Classificação dos sistemas lineares
Observe, com bastante atenção, os três exemplos abaixo, todos eles
sistemas 2 3 2 resolvidos pelo método da adição.
a) 32xx Ϫ y ϭ 10 и (5) ⇒ 15x Ϫ 5y ϭ 50 Fique atento!
ϩ5 y ϭ1 5y ϭ1 Optamos pelos sistemas 2 3 2
2x ϩ porque já estudamos esse tipo
de sistema desde o Ensino
17x ϭ 51 ⇒ x ϭ 51 ϭ 3 (valor único de x) Fundamental. Entretanto, os
17 resultados e as definições
podem ser generalizados para
3x Ϫ y ϭ 10 и ( Ϫ2) Ϫ6x ϩ 2y ϭϪ20 quaisquer sistemas.
2x ϩ5 y ϭ 1 и (3) ϩ15 y ϭ3
⇒ 6x
17 y ϭϪ17 ⇒ y ϭ Ϫ17 ϭϪ1 (valor único de y)
17
Então, (3, 1) é o único par ordenado de R 3 R que é solução do sistema. Para refletir
Verifique se o par ordenado
Dizemos, então, que o sistema tem como solução S h(3, 1)j e que ele (3, 1) é realmente solução do
é um sistema possível e determinado (tem uma única solução). sistema dado.
Interpretação geométrica: Para fazer a representação gráfica desse sistema, devemos perceber que cada
equação linear dele pode ser reescrita como uma função afim, cujo gráfico é uma reta.
3x Ϫ y ϭ 10 → y ϭ 3x Ϫ10
2x ϩ5y ϭ y ϭ Ϫ2x ϩ 1
1→ 5
Traçando o gráfico dessas duas retas no mesmo plano cartesiano, temos:
y
3x Ϫ y ϭ 10
Banco de imagens/Arquivo da editora 2x ϩ 5y ϭ 1 2 23 4x Fique atento!
1 (3, Ϫ1) Os pares ordenados de
Ϫ1 1 números reais que são
Ϫ2 Ϫ1 soluções de uma equação
linear com duas incógnitas
Ϫ2 determinam no gráfico uma
Ϫ3 reta. A intersecção das duas
Ϫ4 retas das equações do
sistema determina sua
solução, se existir.
As retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado que é solução do sistema (sistema possível
e determinado).
b) x Ϫ 2y ϭ5 и ( Ϫ2) ⇒ Ϫ2x ϩ 4y ϭϪ10
2x Ϫ 4 y ϭ 2 Ϫ 4y ϭ2
2x
0y ϭ Ϫ8
Se em 0y 8 não existe valor real para y, então não existe par ordenado de números reais que seja
solução do sistema.
Dizemos que o sistema tem como solução S [ e que ele é um sistema impossível (não tem nenhuma
solução).
Sistemas lineares 99
xϪ 2 y ϭ5→ yϭ x Ϫ5
2
Interpretação geométrica: Veja a representação gráfica desse sistema:
x Ϫ1
2x Ϫ4 y ϭ2 → y ϭ
2
y
Banco de imagens/Arquivo da editora 1 x
Ϫ1 12 3 Fique atento!
Ϫ1
2x Ϫ 4y ϭ 2 Ϫ2 {xϪ2y ϭ5→(1,Ϫ2), (Ϫ1,Ϫ3), ...
2xϪ4 y ϭ2 → (1, 0), (3, 1), ...
Ϫ3
x Ϫ 2y ϭ 5
As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema (sistema
impossível).
2x 6 y 8 (3) ⇒ 6x 18 y 24
c) 3x 9 y 12 ( 2) 6x 18 y 24
0y 0
Se 0y 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y a, com a [ R, e substituindo em
uma das equações do sistema, temos:
2x 6y 8 ⇒ 2x 6a 8 ⇒ 2x 8 6a ⇒ x 8ϩ6␣ 4 3a
2
O par ordenado (4 3a, a), com a [ R, é a solução geral do sistema. Para cada valor de a, temos uma
solução para o sistema, por exemplo: (7, 1), (4, 0), (1, 1), conforme a seja respectivamente 1, 0 ou 1.
Dizemos que o sistema tem conjunto solução S {4 3a, a | a [ R} e que ele é um sistema possível e
indeterminado (tem infinitas soluções).
Interpretação geométrica: Observe a representação gráfica desse sistema: 2x Ϫ6 y ϭ8 → yϭ xϪ4
yϭ 3
3x Ϫ9 y ϭ12 →
xϪ4
3
y
Banco de imagens/Arquivo da editora Ϫ2 Ϫ1Ϫ1 3x Ϫ 9y ϭ 12 Fique atento!
2x
{2xϪ6y ϭ8→(4, 0), (1,Ϫ1), ...
1 34
3xϪ9y ϭ12→ (1,Ϫ1), (4, 0), ...
2x Ϫ 6y ϭ 8
Ϫ2
As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema (siste-
ma possível e indeterminado).
O esquema abaixo resume as três possibilidades de classificação:
sistema possível determinado (sistema possível e determinado)
(tem solução) (a solução é única)
impossível indeterminado (sistema possível e indeterminado)
(não tem solução) (tem infinitas soluções)
100 Capítulo 5
Matrizes, sistemas lineares e determinantes
Qualquer sistema linear n 3 n pode ser escrito como um produto de matrizes.
Exemplos:
a) o sistema aa2111xx ϩ a12 y ϭ k1 a11 a12 и x ϭ k1
ϩ a22 y ϭ k2 pode ser escrito como a21 a22 y k2
aa2111xx ϩa12 y ϩa13z ϭ k1 a11 a12 a13 x k1
ϩ a22 y ϩ a23z ϭ k2 a22
b) o sistema pode ser escrito como a21 a32 a23 и y ϭ k2
a31 a33 k3
a31x ϩa32 y ϩa33z ϭ k3 z
No capítulo anterior, ao justificarmos o cálculo do determinante das matrizes 2 3 2 e 3 3 3, mostramos
que um determinante não nulo indica um sistema determinado. Agora, sabemos com mais precisão o que
é um sistema possível e determinado e o que são sistemas não determinados. Assim, se D for o determinante
da matriz dos coeficientes de um sistema, então o sistema será determinado se D Þ 0. E se D 0 o sistema
será indeterminado ou impossível. Isso significa que usar o determinante para classificar o sistema não é
um modo eficaz.
Entretanto, conhecendo-se o tipo de sistema, é plenamente possível prever o resultado do determi-
nante D da matriz dos coeficientes do sistema:
• sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D Þ 0);
• sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm determinante nulo (D 0).
Exercício resolvido
{1. kx Ϫ y ϭ 2
Determine o valor de k para que o sistema x ϩ 5 y ϭ 3 seja impossível.
Resolução:
Se o sistema é impossível, então D 0.
Assim:
k Ϫ1 ϭ0 ⇒ 5k ϩ1ϭ0 ⇒ k ϭϪ 1
1 5 5
Exercícios Atividade Atividade
em dupla em equipe
c) O par ␣, ␣Ϫ3 é a solução geral do sistema; sistema possível e indeterminado.
2
8. Resolva no caderno cada sistema abaixo pelo método que preferir e depois classifique-os:
{a) 4x + 2y = 4 S [; b) 3x Ϫ2 y ϭϪ12 S {(2, 3)}; c) 5x Ϫ10 y ϭ15
2x + y = 5 sistema impossível. 5x ϩ6 y ϭ8 sistema possível e 2x Ϫ 4 y ϭ6
determinado.
9. Faça a representação gráfica de cada sistema do exercício anterior e verifique se estão de acordo com a
classificação feita. Veja os gráficos no Manual do Professor.
10. No caderno, escreva os sistemas abaixo na forma de um produto matricial e verifique se eles são determinados
No item b, o sistema, ao não ser determinado, pode ser um sistema
{ou não.
possível e indeterminado ou um sistema impossível. xϩ y ϩ 2z ϭ 5
a) 2x ϩ5 y ϭ 8 Sistema determinado. b) x Ϫ 2yϩ zϭ3 Sistema não determinado.
xϩ y ϭ7
2x Ϫ y ϩ 3z ϭ Ϫ4
2x ϩ my ϭ3
11. Determinem m para que o sistema linear mx ϩ 8y ϭ6 tenha uma única solução.
m Þ 4 e m Þ 4
Sistemas lineares 101
Escalonamento de sistemas lineares
Dentre todos os métodos que nos permitem resolver, classificar e discutir sistemas lineares de ordens
quaisquer, um se destaca pela sua importância: o processo de escalonamento.
Junte-se com um colega e tentem resolver o sistema 4 3 4 abaixo. Prestem atenção nos detalhes!
x ϩ yϩzϩt ϭ8
2 y ϩ z ϩt ϭ 2
É importante não dar nenhuma dica aos alunos;
2z ϩt ϭ 5 deixe-os perceber a melhor maneira de resolver esse
sistema. Após alguns minutos, pergunte a estratégia
2t ϭ 6 usada e estimule-os a notar o que tornou esse
sistema fácil de ser resolvido.
Esse sistema está escalonado, e, por isso, foi simples resolvê-lo. Vamos, então, estudar o processo de
escalonamento.
Inicialmente é necessário saber o que é um sistema linear escalonado.
Considerando um sistema genérico m 3 n, dizemos que ele está escalonado quando a matriz dos coeficien-
tes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento
não nulo da linha seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos nulos devem estar abaixo de todas as
outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que, em cada linha considerada, a primeira
incógnita com coeficiente não nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da
linha seguinte.
São exemplos de sistemas escalonados:
x Ϫ2 y ϩ5z ϭ 7
a) 3y ϩ2z ϭ 1
4z ϭ 8
3x1 Ϫ2x2 ϩ 7x3 ϭ 11 3x 1 Ϫ2x2 ϩ 7x3 ϭ 11 Para refletir
4x2 ϩ 5x3 ϭ Ϫ4 4x2 ϩ 5x3 ϭ Ϫ4 Quando o sistema não estiver
b) ou escalonado, é possível escaloná-lo. Isso
será visto nas próximas páginas.
0x3 ϭ 0
x Ϫ2y ϩ z ϩ t ϭ9
c) x Ϫ2y ϩzϩ t ϭ9 ou 0 y ϩ 4z ϩ5t ϭ 10
0z ϩ0t ϭ 0
4z ϩ5t ϭ 10
0t ϭ 0
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso estar atento,
pois a última linha em um sistema de n incógnitas é a enésima linha, que, se não existir, deve ser con-
siderada totalmente nula (0x 0y 0z ... 0, que equivale a 0 0), como mostram os exemplos
b e c acima.
Generalizando, a última linha de um sistema escalonado:
an ? xn kn
em que an é o coeficiente, xn é a incógnita e kn é o termo independente, podemos ter três situações:
• se an Þ 0, então a solução é única: sistema possível e determinado;
• se an 0 e kn 0, então temos infinitas soluções: sistema possível e indeterminado;
• se an 0 e kn Þ 0, então não temos soluções: sistema impossível.
102 Capítulo 5
Se o sistema é possível, basta resolvê-lo de baixo para cima, como veremos nos exemplos a seguir.
3x Ϫ2 y ϩ z ϭϪ6
a) 4 y Ϫ2z ϭ 0
5z ϭ 10
Sistema 3 3 3 já escalonado (número de equações número de incógnitas).
Da 3a equação tiramos z 2.
Da 2a equação, fazendo z 2, temos 4y 2 ? 2 0 e daí y 1.
Fazendo y 1 e z 2 na 1a equação, temos 3x 2(1) 2 6 e daí x 2.
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S {(2, 1, 2)}.
9x Ϫ2 y ϩ3z Ϫ w ϭ 1
b) y Ϫ2z ϩ 4w ϭ 6
5z ϩ2w ϭ 3
0w ϭ 9
Sistema 4 3 4 já escalonado.
A 4a equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S [.
c) x ϩ y ϩ z ϭ0
3y Ϫ6z ϭ 0
Sistema 2 3 3 já escalonado (número de equações , número de incógnitas).
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos um coeficiente não
nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as equações que faltam podem ser conside-
radas 0 0.
A incógnita que possui coeficiente igual a 0 (zero) é chamada incógnita livre. Quando conveniente, ela
pode ser omitida na equação.
Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazendo z k, com k [ R, para Fique atento!
descobrir a solução geral do sistema.
Da 2a equação, temos: No exemplo c dizemos que o grau
3y 6k 0 ⇒ y 2k
Usando z k e y 2k, temos: de indeterminação é 1 (3 2) e que
x 2k k 0 ⇒ x 3k
temos uma incógnita livre.
• para k 0, a solução é (0, 0, 0);
• para k Þ 0, as soluções podem ser
(3, 2, 1), (15, 10, 5) e outras.
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (3k, 2k, k).
d) 2x Ϫ y ϩ z Ϫ t ϭ 2
2z ϩ3t ϭ 1
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e
são duas as incógnitas livres ( y e t).
Fazemos y a e t b, com a [ R e b [ R.
Substituindo nas equações:
2z 3b 1 ⇒ 2z 1 3b ⇒ z 1 − 3 Fique atento!
2 No exemplo d o grau de
2x a 1 Ϫ 3 b 2 ⇒ 4x 2a 1 3b 2b 4 ⇒ indeterminação é 2 (4 2)
e são duas as incógnitas livres.
2 2␣ ϩ 5 ϩ 3 O sistema tem infinitas soluções
⇒ 4x 2a 5b 3 ⇒ x 4 e duas delas são (2, 0, 1, 1)
( )Solução geral:2␣ ϩ 5 ϩ 3 , ␣, 1 Ϫ 3 ,  . ( )e 11 , 2,Ϫ4, 3 .
4 2 2
• Agora que você já viu como é vantajoso lidar com um sistema escalonado, vamos aprender o processo de
escalonamento. Antes, porém, é necessário apresentar o conceito de sistemas equivalentes.
Sistemas lineares 103
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, os sistemas x ϩ y ϭ10 e 3x ϩ2 y ϭ26 são equivalentes, pois, resolvidos, ambos apre-
x Ϫ y ϭ2 2x Ϫ5 y ϭϪ8
sentam como conjunto solução S h(6, 4)j.
Exercício resolvido
{2. Calcule a e b para que os sistemas xϪ y ϭ9 e Para que os sistemas sejam equivalentes, S {(7, 2)}
xϩ y ϭ5 também deve ser o conjunto solução do outro sistema
ax ϩ y ϭ 12 dado, então:
Ϫ by ϭ 20 sejam equivalentes.
{2x ax y 12 ⇒ a ? (7) (2) 12 ⇒ 7a 2 12 ⇒
⇒ 7a 14 ⇒ a 2
{Resolução: x Ϫ y ϭ9 .
Primeiro, resolvemos o sistema x ϩ y ϭ5 2x by 20 ⇒ 2 ? (7) b ? (2) 20 ⇒
xϪ y ϭ9 ⇒ 14 2b 20 ⇒ 2b 6 ⇒ b 3
xϩ y ϭ5 Portanto, para os sistemas serem equivalentes
devemos ter a 2 e b 3.
