livro matematica

Luiz Roberto Dante

Matemática

Contexto Aplicações

Manual do
Professor

2

Matemática - Ensino Médio



Luiz Roberto Dante

Matemática

Contexto Aplicações

Luiz Roberto Dante Manual do
Professor
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática 2
pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade Matemática - Ensino Médio
Estadual Paulista (Unesp-SP, campus Rio Claro).
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela
Unesp-SP, campus Rio Claro.
Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e
Médio – São Paulo.
Autor de vários livros, entre os quais:

• Formulação e resolução de problemas de Matemática:
teoria e prática;

• Didática da Matemática na pré-escola;
• Projeto Ápis: Natureza e Sociedade, Linguagens e

Matemática (Educação Infantil – 3 volumes);

• Projeto Ápis Matemática (1º ao 5º ano);
• Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano);
• Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único);
• Projeto Múltiplo Matemática (Ensino Médio – 3 volumes).

3ª edição
São Paulo • 2016

Diretoria editorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Lidiane Vivaldini Olo (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Gerência editorial Dante, Luiz Roberto
Luiz Tonolli Matemática : contexto & aplicações : ensino

Editoria de Matemática e Física médio / Luiz Roberto Dante. -- 3. ed. --
Ronaldo Rocha São Paulo : Ática, 2016.

Edição Obra em 3 v.
André Luiz Ramos de Oliveira
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
Gerência de produção editorial
Ricardo de Gan Braga 16-02955 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
Arte
Andréa Dellamagna (coord. de criação), 1. Matemática : Ensino médio 510.7

Erik TS (progr. visual de capa e miolo),
André Gomes Vitale (coord.),

Claudemir Camargo Barbosa (edição)
e DIGKIDS (diagram.)

Revisão
Hélia de Jesus Gonsaga (ger.),
Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci,
Célia da Silva Carvalho, Claudia Virgilio
e Vanessa de Paula Santos;
Brenda Morais e Gabriela Miragaia (estagiárias)

Iconografia
Sílvio Kligin (superv.), Denise Durand Kremer (coord.),

Fernanda Regina Sales Gomes (pesquisa),
Cesar Wolf e Fernanda Crevin (tratamento de imagem)

Ilustrações
Dam d’Souza e Formato Comunicação

Cartografia
Alexandre Bueno, Eric Fuzii, Márcio Souza
Foto da capa: Detalhe de um favo de mel.

Dave Hamman/Getty Images

Protótipos
Magali Prado

Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221, 3o andar, Setor A

Pinheiros – São Paulo – SP – CEP 05425-902
Tel.: 4003-3061

www.atica.com.br / [email protected]

2016

ISBN 978 85 08 17939 8 (AL)
ISBN 978 85 08 17940 4 (PR)

Cód. da obra CL 713347
CAE 566 663 (AL) / 566 664 (PR)

3a edição
1a impressão

Impressão e acabamento

2

APRESENTAÇÃO

A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles

Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa
um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.

Lobachevsky

Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as
ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar
condições para que você, aluno, possa compreender as ideias básicas
da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de
saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.

Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de
maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo exces-
sivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o
qual a coleção está sendo proposta.

Na abertura de cada capítulo apresentamos uma imagem que está relacionada
com um dos conteúdos que o compõem; ela dará a você uma ideia de um dos temas
que será estudado. Durante o capítulo apresentamos textos que abordam fatos
históricos e/ou contextualizam a construção de algum assunto que será discutido.

Antes de resolver os exercícios, é absolutamente necessário que você estude a
teoria, analise os exemplos e refaça os exercícios resolvidos. Na seção Resolvido
passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resolução de um problema.

A seção Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar
situações-problema que estão relacionadas a situações reais e/ou relaciona-
das com outras disciplinas.

Cada Unidade contém ainda as seções Pensando no Enem e Vestibulares de
Norte a Sul, com questões que abrangem algumas habilidades exploradas no
Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) e de vestibulares de todas as regiões
do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados. E no
fim de cada volume, na seção Caiu no Enem, foram incluídas questões do Enem
relacionadas a cada Unidade.

A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente tra-
balhados no Ensino Médio, além de auxiliá-lo em sua preparação para os pro-
cessos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior.

As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão
sempre bem-vindas.

O autor

3

Conheça seu livro

Cada volume da coleção é dividido em quatro Unidades nas quais você encontrará
os seguintes boxes e seções:

Abertura 1
de Unidade
e abertura Trigonometria
de capítulo UNIDADE 011CAPÍTULO Trigonometria:
CAPÍTULO reCsoonlujuçnãtoosde
Imagens de trniâunmgéurliocsosquaisquer
impacto abrem
G. Dagli Ort/De Agostini/Getty Images
o capítulo MaNrcAuSsAL/yCoonr/bGise/tLtyatIimnsatgoecsk
introduzindo

direta ou
indiretamente o
tema proposto.

O teodolito é um instrumento óptico utilizado para medir ângulos, tanto
horizontal como verticalmente, em medidas diretas e indiretas de distâncias.
Aplicando uma relação trigonométrica podemos determinar, por exemplo,
a altura de uma região montanhosa. Para isso, precisamos saber a distância
eTonptróegorapfoonuttoildizeaonbdsoetrevoadçoãloiteo.oAptéopdoagprearfpiae,nqduiecuélaurmdaaámreoantdaanEhnagee,nchoamrioa, utiliza muitas relações
aesutxaílbioeldeeciudmastpeeoldaoTlirtiog,omnoemdiertoriâanpgaurlaoddeeteelremviançaãroadfaorrmegaiãeoampoonstiçaãnohdoseae.lementos do relevo.

10 11

Exercícios resolvidos passo a passo: exerc’cio 4 Exercícios Matemática e tecnologia Matemática
resolvidos Gráfico de funções trigonométricas no computador e tecnologia
2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre
será aberto quando a seta estiver: Apresenta a resolução Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções trigonométricas usando o Sugestões de
arcos de: detalhada de uma software livre GeoGebra. atividades em que
a) 458; b) 3␲ rad. a) no ponto médio en- d) em algum ponto questão ou problema. o computador é
4 tre L e A. entre J e K. Não são modelos a Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geometria. Ele utilizado para
serem seguidos, mas pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos. visualizar e manipular
Resolução: b) na posição B. e) na posição H. visam inspirar e indicar gráficos e tabelas.
estratégias de resolução. A instalação desse software é simples: Uma oportunidade
a) expressão geral: a 1 k ? 3608 c) na posição K. de trabalhar com a
a 5 458 • Acesse o site <www.geogebra.org> e clique em “Baixe agora”, para tê-lo instalado no computador, ou em Matemática dinâmica.
458 1 k ? 3608, com k [ Z 1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema? “Comece a criar”, para usá-lo on-line.
b) expressão geral: x 1 2kp Optando por utilizar a versão on-line, você deve clicar no botão “Álgebra”; a tela que abrirá se parece com a Banco de imagens/Arquivo da editora
x 5 3␲ rad São dadas as informações sobre o funcionamento reproduzida abaixo.
4 do dispositivo de segurança e as instruções/opera-
3␲ 1 2kp, com k [ Z ções para abrir o cofre. Captura de tela do software no modo Álgebra.
4 Depois de acessar o programa, faça os exercícios a seguir.
b) O que se pede? 1. Construa o gráfico das funções f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x, como a seguir. Para isso siga os passos:
3. Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco Pede-se a posição da seta no momento em que se
de 1 3208, ou seja, qual é a 1a determinação positiva abre o cofre. • 1o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função: f(x) 5 sen x e

do arco de 1 3208? 2. Planejando a solução tecle “Enter”. Em seguida, no mesmo campo digite g(x) 5 cos x e tecle “Enter”.
Conhecemos as operações a serem realizadas com o
Resolução: disco menor e o sentido a ser tomado (horário ou anti- Captura de tela do 1o passo.
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal -horário), então podemos adicionar os valores das ope-
rações de sentido anti-horário e subtrair o resultado do • 2o passo: Do lado direito da Barra de ferramentas (parte superior da tela), clique na Barra de estilos, depois, em
que a 1 k ? 3608 5 1 3208, com k [ Z. valor da operação de sentido horário. E assim identificar
a posição em que a seta deve ficar. Nesse caso, estamos “Exibir ou esconder a malha” e selecione a malha quadriculada. Para colocar o eixo x na escala de p radianos,
Então: considerando o sentido horário como positivo. clique sobre o eixo x com o botão direito do mouse e selecione com o botão esquerdo do mouse a opção “Jane-
la de Visualização”. Clique na aba “Eixo X” e selecione em “Unidade” a opção p. A opção “Distância” não deve
1 320 360 estar selecionada.

240 3 1 3208 5 2408 1 3608 ? 3 Funções trigonométricas 51

ak Para refletir 3. Executando o que foi planejado
Qual é o significado de um Sentido anti-horário: 2␲ ϩ 3␲ ϭ 17␲
Logo, o arco pedido número não negativo? Sentido horário: 3␲ 3 4 12
mede 2408.
2
Fique atento! Ângulos girados: 3␲ Ϫ 17␲ ϭ ␲
Neste exercício dizemos que 2408 é a 1· determinação
positiva de 1 3208 ou que 1 3208 foi reduzido à 1· volta. 2 12 12

Resolvido passo a passo Assim, ao final do movimento, a seta estará na posição
␲
4. (Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre Banco de imagens/Arquivo da editora
radϭ15Њ no sentido horário, a partir de A, ou seja,
12
no ponto médio entre A e L.

tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras 4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
A, B, ..., L estão igualmente E DC Banco de Imagens/Arquivo da editora
espaçadas (o ângulo cen-
5. Ampliando o problema
tral entre duas letras vizi- F B a) Certo casal comprou um dispositivo de segurança

nhas é o mesmo) e a posi- G A idêntico ao citado na questão e determinou que o
segredo seria composto das letras iniciais do nome
ção inicial da seta, quando HL dela, dele e do filho, que são, respectivamente, L, H e
o cofre se encontra fecha- I JK L. Sendo assim, quais operações serão necessárias
do, é a indicada. para abrir o cofre? (Sabe-se que a seta parte de A.)

Para abrir o cofre, são necessárias três operações b) Desafio em equipe
Montem equipes encarregadas de criar segredos em
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta um dispositivo similar ao da questão, seguindo os
mesmos modelos de instruções. Depois de criarem
está gravada), de acordo com as seguintes instru- os segredos, troquem os projetos entre si e se desa-
fiem a conseguir abrir o cofre mais rapidamente. O
ções, a partir da posição indicada: que o fizer no menor tempo será o vencedor.
1) 2 ␲ no sentido anti-horário.

3
2) 3 ␲ no sentido horário.

2
3) 3 ␲ no sentido anti-horário.

4

32 Capítulo 2

Para refletir, Veremos agora que, quando a reta intersecta o plano, ela pode ou não ser perpendicular a ele. Exercícios Exerc’cios
Fique atento!
e Você sabia? Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é Essenciais para a 25. Calcule: e) A5, 1 32. Em um sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas
perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção. aprendizagem. a) A4, 2 f ) A7, 0 maneiras diferentes podem se sentar 6 pessoas?
Pequenos boxes que b) A6, 3 g) A8, 5
trazem questões para r Ilustrações técnicas desta página: Ajudam a fixar e c) A8, 2 h) An, 0 Dam d’Souza/Arquivo da editora
s Banco de imagens/Arquivo da editora a aprofundar os d) A4, 4
reflexão ou dicas
importantes para s tu P t conteúdos 26. Determine a expressão correspondente a:
P u estudados.
o estudo.
r a) Ax, 2 b) Ax 2 3, 2 c) A2x 1 1, 3

␣ 27. Determine o valor de x nas equações:

a) Ax 2 1, 2 5 30 b) Ax, 3 5 x3 2 40

␣ Para refletir
Procure resolver o exercício 28 sem usar
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano. a fórmula e usando a fórmula.

Veja a figura e os símbolos correspondentes. 28. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada 33. Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De
rs por um presidente, um vice-presidente, um secre- quantas maneiras ele poderá pintar os estados da
tário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro,
P r é perpendicular a  (r ⊥ ) Para refletir apenas um desses cargos, de quantas maneiras é Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
␣ s é oblíqua a  (s ^ ) Se r ⊥  no ponto P, qual é a posição possível formar uma diretoria?
de r em relação às retas de  que 34. Responda:
não passam por P? 29. Responda no caderno às questões: a) Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra FILHO?
O ponto P, nesse caso, é chamado “pé da perpendicular”. a) Quantos números de 4 algarismos distintos po-
dem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8? b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possí-
Voc• sabia? vel formar com as letras da palavra FILHO?
O Obelisco aos heróis de 1932, em São Paulo, dá ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na Itália, dá ideia de reta b) Quantos desses números formados são ímpares?
oblíqua a um plano. c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam
30. De quantas maneiras podemos escolher uma pivô e com O?
uma ala em um grupo de 12 jogadoras de basquete?
d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam
Christian Petersen/Getty Images com FI?

e) Quantas “palavras” de 4 letras contêm a letra I?

Rubens Chaves/Pulsar Imagens Seleção brasileira de basquete feminino nos Jogos Olímpicos de 35. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
nat8246/Shutterstock Londres 2012, Inglaterra.
a) quantos números de 4 algarismos distintos po-
Obelisco, no Parque Torre de Pisa, 31. Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. demos formar?
do Ibirapuera, na Itália.
em São Paulo (SP). Fotografia a) Quantos números de 3 algarismos distintos po- b) quantos números de 4 algarismos distintos
Fotografia de 2012. de 2015. demos escrever? podemos formar tal que o último algarismo
seja sempre 6?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos que
terminem com 7 podemos escrever? c) quantos números pares de 4 algarismos distintos
podemos formar?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que ini-
ciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? d) quantos números ímpares de 4 algarismos dis-
tintos podemos formar?
d) Quantos números de 7 algarismos distintos po-
demos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre 36. De quantas maneiras diferentes podemos dispor
juntos e nessa ordem? uma equipe de 4 alunos em uma sala de aula que
tem 30 carteiras?

37. Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa
decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De
quantas maneiras isso pode ser feito?

154 Capítulo 7 214 Capítulo 9

4

Leitura Outros contextos Outros 4. Valores que a função objetivo assume nos vértices:

Platão e seus poliedros Temas interessantes contextos Vértice Valor da função C  3x  2y
e curiosos que tratam (0, 12) C 5 3 ? 0 1 2 ? 12 5 24
Filósofo grego, Platão foi discípulo de Sócrates. Nasceu scotto72/iStock/Getty Images de situações práticas, Programação linear e a otimização de funções (2, 6)
em Atenas em 427 a.C. e morreu em 347 a.C., com 80 anos articulando a Matemática C 5 3 ? 2 1 2 ? 6 5 18 ← mínimo
de idade. Fundou uma escola em Atenas, no ano de 386 a.C., com outras disciplinas As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são bastante ( )98 , 24 C 5 3 ? 98 1 2 ? 24 5 26,3
a “Academia”, onde transmitia seus ensinamentos aos seus úteis na resolução de problemas de economia, transporte, alimentação (dietas), etc. Em problemas como esses é comum 13 13 13 13
discípulos. Via nos filósofos-governantes a solução para os e com temas como o precisarmos saber os valores máximo ou mínimo de uma função cujas variáveis estão sujeitas a certas desigualdades.
problemas políticos. Suas obras são conhecidas como Diá- movimento de um pêndulo, Em muitos deles a função que se quer otimizar (ou seja, da qual se quer encontrar o máximo ou o mínimo) é uma (14, 0) C 5 3 ? 14 1 2 ? 0 5 42 ← máximo
logos, pois retratavam diálogos (reais e imaginários) entre função linear, e as desigualdades a que estão sujeitas suas variáveis também são lineares. Quando isso ocorre, dizemos
Sócrates e outras pessoas, que focavam principalmente a programação linear, então que estamos diante de um problema de programação linear. 5. Conclusão:
política e a moral. Os Diálogos de Platão estão entre as maio- entre outros. A dieta ótima, que é sadia e tem custo mínimo, consiste em consumir 2 unidades do produto P e 6 unidades do pro-
res obras literárias do mundo, sendo considerados por mui- duto Q.
tos verdadeiras obras de arte.
O método gráfico Trabalhando com o texto
O mais importante diálogo de Platão é a República, sen-
do também um dos mais longos. Nesse diálogo, Platão en- Consideremos a seguinte situação-problema: PQ 12 1. Agora, responda no caderno às questões a seguir.
foca a Política, a Educação, a Arte, a Poesia e a Filosofia Dois produtos, P e Q, contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no A3 1 a) Qual é o custo de consumir 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q?
pura, ocupando-se principalmente da natureza da justiça. É quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitami- b) Quanto de vitamina A seria consumido com 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q?
uma visão geral de toda a filosofia de Platão e é nele que c) Quanto de vitamina B e C seria consumido nas mesmas condições da pergunta anterior?
está a famosa “Alegoria da caverna”. na para uma alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto por B34 30 d) Essa dieta (4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q) está de acordo com o texto?
unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione C27 28 e) Pesquise qual profissional deve ser consultado antes de se iniciar uma dieta. Você conhece algum? Discuta com
Platão defendia o quadrivium, os quatro campos da uma alimentação sadia com o mínimo custo? seus colegas os perigos de fazer dietas sem acompanhamento médico.
Matemática no estudo das artes liberais, que compreendia
a Aritmética, a Geometria plana, a Geometria espacial e a Estátua de Platão (427 a.C.-347 a.C.) na Diante de um problema de programação linear, consideramos as seguintes orientações 32
Astronomia. Acreditava que a busca da compreensão das Academia de Atenas, Grécia. Fotografia de 2012. para resolvê-lo:
coisas levava à pureza do conhecimento. Na porta de sua
academia, Platão escreveu “Que não entre aqui aquele que ignore a Geometria ”. 1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar ou minimizar.

