7° básico SM

Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según
lo estudiado en la página anterior.

Si el área de un cuadrado se reduce a la mitad, en- Los contenidos relacionados con la pregunta son:
tonces, ¿qué ocurre con su perímetro?

A. Aumenta al doble.
B. Disminuye a la mitad.
C. Disminuye a la cuarta parte.
D. Disminuye, pero no necesariamente a la mitad.

Clave:
D.

Si tienes dificultades para comprender la justifica-

ción, puedes reforzar este contenido, revisando la

Lección del Texto y las páginas respectivas de

tu Cuaderno de ejercicios.

Distractores: Los errores cometidos al inclinarse por alguno de es-
A. Se establece correctamente que en un cuadra- tos distractores son:

do de lado a, su área es a​ ​2​y su perímetro es 4a. 199
Sin embargo, al reducir su área a la mitad se

(  )consideró erróneamente que era de​​  ​_2a_  ​ ​2.​ Así,

se obtiene que p = 2a. Lo que induce al error.
B. Se comete el mismo error de A y se obtiene que

el perímetro es 2a, sin embargo, se compara
con 4a, por lo que se responde erróneamente
que disminuye a la mitad.
C. Si el perímetro de un cuadrado disminuye a la
mitad, efectivamente el área disminuye a la
cuarta parte, pero en este caso, es el área la
que disminuye a la mitad y no el perímetro.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad.

I. Marca la alternativa que consideres correcta. 4. ¿Cuál es el área del siguiente paralelogramo, cuya
altura es 8 cm?
1. Considerando el polígono ABCD: CD

β 8 cm

δα A 12 cm B
A. 20 cm²
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es B. 40 cm²
verdadera? C. 48 cm²
A. α es un ángulo interior. D. 96 cm²
B. β es un ángulo interior.
C. δ es un ángulo exterior. 5. Si el área del siguiente paralelogramo es 75 cm²,
D. α + δ = 180°. ¿cuál es su altura?

2. Considerando el polígono ABCD: 15 cm
F
A. 5 cm
ED C
BG B. 10 cm

A C. 22,5 cm

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? D. Falta información para calcularla.
A. El ángulo FDE es exterior.
B. El ángulo ADC es interior. 6. ¿Cuál es el área pintada de la siguiente figura
C. El ángulo GBC es interior. compuesta por dos paralelogramos?
D. El ángulo DCB es interior.
2 cm 8 cm 8 cm
3. De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es
verdadera? 12 cm
A. La suma de los ángulos interiores de un rom-
boide es 360°. A. 16 cm²
B. La suma de los ángulos interiores de un pentá- B. 40 cm²
gono es 360°. C. 80 cm²
C. En un hexágono regular, la medida de cada án- D. 96 cm²
gulo interior es 108°.
D. En un triángulo equilátero, la suma de los ángu- 7. ¿Cuál es el área del triángulo cuya longitud basal
los interiores es 360°. es 15 cm y su altura es 10 cm?

A. 75 cm²
B. 150 cm²
C. 300 cm²
D. Otro valor.

200 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

8. bEal streiá​_An_Bg ​yulaoltAuBraC​_CdD_e​ . lSai imagen es isósceles con 11. El área del siguiente trapecio es 39 cm². ¿Cuál es
el área del triángulo ABC su altura?
es 24 cm², ¿cuál es la longitud de su altura? 5 cm

C

8 cm

A D 3 cm B A. 3 cm²

A. 4 cm² B. 6 cm²
B. 8 cm²
C. 16 cm² C. 12 cm²
D. 21 cm²
D. Falta información para calcularla.

9. ¿Cuál es el área pintada de la figura? 12. ¿Cuál es el área de la figura pintada?
8 cm

2 cm 6 cm 5 cm3 cm

1 cm 10 cm

4 cm 1 cm A. 39 cm²
2 cm 1 cm
A. 14 cm² B. 42 cm²
B. 10,5 cm²
C. 17,5 cm² C. 54 cm²
D. 28 cm²
D. Falta información para calcularla.

10. Considerando la siguiente figura: 13. Considerando la figura: B
4 cm A D

4 cm EO C

10 cm ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
¿Cuál es el área del trapecio?
A. AB es diámetro.
A. 20 cm² B. OC es cuerda.
B. 28 cm² C. DE es radio.
C. 40 cm² D. OD es radio.
D. 56 cm²

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 201

UNIDAD

Evaluación final

14. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura? 17. ¿Cuál es el área pintada comprendida entre el rec-
A 6 cm O tángulo y los dos círculos?
50˚

4 cm A D

A. ​ 5_3__  ​π cm B A. 8π cm²
B. 64 cm²
(  )B. ​  ​5_3__  ​π + 12  ​ cm C. (64 – 8π) cm²
D. (32 – 8π) cm²
C. (86,4π + 12) cm
18. Considerando que L1 // L2, ¿cuál es el valor de x?
D. 86,4π cm

15. La siguiente figura está compuesta por dos semi- 2x + 20 L1
circunferencias de 10 cm de diámetro cada una. x + 30 L2
¿Cuál es su longitud?

10 cm A. 10
A. 10π cm B. 50
B. 20π cm C. ​ 1__3_3_0_ _  ​
C. (10π + 20) cm D. ​ 2__3_3_0_ _  ​
D. (20π + 20) cm
19. Considerando que L1 // L2, ¿cuál es el valor de x?
16. La siguiente figura está compuesta por un rectán-
gulo y un semicírculo de centro O y radio BC:
DC

8 cm

AO B 2x + 15 L1
x + 45 L2
¿Cuál es el área pintada?
A. 128 cm² A. 15
B. (128 – 32π) cm² B. 30
C. (128 + 32π) cm² C. 60
D. (128 – 8π) cm² D. 75

202 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

II. Resuelve los problemas.
20. En el triángulo ABC, _​B_E ​es bisectriz del ángulo ABC y _​AD_​ es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál es la medida del

ángulo ACB?
C

E D
30˚ B
25˚
A

21. Si el punto (3, 9) fue trasladado al punto (6, 4), ¿cuál fue el vector de traslación?

22. Si los vértices de un polígono son (4, 2), (–3, 4) y (2, –1) y es trasladado según el vector ​​_v›  ​= (5, –2), ¿cuáles
son las coordenadas de los vértices del polígono una vez trasladado?

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según
las respuestas correctas que hayas conseguido.

I. Preguntas de alternativas

Identifiqué en polígonos, ángulos interiores, exteriores y relaciones entre ellos. de 3
de 9
(Preguntas 1, 2 y 3) de 5
de 2
Calculé el área de polígonos.
de 3
(Preguntas 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12)

Identifiqué elementos en el círculo y la circunferencia, y calculé perímetros y áreas de figuras.

(Preguntas 13, 14, 15, 16 y 17)

Apliqué relaciones entre ángulos formados por rectas transversales a rectas paralelas para
calcular el valor de una incógnita.

(Preguntas 18 y 19)

II. Preguntas de desarrollo

Apliqué el concepto de bisectriz para calcular medidas angulares y trasladé puntos en el plano
cartesiano según un vector de traslación.

(Preguntas 20, 21 y 22)

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 203

3,65 m

2,05 m

1,65 m

204 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Unidad Probabilidad
y estadística

2,15 m 2,14 m 13 Muestreo, tablas y

gráficos

14 Media, moda, mediana

y rango

15 Probabilidad

Observa la imagen y responde.
1. ¿con qué tipo de gráfico puedes asociar la

imagen?
2. En el gráfico asociado que imaginaste,

¿cómo se representan las alturas alcanzadas
por los estudiantes?
3. comparte tus respuestas con un compañero
o compañera.

1,5 m

SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM 205

UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para comenzar la unidad de Probabilidad y estadística.

1. Analiza el diagrama de puntos. Luego, responde. 3. Analiza el gráfico. Luego, responde.
El diagrama representa los puntajes obtenidos por
dos cursos en las competencias de la semana del Temperatura (ºC) Temperaturas mínimas
colegio. 10
8
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 6
4
2
0 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Puntaje 6º A Puntaje 6º A Día

a. ¿Cuántos puntos obtuvo el 6.° A y el 6.° B, Santiago Puerto Montt
respectivamente?
a. ¿Qué representa el gráfico?

b. ¿Cuál fue el puntaje más obtenido por el 6.º A?

2. Analiza las representaciones gráficas. Luego, rea- b. ¿Qué conclusión podrías realizar a partir del
liza una conclusión para cada una. gráfico?
a. El diagrama representa las masas corporales en
kilogramos de un grupo de niños y niñas.

Niños Niñas

88 1 2334 4. Analiza el gráfico circular. Luego responde.
Preferencia espectáculos
4220 2 011

2200 3 00

Conclusión: 26% Cine
35% Teatro
Concierto
30% Ballet

b. Notas interrogaciones a. ¿Qué porcentaje de las preferencias tiene el
7 ballet?
6
5Notas Diego
4 Rafael
3
2 b. Si se encuestó a 500 personas, ¿cuántas
1 prefieren cine?
0 11 12 13 14
Interrogación

Conclusión:

206 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

c. ¿Qué porcentaje se tiene entre las preferencias b. ¿Cuántos casos hay en los que se obtienen dos
de teatro y concierto? caras?

d. ¿Qué conclusión puedes realizar a partir del c. ¿Cuántos casos hay en los que se obtienen dos
gráfico? sellos?

5. Analiza el diagrama de árbol. Luego, responde. d. ¿Cuántos casos hay en los que se obtiene una
C cara y un sello?

C e. ¿Cuántos casos hay en los que se obtiene al
S menos una cara?
C
6. Resuelve los problemas.
S a. Si al lanzar 100 veces un dado de seis caras
S no cargado, se obtuvo 99 veces la cara con
6 puntos, ¿qué cantidad de puntos se obtendrá
a. Si C = Cara y S = Sello, ¿qué representa el en el siguiente lanzamiento? Fundamenta.
diagrama?
b. Si se lanza una moneda de dos caras, ¿cuál es
la probabilidad de obtener sello? Fundamenta
tu respuesta.

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).

Indicador

Analicé e interpreté un diagrama de puntos, uno de tallo y hojas y un gráfico de barras comparadas o
múltiples.

(Preguntas 1 y 2)

Analicé e interpreté un gráfico de líneas y uno circular.

(Preguntas 3 y 4)

Analicé e interpreté un diagrama de árbol.

(Pregunta 5)

Resolví problemas relacionados con probabilidades.

(Pregunta 6)

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 207

13Lección ¿Quién es? No, no, no, señora, no se
trata de eso…
Soy Edna Paisano, estoy
aplicando el nuevo Censo…

Muestreo, ¡Viejo!... ¡Son del ¿Entonces de qué?
tablas y Censo, quieren saber si
gráficos
seguimos vivos!
↘ Población y muestra
Edna Paisano
↘ Técnica de muestreo
simple Población y muestra

↘ Técnicas de En estadística, una población es un conjunto de individuos u objetos (elementos)
muestreo que presentan una o más características comunes que son observables y medibles.
estratificado y En el mismo ámbito, una muestra es un subconjunto de una población determinada.
sistemático
Ejercicios resueltos
↘ Tablas de
frecuencias 1. Identifica en el listado la muestra de la población. Para ello, completa la tabla.
Un estudiante de cada curso – Un habitante de cada país europeo – Un habitante de
↘ Diagrama de tallo y cada país – Tres latas de bebida fabricadas por A – Los 10 mejores goles de Chile –
hojas Los ríos Loa y Biobío.

↘ Histogramas Población Muestra
Habitantes del mundo. Un habitante de cada país.
↘ Aplicaciones Personas que viven en Europa. Un habitante de cada país europeo.
Latas de bebida fabricadas por A. Tres latas de bebida fabricadas por A.
Estudiantes de un colegio. Un estudiante de cada curso.
Goles marcados por Chile. Los 10 mejores goles de Chile.
Ríos de Chile. Los ríos Loa y Biobío.

2. Reconoce en los siguientes estudios la población y la muestra.

Sé más a. Se entrevista a 500 personas para • Población: Todos los chilenos.
conocer el equipo de fútbol preferido • Muestra: Las 500 personas
Una muestra es de los chilenos.
representativa cuando entrevistadas.
describe de forma b. Para conocer mi rendimiento escolar,
precisa la población en mis padres analizan mis mejores • Población: Todas mis notas.
que se tomó. Para ello: notas. • Muestra: Mis mejores notas.
• Debe tener un tamaño
c. Para analizar las temperaturas • Población: La temperatura de los 30
adecuado. máximas diarias de abril en Arica, se días.
• Los elementos de la registran las temperaturas máximas
de 5 días seguidos. • Muestra: La temperatura de los 5 días.
muestra deben tener
un comportamiento d. Para saber el uso dado a Internet en • Población: Los departamentos del
y características un edificio, se realiza una encuesta edificio con Internet.
similares a los que en tres departamentos con Internet.
se observan en la • Muestra: Los tres departamentos.
población.

208 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM

Lo que pasa, es que en este
censo quiero recoger otro

tipo de información.

¡¿Ve que no tomó
mucho tiempo?!

Ahhh ya, pase no más, ¿pero No mijita, además es muy
tomará mucho tiempo? importante lo que usted está
haciendo, todos merecemos las

mismas oportunidades.

