พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 44 - แทนค่า I1 ลงในสมการจุดร่วมทั้งสอง แล้วจัดรูปสมการใหม่จะได้ 1.2 VA - 0.5 VB = 9 -VA + VB = 10 หลังจากแก้สมการแล้วจะได้VA = 20 V และ VB = 30 V ตอบ VA = 20 V และ VB = 30 V ตัวอย่างที่ 2.9 จงหาค่ากระแส IA และ IB ในวงจรดังรูปที่ 2.20 ด้วยวิธีวงรอบกระแส รูปที่ 2.20 ตัวอย่างที่ 2.9 วิธีท า แปลงแหล่งก าเนิดกระแสที่ถูกควบคุมเป็นแหล่งก าเนิดแรงดันที่ถูกควบคุมดังรูปที่ 2.21 (ก) และ (ข) ตามล าดับ เขียนสมการของวงรอบต่างๆ ดังนี้ (2 วงรอบ จะได้2 สมการ) วงรอบ A : (14 + 4 + 2) IA - 2 IB = 110 วงรอบ B : -2 IA + (2 + 10 + 6) IB = -5 V1 จากนั้นเขียนสมการเงื่อนไขบังคับโดยใช้กฎของโอห์มดังนี้ V1 = 2 (IA - IB) แทนค่า V1 ลงในสมการวงรอบ B แล้วจัดรูปสมการใหม่จะได้ 20 IA - 2 IB = 110 8 IA + 8 IB = 0 หลังจากแก้สมการแล้วจะได้IA = 5 A และ IB = -5 A

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 45 - ตอบ IA = 5 A และ IB = -5 A (ก) (ข) รูปที่ 2.21 การแปลงจาก (ก) แหล่งก าเนิดกระแสที่ถูกควบคุมเป็น (ข) แหล่งก าเนิดแรงดันที่ถูกควบคุม 2.7 การลดขนาดของวงจร การลดขนาดของวงจรเป็นการจัดรูปและลดรูปของวงจร เพื่อลดความซับซ้อนของวงจร ท าให้ง่ายต่อ การวิเคราะห์มากยิ่งขึ้น ซึ่งมีหลายวิธีดังต่อไปนี้ 1. การยุบรวมแหล่งก าเนิดไฟฟ้า • แหล่งก าเนิดแรงดันต่ออนุกรมกัน ดังรูปที่ 2.22 จะได้ KVL : Eeq - E1 - E2 - … - En = 0 (2.30) ดังนั้น Eeq = E1 + E2 + … + En (2.31)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 46 - รูปที่ 2.22 การยุบรวมแหล่งก าเนิดแรงดัน • แหล่งก าเนิดกระแสต่อขนานกัน ดังรูปที่ 2.23 จะได้ KCL : I eq - I 1 - I 2 - … - In = 0 (2.32) ดังนั้น I eq = I 1 + I 2 + … + In (2.33) รูปที่ 2.23 การยุบรวมแหล่งก าเนิดกระแส 2. การยุบรวมตัวต้านทาน • ตัวต้านทานต่ออนุกรมกัน ดังรูปที่ 2.24 จะได้ KVL : E - I R1 - I R2 - … - I Rn = 0 (2.34) E = I R1 + I R2 + … + I Rn = I (R1 + R2 + … + Rn ) = I Req (2.35) ดังนั้น Req = R1 + R2 + … + Rn (2.36)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 47 - รูปที่ 2.24 การยุบรวมตัวต้านทาน • ตัวน าต่อขนานกัน ดังรูปที่ 2.25 จะได้ KCL : I - E G1 - E G2 - … - E Gn = 0 (2.37) I = E G1 + E G2 + … + E Gn = E (G1 + G2 + … + Gn ) = E Geq (2.38) ดังนั้น Geq = G1 + G2 + … + Gn = 1 Req (2.39) รูปที่ 2.25 การยุบรวมตัวน า ตัวอย่างที่ 2.10 จงหาค่ากระแส I ในวงจรแบบอนุกรมดังรูปที่ 2.26

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 48 - รูปที่ 2.26 ตัวอย่างที่ 2.10 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.26 เมื่อท าการยุบรวมแหล่งก าเนิดแรงดันที่ต่ออนุกรมกันและยุบรวมตัวต้านทาน ที่ต่ออนุกรมกันแล้ว จะได้วงจรดังรูปที่ 2.27 รูปที่ 2.27 การลดขนาดของวงจรในรูปที่ 2.26 โดยที่ Eeq = 100 - 40 = 60 V และ Req = 15 + 40 + 5 = 60 ดังนั้น I = Eeq Req = 60 60 = 1 A ตอบ I = 1 A ตัวอย่างที่ 2.11 จงหาค่าแรงดัน E ในวงจรแบบขนานดังรูปที่ 2.28

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 49 - รูปที่ 2.28 ตัวอย่างที่ 2.11 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.28 เมื่อท าการยุบรวมแหล่งก าเนิดกระแสที่ต่อขนานกันและยุบรวมตัวน าที่ต่อ ขนานกันแล้ว จะได้วงจรดังรูปที่ 2.29 รูปที่ 2.29 การลดขนาดของวงจรในรูปที่ 2.28 โดยที่ I eq = 15 - 5 = 10 A และ Geq = 1 10 + 1 4 + 1 6.67 = 0.5 -1 หรือ Req = 1 0.5 = 2 ดังนั้น E = 10×2 = 20 V ตอบ E = 20 V ในกรณีที่มีตัวต้านทานต่อขนานกันสองตัวดังรูปที่ 2.30 จะได้ Geq = 1 R1 + 1 R2 = R1 + R2 R1 ×R2 (2.40)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 50 - หรือ Req = R1 ×R2 R1 + R2 (2.41) รูปที่ 2.30 ตัวต้านทานสองตัวต่อขนานกัน ตัวอย่างที่ 2.12 จงหาค่าของความต้านทานสมมูลของวงจรดังรูปที่ 2.31 รูปที่ 2.31 ตัวอย่างที่ 2.12 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.31 เมื่อท าการยุบวงจรจากขวาไปซ้ายจะได้ Rij = 2 + 8 = 10

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 51 - Rgh = 10×10 10 + 10 = 5 Ref = 1 + 5 = 6 Gcd = 1 12 + 1 4 + 1 6 = 1 2 -1 หรือ Rcd = 2 ดังนั้น Rab = 1 + 2 = 3 ตอบ ความต้านทานสมมูลของวงจรเท่ากับ 3 จากตัวอย่างที่ 2.12 ความต้านทานสมมูลของวงจรที่แหล่งก าเนิดจะต้องจ่ายไฟให้ มักจะเรียกอีกชื่อ หนึ่งว่า ความต้านทานอินพุตของวงจร (Input Resistance) ตัวอย่างที่ 2.13 จงหาค่าความต้านทานอินพุตของวงจรดังรูปที่ 2.32 รูปที่ 2.32 ตัวอย่างที่ 2.13 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.32 จะได้ KCL (จุด A) : I + 2 I - I3 = 0 I3 = 3 I KVL (วงรอบซ้าย) : -E + 3 I + 4 I3 = 0 E = 3 I + 4 (3 I) = 15 I ดังนั้น R = E I = 15 ตอบ ความต้านทานอินพุตของวงจรเท่ากับ 15

