คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ม.5

ดงั นนั้ สร้างจำนวนท่มี คี า่ ไมเ่ กนิ สามหลักและมคี ่านอ้ ยกวา่ 500 ไดเ้ ท่ากับ 4 + 12 + 16 =
32 วิธี
14. ครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ
เรยี นรทู้ ่ี 2 หลักการนับเบือ้ งต้น
15. ครูใหน้ กั เรียนทำแบบฝึกทักษะ 2.2ข ในหนังสือเรียนหนา้ 95 ขอ้ 4 - 8 จากน้นั ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั
เฉลย คำตอบ

ข้ันสรปุ

1. ครทู ดสอบความรูข้ องนกั เรยี นโดยการถามตอบ ซ่งึ มีแนวคำถามดังน้ี

• การเรียงสับเปล่ยี น มกี ่รี ปู แบบแลว้ มอี ะไรบา้ ง

(แนวตอบ: มี 2 รปู แบบ คอื การเรียงสบั เปลย่ี นเชิงเส้น และ การเรยี งสับเปลีย่ นเชิงวงกลม)

7. การวัดและประเมนิ ผล

รายการวัด วธิ กี าร เครือ่ งมือ เกณฑก์ ารประเมนิ

7.1 ประเมนิ ระหวา่ งการจัด - ตรวจใบงานท่ี 2.3.1 - ใบงานท่ี 2.3.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

กิจกรรมการเรยี นรู้ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.3 - แบบฝกึ ทักษะ 2.3 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

1) การเรียงสับเปล่ยี นเชงิ

เส้นตรง

2) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคณุ ภาพ 2
ผลงาน
3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
รายบุคคล การทำงานรายบุคคล
- สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกลมุ่
กลมุ่ - สังเกตความมวี ินยั การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์
ใฝ่เรยี นรู้ และมงุ่ มน่ั
5) คุณลักษณะ ในการทำงาน - แบบสังเกตพฤตกิ รรม - ระดบั คุณภาพ 2
อนั พงึ ประสงค์
การทำงานกลุ่ม ผ่านเกณฑ์

- แบบประเมนิ - ระดับคณุ ภาพ 2

คุณลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพึงประสงค์

8. ส่อื /แหล่งการเรียนรู้

8.1 สอ่ื การเรียนรู้

1) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 หลกั การนบั เบือ้ งต้น

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบอ้ื งต้น

3) ใบงานท่ี 2.3.1 เร่อื ง การเรียงสบั เปลยี่ น

8.2 แหล่งการเรียนรู้

-

9. การบรู ณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง (3 หว่ ง 2 เงอ่ื นไข 4 มติ ิ)

- การบรู ณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง 3 หว่ ง ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เงอื่ นไขความรู้

มีเหตุผล เงอื่ นไขคุณธรรม

มีภมู ิคุม้ กนั ในตัวทดี่ ี

ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 4 มิติ

มติ เิ ศรษฐกจิ มิติสังคม มติ ิสิง่ แวดล้อม มิติวฒั นธรรม

ใบงานท่ี 2.3.1

เรื่อง การเรียงสบั เปลี่ยน

คำชีแ้ จง : ให้นักเรียนตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. จงหาวธิ ีการจดั เรียงสง่ิ ของที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนีแ้ ละแสดงในรูปการคูณ

ตวั อกั ษรที่กำหนดให้ จำนวนวิธเี รยี งสับเปลย่ี นเชงิ เส้นตรง

1) B, E, D 1.1 ใชต้ ัวอักษรทั้งหมดทุกตวั
เขียนจำนวนวิธใี นรูปการคูณไดค้ ือ …………………………………………….
เขยี นแจกแจงแต่ละวธิ ไี ดแ้ ก่ ……………………………………………………..

1.2 ใชต้ ัวอกั ษรทีละ 2 ตัว
เขียนจำนวนวธิ ใี นรปู การคณู ได้คือ ……………………………………………
เขยี นแจกแจงแต่ละวิธีได้แก่ …………………………………………………….

2) C, R, A, B 2.1 ใชต้ ัวอักษรทง้ั หมดทกุ ตวั
เขยี นจำนวนวิธีในรูปการคณู ไดค้ อื ……………………………………………
เขยี นแจกแจงแต่ละวิธีได้แก่ …………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………

2.2 ใชต้ ัวอกั ษรทีละ 2 ตวั
เขยี นจำนวนวธิ ีในรูปการคณู ได้คือ …………………………………………..
เขียนแจกแจงแต่ละวิธีได้แก่ …………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………..

3) G, R, A, P, E 3.1 ใช้ตัวอกั ษรท้ังหมดทกุ ตวั
เขยี นจำนวนวธิ ใี นรปู การคณู ได้คอื ……………………………………………

3.2 ใช้ตวั อกั ษรทีละ 3 ตัว
เขยี นจำนวนวธิ ีในรปู การคูณไดค้ ือ …………………………………………..

2. ข้อสรปุ จะได้วา่
2.1 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน สามารถนำมาจัดเรียงสับเปลี่ยนเป็นเส้นตรง จะได้ …….. วิธี แต่ละ

ขัน้ ตอนทำต่อเนื่อง โดยแต่ละข้นั ตอนจะมวี ธิ ี ดงั นี้
ตำแหนง่ ท่ี 1 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหนง่ ท่ี 2 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหนง่ ที่ 3 ………………………………………………………………………………………………………….

ตำแหน่งที่ n - 1 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหน่งท่ี n ………………………………………………………………………………………………………….
แต่ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน นำมาจัดเรียงครั้งละ r สิ่ง ซึ่งมีขั้นตอนการจัด r ขั้นตอน แต่ละ
ขน้ั ตอนทำตอ่ เน่ือง โดยแต่ละขั้นตอนจะมีวธิ ี ดงั น้ี
ตำแหน่งที่ 1 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหนง่ ที่ 2 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหน่งท่ี 3 ………………………………………………………………………………………………………….

ตำแหน่งที่ r - 1 ………………………………………………………………………………………………………….
ตำแหน่งท่ี r ………………………………………………………………………………………………………….
ดังนนั้ จำนวนวิธเี รยี งสับเปลีย่ นส่ิงของ n สง่ิ ท่ีแตกตา่ งกนั ทั้งหมด โดยจัดเรียงครงั้ ละ r ตำแหนง่

เท่ากบั ………………………………………………………………………………………………………….
เท่ากับ ………………………………………………………………………………………………………….
เท่ากบั ………………………………………………………………………………………………………….

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 11

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5
รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 รหัสวิชา ค 30204
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 หลกั การนับเบ้ืองตน้ จำนวน 30 ช่วั โมง
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 11 วิธเี รียงสบั เปลยี่ นของสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกันแบบวงกลม จำนวน 3 ชัว่ โมง

1. ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจและใชห้ ลักการบวกและการคูณ การเรยี งสับเปลี่ยน และการจัดหมใู่ นการแก้ปญั หา

2. สาระสำคญั

มีส่งิ ของ n ช้นิ ทีแ่ ตกตา่ งกัน จดั เรียงเปน็ วงกลม (แบบ 2 มติ ิ) ได้ (n – 1)! วิธี

มสี ่งิ ของ n ชิน้ ทแี่ ตกต่างกัน จดั เรยี งเปน็ วงกลม (แบบ 3 มิต)ิ ได้ (n – 1) ! วิธี
2
3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) หาจำนวนวธิ เี รียงสบั เปลีย่ นของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกันแบบวงกลมได้ (K)

2) เขียนแสดงขั้นตอนของการเรยี งสบั เปลีย่ นของสิง่ ของที่แตกต่างกนั แบบวงกลมได้ (P)

3) รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ี่ไดร้ ับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผูเ้ รยี น

4.1 ความสามารถในการสื่อสาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวติ

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนรเู้ พิม่ เตมิ สาระการเรียนรทู้ อ้ งถน่ิ

- หลักการบวกและการคณู พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : อุปนยั

ชั่วโมงที่ 1

ขน้ั นำ

ขน้ั การใชค้ วามรูเ้ ดิมเชือ่ มโยงความร้ใู หม่ (Prior Knowledge)

1. ครทู บทวนเรื่อง วิธีเรียงสับเปล่ียนเชงิ เสน้ ตรงของสง่ิ ของ n สิ่งที่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด จะทำไดก้ ว่ี ิธี

(แนวคำตอบ: n! วธิ ี)

2. ครูทบทวนเรื่อง จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดย

จัดเรียง คร้ังละ r สงิ่ จะทำไดก้ ีว่ ธิ ี

(แนวคำตอบ: n! วิธี)
(n−r)!
3. ครยู ้ำกบั นักเรียนว่าการเรยี งสับเปลย่ี นเชงิ เส้นตรงมีสญั ลกั ษณแ์ ทนด้วย P

ขัน้ สอน

ขั้นรู้ (Knowing)
1. ครยู กตวั อยา่ งว่ามีตัวอักษร 3 ตวั ไดแ้ ก่ A, B, C แล้วดำเนินการตอ่ ไปนี้
• ครูใหน้ กั เรียนพิจารณาจำนวนวธิ ที ่จี ะนำอักษรท้งั สามตวั มาจัดเรยี งเป็นเชิงเส้นตรงไดก้ วี่ ธิ ี
(แนวคำตอบ: 3! = 6 วธิ ี)
• ครูให้นักเรยี นช่วยกันจดั เรยี งอักษรทง้ั สามตวั ใหเ้ ป็นวงกลม โดยใหว้ าดเป็นแผนภาพประกอบ
(แนวคำตอบ: วาดเป็นแผนภาพประกอบได้ ดงั น้ี

AA

BC CB

ดงั นั้น จะจดั เรียงได้ทั้งหมด 2 วิธี)
2. ครูใหน้ กั เรยี นเพมิ่ ตวั อักษรอีก 1 ตวั เชน่ นำตัวอักษร 4 ตวั ไดแ้ ก่ A, B, C, D มาจดั เรียงเป็นวงกลมจะ

สามารถทำไดท้ ัง้ หมดกี่แบบ
(แนวคำตอบ: วาดเป็นแผนภาพประกอบได้ ดงั น้ี

A A A
CB DC
DB
C DA BA
A BD CD

BC C B
D

ดงั นน้ั จะจัดเรียงไดท้ ั้งหมด 6 วธิ ี)

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
3. ครใู หน้ ักเรยี นทำใบงานท่ี 2.4.1 เรือ่ ง การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงวงกลม จากนนั้ นักเรียนและครูร่วมกัน
เฉลยคำตอบในใบงาน

ชั่วโมงที่ 2

ขั้นรู้ (Knowing)
4. ครบู อกให้นกั เรียนร่วมกันสรุปวิธีการจัดเรียงสงิ่ ของ n ส่งิ ท่ีแตกต่างกนั เปน็ เชิงวงกลมแบบ 2 มิติ จะ

ได้
(n – 1)! วิธี

5. ครยู กตัวอยา่ งโจทย์ปัญหาแล้วให้นักเรยี นบอกคำตอบ ดงั ตอ่ ไปน้ี
• การจัดเรยี งธงรอบอนุสาวรีย์ 20 ธง จะจัดได้กีว่ ธิ ี

(แนวคำตอบ: 19! วธิ ี)
• การจดั เรยี งคน 6 คน นงั่ โต๊ะกลม จะจดั ได้กี่วธิ ี

(แนวคำตอบ: 5! วธิ )ี
• การจดั เรยี งกระถางต้นไมร้ อบเสาธง 8 ต้น จะจดั ได้กวี่ ิธี

(แนวคำตอบ: 7! วิธ)ี
6. ครยู กตวั อย่างถามนักเรียนต่อว่าถ้าจะจัดเรยี งคน โดยมผี ู้ชาย 6 คนและผู้หญงิ 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลม

โดยมีเงื่อนตา่ งกัน ดงั นี้
1) ใหน้ ่ังสลับกนั ระหวา่ งชายและหญิง

แนวคดิ ขน้ั ตอนที่ 1 จดั ผ้ชู ายนั่งโตะ๊ กอ่ นได้ 5! วิธี
ข้ันตอนท่ี 2 จดั ผู้หญงิ นง่ั แทรกระหวา่ งผชู้ ายได้ 6! วธิ ี

ดังนัน้ จะมีจำนวนวิธกี ารในการจัดเรยี งเท่ากบั 5!6! วิธี
2) ใหน้ ่ังสลับกนั ระหวา่ งชายและหญิงทีละ 2 คน

