6 O mŽtodo binomial Assunto
opcional
O método do produto de probabilidades é usado, por exemplo, quando se quer saber qual é a probabi-
lidade de, em uma família, todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas. Se um casal planejou
ter 4 filhos, a probabilidade de que todos sejam meninos é:
1 и 1 и 1 и 1 ϭ 1
2 2 2 2 16
Quando há mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. e não
se especifica a ordem de ocorrência, podemos usar o método binomial. Para isso, vamos inicialmente
retomar as potências do binômio (a 1 b)n, conhecidas como binômio de Newton, que estudamos no ca-
pítulo anterior:
(a 1 b)1 5 1a 1 1b
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 5 1a2 1 2ab 1 1b2
(a 1 b)3 5 (a 1 b)2(a 1 b) 5 1a3 1 3a2b 1 3ab2 1 1b3 1
(a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b) 5 1a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 1b4 11
(a 1 b)5 5 (a 1 b)4(a 1 b) 5 1a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 1b5 121
1331
Os coeficientes são os elementos do triângulo de Pascal, conhecidos como 14641
números binomiais: 5 10 10 5
0 1 ... 1
0
1 1
0 1
que pode ser escrito assim: 2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
1 2 3 4
0
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
...
em que, como já sabemos:
Cn, k 5 n ϭ n! ou n ϭ An, k 5 Cn, k
k k!(n Ϫ k)! k k!
é o número total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja, é o número de subconjuntos de k ele-
mentos tomados de um conjunto com n elementos.
Vejamos agora, por meio de exemplos, no que consiste o método binomial e quando podemos usá-lo.
Probabilidade 249
a) Consideremos uma família com 2 crianças. Se representamos o nascimento de 1 menino por M e o nasci-
mento de 1 menina por F, temos:
• p(M) ϭ p ϭ 1 p ϩ q ϭ 1 Para refletir
• p(F) ϭ q ϭ 2 O nascimento de meninos e de
1 meninas é considerado um evento
2 equiprovável, isto é, que tem a
mesma probabilidade de ocorrer.
• 5 hMM, MF, FM, FFj
Como experimentalmente sabemos que cada nascimento é independente de nascimentos anteriores,
temos:
• p(MM) 5 p(M) ? p(M) 5 p ? p 5 p2 5 1
4
• p(MF) 5 p(M) ? p(F) 5 p ? q 5 1 · 1 ϭ 1
22 4
• p(FM) 5 p(F) ? p(M) 5 q ? p 5 1 · 1 ϭ 1
22 4
• p(FF) 5 p(F) ? p(F) 5 q ? q 5 q2 5 1 · 1 ϭ 1
22 4
Observe que a probabilidade total é igual a 1:
1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϭ 1
4444
Se não consideramos a ordem em que ocorreram os nascimentos, podemos escrever:
p2 1 2pq 1 q2 5 1
probabilidade probabilidade de probabilidade
de nascerem nascerem 1 menino de nascerem
2 meninos e 1 menina 2 meninas
{MM} {MF, FM} {FF}
Fique atento!
Lembre-se de que o quadrado de uma soma
é indicado por: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2.
Assim:
• a probabilidade de nascerem 2 meninos é p2, ou seja:
1 · 1 ϭ 1
2 2 4
• a probabilidade de nascerem 1 menino e 1 menina (sem considerar a ordem) é 2pq, ou seja:
2 · 1 · 1 ϭ 1
2 2 2
• a probabilidade de nascerem 2 meninas é q2, ou seja:
1 · 1 ϭ 1
22 4
Observemos que:
1p2 1 2pq 1 1q2 5 2 p2 ϩ 21 pq ϩ 22 q2 5 (p 1 q)2 5 12 5 1
0
250 Capítulo 10
b) Consideremos o nascimento de 3 crianças e as mesmas representações do exemplo anterior.
Agora, as possibilidades de nascimento são dadas por:
5 hMMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFFj
Assim:
•p(MMM) 5 p(M) ? p(M) ? p(M) 5 p ? p ? p 5 p3
•p(MMF) 5 ppq 5 p2q
•p(MFM) 5 pqp 5 p2q
•p(FMM) 5 qpp 5 p2q
•p(MFF) 5 pqq 5 pq2
•p(FMF) 5 qpq 5 pq2
•p(FFM) 5 qqp 5 pq2
•p(FFF) 5 qqq 5 q3
Se não consideramos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a MMM, MMF, MFF e FFF,
e as probabilidades correspondentes são dadas por:
•p(MMM) 5 p3 •p(MFF) 5 3pq2
•p(MMF) 5 3p2q • p(FFF) 5 q3
e escrevemos:
p3 1 3p2q 1 3pq2 1 q3 5 1 Fique atento!
Lembre-se de que o cubo de
que é a expressão do binômio (p 1 q)3 5 1.
uma soma é indicado por:
Portanto, podemos dizer que: (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3.
• a probabilidade de que as 3 crianças sejam meninos é:
p3 = p и p и p ϭ 1 и 1 и 1 ϭ 1
222 8
• a probabilidade de que nasçam 2 meninos e 1 menina é:
3p2q 5 3ppq 5 3 и 1 и 1 и 1 ϭ 3
2 2 2 8
• a probabilidade de que nasçam 1 menino e 2 meninas é:
3pq2 5 3pqq 5 3 и 1 и 1 и 1 ϭ 3
2 2 2 8
• a probabilidade de que nasçam 3 meninas é:
q3 5 qqq 5 1 и 1 и 1 ϭ 1
222 8
e notamos que:
1 ϩ 3 ϩ 3 ϩ 1 ϭ 8 ϭ 1
8 8 8 8 8
Observamos ainda que:
1p3 1 3p2q 1 3pq2 1 1q3 5 3 p3 ϩ 31 p2q ϩ 23 pq2 ϩ 33 q3
0
O método binomial pode ser usado em outros assuntos, nos quais os problemas tenham estrutura aná-
loga à dos exercícios resolvidos a seguir.
Probabilidade 251
Exercícios resolvidos
24. Um dado honesto é jogado 7 vezes. Qual é a probabi- Generalizando:
lidade de sair o número 5 quatro vezes? Uma experiência é realizada n vezes independente-
Resolução: mente:
Probabilidade de sair o 5 em cada jogada: • em cada uma das n vezes, um evento A tem pro-
p5 1
babilidade p de ocorrer.
6
• a probabilidade de A não ocorrer em cada vez é
Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada: q 5 1 2 p.
q512p5 5 • a probabilidade de A ocorrer em k das n vezes é
( )dada por: n
6 k pkqn Ϫ k .
Probabilidade de sair o 5 em 4 das 7 jogadas: 26. Uma moeda honesta é lançada 8 vezes. Qual é a
( )( ) ( ) ( ) ( )71453 7! 1 4 53 probabilidade de sair cara 5 vezes?
4 5 и и
66 4! 3! 6 6
Fique atento!
25. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de Resolução: Não sair cara
Em cada lançamento: equivale a sair coroa.
teste com 5 alternativas em cada teste. Se um aluno
“chutar” (escolher aleatoriamente) todas as respostas, •1
qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios? A probabilidade de sair cara é p 5 2 .
Resolução: • A probabilidade de não sair cara é q 5 1 2 1 ϭ 1 .
2 2
Probabilidade de acertar, em cada questão:
p5 1 Então, a probabilidade de sair cara 5 vezes é:
5 ( )( ) ( )85 3 8 и 7 и 6 и 5!
5 5! и 3 и 2 и1
Probabilidade de errar (não acertar), em cada ques- 51 1 ? 1 и 1 ϭ 7 ϭ
2 2 32 8 32
4
tão: q 5 1 2 p 5 5 5 0,21875 5 21,875%
Probabilidade de acertar 6 das 10 questões: Portanto, ao lançar-se uma moeda 8 vezes, a pro-
( )( ) ( ) ( ) ( )101644 10! 1 6и 44 babilidade de sair cara 5 vezes é de 7 (aproxima-
6 5 5 6! 4! 5 5
5 и damente 22%). 32
Exercícios
38. Biologia 41. Um dado honesto é lançado 5 vezes. Calcule a pro-
Um casal pretende ter 5 filhos e deseja saber qual babilidade de a face 6 sair 2 vezes. 625 (. 16%)
3 888
é a probabilidade de ter: 42. A probabilidade de um saltador atingir seu objetivo
a) 5 meninos; 1 5 é de 40% em cada salto. Calcule a probabilidade de,
b) 32 16
c) 2 meninos e 3 meninas;
5 em 8 saltos, ele conseguir seu objetivo:
32
1 menino e 4 meninas; a) em todos; 256 (. 0,07%)
d) o 1o homem, o 2o mulher, o 3o mulher, o 4o ho- b) em 6 deles. 390 625 16 128
390 625 (. 4,13%)
mem e o 5o mulher. (Cuidado, nesse caso a ordem
importa.) 1
32 Robert Beck /Sports Illustrated/Getty Images
39. Biologia
Um casal pretende ter 6 filhos. Determine a proba-
bilidade de ter:
a) 3 meninos e 3 meninas; 5 15
b) 4 meninos e 2 meninas. 16
64
40. Se uma moeda honesta é lançada 6 vezes, qual é a Atleta Luiz Alberto de Araújo em salto a distância
durante os Jogos Olímpicos de Verão, no Estádio
probabilidade de sair coroa 4 vezes? 15 Olímpico, Londres (Inglaterra). Fotografia de 2012.
64
252 Capítulo 10
7 Aplicações de probabilidade à Genética
A Genética é, talvez, o ramo da Biologia que mais utiliza os conceitos matemáticos envolvidos na teoria
das probabilidades. Isso porque, em probabilidade, trabalhamos com os eventos chamados aleatórios, e um
bom exemplo de evento aleatório é o encontro de dois tipos de gametas com determinados genes. Um in-
divíduo heterozigoto para determinada característica (Aa) forma dois tipos de espermatozoides, A e a.
Se uma mulher também for heterozigota, poderá formar óvulos A e a. Depende apenas do acaso o fato de
ser o espermatozoide A ou a o responsável pela fecundação, assim como também depende apenas do acaso
o fato de ser a célula feminina A ou a a fecundada.
Assim, considere o seguinte esquema:
pais Aa ϫ Aa Para
A A
gametas a a refletir
(50% A e 50% a) Aa
1 Pesquise o
4
que significa
um “indivíduo
heterozigoto”
geração F1 AA Aa aa e um
“indivíduo
11
44 1 homozigoto”.
4
e o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:
♀ A1 a1 Fique atento!
♂ 2 2 Nos exercícios
abaixo, quando
A1 1 1 não mencionado,
2 4 4 considere os
AA Aa eventos
a1 apresentados
2 1 1 como sendo
4 4 equiprováveis.
Aa aa
Exercícios resolvidos
27. Em uma população humana a probabilidade de ser 28. João e sua esposa Maria têm pigmentação nor-
mudo é estimada em 0,005, a probabilidade de mal. João é filho de um homem normal e mulher
ser cego é 0,0085 e a probabilidade de ser mudo e albina; Maria é filha de uma mulher normal e pai
cego é 0,0006. Qual é a probabilidade de que um albino. Qual é a probabilidade de João e Maria
indivíduo, tomado ao acaso, seja mudo ou cego? terem uma criança albina do sexo masculino?
Resolução: Resolução: Maria
Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade João 3 Aa
de “ser cego”, portanto os eventos não são mutua- Aa
mente exclusivos. Logo:
AA Aa Aa aa (albino)
p(ser mudo ou ser cego) 5 p(A ou B) 5 11 1
42 4
5 p(A) 1 p(B) 2 p(A e B) 5
5 0,0050 1 0,0085 2 0,0006 5 0,0129
Probabilidade 253
Logo:
p(criança albina) 5 1 e p(sexo masculino) 5 1
42
Como os eventos “ser criança albina” e “ser do sexo masculino” são independentes, temos:
p(ser criança albina do sexo masculino) 5 1 и 1 ϭ 1 ou 12,5%
24 8
29. No ser humano o albinismo é determinado por um gene recessivo a, enquanto a pele normal é determinada
pelo alelo dominante A. Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primeiro descendente uma
criança albina.
Responda:
a) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos sejam albinos?
b) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos tenham pigmentação normal?
c) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos seus próximos dois filhos ser albino e menino?
Resolução:
a) O fato de a primeira criança ser albina não influenciará, nesse aspecto, a hereditariedade das futuras crian-
ças. São, pois, eventos independentes.
pais Aa ϫ Aa
gametas A a A a
(50% A e 50% a)
geração F1 AA Aa Aa aa
1 AA 1 Aa
4 2 1 aa (albino)
4
Assim, a probabilidade de cada criança ser albina em qualquer nascimento é 1 ou 25%. Portanto:
4
p(segunda criança ser albina) 5 1
4
p(terceira criança ser albina) 5 1
4
p(segunda e terceira crianças serem albinas) 5 1 и 1 ϭ 1 ou 6,2%
4 4 16
b) A probabilidade de que cada um dos seus próximos dois filhos, separadamente, tenha pigmentação normal
é 3 ou 75%, pois:
4
1 AA ϩ 1 Aa, ou seja, 1 ϩ 1 ϭ 3
4 2 4 2 4
Logo:
p(segunda e terceira crianças terem pigmentação normal) 5 3 и 3 ϭ 9 ou 56%
4 4 16
c) A probabilidade de pelo menos um dos próximos dois filhos ser albino é:
12 9 ϭ 7 ou 43%
16 16
Como a probabilidade de ser menino é 1 , então a probabilidade de pelo menos uma criança ser menino e
2
albina é:
1 и 7 ϭ 7 ou 21%
2 16 32
254 Capítulo 10
30. Em um cruzamento Aa 3 Aa, sabemos que as com- p(as duas crianças terem queratose) 5
5 3 и 3 ϭ 9 ou 56%
binações AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis,
4 4 16
cada uma com probabilidade 1 . Sabemos também
4 32. Um casal não albino tem um filho albino.
que Aa e aA não podem ser distinguidas biologica- a) Qual é a probabilidade de aparecer na descen-
dência uma filha não albina?
mente. Qual é a probabilidade de ocorrer Aa ou aA?
b) Se o casal tiver 4 filhos, qual é a probabilidade
Resolução: de 3 serem não albinos e 1 albino?
p(Aa) 5 1 Resolução:
4 Situação genética:
p(aA) ϭ 1 Pai Mãe
4 Aa 3 Aa
Aa e aA são mutuamente exclusivos, então
p(Aa > aA) 5 0. 1 AA 2 Aa 1 aa
4 4 4
Logo: p(Aa ou aA) 5 1 ϩ 1 205 2 ϭ 1
4 4 4 2
31. A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene 3 não albinos albino
4
dominante Q. Uma mulher com queratose cujo pai era
normal casa-se com um homem com queratose cuja A_ 5 p 5 3 5 não albinos
mãe era normal. Se esse casal tiver 2 filhos, qual é a 4
probabilidade de os dois apresentarem queratose?
aa 5 q 5 1 5 albino
Resolução: 4
mulher homem a) Filha não albina
Qq Qq
3 Probabilidade de ser do sexo feminino 5 1
2
Probabilidade de ser não albina 5 3
4
QQ Qq Qq qq Probabilidade combinada 5 3 и 1 ϭ 3
4 2 8
Q é dominante → 3 (queratose) 1 b) Como são quatro filhos, há quatro possibilidades
4 4 de ocorrência de apenas um dos filhos ser
albino(a). Logo, a probabilidade é:
Assim, p(cada criança ter queratose) 5 3 . Como o
4 ( )4 ?3 3 1 54? 27 и 1 ϭ 27
4 64 4 64
evento “primeira criança ter queratose” é independen- 4 и
te do evento “segunda criança ter queratose”, temos:
Fique atento!
Nos exercícios abaixo, quando não mencionado, considere os eventos apresentados como sendo equiprováveis.
Exerc’cios 45. As ovelhas de cor branca têm o genótipo WW em
43. Um casal tem 3 meninos e espera sua quarta criança. relação a esse caráter; a coloração preta depende
do gene W. De um carneiro preto cruzado com uma
Qual é a probabilidade de essa criança ser um menino?
ovelha branca resultou um cordeiro branco. Qual é
50% a probabilidade de a próxima cria ser branca? 1
44. Suponhamos que o caráter cor dos olhos seja con- 2
dicionado por um par de genes. Seja C dominante 46. Na espécie humana a polidactilia (dedos a mais) é de-
para olhos escuros e c recessivo para olhos claros. Um
indivíduo de olhos escuros cuja mãe tenha olhos claros vida a um gene dominante. Quando a mulher é poli-
casa com uma mulher de olhos claros cujo pai tinha
olhos escuros. Qual é a probabilidade de seu primeiro dáctila, de mãe e pai normais, qual é a probabilidade
filho ser do sexo masculino e ter olhos escuros? 1 de que o casal venha a ter descendente polidáctilo? 1
4 2
Probabilidade 255
A partir da análise das questões propostas nesta seção, pode ser proposto um
trabalho em grupo sobre como as tecnologias de informação afetam positiva e
Pensando no Enem negativamente a vida das pessoas. O momento é propício para realizar
também uma discussão sobre o uso destas tecnologias em sala de aula e da
mesma forma ressaltar as potencialidades e os aspectos desfavoráveis, no
Matriz do Enem: H2 - Identificar padrões numéricos ou que diz respeito principalmente à contribuição para o estudo da Matemática.
princípios de contagem. Há diversos estudos comprovando que inte-
ragir com outras pessoas, principalmente com
1. Leia o texto e resolva o problema abaixo
Telefônicas investem em internet para en- amigos, é o que mais fazemos na internet.
frentar concorrência de apps [...]
Popularização de aplicativos de troca de men- A internet é a ferramenta mais poderosa já in-
sagens reduz receita das operadoras com serviços ventada no que diz respeito à amizade. E está trans-
de voz e SMS. Meta agora é focar na venda de pa- formando nossas relações: tornou muito mais fácil
cotes para web manter contato com os amigos e conhecer gente
nova. Mas será que as amizades on-line não fazem
A difusão do acesso a conexões de banda larga com que as pessoas acabem se isolando e tenham
colocou o modelo de negócios das empresas de menos amigos off-line, “de verdade”? Essa tese, ge-
telefonia contra a parede. Com a competição de ralmente citada nos debates sobre o assunto, foi
aplicativos que substituem linhas telefônicas fixas criada em 1995 pelo sociólogo americano Robert
e serviços de envio de mensagens de texto (SMS), Putnam. E provavelmente está errada. Uma pesqui-
as operadoras estão apostando todas as suas fichas sa feita pela Universidade de Toronto constatou que
agora na venda de pacotes de dados para a internet. a internet faz você ter mais amigos – dentro e fora
da rede. Durante a década passada, período de sur-
[...] gimento e ascensão dos sites de rede social, o núme-
ro médio de amizades das pessoas cresceu. E os
As operadoras não revelam a parcela de recei- chamados heavy users, que passam mais tempo na
ta referente a cada serviço, mas quem acompanha internet, foram os que ganharam mais amigos no
o setor vê o foco nos pacotes de dados como defi- mundo real – 38% mais. Já quem não usava a internet
nitivo. “Apesar de ainda serem o principal serviço, ampliou suas amizades em apenas 4,6%.
as receitas de voz das operadoras na telefonia mó-
vel estão caindo em alguns países e, no Brasil, pa- Então as pessoas começam a se adicionar [...]
rando de crescer. As operadoras já vêm investindo e no final todo mundo vira amigo? Não é bem
cada vez mais em banda larga fixa e móvel, que é assim. A internet raramente cria amizades do
de onde está vindo o crescimento da receita”, diz o zero – na maior parte dos casos, ela funciona co-
presidente da consultoria Teleco, Eduardo Tude. mo potencializadora de relações que já haviam
se insinuado na vida real. [...]
Fonte: Jornal Gazeta do Povo. Disponível em: <www.gazetadopovo.com.br/
economia/telefonicas-investem-em-internet-para-enfrentar-concorrencia Fonte: Revista Superinteressante. Disponível em: <http://super.abril.com.br/
comportamento/como-a-internet-esta-mudando-a-amizade>.
-de-apps-8zv7go8ex9cr296iqzmmso1u6>. Acesso em: 6 maio 2016. Acesso em: 6 maio 2016.
Uma empresa de telefonia tem como argumento em Em determinada rede social, Elisa tem 500 amigos. Mar-
uma campanha publicitária de seus diversos tipos de tha tem 480 amigos nessa mesma rede. João também
planos o fato de que algumas pessoas preferem usar está nessa rede e tem 550 amigos. Elisa e Martha têm
o celular para enviar mensagens (M), outras estão 50 amigos comuns na rede. Martha e João têm 30 ami-
sempre conectadas à internet (I), outras ainda ado- gos comuns. Elisa e João têm 45 amigos em comum.
ram conversar pelo celular (C). Considerando esses
três usos, o número de pacotes diferentes com ape- Eles fizeram uma festa de aniversário presencial con-
nas uma, ou apenas duas ou as três funcionalidades junta para a qual convidaram todos – e apenas – os
que a empresa pode oferecer é: seus amigos dessa rede social.
a) 3 c) 15 e) 5
x b) 7 d) 10 Sabendo que todos os convidados compareceram e
há na festa 432 amigos exclusivos de Elisa, qual é a
Matriz do Enem: H28 - Resolver situação-problema que probabilidade de encontrarmos nessa festa um ami-
go que seja amigo dos três?
2. envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
Leia o texto e resolva o problema abaixo:
Como a internet está mudando a amizade x a) 3 c) 502 e) 1
170 1 530 51
Nunca foi tão fácil manter contato e conhecer
gente nova pela internet. Graças às redes sociais, b) 427 d) 5
nunca tivemos tantos amigos. Mas isso está trans- 1 530 153
formando a própria definição de amizade.
