livro matematica

vale saber qual é o resultado aproximado do que o resul- Em toda atividade de investigação o professor deve dispor
tado correto propriamente dito; de tempo e oportunidade ao aluno para organizar e desen-
volver seus modos de pensar, expressá-los aos colegas e ao
• considerar mais o processo do que o produto da aprendiza- professor e registrá-los utilizando linguagem matemática
adequada. Dessa forma, espera-se que o aluno adquira
gem – “aprender a aprender” mais do que levar em conta confiança na sua capacidade de “fazer Matemática” e
resultados prontos e acabados. É muito mais importante torne-se apto a resolver problemas matemáticos, porque
valorizar a maneira como o aluno resolveu um problema, aprendeu a pensar e a se comunicar matematicamente.
principalmente se ele o fez de maneira autônoma, original, No entanto, isso não quer dizer que as atividades matemá-
em vez de simplesmente verificar se acertou a resposta. O ticas dos alunos se restrinjam apenas às investigativas; as
mesmo se pode dizer sobre o modo de realizar operações, fases da dialética ferramenta-objeto de Douady já indicam
medições,resolver equações e sobre as maneiras de observar que depois dos problemas de investigação o professor deve
e descobrir propriedades e regularidades em algumas for- abordar problemas de familiarização do novo conhecimen-
mas geométricas. Sempre que possível, devemos analisar to,em diferentes domínios matemáticos e contextos. Assim,
diferentes resoluções de um mesmo problema; o tempo didático do professor acaba por se tornar pequeno,
exigindo que outras atividades e problemas sejam desen-
• compreender a aprendizagem da Matemática como um volvidos como tarefa de casa,a fim de que ocorram a fixação
e a manutenção dos conhecimentos construídos;
processo ativo. Os alunos são pessoas ativas que observam,
constroem,modificam e relacionam ideias,interagindo com • utilizar a história da Matemática como um excelente recur-
outros alunos e outras pessoas, com materiais diversos e
com o mundo físico. O professor precisa criar um ambiente so didático. Comparar a Matemática de diferentes períodos
de busca, de construção e de descoberta e encorajar os alu- da história ou de diferentes culturas (Etnomatemática). Por
nos a explorar, desenvolver, levantar hipóteses, testar, dis- exemplo, pode-se contar a época na qual os pitagóricos só
cutir e aplicar ideias matemáticas. As salas de aula deveriam conheciam os números racionais e acreditavam apenas na
ser verdadeiras salas-ambiente de Matemática, equipadas existência dos segmentos comensuráveis (um pode ser
com grande diversidade de materiais instrucionais que fa- medido pelo outro e a medida é expressa por um núme-
vorecessem a curiosidade,a aprendizagem matemática e o ro racional). Ao medir a diagonal do quadrado de lado igual
“fazer Matemática”. Esse“fazer Matemática”pode ser esti- a uma unidade,usando esse lado como unidade de medida,
mulado apresentando-se atividades investigativas ao aluno.
Uma atividade de investigação matemática diferencia-se ( )surgem os números irracionais 2 , no caso e os segmen-
das demais por ser uma situação-problema desafiadora e
aberta, permitindo aos alunos mobilizarem sua intuição e tos incomensuráveis: d2 5 12 1 12 5 2 ⇒ d 5 2
conhecimentos antigos em alternativas diversas de explo- O lado e a diagonal desse quadrado são segmentos inco-
ração. Esse tipo de atividade de ensino e aprendizagem: mensuráveis entre si;

[...] ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da ativi- • trabalhar o desenvolvimento de uma atitude positiva em
dade matemática genuína, constituindo, por isso, uma pode-
rosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um relação à Matemática. Reforçar a autoconfiança do aluno
matemático, não só na formulação de questões e conjecturas na resolução de problemas e aumentar o interesse por
e na realização de provas e refutações, mas também na apre- diferentes maneiras de solucionar um problema; conduzir
sentação de resultados e na discussão e argumentação com o aluno à observação de características e regularidades
os seus colegas e o professor [...] de números, funções, figuras geométricas, etc. Sensibilizá-
-lo para organizar, argumentar logicamente e perceber a
PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 23. beleza intrínseca da Matemática (simetrias, regularidades,
logicidade, encadeamentos lógicos, etc.);
Tendo como pressuposto que todos podem produzir Ma-
temática, em suas diferentes expressões, as atividades • utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso
de investigação podem estar presentes em todos os eixos
de conteúdos, contribuindo para um trabalho mais dinâ- didático, pois podem possibilitar a compreensão de regras,
mico e significativo. Levar o aluno a agir como um mate- promover interesses, satisfação e prazer, formar hábitos e
mático não implica obrigatoriamente trabalhar com gerar a identificação de regularidades. Além disso, facilitam
problemas muito difíceis. Ponte, Brocardo e Oliveira o trabalho com símbolos e o raciocínio por analogias;
(2003) destacam que, pelo contrário, investigar significa
trabalhar com questões que nos cercam e, por isso, cons- • enfatizar igualmente os grandes eixos temáticos da Mate-
titui uma poderosa forma de construir conhecimento.
Assim, é em torno de um ou mais problemas que uma mática – Números e Funções (Álgebra),Espaço e Forma (Geo-
investigação matemática se desenvolve, porém as des- metria), Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação
cobertas que ocorrem durante a busca da solução podem (Estatística e Probabilidade) – e,de preferência,trabalhá-los
ser tão ou mais importantes que ela. de modo integrado;

• trabalhar os temas transversais (Ética, Orientação Sexual,

Meio Ambiente, Saúde, Pluralidade Cultural, Trabalho e
Consumo) de modo integrado com as atividades de
Matemática, por meio de situações-problema.

Manual do Professor 299

Recursos digitais na prática de pesquisas bem-sucedidas em Educação Matemática
pedagógica com dois sites em que há exemplos de utilização em sala
de aula.
Atualmente já não há dúvidas sobre a necessidade do
uso das novas tecnologias em sala de aula. Novas que já • GeoGebra
estão ficando velhas, de acordo com o pesquisador de pro-
cessos de ensino-aprendizagem por meio do computador, Criado por Markus Hohenwarter, é um software de Geo-
José Armando Valente. Para ele, a possibilidade de junção metria dinâmica e álgebra gratuito e desenvolvido para
de diferentes mídias em um só artefato (TV, vídeo, compu- o ensino-aprendizagem da Matemática nos vários ní-
tador, internet) poderá ter um impacto ainda maior no pro- veis de ensino. Ele reúne recursos de Geometria, Álge-
cesso de ensino-aprendizagem, causando uma revolução a bra, tabelas, gráficos, Probabilidade, Estatística e cálcu-
ser enfrentada pelos educadores. los simbólicos em um único ambiente. Assim, ele per-
mite apresentar, ao mesmo tempo, representações di-
Nessa revolução, Valente considera que dois aspectos ferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
devem ser considerados na implantação desses recursos na Disponível em português, o GeoGebra é uma multipla-
educação. O primeiro é que os conhecimentos técnicos e taforma e, portanto, pode ser instalado em computa-
pedagógicos devem crescer simultaneamente, um deman- dores com Windows, Linux ou MacOS. No livro do aluno
dando novas ideias do outro. O outro é que o educador pre- apresentamos algumas atividades com esse software.
cisa ponderar sobre o que cada uma dessas facilidades tec- Os sites <www.pucsp.br/geogebrasp/>, do Instituto Geo-
nológicas tem a oferecer e como pode ser explorada em Gebra de São Paulo, e <www.geogebra.im-uff.mat.br/bib.
diferentes situações educacionais. Ora a televisão pode ser html>, do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro, fornecem
mais apropriada, ora o computador pode ser mais interes- os links para downloads tanto do software como dos tuto-
sante, dependendo dos objetivos que se deseja atingir ou riais de uso, além de exemplos de aplicações para sala de
do que esteja sendo explorado. Mesmo o uso do computador aula. Acesso em: 13 maio 2016.
permite uma grande variação nas atividades que professo- Outros exemplos de uso podem ser encontrados em:<http://
res e alunos podem realizar. No entanto, ressalta que: pt.wikibooks.org/wiki/Aplicações_do_GeoGebra_ao_ensi-
no_de_Matemática/Atividades>. Acesso em: 13 maio 2016.
[...] essa ampla gama de atividades pode ou não estar
contribuindo para o processo de construção de conhecimen- Linguagem digital
to. O aluno pode estar fazendo coisas fantásticas, porém o
conhecimento usado nessas atividades pode ser o mesmo que A linguagem digital voltada ao ensino utiliza três ter-
o exigido em uma outra atividade menos espetacular. O pro- mos correntes. Apesar de não haver muito rigor a respei-
duto pode ser sofisticado, mas não ser efetivo na construção to de seus significados, convém fazer a distinção entre
de novos conhecimentos. eles: conteúdo digital, ferramenta digital e tecnologia
digital. Conteúdo digital é o correspondente ao conteúdo
VALENTE, [s.d.], p. 23. escolar, mas que é disponibilizado na rede, como textos,
hipertextos, figuras, gráficos, entre outros. Ferramenta
Esse mesmo autor destaca que situações vividas com o digital é o meio pelo qual o conteúdo digital é disponibi-
emprego de recursos digitais contribuem para que o coti- lizado na rede, como filmes, áudios, jogos, animações,
diano escolar não seja visto como espaço de rotina e de simuladores, hipertextos, sites, redes sociais, fóruns, blo-
repetição, mas como espaço de reflexão, crítica e autoex- gs, entre outros. Tecnologia digital é o instrumento que
pressão, promovendo assim um novo sentido para a apren- permite a conexão dessas ferramentas e o respectivo
dizagem escolar. acesso ao conteúdo digital, como computadores, tablets,
telefones, lousas digitais, entre outros.
Cada vez mais, cientistas e outros profissionais estão
implantando sistemas colaborativos baseados em conexões A utilização de todos esses recursos digitais no ensino
via internet. Esse meio de comunicação vem ganhando for- é cada vez mais frequente e facilita a comunicação entre os
ça e importância no mundo profissional. O trabalho coope- agentes do processo didático, além de ampliar as possibili-
rativo é fundamental para a solução de problemas comple- dades pedagógicas.
xos, por conseguinte a aprendizagem colaborativa é um
passo determinante no sentido de preparar o jovem estu- Animação, por exemplo, é uma representação dinâmica
dante para a futura realidade profissional. de um processo qualquer, como um fenômeno natural ou
outro evento, mas que não admite a interação com o usuá-
O uso de recursos digitais passa a ser parte integrante rio, pois ela funciona como um filme feito em linguagem
do trabalho de investigação, pois muitos dos problemas computacional. Já os simuladores admitem a interatividade
podem ser abordados com o apoio de softwares e objetos com o usuário, que pode alterar parâmetros e então modi-
educacionais digitais especialmente elaborados para isso. ficar a dinâmica em curso.
A seguir indicamos um dos softwares que estão sendo alvo
Vídeoaulas não interativas, dirigidas tanto a alunos
300 Manual do Professor do ensino básico quanto à formação docente, também

ajudam a compor o conteúdo digital voltado ao ensino que e também estima sua soma.Em seguida,conferem seus cál-
pode ser encontrado na rede. Grandes universidades, nacio- culos com a calculadora.Quem se aproximar mais do resulta-
nais e internacionais, disponibilizam gratuitamente, ou não, do correto marca um ponto.Vence quem fizer 5 pontos primei-
cursos inteiros pela internet. Alguns deles são oficiais e atri- ro. Algo semelhante pode ser feito com as demais operações,
buem titulação de graduação para o aluno, os conhecidos usando números naturais inteiros,racionais e irracionais.
cursos de Ensino a Distância (EAD). Universidades públicas
e outras instituições públicas e privadas ainda se valem dos • Para investigar propriedades matemáticas.
Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA) para divulgar
calendários, disponibilizar recursos didáticos digitais, além Analisando padrões ou regularidades que ocorrem em
de organizar debates e discussões via fóruns síncronos ou situações ou em tabelas com muitos dados, o aluno pode
assíncronos para seus alunos. Além disso, professores e alu- levantar hipóteses, fazer conjecturas, testá-las e descobrir
nos contam com um grande acervo de demonstrações ex- propriedades. Por exemplo, ao preencher tabelas usando
perimentais gravadas em vídeo e disponibilizadas de forma calculadora, os alunos podem descobrir propriedades da
gratuita pelos canais da rede, além de enciclopédias virtuais, multiplicação e da divisão, que, depois, poderão ser pro-
dicionários on-line, entre tantos outros recursos. vadas pelo professor, generalizando.
Por exemplo:
As vantagens e prejuízos dos recursos digitais são causa-
dos pelo uso que se faz deles, ou seja, devemos evitar a noção Fator 15 15 15
ilusória de que a simples presença do recurso digital garante
melhores resultados de aprendizagem. Em contrapartida, o Fator 12 24 48
seu uso planejado e apropriado tem se mostrado eficiente
em melhorar o ensino em vários cenários educacionais. Produto ? ? ?

O uso da calculadora Dividendo 13 26 52

A presença de telefones celulares na sala de aula, prin- Divisor 5 10 20
cipalmente no Ensino Médio, tem se tornado um problema
para as escolas, mesmo considerando sua proibição por leis Quociente ? ? ?
estaduais. No entanto, em vez de lutarmos contra eles po-
demos buscar desenvolver propostas em que eles sejam “Quando se dobra um fator, o produto também dobra.”
usados pelos alunos em suas atividades investigativas. É “Quando se dobram o dividendo e o divisor, o quociente
preciso considerar que os celulares estão cada vez mais equi- permanece o mesmo.”
pados, contando com recursos como: câmeras, que fotogra- Outro exemplo é quando os alunos trabalham com ope-
fam e filmam com boa qualidade de som e imagem; grava- rações de radicais usando calculadora:
dores de áudio; calendários; comunicadores instantâneos;
calculadoras e tantas outras ferramentas que precisam ser ab aи b aиb a a
aproveitadas na escola.
bb
Não existem ainda modelos de sua utilização, mas ati-
vidades geralmente propostas com calculadoras podem ser 53 ? ? ??
realizadas nos celulares. Exemplos de utilização de calcula- 7 10 ? ? ??
doras no Ensino Médio: 31 ? ? ??

• Quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares. ab aϩ b aϩb aϪ b aϪb
? ? ? ?
A calculadora é recomendada quando os cálculos numé- 53 ? ? ? ?
ricos são apenas auxiliares na questão a ser resolvida, li- 7 10 ? ? ? ?
berando mais tempo para o aluno pensar, criar, investigar, 31
conjecturar, relacionar ideias, descobrir regularidades, etc.
O tempo gasto desnecessariamente com cálculos longos Eles poderão conjecturar que, por exemplo,
e enfadonhos pode ser usado na busca de novas estraté-
gias para a resolução de problemas, na busca de soluções a ? b 5 a и b e a 1 b  a и b . Em seguida,
de um desafio, de um jogo, etc. o professor poderá demonstrar que essas conjecturas
estão corretas.
• Para melhorar a estimativa dos alunos por meio de jogos.
• Para trabalhar com problemas da realidade.
A calculadora é recomendada também para aguçar a capa-
cidade de estimativa do aluno. Há várias possibilidades de Ao trabalhar com problemas que apresentam dados reais,
jogos do tipo“estime e confira”. Por exemplo, de um conjun- em geral os números são muito “grandes” ou “pequenos”
to de 15 a 20 números de três algarismos, um aluno escolhe e, às vezes, são muitos itens e muitas operações a serem
três deles e estima sua soma. Outro aluno escolhe mais três realizadas. Isso torna a calculadora um instrumento fun-
damental para diminuir o trabalho manual e mecânico
do aluno, e permitir que ele se concentre no essencial,
que são o raciocínio, as estratégias e as descobertas.

Manual do Professor 301

Por exemplo, o índice de massa corpórea (IMC) de uma matematica-atividades-com-calculadoras.htm>. Acesso
em: 29 mar. 2016.
pessoa é dado pela fórmula IMC 5 m , em que m é a
h2 Outras ideias de emprego dos celulares podem ser con-
sideradas, por exemplo, o uso de fotografias para explorar
massa (em quilogramas) e h é a altura (em metros). Outro aspectos geométricos de vistas possíveis de sólidos (é possí-
vel fotografar um cubo de modo que a vista seja um hexágo-
exemplo: Gastam-se 11,2 cm de arame de aço galvanizado no?), no uso de torpedos para a troca de informações entre
grupos de trabalho para compartilhamento de pesquisas pela
para fabricar um clipe de papel. Com 100 m desse arame, internet ou no acesso a vídeos disponíveis na internet.

quantos clipes serão fabricados aproximadamente?

Mais alguns exemplos poderão ser encontrados em:

<http://www.univates.br/ppgece/docs/PT_Ieda.pdf> e

<http://educacao.uol.com.br/planos-de-aula/medio/

7 O novo Enem blicas de Ensino Superior. A mudança realizada no Enem
visa corrigir algumas dessas deficiências, oferecendo um
As exigências presentes no Exame Nacional do Ensino vestibular unificado criado pelo governo federal e obede-
Médio (Enem) se constituem em uma das demandas de cendo a suas diretrizes e seus parâmetros curriculares.
nossa sociedade para a continuidade dos estudos.
O novo Enem tem como fim avaliar o aspecto cognitivo,
O Enem foi criado em 1998 com o objetivo de avaliar o mas enfatizando a capacidade de autonomia intelectual e
desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica, o pensamento crítico dos alunos.
cuja ideia central considera os princípios da LDB (Lei
no 9.394/96), que preconiza, dentre as funções do Ensino As instituições de Ensino Superior podem usar esse novo
Médio, o domínio dos princípios científicos, tecnológicos exame de diferentes modos, seja considerando-o uma fase
que orientam a produção moderna, bem como a compreen- única de avaliação, como uma primeira fase do processo de
são do conhecimento das formas contemporâneas de uso ingresso, utilizando sua nota em conjunto com um exame
e aplicação das linguagens, da utilização dos códigos e o da própria instituição, seja como critério de seleção para
domínio e a aquisição da organização da reflexão filosófi- vagas remanescentes.
ca e sociológica para a vida em sociedade.
Com a adoção do Sistema de Seleção Unificado (Sisu), o
O pressuposto desse modelo de avaliação representa exame posssibilita aos alunos escolher a instituição em que
uma tentativa de análise da qualidade da oferta de Ensino desejam estudar, sem terem de prestar vestibular em vários
Médio, considerando as expectativas presentes na LDB. Des- lugares, favorecendo assim a mobilidade estudantil e o in-
se modo, a princípio, podiam participar do exame os alunos tercâmbio entre jovens de todo o país.
que estavam cursando ou que tinham concluído o Ensino
Médio em anos anteriores, independentemente da idade Por fim, o Enem se propõe a melhorar a qualidade do
ou do ano de término do curso. Já nos primeiros anos de Ensino Médio, uma vez que avalia o desenvolvimento de
aplicação, diversas instituições de Ensino Superior começa- certas competências e habilidades dos alunos, não isolada-
ram a utilizar o Enem como uma alavanca para a pontuação mente, mas de forma conjunta. Assim, o conteúdo ministra-
obtida por aqueles que prestavam vestibular. do no Ensino Médio passa a ser determinado pelos profes-
sores, coordenadores e diretores e não exclusivamente
Em 2009, o Ministério da Educação (MEC) alterou de ditado pelas universidades. Desse modo, é importante que
forma significativa a proposta do exame: ele passou a ser os docentes compreendam e discutam a proposta integral-
um instrumento de política pública para conduzir e alinhar mente, pois a execução desses pressupostos em sala de aula
o currículo de Ensino Médio em todo o país. poderá contribuir para uma reorientação nas concepções e
nas práticas, já que não se trata de mera revisão de conte-
O MEC considera que os vestibulares de ingresso para a údos a ensinar, mas de redimensionar o papel da escola e
maioria das instituições de Ensino Superior, apesar de bem- seus atores.
-sucedidos na seleção dos melhores para ingressar em seus
quadros discentes, acabam por criar disparidades no sistema Características do novo Enem:
de Ensino Médio nacional e na sociedade. As exigências
feitas por esses concursos de mérito exercem uma influên- • 180 questões divididas em 4 áreas de conhecimento e
cia indesejada sobre os currículos das instituições de Ensino
Médio, que acabam por submeter-se a esses requisitos, sem uma redação;
oferecer sentido ao que se ensina.
• a prova é realizada em 2 dias;
Outro fator negativo apontado pelo Ministério foi a • além da contextualização e interdisciplinaridade, é exigi-
falta de mobilidade de estudantes que resulta da descen-
tralização dos vestibulares das diversas instituições pú- do praticamente todo o conteúdo do Ensino Médio;

302 Manual do Professor • serve também como forma de ingresso em diversas ins-

tituições de Ensino Superior.

Site oficial do Enem: <http://portal.inep.gov.br/web/ H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significa-
enem/>. Acesso em: 13 maio de 2016. dos e representações dos números e operações – naturais,
inteiros, racionais ou reais.
Contém informações sobre o exame, edições anteriores, H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de
legislação, documentos, resultados por escola, etc. contagem.
H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimen-
Hora do Enem: <http://horadoenem.mec.gov.br/>. Aces- tos numéricos.
so em: 13 maio de 2016. H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na
construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
O Hora do Enem é um projeto pensado para quem vai H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utili-
fazer o Exame Nacional do Ensino Médio. Pode-se escolher: zando conhecimentos numéricos.
acompanhar o programa de TV, fazer simulados on-line, criar
um plano de estudos adequado às suas próprias necessida- • Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geo-
des e baixar vídeos. Também é possível acessar notícias,
receber orientações de como se preparar para a prova e ver métrico para realizar a leitura e a representação da rea-
questões que já caíram nos anos anteriores comentadas por lidade e agir sobre ela.
professores. O objetivo do projeto é ajudar o aluno a se pre- H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pes-
parar para o Enem. soas/objetos no espaço tridimensional e sua representação
no espaço bidimensional.
As questões do novo Enem são elaboradas com base na H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
Matriz de Referência divulgada pelo MEC. H8 – Resolver situação-problema que envolva conheci-
mentos geométricos de espaço e forma.
Nessa matriz estão descritas as competências e habili- H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e
dades que se esperam do aluno do Ensino Médio e que estão forma na seleção de argumentos propostos como solução
fundamentadas em cinco eixos cognitivos: de problemas do cotidiano.
I. Domínio das linguagens (DL): dominar a norma culta da
• Competência de área 3 – Construir noções de grandezas
Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemáti-
ca, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa. e medidas para a compreensão da realidade e a solução
II. Compreensão dos fenômenos (CF): construir e aplicar de problemas do cotidiano.
conceitos das várias áreas do conhecimento para a com- H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de
preensão de fenômenos naturais, de processos histórico- medida.
-geográficos, da produção tecnológica e das manifesta- H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representa-
ções artísticas. ção de situação do cotidiano.
III. Enfrentamento das situações-problema (SP): selecionar, H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas
organizar, relacionar, interpretar dados e informações de grandezas.
representados de diferentes formas para tomar decisões H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção
e enfrentar situações-problema. de um argumento consistente.
IV. Construção da argumentação (CA): relacionar informa- H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade uti-
ções, representadas em diferentes formas, e conheci- lizando conhecimentos geométricos relacionados a
mentos disponíveis em situações concretas, para cons- grandezas e medidas.
truir argumentação consistente.
V. Elaboração de propostas (EP):recorrer aos conhecimentos • Competência de área 4 – Construir noções de variação de
desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de
intervenção solidária na realidade, respeitando os valores grandezas para a compreensão da realidade e a solução
humanos e considerando a diversidade sociocultural. de problemas do cotidiano.
A prova do novo Enem abrange uma redação e 180 ques- H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.
tões objetivas, sendo 45 questões para cada uma das áreas H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação
de conhecimento em que está dividido o exame: de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 – Analisar informações envolvendo a variação de gran-
• Linguagens,Códigos e suas Tecnologias (Língua Portuguesa, dezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade en-
Literatura e Língua Estrangeira). volvendo variação de grandezas.

• Matemática e suas Tecnologias (Álgebra e Geometria). • Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas
• Ciências da Natureza e suas Tecnologias (Física, Química
que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-
e Biologia). -científicas, usando representações algébricas.
H19 – Identificar representações algébricas que expressem
• Ciências Humanas e suas Tecnologias (Geografia, História, a relação entre grandezas.
H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente rela-
Filosofia e Sociologia). ções entre grandezas.
As competências e as habilidades (indicadas por H) da
Manual do Professor 303
Matriz de Referência para a prova de Matemática e suas
Tecnologias são:

• Competência de área 1 – Construir significados para os

números naturais, inteiros, racionais e reais.

