วิชาการส่งและจ่ายไฟฟ้า 30104-2005

79

3. ค่าความจุไฟฟ้าของสายส่งไฟฟ้า
3.1 ความตา่ งศกั ยไ์ ฟฟ้าเน่ืองจากประจุไฟฟ้าบนตวั นา
3.2 ความจุไฟฟ้าในระบบ 1 เฟส
3.3 ความจุไฟฟ้าในระบบ 3 เฟส
3.4 ความจุไฟฟ้าของสายควบ
3.5 ความจุไฟฟ้าของสายวงจรคู่

ผลการเรียนรู้ทค่ี าดหวงั
1. คา่ ความตา้ นทานของสายส่งไฟฟ้า
1.1 บอกที่มาของสมการหาค่าความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสตรง
1.2 คานวณหาคา่ ความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสตรง
1.3 บอกที่มาของสมการหาคา่ ความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสสลบั
1.4 คานวณหาค่าความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสสลบั
1.5 อธิบายผลของสกินเอฟเฟกต์
2. คานวณหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายส่งไฟฟ้า
2.1 บอกที่มาของสมการหาค่าความเหนี่ยวนาของสายท่ีเกิดจากฟลกั ซ์ภายใน
2.2 คานวณหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายที่เกิดจากฟลกั ซ์ภายใน
2.3 บอกที่มาของสมการหาค่าความเหนี่ยวนาของสายที่เกิดจากฟลกั ซ์ภายนอก
2.4 คานวณหาค่าความเหนี่ยวนาของสายที่เกิดจากฟลกั ซ์ภายนอก
2.5 บอกที่มาของสมการหาคา่ ความเหน่ียวนาของสายในระบบ 1 เฟส 2 สาย
2.6 คานวณหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายในระบบ 1 เฟส 2 สาย
2.7 บอกที่มาของสมการหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายในระบบ 3 เฟส
2.8 คานวณหาค่าความเหน่ียวนาของสายในระบบ 3 เฟส
2.9 บอกที่มาของสมการหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายตีเกลียว
2.10 คานวณหาค่าความเหน่ียวนาของสายตีเกลียว
2.11 บอกที่มาของสมการหาค่าความเหน่ียวนาของสายควบ
2.12 คานวณหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายควบ
3. คานวณคา่ ความจุไฟฟ้า
3.1 บอกท่ีมาของสมการหาค่าความตา่ งศกั ยไ์ ฟฟ้าเน่ืองจากประจุไฟฟ้าบนตวั นา
3.2 คานวณหาค่าความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าเนื่องจากประจุไฟฟ้าบนตวั นา
3.3 บอกที่มาของสมการหาค่าความจุไฟฟ้าในระบบ 1 เฟส
3.4 คานวณหาคา่ ความจุไฟฟ้าในระบบ 1 เฟส

80

3.5 บอกที่มาของสมการหาคา่ ความจุไฟฟ้าในระบบ 3 เฟส
3.6 คานวณหาคา่ ความจุไฟฟ้าในระบบ 3 เฟส
3.7 บอกท่ีมาของสมการหาค่าความจุไฟฟ้าของสายควบ
3.8 คานวณหาค่าความจุไฟฟ้าของสายควบ
3.9 บอกที่มาของสมการหาค่าความจุไฟฟ้าของสายวงจรคู่
3.10 คานวณหาคา่ ความจุไฟฟ้าของสายวงจรคู่
4. คุณลกั ษณะที่พึงประสงค์
4.1 ปฏิบตั ิตามกฎระเบียบ ขอ้ บงั คบั และขอ้ ตกลงตา่ ง ๆ ของสถานศึกษา
4.2 มีความรัก ความสามคั คีในหมูค่ ณะ
4.3 มีความสนใจใฝ่ รู้

81

1. ค่าความต้านทานของสายส่งไฟฟ้า (Resistance , R)

ความตา้ นทาน (R) เป็นค่าคงที่ของสาย มีหน่วยเป็นโอห์ม (ohm) อาจกล่าวไดว้ า่ ความ

ตา้ นทานเป็ นพารามิเตอร์ที่สาคญั ที่สุดของสายส่ง เพราะวา่ นอกจากจะทาใหเ้ กิดแรงดนั ตกใน

สายส่งแลว้ ยงั ทาใหเ้ กิดกาลงั สูญเสียภายในสายส่งอีกดว้ ย ซ่ึงคา่ ความตา้ นทานกระแสตรงหาได้

จาก ค่าความตา้ นทานจาเพาะของสาย () คูณกบั อตั ราส่วนระหวา่ งความยาวของสาย ( )

กบั พ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของสาย (A) ดงั สมการท่ี (3.1)

Rd.c. =  ………(3.1)
A
เมื่อ Rd.c. = ความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสตรง

มีหน่วยเป็น โอห์ม

 = ความตา้ นทานจาเพาะของสาย

 = ความยาวของสาย

A = พ้นื ที่หนา้ ตดั ของสาย

ในกรณีท่ีหาหน่วยของความตา้ นทานจาเพาะของสาย มีอยดู่ ว้ ยกนั ดงั น้ี
1. ความยาวของสายมีหน่วยเป็นฟุต และพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของสายมีหน่วยเป็นเซอร์คิวลาร์-

มิล ค่าความตา้ นทานจาเพาะของสายมีหน่วยเป็น โอห์ม - เซอร์คิวลาร์มิลต่อฟุต
2. ความยาวของสายมีหน่วยเป็ นเมตร และพ้นื ที่หนา้ ตดั ของสายมีหน่วยเป็นตารางเมตร

คา่ ความตา้ นทานจาเพาะของสายมีหน่วยเป็น โอห์ม – เมตร

สมการท่ี (3.1) เป็นสูตรสาหรับหาค่าความตา้ นทานของสายเส้นเดียว ถา้ เป็นสายตีเกลียวค่า
ความตา้ นทานจะสูงกวา่ เล็กนอ้ ย เนื่องจากสายตีเกลียวจะมีความยาวมากกวา่ สายในแนวตรง ซ่ึง
จากการทดสอบพบวา่ สายตีเกลียว 3 เส้น ความตา้ นทานจะเพ่มิ ประมาณ 1 เปอร์เซ็นต์ ถา้ มากกวา่ น้ี
จะเพิ่มประมาณ 2 เปอร์เซ็นต์

ความต้านทานของสายนอกจากจะข้ึนอยู่กับความต้านทานจาเพาะ ความยาว และ
พ้ืนที่หนา้ ตดั ของสายส่งแลว้ ยงั เปล่ียนแปลงตามอุณหภูมิเป็ นสมการเชิงเส้นอีกดว้ ย ถา้ ให้คา่ ความ
ตา้ นทานอยูบ่ นแกนต้งั และอุณหภูมิอยูบ่ นแกนนอน อาจแสดงความสัมพนั ธ์ดงั กล่าวเป็ นกราฟได้
ดงั ภาพท่ี (3.1)

82

R

R1 R2

t

T t1
t2

ภาพท่ี 3.1 แสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความตา้ นทานกบั อุณหภูมิ

จากภาพสามารถเขียนความสัมพนั ธ์ของ R1 และ R2 ไดด้ งั สมการท่ี (3.2)

R1 = T+t1 ………..(3.2)
และ R 2 = T+t2 ………..(3.3)

เมื่อนาสมการท่ี (3.3) หารสมการท่ี (3.2) จะไดด้ งั น้ีคือ

R2 = Tt2

R1 Tt1

R2 = R1 T  t2 
 T  t1 

เพิ่ม +t1 และ -t1 เขา้ ไปตรงตวั เศษ (T + t2) จะไดด้ งั น้ี

R2 = R1 T  t1  t2  t1 
 T  t1 
1
เม่ือกาหนด = T  t1 คือ สัมประสิทธ์ิของการเพม่ิ ความตา้ นทานของวสั ดุตวั นา
เนื่องจากอุณหภูมิ

จะได้

  R2
= R1  Tt1  t2  t1 
 
 T  t1 

R2 = R1 T  t1  t2  t1
T  t1 
T  t1 


 R2 = R1 1  t2  t1  โอห์ม …….(3.4)

83

เมื่อ
R1 = คา่ ความตา้ นทานท่ีอุณหภูมิ t1
R2 = คา่ ความตา้ นทานท่ีอุณหภูมิ t2
T = อุณหภูมิท่ีทาใหว้ สั ดุแตล่ ะชนิดมีคา่ ความ
ตา้ นทานเป็ นศูนย์
 = สมั ประสิทธ์ิของการเพมิ่ ความตา้ นทานของ
วสั ดุตวั นาเนื่องจากอุณหภูมิ

ตัวอย่างท่ี 3.1 สายทองแดงรีดแขง็ เส้นหน่ึงยาว 5 ไมล์ มีความตา้ นทานจาเพาะ = 10.62

โอห์ม - เซอร์คิวลาร์มิลต่อฟุต และพ้ืนที่หนา้ ตดั ของสาย = 160,669.34 เซอร์คิวลาร์มิล จงหาค่า

ความตา้ นทานในสายเส้นน้ี (1 ไมล์ = 5280 ฟุต)

วธิ ีทา จาก Rd.c. =  
แทนค่าลงในสมการจะได้ A

Rd.c. = 10.62  - circularmi1ตอ่ ft (517603) ft
160,669.34 circularmil

= 1.745 โอห์ม

 ค่าความตา้ นทานของสายน้ีมีคา่ เท่ากบั 1.745 โอห์ม ตอบ

ตวั อย่างที่ 3.2 สายทองแดงรีดแขง็ เส้นหน่ึงยาว 8 ไมล์ มีคา่ ความตา้ นทาน 1.745 โอห์ม ท่ี

อุณหภูมิ 20 C จงคานวณหาค่าความตา้ นทานท่ีอุณหภูมิ 50 C

วธิ ีทา จาก R2 = R1 1  t2  t1  โอห์ม

และจากตารางท่ี 3.1 สายทองแดงรีดแขง็ ได้  ที่ 20 C = 0.00382

 R2 = 1.745 1  0.0038250  20 โอห์ม

= 1.945 โอห์ม
ค่าความตา้ นทานท่ีอุณหภูมิเปลี่ยนจาก 20 C ไปเป็น 50 C มีค่า เท่ากบั 1.945 โอห์ม ตอบ

84

ตารางท่ี 3.1 แสดงความตา้ นทานจาเพาะ () และคา่ สมั ประสิทธ์ิของการเพิม่ ความตา้ นทานของ
วสั ดุตวั นาเน่ืองจากอุณหภูมิ ( )

คา่ ความตา้ นทานจาเพาะ ()ที่ 20 C สัมประสิทธ์ิการ
เพมิ่ ค่าความ
วสั ดุ ไมโครโอห์ม- โอห์มเซอร์คิวลาร์มิล
ตา้ นทาน ( )ท่ี 20
อะลูมิเนียม เซนติเมตร ต่อฟุต
ทองเหลือง C
ทองสมั ฤทธ์ิ 2.83 17.00 0.00390
ทองแดง 6.4-8.4 38-51 0.00200
13.0-18.0 78-108 0.00050
1. รีดแขง็
2. อบอ่อน 1.77 10.62 0.00382
เหลก็ 1.72 10.37 0.00393
เงิน 10.00 60.00 0.00500
โซเดียม 1.59 9.60 0.00380
เหล็กกลา้ 4.30 26.00 0.00440
12-88 72-530 0.001-0.005