256 Capítulo 10
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editoraLeitura Mas a combinação
A Matemática da sorte é mais rara do que as outras – porque estatisti-
camente é mais difícil que os dados caiam todos
A vida cotidiana está repleta de situações que as com o mesmo número (no caso, 3) para cima.
pessoas julgam ser de sorte ou de azar. No entanto,
independentemente do conhecimento matemático Isso altera a probabilidade das coisas – e
do indivíduo, essas sensações são meramente intui- faz com que a combinação 10 apareça 8%
tivas. O cálculo das probabilidades ajuda a explicar mais vezes que o 9. Pura matemática.
tais sensações.
Superinteressante. São Paulo: Abril, ed. 307, p. 51, ago. 2012.
Leia o texto a seguir, que foi publicado na revista
Superinteressante. 1. Determine a probabilidade de sair
As probabilidades matemáticas mudam de ma- 1
neiras que nem sempre percebemos – gerando o que 216 (0,46%)
chamamos de sorte. No século XVII, o duque da Tosca-
na notou que, quando jogava 3 dados, o número 10 2. Determine a probabilidade de sair
aparecia com mais frequência que o 9. Mas a probabi-
lidade de todos os resultados não deveria ser a mesma? 1
O duque chamou Galileu Galilei para investigar. Veja 36 (2,78%)
o que ele descobriu.
• É importante notar que existe mais de
Quando jogamos 3 dados, o número de combina-
ções com as quais podemos obter tanto uma soma de uma ordem possível, aumentando a pro-
resultado 9 quanto uma de resultado 10 é exatamente babilidade dessa combinação.
o mesmo.
3. Determine a probabilidade de sair
Para o 9, temos seis combinações:
1
Para o 10, temos seis combinações: 72 (1,39%)
• Fique atento às possíveis ordens.
4. Observe as imagens do texto e determine:
a) Qual é a probabilidade de sair soma 9 jogan-
do-se 3 dados? 25 (11,6%)
216
b) Qual é a probabilidade de sair soma 10 jogan-
do-se 3 dados? 1 (12,5%)
8
Probabilidade 257
Outros
contextos
Probabilidade – Paradoxos e impossibilidades
Na Matemática, o estudo da teoria das probabilidades é rico em paradoxos e impossibilidades. Logo de cara, pode-
-se perceber que um enunciado aparentemente simples pode nos induzir a erros inesperados. Por exemplo, analise a
questão a seguir.
Um pai possui dois filhos e pelo menos um deles é menino. Qual é a probabilidade de que o outro filho também
seja um menino? 21 !
Provavelmente
o primeiro impulso é responder Porém, essa não é a resposta correta! Para refletir
O problema que
Observe que há 3 combinações possíveis, uma vez que um dos dois filhos certamente é acabamos de ver pode
ser análogo ao problema
homem (H): HH; HM; MH. Veja agora com clareza que a resposta correta é 31 . Se o enunciado que envolve lançamento
houvesse dito que o filho mais velho era menino, nossas combinações ficariam restritas a de duas moedas.
HH e MH; então a probabilidade de o “outro” também ser menino, aí sim, seria 21 .
Um problema conhecido é o paradoxo dos aniversários. Ao escolher aleatoriamente 24 pessoas e perguntar qual é a
probabilidade de que duas dessas pessoas tenham a mesma data de aniversário (mesmo dia e mesmo mês), é difícil imagi-
nar que a probabilidade dessa ocorrência seja superior a 50%. Vamos verificar! Suponha que Pedro faça parte do grupo,
então observe que a probabilidade de uma segunda pessoa não fazer aniversário na mesma data que Pedro é 364/365. A
probabilidade de que uma terceira pessoa também não faça aniversário no mesmo dia de Pedro é 363/365. Então, a proba-
bilidade de que 23 pessoas não façam aniversário no mesmo dia de Pedro é dada pelo produto:
364 и 363 и 362 и 361 и … и 341 ϭ 23
365 365 365 365 365 50
Então, a probabilidade de que outra pessoa faça aniversário no mesmo dia que Pedro é 1 Ϫ 23 ϭ 27 ϭ 54%. Esse
50 50
resultado mostra que, ao escolher um grupo de 24 pessoas, pode não ocorrer que duas delas façam aniversário no
mesmo dia, mas a chance de que isso aconteça é maior que 50%.
Um exemplo interessante foi que, entre os 23 atletas convocados para a copa do mundo de 2002, quando o
Brasil conquistou o pentacampeonato, dois jogadores do grupo de atletas faziam aniversário no mesmo dia: Dida e
Gilberto Silva (ambos, no dia 7 de outubro). Todavia, se procurarmos tal coincidência entre os 22 jogadores da sele-
ção campeã em 1958, não encontraremos. Da mesma maneira que foi solucionado o problema relacionando 24
pessoas quaisquer e suas datas de aniversário, pode-se determinar, de forma análoga, a probabilidade de os exem-
plos acima ocorrerem ou não.
O problema abaixo é mais um interessante caso envolvendo probabilidade.
João possui um pequeno tetraedro regular com as faces numeradas de 1 a 4. Ao jogar o tetraedro sobre uma mesa,
todas as faces terão a mesma probabilidade de cair com sua numeração voltada para baixo. João lançará o dado até
que ocorra a face 4 voltada para baixo. Qual é a probabilidade de que isso aconteça?
Veja a solução:
Acertar na 1a tentativa: 1
4
Acertar na 2a tentativa (errou na primeira tentativa): 3 и 1 ϭ 3
4 4 16
Acertar na 3a tentativa (errou nas duas primeiras tentativas): 3 и 3 и 1 ϭ 9
4 4 4 64
e assim por diante.
Acertar alguma vez:
1 ϩ 3 ϩ 9 ϩ 27 ϩ … ϭ 64 ϩ 128 ϩ 36 ϩ 27 ϩ … ϭ 255 ϩ … ϭ 1 ϭ 100%
4 16 64 256 256 256 256 256 256
Ou seja, se João ficar lançando seu tetraedro, é certo que em alguma tentativa irá ocorrer a face 4 voltada para baixo.
258 Capítulo 10
As impossibilidades
Há eventos praticamente impossíveis de ocorrer; isto é, a probabilidade de que eles ocorram é um número
muito próximo de zero. Por exemplo, supondo existir uma urna suficientemente grande, de maneira que seja
possível colocar fichas numeradas representando cada um dos elementos do conjunto R. A probabilidade de reti-
rar da urna ao acaso uma das fichas e nela estar escrito um número racional (inteiro, decimal exato ou decimal
periódico) é um número infinitesimal, próximo de zero.
Sabe-se, porém, que eventos com probabilidade muitíssimo pequena também podem ocorrer. Vejamos um
desses casos:
O jornal britânico Daily Mail noticiou que uma SWNS/The Grosby Group
aposentada inglesa, Wenda Douthwaite, jogava cartas
com três outros senhores (o jogo chama-se Whist) e,
ao distribuir 13 cartas para cada um dos quatro joga-
dores, todos eles haviam recebido só cartas do mesmo
naipe. A probabilidade de tal fato acontecer é uma em
2 235 197 406 895 366 368 301 599 999 vezes. Seria,
segundo o matemático Dr. Alexander Mijatovic, da
Universidade de Warwick, como encontrar uma deter-
minada gota de água no oceano Pacífico.
Entre os eventos quase impossíveis está o nascimen-
to de uma pessoa em específico, por exemplo. No exato Wenda Douthwaite e seus três colegas. Juntos vivenciaram uma
instante da fecundação de um óvulo, a probabilidade de improvável jogada durante uma partida de Whist. Fotografia de 2011.
que cada um dos espermatozoides tem é de 1 em alguns
milhões. Em outro instante qualquer, seriam tantas as variáveis a serem consideradas e acrescentadas ao problema que
a probabilidade seria quase zero. Enfim, a probabilidade de cada um de nós ter nascido é possivelmente menor do
que a chance que a senhora Wenda teve ao distribuir cartas entre ela e seus três amigos e acontecer o que foi noticiado.
Trabalhando com o texto
1. Ao escolher quatro cartas de um baralho: o ás de espada, o ás de copas, o valete de ouros e o rei de paus,
Roberto e Luiz recebem duas dessas quatro cartas cada um. Roberto diz: “Tenho um ás”. Qual é a probabilidade
de que ele tenha também outro ás? 1
5
2. O ato de retirar uma única carta de um baralho pode sugerir problemas interessantes. Vamos tomar agora 2
baralhos comuns, cada um com 52 cartas, 4 naipes. Retire uma carta de um baralho e, suponhamos que seja
um quatro de paus, coloque essa carta no segundo baralho. Embaralhe o segundo baralho, agora com 53 cartas.
Retire uma carta desse segundo baralho. Qual é a probabilidade de que ela seja também um quatro de paus?
Pesquisando e discutindo 1
1 378
3. O triângulo aritmético de Pascal é usado em probabilidades quando estudamos distribuição binomial. É um
triângulo dotado de várias propriedades. Tente descobrir nele a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Observe no triângulo aritmético de Pascal da página 225 (disposto na forma de um triângulo
Veja mais sobre o assunto retângulo), que, ao somarmos os números das diagonais, os valores numéricos obtidos formam
a sequência de Fibonacci. [(1), (1), (1 1 1 5 2), (2 1 1 5 3), (1 1 3 1 1 5 5), (3 1 4 1 1 5 8), ... ]
Procure mais informações e curiosidades sobre probabilidade e seus paradoxos e também sobre eventos con-
siderados impossíveis em jornais, revistas, livros e na internet. Sugestões: (acessos em: 7 maio 2016)
• Divertimentos matemáticos. Martin Gardner. Ibrasa, 1961.
• Daily Mail: <www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-2065728/Whist-players-dealt-complete-suit-opening-
hand.html>.
• Brasil escola: <http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/o-uso-baralho-dado-no-ensino-probabilidade.
htm>.
• Instituto de Matemática UFRGS: <www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa6a.html>.
Probabilidade 259
Leitura
Um pouco mais sobre probabilidade Reprodução/Museu de Capodimonte, Nápoles, Itália.
Nos séculos XV e XVI matemáticos italianos começaram a escrever Retrato de Luca Paccioli (1445-1517), Reprodução/Arquivo da editora
sobre probabilidade. Em 1494 o monge franciscano e célebre matemá- c. 1496. Óleo sobre tela, 98 cm 3 108 cm.
tico Luca Paccioli escreveu o primeiro livro de que se tem notícia con- Collection Roger-Villet/Agence France-Presse
tendo problemas de probabilidade, chamado Summa de arithmetica, Retrato de Girolamo Cardano (1501-1576).
geometria, proportioni e proportionalita. Esse livro trouxe fama a Ann Ronan Picture Library/Agence France-Presse
Paccioli, permitindo que ele se tornasse professor de Matemática na Retrato de Blaise Pascal (1623-1662).
corte de Ludovico, em Milão (Itália), tendo como um de seus alunos Reprodução em preto e branco.
Leonardo da Vinci (1452-1519).
Gravura de Pierre de Fermat (1601-1665).
Girolamo Cardano nasceu em Pádua (Itália), formou-se em Me-
dicina e trabalhou na universidade dessa mesma cidade, atuando
como um cientista polivalente, uma vez que suas pesquisas envolviam
Matemática, Medicina, Física, Química, Astrologia, Astronomia e jo-
gos. Unindo o interesse por matemática e jogos, Cardano escreve o
livro De ratiociniis in ludo aleae (Os raciocínios nos jogos de azar).
Esse livro, escrito em 1526, só foi publicado em 1663 e, portanto, mui-
tos matemáticos contemporâneos a Cardano não tiveram oportuni-
dade de lê-lo.
Blaise Pascal, o grande personagem da teoria da probabilidade,
era filho do matemático Étienne Pascal, conhecido pelo estudo com-
pleto da curva descrita por um ponto de um círculo que rola sobre
outro de mesmo raio. De início, Étienne não queria que seu filho se
dedicasse à Matemática e procurou dar a ele estímulos em outras
áreas, porém isso de nada adiantou, pois o talento do jovem Blaise
para a Matemática se revelou cedo. Aos 14 anos já acompanhava o
pai nas reuniões da Academia Mersenne, em Paris (França), e aos 16
anos publicou seu primeiro trabalho em geometria intitulado Essay
pour les coniques (Ensaio para as cônicas).
A teoria da probabilidade nasceu das discussões matemáticas que
aconteciam por correspondência entre Pascal e Pierre de Fermat. An-
tes da teoria da probabilidade esse ramo da Matemática era trabalha-
do de forma apenas intuitiva, empregado principalmente na resolução
de problemas. As cartas trocadas entre Pascal e Fermat (que citaram
por vezes os problemas propostos por Chevalier de Méré, amigo de
Blaise e fanático por jogos de dados) foram fundamentais para o de-
senvolvimento dos modernos conceitos de probabilidade e suas pro-
priedades. Pascal ficou conhecido pelos seus conhecimentos de pro-
babilidade ao resolver o problema do jogo interrompido. Na época,
perguntava-se como um prêmio deveria ser dividido entre dois joga-
dores se, por algum motivo, o jogo não chegasse ao fim.
Para ilustrar o problema do jogo interrompido vamos apresentar
uma situação imaginária com a questão que estava sendo discutida.
Pascal e Fermat estão em um Café em Paris e resolvem jogar “cara e
coroa” com uma moeda. Cada um colocou sobre a mesa 50 francos e
combinaram que, quem fizesse primeiro 10 pontos, levaria os 100 francos.
260 Capítulo 10
Eles começaram a jogar, mas, no meio do jogo, algo estranho aconteceu. Reprodução/Coleção do Memorial Posner/Biblioteca da Universidade Carnegie Mellon,
Um mensageiro apareceu no Café e disse a Fermat que ele deveria se diri- Pittsburgh, Pensilvânia, EUA.
gir imediatamente a Toulouse, pois um grande amigo dele estava doente.
Fermat pediu então desculpas a Pascal e disse que o jogo estava interrom-
pido, pois ele teria que se retirar imediatamente. Como, no momento,
Pascal ganhava o jogo por 8 a 7, a pergunta importante é: como os 100
francos deveriam ser repartidos?
Muitos achavam que a divisão dos 100 francos deveria ser feita
em partes proporcionais a 8 e 7, pois esses eram os números de vitórias
de cada um no momento da interrupção. Mas Pascal mostrou que
esse raciocínio é errado, pois não leva em conta que a partida termi-
naria quando um dos jogadores fizesse 10 pontos. Usando probabili-
dades, ele concluiu que deveria receber 11/16 da quantia total, ou seja,
68,75 francos. Utilizando outro raciocínio, Fermat também chegou à
mesma conclusão.
Pouco tempo depois o cientista holandês Christian Huygens (1629- Capa do livro Sobre o raciocínio em
-1695), inspirado nessas discussões, publicou em 1657 o primeiro livro jogos de azar; ou, O valor de todas as
realmente voltado ao estudo das probabilidades, Libellus de ratiociniis chances em jogos de fortuna; cartas,
in ludo aleae, um tratado sobre problemas relacionados com jogos de dados, apostas, loterias, e etc;
dados. Por causa do apelo inerente dos jogos de azar, a teoria da pro- Matematicamente demonstrado
babilidade se tornou bastante popular, desenvolvendo-se rapidamente (tradução livre).
durante o século XVIII. Nesse período as principais contribuições ao
campo da probabilidade foram realizadas por Jakob Bernoulli (1654-1705) Ann Ronan Picture Library/Agence France-Presse
e Abraham de Moivre (1667-1754), que em 1718 escreveu o livro Doutrina
das probabilidades.
Mais tarde, Leonhard Euler (1707-1783) e Jean-Baptiste D’Alembert
(1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidades, apli-
cando-os à Economia, às Ciências Sociais e a loterias.
Segundo Carl Boyer, “entre os problemas de loterias que Euler publi-
cou em 1765, o mais simples é o seguinte: suponha que n bilhetes são
numerados consecutivamente de 1 a n e que três bilhetes são tirados ao
acaso. Então a probabilidade de que três números consecutivos sejam Gravura de Laplace (1749-1827). Papel
e tinta, 273 mm 3 190 mm.
tirados é 2и3 ”*.
n(n Ϫ 1)
O astrônomo e matemático francês Pierre de Laplace introduziu ideias novas de cálculo e aplicações de
probabilidades em seu livro, Teoria analítica das probabilidades (1812). Deve-se a ele a definição explícita de
probabilidade em espaços finitos (equiprováveis), como a razão entre o número de casos favoráveis e o núme-
ro total de casos. Antes de Laplace, a teoria da probabilidade era voltada para o desenvolvimento de técnicas
matemáticas aplicadas aos jogos de azar. Laplace aplicou as ideias probabilísticas a muitos problemas científi-
cos e práticos, como: teoria de erros, cálculos de seguros, mecânica e estatística.
Ainda segundo Boyer, “a teoria da probabilidade deve mais a Laplace que a qualquer outro matemático. A
partir de 1774 ele escreveu muitos artigos sobre o assunto, cujos resultados incorporou no clássico Théorie analytique
des probabilités, de 1812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os níveis”.
Mais recentemente, os nomes de Jules Henri Poincaré (1854-1912), Émile Borel (1871-1956) e John von
Neumann (1903-1957) aparecem ligados ao estudo de probabilidades e teoria dos jogos.
Atualmente, a teoria da probabilidade é muito usada na teoria dos jogos, em Estatística, em Biologia, em
Psicologia, em Sociologia, em Economia e em pesquisa operacional.
* História da Matemática, de Carl B. Boyer. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. p. 334.
Probabilidade 261
Vestibulares de Norte a Sul
Região Norte por números inteiros de 0 a 255, conforme ilustra
a figura a seguir.
1. (Uepa) Atual tendência alimentar baseada no maior
Cores OK Reprodução/Vestibular UFPB 2013
consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona Cancelar
o mercado de produtos naturais e frescos sem agro- Padrão Personalizar
tóxicos e uma diminuição no consumo de produtos Cores:
que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa
especializada no preparo de refeições, visando a Modelo de Cores: RGB Cor definida pela escolha
esse novo mercado de consumidores, disponibiliza Vermelho: 195
aos seus clientes uma “quentinha executiva” que Verde: 127
pode ser entregue no local de trabalho na hora do Azul: 151
almoço. O cliente pode compor o seu almoço esco-
lhendo entradas, pratos principais e sobremesas. Se Vermelho: 195 Nova
essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos Atual
de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, o nú- Verde: 127
mero de possiblidades com que um cliente pode
compor seu almoço, escolhendo, dentre os tipos Azul: 151
ofertados, duas entradas, um prato principal e uma
sobremesa é: Com base nas informações apresentadas, conclui-se que
o número total de cores possíveis no modelo RGB é:
a) 400
a) 256! d) 256 3 255 3 254
b) 600 b) 128 3 85 3 254 x e) 224
c) 221
c) 800
4. (Uneb-BA)
d) 1 200
© Mauricio de Sousa/Mauricio
x e) 1 400 de Sousa Produções Ltda.
2. (UnirG-TO) Em um determinado banco, existem mil De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua
moeda dez vezes, a probabilidade de a face voltada
cofres e mil chaves que são numerados de um a para cima sair cara, em pelo menos oito dos lança-
mil. A chave de número um abre todos os cofres, mentos, é igual a:
a chave de número dois abre os cofres de número
par, a chave três, os cofres cujo número é um múl- 01) 25 03) 15 05) 5
tiplo de três e assim sucessivamente, até que a 512 256 128
chave de número mil abra somente o cofre de nú-
mero mil. Diante do exposto, a probabilidade de 02) 17 x04) 7
uma chave qualquer abrir o cofre de número du- 256 128
zentos é de:
Região Centro-Oeste
a) 1/1 000
5. (ESCS-DF) Os sintomas mais comuns do vírus ebola
x b) 12/1 000
são febre, diarreia, dores de cabeça, fraqueza, dor
c) 200/1 000 de garganta, dores nas articulações e calafrios. Em
um hospital, depois que alguns pacientes foram
d) 500/1 000 examinados, constatou-se que cada um deles tinha
exatamente três dos sete sintomas desse vírus, mas
Região Nordeste quaisquer dois deles não apresentavam os mesmos
três sintomas.
3. (UFPB/PSS) O modelo de cores RGB é o sistema de
A partir dessas informações, infere-se que o número
cores utilizado em dispositivos eletrônicos, como máximo de pacientes examinados foi:
aparelhos de televisão e monitores de computa- x a) superior a 30 e inferior a 40.
dores. Nesse modelo, as cores formadas em pixels b) superior a 40.
são obtidas combinando tonalidades das cores c) inferior a 20.
primárias: vermelho, verde e azul. As tonalidades d) superior a 20 e inferior a 30.
de cada uma dessas três cores são representadas
262 Capítulo 10
6. (UEG-GO) A tabela a seguir apresenta a preferência De acordo com as regras estabelecidas, a quantidade
possível de ordenações distintas de pacientes nessa
de homens e mulheres em relação a um prato, que lista para receber o órgão transplantado é igual a:
pode ser doce ou salgado, típico de certa região do
Estado de Goiás. a) 256. x c) 96. e) 64.
Preferência b) 144. d) 192.
Doce Salgado
Sexo 8. (Uerj) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-
Masculino 80 20 -lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apon-
tados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais
Feminino 60 40 4 estão apontados.
Considerando-se os dados apresentados na tabela, Reprodução/Vestibular UERJ 2014
a probabilidade de um desses indivíduos preferir o
prato típico doce, sabendo-se que ele é do sexo fe-
minino, é de:
a) 0,43 x c) 0,60
b) 0,50 d) 0,70
Região Sudeste Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do
porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B.
