คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ม.5

ใบงานท่ี 1.5.1

เรอ่ื ง การหาคา่ r และ  ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

คำช้แี จง : ให้นักเรียนเตมิ คำตอบในชอ่ งว่างในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

จำนวนเชงิ ซ้อน คา่ a คา่ b วาดกราฟ  r
1. z = -2

2. z = 4i

3. z = 3 - i

4. z = −1 + 3 i
2 2

5. z = - 2 – 2i

6. z = 3 - 3 i

ใบงานที่ 1.5.1 เฉลย

เรอื่ ง การหาค่า r และ  ของจำนวนเชิงซ้อน r
2
คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรยี นเติมคำตอบในช่องว่างในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 4
2
จำนวนเชงิ ซ้อน ค่า a คา่ b วาดกราฟ  1
1. z = -2 -2 0
π 2√2
√6
2. z = -4i 0 -4 3π
2
3. z = 3 - i √3 -1
π
4. z = −1 + 3 i −1 √3 6
2 2 2 2
2π
5. z = - 2 – 2i -2 -2 3

6. z = 3 - 3 i 5π
4
√3 −√3
7π
4

แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 6 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5
รหัสวชิ า ค 30204
กลุม่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชว่ั โมง
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 4 จำนวน 4 ชั่วโมง
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 6 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน

1. ผลการเรียนรู้

หารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เมื่อ n เป็นจำนวนนับท่มี ากกว่า 1

2. สาระสำคัญ

รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n z

ให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน จะได้ว่า n z = n r cos  + 2k  + i sin  + 2k 
n n

เม่อื k = 0, 1, 2, …, n-1

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะมี n ราก(คำตอบ)

1. ถา้ z1, z2, z3, …, zn เป็นรากที่ n ของ z แลว้ |z1| = |z2| = |z3| = … = |zn|
2. ถา้ z1, z2, z3, …, zn เปน็ รากท่ี n ของ z แลว้ z1 + z2 + z3 + … + zn = 0
3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1) หารากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อนได้ (K)

2) เขยี นรากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ นโดยใชส้ ัญลกั ษณ์แทนได้ (P)

3) รับผิดชอบตอ่ หน้าทีท่ ไ่ี ด้รับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผ้เู รยี น

4.1 ความสามารถในการส่ือสาร

4.2 ความสามารถในการคดิ

4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.4 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชีวติ

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรู้เพม่ิ เตมิ สาระการเรยี นรู้ทอ้ งถ่นิ

- รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ n เป็นจำนวน นับ พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

ทมี่ ากกวา่ 1

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนิค : อุปนยั (Inductive Mathod)

ชั่วโมงที่ 1

ขั้นนำ

ขน้ั การใชค้ วามรเู้ ดิมเชอื่ มโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)
1. ครูตั้งคำถามกับนักเรียน โดยมีแนวคำถาม ดงั นี้
• รากที่สามของ -64 มคี ำตอบคอื จำนวนใด
(แนวคำตอบ: -4)
2. ครูถามนักเรียนว่านกั เรียนคดิ ว่ายังมรี ากทส่ี ามของ -64 ทีเ่ ป็นจำนวนเชิงซอ้ นบ้างหรอื ไม่
3. ครใู ห้นักเรียนทำใบงาน 1.6.1 เรอ่ื ง การหารากที่ n เพ่อื ให้นกั เรยี นได้ทบทวนการหาคา่ ของรากที่ 3
โดย ครใู ห้นกั เรยี นทำประมาณ 10 นาที จากนนั้ ครแู ละนกั เรียนร่วมกันเฉลยใบงาน

4. ครูทบทวนทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ ที่กล่าวไว้ว่า zn = rn[(cos(n) + isin(n)] นักเรียนสามารถ
นำไปหา รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยเขียนรากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ นให้อยใู่ นรูปเชิงข้วั แล้ว

ใช้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ sin = sin( +2kπ) และ cos  = cos( +2kπ) เมื่อ k
= 0, 1, 2, n-1

ขัน้ สอน

ข้ันรู้ (Knowing)

1. ครูกำหนดให้ z = r(cos + isin) เป็นรากที่สามของ -64 เพราะว่า r3 (cos30o + isin30o ) =

-64

เน่อื งจาก -64 = 64(-1 + 0i)

= 64 (cos+ isin)

ดังนั้น r3 (cos3 + isin3) = 64 (cos + isin)

นั่นคอื r3 = 64 และ 3 =  + 2k เมอ่ื k เปน็ จำนวนเต็ม

r =4 เม่อื  =  + 2k
3 3

k=0 จะได้ θ1 = π
3
k = 1 จะได้ θ2= π

k=2 จะได้ θ3= 5π
3
จากทก่ี ำหนดให้ รากท่ีสามของ -64 แทนด้วย z = r(cos + isin)

จะได้ z1 = 4(cos  +isin  ) = 4 ( 1 + 3 i) = 2 + 2 3i
3 3 2 2 = −4 + 0i

z2 = 4(cos  +isin  ) = 4 (−1+ 0i)

z3 = 4(cos 5 +isin 5 ) = 4(1 − 3 i) = 2−2 3i
3 3 2 2

ดงั นนั้ รากทสี่ ามของ -64 คอื -4 , 2 + 2 3i และ 2 − 2 3i

2. ครูกล่าวว่าจากการหารากที่สามของ -64 ขา้ งต้นสามารถสรปุ ได้ตามทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n z

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ น จะได้วา่ n z = n r cos  + 2k  + i sin  + 2k 
n n

เมอ่ื k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

1

จากทฤษฎบี ท เราใช้สัญลักษณ์ zn แทนรากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น z

จะได้ 1 1 cos  + 2k  + i sin  + 2k 
n n
zn = rn

3. ครูให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างท่ี 26 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย

การ เรยี นรูท้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน เพ่ือสังเกตการหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อน

ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)
4. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” และทำแบบฝึกทักษะ 1.6 ข้อ 1 ในหนังสือเรียนรายวิชา
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูสุ่มเรียกนักเรยี น
เพ่ือบอกคำตอบ

ชว่ั โมงท่ี 2

ข้นั รู้ (Knowing)

5. ครใู ห้นกั เรียนหาจำนวนเชิงซ้อน (z) ท่สี อดคล้องกบั สมการของจำนวเชิงซ้อนต่อไปน้ี

1) (1 + 3i)z = -z – i

2) z8 + 4 + 4i = 0

(แนวคำตอบ:

1) (1 + 3i)z = -z – i z= -2 - i
2) z8 + 4 + 4i = 0 1 + 3i
1--22+--3iii+∙6i11+--333ii2
=
-2 - 1i ++59i
=
= -5 +150i
=
= - 1 10 i
2 2
+

จะได้วา่ z8 = - 4 - 4i

หา r จาก r = √(-4)2+ (-4)2

= √16+16

= √32

= 4√2

หา θ จาก tan θ = b
= -4a
-4
=1

จะได้ θ= π

4 5π
4
แต่เนื่องจากกราฟของจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในจตภุ าคที่ 3 ดงั นน้ั θ =

จาก z8 = -4 - 4i

และ -4 - 4i = 4√2 (cos 5π + isin54π)
4

เมอ่ื แทน k ดว้ ย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7

จะแทน z ด้วย z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 , z7 , z8 ตามลำดับ ดงั นี้

เมอื่ k = 0 จะได้ z1 = √8 4√2(cos 53π2+isin 53π2) 8√4√2
54π+2π 54π+82π]
เม่อื k = 1 จะได้ z2 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 13π + isin 1332π]
32
54π+4π 54π+84π]
เม่อื k = 2 จะได้ z3 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 21π + isin 2312π]
32
54π+6π 54π+86π]
เมอ่ื k = 3 จะได้ z4 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 29π + isin 2392π]
32
54π+8π 54π+88π]
เม่อื k = 4 จะได้ z5 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 37π + isin 3372π]
32
54π+10π 54π+810π]
เมื่อ k = 5 จะได้ z6 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 45π + isin 4352π]
32
54π+12π 54π+812π]
เมอ่ื k = 6 จะได้ z7 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 52π + isin 5322π]
32
54π+14π 54π+814π]
เม่อื k = 7 จะได้ z8 = √8 4√2 [cos 8 + isin

= √8 4√2 [cos 61π + isin 6312π])
32

6. ครูใหน้ กั เรียนพจิ ารณาตวั อย่างท่ี 27 และตวั อยา่ งท่ี 28 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์
ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น เพือ่ สังเกตวิธกี ารหารากท่ี 4 ของจำนวนเชงิ ซ้อน

7. ครใู ห้นักเรียนพิจารณาจำนวนคำตอบของรากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อนใด ๆ จะพบวา่
1) รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อนใด ๆ จะมี n ราก(คำตอบ)
2) ถ้า z1, z2, z3, …, zn เปน็ รากท่ี n ของ z แล้ว |z1| = |z2| = |z3| = … = |zn|
3) ถ้า z1, z2, z3,…, zn เปน็ รากท่ี n ของ z แล้ว z1 + z2 + z3 + … + zn = 0

ขนั้ เข้าใจ (Understanding)
8. ครูให้นักเรยี นจับคู่กันแล้วทำแบบฝกึ ทักษะ 1.6 ข้อ 2 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์
ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน จากนน้ั นกั เรียนและครรู ่วมกันเฉลยคำตอบ

ชั่วโมงที่ 3

ข้นั รู้ (Knowing)

9. ครูถามนักเรยี นว่าถา้ เราหารากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ นใด ๆ จะมกี ค่ี ำตอบ

(แนวคำตอบ: มี n คำตอบ)

10. ครูถามต่อว่าเราจะสามารถแสดงเวกเตอร์แทนรากท่ี n ได้หรอื ไม่ อยา่ งไร

(แนวคำตอบ: ได้ โดยแสดงเวกเตอร์ ที่มีความยาว เท่ากับ √n 4r หน่วย และมุมที่มีขนาด θ + 2kπ
r n
เม่ือ k = 0, 1, 2, 3, …, n-1)

11. ครูให้นักเรียนสังเกตว่าเวกเตอร์แต่ละคู่จะอยู่ในลำดับที่ติดกันมีขนาดมุมห่างเท่ากันทุกคู่ ซึ่งเขียน

แสดงได้ ดังนี้

r=4 1 =  2 =  3 = 5
3 3

Y
4 60o

180o X

300o

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
12. ครใู หน้ กั เรียนแตล่ ะคนทำแนวข้อสอบ PAT1 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นให้นักเรียนช่วยกันอธิบาย แนวคิดของตนเองแล้วครู
เขยี นเฉลยบนกระดาน
13. ครูใหน้ ักเรียนแบง่ กลมุ่ กลุ่มละ 3–4 คน ทำแบบฝึกทักษะ 1.6 ขอ้ 3 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูสุ่มนักเรียนออกมาเขียน
แสดงวิธีทำบนกระดาน

ชัว่ โมงท่ี 4

ขั้นรู้ (Knowing)

14. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มกลุ่มละ 3–4 คน พิจารณาวิธีทำของตัวอย่างที่ 26 ในหนังสือเรียนรายวิชา

เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน และให้แต่ละกลุ่มแสดงวธิ ี