ในปัจจุบนั การส่งพลงั งานไฟฟ้าส่วนมากเป็ นไฟฟ้ากระแสสลบั ดงั น้นั ความตา้ นทานของ
สายส่งในปัจจุบนั จึงเป็ นความตา้ นทานไฟฟ้ากระแสสลบั เป็ นส่วนใหญ่ ซ่ึงเรียกว่า ความ
ต้านทานประสิทธิผล ( effective resistance ) ความต้านทานชนิดน้ีเม่ือเปรียบเทียบกับความ
ตา้ นทานกระแสตรงจะมีค่าความตา้ นทานสูงกว่าความตา้ นทานกระแสตรงอยู่เล็กน้อย ค่าความ
ตา้ นทานประสิทธิผล (Re) อาจหาไดจ้ ากกาลงั สูญเสียภายในของสาย (P) ต่อกระแส (I) ที่ไหลผา่ น
สายยกกาลงั สอง และสามารถแสดงความสมั พนั ธ์ดงั กล่าวไดด้ งั สมการท่ี (3.5)

ความตา้ นทานประสิทธิผลหาไดจ้ าก

Re = P โอห์ม ...……(3.5)
I2

85

ตัวอย่างที่ 3.3 สายเส้นหน่ึงมีค่าความตา้ นทานของสาย = 10 โอห์ม และกระแสที่ไหล
ผา่ นสายรวม 1000 แอมป์ จงคานวณหา ความตา้ นทานประสิทธิผล (Re) ของสาย

I = 1000 A

ภาพที่ 3.2 แสดงสายส่งไฟฟ้าที่มีกระแสไฟฟ้าไหล

วธิ ีทา Re = P
จาก I2
(1000)2 10
 Re = (1000)2

= 10 โอห์ม

 ค่าความตา้ นทานประสิทธิผลของสาย เท่ากบั 10 โอห์ม ตอบ

1.1 ผลของสกนิ เอฟเฟกต์ ทวภิ าคี 14 พ.ย. 61, ปกติ 16 พ.ย 61

สกินเอฟเฟกตเ์ ป็ นชื่อเรียกปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าอยา่ งหน่ึง ที่ทาให้ความหนาแน่น
ของกระแสบริเวณรอบผิวตวั นาสูงกว่าภายใน ปรากฏการณ์ดงั กล่าวจะเกิดข้ึนเฉพาะกรณีที่ส่ง
พลงั งานด้วยระบบไฟฟ้ากระแสสลบั เท่าน้นั ความหนาแน่นกระแสท่ีผิวน้ีจะเปล่ียนแปลงตาม
ความถ่ีท่ีใช้กล่าวคือ ถ้าความถ่ีสูงข้ึนกระแสจะไหลที่ผิวมากข้ึน จากสาเหตุดงั กล่าวจึงส่งผล
กระทบให้ความตา้ นทานของสายมีค่าสูงข้ึน สาเหตุที่กระแสมีความหนาแน่นท่ีผวิ มากกวา่ ภายใน
เกิดจากผลของฟลกั ซ์คลอ้ งสายภายในมีค่าสูงกวา่ ฟลกั ซ์คลอ้ งที่ผิวนน่ั เอง ซ่ึงผลของฟลกั ซ์คลอ้ ง
สายในวงจรไฟฟ้ากระแสสลบั จะถูกเปล่ียนใหเ้ ป็นแรงดนั ตา้ นกลบั ในภายหลงั ดงั น้นั ส่วนของตวั นา
ที่มีฟลกั ซ์คลอ้ งสูงจะมีค่าความเหน่ียวนาสูงและมีแรงดนั ตา้ นกลบั สูง กระแสจึงไหลในส่วนน้นั ได้
นอ้ ยลง

86

2. ความเหน่ียวนาของสายส่งไฟฟ้า ( Inductance , L )

ความเหนี่ยวนา เป็นค่าคงที่ของสาย มีหน่วยเป็นเฮนรี่ ( Henry) หาไดจ้ ากอตั ราส่วน

ของฟลกั ซ์คลอ้ งสาย ตอ่ กระแสที่ไหลผา่ นสาย สามารถเขียนไดเ้ ป็นสูตรดงั น้ี

L = λ
เม่ือ I

L = ความเหนี่ยวนา มีหน่วยเป็น เฮนรี่

 = ฟลกั ซ์คลอ้ งสาย มีหน่วยเป็นเวเบอร์ - รอบ

I = กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ น มีหน่วยเป็นแอมแปร์

2.1 ความเหนี่ยวนาของสายทเี่ กดิ จากฟลกั ซ์ภายใน

ความเหนี่ยวนาของสายที่เกิดจากฟลกั ซ์ภายในเกิดข้ึนไดจ้ ากกระแสบางส่วนท่ีไหล
ภายในสาย จากภาพที่ 3.3 เป็นรายละเอียดท่ีแสดงใหเ้ ห็นกระแสส่วนยอ่ ย IX ไหลภายในสายและ
การเกิดฟลกั ซ์ลอ้ มรอบสายในส่วนที่พิจารณา

ฟลกั ซ์ภายใน

I d  BdA

d

พ้ืนท่ี

IX dA=1dx

1 เมตร

dl HxX x
r dx

ภาพที่ 3.3 แสดงฟลกั ซ์คลอ้ งภายในสาย dX

ถา้ ให้ IX เป็นกระแสท่ีไหลภายในรัศมี X และ HX เป็นความเขม้ ของสนามแม่เหล็กที่รัศมี
X อาจแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง IX และ HX ไดด้ งั น้ี

IX =  HX .dl = mmfx

=  HX .d (2X)

= HX.(2X) แอมแปร์ – รอบ ..........(3.6)

ในทานองเดียวกนั ถา้ ให้ I เป็นกระแสท่ีไหลภายในรัศมี r และ H เป็นความเขม้

สนามแมเ่ หลก็ ที่มีรัศมี r ก็อาจหาความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง I และ H ไดด้ งั น้ี

87

IX =  H.dl = mmf
=  H.d (2r)

= H.(2r) แอมแปร์ – รอบ ..........(3.7)
……..(3.8)
ความหนาแน่นกระแสภายในเท่ากนั ดงั น้ี ......... (3.9)
IX I
X 2 = r 2

หรือ

IX = I X2
r2
แทนคา่ สมการท่ี (3.8) ลงในสมการที่ (3.6) จะไดค้ ่า Hx ดงั น้ีคือ

I X2 = HX.(2X)
r2
X2
HX = I r 2 (2X ) แอมแปร์–รอบ / เมตร

ความหนาแน่นฟลกั ซ์ (B) จะมีความสมั พนั ธ์กบั เพอร์มิบิลิต้ี () และความเขม้
สนามแมเ่ หลก็ (H) ถา้ ตอ้ งการหาความหนาแน่นฟลกั ซ์ที่ระยะ X จะมีคา่ ดงั น้ีคือ

BX = HX

แทนค่า Hx จากสมการที่ (3.9) ลงไปจะไดด้ งั น้ีคือ
X
BX =  I 2r 2 เวเบอร์ – รอบ / ตารางเมตร ..........(3.10)

ถา้ dx เป็ นระยะทางเล็ก ๆ ในแนวรัศมี X เม่ือคูณกบั ความยาวสาย 1 เมตร จะไดพ้ ้ืนที่
เลก็ ๆ dA = 1dx ดงั ภาพที่ ( 3.3 ) และฟลกั ซ์ d ท่ีไหลผา่ นจะหาไดด้ งั น้ี

d = BXdA
 XI
= 2 r 2 dx เวเบอร์ / เมตร ...........(3.11)

เนื่องจากฟลกั ซ์คลอ้ งสายภายใน ( internal flux linkage ) จะคลอ้ งไดไ้ ม่เตม็ พ้ืนท่ีหนา้ ตดั

ของสายหรือ N น้อยกว่า 1 รอบ ดังน้ันการหาจานวนรอบจากปริมาณฟลกั ซ์คล้องในกรณีน้ี

จะตอ้ งเทียบจากพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ท่ีฟลกั ซ์คลอ้ งไดต้ ่อพ้นื ที่หนา้ ตดั เตม็ สายนนั่ คือ

88

N = X 2 (มีคา่ นอ้ ยกวา่ 1)
r 2
d = Nd

= X 2   XI dx
r 2 2r 2
I
 d = 2 r 4 X 3 dx …….(3.12)

ถา้ จะหาผลรวมของฟลกั ซ์คลอ้ งสายภายในท้งั หมด ที่เกิดจากกระแสไหลในส่วนยอ่ ยต้งั แต่

รัศมี X = 0 ไปจนถึง X = r จะไดด้ งั น้ี

int = 0rd

=  r I X 3dx
0 2 r 4

=  I r
4  2r4 0
μI
= 8μπIrr44 r 4  0
=
8πr4
μI
 λint = 8π เวเบอร์ – รอบ / เมตร ..........(3.13)

แต่  = ro เมื่อ r คือ เพอร์มิบิลิต้ีสมั พทั ธ์ ถา้ สายส่งไมไ่ ดท้ าจากสารเหล็ก เช่น

สายอะลูมิเนียมลว้ น (AAC) หรือสายอะลูมิเนียมอลั ลอย (AAAC) จะแทนคา่ r = 1 แตถ่ า้ สายส่ง

มีส่วนประกอบของสารเหล็ก เช่น สายอะลูมิเนียมแกนเหลก็ (ACSR) ค่า r จะมีคา่ มากกวา่ 1

และ o คือ เพอร์มิบิลิต้ีของอากาศมีคา่ เทา่ กบั 4  10-7 เมื่อแทนคา่  ลงในสมการท่ี (3.13)

จะไดด้ งั น้ี r .o .I
8
 int =

= r  410 7  I
8
r . I
= 2 107 เวเบอร์ – รอบ / เมตร .........(3.14)

89

และความเหน่ียวนาของสายท่ีเกิดจากฟลกั ซ์คลอ้ งสายภายในจะมีค่าดงั น้ี

L int =  int
I
r I
= 2I 10 7

 Lint = r 107 เฮนร่ี / เมตร .....(3.15)
2

จากสมการจะเห็นวา่ คา่ ความเหน่ียวนาภายในจะข้ึนอยกู่ บั ชนิดของวสั ดุท่ีเป็นตวั นาน้นั เอง

ตวั อย่างที่ 3.4 สายอะลูมิเนียมแกนเหลก็ ( ACSR ) เส้นหน่ึงมีคา่ เพอร์มิบิลิต้ีสมั พทั ธ์ = 1.25 จง

