livro matematica

Exercícios resolvidos passo a passo: exerc’cio 6

( ) ( )3. ␲ ␲
Sendo f(x) 5 2 1 cos x, com x  R, e g(x) 5 sen 2x, com x  R, determine f 3 eg 2.

Resolução:

( )f ␲ ϭ 2 ϩ cos ␲ ϭ 2 ϩ 1 ϭ 5 ( ) ( )g ␲ ϭ sen 2 и ␲ ϭ sen␲ ϭ 0
3 3 22 22

4. Construa e analise os gráficos da função f(x) 5 3 ? sen x dando seu domínio, sua imagem e seu período. (Cons-

trua apenas um período completo.)

Resolução:

x sen x 3 ? sen x y 5 f (x) y Banco de imagens/Arquivo da editora

0 0 3?050 0 3

f(x) ϭ 3 и sen x

Fique ␲
atento!
Verifique que 2 1 3?153 3 1 3␲
mudanças 2x
ocorreram nos 0 ␲␲
gráficos de: p 0 3?050 0 Ϫ1 2 2␲
f(x) 5 3 ? sen x f(x) ϭ sen x
com relação a
f(x) 5 sen x. 3␲ 21 3(21) 5 23 23
2 Ϫ3

2p 0 3 ? 0 5 0 0

D 5 R, Im 5 [23, 3], p 5 2p

5. (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada

3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigo-

( )nométrica f (x )ϭ900 Ϫ800 sen x и ␲ , onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro
12
tal que 0 < x < 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo
de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:

a) 600. d) 1500.

b) 800. e) 1600.

c) 900.

Resolução:

Precisamos do valor máximo e do mínimo da função, obtendo depois a diferença.

Lembrando que 21 < sen a < 1, para obter o máximo e o mínimo valor de uma senoide, basta calcular o valor
de f(x) para quando o seno valer 1 e 21. Depois, comparando os dois valores para estabelecer qual é o mínimo
e qual é o máximo.

( )Quando tivermos sen x и ␲ ϭ 1 , f(x) valerá 900 2 800 ? 1 5 100; portanto, a estimativa é de que teremos
12
100 pessoas no supermercado.

( )Quando tivermos senxи␲ϭ Ϫ1, f(x) valerá 900 2 800 ? (21) 5 1 700; portanto, a estimativa é de que teremos
12

1 700 pessoas no supermercado.

Logo, o mínimo estimado são 100 pessoas, e o máximo estimado são 1 700 pessoas. A diferença procurada é
equivalente a 1 600 pessoas.

Alternativa e.

Funções trigonométricas 49

Resolvido passo a passo

6. (UCS-RS) A pressão arterial P (em mmHg) de uma pessoa varia, com o tempo t (em segundos), de acordo com a função

definida por P(t) 5 100 1 20 cos (6t 1 p), em que cada ciclo completo (período) equivale a um batimento cardíaco.

Considerando que 19p . 60, quais são, de acordo com a função, respectivamente, a pressão mínima, a pressão
máxima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?

a) 80, 120 e 57. b) 80, 120 e 60. c) 80, 100 e 19. d) 100, 120 e 19. e) 100, 120 e 60.

1. Lendo e compreendendo

a) O que é dado no problema?

São dados a função que define a pressão arterial, em função do tempo, e uma informação importante para

a resolução do problema: p . 60 .
19
b) O que se pede?

Pede-se a pressão máxima, mínima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto.

2. Planejando a solução

Sabemos que a pressão máxima é obtida quando cos (6t 1 p) for igual a 11, e será mínima quando ele for igual a
21. Para encontrar o valor da frequência de batimentos cardíacos por minuto basta multiplicarmos a frequência
de batimentos por segundo por 60, a qual é obtida pelo inverso do período da função.

3. Executando o que foi planejado

Pressão mínima (em mmHg): P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) ⇒ P(t) 5 100 1 20 ? (21) ⇒ P(t) 5 80

Pressão máxima (em mmHg): P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) ⇒ P(t) 5 100 1 20 ? (11) ⇒ P(t) 5 120

Do enunciado, temos que ␲ ϭ 60 . 60
19

Período: 2␲ ϭ 2␲ ϭ ␲
c 63

Substituindo p por 60 , temos: Período ϭ 19 ϭ 60 и 1 ϭ 20
19 3 19 3 19

Frequência de batimentos cardíacos por minuto (em bpm): 1 ?60 5 1 19 1 140
per’odo 20 ? 60 5 ? 60 5 5 57
4. Emitindo a resposta
20 20

A resposta é a alternativa a. 19

5. Ampliando o problema

a) De quanto em quanto tempo são atingidas as pressões máximas? E as pressões mínimas?

b) Discussão em equipe Pressão máxima: a cada 10 s; Pressão mínima: a cada 20s
19 19

Troque ideias com seus colegas sobre a prevalência de doenças cardiovasculares na atualidade e sobre quais

seriam os principais motivos que as ocasionam, além dos hábitos que devem ser seguidos para reduzir a

probabilidade de ser acometido por tais enfermidades.

Voc• sabia? Lua Terra Dam d'Souza/Arquivo da editora
Os movimentos periódicos de elevação e abaixamento da superfície de oceanos, mares e lagos maré
são provocados pela força gravitacional da Lua e do Sol sobre a Terra. As marés ocorrem em alta
intervalos regulares de 6 horas e 12 minutos. Portanto, a cada 24 horas e 48 minutos, o mar sobe
e desce duas vezes, constituindo o fluxo e refluxo das águas. À medida que a Terra gira, outras mar
regiões passam a sofrer elevações, como se a subida de nível se deslocasse, seguindo a Lua.
No lado oposto da Terra dá-se o mesmo fenômeno: as águas também se erguem, de forma
que uma elevação compensa a outra. Assim, nas regiões da costa, essas elevações das águas
correspondem às marés altas.
Enquanto o nível das águas sobe em dois lados opostos na Terra, em outras duas regiões
do globo (também diametralmente opostas) ele desce: é a maré baixa.
A diferença entre a maré baixa e a maré alta é denominada amplitude das marŽs, medida
por meio de uma régua graduada, ou marégrafo. Como o movimento das marés é periódico,
as funções trigonométricas são amplamente utilizadas para fazer uma modelagem
matemática desse fenômeno.

50 Capítulo 3

Matemática e tecnologia Banco de imagens/Arquivo da editora

Gráfico de funções trigonométricas no computador Banco de imagens/Arquivo da editora

Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções trigonométricas usando o
software livre GeoGebra.

Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geometria. Ele
pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.

A instalação desse software é simples:

• Acesse o site <www.geogebra.org> e clique em “Baixe agora”, para tê-lo instalado no computador, ou em

“Comece a criar”, para usá-lo on-line.
Optando por utilizar a versão on-line, você deve clicar no botão “Álgebra”; a tela que abrirá se parece com a
reproduzida abaixo.

Captura de tela do software no modo Álgebra.
Depois de acessar o programa, faça os exercícios a seguir.
1. Construa o gráfico das funções f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x, como a seguir. Para isso siga os passos:

• 1o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função: f(x) 5 sen x e

tecle “Enter”. Em seguida, no mesmo campo digite g(x) 5 cos x e tecle “Enter”.

Captura de tela do 1o passo.

• 2o passo: Do lado direito da Barra de ferramentas (parte superior da tela), clique na Barra de estilos, depois, em

“Exibir ou esconder a malha” e selecione a malha quadriculada. Para colocar o eixo x na escala de p radianos,
clique sobre o eixo x com o botão direito do mouse e selecione com o botão esquerdo do mouse a opção “Jane-
la de Visualização”. Clique na aba “Eixo X” e selecione em “Unidade” a opção p. A opção “Distância” não deve
estar selecionada.

Funções trigonométricas 51

Fique atento!
Você pode mover, ampliar ou reduzir sua imagem

utilizando da Barra de ferramentas. Outra opção
para aumentar ou diminuir o zoom é utilizar o scroll do
mouse (aquela “rodinha” que fica na parte superior da
maioria dos mouses).

Agora, de acordo com a construção, responda às questões.
a) Qual é a imagem das funções f e g? Im 5 {y  R | 21 < y < 1}
b) Qual é o período das funções f e g?p 5 2p
c) Quantos pontos de intersecção existem entre as funções f e g no intervalo [0, 2p]? 2 pontos.

2. Abra um novo documento e siga os passos a seguir:

• 1o passo: Na Barra de ferramentas clique, com o botão esquerdo do mouse, inicialmente na opção “Controle

Deslizante” e, em seguida, clique em qualquer ponto da janela de visualização (Região gráfica); automati-
camente abrirá uma janela; clique em “OK”. Nesse momento aparecerá o parâmetro a (com valor inicial igual a 1).

Veja: . Repita a operação e insira novos parâmetros (b, c e d).

Banco de imagens/Arquivo da editora

Captura de tela do 1o passo.

• 2o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função:

f(x) 5 a 1 b*sen(c*x 1 d) e tecle “Enter”. Observe que * significa a operação de multiplicação. Dessa forma
você terá o gráfico da função f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d).

• 3o passo: Agora, você poderá observar significados importantes para os coeficientes a, b, c e d. Para isso

clique na bolinha do controle deslizante de a e altere o seu valor (basta arrastar a bolinha para um dos
lados). Observe o que acontece com o gráfico da senoide. Repita a operação para os controles deslizan-
tes de b, c e d (utilize um controle deslizante por vez).
a) Qual é o efeito do parâmetro a no gráfico da função? Promove a translação vertical do gráfico.
b) Qual é o efeito do parâmetro b no gráfico da função?Promove a dilatação (ou compressão) vertical do gráfico.
c) Qual é o efeito do parâmetro c no gráfico da função?Analtehroariozopnetraíol.do da função, comprimindo ou dilatando o gráfico
d) Qual é o efeito do parâmetro d no gráfico da função? Promove a translação horizontal do gráfico.
e) Utilizando o controle deslizante e fazendo a 5 0, b 5 1, c 5 1 e d 5 1,6, você terá aproximadamente o

( )␲

gráfico da função f(x) 5 sen x + 2 . Esta última função é equivalente a uma função conhecida. Qual é
essa função? Função cosseno (y 5 cos x).

52 Capítulo 3

Outros

contextos

Medir o tempo Ð Um desafio

Um grande desafio de nossa civilização foi quantificar e medir o tempo. Ao longo do desenvolvimento da hu-
manidade, diversas foram as tentativas, e, apesar de não ser possível descrever precisamente todas elas, algumas
dessas tentativas chegaram ao nosso conhecimento nos dias de hoje. Assim, a medição do tempo não é mais pro-
blema para nossa civilização, mas uma volta ao passado pode nos proporcionar um interessante encontro do relógio
com a Matemática.

O relógio de sol

Perde-se no tempo a origem do relógio de sol. Alguns Lucian Milasan/Shutterstock

registros arqueológicos dizem respeito a obeliscos cons-

truídos por volta de 3500 a.C. com a finalidade de regis-

trar as horas; outros, chamados de relógios de sombra,

deixam-nos vestígios de que existiram em 1500 a.C. na

Babilônia. É provável que na Antiguidade usava-se o com-

primento das sombras para saber as horas do dia. No

Velho Testamento há remissão ao “relógio de Acaz”, por

volta de 700 a.C. O escritor romano Vitrúvio relata a exis-

tência de uma série de relógios de sol. O astrônomo

Padovani publicou uma dissertação sobre o relógio de

sol em 1570, na qual dava instruções para construção e

posicionamento para relógios horizontais e verticais.

À medida que o homem foi aprimorando seu conheci- Relógio de sol do jardim botânico, em Cluj Napoca (Romênia).
mento em Astronomia, também foram se aprimorando Fotografia de 2015.

modelos desse tipo de relógio.

Hoje consideramos o relógio de sol um instrumento obsoleto, presente em praças e jardins. Os tipos mais comuns

são feitos sobre um desenho horizontal no qual o Sol projeta sua sombra com linhas que indicam a hora do dia. Devem

ser alinhados com o eixo de rotação da Terra para que a medida seja a mais precisa possível.

O relógio de água Bettmann/Corbis/Latinstock

Outro sistema muito antigo, criado para medir o tempo, é o relógio de
água, também conhecido como clepsidra. Trata-se de dois recipientes co-
locados em níveis diferentes: a parte superior contém o líquido e a parte
inferior possui uma escala de níveis interna que fica inicialmente vazia.
Através de uma abertura parcialmente controlada no recipiente superior,
o líquido passa para o inferior, e o tempo gasto é observado na escala.

O relógio de água é um instrumento que evoluiu tecnicamente,
apresentando, atualmente, uma medição do tempo com relativa exati-
dão. A clepsidra mais antiga de que se tem notícia – do reinado de Ame-
nhotep III (provavelmente entre 1389 a.C.–1353 a.C.) – foi encontrada em
Karnak, no Egito.

Relógio de água grego.

Funções trigonométricas 53

A ampulheta Andrey Burmakin/Shutterstock

Embora o monge francês Luitprand, que viveu no século VIII, seja por vezes Ampulheta
apontado como criador da ampulheta, os primeiros registros concretos acerca
desse objeto datam do século XIV. Basicamente, uma ampulheta é formada por
dois cones de vidro ocos, unidos por um gargalo, de modo a deixar passar a areia
de um cone para o outro, em determinado intervalo de tempo – geralmente, uti-
liza-se uma armação de madeira ou latão para proteger o artefato.

A ampulheta não é um bom instrumento para determinar as horas do dia, mas
é excelente para marcar um intervalo de tempo específico.

Relógios mecânicos

Em tempos mais recentes, surgiram os relógios mecânicos com ponteiros, e atualmente os digitais apresentam
excelente precisão. Dos relógios mecânicos, o de pêndulo tem grande relação com a Matemática.

Relógio de pêndulo

O mecanismo do relógio de pêndulo se baseia na regularidade da oscilação no movimento do pêndulo. A amplitu-
de de sua oscilação deve permanecer constante, pois uma variação de apenas 4 pode fazer o relógio adiantar cerca
de 15 segundos por dia. O desgaste com o atrito é compensado porque o mecanismo dispõe de pesos ou molas capazes
de compensar a energia dissipada com o desgaste (atrito). Esse modelo de relógio foi inventado por Christiaan Huygens
em 1656, em Haia, Holanda. Huygens baseou-se num estudo feito por Galileu Galilei no século XVI.

Pietus/iStock.com/Getty Images θ Banco de imagens/Arquivo da editora
,

Relógio de pêndulo. m

B
A

E

Representação esquemática de um pêndulo simples.

No mecanismo de relógio de pêndulo há um dispositivo que permite “dar corda” nele, que nada mais é do que
acumular energia potencial que vai aos poucos sendo liberada para que o relógio funcione.

Na figura acima vemos um modelo de pêndulo simples.
Nele destacamos:
Período: tempo de uma oscilação completa: sair da posição A, ir até B e voltar à posição A.
Frequência: indica o número de oscilações em determinado intervalo de tempo.
Amplitude: a maior distância alcançada pelo pêndulo em relação à posição de equilíbrio E.
Ângulo : deve ser um ângulo pequeno, menor do que 5, para configurar o movimento harmônico simples (MHS).

54 Capítulo 3

Como o pêndulo faz o relógio funcionar?

