livro matematica

Quadro-resumo:

Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Dois planos paralelos
no espaço secantes ou concorrentes

Exerc’cios C

Veja a resposta do exercício 5 na seção Respostas.

5. Observando o cubo da figura seguinte, responda:

D

A B

F
G

HE

a) Dos planos determinados pelas faces, quais são os pares de planos paralelos?
b) Cite três pares de planos secantes.
c) Os planos determinados pelas faces CDGF e EFGH são secantes? Em caso afirmativo, qual é a reta intersecção?
d) A reta AD é intersecção dos planos determinados por quais faces?

6. Observando a figura espacial a seguir, responda usando planos determinados por faces:

E C F
D GH

IJ

AB Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

a) Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces EFHC e DEFG? Planos secantes.
b) A reta AI é intersecção de quais planos? p(ABJI) e p(ADGI)
c) Qual é o plano paralelo ao determinado pela face ADGI? p(BCHJ)
d) Qual é a reta de intersecção dos planos secantes determinados por BCHJ e ECHF? C, H-

e) Há algum plano paralelo ao plano determinado pela face ABJI? Em caso afirmativo, qual é esse plano?

Sim, p(DCHG).

7. Observando a figura espacial seguinte, responda:

HG

E F
D C

AB

a) Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces ABCD e ADHE? Planos secantes.
b) Os planos BCGF e EFGH são secantes? Em caso afirmativo, qual é a reta de intersecção? Sim, F, G-.
c) Há algum plano paralelo e distinto do plano determinado por EFGH? Qual? Sim, p(ABCD).

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 149

7 Posições relativas de uma reta e um plano

Considerando o paralelepípedo da figura a seguir, observamos que:

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora AD • o plano determinado pela face EFGH contém as
BC
retas , EH ,- , HG,- , FG - e , EF;-

• as retas , BF ,- , CG,- , AE - e , DH- intersectam o plano

determinado pela face EFGH, “furando-o”;

• as retas , BC,- , CD,- , AD- e , AB- são paralelas ao plano

determinado pela face EFGH.

EH Fique atento!
FG B, D- está contida no p(ABCD)
,AG- intersecta p(EFGH)
A, F- não intersecta p(CDHG)
D, F- intersecta p(ACGE)

Estas são as três posições possíveis, no espaço, de uma reta em relação a um plano:

r s t
␣ ␤ A

␥

A reta r é paralela ao A reta s está contida no A reta t intersecta (“fura”) o
plano  plano  ( e s têm em plano  no ponto A.
(r e  não têm ponto comum todos os pontos Então, a reta t é secante (ou
comum). de s). concorrente) ao plano .
O ponto A é chamado traço
de t em .

Quadro-resumo:

Posições relativas de uma reta e um plano no espaço
r é paralela a ␣

Uma reta r e um plano ␣ no espaço: r está contida em ␣
r é secante a ␣

Para refletir
Use o lápis e a capa do livro para
representar uma reta e um plano.
Verifique as três posições possíveis
da reta em relação ao plano.

150 Capítulo 7

8 Paralelismo no espaço

Retomando o que vimos até agora sobre paralelismo no espaço, temos:

• Duas retas distintas são paralelas quando, e somente quando, são coplanares e não têm ponto comum.
• Dois planos distintos são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.
• Uma reta e um plano que não a contenha são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.

É preciso estar atento a certos fatos relativos ao paralelismo. Veja alguns: Para refletir
1o) Podemos ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas. • Que posições relativas

Por exemplo, no paralelepípedo a seguir, os planos ABCD e EFGH são podem ter duas retas
paralelos; entretanto, as retas , AB- e , FH - pertencentes a eles não são pa-
ralelas, e sim reversas. Veja: distintas que não são

r paralelas?
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Elsar/Shutterstock/Glow ImagesA D␣s• O que acontece com dois
E H␤
planos distintos quando não

são paralelos?

• Que posições relativas

podem ter uma reta e um

plano quando não são

paralelos?

BC  / , r está em  • Se forem coplanares, as retas podem ser concorrentes.
FG s está em 
r e s não são paralelas Se não forem coplanares, serão retas reversas.
r e s são reversas
• São planos secantes.
• A reta está contida no plano ou a reta é secante ao

plano.

2o) Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não sejam paralelos.

Por exemplo, no paralelepípedo abaixo, as retas , AB- e , GH - são paralelas. Voc• sabia?
A reta AB está no plano ABCD e a reta GH está no plano CDHG, que se Na cadeira de praia abaixo, o encosto
intersectam segundo a reta CD. e o assento podem ser vistos como
partes de planos secantes; as ripas
AD de madeira podem ser vistas como
retas paralelas entre si.

E r s
H
␣
B ␤
C

FG r / s, r está em 
s está em 
 e  não são paralelos

Veja alguns teoremas que podem ser deduzidos:

• Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela é paralela a uma reta do plano.
• Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é paralela ao outro se, e somente se, ela é paralela à

reta de intersecção dos dois planos.

• Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro.

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 151

Exercícios

8. Observando o cubo, cite:

DC

A B
G F

HE

a) seis retas paralelas ao plano determinado pela face ADGH; ,BC-, ,CF-, ,EF-, B, E-, ,BF-, C, E-
b) seis retas que estejam contidas no plano determinado pela face CDGF; ,CD-, ,DG-, F, G-, C, F-, ,DF-, C, G-
c) cinco retas secantes ao plano determinado pela face ABCD. Algumas das soluções possíveis: A, H-, ,AE-, ,BG-, ,FC-, B, E-.

9. Observe a figura seguinte e sua representação matemática: C
D
B
G
A
H

EF

a) Qual é a posição da reta AB em relação ao plano f) Cite um plano paralelo ao plano determinado por
determinado por ABCD? Está contida. ABCD. p(EFGH)

b) Cite duas retas que estejam “furando” o plano g) A reta DF está simultaneamente em vários planos.
Alguns: p(ADFE),
determinado por ABCD. Algumas das soluções Cite dois desses planos. p(CDFG) e p(BDFH).
possíveis: A, E-, B, F-, C, G-, F, D-.

c) Cite dois planos que intersectem a reta CD. h) Cite duas retas paralelas ao plano determinado
por ABCD. E, H-, E, G-, ,EF-, ,HG-, ,FG-, F, H-
p(ABCD) e p(CDFG)

d) Qual é a posição relativa das retas , AB- e , BH -?
concorrentes

e) Cite uma reta que seja reversa à reta AD.

10. Algumas das soluções possíveis: ,BH-, ,CG-, ,BF-.

Observando a figura a seguir e sua representação matemática, verifique se a reta está contida,

se é paralela ou se é secante ao plano em cada item.

E F a) , EF - e p(IJGH) paralela e) , BD- e p(HIJG) paralela
b) , DE - e p(EFGH) está contida f) , HJ - e p(, IJ,- G) está contida
D C c) , HI - e p(EFCD) secante g) , IC - e p(, ED,- , CF -) secante
A B d) , GH - e p(EFCD) está contida h) , EC - e p(, DG,- , CH -) está contida

H G
I J

11. Na figura dada, A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices de um paralelepípedo B C

e C, D, E, F, J e I são vértices de um prisma reto de base triangular. AD
Dê a posição relativa dos pares de figuras em cada item.

a) , DE - e p(EFGH) secante e) , AC - e p(A, B, D) está contida G F J Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
b) , AB - e , GF - retas reversas f) , CD- e , IJ - paralela H E I
c) p(A, D, H) e p(, BC ,- , CJ -) paralelo g) p(CDIJ) e p(EFCD) concorrentes
d) D e p(A, , HI -) pertence h) , HE - e , ID- concorrentes

12. Indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:

a) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. F
b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles intersecta o outro. V

c) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. V
d) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. F
e) Uma reta r não está contida em um plano  e é tal que r / . Então, existe uma reta s, contida em , tal que s / r.V
f) Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas.V

152 Capítulo 7

9 Perpendicularismo no espaço

Retas perpendiculares e ortogonais

Sabemos que duas retas distintas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.
Quando são concorrentes e formam ângulos retos (908), essas retas são perpendiculares.

r Para refletir
s •Na figura ao lado,quais são as

medidas dos quatro ângulos
formados por s e t?

As retas s e t formam dois ângulos
de 458 e dois de 1358.

t

Pelo cubo, podemos visualizar:

• r e s são retas concorrentes e perpendiculares (r ⊥ s);
• s e t são retas concorrentes, mas não são perpendiculares. Dizemos que s e t são retas oblíquas.

Considere agora a e b retas reversas e c uma reta paralela à reta a e concorrente com b.

Se c e b forem perpendiculares, dizemos que as retas a e b são ortogonais.

Observe as retas reversas a e b, visualizadas no cubo, e a reta c, paralela à reta a e concorrente
com b.

a

Fique atento!

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora b Retas perpendiculares
são um caso particular

a e b são retas reversas e ortogonais. de retas ortogonais.

c

a a e b são reversas, mas não são ortogonais. Para refletir
•Justifique as duas
b
c afirmações ao lado.

• a e b são reversas, pois não há um plano que passe pelas duas retas.
a e b são ortogonais porque existe reta paralela a a, que é
perpendicular a b (c, por exemplo).
a e b são reversas, pois não há um plano que passe pelas duas retas.
c // a, mas c e b são oblíquas. Logo, a e b não são ortogonais.

Reta e plano perpendiculares

Vimos que, dada uma reta r e um plano , podem ocorrer três situações: a reta é paralela ao plano (r / ); a
reta está contida no plano (r  ); ou a reta intersecta o plano em um ponto P (r >  5 {P}).

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 153

Veremos agora que, quando a reta intersecta o plano, ela pode ou não ser perpendicular a ele.

Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é
perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.

s tu r t Ilustrações técnicas desta página:
P s u Banco de imagens/Arquivo da editora

r P

␣

␣

Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano.

Veja a figura e os símbolos correspondentes.

rs

P r é perpendicular a  (r ⊥ ) Para refletir
␣ s é oblíqua a  (s ^ ) Se r ⊥  no ponto P, qual é a posição
de r em relação às retas de  que
não passam por P?

A reta r é reversa ortogonal às retas de  que
não passam por P.

O ponto P, nesse caso, é chamado “pé da perpendicular”.

Voc• sabia?
O Obelisco aos heróis de 1932, em São Paulo, dá ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na Itália, dá ideia de reta
oblíqua a um plano.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens
nat8246/Shutterstock

Obelisco, no Parque Torre de Pisa,
do Ibirapuera, na Itália.
em São Paulo (SP). Fotografia
Fotografia de 2012. de 2015.

154 Capítulo 7

Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente
que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes desse plano no ponto de
intersecção (teorema fundamental do perpendicularismo entre reta e plano).

s

P
␣t

r

Você sabia? O cabo do rodo não é perpendicular ao chão, embora seja
Os pés do cabideiro dão a ideia de duas retas no plano do chão. perpendicular à parte horizontal do rodo (que dá a ideia de
Dessa forma, a haste maior do cabideiro é perpendicular ao reta no plano do chão).
chão.

Dam d’Souza/Arquivo da editora Photo 4/Keystone

Ilustrações técnicas desta página: Observe que uma reta pode ser perpendicular a uma reta do plano e não ser perpendicular ao plano:
Banco de imagens/Arquivo da editora
r

s t está contida em 
s está contida em 

t r⊥s
r não é perpendicular a 

␣

Assim, para uma reta ser perpendicular a um plano  é preciso ser perpendicular a duas retas concor-
rentes em , ou seja, são necessárias duas retas, porque vimos que uma reta não é suficiente para garantir
o perpendicularismo. No entanto, bastam duas retas concorrentes, ou seja, elas são suficientes, pois essas
duas concorrentes já determinam o plano .

␣ ␣ Para refletir
Reproduza concretamente estas figuras
e comprove as afirmações feitas.

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 155

Exercício resolvido passo a passo: exercício 1

Resolvido passo a passo • , LB -e , GE -
• , AG -e , HI -
1. (EsPCEx-SP) O sólido geométrico abaixo é formado • , AD -e , GK -

pela justaposição de um bloco retangular e um pris- 3. Executando o que foi planejado
ma reto, com uma face em comum. Na figura estão
indicados os vértices, tanto do bloco quanto do • Posição relativa ente as retas , LB - e , GE :- como as
prisma.
retas possuem um ponto de intersecção, são con-
K correntes e, consequentemente, não são parale-
las. As retas , LB -e , GE -também são coplanares, pois
J fazem parte do plano p(GBEL).

Banco de imagens/Arquivo da editora L H • Posição relativa entre as retas , AG -e , HI :- são copla-
I
nares e não paralelas. Assim, são concorrentes. O
D ponto de intersecção entre as retas , AG -e , HI - pode
ser encontrado ao visualizarmos mentalmente a
G extensão dos infinitos pontos que compõem as
duas retas.
EC
• Posição relativa entre as retas , AD -e , GK :- a projeção
B ortogonal da reta , GK -no plano p(ACDF) é a reta , AE ,-
concorrente com a reta , AD-no ponto A. Assim, , AD -
F e , GK -são reversas.

