7° básico SM

Árbol de probabilidades Sé más
dos características
Un árbol de probabilidades (diagrama de árbol) es un gráfico que representa los importantes de un árbol
resultados posibles de experimentos formados por varias etapas o que se repiten de probabilidades son:
dos o más veces. de esta forma, permite calcular la probabilidad de cada uno de los • Ordena los sucesos
sucesos asociados.
Para un experimento que se repite 3 veces con espacio muestral E: {A, B, C}, su de cada etapa según
árbol de probabilidades es: su realización. En
el ejemplo, ACB
AB C significa que los
eventos ocurren en el
AB C AB C AB C orden
AB C AB C A, B y C.
AB C AB C AAA AB C AB C AB C AB C AB C CCC • Permite determinar
AAA AAA CCC BBB BBB BBB CCC CCC CCC con sus ramas el
AAA BBB ABC AAA BBB CCC AAA BBB ABC número de casos
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC favorables de cada
suceso y el total de
Ejercicios resueltos casos posibles. En el
ejemplo, el suceso
1. Representa por medio de un árbol de probabilidades los resultados obtenidos de que ocurran dos
al lanzar tres veces una moneda. Luego, responde. B y un C son 3, de un
▷ Los resultados posibles son cara (C) o sello (S) para cada uno de los lanzamientos. total de 27.

Primer Segundo Tercer Resultados
lanzamiento lanzamiento lanzamiento posibles

C C CCC
C S CCS
CSC
S C CSS
S SCC 8
C C SCS
S S SSC
SSS
S C
S
a. ¿Cuál es el número de resultados posibles?
El número de resultados posibles es la cantidad de ramas finales del árbol, que en
este caso son 8.

b. ¿de cuántas formas se obtiene dos caras y un sello?
De tres formas: CCS,CSC y SCC.

SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM 249

Lección 15: Probabilidad

2. Analiza el árbol de probabilidades asociado al lanzamiento de una moneda y de
un dado. Luego, responde.

CS

1 2 34 5 6 1 2 34 5 6

C S C S C S CS C S C S C S C S C S CS C S C S

a. ¿En qué consiste el experimento asociado al árbol?
▷▷ En lanzar una moneda, luego un dado y finalmente lanzar nuevamente una
moneda y registrar los resultados posibles.

b. ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento?
▷▷ De acuerdo con las ramas finales del árbol, se tiene que los resultados posibles
son 24.

Sé más c. Determina, en el mismo experimento, el conjunto A: obtener una cara, luego un
La suma de las número par y un sello, en ese orden.
probabilidades
asociadas a ramas con ▷▷ A: {C2S, C4S, C6S}
el mismo origen, en
cualquier árbol, es 1. Para calcular la probabilidad de un suceso utilizando un árbol de probabilidades
(diagrama de árbol), se deben multiplicar todas las probabilidades de cada rama
Ayuda asociada al suceso.
La expresión P(VA)
denota la probabilidad 3. Analiza el diagrama del experimento: extraer dos bolitas de una caja con 5
de que primero ocurra bolitas verdes y 3 amarillas, con y sin reposición. Luego, responde.
el evento V y luego A.
Con reposición Sin reposición

 ​_58__  ​  ​_38__  ​  ​_58__  ​ ​ _38__  ​

VA ​ _38__  ​ VA
 ​_58__  ​  ​_38__  ​ ​ _58__  ​  ​_47__  ​ ​ 3_7_  ​ ​ 5_7_  ​ ​ 2_7_  ​

V AV A V AV A

a. ¿Qué diferencias observas al realizar el experimento con y sin reposición?
▷▷ Al realizarlo con reposición la cantidad total de bolitas y la de cada color se
mantienen; mientras que sin reposición, la cantidad total disminuye y la de cada
color también, dependiendo de la rama del árbol.

b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero una verde y luego una amarilla?
▷▷ • Con reposición: P(VA) = ​_85 __  ​  ⋅ ​ _83__  ​  = ​ _61_5_4_  ​. 
• Sin reposición: P(VA) = ​_85 __  ​  ⋅ ​ _37_  ​  = ​ _51_65__  ​. 

250 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ejercicios propuestos

1. Representa por medio de un árbol de probabilidades los experimentos dados.

a. Lanzar un dado y luego una moneda. b. De una caja con fichas numeradas del 1 al 4 se
extraen dos de ellas con reposición.

2. Completa el diagrama del experimento: extraer dos fichas sin reposición de una
tómbola que contiene 3 marcadas con la letra A, 5 con la letra B y 2 con la letra
C. Luego, calcula.

AB C

A BC A BC AB C
P(AA) = P(BA) = P(BC) = P(CC) =
P(CA) = P(AC) =

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a. De una caja con 4 bolitas negras, 5 azules y 7 verdes se extraen 3 de ellas.
Calcula la probabilidad de obtener una negra, una verde y una azul, en ese
orden. Considera la extracción con y sin reposición.

b. En un curso de 20 niñas y 25 niños, la mitad de las niñas y tres quintos de los
niños tienen 13 años. Dibuja el árbol de probabilidades y calcula la probabilidad
de elegir un niño que no tenga 13 años. Luego, la probabilidad de seleccionar
una niña de 13 años.

c. Se tienen dos urnas, una con 7 bolas rojas y 2 azules, y otra con 3 bolas rojas y
8 azules. Se tira un dado y si sale un 3 o un 5, se extrae una bola de la primera
urna y en caso contrario, de la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola
extraída sea azul?