คานวณหาค่าความเหน่ียวนาภายในสายส่งเส้นน้ี

วธิ ีทา จาก

Lint = r 107
2
1.25
= 2 10 7

= 6.25108 เฮนรี่ / เมตร

 ค่าความเหน่ียวนาภายในของสายส่งเส้นน้ีมีคา่ เท่ากบั 6.25108 เฮนร่ี / เมตร ตอบ

2.2 ความเหนี่ยวนาของสายทเ่ี กดิ จากฟลกั ซ์ภายนอก
ถา้ ให้ r เป็นรัศมีของสายตนั รูปทรงกระบอก (cylindrical) และ I เป็นกระแสที่ไหล

ภายในสาย ฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอกจะเกิดจากกระแสน้ี มีลกั ษณะเป็นวงกลมลอ้ มรอบสายเป็นช้นั ๆ
ต้งั แต่รัศมี r ออกไปจนถึงคา่ อนนั ต์ ( infenity) ดงั ภาพท่ี 3.4

I

r D1 d

P1
H dl

D2 dX
P2

ภาพที่ 3.4 แสดงฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอกสาย

90

เน่ืองจากสายส่งเป็นสายท่ีขึงในแนวตรงจึงถือวา่ N = 1 รอบ(T) เมื่อมีกระแส(I) แอมแปร์
(A) ไหลผา่ นจะมี mmf = I แอมแปร์-รอบ (A-T) และเขียนเป็นสมการไดด้ งั น้ี

mmf = I แอมแปร์ – รอบ ……..(3.16)

ถา้ ให้ H เป็นความเขม้ สนามแมเ่ หลก็ ณ จุดท่ีพิจารณา มีหน่วยเป็นแอมแปร์ - รอบ/เมตร

และ dl เป็นส่วนเล็ก ๆ ส่วนหน่ึงของเส้นรอบวงท่ีรัศมี X อาจหาความสัมพนั ธ์ชอง mmf กบั

ความเขม้ สนามแมเ่ หลก็ H ไดโ้ ดยการอินทิกรัลรอบทางเดินปิ ด ดงั สมการ

mmf = C

= H.d2X

= H 2X แอมแปร์ – รอบ ........(3.17)

จากสมการที่ (3.16) และ (3.17) สามารถหาความสัมพนั ธ์ของ H และ I ไดด้ งั น้ี

mmf = I = H  2X

H = I แอมป์ – รอบ / ตารางเมตร ........(3.18)
2X

แต่ความหนาแน่นฟลกั ซ์มีความสมั พนั ธ์กบั เพอร์มิบิลิต้ี () และความเขม้ สนามแม่เหลก็

(H) ดงั สมการ I
2X
B = H = เวเบอร์ / ตารางเมตร ........(3.19)

เม่ือพิจารณาระยะทางตามแนวสายท่ีมีความยาว 1 เมตร และความกวา้ ง dx จะมีพ้นื ที่

dA = 1 dx ตารางเมตร ซ่ึงเป็นพ้ืนท่ีท่ีฟลกั ซ์ d ไหลผา่ นดงั ภาพท่ี (3.4) อาจเขียนเป็นสมการ

ไดด้ งั น้ี

d = BdA
I
= 2X 1dx

= I   dx  เวเบอร์ / เมตร ........(3.20)
2X

แต่ปริมาณฟลกั ซ์คลอ้ งสาย d = Nd และ N = 1 รอบ ดงั น้นั ปริมาณฟลกั ซ์คลอ้ งสาย
จึงเทา่ กบั ฟลกั ซ์ที่หาไดจ้ ากสมการท่ี (3.20) และสามารถหาฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอก (external flux
linkage ) จากรัศมี D1 ถึง D2 ไดด้ งั น้ี

d = I dx
2X

91

 ext = D2 2IXdx

D1

= I D2 X1 dx
2
D1

= I  ln x DD12
2
I
= 2 ln D 2  ln D1 

= I ln D2  เวเบอร์ – รอบ / เมตร.....(3.21)
2  D1 


แต่  = r .o เมื่อ r คือ เพอร์มิบิลิต้ีสมั พทั ธ์ มีคา่ เทา่ กบั 1 เนื่องจากฟลกั ซ์คลอ้ ง
ในอากาศ และ o คือ เพอร์มิบิลิต้ีของอากาศ มีค่า = 4 x 10-7 เม่ือแทนค่า  ลงในสมการที่
(3.21) จะมีค่าดงั น้ี

 ext = 1 4107 I ln D2 
 ext 2 D1 

= 2107 I ln D2  เวเบอร์–รอบ / เมตร ......(3.22)
 D1 

และความเหน่ียวนาของสายท่ีเกิดจากฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอกจะมีคา่ ดงั น้ี เม่ือกาหนดค่า D1

และ D2 มาแน่นอน

L ext =  ext
I
I
= 2I ln D2 
D1 

 L ext = 2 10 7 ln D2  เฮนรี่ / เมตร ........(3.23)
 D1 


แต่ในทางปฏิบตั ิ D1 มกั จะเริ่มท่ี r และ D2 ตอ้ งไมไ่ กลจนเกินไป

L ext = 2 10 7 ln D2  เฮนร่ี / เมตร ......(3.24)
r 

92

จากสมการจะเห็นวา่ ค่าความเหนี่ยวนาภายนอกจะข้ึนอยกู่ บั ระยะจากผวิ ของตวั นาคือที่รัศมีไป
จนถึงจุดที่ตอ้ งการหาคา่ ความเหนี่ยวนาน้นั เอง

ตวั อย่างที่ 3.5 สายอะลูมิเนียมเส้นหน่ึงมีรัศมี (r) ของสายตนั ทรงกระบอก = 0.05 เมตร และ
มีระยะ D2 = 0.09 เมตร จงคานวณหาค่าความเหน่ียวนาภายนอกของสายเส้นน้ี

วธิ ีทา จาก

L ext = 2 107 ln D2 
 D1 

0.09
= 2 107 ln 0.05 

= 1.175107
เฮนรี่ / เมตร

 ค่าความเหนี่ยวนาของสายส่งเส้นน้ีมีคา่ เท่ากบั 1.175107 เฮนร่ี / เมตร ตอบ

2.3 ความเหน่ียวนาของสายส่งในระบบ 1 เฟส 2 สาย
ในการจะหาค่าความเหนี่ยวนาของสายส่งชนิดเฟสเดียวที่เดินคู่ขนานกนั จะมี

ความสมั พนั ธ์ข้ึนอยกู่ บั รัศมีของสายส่ง ( r ) และระยะห่างระหวา่ งสาย ( D) ดงั แสดงในภาพท่ี 3.5

I I
r r

1D 2

ภาพที่ 3.5 แสดงการวางสายส่งในระบบ 1 เฟส 2 สาย

จากภาพที่ 3.5 จะเห็นวา่ สายท่ี 1 มีกระแสไหลเขา้ ไปในสาย และสายที่ 2 มีกระแสจานวน
เดียวกนั ไหลออกมาจากสาย ถา้ ใชก้ ฎมือขวากาเขา้ ช่วยหาทิศทางของฟลกั ซ์คลอ้ งสาย จะพบวา่ ใน
สายเส้นท่ี 1 มีฟลกั ซ์คลอ้ งตามเขม็ นาฬิกา และ สายเส้นที่ 2 มีฟลกั ซ์คลอ้ งทวนเขม็ นาฬิกาเมื่อ
ฟลกั ซ์ท้งั สองสวนทางกนั จึงหกั ลา้ งกนั แต่ในความเป็ นจริงการหกั ลา้ งของฟลกั ซ์ภายนอกสายจะ
เกิดข้ึนที่ระยะห่าง (D) มากกวา่ ดงั น้นั ฟลกั ซ์คลอ้ งท่ีอยรู่ ะหวา่ ง r ถึง D จึงเป็นฟลกั ซ์ที่คลอ้ งสาย
ของตวั เองและทาใหเ้ กิดความเหนี่ยวนาข้ึนในสายจากภาพจะเห็นวา่ กระแสเป็นกระแสตวั เดียวกนั

93

ฉะน้นั ความเหน่ียวนาเส้นท่ี 1 จึงเท่ากบั เส้นท่ี 2 การหาค่าฟลกั ซ์คลอ้ งสายเส้นที่ 1 จะเกิดข้ึนจาก
ผลรวมของฟลกั ซ์ 3 ส่วนดว้ ยกนั คือ

1. ฟลกั ซ์คลอ้ งภายในของสายเส้นที่ 1 ที่เกิดจากกระแสในสายเส้นท่ี 1
2. ฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอกของสายเส้นที่ 1 ที่เกิดจากระแสในสายเส้นที่ 1
3. ฟลกั ซ์คลอ้ งภายนอกของสายเส้นท่ี 1 ที่เกิดจากกระแสในสายเส้นที่ 2 และจะ

คลอ้ งไดเ้ ม่ือมีระยะต้งั แต่ D ข้ึนไป

ฟลกั ซ์ท้งั สามส่วนแสดงไดด้ งั สมการ / ไปน้ี
I I dx
1 = 0r 2 r 4 X3dx  r 2 X 

D   I dx
2 X
I I dx
= 0r 2 r 4 X3dx  rD 2 X 

D I dx  D   I  dx
2 X 2 X

= 0r I X 3dx  rD I dx …….(3.25)
2 r 4 2 X

จากสมการจะเห็นวา่ ผลรวมของฟลกั ซ์คลอ้ งสายท่ี 1 จะเหลือเพยี ง 2 ส่วน คือ ฟลกั ซ์คลอ้ ง

สายภายใน และฟลกั ซ์คลอ้ งสายภายนอก ท่ีคิดต้งั แต่ระยะทาง r ถึง D เท่าน้นั ซ่ึงฟลกั ซ์อีกส่วนจะ

หกั ลา้ งกนั หมดไป เมื่อแทน O = 4 10-7 ลงในสมการท่ี (3.25)
0r μ2rπ.μr4o .IX3dx μ r .μo .I dx
λ1 =  rD 2π X

= D0r1144ππ2π1r104077IIXd3xdx 
r
2 107 2π X

r4 I 0rX3dx  2107 IrD X1 dx
 =2 107 I X4 r
D
= r
r4  4 0  2107 I ln X

94

= 2211r4004r477IIr4r44201027I 1l0nD7r Iln Dln r
=

= 2 107 I  2107 I ln D
4 r 
1 D
= 2 107 I  4  ln r 


จาก lne = 1

λ1 = 2107 Iln e 1/4   ln D
r 
D
= 2 10 7 I ln  e1/4   r 
 

= 2 107 I ln  D
 re1/4 

กาหนดให้ re1/4  r = 0.7788r D
 λ1 r
= 2 10 7 I ln ..….…(3.26)

และเมื่อหาคา่ ความเหนี่ยวนาจะไดด้ งั น้ี

L1 = λ1 = 2 107 I ln D
I I r

 L1 = 2107 ln D เฮนร่ี / เมตร ..........(3.27)
r

ในทานองเดียวกนั ก็อาจพสิ ูจนไ์ ดว้ า่ L 2  2 10 7 ln D ดว้ ย
r
จากสมการจะเห็นวา่ ที่ระยะห่างระหวา่ งสายเท่าเดิมคา่ ความเหน่ียวนาภายนอกท้งั ระบบ