A 4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa e.
Considere os seguintes pares de retas definidos por pon-
tos dessa figura: as retas , LB -e , GE ,- as retas , AG -e , HI -e as 5. Ampliando o problema
retas , AD - e , GK .- As posições relativas desses pares de a) Levando em consideração apenas o bloco re-
retas são, respectivamente, tangular do sólido geométrico e os valores de
a) concorrentes; reversas; reversas. suas arestas, fornecidos no quadro abaixo, in-
b) reversas; reversas; paralelas. forme quais as medidas dos segmentos de reta
c) concorrentes; reversas; paralelas. Lt B, Gt E e Gt K.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas. Quadro das medidas

1. Lendo e compreendendo LG 5 KH 5 EB 5 AF 5 2 cm
a) O que é dado no problema?
AB 5 GH 5 LK 5 FE 5 5 cm
São dadas uma figura de um sólido geométrico, o
qual é composto por um bloco retangular e um pris- GA 5 HB 5 KE 5 LF 5 4 cm
ma reto, bem como a indicação dos vértices desse LB ϭ 3 5 cm
sólido geométrico.
b) O que se pede? GE ϭ 3 5 cm
Pede-se a posição relativa entre retas que são cita-
das, classificando essa posição relativa em concor- b) Desafio em equipe GK ϭ 29 cm
rente ou reversa.
Com os colegas, ponha em prática o que foi
2. Planejando a solução
Para solucionar o problema, devemos analisar reta por aprendido na aula de geometria plana e espacial,
reta, focando na análise de paralelismo, de coplana-
riedade e de pontos em comum. A partir dessa análise, e, com o uso de papéis, cola, tesoura e régua,
podemos classificar as posições relativas entre as retas
enunciadas duas a duas: desenhe no caderno e monte alguns sólidos ge-

ométricos – de preferência, prismas retos de

base quadrada, retangular ou triangular. Pesqui-

se na biblioteca da sua escola/cidade livros que

abordem a planificação de sólidos geométricos.

156 Capítulo 7

Planos perpendiculares Para refletir
Use seu caderno e um
Consideremos dois planos concorrentes  e  e tracemos um plano  per- esquadro para representar
pendicular à sua reta r de intersecção, que corta  e  segundo as retas s e t. planos perpendiculares e
planos oblíquos.
t␤
␣

␥ ␤
r 

s␣ ␣

Quando s e t formam um ângulo reto, dizemos que os planos  e  são per- ␤
pendiculares. Observe que, se  e  são perpendiculares, então a reta r de  é ^
perpendicular às retas s e t de . Assim, s é uma reta de  que é perpendicular a .

Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, dizemos que são oblíquos.

Dois planos  e  são perpendiculares se, e somente se, um deles contém
uma reta perpendicular ao outro.

Você sabia?
Os notebooks abertos dão a ideia de planos oblíquos (os dois primeiros) e de planos perpendiculares (os dois últimos).

Vtls/Shutterstock/
Glow Images

Peter Gudella/
Shutterstock/
Glow Images
Dmitry Lobanov/
Shutterstock/Glow

Images
Richard Boll/
Getty Images

Notebooks abertos em diversas posições.

Exerc’cios

13. A figura ao lado é um paralele- D C a) Cite todos os planos perpendiculares a p(ABFE).

pípedo. A b) Quais são os dois planos que contêm a reta DH
e são perpendiculares ao plano EFGH?
a) Cite duas retas que sejam B
c) O plano diagonal ACGE é perpendicular ao plano
perpendiculares ao plano EFGH? Por quê?

EFGH. d) A reta CG é perpendicular ao plano EFGH. Qual é
a posição dos planos CDHG, ACGE e BCGF em
b) A reta AB é perpendicular ao H G relação ao plano EFGH?
plano determinado por BCGF. F
Cite outro plano perpendicu- E 15. Verifique se cada uma das afirmações é verdadeira (V)
lar à reta AB.
ou falsa (F): Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
c) A reta AF é perpendicular à reta FG? Justifique a
a) Se dois planos são perpendiculares, toda reta de
resposta. Veja a resposta dos exercícios 13 e 14 na um deles que for perpendicular à intersecção
seção Respostas. será perpendicular ao outro. V

D C b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta
paralela a um deles será perpendicular ao outro.F
14. Considerando o paralelepí-
c) Dados um plano  e uma reta r, existe um plano
pedo ao lado e os planos A B  que contém r e é perpendicular a . V

determinados pelas faces,

resolva as questões a seguir.

HG

EF

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 157

Outros

contextos

O universo mágico das dimensões

A nossa percepção de espaço está ligada às ideias de comprimento, largura e altura. Segundo astrônomos, vivemos em
um universo curvo, finito, mas sem fronteiras. Nesse minúsculo pedacinho do universo onde vivemos, percebemos tudo a
nossa volta, objetos, plantas, animais atrelados à noção de três dimensões. Para nós tudo tem comprimento, largura e altura.

Vamos imaginar que vivêssemos em um mundo unidimensional, com uma dimensão só: o comprimento. Vamos
chamar esse mundo de Retolândia. Nesse mundo imaginário, as pessoas não teriam largura nem altura, seriam seres
“compridinhos” e viveriam eternamente em fila. Ninguém passaria à frente de outro, pois se o cidadão A da figura
quisesse ficar à direita de um cidadão B teria de usar um dos lados e estaria usando uma segunda dimensão. E se
fosse pular por cima estaria usando a terceira. Mas este ser imaginário não pensaria em nenhuma dessas possibilidades,
pois sua percepção estaria ligada tão somente à noção de comprimento, ele não tem noção de outras dimensões.

A Pequena parte de um universo de uma só dimensão.

Vamos viajar agora para um universo bidimensional, a Planolândia. Nesse universo não existe a noção de “para
cima” nem de “para baixo”. Aqui não se conhece a terceira dimensão, a altura. As “pessoas” seriam planas, sem espes-
sura. Vamos representar um ser da Planolândia por um triângulo e a casa dele à esquerda.

(vista aérea)

Para o “triângulo” se sentir seguro, basta entrar em sua

casa, fechar a porta e pronto. Ninguém entrará “por cima”,

pois nesse universo não existe a noção de altura.

Vejamos a seguir como é difícil conceber uma dimensão além daquela em que vivemos. Eis um problema3D Vector/Shutterstock
envolvendo dois anéis na Planolândia e os elos de uma corrente em nosso mundo.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Na figura à direita vemos dois anéis planos em algum lugar da
Planolândia. Lá ninguém consegue tirar o anel menor de dentro do
maior sem quebrar o maior. Para nós é fácil, basta usarmos a ter-
ceira dimensão. Por aqui existe um problema similar. Como desfa-
zer o elo da corrente da figura à esquerda sem quebrar uma das
peças? Bastaria usarmos uma quarta dimensão. Mas para nós é
um problema tão difícil como o problema dos anéis para o pessoal
da Planolândia. Presos à noção de três dimensões, não conseguimos
imaginar como isso seria possível.

Pensando as dimens›es

Fazendo uso dos eixos coordenados, temos a noção de uma só dimensão com apenas um eixo. Para que tenhamos
noção de um espaço em duas dimensões, basta colocarmos outro eixo perpendicular ao primeiro. Já para o espaço em
três dimensões é suficiente colocarmos um terceiro eixo, perpendicular aos dois primeiros.

yz

x y
x x

Um só eixo: noção de Dois eixos perpendiculares: Três eixos perpendiculares entre
uma só dimensão. noção de duas dimensões. si: noção de três dimensões.

158 Capítulo 7

Figuras em 4D

Para representarmos no plano uma figura tridimensional, usamos um recurso chamado perspectiva. Para repre-
sentarmos um espaço tetradimensional, teríamos de colocar um quarto eixo coordenado perpendicular aos três já
existentes, o que foge à nossa imaginação. Essa “forma” de se obter a quarta dimensão foi atribuída ao astrônomo
Alexandrino Ptolomeu. Dos tempos de Euclides até Descartes raramente se cogitou a hipótese de um espaço tetradi-
mensional (ao menos é o que se tem notícia).

Os estudos de Bernhard Riemann, jovem matemático alemão do final do século XIX, constataram que Alexandrino
Ptolomeu não estaria totalmente equivocado, uma vez entendida a Geometria de Euclides e de Descartes, desenvolveu-
-se a Geometria com 4 dimensões. Os estudos de Riemann também proporcionaram que Albert Einstein afirmasse,
em 1915, que o Universo, embora nos pareça uma variedade de 3D, é de fato 4D, dando o primeiro passo para a percep-
ção da variedade espaçotemporal. Para Einstein a quarta dimensão seria o tempo.

O tesseract (hipercubo) Banco de imagens/Arquivo da editora

Deslocando-se um ponto (dimensão 0) no plano, vamos obter um segmento

de reta (dimensão 1); deslocando o segmento de reta no plano, podemos obter

um quadrado (dimensão 2); e deslocando convenientemente o quadrado no es-

paço, podemos obter o cubo (dimensão 3). Finalmente, deslocando o cubo em uma

quarta dimensão, obtemos o cubo de 4 dimensões: o tesseract. Como não sabemos

representar essa quarta dimensão, costumamos representá-la “para dentro” do

“cubo exterior”. Estudar as dimensões é fascinante, e saber que hoje se estudam

dimensões “quebradas”, não representadas por números inteiros, torna esse es- Tesseract ou hipercubo

tudo mais desafiador. 1.
A

Trabalhando com o texto C
B

D

1. Quando estudamos geometria plana, como o próprio nome sugere, as figuras são planas, isto é, em 2D. No entan-

to, com exceção do triângulo, existem regiões poligonais que não são necessariamente planas, são limitadas por

polígonos chamados reversos. Você conseguiria representar um quadrilátero reverso?

2. Analisando a figura do tesseract, ao todo, quantos vértices, quantas arestas e quantas faces podem ser observados?

Podem ser observados 16 vértices, 32 arestas e 30 faces.

Pesquisando e discutindo

3. A reta tem dimensão? É possível medir seu comprimento?
A reta possui uma única dimensão, que é o comprimento.

4. Não se pode medir o “comprimento” de uma reta.

Na unidade destinada ao estudo de geometria espacial, pesquise a diferença entre os conceitos de dimensão

e medida.

Veja mais sobre o assunto

Procure informações e curiosidades sobre dimensões em jornais, revistas, livros e na internet. Sugestões: (acessos
em: 6 maio 2016)

• Para além da terceira dimensão: <http://alem3d.obidos.org/pt/intro4d/>.
• Física interessante: <www.fisica-interessante.com/fisica-relatividade-tesseract-4d-hipercubo.html>.
• Filme de ficção científica: Nimitz – de volta ao inferno (The final countdown, Don Taylor, United Artists, EUA, 1980).

Conta a história de um porta-aviões norte-americano, equipado com ogivas nucleares e aviões de última geração.
O porta-aviões e sua tripulação entram em uma fenda no tempo (quarta dimensão) e voltam para o dia 6 de de-
zembro de 1941 (véspera do ataque a Pearl Harbor). Eles poderiam mudar o curso da história. Por que não o fizeram?

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 159

10 Projeção ortogonal Assunto
opcional
De um ponto sobre um plano

Traçamos a reta perpendicular ao plano  pelo ponto P e encontramos P9. O ponto P9 é chamado
projeção ortogonal do ponto P sobre o plano .

PЈ P P Fique atento!
␣ A projeção ortogonal do
PЈ ponto P sobre o plano  é
␣ o “pé da perpendicular” ao
plano  que passa por P.

Observação: Quando P  , os pontos P e P9 coincidem (P  P9).

P ϵ PЈ
␣

De uma figura plana qualquer sobre um plano H Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
FG

FЈ GЈ
HЈ

␣

As figuras F9, G9 e H9 são as projeções ortogonais das figuras F, G e H, respectivamente, sobre o plano .
Elas são formadas pelas projeções ortogonais de todos os pontos das figuras F, G e H sobre .

Exercícios Atividade Atividade
em dupla em equipe

16. Verifiquem se cada afirmação é verdadeira (V) e) A projeção ortogonal de uma esfera sobre um
plano é sempre um círculo. V
ou falsa (F).
f) As projeções de três pontos não colineares sobre
a) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um um plano podem ser três pontos colineares. V
plano pode ser um segmento de reta. V
17. Considerem um plano , uma reta r e um ponto
b) A projeção ortogonal de uma circunferência
sobre um plano pode ser um ponto. F P tais que r ÷ , P Ó  e P Ó r.
Indiquem todas as possibilidades quando se faz a pro-
c) Se a projeção ortogonal de AB sobre  é A9B9, jeção ortogonal, respectivamente, de r e P sobre .
então a medida de A9B9 é menor do que a de AB.
x a) Uma reta e um ponto fora dela.
F b) Um único ponto.

d) Se a projeção ortogonal do nABC sobre um x c) Dois pontos distintos.
plano  é o nA9B9C9 e o nABC é congruente ao x d) Uma reta.
nA9B9C9, então o nABC está contido em  ou
está contido em um plano distinto e paralelo e) Duas retas distintas.
a . V

160 Capítulo 7

11 Dist‰ncias

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos distintos, A e B, a distância entre A e B é a medida do segmento de reta AB.

A B Fique atento!
Quando se diz que a distância entre A e B é
Distância de um ponto a uma reta AB, subentende-se que é a medida de AB.

Dados um ponto P e uma reta r, do espaço, podemos traçar uma reta que passa por P e é perpendicular a r
no ponto A.

