Ejercicios propuestos
1. Aplica la propiedad distributiva para resolver cada ejercicio.
a. 5 · 106 = 5 · ( + 6) =
b. 3 · 780 = 3 · (700 + )=
c. 467 · 4 = (400 + + )·4=
2. Analiza las siguientes resoluciones. Luego, identifica el error en cada una de
ellas.
a.
8 · (12 + 15) = (8 · 12) · (8 · 15)
= 96 · 120
= 11.520
b.
_21_ · (_32_ + _27_) = _32_ · _21_ + _27_ · _21_
= _3_ · _1_1 · _1_
2 14 2
= _3_3_
56
c.
1,8 · (2,2 + 0,8) = (1,8 + 2,2) · (1,8 + 0,8)
= 4 · 2,6
= 10,4
3. Evalúa con un compañero o compañera si las afirmaciones son verdaderas o
falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. Justifica las falsas.
a. cualquier operación cumple la conmutatividad y asociatividad en los
números naturales.
b. La adición es cerrada (cumple la propiedad de clausura) en el conjunto
de los números impares.
c. En un conjunto determinado, al verificar que para una operación existe
el elemento inverso, también existe el elemento neutro para dicho
conjunto, considerando la misma operación.
d. La propiedad distributiva de la adición por sobre la multiplicación puede
cumplirse en el conjunto de los números naturales.
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 99
Lección 6: Propiedades
Sé más Aplicaciones
Para multiplicar Las propiedades vistas pueden ser aplicadas en diversas situaciones, por ejemplo:
un número por un ◾◾ La adición de los primeros 100 números naturales es:
término algebraico, se
multiplican los valores 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
y se conserva el factor Para calcular la suma, es posible aplicar la propiedad asociativa. Observa:
literal del término
algebraico. (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51)
Por ejemplo: Obteniendo 50 veces 101, es decir, 50 · 101, cuyo resultado es 5.050.
• 3 · 5a = 15a ◾◾ Para calcular el doble del valor que representa la expresión algebraica 5x + 7,
• 5 · 13xy = 65xy es decir, 2 · (5x + 7), es posible resolver la adición 5x + 7 + 5x + 7, obteniendo
• 2_3_ · 7x2yz = 1__34__ x2yz 10x + 14. Sin embargo, probablemente, al resolver 50 · (5x + 7) con la misma
estrategia se invierta más tiempo del usado al aplicar la propiedad distributiva de
la siguiente manera:
50 · (5x + 7) = 50 · 5x + 50 · 7
= 250x + 350
Ejercicios resueltos
1. Calcula la suma de los primeros 20 números naturales impares.
▷▷ La adición de los primeros 20 números naturales impares es:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 35 + 37 + 39
Para calcular la suma, es posible aplicar la propiedad asociativa:
(1 + 39) + (3 + 37) + (5 + 35) + … + (19 + 21)
Obteniendo 10 veces 40, es decir, 10 · 40, cuyo resultado es 400.
2. Calcula la suma de los primeros 50 números naturales pares.
▷▷ La adición de los primeros 50 números naturales pares es:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 96 + 98 + 100
Para calcular la suma, es posible aplicar la propiedad asociativa:
(2 + 100) + (4 + 98) + (6 + 96) + … + (50 + 52)
Obteniendo 25 veces 102, es decir, 25 · 102, cuyo resultado es 2.550.
3. Resuelve:
a. 7 · (8a + b) = 7 · 8a + 7 · b = 56a + 7b
( )b. _45__ · _54__ xy + 0,2 = _45__ · _54__ x y + _45__ · 0,2 = _22_0_0_ xy + _45__ · 1_5_ = xy + _24__5_
( )c. 4,8 · 1_2_ p 2q3 + 0,4pq = 4,8 · 1_2_ p2q3 + 4,8 · 0,4pq
= 4,8 · 0,5p 2q3 + 1,92pq
= 2,4p 2q3 + 1,92pq
100 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos ↘ Taller de estrategias
Asociar términos semejantes
1. Calcula las siguientes sumas.
a. La suma de los primeros 50 números naturales. Practica esta estrategia. Para esto, considera el
b. La suma de los primeros 30 números naturales enunciado y sigue cada paso:
impares.
c. La suma de los primeros 20 números naturales ¿cuál es el perímetro y área de la figura que
múltiplos de 4. representa el terreno de un parque?
d. La suma de los primeros 30 números naturales
múltiplos de 5. c
2. Verifica que la suma de los primeros 50 números (4a + 2b) m
naturales impares es 2.500.
d 14 m
3. Resuelve. 4m B
a. 12 ⋅ (4r + 2s)
A (2a + 3b) m
b. 15 ⋅ (2a + 2,5) ↘ Paso 1: Identificar los datos necesarios para
5__ 2_3_abc _7___ resolver el problema
7( )c.⋅ + 25
En este caso, para calcular el perímetro se tiene la
1__4__ _54_90__x3y + 0,4 longitud de todos los lados de la figura; mientras
( )d.25 ⋅ que, para calcular el área, se tiene un rectángulo
de largo (2a + 3b) m y ancho 4 m, además de un
( )e. 0,1 ⋅ 2_7_rs3 + 0,5 triángulo rectángulo de base (2a + 3b) m y altura
10 m (resta entre 14 m y 4 m).
( )f. 3_2_ xy 1__
2,6 ⋅ + 3 x2y ↘ Paso 2: Representar algebraicamente el
perímetro y el área
4. Analiza el Taller de estrategias. Luego, resuelve el
problema. Las expresiones algebraicas que representan el
perímetro P y el área A son:
¿cuál es el perímetro y área de la región pintada, si la
longitud de cada lado del cuadrado exterior ABcd es • P = 4 m + (2a + 3b) m + 14 m + (4a + 2b) m
4k + 10 y la longitud de cada lado del cuadrado EFGH • A = _(_2_a___+__3__b__)_2_m___⋅___1_0___m__+ (2a + 3b) m ⋅ 4 m
es k + 3? ↘ Paso 3: Identificar y asociar los términos
semejantes
A Ed
• P = 4 m + (2a + 3b) m + 14 m + (4a + 2b) m
= (4 + 2a + 3b + 14 + 4a + 2b) m
= (6a + 5b + 18) m
FH • A = _(_2_a___+__3__b__)_2_m___⋅___1_0___m__+ (2a + 3b) m ⋅ 4 m
=_(_2__a__+___3_2_b_)__⋅___1__0_ m2 + (2a + 3b) ⋅ 4 m2
2__0__a__+___3__0__b_
= 2 m2 + (8a + 12b) m2
BGc = (10a + 15b) m2+ (8a + 12b) m2
= (18a + 27b) m2
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 101
Lección 6
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Identifica la propiedad utilizada para que las 5. Analiza las preguntas y luego respóndelas.
igualdades sean verdaderas. a. ¿Cuál es el triple de x + 2r + 5f?
b. ¿Cuál es la mitad de 20 + 12d?
a. 7 + 11 = 11 + 7 c. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrilátero cuyos
b. 1 · 29 = 29 lados miden 6h + 3w cada uno?
c. 10 + (6 + 30) = 10 + (30 + 6) d. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyos
d. (15 + 4) · 3 = 15 · 3 + 4 · 3 lados miden m + 3n cada uno?
e. 9 · (12 · 2) = (9 · 12) · 2 e. ¿Cuál es el área de un rectángulo de largo
f. 8 + (4 + 7) = (8 + 4) + 7 30 cm y ancho (10 + 5h) cm?
f. ¿Cuál es el área de un triángulo, si la longitud
2. Aplica la propiedad distributiva de la multiplica- de su base es 14 mm y la de su altura
ción sobre la adición, para resolver cada ejercicio. respectiva es (6x + 11) mm?
a. 3 · (2 + x) 6. Calcula:
b. 8 · (2q + 5) a. La suma de los primeros 30 números naturales.
c. 5 · (3x + 7y) b. La suma de los primeros 40 números naturales
d. 1_2__ · ( 10 + 22b ) pares.
c. La suma de los primeros 60 números naturales
( )e. 3 · 7_3__ x + _56__ y impares.
( )f. 10 · 5 + 2 _5__ n d. La suma de los primeros 20 números naturales
múltiplos de 6.
3. Representa las operaciones como una multiplica- e. La suma de los primeros 50 números naturales
ción en que se deba aplicar la propiedad distribu- múltiplos de 3.
tiva de la multiplicación sobre la adición para ob-
tener cada igualdad. Guíate con el ejemplo: 7. Resuelve. Para ello, aplica la propiedad asociati-
18x + 36 = 9 · (2x + 4) va en cada caso.
a. 3_4__ + 10 + 1 _4_3__
a. 7 · 5 + 7 · 9 b. 7_6__ + 7 + 1 _6_1__ + 8
b. 12 + 16 c. _15__3 _ + 4 + _ 17__3 _ + 2 + _11__3 _
c. 9x + 9y d. 7_8__ + 6 + _98 __ + 1
d. 60h + 50m e. 0,75 + 10 + _94 __
e. xy + 6x
f. _49__ y + 1_9_1__ SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
4. Aplica las propiedades de la adición y de la multi-
plicación para reducir las expresiones dadas.
a. 5 · (p + 3) + 2 · (p + 1)
b. 7 · (10 + 5c) + 50 – 100c
c. 42 + 4 · (6 + 10x) – 66
d. 15 · (2 · (y + 3)) + 4y
e. 2 · (3x + 5y + 7) + 3 · (4x + 6y + 1)
( )f. 2_3__ · ( 9 + 5m )+ 5 · _ m5___ + 4
102
8. calcula el perímetro y área de la parte sombrea- c. c
da en cada figura. F
a. Rectángulo ABCD de largo (k + 5) cm y ancho
3 cm. Rectángulo EFGH de largo 4 cm y ancho
(2k + 3) cm.
A d d E
E H A B
F G 9 Analiza la veracidad de las afirmaciones. Lue-
B c go, escribe V o F según corresponda. Justifica las
falsas.
b. (5p + 2q) cm B
A a. La sustracción es una operación que
cumple la propiedad de clausura en los
3 cm números naturales.
10 cm c b. El elemento neutro de la adición de
d (p + q) cm números naturales es el 0.
1 cm
c. La propiedad asociativa solo está
F (2p + q) cm E presente en la adición de números
naturales.
d. La frase “el orden de los factores no
altera el producto” corresponde a
una forma de expresar la propiedad
conmutativa de la multiplicación en
algunos conjuntos.
e. El elemento inverso de 5, en la adición
de números naturales, es –5, ya que
5 + (–5) = 0.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Identifiqué y apliqué propiedades de la adición y multiplicación de números naturales, fracciones y
decimales mayores que 0.
(Preguntas 1, 2, 3, 4, 7 y 9)
Resolví problemas que involucraron expresar algebraicamente enunciados numéricos y geométricos.
(Preguntas 5, 6 y 8)
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 103
UNIDAD ↘ Taller de Resolución de problemas
1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema.
Emilia está conversando con Sofía, su madre, mientras leen unas revistas. Si se establece el siguiente
diálogo:
Emilia: Mamá, ¿te das cuenta de que ahora tienes el doble de mi edad?
Sofía: Sí, Emilia, también recuerdo que hace 20 años mi edad era el cuádruplo de la tuya.
¿Cuál será la edad de Sofía en 5 años más?
1Paso Comprende el enunciado
Se debe calcular la edad que tendrá Sofía en 5 años. Para esto se sabe que la edad actual de Sofía es
el doble que la de Emilia y que, hace 20 años, la edad de Sofía era el cuádruplo de la edad de Emilia.
Paso Planifica lo que vas a realizar
2 Primero se debe asignar una incógnita a la edad actual de Emilia. Esta incógnita también puede
expresar la edad actual de Sofía. Luego se expresarán, a partir de ellas, las edades de Emilia y
Sofía, pero hace 20 años. A continuación, se establecerá la relación correspondiente entre dichas
expresiones algebraicas y se resolverá la ecuación. Finalmente, se responderá la pregunta, dando
solución al problema.