จะเพมิ่ ข้ึนเนื่องจากจานวนตวั นาท่ีเพมิ่ ข้ึน

หน่วยความเหนี่ยวนาของสายนิยมใชเ้ ป็นมิลลิเฮนร่ี / ไมล์ (mH / mile) และเพือ่ ใหส้ ะดวก

จึงเปลี่ยนเป็นลอ็ กฐาน e (natural logarithm = ln ) ใหเ้ ป็นลอ็ กฐาน 10 (common logarithm

= log )ดว้ ย

95

วธิ ีเปลี่ยนหน่วยจะใชว้ ธิ ีเทียบดงั น้ี
= 103 มิลลิเฮนรี
1 เฮนร่ี = 100 เซนติเมตร
1,760 เมตร3 ฟตุ 12 นิ้ว2.54 เซนติเมตร
 1 เมตร

= 1,760  102  2.54 ไมล์
312
log X
ln X = 0.4343

แทนคา่ ลงในสมการที่ (3.27) จะไดด้ งั น้ี
D
L = 2 10 7 ln r เฮนรี่ / เมตร

2 10 7 103  1 D
102 0.4343 r
= log

1,760312 2.54

= 2  107 103  1,760  312  2.54  1 log D
102 0.4343 r

+-

-

L = 0.7411 log D มิลลิเ ฮนรี่ / ไมล์ .......(3.28)
r
นนั่ คือ ค่าความเหน่ียวนาท่ีเกิดข้ึนในแต่ละตวั นาสามารหาไดจากสมการที่ (3.28)

ตัวอย่างที่ 3.6 จงหาความเหน่ียวนาของสายส่งในระบบ 1 เฟส 2 สาย ท่ีมีรัศมี (r ) = 0.08

เมตร และระยะห่างระหวา่ งสาย (D) = 3 เมตร ดงั ภาพที่ 3.6

I IA B

r r

D สาย B

สาย A

96

ภาพท่ี 3.6 แสดงการวางสายในระบบ 1 เฟส 2 สาย

วธิ ีทา จาก

L = 2 10 7 ln D เฮนรี่ / เมตร
r

แทนค่าลงในสมการจะไดด้ งั น้ี 3
0.7788
L = 2 10 7 ln

0.08
= 7.74107 เฮนรี่ / เมตร

 ค่าความเหน่ียวนาของสายส่งเส้นน้ีมีค่าเท่ากบั 7.74 x 10-7 เฮนรี่ / เมตร ตอบ

2.4 ความเหนี่ยวนาของสายในระบบ 3 เฟส ทวภิ าคี 7 มค.64
2.4.1 ระยะห่างระหวา่ งสายเทา่ กนั
การหาฟลกั ซ์คลอ้ งสายส่งระบบ 3 เฟส ท่ีวางเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า (equilaternal

spacing ) ท่ีมีระยะห่าง = D และรัศมี = r ดงั ภาพท่ี (3.7) จะใชส้ มการจากการหาฟลกั ซ์
คลอ้ งสายท้งั กลุ่มมาหาค่าดงั น้ี

A

DD

B DC

ภาพที่ 3.7 แสดงการวางสายรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า

A = 2107  IA ln 1  IB ln 1  IC ln 1 
r D D
1 1
 = r D
2107  IA ln  IB IC ln  ….. (3.29)

เนื่องจาก IA IB IC =0
IB  IC = IA

97

แทนค่า IB + IC ลงในสมการที่ (3.29)จะไดด้ งั น้ี

A = 2 107  IA ln 1  IA ln 1 
r D
1 1
= 2 10 7 I A  ln r  ln D 

= 2 107 I A  ln D 
r

และ LA = A
IA
D
LA = 2 107 ln r เฮนร่ี / เมตร

หรือ

LA = 0.7411 log D มิลลิเฮนร่ี / ไมล์ …......(3.30)
r

ในทานองเดียวกนั LB และ LC ก็มีค่าเท่ากบั 0.7411 log D ดว้ ยและจะมีค่าเทา่ กบั คา่ ความ
r
เหน่ียวนาของระบบ 1 เฟส 2 สาย ดว้ ยถา้ หากใชส้ ายขนาดเดียวกนั

ตวั อย่างที่ 3.7 จงหาคา่ ความเหน่ียวนาของสายระบบ 3 เฟส ท่ีวางเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ น
เทา่ ดงั ภาพท่ี 3.8 ที่มีระยะห่าง D = 3.5 ฟุต และรัศมีของสาย r = 0.05 ฟุต

A

DD

B ภาพที่ 3.8 แสดงการDวางสายระบบ 3 เฟส C
วธิ ีทา จาก

98

LA = 0.7411 log D มิลลิเฮนรี่ / ไมล์
r มิลลิเฮนร่ี / ไมล์

แทนคา่ ลงในสมการจะได้

LA = 0.7411 log D
0.7788 r
3.5
= 0.7411 log 0.7788 0.05

= 1.45มิลลิเฮนรี่ / ไมล์

จากการที่วางสายเป็นแบบสามเหลี่ยมดา้ นเทา่

LA = LB = LC = 1.45 มิลลิเฮนรี่ / ไมล์

ค่าความเหน่ียวนาของสายส่งหน่ึงเส้นจะมีค่าเท่ากบั 1.45 มิลลิเฮนรี่ / ไมล์ ตอบ

2.4.2 ระยะห่างระหวา่ งสายไมเ่ ท่ากนั แต่มีการสลบั สาย 3 ช่วง
การวางสายท่ีระยะห่างไม่เท่ากนั จะทาให้ค่าความเหน่ียวนาของสายแต่ละ

เส้นแตกต่างกนั และแรงดนั ตกคร่อมจะแตกต่างกนั ท้งั ๆ ท่ีจ่ายโหลดสมดุล แต่จะแกไ้ ขไดโ้ ดย
การสลบั สายทุก ๆ 1 ใน 3 ของความยาวสายซ่ึงจะช่วยให้ระยะห่าง (D) เฉล่ียเชิงเรขาคณิตของสาย
มีคา่ เทา่ กนั

สมมติการวางสายมีระยะห่าง a , b และ c ดงั ภาพท่ี 3.9(ก) และกระแสที่ไหลในสายเป็น
กระแสที่สมดุลดงั ในภาพที่ (3.9 ข)

A IC

bc IA

aC B
IB
(ก) (ข)

ภาพท่ี 3.9 แสดงการวางสายและกระแสที่ไหลภายในสาย
จากเฟสเซอร์ของกระแสท้งั สามเขียนเป็นเลขเชิงซ้อน (complex number)ไดด้ งั น้ี

IA = I0 = I

IB = I-120
= I (-0.5 – j0.866)

99

IC = I120
= I (-0.5 + j0.866)

การหาฟลกั ซ์คลอ้ งสายจะหาไดโ้ ดยสมการที่ใชใ้ นการหาฟลกั ซ์ของสายท้งั กลุ่มมาใชไ้ ดด้ งั น้ี

A = 2107  IA ln 1  IB ln 1  IC ln 1 
r C B

แทนค่า IA , IB และ IC ลงไปในสมการจะได้

   A 1 1 1
= 2107 I ln r I  0.5  j0.866 ln c I  0.5  j0.866 ln b 

   = 1 1 1 1 1
2107 I ln r  0.5 I ln c  j0.866 I ln c  0.5I ln b  j0.866 I ln b 

1 1 1 1 1
   =  r c c b b 
2107 I  ln  0.5 ln  j0.866 ln  0.5 ln  j0.866 ln 

   =  1 1 1 1 1 
2107 I  ln r  0.5 ln c  0.5 ln b  j0.866 ln c  j0.866 ln b 

 =  1 ln 1 1  ln 1 1 
2 10 7 I  ln r  0.5 c  ln b   j0.866 c  ln b 

 =  1 1 b 
2107 I  ln r  0.5 ln bc  j0.866 ln c 

 =  1  1 1/ 2  b 
2 10 7  r  bc  c 
I ln  ln  j0.866 ln 



 =   bc1/ 2  b 
2107 I  ln r j0.866 ln c 
  

  bc 1/ 2  b 
 r c 
 = 
2 107 I ln  j0.866 ln



 A =  bc b 
2 107 I  ln r  j0.866 ln c  ..….(3.31)

และจาก

LA = A
IA

100

2107 I  bc b 
I  r c 
LA  = ln
 LA  j0.866 ln

 = 2 7  bc b  เฮนรี่ / เมตร .......(3.32)
10  ln r  j0.866 ln c 

ในทานองเดียวกนั

 LB  ca c 
= 2 107  ln r  j0.866 ln a  เฮนรี่ / เมตร
เฮนร่ี / เมตร
 LC  ab a 
= 2 107  ln r  j0.866 ln b 

จากการคานวณจะเห็นว่าค่าความเหนี่ยวนาสายทุกเส้นจะมีค่าจินตภาพอยู่ดว้ ยถา้ จินตภาพ
เป็นลบแสดงวา่ เป็นตวั จา่ ยกาลงั (power) ออกไป ถา้ จินตภาพเป็นบวกแสดงวา่ รับกาลงั เขา้ มา ส่วน

กาลงั ท่ีถ่ายเทระหว่างเฟสมีค่า = 0 LA , LB และ LC จะมีค่าไม่เท่ากนั ฉะน้นั จึงตอ้ งมี
การสลบั สายดงั ภาพท่ี 3.10

ตวั อยา่ งท่ี1 ตวั อยา่ งที่2 ตวั อยา่ งท่ี3

A1 C2 b c B3
bc a A2 A3 b a
C1 a B1 B2 C3

c

เฟสA A1 C2 B3
B1 A2
เฟสB C1 B2 C3
เฟสC A3

L/3 L/3 L/3

ภาพที่ 3.10 แสดงการสลบั สาย 3 เฟส เป็นช่วง

เมื่อมีการสลบั สายทุกเฟสจะทาใหส้ ายทุกเฟสมีค่าความเหน่ียวนาเฉลี่ยเท่ากนั หมด

ขณะที่สายเฟส A อยใู่ นตาแหน่งที่ 1 จะมีค่าความเหน่ียวนาดงั น้ี

 LA  bc b 
LA1 = = 2 10 7  ln r  j0.866 ln c 

101

ขณะที่สายเฟส A อยใู่ นตาแหน่งท่ี 2 จะมีค่าความเหน่ียวนาดงั น้ี

 LB  ca c 
LA2 = = 2 107  ln r  j0.866 ln a 

ขณะที่สายเฟส A อยใู่ นตาแหน่งที่ 3 จะมีคา่ ความเหน่ียวนาดงั น้ี

 LC  ab a 
LA3 = = 2 107  ln r  j0.866 ln b 

ค่าความเหน่ียวนาของสายในเฟส A จะไดด้ งั น้ี
LA1  LA2  LA3
LA = 3

2 10 7  ln bc  j0.866 ln b   2 10 7  ln ca  j0.866 ln c  
  r c    r a  
 
 210 7  ln ab  j0.866 ln a 
 r b 
=
3
2 10 7
= 3  ln bc  j0.866 ln b  ln ca  j0.866 ln c  ln ab  j0.866 ln a 
 r c r a r b 
 10 7
= 2  ln bc  ln ca  ln ab  j0.866 ln b  j0.866 ln c  j0.866 ln a 
3  r r r c a b 
2  107
=  ln  bc ca  ab   j0.866 ln b  j0.866 ln c  j 0.866 ln a 
3  r  r r c a b 