H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem en- persão de um conjunto de dados expressos em uma ta-
volva conhecimentos algébricos. bela de frequências de dados agrupados (não em classes)
H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos ou em gráficos.
como recurso para a construção de argumentação. H28 – Resolver situação-problema que envolva conheci-
H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade uti- mentos de Estatística e Probabilidade.
lizando conhecimentos algébricos. H29 – Utilizar conhecimentos de Estatística e Probabili-
dade como recurso para a construção de argumentação.
• Competência de área 6 – Interpretar informações de na- H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade uti-
lizando conhecimentos de Estatística e Probabilidade.
tureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e
tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, Além disso, cada área possui objetos de conhecimento
interpolação e interpretação. que fazem parte do currículo do Ensino Médio atual e que
H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou ta- o aluno precisa dominar.
belas para fazer inferências.
H25 – Resolver problema com dados apresentados em Esta coleção e o Enem
tabelas ou gráficos.
H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou ta- Na seção 11. Observações e sugestões para as Unidades e os
belas como recurso para a construção de argumentos. capítulos deste Manual, em que comentamos cada capítulo,
apresentamos uma tabela que relaciona os objetos de conhe-
• Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório cimento associados à Matriz de Referência para Matemática
e suas Tecnologias aos conteúdos abordados no capítulo.
e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e
utilizar instrumentos adequados para medidas, determi- É importante ressaltar que nem todos os assuntos da
nação de amostras e cálculos de probabilidade para in- nossa coleção estão relacionados com a Matriz de Referên-
terpretar informações de variáveis apresentadas em uma cia do MEC.
distribuição estatística.
H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dis-

8 Avaliação em Matemática

Aspectos legais da avaliação no de 20 de dezembro de 1996, pode ser adotada, tendo como
Ensino Médio objetivo a promoção, aceleração de estudos e classificação,
e deve ser desenvolvida pela escola refletindo a proposta
Como destaca o Pacto Nacional pelo Fortalecimento do expressa em seu projeto político-pedagógico.
Ensino Médio1, a avaliação educacional no contexto do En-
sino Médio deve estar integrada ao projeto político-peda- A avaliação institucional interna é realizada com base
gógico da escola, tanto na concepção como na implemen- na proposta pedagógica da escola, assim como no seu pla-
tação, considerando estudantes e professores como sujeitos no de trabalho, que devem ser avaliados sistematicamen-
históricos e de direitos, participantes ativos e protagonistas te, de maneira que a instituição possa analisar seus avan-
na sua diversidade e singularidade. Deve, também, estar ços e localizar aspectos que merecem reorientação.
articulada com a proposta de ensino médio integral, de qua-
lidade social, e em consonância com as novas Diretrizes A avaliação externa de escolas e redes de ensino é res-
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM), que ponsabilidade do Estado, seja realizada pela União, seja
reforçam o compromisso da “avaliação da aprendizagem, pelos demais entes federados. No Ensino Médio, em âm-
com diagnóstico preliminar, e entendida como processo de bito nacional, ela está contemplada no Sistema de Avalia-
caráter formativo, permanente e cumulativo” (BRASIL, 2012). ção da Educação Básica (Saeb). Os resultados de Matemá-
tica têm foco na resolução de problemas e, juntamente
As DCNEM (BRASIL, 2012, pág. 7), em consonância com com as taxas de aprovação, são utilizados no cálculo do
as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb), ins-
(DCNEB), indicam três dimensões de avaliação: avaliação da tituído com o propósito de medir a qualidade de cada es-
aprendizagem, avaliação institucional e avaliação externa, cola, no caso do Ensino Fundamental público, e externa-
esta, também, apresentada algumas vezes como avaliação mente, também é apresentada como avaliação de redes
de redes de escolas ou avaliação em larga escala. de escolas ou avaliação em larga escala.

A avaliação da aprendizagem, conforme a Lei de Dire- O que avaliar? Como avaliar?
trizes de Bases da Educação Nacional (LDB), Lei nº 9.394,
A avaliação é um instrumento fundamental para for-
1 Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Formação necer informações sobre como está se realizando o pro-
de Professores do Ensino Médio, Etapa I – Caderno VI: Avaliação no Ensi- cesso de ensino-aprendizagem como um todo – tanto para
no Médio. o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem

304 Manual do Professor

os resultados de seu trabalho, como para o aluno verificar nesse tipo de avaliação, conjugados entre si ou não,
seu desempenho. Ela não deve simplesmente focalizar o podem ser: perguntas orais, realização de um micropro-
aluno, seu desempenho cognitivo e o acúmulo de conteú- jeto ou tarefa.
dos para classificá-lo em “aprovado” ou “reprovado”.
• Em seu aspecto formativo, a avaliação permite acom-
Uma função crucial da avaliação é a de desencadear
ações que promovam tanto a evolução do aluno como a panhar a evolução dos alunos em seu processo de
do professor para que ambos possam superar os desafios aprendizagem, por isso também é chamada avaliação
pedagógicos que enfrentam. processual. Os resultados sobre essa evolução impli-
cam, para os professores, em tarefa de ajuste entre o
Nessa visão, a avaliação é concebida como um pro- processo de ensino e o de aprendizagem, a fim de se
cesso que implica uma reflexão crítica sobre a prática, no adequar à evolução dos alunos e estabelecer novos
sentido de captar seus avanços, suas resistências, suas esquemas de atuação.
dificuldades e possibilitar a tomada de decisão sobre o
que fazer para superar os obstáculos. • Para diagnosticar os avanços, assim como as lacunas na

Esse movimento traz consigo a necessidade de o pro- aprendizagem, pode-se tomar para análise tanto as pro-
fessor dominar o que ensina para reconhecer qual a rele- duções escritas e orais diárias dos estudantes quanto
vância social e cognitiva do ensinado e, então, definir o que alguns instrumentos específicos, como tarefas, fichas,
vai se tornar material a ser avaliado. portifólios, etc., que forneçam dados mais controlados
e sistemáticos sobre o domínio dos saberes a que se
A mudança das práticas de avaliação é então acompa- referem os objetivos e as metas de ensino. A análise dos
nhada por uma transformação do ensino, uma vez que essa trabalhos pode ser feita levando-se em conta a exigên-
tomada de posição em relação ao que é realmente impor- cia cognitiva das tarefas propostas, a detenção de erros
tante é que vai orientar a organização do tempo didático conceituais observados e as relações não previstas. Des-
em sala de aula e definir o que deve ser avaliado e as formas sa forma, são levantados subsídios para o professor e
a serem adotadas para avaliar. para o aluno que podem ajudar no progresso do proces-
so de apreensão dos conhecimentos, desenvolvimento
Na busca de exercer a educação de modo justo e eficien- e aprimoramento de destrezas, construção de valores e
te é preciso garantir a coerência entre as metas planejadas, qualidades pessoais.
o que se ensina e o que se avalia.
• O aspecto acreditativo ou certificativo da avaliação é o de
Assim, a definição clara sobre o que ensinar permitirá,
em cada etapa ou nível de ensino, delimitar as expectativas obter dados que permitam determinar se os estudantes
de aprendizagem, das quais dependem tanto os critérios de desenvolveram as capacidades esperadas ao final de um
avaliação quanto o nível de exigência. processo. Esses dados devem possibilitar que se concluam,
em conjunto com os resultados das avaliações processuais,
A clareza sobre o que ensinar e o que avaliar deve estar as condições de desempenho do aluno segundo as normas
explicitada em objetivos observáveis que “traduzem” os especificadas, tanto internamente à escola como as re-
conteúdos formulados, geralmente de modo muito amplo, queridas em avaliações externas.
nos documentos curriculares ou planos de curso.Tendo isso
em mente, a avaliação deve ser considerada em seus três A elaboração de escalas indicando as capacidades espe-
aspectos: diagnóstico, formativo ou processual e acredita- radas de desenvolvimento no processo de aprendizagem,
tivo ou certificativo. graduadas em diferentes níveis, de acordo com aspectos
observáveis nas produções orais e escritas dos alunos, são
• Em seu aspecto diagnóstico, a avaliação permite detectar instrumentos essenciais tanto para o aspecto formativo
como para o certificativo da avaliação.
os conhecimentos, formais ou informais, que os alunos já
possuem, contribuindo para a estruturação do processo Os alunos devem ter conhecimento da escala utilizada
de ensino-aprendizagem, pois esses conhecimentos são pelo professor, por uma questão de transparência na ava-
tomados como base. liação, e também para apoiar-se nela ao fazerem sua autoa-
Com a avaliação diagnóstica inicial, o professor pode valiação.
obter evidências sobre as formas de aprender dos alu-
nos, seus conhecimentos e experiências prévios, seus O quadro da página seguinte é um exemplo de escala2
erros e concepções. A interpretação dessas evidências que pode ser empregada para avaliação em Matemática.
deve ser feita, se possível, em conjunto com o aluno,
buscando perceber seu ponto de vista, o significado de 2 Fonte dos dados: PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA (2006), p. 121-123.
suas respostas, as possibilidades de estabelecimento
de relações e os níveis de compreensão que possui dos Manual do Professor 305
objetos a serem estudados. Os instrumentos utilizados

Nível Conhecimento matemático Estratégias, processos e modos de pensar Comunicação matemática
V
IV Mostra compreender os con- Usa informação exterior relevante de Usa terminologia e notação apropriadas.
III ceitos e princípios matemáti- natureza formal ou informal.
II cos envolvidos no problema. Apresenta resposta completa e não
I Identifica todos os elementos importan- ambígua.
Executa completa e adequa- tes do problema e mostra compreensão
damente os algoritmos. da relação entre eles. Inclui diagramas ou representações apro-
priados, exemplos ou contraexemplos.
Indica estratégia apropriada e sistemáti-
ca para a resolução do problema e mostra Apresenta como suportes argumentos
adequadamente o processo de solução. coerentes e completos.

Mostra compreender, quase Usa informação exterior relevante de Usa terminologia e notação parcialmen-
completamente, os concei- natureza formal ou informal. te corretas.
tos e princípios matemáticos
envolvidos no problema. Identifica todos os elementos importan- Apresenta resposta completa com expli-
tes do problema e mostra compreensão cação razoável.
Executa completamente os da relação entre eles.
algoritmos. Inclui diagramas ou representações,
O processo de solução é completo ou exemplos ou contraexemplos de modo
Os cálculos em geral estão quase completo. ainda incompleto.
corretos, contendo eventual-
mente pequenos erros. Apresenta como suportes argumentos
logicamente corretos, mas insuficientes.

Mostra compreender alguns Identifica alguns elementos importantes Mostra progresso significativo na dire-
dos conceitos e princípios
matemáticos envolvidos no do problema e mostra compreensão limi- ção de completar o problema, mas a
problema.
tada da relação entre eles. explicação é ambígua.
A resposta tem erros de
cálculo. Mostra alguma evidência do processo de Inclui diagramas ou representações
solução, mas ele está incompleto ou pouco claras e imprecisas.
pouco sistematizado.
Apresenta como suportes argumentos
incompletos ou baseados em premissas
pouco importantes.

Mostra compreensão muito Usa informação exterior irrelevante. Falha no uso dos termos matemáticos.
limitada dos conceitos e
princípios matemáticos Falha na identificação, quase por completo, Apresenta alguns elementos satisfató-
envolvidos no problema. de aspectos importantes ou coloca muita rios, mas omite partes significativas do
ênfase em elementos pouco importantes. problema.
A resposta tem graves erros
de cálculo. Reflete uma estratégia inadequada para Inclui diagramas ou representações de

resolver o problema. forma incorreta.

O processo de solução não existe, é de Não apresenta argumentos logicamente
difícil identificação ou não está sistema- corretos.
tizado.

Mostra não compreender Tenta usar informação exterior irrelevante. Comunica de forma ineficaz.
os conceitos e princípios
matemáticos envolvidos no Falha na identificação de quais elemen- Integra desenhos que não representam
problema. tos do problema são apropriados para a a situação.
resolução.
As palavras que emprega não refletem o
Copia partes do problema, sem procurar problema.
a solução.

Indicadores para a avaliação em Avaliando a capacidade matemática
Matemática do aluno

Como já dissemos, esta coleção contemplou algumas É preciso avaliar a capacidade matemática do aluno, ou
das atuais tendências em Educação Matemática. Elas dizem seja, a sua capacidade de usar a informação para raciocinar,
respeito ao desenvolvimento de um ensino que aumente a pensar criativamente e para formular problemas, resolvê-los
capacidade matemática do aluno por intermédio da reso- e refletir criticamente sobre eles.
lução de problemas, valorizando a comunicação matemáti-
ca, a construção e a compreensão de conceitos e procedi- A avaliação deve analisar até que ponto o aluno integrou
mentos. Passamos, então, a exemplificar como avaliar tais e deu sentido à informação, se consegue aplicá-la em situ-
capacidades. ações que requeiram raciocínio e pensamento criativo e se
é capaz de utilizar a Matemática para comunicar ideias.
306 Manual do Professor

Além disso, a avaliação deve analisar a predisposição do da Matemática. Como a Matemática utiliza símbolos e, por-
aluno em face dessa ciência, em particular a sua confiança tanto, tem uma linguagem própria, específica, às vezes a
em fazer Matemática e o modo como a valoriza. comunicação fica dificultada.

Por exemplo, em uma situação-problema aberta como Ao avaliar a comunicação de ideias matemáticas pelos
esta:“Elabore a maquete da escola com base na sua planta”, alunos, é preciso verificar se ele é capaz de expressar-se
o aluno pode revelar a sua capacidade matemática. oralmente, por escrito, de forma visual ou por demons-
trações com materiais pedagógicos; se compreende e
Avaliando a resolução de problemas interpreta corretamente ideias matemáticas apresenta-
das de forma escrita, oral ou visual e se utiliza correta-
Como a resolução de problemas deve constituir o eixo mente o vocabulário matemático e a linguagem mate-
fundamental da Matemática escolar, o mesmo deve ocorrer mática para representar ideias, descrever relações e
com a avaliação. A capacidade dos alunos para resolver pro- construir modelos da realidade. Veja a seguir um proble-
blemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado ma que envolve esses aspectos:
de um ensino prolongado, de várias oportunidades para a
resolução de muitos tipos de problemas e do confronto com “Suponha que você esteja ao telefone falando com
situações do mundo real. um colega de turma e quer que ele desenhe algumas fi-
guras. Escreva instruções que lhe permitam desenhar a
Ao avaliar essa capacidade do aluno, é importante figura e o gráfico exatamente como estão desenhados
verificar se ele é capaz de resolver problemas não padro- abaixo.”
nizados, de formular problemas a partir de certos dados,
de empregar várias estratégias de resolução e de fazer a Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora y
verificação dos resultados, bem como a generalização x
deles. Identificar lacunas é muito importante na elabo-
ração de problemas. Por exemplo, em um problema do Avaliando o raciocínio do aluno
tipo:“Você vai comprar 10 itens no supermercado. Na fila
do caixa rápido (para 10 itens ou menos) estão 6 pessoas. Para avaliar a capacidade de raciocínio matemático
O caixa 1 tem uma pessoa na fila e o caixa 3 tem 2.
Os outros caixas estão fechados. Para qual dos caixas do aluno, é preciso verificar se ele identifica padrões, for-
você se dirigirá?”, qual é a informação necessária para
responder à pergunta? (É preciso saber o número de mer- mula hipóteses e faz conjecturas. Por exemplo, peça a ele
cadorias que cada pessoa está comprando e a velocidade
dos caixas.) Generalizar soluções de problemas é outro que descubra como começaram e como continuam as
ponto fundamental. Por exemplo, peça aos alunos que
determinem qual é o valor de 1 1 3 1 5 1 7 1 9 (é 25); sequências:
depois, proponha ao aluno que formule uma expressão
que forneça a soma dos n primeiros números ímpares. A 0, 3, 8, 15, 24, -(3-5-),-(-4-8-),-(6- -3)- → (n2 2 1; n 5 1, 2, 3, ...)
solução seria:
1 parcela: 1 ( ) ( ) ( )2,1,
2 parcelas: 1 1 3 5 4 (22) 1 , 1 , 1, 1 , 1 , 1
3 parcelas: 1 1 3 1 5 5 9 (32) 2 4 8 _1_6_ _ _32_ _ _6_4_
4 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 (42)
5 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 (52) É preciso verificar ainda se ele analisa situações para
: identificar propriedades comuns. Por exemplo, o que há
n parcelas: n2 de comum entre o losango e o quadrado? E no que eles
diferem?
Avaliando a comunicação do aluno

Na sala de aula discutem-se ideias e conceitos matemá-
ticos, partilham-se descobertas, confirmam-se hipóteses e
adquire-se conhecimento matemático pela escrita, pela fala
e pela leitura. O próprio ato de comunicar clareia e organiza
o pensamento e leva o aluno a se envolver na construção

Manual do Professor 307

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora quadrado Para reconhecer condições que determinam um con-
ceito, proponha ao aluno que faça uma classificação dos
losango quadriláteros (4 lados). Ao separar os paralelogramos
(2 pares de lados paralelos) dos trapézios (apenas 1 par
E se ele utiliza o raciocínio espacial ou proporcional para de lados paralelos), o aluno demonstra que sabe identi-
resolver problemas. ficar essas formas geométricas pelas suas propriedades.
Na continuação, pode separar os retângulos (4 ângulos
Por exemplo, peça ao aluno que desenhe um cubo retos) dos losangos (4 lados de mesma medida) e incluir
planificado, ou que desenhe um cone montado a partir os quadrados (4 ângulos retos e 4 lados de mesma medi-
de uma planificação. Para verificar o uso do raciocínio da) nos losangos, demonstrando compreensão dos con-
proporcional, pergunte:“Quantos alunos da escola usam ceitos de quadrado, losango, retângulo, paralelogramo e
óculos?”. Isso leva o aluno a desenvolver um processo que quadrilátero.
permite identificar os que usam óculos de uma amostra
de alunos e a utilizar raciocínio proporcional para deter- Para passar de uma representação de um conceito para
minar o número de alunos que usam óculos em toda a outra, peça ao aluno, por exemplo, que escreva a equação
escola. Para aferir o raciocínio dedutivo, peça ao aluno da reta:
que justifique por que, se somarmos o mesmo número
de pontos à porcentagem de acertos no teste de cada y
aluno, a média das classificações aumentará na mesma
quantidade. x

(1, 0)
(0, Ϫ2)

Avaliando a compreensão A integração de conceitos pode ser trabalhada com ati-
de conceitos vidades do tipo: “Una os pontos médios dos lados de um
trapézio isósceles. Qual figura se obtém? Justifique sua
A essência do conhecimento matemático são os concei- resposta.”.
tos. O aluno só pode dar significado à Matemática se com-
preender os seus conceitos e significados. Avaliando procedimentos matemáticos

A avaliação do conhecimento de conceitos e da com- Procedimentos matemáticos são, por exemplo, os algo-
preensão deles pelo aluno deve indicar se é capaz de ritmos ou as técnicas de cálculo, são as maneiras de traçar
verbalizá-los e defini-los; identificá-los e produzir exem- retas paralelas, perpendiculares, ângulos, etc.
plos e contraexemplos; utilizar modelos, diagramas e sím-
bolos para representar conceitos; passar de uma forma de A avaliação do conhecimento de procedimentos do
representação para outra; reconhecer vários significados aluno deve indicar se é capaz de executar uma atividade
e interpretações de um conceito; comparar conceitos e matemática com confiança e eficiência; de justificar os
integrá-los. passos de um procedimento, reconhecer se ele é adequado
ou não a determinada situação e se funciona ou não; e,
Para identificar exemplos e contraexemplos de concei- sobretudo, se é capaz de criar novos procedimentos corre-
tos, apresente uma questão como esta: tos e simples.

“Quais das seguintes expressões representam números Para verificar se o aluno conhece as razões dos passos
racionais?” de um procedimento, peça-lhe, por exemplo, que justifique
cada passagem da multiplicação (x 1 3)(x 1 2):
2 4 0 5 (x 1 3)(x 1 2) 5 x(x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 x2 1 2x 1 3x 1 6 5
3 5 5 x2 1 (2 1 3)x 1 6 5 x2 1 5x 1 6

1,3434 25,6 1,121121112... Para verificar se o resultado de um procedimento está
correto, proponha, por exemplo, que o aluno inverta a matriz
Ϫ16 Ϫ6 25% A 5 31 Ϫ41 e verifique se o resultado é realmente a inver-
Ϫ6 sa dela.

308 Manual do Professor

9 Texto complementar: Por que se deve avaliar?

A função social do ensino não consiste apenas em pro- avaliar, a quem se deve avaliar, como se deve avaliar, como
mover e selecionar os “mais aptos” para a universidade. Ela devemos comunicar o conhecimento obtido através da ava-
abarca outras dimensões da personalidade. liação, etc.

Habitualmente, quando se fala de avaliação, logo se Os sujeitos e os objetos
pensa, de forma prioritária ou mesmo exclusiva, nos resul- da avalia•‹o
tados obtidos pelos alunos. Hoje em dia, este continua sen-
do o principal alvo de qualquer aproximação ao fato ava- Como em outras variáveis do ensino, muitos dos proble-
liador. Os professores, as administrações, os pais e os próprios mas de compreensão do que acontece nas escolas não são
alunos referem-se à avaliação como o instrumento ou pro- devidos tanto às dificuldades reais, mas sim aos hábitos e
cesso para avaliar o grau de alcance em relação a determi- costumes acumulados de uma tradição escolar cuja função
nados objetivos previstos nos diversos níveis escolares. A básica sempre foi seletiva e propedêutica. Em uma concep-
avaliação é basicamente considerada como um instrumen- ção do ensino centrado na seleção dos alunos mais prepa-
to sancionador e qualificador, em que o sujeito da avaliação rados para continuar a escolarização até os estudos univer-
é o aluno e somente o aluno, e o objeto da avaliação são as sitários, é lógico que o sujeito da avaliação seja o aluno e
aprendizagens realizadas segundo certos objetivos mínimos que se considerem como objeto da avaliação as aprendiza-
para todos. gens alcançadas em relação às necessidades futuras que
foram estabelecidas – as universitárias. Dessa forma, dá-se
Mesmo assim, já faz muito tempo que, a partir da litera- prioridade a uma clara função sancionadora: qualificar e
tura pedagógica, as declarações de princípios das reformas sancionar desde pequenos aqueles que podem triunfar nes-
educacionais empreendidas em diferentes países e grupos de sa carreira até a universidade.
educadores mais inquietos propõem formas de entender a
avaliação que não se limitam à valoração dos resultados ob- No entanto, podemos entender que a função social do
tidos pelos alunos. O processo seguido por eles, o progresso ensino não consiste apenas em promover e selecionar os "mais
pessoal e o processo coletivo de ensino-aprendizagem apare- aptos" para a universidade, mas que abarca outras dimensões
cem como elementos ou dimensões da avaliação. da personalidade. Quando a formação integral é a finalidade
principal do ensino e, portanto, seu objetivo é o desenvolvi-
Desse modo, é possível encontrar definições de avaliação mento de todas as capacidades da pessoa e não apenas as
bastante diferentes e, em muitos casos, bastante ambíguas, cognitivas, muitos dos pressupostos da avaliação mudam. Em
cujos sujeitos e objetos de estudo aparecem de maneira con- primeiro lugar, e isto é muito importante, os conteúdos de
fusa e indeterminada. Em alguns casos, o sujeito da avaliação aprendizagem a serem avaliados não serão unicamente con-
é o aluno; em outros, é o grupo/classe e, inclusive, o professor teúdos associados às necessidades do caminho para a uni-
ou a equipe docente. Quanto ao objeto da avaliação, às vezes versidade. Será necessário também levar em consideração os
é o processo de aprendizagem seguido pelo aluno ou os re- conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais que pro-
sultados obtidos, enquanto outras vezes se desloca para a movam as capacidades motoras, de equilíbrio e de autonomia
própria intervenção do professor. pessoal, de relação interpessoal e de inserção social.

