แผนการสอน

แผนการสอน 210
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 12
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. คานดงั รูปมีความยาว 5 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นส่ีเหล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง120 มิลลิเมตร
สูง170 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 68 กิโลนิวตนั กระทาท่ีจุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความ
เคน้ ดดั สูงสุดที่เกิดข้ึนในคาน

120
68 kN mm

170
mm

2m 3m

วธิ ีทา

  MA  0 ; 5R B  68 2

RB  136  27.2 kN
5

 R A  68  27.2  40.8 kN

Mmax  R A  2  40.8  2  81.6 kN  m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  170  85 mm I  1 bh 3  1 1201703  49130000 mm4
22 12 12

แทนค่า max  81.6 106  85
49130000

 141.18 N
mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคานเทา่ กบั 141.18 นิวตนั / ตารางมิลลิเมตร

แผนการสอน 211
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ช่ัวโมง

2. คานยนื่ A-B มีความยาว 4เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ F กิโลนิวตนั /
เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศูนย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหลก็ ท่ีมีค่าความเคน้
ไมเ่ กิน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) น้ีที่คานจะรับได้

F kN/m

AB 35 mm
4m

วธิ ีทา

M max  FL2
2

 F  42  8FkN.m
2

เมื่อ I   d 2   (35)4  73661.76mm4 , c  35  17.5mm จากสูตร   Mc
64 64 2
I

เม่ือ   68 N

mm2

 68 8F 106 17.5
73661.76

w  68 73661.76
8106 17.5

 0.03578kN m
 35.78N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทา่ กบั 35.78N m

แผนการสอน 212
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 12
จานวน 3 ชั่วโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 214
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง
1. การหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T
2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในดาน

สาระสาคญั

1. ในการหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T ตอ้ งหาตอ้ งหาจุดศนู ยถ์ ่วง

ของรูปตวั T จากน้นั จึงหาโมเมนตค์ วามเฉื่อย โดยใชส้ ูตร INA  I  Ad2 

2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในคานมี 2 ข้นั ตอน คือ ถา้ พ้นื ท่ีหนา้ ตดั ส่วนบนและส่วนล่างของ
แกนสะเทินเท่ากนั ความเคน้ อดั และความเคน้ ดึงก็จะเทา่ กนั การหาโมเมนตด์ ดั ในคานหาไดจ้ าก

การหาค่าโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้ แทนคา่ ลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

วตั ถุประสงค์
1. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ ดดั ในคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 215
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

เนือ้ หาสาระ

1. การหาโมเมนต์ของความเฉ่ือยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัวT
ในกรณีท่ีหนา้ ตดั ของคานไม่เป็นตามท่ีกล่าวมาแลว้ เช่น เป็นรูปตวั T การหาโมเมนต์

ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั เหล่าน้นั ตอ้ งอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ อง
ความเฉ่ือย กล่าวคือ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของรูปตดั รอบแกนใดแกนหน่ึงท่ีขนานกบั แกน
สะเทินจะมีค่าเท่ากบั โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตดั น้นั บวกดว้ ยผลคูณของ
พ้ืนที่หนา้ ตดั กบั กาลงั สองของระยะทางท่ีแกนน้นั ห่างจากแกนสะเทินดงั สมการต่อไปน้ี

I N.A.  IC.G.  Ad2

เม่ือ IN.A. . เป็ นโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนที่ตอ้ งการหา
.IC.G. เป็ นโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั น้นั
A เป็นพ้ืนที่หนา้ ตดั ของคาน
d เป็นระยะทางที่อยหู่ ่างจากแกนศูนยถ์ ่วงไปยงั แกนท่ีตอ้ งการหา

วธิ ีหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัว T

รูปที่ 4 โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

1.หาจุดศูนยถ์ ่วงของรูปตวั T ก่อน ซ่ึงหาไดจ้ ากผลรวมของโมเมนตข์ องพ้ืนที่ต่าง ๆ
หารดว้ ยพ้นื ท่ีท้งั หมด

แผนการสอน 216
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

จากรูปหนา้ ตดั ตวั T แบง่ ออกเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ สองรูปคือ รูปต้งั และรูปนอน ให้
จุดศนู ยถ์ ่วงของหนา้ ตดั ห่างจากส่วนล่างสุดของคานเป็นระยะ y

 y  A1y1  A2 y2
A1  A2

2. หาโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนศูนยถ์ ่วงของแตล่ ะรูปที่แบง่ ก่อน แลว้ จึงคานวณหา
โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทิน โดยอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ องความเฉื่อย

IN.A. . ของรูปนอน = IC.G. ของรูปนอน  Ad2

IN.A. . ของรูปต้งั = IC.G. ของรูปต้งั  Ad2

IN.A. . ของรูปท้งั หมด = IN.A. ของรูปนอน+ IN.A. ของรูปต้งั

1.1 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทนิ

โดยท่ี I ซ่ึงเป็นคา่ ของโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน ดงั น้นั จึงจาเป็ นตอ้ งหา

ตาแหน่งของแนวแกนสะเทินของรูปหนา้ ตดั ของคานใหไ้ ดเ้ สียก่อน

จากการสมดุลของแรงในแนวราบ

 Fx  0  ydA  0

 y ydA  0
y

y ydA  0

y

แต่ y ไมเ่ ป็นศูนย์ แสดงวา่  ydA จะตอ้ งเป็ นศูนย์ ซ่ึงค่า  ydA คือคา่ ของโมเมนต์
y

ของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของคานรอบแกนสะเทินเขียนแทนไดด้ ว้ ย Ay โดยที่ y เป็นระยะห่างจากแกน

ศูนยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั กบั แกนสะเทิน

แผนการสอน 217
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปท่ี 5 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทิน

ดงั น้นั  ydA  Ay  0

แต่ A ไม่เท่ากบั ศนู ย์ ดงั น้นั y จะตอ้ งเป็ นศนู ย์ ซ่ึงแสดงวา่ ตาแหน่งของแกนสะเทินอยทู่ ี่
เดียวกบั ตาแหน่งของแกนศนู ยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั น้นั ถา้ เราทราบค่าจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั เราก็
สามารถท่ีจะหาแนวแกนสะเทินได้ การหาจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั ก็สามารถหาไดจ้ ากท่ีศึกษามา
แลว้ ในกลศาสตร์วศิ วกรรม

1.2 ค่าโมเมนต์ของความเฉื่อยของหน้าตดั ทสี่ าคัญ

1. สี่เหลยี่ มผนื ผ้า

A  bh c h
2

I N.A.  bh 3
12

2 . วงกลม

A   d2 c d
4 2

แผนการสอน 218
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
3. สามเหลยี่ ม จานวน 3 ชั่วโมง

A  bh c h
2 3

I N.A.  bh 3
36

4. ครึ่งวงกลม

A  r 2 c  4r
2 3

IN.A.  0.110r 4

2. การคานวณหาความเค้นในคาน

การคานวณหาความเคน้ ในคาน มีวธิ ีการดงั น้ี
1. ถา้ พ้นื ที่หนา้ ตดั ดา้ นบนและส่วนล่างของแนวแกนสะเทิน (NA) มีพ้ืนที่เทา่ กนั ดงั น้นั
ความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั จะมีคา่ เทา่ กนั ใชส้ ูตร

t  c  Mc  M
I Z

2. การหาโมเมน้ ดดั ในคาน (M) สามารถหาไดจ้ ากการคานวณหาพ้ืนท่ีรูปส่วนบนและ
ส่วนล่างของ Shear Force Diagram (SFD) หรือหาไดจ้ ากการคานวณโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้
แทนค่าลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

แผนการสอน 219
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

สรุปเนือ้ หา

ความเค้นดัดล้วน (Pure bending)
ความเคน้ ดดั ลว้ น คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระทาดว้ ยแรงคู่ควบหรือโมเมนตด์ ดั ที่

ปลายท้งั สองขา้ งโดยไมม่ ีแรงอื่นเลย จะทาใหแ้ รงเฉือนมีคา่ เป็นศนู ยต์ ลอดท้งั คาน ซ่ึงจะทาให้
เกิดความเคน้ ดดั เพียงอยา่ งเดียว

ความเค้นดัดธรรมดา (Ordinary bending)
ความเคน้ ดดั ธรรมดา คือคานท่ีรับแรงหรือน้าหนกั ตามแนวต้งั ฉากกบั แนวของคานน้นั

ซ่ึงจะมีผลทาใหเ้ กิดท้งั ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนในคาน เน่ืองจากวา่ มีท้งั แรงเฉือนและ
โมเมนตด์ ดั เกิดข้ึนท่ีหนา้ ตดั ของคานน้นั
คานเมื่อถูกโมเมนตด์ ดั กระทาจะเกิดความเคน้ ดดั ข้ึนในคาน เรียกวา่ Bending Stress มีท้งั ความ
เคน้ ดึงและความเคน้ อดั

สูตรท่ีใชพ้ จิ ารณาความเคน้ น้ีคือ   Mc เรามีข้นั ตอนการวเิ คราะห์ดงั น้ี

I

1. หาค่าโมเมนตภ์ ายใน ทาการตดั หนา้ ตดั ส่วนท่ีต้งั ฉากกบั แกนความยาวของคาน ณ
ตาแหน่งซ่ึงเกิดการดดั เราตอ้ งรู้ของตาแหน่งแกน N.A. เราใชไ้ ดอะแกรมของโมเมนต์
ดดั หาคา่ โมเมนตด์ ดั สูงสุดที่ใชส้ าหรับหาความเคน้ ดดั สูงสุด

2. คานวณหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉื่อยของพ้นื ที่หนา้ ตดั รอบแกนสะเทิน

หาค่าความเคน้ ดดั สูงสุดจากสูตร   Mc

I

แผนการสอน 220
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

ตัวอย่างท่ี 1
คานดงั รูปมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง100มิลลิเมตร

สูง 150 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 45 กิโลนิวตนั กระทาที่จุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความ
เคน้ ดดั สูงสุดท่ีเกิด ข้ึนในคาน

วธิ ีทา

 F  0..............3R B  451

R B  45  15kN
3

R A  45  15  30kN

Mmax  R A 1  301  30kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  150  75mm, I  bh 3  1001503
22 12 12

I  28125000mm4

แทนค่า  max  30106  75
28125000

 80N mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคาน  80N mm2

แผนการสอน 221
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

ตวั อย่างที่ 2

คานยน่ื อนั หน่ึงมีความยาว 2 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ Wกิโลนิวตนั /

เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหลก็ ที่มีคา่ ความเคน้

ท่ียอมใหไ้ มเ่ กิน 80 N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) น้ีท่ีคานจะรับได้
mm2

