¿Estás Su majestad, el reino no
seguro? posee tal cantidad de
granos de trigo.
¿No
prefieres
monedas de
oro?
No, prefiero los ¿Qué dices?…
granos de trigo. déjame calcular.
Investiga cuál es la
cantidad de granos
de trigo que el rey
debía pagar.
Ejercicios propuestos
1. Identifica cuáles de los siguientes valores pueden ser escritos como potencias
de base 10. Para ello, escribe dicha potencia.
a. 10 → d. 1.111.110 →
b. 110 → e. 100.000.000 →
c. 100.010 → f. 1.010 →
2. Calcula el valor de las siguientes potencias de base 10.
a. 1 02 = c. 1 08 = e. 1 09 =
b. 1 05 = d. 1 012 = f. 1 010 =
3. Expresa cada resultado como una potencia de base 10.
a. 999.990 + 10 = d. 44.112.000 + 55.888.000 =
b. 14.374 – 7.820 + 3.446 = e. 344.444.444 – 244.444.444 =
c. 320.034 – 220.039 + 5 = f. 10.000 – (6.436 + 2.564) =
4. Calcula el valor de cada potencia de base 10. Luego, pinta del mismo color y su
valor respectivo.
101 108 1012 104
106
107
1.000.000 100.000.000 10 10.000.000 10.000 1.000.000.000.000
5. Resuelve el siguiente problema.
Luciano compró un MP4 en $36.299 y un equipo de música en $74.990. Al pagar,
el vendedor le informa que ambos productos están con descuento, por lo que se le
descontarán $11.289 al total de la compra. ¿Cuánto dinero gastó en total Luciano?
Expresa este valor con una potencia de base 10.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 49
Lección 3: Potencias
Multiplicación de potencias de base 10
Para resolver multiplicaciones que involucren potencias de base 10, considera los
siguientes casos:
◾◾ Para multiplicar una potencia de base 10 por otra potencia de base 10, puedes
escribir el valor de cada potencia y luego multiplicar los resultados, o también
puedes escribir un 1 seguido de tantos ceros como corresponda a la suma de los
exponentes de las potencias. Por ejemplo:
103 ⋅ 102 = 1.000 ⋅ 100 = 100.000 103 ⋅ 102 = 103 + 2 = 105 = 100.000
◾◾ Para multiplicar un número natural por una potencia de base 10, puedes escribir
dicho número natural seguido de tantos ceros como corresponda al exponente de
la potencia. Por ejemplo:
236 ⋅ 104 = 2.360.000
◾◾ Para multiplicar un número decimal por una potencia de base 10, puedes
“mover” la coma hacia la derecha, dígito a dígito, tantos lugares como
corresponda al exponente de la potencia. Si no hay suficientes dígitos, se agregan
ceros a la derecha del número. Por ejemplo:
27,852 ⋅ 107 = 278.520.000 2,33450 ⋅ 103 = 2.334,50
Ejercicios resueltos
1. Resuelve las multiplicaciones y completa la tabla.
Multiplicación Valor de las potencias Suma de Potencia de Resultado
exponentes base 10 1.000.000.000
102 ⋅ 107 100 ⋅ 10.000.000 102 + 7 109
104 ⋅ 108 10.000 ⋅ 100.000.000 104 + 8 1012 1.000.000.000.000
101 ⋅ 1010 10 ⋅ 10.000.000.000 101 + 10 1011 100.000.000.000
105 ⋅ 105 100.000 ⋅ 100.000 105 + 5 1010 10.000.000.000
2. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad.
a. 256 ⋅ 10x = 256.000
▷▷ Como la incógnita es el exponente de la potencia que está multiplicada por un
número natural y el resultado está compuesto por dicho número natural seguido
de 3 ceros, entonces, el exponente de la potencia de base 10 es 3. Es decir:
256 ⋅ 103 = 256.000
b. x ⋅ 107 = 130.000.000
▷▷ Como la incógnita es el factor que está multiplicando a la potencia de base 10 y el
resultado está compuesto por el número natural 13 seguido de 7 ceros, entonces,
el valor de la incógnita es 13. Es decir:
13 ⋅ 107 = 130.000.000
50 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Resuelve la siguiente multiplicación. Luego explica la estrategia utilizada.
0,00523 ⋅ 1 09= 5.230.000
▷▷ Como el exponente de la potencia de base 10 es 9, la coma se debe “mover” 9 dígitos
a la derecha en el número decimal. Además, como la parte decimal del número
consta solo de 5 cifras, se deben agregar 4 ceros. Es decir:
0 , 0 0 5 2 3 • 109 = 5 . 2 3 0 . 0 0 0
Se mueve la coma 5 Se agregan 4 ceros.
dígitos a la derecha.
Ejercicios propuestos
1. Calcula mentalmente los productos. e. 38, 67 ⋅ 108 =
f. 299 ⋅ 102 =
a. 34.501 ⋅ 1 05 = g. 0,001 ⋅ 106 =
b. 1 01 2 ⋅ 105 = h. 109 ⋅ 107 =
c. 1.000 ⋅ 1 04 =
d. 5,889 ⋅ 1 03 =
2. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad.
a. 1 0x ⋅ 1 0x = 1.000.000 e. 78,56 ⋅ 1 0x= 78.560.000.000.000
b. 946.670 ⋅ 10x = 946.670.000 f. 0,0046 ⋅ 10x= 0,046
c. x ⋅ 1 02= 45.673.100 g. 5,6 ⋅ 1 0x = 56.000
d. 10 ⋅ 10x = 10.000.000.000.000 h. x ⋅ 1045 = 1 04 6
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Paula desea promocionar un evento de moda. Para ello, imprime 1.000 volantes
y 100 afiches con la información necesaria. Si cada volante le costó $15 y cada
afiche $293, ¿cuánto dinero gastó en estas impresiones?
b. Si la entrada a un concierto cuesta $17.500 y asisten 10.000 personas, ¿cuánto
dinero se recaudó por la venta de entradas?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 51
Lección 3: Potencias
División de potencias de base 10
Para resolver divisiones que involucren potencias de base 10, considera los
siguientes casos:
◾◾ Para dividir una potencia de base 10 por otra potencia de base 10, donde el
exponente de la potencia del dividendo es mayor que el de la potencia del divisor,
puedes escribir el valor de cada potencia y luego dividir los resultados, o también
puedes escribir un 1 seguido de tantos ceros como corresponda a la resta de los
exponentes de las potencias. Por ejemplo:
105 : 101 = 100.000 : 10 = 10.000 105 : 101 = 1 05 – 1 = 104 = 10.000
◾◾ Para dividir un número natural por una potencia de base 10, puedes escribir
dicho número natural y contar hacia la izquierda tantos dígitos como corresponda
al exponente de la potencia, agregando una coma. Por ejemplo:
12.823 : 1 08= 0,00012823
◾◾ Para dividir un número decimal por una potencia de base 10, al igual que en el
caso anterior, puedes “mover” la coma hacia la izquierda en el número decimal,
dígito a dígito, tantos lugares como corresponda al exponente de la potencia. Si no
hay suficientes dígitos, se agregan ceros a la izquierda del número. Por ejemplo:
25,91 : 1 05= 0,0002591 0,5 : 104= 0,00005
Ejercicios resueltos
1. Resuelve las divisiones y completa la tabla.
División Valor de las potencias Resta de Potencia Resultado
1 07 : 1 02 10.000.000 : 100 exponentes de base 10 100.000
107 – 2 1 05
1 09 : 1 06 1.000.000.000 : 1.000.000 109 – 6 103 1.000
1012 : 108 1.000.000.000.000 : 100.000.000 1012 – 8 1 04 10.000
1 01 0 : 1 05 10.000.000.000 : 100.000 1010 – 5 1 05 100.000
2. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad.
a. 348 : 1 0x= 0,000348
▷▷ Como la incógnita es el exponente de la potencia, correspondiente al divisor, este
exponente debe ser un número tal que, al “mover” la coma a la izquierda en 348,
se obtenga 0,000348. Este número es 6. Es decir:
348 : 1 06= 0,000348
b. x : 107= 1,78
▷▷ Como la incógnita es el dividendo y el divisor es la potencia de base 10 y
exponente 7, el dividendo debe ser un número tal que, al “mover” la coma hacia la
izquierda 7 dígitos, resulte 1,78. Este número es 17.800.000. Es decir:
17.800.000 : 1 07= 1,78
52 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Resuelve la siguiente división. Luego, explica la estrategia utilizada.
0,107 : 106= 0,000000107
▷▷ Como el exponente de la potencia de base 10 es 6, la coma se debe “mover” 6 dígitos
a la izquierda en el número decimal. Además, como la parte entera del número consta
solo de una cifra, se deben agregar 6 ceros. Es decir:
0 , 1 0 7 : 106 = 0 , 0 0 0 0 0 0 1 0 7
Se mueve la coma Se agregan 6 ceros.
a la izquierda.
Ejercicios propuestos
1. Calcula mentalmente los cocientes. e. 8 : 1 06 =
f. 100.000.000 : 1 08 =
a. 10.030.000 : 1 04 = g. 0,001 : 10 =
b. 102 6 : 1 01 9 = h. 100.000 : 1 06 =
c. 10.000 : 1 02 =
d. 31,45 : 104 =
2. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad.
a. 1,23 : 10x= 0,00123 e. 1.000.756,6 : 1 07= x
b. 53 : 106= x f. x : 102= 0,000046
c. x : 1 07= 1,347 g. 314 : 1 0x= 3,14
d. 10x : 10x = x h. x : 1 05 = 103
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Un grupo musical vende 10.000 CD de su último álbum. Si desea obtener como
ingreso de su venta al menos $24.500.000, ¿cuál es el precio mínimo que
debiera tener cada CD para lograr dicha cantidad?
b. En un negocio se venden alrededor de 100 lápices al mes, a $120 cada uno. Si el
dinero recaudado en la venta de lápices es equivalente al utilizado para comprar
1.000 hojas para imprimir, separadas en 10 paquetes, ¿cuánto dinero costó cada
hoja? ¿Cuántas hojas tiene cada paquete?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 53
Lección 3: Potencias
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas con potencias de base 10, considera el
siguiente orden:
1.º Potencias.
2.º Paréntesis.
3.º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4.º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
Ejercicios resueltos
1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a. 104 ⋅ 105 : 109 ⋅ 1 01
104 ⋅ 1 05 : 109 ⋅ 1 01 / resolviendo 104 ⋅ 1 05
109 : 1 09 ⋅ 101 / resolviendo 109 : 109
1 ⋅ 101 / resolviendo
10
b. 1,8562 ⋅ 104 + 1.856,2 : 1 04 / resolviendo la multiplicación y la división
1,8562 ⋅ 104+ 1.856,2 : 1 04 / resolviendo la adición
18.562 + 0,18562
18.562,18562
2. Resuelve el siguiente problema.
Un supermercado compró 1.000 naranjas a $112 cada una y 1.000 tomates en
$280.000. ¿Cuánto dinero gastó en naranjas y cuánto pagó por cada tomate?
▷▷ Para calcular cuánto dinero gastó en naranjas, se puede multiplicar el precio de cada
una de ellas por la cantidad total comprada, es decir:
112 ⋅ 1.000 = 112 ⋅ 103= 112.000
Para calcular cuánto pagó por cada tomate, se puede dividir el dinero total gastado
en ellos por la cantidad total, es decir:
280.000 : 1.000 = 280.000 : 1 03 = 280
Por lo tanto, el supermercado gastó $112.000 en naranjas y cada tomate le costó $280.
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas. Expresa el resultado con una
potencia de base 10.
a. 1 04 ⋅ 1 08 : 1 06 ⋅ 103 d. 109 : 107 ⋅ 104
b. 103 ⋅ 1 06 : 105 e. 102 4 : (106 ⋅ 101 5: 10)
c. 1 01 1 : 102 ⋅ 1 04 f. 1015 ⋅ 1 03 4 : (1 05 4 : 102 1)
54 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Analiza el Taller de estrategias y completa el esquema. Luego responde.
: 107
· 1010 · 108
12,9803
· 103 : 105
: 108
a. ¿Qué estrategias de multiplicación y división utilizaste para realizar los cálculos?
¿Crees que es posible realizar esta actividad mentalmente? Justifica.
b. ¿Se completa el ciclo al completar el esquema? Justifica.
c. Crea tu propio esquema e intercámbialo con algún compañero o compañera.
↘ Taller de estrategias
Identificar el punto de partida en un esquema
Practica esta estrategia. Para esto, completa el esquema siguiendo los pasos.