As definições mais habituais da avaliação remetem a um Uma opção dessa natureza implica uma mudança radical
todo indiferenciado que inclui processos individuais e grupais, na maneira de conceber a avaliação, uma vez que o ponto de
os alunos e os professores. Esse ponto de vista é plenamente vista já não é seletivo, já não consiste em ir separando os que
justificável, já que os processos que têm lugar na aula são não podem superar distintos obstáculos, mas em oferecer a
processos globais em que é difícil – e certamente desnecessá- cada um dos alunos a oportunidade de desenvolver, no maior
rio – separar os diferentes elementos que os compõem. Nossa grau possível, todas as suas capacidades. O objetivo do ensino
tradição avaliadora tem-se centrado exclusivamente nos re- não centra sua atenção em certos parâmetros finalistas para
sultados obtidos pelos alunos. Assim, é conveniente dar-se todos, mas nas possibilidades pessoais de cada um.
conta de que, ao falar de avaliação na sala de aula, pode-se
aludir em particular a algum dos componentes do processo O problema não está em como conseguir que o máximo
de ensino-aprendizagem, como também a todo o processo em de alunos tenham acesso à universidade, mas em como con-
sua globalidade. seguir desenvolver ao máximo todas as suas capacidades e,
entre elas, evidentemente aquelas necessárias para que che-
Talvez a pergunta que nos permita esclarecer em cada guem a ser bons profissionais. Tudo isso envolve mudanças
momento qual deve ser o objeto e o sujeito da avaliação substanciais tanto nos conteúdos da avaliação quanto no
seja aquela que corresponde aos próprios fins do ensino: por caráter e na forma das informações que devem ser propor-
que temos que avaliar? Sem dúvida, a partir da resposta a cionadas sobre o conhecimento que se tem das aprendizagens
esta pergunta surgirão outras, por exemplo, o que se deve

Manual do Professor 309

realizadas, considerando as capacidades previstas. Por en- conteúdos e a forma de ensinar – e a exigência de serem tra-
quanto, digamos apenas que se trata de informações com- tadas em função da diversidade dos alunos.
plexas, que não combinam com um tratamento estritamen-
te quantitativo; elas se referem a valorações e indicadores Então, a primeira necessidade do educador é responder
personalizados que raramente podem ser traduzidos em às seguintes perguntas: que sabem os alunos em relação ao
notas e qualificações clássicas. que eu quero ensinar? Que experiências tiveram? O que são
capazes de aprender? Quais são seus interesses? Quais são
Avaliação formativa: inicial, seus estilos de aprendizagem? Nesse âmbito, a avaliação já
reguladora e final integradora não pode ser estática, baseada na análise de resultado, porque
se torna um processo. E uma das primeiras fases do processo
A tomada de posição em relação às finalidades do ensino, consiste em conhecer o que cada um dos alunos sabe, sabe
relacionada a um modelo voltado à formação integral da fazer e é, juntamente com o que pode chegar a saber, sa-
pessoa, implica mudanças fundamentais, especialmente nos ber fazer ou ser e como aprendê-lo. A avaliação é um processo
conteúdos e no sentido da avaliação. Além disso, quando na cuja primeira fase denomina-se avaliação inicial.
análise da avaliação introduzimos a concepção construtivis-
ta do ensino e da aprendizagem como referencial psicopeda- O conhecimento do que cada aluno sabe, sabe fazer e
gógico, o objeto da avaliação deixa de se focar exclusivamen- como é, torna-se o ponto de partida que nos permite, em
te nos resultados obtidos para se situar prioritariamente no relação aos objetivos e conteúdos de aprendizagem previstos,
processo de ensino-aprendizagem, tanto do grupo/classe estabelecer o tipo de atividades e tarefas que devem favorecer
quanto de cada um dos alunos. Por outro lado, o sujeito da a aprendizagem de cada um. Isso nos proporciona referências
avaliação não apenas se centra no aluno, como também na para definir uma proposta hipotética de intervenção, a orga-
equipe que intervém no processo. nização de uma série de atividades de aprendizagem que,
dada nossa experiência e nosso conhecimento pessoais, su-
Como pudemos observar, procedemos de uma tradição pomos que possibilitará o progresso dos alunos. Porém, não
educacional prioritariamente uniformizadora, que parte do é mais do que uma hipótese de trabalho, já que dificilmente
princípio de que as diferenças entre os alunos da mesma fai- a resposta a nossas propostas será sempre a mesma, nem a
xa etária não são motivo suficiente para mudar as formas de que nós esperamos.
ensino, mas que constituem uma evidência que valida a fun-
ção seletiva do sistema e, por conseguinte, sua capacidade A complexidade do fato educacional impede dar, como
para escolher os melhores. A uniformidade é um valor de respostas definitivas, soluções que tiveram bom resultado
qualidade do sistema, pois é o que permite reconhecer e va- anteriormente. Não só os alunos são diferentes em cada oca-
lidar os que servem. Quer dizer, são bons alunos aqueles que sião, como as experiências educacionais também são diferen-
se adaptam a um ensino igual para todos; não é o ensino que tes e não se repetem. Isso supõe que, no processo de aplicação
deve adaptar-se às diferenças dos alunos. do plano de intervenção previsto em sala de aula, será neces-
sário adequar às necessidades de cada aluno as diferentes
O conhecimento que temos sobre como as aprendizagens variáveis educativas: as tarefas e as atividades, seu conteúdo,
são produzidas revela a extraordinária singularidade desses as formas de agrupamento, os tempos, etc.
processos, de tal maneira que cada vez é mais difícil estabe-
lecer propostas universais que vão além da constatação des- Conforme se desenvolvam o plano previsto e a resposta
sas diferenças e singularidades. O fato de que as experiências dos alunos a nossas propostas, haveremos de ir introduzindo
vividas constituam o valor básico de qualquer aprendizagem atividades novas que comportem desafios mais adequados
obriga a levar em conta a diversidade dos processos de apren- e ajudas mais contingentes. O conhecimento de como cada
dizagem e, portanto, a necessidade de que os processos de aluno aprende ao longo do processo de ensino-aprendizagem,
ensino – e sobretudo os avaliadores – não apenas os obser- para se adaptar às novas necessidades que se colocam, é o
vem, mas também os tomem como eixo vertebrador. que podemos chamar de avaliação reguladora.

Sob uma perspectiva uniformizadora e seletiva, o que Alguns educadores, e o próprio vocabulário da reforma
interessa são determinados resultados em conformidade com educacional, utilizam o termo avaliação formativa. Pessoal-
certos níveis predeterminados. Quando o ponto de partida é mente, para designar esse processo, prefiro usar o termo ava-
a singularidade de cada aluno, é impossível estabelecer níveis liação reguladora, já que explica melhor as características de
universais. Aceitamos que cada aluno chega à escola com adaptação e adequação. Ao mesmo tempo, essa opção per-
uma bagagem determinada e diferente em relação às expe- mite reservar o termo formativo para uma determinada con-
riências vividas, conforme o seu ambiente sociocultural e cepção da avaliação em geral, entendida como aquela que
familiar, sendo condicionado por suas características pessoais. tem como propósito a modificação e a melhora contínua do
Essa diversidade óbvia implica a relativização de duas das aluno que se avalia, ou seja, que entende que a finalidade da
invariáveis das propostas uniformizadoras – os objetivos, os avaliação é ser um instrumento educativo que informa e faz
uma valoração do processo de aprendizagem seguido pelo
310 Manual do Professor

aluno, com o objetivo de lhe oportunizar, em todo momento, cíficas que foram tomadas, o resultado final de todo o pro-
as propostas educacionais mais adequadas. cesso e, em especial, a partir desse conhecimento, as previsões
sobre o que é necessário continuar fazendo ou o que é neces-
O conjunto de atividades de ensino-aprendizagem reali- sário fazer de novo.
zadas permitiu que cada aluno atingisse os objetivos previs-
tos em determinado grau. A fim de validar as atividades rea- Por que avaliar? O aperfeiçoamento da prática educativa
lizadas, conhecer a situação de cada aluno e poder tomar as é o objetivo básico de todo educador. E entende-se esse aper-
medidas educativas pertinentes ajudará a sistematizar o feiçoamento como meio para que todos os alunos atinjam o
conhecimento do progresso seguido. Isso requer, por um lado, maior grau de competências, conforme suas possibilidades
apurar os resultados obtidos (as competências alcançadas reais. O alcance dos objetivos por parte de cada aluno é um
em relação aos objetivos previstos); por outro, implica anali- alvo que exige conhecer os resultados e os processos de apren-
sar o processo e a progressão que cada aluno seguiu, com dizagem que os alunos seguem. E, para melhorar a qualidade
vistas a continuar sua formação levando em conta suas ca- do ensino, é preciso conhecer e poder avaliar a intervenção
racterísticas específicas. pedagógica dos professores, de modo que a ação avaliadora
observe simultaneamente os processos individuais e grupais.
Muitas vezes, o conhecimento dos resultados obtidos é Refiro-me tanto aos processos de aprendizagem quanto aos
designado com o termo avaliação final ou avaliação soma- de ensino, já que, de uma perspectiva profissional, o conheci-
tiva. Pessoalmente, penso que a utilização conjunta dos dois mento relativo a como os alunos aprendem é, em primeiro
termos é ambígua e não ajuda a identificar ou diferenciar lugar, um meio para ajudá-los em seu crescimento e, em se-
essas duas necessidades: o conhecimento do resultado obtido gundo lugar, o instrumento que nos permite melhorar nossa
e a análise do processo que o aluno seguiu. Prefiro utilizar o atuação em aula.
termo avaliação final para me referir aos resultados obtidos
e aos conhecimentos adquiridos e reservar o termo avaliação Esse texto foi publicado originalmente no livro A prática
somativa ou integradora para o conhecimento e a avaliação educativa: como ensinar, de Antoni Zabala. Porto Alegre: Art-
de todo o percurso do aluno. Assim, a avaliação somativa ou med, 1998.
integradora é entendida como um informe global do proces-
so que, a partir do conhecimento inicial (avaliação inicial), Antoni Zabala é licenciado em Pedagogia.
manifesta a trajetória seguida pelo aluno, as medidas espe-
Fonte: Grupo A. Disponível em: <www.grupoa.com.br/revista-patio/
artigo/5937/por-que-se-deve-avaliar.aspx>. Acesso em: 29 mar. 2016.

10 Sugestões complementares: leituras,
recursos digitais e passeios

A importância da atualização Também não faltam oportunidades de cursos ofereci-
dos por instituições de ensino, centros de pesquisa, e até
Já falamos anteriormente sobre as mudanças que estão mesmo pelo poder público, que podem aprofundar certos
revolucionando a economia e a sociedade, e como a Mate- aspectos da atividade de docência e oferecer a chance de
mática tem um importante papel na formação e preparação trocar conhecimentos e experiências com outros profes-
dos alunos para as novas demandas. É importante que o sores e pesquisadores.
professor esteja devidamente informado e seja capaz de
lidar com essas expectativas e novos anseios dos alunos. Tudo isso é o que podemos chamar de formação conti-
nuada do professor, esse aperfeiçoamento constante que
Além das novas exigências que são trazidas para a sala coloca o docente no tempo presente, pronto para atender às
de aula pela sociedade, teorias e práticas de Educação Ma- demandas sociais que são impostas a ele e a seus alunos.
temática passam por debates, discussões, atualizações e
alterações que são fruto do trabalho de grupos de estudo e Em seguida oferecemos informações de locais onde
de aplicação. O professor é parte desse processo de renova- os professores poderão encontrar recursos para dar con-
ção, sendo ele o responsável por apresentar situações aos tinuidade à sua formação e orientações para o dia a dia
alunos, debater alternativas e soluções para os problemas do seu trabalho.
que surgirem e, finalmente, aplicar o que foi proposto em
seu espaço de trabalho, chegando a novos resultados. Sites
• <http://m3.ime.unicamp.br/>. Acesso em: 13 maio 2016.
Atualmente temos a facilidade da internet, que é capaz
de reunir em portais, fóruns de discussão, blogs, artigos e Coleção M3 Matemática Multimídia: portal que contém
listas de e-mails, uma comunidade de profissionais compe- recursos educacionais multimídia em formatos digitais
tentes e dispostos a manter ativo o debate entre professores desenvolvidos pela Unicamp para o Ensino Médio de Ma-
e pesquisadores. temática no Brasil.

Manual do Professor 311

• <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html>. Acesso • <http://educador.brasilescola.com/>. Acesso em: 14 maio

em: 13 maio 2016. 2016.
Portal do Professor: espaço para acessar sugestões de pla- Orientações para pais e educadores sobre vários aspectos
nos de aula, mídias de apoio, notícias sobre educação e do Ensino.
iniciativas do MEC, e também para compartilhar um plano
de aula, participar de uma discussão ou fazer um curso. • <www.somatematica.com.br/>. Acesso em: 14 maio 2016.

• <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content Portal Só Matemática: apresenta conteúdos matemáticos
e sugestões de uso de tecnologias e jogos em sala de aula.
&view=article&id=12583%3Aensino-medio&Itemid=859>.
Acesso em: 14 maio 2016. Alguns desses sites podem ser trabalhados com os alunos;
Coleção Explorando o Ensino – Matemática – Ensino Mé- fica a seu critério selecioná-los.
dio: coletânea de artigos extraídos da Revista do Professor
de Matemática (RPM) – uma publicação da Sociedade Vídeos
Brasileira de Matemática (SBM), com apoio da Universi- • As séries do TV Escola disponíveis no site <http://tvescola.
dade de São Paulo.
mec.gov.br/tve/home> possuem diversos vídeos que
• <http://matematica.com.br/site/index.php>. Acesso em: apresentam variadas aplicações dos conteúdos em situa-
ções simples do dia a dia. Acesso em: 14 maio 2016.
14 maio 2016.
Portal Matemática: provas de vestibulares e concursos, • O site <https://pt.wikiversity.org/wiki/Portal:Matem%C3%
simulados on-line, curiosidades matemáticas, dicas,
biografia de matemáticos, dicionário da Matemática, A1tica_e_Estat%C3%ADstica/Videoteca> apresenta uma
vídeos e desafios, link para universidades e faculdades lista de vídeos de matemática da Videoteca do Instituto
do Brasil. de Matemática e Estatística. Entre os vídeos existem do-
cumentários, séries educativas e teleaulas. Acesso em: 14
• <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/ maio 2016.

medio.htm>. Acesso em: 14 maio 2016. • No site Domínio Público <www.dominiopublico.gov.br/
Matemática essencial: conteúdos de Matemática para o
Ensino Fundamental, Médio e Superior. pesquisa/PesquisaObraForm.jsp> são disponibilizados
vários vídeos que auxiliam o professor no seu trabalho
• <www.aprendiz.com.br>. Acesso em: 14 maio 2016. em sala de aula, principalmente no que diz respeito ao
Programa de Formação de Professores em Exercício. Aces-
Projeto Aprendiz: site destinado a professores e alunos. so em: 14 maio 2016.

• <www.inep.gov.br/>. Acesso em: 14 maio 2016. Jogos

Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacio- Os jogos são ótimos recursos para o ensino de Matemá-
nais Anísio Teixeira): site do órgão que responde pelas tica.Tanto os conhecidos jogos de tabuleiro ou cartas como
avaliações do Sistema Educacional Brasileiro (todos os os eletrônicos, que podem ser propostos no laboratório de
níveis e modalidades), com todas as informações relativas Informática ou para serem explorados em casa com roteiros
ao Enem (Exame Nacional de Ensino Médio). de observação e discutidos depois, em sala de aula.

• <www.fc.up.pt/cmup/polya/polya_home.html>. Acesso Existem poucos jogos eletrônicos voltados para os temas
de Matemática do Ensino Médio. Abaixo e na próxima pá-
em: 14 maio 2016. gina seguem links para jogos que podem estimular a fami-
Projeto Polya: site especializado na resolução de proble- liaridade dos alunos com a disciplina, mas também encora-
mas matemáticos. jamos os professores a desvendar os processos matemáticos
que estão contidos nos diversos contatos que os estudantes
• <www.obm.org.br/>. Acesso em: 14 maio 2016. têm com os jogos. Entre os jogos eletrônicos adequados para
o Ensino Médio sugerimos os que se encontram em:
Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM): informações,
provas e gabaritos. • Jogos de Matemática no site da Unesp <www.ibilce.unesp.

• <http://cmais.com.br/educacao>. Acesso em:14 maio 2016. br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/
jogos-no-ensino-de-matematica/ensino-medio/>. Acesso
Cmais: site da TV Cultura com informações e notícias so- em: 14 maio 2016.
bre educação. Nesse site serão encontrados diversos jogos matemáticos
para o Ensino Médio, com objetivos, regras e até tabulei-
• <www.uol.com.br/cienciahoje>. Acesso em: 14 maio 2016. ros e peças para impressão.

Publicações como: revista Ciência Hoje das Crianças, Alô, • MathPlayground <www.mathplayground.com/game_
Professor, etc.
directory.html>. Acesso em: 14 maio 2016.
• <http://revistaescola.abril.com.br/>.Acesso em:14 maio 2016. O site em inglês contém uma série de jogos matemáticos
que abarcam diferentes disciplinas. Os jogos são simples e
Revista Escola: apresenta diversos materiais sobre edu- trabalham com conhecimentos específicos. Para o professor
cação e mantém blogs e fóruns de discussão.

• <www.planetaeducacao.com.br>. Acesso em:14 maio 2016.

Planeta Educação: portal educacional que tem como ob-
jetivo disseminar o uso pedagógico e administrativo das
novas tecnologias da informação e da comunicação nas
escolas públicas brasileiras de Educação Infantil, Ensino
Fundamental e Médio.

312 Manual do Professor

de Ensino Médio recomendamos explorar as seções de Ge- de Oswaldo Cruz/Fiocruz (Museu da Vida). Além dos cen-
ometria (Geometry), jogos lógicos (Logic Games) e de con- tros e museus de ciência, podem ser consultados zooló-
textualização do uso da Matemática no mundo real (Real gicos, jardins botânicos, parques, jardins zoobotânicos,
World Math Connections). aquários, planetários e observatórios presentes em todas
as regiões do Brasil. Disponível em: <www.mcti.gov.br/
• Power My Learning <http://powermylearning.com/>. documents/10179/472850/Centros+e+Museus+de+Ci%C
3%AAncia+do+Brasil+2015+-+pdf/667a12b2-b8c0-4a37-
Acesso em: 14 maio 2016. 98f5-1cbf51575e63>. Acesso em: 14 maio de 2016.
Site em inglês criado pela organização americana CFY.
Dedicada à modernização do ensino, oferece jogos e ati- Revistas e boletins de Educação
vidades em diversas áreas, como Tecnologia, Matemática, Matemática
Ciências e Arte, disponibilizando conteúdo específico para • Bolema – Boletim de Educação Matemática publicado pelo
Ensino Médio.
Departamento de Matemática,IGCE – Unesp – Rio Claro (SP).
Softwares site: <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/
bolema>. Acesso em: 14 maio 2016.
Existem softwares que podem ser usados especificamen-
te para explorar determinados conceitos matemáticos. Abai- • Boletim Gepem – Série Reflexão em Educação Matemática.
xo listamos algumas sugestões de aplicativos e repositórios
que podem ser explorados. Publicações do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática e do Mestrado em Educação Matemática da
• Wolfram Alpha <www.wolframalpha.com/>. Acesso em: Universidade de Santa Úrsula (RJ). Para ter acesso, é ne-
cessário cadastro no site.
14 maio 2016. site: <www.ufrrj.br/SEER/index.php?journal=gepem>.
Similar a uma ferramenta de busca, o site oferece um Acesso em: 14 maio 2016.
campo de entrada simples que deve ser preenchido com
o “nome” do que se pretende encontrar. O que embasa • Educação Matemática em Revista – Temas e Debates pu-
esse sistema é o Matemathica, de Stephen Wolfram. O
site oferece soluções para problemas matemáticos com- blicações da Sociedade Brasileira de Educação Matemá-
plexos, porém toda a linguagem é em inglês. tica (SBEM).
site: <www.sbem.com.br/revista/index.php/emr>. Acesso
• Lista de softwares do site da UFF <www.uff.br/cdme/>. em: 14 maio 2016.

Acesso em: 14 maio 2016. • Educação Matemática Pesquisa, revista do Programa de Es-
A seção de conteúdos digitais para o ensino e aprendiza-
gem de Matemática e Estatística ligada ao Instituto de tudos Pós-graduados em Educação Matemática da PUC (SP).
Matemática da UFF disponibiliza softwares educacionais, site: <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp>. Acesso
experimentos educacionais e atividades em áudio rela- em: 14 maio 2016.
cionadas à Matemática do Ensino Médio.
• Revista Brasileira de História da Matemática (SBHMat).
• Lista de softwares do portal Só Matemática <www.soma
site: <www.sbhmat.org>. Acesso em: 14 maio 2016.
tematica.com.br/softwares.php>. Acesso em:14 maio 2016.
Esse portal de ensino de Matemática oferece para profes- • Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasi-
sores e alunos uma seleção de aplicativos que podem ser
úteis em atividades diárias de sala de aula. A lista é gran- leira de Matemática (SBM).
de e o professor deve pesquisar quais softwares são ade- site: <www.rpm.org.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
quados para as suas necessidades.
• Zetetiké – Publicações do Cempem – Unicamp.
Passeios para aprender Matemática
site: <www.cempem.fae.unicamp.br/zetetike.htm>.
• Planetários Acesso em: 14 maio 2016.

Visitas a planetários são ótimas como geradoras de inves- Alguns órgãos governamentais
tigações sobre o uso da Trigonometria e dos logaritmos para • Fundação Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE)
diversos cálculos envolvendo grandes distâncias e números
muito longos, além de aspectos de interdisciplinaridade Tel.: 0800-616161
com a Física e a Biologia. Há planetários importantes em site: <www.fnde.gov.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
todo o território nacional e seus endereços e contatos po- O FNDE mantém o Programa Nacional do Livro Didático
dem ser encontrados em: <www.uranometrianova.pro.br/ (PNLD).
planetarios/planbrasil.htm>. Acesso em: 14 maio 2016.
• Secretaria de Educação Básica (SEB)
• Museus e programas de visitas científicas podem ser en-
Tel.: 0800-616161
contrados no catálogo Centros e Museus de Ciência do site: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_co
Brasil 2015 elaborado pela Associação Brasileira de Centros ntent&view=article&id=293&Itemid=809>. Acesso em:
e Museus de Ciência (ABCMC), pelo Centro Cultural de 14 maio 2016.
Ciência e Tecnologia da UFRJ (Casa da Ciência) e pela Casa Informações sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) de Matemática, sobre o Guia do Livro Didático e
todas as questões relacionadas ao Ensino Médio.

Manual do Professor 313

• Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diver- mação profissional de professores da Educação Básica, da
Sociedade Brasileira de Matemática.
sidade e Inclusão (Secadi) Programa semipresencial, com bolsas Capes para profes-
Tel.: 0800-616161 sores em exercício na rede pública.
site: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_
content&view=article&id=290&Itemid=816>. Acesso Referências bibliográficas
em: 14 maio 2016. para o professor
Implementa políticas educacionais nas áreas de alfabeti-
zação e educação de jovens e adultos, educação ambien- Aprofundando os conhecimentos
tal, educação em direitos humanos, educação especial, do matemáticos
campo, escolar indígena, quilombola e educação para as
relações étnico-raciais. A primeira regra do ensino é saber o que se deve ensinar.
A segunda é saber um pouco mais do que aquilo que se deve
• Secretarias de Educação estaduais e municipais ensinar.

Provavelmente a Secretaria de Educação do estado em que George Polya.
você mora e também a do seu município mantenham
equipes pedagógicas, publicações e ofereçam cursos de • BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria fractal
Matemática a professores. Procure se informar e participar.
para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
Programas de acesso ao Ensino Superior
• CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de
Com o intuito de auxiliar o ingresso de jovens ao Ensino
Superior, o Ministério da Educação (MEC) oferece programas Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1989.
como o Fies, o Prouni e o Sisu.
• COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasilei-
O Fundo de Financiamento Estudantil (Fies) é um pro-
grama que financia a graduação de estudantes em institui- ra de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006.
ções privadas de Ensino Superior. Os estudantes que pre-
tendem ingressar em cursos superiores particulares • LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio
cadastrados no programa e os que tenham avaliação posi-
tiva nos processos conduzidos pelo MEC podem recorrer ao de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM),
financiamento. É obrigatória a participação no Exame Na- 2006. 3 v.
cional do Ensino Médio (Enem) e os candidatos precisam,
após se inscreverem, ser aprovados por uma Comissão Per- • ROXO, E. Curso de Matemática Elementar, vol. 1. Rio de
manente de Seleção, conforme cronograma definido pelo
MEC. O pagamento do financiamento deve ser iniciado um Janeiro: Francisco Alves, 1929.
ano e meio depois da graduação do estudante, e o prazo
final dependerá do curso escolhido. • TINOCO, Lúcia A. A. A Geometria euclidiana por meio de

O Programa Universidade para Todos (Prouni) tem como resolução de problemas. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto de
finalidade a concessão de bolsas de estudos integrais e par- Matemática), 1999. (Projeto Fundão).
ciais (50%) a estudantes de cursos de graduação e de cursos
sequenciais de formação específica em instituições privadas. História da Matemática
• BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. Tradução de
Essas bolsas são destinadas a alunos selecionados com
base nas notas do Enem e também em critérios e condições Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2010.
estabelecidos em regulamentação específica. Para os estu-
dantes que receberem bolsas parciais, há a possibilidade de • CARVALHO, Dione Lucchesi de; MIGUEL, Antonio;
acesso ao Fies para financiar o restante do estudo.
MENDES, Iran Abreu; BRITO, Arlete de Jesus. História da
O Sistema de Seleção Unificada (Sisu) é gerenciado pelo Matemática em atividades didáticas. São Paulo: Livraria
MEC. Nesse sistema são oferecidas vagas em instituições da Física, 2009.
públicas de Ensino Superior para candidatos participantes
do Enem. A seleção dos candidatos é realizada de acordo • CARVALHO, Luiz Mariano et al (Org.). História e tecnologia
com a nota obtida no exame, dentro do número de vagas
em cada curso, por modalidade de concorrência. no ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Ciência Moder-
na, 2008. v. 2.
Para maiores informações sobre esses programas, aces-
se o portal do Ministério da Educação: <http://portal.mec. • COLEÇÃO Tópicos de história da Matemática para uso em
gov.br/index.php> (acesso em: 2 maio 2016).
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7609-emnot-relatorio-nacional-completo-final-pdf& nível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
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clusão. Secretaria de Educação Profissional e Tecnológi-
ca. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação

316 Manual do Professor

11 Observações e sugestões para as Unidades
e os capítulos

Nesta seção do Manual do Professor apresentamos comentários e sugestões didáticas para cada capítulo que compõe o
Volume 2 desta coleção.

Também fornecemos a resolução dos exercícios e das atividades propostos no livro do aluno, com exceção das resoluções
já contempladas nas páginas do próprio livro e de exercícios e atividades cujas respostas são diretas.

Ressaltamos que fica a critério do professor a escolha da ordem de abordagem dos conteúdos, que pode ser diferente da
apresentada nesta obra. Cabe ao professor considerar o projeto político-pedagógico da escola para planejar suas aulas.