= 2 107  ln a2b2c2  j0.866 ln abc 
 abc 
3  r3 

= 210 7 ln abc
3
r3

107  abc 1/ 3
 
= 2 ln r3

= 2 107 ln 3 abc
3
r3

102

= 2107 ln 3 abc
r

เมื่อกาหนดให้ 3 abc = Deq คือระยะห่างสมดุล
LA Deq
= 2  107 ln r เฮนรี่ / เมตร .......(3.33)
หรือ LA .......(3.34)
Deq = 0.7411 log Deq มิลลิเฮนร่ี
r
= 3 abc

ในทานองเดียวกนั คา่ ของ LB , LC จะเท่ากบั LA ดว้ ยเช่นกนั

ตัวอย่างที่ 3.8 สายส่ง 3 เฟส วงจรหน่ึง มีเส้นผา่ นศูนยก์ ลางสายทุกเส้นมีขนาด 4 ฟตุ
วางห่างกนั 6 , 10 และ 5 ฟุต ตามลาดบั ดงั แสดงในภาพที่ (3.11) จงคานวณหาคา่ ความเหน่ียวนา
เฉล่ียของสายเม่ือมีการสลบั สายที่ทุก ๆ ความยาว 1 ใน 3 ของความยาวสายส่ง

A

10 5

C 6B
ภาพที่ 3.11 แสดงการวางระยะห่างของสายส่ง 3 เฟส

วธิ ีทา จาก

LA = 0.7411 log Deq มิลลิเฮนรี่
r
Deq = 3 abc  6105  6.69

r = 0.7788r = 0.7788 4
2
= 1.56 เมตร
6.69
L = 0.7411 log 1.56

= 0.46 มิลลิเฮนร่ี / ไมล์

 คา่ ความเหนี่ยวนาเฉล่ียของสายส่งเม่ือมีการสลบั สายที่ทุก ๆ ความยาว 1 ใน 3 ของความยาว

สาย เท่ากบั 0.46 มิลลิเฮนรี่ / ไมล์ 103
ตอบ

2.5 ความเหน่ียวนาของสายตเี กลยี ว ทวภิ าคี 21 พ.ย. 61, ปกติ 23 พ.ย 61
ในการหาค่าความเหน่ียวนาของสายตีเกลียว 2 เส้น ที่มีกระแสไหลในสายเทา่ กนั

จะตอ้ งเร่ิมจากการหาฟลกั ซ์คลอ้ งสายเช่นเดียวกนั และกระแสที่ไหลในสายยอ่ ยตีเกลียวมีค่าเฉล่ีย
สายละเทา่ ๆ กนั ดงั ภาพท่ี (3.12) สาย X มีสายยอ่ ยจานวน n เส้น และสาย Y มีสายยอ่ ยจานวน
m เส้น ถา้ มีกระแส I ไหลในสาย ดงั น้นั กระแสในสายยอ่ ยในแตล่ ะเส้นของสาย X = I / n และ
กระแสท่ีไหลกลบั ในสายยอ่ ยแตล่ ะเส้นของสาย Y = -I / m

การหาฟลกั ซ์คลอ้ งสายยอ่ ย a จะหาไดจ้ ากสูตรโดยใชส้ มการท่ีหาฟลกั ซ์คลอ้ งสายท้งั กลุ่ม

I -I

c n c a m
b
ba (ข) สายY

(ก) สาย X

ภาพที่ 3.12 แสดงสายตีเกลียว 2 เส้น ท่ีมีจานวนสายยอ่ ยไมเ่ ทา่ กนั

= 2 107 I  1  ln 1  ln 1    ln 1  
n ln r Dab Dac Dan
a 


2 107 I  1  ln 1  ln 1    ln 1 
m ln Daa Dab Dac Dam 
 

= 2 107 I  1   2  107 I  1 
n ln r. Dab .Dac . Dan  m ln Daa . Dab .Dac ... Dam 
   

= 2 107 I 1 ln  1   1 ln 1 
 r. Dab .Dac . Dan m Daa . Dab.Dac... Dam
 n

104

  1  1 / n ln 1 1/ m 
ln r. Dab .Dac  Daa . Dab .Dac ... Dam  
= 2 107 I  . Dan  
 
m Daa . Dab .Dac ... Dam
= 2 107 I ln n r.Dab.Dac .Dan …….(3.35)
 a

และความเหนี่ยวนาของสายยอ่ ย a จะหาไดด้ งั น้ี

La = a  n a
In I

 =n 2 107 I ln m Daa.Dab.Dac... Dam
I n r. Dab .Dac . Dan

 La = 2n 107 ln m Daa.Dab.Dac... Dam ……(3.36)
n r. Dab .Dac ... Dan

ในทานองเดียวกนั กพ็ ิสูจนไ์ ดว้ า่

Lb = 2n 107 ln m D ba . D bb .D bc ... D bm
n r.Dba.Dbc...Dbn

ค่าเฉลี่ยของความเหนี่ยวนาในสาย X จะไดด้ งั น้ี
La  Lb  Lc ...  Ln
L av = n ……(3.37)

เน่ืองจากสาย X มีจานวนสายยอ่ ยขนานกนั n เส้น คา่ ความเหน่ียวนาจึงลดลงจากค่าความ

เหนี่ยวนาเฉล่ียอยู่ n เท่า นนั่ คือ Lav La  Lb  Lc ...  Ln
L av n  n. n
LX = n = 

 LX = La  Lb  Lc ...  Ln ..……(3.38)
n2

LX = 2n107 ln m Dca.Dcb.Dcc... Dcm   2n107 ln m Dna.Dnb.Dnc... Dnm
n2 n r.Dca .Dab .Dcc ... Dcn n2 n r.Dna .Dnb.Dnc ... Dnn

        =
2n 107 ln n m ( Dba.Dbb...Dbm ... Dna.Dnb...Dnm
n2
rn . Daa .Dab ...Dan Dba .Dbb...Dbn ... Dna .Dnb...Dnn

105

        =mn
2n 107 ln n2 Daa.Dab...Dam Dba.Dbb...Dbm ... D na . D nb ... D nm
... Dna.Dnb...Dnn
rn . Daa .Dab ...Dan Dba.Dbb...Dbn
Dm
LX = 2 107 ln Ds เฮนรี่ / แมตร .........(3.39)

เมื่อ Dm = ระยะห่างเฉลี่ยระหวา่ งสายเชิงเรขาคณิต ( mutual G.M.D.)
เม่ือ Ds = ระยะห่างเฉล่ียภายในสายเชิงเรขาคณิต (self G.M.D.)

ตวั อย่างท่ี 3.9 จงหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายตีเกลียวเส้นหน่ึงซ่ึงมีค่าระยะห่างระหวา่ งสาย
เชิงเรขาคณิต(mutual G.M.D.) = 5 เมตร และระยะห่างเฉลี่ยภายในสายเชิงเรขาคณิต
(self G.M.D.) = 0.09 เมตร

วธิ ีทา

จาก LX = 2 107 ln Dm เฮนร่ี / เมตร
Ds

แทนค่าลงในสมการจะได้

LX = 2 10 7 ln 5
0.09
= 8.03107 เฮนร่ี / เมตร

 คา่ ความเหนี่ยวนาของสายตีเกลียวเส้นน้ีมีค่า = 8.03  10-7 เฮนร่ี / เมตร ตอบ

จากตวั อยา่ งที่ 3.8 ถา้ ไม่ไดก้ าหนดคา่ ของ Dm และ DS มา ฉะน้นั ตอ้ งมีการคานวณหา
โดยการวิเคราะห์ดงั น้ี

ถา้ มีจุดหรือกลุ่มของจุดวางห่างกนั อาจหาคา่ เฉล่ียจากจุดน้นั ไปยงั กลุ่มของจุดไดโ้ ดยการ
นาระยะห่างที่วดั ไดท้ ุกคร้ังคูณกนั แลว้ ถอดรากเท่ากบั จานวนคร้ังของผลคูณ การหาคา่ เฉล่ียดว้ ยวธิ ี
น้ีเรียกวา่ วธิ ีหาระยะห่างเฉลี่ยเชิงเรขาคณิต (geometric mean distance) เขียนยอ่ ๆ วา่ G.M.D. ถา้
จุดหรือกลุ่มของจุดอยภู่ ายนอกกลุ่มท่ีตอ้ งการหาคา่ ดงั แสดงในภาพท่ี (3.13 ก) ค่าเฉลี่ยระยะห่างท่ีหา
ไดค้ ือคา่ (mutual G.M.D.) แตถ่ า้ จุดน้นั อยภู่ ายในกลุ่มของจุดท่ีกาลงั พิจารณาอยู่ ดงั ภาพที่ (3.13 ข)
ค่าเฉล่ียระยะห่างท่ีหาไดค้ ือค่า (self G.M.D.) และถา้ ระยะห่างเฉลี่ยท่ีหาไดเ้ ป็นระยะห่างของจุดท่ี
อยบู่ นส่วนโคง้ ของวงกลม เรียกวา่ รัศมีเฉล่ียเชิงเรขาคณิต(geometric mean radius) เรียกยอ่ ๆ
G.M.R. หรือ (self G.M.D.)ของวงกลม

106

D1 D2

D3

D4
Dm

Dm

(ก) ระยะห่างเฉลี่ยระหวา่ งสายเชิงเลขาคณิต

D1 D2

D3
D5 D4

(ข) ระยะห่างเฉลี่ยภายในสายเชิงเลขาคณิต

ภาพที่ 3.13 การหาระยะห่างเฉลี่ยเชิงเรขาคณิต

จากภาพที่ 3.13 (ก) จะได้ค่า G.M.D = 4 D1D2D3D4 แต่ถ้าระยะห่างเฉล่ีย
ระหวา่ งส่วนโคง้ ของวงกลมกบั จุดท่ีกาหนดจะกลายเป็ น Dm (mutual G.M.D.) = 4 D1D2D3D4
และการหาระยะห่างเฉลี่ยของวงกลมกบั วงกลม คือ ระยะห่างระหวา่ งจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

ท้งั สอง ดงั ภาพที่3.13(ก)

จากภาพท่ี 3.13 (ข )จะไดค้ ่าดงั น้ี …..(3.40)
G.M.D = 5 D1D2D3D4D5

ถา้ กาหนดจุดที่อยบู่ นส่วนโคง้ ของวงกลมใหถ้ ี่มากข้ึน คา่ เฉลี่ยจะกลายเป็นรัศมี r ของ

วงกลมและถา้ คานึงถึงฟลกั ซค์ ลอ้ งสายภายในดว้ ยจะทาใหร้ ัศมีเฉลี่ยเชิงเรขาคณิตคร้ังใหม่ (r) มีคา่
ลดลงไปจากรัศมีจริง = 0.7788 เทา่ หรืออาจจะหาค่าในเทอมของพ้นื ท่ีหนา้ ตดั A ดงั ตารางที่ 3.2

107

ตารางที่ 3.2 แสดงค่า G.M.R. ในเทอมของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั A

จานวนสายตีเกลียว GMR
(เส้น) เทียบกบั พ้ืนท่ี A

1 0.3894 A
3 0.4216 A
7 0.4114 A
19 0.4345 A
37 0.4418 A
61 0.4448 A
91 0.4464 A
127 0.4473 A
169 0.4478 A

108

ตวั อย่างท่ี 3.10 สายส่ง 1 เฟส วงจรหน่ึงประกอบดว้ ยกลุ่มสาย X และ Y วางห่างกนั

ดงั ภาพที่ 3.14 ถา้ รัศมีของสายแต่ละเส้นในกลุ่มสาย X มีค่า 0.4 นิ้ว และกลุ่มสาย Y มีคา่ 0.5
นิ้ว จงหาค่า mutual G.M.D.