แนวคิด กรณีท่ี 1 ใหผ้ ู้ชายน่งั ประจำท่ีด้านซ้าย 1 คน
ขนั้ ตอนที่ 1 จดั ผ้ชู ายนั่งโต๊ะก่อนได้ 5! วิธี
ขัน้ ตอนท่ี 2 จดั ผูห้ ญงิ นง่ั แทรกระหว่างผูช้ ายได้ 6! วิธี

กรณที ่ี 2 ให้ผชู้ ายน่ังประจำทด่ี ้านขวา 1 คน
ขน้ั ตอนที่ 1 จดั ผชู้ ายนงั่ โตะ๊ ก่อนได้ 5! วิธี
ขัน้ ตอนท่ี 2 จัดผหู้ ญงิ นั่งแทรกระหว่างผ้ชู ายได้ 6! วธิ ี

ดงั นั้น จะมจี ำนวนวิธีการในการจัดเรียงเทา่ กับ 5!6! + 5!6! = 2(5!6!) วิธี
3) ใหน้ งั่ สลับกนั ระหว่างชายและหญงิ ทลี ะ 3 คน

แนวคิด กรณีที่ 1 ให้ผู้ชายนัง่ ประจำที่ดา้ นซ้ายสดุ 1 คน
ขนั้ ตอนท่ี 1 จัดผู้ชายนง่ั โตะ๊ ก่อนได้ 5! วิธี
ข้นั ตอนที่ 2 จัดผ้หู ญงิ นงั่ แทรกระหว่างผู้ชายได้ 6! วธิ ี

กรณีท่ี 2 ให้ผู้ชายนั่งประจำที่ตรงกลาง 1 คน
ข้นั ตอนท่ี 1 จดั ผชู้ ายน่งั โต๊ะก่อนได้ 5! วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 จัดผ้หู ญิงนัง่ แทรกระหว่างผูช้ ายได้ 6! วธิ ี

กรณีที่ 3 ให้ผู้ชายนงั่ ประจำทีด่ ้านขวาสุด 1 คน
ขั้นตอนท่ี 1 จัดผ้ชู ายนงั่ โต๊ะก่อนได้ 5! วิธี
ขน้ั ตอนที่ 2 จดั ผู้หญิงนัง่ แทรกระหวา่ งผชู้ ายได้ 6! วธิ ี

ดังนนั้ จะมจี ำนวนวิธีการในการจดั เรยี งเทา่ กับ 5!6! + 5!6! + 5!6! = 3(5!6!) วธิ ี
7. ครูใหน้ ักเรียนร่วมกนั สรปุ วธิ ีการจัดเรียงสิ่งของแบบวงกลม ไดด้ ังนี้

• มสี ่ิงของแตกตา่ งกนั 2 ประเภท ประเภทละ n สงิ่ ทแ่ี ตกตา่ งกัน นำมาเรียงเป็นเชงิ วงกลม
แบบ 2 มิติ โดยให้สองสงิ่ สลับกัน
แบบ 1 : 1 จะได้จำนวนวิธคี ือ (n – 1)!n! วิธี
แบบ 2 : 2 จะไดจ้ ำนวนวิธีคอื 2(n – 1)!n! วิธี
แบบ 3 : 3 จะไดจ้ ำนวนวิธีคือ 3(n – 1)!n! วิธี

แบบ n : n จะได้จำนวนวธิ คี อื n(n – 1)!n! วธิ ี

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)
8. ครูใหน้ ักเรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 2.2ง ในหนังสอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การเรยี นรู้ท่ี 2 หลกั การนบั เบ้ืองต้นจากน้ันครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ช่ัวโมงที่ 3

ข้นั รู้ (Knowing)
9. ครูให้นักเรยี นแบง่ กลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน จากนั้นให้นักเรียนช่วยกนั พิจารณาการนำดอกไม้ 3 สีได้แก่
สี ชมพู สีเขยี วและสีขาว มาเรยี งเปน็ วงกลมวางบนโต๊ะ จะสามารถทำไดก้ ่ีวธิ ี

(แนวคำตอบ: (3 – 1)! = 2 วิธีคอื ชมพู
เขยี ว ขาว
ชมพู
ขาว เขยี ว

10. จากการจัดเรยี งข้างตน้ ครใู หน้ กั เรยี นนำดอกไม้ทัง้ สามสนี น้ั มาร้อยให้เป็นพวงมาลัย จะสามารถทำได้
แตกตา่ งกนั ก่ีแบบ
(แนวคำตอบ: 1 วิธี เพราะพวงมาลัยนั้นเป็นแบบ 3 มิติ สามารถมองได้ 2 ด้าน ดังนั้น ถ้ามองจาก
ด้านบนจะได้

ชมพู
เขียว ขาว

แตถ่ ้ามองจากด้วยล่างจะได้

ชมพู
ขาว เขียว

นั่นคอื การมองได้ 2 ดา้ นนน้ั ทำให้การเรยี งแบบวงกลมเดิมมไี ด้ 2 แบบ ในทางปฏิบัติจะ

เหลือเพียง 1 แบบเทา่ น้นั )

11. ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปการจัดเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 3 มิติ ที่มีของ n สิ่งที่แตกต่างกัน จะได้

จำนวนวธิ ี เทา่ กบั จำนวนวิธีท่ีจดั เรียงเปน็ วงกลมแบบ 2 มิติ แล้วหารด้วย 2 ซ่งึ เท่ากบั

(n – 1) ! วิธี
2
12. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตวั อย่างที่ 24 ในหนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ

เรยี นรู้ ที่ 2 หลกั การนบั เบอ้ื งตน้

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)

13. ครใู ห้นกั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียนรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการ
เรยี นรูท้ ่ี 2 หลกั การนบั เบื้องตน้ เพ่อื ตรวจสอบความเขา้ ใจ

ข้นั ลงมือทำ (Doing)
14. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3 คน แล้วร่วมกันทำแบบฝึกทักษะ 2.2ง ข้อ 6 ระดับท้าทาย ใน
หนังสือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 2 หลกั การนบั เบือ้ งตน้ และ
ครสู มุ่ เลอื กนกั เรยี น 1 กล่มุ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ
15. ครูให้นักเรียนทำแนวขอ้ สอบ PAT 1 ในหนังสือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การ เรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น จากนั้นครูให้นักเรียนช่วยกันเฉลยคำตอบโดยครูเขียนบน
กระดาน
ข้นั สรปุ
1. ครูให้นักเรียนช่วยกันขั้นตอนในการหาจำนวนวิธีของการเรียงสิ่งของเป็นวงกลมทั้งแบบ 2 มิติ และ
แบบ 3 มิติ
2. ครูให้นักเรียนเขียนสรุปความรู้รวบยอดเรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกันแบบวงกลม
ลงในสมดุ

7. การวดั และประเมนิ ผล

รายการวดั วธิ ีการ เครือ่ งมือ เกณฑ์การประเมิน
7.1 ประเมนิ ระหว่างการจัด - ตรวจใบงานที่ 2.4.1 - ใบงานท่ี 2.4.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.4 - แบบฝึกทกั ษะ 2.4 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้
1) วิธีเรียงสับเปลี่ยนของ - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดบั คุณภาพ 2
ผลงาน
สิ่งของที่แตกต่างกัน - สังเกตพฤติกรรม นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
แบบวงกลม การทำงานรายบุคคล
2) นำเสนอผลงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกตพฤตกิ รรม - ระดับคณุ ภาพ 2
การทำงานกล่มุ
3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตความมีวนิ ยั การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์
รายบคุ คล ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ มน่ั
ในการทำงาน - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงาน
กลุ่ม การทำงานกลุ่ม ผ่านเกณฑ์

5) คณุ ลักษณะ - แบบประเมนิ - ระดบั คุณภาพ 2
อนั พงึ ประสงค์
คุณลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้

8.1 สอื่ การเรียนรู้

1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2 หลกั การนับเบื้องต้น

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบอื้ งต้น

3) ใบงานท่ี 2.4.1 เรือ่ ง วิธีเรยี งสับเปลย่ี นของสงิ่ ของท่แี ตกต่างกันแบบวงกลม

8.2 แหล่งการเรยี นรู้ -

9. การบูรณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง (3 ห่วง 2 เงือ่ นไข 4 มิต)ิ

- การบรู ณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง

ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง 2 เง่ือนไข

พอประมาณ เงอ่ื นไขความรู้

มเี หตุผล เงอ่ื นไขคุณธรรม

มีภมู คิ ุ้มกันในตวั ที่ดี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มติ ิ

มติ ิเศรษฐกิจ มติ ิสังคม มิติส่ิงแวดล้อม มติ ิวฒั นธรรม

ใบงานท่ี 2.4.1

เรอ่ื ง วธิ เี รียงสบั เปลย่ี นของสิง่ ของท่แี ตกตา่ งกนั แบบวงกลม

คำชี้แจง : ใหน้ ักเรียนตอบคำถามในแต่ละข้อต่อไปนี้

จำนวนวธิ ี จำนวนวิธจี ัดเรยี ง
เชิงวงกลม เขยี น
จำนวน จัดเรียง เขยี นแผนภาพ จำนวนวิธจี ัดเรียง ในรปู แฟกทอเรยี ล
ตวั อักษร เชงิ เชงิ วงกลม

เสน้ ตรง

ABC

ABCD

ABCDE

n ตัว

ใบงานที่ 2.4.1 เฉลย

เรอื่ ง วิธีเรยี งสบั เปลย่ี นของสง่ิ ของท่ีแตกตา่ งกนั แบบวงกลม

คำชี้แจง : ใหน้ ักเรียนตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

จำนวนวธิ ี จำนวนวิธีจัดเรียง
เชิงวงกลม เขยี น
จำนวน จัดเรียง เขยี นแผนภาพ จำนวนวธิ ีจัดเรยี ง ในรปู แฟกทอเรยี ล
เชิงวงกลม
ตัวอกั ษร เชิง การจดั เรยี งเชิงวงกลม 2!
2
เสน้ ตรง

A B C 3! A A

B CC B

ABCD 4! A A 6 3!
24 4!
BD BC
C D

A A
CB
CD
B D

A A

DC DB
B C

A B C D E 5!

n ตวั n! (n-1)!

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 12

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 รหัสวิชา ค 30204

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 2 หลกั การนบั เบอ้ื งต้น จำนวน 30 ช่วั โมง

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 12 วิธเี รียงสับเปลี่ยนของสงิ่ ของท่มี ีบางสง่ิ ซ้ำกนั และการแบ่งกลมุ่ จำนวน 5 ชว่ั โมง

1. ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจและใช้หลักการบวกและการคณู การเรียงสบั เปลย่ี น และการจัดหม่ใู นการแก้ปญั หา

2. สาระสำคญั
ถ้ามีสง่ิ ของ k กลุ่ม ซ่งึ ในกล่มุ ที่ 1 มขี อง n1 สิ่งทีเ่ หมอื นกัน
ในกล่มุ ท่ี 2 มีของ n2 ส่ิงท่ีเหมือนกนั

ในกลุม่ ท่ี k มขี อง nk สง่ิ ท่เี หมือนกนั
โดยที่ n1 + n2 + ... + nk = n
จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปล่ียนกล่มุ ของส่ิงของ n ส่งิ เท่ากับ n! วธิ ี

n1 !n2 !...nk !

3. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
1) หาจำนวนวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นของสิ่งของท่มี บี างสง่ิ ซ้ำกันและการแบง่ กลุ่มได้ (K)
2) เขยี นแสดงขั้นตอนของวธิ ีเรยี งสบั เปลยี่ นของสิ่งของท่มี บี างส่ิงซำ้ กนั และการแบง่ กลุม่ ได้ (P)
3) รับผิดชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ีไ่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผ้เู รียน
4.1 ความสามารถในการส่อื สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

4.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรู้เพมิ่ เติม สาระการเรยี นรทู้ ้องถ่นิ

- การเรยี งสับเปลีย่ น พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : อุปนัย

ชว่ั โมงที่ 1

ขั้นนำ

ขนั้ เตรยี ม
1. ครูให้สถานการณจ์ ัดเรียงสับเปลี่ยนสิง่ ของ n สิ่งเป็นเส้นตรง ถ้าสิ่งของทั้งหมด n สิ่งแตกต่างกันกบั
ส่งิ ของ n สง่ิ ที่ไม่แตกต่างกันทัง้ หมด จากนั้นใหน้ ักเรยี นคดิ วา่ จะมีจำนวนวิธีเรียงได้ท้ังหมดก่ีวธิ ี

ข้นั สอน

ขน้ั สอนหรือแสดง
1. ครูเตรียมกลอ่ ง 2 กลอ่ ง ใสต่ ัวอกั ษร 3 ตวั โดยกลอ่ งใบหนึง่ ใส่ตวั อกั ษร 3 ตัว ที่แตกต่างกนั คือ A, B,
C ส่วนกล่องที่ 2 จะใส่ตัวอักษร 3 ตัว โดยมีตัวหนึ่งใส่ซ้ำ 2 ตัว คือ A, A, B แล้วให้นักเรียน
อาสาสมัครมาจัดเรียงอักษรใน 2 กล่องนี้ จากนั้นครูถามนักเรียนแต่ละกลุ่มว่าจัดเรียงอักษรได้กี่วิธี
และจำนวนวธิ ีเท่ากันหรอื ไม่ อย่างไร
(แนวคำตอบ: จำนวนวิธีของแต่ละกลุ่มไม่เท่ากัน จำนวนวิธีที่มีของซ้ำกนั จะน้อยกว่า มีรายละเอียด
ดงั น้ี
• กลอ่ งที่ 1 ที่มอี ักษร 3 ตวั ท่แี ตกต่างกนั ท้งั หมด ไดแ้ ก่ A, B, C จะจดั ได้ 6 วธิ ี ไดแ้ ก่ ABC , ACB , BAC
, BCA , CAB ,CBA
• กล่องท่ี 2 ท่ีมีอักษร 3 ตวั ท่ไี มแ่ ตกต่างกันทงั้ หมด ไดแ้ ก่ A, A, B จะจัดได้ 3 วธิ ี ได้แก่ AAB , ABA ,
BAA)

ช่วั โมงที่ 2

ขน้ั สอนหรือแสดง
2. ครูแจกใบงาน 2.5.1 เรื่อง วิธีเรียงสับเปล่ียนของสิ่งของที่มบี างสิ่งซ้ำกันและการแบ่งกลุม่ ให้กับ
นักเรยี น โดยใหน้ กั เรียนแบ่งกลุม่ กลมุ่ ละ 3–4 คน จากน้นั ใหน้ ักเรียนช่วยกนั หาคำตอบในใบงาน
3. ครูสุ่มเรียกนักเรียนแต่ละกลุ่มออกมาแสดงวิธีการหาคำตอบในแต่ละข้อ จากนั้นให้นักเรียนที่เหลือ
ตรวจสอบคำตอบของตนเองพร้อมท้งั สังเกตวธิ ีการหาคำตอบ

ช่ัวโมงที่ 3

ขน้ั สอนหรอื แสดง
4. ครเู ฉลยใบงานที่ 2.5.1 และใหน้ กั เรยี นร่วมกนั หาขอ้ สรุปจากโจทย์ปัญหาทัง้ หมด 10 ข้อ ว่ามีรูปแบบ
ในรูป แฟกทอเรยี ล ดังน้ี ถา้ การจดั เรยี งสับเปลย่ี นท่ีมีสิ่งของบางชน้ิ ซ้ำกนั ดงั ในใบงานวิธีการดังกล่าว
สามารถ
สรุปได้ ดังนี้ ถ้ามีสงิ่ ของ n สิ่งและแบ่งออกเป็น k กล่มุ
ในกลุ่มท่ี 1 มีของ n1 ส่ิงทีเ่ หมือนกนั
ในกลุม่ ที่ 2 มีของ n2 สงิ่ ท่ีเหมอื นกนั

ในกลุ่มท่ี k มขี อง nk สิง่ ท่ีเหมอื นกนั
จำนวนวธิ เี รียงสบั เปลี่ยนกลมุ่ ของสิ่งของ n ส่งิ เทา่ กับ n! วธิ ี

n1 !n2 !...nk !
5. ครบู อกนกั เรยี นว่า การจัดเรียงสบั เปลย่ี นแบบนีจ้ ะเรยี กว่าการจดั เรยี งของซำ้
6. ครูใหน้ ักเรยี นพิจารณาตัวอย่างท่ี 21 และ 22 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม

2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 หลกั การนบั เบอ้ื งต้น เพอ่ื ศกึ ษาวิธกี ารหาจำนวนวิธเี รยี งสับเปลี่ยน
7. ครูให้นกั เรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วย

การเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันเฉลย
คำตอบโดยครเู ขียนคำตอบบนกระดาน

ชั่วโมงที่ 4

ขั้นสอนหรือแสดง
8. ครูยกตัวอยา่ งการจัดเรียงของซ้ำที่ใชแ้ ก้ปัญหาในชีวติ ประจำวนั เชน่
• ตัวอย่างที่ 1 ต้องการจัดเรียงหนังสือ 6 เล่มที่แตกต่างกันทกุ เล่มเป็นวิชาคณติ ศาสตร์ 3 เล่ม วิชาภา
อังกฤษ 2 เลม่ และวชิ าภาษาไทย 1 เลม่ จะมวี ิธจี ัดเรียงบนช้นั หนังสอื ได้กว่ี ธิ ี
(แนวคำตอบ: ตำแหน่งท่ี 1 สามารถเลอื กหนงั สือมาวางได้ 6 เล่ม จะได้ 6 วธิ ี
ตำแหน่งท่ี 2 สามารถเลอื กหนงั สือมาวางได้ 5 เล่ม จะได้ 5 วธิ ี
ตำแหน่งที่ 3 สามารถเลือกหนงั สือมาวางได้ 4 เล่ม จะได้ 4 วิธี
ตำแหนง่ ที่ 4 สามารถเลอื กหนงั สือมาวางได้ 3 เล่ม จะได้ 3 วธิ ี
ตำแหน่งท่ี 5 สามารถเลอื กหนังสือมาวางได้ 2 เล่ม จะได้ 2 วธิ ี
ตำแหนง่ ที่ 6 สามารถเลอื กหนังสือมาวางได้ 1 เล่ม จะได้ 1 วธิ ี
ดังน้นั จัดหนังสอื 6 เล่มทีแ่ ตกต่างกนั ได้เทา่ กับ 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 วิธี

• ตัวอย่างที่ 2 ต้องการจัดเรียงหนังสือ 6 เล่ม วางบนชั้นหนังสือ เป็นวิชาคณิตศาสตร์ 3 เล่ม วิชา
ภาษาองั กฤษ 2 เล่มและวชิ าภาษาไทย 1 เล่ม และหนังสือวิชาเดียวกันเหมอื นกันจะจดั เรียงไดก้ ีว่ ธิ ี
(แนวคำตอบ: หนังสอื ทงั้ หมดมี 6 เลม่ แตห่ นงั สอื วิชาเดียวกนั เหมอื นกนั จงึ ถือว่าเป็นการจัดเรียง
สบั เปลยี่ นของซำ้
ข้นั ตอนท่ี 1 พิจารณาหนงั สือ 6 เล่ม จัดได้ 6! วธิ ี
ขนั้ ตอนท่ี 2 พิจารณาวิชาคณติ ศาสตร์ซำ้ กัน 3 เล่ม จะจัดได้ 6!

3!

ข้ันตอนที่ 3 พจิ ารณาวิชาภาษาองั กฤษซำ้ กนั 2 เล่ม จะจดั ได้ 6!

3!2!

ดังนัน้ จดั หนงั สือ 6 เลม่ ไดเ้ ท่ากบั 60 วธิ ี)
9. ครใู หน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ 5 กล่มุ แล้วทำแบบฝึก 2.2 ค ขอ้ 1 - 5
10. ครูเรียกใหต้ ัวแทนของแตล่ ะกลมุ่ มาอธบิ ายวธิ ีทำของโจทย์แบบฝึกหัดท่นี ักเรียนได้ทำไปกลุ่มละ 1 ขอ้
11. ครอู ธิบายประกอบการอธบิ ายเฉลยคำตอบของนกั เรยี น

ชว่ั โมงที่ 4

ขั้นสอนหรอื แสดง
12. ครูยกตัวอย่างการนำวิธีการจัดเรียงสับเปลี่ยนของซ้ำไปประยุกต์ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนข้ึน
เชน่
ตวั อย่างที่ 1

B

P

A

จากรูปเป็นตะแกรงชอ่ งส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั ขนาด 4 x 5 จากตารางนี้มีมดตวั หน่งึ จะเดินจากจุด A ไปยัง
จุด B ได้ก่ีวิธี ถา้ กำหนดว่าในการเดนิ ทางต้องเดินข้นึ หรือเดินไปทางขวาเท่านน้ั โดย

1. ไม่มีเง่อื นไขเพิ่มเตมิ
2. ต้องเดนิ ผ่านจดุ P
13. ครูอธบิ ายวิธีการหาคำตอบ ดังน้ี
แนวคิด จากตัวอย่างที่ 1 ข้อย่อยที่ 1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม การเดินทางสมมติให้เดินขึ้นแทนด้วย N
และเดนิ ไปทางขวาแทนด้วย R

ดงั น้ัน มดจะเดินขึ้น (N) ได้ 4 ช่อง และทางขวา (R) อีก 5 ชอ่ ง เสมอ จงึ แทนเสน้ ทางเดนิ ดว้ ย NNNN

และ RRRRR รวม 9 แบบ โดยมี N ซำ้ 4 แบบ และ R ซ้ำ 5 แบบ นัน้ คือจะเป็นการเรียงสับเปล่ียน

ของซำ้ นั่นเอง

จะไดเ้ ทา่ กบั 9! = 9x8x7x6x5!
4!5! 4x3x2x5!
= 126 วธิ ี

แนวคดิ จากตวั อยา่ งที่ 1 ข้อย่อยที่ 2 ต้องเดนิ ผ่านจุด P จงึ ตอ้ งแบ่งการทำงานออกเปน็ 2 ขั้นตอน

คือ

ขั้นตอนที่ 1 เดินทางจาก A ไป P จะเดินขึ้น (N) ได้ 2 ช่อง และเดินไปทางขวา (R) ได้ 4 ช่องทาง

เสมอ จำนวนเส้นทางเดินด้วย NN และ RRRR รวม 6 แบบ โดยมี N ซ้ำ 2 แบบ และ R ซ้ำ 4 แบบ

จึงจะ

เห็นวา่ ไดจ้ ำนวนวธิ เี ท่ากบั 6! = 15 วธิ ี
4!2!
ขั้นตอนที่ 2 เดินทางจาก P ไป C จะเดินขึ้น (N) ได้ 2 ช่อง และเดินไปทางขวา (R) ได้ 1 ช่องทาง

เท่าน้นั จึง แทนจำนวนเสน้ ทางเดนิ ด้วย NN และ R รวม 3 แบบ โดยมี N ซ้ำ 2 แบบ จงึ จะเห็นว่าได้

จำนวน

วธิ เี ท่ากับ 3! = 3 วิธี
2!
รวมวธิ กี ารเดนิ ทางในขัน้ ตอนท่ี 1 ต่อด้วยขั้นตอนท่ี 2 โดยใช้กฎการคูณ เทา่ กบั 15 x 3 = 45 วิธี

น่ันเอง

14. ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 2.2 ค ข้อ 6 และแนวข้อสอบ PAT 1 ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม

คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องตน้ เพือ่ ตรวจสอบความเข้าใจ

ขน้ั สรุป

1. ครูให้นกั เรยี นช่วยกันบอกความหมายและสูตรในการหาวิธีเรยี งสับเปล่ียนของสิง่ ของที่มีบางส่ิงซ้ำกัน
และ การแบ่งกล่มุ
(แนวคำตอบ: ถ้ามสี ่ิงของ k กลุ่ม ซงึ่ ในกลุ่มที่ 1 มขี อง n1 ส่งิ ทเี่ หมอื นกนั
ในกลมุ่ ท่ี 2 มขี อง n2 สง่ิ ทเ่ี หมือนกัน

…

ในกลมุ่ ท่ี k มีของ nk สง่ิ ทเ่ี หมือนกนั

โดยที่ n1 + n2 + ... + nk = n

จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปล่ยี นกล่มุ ของสิ่งของ n สิ่ง เทา่ กบั ) n! วิธี)
n1!n2!…nk!!