O pêndulo está acoplado ao mecanismo do relógio. Sendo a amplitude constante, o mecanismo é acionado em

intervalos de tempo iguais, permitindo a precisão do artefato.

Como (não ocorrendo atrito) o relógio pode atrasar ou adiantar?

Se o comprimento do fio aumentar (sofrer dilatação), o período vai aumentar, e o pêndulo vai demorar mais tem-

po para completar uma oscilação, então o relógio vai atrasar. Se o comprimento do fio diminuir, o pêndulo completará

uma oscilação em menos tempo, então o relógio vai adiantar. Outro fator é a gravidade, que é inversamente propor-

cional ao período. Quanto maior a gravidade, menor o período.

Cálculo do período (T)

T ϭ 2␲ ᐉ ⇒ T ϭ 2␲
g ᐉg

Supondo g 5 10 m ? s22,  5 0,4 m e p . 3, qual será o período desse pêndulo?

T ϭ 2␲ 0,4 m ϭ (2 и 3 и 0,2) ϭ 1,2 s
10m · sϪ2

Trabalhando com o texto
1. Com uma garrafa PET e uma tesoura e observando os procedimentos a seguir, construa um relógio de água.

a) Corte a garrafa PET de 2 litros em duas partes, dividindo-a entre a base e a parte superior da garrafa. A parte
superior da garrafa, que chamaremos de A, vai se parecer com um funil. A base da garrafa será a parte B e vai
se parecer com um recipiente cilíndrico. Depois, fure o centro da tampa usando prego e martelo.

b) Pegue a metade da garrafa (A) que ficou com a tampa e coloque essa parte, com a tampa para baixo, na me-
tade (B) da garrafa.

c) Encha de água a parte A da garrafa e observe que a água começa a pingar na metade B. Deixe escorrer por
30 minutos e marque com caneta a altura da água acumulada em B. Repita a operação de 30 em 30 minutos
até a água acabar em A.

d) Retornando toda água em A, você poderá constatar que construiu um relógio que marca o tempo de meia em
meia hora. Caso ache oportuno, construa também um relógio que marca o tempo em intervalos a sua escolha.

2. Para que o relógio de sol apresente alguma precisão, com o que a haste usada para projetar a sombra deve estar

alinhada? Com o eixo de rotação da Terra.

3. Se você levasse um relógio de pêndulo para a Lua, ele atrasaria ou adiantaria? Adiantaria.

4. E se você levasse um relógio de pêndulo para o deserto do Saara ao meio-dia, o relógio de pêndulo atrasaria ou

adiantaria? Atrasaria.

Pesquisando e discutindo
5. Se devido ao aquecimento global você descobrisse que o fio de seu relógio de pêndulo teve seu comprimento au-

mentado em 21%, qual seria o percentual de aumento de seu período? 10%

Veja mais sobre o assunto

Procure mais informações e curiosidades sobre relógios antigos, mecânicos e digitais em jornais, revistas, livros e
na internet. Sugestões (acessos em: 5 maio 2016):

• Fundação Museu da Tecnologia de São Paulo: <www.museutec.org.br/previewmuseologico/a_ampulheta.htm>
• InfoEscola: <www.infoescola.com/curiosidades/relogio-de-sol/>

Funções trigonométricas 55

Exercícios

17. Considere as funções f e g definidas por: 22. (Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-

• f(x) 5 sen 4x • g(x) 5 1 2 cos x zenas de certo tipo de peças. Sabendo-se que o custo

Determine: de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados,
( ) ( )C(x)522cos x␲
a) f ( )␲ 0 d) D(g) R 6 e V(x)ϭ3 2 sen x␲ , 0 ഛ x ഛ6 .
2 e) Im(g) [0,2] 12

b) g(p) 2 O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas

de peças é:

( )␲ 3 a) 500. x c) 1 000. e) 3 000.
2
c) f b) 750. d) 2 000.
6

18. Construa no caderno um gráfico (um período com- 23. Física

pleto) e dê o domínio, a imagem e o período de ca- O gráfico representa, em um dado instante, a velo-
cidade transversal dos pontos de uma corda na qual
da função. (Sugestão: para construí-lo, reveja os se propaga uma onda senoidal na direção do eixo x.

gráficos de seno e cosseno.) v (m/s)

a) f tal que f(x) 5 cos 3x D( f ) 5 R; Im( f ) 5 [21, 1], p 5 2␲ Banco de imagens/ ϩ2
3 Arquivo da editora

b) g tal que g(x) 5 |sen x| D( g ) 5 R; Im( g ) 5 [0, 1], p 5 p

c) f tal que f(x) 5 2 sen x D( f ) 5 R; Im( f ) 5 [22, 2], p 5 2p ϩ1 x (m)

Veja os gráficos no Manual do Professor. 0A B C DE
Ϫ1
19. Determine o período das seguintes funções:
2␲ Ϫ2
( )a) f(x) 5 sen 7x 7
␲ 01 2345678

b) f(x) 5 sen 2x Ϫ 4 p Por esse instante, determinem uma senoide que

( )␲ relaciona a velocidade v com a posição x dos pontos

c) f(x) 5 2 ? cos 2x ϩ p ( )da corda. ␲
v(x) 5 2 ? sen x
3
( )d) f(x) 5 1 1 4 ? tan ␲x Ϫ 1 4
2
1 24. Física

e) f(x) 5 1 1 sen (px 2 3) 2 Utilizando um pequeno bastão e uma
tigela com água, uma pessoa pro-

20. (UFRGS-RS) Se f(x) 5 a 1 b ? sen x tem como gráfico:Banco de imagens/Arquivo da editora duz na superfície da água ArqDuaivmo dd'aSoeduiztao/ra
ondas circulares, como
y mostra a figura ao lado.
3
Sabendo que a distância entre duas cristas conse-
2
cutivas das ondas produzidas é de 2 cm, e a ampli-
1
x tude das ondas é de 0,3 cm, obtenham uma função

0 2␲ relacionando a altitude h da superfície da água (em
Ϫ1
relação ao nível da água em repouso) para o mo-

Então: mento em que em x 5 0 temos h 5 0 e a função
a) a 5 22 e b 5 1.
b) a 5 21 e b 5 2. x d) a 5 1 e b 5 22. seja crescente em x 5 0. h(x) 5 0,3 ? sen (px)
e) a 5 2 e b 5 21.
25. (UFG-GO) Física

c) a 5 1 e b 5 21. O gráfico a seguir mostra a posição em função do

21. (UEL-PR) Uma bomba de água aspira e expira água tempo de uma partícula em movimento harmônico

a cada três segundos. O volume de água da bomba simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s.
varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de
4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a A equação da posição em função do tempo para
expressão algébrica para o volume ( y) de água na
bomba, em função do tempo (t). este movimento harmônico é dada por x 5 A ? cos

(vt 1 f). A partir do gráfico, encontrem as constan-

( ) ( )a) 2␲ tes A, v e f. Banco de imagens/Arquivo da editora A ϭ 2; ␻ ϭ ␲ e ␾ ϭ Ϫ3␲
3 22
x (m)

y ϭ2ϩ2 sen  ␲ и t x d) y ϭ3ϩsen  и t 2
 3 

( ) ( )b)  2␲ и t  ␲ и t t (s)
y ϭ2ϩ2 sen  3 e) y ϭϪ3ϩ2 sen  3 0 1 234

( )c)  ␲ и t
y ϭ3ϩsen  3 Ϫ2

56 Capítulo 3

Pensando no Enem

Matriz do Enem: H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

1. Leia o texto a seguir. podemos substituir as  do texto, na ordem em que

[...] a inauguração do teleférico do Pão de Açúcar aparecem, por estas medidas aproximadas:
em 1912 projetou o nome do Brasil no exterior. O te-
leférico do Pão de Açúcar foi o primeiro instalado no a) 243 m; 181 m d) 93 m; 41 m
Brasil e o terceiro no mundo, alavancando o desen-
volvimento do turismo nacional. [...] b) 472 m; 733 m e) 520 m; 1 700 m

[...] No Pão de Açúcar atualmente funcionam dois xc) 520 m; 755 m Matriz do Enem: H12 - Resolver situação-problema
sistemas teleféricos independentes, classificados como que envolva medidas de grandezas.
de grande porte, com dois bondinhos em cada linha,
circulando em vaivém (jig-back). O novo sistema, insta- 2. Leia os textos a seguir.

Avião da AirAsia está no fundo do Mar de Java

Um barco com sonar ajudou na localização do jato.
Até o momento, sete corpos de vítimas foram resgatados

lado em 1972, aumentou a capacidade de transporte do As buscas pelas 162 vítimas do AirAsia Voo QZ8501

teleférico de 115 para 1 360 passageiros por hora. [...] recomeçaram no Mar de Java na madrugada desta

[...] Este trecho inicial, entre a Praia Vermelha e o quarta-feira (31, pelo horário de Brasília) com a con-

Morro da Urca, numa extensão de  metros e firmação de que o Airbus 320-200 está no fundo do

220 metros de altura, foi inaugurado em 27 de outubro Mar de Java.

de 1912, quando subiram 577 pessoas ao Morro da Urca, Um navio que participa das operações de busca

ao preço de 2 mil réis pela viagem de ida e volta. [...] conseguiu determinar com precisão a localização da

[...] A mesma operação foi utilizada para o lança- aeronave graças ao uso de um sonar, afirmou a Agência

mento dos cabos e colocação do bondinho no segun- Nacional de Busca e Resgate da Indonésia (Basarnas). [...]

do trecho, entre o Morro da Urca e o Pão de Açúcar, g Fonte: IG. Disponível em: <http://ultimosegundo.ig.com.br/
numa extensão de  metros e 396 metros de altura, g mundo/2014-12-31/confirmado-aviao-da-airasia-esta-no-fundo-do-mar-
que entrou em funcionamento no ano seguinte, no
dia 18 de janeiro de 1913, completando a ligação defi- de-java.html>. Acesso em: 3 nov. 2015.
nitivamente até o alto do pico do Pão de Açúcar. [...]
O sonar (sigla para Sound Navigation and
Fonte: Companhia Caminho Aéreo Pão de Açúcar. Disponível em: Ranging) é uma técnica que usa a propagação sonora
<www.bondinho.com.br/historia-e-curiosidades/#\”lightbox (geralmente sob a água, como na navegação
submarina) com o intuito de navegação, comunicação
[021a133ab17620a5b51835ec66a4d27f]\”/0/>. Acesso em: 5 maio 2015. ou detecção de objetos na ou sob a superfície da
água, como outras embarcações ou grandes animais.
Considerando: Dois tipos de tecnologias dividem o nome “sonar”:

• ângulo de inclinação dos cabos no 1º- trecho: 25

(referencial horizontal); o sonar passivo trata de “ouvir” os sons feitos por
embarcações, já o sonar ativo emite pulsos de sons,
• ângulo de inclinação dos cabos no 2º- trecho: 13,5
sendo capaz de receber o eco desses sons. [...]
(referencial horizontal);
Fonte: InfoEscola. Disponível em: <www.infoescola.com/tecnologia/
• os valores: sonar/>. Acesso em: 5 maio 2016.

13,58 258 Suponha que um navio detecte um submarino a 89 km
de distância. O helicóptero detecta o submarino a
sen 0,233 0,423 20 km do pé da perpendicular do helicóptero ao mar.

cos 0,972 0,906

tan 0,240 0,466
Frank van den Bergh/iStock.com/Getty Images
• o esquema: Dam d’Souza/Arquivo da editora

SEGUNDO TRECHO

PÃO DE AÇÚCAR/MORRO DA URCA

PRIMEIRO TRECHO

MORRO DA URCA/PRAIA VERMELHA

Considerando o ângulo de 120 entre as direções dos

ALTURA DO pulsos dos sonares da imagem, pode-se afirmar que a

PÃO DE AÇÚCAR ALTURA DO PRAIA VERMELHA distância entre o navio e o pé da perpendicular do he-

396 metros MORRO DA URCA licóptero ao mar é, aproximadamente:

220 metros a) 81 km c) 72 km e) 77 km

Baía de Guanabara com Pão de Açúcar. Fotografia de 2015. b) 91 km x d) 100 km

Funções trigonométricas 57

Vestibulares de Norte a Sul

Região Norte Região Nordeste

1. (UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica 3. (Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há

abaixo, no qual f(p) 5 5: um passeio que une seus pontos situados mais ao

Norte e mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua lar-

gura e adotarmos 2 ϭ 1,4, qual é o comprimento
aproximado, em metros, desse passeio?

5 a) 3042 x d) 522

Banco de imagens/Arquivo da editora b) 1800 e) 360

c) 882

Ϫ10 Ϫ9 Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. (Unifacs-BA) Uma sala de um laboratório de pesqui-

sas onde se pretende desenvolver uma cultura de

Interpretando o gráfico, podemos concluir que f(3p) bactérias teve sua temperatura ambiente T, em C,
é igual a:
modelada ao longo das 24 horas de determinado dia,

a) 4. c) 6. e) 8. pela expressão
x b) 5. d) 7.
( )T(h) 18 8 cos ⎡ h 9 ⎤
⎢ ⎥, h  [0, 24].
⎣ 12 ⎦

2. (Uepa) As caminhadas e corridas de rua são atividades Assim, nesse dia, a temperatura foi superior a 22 C

incorporadas à cultura esportiva dos brasileiros. Um durante um número máximo de horas consecutivas

praticante de corrida popular (cooper) balança cada igual a:

um de seus braços ritmicamente enquanto corre de 01. 5

acordo com o modelo dado pela expressão 02. 6

sen ⎢⎡8 t ⎥⎤,
9 ⎣3 ⎦
( )f (t) 3 onde f(t) é o ângulo 03. 7
4

compreendido entre a posição do braço e o eixo ver- x 04. 8

tical, e t, tempo em segundos, conforme ilustrado 05. 9

abaixo. Nessas condições, o maior ângulo obtido com Região Centro-Oeste
o movimento cíclico do braço do corredor é:

(Texto adaptado: Cálculo para 5. (Univag-MT) Em uma determinada região, a intensi-
Ciências Médicas e Biológicas.
dade média de radiação (I), em unidades de radiação,
São Paulo: Harbra, 1998.) varia em função do tempo, em dias (d), e é expressa
pela lei
Banco de imagens/Arquivo da editora
θ I 300 250 sen ⎡⎢2 (d 77) ⎤
θ ⎥
⎣ 365 ⎦

a) 10 Sabendo que o argumento da função seno está em
b) 15 radianos e que d 5 1 corresponde ao dia 1º- de janeiro,
x c) 20 é correto afirmar que a máxima radiação do ano irá
d) 25 ocorrer no mês de:
e) 30
a) março.
x b) junho.

c) abril.

d) maio.

e) julho.

58 Capítulo 3

6. (UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma deter- Adotando como valor da raiz quadrada de um núme-
ro decimal o número inteiro mais próximo, é correto
minada cidade foi medida das 6 horas da manhã de
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá
dados obtidos estão representados pela função pe- demorar, aproximadamente,
riódica abaixo.
x a) 9 min 6 s. d) 13 min 12 s.