Ejercicios propuestos Investiga cuáles
fueron los resultados
del trabajo realizado

por Edna Paisano.

1. Identifica la muestra asociada a cada uno de los siguientes estudios según la
población. Para ello, escribe en el cuadro.

5 estudiantes 2 estudiantes Muestras 5 estudiantes 3 estudiantes
de cada 8.° del secundarios de 3 estudiantes de cada cole- secundarios de
colegio ABC de cada colegio de cada cole- gio secundario cada curso del
Talca. de Talca. gio secundario del país. colegio ABC de
de la región del Talca.
Maule.

Población Estudio sobre el tipo de sangre
Estudiantes secundarios Muestra
del colegio ABC de Talca.
Estudiantes secundarios
de la región del Maule.
Estudiantes secundarios
de Talca.
Estudiantes de 8.°del
colegio ABC de Talca.
Estudiantes secundarios
del país.

2. Explica si los estudios son aplicados a una población o a una muestra. 209
a. En una oficina se aplicó un nuevo antivirus a los 100 computadores y luego de
un mes se analizó su eficiencia al total de ellos.
b. Para determinar el aumento de los índices de obesidad de los escolares de
cierta ciudad, se midió la masa corporal y la estatura a 50 estudiantes de dicha
localidad.
c. Una empresa de televisión por cable probó sus nuevos decodificadores en tres
comunas de una región compuesta por ocho comunas.
d. Una universidad investigó nuevas estrategias de enseñanza analizando los
mejores resultados de la PSU de los estudiantes de un colegio.
e. Se aplicó una encuesta telefónica a 120 personas para conocer los programas de
televisión preferidos por los habitantes de la Región de Valparaíso.
f. Un colegio quiere cambiar el diseño de su corbata, por lo que la dirección realizó
una encuesta a todos sus estudiantes para que opinen sobre los tres diseños
posibles.

SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Un grupo de estudiantes Técnica de muestreo simple
analizó el siguiente
titular: El muestreo simple es un proceso de selección de una muestra en que cada uno
“Al año, cada chileno de los elementos de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido.
produce en promedio Para ello, a cada elemento de la población se le asigna un número distinto y
384 kg de basura”. luego se eligen al azar los elementos que formarán la muestra, que puede ser con
Estos, se plantearon reposición (cuando un elemento seleccionado es devuelto a la muestra, pudiendo
preguntas como: ser seleccionado nuevamente) o sin reposición (cuando un elemento seleccionado
¿Cómo se habrá llegado no es devuelto a la muestra para poder ser seleccionado nuevamente).
a esta conclusión?
¿Se habrá estudiado a Ejercicio resuelto
toda la población del
país? 1. Aplica la técnica de muestreo simple en el siguiente estudio.
En un colegio se necesita realizar un estudio sobre la variación de la estatura de
Sé más los estudiantes de sus 5 cursos de 8.°; cada uno con 40 estudiantes. Para ello se
Para seleccionar medirán las estaturas, una vez por semestre, a 20 estudiantes. ¿Cómo se pueden
la muestra de otro construir las muestras aplicando el muestreo simple?
semestre, se debe ▷▷ Se puede numerar a cada estudiante de manera correlativa. Es decir, del 1 al 40 a los
analizar la inclusión o estudiantes del 8.° A, del 41 al 80 a los del 8.° B y así sucesivamente hasta el último
no de los estudiantes estudiante del 8.° E, cuyo número sería el 200. Luego, se podrían construir fichas
seleccionados en la numeradas del 1 al 200.
primera muestra para
ser parte nuevamente 1 2 3 4 5 6 123455123455123455123455121398 199 200
de la población
de estudio. De ser Colocar las fichas en una caja o tómbola y extraer sin reposición 20 fichas. Esta
incluídos, la población selección corresponderá a los estudiantes que serán medidos. Por ejemplo:
sigue correspondiendo
a los 200 estudiantes; 2 7 9 10 17 25 42 51 68 75 84 97 99 103 116 123 153 164 181 187
de lo contrario, la
población serán los Corresponde a los números de los estudiantes que formarán la muestra del semestre
180 estudiantes que no en que serán medidos.
fueron medidos.
Ejercicio propuesto
210
1. Describe cómo seleccionar una muestra para aplicar el muestreo simple.

Población Tamaño Procedimiento
Un curso de 8.° Básico. 5

Los estudiantes de un 15
colegio. 10
Los contactos de tu 100
celular. 50
Los asistentes a un
partido de fútbol.
Las personas que ingre-
san a una tienda.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Técnicas de muestreo
estratificado y sistemático

◾◾ El muestreo estratificado es un proceso de selección en que la población es
dividida en estratos. De cada uno de ellos se escoge al azar una cantidad de
elementos proporcional al tamaño del estrato, en relación con la población.

◾◾ El muestreo sistemático se aplica sobre una población numerada. El total de ella
se divide por el tamaño (k) de la muestra, lo que genera grupos de elementos.
Del primer grupo se elige uno al azar y se considera su numeración (r). Luego, los
elementos que se incluyen en la muestra son los de numeración r, r + k, r + 2k, etc.

En ambos tipos de muestreo, la muestra puede ser escogida con reposición o sin
reposición.

Ejercicios resueltos

1. Aplica la técnica de muestreo estratificado en un estudio de las estaturas Población
similar al de la página anterior, pero considerando la población descrita en la
tabla adjunta. Curso Número de
estudiantes
A diferencia del estudio de la página anterior, los 5 cursos de 8.° no tienen la misma
cantidad de estudiantes. ¿Cómo se pueden construir las muestras aplicando el 8.° A 46
muestreo estratificado?
8.° B 41
▷▷ Para elegir qué cantidad de estudiantes de cada curso debe estar en la muestra de
tamaño 20, se debe considerar que todos los cursos tienen distintas cantidades de 8.° C 34
estudiantes.
8.° D 37
Para calcular la cantidad (x) de estudiantes de cada curso que integrará la muestra,
se aplica la ley fundamental de proporciones, considerando el tamaño de la 8.° E 42
población (200) y el de la muestra (20). Observa la tabla:
Total 200

Curso Muestra Cantidad x Ayuda
8.° A (aproximada)
8.° B Proporcionalidad Si _​ ba_  ​  = ​ _dc_ ​es una
8.° C 2_ ​ _x0_ _ ​  = ​2 __40__60__  ​   ⇒   x =  _​2_ _20__0 _⋅_0_ _ 4_​_ 6_  =  2​_ 9_0_2_0_0_ ​  = 4,6 5 proporción, entonces
8.° D 2_​  _x0_ _ ​  = ​ 2__40__10_ _  ​   ⇒   x =  ​_2 __20_0_ ⋅_0_ _ 4_​_ 1_  =  ​2_ 8_0_2_0_0_ ​  = 4,1 de la ley fundamental
8.° E 2_ ​ _x0_ _ ​  = ​2 __30__40__   ​   ⇒   x =  _​2 __20_0_ ⋅_0_ _ 3_​_ 4_  =  2​_ 6_0_8_0_0_ ​  = 3,4 4 de proporciones se
2_ ​ _x0_ _ ​  = ​ 2__30__70_ _ ​     ⇒   x =  ​_2 __20_0_ ⋅_0_ _ 3_​_ 7_  =  ​2_ 7_0_4_0_0_ ​  = 3,7 desprende que:
2_​  _x0_ _ ​  = ​2 __40__20__  ​     ⇒   x =  _​2 __20_0_ ⋅_0_ _ 4_​_ 2_  =  ​2_ 8_0_4_0_0_ ​  = 4,2 3
a = ​ _b_ __d⋅_ _ _c_  ​
Total 4

4
20

Así, 5 estudiantes del octavo A serán seleccionados, 4 del octavo B, 3 del octavo C, 4
del octavo D y 4 del octavo E.
A modo de estrategia, para elegir los estudiantes de cada curso, se puede considerar
su orden según la numeración de la lista de clases.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 211

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Sé más 2. Aplica la técnica de muestreo sistemático en el estudio sobre la variación de
Los números elegidos estaturas en un colegio, visto anteriormente. Luego, responde.
al aplicar el muestreo
sistemático forman una a. ¿Cómo se pueden construir ahora las muestras aplicando el muestreo
sucesión, donde: sistemático?
• El primer término
▷▷ Primero, al igual que en los casos anteriores, se realiza la numeración de cada
es r. estudiante, del 1 al 200. Luego, como el tamaño de la muestra que se quiere
• El segundo y los seleccionar es k = 20 y el de la población es 200, se generan grupos de 10
estudiantes, ya que 200 : 20 = 10.
demás términos se
obtienen al sumar k Para elegir uno de los 10 estudiantes del primer grupo, se pueden construir fichas
al término anterior. numeradas del 1 al 10 y eligir al azar una de ellas.

Ayuda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Los números elegidos
en el ejemplo se Si la ficha seleccionada hubiese sido la numerada con el 6, los estudiantes que se
obtuvieron de: consideran para la muestra serían los que tienen asignados los siguientes números:
6 + 1 · 10 = 6 + 10 = 16
6 + 2 · 10 = 6 + 20 = 26 6 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
6 + 3 · 10 = 6 + 30 = 36 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196
Por otro lado, si la ficha seleccionada hubiese sido la numerada con el 2, los
⋮ estudiantes que se consideran para la muestra serían los que tienen asignados los
6 + 18 · 10 = 6 + 180 = 186 números:
6 + 19 · 10 = 6 + 190 = 196
2 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
212 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192
b. ¿Cuál es la ventaja de aplicar el muestreo sistemático con respecto al simple y

estratificado?
▷▷ Una ventaja de aplicar el muestreo sistemático, en lugar del estratificado y del

simple, es que asegura que en la muestra se incluirán estudiantes de todos los cursos
y que no es necesario construir fichas de todos los estudiantes, en este caso solo 10.

Ejercicios propuestos

1. Analiza las situaciones. Luego, escribe si crees que se aplicó un muestreo
simple, estratificado o sistemático. Comenta con un compañero o compañera.

Situación Tipo de muestreo
En un cine, para regalar poleras estampadas, una empresa de publi-
cidad seleccionó 50 personas de una sala con 300 asistentes y 20
en otra sala con 120 personas.
Utilizando el número de teléfono, una empresa de telecomunica-
ciones eligió al azar una muestra de 80 hogares para entregarles
información sobre sus nuevos productos.
De 100 personas numeradas, se eligió al azar a la numerada con el
3, y a partir de ella se eligió a las numeradas con el 20, 37, 54, 71
y 88.
En un partido de tenis al que asistieron 16 mil personas, se eligió
al azar una muestra de 25 de ellas para regalarles una camiseta
autografiada de su jugador favorito.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

2. Explica en tu cuaderno, junto con un compañero o compañera, cómo puedes Conectando con...
aplicar el muestro simple y el estratificado en los siguientes estudios. La CONAF

a. Para una feria cultural, cada uno de los cinco cursos de 8.° Básico de un colegio La misión de la
deben representar tres provincias de Chile. ¿Cómo se pueden construir las Corporación Nacional
muestras? ¿Las muestras deben ser con o sin reposición? Justifica. Forestal (CONAF) es
contribuir al desarrollo
b. Para un seminario internacional titulado “Calentamiento Global”, se debe del país a través del
seleccionar a cinco estudiantes de los indicados en el cuadro. Si el seminario se manejo sostenible de los
dictará dos veces en un semestre, ¿cómo se pueden seleccionar los estudiantes? ecosistemas forestales
¿Se debería aplicar reposición en la elección de ellos? Justifica. y a la mitigación de
los efectos del cambio
Estudiantes destacados de los talleres científicos climático, para las
actuales y futuras
Ecología Química Física Astronomía Arqueología generaciones.
1. Florencia 1. Matilde 1. Marcela 1. Luis 1. Benjamín
2. Antonio 2. Martín 2. Luciano 2. Francisco 2. Camila
3. Mauricio 3. Eliana 3. Leonardo 3. Victoria 3. Pablo
4. Paola 4. Emiliano 4. Romina 4. Fernando 4. Emma
5. Daniela 5. Ricardo 5. Renato 5. Inés 5. Sofía
6. Isabel 6. Nicolás 6. Carlos 6. Hugo 6. Pedro

3. Identifica los elementos seleccionados para la muestra en los estudios según
la información dada. Para ello, trabaja con un compañero o compañera en tu
cuaderno.
a. De una plantación numerada de 1.800 pinos, la CONAF necesita elegir una
muestra de 30 de ellos para hacer un estudio sobre reforestación. Al aplicar el
muestreo sistemático, han elegido al azar el árbol numerado con el 23. ¿Cuáles
serán los números de los otros árboles seleccionados?
b. Las 45 casas de una manzana fueron numeradas desde el 1 al 45 para
seleccionar una muestra de tamaño 5, aplicando muestreo sistemático. Como
45 : 5 = 9, de las numeradas entre el 1 al 9 se eligió al azar a la numerada con el
7. ¿Cuál es el número de las otras casas seleccionadas para la muestra?

↘ Taller de Matemática aplicada
Habilidad: aplicar

Una universidad aplicó el muestro sistemático sobre la totalidad de sus estudiantes para elegir una
muestra. Para ello, los numeró desde el 1 al 15.000 utilizando el registro de sus datos en la matrícula. Si
dos números consecutivos de los elegidos fueron el 315 y el 390, ¿cuántos estudiantes conformaron la
muestra?