2. ครูให้นักเรียนเขียนสรุปความรู้รวบยอดเรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่มีบางสิ่งซ้ำกันและการ
แบง่ กลมุ่ ลงในสมดุ

7. การวดั และประเมินผล

รายการวดั วธิ ีการ เครอื่ งมือ เกณฑก์ ารประเมนิ

7.1 ประเมินระหวา่ งการจดั - ตรวจใบงานที่ 2.5.1 - ใบงานที่ 2.5.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่าน

กจิ กรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.2 ค - แบบฝกึ ทกั ษะ 2.2 ค เกณฑ์

1) วิธีเรยี งสับเปลย่ี นของ - รอ้ ยละ 60 ผ่าน

สงิ่ ของทีม่ ีบางสงิ่ ซำ้ กนั เกณฑ์

และการแบ่งกลมุ่

2) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคณุ ภาพ 2

ผลงาน นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์

3) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดบั คณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบคุ คล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานรายบุคคล

4) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
กลมุ่ การทำงานกลมุ่
พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

5) คณุ ลักษณะ - สงั เกตความมีวนิ ัย - แบบประเมิน - ระดบั คุณภาพ 2
อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งม่ัน
ในการทำงาน คุณลกั ษณะ ผา่ นเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สอื่ /แหลง่ การเรียนรู้

8.1 สือ่ การเรียนรู้
1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 2 หลกั การนับเบื้องต้น
2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบ้อื งตน้
3) ใบงานที่ 2.5.1 เร่ือง วิธีเรยี งสับเปล่ียนของสง่ิ ของที่มีบางสงิ่ ซำ้ กนั และการแบ่งกลุ่ม

8.2 แหล่งการเรียนรู้
-

9. การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (3 ห่วง 2 เงอ่ื นไข 4 มติ ิ)

- การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เง่ือนไขความรู้

มเี หตผุ ล เง่อื นไขคุณธรรม

มีภมู ิคมุ้ กันในตัวทด่ี ี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มติ เิ ศรษฐกิจ มติ สิ ังคม มิติสิง่ แวดลอ้ ม มติ วิ ัฒนธรรม

ใบงานที่ 2.5.1

เรอ่ื ง วิธีเรียงสับเปลย่ี นของสิ่งของทมี่ ีบางสิง่ ซ้ำกนั และการแบ่งกลุม่

คำชแี้ จง : ให้นักเรยี นตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

คำศพั ท์ มตี วั อักษร มตี ัวอกั ษร จดั เรียงได้กีว่ ธิ ี หาคำตอบ จำนวนวธิ ีจัดเรียง
ท้งั หมดกีต่ ัว ทีซ่ ำ้ กนั กี่ โดยใชก้ ารเขยี นแผนภาพ เขยี นในรปู แฟกทอ

ตัว เรยี ล

1. ANT

2. EGG

3. TEN

4. ADD

5. PLAY

คำศัพท์ มีตวั อกั ษร มตี ัวอกั ษร จัดเรียงได้กว่ี ิธี หาคำตอบ จำนวนวธิ ีจัดเรยี ง
6. ROOM ทงั้ หมดกีต่ วั ทซ่ี ้ำกันกี่ โดยใชก้ ารเขยี นแผนภาพ เขียนในรปู แฟกทอ

ตัว เรียล

7. FOUR

8. FEEL

9. AABBB

10. ABCCC

ใบงานที่ 2.5.1 เฉลย

เรอ่ื ง วิธีเรยี งสบั เปลยี่ นของสงิ่ ของท่มี ีบางสงิ่ ซำ้ กันและการแบ่งกลมุ่

คำชี้แจง : ใหน้ กั เรียนตอบคำถามในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

คำศพั ท์ มตี ัวอกั ษร มตี วั อกั ษร จัดเรยี งได้กี่วธิ ี หาคำตอบ จำนวนวธิ ีจดั เรยี ง
ทั้งหมดกตี่ วั ทซี่ ้ำกันกี่ โดยใช้การเขียนแผนภาพ เขยี นในรปู แฟกทอ

ตัว เรยี ล

1. ANT 3 0 A N T 3!

TN 3!
2!
NAT
3!
TA
3!
TNA 2!

AN

2. EGG 3 2 E G G

GEG

GE

3. TEN 3 0 T E N

NE

ETN

NT

NTE

ET

4. ADD 3 2 A D D

DAD

DA

คำศัพท์ มตี ัวอักษร มีตวั อักษร จัดเรียงได้กี่วิธี หาคำตอบ จำนวนวิธีจัดเรียง
5. PLAY ทั้งหมดกต่ี ัว ท่ซี ้ำกันกี่ โดยใชก้ ารเขยี นแผนภาพ เขียนในรปู แฟกทอ

4 ตัว LAY เรียล
0 Y
4!
A
PA L Y

YL
YAL

L
A

LPY
Y

P
AP L Y

YL
YPL

L
P

PAY
Y

A
LA P Y

Y
P

YAP
P

A
LAP
P

A
YA L P

คำศพั ท์ มตี วั อักษร มีตวั อักษร จดั เรยี งได้กว่ี ิธี หาคำตอบ จำนวนวธิ จี ดั เรยี ง
6. ROOM ทงั้ หมดก่ีตัว ที่ซำ้ กนั กี่ โดยใช้การเขียนแผนภาพ เขยี นในรปู แฟกทอ

4 ตัว L P เรียล
P
2 AL 4!
A L 2!
O
O
M
R M
O
O
M
O O

R M
M
R
O
OM OR
O R

O MR
M OR
R
O
M OO
O

R

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 13 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5
รหัสวชิ า ค 30204
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ช่วั โมง
รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 จำนวน 4 ชัว่ โมง
หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 2 หลักการนบั เบ้ืองต้น
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 13 วิธีจดั หมู่

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใชห้ ลักการบวกและการคูณ การเรยี งสับเปลยี่ น และการจัดหมูใ่ นการแก้ปญั หา

2. สาระสำคัญ

จำนวนวิธีการจัดหมู่ของสิ่งของทีแ่ ตกต่างกัน n สิ่ง โดยเลือกคราวละ r สิ่ง (0 ≤ r ≤ n) เท่ากับ Cn,r

หรอื n วิธี เมอ่ื Cn,r = n!
  (n − r)!r!
 r 

3. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) หาจำนวนวธิ จี ดั หมไู่ ด้ (K)

2) เขียนแสดงขน้ั ตอนของวธิ ีจัดหมู่ได้ (P)

3) รบั ผิดชอบต่อหนา้ ที่ท่ไี ด้รับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผเู้ รียน

4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร

4.2 ความสามารถในการคดิ

4.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา

4.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรเู้ พ่มิ เติม สาระการเรียนร้ทู อ้ งถ่ิน

- การจัดหมู่กรณที ส่ี งิ่ ของตา่ งกนั ท้งั หมด พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : อุปนยั

ชั่วโมงท่ี 1

ขัน้ นำ

ขน้ั เตรยี ม

1. ครูยกตัวอย่างสถานการณเ์ ดยี วกันกับใบงานที่ 2.3.1 ว่ามีส่งิ ของ 3 ส่ิง หยิบของมาทีละ 2 สิ่ง จะเห็น

วา่ การหยบิ ขึ้นมาพรอ้ มกนั 2 ส่ิง ไม่มีลำดบั ก่อนหลงั หรือการสลบั ทไี่ มน่ บั เปน็ อกี วิธี หรอื มอี ักษร 3 ตัว

ไดแ้ ก่ B, E, D นำมาจดั เรียงจามเงือ่ นไขต่อไปน้ี

1) นำมาจดั เรียงหมดทุกตวั เป็นเส้นตรง จะได้ 3! วธิ ี คอื BED, BDE, EBD, EDB, DBE, DEB

2) นำมาจัดเรียงสบั เปลีย่ นทลั ะ 2 ตวั จะได้เป็น P3,2 = (3 3! ! = 3! วธิ ี คือ BE, BD, EB, ED, DB,
− 2)
DE

3) นำมาจดั หมูท่ ีละ 2 ตวั จะได้ BE, BD และ ED เท่านั้น ซึ่งคล้ายกับการจดั เรียงเป็น Pn,r แต่จัดหมทู่ ี
ละ r สงิ่ ไม่มีอันดับ จงึ นำการจดั เรยี งจาก r ส่งิ เทา่ กับ r! มาหารออกจาก Pn,r จะได้เท่ากบั

n!

(n − r)!r!
2. ครอู ธิบายใหน้ ักเรียนฟงั ตอ่ วา่ เม่ือนำส่งิ ของ n สงิ่ มาจัดหมูท่ ีละ r ส่ิง น่ันคอื Pn,r = n!

r! (n − r)!r!

ข้ันสอน

ข้นั สอนหรือแสดง
1. ครูแจกใบงานที่ 2.6.1 เรื่อง วิธจี ัดหมู่ ให้กับนกั เรียน แล้วให้นักเรยี นลงมือทำ โดยให้เวลาประมาณ
15 นาที
2. ครูกล่าวว่า การจัดหมู่ของสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยเลือกมาคราวละ r สิ่ง (0 ≤ r ≤ n)
เรา เรียกว่า

การจดั หมู่ (Combination) เขียนแทนด้วย Cn,r หรือ nCr หรือ n
 
 r 

สามารถแสดงได้ดงั น้ี Cn,r = n!

(n − r)!r!
n!
จาก Cn,r = r !(n − r)!

= n!

(n − (n − r))!(n − r)!
= Cn,n-r

ดังนน้ั n = n
   
 r   n − r 

ชว่ั โมงท่ี 2

ขนั้ สอนหรือแสดง

3. ครูให้นกั เรียนฝกึ หาค่า Cn,r โดยกำหนดโจทยด์ งั น้ี

1) 2 , 2 , 2
     
 0   1   2 

2) 3 , 3 , 3 , 3
       
 0   1   2   3 

3) 4 , 4 , 4 , 4 , 4
         
 0   1   2   3   4 

4) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5
           
 0   1   2   3   4   5 

(แนวคำตอบ: = 2! =1
2!0! =2
1) (02) 2! =1
(21) = 1!1!
(22) =1
= 2! =3
2) (30) 0!1!
(13)
= 3!
3!0!
3!
= 2!1!

(32) = 3! =3
1!2!

(33) = 3! =1
0!3!

3) (04) = 4! =1
4!0!

(41) = 4! =4
3!1!

(24) = 4! =6
2!2!

(34) = 4! =4
1!3!

(44) = 4! =1
0!4!

4) (05) = 5! =1
5!0!

(51) = 5! =5
4!1!

(52) = 5! = 10
3!2!

(53) = 5! = 10
2!3!

(45) = 5! =5
1!4!

(55) = 5! = 1)
0!5!
2. ครใู หน้ กั เรียนสงั เกตคา่ ของ Cn,r ท่หี าไดเ้ รียงตามลำดับ มีความสมั พันธอ์ ยา่ งไรบ้าง

1)  n  = n =1
 0   
   n 

2)  n  = n =n
 1   
   n − 1 

3)  n  = n ถา้ r + k = n เม่อื 0 ≤ k ≤ n
 r   
   k 

4)  n  + n = n + 1
 r     
   r − 1   r 

5)  n  +  n  + n + … +  n +  n  = 2n
 0   1     − 1   n 
     2   n  

6) n  + n + n + … +  n +  n  = 2n - 1
       − 1   n 
 1   2   3   n  

ครกู ล่าววา่ ความสัมพันธ์ขา้ งต้นท่ีค้นพบเราเรียกว่า สมบัติของการจดั หมู่

3. ครใู ห้นกั เรยี นศกึ ษาตัวอย่างที่ 29 ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ

เรียนรู้ ที่ 2 หลักการนับเบ้ืองต้น

4. ครใู ห้นักเรียนทำ ลองทำดู ในหนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี

2 หลักการนบั เบ้ืองตน้ เพ่อื ตรวจสอบความเขา้ ใจ จากน้นั ครแู ละนกั เรียน ร่วมกันเฉลยคำตอบ

ชว่ั โมงที่ 3

ข้นั สอนหรอื แสดง
5. ครูยกตัวอย่างดังต่อไปน้ี
ตัวอยา่ งที่ 1 มนี กั เรียนชาย 5 คน นักเรียนหญงิ 4 คน ต้องการคดั เลอื กคณะกรรมการห้องเรียน 4 คน
โดย เป็นชาย 2 คน และหญิง 2 คน จะเลือกไดท้ ั้งหมดกี่วธิ ี
(แนวคำตอบ: เลือกชาย 2 คน จากชาย 5 คน โดยไม่คดิ ตำแหนง่ เพราะเป็นคณะกรรมการเหมือนกัน
จะได้ จำนวนวธิ คี อื C5,2 และเลอื กกรรมการหญิง 2 คน จาก 4 คน จะไดจ้ ำนวนวิธีคอื C4,2

ดงั นนั้ จะมีวธิ เี ลือกคณะกรรมการไดท้ ้งั หมด (52)(24) = 60 วธิ ี)

