MATEMÁTICA
Primer Año
EDUCACIÓN MEDIA
MATEMÁTICA
Primer Año
EDUCACIÓN MEDIA
El texto Matemática 7 del Proyecto Sé Protagonista es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de
Ediciones SM Chile.
Dirección editorial
Arlette Sandoval Espinoza
Jefatura editorial
Georgina Giadrosić Reyes
Coordinación área Matemática
Pablo Saavedra Rosas
Edición
Pablo Saavedra Rosas
Ayudantía de edición
Camila Prieto Córdova
Autoría
Susan Schwerter Felmer
Mauricio Aguilar Baeza
Marcelo Maulén Villar
Asesoría pedagógica
Mabel Vega Rojas
Consultoría
Ilich Aguayo Escobar
Corrección de estilo y prueba
Sergio Andrade Legua
Paula Vera Solís
Jefatura de arte
Carmen Gloria Robles Sepúlveda
Montaje de portada
Eduardo Cuevas Romero
Diseño y diagramación
María Elena Nieto Flores
Rossana Allegro Valencia
Ilustración
Nicolás Farfán Farfán
Fotografías
Latinstock
Archivos fotográficos SM
Jefatura de producción
Andrea Carrasco Zavala
www.ediciones-sm.cl
Este libro ha sido elaborado conforme al Marco Curricular Vigente, del Ministerio de Educación de Chile.
© 2014 - Ediciones SM Chile S.A - Coyancura 2283, oficina 203 Providencia.
ISBN: 978-956-349-601-7 / Depósito legal: 237.528
E-mail: [email protected]
Servicio de Atención al cliente: 600 381 13 12
Impreso en Chile / Printed in Chile - QuadGraphics.
Quedan rigurosamnte prohibidas, sin la autorización de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
Presentación
El texto Matemática 7 del Proyecto Sé Protagonista fue pensado para
acompañarte en el desafío que emprenderás este año y acercarte al
conocimiento de la Matemática. Sé Protagonista es una propuesta integral,
desarrollada para contribuir a tu formación como ciudadano activo, capaz de
integrarte y dejar huella en la sociedad. Este proyecto se articula en
cinco ejes:
1. Nueva estructuración de la Educación Media
2. Aprendizaje eficaz y desarrollo de habilidades
3. Evaluación para el aprendizaje
4. Desarrollo de valores
5. Desarrollo de habilidades digitales
En Matemática, el proyecto Sé Protagonista fomenta el desarrollo del
pensamiento matemático, entendido como la aplicación de la Matemática en
diversos ámbitos y como la comprensión de situaciones cotidianas mediante
la resolución de problemas, lo que favorece el desarrollo de una actitud
reflexiva y abierta al debate, y permite comprender los razonamientos y
conceptos.
El fin de nuestros tiempos será Es cierto…haré un listado de mis
el 19 de octubre de 1533. virtudes y defectos y eso me dirá
para qué soy bueno.
ÍÍnnddicicee temático
¿Qué significa
41y61?
Mejor haz otra cosa, ¿o prefieres
ir a la cárcel por tus profecías?
6 Conoce tu texto
Unidad
Unidad
10 Números 78 Álgebra y funciones
12 Evaluación inicial 80 Evaluación inicial
1Lección Números enteros 5Lección Lenguaje algebraico
14 Números positivos y números negativos 82 Constantes y variables
16 Conjuntos numéricos 83 Lenguaje algebraico
18 Unión e intersección de conjuntos 84 Expresiones algebraicas
20 Representación de números enteros 86 Valorización de expresiones algebraicas
22 Valor absoluto 88 Reducción de expresiones algebraicas
24 Orden y comparación 92 Evaluación
26 Adición en ℤ
28 Sustracción en ℤ 6Lección Propiedades
30 Evaluación
94 Propiedades de la adición
2Lección Fracciones y decimales 96 Propiedades de la multiplicación
98 Propiedad distributiva
32 Representación 100 Aplicaciones
33 Conversión 102 Evaluación
35 Orden y comparación
36 Adición y sustracción 104 Taller de Resolución de problemas
38 Multiplicación y división de fracciones
40 Multiplicación y división de decimales 7Lección Ecuaciones e inecuaciones
42 Operaciones combinadas
44 Evaluación 106 Ecuaciones
108 Inecuaciones
46 Taller de TIC 110 Planteo de ecuaciones
112 Planteo de inecuaciones
3Lección Potencias 114 Análisis de resultados
116 Evaluación
48 Potencias de base 10
50 Multiplicación de potencias de base 10 8Lección Variaciones proporcionales
52 División de potencias de base 10
54 Operaciones combinadas 118 Razón y proporción
56 Descomposición aditiva canónica 120 Proporción directa
57 Notación científica 123 Proporción inversa
58 Evaluación 126 Aplicaciones
128 Evaluación
4Lección Porcentajes
130 Taller de TIC
60 Representación de porcentajes
62 Cálculo de porcentajes 132 Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
66 Aplicaciones
68 Evaluación 134 Evaluación final
70 Taller de Resolución de problemas
72 Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
74 Evaluación final
4 Sé Protagonista © Ediciones SM
Su majestad, he traído ante usted ¡Qué juego más entretenido! ¿Qué estás ¡Pero, qué haces Leonardo!
un juego, se llama ajedrez. ¿Con qué te recompenso? haciendo Leonardo? Mmm…
nada.
Si me gusta, Sissa, Quiero 1 grano
te recompensaré. de trigo por la ¿Tu nariz es proporcional a
primera casilla tu rostro?, porque si no…
¡Cuatro décimos y del tablero, 2
seis décimos!... y no por la segunda y
se te ocurra pensar continuar doblando
la cantidad de
que son velas de granos de trigo
cera, jaja… por cada casilla,
hasta completar el
tablero.
Unidad
Unidad
138 Geometría 204 Probabilidad y estadística
1 40 Evaluación inicial 206 Evaluación inicial
9Lección Área de polígonos 13Lección Muestreo, tablas y gráficos
142 Polígonos y ángulos 208 Población y muestra
144 Área de paralelogramos 210 Técnica de muestreo simple
146 Área de triángulos 211 Técnicas de muestreo estratificado y sistemático
148 Área de trapecios 214 Tablas de frecuencias
150 Aplicaciones 216 Diagrama de tallo y hojas
152 Evaluación 218 Histogramas
220 Aplicaciones
10Lección El círculo 222 Evaluación
154 Círculo y circunferencia 14Lección Media, moda, mediana y rango
156 Perímetro del círculo
158 Área del círculo 224 Media aritmética, moda y mediana
160 Área de figuras compuestas 228 Rango
162 Evaluación 230 Medidas de tendencia central e inferencia
232 Evaluación
11Lección Construcciones geométricas 234 Taller de TIC
164 Conceptos básicos 15Lección Probabilidad
165 Punto medio de un segmento
166 Rectas paralelas 236 Experimentos y probabilidad
168 Rectas perpendiculares 240 Experimentos equiprobables y no equiprobables
170 Simetral o mediatriz 244 Ley de Laplace
172 Bisectriz 246 Triángulo de Pascal
174 Alturas y transversales de gravedad 249 Árbol de probabilidades
176 Ángulos y segmentos congruentes 252 Evaluación
178 Construcción de triángulos y cuadriláteros 254 Taller de Resolución de problemas
182 Evaluación 256 Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
258 Evaluación final
184 Taller de TIC
262 Evaluación tipo SIMCE®
12Lección Movimientos de figuras planas
186 Plano cartesiano
188 Vectores
190 Posición y desplazamiento
192 Juegos y desplazamiento
194 Evaluación
196 Taller de Resolución de problemas
198 Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
200 Evaluación final
Sé Protagonista © Ediciones SM 5
Conoce tu texto A continuación, te invitamos a revisar el detalle de los tipos de páginas y secciones que encontrarás en cada
una de las unidades del texto.
Inicio de unidad
Objetivo
Para dar inicio a la unidad, se presenta una
imagen central y preguntas relacionadas al
tema.
Evaluación inicial
Objetivo
tiene como propósito diagnosticar los cono-
cimientos y habilidades que posees.
Incluye preguntas de conceptos y procedi-
mientos estudiados anteriormente.
Secciones que encontrarás
Me evalúo: es una instancia que te
permitirá revisar tus fortalezas y
debilidades en la evaluación.
6 Sé PRotAGoNIStA © EDICIoNES SM
Lecciones de unidad
Objetivo
Los contenidos de la unidad se organizan y
se desarrollan en breves lecciones.
Secciones que encontrarás
Ejercicios resueltos: actividades resueltas
cuyo objetivo es lograr la comprensión de
cierto tipo de tareas y conceptos.
Ejercicios propuestos: planteo de
actividades para que practiques los
contenidos estudiados en la lección.
Conectando con…: relaciona los contenidos
con otras disciplinas, ámbitos del saber o la
vida cotidiana.
Ayuda: aporta información que puede
resultar útil para llevar a cabo una
actividad o comprender un concepto.
Sé más: profundiza y amplía contenidos.
Desafío: presenta una o más preguntas
desafiantes para trabajar a partir de los
contenidos estudiados.
¿Qué opinas de esto?: se invita a
la opinión y reflexión a partir de un
determinado tema.
Evaluación de lección
Objetivo
Es una página doble donde se ejercitan los
contenidos estudiados en la lección.
• Cuando encuentres una pregunta destaca-
da en un cuadrado, significa que tendrás
que poner en juego más de un contenido
estudiado.
Sé PRotAGoNIStA © EDICIoNES SM 7
Conoce tu texto Talleres
Objetivo
Taller de Matemática aplicada
Se proponen preguntas de alternativas para
poner a prueba una determinada habilidad
y responder las preguntas, marcando alguna
de las opciones dadas.
Taller de estrategias
Se propone el trabajo de estrategias paso
a paso para aprender diversas técnicas de
trabajo matemático y lograr una mayor com-
prensión y afianzamiento de los contenidos.
Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
Objetivo
Se enseña a responder preguntas de alterna-
tivas tipo SIMCE®.
Evaluación final
Objetivo
tiene como propósito medir los conceptos y
procedimientos estudiados en cada unidad.
Incluye preguntas de alternativas y de desa-
rrollo tipo SIMCE® de los principales conte-
nidos de la unidad.
8 Sé PRotAGoNIStA © EDICIoNES SM
Sé PRotAGoNIStA © EDICIoNES SM Taller de TIC
Objetivo
El propósito de este taller es capacitar en el
uso de diferentes herramientas tecnológicas;
por ejemplo, la calculadora científica, hojas
de cálculo o GeoGebra.
Taller de Resolución de problemas
Objetivo
Desarrollar la habilidad de solucionar proble-
mas, mediante una resolución paso a paso de
un ejercicio que involucra contenidos vistos
en la unidad.
En el texto encontrarás una referencia al
código web: SP7m247. Para acceder al link
sugerido, ingresa este código en la página
web del proyecto Sé Protagonista:
http://protagonista.proyecto-se.cl
9
b
_ba_ ≈ Número de oro a
Rectángulo áureo
_aL_na_crhg_oo_ ≈ 1,6
Número
de oro
10 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Unidad Números
_a_ ≈ Número de oro 1 Números enteros
b 2 Fracciones y decimales
3 Potencias
b 4 Porcentajes
a Observa la imagen y responde.
1. ¿cómo crees que se relaciona el número
de oro con la torre Eiffel? ¿Y con el delfín?
Investiga.
2. ¿cómo crees que se relaciona el número de
oro con las dimensiones de algunas partes
de tu cuerpo? Investiga.
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 11
UNIDAD
Evaluación inicial
Resuelve la siguiente evaluación para comenzar la unidad de Números.
1. Representa en la recta numérica los siguientes 4. Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa.
conjuntos de números. a. Si un número está ubicado a la derecha
a. {2, 6, 5, 7, 10, 13, 15} de otro en la recta numérica, entonces
es mayor.