A. 2 estudiantes.

B. 75 estudiantes.

C. 200 estudiantes.

D. 15.000 estudiantes.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 213

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Tablas de frecuencias

Para saber más Un conjunto de datos es posible agruparlos en intervalos, donde cada uno de ellos
Para organizar en se caracteriza por estar limitado por dos valores.
tablas y representar
gráficamente La frecuencia absoluta (f) de un dato es el número de veces que se repite en una
conjuntos de datos muestra. Si estos datos son agrupados en intervalos, la frecuencia absoluta de cada
muy numerosos o intervalo corresponde a la suma de las frecuencias de los datos del intervalo.
también cuando se está
trabajando con datos de La frecuencia absoluta acumulada (F) es la suma de las frecuencias absolutas
variables cuantitativas menores o iguales a un valor de la variable en estudio.
continuas, es
aconsejable agruparlos Lelanfúremceureontcoitaalredleatdiavtaos(​f.r​​)Esctoerrceoscpioenntdeepaulecdoeciseenrteesecnrtirtoe la frecuencia absoluta y
en intervalos de decimal o porcentaje. como fracción, número
valores.
Ejercicio resuelto
Ayuda
En este caso, cada 1. Analiza la tabla. Luego responde.
intervalo considera El INE (Instituto Nacional de Estadísticas) realizó una proyección sobre la población
el valor del extremo chilena, según grupo de edad, realizando la siguiente tabla:
izquierdo y no incluye
al valor de su extremo Total de población chilena, según grupo de edad, al 30 de junio de 2050
derecho.
Por ejemplo, el Edad Frecuencia Frecuencia Frecuencia
intervalo [50, 60[, (años) absoluta (f) acumulada (F) relativa (f​ ​r)​
considera edades [0, 10[ 2.221.691
mayores o iguales a [10, 20[ 2.284.718 2.221.691 0,1100
50 años y menores que [20, 30[ 2.410.084 4.506.409 0,1131
60 años. [30, 40[ 2.477.099 6.916.493 0,1193
[40, 50[ 2.431.544 9.393.592 0,1226
214 [50, 60[ 2.681.550 11.825.136 0,1203
[60, 70[ 2.487.172 14.506.686 0,1327
[70, 80[ 1.822.785 16.993.858 0,1231
80 o más 1.388.136 18.816.643 0,0902
Total 20.204.779 20.204.779 0,0687
1,0000

a. ¿Qué intervalo de edades tiene mayor frecuencia absoluta? Explica cómo lo
encontraste y explica qué significa dicho valor.
El intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (2.681.550) es [50, 60[, obtenido
al comparar todos los valores de la columna “Frecuencia absoluta (f)”. Dicho valor
corresponde al total de población chilena de 50 o más años de edad y menos de 60
años, proyectada al 30 de junio de 2050.

b. Según la proyección, ¿cuántas personas de 80 o más años habrá al 30 de junio
de 2050? ¿Cuántas personas menores de 30 años habrá?
De la tabla puede desprenderse que habrá 1.388.136 personas de 80 o más años de
edad y que habrá 6.916.493 personas menores de 30 años.

c. ¿Qué porcentaje de la población chilena tendrá menos de 50 años?
Aproximadamente el 59 % de la población proyectada tendrá menos de 50 años.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ejercicios propuestos

1. Completa la tabla de frecuencias. Expresa la frecuencia relativa como fracción.

¿Cuántos minutos demoras en llegar al colegio?

Tiempo Frecuencia Frecuencia Frecuencia
(minutos) absoluta (f) acumulada (F) relativa (f​ ​r​)

[0, 14[ 5 Ayuda

[14, 28[ 9 ​fr​ ​ = _ ​nf_  ​   fracción

[28, 42[ 26 fr = f : n decimal

f r = f : n · 100
porcentaje
[42, 56[ 9

[56, 70[ 5

Total

2. Analiza la información. Luego construye una tabla de frecuencias absolutas, Ayuda
acumuladas y relativas con los valores dados.
El rango de una
Para construir tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos: variable corresponde
1.º Calcula el rango de la variable y determina la cantidad de intervalos. a la diferencia entre el
2.º Calcula la amplitud de los intervalos. mayor y el menor valor
3.º Construye la tabla, contando los datos para obtener las frecuencias absolutas. que la variable registró.
Observación: una tabla de frecuencias no necesariamente debe contener las Por ejemplo, si los
absolutas, las acumuladas y las relativas. valores registrados de
una variable son:
a. Estatura promedio de un grupo de 30 estudiantes de 12 años. Escribe la 2, 3, 5, 2, 4, 3, 8, 6, 7,
frecuencia relativa como número decimal. 4, 1
El rango es 8 – 1 = 7
1,56 1,74 1,53 1,69 1,73 1,63 1,58 1,51 1,66 1,56 La amplitud de un
intervalo corresponde
1,61 1,52 1,48 1,59 1,63 1,72 1,65 1,57 1,67 1,63 a la diferencia entre
el mayor y el menor
1,64 1,49 1,63 1,71 1,60 1,55 1,54 1,49 1,50 1,56 valor del intervalo. Por
ejemplo, la amplitud
b. Número de horas semanales que un grupo de estudiantes dedica a estudiar. de cada intervalo de
Escribe la frecuencia relativa como porcentaje. la tabla de frecuencias
del primer ejercicio
15 5 2 4 6 23 7 17 6 8 propuesto es 14.

16 4 21 10 9 12 11 17 16 3

15 9 5 20 23 10 12 21 15 9

c. Tiempo en segundos que duraron las llamadas telefónicas realizadas por una
persona en una semana. Escribe la frecuencia relativa como fracción.

120 131 142 157 15 27 94 57 62 12

49 58 149 210 120 131 80 94 71 23

15 7 21 32 239 210 49 57 139 21

74 31 23 59 70 234 12 77 54 200

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 215

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Diagrama de tallo y hojas

Los diagramas de tallo y hojas son representaciones gráficas que permiten
organizar datos cuantitativos. Este tipo de gráfico permite visualizar todos los datos
originales.
Cada fila del diagrama corresponde al intervalo de una clase.

Ejercicios resueltos

1. Construye un diagrama de tallo y hojas con los datos dados.
3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 16, 20, 21, 25, 29, 31, 31, 31, 31, 32, 35,
37, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 47, 48, 48.

T 0 3 4 5 5 5 6 6 7 H

A 1 1 2 3 3 3 3 6 O En este caso, los valores de la primera
fila varían entre 3 y 7; los de la segunda
L 2 0 1 5 9 J fila, entre 11 y 16; los de la tercera fila,
entre 20 y 29, etc.
L 3 1 1 1 1 2 5 7 9 9 A

O 4 0 0 0 1 1 1 2 7 8 8 S

5 1 2 3 3 5 6 8 2. Analiza el diagrama de tallo y hojas de la izquierda. Luego responde.
6 0 0 1 1 3 4 5 8 9
7 0 1 4 4 5 7 7 7 9 9 a. ¿Cuántos datos representa el diagrama y entre qué valores varía? Construye una
8 0 1 1 2 2 4 5 7 9 tabla de frecuencias que organice los mismos datos, considerándolos agrupados
9 0 0 1 1 2 3 5 5 7 9 en 5 categorías.
Al contar los datos de las hojas, es posible obtener que el diagrama de “tallo y hojas”
216 construido consta de 45 datos; los que varían entre los valores 51 y 99. Así, la tabla
de frecuencias relacionada es la siguiente:

Datos del diagrama de tallo y hojas

Categoría o clase Frecuencia Frecuencia relativa
50 – 59 absoluta (f) porcentual
16 %
7

60 – 69 9 20 %

70 – 79 10 22 %

80 – 89 9 20 %

90 – 99 10 22 %

Total 45 100 %

b. Construye un gráfico de barras que represente los datos de la tabla deFrecuencia absoluta (f)
frecuencias construida a partir del diagrama de tallo y hojas.

Datos del diagrama de tallo y hojas
12
10

8
6
4
2
0

50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

Categoría o clase

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

3. Interpreta el diagrama de tallo y hojas construido. Para ello, resuelve.
a. Construye una tabla de frecuencias que organice los mismos datos.

Datos del diagrama de tallo y hojas Grupo 1 Grupo 2
6442 3 11335589
Categoría o Grupo 1 Grupo 2 3111 4 01235578
74432110 5 122366789
clase f fr (%) f fr (%) 5443100 6 011224579
30 – 39 4 17 8 24

40 – 49 4 17 8 24

50 – 59 8 35 9 26

60 – 69 7 30 9 26

Total 23 99 34 100

b. ¿Cómo podrías representar con un gráfico de barras comparadas la tabla de
frecuencias anterior?
Asignando un color de barra para el grupo 1 y otro para el grupo 2. Luego,
representando en cada categoría ambos grupos.

Frecuencia absoluta (f) Datos del diagrama de tallo y hojas Grupo 1
9 Grupo 2
8
7
6
5
4
3
2
1
0

30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69

Categoría o clase

Ejercicios propuestos Ayuda
Para los datos
1. Construye en tu cuaderno un diagrama de tallo y hojas para el siguiente representados con
conjunto de valores. números decimales
con a lo más una
4,5 6,7 6,5 5,8 4,9 4,1 4,0 5,1 4,9 5,6 cifra decimal, puedes
3,6 5,2 6,8 5,9 3,6 6,2 4,9 4,7 3,1 6,3 considerar su parte
5,6 3,0 7,3 5,7 4,0 7,2 3,5 3,4 7,0 4,6 entera como el tallo del
7,3 3,6 4,6 6,6 5,9 7,4 3,4 6,2 7,1 4,1 diagrama y sus décimas
• A partir del diagrama construido, organiza los datos en una tabla de frecuencias y como las hojas.
represéntala en un gráfico de barras.

2. Evalúa cada afirmación y comenta su veracidad con tus compañeros y/o
compañeras de curso.
a. Los diagramas de tallo y hojas solo pueden representar variables cuantitativas.
b. Es posible redondear los valores de una variable cuantitativa continua para
poder representarlos en un diagrama de tallo y hojas.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 217

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Histogramas

Los histogramas son representaciones Cantidad de personasMasa corporal de 48 personas
gráficas de un conjunto de datos agrupados
en intervalos o clases de datos. 16
Este tipo de gráfico consta de barras, cuyas 14
alturas corresponden a la frecuencia absoluta 12
de la clase respectiva. Además, todas las 10
barras son de igual ancho, debido a que todos
los intervalos son de igual amplitud. 8
Este tipo de gráfico será utilizado para 6
representar datos de variables cuantitativas 4
continuas. 2

0 50 60 70 80 90
Masa corporal (kg)

Ejercicios resueltos

Cantidad de personas Tiempo que habla un grupo de personas 1. Analiza el histograma de la izquierda. Luego, responde.
por celular en una semana
a. ¿Cuántas personas conforman el estudio? ¿Cuántas personas
18 hablan por celular entre 40 y 50 minutos diarios?
Al sumar las frecuencias absolutas de cada intervalo se obtiene
12 el total de personas que conforman el estudio. En este caso, son
10 12 + 18 + 10 + 5 = 45 personas. Además, solo 5 de ellas hablan por
celular entre 40 y 50 minutos diarios.
5
b. ¿Cuántas personas hablan menos de 30 minutos?
0 10 20 30 40 50 Al sumar las frecuencias absolutas de los intervalos [10, 20[ y
Tiempo (min) [20, 30[ se tiene que 12 + 18 = 30 personas hablan menos de
30 minutos.

Temperaturas 2. Construye un histograma que represente los datos tabulados, correspondientes
a las temperaturas máximas diarias registradas en una temporada de verano.
máximas diarias
Temperaturas máximas diarias
Tempera- Frecuencia 18Frecuencia absoluta (f)
tura (°C) absolu- 16
ta (f) 14
12
[15, 18[ 1 10

[18, 21[ 3 8
6
[21, 24[ 7 4
2
[24, 27[ 11 0

[27, 30[ 16 [15, 18[ [18, 21[ [21, 24[ [24, 27[ [27, 30[ [30, 33[ [33, 36[
Temperatura (°C)
[30, 33[ 14

[33, 36[ 7

Total 59

218 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Frecuencia absoluta (f)Ejercicios propuestos
1. Analiza el histograma. Luego, responde las preguntas.

Masa de objetos de la sala de clases
16
14
12
10

8
6
4
2
0

[0, 1.000[ [1.000, 2.000[ [2.000, 3.000[ [3.000, 4.000[ [4.000, 5.000[
Masa (gramos)

a. ¿Cuántos objetos fueron considerados en este estudio?

b. ¿Qué representa la frecuencia absoluta en el contexto de este gráfico? Explica.

c. ¿Qué conclusión podrías realizar a partir del gráfico?

d. Construye un histograma con las frecuencias acumuladas. Luego, compáralo con
el de frecuencias absolutas construido y realiza una conclusión.

e. ¿Crees que la conclusión realizada en el ítem d. se mantiene para cualquier
caso? Justifica.