ทำตามทฤษฎบี ททีส่ รุปไดว้ า่

1

• รากท่ี n แทนดว้ ย zn หาได้โดย

r 1 cos   + 2k  + i sin   + 2k  
n n n 

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)
15. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.6 ข้อ 4 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน จากน้ันครูสุ่มเรยี กนักเรียนเพ่อื บอกคำตอบ
16. ครูให้นักเรียนพิจารณาโจทย์แต่ละข้อในแบบฝึกทักษะ 1.6 ข้อ 2 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน ว่าสัญลักษณ์ในแต่ละข้อแทนการหา
รากท่ี เท่าใด

ข้ันลงมือทำ (Doing)
17. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.6 ข้อ 5-6 ระดับท้าทาย ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูสุม่ เรียน นักเรียนเพื่อบอก
คำตอบ

ข้ันสรุป

1. ครูใหน้ ักเรยี นบอกสตู รการหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

(แนวคำตอบ:

รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n√z ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะไดว้ ่า

√n z = √n r [ cos θ+2kπ +isin θ+2kπ

เมอื่ k = 0, 1, 2, …, n-1 ) () ( n )]

n

2. ครใู หน้ กั เรียนข้อสังเกตท่ีได้จากการหารากของจำนวนเชงิ ซอ้ นทั้งหมด

(แนวคำตอบ: 1) รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ จะมี n ราก (คำตอบ)

2) ถ้า z1, z2, z3, …, zn เปน็ รากที่ n ของ z แล้ว |z1| = |z2| = |z3| = … = |zn|
3) ถา้ z1, z2, z3, …, zn เป็นรากท่ี n ของ z แลว้ z1 + z2 + z3 + … + zn = 0)

7. การวัดและประเมนิ ผล

รายการวดั วธิ ีการ เครอื่ งมือ เกณฑ์การประเมิน
- รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหว่างการจัด - ตรวจใบงานท่ี 1.6.1 - ใบงานที่ 1.6.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

กจิ กรรมการเรียนรู้ - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 1.6 - แบบฝึกทกั ษะ 1.6

1) การหารากท่ี n ของ

จำนวนเชิงซอ้ น

2) นำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคณุ ภาพ 2
ผลงาน
3) พฤติกรรมการทำงาน นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
รายบคุ คล - สังเกตพฤตกิ รรม
การทำงานรายบุคคล - แบบสงั เกตพฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2
4) พฤตกิ รรมการทำงาน , - สังเกตพฤตกิ รรม
กลุ่ม การทำงานกลุม่ การทำงานรายบุคคล ผ่านเกณฑ์
- สงั เกตความมวี ินัย
5) คณุ ลกั ษณะอนั พึง ใฝเ่ รียนรู้ และม่งุ มั่น - แบบสังเกตพฤตกิ รรม - ระดบั คณุ ภาพ 2
ประสงค์ ในการทำงาน
การทำงานกลมุ่ ผา่ นเกณฑ์

- แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2

คุณลักษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้

8.1 ส่ือการเรยี นรู้

1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซ้อน

2) หนงั สอื แบบฝกึ หัดรายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น

3) ใบงานท่ี 1.6.1 เรอ่ื ง การหารากที่ n

8.2 แหล่งการเรยี นรู้

-

9. การบรู ณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง (3 ห่วง 2 เง่ือนไข 4 มิต)ิ

- การบรู ณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง

ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 ห่วง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงื่อนไข

พอประมาณ เงอื่ นไขความรู้

มีเหตุผล เง่อื นไขคุณธรรม

มภี มู คิ ุ้มกนั ในตวั ที่ดี

ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 4 มติ ิ

มิตเิ ศรษฐกจิ มติ สิ ังคม มิติสิ่งแวดลอ้ ม มิติวฒั นธรรม

ใบงานท่ี 1.6.1

เร่อื ง การหารากท่ี n

คำชี้แจง : ให้นักเรียนเติมคำตอบในช่องว่างในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. จงหาค่าของ

1) 3 −125
ตอบ ........................................................................................

2) - 3 125
ตอบ ........................................................................................

3) - 3 −125
ตอบ ........................................................................................

4) 512

3
729

ตอบ ........................................................................................

5) 3 −27x3y6
ตอบ ........................................................................................
2. จงหารากท่ี 3 ของ
1) 1
ตอบ ........................................................................................
2) -0.008
ตอบ ........................................................................................
3) 343
ตอบ ........................................................................................
4) 100
ตอบ ........................................................................................

ใบงานที่ 1.6.1 เฉลย

เรื่อง การหารากท่ี n

คำช้ีแจง : ให้นกั เรยี นเตมิ คำตอบในชอ่ งว่างในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. จงหาคา่ ของ

1) 3 −125
ตอบ.........-5................................................................................................................................

2) - 3 125
ตอบ.........-5...............................................................................................................................

3) - 3 −125
ตอบ-(-5) = 5

4) 512

3
729
8
ตอบ 9

5) 3 −27x3y6

ตอบ -3xy

2. จงหารากที่ 3 ของ

1) 1

ตอบ 1

2) -0.008

ตอบ -0.2
3) 343

ตอบ 7

4) 100

ตอบ √100.

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5
รหสั วชิ า ค 30204
กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ จำนวน 30 ช่ัวโมง
รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 จำนวน 5 ช่ัวโมง
หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ น
แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 7 สมการพหุนาม

1. ผลการเรยี นรู้

แกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กนิ ส่ที ่ีมีสมั ประสิทธเิ์ ป็นจำนวนเต็มและนำไปใช้ในการแกป้ ัญหา

2. สาระสำคญั

ทฤษฎบี ท ทฤษฎีบทหลกั มูลของพชี คณิต

ให้ p(x) เปน็ พหุนามทม่ี ดี ีกรมี ากกวา่ หรือเท่ากับ 1 สมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบทีเ่ ปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น

อยา่ งน้อย 1 คำตอบ

ทฤษฎีบท ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี n เมื่อ n  1 แล้วสมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบทั้งหมด n
คำตอบ เมื่อนบั คำตอบทซี่ ้ำกนั ดว้ ย

ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทตวั ประกอบ

กำหนด p(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 จะได้ว่า พหุนาม p(x) มี x – c เป็นตัว

ประกอบก็ต่อเมอ่ื p(c) มี x – c เป็นตวั ประกอบก็ต่อเมื่อ p(c) = 0

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

กำหนด p(x) เป็นพหนุ ามในรปู anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

โดยท่ี n เปน็ จำนวนเตม็ บวก an, an-1, …, a1, a0 เป็นจำนวนเต็ม ซ่งึ an ≠ 0

ถ้า x - k เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.
m
ม. ของ m และ k คือ 1 แลว้ m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว

ทฤษฎบี ท

ให้ p(x) เป็นพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง ถ้า z เป็น

คำตอบของ

สมการ p(x) = 0 แล้ว สังยคุ ของ z จะเป็นคำตอบของสมการดว้ ย

3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) หาคำตอบของสมการพหุนามตวั แปรเดยี วได้ (K)

2) สามารถอธิบายลำดับขั้นตอนการแก้สมการพหุนามดีกรีไม่เกินสี่ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของ

พชี คณิต ทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎบี ทตวั ประกอบจำนวนตรรกยะได้ (P)

3) รับผิดชอบต่อหนา้ ที่ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผูเ้ รียน สาระการเรียนรู้ทอ้ งถน่ิ
4.1 ความสามารถในการส่ือสาร พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา
4.2 ความสามารถในการคดิ
4.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา
4.4 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชวี ติ
4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้
สาระการเรยี นรเู้ พิ่มเติม

- สมการพหุนามตวั แปรเดียว

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : อุปนัย (Inductive Mathod)

ช่ัวโมงที่ 1

ขัน้ นำ

ขนั้ การใชค้ วามรู้เดิมเชอื่ มโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)
1. ครูแจกใบงานที่ 1.7.1 ก เรื่อง ชนิดของฟังก์ชัน ให้นักเรียนจับคู่ชนิดของฟังก์ชันให้ถูกต้อง เพื่อให้
นกั เรยี นได้ทบทวนชนดิ ของฟังกช์ นั ต่าง ๆ
2. ครูถามนักเรียนว่าเราเคยเรียนเรื่องการแก้สมการพหุนามยกกำลังมาแล้ว คำตอบที่ได้เป็นจำนวน
เชงิ ซ้อนได้ หรือไม่
(แนวคำตอบ: ได)้

ขน้ั สอน

ขั้นรู้ (Knowing)
1. ครูกล่าวกบั นกั เรยี นว่าวันนี้เราจะพจิ ารณาคำตอบของสมการพหุนาม หรือฟังกช์ ันพหนุ ามที่มีคำตอบ
จำนวน เชงิ ซ้อน ฟังก์ชนั พหนุ ามเป็นฟังก์ชันทเ่ี ขียนในรปู ... เมอ่ื n เปน็ จำนวนเต็มบวกและศนู ย์ และ
a0 , a1 , a2 , … , an เป็นจำนวนจริง ถ้า an ≠ 0 จะกล่าวว่าพหุนามมีระดับขั้น (degree) n เม่ือ
กำหนด p(x) = 0 คำตอบของสมการพหุนามจะเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปน้ี
2. ครกู ลา่ วถงึ ทฤษฎบี ทหลักมูลของพชี คณติ ดงั น้ี
ทฤษฎบี ทหลกั มูลของพชี คณิต ให้ p(x) เป็นพหนุ ามทีม่ ีดกี รีมากกว่าหรือเทา่ กับ 1 สมการ p(x) = 0
จะมี คำตอบท่ีเป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นอย่างนอ้ ย 1 คำตอบ
จากทฤษฎีบทหลกั มูลของพชี คณิต จึงได้อกี ทฤษฎีบทหน่งึ ดังน้ี

ทฤษฎีบท ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี n เมื่อ n  1 แล้วสมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบทั้งหมด n
คำตอบเมอ่ื นบั คำตอบท่ีซ้ำกันดว้ ย
3. ครูใหน้ กั เรียนหาจำนวนคำตอบของสมการพหุนามจากตัวอย่างต่อไปน้ี
ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้บอกจำนวนคำตอบและคำตอบของสมการต่อไปนี้

1) x2 – 25 = 0 จำนวนคำตอบ คำตอบของสมการ
2) (x-1)(x+1) = 0 2 คำตอบ 5 , -5
3) x2 + 3x + 4 = 0 2 คำตอบ 1 , -1
4) x3 = 8 2 คำตอบ 4 , -1
1 คำตอบ
3 คำตอบ 2 (ในระบบจำนวนจรงิ )
ในระบบจำนวนเชงิ ซอ้ น

ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)
4. ครูให้นักเรียนหาจำนวนคำตอบทั้งหมดของสมการ (x - 5)(2x + 3)(x + i)(x - i)(x + 1)2(x - 3)3 = 0
จากนัน้ ครูเรยี กใหน้ กั เรียนชว่ ยกนั บอกคำตอบของสมการนี้
(แนวคำตอบ: เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการพหุนามที่มดี ีกรีเท่ากับ 9 จึงมีคำตอบทั้งหมด 9 คำตอบ
ได้แก่ คำตอบทแ่ี ตกต่างทงั้ หมด 4 คา่ คือ 5, -23,-i ,i และ (-1) เปน็ คำตอบซ้ำ 2 ค่า ส่วน 3 เปน็ คำตอบ
ซำ้ 3 คา่ )

ช่วั โมงที่ 2

ขั้นรู้ (Knowing)