100 b) 12 min 6 s. e) 11 min 30 s.
90
80 c) 10 min 40 s.
70Umidade relativa do ar (%)
60 Banco de imagens/Arquivo da editora
50 Banco de imagens/Arquivo da editora
40 8. (Vunesp-SP) Para calcular
30
20 a distância entre duas ár- B
10
vores situadas nas mar-
0
6:00 gens opostas de um rio,

nos pontos A e B, um ob-

servador que se encontra A
junto a A afasta-se 20 m D
da margem, na direção

da reta AB, até o ponto C, C
e depois caminha em li-

12:00 18:00 0:00 6:00 nha reta até o ponto D, a

Hora do dia 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores.

A expressão que descreve a variação da umidade do Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem,
ar (dada em porcentagem) como função da hora do respectivamente, cerca de 15 e 120, que valor ele
dia (dada pela variável t) é: encontrou para a distância entre as árvores, se usou

a aproximação 6 = 2,4 ?28 m

a) f(t) 5 50 1 20 cos (2pt) Região Sul

( )␲ 9. (UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tem-

b) f(t) ϭ 20 ϩ 50 cos t po. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h
12

( )xc) ␲ em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido
f(t) ϭ 50 ϩ 20 sen t horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h

12 em um curso de 105 em relação ao norte, também

d) f(t) 5 70t2 no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que

e) f(t) 5 t2 1 20 distância se encontrarão separados os navios, supon-

do que eles tenham mantido o mesmo curso e velo-

Região Sudeste cidade desde que deixaram o porto?

7. (UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu a) 10 km. c) 15 km. e) 22 km.

primeiro “test drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou x b) 14 km. d) 17 km.
por 120 e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
10. (Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores
(O Estado de S.Paulo, 24.08.2012.)
a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um

engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a

temperatura da água na região do sul da ilha, em

A figura esquematiza a trajetória do robô, contida Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante

em um plano, onde todos os trechos por ele percor- três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As

medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro

ridos foram em movimento Banco de imagens/Arquivo da editora dia (t 5 0) e os dados foram representados pela fun-

retilíneo. Suponha que esse ( )ção periódica T(t) ϭ 24 ϩ 3cos
pt ϩp, em
robô retorne ao ponto de par- 6 3

tida (P), mantendo a mesma A 120Њ que t indica o tempo (em horas) decorrido após o
velocidade média desenvolvida
início da medição e T(t), a temperatura (em C) no

anteriormente. 2,5 m B instante t.

O período da função, o valor da temperatura máxima

4,5 m e o horário em que ocorreu essa temperatura no pri-

d meiro dia de observação valem, respectivamente:

P a) 6 h, 25,5 C e 10h. xc) 12 h, 27 C e 15h.
b) 12 h, 27 C e 10h. d) 6 h, 25,5 C e 15h.

Funções trigonométricas 59

UNIDADE2

Matrizes,
determinantes

e sistemas
lineares

60

CAPÍTULOCAPÍTULO
MCaotnrijzuenstoes

041 dentuemrmérinicaonstes
Reprodução/© 2015The M.C. Escher Company - Holanda.Todos os direitos reservados.
NASA/Corbis/Latinstock

Obra Smaller and Smaller, “Menor e Menor”, do famoso
artista holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Escher
aplicou em muitas de suas obras transformações geométricas,
como rotação, reflexão, escala e translação. Imagine um eixo
horizontal x e um eixo vertical y. Cada ponto da obra pode ser
definido como uma coordenada específica no plano. Com as
coordenadas é possível obter uma matriz associada a cada
figura que compõe a obra; então, pode-se verificar as
transformações geométricas realizadas utilizando
operações matriciais. Medida da obra: 38 cm 3 38 cm.

61

1 Introdução às matrizes

Atualmente, um dos bens mais desejados pelas empresas é a informação sobre os potenciais clientes.
Algumas das empresas mais valiosas e lucrativas do mundo são detentoras de uma enorme quantidade
dessas informações, por exemplo, alguns sites de busca e algumas redes sociais.

Essas informações, porém, não teriam valor algum se não fossem organizadas de forma lógica, nem
pudessem ser facilmente recuperadas e relacionadas. Essa organização é feita usando-se um banco de dados,
que é uma coleção de tabelas relacionadas entre si.

As matrizes são tabelas que relacionam dados numéricos.
Faça dupla com um colega e façam o que se pede.
As tabelas abaixo relacionam dados sobre o desempenho das equipes do grupo A da Liga Mundial 2015
de vôlei masculino. Depois de analisar os dados das tabelas, construam no caderno uma tabela com a pon-
tuação total dessas quatro equipes.

Reprodu•‹o/FIVB

Lance da partida entre Brasil e Sérvia durante a Liga Mundial 2015 de vôlei masculino.

Desempenho das equipes do grupo A da Liga Mundial 2015 de vôlei masculino

Vitórias por Vitórias por Derrotas por Derrotas por
3 3 0 ou 3 3 1 332 3 3 0 ou 3 3 1 332
3
Brasil 7 2 0
4
Sérvia 5 2 1
1
Itália 3 3 5
0
Austrália 1 1 10

Pontos obtidos pelas equipes em caso de vitória ou derrota Antes de os alunos formarem as duplas, leia a
atividade com eles e estimule a compreensão
Vitória por 3 3 0 ou 3 3 1 3 dos dados da tabela; para isso faça alguns
questionamentos, por exemplo: “Quantas
Vitória por 3 3 2 2 vitórias teve a Sérvia?”, “Quantos jogos cada
equipe fez?”. Depois, deixe os alunos tentarem
Derrota por 3 3 0 ou 3 3 1 0 efetuar a tarefa proposta. Se possível, ao conferir
os resultados, procure estimular a discussão dos
Derrota por 3 3 2 1 procedimentos escolhidos por eles na resolução.
Essa situação será retomada para motivar o
aprendizado do produto de matrizes.

Fonte dos dados: Federação Internacional de Voleibol (FIVB). Disponível em: <http://worldleague.2015.fivb.com/en>. Acesso em: 4 maio 2016.

62 Capítulo 4

Agora, acompanhe esta outra situação:

Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de um ano
pode ser expressa pela tabela a seguir.

Vendas de livros didáticos de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre

Janeiro Fevereiro Março

Matemática 20 000 32 000 45 000

Física 15 000 18 000 25 000

Química 16 000 17 000 23 000

Fonte: Dados fictícios.

Se quisermos saber:

• quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na primei-

ra linha e na segunda coluna;

• quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha

e na primeira coluna;

• quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na terceira linha

e na terceira coluna.

Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se

matriz 3 3 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:

20 000 32 000 45 000  20 000 32 000 45 000 Para refletir
 18 000  18 000 Por que se diz “matriz
 15 000 17 000 25 000  ou  15 000 17 000 25 000000 três por três”?
 16 000 23
 16 000 23 000

Porque é uma matriz com
3 linhas e 3 colunas.

Curiosidade

Historicamente, a representação de conjuntos de números em forma de matrizes aparece no século XIX,
embora haja indícios de que os chineses já resolvessem, muito antes disso, alguns tipos de problemas com
cálculos efetuados sobre uma tabela. Augustin-Louis Cauchy, matemático francês, parece ter sido o pri-
meiro a nomear essas configurações numéricas de tableau (‘tabela’, em francês), em 1826, e só em 1850,
com o matemático inglês James Joseph Sylvester, é que esse tipo de configuração numérica recebeu o
nome de matriz.

SPL/Latinstock
Bettmann/Corbis/Latinstock

Gravura de Augustin-Louis Fotografia em preto e
Cauchy (1789-1857). branco de James Joseph
Sylvester (1814-1897).

Matrizes e determinantes 63

Quando surgiram as matrizes? Reprodução/Acervo da Academia de Matemática e Sistemas Científicos, Pequim, China.

Na China, no período entre os séculos II e I a.C., foram reuni- Página do capítulo Fang Cheng (“Matrizes
dos no livro Jiuzhang suanshu diversos textos, provavelmente de retangulares”) do livro Jiuzhang suanshu.
diversos autores, para organizar o conhecimento matemático
chinês. Jiu e zhang traduzem-se como “nove capítulos”, e suan e
shu são atualmente traduzidos como “aritmética”; porém, pro-
vavelmente teriam como significado algo próximo de “a arte dos
números” e/ou “procedimentos de cálculo”. Hoje esse livro é
popularmente conhecido como Os nove capítulos da arte Mate-
mática e contém 246 problemas práticos de Matemática ele-
mentar. O objetivo era apresentar métodos de resolução de
problemas diversos na matemática do dia a dia e também na
engenharia, na topografia, no comércio e na tributação. Pela
qualidade de exemplos, a obra teve papel fundamental no de-
senvolvimento posterior da Matemática na China.

Um dos problemas dessa obra é apresentado a seguir, redi-
gido na nossa linguagem:

Existem três tipos de milho, dos quais três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam
39 medidas. Dois do primeiro, três do segundo e um do terceiro somam 34 medidas. E um do primeiro, dois do
segundo e três do terceiro somam 26 medidas. Quantas medidas de milho estão contidas em um pacote de
cada tipo?

Em Os nove capítulos da arte Matemática são apresentados os dados contidos no enunciado, organizados
da seguinte maneira:

1 23
232
31 1
26 34 39

Observe que essa tabela resume perfeitamente os dados do problema, e, conforme a cultura oriental,

os dados estão dispostos da direita para esquerda.

Os resultados desse problema seriam:

• em um pacote de milho do primeiro tipo estão contidas 37 medidas de milho.
4

• em um pacote de milho do segundo tipo estão contidas 17 medidas de milho.
4

• em um pacote de milho do terceiro tipo estão contidas 9 medidas de milho.
4

Reflita um pouco sobre os resultados apresentados, porém não se preocupe caso não consiga chegar
aos mesmos valores. Depois de estudar o Capítulo 5, retorne a esse problema e então tente resolvê-lo.

Percebemos, assim, que os chineses, há mais de 2 mil anos, já trabalhavam com tabelas, com o objetivo
de reunir dados de um problema; entretanto, as matrizes se estabelecem como um novo ramo da Matemá-
tica apenas em 1858, quando foi publicado o livro Memoir on the Theory of Matrices (“Memória sobre a Teo-
ria das Matrizes”) pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895).

64 Capítulo 4

2 Definição de matriz

Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1.

Denomina-se matriz m 3 n (lê-se m por n) uma tabela
retangular formada por m ? n números reais, dispostos em m
linhas e n colunas.

Dizemos que a matriz é do tipo m 3 n ou de ordem m 3 n.
Exemplos:

a)  2 3  é uma matriz do tipo 2 3 2 (dois por dois – duas linhas e duas colunas).
 5 1 

1 Ϫ5 1  é uma matriz do tipo 2 3 3 (dois por três – duas linhas e três colunas).
b)  2 
 
 2 3 0  Para refletir

c) Quando m 5 1, a matriz é chamada matriz linha. Por exemplo: (1 3 22) é uma Por que se diz “matriz
linha” e “matriz coluna”?

matriz linha do tipo 1 3 3. Porque a matriz só tem uma

 5 linha e uma coluna,

d) Quando n 5 1, a matriz é chamada matriz coluna. Por exemplo:  2  respectivamente.
 
 Ϫ1 é uma matriz coluna do tipo 4 3 1.

 0 

Quando temos matrizes linha ou matrizes coluna, também podemos chamá-las de vetores. Embora
essa não seja uma denominação comum no Ensino Médio, é bastante utilizada no Ensino Superior, princi-
palmente em Computação e Álgebra linear. É muito comum uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita como
(2, 0, 5) quando se trabalha com vetores.

Exercícios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!

1. Escreva no caderno a matriz correspondente à tabela abaixo.

Notas de três alunos no primeiro bimestre

Matemática Física Química Biologia 6 4 5 8
8  
 5 7 5 5 

 5 6 7 4 

Ana 6 4 5

Antônio 5 7 5 5

Beatriz 5 6 7 4

Fonte: Dados fic†ícios.

2. Com relação à matriz do exercício 1, responda no caderno:

a) O que significam os números da 1a linha? As notas de Ana em cada matéria.

b) O que significam os números da 2a coluna? As notas de cada aluno em Física.

c) O que significa o número da 3a linha e 3a coluna? A nota de Beatriz em Química.

Matrizes e determinantes 65

3 Representação genérica de uma matriz

Os números que aparecem na matriz são chamados elementos ou termos da matriz.
Analisemos, por exemplo, a seguinte matriz:

 3 2 5 Ϫ1

 Ϫ5 4 10 02
 6 Ϫ2 2

Nela, podemos observar que:

• o elemento 3 está na 1a linha e na 1a coluna; indica-se: a11 (lê-se a um um) 5 3;
• o elemento 25 está na 2a linha e na 1a coluna; indica-se: a21 (lê-se a dois um) 5 25;
• o elemento 6 está na 3a linha e na 1a coluna; indica-se: a31 (lê-se: a três um) 5 6;
• o elemento 2 está na 1a linha e na 2a coluna; indica-se: a12 (lê-se: a um dois) 5 2;

• o elemento 2 está na 3a linha e na 4a coluna; indica-se: a34 (lê-se: a três quatro) 5 2 .

Assim:

• para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que

linha o elemento se encontra, e o segundo indica em que coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está
na 2a linha e na 3a coluna;

• o elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a

coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado (i, j)-ésimo elemento da matriz;

• a matriz A, do tipo m 3 n, será escrita, genericamente, do seguinte modo:

 a11 a12 a13 ... a1n 

 a21 a22 a23 ... a2n 
 
A 5  a31 a32 a33 ... a3n 
 
 Ӈ Ӈ Ӈ ... Ӈ 
am1 am2 am3 amn

A lista ordenada (ai1, ai2 , …, ain) chama-se a i-ésima linha ou o i-ésimo vetor linha da matriz, enquanto
(a1j, a2j, …, amj) chama-se a j-ésima coluna ou o j-ésimo vetor coluna da matriz.

De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma:

A 5 (aij)m 3 n, com 1 < i < m, 1 < j < n e i, j [ N Fique atento!
Podemos também
escrever: A 5 [aij]m 3 n.

Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m 3 n.

Por exemplo, acompanhe como escrever a matriz X 5 (aij), com 1 < i < 3 e 1 < j < 3, tal que aij ϭ 1 para i ϭ j .
aij ϭ 0 para i ≠ j

A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que:
a11 5 a22 5 a33 5 1
a12 5 a13 5 a21 5 a23 5 a31 5 a32 5 0

 1 0 0
Assim, X 5 0 
1 0  .

0 0 1 

66 Capítulo 4

4 Matrizes especiais

Matriz quadrada

Em uma matriz m 3 n, quando m 5 n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a
matriz é quadrada do tipo n 3 n ou simplesmente de ordem n.

Exemplos:

a) 3 5 é uma matriz quadrada de ordem 2 (m 5 n 5 2).
2 6

 5 3 10  Fique atento!
Se i 5 j, então aij está na
b) Ϫ1 Ϫ 4 6 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m 5 n 5 3). diagonal principal.
 1  Se i . j, então aij está abaixo
2 0 Ϫ 2 da diagonal principal.
Se i , j, então aij está acima
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ..., ann da diagonal principal.
formam a diagonal principal da matriz (são os elementos aij com i 5 j).