ตวั อย่างที่ 2 กลอ่ งใบหนง่ึ มลี กู แกว้ 10 ลกู เป็นสีแดง 3 ลูก สีเหลือง 4 ลกู สีฟ้า 3 ลูก จำนวนวธิ หี ยบิ
ลูกแกว้ พร้อมกนั 2 ลูก แลว้ ได้ลูกแกว้ สตี ่างกันมีคา่ เท่าไร
(แนวคำตอบ: มกี ารทำงาน 2 ขัน้ ตอน คอื

ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกสี 2 สีจากทงั้ หมด 3 สี จัดได้ (32) = 3 วิธี

ขั้นตอนท่ี 2 เลอื กจำนวนลกู แกว้ 2 ลกู จากแตล่ ะคู่สี ดังนี้ (แดง,เหลอื ง) (แดง,ฟา้ )
(เหลอื ง,ฟา้ )

ดงั น้ัน จะได้จำนวนวธิ คี ือ (13)(14) + (13)(31) + (14)(13)

= 12 + 9 +12

= 33 วธิ ี)
ตัวอยา่ งที่ 3 นักเรียนตอ้ งเลอื กทำข้อสอบ 8 ขอ้ จากขอ้ สอบ 10 ข้อ เขาจะมีวิธเี ลอื กทำขอ้ สอบได้กี่
วิธี
เมือ่ เขาต้องเลือกทำอย่างน้อย 4 ข้อจาก 5 ขอ้ แรก
(แนวคำตอบ: แบ่งได้ 2 กรณีคือ

กรณที ี่ 1 เลอื กทำ 4 ขอ้ จาก 5 ขอ้ แรก
กรณีท่ี 2 เลอื กทำ 5 ข้อ จาก 5 ขอ้ แรก

ดังนน้ั จะได้จำนวนวธิ ีคอื (45)(54) + (55)(53)

= 25 + 10
= 35 วิธี)
ตัวอย่างที่ 4 มีคน 8 คน เป็นชาย 3 คน หญิง 5 คน เลือกคนมาคราวละ 4 คน โดยทุกครั้งที่เลอื ก
จะตอ้ งมชี ายอยู่ดว้ ยเสมอ จะทำไดก้ ีว่ ิธี
(แนวคำตอบ: จากโจทยท์ ี่กำหนดวา่ ทุกครง้ั ตอ้ งมชี ายอย่ดู ้วยเสมอ หมายความวา่ จะต้องมชี ายอย่าง
นอ้ ย 1
คน ดังนน้ั จะสามารถแบ่งได้ 3 กรณี คือ
กรณีท่ี 1 เลือกชาย 1 คน หญงิ 3 คน
กรณีท่ี 2 เลือกชาย 2 คน หญงิ 2 คน
กรณีที่ 3 เลือกชาย 3 คน หญิง 1 คน

ดงั นน้ั จะได้จำนวนวธิ คี ือ (13)(53)+ (23)(52)+(33)(15)

= 30 + 30 + 5
= 65 วธิ ี)
หรืออาจคิดได้อกี 1 วธิ ี โดยการหาจำนวนวธิ ีทไี่ ม่ต้องการไปลบออกจากจำนวนวธิ ที งั้ หมดท่ไี มม่ ี
เง่อื นไข

ดังน้ี จำนวนวธิ ีการเลอื กแบบไม่มีเง่อื นไขคอื มี 8 คน เลอื กมา 4 คน จะไดเ้ ทา่ กับ (48) วธิ ี และ

จำนวน

วธิ เี ลอื กคนเปน็ ผหู้ ญงิ ทง้ั หมด 4 คน จะไดเ้ ท่ากับ (45) วิธี
ดงั นัน้ จะมวี ธิ จี ัดท่ีจะต้องมีชายอย่างนอ้ ย 1 คน เทา่ กบั (84) - (54)

= 70 - 5
= 65 วิธี)
6. ครูสรปุ จากตวั อยา่ ง 4 ว่า ถา้ เราต้องการหาจำนวนวิธีจดั ส่งิ ของทมี่ หี ลายกรณี สามารถหากลับกันโดย
หาวิธีการทัง้ หมดทีไ่ ม่มเี งื่อนไข แล้วลบดว้ ยจำนวนวิธีท่เี ราไม่ตอ้ งการแทนได้

ชัว่ โมงที่ 4

ข้นั สอนหรือแสดง

7. ครกู ล่าววา่ การจัดหมู่นั้นสามารถนำไปใช้กับการจดั เกี่ยวกบั รูปเรขาคณติ ได้ เชน่

ตัวอย่างที่ 1 มีจดุ 8 จดุ ทไี่ มอ่ ยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกันจะสรา้ งรปู หลายเหลยี่ มได้ทง้ั หมดกว่ี ิธี

(แนวคำตอบ: จำนวนจุดมี 8 จุด และไม่มีจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกนั แสดงว่าทุกจุดเป็นจดุ ยอดมมุ

ของรปู เหลีย่ มได้และการสรา้ งรูปเหล่ยี มจะมีการสร้างไดต้ ้ังแตร่ ูปสามเหลย่ี ม ไปจนถึงรูปแปดเหลี่ยม

ดังน้ี

1) สรา้ งรปู สามเหล่ียม ใช้จดุ ยอด 3 จุด จากจุด 8 จุด จะจัดได้ (83) แบบ
((4885))
2) สรา้ งรปู สี่เหล่ียม ใช้จุดยอด 4 จดุ จากจดุ 8 จุด จะจดั ได้ แบบ
3) สรา้ งรูปหา้ เหล่ียม ใชจ้ ดุ ยอด 5 จุด จากจดุ 8 จุด จะจดั ได้ แบบ

4) สรา้ งรูปหกเหลย่ี ม ใช้จดุ ยอด 6 จดุ จากจดุ 8 จุด จะจดั ได้ (86) แบบ
5) สร้างรูปเจด็ เหลยี่ ม ใช้จดุ ยอด 7 จดุ จากจุด 8 จุด จะจัดได้ (87) แบบ
6) สรา้ งรปู แปดเหลย่ี ม ใช้จุดยอด 8 จดุ จากจุด 8 จุด จะจัดได้ (88) แบบ
ดังนน้ั จะสามารถสร้างรูปเหลีย่ มไดท้ ง้ั หมด เท่ากับ

(83) + (84) + (85) + (86) + (78) + (88)

= 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1

= 219 รูปแบบ )

ตวั อย่างท่ี 2 มีเสน้ ตรงอยู่ 2 ชุด แบง่ เปน็ ชุดแนวนอน 6 เส้น และชดุ แนวต้ัง 5 เส้น ลากตัดกันจนเกดิ

รูปสี่เหลีย่ ม จงหาจำนวนรูปสเี่ หลยี่ มด้านขนานท่สี รา้ งได้ทั้งหมด

(แนวคำตอบ: เลือกเสน้ ตรงเพอ่ื สร้างรูปส่ีเหลีย่ มได้ คอื

(62)(25)= ((6-62!)!2!) ∙ ((5-52!)!2!)

= (64x5!2x!4) ∙ (53x4!2x!3)

= 15∙10
= 150 แบบ)

ตวั อย่างที่ 3 พ่อ แม่ และลูกอกี 3 คน ไปพกั ผอ่ นท่รี สี อร์ทแหง่ หนึง่ ไดจ้ องห้องพกั 2 ห้อง โดยแตล่ ะ

ห้องสามารถพักได้ 3 คน จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดคนในครอบครัวนี้เข้าพัก โดยพ่อและแม่แยกกัน พัก

คนละหอ้ ง

(แนวคำตอบ: ขั้นตอนท่ี 1 ใหพ้ อ่ หรือแมเ่ ลอื กห้องพักก่อนจะได้ 2 วิธี และพ่อหรอื แม่ที่เหลือจะเลือก

หอ้ งพกั

ได้อกี 1 วธิ ี

ข้นั ตอนท่ี 2 ลูก 3 คน ตอ้ งแยกกันพกั เป็นอัตราส่วน 2 : 1 นน้ั คอื

เลอื กลกู 2 คน นอนกบั พ่อหรือแม่ จะได้ (23) x 2 = 6 วธิ ี

และลกู 1 คนทีเ่ หลอื เลอื กได้ 1 วิธี)

ดงั นัน้ จำนวนวธิ กี ารจัดคนเข้าพกั ทัง้ หมดเท่ากบั 2 x 1 x 6 x 1 = 12 วธิ ี)

ตวั อยา่ งที่ 4 ตจู้ ดหมาย 3 ตู้ มจี ดหมาย 7 ฉบับ โดยกำหนดให้ใส่ต้ทู ่ี 1 ได้ 3 ฉบบั ตูท้ ่ี 2 ได้ 2 ฉบับ

ต้ทู ี่ 2 ได้ 2 ฉบบั จะมวี ธิ ใี ส่ไดก้ ่วี ิธี

(แนวคำตอบ: ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กจดหมาย 3 ฉบับใส่ตู้ที่ 1 จะได้ (73)วิธี
ข้ันตอนที่ 2 เลอื กจดหมาย 2 ฉบบั ใสต่ ู้ท่ี 2 จะได้ (24)วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 เลือกจดหมาย 2 ฉบบั ใสต่ ู้ท่ี 3 จะได้ (22)วิธี

ดงั น้ัน จะมวี ธิ ีใส่จดหมายได้ (73)(24)(22) = 210 วิธี

หรอื จะมองวา่ การจดั จดหมายใส่ในตู้นน้ั เทา่ กบั เป็นการจัดของซำ้ สามารถใชว้ ธิ จี ัดของซำ้ ได้เทา่ กับ

7! = 210 วธิ ี)
3!2!2!
8. ครูให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างที่ 30–36 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2

หนว่ ย การเรียนรูท้ ี่ 2 หลกั การนับเบอื้ งต้น

9. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทำษะ 2.3 ข้อ 8 และ 9 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5

เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2 หลกั การนบั เบอ้ื งต้นเพื่อตรวจสอบความเข้าใจ

ข้นั สรปุ

1. ครูให้นกั เรยี นช่วยกนั บอกข้นั ตอนในการหาจำนวนวิธีของการจดั หมู่สิง่ ของ
2. ครใู หน้ ักเรยี นเขยี นสรุปความรู้รวบยอดเรอื่ ง วิธจี ัดหมู่ ลงในสมดุ

7. การวดั และประเมินผล

รายการวัด วิธีการ เครื่องมือ เกณฑ์การประเมนิ
7.1 ประเมนิ ระหว่างการจัด
- ตรวจใบงานที่ 2.6.1 - ใบงานที่ 2.6.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.3 - แบบฝกึ ทกั ษะ 2.3 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
1) วิธจี ัดหมู่

2) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดบั คณุ ภาพ 2
ผลงาน
3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤตกิ รรม นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
รายบุคคล การทำงานรายบุคคล
- สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดบั คณุ ภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงานกล่มุ การทำงานกลุม่
- สังเกตความมวี นิ ัย การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์
5) คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมั่น
ในการทำงาน - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2

การทำงานกลมุ่ ผา่ นเกณฑ์

- แบบประเมนิ - ระดบั คุณภาพ 2

คุณลักษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สือ่ /แหลง่ การเรยี นรู้

8.1 สื่อการเรียนรู้

1) หนังสือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 หลกั การนับเบ้ืองต้น

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบอ้ื งตน้

3) ใบงานที่ 2.6.1 เร่อื ง วิธีจดั หมู่

8.2 แหล่งการเรียนรู้

-

9. การบูรณาการหลักปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (3 หว่ ง 2 เงอื่ นไข 4 มติ )ิ

- การบูรณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง

ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง 3 ห่วง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เงื่อนไขความรู้

มีเหตุผล เง่ือนไขคุณธรรม

มีภมู คิ ้มุ กนั ในตวั ที่ดี มิติสิ่งแวดลอ้ ม มติ ิวฒั นธรรม
ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง 4 มิติ จำนวนวิธีท่จี ัดได้

มติ ิเศรษฐกจิ มิติสังคม

ใบงานที่ 2.6.1

เรอื่ ง วิธีจัดหมู่

คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรียนตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

กำหนดจำนวนของ n ส่ิง จดั หมทู่ ีละ r สงิ่

1. ส้ม มะมว่ ง แตงโม จดั ใส่จาน จานละ 2 ชนดิ

2. ตวั อกั ษร 4 ตวั ท่แี ตกตา่ ง หยิบมาจัดคำใหม่ ทีละ 2 ตวั อักษร
กนั

คอื CRAB

3. ตวั อักษร 4 ตัว ท่แี ตกตา่ งกนั หยบิ มาจดั คำใหม่ ทีละ 3 ตัวอักษร
คือ CRAB

4. นักเรียน 5 คน เลอื กกรรมการห้อง 2 คน

5. นกั เรยี น 5 คน เลือกกรรมการห้อง 3 คน

ใบงานที่ 2.6.1 เฉลย

เรื่อง วธิ จี ดั หมู่

คำช้แี จง : ให้นักเรยี นตอบคำถามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