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 52 - • การต่อแบบวายและเดลต้า ส าหรับวงจรไฟฟ้าที่มีความซับซ้อนและไม่สามารถใช้การยุบรวมตัวต้านทานที่ต่ออนุกรมกันหรือการ ยุบรวมตัวน าที่ต่อขนานกันได้ การลดขนาดของวงจรที่มีตัวต้านทานหรือตัวน าต่อกันแบบวาย (Y) หรือแบบ เดลต้า () ดังรูปที่ 2.33 จึงเป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ใช้ในแก้ปัญหาได้ สามารถท าได้โดยใช้การแปลงวาย-เดลต้า (Y-) ดังสมการต่อไปนี้ Ra = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 (2.42) Rb = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R2 (2.43) Rc = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R3 (2.44) หรือ Ga = G2G3 G1 + G2 + G3 (2.45) Gb = G1G3 G1 + G2 + G3 (2.46) Gc = G1G2 G1 + G2 + G3 (2.47) และการแปลงเดลต้า-วาย (-Y) ดังสมการต่อไปนี้ R1 = Rb Rc Ra + Rb + Rc (2.48) R2 = Ra Rc Ra + Rb + Rc (2.49) R3 = Ra Rb Ra + Rb + Rc (2.50) หรือ G1 = GaGb + GbGc + GcGa Ga (2.51) G2 = GaGb + GbGc + GcGa Gb (2.52) G3 = GaGb + GbGc + GcGa Gc (2.53) การวิเคราะห์หาสมการการแปลงวาย-เดลต้าและสมการการแปลงเดลต้า-วายนี้ ใช้หลักการอ้างอิงค่า ความต้านทานระหว่างขั้วเดียวกัน ซึ่งไม่ว่าจะเป็นการต่อแบบวายหรือแบบเดลต้า ค่าความต้านทานระหว่างขั้ว เดียวกันย่อมมีค่าเท่ากันเสมอ

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 53 - รูปที่ 2.33 การต่อแบบวาย (Y) และเดลต้า () ตัวอย่างที่ 2.14 จงหาค่าของความต้านทานสมมูลของวงจรดังรูปที่ 2.34 รูปที่ 2.34 ตัวอย่างที่ 2.14 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.34 เมื่อท าการแปลงเดลต้า-วาย (-Y) จะได้วงจรดังรูปที่ 2.35 และ 2.36 ตามล าดับ R1 = 8×4 4 + 4 + 8 = 2 R2 = 4×4 4 + 4 + 8 = 1 R3 = 4×8 4 + 4 + 8 = 2 จะได้ Read = 1 + 5 = 6

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 54 - และ Recd = 2 + 10 = 12 นั่นคือ Red = 6×12 6 + 12 = 4 ดังนั้น Rbd = 2 + 4 = 6 ตอบ ความต้านทานสมมูลของวงจรเท่ากับ 6 รูปที่ 2.35 การแปลงเดลต้า-วายของวงจรรูปที่ 2.34 รูปที่ 2.36 วงจรรูปที่ 2.34 เมื่อแปลงเดลต้า-วายแล้ว

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 55 - ตัวอย่างที่ 2.15 จงหาค่าของ E ในวงจรดังรูปที่ 2.37 โดยวิธีการลดขนาดของวงจร รูปที่ 2.37 ตัวอย่างที่ 2.15 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.37 ท าการลดขนาดของวงจร (ขั้นตอนที่ 1-7) ตามล าดับดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 แปลงแหล่งก าเนิดกระแสเป็นแหล่งก าเนิดแรงดัน จะได้วงจรดังรูปที่ 2.38 รูปที่ 2.38 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 1)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 56 - ขั้นตอนที่ 2 แปลงวาย-เดลต้า จะได้วงจรดังรูปที่ 2.39 รูปที่ 2.39 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 2) ขั้นตอนที่ 3 ยุบรวมตัวต้านทานและแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันเป็นแหล่งก าเนิดกระแส จะได้วงจรดังรูปที่ 2.40 รูปที่ 2.40 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 3)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 57 - ขั้นตอนที่ 4 ยุบรวมตัวต้านทาน จะได้วงจรดังรูปที่ 2.41 รูปที่ 2.41 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 4) ขั้นตอนที่ 5 ยุบรวมตัวต้านทานและแปลงแหล่งก าเนิดกระแสเป็นแหล่งก าเนิดแรงดัน จะได้วงจรดังรูปที่ 2.42 รูปที่ 2.42 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 5)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 58 - ขั้นตอนที่ 6 ยุบรวมตัวต้านทานและแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันเป็นแหล่งก าเนิดกระแส จะได้วงจรดังรูปที่ 2.43 รูปที่ 2.43 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 6) ขั้นตอนที่ 7 ยุบรวมตัวต้านทานและแปลงแหล่งก าเนิดกระแสเป็นแหล่งก าเนิดแรงดัน จะได้วงจรดังรูปที่ 2.44 รูปที่ 2.44 การลดขนาดของวงจรรูปที่ 2.37 (ขั้นตอนที่ 7)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 59 - จากการลดขนาดของวงจรลงเรื่อยๆ ตามล าดับ จนได้วงจรดังรูปที่ 2.44 ดังนั้นจะได้ E = 54 V ตอบ E = 54 V 2.8 ทฤษฎีการทับซ้อน ทฤษฎีการทับซ้อน (Superposition) กล่าวไว้ว่า "ถ้าวงจรประกอบด้วยแหล่งก าเนิดไฟฟ้าหลายๆ ตัว แรงดันหรือกระแสที่ส่วนใดส่วนหนึ่งของวงจรจะเกิดจากผลรวมของแรงดันหรือกระแสย่อยๆ ซึ่งมีผลมาจาก แหล่งก าเนิดไฟฟ้าแต่ละตัว" หรือกล่าวได้ว่า "แรงดันหรือกระแสในวงจรซึ่งเกิดจากแหล่งก าเนิดไฟฟ้าหลายๆ ตัวต่ออยู่พร้อมๆ กันจะเท่ากับผลรวมของแรงดันหรือกระแสเมื่อมีแหล่งก าเนิดไฟฟ้าต่ออยู่ทีละตัว" การใช้ทฤษฎีการทับซ้อนในการวิเคราะห์วงจรมีหลักการดังนี้ • แหล่งก าเนิดแรงดัน ท าให้เป็นศูนย์โดยการลัดวงจร • แหล่งก าเนิดกระแส ท าให้เป็นศูนย์โดยการเปิดวงจร • ผลรวมขององค์ประกอบของแรงดันหรือกระแสทุกตัวจะเท่ากับแรงดันหรือกระแสที่ต้องการหา ตัวอย่างที่ 2.16 จงใช้ทฤษฎีการทับซ้อนหาค่ากระแส I1 , I2 และ I3 ในวงจรดังรูปที่ 2.45 รูปที่ 2.45 ตัวอย่างที่ 2.16 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.45 ท าการวิเคราะห์วงจรเมื่อมีแหล่งก าเนิดต่ออยู่เพียงตัวเดียว ดังต่อไปนี้ • เมื่อมีแหล่งก าเนิดกระแสต่ออยู่เพียงตัวเดียว ดังรูปที่ 2.46 โดยลัดวงจรแหล่งก าเนิดแรงดันเพื่อท าให้เป็น ศูนย์แล้วจึงใช้วิธีจุดร่วมแรงดัน จะได้ ( 1 20 + 1 6 + 1 5 ) E2 = 18 → E2 = 43.2 V ดังนั้น I 1 = - E2 20 = -2.16 A

