD XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV HQ SDUWLFXODU ODV

448 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

coordenadas x GH ORV SXQWRV GRQGH OD JUi¿FD GH y ϭ Ϫx LQWHUVHFD HO LQ¿QLWR GH UDPDV

GH OD JUi¿FD GH y ϭ tan x. Los eigenvalores del PVF (16) son entonces n a2n,
donde Įn, n ϭ 1, 2, 3, . . . son las raíces positivas consecutivas Į1, Į2, Į3,. . . de (17).
Con ayuda de un SAC se muestra con facilidad que redondeando a cuatro decimales,

Įgdei1enϭnetrea2sl.,0sol2an8s8ye,1igĮϭe2 nϭsfeun4n2.c9.i01o23n82e8s, xĮd,3eylϭ2pϭr7o.sb9el7en8m47a.9ys1oĮ3n42xϭ{,sye13n1ϭĮ.0ns8xe}5n,5n7y.ϭ9q7u18e,72xla,ys3ys,o4. lϭ.u.csieonne1s1c.0o8r5re5sxp.oEnn-
,GHQWL¿FDQGR r (x) ϭ q(x) ϭ p(x) ϭ A ϭ B ϭ A ϭ B ϭ
1, 0, 1, 1 1, 1 0, 2 1, 2 1, vemos

que la ecuación (16) es un problema regular de Sturm-Liouville. Concluimos que

{sen Įnx}, n ϭ 1, 2, 3, . . . es un conjunto ortogonal respecto a la función de peso
p(x) ϭ VREUH HO LQWHUYDOR > @

En algunos casos se puede demostrar la ortogonalidad de las soluciones de (9) sin
QHFHVLGDG GH HVSHFL¿FDU XQD FRQGLFLyQ HQ OD IURQWHUD HQ x ϭ a y en x ϭ b.

PROBLEMA SINGULAR DE STURM-LIOUVILLE Existen otras condiciones impor-
tantes bajo las que buscamos las soluciones no triviales de la ecuación diferencial (9):

• r (a) ϭ 0, y una condición de frontera del tipo dado en (11) está dada (18)
como x ϭ b; (19)
(20)
• r (b) ϭ 0, y una condición de frontera del tipo dado en (10) está dada (21)
como x ϭ a;

• r (a) ϭ r (b) ϭ 0, y no hay condición de frontera dada en x ϭ a o en
x ϭ b;

• r (a) ϭ r (b), y las condiciones de frontera y(a) ϭ y(b), yЈ(a) ϭ yЈ(b).

La ecuación diferencial (9) junto con una de las condiciones (18) a (20), se dice que

es un problema singular con valores en la frontera. La ecuación (9) con las condiciones

dadas en (21) se dice que es un problema con valores en la frontera periódico (las condi-

ciones de frontera también se llaman periódicas). Observe que si decimos que r(a) ϭ 0,
entonces x ϭ a puede ser un punto singular de la ecuación diferencial y por tanto, una
solución de (9) puede crecer sin límite conforme x A a. Sin embargo, vemos de (14)
que si r(a) ϭ 0, no se necesita condición de frontera en x ϭ a para demostrar la orto-

gonalidad de las eigenfunciones suponiendo que estas soluciones estén limitadas en

ese punto. Este último requisito asegura la existencia de las integrales que intervienen.
6XSRQLHQGR TXH ODV VROXFLRQHV GH HVWpQ DFRWDGDV VREUH XQ LQWHUYDOR FHUUDGR >a, b],

podemos ver del examen de la ecuación (14) que

• si r(a) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida, (22)
sin ninguna condición dada en la frontera en x ϭ a; (23)
(24)
• si r(b) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida (25)
sin ninguna condición dada en la frontera en x ϭ b;*

• si r(a) ϭ r(b) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida
sin ninguna condición dada en la frontera en x ϭ a o en x ϭ b;

• si r(a) ϭ r(b), entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida con
las condiciones en la frontera y(a) ϭ y(b), yЈ(a) ϭ yЈ(b).

Observe que un problema de Sturm-Liouville es singular cuando el intervalo que se
FRQVLGHUD HV LQ¿QLWR 9pDQVH ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

FORMA AUTOADJUNTA Realizando la derivación que se indica en (9), vemos que
la ecuación diferencial es igual a

r(x)y r (x)y (q(x) p(x))y 0. (26)

(O H[DPHQ GH OD HFXDFLyQ SRGUtD FRQGXFLU D FUHHU TXH HO FRH¿FLHQWH GDGR GH yЈ es la
GHULYDGD GHO FRH¿FLHQWH GH yЉ, y que existen pocas ecuaciones diferenciales que tengan

* Las condiciones (22) y (23) son equivalentes a elegir A ϭ 0, B ϭ 0 y A ϭ 0, B ϭ 0, respectivamente.
1 1 2 2

11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE O 449

OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ 3RU OR FRQWUDULR VL ORV FRH¿FLHQWHV VRQ FRQWLQXRV \ a(x) 0
para toda x en algún intervalo, entonces cualquier ecuación diferencial de segundo orden

a(x)y b(x)y (c(x) d(x))y 0 (27)

se puede escribir en la así llamada forma autoadjunta (9). Para esto básicamente pro-

cedemos como en la sección 2.3, donde reescribimos una ecuación homogénea lineal

de primer orden a1(x)yЈ ϩ a0(x)y ϭ 0 en la forma d [ y] 0 dividiendo la ecuación
dx

ppoornea1q(xu)eynodehspayuéfsacmtourletispcliocmanudnoesp,oPr (exl) factor integrante ȝ ϭ e ,͐P(x)dx donde, se su-
ϭ a0(x)͞a1(x). Así que primero, dividimos

la ecuación (27) por a(x). Los primeros dos términos son Y b (x) Y , donde
a (x)

enfatizamos que hemos escrito Y ϭ yЈ. Segundo, multiplicamos esta ecuación por el fac-
tor integrante e ,͐(b(x)͞a(x))dx donde a(x) y b(x) se supone que no tienen factores en común:

e (b (x) / a (x)) d xY b (x) e (b (x) / a (x)) d x Y d e (b (x) / a (x)) d x Y d e (b (x) / a (x)) d x y .
a (x) dx dx
144444444244444443

derivada de un producto

En resumen, dividiendo la ecuación (27) por a(x) y después multiplicando por
e ,͐(b(x)͞a(x))dx obtenemos

e (b / a) d x y b(x) e (b/a)dx y c (x) e (b / a) d x d(x) e (b/a)dx y 0. (28)
a (x) a (x) a (x)

La ecuación (28) está en la forma deseada dada en la ecuación (26) y tiene la misma
forma de la ecuación (9):

[ ] ( )–dd–x e͐(b/a)dxyЈ ϩ a–c–((–xx–)) e͐(b/a)dx ϩ l da––((–xx–)) e͐(b/a)dx y ϭ 0

r(x) q(x) p(x)

Por ejemplo, para expresar 2yЉ ϩ 6yЈ ϩ Ȝ\ ϭ 0 en la forma autoadjunta, escribimos

y 3y 1 y 0 y después multiplicando por e͐3dx ϭ e3x. La ecuación resultante es
2

r(x) rЈ(x) p(x)

e3xyЉ ϩ 3e3xyЈ ϩ l 12–e3xy ϭ 0 o [ ]–dd–x e3xyЈ ϩ l 12– e3xy ϭ 0

Ciertamente no es necesario escribir una ecuación diferencial de segundo orden
(27) en la forma autoadjunta (9) para resolver OD (' 3DUD QXHVWURV ¿QHV XVDUHPRV OD
forma dada en la ecuación (9) para determinar la función de peso p(x) que se necesita

en la relación de ortogonalidad (15). Los dos ejemplos siguientes ilustran relaciones de

ortogonalidad para funciones de Bessel y para polinomios de Legendre.

EJEMPLO 3 Ecuación paramétrica de Bessel

En la sección 6.4 vimos que la solución general de la ecuación paramétrica de

Bessel de orden n es x2yЉ ϩ xyЈ ϩ (Į2x2 Ϫ n2)y ϭ 0, donde n HV XQ HQWHUR ¿MR QR

negativo y Į es un parámetro positivo. La solución general de esta ecuación es

ySUϭLPcH1UJ nF(RĮH[¿)FϩLHQcW2HY nx(2Į[y).mDueltsippuliécsanddeodilvaideicrulaacieócnuarceisóunltapnatreampéotrriecla de Bessel por el
factor integrante

e (1/x)dx eln x x, x 0, obtenemos

xy y 2x n2 0 o d [x y ] 2x n2 0.
y dx y
x x

450 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

c&iRoPneSsDrUD(xQ)GϭR HxV,WHq (~xO)WLϭPϪR UHnxV2X,OWȜDϭGRĮ F2RyQ pOD(x I)RϭUPxD. DAXhWRoDrGaMrX(Q0W)D ϭ 0 KyDdFeHPlaRs Vd OoDsV sLoGlHuQcWiLo¿nFeDs-
Jn(Į[) y Yn(Į[), sólo Jn(Į[) está acotada en x ϭ 0. Por lo que de la ecuación (22), el
conjunto {Jn(Įix)}, i ϭ 1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x) ϭ x
VREUH HO LQWHUYDOR > b]. La relación de ortogonalidad es

b i j, (29)

xJn( ix)Jn( jx) dx 0,

0

suponiendo que los Įi y por tanto los eigenvalores i 2 , i ϭ VH GH¿QHQ
i
por medio de una condición en la frontera en x ϭ b del tipo dado en la ecuación (11):

El factor extra de Į viene de la regla de la A2Jn(ab) B2aJn (ab) 0. (30)

cadena:

d Jn (Į x) Jn (Į x) d Įx Į Jn (Į x). Para cualquier elección de AĮ2i by. B2, ninguna igual a cero, se sabe que la ecuación (30)
dx dx WLHQH XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV xi ϭ Entonces los eigenvalores son
i
2 (xi > b)2.
i

En el siguiente capítulo se tratará más acerca de los eigenvalores.

EJEMPLO 4 Ecuación de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre (1Ϫx2)yЉ Ϫ 2xyЈ ϩ n(n ϩ l)y ϭ 0 es exactamente
de la forma dada en la ecuación (26) con r(x) ϭ ± x2 y rЈ(x) ϭ Ϫ2x. Por lo que la

forma autoadjunta (9) es inmediata,

d (1 x2)y n(n 1)y 0. (31)
dx

'H OD HFXDFLyQ SRGHPRV DGHPiV LGHQWL¿FDU q(x) ϭ 0, Ȝ ϭ n(n ϩ 1) y p(x) ϭ 0.
Recuerde de la sección 6.4 que cuando n ϭ 0, 1, 2, . . . la ED de Legendre tiene soluciones

polinomiales Pn(x). Ahora se puede expresar la observación de que r(Ϫ1) ϭ r(1) ϭ 0
junto con el hecho de que los polinomios de Legendre Pn(x) que son las únicas soluciones
GH TXH HVWiQ DFRWDGDV VREUH HO LQWHUYDOR FHUUDGR >Ϫ1, 1] por lo que se concluye de la
ecuación (24) que el conjunto {Pn(x)}, n ϭ 0, 1, 2, . . . es ortogonal respecto a la función de
peso p(x) ϭ 1 VREUH >Ϫ1, 1]. La relación de ortogonalidad es

1 m n.

Pm(x)Pn(x) dx 0,

1

EJERCICIOS 11.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-19.

En los problemas 1 y 2, encuentre las eigenfunciones y la ecua- 4. Considere la ecuación yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, sujeta a las condi-
ciones periódicas en la frontera y(ϪL) ϭ y(L), yЈ(ϪL)
FLyQ TXH GH¿QH ORV HLJHQYDORUHV GH FDGD SUREOHPD FRQ YDORUHV
ϭ yЈ(L). Demuestre que las eigenfunciones son
en la frontera. Use un SAC para calcular el valor aproximado
1, cos x, cos 2 x, . . . , sen x, sen 2 x, sen 3 x, . . . .
de los cuatro primeros eigenvalores, Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4. De las LL LL L
eigenfunciones que corresponden a esas aproximaciones.

1. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, y(1) ϩ yЈ(1) ϭ 0 (VWH FRQMXQWR TXH HV RUWRJRQDO VREUH >ϪL, L], es la base
de las series de Fourier.
2. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, y(0) ϩ yЈ(0) ϭ 0, y(1) ϭ 0
5. Encuentre la norma cuadrada de cada eigenfunción del
3. Considere yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0 sujeta a yЈ(0) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0. problema 1.
Demuestre que las eigenfunciones son

1, cos L x, cos 2 x, . . . .
L
6. Demuestre que para las eigenfunciones del ejemplo 2,
(VWH FRQMXQWR TXH HV RUWRJRQDO VREUH > L], es la base de
'sen anx'2 1 [1 cos2an].
la serie de Fourier de cosenos. 2

11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE O 451

7. a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del 12. a) (QFXHQWUH ODV HLJHQIXQFLRQHV \ OD HFXDFLyQ TXH GH¿QH
problema con valores en la frontera los eigenvalores del problema con valores en la frontera

x2y xy y 0, y(1) 0, y(5) 0. x2y xy ( x2 1)y 0, x 0,
y está acotada en x ϭ 0, y(3) ϭ 0.
b) Escriba la ecuación diferencial en la forma autoadjunta.
c) Dé una relación de ortogonalidad. Sea Ȝ ϭ Į2, Į Ͼ 0.
b) Utilice la tabla 6.4.1 de la sección 6.4, encuentre los
8. a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del
problema con valores en la frontera valores aproximados de los cuatro primeros eigenvalo-
res, Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4.
y y y 0, y(0) 0, y(2) 0.
Problemas para analizar

b) Escriba la ecuación diferencial en la forma autoadjunta. 13. Considere el caso especial del problema regular de Sturm-
c) Dé una relación de ortogonalidad. /LRXYLOOH VREUH HO LQWHUYDOR >a, b]:

9. Ecuación diferencial de Laguerre d [r(x)y ] p(x)y 0,
dx
xyЉ ϩ (1 Ϫ x)yЈ ϩ ny ϭ 0, n ϭ 0, 1, 2, . . .
y (a) 0, y (b) 0.
tiene soluciones polinomiales L(x). Escriba la ecuación en
su forma autoadjunta y dé una relación de ortogonalidad. ¿Es Ȝ ϭ XQ HLJHQYDORU GHO SUREOHPD" 'H¿HQGD VX UHV-
puesta.
10. Ecuación diferencial de Hermite
Tarea para el laboratorio de computación
yЉ Ϫ 2xyЈ ϩ 2ny ϭ 0, n ϭ 0, 1, 2, . . .
14. a) Dé una relación de ortogonalidad para el problema de
tiene soluciones polinomiales Hn(x). Escriba la ecuación en Sturm-Liouville del problema 1.
su forma autoadjunta y dé una relación de ortogonalidad.

11. Considere el problema regular de Sturm-Liouville b) Utilice un SAC como ayuda para comprobar la rela-
ción de ortogonalidad para las eigenfunciones y y y
d (1 x2)y 1 x2 y 0,
dx 0. 12
y(0) 0, y(1)
que corresponden a los dos primeros eigenvalores Ȝ1 y
Ȝ2, respectivamente.

15. a) Dé una relación de ortogonalidad para el problema 2 de
Sturm-Liouville.

a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del b) Utilice un SAC como ayuda para comprobar la rela-
SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD >Sugerencia: Sea
x ϭ tan ș y después utilice la regla de la cadena.] ción de ortogonalidad para las eigenfunciones y y y
1 2
b) Dé una relación de ortogonalidad. que correspondan a los dos primeros eigenvalores Ȝ1 y
Ȝ2, respectivamente.

11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE

INTRODUCCIÓN La serie de Fourier, la serie de Fourier de cosenos y la serie de Fourier de senos
son tres formas de desarrollar una función en términos de un conjunto ortogonal de funciones. Pero
esos desarrollos de ninguna manera se limitan a conjuntos ortogonales de funciones trigonométricas. En
la sección 11.1 vimos que una función f GH¿QLGD VREUH XQ LQWHUYDOR a, b) se puede desarrollar, al menos
formalmente, en términos de cualquier conjunto de funciones {‫׋‬n(x)} que sea ortogonal respecto a una
IXQFLyQ GH SHVR VREUH >a, b]. Muchos de estos desarrollos en series ortogonales o series de Fourier ge-
neralizadas surgen de problemas de Sturm-Liouville que, a su vez, se originan de intentos para resolver
ecuaciones diferenciales parciales lineales que sirven como modelos de sistemas físicos. Las series de
Fourier y los desarrollos en series ortogonales, así como las dos series que describiremos en esta sección,
reaparecen en consideraciones subsecuentes de estas aplicaciones en los capítulos 12 y 13.

452 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

11.5.1 SERIE DE FOURIER-BESSEL

(Q HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ YLPRV TXH SDUD XQ YDORU ¿MR GH n funciones de
Bessel {Jn(Įix)}, i ϭ 1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x) ϭ x
VREUH XQ LQWHUYDOR > b] siempre que los Įi HVWiQ GH¿QLGRV SRU PHGLR GH XQD FRQGLFLyQ

de frontera de la forma

A2 Jn(ab) B2aJn(ab) 0. (1)

Los eigenvalores del correspondiente problema de Sturm-Liouville son i 2 . De (7) y
i

(8) de la sección 11.1, la serie ortogonal o serie generalizada de Fourier del desarrollo de

una función f GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR b), en términos de este conjunto ortogonal es

f (x) ci Jn(ai x), (2)
(3)
i1

donde ci b xJn( i x) f (x) d x.
0 'Jn( i x)'2

La norma cuadrada de la función Jn(Įix HVWi GH¿QLGD SRU GH OD VHFFLyQ

'Jn( ix)'2 b (4)

x Jn2( ix) dx.

