แผนการสอน

แผนการสอน 157
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การบิดของเพลา หน่วยที่ 5
สอนคร้ังท่ี 9
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. เพลาตนั สองอนั ทาจากวสั ดุตา่ งกนั คือ เพลาทองแดงมีขนาดเส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 45
มิลลิเมตร ยาว 1.5 เมตร มีค่า G เทา่ กบั 42 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร และเพลาเหลก็ มี
เส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 35 มิลลิเมตร ยาว 0.5 เมตร มีค่า G เท่ากบั 81 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร ปลายท้งั
สองยดึ กบั ผนงั ตรงช่วงต่อเพลามีทอร์กเทา่ กบั 3.4 กิโลนิวตนั เมตร จงคานวณหาความเคน้ เฉือน
สูงสุดในเพลาทองแดงและเพลาเหลก็

วธิ ีทา

จากสูตร T1L1  T2L2

G1J1 G2J2

แทนค่าในสูตร Ta 1.5  32  Ts  0.5  32
81 109
42109  0.0454  0.0354

ยา้ ยขา้ งสมการ Ta  Ts  0.5  32 42109  0.0454

81109  0.0354 1.5  32

Ta  0.472Ts

จาก Mx  0

จะได้ Ta  Ts  T  0

แทนคา่ 0.472Ts  Ts  3400 0

Ts  3400
1.472

= 2309.78 N.m

และ Ta = 0.472×2309.78
= 1090.22 N.m

จากสูตร   16T

D 3

จะได้ a  16  1090.22

  0.0453

= 60932179.6 N/m2

= 60.93 MN/m2

158

แผนการสอน หน่วยที่ 5
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 9
ชื่อหน่วย การบิดของเพลา จานวน 3 ช่ัวโมง

ตอบ ความเคน้ เฉือนสูงสุดในเพลาทองแดงเท่ากบั 60.93 เมกะนิวตนั /ตารางมิลลิเมตร

s  16 2309.78

  0.0353

= 274369981.2 N/m2

= 274.37 MN/m2

ตอบ ความเคน้ เฉือนสูงสุดในเพลาเหลก็ เทา่ กบั 274.37 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร

2. หนา้ แปลนยดึ เพลาดว้ ยโบลทข์ นาด 18 มิลลิเมตร จานวน 4 ตวั แนวยดึ โบลทม์ ีขนาด
เส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 45 มิลลิเมตร จงคานวณหาทอร์กที่หนา้ แปลนรับได้ ถา้ ความเคน้ เฉือนของ
โบลทห์ า้ มเกิน 52 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร

วธิ ีทา

จากสูตร T  n d2    r

4

แทนค่าในสูตร T  4  0.0182  52106  0.0225

4

= 1190.915 N.m

ตอบ ทอร์กท่ีหนา้ แปลนรับไดเ้ ท่ากบั 11909.915 นิวตนั เมตร

แผนการสอน 159
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การบิดของเพลา หน่วยที่ 5
สอนคร้ังท่ี 9
จานวน 3 ช่ัวโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 161
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 10
จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง
1. ชนิดของคาน
2. ชนิดของแรงที่กระทาบนคาน
3. แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ภายในคาน

สาระสาคญั
1. ชนิดของคานสามารถแบ่งออกได้ 6 แบบ ไดแ้ ก่ คานช่วงเดียวหรือคานแบบง่าย คานช่วง

เดียวปลายยนื่ คานยดึ แน่น คานแบบปลายหน่ึงยดึ แน่นปลายหน่ึงยดึ หมุนและคานแบบตอ่ เนื่อง
2. ชนิดของแรงหรือน้าหนกั ท่ีกระทาบนคานสามารถแบง่ ไดเ้ ป็น 4 แบบ คือ แรงที่กระทา

เป็นจุด แรงท่ีกระทาบนคานแบบกระจาย แรงคู่ควบหรือโมเมนตแ์ ละแรงรวม
3. เม่ือคานไดร้ ับแรงหรือน้าหนกั และโมเมนตด์ ดั จะทาใหเ้ กิดความเคน้ ข้ึนภายในคาน หาก

เกิดความเคน้ มากเกินไปก็จะทาใหค้ านเกิดความเสียหายได้ จึงจาเป็ นท่ีจะตอ้ งหาแรงและโมเมนต์
ดดั ท่ีเกิดข้ึน โดยใชส้ มการสมดุลทางสถิตยศาสตร์

วตั ถุประสงค์
1. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถบอกชนิดของคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพอ่ื ใหผ้ เู้ รียนสามารถบอกชนิดของแรงที่กระทาบนคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. เพอื่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาค่าแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ภายในคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 162
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังที่ 10
จานวน 3 ช่ัวโมง

เนือ้ หาสาระ
1. ชนิดของคาน

คาน ( beam ) หมายถึงส่วนต่าง ๆ ของโครงสร้างท่ีถูกกระทาดว้ ยแรงหรือน้าหนกั
ตามขวางท่ีมีทิศทางต้งั ฉากกบั แนวแกนของท่อนวสั ดุหรือโมเมนตข์ องแรงคู่ควบท่ีอยใู่ นระนาบ
เดียวกนั

ชนิดของคาน

ชนิดของคานสามารถแบ่งออกไดห้ ลายชนิดดงั ตอ่ ไปน้ี

1.คานช่วงเดยี วหรือคานแบบง่าย ( simple beam or simply supported ) คือ คาน
ที่มีจุดรองรับท่ีปลายท้งั สองเป็นแบบยดึ หมุน โดยดา้ นหน่ึงเป็นแบบลูกกลิ้งและปลายอีกดา้ น
หน่ึงเป็นแบบหมุด (คมมีด) ท่ีจุดรองรับแตล่ ะแห่งของคานจะเกิดแรงปฏิกิริยาเท่าน้นั แตจ่ ะไม่มี
โมเมนตเ์ กิดข้ึน ดงั ในรูปท่ี 1

รูปที่ 1 คานช่วงเดียวหรือคานแบบง่าย

2. คานยน่ื ( cantilever beam ) คือคานท่ีมีปลายดา้ นหน่ึงเป็ นอิสระ ส่วนปลายอีก
ดา้ นหน่ึงมีจุดรองรับแบบฝังแน่นหรือยดึ แน่นจนกระทง่ั ไม่สามารถจะหมุนได้ ฉะน้นั ปลายที่ถูก
ยดึ แน่นน้นั จะเกิดท้งั แรงปฏิกิริยาและโมเมนตข์ ้ึน ดงั รูปท่ี 2

แผนการสอน 163
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 10
จานวน 3 ชั่วโมง

รูปท่ี 2 คานยน่ื

3. คานช่วงเดยี วปลายยนื่ ( overhanging beam ) คือคานที่วางอยบู่ นจุดรองรับท้งั สอง
คลา้ ยคานช่วงเดียว แต่จะมีส่วนที่ยนื่ ออกจากจุดรองรับโดยจะยนื่ ออกขา้ งเดียวหรือท้งั สองขา้ งก็
ได้ ดงั รูปท่ี 3

รูปที่ 3 คานช่วงเดียวปลายยน่ื

4. คานยดึ แน่น ( fixed – ended beam ) คือคานที่มีปลายท้งั สองขา้ งคานเป็นแบบ
ยดึ แน่นหรือฝังแน่น ทาใหแ้ ต่ละขา้ งเคล่ือนท่ีหรือหมุนไปจากสภาพเดิมไม่ได้ ดงั รูปท่ี 4

แผนการสอน 164
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 10
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปท่ี 4 คานยดึ แน่น
5. คานแบบปลายหน่ึงยดึ แน่นอกี ปลายหน่ึงยดึ หมุน ( propped beam ) คือ คานยน่ื ท่ี
ปลายอิสระของคานจะมีจุดรองรับอยู่ เพ่ือเพิม่ ความแขง็ แรงมาข้ึนดงั รูปที่ 5