: 105
· 102 · 101
3.540 35,40
· 106 : 103
: 101
↘↘Paso 1: Identificar el punto de inicio.
En este caso, se escogerá como punto de inicio la casilla con el valor natural 3.540, ya que el cálculo
puede ser más simple que si se comienza con el número decimal 35,40.
↘↘Paso 2: Resolver las operaciones.
El valor considerado como punto inicial para completar el esquema debe ser operado según la casilla
circular que está sobre la flecha y el resultado se debe escribir en la casilla señalada por esta.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 55
Lección 3: Potencias
Descomposición aditiva canónica
La descomposición aditiva canónica en potencias de base 10 consiste en
escribir un número como la adición de los valores posicionales de cada dígito
que lo compone. Cada valor posicional es representado por el producto del dígito
correspondiente y una potencia de base 10.
CMi DMi UMi CM DM UM C D U
100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1
108 107 106 105 104 103 102 101 100
También es posible componer números escritos en su forma canónica, resolviendo
las operaciones respectivas.
Finalmente, por convención se tiene que 100 = 1.
Ejercicios resueltos
1. Identifica el valor posicional de cada dígito destacado. Para ello, escríbelo con
una potencia de base 10.
a. 6.805.234 → 104 d. 723.450.111 → 107
b. 21.560.000 → 106 e. 1.442 → 101
c. 2.384 → 100 f. 34.782 → 104
2. Escribe la descomposición aditiva canónica en potencias de base 10 de cada
número.
a. 45.723.000 → 4 ⋅ 107 + 5 ⋅ 106 + 7 ⋅ 105 + 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103
b. 23.003 → 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 3 ⋅ 100
c. 54.999.700.012 → 5 ⋅ 1010 + 4 ⋅ 109 + 9 ⋅ 108 + 9 ⋅ 107 + 9 ⋅ 106 + 7 ⋅ 105 +
1 ⋅ 101 + 2 ⋅ 100
Ejercicios propuestos
1. Identifica el valor posicional de cada dígito destacado. Para ello, escríbelo con
una potencia de base 10.
a. 515.001 → c. 12.990.012 →
b. 437.222.990 → d. 7.352.234 →
2. Escribe la descomposición aditiva canónica en potencias de base 10 de cada
número.
a. 45.723.000 →
b. 23.003 →
c. 54.999.700.012 →
56 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Notación científica
Expresar un número en notación científica consiste en escribirlo como el producto
de un número decimal, cuya parte entera es un valor entre 1 y 9, y una potencia
de base 10. Por ejemplo, los números 56.000.000 y 23.764.000.000 en notación
científica se escriben como:
◾◾ 56.000.000 = 5,6 ⋅ 10.000.000 = 5,6 ⋅ 1 07
◾◾ 23.764.000.000 = 2,3764 ⋅ 10.000.000.000 = 2,3764 ⋅ 101 0
La notación científica es de gran utilidad para representar magnitudes muy
pequeñas y también para cantidades muy grandes.
Ejercicios resueltos
1. Utiliza la notación científica para completar la tabla.
Número Producto Potencia
15.000 1,5 ⋅ 10.000 1,5 ⋅ 104
9.860.000 9,86 ⋅ 1.000.000 9,86 ⋅ 106
34.578.220 3,457822 ⋅ 10.000.000 3, 457822 ⋅ 107
123.789.330.000 1,2378933 ⋅ 100.000.000.000 1,2378933 ⋅ 1011
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación
científica.
a. (4,6 ⋅ 103) ⋅ 4.450.000.000 c. 8.000 ⋅ 1.450.050
b. 16.200.000 : (3 ⋅ 105) d. (9,12 ⋅ 108) : (8,33 ⋅ 105) Conectando con...
2. Resuelve el siguiente problema y expresa su solución en notación científica. Astronomía
La distancia aproximada de la Tierra al Sol es de 15 ⋅ 107 km; mientras que la En el sistema solar, el
distancia aproximada de Mercurio al Sol es de 58 ⋅ 106. ¿Cuál es la suma de las orden de los planetas
distancias aproximadas de la Tierra y Mercurio, respecto al Sol? según su distancia al
Sol es:
• Mercurio
• Venus
• Tierra
• Marte
• Júpiter
• Saturno
• Urano
• Neptuno
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 57
Lección 3
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Identifica los números que pueden ser expresa- 6. Calcula mentalmente los cocientes.
dos como potencias de base 10, escribiendo di-
cha potencia. a. 2.900 : 103 e. 2,009 : 102
a. 5.000 d. 10.000.000 b. 1010 : 107 f. 12.110 : 100
b. 100.000 e. 10.100
c. 11.000 f. 1.000 c. 10.000.000 : 107 g. 9,56 : 101
d. 0,5 : 109 h. 1080 : 1075
2. Calcula el valor de las siguientes potencias de 7. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad.
base 10. a. 105: x = 0,000105
b. x : 106 = 23.750.000.000
a. 100 d. 108 c. 301.590 : 107 = x
b. 104 e. 1010 d. 10 : 10x = 0,001
c. 107 f. 1011
8. Resuelve las operaciones combinadas y expresa el
3. Expresa cada resultado como una potencia de resultado con una potencia de base 10.
base 10.
a. 107 ⋅ 108 : 109 ⋅ 104
a. 1.000 + 998.890 + 110 b. 1012 : 109 ⋅ 103
b. 12.141.000 + 87.859.000 c. 104 ⋅ 107 : 1011
c. 10.374 – 3.800 + 3.426 d. 104 : (1012 ⋅ 1014 : 1023)
d. 344.444.444 – 244.444.444 e. 105 : 101 ⋅ 106
e. 100.000 + 128.030 – 128.039 + 9 f. 1014 ⋅ 1031 : (1047 : 103)
f. 10.000.000 – (6.435.500 + 2.564.500)
9. Completa los esquemas.
4. Calcula mentalmente los productos.
a. 4.997 ⋅ 104 e. 23,124 ⋅ 109 a. 2.500 : 103
b. 101 ⋅ 106 f. 13.893 ⋅ 100 · 104
c. 10.000 ⋅ 103 g. 9,9 ⋅ 105
d. 0,777 ⋅ 108 h. 108 ⋅ 1010
5. Calcula el valor de la incógnita en cada igualdad. : 108 · 107
b. : 1010
a. 1 05 ⋅ x = 10.500
b. x ⋅ 109 = 3.150.000.000.000 · 105
c. 62.400 ⋅ 105 = x
d. 10 ⋅ 10x = 1.000.000.000
12.500
: 104 · 109
58 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
10. Identifica el valor posicional de cada dígito des- 13 Analiza la información de las tablas. Luego,
tacado. Para ello, escríbelo con una potencia de responde.
base 10.
Tierra
a. 74.990 c. 9.300 Masa (kg) 5,9736 ⋅ 1 02 4
b. 9.190.880 d. 521.000.990 Volumen (k m3 ) 108,321 ⋅ 1 010
Radio (km) 6.378
11. Escribe la descomposición aditiva canónica en
potencias de base 10 de cada número. Masa (kg) Sol
Volumen (km3 ) 1,989100 ⋅ 1 02 4
a. 14.023.955 Radio (km) 1.412.000 ⋅ 1012
b. 423.003.911 696.000
c. 56.390.380.410
12. Resuelve las operaciones y expresa el resultado a. ¿Cuáles de los valores están escritos en
en notación científica. notación científica? Aquellos que no lo estén,
exprésalos en dicha notación.
a. (2,8 ⋅ 1 04) ⋅ 2.250.000.000
b. 17.000 ⋅ 2.640.049 b. Aproximadamente, ¿cuál es el cociente
c. 13.682.300 : (3 ⋅ 104) entre la masa del Sol y la masa de la Tierra,
d. (0,16 ⋅ 1 09) : (7,15 ⋅ 104 ) aproximadamente? Expresa el resultado en
notación científica.
c. Aproximadamente, ¿cuál es el producto
entre el radio de la Tierra y el radio del Sol,
aproximadamente? Expresa el resultado en
notación científica.
d. Aproximadamente, ¿cuál es el cociente entre
el volumen del Sol y el volumen de la Tierra,
aproximadamente? ¿Crees conveniente escribir
el resultado en notación científica? Justifica.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Identifiqué, calculé y representé potencias de base 10.
(Preguntas 1, 2 y 3)
Resolví multiplicaciones que involucraron potencias de base 10.
(Preguntas 4 y 5)
Resolví divisiones que involucraron potencias de base 10.
(Preguntas 6 y 7)
Resolví operaciones combinadas con potencias de base 10.
(Preguntas 8 y 9)
Resolví problemas que involucraron descomposiciones aditivas canónicas y notación científica.
(Preguntas 10, 11, 12 y 13)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 59
4Lección ¿Qué estás ¡Pero, qué haces Leonardo!
haciendo Leonardo?
Mmm…
nada.
Porcentajes Leonardo Da Vinci ¿Tu nariz es proporcional a
tu rostro?, porque si no…
↘↘Representación de
porcentajes Representación de porcentajes
↘↘Cálculo de El porcentaje es un indicador que representa cierto número de partes del entero
porcentajes o unidad de cada 100 de ellas, es decir, una razón de consecuente 100. Se
simboliza con el signo % y puede ser expresado con regiones, fracciones o números
↘↘Aplicaciones decimales. Por ejemplo, el 35 %:
◾◾ Regiones
100 partes iguales
35 de las 100 partes iguales
◾◾ Fracción
En este caso, _ 13__05_0_ _ = _27__0 _ .
◾◾ Número decimal
En este caso, 35 : 100 = 0,35.
Ejercicios resueltos
1. Representa cada porcentaje con regiones, fracción y número decimal.
a. 25 % b. 10 % c. 63 %
Fracción irreductible: _41 __ Fracción irreductible: _1 _10_ _ Fracción irreductible: _1 _60__30_ _
Número decimal: 0,25 Número decimal: 0,1 Número decimal: 0,63
60 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
…si no, eres ¡Tarán!, ¿qué
… ¿si no qué? imperfecto, jajaja… te parece?
...es broma, solo quiero dibujar Por si acaso no
al ser humano inspirado en las eres tú, jeje.
proporciones que estableciste.
Una de las
2. Escribe el porcentaje que corresponde a cada enunciado. → 50 % proporciones humanas
a. La mitad de la población encuestada prefiere tener un perro establecidas consiste
como mascota. → 73 % en que la razón entre
b. 73 de cada 100 encuestados ha sufrido algún accidente → 60 % la longitud del pie y la
en su hogar. → 75 %
c. Las tres quintas partes de los estudiantes practican deporte → 100 % altura del cuerpo es
3 veces por semana. → 0 % 1 : 7. Compruébalo con
d. Pedro bebió tres cuartas partes de 1 litro de leche.
tus medidas.
e. Rocío recorrió todo el trayecto que se propuso como tarea.
f. La batería del teléfono está sin carga.
Ejercicios propuestos
1. Representa cada porcentaje con regiones, fracción y número decimal.
a. 35 % b. 75 % c. 91 %
Fracción irreductible: Fracción irreductible: Fracción irreductible:
Número decimal: Número decimal: Número decimal:
2. Escribe el porcentaje que corresponde a cada enunciado. →
a. El disco duro tiene disponible su quinta parte de capacidad. →
b. Juan utilizó 85 de los 100 corchetes que tenía para tapizar un sofá. →
c. Emma comió 0,2 kg de queso. →
d. Luciano gastó un cuarto de su dinero en comprar regalos.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 61
Lección 4: Porcentajes
Cálculo de porcentajes
Para calcular el 35 % de 184, se tiene:
Cada una de las 100 partes iguales corresponde al cociente 184 : 100 = 1,84.
Sé más Como se consideran 35 partes, se tiene que 35 · 1,84 = 64,4
Las fórmulas pueden
ser deducidas mediante A modo de generalización, para calcular el a % de x, se puede resolver:
la resolución de una a % de x = _1 _0_x_ 0__ · a = _x1 _0_·_0_a_
ecuación; sin embargo,
esta tarea se propondrá Supón que el a % de x es y, entonces:
más adelante, en la y = _x1 _0_·_0_a_
lección 7.