3Paso Resuelve el problema
En este tipo de problemas, es recomendable asignar la incógnita a la edad actual de una de las
personas, generalmente la menor. En este caso, x corresponderá a la edad actual de Emilia. De esta
manera, la edad actual de Sofía es 2x. Además, también se hace referencia a la edad que tenían
ambas hace 20 años. Observa la tabla:
Persona Edad hace 20 años Edad actual
Emilia x – 20 x
Sofía 2x – 20 2x
Considerando la relación “hace 20 años, la edad de Sofía era el cuádruplo de la edad de Emilia” se
tiene que:
2x – 20 = 4(x – 20)
2x – 20 = 4x – 80
60 = 2x
30 = x
Entonces, la edad actual de Emilia es 30 años, por lo tanto, la edad actual de Sofía es 60 años. Sin
embargo, la pregunta hace referencia a la edad de Sofía dentro de 5 años, la que corresponderá a
65 años.
Paso Revisa tu respuesta
4 Efectivamente, 60 es el doble de 30 y, si a 60 se le restan 20 unidades, 40 es el cuádruplo de 10.
Por lo tanto, se cumplen las condiciones.
110044 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior.
a. La edad actual de Jaime es el triple de la edad de Esteban. En 5 años más, Jaime tendrá el doble de la
edad de Esteban. ¿Qué edad tenía Esteban hace 2 años?
b. La edad actual de Aníbal es la mitad de la edad actual de Bárbara. Hace 20 años, la edad de Aníbal era la
sexta parte de la edad de Bárbara. ¿cuál será la edad de Aníbal dentro de 10 años?
c. El perímetro de un rectángulo es 100 cm. Si uno de sus lados es la cuarta parte del otro, ¿cuál es el área
del rectángulo?
d. Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo están dadas por (3x + 2)°, (4x + 11)° y (x + 7)°.
¿cuál es la medida del ángulo menor?
e. El perímetro de un cuadrado es 60 cm y la longitud de cada uno de sus lados está dada por la expresión
(2x + 5) cm. ¿cuál es el área del cuadrado?
f. Si 10 trabajadores pueden construir 4 paredes, ¿cuántos trabajadores se necesitan para construir
6 paredes? Para responder, considera que todos trabajan por igual.
g. En la figura se muestra un rectángulo al que se le quitó una parte de forma cuadrada. La longitud de cada
lado del cuadrado es la mitad de la longitud del ancho del rectángulo, según se muestra en la figura.
¿cuál es la expresión reducida del perímetro de la figura pintada?
7x + 4
10x + 6
h. Para regar las plantas de un pequeño jardín, se saca agua de un estanque utilizando jarros de 2 litros de
capacidad. Si se sacan 30 jarros llenos de agua, el estanque queda vacío. Si se usaran jarros de 3 litros de
capacidad, ¿cuántos jarros pueden ser llenados con el agua del estanque?
i. Es necesario reunir un grupo de personas, tal que la cantidad de ellas cumpla las siguientes condiciones:
◾ El triple del número de personas aumentado en uno debe ser mayor que 7.
◾ El cuádruplo del número de personas disminuido en cinco debe ser menor que 27.
¿Por cuántas personas debe estar compuesto el grupo?
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 110055
7Lección Buscando grupos…
Ecuaciones e
inecuaciones
↘ Ecuaciones Évariste Galois
↘ Inecuaciones Ecuaciones
↘ Planteo de Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas y cuyo grado está
ecuaciones determinado por el mayor exponente de alguna de sus incógnitas. Esta lección se
centrará en el estudio de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.
↘ Planteo de Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita consiste en encontrar
inecuaciones el valor de la incógnita que valida la igualdad (se cumple). Para hacerlo, debes
considerar la propiedad que establece que, al aumentar o disminuir la misma
↘ Análisis de cantidad en ambos miembros de una igualdad, esta se conserva. El valor encontrado
resultados es denominado solución de la ecuación.
Ejercicios resueltos
Sé más 1. Da 2 ejemplos de ecuaciones de primer grado con una incógnita y 2 con dos
incógnitas.
Otros casos:
caso 1: • 5x + 6 = 10 → Primer grado y una incógnita • 4k + 6m = 24 → Primer grado y dos incógnitas
• 10 + 4y = 73 → Primer grado y una incógnita • 6p + 3q = 12 → Primer grado y dos incógnitas
15 = 15
15 · 2 = 15 · 2 2. Representa, con ejemplos, que al aumentar o disminuir la misma cantidad en
ambos miembros de una igualdad, esta se conserva.
30 = 30
/· 2 ▷ 6=6 /+4 6=6 / + (–5)
6+4=6+4 6 + (–5) = 6 + (–5)
10 = 10 1=1
caso 2: / · 1__ 3. Resuelve la ecuación 4x + 8 = 20 utilizando fichas.
15 = 15 5 ▷ Supongamos que x representa la cantidad de fichas que contiene una bolsa. Luego,
4x + 8 = 20 puede ser representado con fichas de la siguiente manera:
1__5__ = 1__5__
5 5
3=3 += / sacando 8 fichas en cada lado de
= la igualdad
/ repartiendo las 12 fichas entre
las 4 bolsas
=
Luego, la solución de la ecuación 4x + 8 = 20 es x = 3.
106 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM
Mmmm, mejor ¿Y si busco cuerpos?
buscaré anillos…
“¡Soy un genio!….gracias a mi
teoría de ecuaciones pudieron
inventar el GPS, aunque este
funciona un poco raro…
4. Resuelve las ecuaciones. Para ello, aplica el método de la sección Sé más que Este matemático francés
fue educado por sus
está a la derecha de esta actividad. c. _3_5p__ + 1 = 7
padres hasta los 12 años.
a. 4x = 12 b. _7k_ = 16 Investiga más sobre él en
4x = 12 / ⋅ 1_4__ _7k_ = 16 / ⋅ 7 _3_5p__ + 1 = 7 / + (–1) Internet.
_44__x_ = 1_4_2__ 7__7_k_ = 16 ⋅ 7 _3_5p__ = 6 /⋅ 5 Sé más
3p = 30 /⋅ 1_3_ • Para resolver
x = 3 k = 112
ecuaciones de la
p = 10 forma ax = c, se
multiplican ambos
5. Comprueba que los valores encontrados al resolver las ecuaciones de la miembros de la
actividad anterior son sus soluciones. igualdad por el
inverso multiplicativo
▷▷ Para comprobar que el valor encontrado al resolver una ecuación es solución de esta, de a.
se debe reemplazar la incógnita por dicho valor y verificar que se cumpla la igualdad. • Para resolver
efocrumaaci_ oax_ n=esb,dseela
a. 4x = 12 / x = 3 b. _7k_ = 16 / k = 112 c. _3_5p__ + 1 = 7 / p = 10 multiplican ambos
miembros de la
4 ⋅ 3 = 12 1__17_2_ _ = 16 3__ _⋅_5_ _1 _0__ + 1 = 7 igualdad por a.
1 2 = 12 16 = 16 _3_50__ + 1 = 7
7=7
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las ecuaciones. Luego compruébalas. j. 0 = − _34__ + _ 4x__
k. q + 0,25 = 5_2 _
a. 5x = 10 d. 5p + 4 = 10 g. 20 = 10 + _5x _ l. _76__ + 2_3_ x = _43__
b. _4y__ = 116 e. 8j + 10 = 25 h. 0 = 3m + 12
c. 4w + 9 = 9 f. 1_4__ + 2y = 2 i. 15 = 20 + 15k
2. Analiza la sección Ayuda, para resolver las ecuaciones. Ayuda
a. 7x – 10 + 2x = 5 – x e. 6x + 5 – 4x – 5 = 6 – x 5 + 3x + 11x = 8 + x / resolviendo
b. –25 + 9 +14 y = 10 + y f. 11p + 5 + 9p = 10p + 6
c. 2 · (k + 3) = 10 – 3k g. x + 4 + x + 2 = 7 5 + 14x = 8 + x / + (−x)
d. 4 · (2 + m) + 1 = 13 h. 12 + 3k = 5 · (k + 2) + 2
5 + 13x = 8 / + (−5)
13x = 3 / · _11__3 _
x = _ 13__3 _
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 107
Lección 7: Ecuaciones e inecuaciones
Inecuaciones
La masa corporal de Una desigualdad de expresiones es representada por los signos:
Trinidad al nacer fue
de 2.945 g. Si para que ◾ < : menor que. ◾ > : mayor que.
le den el alta y pueda
irse a casa, durante los ◾ ≤ : menor o igual que. ◾ ≥ : mayor o igual que.
próximos tres días en
la clínica, Trinidad no Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas. En esta
puede disminuir más lección estudiarás las inecuaciones con una incógnita.
de un 10 % de dicho
peso, ¿cuál debe ser, Resolver una inecuación con una incógnita consiste en encontrar el conjunto de
como mínimo, la masa valores de la incógnita que valida la desigualdad (despejando la incógnita). Para
corporal de Trinidad? esto, considera la propiedad que establece que al aumentar o disminuir la misma
cantidad en ambos miembros de una desigualdad, esta se conserva. El conjunto
encontrado es denominado conjunto solución de la inecuación.
◾◾ Para resolver inecuaciones de la forma ax < b y ax > b, con a > 0, se multiplican
ambos miembros de la desigualdad por el inverso multiplicativo de a.
◾◾ Pamarbaorsesmoilevmerbirnoescdueaclaiodneessigduealladafodrmpoar_ax a_ .< b y _ax _ > b, con a > 0, se multiplican
Ejercicios resueltos
1. Da 2 ejemplos de inecuaciones con una incógnita.
▷▷ 15x + 45 < 161 ▷▷ _4m__4_ – 61 > 24
2. Representa, con ejemplos, que al aumentar o disminuir la misma cantidad en
ambos miembros de una desigualdad, esta se conserva.
▷▷ Considerando la adición, por ejemplo:
13 < 25 / + 7 25 > 13 / + (–12)
/ · 1_5_
13 + 7 < 25 + 7 25 + (–12) > 13 + (–12)
Ayuda 20 < 32 13 > 1
El conjunto solución
de la inecuación ▷▷ Considerando la multiplicación, por ejemplo:
5x + 13 < 23 está
compuesto por todos 10 < 62 / · 5 10 > 5
los números menores
que 2. Además, el 10 · 5 < 62 · 5 _1_50__ > 5_5_
conjunto solución de la
inecuación 2k – 7 > 2 50 < 310 2>1
está compuesto por
todos los números 3. Resuelve las inecuaciones. b. _2_y_1 _ > 2 c. _2_3p__ – 6 > 2
mayores que _92 __ .
a. 5x < 23
5x < 23 / ⋅ 1_5_ _2_y_1 _ > 2 / ⋅ 21 _2_3p__ – 6 > 2 / + 6
_5_5_x_ < 2__53__ 2_2_1_1_y_ > 2 ⋅ 21 _2_3p__ > 8 /⋅ 3
x < 2 __53__ y > 42 2p > 24 /⋅ 1_2_
p > 12
108 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
4. Describe un método para comprobar que el conjunto de valores encontrado al Sé más
resolver inecuaciones es su conjunto solución.
El conjunto solución de
▷▷ El siguiente método es usado para comprobar que el conjunto de los números una inecuación también
2_ _3p__ –
mayores que 12, encontrado al resolver 6 > 2 de la actividad anterior, es su puede ser expresado en
c onjuntosolución : _2_3p__ – 6 > 2 /+ (–2) forma gráfica.
2__3p__ –
_2_3p__ – 8 > 0 6 > 2
p > 12
Expresión algebraica p < 12 p = 12 p > 12 De esta manera, la
_2_3p__ – 8 solución se expresa en
2_3_ · 0 – 8 = –8 2_3_ · 12 – 8 = 0 2_3_ · 15 – 8 = 2 una recta numérica de
_2_3p__ – 8 < 0 _2_3p__ – 8 = 0 _2_3p__ – 8 > 0 la siguiente forma:
12
En síntesis, el método consistió en:
1.° Se operó en la inecuación, de tal manera que una expresión sea comparada con 0.
c2_ _3op__n j–u8nt<o
2.° En este caso, resultó 0. está compuesto por los valores mayores Desafío
Como se sabe que el encontrado
que 12, en una tabla se valoriza la expresión 2__3p__ – 8 para 3 casos, para algún Comprueba el conjunto
x < 12 (en este caso, x = 0), para x = 12 y para algún x > 12 (en este caso, x = 15). solución encontrado
al resolver las
3.° Según el resultado de las valorizaciones, se verifica en cada caso si la expresión inecuaciones:
es menor, igual o mayor que 0. • 5x < 23
• _2_y_1 _ > 2
4.° Como 2__3p__ – 8 debía ser mayor que 0, el único caso que cumple es cuando x > 12.