2x ϭ14 ⇒ x ϭ7
7 y 9 ⇒ y 7 9⇒ y 2
Exercícios
12. Verifique se os sistemas abaixo são equivalentes: x ϩ y ϭ20 ax ϩ2 y ϭ32
x Ϫyϭ4 3x Ϫ by ϭ20
{ {14. Os sistemas e são equi-
a) x ϩ y ϭ6 e x ϩ2 y ϭ8 valentes. Calcule a e b. a 4 e b 2
y ϭ2 x ϭ4
Sim.
x ϩ y ϩ z ϭ10 xϩ yϪzϭ7 15. 3
Observem os dois planos cartesianos abaixo,
cada um contendo a representação gráfica de um
b) y ϩ2z ϭ5 e x ϩ y ϭ8 Não. sistema linear 2 3 2. É possível afirmar que esses
z ϭ1 x ϭ5 sistemas lineares são equivalentes? Argumente de-
xϩ yϩ zϭ0 xϩ yϪ zϭ0 fendendo sua resposta. Sim. Pois os dois sistemas têm
como solução S {(4, 3)}.
c) y ϩ2zϭ0 x ϩ y ϭ 1 Não. y
e
z ϭ0 x ϭ0
13. Classifique e resolva no caderno os sistemas lineares
escalonados.
2xϪ y ϩ 3z ϭ 0 xϪ yϩzϪ wϭ0 x
y
a) 2 y Ϫ z ϭ 1 d) yϩzϩ wϭ 5 Ilustrações técnicas: Banco de imagens/Arquivo da editora
2z ϭϪ6
Ϫz Ϫ2w ϭ 1
SPD; S {(4, 1, 3)} Ϫ w ϭ 2
5x Ϫ2 y ϩ z ϭ3 SPD; S h(1, 4, 3, 2)j
b) 4 y Ϫ z ϭ 5 e) aϩ2bϪc ϩdϭ 2
0z ϭ 8
c Ϫd ϭ0
SI; S [
SPI; S {(2 2a, a, b, b)}
3x 1 Ϫ2x 2 ϩ x 3 ϭ2 3x Ϫ5 y ϭ6 x
c) x 2 Ϫ x 3 ϭ0 f)
2y ϭ1
SPI; S kϩ2 , k, k SPD, S 17 , 1
Capítulo 5 3 6 2
104
Processo para escalonamento de um sistema linear
Quando o sistema linear não está escalonado, podemos obter um sistema equivalente a ele, que esteja
escalonado, por meio de algumas operações elementares. Para transformar um sistema não escalonado em
um sistema equivalente escalonado, alguns procedimentos podem ser feitos:
• Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
3x Ϫ2 y ϭ6 ⇒ xϩ4 y ϭ1
3x Ϫ2 y ϭ6
xϩ4 y ϭ1
• Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero:
3x y z 5 ⇒ 6x 2y 2z 10
• Podemos multiplicar todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e
somar os resultados aos membros correspondentes da outra equação. Exemplo:
x Ϫ2 y ϩ 4z ϭ 7 и (−3) ⇒ x Ϫ2y ϩ4z ϭ7
3x Ϫ5 y ϩ9z ϭ25 ϩ y Ϫ3z ϭ 4
• Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo
independente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível,
isto é, tem S [.
Exemplo:
0x 0y 0z 7 ⇒ S [
Vejamos agora alguns exemplos nos quais os sistemas são escalonados e depois classificados e resolvidos.
a) x ϩ2y ϩ z ϭ 7 и (−2) и (3)
2x ϩ 7y ϩ z ϭ 21 ϩ ϩ
Ϫ3x Ϫ5y ϩ2z ϭϪ8
Para anular os coeficientes de x na 2a e na 3a equações, podemos:
• multiplicar a 1a por 2 e somar com a 2a;
• multiplicar a 1a por 3 e somar com a 3a.
• Depois, podemos trocar as posições das duas últimas equações para que o coeficiente de y seja 1
na 2a equação.
x ϩ2 y ϩ zϭ 7 x ϩ2 y ϩ zϭ 7 x ϩ2 y ϩ z ϭ 7 Fique atento!
É conveniente, mas não obrigatório,
3yϪ zϭ 7 ⇒ y ϩ5z ϭ13 и (Ϫ3) ⇒ y ϩ 5z ϭ 13 que o 1o coeficiente da equação que
y ϩ5z ϭ13 3yϪ zϭ 7 ϩ Ϫ16z ϭ −32 vai ser multiplicada seja 1 ou 1.
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado.
Podemos agora resolver:
• z Ϫ32 2
Ϫ16
• y 5 ? 2 13 ⇒ y 13 10 3
• x 2 ? 3 2 7 ⇒ x 7 6 2 1
Sistema possível e determinado, com S {(1, 3, 2)}.
Sistemas lineares 105
b) x ϩ2y Ϫ zϭ3 и (−3)и (−2) x ϩ 2y Ϫ zϭ3 x ϩ2y Ϫ z ϭ3
3x Ϫ y ϩ z ϭ 1 ϩ ⇒ −7 y ϩ 4z ϭ−8 ⇒ −7 y ϩ 4z ϭ−8
2x ϩ 4 y Ϫ2z ϭ6 ϩ 0x ϩ0 y Ϫ0z ϭ0 0z ϭ0
Sistema possível e indeterminado (pois após o escalonamento obtém-se um sistema 2 3 3).
Dizemos que z é uma incógnita livre, ou seja, o valor de z pode ser qualquer número real.
• z a ⇒ 7y 4a 8 ⇒ 7y 8 4a ⇒ y 8ϩ4␣
7
• x 2 ? 8ϩ4␣ a 3 ⇒ 7x 16 8a 7a 21 ⇒ 7x 5 a ⇒ x 5Ϫ␣
77
Solução geral: 5Ϫ␣ , 8ϩ4␣ , ␣ . Fique atento!
7 7
No sistema escalonado do exemplo b, x e y também poderiam ser incógnitas
livres. Considerando na 3a equação x b (sendo b um número real qualquer), a
solução geral seria dada em função de x. Considerando na 3a equação y
(sendo um número real qualquer), a solução geral seria dada em função de y.
c) 2x Ϫ 4 y ϩ 10z ϭ 6 Ϻ(2) ⇒ x Ϫ 2 y ϩ 5z ϭ 3 и (Ϫ3) ⇒ x Ϫ 2 y ϩ 5z ϭ 3
3x Ϫ 6 y ϩ 15z ϭ11 3x Ϫ 6 y ϩ 15z ϭ11 ϩ 0x ϩ0 y ϩ 0z ϭ2
Sistema impossível, portanto S [.
d) 3x Ϫ2 y ϭϪ5 x ϩ3y ϭ2 и (Ϫ3) и (1) x ϩ3y ϭ2 Fique atento!
Dividir todos os termos de uma igualdade
x ϩ3 y ϭ2 ⇒ 3x Ϫ2 y ϭϪ5 ϩ ⇒ Ϫ 11 y ϭϪ11 por 2 equivale a multiplicar por 1 .
Ϫx ϩ 4 y ϭ5 Ϫx ϩ 4 y ϭ5
ϩ 7yϭ7 2
Esse sistema tem o número de equações maior do que o número de variáveis (3 3 2).
As duas primeiras equações obtidas formam um sistema escalonado, que, resolvido, nos dá:
• y Ϫ11 1
Ϫ11
• x 2 3 ? 1 1
O valor y 1 satisfaz também a 3a equação (7y 7).
Logo, o sistema dado é possível e determinado e tem S {(1, 1)}.
e) xϪ2y ϭ4 и (Ϫ4) и (Ϫ6) x Ϫ2y ϭ4
4x Ϫ 6 y ϭ 10 ϩ ⇒ 2 y ϭϪ6
6x Ϫ 9 y ϭ 0
ϩ 3 y ϭϪ24
• 2y 6 ⇒ y 3
• 3y 24 ⇒ y 8
Logo, o sistema é impossível, pois não podemos ter, simultaneamente, y 3 e y 8.
Portanto, S [.
f) 3x Ϫ 9 y ϭ6 : (3) x Ϫ 3 y ϭ2 и(Ϫ5) и(ϩ2) x Ϫ3y ϭ2
{ 5x Ϫ 15 y ϭ 10 ⇒ 5x Ϫ 15 y ϭ 10 ϩ x − 3y ϭ2
Ϫ2x ϩ 6 y ϭϪ4 Ϫ2x ϩ 6 y ϭϪ4 ⇒ 0x + 0 y ϭ0 ⇒ 0 y ϭ0
ϩ 0x + 0 y ϭ 0
A incógnita y é livre.
Para y a, com a [ R, temos:
x 3a 2 ⇒ x 2 3a
Logo, o sistema é possível e indeterminado, com solução geral (2 3a, a).
106 Capítulo 5
Exercício resolvido passo a passo: exerc’cio 3
Resolvido passo a passo
3. (Unisa-SP) Augusto, Vinícius e Leonardo estudam no mesmo colégio e vão caminhando de suas casas ao colégio
todos os dias. Somadas as distâncias percorridas pelos três colegas, mensalmente, obtém-se 350 km. Sabe-se
que Augusto percorre o dobro da distância percorrida por Vinícius e que Leonardo percorre 10 km a menos que
os outros dois colegas juntos. Desse modo, Leonardo percorre mensalmente a mais que Augusto no trajeto
casa-escola uma distância, em km, igual a:
a) 80.
b) 70.
c) 50.
d) 60.
e) 40.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
As informações referentes às distâncias percorridas pelos três estudantes, bem como a comparação das
distâncias entre eles.
b) O que se pede?
O quanto Leonardo anda, mensalmente, a mais que Augusto, em km.
2. Planejando a solução
A partir das informações obtidas no enunciado podemos montar um sistema de equações, mostrado a seguir:
A V L 350
A 2V
A V L 10
Depois de montado o sistema, tentamos simplificá-lo para encontrar as distâncias percorridas. Após encontrar
as distâncias percorridas mensalmente por Leonardo e Augusto, basta subtraí-las para encontrar a resposta
desejada.
3. Executando o que foi planejado
Desenvolvendo o sistema, temos:
A + V + L = 350
A = 2V
A + V = L + 10
• A V L 350 ⇒ (L 10) L 350 ⇒ 2L 340 ⇒ L 170 km
• A V L 10 ⇒ (2V) V L 10 ⇒ 3V 180 ⇒ V 60 km
• A 2V ⇒ A 120 km
Logo, Leonardo percorre 50 km a mais que Augusto.
4. Emitindo a resposta Leonardo 113 quilocalorias; 22 667 passos.
A resposta é a alternativa c. a) Augusto 80 quilocalorias; 16 000 passos.
5. Ampliando o problema Vinícius 40 quilocalorias; 8 000 passos.
a) Levando em consideração que os alunos vão para a escola caminhando e que, segundo um instituto de análises
físicas, a cada quilômetro percorrido por dia são gastas 20 quilocalorias e são dados 4 000 passos, quantas
quilocalorias são gastas diariamente por cada estudante? E quantos passos são dados por cada um?
b) Discussão em equipe
Com os colegas, troque ideias sobre a importância do exercício físico regular para a saúde, por menor que seja.
Pesquisem artigos científicos sobre a melhora do bem-estar a partir da prática das atividades físicas. Ao final,
combine com os amigos a prática de atividades físicas em equipe tendo em vista a saúde e a sociabilização do
grupo. Resposta pessoal.
Sistemas lineares 107
Exercícios
16. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares Observação: As ruas na direção horizontal for-
mam um conjunto e as ruas na direção vertical
abaixo: formam outro conjunto.
x 3y z 0 360 248
a) 3x 3y z 8 SPD; solução
geral: (1, 1, 2)
2y z 0
x 2y 4z 0
b) 2x 3 y z 8 SPI; solução geral: (14k, 9k, k) 488 A X D 512
x 14z 0 YT
Banco de imagens/Arquivo da editora
xyz4
c) 2x y z 10 SI; S [ 416 B Z C 480
2x y 7z 0
xy3
17. Classifique e resolva o sistema: 2x 2 y 6. 384 312
número dos carros que entram
3x 3 y 8 número dos carros que saem
SI; S [
1 4 7 x 2
18. Resolva a equação matricial 2 3 6 y 2 .
5 1 Ϫ1 z 8 A média do número de veículos por hora que entram
e a média dos que saem de uma seção durante o
19. (Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema de 1 horário de rush estão informadas na figura. O nú-
equações lineares: mero de veículos que entram tem de ser igual ao
2 número de veículos que saem. Levem em conside-
Ϫ1 ração as setas indicadas pela figura e os dados nela
mostrados. Sabendo que em T a média é de 160
2x ϩ y ϩ z ϩ w ϭ 1 veículos por hora, determinem a média em X, Y e Z.
x ϩ 2y ϩ z ϩ w ϭ 2 Analisem as afirmações abaixo e indiquem qual é a
S {(1, 0, 1, 2)} verdadeira.
x ϩ y ϩ 2z ϩ w ϭ3
a) Em Z a quantidade de veículos é igual a 348.
x ϩ y ϩ z ϩ 2w ϭ 4
b) Na passagem de A para B temos 240 veículos.
20. (UFG-GO) Roberto gosta de fazer caminhadas
c) Entre os cruzamentos A e B temos mais veículos
em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pis- que entre os cruzamentos B e C.
ta existem uma lanchonete, um posto médico e
uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho x d) Entre os cruzamentos D e A, temos 424 veículos.
diariamente, Roberto constatou que, da lanchonete
à banca de revistas, passando pelo posto médico, e) Entre B e C temos 428 veículos.
caminhou 1 000 passos. Do posto médico à lancho-
nete, passando pela banca de revistas, caminhou Atividade elaborada pelos professores
800 passos, e da banca de revistas ao posto médico, Letícia M. Panciera e Márcio V. Ferreira, da Unifra-RS.
passando pela lanchonete, caminhou 700 passos.
Considerando que cada um dos passos de Roberto 23. Química
mede 80 cm, qual é o comprimento da pista?
Considerem a reação química não balanceada:
1 000 m
Ca H3PO4 → Ca3P2O8 H2
21. Tenho 156 moedas que pesam ao todo meio qui- ↓↓ ↓↓
cálcio ácido
lo e totalizam R$ 34,00. Sabendo que dentre elas há fosfato gás
as de 1 real, que pesam 10 g cada, as de 50 centavos,
que pesam 8 g cada, e as de 10 centavos, que pesam fosfórico de cálcio hidrogênio
2 g cada, quantas são as moedas de cada tipo?
Essa equação pode ser balanceada fazendo:
xCa yH3PO4 ⇒ zCa3P2O8 wH2
x ϭ 3z
3 y
dando origem ao sistema ϭ 2w
22. O controle do fluxo de veículos nas ruas de mão 4 y ϭ 2z
S {(3a, 2a, a, 3a), a [ R} y ϭ 8z
única no horário do rush no centro de uma cidade
pode ser compilado e estudado com auxílio de um a) Resolvam o sistema.
sistema de equações lineares. A figura a seguir re-
presenta dois conjuntos de ruas de mão única que b) Determinem o menor número inteiro de átomos
se cruzam no centro de uma cidade. de cálcio, hidrogênio, fósforo e oxigênio com o
qual ocorre o balanceamento.
cálcio: 3; hidrogênio: 6; fósforo: 2; oxigênio: 8.