0

/D VHULH FRQ FRH¿FLHQWHV GH¿QLGRV SRU OD HFXDFLyQ VH OODPD serie de Fourier-
Bessel o simplemente, serie de Bessel.

RELACIONES DE RECURRENCIA DIFERENCIALES Estas relaciones de recurren-
cia diferenciales que se dieron en las ecuaciones (23) y (22) de la sección 6.4, son
IUHFXHQWHPHQWH ~WLOHV HQ OD HYDOXDFLyQ GH ORV FRH¿FLHQWHV 3RU FRQYHQLHQFLD UHSUR-
ducimos estas relaciones aquí:

d [ xnJn(x)] xnJn 1(x) (5)
dx x nJn 1(x). (6)

d [x nJn(x)]
dx

NORMA CUADRADA El valor de la norma cuadrada (4) depende de cómo los

eigenvalores i 2 HVWiQ GH¿QLGRV 6L y ϭ Jn(Į[), entonces del ejemplo 3 de la sección
i

11.4 sabemos que

d [xy ] a2x n2 0.
dx xy

Despues de multiplicar por 2xyЈ, esta ecuación se puede escribir como sigue:

d [xy ]2 (a2x2 n2) d [ y]2 0.
dx dx
,QWHJUDQGR SRU SDUWHV HVWH ~OWLPR UHVXOWDGR VREUH > b] entonces obtenemos

b ([xy ]2 ( 2x2 b

2 2 xy2 dx n2)y2) .
0
0

Puesto que y ϭ Jn(Į[), el límite inferior es cero ya que Jn(0) ϭ 0 para n Ͼ 0. Además
para n ϭ OD FDQWLGDG >xyЈ]2 ϩ Į2x2y2 es cero en x ϭ 0. Por lo que

b a2b2[Jn(ab)]2 (a2b2 n2)[Jn(ab)]2, (7)

2a2 xJn2(ax) dx
0

donde hemos utilizado la regla de la cadena para escribir yЈ ϭ Į-Јn(Į[).
Ahora consideremos tres casos de (1).

11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE O 453

CASO I: Si elegimos A ϭ 1 y B ϭ 0, entonces (1) es
2 2

Jn(ab) 0. (8)

+D\ XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV SRVLWLYDV xi ϭ Įib GH YHD OD ¿JXUD TXH GH-
¿QH ORV Įi como Įi ϭ xi͞b. Los eigenvalores son positivos y están dados por

i ai2 xi2> b2 . No se obtienen eigenvalores nuevos a partir de las raíces negativas
de la ecuación (8) porque Jn(Ϫx) ϭ (Ϫl)n Jn(x). (Vea la página 267) El número 0 no
es un eigenvalor para cualquier n porque Jn(0) ϭ 0 para n ϭ 1, 2, 3, . . . y J0(0) ϭ 1.
En otras palabras, si Ȝ ϭ 0, llegamos a la función trivial (que nunca es una ei-

genfunción) para n ϭ 1,2, 3, . . . y para n ϭ 0, Ȝ ϭ 0 (o de forma equivalente,

Į ϭ 0) no satisface a la ecuación en (8). Cuando la ecuación (6) se escribe en la forma

xJЈn (x) ϭ nJn(x) Ϫ xJn ϩ 1(x), de (7) y (8) se tiene que la norma cuadrada de Jn(Įix) es

'Jn (ai x)'2 b2 Jn2 1(ai b). (9)
2

CASO II: Si elegimos A ϭ K Ն 0, y B ϭ b, entonces (1) es
2 2

h Jn(ab) abJn(ab) 0. (10)

/D HFXDFLyQ WLHQH XQ LQ¿QLWR GH UDtFHV SRVLWLYDV xi ϭ Įib para cada entero positivo
n ϭ 1, 2, 3, . . . Como antes, los eigenvalores se obtienen de i a2i x2i > b2. l 0
no es eigenvalor para n ϭ 1, 2, 3, . . . Al sustituir ĮibJЈn (Įib) ϭ ϪK -n(Įib) en la
ecuación (7), encontramos que la norma cuadrada de Jn(Įix) es ahora

'Jn(ai x)'2 ai2b2 n2 h2 Jn2(aib). (11)
2a2i

CASO III: Si K ϭ 0 y n ϭ 0 en (10), los Įi VH GH¿QHQ D SDUWLU GH ODV UDtFHV GH

J0 (ab) 0. (12)

Aun cuando esta ecuación es sólo un caso especial de (10), es el único caso para el

cual Ȝ ϭ 0 es un eigenvalor. Para ver esto, observemos que para n ϭ 0 el resultado en
((u61n11)a)irmcauaípza12lnidcdeaoexqsĮ21ut>1aebϭú2JlЈ0t0q(iĮ,muEKea)ϭȜeϭ1cϭ0u0ayc0einsóenϭse,quĮu0n1i.veϭSaiiglne0enneytvmecaboaloamJrr.g1o(oPĮJ,eE0dr()o0eϭ)olaϭb0vn.1ioaPremmuseeannsotctoeut,raqindvuorieaapdlx,oa1cd(ϭoe4nm)cĮoliubsimuϭtoil0sizdeaesr

'1'2 b b2 (13)
2.
x dx

0

Para Įi Ͼ 0 podemos utilizar (11) con K ϭ 0 y n ϭ 0:

'J0 (ai x)'2 b2 J02(ai b). (14)
2

/D VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ UHVXPH ODV WUHV IRUPDV GH OD VHULH FRUUHVSRQGLHQWHV D OD
norma cuadrada.

DEFINICIÓN 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel

La serie de Fourier-Bessel de una función f GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR b)
está dada por:

i) f (x) ci Jn(ai x) (15)

i1

ci 2b
xJn(aix) f (x) dx, (16)
b2Jn2 1(ai b)
0

454 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

donde los Įi HVWiQ GH¿QLGRV SRU Jn(ĮE) ϭ 0.

ii) f (x) ci Jn(aix) (17)
(18)
i1
(19)
ci ai2b2 2ai2 b (20)
n2 h2 Jn2(aib)
x Jn(aix)f (x) dx,

0

donde los Įi HVWiQ GH¿QLGRV SRU K-n(ĮE)ϩ ĮE-Јn(ĮE) ϭ 0.

iii) f (x) c1 ci J0(aix)

i2

2b 2b
c1 x f (x) dx, ci xJ0(aix) f (x) dx,
b2 b 2 J02(ai b)
0 0

donde los Įi HVWiQ GH¿QLGRV SRU JЈ0(ĮE) ϭ 0.

CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER-BESSEL Las condiciones de
VX¿FLHQFLD SDUD OD FRQYHUJHQFLD GH XQD VHULH GH )RXULHU %HVVHO QR SUHVHQWDQ UHVWULF-
ciones particulares.

TEOREMA 11.5.1 Condiciones para la convergencia

Sean f y f Ј FRQWLQXDV SRU WUDPRV VREUH HO LQWHUYDOR > b], entonces, para toda
x en el intervalo (0, b) la serie de Fourier-Bessel de f converge a f (x) en cual-
quier punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier-
Bessel converge al promedio

f (xϩ) f (xϪ)
2

donde f (xϩ) y f (xϪ) denotan el límite de f sobre x por la derecha y por izquierda.

EJEMPLO 1 Desarrollo en serie de Fourier-Bessel

Desarrolle f (x) ϭ x, 0 Ͻ x Ͻ 3, en una serie de Fourier-Bessel utilizando funciones de
Bessel de primer orden que satisfagan la condición de frontera J1(3Į) ϭ 0.

SOLUCIÓN 8VDPRV OD HFXDFLyQ GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV ci están dados por la
ecuación (16) con b ϭ 3.

ci 2 3
32J22(3ai)
x2J1(aix) dx.

0

Para evaluar esta integral hacemos t ϭ Įi x, dx ϭ dt͞Įi, x2 t2> a2i, y usando la ecua-

ción (5) en la forma d [t2J2(t)] t2J1(t) :
dt

ci 2 3ai d [t2J2(t)] dt 2.
9a3i J22(3ai) 0 dt ai J2(3ai)

11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE O 455

Por tanto, el desarrollo deseado es

1
f (x) 2 1 ai J2(3ai) J1(aix).

i

Se le pedirá en el problema 1 de los ejercicios 11.5 que encuentre los primeros cuatro
valores de los Įi para la serie de Fourier-Bessel.

EJEMPLO 2 Desarrollo en serie de Fourier-Bessel

6L VH GH¿QHQ ORV Įi del ejemplo 1 con J1(3Į) ϩ Į-Ј1(3Į) ϭ 0, entonces lo único que cam-

bia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Multiplicando por 3 la condición

en la frontera se o3b, tbieϭne33yJ1n(3ϭĮ) ϩ 3Į-Ј1(3Į) ϭ 0, que ahora coincide con la ecuación
(10) cuando K ϭ 1. Por lo que, de las ecuaciones (18) y (17) se obtiene

respectivamente,

ci 18ai J2(3ai)
9ai2 8 J12(3ai)

y y f (x) 18 ai J2(3ai) J1(ai x).
3 9a2i 8 J12(3ai)
2.5 i 1
2
1.5 USO DE COMPUTADORAS Como las funciones de Bessel son “funciones incor-
1
0.5 poradas” en los SAC, es una tarea directa encontrar los valores aproximados de los

x eigenvalores Įi \ GH ORV FRH¿FLHQWHV ci en una serie de Fourier-Bessel. Por ejemplo,
0.5 1 1.5 2 2.5 3 en la ecuación (10) podemos considerar que xi ϭ Įib es una raíz positiva de la ecua-
ción K-n(x) ϩ xJЈn(x) ϭ 0. Así en el ejemplo 2 hemos usado un SAC para determinar
a) S5(x), 0 Ͻ x Ͻ 3 las cinco primeras raíces positivas, xi de 3J1(x) ϩ xJЈ1(x) ϭ 0 y a partir de esas raíces
1oC.bo9tn4eon7ce0im4e,nodsĮo3lolϭsascirxna3͞cíco3espϭrxiimϭ2e.9r3o5Įs7i5ey8ig,leoĮnsv4Įaϭil,ourtxei4sl͞izd3aemϭĮoi:s3Įn.19uϭ8e5v3xa18m͞3eynϭtĮe50u.ϭn98S3xA25͞C03, Į2 ϭ x2͞3 ϭ
y ϭ 5.02078.
3 para calcular

2 los valores numéricos de J2(3ai), J12(3 i), \ SRU ~OWLPR ORV FRH¿FLHQWHV ci. De esta
manera encontramos que la quinta suma parcial S (x) de la representación en serie de
1 5
Fourier-Bessel de f (x) ϭ x, 0 Ͻ x Ͻ 3 en el 2, es
x ejemplo

-1 S5(x) 4.01844 J1(0.98320x) 1.86937J1(1.94704x)
10 20 30 40 50 1.07106 J1(2.95758x) 0.70306 J1(3.98538x) 0.50343 J1(5.02078x).

b) S10(x), 0 Ͻ x Ͻ 50 (Q OD ¿JXUD D VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH S5(x) sobre el intervalo (0, 3). En la
¿JXUD O E KHPRV WUD]DGR OD JUi¿FD GH S10(x) sobre el intervalo (0, 50). Observe que
FIGURA 11.5.1 *Ui¿FDV GH GRV IXHUD GHO LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ OD VHULH QR FRQYHUJH D XQD H[WHQVLyQ SHULyGLFD
sumas parciales de una serie de Fourier- de f porque las funciones de Bessel no son funciones periódicas. Véanse los problemas
Bessel del ejemplo 2. 11 y 12 de los ejercicios 11.5.

11.5.2 SERIE DE FOURIER-LEGENDRE

Del ejemplo 4 de la sección 11.4, sabemos que el conjunto de polinomios de Legendre

{Pn(x)}, n ϭ 0, 1, 2, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x) ϭ 1 sobre el
LQWHUYDOR >Ϫ1, 1]. Además, se puede demostrar que la norma cuadrada de un polino-
mio Pn(x) depende de n en la siguiente forma:

'Pn(x)'2 1 2 1.
2n
Pn2(x) dx

1

El desarrollo de una función en serie ortogonal en términos de polinomios de Legendre
VH UHVXPH HQ OD VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ

456 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

DEFINICIÓN 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre

La serie de Fourier-Legendre de una función f GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR
(Ϫ1, 1) está dada por

f (x) cn Pn(x), (21)
(22)
n0

donde cn 2n 1 1
2
f (x)Pn(x) dx.

1

CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER-LEGENDRE En el siguiente teo-
UHPD VH SUHVHQWDQ ODV FRQGLFLRQHV GH VX¿FLHQFLD SDUD OD FRQYHUJHQFLD GH XQD VHULH GH
Fourier-Legendre.

TEOREMA 11.5.2 Condiciones de convergencia

Sean f y f Ј FRQWLQXDV SRU WUDPRV VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫ1, 1], entonces, para toda
x en el intervalo (Ϫ1, 1) la serie de Fourier-Legendre de f converge a f (x) en
cualquier punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de
Fourier-Legendre converge al promedio

f (x ) f (x )
2

donde f (xϩ) y f(xϪ) denotan el límite de f para x por la derecha y por la izquierda.

EJEMPLO 3 Desarrollo en una serie de Fourier-Legendre

Escriba los cuatro primeros términos distintos de cero de la serie de Fourier-

Legendre de

f (x) 0, 1x0
1, 0 x 1.

SOLUCIÓN En la pagina 271 se presentaron los primeros cinco polinomios de
Legendre. A partir de éstos y la ecuación (22) encontramos

11 11 1
c0 f (x)P0(x) dx 1 1 dx
2 2 2
1 0

c1 3 1 3 1 x dx 3
2 4
f (x)P1(x) dx 20 1

1

c2 51 f (x)P2(x) dx 5 1 1 (3x2 1) dx 0
2 2
2 1 1

0

c3 7 1 7 1 1 (5x3 3x) dx 7
2 2 16
f (x)P3 (x) dx 20 1

1

c4 91 f (x)P4(x) dx 9 1 1 (35x4 30x2 3) dx 0

2 1 1
20 8

11 1 11 1 1 (63x5 70x3 15x) dx 1321.
c5 f (x)P5(x) dx 1 8
2 2
1 0

Por tanto 1 3 7 11 .
f (x) 2 P0(x) 4 P1(x) 16 P3(x) 32 P5(x)

11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE O 457

y Al igual que las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre son funciones
incorporadas en programas de cómputo algebraicos como Maple y 0DWKHPDWLFD, por lo
1
0.8 TXH FDGD XQR GH ORV FRH¿FLHQWHV TXH DFDEDPRV GH HQOLVWDU VH SXHGH HQFRQWUDU XWLOL]DQGR
0.6
0.4 la aplicación de integración de esos programas. En realidad, usando un SAC encontra-
0.2
mos además que c ϭ 0 y c7 65 . La quinta suma parcial de la representación en
x forma de serie de 6 256 f GH¿QLGD HQ HO HMHPSOR HV HQWRQFHV

Fourier-Legendre de la función

-1 -0.5 0.5 1 1 3 7 11 65
S5(x) 2 P0(x) 4 P1(x) 16 P3(x) 32 P5(x) 256 P7(x).

FIGURA 11.5.2 Suma parcial de (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH S5(x) en el intervalo (Ϫ1, 1).
S5(x) de la serie de Fourier-Legendre del
ejemplo 3. FORMA ALTERNATIVA DE LA SERIE En sus aplicaciones, la serie de Fourier-

Legendre se presenta en una forma alternativa. Si se hace que x ϭ cos ș, entonces
x ϭ 1 implica que ș ϭ 0, mientras que x ϭ Ϫ1 implica que ș ϭ ʌ. Puesto que
dx ϭ Ϫsen ș Gș y las ecuaciones (21) y (22) se convierten respectivamente en

F( ) cnPn(cos ) (23)
(24)
n0

cn 2n 1 F( ) Pn(cos ) sen d ,

2 0

donde f (cos ș) se ha remplazado con F(ș).

EJERCICIOS 11.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-19.

11.5.1 SERIE DE FOURIER-BESSEL Tarea para el laboratorio de computación

11. a) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH y ϭ 3J (x) ϩ x JЈ(x)
1 1
En los problemas 1 y 2 utilice la tabla 6.4.1 de la sección 6.4.
en un intervalo tal, que se muestren las primeras cinco

1. Encuentre los primeros cuatro términos Įi Ͼ GH¿QLGRV intersecciones positivas con el eje x GH OD JUi¿FD
por J1(3Į) ϭ 0.
b) Use la aplicación para determinar raíces de su SAC
2. Encuentre los primeros cuatro términos Įi Ն GH¿QLGRV para aproximar las cinco primeras raíces xi de la ecua-
por JЈ0(2Į) ϭ 0. ción 3J1(x) ϩ x JЈ1(x)ϭ 0.

En los problemas 3-6, desarrolle f (x) ϭ 1, 0 Ͻ x Ͻ 2 en una c) Utilice los datos obtenidos en el inciso b) para encontrar
serie de Fourier-Bessel con funciones de Bessel de orden cero los cinco primeros valores positivos de Įi que satisfagan
que satisfagan la respectiva condición en la frontera. a 3J1(4Į) ϩ 4Į -Ј1(4Į) ϭ 0. (Vea el problema 7.)