Lo que comprueba que este es el conjunto solución de la inecuación 2__3p__ – 8 > 2.
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las inecuaciones. Luego, compruébalas.
a. m + 7 > 10 d. x + 4 < 3 g. t – 9 > – 13 j. 6y + 6 > 6
k. 5h – 10 < 10
b. n + 1 < 5 e. k + 7 > 0 h. 0 > b + 7 l. x + 2_ 3_ > 5_3_
c. y + 2 < 0 f. h – 8 < 11 i. 1 < 70 + 2w
2. Comprueba si los valores dados pertenecen al conjunto solución de la
inecuación respectiva.
a. x = 3; en 3x + 7 > 10. d. x = 0,1; en 0,1x + 0,1 > 0,01.
b. x = –1; en 2x – 7 < 0. e. y = 1 _3_ ; en 4y + 10 < 20. Ayuda
c. x = 0; en 40 + 10x > 50. f. y = _56 __ ; en 5y + 4 > 10.
2(3 + 2x) + 7x > 8 − 4x
3. Analiza la sección Ayuda, para resolver las inecuaciones. 6 + 4x + 7x > 8 − 4x
6 + 11x > 8 − 4x
a. 4x + 3 + 7x > 10 d. 2 · (3 · (x + 6) < 4 + 4x
15x > 2
b. 14 + 6x – 9 < 2x e. 4 · (5 + 2x) – 10 > 11 + 3x x > _12__5 _
c. 13 + 7y – 2y – 8 > 15 – 5y f. 15 + 5 · (3x + 5) < 40
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 109
Lección 7: Ecuaciones e inecuaciones
Planteo de ecuaciones
Un problema puede ser resuelto siguiendo los siguientes pasos:
1.º Leer el enunciado. Puedes subrayar la información importante, como los datos y
la pregunta.
2.º Asignar una letra (incógnita) que represente lo que se debe encontrar.
3.º Reescribir el enunciado en lenguaje algebraico, es decir, plantear una ecuación
que represente el problema.
4.º Resolver la ecuación. No olvides comprobar que el valor encontrado es la
solución de la ecuación.
5.º Analizar la solución de la ecuación, en cuanto a la pertinencia de ella en el
problema. Hecho esto, responde la pregunta.
Ayuda Ejercicios resueltos
Siempre es necesario
comprobar la solución 1. Resuelve los problemas.
encontrada con la
ecuación y, antes de a. La diferencia entre el triple de un número y su doble es la mitad de 50. ¿Cuál es
responder, volver a el doble del número?
leer el problema para 1.° Datos: la diferencia entre el triple de un número y su doble es la mitad de 50.
asegurar la coherencia Pregunta: ¿cuál es el doble del número?
de la respuesta. 2.° Se pregunta por un número, el que será representado por la incógnita x.
3.° Del enunciado se desprende:
Persona Edad • El triple del número → 3x
actual • El doble del mismo número → 2x
Felipe 2 · (2x) – 2 • La diferencia entre el triple de un número y su doble → 3x – 2x
Constanza • La diferencia entre el triple de un número y su doble es la mitad de 50
Francisca 2x → 3x – 2x = _5 _20__
4.° Al resolver y comprobar, se obtiene x = 25 como solución de la ecuación.
x 5.° Como se pregunta por el doble del número, sería incorrecto responder que el valor
es 25, aunque la ecuación fue resuelta correctamente, ya que el doble del número
110 es 50.
b. La edad de Felipe aumentada en 2 años es el doble de la edad de Constanza. Y la
edad de Constanza es el doble de la edad de Francisca. Si la suma de las edades
de los tres es 82 años, ¿en cuántos años más Francisca tendrá la edad que hoy
tiene Felipe?
1.° Datos: la relación entre las edades de Felipe, Constanza y Francisca, y la suma
entre ellas.
Pregunta: ¿en cuántos años más Francisca tendrá la edad que hoy tiene Felipe?
2.° Como las edades de Felipe y de Constanza pueden ser expresadas a partir de la edad
de Francisca, esta última será representada por la incógnita x. Observa la tabla.
3.° La ecuación que representa el enunciado es 2 · (2x) – 2 + 2x + x = 82.
4.° Al resolver y comprobar, se obtiene x = 12 como solución de la ecuación.
5.° Al reemplazar x = 12 en las expresiones algebraicas de la tabla, se obtiene que la
edad actual de Francisca es 12 años, la de Constanza es 24 años y la de Felipe es
46 años. Por lo tanto, en 34 años Francisca tendrá la edad actual de Felipe.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Representa cada enunciado con una ecuación. →
a. La mitad de un número aumentada en 10 es igual al mismo número
disminuido en 2.
b. Tres números enteros consecutivos, tales que la suma de ellos es 21. →
c. En 10 años, la edad de una persona será el doble de la edad que tiene
hoy. →
d. El ángulo interior de mayor medida de un triángulo es el doble que la
de un segundo ángulo interior del triángulo; mientras que la medida de →
este último es igual a la del ángulo restante aumentada en 20°.
2. Analiza las figuras y encuentra el valor de x en cada caso.
a. d. Ayuda
3x + 60° 81° 122° • Dos ángulos que
50° + 4x comparten su vértice
y cuyos lados son
b. 45° + 2x e. la prolongación de
55° 20° + 6x88° los lados del otro se
denominan opuestos
c. f. x + 80° por el vértice.
3x – 20° Sus medidas son
congruentes.
3x + 30° • Si dos rectas o
segmentos son
x + 10° perpendiculares, el
ángulo entre ellos es
2x + 20° 40° – 5x 4x – 10° recto; es decir, su
medida es 90°.
3. Resuelve los problemas planteando la ecuación correspondiente.
111
a. Si la suma de 3 números impares consecutivos es 45, ¿cuál es el doble del
número menor?
b. Si cada kilogramo de manzana tiene un precio de $800, ¿cuántos kilogramos
compró una persona que al pagar con $5.000 recibió de vuelto $1.800?
c. La memoria de una cámara fotográfica tiene una capacidad de 320 MB. Si
ya están guardadas 25 fotos de 3 MB cada una, ¿se podrán almacenar en la
memoria 90 fotos más del mismo tamaño?
d. En una carrera de 100 metros planos, un atleta demoró 10 s en llegar a la
meta. Si entre los 4 s y 7 s recorrió 10 metros más que durante los primeros
4 s de carrera, y durante los últimos 3 s de carrera recorrió 10 metros más que
entre los 4 s y 7 s, ¿cuántos metros menos recorrió durante los primeros 4 s en
comparación con los últimos 3 s de carrera?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 7: Ecuaciones e inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Al igual que en el planteo de ecuaciones, un problema que involucre inecuaciones
puede ser resuelto siguiendo los mismos pasos ya descritos, es decir:
1.º Leer el enunciado.
2.º Asignar una incógnita.
3.º Traducir el enunciado a lenguaje algebraico.
4.º Resolver la inecuación.
5.º Analizar la solución de la inecuación y responder la pregunta.
En el caso de las inecuaciones, hay frases que permiten identificar la desigualdad
respectiva. Por ejemplo:
◾ A lo más. ◾ No puede sobrepasar.
◾ A lo menos. ◾ No puede ser menos.
◾ Como mínimo. ◾ Es mayor que.
◾ Como máximo. ◾ Es menor que.
Persona Edad Ejercicios resueltos
Sofía 2x
Carlos 1. Resuelve los problemas.
Pamela x + 10
x a. La suma de las edades de Sofía, Pamela y Carlos es menor que 100 años. Si
Sofía tiene el doble de la edad de Pamela y Carlos tiene 10 años más que esta
Ayuda última, ¿cuál puede ser la edad de Pamela, si se sabe que es múltiplo de 10?
Recuerda que el área de 1.° Datos: la suma de las edades de Sofía, Pamela y Carlos es menor que 100 años, Sofía
un rectángulo se calcula tiene el doble de la edad de Pamela y Carlos tiene 10 años más que esta última.
multiplicando su largo Pregunta: ¿cuál puede ser la edad de Pamela, si se sabe que es múltiplo de 10?
por su ancho. 2.° Como las edades de Sofía, Pamela y Carlos pueden ser expresadas a partir de
la edad de la menor (Pamela), esta última será representada por la incógnita x.
Observa la tabla adjunta.
3.° La inecuación que representa el enunciado es 2x + x + 10 + x < 100.
4.° Al resolver y comprobar, se obtiene x < 22,5 como solución de la inecuación.
5.° x < 22,5 significa que la edad de Pamela es menor que dicho valor; sin embargo,
como debe cumplir la condición de ser múltiplo de 10, es posible inferir que la
edad de Pamela puede ser 10 o 20 años.
b. ¿Cuál puede ser la medida del largo de una cerámica de ancho 5 cm si su
superficie no puede superar los 80 cm2?
1.° Datos: el ancho de la cerámica es 5 cm y la superficie no puede superar los 80 cm2.
Pregunta: ¿cuál puede ser la medida del largo de la cerámica?
2.° El largo de la cerámica será representado por la incógnita z.
3.° La inecuación que representa el enunciado es 5 · z < 80.
4.° Al resolver y comprobar, se obtiene z < 16.
5.° Así, el largo de la cerámica puede ser cualquier magnitud menor que 16 cm.
112 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos ↘ Taller de estrategias
Plantear y resolver dos inecuaciones
1. Resuelve los problemas. Practica esta estrategia. Para esto, considera el
a. Un artesano pega una cuerda en el contorno de enunciado y sigue cada paso:
sus tallados rectangulares. La medida del largo
de los rectángulos es 10 cm más que la del ancho. Cuatro amigos reunieron $16.000 para ir al cine.
Si el artesano usa cuerdas de 1 m de longitud, Si al pagar las entradas compraran 4 bebidas de
¿cuáles son las posibles dimensiones que pueden $1.000, les sobraría dinero, pero si invitan a un
tener estos rectángulos tallados? amigo al cine y compran 5 bebidas, les faltaría
dinero. ¿Cuánto dinero podría costar una entrada
b. La suma de un número natural aumentado en al cine?
5 unidades y cuyo doble es menor que 20. ¿Qué
números cumplen esa condición? ↘↘Paso 1: Identificar la variable
2. Observa el ejemplo. Luego, resuelve y representa En este caso, la variable es el monto de dinero
gráficamente cada conjunto solución. que podría costar una entrada al cine. Valor que
será representado por la incógnita x.
¿Cómo resolver 2 < x + 3 < 10?
/+ (–3) ↘↘Paso 2: Traducir en lenguaje algebraico
2 < x + 3 < 10
2 – 3 < x + 3 – 3 < 10 – 3 Como x representa el monto de dinero, y los
–1 < x < 7 cuatro amigos reunieron $16.000 para ir al cine,
Gráficamente: se tiene:
–1 7 • “Si al pagar las entradas
compraran 4 bebidas
a. 8 < x + 5 < 20 d. 20 > 4x – 10 > 1 de $1.000, les sobraría → 4x + 4.000 < 16.000
b. –3 < 4 + x < 0 e. –1 > 10x > –7 dinero”.
f. 10 < x _+__3 _5_ _ < 20
c. –6 > x + 9 > –11 • “Si invitan a un amigo → 5x + 5.000 > 16.000
al cine y compran 5
bebidas, les faltará
dinero”.
3. Analiza el Taller de estrategias. Luego resuelve. ↘↘Paso 3: Resolver las inecuaciones
a. Sin considerar ninguna promoción, por comprar Resolviendo ambas inecuaciones, se obtiene:
6 regalos idénticos con $20.000, sobra dinero; • x < 3.000 (de la primera inecuación)
pero por comprar 7, también con $20.000, falta • x > 2.200 (de la segunda inecuación)
dinero. ¿Cuánto podría costar cada regalo?