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 251

Lección 15

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.

1. Clasifica cada experimento en aleatorio o 4. Identifica si los experimentos son equiprobables o
determinístico. no equiprobables. Para ello, marca un ✓ en Sí o No.

Experimento Tipo Sí No
Elegir al azar una persona
y adivinar su edad. a. Lanzar una moneda.
Lanzar dos veces una b. Estimar la temperatura máxima
moneda y observar la
cantidad de sellos. de mañana.
Lanzar un dardo a un
tablero y anotar el color c. Lanzar un dardo en un tablero
acertado. con sectores congruentes.
Exponer al fuego un hielo
y observar si se derrite. d. Determinar el resultado de
Medir el patio de una un partido de básquetbol.
casa y calcular su área.
Elegir una persona al e. Adivinar el nombre de una persona.
azar y adivinar su fecha
de nacimiento. f. Sumar los números obtenidos al
lanzar dos dados numerados.

5. Explica si los siguientes gráficos representan o no
experimentos equiprobables.

a. Resultado de repetir 40.000 veces

2. Responde. 10.000 un experimento

a. ¿Cuáles son los casos favorables del suceso Frecuencia 9.800
A: obtener dos caras, en el experimento de lanzar
tres monedas? 9.600

b. ¿Cuántos son los casos favorables del suceso 9.400
B: obtener un divisor de 16, al lanzar un dado de
ocho caras numeradas del 1 al 8? 9.200

c. En el experimento de extraer una bolita de una 9.000 A B C D
urna con 5 bolitas verdes y tres azules, ¿cuál es
el espacio muestral? Sucesos posibles

b. Resultado de repetir 40.000 veces

14.000 un experimento

3. Observa la tabla y completa. Luego, responde. Frecuencia 12.000

100.000 lanzamientos de una moneda 10.000

8.000

Resultado f fr Pf 6.000
Cara 50.321
4.000 A B C D
Sello
Sucesos posibles

Total 100.000

a. ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de cada
suceso?

b. Si se aumenta el número de lanzamientos, ¿a qué
valor tenderían las frecuencias relativas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso?
d. ¿Cuál es la relación entre la probabilidad

frecuencial y la probabilidad de un suceso en
cualquier experimento aleatorio?

252 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

6. Analiza el medallero histórico de los primeros 7. Utiliza el triángulo de Pascal o un árbol de probabi-
15 países en los Juegos Panamericanos. Luego, lidades para resolver cada problema.
responde. a. En una fábrica, las probabilidades de que una
ampolleta sea defectuosa o no son iguales.
Medallero de Juegos Panamericanos Calcula la probabilidad de que en una caja con
12 ampolletas solo 4 sean defectuosas.
n País Oro Plata Bronce b. Si se lanza 5 veces un dado de seis caras
numeradas del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de
1 EEUU 1.861 1.379 933 obtener un número de puntos mayor o igual que
2, en cada uno de los lanzamientos?
2 Cuba 839 566 524 c. En un curso de 18 niñas y 20 niños, la mitad de
las niñas y tres cuartos de los niños tienen 13
3 Canadá 377 586 733 años. Calcula la probabilidad de que al elegir
un niño del curso este no tenga 13 años. Luego,
4 Brasil 287 318 458 calcula la probabilidad de que al seleccionar una
niña del curso tenga 13 años.
5 Argentina 279 301 398
8 De una caja con 5 bolitas negras, 4 azules y 6 ver-
6 México 199 259 459 des se extraen 3 de ellas. Calcula la probabili-
dad de obtener una negra, una verde y una azul,
7 Colombia 90 134 197 en ese orden. Considera la extracción con y sin
reposición.
8 Venezuela 84 182 257

9 Chile 40 86 133

10 Puerto Rico 27 80 121

Otros 136 293 526

Total 4.219 4.184 4.739

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir
aleatoriamente a uno de los países, este haya
obtenido más de 100 medallas de oro?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al elgir
aleatoriamente a uno de los países, este haya
obtenido más de 1.000 medallas en total?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elgir
aleatoriamente una de las medallas obtenida por
deportistas chilenos, esta sea de oro?

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L).

Indicador

Clasifiqué experimentos en aleatorios o determinísticos.

(Pregunta 1)

Identifiqué los casos favorables de un suceso y calculé probabilidades frecuenciales.

(Preguntas 2 y 3)

Identifiqué experimentos equiprobables y no equiprobables.

(Preguntas 4 y 5)

Calculé probabilidades utilizando la ley de Laplace, el triángulo de Pascal y árboles de probabilidades.

(Preguntas 6, 7 y 8)

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 253

UNIDAD ↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema.

Existen 3 caminos posibles que unen la entrada de un laberinto y cierto punto clave en su interior. Si
desde este punto clave hay 4 caminos que permiten salir del laberinto, ¿cuántos caminos son posibles de
escoger para salir del laberinto?