 1 3 10  Voc• sabia?
A outra diagonal da matriz quadrada, que vai do
3 2  Ϫ53 0 86 diagonal principal último elemento da 1a linha até o 1o elemento da
Ϫ1 6 diagonal principal Ϫ1
última linha, é conhecida como diagonal secundária.

Matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
outros elementos são iguais a zero é chamada matriz identidade e seu símbolo é In.

Exemplos:

 1 0 0 I2 5 1 0  1 0 0 0 0 I1 5 [1]
I3 5 0 1 0 0 1  0 1 0 0 0
I5 5 0 0 1 0 0
0 0 1  0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 

Em uma matriz identidade temos: aij ϭ 1 para i ϭ j .
aij ϭ 0 para i j

Matriz nula

No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero denomina-se matriz
nula. Vamos simbolizar a matriz nula do tipo m 3 n por 0m 3 n, e a matriz nula de ordem n por 0n.

Exemplos:

0 0 0 0  0 0 0
0 0 0
03 3 2 5  0 0 02 5 03 5  0 0 0 01 3 4 5 [0 0 0 0]
 
0  0 0 0

Na matriz nula do tipo m 3 n temos aij 5 0, quaisquer que sejam i e j, com 1 < i < m e 1 < j < n.

Matrizes e determinantes 67

5 Igualdade de matrizes

Vamos considerar duas matrizes, A e B, de mesmo tipo, m 3 n, no caso 3 3 2:

 a11 a12   b11 b12 

A 5  a21 a22  B 5  b21 b22 
   
 a31 a32   b31 b32 

Em matrizes de mesmo tipo, os elementos que ocupam a mesma posição são denominados elementos
correspondentes.

Então, nas matrizes A e B consideradas, são elementos correspondentes:

a11 e b11 a12 e b12

a21 e b21 a22 e b22

a31 e b31 a32 e b32

Definimos:

Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, têm o mesmo tipo e
seus elementos correspondentes são iguais.

Simbolicamente, podemos escrever a definição acima assim:

A 5 B ⇔ aij 5 bij, com 1 < i < m e 1 < j < n

Exemplos:

a) 3 1 5 6Ϻ2 2Ϫ1 → as matrizes são quadradas de ordem 2 e os elementos correspondentes
 5 6  5 и 1 4 ϩ 2

são iguais.

1 3 2  1 3
Ϫ1 0 4  Ϫ1 
b) Se A5 eB5  2 0  , então A ? B, pois A e B não têm o mesmo tipo.

4 

Exercício resolvido

1. Determine x e y para que sejam iguais as matrizes 3x ϩ2 y 2 e 7 2 .
 2 Ϫ3
 2 3x Ϫ3 y 
 

Resolução:
As duas matrizes têm a mesma ordem (2).
Para que as matrizes sejam iguais devemos ter ainda:

{3xϩ2 y ϭ7

3x Ϫ3 y ϭϪ3

Resolvendo esse sistema de equações do 1o grau, temos:

3x ϩ2 y ϭ7
Ϫ3x ϩ3 y ϭ3

5 y ϭ10 ⇒ y ϭ2

3x 1 2y 5 7 ⇒ 3x 1 2(2) 5 7 ⇒ 3x 1 4 5 7 ⇒ 3x 5 3 ⇒ x 5 1

Portanto, x 5 1 e y 5 2.

68 Capítulo 4

6 Adição e subtração de matrizes

Acompanhe a seguinte situação:

O gerente de vendas de uma loja tem à sua disposição as tabelas de vendas mensais, em reais, dos seus
três vendedores, por produto vendido. Veja:

Vendas em janeiro (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 23 000,00 12 000,00

Germano 27 000,00 10 000,00

Rodolfo 19 000,00 15 000,00

Fonte: Dados fictícios.

Vendas em fevereiro (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 21 000,00 10 000,00

Germano 16 000,00 6 000,00

Rodolfo 20 000,00 9 000,00

Fonte: Dados fictícios.

O gerente precisava saber as vendas do 1o bimestre, em reais por produto vendido, dos seus três vendedores.
Nesse caso, ele somou os dados das duas tabelas (janeiro e fevereiro), obtendo a tabela dos dados do bimestre:

Vendas no 1o bimestre (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões Aproveite o exemplo para explorar
mais análises dos resultados.

Paulo 44 000,00 22 000,00 Para refletir
Germano
Rodolfo 43 000,00 16 000,00 • Qual foi o melhor

39 000,00 24 000,00 vendedor de geladeiras do

Fonte: Dados fictícios. bimestre? E de fogões?
Paulo; Rodolfo.

Depois, o gerente precisava saber a evolução das vendas de janeiro para fevereiro: aumentaram? dimi-
nuíram? qual foi a diferença de faturamento entre janeiro e fevereiro?

Uma maneira de obter essas informações é calcular a diferença dos dados das duas primeiras tabelas
(fevereiro e janeiro), obtendo a tabela da evolução das vendas de janeiro para fevereiro:

Evolução das vendas de janeiro para
fevereiro (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 22 000,00 22 000,00 Para refletir

Germano 211 000,00 24 000,00 • Qual vendedor teve a

maior queda de vendas

de geladeira de janeiro

para fevereiro? Germano.

Rodolfo 1 000,00 26 000,00

Fonte: Dados fictícios.

Esse exemplo ilustra as operações de adição e subtração de matrizes.

Matrizes e determinantes 69

Adição de matrizes

Consideremos duas matrizes, A e B, do tipo 3 3 3:

 3 5 Ϫ2  1 Ϫ4 Ϫ1

A 5  2 8 Ϫ26 B 5  7 0 2 
 1 4  3 1 0 

Vamos determinar uma matriz C tal que cij 5 aij 1 bij, ou seja, A 1 B 5 C:

AB C

 3 5 Ϫ2   1 Ϫ4 Ϫ1   3ϩ1 5ϩ( Ϫ 4) ( Ϫ2)ϩ( Ϫ1)  4 1 Ϫ3 
  7 0 8ϩ0  
 2 8 Ϫ6  1  3 2  5  2ϩ7 4ϩ1 ( Ϫ 6) ϩ 2  5  9 8 Ϫ4 
 1 4 2   1 0   1ϩ3 2ϩ0   4 5 2 
 

A matriz C assim obtida denomina-se soma da matriz A com a matriz B ou soma das matrizes A e B.
Assim:

Dadas duas matrizes, A e B, do mesmo tipo, m 3 n, deno-
mina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos
por A 1 B, a matriz C do tipo m 3 n na qual cada elemento é
obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Para refletir

Dadas as matrizes, A, B e C, de mesma ordem:

•A1B5B1A
• (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C)
• A 1 0 5 0 1 A 5 A, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem
• A 1 (2A) 5 (2A) 1 A 5 0

Verifique as propriedades desse teorema, escolhendo três
matrizes de mesma ordem.

Matriz oposta de uma matriz A

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se
por 2A) a matriz que somada com A resulta em uma matriz nula.

Exemplo:

3 6 , então a matriz oposta de A é Ϫ3 Ϫ6 , pois:
Se A 5 Ϫ2 1   2 Ϫ1 

3 6   Ϫ3 Ϫ6   0 0
 Ϫ2 1  1  2 Ϫ1  5  0 0 

A B matriz nula

Observação: Os elementos correspondentes de A e 2A são números opostos. Obtemos 2A mudando os
sinais de todos os elementos de A.

70 Capítulo 4

Subtração de matrizes

Sendo A e B duas matrizes do tipo m 3 n, denomina-se diferença entre A e B
(representada por A 2 B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é,

A 2 B 5 A 1 (2B).

Para refletir
Lembra-se da diferença entre números inteiros?
3 2 4 5 3 1 (24)

Por exemplo:

3 Ϫ2 5 2 2 Ϫ3 6 5 3 Ϫ2 5 1 Ϫ2 3 Ϫ6 5 1 1 Ϫ1
 10 0 Ϫ1 Ϫ4 5 1   10 0 Ϫ1  4 Ϫ5 Ϫ1   14 Ϫ5 Ϫ2

Exerc’cios

3. Identifique os elementos a11, a22 e a13 na matriz  2  1

2 6 10  . a11 5 2; a22 5 25 e a13 5 10 11. Dadas as matrizes A 5  6  , B 5  6  e
 4 Ϫ5 Ϫ1   3   2 

4. Escreva no caderno as matrizes:  2 5 10   0
A 5  5 8 13 
C5  4  , calcule:
a) A 5 (aij)2 3 3 tal que aij 5 i2 1 j2.  Ϫ2 
 3
b) X 5 (aij)4 3 2 de modo que aij 5 2i2 2 j.  1 0  
 7   
X5  6  8
7
5. Escreva no caderno a matriz quadrada:  17 16  a) A 1 B 2 C  1

a) de ordem 2, cujo elemento genérico é  31 30  b) A 2 B 1 C b)  4 
 Ϫ1 
aij 5 4i 2 2j 1 3;  5 3  1 
 9 7 
 Ϫ1 Ϫ3 Ϫ5  c) A2B2C  Ϫ4 
 6 4   3 
b) de ordem 3 tal que aij 5 i3 2 2j.  2 

 25 23 21  12. Dadas as seguintes matrizes quadradas de ordem 2:

( )6. 3 6 . {A com aij 5
Seja a matriz quadrada 2 10 Calcule a diferença i ϩ2 j, para i ജ j

entre o produto dos elementos da diagonal principal 0, para i Ͻ jAϩB ϭB ϩAϭ  4 0
 12 
e o produto dos elementos da diagonal secundária. {e B com bij 5 i3, para i ജ j  14 
0, para i Ͻ j
18 , calcule A 1 B e B 1 A.

7. Sabendo que  aϩb bϩc  5  9 Ϫ1  ,
 2b   6 18 
 2a Ϫ3d  13. A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos

determine a, b, c e d. a 5 6; b 5 3; c 5 24; d 5 22 elementos são dados por aij 5 3i 2 2j e bij 5 (aij)2.

8. Escreva no caderno a matriz identidade de ordem 2 (I2) Calcule: a) A 2 B 5  0 Ϫ2 
a) A 2 B  Ϫ12 Ϫ2 
e a matriz identidade de ordem 3 (I3). I2 5  0
 1 1  b) A 1 B b) A 1 B 5  2 0
0  20 6 

9. Determine m e n para que se tenha  1 0 0 14. Se A 5 (aij) é uma matriz quadrada de ordem 2 tal

 mϩn m  5 I2. m 5 0; n 5 1 I3 5  0 1 0  que aij 5 2i 1 3j 2 5, escreva no caderno a matriz
 0 n    oposta de A.  0 Ϫ3 
0 0 1 
 Ϫ2 Ϫ5 
10. Determine a, b e c para que se tenha

 aϩbϪ1 0  15. Se X ϭ  Ϫ3 2 Ϫ1  ϩ 0, escreva no caderno
 6 Ϫ10 7 
 a Ϫ3c b  5 03 3 2. a 5 1; b 5 0; c 5 1.
 2b 0  3
  X sabendo que 0 é a matriz nula do tipo 2 3 3.

X ϭ  Ϫ3 2 Ϫ1 
 6 Ϫ10 7 
Matrizes e determinantes 71

7 Multiplicação de número real por matriz

Vamos voltar à situação do gerente de vendas:

Suponha que a comissão dos vendedores seja de 5% sobre o total mensal de vendas, em cada tipo de
produto. Dessa forma, o gerente pode desejar ter a informação sobre qual é o custo das comissões pagas
aos vendedores por tipo de produto vendido, em janeiro. Para obter tal informação, ele pode multiplicar
cada valor da tabela das vendas de janeiro por 0,05 (pois 0,05 5 5%, que é o percentual pago de comissão
pelas vendas). Assim, teríamos:

Comissões pagas em janeiro (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 23 000,00 ? 0,05 12 000,00 ? 0,05

Germano 27 000,00 ? 0,05 10 000,00 ? 0,05

Rodolfo 19 000,00 ? 0,05 15 000,00 ? 0,05

Fonte: Dados fictícios.

Efetuados os cálculos, a tabela com a informação das comissões pagas em janeiro seria:

Comissões pagas em janeiro (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 1 150,00 600,00

Germano 1 350,00 500,00

Rodolfo 950,00 750,00

Fonte: Dados fictícios.

Esse exemplo ilustra a operação de multiplicar uma matriz por um número real.
Acompanhe outro exemplo:

5 8 Ϫ1 , então 2A:
Sendo A 5 Ϫ4 3 6 

2A 5 2 5 8 Ϫ1  2и5 2и8 2(Ϫ1)  5  10 16 Ϫ2
Ϫ4 3 6  5 2 (Ϫ4) 2и3 2и6  Ϫ8 6 12 



Assim:

Se A é uma matriz m 3 n, de Para refletir
elementos aij, e a é um número real,
então aA é uma matriz m 3 n cujos Sendo a e b números reais e A e B matrizes
elementos são aaij. de mesma ordem:

• (a 1 b)A 5 aA 1 bA
• a(A 1 B) 5 aA 1 aB
• a(bA) 5 (ab)A
• 1A 5 A

Verifique as propriedades desse teorema,
escolhendo dois números reais e duas matrizes
de mesma ordem.

72 Capítulo 4

8 Matriz transposta

O mesmo gerente citado anteriormente vai fazer uma apresentação para seus superiores e, entre outras
coisas, deseja mostrar as vendas bimestrais dos três vendedores. Ao preparar a apresentação, ele percebe
que a visualização da tabela ficaria melhor se os vendedores estivessem nas colunas e os produtos nas linhas
da tabela. Em outras palavras, ele gostaria de expor os dados como abaixo.

A tabela era assim:
Vendas no 1o bimestre (R$)

Vendedor Geladeiras Fogões

Paulo 44 000,00 22 000,00

Germano 43 000,00 16 000,00

Rodolfo 39 000,00 24 000,00

Fonte: Dados fictícios.

E vai ficar assim:

Vendas no 1o bimestre (R$)

Vendedor Paulo Germano Rodolfo

Geladeiras 44 000,00 43 000,00 39 000,00

Fogões 22 000,00 16 000,00 24 000,00

Fonte: Dados fictícios.

A nova tabela do gerente é um exemplo de transposição de matriz.
Então:

Seja A uma matriz m 3 n. Denomina-se matriz transposta Para refletir
de A (indica-se por At) a matriz n 3 m cujas linhas são, ordena- Qual é o significado da palavra
“ordenadamente” nessa definição?
damente, as colunas de A.
Significa “em ordem”, da primeira à
Exemplos: última. Por exemplo, a 1a linha de At
é a 1a coluna de A.

a) A 5 6 Ϫ2 ⇒ At 5 6 4
 4 5  Ϫ2 5 

3 10 Ϫ1 3 0
 0 Ϫ2 6 
b) A 5 ⇒ At 5  10 Ϫ2
 6
Ϫ1

4 2 1 4 0 Ϫ3
 2 
c) A5  0 5 8  ⇒ At 5 5 2 
 
Ϫ3 2 10  1 8 10 

Notamos que, se A 5 (aij) é do tipo m 3 n, então At 5 (bji) é do tipo n 3 m e bji 5 aij.