Unidade 1 – Trigonometria

Capítulo 1 – Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012) C2 H8/H9
Revisão sobre resolução de –
triângulos retângulos Conhecimento geométrico: –
Trigonometria do ângulo agudo
Seno e cosseno de H7/H8/H9/H10/
ângulos obtusos – H12/H13

Lei dos senos Conhecimentos geométricos: Trigonometria C2/C3
do ângulo agudo, Unidades de medida
Lei dos cossenos

A imagem de abertura do capítulo é um teodolito, um valor de dois ângulos e de um lado. Use o exemplo do en-
instrumento de medição, cuja funcionalidade está toda genheiro que precisa calcular a distância entre os dois pos-
pautada na trigonometria. A partir dessa referência pode-se tes, para apresentar a lei dos senos e determinar a distância
fazer menção à instrumentalização da Matemática, isto é, entre os dois postes. Destaque que essa é uma situação
o seu emprego na interpretação da natureza e seus fenô- muito comum para os engenheiros civis ao construir estra-
menos. Pode-se ver então a Matemática não apenas como das, pontes e viadutos, fazendo uso de um equipamento
um produto do meio, mas também como uma ferramenta chamado teodolito para determinação de ângulos. Comple-
para compreender o mesmo. mente com os exercícios resolvidos 1 e 2 e proponha a reso-
lução dos exercícios 12 a 16 como atividade de fixação.
Em seguida, apresentamos uma Revisão sobre resolução
de triângulos retângulos retomando conteúdos já estuda- Em seguida, continue no exemplo do engenheiro, apenas
dos no Ensino Fundamental e no ano anterior. A realização alterando algumas informações iniciais do problema, para
desses exercícios pode ser feita em grupo. Aproveite os exer- apresentar a Lei dos cossenos. Essa lei é usada para resolver
cícios para perceber o nível de conhecimentos de seus alunos situações em que se conhecem o valor de dois lados e de um
e estimule-os a recordar os conceitos de seno, cosseno e ângulo.Complemente com o exercício resolvido.No exercício 3,
tangente no triângulo, bem como o valor dos senos, cosse- que é resolvido passo a passo, apresenta-se um problema
nos e tangentes para os ângulos de 308, 458 e 608. Produza sobre a distância entre algumas cidades do estado de São
um quadro resumo e uma tabela com as informações cole- Paulo: Guaratinguetá, Campinas, Sorocaba e a capital paulis-
tadas para facilitar e agilizar os cálculos. Aproveite para ta, São Paulo. Com os dados fornecidos e utilizando a lei dos
apresentar as relações do tópico Seno e cosseno de ângulos cossenos, resolve-se o problema. Aproveite para falar também
obtusos e propor a realização dos exercícios 10 e 11 como sobre escalas fornecidas nos mapas geográficos. Proponha
exemplos de aplicação. os exercícios 17 a 24 como atividade de fixação. Os exercícios
25 a 32 podem ser resolvidos como aprofundamento em du-
É importante ressaltar que nem sempre os triângulos pla, destacando-se os exercícios 26 e 31, em que se apresen-
são retângulos, e muitas vezes precisamos resolver proble- tam aplicações da Física (soma de vetores). O exercício 26 é
mas envolvendo outros triângulos, tendo como referência um excelente momento para mostrar que a fórmula usada
alguns lados e/ou alguns ângulos. Para esse tipo de proble- em Física para obter o vetor resultante é uma aplicação da
ma usaremos novas relações. A primeira delas é a Lei dos lei dos cossenos.
senos, útil para resolver situações em que se conhecem o
Manual do Professor - Capítulo 1 317

Cap’tulo 2 – Conceitos trigonométricos básicos

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)

Arcos e ângulos Conhecimentos geométricos: C2 H7/H8
Característica de figuras geométricas planas

Unidades para medir Conhecimentos geométricos: Unidades de medida C2 H7/H8
ângulos e arcos

Circunferência orientada e Conhecimento algébrico/geométrico: C2/C3 H7/H8/H10/H12
circunferência trigonométrica Plano cartesiano/Conhecimento geométrico:

Arcos côngruos (ou congruentes) Unidades de medida

A imagem do Sol batendo em Stonehenge durante o esse resultado equivale ao comprimento da circunferência
solstício de inverno no hemisfério norte foi escolhida por
ser um interessante começo de conversa sobre o assunto. (2pr . 6,28r).
Estimule os alunos a pesquisar mais sobre a construção
desse monumento. Ao explorar o texto Stonehenge as re- Estabeleça a relação entre as unidades para medir arcos,
lações entre esse monumento e a trigonometria ficarão
mais claras. Destaque que passaremos a estudar a Trigono- usando os ângulos de 3608 (ou 2p rad); 1808 (ou p rad); 908
metria em um contexto mais abrangente, no qual o triân-
gulo retângulo passa a ser insuficiente para representar as  ou p rad ; 2708  ou 3p rad como referência, e esta-
situações propostas. Este é o momento de recordar alguns  2  4
conceitos de Geometria plana já conhecidos, tais como Arcos
e ângulos, Unidades para medir ângulos e arcos e a relação beleça uma relação de comparação para uso em regra de
entre as unidades para medir arcos.
três simples (1808 equivale a p rad, por exemplo). Faça as
Na abordagem da definição do conceito de arco geo-
métrico e das medidas de comprimento da circunferência, conversões sugeridas no texto, explorando as diversas pos-
arco de circunferência e ângulo central, os alunos podem
desenhar no caderno três circunferências concêntricas com sibilidades de transformação entre as unidades de medida,
raios diferentes e, com o auxílio de um barbante, demarca-
rem arcos de mesmo ângulo central nas três circunferên- deixando claro que, na ausência de unidades prevalece o
cias. A seguir, determinam o comprimento do arco de cada radiano, por exemplo: 3p equivale a 3p rad, mas 30 não
uma das circunferências desenhadas. Depois, deverão res-
ponder se os arcos têm o mesmo comprimento. Discuta 22
então os conceitos de medida de arco (ângulo) e compri- equivale a 308, e sim a 30 rad.
mento de arco, pois esses conceitos podem ser confundidos
pelos alunos. Em geral, os alunos costumam ter dificuldade nesse

No tópico Unidades para medir ângulos e arcos sugeri- assunto, e na maioria das vezes essa dificuldade está as-
mos iniciar com a unidade mais conhecida, o grau, e repre-
sentar alguns arcos importantes na circunferência. Para sociada a dois fatores:
apresentar a unidade de medida radiano, pode-se desenhar
uma circunferência e, com o auxílio do compasso ou bar- 1o) O número p: é importante que os alunos percebam
bante, representar o arco equivalente a um raio, ou seja, um
radiano. Complemente mostrando que, usando a medida que p rad significa aproximadamente 3,14 rad, da
do raio como referência, será possível completar uma volta
na circunferência com seis raios, com alguma sobra, e que mesma forma que p km significa aproximadamente

318 Manual do Professor 3,14 km.

2o) Frações: uma das vantagens em usar a unidade de me-

dida radiano reside na possibilidade de fracionar o ciclo

trigonométrico e visualizar simetrias. No entanto, mui-

tos alunos têm dificuldade com frações, e automatica-

mente definem que o sistema de unidade radiano é

mais difícil de ser usado.

Com o intuito de diminuir esses obstáculos, pode-se

fazer uma atividade lúdica bem simples.

Atividade em dupla: Solicite aos alunos que tragam pa-

péis coloridos, tampas circulares de diversos tamanhos,

régua, tesoura e transferidor. Cada dupla deverá traçar no

papel colorido 4 circunferências de tamanhos diferentes.

Cada uma delas deverá ser dividida ao meio, ficando cada

metade com um elemento da dupla. Em seguida, o primeiro

pedaço deverá ser dividido ao meio, o segundo pedaço em santes está relacionada, inclusive, com esportes radicais.
Em vários esportes, tais como skate, patins, snowboard,
três partes iguais, o terceiro pedaço em quatro partes iguais surfe, bodyboard, entre outros, há manobras associadas
ao grau da rotação. As mais conhecidas são o 180 e o 360,
e o último pedaço em seis partes iguais, representando os quando o esportista consegue efetuar um giro de 1808
ou de 3608. No entanto, o que aconteceria com o espor-
ppp p tista caso ele conseguisse efetuar a manobra 7208? Onde
ângulos de 2 rad, 3 rad, 4 rad e 6 rad, respectiva- ele terminaria? A resposta para essa pergunta é simples: ele
mente. Compare as divisões de várias duplas, destacando completaria duas voltas sobre o seu eixo e pararia na
mesma posição.
que os raios não interferem no ângulo obtido, e represente
Aproveite o exemplo para definir os Arcos côngruos
os resultados na lousa. Finalize usando o transferidor para (ou congruentes). Represente alguns dos ângulos notáveis
e solicite aos alunos que determinem seus ângulos côn-
medir cada ângulo obtido em graus, comparando com os gruos (para uma e duas voltas completas), e finalize apre-
sentando as expressões gerais para ângulos côngruos,
resultados em radianos. tanto em graus quanto em radianos, apresentando o
exercício resolvido 1 como exemplo e propondo também
Os exercícios 1 e 2 podem ser usados como atividade de a análise do exercício resolvido 4, em que se discutem as
operações de abertura de um cofre utilizando-se conceitos
fixação; já os exercícios 3 a 6 podem ser resolvidos em dupla, básicos de trigonometria.

como atividade de aprofundamento e revisão. O exercício 7 pode ser usado como atividade de fixação.
Os exercícios resolvidos 2 e 3 podem auxiliar na apresenta-
Use a atividade com a circunferência como referência ção do conceito de primeira determinação positiva, usada
na representação dos ângulos côngruos, e o exercício 8 como
para apresentar a Circunferência orientada e circunferência atividade de fixação; já os exercícios 9 a 13 podem ser usados
como atividade de aprofundamento e revisão.
trigonométrica aos alunos, representando os principais va-

lores de ângulos (08, 908, 1808, 2708, 3608) tanto em graus

quanto em radianos, assim como os quadrantes. Represente

também p4algruands.âDnegsutaloqsuneoqtuáeveaisc,irtcauisncfoermênoc3ia08trigop6noramdé-

ou 458 


trica possui uma orientação anti-horária para ângulos posi-

tivos e horária para ângulos negativos, solicite que os alunos
representem a localização do ângulo 2308, por exemplo.

Uma das vantagens do uso da circunferência trigo-
nométrica é a possibilidade de se representar qualquer
ângulo e observar simetrias. Uma das situações interes-

Cap’tulo 3 – Funções trigonométricas

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)

A ideia de seno, cosseno e Conhecimentos algébricos: C2 H7/H8
tangente de um número real Relações no ciclo trigonométrico/
Conhecimentos geométricos: Simetria de
Valores notáveis do seno e do figuras planas ou espaciais, Congruência
cosseno
de triângulos
Redução ao 1o quadrante

A ideia geométrica de tangente

Estudo da função seno Conhecimentos algébricos: C5 H19/H20/H21/H22/H23
Estudo da função cosseno Funções trigonométricas

Senoides

O estudo das Funções trigonométricas é de suma im- outros) podem ser descritas a partir de funções trigono-
portância para a compreensão de fenômenos comuns métricas.
em nosso cotidiano, uma vez que todas as situações
envolvendo movimentos oscilatórios (tais como relógio A leitura da imagem inicial pode servir como estímulo
de ponteiros, pêndulos, todos os tipos de ondas eletro- ao estudo do tema das noções iniciais. Também pode-se
magnéticas, vibrações em instrumentos de cordas, entre recordar as definições de tangente de um ângulo e a relação
fundamental, que serão usadas adiante.

Manual do Professor - Capítulo 3 319

A apresentação de A ideia de seno, cosseno e tangente Outras contextualizações podem ser obtidas estudando-
-se As senoides e os fenômenos periódicos, que podem ser
de um número real pode ser feita usando o círculo trigo- representados pelas senoides f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou
f(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d), com coeficientes b e c positivos,
nométrico como referência, destacando que, para um pon- imagem representada pelo intervalo [a 2 b; a 1 b] e período
2p . O exercício resolvido 5 trata de uma representação do
to qualquer pertencente ao círculo trigonométrico, haverá
c
um ângulo correspondente, e um triângulo, cuja altura movimento de clientes em um supermercado ao longo do dia.
O exercício resolvido 6 trata da pressão arterial de uma pessoa
estará relacionada ao seno desse ângulo, e a largura da variando com o tempo.

base estará relacionada ao cosseno desse ângulo. Faça uso No boxe Você sabia? temos um texto com uma dis-
cussão a respeito da formação das marés (Física) e sua
de figuras e tabelas para representar os Valores notáveis representação senoidal, podendo ser usado como avalia-
ção e revisão.
do seno e do cosseno em todos os quadrantes, destacando
Na seção Matemática e tecnologia – Gráfico de funções
os sinais de cada relação em cada um dos quadrantes. So- trigonométricas no computador, apresentamos uma suges-
tão de atividade envolvendo a construção de gráficos de
licite que cada aluno confeccione um grande círculo trigo- funções senoidais com o auxílio do programa livre GeoGe-
bra, que pode ser complementada solicitando que os alunos
nométrico representando os eixos dos senos e dos cosse- representem as funções obtidas na atividade proposta a
seguir, com o objetivo de comparar os gráficos obtidos pelo
nos, e seus respectivos valores para os ângulos notáveis programa e pelas medições dos grupos.

em todos os quadrantes. A atividade pode ser feita em A seção Outros contextos apresenta os textos Medir o
tempo – Um desafio e Relógios mecânicos. Essa é uma
dupla ou grupo, no entanto cada aluno deverá individual- oportunidade para apresentar relações entre o funciona-
mento do relógio de pêndulo e as funções trigonométricas.
mente registrar a atividade em seu caderno. Além disso, pode-se trabalhar em conjunto com o professor
de Física, com o intuito de uma melhor sistematização da
Destaque as simetrias existentes determinando o valor análise de um pêndulo simples. Assim os alunos poderão
também compreender que, para pequenas oscilações, um
do seno dos ângulos: 308, 1508, 2108 e 3308 e dos cosseno dos pêndulo simples descreve um Movimento Harmônico Sim-
ples (MHS).
ângulos 608, 1208, 2408 e 3008. Repita o procedimento para
Os exercícios 17 a 21 representam atividades de fixação
determinar o valor do seno dos ângulos p 2p , 4p e 7p individual ou em grupo. Os exercícios 22 a 25 apresentam
, 3 3 3 outras situações do cotidiano que podem ser representa-
p das a partir de senoides, em especial os exercícios 23 a 25,
6, 3 que tratam de temas de Física, tais como velocidade de
5p , 7p 11p cordas, ondas em superfícies líquidas e movimento har-
cosseno dos ângulos 6 6 e 6 , solicitando mônico simples.

que os exercícios 1 a 6 e 8 sejam resolvidos em seguida, como Atividades complementares ˆ Unidade 1

atividade de fixação. O exercício 7 pode ser usado como A atividade a seguir pode ser feita para complementar
e auxiliar o estudo das senoides feito no Capítulo 3.
atividade em dupla, para aprofundamento.
1. Atividade em grupo: Cada grupo será responsável pela
A ideia geométrica de tangente pode ser apresentada coleta de dados e confecção de uma tabela de dados e
de um gráfico, usando como referência o disco do pedal
usando ângulos em diferentes quadrantes, destacando os de uma bicicleta, cujo movimento pode ser classificado
como um movimento periódico e, consequentemente,
sinais e ângulos para os quais ela se anula ou não é defini- descrito por uma senoide.
As medidas deverão ser feitas usando uma régua (cm) e
da. O exercício 9 pode ser usado como atividade de fixação, um transferidor, para determinar a posição dos ângulos
notáveis no disco da bicicleta. Cada grupo deverá tam-
e os exercícios 10 a 12 como atividade de aprofundamento. bém medir e anotar o valor do raio do disco.

Prosseguimos com o Estudo da função seno, solicitando

aos alunos a confecção de uma tabela com os valores do
p, p
seno para os seguintes ângulos na primeira volta: 0, ,
64

p , p , 2p , 3p , 5p , p, 7p , 5p , 4p , 3p , 5p ,
32 3 4 6 643 23

7p , 11p e 2p. Em seguida, construa o gráfico da função
46
f(x) 5 sen x, destacando suas principais características, tais

como imagem, e definindo seu período e sinais. O exercício

13 pode ser usado como fixação do conceito de imagem da

função. Repita o procedimento para o Estudo da função cos-

seno, usando o exercício 14 como fixação do conceito de ima-

gem, e os exercícios 15 e 16 como aprofundamento.

Em aplicações cotidianas, as funções trigonométricas

envolvendo senos e cossenos são chamadas de Senoides.

Use como exemplo as funções f(x) 5 2 1 cos x e g(x) 5 sen 2x,

determinando f  p e g  p  . Represente graficamente
 3  2 

as funções, comparando-as com as funções sen x e cos x. Na

seção Atividades complementares à Unidade 1 a seguir,

apresentamos uma atividade em grupo que pode ser usada

para abordar as senoides.

320 Manual do Professor

Grupo 1: Medirá as alturas do pedal, a partir do centro retângulo. Sempre é possível resolver um problema de
da circunferência (pedal). trigonometria no triângulo com as definições das razões
Grupo 2: Medirá as alturas do pedal a partir do ponto trigonométricas no triângulo retângulo, porém, existem
mais baixo da circunferência (pedal). processos práticos que encurtam as soluções de alguns
Grupo 3: Medirá as larguras do pedal, a partir do centro problemas sem que haja a necessidade da existência
da circunferência (pedal). de um ângulo reto no triângulo, que é o caso da lei dos
Grupo 4: Medirá as larguras do pedal, a partir do ponto senos e da lei dos cossenos.
mais à esquerda da circunferência (pedal). Para se calcular a largura de um rio como o São Francis-
Compare os gráficos apresentados pelos grupos e dis- co, que não possui uma largura fixa, basta usar o teo-
cuta as possíveis comparações para representar as fun- dolito para fazer a medição de dois ângulos e, formando
ções obtidas a partir de funções seno e cosseno. um triângulo, a partir da lei dos senos, determinar a
Grupo 1: f(x) 5 r ? sen x, em que r representa o raio do largura.
disco do pedal. Agora, faça o que se pede.
Grupo 2: f(x) 5 r(1 1 sen x), em que r representa o raio
do disco do pedal. a) Defina topografia.
Grupo 3: f(x) 5 r ? cos x, em que r representa o raio do
disco do pedal. b) Qual é a finalidade do teodolito?
Grupo 4: f(x) 5 r(1 1 cos x), em que r representa o raio
do disco do pedal. c) Pesquise com seus colegas os tipos de teodolito mais
As atividades a seguir devem ser realizadas em grupos usados nas edificações hoje.
e complementam o assunto estudado na unidade.
d) Indique pelo menos três funções importantes do rio
2. Medindo distâncias em ambientes inacessíveis São Francisco.
A topografia, palavra que significa descrição de um lugar,
é a ciência que trata da medição e representação da su- e) Qual é a vantagem de se conhecer a lei dos senos e a
perfície terrestre. Os levantamentos topográficos permi- lei dos cossenos?
tem o conhecimento de determinada região,possibilitando
a elaboração de estudos e projetos de Engenharia (edifi- f) Suponha que a largura do rio São Francisco seja a
cação,sistemas viários,agrícolas,etc.),além de implantar média aritmética entre a maior e a menor largura
e controlar dimensionalmente as obras projetadas. Como que ele possui e que um topógrafo localizado num
estudamos no livro,um dos aparelhos característicos dos ponto P da margem esquerda fixe um ponto A na
topógrafos é o teodolito, que serve para medir precisa- margem direita através do teodolito, de modo que
mente ângulos horizontais e verticais, obtendo assim AP seja a largura média do rio. Se o topógrafo se
informações sobre terrenos onde serão construídos pré- deslocar 200 m na mesma margem esquerda e, ao
dios, casas, além de ajudar a medir distâncias de difíceis parar num ponto B, medir um ângulo PBöA de 308,
acessos, tais como a largura de um rio. observe a representação matemática dessa situação
Um rio muito importante para o Nordeste, por exemplo, e determine o seno do ângulo PÂB.
é o rio São Francisco. Para se ter ideia do tamanho e da
sua importância, ele possui 2 830 km de extensão, entre A
300 m e 800 m de largura, separa a Bahia de Pernam-
buco e Alagoas de Sergipe e passa por áreas influencia- P Dam d'Souza/Arquivo da editora
das por diferentes climas, vegetações e relevos. Suas B
utilidades são das mais variadas, por exemplo, o uso
para fonte hídrica para a geração de energia em cinco Resolu•‹o:
usinas hidrelétricas, além de, em diversos trechos, o “Ve- a) Topografia é a ciência que trata da medição e repre-
lho Chico” (como é conhecido popularmente) oferecer
condições de navegação servindo assim como transpor- sentação da superfície terrestre.
te de materiais importantes, como cimento, sal, açúcar, b) Medir precisamente ângulos horizontais e verticais.
arroz, soja, madeira, etc. c) Resposta pessoal.
Com a apresentação dos conceitos iniciais de seno e
cosseno de um ângulo agudo, que se dá em um triân- Manual do Professor - Capítulo 3 321
gulo retângulo, tem-se certa dependência da presença
do ângulo reto no triângulo, ou seja, para resolver alguns
problemas há a necessidade de que o triângulo seja

d) Fonte hídrica para a geração de energia em cinco usinas ⇒ AC2 5 1 1 4 2 4 ? 2 1  5 7 ⇒ AC 5 7
2 
hidrelétricas;transporte de vários elementos básicos de

alta importância, como açúcar, madeira, etc.; irrigação c) Pela lei dos senos, temos:

e desenvolvimento de várias cidades, como Pirapora AC 5 2r ⇒ 7 5 2r ⇒ r 5 7 5 21
sen 120o 3 33
(MG), Juazeiro (BA), Petrolina (PE) e Piranhas (AL). 2

e) A maior vantagem é a quebra da dependência da

existência do ângulo reto, ou seja, essas leis podem 4. Triângulo das Bermudas
O Triângulo das Bermudas é um dos únicos lugares do
ser aplicadas em um triângulo qualquer. mundo onde uma bússola não aponta para o norte mag-
nético. Através dos anos centenas de barcos e aviões
f) De acordo com o texto temos que os valores máximo desapareceram na área do oceano Atlântico entre Bermu-
da, Porto Rico e Fort Lauderdale. Quando ocorre um desa-
e mínimo da largura do “Velho Chico” são de 800 m parecimento as equipes de resgate realizam busca em
uma área circular com um determinado raio. Se um navio
e 300 m, então: PA 5 300 m 1 800 m = 500 m desapareceu no Triângulo das Bermudas e deseja-se rea-
2 lizar uma busca em uma região circular circunscrita ao
Triângulo, qual deverá ser a área de busca sabendo que o
Sendo a 5 PÂB, pela lei dos senos, temos: Triângulo das Bermudas é equilátero de lado 1000 km?

PA 5 PB ⇒ 500 5 200 ⇒
sen 308 sen a 1 sen a

2

⇒ 5 sen a 5 1 ⇒sen a 5 1
5

3. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência a) 1 000 000p km2 d) 2 000 000p km2
tais que AB 5 2,BC 5 1 e a medida do ângulo ABöC seja 1208.
e) 2 000 000 p km2
a) Faça uma figura representativa da situação descrita. b) 1000 000 p km2 3
3
b) Calcule a medida de AC.
c) 1000 000 p km2
c) Calcule a medida do raio da circunferência. 5

Resolução: Resolução:
a) 1 km B 2 km
Banco de imagens/ Aplicando a lei dos senos, temos:
C 120Њ Arquivo da editora
A 1 000 1 000 1 000
R sen 608 3 3
O 5 2r ⇒ 5 2r ⇒ r 5

2

b) Aplicando a lei dos cossenos, temos: Área de busca: pr2 5 1000 000 p km2
AC2 5 12 1 22 2 2 ? 1 ? 2 ? cos 1208 ⇒ 3

Resposta: alternativa b.