3. J0(2Į) ϭ 0 0 4. J0(2a) 0 d) Si se le indica, encuentre los diez primeros valores
5. J0(2a) 2aJ0(2a) 6. J0(2a) aJ0(2a) 0 positivos de Įi.

En los problemas 7-10, desarrolle la función respectiva en 12. a) Utilice los valores de Įi del inciso c) del problema 11
una serie de Fourier-Bessel, usando funciones de Bessel del y un SAC para aproximar los valores de los primeros
mismo orden que el indicado en la condición en la frontera. FLQFR FRH¿FLHQWHV ci de la serie de Fourier-Bessel que
obtuvo en el problema 7.

7. f (x) ϭ 5x, 0 Ͻ x Ͻ 4, b) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV VXPDV
3J1 (4a) 4a J1 (4a) 0 parciales SN(x), N ϭ 1, 2, 3, 4, 5 de la serie de Fourier

-Bessel en el problema 7.

8. f (x) ϭ x2, 0 Ͻ x Ͻ 1, J2(Į) ϭ 0 c) 6 L VH OH LQGLFD WUDFH OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO
S10(x) sobre el intervalo (0, 4) y sobre (0, 50).

9. f (x) ϭ x2, 0 Ͻ x Ͻ 3, J0 (3a) 0 >Sugerencia: Problemas para analizar
t3 ϭ t2ؒ t.]
13. 6L ODV VXPDV SDUFLDOHV GHO SUREOHPD VH JUD¿FDQ HQ XQ
10. f (x) ϭ 1 Ϫ x2, 0 Ͻ x Ͻ 1, J0(Į) ϭ 0 intervalo simétrico como (Ϫ ¢ODV JUi¿FDV WHQGUtDQ
alguna simetría? Explique.

458 O CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER

14. a) ' LEXMH D PDQR XQD JUi¿FD GH D GyQGH VXSRQJD TXH La serie (25) se pueden también usar cuando f sólo está
convergería la serie del problema 3 sobre el intervalo
(Ϫ2, 2). GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR (QWRQFHV OD VHULH UHSUH-
senta a f sobre (0, 1) y en una extensión par de f sobre el
b) 'LEXMH D PDQR XQD JUi¿FD GH D GyQGH VXSRQJD
que convergería la serie sobre el intervalo (Ϫ4, 4) si intervalo (Ϫ1, 0).
los valores Įi HQ HO SUREOHPD IXHURQ GH¿QLGRV SRU 20. Demuestre que si f es una función impar en el intervalo
3J2(4Į) ϩ 4Į -Ј2(4Į) ϭ 0.
(Ϫ1, 1), las ecuaciones (21) y (22) se convierten respecti-

vamente en

11.5.2 SERIE DE FOURIER-LEGENDRE f (x) c2n 1P2n 1(x) (27)
(28)
En los problemas 15 y 16, escriba los primeros cinco términos n0

distintos de cero en el desarrollo de la función dada como serie 1

c2n 1 (4n 3) f (x)P2n 1(x) dx.
0

de Fourier-Legendre. Si se le indica, utilice un SAC como una La serie (27) también se pueden utilizar cuando f sólo

D\XGD SDUD HYDOXDU ORV FRH¿FLHQWHV 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD HVWi GH¿QLGD VREUH HO LQWHUYDOR (QWRQFHV OD VHULH
JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(x). representa a f en (0, 1) y a un desarrollo impar de f sobre

0, 1x0 el intervalo (Ϫ1, 0).
x, 0x1
15. f (x)

16. f (x) ϭ ex, Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 En los problemas 21 y 22 escriba los primeros cuatro términos
distintos de cero en el desarrollo indicado de la función dada.
17. PcLPe1o2s((sxcP)tor0esϭ(scop)xsriymș)41ePϭ(r3o2(csx1op)soy2liPn121o((m3cox1i2so)s.șd)e1ϭ)L.ecSgoiesnxșd.rϭeDsceoomnsuPșe0s,(txre)enϭtqoun1e-, ¿Qué función representa la serie sobre el intervalo (Ϫ1, 1)?
8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S4(x).
18. Utilice los resultados del problema 17 para encontrar un
21. f (x) ϭ x, 0 Ͻ x Ͻ 1; use (25)
desarrollo en serie de Fourier-Legendre ecuación (23) de
F(ș) ϭ 1 Ϫ cos 2ș. 22. f (x) ϭ 1, 0 Ͻ x Ͻ 1; use (27)

19. Un polinomio de Legendre Pn(x) es una función par o impar, Problemas para analizar
dependiendo de si n es un par o impar. Demuestre que si f
es una función par sobre el intervalo (Ϫ1, 1), entonces las 23. Analice: ¿por qué un desarrollo de Fourier-Legendre
ecuaciones (21) y (22) se convierten, respectivamente en GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO TXH HVWi GH¿QLGD VREUH HO
intervalo (Ϫ HV QHFHVDULDPHQWH XQD VHULH ¿QLWD"
f (x) c2n P2n(x) (25)
(26) 24. Utilizando sólo sus conclusiones del problema 23, es
n0 decir, sin utilizar la ecuación (22), encuentre la serie de
Fourier-Legendre de f (x) ϭ x2. Y de la serie f (x) ϭ x3.
1

c2n (4n 1) f (x)P2n(x) dx.
0

REPASO DEL CAPÍTULO 11 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-19
En los problemas 1-6 complete el espacio en blanco o conteste
cierto o falso sin consultar el libro. 5. Ȝ ϭ 0 nunca es un eigenvalor de un problema de Sturm-
Liouville. _______
1. Las funciones f (x) ϭ x2 Ϫ 1 y g(x) ϭ x5 son ortogonales
VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫʌ, ʌ]. _______ 6. Si la función f (x) x 1, 1x0
x, 0 x 1 se desarrolla
2. El producto de una función impar f por otra función impar
g es _______. en una serie de Fourier, la serie converge a _______ en
x ϭ Ϫ1, a _______ en x ϭ 0 y a _______ en x ϭ 1.
3. Para desarrollar f (x) ϭ ͉x͉ ϩ 1, Ϫʌ Ͻ x Ͻ ʌ en una serie
trigonométrica adecuada, se usaría una serie _____. 7. Suponga que la función f (x) ϭ x2 ϩ 1, 0 Ͻ x Ͻ 3 se de-

4. y ϭ 0 nunca es una eigenfunción de un problema de sarrolla en una serie de Fourier, una serie de cosenos y
Sturm-Liouville. _______
una serie de senos. Dé el valor al cual cada serie converge
en x ϭ 0.

REPASO DEL CAPÍTULO 11 O 459

8. ¿Cuál es la eigenfunción correspondiente para el pro- 18. Considere la parte de la función periódica f que se mues-
blema con valores en la frontera yЉ ϩ Ȝ\ ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, WUD HQ OD ¿JXUD 5 'HVDUUROOH f en una serie de Fourier
y(ʌ͞2) ϭ 0 para Ȝ ϭ 25? adecuada.

9. Ecuación diferencial de Chebyshev y
2

(1 x2)y x y n2y 0

tiene una solución polinomial y ϭ Tn(x) para n ϭ 0, 1, 2, −4 −2 2 4 6x
(VSHFL¿TXH OD IXQFLyQ GH SHVR w(x) y el intervalo sobre
el que el conjunto de polinomios de Chebyshev {Tn(x)} es FIGURA 11.R.1 *Ui¿FD GHO SUREOHPD

ortogonal. Dé una relación de ortogonalidad. 19. Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del pro-
blema con valores en la frontera
10. El conjunto de polinomios de Legendre {Pn(x)}, donde x2y xy 9 y 0, y (1) 0, y(e) 0.
P (x) ϭ 1, P (x) ϭ x, . . . es ortogonal respecto a la fun-
0 w1 (x)
de peso ϭ VREUH HO LQWHUYDOR >Ϫ1, 1]. Explique 20. Dé una relación de ortogonalidad para las eigenfunciones
ción del problema 19.

por qué 1 1 Pn(x) dx 0 para n Ͼ 0.

11. Sin hacer operaciones, explique por qué la serie de 1, 0 x 2
0, 2 x 4, en una serie de
cosenos de f (x) ϭ cos2x, 0 Ͻ x Ͻ ʌ HV OD VHULH ¿QLWD 21. Desarrolle f (x)

f (x) 1 1 cos 2x. Fourier-Bessel y utilice funciones de Bessel de orden
2 2 cero que satisfagan la condición a la frontera J0(4Į) ϭ 0.
22. Desarrolle la función y ϭ x4 ± Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1, en una serie
12. a) Demuestre que el conjunto de Fourier-Legendre.

sen 2L x, sen 3 x, sen 5 x, . . . 23. Suponga que la función y ϭ f (x HVWi GH¿QLGD VREUH HO
2L 2L LQWHUYDOR ±ϱ, ϱ).
a) Compruebe la identidad fe(x) ϩ fo(x), donde
HV RUWRJRQDO VREUH HO LQWHUYDOR > L].
b) Encuentre la norma de cada una de las funciones del f(x) f ( x) f (x) f( x)
inciso a). Construya un conjunto ortonormal. fe(x) 2 y fo(x) 2.

13. Desarrolle f(x) ϭ ͉x͉ Ϫ x, Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 1 en una serie de b) Demuestre que fe es una función par y fo es una fun-
Fourier. ción impar.

14. Desarrolle f (x) ϭ 2x2 Ϫ 1, Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 en una serie de 24. La función f(x)ϭ ex no es función par ni impar. Utilice el
Fourier. problema 23 para escribir f como la suma de una función
SDU \ GH XQD IXQFLyQ LPSDU ,GHQWL¿TXH fe y fo.
15. Desarrolle f(x) ϭ ex, 0 Ͻ x Ͻ 1.
25. Suponga que f es una función de periodo 2p integrable.
a) en una serie de cosenos b) en una serie de senos. Demuestre que para cualquier número a,

16. En los problemas 13, 14 y 15, dibuje la extensión perió-
dica de f a la que converge cada serie.

17. Analice: ¿cuál de las dos series de Fourier de f en el pro-
blema 15 converge a

F(x) f (x), 0 x 1 2p a 2p
f ( x), 1 x 0
f(x) dx f(x) dx.

0 a

sobre el intervalo (Ϫ1, 1)?

12

PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
EN COORDENADAS RECTANGULARES

© Brian A Jackson/Shutterstock.com

12.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables
12.2 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera
12.3 Ecuación de calor
12.4 Ecuación de onda
12.5 Ecuación de Laplace
12.6 Problemas con valores en la frontera
12.7 Desarrollos en series ortogonales
12.8 Problemas con dimensiones superiores
REPASO DEL CAPÍTULO 12

En éste y en los dos capítulos siguientes trataremos un par de procedimientos
que se utilizan para resolver ecuaciones en derivadas parciales que involucran
distribuciones de temperatura, vibraciones y potenciales. Estos problemas,
llamados problemas con valores en la frontera, se describen con ecuaciones en
derivadas parciales de segundo orden relativamente simples. El objetivo de estos
procedimientos es encontrar soluciones de una EDP reduciéndola a una (capítulo 14)
o más (capítulos 12 y 13) ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.

460

12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES O 461

12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), al igual que las diferenciales ordina-
ULDV VH SXHGHQ FODVL¿FDU HQ OLQHDOHV R QR OLQHDOHV 'H PDQHUD VLPLODU TXH HQ XQD ('2 OD YDULDEOH GHSHQ-
diente y sus derivadas parciales sólo se presentan elevadas a la primera potencia en una EDP lineal. En
lo que resta de este libro en la mayoría de los casos sólo trataremos con EDP lineales de segundo orden.

ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL LINEAL Si hacemos que u denote la varia-
ble dependiente y que x y y denoten las variables independientes, entonces la forma

general de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden está dada por

A −2u 1 B −2u 1 C −2u 1 D −u 1 E −u 1 Fu 5 G, (1)
−x2 −x −y −y2 −x −y

GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV A, B, C, . . . , G son funciones de x y y. Cuando G(x, y) ϭ 0, la
ecuación (1) se llama homogénea; en cualquier otro caso se dice que es no homogénea.

EJEMPLO 1 EDP de segundo orden lineales

Las ecuaciones

−2u 1 −2u 5 0 y −2u 2 −u 5 xy
−x2 −y2 −x2 −y

son ejemplos de EDP de segundo orden lineales. La primera ecuación es homogénea
mientras que la segunda no es homogénea

SOLUCIÓN DE UNA EDP Una solución de una ecuación diferencial parcial (1)
es una función u(x, y) de dos variables independientes que tiene todas las derivadas

parciales que se presentan en la ecuación y que satisface la ecuación en alguna región
del plano xy.

No es nuestra intención examinar procedimientos para encontrar soluciones gene-
rales de ecuaciones diferenciales parciales lineales. Con frecuencia no sólo es difícil

obtener una solución general de la EDP lineal de segundo orden, sino que usualmente

una solución general tampoco es útil en las aplicaciones, por lo que nos concentrare-
mos en encontrar soluciones particulares de algunas de las EDP lineales más impor-

tantes, esto es, ecuaciones que se presentan en varias aplicaciones.

SEPARACIÓN DE VARIABLES Aunque hay varios métodos que pueden ensayarse

para encontrar soluciones particulares de una EDP lineal, el que nos interesa por el mo-

mento se llama método de separación de variables. Con este método se busca una
solución particular en la forma de producto de una función de x por una función de y:

u(x, y) X(x)Y( y).

Con esta hipótesis algunas veces es posible reducir una EDP lineal con dos variables
HQ GRV ('2 $Vt REVHUYDPRV TXH

u X Y, u XY , 2u 2u
x y x2 X Y, y2 X Y ,

donde las primas denotan derivación ordinaria.

462 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

EJEMPLO 2 Separación de variables

2u 4 u
Encuentre las soluciones producto de x2 .
y

SOLUCIÓN Sustituyendo u(x, y) ϭ X(x)Y(y) en la ecuación diferencial parcial se

obtiene

X Y 4XY .

Después, al dividir ambos lados por 4XY, hemos separado las variables:

X Y .
4X Y

Puesto que el miembro izquierdo de esta última ecuación es independiente de y e igual
al miembro derecho, que es independiente de x, concluimos que ambos lados son in-
dependientes tanto de x como de y. En otras palabras, cada lado de la ecuación debe
ser una constante. En la práctica es conveniente escribir esta constante de separación

real como ϪȜ (usando Ȝ se obtienen las mismas soluciones).

De las dos igualdades

XY

4X Y

obtenemos las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

X 4X 0 y Y Y 0. (2)

Ahora, como en el ejemplo 1 de la sección 11.4, consideraremos tres casos para Ȝ:
cero, negativo o positivo, es decir Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0, y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, donde Į Ͼ 0.

CASO I Si Ȝ ϭ HQWRQFHV ODV GRV ('2 HQ VRQ

X0 y Y 0.

Resolviendo cada ecuación (digamos, por integración), encontramos que X ϭ c ϩ cx
1 2
y Y ϭ c3. Por lo que una solución producto particular de la EDP es

u XY (c1 c2 x)c3 A1 B1x, (3)

donde hemos sustituido cc y cc por A y B1, respectivamente.
13 23 1

CASO II Si Ȝ ϭ ϪĮ2, entonces las ED en (2) son

X 4a2X 0 y Y a2Y 0.

A partir de sus soluciones generales

X c4 cosh 2 x c5 senh 2 x y Y c6e 2y

obtenemos otra solución producto particular de la EDP,

u X Y (c4 cosh 2 x c5 senh 2 x)c6e 2y

o u A2e 2y cosh 2 x B2e 2y senh 2 x, (4)

donde A ϭ cc y B ϭ c5c6.
2 46 2

CASO III Si Ȝ ϭ Į2, entonces las ED

X 4 2X 0 y Y 2Y 0

y sus soluciones generales y Y c9e 2y
X c7 cos 2 x c8 sen 2 x

12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES O 463

dan aún otra solución particular

u A3e 2y cos 2 x B3e 2y sen 2 x, (5)

donde A ϭ cc y B ϭ c8c9.
3 79 2

Se deja como ejercicio comprobar que las soluciones (3), (4) y (5) satisfacen la EDP
dada. Vea el problema 29 en los ejercicios 12.1.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente teorema es similar al teorema 4.1.2
y se conoce como principio de superposición.

TEOREMA 12.1.1 Principio de superposición

Si u1, u2, . . . , uk son soluciones de una ecuación diferencial parcial lineal ho-
mogénea, entonces la combinación lineal

u c1u1 c2u2 ck uk,

donde los ci, i ϭ 1, 2, . . . , k, son constantes, es también una solución.

(Q OR TXH UHVWD GHO FDStWXOR VXSRQGUHPRV TXH VLHPSUH TXH KD\D XQ FRQMXQWR LQ¿-

nito u1, u2, u3, . . . , de soluciones de una ecuación lineal homogénea, se puede construir
otra solución, u IRUPDQGR OD VHULH LQ¿QLWD

u ckuk ,

k1

donde los ci, i ϭ 1, 2, . . . son constantes.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Una ecuación diferencial parcial lineal
GH VHJXQGR RUGHQ FRQ GRV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV \ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV VH
SXHGH FODVL¿FDU HQ XQR GH ORV WUHV WLSRV (VWD FODVL¿FDFLyQ VyOR GHSHQGH GH ORV FRH¿-
cientes de las derivadas de segundo orden. Por supuesto, suponemos que al menos uno
GH ORV FRH¿FLHQWHV A, B y C es distinto de cero.