รูปที่ 5 คานแบบปลายหน่ึงยดึ แน่นอีกปลายหน่ึงยดึ หมุน
6. คานต่อเนื่อง ( continuous beam ) คือคานท่ีมีจุดรองรับมากกวา่ สองแห่งข้ึนไป
หรือมีช่วงของคานต้งั แตส่ องช่วงข้ึนไปดงั รูปท่ี 6

แผนการสอน 165
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 10
จานวน 3 ชั่วโมง

รูปที่ 6 คานต่อเน่ือง

คานท้งั 6 ชนิดท่ีกล่าวมาแลว้ ยงั สามารถแบ่งไดอ้ ีก 2 ประเภท
1. คานแบบหาค่าได้ทางสถติ ยศาสตร์ (statically determinate beam ) คือคานท่ี
สามารถหาค่าแรงปฏิกิริยาท่ีไมร่ ู้ค่าได้ โดยการใชส้ มการของการสมดุลอยา่ งเดียวก็หาค่าได้ คาน
แบบน้ีไดแ้ ก่ คานช่วงเดียว คานยนื่ และคานช่วงเดียวปลายยนื่
2. คานแบบหาค่าไม่ได้ทางสถิตยศาสตร์ ( statically indeterminate beam ) คือคานที่
ไมส่ ามารถหาคา่ ของแรงปฏิกิริยาท่ีไมร่ ู้ค่าไดโ้ ดยใชส้ มการของการสมดุลเพยี งอยา่ งเดียว
จาเป็นตอ้ งใชส้ ม การอื่นเขา้ มาช่วยจึงจะหาแรงปฏิกิริยาของคานน้นั ไดต้ ามตอ้ งการ คานแบบน้ี
ไดแ้ ก่ คานแบบมีปลายขา้ งหน่ึงยดึ แน่นอีกปลายหน่ึงยดึ หมุน คานแบบมีปลายท้งั สองยดึ แน่น
และคานตอ่ เนื่อง เป็นตน้

2. ชนิดของแรงหรือนา้ หนักทก่ี ระทาบนคาน
เราสามารถแบ่งการพิจารณาชนิดของแรงหรือน้าหนกั ที่กระทาบนคานไดเ้ ป็น 4 แบบ

คือ
1. แรงทกี่ ระทาเป็ นจุด ( concentrated load or point load ) เป็นแรงหรือน้าหนกั ท่ี

กระทาบนพ้นื ท่ีที่มีขนาดเล็กมาก ซ่ึงถือไดว้ า่ เป็นจุดไดด้ งั รูปที่ 7

แผนการสอน 166
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 10
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปที่ 7 แรงที่กระทาเป็นจุด
2. แรงทกี่ ระทาบนคานแบบกระจาย ( distributed load ) เป็นแรงหรือน้าหนกั ที่
กระทาบนพ้นื ท่ีหน่ึงหรือท้งั หมดของคานน้นั แบ่งการพจิ ารณาไดเ้ ป็ น 2 แบบคือ

ก. แรงทกี่ ระจายสมา่ เสมอ ( uniformly distributed load ) เขียนยอ่ ได้ วา่
UDL โดยแรงน้ีจะกระทาอยา่ งสม่าเสมอหรือกระจายอยา่ งสม่าเสมอตลอดพ้นื ที่น้นั ดงั รูปที่ 8

รูปที่ 8 แรงที่กระจายสม่าเสมอ
ข. แรงทก่ี ระจายไม่สม่าเสมอ ( non – uniformly distributed load )

รูปที่ 9 แรงท่ีกระจายไม่สม่าเสมอ

แผนการสอน 167
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 10
จานวน 3 ชั่วโมง

3. แรงคู่ควบหรือโมเมนต์ ( couple or moment ) เป็นแรงท่ีพยายามจะทาใหเ้ กิดการ
หมุนบนคานน้นั ดงั รูปที่ 10

รูปท่ี 10 แรงคู่ควบหรือโมเมนต์

4. แรงรวม ( combined load ) เป็นแรงที่รวมกนั ระหวา่ งแรงเป็ นจุดกบั แรงกระจายท่ี
กระทาบนคาน หรือแรงคู่ควบ หรือโมเมนต์ หรือแรงท้งั สามประเภทรวมกนั กไ็ ดด้ งั รูปท่ี 11

รูปที่ 11 แรงรวม

168

แผนการสอน หน่วยท่ี 6
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 10
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

3. แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดภายในคาน

เม่ือคานถูกกระทาดว้ ยแรงหรือน้าหนกั และโมเมนตด์ ดั ภายนอก จะทาใหเ้ กิดความเคน้
ข้ึนภายในคาน ในการที่จะหาขนาดของความเคน้ ท่ีหนา้ ตดั ใด ๆ ของคาน จึงจาเป็นท่ีจะตอ้ ง
สามารถคานวณหาแรงและโมเมนตด์ ดั ที่เกิดข้ึนท่ีหนา้ ตดั น้นั ใหไ้ ดเ้ สียก่อนโดยการใชส้ มการของ
การสมดุลทางสถิตยศาสตร์

แรงเฉือน ( shearing force ) คือแรงที่จะทาใหค้ านท่ีรับแรงน้ีถูกเฉือนขาดในแนวดิ่ง
ปกติแลว้ แรงเฉือนน้ีจะมีผลต่อการเฉือนขาดของวสั ดุที่ใชท้ าคานในงานโครงสร้างตา่ ง ๆ มาก

โมเมนต์ดดั ( bending moment ) คือโมเมนตด์ ดั ท่ีเกิดข้ึนอนั เน่ืองจากแรงเฉือนท่ี
กระทาต่อคาน โมเมนตด์ ดั น้ีเองที่จะพยายามใหค้ านที่รับแรงเฉือนน้นั โคง้ งอจนไมส่ ามารถท่ีจะ
ใชง้ านตอ่ ไปไดอ้ ีก

ไดอะแกรมของแรงเฉือน ( shear force diagram ) เขียนยอ่ วา่ SFD คือแผนภาพที่
แสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรงเฉือนกบั ความยาวของคานโดยมีจุดทางดา้ นซา้ ยมือของคานเป็น
จุดเริ่มตน้ คา่ ทางแกน x จะเป็นระยะทางที่วดั ไปตามความยาวของคานน้นั ต้งั แตท่ างดา้ นซา้ ยมือ
จนถึงทางดา้ นขวามือ สุดของคานน้นั และค่าทางแกน y จะเป็นค่าของแรงเฉือนในแนวด่ิงท่ีหนา้
ตดั ใด ๆ ของคานน้นั

ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด ( bending moment diagram ) เขียนยอ่ วา่ BMD คือ
แผนภาพที่แสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งโมเมนตด์ ดั กบั ความยาวของคานน้นั โดยที่มีจุดทางดา้ น
ซา้ ยมือสุดของคานเป็ นจุดเร่ิมตน้ คา่ ทางแกน x จะเป็ นระยะท่ีวดั ไปตามความยาวของคานน้นั
ต้งั แตท่ างดา้ นซา้ ยมือจนถึงทางดา้ นขวามือสุดของคานน้นั และค่าทางแกน y จะเป็นค่าของ
โมเมนตด์ ดั ท่ีหนา้ ตดั ใด ๆ ของคานน้นั

169

แผนการสอน หน่วยท่ี 6
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 10
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

4. เคร่ืองหมาย

กรณีของแรงเฉือน ในการพจิ ารณาใหพ้ ิจารณาคานทางดา้ นซา้ ยมือสุดเป็นจุดเริ่มตน้
แลว้ คิดไปทางดา้ นขวามือของคาน แรงใดที่มีทิศทางข้ึน เช่น แรงปฏิกิริยาของคานช่วงเดียวน้นั
ใหม้ ีเคร่ืองหมายเป็นบวก ( + ) และแรงใดที่มีทิศทางลงล่าง เช่น น้าหนกั หรือแรงที่กระทากบั
คานใหม้ ีเคร่ืองหมายเป็ นลบ ( - ) เครื่องหมายเหล่าน้ีจะกลบั กนั ถา้ หากการพจิ ารณาเร่ิมจาก
ทางดา้ นขวามือไปทางดา้ นซ้ายมือ ดงั รูป