Con la misma fórmula, puede calcularse a qué porcentaje corresponde un número (y)
de otro (x), considerando a como el porcentaje a encontrar, con la siguiente fórmula:
a = y_ __·__1x_ 0__0__
Finalmente, para calcular cuál es el 100 % de un valor (x), si se sabe que un número
(y) es el a % de este valor (x), se puede utilizar la fórmula:
x = y_ __·__1a_ 0__0__
Ejercicios resueltos
1. Calcula el 5 % de 250.
▷▷ Para calcular el 5 % de 250, es posible obtener el cociente de 250 : 100 y luego
multiplicarlo por 5:
250 : 100 = 2,5 y 2,5 · 5 = 12,5
Por lo tanto, el 5 % de 250 es 12,5. _1x _0_·_0_a_ , siendo x = 250
De igual forma, se podría aplicar directamente la fórmula y =
y a = 5, luego:
y = _1x _0_·_0_a_ = 2 __5_1_00__0_·_ 5__ = 1 __1._20__50_0_ _ = 12,5
2. Calcula a qué porcentaje corresponde 12 de 30.
▷▷ Como: a = _y __·__1x_ 0__0__ , con y = 12 y x = 30
Luego: 1 3__20__.3·__01_0_ _0__ = _1 _._32__00__ 0__ = 40
Por lo tanto, 12 es el a =
40 % de
62 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Calcula el 100 % si 17,5 es el 35 %.
▷▷ Como: x = _ y__·__a1_ 0__0__ , con y = 17,5 y a = 35
Luego:
x = 1 __7_,_5_3_·_5_1_ 0__0__ = _1_._37__55_ 0__ = 50
Por lo tanto, 17,5 es el 35 % de 50.
Ejercicios propuestos →
1. Analiza cada enunciado y escribe el porcentaje asociado a él. →
→
a. Todos los lápices del estuche fueron repartidos. →
b. _45__ de los candidatos han presentado sus propuestas. →
c. Tres de cada cien prendas presentan una falla de fábrica. →
d. La mitad de los estudiantes de un curso hizo su tarea. →
e. Un quinto de los encuestados dijo que prefería viajar en bus. →
f. La décima parte de la población practica deportes 2 horas diarias.
g. En cierto hospital, uno de cada tres recién nacidos es varón.
h. De cien personas encuestadas, a noventa y cinco le gusta tomar leche.
2. Analiza la tabla. Luego, complétala.
Porcentaje Razón de Fracción Número decimal Ayuda
consecuente 100 irreductible 0,46
Para calcular el
_1_0_8_ 0__ 3_5_ 0,63 porcentaje asociado
a una fracción, basta
1_8_ multiplicar la fracción
por 100 %. Por ejemplo,
un cuarto de una
cantidad corresponde al
25 % de dicho valor.
1_4__ · 100 % = 1_ 4__ · _1_0_1_0_ _ %
= _1 _0_4_0 __ %
= 25 %
20 %
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 63
Lección 4: Porcentajes
3. Representa gráficamente el porcentaje de cada número.
a. 12 % de 20 c. 89 % de 400
b 7,3 % de 920 d. 1 % de 23
4. Calcula el porcentaje pedido en cada caso.
a. 8 % de 800 d. 35 % de 280 g. 48 % de 30
h. 55 % de 660
b. 1,5 % de 200 e. 67 % de 768 i. 7,5 % de 750
c. 14 % de 81 f. 2,1 % de 98
5. Calcula a qué porcentaje corresponde el número dado del total.
a. 34,2 de 45 c. 3,08 de 154 e. 256 de 320
b. 752,64 de 768 d. 67,5 de 450 f. 429 de 780
6. Calcula el 100 % en cada caso, según el porcentaje dado.
a. 675 es el 30 % c. 40,32 es el 42 % e. 3 es el 60 %
b. 98 es el 4 % d. 108 es el 90 % f. 1 es el 2 %
64 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
7. Completa la tabla. ↘ Taller de estrategias
Identificar más del 100 %
Gasto Gasto mensual Porcentaje Practica esta estrategia. Para esto, considera el
Vivienda Cantidad ($) 24 %
Servicios 15 % enunciado y sigue cada paso:
Alimentación 180.000
Ahorro 10 % Una marca de leche ofrece una promoción en uno
262.500 de sus productos: “Lleve gratis un 30 % más”. Si
Salud 67.500 100 % el tarro, con la oferta incluida, contiene 156 g de
Otros leche en polvo, ¿cuántos gramos tenía el tarro de
Total leche sin la promoción?
8. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los ↘↘Paso 1: Comprender el enunciado
problemas.
• ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el
a. Un curso tiene 25 estudiantes. Si el 60 % de ellos problema?
hizo su tarea, ¿cuántos estudiantes hicieron la
tarea? La cantidad de gramos que tendría el tarro de
leche sin la promoción.
b. Una bolsa contiene 30 caramelos. Si 6 de ellos
son de menta, ¿qué porcentaje de los caramelos • ¿Qué información entrega el enunciado del
son de menta? problema?
c. Para una campaña de invierno, en un consultorio El total de gramos de leche que contiene el tarro
de una comuna se ha vacunado a 64 adultos con la promoción y el porcentaje agregado en la
mayores. ¿Cuántos adultos mayores hay en la oferta.
comuna, si los vacunados representan el 16 % del
total? ↘↘Paso 2: Identificar las variables involucradas
d. Mariana repartió 80 láminas entre sus amigos. Las variables involucradas en este caso son: el
Pedro recibió el 30 %, Lorena recibió un 15 % más contenido (en gramos) del tarro de leche en polvo
que Pedro y Martín recibió el resto de las láminas. y la cantidad de gramos de leche agregada.
¿Cuántas láminas recibió cada uno?
↘↘Paso 3: Plantear una expresión numérica
e. Macarena pagó $11.250 por un vestido. Si el
vestido tenía un 25 % de descuento, ¿cuánto En este caso, si se considera que 156 corresponde
dinero ahorró? al 130 %, teniendo en cuenta que lo buscado es el
100 % inicial del tarro, se tiene que:
f. Manuel quiere comprar un computador que
cuesta $450.000. Si en una tienda se vende el x = y_ __·__1a_ 0__0__ ⇔ x = 1__5__61__3·__01__0 __0_
computador con un 35 % de descuento, ¿cuánto
dinero debe pagar por él? = 1__5_1_.3_6_0_0_ _0_
g. Javiera fue a comprar un pendrive que costaba = 120
$7.990. Al momento de pagar, el vendedor le
dice que está en liquidación, con un 50 % de ↘↘Paso 4: Responder la pregunta
descuento, y además que si paga con tarjeta de • ¿Cuántos gramos tenía el tarro de leche sin la
crédito, obtendrá un 10 % más de descuento promoción?
sobre el precio original. Si Javiera paga con El tarro contenía, sin la oferta, 120 g.
tarjeta de crédito, ¿cuánto le cuesta finalmente el
pendrive? ↘↘Paso 5: Revisar el resultado
Se puede verificar que al calcular el 30 % de 120
sumado a 120, se obtiene 156.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 65
Lección 4: Porcentajes
Aplicaciones
Los porcentajes tienen diversos usos en la vida cotidiana. Por ejemplo, descuentos
en productos, impuestos (montos de dinero que cobra el Estado con el fin de
financiar gastos), préstamos bancarios (intereses), estudios estadísticos, etc.
Ejercicios resueltos
1. Analiza la tabla. Luego, utilízala para resolver los problemas propuestos.
Valor de venta y Valor a pagar
Porcentaje de descuento y – _y1 _0_·_0_x_
x %
Descuento _y1_0_·_0_x_
a. Un par de zapatos cuesta $15.990 y tiene un descuento del 20 %. ¿Cuánto
cuesta el par de zapatos con el descuento?
Valor de venta $15.990 Valor a pagar
Porcentaje de descuento 15.990 – 1 __5__.9__19__00_0__· __2_0__ = 12.792
20 %
Descuento 1__5__._91__90__00__ ·__2__0
Por lo tanto, el par de zapatos cuesta $12.792.
b. Por un televisor cuyo valor de venta es $180.000 Luis pagó $153.000.
¿Qué porcentaje de descuento le hicieron?
Valor de venta $180.000 Valor a pagar
– 1_ _8__0__1._0_0_00__0 __·__x_ = 153.000
Porcentaje de descuento x % 180.000
Descuento _ 1_8__0_1_._00_0_0_0_ _·__x_
Al resolver la ecuación propuesta en el valor a pagar, se obtiene que x = 15. De esta
forma, a Luis le hicieron un 15 % de descuento.
2. Analiza la tabla. Luego, utilízala para resolver el problema propuesto.
Valor de venta y Valor a pagar
Porcentaje de descuento x % _(_1_0__0_1__0–__0_x_ )__·__y_
Descuento (100 – x) %
Desafío a. En una liquidación, un abrigo que cuesta $21.990 tiene un 12 % de descuento.
Las tablas dadas ¿Cuánto se pagará por el abrigo, aproximadamente?
en los ejercicios
resueltos representan Valor de venta $21.990 Valor a pagar
dos estrategias para Porcentaje de descuento 12 % (_ 1_0__0__–___1_12__0) _0_·_ 2__1__.9__9__0_ = 19.351,2
resolver problemas que
involucran porcentajes. Descuento (100 – 12) %
Verifica lo anterior.
Vale decir, por el abrigo se pagarán $19.351, aproximadamente.
66 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Analiza cada enunciado y escribe el porcentaje asociado a él.
El IVA (Impuesto al Valor Agregado) es uno de los impuestos más conocidos y es
el que se cobra por el consumo de bienes. Actualmente, este impuesto equivale al
19 %. A su vez, el valor bruto es aquel que no incluye impuestos, ni a favor ni en
contra; mientras que el valor neto es aquel que si los incluye.
a. Si el valor bruto de un producto es $9.530 y se descuenta un impuesto del 30 %,
¿cuál es el valor neto del producto?
b. Si el valor bruto de un producto es $3.980, ¿cuánto dinero debe pagar,
aproximadamente, un consumidor después de aplicarle el IVA?
c. Si por un producto cuyo valor bruto es $740 se cobran $1.147, ¿cuál es el
porcentaje de impuesto aplicado?
d. Si el valor neto de un televisor es $162.000 y el impuesto aplicado fue del 20 %,
¿cuál es su valor bruto?
2. Analiza la información. Luego, resuelve.
El interés es la ganancia obtenida por prestar o depositar un capital a cierto
plazo. Por ejemplo, cuando se solicitan préstamos a un banco, el solicitante debe
pagar intereses; mientras que si realiza un depósito de dinero, el banco le pagará
intereses, todo esto de acuerdo a un tiempo o período pactado.
El interés simple (I) es el interés pactado sobre el capital original, sin tener en
cuenta los intereses generados en el período anterior. Es decir, los intereses de un
período no se acumulan sobre el capital inicial para calcular los intereses siguientes.
Para calcular el interés simple de un capital, se deben considerar:
◾◾ El capital (C): cantidad de dinero inicial.
◾◾ La tasa de interés (r): porcentaje que se pagará por el capital en cada período
pactado (puede ser considerada como razón de consecuente 100 o como número
decimal).
◾◾ El tiempo (t): duración de la inversión o préstamo, puede ser mensual, semestral,
anual, etc.
Luego, el interés simple se obtiene aplicando la fórmula: I = C · r · t.
a. Francisco decide invertir $300.000 a 12 meses. Si el banco le ofrece una tasa de Desafío
interés simple mensual del 5 %, ¿cuánto dinero por concepto de intereses recibirá al Investiga cuál es el
cabo de los 12 meses? interés compuesto y
resuelve los problemas
b. Javiera invirtió su dinero por 3 años a una tasa de interés simple del 15 % anual. Si de la actividad 2,
obtuvo $247.500 solo por concepto de interés, ¿cuánto dinero invirtió? pero considerando un
interés compuesto en
c. ¿Qué tasa de interés simple mensual se aplicó a un préstamo de $350.000 en 6 lugar de uno simple.
cuotas mensuales, si el interés total pagado fue de $42.000?
d. Por un préstamo de $1.200.000 se pagó un interés total de $108.000,
correspondiente a una tasa de interés simple del 0,5 % mensual. ¿En cuánto tiempo
se pagó todo el préstamo?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 67
Lección 4
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Representa gráficamente los siguientes 5. Identifica qué porcentaje está involucrado en
porcentajes. cada enunciado.
a. 53 % a. La cantidad de pelotas de fútbol que fueron
b. 20 % vendidas no logró superar las dos quintas
c. 12 % partes del total de pelotas adquiridas por una
d. 75 % tienda.
e. 33 %
f. 25 % b. Andrés utilizó una docena de huevos, de
g. 85 % un total de 25 que tenía guardados en el
refrigerador.
2. Representa como fracción los siguientes
porcentajes. c. La edad de Pedro es la cuarta parte de la edad
que tiene Carolina.
a. 37 %
b. 60 % 6. Calcula el porcentaje asociado a cada caso, según
c. 90 % el enunciado.
d. 99 % Una torta comprada fue dividida en 15 trozos
e. 40 % iguales, de los cuales quedaron 3.
f. 44 % a. Un trozo de torta.
g. 95 % b. Los trozos comidos.
c. Los trozos que quedaron.