DEFINICIÓN 12.1.1 &ODVL¿FDFLyQ GH HFXDFLRQHV

La ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden

A 2u B 2u C 2u D u E u Fu 0,
x2 xy y2 x y

donde A, B, C, D, E, F y G son constantes reales, se dice que es

hiperbólica si B2 Ϫ4AC Ͼ 0,
parabólica si B2 Ϫ4AC ϭ 0,
elíptica si B2 Ϫ4AC Ͻ0.

EJEMPLO 3 &ODVL¿FDFLyQ GH ('3 OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ

&ODVL¿TXH ODV HFXDFLRQHV VLJXLHQWHV

2u u 2u 2u 2u 2u
a) 3 x2 y b) x2 y2 c) x2 y2 0

464 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

SOLUCIÓN a) Escribimos la ecuación dada como

3 2u u 0,
x2 y

SRGHPRV KDFHU ODV LGHQWL¿FDFLRQHV A ϭ 3, B ϭ 0 y C ϭ 0. Puesto que B2 Ϫ 4AC ϭ 0,
la ecuación es parabólica.

b) Reescribimos la ecuación como
2u 2u
x2 y2 0,

vemos que A ϭ 1, B ϭ 0, C ϭ Ϫ1, y B2 Ϫ 4AC ϭ Ϫ4(1)(Ϫ1) Ͼ 0. La ecuación es
hiperbólica.

c) Con A ϭ 1, B ϭ 0, C ϭ 1, y B2 Ϫ 4AC ϭ Ϫ4(1)(1) Ͻ 0 la ecuación es elíptica.

COMENTARIOS

i) En el caso de que usted se lo pregunte, la separación de variables no es un
método general para encontrar soluciones particulares; algunas ecuaciones di-
ferenciales parciales lineales son simplemente no separables. Se le propone que
compruebe que la suposición u ϭ XY no conduce a una solución para la EDP
lineal 2u x2 u y x.
ii 8QD H[SOLFDFLyQ GHWDOODGD GH SRU TXp TXHUUtDPRV FODVL¿FDU XQD ('3 OLQHDO
de segundo orden como hiperbólica, parabólica o elíptica está fuera del al-
cance de este libro, pero al menos usted debería estar consciente que esta cla-
VL¿FDFLyQ WLHQH LPSRUWDQFLD SUiFWLFD 9DPRV D UHVROYHU DOJXQDV ('3 VXMHWDV
sólo a condiciones de frontera y otras sujetas tanto a condiciones de frontera
como a condiciones iniciales; las clases de condiciones que son apropiadas
para una ecuación dada dependen de si la ecuación es hiperbólica, parabólica
o elíptica. En relación con este tema, veremos en el capítulo 15 que los méto-
GRV GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD ODV ('3 OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ GL¿HUHQ GH
DFXHUGR FRQ OD FODVL¿FDFLyQ GH OD HFXDFLyQ

EJERCICIOS 12.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20.

En los problemas 1-16 utilice separación de variables para en- 12. a2 2u 2u u
contrar, de ser posible, soluciones producto para la ecuación x2 t2 2 k t , k 0
diferencial parcial dada.

1. u u u 3 u 0 2u 2u 0 1144.. xx22 22uu 2u 0
x y 2. x y 13. x2 y2 xx22 y2

3. ux ϩ uy ϭ u 4. ux ϭ uy ϩ u 15. uxx ϩ uyy ϭ u 16. a2uxx Ϫ g ϭ utt, g una constante

5. x u y u 6. y u x u 0 (Q ORV SUREOHPDV FODVL¿TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDU-
x y x y
cial dada como hiperbólica, parabólica o elíptica.

2u 2u 2u 0 2u u 0 2u 2u 2u 0
7. x2 xy y2 8. y x y 17. x2 xy y2

9. k 2u u ut , k 0 2u ut , k 0 2u 2u 2u
x2 10. k x2 18. 3 x2 5 x y y2 0

11. a2 2u 2u 2u 6 2u 9 2u 0
x2 t2 19. x2 xy y2

12.2 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 465

2u 2u 2u 28. 2u 1 u 1 2u 0;
20. x2 x y 3 y2 0 r2 r r r2 2

2u 2u u (c1 cos c2 sen )(c3r c4r )
21. x2 9 x y
29. Compruebe que cada uno de los productos u ϭ XY en
2u 2u 2 u 0 las ecuaciones (3), (4) y (5) satisfacen la EDP lineal de
22. x y y2 x segundo orden del ejemplo 1.

2u 2 2u 2u u 6u 0 30. /D GH¿QLFLyQ JHQHUDOL]D ODV ('3 OLQHDOHV FRQ
23. x2 xy y2 xy FRH¿FLHQWHV TXH VRQ IXQFLRQHV GH x y y. Determine las
regiones del plano xy para las cuales la ecuación

2u 2u 2u 2u 2u x y2 u 0
24. x2 y2 u (xy 1) x2 (x 2y) x y y2

2u 2u es hiperbólica, parabólica o elíptica.
x2 t2
25. a2 Problemas para analizar

2u u, k 0 En los problemas 31 y 32 analice si se pueden encontrar
26. k x2 t soluciones producto u ϭ X(x)Y(y) para la ecuación dife-
rencial parcial dada. [Sugerencia: Aplique el principio de
En los problemas 27 y 28 demuestre que la ecuación diferen- superposición.]
cial parcial dada tiene la solución de producto indicada.
2u
27. k 2u 1 u u; 31. x2 u 0
u r2 r r t
2u u
e k 2t c1J0( r) c2Y0( r) 32. 0

xy x

12.2 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

INTRODUCCIÓN No vamos a resolver algo en esta sección. Simplemente vamos a analizar los

tipos de ecuaciones diferenciales parciales y los problemas con valores en la frontera con los que

estaremos trabajando en lo que resta de este capítulo así como en los capítulos 13-15. Las palabras
problema con valores en la frontera tienen una connotación ligeramente diferente de la que tuvieron
en las secciones 4.1, 4.3 y 5.2. Si por ejemplo, u(x, t) es una solución de una EDP, donde x representa
una dimensión espacial y t representa al tiempo, entonces podemos determinar el valor de u, o de
Ѩu͞Ѩx o una combinación lineal de u y Ѩu͞Ѩx en una x dada, así como determinar la u y Ѩu͞Ѩt en un
tiempo t dado (usualmente, t ϭ 0). En otras palabras, “un problema con valores en la frontera” puede
consistir en una EDP, con condiciones en la frontera y con condiciones iniciales.

ECUACIONES CLÁSICAS Consideraremos principalmente la aplicación del mé-
todo de separación de variables para encontrar soluciones producto de las siguientes
ecuaciones clásicas de la física matemática:

2u ut , k0 (1)
k x2

a2 2u 2u (2)
x2 t2

2u 2u 0 (3)
x2 y2

o ligeras variaciones de estas ecuaciones. Las EDP (1), (2) y (3) se conocen, respecti-

vamente, como ecuación de calor unidimensional, ecuación de onda unidimensio-

nal y forma bidimensional de la ecuación de Laplace. “Unidimensional” en el caso
GH ODV HFXDFLRQHV \ VH UH¿HUH DO KHFKR GH TXH x denota una variable espacial,

466 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

mientras que la t UHSUHVHQWD HO WLHPSR ³ELGLPHQVLRQDO´ HQ VLJQL¿FD TXH WDQWR x
como y son variables espaciales. Si compara las ecuaciones (1) a (3) con la forma
lineal del teorema 12.1.1 (con t jugando el papel del símbolo y), observe que la ecua-

ción de calor (1) es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de

Laplace es elíptica. Esta observación será importante en el capítulo 15.

Sección transversal del área A ECUACIÓN DE CALOR /D HFXDFLyQ VH SUHVHQWD HQ OD WHRUtD GH ÀXMR GH FDORU

0 x x + Δx L x es decir, transferencia de calor por conducción en una varilla o en un alambre delgado.
FIGURA 12.2.1 Flujo de calor La función u(x, t) representa la temperatura en un punto x a lo largo de la varilla en
unidimensional. algún tiempo t. Los problemas en vibraciones mecánicas con frecuencia conducen a la
HFXDFLyQ GH RQGD 3DUD ¿QHV GH DQiOLVLV XQD VROXFLyQ u(x, t) de (2) representará el
desplazamiento de una cuerda idealizada. Por último, una solución u(x, y) de la ecuación

de Laplace (3) se puede interpretar como el estado estable (es decir independiente del

tiempo) de la distribución de temperaturas a través de una placa delgada bidimensional.

,QFOXVR DXQTXH KDJDPRV PXFKDV VXSRVLFLRQHV GH VLPSOL¿FDFLyQ YDOH OD SHQD YHU

cómo surgen ecuaciones tales como la (1) y la (2).
Suponga una varilla delgada circular de longitud L que tiene una sección trans-

versal A y que coincide con el eje de las x en el intervalo [0, L@ 9HD OD ¿JXUD

Supongamos lo siguiente:

• (O ÀXMR GH FDORU GHQWUR GH OD YDULOOD VyOR RFXUUH HQ OD GLUHFFLyQ x.
• /D VXSHU¿FLH FXUYD R ODWHUDO GH OD YDULOOD HVWi DLVODGD HV GHFLU QR HVFDSD FDORU

GH HVWD VXSHU¿FLH

• No hay calor generado dentro de la varilla.
• La varilla es homogénea, es decir, su masa por unidad de volumen ȡ es

constante.
• (O FDORU HVSHFt¿FR Ȗ y la conductividad térmica K del material de la varilla

son constantes.

Para deducir la ecuación diferencial parcial que satisface la temperatura u(x, t),
necesitamos dos leyes empíricas de conducción de calor:

i) La cantidad de calor Q en un elemento de masa m es

Q mu, (4)

donde u es la temperatura del elemento.

ii) La UDSLGH] GH ÀXMR GH FDORU 4t a través de la sección transversal que
VH LQGLFD HQ OD ¿JXUD 12.2.1 es proporcional al área A de la sección
transversal y a la derivada parcial respecto a x de la temperatura:

Qt KAux. (5)

3XHVWR TXH HO FDORU ÀX\H HQ OD GLUHFFLyQ GH OD GLVPLQXFLyQ GH OD WHPSHUDWXUD VH XWL-
liza el signo menos para asegurar que Qt es positivo para ux Ͻ ÀXMR GH FDORU D OD
derecha) y negativo para ux Ͼ ÀXMR GH FDORU D OD L]TXLHUGD 6L OD SRUFLyQ FLUFXODU GH
OD YDULOOD PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD HQWUH x y x ϩ ⌬x es muy delgada, entonces
u(x, t) se puede considerar la temperatura aproximada en cada punto en el intervalo.

Ahora la masa de la rebanada es m ϭ ȡ(A ⌬x), y por tanto se tiene de (4) que la canti-

dad de calor en ésta es

Q A x u. (6)

$GHPiV FXDQGR ÀX\H FDORU HQ OD GLUHFFLyQ x positiva, vemos de (5) que el calor
aumenta en la porción a la rapidez neta

KAux(x, t) [ KAux(x x, t)] KA [ux(x x, t) ux(x, t)]. (7)
(8)
Derivando (6) respecto a t, vemos que la rapidez neta está también dada por (9)

Qt A x ut.

Igualando (7) y (8) se obtiene

K ux(x x, t) ux(x, t) ut.
x

12.2 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 467

Finalmente, tomando el límite de (9) conforme ⌬ x A 0, obtenemos (1) en la forma*
(K͞Ȗȡ)uxx ϭ ut. Se acostumbra hacer k ϭ K͞Ȗȡ y llamar difusividad térmica a esta

constante positiva.

u u(x, t) ECUACIÓN DE ONDA Considere una cuerda de longitud L, como una cuerda de
Δs guitarra, tensada entre dos puntos en el eje x, por ejemplo, en x ϭ 0 y en x ϭ L. Cuando
la cuerda comienza a vibrar, suponemos que el movimiento es en el plano xu de tal ma-
0 x x + Δx Lx nera que cada punto sobre la cuerda se mueve en una dirección perpendicular al eje x
YLEUDFLRQHV WUDQVYHUVDOHV &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D KDJDPRV TXH u(x, t)
a) Segmento de cuerda denote el desplazamiento vertical de cualquier punto sobre la cuerda medida desde el
eje x para t Ͼ 0. Además suponemos que:
u T2
Δs θ2 • /D FXHUGD HV SHUIHFWDPHQWH ÀH[LEOH
• La cuerda es homogénea, es decir, su masa por unidad de longitud ȡ es una
θ1 x + Δx x
constante.
T1 • Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la
x
cuerda.
b) Estiramiento de un segmento
• La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos.
FIGURA 12.2.2 &XHUGD ÀH[LEOH • La tensión T actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos los
anclada en x ϭ 0 y en x ϭ L.
puntos.

• La tensión es grande comparada con la fuerza de la gravedad.

• No actúa otra fuerza externa sobre la cuerda.

alactcúua$rvsKaoRbsUroDeb HreQel OeeDll e¿imnJteXenrUvDto a lc oo [ rxr , esx Epϩ o nO⌬DdVix eW]Hn. QtPeVaL⌬rRaQsșHd1Ve yTlșa1 2ycpuTeeq2rdusaoeñneastsaenlnagtfeounnetcerezssaanleotsaevxetrrteimcaolsqduee

T sen 2 T sen 1 T tan 2 T tan 1

T [ux(x x, t) ux(x, t)],†

[dxo,nxdϩe T⌬ϭx],͉Tpo1͉rϭlo ͉T2͉. Ahora ȡ ⌬s ഠ ȡ ⌬x es la masa de la cuerda sobre el intervalo
que de la segunda ley de Newton se obtiene

T [ux(x x, t) ux(x, t)] x utt

ux(x x, t) ux(x, t) T utt.
x
o

Temperatura como una Si el límite se toma como ⌬x A 0, la última ecuación se convierte en uxx ϭ (ȡ͞T) utt.
función de la posición Termómetro Ésta desde luego es (2) con a2 ϭ T͞ȡ.

sobre la placa caliente

y 220 ECUACIÓN DE LAPLACE Aunque no presentamos su deducción, la ecuación de
200
180 Laplace en dos y tres dimensiones se presenta en problemas independientes del tiempo
160
140 que implican potenciales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en me-
120 FiQLFD GH ÀXLGRV $GHPiV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH /DSODFH WDPELpQ VH SXHGH
100 interpretar como una distribución de temperaturas de estado estable. Como se muestra en
80 OD ¿JXUD XQD VROXFLyQ u(x, y) de la ecuación (3) podría representar la temperatura
que varía de punto a punto, pero no con el tiempo, de una placa rectangular. La ecuación
60 de Laplace en dos dimensiones y en tres dimensiones se abrevia como 2u 0, donde

40

20

0

–20
?F

(x, y)

H

xW

O

2u 2u 2u y 2u 2u 2u 2u
x2 y2 x2 y2 z2

FIGURA 12.2.3 Temperaturas de se conocen como el Laplaciano en dos y tres dimensiones, respectivamente, de una
estado estable en una placa rectangular. función u.

* /D GH¿QLFLyQ GH OD VHJXQGD GHULYDGD SDUFLDO HV uxx lim ux(x x, t) ux(x, t).
x
x→0

† tan ș2 ϭ ux(x ϩ ⌬x, t) y tan ș1 ϭ ux(x, t) son expresiones equivalentes para la pendiente.

468 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Con frecuencia deseamos encontrar soluciones de las ecuaciones (1), (2) y (3) que
satisfacen ciertas condiciones adicionales.

u CONDICIONES INICIALES Ya que las soluciones de (1) y (2) dependen del
tiempo t, podemos indicar qué pasa en t ϭ 0; es decir podemos dar condiciones inicia-
les (CI). Si f (x) denota la distribución inicial de temperaturas en toda la varilla que se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV XQD VROXFLyQ u(x, t) de (1) debe satisfacer la única
condición inicial u(x, 0) ϭ f (x), 0 Ͻ x Ͻ L. Por otra parte, para una cuerda que vibra
SRGHPRV HVSHFL¿FDU VX GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO R OD IRUPD f (x) así como su velocidad
inicial g(x). En términos matemáticos buscamos una función u(x, t) que satisface (2) y

las dos condiciones iniciales:

h u=0 L x u 0 x L. (10)
en x = L u(x, 0) f (x), t t 0 g(x),
0 u=0
en x = 0

FIGURA 12.2.4 Cuerda pulsada. 3RU HMHPSOR VH SRGUtD SXOVDU OD FXHUGD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD \ VROWDUOD
a partir del reposo (g(x) ϭ 0).

CONDICIONES FRONTERA /D FXHUGD GH OD ¿JXUD VH ¿MD DO HMH GH ODV x en
x ϭ 0 y en x ϭ L durante todo el tiempo. Interpretamos esto utilizando las dos condi-

ciones de frontera (CF):

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0.