5. ครใู หน้ กั เรียนหาคำตอบหาสมการตอ่ ไปน้ี

1) x4 – 6x2 – 40 = 0

2) 2x3 – 6x2 + 7x - 6 = 0

(แนวตอบ: 1) x4 – 6x2 – 40 = 0

วธิ ีทำ (x2 + 4)(x2 – 10) = 0

(x2 + 4)(x – √10 x + √10) = 0

จะไดว้ ่า x2 + 4 = 0 x – √10= 0 x + √10 = 0
x = √10
x2 = -4 x = √10

x = ± √4i

x = ± 2i

2) 2x3 – 6x2 + 7x - 6 = 0

วิธีทำ ให้ p(x) = 2x3 – 6x2 + 7x - 6 = 0 มี an = 2 และ a0 = -6
ตวั ประกอบของ -6 (k) ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±6

ตัวประกอบของ 2 (m) ได้แก่ ±1, ±2

จะได้ จำนวนในรูป k ท่อี าจทำให้ p(mk ) 0 ไดแ้ ก่ ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1, ± 1,
m
12 2 3

± ,± พิจารณา p(2) = 2(2)3 – 6(2)2 + 7(2) – 6

63 = 16 – 24 + 14 – 6

=0

นัน่ คอื x = 2 เปน็ คำตอบของสมการและ (x-2) เปน็ ตัวประกอบของ p(x)

ซง่ึ p(x) เปน็ ผลหารท่หี าผลลพั ธไ์ ดโ้ ดยการหารสังเคราะห์ ดงั น้ี
x-2
2x3 – 6x2 + 7x – 6

2 2 -6 7 -6

4 -4 6

2 -2 3 0 (เศษ)

จะได้ 2x2 – 2x + 3 เป็นผลหาร

ดงั นัน้ 2x3 – 6x2 + 7x – 6 = (x - 2)(2x2 – 2x + 3)

และหาคำตอบของสมการ x - 2 = 0 หรือ 2x2 – 2x + 3 = 0

จะได้ x=2 หรือ x = -2(-2) ±√(−2)2−4(2)(3)
2(2)

= 4 ±√4−24
4

= 4 ±√−20
4
4 ±2√5i
= 4

= 1 ±√25i

คำตอบของสมการคอื 2 , 1 + √5i , 1 - √5i
2 2
6. ครูชี้ให้นักเรียนเห็นว่าจากตัวอย่างของสมการพหุนามที่มีสมั ประสิทธิ์เปน็ จำนวนจริง จะสังเกตไดว้ า่

เม่อื มีค่า x = a + bi เปน็ คำตอบ จะต้องมี x = a – bi เปน็ คำตอบด้วยเสมอ

ขั้นเข้าใจ (Understanding)
7. ครูให้นักเรียนพิจาณาตัวอย่างที่ 30 จากนั้นให้นักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน
รายวชิ า เพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ นเพื่อตรวจสอบข้อสรุป
จากการสงั เกตท่ีครไู ดช้ ีแ้ นะไป

ช่วั โมงท่ี 3

ขัน้ รู้ (Knowing)
8. ครูใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

• กำหนดให้ 2 + 3i เป็นคำตอบของสมการ x4 – 7x2 + 20x + 14 = 0 จงหาเซตคำตอบที่เหลือ
ทง้ั หมดแนวคิด
(1) ให้ p(x) = x4 – 7x2 + 20x + 14

(2) ถา้ มี 2 + 3i เปน็ คำตอบของสมการแล้วแสดงว่า 2 - 3i เปน็ คำตอบของสมการ
ด้วย

นน้ั คือ x = 2 + 3i และ x = 2 - 3i เปน็ คำตอบของสมการ
จะไดว้ า่ (x - 2 - 3i ) และ (x - 2 + 3i ) เปน็ ตวั ประกอบของสมการ

• ครูถามนกั เรียนวา่ คา่ ของ (x - 2 - 3i )(x - 2 + 3i ) เป็นเทา่ ไร

• ครูถามนกั เรียนตอ่ วา่ ถ้าตอ้ งการหาผลคูณทง่ี ่ายข้ึนเราควรใช้ความรใู้ นเร่อื งใดมาช่วย

(แนวคำตอบ: จัดรูปเป็นผลต่างกำลังสอง ดังน้ี (น-ล)(น+ล) = น2 – ล2

(3) น่นั คือ ((x – 2) - √3i) (x – 2) + √3i) = (x – 2)2 – (√3i)2

= x2 – 4x + 4 – 3(-1)

= x2 – 4x + 7

(4) นำ x2 – 4x + 7 ไปหาร p(x) โดยวธิ กี ารหาผลหาร ดงั นี้

x2 + 4x + 2

x2 – 4x + 7 x4 + 0 – 7x2 + 20x + 14

x4 – 4x3 + 7x2

4x3 – 14x2 + 20x

4x3 – 16x2 + 28x

2x2 - 8x + 14

2x2 - 8x + 14

0

จะได้วา่ p(x) = 13 x2 + 4x + 2
x2 - 4x + 7

ดงั นัน้ x2 + 4x + 2 เป็นตวั ประกอบที่เหลอื อยู่

หาคำตอบของสมการ x2 + 4x + 2 = 0 โดยการใชส้ ูตร x = −b±√b2−4ac
2a
-4±√42−4(1)(2)
จะได้ x= (2)(1)

= -4±√16−8
2

= -4±2√2
2
= −2 ± √2

คำตอบท่เี หลอื คอื −2 + √2 และ −2 − √2)

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)
9. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มกลุ่มละ 3 – 4 คน พิจารณาตัวอย่างที่ 34 – 35 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ
และให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.7 ข้อที่ 3, 4, 6.2, 6.4 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น จากนนั้ ครสู ่มุ เรยี กนักเรียนแต่ละกล่มุ ให้
อธบิ ายแนวคดิ

ช่ัวโมงท่ี 4

ขน้ั รู้ (Knowing)
10. ครใู หน้ กั เรียนทุกคนสงั เกตวธิ ีทำตัวอย่างที่ 36 ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม
2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน โดยสังเกตสัมประสิทธิ์ของพหุนามท่ี ไม่ใช่จำนวนจริงและ
สงั เกตคำตอบท่ไี ด้ทัง้ หมด คือ {-2 , 1 , i , i}
11. ครถู ามนกั เรียนว่ามคี ำตอบท่ีเปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นหรือไม่
(แนวคำตอบ: มี คือ i ซึ่งมี 2 คำตอบ)
12. ครูถามนักเรียนว่ามีคำตอบทเ่ี ปน็ สังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ นหรอื ไม่
(แนวคำตอบ: ไมม่ ี)
13. ครูให้นักเรียนสรุปคำตอบที่ได้จากสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมดกับคำตอบที่ได้จาก
สมการท่ี มสี ัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจำนวนเชิงซอ้ น มคี วามแตกตา่ งกันอย่างไร
(แนวคำตอบ: 1. ถ้าสมการที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ถ้ามีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซอ้ น z = a +
bi จะมีคำตอบท่สี ังยคุ คือ z = a – bi ด้วยเสมอ
2. ถ้าสมการทีม่ สี มั ประสิทธเ์ิ ป็นจำนวนเชิงซอ้ นก็ไมจ่ ำเปน็ ที่จะต้องมีคำตอบ 2 คำตอบคู่

กนั )
14. ครูสรุปคำตอบของนักเรียนแล้วอธิบายทฤษฎีบทในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5

เลม่ 2 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น ดังนี้

ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามดกี รีมากกว่าหรือเท่ากบั 1 และสัมประสทิ ธิ์ทุกตัวเปน็ จำนวนจริง
ถ้า z เป็นคำตอบของสมการ p(x) = 0 แล้ว สังยุคของ z จะเปน็ คำตอบของสมการดว้ ย

ข้ันเข้าใจ (Understanding)
15. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มกลุ่มละ 3 – 4 คน ทำแบบฝึกทักษะ 1.7 ข้อที่ 5 ในหนังสือเรียนรายวิชา
เพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ นจากนัน้ ครู และนกั เรียนร่วมกัน
เฉลยคำตอบบนกระดาน

ชัว่ โมงที่ 5

ขัน้ รู้ (Knowing)
16. ครกู ลา่ วทบทวนว่า เราสามารถหาคำตอบของสมการใดทม่ี ีคำตอบเปน็ จำนวนจริงหรือไมใ่ ชจ่ ำนวนจริง
ได้ แล้วครูถามนกั เรียนวา่
• ในทางกลับกันถ้าเราทราบคำตอบของสมการแลว้ สามารถหาสมการพหุนามท่ีมีจำนวนที่กำหนดเป็น
คำตอบ ไดห้ รือไม่
(แนวคำตอบ: ได้)

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
17. ครูให้นักเรยี นพิจารณาสมการพหนุ ามที่ได้จากการกำหนดคำตอบของสมการมาให้จะมีดกี รีเป็นเท่าไร
โดย ให้นกั เรยี นทำใบงานที่ 1.7.1 ข จากนั้นครูและนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยใบงาน

ข้นั รู้ (Knowing)
18. ครูยกตวั อยา่ งใหน้ ักเรียนได้ฝึกการหาสมการพหนุ ามจากการกำหนดคำตอบของสมการให้ ดงั นี้
• คำตอบของสมการพหุนามที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จำนวนจริง มี 3, -4 และ 3 + i เปน็ คำตอบ
แนวคิด เนอ่ื งจาก 3 + i เปน็ คำตอบ จะได้ว่า 3 - i เป็นคำตอบของสมการด้วย
จะได้ ((x – 3) - i)((x – 3) + i) เป็นตัวประกอบของสมการ
และ (x – 3)(x + 4) เป็นตวั ประกอบของสมการดว้ ย
ดังน้ัน สมการพหุนามท่ีได้จะตอ้ งเปน็ พหนุ ามดีกรี 4
นน้ั คือ (x – 3)(x + 4) ((x – 3) - i)((x – 3) + i) = 0
(x2 – x -12)(x2 – 6x +10) = 0
x4 – 6x3 – 8x2 + 82x - 120 = 0
แต่ในการกำหนดใหส้ มั ประสทิ ธิ์เป็นจำนวนเต็มใด ๆ เราจงึ ต้องกำหนดให้ k เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ โดย
คูณทง้ั สองขา้ งของสมการ ดังน้ี
k(x4 – 6x3 – 8x2 + 82x – 120) = 0 เม่ือ k เป็นจำนวนเตม็

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)
19. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝกึ ทกั ษะ 1.7 ข้อท่ี 1-2 ในหนงั สือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2
หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนน้ั ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลย คำตอบบนกระดาน

ขัน้ ลงมือทำ (Doing)
20. ครูให้นักเรียนจับคู่ทำแบบฝึกทักษะ 1.7 ข้อที่ 8 ระดับท้าทาย ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม

คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน จากนั้นครูให้นักเรียนอธบิ ายแนวคิดในการหา
คำตอบ

21. ครใู ห้นกั เรยี นแตล่ ะทำแบบทดสอบหลงั เรยี น หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น

ขนั้ สรุป

1. ครูใหน้ ักเรียนรว่ มกนั สรปุ ความรู้ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น แล้วเขียนผงั มโนทัศน์ลงในกระดาษ A4
2. ครูให้นักเรียนตรวจสอบความเข้าใจของตนเอง โดยใช้แบบประเมินในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ

คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น

7. การวดั และประเมินผล

รายการวัด วธิ ีการ เครอ่ื งมอื เกณฑ์การประเมนิ
- แบบประเมินชิน้ งาน - ระดบั คณุ ภาพ 2
7.1 การประเมนิ ชิ้นงาน/ - ตรวจผงั มโนทศั น์ หน่วย
/ภาระงาน ผ่านเกณฑ์
ภาระงาน (รวบยอด) การเรยี นรูท้ ี่ 1 จำนวน
- ใบงานท่ี 1.71ก, - ร้อยละ 60 ผ่าน
- ผงั มโนทัศน์ เชิงซอ้ น 1.7.1ข เกณฑ์
- รอ้ ยละ 60 ผ่าน
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 - แบบฝึกทกั ษะ 1.7 เกณฑ์

จำนวนเชิงซอ้ น

7.2 ประเมินระหว่างการ - ตรวจใบงานท1ี่ .7.1ก,

จัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ 1.7.1ข

1) สมการพหุนาม - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 1.7

2) นำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดบั คณุ ภาพ 2
ผลงาน
3) พฤตกิ รรมการทำงาน นำเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
รายบุคคล - สังเกตพฤตกิ รรม
การทำงานรายบคุ คล - แบบสงั เกตพฤตกิ รรม - ระดบั คุณภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงาน
กลุ่ม - สงั เกตพฤติกรรม การทำงานรายบคุ คล ผา่ นเกณฑ์
การทำงานกลมุ่
5) คณุ ลกั ษณะ - แบบสงั เกตพฤตกิ รรม - ระดบั คุณภาพ 2
อันพงึ ประสงค์ - สังเกตความมีวนิ ัย
ใฝเ่ รียนรู้ และมุง่ ม่ัน การทำงานกลุ่ม ผ่านเกณฑ์
ในการทำงาน
- แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2

คณุ ลกั ษณะ ผา่ นเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้

8.1 สื่อการเรียนรู้
1) หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน
2) หนงั สือแบบฝกึ หัดรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนเชงิ ซอ้ น
3) ใบงานที่ 1.7.1ก เรื่อง ชนดิ ของฟังก์ชัน
4) ใบงานที่ 1.7.1ข เร่ือง สมการพหนุ าม

8.2 แหล่งการเรยี นรู้
-

9. การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (3 ห่วง 2 เงอ่ื นไข 4 มิต)ิ

- การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เง่ือนไขความรู้

มเี หตผุ ล เงอื่ นไขคุณธรรม

มีภมู ิคมุ้ กันในตัวทด่ี ี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มติ เิ ศรษฐกิจ มติ สิ ังคม มิติสิง่ แวดล้อม มิตวิ ัฒนธรรม

ใบงานท่ี 1.7.1 ก

เรื่อง ชนดิ ของฟงั กช์ นั

คำชี้แจง : ให้นักเรียนจบั คโู่ ยงรูปของฟังก์ชนั ต่างกบั ชนิดของฟงั ก์ชนั ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1. p(x) = ax + b A. ฟังกช์ นั คงที่

2. p(x) = ax2 + bx + c B. ฟงั ก์ชันกำลงั สอง

3. p(x) = b C. ฟังกช์ ันกำลงั สาม

4. p(x) = ax3 + bx2 + cx + d D. ฟังกช์ ันตรรกยะ

5. p(x) = ax + b E. ฟังก์ชนั พหุนาม
cx + d F. ฟงั กช์ ันเชิงเส้น

6. p(x) = ax4 + bx3 + cx + d

ใบงานที่ 1.7.1 ก เฉลย

เรื่อง ชนิดของฟงั กช์ นั

คำช้ีแจง : ใหน้ กั เรียนจบั ค่โู ยงรปู ของฟงั กช์ ันตา่ งกบั ชนดิ ของฟงั กช์ ันในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

1. p(x) = ax + b A. ฟงั กช์ นั คงที่

2. p(x) = ax2 + bx + c B. ฟังกช์ นั กำลงั สอง

3. p(x) = b C. ฟงั กช์ ันกำลงั สาม

4. p(x) = ax3 + bx2 + cx + d D. ฟงั ก์ชันตรรกยะ

5. p(x) = ax + b E. ฟังกช์ นั พหนุ าม
cx + d F. ฟังกช์ นั เชิงเส้น

6. p(x) = ax4 + bx3 + cx + d

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5
รหสั วชิ า ค 30204
กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชั่วโมง
รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 4 จำนวน 3 ชัว่ โมง
หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 หลักการนับเบือ้ งต้น
แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 8 กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใชห้ ลักการบวกและการคณู การเรยี งสบั เปล่ียน และการจัดหมใู่ นการแก้ปญั หา

2. สาระสำคัญ

กฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเกี่ยวกบั การนบั

หลักการคณู (เป็นการทำงานทีต่ อ่ เน่อื งกัน)

จำนวนวธิ กี ารทำงานทง้ั หมด = ผลคูณของจำนวนวิธใี นแต่ละข้นั ตอนย่อยๆ

= n1 x n2 x … x nk วธิ ี
หลกั การบวก (เปน็ การทำงานท่ีไม่ตอ่ เน่อื งกนั )

จำนวนวธิ กี ารทำงานทั้งหมด = ผลคูณของจำนวนวธิ ีในแต่ละแบบ

= n1 + n2 + … + nk วธิ ี

3. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

1) หาจำนวนวิธที ัง้ หมดของการทำงานได้ (K)

2) ใชห้ ลกั การบวกและการคณู ในการแกป้ ญั หาได้ (P)

3) รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ีที่ได้รับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผูเ้ รยี น

4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ิต

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรเู้ พมิ่ เติม สาระการเรียนรทู้ อ้ งถิ่น

- หลักการบวกและการคณู พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

6. กระบวนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : อปุ นัย

ชวั่ โมงท่ี 1

ข้นั นำ

ข้นั เตรยี ม
1. ครูยกตวั อยา่ งเก่ียวกับการหาจำนวนวิธีการทำงาน ถ้างานมีมากกว่า 1 ขัน้ ตอน เชน่ เดก็ ชายวัชธรรม
มีเสื้ออยู่ 4 แบบ มีกางเกง 3 แบบ และมีรองเท้า 2 คู่ อยากทราบว่าเด็กชายวัชธรรมจะมีวิธีการ
แต่งตัวโดยใส่เส้ือกางเกงและมีรองเท้า ที่แตกต่างกนั ไดท้ ั้งหมดกี่วธิ ี หรือถ้าครูไปโรงอาหารมีอาหาร
คาว 3 ชนดิ ขนมหวาน 2 ชนดิ ให้เลอื กอาหารคาวได้ 1 อย่าง และขนมหวาน 1 อยา่ ง ครจู ะมีวธิ ีการ
เลอื กได้ก่ีแบบ
2. ครแู จกใบงานที่ 2.1.1 เรื่อง การนับเบือ้ งต้น เมือ่ นักเรยี นทำใบงานเสร็จแลว้ ครูและนักเรียนร่วมกัน
เฉลยคำตอบ

ขั้นสอน

ขน้ั สอนหรอื แสดง
1. ครูให้นกั เรียนชว่ ยกนั สรุปวธิ กี ารหาจำนวนในการทำงานถา้ งานนน้ั มีหลายขน้ั ตอนจากใบงานทนี่ ักเรียน

ทำ โดยครูถามนกั เรียนดังนี้
• ถ้านักเรียนมีการทำงาน k ขั้นตอนและแต่ละขั้นตอนมีวิธีดำเนินการได้ n1 , n2 , n3 , … , nk วิธี
นกั เรยี นสามารถหาวธิ ีการทำงานท้งั หมดได้โดยใช้วธิ ใี ดบา้ ง
(แนวคำตอบ: เขยี นแผนภาพและการคำนวณ)
• การหาจำนวนวธิ กี ารทำงานดว้ ยการเขยี นแผนภาพและการคำนวณ แบบใดสะดวกและรวดเร็วกว่ากนั
(แนวคำตอบ: การคำนวณ)
• ดงั น้ัน ถ้าเราจะหาวิธีการทำงานโดยการคำนวณหาจะมีวิธีการคดิ อยา่ งไร
(แนวคำตอบ: นำจำนวนวธิ ีในการทำงานแต่ละขนั้ ตอนมาคณู กนั ทง้ั หมด)
2. ครูอธิบายนกั เรยี นวา่ การหาจำนวนวธิ ีการทำงานเชน่ น้ีเป็นหลกั เบ้ืองต้นเกยี่ วกบั การนับท่ีใช้หลักการ
คณู ซงึ่ สรปุ เป็นหลักการคณู ได้ว่า “ถา้ การทำงานอย่างหนงึ่ ประกอบไปดว้ ยการทำงาน k ขั้นตอน โดย
การทำงานในแต่ละข้ันตอนจะทำต่อเนือ่ งกันหรอื ทำไปพร้อมๆกัน ซึ่งวิธีการทำงานในแต่ละข้ันตอน
นัน้ แตกตา่ งกัน คือ
การงานขั้นตอนท่ี 1 มีวิธที ำ n1 วิธี
การงานขนั้ ตอนท่ี 2 มวี ิธที ำ n2 วธิ ี

การงานขั้นตอนท่ี k มวี ธิ ที ำ nk วิธี
ดงั นั้น จำนวนวิธกี ารทำงานทัง้ หมด เทา่ กบั n1 x n2 x … x nk วิธี”
3. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 2–6 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น แล้วให้นักเรียนฝึกวาดแผนภาพและคำนวณหาคำตอบตามไป
ดว้ ย ถา้ ตัวอยา่ งขอ้ ใดท่นี กั เรยี นไม่เข้าใจครูจะอธิบายและแสดงวิธีหาคำตอบให้นักเรยี นดูบนกระดาน
ดำอย่างละเอยี ด
4. ครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู" และแบบฝึกทักษะ 2.1 ข้อ 1–7 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 2 หลกั การนบั เบื้องตน้ จากนัน้ นักเรียนและครูร่วมกัน
เฉลยคำตอบ

ช่วั โมงที่ 2

ข้นั สอนหรอื แสดง
5. ครูให้นักเรียนฝึกแต่งโจทย์ที่ใช้หลักการคูณ โดยแบ่งนักเรียนเป็น 2 กลุ่ม ส่งตัวแทนจากแต่ละกล่มุ
กลุ่มละ 1 คน โดยกลุ่มแรกเป็นผู้แต่งโจทย์ กลุ่มที่สองเป็นผู้หาคำตอบ สลับกันแต่งโจทย์และหา
คำตอบประมาณ 5 ข้อ เพื่อเปน็ การฝึกให้นักเรียนไดค้ ิดสถานการณ์ท่ีเป็นประสบการณ์ของนกั เรียน
เอง ในการนำมาใชแ้ ก้ปญั หาเกี่ยวกบั กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ โดยใช้หลักการคณู ซึ่งครูร่วมเฉลย
คำตอบทีน่ ักเรียนแต่งโจทย์ขึ้น
6. ครใู หน้ ักเรียนรว่ มกันสรุปหลักการคณู อีกครงั้ ว่า
จำนวนวธิ กี ารทำงานท้ังหมด = ผลคณู ของจำนวนวิธใี นแต่ละขั้นตอนยอ่ ยๆ
= n1 x n2 x … x nk วธิ ี
7. ครูให้นักเรียนพิจารณาการสร้างจำนวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1 และ 2 โดยวิธีเขียนแผนภาพซ่งึ มี
เง่อื นไข ดงั น้ี
1) ใชต้ วั เลขในแต่ละหลักซำ้ กันได้
2) ใช้ตัวเลขในแต่ละหลกั ไมซ่ ้ำกนั
3) เป็นจำนวนคู่และใช้ตวั เลขในแต่ละหลักซำ้ กันได้
จากนน้ั ครถู ามนกั เรยี นก่อนว่า
• ถ้านกั เรียนใช้วิธีการเขียนแผนภาพ การทำงานจะมีกีข่ น้ั ตอน อะไรบ้าง
(แนวคำตอบ: 3 ข้ันตอน คอื การสร้างเลขในหลกั ร้อย หลักสิบและหลักหน่วย)
• เราควรสร้างแผนภาพเริม่ จากหลักใดเป็นงานข้นั ท่ี 1,2 และ 3 ตามลำดับ
(แนวคำตอบ: หลักร้อย หลักสิบและหลักหนว่ ย) หรอื (หลักหน่วย หลักสิบและหลักร้อย)