Unidade 2 – Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Capítulo 4 – Matrizes e determinantes

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Introdução às matrizes – –
Definição de matriz – – –
– – –
Representação genérica de uma matriz – – –
Matrizes especiais – – –
– – –
Igualdade de matrizes – – –
Adição e subtração de matrizes – – –
Multiplicação de número real por matriz – – –
– – –
Matriz transposta – – –
Multiplicação de matrizes – – –
Determinante de uma matriz –
Matriz inversa de uma matriz dada

Aplicações de matrizes

322 Manual do Professor

Uma das obras de Escher abre o capítulo, com o obje- outras situações que possam surgir. Discuta a estrutura de
tivo de levar o aluno a refletir sobre as transformações armazenamento das situações exploradas, aproveitando
geométricas no plano, realizadas matematicamente por para fazer uma Introdução às matrizes, usando como
meio de operações com matrizes. Apesar de não estar exemplos os dados disponibilizados sobre a Liga Mundial
contemplado na Matriz do Enem, o assunto do capítulo 2015 de vôlei masculino, discutindo questões do tipo:
tem extensas aplicações em nosso cotidiano, variando “Quantas vitórias teve o Brasil?”,“Quantos jogos cada equi-
desde a configuração de memórias em computadores, pe fez?”, auxiliando-os a interpretar e a obter informações
programas e previsões em redes sociais de empresas até nas tabelas fornecidas.
a determinação de probabilidades e cálculos de comissões.
O estudo de Matrizes e determinantes pode auxiliar a Uma das informações a serem obtidas com os dados
compreensão de operações algébricas e desenvolver o fornecidos nas tabelas apresentadas no livro do aluno é a
raciocínio lógico matemático. pontuação total das quatro equipes do grupo A da Liga
Mundial 2015 de vôlei masculino. Essa tabela deve ser cons-
O tema pode ser iniciado discutindo-se com os alunos truída pelos alunos, com o auxílio do professor. Observe o
situações que envolvam a distribuição ordenada de infor- modelo de tabela abaixo, já com os resultados referentes à
mações, tais como um gaveteiro ou uma estante em uma pontuação das equipes.
biblioteca, o monitor de um computador ou televisão, entre

Pontos obtidos em Pontos obtidos em Pontos obtidos em Pontos obtidos em Pontuação total
vitória por 3 3 0 ou vitória por 3 3 2 derrota por 3 3 0 ou derrota por 3 3 2 (soma de todos
3 3 1 (3 pontos cada) (2 pontos cada) 3 3 1 (0 ponto cada)
(1 ponto cada) os pontos)

Brasil 7 ? 3 5 21 2?254 0?050 3?153 21 1 4 1 0 1 3 5 28

Sérvia 5 ? 3 5 15 2?254 1?050 4?154 15 1 4 1 0 1 4 5 23

Itália 3?359 3?256 5?050 1?151 9 1 6 1 0 1 1 5 16

Austrália 1?353 1?252 10 ? 0 5 0 0?150 312101055

Em seguida, aborde o exemplo relacionando a venda devem ser correspondentes, mas o formato da matriz deve
de livros em uma editora. Para finalizar a apresentação de ser compatível, caso contrário não há comparação possível.
noções iniciais discuta com os alunos sobre o problema Complemente com o exercício resolvido 1 e proponha aos
apresentado em Quando surgiram as matrizes?, pois, além alunos a resolução dos exercícios 3 a 7 como fixação e os
do conteúdo histórico, que é muito interessante, pretende- exercícios 8 a 10 como aprofundamento e revisão.
-se direcionar os alunos à investigação, no que diz respei-
to à relação intrínseca entre matrizes e sistemas lineares. As operações de Adição e subtração de matrizes podem
Chegando à Definição de matriz, apresentando sua repre- ser explicadas usando o exemplo proposto em que se apre-
sentação matemática e descrevendo suas principais carac- senta, sob a forma de tabela, as vendas de dois eletrodo-
terísticas (número de linhas, número de colunas e elemen- mésticos efetuadas por três vendedores, em um determi-
tos da matriz). Complemente com exemplos de outras nado mês, e as mesmas vendas para o mês seguinte. Para
matrizes com formatos diferentes, por exemplo, matrizes se determinar o valor arrecadado com as vendas no bimes-
do tipo 2 3 2, 2 3 3, 1 3 3 e 3 3 1, resolvendo os exercícios tre será necessário somar os elementos das duas matrizes
1 e 2 para fixar. obtidas a partir das tabelas. Efetuando-se a subtração pode-
-se avaliar a evolução das vendas no bimestre. Esse exemplo
Prossiga apresentando a Representação genérica de também pode ser usado para definir matriz oposta de uma
uma matriz e as Matrizes especiais, tais como a matriz qua- matriz A e subtração de matrizes, solicitando que os exercícios
drada, a matriz identidade e a matriz nula, analisando os 11 e 15 sejam feitos como atividade de fixação.
exemplos de cada uma delas e destacando as diagonais
principal e secundária na matriz quadrada. A situação-problema das vendas de eletrodomésticos
também é usada como referência para se calcular a Multipli-
Apresente e discuta o conceito de Igualdade de matrizes cação de número real por matriz, quando for necessário de-
com exemplos de matrizes que podem ser iguais (duas ma- terminar o valor da comissão ganha por vendedor, presumin-
trizes 2 3 2) e matrizes que não podem ser iguais (uma matriz do-se que cada um ganha de comissão 5% sobre as vendas,
2 3 3 e outra 3 3 2) destacando que não apenas os elementos por exemplo. No caso da Matriz transposta,basta solicitar que

Manual do Professor - Capítulo 4 323

os alunos apresentem os dados das tabelas representando os Ao abordar o tópico Determinante de uma matriz,
vendedores nas colunas e não mais nas linhas. Complemente explique que ele é um número associado a matrizes qua-
com exemplos de matrizes 2 3 2, 2 3 3 e 3 3 3 e solicite que dradas que historicamente surgiu para indicar se um
os exercícios 16 a 18 sejam feitos como atividade de fixação. sistema possui uma única solução ou não, mas que tam-
Os exercícios 19 e 21 podem ser realizados em dupla, como bém possui uma série de aplicações, principalmente no
atividade de aprofundamento e avaliação. cálculo de áreas de figuras planas e condições de alinha-
mento de pontos.
A Multiplicação de matrizes é usada em casos em que
se necessita determinar, por exemplo, a pontuação total Uma vez que os determinantes estão associados às so-
de um determinado time em um campeonato, sabendo-se luções de sistemas, discuta com seus alunos as soluções das
o número de vitórias, empates e derrotas de cada time e seguintes equações:
dispondo esses dados em uma tabela. Usando a situação
apresentada no livro, os alunos serão levados a determinar a) 2x 5 8; possui uma única solução, x 5 4.
o total de pontos, sendo necessário transpor para o forma-
to de matrizes e detalhar os procedimentos para a expli- b) 2x 5 0; como no item anterior possui uma única solução,
cação. Destaque que o produto das matrizes (A ? B) será x 5 0;
possível somente nos casos nos quais A é matriz do tipo
m 3 n e B é matriz do tipo n 3 p e a matriz resultante será c) 0x 5 0; parece óbvio, mas é importante destacar que a
do tipo m 3 p. Mostre exemplos de produtos de matrizes equação possui infinitas soluções, uma vez que o produ-
1 3 3 por uma matriz 3 3 1, cujo resultado será uma matriz to de qualquer número real por zero será sempre zero.
1 3 1; de uma matriz 2 3 3 por uma matriz 3 3 2, cujo re-
sultado será uma matriz 2 3 2 e de uma matriz 3 3 2 por d) 0x 5 5; nesse caso a equação não possui solução, uma
uma matriz 2 3 2, cujo resultado será uma matriz 3 3 2. vez que o produto de um número real por zero é sempre
Destaque para o exercício resolvido 5, que aborda os siste- zero, nunca será 5.
mas de envio e recepção de mensagens codificadas, apre- Na discussão, certifique-se de que os alunos tenham
sentando assim uma conexão com a comunicação
eletrônica e a criptografia. Esta conexão poderá ser traba- notado que, para a solução ser única, o coeficiente de x não
lhada durante o capítulo. Solicite que os exercícios 22 a 25 deve ser nulo.
e 28 a 30 sejam resolvidos como atividade de fixação e os
exercícios 26 e 27 como referência para discutir as potên- Apresente o determinante de ordem 2, que representa a
cias de matrizes e produtos notáveis. quantidade de soluções de um sistema 2 3 2, usando como
referência a solução do sistema genérico e compare com
Alguns trabalhos podem ser propostos para estimular o cálculo a partir da matriz. Em seguida, apresente alguns
o estudo do tema, como atividade em grupo de avaliação. exemplos simples, destacando as nomenclaturas associadas
Por exemplo: e que o determinante pode ser tanto positivo quanto negativo.
Proposta 1: Trabalho envolvendo as disciplinas de Educação
Física, Biologia e Matemática com o tema: Matrizes e Dia- Devemos representar o determinante de uma matriz A
betes, tomando como referência o artigo “Tratamento de por det A ou pelos elementos da matriz A envoltos por | |. O
diabetes: uma aplicação de matrizes”, de Cristiani dos San- uso de ( ) ou [ ] fica reservado para as matrizes.
tos Campos, disponível em: <www.gestaoescolar.diaadia.
pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_cristiani_ O determinante de ordem 3 pode ser apresentado usan-
santos_campos.pdf>. Acesso em: 4 fev. 2016. do diretamente a forma prática, ou regra de Sarrus, seguin-
Proposta 2: Trabalho envolvendo matrizes e rotas aéreas, do as instruções do livro-texto, e usando os exercícios 31 e
baseado na atividade interativa“Aviões e matrizes”, disponível 32 como atividade de fixação.
no site do Matemática Multimídia da Unicamp: <http://
m3.ime.unicamp.br/recursos/1221>. Acesso em: 4 fev. 2016. Use o exercício resolvido 6 para discutir a solução de
Proposta 3: Lista extra de exercícios com aplicações diversas, equações envolvendo determinantes e os exercícios 35 e 36
baseada no artigo “A modelagem matemática no ensino de como aprofundamento. O exercício 33 pode ser usado como
matrizes e sistemas lineares”, de Letícia Menezes Panciera atividade de revisão e aprofundamento, aproveitando para
e Dr. Márcio Violante Ferreira, disponível em: <www.mtm. demonstrar algumas propriedades e não propriedades,
ufsc.br/~daniel/7105/A%20MODELAGEM%20MATEM% comparando os itens d e e; g e h; i e j. Já o exercício 37 re-
C3%81TICA%20NO%20ENSINO%20DE%20MATRIZES.pdf>. presenta situações em que o determinante resulta em zero,
Acesso em: 4 fev. 2016. podendo ser usadas como fonte de discussão das proprie-
dades que zeram determinantes.
324 Manual do Professor
O Teorema de Binet também pode ser discutido, fazen-
do uma apresentação simples com duas matrizes A e B,
ambas 2 3 2, mostrando que det (A ? B) 5 (det A) ? (det B).
Os exercícios 34 e 38 são para fixação e aplicação no cálcu-
lo de determinantes de potências de matrizes e o exercício
39, para calcular o determinante da matriz identidade I.

Você pode finalizar definindo a Matriz inversa de uma
matriz dada, a partir do produto A21 ? A 5 A ? A21 5 1.

Tome como referência a definição de inverso multiplica- o produto das duas matrizes é a matriz I2. Os exercícios 40 e
tivo de um número, definindo o produto a ? a21 5 1, tomando 41 podem ser usados como atividade de fixação, o exercício
o cuidado de destacar que o inverso de 2 é, por exemplo, 1 , 43 pode ser usado como exemplo de como se determina uma
matriz inversa, e os exercícios 43 e 44 podem ser usados como
2 atividade de aprofundamento e revisão.
mas para determinar a matriz inversa de uma matriz não
basta inverter os elementos, temos que considerar a defini- Em Aplicações de matrizes é apresentada a mudança de
ção de inverso, ou seja, o produto de dois inversos é igual a 1. posição de figuras (translação, reflexão, rotação e escala)
Use como exemplo as matrizes A e A21 definidas no livro, por meio das matrizes e um modo de criptografar textos.
provando que o determinante de A é diferente de zero e que

Cap’tulo 5 – Sistemas lineares

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)

O método chinês

Sistemas lineares 2 3 2 Conhecimentos algébricos: Equações/ C5 H19/H20/H21/H22/H23
Equações lineares Conhecimentos algébricos/geométricos:

Sistema de equações

Sistemas de equações lineares

A abertura do capítulo coloca em evidência o Sudoku, utilize o exercício 1 como ferramenta para revisar os métodos
um desafio de lógica baseado na alocação de números de resolução de sistemas lineares.
organizados na forma de matriz. Consequentemente, uma
matriz ou uma equação matricial podem ser vistas como Destaque que discutiremos no capítulo somente as
um sistema de equações. No capítulo, pretende-se cons- Equações lineares, citando os exemplos apresentados no
truir uma estreita relação entre matrizes e sistemas de livro-texto. Apresente também as equações que não são
equações. consideradas equações lineares e o porquê de não serem.

O método chinês para resolução de sistemas de equa- Discuta as possíveis soluções das equações apresenta-
ções lineares é uma excelente oportunidade para se traba- das nos itens a e b do início da página 97. Destaque a im-
lhar história da Matemática de forma interativa, o mesmo portância da interpretação das informações contidas no par
possibilita o desenvolvimento de outras atividades. Após o ordenado. No caso do par (4, 3) temos, obrigatoriamente,
estudo do Capítulo 5 volte ao problema dos 3 tipos de milho, x 5 4 e y 53, e nunca o contrário. Aproveite para discutir o
apresentado no início do Capítulo 4. significado geométrico do par ordenado (no caso do exem-
plo, os pares ordenados são números reais que representam
O estudo da resolução de Sistemas lineares – problemas a solução de cada equação linear, geometricamente repre-
com duas ou mais variáveis – sempre esteve entre os desa- sentadas por retas). No caso do item b as ternas ordenadas
fios mais intrigantes e relacionados a situações do cotidia- representam pontos de um plano no espaço.
no, e tem sido objeto de estudo dos matemáticos ocidentais
desde o século XVII com as importantes contribuições de Os exercícios 2 e 3 são atividades de fixação, com o
Leibniz e Cayley relacionando sistemas lineares a determi- objetivo de habilitar a verificação de soluções de uma
nantes e suas representações matriciais. equação linear. Os exercícios de 3 a 6 são para aprofunda-
mento do conteúdo.
Divida a turma em duplas e apresente o tópico Sistemas
lineares 2 3 2, propondo que eles resolvam os itens apre- Os Sistemas de equações lineares podem ser apresen-
sentados e que sugiram resoluções. Supondo que o tema tados também a partir dos exemplos sugeridos no livro-
tenha sido estudado no Ensino Fundamental, a intenção é -texto, discutindo, em seguida, a verificação de possíveis
fazer com que os alunos recordem, discutam e reativem a soluções para os outros sistemas apresentados. Destaque
memória dos procedimentos necessários para obter a so- que só poderemos considerar como solução possível o con-
lução de sistemas, tais como método da adição, da substi- junto de valores que satisfizer a verificação de todas as
tuição, comparação; possibilitando ao professor identificar equações do sistema linear, usando o exercício 7 como ati-
potenciais dificuldades. Caso observe alguma dificuldade, vidade de fixação.

Manual do Professor - Capítulo 5 325

Trabalhamos a Classificação dos sistemas lineares usan- associados a sistemas impossíveis ou a sistemas possíveis
do exemplos de sistemas do tipo 2 3 2, uma vez que os e indeterminados. Ressalte que o uso do determinante por
alunos possuem familiaridade com esse tipo de problema. si só não é suficiente para diferenciar os sistemas impos-
Além disso, faremos uso da interpretação geométrica de síveis e os possíveis e indeterminados. Use o exercício 10
cada situação apresentada, com o objetivo de destacar as como exemplo de aplicação do cálculo do determinante e
aplicações e trabalhar com as habilidades relacionadas à o exercício 11 como atividade de fixação.
Geometria e à construção de gráficos com os alunos.
O Escalonamento de sistemas lineares é um método
O exemplo proposto no item a do livro-texto apresen- que proporciona uma classificação eficaz dos sistemas li-
ta um sistema possível e determinado, aquele que possui neares, bem como a determinação de seu conjunto solução.
uma única solução, ou seja, um conjunto solução unitário. Inicie apresentando o sistema linear escalonado sugerido
No nosso exemplo a interpretação geométrica equivale a no livro, proponha aos alunos que determinem sua solução.
determinar o ponto de intersecção das duas retas repre- Permita a discussão para determinar o melhor procedi-
sentadas pelas equações lineares do sistema. No item b o mento a seguir, estimulando-os a notar o que tornou o
sistema é impossível e representado geometricamente por sistema de simples solução. Apresente então os outros
duas retas paralelas, já no item c o sistema é possível e sistemas escalonados propostos no livro como exemplo
indeterminado, representado geometricamente por retas para Classificação e resolução de sistemas escalonados,
coincidentes. O assunto pode ser abordado solicitando que usando-os como referência para classificá-los, destacando
os alunos, em dupla, representem graficamente as retas, que a observação da última linha é suficiente para deter-
usando régua e malha quadriculada, discutindo os resul- minar sua classificação.
tados obtidos e construindo um resumo das discussões
apresentadas. A atividade também poderá ser realizada Sistemas possíveis e determinados apresentam na últi-
usando programas de construção gráfica (tais como o pro- ma linha uma equação linear com apenas uma incógnita,
grama de uso livre GeoGebra), caso seja viável. Finalize a com solução determinada, como é o caso do sistema apre-
atividade com a resolução dos exercícios 8 e 9, como ati- sentado no item a. Para determinar o conjunto solução,
vidade de fixação. basta resolvê-lo de baixo para cima, substituindo os valores
de cada incógnita determinada.
No capítulo anterior foi apresentada a relação entre
determinantes e sistemas, e discutiremos agora com mais O sistema será impossível quando a última equação li-
precisão a relação entre matrizes, sistemas lineares e de- near for impossível de ser resolvida, como é o caso do siste-
terminantes, usando como exemplo os sistemas estudados ma apresentado no item b.
no item Classificação dos sistemas lineares, representando-
-os matricialmente e solicitando que os alunos calculem o O sistema será possível e indeterminado quando o nú-
determinante da matriz dos coeficientes e discutindo os mero de equações for menor que o número de incógnitas,
resultados obtidos. Os resultados obtidos são apresentados ou quando a última equação linear for indeterminada (o
a seguir: que acontece, por exemplo, no caso da equação 0x 5 0).

a) 3x − y = 10 ⇒  3 −1  ?  x  =  10  O conjunto solução, nesse caso, estará invariavelmente
2x + 5y = 1  2 5   y   1  ligado a uma ou mais incógnitas livres, ou seja, a determi-
nação das variáveis depende necessariamente de outras. Os
3 −1 = 3 ? 5 − ( 21 ) ? 2 = 15 1 2 = 17 0 exemplos apresentados nos itens c e d representam duas
2 5 situações em que o sistema é possível e indeterminado, no
primeiro caso com grau de indeterminação 1 (uma incógni-
b) x − 2y = 5 ⇒  1 −2  ?  x  =  5  ta livre) e com grau de indeterminação 2 (duas incógnitas
2x − 4y = 2  2 −4   y   2  livres) no segundo caso.

1 −2 = 1 ? ( − 4 ) − ( − 2 ) ? 2 = −4 + 4 = 0 Os exercícios 12 e 13 devem ser usados como atividades
2 −4 de fixação, para que os alunos classifiquem e determinem
soluções de sistemas escalonados.
c) 2x −6y = 8 ⇒  2 −6  ?  x  =  8 
3x −9y = 12  3 −9   y   12  O procedimento usado para escalonar sistemas engloba
a ideia de Sistemas lineares equivalentes, bastando apre-
2 −6 = 2 ? (−9) − (−6) ? 3 = −18 + 18 = 0 sentar os sistemas equivalentes sugeridos no livro e a de-
3 −9 nominação de sistemas equivalentes àqueles sistemas que
apresentam o mesmo conjunto solução. O conceito pode
Dessa forma, pode-se observar que determinantes di- ser usado para determinar coeficientes desconhecidos em
ferentes de zero estão associados a sistemas possíveis e sistemas equivalentes, como apresentado no exercício re-
determinados, e que determinantes iguais a zero estão solvido 2 e nos exercícios 14 e 15.

326 Manual do Professor

A aplicação mais comum de sistemas equivalentes é o cional e custo de uma dieta (conexão com Biologia) e pode
Processo para escalonamento de um sistema linear, em que ser usada como referência para a execução de um trabalho
usamos as operações básicas e procedimentos adotados no avaliativo. Sugerimos como material auxiliar o vídeo: Co-
método da adição (usado para determinar a solução de sis- mendo números, disponível no site Matemática Multimídia
temas lineares no Ensino Fundamental) com o objetivo de da Unicamp: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1073>.
sucessivamente reduzir o número de incógnitas nas equa- Acesso em: 5 fev. 2016.
ções lineares de um sistema. Use os exemplos propostos no
livro para apresentar o processo, discutir os sistemas equi- As questões apresentadas na seção Pensando no Enem
valentes obtidos e determinar seu conjunto solução. Com- abordam algumas aplicações de matrizes tais como a utili-
plemente a explicação com o exercício resolvido 3, no qual zação da matriz GUT, que é uma ferramenta utilizada pelas
se questiona a distância percorrida por três alunos para empresas no intuito de priorizar os problemas, e a questão
chegar à escola. O problema apresentado pode ser modela- 2, que trata de movimentos de figuras em um plano por
do na forma de um sistema linear. meio de operações com as matrizes.

Você pode usar os exercícios 16 a 19 como atividade de Na seção Vestibulares de Norte a Sul são apresentadas
fixação. Os exercícios 20 a 27 apresentam diversas situações diversas situações que podem ser usadas como atividades
contextualizadas, em que é necessário interpretar o enun- de avaliação e aprofundamento. Destacamos o exercício 2,
ciado, para posteriormente escrever o sistema e avaliar o que trata de uma atividade agrícola, e o exercício 9, que
melhor procedimento para a resolução do problema, e po- aborda o gerenciamento do tráfego aéreo.
dem ser usados como atividade de aprofundamento ou em
duplas, como avaliação. Alguns, em especial, apresentam Atividades complementares à Unidade 2
aplicações interessantes, tais como o exercício 22, que apre-
senta uma discussão relacionada ao fluxo de trânsito em As atividades a seguir envolvem os conteúdos estu-
uma área urbana de mão única; no exercício 25 se discute dados nesta unidade e podem ser abordadas como mini-
o fluxo de atendimento em caixas bancários; o exercício 23 projetos.
apresenta uma equação química balanceada (se necessário,
peça auxílio ao professor de Química) e o exercício 27, que 1. Embalagens, linhas aéreas, as matrizes e o seu ciclo de
discute a quantidade de nutrientes em determinados ali- trabalho
mentos em uma determinada receita. O exercício 26 apre- As matrizes são tabelas nas quais dispomos elementos
senta um sistema para o qual os alunos deverão criar uma (números, letras, palavras, etc.) em linhas horizontais e
situação que possa ser representada por ele, e os exercícios em colunas verticais. Em um mundo globalizado como
28 e 29 podem ser usados como exemplos de situações de o nosso, em que a quantidade de informações cresce
aprofundamento, pois discutem a solução de sistemas ho- rapidamente, podemos usar as matrizes para armazenar
mogêneos (sistemas nos quais todas as equações lineares e exibir, de modo bem organizado e de fácil leitura, mui-
são iguais a zero). tas informações. Se no dia a dia observarmos mais aten-
tamente ao nosso redor verificaremos diversas situa-
Você pode finalizar o capítulo apresentando a Discussão ções cujas matrizes se fazem presentes. Por exemplo,
de um sistema linear 2 3 2 e n 3 n, com n . 2, a partir de nos rótulos de muitos produtos que compramos no
parâmetros propostos pelo problema, tomando como refe- supermercado nos quais estão descritas as composições
rência a classificação dos sistemas a partir do determinan- químicas dos produtos; nos boletins escolares, em que
te. Use o exemplo apresentado no livro e determine os pos- as notas das diversas disciplinas e o número de faltas
síveis valores de cada parâmetro de acordo com o por bimestre são dispostos ao longo do boletim (que
determinante, considerando inicialmente a condição para nada mais é que uma tabela, ou seja, uma matriz); nos
que ele seja um sistema possível e determinado, ou seja, jornais e revistas em que diariamente há dezenas de
que o determinante seja não nulo. Em seguida, leve em tabelas com índices de reajustes de preços e de desen-
consideração o determinante nulo associado aos sistemas volvimento de diversos países, números de estudantes
impossíveis e possíveis e indeterminados, avalie o parâme- que tiveram acesso ao ensino superior ao longo de de-
tro restante, diferenciando as duas classificações. Os exer- terminados anos, entre muitas outras situações. Enfim,
cícios resolvidos 4 a 7 podem ser usados como exemplo, e estamos cercados por situações em que as matrizes
os exercícios 30 a 33, como atividade de fixação, em dupla. estão presentes.
Uma situação que evidencia o poder de síntese da lin-
Como aprofundamento, sugerimos a leitura da seção guagem das matrizes é o tráfego aéreo existente entre
Outros contextos que apresenta o tema Programação linear determinadas cidades. A figura a seguir ilustra parte
e a otimização de funções abordando a otimização nutri- desse tráfego aéreo entre algumas cidades brasileiras:

Manual do Professor - Capítulo 5 327

São Luís Fortaleza {aij =1 , quando o vértice i está ligado ao vértice j
0, quando o vértice i não está ligadoao vértice j

Teresina Natal Consideremos algumas capitais do Brasil como os vér-
João Pessoa tices e as rotas aéreas que ligam os principais aeropor-
tos dessas capitais, operados por certa empresa aérea,
como as arestas, conforme o grafo abaixo:

Recife São Luís (9) Fortaleza (8)

Maceió Teresina (7) Natal (1)

Aracaju João Pessoa (2)

Salvador Recife (3)
Maceió (4)
Se entre duas cidades da figura apresentada há uma Aracaju (5)
linha ligando-as, significa que na prática existe voo Salvador (6)
direto operado por certa companhia aérea de uma
para outra e vice-versa. Assim, por exemplo, se A partir desse grafo podemos montar a seguinte matriz
constatarmos na figura uma linha de reta ligando as de adjacência:
cidades de Natal e Recife, significa que essa empresa
aérea tem voo direto de Natal para Recife e vice-versa.  0 0 1 0 0 1 0 1 0
Já as cidades de Natal e Maceió não são conectadas,  0 0 0 0 0 0 0 0 0
o que quer dizer que não existe voo direto de Natal  1 0 0 0 0 1 0 0 0
para Maceió pela companhia considerada, nem de  0 0 0 0 0 0 0 0 0
Maceió para Natal. 0 0
Podemos usar a linguagem das matrizes para resumir A =  0 0 0 0 0 0 0 0000
todas as informações que podem ser obtidas a partir da  0 1 0 0 0 0 1
figura em questão. Para ilustrar esse processo conside-  0 0 0 0 0 0 0 0
remos um grafo, que, grosso modo, é um conjunto de  0 0 0 0 0 1 0 0
pontos chamados vértices, que podem ou não ser liga- 1 0 0 0 0 0 0 0
dos por meio de segmentos chamados de arestas, con- 0
forme ilustra a figura abaixo:
que resume todas as informações contidas na figura
Banco de imagens/Arquivo da editora apresentada, pois, quando um elemento aij dessa matriz
é igual a 1, significa que há voo direto, operado por esta
Quando enumeramos os vértices de um grafo, podemos empresa, da cidade i para a cidade j e vice-versa. Em um
associar a ele uma matriz chamada de matriz de adja- estudo mais aprofundado, demonstra-se que as potên-
c•ncia do grafo (que de certa forma carrega muitas cias A2, A3, ... carregam outras informações interessantes
informações sobre ele). Para um grafo com n vértices sobre o grafo original.
(pontos), a matriz de adjacência é uma matriz n 3 n Agora, faça o que se pede:
cujos elementos aij são definidos pela lei:
a) Procure algumas matrizes presentes em embalagens
328 Manual do Professor de alguns produtos que você costuma usar ou con-
sumir no seu dia a dia. Transcreva essas matrizes e
identifique as suas ordens (seus tamanhos, isto é,
quantidade de linhas e de colunas).

b) O mapa a seguir ilustra as rotas efetuadas por outra
companhia aérea brasileira entre diversas cidades do
nosso país e de alguns países vizinhos. Enumere as
cidades que aparecem no mapa, e a partir daí monte
um grafo que represente essas rotas aéreas e finalize
montando a matriz de adjacência desse grafo.