2EVHUYH TXH HQ HVWH FRQWH[WR OD IXQFLyQ f en (10) es continua, y por tanto, f (0) ϭ 0
y f (L) ϭ 0. En general, hay tres tipos de condiciones de frontera asociadas con las
HFXDFLRQHV \ (Q XQD IURQWHUD SRGHPRV HVSHFL¿FDU ORV YDORUHV GH uno de

los siguientes:

i) u, ii ) u, o iii) u hu, h una constante.
n n

Aquí Ѩu͞Ѩn denota la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la direc-
ción perpendicular a la frontera). Una condición de frontera del primer tipo i) se llama
condición de Dirichlet; una condición de frontera del segundo tipo ii) se llama condi-
ción de Neumann; y una condición de frontera del tercer tipo iii) se llama condición
de Robin. Por ejemplo, para t Ͼ 0 una condición típica del extremo derecho de la

YDULOOD HQ OD ¿JXUD SXHGH VHU

i) u(L, t) u0, u0 una constante,
u o bien

ii) 0
xx L

iii) u h(u (L, t) um), h 0 y um constantes.
xx L

La condición i)Ј simplemente establece que la frontera x ϭ L se mantiene por algún
medio a una temperatura u0 constante para t Ͼ 0. La condición ii)Ј indica que la fron-
tera x ϭ L está aislada 'H OD OH\ HPStULFD GH WUDQVIHUHQFLD GH FDORU HO ÀXMR GH FDORU

a través de la frontera (es decir, la cantidad de calor por unidad de área por unidad

de tiempo conducida a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada
normal Ѩu͞Ѩn de la temperatura u. Por lo que cuando la frontera x ϭ L no está térmi-
FDPHQWH DLVODGD QR ÀX\H FDORU GHQWUR R IXHUD GH OD YDULOOD DVt

u
x x L 0.

Podemos interpretar iii)Ј como que el calor se pierde en el extremo derecho de la
varilla por estar en contacto con un medio, como aire o agua, que se mantiene a una
WHPSHUDWXUD FRQVWDQWH 'H OD OH\ GHO HQIULDPLHQWR GH 1HZWRQ HO ÀXMR GH FDORU KDFLD

12.2 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 469

fuera de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura u(L, t) en la fron-

tera y la temperatura um GHO PHGLR FLUFXQGDQWH 2EVHUYDPRV TXH VL VH SLHUGH FDORU HQ
el extremo izquierdo de la varilla, la condición de frontera es

u h(u(0, t) um).
xx 0

El cambio de signo algebraico es consistente con la suposición de que la varilla está a
una temperatura más alta que el medio que rodea a los extremos por lo que u(0, t) Ͼ um
y u(L, t) Ͼ um. En x ϭ 0 y en x ϭ L las pendientes ux(0, t) y ux(L, t) deben ser positiva y
negativa, respectivamente.

3RU VXSXHVWR HQ ORV H[WUHPRV GH OD YDULOOD SRGHPRV HVSHFL¿FDU FRQGLFLRQHV GLIH-

rentes al mismo tiempo. Por ejemplo, podríamos tener

u
x x 0 0 y u(L, t) u0, t 0.

co2ndEiVcHiUóYnHdPeRfVr oTnXtHe rOaD eFsRQnGoLFhLoymQ oGgHé InUeRaQ.WHLUaD cHoQn id)Јiceisónhodme forgoénnteeraasiii)uЈ0 ϭ 0; si u 0,
es 0

la homogénea;

iii)Ј es homogénea si um ϭ 0 y no homogénea si um 0.

PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Problemas como

Resolver: a2 2u 2tu2 , 0 x L, t 0
Sujeto a: x2

(CF) u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 (11)

(CI) u(x, 0) f (x), u g(x), 0 x L
y tt0

Resolver: 2u 2u 0, 0 x a, 0 y b
Sujeto a: x2 y2

(CF) u 0, u 0, 0 y b (12)
xx 0 xx a f (x), 0 x a
u(x, 0)
0, u(x, b)

se llaman problemas con valores en la frontera.

MODIFICACIONES Las ecuaciones diferenciales parciales (1), (2) y (3) se deben
PRGL¿FDU SDUD FRQVLGHUDU ODV LQÀXHQFLDV LQWHUQDV R H[WHUQDV TXH DFW~DQ VREUH HO VLV-
tema físico. Más formas generales de las ecuaciones de calor unidimensional y de onda

son, respectivamente,

2u G(x, t, u, ux) u (13)
k x2 t

y a2 2u F(x, t, u, ut) 2u (14)
x2 t2 .

3RU HMHPSOR VL KD\ WUDQVIHUHQFLD GH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH XQD YDULOOD HQ
un medio circundante que se mantiene a una temperatura constante um, entonces la

ecuación de calor (13) es

2u h(u um) ut .
k x2

470 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

En (14) la función F podría representar varias fuerzas que actúan sobre la cuerda.
Por ejemplo, cuando se consideran fuerzas externas de amortiguamiento y fuerzas de
restauración elásticas, (14) toma la forma

Fuerza de Fuerza Fuerza de
restauración externa amortiguamiento

a2 –−−–2x–u2– 1 f (x, t) 2 c –−−–ut– 2 ku 5 –−−–2t–u2– (15)

F(x, t, u, ut)

COMENTARIOS

El análisis de una amplia variedad de diversos fenómenos produce los modelos mate-
máticos (1), (2) o (3) o sus generalizaciones que implican una cantidad mayor de va-
riables espaciales. Por ejemplo, (1) a veces se llama la ecuación de difusión, ya que la
GLIXVLyQ GH VXVWDQFLDV GLVXHOWDV HQ OD VROXFLyQ HV VLPLODU DO ÀXMR GH FDORU HQ XQ VyOLGR
La función u(x, t) satisface la ecuación diferencial parcial que en este caso representa
la concentración de la sustancia disuelta. Asimismo la ecuación (2) surge en el estudio
GHO ÀXMR GH HOHFWULFLGDG HQ XQ FDEOH ODUJR R HQ XQD OtQHD GH WUDQVPLVLyQ (Q HVWH FRQWH[WR
(2) se conoce como la ecuación del telégrafo. Se puede mostrar que bajo ciertas supo-
siciones la corriente y el voltaje en la línea son funciones que satisfacen dos ecuacio-
nes idénticas con (2). La ecuación de onda (2) también se presenta en la teoría de
OtQHDV GH WUDQVPLVLyQ GH DOWD IUHFXHQFLD HQ PHFiQLFD GH ÀXLGRV HQ DF~VWLFD \ HQ
elasticidad. La ecuación de Laplace (3) se presenta en el desplazamiento estático de
membranas.

EJERCICIOS 12.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20.

En los problemas 1-6 una varilla de longitud L coincide con el in- 7. Los extremos están anclados al eje x. La cuerda se libera a partir
tervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la del reposo desde el desplazamiento inicial x(L Ϫ x).
frontera para la temperatura u(x, t).
8. Los extremos están anclados al eje x. Inicialmente, la cuerda no
1. El extremo izquierdo se mantiene a temperatura cero y el extremo está desplazada pero tiene una velocidad inicial de sen(ʌ[͞L).
derecho está aislado. La temperatura inicial es f(x) en toda la varilla.
9. El extremo izquierdo está anclado al eje de las x, pero el ex-
2. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura u y el ex- tremo derecho se mueve de una manera transversal de acuerdo
0 con sen ʌW. La cuerda se libera a partir del reposo del despla-
tremo derecho se mantiene a una temperatura u . La temperatura zamiento inicial f (x). Para t Ͼ 0 las vibraciones transversales
1 están amortiguadas con una fuerza proporcional a la velocidad
inicial es cero en toda la varilla. instantánea.

3. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura de 100 °C y 10. Los extremos están anclados al eje de las x y la cuerda está inicial-
hay transferencia de calor del extremo derecho al medio que lo mente en reposo sobre este eje. Una fuerza externa vertical pro-
rodea a temperatura cero. La temperatura inicial es f (x) en toda porcional a la distancia horizontal a partir del extremo izquierdo
la varilla. actúa sobre la cuerda para t Ͼ 0.

4. Los extremos están aislados y hay transferencia de calor En los problemas 11 y 12 establezca el problema con valores en la
GHVGH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO DO PHGLR FLUFXQGDQWH TXH HVWi frontera para la temperatura de estado estable u(x, y).
a una temperatura de 50 °C. La temperatura inicial es igual a
100 °C en toda la varilla. 11. 8QD SODFD GHOJDGD UHFWDQJXODU FRLQFLGH FRQ OD UHJLyQ GH¿QLGD
por 0 Յ x Յ 4, 0 Յ y Յ 2. El extremo izquierdo y la parte
5. El extremo izquierdo está a una temperatura de inferior de la placa están aislados. La parte superior de la
sen(ʌW͞L), el extremo derecho se mantiene a temperatura cero, y placa se mantiene a temperatura cero y el extremo derecho de
H[LVWH WUDQVIHUHQFLD GH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH OD YDUL- la placa se mantiene a temperatura f (y).
lla hacia el medio que la rodea mantenido a temperatura cero. La
temperatura inicial es f(x) en toda la varilla. 12. 8QD SODFD VHPLLQ¿QLWD FRLQFLGH FRQ OD UHJLyQ GH¿QLGD
por 0 Յ x Յ ʌ, y Ն 0. El extremo izquierdo se mantiene
6. Los extremos están aislados, y hay transferencia de calor desde a una temperatura eϪy y el extremo derecho se mantiene a
OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH OD YDULOOD KDFLD HO PHGLR FLUFXQGDQWH una temperatura de 100 °C para 0 Ͻy Յ 1 y a temperatura cero
mantenido a una temperatura de 50 °C. La temperatura inicial para y Ͼ 1. La parte inferior de la placa se mantiene a una tem-
es 100 °C en toda la varilla. peratura f (x).

En los problemas 7-10 una cuerda de longitud L coincide con el in-
tervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la
frontera para el desplazamiento u(x, t).

12.3 ECUACIÓN DE CALOR O 471

12.3 ECUACIÓN DE CALOR

INTRODUCCIÓN Considere una varilla delgada de longitud L con una temperatura inicial f (x)
en toda la varilla y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante todo el tiempo t Ͼ 0. Si

OD YDULOOD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VDWLVIDFH ODV KLSyWHVLV GDGDV HQ OD SiJLQD HQWRQFHV OD
temperatura u(x, t) en la varilla se determina del problema con valores en la frontera

2u u (1)
k x2 t , 0 x L, t 0

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 (2)

u(x, 0) f (x), 0 x L. (3)

En esta sección resolveremos este PVF.

u=0 u=0 SOLUCIÓN DEL PVF Para comenzar, usaremos el producto u(x, t) ϭ X(x)T(t) para
separar variables en (1). Entonces, si Ϫ Ȝ es la constante de separación, las dos igualdades

0 Lx XT (4)
X kT
FIGURA 12.3.1 Temperatura en una conducen a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias
varilla de longitud L.
X X0 (5)

T k T 0. (6)

Antes de resolver (5), observamos que las condiciones de frontera (2) aplicadas a
u(x, t) ϭ X(x)T(t) son

u(0, t) X(0)T(t) 0 y u(L, t) X(L)T(t) 0.

Puesto que tiene sentido esperar que T(t) 0 para toda t, las igualdades anteriores
valen sólo si X(0) ϭ 0 y X(L) ϭ 0. Estas condiciones frontera homogéneas junto con

las ED homogéneas (5) constituyen un problema regular de Sturm-Liouville:

X X 0, X(0) 0, X(L) 0. (7)

La solución de este PVF ya se analizó en el ejemplo 2 de la sección 5.2. En este ejem-
plo consideramos tres casos posibles para el parámetro Ȝ: cero, negativo o positivo.
Las soluciones correspondientes de las ED están, respectivamente, dadas por

X(x) c1 c2 x, 0 (8)

X(x) c1 cosh ax c2 senh ax, a2 0 (9)

X(x) c1 cos ax c2 sen ax, a2 0. (10)

Cuando las condiciones de frontera X(0) ϭ 0 y X(L) ϭ 0 se aplican a (8) y (9), estas

soluciones son válidas sólo si X(x) ϭ 0 y por tanto concluiríamos que u ϭ 0. Pero

lsfcaaouclasueencgdciuóounnaXdnn(ad0ooc)toϭĮrni/vd0iiϭacslie,óQdanʌepbdloieecmĮafroaϭosn(1ttQee0ʌnr)a͞e, Lreimn.cc2Ppoolnirct0artaaqynmutsooeesn(X7q(Į)uL/et)iceϭϭ1nϭe0c.2s0osEelysuntcaXĮi(oú/xnl)tϭeiϭms 0nac.o2ePsctearuniravacĮiaio[ólb.entEsesnnceteuosrananuctdinesoas-

n an2 n2 2/ L2, n 1, 2, 3, . . . Estos valores de Ȝ son los eigenvalores del pro-

blema; las eigenfunciones son

n n 1, 2, 3, . . . (11)
X(x) c2 sen L x,

De (6) tenemos que T(t) c3 e k(n2 2/L2)t , por tanto

un X(x) T (t) An e k ( n2 2/L2)t sen n x, (12)
L

472 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

donde hemos remplazado la constante cc por An. Cada una de las funciones producto
un(x, t) dadas en (12) es una solución 23

particular de la ecuación diferencial parcial (1)

y cada un(x, t) también satisface ambas condiciones de frontera (2). Sin embargo, para
TXH VDWLVIDJD OD FRQGLFLyQ LQLFLDO WHQGUtDPRV TXH HOHJLU HO FRH¿FLHQWH An de

manera que

un(x, 0) f (x) An sen n x. (13)
L

En general, no esperaríamos que la condición (l3) se satisfaga para una arbitraria pero
razonable elección de f. Por lo que nos vemos forzados a admitir que un(x, t) no es una
solución del problema dado. Ahora por el principio de superposición (teorema 12.1.1)

la función u(x, t) n 1 un o

u(x, t) Ane k ( n2 2/L2)t sen n x (14)
L
n 1

debe también, aunque formalmente, satisfacer la ecuación (1) y las condiciones en (2).
Sustituyendo t ϭ 0 en (14) se implica que

u(x, 0) f (x) An sen n x.

n 1 L

Esta última expresión se reconoce como el desarrollo en un semiintervalo de f en una

VHULH GH VHQRV 6L LGHQWL¿FDPRV An ϭ bn, n ϭ 1, 2, 3, . . . , se tiene de la ecuación (5)
de la sección 11.3 que

An 2 L f (x) sen n x dx. (15)
L0 L

u Concluimos que una solución del problema con valores en la frontera descrita en (1),
\ HVWi GDGD SRU OD VHULH LQ¿QLWD

100 t=0 2 L n x d x e k(n2 2/L2)t sen n

t=0.05 u(x, t) f (x) sen x. (16)

80 t=0.35 Ln 1 0 L L

60 t=0.6

40 t=1 En el caso especial en que la temperatura inicial es u(x, 0) ϭ 100, L ϭ ʌ y k ϭ 1,
FRPSUXHEH TXH ORV FRH¿FLHQWHV HVWiQ GDGRV SRU
20 t=1.5

x 200 1 ( 1)n
0.5 1 1.5 2 2.5 3 An n

a) La gráfica de u(x, t) como una y que (16) es
función de x para diferentes
tiempos fijos.

u u(x, t) 200 1 ( 1)n e n2t sen nx. (17)

100 x= ␲/2 n1 n

80 x= ␲/4
x= ␲/6
60 x=␲/12 USO DE COMPUTADORAS Puesto que u es una función de dos variables, la grá-

40 x=0 ¿FD GH OD VROXFLyQ HV XQD VXSHU¿FLH WULGLPHQVLRQDO 3RGUtDPRV XWLOL]DU OD DSOLFD-

20 FLyQ ' SORW GH XQ VLVWHPD DOJHEUDLFR FRPSXWDUL]DGR SDUD DSUR[LPDU HVWD VXSHU¿FLH DO
WUD]DU OD JUi¿FD GH ODV VXPDV SDUFLDOHV Sn(x, t HQ XQD UHJLyQ UHFWDQJXODU GH¿QLGD SRU
t Յ x Յ ʌ, 0 Յ t Յ T. Alternativamente, con ayuda de la aplicación 2D-plot de un SAC
123456 SRGHPRV WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ u(x, t) sobre el intervalo en el eje x [0, ʌ], para
valores crecientes del tiempo t 9HD OD ¿JXUD D (Q OD ¿JXUD E VH KD
b) La gráfica de u(x, t) como una WUD]DGR OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ u(x, t) sobre el intervalo en el eje t [0, 6], para valores
función de t para diferentes crecientes de x (x ϭ 0 es el extremo izquierdo y x ϭ ʌ͞2 es el punto medio de la varilla
posiciones fijas. de longitud L ϭ ʌ $PERV FRQMXQWRV GH JUi¿FDV FRPSUXHEDQ OR TXH HV REYLR HQ
en particular, u(x, t) A 0 , cuando t A ϱ.
FIGURA 12.3.2 *Ui¿FDV GH
FXDQGR XQD YDULDEOH VH PDQWLHQH ¿MD

12.4 ECUACIÓN DE ONDA O 473

EJERCICIOS 12.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20.