21. 16 moedas de 1 real, 10 moedas de 50 centavos e 130 moedas de 10 centavos.
108 Capítulo 5
24. (Fuvest-SP) Um senhor feudal construiu um fos- 27. Biologia
so, circundado por muros, em volta de seu castelo, O organismo humano, bem como o de outros ani-
mais, para seu bom funcionamento necessita de
conforme a planta a seguir, e uma ponte para atra- vários tipos de substâncias, sais minerais, vitaminas,
proteínas, etc. Vamos supor que uma pessoa neces-
vessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta com- sita fazer uma receita de modo que a quantidade de
cada alimento a ser ingerido corresponda às neces-
pleta no muro externo, atravessou a ponte e deu sidades diárias de vitamina C, cálcio e magnésio. Ela
se alimentará de três diferentes ingredientes, e cada
uma volta completa no muro interno. Esse trajeto um deles possui uma determinada quantidade de
nutrientes (expressa em miligramas) por unidade
foi completado em 5 320 passos. No dia seguinte, ele de ingrediente (por exemplo, por colher), conforme
apresentado na tabela a seguir.
deu duas voltas completas no muro externo, atra-
vessou a ponte e deu uma volta completa no muro
interno, completando esse novo trajeto em 8 120
passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso,
em passos, é:
a) 36. c) 44. e) 50.
x b) 40. d) 48. Tipo de alimento e respectivas quantidades
de nutrientes (mg)
fosso L
L muro L Nutriente 1 2 3 Total necessário
ponte interno de nutrientes (mg)
L Vitamina C 10 20 30 100
Cálcio 40 40 10 210
muro externo Magnésio 20 10 30 110
25. Há alguns anos, o modo de atender os clientes nos Fonte: Dados fictícios.
bancos era muito diferente do atual. Por exemplo, Analisem os dados da tabela em relação às quantida-
cada caixa atendia uma fila formada diante de seu des x, y e z de unidades dos ingredientes 1, 2 e 3, res-
guichê de trabalho. A tabela abaixo simula uma situa- pectivamente, e indiquem a afirmação verdadeira.
ção de atendimento ao público para cada um dos
caixas: caixa 1, caixa 2 e caixa 3, de acordo com a ex- a) A quantidade necessária de unidades do ingredien-
periência e habilidade no trabalho de cada profissional, te 1 é o dobro da quantidade de unidades do ingre-
referente à quantidade total de clientes que devem diente 2.
ser atendidos por ele em sua jornada de trabalho.
b) Para que a receita satisfaça as necessidades de
Nº- de clientes/hora atendidos em cada vitamina C, cálcio e magnésio, são necessárias
um dos caixas 3 unidades do ingrediente 2.
Caixa Geral Idosos PNE*/ Total x c) A quantidade de unidades do ingrediente 2 é o do-
Gestantes (clientes/dia) bro da quantidade de unidades do ingrediente 3.
1 10 8 5 51 d) O ingrediente 1 deve contribuir com 40% do total
necessário de vitamina C, cálcio e magnésio ne-
26 6 4 34 cessários à dieta alimentar do paciente.
e) O ingrediente 2 contribuirá com 50 mg de cálcio
para que a receita alcance o resultado desejado.
38 7 5 43 28. Se em um sistema linear todos os termos indepen-
* PNE é a sigla de Portador de Necessidades Especiais. dentes são nulos, o sistema é denominado linear
Fonte: Dados fictícios.
homogêneo. Resolva no caderno os sistemas homo-
Com base na tabela acima, e sabendo que as quan- gêneos abaixo e classifique-os.
tidades de horas por dia que cada caixa gasta com
cada uma das classes de clientes são x, y e z, para xϪ yϩ zϭ0 x ϩ y ϩ z ϭ0
as classes Geral, Idosos e PNE/Gestantes, respecti- b) x ϩ z ϭ0
vamente, determinem o número de clientes idosos a) 2x ϩ yϩ z ϭ0
atendidos por dia pelos três caixas. 42 idosos.
Ϫx ϩ2 y ϩ5z ϭ0 y ϩ5z ϭ0
SPD; S {(0, 0, 0)} SPD; S {(0, 0, 0)}
29. Como em qualquer sistema homogêneo todos os
26. 5xx ϩ 2y ϩ z ϭ 12 termos independentes são nulos, ao escalonar-
ϩ 12 y ϩ 5z ϭ66
O sistema linear mos um sistema homogêneo, a última linha sem-
x Ϫ y ϩ12z ϭ 47 pre será algo do tipo an ? xn 0, em que an Þ 0
ou an 0. O que isso significa em termos de clas-
é determinado e sua solução é {(2, 3, 4)}. Inventem sificação de um sistema homogêneo quanto ao
um enunciado, criando uma situação que possa ser
representada por ele. Resposta pessoal. número de soluções?
29. Significa que um sistema homogêneo nunca será impossível: ou será possível e determinado ou será possível e indeterminado.
Sistemas lineares 109
Discussão de um sistema linear 2 3 2
Consideremos o sistema linear a1x b1 y c1
a2x b2 y c2
a1 b 1 c1 b1 a1 c 1
onde D ϭ , Dx ϭ , Dy ϭ
a2 b2 c2 b 2 a2 c 2
Pode ocorrer que:
a) D Þ 0. Neste caso, o sistema é possível e determinado com solução única dada por:
xϭ Dx e yϭ Dy .
D D
b) D 0 e [Dx Þ 0 ou Dy Þ 0]. Neste caso, o sistema é impossível.
c) D 0, Dx 0 e Dy 0. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado.
Observação: Este procedimento só é válido para sistemas lineares 2 3 2.
Exercícios resolvidos
{4. 2x ϩ y ϭ 13 possível e 12 11
Verifique se o sistema 3x Ϫ 2y ϭ9 é
Dx ϭ ϭ Ϫ3 e D y ϭ ϭ2
determinado, impossível ou possível e indeterminado. 32 13
Resolução: Como Dx Þ 0 e Dy Þ 0, o sistema é impossível.
21 Portanto:
D ϭ ϭ Ϫ7
• para k Þ 2, o sistema é possível e determinado.
3 Ϫ2 • para k 2, o sistema é impossível.
6. ax ϩ2y ϭ1
Como D Þ 0, o sistema é possível e determinado. Discuta o sistema ϩy ϭb
Vamos, então, determinar sua solução: x
Resolução:
Dx ϭ 13 1 ϭ Ϫ35 e x ϭ Dx ϭ Ϫ35 ϭ5 D a 2 a2
9 Ϫ2 D Ϫ7 11
Dy ϭ 2 13 ϭ Ϫ21 e yϭ Dy ϭ Ϫ21 ϭ 3 Se D Þ 0 ⇒ a 2 Þ 0 ⇒ a Þ 2, teremos sistema
3 9 D Ϫ7 possível e determinado.
Para D 0 ⇒ a 2, é preciso escalonar.
Logo, o conjunto solução S do sistema é dado por 2x ϩ 2 y ϭ 1
S {(5, 3)}. Substituindo a 2, temos
x ϩ y ϭb
{5. x ϩ ky ϭ 1 x ϩy ϭ b
Discuta o sistema linear x ϩ2y ϭ3 Escalonando, obtemos: 0y ϭ 1 Ϫ 2b
Resolução:
Discutir um sistema significa descobrir para que Se 1 2b 0 ⇒ b 1 , o sistema será possível e
2
valores dos parâmetros ele é possível e determina-
indeterminado. Senão, será sistema impossível.
do, possível e indeterminado ou impossível.
1k Portanto:
D ϭ ϭ 2 Ϫk
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
12
• Se D Þ 0, ou seja, 2 k Þ 0 ⇒ k Þ 2, o sistema é • a 2 e b 1 → sistema possível e indeterminado
2
possível e determinado.
•a2ebÞ 1 → sistema impossível
• Se D 0, ou seja, 2 k 0 ⇒ k 2, devemos 2
calcular Dx e Dy.
110 Capítulo 5
Discussão de um sistema linear n 3 n, com n . 2
Para discutir um sistema linear qualquer n 3 n podemos usar dois procedimentos:
1º-) Escalonamos o sistema até a última linha e, a partir dela, fazemos a discussão do sistema.
2º-) Usamos o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes aliado ao escalonamento.
Primeiro calcula-se o determinante de modo que seu valor não seja nulo, obtendo, então, as condições
dos parâmetros para que o sistema seja possível e determinado.
Depois, com o mesmo determinante, impõe-se que seu valor seja nulo para então substituirmos no
sistema os valores obtidos a partir dessa condição (se houver mais de um valor para o mesmo parâmetro,
teremos mais de um sistema a ser considerado).
Em seguida, escalona(m)-se o(s) sistema(s) até a última linha e, a partir dela, pode ser concluída a discussão
do sistema de acordo com as classificações possíveis dos sistemas lineares escalonados.
Exercício resolvido
x Ϫ 2 y ϩ az ϭ 1 Para D Þ 0 ⇒ a Þ 2 (sistema possível e determinado)
xϪ yϪ zϭ2
7. Discuta o sistema em função Com a 2, temos D 0. Portanto, não podemos
classificar o sistema sem escaloná-lo.
Ϫx ϩ 2 y Ϫ 2z ϭ b Substituindo a 2 no sistema, temos:
dos parâmetros a e b.
Resolução: x Ϫ 2 y ϩ 2z ϭ 1
1ª- maneira: escalonando x Ϫ y Ϫ z ϭ 2 → escalonando →
Ao escalonar o sistema, obtemos
Ϫx ϩ 2 y Ϫ 2z ϭ b
x Ϫ 2y ϩ az ϭ1 x Ϫ 2y ϩ 2z ϭ1
y Ϫ 1)z ϭ1 y Ϫ 3z ϭ1
(a ϩ → →
(a Ϫ 2)z ϭ b ϩ 1 0z ϭ b ϩ 1
Observando a última linha, podemos concluir que: Observando a última linha, teremos uma igualdade
verdadeira se b 1 0, portanto,
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
• a 2 e b 1 → sistema possível e indeterminado b 1 (sistema possível e indeterminado).
• a 2 e b Þ 1 → sistema impossível
A igualdade será falsa para b 1 Þ 0 ou b Þ 1
2ª- maneira: (sistema impossível).
1 Ϫ2 a Portanto:
D ϭ 1 Ϫ1 Ϫ1 ϭaϪ2
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
Ϫ1 2 Ϫ2 • a 2 e b 1 → sistema possível e indeterminado
• a 2 e b Þ 1 → sistema impossível
Exercícios
30. Discuta os seguintes sistemas lineares: 32. Seja o sistema linear:
a) x ϩ yϩ zϭ3 Veja a resolução deste exercício no 2x 3y 4z 1
x ϩ2 y ϩ 3z ϭ 6 Manual do Professor. 3x 4 y 3z b
5x 7 y az 8
2x ϩ 3 y ϩ 4z ϭ a
Calculem os valores de a e b para que o sistema
2x my 3 seja impossível. a 1 e b Þ 7
b)
33. Verifiquem se o sistema linear homogêneo:
mx 8 y 6
x y z0
31. Para que valores de a o sistema: 2x 2 y 4z 0
42xx Ϫ ay ϩ z ϭ Ϫ7 x y 3z 0
ϩ y ϩ 2z ϭ 13
é determinado ou indeterminado. Indeterminado.
x Ϫ y ϩ az ϭ 3 a Ϫ1 ea 1
2 2
é possível e determinado?
Sistemas lineares 111
Outros
contextos
Programação linear e a otimização de funções
As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são bastante
úteis na resolução de problemas de economia, transporte, alimentação (dietas), etc. Em problemas como esses é comum
precisarmos saber os valores máximo ou mínimo de uma função cujas variáveis estão sujeitas a certas desigualdades.
Em muitos deles a função que se quer otimizar (ou seja, da qual se quer encontrar o máximo ou o mínimo) é uma
função linear, e as desigualdades a que estão sujeitas suas variáveis também são lineares. Quando isso ocorre, dizemos
então que estamos diante de um problema de programação linear.
O método gráfico
Consideremos a seguinte situação-problema: PQ
Dois produtos, P e Q, contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no
quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitami- A3 1 12
na para uma alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto por
unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione B 3 4 30
uma alimentação sadia com o mínimo custo?
Diante de um problema de programação linear, consideramos as seguintes orientações C 2 7 28
para resolvê-lo:
32
1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar ou minimizar.
2. Transformamos as restrições impostas no problema em um sistema de inequações lineares.
3. Traçamos o gráfico da região poligonal convexa correspondente a essas restrições determinando as coordenadas dos
seus vértices.
4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices.
5. Constatamos que o maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função objetivo. Voltamos ao pro-
blema e damos a sua solução.
Acompanhe cada passo na resolução da nossa situação-problema:
Seja x a quantidade do produto P, e y a quantidade do produto Q nas condições do problema.
1. Função objetivo:
O custo é dado por C 3x 2y, o qual queremos minimizar.
2. Restrições:
As condições impostas pelo problema são x > 0, y > 0, 3x y > 12, 3x 4y > 30 e 2x 7y > 28.
3. Gráfico:
Banco de imagens/Arquivo da editora y Nesse caso, a região de possibilidades é a parte do plano limitada pelas
12
xϭ0 retas x 0, y 0, 3x y 12, 3x 4y 30 e 2x 7y 28. Os vértices são
yϭ0
dados pelas soluções dos sistemas: Antes de aplicar as atividades propostas
na seção, o professor pode acessar os
{ x ϭ0 links: <www.youtube.com/watch?v=_wJ
UzN8MoMg&index=1&list=PLVWA23fHC
3x ϩ y ϭ12 ⇒ (x, y) (0, 12)
{3xϩ yϭ 12 Kz-XEuEVhTTzc15GiT2-KLTX> (modelo de
programação linear), <www.youtube.
3x ϩ4 y ϭ30 ⇒ (x, y) (2, 6) com/watch?v=e6mXySsFQlY> (problema
3x ϩ 4y ϭ 30 { ( )2xϩ7 y ϭ28 de transporte), <www.youtube.com/
3x ϩ y ϭ 12 watch?v=Mp8Y2yjV4fU> (robô Lego
3x ϩ4 y ϭ30 ⇒ (x, y) Mindstorms resolvendo um Sudoku) e
x 98 , 24
2x ϩ 7y ϭ 28 13 13
{2xϩ7 y ϭ28 <www.youtube.com/watch?v=
y ϭ0 ⇒ (x, y) (14, 0) RNPqbBcOS9M> (videoaula de raciocínio
lógico: Sudoku). Acessos em: 5 maio 2016.
112 Capítulo 5
4. Valores que a função objetivo assume nos vértices:
Vértice Valor da função C 3x 2y
(0, 12) C 3 ? 0 2 ? 12 24
(2, 6)
C 3 ? 2 2 ? 6 18 ← mínimo
( )98 , 24 C 3 ? 98 2 ? 24 26,3
13 13 13 13
(14, 0) C 3 ? 14 2 ? 0 42 ← máximo
5. Conclusão:
A dieta ótima, que é sadia e tem custo mínimo, consiste em consumir 2 unidades do produto P e 6 unidades do pro-
duto Q.