รูปที่ 12 ทิศทางแรงเฉือน

กรณีของโมเมนตด์ ดั ในการพจิ ารณาเคร่ืองหมายของโมเมนตด์ ดั น้นั เราจะพจิ ารณา
ไดโ้ ดยให้โมเมนตด์ ดั ใดก็ตามที่ทาใหค้ านเกิดการแอ่นหรือโก่งงอลงดา้ นล่าง คือเกิดอาการถูกดึง
ไปทางดา้ นล่างของคาน หรือเกิดอาการถูกอดั ทางดา้ นบนของคาน ใหเ้ ป็นโมเมนตด์ ดั บวก ( +)
ไดแ้ ก่ โมเมนตด์ ดั ของคานช่วงเดียว เป็ นตน้ ดงั แสดงในรูปท่ี 13

รูปที่ 13 โมเมนตด์ ดั ของคานช่วงเดียว
และถา้ โมเมนตด์ ดั ใด ๆ กต็ ามที่ทาใหค้ านน้นั โก่งงอข้ึนดา้ นบน คือเกิดอาการถูกดึงทาง
ดา้ นบนของคาน หรือเกิดอาการถูกอดั ทางดา้ นล่างของคานใหเ้ ป็นโมเมนตด์ ดั ลบ ( - ) ไดแ้ ก่
โมเมนตข์ องคานยนื่ เป็ นตน้ ดงั รูปท่ี 14

แผนการสอน 170
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 10
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปท่ี 14 โมเมนตข์ องคานยน่ื

สรุปเนือ้ หา
คานคือชิ้นส่วนที่รับแรงหรือน้าหนกั ในลกั ษณะต้งั ฉาก คานจะเกิดการดดั คานแบง่

ออกเป็ น 2 ชนิด คือแบบหาคา่ ไดท้ างสถิตยศาสตร์ และคานแบบหาค่าไม่ไดท้ างสถิตยศาสตร์
ในบทน้ีจะหาแบบแรกก่อน ในข้นั แรกเราจะกาหนดเครื่อง หมายของการดดั ก่อน แรงท่ีดดั คาน
ใหโ้ คง้ ลง เราจะใหค้ ่าลบ และแรงท่ีดดั คานแอน่ ข้ึนเราจะใหค้ า่ บวก

“แรงเฉือนของคาน Shearing force(SF) ท่ีจุด ๆ หน่ึงบนคานภายใตแ้ รงคือ ผลรวมทาง
พีชคณิตของแรงในแนวด่ิงรวมจากดา้ นซา้ ยมือ หรือขวามือก็ไดม้ ายงั จุดน้นั (คา่ ท่ีออกมาจะ
เทา่ กนั )

“โมเมนตด์ ดั (BM) ท่ีจุดหน่ึงบนคานภายใตแ้ รง คือ ผลรวมทางพชี คณิตของโมเมนตข์ อง
แรงในแนวด่ิงรอบจุด ๆ น้นั คิดจากดา้ นซา้ ยมือหรือดา้ นขวามือมายงั จุดน้นั ”

แผนการสอน 171
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 10
จานวน 3 ชั่วโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของคานแบบต่าง ๆ และแรงท่ีมากระทากบั คาน

แบบต่าง ๆ มาใหน้ กั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ที่จะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยท่ี 6
3. อธิบายประกอบแผน่ ใส
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยที่ 6

ข้นั สรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเร่ือง ท่ีจะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเรื่องท่ีเรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยที่ 6
2. รูปภาพ 1 ถึง 14

แผนการสอน 172
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 10
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 173
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 10
แบบทดสอบ จานวน 3 ชั่วโมง

1. จากภาพตอ่ ไปน้ีเป็ นคานแบบใดจงอธิบาย

2. คานแบบช่วงเดียวปลายยนื่ เป็นอยา่ งไรจงอธิบาย
3. จากภาพเป็นคานชนิดใดจงอธิบายมาใหร้ ะเอียด

4. ชนิดของแรงหรือน้าหนกั ท่ีกระทาบนคานมีกี่แบบอะไรบา้ งจงอธิบาย
5. แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ภายในคานหมายถึงอะไรจงอธิบาย

แผนการสอน 174
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 10
เฉลยแบบทดสอบ จานวน 3 ชั่วโมง

1. จากภาพต่อไปน้ีเป็ นคานแบบใดจงอธิบาย

ตอบ คานช่วงเดียวหรือคานแบบง่าย ( simple beam or simply supported ) คือ คาน
ที่มีจุดรองรับที่ปลายท้งั สองเป็นแบบยดึ หมุน โดยดา้ นหน่ึงเป็นแบบลูกกลิ้งและปลายอีกดา้ น
หน่ึงเป็นแบบหมุด (คมมีด) ท่ีจุดรองรับแต่ละแห่งของคานจะเกิดแรงปฏิกิริยาเทา่ น้นั แต่จะไม่มี
โมเมนตเ์ กิดข้ึน

2. คานแบบช่วงเดียวปลายยน่ื เป็นอยา่ งไรจงอธิบาย
ตอบ คานช่วงเดียวปลายยน่ื (overhanging beam)คือคานท่ีวางอยบู่ นจุดรองรับท้งั สอง คลา้ ย
คานช่วงเดียว แตจ่ ะมีส่วนท่ียน่ื ออกจากจุดรองรับโดยจะยนื่ ออกขา้ งเดียวหรือท้งั สองขา้ งก็ได้

3. จากภาพเป็นคานชนิดใดจงอธิบายมาใหร้ ะเอียด

ตอบ คานยดึ แน่น ( fixed – ended beam ) คือคานที่มีปลายท้งั สองขา้ งคานเป็นแบบ
ยดึ แน่นหรือฝังแน่น ทาใหแ้ ต่ละขา้ งเคลื่อนท่ีหรือหมุนไปจากสภาพเดิมไม่ได้

แผนการสอน 175
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 10
จานวน 3 ชั่วโมง

4. ชนิดของแรงหรือน้าหนกั ที่กระทาบนคานมีกี่แบบอะไรบา้ งจงอธิบาย
ตอบ ชนิดของแรงหรือน้าหนกั ที่กระทาบนคานไดเ้ ป็น 4 แบบคือ

1. แรงท่ีกระทาเป็ นจุด ( concentrated load or point load ) เป็นแรงหรือน้าหนกั ท่ี
กระทาบนพ้ืนที่ที่มีขนาดเล็กมาก ซ่ึงถือไดว้ า่ เป็นจุดได้

2. แรงที่กระทาบนคานแบบกระจาย ( distributed load ) เป็นแรงหรือน้าหนกั ท่ี
กระทาบนพ้นื ท่ีหน่ึงหรือท้งั หมดของคานน้นั แบง่ การพิจารณาไดเ้ ป็ น 2 แบบคือ

ก. แรงท่ีกระจายสม่าเสมอ ( uniformly distributed load ) เขียนยอ่ ได้ วา่ UDL โดย
แรงน้ีจะกระทาอยา่ งสม่าเสมอหรือกระจายอยา่ งสม่าเสมอตลอดพ้นื ท่ีน้นั

ข. แรงท่ีกระจายไม่สม่าเสมอ ( non – uniformly distributed load )
3. แรงคู่ควบหรือโมเมนต์ ( couple or moment ) เป็นแรงท่ีพยายามจะทาใหเ้ กิดการ
หมุนบนคานน้นั
4. แรงรวม ( combined load ) เป็นแรงที่รวมกนั ระหวา่ งแรงเป็ นจุดกบั แรงกระจาย
ท่ีกระทาบนคาน หรือแรงคู่ควบ หรือโมเมนต์ หรือแรงท้งั สามประเภทรวมกนั ก็ได้

5. แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ภายในคานหมายถึงอะไรจงอธิบาย
ตอบ แรงเฉือน(shearing force)คือแรงท่ีจะทาใหค้ านที่รับแรงน้ีถูกเฉือนขาดในแนวด่ิง
ปกติแลว้ แรงเฉือนน้ีจะมีผลต่อการเฉือนขาดของวสั ดุท่ีใชท้ าคานในงานโครงสร้างต่าง ๆ มาก

โมเมนตด์ ดั ( bending moment ) คือโมเมนตด์ ดั ที่เกิดข้ึนอนั เนื่องจากแรงเฉือนที่กระทา
ตอ่ คาน โมเมนตด์ ดั น้ีเองที่จะพยายามใหค้ านที่รับแรงเฉือนน้นั โคง้ งอจนไม่สามารถที่จะใชง้ าน
ต่อไปไดอ้ ีก

176

แผนการสอน หน่วยท่ี 6
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 10
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 178
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ช่ัวโมง

หวั ข้อเรื่อง
1. แผนภาพแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ภายในคาน
2. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งแรงเฉือนโมเมนตด์ ดั และน้าหนกั

สาระสาคัญ

1. แผนภาพแรงเฉือน คือการเขียนกราฟของแรงเฉือนโดยใชแ้ กน x แทนตาแหน่งความยาว

ของคาน ส่วนขนาดของแรงเฉือนจะแสดงคา่ ดว้ ยแกน y การหาแรงปฏิกิริยาท่ีจุดรองรับจะใช้

สมการ M  0 สาหรับคานทุกชนิด ยกเวน้ แบบคานยน่ื ส่วนสมการ Fy  0 ใชก้ บั คานอยา่ ง

ง่ายและคานแบบช่วงเดียวปลายยน่ื และการหาค่าแรงเฉือนในแตล่ ะช่วงหาไดโ้ ดยการใชส้ มการ

 V  Fy L

2. แผนภาพโมเมนตด์ ดั คือ การเขียนกราฟโมเมนตด์ ดั โดยใชแ้ กน x แทนตาแหน่งความ

ยาวของคาน ส่วนขนาดของแรงเฉือนจะแสดงคา่ ดว้ ยแกน y การแบง่ ส่วนตดั ของคานทาแบบ

เดียวกนั กบั แรงเฉือน และการหาโมเมนตด์ ดั ในแตล่ ะช่วง หาโดยใชส้ มการ M   M
L

3. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งแรงเฉือนโมเมนตด์ ดั และน้าหนกั จะช่วยลดความยงุ่ ยากในการ

เขียนแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ที่มีความยงุ่ ยาก

วตั ถุประสงค์
1. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถเขียนแผนภาพแรงเฉือนและคานวณหาค่าแรงเฉือนในแต่ละช่วงได้

อยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถเขียนแผนภาพโมเมนตด์ ดั และคานวณหาค่าโมเมนตด์ ดั ในแตล่ ะ

ช่วงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. เพอ่ื ใหผ้ เู้ รียนสามารถเขียนแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั โดยใชห้ ลกั ความสัมพนั ธ์

ระหวา่ งแรงเฉือนโมเมนตด์ ดั และน้าหนกั ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 179
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 11
จานวน 3 ชั่วโมง

เนือ้ หาสาระ
1. แผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนต์ดดั ภายในคาน

การท่ีจะหาแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคานท่ีรองรับแบบคานช่วงเดียวหรือคานช่วง
เดียวปลายยนื่ น้นั จาเป็นจะตอ้ งหาแรงปฏิกิริยาท่ีรองรับของคานก่อนเสมอ ดงั น้นั คา่ แรง
ปฏิกิริยาท่ีคานวณไดจ้ ะตอ้ งเป็นค่าท่ีถูกตอ้ ง มิฉะน้นั จะทาใหก้ ารหาค่าแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั
ของคานน้นั ผดิ พลาดตามไปดว้ ย ส่วนคานแบบคานยนื่ น้นั ไม่จาเป็ นจะตอ้ งหาค่าแรงปฏิกิริยาที่
เกิดข้ึน ในกรณีของคานช่วงเดียวหรือคานช่วงเดียวปลายยน่ื แรงปฏิกิริยาแต่ละตวั จะหาไดโ้ ดย
การหาโมเมนตร์ อบจุดรองรับ [ M = 0 ] แลว้ ใชผ้ ลรวมของแรงปฏิกิริยาเทา่ กบั แรงที่กระทากบั

คานหรือน้าหนกั ที่กระทากบั คาน [ Fy  0 ] ก็จะหาคา่ แรงปฏิกิริยาท่ีกระทากบั จุดรองรับของ

คานไดต้ ามตอ้ งการ ซ่ึงจะสามารถหาแรงเฉือน และโมเมนตด์ ดั ที่เกิดข้ึนที่หนา้ ตดั น้นั ไดโ้ ดยใช้
สมการสถิตยศาสตร์

พจิ ารณาคานซ่ึงถูกกระทาดว้ ยแรง F1,F2 และ F3 โดยแรง RA และ RB เป็ นแรง

ปฏิกิริยา ณ ที่จุดรองรับ ซ่ึงเราสามารถท่ีจะหาไดจ้ ากสมการ M = 0 และ Fy  0

ให้ V คือแรงเฉือน และ M คือโมเมนตด์ ดั ที่หนา้ ตดั ระยะทาง x จากท่ีจุดรองรับ A
ซ่ึงเป็นค่าท่ีตอ้ งการจะหา โดยใหค้ านถูกตดั ออกท่ีหนา้ ตดั น้นั ซ่ึงจะทาใหเ้ กิดแรงเฉือนและ
โมเมนตด์ ดั ข้ึน ดงั รูป free body ในการท่ีคานน้ีจะอยใู่ นสภาพสมดุลได้ แรงรวมตามแนวด่ิง
จะตอ้ งเป็ นศูนย์ ซ่ึงจะได้

V+ F1 +F2 – RA = 0

V - RA –F1 –F2

โมเมนตด์ ดั รวมท่ีหนา้ ตดั ตอ้ งเทา่ กบั ศูนย์ จะไดส้ มการ
M + F1( x – a ) + F 2 ( x – b ) – RA x = 0
M - RA x - F1 ( x – a ) - F 2 ( x – b )

แผนการสอน 180
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังที่ 11
จานวน 3 ชั่วโมง

คา่ ของแรงเฉือน V และโมเมนตด์ ดั M จากสมการ 1 และ 2 น้ีสาหรับอยใู่ นช่วง
b<x<c< เท่าน้นั ถา้ ตอ้ งการทราบค่าของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ท่ีหนา้ ตดั อ่ืนซ่ึงจานวนแรง
ที่มากระทาตอ่ คานก็จะเปล่ียนไป ก็ใหต้ ดั free body ที่หนา้ ตดั น้นั แลว้ จึงใชส้ มการการ
สมดุลทางสถิตยศาสตร์อีก

เมื่อไดค้ ่าแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ของแต่ละช่วงแลว้ กส็ ามารถนาไปเขียนกราฟของแรง
เฉือนและโมเมนตด์ ดั ได้ โดยใหแ้ กน x แทนตาแหน่งของหนา้ ตดั ของคาน ส่วนขนาดของแรง
เฉือนและโมเมนตด์ ดั จะแทนไดด้ ว้ ยแกน y ฉะน้นั แผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั จึงเป็น
การแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ท่ีหนา้ ตดั ใด ๆ ไปตามความยาว
ของคาน จากแผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ที่ไดก้ จ็ ะทาใหท้ ราบค่าสูงสุดของแรงเฉือน
และโมเมนตด์ ดั ที่เกิดข้ึนในคานน้นั ตลอดจนตาแหน่งที่เกิดค่าสูงสุดเหล่าน้ีดว้ ย ซ่ึงจะเป็น
ประโยชน์ในการที่จะคานวณหาความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนในความต่อไป