No diálogo Timeu (350 a.C.), Platão apresentou um estudo do Universo, que para ele consistia em formas; 2. Transformamos as restrições impostas no problema em um sistema de inequações lineares.
em objetos particulares; em Deus, o artesão; em espaço absoluto e em matéria bruta. Platão acreditava que
tudo era composto de terra, ar, fogo e água, e que a cada um desses elementos correspondia um poliedro 3. Traçamos o gráfico da região poligonal convexa correspondente a essas restrições determinando as coordenadas dos Pesquisando e discutindo
regular – que já era conhecido dos gregos. Platão associou à terra o hexaedro (mais especificamente, o cubo)
por causa da sua “estabilidade”; ao fogo, o tetraedro; ao ar, o octaedro; e à água, o icosaedro, por serem seus vértices. 2. Na página de abertura deste capítulo foi falado sobre a utilização de programação linear para resolver sudokus.
sólidos constituídos de triângulos, para ele a unidade básica de todas as coisas. O dodecaedro representava Em grupo, realizem uma pesquisa em três etapas:
o elemento do qual o Universo seria feito. 4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices.
1ª) Pesquisem a origem e as regras do sudoku e também dicas de como preencher esse tipo de
Leia, a seguir, um trecho do Timeu: 5. Constatamos que o maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função objetivo. Voltamos ao pro- “quebra-cabeça” matemático.
Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabamos de descrever pelo fogo, terra, água e ar.
Atribuímos o cubo à terra, uma vez que é o mais imóvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estável, blema e damos a sua solução. 2ª) Pesquisem o que é modelagem matemática, sua importância no ramo da matemática aplicada e também
sendo estas características que deve possuir a figura com as formas mais estáveis. [...] como poderia ser utilizada no processo de resolução de um sudoku.
Mantemos assim o nosso princípio de verossimilhança atribuindo o cubo à terra e, de forma semelhan- Acompanhe cada passo na resolução da nossa situação-problema:
te, atribuímos à água a menos móvel das outras figuras, a mais móvel ao fogo e a intermédia ao ar. E de 3ª) Pesquisem mais a respeito de programação linear e também como ela poderia ser utilizada no processo de
novo atribuímos a menor figura ao fogo, a maior à água, a intermédia ao ar; a mais cortante ao fogo, a Seja x a quantidade do produto P, e y a quantidade do produto Q nas condições do problema. resolução de um sudoku.
segunda mais cortante ao ar e a menos cortante à água. Resumindo, a figura que tem o menor número de
faces deverá ser, pela natureza das coisas, a mais móvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante 1. Função objetivo: Por fim, os grupos devem apresentar um seminário com os resultados obtidos em cada uma das etapas da pesquisa.
e, finalmente, sendo composta pelo menor número de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda
figura será a segunda em todas essas características, e a nossa terceira será a terceira. Deste modo, a lógica O custo é dado por C 5 3x 1 2y, o qual queremos minimizar.
e a verossimilhança exigem que olhemos a pirâmide como a figura sólida que é a unidade básica ou a se-
mente do fogo; e podemos olhar a segunda das figuras que construímos (o octaedro) como a unidade bá- 2. Restrições:
sica do ar, a terceira (icosaedro) a da água.
As condições impostas pelo problema são x > 0, y > 0, 3x 1 y > 12, 3x 1 4y > 30 e 2x 1 7y > 28.
198 Capítulo 8
3. Gráfico:
Leitura(s)
Banco de imagens/Arquivo da editora y Nesse caso, a região de possibilidades é a parte do plano limitada pelas Veja mais sobre o assunto
Textos que visam ampliar xϭ0 retas x 5 0, y 5 0, 3x 1 y 5 12, 3x 1 4y 5 30 e 2x 1 7y 5 28. Os vértices são
Procure informações e curiosidades sobre programação linear e a otimização de funções em jornais, revistas, livros
e enriquecer o conteúdo 12 dados pelas soluções dos sistemas:
e na internet. Sugestões: (acessos em: 5 maio 2016)
estudado no capítulo. {x ϭ0 ⇒ (x, y) 5 (0, 12)
y ϭ12 • ARSIE, K. C. Jogos sudoku e quadrado mágico. Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2010. Disponível em: <http://
3x ϩ
people.ufpr.br/~ewkaras/ic/karla10.pdf>.
{3xϩ yϭ 12
• Geniol: <www.geniol.com.br/logica/sudoku/>.
3x ϩ4 y ϭ30 ⇒ (x, y) 5 (2, 6) • MELO, J. N. B. Uma proposta de ensino e aprendizagem de programação linear no Ensino Médio. Universidade Federal

3x ϩ 4y ϭ 30 { ( )2xϩ7 y ϭ28 do Rio Grande do Sul, 2012. Disponível em: <www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/modulo_II/pdf/
3x ϩ y ϭ 12
3x ϩ4 y ϭ30 ⇒ (x, y) 5 dissertacao_ jorge_melo.pdf>.
yϭ0 x 98 , 24
2x ϩ 7y ϭ 28 13 13 • SILVA, K. Modelagem Matemática com programação linear: uma proposta de trabalho no Ensino Médio. Universidade

{2xϩ7 y ϭ28 Estadual do Sudoeste da Bahia, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/
y ϭ0 ⇒ (x, y) 5 (14, 0)
123456789/486/2011_00379_KLEBER_SILVA.pdf?sequence=1>.

112 Capítulo 5 Sistemas lineares 113

Vestibulares de Vestibulares de Norte a Sul
Norte a Sul
Região Norte Região Nordeste 6. (UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma deter- Adotando como valor da raiz quadrada de um núme-
Questões de vestibulares, 1. (UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica minada cidade foi medida das 6 horas da manhã de
de todas as regiões do abaixo, no qual f(p) 5 5: 3. (Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os ro decimal o número inteiro mais próximo, é correto
Brasil, relacionadas aos um passeio que une seus pontos situados mais ao dados obtidos estão representados pela função pe-
conteúdos estudados. 5 riódica abaixo. afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá

demorar, aproximadamente,

Norte e mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua lar- a) 9 min 6 s. d) 13 min 12 s.

gura e adotarmos 2 ϭ 1,4, qual é o comprimento 100 b) 12 min 6 s. e) 11 min 30 s.
aproximado, em metros, desse passeio? 90
80 c) 10 min 40 s.
70Umidade relativa do ar (%)
60 Banco de imagens/Arquivo da editora
50
40 Banco de imagens/Arquivo da editora
a) 3042 d) 522 30 8. (Vunesp-SP) Para calcular
20
Banco de imagens/Arquivo da editora 10 a distância entre duas ár- B

b) 1800 e) 360 0 vores situadas nas mar-
6:00
gens opostas de um rio,

c) 882 nos pontos A e B, um ob-

Ϫ10 Ϫ9 Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 servador que se encontra
junto a A afasta-se 20 m A D
4. (Unifacs-BA) Uma sala de um laboratório de pesqui- da margem, na direção

sas onde se pretende desenvolver uma cultura de da reta AB, até o ponto C, C
e depois caminha em li-
Interpretando o gráfico, podemos concluir que f(3p) bactérias teve sua temperatura ambiente T, em 8C,
é igual a: nha reta até o ponto D, a
modelada ao longo das 24 horas de determinado dia, 12:00 18:00 0:00 6:00
40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
Hora do dia
a) 4. c) 6. e) 8. pela expressão Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem,
b) 5. d) 7. respectivamente, cerca de 158 e 1208, que valor ele
( ) T(h)18 8 cos ⎡ h 9 ⎤ A expressão que descreve a variação da umidade do
⎢ ⎥, h  [0, 24]. ar (dada em porcentagem) como função da hora do encontrou para a distância entre as árvores, se usou
⎣ 12 ⎦ dia (dada pela variável t) é:

2. (Uepa) As caminhadas e corridas de rua são atividades Assim, nesse dia, a temperatura foi superior a 22 8C a) f(t) 5 50 1 20 cos (2pt) a aproximação 6 = 2,4 ? 28 m

incorporadas à cultura esportiva dos brasileiros. Um durante um número máximo de horas consecutivas ( )␲ Região Sul

praticante de corrida popular (cooper) balança cada igual a: b) f(t) ϭ 20 ϩ 50 cos t
12
um de seus braços ritmicamente enquanto corre de 01. 5 9. (UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tem-
( )␲
acordo com o modelo dado pela expressão 02. 6 po. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h
c) f(t) ϭ 50 ϩ 20 sen t
sen ⎢⎡8 t ⎤⎥, 12
9 ⎣3 ⎦
( )f (t) 3 onde f(t) é o ângulo d) f(t) 5 70t2 em um curso de 458 em relação ao norte, no sentido
4 e) f(t) 5 t2 1 20
03. 7 horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h

compreendido entre a posição do braço e o eixo ver- 04. 8 em um curso de 1058 em relação ao norte, também
tical, e t, tempo em segundos, conforme ilustrado
abaixo. Nessas condições, o maior ângulo obtido com no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que

05. 9 distância se encontrarão separados os navios, supon-

o movimento cíclico do braço do corredor é: do que eles tenham mantido o mesmo curso e velo-

Região Centro-Oeste Região Sudeste cidade desde que deixaram o porto?

(Texto adaptado: Cálculo para 7. (UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu a) 10 km. c) 15 km. e) 22 km.
Ciências Médicas e Biológicas. primeiro “test drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou
5. (Univag-MT) Em uma determinada região, a intensi- por 1208 e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos. b) 14 km. d) 17 km.
São Paulo: Harbra, 1998.) dade média de radiação (I), em unidades de radiação,
varia em função do tempo, em dias (d), e é expressa (O Estado de S.Paulo, 24.08.2012.)
pela lei 10. (Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores

Banco de imagens/Arquivo da editora a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um

engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a

temperatura da água na região do sul da ilha, em

I 300 250 sen ⎢⎡2 (d 77) ⎤ A figura esquematiza a trajetória do robô, contida Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante
⎥
θ ⎣ 365 ⎦ três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As
θ em um plano, onde todos os trechos por ele percor-
medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro

Sabendo que o argumento da função seno está em ridos foram em movimento Banco de imagens/Arquivo da editora dia (t 5 0) e os dados foram representados pela fun-
radianos e que d 5 1 corresponde ao dia 1º- de janeiro,
é correto afirmar que a máxima radiação do ano irá retilíneo. Suponha que esse ( )ção periódica T(t) ϭ 24 ϩ 3cospt ϩp , em
ocorrer no mês de: 6 3
robô retorne ao ponto de par-
a) março.
tida (P), mantendo a mesma A 120Њ que t indica o tempo (em horas) decorrido após o
b) junho. velocidade média desenvolvida
início da medição e T(t), a temperatura (em 8C) no
c) abril.
Um pouco mais... a) 108 anteriormente. 2,5 m B instante t.
b) 158 d) maio.
c) 208 O período da função, o valor da temperatura máxima
d) 258 e) julho.
e) 308 4,5 m e o horário em que ocorreu essa temperatura no pri-

O método dedutivo: algumas demonstrações d meiro dia de observação valem, respectivamente:

Em um sistema dedutivo ou axiomático, precisamos identificar um conjunto de noções primi- P a) 6 h, 25,5 8C e 10h. c) 12 h, 27 8C e 15h.
tivas não definidas e um conjunto de axiomas e postulados, que são propriedades aceitas como b) 12 h, 27 8C e 10h. d) 6 h, 25,5 8C e 15h.
verdadeiras sem demonstrações. As demais propriedades (os teoremas) são demonstrados a
partir desses postulados. 58 Capítulo 3 Funções trigonométricas 59

Na Geometria espacial as noções básicas, primitivas, que aceitaremos sem definição são: ponto,
reta, plano e espaço.

Examine alguns postulados que relacionam ponto, reta, plano e espaço:

Postulado 1: Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta
que os contém.

Postulado 2: Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano
que os contém.

Postulado 3: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.

Já vimos também que os teoremas são demonstrados a partir dos postulados e de outras pro-
priedades já demonstradas, usando raciocínio lógico.

Voc• sabia? Um pouco mais...
A Geometria assim desenvolvida usa o método dedutivo. Partimos de algumas noções para as quais não é apresentada
definição (entes primitivos) e algumas propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração (postulados ou Textos e exercícios que
axiomas). Isso não é exclusividade da Geometria — ocorre em qualquer teoria matemática. ajudam a aprofundar o
conteúdo do
Vamos usar esses postulados para demonstrar alguns teoremas e compreender como funciona capítulo. Pensando Pensando no Enem
o método dedutivo. no Enem
Caiu no Enem
Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto Questões 1. Leia o texto a seguir.
não pertencente a ela. Questões extraídas do contextualizadas
Enem classificadas de O que é a Matriz GUT?
Demonstração: acordo com as Unidades. que visam ao A Matriz GUT é uma ferramenta bastante utilizada pelas empresas, principalmente com o intuito de priorizar
desenvolvimento os problemas e consequentemente tratá-los, levando em conta suas gravidades, urgências e tendências. [...]
Considere P um ponto não pertencente à reta r. P ␣ das competências e [...] Para facilitar o entendimento, nós iremos dividir o processo de montagem da matriz em etapas.
Marcamos sobre r dois pontos distintos, Q e R. Q Rr habilidades previstas
Os pontos P, Q e R não são colineares, pois, pelo postulado 1, r é a única
reta que passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r. na Matriz de Primeira Etapa (Listagem dos Problemas)
Referência do Enem.
Pelo postulado 2, sabemos que existe um único plano a que contém P, Q e R. Como a reta r tem dois Para iniciarmos com a Matriz GUT, primeiro é necessário listar todos os problemas e aspectos relacionados às
atividades que você deseja analisar. [...]
de seus pontos (Q e R) em a, o postulado 3 garante que r está contida em a. Assim, de fato existe um Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

plano que contém r e P. Como esse é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único que contém P e r. Problemas G U T GUT

Teorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano. S ␣ Rever contrato de locação Gravidade Urgência Tendência 9
R Treinar novo operador no sistema 3 3 1 32
Demonstração: Ampliar rede com mais 2 equipamentos 4 4 2 16
Seja P o ponto de intersecção das retas r e s. Fazer backup completo do banco de dados 2 2 4 75
Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de P. Os pontos 5 5 3

P, R e S são não colineares. Pelo postulado 2, eles determinam um único r Segunda Etapa (Pontuação dos Problemas)
plano a. sP

O postulado 3 garante que a contém r e s, uma vez que essas retas Nesta etapa, é dada uma pontuação Tendência
têm dois de seus pontos em a. (“se nada for feito...”)
para cada um dos problemas. [...] Ao final Nota Gravidade Urgência
da pontuação, é identif icado o número ... irá piorar rapidamente

que mostrará o grau de prioridade dos 5 extremamente precisa de ... irá piorar em pouco
problemas. Para isso, deve-se multiplicar 4 tempo
os coeficientes [quocientes] gravidade 3 grave ação imediata
3 urgência 3 tendência (G 3 U 3 T), ... irá piorar
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 163
... irá piorar a longo
muito grave é urgente prazo
... não irá mudar
sendo o problema que obtiver o maior 3 grave o mais rápido
resultado, a principal prioridade a ser cor- possível
pouco grave
rigida. No caso [...] acima, o principal pro- 2 sem gravidade pouco
blema encontrado foi o de “fazer o backup urgente

completo do banco de dados”, que atingiu 1 pode esperar
75 pontos na Matriz GUT.