3. Representa como número decimal los siguientes
porcentajes. 7. Plantea una situación en la que pueda ser asocia-
do cada porcentaje dado.
a. 55 %
b. 48 % a. 5 %
c. 1 % b. 18 %
d. 10 % c. 54 %
e. 23 % d. 83 %
f. 18 %
g. 5 % 8. Calcula el porcentaje pedido de cada número.
4. Expresa como porcentaje los valores dados. a. 15 % de 230
b. 99 % de 8.000
a. _1__20__ 0__ f. 0,23 c. 26 % de 58
b. 0,16 g. 2_5__30__ d. 33 % de 210
c. 3_4__ h. 0,37 e. 80 % de 405
d. 0,48 f. 75 % de 120
i. _ 1_9_0_0_0_ _
e. 1_8__ j. 34,5 9. Calcula a qué porcentaje del total corresponde
cada caso.
a. 42 de 50
b. 70 de 350
c. 16 de 200
d. 48 de 150
e. 90 de 300
f. 10 de 250
68 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
10. Calcula el 100 %. 12 Analiza la información. Luego, responde.
a. 66 es el 12 % Un zoológico ha sido visitado por niños, jóvenes
b. 675 es el 30 % y adultos. Si de los visitantes:
c. 592,2 es el 63 % • 760 son niños,
d. 230,4 es el 36 % • 420 son jóvenes, y
e. 448 es el 80 % • la cantidad de adultos es 980.
f. 384 es el 75 % a. ¿Cuántas personas visitaron el zoológico?
11. Resuelve los problemas. b. ¿Qué porcentaje de los visitantes representa
a. El precio de un reloj está con un descuento del cada categoría?
25 %. Si cuesta $13.500, ¿cuánto se pagará
una vez aplicado el descuento? c. Si de los jóvenes el 45 % son mujeres, ¿cuántos
hombres de esa categoría asistieron al
b. El valor bruto de un sillón es $130.900, ¿cuál zoológico?
es el valor neto, considerando el IVA?
c. ¿Qué capital genera un interés de $36.000 a
una tasa de interés simple mensual del 3 %,
durante 8 meses?
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Preguntas 1, 2, 3 y 4)
Representé porcentajes: gráficamente, como fracción y como número decimal. (Preguntas 5, 6 y 7)
Asocié porcentajes a situaciones cotidianas. (Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12)
Calculé y resolví problemas que involucraron porcentajes.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 69
UNIDAD ↘ Taller de Resolución de problemas
1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema.
Según el sitio web servicios.vialidad.cl, la distancia aproximada entre Valdivia y Concepción es 439,34 km.
Si un bus recorrió esta distancia en 5,5 horas con una rapidez media _d t_ , donde d corresponde a la distancia
recorrida, que puede ser medida en kilómetros, y t al tiempo transcurrido, que puede ser medido en horas,
¿a qué rapidez media viajó el bus? Y si esta rapidez media fue un 70 % de la de un automóvil que recorrió
la misma distancia, ¿cuál fue la rapidez media del automóvil?
Paso Comprende el enunciado
1 Se debe calcular la rapidez media a la que viajó el bus y la repidez media del automóvil que recorrió
la misma distancia que el bus.
Paso Planifica lo que vas a realizar
2 Para calcular la rapidez media del bus es posible plantear una razón y calcular su valor. Mientras
que para calcular la rapidez media del automóvil, se debe calcular el porcentaje correspondiente,
considerando que la rapidez media del bus fue un 70 % a la del automóvil.
Paso Resuelve el problema
La rapidez media del bus está dada por 4_ _3__9_5_,,_35__4 _h _k_ _m__ , cuyo valor corresponde al cociente de
3 la división 439,34 : 5,5, que amplificada por 100, es equivalente a resolver 43.934 : 550.
Luego: 4__3_5_9_,_,5_3_ 4__ = _4_3_5_._59_0_3_ 4__ = 79,88.
Por lo tanto, la rapidez media del bus es aproximadamente 80 km/h.
Ahora, como los 80 km/h corresponden al 70 % de la rapidez media del automóvil, es posible
resolver:
Rapidez media del automóvil = 8 _0__ _·7_ _10_0_ _0__
Luego, la rapidez media del automóvil fue de 114 km/h aproximadamente.
Paso Revisa tu respuesta
4 Según los cálculos realizados, se tiene que 80 km/h es, aproximadamente, el 70 % de 114 km/h.
Luego:
7__0_1_·_0_1_0_1_ _4_ = 79,8
Por lo tanto, el 70 % de 114 km/h,en efecto, es 80 km/h aproximadamente. Luego, la respuesta es
correcta.
7700 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior.
a. La longitud de un resorte varía según la fuerza F (en newton) aplicada para estirarlo. Así, la variación
de la longitud del resorte se calcula restándole la longitud inicial a la longitud final, medidas en metros.
Aplica lo anterior para completar la siguiente tabla:
Longitud inicial (m) Longitud final (m) Variación de Porcentaje de
0,3 longitud (m) variación
0,64
0,4 0,5 0,15
0,25 0,37 0,48
0,3
0,45
b. La siguiente tabla corresponde a la cantidad de habitantes por comuna de la provincia de Palena, según
una proyección realizada por el INE (Instituto Nacional de Estadística) para el año 2014. Complétala con
los datos que faltan.
Proyección de habitantes para la provincia de Palena, 2014
Comuna Cantidad de habitantes Porcentaje (aproximado)
Chaitén 6.936 37 %
Futaleufú 10 %
Hualaihué 8.248
Palena 9 %
Total 18.746
c. Considerando como base la misma proyección de habitantes realizada por el INE para el año 2014,
mencionada en la actividad anterior, completa la siguiente tabla:
Proyección de habitantes para la provincia del Elqui, 2014
Comuna Superficie (km2) Porcentaje (según Cantidad de Porcentaje (según
la superficie) habitantes habitantes)
La Serena
Coquimbo 1.892,8 229.399
Andacollo
La Higuera 1.429,3 228.831
Paiguano
310,3 7.961
Vicuña
Total 3.953 3.953
1.494,7 4.613
7.609,8 26.634
16.689,9 501.391
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 7711
UNIDAD Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®.
Una lavadora cuesta $140.000. Si es pagada en 10 cuotas de Esta pregunta involucra el concepto
$17.500 cada una, ¿en qué porcentaje aumentó el precio de la de porcentajes.
lavadora?
Si tienes dificultades para com-
A. 20 % prender la justificación, puedes re-
B. 25 % forzar este contenido, revisando
C. 75 % la Lección 4 del Texto y las pági-
D. 80 % nas respectivas de tu Cuaderno de
ejercicios.
Clave:
B. Del enunciado se puede calcular el monto total pagado por la
compra de la lavadora, resolviendo 17.500 · 10. Así, se pagó
un total de $175.000. Además, al calcular la diferencia en-
tre este valor y el precio inicial de la lavadora, se tiene que se
pagó $35.000 de interés.
Sea x el porcentaje en que aumentó el precio de la lavadora;
luego, es posible establecer lo siguiente:
x % = _ 3 __5_._01__40__00__. _0·__10_0_0_0 __ _%__
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, se
obtiene que x = 25.
Por lo tanto, el precio de la lavadora, al pagarlo en las 10 cuo-
tas mencionadas aumentó un 25 %.
Distractores: Los errores cometidos al inclinar-
A. Se comete el error de considerar como el 100 % a $175.000, se por alguno de estos distractores
son:
resolviendo:
x % = _ 3 __5_._01__70__50__.0 _·_0_1_00__ 0__ _%__ • Interpretar incorrectamente el
enunciado del problema.
C. Se comete el error de calcular a qué porcentaje corresponde
140.000 – 35.000 = 105.000 de 140.000, resolviendo: • Considerar un valor que no corres-
ponde al 100 %.
x % = 1 _ 0__5_._01__40__00__. _0·__10_0_0_0 __ _%__
D. Se comete el error de considerar como 100 % a $175.000 y • Realizar cálculos de manera co-
rrecta, pero no contextualizar o no
luego calcular a qué porcentaje corresponde $140.000 de di- realizar conversiones pertinentes.
cho monto, resolviendo:
x % = 1 _ 4__0_._01__70__50__0 _·_.0_1_00__00__ _%__
72 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según
lo estudiado en la página anterior.
¿Qué interés se recibe al invertir por 12 meses un Los contenidos relacionados con la pregunta son:
capital de $320.000 a una tasa de interés simple
del 0,1 % semestral?
A. $32.000
B. $64.000
C. $192.000
D. $384.000
Clave:
B.
Si tienes dificultades para comprender la justifica-
ción, puedes reforzar este contenido, revisando la
Lección del Texto y las páginas respectivas de
tu Cuaderno de ejercicios.
Distractores: Los errores cometidos al inclinarse por alguno de es-
A. Se comete el error de considerar un solo perío- tos distractores son:
do de interés, como si el interés fuese anual. 73
Por lo que se resuelve:
I = $320.000 · 0,1 · 1 = $32.000
C. Se asocia correctamente que un semestre cons-
ta de 6 meses; sin embargo, se comete el error
de considerar seis períodos de interés. Por lo
que se resuelve:
I = $320.000 · 0,1 · 6 = $192.000
D. Se comete el error de considerar doce períodos
de interés, como si el interés fuese mensual.
Por lo que se resuelve:
I = $320.000 · 0,1 · 12 = $384.000
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
UNIDAD
Evaluación final
Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad.
I. Marca la alternativa que consideres correcta. 7. Al resolver –15 – (–12) + 7 – 8 se obtiene:
1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos numéricos con- A. –4
tiene solo números enteros menores que 0? B. –12
A. {1; 2; 3; 4; 5; 6} C. –18
B. {–12; –10; –5; –1; 0} D. –28
C. {–64; –37; –8; –6; –1}
D. {–21; –17; –15; –1,3} 8. ¿Qué número debe restarse a –26 para que la di-
ferencia obtenida sea 14?
2. El conjunto {3, –6, 12, –8} equivale a:
A. {3, 12} ∪ {–6, –8} A. –40
B. {3, 12} ∩ {–6, –8} B. –12
C. {1, 3, –6, 12} ∪ {–8} C. 12
D. {3, –6, 12, –8} ∩ {–6, –8} D. 40
3. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es subconjunto 9. Un termómetro marcó 4 ºC bajo cero. Si al cabo de
de los números enteros positivos? una hora la temperatura bajó 9 ºC y una hora más
A. Los números enteros negativos. tarde bajó 4 ºC más. Dos horas después, la tem-
B. Los números enteros mayores que –1. peratura subió 5 ºC, ¿cuántos grados marcó, final-
C. Los números enteros menores que 10. mente, el termómetro?
D. Los números naturales menores que 3.
A. –4 °C C. –12 °C
4. ¿Cuál de los siguientes grupos de números ente- B. –9 °C D. –14 °C
ros está ordenado de menor a mayor?
A. –72, 72, –5, 5, –1, 1 10. El resultado de 106 – 1 03 + 102 + 1 00 es:
B. –12, –6, –3, 0, 2, 5, 7
C. –6, –8, –10, –16, –20 A. 99.910
D. –12, –15, –17, 0, 12, 15 B. 99.911
C. 999.100
5. El inverso aditivo u opuesto del valor absoluto de D. 999.101
–17 es igual al:
A. valor absoluto de –17. 11. Con respecto a la potencia 103, es FALSO que:
B. valor absoluto del opuesto de 17.
C. valor absoluto del opuesto de –17. A. su base es 10.
D. inverso aditivo del valor absoluto de 17. B. su valor es 1.000.
C. su exponente es 3.
6. ¿Cuál de las afirmaciones es FALSA? D. es 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3.
A. |x| = |–x|
B. El valor absoluto de 0 es 0. 12. El resultado de 1 045 : 103 4 : 101 1es:
C. Si |x| = 10, entonces x = 10.
D. |x| > 0, para todo número entero x ≠ 0. A. 0
B. 1
C. 10
D. 1090
74 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
13. Julieta tiene 10 arreglos florales. Cada uno tiene 18. La fracción 1_ _58__ es equivalente al número
10 flores y cada flor tiene 10 pétalos. ¿Cuántos decimal:
pétalos hay en total en los 10 arreglos?