วธิ ีทา

M max  wL2
2

 w  22  2wkN.m
2

เม่ือ I   d2   (3)4  73661.7574mm4 , c  35 17.5mm จากสูตร   Mc
64 64 2 I

เมื่อ   80 N

mm2

 80  2w 106 17.5
73661.7574

w  80  73661.7574
2 106 17.5

 0.16836kN m
 168.36N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย  168.36N m

แผนการสอน 222
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของความเคน้ ดดั ในคานแบบตา่ ง ๆ มาให้

นกั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ท่ีจะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยท่ี 7
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1 และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยที่ 7

ข้ันสรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเร่ือง ท่ีจะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยที่ 7
2. รูปภาพ 4 และ 5

แผนการสอน 223
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 224
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

แบบฝึ กหดั

1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

แผนการสอน 225
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

วธิ ีทา กาหนดให้

A1 150 20  3000mm2

A2 130 20  2600mm2

y1 15010 140mm

y2  130  65mm
2

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

แทนค่า y  3000140  2600 65 105.1785mm

3000 2600

จาก INA  I  Ad2

จาก d1  y1  y 140105.1785 34.8215mm

d2  y  y2 105.1785 65  40.1785mm

   INA1    1  
 2  150  202   3000 34.82152   12  20  1303   2600 40.17852 

 11596488.09mm4

ตอบ คา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T เท่ากบั 11596488.09mm4

แผนการสอน 226
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

วธิ ีทา MA  0 3R B  421

RB  42  14kN
3

R A  42 14  28kN

Mmax  R a 1  281  28kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  140  70mm, I  1 bh 3  1  801403 18293333mm4
22 12 12

แทนค่า  max  28106  70  107N / mm2
18293333

ตอบ ความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคานเท่ากบั 107 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร

227

แผนการสอน หน่วยท่ี 7
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 13
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ชั่วโมง

แบบทดสอบ

1. คานแบบยน่ื รูปตวั T มีขนาดดงั รูป โดยคานน้ียาว 2 เมตร อยภู่ ายใตแ้ รงแบบกระจาย
สม่าเสมอ ตลอดความยาวมีค่า w กิโลนิวตนั /เมตร จงหาค่าของแรงน้ี เพ่ือจะทาใหค้ วามเคน้ ดึง
สูงสุดและความเคน้ อดั สูงสุดมีค่าไม่เกิน 45 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร และ 120 นิวตนั /ตาราง
มิลลิเมตร

2. คานแบบยนื่ มีความยาว 4 เมตร มีหนา้ ตดั เป็ นส่ีเหล่ียมผนื ผา่ กวา้ ง 120 มิลลิเมตร สูง
360 มิลลิเมตร รับน้าหนกั กระทาแบบกระจายสม่าเสมอ w เท่ากบั 4 กิโลนิวตนั /เมตร รวมน้าหนกั
ของคานดว้ ย จงหาความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั ท่ีมากที่สุดของคานน้ี

แผนการสอน 228
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. คานแบบยน่ื รูปตวั T มีขนาดดงั รูป โดยคานน้ียาว 2 เมตร อยภู่ ายใตแ้ รงแบบกระจาย
สม่าเสมอ ตลอดความยาวมีค่า w กิโลนิวตนั /เมตร จงหาค่าของแรงน้ี เพ่ือจะทาใหค้ วามเคน้ ดึง
สูงสุดและความเคน้ อดั สูงสุดมีค่าไม่เกิน 45 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร และ 120 นิวตนั /ตาราง
มิลลิเมตร

วธิ ีทา M max  wL2  w  22  2w kN.m
2
2

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

y  150 20140  130 20 65
150 20  130 20

y 105.1785mm

 INA  1  
 12  150 203   150 20 34.82152  


1  303  
12  2 0  1   20130 40.17852 


INA 11596488.09mm4

จากสูตร t  Mc1
I

เมื่อ t  45N / mm2 , c1  44.8215mm

แทนคา่ 45  2w 106  44.8215

11596488.09

w  11596488.09 45
2 106  44.8215

แผนการสอน 229
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

 5.821 kN/m

จากสูตร c  Mc2
I

เมื่อ c 120N / mm2 , c2 105.1785mm

แทนค่า 120  2w 106 105.1785

11596488.09

w  11596488.09120
2 106 105.1785

 6.615 kN/m

ตอบ แรง w มีค่าเท่ากบั 5.821 กิโลนิวตนั /เมตร

2. คานแบบยน่ื มีความยาว 4 เมตร มีหนา้ ตดั เป็ นสี่เหล่ียมผนื ผา่ กวา้ ง 120 มิลลิเมตร สูง
360 มิลลิเมตร รับน้าหนกั กระทาแบบกระจายสม่าเสมอ w เทา่ กบั 4 กิโลนิวตนั /เมตร รวมน้าหนกั
ของคานดว้ ย จงหาความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั ที่มากที่สุดของคานน้ี

วธิ ีทา M max  wL2
2

 4  42  32kN.m
2

เมื่อ I  1 120 3603  466560000mm4 , c  360 180mm

12 2

c  t  Mc
I

 32106 180  12.3456N / mm2
466560000

c  t เพราะคานมีค่า c1  c2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเท่ากบั ความเคน้ อดั สูงสุดเท่ากบั 12.3456 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร

แผนการสอน 230
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 214
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง
1. การหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T
2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในดาน

สาระสาคญั

1. ในการหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T ตอ้ งหาตอ้ งหาจุดศนู ยถ์ ่วง

ของรูปตวั T จากน้นั จึงหาโมเมนตค์ วามเฉื่อย โดยใชส้ ูตร INA  I  Ad2 

2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในคานมี 2 ข้นั ตอน คือ ถา้ พ้นื ท่ีหนา้ ตดั ส่วนบนและส่วนล่างของ
แกนสะเทินเท่ากนั ความเคน้ อดั และความเคน้ ดึงก็จะเทา่ กนั การหาโมเมนตด์ ดั ในคานหาไดจ้ าก

การหาค่าโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้ แทนคา่ ลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

วตั ถุประสงค์
1. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ ดดั ในคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 215
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

เนือ้ หาสาระ

1. การหาโมเมนต์ของความเฉ่ือยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัวT
ในกรณีท่ีหนา้ ตดั ของคานไม่เป็นตามท่ีกล่าวมาแลว้ เช่น เป็นรูปตวั T การหาโมเมนต์

ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั เหล่าน้นั ตอ้ งอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ อง
ความเฉ่ือย กล่าวคือ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของรูปตดั รอบแกนใดแกนหน่ึงท่ีขนานกบั แกน
สะเทินจะมีค่าเท่ากบั โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตดั น้นั บวกดว้ ยผลคูณของ
พ้ืนที่หนา้ ตดั กบั กาลงั สองของระยะทางท่ีแกนน้นั ห่างจากแกนสะเทินดงั สมการต่อไปน้ี

I N.A.  IC.G.  Ad2

เม่ือ IN.A. . เป็ นโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนที่ตอ้ งการหา
.IC.G. เป็ นโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั น้นั
A เป็นพ้ืนที่หนา้ ตดั ของคาน
d เป็นระยะทางที่อยหู่ ่างจากแกนศูนยถ์ ่วงไปยงั แกนท่ีตอ้ งการหา

วธิ ีหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัว T

รูปที่ 4 โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

1.หาจุดศูนยถ์ ่วงของรูปตวั T ก่อน ซ่ึงหาไดจ้ ากผลรวมของโมเมนตข์ องพ้ืนที่ต่าง ๆ
หารดว้ ยพ้นื ท่ีท้งั หมด

แผนการสอน 216
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

จากรูปหนา้ ตดั ตวั T แบง่ ออกเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ สองรูปคือ รูปต้งั และรูปนอน ให้
จุดศนู ยถ์ ่วงของหนา้ ตดั ห่างจากส่วนล่างสุดของคานเป็นระยะ y

 y  A1y1  A2 y2
A1  A2

2. หาโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนศูนยถ์ ่วงของแตล่ ะรูปที่แบง่ ก่อน แลว้ จึงคานวณหา
โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทิน โดยอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ องความเฉื่อย

IN.A. . ของรูปนอน = IC.G. ของรูปนอน  Ad2

IN.A. . ของรูปต้งั = IC.G. ของรูปต้งั  Ad2

IN.A. . ของรูปท้งั หมด = IN.A. ของรูปนอน+ IN.A. ของรูปต้งั

1.1 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทนิ

โดยท่ี I ซ่ึงเป็นคา่ ของโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน ดงั น้นั จึงจาเป็ นตอ้ งหา

ตาแหน่งของแนวแกนสะเทินของรูปหนา้ ตดั ของคานใหไ้ ดเ้ สียก่อน

จากการสมดุลของแรงในแนวราบ

 Fx  0  ydA  0

 y ydA  0
y

y ydA  0

y

แต่ y ไมเ่ ป็นศูนย์ แสดงวา่  ydA จะตอ้ งเป็ นศูนย์ ซ่ึงค่า  ydA คือคา่ ของโมเมนต์
y

ของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของคานรอบแกนสะเทินเขียนแทนไดด้ ว้ ย Ay โดยที่ y เป็นระยะห่างจากแกน

ศูนยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั กบั แกนสะเทิน

แผนการสอน 217
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปท่ี 5 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทิน

ดงั น้นั  ydA  Ay  0

แต่ A ไม่เท่ากบั ศนู ย์ ดงั น้นั y จะตอ้ งเป็ นศนู ย์ ซ่ึงแสดงวา่ ตาแหน่งของแกนสะเทินอยทู่ ี่
เดียวกบั ตาแหน่งของแกนศนู ยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั น้นั ถา้ เราทราบค่าจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั เราก็
สามารถท่ีจะหาแนวแกนสะเทินได้ การหาจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั ก็สามารถหาไดจ้ ากท่ีศึกษามา
แลว้ ในกลศาสตร์วศิ วกรรม

1.2 ค่าโมเมนต์ของความเฉื่อยของหน้าตดั ทสี่ าคัญ

1. สี่เหลยี่ มผนื ผ้า

A  bh c h
2

I N.A.  bh 3
12

2 . วงกลม

A   d2 c d
4 2

แผนการสอน 218
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
3. สามเหลยี่ ม จานวน 3 ชั่วโมง