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 60 - I 2 = E2 6 = 7.20 A และ I 3 = E2 5 = 8.64 A รูปที่ 2.46 วงจรรูปที่ 2.45 เมื่อลัดวงจรแหล่งก าเนิดแรงดันแล้ว • เมื่อมีแหล่งก าเนิดแรงดันต่ออยู่เพียงตัวเดียว ดังรูปที่ 2.47 โดยเปิดวงจรแหล่งก าเนิดกระแสเพื่อท าให้เป็น ศูนย์แล้วจึงใช้วิธีวงรอบกระแส จะได้ 26 IA - 6 IB = 140 และ -6 IA + 11 IB = 0 จะได้ IA = 6.16 A , IB = 3.36 A ดังนั้น I 1 = IA = 6.16 A I 2 = IA - IB = 2.80 A และ I 3 = IB = 3.36 A • เมื่อน าองค์ประกอบของกระแสมารวมกัน จะได้ I 1 = I 1 + I 1 = -2.16 + 6.16 = 4 A I 2 = I 2 + I 2 = 7.20 + 2.80 = 10 A I 3 = I 3 + I 3 = 8.64 + 3.36 = 12 A ตอบ I1 = 4 A, I2 = 10 A และ I3 = 12 A

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 61 - รูปที่ 2.47 วงจรรูปที่ 2.45 เมื่อเปิดวงจรแหล่งก าเนิดกระแสแล้ว 2.9 ทฤษฎีของเทวินินและนอร์ตัน ทฤษฎีของเทวินิน (Thevenin's Theorem) กล่าวว่า "วงจรสองขั้วชนิดเชิงเส้นใดๆ ซึ่งประกอบด้วย แหล่งก าเนิดไฟฟ้าและตัวต้านทานต่อกันสลับซับซ้อน สามารถแทนได้ด้วยวงจรสมมูลซึ่งมีเพียงแหล่งก าเนิด แรงดันต่ออนุกรมอยู่กับตัวต้านทานสมมูล" เรียกวงจรดังกล่าวว่า วงจรสมมูลของเทวินิน (Thevenin's Equivalent Circuit) ดังรูปที่ 2.48 (รูปซ้าย) ทฤษฎีของนอร์ตัน (Norton's Theorem) กล่าวว่า "วงจรสองขั้วชนิดเชิงเส้นใดๆ ซึ่งประกอบด้วย แหล่งก าเนิดไฟฟ้าและตัวต้านทานต่อกันสลับซับซ้อน สามารถแทนได้ด้วยวงจรสมมูลซึ่งมีเพียงแหล่งก าเนิด กระแสต่อขนานอยู่กับตัวน าสมมูล" เรียกวงจรดังกล่าวว่า วงจรสมมูลของนอร์ตัน (Norton's Equivalent Circuit) ดังรูปที่ 2.48 (รูปขวา) รูปที่ 2.48 วงจรสมมูลของเทวินิน (รูปซ้าย) และวงจรสมมูลของนอร์ตัน (รูปขวา) จากรูปที่ 2.48 เมื่อใช้ KVL กับวงจรรูปซ้ายและใช้KCL กับวงจรรูปขวา จะได้ว่า E = E0 - I R0 (2.54) และ I = I 0 - E G0 (2.55)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 62 - จากสมการที่ (2.54) กับสมการที่ (2.55) และเมื่อใช้กฎของโอห์ม จะได้ว่า R0 = 1 G0 = E0 I0 (2.56) หรือ G0 = 1 R0 = I0 E0 (2.57) โดยที่ E0 คือ แรงดันเมื่อท าการเปิดวงจรที่ขั้วเอาต์พุตของวงจร I0 คือ กระแสที่เกิดขึ้นเมื่อท าการลัดวงจรที่ขั้วเอาต์พุตของวงจร R0 คือ ค่าความต้านทานอินพุตของวงจรเมื่อขจัดแหล่งก าเนิดไฟฟ้าทั้งหมดในวงจรแล้ว ตัวอย่างที่ 2.17 จงหาค่าของความต้านทาน R ซึ่งจะท าให้ได้รับก าลังสูงสุด Pmax จากวงจรดังรูปที่ 2.49 และ จงหาค่าของก าลังดังกล่าวด้วย รูปที่ 2.49 ตัวอย่างที่ 2.17 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 2.49 จะหา R ที่ท าให้ได้ Pmax ได้ดังนี้ 1. เขียน P ในฟังก์ชันของ R เนื่องจาก P = I2 R ดังนั้นจะต้องเขียน I ในฟังก์ชันของ R ท าการสร้างวงจรสมมูลของเทวินิน นั่นคือจะต้องหา E0 และ R0 จากวงจรดังรูปที่ 2.50 เมื่อเอา R ออก และแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันเป็นแหล่งก าเนิดกระแสแล้ว จะได้ KCL : 7 - E0 20 - E0 5 + 18 = 0 ดังนั้น E0 = 100 V หาค่าความต้านทานอินพุต R0 โดยท าการเปิดวงจรแหล่งก าเนิดกระแสทั้งสองดังรูปที่ 2.51 จะได้ R0 = 20×5 20 + 5 = 4

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 63 - รูปที่ 2.50 วงจรรูปที่ 2.49 เมื่อเอา R ออก และแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันเป็นแหล่งก าเนิดกระแส รูปที่ 2.51 วงจรรูปที่ 2.50 เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดกระแสทั้งสองแล้ว

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 64 - เมื่อวาดวงจรสมมูลของเทวินินจะได้วงจรดังรูปที่ 2.52 KVL : -100 + 4 I + R I = 0 ดังนั้น I = 100 4 + R จะได้ P = I 2 R = 10000×R (4 + R)2 รูปที่ 2.52 วงจรสมมูลของเทวินินของวงจรรูปที่ 2.49 2. เขียนสมการ dP dR = 0 แล้วแก้สมการหา R dP dR = 10000×(4 + R)2 - 20000×R×(4 + R) (4 + R)4 = 0 จะได้ R = 4 ดังนั้น I = 100 4 + 4 = 12.5 A และ Pmax = 12.52 ×4 = 625 W ตอบ R = 4 และ Pmax = 625 W จากตัวอย่าง 2.15 จะสังเกตได้ว่า เมื่อค่าความต้านทานเอาต์พุต (R) เท่ากับค่าความต้านทานอินพุต หรือค่าความต้านทานสมมูล (R0) ของวงจรแล้ว จะท าให้ได้รับก าลังงานสูงสุด (Pmax) เรียกว่า ทฤษฎีของการ ถ่ายโอนก าลังสูงสุด (Maximum Power Transfer Theorem) ซึ่งเป็นจริงส าหรับทุกๆ วงจร ตัวอย่างที่ 2.18 จงหาวงจรสมมูลของเทวินินที่ปลายขั้ว ab ของวงจรดังรูปที่ 2.53

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 65 - รูปที่ 2.53 ตัวอย่างที่ 2.18 วิธีท า การหาวงจรสมมูลของเทวินินมีวิธีการดังนี้ 1. หาค่าแรงดันเมื่อเปิดวงจร E0 ท าการหา E0 โดยใช้สมการ KCL ที่จุด A และใช้สมการ KVL ดังรูปที่ 2.54 KCL : I1 + 5 I1 - I2 = 0 หรือ I2 = I1 + 5 I1 = 6 I1 KVL : -80 + 10 I1 + 5 I2 = 0 แทนค่า I1 ลงในสมการ KVL -80 + 10 I1 + 5 (6 I1) = 0 จะได้ I1 = 2 A , I2 = 12 A ดังนั้น E0 = 5 I2 = 60 V รูปที่ 2.54 วงจรรูปที่ 2.53 เมื่อเปิดวงจรที่ขั้ว ab