↘↘Paso 4: Interpretar los resultados
b. Si para repartir 2,5 litros de jugo se utilizaran
vasos de 0,3 litros, sobraría una cantidad de jugo De los resultados obtenidos, es posible afirmar
que no permitiría llenar un nuevo vaso; mientras que:
que si se utilizaran vasos de 0,35 litros faltaría
jugo para que todas las personas puedan recibir la 2.200 < x < 3.000
misma cantidad, ¿entre cuántas personas debe ser
distribuido el jugo? Es decir, el precio de una entrada al cine está
entre $2.200 y $3.000.
c. Una persona quiere guardar 1.000 fotos de igual
peso, más un video de 250 MB; pero su disco
externo tiene disponibles 2.000 MB, capacidad
insuficiente para realizar este respaldo. En
cambio, si solo almacena 850 fotos más el video,
podría respaldar estas fotos y video. ¿Cuál es el
rango de valores para representar el tamaño en
MB de cada foto?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 113
Lección 7: Ecuaciones e inecuaciones
Análisis de resultados
Con respecto a las igualdades, estas pueden ser:
◾◾ Siempre verdaderas (identidades). Por ejemplo, x + 3 = x + 3 y 2a + a = 3a.
◾◾ Siempre falsas (contradicciones). Por ejemplo, x + 2 = x + 1 y 7 = 4.
◾◾ Válidas para uno o más valores (ecuaciones). Por ejemplo, 3x + 4 = 7 y x + 2 = 0.
Con respecto a las desigualdades, estas pueden ser:
◾◾ Siempre verdaderas. Por ejemplo, x + 3 = x + 3 y 2a + a = 3a.
◾◾ Siempre falsas. Por ejemplo, x + 2 = x + 1 y 7 = 4.
◾◾ Válidas para uno o más valores (inecuaciones). Por ejemplo, 3x < 7 y x + 2 > 0.
Ejercicios resueltos
1. Analiza las igualdades y clasifícalas en identidades, contradicciones y
ecuaciones.
a. 3x + 7 = 31 La igualdad propuesta es una ecuación, ya
3x = 24 que consta de una solución.
x=8 → Las ecuaciones del tipo ax + b = c, con
a, b, c ∈ ℤ tienen una única solución.
b. 5x + 10 + 2x – 6 – 7x = 4 La igualdad propuesta es una identidad, ya
4=4 → que siempre es verdadera, sin importar el
valor de x.
c. 13 – 2x + 3x – 10 – x = 7 La igualdad propuesta es una contradicción,
3=7 → ya que siempre es falsa, sin importar el
valor de x.
2. Analiza las desigualdades y clasifícalas según su valor de verdad.
a. 2x + 27 > 47 La desigualdad propuesta es una
2x > 20 inecuación, ya que consta de un conjunto
x > 10 → de valores que la hacen verdadera. En este
caso, todos los valores de x mayores que 10.
b. 4x + 25 – x – 20 – 3x < 15 La desigualdad propuesta es siempre
5 < 15 → verdadera para cualquier valor de x, ya que
siempre se obtendrá que 5 es menor que 15.
c. 10 + 6x + 4x + 3 – 10x < 7 La desigualdad propuesta es siempre falsa,
13 < 7 → sin importar el valor de x, ya que siempre se
obtendrá que 13 es menor que 7.
114 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Analiza las igualdades y clasifícalas en identidades, contradicciones y
ecuaciones. Luego, completa la tabla.
a. 19 + 3x + 10 = 29 e. 40x + 2(10x + 20) – 60x = 20 Ecuaciones
b. 7x + 5 + 2 – 7x = 7 f. 16 + 3(x + 5) – 3x = 31
c. 6x + 11 + 9x = 26 g. 2(x + 1) + 3(x + 2) = 6 Inecuaciones
d. 30 + 15x – 30 – 15x = 0 h. 4(1 + 2x) – 8x = 10
Desafío
2. Analiza las desigualdades y clasifícalas según su valor de verdad. Luego, Considera x ∈ ℕ. Luego
completa la tabla. resuelve:
a. x2< 0
a. 2x > 0 e. 3(3 + x) – x > 3 b. x2> 0
b. 5x + 6 < 7 f. 11x + 5(x + 3) – 16x < 15 c. 1_x_ > 1
c. 4x – 15 – 4x > 10 g. 8(2 + x) + 2(x + 2) > 25 d. _ x_ _+x_ _1_ >1
d. 17 – 7x – 10 + 7x < 0 h. 12x – 60 + 5(x + 10) – 17x < 10 e. (x + 1)2> 0
3. Inventa una situación que pueda traducirse en una igualdad que sea:
a. Identidad.
b. Contradicción.
c. Ecuación.
4. Inventa una situación que represente una desigualdad:
a. Siempre verdadera.
b. Siempre falsa.
c. Verdadera para un solo valor.
↘ Taller de Matemática aplicada
Habilidad: analizar
Piensa en un número entero mayor que 0 y menor que 10. Súmale 6 unidades, luego, al resultado
obtenido réstale 4 unidades y ese valor multiplícalo por 9; obtendrás un número menor 100.
Al sumar los dígitos que forman este último resultado y a esta suma restarle 5 unidades, obtendrás 4 como
valor final.
Si x representa el número entero mayor que 0 y menor que 10 pensado, ¿cuál de las desigualdades
representa las dos primeras líneas del enunciado?
A. x + 6 – 4 < 100
B. x + 6 – 4 > 100
C. 9(x + 6 – 4) < 100
D. 9(x + 6 – 4) > 100
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 115
Lección 7
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Resuelve las ecuaciones. 5. Resuelve los problemas. Para ello, plantea una
ecuación.
a. 10x + 25 = 35 a. Si la suma de tres números enteros
b. 12 + 3m = 9 consecutivos es 96, ¿cuál es la mitad del
c. 5k – 18 = 20 número mayor?
d. 4h + 10 = –10
e. 7k + 35 = 0 b. Si el ancho de un rectángulo es la tercera
f. 13 + 6x = 13 parte del largo y el perímetro del rectángulo es
120 cm, ¿cuál es su área?
2. Aplica la reducción de términos semejantes
y eliminación de paréntesis para resolver las c. Una persona caminará 1.000 m en línea
ecuaciones. recta. Cuando haya recorrido 600 m seguirá
avanzando 25 m por cada segundo. Desde
a. 4x + 11 – x – 9 = 12 ese instante, ¿cuánto tiempo necesitará para
b. –8 + 5x + 6 = –2 terminar su recorrido?
c. 3(k + 2) + 10 = 20
d. 6m – 7 + 4(3 + 2k) = –5 d. Con el objetivo de reunir fondos para las
e. 5(2y – 3) – (y – 1) = 0 actividades de un curso, en una reunión de
f. 7x – (3x – 1) + 4 = 11 apoderados se vende jugo a $300 cada vaso y
queque a $400 el trozo. Un apoderado compró
3. Analiza si los valores de la variable son solución 2 vasos de jugo y cierto número de trozos de
de la ecuación respectiva. queque, tales que al pagar con $5.000 recibió
$2.700 de vuelto. ¿Cuántos trozos de queque
a. x = –1, en 3x – 4 = 7. compró este apoderado?
b. y = 0, en 12 + 11x – 1 = 11.
c. w = 3, en 5w + 7 + 3w – 1 = 3. 6. Inventa una ecuación cuya solución sea:
d. p = 2, en 2(3p + 2) – 1 = 2. a. x = 0.
e. q = –5, en 20 + 3(q + 1) – 2q = 23. b. Solución vacía.
f. k = 0,5, en –7 + 5(k + 1) – 2k = 6. c. Soluciones infinitas.
d. y = –5.
4. Resuelve las inecuaciones. Luego, representa grá-
ficamente el conjunto solución obtenido en cada
caso.
a. 6x + 10 > 4
b. 2x – 12 < 10
c. 5x + (3 + 4x) > 0
d. 4(7x – 10) < 20
e. 2(x + 1) + 4(2x + 1) > –2
f. 15 – 4x + 6(1 + 4x) < 1
116 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
7. Calcula el valor de x planteando la ecuación 8. Resuelve los problemas.
respectiva. a. Determina todos los números tales que sus
a. triples aumentados en 50 unidades son
43° 11° + 5x menores que 10.
b. b. Un vendedor recibe mensualmente $200.000
más $5.000 por cada producto que venda. Si
55° + 12x en un mes quiere obtener $500.000, ¿cuál
19° es la cantidad mínima de artefactos que debe
vender para lograrlo?
c. 9 Analiza las afirmaciones y responde V o F.
2x – 25° a. Todas la ecuaciones tienen una única
solución.
3x + 50°
4x – 15° b. Una solución de 3x + 10 > 4 es x = –2.
c. La inecuación 4x + 6 > 6 tiene
solución vacía.
d. La ecuación 10x + 3 – 6x + 9 – 4x = 12
tiene soluciones infinitas.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Resolví inecuaciones y ecuaciones de primer grado con una incógnita.
(Preguntas 1, 2, 3 y 4)
Planteé y resolví ecuaciones de primer grado con una incógnita para solucionar problemas.
(Preguntas 5, 7 y 8)
Creé ecuaciones cuyas soluciones respondían a ciertas características.
(Pregunta 6)
Analicé las soluciones de ecuaciones e inecuaciones.
(Pregunta 9)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 117
8Lección ¡Ahí haré una escultura de Zeus!
Variaciones Muy bien Fidias, Zeus es el más Ya está casi listo mi Zeus…
proporcionales grande de todos los tiempos…
Mmmm… qué raro
está quedando...
Fidias
↘↘Razón y proporción Razón y proporción
↘↘Proporción directa
↘↘Proporción inversa Una razón es una comparación por cociente entre dos cantidades o magnitudes.
↘↘Aplicaciones Puede ser expresada como:
Antecedente a
a:b b
Consecuente
Una proporción es una igualdad entre dos razones y puede ser expresada como:
a : b = c : d _ba_ = _dc _
La propiedad fundamental de las proporciones se expresa como:
_ ba_ = _dc_ ⇒ a · d = b · c
Sé más Ejercicios resueltos → _ 4__0_4_0_ _ h_k_ _m__ = 100 km/h
En física, se tienen las
siguientes razones: 1. Expresa como razón los siguientes enunciados.
• Rapidez: _dt_ a. La razón entre la distancia recorrida d y el
• Densidad: _mV__ tiempo t, si se recorren 400 km en 4 horas.
• Frecuencia: _ xt_
b. La razón entre la masa m de un cuerpo y su → _ 5__.6_5_0_ _m0__ 3_k_ _g_ = 1.120 kg/m3
118 volumen V, si m = 5.600 kg y v = 5 m3.
c. La razón entre la cantidad x de vueltas o ciclos → _ 7__ 1_v_0u__ e_m_lt_a_ _s_ = 0,7 vueltas/m
y el tiempo t empleado en realizarlas, si en 10
minutos se dan 7 vueltas.
2. Verifica si las razones dadas forman una proporción.
a. _1_4_0 _ y _16__5_
▷▷ Para verificar si dos razones forman una proporción, es necesario comprobar que
dichos cocientes sean iguales, que al simplificar las fracciones se obtenga la misma
fracción irreductible o que se cumpla la propiedad fundamental de las proporciones.
En este caso, se verificará el cumplimiento de la propiedad fundamental de las
proporciones. Las razones dadas forman una proporción, ya que 4 · 15 = 10 · 6 = 60.
b. 1_8_2__ y _68__
▷▷ En este caso, las razones dadas no forman un proporción, ya que 8 · 8 ≠ 12 · 6.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
¿Pero qué hiciste?... ¡Es un récord Guiness!
A Zeus, el perro más alto
del mundo. Merece una
escultura que demuestre
sus proporciones…
El amigo de Fidias, ¿a
quién creía que estaba
esculpiendo?
3. Resuelve los problemas.
a. Si las edades de un hijo y su padre están en la razón 2 : 5, y la edad del padre es
40 años, ¿cuál es la edad del hijo?
▷ Como la edad del padre es 40 años y la del hijo será representada por x, se tiene:
__x___ = 2__ ⇒ x · 5 = 40 · 2 / propiedad fundamental
40 5
5x = 80 / 1__
· 5
x = 16
Por lo tanto, la edad del hijo es 16 años.
b. En una verdulería, por cada 5 kg de papas que son vendidos, se venden 4 kg
de tomates y 1 kg de cebolla. Si al cabo de 30 días han sido vendidos 16 kg de
tomates, ¿cuántos kilogramos de papas y de cebollas fueron vendidos?
