ECUACIONES_DIFERENCIALES_CON_PROBLEMAS_C

238 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

• Prueba de la razón /D FRQYHUJHQFLD GH XQD VHULH GH SRWHQFLDV VXHOH GHWHUPL
narse mediante la prueba de la razón 6XSRQJD TXH cn 0 para toda n en
n 0 cn(x a)n y que

lím cn 1(x a)n 1 x a lím cn 1 L.
cn(x a)n n: cn
n:

Si L Ͻ OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH VL L Ͼ OD VHULH GLYHUJH \ VL
L ϭ HO FULWHULR QR HV FRQFOX\HQWH /D SUXHED GH OD UD]yQ QXQFD HV FRQFOX\HQWH
en un punto extremo a Ϯ R

EJEMPLO 1 Intervalo de convergencia

'HWHUPLQH HO LQWHUYDOR \ UDGLR GH FRQYHUJHQFLD SDUD o` (x 2 3)n .
2nn
n51

SOLUCIÓN /D SUXHED GH OD UD]yQ DUURMD

(x 3)n 1

lím 2n 1(n 1) x 3 lím n11 x 3.
no (x 3)n
no 2n 2

2nn

la serie converge absolutamente para 1 x 3 1o x 3 2 o 1 x 5 (VWD
2
~OWLPD GHVLJXDOGDG GH¿QH HO LQWHUYDOR abierto GH FRQYHUJHQFLD /D VHULH GLYHUJH SDUD

x 3 2 HV GHFLU SDUD x Ͼ 5 o x Ͻ (Q HO H[WUHPR L]TXLHUGR x ϭ 1 del intervalo

DELHUWR GH FRQYHUJHQFLD OD VHULH GH FRQVWDQWHV n 1 (( 1)n͞n) es convergente por la
SUXHED GH VHULHV DOWHUQDQWHV (Q HO H[WUHPR GHUHFKR x ϭ OD VHULH n 1 (1> n) es la serie

DUPyQLFD GLYHUJHQWH (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH HV > y el radio de

convergencia es R ϭ

• Una VHULH GH SRWHQFLDV GH¿QH XQD IXQFLyn 8QD VHULH GH SRWHQFLDV GH¿QH XQD
función f (x) n 0 cn(x a)n cuyo dominio es el intervalo de convergencia
GH OD VHULH 6L HO UDGLR GH FRQYHUJHQFLD HV R Ͼ 0 o R ϭ ’ HQWRQFHV f HV FRQWLQXD
derivable e integrable sobre los intervalos (a Ϫ R a ϩ R R Ϫ’ ’ $GHPiV
f Ј(x \ f (x)dx VH HQFXHQWUDQ GHULYDQGR H LQWHJUDQGR WpUPLQR D WpUPLQR

/D FRQYHUJHQFLD HQ XQ H[WUHPR VH SRGUtD SHUGHU SRU GHULYDFLyQ R JDQDU SRU
`
oLQWHJUDFLyQ 6L y9 5 cnnxn21 c cx c x c x
5 0 ϩ 1 ϩ ϩ ϩ Â Â Â HV XQD VHULH

de potencias en x HQnW5R1QFHV ODV SULPHUDV GRV GHULYDGDV VRQ y n 0 nxn 1

y y n 0 n(n 1)xn 2. 2EVHUYH TXH HO SULPHU WpUPLQR HQ OD SULPHUD

GHULYDGD \ ORV GRV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHJXQGD GHULYDGD VRQ FHUR 6H RPLWHQ

HVWRV WpUPLQRV FHUR \ VH HVFULEH

y cn n xn 1 ϭ c ϩ c x ϩ c x ϩ 4c4x ϩ Â Â Â
1
n 1

y cn n ( n 1)xn 2 ϭ c ϩ 6c x ϩ c4x ϩ Â Â Â

n2

$VHJ~UHVH GH HQWHQGHU ORV GRV UHVXOWDGRV GDGRV HQ HVSHFLDOPHQWH REVHUYH
GyQGH FRPLHQ]D HO tQGLFH GH OD VXPD HQ FDGD VHULH (VWRV UHVXOWDGRV VRQ
LPSRUWDQWHV \ VH XVDUiQ HQ WRGRV ORV HMHPSORV GH OD VLJXLHQWH VHFFLyQ