Matrizes e determinantes 73

Exercícios Atividade Atividade
em dupla em equipe

16. Escreva no caderno a matriz transposta das 20. Sendo A 5  2 1 e B 5 1 5 , determine:
 3 2  2 Ϫ2
seguintes matrizes: 5 
a) A 5 (5 2 6)    3 8
2 At 5  2  a) At 1 B  3 0 
6
5 b) (5A 1 B)t  9 13 
   0
b) B5  Ϫ1 4  Bt 5  2 Ϫ1 6   0 12 
0 6 5 4
21. Uma equipe de criadores de jogos para celular

c) C5  Ϫ4 2  Ct 5  Ϫ4 5 acabou de lançar dois jogos, o “Avião Maluco” e o
 5 Ϫ1   2 Ϫ1  “Fura Bolo”, nas versões A e B. As tabelas abaixo

 1 3 2  1 0 Ϫ1  mostram o número de downloads de cada jogo,
  em cada tipo de versão, por dia:
d) D 5  0 0 5  Dt 5  3 0 4 
 Ϫ1 4 3  2 5 3
Downloads em 23 de outubro

17. Sendo A 5  2 1   1 5  , determine: Jogo Versão A Versão B
 3 2  e B 5  2 Ϫ2 
Avião Maluco 23 21
 3 6  3
a) A 1 B  5 0  b)  1 −4  g) A 1 Bt  3 0  Fura Bolo 28 36
 1 4  8 9 13 
b) A 2 B 5 0 12 
10  h) 3 ? At Fonte: Dados fictícios.
 10  
c) 5A  15 d)  2 3  i) (5A 2 B)t  21. c) A 1 B 5  90 110  , total de downloads dos
 1 2   150 140 dois jogos nos dois dias.
d) At
 2 Downloads em 24 de outubro
1 −2   6 9 j) (3A)t 2 3At
e) Bt  5 h)  3 6  k) 2(At 1 Bt) Jogo Versão A Versão B

f) At 1 B 3 8  0  Ϫ3 Ϫ5 
 3 0   0  
j) 0 ordem 3cuϪj6os 0 Avião Maluco 67 89
0
18. Seja A uma matriz quadrada de
Fura Bolo 122 104

elementos são dados por aij 5 0, se i j Fonte: Dados fictícios.
Calcule: iϩ j, se .
De acordo com os dados das tabelas, façam no ca-
iϭ j

2 0 0 6 0 0   0 0 0 derno o que se pede. a) A 5  23 21  b) B 5  67 89 
4 12 0   0 0  28 36   122 104 
a) A a)  0 0 0  d)  0 0 18  g)  0 0 0 
      a) Elaborem a matriz A, quadrada de ordem 2, com
b) A 1 I3  0 6 0 0
os dados da tabela do dia 23 de outubro.
c) A 1 O3  3 
 0 0   2 0 0 9 0 0 b) Elaborem a matriz B, quadrada de ordem 2, com
b)  5 0  e)  0 4  h)   os dados da tabela do dia 24 de outubro.
d) 3A 0  0   0 19 0 

e) At  0 0 7   0 0 6   0 0 29 

f) A 1 At c)  2 0 0   4 0 0 c) Elaborem a matriz A 1 B e interpretem o que são
g) A 2 At  0 4 0   0 8  os valores dessa matriz, de acordo com o con-
 0 0  f)  0 0  texto do enunciado.

h) 2A 1 3At 2 I3 6 0 12 

19. Sendo A 5  1 2  eB5  2 0  , d) Elaborem a matriz B 2 A e interpretem o que são
 3 4   1 2  os valores dessa matriz, de acordo com o con-
texto do enunciado.
mostrem que: Veja a resolução deste exercício
e) Exatamente 10% do total de usuários que fize-
a) (At)t 5 A no Manual do Professor.
ram o download dos jogos nesses dois dias ava-
b) (A 1 B)t 5 At 1 Bt
liaram os jogos como ótimos. Qual alternativa

c) (2A)t 5 2At abaixo contém a operação matricial que gera a

d) (A 2 B)t 5 At 2 Bt matriz C contendo a quantidade de usuários que

nesses dois dias avaliou cada jogo, em cada ver-

Para refletir são, como ótimo?
Seja a um número real qualquer e A e B matrizes de
mesma ordem: • C 5 0,1 ? A 1 B 21. d) B 2 A 5  44 68 
• C 5 0,1 ? At 1 B  94 68  ,
• (At)t 5 A • (aA)t 5 a ? At • (A 1 B)t 5 At 1 Bt •x C 5 0,1 ? (A 1 B)
quantidade de downloads que foi
Verifique as três primeiras propriedades feita a mais no dia 24 de outubro.
relacionadas a uma matriz transposta.
• C 5 0,1 ? (At 1 B)

74 Capítulo 4

9 Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui; não
basta multiplicar os elementos correspondentes. Vamos introduzi-la por meio da seguinte situação:

Durante a Copa do Mundo de Futebol Feminino, realizada no Canadá em 2015, o grupo E era formado
por quatro países: Brasil, Coreia do Sul, Costa Rica e Espanha. Observe os resultados (número de vitórias,
empates e derrotas) de cada um, registrados em uma tabela e em uma matriz A, do tipo 4 3 3:

Desempenho das equipes do grupo E na Copa do
Mundo 2015 de Futebol Feminino

Vitórias Empates Derrotas

Brasil 3 0 0 3 0 0
Coreia do Sul 1 1 1
0 2 1  Aϭ 1 1 1
Costa Rica 02 1
0 1 2

Espanha 0 1 2

Fonte: Globo Esporte. Disponível em: <http://globoesporte.globo.com/futebol/
mundial-feminino/index.html>. Acesso em: 4 maio 2016.

Pelo regulamento da Copa do Mundo de Futebol Feminino, cada resultado (vitória, empate ou derrota)
tem pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado em uma tabela e
em uma matriz B, do tipo 3 3 1.

Pontos obtidos por equipe

Vitória 3 3
Empate  
Derrota 1 B ϭ  1 

0

0

Fonte: Federação Internacional de Futebol (FIFA). Disponível em: <http://resources.
fifa.com/mm/document/tournament/competition/02/07/47/91/regulationsfwwc

canada2015e_neutral.pdf>. Acesso em: 4 maio 2016.

Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos dos países participantes. Essa pontuação pode
ser registrada em uma matriz que é representada por AB (produto de A por B). Veja como é obtida a matriz da
pontuação de cada país do grupo E:

Brasil: 3 ? 3 1 0 ? 1 1 0 ? 0 5 9 9
Coreia do Sul: 1 ? 3 1 1 ? 1 1 1 ? 0 5 4  
Costa Rica: 0 ? 3 1 2 ? 1 1 1 ? 0 5 2 AB ϭ  4 
Espanha: 0 ? 3 1 1 ? 1 1 2 ? 0 5 1 2 

 1 

Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre

os tamanhos das matrizes:

A4 3 3 ? B3 3 1 5 AB4 3 1 Para refletir
Como é determinado cada elemento de AB?

Cada elemento de AB é obtido multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j
da matriz B e somando-se os produtos obtidos.

Matrizes e determinantes 75

Veja agora a definição matemática da multiplicação de matrizes: Para refletir
Dadas as matrizes
Dada uma matriz A 5 (aij) do tipo m 3 n e uma matriz A e B, tal que
B 5 (bij) do tipo n 3 p, o produto da matriz A pela matriz B C 5 AB, temos:
é a matriz C 5 (cij) do tipo m 3 p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos • (AB)t 5 BtAt
da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer Verifique a quarta
que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la propriedade
por AB. relacionada a uma
matriz transposta.

Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao

número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número

de colunas de B: ? Bn 3 p 5 AB m 3 p Fique atento!
Am3n A matriz identidade é o elemento neutro
da multiplicação de matrizes, ou seja,
quando existirem os produtos, temos:

A?I5AeI?B5B

Exercícios resolvidos passo a passo: exerc’cio 5

 b11 
b21 
2. Dadas as matrizes A 5 (a11, a12, a13)1 3 3 e B 5   , determine AB.

 b31  3 3 1
Resolução:

 b11  5 a11b11 1 a12b21 1 a13b31
 b21 
AB 5 (a11, a12, a13)1 3 3 ?  
 b31  3 3 1

1 3 2 3 0
0 5 Ϫ1  Ϫ2 , determine AB.
3. Dados A 5 e B5  4 6 

Resolução:  1

A é uma matriz 2 ϫ3 AB será uma matriz 2 ϫ 2.
B é uma matriz 
3ϫ 2 

AB 5  c 11 c12 
c21 c22 

c11: usa-se a 1a linha de A e a 1a coluna de B, multiplicando-se ordenadamente os elementos:

1 ? 3 1 3 ? 4 1 2 ? 1 5 17

c12: usa-se a 1a linha de A e a 2a coluna de B: 1 ? 0 1 3(22) 1 2 ? 6 5 6
c21: usa-se a 2a linha de A e a 1a coluna de B: 0 ? 3 1 5 ? 4 1 (21)1 5 19
c22: usa-se a 2a linha de A e a 2a coluna de B: 0 ? 0 1 5(22) 1 (21)6 5 216

 1 3 2 3 0   17 6
 0 5 Ϫ1   Ϫ2   19 Ϫ16 
Concluindo:  4  5

A2 ϫ 3 1 6  AB2ϫ2

B3ϫ2

76 Capítulo 4

3 2  3 1
 0  e B 5  6 2
4. Dados A 5  5 4  , determine AB.
1

Resolução:

Como A é uma matriz 3 3 2 e B é uma matriz 2 3 2, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de
B; assim, está definido o produto AB, que será uma matriz 3 3 2, isto é:

 c 11 c12  3 2 3 1  3и3 ϩ 2и6 3 и 1 ϩ 2 и 2   21 7 
5 0 6 2  5и3 ϩ 0и6
AB 5 c 21 c22 5  5  1и3ϩ 4и6 5и 1ϩ 0и2  5 15 5 
 c32 1  2ϫ2 1и1ϩ 4и2   27 9 
c31 4

3ϫ2 3ϫ2

Resolvido passo a passo

5. (UEL-PR) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de men-

sagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens
codificadas chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como
indicado na tabela-código a seguir.

1 2345
1 Z YXVU
2 T S RQP
3 ONM L K
4 J I HG F
5 EDCBA

Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem.
Assim, o número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A 1 B 5 M, onde B é uma matriz
fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M
corresponde a uma palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.
José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma
matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.
O que a chefia informou a José?
Dados:

 12 20 13 8 50 25 1 
 
A5  0 0 34 32 3 4 0 
 45 26 13 24 0 0 0 

 30 45 16 20 11 17 0 
 1 50 21 3 35 42 11 

 10 11 10 15 −8 30 −1 
 
B5  14 31 19 19 −3 −4 0 
 6 −4 8 31 0 0 0 

 −8 6 16 32 20 −17 0 
 44 −8 13 30 20 10 20 

a) SORRIA VOCE ESTA SENDO ADVERTIDO. d) SORRIA VOCE ESTA SENDO IMPRODUTIVO.
b) SORRIA VOCE ESTA SENDO FILMADO. e) SORRIA VOCE ESTA SENDO OBSERVADO.
c) SORRIA VOCE ESTA SENDO GRAVADO.

Matrizes e determinantes 77

1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?

São dadas no problema uma tabela-código, que troca os números formados por (linha-coluna) pela letra cor-
respondente, e a informação principal, a qual esclarece que a mensagem a ser seguida é fruto de uma matriz
formada pela soma de outras duas matrizes.
b) O que se pede?
Pede-se a decodificação da matriz, informando a mensagem que a chefia quis passar.

2. Planejando a solução
A estratégia base para solucionar o problema é inicialmente somar as matrizes (A) e (B) encontrando a
matriz (M). A partir desta, decodificamos os números em letras e, em seguida, montamos a frase transmi-
tida pela chefia.

3. Executando o que foi planejado

1º- passo: Montar a matriz M.

A1B5M

 12 20 13 8 50 25 1   10 11 10 15 −8 30 −1 
   
 0 0 34 32 3 4 0   14 31 19 19 −3 −4 0 
0 0   6 −4 8 31 0 0 0 
 45 26 13 24 0 1 5

 30 45 16 20 11 17 0   −8 6 16 32 20 −17 0 
 1 50 21 3 35 42 11   44 −8 13 30 20 10 20 

 22 31 23 23 42 55 0 
 
5  14 31 53 51 0 0 0 
 51 22 21 55 0 0 0 

 22 51 32 52 31 0 0 
 45 42 34 33 55 52 31 

2º- passo: Decodificar os números da matriz M em letras.
Mensagem decodificada:
22 31 23 23 42 55 14 31 53 51 51 22 21 55 22 51 32 52 31 45 42 34 33 55 52 31 5 SORRIA VOCE ESTA SENDO FILMADO

4. Emitindo a resposta  52 51 22 53 15 34 25 
A resposta é a alternativa b.  
 51 0 0 0 33 51 0 
5. Ampliando o problema
a) Exemplo de matriz: M 5  0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 53 43 51 
 
 45 51 0 0 0 0 0 

a) Levando em consideração a advertência que recebeu, José decidiu pedir desculpas ao chefe e enviou uma

mensagem codificada com a seguinte frase: “DESCULPE ME CHEFE”. Sendo assim, qual poderia ser a ma-

triz M enviada à chefia?

b) Desafio em equipe.

Dividindo-se em grupos, montem 10 frases (mensagens) codificadas. Em seguida, cada grupo apresenta a sua

mensagem, e os demais têm a missão de anotar a frase que entenderam. Ao final das apresentações, o grupo
que acertar mais mensagens é o vencedor. Essa é uma atividade que trabalha a capacidade de expressão dos alunos e

o raciocínio pessoal.

78 Capítulo 4

Exercícios

22. Só definimos o produto AB de duas matrizes quan- 27. Observando os resultados obtidos no exercício

do o número de colunas de A for igual ao número anterior, respondam: para essas matrizes, A e B, va-
de linhas de B. Então, associe V ou F a cada uma das le a igualdade (A 1 B)(A 2 B) 5 A2 2 B2?Não.
seguintes afirmações:
 4 1
a) Se A é uma matriz 3 3 1 e B é uma matriz 1 3 2, 28. Se A 5  6 Ϫ2  e I2 é a matriz identidade de
existe o produto AB. V
ordem 2, determine:
 1 a) A ? I2 A b) I2 ? A A

b) Se A 5  3 e B 5 (1 5 2), existe o produto AB. V

 5 29. Determine os produtos:

c) Se A é uma matriz 4 3 3 e B é uma matriz 1 3 4, a)  6 5  2 4  17 39 
existe o produto AB. F  1 0   1 3  2 4 

d) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2, en-  1  2 5 0
tão o produto AB será, também, uma matriz  
quadrada de ordem 2. V b)  3  (2 5 0)  6 15 0 
6  12 30 0 

23. Dadas as matrizes A 5  1 3  eB5  4 Ϫ1  , 1 3 6  5 0  29 24 
 0 Ϫ2   1 2  5  23 22 
c)  2 0 1   2 4   
determine:  4 2   3 2 
 26 4 
a) AB 7 5
 −2 −4 
b) BA  1 0
 4 14  d)  5 2   2 5 1 6  2 24 9 27 
 1 −1  3 Ϫ1 4 Ϫ3   4 13 11 12 
24. Determine o produto AB, sendo A 5  4 1
 8 2  e

 Ϫ3 5  1 6  3 5  Ϫ3 17 
 12 Ϫ20   1  Ϫ1 2
B5 .  0 0 e)  Ϫ2 3   Ϫ7 Ϫ8 
 0 0  4  9 26 

25. Observem os resultados obtidos nos exercícios f)  5 Ϫ4   7 4  59 12 
 2 1   Ϫ6 2   8 10 
23 e 24 acima e avaliem como verdadeira (V) ou
falsa (F) cada sentença abaixo (considerem A e B 30. Para a fabricação de caminhões, uma indústria
matrizes quadradas de mesma ordem):
montadora precisa de eixos e rodas para seus três
a) AB 5 BA F modelos de caminhões, com a seguinte especificação:

b) Se AB 5 0, então A 5 0 e B 5 0. F

Para refletir Número de eixos e rodas de cada
Dadas as matrizes quadradas A e B de mesma ordem, às modelo de caminhão
vezes temos AB 5 BA, mas em geral temos AB ? BA.
Quando AB 5 BA, dizemos que A e B comutam. Componentes/Modelo ABC

Eixos 234

( ) ( ) ( )0 2 Rodas 468
Dadas E 5 0 Ϫ1 , F 5 3 0 e G 5 2 0 ,
31 Ϫ3 4 Fonte: Dados fictícios.

verifique quais são as duas matrizes que comutam. Para os dois primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

Só F e G comutam, pois EF ? FE, EG ? GE e FG 5 GF.