En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta 7. Un alambre delgado que coincide con el eje x en el inter-
a las condiciones dadas. Suponga una varilla de longitud L. valo [ϪL, L] se dobla en forma de una circunferencia tal
que los extremos x ϭ ϪL y x ϭ L se juntan. Bajo ciertas
1. u(0, t) 5 0, u(L, t) 5 0, t . 0 condiciones, la temperatura u(x, t) en el alambre satisface

5u(x, 0) 5 1, 0 , x , Ly2 el problema con valores en la frontera
0, Ly2 , x , L
2u u
2. u(0, t) 5 0, u(L, t) 5 0, t . 0 k x2 , L x L, t 0,
u(x, 0) 5 x(L 2 x), 0 , x , L t

u( L, t) u(L, t), t 0

3. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud u u
L si la temperatura inicial es f (x) en toda la varilla y si los xx L ,t 0
extremos x ϭ 0 y x ϭ L están aislados.
xx L

4. Resuelva el problema 3 si L ϭ 2 y u(x, 0) f(x), L x L.

f (x) x, 0 x 1 Encuentre la temperatura u(x, t)
0, 1 x 2.
8. Encuentre la temperatura u(x, t) del problema con valores
5. 6XSRQJD TXH VH SLHUGH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH en la frontera dado en (1) a (3) cuando f(x) ϭ 10 sen(5ʌ[͞L).
una varilla delgada de longitud L dentro del medio circun-
Problemas para analizar
dante a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transfe-
9. /D ¿JXUD E SUHVHQWD OD JUi¿FD GH u(x, t) para
rencia de calor, entonces la ecuación de calor toma la forma 0 Յ t Յ 6 para x ϭ 0, x ϭ ʌ͞12, x ϭ ʌ͞6, x ϭ ʌ͞4 y
x ϭ ʌ͞ 'HVFULED R GLEXMH ODV JUi¿FDV GH u(x, t) sobre
2u ut ,
k x2 hu HO PLVPR LQWHUYDOR GH WLHPSR SHUR SDUD ORV YDORUHV ¿MRV
0 Ͻ x Ͻ L, t Ͼ 0, h una constante. Encuentre la tempe- x ϭ 3ʌ͞4, x ϭ 5ʌ͞6, x ϭ 11ʌ͞12 y x ϭ ʌ.

ratura u(x, t) si la temperatura inicial es f (x) en toda la Tarea para el laboratorio de computación
10. a) Resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a
varilla y los extremos x ϭ 0 y x ϭ L están aislados. Vea

OD ¿JXUD

Aislado 0Њ Aislado u(0, t) 0, u(100, t) 0, t 0

u(x, 0) 0.8x, 0 x 50

0 0Њ L x 0.8(100 x), 50 x 100.
Transferencia de calor
b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar
de la superficie OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(x, t) que consiste en
lateral de la varilla los primeros cinco términos distintos de cero de la
solución del inciso a) para 0 Յ x Յ 100, 0 Յ t Յ 200.
FIGURA 12.3.3 Pérdida de calor de la varilla del problema 5. Suponga que k ϭ 1.6352. Experimente con diferentes

6. Resuelva el problema 5 si los extremos x ϭ 0 y x ϭ L se SHUVSHFWLYDV WULGLPHQVLRQDOHV GH OD VXSHU¿FLH XVH OD
mantienen a temperatura cero. opción ViewPoint en Mathematica).

12.4 ECUACIÓN DE ONDA

INTRODUCCIÓN Ahora podemos resolver el problema con valores en la frontera (11) que se
analizó en la sección 12.2. El desplazamiento vertical u(x, t) de la cuerda vibrando de longitud L que

VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D VH GHWHUPLQD D SDUWLU GH

a2 2u 2u 0 x L, t 0 (1)
x2 t2,

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 (2)

u (3)
u(x, 0) f (x), t t 0 g(x), 0 x L.

474 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

SOLUCIÓN DEL PVF Con la suposición usual de que u(x, t) ϭ X(x)T(t), la separa-
ción de variables en (1) conduce a:

XT
X a2T

por lo que X X0 (4)

T a2 T 0. (5)

Como en la sección anterior, las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0) ϭ 0
y X(L) ϭ 0. La ecuación (4) junto con estas condiciones de frontera es el problema

regular de Sturm-Liouville

X X 0, X(0) 0, X(L) 0. (6)

De las tres posibilidades usuales para el parámetro, Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0,
sólo la última elección conduce a soluciones no triviales. Correspondiendo a Ȝ ϭ Į2,
Į Ͼ 0, la solución general de (4) es

X c1 cos ax c2 sen ax.

X(0) ϭ 0 y X(L) ϭ0 indican que cϭ1 ϭQʌ0͞Ly. c sen Į/ ϭ 0. Nuevamente la última
ecuación implica que Į/ ϭ Qʌ o Į 2

Los eigenvalores y las correspondien-

tes eigenfunciones de (6) son ln n2p 2 L2 y X(x) n 1, 2, 3, . . .
c2 sen L x, n

La solución general de la ecuación de segundo orden (5) es entonces

T(t) c3 cos n a t c4 sen na t.
L L

Reescribiendo cc como An y cc como Bn, las soluciones que satisfacen tanto la ecua-
23 24

ción de onda (1) como las condiciones de frontera (2) son

un An cos n a t Bn sen n a t sen n x (7)
L L L

na na n
y u(x, t) An cos t Bn sen t sen x. (8)
L L L
n1

Haciendo t ϭ 0 en (8) y utilizando la condición inicial u(x, 0) ϭ f (x) se obtiene

u(x, 0) f (x) An sen n x.

n 1 L

Puesto que la última serie es un desarrollo en un semi-intervalo de f en una serie de
senos, podemos escribir An ϭ bn;

An 2 L f (x) sen n x dx. (9)
L0 L

Para determinar Bn, derivamos la ecuación (8) respecto a t y después hacemos t ϭ 0:

u An na sen na t Bn n a cos n a t sen n x
t L L L L L
n1

u na n
g(x) Bn sen L x.
tt0 L
n1

Para esta última serie que es el desarrollo en un semiintervalo de senos de la velocidad

inicial g VREUH HO LQWHUYDOR HO FRH¿FLHQWH total BnQʌD͞L debe estar dado por la forma bn
en la ecuación (5) de la sección 11.3, es decir,

na 2 L n
Bn L g(x) sen x dx
L0 L

12.4 ECUACIÓN DE ONDA O 475

de lo que se obtiene

2L n
Bn g(x) sen x dx. (10)
na0 L

La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie
FRQ FRH¿FLHQWHV An y Bn GH¿QLGRV SRU \ UHVSHFWLYDPHQWH

2EVHUYDPRV TXH FXDQGR OD FXHUGD VH OLEHUD D SDUWLU GHO reposo, entonces g(x) ϭ 0
para toda x en el intervalo [0, L], y por tanto, Bn ϭ 0.

CUERDA PULSADA Un caso especial del problema con valores en la frontera
en (1) a (3) es el modelo de la cuerda pulsada. Podemos ver el movimiento de
OD FXHUGD DO WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ R GHVSOD]DPLHQWR u(x, t) para valores
crecientes del tiempo t \ XWLOL]DU OD DSOLFDFLyQ GH DQLPDFLyQ GH XQ 6$& (Q OD ¿-
gura 12.4.1, presentan algunos marcos de un “video” generado de esta manera; en
OD ¿JXUD D VH SUHVHQWD OD IRUPD LQLFLDO GH OD FXHUGD 6H OH SLGH TXH LQWHQWH
UHSURGXFLU ORV UHVXOWDGRV TXH VH SUHVHQWDQ HQ OD ¿JXUD WUD]DQGR XQD VHFXHQFLD GH ODV
sumas parciales de (8). Véanse los problemas 7 y 28 en los ejercicios 12.4.

uu 123 u x
b) t = 0.2 1 123
11 x0 c) t = 0.7
0 x0 -1
-1 -1 x
u 123
123 1 f) t = 1.9
a) t = 0 forma inicial x0
-1
uu

11
0 x0

-1 -1

123 123

d) t = 1.0 e) t = 1.6

FIGURA 12.4.1 Marcos de un “video” de un SAC.

ONDAS ESTACIONARIAS Recuerde de la deducción de la ecuación de onda uni-
dimensional en la sección 12.2, que la constante a que se encuentra en la solución del

problema con valores en la frontera en las ecuaciones (1), (2) y (3) está dada por 1T> ,
donde ȡ es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la tensión en la cuerda.
Cuando T HV VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH OD FXHUGD YLEUDQGR SURGXFH XQ VRQLGR PXVLFDO

Este sonido es el resultado de ondas estacionarias. La solución (8) es una superposi-

ción de las soluciones producto llamada ondas estacionarias o modos normales:

u(x, t) u1(x, t) u2(x, t) u3(x, t) .

En vista de las ecuaciones (6) y (7) de la sección 5.1 las soluciones producto (7) se
puede escribir como

un(x, t) Cn sen n a t sen n x, (11)
L L
n

donde Cn 1An2 Bn2 y ‫׋‬n VH GH¿QH SRU VHQ ‫׋‬n ϭ An͞Cn y cos ‫׋‬n ϭ Bn͞Cn. Para
n ϭ ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV VRQ HVHQFLDOPHQWH ODV JUi¿FDV GH VHQ Qʌ[͞L),
con una amplitud que varía con el tiempo dada por

Cn sen n a t n.
L

$OWHUQDWLYDPHQWH YHPRV GH TXH D XQ YDORU ¿MR GH x cada función producto
un(x, t) representa un movimiento armónico simple con amplitud Cn͉sen(Qʌ[͞L)͉ y fre-

476 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

0 Lx cuencia fn ϭ na͞2L. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con
una amplitud diferente pero con la misma frecuencia. Cuando n ϭ 1,
a) Primera onda estacionaría
u1(x, t) C1 sen a t 1 sen L x
Nodo L

0 L Lx se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental
2
de vibración (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ ODV SULPHUDV WUHV RQGDV HVWDFLRQDULDV R
b) Segunda onda estacionaría
PRGRV QRUPDOHV /DV JUi¿FDV SXQWHDGDV UHSUHVHQWDQ ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV HQ GLIH-
Nodos rentes valores del tiempo. Los puntos en el intervalo (0, L), para el cual sen(Qʌ͞L)x ϭ 0,

0 L 2L L x corresponden a puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Estos
33
puntos se llaman nodos &RPR HMHPSOR HQ ODV ¿JXUDV E \ F YHPRV
c) Tercera onda estacionaría
que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L͞2 y la tercer onda estacionaria
FIGURA 12.4.2 Primeras tres ondas tiene dos nodos en L͞3 y 2L͞3. En general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene
estacionarias. n Ϫ 1 nodos.

La frecuencia

f1 a 1T
2L 2L B

del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primer armónico y

está directamente relacionado con la altura del sonido que produce un instrumento de

cuerda. Es evidente que entre mayor sea la tensión en la cuerda, más alto será el sonido
que produce. Las frecuencias fn de los modos normales, que son múltiplos enteros de
la frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armónico es el primer

sobretono y así sucesivamente.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El principio de superposición, teorema 12.1.1,
HV OD FODYH SDUD TXH HO PpWRGR GH VHSDUDFLyQ GH YDULDEOHV VHD XQ PHGLR H¿FD] SDUD
resolver ciertas clases de problemas de valor de frontera que implican ecuaciones di-
ferenciales parciales lineales. A veces un problema también se puede resolver usando
una superposición de soluciones de dos problemas más fáciles. Si podemos resolver
cada uno de los problemas de valor de frontera,

Problema 1 Problema 2

¸˚˚˚˚˚˚˚˝˚˚˚˚˚˚˚˚˛ ¸˚˚˚˚˚˚˚˝˚˚˚˚˚˚˚˚˛

a2 −2u1 5 −−2tu21, 0 , x , L, t . 0 a2 −2u2 5 −2u2 , 0 , x , L, t . 0
−x2 −x2 −t2

u1(0, t) 5 0, u1(L, t) 5 0, t . 0 u2(0, t) 5 0, u2(L, t) 5 0, t . 0 (12)

uu1(x, 0) 5 f (x), −u1 5 0, 0,x,L u2(x, 0) 5 0, u−u2 5 g(x), 0,x,L
−t
t50 −t t50

entonces, una solución del problema de valor de frontera, ecuaciones (1) a (3) es u(x, t) ϭ

uso1(lxu,cti)ónϩdue2l(ax,EtD).PPahroamdoegméonsetara(r1)esdteobsidaboeamtoeosrqeumeau1(x2,.1t).1ϭ. Aud1e(xm, át)s,+u(ux2,(xt), t) es una
satisface

la condición frontera (2) y las condiciones iniciales (3) porque tenemos, a su vez que,

5CF u(0, t) 5 u1(0, t) 1 u2(0, t) 5 0 1 0 5 0
u(L, t) 5 u1(L, t) 1 u2(L, t) 5 0 1 0 5 0,

y FI 5 u u uu(x, 0) 5 u1(x, 0) 1 u2(x, 0) 5 f (x) 1 0 5 f (x)−u5−u11−u2515
−t −t −t 0 g(x) g(x).

t50 t50 t50

Se le recomienda que pruebe este método para obtener (8), (9) y (10). También véanse
los problemas 5 y 14 en ejercicios 12.4.

12.4 ECUACIÓN DE ONDA O 477

EJERCICIOS 12.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.

En los problemas 1-6 resuelva la ecuación de onda (1) sujeta 10. f(x)
a las condiciones dadas.
h

1. u(0, t) 5 0, u(L, t) 5 0, t . 0

−u
uu(x,0)51 x (L 2 x), 5 0, 0,x,L 2L/3
4 −t L/3 L x
t50

2. u(0, t) 5 0, u(L, t) 5 0, t . 0

uu(x, 0) 5 0, −u 5 x(L 2 x), 0,x,L 2h
−t
t50 FIGURA 12.4.6 Desplazamiento inicial en el problema 10.

3. u(0, t) 5 0, u(␲, t) 5 0, t . 0

uu(x, 0) 5 0, −u 5 sen x, 0,x,␲ 11. El desplazamiento longitudinal de una barra elástica vi-
−t EUDQGR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ
t50 de onda (1) y las condiciones

4. u(0, t) 5 0, u(␲, t) 5 0, t . 0

−u
uu(x,0)51 x (␲2 2 x2), 5 0, 0,x,␲ u−u u−u
6 −t
t50 −x x50 5 0, −x x5L 5 0, t . 0
u(x, 0) 5 x,
5. u(0, t) 5 0, u(1, t) 5 0, t . 0 u−u

uu(x, 0) 5 x(1 2 x), −u 5 2 0,x,1 −t 5 0, 0 , x , L.
−t
x(1 x), t50

t50

6. u(0, t) 5 0, u(␲, t) 5 0, t . 0 Las condiciones frontera en x ϭ 0 y x ϭ L se llaman
condiciones de extremo libre. Determine el desplaza-
uu(x, 0) 5 0.01sen 3␲x, −u 5 0, 0,x,␲ miento u(x, t).
−t
t50 u(x, t)

En los problemas 7-10 una cuerda está atada al eje x en x ϭ 0 y
en x ϭ L y su desplazamiento inicial u(x, 0) ϭ f(x), 0 Ͻ x Ͻ L,
VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD GDGD (QFXHQWUH u(x, t) si la cuerda se

suelta desde el reposo. x

7. f(x) 0L

h FIGURA 12.4.7 Varilla elástica vibratoria del problema 9.

L/2 L x 12. Un modelo para el movimiento de una cuerda vibrante a

FIGURA 12.4.3 Desplazamiento inicial en el problema 7. cuyos extremos se les permite deslizarse sobre fundas sin
8. f(x) fricción unidas a los ejes verticales x ϭ 0 y x ϭ L, está

h dada por la ecuación de onda (1) y las condiciones

L/3 L x u−u 5 0, u−u 5 0, t.0

FIGURA 12.4.4 Desplazamiento inicial en el problema 8. −x x50 −x x5L

u(x, 0) 5 f (x), u−u 5 g(x), 0 , x , L.

−t t50

9HD OD ¿JXUD /DV FRQGLFLRQHV IURQWHUD LQGLFD TXH

el movimiento es tal que la pendiente de la curva es cero
en sus extremos para t Ͼ 0. Determine el desplazmiento
u(x, t).

9. f(x) u

h

L/3 2L/3 Lx 0 Lx

FIGURA 12.4.5 Desplazamiento inicial en el problema 9. FIGURA 12.4.8 Cuerda vibrando en el problema 12.

478 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

13. En el problema 10 determinar el valor de u(L/2, t) por t Ն 0. 18. Si los extremos de la viga del problema 17 están incrus-
tados en x ϭ 0 y x ϭ L, las condiciones de frontera se
14. Utilice el principio de superposición analizado en la pá- convierten, para t Ͼ 0, en:
gina 476 de esta sección para obtener de nuevo los resul-
tados dados (8), (9), y (10). u(0, t) 0, u(L, t) 0

15. Una cuerda se estira y se ancla al eje x en x ϭ 0 y en x ϭ ʌ uu
para t Ͼ 0. Si las vibraciones transversales se presentan 0, 0.
xx 0 xx L

en un medio con resistencia al movimiento proporcional a) Demuestre que los eigenvalores del problema son
n xn2> L2, donde xn, n ϭ 1, 2, 3, . . . , son las raíces
a la velocidad instantánea, entonces la ecuación de onda
toma la forma positivas de la ecuación

2u 2u 2 u, 0 1, t 0. cosh x cos x ϭ 1.
x2 t2 t
b) 'HPXHVWUH HQ IRUPD JUi¿FD TXH OD HFXDFLyQ GHO LQ-
Encuentre el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del FLVR D WLHQH XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV
reposo desde un desplazamiento inicial f (x).
c) Utilice una calculadora o un SAC para encontrar
16. Demuestre que una solución del problema con valores en aproximaciones a los primeros cuatro eigenvalores.
la frontera Utilice cuatro decimales.