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 66 - 2. หาค่ากระแสเมื่อลัดวงจร I0 ท าการหา I0 โดยใช้สมการ KVL และใช้สมการ KCL ที่จุด A ดังรูปที่ 2.55 KVL : -80 + 10 I1 + 0 = 0 จะได้ I1 = 8 A KCL : I1 + 5 I1 - I2 = 0 จะได้ I2 = 6 I1 = 48 A ดังนั้น I0 = I2 = 48 A รูปที่ 2.55 วงจรรูปที่ 2.53 เมื่อลัดวงจรที่ขั้ว ab 3. หาค่าความต้านทานสมมูล R0 ท าการหา R0 จาก E0 และ I0 โดยใช้กฎของโอห์ม จะได้ R0 = E0 I0 = 60 48 = 1.25 และ G0 = 1 R0 = 0.8 -1 เมื่อวาดวงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตันจะได้วงจรดังรูปที่ 2.56 รูปที่ 2.56 วงจรสมมูลของเทวินิน (รูปซ้าย) และวงจรสมมูลของนอร์ตัน (รูปขวา) ของวงจรรูปที่ 2.53

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 67 - ตัวอย่างที่ 2.19 จากวงจรของบริดจ์ชนิดไม่สมดุลดังรูปที่ 2.57 ซึ่งใช้ในการวัดค่าความต้านทาน จงหาค่าของ กระแสที่ไหลในแอมป์มิเตอร์ก าหนดให้ความต้านทานของแอมป์มิเตอร์เป็น 9 โอห์ม รูปที่ 2.57 ตัวอย่างที่ 2.19 วิธีท า วิธีการหาค่าของกระแสที่ไหลในแอมป์มิเตอร์มีดังนี้ 1. หาค่าแรงดันเมื่อเปิดวงจร E0 จากวงจรดังรูปที่ 2.57 เมื่อเอาแอมป์มิเตอร์ออก (เปิดวงจรที่ขั้ว ab) จะได้วงจรดังรูปที่ 2.58 แล้วใช้กฎของ โอห์ม จะได้ว่า I 1 = 100 20 + 30 = 2 A และ I 2 = 100 10 + 90 = 1 A เมื่อเขียนสมการ KVL จะได้ KVL : E0 + 10 I2 - 20 I1 = 0 ดังนั้น E0 = 20 I1 - 10 I2 = 30 V

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 68 - รูปที่ 2.58 วงจรรูปที่ 2.57 เมื่อเปิดวงจรที่ขั้ว ab 2. หาค่าความต้านทานสมมูล R0 จากวงจรดังรูปที่ 2.58 เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดแรงดันด้วยการลัดวงจรแล้ว จะได้วงจรดังรูปที่ 2.59 ดังนั้น R0 = 20×30 20 + 30 + 10×90 10 + 90 = 21 รูปที่ 2.59 วงจรรูปที่ 2.58 เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดแรงดันแล้ว

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 69 - เมื่อวาดวงจรสมมูลของเทวินินจะได้วงจรดังรูปที่ 2.60 และเมื่อเขียนสมการ KVL จะได้ KVL : -30 + 21 I + 9 I = 0 ดังนั้น I = 30 30 = 1 A ตอบ I = 1 A รูปที่ 2.60 วงจรสมมูลของเทวินินของวงจรรูปที่ 2.57

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 70 - สรุปเนื้อหาบทที่2 2.1 ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า จ านวนของสมการอิสระจะต้องเท่ากับจ านวนของตัวไม่รู้ค่าที่ต้องการหา 2.2 ในวงจรที่มีตัวต้านทานต่อกันแบบอนุกรม สามารถค านวณหาค่าแรงดันไฟฟ้าด้วยวิธีการแบ่งแรงดันได้ 2.3 ในวงจรที่มีตัวต้านทานต่อกันแบบขนาน สามารถค านวณหาค่ากระแสไฟฟ้าด้วยวิธีการแบ่งกระแสได้ 2.4 ในวงจรที่มีแหล่งก าเนิดไฟฟ้า สามารถท าการแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันเป็นแหล่งก าเนิดกระแส หรือ แปลงแหล่งก าเนิดกระแสเป็นแหล่งก าเนิดแรงดันได้ 2.5 ส าหรับวิธีจุดร่วมแรงดัน (Nodal Analysis) สมการของจุดร่วม (Node) จะอยู่ในรูปของตัวน า 2.6 ส าหรับวิธีจุดร่วมแรงดัน จ านวนของสมการของจุดร่วมจะเท่ากับจ านวนของจุดร่วมลบหนึ่ง 2.7 ส าหรับวิธีวงรอบกระแส (Mesh Analysis) สมการของวงรอบ (Mesh) จะอยู่ในรูปของตัวต้านทาน 2.8 ส าหรับวิธีวงรอบกระแส จ านวนของสมการของวงรอบจะเท่ากับจ านวนของวงรอบอิสระ 2.9 ส าหรับวิธีจุดร่วมแรงดันหรือวิธีวงรอบกระแส เมื่อมีแหล่งก าเนิดที่ถูกควบคุมในวงจร จะต้องหาสมการ เงื่อนไขบังคับด้วย 2.10 การลดขนาดของวงจรไฟฟ้าเพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์วงจร สามารถท าได้หลายวิธี เช่น การยุบรวม แหล่งก าเนิดแรงดัน/กระแส การยุบรวมตัวต้านทาน/ตัวน า การแปลงวาย-เดลต้าหรือเดลต้า-วายของตัว ต้านทาน/ตัวน า เป็นต้น 2.11 ทฤษฎีการทับซ้อน (Superposition) จะแยกการวิเคราะห์วงจรที่มีแหล่งก าเนิดไฟฟ้าหลายๆ ตัว ออกเป็นวงจรย่อยๆ ที่มีแหล่งก าเนิดไฟฟ้าเพียงตัวเดียว โดยท าแหล่งก าเนิดไฟฟ้าตัวอื่นๆ ให้เป็นศูนย์ ด้วยการลัดวงจร/เปิดวงจร 2.12 วงจรสมมูลของเทวินิน (Thevenin) จะประกอบด้วย แหล่งก าเนิดแรงดันของเทวินินต่ออนุกรมอยู่กับตัว ต้านทานสมมูล 2.13 วงจรสมมูลของนอร์ตัน (Norton) จะประกอบด้วย แหล่งก าเนิดกระแสของนอร์ตันต่อขนานอยู่กับตัวน า สมมูล 2.14 ตัวต้านทานสมมูล/ตัวน าสมมูลของวงจรจะสามารถหาได้ ก็ต่อเมื่อท าการขจัดแหล่งก าเนิดไฟฟ้าทั้งหมด ในวงจรออกแล้ว 2.15 วงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตัน สามารถที่จะแปลงกลับไปกลับมาได้ 2.16 เมื่อค่าความต้านทานเอาต์พุตเท่ากับค่าความต้านทานอินพุต (หรือความต้านทานสมมูล) ของวงจรแล้ว จะท าให้ได้รับก าลังงานสูงสุดจากวงจร