Paso Comprende el enunciado

1 Se debe determinar el espacio muestral o los casos posibles del experimento “escoger un camino
al azar”. Se sabe que para salir del laberinto se debe llegar al punto clave, que existen tres caminos
diferentes desde la entrada del laberinto hasta dicho punto y que de ahí hasta la salida hay
4 caminos diferentes.

Paso Planifica lo que vas a realizar

2 Se construirá un diagrama de árbol para obtener todos los caminos posibles y así, el espacio
muestral del experimento.

Paso Resuelve el problema

3 Si los caminos que se tienen desde el punto de entrada del laberinto al punto clave de este son A1,
A2 y A3, y los caminos que se tienen desde el punto clave al de salida del laberinto son B1, B2, B3 y
B4, es posible representar la situación mediante el siguiente diagrama de árbol:

B1
B2
A1 B3

B4

B1
B2
A2 B3

B4

B1
B2
A3 B3

B4

Así, los posibles caminos son: A3 – B1, A3 – B2, A3 – B3, A3 – B4, A2 – B1, A2 – B2, A2 – B3, A2
– B4, A1 – B1, A1 – B2, A1 – B3 y A1 – B4. En total son 12 caminos los que llevan a la salida del
laberinto.

Paso Revisa tu respuesta

4 Construye una tabla de doble entrada para comprobar todos los casos posibles. Puedes marcar los
12 caminos con distintos colores.

225544 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior.

a. Una persona desea construir su casa, para lo cual contempla lo siguiente:

Construcción de una casa

Parte de la casa Material
Piso
Cerámica Laminado
Paredes Madera
Techo Vulcanita Ladrillo
Zinc
Teja de barro

Si todos los materiales son combinables, ¿con cuántas combinaciones posibles de materiales cuenta esta
persona?

b. Emma quiere comprar un lápiz del que puede elegir entre cuatro variedades: gel, pasta, tinta o grafito. Si
existen tres colores para lápiz gel, cuatro colores para lápiz pasta, dos colores para lápiz tinta y el lápiz
grafito es único, ¿cuántas opciones de elección de lápiz tiene Emma?

c. Maribel lanzará un dado de seis caras numerads del 1 al 6 y otro dado de ocho caras numeradas del 1 al 8
y observará las caras superiores de estos. ¿De cuántas maneras pueden caer los dados simultáneamente?

d. Una tienda comercial tiene las siguientes máquinas lavadoras a la venta:

Lavadora A Lavadora B
• Tres modelos: para 8 kg, • Dos modelos: para 8 kg

11 kg o 15 kg. u 11 kg.
• Color: gris o blanco. • Colores: celeste azulado.
• Sistema: automática o • Sistema: automática o

semiautomática. semiautomática.

¿Cuántas alternativas diferentes para comprar una lavadora ofrece la tienda?
e. Luciano quiere comprar un cuaderno y existen tres marcas entre las que puede seleccionarlo (A, B o C).

Cuando fue a escoger la marca, encontró que el cuaderno de la marca A se presenta en dos tamaños (A4
o A5), en cuatro colores diferentes y puede ser con una o doble espiral; el cuaderno de la marca B se
presenta en tres tamaños (A4, A5 o A6), en dos colores diferentes y con una o doble espiral; finalmente,
el cuaderno de la marca C se presenta en un solo tamaño (A5), en dos colores diferentes y solo con doble
espiral. ¿Cuántas combinaciones diferentes de cuadernos puede escoger Luciano?

f. Martina quiere ver todas las opciones posibles para combinar la ropa que tiene. Tiene dos polerones
(verde y negro), dos pantalones (gris y negro) y cinco poleras (blanca, negra, verde, amarilla y rosada).
¿Cuáles son las posibles combinaciones que puede realizar Martina para vestirse con un pantalón, una
polera y un polerón?

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 225555

UNIDAD Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®

Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Esta pregunta involucra los con-
ceptos de media aritmética, moda y
A. Puede no existir moda en un conjunto de datos. mediana.
B. La media aritmética de un conjunto de datos es única.
C. Al agrupar los datos en intervalos, no es posible calcular su

media aritmética.
D. La media, moda y media aritmética no coinciden necesaria-

mente con valores del conjunto de datos.

Clave: Si tienes dificultades para compren-
C. Aunque los datos estén agrupados en intervalos, la media arit- der la justificación, puedes reforzar
este contenido, revisando la Lección
mética puede calcularse sumando los productos de las fre- 14 del Texto y las respectivas pági-
cuencias absolutas por la marca de cada clase o intervalo y di- nas de tu Cuaderno de ejercicios.
vidiendo este resultado por el número total de datos. Por lo
tanto, la alternativa C es FALSA.

Distractores:

A. Cuando se tiene un conjunto de datos, todos distintos entre sí,
por ejemplo:

1, 2, 3, 5, 8, 4, 6, 13, 9, 12.