2. Construye en tu cuaderno un histograma considerando los promedios de notas Desafíate
en Matemática, obtenidos por 40 estudiantes. Investiga en qué
consiste “discretizar”
5,5 3,7 3,5 5,8 4,9 5,1 5,0 5,1 4,9 4,6 una variable
5,6 6,2 2,8 5,9 3,6 5,2 4,9 5,7 3,1 6,3 cuantitativa continua.
4,6 7,0 5,3 6,7 4,0 4,2 5,5 4,4 5,0 5,6 Da un ejemplo.
4,3 6,6 5,6 4,6 5,9 4,4 6,4 5,2 4,1 5,1

3. Realiza un estudio, con datos reales, considerando una variable cuantitativa
continua. Luego, tabula los datos recogidos, construye un histograma y escribe
dos conclusiones.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 219

Lección 13: Muestreo, tablas y gráficos

Aplicaciones

La Estadística es aplicada a diario en muchos ámbitos, particularmente en los
medios de comunicación es muy común recibir información representada en tablas y
gráficos, los cuales ayudan a comprender dicha información.
Las tablas y gráficos pueden ser realizados en programas tecnológicos especiales,
con el fin de lograr una representación que permita mejores interpretaciones de
ellos, y aunque algunos medios, como la radio, no reflejan visualmente dichas tablas
y gráficos, igualmente debieron previamente haberlos interpretados.

Ejercicio resuelto

1. Copia la siguiente tabla de frecuencias en una hoja de cálculo. Para esto,
considera que la tabla está tipeada en algún editor de texto.

Conectado con... Número de anuncios publicitarios radiales destinados a
La radio cierto público, según su edad

Es un medio de Edad (años) f fr
comunicación Menos de 10 61 2,4%
masivo o medio de
comunicación de masas, 10 – 20 151 5,9%
ya que es recibido 21 – 30 186 7,3%
simultáneamente por 31 – 40 692 27,2%
una gran audiencia. 41 – 50 791 31,1%
Su finalidad es formar, 51 – 60 445 17,5%
informar y entretener
al público. La mayoría 61 y más 215 8,5%
de los medios de
comunicación masivos Total 2.541 99,9%
se financian gracias a la
publicidad que emiten. Para copiar la tabla solo debes seleccionar todos sus datos. Puedes hacerlo,

presionando el ícono desde el ángulo superior izquierdo. Luego, presionando

el botón derecho del mouse, selecciona la opción , que está contenida

en el menú que se despliega automáticamente. Finalmente, “abre” la hoja de

cálculo en donde copiarás la tabla, selecciona una casilla y selecciona la opción

. Cualquiera de las alternativas que ofrece esta opción

copia la tabla en la hoja de cálculo. La diferencia es que con la opción , se

genera la imagen 1; mientras que con la opción , se genera la imagen 2:

Imagen 1 Imagen 2

220 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ejercicios propuestos ↘ Taller de estrategias
Construir histogramas en una hoja
de cálculo

1. Analiza el Taller de etrategias y responde. Practica esta estrategia. Para esto, considera la
tabla y sigue cada paso:
Altura máxima alcanzada al lanzar
un balón de básquetbol Horas semanales que escuchas música

Altura (metros) f fr Tiempo f F fr
1% (horas) 3 3 3%
[0, 3[ 1 1% [0, 4[
[3, 6[ 2 3%
[6, 9[ 4 9% [4, 8[ 15 18 17%
[9, 12[ 14 12%
[12, 15[ 19 22% [8, 12[ 22 40 24%
[15, 18[ 33 23%
[18, 21[ 35 29% [12, 16[ 25 65 28%
21+ 45 100%
Total 153 [16, 20[ 16 81 18%

[20, 24[ 9 90 10%

Total 90 100%

a. ¿Cómo es posible identificar en el histograma, ↘↘Paso 1: Crear una tabla de frecuencias
entre qué intervalos se produce la mayor Copia la tabla propuesta en una hoja de cálculo.
variación de frecuencias absolutas? Luego, selecciona los datos de la variable con sus
respectivas frecuencias, en este caso absolutas.
b. ¿El ancho del rectángulo del intervalo “21+” lo harías
igual al de los otros intervalos de la tabla? ¿Por qué? ↘↘Paso 2: Insertar el gráfico
Una vez seleccionados los datos a graficar, busca
2. Junto a un compañero o compañera realicen un en la pestaña “Insertar” el gráfico que usarás, en
estudio en su curso, agrupando los datos en inter- este caso, el de columnas.
valos de clase. Para esto, responde lo siguiente:
↘↘Paso 3: Escribir título y ejes y ajustar ancho de
a. ¿Cuál es el objetivo de su estudio? las columnas.
b. ¿Cuál es la variable de estudio y de qué tipo es?
c. ¿Qué pregunta o preguntas hicieron a los Ingresa el título en la casilla correspondiente.
Luego, busca en “Diseño” el ícono . Al
encuestados? presionarlo, se creará el histograma y puedes
d. Construyan una tabla de frecuencias con los datos escribir las etiquetas de ejes que quieras.

recogidos.
e. Construyan en una hoja de cálculo un histograma

que considere las frecuencias absolutas de cada
intervalo de clase.
f. Comuniquen sus resultados, enunciando sus
conclusiones.

3. Según la tabla de frecuencias del estudio realizado
en la actividad anterior, construyan en una
hoja de cálculo un histograma considerando las
frecuencias absolutas acumuladas y, otro para las
relativas. Luego, respondan.

a. ¿Pueden realizar conclusiones distintas a las
realizadas en el estudio llevado a cabo en la
actividad 1? Fundamenten.

b. ¿Consideran necesario construir un histograma
con las frecuencias absolutas, otro con
las frecuencias acumuladas y otro con las
frecuencias relativas? ¿Por qué?

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 221

Lección 13

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.

1. Identifica si los estudios son aplicados a la pobla- 3. Identifica qué técnica de muestreo se aplicó en cada
ción o a una muestra. Para ello, escribe Población o caso. considera la tabla:
Muestra según corresponda.
a. Para conocer el rendimiento escolar de Matilde, Cantidad de personas por comuna
sus padres analizaron sus notas de Matemática y
Arte. Zona Comuna Cantidad

b. Una farmacia desea conocer la edad de sus Norte Colchane 6
clientes. Para ello, realiza una encuesta todos los
sábados de un mes. Norte María Elena 9

c. Una universidad realizó un estudio sobre la Norte Los Vilos 9
cantidad de integrantes del grupo familiar de sus
estudiantes nuevos. Para esto, los estudiantes Centro Olmué 12
completaron una ficha de datos el día de su
matrícula. Centro Peumo 18

Centro San Javier 15

Sur Lautaro 21

Sur Frutillar 9

Sur Tortel 6

Sur Porvenir 3

a. Primera muestra: 36 personas.

De cada comuna se eligió al azar la siguiente
cantidad de personas:

Segunda muestra

Comuna Cantidad
seleccionada

2. Reconoce una técnica de muestreo en el siguien- Colchane 2
te diagrama:
María Elena 3

Población Los Vilos 3

1 2 3 45 8 9 10 11121134 15 16 Olmué 4
7
6 Peumo 6

San Javier 5

Lautaro 7

Frutillar 3

Tortel 2

Porvenir 1

2 11 15 b. Segunda muestra: 9 personas.

Se numeró a todas las personas y se
construyeron fichas numeradas. Luego, entre
las fichas 1 a la 12, se eligió al azar la ficha 8.

Muestra Las personas elegidas para la muestra fueron
Técnica de muestreo: las numeradas con los números:

8 – 20 – 32 – 44

56 – 68 – 80 – 92 – 104

222 SÉ PROTAGONISTA © EdIcIONES SM

4. Explica cómo podrías aplicar cada una de las técni- 6 Analiza la siguiente tabla de frecuencias. Luego
cas de muestreo en la siguiente situación: resuelve.

Un edificio tiene 25 pisos con 10 departamentos Tiempo semanal destinado a realizar tu
cada uno. La administración necesita realizar deporte preferido
un análisis de los equipos de ventilación en una
muestra de tamaño 20. ¿Cómo se puede elegir la Tiempo f F f​​rd​ (ereaddoan) -
muestra en cada caso? (horas)
a. Muestreo simple.
b. Muestreo estratificado. [0, 2[ 7 7 0,15
c. Muestreo sistemático.
[2, 4[ 9 16 0,20
5. Analiza cada conjunto de datos y reconoce cuál re-
presentarías con un diagrama de tallo y hojas, cuál [4, 6[ 12 28 0,26
con un histograma y cuál con otro gráfico.
[6, 8[ 9 37 0,20
a.
Pera – Manzana – Frutilla – Melón – Uva – [8, 10[ 5 42 0,11

Pera – Uva – Durazno – Sandía – Melón. [10, 12[ 3 45 0,07
b.
[12, 14[ 1 46 0,02
1,56 – 1,65 – 1,49 – 1,67 – 1,70 – 1,74 –
1,68 – 1,64 – 1,61 – 1,59 – 1,54 – 1,80. a. ¿Cuál crees que fue el objetivo del estudio?
c. b. ¿Cuántos encuestados tuvo el estudio?
c. ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia
31 – 28 – 32 – 30 – 31 – 12 – 18 – 16 – 26 –
19 – 15 – 18 – 31 – 30 – 26 – 32 – 31 – 33. absoluta? ¿Cómo lo interpretas?
d. d. Representa con un histograma los datos

7,0 – 2,8 – 6,2 – 4,3 – 3,5 – 7,0 – 5,8 – tabulados.
5,6 – 4,1 – 6,9 – 5,5 – 4,8 – 3,8 – 3,0 – 4,1. e. ¿Entre qué intervalos se produjo la mayor

variación? ¿Cómo interpretas eso?
f. ¿Entre qué intervalos se produjo la menor

variación? ¿Cómo interpretas eso?
g. Realiza una conclusión del estudio a partir de la

tabla y del gráfico construido.

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L).

Indicador

Distinguí si un estudio es aplicado a una población o a una muestra.

(Pregunta 1)

Reconocí, identifique y expliqué técnicas de muestreo.

(Preguntas 2, 3 y 4)

Reconocí qué tipo de gráfico es factible de utilizar para representar un determinado conjunto de datos.

(Pregunta 5)

Analicé, una tabla de frecuencias y representé su información en un histograma.

(Pregunta 6)

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 223

14Lección Karl Pearson

Media, moda, 40, 40, 50, 60, 1 m, 2 m, mmm…parece
mediana y 70, 70… que las rosas son más
rango altas que los claveles,
…al parecer, en este incluso más altas que yo.
grupo de claveles, hay
desde 40 cm a 70 cm

de altura.

↘ Media aritmética, Media aritmética, mediana y moda
moda y mediana
Las medidas de tendencia central son medidas representativas para identificar el
↘ Rango valor del dato central alrededor de cual se centran los demás datos.
La media aritmética (x_) es una medida de tendencia central conocida como
↘ Medidas de “promedio”. Para calcularla, se debe considerar que:
tendencia central e
inferencia

Para datos no agrupados: Para datos agrupados:

x_ = x_1__+___x_2__+_n__._._._+___x_n_ x_ = x_1__⋅__f_1__+___x_2__⋅___fn_2_+___._._._+___x_n__⋅__f_n_

Ddageornluadpemadxu1oe,ssx)t,2r,fa…1.,, fx2n,…s,ofnn los valores de la muestra (marca de clase para datos de datos
son las frecuencias absolutas respectivas y n el total

Ejercicios resueltos

1. Calcula la media aritmética de las notas de Pedro en Matemática, considerando
la siguiente muestra: 5,5; 6,5; 7,0; 4,5; 5,5 y 4,0.

▷ Como las calificaciones se entregan como datos no agrupados, se tiene que:

x_ = 5_,_5___+___6__,_5___+___7_,_0___+___4__,5___+___5__,_5___+___4__,0__ = _3__3__,0__ = 5,5
6 6
Por lo tanto, para la muestra de notas de Pedro se tiene que x_ = 5,5.

2. Calcula la media aritmética de los precios de 32 artículos de una tienda.

Precio de los artículos ▷ En la tabla, se puede agregar una columna con el producto de cada
marca de clase y su frecuencia absoluta.
Precio ($) x f x·f Además, n = 5 + 3 + 7 + 6 + 8 + 3 = 32, entonces:

[10.000, 20.000[ 15.000 5 75.000

[20.000, 30.000[ 25.000 3 75.000 _x = __7_5__._0__0__0___+___7_5__._0__0_0___+___2__4__5__.0__0__0___+___2__7__0_._0__0__0___+___4__4__0_._0__0__0___+___1_9__5__._0__0_0__
32
[30.000, 40.000[ 35.000 7 245.000
_1__.3__0__0__._0__0_0__
[40.000, 50.000[ 45.000 6 270.000 _x = 32

[50.000, 60.000[ 55.000 8 440.000 _x = 40.625

[60.000, 70.000[ 65.000 3 195.000

Por lo tanto, la media de la muestra es _x = $40.625.

224 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ha-ha! No se preocupe señor
Karl, lo tengo todo

anotado en una tabla.

Auuuccchhh…¡¡¡me ¡Nooo!….
pinché con una espina!!! ¡¡se me olvidó todo,
¿cómo compararé estas
especies ahora?!! Investiga qué aporte
realizó Karl Pearson a

la Biología.

oLacumpaedeilalnuaga(rMcee)netsraulndaemuendaidmaudeesttreanddeendcaitaosceonrtdreanl aqduoesc.oPrarreaspeosntidmeaarllad,asteodqeubee
considerar que:

Para datos no agrupados, se Para datos agrupados, se debe identificar el Sé más
deben ordenar los n datos en forma primer intervalo i cuya frecuencia acumulada
creciente o decreciente: sea mayor que la mitad de los datos y aplicar: La mediana no siempre
_n2____−___F__a_n_t corresponde a un dato
• Si n es impar, entonces: Me = L + a ⋅ f de la muestra.

