2. Calcula las medidas, que pueden cambiar en cada caso.
a. AB = 14 cm CD = 10 cm h = 7 cm Área = x
b. AB = 13 cm CD = 9 cm h = 9 cm Área = x D C
c. AB = 7 cm CD = 9 cm h = 3 cm Área = x hh B
d. AB = 20 cm CD = 12 cm h = 5 cm Área = x A
e. AB = 14 cm CD = 10 cm h = 7 cm Área = x
f. AB = 15 cm CD = 8 cm h = x Área = 115 cm²
g. AB = 13 cm CD = x h = 6 cm Área = 60 cm²
h. AB = x CD = 9 cm h = 7 cm Área = 70 cm²
3. Calcula el área achurada de las siguientes figuras.
a. D C ABCD es un trapecio con AB = 12 cm, CD = 8 cm y su altura
EH GF es 6 cm. Además, EFGH es un trapecio con EF = 8 cm,
GH = 5 cm y su altura es 2 cm.
A B
b. D F C ABCD y EGCF son trapecios rectángulos, tales que
E FC BC = 8 cm, BG = 2 cm, AB = 16 cm, CD = 12 cm, DF = 2 cm y
A G EG = 14 cm.
c. D E B
GH ABCD y GHFE son trapecios de alturas 8 cm y 6 cm,
respectivamente. Además, DE = FC = 2 cm, AB = 18 cm,
GH = 12 cm y EF = 10 cm.
AB
d. E D ABCG y AHDE son trapecios rectángulos, tales que AB = 20 cm,
G F CG = 25 cm, FH = 5 cm, DF = 6 cm, FG = 6 cm y EG = 10 cm.
C
A H B ABCD y EFGH son trapecios de altura 8 cm, tales que
e. DH GC AE = BF = DG = CH = 4 cm, EF = 10 cm y GH = 6 cm.
AE FB
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 149
Lección 9: Área de polígonos
Aplicaciones
Para resolver un problema que incluya el cálculo de áreas, primero debes reconocer
qué figuras geométricas se encuentran involucradas y luego aplicar las formulas del
cálculo de áreas.
Ejercicios resueltos
1. Un tarro de barniz alcanza para 11 m², aproximadamente. Un carpintero debe
barnizar por ambos lados las puertas de un condominio. Si cada puerta es como
se muestra en la imagen, ¿cuántas puertas puede barnizar con un tarro?
▷ Cada puerta puede ser asociada a un rectángulo de área:
1,90 m ⋅ 0,75 m = 1,425 m²
Y cada vidrio rectangular con otro de área:
0,7 m ⋅ 0,2 m = 0,14 m² 0,7 m
Luego, el área de la superficie a pintar de una cara de
la puerta es: 1,90 m 0,2 m
1,425 m2 – 3 ⋅ 0,14 m2 = 1,005 m2
Pero, como cada puerta debe ser barnizada por ambos
lados, la cantidad de barniz que se utilizará por cada
puerta es:
1,005 m² ⋅ 2 = 2,01 m² 0,75 m
Por lo tanto, como 11 : 2,01 ≈ 5,47, con un tarro de
barniz es posible pintar 5 puertas, aproximadamente.
Ejercicios propuestos
1. Se quiere barnizar la cubierta de una mesa como
la de la imagen. Si las dimensiones de la mesa son
2 m de largo y 0,8 m de ancho, ¿cuántos m² se
tienen que barnizar?
2. Las dimensiones de la pantalla de un televisor LED
de 32 pulgadas son 88,55 cm de ancho y de 49,81
cm de alto; mientras que las de una pantalla de
un LED de 42 pulgadas son 92,98 cm de ancho y
52,30 cm de alto. ¿Cuál es la diferencia entre las
superficies de las pantallas de ambos televisores?
3. Se quiere pintar una casa como la de la imagen. Si el ancho total de la casa es
14 m, cada uno de los lados de la casa mide 3 m, la altura de la casa es de 4 m
y la altura de cada muralla es de 2,5 m, ¿cuál es el área de la superficie que se
quiere pintar? Para ello, considera que las
ventanas y la puerta restan 6 m2 en total a la
fachada.
150 SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM
4. Para un juego se necesitan tres banderas de colores como las que muestra la
figura. Si las dimensiones de cada bandera son 60 cm de ancho y 30 cm de alto,
¿cuánto género se necesita de cada color para confeccionar las banderas?
5. La plaza de un pueblo constará de cuatro sectores triangulares y uno cuadrado
con pasto, el resto estará cubierto con baldosas. La plaza tiene 50 m por lado,
donde cada triángulo es rectángulo e isósceles, de catetos de 10 m de longitud,
y el cuadrado central es de 10 m por lado. Si el m2de pasto cuesta $2.000 y el
m2de baldosas cuesta $6.500, ¿cuánto dinero se gastará en pasto y en
baldosas?
6. Para calcular la cantidad de tela que se debe comprar si se quiere confeccionar
una cortina (como la de la imagen), se considera el doble del ancho de la
ventana y 40 cm más en la altura. Si la ventana tiene 150 cm de ancho y 120 cm
de alto, ¿cuánta tela se debe comprar para hacer la cortina?
7. Calcula el área de cada red de construcción.
20 cm 2 cm
36 cm 30 cm
15 cm 60 cm
15 cm 36 cm
50 cm 24 cm
2 cm 2 cm
50 cm 25 cm
30 cm
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 151
Lección 9
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Calcula el área achurada de las siguientes figuras. f. Los triángulos ABC, ADB, DEB, BEG y EFG son
congruentes, con base de 6 cm y altura de
a. Rectángulo ADCB. D C 4 cm.
C
AB = 10 cm
AD = 6 cm B 6 cm G
4 cm
A
b. Rectángulo ADCB. A B DE F
D C
g. ABCD y FEDA son trapecios rectos de alturas
AB = 15 cm B 6 cm y 4 cm, respectivamente. AD = 12 cm,
EF = 10 cm y BC = 14 cm.
AD = 9 cm AD
FE
A BC
c. GJ = 15 cm, AB = 9 cm, AD = 4 cm y h. LloonsgtirtuiádnegsudloessAuBsCbaysDeEsFA_ _Bso ynD_c_Eo nsgornue8nctems.yLas
AF = DE = BI = CH = 2 cm. sus alturas son de 6 cm. El triángulo HGC tiene
EH base 4 cm y su altura es de 2 cm.
DC F
GJ C
AB C DH GE
FI A B
d. Paralelogramo ABCD.
DE = 6 cm, CE = 3 cm y BE = 4 cm.
DE
AB i. AB = 10 cm, es la base del triángulo ABC, de
altura 8 cm. FGDE es un paralelogramo donde
e. ABCD es un trapecio y EGCF es un FG = 5 cm y su altura es de 4 cm.
paralelogramo, de alturas 6 cm y 2 cm, C
respectivamente.
AB = 12 cm, DF = 3 cm y EG = 14 cm. ED
DF C AF GB
E G
A B
152 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Calcula el área de las siguientes figuras. d. G H
a. D D C
6 cm E I
F J
E C
50 cm A B
L K
A 10 cm B ABCD es un rectángulo, con AB = 12 cm y
b. A 6 cm G E BC = 8 cm. Los cuatro trapecios poseen altura
de 1 cm, EF = IJ = 2 cm y KL = GH = 6 cm.
10 cm 3 Analiza la figura. Luego responde.
12 cm
F D DE CF
B 15 cm C AB
c. F 2 cm E D
2 cm B 2 cm C Si consideras los triángulos ABD, ABE y ABF, ¿cuál
A 4 cm tiene mayor área?
4 Dibuja un triángulo, un paralelogramo y un tra-
pecio que tengan igual área.
5 Si el perímetro de un triángulo, un paralelogra-
mo y un trapecio es 80 cm, ¿cuál tiene mayor
área? Justifica.
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Pregunta 1)
Calculé el área de diversas composiciones de figuras. (Pregunta 2)
(Preguntas 3, 4 y 5)
Calculé el área de diversas figuras considerando sus dimensiones.
Analicé y comparé áreas.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 153
10Lección Mmm… acá el bastón sí
tiene sombra, la mediré.
El círculo ¡Qué interesante!… en este instante,
en Siena no hay sombra.
↘ Círculo y
circunferencia Eratóstenes
↘ Perímetro del Círculo y circunferencia
círculo
El círculo es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano cuya
↘ Área del círculo distancia a otro punto fijo es menor o igual a un valor constante.
↘ Área de figuras La circunferencia es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano
cuya distancia a otro punto fijo es igual a un valor constante.
compuestas
◾ El punto fijo de ambos lugares geométricos es C
Sé más denominado centro. En la figura dibujada, O.
dados los puntos A y B
dibujados, es posible ◾ El radio (r) es el segmento que une el centro de A O B
distinguir dos arcos: ufingaurcai,rcO_u_Cn.ferencia con uno de sus puntos. En la E
B ◾ El diámetro (d) es el segmento que une dos d
A cpeunnttroosddeellaamciirscmuna.feErnenlacifaigyuqrau,e_Ac_Bo.ntiene al
O ◾ Una cuerda es un segmento que une dos puntos la figura, _d_E.
de la circunferencia. El diámetro es una cuerda. En
A⁀B y B⁀A.
◾ Un arco es una parte de la circunferencia. En la figura, ⁀dE.
Ejercicios resueltos
1. Reconoce los elementos del círculo, dibújalos y escríbelos en la casilla.
a. P c. P e.
O O O
O__P → Q S O→ P
b. P_Q_ → O
d. R f.
Q
O O ⁀QP →
AB ⁀SR →
A__B →
154 SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM
Mientras la mido, ustedes dos 9.536, 9.537, 9.538,…
pueden contar los pasos que hay
entre Siena y Alejandría, y así ¡Uff, qué calor hace!
¿Cierto compañero?
sabré la distancia entre estas
ciudades… ¡1 paso = 1 m!