Se dice que la moda no existe, ya que dicho parámetro, para
datos discretos, es el dato con mayor frecuencia absoluta. Por
lo tanto, la alternativa A es verdadera.
Los errores cometidos al inclinar-

B. Dado el conjunto de datos: se por alguno de estos distractores

x​ ​1​, x​ 2​ ​, x​ 3​ ,​ x​ 4​ …​ , x​ n​ ​. son:

qSiux​_​e_1​: ​ y ​_x_2​  ​​son medias aritméticas de este conjunto, se tiene • Desconocer las definiciones de
​_x​ _​1 ​  = ​ ​x_ ​1_ ​_+__ ​_x_​2_ ​_+__ ​_x_n​3 _ ​_ +__ _._._. _​+__ _​x_n​_​ y ​​x__​2 ​  = ​ x​ _ ​1_​ _+__ ​_x_​2_​ _+__ ​_x_n​3 _ ​_ +__ _._._. _+__ _​x_n​_​​  • media aritmética, mediana y
moda.
Como la igualdad es una relación transitiva, es decir, si un pri- Desconocer la manera de calcu-
mer número es igual a un segundo valor, y este a su vez es lar la media aritmética, la me-
igual a un tercer número, el primer y tercer valor son iguales. diana y la moda, tanto en un con-
junto de datos discretos como en
Si a = b y b = c, entonces, a = c. aquellos que están agrupados en

tLeurengaoti,v​x_​a_1​  ​  B= ​ex​__2​s .​​vPeorrdlaodtearnat.o, la media aritmética es única: la al- intervalos.

D. Como ya se ha mencionado en los contenidos, la media, la
mediana y la moda no necesariamente son datos del con-
junto en el cual se calculan. Por lo tanto, la alternativa D es
VERDADERA.

256 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según
lo estudiado en la página anterior.

Con respecto a la tabla, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?

Edad de los estudiantes de un colegio

Edad (años) 15 16 17 18 19 Los contenidos relacionados con la pregunta son:

N.° de estudiantes 45 30 65 50 15

A. La moda del conjunto de datos es 18.

B. La mediana del conjunto de datos es igual a la
moda.

C. La media aritmética del conjunto de datos es 18.

D. La mediana y la moda coinciden con datos del
conjunto; no así con la media aritmética.

Clave:
D.

Si tienes dificultades para comprender la justifica-

ción, puedes reforzar este contenido, revisando la

Lección del Texto y las respectivas páginas de

tu Cuaderno de ejercicios.

Distractores:

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de es-
tos distractores son:

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 257

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad.

I. Marca la alternativa que consideres correcta. Frecuencia5. De una población de 60 europeos, 40 america-
nos y 20 asiáticos, se considera a 12 europeos
1. En una fábrica de tornillos se realiza un control de como parte de una muestra. Si se aplicó el mues-
calidad eligiendo 1 de cada 100 tornillos produci- treo estratificado, ¿cuántos americanos incluye di-
dos. ¿Cuál es la población de estudio? cha muestra?
A. Solo los tornillos en buen estado producidos en A. 4
la fábrica. B. 8
B. El 1 % de los tornillos producidos en la fábrica. C. 12
C. El 100 % de los tornillos producidos en la D. 40
fábrica.
D. Solo los tornillos en mal estado producidos en 6. Una empresa aplicó el muestro sistemático para
la fábrica. elegir una muestra entre sus empleados numerán-
dolos del 1 al 120. Si dos números consecutivos
2. ¿Cuál de las siguientes muestras es más repre- elegidos fueron el 23 y el 31, ¿cuántos empleados
sentativa de la población de estudiantes de un conformaron la muestra?
colegio? A. 7
A. Los estudiantes de mejor rendimiento de cada B. 8
curso. C. 15
B. Cinco estudiantes de cada curso. D. 120
C. Solo los estudiantes que rinden la PSU este
año. 7. Si la media aritmética de: 10 – 15 – 12 – X es 13,
D. Los estudiantes de mejor asistencia del colegio. ¿cuál es el valor de X?
A. 10
3. Una encuesta aplicada a 500 personas registró B. 12
que un gran porcentaje de los habitantes de cier- C. 13
ta ciudad son felices viviendo en ella. ¿Cuál fue la D. 15
población de estudio?
A. Todos los habitantes de la ciudad. 8. Calcula la mediana de los datos graficados.
B. Las personas felices de la ciudad.
C. Las 500 personas encuestadas. Edades de un grupo de amigos
D. Todas las personas que viajan a la ciudad.
5
4. Una forma de aplicar el muestreo simple para ele- 4
gir una muestra de 10 empleados de una empre- 3
sa es: 2
A. Elegir los 10 primeros empleados que ingresan 1
a trabajar. 0 12 13 14 15
B. Elegir 2 empleados de cada una de las 5 sec-
ciones de la empresa. Edad (años)
C. Elegir 10 RUN de la base de datos de los em-
pleados de la empresa. A. 12 años
D. Elegir los 10 empleados más antiguos de la B. 13 años
empresa. C. 13,5 años
D. 14 años

258 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

9. La moda de un grupo de datos es: 13. ¿Cuál es el rango de los siguientes datos?
Masa corporal de 14 recién nacidos (g)
A. la mayor frecuencia absoluta.
B. la mayor frecuencia relativa. 2.650 – 3.100 – 3.250 – 2.950 – 3.000 – 3.450
C. el dato de mayor frecuencia absoluta. 2.850 – 2.650 – 3.100 – 2.950 – 3.100 – 3.450
D. el dato central entre los datos ordenados. 3.100 – 3.400 – 2.650 – 3.100 – 3.450 – 2.900