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 71 - แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 2 2.1 จากวงจรดังรูปที่ 2.61 จงแปลงแหล่งก าเนิดแรงดันในวงจรให้เป็นแหล่งก าเนิดกระแส จากนั้นจงหาค่า ของแรงดัน V จากวงจรที่แปลงแล้ว รูปที่ 2.61 แบบฝึกหัดที่ 2.1 2.2 จากวงจรดังรูปที่ 2.62 จงแปลงแหล่งก าเนิดกระแสในวงจรให้เป็นแหล่งก าเนิดแรงดัน จากนั้นจงหาค่า ของกระแส I จากวงจรที่แปลงแล้ว รูปที่ 2.62 แบบฝึกหัดที่ 2.2 2.3 จากวงจรดังรูปที่ 2.63 จงใช้วิธีจุดร่วมแรงดันเพื่อหาค่าของแรงดัน V ในวงจร รูปที่ 2.63 แบบฝึกหัดที่ 2.3

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 72 - 2.4 จากวงจรดังรูปที่ 2.64 จงใช้วิธีจุดร่วมแรงดันเพื่อหาค่าของแรงดัน V ในวงจร รูปที่ 2.64 แบบฝึกหัดที่ 2.4 2.5 จากวงจรดังรูปที่ 2.65 จงใช้วิธีวงรอบกระแสเพื่อหาค่าของกระแส I ในวงจร รูปที่ 2.65 แบบฝึกหัดที่ 2.5 2.6 จากวงจรดังรูปที่ 2.66 จงใช้วิธีวงรอบกระแสเพื่อหาค่าของกระแส I ในวงจร รูปที่ 2.66 แบบฝึกหัดที่ 2.6

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 73 - 2.7 จากวงจรดังรูปที่ 2.67 จงหาค่าของกระแส I ในวงจร โดยใช้วิธีการลดขนาดของวงจรและการแปลง แหล่งก าเนิดไฟฟ้า รูปที่ 2.67 แบบฝึกหัดที่ 2.7 2.8 จากวงจรดังรูปที่ 2.68 จงหาวงจรสมมูลของเทวินินที่ขั้ว ab รูปที่ 2.68 แบบฝึกหัดที่ 2.8 2.9 จากวงจรดังรูปที่ 2.69 จงหา ก. วงจรสมมูลของเทวินินเมื่อมองจากตัวต้านทาน R ข. ค่าของ R ซึ่งท าให้ได้ก าลังงานสูงสุดจากวงจร และค่าของก าลังงานสูงสุด รูปที่ 2.69 แบบฝึกหัดที่ 2.9

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 74 - 2.10 จากวงจรดังรูปที่ 2.61 จงหาค่าของแรงดัน V โดยการประยุกต์ใช้กฎพื้นฐานของเคอร์ชอฟฟ์และโอห์ม 2.11 จากวงจรดังรูปที่ 2.62 จงหาค่าของกระแส I โดยการประยุกต์ใช้กฎพื้นฐานของเคอร์ชอฟฟ์และโอห์ม 2.12 จากวงจรดังรูปที่ 2.70 จงหาค่าของแรงดัน E โดยใช้วิธีการลดขนาดของวงจร รูปที่ 2.70 แบบฝึกหัดที่ 2.12 2.13 จากวงจรดังรูปที่ 2.71 จงหาค่าของกระแส I โดยใช้วิธีการลดขนาดของวงจร รูปที่ 2.71 แบบฝึกหัดที่ 2.13 2.14 จากวงจรดังรูปที่ 2.72 จงหาค่าของความต้านทานสมมูลเมื่อมองจากขั้ว ab รูปที่ 2.72 แบบฝึกหัดที่ 2.14

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 75 - 2.15 จากวงจรดังรูปที่ 2.61 จงหาค่าของแรงดัน V โดยใช้ทฤษฎีการทับซ้อน 2.16 จากวงจรดังรูปที่ 2.62 จงหาค่าของกระแส I โดยใช้ทฤษฎีการทับซ้อน 2.17 จากวงจรดังรูปที่ 2.73 จงหาวงจรสมมูลของเทวินินเมื่อมองจากขั้ว ab รูปที่ 2.73 แบบฝึกหัดที่ 2.17 2.18 จากวงจรดังรูปที่ 2.74 จงหา ก. วงจรสมมูลของเทวินินเมื่อมองจากตัวต้านทาน R ข. สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง I และ R รูปที่ 2.74 แบบฝึกหัดที่ 2.18

บทที่ 3 ผลตอบสนองของวงจร

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 77 - องค์ประกอบของวงจรไฟฟ้าที่สามารถเก็บและคายพลังงานได้ก็คือ ตัวเหนี่ยวน า และตัวเก็บประจุ ดังนั้นในบทนี้จะกล่าวถึงหลักการวิเคราะห์วงจรที่ประกอบด้วย ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวน า และตัวเก็บประจุ และการศึกษาผลตอบสนองของวงจรต่อแหล่งก าเนิดไฟฟ้าซึ่งมีค่าของแรงดันและกระแสเปลี่ยนแปลงตามเวลา รวมทั้งวิธีการแก้สมการอนุพันธ์หรือสมการดิฟเฟอเรนเชียลอันดับหนึ่งและอันดับสองด้วย 3.1 ธรรมชาติของผลตอบสนองของวงจร ผลตอบสนอง (Response) ของวงจรไฟฟ้าที่มีต่อแหล่งก าเนิดไฟฟ้าซึ่งมีค่าของแรงดันหรือกระแส เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยเฉพาะเมื่อมีการใส่เข้าหรือน าออกหรือเปลี่ยนแหล่งก าเนิดไฟฟ้าในวงจรอย่าง ทันทีทันใด เช่น การปิดเปิดสวิตช์ผลตอบสนองของวงจรจะประกอบด้วยสองส่วน คือ ผลตอบสนองธรรมชาติ (Natural Response) และผลตอบสนองจากแรง (Forced Response) รูปที่ 3.1 วงจร RC พิจารณาวงจร RC ดังรูปที่ 3.1 เมื่อปิดสวิตช์ S ที่เวลา t = 0 s จะได้ว่า • ก่อนเวลา t = 0 s ไม่มีกระแสไหลในวงจรหรือ vC = 0 • หลังเวลา t = 0 s มีการสะสมประจุในตัวเก็บประจุจนกระทั่ง vC = V เมื่อวาดกราฟของ vC ในฟังก์ชันของเวลา จะได้กราฟดังรูปที่ 3.2 ซึ่งจะเห็นได้ว่ามีช่วงสภาวะคงตัว (Steady State) อยู่สองช่วงและมีช่วงปรับตัวหรือช่วงเวลาชั่วครู่ (Transient Period) อยู่ระหว่างช่วงสภาวะ คงตัวทั้งสอง ช่วงเวลาชั่วครู่เป็นช่วงเวลาที่วงจรปรับตัวเองจากสภาวะคงตัวเดิมไปสู่สภาวะคงตัวใหม่ จะเกิดใน วงจรที่มีการใส่เข้าหรือน าออกหรือมีการเปลี่ยนแปลงแหล่งก าเนิดไฟฟ้าในวงจรที่มีตัวเก็บประจุและ/หรือตัว เหนี่ยวน า