¡Ah, perdí la cuenta!…
tendré que empezar
otra vez.
Ejercicios propuestos ¿Crees necesario
que Eratóstenes
1. Analiza cada pregunta. Luego, según las definiciones dadas, responde. considerara la misma
a. ¿Puede haber más de un radio en un círculo? Explica. hora en ambos lugares
para obtener la
medición?
b. ¿Puede haber más de un diámetro en un círculo? Explica.
c. ¿Qué diferencia hay entre un arco y una cuerda de un círculo? ¿Y qué semejanza
encuentras?
2. Identifica con qué concepto puedes asociar cada imagen. Luego márcalo sobre
la misma.
a. Un trozo de pizza b. Un flotador c. Un plato
3. Construye las figura. Para ello, utiliza un compás y una regla. Luego, responde. Desafío
a. Un círculo de radio 4 cm, y dibuja 3 radios, 2 diámetros y una cuerda de 7 cm. ¿Cuál es la relación
b. Un círculo de radio 6,5 cm, y dibuja 2 radios, 3 diámetros y 2 cuerdas, de 6,5 cm entre diámetro y
y 1 cm. cuerda?
◾◾En el primer círculo dibujado, ¿cuál es la longitud de cada radio y de cada
diámetro? 155
◾◾En el segundo círculo dibujado, ¿cuál es la longitud de cada radio y de cada
diámetro?
◾◾¿Cuál es la relación entre los radios y los diámetros dibujados?
◾◾La relación encontrada para los círculos dibujados, ¿crees que se da en cualquier
círculo? Fundamenta y discute con un compañero.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 10: El círculo
Perímetro del círculo
Una rueda, al dar una El perímetro de un círculo corresponde a la longitud de r
vuelta completa, se la circunferencia que lo limita. Además, el cociente entre O
desplaza una distancia el perímetro (P) del círculo y el diámetro (D) se mantiene
que es igual a su constante, independiente del radio (r) del círculo que se trate. D
perímetro. Este valor es conocido como Pi (π), y su valor aproximado a
la centésima es 3,14.
D
π = _DP __ ⇒ P = π · D ⇒ P = π · 2r
Longitud de desplazamiento
(Perímetro) Ejercicios resueltos
1. Calcula el perímetro de cada círculo. Para ello, considera π = 3,14.
DDD
¿Cuántas veces está
contenido el diámetro
en el perímetro?
a. 3,5 cm
Como el radio del círculo es 3,5 cm, se tiene que el
perímetro P es aproximadamente 22 cm, ya que:
O π = _DP __ ⇒ P = π · 2r ⇒ P = 3,14 · 2 · 3,5 cm = 21,98 cm
b.
O 4 1_4__ cm Como el diámetro del círculo es 4,25 cm, se tiene que el
perímetro P es aproximadamente 13 cm, ya que:
π = _DP __ ⇒ P = π · D ⇒ P = 3,14 · 4,25 cm = 13,345 cm
c. 12 1_2_ cm Como el radio del círculo es 12,5 cm, se tiene que el
O perímetro P es aproximadamente 79 cm, ya que:
π = _DP __ ⇒ P = π · 2r ⇒ P = 3,14 · 2 · 12,5 cm = 78,5 cm
d.
8 cm Como el diámetro del círculo es 8 cm, se tiene que el
O perímetro P es aproximadamente 13 cm, ya que:
π = _DP __ ⇒ P = π · D ⇒ P = 3,14 · 8 cm = 25,12 cm
156 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Calcula la medida del radio (r) y del diámetro (D) de cada círculo. Para ello,
considera cada dato dado y que π = 3,141.
a. El perímetro del círculo es b. El semiperímetro (la mitad del
188,4 cm. perímetro) del círculo es 37,68 cm.
2. Analiza a qué parte de la circunferencia corresponde cada arco y calcula su
valor. Observa el ejemplo.
A Se pide calcular a qué parte de la circunferencia corresponde
4,5 cm el arco AB, cuya medida angular, como lo muestra la figura,
es 90°.
O Como se considera que la medida angular de una
circunferencia es 360°, entonces 90° corresponde a un
B cuarto de ella, es decir:
_ 39_6_0_0_°_°_ = 1_4__
Luego, la longitud del arco AB ( L⁀AB )corresponde a un cuarto de la longitud de la
circunferencia. Así:
L⁀A B = 2__ _⋅__ _4π_ _ ⋅__ _ r_ = 2__ _⋅__ _π_4 _⋅_ _ _4__, 5__ = _9_4_π _ = 2,25π
a. D b. F c. G H
120° O E 72° 2,5 cm 60°
5 cm O 6,2 cm
O
C
3. Resuelve el siguiente problema. 157
En un parque de diversiones, el carrusel da 15 vueltas antes de detenerse a recoger
nuevos pasajeros. Si el diámetro del carrusel mide 5 m, ¿qué distancia recorre cada
pasajero? Exprésala en términos de π.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 10: El círculo
Área del círculo
Se dice que un polígono El área (A) de un círculo de radio r está dada por:
está inscrito en una A = π · r2
circunferencia cuando
sus vértices pertenecen r
a ella. Por ejemplo: A
0OO Ejercicios resueltos
OOO 1. Obtén la fórmula del área del círculo, a partir de la del área de un polígono de
n lados inscrito en una circunferencia.
¿Es posible calcular
el área del círculo a ▷▷ Primero, se debe saber que:
partir del análisis del
área de estos polígonos • Un polígono regular tiene todos sus lados de igual longitud.
inscritos?
• La apotema es el segmento que une perpendicularmente al centro del polígono
regular con uno de sus lados.
APolígono= _ P__ ⋅_2__ a__ .
• El área de un polígono regular de perímetro P y apotema a es
Observa:
Triángulo Cuadrilátero Pentágono
c dd
bb
a cc d ad
b a
c P = 5d y d 5 _d _ _⋅2__ _a_
P = 3b y A = 3 _b _ _⋅2__ _a_ A=
P = 4c y A = 4 _c _ _⋅2__ _a_
Así, el perímetro de un polígono regular de n lados, donde cada uno es de longitud p,
_p _ _⋅2__ _a_ , que
inscrito en una circunferencia es P = np y su área es A = n es equivalente a
A = _P __ ⋅_2__ a__ .
Por otra parte, al aumentar el número de lados del polígono, su perímetro y su área
se aproximan a los del círculo correspondiente, y su apotema se aproxima a su radio.
Observa:
Decágono Dodecágono Icoságono
aa a
Como el perímetro del círculo de radio r es 2πr:
Ap olígono = _ P__ ⋅_2__ a__ ≈ 2__π__r_2 _⋅_ _ _r_ = π ⋅ r2 = A c írculo
158 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Calcula el área de cada círculo. Para ello, ↘ Taller de estrategias
considera π = 3,14. Representar con un dibujo
a. Practica esta estrategia. Para esto, considera el
enunciado y sigue cada paso:
2 mm El radio del círculo es 2 mm. Así:
O A = πr2 = 3,14 · (2 mm)2 Dado un rectángulo cuyo ancho es la mitad de su
= 12,56 mm2 largo (7 cm), ¿cuál es el área de un semicírculo
cuyo diámetro es el largo de dicho rectángulo y su
b. Como el círculo está inscrito radio es el ancho del mismo? Para ello, considera
3 cm en el cuadrado, el diámetro es π = 3,14.
3 cm y su radio es 1,5 cm. Así:
3 cm O A = πr2 ↘↘Paso 1: Comprender el enunciado
= 3,14 · (1,5 cm)2 = 7,065 cm2 • ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el
problema?
Ejercicios propuestos El área del semicírculo.
• ¿Qué información se entrega en el enunciado?
1. Analiza el Taller de estrategias y calcula el área de Del enunciado se puede inferir que el
cada círculo, según la condición dada. semicírculo tiene un diámetro de 7 cm, ya que
a. La longitud del diámetro del círculo es 12 cm. corresponde al largo del rectángulo, que es
7 cm. También es posible inferir que el radio es
b. El círculo está inscrito en un cuadrado cuyos lados de 3,5 cm, ya que es el ancho del rectángulo,
miden 9 mm cada uno. que a su vez es la mitad del largo.
c. El círculo tiene inscrito un triángulo rectángulo de ↘↘Paso 2: Representar la información con un dibujo
catetos de 3 cm y 4 cm y su hipotenusa de 5 cm.
Además, la hipotenusa es un diámetro. 3,5 cm
d. El perímetro del círculo es 31,4 cm. Considerando 7 cm
π = 3,14. ↘↘Paso 3: Calcular lo pedido
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM Como en este caso se quiere calcular el área del
semicírculo, se tiene lo siguiente:
A Semicírculo = _π_ _⋅_2_ _ r_2_
Como r = 3,5 cm:
AS emicírculo = π__ _⋅__ (__3_,_25__ _c__m__) _2_
= 1_2__,_2__5__2π__ _c__m__2_
= 6,125π cm 2
Considerando π = 3,14, se tiene que:
ASemicírculo = 6,125 ⋅ 3,14 cm2
= 19,2325 cm2
↘↘Paso 4: Responder la pregunta
El área del semicírculo es 19 cm2,
aproximadamente.
159
Lección 10: El círculo
Al sobrevolar un terreno Área de figuras compuestas
se distingue la siguiente
figura, generada por El área de figuras compuestas se puede obtener calculando el área de cada figura
el aplastamiento de que la compone y luego sumándolas o restándolas, según corresponda.
pastizales.
Ejercicios resueltos
1. Calcula el área sombreada. Considera π = 3,1416.
a.
