The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชั้น ม.5_ครูอารม รักสีท

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by chaimath2514, 2021-11-06 00:42:00

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ม.5

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชั้น ม.5_ครูอารม รักสีท

กลุม่ สาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5
รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 รหัสวิชา ค 30204
หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ น จำนวน 30 ชั่วโมง
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 สมบตั ิเชิงพชี คณติ ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวน 5 ชัว่ โมง

1. ผลการเรยี นรู้
เขา้ ใจจำนวนเชงิ ซอ้ นและใชส้ มบตั ิจำนวนเชงิ ซอ้ นในการแกป้ ัญหา

2. สาระสำคัญ
1. สมบัตเิ ชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น
สมบัติ กำหนด z1 = a + bi และ z2 = c + di เมือ่ a, b, c และ d เปน็ จำนวนจรงิ จะกลา่ วได้ว่า
1. z1 = z2 หรือ a + bi = c + di กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d
2. z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
3. kz1 = k(a + bi) = ka + kbi เม่ือ k เป็นค่าคงตัว
4. z1z2 = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= (ac – bd) + (ad + bc)i
2. สมบัตทิ ่เี กีย่ วข้องกับการบวกของจำนวนเชิงซอ้ น
สมบัติ 1. สมบตั ิปดิ ของการบวก
ถ้า z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน แล้ว z1 + z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น
2. สมบตั กิ ารสลับทขี่ องการบวก
ถ้า z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น แล้ว z1 + z2 = z2 + z1
3. สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่ของการบวก
ถ้า z1, z2 และ z3 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน แล้ว (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
4. สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์ของการบวก
สำหรับจำนวนเชงิ ซ้อน a + bi ใด ๆ เม่ือ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ
จะมจี ำนวนเชงิ ซ้อน 0 + 0i ซง่ึ
(a + bi) + (0 + 0i) = a + bi
และ (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi
เรยี กจำนวนเชิงซอ้ น 0 + 0i วา่ เอกลกั ษณข์ องการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน

5. สมบตั กิ ารมีตัวผกผนั ของการบวก
สำหรบั จำนวนเชงิ ซ้อน a + bi ใด ๆ เม่ือ a และ b เป็นจำนวนจรงิ

จะมจี ำนวนเชงิ ซอ้ น -a - bi ซง่ึ

(a + bi) + (-a - bi) = 0 + 0i

และ (-a - bi) + (a + bi) = 0 + 0i

เรียกจำนวนเชงิ ซอ้ น -a - bi ว่า ตวั ผกผันของการบวกของ a + bi

3. การลบจำนวนเชงิ ซอ้ น

บทนิยาม กำหนด z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ จะได้ว่า

z1 - z2 = z1 + (-z2)

4. สมบัตทิ ีเ่ กย่ี วขอ้ งกบั การคูณของจำนวนเชงิ ซ้อน

สมบตั ิ 1. สมบตั ปิ ดิ ของการคณู

ถ้า z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน

2. สมบตั กิ ารสลบั ทขี่ องการคณู

ถ้า z1 และ z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1z2 = z2z1

3. สมบตั ิการเปลีย่ นหมขู่ องการคูณ

ถ้า z1, z2 และ z3 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น แลว้ (z1z2)z3 = z1(z2z3)

4. สมบตั ิการมีเอกลักษณ์ของการคณู

สำหรบั จำนวนเชิงซอ้ น a + bi ใด ๆ เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนจริง

จะมจี ำนวนเชงิ ซอ้ น 1 + 0i ซง่ึ

(a + bi)(1 + 0i) = a + bi

และ (1 + 0i)(a + bi) = a + bi

เรียกจำนวนเชงิ ซ้อน 1 + 0i วา่ เอกลักษณข์ องการคูณของจำนวนเชิงซอ้ น

5. สมบัติการมีตัวผกผนั ของการคณู

สำหรบั จำนวนเชิงซอ้ น a + bi ใด ๆ เม่อื a และ b เป็นจำนวนจรงิ

จะมจี ำนวนเชงิ ซ้อน a2 a − a2 b i ซง่ึ
+ b2 + b2
a b
(a + bi) a2 + b2 − a2 + b2 i  = 1 + 0i

และ  a2 a − a2 b i (a + bi) = 1 + 0i
+ b2 + b2
a b
เรียกจำนวนเชงิ ซ้อน a2 + b2 − a2 + b2 i ว่า ตัวผกผนั ของการคูณของ a + bi

6. สมบัติการแจกแจง
ถ้า z1, z2 และ z3 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น แลว้ z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3

และ (z1+z2)z3 = z1z3 + z2z3

5. การหารจำนวนเชิงซอ้ น

บทนยิ าม กำหนด z1 และ z2 เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ จะได้วา่ z1 ÷ z2 = z1z2-1

เมือ่ z2 ≠ 0 และเขียนแทนดว้ ย z1 ÷ z2 = z1
z2
6. สงั ยุคของจำนวนเชิงซอ้ น

บทนิยาม ให้ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียกจำนวนเชิงซ้อน a – bi วา่ เป็นสังยุคของ z

เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ z = a + bi = a − bi
สมบตั ิ ให้ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซอ้ น จะไดว้ า่

1. z = z

2. zz = a2 + b2

3. Re(z) = 1 (z + z )
2
1
4. Im(z) = 2i (z − z )

5. z1  z2 = z1  z2

6. z1z2 = z1 z2

7.  z1  = z1 เมือ่ z2 ≠ 0
 z2  z2
 

8. ถา้ z ≠ 0 แลว้ 1 =  1 
z z
3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) บอกสมบตั เิ ชงิ พชี คณิตของจำนวนเชงิ ซ้อนได้ (K)

2) แก้ปญั หาโดยใช้สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (P)

3) รับผิดชอบตอ่ หน้าที่ทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผ้เู รียน
4.1 ความสามารถในการส่ือสาร
4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา สาระการเรยี นรู้ท้องถ่นิ
4.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ติ พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา
4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
5. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นรู้เพม่ิ เตมิ
จำนวนเชิงซอ้ นและสมบตั ิของจำนวนเชงิ ซอ้ น

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ขั้นนำ

ขั้นการใชค้ วามรเู้ ดิมเชอื่ มโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)
1. ครูทบทวนความรู้ เรอื่ ง การดำเนินการเชิงพีชคณติ ของจำนวนจรงิ ได้แก่ การบวก และการคณู
2. ครใู ห้นักเรียนทบทวนสมบตั ิท่ีเกีย่ วกับการบวกและการคูณของจำนวนจรงิ

ขั้นสอน

ข้ันรู้ (Knowing)
1. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนใด ๆ โดย

กำหนดให้
z1 = a + bi และ z2 = c + di เมอื่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจรงิ จากนัน้ ครูตัง้ คำถามว่า

• z1 จะเทา่ กับ z2 ได้เม่ือมเี ง่ือนไขใด
(แนวคำตอบ: เม่ือ a = c และ b = d )

• z1 + z2 มคี า่ เท่ากับเท่าใด
(แนวคำตอบ: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i )

• z1z2 มีค่าเท่ากับเท่าใด
(แนวคำตอบ: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac – bd) + (ad + bc)i)

ขนั้ เข้าใจ (Understanding)
2. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน จากนั้นนักเรียนและครรู ว่ มกนั เฉลยคำตอบ โดยครูเขียนแสดง
วธิ ีทำบนกระดาน

3. ครูยกตวั อยา่ งใหน้ กั เรียนหาผลบวกและผลคณู ของ z1 และ z2 ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

1) z1 = 2 + 3i , z2 = 2 - 3i

2) z1 = 1 + i, z2 = -3 - i
2
(แนวคำตอบ: 1. z1 + z2 = (2 + 3i) + (2 - 3i)

= (2 + 2) + (3i - 3i)

=4

z1z2 = (2 + 3i)(2 - 3i)

= 4 + 6i – 6i – 9i2

= 4 – 9(-1)

= 13

2. z1 + z2 = (1 + i) + (-3 - i)
22i )
= (1 – 3 ) + (i -
= -2 +
i

z1z2 = (1 + 2 (-3 - i)
= -3 - - 3i -
i) 2i2

i

= -3 - 72 - 1 2

22 (-1)

= − 7 − 5 i)
22

ชว่ั โมงที่ 2

ขั้นรู้ (Knowing)
4. ครูตั้งคำถามเพ่อื ทบทวนความร้ขู องนักเรียน โดยมแี นวคำถาม ดงั น้ี

• นักเรียนวา่ สมบัติการบวกของจำนวนจรงิ มอี ะไรบา้ ง
(แนวคำตอบ: สมบตั ขิ องจำนวนจริงเก่ยี วกบั การบวก ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ

สมบัติ การบวก
ปิด 1. a + b  R
การสลบั ที่
การเปลยี่ นกลมุ่ 2. a + b = b + a
การมีเอกลักษณ์ 3. (a + b) + c = a + (b + c)
การมอี นิ เวอร์ส
4. มจี ำนวนจรงิ 0 ซ่ึง 0 + a = a = a + 0
5. สำหรับ a จะมจี ำนวนจริง -a

โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a)
เรียก -a วา่ อนิ เวอรส์ การบวกของ a

การแจกแจง 6. a(b + c) = ab + ac

5. ครูถามนกั เรียนตอ่ ว่าถา้ เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นแล้วจะมีสมบัตกิ ารบวกเช่นเดยี วกบั จำนวนจรงิ หรือไม่ (มี/

ไมม่ ี)

6. ครูใหน้ ักเรียนพิจารณาสมบัติทีเ่ ก่ียวของกบั การบวกของจำนวนเชิงซอ้ นในหนังสือเรยี นรายวชิ า

เพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น ทลี ะข้อดังนี้

1. สมบัตปิ ดิ ของการบวก

ถ้า z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น แล้ว z1 + z2 เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ น
2. สมบตั ิการสลับทีข่ องการบวก

ถ้า z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น แลว้ z1 + z2 = z2 + z1
3. สมบตั ิการเปลี่ยนหม่ขู องการบวก

ถา้ z1, z2 และ z3 เปน็ จำนวนเชิงซ้อน แล้ว (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
4. สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณข์ องการบวก