30

a d
e
20

b

20

c

กลมุ่ สาย X กลมุ่ สาย Y

ภาพท่ี 3.14 แสดงการวางระยะห่างระหวา่ งกลุ่มสาย

วธิ ีทา จาก
Dm (mutual G.M.D.) = n D1D2 ...Dn

หา Dm ระหวา่ งกลุ่มสาย X และสาย Y จะไดด้ งั น้ี

N = ad,ae,bd,be,cd,ce6

จะได้ Dm = 6 Dad .Dae Dbd .Dbe Dcd .Dce  ฟุต

Dad = Dbe = 30 ฟุต

Dae = Dbd = Dce = 202  302 =36 ฟุต

Dcd = 302  402 = 50 ฟุต

 Dm = 6 303636305036 ฟุต

= 35.8 ฟุต

ระยะห่างเฉล่ียระหวา่ งสายเชิงเรขาคณิต (mutual G.M.D.) เทา่ กบั 35.8 ฟุต ตอบ

ตวั อย่างที่ 3.11 จากตวั อยา่ งที่ 3.9 จงคานวณหาคา่ ระยะห่างเฉล่ียภายในสาย(self G.M.D.)

วธิ ีทา จาก

109

DSX = n D1D2 ...Dn

หากลุ่มสาย X จะไดด้ งั น้ี

N = [aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc] = 9

DSX = 9 Daa .Dab .Dac Dba .Dbb.Dbc Dca .Dcb .Dcc 
= 0.4 นิ้ว
0.4
= 12 ฟุต

= 0.033 ฟุต

จะได้

Daa = Dbb = Dcc
= 0.0330.7788 ฟุต(รัศมีลดลงจากเดิม)

Dab = Dba Dbc Dcb = 20 ฟุต
Dac = Dca = 40 ฟุต
 DSX = 9 0.0330.77882040200.0330.77882040200.0330.7788

= 2.536 ฟตุ

 เพราะฉะน้นั ระยะห่างเฉลี่ยภายในสายกลุ่มสาย X เท่ากบั 2.536 ฟุต ตอบ

หากลุ่มสาย Y จะไดด้ งั น้ี

N = dd,de,ed,ee = 4

จะได้ DSY = 4 Ddd .Dde Ded .Dee  ฟุต

r = 0.5 นิ้ว

= 0.5 ฟตุ
12
= 0.042 ฟุต

จะได้

Ddd = Dee = 0.042 x 0.7788 ฟุต(รัศมีลดลงจากเดิม)
Dde = Ded = 20 ฟุต
 DSY = 4 0.0420.778820200.0420.7788 ฟุต

= 0.809 ฟุต

 ค่าระยะห่างเฉล่ียภายในกลุ่มของสาย Y = 0.809 ฟุต ตอบ

110

LX = 0.7411 log Dm
Dsx

LY = 0.7411 log Dm
Dsy

จะเห็นวา่ ถา้ จานวนตวั นาท่ีมีทิศทางกระแสไปทางเดียวกนั เพิม่ ข้ึนค่าความเหน่ียวนาของ
กลุ่มตวั นาน้นั ๆ ลดลง

2.6 ความเหนี่ยวนาของสายควบ (bundle conductors) ปกติ,ทวภิ าคี 14 ม.ค. 64
หมายถึง สายที่อยรู่ วมกนั เป็นกลุ่มต้งั แต่ 2 เส้นข้ึนไปภายในเฟสเดียวกนั โดยวางให้

มีระยะห่างเท่า ๆ กนั ดงั แสดงในภาพที่ 3.15 การเดินสายในลกั ษณะน้ีใชใ้ นกรณีท่ีมีแรงดนั สูงมาก
ๆ โดยมีจุดประสงคค์ ือ

1. ลดความเขม้ สนามไฟฟ้าและการสูญเสียเนื่องจากการเกิดโคโรนา
2. ลดความเหนี่ยวนารวมของสาย
3. ระบายความร้อนไดด้ ี
4. ลดสกินเอฟเฟกตภ์ ายในสาย
5. ลดความตา้ นทาน
เนื่องจากสายควบมีขนาดสายเท่ากนั หมดและภายในกลุ่มของสายจะมีฉนวนคน่ั อยู่ กระแส
จึงไหลเท่ากนั หมดทุกเส้น ฉะน้นั จึงใชว้ ธิ ีการของ G.M.D. หาค่าความเหนี่ยวนาได้

(ก) (ข) (ค) (ง)

() () () ()

ภาพที่ 3.15 แสดงการวางสายควบชนิด 2,3,4 และ 10 เส้น

111

การหาคา่ ความเหน่ียวนาต่อเฟสของสายควบจะตอ้ งทาการหาระยะห่างเฉล่ียภายในเฟสเชิง
เรขาคณิต (self G.M.D.) ก่อน สมมติวา่ สายควบเป็นชนิด 4 เส้นสายแตล่ ะเส้นมีรัศมี r และวาง
ห่างกนั ภายในเฟสเป็นระยะ db ดงั ภาพท่ี (3.16)

D3 D1

db
D2

db

ภาพท่ี 3.16 แสดงการวางสายควบชนิด 4 เส้น ระบบ 3 เฟส

เนื่องจากระยะห่าง db เทา่ กนั ทุกเฟสจึงถือวา่ ระยะห่างจากจุดก่ึงกลางของสายควบแต่ละเฟส
เป็ นระยะห่างเฉล่ียระหวา่ งเฟส ซ่ึงก็คือ D1 D2 และ D3 ตามลาดบั แต่ D1 D2 และ D3
ไม่เทา่ กนั จึงตอ้ งใชห้ ลกั การสลบั สาย 1 ใน 3 ช่วง ของความยาวสายจึงจะทาใหค้ ่าความเหนี่ยวนา

เท่ากนั ทุกเส้น

ระยะห่างเฉล่ียภายในเฟสเชิงเรขาคณิต (self G.M.D.) จะหาไดจ้ ากสมการดงั น้ี

DS = 4 rdb 2dbdb .…..(3.41)

ระยะห่างเฉลี่ยระหวา่ งเฟสเชิงเรขาคณิต(mutual G.M.D.) จะหาไดจ้ ากสมการดงั น้ี

Dm = 3 D1D2D3 ……(3.42)

ความเหนี่ยวนาของสายต่อเฟส Dm
DS
L = 0.7411 log ……(3.43)

112

ตัวอย่างท่ี 3.12 สายควบชนิด 4 เส้น วางดงั ภาพที่ (3.17 ) มีการสลบั สายเพ่ือใหส้ มดุลสายแต่ละ
เส้นเป็นสายอะลูมิเนียมแกนเหลก็ ชนิด 54 ต่อ 7 ขนาด 795,000 เซอร์คิวลาร์มิล ระยะห่างสาย
ควบ db = 1.5 ฟุต ,D1 = 15 ฟุต , D2 = 18 ฟุต , D3 = 16 ฟุต จงคานวณหาคา่ ความเหน่ียวนา
ของสายควบน้ี

D3 D1

db
D2

db

ภาพท่ี 3.17 แสดงการวางสายควบชนิด 4 เส้น ระบบ 3 เฟส

วธิ ีทา จาก Dm
DS
L = 0.7411 log

กาหนดใหส้ าย ACSR 54ตอ่ 7 ขนาด 795,000 เซอร์คิวลาร์มิล มีคา่ G.M.R. = 0.0368 ฟุต

หา self G.M.D.

DS = 4 rdb 2dbdb

= 4 0.03681.53  2

= 0.647 ฟุต

หา mutual G.M.D

Dm = 3 D1D2D3
= 3 151816

= 16.286 ฟุต

L = 0.7411 log 16.286
0.647
= 1.038

 คา่ ความเหน่ียวนาของสายควบต่อเฟส เท่ากบั 1.038 มิลลิเฮนร่ี / ไมล์ ตอบ

113

16 ธนั วาคม 2559

2.7 ความเหนี่ยวนาของสายวงจรคู่ ( double circuit )
หมายถึง การนาสายส่ง 2 วงจรมาต่อขนานกนั แยกได้ 2 ลกั ษณะคือ

1. วงจรคู่ที่แยกเสาส่ง
2. วงจรคูท่ ี่อยบู่ นเสาส่งเดียวกนั
การหาคา่ ความเหนี่ยวนาของสายวงจรคูแ่ ยกได้ 2 กรณีคือ
1. ระบบ 1 เฟส
2. ระบบ 3 เฟส

2.7.1 ความเหน่ียวนาของสายวงจรคูใ่ นระบบ 1 เฟส

กรณีท่ี 1 วางสายสมดุล คือ Daa’=Dbb’ และ Dab’=Dba’ ดงั ภาพท่ี (3.18)

กรณีน้ีไม่จาเป็นตอ้ งสลบั สายเพราะคา่ ความเหน่ียวนาจะเท่ากนั ท้งั คู่
Ia a
I a d

สาย A a
b
Ia a D
-I Ia b b

สาย B

Ia b (ข) แสดงตาแหน่งการวางสาย

(ก) แสดงการขนานสาย

ภาพที่ 3.18 แสดงสายส่งวงจรคูร่ ะบบ 1 เฟส วางสายสมดุล

self G.M.D. และ mutual G.M.D. ของสาย A และ B จะมีค่าเท่ากันดงั น้ัน self G.M.D.