▷ Considerando la tabla, donde x representa los kilogramos de papas vendidos e y
los kilogramos de cebollas vendidos, es posible plantear y resolver lo siguiente:
5_x_ _4___
= 16 ⇒ 5 · 16 = x · 4 ⇒ x = 20 Papas (kg) Tomates (kg) Cebollas (kg)
5 41
_4___ = 1_y_ ⇒ 4 · y = 16 · 1 ⇒ y = 4 x 16 y
16
Por lo tanto, al vender 16 kg de tomates, han sido vendidos 20 kg
de papas y 4 kg de cebollas.
Ejercicios propuestos
1. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones para calcular el valor
desconocido en las proporciones dadas.
a. _x_ = 1__6__ c. _5__ = 2__y5__ e. x _+___2__ = 1___ g. 2__ = 5__+___x_
7 14 4 3 4 3 5
_4x__ _x__ _1_0__ _w___ _1__1___ 3__3__ _4__ __3___
b. = 9 d. 14 = 15 f. 3+k = 15 h. 3 = y+1
2. Resuelve los problemas. Ayuda
a. En un grupo de personas, la razón entre hombres y mujeres es 3 : 2. Si hay Recuerda que un
24 mujeres, ¿cuántos hombres hay en el grupo? triángulo isósceles
tiene dos lados de
b. Si en un triángulo isósceles la razón entre su base y otro de sus lados es 5 : 2 y igual longitud y otro
la longitud del lado restante es 14 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo? de distinta medida
llamado “base”.
c. Un plano está dibujado en una escala de 1 : 1.000, es decir, 1 cm en el plano
corresponde a 1.000 cm en la realidad. Si un objeto en dicho plano mide 25 mm,
¿cuánto mide en la realidad?
SÉ PROTAGONISTA © EDIcIONES SM 119
Lección 8: Variaciones proporcionales
La proporcionalidad Proporción directa
directa se da en muchas
situaciones cotidianas, Dos variables (x e y) son directamente proporcionales o están en proporción directa
por ejemplo, en la si al aumentar (o disminuir) una en cierto factor, la otra aumenta (o disminuye) en
compra de entradas el mismo factor. Es decir, el cociente entre sus valores relacionados es constante, y
para un partido de este valor es denominado constante de proporcionalidad. Lo anterior es posible
fútbol. representarlo por:
_ yx_ = k (k constante de proporcionalidad).
Ejercicios resueltos
Costo de las fotocopias 1. Resuelve los problemas. Luego representa gráficamente cada situación.
Costo ($) a. Si el costo de 4 fotocopias es $100, ¿cuál es la mitad del costo de 2 fotocopias?
100 ▷▷ Al disminuir a la mitad la cantidad de fotocopias, el costo también disminuye a la
mitad, es decir, a $50. Además, se tiene que:
50 4 _ 1_0_4_0_ _ = _5_20__ = 25
Al representar esta situación con el gráfico adjunto, “Costo de las fotocopias”, se
25 puede apreciar una línea recta que pasa por el origen.
0
12
Número de fotocopias b. Cuatro amigos calculan que gastarán $60.000 en las entradas para un partido
de fútbol. Si el número de amigos que asistirá al partido aumenta al doble,
¿cuánto deberán gastar ahora?
Sé más ▷▷ Al aumentar al doble la cantidad de amigos, el dinero que deben pagar será el doble.
Ocurre algo similar si el número de amigos se reduce a la mitad. Observa la tabla:
La gráfica que Gasto para un partido de fútbol A medida que el número
representa dos Costo total ($) 30.000 60.000 120.000 de asistentes aumenta,
variables directamente Número de amigos 2 4 8 el costo aumenta.
proporcionales es una
recta que pasa por Por lo tanto, los 8 amigos deberán pagar $120.000 por las entradas. Además,
el origen del plano con los valores de la tabla se pueden establecer las siguientes igualdades:
cartesiano (O).
Y _ 3__0__.20__ 0__0__ = _6 __0__.4_0_ _0_0__ = _1 _2__0__8._0 __0_0__ = 15.000
y3 ▷▷ Gráficamente: Gasto para un partido de fútbol
y2
y10 X Gasto ($)
120.000
x1 x2 x3
60.000
30.000
0
24 8
Número de amigos
120 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
c. Si un kilogramo de paltas tiene un precio de $2.000, ¿las variables precio ($) y Venta de paltas
cantidad (kg) son directamente proporcionales? ¿Cuánto cuestan 2 kilogramos y
200 gramos de palta?
▷▷ Para responder estas preguntas, es posible construir una tabla:
Precio ($) Venta de paltas 8.000 10.000 Precio ($)
Cantidad (kg) 2.000 4.000 6.000 4 5 6.000
1 23 4.000
De la tabla se tiene que: 2.000
0
_ 2__.0_1_0_ _0__ = _4 __._02__0 _0__ = _6 __._03__0 _0__ = _8 __._04__0 _0__ = _1 __0__.50__ 0__0__ = 2.000
Como el cociente entre cada precio y su cantidad de kilogramos respectivos es 123
constante, dichas variables están en proporción directa. Cantidad (kg)
Como las variables están en proporción directa y la constante de
proporcionalidad es 2.000, se puede plantear la proporción:
_ 2__.0_1_0_ _0__ = _2_x_,_2 _
Finalmente, al obtener el valor de x, se tiene que 2,2 kg cuestan $4.400.
Ejercicios propuestos
1. Analiza las tablas y determina si las variables son directamente proporcionales.
Para ello, calcula la constante de proporcionalidad.
a. Y X b. A B c. C D
3 1 6 8 6 6
6 2 12 4 3 12
9 3 18 2 10 3
Realiza tus cálculos aquí. Realiza tus cálculos aquí. Realiza tus cálculos aquí.
2. Observa los gráficos y determina cuál(es) representa(n) una relación de
proporcionalidad directa.
a. Y b. Y c. Y
6 20 9
4X 5X 3X
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 121
Lección 8: Variaciones proporcionales
3. Calcula los valores desconocidos en cada una de las tablas. Considera que las
variables son directamente proporcionales.
a. A B b. X Y c. F G
3 5 p 1,5 6 x
12 m 4 q y 5
n 30 10 30 5,5
16,5
4. Escribe 3 pares de variables directamente proporcionales. Por ejemplo:
Distancia recorrida y tiempo empleado.
Cantidad de agua (m3)Ayuda a.
Para resolver
problemas donde están b.
involucradas variables
en proporcionalidad c.
directa, se puede
recurrir a una tabla 5. Resuelve los siguientes problemas.
donde se ordenen los a. X e Y varían en proporción directa. Si X = 10 cuando Y = 6, ¿cuál es el valor de
datos. Luego, se plantea Y cuando X = 15?
una proporción con b. Si P = 12 cuando Q = 9, y P y Q están en proporción directa, ¿cuál es el valor de
valor desconocido y P cuando Q = 12?
se aplica la propiedad c. Si 3 kg de manzana cuestan $1.200, ¿cuánto cuestan 7,5 kg?
fundamental de las d. ¿Son directamente proporcionales el perímetro de un cuadrado y la medida de
proporciones. cada lado?
e. ¿Son directamente proporcionales el área de un cuadrado y la medida de cada
Regado de un parque lado?
f. Si un automóvil rinde 15 km por cada litro de bencina y el precio de 1 litro de
40 bencina es $800, ¿cuánto se debe pagar por el combustible que se consume al
10 recorrer 80 km?
g. Si un atleta recorre 700 m en 5 minutos, ¿cuántos metros recorre en 7 minutos,
Tiempo (m) manteniendo el mismo ritmo?
122 h. Si un niño lee 80 palabras en un minuto, ¿cuántas palabras lee en dos minutos y
medio, manteniendo el mismo ritmo de lectura?
i. Si a una determinada velocidad constante, un automóvil recorre 1.500 m en 40
s, ¿cuánto tardará en recorrer 1.800 m, manteniendo la misma velocidad?
j. Si una compañía de telecomunicaciones ofrece una conexión a Internet de
2,5 MB por segundo, ¿en cuánto tiempo se podrá descargar un archivo de
26,25 MB?
6. Observa el gráfico. Luego, responde junto a un compañero o compañera.
a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
b. ¿Cuál es el significado de esta constante de proporcionalidad?
c. ¿Cuántos metros cúbicos se consumen luego de 7 minutos de riego?
d. ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando se han consumido 38 metros cúbicos
de agua?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Proporción inversa La proporcionalidad
inversa se da en
Dos variables (x e y) son inversamente proporcionales o están en proporción varias situaciones, por
inversa si al aumentar (o disminuir) una en cierto factor, la otra disminuye (o ejemplo, al repartir una
aumenta) en el mismo factor. Es decir, el producto entre sus valores relacionados es pizza en partes iguales,
constante. Este valor es denominado constante de proporcionalidad. Lo anterior es a mayor número de
posible representarlo por: trozos, menor será la
porción de pizza de
x · y = k (k constante de proporcionalidad). cada uno de ellos.
Ejercicios resueltos Sé más
La gráfica que
1. Resuelve los problemas. Luego, representa gráficamente cada situación. representa dos
variables inversamente
a. Un automóvil que viaja con una rapidez media de 100 km/h demora, entre una proporcionales es una
ciudad y otra, 4 horas. ¿Cuánto tiempo demoraría si por un desperfecto viaja de curva que no pasa por
forma constante a solo 50 km/h? el origen del plano
cartesiano (O), ni
▷▷ Al disminuir a la mitad la rapidez media, el automóvil demorará el doble de tampoco interseca los
tiempo, es decir, 8 horas, ya que, considerando y = tiempo en horas, se tiene que: ejes de coordenadas.
100 · 4 = 50 · y ⇒ y = 8 Y
b. Un criador de perros le da 200 gramos diarios de pellets a cada uno de sus y1
yy23 X
perros. Si cuenta con 3 kg de este alimento para alimentar 4 perros, ¿cuántos 0 x1 x2 x3
días durará el alimento?
▷▷ Para calcular el número de días, se debe dividir el total de gramos de pellets con
los que se cuenta (3.000 g) por la cantidad de gramos que consumen 4 perros
(800 g). Observa la tabla:
Duración de alimento para perros 3 A medida que la
Número de días 15 7,5 5 3,75 5 cantidad de perros
Cantidad de perros 1 2 3 4 aumenta, el número de
días disminuye.
Por lo tanto, los 3 kg de pellets alcanzan para alimentar a 4 perros por tres días.
Harían falta 200 g más de alimento para completar el cuarto día. Además, al
multiplicar los valores relacionados de cada variable, el producto se mantiene
constante:
1 · 15 = 2 · 7,5 = 3 · 5 = 4 · 3,75 = 5 · 3 = 15
Gráficamente, ambas situaciones pueden ser representadas por:
Tiempo de trayecto de un automóvil Duración de alimento para perros
Tiempo N° de días
15
16 7,5
5
8
4 3,753
0
0 25 50 100 1234 5
Rapidez media Cantidad de perros
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 123
Lección 8: Variaciones proporcionales
c. Si se consideran los rectángulos de área 36 cm2, ¿las variables longitud del largo
(cm) y longitud de ancho (cm) son inversamente proporcionales? ¿Cuál es el
largo de un rectángulo cuyo ancho es 2,25 cm?
▷▷ Para responder estas preguntas, es posible construir una tabla con algunas
dimensiones:
Dimensiones del rectángulo Dimensiones de un rectángulo cuya área es 36 cm2
Largo
Largo (cm) 36 18 9 8 11,25
36
Ancho (cm) 1 2 4 4,5 3,2
18 12345 De la tabla se tiene que:
Ancho 1 · 36 = 2 · 18 = 4 · 9 = 4,5 · 8 = 3,2 · 11,25 = 36
11,25
89 Como el producto entre las longitudes de cada largo y ancho respectivos es
0 constante, dichas variables están en proporción inversa.
Como las variables son inversamente proporcionales y la constante de
proporcionalidad es 36, se puede plantear la igualdad:
1 · 36 = 2,25 · x
Finalmente, al obtener el valor de x, se tiene que si el ancho del rectángulo de área
36 cm2 es 2,25 cm, entonces, su largo es 16 cm.
Ejercicios propuestos
1. Analiza las tablas y determina si las variables son inversamente proporcionales. Para ello,
calcula la constante de proporcionalidad.
a. X Y b. C D c. A B
5 12 3 15
10 6 6 30 0,5 0,02
15 4 12 60
0,4 0,025
0,1 0,1
Realiza tus cálculos aquí. Realiza tus cálculos aquí. Realiza tus cálculos aquí.