กำหนดจำนวนของ n สิ่ง จัดหมู่ทลี ะ r ส่ิง จำนวนวธิ ที ีจ่ ัดได้

1. สม้ มะม่วง แตงโม จดั ใส่จาน จานละ 2 ชนดิ C3,2 = 3!
(3-2)!2!
= 3 วธิ ี

2. ตัวอกั ษร 4 ตัว ทแี่ ตกตา่ งกัน หยิบมาจดั คำใหม่ ทีละ 2 C4,2 = 4!
(4-2)!2!
คือ CRAB ตวั อักษร = 6 วธิ ี

3. ตวั อกั ษร 4 ตัว ทีแ่ ตกต่างกนั หยบิ มาจัดคำใหม่ ทีละ 3 C4,3 = 4!
(4-3)!3!
คือ CRAB ตัวอักษร = 4 วธิ ี

4. นักเรยี น 5 คน เลือกกรรมการหอ้ ง 2 คน C5,2 = 5!
(5-2)!2!
= 10 วิธี

5. นักเรยี น 5 คน เลอื กกรรมการหอ้ ง 3 คน C5,3 = 5!
(5-3)!3!
= 10 วิธี

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 14 ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5
รหสั วชิ า ค 30204
กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชั่วโมง
รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 จำนวน 5 ช่ัวโมง
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 หลักการนับเบ้อื งต้น
แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 14 โจทย์ระคน

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้หลกั การบวกและการคณู การเรียงสับเปลยี่ น และการจัดหมู่ในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ

1. กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกีย่ วกับการนับ

ก. หลกั การคณู (ถ้างานมหี ลายขั้นตอนให้นำจำนวนวิธีในแตล่ ะขั้นตอนมาคูณกนั )

ข. หลักการบวก (ถ้างานนัน้ สามารถทำไดห้ ลายกรณีใหน้ ำจำนวนวธิ ีท่ีทำได้ในแต่ละกรณีมาบวก

กัน)

2. การเรียงสับเปลยี่ น

ก. การเรียงสบั เปลย่ี นสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกนั ท้ังหมดเปน็ แนวตรง เทา่ กบั n! วธิ ี

ข. การเรียงสับเปลย่ี นของสง่ิ ของ n สง่ิ ท่ีแตกต่างกันทงั้ หมดในแนวตรง โดยจดั เรยี งคราวละ r ส่งิ

(0 ≤ r ≤ n) เทา่ กับ Pn,r = n! วธิ ี
(n− r)!
ค. การเรียงสับเปลย่ี นของสิ่งของท่ีมีบางสงิ่ ซำ้ กนั เทา่ กับ n! วธิ ี
n1 !n2 !...nk !

ง. วิธเี รยี งสับเปลย่ี นของสง่ิ ของทแ่ี ตกต่างกันแบบวงกลมแบบ 2 มิตไิ ด้ (n – 1)! วิธี

จ. วิธเี รยี งสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกนั แบบวงกลมแบบ 3 มิตไิ ด้ (n – 1) ! วธิ ี
2
3. การจัดหมู่

วธิ ีการจดั หมู่ของส่ิงของที่แตกตา่ งกัน n สงิ่ โดยเลือกคราวละ r ส่ิง (0 ≤ r ≤ n) เทา่ กบั

Cn,r = n!
(n − r)!r!

3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) หาจำนวนวธิ ีของการจัดเรยี งในแบบต่างๆได้ (K)

2) ใช้ความรูเ้ ร่ืองหลักการนบั เบื้องตน้ ในกระบวนการแกป้ ญั หาได้ (P)

3) รับผิดชอบต่อหนา้ ทีท่ ีไ่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผู้เรียน สาระการเรียนรทู้ ้องถ่ิน
4.1 ความสามารถในการส่อื สาร พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา
4.2 ความสามารถในการคดิ
4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา
4.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชีวิต
4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้
สาระการเรียนร้เู พ่มิ เติม

- หลกั การบวกและการคูณ
- การเรียงสบั เปลี่ยน
- การจัดหมู่

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนิค : นิรนัย (Deduction)

ช่วั โมงท่ี 1

ข้ันนำ

1. ครูทบทวนหลักการนับเบอื้ งตน้ ทใ่ี ช้ในการหาวิธีการจัดเรยี งส่ิงของแบบตา่ ง ๆ

1) กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกี่ยวกับการนับ

ก. หลักการคูณ (ถา้ งานมหี ลายขน้ั ตอนให้นำจำนวนวธิ ีในแต่ละขน้ั ตอนมาคูณกัน)

ข. หลักการบวก (ถ้างานนัน้ สามารถทำไดห้ ลายกรณใี ห้นำจำนวนวิธีที่ทำได้ในแตล่ ะกรณีมาบวก

กนั )

2) การเรยี งสับเปลีย่ น

ก. การเรยี งสบั เปลยี่ นส่งิ ของที่แตกต่างกันทั้งหมดเป็นแนวตรง เท่ากบั n! วธิ ี

ข. การเรยี งสบั เปลย่ี นของส่งิ ของ n สง่ิ ที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมดในแนวตรง โดยจัดเรยี งคราวละ r ส่งิ

(0 ≤ r ≤ n) เท่ากบั Pn,r = n! ! วิธี
(n− r)

ค. การเรยี งสบั เปลีย่ นของสง่ิ ของทีม่ บี างสง่ิ ซ้ำกนั เทา่ กบั n! วธิ ี
n1 !n2 !...nk !
ง. วิธเี รยี งสับเปล่ยี นของส่ิงของท่แี ตกตา่ งกันแบบวงกลมแบบ 2 มิติได้ (n – 1)! วธิ ี

จ. วิธเี รียงสับเปลยี่ นของสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกันแบบวงกลมแบบ 3 มิติได้ (n – 1) ! วธิ ี
2
3) การจัดหมู่

วิธีการจดั หมู่ของสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั n สง่ิ โดยเลือกคราวละ r สิง่ (0 ≤ r ≤ n) เทา่ กบั

Cn,r = n!
(n − r)!r!

ขน้ั สอน

2. ครูแจกใบงานท่ี 2.7.1 โจทย์ระคน จากนั้นให้นักเรียนลงมือทำใบงาน โดยให้เวลาประมาณ 15 นาที
และร่วมกนั เฉลยโดยครตู รวจสอบความถกู ต้อง

ชัว่ โมงท่ี 2

3. ครูให้นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลุม่ ละ 3 – 4 คน ชว่ ยกันแตง่ โจทยป์ ญั หาเกยี่ วกับเร่อื งทเี่ รยี นมาทั้งหมด กลุ่ม
ละ 4 ข้อ พร้อมทั้งแสดงวิธีทำในแต่ละข้ออยา่ งละเอียด

4. ครูดำเนินการแลกเปลี่ยนโจทย์ปัญหาทีแ่ ต่ละกลุ่มคิดขึ้นสลับกับนักเรียนกลุม่ อ่ืน ๆ และให้นักเรียน
กลุ่มที่ ได้รับแสดงวิธที ำพรอ้ มท้งั ออกมานำเสนอหนา้ ช้นั เรยี น โดยให้นักเรียนกล่มุ ทเี่ ปน็ เจ้าของโจทย์
ปัญหานน้ั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง

ชั่วโมงท่ี 3

5. ครูยกตวั อยา่ งโจทย์ปัญหาที่สามารถดำเนนิ การได้.... เชน่ ไพ่สำหรบั หน่งึ มี 52 ใบ หยบิ ไพ่จากสำรบั 4
ใบ จะมวี ิธกี ารหยบิ ได้กว่ี ธิ ี ถ้า
1) ไมม่ เี ง่อื นไข
2) ได้ไพ่ดอกเดียวกันทั้ง 4 ใบ
3) ได้ไพ่ A 2 ใบ และไพ่ใบอ่นื ๆอกี 2 ใบ
4) ได้ไพ่ J 2 ใบ และได้ไพ่ Q 2 ใบ
5) ได้ไพ่ K อย่างนอ้ ย 2 ใบ

6. ครใู ห้นกั เรยี นแบ่งกลมุ่ ออกเปน็ 5 กลมุ่ แลว้ ใหแ้ ตล่ ะกลุ่มจับฉลากเลือกแก้โจทย์ปญั หาจากเงื่อนไขทั้ง
5 ขอ้ กลุม่ ละ 1 ข้อ

7. ครใู หเ้ วลานกั เรียนแต่ละกลุ่มในการแกโ้ จทย์ปญั หาประมาณ 10 นาที จากน้นั ให้แตล่ ะกลุม่ ส่งตัวแทน
ออกมานำเสนอ กลมุ่ ละ 5 นาที

8. ครพู ิจารณาคำตอบของนักเรยี นท่ีออกมานำเสนอพร้อมทัง้ อธบิ ายเพ่ิมเติม

(แนวคำตอบ: 1) ไม่มีเงอ่ื นไข

จำนวนวิธีหยิบไพไ่ ดเ้ ท่ากบั 2 x 51 x 50 x 4 = 52!
(52-4)!4!

= 52 x 51 x 50 x 4!
4x3 x 2x 1

= 270,725 วธิ ี

2) ได้ไพ่ดอกเดียวกนั ท้ัง 4 ใบ

เนือ่ งจากไพม่ ี 4 ดอก ได้แก่ ดอกจิก ขา้ วหลามตดั โพธิ์แดงและโพธิ์ดำ อยา่ งละ

13 ใบ

ดังนนั้ แต่ละดอกจะเลือกได้ (143) x 04 = 13!
(13-4)!4!

= 13 x 12 x 11 x 10!
4x3x2x1

= 2,860 วธิ ี

3) ได้ไพ่ A 2 ใบ และไพ่ใบอ่นื ๆอกี 2 ใบ

ต้องการไพ่ A 2 ใบ จากท้งั หมด 4 ใบ และไพใ่ บอน่ื ๆทีไ่ มใ่ ช่ A อกี 2 ใบจากไพท่ ่ี

เหลืออยู่ 48 ใบ

ดังนนั้ จะจดั ได้ (42)(428) = 4! x 48!
(4-2)!2! (48-2)!2!

= 4 x 3 x 48 x 47
2 x 1 2 x 1

= 6,768 วิธี

4) ไดไ้ พ่ J 2 ใบ และไดไ้ พ่ Q 2 ใบ

ต้องการไพ่ J 2 ใบจากทั้งหมด 4 ใบ และไพ่ Q 2 ใบจากท้ังหมด 4 ใบ

ดังนัน้ จะจดั ได้ (24)(24) = 4! x 4!
(4-2)!2! (4-2)!2!

= 4x3 x 4x3
2x1 2x1

= 36 วิธี

5) ได้ไพ่ K อยา่ งน้อย 2 ใบ

ต้องการไพ่ K อย่างนอ้ ย 2 ใบ หมายความวา่ อาจจะได้ 2 ใบ 3 ใบหรอื 4 ใบกไ็ ด้

กรณีที่ 1 เลือกไพ่ K 2 ใบ และไพ่ใบอื่นๆที่ไม่ใช่ K อีก 2 ใบจากไพ่ 48 ใบ

ดังน้ัน จะจดั ได้ (42)(428) = 4! x 48!
(4-2)!2! (48-2)!2!
4 x 3 x428 x 47
= 2 x 1 x 1

= 6,768 วธิ ี
กรณีที่ 2 เลอื กไพ่ K 3 ใบ และไพใ่ บอนื่ ๆที่ไม่ใช่ K อีก 1 ใบจากไพ่ 48 ใบ
ดงั น้ัน จะจดั ได้ (43)(418) = (4 -43!)!3!x(484-81!)!1!