A distância do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A, ou seja, é a medida do segmento
de reta Pt A.

P Para refletir
• Em que condições a distância
r
A entre P e r é igual a zero?

Quando P  r.

Distância de um ponto a um plano

Dados um ponto P e um plano , podemos determinar P9, que é a projeção ortogonal de P sobre .
A distância do ponto P ao plano  é a distância entre os pontos P e P9, ou seja, é a medida do segmento
de reta Pt P9.

P Para refletir
• Qual é a distância entre P e 
PЈ
␣ quando P  ?

Distância entre duas retas distintas e paralelas A distância é zero.

Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a distância entre r e s é a distância de qualquer ponto de
uma delas à outra reta.

rA Fique atento!
sB Não se pode definir distância
entre duas retas concorrentes.

Distância de uma reta a um plano (quando a reta é paralela ao plano) Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Dados a reta r e o plano  tais que r // , a distância da reta r ao plano  é a distância de qualquer
ponto de r ao plano .

Ar Para refletir
• Se uma reta está contida em
AЈ
␣ um plano, qual é a distância
da reta ao plano?

A distância é zero.

Observação: Não se pode falar em distância de uma reta a um plano quando ela é oblíqua a ele.

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 161

Distância entre dois planos distintos e paralelos

Dados dois planos distintos,  e , tais que  // , a distância entre esses dois planos é a distância de
qualquer ponto de um deles ao outro plano.

A Para refletir
␣ • Quando a distância entre

AЈ dois planos é zero?
␤
Quando os planos são coincidentes.

Observação: Não se pode falar em distância entre dois planos concorrentes.

Distância entre duas retas reversas

Dadas duas retas reversas, r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano  que contém
s e é paralelo a r. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.

A BC r Para refletir
• É possível a distância entre
s
AЈ BЈ CЈ duas retas reversas ser zero?
␣
Não é possível.

Veja um exemplo que usa um cubo com arestas de medida 3 no qual são calculados os vários tipos de

medidas.

a) distância entre os pontos B e G → 3 E F

b) distância entre F e H → 3 2

c) distância entre E e B → 3 3 H G Para refletir
A • Como foi feito o cálculo nos
d) distância de H a ,AB= → 3
e) distância entre ,DE= e B, G= → 3 2 itens b e c?
f ) distância entre B, D= e E, F= → 3
D Veja a resolução no Manual do
g) distância de E, F= a p(A, B, C) → 3 Professor.

C

h) distância de F, C= a p(E, D, B) → 32
2
B
i ) distância entre p(A, B, G) e p(E, F, C) → 3

Exerc’cio

18. Considerem um paralelepípedo com as medidas indicadas na figura abaixo. Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Determinem as distâncias: i) entre as retas ,CE - e ,BH.- 4 B C
a) entre os pontos A e B. 3
D2
b) entre os pontos H e F. 5 j ) da reta ,BD - ao
c) entre os pontos C e E. 13 F
d) entre os pontos D e H. 2 5 plano p(E, F, H). 2 A 3
e) do ponto médio de AB à reta ,CD.- 4 k) entre os planos E
f ) do ponto médio de BC à reta H, E.- 13
g) do ponto F ao plano p(A, B, G). 4 p(A, D, E) e
h) entre as retas , HE - e , AD.- 2
p(B, G, F).3 G

l ) entre as retas , GH-
e , BD.- 2

m) entre os pontos B e E. 29 H 4

162 Capítulo 7

Um pouco mais...

O método dedutivo: algumas demonstrações Assunto
opcional

Em um sistema dedutivo ou axiomático, precisamos identificar um conjunto de noções primi-
tivas não definidas e um conjunto de axiomas e postulados, que são propriedades aceitas como
verdadeiras sem demonstrações. As demais propriedades (os teoremas) são demonstrados a
partir desses postulados.

Na Geometria espacial as noções básicas, primitivas, que aceitaremos sem definição são: ponto,
reta, plano e espaço.

Examine alguns postulados que relacionam ponto, reta, plano e espaço:

Postulado 1: Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta
que os contém.

Postulado 2: Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano
que os contém.

Postulado 3: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.

Já vimos também que os teoremas são demonstrados a partir dos postulados e de outras pro-
priedades já demonstradas, usando raciocínio lógico.

Voc• sabia?
A Geometria assim desenvolvida usa o mŽtodo dedutivo. Partimos de algumas noções para as quais não é apresentada
definição (entes primitivos) e algumas propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração (postulados ou
axiomas). Isso não é exclusividade da Geometria — ocorre em qualquer teoria matemática.

Vamos usar esses postulados para demonstrar alguns teoremas e compreender como funciona
o método dedutivo.

Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto
não pertencente a ela.

Demonstração:

Considere P um ponto não pertencente à reta r. P ␣
Marcamos sobre r dois pontos distintos, Q e R. Q Rr
Os pontos P, Q e R não são colineares, pois, pelo postulado 1, r é a única
reta que passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r.

Pelo postulado 2, sabemos que existe um único plano  que contém P, Q e R. Como a reta r tem dois

de seus pontos (Q e R) em , o postulado 3 garante que r está contida em . Assim, de fato existe um Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

plano que contém r e P. Como esse é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único que contém P e r.

Teorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano. S ␣
R
Demonstração: r
Seja P o ponto de intersecção das retas r e s. sP
Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de P. Os pontos

P, R e S são não colineares. Pelo postulado 2, eles determinam um único
plano .

O postulado 3 garante que  contém r e s, uma vez que essas retas
têm dois de seus pontos em .

Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 163

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora Exerc’cio adicional

Demonstrem o teorema 3: Veja a resolução no Manual do Professor.
Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.

Teorema 4: Por um ponto P fora de uma reta r do espaço passa uma única reta s
paralela a ela.

Demonstração:
Considere r uma reta do espaço e P um ponto que não pertence a r. Pelo teorema 1, existe

um único plano a que contém P e r; nesse plano, existe uma, e somente uma, reta s paralela a
r passando por P (quinto postulado de Euclides).

s
P

␣r

No entanto, não existem retas paralelas a r passando por P que não estejam contidas em a,
já que, pelo teorema 2, todas as retas coplanares com r passando por P estão contidas em a.

Portanto, a reta s é a única reta do espaço que contém P e é paralela a r.

Teorema 5: Quando dois planos distintos possuem pontos comuns, sua intersecção
é uma reta.

Demonstração:
Considere os pontos P e Q comuns a a e b.

␤

Q
rP

␣

Pelo postulado 3, a reta r definida por P e Q está contida, ao mesmo tempo, em a e b e, portanto,
em sua intersecção.

Contudo, se houvesse um ponto R comum a a e b que não pertencesse a r, os planos a e b
seriam coincidentes, uma vez que, pelo teorema 1, r e R determinam um único plano. Portanto,
r é a intersecção de a e b.

164 Capítulo 7

CAPÍTULOCAPÍTULO
PoCloiendjurnotso: s
Hans Von Manteuffel/Pulsar Images
081 prniusmaésriceopsirâmides

Vista aérea da ilha de Antônio Vaz, em Recife (PE). A maioria dos
prédios de uma região metropolitana tem a forma de poliedros
convexos e poliedros não convexos, e, no geral, possui a forma de
um prisma. O Palácio do Campo das Princesas, por exemplo, tem a
forma de um poliedro não convexo. Fotografia de 2015.

165

1 PoliedrosIlustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Em geral, destacamos os poliedros
mais relevantes, pois a quantidade de Museu da Ciência/Biblioteca Fotográfica de Ciência e da Sociedade, Londres, Inglaterra.
tipos e formas existentes desses sóli-
dos é enorme. No Museu da Ciência de
Londres há uma seção dedicada aos
poliedros, com uma variedade bastan-
te grande de tipos.

Museu da Ciência de Londres,
Inglaterra. Fotografia de 2015.

As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros.

Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de po- vértice
lígonos chamados faces e a região do espaço limitada por eles. Cada aresta
lado de um desses polígonos é também lado de um outro único polígo- face
no. A intersecção de duas faces quaisquer é um lado comum, ou é um
vértice, ou é vazia.

Cada lado de um polígono comum a exatamente duas faces é cha-
mado aresta do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice
do poliedro.

Fique atento!
Cada vértice do poliedro é um ponto comum a três ou mais arestas.

166 Capítulo 8

Agora que já definimos os elementos básicos de um poliedro (aresta, vértice e face), formem grupos de

três colegas e, de acordo com a informação a seguir, respondam às questões.

Uma folha de papel é um poliedro (ela possui 3 dimensões, mesmo que a espessura do papel seja muito

difícil de ver). 6 faces; 12 arestas e
8 vértices.
Qual é o número de faces de uma folha de papel? E o número de arestas? E de vértices?

Após chegarem a um acordo no grupo, comparem suas respostas com as dos demais grupos.

A pergunta é incomum de propósito, a ideia é fazer os alunos refletirem sem que vejam um modelo. Peça aos grupos que exponham suas respostas

e permita a discussão entre os grupos. Só depois de todos os grupos darem sua opinião, intervenha e revele as respostas corretas, aproveitando

Poliedro convexo e poliedro não convexo para institucionalizar esses conceitos.

Vamos recordar o que é uma região convexa do plano.

Q P
P Q

I II
P
P

Q
Q

III IV

Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer dessa região
está inteiramente contido nela. Nas figuras acima, I e II são regiões convexas e III e IV são regiões não con-
vexas do plano. De modo equivalente, podemos dizer também que uma região plana é convexa se qualquer
reta r desse plano intersecta seu contorno em, no máximo, dois pontos:

rR Sr

R Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
S

Regiões planas convexas

RS TU
r
RS TU
r

Regiões planas não convexas

Poliedros: prismas e pirâmides 167

Um polígono é convexo quando o segmento de reta que liga dois de seus pontos está sempre con-
tido nele.

De modo equivalente, podemos dizer que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma
das faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.

Poliedros convexos Poliedros não convexos

r U r
R T
R
S S

R R U r
S T
S
r

Para refletir

• Pode-se dizer também que um

poliedro é convexo quando se situa

do mesmo lado de qualquer plano

que contenha uma de suas faces.

Constate isso nos poliedros dos

quadros acima.

Exerc’cios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!

1. Analise o poliedro da figura ao lado e responda: A

5 faces, 8 arestas e 5 vértices.

a) Qual é o número de faces, de arestas e de vértices?

b) Qual é a forma de cada face? 4 faces triangulares e 1 face quadrangular.

c) O vértice C é comum a quantas arestas? 3 arestas. B Para refletir
d) O vértice A é comum a quantas arestas? 4 arestas.
• Qual é o número
e) Qual é a posição relativa das retas determinadas pelas C
arestas AEu e BCu? Retas reversas. E mínimo de faces

que pode ter um

D poliedro? 4 faces

2. Classifique cada um dos poliedros em convexo ou não convexo.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora a) c) espaço vazado Fique atento!
O estudo que será feito a partir
convexo (“furo“) daqui vai considerar apenas os
poliedros convexos. Por isso,
b) não convexo sempre que aparecer a palavra
poliedro deve-se subentender
d) que ele é convexo.

não convexo convexo
168 Capítulo 8

2 Rela•‹o de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de

vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.

Observe estes exemplos: Prisma de Pirâmide de Tronco de pirâmide
base pentagonal
Cubo Tetraedro Dodecaedro base quadrangular de base retangular

F56 F54 F 5 12 F57 F55 F56
V58 V54 V 5 20 V 5 10 V55 V58
A 5 12 A56 A 5 30 A 5 15 A58 A 5 12

Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos do que
a soma do número de faces com o número de vértices.

Essa relação pode ser escrita assim:

V 2 A 1 F 5 2 relação de Euler Para refletir
No cubo, temos: 8 2 12 1 6 5 2.

O valor 2 dessa expressão é uma característica de todos os poliedros Escreva no caderno a relação de Euler
convexos. para os outros poliedros acima.

Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo: Tetraedro: 4 2 6 1 4 5 2
Dodecaedro: 20 2 30 1 12 5 2

Prisma de base pentagonal: 10 2 15 1 7 5 2

V56 V2A1F52 Pirâmide de base quadrangular: 5 2 8 1 5 5 2
Tronco de pirâmide de base retangular:

F 55 ↓↓↓ 8 2 12 1 6 5 2

A59 6291552

Observações:
1a) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos vale também a relação de Euler.

Examine um exemplo dessa afirmação no poliedro não convexo abaixo:

V57 V2A1F52
F 57 7 2 12 1 7 5 2
A 5 12

2a) A expressão V 2 A 1 F pode assumir valores diferentes de 2 quando Poliedro não convexo Ilustrações técnicas desta página:
o poliedro não é convexo. Banco de imagens/Arquivo da editora
Examine o poliedro ao lado, que é um exemplo dessa situação. Fique atento!
Neste caso: Todo poliedro convexo satisfaz a
V 2 A 1 F±2 relação de Euler, mas nem todo
↓↓↓ poliedro que satisfaz a relação de
16 2 32 1 16 5 0 Euler é convexo.

3a) Dados três números, V, A e F, tais que V 2 A 1 F 5 2, nem sempre
existe um poliedro que tenha V vértices, A arestas e F faces. Por exem-
plo, V 5 1, A 5 3 e F 5 4.