La figura está compuesta por un semicírculo
D 8 cm C de radio 2 cm, ya que AD = 4 cm, y el
rectángulo ABCD. Entonces, el área
sombreada se puede calcular sumando las
O 4 cm áreas de dichas figuras, esto es:
A = A + ASombreada
Semicírculo Rectángulo
A B A Sombreada = 1 _2_ · 3,1416 · (2 cm)2 + 8 cm · 4 cm
= 38,2832 cm2
b. C La figura está compuesta por un círculo de
D radio 2 cm y por el rectángulo ABCD, de largo
2 cm 7 cm y de ancho 4 cm, ya que el diámetro es
4 cm O igual al ancho del rectángulo. Entonces, el
A área sombreada se puede calcular restando
ambas áreas, esto es:
A = A – ASombreada
7 cm B Rectángulo Círculo
ASombreada = 7 cm · 4 cm – 3,1416 · (2 cm)2
= 15,4336 cm2
2. Demuestra que el área de la parte sombreada de la figura es 2_ _p__q_ 2_−_ _ q__h_ .
D C La figura está compuesta por un rectángulo de largo q y
E ancho p, y por un triángulo de base q y altura h, menor que
el ancho del rectángulo, es decir, h < p. Entonces, el área
sombreada se puede calcular restando ambas áreas, esto es:
p
h A = A – ASombreada
Rectángulo Triángulo
= p ⋅ q − _q _ _⋅2__ _h_
A q B Que al ser resuelta, se obtiene 2_ _p__q__ 2−__ _q__h_ .
160 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Calcula el área sombreada. Considera π = 3,14.
a.
6 cm
O
b. 6 cm
a
D = 64 cm
O
a
2. Representa algebraicamente el área sombreada de cada figura.
a. Rombo ABCD.
br
a
b. I, II, III y IV son cuartos de círculo de radio 0,5a.
II I
a
III IV
a
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 161
Lección 10
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Resuelve los siguientes problemas. c. La longitud de los lados del triángulo
a. ¿Cuál es la longitud del arco AB en la figura? rectángulo son 6 cm, 8 cm y 10 cm.
Considera π = 3,14.
B
O 45° A
2 cm
b. Si el radio de un círculo aumenta a su doble, d. ABCD es un cuadrado de lado 8 cm y los arcos
¿qué ocurre con su perímetro? BD y DB son cuartos de circunferencia.
DC
c. Si al completar una vuelta una rueda de
bicicleta recorre 163,28 cm, ¿cuál es la AB
longitud aproximada del radio de la rueda? e. ABCD es un cuadrado de lado 5 cm y todos los
Considera π = 3,14.
arcos dibujados son semicircunferencias.
d. Considerando π = 3,14, ¿cuál es el área del DC
círculo cuyo perímetro es 12,56 mm?
AB
e. Si la razón entre los radios de dos círculos es f. La figura solo está construida con semicírculos.
2 : 3, ¿en qué razón están sus áreas?
4 cm
2. Calcula el perímetro de cada figura sombreada.
Para ello, considera π = 3,14.
a. La figura está formada por un cuadrado de lado
10 cm y tres cuartos de círculo.
DC
AB
b. El radio del círculo de centro O es 3 cm.
O
162 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Calcula el área de cada figura sombreada. Para 4 Calcula el perímetro y el área de cada figura
ello, considera π = 3,14. sombreada. Expresa el resultado en términos
a. La figura está construida solo con semicírculos de π.
y AB = 12 cm. a. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y la figura
AO B está compuesta además por un círculo y cuatro
semicírculos.
b. El área del cuadrado es 25 c m2y r = 9 cm es el DC
radio del círculo de centro B.
AB
Ar B b. La figura está compuesta por un cuadrado de
c. El radio de cada círculo es 1,5 cm.
lados de 3 cm y por cuatro semicírculos.
DC
AB
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Pregunta 1)
Analicé situaciones que involucraron los elementos del círculo y circunferencia. (Preguntas 2 y 3 )
Calculé el perímetro y el área de figuras que incluyen círculos. (Pregunta 4)
Calculé perímetros y áreas de figuras compuestas y los expresé en términos de π.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 163
¡Justo a tiempo! Mi cuerpo ¡Sí! por favor, amigo, Toma
necesita minerales. los necesito.
Lección Cavalieri, yo tengo algunos
minerales, ¿los quieres?
Construcciones
geométricas
Bonaventura Cavalieri
↘ Conceptos básicos Conceptos básicos
↘ Punto medio de un Una recta se entenderá como un conjunto infinito de puntos que se extienden
segmento indefinidamente en ambos sentidos y en una misma dirección.
Considerando lo anterior, una semirrecta será cada una de las dos regiones en que
↘ Rectas paralelas un punto P separa a una recta; y un segmento será una parte de la recta delimitada
por dos puntos, uno inicial y uno final, que son los extremos del segmento. Observa:
↘ Rectas
perpendiculares AP B
◾ Recta AB → A‹__B›.
↘ Simetral o mediatriz ◾ Semirrectas PA, PB, BA y AB → _P_A› , _P_B› , B__A› y _A_B› .
◾ Segmento AB → A__B.
↘ Bisectriz Para dibujar una recta, basta considerar cualquier par de puntos contenidos en ella;
mientras que para dibujar una semirrecta, el punto origen debe ser conocido; y para
↘ Alturas y un segmento, los que deben ser conocidos son los puntos extremos.
transversales de
gravedad Ejercicios resueltos
1. Identifica las rectas, semirrectas y segmentos que pueden ser nombrados.
↘ Ángulos y
segmentos AP B
congruentes
▷ pSpeuogseiúdbneleslaenrofinmgoubmrraab,rrhalaadsyasucenomamirsoroerlceatcarteascPAtaAB;,ysriPencBetma( _PAb_A›aPryogor_Pe,_B›cct)oaynPllooBss(st‹A_reeB_g›s,mp‹A_euP_nn›ttooossP‹_AdB_P›ib),.PuAjBaddyemoAsáB,se,setas
↘ Construcción
de triángulos y ( A_P_, _PB_ y _AB_).
cuadriláteros
Ejercicios propuestos
1. Construye lo pedido.
a. Una recta LM, tal que LM = 5 cm. pueda ser identificada como _Q_R› .
b. Una semirrecta QS, tal que ella también
2. Analiza cada pregunta y respóndela junto a un compañero o compañera.
a. Dado un punto P, ¿cuántas rectas que lo contengan pueden ser dibujadas?
b. Dados tres puntos, ¿cuál es el menor número de rectas que pueden ser
dibujadas, si estas deben pasar por los tres puntos?
164 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM
Ohhh, qué interesantes Gracias amigo por subirme el
objetos, en cuanto me recupere, ánimo con tus bromas, pero
los necesito en los alimentos…
calcularé sus volúmenes.
Ah, me hubieses
dicho eso antes…
Punto medio de un segmento Investiga en qué
consiste el principio de
El punto medio de un segmento es aquel que está a igual distancia (d) de los
puntos inicial y final del segmento y que además está contenido en él. Observa: Cavalieri.
AMB 165
dd
El punto M dibujado es el punto medio del segmento AB y será denotado por .M_A_B
Ejercicios resueltos
1. Identifica el punto medio del segmento dado. Para ello, haz una construcción
geométrica.
AB
▷ Paso 1: Abre el compás lo suficiente como para asegurar que dicha abertura es
mayor a la distancia entre el punto medio del segmento y uno de sus extremos.
Paso 2: Con el compás, haz centro en uno de los extremos del segmento y dibuja el
arco (puede ser incluso la circunferencia completa).
Paso 3: Con la misma abertura, haz centro en el otro extremo del segmento y dibuja
otro arco.
Paso 4: Marca los puntos de intersección de los arcos y luego traza la recta que pasa
por ellos.
Paso 5: Marca el punto de intersección de la recta y el segmento; dicho punto es el
punto medio del segmento AB.
Ejercicios propuestos
1. Identifica el punto medio de cada segmento. Para ello, realiza la construcción
geométrica.
a. P b. Q
QP
2. Analiza las preguntas y respóndelas con un compañero o compañera.
a. ¿Para qué situaciones crees que es útil aplicar la construcción geométrica del
punto medio de un segmento? Ejemplifica.
b. ¿De qué otra manera podrías ubicar el punto medio de un segmento? Explica.
SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM
Lección 11: Construcciones geométricas
Rectas paralelas
Los carriles de la vía del Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante. Además, al cortar
tren están separados dos rectas paralelas por una tercera recta, se tiene lo siguiente:
por una distancia
constante. Este L1 L2 Los ángulos de medidas α y β son
concepto es similar al α β correspondientes y dichas medidas
de rectas paralelas. L3 son iguales.
Simbólicamente, se tiene que L1 // L2.
Ejercicios resueltos
1. Construye dos rectas que sean paralelas. Para ello, utiliza regla y compás.
Explica paso a paso.
A L1 ▷▷ Paso 1: a partir de una recta L1, marca un punto A en ella.
BAC Paso 2: haz centro en A y traza una circunferencia de cualquier radio.
BAC
Paso 3: marca los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta.
Nómbralos B y C.
L1 Paso 4: con centro en B y luego en C, traza dos circunferencias con igual radio que la
primera.
Paso 5: considera un par de puntos de intersección de las circunferencias; en este
caso, serán los que están arriba de la recta, y nómbralos P y Q.
L1 Paso 6: traza una recta L2 que pase por P y Q. Luego, L 1y L2son paralelas (L1 // L2).
PQ
L2
B AC L1
2. Analiza la figura. Luego, responde. L1
a. ¿Qué par de rectas son paralelas? Justifica.
▷▷ LcseoarrsrcreoesrcpttoaandsdaLis3epnyotLer4slsadoerne9cp0taa°raLc1laefdloaarsmu, nyaaon.qáuneguallos x y L2
L4 L3
b. ¿Cuál es el valor de x si y = 77°? Justifica.
▷▷ x = 77°, ya que la rpeacrtaaleLl2acso, rfotarmaalansdoreácntagsulos
cLo3 ryreLs4pyoensdtiaesnsteosn. Así, x = y.
166 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Analiza la secuencia de imágenes. Luego, describe paso a paso la estrategia
utilizada para dibujar segmentos paralelos y responde.