7. (FASM-SP) As regras para transplante de um órgão Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do
porta-lápis B.
dentre pacientes receptores compatíveis que inte-
A probabilidade de que este último lápis retirado não
gram uma lista são: tenha ponta é igual a:
• 1o critério: o paciente de maior idade completa tem a) 0,64 c) 0,52
prioridade. Em caso de empate neste critério, o x b) 0,57 d) 0,42
melhor classificado no 2o critério terá prioridade.
Região Sul
• 2o critério: a prioridade é do paciente com maior
9. (UCS-RS) Três integrantes de uma Comissão Parla-
índice denominado por X.
mentar de Inquérito (CPI), na Câmara dos Deputa-
Ainda de acordo com as regras, se persistir empate dos, devem ser escolhidos para ocupar os cargos de
após o 2o critério, realizam-se sorteios aleatórios sim- Presidente, Secretário e Relator, cada qual de um
partido diferente. Foram pré-indicados 4 deputados
ples entre os candidatos empatados de mesma idade do Partido A , 3 do partido B e 2 do Partido C.
e índice X até que seja possível ordená-los. A lista a
seguir indica um grupo de pacientes receptores com-
patíveis para um transplante do órgão em questão.
Sigla do Idade Índice X De quantas maneiras diferentes podem ser escolhi-
paciente completa dos os ocupantes desses três cargos?
7
J. A. S. 68 5 a) 24 c) 72 x e) 144
M. C. 57 5
C. C. B. 62 6 b) 48 d) 132
G. E 68 5
S. R. O. M. 62 4 10. (UFPR) Um kit para impressão vem com oito cartu-
L. D. E. 57 7
B. T. 68 5 chos de tinta, de formato idêntico, para impressora.
M. E. S. 62 5 Nesse kit há dois cartuchos de cada uma das quatro
J. C. 62 5 cores diferentes necessárias para uma impressora
L. F. G. 57 caseira (ciano, magenta, amarelo e preto). Escolhen-
do aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a
probabilidade de se obter duas cores distintas?
x a) 6/7. c) 15/56. e) 1/64.
b) 1/12. d) 1/48.
Probabilidade 263
Caiu no Enem
Unidade 1 Unidade 3
3. (Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato bas-
1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres
tante presente na história da humanidade. Uma de
inclinadas uma contra a outra, construídas numa suas várias propriedades é a retração (contração), que
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres consiste na evaporação da água existente em um
é de 158 com a vertical e elas têm, cada uma, uma conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o uma determinada temperatura elevada. Essa eleva-
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de ção de temperatura, que ocorre durante o processo
um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas de cozimento, causa uma redução de até 20% nas
pode ser observada na imagem. dimensões lineares de uma peça.
A Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Kathrin Eckert/Flickr/Acervo da fot—grafa
Suponha que uma peça, quando moldada em argila,
possuía uma base retangular cujos lados mediam
30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram
reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça,
após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%. d) 64%.
b) 20%. e) 96%.
x c) 36%.
B 4. (Enem) Diariamente, uma residência consome
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012. 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares
retangulares (dispositivos capazes de converter a luz
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangen- solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 3 8 cm.
te de 158 e duas casas decimais nas operações, des- Cada uma das tais células produz, ao longo do dia,
cobre-se que a área da base desse prédio ocupa na 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário
avenida um espaço dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a
a) menor que 100 m2. mesma quantidade de energia que sua casa consome.
b) entre 100 m2 e 300 m2. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele
c) entre 300 m2 e 500 m2. atinja o seu objetivo?
d) entre 500 m2 e 700 m2. x a) Retirar 16 células.
x e) maior que 700 m2.
b) Retirar 40 células.
c) Acrescentar 5 células.
d) Acrescentar 20 células.
e) Acrescentar 40 células.
Unidade 2 5. (Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de
2. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende
fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas
de maçã devem ser plantadas em covas com uma
(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros
entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde sabe que conseguirá plantar um número maior de
mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas
permaneça acesa igual a 2 do tempo em que a luz alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
3 O número máximo de mudas que essa pessoa pode-
rá plantar no espaço disponível é:
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada a) 4. d) 12.
ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X 2 3Y 1 15 5 0 d) 3X 2 2Y 1 15 5 0 b) 8. e) 20.
x b) 5X 2 2Y 1 10 5 0 e) 3X 2 2Y 1 10 5 0
c) 3X 2 3Y 1 15 5 0 x c) 9.
264 Caiu no Enem
6. (Enem) Um programa de edição Reprodução/ENEM 2013 C D Reprodução/ENEM 2013
E 6
de imagens possibilita transfor-
mar figuras em outras mais com- 4
plexas. Deseja-se construir uma
nova figura a partir da original. A O AF B
nova figura deve apresentar si-
metria em relação ao ponto O. Figura original
A imagem que representa a nova figura é: Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m. x c) 2,4 m. e) 2 6 m.
a) Reprodução/ENEM 2013 b) 2 m. d) 3 m.
O Reprodução/ENEM 2013 8. (Enem) Uma criança deseja criar triângulos utilizando
b) palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada tri-
ângulo será construído com exatamente 17 palitos e
pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o com-
primento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas características.
O Reprodução/ENEM 2013 Reprodução/ENEM 2014
c) A quantidade máxima de triângulos não congruentes
dois a dois que podem ser construídos é:
O
x a) 3. c) 6. e) 10.
d)
b) 5. d) 8.
O
Reprodução/ENEM 2013 9. (Enem) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de
x e)
raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados
O dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário
haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados
e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por
um espaçador de metal, conforme a figura:
10 cm
Reprodução/ENEM 2013 30 cm R Reprodução/ENEM 2013
7. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma has- Utilize 1,7 como aproximação para 3 .
O valor de R, em centímetros, é igual a
te de sustentação para melhor firmar dois postes de
comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a) 64,0. d) 81,0.
a situação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo seg- b) 65,5. e) 91,0.
mento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indi-
cado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e x c) 74,0.
BC representam cabos de aço que serão instalados.
Caiu no Enem 265
10. (Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional dades de comédia, o cliente alugará um filme de ação
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar e um de drama, até que todos os lançamentos sejam
em voo doméstico poderá transportar bagagem de
mão, contudo a soma das dimensões da bagagem vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
(altura 1 comprimento 1 largura) não pode ser su-
perior a 115 cm. De quantas formas distintas a estratégia desse clien-
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem
a forma de um paralelepípedo retângulo. te poderá ser posta em prática?
24 cm a) 20 3 8! 1 (3!)2 d) 8! ϫ 5! ϫ 3!
x b) 8! 3 5! 3 3! 22
c) 8! ϫ 5! ϫ 3! e) 16!
28 28
13. (Enem) Considere o seguinte jogo de apostas:
90 cm Numa cartela com 60 números disponíveis, um apos-
Reprodução/ENEM 2014 tador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números
disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será
x premiado caso os 6 números sorteados estejam entre
os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O maior valor possível para x, em centímetros, para O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acor-
que a caixa permaneça dentro dos padrões permiti-
dos pela Anac é: do com a quantidade de números escolhidos.
a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. x e) 49.
Quantidade de números Preço da cartela
11. (Enem) Na alimentação de gado de corte, o processo de escolhidos em uma cartela (R$)
2,00
cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e pro- 6 12,00
tegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos 7 40,00
mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um 8 125,00
prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 9
10 250,00
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para
Reprodução/ENEM 2014 Bh Legenda: apostar, fizeram as seguintes opções:
C b – largura do fundo Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;
B – largura do topo Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 car-
b C – comprimento do silo telas com 6 números escolhidos;
h – altura do silo
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 car-
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura telas com 6 números escolhidos;
de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;
altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.
que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada
de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo. Os dois apostadores com maiores probabilidades de
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: serem premiados são:
www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
xa) Caio e Eduardo. d) Arthur e Bruno.
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem
que cabe no silo, em toneladas, é: b) Arthur e Eduardo. e) Douglas e Eduardo.
x a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. c) Bruno e Caio.
14. (Enem) O psicólogo de uma empresa aplica um teste
para analisar a aptidão de um candidato a determinado
cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas
Unidade 4 respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quan-
12. (Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o há-
do o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o
bito de alugar dois filmes por vez. Quando os devol-
ve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessi- candidato der a segunda resposta errada. Com base em
vamente. Ele soube que a videolocadora recebeu
alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade
comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma
estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Ini- de o candidato errar uma resposta é 0,20.
cialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e
um de comédia. Quando se esgotarem as possibili- A probabilidade de o teste terminar na quinta per-
gunta é:
a) 0,02048. d) 0,40960.
xb) 0,08192. e) 0,49152.
c) 0,24000.
266 Caiu no Enem
15. (Enem) Um banco solicitou aos seus clientes a criação A loja sorteará um brinde entre os compradores do
produto A e outro brinde entre os compradores do
de uma senha pessoal de seis dígitos, formada so- produto B.
Qual a probabilidade de que os dois sorteados te-
mente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta nham feito suas compras em fevereiro de 2012?
corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de seguran-
ça eletrônica recomendou à direção do banco reca- x a) 1 c) 5 e) 7
20 22 15
dastrar seus usuários, solicitando, para cada um de-
les, a criação de uma nova senha com seis dígitos, 3 6
242 25
permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, b) d)
além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema,
cada letra maiúscula era considerada distinta de sua 18. (Enem) Para analisar o desempenho de um método
versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de diagnóstico, realizam-se estudos em populações con-
tendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações
outros tipos de caracteres. distintas podem acontecer nesse contexto de teste:
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é
POSITIVO.
senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é
é a razão do novo número de possibilidades de senhas NEGATIVO.
em relação ao antigo. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do tes-
te é POSITIVO.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do tes-
x a) 626 c) 62! 4! e) 626 2 106 te é NEGATIVO.
106 10! 56!
Um índice de desempenho para avaliação de um tes-
b) 62! d) 62! 2 10! te diagnóstico é a sensibilidade, definida como a
10! probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO
se o paciente estiver com a doença.
16. (Enem) Um artesão de joias tem a sua disposição O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a
doença A, aplicado em uma amostra composta por
pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis duzentos indivíduos.
e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga
metálica, a partir de um molde no formato de um
losango não quadrado com pedras nos seus vértices,
de modo que dois vértices consecutivos tenham sem-
pre pedras de cores diferentes. A Reprodução/ENEM 2013 Resultado Doença A
A figura ilustra uma joia, produzi- do Teste Presente
da por esse artesão, cujos vértices Positivo 95 Ausente
15
A, B, C e D correspondem às posi-
ções ocupadas pelas pedras. DB
Com base nas informações forne- Negativo 5 85
cidas, quantas joias diferentes, nes- BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática.
São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).
se formato, o artesão poderá obter? C
a) 6 c) 18 e) 36 Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilida-
x b) 12 d) 24 de dele é de:
17. (Enem) Uma loja acompanhou o número de compra- a) 47,5% c) 86,3% xe) 95,0%
dores de dois produtos, A e B, durante os meses de b) 85,0% d) 94,4%
janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve
este gráfico: 19. (Enem) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada
Número de compradores 90 80 Reprodução/ENEM 2014 uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas
80 60 línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
70 Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam
60 Março
50 inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer
40
30 20 30 A um desses idiomas.
20 20 B Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e
10 10 sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabili-
Fevereiro
0 dade de que esse aluno fale espanhol?
Janeiro
x a) 1 b) 5 c) 1 d) 5 e) 5
2 8 4 6 14
Caiu no Enem 267
Respostas
UNIDADE 1 • Trigonometria Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos
Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de 1. a) rad d) 5 rad g) 3 rad
triângulos quaisquer 3 3 2
e) 2 rad h) 3 rad
b) rad 3 4
4
1. , 5 10 3 m c) 7 rad f) 5 rad
6 6
2. a) x 5 8 2 b) y 5 20 3
3. 12,5 cm 2. a) 308 c) 458 e) 2258
4. v x 5 5 3 cm e v y 5 5 cm
5. 458 b) 908 d) 1508 f) 2408
3. 5 rad
6. CD . 3,9 cm 4. . 1,57 cm b) 2 rad
7. A . 4,8 cm2 5. a) 1,2 rad 3
6. . 15,7 cm
8. 21,6 m Resolvido passo a passo
9. a) w 5 50 3 5. Girar 308 no sentido horário, girar mais 1208 no sentido horário
b) x 5 24; y 5 16 3 e z 5 8 3 e, por fim, 1208 no sentido anti-horário.
10. a) 2 b) Ϫ 2 c) 1 d) Ϫ 3 8. a) 608 1 k ? 3608, com k [ Z c) 5 1 2kp, com k [ Z
2 2 2 2 4
11. a) 0 b)0 b) 1208 1 k ? 3608, com k [ Z d) 11 1 2kp, com k [ Z
9. a) x 5 1 2kp, com k [ Z 6
12. x 5 100 2
6
13. x 5 2 3
b) x 5 1 kp, com k [ Z
14. a) x 5 5 3 b) x 5 4 2 4
15. a 5 2
c) x 5 Ϯ 1 2kp, com k [ Z
4
16. a) x . 9,151 b) x . 5,959 c) x . 458 d) x 5 2 1 2kp, com k [ Z
3
e) x 5 Ϫ 1 2kp, com k [ Z
3
Resolvido passo a passo
5. a) Guaratinguetá → São Paulo; R$ 260,00
f) x 5 Ϯ 1 2kp, com k [ Z
e) 4 rad
3 3
10. a) 608 c) 3208
f) rad
17. x 5 7 b) 608 d) 3 rad 2
18. x 5 7 2
19. a 5 3
20. c 5 4 11. a) 3158 c) 1308
21. cos a 5 1
d) 2 1 2kp, com k [ Z
9 b) cm 3
22. 14 cm
23. 2 17 2
24. BD 5 2 39 cm; AC 5 2 109 cm 12. d
25. sen a 5 3 7 13. a) 200 grados; 400 grados c) 200 grados
8 b) No 3o quadrante.
26. R 5 4 19 N d) 0,98
27. r 2(1 Ϫ cos 36o ) Para refletir
28. a 5 628; x . 4,13; y . 4,76 Página 24
29. Aproximadamente 5,459 km ou 5 459 m.
30. 111,6 km Terão a mesma medida, pois elas são iguais à do ângulo
31. Aproximadamente 26,5 m/s. central, que é o mesmo. Mas não terão o mesmo compri-
32. c mento, pois o comprimento do arco depende do raio.
Página 25
Aproximadamente 578.
Página 30
B(0, 1); A9(21, 0) e B9(0, 21)
Página 31
458 e 7658 ou e 17
4 4
Página 32
Um número positivo ou zero.
268
Capítulo 3 • Funções trigonométricas b) x 5 ou x 5 5
44
1. a) 3o quadrante b) 1o quadrante c) 4o quadrante
c) Não existe, porque nesse intervalo sen x . 0 e cos x , 0.
2. a) 3o ou 4o quadrante c) 1o ou 4o quadrante
d) 1o ou 2o quadrante 16. a) ymáx 5 29; ymín 5 211
b) 2o ou 3o quadrante b) ymáx 5 16 ; ymín 5 24
c) ymáx 5 4; ymín 5 1
3. cos x 5 Ϫ 4 b) Ϫ 3 c) Ϫ1 d) ymáx 5 2; ymín 5 22
5 2 2
4. a) 1
2
5. a) Ϫ 3 d) 3 Resolvido passo a passo
2 2
5. a) Pressão máxima: a cada 10 s; Pressão mínima: a cada
b) 2 e) Ϫ 2 19
2 2 20 s.
19
c) Ϫ 1 f) Ϫ 1
2 2
6. a) 1 d) 2 Matemática e tecnologia c) 2 pontos.
2 2 1. a) Im 5 {y [ R | 21 < y < 1}
b) p 5 2p
b) 2 e) 21
2 f) Ϫ 3 2. a) Promove a translação vertical do gráfico.
b) Promove a dilatação (ou compressão) vertical do gráfico.
c) 0 2 c) Altera o período da função, comprimindo ou dilatando
o gráfico na horizontal.
7. a) x 5 3 1 2kp, com k [ Z d) Promove a translação horizontal do gráfico.
2 e) Função cosseno ( y 5 cos x).
b) x 5 3 1 2kp, com k [ Z
4
c) x 5 11 1 2kp, com k [ Z
6
d) x 5 kp, com k [ Z Outros contextos
8. a) 2 c) 0 e) 3 g)2 1 2. Eixo de rotação da Terra.
2 d) 1 2 h) Ϫ 3
3. Adiantaria. 4. Atrasaria. 5. 10%
b) 3 2 f) 2 2
2 e) 1 2 i) 2 1 c) 3
2
9. a) 0 17. a) 0 e) [0, 2]
b) 2 d) R e) 2
b) 0 f) 3 j) 3
c) 3 g) 3 k) 3 18. a) D( f ) 5 R; Im(f) 5 [21, 1]; p 5 2
3 3 3 3
d) Não é definida. h) Ϫ 3 l) Ϫ 3 b) D(g) 5 R; Im(g) 5 [0, 1]; p 5 p
3
c) D( f ) 5 R; Im(f) 5 [22, 2]; p 5 2p
10. x 5 4 1 kp, com x [ R e k [ Z 2
7
{ }11. a) x ʦ R | x ϭ ϩ k { }b) x ʦ R | x ϭ 3 ϩ k 19. a) c) p
3 4 d) 1
b) p
12. 21 20. d
13. a) {m [ R | 3 < m < 4} {c) m ʦ R | Ϫ 2 ഛ m ഛ 2 } 21. d
b) m ʦ R | 1 ഛ m ഛ 1
{ } { }3
d) m ʦ R | 0 ഛ m ഛ 1 22. c
2
( )23. v(x) 5 2 ? sen
x
{ }14. a) {m [ R | 23 < m < 22} c) m ʦ R | Ϫ 2 ഛ m ഛ 2 4
{ } { }b) 24. h(x) 5 0,3 ? sen (px)
m ʦ R | Ϫ 5 ഛ m ഛ Ϫ1 d) mʦR |1ഛmഛ 7 25. A 5 2; v 5 e f 5 2 3
3 5
22
( ) ( )
15. a) f(p) 5 0; g(p) 5 21; f Ϫ g ϭ 3 Ϫ 2 ; Pensando no Enem
34 2 1. c
f 2. d
( )6
( ) ( )g
( )6 ϭ 3 ; f Ϫ 3 ϭ Ϫ 2 ; g Ϫ 3 ϭ Ϫ 2
3 4 24 2
269
Vestibulares de Norte a Sul 11. a) 3 1 1
1. b 4. 04 7. a 10. c 8 b) 4 c) Ϫ4
7 Ϫ1 3
2. c 5. b 8. 28 m
3. d 6. c 9. b 12. A 1 B 5 B 1 A 5 4 0
12 14
Para refletir
Página 37 13. a) A 2 B 5 0 Ϫ2 b) A 1 B 5 2 0
Notável: digno de ser notado, de atenção. Ϫ12 Ϫ2 20 6
Página 40 14. 0 Ϫ3
Ϫ2 Ϫ5
ORP ϵ OAT (reto)
POR ϵ T OR (comuns ou opostos pelo vértice) 15. X5 Ϫ3 ϩ2 Ϫ1
ϩ6 Ϫ10 Ϫ7
Página 45
Como k ʦ Z, temos: 5 Ϫ4 5
2 Ϫ1
x ϭ 0 ϩ 2k ⇒ sen x ϭ 0 16. a) At 5 2 c) C t 5
6
xϭ ϩ 2k ⇒ sen x ϭ 1
2 1 0 Ϫ1
2 Ϫ1 0
x ϭ ϩ 2k ⇒ sen x ϭ 0 b) Bt 5 5 4 6 d)Dt 5 3 0 4
2 5 3
xϭ 3 ϩ 2k ⇒ sen x ϭ Ϫ1
2
Página 47 17. a) 3 6 e) 1 2 i) 9 13
5 0 5 Ϫ2 0 12
Como k ʦ Z, temos:
x ϭ 0 ϩ 2k ⇒ cos x ϭ 1 b) 1 Ϫ4 f) 3 8 j) 0 0
1 4 3 0 0 0
xϭ ϩ 2k ⇒ cos x ϭ 0
2
x ϭ ϩ 2k ⇒ cos x ϭ Ϫ1 c) 10 5 g) 3 3 k) Ϫ3 Ϫ5
15 10 8 0 Ϫ6 0
xϭ 3 ϩ 2k ⇒ cos x ϭ 0
2
2 3 6 9
d) 1 2 h) 3 6
UNIDADE 2 • Matrizes, 2 0 0 2 0 0
determinantes e e) 0
sistemas lineares 18. a) 0 4 0 4 0
Capítulo 4 • Matrizes e determinantes 0 0 6 0 0 6
3 0 0 4 0 0
1. 6 4 5 8 b) 0 5 0 f) 0 8 0
5 7 5 5 0 0 7 0 0 12
5 6 7 4 2 0 0 0 0 0
g) 0
c) 0 4 0 0 0
2. a) As notas de Ana em cada matéria. 0 0 6 0 0 0
b) As notas de cada aluno em Física.
c) A nota de Beatriz em Química. 6 0 0 9 0 0
h) 0
d) 0 12 0 19 0
3. a11 5 2; a22 5 25; a13 5 10 0 0 18 0 0 29
1 0
4. a) A5 2 5 10 b) X5 7 6 20. a) 3 8 b) 9 13
5 8 13 3 0 0 12
17 16
31 30
23 21
5 3 Ϫ1 Ϫ3 Ϫ5 21. a) A5 28 36
9 7
5. a) b) 6 4 2
25 23 21 67 89
b) B5 122 104
6. 18
7. a 5 6, b 5 3, c 5 2 4 e d 5 2 2. 90 110
150 140
1 0 0 c) A1B5 ; total de downloads dos dois jogos
nos dois dias.