Poliedros: prismas e pirâmides 169

Exercícios resolvidos

1. Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e

4 faces triangulares.

Resolução:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ? 4 5 24; 24 arestas

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ? 3 5 12; 12 arestas
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é: A 5 24 ϩ 12 5 18

2
Temos, então, F 5 10 e A 5 18.

Aplicando a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 18 1 10 5 2 ⇒ V 5 10

Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.

2. Arquimedes (século III a.C.) descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexa-

gonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez
na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Resolução: Staff/Agence France-Presse
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 ? 5 5 60; 60 arestas Jogadores
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim: disputam a bola
20 ? 6 5 120; 120 arestas
Logo: na Copa do
F 5 12 1 20 5 32 Mundo de Futebol
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos:
2A 5 60 1 120 ⇒ 2A 5 180 ⇒ A 5 90 realizada no
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler, México, em 1970;
V 2 A 1 F 5 2:
V 2 90 1 32 5 2 ⇒ V 5 2 1 90 2 32 ⇒ V 5 60 jogo entre
Assim, o número de vértices é 60. Alemanha e

Marrocos.

Exercícios 8. Como dito anteriormente, uma bola de futebol po- Le Do/Shutterstock/Glow Images

3. Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 de ser representada por um poliedro formado por
12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas
e o de arestas é 10. Qual é o número de faces? com lados congruentes entre si. Sabe-se que, para
costurar essas faces lado a lado, formando a super-
7 faces. fície da bola, usa-se 20 cm de linha em cada aresta
do poliedro.
4. Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número
Qual é o comprimento total de linha que será gasta
de faces é igual ao número de vértices. Quantas para costurar toda a bola, em metros? 18 m.
faces tem esse poliedro? 11 faces.

5. Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal e

6 faces triangulares. Quantos vértices tem esse po-
liedro? 7 vértices.

6. Qual é o número de faces de um poliedro convexo

de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5
arestas? 32 faces.

7. Determine o número de vértices de um poliedro

convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face qua-
drangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais.

10 vértices.

170 Capítulo 8

Uma aplicação da relação de Euler

Como visto anteriormente, Euler descobriu, em 1752, uma relação entre arestas, faces e vértices de um
poliedro que ficou famosa e leva o seu nome. Euler publicou sua descoberta com o seguinte enunciado:

Se um poliedro possui V vértices, A arestas e F faces, então V 2 A 1 F 5 2.

Euler não demonstrou essa relação e nem poderia, pois ela não é verdadeira sempre, só é verdadeira
em poliedros convexos. A primeira demonstração correta foi feita em 1794 pelo matemático francês Adrien
Legendre (1752-1833), utilizando ângulos esféricos. Diversas outras demonstrações apareceram depois, mas
o matemático, também francês, Augustin-Louis Cauchy (1879-1857) percebeu que a relação de Euler é váli-
da em outras situações. Em particular, ela é verdadeira para regiões de um plano. Para conhecer um pouco
mais sobre a aplicação da relação de Euler, observe a figura abaixo, que é uma divisão do plano em regiões:

6
7
Banco de imagens/Arquivo da editora
Banco de imagens/Arquivo da editora5189
2

4

3

O plano está dividido em 9 regiões, sendo 8 re- Região Nordeste: Divisão política
giões limitadas e uma (a região 9) ilimitada. Alguns
chamam essa região ilimitada de “oceano” ou de 40º O
“região exterior”. Cada linha que separa duas regiões
é chamada de aresta; cada ponto no qual arestas se OCEANO
encontram é um vértice; e cada região é, naturalmen- ATLÂNTICO
te, chamada de face. Observe na figura o número de
faces (regiões), vértices (pontos) e arestas PA 2
(linhas). Verifique que são 9 faces, 12 vértices e MARANHÃO
19 arestas. Assim: V 2 A 1 F 5 12 2 19 1 9 5 2. CEARÁ RIO GRANDE
PIAUÍ DO NORTE
Essa é a versão plana da relação de Euler. Entre- 1 3
tanto, para que ela seja verdadeira, devemos exigir TO
que cada aresta separe realmente duas regiões e que 4 PARAÍBA
nenhuma região esteja contida em outra. Cada região BAHIA
é caracterizada pelo seu gênero: seu número de vér- 5
tices e seu número de arestas. Assim, na figura acima, PERNAMBUCO
a região 1 tem gênero 3, a região 2 tem gênero 5 e
assim por diante. Observe ainda que a região 9 (ilimi- 6
tada) tem gênero 6. Veja agora o mapa da região Nor- ALAGOAS
deste do Brasil com seus estados e verifique nele a
relação de Euler. 7 10º S
SERGIPE

8

GO

DF MG N
OL
0 220 440 km
S
ES

Fonte: Adaptado de IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro. 2012. p. 164.

Poliedros: prismas e pirâmides 171

3 Poliedros regulares

Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares e congruentes e em todos
os vértices concorre o mesmo número de arestas.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora Poliedro regular Poliedro regular Fique atento!
A Um polígono regular é um
Observe agora: polígono que tem todos os lados
B e ângulos internos congruentes.

Poliedro não regular: as Poliedro não regular: as faces são
faces não têm o mesmo regulares e congruentes, mas para o
número de lados. vértice A convergem 3 arestas e para
o B convergem 4 arestas.

Propriedade: existem apenas cinco poliedros regulares convexos*

Vamos demonstrar essa propriedade.
Consideremos um poliedro regular em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas
que concorrem em cada vértice. Assim, temos:

o que acarreta: 2A 5 nF 5 pV Para refletir
A ϭ nF e V ϭ nF
• O cubo é um poliedro regular:
2p
verifique nele que 2A 5 nF 5 pV.

• V 5 8; A 5 12; F 5 6; n 5 4 e p 5 3
2 ? 12 5 4 ? 6 5 3 ? 8

Substituindo esses valores na relação de Euler, V 2 A 1 F 5 2, temos:

nF Ϫ nF ϩF ϭ2 ⇒ 2nF ϪnpF ϩ2pF ϭ 4p ⇒ F(2n 1 2p 2 np) 5 4p ⇒ Fique atento!
p 2 2p 2p
• 2A 5 nF, pois cada aresta está
4p
⇒ F 5 2nϩ2pϪnp contida em 2 faces.

• 2A 5 pV, pois cada aresta

contém 2 vértices.

Precisamos ter 2n 1 2p 2 np  0, isto é:

2n  np 2 2p ⇒ 2n  p(n 2 2) ⇒ 2n Ͼ p
nϪ2

Como p  3, temos que:

2n  p  3 ⇒ 2n  3n 2 6 ⇒ 2n  26 ⇒ n  6 Para refletir
nϪ2
• n  3 e p  3. Por quê?

* Veja a seção Leitura no final do capítulo.

• n  3, pois o menor número possível de lados em cada face é 3 (face triangular).

172 Capítulo 8 p  3, pois o menor número possível de arestas que concorrem para o mesmo vértice é 3 (o cubo, por exemplo).

Portanto, temos as seguintes possibilidades: n 5 3, n 5 4 e n 5 5.

• Para n 5 3: pϭ3 ⇒ F ϭ4 (tetraedro)

Fϭ 4p → pϭ4 ⇒ F ϭ8 (octaedro)
6−p pϭ5 ⇒ F ϭ20 (icosaedro)

• Para n 5 4:

F ϭ 4p ϭ 2p → p 5 3 ⇒ F 5 6 (cubo) Fique atento!
8Ϫ2p 4Ϫp Nas imagens abaixo, cada poliedro
está acompanhado de sua
• Para n 5 5: identificação. As planificações são
representações das superfícies que
F ϭ 4p → p 5 3 ⇒ F 5 12 (dodecaedro) formam a fronteira do sólido (de
10Ϫ3p modo informal, a “casca” do sólido).

Examine estes desenhos:

Tetraedro: 4 faces triangulares equiláteras e Octaedro: 8 faces triangulares equiláteras e
3 arestas que concorrem em cada vértice. 4 arestas que concorrem em cada vértice.

Icosaedro: 20 faces triangulares equiláteras e Cubo: 6 faces quadradas e 3 arestas Ilustrações técnicas desta página:
5 arestas que concorrem em cada vértice. que concorrem em cada vértice. Banco de imagens/Arquivo da editora

Dodecaedro: 12 faces pentagonais regulares congruentes e 3 arestas que concorrem em cada vértice.

Exerc’cio

9. No caderno, copie e complete o quadro com os nomes, o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros

convexos regulares. Coloque também a forma das faces e verifique em cada um a relação de Euler.

Poliedros Número Número Número Forma Relação
regulares de faces de vértices de arestas das faces de Euler

tetraedro 4 4 6 triangular 4261452
cubo 6 8 12 quadrada 8 2 12 1 6 5 2
8 6 12 triangular 6 2 12 1 8 5 2
octaedro 12 20 30 pentagonal 20 2 30 1 12 5 2
dodecaedro 20 30 triangular 12 2 30 1 20 5 2
icosaedro 12

Poliedros: prismas e pirâmides 173

Poliedros de Platão

Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se, Fique atento!
forem verificadas as seguintes condições: Em um poliedro de Platão as faces não
precisam ser pol’gonos regulares.
• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
• Vale a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2.

Dessa forma, todos os poliedros regulares convexos são poliedros de Platão.
E, da mesma maneira que foi demonstrado que só existem cinco poliedros regulares convexos, podemos
demonstrar que só existem cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros
e icosaedros.

Este hexaedro é O cubo é poliedro
poliedro de Platão, regular e é poliedro
mas não é regular, de Platão.
pois não é o cubo.

4 Prismas

Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, que vamos estudar com mais detalhes.

Veja alguns exemplos e procure perceber suas características.

As características que se
destacam nestas
imagens é a dupla de
faces paralelas e opostas
(faces horizontais das
imagens) unidas por
faces retangulares.

Construção e definição de prisma

Considere um polígono, por exemplo ABCDE, contido em um plano a. Escolha um ponto A qualquer, não
pertencente a a. Por A trace o plano  paralelo a a. Pelos demais pontos, B, C, D, E, trace retas paralelas a
AA que cortam  nos pontos B, C, D, E. Essas retas são paralelas entre si.

␤ EЈ DЈ ␤ Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
AЈ AЈ base CЈ
aresta lateral
ED ␣ BЈ face lateral
A RR C ␣
ED
B base
r
AC
B

r aresta da base

174 Capítulo 8

Tome dois segmentos de reta consecutivos assim determinados, por exemplo At A e Bt B. O quadrilá-
tero AABB é plano, pois seus lados AA e BB são paralelos. Isso acarreta que At B e At B também são pa-
ralelos (pois estão contidos em retas coplanares que não se intersectam por estarem contidas em planos
paralelos). Logo, o quadrilátero AABB é um paralelogramo. Os paralelogramos assim determinados,
juntamente com os polígonos ABCDE e ABCDE, determinam um poliedro chamado prisma de bases
ABCDE e ABCDE.

A região do espaço ocupada por um prisma é formada pelos pontos dos segmentos de reta nos quais
cada extremidade está em uma das bases.

As arestas AA, BB, CC, DD e EE são chamadas arestas laterais. Todas as arestas laterais são paralelas
e de mesmo comprimento.

Arestas laterais consecutivas determinam paralelogramos e são chamadas faces laterais do prisma.
As bases ABCDE e ABCDE são congruentes. A altura do prisma é a distância entre as bases.

Caso particular: o paralelepípedo paralelepípedo

Quando a base é um paralelogramo, temos um prisma particular chamado
paralelepípedo.

Paralelepípedos são prismas cuja particularidade é que qualquer de suas faces
pode ser tomada como base, pois duas faces opostas quaisquer estão situadas em
planos paralelos e são ligadas por arestas paralelas entre si.

Prismas retos

O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e é oblíquo quando não o são.

Fique atento!
Retângulo é um caso
particular de paralelogramo.

prisma reto prisma oblíquo

Assim, em um prisma reto, as faces laterais são retângulos.
De acordo com o polígono das bases, o prisma recebe nomes especiais. Veja alguns exemplos:

a) Prisma reto de base triangular ou prisma reto triangular

Ilustrações técnicas desta página: C
Banco de imagens/Arquivo da editora AB

Fique atento!
As faces laterais são
paralelogramos particulares,
ou seja, retângulos.

F planificado
DE

Bases: triângulos ABC e DEF
Faces laterais: quadriláteros ABED, ACFD e BCFE
Arestas laterais: At D, tCF e Bt E

Poliedros: prismas e pirâmides 175

b) Prisma reto de base pentagonal ou prisma reto pentagonal

E
AD

BC

J I
F

GH

Planificado

Bases: pentágonos ABCDE e FGHIJ
Faces laterais: quadriláteros BCHG, CDIH, DEJI, AEJF e ABGF (retangulares)
Arestas laterais: At F, Bt G, tEJ, Ct H e tDI

c) Prisma reto de base retangular ou paralelepípedo retângulo ou bloco retangular
Quando o prisma é reto e a base é um retângulo, obtemos um paralelepípedo retângulo ou bloco retan-
gular, no qual cada face também é um retângulo.

Fique atento!
Um paralelepípedo retângulo é um
prisma reto em que qualquer face
serve de base.