26. Dadas as matrizes A 5  2 3 e Produção de caminhões nos meses
 5 1  de janeiro e fevereiro

 3 1  Modelo/Meses Janeiro Fevereiro
 2 1 
B5 , determinem: A 30 20

 19 19  B 25 18
a) A2, em que A2 5 AA;  15 16  Fique
atento! C 20 15

b) B2, em que B2 5 BB;  11 4  Só podemos Fonte: Dados fictícios.
calcular A2
 8 3  Usando a multiplicação de matrizes, respondam:
nessas condições, quantos eixos e quantas rodas
c) (A 1 B)(A 2 B); c)  7 10  quando A é são necessários em cada um dos meses para que a
d) A2 2 B2.  8 5   Ϫ1 14  matriz montadora atinja a produção planejada?
quadrada.
 7 13 

215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro; 430 rodas para
janeiro e 308 para fevereiro

Matrizes e determinantes 79

10 Determinante de uma matriz

O determinante de uma matriz é um número real associado às
matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determinante.

Historicamente, o determinante surgiu para indicar sistemas determinados (sistemas que têm solução
única, como estudaremos no próximo capítulo), mas ao longo do tempo tornou-se uma ferramenta mate-
mática com diversas aplicações.

Estudaremos os determinantes mais usuais (os de ordem 2 e de ordem 3), aprendendo a determiná-los
por meio de regras práticas. Veremos também algumas de suas propriedades mais relevantes. E, ao longo
desta coleção, estudaremos a aplicação dos determinantes para classificar sistemas lineares, calcular áreas
de triângulos e obter equação da reta, entre outras coisas.

Junte-se com um colega e reflitam sobre que valor (ou valores) de x resolve(m) cada uma das equações
abaixo. Depois, discutam com os colegas da classe os valores escolhidos.

a) 2x 5 8
b) 2x 5 0 Os dois primeiros itens são básicos e podem fazer com que os alunos não deem a devida atenção aos itens c e d, por isso desafie-os por

meio de questionamentos. Depois que os alunos efetuarem a tarefa proposta, pergunte sobre as respostas obtidas e estimule-os a

c) 0x 5 0 discutir os resultados. Finalize pedindo que eles definam uma “regra” para que tenhamos soluções únicas nas equações.
d) 0x 5 5

O determinante de ordem 2

Vamos analisar a solução do seguinte sistema 2 3 2: aa2111xx ϩa12 y ϭ k1
ϩa22 y ϭ k2

Isolando x na primeira equação, temos:

x 5 k1 Ϫa12 y
a11

Substituindo na segunda equação, temos:

a21  k1 Ϫa12 y  1 a22y 5 k2 ⇒ a21k1 2 a12a21y 1 a11a22y 5 a11k2 ⇒ (a11a22 2 a12a21)y 5 a11k2 2 a21k1
 a11 

Para que exista um único valor de y que satisfaça essa igualdade é necessário que (a11a22 2 a12a21) não seja
nulo. Existindo um único valor de y, existirá um único valor de x, e o sistema terá solução (será determinado).
Sendo assim, o número (a11a22 2 a12a21) é chamado de determinante da matriz de ordem 2, pois conforme seu
valor sabemos de antemão se o sistema 2 3 2 é ou não é determinado.

Esse número pode ser obtido facilmente a partir de operações que envolvem os elementos da matriz
dos coeficientes do sistema que está sendo analisado por meio de uma regra prática.

Por exemplo, para o sistema aa2111xx ϩa12 y ϭ k1 a matriz dos coeficientes é  a11 a12  . Observe que, se
ϩa22 y ϭ k2  a21 a22 
 

fizermos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secun-

dária, obteremos exatamente (a11a22 2 a12a21), que foi definido como o determinante da matriz  a11 aa2122 .
 a21


Como essa matriz é de ordem 2, o determinante é dito de ordem 2.

80 Capítulo 4

 a11 a12  ,
Assim, dada a matriz A 5   indicamos seu determinante deste modo:
 a21 a22 

det A 5 a11 a12 5 a11 ? a22 2 a12 ? a21
a21 a22

Por exemplo, o determinante de matriz A (det A), sendo A 5 6 3 , é dado por:
 2 Ϫ4

det A 5 6 3 5 6 ? (24) 2 3 ? 2 5 224 2 6 5 230.
2 Ϫ4

Fique atento!

É errado escrever 6 3 5 230, pois não é a matriz, e sim seu determinante,
 2 Ϫ4 

um número, que é 230. O correto é det A 5 230 ou 6 3 5 230.
2 Ϫ4

O determinante de ordem 3 aa2111xx ϩa12 y ϩa13z ϭ k1
ϩa22 y ϩa23z ϭ k2
De forma análoga, vamos analisar a solução do seguinte sistema 33 3:

a31x ϩa32 y ϩa33z ϭ k3

Fazendo as operações adequadas, obtemos a seguinte equação na variável z:

(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)z 5
5 (a11a22k3 1 a12k2a31 1 k1a21a32 2 k1a22a31 2 a11k2a32 2 a12a21k3)

Da mesma forma que na equação obtida no sistema 2 3 2, para que exista um único valor de z, é neces-
sário que:

(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)
não seja nulo. Então, o número:

(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)

é chamado determinante da matriz de ordem 3, e, conforme seu valor, sabemos se o sistema 3 3 3 é deter-

minado ou não.  a11 a12 a13 

Consideremos a matriz genérica de ordem 3: A 5  a21 a22 a23  .
 
 a31 a32 a33 

Define-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número:

a11 a12 a13
det A 5 a21 a22 a23 5 a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32

a31 a32 a33

Fique atento!
Quando se diz determinante de ordem n, deve-se entender determinante de uma matriz de ordem n.

Matrizes e determinantes 81

Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como regra de Sarrus, fazendo

o seguinte:

• repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações como indicado:

ϩϩϩ ϪϪϪ

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

Ϫ(a13a22a31) (a13a21a32)
Ϫ(a11a23a32) (a12a23a31)
Ϫ(a12a21a33) (a11a22a33)

• os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal;
• os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;
• o determinante é a soma dos valores assim obtidos.

Exemplo:

31 5 3 1

3 1 5  2 0 Ϫ2 2 0 Fique atento!
 0 Ϫ2 Os três produtos da esquerda já estão
A 5  2 Ϫ1 4 Ϫ3 Ϫ1 4 com o sinal trocado.

Ϫ1 4 Ϫ3 0ϩ24ϩ6 0 ϩ2 ϩ40 ϭ 72

Portanto, det A 5 72.

Teorema de Binet Assunto
opcional

Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det (AB) 5 (det A)(det B).

Exemplo: A1B5  3 4
 8 3 

3 2 , B5 0 2 det (A 1 B) 5 9 2 32 5 223
A 5 5 Ϫ1  3 4 
det A ϭ Ϫ3 Ϫ 10 ϭϪ6Ϫ13 ⇒ det A 1 det B 5 213 2 6 5 219
det B ϭ 0Ϫ6ϭ

6 14  Logo, det (A 1 B) ? det A 1 det B.
Ϫ3 6 
AB 5 ⇒ det (AB) 5 36 1 42 5 78 Para refletir
Calcule e compare: det (A 1 B) e det A 1 det B.
det A ? det B 5 (23 2 10)(0 2 6) 5 (213)(26) 5 78

Exercício resolvido

2 x  1 Ϫ1 0
3 9   
6. Dadas as matrizes A 5 eB5  2 3 x  , determine o valor de x para que se tenha det A 5 det B.
2
Ϫ1 1 
Resolução:

• A é matriz de ordem 2: det A 5 2 ? 9 2 3x 5 18 2 3x
• B é matriz de ordem 3; usamos a regra de Sarrus:

1 Ϫ1 0 1 Ϫ1

23 x 2 3

Ϫ1 2 1 Ϫ1 2

0Ϫ2x ϩ2 ϩ3 ϩx 0 det B ϭ Ϫx ϩ 5

det A 5 det B ⇒ 18 2 3x 5 2x 1 5 ⇒ 23x 1 x 5 5 2 18 ⇒ 22x 5 213 ⇒ 2x 5 13 ⇒ x 5 13
2
13 .
Logo, x 5 2

82 Capítulo 4

Exercícios 35. Resolva no caderno as equações:

31. Calcule os determinantes: a) x Ϫ2 6 5 2 S 5 {6}
3 5
a) 6 2 10
43

b) Ϫ3 Ϫ8 2 2 3 Ϫ2
12 b) 0 1 x 5 2 S 5 {1, 2}

2 x Ϫ3

c) 6 10 0 36. Calcule o determinante das matrizes:
35
Chame a atenção dos alunos em relação
a b 1 0  1 aos resultados deste exercício.
aϩb aϩb a) I2 5  0 1 
d) a2 2 b2

sen x (cos x)Ϫ1  1 0 0
e) tan 2x  
b) I3 5  0 1 0  1
Ϫsen x (cos x)Ϫ1
 0 0 1 

f) cos a sen b c os2 a 2 sen2 b 37. Calcule o determinante das matrizes:
sen b cos a
 0 0  Se achar conveniente, aproveite a
a) A 5  0 0  0 resolução deste exercício para
mencionar as propriedades que
32. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determi- zeram o determinante.

nantes: 3 1 3

3 2 Ϫ1 3 5 Ϫ1 b) B 5  2 Ϫ1 2  0
a) 5 0 4 5 7 d) 0 4 2 224  
 8 5 8 
2 Ϫ3 1 0 0 Ϫ2
 0 0 0
 
2 1 Ϫ2 308 c) C 5  4 1 3  0
b) 3 Ϫ1 0 1 e) 0 7 7 2413
 Ϫ1 2 1 
4 1 Ϫ3 490
 1 2 1
 
a00 d) D 5  4 8 3  0
c) 0 b a a b 2 a2
00 5  Ϫ2 Ϫ4 3 
01 1 f) 8 10 3 280
38. Se det A 5 5 e det B 5 2, determine:
074
a) det (AB) 10
33. Dadas as matrizes A 5  Ϫ1 3  e b) det (A2) 25
 2 Ϫ8  c) det (B3) 8

 2 Ϫ1 
B 5  3 0  , determinem:

a) A 1 B a)  1 2 f) det B 3
 5 −8  g) det (A 1 B) 218
h) det A 1 det B 5 39. Lembrando que a matriz identidade I é o elemen-
b) At b)  −1 2
 3 −8  to neutro da multiplicação de matrizes, calculem o
determinante de uma matriz identidade qualquer
c) A ? B c)  7 1 (ordem n), a partir do raciocínio abaixo: (A e I são da
 −20 −2  mesma ordem e det A ? 0.)

d) det A 2 i) det (AB) 6 A ? I 5 A ⇒ det (AI) 5 det A ⇒ det A ? det I 5 det A ⇒
⇒ det I 5 ? 1
e) det At 2 j) det A ? det B 6

34. Se A 5  3 1  e B 5  Ϫ1 2  , determine Para refletir
 4 8   Ϫ2 6 Qual é o determinante de qualquer
matriz identidade? 1
det (AB). 240

33. Se achar conveniente, use a resolução deste exercício para mostrar algumas propriedades
e não propriedades, ao comparar e discutir com os alunos os itens d e e; g e h; i e j.

Matrizes e determinantes 83

11 Matriz inversa de uma matriz dada Assunto
opcional
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz
tal que AX 5 In e XA 5 ln, então x é denominada matriz inversa de Fique atento!
A e é indicada por A21. Lembre-se de que In é
a matriz identidade.

Existe a matriz inversa de A sempre que det A ? 0.

Exemplo:

1 Ϫ1  0 1
A matriz A 5  2 0  
admite inversa, pois det A ? 0, e sua matriz inversa é A21 5  2  .
1 
Ϫ1 
2

 0 1  0 1
  2  1
Note que: 1 Ϫ1 2 5  10  e 21   2 Ϫ1 5  1 0  .
 2    01   0   0 1 
0  Ϫ1 1  Ϫ1
2 ↓
↓

I2 I2

 0 1 Para refletir
 Verifique as multiplicações
Então, A admite inversa e A21 5  2 , ou seja, AA21 5 A21A 5 I2. efetuadas.
21 
Ϫ1

Observação: Todo número real a diferente de zero possui o inverso multiplicativo a21, pois aa21 5 a21a 5 1.
Dada uma matriz quadrada n 3 n, nem sempre existe uma matriz B, do tipo n 3 n, tal
que AB 5 BA 5 In. É necessário que det A ? 0 para que exista essa matriz B,
inversa de A.

Exercícios

40. Calcule o determinante de cada matriz abaixo e de- 42. Sejam A 5  1 2  eB5  a c 
 1 3   b d  . Determinem:
termine se elas admitem inversas ou não.  