Terceira Etapa (Classificação dos Problemas)

Após identificar, listar e, através da multiplicação dos fatores (gravidade, urgência e tendência), atribuir as
notas de cada um dos principais problemas identificados, é necessário traçar o plano de ação em relação aos
mesmos, levando em consideração cada um dos aspectos da matriz e a classificação [...] dos problemas inseridos
nela. [...]

Fonte: Portal Administração. Disponível em: <www.portal-administracao.com/
2014/01/matriz-gut-conceito-e-aplicacao.html>. Acesso em: 12 nov. 2015.

Um estudante, próximo ao final do ano letivo, listou seus Problemas GU T
principais problemas e elaborou uma matriz GUT: Estudar Física 454
Planejar a viagem 233
Podemos afirmar que: Estudar Química 541
Começar academia 312
a) o principal problema que o estudante deve resolver é
Caiu no Enem “estudar Química”.

b) o problema de maior prioridade é “começar academia”.
c) antes de “estudar Química” o estudante deve “planejar a

viagem”.
d) o que menos deve preocupá-lo é “planejar a viagem”.
e) a prioridade é “estudar Física”.

Unidade 1 Unidade 3 114 Capítulo 5
3. (Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato bas-
1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres
inclinadas uma contra a outra, construídas numa tante presente na história da humanidade. Uma de
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres suas várias propriedades é a retração (contração), que
é de 158 com a vertical e elas têm, cada uma, uma consiste na evaporação da água existente em um
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de uma determinada temperatura elevada. Essa eleva-
um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas ção de temperatura, que ocorre durante o processo
pode ser observada na imagem. de cozimento, causa uma redução de até 20% nas
dimensões lineares de uma peça.
A
Kathrin Eckert/Flickr/Acervo da fotógrafa Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma peça, quando moldada em argila,

possuía uma base retangular cujos lados mediam

30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram

reduzidos em 20%.

Em relação à área original, a área da base dessa peça,

após o cozimento, ficou reduzida em

a) 4%. d) 64%.

b) 20%. e) 96%.

c) 36%.

B 4. (Enem) Diariamente, uma residência consome
20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012. retangulares (dispositivos capazes de converter a luz
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangen- solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 3 8 cm.
te de 158 e duas casas decimais nas operações, des- Cada uma das tais células produz, ao longo do dia,
cobre-se que a área da base desse prédio ocupa na 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário
avenida um espaço dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a
a) menor que 100 m2. mesma quantidade de energia que sua casa consome.
b) entre 100 m2 e 300 m2. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele
c) entre 300 m2 e 500 m2. atinja o seu objetivo?
d) entre 500 m2 e 700 m2. a) Retirar 16 células.
e) maior que 700 m2.
b) Retirar 40 células.

c) Acrescentar 5 células.

d) Acrescentar 20 células.

e) Acrescentar 40 células.

Unidade 2 5. (Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de
lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende
2. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar ATENÇÃO! Ao ver este selo, lembre-se
sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo de maçã devem ser plantadas em covas com uma
única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros
(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela
sabe que conseguirá plantar um número maior de
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas Não escreva
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. no seu livro!
permaneça acesa igual a 2 do tempo em que a luz O número máximo de mudas que essa pessoa pode- de registrar todas as
3 rá plantar no espaço disponível é:
a) 4. d) 12.
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada
b) 8. e) 20.
ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
c) 9.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?

a) 5X 2 3Y 1 15 5 0 d) 3X 2 2Y 1 15 5 0 respostas no caderno.
b) 5X 2 2Y 1 10 5 0 e) 3X 2 2Y 1 10 5 0

c) 3X 2 3Y 1 15 5 0

264 Caiu no Enem

5

Sumário Pietus/iStock.com/Getty Images

Unidade 1: Trigonometria

CAPÍTULO 1

Trigonometria:
resolução de triângulos quaisquer

1 Revisão sobre resolução de
triângulos retângulos. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 12

2 Seno e cosseno de ângulos obtusos .. .. .. .. .. .. .. . 13
3 Lei dos senos. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . . . . 13
4 Lei dos cossenos. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . .. 17

CAPÍTULO 2

Conceitos trigonométricos básicos

1 Arcos e ângulos . .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . 24
2 Unidades para medir ângulos e arcos . .. .. .. .. .. . 25

Relação entre as unidades para medir arcos . . . . . . . . . . 26
Stonehenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Circunferência orientada e circunferência
trigonométrica . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . . 29
Circunferência orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Circunferência trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Arcos côngruos (ou congruentes) . .. .. .. .. .. .. .. .. . 31

CAPÍTULO 3

Funções trigonométricas

1 A ideia de seno, cosseno e tangente
de um número real . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 35

2 Valores notáveis do seno e do cosseno . .. .. .. .. .. 37
3 Redução ao 1º quadrante .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . 38

Arcos no 2º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Arcos no 3º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Arcos no 4º quadrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Arcos maiores do que 3608 (fora da 1ª volta) . . . . . . . . . . 39
4 A ideia geométrica de tangente.. .. .. .. .. .. .. .. .. . 40
Valores notáveis da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Estudo da função seno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... .43
Gráfico da função seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Periodicidade da função seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Sinal da função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Estudo da função cosseno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . 46
Gráfico da função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Sinal da função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Senoides . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .. .. .. . 48
As senoides e os fenômenos periódicos . . . . . . . . . . . . . . 48

6

Unidade 2: Matrizes, determinantes e sistemas lineares

CAPÍTULO 4 Transformações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Matrizes e determinantes Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
1 Introdução às matrizes .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 62 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Quando surgiram as matrizes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Criptografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Definição de matriz .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . .. 65
CAPÍTULO 5
3 Representação genérica de uma matriz . .. .. .. . .. 66
Sistemas lineares
4 Matrizes especiais . .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 67
Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1 O método chinês.... .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... 95
Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Matriz nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2 Sistemas lineares 2 3 2... .... ... ..... ... ..... ... ..... 96

5 Igualdade de matrizes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .... .68 3 Equações lineares.. .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... . 96

6 Adição e subtração de matrizes . .. . ... . ... . ... . ... . 69 4 Sistemas de equações lineares . .... .... .... .... ....98
Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Solução de um sistema linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
Matriz oposta de uma matriz A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Classificação dos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Subtração de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Matrizes, sistemas lineares e determinantes. . . . . . . . . 101
Escalonamento de sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Multiplicação de número real por matriz . .. .. . .. 72
Classificação e resolução de
8 Matriz transposta. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .... 73
sistemas lineares escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 Multiplicação de matrizes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .... 75 Sistemas lineares equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Determinante de uma matriz. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 80 Processo para escalonamento de um
O determinante de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
O determinante de ordem 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Discussão de um sistema linear 2 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Teorema de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Discussão de um sistema linear n 3 n, com n . 2 . . . 111

11 Matriz inversa de uma matriz dada . .. .. .. .. . .... 84
12 Aplicações de matrizes .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .... 85

Geometria e coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

WeStudio/Shutterstock

7

Unidade 3: Geometria plana e espacial

CAPÍTULO 6 Reta e plano perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Polígonos inscritos e áreas
10 Projeção ortogonal .... .... .... ... ..... ... ..... ... ... 160
1 Polígonos regulares inscritos De um ponto sobre um plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
na circunferência .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . . 120 De uma figura qualquer sobre um plano . . . . . . . . . . . . 160
Cálculo da medida do lado e do apótema
de um polígono regular em função do raio 11 Distâncias .. .... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ... . . 161
da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Distância entre dois pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Quadrado inscrito em uma circunferência . . . . . . . . . . . 120 Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Hexágono regular inscrito em uma circunferência. . . . . 121 Distância de um ponto a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência. . . . 121 Distância entre duas retas distintas
Comprimento da circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 e paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Comprimento de um arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Distância de uma reta a um plano
(quando a reta é paralela ao plano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 Áreas: medidas de superfícies .. .. .. .. .. . ... . ... . . 124 Distância entre dois planos distintos
A ideia intuitiva de área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 e paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Região quadrada unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Distância entre duas retas reversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Área do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Área do retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 CAPÍTULO 8
Área do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Área do triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Poliedros: prismas e pirâmides
Área de um triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Área do triângulo por meio da Trigonometria. . . . . . . . 128 1 Poliedros .. .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... ... . .. 166
Área do triângulo sendo conhecidos os três lados . . . 129 Poliedro convexo e poliedro não convexo . . . . . . . . . . . . 167
Área de um trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Área de um losango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2 Relação de Euler. .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... . 169
Área de um hexágono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Uma aplicação da relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Área de um polígono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Área do círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3 Poliedros regulares . .... .... .... .... .... .... ... ..... .. 172
Determinação da área do círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Propriedade: existem apenas cinco poliedros
Área do setor circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 regulares convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A área do círculo e o número p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Poliedros de Platão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cálculo aproximado de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Razão entre áreas de polígonos semelhantes . . . . . . . 138 4 Prismas... .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... .. ... . ... . 174
Construção e definição de prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
CAPÍTULO 7 Caso particular: o paralelepípedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Prismas retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Geometria espacial de posição:
uma abordagem intuitiva Cálculo da diagonal de um paralelepípedo

1 Geometria de posição no plano . .. .. .. .. .. . ... . .. 142 retângulo e de um cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Área da superfície de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2 Posições relativas: ponto e reta; Poliedros arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
ponto e plano. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 144
5 Ideia intuitiva de volume ... .... .... ... ..... ... ..... 181
3 Posições relativas de pontos no espaço .. .. .. .. 144
Cubo unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4 Posições relativas de duas retas Volume do paralelepípedo retângulo
distintas no espaço.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... 145 ou bloco retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5 Determinação de um plano .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . 147 6 Princípio de Cavalieri.... .... ... ..... ... ..... ... ..... 184

6 Posições relativas de dois planos 7 Volume do prisma ... .... ... ..... ... ..... ... ..... ... . 185
distintos no espaço. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .. 148
8 Pirâmides . .... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ... . .. 188
7 Posições relativas de uma reta e Construção e definição de pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
um plano . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . . . . . 150 Pirâmide regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Caso particular importante: o tetraedro regular . . . . . 189
8 Paralelismo no espaço . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... 151 Área da superfície da pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Volume da pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9 Perpendicularismo no espaço. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 153 Cálculo do volume da pirâmide triangular . . . . . . . . . . . 192
Retas perpendiculares e ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer . . . . . . . 193
Tronco de pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8 Volume do tronco de pirâmide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Unidade 4: Análise combinatória e probabilidade

CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10

Análise combinatória Probabilidade

1 Princípio da multiplicação ou princípio 1 Fenômenos aleatórios ... .... .... .... .... ... ..... ... 232
fundamental da contagem .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . 204 2 Espaço amostral e evento. .... .... .... .... .... ... .. 233
3 Eventos certo, impossível e
2 Permutações simples e fatorial
de um número.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... 206 mutuamente exclusivos ... .... .... .... .... ... ..... 234
Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 União de eventos, intersecção de eventos
e complementar de um evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3 Permutações com repetição .. .. . ... . ... . ... . ... . . 209 4 Cálculo de probabilidades ... .... .... .... .... .... .. 234
Certeza e impossibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4 Arranjos simples . .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 210 5 Definição teórica de probabilidade
Fórmula do número total de arranjos simples . . . . . . 210 e consequências.... .... ... ..... ... ..... ... ..... ... ... 238
Consequências da definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5 Combinações simples. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... 215 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Fórmula do número total de Eventos independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
combinações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6 O método binomial .... .... .... .... .... .... ... ..... . 249
Uma propriedade importante das combinações. . . . . 216 7 Aplicações de probabilidade à Genética.. .... .. 253

6 Problemas que envolvem os Caiu no Enem.................................................................. 264
vários tipos de agrupamentos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 222
Alguns problemas de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Respostas ....................................................................... 268
As 7 pontes de Königsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Sugestões de leituras ................................................. 278
7 Números binomiais .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . .. 225
Propriedade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Significado das siglas de vestibulares .................. 279

8 Triângulo de Pascal ou triângulo aritmético .. . 225 Bibliografia..................................................................... 279
Propriedades dos números binomiais. . . . . . . . . . . . . . . . 226
Índice remissivo............................................................ 280
9 Binômio de Newton. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . . 228
O problema de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Fotos: John Smith/Corbis/Latinstock

9

UNIDADE1

Trigonometria

10

CAPÍTULO Trigonometria:CAPÍTULO
reCsoonlujuçnãtoosde

011 trniâunmgéurliocsosquaisquer
G. Dagli Ort/De Agostini/Getty Images
MaNrcAuSsAL/yCoonr/bGise/tLtyatIimnsatgoecks

O teodolito é um instrumento óptico utilizado para medir ângulos, tanto
horizontal como verticalmente, em medidas diretas e indiretas de distâncias.
Aplicando uma relação trigonométrica podemos determinar, por exemplo, a
altura de uma região montanhosa. Para isso, precisamos saber a distância
Teonptróegorapfoonuttoildizeaonbdsoetrevoadçoãloiteo.oAptéopdoagprearfpiae,nqduiecuélaurmdaaámreoantdaanEhnagee,nchoamrioa, utiliza muitas relações
aesutxaílbioeldeeciudmastpeeoldaoTlirtiog,omnoemdiertoriâanpgaurlaoddeeteelremviançaãroadfaorrmegaiãeoampoonstiçaãnohdoseae.lementos do relevo.

11

1 Revisão sobre resolução de triângulos retângulos

Antes de abordar novos conceitos e relações da Trigonometria, vamos revisar o que foi estudado nos
anos anteriores. Faça dupla com um colega e tentem resolver os exercícios a seguir.

Quando necessário usem a tabela da página 22 ou uma calculadora científica.

Observação: Usaremos AB. ora para designar segmento de reta AB, ora para Segmento de reta: parte da
designar medida do segmento de reta AB. Pelo contexto da situação saberemos reta compreendida entre
quando está sendo usado um significado e quando está sendo usado o outro. dois de seus pontos distin-
tos, denominados extremos.

Exercícios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!

1. Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as 5. Um poste na posição vertical tem sua sombra

margens de um rio. Determine a largura , desse rio. projetada em uma rua horizontal. A sombra tem
12 metros. Se a altura do poste é de 12 metros,
C r ഞ = 10 3 m então, qual é a inclinação dos raios solares em
relação à rua horizontal? 458
ᐉ

30Њ rЈ 6. Determine a medida de CD. na figura abaixo. CD. é
A 30 m B
a projeção ortogonal de AB. sobre um eixo.