แนวคดิ หลักสบิ หลกั หน่วย
1) ใชต้ วั เลขในแตล่ ะหลกั ซำ้ กันได้ (ใช้ตวั เลขได้ทกุ ตัว (ใชต้ วั เลขได้ทกุ ตวั

หลักร้อย คือ 0,1,2) คือ 0,1,2)
(ใช้ตัวเลขโดด 0 ไม่ได้ 0
จึงเหลือตัวเลข 1,2) 1
2
0 0
1
11 2
0
2 1
2
0 0
1
21 2
0
2 1
ดังนั้น จะได้จำนวนวิธีทง้ั หมด 18 วธิ ี 2
0
1
2

2) ใช้ตัวเลขในแตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ำกัน

หลักรอ้ ย หลกั สบิ หลักหน่วย
(เหลอื ตวั เลข 1 ตวั )
(ใชต้ ัวเลขโดด 0 ไม่ได้ (ใชต้ ัวเลขในหลกั ร้อย
2
จึงเหลอื ตัวเลข 1,2) ไป 1 ตวั จึงเหลือ 2 ตัว) 0
1
10 0

2 หลกั หน่วย
(ตอ้ งเป็นจำนวนคู่
20
0
1 2
0
ดังนน้ั จะได้จำนวนวธิ ีทงั้ หมด 4 วิธี 2
0
3) เปน็ จำนวนคูแ่ ละใชต้ วั เลขในแต่ละหลักซำ้ กันได้ 2

หลักร้อย หลักสบิ 0
2
(ใชต้ ัวเลขโดด 0 ไมไ่ ด้ (ใช้ตัวเลขไดท้ กุ ตัว) 0
2
0 0
2
11

2

0
21

2
ดงั น้ัน จะไดจ้ ำนวนวิธที ั้งหมด 12 วธิ ี)

8. ครถู ามนักเรียนวา่ จากโจทย์การสรา้ งตัวเลขท่ีครูกำหนดให้โดยใช้การเขียนแผนภาพ ถ้าเราใช้หลักการ
คณู ใน การคำนวณได้หรอื ไม่ อยา่ งไร
(แนวคำตอบ: ได้โดย
1) ใช้ตัวเลขในแต่ละหลักซ้ำกนั ได้
การสรา้ งจำนวนท่มี สี ามหลักโดยใช้ตัวเลขในแต่ละหลักซ้ำกันได้ มี 3 ขน้ั ตอน ดังนี้
ขน้ั ท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางทห่ี ลกั รอ้ ย จะเลือกได้ 2 วธิ ี (ไมใ่ ช้เลข 0)
ขั้นที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว วางท่ีหลกั สิบ จะเลอื กได้ 3 วิธี (ไดแ้ ก่ 0,1,2)
ข้นั ท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางที่หลักหนว่ ย จะเลือกได้ 3 วิธี (ได้แก่ 0,1,2)
ดงั นั้น จำนวนทีม่ ีสามหลกั ทส่ี ร้างไดท้ ้ังหมดเท่ากับ 2 x 3 x 3 = 18 วิธี
2) ใชต้ วั เลขในแตล่ ะหลักไมซ่ ำ้ กัน
การสร้างจำนวนทม่ี สี ามหลักโดยใช้ตัวเลขในแตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ำกัน มี 3 ขนั้ ตอน ดงั น้ี
ขั้นท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว วางที่หลกั ร้อย จะเลือกได้ 2 วิธี (ไมใ่ ช้เลข 0)
ข้นั ท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว วางทห่ี ลกั สิบ จะเลอื กได้ 2 วธิ ี (เหลือตวั เลข 2 ตัว)
ขน้ั ท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั วางทห่ี ลักหน่วย จะเลือกได้ 1 วธิ ี (เหลือตวั เลข 1 ตวั )
ดงั นั้น จำนวนทมี่ สี ามหลกั ทสี่ ร้างได้ทง้ั หมดเท่ากับ 2 x 2 x 1 = 4 วิธี
3) เป็นจำนวนคแู่ ละใชต้ ัวเลขในแตล่ ะหลักซำ้ กันได้
การสรา้ งจำนวนทมี่ ีสามหลกั เป็นจำนวนคูแ่ ละใช้ตัวเลขในแต่ละหลกั ซ้ำกนั ได้ มี 3

ขั้นตอน ดงั นี้
ขน้ั ท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางที่หลกั ร้อย จะเลอื กได้ 2 วิธี (ไม่ใช้เลข 0)
ขนั้ ท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางทห่ี ลกั สบิ จะเลือกได้ 3 วธิ ี (ไดแ้ ก่ 0,1,2)
ขั้นที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางที่หลักหน่วย จะเลอื กได้ 2 วธิ ี (ไดแ้ ก่ 0,2)

ดงั นั้น จำนวนที่มสี ามหลักท่สี ร้างไดท้ ัง้ หมดเท่ากับ 2 x 3 x 2 = 12 วธิ ี
9. ครูให้นักเรียนแต่ละทำ “ลองคำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย

การเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น จากนั้นนักเรียนและครูร่วมกันเฉลยคำตอบ โดยครูสุ่มเรียก
นกั เรยี นมาเขยี นคำตอบบนกระดาน

ช่ัวโมงที่ 3

ขนั้ สอนหรอื แสดง
10. ครูให้นักเรยี นพจิ ารณาในการสรา้ งจำนวนจากตวั เลขโดดทก่ี ำหนดให้ โดยเลขโดดแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
จะมจี ำนวนเทา่ กบั จำนวนวิธีท่ีสร้างจำนวนโดยเลขโดดแต่ละหลักซำ้ กนั ได้
(แนวคำตอบ: ไมเ่ ทา่ กนั เช่นจากตัวอยา่ งในชวั่ โมงที่ 2)
11. ครูยกตัวอยา่ งให้นักเรียนสรา้ งจำนวนสามหลักจากเลขโดด 0,1,2 โดยมีคำถามว่า
1) เป็นเลขคแ่ี ละใช้เลขโดดแต่ละหลกั ไม่ซำ้ กัน

2) เป็นเลขคแี่ ละใชเ้ ลขโดดแตล่ ะหลกั ซ้ำกันได้
3) เป็นเลขคแู่ ละใชเ้ ลขโดดแตล่ ะหลกั ไม่ซำ้ กัน
12. ครูให้นักเรยี นหาคำตอบในขอ้ 1) และขอ้ 2)
(แนวคิด 1) เปน็ เลขคี่และใช้เลขโดดแต่ละหลกั ซ้ำกันได้

การสร้างจำนวนทีม่ สี ามหลกั เปน็ เลขคี่โดยใช้ตวั เลขในแตล่ ะหลักซ้ำกันได้ มี 3 ขั้นตอน ดงั นี้
ข้นั ที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางท่ีหลักรอ้ ย จะเลอื กได้ 2 วิธี (ไมใ่ ชเ้ ลข 0)
ขั้นท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว วางท่ีหลักสิบ จะเลือกได้ 3 วธิ ี (ได้แก่ 0,1,2)
ขน้ั ที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางท่ีหลักหนว่ ย จะเลอื กได้ 1 วธิ ี (ได้แก่ 1)

ดังน้ัน จำนวนทีม่ สี ามหลักทีส่ ร้างได้ท้ังหมดเท่ากับ 2 x 3 x 1 = 6 วธิ ี
2) เป็นเลขคี่และใชเ้ ลขโดดแตล่ ะหลักไมซ่ ำ้ กัน
การสร้างจำนวนที่มีสามหลกั เป็นเลขค่ีและใช้เลขโดดแต่ละหลักไมซ่ ำ้ กนั มี 3 ขัน้ ตอน ดงั นี้

ขัน้ ท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางทหี่ ลักหน่วย จะเลือกได้ 1 วิธี (เลข 1)
ข้นั ที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางท่หี ลักร้อย จะเลือกได้ 1 วธิ ี (เลข 2)
ขน้ั ท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั วางทห่ี ลักสบิ จะเลอื กได้ 1 วธิ ี (เลข 0)
ดังน้นั จำนวนท่ีมีสามหลักทีส่ ร้างไดท้ ง้ั หมดเท่ากับ 1 x 1 x 1 = 1 วธิ ี
13. ครใู ห้นกั เรยี นทำโจทย์คำถามในขอ้ 3) ต่อ
(แนวคดิ 3) เป็นเลขคู่และใช้เลขโดดแต่ละหลักไมซ่ ำ้ กนั
เนอ่ื งจากตัวเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกนั จึงต้องแยกเป็น 2 กรณี ดังนี้
กรณที ่ี 1 ใชเ้ ลข 0 ในหลักหน่วย
ขน้ั ที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั วางทห่ี ลกั หนว่ ย จะเลือกได้ 1 วธิ ี (เลข 0)
ขัน้ ท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั วางทีห่ ลกั รอ้ ยจะเลอื กได้ 2 วิธี (เลข 1,2 )
ขน้ั ท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางทีห่ ลัก สิบจะเลอื กได้ 1 วธิ ี (เหลอื ตัวเลข 1 ตัว)
ดังนั้น จำนวนทมี่ สี ามหลกั ที่สร้างไดท้ ้งั หมดเท่ากับ 1 x 2 x 1 = 2 วิธี
กรณที ่ี 2 ใชเ้ ลข 2 ในหลักหนว่ ย
ขั้นท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั วางทห่ี ลักหน่วย จะเลือกได้ 1 วิธี (เลข 2)
ขน้ั ท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว วางที่หลกั ร้อยจะเลอื กได้ 1 วธิ ี (เลข 1 )
ขัน้ ที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว วางทห่ี ลกั สิบจะเลอื กได้ 1 วธิ ี (เลข 0)
ดงั นั้น จำนวนทีม่ ีสามหลักท่สี ร้างไดท้ ั้งหมดเท่ากับ 1 x 1 x 1 = 1 วธิ ี
14. จากแนวคิดที่แยกการหาคำตอบเป็น 2 กรณี แล้วนักเรียนจะนำคำตอบในแต่ละกรณีมาดำเนินการ
อย่างไร (แนวคำตอบ: นำมาบวกกัน เนื่องจากวิธีการทำงานในแต่ละกรณีเป็นการทำงานที่เสร็จส้ิน
แล้ว และในแต่ละกรณีก็เป็นการทำงานท่ีไม่ต่อเนื่องกัน ดังนั้น จึงนำจำนวนวิธีในแต่ละกรณีมาบวก
กนั )