50º O Banco de imagens/Arquivo da editora que os dois alunos já fizeram trabalhos juntos. Os
Brasília
Cuiabá alunos não podem esquecer de considerar que cada

La Paz

Belo pessoa sempre faz trabalho consigo mesma. Em
Horizonte
Campo seguida, deve-se montar a matriz de adjacência des-
Grande Vitória

Trópico de Capricórnio Assunção Foz do Rio de Janeiro se grafo, seguindo a lei:

São Paulo 1, quando o aluno i já fez trabalhos

Iguaçu Curitiba

Corrientes Posadas Florianópolis como aluno j
0, quando o aluno i não
OCEANO Córdoba Porto Alegre aij 5 fez trabalhos
PACÍFICO Santa Fé
OCEANO
Santiago
ATLÂNTICO como aluno j

Buenos Montevidéu d) Uma propriedade interessante das potências natu-
Aires rais da matriz de adjacência de um grafo é que, por
exemplo, na matriz A2 (quadrado da matriz de adja-
ESCALA cência), cada um dos seus elementos indicam o nú-
0 670 1340 km mero de caminhos de comprimento 2 (isto é, uma
rota aérea com uma escala ligando duas determi-
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. nadas cidades). Já na matriz A3, cada um dos seus
6. ed. Rio de Janeiro, 2012. p. 41. elementos indica o número de caminhos de com-
primento 3 (isto é, uma rota aérea com duas escalas
c) O modelo que descrevemos para as rotas aéreas entre ligando duas determinadas cidades) ligando duas
algumas cidades também pode ser usado para des- cidades e assim sucessivamente.
crever, por exemplo, as relações entre alunos de uma
turma. Imaginando os alunos da sua turma como os e) Na matriz de adjacência de um grafo sempre temos
pontos e que dois alunos são ligados por um traço, se
eles já fizeram trabalhos juntos, desenhe um grafo que aij 5 aji, pois se i está ligado com j, então j está ligado
descreva essa relação e monte a sua matriz de adja- com i ou i e j não são ligados entre si. Assim:
cência. Neste modelo considere que cada pessoa faz
trabalho consigo mesma e em termos do grafo dese- aij 5 aji 5 1 ou aij 2 aji 5 1
nhe para cada uma das pessoas uma curva iniciando Assim, em uma matriz de adjacência sempre teremos
nela e voltando para ela.
aij 5 aji, i, j, que é justamente a condição para que
A 5 At, ou seja, para que a matriz A seja simétrica.

d) Pesquise outras características sobre o grafo que po- 2. Qual é o valor da minha conta? Use sistemas lineares!
dem ser obtidas a partir das potências naturais da Geralmente quando deparamos com sistemas de equa-
matriz de adjacência de um grafo. ções lineares, mesmo em situações práticas, sempre
preferimos que o número de equações e o número de
e) Explique por que a matriz de adjacência de um grafo incógnitas que queremos determinar sejam os mesmos.
é uma matriz simétrica. Esse é um hábito tão comum e tão cultivado na escola
que sempre que estamos diante de um problema, mes-
Resolução: mo prático, cuja solução passe por um sistema de equa-
ções lineares, sempre nos esforçamos ao máximo para
a) Podem ser encontradas tabelas que apresentam a ficarmos com uma mesma quantidade de equações e
composição química em pacotes de alimentos em incógnitas. Mas em algumas situações isso não é neces-
geral, produtos de limpeza, entre outros. sário, por exemplo na situação a seguir.
Imagine que três amigos, João, José e Maria, realizaram
b) Enumere as cidades a partir de uma cidade qualquer, uma compra em um determinado supermercado e que
entre as existentes no mapa, e a partir daí monte uma as suas compras foram as seguintes:
matriz n 3 n (em que n é o número de cidades) na João: 1 lanche, 2 maçãs e 3 sucos
qual os seus elementos aij são dados por: José: 2 lanches, 3 maçãs e 1 suco
Maria: 2 lanches, 5 maçãs e 11 sucos
1, quando a cidade i está ligada à cidade Sabendo que todos compraram produtos iguais e que os
 j por uma linha aérea valores pagos por João e por José foram respectivamente
aij 5 0, quando a cidade i não está ligada à cidade R$ 13,00 e R$ 16,80, qual foi o valor pago por Maria?
Sendo l, m e s os preços individuais dos lanches, maçãs
 j por uma linha aérea e sucos, respectivamente, segue:
João → 1l 1 2m 1 3s 5 13
A matriz que cada aluno irá obter depende dos nú- José → 2l 1 3m 1 1s 5 16,80
meros que ele atribuir inicialmente a cada cidade.

c) De posse da relação de todos os alunos da sua turma,
cada aluno deve ser representado por um ponto,
numerando-os e em seguida ligando os pontos em

Manual do Professor - Capítulo 5 329

Maria → 2l 1 5m 1 11s 5 ? b) Que condições devem satisfazer as quantidades de
lanches, maçãs e sucos compradas por Maria para
Nesse caso temos um sistema com duas equações e três que possamos encontrar o total gasto por ela?

{incógnitas: l 1 2m 1 3s 5 13 .
2l 1 3m 1 s 5 16,80
c) Escolha três entre os seus colegas de turma para si-
Evidentemente não temos como achar algebricamente mular uma situação como essa em uma lanchonete,
ou seja, pesquisem os preços de três ou mais produtos
os valores de l, m e s individualmente. Então, como pode- e simulem a compra desses produtos. Escolha dois
entre os três amigos para relatar as quantidades e
mos obter o valor de 2l + 5m + 11s? Nesse caso, podemos quanto gastariam na compra dos respectivos produtos.
A partir dessas informações, tente descobrir quanto
tentar “combinar” as equações do sistema para obter a gastaria a terceira pessoa, sabendo apenas das quan-
tidades de produtos que ela comprou. Discuta com
combinação. seus colegas como você conseguiu descobrir o valor
gasto pela terceira pessoa ou explique a eles porque
Para isso, multiplicamos a primeira equação por a e a não é possível descobrir esse valor, se for o caso.

segunda equação por b:

al 1 2am 1 3as 5 13a
2bl 1 3bm 1 bs 5 16,80b

Adicionando as duas equações acima, obtemos: d) É possível fazer este procedimento com mais de três
(a 1 2b)l 1 (2a 1 3b)m 1 (3a 1 b)s 5 13a 1 16,80b pessoas?
Mas, para obtermos o valor da conta de Maria, devemos
calcular 2l + 5m + 11s. Assim, igualando os respectivos Resolução:
coeficientes de l, m e s obtemos: a) Não. Nem sempre conseguiremos encontrar o gasto

2aa112b3b5525 ⇒ a 5 4 e b 5 21 referente às compras de Maria. Na verdade só conse-
3a 1 b 5 11 guiremos encontrar o gasto referente às compras de
Maria quando as quantidades de lanches,maçãs e sucos
Nesse último sistema escolhemos duas das três equa- compradas são tais que o sistema: 2aa112b3b55l m
ções (as duas primeiras, por exemplo), resolvemos o
sistema formado por estas duas equações e verificamos 3a 1 b 5 s
se os valores encontrados para a e b também satisfazem tenha solução. Assim, por exemplo, se l 5 2, m 5 5 e
a terceira equação. s 510 o sistema acima não teria solução.
Assim, substituindo-se estes valores a 5 4 e b 5 21 na
equação:(a 1 2b)l 1 (2a 1 3b)m 1 (3a 1 b)s 5 13a 1 16,80b b) Como dito no item anterior, para que possamos en-
Obtemos:
(4 1 2(21))l 1 (2 ? 4 1 3 ? (21))m 1 (3 ? 4 1 (21))s 5 contrar o gasto de Maria na compra de lanches, ma-
5 13 ? 4 1 16,80 ? (21) ⇒ 2l 1 5m 1 11s 5 35,20
Assim, o valor pago por Maria foi de R$ 35,20. çãs e sucos é preciso que estes números permitam
Agora, faça o que se pede:
que o sistema 2aa112b3b55l m admita solução.
a) Na situação apresentada, quaisquer que fossem as 3a 1 b 5 s
quantidades de lanches, maçãs e sucos compradas por
Maria,nós poderíamos determinar o valor gasto por ela? c) Resposta pessoal.

d) Sim, basta que a expressão que se queira encontrar
possa ser obtida a partir das equações dadas por um
procedimento análogo ao descrito no texto.

Unidade 3 – Geometria plana e espacial

Capítulo 6 – Polígonos inscritos e áreas

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)

Polígonos regulares inscritos Conhecimentos geométricos: Características C2 H7/H8

na circunferência das figuras geométricas planas, Circunferência

Áreas: medidas de superfícies Conhecimentos geométricos: Grandezas, C2/C3 H7/H8/H10/H12/H13/H14
Unidades de medida, Áreas

330 Manual do Professor

Neste capítulo aprofundaremos alguns aspectos da Geo- drado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, losan-
metria plana com o intuito de preparar os alunos para o go e hexágono regular), discutindo com os alunos as fórmu-
estudo da Geometria espacial. las usadas para calcular a área de cada uma delas. No caso
específico do triângulo, destaque as diferentes opções de
A imagem de abertura do capítulo visa instigar os alu- cálculo, dependendo das informações contidas na figura
nos. Incentive-os a desenvolver estratégias para comparar (base e altura, ângulo e lados adjacentes, perímetro). Fina-
as áreas. Essa situação será retomada posteriormente e lize apresentando o cálculo da área de uma região limitada
ajudará na compreensão dos conceitos a serem estudados. por um polígono regular, utilizada em situações em que o
apótema é explicitado. O exercício resolvido 6 é um exemplo
Antes de abordar o tópico Polígonos regulares inscritos de situação em que se faz necessária a determinação de
na circunferência você pode fazer com os alunos uma lista áreas. Os exercícios 13 a 22 podem ser usados como ativida-
com todos os polígonos que eles lembrarem, destacando as de de fixação e os exercícios 23 a 30 como atividade de apro-
características de cada um deles. Posteriormente, eles deverão fundamento ou avaliação.
classificar esses polígonos em regulares ou não. Aproveite
para mostrar que todas as figuras planas regulares possuem Apresente a Área do círculo e a Área do setor circular
uma circunferência que tangencia seus vértices, definindo por meio dos exercícios 31 e 32 como atividade de fixação,
também o apótema (segmento com extremidades no centro e os exercícios 33 a 39 como atividade de aprofundamen-
da circunferência circunscrita e no ponto médio do lado do to (estes podem ser feitos em duplas).
polígono regular). Peça aos alunos que identifiquem os apó-
temas nas figuras regulares que eles citaram anteriormente. Em A área do círculo e o número p é apresentado o pro-
blema 50 do papiro de Rhind, que envolve o cálculo da área
Você pode apresentar o Cálculo da medida do lado e do de um campo circular, o método de resolução utilizado no
apótema de um polígono regular em função do raio da cir- antigo Egito, se aplicado à obtenção da área de outros cír-
cunferência para o quadrado, o hexágono regular e o triân- culos, não confere a mesma precisão do exemplo apresen-
gulo equilátero, resolvendo os exercícios 1 a 4 como ativida- tado. No mesmo texto é trabalhado como se deu a busca
de de fixação. por aproximações cada vez melhores do número p. O exer-
cício 40 é um exemplo em que se deve efetuar o Cálculo
Uma vez que os polígonos regulares estão associados à aproximado de áreas.
circunferência, é importante recordar o cálculo do compri-
mento da circunferência e do comprimento do arco, fazen- Para discutir a Razão entre áreas de polígonos semelhan-
do os exercícios 5 a 7 e 11 como atividade de fixação e os tes, apresente o enunciado do exercício resolvido 9 e per-
exercícios 8 a 10 e 12 como atividade de aprofundamento gunte aos alunos qual seria a solução. Direcione a discussão
ou avaliação. apresentando desenhos das figuras semelhantes, fazendo
com que eles determinem a resolução em conjunto, desta-
Inicie uma discussão sobre a área das regiões desmata- cando que a razão de semelhança k aparece ao quadrado
das que aparecem na imagem de abertura do capítulo, fa- no caso do cálculo de áreas e, ao cubo, no caso de proporções
zendo comparações com essas regiões e figuras geométri- entre volumes.
cas. Discuta também sobre como é possível medir a área
superficial de um lago. Para isso, utilize a fotografia do lago Complemente com os exercícios resolvidos 10 e 11, em
Caracaranã para introduzir o tópico Áreas: medidas de que são apresentadas outras situações envolvendo propor-
superfícies, apresentando a ideia intuitiva de área e a região ção entre áreas, usando os exercícios 41 a 49 como atividade
quadrada unitária como referência de medida. Represente de fixação.
regiões limitadas pelas figuras geométricas citadas (qua-

Cap’tulo 7 – Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012) ––
Geometria de posição no plano
–
Posições relativas: ponto e reta;
ponto e plano – ––

Posições relativas de pontos no espaço – ––

Posições relativas de duas retas distintas Conhecimentos geométricos: Posições de retas C2 H7/H8
no espaço

Manual do Professor - Capítulo 7 331

Determinação de um plano – ––
Posições relativas de dois planos distintos
– ––
no espaço
Posições relativas de uma reta e um plano – ––
– ––
Paralelismo no espaço – ––
Perpendicularismo no espaço – ––
– ––
Projeção ortogonal
Distâncias

Banco de imagens/O estudo da Geometria espacial de posição: uma abor-ou não, coplanares ou não), usando os exercícios 1 e 2 como
Arquivo da editoradagem intuitiva tem como objetivo ajudar a desenvolveratividade de fixação. Complemente solicitando aos alunos
as habilidades relacionadas à Geometria plana e espacial, que identifiquem pontos nas condições estudadas nas ima-
reduzindo as dificuldades encontradas pelos alunos na gens apresentadas por eles no início da aula.
observação e identificação de elementos e estruturas
tridimensionais. Você pode apresentar então a imagem do paralelepípedo
proposto no livro-texto para apresentar as Posições relativas
Inicie o estudo conversando com os alunos a respeito da de duas retas distintas no espaço, solicitando aos alunos que
imagem que abre o capítulo. Trata-se de uma construção identifiquem as arestas e as faces da figura. Discuta as dife-
que surpreende pelo enorme vão livre de concreto e que renças entre aresta e reta, face e plano, definindo para o mo-
apresenta forma geométrica espacial facilmente identificá- delo de estudo que arestas representarão retas, faces que re-
vel pelos alunos. Solicite aos alunos que pesquisem e apre- presentam planos, e vértices que representam pontos no
sentem outras imagens de diferentes construções. A partir espaço tridimensional. Dessa forma, pode-se estudar as posi-
dessas imagens discuta a importância da Geometria na ções relativas de retas distintas no espaço, definindo as retas
Arquitetura e promova uma discussão sobre posições rela- coplanares, paralelas, concorrentes e reversas, solicitando aos
tivas de pontos e retas no mesmo plano, destacando a: alunos que identifiquem cada uma delas no paralelepípedo
• relação entre ponto e reta: ponto pertence ou não perten- usado como referência. Construa um quadro-resumo ao final
da discussão. Proponha o exercício 3 como atividade de fixação.
ce a uma reta;
• relação entre pontos: pontos colineares ou não colineares; Discuta com seus alunos as condições necessárias para
• relação entre retas de um plano: retas paralelas, concor- a Determinação de um plano, apresentadas no quadro-re-
sumo do livro e propondo o exercício 4 como referência.
rentes, coincidentes e perpendiculares, destacando que a Novamente, use a figura do paralelepípedo para apresentar
classificação é válida apenas para posições relativas entre as Posições relativas de dois planos distintos no espaço (pa-
pontos e retas no mesmo plano, usando como exemplo a ralelos distintos, secantes ou concorrentes e coincidentes)
figura sugerida a seguir. e aplique os exercícios 5 a 7 como atividade de fixação.

Para analisar situações envolvendo figuras tridimensio- Para apresentar as Posições relativas de uma reta e um
nais será necessário estudar outras posições relativas, tais plano também use o paralelepípedo como referência e repre-
como Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano usan- sente nele as situações em que a reta é paralela, está contida
do as figuras sugeridas no livro como referência para a dis- e intersecta o plano de referência. Solicite aos alunos que
cussão das relações de pertinência acima. Em seguida, dis- refaçam as condições apresentadas usando o livro e uma
cuta as Posições relativas de pontos no espaço (colineares caneta como referências de plano e reta, respectivamente.
Proponha os exercícios 8 e 9 como atividade de fixação e os
332 Manual do Professor exercícios 10 e 11 como atividades de aprofundamento e ava-
liação (neste caso, podem ser aplicados em dupla).

Retome as situações que representam Paralelismo no
espaço, selecionando as condições de paralelismo entre re-
tas, planos e reta e plano, usando o exercício 12 como ativi-
dade de fixação. Em seguida, apresente as condições de
Perpendicularismo no espaço, solicitando aos alunos que

identifiquem as situações apresentadas usando uma caixa mentos de medida (trena, régua, esquadro, fita métrica,
de sapatos. Discuta as características de uma reta e plano barbante, entre outros). Divida a sala em grupos e use a
perpendiculares, comparando com construções, tais como quadra (ou até mesmo a sala de aula) como ambiente onde
prédios comuns e a Torre de Pisa na Itália. Analise com os os grupos deverão destacar pontos, retas e planos (oriente
alunos o exercício resolvido 1, que aborda o caminhar de e auxilie os alunos sempre que necessário) e determinar as
uma formiga por um prisma. Os exercícios 13 e 14 são ativi- distâncias entre:
dades de fixação. Repita o procedimento para discutir as • dois pontos;
condições para se obter planos perpendiculares, usando a • um ponto e uma reta;
abertura de livros e notebooks como exemplos. O exercício • um ponto e um plano;
15 é uma atividade de fixação. • duas retas distintas e paralelas;
• reta e plano (quando a reta é paralela ao plano e não está
Na seção Outros contextos são apresentados O univer-
so mágico das dimensões e as Figuras em 4D, como uma contida nele);
excelente fonte de conexão com um tema relativamente • dois planos distintos e paralelos;
desconhecido e abstrato, porém muito interessante. Para • duas retas reversas.
o bom desenvolvimento das atividades e explanação sobre
o tema é de essencial importância estudar as sugestões A atividade deverá ser registrada pelo grupo fazendo a
do Veja mais sobre o assunto e também consultar outras representação gráfica do local usado para as medições.Ela pode
fontes de pesquisa. ser usada como avaliação, em conjunto com o exercício 18.

Apresente o conceito de Projeção ortogonal usando as Na seção Um pouco mais... apresentamos como assun-
sombras como exemplo, discutindo as condições necessárias to opcional O método dedutivo: algumas demonstrações,
para comparar uma sombra a uma projeção ortogonal e em que são apresentados alguns postulados e teoremas
resolvendo os exercícios 16 e 17 como atividade de fixação. discutidos intuitivamente ao longo do capítulo. O conteú-
do dessa seção pode ser usado como atividade de apro-
Sugerimos uma atividade na quadra para discutir o tema fundamento.
Distâncias. Solicite aos alunos que tragam diversos instru-

Cap’tulo 8 – Poliedros: prismas e pirâmides

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Matrizes de Competência Habilidade
Referência para o Enem 2012) C2
H7/H8/H9
Poliedros C2/C3
C2 H7/H8/H10/H12/
Relação de Euler Conhecimentos geométricos: H13/H14
Poliedros regulares Características das figuras geométricas espaciais H7/H8/H9

Prismas

Ideia intuitiva de volume Conhecimentos geométricos:
Princípio de Cavalieri Grandezas, Unidades de medida, Volume
Volume do prisma

Pirâmides Conhecimentos geométricos:
Características das figuras geométricas espaciais

Dando continuidade ao desenvolvimento das habilida- Iniciamos apresentando algumas formas caracterizadas
des relacionadas à observação e à identificação de elemen- como Poliedros, destacando suas principais características e
tos e estruturas tridimensionais, iniciaremos o estudo dos identificando seus vértices,faces e arestas,usando como exem-
Poliedros: prismas e pirâmides, observando figuras presen- plo uma folha de papel. Em seguida,resolva o exercício 1 como
tes em nosso cotidiano, desde a estrutura de prédios, como atividade de fixação. Para definir Poliedro convexo e poliedro
os que aparecem na imagem que abre o capítulo, até os mais não convexo,convém discutir inicialmente a definição de região
diversos tipos de embalagens e objetos. convexa e região não convexa,extrapolando a mesma para os

Manual do Professor - Capítulo 8 333

poliedros, fazendo uso de desenhos para auxiliar na compre- de fixação, e o exercício 13 pode ser resolvido pelo professor,
ensão, e resolvendo o exercício 2 como atividade de fixação. como exemplo de aprofundamento.
Destaque que os estudos dos poliedros se concentrarão nos
poliedros convexos, sendo desnecessária a classificação a par- Na sequência, determine a área da superfície de um
tir de então. prisma, distinguindo a área da superfície lateral da área da
superfície total, usando as planificações como ferramenta
O trabalho com a Relação de Euler ajuda a desenvolver auxiliar na identificação das superfícies, e propondo os exer-
a abstração e a estabelecer correlações e padrões. Ele pode cícios resolvidos 3 e 4 como exemplo. Os exercícios 14 a 16
ser feito organizando em uma tabela o número de faces, podem ser usados como atividade de fixação, e os exercícios
vértices e arestas de vários poliedros e adicionando uma 17 a 26 podem ser resolvidos como aprofundamento ou ati-
coluna extra para o cálculo da relação de Euler. Em seguida, vidade avaliativa.
trabalhe os exercícios resolvidos, em especial o exercício
resolvido 2, que apresenta um dos poliedros descobertos Você pode apresentar a Ideia intuitiva de volume usan-
por Arquimedes e que inspirou a fabricação da bola de fu- do o cubo como referência e extrapolando para a determi-
tebol. Os exercícios 3 a 5 podem ser usados como atividade nação do volume de um paralelepípedo. Sugerimos como
de fixação e os exercícios 6 a 8 como atividade de aprofun- atividade o uso das peças do material dourado (ou de pe-
damento ou avaliação. quenos cubos, se houver disponível) para a construção de
um paralelepípedo, fazendo a contagem dos cubos para a
Em Uma aplicação da relação de Euler está descrita uma determinação do volume total, relacionando a contagem
valiosa contribuição histórica e uma oportunidade de cone- com as dimensões da figura construída. Analisem os exer-
xão com a Cartografia. cícios resolvidos de 5 a 7, destacando o exercício resolvido 7,
que aborda uma situação envolvendo o tempo que uma
A discussão sobre Poliedros regulares pode ser iniciada torneira leva para completar um reservatório de leite, que
recordando o conceito de polígonos regulares e extrapo- já tem uma parte preenchida, após a torneira ficar ligada
lando para as figuras espaciais. Apresente os poliedros por 8 minutos. Complemente com os exercícios 27 a 31 como
regulares convexos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro atividade de fixação, e os exercícios 32 a 34 como aprofun-
e icosaedro) avaliando as planificações e as estruturas tri- damento e avaliação.
dimensionais resultantes. Sugerimos que seja feita uma
atividade em grupo em que os alunos deverão, a partir das Em seguida vem a determinação da fórmula do volume
planificações dos poliedros regulares convexos, construir do prisma (obtida a partir do Princípio de Cavalieri), anali-
as figuras e resolver o exercício 9, completando o quadro sando-se os exercícios resolvidos 8 e 9 como exemplo, e os
a partir das construções realizadas. Aproveite para apre- exercícios 35 a 37 como atividade de fixação. Os exercícios
sentar as diferenças existentes entre os poliedros regulares 38 a 44 são atividades de aprofundamento, destacando-se
e os poliedros de Platão, abordando o texto da seção Lei- o exercício 44, em que se pede para determinar o volume
tura, Platão e seus poliedros, disponível ao final do capítulo, de água necessário para encher uma piscina com formato
e o texto Poliedros arquimedianos, no final do tópico Pris- de prisma cujas bases estão representadas no desenho
mas; este, além de apresentar um panorama histórico em como as faces laterais. É um bom exemplo de situação onde
torno de Arquimedes, traz a representação gráfica dos 13 se deve observar cuidadosamente a figura para identificar
poliedros arquimedianos. os elementos-chave do problema.