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a + bi ใดๆ เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนจริง

จะมจี ำนวนเชงิ ซอ้ น 0 + 0i ซ่งึ

(a + bi) + (0 + 0i) = a + bi

และ (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi

เรียกจำนวนเชิงซอ้ น 0 + 0i วา่ เอกลกั ษณข์ องการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน

5. สมบัติการมีตัวผกผนั ของการบวก
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a + bi ใดๆ เมือ่ a และ b เปน็ จำนวนจริง
จะมจี ำนวนเชิงซ้อน -a - bi ซ่ึง
(a + bi) + (-a - bi) = 0 + 0i

และ (-a - bi) + (a + bi) = 0 + 0i
เรียกจำนวนเชงิ ซอ้ น -a - bi วา่ ตวั ผกผนั ของการบวกของ a + bi เขียนแทนดว้ ย –z
7. ครพู ิจารณาให้นักเรียนเหน็ ว่าหากนำเร่ืองตัวผกผนั ของการบวกไปใช้ในการผลลบของจำนวนเชิงซ้อน
ได้ดัง นิยามต่อไปนี้ กำหนด z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใด ๆ จะไดว้ า่

z1 - z2 = z1 + (-z2)
8. ครูยกตัวอย่างการลบของจำนวนเชิงซ้อน (3 – 2i) – (10 + i) = (3 – 2i) + (-10 - i)

= -7 – 3i
9. ครูให้นักเรียนจับกลุ่ม กลุ่มละ 3 – 4 คน จากนั้นให้นักเรียนช่วยกันพิจารณาตัวอย่างที่ 7 และ

ตัวอย่างที่ 8 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชงิ ซ้อน

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)
10. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจเรอื่ งการลบของจำนวนเชงิ ซอ้ น
11. ครูใหน้ ักเรยี นทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อ 1-3 และขอ้ 6,7 ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์
ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น

ช่ัวโมงที่ 3

ขั้นรู้ (Knowing)

12. ครใู หน้ กั เรียนบอกสมบัตกิ ารคูณของจำนวนจรงิ และให้นักเรียนเชอื่ มโยงกับสมบัติการคูณของจำนวน
เชิงซอ้ น เช่นเดียวกบั การพิจารณาสมบัตกิ ารบวกในชั่วโมงที่ 2
สมบัติของจำนวนจรงิ เก่ียวกับการบวก ถา้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ

สมบัติ การคูณ
ปดิ 1. ab  R
การสลับท่ี
การเปล่ียนกลุม่ 2. ab = ba
การมีเอกลกั ษณ์ 3. (ab)c = a(bc)
การมอี ินเวอรส์
4. มจี ำนวนจริง 1, 1  0 ซ่งึ 1a = a
5. สำหรบั a ท่ีไม่เป็น 0 จะมีจำนวนจริง a-1
โดยท่ี (a-1)a = 1 = a(a-1) เรยี ก a-1 วา่

อินเวอรส์ การคูณของ a

การแจกแจง 6. a(b + c) = ab + ac

13. ครูให้นักเรียนร่วมกันพิจารณาสมบัติท่ีเก่ียวข้องกับการคูณของจำนวนเชงิ ซ้อนในหน้าที่ 13 ทีละข้อ
ตอ่ ไปนี้
1. สมบตั ิปดิ ของการคูณ
ถา้ z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น แลว้ z1z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน
2. สมบัติการสลับที่ของการคณู
ถา้ z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น แล้ว z1z2 = z2z1

3. สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมู่ของการคณู
ถ้า z1, z2 และ z3 เปน็ จำนวนเชิงซ้อน แล้ว (z1z2)z3 = z1(z2z3)

4. สมบตั ิการมเี อกลักษณ์ของการคณู
สำหรบั จำนวนเชิงซอ้ น a + bi ใด ๆ เมือ่ a และ b เป็นจำนวนจริง
จะมจี ำนวนเชงิ ซ้อน 1 + 0i ซ่งึ
(a + bi)(1 + 0i) = a + bi
และ (1 + 0i)(a + bi) = a + bi
เรียกจำนวนเชงิ ซอ้ น 1 + 0i ว่า เอกลักษณข์ องการคณู ของจำนวนเชงิ ซ้อน

5. สมบัติการมีตวั ผกผนั ของการคูณ
สำหรบั จำนวนเชิงซอ้ น a + bi ใด ๆ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง

จะมจี ำนวนเชิงซอ้ น a2 a − a2 b i ซงึ่
+ b2 + b2
a b
(a + bi) a2 + b2 − a2 + b2 i  = 1 + 0i

และ  a2 a − a2 b i (a + bi) = 1 + 0i
+ b2 + b2
a b
เรียกจำนวนเชงิ ซ้อน a2 + b2 − a2 + b2 i ว่า ตวั ผกผนั ของการคูณของ a + bi

6. สมบัติการแจกแจง

ถ้า z1, z2 และ z3 เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ น แลว้ z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3 และ (z1+z2)z3 = z1z3 +
z2z3

ขัน้ เข้าใจ (Understanding)
14. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มกลุ่มละ 3 – 4 คน ศึกษาตัวอย่างที่ 9 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู”
เรือ่ งการหาตวั ผกผนั การคูณของจำนวนเชิงซอ้ น

ชั่วโมงที่ 4

ขน้ั รู้ (Knowing)

15. ครูให้นักเรียนประยุกต์การนำตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน (z-1) มาใช้ในการหาผลหารของ

จำนวน เชิงซ้อน เช่น กำหนดให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di เมื่อ a, b, c และ d เป็นจำนวนจรงิ

แลว้

z1 = z1z2-1 นนั่ เอง ดังบทนยิ ามในหนังสือเรียนหนา้ 14 คอื กำหนด z1 และ z2 เป็นจำนวน
z2
เชิงซอ้ นใด ๆ

จะไดว้ า่ z1 ÷ z2 = z1z2-1 เมื่อ z2 ≠ 0 และเขยี นแทนด้วย z1 ÷ z2 = z1
z2
16. ครยู กตัวอยา่ ง เชน่ กำหนดให้ z1 = 1+2i z2 = 2 + 3i

z1 ÷ z2 = z1z2-1 = ( 1+2i ) ÷ (2 + 3i ) = ( 1+2i ) 1 = 1 + 2i
(2 + 3i) 2 + 3i

ขนั้ เข้าใจ (Understanding)
17. ให้นักเรยี นจับคู่แล้วร่วมกันอภปิ รายตัวอย่างที่ 10 ในหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5
เล่ม 2 หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน วา่ เปน็ การหาผลหารของจำนวนเชงิ ซอ้ นโดยใชว้ ิธกี ารใด
(แนวคำตอบ: ใชก้ ารแทนค่าตามบทนยิ าม)
จากนน้ั ใหน้ กั เรียนทำ “ลองทำด”ู ในหนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการ
เรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรียน
18. ครถู ามนักเรียนตอ่ วา่ ในการหาผลหารของจำนวนเชงิ ซอ้ นสามารถใช้วิธีอืน่ ๆ ได้อีกหรือไม่ อยา่ งไร
(แนวคำตอบ: ไมไ่ ด)้

ขน้ั รู้ (Knowing)
19. ครูใหน้ ักเรยี นพิจารณาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนแต่ละคตู่ อ่ ไปน้ี
1) (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 – 6i + 6i -9i2 = 4 + 9 = 13
2) (1 – i)(1 + i) = 1 – i + i – i2 = 1 - i2 = 1 – (-1) = 2

3) ( 2 + 5i)( 2 − 5i) = 2 + 5 = 7

20. ครูชี้ให้นักเรียนเห็นว่า ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนในขอ้ 1)–3) เป็นการคูณจำนวนเชิงซ้อนที่อย่ใู นรูป
(a + bi)(a - bi) เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสามข้อเป็นจำนวนจรงิ
ซ่งึ เราจะเรียก a – bi วา่ เปน็ สังยุคของจำนวนเชิงซอ้ น a + bi

21. ครยู กบทนยิ ามเร่ืองสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อนในหนังสอื เรียนหนา้ 15 ดังนี้ ให้ z = a + bi เป็นจำนวน
เชิงซ้อนจะเรียกจำนวนเชิงซ้อน a–bi ว่าเป็นสังยุคของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

z = a + bi = a − bi

22. จากคำถามในชว่ั โมงท่ี 4 ท่ีว่าในการหาผลหารของจำนวนเชิงซอ้ นสามารถใช้วิธอี น่ื ๆ ไดอ้ กี หรอื ไม่น้ัน

ให้ นักเรียนพิจารณาการหารจำนวนเชงิ ซ้อน 1 + 2i ถ้าเราทำใหต้ วั สว่ นกลายเปน็ จำนวนจริงได้ จะ
2 + 3i
ยงั ถือวา่ เป็นรปู แบบการหารจำนวนเชิงซ้อนอยู่หรอื ไม่

(แนวคำตอบ: ไม่เปน็ เช่น 1 + 2i เขยี นได้เปน็ 1 + 2 i
5 5 5
1 + 2i
ดังนั้น 2 + 3i เราสามารถใช้สังยุคของตัวส่วนคอื 2 + 3i นำมาคณู ท้งั ตวั เศษและตวั ส่วน จะได้

1 + 2i = 1 + 2i x 2 - 3i
2 + 3i = 2 + 3i 6i22 - 3i
- 3i + 4i -
i
= 24-+6(9-1) +
13

= 8+ i )
13
จะเหน็ ว่าเราสามารถหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยใชส้ ังยุคของตวั ส่วนนำมาคูณท้งั ตัวเศษและตวั

สว่ น

23. ครูให้นักเรียนสังเกตตวั อย่างที่ 11 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ

เรียนรู้

ท่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน เพอ่ื พิจารณาหาผลลัพธ์ของการหารโดยใช้สงั ยคุ

24. ครูให้นักเรียนจับคู่กันอภิปรายแนวคิดในการหาค่าจำนวนเชิงซ้อน โดยใช้สังยุคหาจำนวนเชิงซ้อนใน