A  bh c h
2 3

I N.A.  bh 3
36

4. ครึ่งวงกลม

A  r 2 c  4r
2 3

IN.A.  0.110r 4

2. การคานวณหาความเค้นในคาน

การคานวณหาความเคน้ ในคาน มีวธิ ีการดงั น้ี
1. ถา้ พ้นื ที่หนา้ ตดั ดา้ นบนและส่วนล่างของแนวแกนสะเทิน (NA) มีพ้ืนที่เทา่ กนั ดงั น้นั
ความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั จะมีคา่ เทา่ กนั ใชส้ ูตร

t  c  Mc  M
I Z

2. การหาโมเมน้ ดดั ในคาน (M) สามารถหาไดจ้ ากการคานวณหาพ้ืนท่ีรูปส่วนบนและ
ส่วนล่างของ Shear Force Diagram (SFD) หรือหาไดจ้ ากการคานวณโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้
แทนค่าลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

แผนการสอน 219
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

สรุปเนือ้ หา

ความเค้นดัดล้วน (Pure bending)
ความเคน้ ดดั ลว้ น คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระทาดว้ ยแรงคู่ควบหรือโมเมนตด์ ดั ที่

ปลายท้งั สองขา้ งโดยไมม่ ีแรงอื่นเลย จะทาใหแ้ รงเฉือนมีคา่ เป็นศนู ยต์ ลอดท้งั คาน ซ่ึงจะทาให้
เกิดความเคน้ ดดั เพียงอยา่ งเดียว

ความเค้นดัดธรรมดา (Ordinary bending)
ความเคน้ ดดั ธรรมดา คือคานท่ีรับแรงหรือน้าหนกั ตามแนวต้งั ฉากกบั แนวของคานน้นั

ซ่ึงจะมีผลทาใหเ้ กิดท้งั ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนในคาน เน่ืองจากวา่ มีท้งั แรงเฉือนและ
โมเมนตด์ ดั เกิดข้ึนท่ีหนา้ ตดั ของคานน้นั
คานเมื่อถูกโมเมนตด์ ดั กระทาจะเกิดความเคน้ ดดั ข้ึนในคาน เรียกวา่ Bending Stress มีท้งั ความ
เคน้ ดึงและความเคน้ อดั

สูตรท่ีใชพ้ จิ ารณาความเคน้ น้ีคือ   Mc เรามีข้นั ตอนการวเิ คราะห์ดงั น้ี

I

1. หาค่าโมเมนตภ์ ายใน ทาการตดั หนา้ ตดั ส่วนท่ีต้งั ฉากกบั แกนความยาวของคาน ณ
ตาแหน่งซ่ึงเกิดการดดั เราตอ้ งรู้ของตาแหน่งแกน N.A. เราใชไ้ ดอะแกรมของโมเมนต์
ดดั หาคา่ โมเมนตด์ ดั สูงสุดที่ใชส้ าหรับหาความเคน้ ดดั สูงสุด

2. คานวณหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉื่อยของพ้นื ที่หนา้ ตดั รอบแกนสะเทิน

หาค่าความเคน้ ดดั สูงสุดจากสูตร   Mc

I

แผนการสอน 220
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

ตัวอย่างท่ี 1
คานดงั รูปมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง100มิลลิเมตร

สูง 150 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 45 กิโลนิวตนั กระทาที่จุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความ
เคน้ ดดั สูงสุดท่ีเกิด ข้ึนในคาน

วธิ ีทา

 F  0..............3R B  451

R B  45  15kN
3

R A  45  15  30kN

Mmax  R A 1  301  30kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  150  75mm, I  bh 3  1001503
22 12 12

I  28125000mm4

แทนค่า  max  30106  75
28125000

 80N mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคาน  80N mm2

แผนการสอน 221
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

ตวั อย่างที่ 2

คานยน่ื อนั หน่ึงมีความยาว 2 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ Wกิโลนิวตนั /

เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหลก็ ที่มีคา่ ความเคน้

ท่ียอมใหไ้ มเ่ กิน 80 N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) น้ีท่ีคานจะรับได้
mm2

วธิ ีทา

M max  wL2
2

 w  22  2wkN.m
2

เม่ือ I   d2   (3)4  73661.7574mm4 , c  35 17.5mm จากสูตร   Mc
64 64 2 I

เมื่อ   80 N

mm2

 80  2w 106 17.5
73661.7574

w  80  73661.7574
2 106 17.5

 0.16836kN m
 168.36N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย  168.36N m

แผนการสอน 222
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของความเคน้ ดดั ในคานแบบตา่ ง ๆ มาให้

นกั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ท่ีจะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยท่ี 7
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1 และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยที่ 7

ข้ันสรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเร่ือง ท่ีจะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยที่ 7
2. รูปภาพ 4 และ 5

แผนการสอน 223
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 224
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

แบบฝึ กหดั

1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

แผนการสอน 225
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

วธิ ีทา กาหนดให้

A1 150 20  3000mm2

A2 130 20  2600mm2

y1 15010 140mm

y2  130  65mm
2

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

แทนค่า y  3000140  2600 65 105.1785mm

3000 2600

จาก INA  I  Ad2

จาก d1  y1  y 140105.1785 34.8215mm

d2  y  y2 105.1785 65  40.1785mm

   INA1    1  
 2  150  202   3000 34.82152   12  20  1303   2600 40.17852 

 11596488.09mm4

ตอบ คา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T เท่ากบั 11596488.09mm4

แผนการสอน 226
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

วธิ ีทา MA  0 3R B  421

RB  42  14kN
3

R A  42 14  28kN

Mmax  R a 1  281  28kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  140  70mm, I  1 bh 3  1  801403 18293333mm4
22 12 12