Paralelepípedo retângulo
ou bloco retangular

Paralelepípedo retângulo planificado

d) Cubo ou hexaedro regular
Quando, em um prisma reto, a base é um polígono regular, temos um prisma regular. Um exemplo é o
cubo ou hexaedro regular, que é um caso particular de paralelepípedo retângulo, no qual cada face é um
quadrado. Assim:

Prisma regular é um prisma reto cuja base é um polígono regular.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora Cubo ou hexaedro regular Fique atento!
Todo quadrado é um retângulo.
Cubo planificado Todo retângulo é um paralelogramo.
Então, todo quadrado é um
Examine essa classificação em um diagrama: paralelogramo.

poliedros Fique atento!
prismas retos Todo cubo é paralelepípedo, mas
paralelepípedos retângulos nem todo paralelepípedo é cubo.

cubos

176 Capítulo 8

Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo
e de um cubo

No paralelepípedo de dimensões a, b e c, temos:

HG Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
E d Fc
D C
x b
A a
B

d 5 medida da diagonal do paralelepípedo
x 5 medida da diagonal da base

Na figura podemos localizar dois triângulos retângulos:

H
D

bx c d

A a BD x B

• Como o triângulo ABD é retângulo em A, temos, pela relação de Pitágoras:

x2 5 a2 1 b2 I

• Como o triângulo DBH é retângulo em D, temos, pela relação de Pitágoras:

d2 5 x2 1 c2 II

• Substituindo I em II , vem:

d2 5 x2 1 c2 5 a2 1 b2 1 c2 ⇒ d 5 a2 ϩ b2 ϩ c 2

No cubo, como ele é um caso particular de paralelepípedo reto retangular, temos:

a
d

xa
a

d ϭ a2 ϩ a2 ϩ a2 ϭ 3a2 ϭ a 3

dϭa 3

Área da superfície de um prisma

Em todo prisma, consideramos:

• superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
• área lateral (A): é a área da superfície lateral;
• superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases;
• área total (AT): é a área da superfície total.

Poliedros: prismas e pirâmides 177

Exercícios resolvidos área total 5 área lateral 1 área das bases
Nesse caso, a área total é dada por:
3. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base
AT 5 A 1 2Ab 5(108 + 27 3 ); AT = (108 + 27 3 ) cm2
mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm. Como 3 . 1,7, temos AT . 153,9 cm2.
Calcule a área total.
4. Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sa-
s
bão com as medidas da figura abaixo. Desprezando
r as abas, calcule, aproximadamente, quantos metros
quadrados de papelão serão necessários.
Montado
40 cm
base
s 20 cm

14 cm

r Resolução:
A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo:

base a a

Planificado c bc
b Planificado
Resolução:
Na figura, temos: Montado
r: medida da aresta lateral 5 6 cm
s: medida da aresta da base 5 3 cm Todo paralelepípedo retângulo é formado por
Observando a figura, vemos que: 6 faces:
área lateral: A 5 6(r ? s) 5 6(6 ? 3) 5 108;
A 5 108 cm2 • dois retângulos de medidas a e b;
área da base: Ab 5 área do hexágono regular • dois retângulos de medidas a e c;
O hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros: • dois retângulos de medidas b e c.

Já estudamos neste volume que a área de um triân- Daí, temos: Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

gulo equilátero de lado  é dada por A 5 ᐉ 2 3 . área total: AT 5 2ab 1 2ac 1 2bc 5 2(ab 1 ac 1 bc)

4 Nesse caso:

Nesse caso, temos: área de cada caixa: AT 5 2(40 ? 20 1 40 ? 14 1 20 ? 14) 5
5 2(800 1 560 1 280) 5 3 280; AT 5 3 280 cm2
Ab 5 6 и s2 3 ϭ6и 32 3 ϭ 27 3 ; Como são 10 000 caixas, temos:
4 4 2 A 5 3 280 ? 10 000 5 32 800 000;
32 800 000 cm2 5 3 280 m2
Ab ϭ 27 3 cm2
2 Portanto, serão necessários pelo menos 3 280 m2
de papelão.

Como são duas bases, temos: Fique atento!

2Ab 5 2 ? 27 3 ϭ 27 3 ; Ab ϭ 27 3 cm2 Se 1 m 5 100 cm,
2 então 1 m2 5 10 000 cm2.

178 Capítulo 8

Exerc’cios

10. Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto re- 21. Quantos metros qua- 1,80 cm
90 cm
tangular no qual as dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm? drados de madeira são
gastos, aproximada-
10 2 cm mente, para fabricar
100 caixas para trans-
11. Um cubo tem 10 3  cmde aresta. Calcule a medida portar geladeiras? (A
forma e as medidas da
de sua diagonal. 30 cm caixa estão na figura
ao lado.) 810 m2
12. Em um cubo, a soma das medidas de todas as arestas 90 cm

é 48 cm. Calcule a medida da diagonal desse cubo. 22. A diagonal de um cubo mede 10 3 m. Qual é a área

4 3 cm total desse cubo? 600 m2

13. A diagonal de um paralelepípedo reto retangular 23. Quantos centímetros quadrados de papel adesivo

mede 20 2  cm. As dimensões desse paralelepípe- são gastos para cobrir a superfície total de uma
peça sextavada cuja forma e medidas estão na
do são proporcionais aos números 5, 4 e 3, respecti- figura abaixo? 0,24(180 ϩ 3 ) cm2

vamente. Calcule as dimensões desse paralelepípedo.

20 cm por 16 cm por 12 cm

14. Um cubo tem aresta de 6 cm. Qual é a área total

desse cubo? 216 cm2

15. Um paralelepípedo reto retangular tem dimensões

de 4 cm, 5 cm e 8 cm. Qual é a área total desse pa-
ralelepípedo? 184 cm2

16. Quantos centímetros quadrados de papelão são 18 cm

gastos para fazer uma caixa de sapatos do tipo e 4 mm

tamanho a seguir? 2 264 cm2

17 cm 32 cm 24. A figura ao lado nos mostra uma

2 cm peça de enfeite. A aresta do cubo

10 cm mede 20 cm. A cavidade, em forma

de prisma regular de base triangular

de aresta 5 cm, estende-se da face

inferior à face superior do cubo. De-  5 400 Ϫ 25 
 2 
17. Um cubo tem área total de 96 m2. Qual é a medida termine a área total da peça. 3 cm2

da aresta do cubo? 4 m 25. Quantas caixas do tipo e tamanho abaixo podem

18. Em um prisma triangular regular, a aresta da base me- ser feitas com 41 000 cm2 de papelão?

de 4 cm e a aresta lateral mede 9 cm. Calcule a área Dado: 3 5 1,7. Aproximadamente 17 caixas.
lateral e a área total do prisma. A 5 108 cm2;
10 cm 10 cm 10 cm
AT 5 4(27 ϩ 2 3 ) cm2
30 cm 30 cm
19. É dado um prisma pentagonal regular no qual a
10 cm 10 cm
aresta da base mede 5 cm e a aresta lateral mede
10 cm. Calcule a área lateral do prisma. 250 cm2 10 cm Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

20. Quantos metros quadrados de azulejo são necessá- 26. Um calendário tem o tipo e o tamanho da figura

rios para revestir até o teto as quatro paredes de abaixo. Quantos centímetros quadrados de pape-
uma cozinha com as dimensões da figura abaixo? lão são necessários para fazer esse calendário?
Sabe-se também que cada porta tem 1,60 m2 de
área e a janela tem uma área de 2 m2. 32,6 m2 Dado: 3 5 1,7. 414,4 cm2

2,70 m 15 cm

3m S 1 81T52222991QA623b1330r01Qi27l44111S8251521S9266132D0271742218
4m
8 cm

Poliedros: prismas e pirâmides 179

Poliedros arquimedianos

Entre os anos de 323 a.C. e 146 a.C., o chamado período helenístico, houve grande difusão da cultura
grega e um extraordinário desenvolvimento das artes e da ciência. A atividade matemática nesse período
estava concentrada em Alexandria (Egito), cidade onde nasceu e viveu Euclides, autor de Os Elementos – uma
coleção de 13 livros que abrangiam de forma sistematizada a Matemática conhecida na época. Essa obra
influenciou o mundo da ciência por muitos séculos.

Arquimedes, considerado um dos maiores matemáticos e cientistas do seu tempo, nasceu em Siracusa
(Sicília, Itália), em 287 a.C. Pela cultura de Arquimedes, imagina-se que ele tenha estudado em Alexandria e
convivido com os discípulos de Euclides. De qualquer forma, Arquimedes conhecia a obra Os Elementos, de
Euclides, e, consequentemente, os cinco poliedros regulares. Sabe-se de forma indireta que Arquimedes
pesquisou uma classe de poliedros chamados hoje de “poliedros semirregulares”, ou, ainda, de “poliedros
arquimedianos”. Esse estudo se perdeu, mas Pappus de Alexandria (290-350) afirma que Arquimedes des-
cobriu 13 poliedros semirregulares.

Os poliedros semirregulares ou arquimedianos são poliedros convexos que cumprem as condições:

• As faces são polígonos regulares de 2 ou 3 gêneros diferentes.
• Todos os vértices são idênticos.

Por exemplo, a partir de um cubo, faça cortes passando pelos pontos
médios das arestas que concorrem em cada vértice. Um desses cortes você
vê na figura ao lado. Retirando-se as pequenas pirâmides, o poliedro resul-
tante é formado por 8 triângulos equiláteros e 6 quadrados. Ele é um dos
poliedros semirregulares ou arquimedianos e tem o nome de cuboctaedro.

Veja a seguir os 13 poliedros arquimedianos:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Reprodução/Arquivo da editora

Tetraedro truncado Cuboctaedro Cubo truncado Octaedro truncado Rombicuboctaedro

Cuboctaedro truncado Cubo achatado Icosidodecaedro Dodecaedro truncado

Icosaedro truncado Rombicosidodecaedro Icosidodecaedro truncado Dodecaedro achatado
180 Capítulo 8

5 Ideia intuitiva de volume

Suponha que queiramos medir a quantidade de espaço ocupado por um sólido S. Para isso, precisamos
comparar S com uma unidade de volume. O resultado dessa comparação é um número que exprime quan-
tas vezes o sólido S contém a unidade de volume. Esse número é a medida do volume de S, que costumamos
dizer, simplesmente, volume de S.

Sólido S Unidade de volume: U

Por exemplo, o volume do sólido S acima é de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja:

volume de S 5 12 U

Cubo unitário

Vamos estabelecer como unidade de volume um cubo cuja aresta mede uma unidade 1
de comprimento. Ele será chamado cubo unitário. 1

Qualquer cubo cuja aresta meça 1 terá, por definição, volume igual a 1. 1

Volume do paralelepípedo retângulo ou bloco retangular Cubo unitário

O bloco retangular é um poliedro formado por 6 faces retangulares. Ele fica determinado por três me-
didas: o seu comprimento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c). Indicaremos o volume desse bloco retan-
gular por V(a, b, c) e o volume do cubo unitário por V(1, 1, 1) 5 1.

c

b
a

O volume do bloco retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, ou seja, se mantivermos
constantes duas das dimensões e multiplicarmos a terceira dimensão por um número natural qualquer, o
volume também será multiplicado pelo mesmo número natural. Isso pode ser observado no exemplo abaixo:

V(a, b, 3c) 5 V(a, 3b, c) 5 V(3a, b, c) 5 3V(a, b, c)

Ilustrações técnicas desta página: a a a a
Banco de imagens/Arquivo da editora b a
b b a b
c cc b c
b
c c

É possível provar que esse fato, constatado com um número natural, vale para qualquer número real
positivo. Ou seja, mantidas constantes duas dimensões do bloco retangular, seu volume é proporcional à
terceira dimensão. Assim, temos:

V(a, b, c) 5 a ? V(1, b, c) 5 ab ? V(1, 1, c) 5 abc ? V(1, 1, 1) 5 abc ? 1 5 abc a 1
11
Logo: b
c
V(a, b, c) 5 abc

Portanto, o volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto das suas dimensões.

Poliedros: prismas e pirâmides 181

Observações: c
1a) Como ab indica a área da base e c indica a altura, é possível também indicar o

volume do paralelepípedo retângulo assim:

V 5 Abh b
a

em que Ab 5 ab (área da base); h 5 c (altura correspondente).

Assim, pode-se dizer que o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base
pela altura.

2a) Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo com todas as arestas a
de medidas iguais, seu volume é dado por:

V 5 a ? a ? a ou V 5 a3

a

3a) Agora podemos conceituar a razão entre volumes de sólidos semelhantes, citada na página 138. Se a

razão entre as arestas homólogas (ou seja, que se correspondem) de dois blocos retangulares for igual a
k, então a razão entre seus volumes será igual a k3. Com efeito, se V(x, y, z) é o volume de um bloco re-
tangular de arestas x, y e z, e V(kx, ky, kz) é o volume do bloco de arestas kx, ky e kz, então: V(kx, ky, kz) 5
5 k ? V(x, ky, kz) 5 k ? k ? V(x, y, kz) 5 k ? k ? k ? V(x, y, z) 5 k3 ? V(x, y, z).

Podemos estender este conceito para quaisquer sólidos semelhantes. Por exemplo, todas as esferas são

semelhantes entre si, e a razão entre seus volumes é o cubo da razão entre seus raios.