B B EB 0 E
0 0 C
D CD
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Estrategia:
◾◾¿Qué diferencias puedes apreciar entre esta construcción y la mostrada en la página
anterior? Comenta con tus compañeros y/o compañeras.
2. Construye una recta paralela a cada segmento dibujado.
a. P b. Q
QP
3. Utiliza regla y compás para construir una recta paralela a cada lado de la figura
dibujada. Luego, responde.
a. B b. C B Desafío
Describe una estrategia
DA que permita ampliar y
reducir un triángulo o
un rectángulo.
CA
◾◾¿Qué figura se forma, en cada caso, al prolongar las rectas paralelas construidas?
◾◾Identifica los puntos medios de cada lado de ambas figuras.
◾◾¿Qué figura se forma, en cada caso, al unir los puntos medios de cada lado?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 167
Lección 11: Construcciones geométricas
Al medir la estatura de una Rectas perpendiculares
persona, generalmente esta
se encuentra perpendicular Dos rectas son perpendiculares si su intersección genera cuatro ángulos rectos.
al piso. El signo que representa la perpendicularidad es ⊥.
L1
L2 Simbólicamente, se tiene que L1 ⊥ L2.
Ejercicios resueltos
1. Construye dos rectas que sean perpendiculares. Para ello, utiliza regla y
compás. Explica paso a paso.
▷▷ Paso 1: a partir de una recta L1, marca un punto A y un punto B en ella.
Paso 2: abre el compás, haz centro en uno de los puntos marcados y dibuja un arco
(puede ser incluso la circunferencia completa).
◾◾ secuencia fotos Paso 3: con una abertura suficiente como para que el arco que se va a dibujar corte
al que ya está dibujado, haz centro en el otro punto y dibuja otro arco.
Paso 4: marca los puntos de intersección de los arcos.
Paso 5: ptrearzpaenladriceuctlaarLa2 ,Lq1.ue pasa por los puntos de intersección marcados. Dicha
recta es
2. Analiza la figura. Luego, responde.
a. ¿Qué par de rectas son perpendiculares? Justifica.
▷▷ LcoarstarercsteafsoLrm1 yanL3ásnognuploesrpreecntdoisc.uPlaorrelsa, ya que al L1
misma razón, L4 L3
las rectas L1 y L4 también son perpendiculares.
b. Si L1 ⊥ L3 y L1 ⊥ L4, entonces, ¿L3 ⊥ L4? Justifica.
▷▷ Si una recta es perpendicular a dos o más rectas,
entonces estas rectas son paralelas entre sí. Por lo
tanto, L3 // L4 y no son perpendiculares.
168 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos B
1. Analiza la secuencia de imágenes. Luego, describe paso a paso la estrategia
utilizada para dibujar segmentos perpendiculares y responde.
BB
0C 0C 0C
A A A
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Estrategia:
◾◾¿Qué diferencias puedes apreciar entre esta construcción y la mostrada en la página
anterior? Comenta con tus compañeros y/o compañeras.
2. Construye una recta perpendicular a cada segmento dibujado.
a. P b. Q
QP
3. Utiliza regla y compás para construir una recta perpendicular a cada lado de la
figura dibujada. Luego, responde.
a. B b. C B
CA DA
◾◾¿Crees posible dibujar las rectas perpendiculares a los lados del triángulo, sin que
ellas se corten? ¿Y en el rectángulo?
◾◾Dibuja las rectas perpendiculares a cada lado de las figuras, tales que pasen por
los puntos medios. ¿Qué característica tiene el punto de intersección de las rectas
perpendiculares construidas?
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 169
Lección 11: Construcciones geométricas
¿Cómo podrías asegurar Simetral o mediatriz
que la tapa de este
vaso tiene la bombilla La simetral o mediatriz de un segmento es una recta que lo corta en su punto
ubicada justo en el medio, de tal forma que la recta y el segmento son perpendiculares.
centro del círculo que la En un triángulo cualquiera, si se traza la simetral a cada lado del mismo, el punto de
representa? intersección se denomina circuncentro.
Si se tiene un triángulo con su circuncentro respectivo, es posible trazar la
circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, los vértices del triángulo
pertenecerán a la circunferencia.
Ejercicios resueltos
1. Analiza la construcción geométrica del punto medio de un segmento y de rectas
perpendiculares, y describe paso a paso cómo construir la simetral de un
segmento.
▷▷ Según las construcciones mencionadas, se tienen las siguientes imágenes:
Punto medio de un segmento Rectas perpendiculares
Al observarlas, es posible apreciar que en la primera se cumple la condición de pasar
por el punto medio del segmento, mientras que en la segunda es posible afirmar que
son perpendiculares. Ambas condiciones son características de la simetral de un
segmento, por lo tanto, para construir una simetral:
Paso 1: abre el compás lo suficiente como para asegurar que dicha abertura es
mayor a la distancia entre el punto medio del segmento y uno de sus extremos.
Paso 2: con el compás, haz centro en uno de los extremos del segmento y dibuja el
arco (puede ser incluso la circunferencia completa).
Paso 3: con la misma abertura, haz centro en el otro extremo del segmento y dibuja
otro arco.
Paso 4: marca los puntos de intersección de los arcos y luego traza la recta que pasa
por ellos; dicha recta es perpendicular al segmento y lo corta en su punto medio, por
lo tanto, es la simetral del segmento.
2. Explica cómo construir el circuncentro de un triángulo.
▷▷ Como el circuncentro de un triángulo corresponde al punto de intersección de las
simetrales de cada uno de sus lados, para construirlo, se deben trazar las rectas
perpendiculares que pasen por el punto medio de cada lado del triángulo. Para
realizar lo anterior, es posible utilizar un compás y una regla.
170 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Dibuja la circunferencia circunscrita a los triángulos dados.
a. b.
Ejercicios propuestos Desafío
1. Describe paso a paso una estrategia que permita construir geométricamente el Investiga cómo
circuncentro y la circunferencia circunscrita de un triángulo cualquiera. construir con
GeoGebra simetrales
2. Aplica la estrategia descrita en la actividad anterior y dibuja la circunferencia y circunferencias
circunscrita a cada triángulo. circunscritas a un
triángulo.
a. b. ¿Qué ventajas y
desventajas crees que
R tiene usar un software
para realizar esta tarea
C en lugar de un compás
B y una regla? Discute
con tus compañeros y/o
compañeras.
A
PQ
↘ Taller de Matemática aplicada C
Habilidad: aplicar B
¿Cuál de las alternativas permite determinar el centro del círculo dibujado? A
171
A. Se traza la simetral del segmento AC que pasa por B.
B. Se traza cualquier recta perpendicular a cada lado del triángulo de tal forma
que se intersequen.
C. Se traza la simetral de cada lado del triángulo y se marca el punto de
intersección.
D. Se traza un diámetro con B como uno de sus extremos y se marca el punto
medio.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 11: Construcciones geométricas
¿Sabes construir aviones Bisectriz
de papel? Las bisectrices
tienen mucho que ver en La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos de igual medida.
esto. En cualquier triángulo, el punto de intersección de las tres bisectrices posibles de
trazar se denomina incentro (I).
Ejercicios resueltos
1. Construye la bisectriz de un ángulo. Para ello, utiliza regla y compás. Luego, explica
paso a paso.
▷▷ Considerando el ángulo AOB, se trazará su bisectriz.
Paso 1: dibuja un arco con el compás, considerando centro O y cualquier abertura, y
determinando los puntos P y Q (Figura 1).
Paso 2: haciendo centro en P y luego en Q, dibuja dos arcos que se intersequen,
determinando el punto C (Figura 2).
Paso 3: traza la recta OC. Dicha recta es la bisectriz del ángulo AOB. Así, los ángulos
AOC y COB son de igual medida (Figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
B
2. Construye la circunferencia inscrita en el triángulo ABC dibujado a la izquierda.
Para ello, dibuja y explica la secuencia de pasos.
C Figura 1 Figura 2 Figura 3
A Paso 1: se trazan dos Paso 2: se traza la recta Paso 3: se dibuja la
172 bisectrices y se dibuja el que contiene al incentro circunferencia de centro I y
incentro (I). y que es perpendicular al radio IP. De esta forma, se
lado comprendido por las obtiene la circunferencia
bisectrices dibujadas. inscrita al triángulo ABC.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos
1. Aplica los pasos descritos en la página anterior y traza la bisectriz de cada
ángulo dado.
a. Ángulo extendido. c. Ángulo recto. Ayuda
A • Los ángulos pueden
ser clasificados, de
AO B OB acuerdo a su medida,
b. Ángulo obtuso. en:
d. Ángulo agudo.
A • Agudos: su medida
A está entre 0° y 90°.
OB OB • Rectos: su medida es
90°.
• Obtusos: su medida
está entre 90° y
180°.
• Extendidos: su
medida es 180°.
• Completos: su medida
es 360°.
2. Aplica los pasos descritos en la página anterior y dibuja la circunferencia
inscrita en cada triángulo.
a. B c. Q
C R P
A
b. K d. T S
L R
J
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 173
Lección 11: Construcciones geométricas
Alturas y transversales de gravedad
Alturas de un triángulo: Las alturas de un triángulo son los segmentos que unen perpendicularmente cada
vértice con cada lado del triángulo, opuesto a dichos vértices.
C Las transversales de gravedad de un triángulo son los segmentos que unen cada
Alturas O vértice del triángulo con el punto medio de cada lado opuesto a dichos vértices.
En cualquier triángulo, el punto de intersección de las tres alturas posibles de trazar
AB se denomina ortocentro (O); mientras que el punto de intersección de las tres
transversales de gravedad posibles de trazar se denomina centro de gravedad (G)
Transversales de o baricentro.
gravedad de un
Ejercicios resueltos
triángulo: 1. Representa con dibujos una estrategia para construir una altura del triángulo
C dado. Para ello, utiliza regla y compás.