{ }b. 2_3__ , _56__ , _11__2 _ , 3_4__ , 1_2__ , _43__ , 5_2__ b. En la recta numérica es posible
representar solo números naturales y
c. {1,8; 2,3; 0,1; 1,2; 2,7; 2,4; 3,3} fracciones.
c. Al amplificar una fracción se obtiene
{ }d. 5; 5 1_2__ ; 5,8; 2__58__ ; 6; 5,2 otra equivalente a la amplificada.
d. Los números decimales pueden ser
2. Compara cada par de números. Para ello escribe representados como fracción.
>, < o = según corresponda. e. Una razón es una comparación entre
dos cantidades por medio de la
sustracción.
f. Un porcentaje equivale a una razón de
numerador 100.
g. Un porcentaje puede ser escrito como
número decimal.
5. Amplifica cada fracción para obtener una de de-
nominador 100.
a. 15 29 f. 3.232 3.201 a. _27__5 _ → d. 1_5__70__ →
b. 1,533 1,537 g. 3_5__ 1_5__
c. 76 67,8 h. 0,87 0,93 b. _1_6_0_ _ → e. _26__5_ →
d. 1_8_3__ _18__3_
e. 14,22 i. 1,32 3_2_3_5_ c. _94__ → f. 3_4__ →
14,02 j. 1_5_2__ 3
3. Compara y ordena, de menor a mayor, cada con- 6. Simplifica cada fracción hasta obtener una frac-
junto de números. ción irreductible.
{ }a. 32; 15,87; 1 _4_8__ ; 43,56; 0,25; 3_ 5__ a. 1_4__84__ → d. 4_1__86__ →
<<<<<
{ }b. 3; 3,543; 7 _2__ ; 3,09; 1__56__ ; 3,01 b. _13__04__2 _ → e. 1_2_5_5_ →
<<<< < c. 1__4_0_ _ → f. _1_6_0_5_0_ _ →
12 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
7. Resuelve las adiciones y sustracciones. Luego es- 10. Calcula el porcentaje indicado de cada número.
cribe el resultado.
a. 78,6 + 987,6 = a. 8 % de 150 es d. 18 % de 400 es
b. _14__5_ + 1_3__70__ = b. 12 % de 200 es e. 78 % de 550 es
c. 8,79 – 4,56 = c. 50 % de 530 es f. 39 % de 600 es
d. 1_2_9_4_ − _46__ = 11. Resuelve los problemas.
e. _18__8_ + _86__1_ − 1_9__ = a. Aaglbuearytooctoramdperó2u_1 _9_n0_ _a libtoroteslldaedjeug1o3_4 .__ ¿lCituroánstdoes
litros de líquido compró en total?
f. 87,45 – 12,098 + 1,05 =
8. Resuelve las multiplicaciones y divisiones. Luego, b. Si 2,5 kg de manzanas cuestan $1.520, ¿cuánto
escribe el resultado. cuestan 8,5 kg?
a. 76,89 ⋅ 6 = e. 10,75 : 10 =
b. 4,8 ⋅ 5 = f. 56,4 : 0,3 =
c. 9,63 ⋅ 10 = g. 5,301 : 10 =
d. 68,6 ⋅ 100 = h. 11,96 : 1.000 =
9. ¿Cuál es el antecedente y cuál el consecuente de c. Un cuadro tiene un precio de $15.980. Si
cada una de las razones? al venderlo se cobra un impuesto del 20 %,
¿cuánto se paga en total por el cuadro?
a. 3 : 7 →
b. 87 : 2 →
c. 56 : 9 →
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Preguntas 1, 2, 3 y 4)
Representé, comparé y ordené números decimales y fracciones. (Preguntas 5 y 6)
Amplifiqué y simplifiqué fracciones. (Preguntas 7 y 8)
Resolví operaciones con números decimales y fracciones.
Identifiqué el antecedente y consecuente de razones y calculé porcentajes. (Preguntas 9 y 10)
Resolví problemas que involucran fracciones, decimales y porcentajes. (Pregunta 11)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 13
1Lección Michael Stifel El fin de nuestros tiempos será el Es cierto…haré un listado de mis
19 de octubre de 1533. virtudes y defectos y eso me dirá
para qué soy bueno.
Números Mejor haz otra cosa, ¿o prefieres
enteros ir a la cárcel por tus profecías?
↘ Números positivos y Números positivos y números negativos
números negativos
◾ Los números enteros corresponden a los números naturales (positivos), sus
↘ Conjuntos inversos u opuestos aditivos (negativos) y el cero.
numéricos
◾ Los números positivos pueden ser antecedidos o no por el signo +; mientras que
↘ Unión e intersección los números negativos siempre son antecedidos por el signo –.
de conjuntos
Los números positivos representan cantidades mayores que cero; mientras que los
↘ Representación de negativos expresan cantidades menores que cero.
números enteros
Ejercicios resueltos
↘ Valor absoluto
↘ Orden y 1. Clasifica los números en positivos o negativos. Para ello, completa la tabla.
–8, 2, 9, –122, 7, –68, –1.099, 1.300, –76, 22, –808, 3, 1, 76, –13
comparación
↘ Adición en 핑 Números negativos Números positivos
↘ Sustracción en 핑 –8, –122, –68, –1.099, –76, –808, –13 2, 9, 7, 1.300, 22, 3, 1, 76
Ayuda 2. Analiza cada situación. Luego, responde.
El inverso aditivo de
un número positivo es a. La altitud cero se asocia al nivel del mar. Entonces, ¿qué número entero crees
negativo, y el inverso que podría representar una profundidad de 35 metros?
aditivo de un número ▷ Como 35 metros de profundidad está bajo el nivel del mar, representado por el 0,
negativo es positivo. el número entero que lo podría representar es –35.
Por ejemplo, 5 es el
inverso aditivo de –5 y b. Si un termómetro marca 24 °c, ¿qué número entero puede representar esta
–3 es el inverso aditivo temperatura?
de 3. ▷ Como 24 °C es una temperatura mayor que 0 °C, el número entero que puede
representarla es 24.
Ejercicios propuestos
1. Escribe el inverso aditivo de cada número.
a. 10 → d. –223 → g. –768 →
h. 1 →
b. 18 → e. 1.233 → i. –991 →
c. –657 → f. –1 →
14 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM
Escribiré “+” para ¿Estos símbolos se podrán
señalar mis virtudes usar en Matemática?
y “–“ para señalar Mmm…creo que sí.
mis defectos. Ya veo por dónde
va mi camino.
¿Cuál crees que fue el
aporte, representado
en el cómic, que hizo
Stifel a la Matemática?
2. Representa con un número entero la temperatura de cada termómetro. Luego,
responde las preguntas.
Santiago coyhaique Rancagua Osorno Puerto Montt castro
a. ¿Qué ciudades presentaron temperaturas bajo cero?
b. ¿Qué ciudad presentó la mayor temperatura?
3. Marca un ✓ en los enunciados donde consideres que los signos asociados a
cada magnitud son coherentes.
a. Tomé –1 litro de agua.
b. Hay 38 estudiantes en cada curso.
c. El hijo de Martín tiene –3 años.
d. Hay –5 °c.
e. Gané –5.000 pesos.
f. Josefa comió –3 frutas.
4. Analiza la tabla y escribe “+” para los ingresos y “–” para los egresos. Ayuda
Los ingresos
Pago de arriendo del local. $300.000 Signo corresponden al dinero
Compra de productos. $558.000 que se recibe, por
Ventas del mes. $4.190.000 ejemplo, por la venta
Py taegléofodneoc.uentas de agua, luz $126.000 de bienes o servicios.
Ccoumepnrtaass adecrcéldieintote.s pagadas por Los egresos de dinero
Pago a trabajadores. $1.200.000 consisten en gastos o
inversiones.
$876.569
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 15
Lección 1: Números enteros
Sé más Conjuntos numéricos
• A ⊂ B significa que
Un conjunto numérico corresponde a una colección de números. Los conjuntos
los elementos de A numéricos son representados con una letra mayúscula y sus elementos pueden ser
están contenidos en escritos entre llaves { }.
el conjunto B. La cardinalidad (#) de un conjunto corresponde a la cantidad de elementos que este
• A ⊆ B significa que contiene, pudiendo ser cualquier número natural, 0 o incluso infinito (∞).
los elementos de A ◾◾ Un conjunto es finito si su cardinalidad es un número natural.
están contenidos en ◾◾ Un conjunto es vacío (∅ o { }) si su cardinalidad es 0, es decir, el conjunto no tiene
B, pudiendo ambos
conjuntos ser iguales. elementos.
◾◾ Un conjunto es infinito si su cardinalidad es ∞.
Sé más El conjunto de los números naturales se denota por ℕ:
• La cardinalidad de ℕ
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}
y ℤ es infinita, ya que El conjunto de los número enteros se denota por ℤ:
la cantidad de sus
elementos no puede ℤ = {...–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
ser numerada. El conjunto ℕ está contenido en el conjunto ℤ, por lo que ℕ es un subconjunto de ℤ,
• El conjunto de los es decir, ℕ ⊂ ℤ.
números naturales
pares tiene igual Ejercicios resueltos
cardinalidad que el
conjunto ℕ. 1. Aplica las definiciones dadas anteriormente y determina si los conjuntos ℕ y ℤ
son finitos, vacíos o infinitos. Justifica.
16
▷▷ Los conjuntos ℕ y ℤ son infinitos, ya que la cardinalidad de cada uno de ellos es ∞.
2. Identifica si cada conjunto es finito, vacío o infinito. Para ello, determina su
cardinalidad.
a. A = {Números naturales pares}.
▷▷ El conjunto de los números naturales pares contiene a todos aquellos números
naturales que son múltiplos de 2, por ende, 2, 4, 6, 8, etc.
Entonces:
A = {2, 4, 6, 8, 10…}
Y su cardinalidad es ∞. Por lo tanto, es un conjunto infinito.
b. B = {Números enteros mayores que 2 y menores que 7}.
▷▷ Los números mayores que 2 y menores que 7 son 3, 4, 5 y 6.
Entonces:
B = {3, 4, 5, 6}
Y su cardinalidad es 4. Por lo tanto, B es un conjunto finito.
3. Analiza los siguientes conjuntos. Luego, escribe un subconjunto de cada uno.
a. A = {–4, –8, 1, 9, 12} → Un subconjunto de A es P = {–4, 9, 12}.
b. ℕ → Un subconjunto de ℕ es Q = {100, 200, 300}.
c. ℤ → Un subconjunto de ℤ es R = {Números primos}.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Analiza cada afirmación. Luego, escribe V o F según corresponda.
a. El conjunto A es vacío. A B C D
b. D es subconjunto de ℕ.
c. B es subconjunto de ℤ. 0 –3 2 1 3 0
–2 6 4 5 5
d. C es subconjunto de ℕ y también de ℤ. 7
–1 8
0
2. Determina la cardinalidad de cada conjunto.
a. Números naturales impares menores que 100. →
b. Números enteros positivos menores que 9. →
c. Números naturales mayores que 8 y menores que 25. →
d. Números enteros negativos mayores o iguales que –11. →
e. Números enteros mayores que –2 y menores que 5. →
3. Identifica si los conjuntos dados son subconjuntos de ℕ, de ℤ o de ambos. Para
ello, completa con los símbolos ⊂ y ⊄, según corresponda.
a. A ℕ y A ℤ. B
b. B ℕ y B ℤ. A –3 D F
c. C ℕ y C ℤ.
d. D ℕ y D ℤ. 0 C 8 E
e. E ℕ y E ℤ. 1.673
f. F ℕ y F ℤ. 100 9078163 –1–2–39–39
12.333
4. Clasifica los conjuntos en finitos, infinitos o vacíos. Sé más
a. El conjunto de los números naturales múltiplos de 5.
b. El conjunto de los números enteros menores que 8. • El conjunto vacío es
c. El conjunto de los números enteros mayores que –100. subconjunto de todo
d. El conjunto de los números naturales menores que –17. conjunto.
e. El conjunto de los números primos pares mayores que 5.
f. El conjunto de los números enteros mayores o iguales que –12 y menores que 10. • Todo conjunto es
subconjunto de sí
5. Identifica si cada conjunto dado es subconjunto de ℕ, de ℤ o de ambos y mismo.
clasifícalo en finito, infinito o vacío.