Uma vez compreendidos os conceitos iniciais de Polie- As Pirâmides são poliedros com características diferen-
dros, podemos apresentar os Prismas, destacando entre suas tes dos prismas, por não terem faces paralelas nem faces
características a presença da dupla de faces paralelas e laterais retangulares, e sim uma base e um vértice, forman-
opostas. Apresente e discuta as principais características, do faces laterais triangulares. Novamente, a visualização
similaridades e diferenças entre os paralelepípedos e pris- é extremamente importante; portanto, construa com seus
mas retos, orientando os alunos na construção dos prismas alunos pirâmides com as mais diversas bases, não esque-
retos mais comuns (base triangular, base pentagonal, base cendo de destacar as pirâmides regulares e o tetraedro
hexagonal, paralelepípedo retângulo e cubo) identificando regular, identificando nas planificações e no objeto
os formatos das faces laterais e bases, e determinando as tridimensional os elementos relacionados à base e suas
diagonais (no paralelepípedo retângulo e cubo). Levando-se faces laterais. Uma vez que pode ocorrer confusão na iden-
em consideração que os alunos podem ter dificuldade no tificação das alturas, use o objeto tridimensional para
aprendizado do assunto por conta da falta de visão espacial, identificar e diferenciar a altura da pirâmide do apótema
a construção das figuras a partir da planificação pode ser da mesma (altura das faces laterais). O exercício resolvido
uma ferramenta extremamente eficaz que auxilia tanto na 10 também pode ajudar na identificação dos elementos
melhoria da percepção espacial quanto na identificação das da pirâmide e no cálculo das áreas lateral e total. Aplique
faces. Os exercícios 10 a 12 devem ser usados como atividade os exercícios 45 a 47 como atividade de fixação, os exercícios

334 Manual do Professor

48 a 50 como atividade para aprofundamento e o exercício d) Vamos demonstrar essa conjectura? Só a demonstra-
51 como atividade em dupla. ção valida uma conjectura, por mais que estejamos
convencidos de que ela é verdadeira. Dica: lembre-se
Você pode apresentar então o cálculo do Volume da de que um polígono de n lados tem n vértices.
pirâmide fazendo a demonstração sugerida no livro se
achar necessário e usando os exercícios resolvidos 11 a 13 Resolução:
como exemplo, seguidos dos exercícios 52 a 57 como ativi- a)
dade de fixação.
prisma lados da base vértices arestas faces
Para introdução do tema Tronco de pirâmide, aborde o
exercício resolvido 14, que trabalha com secções transver- triangular 3 6 95
sais e proporção, servindo como referência para os exercí-
cios 58 a 60. quadrangular 4 8 12 6

Use como referência as figuras geradas a partir da secção pentagonal 5 10 15 7
da pirâmide para iniciar a discussão sobre tronco de pirâmi-
de, apresentando os principais elementos dessa figura, bem b) Os alunos devem perceber que o número de vértices
como os procedimentos para determinar seu volume, usan- é o dobro do número de lados da base, o número de
do os exercícios resolvidos 15 e 16 como exemplo e os exer- arestas é o triplo do número de lados da base e o nú-
cícios 61 a 64 como atividade de fixação. mero de faces é 2 unidades maior do que o número
de lados da base.
Atividades complementares à Unidade 3
c) Se os alunos chegaram ao esperado: funciona, pois o
As atividades a seguir complementam os assuntos es- prisma hexagonal tem 6 lados na base, 12 vértices, 18
tudados na unidade e representam um momento de apro- arestas e 8 faces.
fundamento, de interdisciplinaridade e de contextualização.
d) Se n é o número de lados da base, cada base tem n
Esta primeira atividade deve ser realizada em trios e visa vértices. Como são duas as bases do prisma, o prisma
levar os alunos a conjecturarem. tem 2n vértices. Assim, V 5 2n. Cada base tem n lados.
1. Considerem os prismas de base triangular, quadrangular No prisma, esses lados são arestas da base, então te-
mos 2n arestas da base. Além disso, cada um dos n
e pentagonal. Cada aluno do trio deve escolher um dos vértices de uma base se conecta a um vértice da outra
poliedros e contar o número de vértices, de arestas e de base por meio de uma aresta lateral. Com isso, temos
faces. Despois disso, façam o que se pede em cada item mais n arestas, totalizando 3n arestas. Assim, A 5 3n.
a seguir. Conhecendo-se V e A, podemos demonstrar F a partir
a) Juntem os resultados e preencham uma única tabela, da relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2 ⇒ 2n 2 3n 1 F 5 2 ⇒
⇒F2n52⇒F5n12
relacionando os valores obtidos com o número de
lados da base de cada prisma. Sugestão de tabela: 2. Monumentos da Antiguidade e seus reis

prisma lados da base vértices arestas faces No decorrer dos séculos muitas foram as construções er-
guidas pelo ser humano. Os egípcios e os maias deixaram
b) Observe a tabela e tentem relacionar os dados obtidos construções que venceram o tempo e até hoje nos espan-
(vértices, arestas e faces) com o número de lados da tam pela sua beleza, regularidade e complexidade de cons-
base, conjecturando regras que possam ser válidas trução. As pirâmides egípcias são um belo exemplo disso.
para qualquer prisma. Queremos três conjecturas: Através das várias dinastias que existiram, as construções
uma relacionando o número de vértices com o núme- foram se modificando e ficando cada vez mais belas e
ro de lados da base, outra relacionando o número de elaboradas.
arestas com o número de lados da base e a última
relacionando o número de faces com o número de Vejamos como evoluíram as pirâmides,que eram os túmulos
lados da base. dos faraós.Vale ressaltar que alguns egiptólogos discordam
das datas exatas de início e término das dinastias.
c) Será que estamos no caminho certo? Testem as con-
jecturas com o prisma hexagonal. Se forem válidas, é A partir do início da I dinastia (c. 2920 a 2770 a.C.), os
um ótimo sinal. Se falharem, voltem à etapa anterior faraós eram enterrados em estruturas formadas por câ-
e elaborem novas conjecturas. maras funerárias abaixo da superfície da terra, sobrepostas

Manual do Professor - Capítulo 8 335

por enormes estruturas de“adobe”, que significa“tijolo cru”. Ao longo da IV dinastia (c. 2575 a 2465 a. C.), o poder dos
Atualmente são conhecidas por “mastabas”. Veja a foto- reis aumentou, o que ficou bem claro pelas obras erguidas
grafia a seguir. durante aquele período, no qual a construção de pirâmi-
des atingiu seu apogeu. O ponto máximo do desenvolvi-
Jon Bodsworth/Wikimedia Commons mento das obras ou construções pode ser observado na
Grande Pirâmide ou pirâmide de Quéops. Essa estrutura,
que domina o planalto de Gizé, um pouco ao norte de
Mênfis, a oeste do Nilo, permanece como uma das mais
notáveis construções jamais erguidas pelo homem. Na
fotografia abaixo vemos a pirâmide de Miquerinos, a de
Quéfren e a de Quéops.

Mastaba de Shepseskaf. André Klaassen/Shutterstock/Glow Images
No subterrâneo das tumbas, ou túmulos, existiam muitas
câmaras destinadas aos deuses funerários não tão im-LatitudeStock/Alamy/Glow Images Pirâmides de Gizé.

portantes quanto o faraó. Esses túmulos eram muito A quantidade de pedra talhada que foi usada para erguer
procurados por ladrões, fato que levou à evolução de sua a pirâmide de Quéops não pode ser computada com
estrutura. exatidão, pois o centro de seu interior consiste de um
Sobre as tumbas dos que reinaram durante a II dinastia núcleo de rochas cujo tamanho não pode ser determi-
(c. 2770 a 2649 a.C.), foi erguido o templo funerário de nado com precisão. Todavia, estima-se que quando pron-
Wenis (c. 2356 a 2323 a.C.), que reinou durante a V dinastia, ta e intacta devia ser formada por dois milhões e 300
a menos de duas tumbas dos dois últimos reis daquela mil blocos de pedra, cada um pesando em média duas
dinastia, Peribsen e Khasekhemwy, que estão enterrados toneladas e meia, sendo que os maiores deles pesavam
em Saqqara. 15 toneladas. O peso total do monumento tem sido ava-
Durante a III dinastia (c. 2649 a 2575 a.C.) houve o faraó liado em 5 273 834 toneladas. Sua parte interna foi ergui-
Djoser (c. 2630 a 2611 a.C.) e seu arquiteto Imhotep,que cons- da com a rocha de qualidade inferior que se encontra
truíram um notável monumento, a pirâmide de degraus de normalmente naquelas vizinhanças e todo seu revesti-
Saqqara, que podemos observar na fotografia a seguir, cer- mento foi feito com a pedra calcária branca de excelente
cada por muros que reservam muitas construções,como dois qualidade da região de Tura, localidade perto do Cairo. A
cemitérios com vários túmulos importantes do que chama- altura original da pirâmide de Quéops era de 146 metros
mos Período Dinástico Primitivo (c. 2920 a 2575 a.C.). e atualmente mede 137 metros, pois nove metros de seu
topo se perderam com o tempo.
Pirâmide de degraus.
336 Manual do Professor Os lados da base da pirâmide medem aproximadamente
230 metros cada um e os ângulos entre eles são retos,
quase perfeitos. As quatro faces da pirâmide se inclinam
em um ângulo de cerca de 51852’ em relação ao solo.

Durante a V dinastia (c. 2465 a 2323 a.C.) as pirâmides d) V0 5 1 ? 2302 ? 146 5 2 574 446 m3
continuaram a ser erguidas, algumas em Abusir (Abusir é 3
o nome dado a um sítio arqueológico do Egito nas redon-
dezas da capital, Cairo) e outras em Saqqara, mas todas V1 5 1 ? 2302 ? 137 5 2 415 766 m3
muito menores do que as grandes estruturas de Gizé, po- 3
rém, elas foram grandemente qualificadas, decoradas e
muito bem pintadas, e ainda mais, com variações. 2 574 446 2 2 415 766 5 158 680 m3

Fonte: O fascínio do antigo Egito. Disponível em: e) Sendo , a medida do lado, temos:
<www.fascinioegito.sh06.com/faranome.htm>.
2 574 446 5 1 ? ,2 ? 143 ⇒ , 5 232,4 m
Acesso em: 10 maio 2016. 3

Agora que você leu um pouco mais sobre o antigo f) Do texto obtemos que a altura atual é de 137 m e o
Egito, faça o que se pede com a ajuda de dois ou três
colegas: lado mede 230 m. Podemos, então, calcular o apótema
a) De acordo com o texto, façam uma relação das datas
lateral (g) da pirâmide. Veja a figura abaixo:
das cinco primeiras dinastias.
b) Quantos anos durou cada uma das cinco primeiras V Banco de imagens/Arquivo da editora
V
dinastias?
c) Façam um gráfico de setores representando o tempo hg 137 g
115 M
de duração de cada uma das cinco primeiras dinas- D C M B
tias. Os valores podem ser arredondados e, se for o 230 Om O
caso, usem uma calculadora.
d) Percebam no texto que a altura original e a atual são A
diferentes. Em seguida, calculem a diferença de vo-
lume que isso significa. g2 5 1372 1 1152 ⇒ g 5 178,9
e) Mostrem que, ao saber que a pirâmide de Quéfren
tem 143 metros de altura, quantos metros de lado ela Arredondando esse valor para 179 m, a área lateral será:
deveria ter para que os volumes dela e da pirâmide
original de Quéops sejam iguais? 4 ? 230 ? 179 5 82 340
f) Se vocês tivessem de cobrir a pirâmide de Quéops 2
com uma lona, qual deveria ser a área dessa lona?
Assim, a área da lona deveria ser de 82 340 m2.
Resoluções:
a) I. 2920 a 2770 a.C. A complementação desta unidade também pode ser fei-

II. 2770 a 2649 a.C. ta por meio de uma atividade prática: a construção de um
III. 2649 a 2575 a.C.
IV. 2575 a 2465 a.C. sólido geométrico. Esse tipo de atividade ajuda a tornar a aula
V. 2465 a 2323 a.C.
b) I. 150 anos; II. l21 anos; III. 74 anos; IV. 110 anos e mais atraente, diversificada, ilustrada e, consequentemente,
V. 142 anos
c) I. 25%; II. 20%; III. 13,5%; IV. 18% e V. 23,5% mais produtiva.

A construção de um material concreto, junto com a sua

utilização, tem por objetivo cristalizar o conteúdo aprendido

em sala de aula.Tem também como ponto importante tornar

a Matemática mais significativa para o aluno, contextuali-

zando e relacionando a teoria com a prática.

Um programa que pode ser utilizado como apoio é o Poly

Pro <www.peda.com/polypro/>, que fornece a opção de usar

a versão demonstração sem efetuar o registro. Esse programa

apresenta mais de uma centena de sólidos geométricos e em

todos eles é possível rotacionar, planificar, mudar cores, etc.

A utilização do programa é bem simples e intuitiva.

II I Banco de imagens/Arquivo da editora
III V Reprodução/Poly Pro/Pedagoguery Software Inc.

IV

Manual do Professor - Capítulo 8 337

Ilustrações: Reprodução/Poly Pro/Pedagoguery Software Inc.

Os alunos devem formar duplas e escolherem um dos
poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro) para construírem. Essa construção
pode ser feita em casa utilizando-se os mais diversos ma-
teriais: cartolinas, canudos, palitos de churrasco, madeira,
etc. Deixe que os alunos tenham liberdade para usar a
imaginação na realização do trabalho. Os poliedros regu-
lares são mais fáceis de serem construídos, pois são for-
mados por polígonos regulares, mas se achar interessante
pode ser solicitado aos alunos à construção de outros só-
lidos além dos regulares. O programa Poly Pro apresenta
outras opções.

Na data estipulada para entrega, peça a cada dupla que
faça uma breve explanação sobre o sólido escolhido: falar
sobre o material utilizado, o número de faces, número de
vértices, número de arestas, mostrar a veracidade da relação
de Euler (no caso de poliedros), etc.

Unidade 4 – Análise combinatória e probabilidade

Capítulo 9 – Análise combinatória

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Princípio da multiplicação ou C1 H2/H3/H4/H5
princípio fundamental da contagem Conhecimentos numéricos:
Princípios de contagem – –
Permutações simples e fatorial de – –
um número – – –
–
Permutações com repetição

Arranjos simples

Combinações simples

Problemas que envolvem os vários
tipos de agrupamentos

Números binomiais

Triângulo de Pascal ou triângulo
aritmético

Binômio de Newton –

338 Manual do Professor

Para abrir um cadeado, basta conhecer a combinação, e dos exercícios 22 a 24 como atividade de aprofundamen-
que pode ser de letras, de números, de caracteres, ou, to e avaliação.
mesmo, de números, letras e caracteres. A segurança do
cadeado está no fato de existir, em meio a inúmeras pos- Destaque que as situações trabalhadas até então en-
sibilidades, apenas uma combinação que permite abri-lo. volvem problemas em que há “espaço” para todos os en-
Quantificar essas possibilidades e outros eventos, como volvidos, caracterizadas pelas permutações. Nas situações
possibilidades de cardápio em um restaurante, rotas aé- seguintes, uma das características é o fato de não haver
reas, sorteios possíveis em uma determinada loteria, en- mais “espaço” para todos os elementos do problema. Use
tre outros, é tarefa que pode ser executada com o auxílio o exercício resolvido 8 como exemplo para explicar os Ar-
da Análise combinatória, objeto de estudo do capítulo e ranjos simples, montando a árvore de possiblidades e usan-
que permite ao aluno aprimorar a percepção de seme- do o Princípio Fundamental da Contagem. Apresente tam-
lhanças e diferenças entre diversas situações-problema, bém a situação proposta no exercício resolvido 9,
auxiliando na interpretação de textos e desenvolvendo o apresentando então a fórmula para o cálculo dos arranjos
raciocínio lógico matemático. simples e usando os exercícios 25 e 26 como atividade de
fixação. Analise com os alunos os exercícios resolvidos de
Você pode iniciar o trabalho com esse assunto conver- 10 a 17, pois serão importantes na resolução dos exercícios
sando com os alunos sobre diferentes técnicas de conta- de 27 a 37.
gem, apresente o exemplo sugerido na abertura do capí-
tulo e, em seguida, a situação-problema envolvendo as A situação envolvendo formação de grupos de pes-
possíveis rotas para uma viagem de Recife a Porto Alegre, soas visa exemplificar os problemas envolvendo Combi-
passando por São Paulo, introduzindo assim o Princípio da nações simples, destacando as semelhanças e diferenças
multiplicação ou princípio fundamental da contagem e entre as situações envolvendo arranjos estudadas ante-
apresentando a árvore de possibilidades. Complemente riormente, apresentando a fórmula e a propriedade da
com os exemplos sobre o lançamento da moeda, cardápio igualdade de combinações complementares. O exercício
do restaurante e formação de números com vários alga- resolvido 18 é referência para o exercício 38; o exercício
rismos, resolvendo os exercícios 1 a 6 como atividade de resolvido 21 apresenta uma discussão interessante a res-
fixação e exercícios 7 a 9 como atividade de aprofunda- peito do número de apertos de mão dados em um grupo
mento e avaliação em dupla. e, juntamente com os exercícios resolvidos 19 a 25, apre-
sentam situações diversas que devem ser apresentadas e
Aproveite os exercícios resolvidos 1 e 2 para discutir as discutidas para que os alunos percebam, avaliem e anali-
situações envolvendo Permutações simples e fatorial de um sem as principais características das combinações. Em
número, destaque o significado da palavra permutar (trocar), seguida devem resolver os exercícios 39 a 46 para fixação
que está diretamente associado à situação avaliada. É im- do conteúdo. Os exercícios 47 a 49 podem ser usados como
portante que o aluno perceba que enunciados diferentes aprofundamento e os exercícios 50 a 53 como atividade
podem propor situações similares; sempre que a situação avaliativa em dupla.
envolver trocas de posição, teremos um problema relacio-
nado a permutações. O momento também é propício para Com o objetivo de auxiliar os alunos na interpretação
introduzir o conceito de Fatorial de um número e fixar o dos problemas e identificação das situações propostas,
conteúdo com os exercícios 10 e 11. apresentamos Problemas que envolvem os vários tipos de
agrupamentos. Os exercícios resolvidos 26 a 29 podem ser
Uma aplicação comum relacionada a permutações e abordados como revisão e destaque das principais carac-
fatoriais é o cálculo da quantidade de anagramas de uma terísticas de cada situação estudada, e os exercícios 54 a 65
palavra, que pode ser exemplificado usando os exercícios devem ser usados como atividade de revisão e aprofunda-
resolvidos 3 e 5, seguidos da resolução dos exercícios 12 a 17 mento em dupla.
como atividade de fixação e dos exercícios 18 e 19, em dupla,
como atividade de aprofundamento e avaliação. Um dos pontos altos do capítulo são as abordagens
históricas apresentadas em Alguns problemas de contagem
Uma sequência natural do tema é trabalhar as Permu- e As 7 pontes de Königsberg, pois dessas pode-se originar
tações com repetição, usando os anagramas com letras diversas atividades a serem realizadas em classe ou como
iguais como exemplo, tal como nos exercícios resolvidos 6 pesquisas externas, relacionadas a sutras hindus, hexagra-
e 7, seguidos dos exercícios 20 e 21 como atividade de fixação mas chineses e teoria dos grafos.

Manual do Professor - Capítulo 9 339

O conceito de Números binomiais pode ser iniciado Destaque que a principal aplicação dos números bino-
por meio de exemplos para que os alunos percebam a miais e do Triângulo de Pascal se apresenta na determinação
propriedade da igualdade quando suas classes forem dos coeficientes do Binômio de Newton, estudados no En-
iguais e binômios complementares, bem como as condi- sino Fundamental em sua forma mais simples, com ex-
ções para que eles sejam unitários ou iguais ao numera- poentes de baixo índice. No entanto, em casos em que o
dor, usando o exercício 66 como atividade de fixação. expoente é alto, o uso dos números binomiais é bastante
Analise o exercício resolvido 30, que envolve equação eficaz. Apresente exemplos de situações simples, que podem
binomial, para auxiliá-los na resolução dos exercícios ser desenvolvidas por meio de produtos notáveis ou pro-
67 e 68. priedade distributiva, e exemplos mais complexos, avalian-
do a necessidade de uma ferramenta mais ágil e mostrando
Apresente o Triângulo de Pascal ou triângulo aritmé- o uso dos números binomiais nesses casos, usando os exer-
tico por meio do texto da seção Leitura, O triângulo arit- cícios 77 e 78 como atividade de fixação. Por fim seria bas-
mético, aproveitando para discutir as propriedades dos tante proveitoso reservar uma aula para uma abordagem
números binomiais e observar as propriedades do triân- minuciosa do texto O problema de Lucas, uma oportunida-
gulo, destacando-se a relação de Stifel e a soma dos ele- de de emergir na história da Matemática e também de con-
mentos da linha, resolvendo os exercícios 69 a 72. O exer- solidar a aplicação do cálculo binomial, que é utilizado na
cício resolvido 31 pode ser usado como referência para os resolução desse interessante problema histórico.
exercícios 73 a 76.

Cap’tulo 10 – Probabilidade

Tópicos Objetos de conhecimento (associados às Competência Habilidade
Matrizes de Referência para o Enem 2012)

Fenômenos aleatórios

Espaço amostral e evento

Eventos certo, impossível Conhecimentos de probabilidade: Noções de C7 H28/H29/H30
e mutuamente exclusivos probabilidade

Cálculo de probabilidades

Definição teórica de probabilidade
e consequências

O método binomial – ––

Aplicações de probabilidade Conhecimentos de probabilidade: Noções C7 H28/H29/H30
à Genética

As probabilidades estão inseridas em nosso cotidiano de conjuntos, operações com frações e porcentagens, até
de uma maneira tão sutil que nem percebemos. Aparecem análise combinatória.
em áreas como meteorologia, comunicação (pesquisa de
mercado e desenvolvimento de produtos), loterias, risco A imagem dos dados na abertura do capítulo tem o ob-
bancário (usado na determinação de taxas de juros em jetivo de levar o aluno a fixar o conceito de aleatoriedade,
empréstimos), seguradoras (o risco do segurado influencia que é o mesmo que incerteza, indeterminação, ou seja, não
no valor do seguro), entre outras. É uma área muito com- se pode determinar com certeza o resultado do lançamen-
plexa e interessante, pois integra conceitos desde teoria to de alguns dados honestos, entretanto, podemos prever e
estimar as chances envolvidas no evento.
340 Manual do Professor

Em Fenômenos aleatórios apresentamos exemplos de entre as disciplinas. Os exercícios resolvidos 27 a 32 apre-
situações em que o cálculo da porcentagem se faz presente. sentam diversos exemplos de problemas de Genética,
cuja resolução necessita de conhecimentos de probabili-
Destaque e discuta as diferenças entre Espaço amostral dade, servindo de referência para os exercícios 43 a
e evento, usando o lançamento de um dado e o sorteio de 46, que podem ser resolvidos em dupla, como atividade
um número ímpar como exemplo, diferenciando do espaço de avaliação.
amostral obtido no sorteio de dois dados distinguíveis.
Prossiga apresentando os conceitos de Eventos certo, im- As questões apresentadas na seção Pensando no
possível e mutuamente exclusivos solicitando aos alunos Enem representam algumas aplicações da análise com-
que apresentem exemplos de situações relacionadas à dis- binatória e probabilidade relacionadas ao uso da telefo-
cussão proposta, aproveitando para recordar operações com nia celular e das redes sociais. Deve-se dar atenção ao
conjuntos (união, intersecção e complemento). comentário para o professor na página do livro, onde é
sugerida a realização de um trabalho em grupo.
O Cálculo de probabilidades pode ser introduzido dis-
cutindo-se o lançamento de uma moeda e, posteriormente, Na seção Outros contextos são abordadas algumas
o lançamento de um dado. Procure apresentar diversas per- situações interessantes envolvendo Probabilidade. Apesar
guntas relacionando as situações, apresentando também de o assunto ainda estar no contexto da Matemática, o
problemas em que o uso de diagramas e teoria de conjuntos objetivo é mostrar que em praticamente qualquer situação
faz parte da resolução. Caso os alunos apresentem alguma cotidiana podemos enxergar conceitos probabilísticos.
dificuldade no cálculo, recorde os procedimentos necessá- Desde o nascimento de um filho, ou fazer aniversário no
rios para a transformação de frações em porcentagens e mesmo dia que alguma pessoa da classe, ou ao realizar
proponha os exercícios 1 a 9 como atividade de fixação, e os uma jogada em um jogo com peças, cartas e/ou dados. Na
exercícios 10 a 12 como atividade de aprofundamento e ava- seção merece destaque o texto As impossibilidades, que
liação, em duplas. retrata a história de uma jogada quase improvável, viven-
ciada por uma senhora e três senhores durante uma par-
A discussão da Definição teórica de probabilidade e tida de Whist.
consequências é um ponto importante para o desenvolvi-
mento de habilidades relacionadas à abstração, interpre- Uma interessante atividade de aprofundamento e
tação da linguagem matemática para uma posterior ade- avaliação pode ser feita usando as Leituras: A Matemáti-
quação a situações do cotidiano. Os exercícios resolvidos ca da sorte e Um pouco mais sobre probabilidades, esti-
8 a 13 apresentam situações que auxiliam na resolução dos mulando os alunos a uma discussão e análise histórica
exercícios 13 a 22, que podem ser resolvidos em dupla, de- sobre o assunto.
vido ao grau de complexidade e teor das discussões. Os
exercícios resolvidos 14 a 18 podem ser usados na exem- Na seção Vestibulares de Norte a Sul são apresentadas
plificação de casos em que a probabilidade condicional questões de vestibulares relacionadas aos temas estudados,
está envolvida, auxiliando na resolução dos exercícios 23 com destaque para a questão 1, em que se discute tendên-
a 26, que pode ser feita em dupla; e os exercícios resolvidos cia alimentar, a questão 5, que trata do vírus Ebola, e a ques-
19 a 23 apresentam situações relacionadas a eventos in- tão 7, que aborda regras para transplante de órgão. As de-
dependentes, importantes para os exercícios 27 a 37, cuja mais questões pedem aplicações conceituais.
resolução poderá ser feita em duplas, como atividade de
avaliação e aprofundamento. Atividades complementares à Unidade 4

Situações mais complexas, que envolvem, por exemplo, Esta unidade pode ser complementada com atividades
a probabilidade de se ter vários filhos de um determinado em grupo que podem ser abordadas como miniprojetos.
sexo, podem ser resolvidas usando O método binomial; os Veja algumas sugestões a seguir, sendo que as atividades
exercícios resolvidos 24 a 26 apresentam interessantes 1 e 2 abordam Matemática e Ciências Sociais (Acessibilida-
exemplos de aplicações desse método, auxiliando na reso- de/Inclusão).
lução dos problemas 38 a 42, que devem ser resolvidos em
dupla, como atividade de aprofundamento. 1. Braille
O Braille é um processo de escrita em relevo para leitura
As Aplicações de probabilidade à Genética represen- tátil, inventado por Louis Braille (1809-1852) e compõe-se
tam uma das sinergias mais interessantes entre Mate- de diversos sinais formados por pontos a partir de um
mática e Biologia, sendo essencial a discussão e interação conjunto matricial. Com o Braille representam-se os al-
fabetos latino, grego, hebraico e outros, bem como os