M = xe n___+___1__ L es el límite inferior del intervalo i, a es la Por ejemplo, si la
2 muestra es

• Si n es par, entonces: amplitud del intervalo i, n es el total de datos, 10 – 12 – 14 – 16

x___n2___+__x___n2___+_1_ f es la frecuencia absoluta del intervalo i y Entonces:
2 _x_2__+__x_3_
Me = Finantet ervsallao frecuencia acumulada anterior al Me = 2
i.
Me = _1_2__+__1__4_ = 13
2

3. Identifica la mediana de las estaturas de los estudiantes de un curso. Pero 13 no pertenece a
la muestra.
Muestra: estaturas de 9 estudiantes
168 cm 159 cm 168 cm 163 cm 153 cm 158 cm 165 cm 171 cm 156 cm

▷ Como la tabla entrega datos no agrupados, se debe ordenar los datos:

153 – 156 – 158 – 159 – 163 – 165 – 168 – 168 – 171

En este caso n = 9, impar, entonces la mediana corresponde al dato x9___+___1__ = x5.
Por lo tanto, la mediana es Me = 163 cm. 2

4. Calcula la mediana de las edades de los estudiantes de un colegio. Ayuda

▷ Como la cantidad de datos es n = 1.400, el primer intervalo que tiene frecuencia Para datos no
acumulada mayor que 700 es i = 4, luego: agrupados y ordenados,

L = 12; a = 2; f = 246; Fant = 522 Edades de estudiantes la expresión xa1l primer
Reemplazando en la fórmula se tiene que: corresponde
i Edad x f F valor de la muestra, x2
_n_2____−___F__a_n_t _1____.4__2__0____0______−___5__2_2__ al segundo, etc.
L + a f = 12 + 2 246 1 [6, 8[ 7 152 152

⋅ ⋅ 2 [8, 10[ 9 144 296 Para datos agrupados,

3__5__6__ 3 [10, 12[ 11 226 522 la expresión xa1la marca
246 corresponde
= 12 + ≈ 13,45 4 [12, 14[ 13 246 768 de clase del intervalo

5 [14, 16[ 15 304 1072 i = 1.

Por lo tanto, una estimación de la mediana es 6 [16, 18[ 17 328 1.400

Me = 13,45 años.

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 225

Lección 14: Media, moda, mediana y rango

La mmoaydoar(fMreoc)ueesnucniaa medida de tendencia central que corresponde a el o los datos
de absoluta dentro de la muestra.

Para datos no agrupados, se deben ordenar los datos e identificar el de mayor
frecuencia.

Camila es la encargada Para estimarla en datos agrupados en tablas de frecuencias, se debe identificar el
de elegir un lugar para intervalo i de mayor frecuencia absoluta y aplicar la fórmula:
un paseo de fin de año
con su curso. Para ello, M​ ​o​ = L + a ⋅ ​ _d__ +_d_  _D__ ​ 
realizó una encuesta
en el curso sobre sus L es el límite inferior del intervalo i, a es la amplitud del intervalo i, d es la
preferencias. Obtuvo diferencia positiva entre las frecuencias absolutas del intervalo i y el anterior y D es
que un 45 % prefiere ir la diferencia positiva entre las frecuencias absolutas del intervalo i y el siguiente.
a una piscina, un 30 %,
viajar a la cordillera y 5. Identifica la moda de la muestra.
un 25 % ir a un parque
de entretención. Masa (kg) Muestra de la masa corporal de 72 estudiantes 53 54
Finalmente, el curso de f 45 46 47 48 49 50 51 52 3 4
Camila irá a una piscina.
3 7 10 12 9 11 8 5
Sé más
Una muestra de datos ▷▷ En la tabla se puede observar que el dato x = 48 es el de mayor frecuencia absoluta
puede: f= 12. Por lo tanto, la moda de la dmeueelslotrsatideenelousneastmudaisaancteosrpeosrMalo = 48 kg, es decir,
• No tener moda: de los 72 estudiantes, la mayoría de 48 kg.
2–7–8–5–6–3
• Tener exactamente 6. Estima la moda en la siguiente muestra. En ella se indica la cantidad de
películas vistas en un mes por los estudiantes de un curso.
una moda (unimodal):
2–7–7–7–8–5–6 Películas vistas
• Tener dos o más
i Películas x f F
modas: 2
2–2–7–7–1–3–3 1 [0, 2[ 1 2 7
13
Desafío 2 [2, 4[ 3 5 26
Construye una muestra 37
que cumpla con: 3 [4, 6[ 5 6 44

x_​  ​= Me = Mo 4 [6, 8[ 7 13

5 [8, 10[ 9 11

6 [10, 12[ 11 7

▷▷ Como los datos están agrupados, se considera el intervalo de mayor frecuencia
absoluta, en este caso, i = 4. Entonces:

L = 6; a = 2; d = 13 – 6 = 7; D = 13 – 11 = 2
Reemplazando en la fórmula se tiene que:

L + a ⋅ ​ _d_ _+_d_  __D_  ​ = 6 + 2 ⋅ ​ _7__ 7_+_ _ _2_  ​ = 6 + ​1 _9_4__ ​   = ​ _6_98_ _​  = 7,​_5 ​
Pnoorreloprtaesneton,taunuanaesptoimsiabcleiócnandteidlaadmdoedapedleiclualamsuveissttaras,esseMpou=ed7e,5_​in .​ tCeorpmroeteasr,teenvaelsotre
caso, que el número de peliculas más visto es 8.

226 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula la media, la mediana y la moda de las muestras. Ayuda
a.
Recuerda que un
Cantidad de hermanos de un grupo de personas diagrama de tallo y
hojas es un diagrama
Cantidad _x​  ​ Me Mo que permite ordenar los
0–4–1–3–1–2–1–2–2–4– Mo datos de una muestra.
2 –5 – 3 – 3 – 1 – 3 – 2 – 4 – 0 – 2 – De esta manera, puede
3–4–2–2–4–1–2–4–1–2– ayudar a identificar la
3 – 1 – 0 – 2 – 2 –1 – 3 – 1 – 1 – 4 moda y la mediana de
una muestra.
b.

Número diario de motocicletas vendidas en una compañía

Número de motocicletas x_​  ​ Me
10 – 15 – 21 – 18 – 12 – 15 – 16 – 18 – 12
15 – 18 – 15 – 21 – 16 – 15 – 13 – 18 – 15
14 – 11 – 15 – 12 – 18 – 19 – 15 – 13 – 12

2. Analiza las tablas. Luego, completa la información realizando los cálculos en tu
cuaderno.

a. b.

Lanzamiento de bala Horas de estudio semanal

i Distancia x f F i Horas x f F
1 [16, 17[ 16,5 5 5 1 [0, 2[ 1 6 6
2 [17, 18[ 17,5 7 12 2 [2, 4[ 3 14 20
3 [18, 19[ 18,5 9 21 3 [4, 6[ 5 12 32
4 [19, 20[ 19,5 11 32 4 [6, 8[ 7 3 35
5 [20, 21[ 20,5 13 45 5 [8, 10[ 9 2 37
6 [21, 22[ 21,5 2 47 6 [10, 12[ 11 1 38

_​x ​= ; Me = ; Mo = _x​ ​ = ; Me = ; Mo =

3. Identifica las medidas de tendencia central de las muestras a partir de los
gráficos correspondientes. Para ello, trabaja con un compañero o compañera.

a. b.

Edad de un grupo de estudiantes Edad de un grupo de turistas

Cantidad de estudiantes35 35
Cantidad de personas3030
25 12 13 14 15 25 10 20 30 40 50
20 Edad (años) 20 Edad (años)
15 15
10 10

5 5
0 0

11 0

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 227

Lección 14: Media, moda, mediana y rango

Rango

Las medidas de dispersión son valores numéricos que permiten medir qué tan
dispersos están los datos alrededor de un valor central, por lo general la media. En
otras palabras, qué tan cerca o qué tan lejos pueden estar los datos con relación a
dicho valor.
El rango de una muestra corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de
los valores.

Ejercicios resueltos

1. Calcula el rango de las siguientes muestras de datos. Para ello, completa la
tabla.

Muestras de datos

Datos Máximo Mínimo Rango (R)
2 – 2 – 3 – 4 – 5 – 5 – 5 – 8 – 9 – 10 – 12 12 2 10
0 99
0 – 9 – 10 – 12 – 41 – 51 – 80 – 95 – 99 99 11 40
11 – 11 – 12 – 21 – 33 – 39 – 47 – 51 51 2,5 4,3
600
2,5 – 3,0 – 4,3 – 4,8 – 5,9 – 6,2 – 6,8 6,8 125

125 – 250 – 300 – 458 – 550 – 725 725

2. Analiza las distribuciones. Luego, determina su rango.

a.

Sueldos de empleados de una empresa

Sueldo en pesos x f F Máximo: 1.200.000
[200.000, 400.000[ 300.000 8 8 Mínimo: 200.000
[400.000, 600.000[ 500.000 25 33 Rango: 1.000.000
[600.000, 800.000[ 700.000 31 64
[800.000, 1.000.000[ 900.000 15 79
[1.000.000, 1.200.000[ 1.100.000 7
86
b.

Cantidad de estudiantesAmigos en Facebook de los estudiantes de un curso
20

15

10 Máximo: 1.200
Mínimo: 0
5 Rango: 1.200

0 0 200 400 600 800 1.000 1.200

Cantidad de amigos

228 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula el rango en cada caso.
a. Edad (en meses) en que comienza a caminar un grupo de niños.

Meses 9 10 11 12 13 14 15
Niños 1 4 9 16 11 8 1

b. Se lanzó 120 veces dos dados y se registró la suma de sus puntos.
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

2. Analiza la información. Luego, completa.

a.

Tiempo de espera de pacientes en Urgencias

Tiempo en horas xfF
[0, 1[
[1, 2[ 0,5 2 2
[2, 3[
[3, 4[ 1,5 85 87 Máximo: Mínimo: Rango: 
[4, 5[ Máximo: Mínimo: Rango: 
[5, 6[ 2,5 79 166
[6, 7[
3,5 58 224

4,5 31 255

5,5 25 280

6,5 10 290

b. Celulares por hogar
20
Cantidad de hogares
15

10

5

0
0 2 4 6 8 10 12
Número de celulares

3. Representa en una tabla y en un gráfico los siguientes datos. Luego, calcula el
promedio, la media, la moda y el rango.

475 – 680 – 807 – 671 – 540 – 535 – 579 – 727 – 488 – 529 – 657 –
778 – 752 – 501 – 836 – 524 – 611 – 513 – 600 – 573 – 842 – 594 –
568 – 495 – 814 – 546 – 557 – 739 – 629 – 513 – 642 – 821 – 629 –
551 – 475 – 501.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 229

Lección 14: Media, moda, mediana y rango

Medidas de tendencia central e inferencia

La inferencia estadística es una rama de la estadística que, a partir del estudio de
una muestra representativa de una población, infiere que el resto de los elementos
de dicha población tiene el mismo comportamiento que los de la muestra estudiada.
Para dicho estudio se utilizan las medidas de tendencia central que permiten hacer
inferencias a partir de datos centrales.

Ejercicios resueltos

1. Infiere sobre el comportamiento de las notas finales de 40 estudiantes de un
curso utilizando una muestra de tamaño 10 obtenida con muestreo simple.

▷▷ Para aplicar el muestreo simple, se confeccionan 40 fichas numeradas utilizando la
numeración de los estudiantes. Luego, se seleccionan al azar 10 de ellas y se registra
la nota final asociada a cada una:

Sé más Fichas seleccionadas
4 7 11 12 21 24 25 29 31 36
Al representar una N° de ficha
distribución en un Nota final 6,5 5,8 5,6 5,8 6,5 5,6 6,4 5,5 6,9 5,6
gráfico, este puede
tomar una forma: De la muestra se pueden obtener las siguientes medidas de tendencia central:
• Media aritmética:
• S​_xi ​m= éMtre i=caM: o Sumando los datos y dividiendo por el resultado:

• dAesrimecéhtari:c​x_a ​<pMore la Mo  ​6_ ,_5__ _+__ _5_,_8__ _+__ _5 __,_6__ _+__ _5_,_8__ _+__  _6__,_5__ _1 +_0_ _5 __,6__ _+_ _ _6__,_ 4__ _+__ _5__,5__ _ +__ _ 6__,_9__ _+__ _5__,6__ ​ = ​ _6_1_0_0,_2_ _​  = 6,02
< Luego, aproximando, la media de la muestra es ​x_​ = 6,0.