ตาแหน่งรับแรงเฉือนมากท่ีสุด ในการหาคา่ และตาแหน่งของแรงเฉือนสูงสุดน้นั
จะตอ้ งสร้างแผนภาพของแรงเฉือน ท้งั น้ีเพราะไม่มีวธิ ีการคานวณวธิ ีใดที่จะบอกไดว้ า่ แรงเฉือน
สูงสุดที่เกิดข้ึนจะเกิด ณ ที่ใดของคานน้นั แต่โดยทวั่ ๆ ไปแลว้ มกั จะเกิดข้ึนที่บริเวณจุด
รองรับของคานน้นั เป็นส่วนใหญ่
2. ตาแหน่งรับโมเมนต์ดดั สูงสุด

ในการท่ีจะหาความเคน้ ดดั ในคานมีความจาเป็ นที่จะตอ้ งใชค้ ่าโมเมนตด์ ดั ท่ีมีขนาดสูงสุด
( คา่ เป็นบวกหรือลบมากที่สุด ) ตาแหน่งท่ีขนาดของโมเมนตด์ ดั สูงสุด อาจจะหาไดโ้ ดยการใช้
ขอ้ สงั เกตดงั ตอ่ ไปน้ี

1. ค่าโมเมนตด์ ดั สูงสุดจะเกิดข้ึน ณ ตาแหน่งที่มีค่าของแรงเฉือนเปลี่ยนจากบวกมา
เป็ นลบ

2. ค่าโมเมนต์ ดดั ต่าสุดจะเกิดข้ึน ณ ตาแหน่งท่ีมีคา่ ของแรงเฉือนเปลี่ยนจากลบมาเป็น
บวก

3. ในกรณีที่สมการของโมเมนตด์ ดั เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องของ x ตลอด โมเมนตด์ ดั

สูงสุดและโมเมนตด์ ดั ต่าสุดจะเกิดเมื่อ V  0..dM  0

dX

แผนการสอน 181
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 11
จานวน 3 ช่ัวโมง

4. ในกรณีที่มีแรงกระทาเป็นจุดอยดู่ ว้ ย ขนาดสูงสุดของโมเมนตด์ ดั จะเกิดข้ึน ณ ท่ีใดที่
หน่ึงของแรงท่ีกระทาเป็นจุด ท้งั น้ียกเวน้ คานแบบยน่ื

5. ขนาดสูงสุดของโมเมนตด์ ดั ในคานแบบยน่ื จะเกิดที่ปลายของคานซ่ึงถูกยดึ แน่น

3. จุดดัดกลบั ( Point of inflection )

จุดดดั กลบั ในคานคือจุดบนเส้นโคง้ อีลาสติก ที่โมเมนตด์ ดั เปลี่ยนเคร่ืองหมายซ่ึงจะ
ตรงกบั จุดท่ีตดั กบั แกน x ของแผนภาพของโมเมนตด์ ดั จุดดดั กลบั จะเกิดข้ึนเม่ือคานน้นั ถูก
กระทาท้งั โมเมนตด์ ดั ชนิดบวกและลบ ซ่ึงไดแ้ ก่ คานช่วงเดียวปลายยน่ื สาหรับคานช่วงเดียว
และคานยน่ื จะไมม่ ีจุดดดั กลบั เกิดข้ึน

ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรงเฉือน (V ) , โมเมนตด์ ดั ( M ) และน้าหนกั ( w )

ในคานท่ีมีแรงหรือน้าหนกั ท่ียงุ่ ยากมากข้ึน การคานวณและการสร้างแผนภาพของ
แรงเฉือนและของโมเมนตด์ ดั จะยงุ่ ยากและเสียเวลามาก ดงั น้นั ถา้ รู้ถึงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรง
หรือน้าหนกั บนคานแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ก็นบั วา่ สะดวกและเป็นประโยชนม์ ากต่อการ
สร้างแผนภาพและการระบุตาแหน่งหนา้ ตดั ของคานที่มีค่าโมเมนตด์ ดั สูงสุดไดด้ ว้ ย

สรุปเนือ้ หา

คานคือชิ้นส่วนที่รับแรงหรือน้าหนกั ในลกั ษณะต้งั ฉาก คานจะเกิดการดดั คานแบง่
ออกเป็ น 2ชนิด คือแบบหาค่าไดท้ างสถิตยศาสตร์ และคานแบบหาค่าไมไ่ ดท้ างสถิตยศาสตร์ ใน
บทน้ีจะหาแบบแรกก่อน ในข้นั แรกเราจากาหนอเคร่ืองหมายของการดดั ก่อน แรงที่ดดั คานให้
โคง้ ลง เราจะใหค้ ่าลบ และแรงที่ดดั คานแอ่นข้ึนเราจะใหค้ ่าบวก ข้นั ตอนการหาค่าความเคน้ ดดั
เรากระทาไดด้ งั น้ี

1. หาแรงปฏิกิริยา เขียนไดอะแกรมรูปอิสระ ( F.B.D.) ของคานและหาแรงปฏิกิริยามา
ใหไ้ ดก้ ่อน ซ่ึงแรงจะตอ้ งต้งั ฉากกบั คาน

182

แผนการสอน หน่วยท่ี 6
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 11
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน จานวน 3 ชั่วโมง

2. เขียนไดอะแกรมแรงเฉือน กาหนดแกนของกราฟโดยแรง V อยใู่ นแกนต้งั x
ในแนวนอนพล๊อตค่าที่รู้ของแรงท่ีกระทา ณ ปลายคานท้งั สอง โดยตดั คานออกทุกช่วงที่มีแรง
กระทาเปล่ียนไป แลว้ ใชส้ มการสมดุลหาแรงเฉือนแลว้

3. นามาพลอ๊ ตกราฟ
เขียนไดอะแกรมโมเมนตด์ ดั กาหนดกราฟของโมเมนตด์ ดั อยใู่ นแนวต้งั M และแกน X
อยใู่ นแนวนอนพล๊อตคา่ โมเมนต์ โดยตดั คานออกเป็นช่วงเหมือนกบั แรงเฉือน เขียนสมการ
โมเมนตด์ ดั ทุกหนา้ ตดั โดยใชส้ มการของแรงเฉือนมาพิจารณา แลว้ ใชส้ มการของโมเมนตด์ ดั มา
หาคา่ โมเมนตด์ ดั สูงสุด

ตัวอย่างท่ี 1

จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ีพร้อมท้งั หานขาดและตาแหน่งของโมเมนต์
ดดั สูงสุดดว้ ย

วธิ ีทา หาแรงปฏิกิริยา R A,R B

 MA  0 4R B  10 2

RB  20  5kN
4

R A  10  5  5kN

แผนการสอน 183
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ชั่วโมง

ที่หนา้ ตดั 0  x  2

V  R A  5kN
M  R A x  5xkN.m
x  0,....M  0kN.m
x  2,....M  5(2)........ 10kN.m

ท่ีหนา้ ตดั 2  x  4

V  5  10  5kN
M  5x  10(x  2)kN.m

x  2m,....M 10  0

 10kN.m
x  4m,....M  5(4) 10(2)

 0kN.m

ตอบ โมเมนตด์ ดั สูงสุดเท่ากบั 10 กิโลนิวตนั .เมตร กระทาที่ตาแหน่งห่างจากจุด A
เท่ากบั 2 เมตร ไปทางขวามือ

ตวั อย่างท่ี 2

จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและตาแหน่งของโมเมนต์
ดดั สูงสุดดว้ ย