15. ดงั นัน้ ครใู ห้นกั เรยี นสรุปคำตอบจำนวนวธิ ใี นการสร้างเลขคู่สามหลักและใช้เลขโดดแต่ละหลกั ไม่ซ้ำกัน
ในข้อตวั อย่างขา้ งตน้
(แนวคำตอบ: จำนวนวธิ เี ทา่ กับ 2 + 1 = 3 วิธ)ี

16. ครใู ห้นกั เรียนสรปุ หลักการบวก ดังนี้
ถ้าการทำงานหน่ึงมีวธิ ีการทำงานได้ทัง้ หมด k แบบ ตั้งแต่แบบที่ 1 ถงึ แบบที่ k โดยท่ี
การทำงานแบบที่ 1 มวี ิธีทำ n1 วิธี
การทำงานแบบที่ 2 มีวธิ ีทำ n2 วธิ ี

การทำงานแบบท่ี k มีวิธที ำ nk วธิ ี
โดยการทำงานแต่ละแบบมีวธิ ีท่แี ตกต่างกัน และสามารถเลือกวิธีการทำงานได้เพียงแบบใดแบบหน่ึง

เท่านน้ั
ดังน้นั จำนวนวิธีทจ่ี ะทำงานนที้ ัง้ หมดเทา่ กบั n1 + n2 + … + nk วธิ ี
17. ครูยกตัวอยา่ งโจทยป์ ัญหา ดงั นี้
1) นาย ก. เดนิ ทางจากบ้านไปทีท่ ำงาน โดยไปทางบกแลว้ ไปตอ่ ทางเรอื มีวธิ ีการเดินทางบกได้ 3 วิธี

ไดแ้ ก่ เดนิ รถสองแถว และรถจกั รยานยนต์รบั จา้ ง เมือ่ ถึงทา่ เรือมีเรอื ไปยังที่ทำงานได้ 2 แบบ
คอื เรอื ด่วน เรือเร็ว
2) นาย ข. เดินทางจากบ้านไปที่ทำงาน โดยไปทางบกมีวิธกี ารเดินทางได้ 3 วิธี ได้แก่ เดิน รถสอง
แถว และรถจกั รยานยนตร์ บั จา้ ง หรือไปทางเรือได้ 2 แบบ คอื เรือดว่ น เรอื เร็ว
18. ครใู ห้นกั เรียนพิจารณาวา่ ข้อ 1) และข้อ 2) เป็นการใชห้ ลกั การนบั เบอ้ื งต้น เรือ่ งการบวกหรอื การคณู
(แนวคำตอบ: ขอ้ 1) เป็นหลกั การคูณ ขอ้ 2) เป็นหลักการบวก )
19. ครใู หน้ ักเรียนพจิ ารณาตัวอย่างท่ี 7 จากนั้นใหน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติม
คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 หลกั การนับเบอ้ื งต้น เพ่ือตรวจสอบความเข้าใจ
20. ใหน้ ักเรยี นจับคู่กันแลว้ ทำแบบฝกึ ทักษะ 2.1 ข้อ 8 ในหนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5
เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 2 หลักการนับเบ้ืองตน้ จากน้ันนกั เรียนและครรู ่วมกนั เฉลยคำตอบ

ข้นั สรุป

1. ครูใหน้ ักเรยี นบอกกฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกับการนับวา่ มอี ะไรบ้าง
2. ครูให้นักเรยี นสรุปข้นั ตอนของการสร้างตัวเลข 3 หลกั จากเลขโดด

7. การวัดและประเมินผล

รายการวดั วธิ ีการ เครื่องมือ เกณฑก์ ารประเมิน

7.1 การประเมินกอ่ นเรยี น

- แบบทดสอบก่อนเรียน - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบก่อนเรียน - ประเมนิ ตามสภาพจรงิ

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 กอ่ นเรียน

หลักการนบั เบ้อื งต้น

7.2 ประเมินระหวา่ งการจัด - ตรวจใบงานท่ี 2.1.1 - ใบงานท่ี 2.1.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.1 - แบบฝกึ ทักษะ 2.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

1) กฎเกณฑ์เบ้ืองต้น
เก่ียวกับการนบั

2) นำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม - ระดบั คณุ ภาพ 2
รายบคุ คล การทำงานรายบคุ คล การทำงานรายบุคคล ผ่านเกณฑ์
- ระดบั คณุ ภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกตพฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์
กลมุ่ การทำงานกล่มุ การทำงานกลุม่ - ระดบั คณุ ภาพ 2
ผ่านเกณฑ์
5) คุณลกั ษณะ - สงั เกตความมวี ินัย - แบบประเมนิ
อันพึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมนั่ คุณลักษณะ
ในการทำงาน อนั พงึ ประสงค์

8. สอื่ /แหลง่ การเรียนรู้

8.1 สื่อการเรยี นรู้
1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 2 หลักการนับเบ้ืองตน้
2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ
เบือ้ งตน้
3) ใบงานที่ 2.1.1 เรือ่ ง การนบั เบื้องต้น

8.2 แหล่งการเรียนรู้
-

9. การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (3 ห่วง 2 เงอ่ื นไข 4 มติ ิ)

- การบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เงอ่ื นไข

พอประมาณ เง่ือนไขความรู้

มเี หตผุ ล เง่อื นไขคุณธรรม

มีภมู ิคมุ้ กันในตัวทด่ี ี

ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง 4 มิติ

มติ เิ ศรษฐกิจ มติ สิ ังคม มิติสิง่ แวดลอ้ ม มติ วิ ัฒนธรรม

ใบงานที่ 2.1.1 คำนวณ

เรือ่ ง การนบั เบ้อื งต้น

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นแสดงวธิ กี ารหาคำตอบในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้
ปัญหา เขียนแผนภาพ

1. ครูเลอื กรบั ประอาหารโดยมีอาหาร
คาว 3 ชนดิ และขนมหวาน 2 ชนดิ

2. นักเรียนแต่งตัวโดยมีเสื้ออยู่ 4 แบบ
มกี างเกง 3 แบบ และมรี องเท้า 2 คู่

3. คนทำงานเลือกวิธีการไปโรงเรียน
คณุ แป๋มต้องออกจากซอยมายังถนน
ใหญ่มีวิธีการเดินทางได้ 3 วิธี คือ ขี่
จักรยาน รถรับจ้าง และเดิน เม่ือ
มาถงึ ถนนใหญ่มีวธิ กี ารเดนิ ทางไปถงึ
โรงเรียนได้ 4 วิธี คือ รถประจำทาง
ธรรมดา รถประจำทางปรับอากาศ
รถตู้ และรถแทกซ่ี

ใบงานท่ี 2.1.1 เฉลย

เรอ่ื ง การนับเบอ้ื งตน้ คำนวณ
3x2=6
คำชีแ้ จง : ให้นักเรยี นแสดงวิธกี ารหาคำตอบในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
4 x 3 x 2 = 24
ปัญหา เขยี นแผนภาพ

1. ครูเลือกรับประอาหารโดยมีอาหาร อาหารคาว1 ขนมหวาน1
คาว 3 ชนดิ และขนมหวาน 2 ชนดิ ขนมหวาน2
อาหารคาว2 ขนมหวาน1
ขนมหวาน2
อาหารคาว3 ขนมหวาน1
ขนมหวาน2

2. นักเรียนแตง่ ตัวโดยมีเสอ้ื อยู่ 4 แบบ กางเกง 1 รองเทา้ 1
มีกางเกง 3 แบบ และมีรองเท้า 2 กางเกง 2 รองเทา้ 2
คู่ เส้อื 1 กางเกง 3 รองเทา้ 1
กางเกง 1 รองเทา้ 2
เสอื้ 2 กางเกง 2 รองเทา้ 1
กางเกง 3 รองเท้า2
เสื้อ3 กางเกง 1 รองเท้า1
กางเกง 2 รองเท้า2
กางเกง 3 รองเท้า1
รองเทา้ 2
รองเท้า1
รองเท้า2
รองเทา้ 1
รองเทา้ 2
รองเท้า1
รองเท้า2
รองเท้า1
รองเท้า2

ปญั หา เขยี นแผนภาพ คำนวณ
3 x 4 = 12
3. คนทำงานเลือกวิธีการไปโรงเรียน กางเกง 1 รองเทา้ 1
คุณแป๋มต้องออกจากซอยมายัง
ถนนใหญ่มีวิธีการเดินทางได้ 3 วิธี รองเท้า2
คือ ขี่จักรยาน รถรับจ้าง และเดิน
เมื่อมาถงึ ถนนใหญม่ ีวธิ กี ารเดินทาง เส้ือ4 กางเกง 2 รองเทา้ 1
ไปถึงโรงเรียนได้ 4 วิธี คือ รถ
ประจำทางธรรมดา รถประจำทาง รองเท้า2
ปรบั อากาศ รถตู้ และรถแทกซี่
กางเกง 3 รองเทา้ 1

รองเทา้ 2

จากซอย-ถนนใหญ่ จากถนนใหญ่-โรงเรยี น

ข่จี ักรยานรถ รถประจำทางธรรมดา
รถรับจา้ ง รถประจำทางปรับอากาศ
เดิน รถตู้
รถแทกซ่ี
รถประจำทางธรรมดา
รถประจำทางปรบั อากาศ
รถตู้
รถแทกซ่ี
รถประจำทางธรรมดา
รถประจำทางปรับอากาศ
รถตู้
รถแทกซ่ี

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 9 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5
รหสั วิชา ค 30204
กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ จำนวน 30 ชัว่ โมง
รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 จำนวน 2 ชัว่ โมง
หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 2 หลกั การนับเบอ้ื งตน้
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 แฟกทอเรยี ล

1. ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจและใช้หลกั การบวกและการคูณ การเรียงสับเปล่ยี น และการจัดหมู่ในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ

แฟกทอเรียล

บทนิยาม ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก กล่าวว่า แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจำนวนเต็มบวก

ตง้ั แต่ 1 ถึง n เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ n!