G
A1 B
B
C
A
B
C
2. Representa con dibujos una estrategia para construir una transversal de
gravedad del triángulo dado. Para ello, utiliza regla y compás.
A SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
174
Ejercicios propuestos
1. Describe, junto a un compañero o compañera, paso a paso las estrategias para
construir las alturas y las transversales de gravedad usadas en los ejercicios
resueltos de la página anterior.
2. Dibuja las alturas de cada triángulo dado.
a. B c. Q
R P
CA
b. K d. T
S
LR
J
3. Dibuja las transversales de gravedad de cada triángulo dado. Desafío
a. B b. T Investiga cómo
construir bisectrices,
simetrales, alturas
y transversales
de gravedad en
S Geogebra. Luego,
R anota una ventaja
CA y una desventaja
sobre realizar estas
construcciones de
forma manual o con un
software.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 175
Lección 11: Construcciones geométricas
Ángulos y segmentos congruentes
Las siguientes imágenes Dos o más segmentos son congruentes si su longitud es la misma; mientras que dos
representan dos ángulos o más ángulos son congruentes si su medida es la misma.
congruentes:
Ejercicios resueltos
1. Describe paso a paso una estrategia para construir un segmento congruente al
dado. Para ello, utiliza regla y compás.
Paso 1: traza una recta y dibuja un punto A’
A B cualquiera en ella.
Paso 2: considerando la abertura del compás
igual a la distancia AB, dibuja el punto B’ en
la recta. El segmento A’B’ es de igual longitud
que el segmento AB, es decir, son congruentes.
2. Construye un ángulo congruente al dibujado y explica paso a paso la estrategia
usada. Para ello, utiliza regla y compás.
▷▷ Considerando el ángulo CBA, se tienen los siguientes pasos:
Paso 1: con centro en B, dibuja un arco determinando los
puntos M y N (Figura 1).
A Paso 2: con la regla, dibuja un rayo de origen B’, marca un
punto cualquiera C’ y, considerando la misma abertura del
compás utilizada en el paso 1, dibuja el punto N’ sobre el
rayo B’C’ determinando un arco (Figura 2).
B C Paso 3: considerando una abertura igual a la distancia
MN, dibuja el arco N’M’ haciendo centro en N’ (Figura 3).
Paso 4: traza el rayo B’M’ y dibuja en él un punto A’. El
ángulo C’B’A’ es congruente al ángulo CBA (Figura 4).
Figura 1 Figura 3
Figura 2
Figura 4
176
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Ejercicios propuestos C
1. Construye una figura A’B’C’D’B’E’, tal que AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’,
DB = D’B’, BE = B’E’ y EA = E’A’.
AE
B
CD
2. Construye un ángulo congruente a cada ángulo dibujado.
a. b.
C
A BA B
Desafío 177
Investiga cómo copiar segmentos y ángulos utilizando GeoGebra. Luego, describe paso a
paso la estrategia y pide a un compañero o compañera que la lleve a cabo y concluya si se
logra el objetivo.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 11: Construcciones geométricas
Construcción de triángulos y cuadriláteros
Existen muchos objetos Según sus Acutángulo Ángulos interiores agudos.
de forma triangular y ángulos Rectángulo
cuadrangular. Según sus Obtusángulo Un ángulo interior recto.
lados Equilátero
Triángulo Isósceles Un ángulo interior obtuso.
Escaleno Los tres lados de igual
longitud.
Dos lados de igual longitud
y otro distinto.
Los tres lados de distinta
longitud.
Paralelogramo Sus lados
opuestos son
paralelos. Romboide Rectángulo Cuadrado Rombo
Cuadrilátero Trapecio Solo dos de
sus lados son
paralelos. Trapecio Trapecio isósceles
Trapezoide No tiene
lados
paralelos. Trapezoide
Ejercicios resueltos
1. Construye un triángulo con los segmentos dados. Para ello, representa con
dibujos los pasos de la secuencia. Utiliza regla y compás.
Paso 1 Paso 3
Se dibuja uno de los 3 lados. Por ejemplo, A_ _B . Paso 4
Paso 2
178 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Construye un rectángulo. Para ello, representa con dibujos los pasos de la
secuencia y explícalos. Utiliza regla y compás.
Paso 1: dibuja un segmento AB de cualquier longitud, que corresponderá a un lado del
paralelogramo (Figura 1).
Paso 2: en cada extremo del segmento (puntos A y B) traza una recta perpendicular (Figura 2).
Paso 3: con centro en A y luego en B, considerando cualquier radio, dibuja arcos de
circunferencia que intersequen a las rectas perpendiculares. Estos puntos corresponderán
a los otros dos vértices (C y D) del paralelogramo. Luego, une los puntos para formar el
paralelogramo (Figura 3).
Figura 2 D Figura 3 C
A Figura 1 B BA B
A
3. Construye un triángulo en el que las longitudes de dos de sus lados, AB y BC,
sean 4 cm y 6 cm, respectivamente, y el ángulo comprendido entre ellos sea de
40°.
Paso 1: dibuja uno de los lados, puede ser el segmento AB (Figura 1).
Paso 2: dibuja una recta L que contenga el extremo B del segmento AB y que forme con
este un ángulo de 40° (Figura 2).
Paso 3: dibuja sobre la recta L el vértice C, que determina el lado BC del triángulo (Figura 3).
Paso 4: dibuja el segmento AC, con lo que se concluye la construcción del triángulo ABC
pedido (Figura 4).
Figura 2 Figura 3 Figura 4
L L L
C C
Figura 1 6 cm 6 cm 6 cm
A 4 cm B
40° 40° 40°
A 4 cm B A 4 cm B A 4 cm B
4. Explica para qué sirve la construcción representada en la secuencia de dibujos.
L ML ML
C
A 6 cm B
45° 45° 55° 45° 55°
A 6 cm BA 6 cm B A 6 cm B
La secuencia de imágenes representa la construcción de un triángulo ABC, del que se conoce
que AB = 6 cm, la medida del ángulo BAC es 45° y la del ángulo CBA es 55°.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 179
Lección 11: Construcciones geométricas
Ayuda Ejercicios propuestos
En todo triángulo, la 1. Construye un triángulo equilátero de lado 4 cm. Para ello, utiliza regla y
longitud de cualquiera
de sus lados es menor compás.
que la suma de las
longitudes de los otros 2. Construye un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
dos lados y es mayor
que la diferencia
(positiva) de las
longitudes de los otros
dos lados. Por ejemplo:
α b
c
β λ
a
• a < b + c • a > b – c
• b < a + c • b > a – c
• c < a + b • c > a – b
3. Analiza la tabla. Luego, complétala.
Longitud de un Comparación con Comparación con la ¿Es posible
lado (cm) la suma diferencia (positiva) construir el
b–c a–c a–b triángulo?
abc a+b b+c a+c
Sí
10 6 8 16 > 8 14 > 10 18 > 6 2 < 10 2 < 6 4 < 8
11 7 4
955
4. Construye cada triángulo descrito. Para ello, utiliza regla y compás.
a. Un triángulo en el que las longitudes b. Un triángulo en el que la longitud de
de dos de sus lados son 3 cm y 5 cm, uno de sus lados es 5 cm, y la medida
y la medida del ángulo comprendido de los ángulos que tienen como lado
entre ellos es 80°. común a este segmento son 60° y 30°.
180 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
5. Analiza la información y diseña una estrategia que ↘ Taller de estrategias
permita construir los siguientes cuadriláteros. Copiar los vértices de la figura
◾◾El rectángulo es un paralelogramo que tiene sus Practica esta estrategia. Para esto, considera el
cuatro ángulos interiores rectos y dos pares de lados enunciado y sigue cada paso:
de igual longitud.
Construye una figura B A D
◾◾El rombo es un paralelogramo que tiene sus lados congruente a la C
de igual longitud y sus ángulos opuestos son dada, verificando
congruentes, dos de ellos son agudos y los otros dos que se cumplen las
son obtusos. condiciones:
◾◾El romboide es un paralelogramo que tiene sus
ángulos y lados opuestos congruentes.
Rectángulo Rombo Romboide ↘↘Paso 1: Dibujar el primer vértice
Se traza una recta y se dibuja
a. Rectángulo cuyo largo es 5 cm y su ancho es 3 cm. uno de los vértices de la
b. Un rombo de lado 4cm. figura congruente a la dada.
En este caso, A’.
c. Un romboide de lados 2 cm y 6 cm.
↘↘Paso 2: Dibujar el segundo vértice
6. Analiza el Taller de estrategias. Luego, construye Con centro en A, se abre
una figura congruente a la dada. el compás hasta B y,
considerando esta abertura,
a. A se hace centro en A’ para
_Am_’aB_r’ ccaorneglrpuuenntteo aB’A_, g_Be . nerando
C
↘↘Paso 3: Dibujar los vértices restantes
B A partir de los vértices
b. E copiados, es posible dibujar
los restantes. Para esto, debes
FD hacer centro con el compás
c. T S en los puntos ya copiados
de la figura original y considerar las aberturas
correspondientes a las distancias de dichos
vértices respecto al punto que se quiere copiar de
la figura original. Luego, se dibujan los arcos y se
marca el punto de intersección entre ellos. En este
caso, a partir de los vértices A y B se copiaron los
vértices C y D, generando los puntos C’ y D’.
↘↘Paso 4: Dibujar los lados del polígono
Finalmente, se trazan los
lados del polígono uniendo
los vértices copiados. En este
caso, la figura A’B’C’D’ es
congruente al polígono ABCD.
UR 181
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Lección 11
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Resuelve los siguientes problemas. b. Una recta perpendicular al lado AC del
triángulo ABC.
a. ¿Qué diferencia hay entre una recta, una A
semirrecta y un segmento?
BC
b. ¿Cuál es el punto medio de cada segmento c. Una recta perpendicular a cada lado del rombo
dibujado? Destácalo con rojo.