A. 3 A. 3,6
B. 30 B. 0,36
C. 1.000 C. 0,036
D. 10.000
D. 0,0036
14. ¿Cuál de las afirmaciones es FALSA con respecto
a las potencias de base 10? 19. ¿Cuál de los siguientes grupos de números está or-
A. Si el exponente es 0 entonces su valor es 1. denado de mayor a menor?
B. Su valor siempre será mayor o igual que 10, in-
dependiente del exponente que tenga. A. 7_5_5__09__ ; 15; 14 _45__ ; 3__25__59__ ; 14,25
C. Al multiplicar dos potencias de base 10 se con- B. 14 _45__ ; 14,25; 3__25__59__ ; 15; 7_5_5__09__
serva la base y se suman los exponentes. C. 3__25__59__ ; 14,25; 14 _45__ ; 15; 7_5_5__09__
D. Al dividir dos potencias de base 10 se conserva D. 7_5_5__09__ ; 15; 3__25__59__ ; 14,25; 14 _45__
la base y se restan los exponentes.
20. María compró 3,8 kg de mandarinas y 1_ _52__ kg de
15. ¿Cuál de los siguientes números es equivalente a peras. ¿Cuánto pagó en total si el kilogramo de
3,567 ⋅ 1 05? mandarinas cuesta $255 y el kilogramo de peras
A. 0,00003567 cuesta $385?
B. 0,03567
C. 356.700 A. $924
D. 356.700.000 B. $969
C. $1.893
16. ¿Cuál de las siguientes expresiones está escrita en D. $2.075
notación científica?
A. 1,2 ⋅ 1 02 21. Las longitudes de los lados de un rectángu-
B. 12 ⋅ 102 lo son 1 __54__ cm y 1 __58__ cm. ¿Cuál es el área del
C. 12,2 ⋅ 1 02 rectángulo?
D. 122,2 ⋅ 102
A. 0,77 cm2
17. Observa la siguiente recta numérica:
B. 5,04 cm2
5,1 5,2 5,3 5,4
¿Cuál es el número representado? C. 10,08 cm2
A. 5,26
D. 50,4 cm2
B. 5,62
C. 5_5_2__06__ 22. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO represen-
D. 5 1_2_3_5_ ta el 25 % de x?
A. x : 4
B. 0,25 ⋅ x
C. 2__51__0_⋅__0__x _
D. 25 ⋅ 100x
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 75
UNIDAD
Evaluación final
23. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor 29. ¿Cuál de las siguientes opciones no está involu-
el concepto de porcentaje? crada en el cálculo del interés simple?
A. Un cociente. A. IVA.
B. Una fracción. B. Capital.
C. Una igualdad de dos razones. C. Tiempo.
D. Una razón de consecuente 100. D. Tasa de interés.
24. La edad de Mario es 75 años y la de Eduardo es 30. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera?
15 años. ¿Qué porcentaje de la edad de Mario es A. El valor neto es equivalente al valor bruto.
la edad de Eduardo? B. El IVA solo se aplica a la compra de alimentos.
A. 12,5 % C. El valor neto incluye solo el descuento del IVA.
B. 15 % D. El valor bruto es el monto sin considerar im-
C. 20 % puestos, a favor o en contra.
D. 25 %
31. Julián invirtió sus ahorros durante 18 meses a una
25. El 72 % de 940 es: tasa de interés simple mensual del 2 %. Si su in-
A. 6.768 terés fue de $198.252, ¿cuánto dinero invirtió?
B. 676,8 A. $5.507
C. 67,68 B. $55.070
D. 6,768 C. $71.371
D. $550.700
26. Una lámpara tiene un 30 % de descuento. Si su
valor original es $13.990, ¿cuánto dinero se pa- 32. ¿Qué interés se paga por un préstamo de
gará por ella? $1.500.000 si se pactaron 24 cuotas mensuales
A. $4.197 a una tasa de interés simple mensual del 1 %?
B. $9.793 A. $62.500
C. $9.798 B. $360.000
D. $13.570 C. $1.140.000
D. $1.860.000
27. Si el impuesto aplicado a una consola de juegos
es del 22 % y se paga por ella un valor neto de 33. En una inversión de $230.000 se obtuvo un inte-
$176.900, ¿cuál es el valor bruto de la consola? rés de $41.400 en 6 meses. ¿Qué tasa de interés
A. $38.918 simple mensual fue aplicada?
B. $137.982 A. 3 %
C. $145.000 B. 0,3 %
D. $155.672 C. 0,03 %
D. 0,003 %
28. Si un pantalón tiene un precio de $10.990 y a este
valor se le aplica un descuento de $3.297, ¿qué
porcentaje de descuento se aplicó?
A. 15 %
B. 20 %
C. 25 %
D. 30 %
76 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
II. Resuelve los problemas.
34. Felipe subió al ascensor en el quinto piso, luego bajó a la bodega en el segundo subterráneo y finalmente, su-
bió a su departamento que está en el sexto piso. ¿Cuántos pisos recorrió Felipe en ascensor?
35. Expresa en notación científica el resultado de 123.456 ⋅ 104 − 1,23456 ⋅ 1 04 − 0,123456 ⋅ 104 .
36. Una cuerda de 5 metros de largo fue cortada en 3 trozos. Si la longitud del tercer trozo es un 10 % mayor que
la del segundo trozo y un 25 % menor que la del primer trozo, ¿cuál es la longitud de cada trozo de cuerda?
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según
las respuestas correctas que hayas conseguido.
I. Preguntas de alternativas
Identifiqué y ordené elementos en conjuntos numéricos. de 4
de 6
(Preguntas 1, 2, 3 y 4) de 6
de 5
Calculé el valor absoluto y resolví adiciones y sustracciones de números enteros. de 9
(Preguntas 5, 6, 7, 8, 9 y 10) de 3
Calculé potencias de base 10, identifiqué sus propiedades y representé en notación científica.
(Preguntas 11, 12, 13, 14, 15 y 16)
Representé, transformé, ordené y resolví problemas que involucran fracciones y números
decimales.
(Preguntas 17, 18, 19, 20 y 21)
Resolví problemas que involucran el cálculo de porcentajes.
(Preguntas 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 y 33)
II. Preguntas de desarrollo
Resolví problemas que involucran números enteros, potencias de base 10 y porcentajes.
(Preguntas 34, 35 y 36)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 77
15 cm
22,5 cm 30 cm
37,5 cm
10 cm
15 cm
20 cm
25 cm
78 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Unidad Álgebra y
funciones
52,5 cm 75 cm 5 Lenguaje algebraico
35 cm
6 Propiedades
7 Ecuaciones e
inecuaciones
8 Variaciones
proporcionales
Observa la imagen y responde.
1. ¿cuál es la relación entre la longitud del
mango y el diámetro de las cacerolas?
2. ¿En qué otra situación ocurre algo similar?
50 cm
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 79
UNIDAD
Evaluación inicial
Resuelve la siguiente evaluación para comenzar la unidad de Álgebra y funciones.
1. Calcula el área y el perímetro de los polígonos. 4. Resuelve las operaciones respetando la prioridad
a. Triángulo isósceles de base 16 cm, lados 10 cm entre ellas.
y altura 6 cm. a. 5 + 3 · (4 – 1) – 10 : 2
b. Cuadrado de lado 5 cm. b. (5 + 3) · (4 – 1) – 10 : 2
c. Rectángulo de lados 6 cm y 9 cm. c. 5 + 3 · 4 – 1 – 10 : 2
d. Triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y d. (5 + 3 · 4 – 1 – 10) : 2
5 cm. e. 5 + (3 · 4 – 1 – 10) : 2
2. Analiza las preguntas y luego respóndelas. 5. Resuelve las ecuaciones.
a. ¿Cuál es la longitud de cada lado de un a. x + 12 = 20
cuadrado, si su perímetro es 30 cm? b. 10 + x = 6
b. ¿Cuál es la longitud de cada lado de un c. –5 + x = 15
cuadrado, si su área es 81 cm2? d. –7 + x = –4
c. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área e. x – 4 = 9
es 49 cm2? f. x – 11 = –20
d. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo perímetro g. x – 15 = –1
es 32 cm? h. –3 – x = 12
i. –10 – x = –2
3. Resuelve las operaciones.
a. 6 + 7 + 10 + 2 = 6. Observa las tablas. Identifica el patrón que rela-
ciona a los datos de ambas filas y finalmente es-
b. 12 – 15 + 4 – 12 = cribe en la última celda la expresión general que
los representa.
c. –1 + (–1) – 1 – (–1) – 1 + (–1) = a. 1 2 3 4 5 n
23456
d. –3 + 7 – 4 + 15 – 25 =
e. –5 + 1 _5__ – 3 + 1 _3__ = b. 1 2 3 4 5 n
f. 1_2__ + 1_3__ + 1_6__ – 1 = 2 4 6 8 10
g. 3_2__ – _43__ + 5_4__ =
h. 0,5 + 0,3 – 0,4 + 0,9 =
i. 0,25 – 0,2 + 1 =
j. 0,75 + 2 – 0,5 – 1 + 0,25 =
k. 0,3 + 1 _3__ – 1_4__ + 0,4 =
l. –5 + 1 _5_2__ – 7_2__ + 0,8 =
80 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
c. 1 2 3 4 5 n 7. Analiza las afirmaciones y luego determina si son
3 5 7 9 11 verdaderas (V) o falsas (F).
d. 1 2 3 4 5 n a. Al sumar dos números enteros
1 4 9 16 25 positivos, siempre se obtiene un
número entero positivo.
e. 1 2 3 4 5 n
0,5 1 1,5 2 2,5 b. Al sumar dos números enteros
negativos, siempre se obtiene un
número entero negativo.
c. Al restar dos números enteros
negativos, siempre se obtiene un
número entero negativo.
d. Si a un número entero positivo se
le resta un número entero negativo,
siempre se obtiene un número entero
positivo.
e. Al sumar dos fracciones, siempre se
obtiene una fracción.
f. Al restar dos números decimales,
nunca se obtendrá un número entero.
8. Calcula el área y el volumen de los cuerpos
descritos.
a. Cubo de arista 2 cm.
b. Paralelepípedo de aristas 2 cm, 3 cm y 4 cm.
c. Cubo cuya área de cada una de sus caras es
25 cm2.
d. Prisma de altura 10 cm y de base cuadrada de
área 9 cm2.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Preguntas 1 y 2)
Calculé áreas y perímetros de polígonos. (Preguntas 3 y 4)
Resolví operaciones con números enteros, fracciones y decimales mayores que cero. (Preguntas 5 y 6)
Resolví ecuaciones e identifiqué patrones numéricos.
Analicé enunciados relacionados a operatoria de números enteros. (Pregunta 7)
Calculé el área y el volumen de cuerpos geométricos. (Pregunta 8)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 81
5Lección ¿Es cierto que servirá para ¿Y también servirá para
programar computadores? programar humanos?
1 0
Lenguaje 1
algebraico
Boole, ¿es cierto que
inventaste una nueva
álgebra?
↘↘Constantes y George Boole
variables
Constantes y variables
↘↘Lenguaje algebraico
↘↘Expresiones Al medir una característica de un objeto, elemento, individuo, etc., es posible
obtener un valor constante, es decir, que se mantiene igual en tanto que se repite la
algebraicas medición. De no ocurrir esto, se dirá que la característica es variable.
↘↘Valorización
Ejercicios resueltos
de expresiones
algebraicas 1. Reconoce si cada característica es constante o variable. Luego, completa la tabla.
↘↘Reducción de
expresiones Característica Constante o variable
algebraicas Colores del arcoíris. Constante
Fecha de nacimiento de las personas de un grupo. Variable
Desafío Número de días que forman una semana. Constante
¿Qué tipo de Estatura de los estudiantes de un curso. Variable
características crees
que es más importante 2. Identifica el tipo de característica que representa cada gráfico. Luego escríbelo
estudiar, las constantes en la casilla.
o las variables? Debate
con tus compañeros y Comida Rapidez
compañeras. (kg) media
(km/h)
L M M J V Día L M M J V Día
Variable Constante
Ejercicios propuestos
1. Busca en medios de comunicación dos características variables y dos
constantes.
2. Reúnete con un compañero o compañera y respondan las preguntas.
a. ¿Qué tipo de características crees que están más presentes en la vida cotidiana?
Justifica.
b. ¿Qué importancia crees que tiene el estudio de variables? Fundamenta.
c. ¿El contexto del estudio determina que una característica sea constante o
variable? Explica con ejemplos.
82 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
“Pero déjate Es una nueva 1
de responder álgebra, bajo un
con 1 y 0, ¿qué sistema binario, ¿Cuál crees que fue la
significa eso?” donde solo hay importancia del aporte
ceros y unos...por
eso te respondo de George Boole?
así, ya que 0
corresponde a falso
y 1 a verdadero,
¿me entiendes,
cierto?