 3 1  a) B sabendo que AB 5 I2;  Ϫ3 −2 
 4 6  b)  Ϫ1 1 
a) A5 Sim. A21.  Ϫ3 −2 
 Ϫ1 1 

 6 2 1 −1 
 2 1   
 2 3  43. Sejam A 5 e A21 5  2  .
 4 6  Determinem:
b) B5 Não.  −1 3 

 1 0 Ϫ1  a) det A 2

1

b) det A21 2

c) C5  4 2 1  Sim. c) det (AA21) 1
 
 5 2 3 
44. Lembrando que se AA21 5 I então
41. Sejam A e B matrizes de ordem 3. Se B 5 A21, deter-
det (AA21) 5 det I, calculem det A21 sabendo que
mine o produto AB. I3
1

det A 5 3. 3

84 Capítulo 4

12 Aplicações de matrizes

Geometria e coordenadas

Observe a região triangular P no plano cartesiano a seguir.

y

4

3P
2

1

x
0

1 234

Os vértices desse triângulo são descritos pelos pares ordenados: (1, 4); (4, 4) e (2, 1). Podemos escrever
esses pares ordenados em colunas, formando uma matriz. Veja:

 1 4 2
 4 4 1

Exercícios

45. Observe o triângulo Q no plano cartesiano ao lado e escreva no caderno: y

a) os pares ordenados que descrevem seus vértices; (4, 2), (8, 1), (8, 4) 4
3
b) os pares ordenados formando uma matriz 2 3 3.  4 8 8 2 Q
 2 1 4  1 x

0 1 2345678

46. Escreva no caderno a matriz correspondente aos vértices de cada figura a seguir.

a) R y a)  Ϫ3 Ϫ3 Ϫ1 Ϫ4 
 1 2 2 4 
b) S 4
R3
c) T 2 b)  Ϫ8 Ϫ6 Ϫ6 Ϫ8 
 Ϫ3 Ϫ3 2 2 

d) U 1x c)  Ϫ5 Ϫ4 Ϫ1  Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
 Ϫ2 Ϫ4 Ϫ1 
e) V Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2345678
Ϫ1 UV
d)  1,5 2 5 4,5 
S T Ϫ2  Ϫ3 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ3 
Ϫ3
e)  5 6 8 7
Ϫ4  Ϫ3 Ϫ3 Ϫ1 Ϫ1 

47. Coloque os pares ordenados de cada matriz a seguir em um plano cartesiano construído no caderno. Ligue os

pontos (em ordem) para formar uma figura. Veja a resolução deste exercício no Manual do Professor.

a) 2 1 2 3 b) 0 1 5 4 c)  3 1 0 d) 0 5 5 0
 1 3 6 3 0 2 2 0 Ϫ2 Ϫ3 0 0 Ϫ2 4 4

Matrizes e determinantes 85

Transformações geométricas

As imagens em uma tela de computador ou televisão de tecnologia mais moderna são na verdade
formadas por pequenos pontos (pixels), elementos de uma matriz.

Por exemplo, uma imagem de resolução 800 3 600 tem 800 ? 600 5 480 000 pixels distribuídos em
800 colunas e 600 linhas.

Quando um programa gráfico altera a posição, reflete, rotaciona ou muda a escala da imagem, na ver-
dade está mudando a posição dos pixels que a formam. Em computação gráfica isso tudo é feito por opera-
ções de matrizes; é o que se chama de transformações geométricas.

Basicamente, as transformações geométricas no plano são quatro: rotação, reflexão, escala e translação.
Observe nas figuras abaixo um ABC sujeito a cada uma dessas transformações:

• Rotação do ABC, de 30º no sentido anti-horário, em torno da origem.

y CЈ
BЈ

C B
AЈ x
30¡
O
A
• Reflexão do ABC em relação ao eixo y.
y
CЈ C

BЈ B
AЈ A x

• Mudança de escala do ABC em 50%. Essa mudança de escala chama-se homotetia.

y

C

CЈ B
BЈ x

AЈ A
O
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
• Translação do ABC com 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima.

y
CЈ

BЈ
C

AЈ B

A x
O

86 Capítulo 4

Translação

Observe as figuras abaixo.

y A y A 8
8 8 2
7 x 7
6 6 A
5 5 x
4 4
3 3
2 2
1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Vértices da região triangular A: (0, 2); (3, 6) e (4, 2). Vértices da região triangular A9: (8, 0); (11, 4) e (12, 0).

As matrizes relacionadas às figuras acima são:

A ϭ 0 3 4 e AЈ ϭ  8 11 12 
 2 6 2   0 4 0 

A região triangular A sofreu uma translação dando origem à região triangular A9. Podemos descrever
essa translação usando uma matriz coluna:

 8  → movemos 8 unidades à direita ao longo do eixo x, e depois
 −2  → movemos 2 unidades para baixo ao longo do eixo y.

Observe que:

•  0 ϩ  8 ϭ  8 •  3 ϩ  8 ϭ  11 •  4 ϩ  8 ϭ  12
 2 Ϫ2  0  6 Ϫ2  4  2 Ϫ2  0 

De modo geral, para transladar um ponto P(x, y) de a unidades para a direita e b unidades para cima,

efetuamos a adição de matrizes:

 x ϩ  a ϭ  x ϩa
 y  b  y ϩ b

Exercícios

Veja a resolução dos exercícios 48 e 49 no Manual do Professor.  2 triângulo B.
a) 3 , dando origem ao
48. Escreva no caderno o que significa cada uma das  Ϫ3 3
  5
translações dadas pelas matrizes:

 2  3 Ϫ2 Ϫ2  ;  8  ;  3 
a)  3 Ϫ1  Ϫ1  4    5  9 
b) c) d) Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

b) Ϫ4 , dando origem ao triângulo C.

49. Copie o diagrama abaixo em uma malha quadricula-  Ϫ2  ;  3  ;  Ϫ2 
 Ϫ2   Ϫ2   2 
da. Translade o triângulo A de acordo com cada ma-  2
triz coluna dada e desenhe o triângulo transladado. c) , dando origem ao triângulo D.
Ϫ5
y  3   8   3 
 Ϫ3  ;  Ϫ3  ;  1 

d)  Ϫ3 , dando origem ao triângulo E.

A Ϫ2  Ϫ2  ;  3  ;  Ϫ2 
0  0   0   4 

x e) Em cada caso, escreva a adição de matrizes cor-

respondentes.

Matrizes e determinantes 87

Reflexão

Observe o diagrama abaixo. A figura A sofreu uma reflexão em relação ao eixo y dando origem à figura A9.

y AЈ Banco de imagens/Arquivo da editora
10
9 x
8
7
6
5
A4
3
2

1

Ϫ10Ϫ9Ϫ8Ϫ7Ϫ6Ϫ5Ϫ4Ϫ3Ϫ2 ϪϪ1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ϫ2

Ϫ3

Vértices da figura A: (Ϫ3, 2), (Ϫ4, 4), (Ϫ2, 7), (Ϫ8, 4) Vértices da figura AЈ: (3, 2), (4, 4), (2, 7), (8, 4)

Veja a matriz associada a cada figura:

A ϭ Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 e AЈ ϭ  3 4 2 8
 2 4 7 4   2 4 7 4

A reflexão que leva A em A9 é indicada por:

A → A9, ou seja, Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 → 3 4 2 8
 2 4 7 4   2 4 7 4

Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo y.

Podemos obter a matriz de A9 multiplicando a matriz de A pela matriz Ϫ1 0 , ou seja:
 0 1 

Ϫ1 0 ϫ Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 ϭ 3 4 2 8
 0 1  2 4 7 4   2 4 7 4

Agora, considere uma reflexão da figura A em relação ao eixo x, dando origem à figura B. Veja:

y Vértices da figura A: (Ϫ3, 2), (Ϫ4, 4), (Ϫ2, 7), (Ϫ8, 4)
10 Matriz associada: Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8
9
8 24 7 4
7
6 Vértices da figura B: (Ϫ3, Ϫ2), (Ϫ4, Ϫ4), (Ϫ2, Ϫ7), (Ϫ8, Ϫ4)
5 Matriz associada: Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8
A4
3 Ϫ2 Ϫ4 Ϫ 7 Ϫ4
2

1x

Ϫ10Ϫ9Ϫ8Ϫ7Ϫ6Ϫ5Ϫ4Ϫ3Ϫ2ϪϪ110 1 23
Ϫ2
Banco de imagens/Arquivo da editora
Ϫ3
B Ϫ4

Ϫ5
Ϫ6

Ϫ7

Ϫ8

Ϫ9

Ϫ10

88 Capítulo 4

Veja a matriz associada a essas figuras:

A ϭ  Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8  e B ϭ  Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 
 2 4 7 4   Ϫ2 Ϫ4 Ϫ7 Ϫ4 

A reflexão que leva A em B é indicada por:

A → B, ou seja, Aϭ Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 → Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8
 2 4 7 4  Ϫ2 Ϫ4 Ϫ7 Ϫ4

Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo x. Podemos obter a matriz de B multiplicando a

matriz de A pela matriz 1 0 , ou seja:
 0 Ϫ1

1 0 ϫ Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8 ϭ Ϫ3 Ϫ4 Ϫ2 Ϫ8
 0 Ϫ1  2 4 7 4  Ϫ2 Ϫ4 Ϫ7 Ϫ4

De modo geral, para se obter a reflexão em relação ao eixo y de uma figura cuja matriz associada é

dada, por exemplo, por a b c d , basta efetuar a multiplicação:
 e f g h

Ϫ1 0 ϫ a b c d
 0 1   e f g h

E, para se obter a reflexão em relação ao eixo x de uma figura cuja matriz associada é dada por

a b c d , basta efetuar a multiplicação:
 e f g h

1 0 ϫ a b c d
 0 Ϫ1  e f g h

Rota•‹o

Observe a representação a seguir:

y Banco de imagens/Arquivo da editora

3 A
2
1 x
Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1

0 1 2345
C Ϫ1

Ϫ2
Ϫ3

A figura A sofreu uma rotação de 180º no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0), dando origem
à figura C.

As matrizes associadas a cada uma dessas figuras são:

 1 4 4 5 e C  Ϫ1 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ5 
A ϭ  1 3 2 1  ϭ  Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 

Indicamos a rotação que leva A em C por:

 1 4 4 5  →  Ϫ1 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ5 
A → C, ou seja,  1 3 2 1   Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 

Matrizes e determinantes 89

Nesse caso, obtemos a matriz associada à figura C multiplicando a matriz associada à figura A pela

matriz  −1 0  , que é correspondente a  cos 180Њ Ϫsen180Њ  , ou seja:
 0 Ϫ1   sen 180Њ cos 180Њ 

 Ϫ1 0  ϫ  1 4 4 5  ϭ  Ϫ1 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ5 
 0 Ϫ1   1 3 2 1   Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 

De modo geral, para se obter uma rotação de a graus no sentido anti-horário em torno da origem

(0, 0) de uma figura cuja matriz associada é dada, por exemplo, por a b c d , basta efetuar a mul-
 e f g h

tiplicação:

 cos ␣ Ϫsen ␣  ϫ  a b c d
 sen ␣ cos ␣   e f g 
 h 

Exerc’cios

Faça os exercícios a seguir no caderno ou em uma malha a) Obtenha a matriz associada à figura D.

quadriculada. b) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as fi-

Veja a resolução dos exercícios 50 a 53 no Manual do Professor. guras A e D. a)  Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 
 1 4 4 5 
50. Faça o que se pede para cada matriz a seguir:

M ϭ 0 1 3 N ϭ ϪϪ02 2 Ϫ3  c) Verifique que a matriz associada pode ser obtida
 3 5 1 0 Ϫ4 
 sceons 9900ЊЊ   51 .

Z ϭ ϪϪ21 Ϫ3 Ϫ5 ϪϪ44  Veja a resposta do item b do exercício 50, pelo produto 90Њ Ϫsen ϫ  1 4 4
Ϫ2 Ϫ1 do exercício 51 e do item c do exercício 53 90Њ Ϫcos 1 2 3
na seção Respostas.

a) Marque os pares ordenados em um plano carte- 53. Faça o que se pede para cada matriz a seguir.
siano e ligue os pontos, em ordem, para formar
uma figura. A ϭ  1 1 3 B ϭ  2 1 5 4
 1 3 3  2 4 4 2 
b) Efetue uma reflexão das figuras em relação ao
eixo x e escreva a matriz de cada figura refletida.  1 1 4 4
 1 3 3 1 
c) Constate que a matriz da figura refletida pode C ϭ
ser obtida multiplicando-se a matriz associada à

figura pela matriz:  Ϫ1 0  a) Coloque os pares ordenados de cada matriz no
 Ϫ0 1  plano cartesiano e ligue os pontos em ordem
  para formar uma figura.
51. Repita o exercício anterior, usando uma reflexão em

relação ao eixo y.

52. Considere a figura A e uma rotação de 908 no sen- b) Na matriz A aplique uma rotação de 90º, em B
uma rotação de 180º e em C uma rotação de
tido anti-horário em torno da origem (0, 0), origi- 270º, no sentido anti-horário, em torno da ori-
gem (0, 0).
nando uma figura D.

y Banco de imagens/Arquivo da editora c) Em todos os casos escreva a matriz associada à
figura final e desenhe-as em um mesmo plano
3 cartesiano.

2 d) Verifique que a matriz associada pode ser obtida
A multiplicando-se a matriz associada à figura ini-

1 cial por  cos ␣ Ϫsen ␣ .
x  sen ␣ Ϫcos ␣ 

0 1 2345

90 Capítulo 4

Escala

Nem todas as transformações geométricas preservam distâncias e forma como as estudadas até aqui.
Acompanhe o caso a seguir.

Consideremos uma mudança de escala de um ponto P(x, y) em relação à origem, usando um fator mul-

tiplicativo Sx para a coordenada x e um fator multiplicativo Sy para a coordenada y. Assim, sendo a matriz

E ϭ  Sx 0 e a matriz P ϭ  x  , devemos ter P9 5 E 3 P.
 0 Sy   y 

Por exemplo, observe a região triangular A a seguir: Banco de imagens/Arquivo da editora

y

A

x

Podemos aplicar a transformação escala a todos os pontos P(x, y) dessa figura em 100%. Aumentar em
100% nas direções dos eixos Ox e Oy é multiplicar por 2. Assim, Sx 5 2 e Sy 5 2. Logo:

AЈ ϭ  2 0 ϫ 2 2 6 ϭ 4 4 12
 0 2  2 6 2  4 12 4 

Verificando geometricamente, temos:

y Banco de imagens/Arquivo da editora

AЈ

A

x

Matrizes associadas às figuras A e A9:

A ϭ  2 2 6 e AЈ ϭ 4 4 12
 2 6 2  4 12 4 

Matrizes e determinantes 91

Exerc’cios

Veja a resolução dos exercícios 54 a 56 no Manual do Professor.

54. Considere o triângulo A a seguir. Aplique nele uma transformação escala segundo os fatores 3 e 1 nas direções

dos eixos Ox e Oy, respectivamente. Faça a verificação geométrica.

y

A

x

55. Transformem a figura a seguir usando a matriz de transformação escala:

A1 ϭ  3 0 A2 ϭ  Ϫ2 0
 0 1   0 1 

y Ilustrações: Banco de imagens/
3 Arquivo da editora

2 A
1 x
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0
1 23

a) Qual é a área da figura A? 5 unidades de área

b) Qual é a área de cada figura transformada? 15 unidades de área; 10 unidades de área
c) Qual é a relação entre a área da figura inicial A e a área de cada figura transformada? O que ocorreu com a

figura A após sofrer cada transformação? Área de AЈ1 : 3 ϫ área de A e área de AЈ2: 2 ϫ área de A.

56. Explorem, investiguem e respondam.

Veja as respostas deste exercício na seção Respostas. aplicamos uma transformação escala do tipo  k 0  , para um núme-
 0 1 
a) O que ocorre com uma figura quando

ro real k qualquer?

b) Qual é a relação entre a área da figura inicial e a área da figura transformada pela transformação escala do

tipo k 0 , para um número real k qualquer?
 0 1 

Criptografia

Como dito anteriormente, podemos criptografar mensagens com o auxílio de matrizes. Uma técnica

bastante simples utiliza como chave codificadora/decodificadora um par de matrizes quadradas (A e B)

de elementos inteiros e inversas uma da outra e faz correspondência entre letras do alfabeto, símbolos

e números.  3 1  eB  1 1  e a tabela:
Por exemplo, dadas as matrizes A 5  2 3   
2 1

A B C D E F G H I J K L MN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

O P Q R S T U VWX Y Z . #
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

92 Capítulo 4

Suponhamos que a mensagem a ser transmitida seja:

CRIPTOGRAFIA E MATRIZES.