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1) สามารถหาคา่ ของแฟกทอเรยี ลได้ (K)

2) เขียนจำนวนต่าง ๆ ให้อยูใ่ นรูปแฟกทอเรยี ลได้ (P)

3) รับผิดชอบต่อหน้าที่ทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผ้เู รยี น

4.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

4.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชีวติ

4.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรเู้ พิ่มเตมิ สาระการเรียนรูท้ ้องถิ่น

- หลกั การบวกและการคณู พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนิค : อุปนัย

ชว่ั โมงท่ี 1

ขัน้ นำ

ข้ันเตรียม
1. ครูยกตัวอย่างอักษรภาษาอังกฤษสามตัวคอื A, B, C ให้นักเรียนช่วยกันจัดเรียงในแนวตรงจะไดก้ ่วี ิธี
อะไรบ้าง
(แนวคำตอบ: ได้ 6 วิธี คือ ABC BAC CAB ACB BCA CBA)
2. ครูถามนักเรียนว่าถ้าใชก้ ฎการคูณในการหาจำนวนวธิ ที ัง้ หมดไดห้ รือไม่ อยา่ งไร
(แนวคำตอบ: ได้ ดงั นี้
ขั้นที่ 1 เลือกอกั ษรตวั ที่ 1 จะเลอื กได้ 3 วธิ ี
ขั้นที่ 2 เลือกอกั ษรตัวที่ 2 จะเลือกได้ 2 วธิ ี
ขั้นที่ 3 เลือกอกั ษรตวั ที่ 3 จะเลือกได้ 1 วิธี
ดังนัน้ จำนวนวิธีทง้ั หมดเท่ากับ 3 x 2 x 1 = 6 วิธี)

ขน้ั สอน

ข้ันสอนหรอื แสดง
1. ครูยกตัวอย่างโจทย์ให้นักเรียนช่วยกันเรียงสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันนำมาเรียงเป็นเส้นตรงทั้งหมด
โดยใชห้ ลกั การคูณ โดยใหน้ กั เรยี นทำใบงานท่ี 2.2.1 แฟกทอเรียล
2. ครูใหน้ กั เรียนรว่ มกนั สรปุ หลกั การจัดเรยี งส่ิงของ n สิง่ ท่แี ตกต่างกนั ทัง้ หมด จะได้ nx(n-1)x(n-

2)x…x1 วิธี
3. ครอู ธิบายให้นักเรียนเหน็ ว่า วธิ กี ารจดั เรยี งจำนวนในแต่ละข้อ ใช้หลักการคูณในการหาคำตอบ และ
จำนวนวิธกี ารจัดเรียงจำนวนจะเป็นผลคณู ของจำนวนเตม็ บวกท่ีเรียงติดกันและลดลงที่ละ 1 ไปจนถึง
1 เพือ่ ความสะดวกในการเขนี การคูณในลกั ษณะดังกลา่ ว จะแทนการคณู ในลกั ษณะน้ีดว้ ยสัญลกั ษณ์ !
อา่ นวา่ แฟกทอเรยี ล ดงั นั้น nx(n-1)x(n-2)x…x1 จะเขียนแทนดว้ ย n! อา่ นวา่ เอน็ แฟกทอเรียล
4. ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปบทเรียน จนได้บทนิยามของแฟกทอเรียล คือ ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก
กล่าววา่ แฟกทอเรยี ล n คอื การคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n!
5. ครูถามนักเรียนว่าเราสามารถเขยี น 10! ใหอ้ ยูใ่ นรูป 10x9! ไดห้ รือไม่
(แนวคำตอบ: ได้ เพราะ 10x9! = 10x9x8x7x…x3x2x1)
6. ครูให้นักเรียนพจิ ารณาตัวอย่างที่ 12 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วย
การ เรยี นรู้ท่ี 2 หลกั การนบั เบือ้ งตน้ เปน็ การดำเนนิ การของรูปแฟกทอเรยี ล

7. ครใู ห้นักเรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ย
การ เรยี นรทู้ ่ี 2 หลกั การนับเบอื้ งต้นจากน้ันครสู ุ่มเรยี กนกั เรียนให้บอกคำตอบ

ช่วั โมงที่ 2

ขน้ั สอนหรอื แสดง

8. ครใู หน้ กั เรียนเขยี นจำนวนในรปู การคูณโดยละลงทีละ 1 ใหอ้ ยู่ในรูปแฟกทอเรียล เชน่

1) 15 x 14 x 13 = 15!
12 !
(n + 1)!
2) (n+1)(n)(n-1) = (n − 2)!

9. ครใู ห้นกั เรยี นพิจารณาคา่ ของ 0! ว่ามีค่าเท่าใดแล้วครูแสดงการหาคา่ 0! ไดน้ กั เรยี นดดู ังนี้

จาก n! = n(n-1)!

ถ้ากำหนดให้ n = 1 จะได้ 1! = 1(1-1)!

1! = 1(0)!

ดงั น้ัน 0! = 1 น่นั เอง

10. ครูให้นักเรียนนำความรู้เรื่องแฟกทอเรียลมาใช้ในการแก้สมการหาค่าตัวแปรท่ีอยู่ในรูปแฟกทอเรียล

ดงั นี้

1) จงหาค่า n เมอ่ื

1.1) n! = 24

แนวคำตอบ 24 = 4 x 3 x 2 x 1

= 4!

ดังนั้น n = 4

1.2) (n n! ! = 132
− 2)

แนวคำตอบ n! = 132
(n − 2)!

n(n −1)(n − 2) ! = 132
(n − 2)!

n(n −1) = 132

n(n −1) = 12 x 11

ดังนัน้ n = 12

1.3) 720n! = (n-6)!10!

แนวคำตอบ 720n! = (n-6)!10!

(n n! ! = 10 !
− 6) 720

n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) = 10 !
6!
n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) = 10 x 9 x 8 x 7

จะต้องเขียนผลคณู ใหม่ใหไ้ ด้ 6 จำนวน

n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) = 5 x 2 x 3 x 3 x 4 x 2 x 7

=7x6x5x4x3x2

ดงั นั้น n = 7

11. ใหน้ ักเรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี

2 หลกั การนับเบ้อื งต้นเพื่อตรวจสอบความเข้าใจ

12. ให้นักเรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 2.2ก ข้อ 1-3 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 หลกั การนับเบื้องตน้ จากนน้ั ครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ

ขั้นสรุป

1. ครูให้นักเรียนสรุปวิธกี ารหาจำนวนวิธใี นการเรียงของ n สงิ่ ทแี่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมดวา่ จะจดั เรียงได้ก่แี บ

7. การวัดและประเมนิ ผล

รายการวดั วิธีการ เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ
7.1 ประเมินระหว่างการจัด - ตรวจใบงานท่ี 2.2.1 - ใบงานที่ 2.2.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.2 - แบบฝึกทักษะ 2.2 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้
1) แฟแทอเรยี ล

2) นำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคณุ ภาพ 2
ผลงาน
นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
รายบคุ คล การทำงานรายบุคคล
พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานรายบคุ คล

4) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2
กลุ่ม การทำงานกล่มุ
พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

5) คณุ ลกั ษณะอนั พงึ - สงั เกตความมวี ินยั - แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2
ประสงค์ ใฝเ่ รียนรู้ และมุ่งมัน่
ในการทำงาน คณุ ลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้

8.1 สอื่ การเรยี นรู้

1) หนงั สือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 หลกั การนับเบ้อื งต้น

2) หนังสือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 หลักการนับ

เบ้ืองต้น

3) ใบงานที่ 2.1.1 เร่อื ง แฟกทอเรียล

8.2 แหล่งการเรียนรู้ -

9. การบรู ณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง (3 หว่ ง 2 เงื่อนไข 4 มิติ)

- การบรู ณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง

ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง 3 หว่ ง ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง 2 เง่อื นไข

พอประมาณ เงอื่ นไขความรู้

มีเหตุผล เงือ่ นไขคุณธรรม

มีภูมคิ ุ้มกันในตวั ที่ดี

ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง 4 มติ ิ

มิตเิ ศรษฐกจิ มิตสิ ังคม มิติสิ่งแวดล้อม มติ ิวัฒนธรรม

ใบงานที่ 2.2.1

เรอ่ื ง แฟกทอเรียล

คำช้แี จง : ให้นักเรียนเขยี นจำนวนวิธกี ารเรียงสงิ่ ของ n ส่ิงท่ีแตกต่างกันเป็นเส้นตรงท้งั หมด โดยใช้หลักการ
คณู

1. มีของ 4 ชน้ิ ที่แตกตา่ งกนั จะเรยี งไดท้ ัง้ หมด
เท่ากับ ................................................................................ วิธี

2. มีของ 5 ชน้ิ ทแ่ี ตกตา่ งกนั จะเรียงได้ทง้ั หมด
เทา่ กับ ................................................................................ วธิ ี

3. มขี อง 10 ช้นิ ทแี่ ตกตา่ งกันจะเรียงไดท้ งั้ หมด
เทา่ กับ ................................................................................ วธิ ี

4. มีของ 20 ชน้ิ ท่ีแตกต่างกันจะเรยี งไดท้ ั้งหมด
เทา่ กับ ................................................................................ วิธี

ใบงานท่ี 2.2.1 เฉลย

เร่ือง แฟกทอเรียล

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นเขียนจำนวนวิธีการเรียงสิ่งของ n สงิ่ ทแี่ ตกต่างกันเป็นเสน้ ตรงทัง้ หมด โดยใช้หลกั การ
คูณ

1. มขี อง 4 ชิ้นท่ีแตกต่างกันจะเรียงไดท้ ง้ั หมด
…เท…่า…ก…ับ…4…x…3……x …2…x…1……วิธ…ี ………………………………………………………………………………………….……..

2. มขี อง 5 ช้ินท่ีแตกต่างกันจะเรียงไดท้ งั้ หมด
เ…ท…่าก…บั ……5…x…4…x…3…x……2 …x…1……วิธ…ี …………………………………………………………………………………….……..

3. มขี อง 10 ชน้ิ ทแี่ ตกต่างกันจะเรียงไดท้ ง้ั หมด
เ…ท…า่ ก…ับ……10……x …9…x…8…x………x…3……x …2…x…1……วธิ…ี …………………………………………………………………….……..

4. มีของ 20 ชิ้นท่แี ตกตา่ งกันจะเรยี งไดท้ ้งั หมด
เ…ท…่าก…บั ……20……x …19……x…1…8 …x………x……3…x…2…x……1 …ว…ธิ …ี ……………………………………………………………….……..

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5
รหัสวิชา ค 30204
กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ จำนวน 30 ชวั่ โมง
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 จำนวน 4 ชั่วโมง
หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 2 หลกั การนบั เบื้องตน้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 10 วิธเี รยี งสบั เปล่ยี นของสิง่ ของที่แตกตา่ งกันในแนวตรง

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใชห้ ลกั การบวกและการคูณ การเรียงสบั เปลย่ี น และการจดั หมใู่ นการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคญั

จำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ยี นของสิ่งของn ส่งิ ท่ีแตกตา่ งกันทงั้ หมดในแนวตรง เท่ากับ n! วธิ ี

จำนวนวธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นของสง่ิ ของ n สงิ่ ท่แี ตกต่างกันทงั้ หมดในแนวตรง

โดยจัดเรยี งคราวละ r ส่ิง (0 ≤ r ≤ n) เท่ากบั Pn,r = n! r) ! วธิ ี
(n−

3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1) หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นของสงิ่ ของทีแ่ ตกต่างกนั ในแนวตรงได้ (K)

2) เขยี นแสดงขนั้ ตอนการทำงานของการเรยี งสบั เปลย่ี นของส่ิงของที่แตกต่างกนั ในแนวตรงได้ (P)

3) รบั ผดิ ชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (A)

4. สมรรถนะของผู้เรยี น

4.1 ความสามารถในการสอื่ สาร

4.2 ความสามารถในการคิด

4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ติ

4.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

5. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรเู้ พมิ่ เติม สาระการเรียนรทู้ ้องถิ่น

- หลักการบวกและการคูณ พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

6. กระบวนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : อุปนยั

ช่ัวโมงที่ 1

ข้นั นำ

ขน้ั เตรียม
1. ครทู บทวนเร่อื ง แฟกทอเรยี ลและเร่ืองการเรยี งสับเปล่ยี นสง่ิ ของทั้งหมด n สิ่งเปน็ แนวตรง จะสา
มาถทำได้กวี่ ิธี
(แนวคำตอบ: n! วธิ ี ซงึ่ สามารถเขยี นได้เป็น n(n-1)! = n x (n-1) x (n-2) x … x 3 x 2 x 1)
2. ครูแจกใบงาน 2.3.1 เรอื่ ง การเรียงสบั เปล่ียน ให้กับนกั เรยี นจากนนั้ ใหเ้ วลานกั เรียนในการทำใบ
งานประมาณ 10 นาที

ขน้ั สอน

ขน้ั สอนหรือแสดง
1. จากการทำใบงาน ครูกล่าวสรุปว่า การนำสิ่งของที่แตกต่างกนั มาจัดเรียงเป็นเป็นเส้นตรง เราจะ
เรียกวา่ การเรยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้น (linear permutation)
2. ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปการหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นที่นักเรียนทำจากใบงานจะมี
ทัง้ หมด ได้ก่ีวธิ ี มีอะไรบา้ ง
(แนวคำตอบ: 2 วิธี คือ ใหก้ ารคูณและการเขยี นแจกแจง)

ชั่วโมงที่ 2

ข้นั สอนหรือแสดง

3. ครูบอกให้นักเรียนรู้จกั สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการหาจำนวนวิธีเรยี งสับเปลีย่ นเชิงเส้นตรงของสิ่งของ n

สง่ิ ท่ี แตกต่างกนั ทง้ั หมด โดยจดั เรียงคร้งั ละ r ส่ิง จะเขียนแทนด้วย P(n,r) หรือ nPr หรอื Pn,r

โดย Pn,r = n!
(n− r)!
4. ครยู กตวั อยา่ งในการหาคา่ Pn,r เชน่

จงหาค่าของ 1) P12,5 2) P4,4 3) P4,2

(แนวคำตอบ: 1) P12,5

P12,5 = 12!
(12-5)!