Trabalhando com o texto
1. Agora, responda no caderno às questões a seguir.
a) Qual é o custo de consumir 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q? 22
b) Quanto de vitamina A seria consumido com 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q? 17
c) Quanto de vitamina B e C seria consumido nas mesmas condições da pergunta anterior? 32 e 43.
d) Essa dieta (4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q) está de acordo com o texto?
Ela atende aos requisitos vitamínicos, porém não é a dieta de custo mínimo.
e) Pesquise qual profissional deve ser consultado antes de se iniciar uma dieta. Você conhece algum? Discuta com
seus colegas os perigos de fazer dietas sem acompanhamento médico. Nutricionista.
Pesquisando e discutindo
2. Na página de abertura deste capítulo foi falado sobre a utilização de programação linear para resolver sudokus.
Em grupo, realizem uma pesquisa em três etapas:
1ª) Pesquisem a origem e as regras do sudoku e também dicas de como preencher esse tipo de
“quebra-cabeça” matemático.
2ª) Pesquisem o que é modelagem matemática, sua importância no ramo da matemática aplicada e também
como poderia ser utilizada no processo de resolução de um sudoku.
3ª) Pesquisem mais a respeito de programação linear e também como ela poderia ser utilizada no processo de
resolução de um sudoku.
Por fim, os grupos devem apresentar um seminário com os resultados obtidos em cada uma das etapas da pesquisa.
Veja mais sobre o assunto
Procure informações e curiosidades sobre programação linear e a otimização de funções em jornais, revistas, livros
e na internet. Sugestões: (acessos em: 5 maio 2016)
• ARSIE, K. C. Jogos sudoku e quadrado mágico. Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2010. Disponível em: <http://
people.ufpr.br/~ewkaras/ic/karla10.pdf>.
• Geniol: <www.geniol.com.br/logica/sudoku/>.
• MELO, J. N. B. Uma proposta de ensino e aprendizagem de programação linear no Ensino Médio. Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, 2012. Disponível em: <www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/modulo_II/pdf/
dissertacao_ jorge_melo.pdf>.
• SILVA, K. Modelagem Matemática com programação linear: uma proposta de trabalho no Ensino Médio. Universidade
Estadual do Sudoeste da Bahia, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/
123456789/486/2011_00379_KLEBER_SILVA.pdf?sequence=1>.
Sistemas lineares 113
Pensando no Enem
Matriz do Enem: H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
1. Leia o texto a seguir.
O que é a Matriz GUT?
A Matriz GUT é uma ferramenta bastante utilizada pelas empresas, principalmente com o intuito de priorizar
os problemas e consequentemente tratá-los, levando em conta suas gravidades, urgências e tendências. [...]
[...] Para facilitar o entendimento, nós iremos dividir o processo de montagem da matriz em etapas.
Primeira Etapa (Listagem dos Problemas)
Para iniciarmos com a Matriz GUT, primeiro é necessário listar todos os problemas e aspectos relacionados às
atividades que você deseja analisar. [...]
Problemas G U T GUT
Rever contrato de locação Gravidade Urgência Tendência 9
Treinar novo operador no sistema 3 3 1 32
Ampliar rede com mais 2 equipamentos 4 4 2 16
Fazer backup completo do banco de dados 2 2 4 75
5 5 3
Segunda Etapa (Pontuação dos Problemas)
Nesta etapa, é dada uma pontuação Tendência
(“se nada for feito...”)
para cada um dos problemas. [...] Ao final Nota Gravidade Urgência
da pontuação, é identificado o número ... irá piorar rapidamente
extremamente precisa de
que mostrará o grau de prioridade dos 5 grave ação imediata ... irá piorar em pouco
problemas. Para isso, deve-se multiplicar muito grave tempo
é urgente
os coeficientes [quocientes] gravidade 3 4 grave ... irá piorar
3 urgência 3 tendência (G 3 U 3 T), o mais rápido
pouco grave possível ... irá piorar a longo
sendo o problema que obtiver o maior 3 sem gravidade pouco prazo
resultado, a principal prioridade a ser cor- urgente ... não irá mudar
pode esperar
rigida. No caso [...] acima, o principal pro- 2
blema encontrado foi o de “fazer o backup
completo do banco de dados”, que atingiu 1
75 pontos na Matriz GUT.
Terceira Etapa (Classificação dos Problemas)
Após identificar, listar e, através da multiplicação dos fatores (gravidade, urgência e tendência), atribuir as
notas de cada um dos principais problemas identificados, é necessário traçar o plano de ação em relação aos
mesmos, levando em consideração cada um dos aspectos da matriz e a classificação [...] dos problemas inseridos
nela. [...]
Fonte: Portal Administração. Disponível em: <www.portal-administracao.com/
2014/01/matriz-gut-conceito-e-aplicacao.html>. Acesso em: 12 nov. 2015.
Um estudante, próximo ao final do ano letivo, listou seus Problemas GU T
principais problemas e elaborou uma matriz GUT: Estudar Física 454
Planejar a viagem 233
Podemos afirmar que: Estudar Química 541
Começar academia 312
a) o principal problema que o estudante deve resolver é
“estudar Química”.
b) o problema de maior prioridade é “começar academia”.
c) antes de “estudar Química” o estudante deve “planejar a
viagem”.
d) o que menos deve preocupá-lo é “planejar a viagem”.
x e) a prioridade é “estudar Física”.
114 Capítulo 5
Matriz do Enem: H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
2. Movimentos de figuras em um plano, tais como reflexões, rotações e translações, podem ser obtidos por multi-
plicação de matrizes. Observe no plano cartesiano abaixo um exemplo de uma figura original e as figuras obtidas
por reflexões.
15
Reflexão no eixo y Figura original
10
5 WeStudio/Shutterstock
0
Ϫ5
Ϫ10
Reflexão na reta y 5 2x Reflexão no eixo x
Ϫ15 5 10
Ϫ15 Ϫ10 Ϫ5 0 15
O produto de matrizes 1 0 и x ϭ x pode ser interpretado como uma reflexão do ponto (x, y) no eixo Ox.
0 Ϫ1 y Ϫy
Dizemos que (x, 2y) é a imagem, por reflexão em Ox, de (x, y).
O produto de matrizes 0 1 и x ϭ y pode ser interpretado como uma reflexão de (x, y) em relação à reta
1 0 y x
y 5 x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Dizemos que ( y, x) é a imagem, por reflexão em y 5 x, de (x, y).
Observe no gráfico:
Para refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Oy e, em seguida, refletir sua imagem em relação a Ox de modo que
tenhamos o ponto (2x, 2y), devemos realizar, na sequência, as multiplicações:
1 0 x x 1 0 x x (Ϫx, y) Oy (x, y)
a) 0 Ϫ1 и y Ϫy 0 Ϫ1 Ϫy y yϭx
ϭ ; и ϭ
( y, x)
b) 1 0 и x ϭ x ; Ϫ1 0 и x ϭ Ϫx
0 Ϫ1 y Ϫy 0 1 Ϫy Ϫy
x c) −1 0 и x ϭ −x ; 1 0 и −x ϭ −x 0 Ox
0 1 y y 0 −1 y − y
d) −1 0 x ϭ −x ; 0 1 и −x ϭ y Banco de imagens/Arquivo da editora
0 1 и y y 1 0 y −x
e) −1 0 и x ϭ −x ; 1 0 и −x ϭ −x (Ϫx, Ϫy) (x, Ϫy)
0 −1 y − y 0 1 − y − y
Sistemas lineares 115
Vestibulares de Norte a Sul
Região Norte Região Nordeste
1. (Ufam) Sejam A (aij)4 3 3 e B (bij)3 3 4 duas matri- 3. (UFRN) Considere, a seguir, uma tabela com as no-
zes reais definidas por tas de quatro alunos em três avaliações e a matriz
a i j, se i у j e M formada pelos dados dessa tabela.
ij i j, se i j
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3
bij 2i 1, se i j . Se C é a matriz real Thiago 8 9 6
j 1, se i j Maria 6 8 7
Sônia 9 6 6
definida pela multiplicação da matriz A pela matriz André 7 8 9
B, o elemento da terceira linha e segunda coluna
da matriz C é:
a) 25. c) 37. e) 53. 8 9 6
Mϭ 6 8 7
x b) 35. d) 50.
966
2. (Uepa) A produção na atividade agrícola exige es- 7 8 9
colhas racionais e utilização eficiente dos fatores O produto 1 1 corresponde à média:
produtivos. Para administrar com eficiência e efi- 3 M 1
cácia uma unidade produtiva agrícola é imprescin- 1
dível o domínio da tecnologia e do conhecimento
dos resultados dos gastos com os insumos e servi-
ços em cada fase produtiva da lavoura. Um agricul- a) de todos os alunos na Avaliação 3.
tor decidiu diversificar a plantação nas três fazen-
das que possui plantando feijão, milho e soja. A b) de cada avaliação.
quantidade de sacos de 60 kg produzidos com
as colheitas de feijão, milho e soja por fazenda e a x c) de cada aluno nas três avaliações.
receita total obtida em cada uma das fazendas es-
tão registradas no quadro abaixo. Tomando por d) de todos os alunos na Avaliação 2.
base as informações contidas no quadro, esse agri-
cultor vendeu o saco de milho por: 4. (UPE) Em uma floricultura, é possível montar arran-
jos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um
arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa
42 reais. No entanto, se o arranjo tiver uma marga-
rida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entre-
Quantidade de sacos de Receita tanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma
60 kg produzidos total por
Fazendas fazenda rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto
Feijão Milho Soja (em R$)
custará um arranjo simples, com uma margarida,
um lírio e uma rosa?
a) 5 reais. c) 10 reais. e) 24 reais.
A 1 200 800 1 500 206 000,00 b) 8 reais. x d) 15 reais.
B 800 600 1 200 151 000,00 Região Centro-Oeste
C 1 500 1 000 2 000 265 000,00 5. e2x2 0
(UEG-GO) Dada a matriz A ϭ 0 | y ϩ x|
x a) R$ 25,00. e seja B uma matriz identidade de ordem 2, os va-
b) R$ 40,00. lores de x e y não negativos, tal que as matrizes A
c) R$ 60,00. e B sejam iguais, são respectivamente:
d) R$ 65,00. x a) 0 e 1.
e) R$ 80,00.
b) 1 e 1.
c) 0 e 2 .
2
d) 2 e 1 Ϫ 2 .
22
116 Capítulo 5
6. (UFG-GO) Uma pessoa fez uma compra em um su- Região Sul
permercado no valor de R$ 77,00. Ao efetuar o pa- 9. (UEL-PR) Conforme dados da Agência Nacional de
gamento com uma nota de R$ 100,00, o operador
de caixa informou-lhe que dispunha apenas de Aviação Civil (Anac), no Brasil existem 720 aeródro-
notas de R$ 10,00 para o troco. O cliente verificou
que ainda tinha em sua carteira R$ 73,00, sendo mos públicos e 1 814 aeródromos privados certifi-
três notas de R$ 10,00, oito notas de R$ 5,00 e três
moedas de R$ 1,00. cados. Os programas computacionais utilizados
O menor valor que o cliente deve repassar ao ope-
rador de caixa, para facilitar o troco, considerando- para gerenciar o tráfego aéreo representam a ma-
-se o dinheiro que tinha em sua carteira, é:
lha aérea por meio de matrizes. Considere a malha
a) R$ 103,00.
aérea entre quatro cidades com aeroportos por
xb) R$ 107,00.
meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D
c) R$ 113,00.
indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 3 4 da-
d) R$ 117,00.
da a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz
e) R$ 123,00.
4 3 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal prin-
cipal, que corresponde à posição X Y, foi preen-
chida com 1.
ABCD
A 1 0 0 1
B 0111
Região Sudeste C 01 10
7. (Unimontes-MG) Considere x um número real, e as D1 1 0 1
matrizes A 2 2x e B 1 1 . Se Considerando que, no trajeto, o avião não pode
x 3x 3 1 pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade
nem voltar para a cidade de origem, indique a al-
o determinante de A for igual ao determinante de B, ternativa correta.
então: x a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras
cidades.
a) x 2 ou x 1. x c) x 2 ou x 1.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras
b) x 2 ou x 1. d) x 2 ou x 1. cidades.
8. (IFSP) Analise a tira abaixo. c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
Garfield, Jim Davis © 1997 Paws, Inc. All Rights Reserved/Dist. Universal Uclick d) Existem dois diferentes caminhos entre as cida-
des A e B.
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cida-
des A e C.
10. (Udesc) Considerando que A 1 2 ,
4 3
B 2 3 , C 7 0 e
4 1 3 6
X Ϫ 1 AB ϭ 2C , o valor do determinante de X é:
2
a) 285 .
2
Suponha que esse quebra-cabeça fosse retangular, b) 325 .
sendo todas as peças do mesmo tamanho, distri- 2
buídas em x linhas e y colunas. Sabendo que o con-
torno do retângulo era formado por 90 peças, é c) 335 .
correto afirmar que os valores de x e y são: 2
a) 4 e 125. c) 10 e 50. e) 100 e 5. x d) 245 .
2
b) 125 e 5. x d) 20 e 25. e) 315 .
2
Sistemas lineares 117
UNIDADE3
Geometria
plana e
espacial
118
CAPÍTULOCAPÍTULO
PoCloígnojunnotsosinscritos
Paulo Whitaker/Reuters/Latinstock
061 enáuremaésricos NASA/Corbis/Latinstock
Floresta Amazônica, fronteira com terras desmatadas.
Área sendo preparada para o plantio de soja, no estado de
Mato Grosso. Fotografia de 2015. Na área desmatada são
visualizados dois triângulos e uma região que pode ser
dividida em dois trapézios. Fazendo aproximações de áreas
desconhecidas com áreas de polígonos já conhecidas,
podemos estimar a medida de área de qualquer superfície.
119
1 Polígonos regulares inscritos na circunferência
Os polígonos regulares são aqueles em que todos os lados e todos os ângulos são congruentes. Os mais
importantes são o quadrado, o triângulo equilátero e o hexágono regular. Observe a seguir o quadrado e o
pentágono regular inscritos em circunferências:
Ilustrações técnicas desta página: ᐉ4 quadrado inscrito em ᐉ5 pentágono regular inscrito
Banco de imagens/Arquivo da editora a4 uma circunferência a5 em uma circunferência
4: lado 5: lado
a4: apótema a5: apótema
Fique atento! Para refletir
Apótema é um segmento com uma extremidade no centro Os n vértices do polígono regular dividem a circunferência
da circunferência e outra no ponto médio do lado do circunscrita em n partes iguais. Verifique isso nas figuras
polígono regular. desta página.
Ele coincide com o raio da circunferência inscrita no
polígono regular.
Cálculo da medida do lado e do apótema de um polígono regular em função
do raio da circunferência
Quadrado inscrito em uma circunferência A
a) lado: 4 r ᐉ4 B
Aplicando o teorema de a4
Pitágoras no nAOB, temos:
24 5 r2 1 r2 ⇒ 24 5 2r2 ⇒ ᐉ4 ϭ r 2 Or
b) apótema: a4
Observe na figura que:
a4 1 a4 5 4 ⇒ 2a4 5 4 ⇒ a4 5 ᐉ4
2
Fique atento!