= 4 x 48

= 192 วิธี
กรณีที่ 3 เลือกไพ่ K 4 ใบ จะได้ 1 วธิ ี
ดังนัน้ จำนวนวิธที ง้ั หมดเทา่ กบั 6,768 + 192 + 1 = 6,961 วิธี)
9. ครูให้นกั เรยี นพิจารณาวา่ ในแต่ละข้อทน่ี ำเสนอไปนนั้ ขอ้ ใดคิดหาคำตอบได้งา่ ยทีส่ ุด เพราะเหตใุ ด
(แนวคำตอบ: ข้อ 1) เพราะไม่มีเงอ่ื นไขใด ๆ ในการพจิ ารณา)

ชั่วโมงที่ 4

10. ครูให้นกั เรียนพิจารณาแนวขอ้ สอบ PAT1 ในหนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2 หลกั การนบั เบือ้ งตน้ พร้อมแสดงวิธที ำอย่างละเอยี ดบนกระดาน

11. ครูใหน้ ักเรยี นหาขอ้ สอบ PAT 1 ทเ่ี ก่ยี วกับเรอื่ งหลักการนับเบ้ืองตน้ พร้อมเฉลยและระบุปีการศึกษา
ของ ขอ้ สอบมาคนละ 2 ข้อ เขยี นลงในกระดาษ A4 ส่งภายในคาบเรยี น

ชว่ั โมงที่ 5

12. ครูยกตัวอย่างโจทยป์ ัญหาท่นี ่าสนใจเกย่ี วกบั หลกั การนบั เบื้องต้น เช่น
1) กญุ แจชนิดหน่ึงมีรหัสตวั เลข 6 หลกั 0–5 อยู่ 4 วงซ้อนกนั จะตอ้ งหมุนรหัสแต่ละวงให้ตรงกับรหัส
ท่ตี งั้ ไว้
จะมกี วี่ ิธีท่ีจะเปิดกุญแจไม่ออก
(แนวคำตอบ: วงท่ี 1 สรา้ งรหัสได้ 6 แบบ
วงท่ี 2 สรา้ งรหสั ได้ 6 แบบ
วงที่ 3 สรา้ งรหสั ได้ 6 แบบ
วงท่ี 4 สรา้ งรหัสได้ 6 แบบ
ดังนน้ั รหัสท่ตี ัง้ ได้ทงั้ หมด 6 x 6 x 6 x 6 = 1,296 วิธี

แต่เราสามารถต้งั รหัสได้เพียง 1 แบบ จึงมรี หสั ท่ีเปดิ ไมอ่ อกอยู่ 1,296 – 1 = 1,295 วธิ ี)

2) มีนก 5 ตวั มกี ง่ิ ไม้ 3 กงิ่ จงหาว่า
2.1) ไม่มีเงื่อนไข

(แนวคำตอบ: นกตัวท่ี 1 เลอื กกง่ิ ไม้ได้ 3 วธิ ี
นกตัวท่ี 2 เลือกกิ่งไมไ้ ด้ 3 วธิ ี
นกตวั ที่ 3 เลอื กกงิ่ ไม้ได้ 3 วิธี
นกตวั ที่ 4 เลอื กกงิ่ ไมไ้ ด้ 3 วธิ ี
นกตวั ที่ 5 เลอื กกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี
ดงั นน้ั จำนวนวธิ ที ง้ั หมดเท่ากับ 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 วิธี)

2.2) ถา้ จา่ ฝูงเกาะกิง่ ใด นกตัวอื่นจะเกาะกง่ิ ไม้นนั้ ไม่ได้
(แนวคำตอบ: จา่ ฝงู เลอื กกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี
นกตวั ที่เหลืออกี 4 ตวั เลือกกง่ิ ไมไ้ ด้ตวั ละ 2 วิธี จะได้ 2 x 2 x 2 x 2 = 16 วิธี)
ดังนั้น จำนวนวิธที ั้งหมดเทา่ กับ 3 x 16 = 48 วธิ ี

3) อาคารแหง่ หนึ่งมีประตู 6 ประตู ถา้ นักเรยี น 3 คน ตอ้ งการเข้าและออกจากอาคารแห่งนไี้ ด้กี่วธิ ีถ้า
3.1) ทง้ั 3 คน เขา้ และออกประตใู ดก็ได้
(แนวคำตอบ: คนท่ี 1 เข้าได้ 6 วิธี และออกได้ 6 วธิ ี จะได้เทา่ กบั 6 x 6 = 36 วิธี
คนท่ี 2 เข้าได้ 6 วิธี และออกได้ 6 วิธี จะได้เท่ากับ 6 x 6 = 36 วิธี
คนท่ี 3 เข้าได้ 6 วธิ ี และออกได้ 6 วธิ ี จะได้เท่ากบั 6 x 6 = 36 วธิ ี
ดังนั้น จำนวนวิธีทง้ั หมดเทา่ กับ 36 x 36 x 36 = 46,656 วธิ ี)
3.2) แตล่ ะคนเข้าประตใู ดจะตอ้ งออกประตนู ้ัน
(แนวคำตอบ: คนท่ี 1 เขา้ ได้ 6 วธิ ี และออกได้ 1 วิธี จะได้เท่ากบั 6 x 1 = 6 วธิ ี
คนที่ 2 เข้าได้ 6 วิธี และออกได้ 1 วธิ ี จะได้เทา่ กับ 6 x 1 = 6 วธิ ี
คนท่ี 3 เข้าได้ 6 วธิ ี และออกได้ 1 วิธี จะไดเ้ ท่ากับ 6 x 1 = 6 วิธี
ดังนั้น จำนวนวธิ ีทง้ั หมดเท่ากับ 6 x 6 x 6 = 216 วธิ ี)
3.3) แต่ละคนเข้าประตใู ดจะออกประตนู น้ั ไมไ่ ด้และทัง้ สามคนจะไมใ่ ช้วธิ เี ดียวกัน
(แนวคำตอบ: คนท่ี 1 เขา้ ได้ 6 วธิ ี และออกได้ 5 วิธี จะได้เท่ากบั 6 x 5 = 30 วิธี
คนที่ 2 เข้าและออกได้ 29 วธิ ี (ไม่ซ้ำกับคนที่ 1)
คนที่ 3 เข้าและออกได้ 28 วธิ ี (ไมซ่ ้ำกบั คนที่ 1 และคนท่ี 2)
ดงั นน้ั จำนวนวิธีทง้ั หมดเท่ากับ 30 x 29 x 28 = 24,360 วิธี)

ข้นั สรปุ

1. ครใู หน้ ักเรยี นทบทวนความรเู้ รือ่ ง หลักการนับเบือ้ งต้น

2. ครใู ห้นักเรียนเขยี นสรุปความรู้รวบยอดเร่อื ง หลกั การนับเบ้ืองต้น ลงในสมดุ

7. การวัดและประเมนิ ผล

รายการวดั วิธีการ เคร่ืองมอื เกณฑ์การประเมิน

7.1 ประเมินระหวา่ งการจดั

กิจกรรมการเรยี นรู้

1) โจทยร์ ะคน - ตรวจใบงานท่ี 2.7.1 - ใบงานท่ี 2.7.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

2) นำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคณุ ภาพ 2

ผลงาน นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดบั คุณภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบุคคล การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์

4) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม - ระดบั คุณภาพ 2

กลุม่ การทำงานกลมุ่ การทำงานกลุ่ม ผ่านเกณฑ์

5) คุณลกั ษณะ - สงั เกตความมวี นิ ัย - แบบประเมิน - ระดับคณุ ภาพ 2

อนั พงึ ประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ มน่ั คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

ในการทำงาน อันพึงประสงค์

8. สือ่ /แหล่งการเรยี นรู้

8.1 สือ่ การเรียนรู้

1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 2 หลักการนบั เบ้ืองตน้

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบือ้ งตน้

3) ใบงานที่ 2.7.1 เร่อื ง โจทย์ระคน

8.2 แหล่งการเรียนรู้

-

9. การบูรณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง (3 ห่วง 2 เง่ือนไข 4 มิติ)

- การบูรณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 ห่วง ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เงอ่ื นไขความรู้

มีเหตผุ ล เงือ่ นไขคณุ ธรรม

มภี ูมิคมุ้ กนั ในตัวทด่ี ี

ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 4 มติ ิ

มติ เิ ศรษฐกิจ มิตสิ งั คม มิติสิง่ แวดล้อม มติ วิ ฒั นธรรม

ใบงานที่ 2.7.1

เร่ือง โจทยร์ ะคน

คำชแ้ี จง : ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำ
1. มีอาหารคาว 5 ชนิด อาหารหวาน 3 ชนิด และน้ำดื่ม 4 ชนิด ให้เลือกมารับประทานอาหารอย่างละ 1

ช น ิ ด จ ะ มี ร า ย ก า ร อ า ห า ร ค า ว อ า ห า ร ห ว า น แ ล ะ น ้ ำ ด ื ่ ม แ ต ก ต ่ า ง ก ั น ไ ด ้ ก ี ่ แ บ บ
.......................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
2. นักเรียนต้องการเดินทางจังหวัดลำปางโดยออกจากกรงุ เทพไปยังอยธุ ยาได้ 3 เส้นทางและจากอยุธยาไป
ยัง ลำปางได้ 4 เส้นทาง จะสามารถเดินทางไปและกลับได้โดยไม่ใช้เส้นทางเดิมได้กี่วิธี
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
3. กำหนดเลขโดดคอื 0, 2, 4, 7, 9 นำมาสร้างเลขคู่สามหลัก โดยแต่ละหลกั ห้ามใช้เลขซ้ำกันได้ก่วี ธิ ี
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
4. มดี อกไม้ 7 ชนดิ ท่แี ตกต่างกัน ต้องการนำมาจัดแจกนั ทีละ 3 ชนดิ จะสามารถจัดได้กี่แบบ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
5. มีดอกไม้ 7 ชนิดท่ีแตกตา่ งกนั นำมาร้อยเปน็ พวงมาลยั จะไดก้ ่วี ิธี
..............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
6. มีต้นไม้ 7 ชนดิ นำมาปลกู เรยี งหน้าเสาธงเป็นแนวตรงไดก้ วี่ ธิ ี
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

7. มดี อกไม้ 7 ชนดิ นำมาเรยี งบนโต๊ะเป็นแนวตรงทีละ 3 ชนดิ ได้กีว่ ธิ ี
............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
8. มีดอกไม้ 7 ชนดิ นำมาประดบั วนรอบนาฬิการปู วงกลมจะจัดไดก้ ี่วธิ ี
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
9. จากคำว่า FOOTBALL นำอักษรจากคำนม้ี าจัดเรยี งใหมโ่ ดยไมค่ ำนึงถึงความหมายจะจัดไดก้ วี่ ิธี
..............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
10. มีวธิ ีเลือกอกั ษร 3 ตวั จากคำวา่ FOOTBALL ได้ก่วี ธิ ี
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ใบงานท่ี 2.7.1 เฉลย

เรื่อง โจทย์ระคน

คำชี้แจง : ให้นกั เรยี นแสดงวธิ ที ำ
1. มีอาหารคาว 5 ชนิด อาหารหวาน 3 ชนิด และน้ำดื่ม 4 ชนิด ให้เลือกมารับประทานอาหารอย่างละ 1

ชนิด จะ มีรายการอาหารคาว อาหารหวาน และนำ้ ด่ืม แตกต่างกนั ไดก้ แี่ บบ
…แ…น…ว…ค…ำต…อ…บ…: …จำ…น…ว…น…วิธ…เี ล…อื …ก…จ…ัดอ…า…ห…าร…ไ…ดแ้…ต…ก…ต…า่ ง…ก…นั …เท…า่ …ก…บั …5…x…3……x…4…=…6…0…ว…ธิ …ี …………….............................

2. นักเรียนต้องการเดินทางจังหวัดลำปางโดยออกจากกรุงเทพไปยังอยธุ ยาได้ 3 เส้นทางและจากอยุธยาไป
ยัง ลำปางได้ 4 เสน้ ทาง จะสามารถเดนิ ทางไปและกลับไดโ้ ดยไมใ่ ช้เส้นทางเดมิ ได้กี่วิธี
…แ…น…วค…ำ…ต…อ…บ…: จ…ำ…น…วน…ว…ธิ …ีเด…ิน…ท…าง…ไ…ปแ…ล…ะ…ก…ลับ…ไ…ด…โ้ ด…ย…ไม…ใ่ ช…้เ…สน้…ท…า…ง…เด…มิ …เท…า่…ก…ับ…4…x……3…x…3…x…2…=….7..2....ว..ิธ..ี..................