ของสายเฟสเดียวกนั จะไดด้ งั น้ี

DSA = 4 DaaDaaDaaDaa = rd
= rd
DSB = 4 DbbDbbDbbDbb
DS = DSA .DSB

= rd. rd

 DS = rd

114

และ mutual G.M.D. จะไดด้ งั น้ี
Dm = DAB = 4 Dab .Dab.Dab .Dab

จะได้
Dab = Dab = D
Dab = Dab = D2  d2

 Dm = 4 D. D2  d2 .D. D2  d2

 = 4 D2 . D2  d2 2
 = 4 D2 . D2  d2

 = D2 . D2  d2

 Dm = D. D2  d2 1/2

ค่าความเหนี่ยวนาของระบบสายส่ง 1 เฟสจะไดด้ งั น้ี

L = 0.7411 log Dm มิลลิเฮนร่ี / ไมล์
DS

ตัวอย่างที่ 3.12 สายส่ง 1 เฟส 2 วงจรต่อขนานกนั ดงั ภาพที่ 3.19 ถา้ กาหนดให้

D = 20 ฟุต , d = 10 ฟุต , r= 0.0368 ฟุต จงคานวณหาค่าความเหน่ียวนารวมของสาย A และ

B Ia a ad

สาย A I

Ia a a

D

 Ia b

-I b

สาย B b

Ia b

(ก) แสดงการขนานสาย (ข) แสดงตาแหน่งการวางสาย

ภาพที่ 3.19 แสดงสายส่งวงจรคู่ระบบ 1 เฟส วางสายสมดุล

115

วธิ ีทา จาก L = 0.7411 log Dm มิลลิเฮนรี่ / ไมล์
หา DS DS

DS = rd = 0.036810 =0.606
หา Dm

 Dm = D. D2  d2 1/2
 = 20. 202 102 1/2

= 21.147 ฟุต

หาค่าความเหน่ียวนาของสายจะไดด้ งั น้ี 21.147
0.606
LA = L B = 0.7411 log

= 1.143 มิลลิเฮนร่ี / ไมล์

 ค่าความเหน่ียวนารวมระหวา่ งสาย A และ B จะได้ เทา่ กบั 1.143 มิลลิเฮนรี่ / ไมล์ ตอบ

กรณีที่ 2. การวางสายไม่สมดุล ดงั ภาพที่ (3.20) จะทาใหฟ้ ลกั ซ์คลอ้ งสาย

ไม่สมดุล วธิ ีการแกไ้ ขโดยการสลบั สายดงั ภาพที่ (3.21)

Ia a a

I a D
b
สาย A a

Ia D
Ia
b

I D
b
สาย B

Ia b

(ก) แสดงการขนานสาย (ข) แสดงตาแหน่งการวางสายระยะไมส่ มดุลย์

ภาพที่ 3.20 แสดงสายส่งวงจรคูร่ ะบบ 1 เฟส

a a a a
I
a D
a
a a

D

ตาแหน่งแรก 116

ตาแหน่งหลงั

สาย A

สาย B

(ก) แสดงการขนานสายและมีการสลบั สาย (ข) แสดงตาแหน่งการวางสายและมีการสลบั สาย

ภาพท่ี 3.21 แสดงสายส่งวงจรคู่ระบบ 1 เฟส ที่มีการสลบั สาย

2.7.2 ความเหนี่ยวนาสายส่งวงจรคู่ในระบบ 3 เฟส

กรณีที่ 1 ถา้ วางสายสมดุล การวางสาย 3 เฟส 2 วงจร ที่มีระยะห่างสมดุล

เป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า และมีการวางสายเรียงลาดบั เฟสตามกนั ทาใหฟ้ ลกั ซ์คลอ้ งสายทุกเฟส

เทา่ กนั หมดดงั ภาพที่ 3.22 a a D c
สายA

a D 3D D
b
b 2D b
สายB
D D
bc
cD a
สาย C

c

(ก) แสดงการตอ่ สาย3เฟสขนานกนั (ข) แสดงการวางสายรูปหกเหล่ียมดา้ นเทา่

โดยไมต่ อ้ งสลบั สาย ชนิดระยะห่างสมดุล

ภาพท่ี 3.22 แสดงการวางสาย 3 เฟสสมดุล 2 ชุดขนานกนั

ถา้ ระยะห่างระหวา่ งสายทุกเส้นเทา่ กบั D จะหาคา่ mutual G.M.D. ไดด้ งั น้ี

Dab = Dab = D
Dab = Dab = 3D
จะได้
= DmBC = DmCA = 4 D 3D 3DD
 DmAB

117

 Dm = 4 D2 . 3D2
= 4 D2 . 3D2

= D2 . 3D2

= D. 3D
= D2. 3
= 4 3D

= 3 DmAB.DmBC .DmCA 

= 3 4 3D.4 3D.4 3D

= 3 4 33 D3

 Dm = 4 3D
ถา้ ให้ r เป็นรัศมีของสายแต่ละเส้นจะหา self G.M.D. ไดด้ งั น้ี

DSA = DSB = DSC = 4 Daa .Daa.Daa .Daa
 DS
= 4 r2D2Dr

= r2 .2D2

= r.2D
= 3 DSA .DSB .DSC
= 3 r.2D. r.2D. r.2D

= 3  r.2D3

 DS = r.2D

ความเหนี่ยวนาของสายจะไดด้ งั น้ี Dm
DS
LA= LB= LC = 0.7411 log

= 0.7411 log 4 3D
r.2D

118

=  2  0.7411 log 4 3D
2 r.2D
4 3D 2
=  1  0.7411 log  r.2D 
2 
32 D2
0.37053 log 4
 = r.2D 2

= 0.37053 log  3 2/4 D2
r.2D

 LA = 0.37053 log 3.D มิลลิเฮนร่ี / ไมล์
2r

กรณีที่ 2 การวางสาย 3 เฟส 2 วงจร มีระยะห่างภายในเฟสเทา่ กนั หมด แต่
ระยะห่างตา่ งเฟสไมเ่ ทา่ กนั ตอ้ งสลบั สายระหวา่ งเฟสจึงจะสมดุลดงั ภาพที่ 3.23

เฟส A a a b c a b c

เฟส B ab D DD DD
bc 

เฟส C

c

(ก) แสดงการตอ่ สาย3เฟสขนานกนั โดย (ข) แสดงการวางสายแนวระนาบระยะห่างเท่าๆกนั
โดยมีการสลบั สายระหวา่ งเฟส
ภาพที่ 3.23 แสดงการวางสาย 3 เฟส 2 ชุดขนานกนั

หา mutual G.M.D. จะไดด้ งั น้ี
DmAB = 4 Dab .Dab.Dab .Dab
= 4 D.4D.2D.D

= 4 23.D4

DmBC = 4 Dbc .Dbc.Dbc .Dbc
= 4 D.4D.2D.D

119

= 4 23.D4
DmCA = 4 Dca .Dca.Dca .Dca

= 2D.D.5D.2D
= 4 522.D4
จะได้
Dm = 3 DmAB .DmBC .DmCA
= 3 4 23 D4 .4 23 D4 .4 522 D4

= 3 4 23.23.22.5.D4 .D4 .D4
= 12 528 D12
= D12 528

 Dm = 1.815D

ถา้ r เป็นรัศมีของสายแตล่ ะเส้นจะได้ self G.M.D. ดงั น้ี
DSA = 4 Daa .Daa.Daa .Daa =

4 r.3D.3D.r

DSB = 4 Dbb .Dbb.Dbb .Dbb =

4 r.3D.3D.r

DSC = 4 Dcc .Dcc.Dcc .Dcc =

4 r.3D.3D.r

= r3D
จะได้

DS = 3 DSA .DSB .DSC
= 3 r3D. r3D. r3D

 DS = r3D

ความเหน่ียวนาของสายจะมีคา่ ดงั น้ี Dm
DS
LA=LB =LC = 0.7411log

120

= 0.7411log 1.815D
r 3D

= 0.7411log 1.815D  D
3r. D D

 LA = 0.7411log1.8153rD มิลลิเฮนรี่ / ไมล์

กรณีที่ 3 การวางสาย 3 เฟส 2 วงจร มีระยะห่างไม่สมดุลท้งั ระยะห่างภายใน
เฟสและระยะระหวา่ งเฟสโดยวางเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นไมเ่ ท่าดงั ภาพท่ี (3.24)ตอ้ งมีการสลบั สาย
เพื่อใหส้ มดุล

เฟส A
เฟส C
เฟส B

(ก) แสดงการตอ่ สาย3เฟสขนานโดยมีการสลบั สายภายใน

ad c
b
h f e
b g j

mk a

n
c

(ข) แสดงการวางสายรูปหกเหลี่ยมดา้ นไมเ่ ท่า

ภาพที่ 3.24 แสดงการวางสาย 3 เฟส 2 ชุดขนานกนั

การหาค่าของ mutual G.M.D.

DmAB = ab .Dab.Dab .Dab = 4 h.e.k.m
DmBC = 4 m.e.k.h
DmCA = 4 Dbc .Dbc.Dbc .Dbc 4 g.n.d.g
= 4 Dca .Dca.Dca .Dca =

121

Dm = 3 DmAB .DmBC .DmCA
= 3 4 h.e.k.m.4 m.e.k.h.4 g.n.d.g

= 3 4 h2 .e2 .k2 .m2 .g2 .nd

 Dm = 12 d.e2 .g2 .h2 .k2 .m2 .n

ถา้ ให้ r เป็นรัศมีของสายแต่ละเส้นจะได้ self G.M.D. ดงั น้ี
DSA = 4 Daa .Daa.Daa .Daa

= 4 r.f .f .r
= 4 r2 .f 2

DSB = 4 Dbb .Dbb.Dbb .Dbb

= 4 r. j. j.r
= 4 r2 .j2

DSC = 4 Dcc .Dcc.Dcc .Dcc

= 4 r.f .f .r
= 4 r2 .f 2

จะได้
DS = 3 DSA .DSB .DSC

= 3 4 r2 . f 2 .4 r. j2 4  r'2 . f 2

= 3 4  f 4 . j2 .r6

= 3 f .r.4  j2 .r2

 = 3 f .r.  j2/4 .r2/4

 =  f 1/3 .r1/3  j2/ 43. r2/ 43

=  f 1/3 .r1/2 . j1/6

 = f 2 .r3.j1 1/6

 DS = 6 f 2 .r3.j1

122

ค่าความเหน่ียวนาของสายจะมีคา่ ดงั น้ี Dm
DS
LA = LB = LC = 0.7411log

LA = 0.7411log 12 d.e2 .g 2 .h2 .k2 .m 2 .n มิลลิเฮนรี่ / ไมล์
f 2
 6 .j.r2

ตัวอย่างที่ 3.14 ถา้ สายส่ง 3 เฟส 2 วงจร ตอ่ ขนานกนั โดยมีการวางสายดงั ภาพท่ี (3.25)
การวางสายดงั กล่าวมีการสลบั สายเพือ่ ใหเ้ กิดการสมดุลจากภาพถา้ ระยะห่าง h = 5 ฟุต , d = 8
ฟุต , และ r = 0.0368 ฟุต จงหาค่าความเหนี่ยวนารวมของสายแตล่ ะเฟส

a d a a d c a d c

hg hg hg

b f b b f a b f b

hhh

c c c b c a

ภาพที่ 3.25 แสดงการวางสายส่ง 3 เฟส 2 วงจร

วธิ ีทา จาก Dm
DS
L A = L B = LC = 0.7411log มิลลิเฮนร่ี / ไมล์

เส้นทแยง g และ f จะหาไดด้ งั น้ี

g = h2  d2 = 52  82 =9.43 ฟุต

f =  2h2  d2 = 102 82 =12.81 ฟุต

หา self G.M.D. ไดด้ งั น้ี

DSA = DSB = DSC = rd ฟุต
= 0.03688 ฟุต

 DS = 3 DSA .DSB .DSC = 3 0.5433

123

= 0.543 ฟุต

หา mutual G.M.D. ไดด้ งั น้ี

DmAB = 4 Dab .Dab.Dab .Dab = 4 h.g.g.h

= 4 52 9.432 = 6.867 ฟุต

DmBC = 4 Dbc .Dbc.Dbc .Dbc = 4 h.g.g.h

= 4 52 9.432 = 6.867 ฟุต

DmCA = 4 Dca .Dca.Dca .Dca
= 4 2h.f .f .2h

= 4  252 12.812 =11.318 ฟุต

 Dm = 3 DmAB.DmBC .DmCA

= 3 6.8672 11.318

= 8.11 ฟุต

ความเหน่ียวนาของสายจะมีคา่ ดงั น้ี Dm
DS
LA = L B = LC = 0.7411log

= 0.7411log 8.11
0.543
= 0.870 มิลลิเฮนร่ี

คา่ ความเหน่ียวนารวมของสายวงจรคู่ เทา่ กบั 0.870 มิลลิเฮนร่ี /ไมล์ ตอบ

3. ความจุของสายส่งไฟฟ้า (Capacitance , C )