DEFG.
P S G
R
DF
Q E
2. Analiza cada situación. Luego, explica. 5. Construye las simetrales de cada lado del parale-
logramo ABCD.
a. Desde un punto cualquiera que no pertenece a DC
una recta dada, ¿es posible construir dos rectas
paralelas? AB
6. Construye la circunferencia circunscrita al trián-
b. Si la recta M es rpeacrtaaleTl,aeantloanrceecsta¿‹LM_ ›y // l‹ _aT › ?recta L
es paralela a la gulo ABC.
A
c. Si una recta L interseca ‹N_a › l ainrteecrsteacNa, aen‹_L t› o ?nces
¿una recta M paralela a
3. Construye lo pedido en cada figura.
a. Una recta paralela a la recta XY.
Y
X
b. Una recta paralela al lado AB del triángulo ABC.
A
BC BC
c. Una recta paralela a cada lado del rombo DEFG.
7. Construye los elementos pedidos en cada caso.
G a. Las bisectrices de los ángulos del triángulo
ABC.
DF B
A
E C
4. Construye lo pedido en cada figura.
a. Una recta perpendicular a la recta XY.
Y
X
182 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
b. Las transversales de gravedad del triángulo b. A D
DEF. BC
F
9 Construye un triángulo congruente al dibujado
DE y luego traza las simetrales de cada lado, las bi-
c. La circunferencia inscrita en el triángulo GHI. sectrices, transversales de gravedad y las altu-
ras. Finalmente, dibuja las circunferencias inscri-
G ta y circunscrita al triángulo.
I P
H QR
d. Las alturas del triángulo JKL.
J
K
L
8. Construye una figura congruente a la dada.
a. G I
H
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador
Apliqué los conceptos de recta, segmento, semirrecta, punto medio de un segmento, rectas paralelas y
rectas perpendiculares para evaluar situaciones.
(Preguntas 1 y 2)
Construí rectas paralelas y rectas perpendiculares.
(Preguntas 3 y 4)
Construí simetrales y circunferencias circunscritas a un triángulo.
(Preguntas 5 y 6)
Construí bisectrices, transversales de gravedad, alturas y circunferencias circunscritas a triángulos.
(Preguntas 7 y 9)
Construí figuras congruentes a triángulos y cuadriláteros.
(Preguntas 8 y 9)
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 183
UNIDAD ↘ Taller de TIC
GeoGebra
Con el programa GeoGebra, disponible de forma gratuita en www.geogebra.org, podrás realizar diversas tareas
geométricas relacionadas con esta unidad.
Verifica que si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos y alternos
externos poseen igual medida. Para esto, sigue los pasos:
1 Con el botón construye una recta. 2 Con el botón construye una recta
paralela a la ya dibujada. Para ello, con el
botón debes dibujar un punto de la
recta paralela que construirás.
3 Con el mismo botón utilizado en el 4 Con el botón mide los ángulos
paso , crea una recta que corte a las
rectas paralelas. obtenidos entre las rectas. Para ello,
marca tres puntos, que corresponderán al
ángulo medido.
Finalmente, con el botón puedes seleccionar cualquier recta o punto, arrastrarlos y verás cómo se mueven
los objetos manteniendo la relación encontrada en los ángulos.
118844 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM
Ahora, verifica que siempre es posible dibujar una circunferencia circunscrita a cualquier triángulo. Para esto,
sigue los pasos:
1 2Con el botón Con el botón construye la simetral o
construye un triángulo.
mediatriz de cada lado del triángulo.
3 Con el botón marca el punto 4 Con el botón construye la
de intersección de las tres simetrales circunferencia que contiene los vértices
construidas. del triángulo.
Finalmente, con el botón puedes seleccionar cualquier vértice del triángulo, arrastrarlo y verás cómo se
mueven los objetos manteniendo siempre el triángulo inscrito en la circunferencia.
. Verifica que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.
. Verifica geométricamente que la simetral de toda cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
. Construye el incentro de un triángulo y la circunferencia inscrita.
SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 118855
Lección Mmm…pareciera que Mmm…a la distancia
está quebrado. me parecía curva.
Movimientos
de figuras René Descartes
planas
Plano cartesiano
↘ Plano cartesiano
↘ Vectores El plano cartesiano está formado por dos rectas 3Y
↘ Posición y numéricas que se intersecan perpendicularmente. 2
La recta horizontal recibe el nombre de eje de 1
desplazamiento las abscisas o eje X, y la recta vertical recibe el
↘ Juegos y nombre de eje de las ordenadas o eje Y; el punto de
intersección de las dos rectas recibe el nombre de
desplazamiento origen (O).
–3 –2 –1–10 123 X
–2
–3
Ejercicio resuelto
1. Ubica los puntos en el plano.
Y H A(2, 1) H(3, 3)
B3 B(–1, 3) I(4, 2)
C(4, –1) J(2, –1)
G2 I D(–2, 0) K(–3, –2)
4X E(0, –1) L(–2, –1)
1A C F(2, –2) M(–1, –2)
G(–2, 2)
D 23
–3 –2 –1 0 1 J
L –1 E
K M–2 F
Ejercicios propuestos
1. Identifica las coordenadas de los puntos dibujados en el plano.
Y A A( , ) H( , )
F3 B( , ) I( , )
C( , ) J( , )
D2 I D( , ) K( , )
E( , ) L( , )
H 1B F( , ) M( , )
L 12 C
–3 –2 –1 0 J 3 4X
–1
M K –2 E
–3 G G( , )
186 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM
¡Sí! para pensar
que todo es falso
debo existir,
entonces la
primera verdad es
“¡Pienso, existo!”.
¿Y esto será un saber
verdadero? ¡Siento que todo es
falso!
¿Estás de acuerdo con
la frase de Descartes?
2. Ubica en el plano cartesiano los puntos dados.
Y A(2, 1) G(4, 0) M(6, 4)
B(–3, 0) H(7, 1) N(–8, –3)
5 C(–2, 3) I(6, –5) O(0, 0)
4 D(4, –2) J(0, –5) P(0, 4)
3 E(5, –5) K(3, –4) Q(–3, –1)
2 F(–10, 4) L(2, 5) R(–9, –1)
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
–2
–3
–4
–5
3. Dibuja en el plano cartesiano los cuadriláteros, según los vértices dados.
a. A(4, 8), B(4, 4), C(10, 4) y D(10, 8). b. L(–1, –3), M(4, –3), N(4, –1) y P(–1, –1)
4. Dibuja en el plano cartesiano los triángulos, según los vértices dados.
a. A(2, 2), B(6, 2) y C(4, 7). c. G(–7, –4), H(–2, –4) y I(–2, 0).
b. D(1, 2), E(5, 2) y F(8, 5). d. J(2, –5), K(6, –5) y L(–2, –2).
5. Calcula el perímetro de los polígonos dibujados.
a. Y b. Y c. 1 Y
A2 DD 3C
–3 –2 –1 0 1 2 3X
12 D –1 C
–3 –2 –1 0 1 2 3 4X 1 B –2
–1 C A 2
–3 –2 –1 0 1 X –3
B –2
–1 A –4 B
6. Calcula el área de los polígonos dibujados.
a. b. 2 Y c.
Y
Y A1 D X
3D C –5 –4 –3 –2 –1 0 1
2 –2 –1 0 1 2 3 X A –1 D
1 –1
–2
A0 1 2 3 4 5B X –2 B –3 C
–3
B –4 C
SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 187
Lección 12: Movimientos de figuras planas
Vectores
Un vector es representado por un segmento de Y
recta orientado, que v(aA__Bd› )escdoentuenmppulanntodoAuunoarigen, 3
al punto B o extremo 2 B
dirección, un sentido y una magnitud o módulo. 1A
X
La dirección está dada por la recta que contiene al –3 –2 –1 0 1 23
segmento de recta o cualquiera paralela a ella. –1
–2
El sentido está dado desde origen del segmento de –3
la recta (A) hasta el extremo (B).
El módulo o magnitud corresponde a la longitud
del segmento AB.
Ejercicios resueltos
1. Copia el vector en cada punto dado.
2. Suma geométricamente los vectores.
Ejercicios propuestos
1. Copia los siguientes vectores en tu cuaderno.
AC IL M Q
R
K P
D F Ñ O
B H
GJ N
E
S
188 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
2. Resuelve geométricamente las adiciones entre los vectores dados en la
actividad anterior.
a. A_ _B› + _C _D› d. M__N_› + _ _› g. C_ _D› + G_ _H›
b. E__F› + G_ _H›
c. _IJ› + K__L› Ñ O
e. P_Q_› + R_ _S› _K_IJ›_L ›+ +_M Ñ__N__O› ›
f. A_ _B› + E_ _F› h.
i.
3. Construye los vectores en el plano cartesiano. Para ello, considera el primer
punto como origen del vector y el segundo, como extremo.
a. A(2, 1) y B(3, 7) d. G(–3, 1) y H(–6, 3) g. M(4, –1) y N(5, –3)
b. C(5, 1) y D(4, 4) e. I(–2, –4) y J(–3, –1) h. O(0, 0) y P(3, –4)
c. E(–1, 4) y F(–2, 3) f. K(–5, –1) y L(–1, –6) i. Q(2, –6) y R(–4, –8)
4. Representa los vectores en el plano cartesiano. Luego, resuelve y responde.
Para ello, considera el primer punto como origen del vector.
A(2, 5) y B(–3, 1) E(2, 1) y F(3, 0) I(–2, –1) y J(2, 3) M(1, 1) y N(5, 3)
C(1, –4) y D(–2, –5) G(6, 1) y H(2, 0) K(–1, –6) y L(–2, –7) Ñ(–4, –8) y O(–2, –4)
a. _A_B› + C_ _D› d. M__N_› + _ _› g. C_ _D› + G__H›
b. _E_F› + _G _H›
c. _IJ› + _K_L› Ñ O
e. G__H› + G_ _H› __KIJ›_L ›+ +_M_Ñ_N__O› ›
f. _A_B› + E_ _F› h.
i.