• Un conjunto puede
a. El conjunto de los números naturales menores que 0. ser subconjunto de
b. El conjunto de los números enteros mayores que 13. varios conjuntos.
c. El conjunto de los números naturales mayores que 200.
d. El conjunto de los números naturales menores o iguales que 7.
e. El conjunto de los números enteros mayores que –3 y menores que 3.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 17
Lección 1: Números enteros
Unión e intersección de conjuntos
La unión (∪) de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
de A y todos los elementos de B. Se escribe A ∪ B y se lee “A unión B”.
La intersección (∩) de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
comunes de A y de B. Se escribe A ∩ B y se lee “A intersección B”.
AB AB
A∪B A∩B
Así, ℤ = ℤ– ∪ {0} ∪ ℤ+; donde:
ℤ– = {...–5, –4, –3, –2, –1}
ℤ+ = {1, 2, 3, 4, 5…}
Ejercicios resueltos
1. Realiza la unión y la intersección de cada par de conjuntos.
a. A = {0, 2, 6, –5} y B = {1, 2, 3, 5} • Intersección → A ∩ B = {2}
• Unión → A ∪ B = {0, 2, 6, –5, 1, 3, 5}
Ayuda b. c = {134, 98, 21} y d = {–12, –90, –876}
• Si dos conjuntos • Unión → C ∪ D = {134, 98, 21, –12, –90, –876} • Intersección → C ∩ D = ∅
tienen un elemento
en común, al realizar 2. Escribe el conjunto resultante. d. ℕ ∪ ℤ = ℤ
su unión este se e. ℤ– ∪ {0} ∪ ℕ = ℤ
escribe solo una vez. a. ℤ ∩ ℕ = ℕ f. ℤ– ∩ {0} ∩ ℤ+ = ∅
b. ℤ– ∩ ℤ = ℤ–
• Si dos conjuntos no c. {0} ∩ ℤ = {0}
tienen elementos
en común, su Ejercicios propuestos
intersección es el
conjunto vacío.
1. Escribe por extensión el conjunto resultante. Para ello considera: A = ∅,
B = {9, 14, 143}, C = {–1, –1.222, –33, –11} y D = {9, –11, 265, –1}.
a. A ∪ B d. d ∩ A g. B ∪ B
b. B ∪ c e. A ∩ c h. c ∩ d
c. c ∪ d f. d ∪ B i. B ∪ c ∪ d
2. Considera A = {1, –33, 143, 0}, B = {0, 17, –12} y C = {–21, –33, 0, 1, 17, –12}.
Luego, escribe por extensión cada conjunto resultante.
a. (A ∪ B) ∩ (c ∪ B)
b. (A ∩ B) ∪ (c ∩ B)
18 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM
3. Considera A = {–15, –9, 0, 1, 96}, B = {0, 1, –15, 9}, C = ∅, D = {23, 85, –1, 9}
y E = {–8, 12, 0, 1}. Identifica qué operación se realizó y entre qué par de
conjuntos para obtener los siguientes conjuntos resultantes.
a. {–15, 0, 1} e. {–15, –9, 0, 1, 96, 9}
b. {23, 85, –1, 9} f. {–15, 9, 0, 1}
g. {–8, 12, 0, 1}
c. ∅ h. {0, 1}
d. {23, 85, –1, 9, –8, 12, 0, 1}
4. Considera los conjuntos representados. Junto con un compañero o compañera
resuelvan y respondan. A B C
a. A ∪ C y A ∩ C. –7 –38158––971
• ¿Qué ocurre al unir un conjunto con el conjunto vacío? –8
• ¿Qué ocurre al intersecar un conjunto con el conjunto vacío?
9
b. B ∪ B y B ∩ B. 3
• ¿Qué ocurre al unir dos conjuntos iguales? ¿Y al intersecarlos?
c. A ∪ B y A ∩ B.
• ¿Qué ocurre al unir dos conjuntos cuando uno es subconjunto del otro?
• ¿Qué ocurre al intersecar dos conjuntos cuando uno es subconjunto del otro?
5. Escribe el o los conjuntos que cumplan con la operación dada en cada caso. Ayuda
F ∪ G = {0, 1, 2, 3,
a. A ∪ ∅ = {36, –13, 988, 142} e. F ∪ G = {0, 1, 3, 5, 7} 5, 7}, entonces F y
b. B ∩ C = {1, 2, 3} f. H ∩ I = ∅ G podrían ser, por
c. ∅ ∩ D = ∅ g. J ∩ J = {–6} ejemplo, F = {1, 3, 5, 7}
d. E ∪ E = {–34, 98, –63, 19} h. K ∪ L = {9, 42, –56, 8} y G ={0, 2}.
6. Completa las tablas con un conjunto que cumpla la operación indicada. Para
ello, guíate por el ejemplo.
∩ {–1, 1, 3, 5} {–3, –1, 5, 8}
{1, 3, 8, –9} {1, 3} {8}
{3, 5, –1} {3, 5, –1} {5, –1}
a. {2, 5, 9, –7}
{–7, 1, 2, 3, 5, 9}
∪
{–15, –7, 1, 12} {–15, –7, –6, 1, 2, 12, 15}
b. {–3, –2, –1, 0, 4, 7}
∩ {3, 5}
ℕ {–1, 3, 5}
ℤ
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 19
Lección 1: Números enteros
La imagen representa Representación de números enteros
una situación que puede
ser expresada con Los números enteros pueden ser representados en la recta numérica de la siguiente
números enteros. forma:
1.º Se traza una recta y se marca sobre ella un punto de referencia, correspondiente
al 0.
0
2.º Hacia la derecha del 0, se hacen marcas (puntos o segmentos) separadas por la
misma distancia, para ubicar los números enteros positivos (ℤ+).
01234567
3.º Hacia la izquierda del 0, se hacen marcas (puntos o segmentos) separadas por la
misma distancia, para ubicar los números enteros negativos (ℤ–).
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
Ejercicios resueltos
1. Representa en la recta numérica cada grupo de números enteros.
a. –5, –3, 1, 2, 5
Sé más –5 –3 012 5
La recta numérica
puede estar graduada b. 400, –600, 700, 300
en distintas unidades,
de 1 en 1, de 2 en 2, de –600 0 300 400 700
10 en 10, de 1.000 en
1.000, etc.
Ejercicios propuestos
1. Escribe los números enteros que correspondan en cada recta numérica.
a.
01
b.
–15 0 10
c.
–30 0 20 60
d.
–150 –50 0 100
20 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Utilizando una graduación adecuada, representa en la recta numérica cada
grupo de números enteros.
a. –12, –8, 10, 4, –9 e. 7, 21, –14, –28, 14
b. 1, –1, 3, –3, 5, –5 f. 100, –50, –25, 50, –75
c. –10, –20, –30, –40, –50 g. 4, 8, 12, –4, –24
d. –12, 3, –6, 9, 12 h. –15, 30, –45, 60, 75
3. Representa en cada recta numérica el inverso aditivo del número entero que
está representado.
a. 0
–5
b.
0 25
c. 0
–30
d.
0 700
4. Analiza cada afirmación. Luego, escribe V o F según corresponda. Conectando con...
a. En la recta numérica, –5 está a la derecha de –7.
b. En la recta numérica, –9 está a la derecha de 5. Deporte extremo
c. En la recta numérica, –120 se ubica a la izquierda de 0. El descenso de cerros
d. En la recta numérica, –3 está a la misma distancia de 0 que 3. en bicicleta es un
e. En la recta numérica, los números enteros positivos se ubican a la deporte extremo que,
izquierda de 0. dado su peligrosidad,
f. En la recta numérica, 0 separa a los números enteros positivos de los es realizado solo por
números enteros negativos. aquellos expertos que
cuentan con todo el
5. Observa la imagen. Luego, representa en la recta numérica la ubicación del equipo que les brinda
ciclista con respecto al punto de partida, los lugares señalados con . la mayor seguridad
posible; aunque una
36 km 42 km 45 km caída, puede resultar en
36 km Contra reloj Meta más de una fractura.
Partida
40 km 40 km
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 21
Lección 1: Números enteros
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero a, denotado por |a|:
◾◾ si a > 0, entonces |a| = a.
◾◾ si a = 0, entonces |a| = 0.
◾◾ si a < 0, entonces |a| = –a.
Considerando la recta numérica, el valor absoluto de un número entero a
corresponde a la distancia de dicho número respecto del 0.
|a| = distancia de a con respecto a cero
Sé más a unidades a unidades
El valor absoluto de
un número siempre es –a 0 a
positivo o cero. Origen
Ejercicios resueltos
1. Analiza los siguientes valores absolutos. Luego, escribe el signo del resultado y
justifica tu respuesta.
a. |8|
▷▷ El signo es +, ya que el valor absoluto de un número entero positivo es positivo.
b. |–154|
▷▷ El signo es +, ya que el valor absoluto de un número entero negativo es positivo (el
inverso aditivo de todo número negativo es positivo). En este caso, –(–154) = 154.
c. |0|
▷▷ El valor absoluto de 0 es 0.
2. Resuelve. Luego, justifica cada resultado.
a. |1.248| = 1.248, ya que 1.248 > 0.
b. – |–587| = –587, ya que –587 < 0 y se conserva el signo “–” que antecede a |–587|.
c. |344 – 340| = |4| = 4, ya que al resolver 344 – 340 se obtiene 4, que es mayor que 0.
3. Calcula el valor absoluto de cada valor representado en la recta numérica
dibujada.
–5 –3 012 57
▷▷ Los valores absolutos de –5, –3, 0, 1, 2 y 5 son 5, 3, 0, 1, 2 y 5, respectivamente.
4. Calcula los valores de x en cada caso. Considera que x ∈ ℤ.
a. |x| = 45 → x = 45 o –45.
b. x > 3 y |–x| < 7 → x = 4, 5 o 6.
c. |–x| = 8 → x = 8 o –8.
d. |x| < 3 → x = –2, –1, 0, 1 o 2.
22 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Calcula el valor absoluto en cada caso.
a. |78| = c. |0| = e. |9.867| = Sé más
b. |–864| = d. |–98| = f. |–2| = |a| + |b| ≥ |a + b|
2. Resuelve las operaciones. d. |–123| – |45| = g. |5 + 786| =
e. |62| ⋅ |–6| = h. 3 – |–3| =
a. |7| + |–7| = f. |132 – 64| = i. 5 ⋅ |–12| =
b. |65 – 23| =
c. |–18| – |–2| =
3. Representa en la recta numérica aquellos valores de x que hacen verdadera
cada igualdad.
a. |x| = 7 b. |x| = 87 c. |–x| = 12
0
4. Calcula los valores de x en cada caso. Para ello, descríbelos en cada casilla y
considera que x ∈ ℤ.
a. |x| < –1 b. |–x| < 32 c. |x| > 1.000
5. Completa cada frase con: distancia, –5, inverso aditivo, positivo, negativo.
a. 5 tiene igual valor absoluto que .
b. 9 y –9 tienen la misma respecto del 0 en la recta numérica.
c. El inverso aditivo del valor absoluto de un número entero es .
d. El valor absoluto de un número entero es siempre o 0.
e. Un número entero que tiene igual valor absoluto a otro es de este
último.
6. Representa en la recta numérica los números pedidos.
a. –12 y su inverso aditivo.
b. Dos números enteros que estén a 8 unidades del 0.
c. Dos números enteros distintos cuyos valores absolutos sean 18.
d. Los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que 3.
e. Un número entero negativo cuyo valor absoluto sea igual al del inverso aditivo
de –3.
f. Los números enteros cuyos valores absolutos sean mayores que 2 y menores
que 5.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 23
Lección 1: Números enteros
Orden y comparación
Si a y b son números enteros, entonces se cumple una, y solo una, de las siguientes
relaciones:
a < b a = b a>b
◾◾ Al comparar dos números enteros positivos es mayor aquel cuyo valor absoluto es
mayor.
◾◾ Al comparar un número entero negativo con uno positivo, el positivo siempre es
mayor.
◾◾ Al comparar dos números enteros negativos es mayor aquel cuyo valor absoluto es
menor, es decir, aquel que está más cerca del cero.