2. Calcule os valores das medidas x e y: B CDu  3,9 cm
4 cm

a) b) y 15Њ A

45Њ 20

16 x 60Њ

y ϭ 20 3

x ϭ8 2 CD

3. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma ram- 7. Determine a área da região triangular abaixo.

pa de 2 metros de comprimento e 308 de inclinação, A  4,8 cm2
conforme representa a figura. Devem-se construir, C
sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura. Encontre

a altura de cada degrau. 12,5 cm h 4 cm B
20Њ
2m A 7 cm
30Њ A
8. Um observador, no ponto B
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora 4. Observe a figura: B
da figura representada ao la- 8m
y do, vê um prédio de modo
que o ângulo ABC é de 1058. Se C 8m
esse observador está situado
a uma distância de 8 m do
prédio e a uma altura de 8 m,

vy= v = qual é a altura do prédio? 21,6 m
␣
x 9. Calcule as medidas x, y, z e w indicadas nas figuras.
vx=

a) w ϭ 50 3 B b)

Dizemos que vx- e vy- são as componentes retangu- w x 12 z
lares do vetor v.-

Considerando o módulo de v - igual a 10 cm e o ân- 30Њ 60Њ 30Њ
A 100 C y
gulo a de 308, determine os módulos de vx- e vy- .
x ϭ 24; y ϭ 16 3 e z ϭ 8 3
|vx-| 5 5 3 cm e |vy-| 5 5 cm

Aproveite esta revisão para perceber o nível de conhecimento dos alunos. Se necessário, retome com eles os conceitos de seno, cosseno e tangente no
triângulo. Estimule-os a memorizar o valor do seno, do cosseno e da tangente de 308, 458 e 608 (ângulos notáveis); isso facilitará e agilizará os cálculos

12 Capítulo 1 abordados neste capítulo.

2 Seno e cosseno de ângulos obtusos Ângulo obtuso:
ângulo cuja me-
Neste capítulo precisaremos, em alguns momentos, saber os valores de senos e cosse- dida está entre
nos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi estudado — não existem ân- 908 e 1808.
gulos obtusos nos triângulos retângulos —, abordaremos neste momento apenas como
lidar com eles na prática, e deixaremos a parte teórica, que fundamenta o que estudaremos
agora, para outro capítulo.

Inicialmente, é necessário saber que:

• sen 908 5 1 e cos 908 5 0

• senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos Fique atento!
Lembre-se de que
desses ângulos: ângulos
suplementares são
sen x 5 sen (1808 2 x) dois ângulos que
têm a soma de suas
• cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses medidas igual a 1808.

ângulos:

cos x 5 2cos (1808 2 x)

Exemplos: b) cos 1208
a) sen 1208
cos 1208 5 2cos (1808 2 1208) 5 2cos 608 5 Ϫ1
O suplemento de 1208 é 608, portanto: 2
sen 1208 5 sen (1808 2 1208) 5 sen 608 5 3

2

Exercícios

10. Obtenha o valor de: 11. Determine o valor de x em:

a) sen 1358 2 c) sen 1508 1 a) x 5 sen 208 2 sen 1608 1 cos 448 1 cos 1368 0
2 2 b) x 5 sen 108 ? cos 508 1 cos 1308 ? sen 17080
− 2 3
b) cos 1358 d) cos 1508 − 2
2

3 Lei dos senos

Acompanhe a seguinte situação-problema:

Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar
dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno
problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do
lago impedia a medição direta dessa distância.

Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a
distância entre eles. Com um aparelho apropriado, o teodolito, ele mediu o ângulo entre a linha de visão
dele e os postes, obtendo 1208. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e
obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha
entre os postes, obtendo 458. Com essas informações, o engenheiro ficou satisfeito, pois ele já conseguiria
calcular a distância entre os postes. Vamos descobrir como a seguir.

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 13

Realidade Modelo matemático

Dam d'Souza/Arquivo da editora A Banco de imagens/Arquivo da editora

100 m

O d
120Њ

45Њ
B

O triângulo AOB é obtusângulo, e a resolução desse problema consiste em determinar a medida do
lado At B. Para resolvê-lo, vamos estudar a lei dos senos, cujo enunciado vem a seguir.

Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados

são proporcionais aos senos dos ângulos opostos,

ou seja: a b c
sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ
= =

Acompanhe a seguir a demonstração da lei dos senos para um triângulo acutângulo.

Consideremos o nABC acutângulo e duas de suas alturas: At H1 e Bt H2. A Banco de imagens/Arquivo da editora

• No nACH1, retângulo em H1, temos: H2

• sen CB 5 h1 ⇒ h1 5 b ? sen CB c b
b h2
h1
• No nABH1, retângulo em H1, temos:

• sen BB 5 h1 ⇒ h1 5 c ? sen BB B H1 a C
c

Comparando, temos: Para refletir
Verifique que a demonstração vale também para
b ? sen CB 5 c ? sen BB ⇒ b ϭ c I o nABC obtusângulo e para o triângulo retângulo.
sen Bˆ sen Cˆ

• No nBCH2, retângulo em H2, temos: A

• sen CB 5 h2 h1 c H2 b
a H1 h2
⇒ h2 5 a ? sen CB
Ba C

• No nABH2, retângulo em H2, temos: C Banco de imagens/Arquivo da editora
ba
• sen AB 5 h2 ⇒ h2 5 c ? sen AB
c

Comparando, temos: Ac B
Lembre-se: sen a 5 sen (1808 2 a).
a ? sen CB 5 c ? sen AB ⇒ a Aˆ ϭ c Cˆ II
sen sen

De I e II concluímos que: Veja a demonstração no Manual do Professor.

a ϭ b ϭ c
sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ

14 Capítulo 1

Observações: medida do lado a

1a) Pode-se provar que a razão seno do ângulo oposto a a é constante e igual a 2R, em que R é o raio da

circunferência circunscrita ao triângulo considerado. A mesma relação vale para os outros dois lados

do triângulo.

A

c b a = b = c = 2R
R a sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ

B C

2a) Quando o enunciado de uma questão se refere a um triângulo ABC, devemos colocar o lado a oposto ao
ângulo A, o lado b oposto ao ângulo B, e o lado c oposto ao ângulo C, como na figura abaixo:

A

bc

Ca B

Agora temos condições de resolver a situação-problema apresentada na página 13. Leia-a novamente eIlustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
acompanhe a resolução a seguir.

Retomando o modelo matemático, temos:

A

100 m

O 120Њ d

45Њ
B

Pela lei dos senos, temos:

100 ϭ d ϭ 100 ϭ d ⇒ 2d ϭ 100 3 ⇒
sen 45Њ sen 120Њ 2 3

22

⇒ d ϭ 100 3 ϭ 100 3 ⋅ 2 ϭ 100 6 ϭ 50 6 Ӎ 122,47
2 2⋅ 2 2

Então, a distância entre os postes é de, aproximadamente, 122,47 metros.

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 15

Exercícios resolvidos

1. Em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o 2. Em um triângulo ABC, temos BC 5 5 cm, AB 5 488 e

ângulo oposto à base mede 1208. Calcule a medida BB 5 258. Calcule a medida aproximada do lado Aw B
dos lados congruentes do triângulo. (use a tabela da página 22 ou uma calculadora
científica).
x 120Њ Veja a
30Њ resolução no Resolução:
30Њ Pela lei dos senos:
6 cm Manual do
BC ϭ AC ϭ AB ,
Professor. sen BA sen BB sen CB

Resolução: Para refletir sendo CB 5 1808 2 (488 1 258) 5 1078.
Pela lei dos senos, temos:
Em um triângulo Fique atento!
6 ϭx ⇒ isósceles, a altura Com a tabela obtemos sen 1078  0,956,
sen 120Њ sen 30Њ relativa à base é procurando sen 738.
também mediana e
⇒ 6 ϭ x ⇒ bissetriz. Use esse fato Substituindo:
3 1 e resolva este exercício 5 ϭ AB ⇒ 5 ϭ AB ⇒
de outra forma.
sen 48Њ sen 107Њ 0,743 0,956
22

⇒ 3x ϭ6⇒ x ϭ 6 ϭ 63 ϭ 6 3 ϭ2 3 ⇒ AB ϭ 5· 0,956 Ӎ 6,43
3 3и 3 3 0,743

Cada um dos lados congruentes mede 2 3 cm. Portanto, a medida aproximada do lado At B é 6,43 cm.

Se achar conveniente, comente com os alunos que a maioria das questões que são resolvidas pela lei dos senos relaciona dois ângulos e um lado de um triângulo.

Exercícios

12. Observe a figura abaixo e calcule o valor da medida x. 15. Em um triângulo ABC, são dados AB 5 458, BB 5 308 e

x a 1 b 5 2 1 1. Calcule o valor de a. aϭ 2

105Њ x 5 100 2 16. Use a tabela da página 22 ou uma calculadora cientí-
100
fica e determine os valores de x (aproximadamente):
45Њ

13. Observe o triângulo abaixo e calcule o valor da a) x Ӎ 9,151

medida x. 76Њ
5

x 32 32Њ
60Њ x ϭ2 3 x

45Њ 10 x Ӎ5,959
30Њ
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora 14. Em cada triângulo a seguir, calcule o valor da medida x. b)

a) x =5 3 27Њ
75Њ x x
52

b) 45Њ c) x Ӎ 45Њ
3
45Њ x=4 2 70Њ 4
x 30Њ
x
8

16 Capítulo 1

4 Lei dos cossenos

Voltemos ao nosso engenheiro e seu problema em medir a distância entre os postes, sugerido no início
do item 3. Se tivesse encontrado alguma dificuldade para obter o ângulo de 458, ou mesmo que não qui-
sesse obtê-lo, o engenheiro poderia ter pedido ao seu segundo auxiliar que medisse a distância do local
onde ele estava até o poste mais próximo. Assim, além do valor do ângulo (1208) que o engenheiro já havia
medido e da distância entre o poste mais afastado e ele (100 metros), o engenheiro teria obtido a nova
distância, de 36,60 metros, entre o poste mais próximo e ele. Essas informações também permitiriam cal-
cular a distância desejada. Observe as representações novamente.

Realidade Modelo matemático

Dam d'Souza/Arquivo da editora A Banco de imagens/Arquivo da editora

100 m

O d
36,60 m
120Њ

B

Pela representação, observamos que o problema consiste em determinar a medida de um lado de
um triângulo, quando conhecemos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja
medida queremos encontrar.

Para resolvê-lo, precisamos estudar a lei dos cossenos, enunciada a seguir:

Em qualquer triângulo ABC, o quadrado da medida de um
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados
pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja:

A

cbBanco de imagens/
Arquivo da editora
BaC
Ângulo agudo:
• a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos AB ângulo cuja
• b2 5 a2 1 c2 2 2ac ? cos BB medida é menor
• c2 5 a2 1 b2 2 2ab ? cos CB do que 908.

Vamos provar apenas a primeira das relações acima, considerando o ângulo A agudo;
a demonstração das outras relações é análoga.

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 17

Ilustrações técnicas desta página: O ângulo agudo A pode estar em um triângulo acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Banco de imagens/Arquivo da editora
B BB

ah c h c
a
c

aϭh

C Hb A Cb A
H

CϵH b A

Vamos demonstrar a lei dos cossenos usando o triângulo acutângulo. Para refletir
• Verifique que a relação
Traçando a altura Bt H, obtemos os triângulos retângulos ABH e CBH.
vale para AB agudo no
• No nABH, temos: triângulo retângulo e
no triângulo
cos Aˆ ϭ AH ⇒ AH ϭc ⋅ cos Aˆ obtusângulo.
 c • Podemos considerar o
teorema de Pitágoras
( )c2 ϭh2 ϩ AH2 ⇒ h2 ϭc2 Ϫ AH2 ⇒ h2 ϭc2 Ϫ c ⋅ cos Aˆ 2 ⇒ h2 ϭc2 Ϫc2 ⋅ cos2Aˆ I (a2 5 b2 1 c2) como um
caso particular da lei
• No nCBH, temos: dos cossenos (pois
cos 908 5 0).
a2 5 h2 1 CH2 ⇒ a2 5 h2 1 (b 2 AHu)2 ⇒ h2 5 a2 2 (b 2 c ? cos AB )2 ⇒
Veja comentários deste Para
⇒ h2 5 a2 2 b2 1 2bc ? cos AB 2 c2 ? cos2 AB II refletir no Manual do Professor.

• De I e II temos:

a2 2 b2 1 2bc ? cos AB 2 c2 ⋅ cos2A = c2 − c2 ⋅ cos2A ⇒ a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos AB

Agora estamos em condições de resolver a situação-problema colocada no início deste item.
Retomando o modelo matemático, temos:

A

100 m

O d
120Њ

36,60 m

B

Pela lei dos cossenos, temos:

d2 5 1002 1 (36,6)2 2 2 ? 100 ? 36,6 ? cos 1208 ⇒ d2 5 15 000 ⇒ d ϭ 15 000 ϭ 50 6 Ӎ 122,47 m

Observe que esse valor é o mesmo encontrado na página 15.

18 Capítulo 1

Exercício resolvido passo a passo: exerc’cio 3

Se achar conveniente, comente com os alunos que a maioria das 2. Planejando a solução
questões que são resolvidas com a lei dos cossenos relaciona dois lados e A partir das informações do enunciado podemos
montar um triângulo obtusângulo que representa
Resolvido passo a passo um ângulo do triângulo. o que se pede na questão:

3. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus Guaratinguetá

alunos um mapa do estado de São Paulo que infor-
mava que as distâncias aproximadas em linha reta
entre os pontos que representam as cidades de São
Paulo e Campinas e entre os pontos que representam
as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, res-
pectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos ob-
servou, então, que as distâncias em linha reta entre
os pontos que representam as cidades de São Paulo,
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equi-
látero. Já um outro aluno notou que as distâncias em
linha reta entre os pontos que representam as cidades
de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam
um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Banco de imagens/Arquivo da editora d 160 km
Banco de imagens/Arquivo da editora
150
São Paulo

80 km

SP Sorocaba
Campinas
Assim, a distância d pode ser calculada pela lei dos
cossenos, pois conhecemos a medida de dois lados
e de um ângulo do triângulo.

Guaratinguetá

3. Executando o que foi planejado
Pela lei dos cossenos temos:

80 km 160 km d2 5 802 1 1602 2 2 ? 80 ? 160 ? cos 150° ⇒
Sorocaba São Paulo
cos 150° ϭϪcos 30°

⇒ d2 5 6 400 1 25 600 2 25 600 ? Ϫ 3  ⇒
2 

⇒ d2 5 32 000 1 12 800 3 ⇒

⇒ d ϭ 32 000 ϩ 12800 3 ⇒

Com essas informações, os alunos determinaram ⇒ d ϭ 5 и 802 ϩ 2 и 802 и 3 ⇒
que a distância em linha reta entre os pontos que
representam as cidades de Guaratinguetá e Soro- ( )⇒ d ϭ 5 ϩ 2 и 3 и 80
caba, em km, é próxima de:

a) 80 и 2 ϩ 5 и 3 d) 80 и 5 ϩ 3 и 2 4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
b) 80 и 5 ϩ 2 и 3 e) 80 и 7 и 3

c) 80 и 6

1. Lendo e compreendendo 5. Ampliando o problema

a) O que é dado no problema? a) Uma empresa privada de transporte coletivo faz
o percurso entre algumas cidades do estado de São
Um mapa com as distâncias entre algumas cida- Paulo, como Sorocaba, Guaratinguetá, Campinas e
des, a informação de que as distâncias em linha a própria capital. Sabe-se que essa empresa cobra
reta entre os pontos que representam as cidades uma taxa fixa de R$ 20,00 e uma taxa de R$ 1,50 por
de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um quilômetro rodado. Dado isso, qual é o percurso
triângulo equilátero e que as distâncias em linha mais caro para os passageiros? Quanto esse per-
reta entre os pontos que representam as cidades curso custa?
de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas forma-
vam um triângulo retângulo. Guaratinguetá → São Paulo; R$ 260,00

b) O que se pede? b) Discussão em equipe

A distância em linha reta entre os pontos que re- Troque ideias com seus colegas sobre o sistema de
presentam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, transportes no Brasil. Quais ações podem ser adota-
em quilômetros. das para priorizar a utilização de meios de transpor-
te que causem menos impacto ao meio ambiente?

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 19

Observação: Neste primeiro capítulo sobre Trigonometria, estudaremos a trigo- Ângulo reto: ângulo de
nometria do triângulo. Neste caso, as funções seno e cosseno têm como domínio medida igual a 908.
o conjunto A de todos os ângulos do plano, menores do que ou iguais a dois
ângulos retos. Tais funções são independentes da forma de como se medem os
ângulos. Logo, dispensam a consideração de arcos de circunferência, radianos,
etc. Isso merecerá atenção especial quando estudarmos, no capítulo 3, sen x e
cos x como funções reais de uma variável real.