แผนการสอน 184
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ช่ัวโมง

หาแรงปฏิกิริยา RA , RB

 Ma  0 10R A  7  8  12 2  80

RA  80  8kN
10

R B  7  12  8 11kN

ที่หนา้ ตดั 0x2

V  R A  8kN

M  RAx kN m

x = 0 m , M = 0 kN m
x = 2 m , M = 8(2) = 16 kN m
ที่หนา้ ตดั 2  x  8
V = 8-7 = 1 kN
M = 8x-7(x-2) kN m
X = 2 m , M = 8(2)-7(10) = 1 kN m
X = 8 m , M = 8(8) – 7 (6) = 22 kN m
ท่ีหนาตดั 8  x  10
V = 8 – 7 – 12 = -11 kN
M = 8x – 7 ( x- 2 ) –12 ( x – 8 ) kN m
X =8 m , M =8 ( 8 )– 7( 6 ) – 12 ( 0 ) = 22 kN m
X =10 m , M =8 ( 10 )– 7( 8 ) – 12 ( 2 ) = 0 kN m
 โมเมนตด์ ดั สูงสุดเทา่ กบั 22 กิโลนิวตนั . เมตร

ตอบ กระทาท่ีตาแหน่งห่างจากจุด A เทา่ กบั 8 เมตร ไปทางขวามือ

แผนการสอน 185
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังที่ 11
จานวน 3 ช่ัวโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของคานแบบตา่ ง ๆ และแรงที่มากระทากบั คาน

แบบต่าง ๆ มาใหน้ กั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ที่จะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ตา่ ง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยที่ 6
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1 และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยท่ี 6

ข้นั สรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเรื่อง ที่จะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยที่ 6

แผนการสอน 186
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 187
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ช่ัวโมง

แบบฝึ กหัด

1. จงเขียน FBD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและตาแหน่งของโมเมนตด์ ดั
สูงสุดดว้ ย

2. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

แผนการสอน 188
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงเขียน FBD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและตาแหน่งของโมเมนตด์ ดั
สูงสุดดว้ ย

วธิ ีทา

หาแรงปฏิกิริยา RA , RB

 MA  0 5R B  (251)  (25 4)

RB  125  25kN
5

R A  25  25  25  25kN

ที่หนา้ ตดั 0  x 1

ท่ีหนา้ ตดั 1 x  4

V  R A  25kN

V  R A  25  25  25  0kN x  1m M  25(1)  25(0)  25kN.m
M  R Ax  25xkN.m x  4m M  25(4)  25(3)  25kN.m
M  25x  25(x 1)kN.m

x  0m M  0kN.m
x  1 M  25(1)  25kN.m

ท่ีหนา้ ตดั 4  x  5

x  4m V  25  25  25  25kN
x  5m M  25x  25(x 1)  25(x  4)kN.m
M  25(4)  25(3)  0  25kN.m
M25(5)  25(4)  25(1)  0kN.m

ตอบโมเมนตด์ ดั สูงสุดคือ 25 กิโลนิวตนั เมตร กระทาห่างระยะ A เทา่ กบั 1 เมตร

แผนการสอน 189
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังท่ี 11
จานวน 3 ชั่วโมง

2. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

วธิ ีทา
หาแรงปฏิกิริยา R A , R B

 MA  0.....8R B  (8  4  2)  (16 4  6)

RB  448  56kN
8

R A  (8  4)  (16 4)  56  40kN

ที่หนา้ ตดั 0  x  4

V  R A  8xkN

x  0m, V  R A 40kN

x  4m V  40  8(4)  8kN

8x 2
2
M  R A x  kN.m

ท่ีหนา้ ตดั 4  x  8

V  40  32 16(x  4)kN

x  4m, V  40  32 16(0)  8kN

x  8m, V  40  32 16(4)  56kN
M  40x  32(x  2)  16 (x  4)2 kN.m
x  4m,
x  8m, 2
M  40(4)  32(2)  8(0)  96kN.m
M  40(8)  32(6)  8(4)2  0kN.m

โมเมนตด์ ดั สูงสุดท่ีเกิดข้ึนที่ SF=0

40  32 16(x  4)  0

16x  72
x  72  4.5m

16
Mmax  40(4.5)  32(2.5)  8(0.5)2

ตอบโมเมนตด์ ดั สูงสุด  98kN.m กระทาท่ีจุดห่างจาก A ไปทางขวามอื เท่ากบั 4.5 เมตร

แผนการสอน 190
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังที่ 11
แบบทดสอบ จานวน 3 ช่ัวโมง

1. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

2. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

แผนการสอน 191
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 11
เฉลยแบบทดสอบ จานวน 3 ช่ัวโมง

1. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

วธิ ีทา หาแรงปฏิกิริยา R A , R B

 MA  0.....10R B  (20 5)  (10 8)

RB  180  18kN
10

R A  20  10 18 12kN

ที่หนา้ ตดั 0  x  5

V  R A 12kN
M 12xkN.m

x  0m, M  0kN.m

x  5m M 12(5)  60kN.m

ท่ีหนา้ ตดั 5  x  8 ที่หนา้ ตดั 8  x 10

x  5m, V 12  20  8kN V 12  20 10  18kN
x  8m, M 12x  20(x  5)kN.m
M 12x  20(x  5) 10x  8kN.m
M 125  20(0)  60kN.m x  8m, M 128  20(3) 100  36kN.m
M 128  20(3)  36kN.m x 10m, M 1210  20(5) 102  0kN.m

ตอบโมเมนตด์ ดั สูงสุด 60kN.m กระทาที่จุดห่างจาก A ไปทางขวามือเท่ากบั 5 เมตร

192

แผนการสอน หน่วยที่ 6
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 11
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน จานวน 3 ชั่วโมง

2. จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปน้ี พร้อมท้งั หาขนาดและโมเมนตส์ ูงสุดดว้ ย

วธิ ีทา หาแรงปฏิกิริยา R A , R B

 MA  0.....10R B  1 1015 2 10
2 3

RB  500  50kN
10

R A  1 1015  50  25kN
2

ท่ีหนา้ ตดั 0  x 10

แรงท้งั หมดที่กระทากบั คานในระยะ x

 1 x15x   3 x2 kN

2  10  4

V  RA  3 x2  25  3 x2 kN
4 4

x  0m, V  25  0  25kN

x 10m, V  25  3 102  50kN

4

M  25x  3 x2  x  โมเมนตด์ ดั มีค่าสูงสุดท่ี SF = 0
4  3 

 25x  x 3 จาก V  25  3 x2  0
4
4

x  0m, M  0kN.m 3 x2  25
4

x 10m, M  2510  103  kN.m x  25 4  5.77m
3
4

 M max  255.77 5.773  96.22kN.m

4

ตอบโมเมนตด์ ดั สูงสุด 96.22kN.m กระทาที่จุดห่างจาก A ไปทางขวามือเทา่ กบั 5.77 เมตร

แผนการสอน 193
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน หน่วยที่ 6
สอนคร้ังที่ 11
จานวน 3 ชั่วโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 195
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ชั่วโมง

หวั ข้อเร่ือง
1. การหาคา่ ความเคน้ ที่เกิดข้ึนในคาน
2. ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความเคน้ ดดั กบั โมเมนตด์ ดั

สาระสาคัญ
1. การพจิ ารณาหาค่าความเคน้ ท่ีเกิดข้ึนในคาน ให้ตดั ส่วนหน่ึงของคานออก ผวิ ดา้ นบนจะ

เกิดความเคน้ อดั ส่วนดา้ นล่างจะเกิดความเคน้ ดึง ระหวา่ งส่วนบนกบั ส่วนล่างจะมีช้นั ท่ีไม่เกิด
แรงดึงและแรงอดั เรียกวา่ แนวแกนสะเทิน การหาคา่ ความเคน้ ที่เกิดข้ึนในคานหาไดจ้ าก สูตร