Considera la siguiente tabla de frecuencias para A. 800 g
responder las preguntas 10 y 11. B. 2.650 g
C. 3.050 g
Estatura de deportistas D. 3.450 g

Estatura (cm) f F ​f​r​ 14. Identifica el diagrama de tallo y hojas que repre-
0,16 senta la siguiente muestra:
[150 – 160[ 7 7 0,28
Tiempos registrados de un atleta (segundos)
[160 – 170[ 12 19 x 10,3 – 10,2 – 9,9 – 10,4 – 10,7 – 9,9 – 10,4
0,21
[170 – 180[ 15 34 10,8 – 10,6 – 10,3 – 10,1 – 9,9 – 10,0 – 10,2 – 9,8

[180 – 190[ 9 43 A. 9 8

10. ¿Cuántos deportistas fueron medidos? 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
A. 7
B. 15 B. 9 89
C. 43 10 01234678
D. 52
C. 9 8999
11. ¿Cuál es el valor de x? 10 1223344678
A. 0,21
N.° de estudiantesB. 0,35 D. 9 8999
C. 0,44 10 1223344678
D. 0,79
15. Con respecto a los histogramas, ¿cuál de las si-
12. ¿Cuál de las siguientes inferencias es FALSA con guientes afirmaciones es verdadera?
respecto al histograma?
A. Representan datos agrupados en intervalos.
Tiempo de estudio semanal de un B. Las alturas de las barras corresponden a las
grupo de estudiantes
frecuencias relativas.
9 C. La distancia entre las barras es mínima.
6 D. El ancho de las barras es diferente según la
3
0 24 6 cantidad de intervalos.

Tiempo (horas)

A. El gráfico es simétrico.
B. El promedio de los datos es 4.
C. El promedio, la moda y la mediana son iguales.
D. La mediana está más próxima a 2 horas que a

6 horas.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 259

UNIDAD

Evaluación final

16. Según la siguiente tabla, ¿cuál es la probabilidad 18. La siguiente tabla muestra la distribución por gé-
frecuencial de que llueva? nero y edad de un curso:

Registro climatológico de los últimos Distribución por género y edad
del 8.° Básico
1.000 días

Estado f fr Edad Niñas Niños Total

Despejado 635 0,635 12 años 235

Nublado 220 0,220 13 años 10 12 22

Lluvioso 145 0,145 14 años 7 6 13

A. 0 Si se elige un estudiante al azar y se definen los
B. 0,145 eventos A: elegir una niña de 13 años, y
C. 0,855 B: elegir un niño de 14 años, entonces:
D. 1 A. P(A) – P(B) > 0
B. P(A) – P(B) = 0
17. El siguiente gráfico representa el resultado de C. P(A) – P(B) < 0
10.000 lanzamientos de un dado de 4 caras nu- D. P(A) + P(B) > 1
meradas del 1 al 4:
19. Dos equipos de básquetbol se enfrentan en una
Frecuencia2.500 Lanzamiento de un dado serie de 6 encuentros con la misma probabilidad
2.460 12 3 de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que empa-
2.420 4 ten la serie de partidos?
2.380 Cara numerada A. ​ _6_6_4_ _  ​ = 0,09375
2.340 B.  ​_26__04__  ​ = 0,3125
2.300 C.  ​1_2__  ​ = 0,5
D.  ​2_3__02__  ​ = 0,625
¿Cuál es la probabilidad frecuencial de
obtener la cara numerada con un 4? 20. De una urna con 3 bolitas negras y 6 blancas,
A. 0,004 se extraen dos sin reposición. ¿Cuál es la proba-
B. Menor que 0,25. bilidad de sacar primero una negra y luego una
C. 0,25 blanca?
D. Mayor que 0,25. A. ​ _39__  ​  ⋅ ​ _69__  ​  = ​ 2_9__  ​
B. ​ _39__  ​  ⋅ ​ 2_8__  ​  = ​  _11__2 _  ​
C.  ​_39__  ​  ⋅ ​ _68__  ​  = ​ 1_4__  ​
D.  ​_39__  ​  ⋅ ​ 5_8__  ​  = ​ _25__4 _  ​

260 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

II. Resuelve los problemas.

21. Utiliza la media aritmética, moda, mediana y rango para comparar las siguientes muestras.

Precios de 5 libros escolares en dos librerías ($)

Librería Alfa Librería Beta

18.500 – 22.500 – 19.000 – 28.500 – 29.000 23.500 – 25.500 – 25.000 – 23.500 – 20.500

22. En cierta ciudad se comprobó que durante el invierno las probabilidades de que llueva, o no, son las mismas.
¿Cuál es la probabilidad de que en dicha ciudad llueva 5 días seguidos y deje de llover 2 días?

23. En un curso de 20 niños y 18 niñas se elegirá a tres estudiantes al azar para formar una comisión. ¿Cuál es la
probabilidad de que se elija una niña, un niño y una niña, en ese orden?

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según
las respuestas correctas que hayas conseguido.