Assim, considerando dois sólidos semelhantes, temos:
Razão entre seus elementos lineares homólogos (arestas, raios, alturas, etc.): k
Razão entre suas áreas: k2
Razão entre seus volumes: k3

Exercícios resolvidos passo a passo: exerc’cio 7

5. Qual é o volume de concreto necessário para construir uma laje de 20 cm de espessura em uma sala de 3 m

por 4 m?

Resolução: 20 cm ϭ 0,20 m 3m
área da base: Ab 5 3 ? 4 5 12; Ab 5 12 m2
V 5 área da base ? altura 5 Abh 5 12 m2 ? 0,20 m 5 2,40 m3 4m
São necessários 2,40 m3 de concreto.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
6. Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para montar a caixa cúbica cuja figura está abaixo, calcule o

volume dessa caixa.

Resolução:
Nesse caso, a área total do cubo é:
0,96 m2 5 96 dm2 5 9 600 cm2
Sabendo que AT 5 6a2, temos:
9 600 5 6a2 ⇒ a2 5 1 600 ⇒ a 5 40 cm
Como V 5 a3, temos:
V 5 (40 cm)3 5 64 000 cm3 5 64 dm3 5 0,064 m3

182 Capítulo 8

Resolvido passo a passo Reprodução/ENEM 2014 3. Executando o que foi planejado

7. (Enem) Um fazendeiro tem • Volume do depósito

um depósito para armazenar de armazenamento
leite formado por duas partes
cúbicas que se comunicam, Volume total 5 a
como indicado na figura. A
aresta da parte cúbica de bai- 5 (2a)3 1 (a)3 ⇒ 2a
xo tem medida igual ao do- ⇒ VT 5 8a3 1 a3 5 9a3
bro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A
torneira utilizada para encher o depósito tem vazão • Volume da parte que já es-
constante e levou 8 minutos para encher metade da
parte de baixo. tá cheia

Quantos minutos essa torneira levará para encher VC 5 2a ? 2a ? a 5 4a3
completamente o restante do depósito?
• Cálculo do tempo necessário para preencher o res-
a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 24.
tante do depósito
1. Lendo e compreendendo
Volume a ser preenchido (VP) 5 Volume total (VT) 2
a) O que é dado no problema?
É dado o formato do depósito de armazenamento 2 Volume já enchido (VC)
de leite, um depósito composto por duas partes VP 5 9a3 2 4a3 5 5a3
cúbicas, com a parte cúbica maior apresentando
uma aresta com tamanho dobrado em relação à Volume preenchido → Tempo gasto
aresta da parte cúbica menor. Além disso, é infor-
mado o tempo que a torneira leva para encher 4a3 8 min
certa parte do depósito.
5a3 x min
b) O que se pede?
Pede-se o tempo restante necessário para a tornei- xϭ 40a3 ϭ 10 min
ra encher completamente o tanque, considerando 4a3
que a torneira continue com a mesma vazão.
4. Emitindo a resposta
2. Planejando a solução A resposta é a alternativa b.
Uma das formas de solucionar o problema é calcular o
volume do depósito, considerando que a aresta da parte 5. Ampliando o problema
cúbica maior seja igual a 2a e a da parte cúbica menor, a.
Feito o cálculo do volume do depósito, comparamos o a) Considere que o valor de a seja de 2 metros. A partir
valor obtido com o volume já preenchido, e assim, por
regra de três simples, encontraremos o tempo neces- disso, considere que o valor do metro quadrado do
sário para preencher o restante do depósito.
material de que é feito o depósito é de R$ 95,00.

Quanto o fazendeiro gastou para construir o depó-

sito? E qual será a vazão da torneira que o preenche,

em litros/segundo (L/s)? Custo de produção do depósito 5
5 R$ 10640,00; vazão:
b) Discussão em equipe aproximadamente 66,7 L/s.

Troque ideias com os colegas sobre o armazenamen-

to dos produtos que consumimos diariamente, no

processo de produção, transporte e venda. Discutam

sobre a importância do correto armazenamento de

produtos consumíveis e as consequências prove-

nientes do mau armazenamento desses produtos.

Exercícios

27. Qual é o volume de um cubo de aresta 5 3 cm? 33. Qual é o volume de um 1 cm

28. Quanto mede a aresta de um cubo que 375 3 dcmm33 sólido cuja forma e me- 1,5 cm 3 cm

tem 1 000 didas estão na figura ao

de volume? 10 dm lado?

29. Em um paralelepípedo, as dimensões da base são 150 cm3 Formato Comunicação/
Arquivo da editora
4 cm e 7 cm. Se a altura do paralelepípedo é de 5 cm, 10 cm
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
determine o seu volume. 140 cm3 8 cm

30. Quantos litros de água são necessários para encher 34. Observe a piscina representada abaixo e as dimen-

uma caixa-d’água cujas dimensões são: 1,20 m por sões indicadas. Qual é a quantidade máxima de
0,90 m por 1 m? (Lembre-se: 1000 L 5 1 m3.) 1 080 L

31. Quantos dados podem ser colocados em uma caixa água, em litros, que essa piscina pode conter?

cúbica de 20 cm de aresta, se esses dados forem 226 800 L

cubos de 2 cm de aresta? 1 000 dados. 7m

12 m

32. Três cubos de chumbo, com arestas de 6 cm, 8 cm 2,70 m

e 10 cm, respectivamente, são fundidos em uma só

peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica obtida?

1 728 cm3

Poliedros: prismas e pirâmides 183

6 Princípio de Cavalieri Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Imagine três pilhas com o mesmo número de folhas de papel, arrumadas de formas diferentes, como
indicam as figuras:

Note que qualquer plano horizontal que seccione as três pilhas terá intersecções de mesma área (uma
folha); note também que as três pilhas têm volumes iguais (só mudam as formas).

Essa situação serve para ilustrar o princípio de Cavalieri, que veremos em seguida.
Vamos considerar os sólidos S1 e S2 apoiados em um plano horizontal a. Consideremos também o plano ,
paralelo a a, que, ao seccionar S1, também secciona S2, determinando duas regiões planas de áreas A1 e A2.

A1 A2
␤

S1 S2

␣

Nessas condições, se para todo plano  temos A1 5 A2, então:
volume S1 5 volume S2

É possível demonstrar o princípio de Cavalieri, mas aqui vamos considerá-lo verdadeiro sem fazer sua
demonstração. Veremos que esse princípio simplifica muito o cálculo de volumes.

Curiosidade

O italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), que foi discípulo de Galileu, publicou em 1635 sua
teoria do indivisível, contendo o que hoje é conhecido como “princípio de Cavalieri”. Entretanto, sua teoria,
que permitia que se encontrasse rapidamente e com exatidão a área e o volume de muitas figuras geomé-
tricas, foi duramente criticada na época. Segundo seus críticos, a teoria não se mostrava suficientemente
embasada.

Mal sabiam estes que o princípio de Cavalieri seria um dos pilares do que hoje conhecemos como cálculo inte-
gral, ajudando a definir a noção de integral.

[...] em 1647 Cavalieri publicou a obra Exercitationes geometricae sex, na qual apresentou de maneira mais
clara sua teoria. Esse livro transformou-se em fonte importante para os matemáticos do século XVII. Cavalieri
também escreveu sobre Astronomia e Óptica. [...]

Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/cavaliere.htm>. Acesso em: 6 maio 2016.

184 Capítulo 8

7 Volume do prisma

Para calcular o volume de um prisma qualquer, aplicamos o princípio de Cavalieri.
Inicialmente, observamos que, em um prisma qualquer com a base contida em um plano a, se p é
paralelo a a, a secção determinada por p no prisma será sempre congruente à base, e por isso essa secção
e a base terão sempre áreas iguais.

Fique atento!
Em todo prisma, uma secção
paralela à base é congruente a
␲ essa base.

␣

Podemos agora calcular o volume de um prisma qualquer, utilizando o paralelepípedo retângulo
como auxílio.

S2 Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

␲ ʝ S1 S1 ␲ ʝ S2

h

h
␲

Ab Ab
␣

Vamos considerar um prisma S1, cuja área da base é Ab e a altura é h, e também um paralelepípedo retân-
gulo S2, cuja área da base é Ab e a altura é h. O plano a que contém as bases é horizontal. Qualquer plano
horizontal p que secciona os dois sólidos determina no prisma S1 a secção p > S1, cuja área é igual a Ab, e no
paralelepípedo retângulo S2 determina a secção p > S2, cuja área é igual a Ab.

Como área (p > S1) 5 Ab e área (p > S2) 5 Ab, para qualquer plano horizontal p temos:

área (p > S1) 5 área (p > S2)

Pelo princípio de Cavalieri, concluímos que:

volume do prisma 5 volume do paralelepípedo retângulo

Como o volume do paralelepípedo retângulo é obtido multiplicando a área da base pela altura, temos:

volume do prisma 5 área da base ? altura
V 5 Abh

Poliedros: prismas e pirâmides 185

Exercícios resolvidos

8. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo, cuja base é um triângulo retângulo.

20 cm 15 cm
12 cm

25 cm

Resolução:
A base desse prisma é um triângulo retângulo de catetos 15 cm e 20 cm:

Ab 5 15и 20 5 150
2

A altura do prisma é de 12 cm. Seu volume é:

V 5 Abh 5 150 ? 12 5 1 800
Logo, o volume do prisma é de 1 800 cm3.

9. Queremos encher de areia a caixa indicada na figura abaixo à esquerda. Qual é o volume dessa caixa?

Realidade Modelo matemático

35 cm 35 cm

10 cm 10 cm

Resolução:
A área da base é a área de um hexágono regular cujo lado mede 10 cm.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora 10 cm

Sabemos que o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros e que a área de um triângulo equilá-

tero de lado  é dada por ᐉ2 3 .
4

Logo, a área da base é dada por:

Ab 5 6и 102 3 ϭ 6и 25 3 ϭ 150 3
4

O volume do prisma é dado por V 5 Abh, sendo Ab . 150 3 cm2 e h 5 35 cm.

V 5 150 3 cm2 ? 35 cm 5 5250 3 cm3 . 9 090 cm3.
O volume dessa caixa é de, aproximadamente, 9 090 cm3, ou, aproximadamente, 9 litros.

186 Capítulo 8

Exerc’cios

35. Determine o volume de um prisma triangular re- 42. Seis prismas triangulares regulares de aresta da ba-

gular no qual a aresta da base mede 4 cm e a al- se 2 cm foram juntados formando um prisma he-
tura mede 10 3 cm. 120 cm3 xagonal regular, como mostra a figura:

36. Uma barra de ouro é fundida na forma de um prisma ⇒

cuja base é um trapézio. As bases desse trapézio me- 6
dem 8 cm e 12 cm e a altura da barra é 5 cm. O com-
primento da barra é 30 cm. Qual é o seu volume? a) O volume total dos 6 prismas triangulares soma-
dos é igual, maior ou menor que o volume do
1 500 cm3 prisma hexagonal? Justifique. Igual.

37. Calcule o volume de uma peça de metal cuja forma b) A área total dos 6 prismas triangulares somados
é igual, maior ou menor que a área total do pris-
e medidas estão na figura abaixo: 12 600 3 cm3 ma hexagonal? Justifique. Maior.

8 cm 43. Uma pessoa observa de cima cada um destes pris-

25 cm mas, conforme indica a figura. Desenhe no caderno
o que ela vê em cada caso. Lembre-se de que o con-
20 cm torno de uma figura é sempre aparente, ou seja, nós
o vemos. Veja a resposta deste exercício no Manual do Professor.
38. A área lateral de um prisma triangular regular é
(I) (II) (III)
36 cm2. A altura do prisma é o triplo da aresta da
44. Antônio é proprietário de uma chácara e decidiu fa-
base. Calcule o volume do prisma. 6 3 cm3
zer uma piscina para seus filhos. Para isso quer utili-
zar uma área de 5 m de largura por 10 m de compri-
mento. Antônio quer que sua piscina tenha uma
profundidade de 1 m em um lado e uma profundida-
de de 1,90 m em outro lado, como mostra a figura:

10 m
39. O volume de um prisma regular de base quadrada Dam d’Souza/Arquivo da editora
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
é 700 cm3. O perímetro da base é de 40 cm. Calcule

a altura e a área total do prisma.

h 5 7 cm; AT 5 480 cm2

40. A base de um prisma reto é um hexágono regular de

lado 8 cm. As faces laterais desse prisma são quadra-

das. Calcule o volume e a área total do prisma.

41. V ϭ 768 3 cm3; AT ϭ 192(2 ϩ 3 ) cm2

No canto da sala, foram empilhados alguns cubos,

como mostra a figura.

1,9 m

1m
5m

Quantos metros cúbicos serão necessários para

que Antônio encha essa piscina de modo que falte

0,4 metro, na altura, para enchê-la totalmente?

Todos os cubos têm a mesma medida da aresta, que x a) 52,5 m3 d) 9,5 m3
mede 1 m. Qual é o volume total dos cubos empi-
lhados na sala? 11 m3 b) 72,5 m3 e) 57 m3

c) 95 m3

Poliedros: prismas e pirâmides 187

8 Pir‰mides

Constru•‹o e defini•‹o de pir‰mide

Considere um polígono, por exemplo ABCDE, contido em um plano a e um ponto V exterior ao plano
do polígono.