En la recta numérica, al comparar dos números enteros, siempre es mayor aquel
número que está ubicado a la derecha de otro.
a<b
ab
Ejercicios resueltos
1. Representa cada par de números en la recta numérica y determina cuál es mayor.
a. 6 y –1 → 6 es mayor. –1 0 6
b. –2 y –4 → –2 es mayor. –4 –2 0
c. 3 y 7 → 7 es mayor. 03 7
2. Completa con el signo <, = o >, según corresponda.
a. 349 < 943 d. |–46| = 46
b. –13 < –12 e. –|1.001| < |–1.001|
c. 671 > –981 f. –|–428| > –|–429|
3. Ordena de menor a mayor.
a. 3, –12, 4, –13 → –13 < –12 < 3 < 4
–129 < –19 < –1 < 534
b. 534, –129, –1, –19 →
Ejercicios propuestos
1. Compara los números enteros que conforman cada grupo. Luego, escribe el
menor y el mayor de ellos, según corresponda.
a. –5, –8, 3, 7, –1, 0, 8, 16, –16, 24, –24 →
b. –5, 10, 5, 15, –20, –24, –6, –18, –3, –12, –27 →
c. 50, –10, 30, –25, –35, 100, –200, –350, 400, –150 →
24 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Completa con el signo <, = o >, según corresponda.
a. –24 –26 d. –15 15 g. 234 657
b. 78 78 e. –6 –12 h. 0 153
c. 23 12 f. 0 –13 i. –324
–324
3. Completa la tabla. Para ello, puedes utilizar la recta numérica.
7 está a la derecha de 2 7>2
–3 es menor que 1
6 > –5
–1 es mayor que –4
1 está a la izquierda de 2
0<3
–3 está a la izquierda de –1
0 es mayor que –7
4. Analiza cada afirmación. Luego, escribe V o F según corresponda.
a. En la recta numérica, –5 está a la izquierda de –10.
b. 0 es mayor que todos los números enteros positivos.
c. Todos los números enteros negativos son menores que 7.
d. Existe un número entero positivo menor que cualquier número entero
negativo.
5. Ordena de manera creciente (de menor a mayor) los números de cada grupo.
a. –4, 12, –5, –22, 24, –122, 37 c. 55, –39, –54, 45, 12, –7, –145
b. 54, –17, –32, 87, –11, –5, 0 d. –40, 56, –65, 22, –94, 1, –4
6. Ordena de manera decreciente (de mayor a menor) los números de cada grupo.
a. –3, –8, –32, 19, 51, 43, 63 c. –7, 98, –11, –32, –124, 232, 986
b. –15, 43, –96, –38, 55, 21, –77 d. 99, –23, 56, –15, –24, 16, 81
7. Junto a un compañero o compañera, escriban los números enteros que cumplan
con cada condición dada.
a. Todos los números enteros negativos mayores que –8.
b. Todos los números enteros positivos menores que 16.
c. Todos los números enteros mayores que –7 y menores que 2.
d. Todos los números enteros negativos mayores o iguales que –8 y menores que 12.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 25
Lección 1: Números enteros
Camilo construye un Adición en ℤ
castillo de arena. Por lo
que juntó 35 baldes con Para sumar números enteros de igual signo se conserva el signo de los sumandos y
arena. Para una de las se suman sus valores absolutos.
torres del castillo ocupó Para sumar números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se
5 de esos baldes, para conserva el signo del sumando de mayor valor absoluto.
otra torre, 4 baldes.
Finalmente, para el Ejercicios resueltos
resto del castillo utilizó
25 baldes más. Es decir, 1. Resuelve las adiciones.
en total usó 34 baldes a. 8 + 5 → Sumandos de signos iguales, en este caso, positivos. → 8 + 5 = 13
con arena y le sobró b. –12 + (–7) → Sumandos de signos iguales, en este caso, negativos.
uno. → 12 + 7 = 19 → –12 + (–7) = –19
c. –3 + 2 → Sumandos de distintos signos.
Sé más → |–3| > |2| → 3 – 2 = 1 → –3 + 2 = –1
Uno de los usos que d. 5 + (–2) → Sumandos de distintos signos.
le daremos a los → |5| > |–2| → 5 – 2 = 3 → 5 + (–2) = 3
paréntesis, además
de señalar prioridad 2. Representa en la recta numérica cómo resolver cada adición.
al resolver alguna
operación, consiste en a. 4 + 2 c. –3 + (–2)
usarlos para que no se
junten dos signos. Por 4+2=6 –3 + (–2) = –5
ejemplo:
3 – (–3), 23 + (–4), etc. 6 –5
2 –2 –3
4
–1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
b. –3 + 5 d. 3 + (–3)
–3 + 5 = 2 3 + (–3) = 0
2 –3
3
5
–3
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 0 1 2 3 4 5 6
Ejercicios propuestos f. 32 + 875 k. 12 + (–12) + (–24)
g. –762 + 712 l. 15 + (–35) + 13
1. Resuelve las adiciones. h. 75 + (–12) m. –32 + (–18) + (–5)
a. –7 + (–8) i. –81 + 9 n. 6 + 123 + 21
b. –87 + 4 j. 78 + (–12)
c. 0 + (–176) ñ. –143 + 132 + (–195)
d. 153 + (–76)
e. –15 + (–51)
26 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Calcula el valor de x para que se cumpla cada ↘ Taller de estrategias
igualdad. Representar en la recta numérica
a. x + (–3) = 2 Practica esta estategia. Para esto, considera el
b. –7 + x = –13 enunciado y sigue cada paso:
c. x + (–45) = –50
d. 87 + x = –4 La temperatura de un material es de –1 °C y al
e. 98 + x = 0 realizar un experimento su temperatura aumentó
f. 132 + x = –132 11 °C. ¿Cuál es la temperatura final del material?
3. Verifica algunas propiedades de la adición en ↘↘Paso 1: Comprender el enunciado
ℤ, para –5, 3 y –16. Luego, explícalas con tus
palabras. • ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el
problema?
a. Clausura: –5 + 3 = –2; –2 ∈ ℤ
b. Conmutativa: 3 + (–5) = (–5) + 3 La temperatura del material después del
c. Asociativa: (–5 + 3) + (–16) = –5 + (3 + (–16)) experimento.
d. Elemento neutro: –5 + 0 = 0 + (–5) = (–5)
e. Inverso aditivo: –16 + –(–16) = –(–16) + (–16) = 0 • ¿Qué información entrega el enunciado?
4. Completa cada afirmación con las palabras La temperatura del material antes del
positivo o negativo. experimento y la variación de temperatura al
realizar el experimento.
a. Al sumar números enteros negativos, el resultado
es un número entero . ↘↘Paso 2: Identificar las variables involucradas
b. Al sumar números enteros positivos, el resultado Las variables involucradas en este caso son: la
es un número entero . temperatura inicial del material, la temperatura
del material después del experimento y la
c. Si a, b ∈ ℤ, tal que a < 0, b > 0 y |a| > |b|, . variación de temperatura.
entonces a + b es un número entero
↘↘Paso 3: Representar en la recta numérica
5. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los
problemas. En este caso, se debe representar –1, que
corresponde a la temperatura inicial del material y,
a. Un clavadista se lanza desde una plataforma a partir de dicha posición, adicionar 11 unidades,
ubicada a 20 m de altura y alcanza al sumergirse que es la variación de la temperatura inicial a final.
una profundidad de 5 m. ¿Cuál es la distancia
entre el punto de lanzamiento y el de mayor Variación de temperatura
profundidad alcanzada por el clavadista? 11 °C
b. Un buzo que se encuentra a –30 m debe ascender –1 °C 0 10 °C
para hacer una descompresión. Si la hace al subir Temperatura inicial Temperatura final
8 m, ¿a qué profundidad hizo la descompresión?
Es decir, la temperatura final es la suma de la
c. María tiene $1.230 y yo tengo $3.128. ¿Cuánto temperatura inicial y la variación de temperatura:
dinero le falta a María para que ambos tengamos
la misma cantidad? –1 °C + 11 °C = 10 °C
d. Thales de Mileto nació en el año 624 a.C. y ↘↘Paso 4: Responder la pregunta
Pitágoras nació 54 años después. ¿En qué año • ¿Cuál es la temperatura final del material?
nació Pitágoras? La temperatura final del material es 10 °C.
↘↘Paso 5: Revisar el resultado
Para revisar el resultado puedes sumar las
variaciones de temperatura inicial (–1 °C) y
final (10 °C), respecto a 0 °C, y verificar que se
obtienga la variación de temperatura (11 °C).
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 27
Lección 1: Números enteros
Sustracción en ℤ
En una ciudad, a las La sustracción de números enteros se puede realizar transformándola en una adición
14:00 h, se registró una entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo.
temperatura de
35 °C; cuatro horas más Inverso aditivo de b
tarde se registraron
32 °C. Entonces, la a – b = a + (–b) = c Diferencia
temperatura disminuyó Minuendo Sustraendo o resta
3 °C. Esta disminución
puede ser representada Ejercicios resueltos
por –3 °C.
1. Resuelve las sustracciones.
Ayuda
Recuerda que en a. 8 – 5 → El inverso aditivo de 5 es –5. Luego, 8 – 5 = 8 + (–5) = 3.
a + b = c se tienen
relaciones equivalentes b. –15 – (–9) → El inverso aditivo de –9 es 9. Luego, –15 – (–9) = –15 + 9 = –6.
como:
• a = c – b c. –62 – 7 → El inverso aditivo de 7 es –7. Luego, –62 – 7 = –62 + (–7) = –69.
• b = c – a
Estas relaciones puedes d. 23 – (–4) → El inverso aditivo de –4 es 4. Luego, 23 – (–4) = 23 + 4 = 27.
utilizarlas para resolver
ecuaciones. 2. Resuelve la sustracción de tres términos –12 – (–28) – (–15).
▷▷ El inverso aditivo de –28 es 28 y el de –15 es 15. Luego:
–12 – (–28) – (–15) = –12 + 28 + 15 = 16 + 15 = 31.
3. Representa en la recta numérica cómo resolver la sustracción –7 – (–3).
–7 – (–3) = –7 + 3 = –4
–4
3
–7
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
4. Resuelve la ecuación x – (–15) = –124.
▷▷ Como la sustracción x – (–15) es equivalente a resolver x + 15, se tiene que:
x – (–15) = –124
x + 15 = –124
x = –124 – 15
x = –139
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las sustracciones.
a. –12 – (–7) d. –72 – 712 g. 198 – (–15) – (–14)
b. –24 – 19 e. 16 – 193 – 73 h. 65 – (–65) – 85
c. 78 – 5 f. –11 – 22 – (–67) i. –12 – (–28) – (–15)
28 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Representa en la recta numérica cómo resolver cada sustracción.
a. 0 – (–564) c. 754 – (–321) e. 785 – (–187)
b. –79 – 34 d. –12 – (–31) f. 564 – (–912)
3. Completa la tabla. Desafío
a b a–b b–a Explica por qué la
53 sustracción en ℤ no es
conmutativa, es decir,
–18 –6 a – b ≠ b – a.
–12 5 Ayuda
8 –10 36 – (–23 – 14) + (–41 + (–37))
= 36 – (–37) + (–78)
4. Resuelve las ecuaciones. d. 27 – x = –1 g. 10 = x – 7 = 36 + 37 + (–78)
e. –17 – x = –23 h. 38 – x = 0 = 73 + (–78)
a. x – (–5) = 12 f. –56 – x = –26 i. 87 – x = –12 = –5
b. 15 – x = –33 Recuerda el orden de
c. x – (–75) = –150 las operaciones:
1.° Paréntesis.
5. Resuelve las adiciones y sustracciones. f. 35 – (–21 – 15) + (–40 + (–74)) 2.° Multiplicación y
g. |–65| – |–76| + (–54 – (–7))
a. (–21 – 54) – (76 + (–13)) h. |–1 + (–76 + 65 – (–3) –4)| división.
b. |35 – 213 + (–23)| i. 25 – 14 + 7 – (–6) – 2 + 18 3.° Adición y
c. 12 – (24 – (–12) + (–8) + 18) – 6 j. (32 – 66) – (–32 – 12)
d. 87 – |–12| – (–19) + |67| sustracción.
e. (–65 – 21) + (32 – 56) En caso de haber
operaciones de igual
prioridad, se resuelven
de izquierda a derecha.