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 78 - รูปที่ 3.2 กราฟ vC(t) ของวงจรรูปที่ 3.1 ผลตอบสนองของวงจรต่อการใส่เข้าหรือน าออกหรือมีการเปลี่ยนแปลงแหล่งก าเนิดไฟฟ้าในวงจร อย่างทันทีทันใด (ผลตอบสนองของวงจรอาจจะเป็นแรงดันหรือกระแสก็ได้) จะมีสมการดังนี้ ผลตอบสนองสมบูรณ์ = ผลตอบสนองธรรมชาติ + ผลตอบสนองจากแรง (3.1) รูปที่ 3.3 ตัวอย่างผลตอบสนองของวงจร

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 79 - ตัวอย่างผลตอบสนองของวงจรแสดงดังรูปที่ 3.3 ผลตอบสนองธรรมชาติจะมีลักษณะซึ่งถูกก าหนด โดยธรรมชาติของวงจร ส่วนผลตอบสนองจากแรงจะมีลักษณะซึ่งถูกก าหนดโดยแหล่งก าเนิดไฟฟ้า ขนาดของ ผลตอบสนองจากแรงจะถูกก าหนดโดยขนาดของแรงดันหรือกระแสของแหล่งก าเนิดไฟฟ้าและค่าพารามิเตอร์ ของวงจรบางตัว การหาผลตอบสนองธรรมชาติและผลตอบสนองจากแรง จะใช้ความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสในแต่ละ องค์ประกอบของวงจร (R, L, C) และใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์(KVL, KCL) ซึ่งจะได้เป็นสมการดิฟเฟอเรนเชียล (Differential Equation) วิธีการแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียลในทางคณิตศาสตร์มีขั้นตอนดังนี้ 1. พิจารณาสมการ 2. คาดหมายลักษณะของค าตอบ 3. ทดสอบค าตอบที่ได้ 3.2 ผลตอบสนองธรรมชาติ รูปที่ 3.4 วงจร GC จากวงจรดังรูปที่ 3.4 สมมุติที่เวลา t = 0 มีv = V0 ผลตอบสนองของวงจรเกิดขึ้นจากการสูญเสีย พลังงานของตัวเก็บประจุไปในตัวน า ซึ่งจะเป็นผลตอบสนองธรรมชาติจะได้ว่า KCL : iC + iG = 0 (3.2) หรือ C dv(t) dt + G v(t) = 0 (3.3) สมมุติให้ v(t) = K e st (3.4) โดยที่ K และ s เป็นค่าคงที่ที่จะต้องหา เมื่อแทนสมการของ v(t) ลงในสมการที่ (3.2) หรือสมการดิฟเฟอเรนเชียล จะได้

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 80 - C d(K e st) dt + G K e st = 0 (3.5) K e st(sC + G) = 0 (3.6) จะได้ K = 0 หรือ s = - G C (3.7) ดังนั้น v(t) = K e -Gt/C = K e -t/RC (3.8) ส่วนค่าของ K จะหาได้จาก เงื่อนไขเบื้องต้น (Initial Condition) โดยการพิจารณาค่าของ v(t) ที่เวลา t = 0 จะได้ v(0) = K e 0 = K = V0 (3.9) ดังนั้น v(t) = V0 e -Gt/C = V0 e -t/RC (3.10) ตัวอย่างที่ 3.1 ก าหนดวงจร RL ดังรูปที่ 3.5 จงหาฟังก์ชันของผลตอบสนองธรรมชาติ i(t) และจงหาค่าของ i(t) ถ้า i(0) = 5 A รูปที่ 3.5 ตัวอย่างที่ 3.1 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 3.5 เมื่อเขียนสมการ KVL จะได้ KVL : vL + vR = 0 L di(t) dt + R i(t) = 0 สมมุติให้ i(t) = K e st

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 81 - ท าการหา K และ s โดยแทนสมการของ i(t) ลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียล จะได้ L d(K e st) dt + R K e st = 0 K e st(sL + R) = 0 จะได้ K = 0 หรือ s = - R L ดังนั้น i(t) = K e -Rt/L = K e -2t A จาก i(0) = K e 0 = K = 5 A ดังนั้น i(t) = 5 e -2t A ตอบ i(t) = K e -Rt/L = 5 e -2t A รูปที่ 3.6 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของผลตอบสนองธรรมชาติ โดยทั่วไปแล้วผลตอบสนองธรรมชาติสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังรูปที่ 3.6 ซึ่งมี รูปแบบของสมการดังนี้ i(t) = I 0 e -t/τ (3.11)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 82 - หรือ i(t) I0 = e -t/τ = 1 e t/τ (3.12) โดยที่ เรียกว่า ค่าคงที่ของเวลา (Time Constant) วงจรที่มีค่าคงที่ของเวลามากจะต้องใช้เวลาเพื่อการ ปรับตัวเนื่องจากผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของวงจรนานกว่าวงจรที่มีค่าคงที่ของเวลาน้อยกว่า ส าหรับวงจร RC : τ = R×C (3.13) ส าหรับวงจร RL : τ = L R (3.14) ส าหรับวงจรที่มีแหล่งก าเนิดไฟฟ้าต่ออยู่ สามารถหาค่าของผลตอบสนองธรรมชาติได้โดยการขจัด แหล่งก าเนิดไฟฟ้าออกจากวงจรให้หมด ดังนี้ • แหล่งก าเนิดแรงดัน ให้ท าการลัดวงจร • แหล่งก าเนิดกระแส ให้ท าการเปิดวงจร ตัวอย่างที่ 3.2 จากวงจรดังรูปที่ 3.7 จงหาผลตอบสนองธรรมชาติของ v(t) และค่าคงที่ของเวลา รูปที่ 3.7 ตัวอย่างที่ 3.2 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 3.7 เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดแรงดันโดยการลัดวงจรแล้ว จะได้วงจรดังรูปที่ 3.8 เมื่อเขียนสมการ KCL จะได้ KCL : iR + i L = 0 v(t) 3 + 1 2 ∫ v(t)dt = 0 ท าการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา จะได้

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 83 - 1 3 dv(t) dt + v(t) 2 = 0 สมมุติให้ v(t) = V0 e st แทน v(t) ลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียล จะได้ V0 e st( s 3 + 1 2 ) = 0 จะได้ s = - 3 2 = -1.5 ดังนั้น v(t) = V0 e -1.5t และ τ = 1 1.5 = 0.67 s ตอบ v(t) = V0 e -1.5t และ = 0.67 s รูปที่ 3.8 วงจรรูปที่ 3.7 เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดแรงดันแล้ว 3.3 ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรที่ซับซ้อน หากพิจารณาวงจรที่ซับซ้อนขึ้น เช่น วงจร RLC ดังรูปที่ 3.9 เมื่อเขียนสมการ KVL จะได้ KVL : R i(t) + L di(t) dt + 1 C ∫ i(t)dt = vs (t) (3.15) เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา จะได้ L d 2 i(t) dt2 + R di(t) dt + i(t) C = vs (t) (3.16) เรียกสมการนี้ว่า สมการอนุพันธ์อันดับสอง (Second-Order Differential Equation) เมื่อขจัดแหล่งก าเนิดแรงดันแล้วเขียนสมการ KVL จะได้