Traçamos os segmentos de reta VA, VB, VC, VD e VE. Cada dois vértices consecutivos de ABCDE determi-
nam com V um triângulo. Esses triângulos, junto com o polígono ABCDE, determinam um poliedro chamado
pirâmide de base ABCDE e vértice V.

V V

D h
EC D
␣AB
C
E
␣ AB

A região do espaço ocupada pela pirâmide é formada pelos pontos dos segmentos de reta que ligam o
vértice V aos pontos do polígono (base).

A distância do vértice ao plano da base, que indicamos por h, é chamada altura da pirâmide.
Os segmentos de reta VA, VB, VC, VD e VE são chamados arestas laterais, e os triângulos VAB, VBC, VCD,
VDE e VEA são chamados faces laterais da pirâmide.
Veja a seguir alguns exemplos de pirâmides:

1o) 2o)

A

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora E D
B
C

3o)

A 1a pirâmide, ABCDE, é uma pirâmide de base quadrada (ou pirâmide quadrangular); o polígono BCDE é
sua base, AC é uma aresta lateral, BC é uma aresta da base e o triângulo ACD é uma das faces laterais.

A 2a é uma pirâmide de base pentagonal (ou pirâmide pentagonal) e a 3a tem base triangular
(tetraedro).

188 Capítulo 8

Pirâmide regular

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
Vamos considerar uma pirâmide cuja base é um quadrado e com arestas laterais congruentes:

P

P

A B a Fique atento!
Polígono regular é o que tem todos
G AB os lados e todos os ângulos internos
DC congruentes. Ele pode sempre ser
DC inscrito em uma circunferência, cujo
Pirâmide planificada centro é considerado também centro
do polígono regular.

Essa pirâmide é regular, pois sua base é um polígono regular (quadrado) e suas arestas são congruentes
(pirâmide reta).

Nesse caso, podemos ainda afirmar que:

• o segmento de reta (PG) que liga o vértice ao centro da base é a altura da pirâmide;
• as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes;
• a altura de cada face lateral é chamada de apótema da pirâmide regular (a).

Observação: Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos
quais aparecem: a aresta da base (), a aresta lateral (1), o raio da circunferência circunscrita à base (r), o
apótema da pirâmide (a), o apótema da base (a1) e a altura da pirâmide (h).

Veja, em uma pirâmide regular pentagonal, a aplicação da relação de Pitágoras nestes triângulos:

V VV

O a1 a h ᐉ1 h
rM ᐉ1 a
O
ᐉA M r O a1 M
A
ᐉA ᭝VOM Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
᭝VOA a2 ϭ h2 ϩ a12
᭝OMA ᭝VMA
ᐉ21 ϭ h2 ϩ r2 Planificado
 ᐉ  2  ᐉ  2
2 2
r2 ϭ a12 ϩ ᐉ21 ϭ a2 ϩ

Caso particular importante: o tetraedro regular

Uma pirâmide particular formada por quatro Tetraedro regular
triângulos congruentes e equiláteros é o tetraedro
regular (tetra: quatro; edro: face).

Nele, qualquer uma das faces pode ser conside-
rada base. O tetraedro regular é um caso particular
de pirâmide regular.

Poliedros: prismas e pirâmides 189

Área da superfície da pirâmide

Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pirâmides também temos:

• superfície lateral: é formada pelas faces laterais (triângulos);
• área lateral: é a área da superfície lateral;
• superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base;
• área total: é a área da superfície total.

Exercício resolvido

10. Uma pirâmide regular hexagonal tem 8 cm de altura e • Cálculo de a1 (apótema da base):

a aresta da sua base mede 4 3 cm. Calcule a área total. a1 5 4 3и 3 ϭ6
2
Resolução:

Sabemos que:  Atotal ϭ Abase ϩ Alateral (At ϭ Abϩ Aᐉ) ou

 ϭ ᐉ 3 )(4 3 2 a12 4 3  2 a21 5 48 2 12 5 36 ⇒
a1 2 2 
⇒

ᐉ1  ᐉ2 3 ⇒ a1 5 6; a1 5 6 cm
ha  4
Ab ϭ6и • Cálculo de a (apótema da pirâmide):

r ϭᐉ a2 5 82 1 (6)2 5 64 1 36 5 100 ⇒ a 5 10;

( )r2 ϭᐉ2 ϭa12 ϩ ᐉ 2 a 5 10 cm
2
O a2 ϭh2 ϩa12
ᐉ P • Cálculo de A (área lateral):
a1
rϭᐉ ᐉϭ4 3 A 5 6 ? ᐉa ϭ3и 4 3 ? 10 5 120 3;
2
hϭ8
A 5 120 3 cm2
• Cálculo de Ab (área da base):
• Cálculo de At (área total):
( )2
At 5 Ab 1 A 5 72 3 ϩ 120 3 ϭ
Ab 5 6 ? 4 3 и 3 5 6 и 16 и 3 3 5 72 3 ;
44

Ab 5 72 3 cm2 ϭ 192 3; At ϭ 192 3 cm2

Exercícios Atividade Atividade
em dupla em equipe

45. Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de al- 49. A soma das medidas de todas as arestas de um tetrae-

tura e a aresta da sua base mede 4 cm. Calcule: dro regular é 72 cm. Calcule a área total do tetraedro.

a) o apótema da base; 2 3cm 50. A base de uma pirâmide é uma das 144 3 cm2
b) o apótema da pirâmide; 4 7 cm
c) a aresta lateral; 2 29cm 10 cm faces de um cubo de aresta 2 cm. Sen-
d) a área da base; 24 3cm2
e) a área lateral;48 7 cm2 Ճ do a aresta lateral da pirâmide igual à
f ) a área total. 24 ( 3 ϩ 2 7 ) cm2
Ճ diagonal do cubo e supondo que a
4 cm
pirâmide e o cubo estão em semies-

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora paços opostos em relação ao plano da

46. Determine a área total de uma pirâmide regular cuja base da pirâmide (figura ao lado), cal-

altura é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm cule a área total do sólido formado pela união da pi-
de lado. 800 cm2
râmide com o cubo. 4 (5 ϩ 11 )cm2

47. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as 51. Em um tetraedro regular, a aresta V

arestas iguais e a área da base é igual a 16 cm2. Qual mede 2 3 cm.

é a área total da pirâmide? 16(1 ϩ 3 )cm2 Calculem: h
a) a altura do tetraedro; 2 2 cm
48. Determine a área total de uma pirâmide regular he- b) a área total. 12 3 cm2 A OD C
B
xagonal, sabendo que a aresta da base mede 8 cm e (Dica: o ponto O é o baricentro
a altura da pirâmide mede 12 cm. 208 3 cm2 do triângulo ABC.)

190 Capítulo 8

Volume da pirâmide

Observe a figura abaixo:

Ilustrações técnicas desta página: V
Banco de imagens/Arquivo da editora
Fique atento!

x Polígonos semelhantes têm ângulos

OЈ congruentes e segmentos
BЈ p
␲ AЈ h correspondentes proporcionais. Se a
b

é a razão constante entre seus

segmentos correspondentes, então

BO ( )a 2 é a razão entre suas áreas.
b
␣ P
A

A pirâmide tem a base P contida no plano a e está sendo seccionada pelo plano horizontal p, paralelo a a.
A secção da pirâmide pelo plano p é um polígono p semelhante à base P. É interessante notar que a secção
de uma pirâmide por um plano paralelo à base destaca uma pirâmide menor, que é semelhante à original. A
pirâmide miniatura tem base p e altura x (distância do ponto V ao plano p), e a pirâmide original tem base P e
altura h.
Como já estudamos na página 138, se duas figuras geométricas são semelhantes, com razão k entre
suas dimensões lineares, então suas áreas têm razão k2. No caso, k é a razão entre as alturas h e x das pirâ-
mides semelhantes.

k5 h ⇒ k2 5  h2
x  x 

Assim, se p e P são semelhantes, então:

área de P ϭ  h2
área de p  x 

Vamos agora considerar duas pirâmides cujas áreas das bases são iguais e que têm a mesma altura.
Vejamos o que acontece com as áreas das secções transversais situadas a uma mesma distância do vértice
da pirâmide.

p1 x h
␲ p2

P1 P2
␣

área de P1 ϭ  h2 área de P2 ϭ  h  2
área de p1 x  área de p2 x
Já vimos que e .

Daí tiramos área de P1 ϭ área de P2 .
área de p1 área de p2

Como consideramos inicialmente que área de P1 5 área de P2, concluímos que:

área de p1 5 área de p2 para qualquer plano horizontal p.

Então, pelo princípio de Cavalieri, os volumes das pirâmides são iguais, ou seja:

Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais.

Poliedros: prismas e pirâmides 191

Cálculo do volume da pirâmide triangular

Vamos agora decompor um prisma triangular em três pirâmides, como indicam as figuras:

EF EF EF
D D D

BC BC BC
A A A

Ilustrações técnicas desta página: I II E F III E
Banco de imagens/Arquivo da editora D

D D

BC C BC
A

Observações:

1a) As pirâmides I e II têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, os triângulos ABC e DEF são congruentes e

a distância de D ao plano (ABC) é igual à distância de C ao plano (DEF) – altura do prisma original. Logo, I e II

têm mesmo volume.

2a) As pirâmides II e III também têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, o triângulo CEF é congruen-

te ao triângulo BCE, pois cada um deles é a metade do paralelogramo BCFE, e a altura de cada uma dessas

pirâmides é a distância de D ao plano (BCFE). Logo, II e III têm o mesmo volume. Assim, VI 5 VII e VII 5 VIII
e, portanto, os três volumes são iguais.

Lembrando que Vprisma 5 VI 1 VII 1 VIII e fazendo VI 5 VII 5 VIII 5 V, temos:

Vprisma 5 3V ⇒ V 5 Vprisma
3

Como Vprisma 5 área da base ? altura, temos:

V ou Vpirâmide triangular 5 área da base и altura
3

3a) A propriedade citada na 2a observação pode ser verificada experimentalmente. Se quiséssemos encher
de água uma vasilha em forma de prisma usando um recipiente em forma de pirâmide, com mesma
base e mesma altura, seria necessário usá-lo três vezes para encher a vasilha.

192 Capítulo 8

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer

Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos a conclusão anterior e o prin-
cípio de Cavalieri. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide triangular que tenha a
mesma área da base e a mesma altura que uma pirâmide qualquer.

h

Ab Ab
␣

O princípio de Cavalieri garante que duas pirâmides com áreas das bases iguais e com a mesma altura
têm volumes iguais. Então:

volume da pirâmide triangular 5 volume de uma pirâmide qualquer (de mesma h
área da base e mesma altura)

Ab

Como o volume da pirâmide triangular é obtido fazendo área da base и altura , concluímos que:
3

volume de uma pirâmide qualquer 5 área da base и altura
3

ou seja:

V 5 Abh
3

Exercícios resolvidos

11. Qual é o volume de um tetraedro regular de aresta a? • AD é a altura do nABC relativa ao lado BC:

Resolução: AD 5 a3
2
Sabemos que, em um tetraedro regular (figura

abaixo), as quatro faces são triângulos equiláteros. Das observações feitas, podemos concluir que:

Vamos calcular a área da base: Ab 5 a2 3 (área de AO 5 2 a3 a3
4 3 2 3

um triângulo equilátero de lado a). Considerando o triângulo retângulo AOV (OB é reto),

Calculamos, agora, a altura do tetraedro: temos: Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

V ( )AV 2 5 AO2 1 OV 2 ⇒ a2 5 a3 2
3
1 h2 ⇒

h ⇒ h2 5 a2 2 a2 2a2 a 2 a 6
3 3 3 3
AC ϭ ⇒h5 ϭ

OD Vamos, agora, calcular o volume:

B V5 Abh ϭ a2 3 и a6 5 3a3 2 ϭ a3 2
3 4 3 36 12
• O é o centro do triângulo equilátero ABC
• AD é a mediana relativa ao lado BC
3

• AO 5 2 AD Então, o volume do tetraedro regular é a3 2 .
3 12

Poliedros: prismas e pirâmides 193

12. Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja Resolução:
Vamos calcular a altura de cada pirâmide:
aresta da base mede 4 cm e a altura, 7 cm.

Resolução: • AC → diagonal do quadrado: 5 2
Ab 5 4 cm ? 4 cm 5 16 cm2
• VO → altura da pirâmide (h)
h 5 7 cm • OC → metade da diagonal do quadrado: 5 2

V ϭ Abh ϭ 16 cm2 и 7 cm ϭ 112 cm3 Ӎ 37,3 cm3 2
3 3 3
No triângulo retângulo VOC (OB é reto) temos:

 5 2  2
 2 
13. Quando duas pirâmides regulares de bases quadra- 52 5 h2 1 ⇒

das e cujas faces laterais são triângulos equiláteros ⇒ h2 5 25 2 50 ϭ 50 ⇒ h 5 5 2
são colocadas base a base, o sólido resultante (figu- 44 2
ra abaixo à direita) é chamado octaedro regular. Cal-
cule o volume do octaedro regular de aresta 5 cm. Vamos calcular o volume:

V Ab 5 5 ? 5 5 25

5 Abh 25 и 5 2 . 125 и 1,4
3 3 2 6
h V5 ϭ . 29,1
D
C

O5 Como são duas pirâmides, temos:
A5B V . 2 ? 29,1 5 58,2

Portanto, o volume do octaedro regular é de apro-
ximadamente 58,2 cm3.