Ou seja: a4 ϭ r2
2 • O apótema é a metade do lado do quadrado.
• O diâmetro da circunferência é a diagonal do quadrado.
Exercício resolvido
1. Calcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência de 30 cm de raio.
Resolução:
• ᐉ4 ϭ r 2 ⇒ ᐉ4 ϭ 30 2 ⇒ ᐉ4 Ӎ 42,3 cm
• a4 ϭ r 2 ⇒ a4 ϭ 30 2 ⇒ a4 Ӎ 21,2 cm
2 2
120 Capítulo 6
Hexágono regular inscrito em uma circunferência
A Ilustrações técnicas desta página: Banco
r de imagens/Arquivo da editora
O a6 ᐉ6
r
B
a) lado: 6 b) apótema: a6
AOB B: 3608 5 608; Ow A > Ow B ⇒ OAB B > OBB A Como AB ϭ r , temos:
6 22
Nesse caso, OAB B e OBB A também medem r2 5 a26 1 r2 ⇒
4
608 180Њ Ϫ 60Њ .
2
3r 2 r 3
⇒ a26 5 4 ⇒ a6 ϭ 2
Então, nOAB é equilátero e, daí, 6 5 r .
Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência
A
r
ᐉ3
O
a3
BC
ᐉ6 ϭ r
M
a) lado: 3 b) apótema: a3
Observe que AC 5 3 ⇒ CM 5 6. Logo, CM 5 r.
Aplicando o teorema de Pitágoras no nACM, a32 ϩ ᐉ3 2 ϭ r2 ⇒ a32 ϭ r2 r 32 ⇒
2 Ϫ 2
temos:
⇒ a3 ϭ r
23 1 r2 5 (2r)2 ⇒ 23 5 3r2 ⇒ ᐉ 3 ϭ r 3 2
Exercícios resolvidos
2. Calcule o lado e o apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de 20 cm de raio.
Resolução:
• 6 5 r ⇒ 6 5 20 cm
• a6 ϭ r3 ⇒ a6 ϭ 20 3 ⇒ a6 Ӎ 17,3 cm
2 2
3. Calcule o lado e o apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de 35 cm de raio.
Resolução:
• ᐉ 3 ϭ r 3 ⇒ ᐉ 3 ϭ 35 3 ⇒ ᐉ 3 Ӎ 60,6 cm Fique atento!
O apótema é a terça parte da altura do
• a3 ϭ r ⇒ a3 ϭ 35 ⇒ a3 ϭ 17,5 cm triângulo equilátero.
2 2
Polígonos inscritos e áreas 121
Comprimento da circunferência
Historicamente, o cálculo do comprimento de uma circunferência Science Source/Photoresearches
sempre foi feito a partir da comparação com o diâmetro. Há cerca de
4 mil anos, os babilônios obtinham o comprimento da circunferência
triplicando o diâmetro. Essa razão entre o comprimento da circunfe-
rência e o diâmetro dela é conhecida como o número p, ou seja, ϭ C .
D
Então, para os babilônios, p 5 3. Há cerca de 2 mil anos, Arquimedes
(287 a.C.–212 a.C.), um dos mais impor tantes geômetras gregos de
toda a História, publicou um tratado matemático contendo o cálcu-
lo do valor de p como um número entre 223 e 22 . Isso equivalia a
71 7
usar p 5 3,14, o mesmo que usamos atualmente nos cálculos práticos,
um feito notável para a época.
Hoje sabemos que p é o número irracional 3,14159265358979323
846264338327950288419716939937510..., aqui escrito com as cinquenta
primeiras casas decimais, mas que já foi obtido com precisão de 8 qua- Retrato de Arquimedes.
trilhões de casas decimais por poderosos computadores. Porém, mesmo O Banco de imagens/
r Arquivo da editora
hoje em dia, usar p 5 3,14 é suficiente para as nossas necessidades
A
práticas. Em cálculos teóricos, não substituímos p pelo seu valor. Assim,
usamos para o comprimento da circunferência a fórmula C 5 2pr , pois: B
C ϭ ⇒ C ϭ ⇒ C ϭ 2r C
D 2r
AB: medida da circunferência ou
comprimento da circunferência (C)
Comprimento de um arco
O comprimento de um arco pode ser calculado de forma proporcional ao comprimento da circunferência.
Uma semicircunferência, por exemplo, é um arco de 1808 (metade de 3608), sendo seu comprimento, então,
a metade do comprimento da circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
ϭ ␣ ϭ ␣ ϭ fração da circunferência ocupada pelo arco
graus rad
2r 360Њ 2
Dependendo da informação conhecida (a em graus, a em radianos ou fração da circunferência), usamos
uma das relações acima.
Exercícios resolvidos
4. Determine o comprimento de uma circunferência que tenha 5 cm de raio.
Resolução:
C 5 2pr ⇒ C 5 2 ? p ? 5 ⇒ C 10p cm
5. Determine o comprimento do arco AB na circunferência de raio 6 m da figura ao lado. A
O
Resolução: Banco de imagens/
Arquivo da editora
O arco representa 1 da circunferência. Então: B
4
ϭ 1 ⇒ ϭ 1 и и 12 ϭ 3 m
2ии6 4 4
122 Capítulo 6
Exerc’cios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
1. Em uma circunferência de 10 cm de raio, calcule as 11. Qual é o comprimento dos arcos AB a seguir, sendo
medidas do lado e do apótema de um: 10 cm o raio de cada circunferência de centro O?
a) A 5p cm
a) triângulo equilátero inscrito; 3 ϭ 10 3 17,32 cm;
BO
a3 5 5 cm
b) quadrado inscrito;
4 ϭ 10 2 14,14 cm; a4 ϭ 5 2 7,07 cm
c) hexágono regular inscrito.
6 5 10 cm; a6 ϭ 5 3 8,66 cm
2. Determine o perímetro do hexágono regular inscri-
to em uma circunferência de raio igual a 5 cm. 30 cm
3. Um triângulo equilátero de lado 5 cm está inscrito b) A 10p cm
em uma circunferência de raio r. Qual é a medida
do diâmetro dessa circunferência? 10 3 Ӎ 5,77 cm
3
4. O
D etermine a razão entre o apótema de um quadrado
e o lado de um triângulo equilátero, ambos inscritos
em uma circunferência de raio igual a 6 cm. 6 B
A
6
60¡
5. Determine o comprimento de uma circunferência O
cujo diâmetro é 14 cm. 14p cm c) 10 cm
3
B
6. Calcule a medida do raio de uma circunferência cujo
comprimento é 14p cm. 7 cm
7. U ma roda de bicicleta tem diâmetro de 60 cm. Qual 12. Q ual é o comprimento de cada arco AB abaixo, consi-
é a distância percorrida pela bicicleta depois que a derando que em cada caso os polígonos inscritos são
roda deu 500 voltas? 300p m regulares e o raio de cada circunferência é 24 cm? Lem-
bre-se de que os vértices do polígono regular dividem
a circunferência circunscrita a eles em partes iguais.
Iwona Grodzka/
Shutterstock/Glow Images a) 12p cm
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
B A
8. Como ficará o comprimento de uma circunferência
quando seu raio:
a) dobrar? Dobrará. b) A 16p cm
b) triplicar? Triplicará.
9. D etermine o comprimento de uma circunferência
inscrita em um quadrado de lado 5 cm. 5p cm
B
c) A 18p cm
10. C alcule o comprimento de uma circunferência na B
qual está circunscrito um triângulo equilátero cujo
apótema é 6 cm. 12p cm
Polígonos inscritos e áreas 123
2 Áreas: medidas de superfícies
Desde a época dos antigos Tiago Orihuela/Acervo do fot—grafo
egípcios, que procuravam medir e
demarcar suas terras (daí surgiu o
nome Geometria 5 medida da ter-
ra), até hoje, quando topógrafos,
geólogos e arquitetos fazem ma-
peamentos e plantas, o cálculo de
áreas tem sido uma preocupação
constante.
Com os colegas, sugira manei-
ras de comparar a área da superfí-
cie de dois lagos para determinar a
maior delas. Neste tópico, aprofun-
daremos esse estudo, estabelecen-
do valores para as medidas das
superfícies e conhecendo as fórmu-
las para o cálculo da área das super- Lago Caracaranã, localizado em Roraima. Possui aproximadamente 2,5 km² de área
fícies mais comuns. superficial. Fotografia de 2010.
A ideia intuitiva de área Uma das formas de medir a área da superfície de um lago é aproximar a área superficial do lago com a
área de alguma figura geométrica. No caso do lago Caracaranã, seu perímetro é de aproximadamente
5,8 km. Aproximando sua área com a área de um círculo de perímetro igual, podemos encontrar uma
medida de área equivalente à área aproximada do lago. Nas páginas 131, 133 e 137 a 140 esta explicação
poderá ser mais bem explorada.
Suponha que queiramos medir a região do plano indicada por F na figura abaixo. Para isso, precisamos
comparar F com uma unidade de área que chamaremos de U. O resultado dessa comparação é um número
que exprime quantas vezes a região F contém a unidade de área U. Esse número assim obtido é a área de F.
F
U
unidade de área: U
Então, a área da região plana F é 13,5 U, ou seja:
área de F 5 13,5 U
Região quadrada unitária
Vamos estabelecer como unidade de área uma região quadrada cujo lado mede uma unidade de
comprimento. Ela será chamada região quadrada unitária.
11
1
região quadrada unitária
Qualquer região quadrada cujo lado meça 1 terá, por definição, área igual a 1.
124 Capítulo 6
Área do quadrado
• Consideremos um quadrado Q cujo lado mede n, em que n é um número natural. Ele pode ser decom-
posto em n2 quadrados justapostos, cada um com lado unitário e, portanto, com área 1. Logo, o quadrado
Q tem área n2:
4Q área de Q 5 n2 Fique atento!
Quadrado é todo quadrilátero que tem os
1 Região quadrada de lado 4, decomposta quatro lados congruentes e os quatro
1 em 16 5 42 quadrados unitários. ângulos retos.
Para nos referirmos à “área da região
quadrada”, falaremos simplesmente “área
do quadrado”.
4
• Vejamos agora quando o lado do quadrado Q tem por medida 1 em que n [ N*. Nesse caso, o quadrado
n
unitário pode ser decomposto em n2 quadrados justapostos, todos congruentes a Q.
Quadrado unitário decomposto em 4 5 22
1 Q 1 1 quadrados congruentes a Q.
2 1
1 12 1 2
4 22 2
1 Área do quadrado Q 5 ou .
2
Assim, n2 ? (área de Q) 5 1. Logo:
área de Q 5 1 ou 12
n2 n
• Passemos agora para um caso mais geral, em que a medida do lado do quadrado Q é um número racional
do tipo m, m [ N e n [ N*.
n
Nesse caso, pode-se decompor Q em m2 quadrados, cada um dos quais com lado 1 . Assim, a área de cada
n
um desses quadrados menores é 1 .
n2
1 Quadrado de lado 4 , decomposto em 16 5 42 quadrados menores, cada um
4 3
3 Q 1 1 1 ϭ1.
3 3 32 9
com lado cuja medida é e cuja área é
1
4 ϭ 1 31 Área do quadrado Q ϭ 16 42 ou 4 2
3 9 32 3
.
Assim, neste caso, a área do quadrado Q será dada por m2 1 ϭ m2 , ou seja:
n2 n2
m 2
n
área de Q 5
É possível provar que, se a medida do lado do quadrado Q for um número irracional k, ainda assim:
área de Q 5 k2
Conclusão: A área de um quadrado Q cujo lado mede é dada por:
ᐉQ área de Q 5 2
ᐉ
sendo < um número natural ou fracionário positivo.
Polígonos inscritos e áreas 125
Área do retângulo
O retângulo pintado abaixo contém 15 unidades de área. Portanto, sua área é de 15 cm2.
1 cm 1 cm2 3 cm Fique atento!
5 cm Retângulo é todo quadrilátero que
tem os quatro ângulos retos.
Aqui também, quando falamos
1 cm “área do retângulo”, estamos
subentendendo “área da região
unidade de retangular”. E nos demais polígonos
área: 1 cm2 nas próximas páginas também.
Observe que, em vez de contar quantas unidades de área estão contidas no retângulo, basta multiplicar
a medida do comprimento pela medida da largura:
5 cm ? 3 cm 5 15 cm2
Nesse caso, as medidas do comprimento e da largura são números naturais.
Vamos provar que, se a medida da base (b) e a medida da altura (h) forem números reais quaisquer, a área
do retângulo R é dada por:
área de R 5 b ? h
Consideremos um retângulo R de base b e altura h, em que b e h são números reais.
Rh
b
Construímos um quadrado cuja medida do lado é b 1 h, que contém duas cópias de R, e mais dois qua-
drados, um cujo lado mede b e outro cujo lado mede h.
bh
b Rb
hR h
b h
A área desse quadrado (Q) é dada pelo quadrado de uma soma:
área de Q 5 (b 1 h)2 5 b2 1 2bh 1 h2 I
Como os quadrados têm áreas iguais a h2 e b2, concluímos que:
área de Q 5 b2 1 h2 1 2 ? (área de R) II
Comparando I e II , chegamos a:
área de R 5 b ? h
126 Capítulo 6
Área do paralelogramo
Vamos calcular a área do paralelogramo ABCD tomando como base At B de medida b e sua altura Ct E (per-
pendicular a tAB) de medida h.
Examine a figura:
FD C Fique atento!
Paralelogramo é todo
h h quadrilátero no qual os
lados opostos são paralelos.
A b Bc E c
O paralelogramo está contido em um retângulo de base b 1 c e altura h. A área desse retângulo é
dada por:
(b 1 c)h 5 bh 1 ch
Observe que o retângulo é formado pelo paralelogramo mais dois triângulos que, juntos, formam um
retângulo de área ch. Assim:
Portanto: bh 1 ch 5 (área do paralelogramo) 1 ch Fique atento!
área do paralelogramo 5 bh Esse resultado não depende
da base escolhida. Se
Isso significa que a área de um paralelogramo é igual ao produto da tivéssemos escolhido outro
medida de uma de suas bases pela medida da altura correspondente a essa lado como base e tomado a
base escolhida. altura correspondente, o
resultado seria o mesmo.
Área do triângulo
Conhecendo-se a área de um paralelogramo, fica muito simples determinar a área de um triângulo.
Sabe por quê? Porque todo triângulo é metade de um paralelogramo de mesma base e mesma altura.
Veja: B A D
Dado o triângulo ABC, cuja área queremos determinar, traçamos parale- h C
las aos lados At B e Bt C, determinando o ponto D e o paralelogramo ABCD. E
Consideremos a altura AEu de medida h desse paralelogramo.
Já sabemos que, se a medida de Bt C é b, então a área do paralelogramo é
bh. Mas os triângulos ABC e ADC são congruentes (pelo caso de congruência
de triângulos AL A: têm um lado comum compreendido entre dois ângulos
de mesma medida). Logo, esses triângulos têm áreas iguais.
Assim: Fique atento!
área de ABCD 5 2 ? área do triângulo ABC Esse resultado não depende da base escolhida.
ou Temos três escolhas para a base b, cada uma
com sua altura h correspondente. Seja qual for
bh 5 2 ? área do triângulo ABC a escolha, o valor de bh será sempre o mesmo.