↘ Taller de Matemática aplicada
Habilidad: analizar
La siguiente tabla muestra: la cantidad de pasajeros que tiene un bus al comenzar su recorrido, al
terminarlo y el número de pasajeros que suben y bajan en cada paradero:
Cantidad de pasajeros durante el trayecto de un bus
Inicio 1.er paradero 2.o paradero 3.er paradero Término
15 Suben 9 Suben 5 Suben 8 7
Bajan 3 Bajan 6 Bajan x
¿Cuántos pasajeros se bajaron del bus en el tercer paradero?
A. 8 pasajeros.
B. 21 pasajeros.
C. 28 pasajeros.
D. 35 pasajeros.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 29
Lección 1
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Clasifica, en cada caso, los números en positivos 7. Identifica los números enteros representados por
o negativos. A, B y C en cada recta numérica.
a. –8, 9, –12, 54, 61, –22, 76 a. B
b. 6, –78, 3.457, –19, 10, –80 –3 A –1 0 1 2 C
c. –9, –65, –124, 65, 87, –34, 88
b.
2. Asocia un número entero a cada situación. A –1 C 2B4
a. El año 300 a.C. c. –20 A 0 10 C
b. 25 °C sobre cero. B
c. 78 m de profundidad.
d. 15 m sobre el nivel del mar. 8. Representa cada grupo de números enteros en
una recta numérica.
3. Analiza cada situación. Luego, comenta si es co-
herente o no. a. –5, 12, –15, 8, 7
b. –9, –3, –6, –12
a. Julia tiene –7 manzanas. c. 0, 5, 10, 15, 20
b. Hice 50 abdominales hoy. d. 30, –10, 40, –20, –50
c. Martín gastó –3.000 pesos.
d. La temperatura disminuyó a –5 °C. 9. Analiza cada afirmación. Luego, escribe V o F se-
gún corresponda.
4. Identifica cada conjunto según las característi-
cas dadas. Luego, determina si es finito, infinito a. Los elementos de ℤ+ se ubican a la
o vacío. izquierda de 0 en la recta numérica.
a. El conjunto de los números enteros menores b. 8 y –8 están a la misma distancia de 0
que 0. en la recta numérica.
b. El conjunto de los números enteros mayores c. –3 se ubica a la derecha de –9 en la
que –98. recta numérica.
c. El conjunto de los números naturales menores 10. Resuelve. e. |–30| i. |65|
que 10. f. |90| j. |153|
a. |0| g. |835| k. |–885|
5. Analiza cada conjunto. Luego, determina si es sub- b. |–120| h. |–65| l. |–76|
conjunto de ℕ, de ℤ o de ambos. c. |567|
d. |–8.875|
a. {4, –8, 12, 0, 6}
b. {1, 2, 3, 4} 11. Resuelve las ecuaciones. f. |x| = 907
c. {–3, 0, –7, –9, –14} g. |x| = 654
a. |x| = 8 h. |x| = 32
6. Resuelve, considerando A = {12, –8, 15, –6}, b. |x| = 16 i. |x| = 89
B = {0, 1, 15, –9} y C = {–9, 0, 15, 12}. c. |x| = 0 j. |x| = 221
d. |x| = 1
a. A ∪ B d. A ∩ C e. |x| = 167
b. B ∪ C e. A ∪ C
c. A ∪ B ∪ C f. A ∩ B ∩ C
30 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
12. Compara los números y escribe el signo >, < o =, 16. Resuelve las sustracciones.
según corresponda.
a. 76 – 8 d. –94 – (–94)
a. 0 –4 d. 43 43 b. –23 – 7 e. 2 – 175
b. –9 –6 e. 12 –63 c. –65 – (–24) f. 78 – (–42)
c. –46 f. 1 –1
28 17. Resuelve los problemas.
13. Compara los números enteros de cada grupo. Lue- a. Platón nació el año 427 a.C. y Javiera nació
go, ordénalos de menor a mayor. el año 1998 d.C. ¿Cuántos años después de
Platón nació Javiera?
a. –78, –63, –73, –96, –1
b. 12, 89, 43, –65, –73, 98 b. La temperatura de una habitación era de 15 °C
c. –67, –345, 5.634, –7, –975 y después de 5 horas, bajó a –3 °C. ¿Cuál fue la
variación de temperatura de la habitación?
14. Determina él o los números enteros que cumplen 18 Compara los números y escribe, según corres-
con la condición dada. ponda, el signo >, < o =.
a. Todos los números enteros negativos mayores a. |–4| 4 d. |5| –5
que –10. b. |–6| |6| e. |–54| |–1|
c. 0 |–12| f. |22| |–28|
b. Todos los números enteros positivos menores
que 2. 19 Representa en la recta numérica los números
enteros.
c. Todos los números enteros mayores que –6 y
menores que 6. a. –6, |–7|, 2, |–4|, 3, |10|
b. –90, |–10|, 20, –30, |60|
d. Todos los números enteros ubicados en la recta c. –65, |–65|, –5, 15, |25|, –35
numérica a la izquierda de 3 y a la derecha de
–8.
15. Resuelve las adiciones. e. 387 + (–17) 20 Resuelve.
f. 7 + (–18)
a. 68 + 45 g. 24 + (–63) a. (24 + 67 – |–76|) – (–54 – (–12) + |–32|)
b. –7 + (–53) h. –45 + (–62) b. –(–23 – 56 – 83 – 7) – (56 – 31 – 98)
c. –14 + 41 c. |(–45 + |–63| – (–37))| – (45 – |–15| + (–83))
d. 53 + (–164)
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Identifiqué, representé y comparé números enteros.
(Preguntas 1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 14 y 19)
Identifiqué conjuntos y subconjuntos y resolví operaciones entre conjuntos numéricos.
(Preguntas 4, 5 y 6)
Calculé el valor absoluto de números enteros.
(Preguntas 10, 11, 18 y 19)
Resolví adiciones y sustracciones de números enteros.
(Preguntas 15, 16, 17 y 20)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 31
2Lección ¡Estimados, sean ¡Genial Stevin, ¡Con esto!
bienvenidos a mi este carruaje
nueva creación! es espectacular!
¿Cómo lo hiciste?
Fracciones y Simon Stevin
decimales
Representación
↘↘Representación
↘↘Conversión Fracción Número decimal
↘↘Orden y Se divide la unidad o entero en tantas Se divide la unidad o entero en 10, 100,
partes iguales según indica el denomina- 1.000, etc., partes iguales, según la
comparación dor y se consideran las partes que indica parte decimal del número.
↘↘Adición y el numerador. Luego, se considera cuántas unidades
En el caso de fracciones impropias o tiene en su parte entera.
sustracción números mixtos, se debe considerar la 0,4
↘↘Multiplicación cantidad de unidades que tiene el número.
_86__ 01
y división de
fracciones 01
↘↘Multiplicación
y división de Ejercicio resuelto
decimales
↘↘Operaciones 1. Representa cada número mediante regiones y recta numérica.
combinadas
a. 2 _52_ → Como es un número mixto con 2 enteros o unidades, es posible
Sé más representarlo de las siguientes maneras:
• En una fracción
0123
propia el numerador
es menor que el b. 1,92 → Como la parte entera de 1,92 es 1 y la parte decimal es 92 centésimas, la
denominador. unidad se divide en 100 partes iguales, luego:
• En una fracción
impropia el 1,8 1,9 2 2,1
numerador es mayor
que el denominador. Ejercicios propuestos
• Un número mixto
está compuesto por 1. Representa cada número en regiones. Luego, represéntalos en una misma recta
un número entero y
una fracción propia. numérica.
32 a. 1_2_ c. 0,98 e. 0,6 g. 0,7 i. 1 _12__0 _ k. 0,2
b. 1,4 d. 1 _45__ f. _ 1_6_0 _ h. 0,5 j. 1,8 l. 1,68
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¿Qué significa ¡Cuatro décimos y seis
41y61? décimos!... y no se te ocurra
Conversión pensar que son velas de
cera, jaja…
¿Cómo se escriben
actualmente las
fracciones que
aparecen en el
cómic?
◾◾ Para expresar un número decimal finito como fracción, se escribe como Sé más
numerador el número completo, sin considerar la coma; y en el denominador se Hay números decimales
escribe 10, 100, 1.000, etc. (la cantidad de ceros dependerá de la cantidad de finitos e infinitos.
dígitos en la parte decimal del número). Estas fracciones se denominan fracciones Por ejemplo, 2,45 es
decimales. un número decimal
finito (dos cifras
◾◾ Para expresar una fracción como número decimal finito, puedes amplificarla o decimales); mientras
simplificarla de tal manera que se obtenga una fracción decimal, y luego escribir que 2,464646… es
el número decimal que corresponda. También puedes transformar la fracción, un número decimal
dividiendo el numerador por el denominador. infinito (46 se repite
infinitas veces). Estos
◾◾ Para expresar un número mixto como número decimal, puedes escribirlo como últimos serán motivo
fracción impropia y luego como fracción decimal o, dividir su numerador por su de estudio en cursos
denominador. posteriores.
Ejercicios resueltos Número decimal sin coma.
1. Expresa 1,3 como fracción. Como es un dígito, se agrega un cero.
1,3 = 1_1_30__
2. Expresa como número decimal.
a. 3_5_ 3_5_ = 3_5_ _ ··_ 2_2_ = _16_0_ _ = 0,6 Se amplifica por 2 para obtener, en este caso, 10. Ayuda
Para escribir un
b. _ 46__ 6 : 4 = 1,5 número mixto como
c. 3 _45__ 20 fracción impropia
0// puedes aplicar lo
siguiente:
3 _45__ = 1__59__ → 1490: 5 = 3,8 a _bc_ = _ a__ ._ _cc_ _ +__ _b_ ; con c ≠ 0.
0// Por ejemplo:
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 7 3_5_ = 7__ _._ 5_5_ _+ __ _3 _ = 3__58__
33
Lección 2: Fracciones y decimales
Ejercicios propuestos
1. Analiza la tabla. Luego, complétala.
Fracción _ 1_9_0 _ _1_4_.0_5_0_7_0_ _ 7__1._6_0_00_7_ _ 8_1_1_0_
decimal
Número 0,007 11,32 1,155 0,5
Decimal
Ayuda 2. Expresa cada número decimal como fracción irreductible.
Una fracción es
irreductible o a. 0,35 d. 32,002 g. 0,07 j. 324,4
irreducible si no puede k. 5,25
ser simplificada, b. 1,234 e. 1,78 h. 6,873 l. 72,08
es decir, tanto el
numerador como c. 23,703 f. 3,22 i. 2,902 j. 1__2_5_8_ _
el denominador no k. _21_4_6_
pueden ser divididos 3. Expresa cada fracción como número decimal. l. 1_3_8_2_
de manera exacta por
un número natural a. 7_5_ d. _ 82__05__ g. _5_3_02_0_ _
mayor que 1.
b. _22__5 _ e. _ 1_0_6_0 __ h. _1_3_.0_2_0_1_0 __
c. 1_8_9__ f. _21__53__0 _ i. 7_5_1_0_
4. Expresa como fracción impropia y luego como número decimal. j. 5 _34__
a. 1 _45__ g. 1 1_2_3_0_
d. 2 1_2_2_5_
b. 3 _27__5 _ e. 3 _24__5_ h. 8 _21__0 _ k. 6 1_2_
c. 1 _53__0 _ f. 2 _38__ i. 5 1_5_ l. 8 _1_4_0 _
5. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda.
a. La fracción 1_2_7_5_ puede ser escrita como 0,68.
b. El número decimal 0,45 es equivalente a _ 2_9_0 _ .
c. La fracción _53_0_7_0_ _ puede ser escrita como 0,74.
6. Resuelve los problemas.
a. Si en una competencia Miguel levantó 98,75 kg y Jaime 97_2 7__0 _ kg, expresa como
fracción los pesos levantados por cada uno.
b. Las alturas de cinco edificios son: 7_ _._52__05_3_ _ m, _ 9_1_.8_0_0_0_7_ _ m, 1_1_5_._.0_3_03__08__ m, 1__._0_4_0 __1_ m
y 3__._23__06_ 3__ m. ¿Cuál es la altura de cada edificio expresada en números decimales?