Manual do Professor - Capítulo 10 341

alfabetos e outros processos de escrita das línguas orien- passassem a ser representados utilizando-se uma
tais; escreve-se o texto vocabular, Matemática, Química, matriz 3 3 3, quantos seriam os caracteres que apre-
Informática, Música, etc. sentam 3 pontos destacados?
A escrita é feita com pautas e punções e também em má- e) Escreva seu nome em Braille.
quinas datilográficas especiais. Veja o alfabeto Braille: f) Nas Paralimpíadas de 2012, em Londres, o Brasil
tornou-se tricampeão de futebol de cinco. O futebol
AB CD E F GH I J K LM de cinco consiste em uma adaptação do futebol de
salão para deficientes visuais. Os jogadores podem
NO P Q R S T U VWX Y Z ter deficiência visual total ou parcial, em que os úl-
timos utilizam vendas. A bola apresenta um dispo-
Louis Braille, nascido na França em 1809, aos 3 anos sitivo que emite um som e ajuda na sua localização.
de idade tornou-se deficiente visual ao ferir-se com um Um técnico tem à disposição 10 jogadores, sendo 2
instrumento de trabalho do seu pai, que produzia selas. goleiros (que enxergam normalmente), 3 totalmen-
Aos 10 anos iniciou os seus estudos na Escola para Cegos te cegos e 5 com visão parcial. De quantas formas o
de Paris. Aos 15 anos, Louis Braille dedicou-se a encontrar técnico pode montar um time com um goleiro e
um sistema que possibilitasse ao cego escrever em relevo, quatro jogadores de linha, sendo exatamente dois
surgindo o sistema que hoje conhecemos como Braille. É com visão parcial?
curioso constatar que para criar o sistema Braille ele ins-
pirou-se nos desenhos em relevo que enfeitavam as selas g) Pesquise e discuta com seus colegas a respeito de
confeccionadas pelo seu pai, feitos pelo próprio instrumen- acessibilidade. Procure informações a respeito de piso
to que o cegou. Apesar de o sistema não ter sido muito tátil e semáforo de trânsito sonoro.
aceito no seu tempo, ele evoluiu ao longo dos anos e foi
aperfeiçoado, sendo nos dias de hoje amplamente utiliza- Resoluções:
do pelos portadores de deficiência visual de todo o mundo a) 2 3 3
para terem acesso à escrita e leitura através do tato. Após b) A MATEMÁTICA É A RAINHA DAS CIÊNCIAS
mais de 150 anos da sua criação, o sistema Braille tem um c) C6, 1 1 C6, 2 1 C6, 3 1 C6, 4 1 C6, 5 1 C6, 6 5
inestimável valor e constitui uma contribuição essencial
aos deficientes visuais. 5 6 1 15 1 20 1 15 1 6 1 1 5 63
O total é de 63 caracteres.
Fonte dos dados: acessibilidade.net. Disponível em: Uma opção alternativa para a resolução desta ques-
<www.acessibilidade.net/mecbraille/braille.php>. tão é:
26 2 1 5 64 21 5 63 (Total de subconjuntos subtraídos
Acesso em: 1o abr. 2013. de 1 que é o conjunto vazio).
d) C6, 3 5 20
Depois de ler o texto, faça o que se pede: 20 caracteres
a) Na escrita Braille cada letra é representada por uma C9, 3 5 10 080
10 080 caracteres
matriz. Qual é o tipo (ou a ordem) dessa matriz? e) Resposta pessoal.
b) Transcreva para a linguagem comum a frase escrita f) C2, 1 ? C3, 2 ? C5, 2 5 60
Assim, o técnico pode montar o time de 60 formas.
em Braille: g) Resposta pessoal.

c) Como os caracteres são definidos por matrizes que 2. Sistema de identificação de cores ColorADD
podem ter um ou mais pontos destacados (pontos O designer português Miguel Neiva criou um código que
pretos), qual é o total de caracteres definidos no sis- está ajudando aos daltônicos (pessoas que sofrem de
tema Braille? daltonismo, que é uma perturbação da percepção visual
que dificulta a identificação de uma ou mais cores) a
d) Quantos são os caracteres que apresentam 3 pontos identificar as cores. O código ColorADD foi criado em
destacados? Se os caracteres do sistema Braille 2009 e consiste na representação de cada uma das co-
res primárias (amarelo, azul e vermelho). A justaposição
342 Manual do Professor

de dois ou três símbolos formam as cores secundárias sabendo que de acordo com o último censo do IBGE,
e terciárias. As cores ainda podem ser identificadas que ocorreu em 2010, o país possuía aproximadamen-
como claras e escuras a partir da combinação com o te 194 milhões de habitantes e as mulheres represen-
preto ou com o branco. O preto e o branco são identifi- tavam 51,5% da população?
cados por pequenos quadrados: o que simboliza o pre-
to é cheio, enquanto o branco é vazio. Veja a represen- Resolu•‹o:
tação abaixo. a) Cores secundárias: C3, 2 5 3

azul verde amarelo laranja vermelho violeta Cores terciárias 5 3 ? C3, 2 5 9
Existem divergências entre a quantidade de cores ter-
ciárias; aqui consideraremos 9.

b)

castanho azul- verde- casca laranja-
-claro -claro de ovo -claro

rosa lilás bege azul- verde-
-escuro -escuro

amarelo- tijolo bordô roxo castanho- c) • Listras de cores diferentes: 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 360
-torrado -escuro • Listras vizinhas que não sejam da mesma cor:
6 ? 5 ? 5 ? 5 5 750

d) → rosa

a) Sabendo que uma cor secundária é obtida a partir da Total de anagramas:
combinação de duas cores primárias distintas e que uma P4 5 24
cor terciária é obtida a partir da combinação de uma cor
primária e uma cor secundária, quantas são as cores → laranja
secundárias e quantas são as cores terciárias possíveis?
Total de anagramas
b) Imagine que você precisa representar a bandeira do
Brasil para um estrangeiro daltônico. Faça o desenho P73 5 7! 5 840
da bandeira do Brasil colocando os símbolos que re- 3!
presentam suas cores.
e) Total de mulheres: 51,5 ? 194 000 000 5 99910 000
c) Usando apenas cores primárias e secundárias, sem 100
misturá-las, quantas são as possibilidades de pintar-se
uma bandeira com quatro listras de tal forma que: Total de homens: 48,5 ? 194 000 000 5 94 090 000
• todas as listras sejam de cores diferentes? 100
• duas listras vizinhas não sejam da mesma cor?
Mulheres daltônicas: 0,4 ?99910 000 5 399640
d) Quantos são os anagramas da cor (palavra) repre- 100

sentada por ? E da cor (palavra) representada Homens daltônicos: 8 ?94 090 000 5 7 527 200
100

Total de pessoas daltônicas:
399 640 1 7 527 200 5 7 926 840

por ? As atividades a seguir são interdisciplinares com Biologia
e devem ser feitas em grupos. Elas remetem ao assunto
e) O daltonismo é bem mais frequente que pensamos. abordado na abertura desta unidade e no Capítulo 12, e
Estima-se que 8% dos homens e 0,4% das mulheres também podem ser desenvolvidas com a colaboração do
apresentam algum tipo de daltonismo. Qual seria a professor de Biologia.
estimativa para a quantidade de daltônicos no Brasil,

Manual do Professor - Capítulo 10 343

3. GenŽtica b) Qual é a probabilidade de um casal heterozigoto ter
Quando a mulher está grávida é comum especular-se uma criança com olhos claros? E com olhos escuros?
sobre a cor da pele, dos olhos e do cabelo do bebê. É algo
natural e normalmente feito baseado no genótipo dos c) Qual é a probabilidade de um casal de olhos escuros,
pais, tios e avós. cujas mães materna e paterna tenham olhos claros,
A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que ter uma menina de olhos escuros?
pesquisa e desenvolve modelos para o estudo dos mais
diversos fenômenos aleatórios e está presente em diversas d) É possível um casal de olhos escuros, cujas mães ma-
Ciências. Na Biologia, mais especificamente no estudo de terna e paterna possuem olhos claros, ter 4 crianças
Genética, a probabilidade é uma forte aliada no entendi- sendo duas com olhos claros e duas com olhos
mento e a na resolução desse e dos mais diversos proble- escuros? Se isso acontecer, significa que a teoria das
mas. A cor dos olhos é uma herança quantitativa probabilidades está errada?
determinada por um par de alelos em que a cor escura é
uma característica do gene dominante e a cor clara é uma e) Dois irmãos, um de olhos claros e outro de olhos es-
característica do gene recessivo. O alelo recessivo é repre- curos, são filhos do mesmo pai e da mesma mãe. Po-
sentado por uma letra minúscula (a) e o alelo dominante demos afirmar a respeito desses pais:
é representado por uma letra maiúscula (A). Denomina-
mos os seguintes pares de alelos e seus fenótipos: I. Ambos podem ter olhos claros.
AA → Homozigoto dominante (olhos escuros) II. Ambos podem ser homozigotos dominantes.
Aa → Heterozigoto (olhos escuros) III. Ambos podem ser heterozigotos.
aa → Homozigoto recessivo (olhos claros) IV. Ambos podem ser homozigotos recessivos.
Dessa forma, um indivíduo possuirá olhos claros apenas
se seu par de alelos for aa. Caso contrário possuirá olhos Resolução:
escuros. O cruzamento de dois indivíduos pode facilmen- a)
te ser determinado utilizando-se a tabela de cruzamentos
ou tabela de Punnett. Veja, como exemplo, o cruzamento Aa 3 Aa a a
de dois indivíduos heterozigotos (Aa 3 Aa):
A Aa Aa
Aa 3 Aa A a
a aa aa
A AA Aa
b) Fazendo a tabela de Punnett temos:
a Aa aa
Aa 3 Aa A a
O cruzamento de um indivíduo homozigoto dominante
e de um indivíduo heterozigoto (AA 3 Aa): A AA Aa

Aa 3 Aa A a a Aa aa

A AA Aa Probabilidade de ter uma criança com olhos claros: 1
4
A AA Aa
Probabilidade de ter uma criança com olhos escuros: 3
Agora, faça o que se pede. 4
a) Faça uma tabela que apresente os resultados possíveis
c) Como as avós da criança têm olhos claros, os pais her-
de um cruzamento de um indivíduo homozigoto re- darão o alelo a. Como os pais têm olhos escuros, eles
cessivo com um indivíduo heterozigoto. serão heterozigotos (Aa).
Fazendo a tabela de Punnett temos:
344 Manual do Professor
Aa 3 Aa A a

A AA Aa

a Aa aa

Probabilidade de ter uma criança com olhos escuros: 3 P(A) 5 1 2 1 ? 1 5 3
4 2 2 4
Probabilidade de ter uma menina: 1
2 Durante o Ensino Básico o estudante depara com di-
versos problemas em que há a necessidade de cálculo de
Probabilidade de ter uma menina com olhos escuros: áreas de figuras planas. Mas, em geral, os cálculos são fei-
tos usando figuras elementares, tais como: triângulos,
3 ? 1 5 3 quadrados, retângulos, trapézios, losangos, hexágonos
4 2 8 regulares, etc.

d) Como pode-se observar na questão anterior, a proba- Ao iniciar o Ensino Superior, já nos primeiros semes-
tres, muitos estudantes aprendem a calcular áreas de
bilidade de nascer uma criança com olhos escuros é figuras irregulares. Para isso eles fazem uso de uma
poderosa ferramenta que é a integral. Com a utilização
3 e com olhos claros é 1 . Porém, é possível que da integral diversas áreas irregulares podem ser calcula-
44 das, mas ainda há necessidade de conhecer a função ge-
radora da curva. O problema consiste em que o assunto
nasçam quatro crianças sendo duas com olhos claros integral, em geral, não é ensinado para os alunos do En-
sino Médio.
e duas com olhos escuros. Se a quantidade de filhos
Agora, apresentaremos, por meio de uma experiência,
aumentasse muito (de forma irreal, tendendo ao in- uma interessante forma de estimar o valor da área de
uma figura plana irregular. Esse método é conhecido
finito), teríamos que a proporção dos filhos com olhos como método de Monte Carlo e é bastante utilizado na
estatística em simulações que têm origem em processos
claros seria 1 e com olhos escuros seria 3 . Com não determinísticos. O método de Monte Carlo teve ori-
44 gem durante a construção da bomba atômica na Segun-
da Guerra Mundial, em que eram feitas simulações
uma quantidade pequena de filhos essa proporção probabilísticas que estavam relacionadas com o coefi-
ciente de difusão do nêutron em certos materiais. O nome
pode ou não acontecer. Monte Carlo é uma alusão à cidade de Monte Carlo, no
principado de Mônaco, famosa por seus cassinos e roletas
e) Os filhos serão da forma aa (olhos claros) e AA ou Aa que geram números aleatórios. Os alunos devem realizar
(olhos escuros). Como um dos alelos é herdado da os passos a seguir.
mãe e o outro alelo é herdado do pai, temos as se-
guintes possibilidades para os pais: Aa e aa ou Aa e
Aa. Portanto, é possível que os pais sejam heterozi-
gotos: alternativa III.

4. Um casal tem duas crianças. Uma delas é uma menina.
Qual é a probabilidade da outra ser uma menina?

Resolução: 1. Construção do material da experiência
A resposta parece óbvia, 1 , mas não é. Quando um
a) Material necessário
2 Caixa de sapatos
casal tem duas crianças temos 4 possibilidades: HH, Grãos de milho ou grãos de feijão
Cola
HM, MH e MM. Como uma delas é menina, então a Tesoura
Calculadora
possibilidade HH está descartada. Para serem duas Mapa do Brasil ou da sua cidade/região em escala
meninas, a probabilidade será então 1 em 3, ou seja, Régua

1 . Observe que é diferente de ter sido dito que a b) Procedimento para a montagem
3 • Recorte um quadrado e cole no fundo da caixa.
primeira é uma menina, nesse caso a probabilidade • Meça as dimensões do quadrado e do fundo da caixa.

seria 1 .
2

5. O transplante de fígado, que é realizado com o doador

vivo, é denominado “transplante intervivos”. Trinta dias

após a cirurgia o doador tem a sua massa hepática res-
tituída ao normal, tendo em vista que o fígado possui
alto poder de regeneração. A probabilidade da mãe ser
uma doadora compatível é de 50% e do pai ser doador
compatível também é de 50%.
Um paciente com uma grave doença hepática precisa
de um doador de fígado. Qual é a probabilidade de pelo

menos um dos pais ser doador?

Resolução: 2. Realizando a experiência
O único caso que não serve é nenhum dos pais ser
doador, logo: Coloque de forma aleatória uma quantidade conhecida
de grãos no fundo da caixa. Quanto maior a quantidade

Manual do Professor - Capítulo 10 345

de grãos, maior será a precisão para a estimativa da área. Como exemplo tome um mapa, em escala, do Brasil. Caso
É razoável uma quantidade entre 100 e 300 grãos. não seja informado qual a escala utilizada é possível des-
Espalhe os grãos de forma que não fiquem todos em uma cobrir utilizando uma informação complementar.
mesma região. Uma forma de deixar os grãos espalhados A distância entre os dois pontos extremos, monte Caburaí
de forma aleatória é colocar a tampa e realizar algumas (RR) e Arroio Chuí (RS), é de aproximadamente 4400 km.
batidas no fundo da caixa. Esses dois pontos são facilmente identificados em um mapa.
Conte quantos grãos estão sobre a região do quadrado.
Repita a operação por mais quatro vezes, determine a) Verifique qual é a distância entre os dois pontos no
a média aritmética simples e em seguida utilize a mapa utilizando uma régua.
proporção:
55º O Banco de imagens/Arquivo da editora
quantidade média de grãos na região do quadrado .
quantidade de grãos no fundo da caixa Monte Caburaí (RR)

. área do quadrado . Equador RR AP
área do fundo da caixa
0º
Você verá que, de fato, chegamos a um resultado apro-
ximado. AM PA MA CE
Por exemplo, suponha que o quadrado colado no RN
fundo da caixa tenha lado igual a 8 cm, que as dimen-
sões do fundo da caixa sejam 16 cm por 25 cm e que PI PB
tenham sido utilizados 200 grãos nessa experiência.
Suponha ainda que as quantidades de grãos em cima AC PE
da região do quadrado nas cinco repetições do expe- RO
rimento foram: AL
TO SE

MT BA

DF

Ӎ 4 400 km GO MG
ES OCEANO
OCEANO MS ATLÂNTICO
PACÍFICO SP
Trópico de Capricórnio RJ
PR

SC

ESCALA RS
0 560 1 120 km Arroio Chuí (RS)

Contagem Quantidade de gr‹os Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar.
1 31 6. ed. Rio de Janeiro, 2012. p. 91.
2 33
3 30 b) Repita o procedimento da experiência de contagem
4 32
5 33 de grãos feita anteriormente.
31,8
Média c) Utilize novamente a relação abaixo:

Assim, de acordo com o exposto anteriormente, teremos: quantidade média de grãos sobre o mapa .
quantidade degrãos no fundo da caixa
31,8 . 8⋅8 5 0,159 . 0,160
200 16 ⋅ 25 . área do mapa
área do fundo da caixa

Assim teremos aproximadamente a área do mapa,
mas devemos lembrar que o mapa está em uma de-
terminada escala, então usando a relação abaixo ire-
mos identificar a área da superfície brasileira.

Ocorreu um erro de 0,001, que para o nosso experimento  distância entre os extremos do mapa 2 . área do mapa
 distância real entre os extremos  área do Brasil
é desprezível.

3. Calculando áreas não elementares de figuras planas Esse procedimento envolvendo probabilidade pode ser
Agora que já vimos, empiricamente, que o método fun- realizado para estimar as mais diversas áreas (área do esta-
ciona, podemos realizar uma estimativa, bem aproxima- do, da cidade, da escola). Será necessário ter o mapa/planta
da, para a área de uma figura plana qualquer. Vamos da região. Há vários sites que fornecem mapas, basta escolher
verificar qual o procedimento para calcular a área de uma a região. Como a escala não é fornecida, o aluno precisará
região utilizando um mapa em escala e o método de calcular a escala medindo a distância real entre dois pontos
Monte Carlo. conhecidos. Para isso, ele pode utilizar passos, trena, etc.

346 Manual do Professor

12 Resolução dos exercícios

Observa•‹o: As resoluções que não estiverem nesta seção 8. A
aparecem ao lado do respectivo exercício no livro do pro-
fessor.

Unidade 1

Capítulo 1 8 m 608 B
E 8m
1. tan 308 5  ⇒ 3 5  ⇒  5 10 3
30 3 30 458

2. a) cos 458 5 x ⇒ 2 5 x ⇒ 2x 5 16 2 ⇒x 58 2 CD
16 2 16

b) tan 608 5 y ⇒ 3 5 y ⇒ z 5 20 3 EC 5 BD ⇒ EC 5 8 m
20 20 Como EBCD é um quadrado, temos CBBE 5 458, e portanto:
EBBA 5 1058 2 158 5 608

3. Então:

h tan 608 5 AE ⇒ 3 5 AE ⇒ AE 5 8 3 m
BE 8
h
Logo:
2m h
308 hprédio 5 AE 1 EC 5 8 3 1 8 5 8( 3 1 1) . 8(1,7 1 1) . 21,6 m
h H
h

h

h tan 308 5 w  35 w
 
h 9. a) tan 608 5 100 1 a ⇒  3 100 1 a ⇒
w  3 w
sen 308 5 H ⇒ 1 5 H ⇒ H 5 1 m  5
2 22 a a

Como H 5 8h, temos: ⇒ 3w 5 100 3 1 3a

w 5 a 3

8h 5 1 m ⇒ h 5 1  m ⇒ h 5 0,125 m ⇒ h 5 12,5 cm 3 3 a 2 3 a 5 100 3 ⇒ 3a − a 5 100 ⇒
8

⇒ 2a 5 100 ⇒ a 5 50

4. cosa 5 v x ⇒ cos 308 5 v x ⇒ 3 5 vx ⇒ w 5 50 3
v 10 2 10
Resolvendo este exercício de outra maneira:
⇒ v x 5 5 3 cm B

sena 5 v y ⇒ sen 308 5 v y ⇒ 1 5 vy ⇒ 308
v 10 2 10 w
100
⇒ v y 5 5 cm
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
1208 608
308
A 100 D C
5.

12 m Como ADB 5 1808 2 608 5 1208, então ABD 5 308.
Portanto, o ABD é isósceles e tBDu 5 100. Logo:

a sen 60º 5 w ⇒ 3 5 w ⇒ w 5 50 3
12 m 100 2 100

tan a 5 12 ⇒ tan a 5 1 ⇒ a 5 458 b) A
12
x 12 z

6. CD 5 AB ?cos 158 ⇒ CD 5 4?cos 158 ⇒ CD . 4 ? 0,966 ⇒ 308 608
⇒ CD .3,9 cm B
yC D

7. A 5 AB ?h sen 308 5 12 ⇒ 1 5 12 ⇒ x 5 24
2 x 2x

h 5 BC ? sen BB 5 4 ? sen 208 5 4 ? 0,342 . 1,37 sen 608 5 12 ⇒ 3 5 12 ⇒ 3z 5 24 ⇒ z 5 24 ⇒
z 2z 3
A . 7? 1,37 . 4,8
2 ⇒ z 5 24 3 ⇒ z 5 8 3
33
Logo, A . 4,8 cm2.

Manual do Professor - Capítulo 1 347

Pelo teorema de Pitágoras, temos: Substituindo I em II , temos: )2 1 1 5 2 11 ⇒

y2 5 x2 1 z2 ⇒ y2 5 (24)2 1 (8 3 )2 ⇒ y2 5 576 1 192 ⇒ (a 1 b 5 2 1 1 ⇒ b 2 1 b 5 2 1 1 ⇒ b

⇒ y2 5 768 ⇒ y 5 16 3 ⇒b51

Podemos encontrar o valor de y de outra maneira: Substituindo b 5 1 em I , temos:

y 5 BC 1 CD ⇒ y 5 12  1 12 ⇒ y 5 12 1 12 ⇒ a5b 2 ⇒a5 2

tan 308 tan 608 33

3 16. a) x 5 5 ⇒ x . 5 ⇒
sen 768 sen 328 0,970 0,530
⇒ y 5 12 3 1 4 3 ⇒ y 5 16 3

⇒ x . 5 ? 0,970 ⇒ x . 9,151
10. a) sen 1358 5 sen 458 5 2 0,530
2 x 10 10 x 10
b) sen 308 5 sen 1238 5 sen 57° ⇒ 0,500 . 0,839 ⇒

b) cos 1358 5 2cos 458 5 2 2 ⇒ x . 10 ? 0,500 ⇒ x . 5,959
2 0,839

c) O suplemento de 1508 é 308, portanto:

sen 150° 5 sen 30° 5 1 c) 35 4 ⇒ 3. 4 ⇒
2 sen x sen 708 sen x 0,940

d) cos 150° 5 2cos 30° 5 2 3 ⇒ sen x . 3? 0,940 ⇒ 0,705 ⇒ x . 458
2 4

11. a) x 5 sen 208 2 sen(1808 2 1608) 1 cos 448 2 cos (1808 2 1368) ⇒ Resolvido passo a passo
⇒ x 5 sen 208 2 sen 208 1 cos 448 2 cos 448 5 0 5. a) Como a maior distância é entre São Paulo e Guaratinguetá,

b) x 5 sen 108 ? cos 508 2 cos(1808 2 1308) ? sen(1808 2 1708) ⇒ vem que o maior custo será:
⇒ x 5 sen 108 ? cos 508 2 cos 508 sen ? 108 5 0 C 5 20 1 160(1,50) 5 20 1 240 5 260

12. 1808 2 A E ( 1058 1 458 ) 5 308 Resposta: R$ 260,00.

100 5 x ⇒ 100 5 x ⇒ x 5 50 2 ⇒ 3 1
sen 308 sen 458 1 2 2
17. x2 5 32 1 12 2 2 ? 3 ? 1 ? cos 608 5 10 2 6 ? 5 10 2 3 5 7 ⇒
22 2

⇒ x 5 100 2 ⇒x5 7 1

2

13. x 5 32 ⇒ x 53 2  ?  sen 458 5 3 2  ?  2 ⇒ 18. x2 5 52 1 82 2 2 ? 8 ? 5 ? cos 608 ⇒ x2 5 25 1 64 2 80 ? 1 ⇒
sen 458 sen 608 sen 608 3 2
⇒ x2 5 49 ⇒ x 5 7

2

⇒x5 3 2 ? 25 6 ? 3 52 3 19. a2 5 (2 3 )2 1 32 2 2 ? 2 3 ? 3 ? 3 ⇒ a2 5 12 1 9 2 18 ⇒
33 3
2
⇒ a2 5 3 ⇒ a 5 3

14. a) xB 5 1808 2 (758 1 458) ⇒ Bx 5 1808 2 1208 5 608 20. C

52 x ⇒x5 5 2 ? sen 608 ⇒ 42 4
sen 458 5 sen 608 sen 458

3 45° B
⇒x5 5 2 ? 2 5 5 3 Ac

2 42 5 c2 1 (4 2 )2 2 2c ? 4 2 ? cos 458 ⇒
2

b) 8 5 x ⇒x58? sen 308 ⇒ ⇒ 16 5 c2 1 32 2 c ? 8 2 ? 2 ⇒ 16 5 c2 1 32 2 8c ⇒
sen 458 sen 308 sen 458 2

⇒ c2 2 8c 1 16 5 0 ⇒ c 5 4

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora 1

⇒x58? 2 5 4 2 54 2 21. 16 5 9 1 9 2 2 ? 3 ? 3 ? cos a ⇒ 18 ? cos a 5 18 2 16 ⇒
2 2
8  ?  2 1
18 9
2 ⇒ cos a 5 5

15. C 22. A

a 1208 10 cm

b 1058 308 B 6 cm

458 C
A
c a
B
a b a b
 sen 458 5 sen 308 ⇒ 2 5 1 ⇒ a5b 2  I 60  1 
120 2 2 
 22 a2 5 36 1 100 2 2 ? 6 ? 10 ? cos 1208 5 136 2 5

 1
a 1 b 5 2 1 1   II
5 136 1 60 5 196 ⇒ a 5 14 cm

348 Manual do Professor