  Ey


2. เมื่อคานเกิดความเคน้ ดดั คานก็จะเกิดโมเมนตด์ ดั เกิดข้ึนดว้ ย จึงเกิดความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง
ความเคน้ ดดั กบั โมเมนตด์ ดั ข้ึน ดงั น้นั การหาคา่ ความเคน้ ดดั และโมเมนตด์ ดั สามารถหาไดจ้ าก
สูตร   M

Z

วตั ถุประสงค์
1. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ ที่เกิดข้ึนในคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาค่าความเคน้ ดดั และโมเมนตด์ ดั โดยใชค้ วามสัมพนั ธ์

ระหวา่ งความเคน้ ดดั กบั โมเมนตด์ ดั ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 196
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 12
จานวน 3 ชั่วโมง

เนือ้ หาสาระ

1. ความเค้นดดั ในคาน ( Bending stress in beam )
เม่ือคานถูกแรงภายนอกมากระทาหรือคานรับน้าหนกั ไว้ จะทาใหเ้ กิดมีแรงตา้ นทาน

เกิดข้ึนในคานน้นั ผลของแรงภายนอกและแรงคู่ควบที่มากระทากบั คาน โดยทว่ั ไปจะทาใหเ้ กิด
แรงปฏิกิริยาดงั น้ี

1) ความเค้นดัด (bending stress) เกิดข้ึนที่หนา้ ตดั ของคานที่ต้งั ฉากกบั แกนตาม
ความยาวของคานน้นั

2) ความเค้นเฉือน (shearing stress) ก็จะเกิดข้ึนที่หนา้ ตดั ของคานท่ีต้งั ฉากกบั ตาม
ความยาวของคานน้นั ดว้ ย

3) การโก่งของคาน (defection) ซ่ึงจะกระทาต้งั ฉากตามความยาวของคานน้นั

1.1 ความเค้นดัดล้วน (Pure bending)
ความเคน้ ดดั ลว้ น คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระทาดว้ ยแรงคูค่ วบหรือโมเมนตด์ ดั

ที่ปลายท้งั สองขา้ งโดยไม่มีแรงอื่นเลย จะทาใหแ้ รงเฉือนมีคา่ เป็นศูนยต์ ลอดท้งั คาน ซ่ึงจะทาให้
เกิดความเคน้ ดดั เพียงอยา่ งเดียว ดงั รูปที่ 1

รูปที่ 1 ความเคน้ ดดั ลว้ น

แผนการสอน 197
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

1.2 ความเค้นดดั ธรรมดา ( Ordinary bending )

ความเคน้ ดดั ธรรมดา คือคานท่ีรับแรงหรือน้าหนกั ตามแนวต้งั ฉากกบั แนวของคาน
น้นั ซ่ึงจะมีผลทาใหเ้ กิดท้งั ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนในคาน เนื่องจากวา่ มีท้งั แรงเฉือน
และโมเมนตด์ ดั เกิดข้ึนที่หนา้ ตดั ของคานน้นั ดงั รูปท่ี 2

รูปที่ 2 ความเคน้ ดดั ธรรมดา

ข้อสมมติฐานทใ่ี ช้ในการหาค่าความเค้นดัดทเี่ กดิ ขึน้ ในคาน

1. ก่อนที่จะมีแรงมากระทากบั คานน้นั คานจะตอ้ งมีลกั ษณะตรงอยเู่ สมอตลอดคาน
2. คานที่ใชจ้ ะตอ้ งทามาจากวสั ดุท่ีเป็นเน้ือเดียวกนั ตลอดท้งั คาน
3. ความเคน้ ท่ีเกิดข้ึนในคาน จะตอ้ งมีขนาดไมเ่ กินค่าขีดจากดั ความยดื หยนุ่ ของคานท่ีจะ
รับได้
4. คา่ โมดูลสั ของความยดื หยนุ่ ท้งั ที่ดา้ นรับความเคน้ ดึงและรับความเคน้ อดั ในคาน
จะตอ้ งมีค่าเทา่ กนั เสมอระนาบหนา้ ตดั ของคานท้งั ก่อนและหลงั การพจิ ารณา จะตอ้ งเป็ นระนาบ
หนา้ ตดั เดิมเสมอ
5. ความโก่งของคานท่ีเกิดข้ึนจะตอ้ งมีคา่ นอ้ ยมากเมื่อเทียบกบั ความยาวของคานน้นั

แผนการสอน 198
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

ใหพ้ ิจารณาคานตรงที่มีค่าโมเมนตด์ ดั มากระทาที่ปลายคานท้งั 2 ขา้ ง ซ่ึงจะทาใหค้ าน
เกิดการโคง้ งอข้ึน ถา้ ตอ้ งการหาคา่ ของความเคน้ ดดั ที่เกิดข้ึนในคานใหท้ าการดดั ส่วนหน่ึงของ
คานออกมายาวเท่ากบั dx ดงั รูป เนื่องจากผลของการดดั จะทาใหผ้ วิ ดา้ นบนของคานเกิดความ
เคน้ อดั ส่วนผวิ ทางดา้ นล่างจะเกิดความเคน้ ดึง ในระหวา่ งดา้ นบนและดา้ นล่างของคานจะมีช้นั ที่
ไมย่ ดื ตวั และหดตวั ซ่ึงความเคน้ ที่เกิดข้ึนในช้นั น้ีจะมีคา่ เป็ นศูนย์ เราเรียกแนวท่ีความเคน้ มีค่า
เป็นศนู ยน์ ้ีวา่ แนวแกนสะเทิน (neutral axis) ในที่น้ีก็คือคา่ แนว ab ซ่ึงมีคา่ เทา่ กบั ความยาวของ
dx กาหนดให้ p เป็นรัศมีของความโคง้ ของคานท่ีถูกดดั จากแนวแกนสะเทิน และใหพ้ ิจารณา

คานที่ช้นั ใด ๆ ce ซ่ึงอยหู่ ่างจากแนวแกนสะเทินเป็นระยะทาง y ลากเส้น bd ขนานกบั oc
จะไดว้ า่ ab=cd=dx

ส่วนที่ยดื ออกของคานในช้นั น้ีก็คือ de

ความเครียด ()  de

dx

แต่ dx  d และ dbe  d

de  yd

  yd  y
  d 

แต่ความเครียด   

E

  y หรือ   E
E y

  Ey


รูปท่ี 3 ความเคน้ ที่เกิดข้ึนในคาน

199

แผนการสอน หน่วยที่ 7
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 12
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

ตอ่ ไปพจิ ารณาหนา้ ตดั ของคานดงั รูปท่ี 3 ความเคน้ บนหนา้ ตดั ท่ีระยะ y จาก
แนวแกนสะเทิน

 E y


ถา้ ให้ เป็นพ้นื ที่เลก็ ๆ ซ่ึงอยหู่ ่างจากแนวแกนสะเทินเป็นระยะทาง y
เนื่องจาก รูปที่ 6-4 แรง = ความเคน้  พ้ืนที่

dF    dA  E y  dA


โมเมนตข์ องแรงน้ีรอบแกนสะเทิน

  M  dF  r  Ey  dA  y  E y2dA


M  E y2dA

M  E I



เม่ือ I  y2dA เป็นโมเมนตข์ องความเฉ่ือย (moment of inertia) ของรูปหนา้ ตดั

ของคานรอบแกนสะเทินน้นั
โมเมนตข์ องแรงน้ีรอบแกนสะเทิน

  M  dF  r  Ey  dA  y  E y2dA


M  E y2dA


M  E y2dA


แผนการสอน 200
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

M  E I


เม่ือ I  y2dA เป็ นโมเมนตข์ องความเฉ่ือย (moment of inertia) ของรูปหนา้

ตดั ของคานรอบแกนสะเทินน้นั แต่ E  

y

ฉะน้นั M   ;   M y
Iy I

ถา้ ให้ c เป็นระยะจากแนวแกนสะเทินของหนา้ ตดั น้นั ไปยงั ขอบบนสุดและล่างสุด
ของหนา้ ตดั ของคานน้นั เรากจ็ ะไดค้ วามสมั พนั ธ์วา่