Portanto:
2
bh ou 1 bh
área do triângulo ABC 5 2 2
Podemos escrever: a área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da
altura correspondente.
Polígonos inscritos e áreas 127
Área de um triângulo equilátero
No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes (, e ), todos os ângulos internos são con-
gruentes (608, 608 e 608), e toda altura é também mediana e bissetriz.
Veja o cálculo da área, usando a base ( ) e a altura (h):
A
Ilustrações técnicas desta página:
ᐉ ᐉ Banco de imagens/Arquivo da editora Fique atento!
h Mediana é o segmento
de reta que une um
vértice ao ponto médio
do lado oposto.
B ᐉMᐉ C
22
O triângulo AMC é retângulo em M e, portanto, vale a relação de Pitágoras:
2 5 h2 1 ᐉ 2 3ᐉ 2 ᐉ3
2 4 2
⇒ h2 5 ⇒ hϭ
Logo, a área do triângulo ABC é dada por:
base и altura ϭ BC и h ᐉ и ᐉ3 5 ᐉ 2 3
A 5 2 2 5 4
2
2
Portanto, A 5 ᐉ 2 3 (área do triângulo equilátero de lado <).
4
Área do triângulo por meio da Trigonometria
Este caso se aplica quando são conhecidos dois lados do triângulo e o ângulo formado por eles.
Observe que LAL (Lado, Ângulo, Lado) é um caso de congruência de triângulos, o que significa que um tri-
ângulo fica perfeitamente determinado quando conhecemos dois de seus lados e o ângulo formado por eles.
Consideremos o triângulo ABC representado na figura abaixo.
Suponhamos que sejam conhecidas as medidas dos lados AC e CB e o ângulo formado por eles, ABB C.
Vamos indicar essas medidas assim: AC 5 b, CB 5 a e ACB ϭ ␣ para facilitar a demonstração.
Seja h a altura relativa à base BC.
Sabemos que a área desse triângulo é dada por S ϭ ah. A
2
Se nós conhecemos a, podemos escrever sen ␣ ϭ h, já que ACH é um triângulo bc
h
b ␣
C
retângulo. H B
Agora, podemos encontrar a altura em função de a e b: a
Assim, a área será dada por: h 5 b ? sen a Para refletir
S ϭ ab и sen ␣ Se no triângulo retângulo podemos
dizer que a área vale a metade do
2 produto das medidas dos catetos, o que
se pode concluir quanto ao valor do
seno de 908? sen 908 5 1
128 Capítulo 6
O triângulo possui três alturas, cada uma dependendo do lado que considerarmos como base. Então,
suponha que sejam conhecidos dois lados, AB e BC, por exemplo, e o ângulo formado por eles seja A BBC.
Verifique que a igualdade vista anteriormente também vale para eles.
Isso nos permite afirmar que:
A área S de qualquer triângulo é igual Fique atento!
à metade do produto das medidas de Esta conclusão se estende
dois dos seus lados multiplicada pelo aos triângulos obtusângulos,
seno do ângulo formado por eles. ou seja, aqueles que têm um
dos ângulos maior que 908.
Área do triângulo sendo conhecidos os três lados
Conhecidos os três lados (a, b e c) de um triângulo, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula
de Heron.
A Ilustrações técnicas desta página: Para refletir
cb Banco de imagens/Arquivo da editora O que significa semiperímetro
de um polígono?
A metade da soma das medidas dos
lados.
Ba C Fique atento!
Heron de Alexandria, geômetra e
Sendo o semiperímetro p 5 a ϩ b ϩc , é possível demonstrar que: mecânico grego, esteve no auge
2 de sua produção intelectual em
torno do ano 62 a.C.
A 5 p(p Ϫ a)(p Ϫ b)(p Ϫ c) Fórmula de Heron, muito útil quando
não conhecemos a altura do triângulo.
Área de um trapézio
Podemos decompor uma figura plana em regiões cujas áreas já sabemos calcular. A área dessa figura
plana será a soma das áreas das regiões em que a figura foi decomposta.
Por exemplo, vamos decompor a área de um trapézio traçando uma de suas diagonais.
Dividimos o trapézio em dois triângulos: um de base B e altura h e outro de base b e altura h.
b
Fique atento!
Trapézio é todo
h quadrilátero com um só
h par de lados paralelos
(bases).
B
A área de um triângulo você já aprendeu a calcular. Portanto, a área do trapézio é dada por:
A ϭ Bh ϩ bh ϭ Bhϩbh ϭ (B ϩb)h
22 2 2
Então:
A ϭ (B ϩb)h ou A ϭ (basemaior ϩ basemenor) и altura
2 2
Dizemos que a área de um trapézio é igual à semissoma das medidas das bases vezes a medida da altura.
Polígonos inscritos e áreas 129
Área de um losango
Todo losango é um paralelogramo, daí a área dele poder ser calculada como o produto da base pela
altura. Entretanto, em geral, as dimensões de um losango são expressas pelas medidas de suas diagonais D e d.
Todo losango tem a mesma área de um retângulo com altura D e base d , como mostram as figuras:
2
Fique atento!
D Losango é todo quadrilátero que tem os
quatro lados com medidas iguais.
d D
2
Assim, a área de um losango é dada pela metade do produto das medidas das
diagonais. Veja:
A 5 D ? d ou A 5 Dd ou A 5 diagonal maior и diagonal menor d
2 2 2
Fique atento!
Como todo quadrado é um losango, às vezes é conveniente calcular a área do quadrado em função das suas diagonais, que
têm a mesma medida. Nesse caso, a área do quadrado é dada por A 5 d2 .
2
Área de um hexágono regular
O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros. Temos que a área do triângulo equilátero
é dada por:
A 5 ᐉ 2 3 ᐉ
4 60Њ
Logo, a área de um hexágono regular é dada por:
A 5 6 ? ᐉ 2 3 5 6ᐉ 2 3 5 3ᐉ 2 3
44 2
ou seja:
A 5 3ᐉ 2 3
2
Área de um polígono regular
Observe alguns exemplos de polígonos regulares:
Ilustrações técnicas desta página: Banco ᐉ ap—tema
de imagens/Arquivo da editora a
O
Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular Octógono regular
(polígono regular de três lados) (polígono regular de quatro lados) (polígono regular de cinco lados) (polígono regular de oito lados)
Fique atento!
Polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma
circunferência.
130 Capítulo 6
Pode-se perceber que, se o polígono regular tem n lados, ele pode ser decomposto em n triângulos isós-
celes. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (< ) e a altura é o apótema (a) do polígono regular.
A área de um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim:
A 5 n ? ᐉa ou nᐉ A 5 pa ou aP
2 A 5 2 ? a ou A 5 2
em que : lado Para refletir
a: apótema No pentágono regular temos A 5 5 a
n: perímetro (2p) 2
p: semiperímetro e no octógono regular temos
P: perímetro
O A 5 4a.
a Escreva no caderno a área de um
AᐉB
decágono regular em função do lado
e do apótema. 5a
Exercício resolvido passo a passo: exerc’cio 6
Resolvido passo a passo I. Cálculo da área do vitral confeccionado com o mate-
rial representado pela parte sombreada, a qual é
B composta por quatro triângulos retângulos de cate-
tos medindo 0,5 m e um losango de diagonal maior
medindo 1 m e diagonal menor medindo 0,5 m.
II. Cálculo da área do vitral confeccionado com o ma-
terial representado pela parte clara.
III. Soma dos produtos entre a área de cada parte pelo
custo de cada tipo de material.
6. (Enem) Para decorar a Reprodução/Enem 2012
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
fachada de um edifício,
um arquiteto projetou a PQ C
colocação de vitrais com- A
postos de quadrados de
lado medindo 1 m, con-
forme a figura ao lado. D
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios 3. Executando o que foi planejado
dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC me-
dem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para con- Etapa I: (0,5)2
4 3 área dos triângulos retângulos 5 4 ϫ
feccionar um vitral, são usados dois tipos de mate- 2 ϭ 0,5
riais: um para a parte sombreada da figura, que (D ϫ d) 1 ϫ 0,5
2 2
custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara 1 3 área do losango 5 ϭ ϭ 0,25
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. 0,5 1 0,25 5 0,75
De acordo com esses dados, qual é o custo dos ma- Logo, 0,75 m2 é a medida da área da parte sombreada.
teriais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50 c) R$ 40,00 e) R$ 45,00 Etapa II:
área da par te clara 5 área do vitral 2 área da par te
b) R$ 35,00 d) R$ 42,50 sombreada ⇒ área da parte clara 5 (1)2 2 0,75 5 0,25
1. Lendo e compreendendo Logo, 0,25 m2 é a medida da área da parte clara.
a) O que é dado no problema? Etapa III:
É dado o formato de um vitral, com suas áreas dife- Custo com material (representado pela par te som-
breada) 5 0,75 ? 30 5 22,50
renciadas visivelmente, suas medidas e o preço do m2 Custo com material (representado pela parte clara) 5
de cada tipo de vitral. 5 0,25 ? 50 5 12,50
Custo total 5 22,50 1 12,50 5 35,00
b) O que se pede? Logo, o custo total é de R$ 35,00.
Pede-se o custo dos materiais necessários para fa-
4. Emitindo a resposta
bricação de um vitral. A resposta é a alternativa b.
2. Planejando a solução
Para simplificar a forma de solucionar tal problema, é
bom dividir sua resolução em etapas:
Polígonos inscritos e áreas 131
5. Ampliando o problema deles. Ao final do trabalho, calcule o custo com o
material para fabricação dos vitrais. Logo, vocês es-
a) Sabe-se que a fachada do edifício possui 80 m de al- tarão exercitando os conhecimentos em geometria
tura, 40 m de comprimento e toda ela será decorada e na matemática em geral.
com vitrais. Sendo assim, qual o custo que o constru-
tor terá para instalar os vitrais, sabendo-se ainda que c) Pesquisa
a mão de obra para instalação é de R$ 10,00 por m2? Pesquise nas construtoras de sua região o custo mé-
b) Discussão em equipe O custo total é de R$ 144 000,00. dio de produção dos diferentes tipos de imóveis e,
Com os colegas, monte outros tipos de vitrais com- como contrapartida, o valor de venda desses imó-
veis. Ao final, conclua por que o ramo da construção
postos de outras formas geométricas e mais de dois civil teve um elevado crescimento na última década.
tipos de materiais, definindo valores para cada um
Exerc’cios Atividade Atividade
em dupla em equipe
13. Feito o levantamento de um terreno, foram deter- 17. Determine a área do triângulo abaixo: 5 3 cm2
minados os dados indicados na figura abaixo. Nes- A
sas condições, qual é a área do terreno? 2 320 m2
40 m 30 m c ϭ 4 cm
40 m B 60Њ C
a ϭ 5 cm
36 m 18. E m um triângulo ABC, dois lados medem 4 cm e
14. U m terreno tem a forma de um trapézio de bases formam um ângulo de 608. Determine a área desse
triângulo. 4 3 cm2
20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse terreno, cons-
truiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 m. No 19. Qual é a área de um paralelogramo cujos lados me-
restante do terreno foram colocadas pedras minei-
ras. Qual foi a área onde se colocou pedra? 147 m2 dem 10 cm e 16 cm, sabendo que formam um ân-
gulo de 308? 80 cm2
15. Mostre que a fórmula A 5 (B ϩ b)a pode ser obti-
20. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular.
2
da decompondo-se o trapézio como na figura a O lado do piso mede 8 cm. Qual é a área desse piso?
seguir.
21. U m cubo é um sólido cuja superfície é com96po3sctma 2
b Veja a
resolução por 6 quadrados. Determine a área total da super-
deste fície do cubo da figura abaixo. AT 5 600 cm2
exercício no
10 cm
a Manual do
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora Professor. 10 cm
10 cm
xy 22. U m bloco retangular é um sólido cuja superfície é
B
composta por 6 retângulos. Determine a área total
16. U m tetraedro regular é um da superfície do bloco retangular da figura abaixo.
94 cm2
sólido formado por quatro 5 cm
triângulos equiláteros. Qual 4 cm
é a área total da superfície 6 cm
do tetraedro regular ao lado? 6 cm 6 cm 3 cm 3 cm
6 cm 4 cm
36 3 cm2 6 cm
5 cm
132 Capítulo 6
23. Qual é a área de to- 2 cm 28. U ma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios
da a par te colorida 2 cm isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de la-
da figura ao lado? do. Desprezando a espessura da madeira, quantos
Qual é a área da re- metros quadrados de madeira foram necessários
gião não colorida? para fabricar essa cesta de lixo? 0,3121 m2
Região colorida:
8 cm2; região não
colorida: 8 cm2.
24. Um terreno tem forma triangular e as medidas dos face lateral
27 cm
seus lados são 17 m, 15 m e 8 m. Qual é a área desse
terreno? 60 m2 30 cm
25. (Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de 19 cm Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
pessoas presentes em atos públicos considerando 29. Calcule a área de uma cartolina cortada na forma
que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas.
Qual a estimativa do número de pessoas presentes de um hexágono regular de lado 10 cm. 150 3 cm2
numa praça de 4 000 m2 que tenha ficado lotada
para um comício, segundo essa avaliação? 30. A figura abaixo mostra uma folha circular de zinco,
16 mil pessoas. de onde foi recortado o triângulo equilátero colorido.
Calcule a área desse triângulo.
26. Geografia
300 3 cm2
(PUC-SP) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm
para cada 200 km. O município onde se encontra a
capital de cer to estado está representado, nesse
mapa, por um losango que tem um ângulo de 1208
e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. Determine a
área desse município. 800 3 km2
27. Um quadrado tem 8 cm de lado. 3( )ᐉ3 ϭ r r
e a 3 ϭ 2
a) S e cada lado aumentar em 3 cm, a área aumen- 20 cm
tará em quantos centímetros quadrados? cm2
57
b) Se cada lado aumentar em 20%, a área aumen-
tará em quanto por cento? 44%
Área do círculo 2r 2r 2r
r
Veja o círculo ao lado inscrito em um quadrado.
Medida do lado do quadrado: 2r. 2r
Área do quadrado: (2r)2 5 4r2.
Então, a área do círculo com raio de medida r é menor do que 4r2. r r
Agora observe na segunda imagem o mesmo círculo circunscrito a um quadrado. r
O quadrado tem diagonais de medidas 2r e 2r. r
Como o quadrado é um caso particular de losango, a área do
quadrado pode ser obtida assim:
2r и 2r ϭ 4r2 ϭ 2r2
22
Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2.
Assim, em um círculo com raio de medida r, a área A é tal que:
2r2 , A , 4r2
ou seja, a área A é obtida pelo produto de um número próximo de 3 (que veremos que é o p) por r2.
Polígonos inscritos e áreas 133
Determinação da área do círculo
Vamos mostrar duas dentre muitas maneiras de encontrar a área do círculo.
1a maneira: usando círculo dividido em setores
O círculo a seguir foi dividido em um número par de setores circulares que formaram uma figura cujo
contorno lembra um paralelogramo. Sua base mede a metade do comprimento da circunferência 2r ϭ r
2
e sua altura mede r.