• Propiedad de identidad Si n 0 cn(x a)n 0, R 0 SDUD WRGRV ORV
Q~PHURV x HQ HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HQWRQFHV cn ϭ 0 para toda n

• Analítica en un punto 8QD IXQFLyQ f es analítica en un punto a si se puede
representar mediante una serie de potencias en x Ϫ a con un radio positivo o
LQ¿QLWR GH FRQYHUJHQFLD (Q FiOFXOR VH YH TXH ODV IXQFLRQHV FRPR ex VHQ x
cos x ex ln(1 ϩ x HWFpWHUD VH SXHGHQ UHSUHVHQWDU PHGLDQWH VHULHV GH 7D\ORU

6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS O 239

f (n)(a) a)n f (a) f (a) a) f (a) a)2 ...
(x (x (x
n 0 n! 1! 1!

R XQD VHULH GH 0DFODXULQ

f (n)(0)xn f(0) f (0) f (0)x2 . . ..
n 0 n! x
1! 1!

3RGUtD UHFRUGDU DOJXQDV GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV HQ VHULH GH 0DFODXULQ FX\RV
UHVXOWDGRV VH SXHGHQ XWLOL]DU SDUD REWHQHU UHSUHVHQWDFLRQHV GH VHULHV GH SRWHQFLDV
de otras funciones:

Series de Maclaurin Intervalo
de Convergencia

ex 1 x x2 x3 . . . 1 xn ( ,)
1! 2! 3! n 0 n! ( ,)
( ,)
cos x 1 x2 x4 x6 . . . ( 1)nx2n [ 1, 1] (2)
2! 4! 6! n 0 (2n)! ( ,)
( ,)
sen x x x3 x5 x7 . . . ( 1)n x2n 1 ( 1, 1]
3! 5! 7! n 0 (2n 1)! ( 1, 1)

tan 1 x x x3 x5 x7 . . . ( 1)n x2n 1
357 n 0 2n 1

cosh x 1 x2 x4 x6 . . . 1 x2n
2! 4! 6! n 0 (2n)!

senh x x x3 x5 x7 . . . 1 x2n 1
3! 5! 7! n 0 (2n 1)!

ln(1 x) x x2 x3 x4 . . . ( 1)n 1

234 n1 n xn

1 1 x x2 x3 . . . xn
1x
n0

3RU HMHPSOR VL GHVHDPRV HQFRQWUDU OD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH 0DFODXULQ
GH GLJDPRV ex2 QHFHVLWDPRV VXVWLWXLU x en la serie de Maclaurin de ex:

ex2 1 x2 x4 x6 . . . 1 x2n.
1! 2! 3! n 0 n!

'H PDQHUD VLPLODU SDUD REWHQHU XQD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH 7D\ORU GH OQ x
centrada en a ϭ VXVWLWX\D x por x Ϫ 1 en la serie de Maclaurin para ln(1 ϩ x

ln x ln(1 (x 1)) (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 . . . ( 1)n 1 1)n.
2 34 (x
n1 n

3XHGH WDPELpQ FRPSUREDU TXH HO El intervalo de convergencia para la representación en serie de potencias de ex2
LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV @ es el mismo que para ex HV GHFLU Ϫ’ ’ 3HUR HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD
usando la prueba de convergencia de la serie de Taylor de ln x HV DKRUD @ HVWH LQWHUYDOR HV Ϫ @ GHVSOD]DGR
XQD XQLGDG D OD GHUHFKD

• Aritmética de series de potencias /DV VHULHV GH SRWHQFLDV VH FRPELQDQ PHGLDQWH
RSHUDFLRQHV GH VXPD PXOWLSOLFDFLyQ \ GLYLVLyQ /RV SURFHGLPLHQWRV SDUD ODV VHULHV
GH SRWHQFLDV VRQ VLPLODUHV D ORV TXH VH XVDQ SDUD VXPDU PXOWLSOLFDU \ GLYLGLU GRV
SROLQRPLRV HV GHFLU VH VXPDQ ORV FRH¿FLHQWHV GH SRWHQFLDV LJXDOHV GH x VH XVD OD
OH\ GLVWULEXWLYD \ VH UH~QHQ WpUPLQRV VHPHMDQWHV \ VH UHDOL]D OD GLYLVLyQ ODUJD