Lenguaje algebraico
El lenguaje es un sistema de signos (palabras, ruidos, señas, marcas, etc.) utilizado
para comunicar una idea.
El lenguaje natural es el sistema de signos al que está más habituado un grupo de
personas. En este texto, el lenguaje natural corresponde a palabras en español.
En Matemática, el lenguaje algebraico permite representar el lenguaje natural
mediante números, letras y símbolos. Por ejemplo, “un número cualquiera
desconocido” puede ser escrito en lenguaje algebraico con una letra minúscula “x”.
Ejercicios resueltos
1. Plantea una expresión que represente a cada enunciado.
a. El área de un triángulo rectángulo cuya base es b cm y su respectiva altura es h cm.
▷▷ El área de un triángulo puede ser calculada como la mitad del producto de la
longitud de una base por la de su altura respectiva, en este caso: _b _ _⋅2__ _h_ .
b. El terreno, en m 2, recibido por 5 herederos al repartir una parcela
equitativamente.
▷▷ Si el terreno es representado por T, cada persona recibió _T5 _ .
c. La diferencia entre el dinero ahorrado y el gastado es negativa.
▷▷ Si $x es el dinero ahorrado e $y es el dinero gastado, la diferencia puede ser
expresada como x – y. Además, como es negativa, se tiene que x – y < 0.
Ejercicios propuestos → Desafío
→ Escribe en lenguaje
1. Plantea una expresión que represente a cada enunciado. → algebraico, utilizando
a. El triple de la suma de las edades de Juan y María. solo una letra:
b. El triple de la edad de Claudio más el triple de la edad de “Las edades de 3
Natalia es 102. personas son tales
c. Del total de huevos que tenía, se me quebraron 7 y me que la menor tiene
quedaron más de 6. 10 años menos que la
mayor, y la del medio
2. Reúnete con un compañero o compañera y respondan. tiene 5 años más que la
menor”.
a. ¿Para qué crees que sirve aprender el lenguaje algebraico? Ejemplifica.
b. ¿Qué otros tipos de lenguajes conoces? Explica qué signos emplea cada uno. 83
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 5: Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Sé más Para representar un enunciado desde el lenguaje natural al lenguaje algebraico,
Las expresiones se utiliza una expresión algebraica, que es un conjunto de números y letras
algebraicas pueden relacionados entre sí por los signos de las operaciones básicas (adición, sustracción,
ser clasificadas de multiplicación y división). Una expresión algebraica está compuesta por términos
acuerdo a su número de algebraicos, que pueden ser identificados por las adiciones y/o sustracciones. Cada
términos. término algebraico consta de un coeficiente numérico y un factor literal. Observa:
• Monomios: un
Factores literales
término.
• Binomio: dos Expresión algebraica de 3_5_ x3y − 0,1z
dos términos (binomio)
términos.
• Trinomio: tres Coeficientes numéricos
términos. Ejercicios resueltos
• Polinomio: dos o más
1. Analiza cada monomio. Luego, completa la tabla.
términos.
Monomio Coeficiente numérico Factor literal
Sé más 4x2yz 4 x2yz
• El grado de un 3__x_4y__ 4_ _34__
xy4
término algebraico –0,4ab5c3 –0,4
es la suma de los ab5c3
exponentes que
forman su factor 2. Clasifica cada expresión algebraica y señala su grado.
literal. Por ejemplo: a. _8__x3_4_ _y _ + 6___x _73_y_ _3 _
▷▷ La expresión está compuesta solo por una adición, por lo que contiene dos
4x2y3z → Grado 6 términos, es decir, la expresión es un binomio. Como el grado de una expresión
0,1ab → Grado 2 algebraica corresponde al mayor grado de los términos que la componen, y en
• El grado de una este caso el grado del primer término es 5 y el del segundo término es 6, el grado
expresión algebraica del binomio es 6.
corresponde al mayor
de los grados entre b. 45 − 20,4a2b 2 + 3__a_5_b_ _3_
los términos que ▷▷ La expresión está compuesta por una sustracción y una adición, por lo que
la componen. Por contiene tres términos (45, –20,4a2b 2 y 3__a_5_b_ _3 _ ), es decir, la expresión es un
ejemplo: trinomio. Como el grado del primer término es 0, ya que 45 puede ser expresado
35ab2 + 10,3x4 → Grado 4 como 45a0 , y el grado del segundo y del tercer término es 4, entonces el grado de
3x2 + 2x – 5 → Grado 2 la expresión algebraica es 4.
84 3. Escribe la expresión algebraica que representa “la tercera parte del cuadrado
de un número disminuida en el doble del cubo del mismo número”.
▷▷ La tercera parte del cuadrado de un número puede ser representada por
( ) x_3_2_ o también 1 _3_ x2 , y el doble del cubo del mismo número, por 2x3 . Así, la
expresión completa es x_ 3_2 _ − 2x 3.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Analiza cada expresión algebraica. Luego, completa la tabla.
Expresión algebraica Clasificación Grado
7x7 – 5x5 + 3x3 – x
–5 + 4y – y2
6xy
–w2 – 9
xy2z3 + x3y2z
2. Representa en lenguaje algebraico el perímetro y área de cada figura.
a. y b. w c. s t
q
yv
n
P= P= P=
A= A= A=
3. Representa en lenguaje algebraico el área y el volumen de cada cuerpo. Ayuda
Recuerda que en
a. Cubo b. Paralelepípedo recto c. Prisma triangular un prisma las dos
w caras paralelas son
w hd denominadas “bases”.
w
f g dc Conectando con...
ba La tecnología
En computación, se
A= A= A= utilizan términos como
V= V= V= bit, byte, kilobyte
(KB), megabyte (MB) y
4. Analiza cada situación. Luego, responde las preguntas. terabyte (TB). Averigua
a. Si “x” lápices cuestan “y” pesos, ¿cuánto cuesta un lápiz? cómo se relacionan.
b. En un grupo de “p” personas, hay “h” hombres. ¿Cuántas mujeres hay en el grupo?
c. Un disco duro de capacidad “(m + n)” GB puede guardar “x” fotos del mismo
tamaño, sin que sobre espacio. ¿Qué espacio de la memoria ocupa cada foto?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 85
Lección 5: Lenguaje algebraico
Valorización de expresiones algebraicas
En geometría, para En una expresión algebraica, las letras y símbolos representan valores numéricos,
representar las fórmulas por lo que valorizar una expresión algebraica consiste en determinar dicho valor
se utilizan expresiones numérico. Para esto, debes sustituir, por los valores correspondientes, las letras
que generalizan ciertos que componen el factor literal de la expresión algebraica y luego resolver las
conceptos. Por ejemplo, operaciones involucradas.
el área (A) de un El lenguaje algebraico permite representar diversas generalizaciones o propiedades,
triángulo, mediante la que son posibles de verificar para determinados valores, valorizando dichas
fórmula: expresiones algebraicas.
A = _ b__⋅_2__ h__ Ejercicios resueltos
4 cm 1. Calcula el valor de K en la expresión K = _m_2_v _ 2_ , si m = 10 y v = 3.
3 cm ▷▷ Al reemplazar m = 10 y v = 3 en la expresión K = m___2v__ 2_ , se tiene:
Si b = 3 cm y h = 4 cm, K = 1__0__ _⋅2__ 3__2_ = _1 _0__ 2_⋅_ _ 9__ = _9 _2_0_ _ = 45
¿cuál es el área del
triángulo?
2. Calcula el resultado de 4 ∇ –3, si x ∇ y = (x – xy)2.
▷▷ Al reemplazar x = 4 e y = –3, se tiene:
4 ∇ –3 = (4 – 4 · (–3))2 / resolviendo la multiplicación
= (4 – (–12))2 / aplicando la propiedad – (–a) = a
= (4 + 12)2 / resolviendo la adición
= 162 / calculando el valor de la potencia
= 256
3. Verifica que la propiedad asociativa se cumple para la adición de las
fracciones 1_2_ , _35_ y _13_0_ _ .
▷▷ La propiedad asociativa para la adición de fracciones puede ser representada
algebraicamente por (a + b) + c = a + (b + c), para a, b y c fracciones. Luego, al
reemplazar, por ejemplo, a = 1_2_ , b = 3_5_ y c = _ 13_0_ _ , se tiene:
( ) ( ) 1_2_ + 3_5_ + _13_0_ _ = 1_2_ + 3_5_ + _13_0_ _ / resolviendo las adiciones de los paréntesis
/ resolviendo las adiciones
1_1_10__ + _13_0_ _ = 1_2_ + _19_0_ _ / simplificando
_11_40__ = _22_8_0_
_11_40__ = _11_40__
86 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Valoriza cada expresión algebraica dada.
a. –x2– x, si x = –2. c. 0,3b – 2a + c, si a = 0,3, b = 2 y c = 1.
b. (a – b)(a + b), si a = –1 y b = 3. d. 2__c_a _ − 8b, si a = 1.000, b = 1.000 y c = 1 _4__ .
2. Resuelve los problemas.
a. ¿Cuál es el resultado de 1 _2_ Θ _47__ , si a Θ b = 7ab − 4a4?
b. Inventa una operación a ♥ b y pide a un compañero o compañera que la realice
para un par de números que tú designes.
c. ¿Cuál es el valor de E en la expresión E = mc2, si m = 0,0000000004 y
c = 300.000.000?
d. ¿Cuál es el valor de F en la expresión F = ma, si m = 15 y a = –2?
3. Completa la tabla. Luego, analiza los valores y responde.
Valor a+b a–b (a + b) + c a + (b + c) c (a + b) ac + bc
a = 4, b = 3 y c = 12
a = 4,5; b = 0,1 y c = 1,3
a = 2 1__ , b = 7 3__ y c = 8 5__
a = 8, b = 5,9 y c = 4 3__
a. ¿Qué puedes observar al relacionar los valores obtenidos en la tabla?
b. ¿Las relaciones observadas cambian si los números son naturales, fracciones o
decimales? Justifica.
c. ¿Crees que las relaciones se mantendrían para números negativos? Justifica.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 87
Lección 5: Lenguaje algebraico
Sé más Reducción de expresiones algebraicas
Para que dos términos
sean semejantes, Los términos semejantes son aquellos monomios que tienen el mismo factor literal.
los factores literales Reducir expresiones algebraicas consiste en sumar o restar los términos
deben ser exactamente semejantes presentes en ella. Para hacerlo, puedes seguir los pasos:
iguales, lo que incluye 1.º Identifica aquellos términos que sean semejantes.
los exponentes de cada 2.º Agrúpalos según su factor literal y resuelve las operaciones correspondientes
letra. Por ejemplo:
x 3 y no es semejante considerando solo los coeficientes numéricos de dichos términos.
con xy3, solo están 3.º En el resultado obtenido conserva el factor literal de los términos semejantes.
formados por los
mismos literales, pero Ejercicios resueltos
no tienen iguales
exponentes. 1. Identifica los términos que sean semejantes y enciérralos con el mismo color.
Ayuda x 15z2q 8m 7x
En el ejercicio resuelto
2.c, se tiene: –5a2b 7h n 4ba2
− 1_5_ + 5,1 = −1 _5_ _ ⋅⋅__ 2_2_ + 5_1_1_0_ 4xmn 7nxm 3x 9q2z
= − _12__0 _ + 5_1_1_0_
= _41_9_0_ 2. Reduce, de haber términos semejantes, las expresiones algebraicas dadas.
− 1_5_ + 5,1 = − 1_5_ _ ⋅⋅__ 2_2_ + 5_1_1_0_
= − _12__0 _ + 5_1_1_0_ a. 5h – 7h + 10h
= _41_9_0_ ▷▷ La expresión algebraica consta de tres términos cuyos factores literales son
Y también: iguales, luego, son términos semejantes. Por lo tanto, al resolver 5 – 7 + 10 = 8,
−10 − _3 4__ = − 1__10__ ⋅_⋅_ _ 44__ − _34__ se tiene que 5h – 7h + 10h = 8h.
= − _4_4_0_ _ − _34__
= − 4__43_ _ b. 4w – 70 + 10w + 20
▷▷ La expresión consta de cuatro términos, 4w y 10w tienen factor literal w, y los
88 términos –70 y 20 no tienen factor literal. Por lo tanto, al resolver 4 + 10 = 14 y
–70 + 20 = –50, se tiene que 4w – 70 + 10w + 20 = 14w – 50.
c. −10b 3 − _b5_2_ − 3__4b__ 3_ + 5,1b 2
▷▷ La expresión consta de cuatro términos, dos de los cuales tienen factor literal b2 y
los otros dos b3 . Por lo tanto, al resolver − _1 5__ + 5,1 y −10 − _34__ , se tiene que
−10b 3 − b_5_2_ − 3__4b__ 3_ + 5,1b 2 = _4_19__0b__ 2_ − 4__3_4_b_ _3_ .