A área dessa figura, que é também a área do círculo, é A 5 (pr)r 5 pr2, isto é:
A 5 pr2
r r
r r
2a maneira: usando polígonos regulares
Já vimos que a área de um polígono regular é dada por A 5 aP , em que a é a medida do apótema e P é
2
o perímetro.
Analise esta sequência.
O que você pode perceber?
a) c) e) g) Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
aa aa
b) d) f ) h)
a a a ar
À medida que aumentamos suficientemente o número de lados dos polígonos regulares, a tendência é
chegar ao círculo, no qual o apótema passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a ser o comprimento da circun-
ferência (2pr).
Assim, a área do círculo pode ser representada por:
A 5 aP ϭ r и 2r 5 pr2, ou seja,
22
A 5 pr2
134 Capítulo 6
Área do setor circular
A parte pintada da figura é conhecida como setor circular de um círculo de raio r. Todo setor circular tem
um arco correspondente ( ) e um ângulo (a).
ᐉ Banco de imagens/Arquivo da editora Fique atento!
r Setor circular é a parte de um
círculo limitada por dois raios e
␣ um arco.
O setor circular é uma fração do círculo, e sua área A é diretamente proporcional ao ângulo central a.
Duplicando ou triplicando a medida do ângulo central, a área do setor circular duplica ou triplica. Um
semicírculo, por exemplo, é um setor circular cujo ângulo central é 1808 (metade de 3608) e sua área é
metade da área do círculo.
O comprimento < do arco também é proporcional ao ângulo central a. Então, podemos escrever que:
Asetor ϭ αgraus ϭ αrad ϭ ᐉ
r2 360Њ 2 2r
Dependendo da informação conhecida (a em graus, a em radianos, ou comprimento do arco) usamos
as razões acima.
Exercícios resolvidos
7. Calcule quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de raio, considerando
5 pessoas por metro quadrado. (Use p 5 3,14.)
Resolução:
A 5 pr2; p 5 3,14; r 5 20
A 5 202 ? 3,14 5 1 256 m2
Número aproximado de pessoas: 1 256 ? 5 5 6 280.
Assim, cabem aproximadamente 6 280 pessoas nessa praça.
8. Calcule a área do setor circular pintado abaixo.
Resolução:
área do setor: Asetor ϭ 45Њ ⇒ Asetor ϭ 1 и и 36 ϭ 9
и 62 360Њ 8 2
Banco de imagens/ 6 m 45Њ 6 m
Arquivo da editora
A área do setor circular pintado é 9 m2.
2
Polígonos inscritos e áreas 135
A área do círculo e o número p
As tentativas para calcular a área de um círculo a partir de um diâmetro dado estiveram sempre presen-
tes em toda a história da Matemática. Provavelmente, a mais antiga está no Papiro de Rhind, um documento
egípcio de cerca de 1650 a.C., que contém a resolução de 80 problemas matemáticos dos mais diferentes tipos.
O problema 50 do papiro de Rhind está escrito da seguinte forma: No Capítulo 7 do Volume 1 existe um texto
Um campo circular tem diâmetro 9 khet. Qual é sua área? onde também é abordado um problema
encontrado no Papiro de Rhind. Proponha
uma rápida pesquisa para conhecimento
geral sobre esta importante fonte histórica.
A resposta dada no papiro é 64 setat (que seria
equivalente à unidade de medida khet elevada ao
Banco de imagens/Arquivo da editora PROBLEMA 50
Reprodução/Associação Americana de
Matemática, Oberlin, Ohio, EUA.quadrado).
Na matemática do Egito antigo os enunciados e
as sentenças não eram colocados à prova, ou seja,
não havia demonstrações matemáticas, apenas uma
coleção de regras práticas para calcular as coisas que
necessitavam na vida diária. Entre essas regras, al-
gumas eram exatas e outras eram simplesmente
aproximações; entretanto, funcionavam bem para
as exigências da época. Para o problema 50 a solução Tradução do problema 50 do Papiro de Rhind.
é apresentada da seguinte maneira:
Tire 1 da solução, ou seja, 1, e restam 8. Faça a multiplicação 8 vezes 8; a solução dará 64, o montante
9
dele, ou seja, a área de 64 setat.
Esse texto do antigo Egito está afirmando que a área de um círculo de diâmetro 9 é igual à área de um
quadrado de lado 8. Vamos então avaliar qual é o valor de p utilizado na resolução deste problema.
Sabemos que a área do círculo de diâmetro D é ⋅ D2 . Sabendo que para os egípcios antigos a área do
4
círculo de diâmetro 9 é igual à de um quadrado de lado 8, temos que ⋅ 92 ϭ 64, ou seja, ϭ 256 , que
4 81
é aproximadamente 3,1605. Para a época esse valor é muito bom, pois contém um erro menor que 0,6%, o
que era perfeitamente adequado para os cálculos de que necessitavam.
Desde o século III a.C. até o século XVI a área de um círculo calculada a par-
tir de um raio dado era aproximada pelas áreas de polígonos regulares inscritos
com grande número de lados. Como se pode ver na figura ao lado, o polígono
regular de 36 lados já parece “praticamente” um círculo. Na Grécia antiga (sécu-
lo III a.C.), Arquimedes de Siracusa calculou a área de um polígono regular de
96 lados e pôde estimar que o número que hoje representamos por p estava
Polígono regular de 36 lados. entre 223 e 22 , ou seja, entre 3,1408 e 3,1428.
71 7
A estimativa que Arquimedes fez é excelente, pois o erro em relação ao valor real é de aproximadamen-
te 0,025% para 223 e de aproximadamente 0,038% para 22 . Nos séculos seguintes, valores melhores
71 7
para p foram sendo obtidos com polígonos de número de lados cada vez maiores, e o recorde absoluto
para esse processo deve-se a Ludolph van Ceulen (1540–1610), que utilizou um polígono de 2 061 584 326 080
lados para conseguir obter p com 20 casas decimais exatas. Com a descoberta do Cálculo diferencial e inte-
gral por Newton e Leibniz, processos mais sofisticados puderam ser criados, e o número de casas decimais
de p aumentou vertiginosamente.
136 Capítulo 6
Cálculo aproximado de áreas
Você saberia calcular a área desta região R?
R Ilustrações técnicas desta página: Banco de
imagens/Arquivo da editora
Que método podemos adotar para achar a área de regiões com formas parecidas com essa?
Para responder a essas perguntas usamos o seguinte procedimento:
Primeiro decalcamos essa região em uma malha quadriculada e contamos o maior número possível de
quadrados inteiros que cabem dentro dela.
R
Em seguida, contamos o menor número possível de quadrados inteiros que cobrem R totalmente:
R
Assim: .
• cabem 34 quadrados inteiros dentro da região R.
Dizemos que a área por falta da região R é de 34 .
• 67 quadrados inteiros cobrem a região R.
Dizemos que a área por excesso da região R é de 67
Conseguiu descobrir qual é a área?
A área da região R é maior do que 34 e menor do que 67 .
Uma razoável aproximação para essa área é dada pela média aritmética dos dois valores encontrados:
área aproximada 5 34 ϩ 67 5 50,5
2
Como a área do da malha quadriculada é de (0,5)2 cm2 5 0,25 cm2, então a área aproximada da região
R é dada por A 50,5 ? 0,25 5 12,63 cm2.
Polígonos inscritos e áreas 137
Razão entre áreas de polígonos semelhantes
Provavelmente você já estudou que polígonos semelhantes têm seus ângulos homólogos congruentes
e seus lados homólogos proporcionais. Por exemplo, todos os quadrados são semelhantes entre si.
Vamos considerar três quadrados de lados x, 2x e 3x: 3x
2x
x
Note que suas áreas são x2, 4x2 e 9x2, respectivamente. Isso mostra que, quando dobramos o lado, a área
não dobra (ela quadruplica). E quando triplicamos o lado, a área não triplica (ela nonuplica, ou seja, é multipli-
cada por 9). Esses números sugerem que a área de um polígono não é proporcional ao seu lado, mas é propor-
cional ao quadrado do seu lado.
Assim, se dois polígonos forem semelhantes e a razão entre seus lados homólogos for k, então a razão
entre suas áreas será k2.
Esse conceito também pode ser entendido pelo princípio da proporcionalidade: tomemos um retângulo
de área A(x, y). Um retângulo semelhante a esse, com lados kx e ky, terá área A(kx, ky). Pelo princípio da pro-
porcionalidade, A(kx, ky) 5 k ? A(x, ky) 5 k ? k ? A(x, y) 5 k2 ? A(x, y). Podemos estender esse conceito para quais-
quer superfícies semelhantes. Por exemplo, todos os círculos são semelhantes entre si, e a razão entre as áreas
de dois círculos é igual ao quadrado da razão entre seus respectivos raios.
Observação: Esse conceito também se aplica à razão entre volumes de sólidos semelhantes, devidamente
estendido. Como será mostrado mais adiante (quando for apresentada a ideia intuitiva de volume), a razão
entre os volumes de dois sólidos semelhantes será proporcional ao cubo da razão entre as medidas de seus
elementos lineares (arestas, raios, diagonais, etc).
Exercícios resolvidos A A Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
10 x
9. Um triângulo escaleno de altura AH 5 10 cm foi cortado
perpendicularmente à sua altura AH, de forma que os dois
pedaços resultantes tivessem a mesma área. A que distância
do vértice A foi feito o corte?
Resolução: H
Se os dois pedaços resultantes do corte (um triângulo e um trapézio) têm a mesma área, cada um deles tem metade
da área do triângulo original. O triângulo menor é semelhante ao maior, pois o corte foi perpendicular à altura, por-
tanto paralelo à base.
A razão entre as alturas é k 5 altura2 ϭ x .
altura1 10
A razão entre as áreas é:
k2 5 A2 ϭ 1 ⇒ k 5 1 ϭ 1 2
A1 2 2 2ϭ 2
Então:
x ϭ 2 ⇒ x 5 5 2 7,1
10 2
Logo, o corte foi feito a aproximadamente 7,1 cm do vértice A.
138 Capítulo 6
10. A área de um triângulo retângulo é de 30 cm2. A área Então, x 5 2 ⇒ x 5 26.
13
de um triângulo retângulo semelhante ao primeiro
é de 120 cm2. Se a hipotenusa do primeiro triângu- Logo, a hipotenusa mede 26 cm.
lo mede 13 cm, quanto mede a hipotenusa do segun- 11. A área de um dodecágono é de 10 cm2. Qual é a área
do triângulo? de um dodecágono semelhante ao primeiro cujo
perímetro é o triplo do perímetro do primeiro?
Resolução:
A razão entre as hipotenusas é Resolução:
k 5 hipot2 ϭ x . A razão entre os perímetros é k 5 perím2 ϭ 3 ϭ 3.
hipot1 13 A razão entre as áreas é: perím1 1
A razão entre as áreas é: k2 5 32 5 A2 ⇒ 9 5 x ⇒ x 5 90
A1 10
k2 5 A2 ϭ 120 5 4 ⇒ k 5 4 5 2
A1 30 Logo, a área do segundo dodecágono é de 90 cm2.
Exerc’cios
31. Tem-se um círculo de 20 cm de diâmetro. Determine: 37. Calcule a área do 10 cm
O 4 cm
a) o perímetro desse círculo; 20p cm setor circular da fi-
b) a área desse círculo. 100p cm2 gura. 20 cm2
32. Determine a área dos setores circulares das figuras
abaixo. O raio de todas mede 6 cm. 38. D ado um quadrado de lado 10 cm, qual é a área da
18p cm2 9p cm2 12p cm2 coroa circular limitada pelas circunferências inscri-
tas e circunscritas nesse quadrado? 25p cm2
a) b) c)
120¡
33. Um terreno tem a forma da 39. O perímetro do quadrado AB
figura ao lado. Na figura es- ABCD da figura é 32 cm. DC
Calcule a área da região
tão registrados alguns dados colorida da figura. 11,5 cm2
do terreno, que nos permitem 6 m 16(4 2 p) cm2
calcular a sua área. Calcule a 8m 40. Calcule a área aproximada
área desse terreno. 25 ϩ 48 m2 de cada uma destas re-
2 giões abaixo. Use o
como unidade de área.
a)
34. Determine a área do círculo inscrito a um triângulo
equilátero de lado 12 cm. 12p cm2
35. Determine a área de um círculo circunscrito a um Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
hexágono regular de lado 8 cm. 64p cm2
36. Q uantos centímetros quadrados de alumínio são b) 12 cm2
necessários para fazer uma arruela cujas dimen-
sões estão na figura? 8p cm2
r2 ϭ 1 cm
O r1 ϭ 3 cm
Polígonos inscritos e áreas 139
41. (Unicamp-SP) Um fio de 48 cm de comprimento é 45. (FEI-SP) Uma chapa metálica de formato triangular
cortado em duas partes para formar dois quadra- (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas
dos, de modo que a área de um deles seja quatro indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao
vezes a área do outro. lado que corresponde à hipotenusa do triângulo)
representado pela linha tracejada, de modo que sua
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das área seja reduzida à metade. Quais serão as novas
partes dos fios? 4 cm e 8 cm medidas x e y?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados for- 40 cm
mados? 16 cm2 e 64 cm2 y
42. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços pro- x
60 cm
porcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora igual a 80% do raio da grande, seu preço será: a) x 5 30 cm, y 5 20 cm.
a) 59% do preço da grande. b) x 5 40 cm, y 5 30 cm.
x b) 64% do preço da grande. xc) x 5 30 2 cm, y 5 20 2 cm,.
c) 69% do preço da grande. d) x 5 20 2 cm, y 5 30 2 cm,.
d) 74% do preço da grande. e) x 5 90 2 cm, y 5 60 2 cm,.
e) 80% do preço da grande.
46. (Udesc) Se o raio de um círculo aumenta 10%, então
43. (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura a seguir,
o seu perímetro e a sua área aumentarão respecti-
adota-se como unidade de comprimento o lado do vamente:
quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a
área do triângulo ADE seja a metade da área do tri- a) 10% e 10%. d) 10% e 0%.
ângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é:
C
E
x b) 10% e 21%. e) 0% e 10%.
c) 21% e 21%.
A DB 47. ( UFC-CE) A planta de um apartamento está confec-
d) 8 3 . cionada na escala 1 : 50. Então a área real, em metros
3 quadrados, de uma sala retangular cujas medidas
na planta são 12 cm e 14 cm é:
e) 7 3 .
x a) 4 2 . 2 a) 24. x d) 42.
b) 4.
c) 3 3 . b) 26. e) 54.
c) 28.
44. Física 48. (Fazu-MG) Um agricultor leva 3 h para limpar um
(Faap-SP) Uma chapa de metal circular, com 1 m terreno circular de 5 m de raio. Se o raio do terreno
de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, fosse igual a 10 m, ele levaria:
sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio.
(Considere p 5 3,14.) A área dessa chapa após a a) 8 h. d) 10 h.
dilatação (em metros quadrados) é:
b) 15 h. x e) 12 h.
a) 3,14.
c) 6 h.
b) 3,32.