8. I2 ϭ 1 0 I3 ϭ 0 1 0
0 1
0 0 1 44 68
d) B2A5 94 68 ; quantidade de downloads feita a mais
no dia 24 de outubro.
9. m 5 0; n 5 1
10. a 5 1; b 5 0; c 5 1 e) C 5 0,1 ? (A 1 B)
3
270
Resolvido passo a passo 52 51 22 53 15 34 25 43. a) 2 b) 1 c) 1
2
44. 1
51 0 0 0 33 51 0 3
0 0 0 0 00
5. a) Exemplo de matriz: M = 0 45. a) (4, 2), (8, 1), (8, 4)
0 0 0 0 53 43 51 b) 4 8 8
2 1 4
45 51 0 0 0 0 0
22. a) V 46. a) Ϫ3 Ϫ3 Ϫ1 Ϫ4 1,5 2 5 4,5
b) V 1 2 2 4 d) Ϫ3 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ3
c) F
d) V b) Ϫ8 Ϫ6 Ϫ6 Ϫ8 e) 5 6 8 7
Ϫ3 Ϫ3 2 2 Ϫ3 Ϫ3 Ϫ1 Ϫ1
7 5 4 14
23. a) Ϫ2 Ϫ4 b) 1 Ϫ1 c) Ϫ5 Ϫ4 Ϫ1
Ϫ2 Ϫ4 Ϫ1
0 0
24. 0 0 3 8 3 3 8 3
5 5 9 −3 −3 1
49. a) ; ; c) ; ;
25. a) F b) F
26. a) 19 19 c) 7 10 b) −2 ; 3 ; −2 d) −2 ; 3 ; −2
15 16 Ϫ1 14 −2 −2 2 0 0 4
b) 11 4 d) 8 5 50. b) 0 1 3 ; 0 2 3 ; Ϫ1 Ϫ3 Ϫ5 Ϫ4
8 3 7 13 Ϫ3 Ϫ5 Ϫ1 2 0 4 Ϫ2 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ4
27. Não. b) A 51. b) 0 Ϫ1 Ϫ3 ; 0 Ϫ2 Ϫ3 ; 1 3 5 4
28. a) A 3 5 1 Ϫ2 0 Ϫ4 2 2 1 4
29. a) 17 39 d) 2 24 9 27 52. a) Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1
2 4 4 13 11 12 1 4 4 5
2 5 0 Ϫ3 17 Ϫ1 Ϫ3 Ϫ3
1 1 3
b) 6 15 00 e) Ϫ7 Ϫ8 53. c) A9:
12 30 9 26
29 24 59 12 B9: Ϫ2 Ϫ1 Ϫ5 Ϫ4
8 10 Ϫ2 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ2
c) 23 22 f)
26 4 1 3 3 1
C9: Ϫ1 Ϫ1 Ϫ4 Ϫ4
30. 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro; 430 rodas para 55. a) 5 unidades de área.
janeiro e 308 para fevereiro. b) 15 unidades de área; 10 unidades de área.
c) Área de A91 : 3 3 área de A e Área de A92: 2 3 área de A.
31. a) 10 c) 0 e) 2tan x
56. a) Ela fica“espichada”(“esticada”) na direção positiva do eixo Ox
b) 2 d) a2 2 b2 f) cos2 a 2 sen2 b se k é positivo e na direção negativa do eixo Ox se k é negativo.
32. a) 57 c) ab 2 a2 e) 2413 b) A área de uma figura transformada é k vezes a área da figura
original.
b) 1 d) 224 f) 280
33. a) 1 2 e) 2
5 Ϫ8 f) 3
g) 218
−1 2 h) 5 Para refletir
b)
3 −8 Página 63
Porque é uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
c) 7 1 i) 6
Ϫ20 Ϫ2 j) 6 Página 65
Porque a matriz só tem uma linha e uma coluna, respectivamente.
d) 2
Página 69
34. 240 • Paulo; Rodolfo.
• Germano.
35. a) S 5 {6} b) S 5 {1, 2}
Página 73
36. a) 1 b) 1 Significa “em ordem”, da primeira à última. Por exemplo, a 1a linha
de At é a 1a coluna de A.
37. a) 0 c) 0
b) 0 d) 0 Página 75
Cada elemento de AB é obtido multiplicando-se ordenadamente
38. a) 10 b) 25 c) 8 os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da
matriz B e somando-se os produtos obtidos.
39. 1
Página 79
40. a) Sim. b) Não. c) Sim. Só F e G comutam, pois EF Þ FE, EG Þ GE e FG 5 GF.
41. I3
42. a) Ϫ3 Ϫ2 b) Ϫ3 Ϫ2
Ϫ1 1 Ϫ1 1
271
Página 82 19. S 5 {( 21, 0, 1, 2)}
20. 1 000 m
AB 3 4
8 3 21. 16 moedas de 1 real, 10 moedas de 50 centavos e 130 moedas
de 10 centavos.
det (A 1 B) 5 9 2 32 5 223
22. d
}det A ϭ Ϫ3 Ϫ 10 ϭ Ϫ13 ⇒ det A 1 det B 5 213 2 6 5 219 23. a) S 5 {(3a, 2a, a, 3a)} a [ R
det B ϭ 0 Ϫ 6 ϭ Ϫ6 b) cálcio: 3; hidrogênio: 6; fósforo: 2, oxigênio: 8.
24. b
Logo, det (A 1 B) Þ det A 1 det B. 25. 42 idosos.
27. c
Página 83 28. a) Sistema possível e determinado; S 5 {(0, 0, 0)}
1
b) Sistema possível e determinado; S 5 {(0, 0, 0)}
Capítulo 5 • Sistemas lineares
29. Significa que um sistema homogêneo nunca será impossível: ou
1. a) x 5 3; y 5 2 e) B c) x 5 21; y 5 3 será possível e determinado ou será possível e indeterminado.
b) x 5 22; y 5 4 f) A d) x 5 3; y 5 3
g) B 31. a ±Ϫ 1 e a ± 1
2. a) A i) A 22
b) A j) A
c) A 32. a 5 21 e b ? 7
d) B h) A 33. Indeterminado.
3. a) Sim. b) Não.
4. a) Sim. b) Sim.
5. 2
6. 3
7. a) Sim. b) Sim. c) Não. Outros contextos
8. a) S 5 [; sistema impossível. 1. a) 22
b) 17
b) S 5 {(22, 3)}; sistema possível e determinado. c) 32 e 43
d) Ela atende aos requisitos vitamínicos, porém não é a
( )c) O par ␣, ␣ Ϫ 3 é a solução geral do sistema; sistema dieta de custo mínimo.
2 e) Nutricionista.
possível e indeterminado.
10. a) Sistema determinado.
b) Sistema não determinado. Pensando no Enem
11. m ? 24 e m ? 4
1. e 2. c
12. a) Sim. b) Não. c) Não.
Vestibulares de Norte a Sul
13. a) Sistema possível e determinado; S 5 {(4, 21, 23)} 1. b 4. d 7. c
2. a 5. a 8. d
b) Sistema impossível; S 5 [ 3. c 6. b 9. a 10. d
c) Sistema possível e indeterminado; S 5 k ϩ 2 , k, k
Para refletir
{ }3 Página 96
Porque não são equações do 1o grau.
d) Sistema possível e determinado; S 5 {(21, 4, 3, 22)}
e) Sistema possível e indeterminado; S 5 {(2 2 2a, a, b, b )}
f) Sistema possível e determinado; S 5 17 , 1
6 2
{ }14. a 5 4 e b 5 2
3
15. Sim.
Resolvido passo a passo UNIDADE 3 • Geometria plana
e espacial
5. a) Leonardo Ӎ 113 quilocalorias; Ӎ 22667 passos
Augusto ϭ 80 quilocalorias; 16 000 passos Capítulo 6 • Polígonos inscritos e áreas
Vinicius ϭ 40 quilocalorias; 8000 passos 1. a) ,3 ϭ 10 3 cm . 17,32; a3 5 5 cm
b) ,4 ϭ 10 2 cm . 14,14 cm; a4 ϭ 5 2 cm . 7,07 cm
16. a) Sistema possível e determinado; solução geral: (1, 21, 2) c) ,6 5 10 cm; a6 ϭ 5 3 cm . 8,66 cm
b) Sistema possível e indeterminado; solução geral: (14k, 29k, k)
c) Sistema impossível; S 5 [ 2. 30 cm
3. 10 3 cm . 5,77 cm
17. Sistema impossível, S 5 [
3
1
Ϫ21
18.
272
4. 6 46. b b) 56,25 km2
6 47. d
48. e
5. 14p cm 49. a) 2,5 km
6. 7 cm
7. 300p m b) Triplicará. Para refletir
8. a) Dobrará. Página 128
9. 5p cm b) 10p cm c) 10 cm sen 908 5 1
10. 12p cm b) 16p cm 3 Página 129
11. a) 5p cm A metade da soma das medidas dos lados.
12. a) 12p cm c) 18p cm
Página 131
5,a
Resolvido passo a passo Capítulo 7 • Geometria espacial de posição:
5. a) O custo total é de R$ 144 000,00. uma abordagem intuitiva
1. a) Colineares e coplanares.
13. 2 320 m2 b) Coplanares, mas não colineares.
c) Colineares e coplanares.
14. 147 m2 d) Coplanares, mas não colineares.
16. 36 3 cm2 e) Colineares e coplanares.
f) Colineares e coplanares.
17. 5 3 cm2
18. 4 3 cm2 g) Coplanares, mas não colineares.
19. 80 cm2 h) Não são colineares nem coplanares.
i) Coplanares, mas não colineares.
20. 96 3 cm2 2. Verdadeiras: a, d, e, f, h, j; falsas: b, c, g, i.
21. AT 5 600 cm2 3. Paralelas: c, f; concorrentes: a, d, e, h, i; reversas: b, g.
22. 94 cm2
4. 1a: g; 2a: d; 3a: a; 4a: b.
23. Região colorida: 8 cm2; região não colorida: 8 cm2. 5. a) p(ABCD) // p(EFGH); c) Sim; FG.
p(ADGH) // p(BCFE); d)ADGH e ABCD.
24. 60 m2 p(ABEH) // p(CDGF).
25. 16 mil pessoas.
26. 800 3 km2 b) p(ABCD) > p(BEHA) ; AB
p(ADGH) > p(ABCD) ; AD
27. a) 57 cm2 b) 44% p(BCFE) > p(HEFG) ; FE
28. 0,3121 m2 6. a) Planos secantes d) CH
b) p(ABJI) e p(ADGI) e)Sim; p(DCHG)
29. 150 3 cm2
30. 300 3 cm2 c) p(BCHJ)
31. a) 20p cm b) 100p cm2 7. a) Planos secantes. b) Sim; FG. c) Sim; p(ABCD).
32. a) 18p cm2
b) 9p cm2 c) 12p cm2 8. a) BC, CF, EF, BE, BF, CE
( )33. 25 ϩ 48 m2
2 b) CD, DG, FG, CF, DF, CG
34. 12p cm2 c) Algumas das soluções possíveis: AH, AE, BG, FC, BE.
35. 64p cm2 9. a) Está contida.
b) Algumas das soluções possíveis: AE, BF, CG, FD.
36. 8p cm2 c) p(ABCD) e p(CDFG)
37. 20 cm2 d) concorrentes
f) p(EFGH)
38. 25p cm2 h) EH, EG, EF, HG, FG, FH.
39. 16 (42 p) cm2
40. a) 11,5 cm2 b) 12 cm2 10. A reta está contida em b, d, f, h; é paralela em a, e e é secante
em c e g.
41. a) 4 cm e 8 cm b) 16 cm2 e 64 cm2
42. b 11. a) secante e) está contida
b) retas reversas f) paralela
43. a c) paralelo g) concorrentes
d) pertence h) concorrentes
44. d
45. c 12. Verdadeiras: b, c, e, f; falsas: a, d.
273
Resolvido passo a passo 2. Poliedros convexos: a, d; poliedros não convexos: b, c.
3. 7 faces.
LB ϭ 3 5 cm
5. a) GE ϭ 3 5 cm 4. 11 faces.
GK ϭ 29 cm 5. 7 vértices.
13. a) Algumas das soluções possíveis: AE, BF , CG, DH. 6. 32 faces.
b) O plano ADHE. 7. 10 vértices.
c) Sim, pois o ângulo AFG mede 908. 8. 18 m.
10. 10 2 cm
14. a) p(ABFE) ⊥ p(ABCD); b) p(ADHE) e p(CDHG) 11. 30 cm
p(ABFE) ⊥ p(EFGH); c) Sim. 12. 4 3 cm
13. 20 cm por 16 cm por 12 cm
p(ABFE) ⊥ p(ADHE); d) Os três são perpendicu- 14. 216 cm2
p(ABFE) ⊥ p(BCGF). lares ao p(EFGH). 15. 184 cm2
16. 2 264 cm2
15. Verdadeiras: a, c; falsa: b.
Outros contextos 17. 4 m
18. A, 5 108 cm2; AT 5 4(27 1 2 3 ) cm2
2. Podem-se observar 16 vértices, 32 arestas e 30 faces. 19. 250 cm2
3. A reta possui uma única dimensão, que é o comprimento. 20. 32,6 m2
21. 810 m2
Não se pode medir o “comprimento” de uma reta. 22. 600 m2
23. 0,24(180 1 3 ) cm2
16. Verdadeiras: a, d, e, f; falsas: b, c.
17. a, c e d.
18. a) 3 e) 4 i) 4 m) 29
b) 5 f) 13 j) 2
c) 13 g) 4 k) 3
d) 2 5 h) 2 l) 2
Para refletir 24. 5 400 Ϫ 25 3 cm2
2
Página 144
X [ r; X Ó s; G [ a; G Ó b; M [ a; M [ b 25. Aproximadamente 17 caixas.
Página 147 26. 414,4 cm2
• Três pontos colineares pertencem a uma única reta e, por essa
Resolvido passo a passo
reta, passam infinitos planos. Por isso, não podemos dizer que
três pontos colineares determinam um plano. 5. a) Custo de produção do depósito 5 R$ 10640,00; vazão:
• Porque não há um plano que passe pelas duas simultaneamente. aproximadamente 66,7 L/s.
Página 151 27. 375 3 cm3
• Se forem coplanares, as retas podem ser concorrentes. Se não
28. 10 dm
forem coplanares, serão retas reversas.
• São planos secantes. 29. 140 cm3
• A reta está contida no plano ou a reta é secante ao plano.
30. 1 080 L
Página 153
• As retas s e t formam dois ângulos de 458 e dois de 1358. 31. 1 000 dados.
Página 154 32. 1 728 cm3
• A reta r é reversa ortogonal às retas de a que não passam por P.
33. 150 cm3
Página 161
• Quando P [ r 34. 226 800 L
• A distância é zero.
• A distância é zero. 35. 120 cm3
Página 162 36. 1 500 cm3
• Quando os planos são coincidentes.
• Não é possível. 37. 12 600 3 cm3
Capítulo 8 • Poliedros: prismas e pir‰mides 38. 6 3 cm3
1. a) 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. 39. h 5 7 cm; AT 5 480 cm2
b) 4 faces triangulares e 1 face quadrangular.
c) 3 arestas. 40. V 5 768 3 cm3; AT 5 192 (2 1 3 ) cm2
d) 4 arestas. 41. 11 m3
e) Retas reversas.
42. a) Igual. b) Maior.
274
44. a UNIDADE 4 • Análise combinatória
45. a) 2 3 cm d) 24 3 cm2 e probabilidade
b) 4 7 cm
c) 2 29 cm e) 48 7 cm2 Capítulo 9 • Análise combinatória
f) 24 ( 3 ϩ 2 7 ) cm2
46. 800 cm2 1. 6 maneiras.
47. 16 (1 ϩ 3 ) cm2 2. 60 maneiras.
3. 8 possibilidades.
48. 208 3 cm2 4. 60 maneiras.
49. 144 3 cm2 5. 16 números.
50. 4 (5 ϩ 11 ) cm2 6. a) 36 d) 30
51. a) 2 2 cm b) 12 3 cm2 b) 18 e) 9
c) 18
52. 675 cm3 7. 128 maneiras.
53. 250 2 cm3 8. 63 maneiras.
3
9. 590 maneiras. d) n2 2 n
54. Aproximadamente 100,8 mm3. 10. a) 720 e) 1
55. 48 m3 b) 210 nϩ2
c) 1 f) n2 1 2n 23
56. Aproximadamente 2 400 000 m3.
24
57. 400 cm3
58. 23,04 cm2 11. a) n 5 8 b) n 5 2
59. 10 cm 12. 6 palavras: ALI, AIL, LAI, LIA, IAL, ILA.
13. 256; 24
60. 6 cm 14. 120 maneiras.
61. 6 3 cm2 15. 48 maneiras.
62. 18 500 cm3 16. 24 anagramas.
63. 3 040 cm3
17. 6 números.
3
64. 4 632 cm3 18. a) 720 d) 144
b) 6 e) 4
Pensando no Enem c) 24
1. d 2. e 3. d 19. a) AGIMO d) OMIAG
b) AGIOM e) IGAMO
Vestibulares de Norte a Sul c) GAIMO
1. e 5. c
2. c 6. c b) An 5 52,02 cm2 20. a) 34 650 d) 10 080
3. e 7. b c) Aoctógono5947,92 cm2
4. d 8. a) x 5 10,2 cm b) 5 040 e) 1 120
9. d
10. a c) 630
21. a) 6
b) PPAA, AAPP, APAP, APPA, PAAP e PAPA
Para refletir 22. 1 260 maneiras.
Página 168 23. 120 modos.
4 faces.
24. 6 ordens.
Página 169
Tetraedro: 4 2 6 1 4 5 2 25. a) 12 d) 24 g) 6 720
Dodecaedro: 20 2 30 1 12 5 2
Prisma de base pentagonal: 10 2 15 1 7 5 2 b) 120 e) 5 h) 1
Pirâmide de base quadrangular: 5 2 8 1 5 5 2
Tronco de pirâmide de base retangular: c) 56 f) 1
8 2 12 1 6 5 2
26. a) x2 2 x b) x2 2 7x 1 12 c) 8x3 2 2x
Página 172
• V 5 8; A 5 12; F 5 6; n 5 4 e p 5 3 27. a) 7 b) 4
2 ? 12 5 4 ? 6 5 3 ? 8 28. 657 720 maneiras.
• n > 3, pois o menor número possível de lados em cada face é 3
29. a) 120 b) 48
(face triangular)
p > 3, pois o menor número possível de arestas que concorrem 30. 132 maneiras.
para o mesmo vértice é 3 (o cubo, por exemplo)
31. a) 504 c) 2 520
b) 336 d) 15 120
32. 360 maneiras.
33. 360 maneiras.
275
34. a) 120 c) 24 e) 96 74. 63 maneiras.
b) 120 d) 6
b) 60 75. 968 polígonos.
35. a) 360
36. 657 720 c) 180 d) 180 76. 256 modos.
37. 60
77. a) x5 1 10x4 1 40x3 1 80x2 1 80x 1 32
b) a4 2 12a3 1 54a2 2 108a 1 81
Resolvido passo a passo 78. a) 16 termos. b) x15 c) 15 ? x13 5 105 ? x13
5. a) 190 2
Para refletir
38. a) 15 c) 4 e) 21 g) 45 Página 204
b) 10 d) 5 f) 7 h) 27 405
1a etapa: Recife – São Paulo;
2a etapa: São Paulo – Porto Alegre.
39. a) 6 b) 3 Página 205
40. 1 140 equipes. b) 60 maneiras.
41. 210 equipes. b) 150 formas. Se tivermos o zero nas centenas significa que não há centena
42. 45 maneiras. nesse número. Por exemplo: 0 4 5 5 45.
43. 120 maneiras.
44. a) 84 maneiras. Página 216
45. 142 506 comissões. 1
46. 35 modos.
47. 270 725 maneiras. c) 40 maneiras. Capítulo 10 • Probabilidade
48. a) 30 formas. c) 330 formas.
1. V 5 {1, 2, 3}; A 5 {2}; B 5 {1, 3}
2. A: {(C1, C 2 ), ( C 1, C2)}; B: {( C 1, C 2 )}; C: {(C1, C2), (C1, C 2), ( C 1, C2)}
3. a) 1 c) 1 e) 0
2 6 6
b) 1 d) 1 f) 6
2 3 6
49. a) 16 380 modos. b) 42 504 modos c) 140 modos.
4. a) 4 b) 6
50. a) 56 comissões. b) 56 comissões. c) 140 comissões. 10 10
51. a) 60 maneiras. b) 65 maneiras. c) 115 maneiras. 5. a) 6 c) 6 e) 9 g) 3
13 13 13 13
52. 96 modos.
53. 90 quadriláteros. b) 4 d) 5 f) 4
13 13 13
54. 56 triângulos.
55. 720 maneiras. 6. a) 1 c) 5 e) 1 g) 7
6 12 4 18
56. 20 maneiras.
1 d) 7 f) 1
57. 720 maneiras. b) 2 12 6
58. 151 200 anagramas. 7. a) 13 c) 1 e) 1
52 52 26
59. 15 quadriláteros.
60. 9 amigos. b) 4 d) 1
52 2
61. a) 720 anagramas. e) 216 anagramas.
b) 120 anagramas. f) 24 anagramas. 8. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1
4 2 4 2
c) 24 anagramas. g) 144 anagramas.
9. a) 3 b) 3
d) 144 anagramas. 5 25
62. 300 números. 10. a) 17 7 27
80 80 80
63. 960 placas. c) e)
64. 28 duplas. b) 7 d) 19
80 80
65. 3 844 comissões.