แทนค่า  max  28106  70  107N / mm2
18293333

ตอบ ความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคานเท่ากบั 107 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร

227

แผนการสอน หน่วยท่ี 7
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 13
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน จานวน 3 ชั่วโมง

แบบทดสอบ

1. คานแบบยน่ื รูปตวั T มีขนาดดงั รูป โดยคานน้ียาว 2 เมตร อยภู่ ายใตแ้ รงแบบกระจาย
สม่าเสมอ ตลอดความยาวมีค่า w กิโลนิวตนั /เมตร จงหาค่าของแรงน้ี เพ่ือจะทาใหค้ วามเคน้ ดึง
สูงสุดและความเคน้ อดั สูงสุดมีค่าไม่เกิน 45 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร และ 120 นิวตนั /ตาราง
มิลลิเมตร

2. คานแบบยนื่ มีความยาว 4 เมตร มีหนา้ ตดั เป็ นส่ีเหล่ียมผนื ผา่ กวา้ ง 120 มิลลิเมตร สูง
360 มิลลิเมตร รับน้าหนกั กระทาแบบกระจายสม่าเสมอ w เท่ากบั 4 กิโลนิวตนั /เมตร รวมน้าหนกั
ของคานดว้ ย จงหาความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั ท่ีมากที่สุดของคานน้ี

แผนการสอน 228
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. คานแบบยน่ื รูปตวั T มีขนาดดงั รูป โดยคานน้ียาว 2 เมตร อยภู่ ายใตแ้ รงแบบกระจาย
สม่าเสมอ ตลอดความยาวมีค่า w กิโลนิวตนั /เมตร จงหาค่าของแรงน้ี เพ่ือจะทาใหค้ วามเคน้ ดึง
สูงสุดและความเคน้ อดั สูงสุดมีค่าไม่เกิน 45 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร และ 120 นิวตนั /ตาราง
มิลลิเมตร

วธิ ีทา M max  wL2  w  22  2w kN.m
2
2

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

y  150 20140  130 20 65
150 20  130 20

y 105.1785mm

 INA  1  
 12  150 203   150 20 34.82152  


1  303  
12  2 0  1   20130 40.17852 


INA 11596488.09mm4

จากสูตร t  Mc1
I

เมื่อ t  45N / mm2 , c1  44.8215mm

แทนคา่ 45  2w 106  44.8215

11596488.09

w  11596488.09 45
2 106  44.8215

แผนการสอน 229
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

 5.821 kN/m

จากสูตร c  Mc2
I

เมื่อ c 120N / mm2 , c2 105.1785mm

แทนค่า 120  2w 106 105.1785

11596488.09

w  11596488.09120
2 106 105.1785

 6.615 kN/m

ตอบ แรง w มีค่าเท่ากบั 5.821 กิโลนิวตนั /เมตร

2. คานแบบยน่ื มีความยาว 4 เมตร มีหนา้ ตดั เป็ นสี่เหล่ียมผนื ผา่ กวา้ ง 120 มิลลิเมตร สูง
360 มิลลิเมตร รับน้าหนกั กระทาแบบกระจายสม่าเสมอ w เทา่ กบั 4 กิโลนิวตนั /เมตร รวมน้าหนกั
ของคานดว้ ย จงหาความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั ที่มากที่สุดของคานน้ี

วธิ ีทา M max  wL2
2

 4  42  32kN.m
2

เมื่อ I  1 120 3603  466560000mm4 , c  360 180mm

12 2

c  t  Mc
I

 32106 180  12.3456N / mm2
466560000

c  t เพราะคานมีค่า c1  c2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเท่ากบั ความเคน้ อดั สูงสุดเท่ากบั 12.3456 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร

แผนการสอน 230
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 214
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง
1. การหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T
2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในดาน

สาระสาคญั

1. ในการหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T ตอ้ งหาตอ้ งหาจุดศนู ยถ์ ่วง

ของรูปตวั T จากน้นั จึงหาโมเมนตค์ วามเฉื่อย โดยใชส้ ูตร INA  I  Ad2 

2. การหาค่าความเคน้ ดดั ในคานมี 2 ข้นั ตอน คือ ถา้ พ้นื ท่ีหนา้ ตดั ส่วนบนและส่วนล่างของ
แกนสะเทินเท่ากนั ความเคน้ อดั และความเคน้ ดึงก็จะเทา่ กนั การหาโมเมนตด์ ดั ในคานหาไดจ้ าก

การหาค่าโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้ แทนคา่ ลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

วตั ถุประสงค์
1. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ ดดั ในคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 215
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

เนือ้ หาสาระ

1. การหาโมเมนต์ของความเฉ่ือยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัวT
ในกรณีท่ีหนา้ ตดั ของคานไม่เป็นตามท่ีกล่าวมาแลว้ เช่น เป็นรูปตวั T การหาโมเมนต์

ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั เหล่าน้นั ตอ้ งอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ อง
ความเฉ่ือย กล่าวคือ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของรูปตดั รอบแกนใดแกนหน่ึงท่ีขนานกบั แกน
สะเทินจะมีค่าเท่ากบั โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตดั น้นั บวกดว้ ยผลคูณของ
พ้ืนที่หนา้ ตดั กบั กาลงั สองของระยะทางท่ีแกนน้นั ห่างจากแกนสะเทินดงั สมการต่อไปน้ี