2. Observa los gráficos y determina cuál o cuáles representan una relación de proporcionalidad
inversa.
a. Y b. Y c. Y
10 12
10 X 5 40 X 6X
1 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
8
124
3. Calcula los valores desconocidos en cada una de las tablas. Considera que las
variables son inversamente proporcionales.
a. A B b. X Y c. F A
x 5 9 m 8 6
20 y 6 12 y 10
2 25 n 3 12 x
4. Escribe 3 pares de variables inversamente proporcionales. Por ejemplo:
Rapidez media y tiempo empleado.
a.
b.
c.
5. Analiza las siguientes preguntas y luego respóndelas. Desafío
a. A y B varían en proporción inversa. Si X = 60 cuando Y = 4, ¿cuál es el valor de Y Clasifica las siguientes
cuando X = 20? relaciones, según
si representan una
b. Cuando P = 18, Q = 6. Si P y Q están en proporción inversa, ¿cuál es el valor de P proporcionalidad
cuando Q = 9? directa o una inversa.
a. y = 7x
c. Un automóvil recorre cierta distancia en 5 horas, con una rapidez media de 80
km/h. Si el retorno, recorriendo la misma distancia, lo debe hacer en 4 horas, b. A = _3 B__
¿cuál debe ser su rapidez media? c. P ⋅ Q = 10
d. Una persona dispone de una cantidad fija de dinero con la cual puede comprar d. _ AB__ = 1_3_
50 vasos de $120. Si compra vasos de $150, ¿cuántos puede comprar? e. _ P7__ = _1Q__
e. Siete jardineros pueden podar todas las rosas de un parque en 8 horas. Si se
necesita que las rosas estén podadas en 2 horas, ¿cuántos jardineros deberían
trabajar en podarlas? Considera que todos los jardineros trabajan por igual y al
mismo ritmo.
f. Un disco duro tiene una capacidad tal que permite almacenar 6.000 fotografías
de 2 MB cada una. Si para aumentar la calidad de las imágenes, el tamaño
de cada una de ellas debe ser de 3 MB, ¿cuántas fotografías como máximo se
podrían almacenar?
g. Dos variables están en proporción inversa. Si el valor de una de ellas se duplica,
¿en qué factor se modifica el valor de la otra?
6. Observa el gráfico que representa el tiempo que tarda un automóvil en recorrer Rapidez (km/h)Recorrido de un automóvil
una distancia determinada a cierta rapidez media. Luego, responde junto a un
compañero o compañera. 90
6
a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
b. ¿Cuál es el significado de esta constante de proporcionalidad? Tiempo (h)
c. ¿Cuál debe ser la rapidez media del automóvil, si se tarda 9 horas en recorrer
una distancia?
d. Si el automóvil viaja a una rapidez media de 100 km/h, ¿cuánto tiempo tardará
en recorrer la distancia determinada?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 125
Lección 8: Variaciones proporcionales
Para confeccionar los Aplicaciones
planos de una casa,
un arquitecto debe como ya se ha dicho, la proporcionalidad (sea directa o inversa) está presente
utilizar segmentos de en muchas situaciones cotidianas. Por ejemplo, al comprar y vender alimentos
recta que le ayuden a u objetos, al repartir en partes iguales, etc. También es posible utilizar la
delimitar cada sector. proporcionalidad en la elaboración e interpretación de planos y mapas, ya que estos
Además, el uso de describen diversos elementos en un tamaño diferente al real, a partir de una escala
escalas le permite determinada.
hacer un modelo de la
construcción real. Ejercicios resueltos
1. Analiza la información. Luego, calcula la dimensión real del frente de la casa.
Dormitorio 2 Baño 1
Baño 2 Dormitorio 1
Living comedor cocina
Escala 1 : 200 Frente de la casa
▷ La escala (o razón) 1 : 200 significa que 1 cm en el plano equivale a 200 cm de la
casa.
Al medir con una regla el segmento del plano que corresponde al frente de la casa, se
obtienen 5,7 cm, aproximadamente. Luego, al reemplazar este valor en la proporción
que relaciona las magnitudes del plano y de la realidad, es posible estimar la medida
real que tiene el frente de la casa considerando:
Lplano: medida en el plano.
Lcasa: medida en la realidad.
Por lo tanto, la proporción mencionada es:
_LL_p_cl_aa_sn_ao_= __1____
200
Reemplazando la medida obtenida con la regla, se tiene que:
_L5_c_,a_7s_a_= __1____ ⇒ Lcasa=5,7 ⋅ 200=1.140 cm
200
Entonces, aproximadamente, la medida del frente de la casa es 1.140 cm, es decir,
11,4 m.
126 SÉ PROTAGONISTA © EDIcIONES SM
Ejercicios propuestos ↘ Taller de estrategias
Plantear una proporción
1. Analiza el plano anterior y luego calcula:
a. La superficie aproximada de la casa. Practica esta estrategia. Para esto, considera el
b. La superficie aproximada de cada habitación. enunciado y sigue cada paso:
2. Reúnete con un compañero o compañera y Una partícula avanza hacia la derecha 10 m por
construyan un plano con una escala de 1 : 16, del cada segundo; mientras que otra, partiendo del
tema que quieran. Luego, respondan. mismo punto, pero hacia la izquierda, avanza
a. ¿Qué tema representaste en el plano que creaste? 20 m por segundo. ¿Cuánto tiempo ha pasado
b. ¿Qué tipo de proporción está relacionada con la hasta que la distancia entre ellas es 600 m?
escala de los planos: directa, inversa o ambas?
¿Por qué? ↘↘Paso 1: Identificar la información relevante
3. Analiza el Taller de estrategias. Luego, resuelve los En este caso, se solicita el tiempo que debe
problemas. transcurrir para que la distancia entre las
a. Dos automóviles parten del mismo punto partículas sea de 600 m. Como datos, se
en sentidos contrarios. Uno de ellos lo hace proporcionan las distancias que cada una recorre
avanzando 15 m en 3 s y el otro, 20 m en 5 s. al cabo de un segundo.
¿Qué distancia los separa luego de 10 s?
b. Dos personas caminan en línea recta y en el ↘↘Paso 2: Representar la situación
mismo sentido. Una de ellas avanza 4 m cada 3 s
y la otra, 5 m cada 4 s. Si ambas partieron una al En este caso, es posible representar la situación
lado de la otra, ¿cuántos metros más ha recorrido con un dibujo:
la persona que va primera luego de 24 s?
c. Dos hormigas avanzan en línea recta, una al RA
encuentro de la otra, a una distancia de 1.500 cm.
Si una de ellas avanza a 20 cm por segundo y la 20 m/s 10 m/s
otra a 60 cm cada 2 segundos, ¿cuánto demoran
en encontrarse? ↘↘Paso 3: Plantear una proporción
4. Analiza el ejemplo. Luego, responde las preguntas Como la partícula A avanza 10 m en un segundo
y resuelve el problema. y la partícula B avanza 20 m en un segundo,
entonces, en un segundo se distancian 30 m.
Una máquina pega 50 remaches en 10 min. ¿Cuántas Luego, es posible plantear la siguiente proporción:
máquinas pegarán los mismos 50 remaches en
2,5 minutos? _3_1_0_ _ s_m_ _ = _6__0__0x_ __m__
_2_1_,5_ _m _ _má__q_i_nu__ iu_nt_ao__ s_ = _1x_0_ _m _ _má__q_i_nu_ iu_n_t_ao__ss_ ⇒ x = 1 __ _⋅2__, _15_0_ _ = 4 Como la proporción es directa, ya que a mayor
Así, 4 máquinas pegarán los mismos 50 remaches tiempo, mayor es la distancia entre las partículas,
en 10 min. y este crecimiento es el mismo a cada segundo,
a. ¿En qué consiste el método usado? Explica. al aplicar la propiedad fundamental de las
b. ¿Qué diferencias con la proporción directa proporciones se obtiene que el valor de x es 20
segundos.
observas?
c. 8 máquinas, todas con igual rendimiento, realizan Por lo tanto, al cabo de 20 segundos, las
partículas estarán a 600 m de distancia.
cierto trabajo en 12 días. ¿Cuántas más de estas
máquinas se necesitan para realizar un trabajo
idéntico en 4 días menos?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 127
Lección 8
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Aplica la propiedad fundamental de las proporcio- 3. Calcula los valores desconocidos en las tablas a y
nes para calcular cada valor desconocido. b, que representan proporciones directas, y las ta-
blas c y d, que representan proporciones inversas.
a. _5x__ = _33__05__ →x=
a. M c. A
b. _2a__ = 3__a2_ _ →x= 5 N 10 B
35 4 12 6
c. _98__ = _ 6x__ →x= y x y x
10 0,1
d. x__ _+_2_ _ 2__ = 3_5__ → x = b. P Q d. X Y
x 42 8 x
e. _65__ = _x_ _1+__ _4__ → x = 20 y 40 2
10 14 y 16
f. 3_5__ = _7__ 2_+_ _ _x_ → x =
4. Observa los gráficos y responde las preguntas.
2. Responde las preguntas.
a. Si en un curso de 33 estudiantes asistieron 22, a. El gráfico muestra la relación que existe entre
¿cuál es la razón entre el número de estudiantes el precio a pagar y el número de kilogramos de
que no asistió al curso y el número de palta a comprar.
estudiantes que sí lo hizo?
Venta de paltas
$
7.500
b. Si en un rectángulo, cuyo perímetro es 50 cm, su kg
ancho y su largo están en la razón 2 : 3, ¿cuál es 03
la longitud de cada lado del rectángulo? • ¿Qué tipo de proporcionalidad está represen-
tada en el gráfico?
c. Dos personas se reparten $100.000 según • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
la razón entre sus edades. Si estas son 20 y • ¿Cuánto se debe pagar por 5 kg de palta?
30 años, ¿cuánto dinero debiera recibir la • Si se pagó $16.250, ¿cuántos kilogramos de
persona de mayor edad? palta se compraron?
b. El gráfico representa la cantidad de
trabajadores que se necesitan para construir un
muro en cierto tiempo.
Construcción de un muro
d. Si la razón entre la altura de un triángulo y 4Número de trabajadores
su base es 3: 5 y la longitud de dicha base es
30 cm, ¿cuál es el área del triángulo? 9 Tiempo (h)
• ¿Qué tipo de proporcionalidad está represen-
128
tada en el gráfico?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? 6 Analiza las afirmaciones y responde V o F.
• Si demoraran 12 horas en terminar el traba-
a. En una relación de proporcionalidad
jo, ¿cuántos trabajadores deberían participar inversa, el producto entre los valores
en la construcción de la pared? de las variables es constante.
• Si construyeran la pared 20 trabajadores,
¿cuánto tiempo demorarían? b. En una relación de proporcionalidad
directa, al unir todos los puntos en un
5. Resuelve los problemas. gráfico se forma una línea recta que
a. En un concurso, una persona deletrea pasa por el origen del plano cartesiano.
6 palabras en 15 s. Si mantiene el ritmo,
¿cuántas palabras deletrea en 40 s? c. La gráfica que representa una relación
b. Las variables X e Y son directamente de proporcionalidad inversa es una
proporcionales, y cuando X = 24, Y = 16. Si línea curva que pasa por el origen del
Y = 22, ¿cuál es el valor X? plano cartesiano.
c. Para ir desde un pueblo a otro, un automóvil
demora 60 s a una rapidez media de 5 m/s. Si d. Si dos variables están en proporción
su rapidez media aumentara a 8 m/s, ¿cuánto directa, se cumple que si el valor de
tiempo demoraría en recorrer la misma una se duplica, el valor de la otra se
distancia? reduce a la mitad.
d. Sean P y Q variables inversamente
proporcionales. Si cuando P = 25, Q = 4, ¿cuál e. Si dos variables están en proporción
es el valor de Q cuando P = 3? inversa, se cumple que si el valor
de una se reduce a la mitad, la otra
también.
f. Si dos variables están en proporción
directa, se cumple que si una aumenta
en tres unidades, la otra también lo
hace.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Apliqué la propiedad fundamental de las proporciones para calcular el valor de incógnitas.