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 84 - L d 2 in (t) dt2 + R din (t) dt + in (t) C = 0 (3.17) เรียกสมการนี้ว่า สมการปราศจากแรง (Force-Free Equation) และ in(t) เป็นผลตอบสนองธรรมชาติของ i(t) การแก้สมการปราศจากแรงเพื่อหาผลตอบสนองธรรมชาติ ท าได้โดยการสมมุติให้ in(t) = K e st จะได้ว่า L d 2 (K e st) dt2 + R d(K e st) dt + K e st C = 0 (3.18) K e st(s 2 L + sR + 1 C ) = 0 (3.19) หรือ s 2 L + sR + 1 C = 0 (3.20) เรียกสมการนี้ว่า สมการคุณสมบัติของวงจร (Characteristic Equation) และจะได้รากของสมการคือ s = s1 , s2 (3.21) ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติจะประกอบด้วยเอกซ์โพเนนเชียลสองเทอมดังนี้ in (t) = K1 e s1 t + K2 e s2 t (3.22) โดยที่ K1 และ K2 เป็นค่าคงที่ ซึ่งสามารถหาได้จากเงื่อนไขเบื้องต้นของวงจร รูปที่ 3.9 วงจร RLC ตัวอย่างที่ 3.3 เมื่อใส่แหล่งก าเนิดกระแสให้แก่วงจรดังรูปที่ 3.10 แล้วน าแหล่งก าเนิดกระแสออกที่เวลา t = 0 ซึ่งแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุมีค่าเท่ากับ 4 โวลต์และกระแสที่ไหลในตัวเหนี่ยวน ามีค่าเท่ากับ 1 แอมแปร์ จง หา v(t) เมื่อ t 0

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 85 - รูปที่ 3.10 ตัวอย่างที่ 3.3 วิธีท า น าแหล่งก าเนิดกระแสออกที่เวลา t = 0 นั่นหมายความว่า ผลตอบสนองของวงจร คือ ผลตอบสนองธรรมชาติ ดังนั้น v(t) = vn (t) • หาลักษณะของผลตอบสนองธรรมชาติ KCL : 3 4 v(t) + 1 4 dv(t) dt + 1 2 ∫ v(t)dt = 0 เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาแล้วจัดรูปสมการใหม่ จะได้ d 2 v(t) dt2 + 3 dv(t) dt + 2 v(t) = 0 สมมติให้ v(t) = K est แล้วแทนลงในสมการอนุพันธ์อันดับสอง จะได้ K e st(s 2 + 3s + 2) = 0 จะได้สมการคุณสมบัติของวงจรดังนี้ s 2 + 3s + 2 = 0 จะได้ s = -1, -2 ดังนั้น v(t) = vn (t) = K1 e -t + K2 e -2t และ dv(t) dt = -K1 e -t - 2K2 e -2t

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 86 - • ค านวณหาค่าคงที่จากเงื่อนไขเบื้องต้นของวงจร เนื่องจากมีค่าคงที่ 2 ตัว จึงต้องหา 2 เงื่อนไขเบื้องต้น คือ v(0) และ dv(0) dt โจทย์ก าหนดให้ v(0) = 4 V และ iL(0) = 1 A เมื่อเขียนสมการ KCL ที่ t = 0 จะได้ KCL : 3 4 v(0) + 1 4 dv(0) dt + i L (0) = 0 3 4 ×4 + 1 4 dv(0) dt + 1 = 0 ดังนั้น dv(0) dt = -16 จากเงื่อนไขเบื้องต้นทั้งสอง จะได้ว่า v(0) = K1 e 0 + K2 e 0 = K1 + K2 = 4 และ dv(0) dt = -K1 e 0 - 2K2 e 0 = -K1 - 2K2 = -16 เมื่อแก้สมการทั้งสองแล้วจะได้ K1 = -8 และ K2 = 12 ดังนั้น v(t) = -8 e -t + 12 e -2t V ตอบ v(t) = -8 e -t + 12 e -2t V รูปที่ 3.11 ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรรูปที่ 3.10

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 87 - จากตัวอย่างที่ 3.3 เมื่อวาดกราฟของ v(t) จะได้กราฟดังรูปที่ 3.11 จะเห็นได้ว่าในช่วงแรกแรงดันมี ค่าลดลงจนต่ ากว่าศูนย์แล้วค่อยๆ มีค่าลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้อนันต์ () ทั้งนี้เนื่องมาจากมีการถ่ายเท พลังงานให้แก่กันระหว่าง C และ L ก่อนที่จะสูญเสียเป็นพลังงานความร้อนใน R ต่อไป ตัวอย่างที่ 3.4 ตัวเก็บประจุในวงจรดังรูปที่ 3.12 ถูกอัดประจุจนมีค่า vC = 10 V เมื่อเวลา t < 0 และสวิตช์S ถูกปิดที่เวลา t = 0 จงหาค่ากระแส i(t) เมื่อเวลา t > 0 รูปที่ 3.12 ตัวอย่างที่ 3.4 วิธีท า • หาลักษณะของผลตอบสนองธรรมชาติ KVL : 1 di(t) dt + 5 ∫ i(t)dt + 2 i(t) = 0 เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาแล้วจัดรูปสมการใหม่ จะได้ d 2 i(t) dt2 + 2 di(t) dt + 5 i(t) = 0 สมมติให้ i(t) = K est แล้วแทนลงในสมการอนุพันธ์อันดับสอง จะได้ K e st(s 2 + 2s + 5) = 0 จะได้สมการคุณสมบัติของวงจรดังนี้ s 2 + 2s + 5 = 0 จะได้ s = -1 ± j2 ดังนั้น i(t) = in (t) = K1 e (-1+j2)t + K2 e (-1-j2)t = e -t (K1 e j2t + K2 e -j2t)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 88 - และจากสูตรของออยเลอร์ (Euler's Formula) e ±jx = cos x ± j sin x ดังนั้น i(t) = e -t [K1 (cos 2t + j sin 2t) + K2 (cos 2t - j sin 2t)] หรือ i(t) = e -t [A cos 2t + B sin 2t] โดยที่ A = (K1 + K2) และ B = j (K1 - K2) • ค านวณหาค่าคงที่จากเงื่อนไขเบื้องต้นของวงจร เนื่องจากมีค่าคงที่ 2 ตัว จึงต้องหา 2 เงื่อนไขเบื้องต้น คือ i(0) และ di(0) dt โจทย์ก าหนดให้ vC(0) = 10 V และ i(0) = 0 A จะได้ว่า i(0) = e 0 [A cos 0 + B sin 0] = A = 0 ดังนั้น i(t) = e -t B sin 2t จะได้ di(t) dt = -e -t B sin 2t + 2e -t B cos 2t เมื่อเขียนสมการ KVL ที่ t = 0 จะได้ KVL : 1 di(0) dt - vC (0) + 2 i(0) = 0 di(0) dt - 10 + 2×0 = 0 ดังนั้น di(0) dt = 10 จาก di(t) dt = -e -t B sin 2t + 2e -t B cos 2t ดังนั้น di(0) dt = -e 0 B sin 0 + 2e 0 B cos 0 = 2B = 10 จะได้ B = 5 เมื่อแทนค่า A และ B แล้ว จะได้ i(t) = 5e -t sin 2t A ตอบ i(t) = 5e -t sin 2t A