I N.A.  IC.G.  Ad2

เม่ือ IN.A. . เป็ นโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนที่ตอ้ งการหา
.IC.G. เป็ นโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของหนา้ ตดั น้นั
A เป็นพ้ืนที่หนา้ ตดั ของคาน
d เป็นระยะทางที่อยหู่ ่างจากแกนศูนยถ์ ่วงไปยงั แกนท่ีตอ้ งการหา

วธิ ีหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทนิ ของรูปตัว T

รูปที่ 4 โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของรูปตวั T

1.หาจุดศูนยถ์ ่วงของรูปตวั T ก่อน ซ่ึงหาไดจ้ ากผลรวมของโมเมนตข์ องพ้ืนที่ต่าง ๆ
หารดว้ ยพ้นื ท่ีท้งั หมด

แผนการสอน 216
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

จากรูปหนา้ ตดั ตวั T แบง่ ออกเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ สองรูปคือ รูปต้งั และรูปนอน ให้
จุดศนู ยถ์ ่วงของหนา้ ตดั ห่างจากส่วนล่างสุดของคานเป็นระยะ y

 y  A1y1  A2 y2
A1  A2

2. หาโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนศูนยถ์ ่วงของแตล่ ะรูปที่แบง่ ก่อน แลว้ จึงคานวณหา
โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทิน โดยอาศยั หลกั การยา้ ยแกนของโมเมนตข์ องความเฉื่อย

IN.A. . ของรูปนอน = IC.G. ของรูปนอน  Ad2

IN.A. . ของรูปต้งั = IC.G. ของรูปต้งั  Ad2

IN.A. . ของรูปท้งั หมด = IN.A. ของรูปนอน+ IN.A. ของรูปต้งั

1.1 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทนิ

โดยท่ี I ซ่ึงเป็นคา่ ของโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน ดงั น้นั จึงจาเป็ นตอ้ งหา

ตาแหน่งของแนวแกนสะเทินของรูปหนา้ ตดั ของคานใหไ้ ดเ้ สียก่อน

จากการสมดุลของแรงในแนวราบ

 Fx  0  ydA  0

 y ydA  0
y

y ydA  0

y

แต่ y ไมเ่ ป็นศูนย์ แสดงวา่  ydA จะตอ้ งเป็ นศูนย์ ซ่ึงค่า  ydA คือคา่ ของโมเมนต์
y

ของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของคานรอบแกนสะเทินเขียนแทนไดด้ ว้ ย Ay โดยที่ y เป็นระยะห่างจากแกน

ศูนยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั กบั แกนสะเทิน

แผนการสอน 217
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

รูปท่ี 5 การหาตาแหน่งของแนวแกนสะเทิน

ดงั น้นั  ydA  Ay  0

แต่ A ไม่เท่ากบั ศนู ย์ ดงั น้นั y จะตอ้ งเป็ นศนู ย์ ซ่ึงแสดงวา่ ตาแหน่งของแกนสะเทินอยทู่ ี่
เดียวกบั ตาแหน่งของแกนศนู ยถ์ ่วงของรูปหนา้ ตดั น้นั ถา้ เราทราบค่าจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั เราก็
สามารถท่ีจะหาแนวแกนสะเทินได้ การหาจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุน้นั ก็สามารถหาไดจ้ ากท่ีศึกษามา
แลว้ ในกลศาสตร์วศิ วกรรม

1.2 ค่าโมเมนต์ของความเฉื่อยของหน้าตดั ทสี่ าคัญ

1. สี่เหลยี่ มผนื ผ้า

A  bh c h
2

I N.A.  bh 3
12

2 . วงกลม

A   d2 c d
4 2

แผนการสอน 218
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
3. สามเหลยี่ ม จานวน 3 ชั่วโมง

A  bh c h
2 3

I N.A.  bh 3
36

4. ครึ่งวงกลม

A  r 2 c  4r
2 3

IN.A.  0.110r 4

2. การคานวณหาความเค้นในคาน

การคานวณหาความเคน้ ในคาน มีวธิ ีการดงั น้ี
1. ถา้ พ้นื ที่หนา้ ตดั ดา้ นบนและส่วนล่างของแนวแกนสะเทิน (NA) มีพ้ืนที่เทา่ กนั ดงั น้นั
ความเคน้ ดึงและความเคน้ อดั จะมีคา่ เทา่ กนั ใชส้ ูตร

t  c  Mc  M
I Z

2. การหาโมเมน้ ดดั ในคาน (M) สามารถหาไดจ้ ากการคานวณหาพ้ืนท่ีรูปส่วนบนและ
ส่วนล่างของ Shear Force Diagram (SFD) หรือหาไดจ้ ากการคานวณโมเมนตข์ องแรงกระทาแลว้
แทนค่าลงในสูตรหาความเคน้ ดดั

แผนการสอน 219
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

สรุปเนือ้ หา

ความเค้นดัดล้วน (Pure bending)
ความเคน้ ดดั ลว้ น คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระทาดว้ ยแรงคู่ควบหรือโมเมนตด์ ดั ที่

ปลายท้งั สองขา้ งโดยไมม่ ีแรงอื่นเลย จะทาใหแ้ รงเฉือนมีคา่ เป็นศนู ยต์ ลอดท้งั คาน ซ่ึงจะทาให้
เกิดความเคน้ ดดั เพียงอยา่ งเดียว