Exercícios Atividade Atividade
em dupla em equipe

17. No triângulo da figura abaixo, calcule a medida x. 25. (FCMSCSP) Considerando a figura abaixo, qual

xϭ 7 o valor de sen a?
3x
sen ␣ ϭ 3 7
8

r

60Њ O␣ 3r
r 2

1

18. No triângulo da figura abaixo, determine x.

A

5 26. DESAFIO Física
x57
Duas forças de intensidade F1 5 8 N e F2 5 12 N formam
B 60Њ x entre si um ângulo de 608. Qual é a intensidade R
resultante dessas duas forças? R ϭ 4 19 N
8

C F2 R
60Њ
19. Em um triângulo ABC são dados: AB 5 308, b ϭ 2 3 e

c 5 3. Calcule a medida do terceiro lado do triângulo. F1

20. Considere o triângulo ABC com: AB 5 458, aϭ 3 27. Considere uma circunferência de raio r e , a medida

a5 4e do lado de um decágono regular inscrito nessa circun-

b ϭ 4 2 . Determine o lado c. c ϭ 4 ( )ferência. Determine , em função de r. ␣ ϭ 360Њ
n
21. No triângulo abaixo, At C 5 3, Bt C 5 4, At B 5 3 e
r 2(1 − cos36Њ)
BAB C 5 a. Determine o valor de cos a. cos ␣ ϭ 1

9
A

␣ O

B r␣ r
C
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora ഞ
22. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e
28. DESAFIO Resolva no caderno o triângulo abaixo. Use
formam entre si um ângulo de 1208. Calcule a me-
dida do terceiro lado. 14 cm sua calculadora se precisar.

23. Em um triângulo ABC são dados AB 5 458, b ϭ8 2 "Resolver um triângulo" é

e c 5 10. Calcule a medida do terceiro lado. 2 17 encontrar os valores de todas

24. Dois lados consecutivos de um paralelogramo as medidas do triângulo 68Њ

medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 608. (3 lados e 3 ângulos). y a 5 628;
Calculem as medidas de suas diagonais.
x x  4,13;
BD ϭ 2 39 cm;  AC ϭ 2 109 cm y  4,76.

50Њ

a
5

20 Capítulo 1

29. Medida da distância de um ponto A (onde está o 31. Física

observador) a um ponto P inacessível Em Física o módulo do vetor resultante é dado pela
Vamos supor que um observador esteja no ponto diagonal do paralelogramo. Exemplo:
A e queira saber a distância entre A e P, que é o
ponto onde se localiza uma árvore do outro lado de v1 v
um rio, conforme representado na figura a seguir. 60Њ

P v2

A Podemos usar a lei dos cossenos para obter o vetor
resultante. Para isso, basta perceber que:

O observador se locomove de A para B, de onde v1 v v1 v
pode ver também o ponto P. ␪ 180Њ Ϫ ␪

P v2 v2

Determinem o vetor resultante v na situação abaixo:

Aproximadamente 26,5 m/s.
Ilustrações: Dam d'Souza/Arquivo da editora
A Lelia Valduga/Getty Imagesv1 ϭ 10 m/sv
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora60Њ
B
v2 ϭ 20 m/s
Qual é a distância de A a P sabendo que a distância
de A a B é 2 km, a medida do ângulo BAB P é igual a 32. Em 2010 as prefeituras de São José (SC) e Flo-
1208 e a medida do ângulo ABB P é igual a 458?
rianópolis (SC) inauguraram o pórtico e a ponte
Aproximadamente 5,459 km ou 5 459 m. sobre o rio Araújo, que liga as duas cidades. Veja:

30. Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do

Triângulo Mineiro localizadas conforme represen-
ta a figura a seguir.
A partir dos dados fornecidos, determinem a dis-
tância aproximada de Uberaba a Uberlândia.

111,6 km
Araguari

Uberlândia 36Њ
132Њ

Ponte do Rio Araújo, onde há um pórtico em estrutura metálica.
Fotografia de 2012.

140 km Sabendo que o pórtico forma com a pista aproxima-
damente um triângulo isósceles, que cada lado do
pórtico mede 40 m e que o cosseno do ângulo entre
as estruturas metálicas do pórtico (ângulo superior)
é de 0,875, qual é a medida da base do pórtico por
onde passam as pessoas e os automóveis?

a) 16 m x c) 20 m e) 24 m

Uberaba b) 18 m d) 22 m

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 21

Tabela de valores aproximados de razões trigonométricas

Ângulo sen cos tan Ângulo sen cos tan

18 0,017 1,000 0,017 468 0,719 0,695 1,036
28 0,035 0,999 0,035 478 0,731 0,682 1,072
38 0,052 0,999 0,052 488 0,743 0,669 1,111
48 0,070 0,998 0,070 498 0,755 0,656 1,150
58 0,087 0,996 0,087 508 0,766 0,643 1,192

68 0,105 0,995 0,105 518 0,777 0,629 1,235
78 0,122 0,993 0,123 528 0,788 0,616 1,280
88 0,139 0,990 0,141 538 0,799 0,602 1,327
98 0,156 0,988 0,158 548 0,809 0,588 1,376
108 0,174 0,985 0,176 558 0,819 0,574 1,428

118 0,191 0,982 0,194 568 0,829 0,559 1,483
128 0,208 0,978 0,213 578 0,839 0,545 1,540
138 0,225 0,974 0,231 588 0,848 0,530 1,600
148 0,242 0,970 0,249 598 0,857 0,515 1,664
158 0,259 0,966 0,268 608 0,866 0,500 1,732

168 0,276 0,961 0,287 618 0,875 0,485 1,804
178 0,292 0,956 0,306 628 0,883 0,469 1,881
188 0,309 0,951 0,325 638 0,891 0,454 1,963
198 0,326 0,946 0,344 648 0,899 0,438 2,050
208 0,342 0,940 0,364 658 0,906 0,423 2,145

218 0,358 0,934 0,384 668 0,914 0,407 2,246
228 0,375 0,927 0,404 678 0,921 0,391 2,356
238 0,391 0,921 0,424 688 0,927 0,375 2,475
248 0,407 0,914 0,445 698 0,934 0,358 2,605
258 0,423 0,906 0,466 708 0,940 0,342 2,747

268 0,438 0,899 0,488 718 0,946 0,326 2,904
278 0,454 0,891 0,510 728 0,951 0,309 3,078
288 0,469 0,883 0,532 738 0,956 0,292 3,271
298 0,485 0,875 0,554 748 0,961 0,276 3,487
308 0,500 0,866 0,577 758 0,966 0,259 3,732

318 0,515 0,857 0,601 768 0,970 0,242 4,011
328 0,530 0,848 0,625 778 0,974 0,225 4,332
338 0,545 0,839 0,649 788 0,978 0,208 4,705
348 0,559 0,829 0,675 798 0,982 0,191 5,145
358 0,574 0,819 0,700 808 0,985 0,174 5,671

368 0,588 0,809 0,727 818 0,988 0,156 6,314
378 0,602 0,799 0,754 828 0,990 0,139 7,115
388 0,616 0,788 0,781 838 0,993 0,122 8,144
398 0,629 0,777 0,810 848 0,995 0,105 9,514
408 0,643 0,766 0,839 858 0,996 0,087 11,430

418 0,656 0,755 0,869 868 0,998 0,070 14,301
428 0,669 0,743 0,900 878 0,999 0,052 19,081
438 0,682 0,731 0,933 888 0,999 0,035 28,636
448 0,695 0,719 0,966 898 1,000 0,017 57,290
458 0,707 0,707 1,000

Fonte: Dados experimentais.

22 Capítulo 1

021CAPÍTULO CtbroánCigsnouoicnmcnejouéiostnrmoitcsoéostsricosCAPÍTULO

Imago/ZUMA Press/Glow Images
NASA/Corbis/Latinstock

Sol sobre o Stonehenge (Inglaterra) durante o solstício
de inverno no hemisfério norte. Fotografia de 2013.

Veja mais sobre este monumento na página 28.

23

1 Arcos e ‰ngulos

No capítulo anterior estudamos a Trigonometria tal qual ela era utilizada há milhares de anos, com o ob-

jetivo de resolver triângulos. Nos próximos capítulos vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosse-

no e tangente, uma necessidade mais recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é

insuficiente para as definições necessárias e precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria:

a circunferência trigonométrica. Geometria plana: campo
da Matemática que estuda
Neste capítulo estudaremos conceitos necessários para esse novo estudo. os elementos do plano
(retas, circunferências, ân-
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana: gulos, etc.), suas proprie-
dades e relações.
• Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos,

incluindo-os. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma

volta.

B AϵB

arco AB O
O

A

• Medida angular e comprimento de um arco: considere um ponto A sobre uma Fique atento!
A medida de
circunferência de raio r e centro O. Deslocando-se o ponto A sobre a circunferên- comprimento , depende
do raio da circunferência,
cia, ele percorre uma distância , ao mesmo tempo que gira um ângulo a em mas a medida angular a
não.
torno do centro O. Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferên-
Para refletir
cia de medida angular a e medida de comprimento ,. Considere cinco
circunferências
• Unidades: para a medida angular a usam-se geralmente unidades como o “grau” concêntricas de raios
diferentes e um mesmo
e o “radiano”. Para a medida do comprimento , usam-se em geral unidades como ângulo central
subtendendo arcos em
“metro”, “centímetro”, “quilômetro”, etc. todas elas. Os cinco arcos
terão a mesma medida?
• Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do E terão o mesmo
comprimento?
ângulo central que o subtende.

B Arco: )AB
ഞ medida de A) B: a

␣ A Ângulo central: AOB B
O medida de AOB B: a

• Comprimento de uma circunferência de raio r: Em qualquer circunferência, a Terão a mesma medida, pois
elas são iguais à do ângulo
medida do seu comprimento (C) dividida pela medida do seu diâmetro (d) é igual central, que é o mesmo. Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
a p (pi), ou seja, C 4 d 5 p. Como d 5 2r, temos que C 4 2r 5 p ⇒ C 5 2pr . Mas não terão o mesmo

• Medida de uma circunferência em graus: 3608. comprimento, pois o
comprimento do arco

depende do raio.

Junte-se a um colega e respondam: se o comprimento de uma circunferência for 2p cm, qual será o

comprimento de um arco dessa circunferência de: , 2␲

a) 1808 (semicircunferência)? , e) 1208? 1208 3
1808 p

b) 908 (quadrante)? ,␲ f) 2408? 2408 , 4␲
2 3

c) 608? ,␲ g) 2708 (3 quadrantes)? 2708 , 3␲
d) 308? 608 3
2
308 , ␲
6

O objetivo desta atividade é que os alunos percebam que o comprimento do arco é diretamente proporcional à medida do arco (ângulo central).

24 Capítulo 2

2 Unidades para medir ângulos e arcos

Os arcos de circunferência têm comprimento e medida angular. A medida do comprimento de um arco

pode ser expressa em metros, centímetros, etc. A medida angular de um arco é, em geral, expressa em graus

ou radianos.

Por definição, a medida angular de um arco é a medida do ângulo central subtendido por ele.

• Grau: O ângulo de um grau (18) é o ângulo correspondente a 1 de um ângulo reto. O arco de um grau
90
(18) é o arco que subtende um ângulo central de 18, de modo que corresponde a 1 da circunferência.

360

Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:

Ilustrações técnicas desta página: B O Você sabia?
Banco de imagens/Arquivo da editora A Essa divisão em 360 partes congruentes
A possivelmente se deu pela influência do
O B sistema sexagesimal (sistema de base 60) e
arco AB de 908 arco AB de 2708 pela associação do movimento de translação
(um quarto de volta) (três quartos de volta) da Terra, que dura aproximadamente 360 dias;
com isso, a circunferência foi dividida em 360
BA AϵB partes, ou seja, 360 gradus, na linguagem atual
O O 360 graus. O grau foi dividido em 60 partes
menores chamadas minutae prime (primeira
arco AB de 1808 arco AB de 3608 ou 08 parte pequena), o que originou a palavra
(meia volta) (uma volta ou nulo)
( ( ) )minuto1 =1 Њ.
60

O minuto foi dividido também em 60 partes
menores chamadas minutae secundae
(próxima parte pequena). Daí a origem da

( ( ) )palavra segundo 1 = 1 Õ .
60
Assim, um arco de dois graus, trinta e cinco
minutos e quarenta segundos é representado
por 283540.

• Radiano: Considere uma circunferência cujo raio tem medida de comprimento igual a r, em uma determinada

unidade. Nessa circunferência, um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento também é igual a r,
na mesma unidade. Assim, se retificássemos o arco, transformando-o em um segmento de reta, poderíamos
verificar que ele teria o mesmo comprimento do raio dessa circunferência. Um ângulo de um radiano (1 rad) é
um ângulo congruente a um ângulo central subtendido por um arco de um radiano.

A medida do comprimento de arco e a medida do ângulo central são proporcionais; então, a medida do
comprimento do arco e a medida angular do arco também são proporcionais.

Considerando-se a circunferência cujo raio tem medida igual a r, se por definição um arco de medida
1 rad tem comprimento de medida r, um arco de 2 rad tem medida de comprimento igual a 2r, e, generali-

zando, um arco de a rad tem medida de comprimento , 5 a ? r .

B Para refletir Aproximadamente 578

“Retificando ou esticando” o arco AB, a medida

do segmento de reta obtido será igual à do raio.

Or A Use o transferidor e verifique, aproximadamente,

a quantos graus corresponde 1 radiano.

medida do comprimento do arco AB 5 medida do comprimento de Ot A (r) Comente com os alunos que existem
ou outras unidades para medir arcos; por
exemplo, o grado, que é um arco obtido
medida angular do arco AB 5 1 rad a partir da divisão da circunferência em
400 partes iguais. Porém, as unidades
mais usadas são o grau e o radiano.

Conceitos trigonométricos básicos 25

Relação entre as unidades para medir arcos Fique atento!
O comprimento C da
Como cada arco de comprimento r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que circunferência de raio r é
o arco correspondente à circunferência mede 2pr 5 2p ? 1 rad 5 2p rad. igual a C 5 2pr, em que
p 5 3,141592...

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora A ϵ B )AB: arco de 3608 ou B A ( ))AB: arco de 1808 360Њ ou 2
arco de 2p rad
arco de p rad  2␲ 
 2 rad

B

)AB: arco de 908  360Њ  ou )AB: arco de 2708  3 de 360Њ ou
 4  4
A A

arco de ␲ rad  2␲ rad arco de 3␲ rad  3 de 2␲ rad
2 4 2 4

B

Observação: Sabendo que 1808 é equivalente a p rad, podemos fazer a conversão de unidades usando uma
regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre
grau e radiano mentalmente, sem recorrer à regra de três. Esse procedimento é muito simples se observar-
mos que:

• 908 é 1 de 1808; logo, é 1 de p rad → 908 5 ␲ rad
22 2

• 308 é 1 de 1808; logo, é 1 de p rad → 308 5 ␲ rad
66 6

• 608 é 1 de 1808; logo, é 1 de p rad → 608 5 ␲ rad
33 3

• 458 é 1 de 1808; logo, é 1 de p rad → 458 5 ␲ rad
44 4

Você pode (e deve) memorizar essas relações para agilizar as conversões.

Veja mais uma: 1208 é o dobro de 608; logo, 1208 5 2 ␲ rad5 2␲ rad. Porém, se preferir, você pode usar a
?
33
regra de três nas conversões.

Exemplos de conversão usando regra de três:

a) 308 em radianos

grau radiano
180
30 6 ␲␲
⇒ 180 ⇒ 6x 5 p ⇒ x 5 rad
␲ ϭ

x 30 x 6 Fique atento!