34 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Orden y comparación Sé más
◾◾ Para comparar fracciones es posible expresarlas con iguales denominadores A modo de ejemplo,
mediante la amplificación o simplificación. En estos casos, será mayor aquella con la estrategia de los
cuyo numerador sea mayor. Otra estrategia que puedes usar es calcular los productos cruzados:
productos cruzados.
_59__ > _38__
◾◾ Para comparar números decimales considera las cifras con igual orden posicional Ya que, 5 · 8 > 9 · 3.
y de izquierda a derecha.
◾◾ Para comparar números decimales y fracciones es posible expresar todos
los números decimales en fracción, o viceversa, y luego aplicar alguna de las
estrategias ya descritas. También es posible hacerlo mediante la representación
de dichos números en una recta numérica, siendo menor el que está a la izquierda
de otro.
Ejercicios resueltos
1. Compara los números. Para ello, escribe <, > o = según corresponda.
a. _59__ _38__
▷▷ Igualando los denominadores, se tiene que 5_ 9__⋅⋅___88__ = _ 47__02__ y 3_8__⋅⋅___99__ = 2_7_7_2_ . Luego,
_4 7__02__ > 2_7_7_2_ . _5 9__ > _38__ .
como 40 > 27, entonces Por lo tanto,
b. 23,354 23,367
23,354 23,367
▷▷ Comparando las cifras enteras y decimales con igual orden ==
posicional, de izquierda a derecha, se tiene que 23,354 < 23,367. =
<
c. 3_2_ 1,8
▷▷ Al representar ambos números en la recta numérica, 1 3 1,8 2
como 3_2_ está a la izquierda de 1,8, entonces 3_ 2_ < 1,8. 2
Ejercicios propuestos
1. Compara los números. Para ello, escribe <, > o = según corresponda.
a. 9,877 0,123 d. _79__ 2_2_1_7_ g. 5,98 5,89
h. 4 _34__ 1_4_9__
b. _58__ _29__ e. 15,323 15,243 i. 0,06
0,09
c. 32,768 32,725 f. 2_7_ 2_5_ Ayuda
2. Representa en la recta numérica cada grupo de números. Luego, ordénalos de Creciente: de menor a
mayor.
manera creciente. Decreciente: de mayor
a. 1_5_ – 0,8 – _34 __ – 0,4 – 0,5 – _1 7__0 _ b. 20,8 – 8_ _43_ _ – 21,9 – 221 _4__ – 1__0_5_8_ _ a menor.
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Lección 2: Fracciones y decimales
Adición y sustracción
◾◾ Para resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador,
es posible sumar o restar los numeradores y conservar el denominador. Si las
fracciones tienen distinto denominador, es posible igualarlos (amplificando o
simplificando), y luego resolver la adición o sustracción de fracciones con igual
denominador.
◾◾ El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones
que componen la adición o sustracción permite determinar por qué valor se
amplificarán las fracciones para obtener iguales denominadores.
◾◾ Para resolver adiciones y sustracciones de números decimales se suman o
restan, de derecha a izquierda, los valores con igual orden posicional. Para esto,
es posible ubicar los números de forma vertical, haciendo coincidir las comas. Si
los números tienen distinta cantidad de cifras, se completan con ceros. El lugar de
la coma se conserva en el resultado.
Ejercicios resueltos
Ayuda 1. Resuelve las adiciones y sustracciones.
4 6 9 2 2 · 2 · 3 · 3 = 36 a. _ 96__ + _59__ = 6___+9__ 5__ = 1_9_1__ c. 3_5_ − 1_2_ = _16_0_ _ − _15_0_ _ = _11_0_ _
2 3 9 2
1// 3 9 3 45,893 67,90
1// 3 3 + 23,500 – 02,43
1// b. 45,893 + 23,5 → 69,393 d. 67,9 – 2,43 → 65,47
m.c.m.(4, 6 y 9) = 36. 2. Resuelve _56_ − _34_ + _ 94_ utilizando el mínimo común múltiplo.
▷▷ Como el m.c.m. (4, 6 y 9) = 36, las fracciones deben ser amplificadas por 6, 9 y 4,
respectivamente, obteniendo:
_56__ − _34__ + _49__ = 5_6__··__66__ − 3_4__·_·_99__ + _49__·_·_44__ = _33_0_6_ − 2_3_7_6_ + _13_6_6_ = 1_3_9_6_
Sé más Ejercicios propuestos
Los egipcios
representaban la 1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
mayoría de las
fracciones como una a. _47__ + 2_7_ e. 34,02 + 129,983 i. _43_3_2_ − 2_3_3_2_
adición de fracciones j. 1_1_1_2_ − 1_6__ + _34__
unitarias distintas. Por b. 65,09 – 23,433 f. 45,32 – 32,89 k. 1__33__ + _14__2_ + _34__
ejemplo: l. 6,2 – 3,2 – 1,7
c. 1_2_2_3_ − 1_2_ g. _98__ − _36__
_34__ = 1_2_ + 1_4__ d. 983,93 + 12,9 h. _ 16__5_ + 1_6_5__
36 2. Describe una estrategia que permita escribir las fracciones dadas como una
adición de dos fracciones unitarias (de numerador 1) distintas.
a. _56__
b. _18__5_ c. 1_3_2_5_ d. 1_7_8_7_
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Analiza los siguientes ejemplos de operaciones combinadas. Luego, resuelve. Sé más
Para resolver ejercicios
Ejemplo 1: combinados es
( ) 1_5_ + 12,7 − 3,16 + _78 __ = 0,2 + 12,7 − ( 3,16 + 0,875 ) /dejando solo números decimales necesario respetar el
= 0,2 + 12,7 − 4,035 /resolviendo el paréntesis siguiente orden:
1.° Resolver
= 12,9 − 4,035 /resolviendo la adición
operaciones entre
= 8,865 /resolviendo la sustracción paréntesis. En
caso de haber
Ejemplo 2: paréntesis dentro
de otro paréntesis,
( ( ) ) ( ( ) ) _43__ − 2_3_ − 1_4__ + 0,5 = _43__ − 2_3_ − 1_4__ + 1_2_ /dejando solo fracciones se resuelve desde
= _43__ − _15__2 _ + 1_2_ adentro hacia
( ) /resolviendo el paréntesis interior afuera.
2.° Resolver las
= _43__ − 1_1_1_2_ /resolviendo la adición del paréntesis adiciones y
sustracciones de
= _15__2 _ /resolviendo la sustracción izquierda a derecha.
Ayuda
a. 34,89 – 21,45 + 12,4 ( ( ) )f. _17__2 _ − 1_2_7_4_ − _34__ − 1_2_ − _38__ Con el fin de simplificar
b. _45__ − 1_2_ + _ 46__ + 3_7_ cálculos, antes de
c. 14,8 + 34,1 – (23,9 – 17,35 + 12,2) g. 15,4 – 2,8 + 16,3 – 1,25 resolver verifica que
d. _38__ − 0,22 + 1_ 4__ − 0,19 + _78 __ todas las fracciones
e. 93,6 – (12,7 + 33,2 – (76,1 – 39,5)) ( )h. 7_6_8_ _ − 1,15 − 1_8__ + _58__ sean irreductibles.
De no ser así,
i. 5,8 – (1,8 + 3,5) + 3,97 simplifica las que sean
necesarias.
( )j. 1_4__ + 2,6 − 1,18 + 1 _8__
0,5 m
4. Resuelve los problemas. 43,67 L
a. Si del estanque de la figura se extraen 12,27 litros
y luego se le agregan 26,98 litros, ¿cuántos litros de
agua quedan en él?
b. Considerando la posición inicial del caracol en la
pared. Si sube 0,15 m, luego desciende _1 _30__ 0__ m;
después sube 0,09 m más y finaliza su trayecto
descendiendo _1_50__ 0__ m, ¿a qué distancia del suelo
quedó el caracol?
c. Si en su primera parada el camión descargó Carga:
1 _78__ toneladas; en su segunda parada descargó 5,8 Ton
2,6 toneladas y cargó 2_45 __ toneladas, ¿con cuántas
toneladas de mercadería continuó su viaje el
camión?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 37
Lección 2: Fracciones y decimales
Aunque no parezca, la Multiplicación y división de fracciones
multiplicación y división
de freacciones está ◾◾ Para multiplicar fracciones puedes calcular el producto de los numeradores,
presente en muchos anotándolo como numerador de la fracción resultante; y se multiplican los
casos cotidianos. Por denominadores, anotando el resultado como denominador de la fracción
ejemplo, al calcular resultante, es decir:
cuánto cuesta 1 kg de _ba_ · _dc_ = _ba__ ·_·_ dc__ ; con b, d ≠ 0.
queso.
◾◾ Para dividir fracciones puedes resolver la multiplicación entre el dividendo y el
inverso multiplicativo del divisor, es decir:
_ ba_ : _ dc_ = _ba_ · _dc_ = _ab_ _··_ _dc_ ; con b, c, d ≠ 0.
Sé más Ejercicios resueltos b. _15__0 _ · _98__ = _15_0_ :_ _:5 _5 _ · _89__ = 1_2_ · _894__ = 1_1_ _· ·_ 4 _9_ = _49__
1
El inverso de _ba _ 1. Resuelve las multiplicaciones.
multiplicativo ≠ 0. a. 3_5_ · _ 97__ = 3_5__··__97_ = 2_3_7_5_ b. _59__ : _34__ = _59__ · _43__ = 5_9__··_4_3_ = _22_0_7_
es _ba_ , con a, b
2. Resuelve las divisiones.
a. _28__7_ : _39__ = _28__7_ · 9_31__ = 8_3__··_1_3_ = _89__
3
Al multiplicar un Ejercicios propuestos
número por su inverso
multiplicativo se 1. Resuelve las multiplicaciones. Escribe el resultado como fracción irreductible.
obtiene el neutro
multiplicativo 1.
a. 1_7_ · 1_2_ e. _34__ · _98__ i. 1_2_7_0_ · _35__4 _ m. _56__20__ · 3_2_ · _45__
Ayuda b. 1_1_3_8_ ⋅ 2_5_ f. _47_50__ · 2_1_5_0_ j. _29__ · _54__ n. 4_8_2_1_ · _ 19__2_ · _26__
En una multiplicación
de fracciones es c. _18__2_ · _ 2_9_0 _ g. _18__5_ · _98__ k. _29__ · 1__78__ ñ. _ 16__7_ · 1__27__ · _58__
posible simplificar
numeradores con d. _45_3_6_ · 1_2_9_3_ h. _17__0 _ · 1_1_2_5_ l. _42__40__ · _18__8_ o. _47__ · 2_1_8_4_ · _17__6 _
denominadores,
aunque no sean de 2. Resuelve las divisiones. Escribe el resultado como fracción irreductible.
la misma fracción.
Lo que no es a. _85__ : 3_7_ e. 2_5_ : 1__78__ i. 1_3_4_8_ : 1_2_7_8_ m. _ 2_6_0 _ : _45__
posible simplificar
es numerador b. 1_4__ : _38__ f. 3_3_5_6_ : _15__8 _ j. _ 86__ : 1_2_ n. 2_3_1_2_ : _74__
con numerador, o
denominador con c. _11__22__0 _ : _11_0_5_ g. _ 1_9_0 _ : _1_20__ k. 5_3_ : _29__ ñ. _23__7 _ : 1_9__
denominador. En la
división, para evitar d. 2_5_1_6_ : 2_4_8_2_ h. _78_6_2_ : 1_4_8_3_ l. _15_0_8_ : 1__72__ o. _ 2_6_6 _ : _ 19__3_
posibles confusiones,
es recomendable SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
simplificar una
vez convertida a
multiplicación.
38
3. Analiza cada tabla y luego, complétalas. Para la división, considera los números
de la columna como dividendo y los números de la fila, como divisor.