ตัวอยา่ ง

ที่ 12 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)
25. ครูให้นกั เรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ย
การ เรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน
26. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อ 4,9 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากน้ันส่มุ เรียกนกั เรียนเพ่ือ อธบิ ายวิธที ำ พร้อมทั้งให้นักเรียน
ทกุ คนร่วมกนั ตรวจสอบคำตอบของตนเอง

ช่ัวโมงที่ 5

ขั้นรู้ (Knowing)

27. ครูให้นักเรยี นแบ่งกลมุ่ กลมุ่ ละ 3 คน แล้วทำใบงานท่ี 1.2.1 เรอ่ื ง สมบตั ิของสังยุคของจำนวน
เชงิ ซ้อน

28. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันอภปิ รายข้อคน้ พบทไี่ ด้จากการทำใบงาน แลว้ รว่ มกันสรปุ เปน็ สมบัติของสังยุค
ของ จำนวนเชงิ ซ้อน

29. ครูให้นักเรียนพิจารณาสมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น ดงั นี้
ให้ z = a + bi เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน จะได้วา่

1. z = z

2. zz = a2 + b2

3. Re(z) = 1 (z + z )
2
1
4. Im(z) = 2i (z − z )

5. z1  z2 = z1  z2

6. z1z2 = z1 z2

7.  z1  = z1 เม่อื z2 ≠ 0
 z2  z2
 

8. ถ้า z ≠ 0 แล้ว 1 =  1 
z z

ขัน้ เข้าใจ (Understanding)
30. ครใู หน้ ักเรยี นทำแบบฝกึ ทักษะ 1.2 ข้อ 10-11 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม
2 หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นนกั เรยี นและครูชว่ ยกนั เฉลย โดยครูเขียนคำตอบบน
กระดาน

ขั้นลงมอื ทำ (Doing)
31. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3 คน แล้วร่วมกันทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อ 12 ระดับท้าทาย ใน
หนงั สือ เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน

ข้ันสรปุ
1. ครูให้นกั เรียนชว่ ยกนั บอกสมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซอ้ น

2. ครใู ห้นักเรียนเขียนสรุปความรรู้ วบยอดเรอ่ื ง สมบตั ิเชงิ พชี คณติ ของจำนวนเชงิ ซอ้ นลงในสมุด

7. การวดั และการประเมนิ ผล วิธกี าร เครอ่ื งมอื เกณฑ์การประเมนิ
รายการวัด

7.2 ประเมินระหว่างการ - ตรวจใบงานท่ี 1.2.1 - ใบงานท่ี 1.2.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

จดั กจิ กรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.2 - แบบฝกึ ทักษะ 1.2 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

1) สมบตั ิเชงิ พชี คณิตของ

จำนวนเชิงซอ้ น

2) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดบั คณุ ภาพ 2

ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบคุ คล การทำงานรายบคุ คล ผา่ นเกณฑ์

4) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2

กลุ่ม การทำงานกลุ่ม การทำงานกลุม่ ผ่านเกณฑ์

5) คุณลักษณะอันพึง - สังเกตความมีวนิ ัย - แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2

ประสงค์ ใฝเ่ รียนรู้ และมงุ่ มนั่ คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

ในการทำงาน อันพึงประสงค์

8. ส่ือ/แหลง่ การเรยี นรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น
2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชงิ ซ้อน
3) ใบงานที่ 1.2.1 เร่อื ง สมบตั ขิ องสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้ –

9. การบูรณาการหลักปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง (3 ห่วง 2 เงอื่ นไข 4 มติ )ิ

- การบรู ณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง

ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง 2 เง่อื นไข

พอประมาณ เงื่อนไขความรู้
มเี หตผุ ล เงื่อนไขคณุ ธรรม
มีภมู ิค้มุ กนั ในตวั ท่ีดี
ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง 4 มิติ มิติสง่ิ แวดล้อม มิตวิ ัฒนธรรม
มติ เิ ศรษฐกจิ มติ สิ ังคม

ใบงานที่ 1.2.1

เรอ่ื ง สมบัติของสังยุคของจำนวนเชงิ ซอ้ น

คำชแ้ี จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำเพ่อื หาค่าของจำนวนเชิงซอ้ นในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

กำหนดให้ z1 = 2 – i z2 = 3 + 2i เม่ือ z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน
1. z1 = ……………………………………………..….. z2 = ……………………………………………..…..

2. z1 = ……………………………………………..….. z2 = ……………………………………………..…..
3. z1 z1 = …………………………………………………………………………………………………………..…...

4. 1 ( z1 + z2 ) = ……………………………………………………………………..……………………………...
2

5. 1 ( z1 − z2 ) = ……………………………………………………………………..……………………………...
2

6. z1 + z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...

7. z1 + z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...

8. z1z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...

9. z1z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...
= ……………………………………………………………………..……………………………...
10. z1 z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...
11. z1 = ……………………………………………………………………..……………………………...

z2 = ……………………………………………………………………..……………………………...
12. z1 = ……………………………………………………………………..……………………………...

z2

13.  z1 
 z2 
 

14. 1
z1

15. 1 = ……………………………………………………………………..……………………………...
 
 z1 

ใบงานที่ 1.2.1 เฉลย

เรอื่ ง สมบตั ิของสังยุคของจำนวนเชิงซอ้ น

คำช้แี จง : ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำเพ่ือหาคา่ ของจำนวนเชิงซ้อนในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
กำหนดให้ z1 = 2 – i z2 = 3 + 2i เมอ่ื z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น

1. z1 = ……2…+……i ……z…2……=…3…–…2…i……………………………………………………………………………………………………….

2. z1 = ………2…–…I………z…2……=…3…+…2…i……………………………………………………………………………………………………….

3. z1 z1 …= (…2…–…i…)(2……+…i)…=…4…+……2…i –……2i…–…i…2 …=……4…+…1……=…5…………………………………………………………………

4. 1 ( z1 + … ) = 1 […(2…–……i) …+…(3……+…2…i)]…=… 12 (…5…+…i…) ……………………………………………………………………………
2 z2 2

1 1 … 1
2 2 2
5. ( z1 − z2 ) = […(2……– …i)…-…(3…+……2i…)]…=… …(-1……- 3…i…) …………………………………………………………………………



6. z1 + z2 = ̅(…̅2̅…̅-…̅i)̅…̅+…̅̅…̅(…̅3̅…̅…+̅…̅2̅…i̅)…=……̅5̅…+̅…̅i…=…5……–…I ……………………………………………………………………

7. z1 + z2 = …(2……+……i) …+…(3……–…2…i) …=…5…-…i………………………………………………………………………………………

8. z1z2 = (……2…–…i)…(…3…+…2…i)…=…6……+…4…i –……3i…-…2…i2…=…8……+…i ……………………………………………………………

9. z1z2 = ……8……- i……………………………………………………………………………………………………………………

10. z1 z2 = …(…2…+…i)…(3…–……2i…) ……=……6…–…4…i …+…3…i –……2i…2 =……8…-…i…………………………………………………………

11. z1 = …2-i
z2 …3 + 2i ………………………………………………………………………………………………………………

12. z1 …
z2
= …2 +i ……………………………………………………………………………………………………………………
- 2i
3


13.  z1  = ……2 +i ………………………………………………………………………………………………………………………
 z2  - 2i
  3


14. 1 = …… 1 ………………………………………………………………………………………………………………………
z1 +
2 i


15. 1 =……2 1 ………………………………………………………………………………………………………………………
  +
 z1  i



แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3

กล่มุ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5
รายวิชา คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 รหัสวิชา ค 30204
หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น จำนวน 30 ชว่ั โมง
แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 3 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น จำนวน 4 ช่ัวโมง

1. ผลการเรยี นรู้
เข้าใจจำนวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบตั จิ ำนวนเชงิ ซ้อนในการแกป้ ัญหา

2. สาระสำคัญ
ระนาบเชงิ ซ้อนประกอบด้วย 2 แกน คือ แกนนอน เรยี กวา่ แกนจริง และแกนต้งั เรียกว่า แกนจินตภาพ
ให้ z = a+bi จะไดจ้ ดุ (a,b) หรอื เวกเตอร์ทม่ี ีจุด (0,0) เปน็ จดุ เรม่ิ ตน้ และจดุ (a,b) เปน็ จุดสน้ิ สดุ ดงั รปู

Y Y
b z(a,b) b z (a,b)

(0,0) a X a X

คา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซ้อน คือ |z| = |a + bi| = a2 + b2
สมบัติ ค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

ให้ z และ w เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น และ |z| = a2 + b2
1. |z|2 = z z
2. |z| = |-z| = | z |
3. |zw| = |z||w|
4. |z + w| ≤ |z| + |w|
5. |z - w| ≥ |z| - |w|
6. z = | z | เมอื่ w ≠ 0

w |w|
7. |z|-1 = 1 = 1 เมอ่ื z ≠ 0

z |z|
8. |zn| = |z|n เม่ือ z ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเตม็ ใดๆ
9. |z| = 0 ก็ต่อเม่ือ z = 0
3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1) เขยี นกราฟในระนาบเชิงซอ้ นได(้ K)

2) สามารถบอกสมบตั ิคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ นได้ (K)

3) นำสมบตั ิค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ นไปใชใ้ นการแก้ปัญหาได้ (P)

4) รับผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ีทไี่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผู้เรียน

4.1 ความสามารถในการสอื่ สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา

4.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวติ

4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

5. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนรเู้ พมิ่ เตมิ สาระการเรียนรูท้ อ้ งถิ่น

จำนวนเชงิ ซ้อนและสมบตั ขิ องจำนวนเชิงซอ้ น พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ชัว่ โมงที่ 1