I. Preguntas de alternativas

Identifiqué la población de un estudio. (Preguntas 1, 2 y 3) de 3
Identifiqué distintas técnicas de muestreo. (Preguntas 4, 5 y 6) de 3
Analicé tablas de frecuencias, histogramas y diagramas de tallo y hojas. (Preguntas 10, 11, 14 y 15) de 4
Calculé e interpreté medidas de tendencia central y rango. (Preguntas 7, 8, 9, 12 y 13) de 5
Calculé la probabilidad frecuencial de un evento. (Preguntas 16, 17 y 18) de 3
Calculé la probabilidad teórica de un evento. (Preguntas 19 y 20) de 2

II. Preguntas de desarrollo de 3

Comparé muestras con medidas de tendencia central y el rango y calculé probabilidades.

(Preguntas 21, 22 y 23)

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 261

Evaluación tipo SIMCE®

Instrucciones

Antes de iniciar la prueba, lee las siguientes instrucciones.
• Usa solo lápiz grafito para contestar la prueba.
• Trata de contestar todas las preguntas de la prueba, incluso si no estás completamente seguro(a)

de tu respuesta.
• Completa la Hoja de respuestas tal como se indica a continuación:

1 Datos
Escribe tu nombre, curso, edad
y la fecha.

2 Preguntas de alternativas
Contesta cada pregunta marcando
una en la alternativa que
consideres correcta. Debes marcar
solo una de las alternativas.

3 Correcciones
Borra la del cuadrado que
marcaste erróneamente utilizando
la goma de borrar. Luego, marca
una en la alternativa que
consideres correcta.

4 Preguntas de desarrollo
Contesta estas preguntas
directamente en la Hoja de
respuestas.

• Si tienes alguna duda sobre cómo contestar, levanta la mano y pregunta al profesor o a la
profesora.

sé PROTAGONIsTA © EDICIONEs sM

Hoja de respuestas

Nombre Fecha
Curso
I. Preguntas de alternativas
Edad Marca una en la alternativa que consideras correcta.

Años

1 ABCD 21 A B C D
2 ABCD 22 A B C D
3 ABCD 23 A B C D
4 ABCD 24 A B C D
5 ABCD 25 A B C D
6 ABCD 26 A B C D
7 ABCD 27 A B C D
8 ABCD 28 A B C D
9 ABCD 29 A B C D
10 A B C D 30 A B C D
11 A B C D 31 A B C D
12 A B C D 32 A B C D
13 A B C D 33 A B C D
14 A B C D 34 A B C D
15 A B C D 35 A B C D
16 A B C D 36 A B C D
17 A B C D 37 A B C D
18 A B C D 38 A B C D
19 A B C D 39 A B C D
20 A B C D 40 A B C D

II. Preguntas de desarrollo

41 Traslada el polígono, cuyos vértices dceortrreassplaocnidóenn​_​va›  ​=lo(s–8pu, n3)to. s A(–8, –9), B(0, 0),
C(7, –8) y D(0, 10), según el vector

4 2 Construye la circunferencia circunscrita al polígonos ABCD, de la pregunta anterior.

I. Preguntas de alternativas

1 Un buzo está a 15 m de profundidad; mientras que una gaviota vuela a 8 m sobre el nivel del
mar. Cuando la gaviota vuela por sobre el buzo, ¿a qué distancia se encuentran uno del otro?

A. –23 m
B. –7 m
C. 7 m
D. 23 m

2 En un experimento, al medir el punto de congelación de cuatro sustancias, se obtuvo el
resultado registrado en la siguiente tabla:

Punto de congelación

Sustancia Temperatura (°C)

A −30
B 0
C −27
D −12

Al ordenar las sustancias, de acuerdo a sus puntos de congelación, se tiene:

A. A � C � D � B
B. C � D � B � A
C. A � B � C � D
D. D � B � A � C

3 En una prueba, en la que se pidió resolver –2 + (–5) – (–2) + (–6), Josefa realizó lo siguiente:

–7 – (–8) = –7 + 8 = 1

El error cometido por Josefa fue:

A. Resolver –2 + (–5) antes de cambiar los signos.
B. Obtener –7 como resultado de la adición –2 + (–5).
C. Obtener –8 como resultado de la adición entre –2 y –6.
D. Resolver –2 + (–6) sin considerar el signo – que precede a –2.

4 Si el minuendo es –5 y el sustraendo es –6, entonces la resta es:

A. –11
B. –1
C. 1
D. 30

sé PROTAGONISTA © Ediciones SM 265

5 Si un sumando es –5 y la suma es –8, entonces el otro sumando es:

A. –13
B. –3
C. 3
D. Falta información.

6 A cierta hora se registró una temperatura inicial. Luego de una hora, esta subió 7 °C. Después,
disminuyó 5 °C y volvió a subir, pero ahora 8 °C. Si finalmente, descendió 9 °C, marcando
10 °C, ¿cuál fue la temperatura inicial registrada?

A. –11
B. –9
C. 9
D. 11

7 Un número entra a una máquina que tiene tres procesos: A, B y C. Al pasar por A se duplica, al
pasar por B se le resta 58 y al pasar por C se le suma –15. Si entra el 16, ¿qué número sale?

A. –57
B. –41
C. –11
D. 75

8 Con respecto a la potencia ​107​,​ ¿cuál de las alternativas es correcta?

A. Su base 7.
B. Su valor es 1.000.000.
C. Al multiplicarla por ​10​3​resulta 100.
D. Es equivalente a 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10.