• Asimétrica por la _x​ ​ 
izquierda: Mo < Me<
• Mediana:

Ordenando los datos:

5,5 – 5,6 – 5,6 – 5,6 – 5,8 – 5,8 – 6,4 – 6,5 – 6,5 – 6,9

Como n = 10, x​ ​ _​1_20_ _ ​ ​ = ​x​5​  =  5,8 y ​x​ ​_1_20_ _​  + 1 ​ = ​x​6=​   5,8, entonces Me = 5,8.
• Moda:

Analizando la muestra, se puede observar que el dato de mayor frecuencia es 5,6.
Luego, la moda de la muestra es Mo = 5,6.
A partir de las medidas de tendencia central antes calculadas, se pueden hacer las
siguientes inferencias sobre la población:
• Considerando que la media ​x_ ​= 6,0, se puede inferir que la gran mayoría de notas

debería ser mayor que 5,0, ya que la nota máxima es un 7,0.

• Además, la mitad de las notas se pueden considerar muy buenas, ya que Me = 5,8,
es decir, el 50 % de ellas es superior a 5,8.

• Por olatrsonloatdaos,mcoumy obaMjao s=s5o,n6psoeceansc.uentra en la mitad inferior a 5,8, se puede inferir
que

230 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

2. Calcula las medidas de tendencia central de las muestras a partir de los
gráficos correspondientes. Luego, responde.

a. b. c.
Horas de estudio semanal Horas de estudio semanal Horas de estudio semanal

9 9 9

Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
666

333

0 _x, M4e, M5o 0 1 M2o M3ex_ 4 5 6 7 0 x_ M5eMo
3 Horas 4
1 2 Horas 6 7 1 2 3 Horas 6 7

_x = 4 Me = 4 Mo = 4 x_ = 3,1 Me = 3 Mo = 2 _x = 4,2 Me = 4,5 Mo = 5
_x = Me = Mo Mo < Me < _x _x < Me < Mo

¿Cómo es la forma del gráfico cuando las medidas son iguales?

▷ Es simétrico, es decir, los datos se distribuyen de forma uniforme con respecto al
centro.

¿Qué ocurre con el gráfico cuando la moda es la menor de las medidas?

▷ Las barras de mayor tamaño se ubican a la izquierda del gráfico.

¿Dónde se agrupan los datos cuando la media es la menor de las medidas?

▷ Se agrupan al lado derecho del gráfico.

Ejercicios propuestosCantidad de autos ¿Qué opinas de esto?
El DEMRE publicó
1. Analiza las medidas de tendencia central de la muestra entregada. Luego, en su página web
responde. que en 2013, de los
a. En un ensayo PSU de Matemática realizado en un colegio, el puntaje máximo 83.159 estudiantes
fue 815 puntos y el mínimo 530. De una muestra representativa se obtuvo que provenientes de
x_re=pr6e2s0en, tMeea=e6st4a5pyoMbloa=ció6n5?0. ¿Cómo sería la forma del gráfico de barras que establecimientos
b. Anualmente, una automotora tiene una población de 420 vehículos en venta. municipales que
Una muestra representativa de dicha población se representa en el gráfico. rindieron la PSU, 23.117
¿Cuál es la relación entre las medidas de tendencia central de la población? fueron seleccionados;
mientras que, de los
Cantidad de autos por año 24.779 estudiantes
40 provenientes de
30 establecimientos
20 particulares pagados
10 que rindieron la
PSU, 18.350 fueron
0 seleccionados.
2005 2006 2007 2008 2009 2010
Año

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM 231

Lección 14

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos.

1. Analiza la información dada. Luego, calcula las me- 3. Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.
didas de tendencia central en cada caso.
Estatura de un grupo de jugadores de básquetbol
a.
Estatura (cm) f F f​​r​
Cantidad horas dedicadas a leer en una [160, 170[ 19 19 0,121
semana
[170, 180[ 37 56 0,236
4–5–6–8–8–7–6–4–5–8–4–6–6–
7–7–7–7–8–7–8–5–5–6–4–6–5– [180, 190[ 45 101 0,287
5–4–8–6–9–5–6–4–5–6–8–9–6
[190, 200[ 38 139 0,242
b.
[200, 210[ 18 157 0,115
Edad de integrantes de un grupo de danza
Frecuencia a. ¿Cuántos jugadores de básquetbol fueron
12 medidos?
10
b. ¿Cuál es el promedio de estatura del grupo de
8 jugadores de básquetbol?
6
4 c. ¿Qué significa que la frecuencia relativa del
2 intervalo [180, 190[ sea la más alta?
0
d. ¿Qué significa que la frecuencia relativa del
12 13 14 15 16 17 intervalo [160, 170[ sea mayor que la del
intervalo [200, 210[?
Edad en años
e. ¿Qúe porcentaje del grupo de jugadores de
2. Interpreta la información de la tabla. Luego, básquetbol medido tiene una estatura mayor o
resuelve. igual que 1,8 m?

Antigüedad del personal de una empresa f. ¿Por qué crees que la suma de las frecuecnias
relativas no resulta 1?

Años f F 4. Analiza la tabla. Luego, escribe V o F según corres-
ponda y justifica.
[0, 3[ 328 328

[3, 6[ 380 708

[6, 9[ 276 984 Temperaturas máximas en agosto 20
T (°C) 14 15 16 17 18 19 2
[9, 12[ 414 1.398
f 234865
[12, 15[ 160 1.558

[15, 18[ 82 1.640 a. La moda de la muestra es 17 °C.
b. La mediana es mayor que la media
La empresa entregará un bono por antigüedad
de 20 UF al 5 % de los empleados de mayor aritmética de la muestra.
antigüedad, 15 UF al siguiente 35 % más antiguo y c. El rango de la temperatura de la muestra
10 UF al siguiente 40 % más antiguo.
Calcula la antigüedad que debe tener un empleado fue de 20 °C.
para recibir cada bono utilizando la información d. El gráfico de los datos es simétrico, con
de la tabla.
respecto a la media aritmética.
e. En el gráfico de la muestra, las barras

de mayor tamaño se ubican hacia la
derecha.
f. La fila de las frecuencias representan los
días de agosto en que fueron registradas
las temperaturas máximas.

232 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

5. Analiza los histogramas. Luego, resuelve. 6. Analiza el siguiente estudio. Luego, responde.

Tiempo de compra en la tienda A En un estudio realizado sobre el puntaje de ingreso
a una determinada carrera universitaria, se obtuvo
Cantidad de clientes 16 que el puntaje máximo de ingreso fue de 760
14 puntos; mientras que el último ingresado lo hizo
12 10 15 20 25 30 35 con 624 puntos.
10 a. Si el promedio de los puntajes de los ingresados

8 a esta carrera fue de 650 puntos, la mediana
6 fue de 643 y la moda fue de 702 puntos, ¿cómo
4 sería el gráfico de barras que representa esta
2 información?
05 b. ¿Qué condiciones deberían cumplirse para que
el gráfico que representa la situación dada sea
Tiempo (min) simétrico?
c. ¿Dónde se agrupan los datos si el promedio de
Cantidad de clientesTiempo de compra en la tienda B puntos de los estudiantes que ingresaron a dicha
12 carrera es menor que la mediana y la moda de los
10 mismos?

8 7 Crea una muestra formada por 45 de los estudian-
6 tes que ingresaron a la carrera universitaria de la
4 pregunta anterior, tabula los datos, calcula la me-
2 dia aritmética, moda, mediana y rango, representa
0 5 10 15 20 25 30 35 gráficamente los datos y realiza una conclusión.

Tiempo (min)
a. Calcula la media, moda, mediana y rango de los

datos.
b. Si pudieras elegir una de las tiendas para ir de

compras, ¿cuál elegirías? ¿Por qué?

Me evalúo

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las
siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.).

Indicador (Preguntas 1, 3, 4, 5 y 7)
Calculé medidas de tendencia central. (Preguntas 2, 3, 4 y 5)
(Preguntas 6 y 7)
Analicé e interpreté tablas de frecuencias e histogramas.

Analicé un estudio y realicé inferencias con respecto sus datos.

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 233

UNIDAD ↘ Taller de TIC

Hoja de cálculo

La siguiente tabla muestra el tiempo que demoró Resolución de un problema
un curso de 8.° Básico en resolver un problema
matemático. ¿Cuál fue el tiempo promedio que Tiempo (min) Cantidad de estudiantes
demoraron los estudiantes en encontrar la solución? [10, 15[ 10

Para calcular el tiempo promedio se utilizará Excel. [15, 20[ 5
Para esto, lleva a cabo cada paso.
[20, 25[ 12

[25, 30[ 15

[30, 35[ 2

1 Escribe la tabla en la hoja
de cálculo.

Escribe en celdas separadas cada uno de
los extremos de los intervalos. Por ejemplo,

10 y 15 ocuparán las celdas A2 y B2,
respectivamente.

2 Recuerda que la marca de clase es la Lo anterior, te entregará el valor de la marca del
semisuma de los extremos de cada intervalo. primer intervalo. Después, para los demás valores,
En Excel debes escribir una fórmula que debes ubicar la flecha del cursor en el extremo
permita calcularla. Para ello, debes escribir inferior derecho de la celda y arrastrarla con el
=(A2+B2)/2 en la celda de la marca de clase mouse hasta la fila del último intervalo.
del primer intervalo. Luego presiona Enter.

223344 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

3 Para multiplicar la frecuencia absoluta con 4 Calcula la cantidad total de estudiantes y
la marca de clase, considera otra columna el total de la columna ​Mc​​ ⋅ f.
(en este caso, E).
Marca la columna correspondiente (en
Escribe =C2*D2 en la celda E2 y presiona este caso C) y luego presiona el ícono
Enter. Luego ubica la flecha del cursor en "autosuma".
el extremo inferior derecho de la celda
y arrástralo con el mouse para que lo Posteriormente, realiza lo mismo con la
calcule en toda la columna. columna E: el valor que obtendrás es 960.

5 Ahora, calcula el promedio o la media
aritmética.

En una celda vacía, por ejemplo E10,
escribe la fórmula =E7/C7 y luego presiona
Enter. Obtendrás como promedio el valor

21,818181.

1. Calcula la media aritmética utilizando una hoja
de cálculo.

Tiempo de espera al descargar un software de
Internet

Tiempo (min) Número de computadores

[0, 4[ 3

[4, 8[ 1

[8, 12[ 7

[12, 16[ 10

[16, 20[ 2

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 223355

15Lección ¿Qué haces Pascal? ¿Cálculos para qué?

Estoy haciendo un
par de cálculos con

la “pascalina”.

Probabilidad Blaise Pascal Para obtener la
probabilidad de ganar
↘ Experimentos y
probabilidad una rifa que estoy
haciendo… ¿Quieres
↘ Experimentos comprar un número?
equiprobables y no
equiprobables Experimentos y probabilidad

↘ Ley de Laplace En ciencias, un experimento consiste en aplicar un procedimiento con el fin de
↘ Triángulo de Pascal descubrir, comprobar o demostrar determinados fenómenos o principios. En
↘ Árbol de probabilidad, existen dos tipos de experimentos:
◾ Determinístico: su resultado se puede predecir, ya que es único y, si se repite bajo
probabilidades
las mismas condiciones, este no varía.
◾ Aleatorio: no se puede predecir su resultado, ya que no es único y, si se repite

bajo las mismas condiciones, este puede variar.

Ejercicios resueltos

1. Clasifica cada experimento como determinístico o aleatorio.

a. Abrir un libro y observar el número de la página. → Aleatorio

b. Lanzar un dado y observar el número de puntos obtenido. → Aleatorio

c. Calcular el promedio de mis notas en Matemática a fin de año. → Determinístico

d. Analizar si el agua a 100 °C inicia su proceso de ebullición. → Determinístico

e. Extraer una bolita roja de una urna con bolitas rojas y azules. → Aleatorio

f. Observar si amanece mañana. → Determinístico

g. Predecir el ganador de una competencia de atletismo. → Aleatorio

2. Crea tres experimentos aleatorios utilizando los elementos de la tabla.

Sé más Elementos

Una experiencia es de Experimento 1 Extraer una de las Lanzar los dos dados Dejar caer todas las
azar si no se puede Experimento 2 bolitas de una urna y y sumar los puntos fichas y contar cuántas
predecir su resultado. Experimento 3 observar su color. obtenidos . quedan boca abajo.
Los experimentos Lanzar las bolitas al Lanzar los dos dados y Extraer una de las
aleatorios son los suelo y medir la distan- observar si se obtienen fichas de una bolsa y
que dan lugar a cia entre una roja y una los mismos números de observar si la suma de
experiencias de azar. verde. puntos. sus puntos es par.
Colocar las bolitas al Empuñar los dos dados Colocar al azar las
azar en una fila y ano- en una mano y pregun- fichas en fila y multipli-
tar el orden dado según tar a alguien en qué car los puntajes de la
su color. mano están. última y la primera.

236 SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM

¿Pero cuál es la ¡Eso es imposible!
probabilidad de ganar?

Un 100 %. No si compras todos
los números…
El espacio muestral (E) de un experimento aleatorio es el conjunto formado
por todos sus posibles resultados. Además, un suceso o evento A es cualquier ¿A qué tipo de suceso
subconjunto de E y sus elementos se llaman casos favorables de A. aspiraba Pascal para
estar seguro de que

ganaría la rifa?