66. a) 15 b) 35 c) 1 d) 190 11. 1
24
67. 1 b) C13,2 5 78 c) 1
12. a) C52,2 5 1 326 17
68. x 5 1
69. 5 Resolvido passo a passo
8 b) 63 c) 252 d) 93 5. a) R$ 747 760,00
70. a) 32
71. 7a linha: 1 6 15 20 15 6 1; 8a linha: 1 7 21 35 35 21 7 1 8 c) 14 e) 3 g) 6
17 17 17 17
72. n 5 14 e p 5 4 13. a)
73. a) 24 5 16 b) 7 d) 1 f) 7
17 17 17
b) 28 5 127
276
14. a) 1 c) 4 e) 39 g) 9 40. 15
4 13 52 13 64
b) 1 d) 1 f) 48 41. 625 (. 16%)
13 52 52 3 888
15. 5 42. a) 256 (. 0,07%)
18 390 625
16. 13 b) 16 128 (. 4,13%)
18 390 625
17. 8 b) 6 c) 12 43. 50%
11 21 21 44. 1
18. 3 (ou 75%) b) 3 c) 114 4
4 780 780 45. 1
19. a) 1 b) 13 c) 195 2
7 102 442 46. 1
20. a) 666 b) 2 c) 3 2
780 35 7
Pensando no Enem
21. a) 1 g) 9 1. b 2. a
17 16
Leitura
22. Opção 2. g) 4 1. 1 (0,46%)
23. a) 1 7
216
7
24. 7 2. 1 (2,78%)
36
12
25. 1 c) 5 e) 11 3. 1 (1,39%)
19 19 72
4
26. a) 8 d) 1 f) 14 4. a) 25 (11,6%)
4 19 216
19
b) 9 c) 3 e) 1 b) 1 (12,5%)
8 3 8
16
d) 1 f) 1 Outros contextos
27. a) 1 4 1. 1
8 2. 1
5 1 378
b) 1
4
28. 1
2
29. a) 1 b) 1 c) 1 Vestibulares de Norte a Sul
4 4 16
30. 1 1. e 4. 04 7. c 10. a
11
2. b 5. a 8. b
31. 3%
3. e 6. c 9. e
32. a) 0,08
b) 0,52
33. 0,6 Para refletir
34. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) Sim. Página 232
2 6 12 6 Os dois lados da moeda ou as seis faces do dado têm a mesma
chance de sair.
35. a) 1 b) 3 c) 12 d) 16
4 4 104 26 Página 235
Quando se diz “pelo menos duas”, admite-se que aconteçam duas
36. a) 40% b) 70% ou mais situações. Quando se diz “exatamente duas”, há somente
duas situações.
37. 607
6 000 Caiu no Enem
1. e 6. e
38. a) 1 b) 5 c) 5 d) 1 2. b 7. c 11. a 16. b
32 16 32 32 3. c 8. a 12. b 17. a
4. a 9. c 13. a 18. e
39. a) 5 5. c 10. e 14. b 19. a
16 15. a
b) 15
64
277
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em especial: Arranjando e permutando, Combinações,
O que é probabilidade e Observando formas.
COUTINHO, Lázaro. Matemática & Mistério em Baker Street.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004.
Escrito em linguagem simples, o livro nos conduz ao fantástico mundo de
Sherlock Holmes e seu parceiro, Dr. Watson. Para o enriquecimento do texto,
concorrem fatos, lendas e curiosidades de Matemática.
STEWART, Ian. Mania de Matemática – 2: novos enigmas e desafios.
Tradução de Diego Alfaro. Revisão técnica de Samuel Jurkiewicz.
Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
Como dividir um bolo em partes iguais? Se embaralharmos muitas
vezes as cartas de um baralho, elas voltam à posição inicial? Através
de problemas como esses, o professor Stewart mostra a diversidade
e a importância da Matemática. Este livro inclui gráficos
explicativos e expõe de forma simples temas complicados.
KEITH, Devlin. O instinto matemático. Rio de Janeiro: Record, 2009.
O autor afirma que há dois tipos de Matemática: a natural e a simbólica.
A Matemática natural evolui há milhões de anos, proporcionando – tanto a
humanos quanto a animais – inacreditáveis habilidades relacionadas à
necessidade de sobrevivência, ao senso de direção e à captura de presas.
A Matemática simbólica é exclusiva do ser humano e tem pelo menos 3 mil anos.
MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas
vidas. Tradução de Diego Alfaro. Consultoria de Samuel Jurkiewicz.
Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
O livro combina os mais diferentes exemplos para mostrar que notas escolares, diagnósticos
médicos, sucessos de bilheteria e resultados eleitorais são, como muitas outras coisas,
determinados em larga escala por eventos imprevisíveis. Também são apresentadas
ferramentas para identificar os indícios do acaso, procurando ajudar o leitor a fazer escolhas
mais acertadas e a conviver melhor com fatores que ele não pode controlar.
278
Significado das siglas de vestibulares
Acafe-SC: Associação Catarinense das Fundações Educacionais Uepa: Universidade do Estado do Pará
(Santa Catarina) Uerj: Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Ufam: Universidade Federal do Amazonas
EsPCEx-SP: Escola Preparatória de Cadetes do Exército (São Paulo) UFC-CE: Universidade Federal do Ceará
Faap-SP: Fundação Armando Álvares Penteado (São Paulo) UFG-GO: Universidade Federal de Goiás
FASM-SP: Faculdade Santa Marcelina (São Paulo) UFGD-MS: Universidade Federal da Grande Dourados (Mato Grosso
Fazu-MG: Faculdade de Agronomia e Zootecnia de Uberaba (Minas
do Sul)
Gerais) UFPA: Universidade Federal do Pará
FCMSCSP: Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São UFPB/PSS: Universidade Federal da Paraíba/Processo de Seleção
Paulo Seriado
FEI-SP: Centro Universitário da Faculdade de Engenharia Industrial UFPR: Universidade Federal do Paraná
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
(São Paulo) UFRN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
FGV-SP: Fundação Getúlio Vargas (São Paulo) UFTM-MG: Universidade Federal do Triângulo Mineiro (Minas
Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular (São Paulo)
Ibmec: Faculdades do Instituto Brasileiro de Mercado de Capitais Gerais)
IFPE: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de UFV-MG: Universidade Federal de Viçosa (Minas Gerais)
Uncisal: Universidade Estadual de Ciências da Saúde de Alagoas
Pernambuco Unesp-SP: Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
IFRS: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio
(São Paulo)
Grande do Sul Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas (São Paulo)
IFSP: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Unifacs-BA: Universidade Salvador (Bahia)
Unifor-CE: Fundação Edson Queiroz Universidade de Fortaleza (Ceará)
Paulo Unimontes-MG: Universidade de Montes Claros (Minas Gerais)
PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Unisa-SP: Universidade de Santo Amaro (São Paulo)
UCS-RS: Universidade de Caxias do Sul (Rio Grande do Sul) Univag-MT: Faculdades Unidas de Várzea Grande (Mato Grosso)
Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina UPE: Universidade de Pernambuco
UEA-AM: Universidade do Estado do Amazonas Vunesp-SP: Fundação para o Vestibular da Unesp (São Paulo)
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina (Paraná)
Uema: Universidade Estadual do Maranhão
Bibliografia
• ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos (LTC),
2003.
• BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 2010.
• COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 2003. 26 v.
• DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2002.
• DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Gradiva, 2012.
• MAGEE, Bryan. História da Filosofia. São Paulo: Loyola, 1999.
• MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
• POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
• . Mathematical Discovery on Understanding, Learning and Teaching Problem Solving.
New York: John Wiley & Sons, 2009. 2 v.
• REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.
279
Índice remissivo
A F posições relativas de dois planos 149
relativas de duas retas 146
abscissa 36 face 166, 172 relativas de pontos 142
agrupamento ordenado 210 fatorial 207
altura da pirâmide 188 postulados 143
G princípio de Cavalieri 184
do prisma 175
ângulo central 24 grau 24 fundamental da contagem 204
prisma 174
obtuso 13 H
reto 20, 157 regular 176
apótema 120 hexaedro 174 probabilidade 232, 238
arco côngruo 31 regular 176
área 124 condicional 243
do quadrado 125 I projeções ortogonais 160
do retângulo 126
do triângulo 127 icosaedro 173 Q
da superfície da pirâmide 190 identidade 67
da superfície de um prisma 177 interpretação geométrica 96 quadrantes 30
do círculo 133 intersecção de eventos 234
do setor circular 135 R
aresta 166 L
lateral 174, 188 radiano 24
arranjo 210 lei dos cossenos 17 reflexão 86
axiomas 143 dos senos 13 regra de Sarrus 82
relação de Euler 169
B M
de Stifel 226
base da pirâmide 195 matriz 65 reta e plano perpendiculares 153
binômio de Newton 228 coluna 65 rotação 86
identidade 67
C inversa 84 S
linha 65
circunferência trigonométrica 24, 29, 35 nula 67 secante 150
combinações 215 oposta 70 seno 13, 35, 43
cosseno 13, 34 quadrada 67 senoide 44
cossenoide 47 transposta 73 simetria 38
cubo 176, 181 sistema escalonado 102
método dedutivo 163
D binomial 249 equivalente 105
impossível 99
determinante de uma matriz 80 N linear 95
diagonal do paralelepípedo 177 possível e determinado 99
diagrama de árvore 204 números binomiais 225, 249 possível e indeterminado 100
distância entre dois pontos 161 subconjunto 216, 233
dodecaedro 169, 173 O
domínio 20, 43 T
octaedro 173
E ordenada 37 tangente 35, 40
teorema de Binet 82
elemento neutro 76 P tetraedro 173
equação linear 96
equiprovável 234 par ordenado 97 regular 189
escala 86, 91 paralelepípedo 145, 175 translação 87
escalonamento 102, 111 triângulo acutângulo 14
espaço amostral 233 retângulo 176
parâmetro 111 de Pascal 225, 228, 249
finito 234 permutações 206, 215 retângulo 24, 128
evento 204, 233 perpendicularismo 155 tronco de pirâmide 169, 195
pirâmide 169, 288
certo 234 U
complementar 238 regular 189
impossível 234 planos paralelos 148 união de eventos 234
eventos independentes 246 poliedro 166
mutuamente exclusivos 234 V
experimento aleatório 234 de Platão 174
regular 172 vértice 85, 166, 172
280 volume da pirâmide 192
do paralelepípedo 182
do prisma 185
do tronco da pirâmide 195
manual
do Professor
Matemática
Volume 2
Sumário
1 Conversa com o professor........................................................................................................................................283
2 Apresentação da coleção..........................................................................................................................................283
3 Um pouco da história do ensino da Matemática no Brasil............................................................................284
4 Pressupostos teóricos e metodológicos para o ensino da Matemática..................................................... 287
5 Características da coleção.........................................................................................................................................293
6 Orientações metodológicas e o conteúdo digital na prática pedagógica................................................. 297
7 O novo Enem.................................................................................................................................................................302
8 Avaliação em Matemática........................................................................................................................................304
9 Texto complementar: Por que se deve avaliar?.................................................................................................309
10 Sugestões complementares: leituras, recursos digitais e passeios............................................................. 311
11 Observações e sugestões para as Unidades e os capítulos
Unidade 1 – Trigonometria....................................................................................................................................... 317
Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer................................................................................ 317
Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos......................................................................................................... 318
Capítulo 3 • Funções trigonométricas.......................................................................................................................... 319
Atividades complementares à Unidade 1.....................................................................................................................320
Unidade 2 – Matrizes, determinantes e sistemas lineares............................................................................ 322
Capítulo 4 • Matrizes e determinantes......................................................................................................................... 322
Capítulo 5 • Sistemas lineares........................................................................................................................................ 325
Atividades complementares à Unidade 2.................................................................................................................... 327
Unidade 3 – Geometria plana e espacial.............................................................................................................330
Capítulo 6 • Polígonos inscritos e áreas.......................................................................................................................330
Capítulo 7 • Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva.................................................................. 331
Capítulo 8 • Poliedros: prismas e pirâmides................................................................................................................ 333
Atividades complementares à Unidade 3.................................................................................................................... 335
Unidade 4 – Análise combinatória e probabilidade ........................................................................................ 338
Capítulo 9 • Análise combinatória................................................................................................................................ 338
Capítulo 10 • Probabilidade............................................................................................................................................340
Atividades complementares à Unidade 4.................................................................................................................... 341
12 Resolução dos exercícios........................................................................................................................................... 347
Capítulo 1.......................................................................................................................................................................... 347
Capítulo 2.........................................................................................................................................................................350
Capítulo 3......................................................................................................................................................................... 352
Capítulo 4......................................................................................................................................................................... 358
Capítulo 5.........................................................................................................................................................................363
Capítulo 6.........................................................................................................................................................................369
Capítulo 7.......................................................................................................................................................................... 371
Capítulo 8......................................................................................................................................................................... 372
Capítulo 9......................................................................................................................................................................... 378
Capítulo 10........................................................................................................................................................................382
Caiu no Enem...................................................................................................................................................................390
282
1 Conversa com o professor
Este Manual foi escrito especialmente para você,professor. e Bases da Educação Nacional (LDB), no 9.394/96, e na
Sei que nem sempre temos condições e oportunidades de ler Resolução no 2, de 30 de janeiro de 2012, que define as
revistas,livros e acessar sites especializados em Educação Ma- Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio.
temática, de participar de encontros e congressos ou de fre-
quentar cursos de especialização ou mestrado. Mas,com base No item Sugestões complementares: leituras, recursos
no trabalho que desenvolvo há décadas com professores de digitais e passeios, procuro estimulá-lo a estar sempre atu-
Matemática como você,sei da grande vontade que todos têm alizado, aperfeiçoando e aprofundando continuamente sua
de estar atualizados e de ter acesso às mais recentes informa- formação em Matemática, em Metodologia do Ensino de
ções sobre aprendizagem e ensino da Matemática. Matemática e em Educação. Fazendo parte desse movimen-
to nacional em prol da melhoria da qualidade da aprendi-
Estou certo de que este Manual vai ajudá-lo nessa pro- zagem e do ensino de Matemática, certamente você se
cura. Você será convidado a refletir comigo sobre questões sentirá mais seguro e motivado nessa difícil, mas gratifican-
como: a história do ensino da Matemática no Brasil, os pres- te, tarefa diária de criar condições para que seus alunos
supostos teóricos e metodológicos para o ensino da Mate- aprendam Matemática com significado e prazer, para pode-
mática, o novo Enem, algumas estratégias didáticas, os rem usá-la naturalmente em sua vida como cidadãos. Com
conteúdos digitais, os temas interdisciplinares e a avaliação isso, estará auxiliando seus alunos na concretização dos
em Matemática, além de outras. princípios gerais da educação: aprender a conhecer, a fazer,
a conviver e a ser.
Reconhecer o caminho trilhado pelo ensino da Mate-
mática no Brasil e buscar respostas para as questões pre- Bom trabalho! Compartilhe comigo suas vitórias, seus
sentes no dia a dia do professor constituíram os primeiros sucessos, suas dúvidas e suas dificuldades enviando suges-
suportes para a elaboração desta coleção. Outros pressu- tões para melhorar este trabalho.
postos que dão sustentação às propostas apresentadas
dizem respeito aos aspectos presentes na Lei de Diretrizes Um abraço.
O Autor.
2 Apresentação da coleção
A educação brasileira, de maneira geral, passa por uma como aplicações dos números reais; aborda taxa de variação
fase de grandes mudanças, sendo elas de recursos didáticos, da função afim; não introduz função como caso particular
de currículo, de expectativas de aprendizagem, de perfil cul- de relação, como é tradicionalmente feito; trabalha as pro-
tural e cognitivo de nossos jovens,entre outras. Essas mudan- gressões como caso particular de função; explora a propor-
ças geram impactos no trabalho do profissional da educação, cionalidade na função linear; explora a Geometria analítica
podendo até mesmo causar desconforto ou insegurança. da parábola na função quadrática; relaciona a função qua-
Assim, um dos objetivos desta coleção, composta de livro do drática a uma progressão aritmética; apresenta caracteri-
aluno e Manual do Professor,é fornecer elementos que ajudem zação da função exponencial por meio da progressão geo-
a atender às necessidades desse novo cenário educacional. métrica; abrevia o cálculo com logaritmos e dá lugar ao uso
da calculadora; apresenta a interpretação geométrica de
Esta coleção apresenta uma metodologia que procura uma progressão aritmética e de uma progressão geométri-
atribuir ao aluno o papel central no processo de ensino-apren- ca; apresenta as posições relativas dos três planos no espa-
dizagem, como agente da sua aprendizagem em constante ço ao estudar os sistemas lineares 3 3 3; apresenta uma
interação com o texto. O aluno é solicitado a responder per- introdução à programação linear; apresenta o método bi-
guntas, confrontar soluções, verificar regularidades, refletir e nomial para o cálculo de probabilidade; apresenta as apli-
tirar conclusões. Para isso, grande parte do conteúdo é intro- cações de Probabilidade à Genética, etc.
duzida por situações-problema e depois sistematizada.
A distribuição dos conteúdos, ao longo da coleção, não
São abordados os principais conteúdos nos campos da esgota um assunto em um único capítulo e aborda um mes-
Aritmética,da Álgebra,da Geometria,das Grandezas e Medidas, mo conceito em vários dos campos mencionados anterior-
da Estatística, da Combinatória e da Probabilidade – sempre mente, bem como sob diferentes pontos de vista dentro de
que possível, integrados entre si e com as demais áreas do um mesmo campo. É o caso das funções e progressões, da
conhecimento. A maioria desses temas é trabalhada a partir função afim e da Geometria analítica da reta, da função
de situações-problema contextualizadas ou interdisciplinares. quadrática e da Geometria analítica da parábola, das gran-
dezas e medidas e dos números, etc.
Os conteúdos são trabalhados de maneira diferenciada.
Por exemplo: tópicos de Grandezas e Medidas aparecem
Manual do Professor 283
3 Um pouco da história do ensino
da Matemática no Brasil
A história da humanidade traz as marcas do desenvol- de artilharia e fortificação”. A primeira dessas aulas no Bra-
vimento de todas as ciências, e a Matemática, como tal, sil foi criada em 1699, no Rio de Janeiro, com a intenção de
apresenta grande evolução nos seus métodos, processos e ensinar a desenhar fortificações. Assim, o Brasil começava
técnicas; na sua organização; na sua relação com outras a formar seus próprios engenheiros com ensino baseado
áreas da atividade humana e no alcance e na importância na filosofia racionalista cartesiana, com o intuito de asse-
das suas aplicações. gurar e registrar as fronteiras da colônia portuguesa.
No campo educacional, o ensino da Matemática tam- No século XVIII,com a“febre”do ouro no Brasil,os militares
bém passou por evoluções na organização de sua estrutura portugueses eram responsáveis pela organização, fundação
como componente curricular e no alcance e na importância das vilas e construção da vida civil nas regiões de mineração,
de sua função no desenvolvimento do pensamento dos o que levou à criação de uma escola militar no ano de 1738.
indivíduos.
No final do século XIX e começo do século XX, o Brasil
Essas transformações estão intimamente ligadas às mu- passou por uma transformação em suas estruturas de poder,
danças políticas e sociais ocorridas historicamente. Fiorentini deixando para trás uma sociedade latifundiária e escravo-
(1995) destaca que não é simples descrever os diferentes crata, caminhando para um modelo urbano-industrial. O
modos de ensinar Matemática ao longo do desenvolvimento ensino da Matemática, que ainda mantinha muitas das
da educação no Brasil,pois em cada um deles há a influência da características do proposto pelos jesuítas, resumia-se a uma
concepção de ensino, de aprendizagem, de Matemática e de apresentação seca, abstrata e lógica, que não atendia a essa
Educação; dos valores e das finalidades atribuídos ao ensino nova sociedade emergente.
da Matemática; da relação professor-aluno e da visão que se
tem de mundo, de sociedade e de ser humano que se perce- A instalação do Governo Provisório em 1930, com uma
be em cada período histórico. nova proposta política e econômica, colocou em destaque
a necessidade de infraestrutura adequada à nova realida-
No período colonial, os jesuítas eram responsáveis pela de, provocando as reformas de ensino de Francisco Campos,
escolarização e tinham o propósito de oferecer uma cultura na década de 1930, e a de Gustavo Capanema, na década
geral básica, ou seja, relevante para a formação do ser hu- de 1940.
mano. Segundo o educador Valente (1999) “as ciências, e em
particular a Matemática, não constituíram, ao longo dos Esses dois políticos tomaram emprestadas muitas
duzentos anos de escolarização jesuítica no Brasil, um ele- ideias desenvolvidas entre os anos 1929 e 1937 pelo pro-
mento integrante da cultura escolar”. fessor de matemática Euclides Roxo. Discípulo do alemão
Felix Klein, um matemático que propôs o que se chamava
A pouca atenção dada à Matemática pelos jesuítas em “Primeiro Movimento Internacional para a Modernização
seus colégios no Brasil foi fruto do pensamento corrente da do Ensino da Matemática”, Roxo acreditava que o ensino
época.A Companhia de Jesus contava com homens de ciências da Matemática de forma fragmentada, como era feito até
entre os seus, mas mesmo entre eles a Matemática nunca foi então, não estava de acordo com o desenvolvimento psi-
considerada ciência autônoma, abstrata e geral. Para eles o cológico do aluno.
ensino das Letras era mais importante, pois era visto como o
verdadeiro formador do ser humano. A nova proposta curricular de Matemática foi implantada
pela primeira vez em 1929 no Colégio Pedro II, onde Roxo era
Valente (1999) afirma que essa postura perante a Mate- professor catedrático. De acordo com o próprio Roxo (1929),
mática mudou no Brasil com a independência de Portugal a reforma na cadeira da disciplina foi uma completa reno-
da dominação espanhola, a que esteve submetido de 1580 a vação e fazia com que os alunos não tivessem provas dis-
1640. Com o restabelecimento de sua soberania, o rei portu- tintas de Aritmética, Álgebra e Geometria, mas sim um
guês dom João IV buscou reorganizar seu Exército nacional exame único de Matemática. Isso permitia que o conteúdo
e trazer para o país os avanços realizados na arte da guerra. das três áreas citadas fosse espalhado e dividido ao longo
dos quatro anos de educação no colégio. Ele ainda explicou
Esse movimento influenciou a educação em Portugal que tal proposta estava resguardada pelas recentes correntes
e, consequentemente, no Brasil. O rei precisava de enge- pedagógicas do mundo civilizado.
nheiros aptos aos novos métodos de construção de fortifi-
cações e à arte de trabalhar o aço e a pólvora, para a criação Roxo (1890-1950) acreditava que a Matemática abstrata
e o manuseio de canhões de artilharia. Esses profissionais ensinada nos colégios já não fazia sentido em uma socie-
foram peças fundamentais das novas Forças Armadas, pois dade de demandas comerciais e industriais como a que
eram especialistas nas “artes mecânicas” e matemáticos existia então no Brasil e queria apresentar conceitos mate-
hábeis, capazes de usar geometria e aritmética em múlti- máticos de forma viva e concreta, respondendo às mudanças
plos campos de trabalho. Para esse fim o rei criou as “aulas culturais do país, mais uma vez influenciado por Felix Klein.