(Pregunta 1)
Resolví problemas que involucraron el trabajo con proporciones.
(Preguntas 2 y 3)
Identifiqué variables directamente proporcionales y las relacioné gráficamente.
(Pregunta 4)
Resolví problemas que involucraron variables directamente proporcionales.
(Pregunta 5)
Analicé la veracidad de enunciados que relacionaron variables directamente proporcionales.
(Pregunta 6)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 129
UNIDAD ↘ Taller de TIC
GeoGebra
Realiza los siguientes pasos. Ellos te permitirán representar gráficamente la x y
relación entre dos variables. En este caso, se utilizará el programa Geogebra, 1 3
disponible para su descarga en www.geogebra.org, y se considerarán las variables 2 6
x e y de la tabla. 3 9
4 12
Antes de representar gráficamente la relación entre x e y en Geogebra, se puede 5 15
inferir de los valores dados en la tabla que algebraicamente ella se representa por
y = 3x.
1 Al abrir el programa observarás la
siguiente pantalla.
2 En la parte inferior izquierda, en la casilla
de entrada, digita la relación matemática
por representar.
3 Una vez ingresada la relación, presiona
Enter y podrás ver la representación
gráfica.
Finalmente, analizando el gráfico es posible
determinar que las variables x e y son directamente
proporcionales, ya que la recta que representa la
relación pasa por el origen del plano cartesiano.
113300 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
1. Analiza las siguientes tablas y determina la relación entre las variables x e y. Para ello, esboza una
representación gráfica de cada relación. Luego compruébala utilizando Geogebra.
a. x y
40
1 20
2 10
4 5
8 2
20
Relación y =
Relación proporcional:
b. x y
1
1 4
2 9
3 16
4 25
5
Relación y =
Relación proporcional:
c. x y
4
1 6
2 8
3 10
4 12
5
Relación y =
Relación proporcional:
d. x y
4
1 8
2 12
3 16
4 20
5
Relación y =
Relación proporcional:
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 113311
UNIDAD Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®.
La diferencia entre el doble de un número aumentado en una uni- Esta pregunta involucra el con-
dad y el mismo número es 10. ¿Cuál es el número? cepto de planteo y resolución de
ecuaciones.
A. 8
B. 9 Si tienes dificultades para com-
C. 11 prender la justificación, puedes re-
D. 12 forzar este contenido, revisando
la Lección 7 del Texto y las pági-
Clave: nas respectivas de tu Cuaderno de
B. Sea x el número por encontrar. Luego, al escribir en lenguaje ejercicios.
algebraico el enunciado, se obtiene la ecuación:
2x + 1 – x = 10
Al resolver la ecuación, se obtiene:
2x + 1 – x = 10 / restando los términos semejantes
x + 1 = 10 /+ (–1)
x=9
Distractores: Los errores cometidos al inclinar-
A. Se representó incorrectamente el enunciado en lenguaje alge- se por alguno de estos distractores
son:
braico, obteniendo:
2(x + 1) – x = 10 • Traducir erróneamente una expre-
sión en lenguaje natural a lengua-
La expresión anterior corresponde al doble de la suma de un je algebraico.
número y una unidad, y no al doble de un número aumentado
en una unidad. Luego, al resolver correctamente dicha ecua- • Resolver incorrectamente una
ción, se tiene que x = 8. ecuación de primer grado con una
C. Se representó correctamente el enunciado en lenguaje alge- incógnita.
braico, planteando:
2x + 1 – x = 10
Sin embargo, al resolver la ecuación, se comete el error de
restar una unidad a un miembro de la igualdad, pero sumar
una unidad en el otro, por lo que se obtiene que x = 11.
D. Al igual que en A, se representó incorrectamente el enunciado
en lenguaje algebraico, obteniendo:
2(x + 1) – x = 10
Además, se resolvió incorrectamente la ecuación restando 2
unidades a uno de los miembros de la igualdad y sumando 2
unidades al otro, por lo que se obtiene x = 12.
132 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según
lo estudiado en la página anterior.
La solución de la ecuación 4(x + 3) + 5 = 17 es: Los contenidos relacionados con la pregunta son:
A. 2,25
B. 0
C. Vacía
D. Infinitas
Clave:
B.
Si tienes dificultades para comprender la justifica-
ción, puedes reforzar este contenido, revisando la
Lección del Texto y las páginas respectivas de
tu Cuaderno de ejercicios.
Distractores: Los errores cometidos al inclinarse por alguno de es-
A. Se aplica incorrectamente la propiedad distri- tos distractores son:
butiva, multiplicando solo 4 por x. Es decir: 133
4x + 3 + 5 = 17
Luego, el resto de la resolución se realiza co-
rrectamente, obteniendo que x = 2,25.
C. Se aplica correctamente la propiedad distribu-
tiva, obteniendo:
4x + 12 + 5 = 17
Luego, al resolver la ecuación, se llega correc-
tamente a la expresión:
4x = 0
Sin embargo, esta es mal interpretada, como si
la solución fuese vacía.
D. Al igual que en C, se llega a la expresión:
4x = 0
Sin embargo, esta es mal interpretada, como si
cualquier valor de x fuese solución.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
UNIDAD
Evaluación final
Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad.
I. Marca la alternativa que consideres correcta. 6. El coeficiente numérico de la expresión _x _4_2y__ 5 _ es:
A. 1_2__
1. ¿Cuál de las siguientes variables NO es una varia- B. 2
ble continua? C. 5
A. Masa corporal. D. 9
B. Capacidad de un vaso.
C. Tiempo para copiar un CD. 7. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión –a2 + b,
D. Número de televisores vendidos. si a = 2 y b = –1?
A. –5
2. ¿Cuál de las siguientes variables es una variable B. –3
cualitativa? C. 3
A. Color de un automóvil. D. 5
B. Número de canciones en un CD.
C. Número de partidas ganadas en ajedrez. 8. Se define la operación x ∇ y = x – 2y, entonces,
D. Cantidad de goles marcados en un partido. ¿cuál es el valor de –3 ∇ 4?
A. –11
3. La expresión “la suma del cuadrado de un núme- B. –5
ro y el doble del mismo número” se escribe en len- C. 1
guaje algebraico como: D. 11
A. x2 + 2y
B. (x + 2x)2 9. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta dos
C. x2 + 2x expresiones iguales?
D. 2(x + x2) A. xy2; x2y
B. x – y; y – x
4. La expresión algebraica 2(x – y) se escribe en len- C. 2ab; 3ab – ab
guaje natural como: D. a3; _3a__
A. La diferencia entre el doble de un número y otro.
B. La diferencia entre un número y el doble de otro. 10. ¿Cuál es la expresión opuesta de 2x – 6y?
C. El doble de la diferencia entre un número y otro. A. 6x – 2y
D. El cuadrado de la diferencia entre un número y
otro. B. 6y – 2x
C. _2x__ − _6y__
5. La expresión algebraica x + 3y es un: D. –4xy
A. Trinomio.
B. Binomio.
C. Monomio.
D. Término algebraico.
134 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
11. Si el perímetro de un cuadrado es 12m + 20n, 17. El perímetro de la figura es:
¿cuál es la longitud de cada uno de sus lados?
A. 3m + 5n 5m + 3
B. 6m + 10n
C. 6m + 10n 2m + 1
D. 48m + 80n
A. 14m + 8
12. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta dos B. 10m + 4
términos algebraicos semejantes? C. 10m + 3
A. m2n, mn2 D. 7m + 4
B. bc, cb
C. 3x, 3y 18. ¿En cuál de las alternativas se representa la pro-
D. _3x__ , _3y__ piedad conmutativa?
A. 4 + 7 = 3 + 8
13. ¿Cuál es la expresión reducida de B. (5 + 2) + 10 = 5 + (2 + 10)
3x + 5 + 4x – 10 – 6x? C. 12 + 0 = 12
A. –5 D. (5 + 2) + 10 = (2 + 5) + 10
B. x
C. x – 5 19. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación
D. –4x de números naturales?
A. 0
14. La expresión equivalente a 7p + (4p – 2) – 12p es: B. 1
A. –p – 2 C. –1
B. 23p – 2 D. No existe.
C. p – 2
D. 11p – 12 20. La expresión 5 · 3 + 7 · 5 se puede escribir como:
A. 5 · (3 + 5)
15. Si el perímetro de un rectángulo es 8a + 12b y su B. 5 · (3 + 7)
largo es 3a + 4b, ¿cuál es su ancho? C. 3 · (7 + 5)
A. 2a + 3b D. 7 · (3 + 5)
B. 6a + 8b
C. 2a + 4b 21. La propiedad asociativa de la multiplicación solo
D. a + 2b se aplicó en la igualdad:
A. 9 · 7 = 7 · 9
16. La expresión equivalente a 10 – (6 – 2x) – 5x es: B. (3 + 2) · 4 = 3 · 4 + 2 · 4
A. 4 – 7x C. 5 · (4 · 9) = 5 · 4 · 5 · 9
B. 4 – 3x D. (6 · 10) · 3 = 6 · (10 · 3)
C. 16 – 3x
D. 10 – 9x
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 135
UNIDAD
Evaluación final
22. Al reducir la expresión 5x + 3 · (x + 2) – 10, se 28. Si A y B están en proporción directa, ¿cuál es el
obtiene: valor de x?
A. 8x – 8
B. 8x – 4 AB
C. 6x – 10 68
D. 6x – 5 x 20
21 y
23. La solución de la ecuación 4k + 20 = –12 es:
A. 8 A. 96
B. –8 B. 23
C. 2 C. 18
D. –2 D. 15
24. La ecuación que tiene soluciones infinitas es: 29. Considerando la tabla de la pregunta anterior,
A. 10 + 3x = 7 ¿cuál es el valor de y?
B. 5x + 6 + 3x – 1 = 0 A. 15
C. 3 + 2x – 5 + 6x – 8x = 2 B. 28
D. 4x – 10 + 3x – 7x = –10 C. 43
D. 49
25. La solución de la inecuación 3x + 7 > 13 es:
A. x > 2 30. P y Q son dos variables inversamente proporcio-
B. x > –2 nales, de tal manera que cuando el valor de Q es
C. x < 2 8, el valor de P es 10. ¿Cuál es el valor de P cuan-
D. x < –2 do el valor de Q es 4?
A. 320
26. ¿Cuál par de razones forma una proporción? B. 80
A. 1_2__ y 1__5_0_ _ C. 20
B. 2_5__ y 3_5__ D. 6
C. 1_2__ y _48__
D. 3_2__ y 1__55__ 31. A y B son dos variables directamente proporciona-
les, de tal manera que cuando el valor de A es 12,
27. En la proporción _5x _ = _ 16__5_ , el valor de x es: el valor de B es 1,5. ¿Cuál es el valor de B cuando
A. 2 el valor de A es 20?
B. 3 A. 2,5
C. 6 B. 8
D. 15 C. 10,5
D. 18
136 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
II. Resuelve los problemas.
32. La edad de Martín es el cuádruple de la edad de Nicolás. En 10 años la edad de Martín será el triple de la edad
de Nicolás. ¿Cuál es la edad actual de Martín?
33. Se quiere dibujar un rectángulo en el que la longitud de uno de sus lados aumentado en 3 cm sea igual a la
longitud de otro lado y que dichas longitudes correspondan a números naturales. El contorno del rectángulo
debe cubrirse con hilo y se dispone de 20 cm de este material. ¿Cuáles son las dimensiones de los rectángu-
los que cumplen las condiciones anteriormente descritas?
34. Una persona en bicicleta recorre cierto trayecto avanzando 4 metros por segundo durante 500 segundos. Si
luego se devuelve por el mismo trayecto, pero avanzando 10 metros por cada segundo, ¿cuánto tiempo de-
mora en realizar el total del trayecto?
35. En una imprenta se crean 20 folletos en 12 minutos. Si las condiciones de impresión se mantienen, ¿cuántos
folletos se pueden crear en una hora y media?
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según
las respuestas correctas que hayas conseguido.
I. Preguntas de alternativas
Identifiqué variables y expresé en lenguaje algebraico. de 6
de 12
(Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6) de 5
de 3
Representé, valoricé y reducí expresiones algebraicas. de 6
(Preguntas 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17) de 4
Identifiqué y apliqué propiedades de números naturales, decimales y fracciones.