= 12!
7!
= 12 x 11 x 10 x 9 x 8

= 95,040

2) P4,4

P4,4 = 4!
(4-4)!
4!
= 0!

= 4!
1!

= 4x3x2x1

= 24

3) P4,2 4!
P4,2 = (4-2)!

= 4!
2!
= 4x3

= 12)

5. ครยู กตัวอย่างในการหาคา่ n จากการใชส้ ูตร Pn,r เช่น

จงหาค่า n เมื่อ 1) Pn,6 = 30Pn,4 2) Pn+1,3 - 10Pn-1,2 = 0

(แนวคำตอบ: 1) Pn,6 = 30Pn,4

วธิ ีทำ Pn,6 = 30Pn,4

n! = 30 n!
(n-2)! (n-4)!

(n-4)! = 30
(n-6)!

(n – 4)(n – 5) = 6 x 5

จะไดว้ า่ n – 4 = 6 n – 5 = 5

นัน่ คือ n = 10 n = 10

ดงั นนั้ n = 10

2) Pn+1,3 - 10Pn-1,2 = 0

วธิ ีทำ Pn+1,3 - 10Pn-1,2 = 0

(n+1)! = 10 (n-1)!
(n+2-3)! (n-2-3)!

(n+1)! = 10 (n-1)!
(n-2)! (n-3)!

(n+1)! = 10 (n-2)!
(n-1)! (n-3)!

(n + 1)(n) = 10(n – 2)

n2 + n = 10n – 20

n2 - 9n + 20 = 0

(n – 4)(n – 5) = 0

จะได้ว่า n – 4 = 0 n – 5 = 0

นัน่ คอื n = 4 n=5

ดงั นนั้ n = 4 หรือ 5 )

6. ครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2 หน่วยการ

เรียนรู้ที่ 2 หลักการนับเบื้องต้นเป็นการทดสอบย่อย โดยครูแจกกระดาษคำตอบให้นักเรียนเขียน

คำตอบ ให้เวลาในการทำ 10 นาที

7. ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ 2.2ข ขอ้ 1, 2 และ 3 ในหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.

5 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 หลกั การนับเบอื้ งต้นจากนนั้ นักเรยี นและครรู ว่ มกันเฉลยคำตอบ

ชว่ั โมงที่ 3

ขัน้ สอนหรือแสดง
8. ครูถามนักเรียนว่าจากการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน
ทง้ั หมด โดยจดั เรียงครัง้ ละ r สง่ิ โดยใชส้ ูตร Pn,r สามารถนำไปใช้ประโยชน์ในชวี ิตประจำวันของ
เรา เชน่ การเรียงส่งิ ใดได้บา้ ง โดยครใู ห้นักเรยี นยกตัวอย่าง 2 – 3 คำตอบ
(แนวคำตอบ:
1) มีหนังสือ 5 เล่มที่แตกต่างกัน ต้องการนำมาจัดเรียงบนช้ันวางหนังสือเป็นแนวตรง ครั้ง ละ 3
เลม่ จะสามารถจัดเรยี งหนงั สอื ได้ P5,3 = 60 วิธี
2) มีนักเรยี น 10 คน สมคั รคัดเลือกเป็นประธานนกั เรียนและรองประธานอย่างละ 1 ตำแหนง่ จะมี

วิธกี ารคดิ เลอื กไดท้ ัง้ หมด P10,2 = 90 วธิ ี)

9. ครูยกตวั อยา่ งการนำสตู ร Pn,r ไปใชแ้ ก้โจทย์ปัญหาดังต่อไปน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 1 นำตัวอกั ษรจากคำว่า “MONDAY” มาจัดเรยี งเปน็ คำใหมโ่ ดยไมค่ ำนึงถงึ ความหมาย
ดงั นี้
1) เลอื กตวั อกั ษรมาครัง้ ละ 4 ตวั
2) เลอื กตวั อกั ษรมาคร้งั ละ 4 ตวั โดยให้ A อยู่หน้าสุดเสมอ
3) เลือกตวั อกั ษรมาครั้งละ 4 ตวั โดยให้ A และ M อยู่ตดิ กันเสมอ

วธิ ีทำ 1) เลือกตวั อักษรมาครั้งละ 4 ตวั

ตำแหนง่ ท่ี 1 เลอื กตวั อักษรมาจัดเรยี งได้ 6 วิธี

ตำแหน่งท่ี 2 เลือกตัวอกั ษรมาจัดเรยี งได้ 5 วิธี

ตำแหนง่ ที่ 3 เลือกตัวอกั ษรมาจดั เรยี งได้ 4 วธิ ี

ตำแหนง่ ที่ 4 เลือกตัวอกั ษรมาจัดเรยี งได้ 3 วธิ ี

ดังน้นั จะสามารถจดั เรยี งตัวอกั ษรได้ท้งั หมด 6 x 5 x 4 x 3 = 360 วธิ ี

หรือใช้สูตร P6,4 = 6!
(6 − 4)!
6!
= 2!

= 6x5x4x3

= 360 วธิ ี

2) เลอื กตัวอักษรมาครง้ั ละ 4 ตัว โดยให้ A อยูห่ นา้ สดุ เสมอ

ตำแหนง่ ที่ 1 เลือกตวั อกั ษรมาจัดเรยี งได้ 1 วิธี (อักษร A)

ตำแหนง่ ที่ 2 เลือกตัวอกั ษรมาจดั เรียงได้ 5 วิธี

ตำแหนง่ ที่ 3 เลอื กตวั อกั ษรมาจัดเรยี งได้ 4 วิธี

ตำแหน่งที่ 4 เลอื กตวั อักษรมาจดั เรยี งได้ 3 วิธี

ดงั น้นั จะสามารถจดั เรียงตัวอักษรได้ท้งั หมด 1 x 5 x 4 x 3 = 60 วิธี

หรอื ใช้สูตร P5,3 = 5!
(5 − 3)!
5!
= 2!

= 5x4x3

= 60 วธิ ี

3) เลอื กตวั อกั ษรมาครัง้ ละ 4 ตวั โดยให้ A และ M อยู่ติดกนั เสมอ

เนอื่ งจาก A และ M อยู่ติดกันเสมอจะสามารถสลับท่กี นั ได้ เทา่ กับ 2! = 2 วธิ ี

ทำใหม้ ีตำแหน่งท่ีจะจัดเรยี งเหลืออยู่ 3 ตำแหน่ง

ดังนั้น จงึ จดั A และ M อยตู่ ิดกันได้ 3 วธิ ี

การจัด A และ M จึงคดิ เป็น 2 x 3 = 6 วิธี

และยังเหลอื ตำแหน่งใหเ้ ลอื กอกี 2 ตำแหนง่ จากตวั อกั ษร 4 ตัวท่ี

เหลืออยู่ จึงได้

P4,2 = 4!
(4 − 2)!

= 4!
2!
= 4x3

= 12 วิธี

ดงั นัน้ จะจัดอักษร 4 ตวั โดยท่อี กั ษร A และ M อยูต่ ิดกนั เสมอได้ 6 x 12 = 72 วิธี

10. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 17 – 19 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 2

หนว่ ย การเรียนรู้ที่ 2 หลกั การนบั เบอื้ งต้น

11. ครูใหน้ ักเรียนทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการเรียนรู้

ท่ี 2 หลกั การนับเบ้ืองตน้ เพอื่ ตรวจสอบความเข้าใจ

ช่ัวโมงที่ 4

ขั้นสอนหรือแสดง
12. ครูใหน้ ักเรยี นศึกษาตวั อยา่ งท่ี 20 ในหนงั สอื เรียนรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 2 หน่วยการ
เรยี นรทู้ ี่ 2 หลักการนับเบ้ืองต้น พจิ ารณาการสรา้ งจำนวนจากเลขโดด
13. ครยู กตวั อย่างการสร้างจำนวนที่มคี ่าไม่เกินสามหลกั และมคี ่านอ้ ยกวา่ 500 จากตัวเลขโดด 0, 2, 5, 8
โดย แต่ละหลกั สามารถซำ้ กนั ได้ จะสรา้ งได้ทัง้ หมดกวี่ ิธี
วธิ ีทำ กรณที ี่ 1 สรา้ งจำนวนทีม่ หี น่งึ หลัก เลือกตวั เลขโดด 1 ตัวจากเลขโดด 4 ตัว
จะได้ P4,1 = 4 วิธี
กรณที ่ี 2 สร้างจำนวนทม่ี ีสองหลกั
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กตวั เลขหลกั สิบ เลือกตวั เลขโดด 1 ตัวจากเลขโดด 3 ตวั (ไม่ใช้เลข 0)
จะได้ P3,1 = 3 วิธี
ข้นั ตอนท่ี 2 เลอื กตวั เลขหลกั หน่วย เลอื กตัวเลขโดด 1 ตัวจากเลขโดด 4 ตวั
จะได้ P4,1 = 4 วิธี
ดังนน้ั จะสรา้ งจำนวนทมี่ ีสองหลกั ไดเ้ ท่ากับ P3,1 x P4,1 = 4 x 3 = 12 วิธี
กรณีท่ี 3 สร้างจำนวนท่มี ีสามหลัก
ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกตวั เลขหลกั ร้อย เลือกตวั เลขโดดได้ 1 ตัวนน้ั คือ เลข 2
(เพราะคา่ ต้องนอ้ ยกวา่ 500)
จะได้ P3,1 = 3 วิธี
ข้ันตอนที่ 2 เลอื กตวั เลขหลักสิบ เลือกตัวเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 4 ตัว
จะได้ P4,1 = 4 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกตัวเลขหลักหนว่ ย เลือกตวั เลขโดด 1 ตัวจากเลขโดด 4 ตวั
จะได้ P4,1 = 4 วธิ ี
ดงั น้ัน จะสร้างจำนวนทม่ี ีสามหลัก ได้เท่ากับ 1 x P4,1 x P4,1 = 1 x 4 x 4 = 16 วิธี