⋅ 2_7_ : 3_5_
_38__ 1_4__20__
_83__
_4_4_5 _ _21__7 _
_24__1_ 2_2_5_1_
1_2_ _42__ _ 1_6_0 _
4. Analiza cada afirmación. Luego, escribe V o F según corresponda.
a. El inverso multiplicativo de _42 __ es 1_2_ .
b. El producto de dos fracciones puede ser un número natural.
c. El cociente de dos fracciones siempre es un número mixto.
d. Al dividir dos fracciones se utiliza el inverso aditivo de una de ellas.
e. Al multiplicar dos fracciones se multiplica el numerador de la primera
por el denominador de la segunda para obtener el denominador.
5. Calcula el o los valores que faltan para que la igualdad sea verdadera.
a. _ 8__ · 3_5_ = 1_4__20__ d. _2_ : _ 4__ = _64__ g. 1_ _2__ · _ 4__ = _63__60__
b. 3_7_ : 1_ _ = _4_75__ e. 3_ _ : _8 __ = _43__00__ h. _1 __6 _ : 2_3_ = 2_ _1__
c. 7_ _ · _1 __3 _ = _53_6_9_ f. _59__ · _ 4__ = 1__ 5__ i. _ 8__ · 7_ _ = _36_5_4_ ¿Qué opinas de esto?
6. Resuelve los problemas. Ricas en hidratos de
a. Para construir una repisa, Manuel cortó una tabla de 6 m en trozos de _34 __ m de carbono, proteínas de
largo. ¿Cuántos trozos obtuvo? tipo vegetal y fibra. Es
aconsejable comer, al
b. La mitad de una parcela está sembrada y la tercera parte de lo sembrado menos, 3/4 de una taza
corresponde a arvejas. ¿Qué parte de la parcela está sembrada de arvejas? tres veces por semana.
c. Mariela utilizó para divertirse 1 _5_ del dinero de sus ahorros. Si de ese dinero usó
la mitad en entradas para el cine, ¿qué fracción del dinero ahorrado gastó en
dichas entradas?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 39
Lección 2: Fracciones y decimales
Al igual que las Multiplicación y división de decimales
operaciones con
fracciones, las ◾◾ Para multiplicar dos números decimales, es posible resolver la operación como
relacionadas con si fueran números naturales y en el producto escribir la coma, según la cantidad
números decimales de cifras en las partes decimales que tengan en total ambos factores.
cobran gran
importancia, por ◾◾ Para dividir dos números decimales, es posible transformar el dividendo y el
ejemplo, al momento de divisor en números naturales, amplificando ambos por 10, 100, 1.000, etc., según
pesar. la mayor cantidad de cifras en las partes decimales de los números.
40
Ejercicios resueltos
1. Explica cómo resolver las multiplicaciones.
a. 2,4 · 3,87
▷▷ Se multiplica sin considerar la coma, es decir, 24 · 387 = 9288. Luego, como entre
los dos factores hay 3 cifras en las partes decimales, la coma se ubica después de
la tercera cifra, de derecha a izquierda. Por lo tanto, el resultado es 9,288.
b. 4,03 · 21 c. 5,7 · 9,1
4,03 · 21 = 8 4, 6 3 5,7 · 9,1 = 5 1, 8 7
Se cuentan, de derecha a izquierda, dos Se cuentan, de derecha a izquierda, dos
cifras decimales para ubicar la coma. cifras decimales para ubicar la coma.
2. Resuelve las divisiones.
a. 4,212 : 2,34
▷▷ Como el dividendo tiene 3 cifras en su parte decimal y el divisor solo 2, se
amplifican ambos números por 1.000, quedando la siguiente división equivalente:
4.212 : 2.340 = 1,8
18.720
0// Por lo tanto, 4,212 : 2,34 = 1,8.
b. 54,3 : 3 c. 236 : 0,4
5’4’,3’ : 3 = 18, 1 236 : 0,4 = 2360 : 4
24 2 3’6’ 0’ : 4 = 5 9 0
03 3 6
0// 0 0
0//
Al bajar el 3, se agrega de inmediato la
coma. El divisor tiene una cifra en su parte
decimal, por lo que se le agrega un
cero al dividendo.
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las multiplicaciones.
a. 1,5 · 2,8 e. 7,453 · 2,632 i. 231,1 · 4,21
b. 6,43 · 11,4 f. 12,43 · 82,947 j. 98,321 · 120,332
c. 38,543 · 3,9 g. 63,986 · 2,1 k. 42,382 · 7,9
d. 2,64 · 9,87 h. 5,79 · 5,57 l. 57,12 · 63,88
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Resuelve las divisiones. d. 47,27 : 16,3 g. 9,25 : 3,7
e. 15,25 : 6,1 h. 169,312 : 3,52
a. 26,145 : 12,45 f. 429,03 : 6,3 i. 124,16 : 9,7
b. 128,156 : 32,2
c. 44,62 : 9,7
3. Analiza los siguientes procedimientos. Luego, responde.
34,64 · 21,3 38,22 : 2,6
Como 34,64 = _8 _2_6_56__ y 21,3 = 2_1_1_0_3_ , luego: Como 38,22 = 1 __.9_5_1_0_1_ _ y 2,6 = 1__53__ , luego: Ayuda
1__.9_5_1_0_1_ _ : 1__53__ = 1 _._9_51_41_07_ 1 _ _ · _1 5_1_3 _ = 1_1_4__07__ = 14,7
8__426_3_536_ _ · 2_1_1_0_3 _ = 9__2_1_._22__25_9_ _ = 737,832 Para resolver
10 1 multiplicaciones y
5 divisiones de números
decimales por 10, 100,
a. Describe el procedimiento para resolver multiplicaciones y divisiones de 1.000, etc., puedes
números decimales utilizando fracciones. aplicar las siguientes
estrategias:
b. Al resolver las operaciones planteadas, utilizando los dos procedimientos vistos, • Para la
¿son iguales los resultados?
multiplicación:
4. Resuelve los problemas. 9,23 · 10 = 9 2, 3
a. Marco recorre en bicicleta 13,92 km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá
en 10 horas? 9,23 · 100 = 9 2 3
b. Un saco de arroz contiene 30,75 kg. Si se quiere separar su contenido en bolsas
de 1,5 kg cada una, ¿cuántas bolsas podrán llenarse? 9,23 · 1.000 = 9 2 3 0
c. Ramón lleva en su camioneta 172,5 kg de ladrillos. Si la masa de cada ladrillo es
2,3 kg, ¿cuántos ladrillos lleva Ramón? Observación:
d. Un camión rinde 8,3 km por 1 litro de bencina. Si su estanque cuenta con 923 = 923,0
54,8 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer?
e. ¿Cuál es el área de un triángulo de base 7,8 cm y altura 5,67 cm? 9.230 = 9.230,0
f. Paula debe pagar una cuota de UF5,5. Si el día del pago una UF equivale a • Para la división:
$21.324,83, ¿cuántos pesos paga en total?
1,56 : 10 = 0, 1 5 6
1,56 : 100 = 0, 0 1 5 6
1,56 : 1.000 = 0, 0 0 1 5 6
↘ Taller de Matemática aplicada
Habilidad: aplicar
Analiza la equivalencia, en pesos chilenos, de distintas monedas.
Dólar Euro Real Nuevo sol
R$1 = $225,27 S/.1 = $183,87
USD 1 = $513,55 €1 = $681,48
¿Cuántos pesos chilenos corresponden a USD 100 + S/.10+ R$1 – €10?
A. $101
B. $241,21
C. $46.604,17
D. $56.556,37
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 41
Lección 2: Fracciones y decimales
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas entre fracciones y números decimales:
1.º De ser necesario, transforma las fracciones a números decimales o viceversa.
2.º Si la expresión consta de paréntesis, resuelve la o las operaciones contenidas en
ellos, desde adentro hacia afuera, hasta que ya no queden paréntesis.
3.º Resuelve las multiplicaciones o divisiones de izquierda a derecha.
4.º Una vez que solo queden adiciones o sustracciones, resuélvelas de izquierda a
derecha.
Ejercicio resuelto
1. Resuelve las operaciones. /resolviendo los paréntesis
/resolviendo la multiplicación
a. (6,8 – 2,3) · 5,9 + (9,21 : 3) /resolviendo la adición
(6,8 – 2,3) · 5,9 + (9,21 : 3) = 4,5 · 5,9 + 3,07
= 26,55 + 3,07
= 29,62
( )b. 3_5_ : 1_4__ + 3_2_ − _59__ + _34__ · 1_2_
( ) ( ) 3_5_ : 1_4__ + 3_2_ − _59__ + _34__ · 1_2_ = 1__52__ + 3_2_ − _59__ + _34__ · 1_2_ /preasroélnvtieesnisdo la división del
= _31_90__ − _59__ + _34__ · 1_2_ /resolviendo la adición del paréntesis
= 3_1_90__ − _59__ + _38__ /resolviendo la multiplicación
= 1__3._36__30_9_ _ /resolviendo la sustracción y la adición
( )c. 1_3_ − 0,1 · 5_3_ + 1,3 : _92__
( ) ( ) 1_3_ − 0,1 · 5_3_ + 1,3 : _92__ = 1_3_ − _11_0_ _ · 5_3_ + 1_1_30__ : _92__ /transformando a fracción 0,1 y 1,3
( ) = 1_3_ − 1_6__ + 1_1 _30__ : _92__ /resoplvaireénndtoeslias multiplicación del
= 1_6__ + 1_1_30__ : _92__ /resolviendo la sustracción del paréntesis
= 1_6__ + 1_4_3_5_ /resolviendo la división
= _49__10__ /resolviendo la adición
42 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos ↘ Taller de estrategias
Plantear una expresión numérica
1. Identifica el error en caso de haberlo y corrige la
resolución. Practica esta estrategia. Para esto, considera el
a. (5,2 · 7,3 + 4,04) : 7 – 3,5 enunciado y sigue cada paso:
= (37,96 + 4,04) : 3,5
= 42 : 3,5 En 2_5_ de un terreno rectangular de 30,8 m de largo
= 12 y 20,5 m de ancho, se plantarán árboles y en 1 _4__ ,
b. 5_7_ · _ 16__3_ : _23__6 _ + 2_3_ − _15__2 _ · 3_2_ flores. ¿Qué área del terreno se podrá utilizar para
= 5_7_ · _ 16__3_ · _2_36__ + 1_4__ · 3_2_
= _2_70__ + _38__ realizar otras plantaciones?
= 1_5_8_6_1_
↘↘Paso 1: Comprender el enunciado
2. Resuelve las operaciones. • ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el
a. (3,4 – 1,2) : 1,1 + 35,6 · (12,63 – 12,3) problema?
El área de la parte del terreno que se podrá
( ( ( ) ) ( ))b. 2_3_ · 3_5_ − 1_4__ + _56__ − _38__ − 1_4__ · 3_5_ utilizar para hacer otras plantaciones.
• ¿Qué información entrega el enunciado del
c. 1,2 + _38 __ : 1,8 − _38__ + 4,5 · 2,8 − 5,5 : 1_2_ problema?
La forma y medidas del terreno y las partes que se
ocuparán para plantar árboles y flores.
↘↘Paso 2: Identificar las variables involucradas
Las variables involucradas en este caso son: el
área del terreno, las partes del terreno destinadas
a plantar árboles y flores, y la que quedará
disponible para realizar otras plantaciones.
3. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los ↘↘Paso 3: Plantear una expresión numérica
problemas. Como en este caso se quiere calcular el
área del terreno disponible para realizar
a. Margarita tiene una cinta de _34 __ m y Lucía tiene otras plantaciones, al área total del terreno
una de 1,7 m y otra de 3_5 _ m. ¿Cuántos metros más (30,8 m · 20,5 m) se le debe restar la parte
de cinta tiene Lucía? ( )plantada con árboles 2_5_ ( 30,8 · 20,5 ) y la parte
( )plantada con flores 1_4__ ( 30,8 · 20,5 ) . Es decir, el
b. Martín recibió de su abuelo USD 15,5 y USD 20,8
de su mamá, y guardó USD 12,4. Si el resto lo [ ]área del terreno disponible se calcula resolviendo:
cambió a pesos chilenos y ese día USD 1 = $567,8,
¿con cuántos pesos chilenos quedó Martín? 30,8 ⋅ 20,5 − 2_5_ ( 30,8 · 20,5 ) + 1_4__ ( 30,8 · 20,5 )
c. Lorena corrió 5.187 m; Rocío, 3.367 m; y Pedro, ↘↘Paso 4: Responder la pregunta
4.095 m. Si 1 yarda son aproximadamente _ 19_0_1_0_ _ m, • ¿Qué área del terreno se podrá utilizar para
¿cuántas yardas recorrieron los tres en total? realizar otras plantaciones?