De acordo com a tabela numérica temos os números: 3, 18, 9, 16, 20, 15, 7, 18, 1, 6, 9, 1, 28, 5, 28, 13, 1, 20, 18,
9, 26, 5, 19 e 27.

Devemos arrumar a sequência de números acima em uma matriz M de duas linhas:

 3 18 9 16 20 15 7 18 1 6 9 1 
Mϭ  28 5 28 13 1 20 18 9 26 5 19 27 



O remetente utiliza a matriz A para codificar a mensagem fazendo: N 5 AM e, desse modo, obtém a matriz N.

 3 1  3 18 9 16 20 15 7 18 1 6 9 1  ϭ
AM ϭ  2 3 и 28 5 28 13 1 20 18 9 26 5 19 27 
 


ϭ  37 59 55 61 61 65 39 63 29 23 46 30  ϭN
 90 51 102 71 43 90 68 63 80 27 75 83 
 

Os elementos de N constituem a mensagem codificada: 37, 59, 55, 61, 61, 65, 39, 63, 29, 23, 46, 30, 90, 51,
102, 71, 43, 90, 68, 63, 80, 27, 75 e 83.

Quando a mensagem codificada chega ao destinatário, ele utiliza a matriz decodificadora B para desfa-
zer os procedimentos anteriores; já deve ter sido estabelecido que:

BN 5 BAM 5 IM 5 M

Com os números da mensagem codificada recebida, o destinatário constrói uma matriz com duas linhas
(N) e efetua o produto BN. Veja:

 3 Ϫ1 
 7 
 7 3   37 59 55 61 61 65 39 63 29 23 46 30 
BN ϭ  Ϫ2  и  90 51 102 71 43 90 68 63 80 27 75 83  ϭ
 7   
 7


ϭ  3 18 9 16 20 15 7 18 1 6 9 1  ϭM
 28 5 28 13 1 20 18 9 26 5 19 27 
 

Os elementos da matriz M obtida formam a sequência de números: 3, 18, 9, 16, 20, 15, 7, 18, 1, 6, 9, 1, 28, 5,
28, 13, 1, 20, 18, 9, 26, 5, 19 e 27, cuja decodificação é:

3 18 9 16 20 15 7 18 1 6 9 1 28 5
C R I P T O G RAF I A # E

28 13 1 20 18 9 26 5 19 27
#MA T R I Z E S .

Exerc’cio

57. Codifiquem uma mensagem utilizando os códigos dados acima, depois entreguem para outro grupo

decodificar. Resposta pessoal.

Matrizes e determinantes 93

CAPÍTULOCAPÍTULO
SiCsotenmjuanstos
Walter B. McKenzie/Photodisc/Getty Images
051 lineuamreésricos NASA/Corbis/Latinstock

Pessoa tentando resolver um sudoku. O sudoku é um problema
de lógica baseado na alocação de números na forma de matriz.
Tradicionalmente o objetivo desse “quebra-cabeça” é preencher
uma matriz 9 3 9 com números de 1 a 9 de modo que cada
coluna, cada linha e cada uma das matrizes 3 3 3 que compõem
a matriz maior contenham todos os dígitos de 1 a 9. Em 2008 foi
proposta uma solução deste problema por meio de programação
linear, um tipo de programação utilizada para resolver diversos
tipos de problema que podem ser escritos matematicamente na
forma de sistemas lineares.

94

1 O mŽtodo chin•s

No Capítulo 4 deste livro falamos sobre o livro chinês conhecido como Os nove capítulos da arte Matemá-
tica; agora, será apresentado um problema, também presente no livro chinês, e que pode ser relacionado com
um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, porém sua solução é obtida utilizando-se um método
diferente daquele com que estamos acostumados. O problema, redigido na nossa linguagem, é o seguinte:

Um barril de um bom vinho custa 50 moedas de ouro, enquanto um barril de um vinho comum custa
apenas 10. Uma quantidade equivalente a 2 barris de vinho foi comprada por 30 moedas de ouro. Que quan-
tidade de cada tipo de vinho foi comprada?

Em notação moderna, vamos representar por x e y as quantidades compradas de um bom vinho e de
um vinho comum, respectivamente, considerando o barril como unidade. A solução do problema consiste,
então, em resolver o sistema:

 xϩ yϭ2
50x ϩ 10 y ϭ 30

Uma forma de obter rapidamente a solução é simplificar (nesse caso, dividir por 10) a segunda equação
e subtrair a primeira equação. Encontramos 4x  1, ou seja, x = 1 de barril e y = 7 de barril. Os chineses

44
antigos resolviam esse problema de outra forma: eles usavam o que podemos chamar de método da tenta-

tiva e erro, que consistia em dar dois “chutes” para x, calcular os valores correspondentes de y e verificar os

erros cometidos no resultado de 50x  10y. Após verificarem os erros cometidos, era aplicado um método

para encontrar os valores corretos de x e y.

Em Os nove capítulos da arte Matemática este problema foi resolvido da seguinte maneira:

• Primeiro chute: x1 = 1
2
1 3.
Substituindo x1 na primeira equação, encontramos y1 = 2 − 2 = 2

Substituindo x1 e y1 na segunda equação, encontramos o termo independente da segunda equação:

50x1 + 10 y1 = 50 ⋅ 1 + 10 ⋅ 3 = 40
2 2

A diferença entre o valor encontrado e o valor correto é d1  40  30  10.
1
• Segundo chute: x2 = 5 1 9
5 5
Substituindo x2 na primeira equação, encontramos y2 =2− = .

Substituindo x2 e y2 na segunda equação, encontramos o termo independente da segunda equação:

50x2 + 10 y2 = 50 ⋅ 1 + 10 ⋅ 9 = 28
5 5

A diferença entre o valor encontrado e o valor correto é d2  28  30  2. d1 = d2 .
A partir daí, os chineses usavam a seguinte proporção para calcular o valor de x: x − x1 x − x2

Observe agora como se comporta essa proporção com os dois “chutes” que fizemos:

10 = −2 ⇒ 10x − 2 = −2x + 1 ⇒ 12x = 3 ⇒ x = 1
4
x− 1 x− 1
2 5

Observe que o valor de x está correto e, substituindo-o na primeira equação, também se pode obter o
valor de y. Curioso, não?

Sistemas lineares 95

2 Sistemas lineares 2 3 2

Os sistemas lineares 2 3 2 são estudados desde os anos finais do Ensino Fundamental, provenientes de
situações-problema, sejam matemáticas ou não. Neste capítulo avançaremos na teoria dos sistemas lineares
e aprenderemos a resolver sistemas 3 3 3 ou maiores.

Antes disso, vamos retomar a resolução de sistemas lineares 2 3 2.
Forme dupla com um colega e resolvam os sistemas a seguir pelo método que preferirem: adição, substi-
tuição, comparação ou fazendo a interpretação geométrica obtendo retas concorrentes, paralelas ou coinci-
dentes. Você pode usar um método e seu colega usar outro, se preferirem.

{a) x ϩ y ϭ 10
2x Ϫ y ϭ 2 x  4; y  6

{b)2x ϩy ϭ 7 x  1; y  5 A ideia é levar os alunos a relembrar como resolver um sistema linear 2 3 2 e detectar possíveis dificuldades.
x Ϫ3y ϭ 16 Por ser um assunto do Ensino Fundamental, todos os alunos deveriam saber resolvê-lo, independentemente
do método utilizado. É importante deixar que eles tentem resolver e depois conferir os resultados. Se os alunos
mostrarem facilidade na resolução desses sistemas, sugerimos pular o exercício 1, já que ele visa apoiar o
professor que julgar necessário retomar os métodos de resolução de sistemas.

{c)10x ϩ 10 y ϭ 30
6x ϩ 3 y ϭ 9 x  2; y  1

3 Equações lineares

Cada linha dos sistemas que resolvemos acima é uma equação linear. Veja outros exemplos:
a) x  y  16 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
b) 2x  3y  2z  10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
c) x  5y  z  4t  0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t;
d) 4x  3y  x  y  1 é uma equação linear nas incógnitas x e y.

De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode
ser escrita na forma geral:

a1x1  a2x2  a3x3  ...  anxn  b
na qual:

• x1, x2, x3, ..., xn são incógnitas;
• a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados coeficientes das incógnitas;
• b é o termo independente.

Observação: As incógnitas x1, x2, x3, ... geralmente aparecem como x, y, z, ... Para refletir
Pela definição, não são equações lineares: Por que as equações ao
lado n‹o s‹o lineares?
• xy  10
• x2  y  6 Porque não são
• x2  xy  yz  z2  1 equações do 1o grau.

96 Capítulo 5

Observe, agora, as seguintes equações lineares: Fique atento!
O par ordenado
a) 3x  2y  18
Dizemos que: ( )α, 18Ϫ3α , com a [ R,
2
• o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3 ? 4  2 ? 3  18; é a solução geral da
• o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3 ? 6  2 ? 0  18; equação do item a.
• o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3 ? 5  2 ? 1 Þ 18.
Fique atento!
b) 3x  y  2z  8 Para a [ R e b [ R, o
Dizemos que: terno ordenado

• o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 2  4  2 ? 1  8; ( )α, β, −8 + 3α + β é a
• o terno ordenado (0, 6, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 0  6  2 ? (1)  8; 2
• o terno ordenado (5, 2, 3) não é solução da equação, pois 3 ? 5  (2)  2 ? 3 Þ 8. solução geral da equação
do item b.

Generalizando, dada a equação linear: Se, e somente
a1x1  a2x2  a3x3  ...  anxn  b se: expressão
de uma relação
dizemos que a ênupla ordenada de números reais (a1, a2, a3, ..., an) é de equivalência.
solução da equação linear se, e somente se:

a1a1  a2a2  a3a3  ...  anan  b

Observação:
Geometricamente:
a) cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto no plano;
b) cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço.

Exerc’cios ATENÇÃO!
Não escreva
1. Resolva no caderno cada sistema linear abaixo no seu livro!

pelo método que preferir: g) 2x  y  xy  8 B
h) 2x  y  5z  15 A
{a) xϩ yϭ5 x  3; y  2 i) 2x3  y2  5z  15 B
xϪ yϭ1 j) 3x1  4x2  x3  0 A

{b)2x ϩ y ϭ0 x  2; y  4 3. Verifique se o par ordenado:
x ϩ4y ϭ 14
a) (6, 2) é uma solução da equação linear
{c)20x ϩ 10 y ϭ 10 4x  3y  18. Sim.
x ϩ y ϭ 2 x  1; y  3 
b) (3, 5) é uma solução da equação linear
{d)Ϫx Ϫ y ϭ Ϫ6 x  3; y  3 2x  3y  21. Não.
2x Ϫ 3 y ϭ Ϫ3
4. Verifique se o terno ordenado:
2. Identifique com a letra A as equações lineares e
a) (1, 3, 2) é uma solução da equação linear
com a letra B as equações que não são lineares: 2x  y  5z  15. Sim.
a) 5x  2y  6 A
b) (0, 0, 0) é uma solução da equação linear
b) x  4y  z  0 A 2x  7y  3z  0. Sim.

c) x  y  z  t  0 A 5. Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k)
d) x2  y  10 B
seja uma solução da equação linear 3x  2y  5. 2
e) 3xy  10 B
6. O terno ordenado (k, 2, k  1) é uma das soluções da
f) x  y  z  2 A
equação linear 4x  5y  3z  10. Determine k. 3

Sistemas lineares 97

4 Sistemas de equações lineares

Denomina-se sistema linear m 3 n o conjunto de m equações lineares Fique atento!
em n incógnitas, que pode ser representado assim: m 3 n se lê: m por n.

a11x 1 ϩ a12x2 ϩ a13x3 ϩ ... ϩ a1nxn ϭ b1
.aa..2m.1.1.x.x.1.1..ϩϩ....aa...2m.2.2.x.x.2.2...ϩϩ....aa..2m..3.3x.x..3.3..ϩϩ...............ϩϩ.....aa..2m.n..nx.x..n.n...ϭϭ....bb..2.m.............

Exemplos:

{a) 3x Ϫ 2y ϭ 6 é um sistema linear 2 3 2 (2 equações e 2 incógnitas) nas incógnitas x e y.
x ϩ 3y ϭ 10

{ {b) x Ϫ y ϭ 3 Ϫ 2x 3 3x Ϫ y ϭ 312.
2x ϩ y ϭ 12 ϩ y é um sistema linear 2 2 nas incógnitas x e y, pois equivale a 2x ϩ 0y ϭ

c) 2xx Ϫ 2y Ϫ zϭ0
Ϫ yϪ z ϭ Ϫ1 é um sistema linear 3 3 3 (3 equações e 3 incógnitas) nas incógnitas x, y e z.

 x Ϫ y ϩ z ϭ 8

{d) x ϩ 4y Ϫ 2z ϭ 1 é um sistema linear 2 3 3 (2 equações e 3 incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
3x Ϫ y ϩ z ϭ 6

Solu•‹o de um sistema linear

Dizemos que (a1, a2, a3, ..., an) é solução de um sistema linear quando (a1, a2, a3, ..., an) é solução de
cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.

Veja:

a) (5, 1) é solução do sistema 2x ϩ3 y ϭ 13 pois 2 и 5ϩ3 и 1 ϭ 13 Para refletir
3x Ϫ5 y ϭ 10 , 3 и 5Ϫ5 и 1 ϭ 10 Faça a verificação do exemplo c.

b) (2, 3) não é solução do sistema 2x ϩ3y ϭ 13 , pois 2 и 2ϩ3 и 3 ϭ 13 Fique atento!
3x Ϫ5 y ϭ 10 3 и 2Ϫ5 и 3 ϶ 10 Geometricamente:
a) cada equação do primeiro
 x ϩ 2 y ϩ 3z ϭ 1 1 + 2(3) + 3(−2) = 1
c) (1, 3, 2) é solução do sistema 4x Ϫ y Ϫ z ϭ 3 , pois 4(1) − 3 − (−2) = 3 sistema representa os pontos
 x ϩ y Ϫ z ϭ 6 1 + 3 − (−2) = 6 de uma reta no plano;
b) cada equação do terceiro
sistema representa os pontos
de um plano no espaço.

Exercício

7. Verifique se:
{a) (3, 1) é uma solução do sistema 2xϪ5 yϭ 11
3xϩ6 yϭ3 Sim.

b) (0, 0, 0) é uma solução do sistema 2xx ϩ yϩ z ϭ0 Sim.
Ϫ 3y ϩ 5z ϭ0

4x Ϫ 7 y Ϫ 3z ϭ 0

c) (0, 1) é uma solução do sistema  x Ϫ yϭ 1
 x ϩ y ϭ Ϫ1 Não.

3x ϩ y ϭ 2

98 Capítulo 5