2u 2u 0x ,t 0 19. Considere el problema con valores en la frontera dado en
x2 t2 u, las ecuaciones (1), (2) y (3) de esta sección. Si g(x) ϭ 0
para 0 Ͻ x Ͻ L, demuestre que la solución del problema
u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0
se puede escribir como

u(x, 0) x, 0 x >2 u(x, t) 1 [ f (x at) f (x at)].
x, >2 x 2

[Sugerencia: Utilice la identidad

u 0, 0 x 2 sen u1 cos u 2 sen(u1 u2) sen(u1 u 2).]
tt0
20. El desplazamiento vertical u(x, t GH XQD FXHUGD LQ¿QLWD-

es mente larga está determinado por el problema con valores
u(x, t)
4 ( 1)k 1 iniciales
(2k 1)2
sen (2k 1) x cos 1(2k 1)2 1 t. a2 2u 2u x ,t 0
x2 t2 , (13)
k 1

17. El desplazamiento transversal u(x, t) de una viga vibrando u(x, 0) f (x), u g (x).
de longitud L está determinado por una ecuación diferen- tt0

cial parcial de cuarto orden Este problema se puede resolver sin separar las variables.

a2 4u 2u 0, 0 x L, t 0. a) Demuestre que la ecuación de onda se puede expresar
x4 t2
en la forma 2u h j 0 haciendo las sustituciones
Si la viga está simplemente apoyada, como se muestra en ȟ ϭ x ϩ at y Ș ϭ x Ϫ at.

OD ¿JXUD ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD H LQLFLDO VRQ b) Integre la ecuación diferencial parcial del inciso a),

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 primero respecto a Ș y después respecto a ȟ, para de-
0, t 0 mostrar que u(x, t) ϭ F(x ϩ at) ϩ G(x Ϫ at) donde
2u 0, 2u g(x), 0 F y G son funciones arbitrarias derivables dos veces, es
x2 x 0 x2 x L
una solución de la ecuación de onda. Utilice esta solu-
u
u(x, 0) f (x), ción y las condiciones iniciales dadas para demostrar que

tt0 x L. 1 1x

F(x) f (x) g(s)ds c
2 2a x0
Resuelva para u(x, t). [Sugerencia: Por conveniencia
utilice Ȝ ϭ Į4 al separar las variables.] 1 1x
y G(x) f (x) g(s)ds c,
u 2 2a x0

donde x es arbitraria y c es una constante de integra-
0

ción.

x c) Utilice los resultados del inciso b) para demostrar que
0L
u(x, t) 1 [ f (x at) f (x at)] 1 x at
FIGURA 12.4.9 Viga simplemente apoyada del problema 17.
g(s) ds. (14)
2 2a x at

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE O 479

2EVHUYH TXH FXDQGR OD YHORFLGDG LQLFLDO g(x) ϭ 0, obtenemos f (x) 1 x, x 1 y g(x) 0.
0, x 1
u(x, t) 1 [ f (x a t) f (x a t)], x.
2
a) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD SRVLFLyQ LQLFLDO GH OD FXHUGD
Esta última solución se puede interpretar como una super- sobre el intervalo [Ϫ6, 6].

posición de dos ondas viajeras, una moviéndose hacia la b) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
d’Alembert (14) sobre [Ϫ6, 6] para t ϭ 0.2k, k ϭ 0, 1,
derecha (esto 21esf ,(x21 f (x at)) y la otra moviéndose hacia
la izquierda ( at)). Ambas ondas viajan con rapi- 2, . . . , 25. Suponga que a ϭ 1.

dez a y tienen la misma forma básica que la del despla- c) Utilice la aplicación de su sistema algebraico compu-
tarizado para hacer un video de la solución. Describa
zamiento inicial f (x). La forma de u(x, t) dado en (13) se el movimiento de la cuerda al transcurrir el tiempo.

llama solución de dЈAlembert.

En los problemas 21-24 utilice la solución de d’Alembert (14) 27. 8QD FXHUGD GH ORQJLWXG LQ¿QLWD TXH FRLQFLGH FRQ HO HMH x
para resolver el problema con valores iniciales del problema se golpea en el origen con un martillo cuya cabeza tiene
20 sujeto a las condiciones iniciales dadas. 0.5 cm de diámetro. Un modelo para el movimiento de la
cuerda está dado por (13) con
21. f (x) ϭ sen x, g(x) ϭ 1
22. f (x) ϭ sen x, g(x) ϭ cos x f (x) 0 y g(x) 1, x 0.1
23. f (x) ϭ 0, g(x) ϭ sen 2x 0, x 0.1.
24. f (x) e x2, g(x) 0
a) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
Tarea para el laboratorio de computación d’Alembert (14) en [Ϫ6, 6] para t ϭ 0.2k, k ϭ 0, 1, 2,
. . . , 25. Suponga que a ϭ 1.
25. a) 8 WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
dЈAlembert del problema 24 sobre el intervalo [Ϫ5, b) Utilice la aplicación de animación de su sistema al-
5] en los tiempos t ϭ 0, t ϭ 1, t ϭ 2, t ϭ 3 y t ϭ 4. gebraico computarizado para hacer un video de la so-
&RORTXH WRGDV ODV JUi¿FDV HQ XQ VLVWHPD FRRUGHQDGR lución. Describa el movimiento de la cuerda al trans-
Suponga que a ϭ 1. currir el tiempo.

b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la 28. El modelo de la cuerda vibratoria en el problema 7 se
JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH GЈAlembert u(x, t) en el pro- llama de cuerda pulsada /D FXHUGD VH ¿MD DO HMH x en
blema 24 para Ϫ 5 Յ x Յ 5, 0 Յ t Յ 4. Experimente x ϭ 0 y en x ϭ L y se sujeta en x ϭ L͞2 a h unidades
con distintas perspectivas tridimensionales de esta arriba del eje x 9HD OD ¿JXUD ,QLFLDQGR HQ t ϭ 0 la
VXSHU¿FLH (OLMD OD SHUVSHFWLYD GH OD VXSHU¿FLH HQ OD
TXH XVWHG FRQVLGHUH TXH ODV JUi¿FDV GHO LQFLVR D VRQ cuerda se libera a partir del reposo.
más aparentes.
a) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VXPD SDU-
26. 8Q PRGHOR SDUD XQD FXHUGD LQ¿QLWDPHQWH ODUJD VH VXMHWD
de los tres puntos (Ϫ1, 0), (1, 0) y (0, 1) y después se cial S6(x, t), esto es, los primeros seis términos distin-
libera simultáneamente de esos tres puntos al tiempo que tos de cero de su solución, para t ϭ 0.lk, k ϭ 0, 1, 2,
t ϭ 0 está dado por (12) con
. . . , 20. Suponga que a ϭ 1, h ϭ 1 y L ϭ ʌ.

b) Utilice la aplicación de animación de su sistema alge-
braico computarizado para hacer un video de la solu-
ción del problema 7.

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE

INTRODUCCIÓN Suponga que deseamos encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en
una placa rectangular cuyas aristas verticales x ϭ 0 y x ϭ a están aislados, como se muestra en la
¿JXUD &XDQGR QR VH HVFDSD FDORU GH ODV FDUDV ODWHUDOHV GH OD SODFD UHVROYHPRV HO VLJXLHQWH

problema con valores en la frontera:

y 2u 2u 0, 0 x a, 0 y b (1)
x2 y2
u = f (x)
(a, b)

Aislado Aislado u u 0, 0 y b (2)
x xx 0 0, f (x), 0 x a (3)
u=0
u(x, 0) xx a
FIGURA 12.5.1 Temperaturas de 0, u(x, b)
estado estable en una placa rectangular.

480 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

SOLUCIÓN DEL PVF Haciendo u(x, y) ϭ X(x)Y(y), la separación de variables en la
ecuación (1) conduce a
XY
XY

X X0 (4)

Y Y 0. (5)

Las tres condiciones homogéneas en (2) y (3) se traducen en XЈ(0) ϭ 0, XЈ(a) ϭ 0
y Y(0) ϭ 0. El problema de Sturm-Liouville asociado con la ecuación en (4) es

entonces

X X 0, X (0) 0, X (a) 0. (6)

Examinando los casos correspondientes a Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, donde Į Ͼ 0,
ya se han realizado en el ejemplo 1 de la sección 11.4.* Aquí presentamos un breve
resumen del análisis.

Para Ȝ ϭ 0, la ecuación (6) se convierte en

X 0, X (0) 0, X (a) 0.

La solución de la ED es X ϭ c ϩ c2x. Las condiciones de frontera implican que X ϭ c1.
1 tiene una solución no trivial. Para Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0, (6)
c
Haciendo 1 0, este problema

sólo tiene la solución trivial. Para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, (6) se convierte en

X a2 X 0, X (0) 0, X (a) 0.

LĮpfrraoeϾnssitoóe0lrnu,aceyXisódtЈan(e0súd)pleϭutiélmas0ahEimacDcopineelidnncidaceoisqótxueneϭpscre2aoϭsbsaleet0ioms,bfpaatoiceerensteacXnuϪtaϭoncdX1cos1ϭecĮnoDcĮs1ϭ[cĮoϭ[sQϩʌĮ0[.oc.C2DĮosemeϭrniovĮhQa[neʌ.md͞Loao,aesnscstuoaϭpnúudl1etiic,smit2óoa,nqe.dux.ee-.

Los eigenvalores de la ecuación (6) son entonces Ȝ0 ϭ 0 y n 2n n2 2/ a2,
nϭ 1, 2, . . . Si se corresponde Ȝ0 ϭ 0 con n ϭ 0, las eigenfunciones (6) son
de

X c1, n 0, y X c1 cos n x, n 1, 2, . . .
a

Ahora resolvemos la ecuación (5) sujeta a la única condición de frontera homo-

génea Y(0) ϭ 0. Hay dϭosc3cϩasco4sy..PPaerraoȜY0(ϭ0)0ϭ, l0a ecuación (5) es simplemente YЉ ϭ 0; por
tanto su solución es Y que implica que Y ϭ c4y.
c ϭ 0, por tanto
3
n2 2
Para Ȝn ϭ n2ʌ2͞a2, la ecuación (5) es Y a2 Y 0. Debido a que 0 Ͻ y Ͻ b GH¿QH

XQ LQWHUYDOR ¿QLWR XVDPRV GH DFXHUGR FRQ OD UHJOD LQIRUPDO LQGLFDGD HQ OD SiJLQD

445) la forma hiperbólica de la solución general:

Y c3 cosh (n y> a) c4 senh (n y> a).

Y(0) ϭ 0 nuevamente implica que cX3(ϭx)Y0(,yp) oqruleosqautiesfqauceednalaYeϭcuca4csióennhd(eQLʌa\p͞laa)c.e
Las soluciones producto un ϭ
(1)

y las tres condiciones de frontera homogéneas en (2) y (3) son

A0 y, n 0, y nn n 1, 2, . . . ,
An senh a y cos a x,

donde hemos reescrito cc como A para n ϭ 0 y como An para n ϭ 1, 2, . . .
14 0

Con el principio de superposición se obtiene otra solución:

u(x, y) An senh nn x.
A0 y y cos (7)
1 a a
n

Ahora podemos aplicar la última condición de frontera en (3). Sustituyendo x ϭ b en

la ecuación (7) se obtiene

u(x, b) f (x) An senh nn
A0b ab cos a x,
n1

*En ese ejemplo los símbolos y y L juegan el papel de X y a en este análisis.

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE O 481

que es un desarrollo en un semi-intervalo de f en una serie de cosenos. Al hacer las

LGHQWL¿FDFLRQHV Ab ϭ a0͞2 y An ϭ senh(QʌE͞a) ϭ an, n ϭ 1, 2, 3, . . . se tiene de
0

las ecuaciones (2) y (3) de la sección 11.3 que

2A0b 2 a
a
f (x) dx

0

1a
A0 f (x) dx (8)
ab 0

n 2a n
y An senh a b a 0 f (x) cos a x dx

An 2 a f (x) cos n x dx. (9)
a senh n b 0 a

a

La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie
FRQ FRH¿FLHQWHV A0 y An GH¿QLGDV HQ \ UHVSHFWLYDPHQWH

PROBLEMA DE DIRICHLET Un problema con valores en la frontera en el que se

busca una solución de una ecuación diferencial parcial de tipo elíptico como la ecua-
ción de Laplace, 2u 0, dentro de una región R acotada (en el plano o en el espacio
tridimensional) tal que u tome los valores prescritos en toda la frontera de la región se

llama problema de Dirichlet. En el problema 1 de los ejercicios 12.5 se pide demos-

trar que la solución del problema de Dirichlet, para una región rectangular

2u 2u 0, 0 x a, 0 y b
x2 y2

u(0, y) 0, u(a, y) 0, 0 y b

u(x, 0) 0, u(x, b) f (x), 0 x a

es

u(x, y) An senh nn donde 2 an x dx. (10)
y sen x, An f (x) sen
1 a a a senhn b 0 a
n

100 a

u(x, y) 50 En el caso especial cuando f (x) ϭ 100, a ϭ 1 y b ϭ ORV FRH¿FLHQWHV An en (10) están da-
1 ( 1)n
0 0.5 1
1 0.5 x dos porAn 200 n senh n . &RQ D\XGD GH XQ 6$& VH WUD]D OD JUi¿FD GH OD VXSHU¿FLH
y 0 GH¿QLGD SRU u(x, y) sobre la región R: 0 Յ x Յ 1, 0 Յ y Յ HQ OD ¿JXUD D VH YH

a) Superficie que se satisfacen las condiciones en la frontera; en especial, observe que a lo largo de
y ϭ 1, u ϭ 100 para 0 Յ x Յ 1. Las isotermas o curvas en la región rectangular a lo
1y largo de las cuales la temperatura u(x, y) es constante se pueden obtener con la apli-
0.8 80
FDFLyQ SDUD WUD]R GH JUi¿FDV GH FXUYDV GH QLYHO GH XQ 6$& FRPR VH PXHVWUDQ HQ OD
60
0.6 40 ¿JXUD E (VWDV LVRWHUPDV WDPELpQ VH SXHGHQ FRQVLGHUDU FRPR ODV FXUYDV GH LQ-
tersección (proyectadas en el plano xy) de los planos horizontales u ϭ 80, u ϭ 60 y así
0.4 20
VXFHVLYDPHQWH FRQ OD VXSHU¿FLH GH OD ¿JXUD D 2EVHUYH TXH HQ WRGD OD UHJLyQ OD
0.2 10 temperatura máxima es u ϭ 100 y está en la parte de la frontera que corresponde a y ϭ 1.

x Esto no es coincidencia. Hay un principio del máximo que establece que una solución
0.2 0.4 0.6 0.8 1 u de la ecuación de Laplace dentro de una región R acotada con frontera B (como un rec-
tángulo, círculo, esfera, etc.) tiene sus valores máximo y mínimo en B. Además, se puede
b) Isotermas demostrar que u no puede tener extremos (máximos o mínimos) relativos en el interior
de R (VWH ~OWLPR HQXQFLDGR VH YH FRQ FODULGDG HQ OD VXSHU¿FLH GH OD ¿JXUD D
FIGURA 12.5.2 /D VXSHU¿FLH HV OD
JUi¿FD GH ODV VXPDV SDUFLDOHV FXDQGR PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El problema de Dirichlet para un rectángulo se
f (x) ϭ 100 y a ϭ b ϭ 1 en (10). SXHGH UHVROYHU FRQ IDFLOLGDG VHSDUDQGR ODV YDULDEOHV FXDQGR VH HVSHFL¿FDQ FRQGLFLRQHV KR-
mogéneas para dos fronteras paralelas. Sin embargo, el método de separación de variables

no se aplica a un problema de Dirichlet cuando las condiciones en la frontera en los cuatro

ODGRV GHO UHFWiQJXOR VRQ QR KRPRJpQHDV 3DUD VDOYDU HVWD GL¿FXOWDG VHSDUDPRV HO SUREOHPD

482 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

2u 2u 0, 0 x a, 0 y b
x2 y2

u(0, y) F(y), u(a, y) G(y), 0 y b (11)

u(x, 0) f (x), u(x, b) g(x), 0 x a

en dos problemas, cada uno con condiciones homogéneas en la frontera, sobre fron-
teras paralelas, como se muestra a continuación:

Problema 1 Problema 2

∂–∂–2x–u2–1 ϩ ∂–∂–2y–u2–1 ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a, 0 Ͻ y Ͻ b ∂–∂–2x–u2–2 ϩ ∂–∂–2y–u2–2 ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a, 0 Ͻ y Ͻ b
u1(0, y) ϭ 0, u1(a, y) ϭ 0, 0 Ͻ y Ͻ b u2(0, y) ϭ F(y), u2(a, y) ϭ G(y), 0 Ͻ y Ͻ b
u1(x, 0) ϭ f (x), u1(x, b) ϭ g(x), 0 Ͻ x Ͻ a u2(x, 0) ϭ 0, u2(x, b) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a

Suponga que u y 1u(2x,soyn) las soluciones de los problemas 1 y 2, respectivamente. Si
GH¿QLPRV u(x, y) 1 u ϩ u2(x, y), veremos que u satisface todas las condiciones

ϭ

en la frontera del problema original (11); por ejemplo,

u(0, y) u1(0, y) u2(0, y) 0 F( y) F( y),

u(x, b) u1(x, b) u2(x, b) g(x) 0 g(x),
y así sucesivamente. Además, u es una solución de la ecuación de Laplace por el teo-
rema 12.1.1. En otras palabras, al resolver los problemas 1 y 2 y sumar las soluciones,
ya hemos resuelto el problema original. Esta propiedad aditiva de las soluciones se
llama principio de superposición 9HD OD ¿JXUD

y g(x) (a, b) y g(x) (a, b) y 0 (a, b)

2u = 0 2u1 = 0 0 + F( y) 2u2 = 0
ΔΔ Δ
F( y) G( y) = 0 G( y)

f (x) x f (x) x 0 x

FIGURA 12.5.3 Solución u ϭ solución u del problema 1 ϩ solución u del problema 2.
1 2

Dejaremos como ejercicio (véanse los problemas 13 y 14 de los ejercicios 12.5)
demostrar que una solución del problema 1 es

u1(x, y) An cosh n y Bn senh n y sen n x,
a a a
n 1

2 a np
donde An f (x) sen x dx
a0 a

Bn 1 2 a sen n x dx An cosh n b ,
a
senh n b a 0 g (x) a

a

y que una solución del problema 2 es

n nn
u2(x, y) n 1 An cosh b x Bn senh b x sen b y,

donde An 2 b y) sen n y dy

F(
b0 b

Bn 1 2 b G(y) sen n y dy An cosh n a .
senh n a b 0 b b

b

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE O 483

EJERCICIOS 12.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.