Exercícios

52. Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja ares- 56. A Pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande

ta da base mede 15 cm e a altura mede 9 cm. 675 cm3 Pirâmide do Egito. Sua base tem aproximadamente
230 m de aresta e sua altura é de 137 m. Qual é o
53. Uma peça maciça de cristal tem volume aproximado dessa pirâmide?

o formato de um tetraedro (figu- Aproximadamente 2 400 000 m3.

ra ao lado). Sabendo que cada Pirâmide de Quéops. Fotografia de 2015.

57. A aresta da base de uma pirâmide quadrada mede

10 cm e a altura da pirâmide mede 12 cm. Determi-
ne o volume da pirâmide. 400 cm3
aresta da peça mede 10 cm, qualIlustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Copycat37/Shutterstock
é o volume de cristal usado para

fazer essa peça? 250 2 cm3
3

54. Uma pedra preciosa tem a forma da

figura ao lado. Sabendo que a pedra
tem 6 mm em todas as arestas, cal-

cule o volume da pedra.

Aproximadamente 100,8 mm3.

55. A parte mais alta da torre de

uma igreja é uma pirâmide qua-
drada (figura ao lado). A aresta
da base tem 6 m e a altura da
pirâmide é 4 m. Qual é o volume
dessa parte da torre? 48 m3

194 Capítulo 8

Tronco de pirâmide V
d
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h.
Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâ- ␲
h
mide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros:
base menor
uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que
é chamado tronco da pirâmide inicial. altura (h1 ϭ h Ϫ d)

No tronco da pirâmide, destacamos: face lateral
base maior
• duas bases: a base da pirâmide inicial (base maior do

tronco) e a secção determinada por p (base menor do tronco);

• as faces laterais, que são trapézios;
• a distância entre as bases do tronco, que se chama altura do tronco;

sua medida é expressa por h1 5 h 2 d.

Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide

é chamado regular e, nesse caso:

• as bases são polígonos regulares e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles;
• a altura de um desses trapézios é chamada apótema do tronco.

ᐉ2 1 5 aresta da base maior do tronco
h2 a 2 5 aresta da base menor do tronco
a 5 aresta lateral do tronco
h2 5 apótema do tronco (ou altura da face lateral)

ᐉ1

Volume do tronco de pir‰mide

Consideremos o tronco de pirâmide representado pela figura abaixo.

P

DЈ CЈ d AB 5 área da base maior
AЈ Ab Ab 5 área da base menor
h h 5 altura da pirâmide PABCD
BЈ d 5 altura da pirâmide PABCD
h1 h1 5 altura do tronco
D C V 5 volume do tronco

AB
AB

Demonstra-se que o volume do tronco da pirâmide é dado por: Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

( )V ϭ h1
3
AB ϩ AB Ab ϩ Ab

Fique atento!
Na prática, em geral é mais adequado obter o
volume do tronco pela diferença dos volumes
das pirâmides semelhantes (PABCD e
PABCD), em vez de aplicar a fórmula
acima. Entretanto, fica a critério de cada
um o processo a ser usado.

Poliedros: prismas e pirâmides 195

Exercícios resolvidos

14. A área da base de uma pirâmide é 36 cm2. Uma sec- Temos que h 5 x 1 8 e que as duas pirâmides são
semelhantes. Então:
ção transversal feita a 3 cm da base tem 9 cm2 de
k5 5 ϭ x ⇒ 5h 5 12x ⇒ 5(x 1 8) 5 12x ⇒
área. Calcule a altura da pirâmide. 12 h

Na figura, temos:

P1 5 36 cm2 x ⇒ xϭ 40 e hϭ 96
p1 5 9 cm2 p1 h 7 7

h 2 x 5 3 cm ⇒ x 5 h 2 3 P1 O volume da pirâmide original é
1 и 122 и 96 5 4 608 .
P1 ϭ h2 ⇒ 3 77
p1 x2

⇒ 36 ϭ (h h2 3)2 ⇒ O volume da pirâmide miniatura é
9 Ϫ 1 и 52 и 40 5 1 000 .
3 7 21
⇒ 4ϭ h2 ⇒2ϭ h ⇒ 2h 2 6 5 h ⇒ h 5 6
(h Ϫ 3)2 hϪ3

A altura da pirâmide é 6 cm. Então, o volume do tronco é
4 608 Ϫ 1 000 5 1 832 . 610,6; 610,6 cm3.
15. Um tronco de pirâmide tem como bases dois qua-
7 21 3
drados de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é
8 cm. Calcule o volume desse tronco. 16. As bases de um tronco de pirâmide regular são

Resolução: quadrados de lados 8 m e 2 m, respectivamente.
1 a maneira: usando a fórmula A aresta lateral do tronco mede 5 m. Calcule o vo-
lume do tronco.
5 cm
aresta da base menor ( Ј)

8 cm aresta lateral (g)

altura apótema do
tronco (aЈ)

12 cm aresta da base maior ( )

AB 5 12 cm ? 12 cm 5 144 cm2 Resolução:
1 a maneira: usando a fórmula
Ab 5 5 cm ? 5 cm 5 25 cm2 A face lateral desse tronco de pirâmide determina um
trapézio isósceles, conforme mostra a figura abaixo.
h1 5 8 cm
2m
( )V h1 8 (144 ϩ 60 ϩ 25)
5 3 AB ϩ AB Ab ϩ Ab 5 3 5

5 8 и 229 ϭ 1 832 . 610,6 Pela figura, temos:
3 3 5 m 52 5 (a)2 1 32 ⇒
5 m aЈ
O volume do tronco é de 610,6 cm3, aproximadamente. ⇒ (a)2 5 16 ⇒ a 5 4 m

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora 2 a maneira: sem usar a fórmula 3m 2m 3m
A partir do tronco, consideremos as pirâmides ori-
ginal e miniatura, com suas alturas h e x. 8m

x Vamos calcular a altura do tronco:
1 Pela figura, temos:
h
5 hh 4 42 5 32 1 h2 ⇒ h2 5 7 ⇒ h 5 7 m

8 Para refletir
Localize a figura da esquerda no
12 3 desenho do tronco e justifique os
valores 4, 1, 4 e 3.
4
Veja a resolução no
Manual do professor.

196 Capítulo 8

Vamos calcular o volume do tronco no qual temos Temos que h 5 x 1 7 e que as duas pirâmides são
AB 5 64 m2, Ab 5 4 m2, h 5 7 m: semelhantes. Então:

V5 h (AB ϩ AB Ab ϩ Ab) 5 k5 2 ϭ x ⇒ 2h 5 8x ⇒ h 5 4x ⇒
3 8 h

5 7 (64 ϩ  64 и 4  ϩ 4) 5 7 (64 ϩ 16 ϩ 4) 5 ⇒ x 1 7 5 4x ⇒ x 5 7
3
33

5 84 7 ϭ 28 7 Não calcularemos h.
3 O volume da pirâmide miniatura é:

Logo, o volume do tronco é 28 7  m3. 1 7 47
3 3 9
2 a maneira: sem usar a fórmula и 22 и ϭ

Mesmo procedimento até obter h 5 7 ; depois, a A razão entre os volumes da pirâmide miniatura e
partir do tronco, consideremos as pirâmides original
e miniatura, com suas alturas h e x.  2  3 1
8 64
da original é k3 5 ϭ . Assim:

Banco de imagens/Arquivo da editora x Vmini ϭ 1 ⇒
Voriginal 64
h
2 ⇒ Voriginal ϭ Vmini и 64 ϭ 256 7
9
√7

Então, o volume do tronco é:

256 7 Ϫ 47 ϭ 252 7 ϭ 28 7 ; 28 7 m3
9 9 9
8

Exerc’cios

58. Uma pirâmide tem por base um quadrado de lado 63. Um tronco de pirâmide tem como bases dois Rubens Chaves/Pulsar Imagens

8 cm. A altura da pirâmide é 20 cm. Calcule a área quadrados de lados 8 cm e 12 cm, respectivamen-
te. A altura do tronco é 10 cm. Calculem o volume
da secção transversal feita a 12 cm do vértice. do tronco. 3 040 cm3

23,04 cm2 3

59. A área da base de uma pirâmide é 100 cm2. A área 64. História

da secção transversal feita a 5 cm da base da pirâ- Em São Paulo, no Par-
mide é 25 cm2. Calcule a altura da pirâmide. 10 cm que do Ibirapuera, há
um monumento de
60. Uma secção transversal é feita a 4 cm do vértice de concreto chamado Obe-
lisco aos Heróis de 1932,
uma pirâmide. A área da secção transversal é igual uma homenagem aos
que morreram na Revo-
a 4 da área da base da pirâmide. Calcule a altura lução Constitucionalis-
9 ta de 1932. Esse monu-
mento tem a forma de
da pirâmide. 6 cm um tronco de pirâmide
(fotografia ao lado) e
61. Uma pirâmide é de base hexagonal. O lado do hexá- tem 72 m de altura. Su-
as bases são quadrados
gono da base mede 6 cm. A altura da pirâmide é de arestas 9 m e 7 m.
Qual é o volume de con-
30 cm. Uma secção transversal é feita a 10 cm do vér- creto usado na constru-
ção desse monumento?
tice da pirâmide. Qual é a área da secção transversal?
4 632 cm3
6 3 cm2
Obelisco aos Heróis de 1932.
62. Uma peça de cristal tem a forma e as medidas da Fotografia de 2012.

figura abaixo. Qual é o volume de cristal emprega-

do para fazer essa peça se sua altura é de 15 cm?

Banco de imagens/ 30 cm 18 500 cm3
Arquivo da editora
30 cm

40 cm 40 cm

Poliedros: prismas e pirâmides 197

Leitura scotto72/iStock/Getty Images

Platão e seus poliedros

Filósofo grego, Platão foi discípulo de Sócrates. Nasceu
em Atenas em 427 a.C. e morreu em 347 a.C., com 80 anos
de idade. Fundou uma escola em Atenas, no ano de 386 a.C.,
a “Academia”, onde transmitia seus ensinamentos aos seus
discípulos. Via nos filósofos-governantes a solução para os
problemas políticos. Suas obras são conhecidas como Diá-
logos, pois retratavam diálogos (reais e imaginários) entre
Sócrates e outras pessoas, que focavam principalmente a
política e a moral. Os Diálogos de Platão estão entre as maio-
res obras literárias do mundo, sendo considerados por mui-
tos verdadeiras obras de arte.

O mais importante diálogo de Platão é a República, sen-
do também um dos mais longos. Nesse diálogo, Platão en-
foca a Política, a Educação, a Arte, a Poesia e a Filosofia
pura, ocupando-se principalmente da natureza da justiça. É
uma visão geral de toda a filosofia de Platão e é nele que
está a famosa “Alegoria da caverna”.

Platão defendia o quadrivium, os quatro campos da
Matemática no estudo das artes liberais, que compreendia
a Aritmética, a Geometria plana, a Geometria espacial e a Estátua de Platão (427 a.C.-347 a.C.) na
Astronomia. Acreditava que a busca da compreensão das Academia de Atenas, Grécia. Fotografia de 2012.
coisas levava à pureza do conhecimento. Na porta de sua
academia, Platão escreveu “Que não entre aqui aquele que ignore a Geometria ”.

No diálogo Timeu (350 a.C.), Platão apresentou um estudo do Universo, que para ele consistia em formas;
em objetos particulares; em Deus, o artesão; em espaço absoluto e em matéria bruta. Platão acreditava que
tudo era composto de terra, ar, fogo e água, e que a cada um desses elementos correspondia um poliedro
regular – que já era conhecido dos gregos. Platão associou à terra o hexaedro (mais especificamente, o cubo)
por causa da sua “estabilidade”; ao fogo, o tetraedro; ao ar, o octaedro; e à água, o icosaedro, por serem
sólidos constituídos de triângulos, para ele a unidade básica de todas as coisas. O dodecaedro representava
o elemento do qual o Universo seria feito.

Leia, a seguir, um trecho do Timeu:
Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabamos de descrever pelo fogo, terra, água e ar.
Atribuímos o cubo à terra, uma vez que é o mais imóvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estável,
sendo estas características que deve possuir a figura com as formas mais estáveis. [...]
Mantemos assim o nosso princípio de verossimilhança atribuindo o cubo à terra e, de forma semelhan-
te, atribuímos à água a menos móvel das outras figuras, a mais móvel ao fogo e a intermédia ao ar. E de
novo atribuímos a menor figura ao fogo, a maior à água, a intermédia ao ar; a mais cortante ao fogo, a
segunda mais cortante ao ar e a menos cortante à água. Resumindo, a figura que tem o menor número de
faces deverá ser, pela natureza das coisas, a mais móvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante
e, finalmente, sendo composta pelo menor número de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda
figura será a segunda em todas essas características, e a nossa terceira será a terceira. Deste modo, a lógica
e a verossimilhança exigem que olhemos a pirâmide como a figura sólida que é a unidade básica ou a se-
mente do fogo; e podemos olhar a segunda das figuras que construímos (o octaedro) como a unidade bá-
sica do ar, a terceira (icosaedro) a da água.

198 Capítulo 8