ขั้นนำ

ขัน้ การใชค้ วามรเู้ ดิมเชือ่ มโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)
1. ครูยกตัวอย่างสถานการณ์เกี่ยวกับการหาพิกัดตำแหน่งของสิ่งต่าง ๆ ถ้าเรามีแนววัดระยะเพียงแนว
เดียว เช่น เสน้ จำนวนท่ีเราใชเ้ ขียนแสดงจำนวนปกติ และถ้าเราบอกวา่ ของชิ้นน้ีอยตู่ รงกบั 5 บนเส้น
จำนวน แตเ่ ราจะทราบไดอ้ ย่างไรวา่ ของสง่ิ นีอ้ ยูห่ า่ งออกไปจากเส้นจำนวนนีเ้ ท่าใด จึงจำเปน็ ต้องมีเส้น
จำนวนอีกแนวในแนวตั้งฉากกัน ทำให้เราอ่านพิกัดของสิ่งของใด ๆ ได้ ในระบบสองมิติก็จะช่วยให้
ทราบตำแหน่งได้แม่นยำขึ้น ทั้งแนวนอนและแนวตั้ง เราเรียกว่า ระบบพิกัดฉาก มีเส้นจำนวนใน
แนวนอน เรียกว่า แกน x และเส้นจำนวนในแนวตั้งเรยี กว่า แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากท่ีจุด x เป็น 0
และ y เป็น 0 เรียกว่า จุดกำเนิด มีการอ่านค่า x และค่า y ในรูปคู่อันดับ (x,y) เรียกว่าพิกัด (x,y)

2. ครูแจกใบงานที่ 3.1.1 เรื่องระบบพิกัดฉากของจำนวนจริง เม่ือนักเรียนทำใบงานเสร็จแล้วครูและ
นกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ

ข้ันสอน

ขัน้ รู้ (Knowing)
1. ครูอธิบายนักเรียนวา่ เรามีระนาบจำนวนไว้เพื่อแสดงตำแหนง่ ไดใ้ น 2 มิติ คอื ระยะแนวนอนและระยะ
แนวต้งั ในระบบพกิ ดั ฉาก และสามารถบอกตำแหน่งของจุดใดจดุ หน่งึ ในรปู คู่อนั ดบั พิกดั
2. ครถู ามใหน้ ักเรียนได้เปรยี บเทียบกบั จำนวนเชิงซ้อนวา่
• นกั เรยี นสามารถแทนจำนวนเชิงซ้อน (a,b) ใด ๆ ด้วยจดุ บนระนาบในระบบพิกัดฉากไดห้ รอื ไม่
(แนวคำตอบ: ได้)
• จากข้อคำถามขา้ งตน้ ถ้าแทนได้จะสามารถแทนได้อยา่ งไร (แนวคำตอบ แทนแกน x หรอื แกนนอนว่า
แกนจริง (real axis) และเรียกแกน y หรือแกนต้งั วา่ แกนจนิ ตภาพ (imaginary axis) )
• นักเรยี นจะเรยี กระนาบท่ใี ช้แสดงพิกัดของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ว่าอย่างไร (แนวคำตอบ ระนาบ
เชงิ ซ้อน)
3. ครูยกตัวอยา่ งให้นักเรยี นศกึ ษาการเขียนจดุ ในระนาบเชงิ ซ้อน ตวั อย่างที่ 13 ในหนงั สือเรียนรายวิชา
เพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ น โดยครมู ีคำถามประกอบคือ
• นักเรยี นคดิ วา่ คอู่ นั ดบั ใด ๆ ทก่ี ำหนดใหจ้ ะแสดงจุดไดเ้ ช่นเดียวกบั ระนาบจำนวนจริงได้หรือไม่
• ครยู กตัวอยา่ ง คู่อันดับ (4,0) ให้นกั เรียนหาระยะท่ีแกน x เปน็ 4 ตดั ตง้ั ฉากกับระยะท่แี กน y มี
คา่ เป็น 0 ดังรปู ในตวั อยา่ งท่ี 13 จากหนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน
4. ครชู ้ีให้นักเรยี นเห็นว่าการเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน a+bi หรอื (a,b) สามารถทำได้โดยเขียนจุด
ลงใน ระนาบเชงิ ซอ้ น

ขั้นเข้าใจ (Understanding)
5. ครใู หน้ ักเรยี นทำกิจกรรมลองทำดูในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ
เรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน จากนนั้ สมุ่ เรยี กนกั เรียนเพ่อื ให้อธบิ ายแนวคิดของตนเอง

ขั้นรู้ (Knowing)
6. ครูถามนักเรียนว่าถ้ากำหนดจำนวนเชิงซ้อน a+bi และจำนวนเชิงซ้อนที่ยังไม่ใช่ผลสำเร็จ เช่น
i2(3+3i) จะสามารถเขยี นกราฟได้ หรือไม่
(แนวคำตอบ: ได้)
7. ครใู ห้นกั เรียนจบั คูศ่ ึกษาตวั อยา่ งท่ี 14 ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การเรยี นรทู้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น และให้นกั เรยี นชว่ ยกันบอกข้อสรุปของแนวทางกด่ี ำเนินการ
(แนวคำตอบ: ขั้นที่ 1 ดำเนินการจำนวนเชิงซ้อนเหล่านั้นให้อยู่ในรูป a+bi ก่อน ขั้นที่ 2 ให้ค่า a
แทนทแี่ กน x และคา่ b แทนท่ีแกน y)

ข้นั เขา้ ใจ (Understanding)
8. ใหน้ ักเรียนจบั กลุ่มกลมุ่ ละ 3-4 คน ทำกิจกรรมลองทำดู ในหนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์
ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น และแบบฝกึ ทักษะ 1.3 ข้อ 1 และ 2

ชั่วโมงที่ 2

ขน้ั รู้ (Knowing)
9. ครถู ามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี
• ถา้ เราแสดงจำนวนเชงิ ซ้อนเปน็ เวกเตอรไ์ ด้ เราสามารถหาความยาวของกราฟของจำนวนเชิงซ้อนน้ัน
ไดห้ รือไม่ อย่างไร
(แนวคำตอบ: ได้ โดยการใช้ทฤษฎบี ทพที าโกรสั )
10. ครยู กตวั อย่างการหาความยาวของกราฟของจำนวนเชงิ ซ้อน a+bi ใด ๆ เชน่
• จงหาความยาวของกราฟของ 2+3i
แนวคดิ 1) วาดกราฟของจำนวนเชิงซ้อน 2+3i

Y

3

2) พิจารณา a = 2(0,ค0)อื ระยะแก2น x = 2 หน่วย X
b = 3 คอื ระยะแกน y = 3 หนว่ ย

3) สมมติให้ ความยาวของกราฟ 2+3i แทนด้วย u ดังนน้ั u2 = 22 + 32
=4+7
= 13

นน่ั คือ u = 13 หนว่ ย
11. ครบู อกนักเรียนว่าเราจะเรียกการหาความยาวของกราฟของจำนวนเชิงซ้อนว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

เชิงซ้อน z เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |z| หรือเรียกว่าการหาขนาดของ z แทนด้วยสัญลกั ษณ์ r

12. ครูยกตวั อยา่ งการหาคา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ี
1) i(3-2i)
แนวคิด i(3 - 2i) = 3i + 2 = (3,2)

|z| = 22 + 32 = 13
2) i2(3i3 + i2)

แนวคิด i2(3i3 + i2) = 3i5 – i4 = 3i – 1 = (-1, 3)

|z| = (−1)2 + 32 = 10

3) 3− 3i
1+ 3i

แนวคิด 3− 3i = 3− 3i  1 − 3
1+ 3i 1+ 3i 1 − 3

= 3 − 3 3i − 3i + 3i2
1+3

= −4 3i
4

= − 3i

เขียน z ในรูป a + bi = 0 − 3i
เขยี น z ในรูป (a,b) = (0, − 3 )

จะได้ |z| = 02 + (− 3 )2 = 3

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)
13. ให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างที่ 15 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นให้นักเรียนทำกิจกรรมลองทำดูในหนังสอื เรียนรายวิชา
เพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
14. ให้นักเรียนจับคู่แล้วทำแบบฝึกทักษะ 1.3 ข้อที่ 4 ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5
เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากน้นั สลับคกู่ นั ตรวจคำตอบ

ชัว่ โมงท่ี 3

ขั้นรู้ (Knowing)

15. ครูถามนักเรียนว่าถ้าครูกำหนดสมการค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนแล้ว สามารถแสดงคำตอบใน
รูปกราฟ ได้หรือไม่ เช่น |z – 2 + i| = 2
แนวคดิ z = a + bi หรือ x + yi
|z – 2 + i| = 2
จะได้ | x + yi – 2 + i| = 2
| (x– 2) + (y + 1)i| = 2
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 2

16. ครูถามนักเรยี นว่าจากการหาค่าสมั บรู ณ์ของโจทยใ์ นข้อ 1. ได้ความสมั พนั ธใ์ กล้เคียงกับสมการชนิดใด
หรอื กราฟใด
(แนวคำตอบ: กราฟของวงกลมทม่ี ีจดุ ศูนย์กลางอยูท่ ่ีจุด (h,k) รศั มียาว r หนว่ ย มีสมการรูปมาตรฐาน
คอื
(x-h)2 + (y-k)2 = r2 ))

17. ครใู หน้ กั เรยี นพจิ ารณาสมการ (x − 2)2 + (y +1)2 = 2 แลว้ ยกกำลังสองทง้ั 2 ข้างของสมการ
จะได้

( )(x − 2)2 + (y + 1)2 2 = 22

(x − 2)2 + (y +1)2 = 22
18. ครูถาม โดยมีแนวคำถาม ดงั น้ี

• นักเรียนเห็นหรอื ไมว่ ่าตรงกับสมการชนดิ ใด
(แนวคำตอบ: สมการวงกลม)

• จากนั้นครถู ามนกั เรียนต่อว่าสามารถเขียนกราฟไดห้ รือไม่ อยา่ งไร
(แนวคำตอบ: ได้ เขียนกราฟโดยมี (h,k) = (2,-1) และมี r = 2 ดังน้ี

Y

X

(0,0)

(2,-1)

19. ครใู ห้นกั เรยี นพจิ ารณาวา่ ถ้าเปลยี่ นจากความสัมพันธ์ท่เี ปน็ สมการ สามารถเปล่ียนเปน็ อสมการได้
หรือไม่ (แนวคำตอบ: ได)้