284 Manual do Professor
De acordo com Dassie e Rocha (2003), influenciado por ção lógica a partir de conhecimentos primitivos, axiomas, de-
essa nova proposta, Francisco Rocha, o então ministro da finições e teoremas para, depois, serem apresentados os exer-
Educação e da Saúde do Governo Provisório de Getúlio cícios.A concepção de Matemática subjacente era a platônica,
Vargas, buscou reformar a educação brasileira com ideais na qual se considera que as ideias matemáticas existem inde-
escolanovistas. Em um esforço para criar uma educação pendentemente do ser humano e,portanto,não são construí-
secundária com finalidade própria, e não mais um simples das por ele,o que justifica a postura determinada aos estudan-
preparatório para cursos das universidades, ele instituiu o tes de apenas reproduzir o que era apresentado.
Decreto no 19.890, de 18 de abril de 1931, conhecido como
Reforma Francisco Rocha. Nesse documento estava previsto Do ponto de vista social e político, Fiorentini destaca que
o ensino da Matemática de forma muito similar ao que pen- nessa época a aprendizagem da Matemática era para pou-
sara Euclides Roxo para o Colégio Pedro II, ou seja, prevendo cos “bem dotados” intelectualmente e financeiramente.
o ensino simultâneo dos diferentes campos da disciplina, Garantia-se na escola um ensino mais racional e rigoroso à
porém sem o preciosismo das instruções metodológicas elite dirigente e aos membros da Igreja e, para as classes
apresentadas no programa de Roxo. menos favorecidas que frequentavam a escola técnica, pre-
valecia o cálculo e a abordagem mais mecânica com uma
Tais mudanças não foram recebidas com facilidade pelos coleção de regras e fórmulas.
professores do país, notadamente pelo Exército brasileiro e
pela Igreja católica, que apresentaram críticas severas ao Outro marco da década de 1950 foi a derrota dos ame-
plano do ministro e levaram para a mídia um extenso deba- ricanos no início da corrida espacial para os soviéticos, o
te sobre as metodologias do ensino matemático; o professor que colocou em destaque a necessidade de se investir em
Euclides Roxo participou como defensor da reforma. avanço tecnológico. A partir daí, enormes quantias foram
dispensadas pelas associações científicas para promover a
Em 1939, o então ministro da Educação e da Saúde, reunião de especialistas de renome em Educação, Psicologia
Gustavo Capanema, começou uma série de estudos e consul- e diferentes campos das ciências exatas e naturais. Em re-
tas para a elaboração de uma nova reforma. Entre os docu- lação ao ensino da Matemática, ocorreu na França o Semi-
mentos analisados estavam os relatórios do Instituto Nacional nário de Royaumont, cuja proposta era a de discutir novas
de Estudos Pedagógicos, a proposta do Colégio Pedro II, as perspectivas, tendo em vista uma formação matemática
legislações educacionais vigentes em diversos países euro- voltada ao pensamento científico e tecnológico. Esse semi-
peus, as cartas enviadas pelo próprio Euclides Roxo e seus nário deu origem ao movimento chamado Matemática
opositores às instituições de ensino do Exército e da Igreja. moderna, consolidado pelo grupo Bourbaki.
Assim, a Lei Orgânica do Ensino Secundário foi promul- No Brasil, de 1955 a 1966, foram realizados cinco Con-
gada em 9 de abril de 1942 e foi fruto de um trabalho de gressos de Professores de Matemática com a preocupação
escrita, revisão e crítica do qual participaram todos os prin- de discutir conteúdos e metodologias de ensino. Esses en-
cipais envolvidos nos recentes debates sobre Educação contros inspiraram a criação de grupos importantes para o
Matemática. O objetivo da nova reforma era criar um ensino cenário da Educação Matemática no país nas décadas de
secundário capaz de “formar a personalidade integral dos 1960 e 1970. Dentre eles destacam-se, em São Paulo, o Geem
adolescentes; acentuar e elevar, na formação espiritual (Grupo de Estudos do Ensino de Matemática), liderado por
dos adolescentes, a consciência patriótica e a consciência Oswaldo Sangiorgi e Renata Watanabe; em Porto Alegre, o
humanística; e dar preparação intelectual geral que possa Geempa (Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia
servir de base a estudos mais elevados de formação especial”. de Pesquisa e Ação), com Ester Pilar Grossi como líder desde
Ela dividia o ensino secundário em dois ciclos: o ginasial, com sua criação; no Rio de Janeiro, o Gemeg, que foi substituído
duração de quatro anos, e os cursos clássico e científico no pelo Gepem (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
segundo momento, ambos com duração de três anos. Matemática), tendo como presidente Maria Laura Mouzinho
Leite Lopes; desse grupo também participou José Carlos de
Esse processo de reestruturação ocorrido no início da Mello e Souza (Malba Tahan) e, posteriormente, em Rio Cla-
década de 1940 ficou conhecido como Reforma Capanema. ro (SP), o Sapo (Serviço Ativador em Pedagogia e Orientação),
que foi o embrião do primeiro Mestrado em Educação
Fiorentini (1995) classificou o ensino da Matemática pre- Matemática do país.
sente até o final da década de 1950 como sendo de tendência
formalista cl‡ssica, na qual o ensino era “acentuadamente Segundo Fiorentini (1995), os principais propósitos do
livresco e centrado no professor e no seu papel de transmissor Movimento da Matemática Moderna foram:
e expositor do conteúdo”por meio de explanações orais e apre-
sentação teórica na lousa. Ao aluno cabia apenas o papel de • integrar os três campos fundamentais da Matemática com
reproduzir exatamente o raciocínio e os procedimentos reali-
zados pelo professor ou presentes no livro didático. Essa a introdução de elementos unificadores, como a teoria dos
tendência recebeu o nome de formalista clássica porque em conjuntos, estruturas algébricas e relações e funções;
relação ao seu ensino a Matemática era apresentada como
reprodução do modelo euclidiano, isto é, como uma organiza- • substituir o caráter mecanizado, não justificado e regrado
presente na Matemática escolar por outro com mais ên-
fase nos aspectos estruturais e lógicos da Matemática;
Manual do Professor 285
• fazer com que o ensino de 1o e 2o graus refletisse o espírito De acordo com os PCN, em 1980, nos Estados Unidos, o
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) divul-
da Matemática contemporânea,que,graças ao processo de gou o documento “Agenda para Ação”, no qual apresentou
algebrização,tornou-se mais poderosa,precisa e fundamen- recomendações para o ensino da Matemática, destacando a
tada logicamente. resolução de problemas como foco. Imprimiu novos rumos às
discussões curriculares ao destacar a compreensão da relevância
Com a aprovação, em 1961, da Lei de Diretrizes e Bases de aspectos sociais, antropológicos e linguísticos na aprendiza-
da Educação Nacional, esse movimento ganhou força nas gem da Matemática.As reformas educacionais foram fortemen-
décadas de 1960 e 1970. Os Parâmetros Curriculares Nacio- te influenciadas por esse documento, de modo que propostas
nais (PCN) de 1998 destacam que, com base nesse movi- elaboradas em diferentes países, nas décadas de 1980 e 1990,
mento, a Matemática era concebida como lógica e que de- apresentam pontos em comum no que diz respeito a:
veria ser compreendida a partir de suas estruturas,
conferindo um papel fundamental à linguagem matemáti- • direcionamento do Ensino Fundamental para a aquisição
ca. O ensino passou a ter excessiva preocupação com abs-
trações internas à própria Matemática, em uma tentativa de competências básicas necessárias ao cidadão e não
de aproximar a Matemática pura da Matemática escolar. apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores;
Para Fiorentini (1995), esse movimento promovia o re- • importância do desempenho de um papel ativo do aluno
torno ao formalismo matemático, só que tendo como fun-
damento as estruturas algébricas e a linguagem formal da na construção do seu conhecimento;
Matemática contemporânea. Enfatizava o uso preciso da
linguagem matemática, o rigor e as justificativas das trans- • ênfase na resolução de problemas, na exploração da Ma-
formações algébricas por meio das propriedades estruturais.
temática a partir dos problemas vividos no cotidiano e
No entanto, destaca esse autor que não ocorreram mui- encontrados nas várias disciplinas;
tas mudanças em relação ao ensino-aprendizagem, pois o
ensino continuou acentuadamente autoritário e centrado • importância de se trabalhar com um amplo espectro de
no professor, que permaneceu desenvolvendo sua aula na
lousa, onde demonstrava tudo rigorosamente. O aluno conteúdos, incluindo-se, já no Ensino Fundamental, ele-
continuou sendo considerado aquele que deve receber pas- mentos de Estatística, Probabilidade e Combinatória para
sivamente o apresentado pelo professor, tendo de repro- atender à demanda social que indica a necessidade de
duzir a linguagem e os raciocínios lógico-estruturais dita- abordagem desses assuntos;
dos por ele.
• necessidade de levar os alunos a compreender a impor-
Nessa linha, as finalidades do ensino da Matemática
estariam voltadas mais a formar um especialista em Mate- tância do uso da tecnologia e a acompanhar sua perma-
mática do que um cidadão, pois a Matemática escolar per- nente renovação (PCN Matemática, 1997, p. 21).
deu tanto seu papel de formadora da disciplina mental
quanto seu emprego como ferramenta para a resolução de Esses aspectos apontados foram os norteadores das
problemas. A formação matemática assumiu uma perspec- indicações e propostas apresentadas para o ensino da
tiva em que era mais importante a apreensão da estrutura, Matemática pelos PCN, válidas até hoje.
que capacitaria o aluno a aplicar essas formas de pensa-
mento aos mais variados domínios, do que a aprendizagem Esse documento destaca a Etnomatemática com suas
de conceitos e aplicações da Matemática. propostas alternativas para a ação pedagógica.Tal programa
contrapõe-se às orientações que desconsideram qualquer
Fiorentini (1995) sintetiza dizendo que o ensino da Ma- relacionamento mais íntimo da Matemática com aspectos
temática nesse contexto pode ser considerado de tendência socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por
formalista moderna e, tal como a tendência formalista clás- fatores outros a não ser sua própria dinâmica interna. Do
sica,“pecou pelo reducionismo à forma de organização/sis- ponto de vista educacional, procura compreender os pro-
tematização dos conteúdos matemáticos, uma vez que em cessos de pensamento, os modos de explicar, de entender e
ambos se relega a segundo plano sua significação histórico- de atuar na realidade, dentro do contexto cultural do próprio
-cultural e a essência das ideias e conceitos matemáticos”. indivíduo. A Etnomatemática procura partir da realidade e
Destaca, porém, que uma diferença fundamental entre essas chegar à ação pedagógica de maneira natural, mediante um
duas tendências está no fato de que, enquanto a clássica enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural.
enfatiza e valoriza o encadeamento lógico do raciocínio ma-
temático e as formas perfeitas e absolutas das ideias ma- O mesmo documento, ao apresentar “caminhos para se
temáticas, a moderna busca os desdobramentos lógico- ‘fazer Matemática’ em sala de aula”, dá ênfase à resolução
-estruturais das ideias matemáticas, tendo por base as de problemas como um recurso a ser utilizado em seu en-
estruturações algébricas mais atuais, considerando estar aí sino. Apoia-se na história da Matemática para justificar sua
expressada a qualidade do ensino. aplicação, considerando que a própria Matemática foi cons-
truída como resposta a perguntas provenientes de diferen-
286 Manual do Professor tes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem
prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas
vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como
por problemas relacionados a investigações internas à pró-
pria Matemática. Assim, defende uma proposta com os se-
guintes princípios:
• o ponto de partida da atividade matemática não é a defini- em Educação Matemática do país, na Unesp de Rio Claro (SP).
Destacamos também a influência dos trabalhos desenvolvi-
ção,mas o problema. No processo de ensino-aprendizagem, dos na Faculdade de Educação da Unicamp, a linha de pes-
conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abor- quisa ‘Educação Matemática’ existente no Programa de Pós-
dados mediante a exploração de problemas, ou seja, de si- -Graduação em Educação da UFRN, o Programa de
tuações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo Pós-Graduação em Psicologia da UFPE, etc. Acrescenta-se
de estratégia para resolvê-las; ainda o SPEC (Subprograma Educação para a Ciência), da UFRJ.
• o problema certamente não é um exercício em que o alu- Em fevereiro de 1987 aconteceu o I Encontro Nacional
de Educação Matemática (ENEM), realizado no Centro de
no aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um Ciências Matemáticas, Físicas e Tecnológicas da PUC-SP. Ao
processo operatório. Só há problema se o aluno for levado todo já aconteceram onze ENEMs. Nesses encontros têm
a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a sido apresentados os últimos trabalhos e pesquisas em Edu-
estruturar a situação que lhe é apresentada; cação Matemática. São oferecidos minicursos, palestras,
conferências, mesas redondas, oficinas, com o objetivo de
• aproximações sucessivas ao conceito são construídas divulgar e socializar os conhecimentos sobre o tema, trocar
experiências de ensino de Matemática em todos os níveis
para resolver certo tipo de problema; em outro momen- e promover o intercâmbio de ideias. Esse evento é realizado
to, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, a cada três anos.
o que exige transferências, retificações, rupturas, segun-
do um processo análogo ao que se observa na história Todos os esforços dos precursores do movimento da
da Matemática; Educação Matemática no Brasil resultaram na criação da
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática, du-
• o aluno não constrói um conceito em resposta a um pro- rante o II ENEM, em janeiro de 1988, na Universidade Esta-
dual de Maringá (PR). A SBEM tem como finalidade congre-
blema, mas constrói um campo de conceitos que tomam gar profissionais da área de Educação Matemática e de
sentido em um campo de problemas. Um conceito mate- áreas afins e cumpre um importante papel na formação da
mático se constrói articulado com outros conceitos, por comunidade de professores de Matemática no Brasil.
meio de uma série de retificações e generalizações;
O Movimento de Educação Matemática acontece em
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser âmbito internacional, em várias instâncias e em todos os
níveis de ensino. O Brasil tem sido até mesmo palco de en-
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendi- contros internacionais de Educação Matemática, a exemplo
zagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois do Seminário Internacional de Pesquisas em Educação Ma-
proporciona o contexto em que se pode apreender con- temática (SIPEM). Ao todo já aconteceram seis SIPEM’s.
ceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN Ma-
temática, 1997, p. 32-33).
A década de 1980 foi decisiva para a Educação Matemá-
tica no Brasil, pelo início da expansão, em praticamente todo
o país, de programas de pós-graduação em Educação Mate-
mática. Em 1984, inicia-se formalmente o primeiro Mestrado
4 Pressupostos teóricos e metodológicos
para o ensino da Matemática
Ensino Médio selho Nacional de Educação, ao definir as Diretrizes Curri-
culares Nacionais para o Ensino Médio, agrega a essa etapa
Na organização da educação escolar brasileira, deter- do processo educacional maior presença dos desenvolvi-
minada pela LDB, o Ensino Médio constitui a última etapa mentos sociais e tecnológicos e enfoque interdisciplinar,
da Educação Básica e é considerado um momento de con- com intuito de garantir uma relação mais ampla entre o
solidação e aprofundamento dos conhecimentos básicos do aprendido na escola e os acontecimentos cotidianos da so-
Ensino Fundamental. De acordo com ela, nessa fase promo- ciedade em que estão inseridos. Assim, são essenciais a
ver-se-á uma preparação básica para o trabalho e a cidada- participação e a iniciativa dos alunos, que devem trazer seu
nia da pessoa, que permita que esta continue aprendendo mundo à escola para que possam compreendê-lo e mudá-lo
e se adaptando a uma sociedade em constante mudança, com o exercício de sua cidadania.
isto é, nesse nível de escolaridade deve-se visar ao aprimo-
ramento da ética, da autonomia intelectual e do pensamen- Para Angela Maria Martins (2000), estudiosa e pesqui-
to crítico do estudante, promovendo o relacionamento entre sadora de políticas de Educação Básica e Educação Profis-
teoria e prática, possibilitando a compreensão dos funda- sional, essas resoluções oficiais estão promovendo um
mentos científicos e tecnológicos que orientam os processos processo de modernização do Ensino Médio, que tem como
produtivos da sociedade. principal motivo a necessidade de readequação da educa-
ção brasileira às mudanças do mercado de trabalho e da
Mais detalhadamente, a Resolução no 2, de 30 de janei- nova realidade econômica que começou a se impor a partir
ro de 2012, emitida pela Câmara de Educação Básica do Con-
Manual do Professor 287
da década de 1980, época da revolução tecnológica e início Médio em todo o território brasileiro. No documento orien-
do declínio da concentração de capital nos meios de pro- tador (Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/dmdocu-
dução industriais. ments/documento_orientador.pdf>. Acesso em: 13 maio
2016), o Ministério da Educação reconhece que um dos fato-
Segundo ela, essa modernização torna-se emergencial res possíveis para essas estatísticas problemáticas, nessa
neste momento histórico de computadores conectados a etapa do sistema educacional, seja exatamente a falta de
redes globais, gerando um imenso volume de informação. sensibilidade e de objetivos para o currículo do Ensino Médio.
Momento que mostra ser inegável a importância do conhe-
cimento e raciocínio matemático. O próprio Ministério da Assim, o Ensino Médio deixa de ser simplesmente pre-
Educação, em suas publicações recentes, reconhece que a paratório para o Ensino Superior ou estritamente profissio-
Matemática deve ser hoje compreendida como uma parce- nalizante para assumir necessariamente a responsabilidade
la do conhecimento humano essencial para a formação de de completar a educação básica, preparando para a vida,
todos os jovens, capaz de contribuir para a construção de qualificando para a cidadania e capacitando para o apren-
uma visão de mundo, essencial para ler e interpretar a rea- dizado permanente, em eventual prosseguimento dos es-
lidade e para desenvolver capacidades que serão exigidas tudos ou diretamente no mundo do trabalho.
na vida social e profissional das pessoas.
Essa implantação implicará um aumento de 600 horas
Nesse contexto, a Matemática supera o caráter instru- na formação do aluno, passando a carga horária de 2 400
mental e deve ser apresentada como ciência, com caracte- horas anuais para 3 000 horas anuais. Esse aumento será
rísticas próprias de investigação e de linguagem, e papel gradativo, à razão de 200 horas por ano. A grade horária
integrador importante ao lado das Ciências da Natureza. sofrerá uma flexibilização e o aluno terá a possibilidade de
Essa nova percepção da Matemática como ciência deve per- escolher 20% da sua carga horária, em um conjunto de ati-
mitir ao aluno perceber sua dimensão histórica e a estreita vidades oferecidas pela escola. Além dessas mudanças, o
relação que possui com a sociedade e a cultura em diferen- Ensino Médio Inovador estabelece como referencial as se-
tes épocas, ampliando e aprofundando o espaço de conhe- guintes proposições curriculares e condições básicas para
cimento que existe nessas inter-relações. os projetos das escolas:
a) centralidade na leitura, como elemento básico de todas
Sua inserção no Ensino Médio, no entanto, deve ser ade-
quada ao desenvolvimento e à promoção de seu valor entre as disciplinas; utilização, elaboração de materiais moti-
os alunos, tendo em mente que existem diferentes motiva- vadores e orientação docente voltadas para essa prática;
ções, interesses e capacidades. b) estímulo a atividades teórico-práticas apoiadas em la-
boratórios de Ciências, Matemática e outros que auxi-
Levando em conta ainda as resoluções do governo federal, liem os processos de aprendizagem nas diferentes áreas
há que se destacar a proposta do Ensino Médio Inovador, do conhecimento;
motivada, segundo a revista Educação (Edição 172. São Paulo: c) fomento de atividades de Arte, com o objetivo de pro-
Segmento) de agosto de 2011, pela percepção em todo o mun- mover a ampliação do universo cultural do aluno;
do de um clima de desinteresse dos adolescentes pela vida d) atividade docente com dedicação exclusiva à escola;
escolar. A partir daí, muitas reflexões têm sido feitas sobre os e) projeto político-pedagógico implementado com a par-
possíveis caminhos para que o Ensino Médio seja vivido e ticipação efetiva da comunidade escolar e a organização
percebido como significativo. Nessa perspectiva, o desafio curricular articulada com os exames do Sistema Nacio-
dos sistemas de ensino nos últimos anos tem sido a busca nal de Avaliação do Ensino Médio.
da organização de um programa curricular que consiga, ao Em apoio à estratégia do redesenho curricular, encontra-
mesmo tempo, formar os jovens para continuar os estudos -se o Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Médio
no Ensino Superior e prepará-los para o mercado de trabalho. no Brasil (PNEM), instituído pela Portaria no 1.140, de 22 de
novembro de 2013, visando elevar o padrão de qualidade
No Brasil, para melhorar o cenário, o governo federal nesse nível de ensino, em suas diferentes modalidades,
aposta, desde 2004, em propostas que apontem para um orientado pela perspectiva de inclusão de todos que a ele
programa curricular mais flexível. Uma das principais me- têm direito. (PNEM. Disponível em: <http://pactoensino
didas foi a possibilidade de integrar o ensino regular e a medio.mec.gov.br/>. Acesso em: 4 fev. 2016.)
educação profissional, sacramentada pelo Decreto No momento da reformulação deste Manual, encontra-
no 5.154/04. A Portaria no 971, de outubro de 2009, instituiu va-se em discussão a Base Nacional Comum Curricular (BNC),
o Programa Ensino Médio Inovador (ProEMI) como parte que, quando aprovada, será o principal documento norteador
das ações do Plano de Desenvolvimento da Educação, em da educação básica no Brasil. Até março de 2016, cidadãos,
uma tentativa de induzir, por meio de parcerias com muni- organizações e profissionais da educação puderam, por meio
cípios e estados, a reestruturação do currículo do Ensino do site da BNC, conhecer a sua proposta, dar contribuições
Médio brasileiro. às discussões e acessá-las, verificar os números da consulta
pública realizada, além de acessar relatórios do MEC. (BNC.