ความเค้นดัดธรรมดา (Ordinary bending)
ความเคน้ ดดั ธรรมดา คือคานท่ีรับแรงหรือน้าหนกั ตามแนวต้งั ฉากกบั แนวของคานน้นั

ซ่ึงจะมีผลทาใหเ้ กิดท้งั ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนในคาน เน่ืองจากวา่ มีท้งั แรงเฉือนและ
โมเมนตด์ ดั เกิดข้ึนท่ีหนา้ ตดั ของคานน้นั
คานเมื่อถูกโมเมนตด์ ดั กระทาจะเกิดความเคน้ ดดั ข้ึนในคาน เรียกวา่ Bending Stress มีท้งั ความ
เคน้ ดึงและความเคน้ อดั

สูตรท่ีใชพ้ จิ ารณาความเคน้ น้ีคือ   Mc เรามีข้นั ตอนการวเิ คราะห์ดงั น้ี

I

1. หาค่าโมเมนตภ์ ายใน ทาการตดั หนา้ ตดั ส่วนท่ีต้งั ฉากกบั แกนความยาวของคาน ณ
ตาแหน่งซ่ึงเกิดการดดั เราตอ้ งรู้ของตาแหน่งแกน N.A. เราใชไ้ ดอะแกรมของโมเมนต์
ดดั หาคา่ โมเมนตด์ ดั สูงสุดที่ใชส้ าหรับหาความเคน้ ดดั สูงสุด

2. คานวณหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉื่อยของพ้นื ที่หนา้ ตดั รอบแกนสะเทิน

หาค่าความเคน้ ดดั สูงสุดจากสูตร   Mc

I

แผนการสอน 220
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

ตัวอย่างท่ี 1
คานดงั รูปมีความยาว 3 เมตร มีหนา้ ตดั ของคานเป็นสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง100มิลลิเมตร

สูง 150 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 45 กิโลนิวตนั กระทาที่จุดห่างจากจุดรองรับ จงคานวณหาความ
เคน้ ดดั สูงสุดท่ีเกิด ข้ึนในคาน

วธิ ีทา

 F  0..............3R B  451

R B  45  15kN
3

R A  45  15  30kN

Mmax  R A 1  301  30kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  150  75mm, I  bh 3  1001503
22 12 12

I  28125000mm4

แทนค่า  max  30106  75
28125000

 80N mm2

ตอบ ความเคน้ ดดั สูงสุดในคาน  80N mm2

แผนการสอน 221
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

ตวั อย่างที่ 2

คานยน่ื อนั หน่ึงมีความยาว 2 เมตร รับน้าหนกั แบบกระจายสม่าเสมอ Wกิโลนิวตนั /

เมตร ตลอดท้งั คานเป็ นรูปวงกลมมีเส้นผา่ ศนู ย์ 35 มิลลิเมตร ถา้ คานทาดว้ ยเหลก็ ที่มีคา่ ความเคน้

ท่ียอมใหไ้ มเ่ กิน 80 N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) น้ีท่ีคานจะรับได้
mm2

วธิ ีทา

M max  wL2
2

 w  22  2wkN.m
2

เม่ือ I   d2   (3)4  73661.7574mm4 , c  35 17.5mm จากสูตร   Mc
64 64 2 I

เมื่อ   80 N

mm2

 80  2w 106 17.5
73661.7574

w  80  73661.7574
2 106 17.5

 0.16836kN m
 168.36N m

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย  168.36N m

แผนการสอน 222
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ชั่วโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพของความเคน้ ดดั ในคานแบบตา่ ง ๆ มาให้

นกั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ท่ีจะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยท่ี 7
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1 และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยที่ 7

ข้ันสรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเร่ือง ท่ีจะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยที่ 7
2. รูปภาพ 4 และ 5

แผนการสอน 223
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยท่ี 7
สอนคร้ังที่ 13
การวดั ผลและประเมนิ ผล จานวน 3 ช่ัวโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 224
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

แบบฝึ กหดั

1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

แผนการสอน 225
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T

วธิ ีทา กาหนดให้

A1 150 20  3000mm2

A2 130 20  2600mm2

y1 15010 140mm

y2  130  65mm
2

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

แทนค่า y  3000140  2600 65 105.1785mm

3000 2600

จาก INA  I  Ad2

จาก d1  y1  y 140105.1785 34.8215mm

d2  y  y2 105.1785 65  40.1785mm

   INA1    1  
 2  150  202   3000 34.82152   12  20  1303   2600 40.17852 

 11596488.09mm4

ตอบ คา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของคานรูปตวั T เท่ากบั 11596488.09mm4

แผนการสอน 226
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังท่ี 13
จานวน 3 ช่ัวโมง

2. คานมีความยาว 3 เมตร หนา้ ตดั กวา้ ง 80 มิลลิเมตร สูง 140 มิลลิเมตร มีแรงกระทา 42 กิโลนิว
ตนั จงคานวณหาความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคาน

วธิ ีทา MA  0 3R B  421

RB  42  14kN
3

R A  42 14  28kN

Mmax  R a 1  281  28kN.m

จากสูตร  max  Mc
I

เม่ือ c  h  140  70mm, I  1 bh 3  1  801403 18293333mm4
22 12 12

แทนค่า  max  28106  70  107N / mm2
18293333

ตอบ ความเคน้ สูงสุดท่ีเกิดในคานเท่ากบั 107 นิวตนั /ตารางมิลลิเมตร