◾◾¿Qué conclusiones puedes obtener de estas sumas?
◾◾¿Existe una forma de sumar vectores sin tener que construirlos en el plano cartesiano?
5. Resuelve las adiciones entre los vectores dados. Considera el primer punto
como origen del vector y el segundo como extremo.
A(–3, 4) y B(2, 5) G(–4, 8) y H(–5, –9) M(–3, 6) y N(–1, 4)
C(–4, –6) y D(–3, –2) I(–1, 4) y J(7, 10) Ñ(8, –12) y O(–7, –20)
E(–1, –6) y F(–2, –7) K(–4, –8) y L(–2, –4) P(3, 2) y Q(–5, 4)
a. _A_B› + C_ _D› f. A_ _B› + _E _F› k. M_ _N_› + __› _P Q_› Desafío
b. _E _F› + G__H› g. C__D› + G__H› C_ _D› + __› Representa en el
Ñ O + plano cartesiano cómo
_G_H› + Ñ O crees que se resuelve
l. una sustracción de
c. _IJ› + _K_L› h. _IJ› + M__N_› m. A_ _B› + G_ _H› vectores.
M_ _N_› + __› _K _L› + _ _› n. A_ _B› + _IJ›
d. i.
Ñ O Ñ O
e. P_ Q_› + E_ _F› j. A_ _B› + P_ Q_›
ñ. K__L› + M_ _N_›
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 189
Lección 12: Movimientos de figuras planas
Posición y desplazamiento
Sé más Un vector de desplazamiento se anotará como un par ordenado (a, b), donde la
coordenada a representará el desplazamiento en forma horizontal y la coordenada
Cualquier vector b, el desplazamiento vertical. Si a > 0, el desplazamiento será hacia la derecha, si
posición puede a < 0, el desplazamiento será a la izquierda; mientras que si b > 0, el movimiento
denotarse por una será hacia arriba y si b < 0, el movimiento será hacia abajo.
letra minúscula con El vector que une el origen del plano cartesiano O(0, 0) con un punto P recibe el
una flecha sobre ella, nombre de vector posición.
el signo = y debe
estar seguido de las Ejercicios resueltos
coordenadas del punto
extremo. _Pv› o=r ejemplo, 1. Calcula el valor de las incógnitas, dados un punto, el vector de desplazamiento
el vector (1, 5) y el punto resultante.
representa lo siguiente: a. A(2, 5) y _v› = (3, 6) → X(a, b).
▷▷ a = 5 y b = 11, ya que 2 + 3 = 5 y 5 + 6 = 11.
5Y b. B(7, 4) y _v› = (a, b) → X(9, 5).
4 ▷▷ a = 2 y b = 1, ya que 9 – 7 = 2 y 5 – 4 = 1.
3 c. C(a, b) y _v› = (2, 7) → X(6, 2).
2 ▷▷ a = 4 y b = –5, ya que 4 + 2 = 6 y 7 – 5 = 2.
1
0 12345X
Ejercicios propuestos
1. Escribe en coordenadas los siguientes desplazamientos.
a. 5 unidades a la derecha y 2 hacia f. 5 unidades hacia la izquierda.
arriba.
g. 9 unidades hacia la derecha y
b. 3 unidades a la derecha y 4 hacia 1 hacia abajo.
abajo.
h. 8 unidades hacia la derecha.
c. 4 unidades a la izquierda y 3 hacia
arriba.
d. 2 unidades a la izquierda y 1 hacia i. 7 unidades hacia la derecha y
abajo. 3 hacia arriba.
e. 6 unidades hacia arriba. j. 2 unidades hacia arriba.
2. Determina las coordenadas resultantes, luego de desplazar cada punto dado su
respectivo vector.
a. A(2, 6) y _v› = (6, 4) g. G(–1, –2) y _v› = (–1, –2)
CDB(((6–35,, 5,–47) ))yyy_v›__ v v›=› ==(–((242,,, h. HJI((74(3,,,027)))yyy_v_v›_›v ›== =((––(2–47,,,3––)23))
b. 1) i.
c. –5) j.
d. 0)
FE((–02, ,––45))yy_v›_v ›= =(1(–,34,)–7) –24) )yy_v›_v ›= =(–(–34, 3, )6)
e. k. K(2,
f. l. L(6,
190 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
3. Determina el vector, en cada situación, que permite desplazar los puntos
originales con sus respectivos puntos finales P.
a. A(5, 8) → P(3, 4) d. G(–4, –3) → P(7, –4) g. M(3, –7) → P(–3, 7)
b. C(8, 7) → P(4, 10) e. I(4, –5) → P(–4, –5) h. O(0, 0) → P(3, 4)
c. E(2, –1) → P(–1, 1) f. K(6, –7) → P(–6, 7) i. Q(–4, 9) → P(6, 10)
4. Determina el punto original, considerando el punto final P al que fue
desplazado, según el vector dado. _v›
_v› _v›
a. _v› = (3, 5) → P(6, 2) e. _v› = (4, –5) → P(0, 0)
b. _v› = (–3, 1) → P(2, 2) f. _v› = (–6, 2) → P(–6, 2)
c. _v› g.
d. = (–2, –3) → P(–4, 5) h. = (–4, –8) → P(4, 8)
= (–7, –2) → P(–4, –3) = (7, 0) → P(–3, 4)
5. Desplaza la figura, según el vector de traslación dibujado.
Y Y
5 3 1 2 3X
4 2
3 1
2
1 –2 –1 0
–1
–1 0 1 2 3 4 5 6 X –2
–1
Y Y
1
3
2 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X
1 –1
–2
–1 0 1 2 3 4 5X –3
–1
–2
6. Considerando las coordenadas de cada figura y el vector de desplazamiento,
encuentra las coordenadas de la nueva figura.
A(5, 2), B(6, 3), C(8, 2) y _v› = (2, 6)
a. A(4, –3), B(5, 2), C(4, –5) y _v› = (0, –4)
b. A(2, 2), B(–3, 3), C(–4, 4) y _v› = (1, –1)
c. A(–6, –1), B(–4, 8), C(1, 2) y _v› = (3, 4)
d. A(4, 2), B(–6, –3), C(1, 2) y _v› = (6, 2)
e. A(–1, 1), B(2, 3), C(–4, –3) y _v› = (0, 1)
f.
SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 191
Lección 12: Movimientos de figuras planas
Juegos y desplazamiento
Hay numerosos juegos que involucran desplazamiento de figuras. Por ejemplo,
la batalla naval, el ajedrez, etc. Incluso, puedes crear juegos en los que debas
desplazar figuras.
Juego 1 Batalla naval
◾◾ Cada participante deberá dibujar dos tableros, uno donde tú ubicarás tu propia flo-
ta, de naves y el otro donde registrarás los disparos realizados. Observa el ejemplo.
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Disparos Flota propia
◾◾ Cada participante podrá ubicar su propia flota de la manera que guste, con la condi-
ción de que ningún barco esté tocando a otro y sin que su contrincante vea la ubica-
ción que les ha dado. Tu flota debe estar compuesta por:
1 portaaviones (cuatro cuadrados).
2 acorazados (tres cuadrados).
4 buques de guerra (dos cuadrados).
5 submarinos (un cuadrado).
◾◾ Reglas del juego
El turno de cada jugador es alternado y la partida se sortea. El jugador que tiene
el turno, hace un “disparo” señalando la coordenada de su tiro; el primer número
indicado hace referencia a la columna y el segundo a la fila. Si dichas coordenadas
no tocan a ninguna de las naves del contrincante, él debe decir “agua”; mientras que
si toca a alguna, debe decir “tocado”. Cuando se complete una nave, se debe decir
“hundido”. Por ejemplo, en el tablero dado, (1, 2) “agua”, (6, 5) “tocado” y (2, 1)
“hundido”.
En el tablero de disparos, debes ir marcando cada disparo realizado, para evitar
perder tiros repitiendo jugadas. Finalmente, gana el participante que logra hundir
toda la flota de su contrincante.
192 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
Juego 2 Ajedrez 8
◾◾ El movimiento del caballo en el tablero de ajedrez 7
6
se relaciona con la letra L, ya que, desde la posición 5
en que se encuentra el caballo, debe moverse dos 4
cuadrados en forma vertical u horizontal y luego un 3
cuadrado hacia uno de los lados, dependiendo del 2
caso, formando una L. 1
Esta actividad consiste en que debes ubicar el caballo
en cualquier casillero del tablero e ir moviendo el 12345678
caballo (según las reglas del ajedrez), de tal forma
que pase una sola vez por todas las casillas. Para
este juego, debes ir pintando las casillas por las
cuales ha pasado el caballo y llevar un registro de tus
movimientos, para así comprobar que has realizado
los movimientos que corresponden. Debes recordar
que, en el mejor de los casos, tu caballo tendrá ocho
movimientos posibles, pero siempre tendrás que optar
por uno.
Juego 3 El cazador 10
◾◾ Para este juego se necesitan dos jugadores, uno será 9
8
el cazador y el otro será la presa. 7
El cazador tendrá que ir en busca de su presa, mientras 6
que la presa tendrá que correr para salvarse. El cazador 5
se moverá asemejando los movimientos del caballo 4
en un tablero de ajedrez y cada vez que termina su 3
movimiento, puede realizar un disparo cuya máxima 2
potencia es igual al movimiento del caballo; si no logra 1
cazar a su presa, esta tendrá derecho a moverse en
forma horizontal o vertical solo dos cuadros. Siempre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
comienza el cazador en el cuadro (1, 1) y la presa, en
el (8, 8).
Debes anotar cada movimiento y una vez que la presa
sea cazada, comienza el juego nuevamente con los
roles cambiados. Gana el que cazó a la presa en menos
movimientos.