คา่ ความจุไฟฟ้าเป็นค่าคงที่ของสาย มีหน่วยเป็นฟารัด ( Farad) หาไดจ้ ากอตั ราส่วนของ

ประจุไฟฟ้าต่อแรงดนั ไฟฟ้าระหวา่ งคูส่ าย สามารถเขียนไดเ้ ป็นสูตรดงั น้ี
q
C = v

เมื่อ

C = ค่าความจุไฟฟ้า มีหน่วยเป็น ฟารัด

q = จานวนประจุไฟฟ้า มีหน่วยเป็น คูลอมบ์

v = แรงดนั ไฟฟ้าระหวา่ งคูส่ าย มีหน่วยเป็น โวลต์

124

3.1 ความต่างศักย์ไฟฟ้าเน่ืองจากประจุไฟฟ้าบนตัวนา
ถา้ มีประจุไฟฟ้า (q) อยบู่ นสาย ประจุจะส่งสนามไฟฟ้า () ออกทุกทิศทาง

รอบสายไฟฟ้าดงั ภาพที่ (3.26) ซ่ึงผลรวมของสนามไฟฟ้าท่ีส่งออกจะเทา่ กบั ประจุท่ีอยบู่ นสายพอดี
สนามไฟฟ้าจะกระทาต่อประจุในแนวรัศมี แรง (F) ท่ีมากระทาต่อประจุใด ๆ เรียกวา่ ความเขม้
สนามไฟฟ้า หรือ แรงดนั เกรเดียนต์ (potential gredient , E ) มีหน่วยเป็ นโวลตต์ อ่ เมตร
ความตา่ งศกั ยร์ ะหวา่ งจุด 2 จุด ในสนามไฟฟ้า มีหน่วยเป็นโวลต์ นนั่ ก็คือ มีงาน (W) เขา้ มากระทา
การเคลื่อนประจุ (q) จากจุดหน่ึงไปยงั อีกจุดหน่ึง จะสรุปไดด้ งั น้ี

q x
+ ++
+
++
++

ภาพที่ 3.26 แสดงสนามไฟฟ้าท่ีออกจากประจุบวกรอบสาย

สนามไฟฟ้า  =q คูลอมบ์
จูล / เมตร(นิวตนั )
แรง F = W
X จูล / คูลอมบ(์ โวลต)์
W
แรงดนั V = X

ความเขม้ สนามไฟฟ้า E = F = W = V โวลต์ / เมตร
q Xq X

ถา้ ให้ D เป็นความหนาแน่นฟลกั ซ์ไฟฟ้า มีหน่วยเป็นคูลอมบ์ / ตารางเมตร จะเขียน

สมการไดด้ งั น้ี q
A
D =  = คูลอมบ์ / ตารางเมตร
A
เม่ือ A = พ้นื ท่ีที่ลอ้ มรอบฟลกั ซ์ไฟฟ้าตามแนวเส้นรอบวง

ดงั ภาพที่ (3.26) ถา้ ใหร้ ัศมี = X และถา้ พิจารณาสายยาว 1 เมตร จะไดด้ งั น้ี

D = q คูลอมบ์ / ตารางเมตร ...….(3.44)
2X

125

เมื่อพิจารณาที่ระยะห่างจากจุดศูนยก์ ลางท่ีคา่ ใด ๆ แลว้ จะได้ E ท่ีมีความสัมพนั ธ์กนั กบั D

ดงั น้ี E =D โวลต์ / เมตร

q
 E = 2πX โวลต์ / เมตร ...….(3.45)

 = or

เมื่อ  = คา่ เพอร์มิตติวติ ้ีของตวั กลาง มีหน่วยเป็นฟารัด / เมตร

o = ค่าเพอร์มิตติวติ ้ีของอากาศ
r = ค่าเพอร์มิตติวิต้ีสัมพนั ธ์

โดยท่ี o = 1
μoc2

o = ค่าเพอร์มิตบิต้ีของอากาศ

C = ค่าความเร็วแสง

จากสมการท่ี (3.44) จะเห็นว่าค่าความเข้มสนามไฟฟ้า (E) จะแปรผกผนั กบั รัศมี X แต่
ความเขม้ สนามไฟฟ้าที่อยู่บนเส้นรอบวงเดียวกนั จะมีค่าความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าเท่ากนั อาจเรียกเส้น
รอบวงท่ีมีศกั ยไ์ ฟฟ้าเท่ากนั แตล่ ะเส้นน้ีวา่ เส้นสมศกั ย์ (equipotential line )

P1

เสน้ สมศกั ย์ +q D P2
2

dx

ภาพที่ 3.27 แสดงศกั ยไ์ ฟฟ้าและเส้นสมศกั ย์

ความเข้มสนามไฟฟ้า (E) จะมีมากที่สุดตรงจุดศูนย์กลางของสายส่งและจะน้อยลงไป
ตามลาดับเม่ือห่างจากจุดศูนย์กลางออกไปดังภาพท่ี 3.27 จะเห็นว่าจุด P1 จะมีค่าความเขม้
สนามไฟฟ้ามากกวา่ ที่จุด P2 ถา้ สายดงั ภาพมีประจุ + q มนั จะส่งสนามไฟฟ้าออกรอบ ๆ สาย และ
ถา้ เอาประจุบวกอีกตวั หน่ึงไปวางไวใ้ นสนามไฟฟ้าดงั กล่าวมนั จะถูกผลกั ออกไปตามแนวรัศมี หรือ
ถา้ เคลื่อนประจุจากจุด P1 ไปยงั P2 ตามแรงผลกั แลว้ มนั ก็คือ พลงั งาน (energy) ที่ใชไ้ ป และความ
ตา่ งศกั ยท์ ่ีใชไ้ ปมนั ก็คือแรงดนั ตกในสาย (voltage drop) นน่ั เอง

126

จากภาพจะหาแรงดนั ตกระหวา่ งรัศมี D1ถึง D2 คือแรงดนั V12 ซ่ึงจะหาไดด้ งั น้ี

V12 = V1  V2 = D2 Edx

q D1
2
= D2 X dx

D1

= 2 q D2 1 dx
π X
D1

= 2 q lnX DD12
π
= 2πqlnD2  ln D1

 V12 = 2πqln D2 โวลต์ ..….(3.46)
D1

ตัวอย่างที่ 3.15 จงหาค่าความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าระหวา่ งจุด P1ถึง P2 ดงั ภาพที่ (3.28) D1=0.07
เมตร , D2=0.09 เมตร และสายแต่ละเส้นมีประจุ +q =6 มิลลิคูลอมบ์ และค่าเพอร์มิตติวติ ้ีของ
อากาศ = 8.85410-12 เพอร์มิตติวติ ้ีสมั พทั ธ์ของสาย = 1.543

P1

เสน้ สมศกั ย์ +q D P2
2

dx

ภาพท่ี 3.28 แสดงศกั ยไ์ ฟฟ้า

วธิ ีทา จาก q D2
2π D1
V12 = ln โวลต์

แทนค่าจากโจทยล์ งในสมการจะไดด้ งั น้ี

6  10-3 0.09
8.854  10 -12 0.07
 V12 = ln
2 1.543

= 17566424 โวลต์

= 17566.424 กิโลโวลต์

127

 คา่ ความตา่ งศกั ยไ์ ฟฟ้าระหวา่ งจุด P1ถึง P2เท่ากบั 17566.424 กิโลโวลต์ ตอบ

3.2 ความจุไฟฟ้าในระบบ 1 เฟส

ความจุไฟฟ้าระหว่างสาย 2 เส้นหาได้จากประจุบนตัวนาต่อความต่างศักย์

ระหวา่ งสายคูน่ ้นั ซ่ึงเขียนเป็นสมการไดด้ งั น้ี q ฟารัด / เมตร ..….(3.47)
C= V

สาย a r +q -q r สาย b

D

ภาพท่ี 3.29 แสดงการวางสายตวั นาในระบบเฟสเดียว

จากภาพที่ 3.29 การหาค่าความจุไฟฟ้าต่อความยาว จะใช้สมการที่ 3.47 โดยหาค่า V ใน

เทอมของ q ดงั สมการที่ (3.46) จากภาพถา้ เราใหร้ ัศมีของสายท้งั สองเส้น = r และวางสายห่างกนั =

D เราจะหาแรงดนั ระหวา่ งสาย a และ b ไดซ้ ่ึงจะแยกออกเป็น 2 เทอมดงั น้ี

แรงดนั ระหวา่ งสาย a และ b ท่ีเกิดจากประจุ qa และสมมติให้ qb = 0
πq a ln D
Vab1 = 2 r โวลต์

แรงดนั ระหวา่ งสาย a และ b ท่ีเกิดจากประจุ qb และสมมติให้ qa = 0

Vab2 = 2 qπbln r โวลต์
D

แรงดนั รวมระหวา่ งสาย a และ b ท่ีเกิดจากประจุ qaและ qb จะหาไดด้ งั น้ี

Vab = Vab1  Vab2 2qπbln
qa ln D r
= 2 π r + D ..….(3.48)

ถา้ qa = +q และ qb = -q ดงั น้ี
2 πq aln D qb ln r
Vab = r  2 π D

= 2πqa ln D  ln r  128
r D ..….(3.49)
Dr
= 2 qa ln rD
π

= πqaln  D  2
 r 
2 qa ln D
π r
= 2 2

 Vab = qa ln D โวลต์
π r

จะหาความจุไฟฟ้าระหวา่ งคูส่ าย จะหาไดจ้ ากสมการท่ี (3.47) และ (3.49) จะไดด้ งั น้ี
q
Cab = Vab
 Cab
= q
πqln D
π r

= ln D ฟารัด / เมตร
r
การแปลงหน่วย

1 เมตร = 100 เซนติเมตร = 102 เซนติเมตร

100 เซนติเมตร = 3 ฟุต

1 ฟุต = 12 น้ืว

1 นิ้ว = 2.54 เซนติเมตร

5 mile = 8 km

1 ไมล์ = 1,600 เมตร = (1,760 x 3 x 12 x 2.54) เซนติเมตร

 1 เมตร = 102 ไมล์
1760 312  2.54
1 ฟารัด = 106 ไมโครฟารัด

จาก Cab = π ฟารัด / เมตร
D
ln r

 = or