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 89 - จากตัวอย่างที่ 3.4 เมื่อวาดกราฟของ i(t) จะได้กราฟดังรูปที่ 3.13 ซึ่งเป็นฟังก์ชันไซน์ที่มีค่าลดลง แบบเอกซ์โพเนนเชียล และจะเห็นได้ว่ากระแสมีค่าลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้อนันต์ () รูปที่ 3.13 ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรรูปที่ 3.12 ส าหรับสมการปราศจากแรงซึ่งเป็นโพลิโนเมียลอันดับ n ดังต่อไปนี้ An d n x(t) dtn + An-1 d n-1 x(t) dtn-1 + … + A2 d 2 x(t) dt2 + A1 dx(t) dt + A0 x(t) = 0 (3.23) สามารถเขียนสมการคุณสมบัติของวงจรได้ดังนี้ An s n + An-1 s n-1 + … + A2 s 2 + A1 s + A0 = 0 (3.24) จะได้จ านวนรากของสมการคุณสมบัติของวงจรเท่ากับ n โดยที่รากของสมการเป็นได้ทั้งจ านวนจริงและจ านวน เชิงซ้อน • รากที่เป็นจ านวนจริง ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรจะเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลแบบเพิ่มขึ้น หรือลดลง • รากที่เป็นจ านวนเชิงซ้อน ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรจะเป็นฟังก์ชันไซนูซอยด์ (Sinusoid Function) ซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล สมมุติให้ s1 , s2 , … , sn-1 , sn เป็นรากของสมการ จะได้ผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรคือ xn (t) = K1 e s1 t + K2 e s2 t + … + Kn-1 e s n-1 t + Kn e sn t (3.25)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 90 - โดยที่ ค่าคงที่ K1 , K2 , … , Kn-1 , Kn สามารถหาได้จากเงื่อนไขเบื้องต้นของวงจร ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะหาได้จาก เงื่อนไขเบื้องต้นของ x(t) และอนุพันธ์ที่ 1 ถึง (n-1) ของ x(t) ที่เวลา t = 0 นั่นคือ x(0) , dx(0) dt , … , d n-2 x(0) dtn-2 , d n-1 x(0) dtn-1 (3.26) 3.4 ผลตอบสนองจากแรง ลักษณะของผลตอบสนองธรรมชาติจะไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชันของแหล่งก าเนิดไฟฟ้าภายใน วงจร ซึ่งจะแตกต่างกับลักษณะของผลตอบสนองจากแรงที่ขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชันของแหล่งก าเนิดไฟฟ้า ภายในวงจร รูปที่ 3.14 วงจร RL พิจารณาวงจร RL ดังรูปที่ 3.14 เมื่อเขียนสมการ KVL จะได้ KVL : L di(t) dt + R i(t) = vs (t) (3.27) เนื่องจาก ผลตอบสนองสมบูรณ์ = ผลตอบสนองจากแรง + ผลตอบสนองธรรมชาติ (3.28) หรือ i(t) = if (t) + in(t) (3.29) เมื่อแทนสมการของ i(t) ลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียล จะได้ L d[i f (t) + in (t)] dt + R [i f (t) + in (t)] = vs (t) (3.30) [L di f (t) dt + R i f (t)] + [L din (t) dt + R in (t)] = vs (t) (3.31) แต่ L din (t) dt + R in (t) = 0 (3.32)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 91 - ดังนั้น L di f (t) dt + R i f (t) = vs (t) (3.33) การหาผลตอบสนองจากแรง if (t) สามารถท าได้ดังนี้ 1. สมมติให้ if (t) มีรูปคลื่นเหมือนกับแหล่งก าเนิดไฟฟ้าในวงจร เนื่องจาก vs (t) = A t (3.34) ดังนั้นสมมติให้ i f (t) = B t (3.35) โดยที่ B เป็นค่าคงที่ที่ต้องการหา เมื่อแทนสมการของ if (t) ลงในสมการที่ (3.33) จะได้ L d(B t) dt + R (B t) = A t (3.36) L B + R B t = A t (3.37) ซึ่งไม่มีค่า t ใดที่จะสามารถท าให้สมการนี้เป็นจริงได้แสดงว่าการสมมติไม่ถูกต้อง 2. สมมติให้ if (t) ประกอบด้วยฟังก์ชันของแหล่งก าเนิดไฟฟ้าในวงจรและอนุพันธ์ของมัน ดังนั้นสมมติให้ i f (t) = B t + C (3.38) โดยที่ B และ C เป็นค่าคงที่ที่ต้องการหา เมื่อแทนสมการของ if (t) ลงในสมการที่ (3.33) จะได้ L d(B t + C) dt + R (B t + C) = A t (3.39) L B + R B t + R C = A t (3.40) เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของสมการจะได้ R B = A B = A R (3.41) และ L B + R C = 0 C = - L B R = - L A R 2 (3.42) เมื่อแทน B และ C ลงในสมการที่ (3.38) จะได้ i f (t) = A t R - L A R 2 (3.43)

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 92 - โดยทั่วไปแล้ว ผลตอบสนองจากแรงจะมีฟังก์ชันซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันของแหล่งก าเนิดไฟฟ้าและ อนุพันธ์ทั้งหมดของมันซึ่งมีรูปคลื่นไม่ซ้ ากัน ซึ่งสามารถใช้เป็นแนวทางในการสมมติรูปแบบของผลตอบสนอง จากแรง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3.5 จงหาผลตอบสนองจากแรง vf (t) ของวงจรดังรูปที่ 3.15 รูปที่ 3.15 ตัวอย่างที่ 3.5 วิธีท า โจทย์ก าหนดให้ i(t) = I sin(ωt) ดังนั้น di(t) dt = ωI cos(ωt) จากวงจรดังรูปที่ 3.15 เมื่อเขียนสมการ KCL จะได้ KCL : C dv(t) dt + G v(t) = i(t) สมมติให้ vf (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) = v(t) โดยที่ A และ B เป็นค่าคงที่ที่ต้องการหา แทนสมการของ vf (t) ลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียล จะได้ C d[A sin(ωt) + B cos(ωt)] dt + G [A sin(ωt) + B cos(ωt)] = I sin(ωt) C [ωA cos(ωt) - ωB sin(ωt)] + G [A sin(ωt) + B cos(ωt)] = I sin(ωt) เมื่อท าการเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ CωA + GB = 0

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า ผศ.ดร.ฐิติพงษ์ สถิรเมธีกุล - 93 - และ -CωB + GA = I เมื่อท าการแก้สมการทั้งสองเพื่อหา A และ B แล้ว จะได้ A = GI G 2 + (ωC)2 และ B = - ωCI G 2 + (ωC)2 ดังนั้น vf (t) = GI G 2 + (ωC)2 sin(ωt) - ωCI G 2 + (ωC)2 cos(ωt) หรือ vf (t) = GI sin(ωt) - ωCI cos(ωt) G 2 + (ωC)2 ตอบ vf (t) = GI sin(ωt) - ωCI cos(ωt) G 2 + (ωC)2 ตัวอย่างที่ 3.6 จงหาผลตอบสนองจากแรง eo(t) ของวงจรดังรูปที่ 3.16 ก าหนดให้ ei (t) = 10 e-4t mV รูปที่ 3.16 ตัวอย่างที่ 3.6 วิธีท า จากวงจรดังรูปที่ 3.16 เมื่อเขียนสมการ KVL ของวงจรทางด้านซ้าย จะได้ KVL : -ei (t) + 10 i(t) + 2 di(t) dt = 0 หรือ 2 di(t) dt + 10 i(t) = ei (t) จากวงจรดังรูปที่ 3.16 เมื่อเขียนสมการ KCL ของวงจรทางด้านขวา จะได้ KCL : 100 i(t) - 0.015 deo (t) dt - 0.1 eo (t) = 0