◾◾ Construye con un compañero o compañera un nuevo
juego donde utilices las coordenadas del plano carte-
siano y el desplazamiento.
SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 193
Lección 12
Evaluación
Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.
1. Escribe V o F si la afirmación es verdadera o falsa. 3. Resuelve geométricamente las adiciones. Para
ello, considera los vectores dibujados.
Y
F 2C _e›
_c›
1 A _b›
E0 1 B 4X _a› _d›
–2 –1 0 23
–1
–2 D G I
H –3 a. __ba›› ++ ___bdc››› e. ____bbac›››› ++++ ___dec›››
b. __dc›› ++ _e› f. _e›
a. Las coordenadas de A son (2, 1). c. g.
b. Las coordenadas de B son (0, 2). d. h.
c. Las coordenadas de C son (2, 0).
d. Las coordenadas de D son (0, –2). 4. Dibuja cada vector en el plano cartesiano, con ori-
e. Las coordenadas de E son (–2, 0). gen en el primer punto y extremo en el segundo.
f. Las coordenadas de G son (2, –2).
g. Las coordenadas de I son (4, –2). a. A(3, 1) y B(4, 7)
b. C(–2, –5) y D(–4, –3)
2. Determina las coordenadas de los siguientes vec- c. E(1, –2) y F(1, 1)
tores. Para ello, considera que su punto origen es d. G(4, –3) y H(2, –3)
el origen del plano cartesiano. e. I(4, –1) y J(–2, –3)
f. K(3, 4) y L(–2, 0)
a. e. g. M(6, 3) y N(–1, –6)
h. O(0, 0) y P(3, 6)
b. f. i. Q(3, 3) y R(3, –5)
j. S(4, –5) y T(3, –5)
5. Realiza las adiciones, dados los siguientes
vectores:
__ba›› == ((–23, ,11) ) __ef›› ==
g. __dc›› == ((–52, ,3–)1 ) __hg›› == (–2, –5)
c. (2, 0)
(–2, –7)
(–2, –4)
h. a. _a› + _b› g. _g› + _h›
d. b. _b› + _c› h. _a› + _h›
c. _c› + _d› i. _b› + _g›
d. _d› + _e› j. _c› + _f›
e. _e› + _f› k. _d› + _h›
f. _f› + _g› l. _a› + _c›
194 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM
6. Calcula el valor de cada incógnita, dado un pun- 8 Desplaza la figura, según el vector de traslación
to, el vector de desplazamiento y el punto P dibujado.
resultante.
a. A(2, 3) y _v› = (4, 6) → P(a, b) a. Y
b. B(–1, 4) y _v› = (3, 9) → P(a, b) 1
c. C(a, b) y _v› = (2, –3) → P(5, 8)
d. D(4, b) y _v› = (a, –4) → P(4, –5) –3 –2 –1 0 1234 X
e. E(2, 4) y _v› = (a, b) → P(–6, 2) –1
f. F(5, –2) y _v› = (a, 2) → P(5, b) –2
g. G(–3, b) y _v› = (a, 4) → P(–5, 2) –3
h. H(0, –1) y _v› = (2, b) → P(a, –5) –4
i. I(a, 3) y _v› = (–1, b) → P(4, –7)
j. J(3, b) y _v› = (4, 3) → P(a, –6) b. Y
k. K(a, 8) y _v› = (–1, b) → P(0, 0) 4
3
7. E s c r i b e e n c o o r d e n a d a s l o s s i g u i e n te s 2
desplazamientos. 1
a. 2 unidades a la derecha y 3 hacia abajo. –3 –2 –1 0 1 2 X
b. 5 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba.
c. 4 unidades a la derecha y 6 hacia abajo. 9 eClovnescidtoerradneddoelsapslaczoaomrdieennatoda_v›s de cada figura y
d. 1 unidad a la derecha y 5 hacia arriba. = (4, 6), encuen-
e. 6 unidades a la izquierda y 4 hacia abajo. tra las coordenadas de la nueva figura.
f. 8 unidades a la izquierda.
g. 9 unidades hacia abajo. a. A(3, 0), B(5, –2), C(4, 0) y D(–2, –3)
b. A(–4, 2), B(2, –3), C(–4, –1) y D(1, 4)
c. A(0, –1), B(–2, –7), C(4, 1) y D(2, 6)
d. A(–2, –2), B(5, 1), C(–3, –1) y D(–2, 1)
e. A(1, 3), B(4, 2), C(–1, 2) y D(1, 4)
Me evalúo
Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).
Indicador (Preguntas 1, 2 y 4)
Identifiqué y dibujé puntos y vectores en el plano cartesiano. (Preguntas 3 y 5)
Resolví adiciones de vectores, a partir de su representación gráfica y algebraica. (Preguntas 6, 7, 8 y 9)
Utilicé el vector de desplazamiento para realizar diversas tareas.
SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 195
UNIdAd ↘ Taller de Resolución de problemas
. Analiza los pasos para la resolución del problema.
¿cuál es el área comprendida entre un cuadrado de vértices B(3, –3), c(3, 3), d(–3, 3) y E(–3, –3) y un
círculo inscrito en él? considera π = 3,14.
1Paso Comprende el enunciado
Se debe calcular el área comprendida entre el cuadrado de vértices B(3, –3), c(3, 3), d(–3, 3) y
E(–3, –3) y el círculo inscrito en él.
Paso Planifica lo que vas a realizar
2 Para calcular el área comprendida entre el cuadrado y el círculo, se debe obtener el área de cada
figura y luego restarlas. Pero antes, se representará la situación con un dibujo para visualizar una
estrategia de cálculo.
Paso Resuelve el problema
3 Al representar el problema con un dibujo se tiene la Figura 1.
como es posible observar, la longitud de cada uno de los lados del cuadrado es de 6 unidades (u) del
plano cartesiano. Luego: Figura 1
Acuadrado = 6 u · 6 u = 36 u2
Ahora bien, como el círculo está inscrito en el cuadrado, su D4 C
diámetro es 6 u, por lo que su radio es 3 unidades del plano
3
cartesiano. Luego: 2
Acírculo = π · (3 u)2 = 9π u2 1A
Así, el área comprendida entre el cuadrado y el círculo inscrito es: –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–1
A = A – Acomprendidacírculo –2
cuadrado
Es decir: E –3 B
Acomprendida = 36 u2 – 9π u2 = (36 – 9π) u2 –4
Finalmente, considerando π = 3,14, se tiene que el área
comprendida entre el cuadrado de vértices B(3, –3), c(3, 3), d(–3, 3) y E(–3, –3) y el círculo inscrito
en él es (36 – 9 · 3,14) u2 = 7,74 u2.
Paso Revisa tu respuesta
4 Primero, analiza la coherencia de la respuesta.
Reconoce que efectivamente se debe calcular el área comprendida entre dos figuras, por lo tanto,
habrá una sustracción involucrada.
Al obtener respuestas coherentes, puedes verificar que todos los cálculos están correctos. Para
esto, puedes volver a realizarlos, verificarlos con las operaciones inversas o compararlos con los
obtenidos por tus compañeros o compañeras.
119966 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM
. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior.
a. Utilizando solo regla y compás (sin usar escuadra), dibuja la recta perpendicular a la recta AB, que pase
por el punto c.
c B
A
b. Utilizando solo regla y compás (sin usar escuadra), dibuja la recta perpendicular a la recta AB, que pase
por el punto c.
Ac B
c. ¿cuál es el área comprendida entre un cuadrado de vértices A(6, –2), B(6, 5), c(–1, 5) y d(–1, –2) y un
círculo inscrito en él? considera π = 3,14.
d. ¿cuál es el área comprendida entre el cuadrado y el círculo inscrito en él?
6
D 5C
4
3
F2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–1
A –2 B
–3
SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 119977
UNIdAd Modelamiento de pregunta tipo SIMCE®
Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMcE®.
Si en un triángulo ABc, isósceles y rectángulo en c, se tra- Esta pregunta involucra los concep-
za la bisectriz del ángulo AcB, ¿de qué tipo son los triángulos tos de construcciones geométricas y
resultantes? elementos del triángulo.
A. Equiláteros.
B. Isósceles rectángulos. Si tienes dificultades para compren-
C. Rectángulos escalenos. der la justificación, puedes reforzar
D. Rectángulos equiláteros. este contenido, revisando la Lección
11 del Texto y las páginas respecti-
Clave: vas de cuaderno de ejercicios.
B. En la siguiente figura, que representa el enunciado de la pre-
gunta, el triángulo ABc es isósceles y rectángulo en c. Por lo
tanto, las medidas de sus ángulos basales son 45° cada uno.
Además, como el triángulo ABc es isósceles, la bisectriz del
ángulo AcB es perpendicular al lado AB.
B
D
CA
Entonces, los triángulos Adc y cdB son isósceles rectángulos.
Distractores: Los errores cometidos al inclinar-
A. Un triángulo es equilátero si todos sus ángulos interiores son se por alguno de estos distractores
son:
de 60°. En este caso, las medidas de los ángulos interiores de
los triángulos obtenidos son 45°, 45° y 90°. Por lo tanto, la al- • No tener claridad en la definición
ternativa A es incorrecta. de los distintos tipos de triángu-
C. Un triángulo es rectángulo escaleno si uno de sus ángulos in- los, clasificados según las medi-
teriores es recto y los otros dos son agudos y de distintas das de sus ángulos interiores.
medidas. En este caso, ambos triángulos poseen dos ángu-
los agudos de igual medida. Por lo tanto, la alternativa c es • No lograr representar de mane-
incorrecta. ra adecuada el enunciado de la
pregunta.
D. No existe un triángulo rectángulo que sea equilátero, ya que
debería tener un ángulo interior de 90°, y en un triángulo
equilátero todos los ángulos interiores son de 60°. Por lo tan-
to, la alternativa d es incorrecta.
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Libro Sm matemática 7° básico
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