จากนั้นใหน้ กั เรียนพิจารณา เช่น |z – 2 + i| ≥ 2
จะได้ (x − 2)2 + (y +1)2  22

จากนนั้ ครถู ามนักเรียนต่อวา่
• สามารถเขยี นกราฟของอสมการหาคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ นไดห้ รือไม่ อย่างไร

(แนวคำตอบ: ได้ ดังนี้กราฟของอสมการ (x-2)2+(y+1)2≥22
จะได้ คำตอบท่เี ปน็ กราฟของวงกลม (x-2)2+(y+1)2≥22 และคำตอบ (x,y) ทม่ี ีค่ามากกวา่ ดังน้ี

)
20. ครใู ห้นกั เรียนสงั เกตว่ากราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์ท่ีอยใู่ นรูปสมการวงกลม ถา้ เป็นเครื่องหมาย <

หรือ > ก็แสดงว่าไมต่ อ้ งหาความสมั พนั ธท์ ี่เท่ากับ ไดแ้ ก่
• (x − h)2 + (y − k)2  r2 หมายความว่า เราไม่ใช้ค่า (x,y) ที่สัมพันธ์กับ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึง

ใช้เส้นประเขยี นแทนเสน้ รอบวงกลมท่มี จี ุดศูนยก์ ลางท่ี (h,k) รศั มี r แล้วแรเงาคำตอบ (x,y) ทุกค่าท่ี
อย่ภู ายนอกวงกลมนัน้
• (x − h)2 + (y − k)2  r2 หมายความวา่ เราไมใ่ ช้คา่ (x,y) ทส่ี ัมพันธก์ บั (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึงใช้
เส้นประเขยี นแทนเสน้ รอบวงกลมท่มี ีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) รัศมี r แล้วแรเงาคำตอบ (x,y) ทุกค่าท่ีอยู่
ภายในวงกลมน้นั
• (x − h)2 + (y − k)2  r2 หรือ (x − h)2 + (y − k)2  r2 หมายความว่า เราต้องการใช้ค่า (x,y)
ที่สมั พนั ธก์ ับ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึงใชเ้ สน้ ทบึ เขยี นแทนเส้นรอบวงกลมท่ีมจี ดุ ศูนยก์ ลางท่ี (h,k) รศั มี
r แลว้ แรเงาคำตอบภายในหรอื ภายนอกวงกลมตามเคร่อื งหมายอสมการ
21. ครูถามนกั เรียนวา่ ถา้ โจทย์ให้เขียนกราฟของ z แต่มีกำกับมาว่า Re(z) หรือ Im(z) จะเขยี นกราฟ

อย่างไร
(แนวคำตอบ: ถ้าเป็น Re(z) จะวาดกราฟเฉพาะส่วนจริงจะได้สมการคือ x = a แต่ถ้าเป็น Im(z) จะ
วาด กราฟเฉพาะสว่ นจนิ ตภาพ จะได้สมการคอื y = b)
22. ครูให้นกั เรยี นศึกษาตัวอยา่ งที่ 16-17 ในหนังสอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การ เรียนรูท้ ่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน

ข้นั เข้าใจ (Understanding)
23. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 3-4 คน แลว้ ให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 1.3 ข้อ 5 ในหนงั สือเรยี นรายวิชา
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูและนักเรียน
รว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ชว่ั โมงที่ 4

ขัน้ รู้ (Knowing)
24. ครูให้นกั เรียนเปดิ หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวน
เชงิ ซอ้ น สังเกตการณพ์ ิสูจนส์ มบตั ิของค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น ขอ้ 1-3 ดงั นี้

1) |z|2 = z z
2) |z| = |-z| = | z |
3) |zw| = |z||w|

25. จากนั้นครูยกตัวอย่างเพื่อแสดงให้นักเรียนเห็นว่าการณ์พิสูจน์สมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจำนวน
เชิงซ้อนข้อ อื่น ๆ เป็นจริง โดยครูตั้งคำถาม ดังนี้ กำหนดให้ z = 1 + 2i และ w = 2 + 3i แล้วให้
นกั เรียนร่วมกันหาค่าต่อไปน้ี

1) | z | และ z
|w| w

2) |z + w| และ |z| + |w|
3) |z - w| และ |z| - |w|
แนวคดิ

1) |z| = 12 + 22 = 5

|w| = 22 + 32 = 13

|z | = 5
|w | 13

z = 1+2 = 8+i =  8 2 +  1 2 = 64 + 1 = 5
w 2 + 3i 3 13 13 169 13

จะเห็นวา่ สมบัติ | z | = z เปน็ จรงิ
|w| w

2) หา |z + w| = |1 + 2i + 2 + 3i| = |3 + 5i| = 32 + 52 = 9 + 25 = 34

≈5.830

|z| + |w| = 5 + 13 ≈ 2.236 + 3.605 ≈ 5.842
จะเห็นวา่ สมบัติ |z + w| ≤ |z| + |w| เปน็ จริง

3) หา |z - w| = |1 + 2i – (2 + 3i)| = |-1 - i| = (−1)2 + (−1)2 = 2 ≈ 1.414

|z| - |w| = 5 − 13 ≈ 2.236 - 3.605 ≈ -1.37

จะเหน็ ว่าสมบตั ิ |z - w| ≥ |z| - |w| เป็นจรงิ
ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)

26. ครใู หน้ ักเรยี นแต่ละคนหาค่าของ |z|-1 , 1 และ 1 เมือ่ กำหนดให้ z = 1 + 2i จากนั้นให้นักเรยี น
z |z|

ร่วมกนั สรุปวา่ |z|-1 = 1 = 1 เม่อื z ≠ 0
z |z|

27. ครูถามนกั เรยี นต่อวา่ เม่อื กำหนดให้ z = 0 จะสามารถหาค่า |z| ได้เท่าไร จากนัน้ ครูสรปุ ให้นกั เรียน
เหน็ ว่า |z| = 0 ก็ต่อเมื่อ z = 0

ขั้นลงมือทำ (Doing)
28. ครูให้นักเรยี นแบง่ กลุ่ม กลมุ่ ละ 3 คน แลว้ รว่ มกันทำ Thinking Time ในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน และทำกิจกรรมถอดรหัสจำนวน
เชิงซ้อนในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชงิ ซ้อน
ขนั้ สรปุ
1. ครถู ามตอบนักเรียนเพ่ือทบทวนขัน้ ตอนการวาดกราฟในระนาบเชงิ ซอ้ น
2. ครใู หน้ ักเรียนเขียนสรปุ ความรู้รวบยอดเรื่อง สมบัติคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

7. การวัดและประเมินผล

รายการวัด วธิ ีการ เคร่ืองมือ เกณฑ์การประเมิน
7.2 ประเมนิ ระหว่างการจดั - ตรวจใบงานท่ี 1.3.1
- ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.3 - ใบงานท่ี 1.3.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้
1) กราฟของจำนวนเชงิ ซ้อน - ประเมินการนำเสนอ - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.3 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
2) สมบัติค่าสัมบูรณ์ของ ผลงาน
- แบบประเมนิ การ - ระดบั คุณภาพ 2
จำนวนเชงิ ซ้อน - สังเกตพฤติกรรม
3) นำเสนอผลงาน การทำงานรายบุคคล นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์

4) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2
รายบุคคล การทำงานกลุม่
พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
5) พฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่ - สงั เกตความมวี ินยั
ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมนั่ การทำงานรายบุคคล
6) คุณลักษณะอนั พึง ในการทำงาน
ประสงค์ - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2

พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

- แบบประเมิน - ระดบั คณุ ภาพ 2

คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้

8.1 สือ่ การเรียนรู้
1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน
2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชิงซอ้ น
3) ใบงานที่ 1.3.1 เร่ือง ระบบพกิ ดั ฉากของจำนวนจรงิ

8.2 แหล่งการเรยี นรู้

9. การบรู ณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง (3 ห่วง 2 เงอ่ื นไข 4 มิต)ิ

- การบูรณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 ห่วง ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 2 เง่อื นไข

พอประมาณ เงือ่ นไขความรู้

มเี หตผุ ล เงือ่ นไขคณุ ธรรม

มภี ูมคิ มุ้ กนั ในตวั ท่ดี ี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มิติเศรษฐกิจ มิติสังคม มิติสงิ่ แวดลอ้ ม มติ ิวฒั นธรรม

ใบงานท่ี 1.3.1

เรือ่ ง ระบบพกิ ัดฉากของจำนวนจรงิ

คำชี้แจง : ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทำในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี
1. จงเขียนพิกัดของจุด A, B, C, D และ E จากรปู ท่กี ำหนด

พกิ ดั A คอื .................................. พกิ ัด B คอื ........................................
พกิ ัด C คือ .................................. พิกัด D คือ ........................................
พิกัด E คอื ..................................