3. Analiza los experimentos aleatorios. Luego, escribe su espacio muestral.

Experimento aleatorio Espacio muestral

a. Lanzar un dado de seis caras E: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
numeradas del 1 al 6. E: {CC, CS, SC, SS}

b. Lanzar dos monedas.

c. Elegir al azar una persona y anotar si E:{H, M}
es hombre o mujer. E: {V, A}
E: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
d. Extraer una bolita de una urna con E: {trébol, diamante, corazón, pica}
bolitas verdes y amarillas.

e. Lanzar dos dados y sumar los números
de puntos obtenidos.

f. Extraer una carta de un naipe inglés y
anotar su pinta.

4. Completa la tabla analizando cada experimento.

Experimento Espacio muestral Suceso Casos favorables

Lanzar un dado E: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • A:obtener un número 2–3–5–7
de ocho caras primo.
numeradas del 1
al 8.

Lanzar tres E: {CCC, CCS, CSC, • A: obtener exactamente CSS – SCS – SSC Sé más
monedas. SCC, CSS, SCS, SSC, dos sellos y una cara.
SSS} Un suceso A de un
experimento se puede
Elegir al azar una E: {a, e, i, o, u} • A: elegir una vocal a–e–o expresar de muchas
vocal. abierta. NB – BN – BB formas. Por ejemplo, si
se lanzan tres monedas
Extraer dos boli- E: {NN, NB, BN, BB} • A: extraer por lo menos se puede escribir:
tas de una urna una blanca. A: obtener exactamente
solo con bolitas dos caras y un sello, o
negras y blancas. A: {CCS, CSC, SCC}.

SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM 237

Lección 15: Probabilidad

En un experimento aleatorio, la probabilidad es un número que se asigna a cada
suceso y que indica la frecuencia con que ocurre. Una estimación de dicho número
es la probabilidad afrlerceuaelinzaciraelloexepmepriímriceant(oP.f)E,sqdueeccior,rlraespproobndabeialidlaadfrferceuceunecnicaial
relativa del suceso
de un suceso A se calcula como:

Pf(A) = ______n_ú_m__e_ro__d_e__c_a_so_s__f_av_o_r_a_b_le_s__d_e__A______
número de veces que se realizó el experimento

5. Analiza los resultados de los experimentos asociados al lanzamiento de un dado
de seis caras numeradas del 1 al 6. Luego, completa las tablas y resuelve.

Ayuda 100 lanzamientos 1.000 lanzamientos 10.000 lanzamientos
Recuerda que:
• f: frecuencia absoluta. Nf fr Pf Nf fr Pf N f fr Pf
• fr: frecuencia relativa. 1 15 1 167
Aadlaempráosb, aPbf icliodraredsponde 2 18 _1__5___ 0,15 2 167 ___1_6__7___ 0,167 1 1.673 _1_._6__7__3__ 0,1673
frecuencial de un 3 14 100 3 162 1.000 1.000
evento. 4 17 4 163
5 16 __1__8__ 0,18 5 170 ___1_6__7___ 0,167 2 1.688 _1__.6__8__8__ 0,1688
238 6 20 100 6 171 1.000 1.000

__1__4__ 0,14 __1__6__2___ 0,162 3 1.658 _1__.6__5__8__ 0,1658
100 1.000 1.000

__1_7___ 0,17 __1__6__3___ 0,163 4 1.675 _1__.6__7__5__ 0,1675
100 1.000 1.000

__1__6__ 0,16 __1__7__0___ 0,170 5 1.668 _1__.6__6__8__ 0,1668
100 1.000 1.000

__2__0__ 0,20 __1__7_1____ 0,171 6 1.638 _1__.6__3__8__ 0,1638
100 1.000 1.000

a. A medida que la cantidad de lanzamientos aumenta, ¿qué ocurre con la
frecuencia absoluta de los sucesos?
▷ Para una misma cantidad de lanzamientos, las frecuencias absolutas de los
sucesos tienden a ser iguales. Por ejemplo, para 10.000 lanzamientos se puede
observar claramente como estos valores son muy cercanos.

b. Según estos resultados, ¿qué se puede esperar de la probabilidad de cada
suceso?
▷ A partir de la probabilidad frecuencial, todos los sucesos tienden a una misma
probabilidad, es decir, se puede esperar que al lanzar un dado la probabilidad de
obtener 1, 2, 3, 4, 5 o 6 sea la misma.

6. Observa la figura. Luego, considera el experimento de extraer una bolita,
registrar su color en la tabla, devolverla y repetirlo 2.000 veces.

Extracción de una bolita c. ¿Cuál es la relación entre las cantidades de
bolitas?
Color f fr Pf ▷ Hay el doble de bolitas rojas que azules.
Rojo 1.329
Azul _1__._3__2_9__ 0,6645 d. ¿Qué observas de las probabilidades
671 2.000 frecuenciales?
▷ La probabilidad frecuencial de extraer una roja
___6_7__1___ 0,3355 es muy cercana al doble de extraer una azul.
2.000

e. ¿Qué se espera de la probabilidad de cada suceso?
▷ Se espera que la probabilidad de extraer una roja sea el doble que la de obtener
una azul, ya que la cantidad de rojas es el doble de la cantidad de azules.

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Ejercicios propuestos

1. Analiza los experimentos. Luego, determina el espacio muestral E y los casos Ayuda
favorables del suceso A, según corresponda. El principio
multiplicativo permite
a. Formar una pareja de baile al azar, de un hombre y una mujer, entre Carlos, calcular la cantidad
Sebastián, Gabriela, Paulo y Susana. Considera el suceso A: Gabriela está en la de elementos de un
pareja. espacio muestral
y contar sucesos
b. Elegir un número de tres cifras cuyos dígitos sean 4, 7 y 9, sin repetir, y analizar favorables.
el suceso A: el número elegido es impar.
239
c. Lanzar una moneda 4 veces y estudiar el suceso A: obtener por lo menos tres
sellos.

2. Completa la tabla considerando que se realizó el lanzamiento de dos dados
5.000 veces. Luego, responde.

Suma de los números obtenidos al lanzar dos dados de seis caras 12
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f 139 266 417 570 702 841 707 539 400 294 125

fr

Pf

a. ¿Qué sucesos tienden a tener la misma probabilidad frecuencial? ¿Por qué?
b. ¿Cuál es el suceso de mayor probabilidad frecuencial?
c. ¿Cuáles son los casos favorables de los sucesos 7 y 12?

3. Completa la tabla considerando que se realizaron 5.000 extracciones de una
ficha desde una urna con fichas numeradas desde el 1 al 10. Luego, resuelve.

5.000 extracciones
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 490 513 501 491 508 506 493 498 502 498

fr

Pf

a. Calcula la diferencia entre la mayor y la menor probabilidad frecuencial. ¿Es
significativo ese valor? Justifica.

b. Si se aumentan las extracciones a 100.000, ¿a qué valor debería tender cada
probabilidad frecuencial? ¿Por qué?

c. Según tu respuesta anterior, ¿cuál es la probabilidad de extraer una ficha con el 7?
d. Si se define el suceso A: extraer un número primo impar, ¿cuáles y cuántos son

sus casos favorables?
e. ¿Cómo podrías calcular Pf(A), donde A es el suceso definido en d?

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Lección 15: Probabilidad

Experimentos equiprobables y no equiprobables

Un experimento aleatorio es equiprobable si los sucesos de su espacio muestral
son equiprobables, es decir, tienen igual probabilidad de ocurrir; de lo contrario,
se dirá que el experimento no es equiprobable. Para verificar esto, se utiliza la
probabilidad frecuencial de los sucesos vista en la página 238.

Sofía y Benjamín deben Ejercicios resueltos
calcular la probabilidad 1. Analiza la información. Luego, completa la tabla y responde.
de obtener cara o
sello al lanzar una El experimento de extraer de una urna una de las
moneda. Luego de fichas dibujadas, observar la figura que contiene
lanzar la moneda 10 y devolverla a la urna fue realizado 11.500 veces
veces obtienen 7 caras con la ayuda de una hoja de cálculo, obteniendo
y 3 sellos. A partir los resultados registrados en la tabla.
de estos resultados,
Benjamin infiere que la Resultados de las 11.500 extracciones
probabilidad de obtener
cara debe ser 0,7 pero Figura f fr Pf
Sofía duda de esta 2.320 ​  _12_1_._3._5_2_0_0_0 _  ​ 0,201739
inferencia. 0,200869
0,200347
2.310 ​  _12_1_._3._5_1_00__0 _  ​ 0,199217
0,197826
2.304  ​ _12_1_._3._5_0_0_4_0_   ​

2.291  ​ _12_1_._2._5_9_01__0 _  ​

2.275 ​  _12_1_._2._57__05__0 _  ​

a. Si se aumentara el número de extracciones, ¿cómo se comportarían y a qué valor
tenderían las probabilidades frecuenciales de cada suceso?
▷▷ Como se puede ver en la tabla y considerando un aumento de las extracciones,
cada probabilidad frecuencial debería tender a 0,2.

b. ¿Cuál debería ser la probabilidad de obtener un cuadrado?
▷▷ Según lo anterior, la probabilidad de obtener un cuadrado debería ser 0,2, al
igual que obtener cualquier otra figura.

c. Según la información anterior, ¿es posible definir este experimento como
equiprobable?
▷▷ Utlilizando las probabilidades frecuenciales y considerando que todas son
aproximadamente 0,2, se puede inferir que el experimento es equiprobable, ya
que todos los sucesos tiene la misma probabilidad de ocurrir.

240 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

2. Responde las preguntas asociadas a cada situación.
a. Se realizó una encuesta sobre el nivel de estudio de los empleados de una
empresa obteniendo los resultados registrados en el gráfico.

Nivel de estudios

10% 15% Básico
Medio
30% Superior
45% Postgrado

◾◾ ¿Cuáles son los niveles de estudio con mayor y menor cantidad de
empleados?

▷▷ La mayor cantidad de empleados tiene estudios medios, representando el 45 % de
la empresa; mientras que la menor, corresponde a estudios de postgrado, con un
10 %.

◾◾ ¿Es equiprobable el experimento: elegir un trabajador al azar y considerar su
nivel de estudios?

▷▷ Al construir una tabla de frecuencias con los datos del gráfico, las frecuencias
relativas son 0,10; 0,15; 0,30 y 0,45. De esta forma, las probabilidades
frecuenciales son distintas. Por lo tanto, el experimento es no equiprobable.

b. Se lanzan dos dados de seis caras 100.000 veces y se suman los Suma de los números obtenidos al lan-
números obtenidos. Los resultados se muestran en la tabla. zar dos dados de seis caras
◾◾ ¿Cuál es la moda de los resultados obtenidos?
▷▷ La moda de los resultados es 7, ya que tiene la mayor frecuencia Suma f fr
absoluta: 16.591. 2 2.739 0,02739
◾◾ ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una suma
igual a 11? 3 5.520 0,05520
▷▷ Como la frecuencia relativa de obtener una suma igual a 11 es
0,05656, entonces, Pf(11) = 0,05656. 4 8.207 0,08207
◾◾ ¿Por qué la frecuencia absoluta de una suma igual a 4 es
aproximadamente el triple de obtener una suma igual a 2? 5 11.163 0,11163
▷▷ Porque una suma igual a 4 se puede obtener de tres formas
distintas: 2 + 2 = 4, 1 + 3 = 4 y 3 + 1 = 4; mientras que una suma 6 13.904 0,13904
igual a 2 solo se obtiene de una forma: 1 + 1= 2.
◾◾ ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? 7 16.591 0,16591
▷▷ No, ya que existen frecuencias relativas que son distintas, incluso
si se aumentara la cantidad de repeticiones, dichas frecuencias 8 13.980 0,13980
mantendrían sus diferencias
9 11.068 0,11068

10 8.414 0,08414

11 5.656 0,05656

12 2.758 0,02758

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM 241

Lección 15: Probabilidad

Ejercicios propuestos
1. Analiza los experimentos. Luego, infiere si son equiprobables. Justifica.

a. Lanzar un dardo en el tablero y registrar el color acertado.
60º

60º 60º

b. Lanzar un dado de ocho caras y registrar el número obtenido.

2. Completa la tabla del experimento. Luego, explica porqué el experimento es
equiprobable.

Números sorteados en 1.592 sorteos realizados

Número Cantidad Pf Número Cantidad Pf
1 de sorteos 14 de sorteos

939 922

Ayuda 2 908 15 942
Para calcular Pf debes
utilizar el total de 3 872 16 897
sorteos, 1.592.
4 923 17 913
Desafío
Explica por qué en el 5 945 18 956
ejercicio de esta página
el número total de 6 894 19 905
casos no corresponde
a la suma de las 7 931 20 925
frecuencias absolutas.
8 922 21 904

9 925 22 901

10 956 23 912

11 926 24 934

12 961 25 970

13 918

a. Si el número se sorteos sigue aumentando, ¿cómo se comportarían las
frecuencias relativas de los números?

b. ¿A qué valor tienden las probabilidades frecuenciales de cada número? ¿Cómo
se obtiene dicho valor?

c. ¿Se puede considerar este juego como un experimento equiprobable? Justifica.