1 Outro modo de resolver:

␲ 30Њϭ 180Њ ϭ ␲ rad ϭ ␲ rad
Portanto, 308 5 rad. 6 66

6

26 Capítulo 2

b) 3␲ rad em graus Fique atento!
4 É mais simples responder à pergunta
grau radiano “Qual é o comprimento de um arco de
2 radianos em uma circunferência de
180 ␲ ⇒ 180 3 ⇒ 180 4 ⇒ 4x 540 ⇒ x = 135Њ raio 10 cm?” do que à pergunta “Qual é
x 3␲ x x 3 o comprimento de um arco de 308 em
4 uma circunferência de raio 10 cm?”.
4
Logo, 3␲ rad ϭ 135Њ .
4 Fique atento!
Como 2p rad 5 3608, os valores
c) 1 rad em graus que aparecem arredondados são:

180 ϭ ␲ ⇒ ␲x ϭ 180 ⇒ x ϭ 180 Ӎ 180 Ӎ 57,3Њ ou 57Њ18 ( )1 rad 5180 Њ
x1 ␲ 3,14  57817’44,8”
␲
Portanto, 1 rad  57818.
18 5 ␲ rad  0,01745 rad
d) 1 grau em radianos 180

180 ϭ ␲ ⇒ 180x ϭ ␲ ⇒ x ϭ ␲ Ӎ 3,14 Ӎ 0,017 rad
1x 180 180
Fique atento!
Logo, 18  0,017 rad.

Exemplos de conversão sem usar regra de três: • ␲ ␲ ϭ45Њ ; ␲
ϭ30Њ ; 4 ϭ60Њ
␲ 11␲ 7␲ 5 7  458 5 3158
6 6 4 6 3

• 3308 5 11  308 5 11  5 • • Quando a unidade não for

• 2258 5 5  458 5 5  ␲ 5 5␲ • 4␲ 5 4  608 5 2408 indicada, subentende-se que é o
• 4 3 radiano.
7␲ 4
5 7  308 5 2108 Por exemplo: 7␲ significa 7␲ rad.
66

6

Exercício resolvido

1. Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 centímetros de comprimento contido em uma circunfe-

rência de raio 8 centímetros.

Resolução:

, 5 20 cm; r 5 8 cm

a 5 ᐉ 5 20 5 2,5 rad ou 8 cm ϭ 20 cm ⇒ x 5 20 5 2,5 rad
r8 1 rad x rad 8

Exercícios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!

Veja a resposta do exercício 1 na seção Respostas. 4. Qual é o comprimento de um arco corresponden-

1. Converta em radianos: te a um ângulo central de 458 contido em uma
circunferência de raio 2 cm?  1,57 cm
a) 608 c) 2108 e) 1208 g) 2708
h) 1358
b) 458 d) 3008 f ) 1508 Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

2. Expresse em graus no caderno: 5. Determine o ângulo, em radianos, em cada item.

␲ d) 5␲ rad 1508 a) b) ഞ ϭ 4␲ cm
a) 6 rad 308 6 2␲ rad
10 cm 1,2 rad 3
␲ e) 5␲ rad 2258 ഞ ϭ 12 cm
b) rad 908 4 ␣ ␣

2

␲ f) 4␲ rad 2408 6 cm
c) rad 458 3
6. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu
4
movimento, suas posições extremas formam um
3. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central ângulo de 608. Qual é o comprimento do arco que
a extremidade do pêndulo descreve?  15,7 cm
correspondente a um arco de comprimento 15 cm
contido em uma circunferência de raio 3 cm. 5 rad

Conceitos trigonométricos básicos 27

Stonehenge Voc• sabia?
O solstício é o momento em
Há tempos, as misteriosas ruínas de Stonehenge intrigam os estudiosos. que a Terra recebe maior
Não se sabe ao certo como e para que Stonehenge foi construído. Há quem intensidade de luz solar em
defenda a tese de que o monumento foi erguido como uma espécie de com- um dos hemisférios em razão
putador capaz de prever eclipses e outros fenômenos celestes. Há quem de sua inclinação de 23,58 em
acredite tratar-se de vestígios de um grande templo religioso. relação ao eixo de translação
(movimento da Terra em
Stonehenge está a cerca de 15 quilômetros ao norte de Salisbury, na In- torno do Sol). Normalmente,
glaterra. Vista de cima, a parte mais famosa do complexo de Stonehenge é o dia e a noite não têm
formada por dois círculos concêntricos de grandes blocos de pedra, o maior a mesma duração. Nos
com 32 metros de diâmetro. As pedras chegam a ter cinco metros de altura solstícios, essa diferença
e a pesar quase cinquenta toneladas. Na fotografia de abertura do capítulo é a maior possível.
veja que as pedras do círculo maior sustentam pedras transversais. Suas for- Os solstícios ocorrem em duas
mações incríveis permitem representar o solstício do verão no eixo da entra- datas do ano: em 21 de junho
da, uma vez que a orientação do monumento está voltada para o nascimen- e 21 de dezembro. Ambos os
to do Sol. Apesar das controvérsias, a maior parte dos historiadores acredita solstícios marcam as entradas
que o Stonehenge era usado como uma calculadora de pedra, um verdadei- do inverno e do verão,
ro computador megalítico (referindo-se ao fato de ser feito de pedras brutas dependendo do hemisfério.
extremamente pesadas) com o objetivo de prever o nascimento do Sol e da No hemisfério norte, o solstício
Lua no solstício e no equinócio. É provável que construtores do Stonehenge de inverno (noite mais longa
conhecessem o número de dias que compõem o ano (360 dias ou aproxima- do ano) ocorre em 21 de
ções dele), assim como o início e término das estações do ano. dezembro, enquanto o solstício
de verão (dia mais longo do
Observa-se, na fotografia abaixo, que os círculos concêntricos possuem ano) ocorre em 21 de junho.
um alto grau de exatidão, se considerarmos que a construção do monumen- De maneira inversa, no
to teve início em 3500 a.C. e, depois de três fases de obra, foi concluída por hemisfério sul o solstício de
volta de 1100 a.C. Atualmente, relaciona-se Stonehenge à existência do po- inverno ocorre no dia
voado Durrington, estabelecido naquelas planícies no mesmo período. Acre- 21 de junho, e o solstício
dita-se que o número p já era conhecido por aquele povo, pelo menos de de verão ocorre em 21 de
forma aproximada. dezembro. Chamamos
de equinócio o momento em
que a luz solar incide sobre o
globo terrestre de igual forma,
nos dois hemisférios, fazendo
com que o dia e a noite
tenham igual duração.

Last Refuge/Alamy/Latinstock

Vista aérea do monumento Stonehenge, Inglaterra. Fotografia de 2010.
28 Capítulo 2

3 Circunferência orientada e circunferência
trigonométrica

Como já estudamos, as medidas de arcos e ângulos variam de 08 ou 0 rad (arco nulo) até 3608 ou 2p rad
(arco de uma volta); portanto, não fazia sentido falar em, por exemplo, um arco de 7208 ou um ângulo de 7208.

Porém, estudos realizados em Mecânica, com os movimentos periódicos (como o movimento de um
pêndulo ou o movimento de uma mola pulsando), mostraram que era necessária uma ampliação da noção
de seno, de cosseno e de tangente de um ângulo para ângulos maiores que 3608 e para ângulos negativos.

Circunferência orientada

A cada número real associamos um percurso em uma circunferência. No caso de uma circunferência de
raio igual a 1, a medida desse percurso é o mesmo número real escolhido.

Se o número real for positivo, o percurso será feito no sentido anti-horário e, se o número real for negativo,
o percurso será feito no sentido horário.

Vejamos alguns exemplos: sentido anti-horário (+) Fique atento!
O
sentido horário (–) • Como vimos nas páginas 24 e 25,

o comprimento de um arco de
circunferência (,) depende do raio
da circunferência (r), mas a medida
angular (a) não. Sabendo que , 5 a ? r,
quando r 5 1 ⇒ , 5 a.

• Para a medida angular a usam-se

geralmente unidades como o “grau” e
o “radiano”.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora B

a) O número real dado é ␲ . A esse número associamos o percurso no sentido anti-
A2
O -horário representado, em uma circunferência de raio igual a 1, pelo arco )AB de com-

primento ␲ .
2

b) O número real dado é Ϫ ␲ . A esse número associamos o percurso no sentido
2
OA

horário representado, em uma circunferência de raio igual a 1, pelo arco )AB de

comprimento ␲ .
B2

Agora, podemos apresentar a seguinte definição:

Circunferência orientada é toda circunferência na qual convencionamos
como positivo um dos sentidos do percurso (horário ou anti-horário).

Neste livro, convencionamos como positivo o sentido anti-horário.

Exercício

7. No caderno, esboce o desenho para representar, em uma circunferência de raio igual a 2, os arcos de compri-

mentos iguais a:

a) p b) 2p c) Ϫ 3␲ d) ␲
2 4

Veja a resolução deste exercício no Manual do Professor.

Conceitos trigonométricos básicos 29

Circunferência trigonométrica

Denomina-se circunferência trigonométrica a circunferência orientada, de centro na
origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de

comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário.

À circunferência trigonométrica de centro O vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos arcos (conforme figura abaixo).

y

B

ϩ

Para refletir

AЈ Ax Os pontos B, A e B correspondem

Ϫ1 O 1 1 origem a quais pares ordenados?
dos B(0, 1); A(1, 0) e B(0, 1)

arcos (1, 0)

Ϫ

BЈ

Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes chamadas

quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A, no sentido positivo.

y y
␲

90Њ B 2B

2º 1º 2º 1º Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
AЈ quadrante quadrante x quadrante quadrante x
180Њ 0Њ A AЈ 0 A

3º O 4º 360Њ ␲O 2␲
3º 4º
quadrante quadrante
quadrante quadrante

270Њ BЈ 3␲ BЈ
2

Observações:
1a) Os pontos A, B, A e B são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes.

2a) Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos 1  x  1 e 1  y  1.

3a) Analisando os arcos que medem de 08 a 3608 (ou de 0 a 2p rad), podemos afirmar, por exemplo, que:

• são do primeiro quadrante os arcos de medidas 308 5 ␲ , 458 5 ␲ , 608 5 ␲ e todos os de medida entre
6 4 3
( )␲

08 e 908 ou 0 e ;
2
• são do segundo quadrante os arcos de medidas 1208 5 2␲ , 1508 5 5␲ e todos os de medida entre
36
( )908 e 1808 ␲
ou 2 e␲ ;

• são do terceiro quadrante os arcos de medidas 2108 5 7␲ , 2408 5 4␲ e todos os de medida entre
6 3
1808 e 2708 ou ␲ e 3␲ ;
( )2
• são do quarto quadrante os arcos de medidas 3008 5 5␲ , 3208 5 16␲ e todos os de medida entre
39
( )2708 e 3608 ou 3␲ e 2␲ .
2

30 Capítulo 2

4 Arcos côngruos (ou congruentes)

Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos dife-
rentes (por exemplo, 0 e 2p), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruentes. É conveniente notar
que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2p, que é o comprimento de cada volta.

Ilustrações técnicas: Banco de Imagens/ y yB yB Fique atento!
Arquivo da editora B Observe que na
x x circunferência
x A A trigonométrica há
A vários números
␲ ␲ reais associados
␲ Ao número 1 2p também Ao número 1 2 ? 2p está à mesma
Ao número está extremidade
3 3 de arco.
3 está associado o ponto B. associado o mesmo ponto B.
associado o ponto B.

Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, te-

ríamos o seguinte:
•␲
na primeira figura, o ponto deslocou-se ou 608 de A até B;

• 3␲
na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2p ou 3608) e mais ou 608, ou seja, des-
3
locou-se 7␲ ou 4208;
3
• na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2  2p ou 2  3608) e mais ␲ ou 608, ou seja, 13␲
33
ou 7808.

Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB

seria escrito assim:

␲ Questione os alunos sobre o
1 k ? 2p ou 608 1 k ? 3608, com k  Z que acontece quando k é
negativo. A circunferência é
3 percorrida no sentido horário.

Podemos então definir:

Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas
medidas diferem de um múltiplo de 2p rad ou 3608.

Exemplos de arcos côngruos:

a) 308 e 308 1 3608 ou ␲ e ␲ ϩ 2␲ ( )c) 608 e 608  3 ? 3608 ou ␲ e ␲ Ϫ 3 и 2␲
33
( )6 6

b) 458 e 458 1 2 ? 3608 ou ␲ e ␲ ϩ 2 и 2␲ Para refletir
Com relação ao exemplo a, podemos afirmar
( )4 4 que são côngruos: 308 e 3908 ou ␲ e 13␲ .

No último exemplo, o sinal negativo significa que as três voltas 66
completas foram dadas no sentido horário. Dizemos, nesse caso, que E com relação ao exemplo b?
608  3 ? 3608 5 1 0208 ou Ϫ 17␲ são arcos negativos.
458 e 7658 ou ␲ e 17␲ .
3 44

Fique atento!

De modo geral:

• se um arco mede a8, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão a8 1 k ? 3608, com k  Z.
• se um arco mede x radianos, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão x 1 k ? 2p ou x 1 2kp, com k  Z.
• como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos que o arco da 1a volta positiva

(entre 0 e 2p ou entre 08 e 3608), associado a um ponto da circunferência, é a primeira determinação positiva de qualquer arco

côngruo associado ao mesmo ponto.

Conceitos trigonométricos básicos 31

Exercícios resolvidos passo a passo: exercício 4

2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre
será aberto quando a seta estiver:
arcos de:
a) 458; b) 3␲ rad. a) no ponto médio en- d) em algum ponto
4 tre L e A. entre J e K.

Resolução: b) na posição B. e) na posição H.

a) expressão geral: a 1 k ? 3608 c) na posição K.
a 5 458
458 1 k ? 3608, com k  Z 1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
b) expressão geral: x 1 2kp
São dadas as informações sobre o funcionamento
x 5 3␲ rad do dispositivo de segurança e as instruções/opera-
4 ções para abrir o cofre.
3␲
4 1 2kp, com k  Z b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se
3. Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco abre o cofre.

de 1 3208, ou seja, qual é a 1a determinação positiva 2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com o
do arco de 1 3208? disco menor e o sentido a ser tomado (horário ou anti-
-horário), então podemos adicionar os valores das ope-
Resolução: rações de sentido anti-horário e subtrair o resultado do
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal valor da operação de sentido horário. E assim identificar
a posição em que a seta deve ficar. Nesse caso, estamos
que a 1 k ? 3608 5 1 3208, com k  Z. considerando o sentido horário como positivo.

Então:

1 320 360

240 3 1 3208 5 2408 1 3608 ? 3

ak Para refletir 3. Executando o que foi planejado
Qual é o significado de um Sentido anti-horário: 2␲ ϩ 3␲ ϭ 17␲
Logo, o arco pedido número não negativo? Sentido horário: 3␲ 3 4 12
mede 2408.
Um número positivo ou zero. 2
Ângulos girados: 3␲ Ϫ 17␲ ϭ ␲
Fique atento!
Neste exercício dizemos que 2408 é a 1· determinação 2 12 12
positiva de 1 3208 ou que 1 3208 foi reduzido à 1· volta.
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posição

Resolvido passo a passo ␲ radϭ15Њ no sentido horário, a partir de A, ou seja,
12

4. (Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre no ponto médio entre A e L.

tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras 4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
A, B, ..., L estão igualmente E DC Banco de Imagens/Arquivo da editora
espaçadas (o ângulo cen-
5. Ampliando o problema
tral entre duas letras vizi- F B a) Certo casal comprou um dispositivo de segurança

nhas é o mesmo) e a posi- G A idêntico ao citado na questão e determinou que o
segredo seria composto das letras iniciais do nome
ção inicial da seta, quando HL dela, dele e do filho, que são, respectivamente, L, H e
o cofre se encontra fecha- I JK L. Sendo assim, quais operações serão necessárias
do, é a indicada. para abrir o cofre? (Sabe-se que a seta parte de A.)

Para abrir o cofre, são necessárias três operações Girar 308 no sentido horário, girar mais 1208 no sentido
horário e, por fim, 1208 no sentido anti-horário.
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta
b) Desafio em equipe
está gravada), de acordo com as seguintes instru- Montem equipes encarregadas de criar segredos em
um dispositivo similar ao da questão, seguindo os
ções, a partir da posição indicada: mesmos modelos de instruções. Depois de criarem
1) 2 ␲ no sentido anti-horário. os segredos, troquem os projetos entre si e se desa-
fiem a conseguir abrir o cofre mais rapidamente. O
3 que o fizer no menor tempo será o vencedor.
2) 3 ␲ no sentido horário.