240 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

EJEMPLO 2 Multiplicación de series de potencias

'HWHUPLQH XQD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV GH ex sen x
SOLUCIÓN 8WLOL]DPRV XQD VHULH GH SRWHQFLDV SDUD ex y sen x

ex sen x x2 x3 x4 x x3 x5 x7
1x
6 120 5040
2 6 24

(1)x (1)x2 1 1 x3 1 1 x4 1 1 1 x5
62 66 120 12 24

x x2 x3 x5 .
ϩ
3 30

3XHVWR TXH ODV VHULHV GH SRWHQFLDV SDUD ex y sen x convergen sobre (Ϫ’ ’ OD VHULH GH
SURGXFWRV FRQYHUJH VREUH HO PLVPR LQWHUYDOR /RV SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ PXOWL-
SOLFDFLyQ R GLYLVLyQ GH VHULHV GH SRWHQFLDV VH UHVXHOYHQ PHMRU XVDQGR XQ VLVWHPD DOJH-
EUDLFR FRPSXWDFLRQDO

CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA 3DUD HO UHVWR GH HVWD VHFFLyQ DVt
FRPR HVWH FDStWXOR HV LPSRUWDQWH TXH VH DFRVWXPEUH D VLPSOL¿FDU OD VXPD GH GRV R
PiV VHULHV GH SRWHQFLDV FDGD XQD H[SUHVDGD HQ QRWDFLyQ GH VXPD HQ XQD H[SUHVLyQ
con una sola . &RPR VH PXHVWUD HQ HO VLJXLHQWH HMHPSOR OD FRPELQDFLyQ GH GRV R
PiV QRWDFLRQHV GH VXPD HQ XQD VROD VXHOH UHTXHULU TXH VH YXHOYD D LQGL]DU OD VHULH HV
GHFLU TXH VH UHDOLFH XQ FDPELR HQ HO tQGLFH VtPEROR GH VXPD

EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias

Escriba ``
o on(n 2 1)cnxn22 2 cnxn11
n52 n50

FRPR XQD VROD VHULH GH SRWHQFLDV

SOLUCIÓN 3DUD VXPDU ODV GRV VHULHV HV QHFHVDULR TXH DPERV tQGLFHV GH ODV VXPDV
FRPLHQFHQ FRQ HO PLVPR Q~PHUR \ ODV SRWHQFLDV GH x HQ FDGD FDVR HVWpQ ³HQ IDVH´ HV
GHFLU VL XQD VHULH FRPLHQ]D FRQ XQ P~OWLSOR GH SRU HMHPSOR x D OD SULPHUD SRWHQFLD

HQWRQFHV VH TXLHUH TXH OD RWUD VHULH FRPLHQFH FRQ OD PLVPD SRWHQFLD 2EVHUYH TXH HQ
HO SUREOHPD OD SULPHUD VHULH HPSLH]D FRQ x0 PLHQWUDV TXH OD VHJXQGD FRPLHQ]D FRQ x1

6L VH HVFULEH HO SULPHU WpUPLQR GH OD SULPHUD VHULH IXHUD GH OD QRWDFLyQ GH VXPD

serie comienza serie comienza

con x con x

para n ϭ 3 para n ϭ 0

ϱ ϱ
͚ ͚ ͚ ͚ϱ ϱ
n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 Ϫ cnxnϩ1 ϭ 2 и 1c2x0 ϩ n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 Ϫ cnxnϩ1,
nϭ2 nϭ0 nϭ3 nϭ0

YHPRV TXH DPEDV VHULHV GHO ODGR GHUHFKR HPSLH]DQ FRQ OD PLVPD SRWHQFLD GH x HQ
particular x1 $KRUD SDUD REWHQHU HO PLVPR tQGLFH GH OD VXPD VH WRPDQ FRPR JXtD
los exponentes de x; se establece k ϭ n Ϫ HQ OD SULPHUD VHULH \ DO PLVPR WLHPSR
k ϭ n ϩ HQ OD VHJXQGD VHULH 3DUD n ϭ HQ k ϭ n Ϫ REWHQHPRV k ϭ \ SDUD n ϭ 0
en k ϭ n ϩ 1 obtenemos k ϭ \ DVt HO ODGR GHUHFKR GH OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

igual

ϱϱ

͚ ͚2c2 ϩ (k ϩ 2)(k ϩ 1)ckϩ2xk Ϫ ckϪ1xk.
kϭ1 kϭ1
igual