Essa iniciativa tem como preocupação os recentes nú-
meros levantados por pesquisas oficiais que mostram a
desaceleração ou a queda no ingresso de alunos no Ensino
288 Manual do Professor
Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/#/ • fazer arredondamentos e estimativas mentais de resul-
site/inicio>. Acesso em: 14 mar. 2016.)
tados aproximados;
Tendo esses elementos como pressupostos é que pode-
mos agora considerar os objetivos específicos do ensino de • desenvolver atitudes positivas em relação à Matemá-
Matemática no Ensino Médio.
tica, como autonomia, confiança em relação às suas
Objetivos gerais do ensino da capacidades matemáticas, perseverança na resolução
Matemática no Ensino Médio de problemas, gosto pela Matemática e pelo trabalho
cooperativo;
Vivemos em uma sociedade tecnológica, informatizada,
globalizada e é fundamental que se desenvolva nos alunos • analisar e interpretar criticamente dados provenientes de
do Ensino Médio a capacidade de: comunicar-se em várias
linguagens; investigar, resolver e elaborar problemas; tomar problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento
decisões, fazer conjecturas, hipóteses e inferências; criar e do cotidiano.
estratégias e procedimentos; adquirir e aperfeiçoar conhe-
cimentos e valores; trabalhar solidária e cooperativamente; Em relação aos campos da Matemática, os objetivos
e estar sempre aprendendo. específicos do ensino devem ser os de capacitar o estudan-
te para:
No Ensino Fundamental os alunos tiveram um primeiro
contato com vários campos da Matemática, como números • saber utilizar o sistema de numeração, as operações, suas
e operações, formas geométricas planas e espaciais, gran-
dezas e medidas, iniciação à Álgebra, aos gráficos e às noções propriedades e suas regularidades nos diversos conjuntos
de probabilidade. Agora, no Ensino Médio, é o momento de numéricos;
ampliar e aprofundar tais conhecimentos, estudar outros
temas, desenvolver ainda mais a capacidade de raciocinar, • empregar corretamente os conceitos e procedimentos
de resolver problemas, generalizar, abstrair e de analisar e
interpretar a realidade que nos cerca, usando para isso o algébricos, incluindo o uso do importante conceito de
instrumental matemático. função e de suas várias representações (gráficos, tabelas,
fórmulas, etc.);
Mas a Matemática tem características próprias, tem uma
beleza intrínseca que deve ser ressaltada na importância • conhecer as propriedades geométricas das figuras planas
dos conceitos, das propriedades, das demonstrações dos
encadeamentos lógicos, do seu aspecto dedutivo, funda- e sólidas e suas representações gráfica e algébrica, bem
mentando seu caráter instrumental e validando ou não como reconhecer regularidades nelas;
intuições e conjecturas. Assim, no Ensino Médio é impor-
tante trabalhar gradativamente a Matemática também • compreender os conceitos fundamentais de grandezas e
como um sistema abstrato de ideias.
medidas e saber usá-los na formulação e resolução de
Objetivos específicos do ensino problemas;
da Matemática no Ensino Médio
• utilizar os conceitos e procedimentos da Estatística e da Pro-
As propostas e atividades matemáticas devem possibi-
litar aos estudantes: babilidade, valendo-se para isso da Combinatória, entre ou-
tros recursos.
• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias
Temas transversais
matemáticos e planejar soluções para problemas novos, e a Matem‡tica
que exijam iniciativa e criatividade;
Na escola, professores e alunos muitas vezes são con-
• aplicar conhecimentos matemáticos para compreender, frontados por questões que envolvem assuntos atuais e
urgentes que precisam ser tratados por toda a comunidade
interpretar e resolver situações-problema do cotidiano ou escolar, para atender às demandas da sociedade ou da pró-
do mundo tecnológico e científico; pria escola. Os temas transversais trazem ao currículo esco-
lar a possibilidade de abordar essas questões por todas as
• desenvolver a capacidade de comunicação de ideias ma- áreas e disciplinas.
temáticas por escrito ou oralmente, promovendo sua É importante destacar que os temas transversais não
capacidade de argumentação; são novas disciplinas ou novos componentes curriculares
a serem acrescidos aos já existentes, mas sim objetos de
• estabelecer relações, conexões e integração entre os diferen- conhecimento cuja complexidade demanda as perspec-
tivas teóricas e práticas de todos os componentes curri-
tes campos da Matemática para resolver problemas,interpre- culares, além de incluir saberes extraescolares.
tando-os de várias maneiras e sob diferentes pontos de vista;
É uma proposta que deve buscar construir uma articu-
• interpretar e validar os resultados obtidos na solução de lação das diversas áreas de conhecimento, o envolvimento
de toda a comunidade escolar, desenvolver as relações in-
situações-problema; terpessoais democráticas, o pensamento crítico e a disposi-
ção para intervir na realidade e transformá-la.
Os PCN do Ensino Fundamental apresentam quatro crité-
rios a serem adotados para a seleção de temas transversais:
Manual do Professor 289
urgência social, abrangência nacional, possibilidade de en- • estimule a solidariedade entre os alunos, superando o
sino e aprendizagem e favorecimento da compreensão da
realidade e da participação social. individualismo.
O trabalho em duplas ou em equipes é próprio para o
O critério da urgência social aponta para a preocupação
de se ter como tema transversal questões que se apresentem desenvolvimento de tais atitudes.
como obstáculos ao exercício pleno da cidadania, afrontem
a dignidade das pessoas e deteriorem sua qualidade de vida. Orientação Sexual
O critério da abrangência nacional indica a necessidade Não cabe ao professor de Matemática dar orientação
de se tratar de questões pertinentes a todo o país. sexual aos alunos, mas, de modo transversal, poderá propor
situações-problema, principalmente envolvendo tabelas e
O critério da possibilidade de ensino e aprendizagem pro- gráficos, a respeito de temas sobre os quais os alunos pos-
cura nortear a escolha de temas ao alcance da aprendizagem, sam refletir.
alicerçada nas experiências pedagógicas, no caso específico
da Matemática, nas propostas da Educação Matemática. Veja alguns exemplos que podem ser explorados:
O último critério, favorecimento da compreensão da • estatísticas sobre a incidência de gravidez prematura en-
realidade e da participação social, aponta para a importân-
cia de os temas transversais possibilitarem aos alunos uma tre jovens e adolescentes;
visão ampla e consistente da realidade brasileira de modo
que possam assumir atitudes responsáveis, sem excluir a • evolução da Aids em diferentes grupos ( jovens, idosos,
possibilidade de que cada localidade apresente temas rele-
vantes às suas necessidades específicas. homens, mulheres, etc.);
Com base nesses princípios, os PCN sugerem alguns te- • estatísticas sobre doenças sexualmente transmissíveis;
mas amplos a serem considerados geradores de discussões • estatísticas sobre prevenção de doenças sexualmente
na comunidade escolar. A Matemática tem muitas contribui-
ções a dar nesse trabalho conjunto e muitas delas já per- transmissíveis.
meiam os assuntos desta coleção. É possível também trabalhar com estatísticas e situa-
Os temas transversais podem ser apresentados por meio ções-problema que não reafirmem preconceitos em relação
de situações-problema e trabalhos em equipe. Esses temas à capacidade de aprendizagem de alunos de sexos diferen-
aparecem ao longo de toda a coleção, tendo um destaque tes, bem como mostrar a diferença de remuneração e de
especial na seção Outros contextos. O professor poderá en- cargos de chefia entre homens e mulheres.
riquecer suas atividades com esses temas seguindo as orien-
tações dos PCN e dos PCN+. (PCN+. Ensino Médio: Orienta- Meio Ambiente
ções Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
– Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Esse tema pode e deve ser trabalhado em vários mo-
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ mentos na aula de Matemática. Veja alguns exemplos:
CienciasNatureza.pdf>. Acesso em: 28 mar. 2016.)
Coleta, organização e interpretação de dados estatísti-
A seguir, discutiremos algumas dessas orientações. cos, formulação de hipóteses, modelagem, prática da argu-
mentação, etc. são procedimentos que auxiliam na tomada
Ética de decisões sobre a preservação do meio ambiente.
Com atividades apropriadas, é possível desenvolver no A quantificação permite tomar decisões e fazer investi-
aluno atitudes como: gações necessárias (por exemplo, reciclagem e aproveita-
mento de materiais).
• confiança na própria capacidade de construir e adquirir
Áreas, volumes, proporcionalidade e porcentagem são
conhecimentos matemáticos e resolver problemas com eles; conceitos utilizados para abordar questões como poluição,
desmatamento, camada de ozônio, etc.
• empenho em participar ativamente das atividades na sala
Saúde
de aula;
Dados estatísticos sobre vários fatores que interferem
• respeito à maneira de pensar dos colegas. na saúde do cidadão, quando trabalhados adequadamente
na sala de aula,podem conscientizar o aluno e,indiretamente,
Para isso, é preciso que o professor: sua família. Alguns contextos apropriados para a aprendi-
zagem de conteúdos matemáticos são:
• valorize a troca de experiências entre os alunos;
• promova o intercâmbio de ideias; • índices da fome, da subnutrição e da mortalidade infantil
• respeite o pensamento, a produção e a maneira de se
em várias regiões do país e, em particular, naquela em que
expressar do aluno; vive o aluno;
• deixe claro que a Matemática é para todos e não apenas • médias de desenvolvimento físico no Brasil e em outros
para alguns mais talentosos; países;
290 Manual do Professor • razão médico/população e suas consequências;
• estatísticas sobre várias doenças (dengue, malária, etc.) e
como preveni-las;
• levantamento de dados sobre saneamento básico, condi-
ções de trabalho, dieta básica, etc.
Pluralidade Cultural cessidade foi expressa no relatório da Comissão Interna-
cional sobre a Educação para o Século XXI, no texto “Edu-
A Matemática foi e é construída por todos os grupos cação: um tesouro a descobrir”, publicado em 1998 por
sociais (e não apenas por matemáticos) que desenvolvem Edições Unesco Brasil. As considerações desse importante
habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, repre- documento passaram a integrar os eixos norteadores da
sentar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e política educacional. Os quatro pilares da educação con-
interesses. Valorizar esse saber matemático-cultural e apro- temporânea citados pela Unesco são: aprender a ser,
ximá-lo do saber escolar em que o aluno está inserido é de aprender a fazer, aprender a viver juntos e aprender a
fundamental importância para o processo de ensino-apren- conhecer. Esses eixos devem constituir ações permanentes
dizagem. A Etnomatemática dá grande contribuição a esse que visem à formação do educando como pessoa e como
tipo de trabalho. cidadão. Na relação entre esses quatro pilares é que a inter-
disciplinaridade e a contextualização se inserem na ousadia
No estudo comparativo dos sistemas de numeração, de novas abordagens de ensino na Educação Básica.
por exemplo, os alunos poderão constatar a supremacia
do sistema indo-arábico e concluir que a demora de sua Interdisciplinaridade
adoção pelos europeus se deveu também ao preconceito
contra os povos de tez mais escura e que não eram cris- A interdisciplinaridade, como a própria palavra recomen-
tãos. Outros exemplos poderão ser encontrados ao se da, não anula as disciplinas, mas sugere que elas dialoguem
pesquisar a produção de conhecimento matemático em entre si. O caráter puramente disciplinar do ensino formal
culturas como a chinesa, a maia e a romana. Nesse mo- tem dificultado a aprendizagem do aluno e não tem esti-
mento entra o recurso da história da Matemática e da mulado o desenvolvimento de seu pensamento, a habilidade
Etnomatemática. de resolver problemas e de estabelecer conexões entre os
fatos e conceitos, isto é, de “pensar” sobre o que está sendo
Trabalho e Consumo estudado. De acordo com Edgar Morin (2001), “o parcela-
mento e a compartimentação dos saberes impedem o alu-
Situações ligadas ao tema trabalho podem se tornar no de apreender o que está tecido junto”.
contextos interessantes a ser explorados na sala de aula: o
estudo de causas que determinam aumento/diminuição de É importante considerar que a interdisciplinaridade su-
empregos; pesquisa sobre oferta/procura de emprego; pre- põe um eixo integrador com as disciplinas de um currículo
visões sobre o futuro mercado de trabalho em função de para que os alunos aprendam a olhar o mesmo objeto sob
indicadores atuais; pesquisas dos alunos dentro da escola diferentes perspectivas. Os PCN destacam que:
ou na comunidade a respeito dos valores que os jovens de
hoje atribuem ao trabalho. O conceito de interdisciplinaridade fica mais claro quando
se considera o fato trivial de que todo conhecimento mantém
Às vezes o consumo é apresentado como forma e obje- um diálogo permanente com os outros conhecimentos, que
tivo de vida, transformando bens supérfluos em vitais e pode ser de questionamento, de confirmação, de complemen-
levando ao consumismo. É preciso mostrar que o objeto de tação, de negação, de ampliação, [...].
consumo – um tênis ou uma roupa “de marca”, um produto
alimentício ou um aparelho eletrônico, etc. – é fruto de um PCNEM (2000, p. 75).
tempo de trabalho.
Dessa forma, trabalhando de modo interdisciplinar,
Aspectos ligados aos direitos do consumidor também propõe-se que a organização e o tratamento dos conteúdos
necessitam da Matemática para ser mais bem compreen- do ensino e as situações de aprendizagem sejam feitos
didos. Por exemplo, para analisar a composição e a quali- destacando-se as múltiplas interações entre as várias disci-
dade de produtos e avaliar seu impacto sobre a saúde e o plinas do currículo, superando sempre que possível a frag-
meio ambiente, ou para analisar a razão entre menor preço/ mentação entre elas. É sabido que algumas disciplinas se
maior quantidade. Nesse caso, situações de oferta como identificam, se aproximam, têm muitas afinidades (como,
“compre 3 e pague 2” nem sempre são vantajosas, pois ge- por exemplo, a Matemática e a Física), enquanto outras se
ralmente são feitas para produtos que não estão com mui- diferenciam em vários aspectos: pelos métodos e procedi-
ta saída – portanto, não há, muitas vezes, necessidade de mentos que envolvem, pelo objeto que pretendem conhecer
comprá-los em grande quantidade – ou que estão com o ou ainda pelo tipo de habilidade que mobilizam naquele
prazo de validade próximo do vencimento. que as investiga, conhece, ensina ou aprende.
Interdisciplinaridade e Os professores de uma mesma classe podem promover
contextualiza•‹o um ensino interdisciplinar por meio de um projeto de
investigação, um plano de intervenção ou mesmo de uma
O atual mundo globalizado apresenta muitos desafios atividade. Nesse caso, são identificados os conceitos e
ao ser humano, e a educação manifesta a necessidade de procedimentos de cada disciplina que podem contribuir
romper com modelos tradicionais para o ensino. Essa ne- nessa tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo solu-
ções e executando-a. Os conceitos podem ser formalizados,
Manual do Professor 291
sistematizados e registrados no âmbito das disciplinas que conhecimentos mais complexos. Esse tipo de contextualiza-
contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a inter- ção atende às perspectivas de formação de alunos mais curio-
disciplinaridade não pressupõe a diluição das disciplinas. sos, estimulando a criatividade e o espírito inventivo.
A tarefa a ser executada é que é interdisciplinar na sua
concepção, execução e avaliação. Etnomatemática e modelagem
A linguagem matemática é comum às demais áreas do O que é Etnomatemática?
currículo. Por exemplo, os conceitos das Ciências Naturais
(Física, Química e Biologia) e as leis naturais geralmente são O prefixo etno tem significado muito amplo, referente
expressos pela linguagem matemática. ao contexto cultural e, portanto, inclui considerações como
linguagem, jargão, códigos de comportamento, mitos e sím-
Esta coleção procura dar relevo a vários modelos ma- bolos; matema é uma raiz difícil, que vai na direção de ex-
temáticos que favorecem a interdisciplinaridade, tais plicar, de conhecer, de entender; tica, sem dúvida, vem de
como: a função linear e as situações de proporcionalidade techne, que é a mesma raiz de arte e de técnica. Assim,
direta; a função quadrática e o movimento uniformemen- Etnomatemática é a arte ou técnica de explicar, de conhecer,
te variado; a função exponencial e vários fenômenos na- de entender nos diversos contextos culturais. Ela procura
turais; a Probabilidade e a Genética; as Grandezas e Me- compreender o saber/fazer matemático ao longo da Histó-
didas e as práticas científicas, tecnológicas e sociais; as ria da humanidade, contextualizando, em diferentes grupos
funções trigonométricas e os fenômenos periódicos, etc. de interesse, comunidades, povos e nações.
Contextualização As práticas matemáticas de feirantes, comerciantes, bor-
racheiros, cirurgiões cardíacos, vendedores de suco de frutas,
Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada bicheiros, indígenas e de grupos africanos enquadram-se, por
significa aproveitar ao máximo as relações existentes entre exemplo, nos estudos e nas pesquisas da Etnomatemática.
esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do aluno,
dando significado ao que está sendo aprendido, levando-se Para se inteirar sobre Etnomatemática, recomendamos
em conta que todo conhecimento envolve uma relação ati- a leitura dos livros Etnomatemática: elo entre as tradições e
va entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a con- a modernidade, de Ubiratan D’Ambrósio, editora Autêntica;
textualização ajuda a desenvolver no aluno a capacidade e Etnomatemática, de Ubiratan D’Ambrósio, editora Ática; e
de relacionar o aprendido com o observado e a teoria com da revista Educação Matemática em Revista, da SBEM, ano 1,
suas consequências e aplicações práticas. Ajuda também a n. 1, 1993, inteiramente dedicada a esse tema.
articular a Matemática com os temas atuais da ciência e da
tecnologia, bem como a fazer conexões dentro da própria O que é modelagem?
Matemática.
Diante de uma realidade complexa, global, podemos
A história da Matemática é também uma importante reduzir esse grau de complexidade isolando algumas variá-
ferramenta de contextualização ao enfocar a evolução e veis. Temos, assim, uma representação da realidade sobre a
as crises pelas quais determinados conceitos matemáticos qual refletimos e procuramos construir estratégias de ação.
passaram ao longo da História. Grande parte das situações- De posse dos resultados obtidos nessa representação,
-problema desta coleção é contextualizada. voltamos ao global.
A contextualização é um instrumento bastante útil, des- Esse processo de passagem do global para o local e do
de que interpretada em uma abordagem mais ampla e não local para o global, a partir de representações, é geralmente
empregada de modo artificial, forçado e restrito. Não se chamado modelagem.
pode entender a contextualização como banalização do
conteúdo, mas como recurso pedagógico para tornar a cons- Acompanhe esta explicação apresentada por Ubiratan
tituição de conhecimentos um processo permanente de D’Ambrósio:
formação de capacidades intelectuais superiores. Capaci-
dades que permitem transitar inteligentemente do mundo O esforço de explicar, de entender, de manejar uma porção
da experiência imediata e espontânea para o plano das da realidade, um sistema, normalmente se faz isolando esse
abstrações. Assim, contextualizar é situar um fato dentro sistema e escolhendo alguns parâmetros nos quais concen-
de uma teia de relações possíveis em que se encontram os traremos nossa análise. Com isso, o sistema, com toda a com-
elementos constituintes da própria relação considerada. plexidade que ele oferece, fica aproximado por um sistema
artificial, no qual se destacam somente alguns parâmetros
Ao assumir essa concepção de contextualização, toma-se (algumas qualidades) e se ignoram suas interações com o
a posição de que um trabalho em Matemática, com esse todo. Dessa maneira considera-se um modelo e passa-se a
propósito, não tem sua ênfase apenas voltada a situações analisar e refletir sobre o modelo. Este é o processo de mode-
aplicadas ao cotidiano ou a outras disciplinas, mas também lagem, na sua essência, uma forma de abstração. São exem-
a situações puramente matemáticas. Nesses casos, são pro- plos históricos de modelagem em Matemática a Geometria
postas investigações que podem ser efetuadas a partir de euclidiana, a Mecânica newtoniana, a Óptica geométrica.
conhecimentos mais simples que evoluem para situações e
292 Manual do Professor
A modelagem, visando aplicações, que é mais comum, faz ser uma metodologia de ensino muito útil e se enquadra no
sempre apelo à realidade na qual está inserido o sistema que Programa Etnomatemática, que inclui a crítica, também de
deu origem ao modelo com o qual trabalhamos, sempre pro- natureza histórica, sobre representações, que deve estar sub-
curando verificar a adequação dos parâmetros selecionados jacente ao processo de modelagem.
e as implicações dessa seleção no inter-relacionamento desse
sistema com a realidade como um todo, isto é, procurando D'AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática: um programa.
recuperar o sentido holístico que permeia o matema. Não é Educação Matemática em Revista, Blumenau, n. 1, p. 5-11, 1993.
possível explicar, conhecer, entender, manejar, lidar com a
realidade fora do contexto holístico. Têm-se não mais que Para saber mais sobre modelagem, recomendamos a lei-
visões parciais e incompletas da realidade. tura de: Ensino-aprendizagem com modelagem matemática,
de Rodney Carlos Bassanezi, editora Contexto; e Modelagem
A modelagem é eficiente a partir do momento em que matemática & implicações no ensino-aprendizagem de Mate-
nos conscientizamos de que estamos sempre trabalhando mática, de Maria Salett Biembengut, Editora da Universidade
com aproximações da situação real, que, na verdade, estamos Regional de Blumenau (Furb). Veja também um modelo para
elaborando sobre representações. Assim, a modelagem pode racionamento de energia elétrica na revista Educação Mate-
mática em Revista, da SBM, ano 8, n. 11, p. 41-50, dez. 2001.