En los problemas 1-10, resuelva la ecuación de Laplace (1) para 12. y
una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas

1. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0 Aislada Aislada
u(x, 0) ϭ 0, u(x, b) ϭ f (x)
0 πx
2. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0
u u = f (x)
0, u(x, b) f (x)
yy 0 FIGURA 12.5.5 Placa del problema 12.

3. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0 En los problemas 13 y 14 resuelva la ecuación de Laplace (1) para
u(x, 0) ϭ f (x), u(x, b) ϭ 0
una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas.
uu 0 13. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0
4. 0,
xx 0 xx a u(x, 0) ϭ f (x), u(x, b) ϭ g(x)

u(x, 0) ϭ x, u(x, b) ϭ 0 14. u(0, y) ϭ F(y), u(a, y) ϭ G( y)
u(x, 0) ϭ 0, u(x, b) ϭ 0
5. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 1 Ϫ y
uu En los problemas 15 y 16 aplique el principio de superpo-
y y 0 0, y y 1 0 sición y resuelva la ecuación de Laplace (1) para una placa
cuadrada sujeta a las condiciones en la frontera dadas.
6. u(0, y) g ( y), u 0 15. u(0, y) ϭ 1, u(ʌ, y) ϭ 1
0, xx 1 0
u u u(x, 0) ϭ 0, u(x, ʌ) ϭ 1
yy 0 yy
16. u(0, y) ϭ 0, u(2, y) ϭ y(2 Ϫ y)

u u(0, y), u( , y) 1 u(x, 0) 0, u(x, 2) x, 0 x 1
7. 2 x, 1 x 2
xx 0

u(x, 0) ϭ 0, u(x, ʌ) ϭ 0 Problemas para analizar

8. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 0 17. a) En el problema 1 suponga que a ϭ b ϭ ʌ y f (x)
ϭ 100x(ʌ Ϫ x). Sin utilizar la solución u(x, y) dibuje,
u D PDQR FyPR VH YHUtD OD VXSHU¿FLH VREUH XQD UHJLyQ
u(x, 0), u(x, 1) f (x) UHFWDQJXODU GH¿QLGD SRU Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ.

yy 0 b) ¿Cuál es el máximo valor de la temperatura u para
0 Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ?
9. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 0
u(x, 0) ϭ 100, u(x, 1) ϭ 200 c) Utilice la información del inciso a) para calcular los

u 1 FRH¿FLHQWHV GH VX UHVSXHVWD GHO SUREOHPD 'HVSXpV
10. u(0, y) 10y,
use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la
xx 1 JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(x, y) que consiste en los
primeros cinco términos distintos de cero de la solu-
u(x, 0) ϭ 0, u(x, 1) ϭ 0 ción del inciso a) para 0 Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ. Utilice

En los problemas11 y 12 resuelva la ecuación de Laplace (1) para perspectivas diferentes y después compárelas con su

OD SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH HQFXHQWUD HQ OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD GHO dibujo del inciso a).
eje y. En cada caso suponga que u(x, y) está acotada cuando y A ϱ.
18. En el problema 16 ¿cuál es el valor máximo de la tempe-
11. y ratura u para 0 Յ x Յ 2, 0 Յ y Յ 2?

19. Resuelva el problema de Neumann para un rectángulo

u=0 u=0 2u 2u
x2 y2 0, 0 x 0, 0 y b

u u 0, 0xa
0,
yy 0 yy b
0 πx
u u g(y), 0 y b.
u = f (x) 0,
xx 0 xx a
FIGURA 12.5.4 Placa del problema 11.

484 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Explique por qué una condición necesaria para una solu- Discuta cómo se ha obtenido la respuesta siguiente:
ción u es que g satisfaga
u0 x u0 senh(1 x) u0 senh 2x cos 2y.
b u(x, y) cos y senh 2
senh 1
g(y)dy 0.
Desarrolle sus ideas.
0 Tarea para el laboratorio de computación

Esta condición se denomina la condición de compatibi- 21. a) Use la aplicación de trazo de curvas de nivel de su
lidad. Haga un poco de investigación por su parte y ex- 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV LVRWHUPDV u ϭ 170,
plique la condición de compatibilidad con la conexión a
tierra. 140, 110, 80, 60, 30 para la solución del problema 9.
20. Considere el problema con valores en la frontera Use la suma parcial S5(x, y) que consiste en los prime-
ros cinco términos distintos de cero de la solución.
2u 2u 0, 0 x 1, 0 y ʌ
x2 y2 b) 8WLOLFH OD DSOLFDFLyQ GH JUi¿FD WULGLPHQVLRQDO GH VX
SAC para trazar la suma parcial S5(x, y).
u(0, y) u0 cos y, u(1, y) u0(1 cos 2y)
22. Use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar las isoter-
u 0, u 0. mas u ϭ 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0, Ϫ0.05 de la solución del
yy 0 yy ʌ problema 10. Utilice la suma parcial S5(x, y) formada por
los cinco primeros términos distintos de cero de la solución.

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA

INTRODUCCIÓN Se dice que un problema con valores en la frontera es no homogéneo si la ecua-
ción diferencial parcial o las condiciones de frontera son no homogéneas. El método de separación
de variables que se ha empleado en las tres secciones anteriores no puede aplicarse directamente a un
problema con valores en la frontera no homogéneso. Sin embargo, en las dos primeras técnicas que
analizamos en esta sección empleamos un cambio de variable u ϭ v ϩ ␺ que transforma un problema
con valores en la frontera no homogéneo en dos problemas. El último problema es homogéneo y se
puede resolver con separación de variables. La segunda técnica puede también empezarse con un
cambio de una variable dependiente y luego recurrir a un procedimiento directo de PVF utilizando
desarrollos en series ortogonales.
A continuación mostraremos dos métodos de solución distintos para los diferentes tipos de PVF no
homogéneos.

EDP Y CF INDEPENDIENTES DEL TIEMPO Primero, consideraremos un PVF
que involucra una ecuación no homogénea independiente del tiempo y condiciones de
frontera independientes del tiempo. Un ejemplo de este tipo de problemas es:

−2u −u (1)
k −x2 1 F(x) 5 −t , 0 , x , L, t . 0
u(0, t) 5 u0, u(L, t) 5 u1, t . 0

u(x, 0) 5 f (x), 0 , x , L,

donde k Ͼ 0 es una constante. Se puede interpretar a (1) como un modelo para la
distribución de temperatura u(x, t) en el interior de una varilla de longitud L, donde

el calor interno de la varilla se ha generado por medios eléctricos o químicos a una

rapidez F(x) y las fronteras x ϭ 0yx ϭ Lgesneemraanatuiennaenracpoidnesztacnotensstaantetme rpedreantutrroasdue0lya
u1, respectivamente. Cuando el calor se

varilla, la ecuación de calor en (1) toma la forma.

k −2u 1 r 5 −u . (2)
−x2 −t

Ahora se ve fácilmente que la ecuación (2) no es separable. Por otro lado, supongamos
que deseamos resolver la ecuación de calor homogénea general kuxx ϭ ut Cuando se
mantienen las fronteras en x ϭ 0 y x ϭ L, por ejemplo, con temperaturas diferentes de

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA O 485

cero. Aunque la sustitución u(x, t) ϭ X(x)T(t) separa la EDP, nos encontramos rápida-

mente con un obstáculo en la determinación de los valores propios y de las funciones

propias ya que no se pueden obtener los valores de X(0) y X(L) de u(x, 0) ϭ X(0)T(t)

ϭ u y u(x, L) ϭ X(L)T(t) = u1.
0

Cambiando la variable dependiente u a una nueva variable dependiente v sustitu-

yendo u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x), (1) se puede reducir a dos problemas:

Problema A: {k F(x) 0, (0) u0, (L) u1
Problema B:
2v v,
k x2 t
v(0, t) 0, v(L, t) 0
v(x, 0) f (x) (x)

2EVHUYH TXH HO SUREOHPD A LPSOLFD XQD ('2 k␺0 1 F(x) 5 0 que se puede resolver
por integración, mientras que el problema B es un PVF homogéneo que se puede resol-
ver directamente por el método de separación de variables. Una solución del problema
no homogéneo dado es entonces una superposición de soluciones.

Solución u ϭ Solución ȥ del problema A ϩ solución v del problema B.

No hay algo en el análisis anterior que deba memorizar; usted debe trabajar cada
vez con la sustitución u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x) como se indica en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1 EDP independiente del tiempo y CF

Resuelve k −2u 1 r 5 −u 0 , x , 1, t.0
−x2 −t ,

u(0, t) 5 0, u(1, t) 5 u1, t . 0 (3)

u(x, 0) 5 f (x), 0 , x , 1,

donde r y u son constantes distintas de cero.
1

SOLUCIÓN La ecuación diferencial parcial y la condición de frontera en x ϭ 1 son
no homogéneas. Si hacemos u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x), entonces

−2v −u −v
−x2 1 ␺0(x) y −t 5 −t .

Sustituyendo estos resultados, la EDP en (3) se convierte en

−2v −v (4)
k −x2 1 k␺0(x) 1 r 5 −t .

La ecuación (4) se reduce a una ecuación homogénea si pedimos que ȥ satisfaga

k␺0(x) 1 r 5 0 o ␺0(x) 5 2kr .
Integrando la última ecuación dos veces se obtiene que

(x) r x2 c1x c2. (5)
u(0, t) 2k (0) 0
u(1, t) (1) u1.
Además, v(0, t)

v(1, t)

Se tiene que v(0, t) ϭ 0 y v(1, t) ϭ 0, siempre que (␺) también satisfaga

(0) 0 y (1) u1.

486 O CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Aplicando estas dos últimas condiciones a la ecuación (5) se obtiene, respectivamente,

c ϭ 0 y c ϭ r͞2k ϩ u1. Por tanto,
2 1

1 2␺(x) 5 2 r x2 1 r 1 u1 x.
2k 2k

Por último, la condición inicial en implica que v(x, 0) ϭ u(x, 0) Ϫ ȥ(x) ϭ f (x) Ϫ ȥ(x).
Entonces, para determinar v(x, t), resolvemos el nuevo problema con valores en la

frontera

k −2v 5 −v 0 , x , 1, t.0
−x2 −t ,

v(0, t) 5 0, v(1, t) 5 0, t . 0

1 2v(x, 0) 5 f (x) 1 r x2 2
2k
r 0,x,1
2k 1 u1 x,

por separación de variables. De la manera usual encontramos que

v(x, t) An e kn2 2t sen n x, (6)
(7)
donde n1

An 1 r x2 r u0 x sen n x dx.
2k 2k
2 f (x)

0

Una solución del problema original es u(x, t) ϭ v(x, t) ϩȥ(x), o:

u(x, t) r x2 r u0 x An e kn2 2t sen n x, (8)
2k 2k
n1

GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV An HVWiQ GH¿QLGRV HQ OD HFXDFLyQ

Una inspección de (6) muestra que v(x, t) A 0 ȥ(x) cuando t A ϱ y, por lo tanto, a v(x, t)

se le llama una solución transitoria. Pero observe en (8) que u(x, t) A ȥ(x) cuando t A ϱ. En

el contexto de la solución de la ecuación de calor, ȥ(x) se llama solución de estado estable.

EDP Y CF DEPENDIENTES DEL TIEMPO Ahora veremos un método para resol-
ver algunas clases de PVF que implican una ecuación no homogénea dependiente del
tiempo y condiciones frontera dependientes del tiempo. Un problema similar a (1),

−2u −u (9)
k −x2 1 F(x, t) 5 −t , 0 , x , L, t . 0
u(0, t) 5 u0(t), u(L, t) 5 u1(t), t . 0

u(x, 0) 5 f (x), 0 , x , L,

describe las temperaturas en una varilla de longitud L pero en este caso el término de fuente
de calor F y las temperaturas en los dos extremos de la varilla pueden variar con el tiempo t.

Intuitivamente uno podría esperar que la línea de ataque para este problema sería una exten-

sión natural del procedimiento que funcionó en el ejemplo 1, es decir, se busca una solución
de la forma u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x, t). Si bien esta forma de la solución es correcta en algu-
nos casos, por lo general no es posible encontrar una función de dos variables ȥ(x, t) que
reduzca un problema para v(x, t) a uno homogéneo. Para entender por qué pasa esto, vamos
a ver lo que sucede cuando se sustituye u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x, t) en la EDP en (9). Ya que

−2u 5 −2v 1 −2␺ y −u 5 −v 1 −␺ (10)
−x2 −x2 −x2 −t −t −t , (11)

El PVF (9) se convierte en

−2v −2␺ −v −␺
k −x2 1 k −x2 1 F(x, t) 5 −t 1 −t

v(0, t) 1 ␺(0, t) 5 u0(t), v(L, t) 1 ␺(L, t) 5 u1(t)

v(x, 0) 5 f (x) 2 ␺(x, 0).

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA O 487

Las condiciones frontera sobre v en (11) serán homogéneas si exigimos que

␺(0, t) 5 u0(t), ␺(L, t) 5 u1(t). (12)

Si, en este punto, seguimos los mismos pasos en el método utilizado en el ejemplo 1,
intentaremos forzar el problema en (11) a que sea homogéneo requiriendo Nȥxx ϩ F(x,
t) ϭ ȥt y luego imponiendo las condiciones en (12) en la solución ȥ. Pero en vista de
TXH OD HFXDFLyQ GH GH¿QLFLyQ GH ȥ es en sí misma una EDP no homogénea, esta es

una expectativa irreal. Por lo que intentamos una dirección totalmente diferente sim-

plemente construyendo una función ȥ que satisfaga ambas condiciones dadas en (12).

Tal función está dada por

x (13)
␺(x, t) 5 u0(t) 1 L [u1(t) 2 u0(t)] .

$O LQVSHFFLRQDU GH QXHYR D YHPRV TXH KHPRV REWHQLGR DOJXQD VLPSOL¿FDFLyQ

adicional con esta elección de ȥ ya que ȥxx ϭ 0. Ahora empezamos de nuevo. Esta vez

si sustituimos

u(x, t) 5 v(x, t) 1 u0(t) 1 x [u1(t) 2 u0(t)] (14)
L

entonces el problema de valor de frontera (11) se convierte en

−2v −v
k −x2 1 G(x, t) 5 −t , 0 , x , L, t . 0

v(0, t) 5 0, v(L, t) 5 0, t . 0 (15)

v(x, 0) 5 f (x) 2 ␺(x, 0), 0 , x , L,

donde G(x, t) ϭ F(x, t) Ϫ ȥW . Mientras que el problema (15) sigue siendo no homogé-
neo (las condiciones frontera son homogéneas pero la ecuación diferencial parcial no
es homogénea) es un problema que podemos resolver.

ESTRATEGIA BÁSICA El método de solución para (15) está un poco complicado,

así que antes de ilustrarlo con un ejemplo concreto, primero esbozamos la estrategia

básica:

6H KDFH OD VXSRVLFLyQ GH TXH ORV FRH¿FLHQWHV GHSHQGLHQWHV GHO WLHPSR vn(t), y
Gn(t) se pueden encontrar de forma que tanto v(x, t), como G(x, t) en (15) se puedan
desarrollar en serie

o ov(x,t) 5 ` n␲ x t) 5 ` Gn(t) n␲ x,
n51 vn(t) sen L y G(x, n51 sen L (16)

donde sen(Qʌ[͞L), n ϭ 1, 2, 3, …, son las eigenfunciones de XЉ ϩ Ȝ; ϭ 0, X(0) ϭ

0, X(L) ϭ 0 correspondiendo a los eigenvalores n 2 n2 2> L2. Este problema
n

de Sturm-Liouville se podría haber obtenido de la separación de variables que se ha

aplicado al PVF homogéneo asociado de (15). En (16), observe que la serie supuesta

o` n␲
v(x, t) 5 vn(t) sen L x satisface ya las condiciones frontera de (15). Ahora al sus-

n51

tituir esta serie por v(x, t) en la EDP no homogénea en (15), se reúnen términos, y se

iguala la serie resultante con el desarrollo de la serie real encontrada para G(x, t).

En el siguiente ejemplo ilustramos este método resolviendo un caso especial de (9).

EJEMPLO 2 Condición frontera dependiente del tiempo

Resuelva −2u −u
−x2 −t ,
5 0 , x , 1, t.0

u(0, t) 5 cos t, u(1, t) 5 0, t . 0

u(x, 0) 5 0, 0 , x , 1.