9 El producto de dos potencias de base 10 es ​105​.​ Si uno de los factores es ​10​2,​ ¿cuál es el otro
factor?

A. ​10​3​
B. 1​ 0​7​
C. 100
D. 10.000

10 El resultado de 2 · ​103​ ​+ 7 · 1​ 05​ ​– 9 · ​104​ ​ es:

A. 612.000
B. 792.000
C. 1.800.000
D. 2.790.000

266 sé PROTAGONISTA © Ediciones SM

11 ¿A qué número corresponde la siguiente descomposición aditiva canónica?

4 · 1​ 0​6​+ 3 · ​104​ ​+ 2 · ​102​ ​+ 9 · ​101​ ​+ 3 · 1​ 00​ ​

A. 43.293
B. 403.029
C. 4.030.291
D. 4.030.293

12 Al leer una revista de Astronomía, Luciano quiso subrayar las distancias que estaban
expresadas en notación científica. Si cada alternativa contiene una distancia escrita en la
revista, ¿cuál de ellas subrayó Luciano?

A. 0,347 · ​10​17​
B. 1,59 · ​10​19​
C. 10,01 · ​101​ 4​
D. 21 · 1​ 01​ 2​

13 En el observatorio, Fabiola contempló una estrella que está a 94,6 · 1​ 01​ 4​km de la tierra.
¿Cómo se escribe esa distancia en notación científica?

A. 0,946 · ​10​12​
B. 9,46 · ​10​13​
C. 9,46 · ​10​15​
D. 946 · 1​ 0​13​

14 Si la masa corporal de una persona es 48,4 kg, ¿cuál de las siguientes fracciones es

equivalente a dicho número decimal?

A.  ​4__4_8_ _ ​
B.  ​4___81__4 __  ​
C. ​ 4__1_8_0_4_ _ ​
D.  ​4_1__80__40__  ​

15 Si al medir las estaturas de cinco niños se obtiene: 1,18 m; 1,070 m; 1,210 m; 1,3 m y 1,1 m,
¿cómo se ordenan, de mayor a menor, los números decimales que representan las estaturas de
los cinco niños?

A. 1,070 > 1,1 > 1,18 > 1,210 > 1,3
B. 1,210 > 1,070 > 1,18 > 1,3 > 1,1
C. 1,1 > 1,3 > 1,18 > 1,070 > 1,210
D. 1,3 > 1,210 > 1,18 > 1,1 > 1,070

sé PROTAGONISTA © Ediciones SM 267

16 Amanda debe ir a comprar ​_58  _ ​kilogramos de queso. ¿Qué número decimal debe marcar la
balanza para comprar lo pedido?

A. 0,625
B. 1,6
C. 5,8
D. 125

17 Se define la operación a ⊗ b = a + b ⋅ a. ¿Cuál es el resultado de ​ _34_  ​⊗  ​2_3_ ?​

A. ​ 3_2__ ​

B.  ​5_4__  ​

C. ​ _19__6_   ​
D.  ​1_1_7_6_  ​

18 El oro blanco es una aleación de oro y paladio. De cada 100 partes, 90 son de oro puro y 10 de
paladio. Si una joya de oro blanco pesa 20 gramos, ¿cuántos gramos de oro puro contiene?

A. 2 gramos
B. 4 gramos
C. 8 gramos
D. 18 gramos

19 La edad de Pedro, expresada en fracción es 12​_92 _ ​años. Si Juan es 6 años mayor que Pedro y la
edad de Lorena es la suma de las edades de Juan y de Pedro, ¿cuánto suman las tres edades?

A. 18​ _59__  ​
B. 37​ 1_9__   ​
C. 60 ​_89__  ​
D. 61​_ 59__  ​

20 Las dimensiones de una hoja tamaño carta son: 27,9 cm de largo y 21,6 cm de ancho. ¿Cuál es
el área y perímetro, respectivamente, de un rectángulo congruente a una hoja tamaño carta?

A. 99 cm² y 602,64 cm.
B. 602,64 cm² y 99 cm.
C. 49,5 cm² y 301,32 cm.
D. 301 cm² y 49,5 cm.

268 sé PROTAGONISTA © Ediciones SM

21 La superficie de un terreno es de 450,423 m​ ​2.​ Si se quiere plantar 3 tipos de hortalizas,
de manera que utilicen todas la misma superficie de terreno, ¿cuántos metros cuadrados
corresponden a cada tipo de hortaliza?

A. 150 m2
B. 148, 14 m2
C. 150,141 m2
D. 450,423 m2

22 Si en un número de tres dígitos, la suma de sus cifras es 14, la cifra de las unidades es el doble
que el de las decenas, y la cifra de las decenas es el doble que la cifra de las centenas, ¿cuál
es el número?

E. 248
F. 448
G. 840
H. 842

23 En el triángulo de la figura a = 6x – 30°, b = 2x y c = 50°, entonces el valor de d es:

A. 20 c bd
B. 50 a
C. 90
D. 140

24 Cristian tiene m cantidad de bolitas. Si regala n bolitas a su hermana, luego compra p bolitas,
y en el juego pierde n + 2 bolitas, ¿qué expresión algebraica representa la cantidad final de
bolitas de Cristian?