5 Características da coleção
Nesta coleção procuraram de forma ativa a recordação, riado;a função exponencial como modelo dos juros compostos,
a ampliação, o aprofundamento de conceitos e procedimen- da desintegração radioativa, do aumento do número de bac-
tos já explorados durante o Ensino Fundamental, apresen- térias em uma cultura, etc.); as abordagens da história da Ma-
tando-os sob diversos pontos de vista e linguagens: natural, temática,ora feitas como introdução de um assunto,ora como
gráfica, em tabelas e simbólica. leitura para complementação; e o uso da tecnologia de infor-
mação, como calculadoras e softwares, é realizado em vários
Deu-se preferência ao longo da obra para atividades momentos da coleção, principalmente nos problemas que
realizadas em dupla ou em equipe, com o intuito de valori- envolvem funções,Trigonometria e números reais.
zar a iniciativa e a capacidade de decisão dos estudantes,
reforçando a ajuda mútua, a ética e a solidariedade. Procurou-se colocar em cada volume conteúdos de dife-
rentes blocos curriculares, permitindo alternância de temas.
As situações e os problemas apresentados ao longo da A organização das atividades foi feita com o objetivo de pro-
coleção têm como pressuposto que as discussões a serem porcionar a construção de conceitos, procedimentos e algo-
realizadas em sala de aula e os recursos de que o professor ritmos, de modo equilibrado e sem descuidar das aplicações.
pode lançar mão, a partir das resoluções propostas pelos
alunos, são os geradores de uma visão de Matemática e de Sempre que possível, valorizaram-se diferentes enfoques
ensino e aprendizagem dessa disciplina como as conside- e articulações com diversos campos da Matemática e de
radas até aqui, tanto do ponto de vista dos pesquisadores outras ciências.
como das leis e propostas governamentais.
Procurou-se um equilíbrio no emprego da linguagem
As propostas da coleção visam possibilitar aos jovens usual e da linguagem matemática, evitando exacerbar esta
alunos a compreensão e a interpretação do mundo ao seu última e tornando a comunicação clara e adequada ao nível
redor por meio da ampliação de suas capacidades analíticas do aluno a que se destina esta coleção. A coleção introduz o
e críticas, necessárias para a tomada de decisões em bene- método axiomático dedutivo de forma criativa, utilizando-se
fício próprio, de sua comunidade e da sociedade, no com- de retículas coloridas para identificar as definições (em retí-
plexo processo de participação e cidadania. culas rosa), axiomas ou postulados (em retículas azuis) e
teoremas (em retículas laranja), assim, intuitivamente, o
Como qualquer outro material didático, o livro deve ser aluno poderá compreender como a Matemática se estrutu-
visto como mais um (e não o único) importante auxiliar do ra. O objetivo é que o aluno perceba por si próprio que, na
professor que busca ensinar Matemática de modo mais signi- Matemática, algumas afirmações (proposições) são admiti-
ficativo para o aluno,com assuntos da vivência dele,desenvol- das como verdadeiras por terem um caráter aparente (defi-
vendo conceitos por meio da compreensão de situações-pro- nições) ou por serem tomadas inicialmente como verdade,
blema interessantes, contextualizadas ou interdisciplinares. sem que seja necessário demonstrá-las (axiomas ou postu-
lados), e, com base nelas, por meio de um encadeamento
Em geral, os conceitos são desenvolvidos a partir de uma lógico (prova/demonstração), pode-se chegar a outras afir-
situação-problema,como é recomendado hoje pelos educado- mações mais gerais; algumas dessas afirmações têm maior
res matemáticos que trabalham com resolução de problemas; importância para a Matemática (teoremas). Destaques,
a modelagem matemática é feita pela procura de modelos quadros-resumos, resultados que antecedem diretamente
matemáticos com base em problemas reais (por exemplo, os um teorema e/ou consequências diretas de um teorema são
números reais como modelo para as medidas; a função linear expressos em retículas roxas.
como modelo dos problemas de proporcionalidade; a função
quadrática como modelo do movimento uniformemente va-
Manual do Professor 293
A tônica desta coleção é ajudar o aluno a construir e desen- Sumário
volver conceitos e procedimentos matemáticos, sempre com-
preendendo e atribuindo significado ao que ele está fazendo, Enumeração dos capítulos e das demais seções do
evitando a simples memorização e mecanização. E tudo isso volume. Dá ao aluno uma visão geral da obra.
valendo-se de situações-problema contextualizadas e, poste-
riormente, aplicando os conceitos em situações cotidianas, na Abertura de capítulo
própria Matemática ou em outras áreas do conhecimento.
Na abertura de cada capítulo, apresenta-se uma imagem
As atividades propiciam, em muitos momentos, fazer a de impacto, ligada a algum contexto relacionado aos con-
articulação entre os grandes campos temáticos, bem como teúdos trabalhados no capítulo.
entre o conhecimento novo e o já abordado. Para exempli-
ficar, citamos funções e progressões, funções (afim e qua- Para refletir, Fique atento! e Você sabia?
drática) e Geometria analítica, sistemas lineares e Geome-
tria analítica, etc.
As retomadas frequentes de conceitos e procedimen-
tos, seguidas de aprofundamento, são outra forma de
articulação.
Por exemplo, números reais e números complexos, a
equação da reta na função afim e na Geometria analítica,
a parábola na função quadrática e na Geometria analítica,
os sistemas lineares 2 3 2 estudados no Ensino Fundamen-
tal e os sistemas lineares 3 3 3 com suas interpretações
geométricas, etc.
Sempre que possível, o desencadeamento de novos con-
ceitos e a apresentação de exercícios e problemas são feitos
por meio de situações-problema contextualizadas.
É grande o número de exercícios e problemas desta co-
leção em que se procurou aplicar conceitos matemáticos na
solução de situações de outros componentes curriculares,
como Física, Química, Geografia, Biologia e outras áreas do
conhecimento. Em especial na seção Outros contextos.
O enfoque metodológico da coleção, em geral, foi feito
por meio da formulação e resolução de problemas, quer
desencadeando um novo conceito, quer aplicando os con-
ceitos e procedimentos estudados em situações contextua-
lizadas e/ou interdisciplinares ou mesmo em problemas da
própria Matemática.
Seções: definições e algumas
sugestões de abordagem
Conheça seu livro
Seção destinada ao aluno, estimulando-o a conhecer os
recursos disponíveis em seu material.
Seções que são dispostas nas laterais das páginas.
Para refletir apresenta questões que visam destacar algo
que merece reflexão. São indicadores de investigação a ser
realizada de modo que os alunos percebam alguma proprie-
dade ou fato, ou que constatem, descubram, ou provem algo.
Pode representar uma complementação do estudo do tópi-
co que está sendo abordado.
294 Manual do Professor
Fique atento! apresenta conteúdos que o aluno já es- Grande variedade de exercícios e situações-problema
tudou e devem ser relembrados ou relacionados com o para o aluno checar, consolidar e aplicar os conhecimentos
assunto que está sendo representado ou detalhes impor- recentes. Eles são apresentados com diferentes graus de
tantes que devem ser ressaltados. dificuldade e, sempre que possível, contextualizados com
exploração interdisciplinar.
Voc• sabia? apresenta informações interessantes que
ampliam o tema em estudo. Podem ser trabalhados em sala de aula, dando continui-
dade ao processo de fixação dos conceitos, ou como tarefa
Exercícios resolvidos de casa, para sedimentação da aprendizagem.
Mostram as várias formas de resolução de uma questão Alguns exercícios são classificados como desafios. A
ou problema. Não devem ser vistos como modelos que os fim de estimular os alunos durante as tentativas de reso-
alunos apenas imitam e dos quais repetem estratégias. Ser- lução, quando necessário, promova discussões e sugira
vem para inspirar e indicar possíveis estratégias. algumas pistas para que os alunos se sintam motivados
a continuar.
Podem ser resolvidos pelo aluno, como experiência de
verificação da compreensão do conteúdo já desenvolvido Também temos exercícios com indicação para serem rea-
pelo professor, e comparados com a resolução apresentada lizados em duplas ou em equipe, por terem um grau de com-
no livro. Esse trabalho pode ser realizado em duplas, visan- plexidade maior ou cuja discussão ajudará no entendimento
do à discussão e ao intercâmbio de experiências. do conceito em estudo.
Também podem ser explorados como um momento de Leitura(s)
desenvolvimento da leitura e interpretação em Matemá-
tica se for pedido ao aluno que explique, com suas próprias Textos que ampliam e enriquecem o conteúdo. Podem
palavras, o que está expresso ali, tanto do ponto de vista ter uma abordagem interdisciplinar.
da solução dada como do ponto de vista da linguagem
matemática empregada e do tratamento dado a ela. Matemática e tecnologia
Em alguns exercícios resolvidos, explicitamos as fases da Nesta seção apresentamos atividades em que o recurso
resolução de um problema (compreender, planejar, executar, do computador é utilizado para auxiliar na manipulação e
verificar e emitir a resposta); eles são destacados como passo visualização de gráficos e tabelas.
a passo.Também mostramos em que direções a questão pode
ser ampliada,apresentando em geral uma proposta de discus-
são em equipe sobre o assunto.
Exercícios
Manual do Professor 295
Outros contextos matemáticos ou se preparar para algum exame específico de
acesso ao Ensino Superior.
O foco da seção é colocar o aluno em contato com
vários tipos de textos favorecendo a interdisciplinaridade, Ao professor, cabe a responsabilidade de adequar o con-
a experimentação de conteúdos matemáticos e o teúdo disponível no livro didático à sua realidade. Algumas
desenvolvimento da competência leitora. Ela destaca os vezes,“pular” assuntos que não serão obstáculos na apren-
assuntos ao relacioná-los com situações em que a Mate- dizagem do aluno para dedicar mais tempo ao trabalho com
mática estudada tem presença significativa. Embora es- temas que serão fundamentais na formação do estudante
sas discussões sejam muito mais proveitosas quando pode ser mais proveitoso. Além disso, nem todos os alunos
feitas em conjunto pela comunidade escolar, o professor precisam de um alto grau de aprofundamento, visto que
poderá promover interessantes investigações matemáti- não seguirão carreiras associadas à Matemática.
cas nos contextos considerados.
Pensando no Enem Vestibulares de Norte a Sul
Questões direcionadas ao desenvolvimento das habili- Questões de vestibular, relacionadas ao conteúdo da
dades da Matriz de Referência desse exame. As questões unidade, separadas por região geográfica.
propostas são contextualizadas, muitas vezes tratando de
fenômenos naturais ou sociais.
Um pouco mais... Caiu no Enem
Essa seção aparece no final de alguns capítulos tratando Questões do Enem classificadas de acordo com as uni-
de assuntos adicionais. O objetivo é abordar, de forma breve, dades de cada livro.
alguns conteúdos matemáticos que exigem uma funda-
mentação mais criteriosa. Apesar do maior rigor matemá-
tico, tal fundamentação é apresentada de forma didática.
Fica a critério do professor abordá-la ou não.
Ao longo dos capítulos indicaremos ao professor, por
meio do ícone , alguns outros assuntos que acreditamos
ser opcionais, pois muitos deles não estão relacionados à
Matriz do Enem.
A opção de manter esses assuntos no livro se faz neces-
sária para atender alunos que desejem aprofundar conteúdos
296 Manual do Professor
6 Orientações metodológicas e o conteúdo
digital na prática pedagógica
Orientações metodológicas • estimulá-lo a pensar, raciocinar, criar, relacionar ideias,
Os avanços conquistados pela Educação Matemática descobrir e ter autonomia de pensamento. Em lugar de
indicam que, para que o aluno aprenda Matemática com simplesmente imitar, repetir e seguir o que o professor
significado, é fundamental: fez e ensinou, o próprio aluno pode e deve fazer
Matemática, descobrindo ou redescobrindo por si só
• trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitiva- ideias, propriedades, maneiras diferentes de resolver uma
questão, etc. Para que isso ocorra, é preciso que o profes-
mente, antes da simbologia, antes da linguagem mate- sor crie oportunidades e condições para que o aluno des-
mática. Por exemplo, antes de ser apresentada em cubra e expresse suas descobertas. Por exemplo, desafios,
linguagem matemática, a ideia de função deve ser jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc. auxiliam
trabalhada de forma intuitiva com o aluno. Uma situação- o aluno a pensar logicamente, a relacionar ideias e a rea-
-problema que torna isso possível é:“Considere a quanti- lizar descobertas;
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora dade de litros de gasolina e o respectivo preço a pagar: • trabalhar a Matemática por meio de situações-problema
Quantidade de litros (ᐉ) Pre•o a pagar que o façam realmente pensar, analisar, julgar e decidir-
-se pela melhor solução. Vamos destacar o que conside-
1 2,50 ramos ser um problema matemático. Para alguns auto-
2 5,00 res é toda situação que requer a descoberta de informa-
3 7,50 ções matemáticas desconhecidas para a pessoa que
.. tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração
.. de um resultado matemático dado. Outros o definem
.. como uma situação na qual um indivíduo deseja fazer
50 125,00 algo, porém desconhece o caminho das ações necessá-
rias para concretizar a sua ação. Outros ainda destacam
O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros que problema é uma situação na qual um indivíduo atua
que se coloca no tanque, portanto, depende do número com o propósito de alcançar uma meta utilizando para
de litros comprados”. isso alguma estratégia em particular. De modo geral,
Depois desse trabalho intuitivo calcado na elaboração de podemos afirmar que existe um problema quando há
conceitos é que, pouco a pouco, vamos introduzindo a um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingi-
linguagem matemática: -lo, isto é, existe um problema quando há um resultado
– conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando
AB conhecimentos matemáticos.
No plano didático, há a hipótese de que determinados
x ƒ ƒ(x) problemas permitam a aquisição de conceitos novos e se
inscrevam em uma organização de ensino-aprendizagem
f: A → B eficaz para a maioria dos alunos. Uma organização assim
x → f (x) foi apresentada por Douady (1984) em sua teoria conhe-
cida como Dialética Ferramenta-Objeto. Conforme essa
“Cada x de A corresponde a um único f(x) de B, levado pela teoria, em atividades matemáticas, quando um problema
função f.” é proposto, podemos considerá-lo resolvido se pudermos
fundamentar suas explicações de acordo com um sistema
• que o aluno aprenda por compreensão. O aluno deve de validação próprio dos matemáticos. Nessa tentativa,
criamos conceitos que atuam como ferramentas que pos-
atribuir significado àquilo que aprende. Para isso, deve sibilitarão a resolução do problema. Ao serem descontex-
saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecani- tualizados, de modo que possam ser reutilizados, esses
zar procedimentos e regras. Por exemplo, não basta dizer conceitos tornam-se objeto do saber.
Douady chama de dialética ferramenta-objeto o processo
que o número racional 0,3333... é igual a 3 ou 1 ; é de resolução de problemas,no qual temos as seguintes fases:
93 Fase 1: Antigo – Mobilização de conhecimentos antigos,
que funcionam como ferramentas, para resolver, ao me-
preciso, para a sua compreensão, saber por que isso ocorre, nos em parte, o problema.
fazendo, por exemplo:
x 5 0,3333... ⇒ 10x 5 3,333... 5 3 1 0,333... ⇒
⇒ 10x 5 3 1 9x 5 3 ⇒ x 5 3 ϭ 1
93
Manual do Professor 297
Fase 2: Pesquisa – Dificuldade em resolver o problema por Banco de imagens/Arquivo da editoraNesse caso, temos a função quadrática f(x) 5 2x2 1 20x,
completo, e novas questões são colocadas e levam à pro- cujo gráfico é dado a seguir.
cura de novos meios para a resolução do problema.Banco de imagens/
Fase 3: Explicitação – Exposição dos trabalhos realizados,Arquivo da editora A(x)
das dificuldades e dos resultados obtidos, sendo as produ- 100 (10, 100)
ções discutidas coletivamente com a classe. Essa explicita-
ção possibilita ao professor criar debates sobre os conhe- x
cimentos antigos, que estão sendo mobilizados, e sobre os 10
novos, que estão sendo gerados implicitamente, sem que
se crie uma situação de bloqueio. Esses debates são úteis O ponto de máximo da parábola (10, 100) dará a solução
na validação de alguns conhecimentos produzidos nessa do problema. Assim, o terreno que satisfaz às condições
fase e permitem aos alunos reconhecer procedimentos impostas é de forma quadrada (o quadrado é um caso
corretos e diagnosticar procedimentos incorretos. particular de retângulo), de lado igual a 10 m e área igual
Fase 4: Institucionalização – Institucionalizam-se os novos a 100 m2. É consenso entre os educadores matemáticos
conhecimentos como objetos de saber matemático. O que a capacidade de pensar, de raciocinar e de resolver
professor ressalta os conhecimentos que devem ser reti- problemas deve constituir um dos principais objetivos do
dos e explicita as convenções de uso.Trata-se de um meio estudo da Matemática;
de constituição de um saber coletivo. Para cada aluno,
constitui uma maneira de estabelecer pontos de referên- • trabalhar o conteúdo com significado, levando o aluno a
cia para seu próprio saber e, dessa forma, assegurar o
progresso de seus conhecimentos. compreender que aquele conhecimento é importante
Fase 5: Familiarização – É o momento de resolver exercí- para sua vida em sociedade e/ou que o conteúdo traba-
cios utilizando as noções recentemente institucionaliza- lhado lhe será útil para entender o mundo em que vive.
das como ferramentas explícitas. Esses exercícios, simples Por exemplo, ao trabalhar as diversas funções e seus grá-
ou complexos, tratam apenas do que é conhecido. Os ficos relacionando-os com o cotidiano e com os fenôme-
problemas propostos nessa fase destinam-se, segundo nos das Ciências Naturais, ao resolver problemas de juros
Douady, a desenvolver hábitos e práticas, a integrar o compostos usando logaritmos, ao coletar dados, fazer
saber social com o saber do aluno, que ainda precisa ser tabelas, gráficos e interpretá-los, ao estudar Probabilida-
testado em novas experiências, eventualmente sozinho, de com a Genética da Biologia, etc., o aluno percebe que
os conhecimentos que julga ter alcançado e esclarecer tudo isso tem sentido em sua vida presente e futura. Para
para si mesmo o que realmente sabe. que o aluno veja a Matemática como um assunto útil e
Fase 6: Novo problema – Os alunos são instigados a utili- prático e possa apreciar o seu poder, precisa perceber que
zar os novos conhecimentos em situações mais complexas ela está presente em praticamente tudo e é aplicada para
que envolvam outros conceitos, sejam eles conhecidos ou resolver problemas do mundo real e entender uma gran-
visados pela aprendizagem. Os conhecimentos novos ad- de variedade de fenômenos;
quirem, agora, o estatuto de antigos, em um novo ciclo da
dialética ferramenta-objeto. De acordo com Douady, para • valorizar a experiência acumulada pelo aluno dentro e fora
a aprendizagem de um conceito ou propriedade, muitos
ciclos podem ser necessários. da escola. É preciso lembrar que, quando o aluno chega ao
Por exemplo, o estudo da função quadrática poderá ser Ensino Médio, ele já acumulou experiências pelo menos
desenvolvido a partir da seguinte situação-problema: “Se até seus 14 anos de idade. A partir dessa vivência, o profes-
quisermos cercar um terreno retangular com uma tela de sor deve iniciar o trabalho de construir e aplicar novos
40 m de comprimento, a fim de cercar a maior área possí- conceitos e procedimentos matemáticos, dando continui-
vel, quais devem ser as dimensões do terreno?”. dade ao que o aluno já aprendeu no Ensino Fundamental
Como o perímetro é de 40 m, as dimensões do terreno são: e na vida. Detectar os conhecimentos prévios dos alunos
para, com base neles, desenvolver novos conhecimentos
x contribui para uma aprendizagem significativa;
20 Ϫ x • estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e
perímetro ϭ 40 m
arredondamentos, obtendo resultados aproximados. Por
Área: exemplo, quando o aluno efetua a divisão 306 4 3 e coloca
A(x) 5 x(20 2 x) 5 20x 2 x2 5 2x2 1 20x ⇒ 12 como resultado, ele evidencia que não tem sentido nu-
⇒ A(x) 5 2x2 1 20x (modelo matemático para esta situação) mérico, não sabe arredondar (300 4 3 5 100; 6 4 3 5 2 e,
portanto, 306 4 3 5 102), enfim, falta-lhe a habilidade de
298 Manual do Professor cálculo mental. Muitas vezes, em situações cotidianas, mais
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MatematicaContAplic_2_MP_0008P18023_PNLD2018
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