49. (Unicamp-SP) Em uma fotografia aérea, um trecho
c) 3,10.
retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece
x d) 3,20. medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área
queimada aparece com 9 cm2. Calcule:
e) 3,45.
a) o comprimento que corresponde a 1 cm na mes-
ma fotografia; 2,5 km
b) a área da superfície queimada. 56,25 km2
140 Capítulo 6
CAPÍTULO Geometria espacialCAPÍTULO
deCopnojsuinçãtoos: uma
Rivaldo Gomes/Folhapress
071 abnourmdéargiecmosintuitiva NASA/Corbis/Latinstock
Museu de Arte de São Paulo Assis Chateaubriand
(Masp), em São Paulo. Projetado pela arquiteta Lina
Bo Bardi, tem um dos maiores vãos livres de concreto
do mundo, com 74 metros. Como característica de sua
arquitetura, a construção tem formas geométricas
espaciais bem definidas. Fotografia de 2013.
141
1 Geometria de posi•‹o no plano
No estudo da Geometria é comum, e adequado, usar objetos do cotidiano como modelos aproximados
para os conceitos geométricos. Por exemplo, para a ideia de ponto, costumamos pensar em uma marca de
giz na lousa ou em um ponto-final. Para a ideia de reta, costumamos usar um fio de barbante esticado ou
um lápis. Para a ideia de plano, costumamos usar uma folha de papel ou tampo de mesa.
A marca de giz na lousa ou o ponto-final no caderno têm dimensões (embora sejam pequenas), enquan-
to o ponto geométrico não tem dimensão. Formem trios e reflitam sobre as limitações físicas do lápis como
modelo de reta e da folha de papel como modelo de plano.
No Ensino Fundamental é feito o estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano
(Geometria de posição no plano). Esta atividade é bastante difícil por envolver abstrações que nem sempre são fáceis para os alunos.
Se necessário, interfira e conduza a atividade para que eles entendam o caminho a ser seguido.
Por exemplo: Deixe claro que não é uma crítica ao uso de modelos, e sim uma reflexão sobre a distinção entre o
que é concreto e o que é abstrato. Um dos maiores problemas decorrentes de tais modelos é que os
• alunos não compreendem a reta como infinita (o lápis tem tamanho finito) e imaginam o plano
Relação entre um ponto e uma reta com bordas e quinas (o plano não tem bordas, ele é infinito em todas as direções).
Na figura ao lado: B r
o ponto A pertence à reta r; A
o ponto B não pertence à reta r.
• Relação entre pontos
A E
B D Fique atento!
C
F Dois pontos são sempre colineares.
Nas figuras acima:
os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três);
os pontos D, E e F não são colineares (não existe reta que passa pelos três simultaneamente).
• Relação entre duas retas distintas de um plano p Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
e
c bn
m
Nas figuras acima:
as retas c e m são paralelas;
as retas b e e são concorrentes e oblíquas;
as retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Agora, no Ensino Médio, será feito o estudo das posições relativas de pontos, retas e planos no espaço
(Geometria de posição espacial).
Com isso, surgirão novas relações, como entre reta e plano ou entre dois planos. Veremos também que
algumas relações estudadas no plano terão um enfoque diferente quando estudadas no espaço, como no
exemplo seguinte.
142 Capítulo 7
Dadas as retas distintas a, b e c:
• No plano: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então a é paralela a c.
ac
b
• No espaço: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então a pode ser paralela a c ou não.
ac a Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/
Arquivo da editora
b ou c
b
Neste capítulo, o estudo da Geometria de posição no espaço será feito de maneira intuitiva, apoiado
essencialmente na observação de modelos, figuras e objetos.
Observe como as figuras serão representadas:
ponto (A, B, C, …) reta (r, s, p, …) plano (, , , …)
Você já deve ter notado que conceitos como ponto, reta, plano e espaço nunca foram definidos porque são
intuitivos, estão em nossa mente de forma natural e os distinguimos espontaneamente. Basta observar que
tanto reta como plano e espaço são considerados conjuntos infinitos de pontos, sem que seja necessário dizer
como são dispostos.
Os conceitos primitivos são os elementos iniciais da teoria que vamos desenvolver agora. Outros con-
ceitos serão definidos a partir deles, e as propriedades da Geometria resultarão de suas relações.
No início, algumas afirmações serão admitidas sem que seja necessário demonstrá-las — elas se chamam
axiomas ou postulados — e as conclusões que puderem ser tiradas a partir delas serão os teoremas, que só
são aceitos mediante uma demonstração, uma argumentação lógica.
Fique atento!
Para melhor compreensão e identificação, os enunciados considerados axiomas ou postulados estarão indicados com
fundo azul ; os teoremas, indicados com fundo laranja ; e as definições, indicadas com fundo rosa .
Além disso, como se trata de um enfoque intuitivo da Geometria espacial, os teoremas não serão demonstrados ao longo do
capítulo. Apenas no final faremos algumas demonstrações a título de ilustração.
Usaremos a simbologia da teoria dos conjuntos que você provavelmente estudou no 1o ano do Ensino Médio.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 143
2 Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano
Como ponto é elemento da reta e do plano, dizemos que ele pertence ou não a eles. Assim:
• dados um ponto P e uma reta r, temos P r ou P Ó r;
• dados um ponto P e um plano , temos P ou P Ó .
Veja alguns exemplos:
B  H
E F J
s A D G M
C ␣ I
X
r
B pertence a r Para refletir F pertence a
B não pertence a s Qual é a posição do ponto X F não pertence a
E não pertence a r em relação às retas r e s? H não pertence a
E não pertence a s E dos pontos M e G em H não pertence a
relação aos planos e ?
X r; X Ó s; G ; G Ó ; M ; M
3 Posições relativas de pontos no espaço
Dados dois ou mais pontos no espaço:
• eles são ou não pontos colineares (existe ou não uma reta que Fique atento!
Dada uma reta no espaço, existem
passa por todos eles); pontos na reta e fora dela; dado
um plano no espaço, existem
• eles são ou não pontos coplanares (existe ou não um plano que pontos no plano e fora dele.
passa por todos eles).
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora Veja as figuras:
A Q R
B P
C
A, B e C são pontos colineares. P, Q e R são três pontos coplanares.
F
W
E Y
XZ
G
E, F e G não são pontos colineares. X, Y, Z e W são pontos não coplanares.
Outros axiomas:
1o) Dois pontos distintos são sempre colineares e sobre eles passa uma Fique atento!
única reta. Dizemos então que Podemos escrever “reta AB” ou usar a
notação ,AB- para se referir à reta que
dois pontos distintos A e B determinam uma reta (, AB)- . passa pelos pontos A e B.
2o) Três pontos não colineares são sempre coplanares e sobre eles passa um único plano. Dizemos então que
três pontos não colineares A, B e C determinam um plano p(A, B e C).
144 Capítulo 7
4 Posições relativas de duas retas distintas no espaço
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:
Banco de imagens/Arquivo da editora AD Para refletir
EH
BC • Em cada plano há infinitas retas. No
FG
plano da face ABCD, por exemplo, além
das retas indicadas, temos A, C-, B, D- e outras.
• No espaço há infinitas retas. Localize na
figura dada as retas A, G-, B, E-, B, G- e D, F-.
São 12 as arestas do paralelepípedo: AB, BC, CD, AD, EF , FG, GH, EH, BF, CG, AE e DH.
São 6 as suas faces, determinadas por: ABCD, FGHE, CDHG, BFGC, ADHE e ABFE.
Nesse modelo:
• As arestas serão “representações” das retas que as contêm. Para refletir
• No espaço há infinitos planos. Além
Por exemplo:
, AB:- reta do espaço que contém a aresta AB. dos 6 planos determinados pelas faces do
, BC:- reta do espaço que contém a aresta BC. paralelepípedo, procure imaginar outros,
como p(ADGF), p(ABGH), p(AEGC), etc.
• As faces serão “representações” dos planos que as contêm.
Por exemplo:
p(ABCD): plano do espaço que contém a face determinada por ABCD.
p(BFGC): plano do espaço que contém a face determinada por BFGC.
• Os vértices serão representações dos pontos do espaço: A, B, C, etc.
Usando esse modelo, podemos estudar as posições relativas de retas distintas no espaço:
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano Fique atento!
que contém todas elas. ,AB- e G, H- são retas coplanares. B, C- e E, F- são
retas não coplanares.
, AB,- , BC,- , CD,- , DA- e , AC - são retas coplanares porque o plano p(ABCD) as contém. Também são retas co-
planares as retas , AE,- , EH - e , DH- porque o plano p(AEHD) contém essas três retas.
Observe que as retas coplanares , AB- e , CD- não têm ponto comum. O mesmo acontece com as retas
coplanares , BC - e , AD.- A, D- e ,FG- são retas coplanares porque estão contidas no mesmo plano ADGF. Como
essas retas não têm ponto comum, elas são paralelas.
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas Para refletir
retas paralelas. • A, D- e F, G- são retas paralelas. Justifique.
Outros pares de retas paralelas são: , CD- e , GH,- , AD- e , EH,- , CG - e , DH,- etc.
O par de retas , AB - e , AD- tem um único ponto comum, isto é, as retas intersectam-se em um ponto.
O mesmo acontece com , BC - e , CD.-
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas Para refletir
concorrentes. •CH- e G, D- são retas concorrentes. Justifique.
,CH- e G, D- são retas coplanares porque estão contidas no plano CDHG. C, H- e 145
,GD- intersectam-se em um ponto; portanto, são concorrentes.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
Outros pares de retas concorrentes são: , FG - e , GH,- , CG - e , FG,- , AD- e , DH,- etc.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas as retas , AB- e , FG,- não existe um plano que contém as duas; o mesmo ocorre com os pares de
retas , GH - e , AD,- , BC - e , EF - e outros.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que Para refletir
contém as duas, elas são chamadas retas reversas (ou não • A, C- e F, H- são retas reversas. Justifique.
coplanares).
Não existe um plano que contém A, C- e F, H-;
Quadro-resumo: portanto, elas são reversas.
Posições relativas de duas retas distintas no espaço Para refletir
• Considere o “encontro” de duas
Duas retas coplanares paralelas
no espaço concorrentes paredes como representação de uma
reversas
reta.
Localize na sua sala duas retas paralelas,
duas retas concorrentes e duas retas
reversas.
Observação: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas
sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas, por exemplo, não são paralelas nem
concorrentes.
Exerc’cios ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
1. Observe os pontos de A a K nos vértices, arestas e faces do cubo ao lado. AF
Verifique se os pontos indicados em cada item são ou não colineares e coplanares. B E
K
a) A e D Colineares e coplanares. d) B, C e D nCoãoplcaonlainreesa,rmesa. s g) C, H, F e E Coplanares, mas H J G
não colineares. I D
Coplanares, mas C
b) A, F e E não colineares. e) E, J e K h) B, C, H e I Não são colineares
nem coplanares.
c) H, I e D Colineares e coplanares.
f) B, E, K e J i) H, D, I e E
Colineares e coplanares. Colineares e coplanares. Coplanares, mas não colineares.
2. Considere que os pontos, as retas e os planos citados são distintos e verifique se cada afirmação é verdadeira (V)
ou falsa (F):
a) Por 2 pontos passa uma única reta. V f) Existem 5 pontos não coplanares.V
b) 3 pontos são sempre colineares. F g) Existem 3 pontos não coplanares.F Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
c) 3 pontos nunca são colineares. F h) Pontos colineares são coplanares. V
d) 3 pontos podem ser colineares. V i) Pontos coplanares são colineares.F
e) Existem 5 pontos coplanares. V j) Pontos coplanares podem ser colineares. V
A
3. Observe a pirâmide de base quadrada e verifique se as retas indicadas em cada item
são paralelas, concorrentes ou reversas.
a) , AC - e , AD- concorrentes d) , EC - e , BD-concorrentes g) , BC - e , AE -reversas
b) , AB - e , ED- reversas e) , BE - e , AE - concorrentes h) , AE - e , AC c- oncorrentes E D
c) , BC - e , ED- paralelas f) , CD- e , BE -paralelas i) , CD- e , BC-concorrentes B C
146 Capítulo 7
5 Determinação de um plano
Já vimos que: Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos três.
Isso equivale a dizer que: Três pontos não colineares determinam um plano.
O mesmo ocorre quando temos duas retas paralelas distintas, duas retas concorrentes ou uma reta e
um ponto que não pertence a ela.
A ␣
B
C a
b
: p(A, B, C) : p(a, b) Para refletir
Duas retas paralelas distintas • Por que não podemos dizer
Três pontos não colineares
determinam um plano. determinam um plano. que três pontos colineares
determinam um plano?
r ␥ A
s r␦ Três pontos colineares pertencem
a uma única reta, e por essa reta
passam infinitos planos. Por isso,
não podemos dizer que três pontos
colineares determinam um plano.
: p(r, s) d: p(A, r) Para refletir
Duas retas concorrentes • Por que duas retas reversas
determinam um plano. Uma reta e um ponto fora
dela determinam um plano. não determinam um plano?
Quadro-resumo:
Porque não há um plano que passe
pelas duas simultaneamente.
3 pontos não colineares
2
Um plano fica determinado por 2 retas paralelas distintas
retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela
Exercício
4. Observe as figuras e considere: Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
: plano determinado pela reta , ED- e o ponto F î , ED-
: plano determinado pelas retas paralelas , AF - e , CD-
: plano determinado pelas retas concorrentes , AB- e , BC -
d: plano determinado pelos pontos não colineares B, A e E
1a) A 2a) A 3a) A 4a) A C
BC BC BC B
D
d F
F F F
ED ED ED E
Identifique em cada figura (1a, 2a, 3a e 4a) qual é o plano correspondente à face pintada (, , ou d).
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva 147
6 Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Observe o paralelepípedo:
A
D
EH
B
C
FG
Como vimos, as faces representam os planos que as contêm. Alguns desses planos têm pontos comuns,
outros não.
Por exemplo, p(ABCD) e p(EFGH) não têm ponto comum; p(ABCD) e p(CDHG) têm todos os pontos da
reta CD comuns.
Dois planos que não têm pontos comuns são chamados planos paralelos.
p(ABCD) / p(EFGH)
p(ADHE) / p(BCGF)
Podemos representar dois planos e distintos e paralelos do seguinte modo:
± Fique atento!
/ Dados dois planos distintos, ou eles
>5 não têm ponto comum ou têm uma
única reta comum.
␣ ␣ Não existem dois planos, por exemplo,
com um único ponto comum.


Se dois planos distintos não são paralelos, então eles possuem uma única reta comum.
Dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes (ou concorrentes).
Essa reta comum é a intersecção dos dois planos. Ou seja: Intersecção: o que é comum
p(ABCD) e p(CDHG) são secantes e a reta intersecção deles é , CD.- (ou seja, existe simultanea-
p(EFGH) e p(ABFE) são secantes e a intersecção deles é a reta EF. mente) a dois ou mais con-
juntos, nesse caso, planos.
Podemos representar dois planos e secantes assim:
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Jupiter Images/Voc• sabia?
reta comum Diversas situações ou objetos da vida real
Agência France-Pressepodem representar a intersecção de dois
planos, por exemplo, um porta-revistas.
␣
148 Capítulo 7
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
MatematicaContAplic_2_MP_0008P18023_PNLD2018
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search