A. m + p – 2n – 2
B. m + p + 2n + 2
C. m + p – n
D. m + p – n + 2

25 ¿Cuál de las expresiones algebraicas representa la frase: “El doble de un número disminuido
en cuatro unidades es igual a diez.”?

A. 2x + 4 = 10
B. 2(x – 4) = 10
C. 2x – 4 = 10
D. 2x + 10 = 4

sé PROTAGONISTA © Ediciones SM 269

26 Cristian y Edith son aficionados a coleccionar llaveros; juntos logran reunir 63 llaveros. Si
Cristian tiene 9 llaveros más que Edith, ¿cuántos llaveros tiene Cristian?

A. 27
B. 36
C. 63
D. 54

27 La señora Sara ocupa 48 ovillos de hilo para tejer 3 chalecos de igual tamaño. ¿Cuántos ovillos
necesitará para tejer 4 chalecos similares a los 3 ya tejidos?

A. 64
B. 36
C. 16
D. 12

28 Con 6 kg de harina se fabrican 8 kg de pan. ¿Cuánta harina se necesita para fabricar 20 kg de
pan?

A. _​ 8_3_0_ _​ kg
B. 22 kg
C. 15 kg
D. 2,4 kg

29 Un comerciante compró una plancha en $4.800, para ofertarla con un incremento del 60 %. Si
la vendió, pero rebajando un 20 % al precio fijado, ¿cuánto dinero obtuvo de ganancia?

A. $1.344
B. $2.880
C. $6.144
D. $7.680

30 Una camisa cuesta $6.300. Si el precio es rebajado en un 20 %, ¿qué porcentaje se debe
aumentar este último precio para que este sea igual al precio inicial?

A. 20 %
B. 25 %
C. 125 %
D. 133 %

31 ¿Cuál de los siguientes elementos No tiene relación con el círculo?

A. Radio
B. Cuerda
C. Diámetro
D. Altura

270 sé PROTAGONISTA © Ediciones SM

32 ¿Cuál es el área comprendida entre un cuadrado de lado 5 cm y un círculo inscrito en él?

A. 17,15 c​ m2​ ​
B. 25 ​cm​2​
C. 6,25π ​cm​2​
D. (25 – 6,25π) c​ m​2​

33 ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo, cuyas dimensiones se expresan por (3x + 5) cm y
(4x – 2) cm?

A. (7x + 3) cm
B. (14x + 6) cm
C. (7x + 7) cm
D. (x + 3) cm

34 ¿Cuál es el vector de traslación del punto A(–10, 8), si quedó ubicado en el punto A’(8, 10)?

A. (–10, 8)
B. (2, 18)
C. (8, 10)
D. (18, 2)

35 En un colegio se encuestó sobre el tiempo frecuencia Tiempo semanal en el 7˚A
semanal que dedican los estudiantes de un
curso en realizar un proyecto tecnológico. Si 16 5
el histograma representa los datos recogidos, 14
¿cuál es el promedio de horas dedicadas? 12
10
A. 2,5
B. 2,34... 8
C. 45 6
D. 105,5 4
2
0 1234

Tiempo (h)

36 Considerando la siguiente tabla de frecuencias,
los valores de x, y, z, respectivamente, son:

A. 15, 47 y 64 Estaturas de un grupo de estudiantes
B. 27, 20 y 5
C. 27, 24 y 64 Estatura (cm) f F
D. Falta información. [150, 155[ 12 12
[155, 160[ x 27

[160, 165[ 20 y

[165, 170[ 12 59

[170, 175[ 5 z

Total 64

sé PROTAGONISTA © Ediciones SM 271

37 ¿Cuál es la mediana de los datos: 8, 7, 15, 9, 23, 12, 14, 8, 9, 15, 12, 14, 9, 8, 5, 2?

A. 8
B. 8,5
C. 9
D. 10

38 De acuerdo al gráfico, en qué intervalo Frecuencia 25 Masa de un objeto
podría estimarse la mediana?
20
A. [0, 1[
B. [2, 3[ 15
C. [3, 4[
D. [5, 6[ 10
5
0
1 2 3 4 56
Masa (Kg)

39 Los siguientes datos corresponden a la esperanza de vida de hombres y mujeres
correspondientes a diversos países.

Esperanza de vida de la mujer Esperanza de vida del hombre

732467
36502

268322866679
46175183752
082

Según el diagrama se puede afirmar, que:

A. La esperanza de vida del hombre es mayor que la de la mujer. Sin embargo, esto no ocurre

entre los 62 y 68 años.

B. La esperanza de vida del hombre es mayor que la de la mujer. Sin embargo, esto no ocurre

entre los 71 y 78 años.

C. La esperanza de vida de la mujer es mayor que la del hombre. Sin embargo, esto no ocurre

entre los 62 y 68 años.

D. La esperanza de vida de la mujer es mayor que la del hombre. Sin embargo, esto no ocurre

entre los 71 y 78 años.

40 ¿Cuál de las siguientes medidas no es de tendencia central?

A. Moda
B. Rango
C. Mediana
D. Media aritmética

272 sé PROTAGONISTA © Ediciones SM



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