M  I หรือ   M c

cI

คา่ ของ I ในสูตรขา้ งตน้ เรียกวา่ โมดูลสั หนา้ ตดั และใชส้ ญั ลกั ษณ์เป็น Z

c

จะไดส้ มการ  M
z

สรุปเนือ้ หา

ความเค้นดัดล้วน (Pure bending)
ความเคน้ ดดั ลว้ น คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระทาดว้ ยแรงคู่ควบหรือโมเมนตด์ ดั ท่ี

ปลายท้งั สองขา้ งโดยไม่มีแรงอื่นเลย จะทาใหแ้ รงเฉือนมีค่าเป็นศนู ยต์ ลอดท้งั คาน ซ่ึงจะทาให้
เกิดความเคน้ ดดั เพียงอยา่ งเดียว

ความเค้นดัดธรรมดา (Oridinary bending)

ความเค้นดดั ธรรมดา คอื คานท่รี ับแรงหรือนา้ หนกั ตามแนวตงั้ ฉากกบั แนวของคานนัน้ ซง่ึ จะมผี ลทา
ให้เกดิ ทงั้ ความเค้นดดั และความเค้นเฉือนในคาน เนอ่ื งจากวา่ มีทงั้ แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั เกิดขนึ ้ ท่หี น้าตดั
ของคานนนั ้

แผนการสอน 201 9-6
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

คานเมื่อถูกโมเมนตด์ ดั กระทาจะเกิดความเคน้ ดดั ข้ึนในคาน เรียกวา่ Bending Stress มีท้งั
ความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั
สูตรท่ีใชพ้ ิจารณาความเคน้ น้ีคือ   Mc เรามีข้นั ตอนการวเิ คราะห์ดงั น้ี

I

1. หาคา่ โมเมนตภ์ ายใน ทาการตดั หนา้ ตดั ส่วนที่ต้งั ฉากกบั แกนความยาวของคาน ณ
ตาแหน่งซ่ึงเกิดการดดั เราตอ้ งรู้ของตาแหน่งแกน N.A. เราใชไ้ ดอะแกรมของโมเมนตด์ ดั หาค่า
โมเมนตด์ ดั สูงสุดที่ใชส้ าหรับหาความเคน้ ดดั สูงสุด

2. คานวณหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของพ้ืนที่หนา้ ตดั รอบแกนสะเทิน
หาค่าความเคน้ ดดั สูงสุดจากสูตร   Mc

I

ตวั อย่างท่ี 1
คานแบบช่วงเดียวมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง 100

มิลลิเมตร สูง 150 มิลิเมตร มีแรงกระทา 45 กิโลนิวตนั กระทาที่จุดห่างจากจุดรองรับขา้ งหน่ึง
1 เมตร จงคานวณหาความเคน้ ดดั สูงสุดที่เกิดข้ึนในคาน

วธิ ีทา

  MA  0 ; 3R B  45*1

RB  45  15 kN
3

 RA  4515  30 kN

Mmax  R A *1  30*1  30 kN  m

จากสูตร  max  Mc
I

202

แผนการสอน หน่วยท่ี 7
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 12
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

เม่ือ c  h  150  75 mm I  1 bh 3  1 1001503  28125000 mm4
22 12 12

แทนค่า max  30106  75
28125000

 80 N
mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคานเท่ากบั 80 นิวตนั / ตารางมิลลิเมตร

ตัวอย่างที่ 2

คานยน่ื อนั หน่ึงมีความยาว 2 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ Wกิโลนิวตนั /

เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศูนย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหลก็ ท่ีมีค่าความเคน้

ท่ียอมใหไ้ ม่เกิน 80 N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) น้ีท่ีคานจะรับได้

mm2

วธิ ีทา

M max  wL2
2

 w  22  2wkN.m
2

เมื่อ I   d2   (3)4  73661.7574mm4 , c  35 17.5mm จากสูตร   Mc
64 64 2 I

เม่ือ   80 N

mm2

 80  2w 106 17.5
73661.7574

w  80 73661.7574
2 106 17.5

แผนการสอน 203
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 12
 0.16836kN m จานวน 3 ช่ัวโมง
168.36 N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย 168.36N m

204

แผนการสอน หน่วยท่ี 7
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 12
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของคานแบบต่าง ๆ และแรงท่ีมากระทากบั คาน

แบบตา่ ง ๆ มาใหน้ กั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ท่ีจะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยที่ 7
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งที่ 1 และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยท่ี 7

ข้นั สรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเรื่อง ท่ีจะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเรื่องที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยท่ี 7
2. รูปภาพ 1, 2 และ 3

แผนการสอน 205
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 12
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 206
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ชั่วโมง

แบบฝึ กหดั

1. คานยนื่ A-B มีความยาว 3 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ F กิโลนิวตนั / เมตร
ตลอดท้งั คานเป็นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 48 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหล็กท่ีมีค่าความเคน้ ไมเ่ กิน
75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) น้ีท่ีคานจะรับได้

F kN/m

AB 48 mm
3m

2. คานดงั รูปมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็ นส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง85 มิลลิเมตร สูง

100 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 50 กิโลนิวตนั กระทาที่จุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความเคน้

ดดั สูงสุดท่ีเกิดข้ึนในคาน 85
mm
50 kN

100
mm

1m 2m

แผนการสอน 207
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. คานยนื่ A-B มีความยาว 3 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ F กิโลนิวตนั / เมตร
ตลอดท้งั คานเป็นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 48 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหล็กที่มีค่าความเคน้ ไม่เกิน
75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) น้ีที่คานจะรับได้

F kN/m

AB 48 mm
3m

วธิ ีทา

M max  FL2
2

 F  22  2FkN.m
2

เม่ือ I   d 2   (48)4  260576.26mm4 , c  48  96mm จากสูตร   Mc
64 64 2
I

เม่ือ   75 N

mm2

 75 2w 106  96
260576.26

w  75 260576.26
2 106  96

 0.10178kN m
101.79 N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทา่ กบั 101.79N m

208

แผนการสอน หน่วยท่ี 7
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 12
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ชั่วโมง

2. คานดงั รูปมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็ นส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง85 มิลลิเมตร สูง

100 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 50 กิโลนิวตนั กระทาท่ีจุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความเคน้

ดดั สูงสุดท่ีเกิดข้ึนในคาน 85
mm
50 kN

100
mm

1m 2m

วธิ ีทา

  MA  0 ; 3R B  501

RB  50  16.67 kN
3

 R A  50 16.67  33.33 kN

Mmax  R A 1  33.331  33.33 kN  m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  100  50 mm I  1 bh 3  1  851003  7083333.33 mm4
22 12 12

แทนค่า max  33.33106  50
7083333.33

 235.27 N
mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคานเท่ากบั 235.27 นิวตนั / ตารางมิลลิเมตร

แผนการสอน 209
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ชั่วโมง

แบบทดสอบ

1. คานดงั รูปมีความยาว 5 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นสี่เหล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง120 มิลลิเมตร
สูง170 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 68 กิโลนิวตนั กระทาท่ีจุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความ
เคน้ ดดั สูงสุดท่ีเกิดข้ึนในคาน

120
68 kN mm

170
mm

2m 3m

2. คานยนื่ A-B มีความยาว 4เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ F กิโลนิวตนั /
เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหล็กท่ีมีคา่ ความเคน้
ไม่เกิน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) น้ีท่ีคานจะรับได้

F kN/m

AB 35 mm
4m