2. ใหก้ ำหนดจุดลงบนระนาบจำนวนตามพกิ ัดต่อไปนี้ A(0,0) B(4,-4) C(0,5) D(-3,2) และ E(-4,-1)

ใบงานท่ี 1.3.1 เฉลย

เรอ่ื ง ระบบพกิ ัดฉากของจำนวนจริง

คำชี้แจง : ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำเพ่อื หาคา่ ของจำนวนเชงิ ซ้อนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
คำชี้แจง : ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ที ำในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. จงเขยี นพกิ ัดของจุด A, B, C, D และ E จากรูปทกี่ ำหนด

พ…ิก…ัด…A…ค…ือ……(5…,3…) ……………………………พ…กิ …ัด…B…ค…อื …(…-5…,0…)……………………………..
พ…ิก…ัด…C…ค…อื ……(-2…,4…)……………………………พ…กิ …ัด…D…ค…ือ…(…-5…,5…)……………………………..
พ…กิ …ัด…E…ค…อื …(…0…,-4…)…………………………………………………………………………………..
2. ให้กำหนดจุดลงบนระนาบจำนวนตามพกิ ดั ตอ่ ไปนี้ A(0,0) B(4,-4) C(0,5) D(-3,2) และ E(-4,-1)

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 4 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5
รหัสวชิ า ค 30204
กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชว่ั โมง
รายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 จำนวน 3 ชว่ั โมง
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 4 รากที่สองของจำนวนเชงิ ซอ้ น

1. ผลการเรยี นรู้
หารากท่ี n ของจำนวนเชิงซอ้ น เมอ่ื n เปน็ จำนวนนับที่มากกวา่ 1

2. สาระสำคญั

ให้ z = a + bi และ r = a2 + b2

รากท่ีสองของ z คือ   r+a + r − a i  เมอ่ื b ≥ 0
 2 2 

  r + a − r − ai  เม่ือ b < 0
2 2 

คำตอบของสมการพหนุ ามกำลงั สอง ax2 + bx + c = 0 เม่อื a,b และ c เปน็ จำนวนจรงิ และ a ≠ 0

คอื

x = −b  b2 − 4ac เมื่อ b2 − 4ac  0
2a

x = −b  | b2 − 4aci เม่ือ b2 − 4ac  0
2a

3. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) หารากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อนได้ (K)
2) เขียนแสดงขัน้ ตอนวธิ ีการหารากทส่ี องของจำนวนเชิงซอ้ นได้ (P)
3) รบั ผิดชอบตอ่ หน้าทีท่ ไ่ี ด้รบั มอบหมาย (A)
4. สมรรถนะของผู้เรียน

4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา

4.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวิต

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้ทอ้ งถ่นิ
สาระการเรียนร้เู พิม่ เตมิ พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

- รากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน เม่อื n เปน็ จำนวน
นับทม่ี ากกวา่ 1

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ช่ัวโมงที่ 1

ขนั้ นำ

ขั้นการใช้ความรเู้ ดิมเชื่อมโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)

1. ครูทบทวนความร้เู ดมิ ในเรื่อง รากท่สี องของจำนวนจรงิ โดยครูถามนกั เรยี นว่า รากทีส่ องของ a มีบท

นิยาม วา่ อย่างไร (แนวคำตอบ รากทส่ี องของจำนวนจรงิ a เม่ือ a  0 รากทส่ี องของจำนวนจริง a มี

2 ค่าเสมอ คือ รากทีส่ องทีเ่ ป็นคา่ บวก เขียนแทนดว้ ย a และ รากท่สี องท่เี ปน็ ค่าลบ เขยี นแทนด้วย
- a)

2. ครูแจกใบงาน 1.4.1 เรื่อง รากที่สองของจำนวนจริง ให้กับนักเรียนจากนั้นให้เวลานักเรียนทำ

ประมาณ 10 นาที เพื่อใหน้ กั เรยี นไดท้ บทวนความรเู้ กีย่ วกบั การหารากทส่ี อง

3. ครใู หน้ กั เรียนหาคำตอบของสมการกำลังสองต่อไปนี้

1) 5x - 15x2 = 0

2) x2 + 8x +12 = 0

3) 4x2 + 8x + 3 = 0

(แนวคำตอบ:

1) 5x - 15x2 = 0

วิธีทำ 5x (1-3x) = 0

จะได้ 5x = 0 หรอื 1 - 3x = 0

– 3x = -1

ดงั นน้ั x = 0 = 0 หรอื x= -1 = 1
5 -3 3

นั้นคือ 0 และ 1 เป็นคำตอบของสมการ
{0 , 31} 3

ตอบ

2) x2 + 8x +12 = 0 หรอื (x + 2) = 0
วธิ ที ำ (x + 6) (x + 2) = 0 หรอื x = -2
จะได้ (x + 6) = 0
ดงั นน้ั x = -6 (2x + 1) = 0

นั้นคอื -6 และ -2 เป็นคำตอบของสมการ
ตอบ {-6, -2}
3) 4x2 + 8x + 3 = 0

วธิ ีทำ (2x + 3) (2x + 1) = 0
จะได้ (2x + 3) = 0 หรือ

2x = -3 หรอื 2x = -1

ดังน้ัน x = -3 = - 3 หรือ x = -1 = - 1
2 2 2 2

นน้ั คอื -3 และ -1 เป็นคำตอบของสมการ
2 2

ตอบ {-23, -21})
4. ครูต้งั คำถามกบั นกั เรียนวา่

• วธิ ีการหาคำตอบของสมการกำลงั สองตวั แปรเดยี วน้นั นกั เรียนจะมีวิธีในการหาคำตอบไดท้ ง้ั หมดกว่ี ธิ ี
(แนวคำตอบ: 2 วธิ ี คอื 1) ใช้การแยกตวั ประกอบ 2) การใช้สตู ร)

5. ครูยกตวั อย่าง x2 - 8x - 40 = 0 แลว้ ใหน้ กั เรียนหาคำตอบของสมการโดยการใช้สูตร

(แนวคำตอบ: x2 – 8x – 40 = 0

แยกตัวประกอบโดยการใช้สูตร x = -b ± √b2−4ac
2a
- (8) ± √(-8)2- 4(1)(- 40)
= 2(1)

= - (8) ± √ 64 + 160
2
8 ± √224
= 2

= 8 ± 4√14
2
8 + 4√7 8 − 4√7
ดังนั้น x = 2 = 4 + 2 √7 หรือ x = 2 = 4 - 2 √7)

ข้นั สอน

ข้นั รู้ (Knowing)
1. ครูให้นักเรียนพิจารณาการหารากที่สองของ z ว่าทำเช่นเดยี วกันกับการหารากที่สองของจำนวนจรงิ

ได้ หรอื ไม่

(แนวคำตอบ: ไม่ได้)

2. ครแู สดงการพสิ ูจนส์ ตู รเพอ่ื ใชใ้ นการหารากทสี่ องของจำนวนเชงิ ซอ้ นใดๆ ใหน้ กั เรียนได้ทำความเข้าใจ

ที่ มาของสูตร จากนั้นครูใหน้ ักเรียนช่วยกนั สรุปหลักสตู รในการหารากทีส่ องของ z เมื่อ z = a+bi

จะได้วา่ รากที่สองของ z คือ

  r + a + r − a i  เม่ือ b ≥ 0
 2 2 

  r + a − r − a i  เมื่อ b < 0
 2 2 

3. ครยู กตวั อย่างการหาเซตคำตอบของสมการทีม่ ีสัมประสิทธ์ไิ ม่ใช่จำนวนจริง เชน่

1) (2 - 3i)x2 – (8 + i) = 0

วิธที ำ (2 - 3i)x2 – (8 + i) = 0

x2 = 8 + i
2 − 3i

x2 = 8+i  2 + 3i
2 − 3i 2 + 3i

x2 = 16 + 24i + 2i + 3i2
4+9

x2 = 13 + 26i
13

x2 = 1 + 2i

x คือ รากที่สองของ 1 + 2i (a = 1 , b = 2 และ r = 5 )

 5+ 1 + 5 −1 i 
ดังน้ัน x =  2 2 

ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)
4. ครูให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างที่ 18 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน จากนั้นให้นักเรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำด”ู และแบบฝกึ ทักษะ
ที่ 1.4 ข้อ 1 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชิงซอ้ น จากน้นั ครูและนกั เรียนรว่ มกันเฉลยคำตอบพรอ้ มกนั โดยครูเขียนคำตอบบนกระดาน

ช่ัวโมงที่ 2

ขนั้ รู้ (Knowing)

5. ครใู หน้ ักเรียนทบทวนสูตรการหาค่า x จากสมการกำลังสองที่จัดอยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a,

b และ c เปน็ จำนวนจริง

(แนวคำตอบ: x = -b ± √2ba2−4ac)
6. ครใู หน้ ักเรยี นแบ่งกล่มุ กลุม่ ละ 3 – 4 คน ช่วยกนั หาคำตอบของสมการต่อไปน้ี โดยการใช้สูตร

1) x2 + 4x + 5 = 0

2) 2x2 + 9x – 5 = 0

7. ครูถามนักเรียนว่าคำตอบที่ได้จากข้อ 2. ข้อใดที่คำตอบเป็นจำนวนจริงและข้อใดที่ได้คำตอบไม่ใช่

จำนวน จริง

(แนวคำตอบ: สมการในขอ้ 1. ได้คำตอบท่ไี ม่ใช่จำนวนจริง ดังนี้

1) x2 + 4x + 5 = 0

วิธที ำ x= -4 ± √42−4(1)(5)
2(1)

= -4 ± √−4
2
-4 ± 2i
= 2

= -2 ± i

จะเห็นว่าค่า x ที่ได้เมื่อ -b ± √b2 − 4ac < 0 จะไม่ใช่จำนวนจริงที่เราทราบแล้วว่าเป็นจำนวน
เชิงซ้อน สมการในขอ้ 2. ไดค้ ำตอบเป็นจำนวนจริง ดงั น้ี

2) 2x2 + 9x – 5 = 0

วธิ ที ี่ 1 หาคำตอบโดยการใช้สตู ร

x= -9 ± √92−4(2)(−5)
2(2)

= -9 ± √81+40
4

= -9 ± √121
4
-9 ± 11
= 4
x = { 1
2 ,-5 }

วธิ ีที่ 2 หาคำตอบโดยการใช้การแยกตัวประกอบ

2x2 + 9x – 5 = 0

(2x – 1)(x + 5) = 0

จะไดว้ า่ 2x – 1 = 0 หรอื x + 5 = 0

นั่นคือ x = 1 หรอื x = -5
2 { ,-5
1
ดงั นัน้ คำตอบของสมการคอื }
2

ขนั้ เขา้ ใจ (Understanding
8. ครูให้นกั เรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างที่ 20 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นใหน้ ักเรียนทำกิจกรรมลองทำดูในหนังสือเรียนรายวิชา
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
9. ครใู หน้ กั เรียนจับคู่แล้วทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ขอ้ ที่ 3 ใน หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5
เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อนจากน้ันสลับคกู่ ันตรวจคำตอบ