2
3) 3 ␲ no sentido anti-horário.

4

32 Capítulo 2

Exerc’cios Atividade Atividade
em dupla em equipe

8. Escreva no caderno a expressão geral dos arcos con- 11. Respondam no caderno:

gruentes a: 5␲ rad 5␲ + 2k␲, a) Convertendo 7␲ rad em graus, quanto obte-
a) 608 608 1 k ? 3608, 4 4
c) mos? 3158
com k  Z 4 com k  Z

1208 1 k ? 3608, 11␲ 11␲ + 2k␲, b) Qual é o comprimento de um arco correspon-
6 6
b) 1208 com k  Z d) rad dente a um ângulo central de 608 contido em

9. com k  Z ␲

Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de uma circunferência de raio r 5 1,5 cm? 2 cm
c) Quanto mede o menor arco não negativo côn-
extremidades nos pontos indicados, considerando
a origem em A: gruo de 2 6508? 1308

a) y d) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos

P ␲ de 14␲ ? 2␲ + 2k␲, com k  Z
x ϭ 6 ϩ2k␲, com k  Z 3 3
30Њ x
OA 12. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os

b) y engenheiros devem ter em mente o movimento

P de oscilação, que é típico de estruturas de arra-

45Њ x ␲ nha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de
OA 4
( )400 m descreve um arco de 1 Њ, a medida do
2
arco descrito por esse ponto, em metros, é:

x ϭ ϩ2k␲, com k  Z a) p.

b) 3␲ .
4

c) y c) 4␲ .
3
P

120Њ x x ϭ 2␲ ϩ2k␲, com k  Z x d) 10␲ .
O A 9

3 e) 11␲ .
10

d) y 13. História

x ␲ Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na Fran-
O Ϫ60Њ A x ϭϪ ϩ2k␲, com k  Z ça uma reforma de pesos e medidas que culminou na
adoção de uma nova unidade de medida de ângulos.
3 Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes
iguais, chamadas grados. Um grado (1 gr) é, então, a
P unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais,
e o minuto divide o grado em 100 partes, bem como
Ilustrações técnicas desta página: Banco de Imagens/Arquivo da editora 10. Encontrem a 1a determinação, ou seja, o menor o segundo divide o minuto também em 100 partes.
Tudo isso para que a unidade de medição de ângulos
valor não negativo côngruo ao arco de: ficasse em conformidade com o sistema métrico de-
cimal. A ideia não foi muito bem-sucedida, mas até
a) 7808 608 hoje encontramos na maioria das calculadoras cientí-
ficas as três unidades: grau, radiano e grado.
b) 1 1408 608 Com base no texto acima, respondam no caderno:

c) 4008 3208

d) 15␲ rad 3␲ rad a) A quantos grados equivale meia volta de circun-
2 2 ferência? E uma volta inteira? 200 grados;

e) 10␲ rad 4␲ rad 400 grados
3 3
b) Em qual quadrante termina o arco trigonométri-

co de 250 gr? No 3o quadrante.

f ) 9␲ rad ␲ c) A quantos grados equivale 1 rad? 200 grados
rad ␲

22 d) A quantos graus equivale 1 gr? 0,98

Conceitos trigonométricos básicos 33

CAPÍTULOCAPÍTULO
FuCnoçnõjuenstos
curtoicurto/iStock.com/Getty Images
031 trniguomnéormicéotsricas NASA/Corbis/Latinstock

01_03_2CAMat18A_f001: NOVA Foto de relógio de
pêndulo bem bonito, pois entrará na abertura do

capítulo. (página 33).

Relógio de pêndulo. O movimento periódico e
oscilatório de um pêndulo pode ser descrito por meio
de uma função trigonométrica. Esse tipo de função
representa modelos aproximados, porém muito
importantes, dos fenômenos estudados.

34

Usaremos nesta coleção a notação tan x no lugar de tg x, cot x no lugar de cotg x e csc x no lugar de cossec x, pois seguiremos as normas da
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), ISO 80 000-2, válidas a partir de 17/8/2012, em que, na parte de Grandezas e unidades (Parte 2:
Sinais matemáticos e símbolos a serem utilizados nas Ciências Naturais e Tecnologia, p. 17), consta que convém que tg x não seja utilizado.

1 A ideia de seno, cosseno e tangente

de um número real

Provavelmente, no 1o ano do Ensino Médio, foram definidos os valores sen a, cos a e tan a apenas para

p
ângulos agudos, ou seja, para 0  a  , com a indicando a medida do ângulo em radianos.

2
Para esses valores de a foram demonstradas duas importantes relações: Fique atento!

sen2 a 1 cos2 a 5 1 e tan ␣ ϭ sen ␣ Você poderá encontrar em testes,
cos ␣ livros traduzidos, questões de
vestibular e em outras fontes de

No primeiro capítulo deste volume, os valores de sen a, cos a e consulta a notação tg x referindo-se
␲ à tangente de x.

tan a foram estendidos para a 5 0 (ângulo nulo), ␣ ϭ (ângulo reto) e
p2
 a  p (ângulos obtusos) para possibilitar a resolução de triângulos quaisquer, mas sem a justifica-
2

tiva desses valores.

Neste capítulo, vamos considerar as funções cos t e sen t definidas para todo número real t, ou seja,

definir cosseno e seno de um nœmero, em vez de um ângulo; o que é obtido por meio de uma função f cujo

domínio é o conjunto R dos números reais e cujo contradomínio é a circunferência trigonométrica, já de-

finida no capítulo anterior.

Nesse caso, para cada número real t associamos um único ponto P(t) da circunferência trigonométrica,

assim determinado:

• se t 5 0, então o ponto P coincide com A(1, 0): y2 ␲
1 2
␲
O 4
21
–2 A ; P(1, 0) x

␲
24

␲
22

• se t . 0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t,

no sentido positivo (como já definimos, sentido anti-horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t).

Exemplos:

a) y 2 b) y 2

␲ ␲

2 P2

P 1 1␲

␲ 4

4 x

x

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora OA O ponto P está associado OA O ponto P está associado
ao número real ␲ . ao número real ␲ .
␲ ␲
4 2
21 2 4 21 2 4

␲ ␲
22 22

–2 –2

c) y 2

␲

2

P 1␲

4

x

O A Ao número 1 associamos
21 ␲ o ponto P.

24

␲
22

–2

Funções trigonométricas 35

• se t  0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no

sentido negativo (como já definimos, sentido horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t).

a) y b) y
2 2

␲ ␲

2 2

1␲ 1␲

4 4

x x

OA O ponto P está associado OA Ao número real Ϫ ␲
2
P␲ ␲

21 2 4 21 2 4

␲ ao número real Ϫ ␲ . ␲
22 4
2 2 associamos o ponto P.
–2
–2

c) y 2

␲

2

1␲

4

x

OA

␲
24
P 21 ␲ O número real 21 está
22 associado ao ponto P.

–2

Assim:

Para cada número real t fica associado um ponto P, chamado de imagem de t
na circunferência trigonométrica e que representa, também, a extremidade do

arco trigonométrico AP , cuja medida é t radianos.

R Com essa função, definimos cosseno e seno de um núme-
t ro real t: dado t  R, seja P(t) 5 (x, y), temos, por definição,
cos t 5 x e sen t 5 y.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora P(cos t, sen t) y

␲
2

sen t 1 sen t 5 ordenada de P
0 f␲ t cos t 5 abscissa de P

→ cos t O 0 ϵ 2␲ x tan t 5 sen t (com sen t Þ 0)
(1, 0) cos t

3␲
2

Observações:

1a) O eixo das abscissas é também chamado eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas é também cha-
mado eixo dos senos.

2a) Quando 0  t  p, observamos que cos t 5 cos a e sen t 5 sen a, em que a é o ângulo que tem o
vértice na origem O e cujos lados são o semieixo positivo das abscissas e a semirreta que sai da
origem e passa pelo ponto P. Assim, temos a conexão entre cosseno e seno de um número real e
cosseno e seno de um ângulo.

36 Capítulo 3

2 Valores notáveis do seno e do cosseno

Observe nas figuras a seguir os pontos A(1, 0), B(0, 1), A9(21, 0) e Para refletir
B9(0, 21). Lembrando que a abscissa do ponto P é o cosseno e a ordena- Por que o nome “valores notáveis”?
da é o seno, temos:
Notável: digno de ser notado, de atenção.

y

x 5 0 (0)

AϵP x sen 0 5 0

O

cos 0 5 1

y ␲ y x ϭ 3␲ (270Њ)
BϵP x ϭ (90Њ) 2
Ax
1 2 O sen 3␲ ϭ Ϫ1
Ax ␲ Ϫ1 2
sen ϭ 1
O 2 BЈϵ P cos 3␲ ϭ 0
2
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora ␲
cos ϭ 0

2

AЈϵ P y y

x 5 p (180) x 5 2p (360)

A x sen p 5 0 A ϵ P x sen 2p 5 0

O O

cos p 5 21 cos 2p 5 1

Veja a tabela com os valores notáveis do seno e do cosseno:

x 0 ␲ ␲ ␲ ␲ p (180) 3␲ (270) 2p (360)
(30) (45) (60) (90)
6 43 2 2

sen x 0 1 2 3 1 0 21 0

222

cos x 1 3 2 1 0 21 0 1

222

Funções trigonométricas 37

3 Redução ao 1o quadrante

Sabendo os valores da tabela da página anterior e usando a simetria dos pontos da circunferência, po-
demos obter valores de seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes.

Observe como usar a simetria nas figuras a seguir.

Arcos no 2o quadrante

2␲ (120Њ) y␲ y Ilustrações técnicas desta página:
3 3 (60Њ) 135Њ 45Њ Banco de imagens/Arquivo da editora

60Њ 60Њ x x
O O

Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 2o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.

sen (p 2 x) 5 sen x
cos (p 2 x) 5 2cos x

Arcos no 3o quadrante

yy

30Њ ␲ ␲
O 6 (30Њ) 6

x x
O
30Њ
7␲
7␲ (210Њ) 6
6

Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 3o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.

sen (p 1 x) 5 2sen x
cos (p 1 x) 5 2cos x

Arcos no 4o quadrante y
60Њ
y

␲ (45Њ)
4

45Њ x x
O 45Њ O

7␲ (315Њ) 300Њ
4

Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 4o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.

sen (2p 2 x) 5 2sen x
cos (2p 2 x) 5 cos x
Como o arco 2p coincide com o arco 0, então, temos que:
sen (2p 2 x) 5 sen (0 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x
cos (2p 2 x) 5 cos (0 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x

38 Capítulo 3

Arcos maiores do que 360 (fora da 1a volta)

Ilustrações técnicas desta página: Banco de y y Fique atento!
imagens/Arquivo da editora Quando o ponto da circunferência
390Њ 750Њ final do arco iniciado em (1, 0) é o
(côngruo (côngruo mesmo para dois arcos diferentes,
por exemplo 0 e 2p, chamamos
a 30Њ) a 30Њ) esses arcos de arcos côngruos, ou
x congruentes.
x
O O

Para determinar o seno ou o cosseno de um arco fora da 1a volta, basta considerar seu côngruo na 1a volta.

Exercício resolvido

1. Calcule o valor de:

a) sen 2␲ b) cos 135 c) sen 210 d) cos 300 Fique atento!
3
Perceba os sinais de seno e

Resolução: cosseno em cada quadrante:

a) sen 2␲ ϭ sen ␲ ϭ 3 c) sen 210Њ ϭ Ϫsen 30Њ ϭ Ϫ1 seno cosseno
3 32 2
ϩϩ Ϫϩ
Ϫ2 1 ϪϪ Ϫϩ
2 2
b) cos 135Њ ϭ Ϫcos 45Њ ϭ d) cos 300Њ ϭ cos 60Њ ϭ

Exercícios Atividade Atividade ATENÇÃO!
em dupla em equipe
Não escreva
no seu livro!

1. Em que quadrante temos simultaneamente: 6. Use os valores notáveis do seno e calcule:

a) sen a  0 e cos a  0? 3o quadrante a) sen 37␲ 1 d) sen 19␲ 2
b) sen a . 0 e cos a . 0? 1o quadrante 6 2 4 2
c) sen a  0 e cos a . 0? 4o quadrante
b) sen (2225) 2 e) sen 630 21
2. A que quadrante pode pertencer a se: c) sen 6p 0 2

a) sen a 5 − 1 ? 3o ou 4o c) cos a 5 2 ? 1o ou 4o ( )f)sen ␲ −3
45 Ϫ 2
3

3 2o ou 3o 5 ? 1o ou 2o 7. Calculem os possíveis valores reais de x em:
3 3 Veja as respostas na seção Respostas.
d)
b) cos a 5 − ? sen a 5 a) sen x 5 21 c) sen x 5 Ϫ 1
2
3. Determine cos x sabendo que ␲  x  p e
2 b) sen x 5 2 d) sen x 5 0
cos x ϭϪ 4 sen x 5 3. (Lembre-se de que sen2 x 1 cos2 x5 1.) 2
5
5
4. Use os valores notáveis do seno para calcular pela 8. Calcule usando arcos côngruos:

redução ao 1‚ quadrante:

a) sen 5␲ 1 b) sen 4␲ Ϫ 3 c) sen 330 Ϫ 1 a) cos 9␲ 2 e) cos 25␲ 3
62 3 2 2 42 6 2

5. Use os valores notáveis do cosseno e calcule fazen- b) cos (2330) 3 f) cos [Ϫ 15␲ ] 2
4 2
do redução ao 1‚ quadrante: 2

a) cos 5␲ Ϫ 3 c) cos 2␲ Ϫ1 e) cos 5␲ Ϫ 2 c) cos 9␲ 0 g) cos 11p 21
6 2 3 2 4 2 2

b) cos 315 2 d) cos 330 3 f ) cos 240 Ϫ 1 1 h) cos 570 Ϫ 3

22 2 d) cos 1 140 2 2

Funções trigonométricas 39

4 A ideia geométrica de tangente

Dado um arco AP de medida x na circunferência trigonométrica, definimos tan-
gente de x como o valor obtido assim:

tan x ϭ sen x , para cos x Þ 0
cos x

Geometricamente, o cosseno de x é a abscissa de P, e o seno de x é a ordenada de P.

Vejamos agora o significado geométrico de tangente de x.
Para isso, vamos considerar na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto A,
com a mesma orientação do eixo y.
Observe as figuras com P em cada um dos quadrantes:

yt yt

B B
PT T

AЈ x R O x
O RA AЈ A

P
BЈ BЈ

y t yt Ilustrações técnicas desta página:
B B Banco de imagens/Arquivo da editora
P x
A O Rx
AЈ R O T AЈ A

BЈ PT
BЈ

Para refletir ORB P ≡ OBAT (reto)
Justifique que nORP , nOAT. POB R ≡ TOB R (comuns ou opostos pelo vértice)

Em todos os casos, nORP e nOAT são semelhantes. Dessa semelhança, vem:

PR ϭ TA ou sen x ϭ TA
OR OA cos x 1

Como sen x ϭ tan x (com cos x Þ 0) e tan x ϭ TA ϭ TA ϭ TA, então temos tan x 5 TA, ou seja,
cos x OA 1

geometricamente a tan x é TA, medida algébrica de Tt A.

Observação: Medida algébrica de Tt A significa que ela pode ser positiva, negativa ou nula.
Se T é o encontro das retas O$ P% e t, no caso de essas retas serem paralelas, não existe TA, por isso também

não existe tan x.