3. Representa algebraicamente el perímetro de las figuras dadas.
a. (4f + 3) cm b. 3a mm
(3h – 1) cm (a + 5b) mm
(a + b) mm
(2f + h) cm (4a + 2b) mm
▷▷ El perímetro del triángulo puede ser representado por (3h – 1 + 2f + h + 4f + 3) cm,
que al reducirla se obtiene (6f + 4h + 2) cm. Mientras que el perímetro del trapecio
puede ser representado por la expresión (a + 5b + 4a + 2b + a + b + 3a) mm, que al
reducir se obtiene (9a + 8b) mm.
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Ejercicios propuestos
1. Reduce las expresiones algebraicas y escribe la expresión resultante.
k. 3_2_ a b − 3,5ab
a. 6j – 7j +15j l. 5__4a__ 2_ + _a3_2_
b. –10q + 4q – 2q + 8q
c. 3x + 4 + 2x – 5
d. –5y – 3 + 5y – 2 m. 2__3_k_ + 7__3_k_
e. 4f2 – 4f + 10f – 4f2 – 6f
f. –xy – 2x2y – 3xy2 – 2xy – 2yx2 – 2y2x n. m + _5 6__ m − _m3__ Ayuda
g. –4d – 2e + 7f + 2e – 5f ñ. _p2_ − 0,25p + _8p __ Recuerda que:
h. abc + ab – bcd + ac – bc + bac – ba + ca • Triángulo equilátero
i. 0,5a – 0,3a – 0,6a o. 10b 3 − 3__5b__ 2_ − 2__4b__ 3_ + 7b2
j. 1,2 + 2,5c – 0,7 + 1,5c aαa
αaα
2. Analiza cada pregunta. Luego, reúnete con un compañero o compañera y • Triángulo isósceles
justifiquen sus respuestas, escribiendo la definitiva.
a. ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro de un rectángulo si su ancho β
es expresado como 5q + 2d y su largo como 4q +7d? aa
b. ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro de un triángulo equilátero si
la longitud de cada lado es expresada como x + 2y + 3z? αα
c. ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro de un rombo si la longitud de b
cada lado es expresada como 25 + 4b?
d. ¿Qué expresión algebraica representa el ancho de un rectángulo si su perímetro • Rombo
es expresado como 6x + 8 y su largo como x + 1? aαa
e. ¿Qué expresión algebraica representa la longitud del lado no basal de un ββ
triángulo isósceles si la longitud de su base es expresada como p + q y su aαa
perímetro como 5p + 3q?
↘ Taller de Matemática aplicada
Habilidad: modelar
Un terreno triangular debe ser cercado con tres corridas de alambre. Si la expresión algebraica
que representa el total de alambre, en metros, necesario es 27x + 18y + 9z y el terreno puede ser
representado por un triángulo equilátero, ¿qué expresión algebraica representa la longitud de cada lado
del terreno?
A. 6xyz
B. 54xyz
C. 3x + 2y + z
D. 9x + 6y + 3z
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Lección 5: Lenguaje algebraico
3. Representa algebraicamente el perímetro de las figuras dadas.
Ayuda a. Cuadrado. b. Romboide.
Un romboide es un h + 3k 3x + y + 2
cuadrilátero cuyos
pares de lados opuestos 5x + 2y + 1
son paralelos y de igual
longitud. Además,
sus ángulos interiores
opuestos son de igual
medida.
b α
aβ a
α β
b
4. Representa algebraicamente el perímetro de las figuras dadas. Para ello,
reúnete con un compañero o compañera y, luego, expliquen con sus palabras la
estrategia utilizada.
a. b. 11 + 2w
m+n 7 + 3w
3m – n
La estrategia utilizada consiste en
5. Analiza la figura. Luego, responde. B
a. ¿Cuál es la medida del ángulo DHB? C n – 3n–1 7n + 3
b. ¿Cuál es la medida del ángulo DHF? D 2
c. ¿Cuál es la medida del ángulo AHE?
d. ¿Cuál es la medida del ángulo CHE? 4n – 8 H 2n – 2 A
e. ¿Cuánto le falta al ángulo AHC para ser G
5n – 7 3n + 2
de 180°? E
f. ¿Cuánto le falta al ángulo BHG para ser
de 360°?
g. ¿Cuánto le falta al ángulo DHE para ser
de igual medida que el ángulo EHG?
F
90 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
6. Analiza el Taller de estrategias. Luego, calcula lo ↘ Taller de estrategias
pedido en cada caso. Para ello, considera A = –2, Eliminar paréntesis
B = x + 7 y C = –x2 + 3x – 1.
Practica esta estrategia. Para esto, considera el
a. El inverso aditivo de B.
b. La diferencia entre B y C. enunciado y sigue cada paso:
c. La suma de A, B y C.
d. El inverso aditivo de la suma de A y C. Considera A = x2 + 3x q–u0e,1re;pBr e=s e2_ 3_n xt a+ l4a y C = –3.
e. El opuesto del inverso aditivo de la diferencia ¿Cuál es la expresión diferencia
entre C y B. entre A y B más el inverso aditivo de C?
f. La diferencia entre la suma de A y B y la diferencia
↘↘Paso 1: Representar algebraicamente
entre B y C.
g. Lo que se debe sumar a B para obtener C. En este caso, la diferencia de A y B corresponde a:
h. Lo que se debe restar a C para obtener A.
i. Lo que se debe sumar a C para obtener la suma de ( )A − B = ( x2 + 3x − 0,1 ) − 2_3_ x + 4
A y B. Por otra parte, el inverso aditivo de C es:
j. Lo que se debe restar a B para obtener la
–C = –(–3)
diferencia entre C y B.
k. A – B Luego, la expresión que representa la diferencia
l. A – (B – C) entre A y B más el inverso aditivo de C se obtiene
m. –(A + B + C) al reducir:
n. (B + C) – (A + C)
o. (A – B) + (A – C) + (B – C) ( )A − B + ( −C ) = ( x 2 + 3x − 0,1 ) − 2_3_ x + 4 − ( −3 )
p. (A + (B – C)) – (A + B – C)
↘↘Paso 2: Identificar los signos que preceden a
7. Completa la figura, sabiendo que la suma de las
expresiones de dos rectángulos contiguos de los paréntesis
manera horizontal es igual a la expresión que se
encuentra inmediatamente sobre ellos. La expresión que se obtuvo para representar el
enunciado consta de tres paréntesis. El primero
4x – 10y 8x – y no es antecedido por un signo “+” o “–”, por lo
5y – 4x 5x + 2y que es posible quitarlo sin cambiar la expresión
algebraica que contiene (en los casos en que
8. Completa el cuadrado mágico, si la suma de cada no haya signo escrito, puede asociarse a un
fila, columna o diagonal es n. signo “+”). En tanto, los otros dos paréntesis sí
están precedidos por un signo “–”, por lo que al
n+3 quitarlos se deben cambiar los signos de cada
término algebraico de la expresión contenida en
n ellos; es decir, si hay un signo positivo se cambia
por uno negativo y viceversa. Observa:
n–1
( ) A − B + ( −C ) == x( x22 + + 3 3xx − − 0 0,1,1 − ) −2 _3_ x 2_3−_ x 4 + + 4 3 − ( −3 )
↘↘Paso 3: Reducir la expresión algebraica
Finalmente, se reconoce si en la expresión hay
términos semejantes; de haberlos, se reduce la
expresión algebraica.
x2 + 3x − 0,1 − 2 _3_ x − 4 + 3 = x2 + 7_3_ x − 1,1
Luego, la diferencia entre A y B más el inverso
aditivo de C está representada por x 2 + 7_3_ x − 1,1.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 91
Lección 5
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Identifica si las características son constantes o 5. Sea la operación p ψ q = (p – q)2 – pq. Resuelve.
variables. De ser variables, determina el tipo. a. –1 ψ 4
b. 3 ψ (–2)
a. Número de personas que visitan el parque
durante las vacaciones. 6. Reduce las siguientes expresiones algebraicas.
a. 8u + 14 – 10 – 10u
b. Número de puntos obtenidos al lanzar un dado b. 6xy – 11x – 4yx + 20y – 2xy + 10x
de seis caras cargado. c. −4m + 5_8 __ m − _m4___
d. x − _2x __ − _3x__ − _6x__
c. Precio semanal de la bencina durante un año. e. 0,5h3 – 0,1h2 + 1,9h – 0,7h3 + 0,1h + h2
f. 7g + 16 + (–10 + 3g)
2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes g. –(–9 + 6h) – 12 + 14h
enunciados. h. [–(ab – a) – ab + 2a] – (3a – 5ab)
i. (11f – 2d + 4e) + 2d – 4e – (–(–11f + 3d))
a. Un número aumentado en tres unidades. j. –(–6t – (6t – (6t – 4) – 4) – 4))
b. La división entre la suma de dos números y la
7. Expresa los siguientes monomios de manera
diferencia entre ellos. que sean la suma de dos binomios. Observa el
c. La suma de tres números impares consecutivos. ejemplo:
d. El doble del cuadrado de la diferencia entre dos –2x3y2z = (x3y2z + 7) – (3x3y2z + 7)
números. a. 4bc
e. El cubo del producto de un número y su b. –y
c. –10m2
sucesor.
8. Resuelve los problemas.
3. Expresa en lenguaje natural las siguientes expre- a. Si se tiene un cuadrado cuyas longitudes
siones algebraicas. de cada lado se expresan por a + b y otro
cuadrado cuyas longitudes de cada lado se
a. 2x – y expresan por 3a + 2b, ¿cuál es la suma de los
b. 2(x – y) perímetros de ambos cuadrados?
c. 3b3 + 2b2 b. ¿Cuánto se debe sumar a la expresión 1 – 6mn
d. _ 1a__b0__ para obtener 7mn + 5?
e. _ m___m _−_ _ _1_ c. ¿Cuánto se debe restar a la expresión
x – 3y + 2z para obtener 3x – 2z + 4y?
4. Calcula el valor de las siguientes expresiones
algebraicas.
a. –x3 + 3x, si x = –1.
b. mgh, si m = 25, g = 10 y h = 5.
c. m2 + 5m + 6, si m = –2.
d. x2 – xn + n2, si x = –3 y n = 4.
e. a(1 – a)2, si a = 5.
92 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
9. Analiza la figura y responde las preguntas. Para b. Trapecio isósceles.
ello, considera que el ángulo CBA mide 180º y que: 8n – 13
• m(∢CBD)= 2w + 32 F 9 – 10n
• m(∢DBE)= 5w – 11 5n – 11
• m(∢EBF)= 7w c.
• m(∢FBG)= 9w + 52
• m(∢GBA)= w + 11 10x + 5w
E 7x – 2w
D 11 Analiza la veracidad de las afirmaciones y
G escribe V o F, según corresponda.
a. Al sumar dos monomios semejantes
A BC
y reducir términos semejantes, no es
a. ¿Cuál es la medida del ángulo CBE? posible obtener un binomio.
b. ¿Cuánto le falta al ángulo EBG para que su medida b. El coeficiente numérico del monomio
m es cero.
sea igual a la de un ángulo extendido (180°)? c. Al sumar un término algebraico con
c. ¿Cuánto le falta al ángulo ABG para ser de igual su inverso aditivo, siempre se obtiene
cero.
medida que el ángulo FBD? d. Una persona compró un computador
d. ¿Cuánto le falta al ángulo GBD para que su cuyo precio era de $x. Si pagó solo $m
y el resto lo pactó a n meses, entonces
medida sea igual a la de un ángulo recto (90°)? cada mes debe pagar $x_ _ _−_n_ _ m___ .
10. Representa algebraicamente el perímetro de cada
figura dibujada.
a. Rectángulo.
20 + 4n
12 – 7n
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Identifiqué el tipo de variables y expresé del lenguaje natural al algebraico y viceversa.
(Preguntas 1, 2 y 3)
Valoricé y reduje expresiones algebraicas en la resolución de problemas.
(Preguntas 4, 5, 6, 7, 8 y 11)
Resolví problemas geométricos expresando en lenguaje algebraico.
(Preguntas 9 y 10)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 93
6Lección Hipatía y Orestes Insisto, usted
es bellísima…
Propiedades Maestra, es muy Ya, Orestes, ¿qué significa
bella e inteligente. distributividad?