ช่ัวโมงที่ 3

ขนั้ รู้ (Knowing)
10. ครูถามนักเรียนว่าสมการกำลังสองตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนจริงแล้วจะมีวิธีการหา
คำตอบ ของสมการ โดยใช้สูตรเช่นเดียวกับสมการกำลงั สองท่มี สี ัมประสิทธเ์ิ ป็นจำนวนจริงได้หรือไม่
(แนวคำตอบ: ทงั้ ได้และไม่ได้)
11. ครูยกตัวอยา่ ง x2 + (1 + 2i)x − (1 − i) = 0 แลว้ แสดงวธิ กี ารหารากท่ีสองใหน้ กั เรยี นดูโดยการใช้
สตู ร จะได้ว่า

x = −(1 + 2i)  (1 + 2i)2 − 4(1)(−1 + i)
2

x = −1 − 2i)  (1 + 4i − 4 + 4 − 4i)
2

x = (−1 + 2i)  3
2
2 + 2i −4 + 2i
x = 2 , 2

x =1+ i,−2 + i

ขัน้ เขา้ ใจ (Understanding)
12. ครูให้นักเรียนจับกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน จากนั้นช่วยกันทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ข้อ 2 ในหนังสือเรียน
รายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นนกั เรียนและ
ครรู ่วมกันเฉลยบนกระดาน

ขัน้ ลงมอื ทำ (Doing)
13. ครใู ห้นักเรยี นจบั คแู่ ล้วรว่ มกนั ทำแบบฝึกทกั ษะ 1.4 ขอ้ 4 ในหนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์
ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น

ขน้ั สรุป

1. ครใู หน้ ักเรยี นบอกสูตรทใ่ี ช้ในการหารากทส่ี องของจำนวนเชงิ ซ้อน
2. ครูใหน้ ักเรียนบอกวธิ กี ารหาคำตอบของสมการพหนุ ามกำลังสองทม่ี ีสัมประสิทธเ์ิ ป็นจำนวนจรงิ และ

จำนวน เชงิ ซ้อน

7. การวดั และประเมินผล

รายการวัด วธิ กี าร เครอ่ื งมือ เกณฑ์การประเมนิ
- ใบงาน 1.4.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.2 ประเมนิ ระหว่างการ - ตรวจใบงาน 1.4.1 - แบบฝึกทกั ษะ 1.4 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

จดั กิจกรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.4

1) รากที่สองของจำนวน

เชงิ ซ้อน

2) นำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน
3) พฤตกิ รรมการทำงาน นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
รายบคุ คล - สังเกตพฤตกิ รรม
การทำงานรายบคุ คล - แบบสังเกตพฤตกิ รรม - ระดับคุณภาพ 2
4) พฤตกิ รรมการทำงาน
กลุม่ - สังเกตพฤติกรรม การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์
การทำงานกลุ่ม
- แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2

พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกลมุ่

5) คณุ ลักษณะ - สงั เกตความมวี ินัย - แบบประเมนิ - ระดับคณุ ภาพ 2
อันพึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ ม่นั
ในการทำงาน คณุ ลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สื่อ/แหลง่ การเรียนรู้

8.1 สอ่ื การเรยี นรู้
1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ น
2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน
เชงิ ซอ้ น
3) ใบงานที่ 1.4.1 เรือ่ ง รากทส่ี องของจำนวนจรงิ

8.2 แหลง่ การเรียนรู้
-

9. การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (3 ห่วง 2 เงอ่ื นไข 4 มิต)ิ

- การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เง่ือนไขความรู้

มเี หตผุ ล เงอื่ นไขคุณธรรม

มีภมู ิคมุ้ กันในตัวทด่ี ี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มติ เิ ศรษฐกิจ มติ สิ ังคม มิติสิง่ แวดล้อม มิตวิ ัฒนธรรม

ใบงานท่ี 1.4.1

เร่ือง รากทส่ี องของจำนวนจริง

คำช้แี จง : ให้นักเรยี นตอบคำถามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. จงหารากทส่ี องของ

1) 225

ตอบ ........................................................................................

2) 0.0064

ตอบ ........................................................................................

3) 196
361
ตอบ ........................................................................................

4) 0

ตอบ ........................................................................................

5) -144

ตอบ ........................................................................................

2. จงหาค่าของ
1) 676
ตอบ ........................................................................................
2) - 256
ตอบ ........................................................................................
3) −100
ตอบ ........................................................................................

4) 42
ตอบ ........................................................................................

5) (−4)2
ตอบ ........................................................................................

6) - (−3)2
ตอบ ........................................................................................

ใบงานท่ี 1.4.1 เฉลย

เรื่อง รากท่ีสองของจำนวนจริง

คำชี้แจง : ใหน้ ักเรยี นตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. จงหารากท่สี องของ

1) 225

ตอบ...1...5...แ..ล...ะ.....-.1..5.................................................................................................................

2) 0.0064
ตอบ...0....0...8...แ...ล..ะ.....-.0....0...8........................................................................................................

3) 196
361
ตอบ.......1..4............................................................................................................................
4) 0 19

ตอบ........0..............................................................................................................................

5) -144
ตอบ......ห..า..ค...า่ .ไ..ม..ไ่..ด..้.................................................................................................................

2. จงหาคา่ ของ
1) 676
ตอบ............26.....................................................................................................................
2) - 256
ตอบ.........-16......................................................................................................................
3) −100
ตอบ........หาค่าไมไ่ ด้............................................................................................................

4) 42
ตอบ........4..........................................................................................................................

5) (−4)2
ตอบ.........4..........................................................................................................................

6) - (−3)2
ตอบ........-(3)2......................................................................................................................

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 5 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5
รหสั วิชา ค 30204
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชัว่ โมง
รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 จำนวน 4 ช่วั โมง
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 5 จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงข้วั

1. ผลการเรียนรู้

เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนและใชส้ มบตั ิจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปญั หา

2. สาระสำคญั

จำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ข้ัว คือ z = r(cos+i sin) หรือ z = r cis

เรียกมุม  ว่าอารก์ วิ เมนต์ (argument) ของ z ใช้สัญลกั ษณ์ Arg (z)

ทฤษฎบี ทของจำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ข้ัว ให้ z , z1 และ z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน

1. z1z2 = r1r2 [rcos(1 + 2 )] + isin(1 + 2 )]

2. 1 = 1 (cos  − is in )
z r
z1 r1
3. z2 = r2 [r cos(1 − 2 )] + isin(1 − 2 )] เมื่อ z2 ≠ 0

4. z = r[(cos(−) + isin(−)]

Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2)

Arg  z1  = Arg(z1) - Arg(z2)
 z2 
 

ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์
กำหนดให้ z = r(cos+i sin) และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ zn = rn[(cos(n) + isin(n)]

3. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) หาค่าอาร์กวิ เมนตข์ องจำนวนเชิงซอ้ นได้ (K)
2) เขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นให้อยใู่ นรปู เชิงขั้วได้ (P)
3) รับผิดชอบต่อหนา้ ท่ที ี่ได้รบั มอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผเู้ รียน สาระการเรยี นรู้ทอ้ งถ่นิ
4.1 ความสามารถในการส่อื สาร พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศึกษา
4.2 ความสามารถในการคิด
4.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา
4.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ติ
4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรียนรู้
สาระการเรยี นร้เู พ่มิ เตมิ

- จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ช่วั โมงที่ 1

ขน้ั นำ

ขน้ั การใชค้ วามร้เู ดิมเชือ่ มโยงความรูใ้ หม่ (Prior Knowledge)

1. ครูยกตัวอย่างโจทย์ (2 – i)100 ให้นักเรียนหาผลลัพธ์ จากนั้นครูตั้งคำถามกับนักเรียน โดยมีแนว
คำถาม ดังน้ี

• นักเรียนสามารถหาคำตอบได้หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
(แนวคำตอบ: ไมส่ ามารถหาคำตอบได้ เพราะเลขชกี้ ำลังมคี า่ เป็นจำนวนมาก)
จากนั้นครูอธิบายให้นักเรียนเห็นว่านอกจากจะเขียนจำนวนเชิงซอ้ นในรปู a + bi หรือ (a,b) ยงั
สามารถเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนได้อกี รูปแบบหนึ่งโดยใช้ระบบพกิ ัดเชิงขั้ว เรยี กจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าว
ว่า รูปเชิงขั้ว ซึ่งจะช่วยให้การคำนวณเกีย่ วกับการคูณ การหาร เลขยกกำลัง n และการหารากที่ n
เมือ่ n เป็นจำนวนเต็มบวกได้สะดวกและรวดเร็วขึ้น

2. ครูทบทวน เรื่องการหาค่าตรีโกณมิติทีส่ ัมพันธ์กับวงกลม 1 หน่วย โดยครูวาดวงกลม 1 หน่วยลงบน
กระดานแลว้ ตง้ั คำถามดังต่อไปนี้
• วงกลมหนงึ่ หนว่ ยมีความสมั พนั ธ์กับอัตราสว่ นตรโี กณมิตอิ ย่างไร
(แนวคำตอบ: จุดปลายส่วนโค้งท่ียาว θ หนว่ ย ทุกจดุ บนวงกลม 1 หนว่ ย (x,y) สามารถเทียบได้กับ
(cosθsinθ))

• ครูใหน้ กั เรียนมาเติมพิกัด (x,y) บนรอบวงกลม 1 หนว่ ย ทุกพกิ ดั ตามขนาดของมมุ ที่สามารถระบไุ ด้
(แนวคำตอบ:

)

ขน้ั สอน

ขั้นรู้ (Knowing)

1. ครูบอกนักเรียนว่า จากเรื่องการเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบอกขนาดของมุม(  )

ของ จำนวนเชิงซอ้ นได้เช่นเดียวกันกับการอ่านมุมในวงกลม 1 หน่วย และครูถามนักเรียนต่อ โดยมี

แนวคำถามดงั นี้

• นกั เรียนจะสามารถหาขนาดความยาวของจำนวนเชงิ ซ้อน (r) ได้หรือไม่

(แนวคำตอบ: ได้ จะได้วา่ r = √a2+b2 )

2. ครูบอกนักเรียนว่า ระบบพิกัดเชิงขั้วเป็นระบบที่ใช้บอกตำแหน่งของจุด P บนระนาบอีกแบบหนึ่ง

ประกอบ ไปดว้ ยจดุ ขวั้ (pole) มแี กนนอนเปน็ แกนเชงิ ขว้ั ท่จี ุด P ใด ๆ บนระนาบจะมีรงั สีจากขวั้ ไปยงั