Por exemplo, tan ␲ e tan 3␲ não existem perceba que cos ␲ ϭ 0 e cos 3␲ ϭ 0 .
2 2 2 2

40 Capítulo 3

Valores notáveis da tangente

yt y t
B PϵB
␲
AЈ x x50 AЈ xϭ
O PϵA tan 0 5 0 O
2
BЈ
Ax

Não é definida
a tan ␲ .
2

BЈ

Ilustrações técnicas desta página: yt yt
Banco de imagens/Arquivo da editora B
B
x5p
3␲
Ax xϭ

O tan p 5 0 2

P ϵ AЈ BЈ AЈ Ax
O
Não é definida
a tan 3␲ .
2

P ϵ BЈ

y t
B
x 5 2p
AЈ
O x tan 2p 5 0
PϵA

BЈ

Temos, então, a tabela com os valores notáveis da tangente:

x 0 ␲ (30) ␲ (45) ␲ (60) ␲ (90) p (180) 3␲ (270) 2p (360)

643 2 2

tan x 0 3 1 3 não é 0 não é 0
3 definida definida

Para o cálculo dos valores das tangentes de ângulos no 2o, 3o e 4o quadrantes, procedemos exatamente
da mesma maneira que fizemos com senos e cossenos: sabendo o sinal da tangente em cada quadrante,
basta reduzir cada arco desejado ao 1o quadrante para saber o valor da tangente desse arco.

Funções trigonométricas 41

Acompanhe as simetrias nas figuras abaixo.

yt yt
3␲ ␲
44 ␲

1 Fique atento! 6 3 Fique atento!

x Comparação de um arco 3 Comparação de um arco
do 2o quadrante com um x do 3o quadrante com
O correspondente do O um correspondente do

Ϫ1 1o quadrante. 7␲ 1o quadrante.
6 tan (p 1 x) 5 tan x
tan (p 2 x) 5 2tan x

tan 3␲ ϭ Ϫ tan ␲ ϭ Ϫ1 tan 7␲ ϭ tan ␲ ϭ 3
44 6 63

t

y␲ 3 Fique atento!
3 x Comparação de um arco
do 4o quadrante com
O Ϫ3
um correspondente do
5␲ 1o quadrante.
3 tan (2p 2 x) 5 2tan x

Observe também que
tan (2x) 5 2tan x.

tan 5␲ ϭ Ϫ tan ␲ ϭ Ϫ 3
33

Como a reta t é orientada “para cima”, a tangente é positiva quando P é do 1o‚ ou do 3o‚ quadrante; é negativa
quando P é do 2o‚ ou do 4o‚ quadrante. Assim, sabemos o sinal da tangente em qualquer quadrante.

y Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Ϫϩ x
ϩϪ

Exerc’cios

9. Calcule o valor de (use os valores notáveis, redução 10. Represente a expressão geral de x para que se tenha

ao 1‚ quadrante e arcos côngruos): tan x 5 1. ␲
x ʦ R | x ϭ ϩ k␲, com k ʦ Z
4

a) tan 180 0 e) tan 45 1 i) tan 3␲ 21 11. Determine x nos seguintes casos, com x  R:
4
Veja as respostas na seção Respostas.
b) tan 0 0 f ) tan 60 3 j) tan 4␲ 3
3 a) tan x 5 3

c) tan 30 3 g) tan 210 3 ( )k) tan Ϫ 5␲ 3 b) tan x 5 21
63
33

d) tan 90 h) tan 300 Ϫ 3 l) tan 5␲ Ϫ 3 12. Determine o valor de tan 1 935. 21
Não é definida. 63

42 Capítulo 3

5 Estudo da fun•‹o seno

Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:

Banco de imagens/Arquivo da editora R R Fique atento!
y ϭ sen x Im Para cada valor real
de x existe sempre um
x1 sen x1 único valor real para
sen x.
␲ 2
4 2

Assim, definimos a função trigonométrica seno como a função real de
variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja,

f: R → R
x → f(x) 5 sen x

Já estudamos o processo que permite associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) para
posterior obtenção do valor sen x. Estudamos também como obter os valores de sen x para quaisquer valores
x de medidas de ângulos (ou arcos). Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.

Gráfico da função seno

Para construir o gráfico da função seno, primeiro elaboramos uma tabela com valores de x da 1a volta
positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados.

x 0 ␲ ␲ ␲ ␲ 2␲ 3␲ 5␲ p
6432346

sen x 0 1 23 1 321 0

222 222

sen x 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0

x 7␲ 5␲ 4␲ 3␲ 5␲ 7␲ 11␲ 2p
sen x 6 4 3 2 34 6 0
sen x 0
Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 21 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1
2 2 2 2
22
20,5 20,7 20,9
21 20,9 20,7 20,5

Funções trigonométricas 43

Veja o gráfico inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R: Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

y

1 7␲ 5␲ 4␲ 3␲ 5␲ 7␲ 11␲ x
0,9 64 3 2 3 4 6 2␲
0,7
0,5 ␲␲ ␲ ␲ 2␲ 3␲ 5␲ ␲
64 3
0 2 3 46

Ϫ0,5
Ϫ0,7
Ϫ0,9

Ϫ1

Como a função f(x) 5 sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva
pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico da função
f: R → R, definida por f(x) 5 sen x, é a curva chamada senoide, que tem o seguinte aspecto:

y

Ϫ2␲ 1 3␲ x
␲ 2 2␲ 4␲
Ϫ
Ϫ4␲ Ϫ 3␲ Ϫ␲ 2 Fique atento!
2 O gráfico de f(x) 5 sen x é simétrico
0␲␲ em relação à origem.
2

Ϫ1

Periodicidade da fun•‹o seno

y
1

x

Ϫ2␲ 0 2␲ 4␲

período (p) Ϫ1 período (p)
período (p)

Observando o gráfico da função seno, vemos que a função Fique atento!
repete periodicamente seus valores nos intervalos …, [22p, 0], Uma função f: R → R chama-se periódica quando
[0, 2p], [2p, 4p], … Daí dizermos que a função seno é periódica. existe um número p Þ 0 tal que f(t 1 p) 5 f(t) para
todo t  R. Quando isso ocorre temos f(t 1 kp) 5 f(t)
Veja no gráfico que: para todo t  R e todo k  Z. O menor número p . 0
tal que f(t 1 p) 5 f(t) para todo t  R chama-se
sen x 5 sen (x 1 2p) 5 sen (x 1 4p) 5 … para todo x  R período da função f.

Dizemos então que o período da função seno é 2p e indi-

camos assim: p 5 2p.

Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para que ele

comece a se repetir.

44 Capítulo 3

Sinal da função seno

Observando o sinal da função seno, vemos que a função é positiva para valores do 1o e 2o quadrantes
e negativa para valores do 3o e 4o quadrantes.

Banco de imagens/Arquivo da editora y Para refletir
␲
2 Quais são os valores de

sen x para

ϩ ϩ ␲ 3␲ e
␲ 0x x 5 0, x 5 2 , x 5 p, x 5 2

seus arcos côngruos?

2␲ x 5 0 1 2kp ⇒ sen x 5 0;
ϪϪ ␲

3␲ x ϭ ϩ 2k␲ ⇒ sen x ϭ 1;
2 2

x 5 p 1 2kp ⇒ sen x 5 0;

x ϭ 3␲ ϩ 2k␲ ⇒ sen x ϭ Ϫ1
2

Observações sobre a função seno:

1a) Função seno é a função de R em R definida por f(x) 5 sen x. Fique atento!
2a) A função seno tem D 5 R e Im 5 [21, 1]. x é a medida do arco
3a) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva. em radianos.
4a) A função seno é função ímpar, isto é, sen (2x) 5 2sen x, para todo x real.
5a) A função seno é periódica de período p 5 2p.
6a) • sen x 5 0, para x 5 kp, com k  Z.

␲
• sen x . 0, para x do 1o e 2o quadrantes e para x 5 2 1 2kp, com k  Z.
• sen x  0, para x do 3o e 4o quadrantes e para x 5 3␲ 1 2kp, com k  Z.

2

Exercício resolvido

2. Determine os valores reais que m pode assumir para que exista um número real x que satisfaça a igualda-

de sen x 5 2m 2 3.
Resolução:
Condição: 21 < sen x < 1 ⇒ 21 < 2m 2 3 < 1
Resolvendo a dupla desigualdade, temos:
21 < 2m 2 3 < 1 ⇒ 21 1 3 < 2m < 1 1 3 ⇒ 2 < 2m < 4 ⇒ 1 < m < 2

Logo, os valores de m são dados pelo conjunto {m  R | 1 < m < 2}.

Exercício

13. Determine os valores reais de m para os quais as seguintes equações tenham solução:

a) sen x 5 2m 2 7 {m  R | 3 < m < 4} { }c) sen x 5 m2 2 1 m ʦ R | Ϫ 2 ഛ m ഛ 2

b) sen x 5 3m 2 2 m ʦ R | 1 ഛ m ഛ 1 d) 4m 1 sen x 5 1 m ʦ R | 0 ഛ m ഛ 1
 3   
2 

Funções trigonométricas 45

6 Estudo da função cosseno

Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de x radianos:

Banco de imagens/Arquivo da editora R R
y ϭ cos x Im

x1 cos x1 Fique atento!

Para cada valor real de x

existe sempre um único

␲ 0 valor real para cos x.
2

Assim, definimos a função trigonométrica cosseno como
a função real de variáveis reais que associa a cada número real
x o valor real cos x, ou seja:

f: R → R
x → f(x) 5 cos x

Já estudamos o processo que permite associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) para
posterior obtenção do valor cos x. Estudamos também como obter os valores cos x para quaisquer valores x
de medidas de ângulos (ou arcos). Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.

Gráfico da função cosseno

Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 cos x, inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R.
Alguns valores de cos x serão aproximados.

x0 ␲␲␲ ␲ 2␲ 3␲ 5␲ p
643 2346

cos x 1 321 0 Ϫ1 2 3 21
222 Ϫ Ϫ

0,9 0,7 0,5 22 2

cos x 1 0 20,5 20,7 20,9 21

x 7␲ 5␲ 4␲ 3␲ 5␲ 7␲ 11p 2p
6432 346

cos x 3 2 1 0 1 231
Ϫ Ϫ Ϫ

22 2 222

cos x 20,9 20,7 20,5 0 0,5 0,7 0,9 1

46 Capítulo 3

Veja o gráfico inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R.

Ilustrações técnicas desta página: y
Banco de imagens/Arquivo da editora
1
0,9

0,7

0,5

2␲ 3␲ 5␲ 7␲ 5␲ 4␲

346 ␲ 643 x

0 ␲␲␲ ␲ 3␲ 5␲ 7␲ 11␲ 2␲
643 2 2 346

Ϫ0,5
Ϫ0,7
Ϫ0,9

Ϫ1

Como a função f(x) 5 cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva
pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico da função
f: R → R, definida por f(x) 5 cos x, é a curva chamada cossenoide, que tem o seguinte aspecto:

y Fique
1 atento!
O gráfico de
Ϫ3␲ Ϫ␲ ␲ 3␲ x f(x) 5 cos x é
2 2 2 2 4␲ simétrico em
relação ao
Ϫ4␲ Ϫ2␲ Ϫ␲ 0 ␲ 2␲ eixo y.
Ϫ1

Observações sobre a função cosseno:

␲
1a) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada unidade para a direita. Observe na

2␲
senoide da página 43 que, se colocarmos o eixo y no ponto de abscissa x 5 , teremos exatamente o

2
gráfico da cossenoide. Isso faz com que a maioria dos aspectos relevantes da função cosseno seja a
mesma da função seno.
2a) O domínio é o mesmo: f: R → R tal que f(x) 5 cos x tem D 5 R.
3a) A imagem é a mesma: f: R → R tal que f(x) 5 cos x tem Im 5 [21, 1].
4a) O período é o mesmo: a função cosseno é periódica de período p 5 2p.
5a) A função cosseno também não é nem injetiva nem sobrejetiva.

As diferenças entre a função cosseno e a função seno ficam por conta dos aspectos que dependem dos valores
␲

das imagens associados aos domínios, que transladam unidade. Por exemplo, a função seno é ímpar e a função
2

cosseno é par, pois cos (2x) 5 cos x, para todo x do D(f) 5 R.

Sinal da função cosseno y
␲
Observando o sinal da função f(x) 5 cos x, vemos que a função cosseno 2
é positiva para valores do 1o e 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e

3o quadrantes. Ϫϩ
␲ 0x

2␲

Para refletir ␲ 3␲ Ϫϩ
2 , x 5 p, x 5 2 3␲
Quais são os valores de cos x para x 5 0, x 5 e seus arcos côngruos?

␲ 3␲ 2 47
x 5 0 1 2kp → cos x 5 1; x 5 2 1 2kp → cos x 5 0; x 5 p 1 2kp → cos x 5 21; x 5 2 1 2kp → cos x 5 0

Funções trigonométricas

Exercícios
Veja as respostas dos exercícios 14, 15 e 16 na seção Respostas.
14. Determine os valores reais de m para que exista um 16. Veja como determinar os valores máximo e mínimo

número real x que satisfaça as seguintes igualdades: da função y 5 2 1 3 ? sen x.

a) cos x 5 2m 1 5 c) cos x 5 1 2 m2 Para sen x 5 21, que é o valor mínimo de sen x, te-

b) cos x 5 3m 1 4 d) cos x 1 5m 5 6 mos:

15. Considerando f e g funções de R em R tal que y 5 2 1 3(21) 5 21
Para sen x 5 1, que é o valor máximo de sen x, temos:
f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x: y5213?155
( )␲ ␲
f6 Logo, ymín. 5 21 e ymáx. 5 5.
a) calcule f(p), g(p), f ␲ Agora é com você: Determine os valores máximo e
mínimo de y em cada item:
( ) ( ) ( )3 g6 a) y 5 sen x 2 10
␲ , b) y 5 6 2 10 ? cos x
Ϫg , c) y 5 3 ? cos2 x 1 1
d) y 5 sen x 1 cos x
4

f Ϫ 3␲

( ) ( )4
e g Ϫ 3␲ ;
4

b) determine x  [0, 2p] tal que f(x) 5 g(x);
c) determine se existe x  R tal que ␲  x  p e

2
f(x) 5 g(x) (justifique sua resposta).

Senoides7 Assunto
opcional

Além das funções trigonométricas estudadas existem outras que envolvem seno e cosseno, que chama-
remos senoides. Por exemplo, as funções f e g tal que:

a) f(x) 5 2 1 cos x, com x  R. b) g(x) 5 sen 2x, com x  R.

As senoides e os fenômenos periódicos

Os movimentos das marés, da radiação eletromagnética, da luz visível, dos pêndulos, das molas, são

fenômenos físicos periódicos.

As funções trigonométricas, principalmente as senoides, são ótimas para descrever aproximadamente

tais fenômenos, uma vez que são funções periódicas. Mesmo que sejam modelos aproximados dos fenô-

menos reais, são importantes pela sua simplicidade: neles são necessá-

rios apenas 4 parâmetros para ajustar, de forma bastante razoável, uma Equa•‹o: sentença matemática que
senoide a um fenômeno periódico. apresenta o sinal de igualdade (5) e
uma ou mais incógnitas que represen-
Essa relação dos fenômenos periódicos com as senoides se deve ao tam números desconhecidos.

fato de que, quando um ponto teórico P(x, y) percorre a circunferência PЉ eixo dos senos Banco de imagens/Arquivo da editora
trigonométrica, ele está descrevendo um fenômeno periódico. Assim, P
quando se projeta o ponto P no eixo horizontal (abscissas), tem-se um

movimento de equação x 5 cos a e, quando se projeta o ponto P no eixo dos
eixo vertical (ordenadas), tem-se um movimento de equação y 5 sen a. ␣ cossenos

Os parâmetros de ajuste, descritos abaixo, servem apenas para adaptar

os valores aos fenômenos reais.

Dessa forma, já se demonstrou que é possível associar a qualquer mo-

vimento periódico uma função seno do tipo f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou PЈ

f(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d), cuja imagem é dada por [a 2 |b|, a 1 |b|] e cujo Fique atento!
2␲ Na seção Matemática e tecnologia
você encontrará a indicação de um
período é dado por c . Na descrição dos fenômenos periódicos, em geral software com o qual você poderá
visualizar as propriedades dessa
se opta por valores b e c positivos, de forma que a imagem da senoide função.
2␲

nesses casos passa a ser [a 2 b; a 1 b], e o período fica sendo c .

48 Capítulo 3