242 SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

3. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los ↘ Taller de estrategias
problemas. Simular lanzamientos de dados en
a. Un experimento consiste en lanzar tres dados y una hoja de cálculo
sumar los números obtenidos. Si el experimento
se repite 12.000 veces, ¿cuál es la probabilidad Practica esta estrategia. Para esto, considera el
frecuencial de obtener una suma igual a 12? ¿Son enunciado y sigue cada paso.
equiprobables los resultados? Justifica.
Simular un experimento que consiste en lanzar
b. Una urna contiene 5 fichas con números pares y 3 dos dados 12.000 veces y sumar los números
con impares. Se extrae una de ellas y se registra obtenidos.
el número obtenido. Si el experimento se repite
15.000 veces, ¿cuál es la probabilidad frecuencial ↘ Paso 1 Ingresar dos listas de 12.000 números
de obtener un número par? ¿Es equiprobable el aleatorios
experimento? ¿Por qué?
Con la función =ALEATORIO.ENTRE(1;6) en A1
c. Si se lanzan dos dados de cuatro caras 16.000 y B1 se crean las listas que simulan los números
veces y se multiplican los números obtenidos. obtenidos de los dados. Copia hasta las casillas
¿Cuáles son los posibles resultados? ¿Cuál es el A12.000 y B12.000.
suceso de mayor probabilidad frecuencial?
↘ Paso 2 Sumar los resultados de las listas
En la casilla C3 escribe =A1 + B1 y luego teclea
ENTER. Copia hasta la casilla C12.000 para sumar
los números.

d. Un juego consiste en lanzar dos dados, uno ↘ Paso 3 Contar los resultados obtenidos
de 4 caras y otro de 8 y sumar sus resultados.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del Desde la casilla D1 hasta la D11 escribe los
experimento? ¿Cuál es la probabilidad frecuencial números del 2 al 12, que simulan las sumas
del suceso A: obtener un producto igual a 12? posibles. Luego, en E1 escribe la función
=CONTAR.SI($C$1:$C$12000;D1) y copia hasta
E11. Esta función cuenta la cantidad de veces en
la lista de cada una de las posibles sumas.

e. Una urna contiene 5 fichas rojas, 4 verdes y En la columna E se obtiene la cantidad de cada
3 azules. Un experimento consiste en extraer una de las posibles sumas indicadas en la
una ficha de la urna y registrar su color. Si el columna D.
experimento se repite 20.000 veces, ¿cuál es la
probabilidad frecuencial del suceso A: extraer una 243
ficha verde? ¿Cuál debería ser la probabilidad de
cada uno de los posibles sucesos?

SÉ PROTAGONISTA © Ediciones SM

Lección 15: Probabilidad

Ley de Laplace

La ley de Laplace permite calcular la probabilidad de que ocurra un suceso A,
denotado P(A), en un experimento equiprobable, con la siguiente fórmula:

P(A) = _N__ú__m__e__r_o___d_e___c_a__s_o__s__f_a__v_o__r_a_b__l_e_s___a_l__s__u_c__e_s__o___A_
Número de casos totales

El número de casos totales corresponde a la cardinalidad del espacio muestral E.
Además, para todo suceso A se verifica que 0 ≤ P(A) ≤ 1.

La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0; mientras que la de un
suceso seguro es 1.

Ejercicios resueltos

1. Evalúa la veracidad de cada enunciado relacionado con la extracción de una
bolita de una tómbola con 6 bolitas rojas y 4 amarillas. Para ello, escribe
Verdadero o Falso según corresponda.

a. El número de casos favorables para el suceso extraer una → Falso
bolita amarilla es 10.

b. El número de casos favorables para el suceso extraer una → Falso
bolita roja es 4.

c. La probabilidad de extraer una bolita de color verde es 0. → Verdadero

d. La probabilidad de extraer una bolita roja o amarilla es 1. → Verdadero

2. Calcula la probabilidad de obtener 3 puntos al lanzar un dado de seis caras
numeradas del 1 al 6 y que no está cargado.

▷ Sea A : obtener 3 puntos. Como el dado no está cargado, al lanzarlo, todas sus
caras pueden ser obtenidas como cara superior, por lo tanto, el experimento es
equiprobable. Además:

E: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Seis casos totales.

A: {3} → Un caso favorable al suceso A.

Luego, aplicando la ley de Laplace se obtiene que:
_1__ → La probabilidad de obtener 3 puntos es _61__.
P(A) = 6

3. Completa la tabla. Para ello considera que las bolitas de la urna dibujada tienen
el mismo tamaño y textura.

Extraer al azar una bolita de la urna

rv r Suceso Conjunto Número de casos fa- Probabilidad
ar av vorables al suceso
v
r A: extraer una bolita azul. {a, a} 2 P(A) = _2___ = 1__ = 0,2
10 5

B: extraer una bolita roja. {r, r, r, r} 4 P(B) = _4___ = 2__ = 0,4
10 5

C: extraer una bolita verde. {v, v, v} 3 P(C) = _3___ = 0,3
10

d: extraer una bolita negra. Ø 0 P(D) = __0__ = 0
10

244 SÉ PROTAGONISTA © EdICIONES SM

Ejercicios propuestos

1. Analiza las situaciones. Luego, identifica el espacio muestral E y calcula la
probabilidad del evento dado.

a. En una bolsa se depositan 20 papeles. De ellos, 9 están numerados del 1 al 9,
otros 6 tienen escrito un nombre de persona y el resto tiene dibujada alguna
figura geométrica. Se extrae aleatoriamente uno de los papeles.
E:

Evento A: extraer un papel B: extraer un papel C: extraer un papel
numerado. con un nombre. con una figura.
P(A) = P(B) = P(C) =

Probabilidad

b. De una delegación de deportistas, compuesta por 5 tenistas, 4 atletas y 6 Ayuda
nadadores, se elige aleatoriamente a uno de ellos.
E: Para denotar los
posibles resultados
Evento A: el deportista es B: el deportista es C: el deportista es o eventos de un
tenista. atleta. nadador. experimento, se pueden
P(A) = P(B) = P(C) = utilizar letras. Por
ejemplo:
N: niña, C: cara,
S: Sofía, R: roja, etc.

Probabilidad

2. Calcula las probabilidades pedidas.
Un hotel de cuatro pisos, en su primer piso están las habitaciones 11, 12 y
13; en su segundo piso, las habitaciones 21, 22, 23 y 24; en su tercer piso, las
habitaciones 31, 32, 33 y 34; y en su último piso, las habitaciones 41 y 42. Si se
selecciona al azar una de las habitaciones:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la habitación escogida sea del cuarto piso?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la habitación escogida sea par?

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Lección 15: Probabilidad

Triángulo de Pascal

Sé más El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números naturales que permite
calcular probabilidades asociadas a experimentos equiprobables dicotómicos que se
Un experimento repiten. Su construcción se realiza de la siguiente forma:
dicotómico solo tiene
dos resultados posibles. ◾◾ En el borde superior de la forma triangular 1 Fila 0
Por ejemplo: se coloca un 1.
• Lanzamiento de una
◾◾ En las filas inferiores de la forma 1 1 1 + 1 1 1 Fila 1
moneda: cara o sello. ◾◾ triangular se coloca un 1 en cada extremo. + + + 2 + + + Fila 2
• Tener un hijo: hombre Todo otro número se obtiene sumando 4 3 + 3 4 Fila 3
los dos números que están sobre este 1 + 6 + 1
o mujer. en la fila superior. ⋮
• Resultado de un

juego: ganar o perder.

1 5 10 10 5 1 ⋮

Ejercicios resueltos

1. Utiliza el triángulo de Pascal en el lanzamiento de tres monedas para calcular
cuántos resultados corresponden a dos caras y un sello.

▷▷ Como se lanzan tres monedas, se utiliza la fila 3 del triángulo de Pascal, donde los
números de la fila corresponden al número de veces que ocurre cada una de las
posibles combinaciones de los sucesos del espacio muestral:

1 3 3 1
Tres caras Tres sellos
Dos caras y un Una cara y dos
CCC sello sellos SSS

CCS CSC SCC CSS SCS SSC

Ayuda Entonces, se puede obtener dos caras y un sello de tres formas distintas al lanzar tres
En el triángulo de monedas: CCS, CSC y SCC.
Pascal la suma obtenida
en la fila n es 2n. 2. Calcula la probabilidad del suceso A: obtener dos sellos y una cara, en el
experimento: lanzar tres veces una moneda.
▷▷ Utilizando la información del ejercicio anterior se tiene que son posibles 3
combinaciones de dos sellos y una cara.
Además, el triángulo de Pascal también permite calcular el número total de posibles
resultados:

1+3+3+1=8

Por lo tanto:
P(A) = ​_38 __ ​ = 0,375

Es decir, la probabilidad de obtener dos sellos y una cara es 0,375 al lanzar tres
monedas.

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3. Resuelve los problemas.

a. Nicolás y Emiliano se enfrentarán en 6 partidas de ajedrez. Calcula la
probabilidad del suceso A: Nicolás gana exactamente 4 de dichas partidas.
▷▷ Los posibles resultados para Nicolás en cada enfrentamiento son: gana (G) o
pierde (P). Como son 6 enfrentamientos, se utiliza la fila 6 de triángulo de Pascal:

1 6 15 20 15 6 1

Gana 6 Gana 5 y Gana 4 y Gana 3 y Gana 2 y Gana 1 y Pierde 6
pierde 1 pierde 2 pierde 3 pierde 4 pierde 5

Luego, los casos favorables para A son 15. Además, el número total de casos es
26 = 64. Por lo tanto:
P(A) = ​ 1_6_5_4_   ​ = 0,234375

Es decir, la probabilidad de que Nicolás gane exactamente 4 de las partidas es
0,234375.
b. Una familia espera el nacimiento de quintillizos. Calcula la probabilidad del
suceso B: solo 2 de los recién nacidos son mujeres.
▷▷ Los resultados posibles asociados al nacimiento son: hombre (H) o mujer (M).
Como son quintillizos (5) se debe utilizar la fila 5 del triángulo de Pascal:

1 5 10 10 5 1

5 mujeres 4 mujeres 3 muje- 2 muje- 1 mujer y 5 hombres Conectando con...
y 1 hombre res y 2 res y 3 4 hombres El ajedrez
hombres hombres
Duncan Forbes plantea
Luego, los casos favorables para B son 10. Además, el número total de casos es en su libro “Historia
25 = 32. Por lo tanto: del Ajedrez” (Londres
P(B) = ​_31 _0_2_  ​ = 0,3125 1860) que el origen de
este juego se remonta al
Es decir, la probabilidad de que solo dos de los quintillizos sean mujeres es siglo VI a.C. en la India.
0,3125. Al respecto, Forbes
recoge el siguiente
Ejercicios propuestos relato:
“Estaba enfermo
1. Identifica si los experimentos son dicotómicos. Para ello, marca un ✓ en Sí o en cierto rey de la India
No según corresponda. y le prescribieron que
tratara de distraerse
Sí No agradablemente. Fue
a. Lanzar un dado y verificar si el resultado es un número primo. con este motivo que
Susa Ben Dahir elaboró
b. Elegir al azar un color de la bandera de Chile. o inventó el ajedrez.”
Para conocer más y
c. Verificar si una ampolleta funciona. jugar en línea, ingresa el
código SP7m247 en la
d. Comprobar la respuesta de este ejercicio. página web del Proyecto
Sé Protagonista.
e. Realizar una encuesta sobre el estado civil de las personas.

f. Medir a una persona y observar si mide más de 180 cm.

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Lección 15: Probabilidad

Sé más 1. Completa la tabla. Para ello, utiliza el triángulo de Pascal.
Un experimento que
consiste en elegir un Experimento Fila del triángulo Número total de
elemento al azar de un de Pascal asociada casos
conjunto, puede ser:
• Con reposición: si el Lanzar una moneda 8 veces y observar las
combinaciones posibles de los resultados.
elemento se devuelve
al conjunto antes de Observar si en cada día de una semana
repetir la elección. llueve y anotar los casos posibles.
• Sin reposición: si Extraer con reposición 4 fichas de una caja
el elemento no se con 10 fichas color azul y 10 rojas y anotar
devuelve al conjunto su color.
antes de repetir la Extraer con reposición seis cartas de un
elección. naipe inglés y anotar si son negras.
Enfrentarme en cinco partidos de tenis
12 contra un compañero y observar si gano o
6 pierdo.

15 2. Calcula el número de casos favorables de cada suceso asociado al experimento
9 21 dado y anótalo en el recuadro.

18 Experimento Suceso Casos
248 a. De un grupo de 100 Exactamente dos personas son favorables
mujeres.
personas se eligen al
azar 5 de ellas.

b. Se lanza un dado de seis Solo tres números son primos.
caras cuatro veces.

c. Se elige con reposición Exactamente tres cartas no son
6 cartas de un naipe trébol.
inglés.

d. Comprobar si los Solo 7 de los 25 celulares
celulares en una sala de están apagados.
clases están apagados.

3. Utiliza el triángulo de Pascal para resolver los problemas.
a. Las probabilidades de que una pila presente fallas o no son iguales. Calcula la
probabilidad de que en un paquete con 8 de ellas solo 3 presenten fallas.
b. Si se lanza un dado de seis caras 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener un
número mayor o igual que 4 en cada uno de los lanzamientos?
c. En un curso de 44 estudiantes, la mitad de ellos tienen 13 años. Calcula la
probabilidad de que, en un grupo de 6 de ellos, exactamente 5 no tengan
13 años.
d. Lucía lanza siete dardos a un tablero como el de la figura. ¿Cuál es la
probabilidad de que en solo 2 de ellos obtenga un múltiplo de 6?

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