3. กำหนดเลขโดดคือ 0, 2, 4, 7, 9 นำมาสร้างเลขคู่สามหลกั โดยแต่ละหลกั ห้ามใช้เลขซำ้ กนั ไดก้ ว่ี ธิ ี
แ…น…ว…ค…ำ…ตอ…บ…:…ส…รา้…ง…เล…ข…ค…จู่ า…ก…เล…ข…โด…ด…5……ตัว………………………………………………………………………….............................
………………ก…ร…ณ…ี 1……เล…ข…ห…ลัก…ห…น…่ว…ยเ…ป…น็ …เล…ข…0……………………………………………………………………….............................
…………………………ข…ั้น…ต…อ…น…ท…ี่ 1…เ…ลือ…ก…ต…วั …เล…ข…ใน…ห…ล…กั ห…น…ว่ …ย…ได…้ …1……วิธ…ี …………………………………….............................
…………………………ข…น้ั …ต…อ…นท…ี่…2…เล…อื …ก…ต…ัวเ…ล…ขใ…น…ห…ลัก…ร…อ้ …ยไ…ด…้ ……4…ว…ิธ…ี …………………………………….............................
…………………………ข…ัน้ …ต…อ…นท…ี่ …3…เล…ือ…ก…ต…วั เ…ล…ขใ…น…ห…ลกั…ส…บิ …ได…้ ………3……วธิ …ี …………………………………….............................
…………………………ด…ัง…น…้นั …จ…ะ…ได…้จ…ำน…ว…น…วธิ…เี …ทา่…ก…บั …1…x……4 …x…3…=…1…2…ว…ธิ …ี ………………………………….............................
………………ก…ร…ณ…ี 2……เ…ลข…ห…ล…ัก…หน…ว่…ย…เป…็น…เล…ข…2……ห…รอื ……4………………………………………………………….............................
…………………………ข…ั้น…ต…อ…นท…่ี…1…เล…ือ…ก…ต…วั เ…ล…ขใ…น…ห…ลกั…ห…น…่ว…ยไ…ด…้ …2…ว…ธิ …ี …………………………………….............................
…………………………ข…ั้น…ต…อ…นท…ี่…2…เล…ือ…ก…ต…วั เ…ล…ขใ…น…ห…ลกั…ร…้อ…ยไ…ด…้ ……3…ว…ธิ …ี (…0…อ…ย…ู่ใน…ห…ล…ัก…รอ้…ย…ไม…ไ่ …ด…้ จ…ึงเ.ห...ล..ือ...เ.ล..ข...อ..ย..ู่..........

3 ต…วั )………………………………………………………………………………………………………………………………….............................
…………………………ข…น้ั …ตอ…น…ท…่ี 3……เล…อื …กต…ัว…เล…ข…ใน…ห…ล…กั …ส…ิบไ…ด…้ ………3 …ว…ธิ …ี (จ…า…ก…เล…ข…โด…ด…5…ต…วั …ใ…ช…้ไป…แ…ล.้ว...2....ต..วั..).................
ดงั น้ัน จะไดจ้ ำนวนวธิ ีเทา่ กบั 2 x 3 x 3 = 18 วิธี
………………ด…ังน…น้ั …จ…ำ…น…วน…ว…ิธ…ที …้ังห…ม…ด…เท…า่ …กบั……1…2…+…1…8…=……3…0…วิธ…ี …………………………………………….............................

4. มีดอกไม้ 7 ชนิดท่แี ตกต่างกัน ต้องการนำมาจัดแจกันทีละ 3 ชนิด จะสามารถจัดได้กี่แบบ
…แ…น……ว……ค……ำ…ต…อ……บ……:…………………C…7,…3 …=………………(7…-7……3!)……!3……!………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
……………………………………=……7…x…6…4x!3…!5 …x …4 ………….……………………………………………………………………………………
……………………………………=…7……x …5……………………….……………………………………………………………………………………
………… …………………………=…3…5…ว…ิธ…ี …………………….……………………………………………………………………………………

5. มีดอกไม้ 7 ชนดิ ทีแ่ ตกตา่ งกันนำมารอ้ ยเป็นพวงมาลัยจะไดก้ ่ีวิธี

……แ……น……วค……ำ……ต……อด……บงั ……:นเ……้นั น……่อืจ……งำจน……าว……กนก……วาิธ……รีเ……รท้อ……่ายก……พับ……วง……ม……า……ลยั……เ……ป(7น็……2-ก1……)า……ร=จ……ดั ……แ6……2บ!……บ……วง……ก……ล……ม……3……ม……ิต……ิ …………………………………………………………..........................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………….............................
………………………………………………………………………=……7…220…!………………………………………………….............................
…………………………………………………………………………………………………………………………………….............................
………………………………………………………………………=……3…6…0…ว…ิธี…………………………………………….............................

6. มีตน้ ไม้ 7 ชนดิ นำมาปลูกเรียงหนา้ เสาธงเป็นแนวตรงได้ก่ีวิธี
…แ…น…ว…คำ…ต…อ…บ…: …จำ…น…วน…ว…ธิ …นี …ำต…้น…ไ…ม้ม…า…ป…ล…กู เ…รยี…ง…ห…น…้าเ…สา…ธ…งเ…ป…น็ …แน…ว…ต…รง…ไ…ดเ้…ท…่าก…ับ……7…! …=…5…,0…40……วธิ..ี...........................

7. มีดอกไม้ 7 ชนิด นำมาเรยี งบนโตะ๊ เปน็ แนวตรงทลี ะ 3 ชนิดได้ก่วี ิธี
……แ…น……ว…ค……ำ……ต……อ…บ……:…จ……ำ……น…ว…น……ว……ิธ…นี……ำ…ด……อ……ก…ไ…ม……้ม……า…เ…ร…ยี…ง……บ……น……โต……ะ๊ ……เป……็น……แ……น…ว…ต……ร……ง…ไ…ด……เ้ ท……่า……ก…บั………P……7…,…3……=…………(…7…-…73…!…)…!…3…!…………..........................................................
………………………………………………………………………………………………………………=………47…!! ………….............................
………………………………………………………………………………………………………………=…7……x …6…x…5…….............................
………………………………………………………………………………………………………………=…2…1…0…ว…ธิ …ี …….............................

8. มดี อกไม้ 7 ชนดิ นำมาประดบั วนรอบนาฬกิ ารูปวงกลมจะจดั ได้ก่ีวิธี
…แน…ว…ค…ำ…ต…อบ…:…จ…ำ…นว…น…ว…ิธนี…ำ…ด…อ…กไ…ม…้ม…าเ…รยี…ง…เป…น็ …ว…งก…ล…ม…2…ม…ิต…ไิ …ดเ้…ท…า่ ก…บั ……(7……– …1)…! …=…6…! ……………............................
…………………………………………………………………………………………………………=……72…0…ว…ธิ …ี ………….............................

9. จากคำว่า FOOTBALL นำอกั ษรจากคำน้มี าจดั เรยี งใหมโ่ ดยไมค่ ำนึงถึงความหมายจะจัดไดก้ ่วี ิธี
…แ…น…ว…ค…ำต…อ…บ…: …ม…ีอัก…ษ…ร…ท…ัง้ ห…ม…ด…8……ตวั………………………………………………………………………………….............................
………………………มี…O…ซ…ำ้ …ก…ัน…2…ต…วั ……แล…ะ…ม…ี L…ซ…ำ้ …ก…ัน…2…ต…ัว……………………………………………………….............................
………………………ด…งั น…้นั …จ…ะ…จ…ดั …เร…ยี ง…ค…ำ…ให…ม…โ่ ด…ย…ไม…ค่ …ำ…น…งึ ถ…งึ …คว…า…ม…หม…า…ย…ได…้ …28!2…! !…=……8…x…7…x…6…x2…5…x…4..x...3........................
…………………………………………………………………………………………………………=…1…0…,0…80……วิธ…ี ……….............................

แผนการจดั การเรียนรูท้ ่ี 15 ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5
รหสั วชิ า ค 30204
กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชวั่ โมง
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 4 จำนวน 4 ชว่ั โมง
หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 หลกั การนับเบ้ืองตน้
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 15 ทฤษฎบี ททวินาม

1. ผลการเรียนรู้
เข้าใจและใชห้ ลักการบวกและการคณู การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมใู่ นการแก้ปัญหา

2. สาระสำคญั

ทฤษฎีบท

ถ้า a, b เปน็ จำนวนจริงใดๆ และ n, r เป็นจำนวนเตม็ บวกแล้ว

(a + b)n =  n  an +  n  an−1b +  n  an−2b2 + ... +  n  an−rbr + ... +  n n 1  abn−1 +  n bn
 0   1   2   r   −   n 
          
n n n n n
เรียก  0 , 1 , 2  , ..., r ,..., n  ว่า สมั ประสทิ ธิท์ วนิ าม
      
 

3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) หาสมั ประสทิ ธิ์ทวนิ ามได้ (K)

2) ประยกุ ตใ์ ช้ทฤษฎบี ททวินามในการแก้ปัญหาได้ (P)

3) รับผิดชอบตอ่ หน้าทีท่ ีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผู้เรียน

4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร

4.2 ความสามารถในการคดิ

4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.4 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชวี ิต

4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

5. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นรู้เพ่ิมเตมิ สาระการเรียนรูท้ ้องถนิ่

- ทฤษฎบี ททวินาม พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนคิ : แบบ Concept Based Teaching

ช่ัวโมงท่ี 1

ขนั้ นำ

ขั้นการใช้ความรู้เดิมเชือ่ มโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)
1. ครูใหน้ กั เรยี นหาการกระจายของพหุนาม 2 พจน์ ยกกำลงั n เมอ่ื n เทา่ กับ 2, 3 และ 4 ดังนี้
1) จงหาผลลพั ธข์ อง (a + b)2 , (a + b)3 , (a + b)4 , (a - b)2 , (a - b)3 และ (a - b)4
2. ครใู หน้ ักเรยี นแสดงวธิ กี ารหาผลลัพธ์ควบค่ไู ปกับการหาคำตอบ
(แนวคำตอบ: (a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b)(a - b)
= a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = (a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2)(a + b)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = (a - b)2(a - b)
= (a2 - 2ab + b2)(a - b)
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b)4 = (a + b)3(a + b)
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a - b)4 = (a - b)3(a - b)
= (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)(a - b)
= a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

ขั้นสอน

ขนั้ รู้ (Knowing)
1. ครูให้นักเรียนสักเกตว่าถ้าเรานำพหุนาม 2 พจน์ดีกรีหนึ่งมายกกำลังสองจะได้พหุนามดีกรีสองมี 3
พจน์ ถ้า ยกกำลังสาม จะได้พหุนามดีกรีสามมี 4 พจน์ ถ้ายกกำลังสี่ จะได้พหุนามดีกรีสี่มี 5 พจน์

และดีกรีแต่ละ พจนจ์ ะลดลงทลี ะ 1 เชน่ (a + 1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1 หรอื (1 + b)3 = 1 +

3b + 3b2 + b3

2. ครใู หน้ กั เรียนสังเกตผลลัพธ์ของสูตร Cn,r ตามลำดับทีไ่ ด้เรียนไปแลว้ ในใบงานที่ 2.6.1 เชน่

1)  2  =1, 2 =2 , 2 =1
 0     
   1   2 

2)  3  =1, 3 =3 , 3 =3 , 3 = 1
 0       
   1   2   3 

3. จากนัน้ ครใู ห้นักเรยี นสังเกตผลลพั ธ์ทไ่ี ดจ้ ากข้อความรู้ทงั้ สองนำมาประยุกตใ์ ชก้ ับการกระจายพหุนาม

2 พจน์ เช่น (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

=  3  a3 +  3  a2b +  3  ab2 +  3  b3
 0   1   2   3 
       
หรือ (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

=  4  a4 +  4  a3b +  4  a2b2 +  4  ab3 +  4  b4
 0   1   2   3   4 
         
เป็นการนำผลลัพธ์จากการกระจายมาเขียนสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ให้สัมพันธ์กับการหา

จำนวนจากสูตร n โดยการพจิ ารณาดังกลา่ ว เรยี กวา่ ทฤษฎบี ททวนิ าม ดงั นี้
 
 r 

ถ้า a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n, r เป็นจำนวนเตม็ บวกแล้ว

(a + b)n =  n  an +  n  an−1b +  n  an−2b2 + ... +  n  an−rbr + ... +  n n 1  abn−1 +  n  bn
 0   1   2   r   −   n 
           
n
4. ครูให้นักเรียนสังเกตคา่ n, r ในสูตร   และเลขชี้กำลังของพหุนามตัวหนา้ และตัวหลงั ของแต่ละ
 r 

พจน์

ดังนี้ (พจนห์ นา้ + พจน์หลัง)n =  n  (พจน์หน้า)n +  n  (พจนห์ น้า)n-1 (พจน์หลงั )1 +
 0   1 

 n  (พจนห์ นา้ )n-2 (พจนห์ ลัง)2 + ... +  n n  (พจน์หนา้ )1(พจนห์ ลัง)n-1 +  n  (พจนห์ ลัง)n
 2   − 1  n 