(Preguntas 18, 19, 20, 21 y 22)
Resolví ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita.
(Preguntas 23, 24 y 25)
Resolví problemas que involucraron proporcionalidad.
(Preguntas 26, 27, 28, 29, 30 y 31)
II. Preguntas de desarrollo
Planteé y resolví ecuaciones de primer grado con una incógnita.
(Preguntas 32, 33, 34 y 35)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 137
138 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Unidad Geometría
9 Área de polígonos
10 El círculo
11 Construcciones
geométricas
12 Movimientos de figuras
planas
Observa la imagen y responde.
1. ¿Qué tipo de elementos puedes distinguir
entre las líneas blancas marcadas en el
puente?
2. ¿Qué tipo de elementos puedes distinguir
entre las líneas amarillas marcadas en el
puente?
3. ¿Qué tipo de elementos puedes distinguir
entre las líneas rojas marcadas en el
puente?
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 139
UNIDAD
Evaluación inicial
Resuelve la siguiente evaluación para comenzar la unidad de Geometría.
1. Calcula la medida de los ángulos que faltan en 4. Calcula el área de los siguientes cuadrados
cada figura. y rectángulos.
a. C c. a. c.
x J
D 6 cm C L 9 cm K
x 5 cm
8 cm 8 cm 6 cm
A 50° 65° B 55° y AB I J
H I
b. d. b. d.
D 60°
G M H 8 cm G O 4 cm Ñ
115° 91°
N 3 cm 4 cm
xF 108°
E FM
N
115°
E 99° x 5. Calcula el área de las siguientes redes de cubos y
K L paralelepípedos.
2. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos. a. d.
10 cm
Y A(2, 5)
14 B(3, 8) 2 cm 5 cm
C(4, 1) 6 cm
12 D(1, 8)
e.
10 8 cm
8 2 cm
5 cm
6 E(1, 10) b.
4 F(6, 12) 3 cm
2 X G(13, 6)
0 2 4 6 8 10 12 14
3. Dado los puntos en el plano cartesiano, escribe
sus coordenadas.
Y C A( , )
14 FE B( , )
12 C( , )
10 D( , ) c. 12 cm
F( , )
8 A GX G( , )
6B D
4
2 4 6 8 10 12 5 cm
5 cm
02
140 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
6. Calcula el área de los cubos. c. d. L
a. c. I 3 cm
8 cm J
H 12 cm K
G 10 cm
4 cm 5 cm 8. Resuelve las ecuaciones. e. _ 1_x_2 _ = 7_6__
b. d. a. 2x + 50 = 130 f. _8x__ = _45__2 _
b. 4x − 120 = 180 g. _38__x_ = _92__
6 cm c. 6x − 80 = 4x + 60 h. 1__x5_ _ = 5_3__
d. 2x + 90 = 210 − x
3 cm
7. Calcula el área de los triángulos.
F
a. C b. 6 cm
E
8 cm D 8 cm
A 5 cm B
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Pregunta 1)
Calculé medidas de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. (Preguntas 2 y 3)
Ubiqué y representé puntos en el plano cartesiano.
Calculé el área de cuadrados y rectángulos. (Pregunta 4)
Calculé el área de redes de construcción de cubos y paralelepípedos. (Pregunta 5)
Calculé el área de cubos. (Pregunta 6)
Calculé el área de triángulos. (Pregunta 7)
Resolví ecuaciones de primer grado con una incógnita. (Pregunta 8)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 141
9Lección ¿Te muestro un juego?
Usaremos estos dados.
Área de ¡Yaaa! Estoy muy aburrido. ¡Sorprendente!
polígonos Platón y Arquímides
↘ Polígonos y ángulos Polígonos y ángulos
↘ Área de
Los polígonos tienen ángulos interiores y exteriores. H
paralelogramos Un ángulo interior está formado por dos lados
↘ Área de triángulos contiguos del polígono y su vértice correspondiente. A dG
↘ Área de trapecios Un ángulo exterior está formado por un lado del
↘ Aplicaciones polígono, la prolongación del lado contiguo y el C
vértice correspondiente. BF
E
Ejercicios resueltos
1. Nombra los ángulos interiores y exteriores del siguiente polígono
H
▷ Ángulos interiores: ∢DCB; ∢ADC; ∢BAD y ∢CBA. Ad G
Ángulos exteriores: ∢ABE; ∢BCF; ∢CDG y ∢DAH.
Ejercicios propuestos E C
B F
1. Pinta de color rojo los ángulos interiores y de azul los ángulos exteriores de los
siguientes polígonos.
a. F b. J c. F
A C
CE d C G d
B F B E
d I A
E B H
G
A
H
2. Nombra los ángulos interiores y exteriores de los siguientes polígonos.
a. E b. d c. M
C NI H
d CH L
A B E B EG
F G A F J FK
142 SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM
Se llaman sólidos platónicos, en Pero, pero…
honor a mí mismo…jejeje…
Yaaa, si te creo,
…y forman los juguemos mejor.
elementos de la vida.
Jajaja…no me hagas reír. ¿Por casualidad las estrellas
te guiaron a pensar eso?
…como siempre las
estás mirando.
3. Traza diagonales desde un vértice de cada polígono y calcula la suma de los Investiga qué cuerpos
ángulos interiores de cada figura. son sólidos platónicos.
a. c. Ayuda
La suma de los ángulos
b. dc. interiores de un
triángulo es 180°.
4. Calcula la suma de los ángulos exteriores. Para ello, dibújalos.
a. 70° c. 150°
100°
50° 60° 80° 30°
b. 108° d. 76°
108° 49° 122°
108° 108°
113°
5. Calcula los valores de las incógnitas.
a. x b. 80° c. x
110° xy y 120°
50° 30° 70°
6. Responde las preguntas. Para ello, construye una tabla.
a. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero, de un pentágono y de
un hexágono?
b. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo, de un cuadrilátero, de un
pentágono y de un hexágono?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 143
Lección 9: Área de polígonos
Área de paralelogramos
Para calcular el área (A) de un B A D
paralelogramo, se multiplica la longitud de h C
su lado basal por su respectiva altura. En el
paralelogramo ABCD, se tiene: a
A=a⋅h
Ejercicios resueltos A D
5 cm S
1. Calcula el área del siguiente paralelogramo.
▷▷ Ya que la base del paralelogramo es 8 cm 8 cm
y su altura es 5 cm, entonces el área A del
paralelogramo es:
A = 5 cm ⋅ 8 cm = 40 cm² B C
Ejercicios propuestos
Sé más 1. Calcula el área de los siguientes paralelogramos.
Un pantógrafo es un
instrumento articulado a. d. P 9 cm
que sirve para ampliar A D
o reducir el tamaño de
paralelogramos. B 3 cm CQ 6 cm
b. E H e. J R
5 cm
E
7 cm 13 cm M
GK
F 12 cm 6 cm
c. f.
IK L
F N
14 cm 9 cm
GH L 7 cm M
8 cm
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
144
2. Calcula las medidas pedidas en cada caso. Para ello, considera que las
dimensiones de la figura pueden cambiar según el ejercicio.
a. AB = 8 cm h1 = 9 cm Área = x A D C
b. CD = 7 cm h1 = 11 cm Área = x 145
c. AD = 12 cm h2 = 15 cm Área = x h1
d. BC = 11 cm h2 = 4 cm Área = x h2
e. AB = x h1 = 15 cm Área = 105 cm²
f. CD = 7 cm h1 = x Área = 91 cm² B
g. AD = 12 cm h2 = x Área = 48 cm²
h. BC = 14 cm h2 = 4 cm Área = x
i. CD = 13 cm h1 = 5 cm Área = x
3. Calcula el área achurada de las siguientes figuras. ABCD y EFIH son paralelogramos de
a. D C alturas 10 cm y 3 cm y bases de 12 cm y
8 cm, respectivamente.
HI
EF
A B
b. D
C El paralelogramo ABCD está dividido en
A 12 partes iguales. AB = 6 cm y la altura
c. E B del paralelogramo es 2 cm.
D _A _B // _C_F // _D_E ; A_F_ // _B_C ; _C _D // F_E_,
F C AB = 20 m y AE = 12 cm.
AB
4. Resuelve los problemas.
a. Si las dimensiones de una cancha de fútbol son de 100 a 110 metros de largo
y de 64 a 75 metros de ancho, ¿cuál es la mayor y menor área que puede tener
esta cancha de fútbol?
b. Por pintar el suelo de una cancha de básquetbol, cuyas dimensiones son 15 m
de ancho por 28 m de largo, se cobran $65.000. Si a cada lado de la cancha se
le agregan 2 m, ¿cuánto se debe cobrar por pintar el nuevo suelo?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 9: Área de polígonos
Área de triángulos
Para calcular el área (A) de un triángulo, se A C B
multiplica la longitud basal por la altura respectiva
y luego se calcula la mitad del producto obtenido. h
En el triángulo ABC dibujado: D
a
A = _a _ _⋅2__ _h_
Ejercicios resueltos C
1. Calcula el área del triángulo, con AB = 4 cm y CD = 3 cm. 3 cm
▷▷ Considerando que la base del triángulo es 4 cm y la D
altura respectiva 3 cm, el área A del triángulo es: 4 cm
A = 4_ _ _c_m___⋅_2__ 3__ _c_m__ = 6 c m2
Ejercicios propuestos A B
c. K J
1. Calcula el área de los triángulos.
a. C
3 cm 4 cm
AD B
AB = 8 cm IL
IJ = 5 cm
b. E d. R
5 cm
GE = 9 cm 4 cm 5 cm
H Q
G
2 cm P 3 cm
F 5 cm
146 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Calcula las medidas pedidas en cada caso. Para ello, considera que las
dimensiones de la figura pueden cambiar según el ejercicio.
a. AC = 7 cm hb = 6 cm Área = x ha C B
b. AB = 8 cm hc = 5 cm Área = x A hc
c. BC = x ha = 4 cm Área = 10 cm² hb
d. AB = 8 cm hc = x Área = 24 cm²
e. BC = 7 cm ha = x Área = 42 cm²
f. AC = x hb = 14 cm Área = 35 cm²
g. AB = 8 cm hc = 10 cm Área = x
h. BC = x ha = 9 cm Área = 72 cm²
3. Calcula el área achurada.
a. C
AB = 9 cm, CE = 10 cm y CD = 6 cm. Conectando con...
D Puente Malleco
El viaducto de Malleco
es un puente ferroviario
ubicado sobre el río
Malleco, en la ciudad de
AEB Collipulli, Región de la
b. C Araucanía.
Está construido a base
de miles de figuras
E C_ F_, E__F y D__F son alturas de los triángulos ABC, triangulares.
ABE y ABD, respectivamente. AB = 16 cm,
CD = 12 cm, DF = 5 cm y CE = 4 cm.
D
AF B C_ H_ es altura del triángulo ABC. Los
c. C E puntos F, E y D son puntos medios,
y forman 4 triángulos congruentes.
D Además, AB = 14 cm y CH = 6 cm.
A HF B
4. Responde la pregunta.
¿Pueden existir triángulos que posean distinto perímetro pero igual área? De ser
así, ejemplifica.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 147
Lección 9: Área de polígonos
Área de trapecios
Para calcular el área (A) de un trapecio, se A Db C
considera la mitad del producto de la suma B
de las longitudes basales por la altura del h
trapecio. En el trapecio ABCD dibujado: a C
B
A = _( _a_ _+__ _b2_)_ _⋅__ _h_
Ejercicios resueltos A D 8 cm
1. Calcula el área del trapecio dibujado. 6 cm
15 cm
▷▷ Ya que las medidas de las bases del
trapecio son 8 cm y 15 cm, y su altura
6 cm, entonces el área del trapecio es:
A = ( _8__ _+__ 1__25__ )_ _⋅__ 6__ = 2__3__ 2_⋅_ _ 6__ = 69 cm 2
Ejercicios propuestos
1. Calcula el área de los siguientes trapecios.
a. D 10 cm C d. M 6 cm L
10 cm
8 cm 4 cm
A 15 cm B J
K
b. H 12 cm G e. L 8 cm K
10 cm 13 cm
6 cm
E 20 cm FI J
c. S 6 cm R f. R 6 cm U
P 3 cm Q 5 cm T
S 8 cm
9 cm
148 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Libro Sm matemática 7° básico
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search