จุด P นั้น ให้ O เป็นจุดขั้ว เส้นรังสี OX เป็นแกนเชิงขั้ว สามารถบอกตำแหน่งของจุด P บนระนาบ

โดยคอู่ นั ดบั (r,  ) โดยท่ี r เป็นระท่จี ุดห่างจากจุดข้ัว และ  เป็นขนาดของมมุ ท่จี ุดขว้ั ของ OP กบั แกน
Y
เชิงข้วั ดังรปู ท่ี 1

P(r,  ) P(r,  ) หรือ P(a,b)
r r

O X  X

รปู ท่ี 1 O รปู ท่ี 2

ใหม้ ุมทีว่ ดั จากแกนเชิงขว้ั ไปยังรังสี OP วดั ทวนเขม็ นาฬิกามีขนาดของมมุ เป็นจำนวนบวก เมื่อนำ
แกนเชิงข้วั วางบนแกน X ของระบบพกิ ัดฉาก โดยให้จดุ ขว้ั อยทู่ ี่จุดกำเนิด O ดังรปู ที่ 2

3. ครใู ห้นักเรยี นเขียนพิสูจนจ์ ากรูปท่ี 2 ในขอ้ 2. ได้ดังน้ี

เมอ่ื กำหนดให้ z = a + bi

จะพบวา่ cos  = a
r
ดังนนั้ a = rcos 

sin  = b
r
ดังน้นั b = rsin 

เราจึงสามารถเขยี น z = a + bi ในรปู ของ z = r(cos+i sin)

โดยเรียกมุม  ว่าอารก์ ิวเมนต์ (argument) ของ z ใช้สญั ลักษณ์ Arg(z)

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)
4. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน และแบบฝึกทักษะที่ 1.5 ข้อ 1 ในหนังสือเรียนรายวิชา
เพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนนั้ นกั เรียนและครรู ่วมกัน
เฉลยคำตอบพรอ้ มกนั โดยครูเขียนคำตอบบนกระดาน

ชั่วโมงท่ี 2

ขั้นรู้ (Knowing)

5. ครใู หน้ กั เรียนพจิ ารณาตัวอย่างที่ 23 ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย

การเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูถามนักเรียนว่าเมื่อกำหนดจำนวน เชิงซ้อนมาให้แล้ว

สามารถหาขนาดของมมุ () ได้อย่างไร

(แนวคำตอบ: สามารถหาไดโ้ ดย

1) วาดรูปแล้วพิจารณาวา่ อยใู่ นจตภุ าคใด

2) หา θ จากคา่ ของ tanθ = b แล้วนำมาเทียบกบั ค่าขนาดของมมุ θ ตามการอ่านมมุ ในวงกลม)
a

ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)
6. ครูใหน้ ักเรยี นทำใบงานที่ 1.5.1 เรือ่ ง การหาคา่ r และ  ของจำนวนเชิงซอ้ น จากนั้นครูสุ่มเรียก
นักเรียน เพอื่ บอกคำตอบแล้วให้นักเรียนทุกคนตรวจสอบคำตอบของตนเอง

ชว่ั โมงท่ี 3

ข้นั รู้ (Knowing)

7. ครใู หน้ ักเรยี นพิจารณาทฤษฎีบทของจำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขวั้ ดังน้ี

ให้ z , z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น

1) z1z2 = r1r2 [rcos(1 + 2 )] + isin(1 + 2 )]

2) 1 = 1 (cos  − is in )
z r
z1 r1
3) z2 = r2 [r cos(1 − 2 )] + isin(1 − 2 )] เมอ่ื z2 ≠ 0

4) z = r[(cos(−) + isin(−)]

8. ครยู กตวั อยา่ งการหาคา่ z ในรูปเชงิ ขัว้ เชน่ z = 3 − i

แนวคดิ หา r = 3 2 + 12 = 4 = 2

หา 1 โดยพิจารณา tan = −1 (พิจารณาในจตภุ าคท่ี 4)
3
−1
จะไดว้ ่า tan30o = 3

ดงั น้ัน 1 = 330o หรือ 11
6
11 11
จะได้ z = 2(cos 6 +isin 6 )

แต่เราตอ้ งการ z = 3 + i

จาก r = 2

หา 2 โดยพจิ ารณา tan = 1 (พจิ ารณาในจตภุ าคท่ี 1)
3

ดังนน้ั = 
6
จะได้ z = 2(cos  +isin  )

66

หรือ z = 2(cos − 11 +isin − 11 )

66
ดงั นนั้ จงึ สรปุ ไดว้ า่ z = r[(cos(−) + isin(−)]

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
9. ครูให้นกั เรยี นพิจารณาตวั อย่างที่ 24 ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วย
การเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน เพื่อสังเกตวิธีการหาค่าผลคูณและผลหารของ จำนวนเชิงซ้อนในรูป
เชงิ ข้วั จากนน้ั ให้นกั เรียนแตล่ ะคนลงมอื ทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์
ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน
10. ครใู ห้นกั เรียนจับกลมุ่ กลุม่ ละ 3-4 คน จากน้ันช่วยกันทำแบบฝึกทกั ษะ 1.5 ข้อ 2,3 ในหนังสือเรียน
รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน แล้วครูและนักเรยี น
รว่ มกนั เฉลยบนกระดาน
11. ครูถามคำถามนกั เรยี นหลังจากการแบบฝึกหัด ดังน้ี
• นักเรียนคิดว่าการหาผลคูณและผลหารในรปู จำนวนเชงิ ซอ้ นกับรูปเชิงขัว้ แบบใดง่ายกวา่ กนั
(แนวคำตอบ: รูปจำนวนเชิงซอ้ นง่ายกวา่ )
• แลว้ นักเรยี นคิดว่าเราจำเปน็ จะต้องหาผลคูณและผลหารในรปู เชงิ ข้ัวไปเพือ่ อะไร
(แนวคำตอบ: เพ่ือใช้หาคา่ ในการกรณที ี่จำนวนเชิงซ้อนนัน้ ยกกำลงั และเลขยกกำลงั นั้นมคี า่ มาก)

ชว่ั โมงที่ 4

ขน้ั รู้ (Knowing)
12. ครูให้นักเรียนพิจารณาทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5
เลม่ 2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ นทกี่ ล่าวไว้วา่

zn = rn[(cos(n) + isin(n)]
13. ครใู หน้ กั เรยี นพจิ ารณาตวั อย่างที่ 25 ในหนังสอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย

การเรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อนเพ่ือพจิ ารณาการเขียนจำนวนเชิงซอ้ นโดยใช้ ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์

ขั้นเข้าใจ (Understanding)

14. ครใู ห้นักเรยี นหาผลคูณและผลหารของจำนวนเชิงซ้อนท่มี ีเลขยกกำลงั โดยใหน้ ักเรียนพิจารณาโจทย์

ปัญหา ที่ต่อเนื่องจากตัวอย่างที่ 24 ในหนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย

การเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ z1 = 3 + 3 i และ z2 = 2 − 2i จากนั้นครูให้

นกั เรียนหาค่าของ (z1z2)12 และ z112
z212
23 23
แนวคิด หาผลคณู จะได้ว่า z1z2 = 4 3 (cos 12 + i sin 12 )

(z1z2)12 = (4 3 )12 (cos12  23 + isin12  23)
12 12
= 41236 (cos23 + isin23)

= 36412 (−1 + 0i)

= −36412

หาผลหารจะไดว้ ่า z1 = 3(cos 19 + isin19)
z2 12 12

z112 = ( 3 )12 (cos12  19 + isin12  19)
12 12
z 12
2
= 36 (cos19 + isin19)

= 36 (−1 + 0i)

= −36

ขัน้ ลงมือทำ (Doing)

15. ครูให้นักเรียนจับกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน จากนั้นช่วยกันทำแบบฝึกทักษะ 1.5 ข้อ 4 ในหนังสือเรียน

รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นนกั เรียนและ

ครรู ่วมกนั เฉลยบนกระดาน

ขนั้ สรุป

1. ครูใหน้ กั เรยี นบอกวธิ ีการเขยี นจำนวนเชงิ ซ้อนใหอ้ ยู่ในรปู เชงิ ข้ัว
2. ครใู ห้นักเรียนบอกวธิ ีการหาคา่ ของอารก์ วิ เมนในจตุภาคตา่ ง ๆ

7. การวัดและประเมินผล

รายการวดั วธิ กี าร เคร่อื งมอื เกณฑ์การประเมนิ

7.1 ประเมินระหว่างการ - ตรวจใบงานที่ 1.5.1 - ใบงานท่ี 1.5.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
จดั กจิ กรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 1.5 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.5 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
1) จำนวนเชิงซอ้ นในรูป
เชงิ ขั้ว

3) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดบั คณุ ภาพ 2
ผลงาน
4) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
รายบุคคล การทำงานรายบุคคล
- สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกตพฤตกิ รรม - ระดับคุณภาพ 2
5) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกลมุ่
กลมุ่ - สงั เกตความมวี นิ ัย การทำงานรายบคุ คล ผ่านเกณฑ์
ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ มนั่
6) คุณลกั ษณะอนั พึง ในการทำงาน - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2
ประสงค์
การทำงานกลมุ่ ผ่านเกณฑ์

- แบบประเมิน - ระดบั คุณภาพ 2

คุณลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรยี นรู้

8.1 สื่อการเรียนรู้

1) หนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน

เชิงซ้อน

3) ใบงานท่ี 1.5.1 เรือ่ งการหาคา่ r และ  ของจำนวนเชงิ ซ้อน

8.2 แหล่งการเรยี นรู้

-

9. การบรู ณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง (3 หว่ ง 2 เงื่อนไข 4 มิต)ิ

- การบรู ณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง

ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 3 หว่ ง ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เง่ือนไข

พอประมาณ เงื่อนไขความรู้

มเี หตผุ ล เงือ่ นไขคณุ ธรรม

มภี ูมิคมุ้ กันในตัวที่ดี

ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มิตเิ ศรษฐกจิ มติ ิสงั คม มิติสง่ิ แวดลอ้ ม มติ วิ ัฒนธรรม


Click to View FlipBook Version