↘↘Propiedades de la
adición Mmmm…, hoy vamos a
estudiar la propiedad
↘↘Propiedades de la
multiplicación distributiva…
↘↘Propiedad Propiedades de la adición
distributiva
La adición cumple ciertas propiedades en el conjunto de los números naturales.
↘↘Aplicaciones Entre ellas, es posible encontrar:
◾◾ Clausura: la suma siempre es otro número natural.
Sé más ◾◾ Conmutativa: no importa el orden de los sumandos, el resultado es igual.
En el caso de la ◾◾ Asociativa: no importa el orden en que sean sumados tres o más números
adición de números
naturales, no existen naturales, el resultado es igual.
el elemento neutro ni El elemento neutro es aquel elemento del conjunto que, al ser operado con otro,
el inverso, ya que 0 no resulta este último valor, y el elemento inverso es el elemento del conjunto que, al
es considerado como ser operado con otro, resulta el elemento neutro.
número natural. Sin
embargo, en la adición Ejercicios resueltos
de números enteros, el
elemento neutro es 0 1. Representa algebraicamente las propiedades de la adición de números
y el elemento inverso naturales. Luego, da un ejemplo.
es cada valor que
sumado a otro resulta ▷▷ Clausura.
0, es decir, el elemento a + b = c, con a, b, c ∈ ℕ.
inverso de a es -a.
Por ejemplo, 50 + 43 = 93.
Desafío ▷▷ Conmutativa.
¿Es posible determinar
un elemento neutro a + b = b + a, con a, b ∈ ℕ.
y uno inverso para la Por ejemplo, 11 + 6 = 17 y 6 + 11 = 17. Luego, 11 + 6 = 6 + 11.
adición en los números ▷▷ Asociativa.
naturales, incluido el
0? (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c ∈ ℕ.
Por ejemplo, (10 + 5) + 4 = 15 + 4 = 19 y 10 + (5 + 4) = 10 + 9 = 19.
Así, (10 + 5) + 4 = 10 + (5 + 4).
2. Reconoce cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple la adición de
fracciones mayores que 0. Para ello, ejemplifica.
▷▷ Clausura: al sumar dos fracciones mayores que 0, ¿siempre se obtiene una fracción
mayor que 0?
Efectivamente, al sumar dos fracciones mayores que 0 siempre se obtiene una
fracción mayor que 0. Por ejemplo, 1_2_ + 5_3_ = 1_6_3__ .
94 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
¿Y qué es conocimiento? Se pasó maestra,
¿también es filósofa?
Mmmm…
es repartir,
compartir…
¡Exacto!, como
nosotros, que
nos reunimos
para compartir
nuestros
conocimientos…
▷ Conmutativa: al sumar dos fracciones mayores que 0, ¿importa el orden de los Investiga más sobre
sumandos? Hipatía y Orestes y
relaciona su historia
Al sumar dos fracciones mayores que 0 no importa el orden de los sumandos, es
decir: con el cómic.
_a_ _c_ _c_ _ba_,
b + d = d + con a, b, c, d ∈ ℕ. Desafío
Verifica cuáles
Por ejemplo, 5__ + _3__ = 1__3__ y _3__ + 5__ = 1_4_3__. Luego, 5__ + _3__ = _3__ + 5_2_ . propiedades cumple la
2 4 4 4 2 2 4 4 sustracción de números
naturales y cuáles no.
▷ Asociativa: al sumar tres o más fracciones mayores que 0, ¿importa el orden en que Para ello, da ejemplos.
son operadas?
Al sumar tres o más fracciones mayores que 0 no importa el orden en que son
operadas, es decir:
( ) ( )_a_ _c_ _e_ _a_ _c_ _e_
+ d + f = b + d + f , con a, b, c, d, e, f ∈ ℕ.
b
( ) ( )Por ejemplo,2__+ 1___ + _3__ = 2__3__ + _3__ = 1__1__ y 2__ + 1___ + _3__ = 2__ + 1__ = 1_1_14__.
7 8 8 56 8 14 7 8 8 7 2
2__ 1___ _3__ 2__ 1___ _3__
7( ) ( )Así,+8 + 8 = 7 + 8 + 8 .
▷ Existencia del elemento neutro y el elemento inverso.
El único valor que al sumarlo con una fracción mayor que 0, tal que se obtenga esta
última fracción, es 0. Por lo tanto, no es posible determinar un elemento neutro para
la adición de estas fracciones. Luego, tampoco es posible determinar un elemento
inverso.
Ejercicios propuestos
1. Reconoce cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple la adición de números
decimales mayores que 0. Para ello, ejemplifica.
2. Analiza la tabla y complétala.
abc a+b b + c (a + b) + c
57 _1_7_ 14
_1_ _4_ 35 _3_8_
55 7 35
5,5 10,1
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 95
Lección 6: Propiedades
Sé más Propiedades de la multiplicación
Se dirá que un conjunto
es “cerrado” para una Al igual que la adición de números naturales, de fracciones mayores que 0 y
operación, si esta de números decimales mayores que 0, es posible reconocer si las propiedades
cumple la propiedad conmutativa, asociativa, de clausura, existencia de un elemento neutro y de uno
de clausura en dicho inverso, son cumplidas por la multiplicación en los conjuntos ya mencionados. Por
conjunto. ejemplo, en un conjunto K:
◾◾ Si la multiplicación cumple la propiedad de clausura, se tiene que:
a · b = c, con a, b, c ∈ K.
◾◾ Si la multiplicación cumple la propiedad conmutativa, se tiene que:
a · b = b · a, con a, b ∈ K.
◾◾ Si la multiplicación cumple la propiedad asociativa, se tiene que:
(a · b) · c = a · (b · c)
◾◾ Si existe un elemento neutro, se tiene que:
a · elemento neutro = a.
◾◾ Si existe un elemento inverso o inverso multiplicativo, se tiene que:
a · elemento inverso = elemento neutro.
Ejercicios resueltos
Sé más 1. Reconoce cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple la multiplicación de
El inverso números naturales. Para ello, ejemplifica.
multiplicativo de
un valor también a. Clausura: ¿al multiplicar dos números naturales, siempre se obtiene otro número
es conocido como natural?
recíproco. ▷▷ Efectivamente, siempre se obtiene otro número natural. Por ejemplo, 5 · 37 = 185.
96 b. Conmutativa: ¿al multiplicar dos números naturales, importa el orden de los
factores?
▷▷ El orden de los factores no altera el producto, por ejemplo:
12 · 16 = 192 y 16 · 12 = 192. Luego, 12 · 16 = 16 · 12.
c. Asociativa: ¿al multiplicar tres o más números naturales, importa el orden en
que son operados?
▷▷ Al multiplicar tres o más números naturales no importa el orden en que son
operados, por ejemplo:
(14 · 17) · 8 = 238 · 8 = 1.904 y 14 · (17 · 8) = 14 · 136 = 1.904.
Así, (14 · 17) · 8 = 14 · (17 · 8).
d. Elemento neutro y elemento inverso.
▷▷ El único valor que al multiplicarlo con un número natural resulta este último es
1, por lo que es el elemento neutro para la multiplicación de números naturales.
1 _a_ ,
Por otro lado, el inverso multiplicativo de cualquier número natural a es ya que
a · 1_a_ = 1.
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2. Reconoce cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple la multiplicación de
fracciones mayores que 0. Para ello, ejemplifica.
a. Clausura: al multiplicar dos fracciones mayores que 0, ¿siempre se obtiene una
fracción mayor que cero?
▷▷ Efectivamente, siempre se obtiene una fracción mayor que cero. Por
b. Conemjeumtpatloiv,a _56_:_ a⋅l 1m_3_5_1u_ l=ti p 2_6_l5i_2c_ .ar dos fracciones mayores que 0, ¿importa el orden de
los factores?
▷▷ El orden de los factores no altera el producto, es decir:
_ba_ ⋅ _dc_ = _dc_ ⋅ _ba_ , con a, b, c, d ∈ ℕ.
Por ejemplo, _47 __ ⋅ 2_9__ = _68__3 _ y 2_9__ ⋅ _47__ = _68__3 _ . Luego, _47__ ⋅ 2_9__ = 2_9__ ⋅ _47__ .
c. Asociativa: al multiplicar tres o más fracciones mayores que 0, ¿importa el orden
en que son operadas?
▷▷ Al multiplicar tres o más fracciones mayores que cero no importa el orden en que Desafío
son operadas, es decir: Verifica qué
propiedades cumple
( ) ( ) _ba_ ⋅ _dc_ ⋅ _ef_ = _ba_ ⋅ _ dc_ ⋅ _ef_ , con a, b, c, d, e, f ∈ ℕ. la división de números
( ) ( )Por ejemplo, 1_5_ ⋅ 2_3_ ⋅ _45__ = _12__5 _ ⋅ _45__ = _78__5_ y 1_5_ ⋅ 2_3_ ⋅ _45__ = 1_5_ ⋅ _18__5_ = _78__5_ . naturales y cuáles no.
( ) ( )Así, 1_5_ ⋅ 2_3_ ⋅ _45__ = 1_5_ ⋅ 2_3_ ⋅ _45__ . Para ello, da ejemplos.
d. Elemento neutro y elemento inverso. e0se_as b__ . _11__ ,
▷▷ El elemento neutro para la multiplicación de fracciones mayores que que
es igual a 1. Por otro lado, el inverso multiplicativo de la fracción _ba _
Ejercicios propuestos
1. Reconoce cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple la multiplicación de
números decimales mayores que 0. Para ello, ejemplifica.
2. Analiza la situación. Luego, responde.
Dos estudiantes calculan el área de un rectángulo de largo b y ancho a, como se
muestra a continuación:
Estudiante 1 Estudiante 2
A=a·b a A=b·a a
b b
a. ¿Cuál de los estudiantes está en lo correcto?
b. Explica qué propiedad es posible asociar a las resoluciones de los estudiantes.
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Lección 6: Propiedades
Los cuadrados mágicos Propiedad distributiva
multiplicativos cumplen
con la propiedad de A modo de resumen, hasta este momento has revisado los siguientes contenidos:
que el producto de los ◾◾ La adición y la multiplicación de números naturales, fracciones mayores que 0
números de las filas es
igual al de los números y decimales mayores que 0 cumplen la propiedad de clausura, conmutativa y
de las columnas, e igual asociativa.
al de los números de las ◾◾ La adición de números naturales, fracciones mayores que 0 y decimales mayores
diagonales. que 0 no posee elemento neutro ni elemento inverso.
◾◾ El 1 es el elemento neutro para la multiplicación de números naturales, fracciones
Completa el cuadrado mayores que 0 y decimales mayores que 0; mientras que para la multiplicación, el
mágico multiplicativo, elemento inverso de un valor a ≠ 0 es 1 _a_ .
sabiendo que el A continuación, conocerás una propiedad que relaciona la adición y la
producto relacionado multiplicación con los elementos de un conjunto K. Esta propiedad se denomina
es _2_1_1_ _6_ . distributiva y considera a la multiplicación por sobre la adición:
1_2__ _3_1_6_ _ 1_3__ a · (b + c) = a · b + a · c, con a, b, c ∈ K.
1_9__ 1_4__
Ejercicios resueltos
1. Reconoce si la propiedad distributiva se cumple para la multiplicación sobre la
adición de números naturales, fracciones mayores que 0 y números decimales
mayores que 0.
▷▷ Para los tres conjuntos numéricos mencionados, se cumple la propiedad distributiva
de la multiplicación sobre la adición. Algunos ejemplos son:
a. Números naturales.
5 · (9 + 2) = 5 · 9 + 5 · 2 / resolviendo la adición del paréntesis y las multiplicaciones
5 · 11 = 45 + 10 / resolviendo la multiplicación y la adición
55 = 55
b. Fracciones mayores que 0.
( ) _49__ · 1_5_ + _38__ = _49 __ · 1_5_ + _49__ · _38__ / resolviendo el paréntesis y las multiplicaciones
_49__ · _24__30__ = _44__5 _ + 1_6__
/ resolviendo la multiplicación y la adición
_3_96_2_0_ _ = _ 2_67_9_0_ _ / simplificando
_29__30__ = _92__03__ _
c. Números decimales mayores que 0.
1,5 · (8,3 + 3,4) = 1,5 · 8,3 + 1,5 · 3,4 / resolviendo la adición del paréntesis y las multiplicaciones
1,5 · 11,7 = 12,45 + 5,1 / resolviendo la multiplicación y la adición
17,55 = 17,55
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Libro Sm matemática 7° básico
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