Como 631,4 – (252,56 + 157,85)
d. Si se mezclan 3 tazas con 65,8 g de azúcar cada = 631,4 – 410,41 = 220,99, el área del terreno
una con 7 tazas con 1_ _._0_5_7_ _9_ g cada una, para hacer disponible para otras plantaciones es de 220,99 m2.
bolsas con 50 g cada una, ¿cuántas bolsitas es
posible hacer? ↘↘Paso 5: Revisar el resultado
Puedes resolver el ejercicio haciendo cálculos
por partes y comprobar la igualdad entre los
resultados finales.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 43
Lección 2
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Identifica cada fracción representada. 6. Resuelve cada adición. d. 54,04 + 21,3 + 3,3
a. a. 2 1_8__ + _58__ e. 1__75__ + 3 _13__4 _ + 2_4_1__
b. b. 3,45 + 8,98 f. 2_9__ + 7_5__ + 1_4_2_5__ + 1_2__
c. c. 1,2 + 3,23 + 12,9
d.
7. Resuelve cada sustracción.
2. Representa con barras y luego en una misma rec- a. _18__9_ − _16__9_ e. 9,87 – 3,72 – 0,39
ta numérica. b. 4,56 – 2,989 f. 7_8__ − 3_4__ − _11__6 _
c. 1_1_3_5_ − 2_5__ − 1_6__ g. 12 – 3,7 – 4,09
a. 3,6 c. 3 _1_3_0_ _ e. 2,4 d. 3,2 – 1,24 – 0,48 h. 5_7__ − 3_5__ − _31__5 _
b. 2_5__ d. 1,85 f. 3_4__
3. Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa. 8. Resuelve cada operación.
a. 0,21 − _1 3__5 _ + _38__ + 2,89
a. Si dos fracciones tienen igual
denominador, es mayor la de mayor ( )b. 12,8 + 3_2__ − _38__ − 4,93
numerador. ( )c. 15,56 − _1_3_0_ _ − 0,008 + 8,21
b. Un número decimal es menor que 9. Resuelve las operaciones. Simplifica el resultado
otro si tiene menos cifras en su parte cuando sea posible.
decimal.
a. _45__50__ · _45__ e. _45__ : 2_3__
4. Compara los números y ordénalos en forma b. 1__56__ · 1__8_0_ _ f. 7_1_5_2_ : 1_6_5__
creciente. c. 5_8__ · 3_7__ g. 8_8_1__ : _33__2 _
a. _45__ , _1_7_0_ _ , _17__2 _ , 3_2__ , 1_6__ d. _15__06__5 _ · 5_2__ h. 1_1_2_5_ : _47__
b. 1,8; 2,67; 4,89; 3,52; 1,82
c. 1 3_4__ , _85__ , 1_4_2__ , _67__ , 2 _56__
d. 1,09; 1,99; 1,909; 0,999; 0,909
5. Expresa cada fracción como número decimal y 10. Resuelve las multiplicaciones y divisiones entre
cada número decimal como fracción irreductible. números decimales.
a. 1_4__ d. 17,92 g. 1_5__70__ a. 42,6 · 12,9 f. 53,58 : 14,1
b. 5,87 · 8,07 g. 18,56 : 6,4
b. 0,35 e. 1__25__ h. 6,282 c. 124 · 3,65 h. 58.995 : 9,5
d. 21,11 · 0,7 i. 222,431 : 2,77
c. 1__53__ f. 36,7 i. 3_2__90__ e. 9,08 · 2,6 j. 44,344 : 4,6
44 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
11. Resuelve los problemas. 13 Compara los números. Para ello, utiliza la recta
a. Juan preparó 6 porciones de 180,8 g de arroz, numérica.
y debe repartirlas en 10 porciones iguales. a. _85__ y 1,5
¿Cuántos gramos de arroz tendrá cada porción? b. 2,83 y 2 1_2__70__
b. De los discos de Miguel, 2_ 3__ son de música c. 18,6 y 9_ _5_3_ _
clásica. Si de este tipo de música, _45 __ son de d. 1__25__ y 6,85
Mozart, ¿qué fracción de los discos son de e. 13,65 y 5_ _5_6_ _
Mozart? f. 0,01 y _1__._01__0 __0__
12. Resuelve las siguientes operaciones. 14 Resuelve las operaciones. Luego, ordena los re-
sultados en orden creciente.
( ( ))a. 3_5__ ⋅ 1_6__ : 2_5__ + _38__ − _66__2_
( ) ( )a. 6,7 − _ 1_7_0_ _ ⋅ _2_9_0_ _ + 5,5
b. 8,68 : 3,1 – (3,8 ⋅ 1,2 – 0,99) ⋅ 0,5
b. 12,6 : 3_ 4__ − 3_5__ ⋅ 8,5
( ( ) )c. 7,23 ⋅ _1_7_0_ _ + 8,16 : 3_ _5_4_ _ − 0,23
( ( ))c. 1,38 ⋅ 10,6 − 5,93 − 2,6 ⋅ 3_4__ ⋅ 5,5
d. _59__ : 1_3__ − _56__ ⋅ _38__ − 1_4__ ⋅ 3_5__ + _68__ : 1_3__ ( )d. 14,5 ⋅ 7,8 : 1,2 − 1 _5__ ⋅ 3_4__
e. 55,04 : 6,4 – 4,8 ⋅ 1,03 + 12,84 e. 1_5_2__ − ( 0,2 ⋅ 2,8 + 1,76 ) + 5_4__
f. 3_4__ : 0,05 − 25,6 ⋅ 1_4__ + 6__5_4_ _ − 7,3
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Preguntas 1, 2, 3, 4, 13 y 14)
Identifiqué, representé y comparé fracciones y números decimales positivos. (Pregunta 5)
Convertí fracciones a números decimales y viceversa.
Resolví adiciones y sustracciones de fracciones y de números decimales. (Preguntas 6, 7 y 8)
Resolví multiplicaciones y divisiones de fracciones y de números decimales. (Preguntas 9, 10 y 11)
Resolví operaciones combinadas de fracciones y números decimales.
(Preguntas 12 y 14)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 45
UNIdAd ↘ Taller de TIc
Calculadora científica
1 Está formada generalmente por 42 o más teclas y cuenta con diversas
%
funciones, por ejemplo, porcentaje = , potenciación ∧ y varias
otras que irás conociendo a medida que avances de curso. La tecla que
opera con fracciones es:
ab/c
Por ejemplo, para resolver 1___ + 2_5_, se presionan:
4
1 ab/c 4 + 2 ab/c 5 =
Entonces, aparecerá como resultado 13 20, lo que representa a la
fracción 1_2_3_0_.
2 con la calculadora científica también puedes operar con números mixtos. Por ejemplo, para
transformar el número mixto 3_59__ en fracción, se presionan las siguientes teclas:
3 ab/c 5 ab/c 9 = SHIFT ab/c
Además de las operaciones aritméticas, la calculadora científica trabaja con un elevado número de
dígitos y realiza las operaciones en orden jerárquico.
Por ejemplo, si se quiere resolver _3__ + _3___ ⋅ _59__, basta con digitar las siguientes teclas:
4 10
3 ab/c 4 + 3 ab/c 1 0 x 5 ab/c 9 =
3 Así, la calculadora mostrará en su pantalla como resultado la expresión 11 12, que es equivalente
a la fracción1_1_1_2_ .
_3__ _3___ ⋅ _59__, para que tenga
( )del mismo modo, si el problema tiene paréntesis, por ejemplo 4 + 10
prioridad la adición debes digitar:
( 3 ab/c 4 + 3 ab/c 1 0 ) x 5 ab/c 9 =
Esta vez, el resultado será 7 12, que es equivalente a la fracción _17__2_ .
4466 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM
1. Dibuja la secuencia de teclas que debes digitar en una calculadora científica para resolver.
( )a. _ 1_9_0 _ ⋅ _56__ + 3 3_5_ →
( )b. 2_7_ + _24__1_ : 2_1_1_0_ →
2. Resuelve manualmente. Luego, verifica tus resultados utilizando la calculadora científica.
( ) ( )a. 3 _34__ + 1 _17__0 _ − 2 − 1_4__ d. _56__ + _74__ ⋅ _98__ − 2_5_
b. _83__ + 5 _74__ : _45__ e. 2 _47__ + 1 _34__ ⋅ 3 _56__
( ) ( )c. 4 _17__0 _ ⋅ 3 _36__ − 2 2_5_ − 1 1_6__ ( ) ( )f. 4 _34__ − 1_6__ : _34__ − 1_6__
3. Utiliza una calculadora científica para resolver los siguientes problemas.
a. La hermana de Constanza recibe $42.000 por un premio. El lunes le pagaron 2_ 7_ del total; el martes,
3_5_ del resto y el miércoles, lo que aún le debían. ¿Cuánto dinero recibió cada día?
b. Manuel compró 360 bolitas para jugar. Del total de bolitas perdió _2 9__ jugando el día lunes, _1 3__0 _ de la
cantidad restante la perdió el día martes y el día miércoles, ganó _ 12__5 _ de lo que había comprado en un
principio. ¿Cuántas bolitas perdió entre los días lunes y martes? ¿Cuántas bolitas le quedaron al final del
día miércoles?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 4477
3Lección Su majestad, he traído ante usted ¡Qué juego más entretenido!
un juego, se llama ajedrez. ¿Con qué te recompenso?
Si me gusta, Sissa, Quiero 1 grano
te recompensaré. de trigo por la
primera casilla
Potencias del tablero, 2
por la segunda y
continuar doblando
la cantidad de
granos de trigo
por cada casilla,
hasta completar el
tablero.
Sissa
↘↘Potencias de Potencias de base 10
base 10
Una potencia es la multiplicación de un número repetidas veces por sí mismo. Se
↘↘Multiplicación expresa de la forma any se lee “a elevado a n”.
de potencias de
base 10 Exponente
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a
↘↘División de
potencias de Base n veces a como factor
base 10
◾◾ a es la base y corresponde al valor que se repite.
↘↘Operaciones ◾◾ n es el exponente y corresponde al número de veces que se repite la base como
combinadas
factor.
↘↘Descomposición El valor de las potencias de base 10 corresponde a los múltiplos de 10, tal que el
aditiva canónica número de ceros de dicho múltiplo coincide con el exponente de la potencia.
↘↘Notación científica
Ayuda Ejercicios resueltos
El área de un cuadrado
se calcula multiplicando 1. Identifica cuáles de los siguientes valores pueden ser escritos como potencias de
su largo por su ancho.
Observa: base 10. Para ello, escribe dicha potencia.
a a. 1.000 → 103 d. 1.000.110 → No es una potencia de base 10.
a
b. 10.000 → 104 e. 1.000.000 → 106
Área = a ⋅ a.
c. 10.000.000 → 107 f. 10.010 → No es una potencia de base 10.
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2. Calcula el valor de las siguientes potencias de base 10.
a. 101 = 10 c. 105 = 100.000 e. 1011 = 100.000.000.000
b. 104 = 10.000 d. 103 = 1.000 f. 107 = 10.000.000
3. Resuelve el siguiente problema.
Una cuadra, habitualmente, es considerada como la distancia entre dos calles; y una
manzana, como el cuadrado formado por 4 cuadras. Si una cuadra tiene la longitud
de aproximadamente 100 metros, ¿cuál es la superficie que ocupa una manzana?
Expresa el resultado con una potencia.
▷▷ Como una manzana es posible representarla por un cuadrado de largo 100 m y
ancho 100 m, y el área de un cuadrado se calcula multiplicando su largo por su
ancho, entonces, el área A del cuadrado de lado 100 m se calcula:
A = 100 m ⋅ 100 m = 10.000 m2
Por lo tanto, la superficie de una manzana es aproximadamente 10.000 m2.
Por otra parte, 10.000 es posible representarlo como 104.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
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Libro Sm matemática 7° básico
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